ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие переводчика .

Предисловие■.

Глава I. Вариационные задачи теории пластичности

Введение

Функциональные пространства

Сведения из выпуклого анализа

Постановка вариационных задач теории пластичности

Двойственность вариационных задач ....

Граничный анализ

Ослабление граничных условий

Глава II. Решение вариационных задач в пространствах функций с конечной энергией

Введение

Дополнительные сведения о пространстве LD(Q

Пространство BD^ (I)

Пространство BD^Q^ (II)

Выпуклые функции от меры

Выпуклые функционалы от меры

Пример выпуклых функций мер: ослабление задачи о перемещениях

Двойственность между обобщенными перемещения ми и обобщенными напряжениями ....

Существование обобщенных решений задачи об обоб щепных перемещениях

Глава III. Асимптотические задачи и задачи теории пла- /"^ стип(226

Введение22Т>

Некоторые асимптотические задачи: пе идеально пластические задачи226

Некоторые задачи теории пластин ......247

Список литературы . ... 281

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА

Предлагаемая вниманию читателя книга входит в серию «Математические методы в информатике», выпускаемую иод руководством Ж.-Л. Лионса; некоторые книги этой авторитетной серии уже переведены на русский язык. Работы автора книги, французского математика Роже Темама, также хорошо известны специалистам по уравнениям с частными производными, механике, теории экстремальных задач, выпуклому анализу (в частности, по монографии: И. Экланд, Р. Темам. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.— М.: Мир, 1979). Новая книга Р. Темама «Математические вопросы теории пластичности» посвящена главным образом изучению задачи о напряжениях и более трудной задачи о перемещениях как вариационных задач, связанных с трехмерной упругой идеально пластической моделью пластичности Генки; кроме того, указаны некоторые приложения полученных результатов к не идеально пластическим задачам и изучены асимптотические свойства этих задач, а также приведены аналогичные результаты для двумерных задач, связанные с теорией пластин. Центральным техническим приемом является введение, изучение и использование подходящего функционального пространства (содержащего, что очень важно, и разрывные функции), а именно пространства функций с конечной энергией деформации, которое оказывается достаточно богатым для того, чтобы содержать пределы (в соответствующих топологиях) минимизирующих последовательностей для вариационной задачи о перемещениях. Воплощение этой аналитической идеи проведено с присущим автору искусством и ясностью.

Как указывает автор в своем предисловии, развитые им методы выглядят перспективными и в ряде других задач теории, и в области численного анализа. Можно надеяться, что настоящая книга будет способствовать дальнейшему развитию математических методов в реше

А. И. ШтернА. И. Штерннии трудных задач механики.

А. И. Штерн

А. И. Штерн

ПРЕДИСЛОВИЕ

Цель настоящей книги состоит в том, чтобы изучить с математической точки зрения задачу равновесия идеально пластического тела (при определенных условиях). Хотя настоящее исследование посвящено в точности той задаче, которая подробно онисапа ниже, может оказаться весьма вероятным, что использованные здесь средства и методы плодотворны и в других областях,— в частности, в эволюционных задачах теории пластичности, в задачах механики разрушения и в совершенно другом кру' ге идей — в некоторых задачах оптимального управления.

Рассматриваемая здесь задача теории пластичности есть задача равновесия трехмерного тела, занимающего объем й с R, которое находится в равновесии под действием некоторых объемных сил (с плотностью /) и некоторых поверхностных сил (с плотностью g), приложенных к части 1\ границы Г рассматриваемого тела. Неизвестными в задаче являются: поле перемещений относительно положения равновесия ненапряженного тела, обозначаемое м = м(.т), и, с другой стороны, поле напряжений о = о(ж) (поло симметричных тензоров порядка 2 на Q); наконец, считается заданным иоле перемещений и, равное по, па части Го границы, дополнительной к Г). При некоторых предположениях, в частности, в предположении идеальной пластичности материала, поля мио являются соответственно решениями двух хорошо известных вариационных задач, которые мы называем задачей о перемещениях и задачей о напряжениях; задача о перемещениях известна также под названием задачи Генки. Эти две задачи образуют пару задач вариационного исчисления, решение которых было достигнуто лишь недавно'); целью настоящей книги является изложение этих исследований.

Изучение задачи о напряжениях оказывается чуть менее сложным: мы легко доказываем, что эта задача имеет единственное решение, за исключением случая, когда множество допустимых полей напряжений пусто (такое может случиться при определенных значениях сил / и g, условия этого мы уточним). Напротив, задача о перемещениях представляет существенные трудности, которые были преодолены лишь недавно. В частности:

нижняя грань вариационной задачи о перемещениях (обозначаемой через 5s) может быть равна —°°;

если нижняя грань конечна (>—°°), то минимизирующие последовательности задачи 9 в лучшем случае ограничены в нерефлексивпом пространстве, и не представляется возможным выделить подпоследовательность, которая сходилась бы в подходящей топологии;

— если явление пластификации встречается на Го, то с точки зрения механики можно ожидать, что граничное условие и = ио па самом деле не будет выполняться па Го; можно также предвидеть, с точки зрения механики, что внутри тела могут происходить проскальзывания, а это соответствует полю перемещений и, имеющему разрывы на поверхностях, внутренних по отношению к Q. Это исключает принадлежность поля перемещений и как пространству непрерывных функций, так и (вследствие теорем о следе) пространству Соболева. Построение адекватного функционального пространства составляет одну из наших целей.

Здесь паше исследование относится в основном к двум областям. С одной стороны, речь идет об уточнении связей между задачей о напряжениях и задачей о перемещениях; они двойственны друг другу, и эта двойственность легко описывается с помощью общих методов, развитых в выпуклом анализе (см. [39, 41—43, 111, 112]). С другой стороны, мы проводим глубокое изучение задачи 9 о перемещениях; это изучение состоит во введении обобщенной (или ослабленной) задачи Q, которая связана с задачей 9 следующим образом:

задача Q продолжает задачу 9 (р9}, т. е. опа соответствует минимизации того же функционала в более широком пространстве;

нижняя грань задачи Q совпадает с нижпей гранью задачи 9 (она, конечно, не может оказаться больше, п мы, таким образом, должны будем показать, что она не может оказаться строго меньше);

задача Q имеет решения (кроме одного исключительного предельного случая), и решения задачи Q, в частности, являются пределами или точками накопления в некоторых топологиях для минимизирующих последовательностей в задаче 5s.

Чтобы определить задачу Q, необходимо ввести и изучить повое функциональное пространство, а именно пространство BDIQ-V которое является пространством суммируемых функций па й со значениями в R3, деформация которых является ограниченной мерой па й), т. е.

P = (V1, Г>2, Кз)^^^^)3,

, ,16сД

Бу (р) = — -—|- —| — ограниченная мера па £2, 2 \ dX3 I

■ i, / = 1, 2, 3.

Это пространство было введено и изучено, в частности, в [91, 123—129, 138, 140, 143, 145]. Оно позволяет определить и охарактеризовать пространства с конечной энергией — пространства, для которых энергия пластической деформации конечна. Предположим для простоты, что пластическая энергия деформации, связанная с полем перемещений и, определяется формулой

гс [ 311/2

J | е (к) (ж) | dx — J ] 2 I 6« (у) (ж) I2 [ &ж-

Упрощенная форма задачи характеризации пространства с конечной энергией, связанного с этой формулой, содержится в следующем вопросе: что можно сказать о последовательности регулярных функций ит на й со значениями в R3, которая равномерно сходится (или сходится в (Р(й))3) к некоторому пределу и и которая обладает тем свойством, что связанная с пей «энергия деформации» остается ограниченной,

| е (,vm) fdx ^ с.q

Введение пространства BD(Q') позволяет легко ответить на этот вопрос (см. гл. II, где этот вопрос поставлен и решен в другой форме, более приспособленной к рассматриваемой задаче).

* * *

Мы переходим теперь к последовательному описанию содержания настоящей книги. Опа делится па три главы. Глава I начинается с необходимых напоминаний некоторых фактов функционального анализа, выпуклого анализа и механики. В ней дается точное описание задач о перемещениях и напряжениях. Остальная часть главы содержит систематическое изучение этих задач методами выпуклого анализа. Проясняется двойственность этих задач между собой; вводится вспомогательная вариационная задача, называемая задачей граничного анализа, которая позволяет решить, является ли нижняя грань в задаче ^ конечной (>—00) и, двойственным образом, имеет ли задача о напряжениях допустимые поля напряжений. Глава I завершается введением и изучением частичного ослабления задачи ^, так называемой задачи гРЛ, в которой граничное условие и = uq на Го частично устранено.

Целью главы II является определение и изучение задачи о перемещениях Q, обобщающей исходную задачу S3. Опа содержит достаточно полное изучение функционального пространства BD(^Y) и некоторых других связанных с ним функциональных пространств. Она содержит также изучение вводимого в пей же понятия выпуклых функций мер. Речь идет об обобщении мер |ц|, р+, ц”, связанных с ограниченной мерой ц: если /— подходящая выпуклая функция на Rm и ц — ограниченная мера со значениями в R"1, то при некоторых условиях можно определить /(ц) как ограниченную меру со значениями в R; это так, например, в случае, когда /(«) = VI + s2 и «/(ц) = VI + ц2».

Как только эти предварительные технические средства оказываются построенными, мы приводим в главе II определение задачи Q. Мы изучаем ее связи с задачей 5s и с задачей о напряжениях; наконец, мы доказываем существование решения задачи Q.

В главе III осуществляются дополнительные исследования двух типов. С одной стороны, мы рассматриваем не «идеально пластические» модели и изучаем их сходимость к идеально пластической модели: речь идет, таким образом, об изучении возмущенных вариационных задач скорее на уровне перемещений, а не напряжений, и об изучении их предела, когда параметр возмущения стремится к нулю. С другой стороны, мы проводим —

аналогично исследованию, проведенному в главах 1, И — исследование идеально пластической модели для пластин. Излагаемое нами исследование (согласно [30—32]) основано па введении подходящего функционального пространства НВ^Й), а именно пространства функций с ограниченным гессианом; оно является в рассматриваемом случае аналогом пространства BD^tt). Это изучение позволяет, например, принять во внимание деформацию пластин, которые сгибаются (образуя один или несколько углов), по при этом не ломаются.

* * *■

Автор, конечно, осознает границы применения изучаемой модели с точки зрения механики: модель Генки, которая часто возникает как модель нелинейной упругости с порогом (см. [51]), недостаточно удовлетворительно учитывает явления пластичности. Было бы предпочтительнее достичь изучения эволюционной модели Прандтля — Рейсса либо в форме квазистатического приближения, либо в общей форме. Однако мы думаем, что по крайней мере некоторые из наших исследований и развитых в этой книге технических приемов являются необходимым шагом в изучении модели Прандтля — Рейсса. С другой стороны, как нам кажется, введение пространства ВВ(Й) и некоторые из последующих результатов образуют естественные рамки для задач механики твердых тел, в которых могут появляться разрывы; это могло бы оказаться полезным, таким образом, в теоретическом исследовании задач механики разрушения. С точки зрения численного анализа, как нам кажется, наш подход также может оказаться полезным: в исчислении разрушений использование выпуклого анализа позволяет получить более точные результаты, чем обычно (при условиях, которые являются одновременно необходимыми и достаточными), и формулировки главы II позволяют учесть поверхности разрыва; первые численные расчеты, основанные па этих идеях, проведены в [23, 25]. Наконец, как мы уже указывали выше, некоторые задачи оптимального управления могут оказаться доступными аналогичным методам исследования па уровне изучения необходимых условий оптимальности; эти вопросы подлежат дальнейшему изучению, но уже сейчас можно обратиться к [88, 141].

В заключение я хотел бы поблагодарить всех лиц, которые в различных формах внесли свой вклад в эту работу или стимулировали ее. Я благодарю Поля Жермена за интерес, проявленный им к этой работе, в частности, по случаю публикации некоторых статей, составивших основу этой книги, а также выраженный в [51]. Я благодарю Жака-Луи Лионса за его внимание и за включение этой книги в возглавляемую им серию.

Кроме того, я хотел бы поблагодарить Жильбера Стренга за дружеское сотрудничество, которое было очень приятным и плодотворным, и за его внимание в ходе подготовки этого сочинения; я благодарю также Робера Копа, с которым мы сотрудничали в статье, сыгравшей очень полезную роль в конце главы II. Фрап- суаза Демепжаль и Пьер Сюке согласились прочесть некоторые части рукописи; я благодарю их за сделанные замечания. Наконец, я хочу поблагодарить мадам Ле Мер и мадам Майпар, которые любезно обеспечили печатание текста.

ГЛАВА I

ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

Введение

В этой главе мы напоминаем различные факты из функционального анализа, выпуклого анализа и механики, которые будут нам постоянно нужны в дальнейшем. Затем мы приводим формулировку вариационных задач идеальной пластичности, которым и посвящена настоящая книга. Наконец, в остальной части главы эти задачи изучаются с помощью систематического использования средств выпуклого апализа.

В § 1 мы напоминаем некоторые основные понятия функционального анализа и функциональных пространств типа пространств Соболева; приводятся также некоторые дополнительные сведения. В § 2 напоминаются факты выпуклого апализа — свойства сопряженных выпуклых функций, вариационные задачи в двойственности. Даются примеры из вариационного исчисления и, в частности, изучаются двойственные вариационные задачи трехмерной линейной теории упругости, т. е. задачи, дающие поле деформаций и поле напряжений. В § 3 содержатся напоминания некоторых основных понятий механики сплошных сред; в частности, выписаны уравнения равновесия и сформулированы уравнения состояния.

Начиная с § 4 и до конца главы и далее мы запима- омся изучением вариационных задач о перемещениях и о напряжениях для модели пластичности Генки (статическая задача). В § 4 проводится систематическое изучение двойственности между вариационной задачей о по- пемещениях и вариационной задачей о напряжениях. В § 5 изучается граничный анализ. Вводится вспомога- тельпая вариационная задача, задача граничного анализа: именно она дает критерий, позволяющий решить, является ли нижпяя грань в задаче о перемещениях конечной или бесконечной и, двойственным образом, допускает ли задача о напряжениях состояния с допустимыми

напряжениями или не допускает. Хотя общая идея граничного анализа является старой и часто используется в механике при расчете разрушений, нам кажется, что описапная здесь задача граничного анализа (введенная Г. Стренгом и автором) является повой (по крайней мере, в данном здесь виде). Уточним, с другой стороны, что наше исследование, основанное на результатах выпуклого анализа, дает необходимые и достаточные условия, а не только необходимые или достаточные условия, как это часто бывает в случае граничного анализа.

Наконец, в § 6, который примыкает к настоящей главе с точки зрения общности методов (систематическое использование двойственности п выпуклого анализа), осуществляется первый шаг к осуществлению целой гл. II; вариационная задача, дающая поло перемещений — такая, как задача, сформулированная в § 4,— вообще говоря, нс имеет решения, и именно обобщенная форма этой задачи решается в г.ч. II. В § 6 мы рассматриваем первое обобщение рассматриваемой задачи, соответствующее частичному ослаблению граничных условий; мы описываем в § 6 ослабленную задачу и изучаем ее связи с исходной задачей о перемещениях.

Функциональные пространства

Основные понятия. Обозначим через x = ^xVl х%, ... ..., хп), у=Ду\, У2, ..., у»), z = (zi, z2, ..., zn) точки евклидова пространства Rn и будем называть набор векторов ei =(4, 0, ..., 0), е2 = (0, 1, . .., 0), . .., е„ = (0, ... ..., 0, 1) каноническим базисом в R".

Дифференциальный оператор d/dxt (Д^ъ^п^ будет обозначаться через Db а если / = (/1, 7'2, .. ., ]Д — мультииндекс, то через D3 будет обозначаться дифференциальный оператор

IX = П^ТУ» ...D£ =IX = П^ТУ» ...D£ =дЫз^1^2-. .а$ ДдЫз^1^2-. .а$ Д(1.1)(1.1)

IX = П^ТУ» ...D£ =

IX = П^ТУ» ...D£ =

дЫз^1^2-. .а$ Д

дЫз^1^2-. .а$ Д

(1.1)

(1.1)

порядка

[Л = /1+72 + ...+7-(1.2)

Если /i = 0, то оператор 1УЛ считается тождественным (единичным) оператором.

Пусть X — подмножество в R". Обозначим через ^ (X) пространство всех непрерывных вещественных функций па X. Если Q — открытое множество в Rn, то кроме про-

страпств ^(й) и ^(й) мы будем рассматривать также пространства ^(й) (соответственно ^(Й)) вещественных к раз непрерывно дифференцируемых па множестве Й (соответствеппо Й) функций. Через ^о(Й) (соответственно ^(й)) будет обозначаться подпространство в ^(Й) (соответственно ^(й)), образованпое функциями с компактным носителем в й. Очевидное видоизменение этих определений относится к случаю к = °°. Если к — конечное целое, ай — ограниченное открытое множество, то легко показать, что ^(й) есть банахово пространство относительно нормы

^ вирЧ/Л^я)].

Пространство <6’” (й) будет также часто обозначаться через 2)(й), как в теории обобщенных функций [116]).

Пусть й — некоторое открытое множество в R” и 1 ^ $£ р < оо. Обозначим через Лр(й) пространство (классов эквивалентности) вещественных функций на й, прппад- лежащих Lp относительно моры Лебега dx = dx\ .. . dxn. Это пространство является банаховым относительно нормы

Для р = оо пространство L” (й) есть пространство (классов эквивалентности) вещественных функций па й, которые являются измеримыми и существенно ограниченными; это — также банахово пространство относительно нормы

(1.36)

(1-4)(1-4)При р = 2 пространство Л2(Й) является гильбертовым относительно скалярного произведения

(1-4)

(1-4)

(ы, г?) = ) и (х) и(х) dx,Q

соответствующая норма элемента u^L? (й) будет тогда обозначаться через Ink

ImI = Ml2(q) = <(m>m)}1/2-

Теперь мы кратко напомним некоторые стандартные понятия и технические приемы.

Двойственность и слабая сходимость. Пусть X — банахово пространство. Обозначим через X' двойственное к нему (сопряженное) пространство, которое также является банаховым пространством, а через X" — его второе сопряженное пространство, т. о. пространство, сопряженное к X. Пространство X канонически отождествляется с подпространством в X", и банахово пространство X называется рефлексивным, если Х = Х". Так, для 1 ^ р < °° пространство, сопряженное к LP(Q), есть Lp (Q), где р' — pl (р — 1), и при 1<р< < оо пространство Lp^l) рефлексивно; с другой стороны, пространства 7J(Q) и L“(Q) пе являются рефлексив- пыми, как и пространства ^(Q).

Если X — рефлексивное банахово пространство, то из любой последовательности {фт}, ограниченной в X, можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность [Фт4]. Это означает, что существует такой элемент ф е еХ, что для любого ф е X' выполняется продельное соотношение

(фтг ^^(Ф, ^>, mi->oo. (1.5) Точно так яге, если X — (не обязательно рефлексивное) банахово пространство и X' — его сопряженпоо, то любая последовательность {фт}, ограниченная в X', содержит слабо* сходящуюся подпоследовательность lipmj)- Это означает, что существует такой элемент ф е X', что для любого ф е X выполняется предельное соотношение

' 0mp ф)-><Ф, ф>, mZ->0O. (1.6) В частности, если {um} — ограниченная последовательность в LP(Q) (1 < р ^ оо), то существуют такой элемент meLp(Q) и такая подпоследовательность {^т^ ? ЧТО ДЛЯ любого v из ZX(Q) (где р = р] (z1-1)) выполняется соотношение

J umj (ж) v (ж) da:-> ^ и (ж) у (ж) tir, mz->oo. (1.7) й й

Результат (1.7) пе имеет моста при р = 1, по более слабый результат, относящийся к этому случаю, будет указан и использован в гл. II.

Если последовательность {um} сходится к и по норме (в частности, это относится к пространствам LT (Q), 1 =5 s^p^00), то она также сходится к и слабо (а при р = = °° также и слабо*), по обратное утверждение неверно.

Свертка и регуляризация. Операция свертки приводит к различным процессам аппроксимации малорегулярных функций функциями класса ^”. Последовательность регуляризующих функций может быть построена следующим образом. Пусть р — вещественная функция класса <6"” с компактным носителем в R" (т. е. р е ^^ (R”) = Ф (Rn)). Предположим для удобства, что р(я)>0 и что р (а;) = 0 при Ы > 1. Пусть J р (ж) dx = 1. Для фиксированного ц > 0 положим r” рДя^ гСДДя/т!), я: е R71; тогда получаем, что J p^x^dx = 1 и Рч(я) = 0 при kl > т]. к"

Например, определим для любого и из Lp(Kn') (1^ ^ р < оо) функцию рч * и с помощью формулы

(Pn * u) (z) = J рп (х — у) и (у) dy.(1.8)

' Rn

Известно, что pn*u есть функция класса <6’“‘ па R" и что для 1 р < °° имеем

рч»и-^и в Z.P(R") при п->0.(1.9)

Отсюда следует, что ^“(R") плотно в Lp(Rn). Аналогично для 1 ^ р < оо можно показать, что

^о(^ = Ф^ плотно в Lp(Rn). (1.10)

Действительно, для любого достаточно большого натурального т введем множество Qi/m таких х^й, что расстояние от х до границы Г множества Q больше величины 1/т. Тогда существует такая функция фт е ^0° (^), что О^ф™^! и фт(я:)=1 на Qi/m. Если и^Ар(й) (l^pC00), то последовательпость {фти} лежит в LP(Q) и сходится по порме кив пространстве £P(Q) при m -> оо (по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла). Если ц > О достаточно мало, так что 1] < <ц(т), то рп * (фти) содержится в ^^ (Q); при т]-»-0 функция рп*(фти) стремится к фти в LP(Q) согласно (1.9) и, таким образом, является искомой аппроксимацией функции и.

Слабые производные. Предполагается, что читатель хоть немного знаком с теорией обобщенных функций [116] 5), но тем не менее напомним определение слабой производной в том виде, в котором оно появляется в этой теории.

Если и е ЕР(£У), v е //(Й), 1 ^ р, g < оо, где q — р или q^ р, то говорят, что v = du]dxt в слабом, смысле или в смысле обобщенных функций па Й, если

J и (ж) ^ (ж) dx = — J v (ж) ф (ж) dx Уфе ^^ (й). (1.11) 212

Это определение допускает обобщение па случай произвольного дифференциального оператора ^ (D) конечного порядка, коэффициенты которого а, являются регулярными функциями на й,— оператора вида

^(Р) = 2 aj^D5.(1.12)

[Ц <m

Л именно, пусть иеР(й) и п^Е’(й), 1 ^ р, g ^ °°; говорят, что

^(D')u = v(1.13)

в смысле обобщенных функций на й, если

2 J(—l/71 и!У {a^dx = ^vtpdx Уфе^^й). (1.14)

Из определения (1.11) легко следует, что если vm = = dumjdxi в смысле обобщенных функций, где ите I? (Й), vm^Lp(Й), и если ит-*и в А₽(Й) и ит-^и в ^(Й) по норме или хотя бы слабо, то тогда выполняется также и соотношение v — duldXi в смысле обобщенных функций па Й.

Обозначим через 2У(Й) пространство скалярных обоб- щенпых функций па Й.

Пространства Соболева. Мы напомним сейчас основные результаты и определения, относящиеся к пространствам Соболева. За доказательствами и дополнительными результатами читатель может обратиться к [1, 89] и —в случае пространств ^^^Й)—к [48].

Пусть Й — ограниченная область в R” с границей Г. Относительно границы Г часто бывают необходимы те или иные предположения гладкости. Мы будем говорить, что Й ость область класса Ч8Т (где натуральное г подле-

жит уточнению), если выполняется следующее условие: Г ость многообразие размерности п — 1

и класса <6'т.1 а область Й расположена локально

по одну сторону от Г. (1.15)

Мы будем говорить, что Й — липшицева область, если

ее граница Г локально может быть представлена как гра

фик лишпицевой функции па открытом подмножестве в Rn-1, причем Й локально расположена по одну сторону от Г. Наконец, можно потребовать, чтобы область О. (а часто также и CQ = Rn\Q) удовлетворяла условию конуса, иначе говоря, чтобы для Й (рис. 1.1) выпол

нялось условие:

существует такое конечное покрытие (Oi)isi границы Г

области й ограниченными открытымимножествами Ot и для любого tel существует

такой открытый конус ^ с вершиной в нуле,что х + 'Si не пересекается с О< Л Г

для всех х е О{ Л й (1.16)

(или аналогичное условие для СЙ).

Если й — некоторая ограниченная область в R", то пространство Соболева И' (Й) есть пространство функций и из Л2(Й), которые имеют в слабом смысле частные производные dujdxi, также принадлежащие L2(Q), для всех i = 1, 2, ..., п (следовательно, существуют такие функции щ, кг, ..., Пп в Л2(Й), что равенство (1.11) выполняется, если и заменить на и^. Известно, что Я'(Й) является гильбертовым пространством относительно скалярного произведения

п

(1.17)(1.17)((“. ^(й) = (“’ Р) + .2 ЦМ П^

(1.17)

(1.17)

и связанной с этим скалярным произведением нормы

IIи ^(Q) = ||^"*>^^J .18)

17172р. Темам

17

17

Можно показать, что если £2 удовлетворяет условию конуса, то

^“(Q) плотно в /71 (Q)(1.19)

и выполняется свойство вложения пространств Соболева: /Л(О)с L'i(Q), причем вложение непрерывно, для IJq = 1/2 — 1/щ если п > 2,

п для любого коночного д>1, если п = 2,(1.20)

а также имеет место следующий результат о компактности:■

вложение L’(Q) в ^(Q) является компактным оператором для любого q, удовлетворяющего неравенству 1 $5 q $5 2п/ (и — 2).(1-21)

Если Q — открытое множество, принадлежащее по крайней мере классу <6Х1 то можно определить пространство £2(Г) (классов эквивалентности) вещественных функций па Г, принадлежащих пространству L2 относительно поверхностной меры с?Г, и справедлива следующая теорема о следе:

существует такое непрерывное линейное отображение 70 пространства IIх (Q) в А2(Г), что уоы = и1г

для всех и из ^‘(Q).(1-22)

Образ Н1^ при этом отображении обозначается через Я1/2(Г); этот образ является (векторным) подпространством в 7?(Г), причем /71/2(Г) является гильбертовым пространством относительно структуры, которую из IIх (Q) переносит оператор уо- Если нет опасности путаницы, то след функции и па Г мы будем для простоты обозначать также через и, а но через you.

Пусть О — произвольная ограниченная область. Обозначим через Но (Q) замыкание в Я1 (О) функций класса ^°° с компактным носителем в Q. Согласно неравенству Пуанкаре существует такая конечная постоянная с0 = со (О) > 0, зависящая только от области Q, что

f | и (ж) |2 dx < сй (Q) 2 JI ^ (я) |2 dx (1.23) Qi=lQ

для всех и в ^“ (^) и> по непрерывности, для всех и 18

из Hq (й), Отсюда следует, что формула

((и, н)) = 2 (Оги, D^(1-24)

i=l

определяет гильбертово скалярное произведение в Нд^ и что соответствующая этому произведению норма

Ы = {((щ и))}*/2

эквивалентна норме || • ||Hi(Q), определяемой нормой пространства Я1 (О) zd Hq (О).

Если Й—ограниченная область класса ^^ то пространство Яд(О) совпадает с ядром оператора ^о. Обозначим через Я-1 (Й) пространство, сопряженное к Ну (Й); это — пространство обобщенных функций, и £2(й) можно отождествить с плотным подпространством в Я-1(й). Операторы дифференцирования Вг непрерывны, как операторы из Л2(Й) в Я-1(Й).

Это построение допускает следующее обобщение. Пусть р — конечное или бесконечное, нс меньшее 1 (1 s£p ^ °о), и пусть т — натуральное число. Введем пространство Соболева Wm’p(Q): это — пространство функций и из £Р(Й), которые для мультииндекса j, удовлетворяющего условию [/] ^ т, имеют частные производные в смысле обобщенных функций ТУ, принадлежащие ГУ^У Пространство Wm’p(Q) есть банахово пространство относительно нормы

hlU,P(£2)= s(1.25)

Для р = 2 мы будем писать Ят(й) вместо ТУ”*'Р(Й) и введем в Ят(Й) скалярное произведение и норму по формулам

((“> уДн^й) = ,S (/Vu, Я^),

11МЛнт(£2)^^Н^(й)}^2)(1.26)

которые превращают Ят(Й) в гильбертово пространство.

Свойства (1.19) и (1.21) также допускают обобщение: если Й удовлетворяет условию конуса и если 1 < р ^ °°, то выполняются следующие утверждения:

^“(Й) плотно в ^’(й);(1.27)

igig2*

ig

ig

если п > тр и 1/^ = Ир — m/n или если п = игр и q — любое конечное, то W™'p(Q)c ^(Q), причем оператор вложения непрерывен; (1.28) если nip + к < m< njpA- k-V 1, где к — неотрицательное целое, то ТЕт.р(Й)с^А(Й), причем оператор вложения непрерывен; (1.29) если п > тр и q удовлетворяет

неравенствам 1 ^ q < пр) (п — тр') или если п < тр и q — любое конечное, не меньшее 1, то вложение Wmp(Q) в Lq(^ компактно. (1.30) Если Й — область класса ®’m+1, то имеют место теоремы о следе, аналогичные (1.22): существуют такие непрерывные линейные отображения ^ U = ^, 1, • • 1 w —1) пространства Жт’р(й) в ЛР(Г), что ^5и = ^ujdv^r

для всех и из Ст (Й),(1.31)

где v означает единичный вектор внешней относительно области й нормали к ее границе Г.

Особенно часто будет использоваться пространство ^■’(й); в этом случае можно, согласно [48], дополнить утверждение (1.31) следующим образом: отображение следа уо сюръективно как отображение пространства ^-‘(Й) па Л1 (Г).(1.32)

Пространства векторных и тензорных функций. Пусть X — конечномерное евклидово пространство; обозначим через ^ц и |^1 = {^}1/2 скалярное произведение и норму в этом пространстве; основными примерами являются X = R" и X = Еп — пространство симметрических тензоров порядка п, снабженное скалярным произведением

|ц = S rg<yw-. (1.33)

i J=1

Если пет никакой опасности путаницы, то для простоты будем писать Е„ = Е.

В тензорных обозначениях мы будем использовать соглашение о суммировании по повторяющимся индексам, например

l^|2 = ^i= 2& где |eRn, i=l .

"(1.34)

^Ц = £ytiy = SyW» гДе S, ЛG En = E,

■Щ’=1

и для функций мы будем использовать обозначение

Фи = Аф = ^ф/^-(1.35)

Обозначим через ED подпространство в Е, образованное тензорами с нулевым следом. Тогда Е = ED ® TU; если ^,G Е, то элемент gc, компоненты которого определяются равенствами

Sy = Sy - -т ^*

(где бу — символ Кронекера), называется девиатором или девиацией тензора %._

Обозначим через ^(Q; X) (соответственно ^(Q; X)) пространство функций на Q со значениями в X (соответственно на Q со значениями в X), которые к раз непрерывно дифференцируемы; пространство ^(й; X) является, конечно, банаховым пространством относительно нормы

= 2 sup I D$u ^ I.

Обозначим через LP(Q; X) пространство (классов эквивалентности) функций на Q со значениями в X, принадлежащих Lp относительно меры Лебега dxi ... dxn. Это — банахово пространство относительно нормы

(1.36)

если 1 ^ р < оо, и относительно нормы

11 “Ь(й;х> = su? ess I “ М I- (L37)

если p = °°. При p = 2 пространство Z2(Q; X) является гильбертовым пространством относительно скалярного

21

произведения и нормы )

(u, р) = J и (ж) у (ж) dx,

[ и | = / J | и (ж) |2 &V/2.

■V3/

При X = R" мы_ воспользуемся обозначениями ^(й;

Х) = (^(Й))п, ^^ Х^^^У^ D>^\ Х) = (^(Й))" и т. д.

Некоторые функциональные пространства играют в дальнейшем особенно важную роль. Мы их кратко опишем здесь; более глубокое изучение будет производиться по мере необходимости.

Пространства, связанные с оператором дивергенции. Вводимое ниже пространство описано и тщательно изучено в [135]. Положим

У= {ue(L2(Q))n, divueL2(fi)}. (1.38)

Это — гильбертово пространство относительно скалярного произведения

(u, р) + (div и, div р) = [ (и (ж) р (ж) + div и (ж) div р (ж)) dx.

(1.39)

Основные свойства этого пространства, необходимые нам в дальнейшем, заключаются в следующем. Пусть Сй удовлетворяет условию конуса (ср. предложение 1.3 ниже); тогда

^"(й)” плотно в пространстве У. (1.40)

Если область й принадлежит классу <€х1 то можно определить след KV на Г:

существует непрерывное линейное отображение Yvпространства У, определенного в И.38),в пространство Я-1/2(Г), и 'Yvw = uv|r

для всех и в (^(й))";(1.41)

здесь Я-1/2(Г)—сопряженное к пространству Я1/2(Г) (ср. (1.22) и то, что следует за формулой (1.22)). Кроме того, имеет место обобщенная формула Грина

(u, gradу) + (divи, р)=<^и, уоУ> (1.42)

для всех u^Y (см. (1.38)) и реЯ^Й), где <•, •> означает скалярное произведение (точнее, форму двойственности) между Я1/2(Г) и Я",/2(Г). Если нет опасности путаницы, то мы будем писать uv вместо ^и.

Аналогично можно рассмотреть пространство

Y={oeL2(Q; Я„), div о е L2(Q)"},(1.43)

где div о = vo — вектор с компонентами

,2 D3Цу, i = l, 2,(1.44)

Это — гильбертово пространство относительно скалярного произведения

(ст, т) + (d iv ст, div т) = J {ст (ж) т (ж) + div ст (ж) div т (ж)} dx.

(1.45)

Можно показать (ср. предложение 1.3 ниже), что если CQ удовлетворяет условию конуса, то

^"(Q; Я„) плотно в пространстве У (см. (1.43)). (1.46) С другой стороны, заметим, что если ое У (где У — определено в (1.43)), то каждая строка

Ос = (on, 0(2, ..., о<п}, i = 1, 2, ..., п, содеряштся в пространстве (1.38). Если область Q принадлежит классу ^^ то из (1.41) и (1.42) следует, что существует непрерывное линейное отображение пространства (1.43) в (Я~1/2(Г))П (снова обозначаемое через у,), удовлетворяющее условию ^о = стг|г

для всех о из ^’(Q; Яп),(1.47)

хде ov — вектор с компонентами

■(1.48)

u=ii=i )

Кроме того, выполняется обобщенная формула Грина

2 (оц, Вщ5) + (div ст, u) = <Vvf, №>(1.49)

для всех о в пространстве (1.43) и всех и в (ZP(Q))n.

Если и — векторная функция на Q, то с ней можно связать тензор е(и) (тензор деформаций) с компонентами

/ди- ЭиЛ

-Г (^ + 5})-В-50)

Если и принадлежит ^(Q)", то е(п) содержится в Ь2(Й-, Еп), и в тех же предположениях, что и (1.49), это соотношение можно переписать в виде

(ст, e(u)) + (divo, п)=<у,о, уои> = "<ovlr, н|г>". (1.51)

Пространства, связанные с о и оратором е. Если оператор е определен формулой (1.50), то в линейной теории упругости естественно ввести пространство

Ue(L2(ti))\ Eii(u)eL2(Q), i, j=i, 2, ..., п). (1.52)

Это — гильбертово пространство относительно скалярного произведения

(и, v) + (е (и), е (и)) = ) (и (ж) и (ж) -[- е (и) (ж) е (и) (ж)} dx,

(1.53)

и если Q удовлетворяет условию конуса, то (^“(Q))" плотно в этом пространстве.

Если Q — ограниченная липшицева область, то из нижеследующего предложения 1.1 сразу следует, что

пространство (1.52) совпадает с (ff^Q))".(1.54)

Предложение 1.1 (неравенство Корна). Пусть Й — ограниченная липшицева область. Существует такая постоянная Ci=Ci(Q), зависящая только от области Q, что

f { ! м (ж) |2 + | е (и) (х) |2} dxf { ! м (ж) |2 + | е (и) (х) |2} dx[ [ Пщ, (ж) |2 dx сх (Й) й

f { ! м (ж) |2 + | е (и) (х) |2} dx

f { ! м (ж) |2 + | е (и) (х) |2} dx

(1.55)

для всех и из пространства (1.52).

24

Это утверждение легко получается из близкого результата, который мы также будем использовать в дальнейшем.

Предложение 1.2. Пусть Q— ограниченная лип- шицева область. .

Если обобщенная функция и имеет частные производные первого порядка В,и ^V^i^n^ и все эти частные производные принадлежат L2(Q), то и также принадлежит L2(12), причем

I “ k2(<2)/n ^ с (Q) । Srad u|. (1.56)

(1.57)(1.57)Если обобщенная функция и имеет частные производные первого порядка Вщ (1 ^ i < п) и все эти частные производные принадлежат Н-Х^Щ, то иеВ^Й), причем

(1.57)

(1.57)

1 м Il2№)/r < с (Q) II £rad и Нн-1(И)"-

Утверждение i) установлено в [34] в несколько более сильных предположениях и в [135] (ср. Предложение 1.2, гл. I) в условиях настоящего предложения. Утверждение Н) доказано в [90] для области Q класса ^ и в [104] для липшицевой области Q.

Замечание 1.1. Пусть р— непрерывная полунорма на 7?(Q), которая является нормой на постоянных функциях. Тогда из (1.56) — (1.57) легко следует, что существует такая постоянная c'(Q), зависящая только от области Q, что

|м| < c'(Q)(p(u) + Igradul)(1.58)

для всех u^L2(£l'j, что grad и е (L2^') )”, или соответ

ственно

| п К с' (й) [р (и) + || grad и ||7I-i(£2)n](1.59)

для всех и из 7?(Q) с grad к из (77 '(Q))”. Например,

Р^ =Р^ =J и (ж) dx оJ и (ж) dx оили p^ = \\u\\H_wили p^ = \\u\\H_w

Р^ =

Р^ =

J и (ж) dx о

J и (ж) dx о

или p^ = \\u\\H_w

или p^ = \\u\\H_w

Р^ = j|voOO№С1-60)

где Го с Г, причем mes Го > 0.

Отсюда получаем

Доказательство предложения 1.1. Для всех I, ], к имеем

D^Uj = О^^(и) + Dketj(u)- D^^u).(1.61)

Если и содержится в пространстве (1.52), то Dtu3 содержится в 7/-1(Q) для всех i и всех /, и вследствие (1.61) получаем, что

DhD3u3 содержится в Z7-1(Q) для всех к. (1.62)

Из предложения 1.2 (ii) следует, что D3u3 содержится в Z2(Q) для всех г, /, и, следовательно, ue(//i(Q))n. Неравенство (1.54) следует из (1.59) и (1.61):

DiU, | < с' (Q) {[| DWj ||и_1(й) + |! grad D3Uj 1|(н-1(П))П] <

| и | -|- 2 (|| Di^jh (и) ||д—i(Q) + II D^j (и) ||я—уй) + k=l

.4- IIDM (и) ||H-1(Q))} < С" { I и I -Ц e (u) I }.

Замечание 1.2. Неравенство Корна установлено другим способом в [56] в менее ограничительных предположениях относительно Q (а именно, предполагается, что Q удовлетворяет условию конуса).

Представляет интерес явпое выражение для ядра оператора е; оно называется множеством жестких перемещений и обозначается Й.

Лемма 1.1. Ядро1) оператора 8 образовано функциями и вида

и(х) — а + Вх,(1.63)

где а е R", В — антисимметрическая матрица порядка пХп. Если п = %, то и можно представить в виде

и(х)= а -V b X х,(1.64)

где а, Ъ е R3.

Доказательство. Положим

coy (u) = -^ (D3Uj — D,u^(1.65)

Речь идет о ядре оператора е в пространстве векторных обобщенных функций (®'(^))п и тсм более в любом меньшем пространстве.

и заметим, что

Dh^ij (^) =

1'1

2 C^W^i DihUj) = ' 2 УУкЧг -J" ТУуМ^) —

2~ ^Оци^ -}* ОцДз) " Pj^ik (^) Bi^jk (u). (1.66)

Следовательно, если e(u)=0, то Dh(Hij(u) = 0 для всех i, j, к, откуда следует также, что

D^itj = Dktoy (u) = О Vi, j, к.

Таким образом, функции и, аффинпы, так что м(ж) = = а + Вх, где В — квадратная матрица порядка п; наконец, В—антисимметричная, так как е(и) дает тогда симметричную часть матрицы В. Переход от (1.63) к (1.64) для и = 3 очевиден.

Замечание 1.3. i). Из леммы 1.1 и из неравенства Кориа следует, что |е(и)| является нормой на (УУ^Й))"/^, эквивалентной исходной норме па этом, пространстве. Аналогично, если р — непрерывная полунорма на (НЦЙ))", являющаяся нормой на 5?, то

.P(w)+ 1е(н) |(1-67)

есть норма на (/У1 (й))”, эквивалентная исходной норме. Действительно, ясно, что (1.67) является непрерывной нормой па ЦР^йУ11, и если мы покажем, что уР^У" полно относительно этой нормы, то эквивалентность норм будет следовать из теоремы о замкнутом графике. Докажем полноту. Пусть vim — последовательность Коши относительно нормы (1.67); тогда. ит есть подпоследовательность Коши в УР (й) У (91. Следовательно, существует такая последовательность rm s Й, что ит + гт-у и в (ПДЙ))". По из неравенства

р Ут — 1У s р(ит + rm — uh — г„) + р ут — иУ

получаем, что гт также является последовательностью Коши относительно полунормы р, так что гт сходится к некоторому г в 91 и, таким образом, ит сходится к и — г в (IP^y.

Как и в замечании 1.1, можно предложить несколько примеров непрерывных полунорм р, которые

являются нормами на 52:

?(«) = !« |£2(й)П, Р (и) = || и |lH-ilQ)mPW = J I у(м) I с/Г,го

где Го — измеримое подмножество Г положительной меры.

Пространство ЫДЙ'). Для любого р (1^р^ ®? °°) можно определить пространство, аналогичное (1.52):

{иеЛр(Й)п, e^H-IQ), i, j = l, 2, ..., nk (1.68)

Это банахово пространство относительно нормы(J ( I “ (ж) |р Н I Е (и.) (ж)

(1.69)(1.69)Если 1 < р < оо и если Q удовлетворяет условию конуса, то выполняется неравенство Корна (ср. [56, 57])

(1.69)

(1.69)

2 J | D^Uj (ж) |р с/ж ^ с (Q) f (| и (ж) |р Н-1 е (и) (ж) |р)с?ж>

. ь>-1 яя

(1.70)

справедливое для всех и из пространства (1.68), откуда следует, что в атом случае пространство (1.68) совпадает с (W^fi))".

Если бы неравенство Корна оставалось справедливым в L\ либо па области £2, либо на области, содержащей £2, то, рассматривая последовательность vn = (У1«п, О2и^ и рассуждая, как в замеча-Если бы неравенство Корна оставалось справедливым в L\ либо па области £2, либо на области, содержащей £2, то, рассматривая последовательность vn = (У1«п, О2и^ и рассуждая, как в замеча-■ иии 1.1 (дляр(») = §vdx■ иии 1.1 (дляр(») = §vdxяя+ ^ | dv/дт | ЙГ, где ди/дх — касатель- а'й+ ^ | dv/дт | ЙГ, где ди/дх — касатель- а'йная производная па Эй), мы пришли бы к противоречию.ная производная па Эй), мы пришли бы к противоречию.С другой стороны, в важном для теории пластичности случае р = 1 из контрпримера) Орнштейна [107] сле-

Если бы неравенство Корна оставалось справедливым в L\ либо па области £2, либо на области, содержащей £2, то, рассматривая последовательность vn = (У1«п, О2и^ и рассуждая, как в замеча-

Если бы неравенство Корна оставалось справедливым в L\ либо па области £2, либо на области, содержащей £2, то, рассматривая последовательность vn = (У1«п, О2и^ и рассуждая, как в замеча-

■ иии 1.1 (дляр(») = §vdx

■ иии 1.1 (дляр(») = §vdx

я

я

+ ^ | dv/дт | ЙГ, где ди/дх — касатель- а'й

+ ^ | dv/дт | ЙГ, где ди/дх — касатель- а'й

ная производная па Эй), мы пришли бы к противоречию.

ная производная па Эй), мы пришли бы к противоречию.

дует, что неравенство Корна (1.70) не имеет места при р = и что пространство (1.68) не совпадает с (И71,1 (й))п. Обозначим это пространство через LD(Q): LZ)(Q) = {и^(и) е Lx (Q), г, / = 1, 2, ..., nJ.

(1.71)

Это — банахово пространство относительно естественной нормы

|| и ||ld(O) = IIU |lLi(Q)n + 2 | еУ (м) 1^(0)-(I-72)

1,3=1

Из приведенного ниже предложения 1.2 следует, что (^”(0))" плотно в LD^y Другие свойства пространства LD(Q) будут устанавливаться по мере необходимости; в частности, будет доказана теорема о следах для пространства LD(Q) и различные свойства, основанные па этой теореме о следах (см. гл. II, § 1).

Некоторые технические результаты. Мы завершим этот параграф установлением некоторых технических результатов, многие из которых в частных случаях были упомянуты выше.

Пусть снова Q — область в R"; мы рассмотрим функции па области £2 со значениями в Rm и дифференциальные операторы, действующие па таких функциях и определенные выражениями вида■

^(D) = 2 ajIV,(1.73)

где «jERm. Более точно, пусть ^ц ^2, ..., ^л — набор из к дифференциальных операторов типа (1.73) и пусть ао, ац ..., оц — конечные или бесконечные величины, удовлетворяющие неравенствам 1 < а,^ «>. Обозначим через

5^ = 5^(^i, ^2, •^л; «о, осц ..., ай; Q) (1-74) пространство таких функций и из (/>“«(Q))m, что s^-jU е. Lai ^ Q-- 1, 2, . .., к). Мы снабдим это пространство нормой

к"

IM a m + 2|I«S^;W|| а.(1.75)

и получим следующее утверждение.

Лемма 1.2. Пространство 36 является банановым относительно нормы (1.75).

Доказательство. Пусть и$ — последовательность Коши относительно нормы (1.75). Тогда последовательности Up и s^jUp (j = 1, 2, ..., й) являются последовательностями Коши в (Ь% (Q))m и в Lai (Q) (/ = = 1, 2, ..., к) соответственно и сходятся в этих пространствах к своих пределам и и g, (/ = 1, 2, ..., к) соот- ветственпо. По свойствам непрерывности слабой производной (см. и. 1.1) выполняется соотношение gj-sl-jU для всех / — 1, 2, ..., к, так что и принадлежит пространству 36, определяемому в (1.74), и последовательность Up сходится в этом пространстве по норме к и.

Мы будем говорить, что пространство 36 является пространством локального типа, если

и в 36, фе^”(й)=»-кфЕЖ. (1.76) Это имеет место, например, если все операторы ^; являются операторами первого порядка и если ао ^ «j (j = l, 2, ..., ку

Замечание 1.4. Пространство LZ)(Q) вкладывается (с непрерывным оператором вложения) в (///("-d (Q) )п (см. гл. II), и часто приходится рассматривать пространство .

. £D(Q)n {ue^P)”, div u е Z,2(Q)}.

. Если Q — область в пространстве размерности 2, то это прострапство оказывается пространством локального типа, по это по так (или, точнее, неизвестно, верно ли это), если Q — область в пространстве размерности п ^ 3.

В этом случае справедлив следующий результат о плотности, доказательство которого является совершенно классическим.

Предложение 1.3. Пусть все aj конечны, 1^ «S а, < °°, пусть 36 — пространство локального типа и пусть открытое множество CQ удовлетворяет условию конуса. Тогда пространство (^“(Q))™ плотно в 36.

Доказательство, i) Рассмотрим покрытие границы Г открытыми множествами (0<)<Е1, заданными в соответствии с правилом (1.16). Эти открытые множества и сама область Q образуют покрытие замкнутого множества Q. Рассмотрим разложение единицы, подчиненное этому покрытию:

1 = Ф+.2<Рн ' (1.77) где ср е ^” (Q) и ср, е ^” РО

Если и е 5g, то мы получаем, что

(1.78)(1.78)и = фи + 2 Ф1Мter

(1.78)

(1.78)

и, так как пространство 3g локального типа, то функции фи и ф,и принадлежат 3g.

Теперь достаточно указать способ приближения каждой из этих функций функциями из пространства (^"(Й))"*.

И) Поскольку фи есть функция с компактным носителем в области Й, то функция и = фи, равная фи в й и нулю вне й, принадлежит пространству 3g(^i, ^2, ... ..., ^; ад «ь . ••> ov, Rn). Если рп—последователь- ■ ность регуляризующих функций (см. п. 1.1), то свертка рп * у для любого г] дает функцию из Ч?” (R") с компактным носителем. Вследствие (1.9) при г] -> 0 выполняются соотношения

рп*у->у в £“«(Й)т,

3^ (Pn * у) = Pn * S^jV S^-jV B Lai (Й)

i”), и при ri 0i”), и при ri 0для всех / = 1, 2, ..., к. При этих условиях свертка рп * у сходится к у в пространстве 3g (^1, 3^2, ..., ^; ад «1, ..., ак; Rn), и поэтому ограничение функции р„ * и на й (принадлежащее пространству (^“(й))™ и даже пространству (‘8’” (й))т, если ц достаточно мало) сходится к фи в пространстве 3g (^1, ^2, • •^;

i”), и при ri 0

i”), и при ri 0

, ■ ад ад ..., ад £2) при ц 0.

■ ш) Рассмотрим теперь функцию и = фiu и обозначим через у функцию, равную у в й и 0 впе й. Выберем регуляризующую функцию р, ; носитель которой содержится в ко' нусе g,i, заданном условием (1.16) (рис. 1.2).

Функция рп * у содержится в g^

вследствие (1.9) имеем рч * у-> у в (Lao (Rn))m; переходя ■ it ограничениям на й, получаем, что

.рп * у |йу = Ф^и в Lao (Rn)m. (1-79)

' С другой стороны, так как у, вообще говоря, имеет разрыв на Ot П Г, то обобщенная функция ^,у есть сумма (обычной) функции ^,у (равной ^у на й и нулю вне

Q) и обобщенной функции щ- с носителем на Ot Л Г. При т) 0 сеть рч * ^и сходится к s4jo в Lai (Rn) и, в частности,

рл * ^р |q s4,v в Lai (Q). (1.80)

Поскольку носитель функции р„ содержится в конусе ^1, то из условия (1.16), относящегося в данном случае к области CQ, следует, что носитель функции рп * ц; (содержащийся в сумме носителей р„ и щ) не пересекается с Q, так что pn * ^jZ?ln = pn * з4р\п = ^(рп * уЬ), и, наконец, при ц 0 получаем, что

54 j ((’в * и 1я) -> s^jV в L“'(Q). (1.81) Отсюда следует, что при ц -> 0 имеет место соотношение

рп * у |Qу = <рщ (1-82) в <^(^i, ^2, ..., ^," «о, «1» • •., а^; й), и утверждение установлено.

Замечание 1.5. Очевидно, что можно выбрать показатели «оь «оз, • • •, «от различными для различных компонент щ, мг, ..., мт вектора и. При некоторых условиях можно также допустить, чтобы в (1.73) коэффициенты а, зависели от ж.

Сведения из выпуклого анализа

В этом параграфе мы напомним некоторые понятия выпуклого анализа, которые по существу содержатся в [39, 94, 111, 112]. В конце параграфа в качестве примера мы рассмотрим приложения этих результатов к вариационным задачам линейной теории упругости.

Выпуклые функции. Доказательства приводимых здесь результатов могут быть найдены в § 2—5 гл. I из [39] или в других указанных выше источниках.

Мы будем рассматривать функции, определенные па векторном пространстве V (или на подмножестве такого пространства) и принимающие значения в R или в R U U {+ оо}; такая функция называется собственной, если она принимает значения, отличные от + °°. Пусть ^ — выпуклое подмножество пространства V и F — отображение з4 в R U {+ °°}; функция F называется выпуклой (па 54^, если

F^uA-^-^^F^Wt-VjF^ (2.1) для любых и, v из з4 и всех Л®(0, 1). Неравенство

2.1) тривиальным образом справедливо, если F^ или 32

F(и) равно +°°. Легко видеть, что если F выпукла, то для любого а е R U {+оо} множества

(м, F(n)^a) и {и, F(u)< a} (2.2)

выпуклы; обратное, вообще говоря, неверно.

Для любой функции F: V R U {+ оо} областью определения функции F называется множество

domF = {nsV) F (и) <+<»},(2.3)

вели функция F выпукла, то это множество domF выпукло. Надграфиком функции F называется множество

6piF = {(u, a)eFXB, a^F(u)}.(2.4)

Проекция этого множества на сомножитель V совпадает с dom F, и легко видеть, что функция F выпукла тогда и только тогда, когда ее надграфик epiF есть выпуклое множество.

Индикаторной функцией (или индикатрисой1) множества stcV называется функция ^^: K->-RU{+oo}, определенная формулой

(2.5)

I + оо, и ^х

Функция Х^ выпукла тогда и только тогда, когда множество выпукло.

Напомним, наконец, что функция F: ^ -> R II {+<»} строго выпукла, если неравенство (2.1) является строгим для всех и, ve^, u^v, и для всех Хе (О, 1).

Непрерывность и полунепрерывность с п и з у. Предположим, что векторное пространство V снабжено топологией; как правило, мы будем рассматривать нормированные векторные пространства V и в некоторых случаях будем предполагать, что V — более общее локально выпуклое топологическое векторное пространство (см. приведенное ниже изучение сопряженных выпуклых функций).

Функция F: V -> R U {+оо} называется полунепрерывной снизу (п. н. сн.), если

F (и) ^ lim inf F (tij)(2.6)

u^u

для всех и и всех Uj -► и. Необходимое и достаточное условие полунепрерывности снизу состоит в том, что для

Р, Темам33

любого a g R множество

{ugV, F(u)^a) (2.7)

замкнуто. Можно показать также, что функция F полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда ее надграфик замкнут.

Если функция F выпукла и и. и. сн., то множества сечений — множества вида (2.7)—замкнуты и выпуклы. Индикатриса х^ множества st- с У есть п. и. сн. функция тогда и только тогда, когда st замкнуто.

Если У — банахово пространство, то любая выпуклая функция F: У -* R U {+<»} непрерывна па любом открытом множестве О с У, на котором F конечна; в частности, если внутренность (domF)0 ее области определения непуста, то F на этой внутренности непрерывна. Более точно, такая функция F локально липшицева на внутренности своей области определения (см. § 2, 3 гл. I в [39]).

Сопряжеппые выпуклые функции. Легко видеть, что верхняя оболочка любого семейства выпуклых функций (соответственно п. н. сп. функций) также выпукла (соответственно и. п. сн.). Пусть F— функция на У со значениями в R U {+<»}; тогда верхняя оболочка семейства выпуклых и. и. сн. функций), не превосходящих F, является выпуклой п. п. сн. функцией G, которая называется Г-регуляризацией функции F (она может быть тождественно равна —°°). Это наибольшая выпуклая п. н. сн. функция, не превосходящая F. Можно показать, что необходимое и достаточное условие совпадения функции F с ее Г-регуляризацией состоит в том, что F выпукла и п. п. сн. (для функций F, не принимающих значепия —°°).

Оказывается, что при этом можно рассматривать только непрерывные аффинные миноранты функции F, т. е. функции вида и -> Z(y) + а, где I— непрерывная линейная форма па У, а а е R, причем F (у)> Ц^А- а для всех уе У. Если F не принимает значения —°°, то Г-регуляризация G функции F совпадает с верхней оболочкой семейства непрерывных аффинных минорант

функции F; ниже мы увидим, что G является также верхней оболочкой еще меньших семейств. Если F имеет хотя бы одну непрерывную аффинную миноранту, то G не равна тождественно — «>, и падграфик G есть замкнутая выпуклая оболочка надграфика функции F.

Замечание 2.1. Если F непрерывна (или по крайней мере полунепрерывна снизу) и имеет хотя бы одну непрерывную аффинную миноранту, то надграфик функции \'/

G есть выпуклая оболочка над- \ графика функции Г; в этом случае функция G называется также овыпуклеиием функции

F; см. рис. 2.1.э

Это понятие, которое в на

стоящем исследовании встреча- рис. 2.1. F и се «овыпукле- ется весьма ограниченно, по-пие»

видимому, должно играть важ

ную роль в нелинейной теории упругости; см., например, статью [60] и библиографию к пей.

Рассмотрим теперь два топологических векторных пространства в двойственности: У и У*, и пусть билинейная форма, определяющая двойственность между У и У*, обозначается через <•, ■>. В большинстве случаев пространство У будет гильбертовым или рефлексивным банаховым, а У* — его сопряженным, причем оба эти пространства считаются снабженными топологией, определяемой нормой. В некоторых случаях мы будем рассматривать в качестве У перефлексивное банахово пространство, снабженное топологией, определяемой нормой10), а в качестве У* — сопряженное к У пространство, снабженное о (У*, У)-топологией и) (или, что то же, слабой * топологией).

Непрерывной аффипной функцией на У является тогда функция вида

ы (е У) <и*, м> + а,(2.8)

где и* е У* и а g R.

Если F — функция на У со значениями в R U {+<»}, а и* е У*, то наибольшая из непрерывных аффинных минорант для F вида (2.8) соответствует а =—F*^u*),

1С) Таково, например, прострапство L’(Q) и пространства, по- строеппые с его помощью. ’

3*3*и) Эта топология определяется семейством полунорм вида а*(еИ*) -> ]<«*, и>|; где u е Р; см. [7, 146].

3*

3*

35

где

F* (м*) = sup «и*, u> - F ^y (2.9) чеУ

Полярной (или сопряженной) к F функцией называется функция F* на V* со значениями в R U {+«)}, определяемая формулой (2.9). Это—выпуклая п. н. сн. функция на V*. Для V = R функция F* совпадает с преобразованием Лежандра функции F.

Мы можем представить себе повторение этой операции сопряжения и определить с ее помощью выпуклую п. н. сн. функцию F** =(F*)* на V со значениями в RU {+<»}:

F**(u) = sup {<u*, w> — F* (u*)}. (2.10) u*eV*

Можно показать, что F** есть не что иное, как Г-регу- ляризация функции F, которая возникает, таким образом, как выпуклая оболочка некоторого специального семейства непрерывных аффинных мипорапт функции F (а именно, минорант вида ф(м)=<п*, и) — F*(u*) (и eV), которые, таким образом, являются — при фиксированном и* — максимальными).

Так как функция F* выпукла и п. н. сн. (и притом собственна, т. е. допускает аффинные миноранты), то мы видим, что ее Г-регуляризация F*** =^F*)** совпадает с F*:

F*** = F*. (2.11)

Прим еры. Важные для дальнейшего примеры, связанные с вариационным исчислением, будут приведены в разделе 2.3. Здесь мы опишем только некоторые простые примеры — как конечномерные, так и бесконечномерные.

1) Пусть ^ — подмножество V и х^ — его индикатриса. Тогда функция х^, сопряженная к х^,

Х^ W = sup [<u*, и> — ^^ (и)), определение которой может быть представлено в виде

Х^ («*) = sup <и*, и), (2.12)

называется опорной функцией множества ^; эта функция положительно однородна. Можно показать, что Г-ре- 36

гуляризация х” функции Х^ есть не что иное, как индикатриса Хббйу^ замкнутой выпуклой оболочки conv st- множества ^.

И) На числовой прямой R функция, сопряженная к функции

6 (t) = — 1t1™, X / а I I ’6 (t) = — 1t1™, X / а I I ’1 < a < oo,1 < a < oo,(2.13)(2.13)

6 (t) = — 1t1™, X / а I I ’

6 (t) = — 1t1™, X / а I I ’

1 < a < oo,

1 < a < oo,

(2.13)

(2.13)

имеет вид 0* (Z) = (a')-11 < |a', где a' = a/(a—1). При a = 1 функция, сопряженная к 0(Z)= UI, есть индикатриса отрезка [—1, 1].

Функция, сопряженная к функции

(2.14)(2.14)0(Z)=V1 + Z2,

(2.14)

(2.14)

возникающей при изучении минимальных поверхностей (см. [131]), есть функция 0*(Z), равная —VI —Z2 при И 1 и +оо в противном случае.

В некоторых моделях пластичности мы будем сталкиваться с функцией

0(Z)=Z2/2, Ul^l; 0(Z)= + со, |^| > £(2.15)

Элементарное вычисление показывает, что

0*(Z)=Z2/2, UI 1; 0*(Z) = UI - 1/2, Z>1. (2.16)

Точно так же рассматриваются функции на Rn: [ sr.

^/Г+М2.(2.17)

. f|S|2/2, R|<1,

+IS|>1,

сопряженными к которым являются функции ■

соответственно. Например, чтобы вычислить сопряженную функцию к третьей функции в (2.17), нам нужно

37

найти величину

supteR"161*1

Беря верхнюю грань сначала по направлению, а затем по модулю, мы находим, что эта величина равна указанной выше:

1 г IIt

sup sup £цr - sup Z I T] IT

0<<<l |тц=< IJ 0</<l

Ini2/2’In I-1/2.Ini2/2’In I-1/2.InK1’Inl^l-InK1’Inl^l-

Ini2/2’

In I-1/2.

Ini2/2’

In I-1/2.

InK1’

Inl^l-

InK1’

Inl^l-

iii) Пусть У—банахово пространство, У*— его сопряженное (с нормами ll-lly и || • ||к*) и пусть 6 — выпуклая п. н. сн. четная функция на R, сопряженная к которой будет обозначаться через 0*. Можно показать, что функция, сопряженная к функции ф(у) = 0(llyllv) (уе У), определяется формулой

(2.19)(2.19)ср* (у*). _ 0* (j| у* jjv* ).

(2.19)

(2.19)

В частности, эту формулу можно применить к функциям (1/а)||4|“ и 11у11г, сопряженными к которым являются соответственно функция (1/а')||у*|^* и индикатриса единичного шара || у* ||у*1 •

В заключение приведем следующий пример (принадлежащий Б. Герону), который в дальнейшем будет часто использоваться.

Лемма 2.1. Пусть V — банахово пространство. У*— его сопряженное. Пусть Уо— элемент пространства У, у0 — элемент пространства У*, 56 — замкнутое подпространство в V и F — выпуклая п. н. сн. функция на У, определяемая формулой

F^ (у*, у) 4- XVo+^(y)-

Тогда для всех у* s У* выполняется равенство

F* (у*) = (у* — у*, у0) 4- х^0 (у* — у*),

где 58° обозначает поляру подпространства 56 (совпадающую с аннулятором Ж в У*):

^°= (у* е У*, <у*, у> = 0 Vy е ^}.

Доказательство. По определению F* имеем F* (у*) = sup (у* — к*, у) = (и* — t’o, у0) + sup (у*—У*, ш).

Остается только проверить, что последняя верхняя грань в этом равенстве, равная %^ (у* — и*), равна также Х^о (у* — у*), и это очень легко сделать.

Субдифферепцируемость. Снова предположим, что V и V* — дуальная пара топологических векторных пространств.

Функция F па V со значениями в R U {+<»} называется ^убдифференцируемой в точке и eV, если она имеет непрерывную аффинную миноранту, являющуюся в точке и е у точной. Иначе говоря, должен существовать такой элемент и* е V*, что

F{v)^F{u) + <и*, у — и> Vue У. (2.20)

правления субградиептовправления субградиептовв точке ив точке иТогда элемент и* называется субградиентом функции F в точке и, а множество всех субградиентов в точке и называется субдифференциалом функции F в точке и и обозначается dF ^ (рис. 2.2).

правления субградиептов

правления субградиептов

в точке и

в точке и

Пусть F* — функция, полярная к F. Легко видеть, что u*edF(_u') тогда и только тогда, когда

F(u) + F*(u*) = <и, и*>,

(2.21)

что, с учетом (2.9), сводится к требованию

F(и) + F* (и*) ^ (и, и*>.

(2.22)

Из этой характеризации множества dF(и) немедленно следует, что если w*edF(u), то и е dF* (и*). Наиболее интересен случай, когда F, кроме того, выпукла и и. п. сп.; тогда выполняется соотношение F = F**, и мы получаем эквивалентность

и* е дР^^-uedF*(u*').(2.23)

Заметим, наконец, что множество дР(и) (которое может оказаться пустым) выпукло и слабо замкнуто).

Можно показать (см. предложение 5.2, следствие 2.5 гл. I в [39]), что если У—банахово пространство и F — выпуклая функция па V со значениями в RU {+<»}, то F субдифференцируема в каждой внутренней точке и области определения функции F (itGdom°F).

Дифференцируемость и субдиффереп- цируемость. Функция F на V со значениями в R U U {+оо} называется дифференцируемой по Гато в точке и, если существует такой элемент и* е V*, что для любого и eV выполняется соотношение

?^+A^-JW <м*, у> (2.24)

при Л, стремящемся к 0 по положительной полуоси. Элемент и* eV* называется тогда дифференциалом Гато функции F в точке и и обозначается F'^иу Конечно, если F' (и^ существует, то и е dom F.

В случае, когда F — выпуклая функция па V со значениями в R U {+°о}, из дифференцируемости F по Гато в точке и следует субдифференцируемость F в и, причем dF(u) = (ГДы)}.

Вариационные задачи. Мы сейчас напомним понятие двойственных вариационных задач и, кроме того, напомним некоторые стандартные результаты о существовании и характеризации минимума выпуклой функции.

Задачи, двойственные друг другу. Рассмотрим задачу минимизации

^^ inf J (к); (2.25)

речь идет о том, чтобы связать с этой задачей другую вариационную задачу, называемую задачей, двойственной к ^У и обозначаемую ^*у, эта задача имеет ряд общих свойств с задачей (^).

Применим варианты формализма двойственности из [41—43, 111], который систематически применялся в [39] к задачам вариационного исчисления.

Таким образом, предположим, что мы находимся в следующей ситуации. Пусть (V, У*} и (У, У*} — две дуальные пары топологических векторных пространств и пусть Л — непрерывное линейное отображение пространства У в У, и сопряженное к Л отображение Л* есть линейное непрерывное отображение У* в У*:

у* 4— Y*,

У 4 У.

Элементы пространств V и V* будем обозначать через и, v, w, ... и и*, v*, tv*, ... соответственно, а элементы пространств У и У* — через р, д, г, ... и р*, q*, г*, .... Пространства У* и Y часто играют очень похожие роли, и тогда для упрощения обозначений мы будем использовать буквы р, q, г, ... также и для элементов пространства У*.

Предположим, наконец, что задана выпуклая п. н. сн. функция F на У со значениями в R U {+оо} и выпуклая п. н. сн. функция G на У со значениями в R U {+<»}, и предположим, что задача (^) может быть записана в виде

(^)inf (F (u) + G (Ли)}.(2.26)

uev

Тогда двойственная задача (^*) может быть записана в виде

(9**)sup {—F* (Мр*') — G* (—р*^.(2.27)

p*Gy*

Обозначим через inf ^ нижнюю грань в задаче (^) и через sup 9s* — верхнюю грань в задаче 9*. Вообще говоря, имеем

— оо ^ sup 9* < inf 9 < +°о,(2.28)

но мы сейчас дадим простое достаточное условие равенства sup 9* = inf 9: предположим, что

существует такой элемент u° е V, что

У(и°)< +°о, G(Au°)< +°о, причем G

'непрерывна в точке Ли0. (2.29)

Тогда имеет место равенство

sup^* = inf^(2.30)

и если inf ^ >—оо, то это число конечно и задача 9* имеет решения (т. е. существует элемент р* е У*, реализующий в (2.27) максимум).

Соотношения экстремальности. Предположим, наконец, что выполняется условие (2.29) и что задачи 9 и 9* имеют решения й и р* соответственно. В этих предположениях выполняются следующие равенства, называемые соотношениями экстремальности:

F(й)+F* (А*р*)= <.А*р*, и>,(2.31)

G(Лй) + G* (—р*')= —<р*, Лй>. (2.32)

Все эти результаты установлены в упомянутых выше статьях или в гл. III книги [39]. Укажем, наконец, следующий частный случай, очень важный для дальнейшего изложения.

Важный частный случай. Это случай, когда У есть произведение пространств,

причем выполняются соотношения

Л = Ai X ... X Л^(2.33)

G (р) = 2 G^Pi) Vp-(Pp Р^ ...P^eY, (2.34) i=l.

где Л, — непрерывный линейный оператор из V в Yb Gt — выпуклые и. п. сн. функции на У, со значениями в RU{+oo} для i=l, 2, ..., N; наконец, предполагается, что Yt находится в двойственности с Уы. а в остальном — никаких изменений.

Тогда задача (2.26) принимает вид

( N1

(^)inf F(u)-i- 2 Gi(Xiu) .(2.35)

uev lг—1j

Легко видеть, что

G* (р*) = 2 G* (р*) Vp* = (р*, р£, ...,^)еУ = i=-l

= У1 х у 2 х... xyn,

и при этих условиях двойственная задача (2.27) принимает вид

(2.36)(2.36)Лг-F^W^-^GU-p*)i=l

(2.36)

(2.36)

Условие (2.29) переписывается теперь в следующем виде:

существует такой элемент и° е V, что Р(и0,)< +оо

и Gi(Aiu0')< +°°, причем Gt непрерывна

в точке А;и° (i = 1, 2, ..., re). (2.37)

Наконец, соотношения экстремальности (2.32) также 42

разлагаются:

Gi (Лщ) + G* (-p^ = - <7, ^>, i = 1,2, . .., N.

(2.38)

Теорема существования и уравнения Эйлера. В качестве теоремы существования в различных задачах вариационного исчисления часто приходится обращаться к следующему результату, который мы приводим без доказательства (доказательство см., например, в - [39, гл. II]).

Пусть V — рефлексивное банахово пространство, норма которого обозначается через 11-11, и пусть ^ — непустое выпуклое подмножество в V. Зададим функцию 7 на % со значениями в R и предположим, что

7 выпукла и п. п. сн.(2.39)

Нас интересует задача минимизации

finfJ(p).(2.40)

Решением задачи (2.40) называется любой элемент не'?', удовлетворяющий условию

J (и) = inf J (у).(2.41)

Предположим, что выполнено одно из двух нижеследующих условий: либо

^ ограничено,(2.42)

либо

lim J {и) = + оо;(2.43)

во втором случае функция J называется коэрцитивной на множестве <61.

Тогда имеем-

Предложение 2.1 (существование решения). При сделанных выше предположениях, в том числе (2.39) и (2.42), (2.43), нижняя грань в задаче (2.40) конечна, причем эта задача имеет по крайней мере одно решение, и множество решений задачи (2.40) замкнуто и выпукло.

Предло ж е и и е 2.2 (единственность решения). Если функция 7: ^ -* R строго выпукла, т. е.

J (Хи + (1 — X) у) > X J (и) + (1 — X) J (у) Viz, и е V,

и^и, VXe]0, 1[, (2.44)

то задача (2.40) имеет не более одного решения.

Предл о ж е н и е 2.3 (неравенство Эйлера). Предположим, что функция J: ^ -> R дифференцируема по Гато и выпукла. Тогда элемент и^^ в том и только том случае является решением задачи (2.40), когда он удовлетворяет условию

<J'(и), v — iz)^0 ^ие^.(2.45)

Замечание 2.2. Условие (2.45) равносильно также условию

{J'(и), и — iz)^0 VyeS? (2.46)

(где всегда ize^).

Если 7 = Ji + 7г, где 71 и 7г — две выпуклые функции на ^ со значениями в R, причем 7i дифференцируема по Гато, то элемент ие^ тогда и только тогда есть решение задачи (2.40), когда и удовлетворяет условию

(/^ (и), v — и) + J2 (у) — /2 (iz) ^ 0 Vy е ^, (2.47) или

(^(у), у— zz^ + J2(y) — J2(iz)^0 Ууе^. (2.48)

Приложения к вариационному исчислению. Мы опишем сейчас некоторые выпуклые функции, которые естественно возникают в вариационном исчислении и, кроме того, применим приведенные выше технические приемы двойственности к вариационным задачам линейной теории упругости.•

Выпуклые функции в вариационном исчислении. Пусть Q — открытое множество в Rn, g — непрерывное отображение Rm в R. Любой функции и на Q со значениями в Rm можно сопоставить функцию g ° и на Q со значениями в R, определенную равенством

х^-* g(u (ж)),

и, если эта функция суммируема па Q по мере dx, то можно рассмотреть интеграл

j g(u (ж)) dx.

Q

Мы напомним два интересных результата. Первый из них принадлежит Красносельскому [79] (теорема 1, с. 22; более простое доказательство, принадлежащее Ж.-М. Ласри, приведено в [39], § 1.2, гл. IV).

Предложение 2.4. Предположим, что g— непрерывная функция на R” со значениями в R и что для любой функции и е V, где

У = Lai (Я) X ... X 2v“m(Q), 1<сц<оо, (2.49)

функция g = и суммируема на Я.

Тогда отображение

и>-* g «и(2.50)

непрерывно как отображение пространства V в 2?(Я). Это предложение позволяет определить функцию на V со значениями в R с помощью формулы

G:^ g(u(ж))dx,(2.51)

й

и, таким образом, эта функция оказывается непрерывной. Естественно поставить вопрос, как выглядит сопряженная к ней функция G*, определенная на пространстве

У* = №(Я)Х-..Х^(Я),

где показатели а,- сопряжены к aj (т. е. а,- = а,-/(оу — 1)). При весьма общих предположениях относительно функции g получаем

Предложение 2.5. Пусть g — п. н. сн. функция на Rm со значениями в R. Предположим, что существуют такие a 5= 0 и Ь е R, что

7И

g ® > - а 2 I ^ Г + b V^ = &, £2,'..., Це Rm,(2.52)

и предположим, что существует такой элемент ио е V, что g ° ио е Ll(Q).

Тогда для любого v е V* имеем.

(у) = g* (у (ж)) dx,(2.53)

Ь

где g* — функция, сопряженная к gx

g* (ц) = sup (=ц — g (В)}.(2.54)

tGR1"

Замечание 2.3. i) Предложение 2.5 есть частный случай предложения 2.1 гл. IX книги [39].

И) Может оказаться полезным более общим образом исследовать функцию g на QXR™ со значениями в расширенной прямой R и связанный с этой функцией g функционал

G (и) = J g (х, и (ж)) dx£2

(если он определен). Тогда и в этой ситуации можно получить аналог предложения 2.4, если предположить, что функция g удовлетворяет так называемым условиям Ка- ратеодори, т. е.

для почти всех х е О функция g^x, •) непрерывна на Rm;

(2.55)

для всех |sRm функция g(-, £) измерима. (2.56)

Предложение 2.5 допускает распространение на случай, когда такая функция g удовлетворяет вместо (2.52) условию вида

g(x, £)> — а У |£i|ai + b^ для почти всех

хе Q, V^GRm, а>0, beL1^) (2.57)

и, с другой стороны, функция g является при этом нормальным интеграндом, что означает выполнение следующих двух условий:

для почти всех х = О функция g(x, •) п. п. сн. па R”';

(2.58)

существует такая борелевская функция g: £2 X Rm R, что g(x, -) = g(x, •) для почти всех же £2. (2.59)

В частности, функция Каратеодори является нормальным интеграндом.

Если g — нормальный интегранд, удовлетворяющий условиям (2.57), и если существует такой элемент uo е V, что функция beg(х, ио(х))} суммируема на £2, то сопряженный функционал G* определяется формулой G* (у) = J g* (х, у (ж)) dx VneE, (2.60)

где

g*^, П) = SUP Un — £(ЖЛ)} Vr]GRm (2.61)

EeR™

для почти всех X e Й.

Примеры из линейной теории упругости. Опишем первое применение теории двойственности к линейной теории упругости; к этому примеру мы еще вернемся. Позже мы приведем много других приложений теории двойственности к задачам механики.

Пусть Й — ограниченная область Rn, п = 3; пусть граница Г области Й принадлежит классу ^2. Пусть задано открытое подмножество Го в Г; обозначим через Г1 внутренность дополнения Г\Го, так что Г1 = Г\Г0, Го = = Г\Г1, где замыкания берутся в множестве Г.

Пусть па изотропное однородное упругое тело формы Й наложены силы с объемной плотностью / и силы натяжения с поверхностной плотностью g, распределенной на Г, при этом на Го (и тем самым на Го) заданы перемещения и = и (ж). Предполагается, что силы / и g заданы так, что

/e(L2(Q))3, ?е(Я(Г,))3. (2.62)

Перемещение па Го предполагается заданным как (ограниченный на Го) след некоторой функции ио в (Я1 (Й))3. Кроме того, из соображений технического характера предположим, что Yo(uo) обращается в нуль вне Го:

и0 е (Я1 (Й))3, 0rjo (u0) = Yo (и^ (2.63)

где 0г{ — характеристическая функция Г, (как функция на множестве Г), равная 1 на Г и 0 на Г\Г,- (г = 0,1).

Пусть X и ц являются коэффициентами Ламе рассматриваемого материала и пусть х = X + 2ц/3 — модуль всестороннего сжатия, ц > 0, х > 0. Тогда из линейной теории упругости хорошо известно (см., например, [49, 50]13)), что перемещение и (с компонентами щ) есть решение следующей вариационной задачи:

и = ио на Гои = ио на Го1Э) См. также [158—161].— Примеч. пер.1Э) См. также [158—161].— Примеч. пер.

и = ио на Го

и = ио на Го

1Э) См. также [158—161].— Примеч. пер.

1Э) См. также [158—161].— Примеч. пер.

где, в соответствии с договоренностью о суммировании по повторяющимся индексам,

^a)=4^ + n№ V^eS,(2.65)

откуда вследствие равенства Sy = Sy + ^мбу/З имеем

Ш=4^ + ^У’(2.66)

а дифференциальный оператор е введен в (1.50). С другой стороны, нижняя грань в (2.64) должна браться по множеству функций и, принадлежащих (№(Q))3.

Опишем исходную задачу (2.64) в общей форме, рассмотренной в (2.26), и положим с этой целью

V — (Н1 (Q) )3, V* — пространство, сопряженное к

(Я1^))3, У* = {(Я'(Й))'}3;

пусть У, Л и F определяются формулами

У = Ь2№£)=У*, Л = е,

{

— L (р) для ре У, р — и0 = 0 на Го,

+ оодля ре У, и — и0 4= 0 на Го,

где

L(p) = f /р^ж-ф f gpdr,q г,(2.67)

G (р) = J Ф (р ($)) dx Vp^Y — L*^Q; Е),'

Тогда задача (2.26) принимает вид (2.64). Чтобы найти двойственную задачу, мы должны вычислить F* и G*. Для вычисления G* достаточно, вследствие предложения 2.5, вычислить функцию "ф*, и мы получим

G* (р) = J гр* (р (ж)) dx ^р^Ь2(^;Е).(2.68)

о

Но для т) е Е имеем

ф* (т]) = sup {Sn — Ip (S)} = teE

D D , 1& De- D X

В Я H T" 4ii® V^Bti^>ti о“ s > =

= sup[-i-^i —-|-®2)+ sup UV-

«eR I ”2 J £DeBD

откуда следует, что

Ф* (П) =+ 4ПГ *lV(2-69)

2X71

Вычисление функционала F* более сложно; оно требует обращения к обобщенной формуле Грина (1.49). Для упрощения ограничимся — и этого нам будет достаточно — вычислением /’(Л*р) для р е Y* = Y.

Лемма 2.4. Для любого р е Y = 1? (Q;. Е) имеем

в й, на Гх м);(2.70)в й, на Гх м);(2.70)Idivp — f = 0

в й, на Гх м);

(2.70)

в й, на Гх м);

(2.70)

\ ( dv)ипаГ, если (

^*№)= г0I pv + g = 0

.-(-оо в противном случае.

Доказательство. Применим лемму 2.1 с V = ^H^Q))3, и0 =—L, ий = и0, и пусть ^ — множество всех таких функций и из (H*(Q))3, которые равны нулю на Го. Из этой леммы мы получаем, что Е*(Л*р) равно величине

<Л*р + L, и0> = J (ре (u0) + /iz0) dx + J guQ dY, (2.71) Q Г;

если A*p-YL содержится в ^°, и F*(A*p) = +°° в противном случае.

Но условие, что Л*р + L содержится в ^°, означает, что

J (Р6 М + /м) dx + J gu dY = 0 Vue^. (2.72) QГ,

ИЗИЗВыписывая все члены (2.72) для функций и ^0” (^))3> МЫ видим, что 8

ИЗ

ИЗ

2 <Pih еу (и)) — <J,u>=0 ^ие^ (Q)3, ij=l

14) Если р eL'2^; Е) и divp = —je (Л2(Й))П, то вследствие (1.47) след Tfv(p) функции pv на Г имеет смысл. В формуле (2.70) выражения pv|r и и0|Р суть незаконные обозначения для следов 7v(p) и 'fo(oo). Кроме того, интеграл j (pv) “0^Г есть незаконное14) Если р eL'2^; Е) и divp = —je (Л2(Й))П, то вследствие (1.47) след Tfv(p) функции pv на Г имеет смысл. В формуле (2.70) выражения pv|r и и0|Р суть незаконные обозначения для следов 7v(p) и 'fo(oo). Кроме того, интеграл j (pv) “0^Г есть незаконное

14) Если р eL'2^; Е) и divp = —je (Л2(Й))П, то вследствие (1.47) след Tfv(p) функции pv на Г имеет смысл. В формуле (2.70) выражения pv|r и и0|Р суть незаконные обозначения для следов 7v(p) и 'fo(oo). Кроме того, интеграл j (pv) “0^Г есть незаконное

14) Если р eL'2^; Е) и divp = —je (Л2(Й))П, то вследствие (1.47) след Tfv(p) функции pv на Г имеет смысл. В формуле (2.70) выражения pv|r и и0|Р суть незаконные обозначения для следов 7v(p) и 'fo(oo). Кроме того, интеграл j (pv) “0^Г есть незаконное

Го

обозначение для скалярного произведения <Yv(p), To(uo)>, определяемого двойственностью между (Я1/2(Г))3 и (Я-1/2(Г))3 (здесь использовано техническое условие (2.63)).

4»4»4 Р, Темам

4»

4»

так что

2 -^ — /1 = 0 в смысле обобщенных функций на Q;

5=15

(2.73)

по если функция р из L2^; Е) удовлетворяет условию (2.73), то div р e(L2(Q) )3, и след нормальной компоненты функции р на Г — обозначим его pv — определен как элемент пространства (Я-1/2(Г))3 (ср. (1.47)); тогда можно применить обобщенную формулу Грина (1.49):

J ре (iz) dx = — J div ри dx + J (pv) и dY (2.74) ййг

для всех и из (Я’(й))3; с учетом (2.73) формула (2.72) принимает вид

[ (pv) и dY + [ gu dY = 0 Vu е ^. ггх

Так как и = 0 на Го для любого и е ^ и так как след и на Г1 может быть совершенно произвольным, когда и пробегает ^, то мы получаем равенство

pv + g = O на Гь(2.75)

Можно показать), что верно обратное: если функция р из A2(Q; Я) удовлетворяет условиям (2.73) и (2.75), то функция А*р + L содержится в ^°.

Последний шаг доказательства состоит в преобразовании формулы (2.71) с помощью (2.74) (где и заменено на по). Получаем, что для р выполняются соотношения (2.73)—(2.75):

<А*р + L, ив> = j (pv) ий dY.го

Теперь мы можем явным образом построить задачу, , двойственную задаче (2.64). Вследствие (2.27), (2.68), (2.69) и леммы 2.2 эта задача может быть записана

в видев виде

в виде

в виде

(2.76)(2.76)sup I I (ov) uodYу” ^ (CT> °) аетЛкЕ) I г

(2.76)

(2.76)

diva+/—овЫ ' оav=g n а Г

где для а, те A2(Q; £) введено обозначение

^ (°’ т) = 97 J a”Tjjdx+ "^i f °DtD dx- ^ЛТ1 ой

Обозначим через a = —р общий элемент пространства Y = L2(Q; Е), чтобы приблизиться к обозначениям, принятым в механике. Мы можем узнать в задаче (2.76) вариационную задачу, приводящую к тензору напряжений о рассматриваемой задачи.

При формулировке результатов мы будем различать случай, когда mes Го > О, и случай Го = 0.

Предложение 2.6. Предположим, что mes Го > 0. Тогда задачи (2.64) и (2.76) двойственны друг другу, причем

.inf {(2.64)} = sup {(2.76)} eR. (2.78)

Задача (2.76) допускает единственное решение с, представляющее собой тензор напряжений механической задачи. Задача (2.64) имеет единственное решение и, причем и — перемещение {деформация) соответствующей задачи.

Наконец, и и с связаны соотношениями

о” = 2p,eD(u), tr о = Зх tr е {и) = Зх div и. (2.79)

Доказательство, i) Мы уже установили, что задачи (2.64) и (2.76) находятся в двойственности. Элементарными средствами или с помощью предложения 2.4 легко получить, что функция G непрерывна на Y = = 1?{Й; Е). Так как функционал F конечен в точке ио, то можно применить критерий (2.29), и тогда равенство (2.78) следует из (2.30).

Существование и единственность решения задачи (2.64) можно получить с помощью предложений 2.1 и 2.2, которые применяются при следующих условиях: Г = (Я*(Й))3, J— функционал из (2.64), ^ = {ие е(Я* (Q))3, v = 0 на Го}. Ясно, что ^ непусто, замкнуто и выпукло в V, а I — выпуклый п. н. сн. функционал на V.

Вследствие (2.66) для всех $е5 имеем

^ ® ^ С1 ^ V + Ы), С1 = min (^, ^, (2.80)

-ф(^)^С11^12,(2.81)

так что

(2.82)(2.82)f -ф (б (и)) Дг ^ сх J | е (и) |2 dx. QQ

(2.82)

(2.82)

Поскольку тезГо>О, то согласно замечанию 1.3, И) существует такое сз > 0, что

J ^ (в(и)) dx >сг\\и|i(Hi(Q))3 — J | у0(и) |2 ЙГ. (2.83)

QГ,

Вследствие неравенства Коши — Буняковского получаем

^-М1 =^-М1 =J fa dx 4- [ gu dFQГ,J fa dx 4- [ gu dFQГ,^ I / I I ^ I + [I 5 I'l2^)3 II W 11ь2(Г1)3^ I / I I ^ I + [I 5 I'l2^)3 II W 11ь2(Г1)3

^-М1 =

^-М1 =

J fa dx 4- [ gu dF

QГ,

J fa dx 4- [ gu dF

QГ,

^ I / I I ^ I + [I 5 I'l2^)3 II W 11ь2(Г1)3

^ I / I I ^ I + [I 5 I'l2^)3 II W 11ь2(Г1)3

и, по теореме о следе для Я1 (Q), существует такая постоянная сз > 0, что

| ^ (и) | ^ ^ | / I + С3 || g 11(/.2(Г^)3^ И и Ц(Д1(Ц))3 = С4 || U Ц(д1(И))3.

(2-84)

Из (2.83) мы видим, что функционал, подлежащий минимизации в (2.64), не превосходит величины

С2 II ^ II(h\q))3 С2 ^ I Vo (^ Р ^ с4 il ^ I'(hi(Q))3

и, кроме того, условие (2.43) действительно выполняется на *8*. вследствие предложения 2.1 нижняя грань в (2.64) конечна, и (2.64) имеет по крайней мере одно решение. Кроме того, функция j* 4 (е (u)) dx строго выпукла на Я?, и из предложения 2.2 следует единственность решения задачи (2.64).

Ш) Вследствие соотношения inf {(2.64)} е R (т. е. >—оо) то же самое выполняется — согласно (2.30) — и для sup {(2.76)}, откуда следует, что

множество допустимых а для задачи (2.76) непусто.

.(2.85)

Существование решения (2.76) можно получить, либо снова применяя предлояхепие (2.76), либо непосредственно из результата, следующего за (2.30). Единственность следует из предложения 2.2, поскольку функция j^(a, а) строго выпукла на A2(Q; Е).

iv) Осталось только доказать (2.79) и (2.80). Эти свойства легко следуют из соотношения экстремальности (2.32), которое здесь можно переписать в виде

J {ф (е (и)) + ф* (а) — ае (и)} dx = 0, Q

откуда, замечая, что функция под знаком интеграла почти всюду неотрицательна, получаем, что

ф(е(и)) + ф*(о)—ae(u)=0, dx — почти всюду. (2.86)

Элементарное вычисление, которое мы опускаем, позволяет установить, что (2.86) совпадает с соотношениями (2.79) и (2.80) (см. вычисление, позволившее получить соотношение (2.69)).

Теперь мы переходим к случаю, когда Го пусто и Г1 = Г.

Предло ж е н и е 2.7. Предположим, что Го = 0. Тогда задачи (2.64) и (2.76) двойственны друг другу и

inf {(2.64)} = sup (2.76)}.(2.87)

Пусть

L(u) = ^fudx + ^gudT = 0 Vue^; (2.88)

.а г,

тогда задача (2.76) допускает единственное решение, задача (2.64) допускает решение и, единственное с точностью до жесткого перемещения (см. лемму 1.1 § 1), причем выполняются соотношения (2.79) и (2.80).

Если условия (2.88) не выполняются, то число' inf (2.64) = sup (2.76) равно — =», обе задачи не имеют решения и не существует допустимых а для задачи (2.76).

Доказательство, i) Двойственность задач (2.64) и (2.76) и равенство (2.87) устанавливаются так же, как и в предыдущем случае.

Если условие (2.88) не выполнено, то существует такой элемент и\ е 91, что 7L(ui)V=0. Тогда, рассматривая элементы и и Rizi, мы видим, что нижняя грань в (2.64) ' есть — °°, и эта вариационная задача не имеет решения.

Так как, вследствие (2.87), имеем sup (2.76)= — «>, то

дуальная задача (2.76) не имеет допустимых элементов o = /v2(Q; If) (т. е. элементов, удовлетворяющих условию divo + / = 0 в Q, crv = g на П); тем более эта задача не допускает решения.

И) Если условие (2.88) выполнено, то мы применим предложения 2.1 и 2.2 к «фактор-задаче» задачи (2.64). Обозначим через й, й, . .. элементы пространства (//• (Й))3/^, и через и ей, и е й, ...— представителей (в (//*(й))3) элементов й, t, ... Вследствие (2.88) формула />(й)=Б(м) определяет непрерывную линейную форму на (//'(й) )3/Й?, и тогда мы можем рассматривать вариационную задачу

inf (/0(и)— Мм)}, (2.89)

/0 (и) = J гр (е (u)) dx, и ей. (2.90)

Применим предложения 2.1 и 2.2 с V = ^ = (Я'(й))3/^ и J = J — L. Так как формула

М(м) = |e(u)|L2(fi;E), и ей.

определяет норму на -(//' (й) У191, эквивалентную естественной норме, то условие (2.43) имеет место для 1 и вследствие этого для ./ — L. Все остальные условия этих предложений легко проверяются, и отсюда следует существование и единственность решения й задачи (2.89). Поднимаясь к задаче (2.64), мы видим, что ее нижняя грань конечна (> — <») и что любое ие й есть решение задачи (2.64), причем не существует никаких других решений задачи (2.64), кроме тех, которые в факторнро- страпстве по ^ принадлежат элементу й. Другие сформулированные в предложении результаты доказываются совершенно так же, как и в предложении 2.6.

Замечание 2.4. i) Мы установили предыдущие результаты в предположении, что область Й принадлежит классу 'й’2. Было бы достаточным предполагать, что й — липшицева область, a йй принадлежит классу '8’2 в окрестности (в множестве йй) пересечения 5Г0 Л dEi.

И) Мы можем рассмотреть также случай, когда й с с R2, что соответствует плоским деформациям упругого цилиндрического бруса с .прямым сечением й. Мы можем рассматривать также, хотя и без механических приложений, случай области Й с Rn, я > 4. Изменения, которые 54

нужно предпринять с этой целью, очень легко осуществимы.

Вместо (2.67) мы можем взять в качестве L произвольную линейную форму на (//'(Q))3. Все сказанное выше можно приспособить и к этому случаю, осуще- . ствляя при необходимости несущественные изменения. ■ Это позволяет исследовать случай, в котором упругое тело находится под действием более общих сил, чем jag; например, можно рассмотреть случай, когда поверхностная плотность сил распределена по поверхности, внутренней по отношению к области Q.

В предложениях 2.6 и 2.7 мы предполагали, что либо Го = 0, либо мера Го положительна. Конечно, можно рассматривать также и промежуточные случаи, в которых множество 5? придется заменить подмножеством элементов 5?, оставляющих Го инвариантным.

Не обязательно предполагать, что материал изотропен. Для неизотроппого материала возьмем в (2.64) . (см. [38]):

^© = 4"аУ^ V^eS, (2.91)

■ где аум, должны удовлетворять условиям симметрии

O-ijhh ^jjf,^ Gjikh ‘ ' &khih(2.92)

а также условию коэрцитивности:

существует такое ai > 0, что

a^yU^ailgl^a,^ V£ е Е. (2.93)

Мы снова получим (2.64), полагая

aijtlh = 7.6ij6M + [Цб.Дп + 6ih6jn).(2.94)

В общем случае (2.91) — (2.93) результаты по существу остаются теми же. Сопряженная к ф функция записывается в виде

ф*(ц) = sup {Ер — ф®}.

ЕеЕ

Эта верхняя грань достигается в точке § е 7?, удовлетворяющей условиям

Ц15 Ujjhh^hh-(2.9о)

Легко видеть, что можно «обратить» эти соотношения и получить равенства

(2.96)

55

где числа Луу, удовлетворяют следующим условиям:

Aijkh Aij^h Ajikh Ay^j,

(2.97)

существует такое аз > 0, что'

Лум^м, > а21^12 = аз^убу V£ е Е,

(2.98)

^ОмЛ^Нт^ii^jm*

(2.99)

Тогда мы получим

Ф* (п) =

(2.100)

Остается только указать изменения, связанные с формой двойственной задачи (2.76), в которой нужно взять

^ (а, т) = J Aiih^ijCSkh ^,(2.101)

Q

и с формой соотношений экстремальности (2.79)—(2.80), которые должны быть заменены соотношениями

c<i = aii№e№(u), i, / = 1, 2, ..., n, (2.102)

равносильными соотношениями

е0(м) = Л№о№, i, j = 1, 2, ..., п. (2.103)

Приложение к § 2. Это приложение носит чисто технический характер и может быть опущено при первом чтении.1

Для завершения доказательства леммы 2.2 мы должны еще показать, что если функция peL2(Q; Е) удовлетворяет условиям (2.73) и (2.75), то (ср. сноску14)),

JpvucZr+ ^gudT — 0 Vue^. (2.104) гГ,

Трудность состоит в том, что (см. сноску14)), первый из интегралов в правой части, который на самом деле является незаконным обозначением значения формы двойственности между пространствами (Я-1/2(Г))3 и (//•^(Г))3 на элементах 7v(p) и тДи), вообще говоря, не обязательно равен сумме произведений <Tv(p), Vo^^H-l/Z^r^S ^fi^r^S И <yv(p), YoC^^-l/a^r^S^Hi/z^)^ Чтобы убедиться в справедливости соотношения (2.104), заметим сначала, что это соотношение справедливо для всех и из ^о, где ^о — множество всех элементов пространства (#L(Q))3, обращающихся в пуль в некоторой (зависящей от элемента) окрестности множества Го 56

(окрестность берется в множестве Q). В этом частном случае требуемый результат получить легко, поскольку тогда и уо(^) обращается в пуль в некоторой окрестности множества Го (окрестность берется в множестве Г). Вследствие непрерывности формула (2.104) остается справедливой и для всех элементов и из замыкания множества ^о в (//•(Q))3, и остается только показать, что множество ^о плотно в множестве % всех элементов пространства (ЯI(Q))3, след которых па множестве Го равен нулю.

Этот результат о плотности легко установить при наличии некоторого свойства регулярности у общей границы Г* множеств Го и Г1 в множестве Г. Здесь мы введем следующее условие регулярности (см. аналогичную си- ■ туацию в [131]):

■ для всех х из Г* существует диффеоморфизм

класса S’2, определенный в некоторой окрестности Ох

'точки х и переводящий Ох в открытый

куб (—1,1)3 в R3, пересечение Ох П Г — в открытый квадрат (—1,1)2 в R2 X (0), .а пересечение Ох П Г* в отрезке (—1,1)

bRX{0}X(0).(2.105)

Рассмотрим тогда открытое покрытие общей границы ■ Г* конечным числом окрестностей Ох (х = х\ х2, .. .,xN'). : Можно найти разбиение единицы, подчиненное этому покрытию и образованное функциями ip^ е S’” (^), обращающимися в пуль для таких х е Oxv что d Qc, OXi f) Г*) > 1/т. Это позволяет представить данную функцию и в виде суммы некоторой функции из ^о и N функций ip^V Остается только доказать, что нормы функций ipm’u в пространстве (Z/1 (Q))3 могут быть сделаны произвольно малыми, если выбрать т достаточно большим; но это утверждение можно получить элемен- ■ тарными средствами (заметим, что N остается фиксированным) .

Замечание 2.5. i) Таким образом, мы установили справедливость равенства

J pvu dV + ^ gu dT = 0 гГ^

для всех р из Л2(Й; Е^, удовлетворяющих условиям (2.73) — (2.75), и для всех и из (Я'(й))3, след которых на Го равен пулю.

В предположении справедливости условия (2.105) мы показали, что функции из (ЯЦй))3, обращающиеся в пуль в окрестности множества Го (зависящей от функции), образуют плотное подмножество в множестве функций из (//'(Q))3, обращающихся в пуль на Го. С помощью техники разложения единицы и регуляризации, использованной в доказательстве предложения 1.3, можно стандартным образом убедиться в том, что

множество функций из ^“(Q)3, обращающихся

в пуль в окрестности множества Го (зависящей от функции), плотно в множестве функций из (J/‘(Q))3, обращающихся в нуль на Го. (2.106)

Постановка вариационных задачтеории пластичности

Здесь мы опишем постановку задачи механики, к которой мы будем постоянно обращаться в дальнейшем. Мы напомним различные соотношения и граничные условия, которым должны удовлетворять поля перемещений (деформации) и ноля напряжений. Кроме того, мы приведем закон согласования, который связывает ноле деформаций с нолем напряжений. Наконец, мы (формально) выведем вариационные принципы, решениями которых являются соответственно поле перемещений и поле напряжений.

Кинематически допустимые множества. Статически допустимые множества. Мы будем рассматривать следующую механическую задачу: материальное тело занимает объем Q в R3;" предположим, что Q — ограниченная область в R3 с границей Г, причем эта область принадлежит классу ’й’2 (см. (1.15)); некоторые из приведенных ниже результатов остаются справедливыми, од- пако, и при более слабых условиях регулярности. Па это материальное тело положены объемные силы в области Q с плотностью /. С другой стороны, Г есть объединение открытого (в Г) множества Го и его дополнения, внутренность которого мы обозначим через Г1 (Го = Г\Г1, Г] = Г\Го), и па паше тело на Г1 наложены силы патя- 58

жения с поверхностной плотностью g. Предполагается, что функции / и g заданы так, что

/e(L2(Q))3, ^^(^(Г!))3. (3.1)

С точки зрения механики цель задачи состоит в изучении нового состояния равновесия материального тела, возникающего в результате приложения сил / и g. Неизвестными величинами задачи являются функции о и и, определенные на Q, где о — функция на Q со значениями в пространстве Е, представляющая собой поле напряжений (так что o(z) есть тензор напряжений в точке х для любой х из Q), а и— функция па й со значениями в R3, представляющая собой вектор перемещений ^и^х) есть перемещение точки х области Q, что означает, что материальная точка, расположенная первоначально в ж, переходит в новом состоянии равновесия в точку z + u(^)). Перемещение предполагается заданным па открытом множестве Го. Как и в § 2, предполагается, что это перемещение может быть задано как след, или ограничение на Го, некоторой функции ио из (//’(Q))3; кроме того, из технических соображений будем предполагать, что Чо(мо) обращается в пуль вне Го;

моеЯ1№ бг^оЫ^УоЫ, (3.2) где 0щ означает характеристическую функцию множества Г; в Г для i = 0, 1.

Сейчас мы должны уточнить (минимальную) степень регулярности, которую мы потребуем от функций о и и. В упругом случае (см. п. 2.3.2) мы искали (и получили результаты о существовании решения в предложениях 2.6 и 2.7) функцию о в L2(Q; £) и функцию и в (Я*(О))3. В задаче теории пластичности мы требуем также, чтобы о принадлежала £2(й; £), но мы увидим, что нет никакой надежды получить и в пространстве (//'(Q))3, и все усилия во второй главе направлены в точности на то, чтобы преодолеть эту трудность). Поэтому, к сожалению, в настоящей главе мы по сможем получить теорему существования, и почти для всего остального мате-

риала нашей первой главы мы будем предполагать, что и принадлежит (//* (й))3.

Определим тогда множество кинематически допустимых перемещений, обозначаемое ^(мо) или просто 'S’a, если нет опасности путаницы:

^а = ^а(ио) = Гу е (Ш (Q)) з, р = п0 на Го}, (3.3)

где выражение «у = ио на Го» означает, что след уо^р —по) (см. (1.22)) равен нулю почти всюду на Го.

Перед тем как определять поля статически допустимых напряжений, напомним, что поле напряжений, являющееся решением задачи, удовлетворяет следующим условиям:

3 до\

Va+/=0 I или 2^; + Л’= °) в Q> (3-4) \ j=i j/

\

или 2 Gij^j = gj в Гр (3.5) 7=1/

которые следуют соответственно из теоремы сохранения количества движения и свойств непрерывности о (см., например, [49, 50] *7)). Напомним, наконец (см. 1.47)), что если oe£2(Q; £) и div о = —/е(Л2(£2))3 (согласно (3.1) и (3.4)), то можно определить след функции ov на Г, который принадлежит (Я-|/2(Г))3. Ограничение функции ,Yv(o)=ov на открытое множество Г[ в Г корректно определено и, таким образом, для функций а из этого класса соотношения (3.4) — (3.5) имеют смысл, причем (3.4) может пониматься в смысле обобщенных функций па Q, а (3.5)— в смысле теорем о следах.

Множество статически допустимых полей напряжений для рассматриваемой задачи обозначается через ^(А g), или просто ^а, если нет опасности путаницы, и определяется следующим образом:

9^ = 9^ g)=(aeL2(Q; Е),

с удовлетворяет (3.4), (3.5)}.(3.6)

В заключение отметим, что множества ^(О) и ^а(0, 0) мы будем обозначать через ^о и ^о соответственно, так что

-^о = (у е И1 (£2)3, р = 0 на Го),(3.7)

A0 = keL2(O; Е), Vo = 0 в Q, ov = 0 па TJ. (3.8)

См. сноску 13).— Примеч. пер.

Замечание 3.1. Как уже оказано выше, мы можем в дальнейшем оказаться перед необходимостью определить множества ^Q, Э1^ ^о, ^о, в которых пространства (//l(Q))3 и L2(Q; £) заменены другими пространствами.

. Вариационные задачи. Поля и и о, являющиеся решениями рассматриваемой задачи, должны принадлежать соответственно ^ и ^а; они должны удовлетворять также и другим соотношениям, которые зависят от природы материала и которые представляют собой уравнения состояния.

Для класса задач, которыми мы интересуемся сейчас, уравнение состояния есть соотношение, которое связывает в каждой точке х области Q тензор напряжений о (х) и тензор деформаций 8(и.) (ж). Примем точку зрения работы [95] и рассмотрим случай, когда материал характеризуется заданием функции ip (надпотенциала), которая является собственной и. н. си. выпуклой функцией на Е со значениями в R U {+ °°}, и сопряженная к ней *8) функция хр* на Е со значениями в R U {+ °°} обладает аналогичными свойствами (см. § 1). Тогда согласно [95] в каждой точке х области Q имеем

о(х)е 5ф(е (и) (х)),(3.9)

и это соотношение в силу свойств субдифференциала (см. (2.21) и (2.23)) равносильно соотношению

б(и) (х)е д^*(о(х)),(3.10)

где

xp(e(u) (z)) + хр*(а(ж)) = &(и) (х)с(х).(3.11)

Исходя из этого соотношения мы можем показать, что и и о суть решения вариационных задач. Для поля и мы начнем с наблюдения, что из формулы (3.9) с учетом соотношения (2.20) следует, что для всех £ е Е и для (почти) всех х из Q выполняется неравенство

ОТ > ф(е (и) (х)) + а (ж) (В - 6 (и) (х)). (3.12)

В частности, если ие(Я'(Й))3, то для (почти) всех х из Q получаем, что

1р(е(к) (ж))>1р(е(м) (z)) + о(х) (е(к) (х)- &(и) (х)),

(3.13)

ip* есть функция на Е*, но мы, конечно, отождествляем евклидово пространство Е с его сопряженным Е*.

а отсюда, интегрируя по й, выводим, что

ХГ (е (у)) ^ Т (е (u)) + J а (ж) (е (у — и) (ж)) dx, (3.14) где мы ввели обозначение

(р) = У Ф (? (ж)) ^ ^реЬ^^Еу (3.15) Si

определяющее функционал р ХР (р) па Ег^-, Е) со значениями в R U {+ оо), и этот функционал, очевидно,— собственный п. п. сн. выпуклый функционал.

Мы можем, используя обобщенную формулу Грина (1.51), преобразовать интеграл в правой части равенства (3.15):

J не ^v — м) dx = — J (div о) (у — u) dx 4- У (ov) (у — и) с/Г. £2£2Г

(3.16)

Ограничимся теперь одним элементом у из ^а и используем тот факт, что о е ^а; имея в виду также замечание 2.5, мы получим с учетом (2.67), что

08 (у — и) dx -— У / (у — u) dx-\- \ g^v — и) с/Г = L (у—и).

Й£2Г

Возвращаясь к (3.14), мы видим, что

У (8 (у)) - А (У) > Т (8 (u)) - L (2С) Уу^^, (3.17) и отсюда заключаем, что если о и и являются решениями рассматриваемой задачи, то

и реализует минимум функции Чг(е(у))— L^ в @4.

(3.18)

Точно так же, для того чтобы описать вариационную задачу, решением которой является иоле о, мы начнем с замечания, что из соотношения (3.10) с учетом соотношения (2.20) следует

ф*(^)^ ф*(а(ж))+ 8 (и) (ж) (^ - (Дж))(3.19)

для всех £ е Е и для (почти) всех х из й. Для те еЛ2(й; Е^ видим, что для (почти) всех х из Й

1];*(т(;г))5$ ф*(а(ж)) + е(и) (ж) (т(ж) — а(ж)),(3.20)

и с помощью интегрирования по й получаем, что

ф1* (т) ^ ф* (о) + J е (м) (ж) (т (ж) — о (ж)) dx, (3.21)

причем в (3.21) попользовано обозначение

ф»(т)-= ^*(т(ж))<?а: Vte£'2(Q;£);(3.22)

заметим, что функция Ф* согласно предложению 2.5 действительно является сопряженной функцией для функции Т на Л2(й; /?)).

Применяя обобщенную формулу Грина (1.51), мы получаем соотношение

У (т — о) е (u) dx — — У (div (т — о)) и dx -|- У ((т — o)v) и dT. ног

'(3.23)

Ограничимся теперь одним элементом т из jPa и воспользуемся замечанием 2.5 и тем фактом, что а е д>а и и s ^„. Тогда мы получаем (ср. сноску 15)),'что

У (т — о) е {и) dx = У ((т — о) v) нойГ, (3.24)

Ьг0

и из (3.21) следует, что

о реализует минимум функционала ф* (т)— У(rv)uodT в ^а. г»

(3.25)

Замечание 3.2. Только что разобранный случай соответствует случаю однородного материала. В случае неоднородного материала нужно ввести функцию ф = = ф(ж, %) на й X Е со значениями в RU {+ °о), которую мы будем предполагать неотрицательной, удовлетворяющей условиям Каратеодори (см. замечание 2.3), выпуклой, п. и. сп. и собственной по £ для почти всех х из й.

Тогда уравнение состояния (3.9) —(3.10) принимает вид о (ж) е Ут]) (ж, e(u)(z)), е (ы) (ж) <^ дт]з* (ж, а(ж)), (3.26) где в формуле (3.26) функция ф* сопряжена к функции ф по второму аргументу для почти всех ж, и субдиффереи- циалы Уф, Уф* также берутся только по второму аргументу. Вид задач (3.18) и (3.25) остается неизменным, по нужно взять в них

^ (г) = f Ф (ж> Р(ж)) dx Ур е £2(Q; Е), (3.27)

фг* (т) = J ф* (ж, т (ж)) dx Ут е L2 (Q; Е). (3.28)

Полученные функции Т и Ч7* суть сопряженные друг другу собственные выпуклые п. п. сп. функции па L2(Q; S'). Вышеприведенные результаты без затруднений могут быть распространены и на этот случай.

Примеры уравнений состояния. В заключение настоящего параграфа мы сейчас опишем примеры наиболее часто встречающихся функций ф, в том числе и те, которые соответствуют модели Генки теории пластичности, которая и будет в центре внимания последующего исследования.

Линейная теория упругости. Это — пап- более простой случай, и он уже был неявно описан в п. 2.3.2. Для изотропного материала, как мы уже указывали в (2.65), (2.66), функция ф имеет вид

фе© = 4^ + в№-, (3.29) Фе (I) = ^ № + ^&” Vg е Е,

где использовало соглашение о суммировании по повторяющимся индексам, £у = ^ij + -д- £ мбу, х = л + 2ц/3, х > 0, ц> 0.

Вычисление функции фе было уже проведено в п. 2.3.2:

Ф* ^ = ife T1iiT1" + 4JT “Ч^’ (3-3°)

Заметим, что обе функции фс и ф* суть положительно определенные квадратичные формы на Е. Уравнение 64

состояния принимает вид

oD = 2peD(u.), о« = 3хей(ы.)(3.31)

в каждой точке ж области Q (ср. (2.79)—(2.80)), или, в другой форме,

е(м) = Ла,(3.32)

где через Ла обозначен тензор с компонентами

M°)v = 2jp оу 2и (ЗХ _ц 2И) °Mi6ti- (3.33)

В случае не изотропного материала функции фс и ф* суть функции, заданные соотношениями (2.91) и (2.100), в которых коэффициенты а№ и Лда предполагаются удовлетворяющими соответствующим условиям, а уравнение состояния (или закоп согласования) снова имеет вид (3.32), где компоненты тензора Ло, как и в (2.103), определяются равенством

(Ла)у Л ijkhO,tft.(3.34)

В любом случае можно представить ф* в виде

Ф* (п) = 4" ^ (Ч» П)’(3-35)

где

Л(^,т1) = Л^,(3.36)

причем тензор Л£ определяется в изотропном случае формулой (3.33), а в общем случае — формулой (3.34).

Во всех приводимых ниже примерах считается заданным непустое замкнутое выпуклое множество К, для которого 0 является внутренней точкой. В некоторых случаях множество К имеет вид KD ® R/, где К" — непустое замкнутое выпуклое подмножество пространства ED, для которого 0 является внутренней точкой, а R/ представляет множество сферических тензоров. Это выпуклое множество К задается, как правило, в виде

К = {о^Е, ^(0)^0),(3.37)

где 9" —непрерывная выпуклая функция на Е с ^"(0) < < 0. Наиболее часто встречающимся примером является выпуклое множество Мизеса, для которого

^(a) = -|-|oD|2-^> |aD|2 = a^ (3.38)

(см. (1.34)), и выпуклое множество Треска, для которого ^ (о) = max | щ — о, | — k’,(3.39)

где k и k' — положительные числа, a щ, о2, 03 обозначают собственные значения тензора о. Укажем также выпуклое множество Янга, определяемое функцией20) #~(а) = max {]2oi — о2 — а31, |2о2 — о1 — а31, ]2а3-о1-а2|}-^", к" > 0.(3.40)

Модель идеально пластического упругого типа. Это — модель Генки, которой мы будем заниматься особенно внимательно (см. [63, 64, 78, 109]). Проще определить не функцию ф, а функцию 4"*; последняя записывается в виде

,ф* (^ _ Йе (ч) = 18^ ^InBjj + 7щ ЯУЛУ’ если Ч е ^' I -]- оо в противном случае,

(3-41)

где X, ц, х имеют тот же смысл, что и в упругой модели, а формулу (3.41) нужно сравнить с (3.30). Функцию ф, сопряженную к ф*, вообще говоря, нельзя выразить явным образом. Заметим, однако, что если К = KD ® R/, то

№ = 4^ ^° (А (3-42)

где тф° — функция, сопряженная к (ф0)*, если (ф®)*: ED -* R есть ограничение функции (ф®)* па множество ED.

В случае выпуклого множества Мизеса имеем №№ если ^<к^), } Хк^^-кМ, если ^^WA (3.43)

В этом случае закон согласования (уравнение состояния) представляется в виде

е(н) = Ло+1, кц^и — оу)<0 У^е^. (3.44)

Второе из соотношений (3.44) выражает тот факт, что вектор к содержится в субдифференциалс в точке о

2") Выпуклость этой функции ^ доказана в [152] при п = 3 и в [99] для пространства произвольной размерности.

66

индикатрисы множества К; поэтому X = О, если а является внутренней точкой К\ если о е дК и если К имеет касательную плоскость в точке о, то X направлен по внешней нормали к К*, наконец, если о е Ж и К произвольно, то вектор X должен находиться в конусе, сопряженном к касательному конусу к К в точке а (см. рис. 3.1).

В неизотропном случае мы можем взять также (см. (3.35)-(3.36)):

= (1/2> ^^ если П^^ v и ( + оо в противном случае,

и формула (3.44) снова остается справедливой, по в этом случае мы не знаем явного вида функции ф.

Мы опишем сейчас различные модели, в которых идеально пластическая упругая модель появляется как

Рис. 3.1. Конус, касательный к К в точке а

до некоторой степени предельный случай (в ряде случаев это будет уточнено в гл. III).

in) Модель упру г о в язк опл а стич о с к о г о типа). Пусть при данном значении параметра а>0 функция ф*, обозначаемая в дальнейшем через фа, определяется формулой

Ф*(п) = 4“Л^ + ^ [^ —РкТ112’(ЗЛ6)

где Рк — оператор проектирования в Е на выпуклое множество К.

Как мы видим, по сравнению с задачей (3.41) — (3.45) мы получили функцию ф*, соответствующую совершенно

пластической упругой модели, со штрафом): легко видеть, что при а О функция фа сходится к функции (3.45).

Согласно [155] вещественная функция ц -’

] — Ркт]]2/2 выпукла, непрерывна и дифференцируема по Гато па Е, причем ее дифференциалом является отображение

ц i-» ц — Лкт]. (3.47)

Отсюда следует, что функция фа является (строго) выпуклой, непрерывной и дифференцируемой по Гато на Е, причем ее дифференциал Гато (равный ее субдиффереп- циалу, см. и. 2.1) определяется равенством

■ (фа)'(ц) = М^Ф^ Лцф-^[т] —ЕкФ, (3.48)

что позволяет нам явно выписать уравнение состояния (3.10) рассматриваемого материала:

.е (и) = Ло -^ [о — РкоУ,(3.49)

отсюда следует, что е(н) = Ло при се К (поскольку в этом случае о = РкО^, а в остальных случаях величина е(м) определяется формулой (3.49). Для выпуклого множества Мизеса (см. (3.37), (3.39)) имеем

е (и) =е (и) =Ло, если | oD | ^ V‘2k,Ло, если | oD | ^ V‘2k,Ло фЛо ф1 |aD|-V2/c2»|о»|1 |aD|-V2/c2»|о»|офофесли ] oD\>V2k,если ] oD\>V2k,

е (и) =

е (и) =

Ло, если | oD | ^ V‘2k,

Ло, если | oD | ^ V‘2k,

Ло ф

Ло ф

1 |aD|-V2/c

2»|о»|

1 |aD|-V2/c

2»|о»|

оф

оф

если ] oD\>V2k,

если ] oD\>V2k,

(3.50)

или, полагая s+ = max(s, 0),

e (u) = Ло + ^oD. (3.51)

Явное выражение ф(^) нам неизвестно.

Модель ж остк о в я з к on л а стич о с к о г о типа. Эта модель близка к предыдущей. В (3.46) заменим Л нулем:

Ф^Ф^Ь-Фп]]2,(3.52)

чточтоприводит к уравнению состояния (ср. (3.49))

что

что

. е (iz) [о — Рка],(3.53)

и в этом случае получаем, что е(м) = 0 для о е К (жесткая модель). Для выпуклого множества Мизеса

8 W =8 W =О, если |aD|^p2/c,1 |а°|-У2/с у о™ J1—нто и. если2а„о ’О, если |aD|^p2/c,1 |а°|-У2/с у о™ J1—нто и. если2а„о ’|oD|>/2*.|oD|>/2*.(3.54)(3.54)

8 W =

8 W =

О, если |aD|^p2/c,

1 |а°|-У2/с у о™ J1—нто и. если

2а„о ’

О, если |aD|^p2/c,

1 |а°|-У2/с у о™ J1—нто и. если

2а„о ’

|oD|>/2*.

|oD|>/2*.

(3.54)

(3.54)

Отсюда следует, что ей (u) = div и = О, так что эта модель несжимаема.

Модель тина Нортона — Хоффа. Напом- инм определение калибровочной функции (или функционала Минковского) выпуклого множества К; эта функция определяется формулой.

0:(£) = inf {s, £ е зК, з > 0).(3.55)

Если задано значение параметра q > 1, то модель типа Нортона — Хоффа определяется, согласно [47] (см. также [141]), выбором функции ф* — ф* в виде

Ф* (п) = 4" ^ФП + (° (п))9' й1>0.(3.56)

Конечно, если К имеет вид KD ® R/, то

9(n) = 9(n^) = inf{s, VGsKD, s>0).(3.57)

Поскольку 0(£)s£ 1 тогда и только тогда, когда $ G К, то мы видим, что при q °° функция ф9 сходится к функции ф* идеально пластической упругой модели, скажем, в форме (3.41), и следовательно, рассматриваемая модель является также формальным возмущением идеально пластической упругой модели.

Функция ф* —непрерывная выпуклая функция па Е. Нам неизвестен явный вид функции фд = (ф*)*, и мы не можем в общем случае явно выписать уравнение состояния. Тем не менее для выпуклого множества Мизеса легко видеть, что

<Ц;! -0(Щ■(3.58)

6'®-м®= Vi=iW°<М9)

и уравнение состояния записывается в виде

(3.60)(3.60)е (и) = Ло + .—.^ . ] oD I»—2orD,

(3.60)

(3.60)

что и составляет обычный закон Нортона — Хоффа (см. [66, 106]).

Модели с упрочнением (ecrouissage). Введем вспомогательное конечномерное евклидово пространство Е\ и отображение ср области Q в 7?t, характеризующее параметр упрочнения. Зададимся для а > О семейством непустых замкнутых выпуклых подмножеств н^а в Е X Ei, пересечение которых сводится к Е X (О), причем %’о = КХЕ\. Уравнения состояния записываются в виде

(а (ж), 0(.г))е дфа (е (и.) (ж) (ж), 0),(3.61)

(е (и.) (ж), 0)е Эфа (о (ж), 0 (ж))(3.62)

(вместо (3.9) —(3.10)), где функции фа и фа являются сопряженными друг другу собственными п. и. сп. выпуклыми функциями на Е X Е\ со значениями в R X (+°°), причем фа определяется следующим образом:

Фа(^ 9)Фа(^ 9)(Л^ + |0|2)/2, если й,6)еД, 4- оо в противном случае.

Фа(^ 9)

Фа(^ 9)

Мы вернемся к этой задаче в гл. III с некоторыми изменениями, относящимися к задачам (3.18) — (3.25), из за ее связи с идеально пластической упругой моделью при а0. В заключение укажем два часто встречающихся примера пространств Е\ и выпуклых множеств ^V К — выпуклое множество Мизеса, Ei = R и при а 0

. Ха = {(^, 0)e£XR, |gD| ^m + аО), (3.63)

К — выпуклое множество Мизеса, Ei = ED и при а > 0 ^a = V^, ^еЕХЕ”, £-а9еК, т. е. 1^-а0| ^ V2M.

(3.64)

Мы отсылаем к [62] за полным изучением моделей с упрочнением; (3.63) соответствует модели изотропного упрочнения, а (3.64)—линейной модели упрочнения (так называемой модели Прагера).

Замечание 3.3. Хорошо известно, что только что описанные нами модели с точки зрения механики не яв- 70

ляются наилучшими для учета явлений, соответствующих пластичности, вязкопластичности, и т. д., являясь на самом деле нелинейными упругими моделями. Более реалистические модели учитывают «историю» материала и должны включать временное переменное. Однако некоторые из описанных выше моделей могут представлять интерес с точки зрения механики в некоторых частных случаях, а с математической точки зрения изучение статических моделей есть, по-видимому, необходимый этап в понимании много более сложных эволюционных задач.

Что касается идеально жестколластической модели (модели Генки), которой мы будем особенно интересоваться, то известно [102], что опа используется для вычисления предельных зарядов на структурах (см. [65, 115]) и что она позволяет также дать приемлемое решение задачам формовки. С математической точки зрения эта задача изучалась многими авторами, в том числе в работах [2, 4, 19, 20, 26, 27, 29, 38, 63, 64, 72-74, 76, 77, 91, 92, 94, 96-98, 100-103, 109, 121, 123-127, 135— 139, 143-145].

Двойственность вариационных задач

Мы приступаем здесь к изучению вариационных задач, связанных с моделью пластичности по Генки, описанной в § 3. Мы напомним исходные данные задачи и сделаем несколько замечаний о задаче для перемещений (и. 4.1). Затем мы построим задачу, двойственную к задаче о перемещениях, которая оказывается задачей о напряжениях, и изучим соотношения между исходной и двойственной задачами (п. 4.2).

Задача о перемещениях.

Напоминание: постановка задачи. Напомним исходные данные задачи. Идеально пластическое упругое тело занимает область Q в R3; Q — ограниченная (связная открытая) область класса ^2, граница которой обозначается через Г. Эта граница разбита па три подмножества Го, Г1 и Г*, где Го и Г] открыты в Г, Г*—общая граница множеств Го и Г1 в Г. Предположим, что для Г* выполняется условие регулярности (2.105)).

Это тело подвергается действию объемных сил в Q, плотность которых равна /, и сил поверхностного натяжения па Г| с поверхностной плотностью g; предполагается, что функции j и g заданы, причем выполняются соотношения

fe(L\^, ge^K))3.(4.1)

Кроме поля напряжений о (которое появится па уровне двойственной задачи), неизвестным является также поле перемещений u: Q -* R3. Предполагается, что перемещения заданы па Го и что поле перемещений образует решение вариационной задачи (3.18), которую мы сейчас несколько уточним.

Как и в § 2, 3, перемещение па Го (или Го) предполагается осуществляемым в виде следа ограничения на Го функции ио в IE (Q)3, и во избежание технических трудностей предполагается, что 'уо(по) обращается в нуль вне Го-.

. и0 е (Я1 (Q))3,Ог0?0(п0) = у0(и0),(4.2)

где 0г{ обозначает характеристическую функцию множества Г; в Г (i = 0, 1).

Введем теперь надпотепциал ф. Пусть, как и прежде, через Е обозначено пространство симметричных тензоров порядка 2, через ED — подпространство в Е, образованное тензорами с нулевым следом, через I — единичный тензор, так что Е = ED ® R7. Зададимся таким множеством К с Е, что

К —замкнутое выпуклое множество в Е, (4.3)

К = KD ® R7, где множество KD = КП ED замкнуто

и 0 — внутренняя точка KD. (4.4)

Падпотенциал определяется, как и в (3.41), своей сопряженной функцией ф*, определяемой формулой

((Дтрф/2, если чеК, ф* (и) = ) ,(4.5)

v м (-j- оо в противном случае,

где Лр — вектор, определяемый формулой (З.ЗЗ)), так

что

(^v ~ 2ц ^ 2ц (ЗХ н- 2ц) ^^И ~ 2ц ^ + 9х ^^3'

(4-6)

ЛПП = ^- ПиЯ? -1 -^ ШФХ',(4-7)

где X, ц — коэффициенты Ламе, х = X + 2ц/3 — модуль всестороннего сжатия, ц > О, х > 0.

Функция ф сопряжена к ф* (ф = ф**) и определяется формулой

Ф U) = sup {£ц — ф* (ц)} sup ^ц — А- Лф]}. (4.8)

Если учесть, что К = KD ® R7 и что gp = ^уПу +

+ ~ 5Нфг, ТО МЫ ПОЛУЧИМ

Ф® = sup -ySifS — ^S2 -I- sup Un “ 47ГП№»

s=4j;eR I JJ 4DeKD IJ

Ф©=-^^+Фа°),(4.9)

Фа°)= sup uv-^nM-(/±л°)

^dgKd lJ

Замечание 4.1. Вообще говоря, мы не можем дагь для ф более явного выражения. Однако если К — выпуклое множество Мизеса, для которого |oD|s£X1/2 (см. (3.37) — (3.38)), то

, XD\D Inn)fl,-DI

фи)= sup Un — тл-П n }= SUP U ls~-T-b

Ф(^) = ф(1Г1),(4.И)

где ср: R -> R — функция, определенная формулой

ф(8) =ф(8) =Ц82,Ц82,еслиеслиеслиесли1 '^ф/2ц1 '^Уац1 '^ф/2ц1 '^Уац(4.12)(4.12)

ф(8) =

ф(8) =

Ц82,

Ц82,

если

если

если

если

1 '^ф/2ц

1 '^Уац

1 '^ф/2ц

1 '^Уац

(4.12)

(4.12)

(См. рис. 4.1.)

Если потребовать от функции и регулярности класса Я125), то функция и должна принадлежать множеству ^ = ^(^0) (ср. (3.3)), где

^а = ^а(ио) = (у е (Я1 (Q) )3, у = ио на Го). (4.13) Положим

(4.14)(4.14)(у) = J /у & + J gv dV£2Г

(4.14)

(4.14)

для и е(Я* (Q))3 и положим

У ^ = J Ф (т М) ^ = -^- ^ | tr т (х)|2 dx -|- J ф (td (ж)) dxйЙй

(4.15)

для те//(4 Е').

Перемещение и является решением следующей задачи 5s (см. принцип Генки (3.18)): найти

inf {^(у))—£(у)}, №^аinf {^(у))—£(у)}, №^а(4.16)(4.16)inf 4г- f (div у)2 dx-\- f ф (eD (у)) dx — L (у)|. (4.17)inf 4г- f (div у)2 dx-\- f ф (eD (у)) dx — L (у)|. (4.17)®е^®е^aaйййй

inf {^(у))—£(у)}, №^а

inf {^(у))—£(у)}, №^а

(4.16)

(4.16)

inf 4г- f (div у)2 dx-\- f ф (eD (у)) dx — L (у)|. (4.17)

inf 4г- f (div у)2 dx-\- f ф (eD (у)) dx — L (у)|. (4.17)

®е^

®е^

a

a

й

й

й

й

Замечание 4.2.нии 3.3, модель ГенкиЗамечание 4.2.нии 3.3, модель Генки

Замечание 4.2.

нии 3.3, модель Генки

Замечание 4.2.

нии 3.3, модель Генки

Как уже было сказано в замеча- пе дает удовлетворительного описания явлений пластичности, поскольку она не принимает во внимание истории материала. Модель Генки является скорее моделью нелинейной упругости с порогом (см. [51]); более реалистической моделью с точки зрения пластичности является модель Прандтля — Рейсса. Тем не менее исследование модели Генки представляет

интерес по ряду причин, указанных во введении.

Некоторые замечания. Перед переходом к изучению двойственной задачи установим некоторые свойства функций ф и Y и выскажем некоторые замечания.

Как мы уже указывали, это условие регулярности слишком сильно и в дальнейшем будет ослаблено.

74

Лемма 4.1. i) Существуют два таких числа ко, к\, О < ко^ к\ < + оо, что

^о (I ^ I - D< Ф^ <]Ч1^1 V^e Е. (4.18)

Функция ф — непрерывная конечная выпуклая функция на ED со значениями в R.

Отображение р -* ф(р) определено и непрерывно как отображение Е^Й; Е”') в БДО).

Доказательство, i) По предположению множество KD содержит некоторый шар В (0, к'^ с центром в 0 и радиусом к0 в пространстве ED и содержится в некотором шаре B^Q,k'^ с центром в 0 и радиусом Ай (0 < ^ ^ Аг < оо). Отсюда следует, что

W )>sup и П —Т^ЛП-

•iiebD IJ

iBK^o

Последняя верхняя грань равна

■I 12I «.D I ^0

ц Е , если Е

1У2р(4.19)

/2|£D|-M если

и это выражение ограничено снизу величиной Ao(l£Dl — 1), но крайней мере для достаточно малых ко. Точно так же получаем

ф(^)< sup [^ц] < sup UDnl = ^iUD|, BSKDT|GEd

,IbK^!

откуда и следует неравенство справа в (4.18) с к, =kv

Вследствие (4.18) функция ф, которая, конечно, выпукла, является конечной в каждой точке пространства ED. Таким образом, ее область определения (в Б”) есть все пространство ED, и вследствие упомянутого в п. 2.1 результата функция ф непрерывна па всем Еь.

Согласно неравенству (4.48) функция ф(р) суммируема для любой функции peL’(Q; Б”). Таким образом, мы получаем отображение, определенное на всем

пространстве Z?(Q; ED) co значениями в Z?(Q). Из предложения 2.4 следует, что это отображение непрерывно. Тогда и подавно отображение Y пространства ^(Й; ED) в В, определонное р авепством

V: р V (р) = J ф (р (ж)) dx, б

выпукло и всюду непрерывно.

В заключение выскажем некоторые замечания о задаче (4.17).

Первый вопрос, касающийся этой вариационной задачи: узнать, является ли пижияя грань конечной или раваюй — с», что нельзя установить априори, поскольку тр имеет лишь линейный рост на бесконечности. Ответ на этот вопрос дается с помощью граничного анализа, к которому мы приступим в следующем параграфе. Идея граничного анализа состоит в том, что в задачу (4.16) вводится параметр X > О, т. е. рассматривается задача^: inf {^(еИ-ХХ^)},(4.20)

выясняется, для каких неотрицательных значений X эта нижняя грань конечна, и исследуется, входит ли в этот набор значений число X = 1.

Оказывается, что справедливо

Предложение 4.1. i) Множество значений X > 0, для которых нижняя грань в (4.20) конечна (> — °°), есть интервал [0, Х)._

Если 0 < X < X, то любая минимизирующая последовательность {um} задачи (З^) ограничена в том смысле, что

&{ит) ограничено в Lx^\ Е),(4.21)

div(um) ограничено в l?(Q).(4-22)

Д ок аз а т о л ьс т в о. i) Так как гР > 0, то нижняя грань ^х конечна (^0) для X = 0. Таким образом, для доказательства 1) достаточно убедиться, что если 0 < < X < X' и inf^v> — оо, то и inf ^> — 0°. Это сразу следует из соотношений

= ^ {У (е ^ - VL (п)} + (1 - A j V (8 И >

> -^ {¥ (8 (п)) - X'L (и)} > A inf ^, > - оо. (4.23)

Точка X есть верхняя грань неотрицательных чисел X, для которых inf > — °°. Сейчас мы пе будем выяснять (но мы вернемся к этому вопросу в § 5), верно ли, что inf^>— оо.

Если О ^Х < X, то существует такое X', X < X' < X, что inf^v>—00• Тогда воспользуемся формулой (4.23) с у, замененным на ит:

¥ (е (и^ - XL (wm) > А {ф (8 (Mm)) _ X'L (wm)} +

+ (1 - A W (8 (um)) > 2. mf ^х, + (1 - A) v (е (Um)). \/V /”\/

(4.24)

Так как по предположению последовательность Ч^е^т))— XL(um) сходится к inf ^, то эта последовательность ограничена сверху и, следовательно, Т(е(ыт)) остается ограниченным сверху. Отсюда сразу следует требуемый результат, поскольку

V (е (um)) = A j I div ит I2 dx + [ ф (sD (um)) dx

£2 Й

> A J | div um I2 dx + Xo J (| 8° (um) I — 1) dx ' Q Й

вследствие (4.15) и (4.18).

Замечание 4.3. i) В § 5 мы определим число X как значение нижней грани вспомогательной вариационной задачи.

Чтобы определить множество значений X s£ 0, для которых inf ^х > — оо, достаточно во всех предыдущих рассуждениях заменить / и g на -/ и — g соответственно.

Если ит — минимизирующая последовательность для последовательности 94, X < X, то ит = по па Го для всех т. Отсюда и из неравенства типа Пуанкаре, установленного в гл. II, следует, что если Го непусто, то ит ограничено в (L*(Q))3. Если Го = 0, то ит остается ограниченным в (L'(Q))3/i%.

Так как пространство L1 (Q) не рефлексивно (см. п. 1.1 и (1.7)), то из последовательности ит, удовлетворяющей (4.21), вообще говоря, нельзя выделить подпоследовательность, для которой е (iim) слабо сходится в

Это — существенное математическое препятствие к существованию решений задачи ^. Целью гл. II и будет установить, что минимизирующие последовательности задачи РР = 9\ обладают (при 1 < X) точками накопления, которые в некотором смысле, подлежащем уточнению, являются слабыми решениями задачи ^.

4.2. Двойственная задача: задача о напряжениях. Сейчас пашей целью является построение задачи, двойственной к задаче ^, с помощью общих методов, описанных в п. 2.2.1; мы увидим, что тогда получается задача о напряжениях (т. е. (3.25)). Двойственность в задаче 3s изучалась многими авторами, которые использовали сходные методы (см. [38, 92, 102, 103]). Предполагаемое здесь изложение (приведенное в [143]) следует подходу работ [39, 41—43, 111] и лучше всего приспособлено к развитию, которое мы в дальнейшем осуществим.

Запишем задачу ^ в виде (2.35). Чтобы уложиться в искомую схему, положим

y = (//'(Q))3, У = У] X У2 = 7? (Q)X L2(Q; ED),

так что пространство У есть не что иное, как L2(Q; Б), а приведенная факторизация соответствует факторизации R/ ® Бс пространства Е. Элемент р пространства Е будет записываться и в форме пары (щ, р2), и в форме тензора Р\1 + pi из Е. Напомним также, что скалярное произведение па У (или У2) записывается в виде

[ р^дц dx. й

Оператором Л будем считать оператор 8, который мы также представим в виде произведения Л1ХЛ2, где А, = div, А2 = eD. Положим еще для всех у е У

[—Б (у), если у = и0 па Го,

Б (к) = 1 ,'(+ оов противном случае

и введем для всех р=(р\, р2) из У величины

G(p) =+ G^p^,

^(PiH^-JtPi)2^ ^PieYvй

G2 (ТЧ) = J (Рг) ^ Чрге¥2.й

Ясно, что F выпукло и п. н. сн. па V, а согласно лемме 4.1 функция G всюду конечна, выпукла и непрерывна па У.

В качестве пространства У возьмем пространство, сопряженное к У, а У* возьмем равным У.

В этих обозначениях задача 5s с (4.17) совпадает с задачей 5s в (2.35). Двойственная задача дается формулой (2.36), и для определенности мы должны найти сопряженные функции F*: y*-*RU{+°°} и G*: У-* - RU {+ оо}.

Вычисление функции F было проведено в лемме 2.2 для элементов вида Л*р, что вполне достаточно; для любого р из У* = У имеем

F* (Ар) =F* (Ар) =в Q, на Г/-6),(4.25)в Q, на Г/-6),(4.25)(divp —/ —О (ру)иойГ, если

F* (Ар) =

F* (Ар) =

в Q, на Г/-6),

(4.25)

в Q, на Г/-6),

(4.25)

г„I pv + g 0

-|- оо в противном случае.

Определение функций С* и G* осуществляется с помощью предложения 2.5, все условия которого выполнены ((2.52) — для а = b = 0). Получаем

G*<p^=4^.Vp^da:йG*<p^=4^.Vp^da:й^p^y^l^^,^p^y^l^^,

G*<p^=4^.Vp^da:й

G*<p^=4^.Vp^da:й

^p^y^l^^,

^p^y^l^^,

GUp^U^PiW У/^еУ^И й

откуда, согласно (4.5),

^2 ^Рг)^2 ^Рг)—■ ] Ар2р.2 dr, если р2 (ж) е К (или KD^ й

^2 ^Рг)

^2 ^Рг)

для почти всех г, + оо в противном случае.

(4-26)

Введем теперь тензор а = — р = — р\1 — рд тогда мы получаем, что

-=- ^ (о, о), если cD (г) е К для почти всех х,

-|- оо в противном случае,

(4-27)

где ^ — билинейная форма, введенная в (2.77):

^ (ст, т) = f tr ст tr т dx -|- f ctdtd dx (4.28)

£2£2

для всех ст, re/?(Q; £).

Выразим теперь явно двойственную задачу, определяемую формулой (2.36), обозначая через а = — р переменное, пробегающее У. Опа имеет вид

(4.29)(4.29)'

(4.29)

(4.29)

у- ^ (ст, ст) + 1 (ctv) и0 dT

где верхняя грань берется по описываемому ниже множеству, пробегаемому переменным ст; это множество называется допустимым множеством для задачи 9s* или множеством допустимых и для задачи 9**:

. оеКИ,

divo + /=0 в Q,(4.30)

ctv = g па Гц

ап(х)-е К° для почти всех же Q.

Мы снова получим задачу (3.25) с точностью до изменения обозначений (и перехода от минимизации к максимизации) .

Соотношения между задачами 91 и 91* выражает

Т е о р е м а 4.1. Следующие условия эквивалентны: i) inf ^ > — оо;

существую! допустимые а для задачи 9s*;

inf 9s = sup 9** e R.

Если эти условия выполнены, то задача 9>* допускает единственное решение а.

Доказательство. Условие ii) необходимо и достаточно для того, чтобы выполнялось условие sup 9s* > > —оо. Следовательно, из условия iii) следует справедливость условий i) и ii). Кроме того, из ii) следует i), поскольку sup ^* s£ inf вследствие (2.28). Таким образом, первая часть теоремы будет установлена, если мы покажем, что из i) следует iii). Для этого достаточно применить (2.30): по предположению имеем inf ^ > — °о, и мы должны показать, что существует такой элемент и0 е V, что ^(и0) < + оо, G(Au°)< + оо, Q непрерывна в точке Ли0 (см. (2.29)); но так как G всюду конечна и не- 80

прерывна на У, то элемент и0 = ио обладает всеми желаемыми свойствами, откуда и следует результат.

Задача S9* не может иметь решения, если множество допустимых о пусто. Если условия i), ii), iii) выполнены, то снова из (2.30) следует существование решения задачи ^*. Заметим, что существование решения ^* может быть получено и с помощью предложения 2.1. Наконец, единственность решения задачи ^* обеспечивается предложением 2.2, как только мы заметим, что квадратичная функция о^-^(о, о) строго выпукла (так как она неотрицательна и обращается в нуль только при о = 0).

Замечание 4.4. В любом случае

inf 9 = sup 9* е R l) {— <»}.

Соотношения экстремальности. Предположим, что выполнены условия i), ii), iii) теоремы 4.1, и пусть задача 9 имеет решение и; согласно теореме 4.1, задача 9* имеет решение, и следовательно, можно выписать условия экстремальности (2.31), (2.32), (2.38). Условие (2.31) тривиально, в то время как два условия (2.38) записываются в виде (i = l, 2)

-у- J (div u)2 dx + j|^ J (tr ст)2 dx = -у- J (div и) (tr ст) dx, ЙЙЙ

(4.31)

[ ф (eD(u)) dx 4- J ф* (ctd) dx = J eD(u) ctd dx. (4.32) ЙЙS

Пусть

J (-^- (div u)2 + 18^ (tr ст)2g- (div u) (tr ct)1 dx — 0,

[ {Ф(ё°(^)) Ь Ф* (nD) — eD(u) ctd} dx = 0» й

Интегрируемые функции в каждом случае неотрицательны, откуда следуют соотношения

-у- (div и)2 4- jg^ (tr ст)2 = -у divu tr ст, (4.33) ф (sD (н)) 4- ф* (ctd) = eD (u) ctd, (4.34) справедливые для почти всех ж е Q. Первое из них сводится к соотношению

tr о = 3xdiv и,(4.35)

6 Р. Темам81

которое уже появлялось в линейной теории упругости (см. (2.80)). Однако из соотношения (4.34) следует не такое простое соотношение между ои и ел(и): в точке ж, для которой о0 (ж) принадлежит внутренности множества Zv", мы, как и в линейной теории упругости (см. (2.79)), имеем

oD = 2^еп (л). (4.36)

По в точке ж, для которой о°(ж) принадлежит границе области К”, между oD и ел (п) соотношения пет.

Замечание 4.5. Чтобы определить задачу, двойственную задаче ^х, введенной в (4.20), достаточно заменить / и g на X/ и Xg в (4.29) и (4.30). Мы получим, что нужно максимизировать тот же функционал, что и в (4.29), а именно

(4.37)(4.37)л- ^ (а, а) ф- 1 (av) и0 йГ ,

(4.37)

(4.37)

где множество, пробегаемое переменным о, определяется теперь так:

оеЬЧ&, Е),

div о + X/ = 0 в Q,'

.(4.38)

av = Xg па Гь

0° (ж) е KD для почти всех z g Q.

Так как 0 е KD, то если а допустима для задачи ^* (т. е. удовлетворяет (4.38)) и если 0 < X/< X, то функция Х'о/Х допустима для ^хч таким образом, множество таких X > 0, что задача ^* имеет допустимые a (nsup^x^ — оо) есть некоторый интервал [0, X). С помощью теоремы 4.1, примененной к задаче ^х, мы снова убеждаемся в справедливости утверждения предложения 4.1, i) и отсюда сразу получаем, что X = X.

Граничный анализ

Мы видели, что нижняя грань в задаче ^ конечна (> —°°), если некоторое число X, появляющееся в лемме 4.2, оказывается более единицы. Определение числа X, таким образом, оказывается существенной задачей, поскольку с механической точки зрения знание этого числа 82

позволяет лам решить, может ли материал перенести наложенные на него силы / и g (он может их перенести или пе может в зависимости от того, какое из соотношений inf SP > — 0° или inf ^ = —оо оказывается справедливым). Поскольку нас вдохновляют методы, обычно применяемые при расчете разрушений в механике строений, мы покажем (совершенно строго), что можно определить X как нижнюю грань в некоторой вспомогательной вариационной задаче, так называемой задаче граничного анализа. '

В и. 5.1 мы введем и изучим задачу граничного анализа ^дъ (см. (5.12) — (5.13)) и ее связи с задачей теории деформации (с исходной задачей ^). В п. 5.2 мы определим задачу, двойственную к ^лъ, и снова получим предыдущие результаты несколько другим путем.

Задача граничного анализа 9 м.. Мы опишем эвристический путь, приводящий к задаче граничного анализа.

Задача состоит в том, чтобы узнать, верно ли, что inf ^ > — °°, иначе говоря (по теореме 4.1), существуют ли допустимые ст для задачи ^*. Отсюда мы видим, что «о и форма з$- в (4.29) не играют с этой точки зрения существенной роли. Следовательно, мы можем их устранить, полагая но = 0 и ^(о, ст) = 0, а это преобразование формально можно осуществить, полагая ц -> + °° (см. . (4.28), где х = Х + 2ц/3). В пределе фоо(^) равно 0 при go Е ^п и + оо в противном случае, что с помощью перехода к сопряженной функции показывает, что ф» (£) равно

sup £ц = sup (4-(tr^)f+ ^DriDl,T|DeKD

так что

Ф«® = h” ^’ ec™ tr^ = 0’(5.1)

• ' оо в противном случае,

где фоо^”)—опорная функция множества KD в ED: Ф<Ж) = sup ?V-(5.2)

bdgkd

6*6*Это наблюдение позволяет нам ограничиться изучением задачи 9, в которой ф заменено па ф», а ио на 0; этим мы в дальнейшем и будем заниматься.

6*

6*

,53

Начнем с нескольких замечаний относительно функции ф„. Прежде всего, функция i]:» положительно однородна на Е” (и на S):

Ф= № = гф» (gD) Vr>0; (5.3)

с другой стороны, согласно предположениям относительно KD (см. (4.4)) существуют такие постоянные кй и кг, О < кд ^ kt < оо, что

fcokD|<^(^)^^UD| <eEd. (5.4)

Чтобы убедиться В' этом, достаточно заметить, что множество KD содержит шар 5(0, к0) в ED с центром 0 и радиусом кд > 0 и содержится в шаре В (0, кг) с центром в 0 и радиусом &J, откуда следует соотношение ^о I £° I = supg V ^ sup ^V

Чпев(оЛо)r^eK0

С sup , ^ц13 Аф)^!- ЧПев(о,й1)

В случае выпуклого множества Мизеса (3.38) имеем

1МП=72№1.(5.5)

Из соотношения (5.1) сразу следует, что для ve еЯ'(О) величина

^= (е (к)) = ( фо= (е (у)) dx(5.6)

определяется формулой

) фоо(е° (у)) dx, если divy= 0,

Т«,(6(у)) =

£2(5.7)

.+ оов противном случае.

Упрощенная задача, соответствующая ф = ф» и по = О, записывается, таким образом, в виде

(5-8)(5-8)inf {Too (eD (у)) — L (у)},

(5-8)

(5-8)

где нижняя грань берется по всем у, удовлетворяющим следующим условиям:

и е IP (Q)3, div у = 0, у = 0 на Го. (5.9)

Определение задачи, двойственной к задаче ^, проведенное в общем случае в § 4, может быть применено здесь 84

без каких-либо изменений. Функция G\ становится индикатрисой нуля в A2(Q), a Gztp?) = V»(р2) для любого ра из 72 = L2(Q; ED).

Тогда GT равно 0, a G2 определяется формулой ^(Р2) = ^(р2) =

}

0,если р2 (ж) е KD для почти всех ж е О,

j оо в противном случае.

Таким образом, двойственная задача упрощается (как и ожидалось) и становится задачей

sup{0},(5.10)

О

где верхняя грань берется ио тому же множеству о, что и выше, т. е. по множеству (4.30). Это означает, что sup S'* равен 0 или — °° в зависимости от того, существуют ли функции о, удовлетворяющие (4.30), или таких функций нет.

Теорема 4.1 уточняет соотношения между задачами ^ и 5Р* (и, в частности, утверждает наличие равенства inf ^* = sup ^), но ее нельзя непосредственно применить в рассматриваемом сейчас случае: действительно, функция Gi, а потому и функция G не являются непрерывными пи в одной точке пространства У, соотношение (2.29) не выполняется и формулой (2.30) воспользоваться нельзя. Тем не менее утверждение этой формулы остается верным, и мы на время примем его в виде следующей леммы, которую позже докажем.

Лемма 5.1. Для задачи (5.8) и ее двойственной задачи остаются справедливыми утверждения теоремы 4.1. В частности, в любом случае выполняется равенство

inf {(5.8)} = sup {(5.10)}(=0 или — °°).

Введем теперь задачу граничного анализа &Лъ, очень близкую к задаче (5.8). Опа записывается в виде

infinf^oo(eD (о))L (О^oo(eD (о))L (О(5.11)(5.11)

inf

inf

^oo(eD (о))L (О

^oo(eD (о))L (О

(5.11)

(5.11)

где нижняя грань берется по множеству таких у, которые удовлетворяют условию (5.9), причем А(р)>0. Эта задача оптимизации не является выпуклой, по вследствие условия однородности (5.3) для функции фео можно вместо задачи (5.11) рассматривать следующую равносильную

ей задачу, которая уже является выпуклой:

inf Ч^о (eD (у)),(5.12)

где нижняя грань берется по следующему множеству функций у:

ye^Z^Q))3, divy = 0, у = ОнаГо, L(y)=l. (5.13)

Справедлива следующая

Т е о рема 5.1. Нижняя грань в задаче (4.16) или (5.8) конечна (> — 00) (и функции о, удовлетворяющие условию (4.30), существуют) тогда и только тогда, когда значение нижней грани в задаче ^al— задаче (5.12), (5.13)—не меньше 1.

Доказательство. Нижние грани в задачах (4.16) и (5.8) одновременно конечны и одновременно равны — °°: вследствие теоремы 4.1 и леммы 5.1 обе нижних грани конечны, если функции о, удовлетворяющие условию (4.30), существуют; в противном случае обе грани равны — °°.

Сейчас мы используем свойства однородности (5.3) для функции ф» (и Y»). Если нижняя грань в задаче (5.12), (5.13) имеет значение > 1, то это означает, что 4^(6^))^ 1

для всех функций и, удовлетворяющих условию (5.13); тогда из свойства однородности следует, что

4r„(e(y))-L(y)^0(5.14)

для всех v, удовлетворяющих условию (5.9) при L(v)> > 0. Соотношение (5.14) оказывается тривиальным для всех и, удовлетворяющих условию (5.9) при L(v)^0, откуда следует, таким образом, что нижняя грань в задаче (5.8) неотрицательна (а на самом деле, согласно лемме 5.1, в этом случае нижняя грань равна 0).

Если теперь мы предположим, что нижняя грань в задаче (5.12) — (5.13) меньше 1, то существует функция Уо, удовлетворяющая (5.13) и такая, что

4^(8° (ко) )< 1.

Отсюда для любого s > 0 имеем

W»^^)) -L^v0)=s^„(,eD^0))- 1),

и, устремляя s к +”, заключаем, что нижняя грань в (5.8) равна — °°.

86

Остается установить лемму 5.1.

Доказательство леммы 5.1. Мы применим в задаче (5.8) схему двойственности из § 2 в несколько других условиях, которые позволят нам получить ту яге двойственную задачу (5.10), что и в предыдущем случае, ио тем не менее позволят нам установить критерий (2.29) и воспользоваться равенством (2.30).

Возьмем в качестве V пространство

W = {у е(Я* (Q) )3, div и = 0, у = 0 на Го); (5.15)

пусть V* — пространство, сопряженное к W, а У* = ¥ = = Ь2(Й; ED). В качестве оператора Л возьмем оператор 8°; положим Я(у) = — L(v) для всех уеУ и G(p) = = Чгсо(р) для всех ре£2(й; Я”). Тогда задача (5.8) совпадает с задачей (2.26). Чтобы вычислить двойственную к ней задачу (2.27), нужно вычислить F* и G*; по G* есть просто индикатриса множества

{оеЛ2(й; Я”), ос(ж)е№ почти всюду}.

Вычисление функции F* более сложно. Докажем, что для всех р ^у

1

0,если существует такой элемент

Ро е L2(Q), что о = — pj — ре 9^,4-оо в противном случае(5.16)

(где множество Уц определено в (3.8)). Если мы па время примем это утверждение, то мы можем уточнить постановку задачи (2.27), и в качестве задачи, двойственной к (5.8), снова получаем задачу (5.10)). Существенная разница состоит, однако, в том, что в рассматриваемом сейчас случае выпуклая функция G всюду конечна и непрерывна на У и критерий (2.29) выполняется, например, с и° = 0; тогда можно повторить без каких-либо изменений доказательство теоремы 4.1 и получить уг- верягдения леммы 5.1.

Доказательство (5.16). Чтобы установить справедливость формулы (5.16), запишем

F* (Л*р) — sup{<A*p, и') 4- L (к)},«ев

Эта верхняя грань равна нулю, если Л*р + L = 0 (в ТУ'),

и + <х> в противном случае. Запишем условие, что Л*р + + 1 = 0:

J psD (у) dx + J jv dx -|- [g^dT-O ^v e W. (5.17)

Если v e W, to eD (у) = e (у), поскольку divy = 0. Заменяй 8° (у) па 8(у) в первом из интегралов и переписывая (5.17) для функций у'из W П (^Г (^))3, видим, что <-divp + /, у> = 0 Ууе ITn(^TR)3. (5.18)

Согласно хорошо известному результату теории уравнений Навье — Стокса (см., например, [80] или [135], предложение 1.1 гл. I) отсюда следует, что существует такая обобщенная функция ро, что

—div р + / = grad р0.(5.19)

Согласпо предложению 1.2 ii) функция ро необходимо принадлежит L2(Q). Если мы положим а = — р — pj, то а^Е2^; Е) и условие (5.19) можно переписать в виде divo + / = 0BQ.(5.20)

Теперь вернемся к (5.17), где заменим р&°(у) па —ое(у). Здееь можно применить обобщенную формулу Грина (1.51), и с учетом (5.20) эта формула позволяет переписать равенство (5.17) в виде

J (ov) v d? + J gv dY = 0 Уу e W. (5.21) гГ1

Так как у = 0 на Го, то последнее равенство равносильно соотношению

[(ov-|-g)y^r = 0 VveW. (5.22) г2

Нам известна характеризация следов элементов пространства (//‘(Q))3 с нулевой дивергенцией. Согласно [156] множество таких следов имеет вид

е (Н1'2 (Г))3, (wvdT^oL

Iг j

Таким образом, множество следов элементов пространства W есть множество

(ше(Я1/2(Г))3, f ^vdr = 0l.(5 23)

Следовательно, мы должны записать условие, что j (ov + g) wdT = 0 для любого w из пространства (5.23).

Но отсюда следует, что существует такое число а е R, что qv + g = av на Гь

Так как обобщенная функция ро в (5.19) определена лишь с точностью до постоянного слагаемого, то, заменяя ро на ро + а, мы можем предполагать, что а = 0, и получаем последнее соотношение:

(iv+^ОпаГь(5.24)

Это завершает доказательство формулы ^5.16) и тем самым также и леммы 5.1.

Замечание 5.1. Теорема 5.1 легко распространяется па случай задач ^х, исследованных в (4.20) и в предложении 4.1: повторяя без каких-либо изменений доказательство теоремы 5.1, мы видим, что нижняя грань в задаче ^х конечна (> — °°) тогда и только тогда, когда нижняя грань в задаче граничного анализа > X.

Следовательно, мы можем уточнить предложение 4.1: с одной стороны, число X есть нижняя грань в задаче ^лгД

X = нижняя грань для ^al (т. е. (5.12) — (5.13)); (5.25) с другой стороны, нижняя грань в задаче ^х все еще конечна при X = X, что не было уточнено в предложении 4.1.

Введение задач ^х с X, меняющимся от нуля до граничного значения X, является обычным приемом при расчете предельных нагрузок в механике строений; см., например, [65, 115].

Замечание 5.2. Мы можем по-новому интерпретировать вторую часть предложения 4.1:

если inf ^^xr, > 1, то любая минимизирующая

последовательность задачи ЗР (4.16) ограничена

в смысле (4.21) — (4.22).(5.26)

Замечание 5.3. Хотя теория предельных нагрузок является совершенно классическим вопросом механики строений (ом., например, ссылки, указанные в замечании 5.1), пам не удалось найти в литературе по механике задачу (5.12) — (5.13). Эта задача была введена, по-види- мому, в [144].

Сопряженная задача к задаче граничного анализа.— Приложения. Мы сейчас выпишем явно задачу, сопряженную к задаче граничного анализа (5.12) — (5.13), что позволит нам, в частности, получить другое доказательство теоремы 5.1.

Мы должны применить общую схему и. 2.2 и записать задачу ^L в виде (2.26). Возьмем с этой целью в качестве пространства V пространство W, введенное выше в (5.15):

W = (у е у/' (Q)3, div v = 0, у = 0 на Го};

пусть, далее, V* — пространство, сопряженное к W, а у* = у = /;2 (Q. £D). положим X=eD. функции F и G выберем следующим образом: положим F(y)=0, если L(y)= 1, и F(y)= + °° в противном случае для любого у из V и положим

G (р) = (р) = J ipoo (р) dx£2

для любого р из У. Тогда задача ^Ль ((5.12), (5.13)) совпадает с задачей (2.26). Чтобы определить сопряженную к ней задачу (2.27), мы должны вычислить F* и G*. Что касается функции G*, то вследствие предложения 2.5 имеем

G* (р) = ipl (р) dx Vр е У* — Y,

т. е.

сюсюесли p^^KD для почти всех х из й, в противном случае.

сю

сю

Вычисление F* более сложно. Установим следующий

результат..

Лемма 5.2. Для любого р из Y* = Y = L2(ДР, Е°)

— X, если существуют такие p0eL2(Q) '| div ст + X/ = О в 52,

F* (Л*р) =F* (Л*р) =и XsR, что 1 av = ^8 на Гр

F* (Л*р) =

F* (Л*р) =

I о = — Ро1 — р;

+ оо в противном случае..

Примем это утверждение па некоторое время; тогда мы можем с помощью (2.27) явно определить задачу ^дь- Она имеет вид

snp{X},(5.27)

О

где верхняя грань берется по всем о = —ро! — р = е Z?(Q; 5), для которых существует такое XeR. что

div о + X/ = О в Q, ov = Xg па ГР(5.28)

cD^e.KD для почти всех ж е Q.

Функция о удовлетворяет условиям (5.28) тогда и только тогда, когда о допустима для задачи 9\ (см. (4.38) и замечание 4.5); таким образом, задача ^дь приводит к верхней грани таких X, для которых ^х имеет допустимые функции о.■

Легко установить связь между задачами ^al и 9 м2- конечно, inf 9Al g R, поскольку это число неотрицательно; с другой стороны, функция G непрерывна в каждой точке пространства У, условие (2.29) выполняется (для любой такой точки п° пространства W, что L(u°) = 1), так что можно воспользоваться соотношением (2.30). Таким образом,

inf^L = sup^L (>0)(5.29)

и существует решение задачи .^дь, т. е. для числа X, удовлетворяющего (5.29)—обозначим это число X,— существует функция о, удовлетворяющая условиям (5.28).

Уточним последнее утверждение: при X = X существуют допустимые функции для задачи 9^ а при X > X они не существуют. Сравнивая это наблюдение с замечанием 4.5, мы убеждаемся в том, что X = X, и мы тем самым уточняем результат замечания 4.5: задача ^х имеет допустимые функции о для всех X е [0, X].

Согласно теореме 4.1 (примененной к задаче Э4^ й помощью изучения задачи о напряжениях мы снова получили все утверждения теоремы 5.1, которые были получены там при анализе перемещений.

В заключение докажем лемму 5.2.

Доказательство леммы 5.2. Пусть щ — некоторый элемент пространства И7, удовлетворяющий усло-

91

вию L^vo^ 1. Обозначим через ^ ядро оператора L в пространстве W; тогда функция F представляет собой индикатрису гиперплоскости у0 + ^. Поэтому для вычисления F* мы можем воспользоваться леммой 2.1 (при •о = 0). Мы находим, что

т. о. F*(.v*)=<v*, Уо> при у*е^о и р^^^= +□□ в ос. тальных случаях. Ограничимся элементами и* вида у* = = А*р; тогда условие А*ре^° равносильно (в пашем случае) условию, что <Л*р, у> = 0 для всех таких v е W, что Ау = 0. По элементарной теореме линейной алгебры это выполняется тогда и только тогда, когда линейные формы А*р и L на пространстве W являются линейно зависимыми, т. е. существует такое X ^ В, что А*р + XL = = 0 (в пространстве W", сопряженном к И7).

Таким образом, F*(A*p') = (А*р, vo>, если существует такое X е R, что А*р + XL = 0, и +°° в противном случае.

С помощью доказательства формулы (5.16) мы можем охарактеризовать условие А*р + L — Q в W'. Заменяя L па XL, находим, что это условие может быть выражено так:

существует такое p0e£2(Q),

что функция а = —pj — р удовлетворяет

условию div о + Xf = 0 в £2,

ov = Xg в Гь (5.30)

При A*p+XL = 0 получаем, что <А*р, уо> = = —ХЛ(но) = —X (по определению но). Отсюда заключаем, что F*(_A*p') равно — X, если условие (5.30) выполняется, и равно +°° в противном случае. Лемма 5.2 доказана.

Ослабление граничных условий

Как мы уже говорили выше, мы не можем доказать в общем случае существование решения для задачи о перемещениях 5s (см. (4.16)). Впрочем, с точки зрения механики существование решения задачи ^ выглядит исключением, поскольку наблюдаемое нами поле перемещений может осуществить разрывы на поверхности и даже разрывы на границе, если явление пластичности имеет место па границе: в этом случае на всем Го или

его части граничное условие и = и0 нс будет выполняться. Ясно, что в этом случае вариационный принцип (4.16) соответствует отысканию решения и в некотором слишком узком классе функций, и он не может рассматриваться как явление механической природы.

В этом параграфе мы опишем первый шаг к расширению вариационного принципа (4.16): мы частично ослабим граничные условия. Мы введем новую вариационную задачу ^1%, обобщающую первоначальную задачу 9,— в этой задаче 991 граничные условия на Го частично уничтожаются. Эту новую задачу, видимо, можно принять с учетом явлений пластичности на всем Го или его части). Здесь паше исследование состоит, во-первых, в описании задачи 99 (п. 6.1), затем в определении ее двойственной задачи (и. 6.2) и в изучении ее связей с первоначальной задачей (п. 6.3).

В гл. II мы осуществим второй шаг по расширению задачи 9, и па этот раз и задача 99 будет, в свою очередь, расширена.

Ослабленная задача. Ослабленная задача требует обращения к функции тр», введенной в (5.2), которая сводится на ED к опорной функции множества KD (в пространстве £°):

^(^)- sup ^V VsDe£d (6.1)

С другой стороны, для це(£'(Г))3 (или р е(£*(Го))3) определим па Г (соответственно Го) тензор ЕГ^р) с элементами

^(г)=4^ + ^)> ^7 = 1,2,3 29), (6.2)

где v< суть компоненты вектора v — единичного вектора внешней нормали к поверхности Г. Обозначим также через ^"(р) девиацию тензора 9'(р'), элементы которой, таким образом, равны

^(р) = ^и(р)^/М;.(6.3)

Тогда ослабленная задача 991 записывается в виде

inf (8 (к)) + J т^ (^D (ь v^ dT-L (у)L (6.4)

где нижняя грань берется по множеству

{у е (Я1 (й) )3, им = uov на Го). (6.5)

Обозначим через 'уДи?) (или н\) касательную составляющую (относительно поверхности Г) вектора иг.

'■1Ди)')= и;., = w — (wm)m.

По сравнению с задачей 9 граничное условие в задаче 991 ослаблено: это условие имеет вид им = иом на Го вместо старого условия и = ио на Го; но, с другой стороны, в функционал, подлежащий минимизации, добавляется слагаемое

^o=(9"D(u0-vj)dT.(6.6)

го

Если мы заметим, что эта величина обращается в нуль при условии, что и = ио на Го (ф<»(0) = 0 согласно (5.3)) и что множество (6.5) содержит множество ^а, то мы заключаем отсюда, что задача 991 есть расширение задачи 9\ в задаче 991 мы минимизируем тот же функционал, но на большем множестве. В частности, имеем

inf 991 X inf 9.(6.7)

Ниже мы увидим, что на самом деле в (6.7) имеет место равенство.

Задача, двойственная к ослабленной задаче. Чтобы определить задачу, двойственную к 99, мы, как и в предыдущих разделах, должны воспользоваться общей схемой и. 2.2. Чтобы записать нашу задачу в виде (2.35), положим V = tJT (й))3, У=У1ХУгХУз, где У] = Ь2(Й), Уг = Г-2(Й; ED), как и в § 4, в то время как

Уз = {^е£2(Г0)3, дм = 0 па Го}. (6.8)

Оператор Л имеет вид Ai X Аг X Аз, где Ai = div и Аг = = еп, как и в задаче 9, в то время как для veil!1 (Й))3 полагаем Азу равным касательной составляющей (к Го) следа вектор-функции и па поверхности Г; тогда Аз непрерывен на V (как отображение V в Уз) по теореме о следе (1.22).

Функции F и G выбираются следующим образом. Положим для любого v е V

W =W =— L (у), если yv = uov на Го, 4-оо в противном случае;

W =

W =

положим также для любого р = (Pi, р2, Рз)е У G (р) = Gy (pj 4- G^ {р^ 4- G3 (р3), Gi (Pi) - J ^PiY Ax^PieYy,

£2

G2 (P2) = J t (p2) AxVp2 e У2,

Q

G3 (Рз) = J ^00 (^V ((u0)T — p3)) dr Ур3еУ3.

1 0

Пусть V* — пространство, сопряженное к V, а У* положим равным У. Все условия, требуемые в п. 2.2, оказываются выполненными, и задача (6.4), (6.5) тогда полностью совпадает с задачей (2.35). Чтобы определить двойственную задачу, вычислим функции F* и G*. Для G* имеем

который мы дока-который мы дока-G* (р) ---- G* (Р,) -1" G* (Р2) + G*3 (Рз) Vp - (рп р2, р3) Е У, причем вычисление G* и G* уже проведено в § 4. Вычисление G3 сложно, и мы его отложим; наконец, для

который мы дока-

который мы дока-

F* справедлив следующий результат, жем ниже, в и. 6.3.

diver4- / = 0 в Q, ov = g на 1\, Рз = (ov)T на Го,diver4- / = 0 в Q, ov = g на 1\, Рз = (ov)T на Го,Лемма 6.1. Для любого р из У

diver4- / = 0 в Q, ov = g на 1\, Рз = (ov)T на Го,

diver4- / = 0 в Q, ov = g на 1\, Рз = (ov)T на Го,

/7* (Д*р) =/7* (Д*р) =[ (Рзыог — (uv) ы0) А1\ если г»

/7* (Д*р) =

/7* (Д*р) =

в противном случае,

где использовано обозначение о = ~рД — р2.

Тогда мы можем следующим образом сформулировать задачу ^52*, соответствующую (2.36):

sup I — -у(а, а) — G* (—>3) — J (р3м0т — (av) zz0) di ,

(6.9)

где орД — рг, и верхняя грань берется по множеству

всех р, удовлетворяющих следующим условиям:

Р = (Ри Р2, Рз^ Y, .

div о + / = 0 в й,

ov = g на Гь(6.10)

.о° (ж) е KD для почти всех ж е Q,

P3 = (ov)T на Го.

Выражение в задаче 5^* не выписано явно полностью, поскольку мы не вычислили G3; вообще говоря, ^з(—Рз) довольно сложно, по в п. 6.3 (см. лемму 6.3) мы установим, что если P3 = (ov)T, где р и о = —р\1 — рг удовлетворяют условиям (6.10), то справедливо соотношение

^з ( Рз) = J Рзиот ^Г.(6.11)

При этих условиях величина рз совершенно исчезает из задачи (6.9), (6.10), которая становится равносильной задаче (4.29) — (4.30) (и даже совпадает с ней). Это наблюдение позволит нам сравнить задачи 5s и 5^.

Взаимоотношения с исходной задачей. Справедлива ■

Теорема 6.1. i) Задачи 9* и 99* совпадают; задачи 9 и 99 имеют одну и ту же двойственную задачу;

И) inf 9 = inf 99 = sup 9* = sup 99* (eRU {+<»});

любая минимизирующая последовательность для задачи 9 является также минимизирующей для задачи 99;.

если число в ii) конечно (> — °°), то задачи 9* и 99* имеют единственное решение а, являющееся тензором напряжений рассматриваемой задачи.

Доказательство. Будем считать, что соотношение (6.11) выполняется (мы докажем его позже). Как мы уже заметили, отсюда следует, что задачи 9* и 99* совпадают, и, по теореме 4.1, имеем

inf 9 = sup 9* = sup 99*.(6.12)

Для завершения доказательства ii) нам нужно установить еще одно соотношение:

inf 99* = sup 99*.(6.13)

Это соотношение, очевидно, следует из (6.7) и (6.12), если sup 99* = — оо. Если же sup 99* > — оо, то и inf 99 > — оо вследствие (2.28), и тогда (6.13) будет сле-

девать из (2.30), если мы покажем, что выполняется соотношение (2.29). Для проверки соотношения (2.29) заметим, что G всюду конечна и непрерывна на Y: это уже отмечено выше для Gi и Ga, и для Gs это следует из неравенств (5.4) и из предложения 2.4, из которого получаем, что (выпуклая) функция

q [ Ф= (^"Dq) <5Г•

г0

всюду конечна и непрерывна па (ГЦГо))3 и, следовательно, на Уз. Таким образом, можно добиться выполнения условия (2.29) для it0 = hq.

Это доказывает И); тогда ш) и iv) очевидны.

Замечание 6.1. Пам не удалось найти явного описания задачи З^ ((6.4), (6.5)) в литературе по механике. Ее, должно быть, можно получить, применяя теорему о виртуальных мощностях (см., например, [49, 50]) в предположении наличия пластификации на всем Го или его части.

Тем не менее (см. [144]) теорема 6.1 показывает, что задача З^З^, является допустимым (с точки зрения механики) расширением исходной задачи Генки:

нижняя грань (дающая энергию) остается той же;

двойственная задача (дающая тензор напряжений) остается неизменной.

В заключение докажем лемму 6.1 и соотношение (6.11).

Доказательство леммы 6.1. Применим лемму 2.1; функция F имеет требуемый вид, где к0 ~ — ^ ПО = ИО и

^ = {уе(Я1(Й))3, nv = 0 на Го). (6.14)

Из леммы 2.1 получаем, что

F* (Л*р) = <Л*р + L, мо>(6.15)

. при условии, что

<Л*р-|- L, и} = 0 Упе^,(6.16)

и F* (Л*р) = +°° в противном случае.

Условие (6.16) можно записать в виде

J (рг div и -Г p2eD (к) + /п) dx + ^ p3vT dV фог„

+ ^gndr=^O Упе^. (6.17)

Для преобразования соотношений (6.16), (6.17) напишем сначала это условие для к е (^^ .Q))3, вводя обозначение a ——pj — рг: получим

— J ИуУу dx + ^ fv (lx = 0 Vl'E'g'g6^)3,й й

что равносильно соотношению

div а + / = 0 в Q.(6.18)

Если р (и а) удовлетворяет соотношению (6.18), то ае//(9; Е), div о ^ L2(Q), и мы можем применить обобщенную формулу Грина (1.51), которая позволяет переписать условие (6.17) в виде

— J (av) v dT + J p3vx dT [ gv dr = 0 Vl-e^. (6.19)

Гro

Отсюда следует, что

■'Ps = (ov)t па Го,(6.20)

g = av на Гь(6.21)

Обратпо, легко видеть, что если р (и а) удовлетворяет условиям (6.20), (6.21), то соотношение (6.19) выполняется для любого такого ке(®”(Q))3, у которого нормальная составляющая обращается в нуль в окрестности Го. Согласно приводимой ниже лемме 6.2 это множество функций плотно в Х и поэтому соотношение (6.19) выполняется по непрерывности). Таким образом, условия (6.18), (6.20), (6.21) равносильны условию (6.16).

Если эти условия выполнены, то мы можем снова воспользоваться обобщенной формулой Грина (1.51) и преобразовать выражение (6.15) для F* (Л*р) следующим

образом:

F* (Л*р) = <Л*р + L, и0> =

= — J а^еу (»0) dx |- [ fu0 & + J p3u0TcZr + j gu0 dT = уerori

= $(Рзиот — ^Ug^dV.

Тем самым лемма 6.1 доказана.

Лемма 6.2. Множество таких функций и из (^(й))3, у которых нормальная составляющая обращается в нуль в окрестности Го, плотно в множестве $, определяемом в (6.14).

Доказательство. Введем в любой точке х поверхности Г ортопормированный базис тц тг, v, состоящий из двух касательных векторов тц тг и единичного вектора внешней нормали v. Так как й принадлежит классу ’В’2, то можно продолжить эти векторные поля Т[, тз, v, определенные на Г, до векторных полей (всегда ортонормировапных) класса ?’2, определенных в некоторой открытой окрестности О множества Г.

Используя разложение единицы, подчиненное покрытию множества Й открытыми множествами О и Й, мы можем ограничиться функциями из семейства .55 с компактным носителем, содержащимся в О. Такая функция записывается в виде

у = ат] + Ът^ + cv,

где а, Ь, с принадлежат Я'(Й), причем с = 0 на Го. Согласно (1.19) функции а и b являются пределами в пространстве Я1 (й) последовательностей функций из ^“(й), скажем, ат и Ъ™. Согласно (2.106) функция с является пределом в пространстве 11х (Й) последовательности функций ст из ^“(Й), равных нулю в окрестности множества Го. Последовательность vm = amx + Ътт2 + cmv имеет тре-

буемые свойства и сходится к у в пространстве (Я‘(й))3. Докажем, наконец, равенство (6.11).

Лемма 6.3. Если аеУф!; Е), сНуо^Я2(й) и

(6.22)(6.22)о°(ж)еЯ" для почти всех х из й, то G3 (— (°v)t) = f (<JV)T мот dr.

(6.22)

(6.22)

Го

Доказательство, i) По определению G3 имеем

сз (— Рз) = supРзеУзсз (— Рз) = supРзеУз^ РзРз ^ J ''рос (^ (^от РзЙ ^ ^

сз (— Рз) = sup

РзеУз

сз (— Рз) = sup

РзеУз

Д> г0I

или, полагая Дз = мот — 5, где q е У3] видим, что

G* (— Рз) = — f Р^от dr + SUP | ( РзЧ ^Г — f трос (^“q) ^Г1.

Соотношение (6.22) будет доказано (Ps = (ov)T), если мы покажем, что последняя верхняя грань, которая заведомо неположительна, на самом дело равна нулю, т. е. покажем, что

[ p3q cZF — J ^оо ^TDq) dV ^ 0(6.23)

r0

выполняется для всех таких 5 е(£2(Г0))3, что qv = О на Го. Для доказательства неравенства (6.23) будет достаточно доказать, что

p3q-^»^Dq^0(6.24)

почти всюду на Го, если q е у3, а рз = (av)t, где а удовлетворяет всем предположениям леммы. Сейчас мы установим справедливость (6.24); сначала мы предположим, что о удовлетворяет более сильным требованиям регу

лярности, чем в предыдущих условиях.

Докажем, что (6.24) выполняется, если о удовлет

воряет всем условиям леммы и, кроме того, oe^Q; £). Тогда, вследствие непрерывности, имеем а^х^К1’ для всех х е Го. С другой стороны, используя в каждой точке 1:еГо ортонормированный базис ej, е2, ез с ез = х, видим, что в точке х выполняются соотношения. рз = ((?з)ь (Рз)г, 0), q = (51, ^2, 0),

^d(5) =^d(5) =ОО _?1/2ОО _?1/2о ч^О ?а/2 , ?2/20 _о ч^О ?а/2 , ?2/20 _(6.25)(6.25)P3q=<^Tq = GDTDVqYP3q=<^Tq = GDTDVqY(6.26)(6.26)

^d(5) =

^d(5) =

О

О _?1/2

О

О _?1/2

о ч^

О ?а/2 , ?2/20 _

о ч^

О ?а/2 , ?2/20 _

(6.25)

(6.25)

P3q=<^Tq = GDTDVqY

P3q=<^Tq = GDTDVqY

(6.26)

(6.26)

Число, стоящее в левой части (6.24), равно

odSTd(5)-i|)„ ^Dq),

а это число неположительно, что сразу следует из определения $« и того факта, что oD (а:) е KD.

100

Сейчас мы с помощью приближения получим желаемый результат и в случае, когда о ие обладает дополнительной регулярностью.

Согласно результату об аппроксимации, устанавливаемому ниже в гл. П), для любой точки же Г существует такая открытая окрестность О, в которой можно приблизить <7 последовательностью функций ст е ^~ (О Г) £>; Е), причем a^x)eKD для всех х е О П Q, и при m°о

□т -> о, div от -> div о

в Л2(ОПЙ; Е^ и (L2(ODQ))3 соответственно. На Го П О неравенство (6.24) выполняется (для ps = (omv)T), и для получения нужного результата для о (па Го П О') достаточно убедиться, что (omv)T сходится в подходящем смысле. Из алгебраических соотношений, относящихся к установлению нашего результата на шаге ii), можно видеть, что в любой точке же Г выполняются соотношения

(OmV')T " - (<7mv)T, (O'Vjx ' ~ (o^V)T.

Следовательно, последовательность функций (omv)T ограничена в (Л“(ГоПО))3 (так как множество KD ограничено), и, так как они сходятся к (ov)T в (Я~1/2(Го П О))3 по теореме о следе, мы заключаем, что зта сходимость имеет место также и в пространстве (Л” (Го П О))3, снабженном слабой* топологией; тогда неравенство (6.24), справедливое па Го П О для всех □„, остается, таким образом, справедливым также и для о на Го П О.

Лемма доказана.

Замечание 6.2. Согласно (6.25) имеем

|^в(9(ж))|=^=|д(ж)|(6.27)

для почти всех ж на Г, где q — касательный вектор к Г.

ГЛАВА II

РЕШЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧВ ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙС КОНЕЧНОЙ ЭНЕРГИЕЙ

■ Введение

Как мы уже видели в гл. I, у нас мало надежды получить решение задачи о перемещениях (см. (4.16) гл. 1) в пространстве Соболева (Я1 (й))3, как и в пространстве (Й'^Цй))3: одна из возникающих при этом математических трудностей состоит в том, что априорные оценки, которые мы получаем для минимизирующей последовательности (см. (4.21), (4.22)), не обеспечивают достаточных условий компактности для этих последовательностей.

Цель настоящей главы — доказать существование решения задачи о перемещениях в более широком пространстве функций, и, по аналогии с другими задачами вариационного исчисления, мы будем заниматься классом всех функций с конечной энергией. Это математическое понятие подлежит уточнению, но можно представить себе его с помощью следующего вопроса, уже упомянутого во введении к нашей книге.

Рассмотрим последовательность регулярных функций ит (скажем, ит е (^' (й) )3Ц сходящихся равномерно к функции и (из (^(й))3) и таких, что их энергия деформации

XF (е (um)) = J тЩе (um)) dx ^

остается ограниченной. Какую дополнительную информацию можно тогда получить относительно функции и?

Ответ па этот вопрос приводит пас к изучению пространства ВЯ(Й), которое было введено в [91] и [123] (см. также [96]) и изучено затем в [143, 145, 138— 140]. Существенная часть настоящей главы посвящена изучению этого пространства (§ 2, 3). Этому изучению 102

предшествует § 1 с различными дополнительными сведениями о пространстве LD(£1) (уже введенном в гл. 1); это пространство сходно с пространством 5D(Q), но не обладает рядом его наиболее важных свойств, в частности, свойством слабой компактности ограниченных замкнутых множеств.' Тем не менее нам показалось более удобным привести в случае пространства Ы)(Л^ некоторые общие свойства пространств ЬЩ£1) и BD(Q); это сделано в § 1. В § 2, 3 содержатся результаты о пространстве 5D(Q), в частности, наиболее важные результаты, приведенные в теоремах 2.1—2.4, которые требуют техники, напоминающей технику теории пространств Соболева, по в то же время и отличающейся от нее во многих существенных отношениях. Отметим также результаты о приближении в теоремах 3.2—3.4, необходимые для дальнейшего. Наконец, слабая компактность ограниченных замкнутых множеств в BD(Q) позволяет легко ответить па поставленный выше вопрос (*).

Далее, § 4, 5 посвящены изучению выпуклых функций от мер: если / — выпуклая функция с не более чем лилейным ростом па бесконечности, удовлетворяющая некоторым другим условиям технического характера, и если р — ограниченная мера, то можно определить ограниченную меру, обозначаемую /(ц), которая совпадает с мерой f ° h dx, если мера ц определяется плотностью Л, т. е. является функцией (так что ц = h dx^. Эти функции мер, изученные в § 4, позволяют нам в § 5 под новым углом зрения приступить к изучению выпуклых функционалов от мер (которые являются выпуклыми отображениями пространства ограниченных мер в R или RU {+оо})_ В § 5 содержатся также различные полезные достижения, связанные с аппроксимацией выпуклых функции от мер.

Цель § 1 — 5 состоит в том, чтобы ввести необходимые технические средства изучения задачи об обобщенных перемещениях. Начиная с § G мы возвращаемся к изучению этой задачи, намеченной в § 4, 6 гл. I. В § 6 мы даем обобщенную форму задачи о перемещениях, использующую введенные в предыдущих параграфах понятия: эта задача $ является расширением задачи З1®. из § 6 гл. I, которая, в свою очередь, является расширением задачи 5s из § 4 гл. I. Следующий § 7 посвящен изучению двойственности между задачей об обобщенных перемещениях и задачей о напряжениях, которая уже появлялась в § 4, G гл. I: при этом возникает ряд труд-

постой, так как произведение ое(н) не может быть автоматически определено, когда о — тензор допустимых напряжений (ае/.цО; £)), а и — поле допустимых перемещений (ме5Д(Й)).

Последний § 8 содержит основной результат гл. II: в нем приводится теорема о существовании решения задачи об обобщенных перемещениях и соотношения между этим решением и полем напряжений.

Дополнительные сведения о пространстве LD(£1)

Сейчас мы изучим свойства пространства LD^tt'), введенного в гл. I (см. (1.71) гл. 1). Мы установим, в частности, четыре основных результата:

.i) теорему о следе: если u<=Z79(Q), то ее след на Г определен и принадлежит (//(Г))";

результат о вложении в пространство Lp (типа теорем вложения для пространств Соболева);

результат о регулярности;

результат о компактности (компактность оператора вложения LD(Q) в некоторые пространства Lp).

Результаты i), ii), iv) выглядят результатами, аналогичными соответствующим утверждениям теории пространств Соболева, хотя их и нельзя непосредственно вывести из этой теории: пространство Ll)(Q) сходно с пространством (WJ(Q))", которое является подпространством в Л£>(й), но LD (Й) + (IP1'1 (Q))", так как неравенство Кориа не выполняется в L1, как мы уже указывали в гл. I. Тем не менее результаты i) и ii)—такие, как будто бы Ы)^) совпадает с (IP11 (Q))".

После нескольких замечаний об операторе деформации в и. 1.1 мы сформулируем основные результаты в и. 1.2 и дадим там различные приложения. Результаты i)—iv) последовательно доказываются затем в пн. 1.3— 1.6. Чтение их доказательств не является необходимым для понимания дальнейшего изложения. Исследование проводится в пространстве произвольной размерности и, поскольку ни к каким дополнительным трудностям это нс приводит.

Некоторые свойства оператора деформации. Предположим, что Q — (связная) ограниченная (открытая) область в R”, и ^ 2.

Напомним, что если н=(щ, и2, ..., щ,)—функция из R" в R , то тензор ее деформаций е (и) есть тензор по- 104 "

рядка 2, компоненты которого в каноническом базисе в В" имеют вид

/ ди, ди- \

•(1.1)

и х '2 1 дх^ 1 дх^ Iх '

Обозначим через 91 ядро оператора е в произвольном пространстве, содержащемся между ^^ (Й))п и пространством (^'(Й))” векторных обобщенных функций па й (см. § 1 гл. I); пространство 91 образовано функциями и вида

w(z) = a + Bz,(1-2)

где а е В", В — антисимметричная матрица и X и, а при и = 3 — функциями вида

и^ — а + b Д х,(1.3)

где а, Ъ е R3 (см. лемму 1.1 гл. I).

Следующий результат позволяет охарактеризовать образ оператора е.

Предложение 1.1. Пусть Ец= Ец — семейство обобщенных функций на й; е«г0'(й) (i, / = 1, 2,..., п).

Тогда следующие условия равносильны-.

существует такая обобщенная функция и г е(0'(Q))", что

л / ди, ди . \

=4i,y,(1.4)

для любого семейства ф)ункций <р^ е ^У^ (й))п (i, / = 1, 2, ..., и), удовлетворяющего условиям

2^ = °’(1.5)

7=1 имеем п

Дгг <М = 0.

5,7=1

Это предложение вытекает из более общих топологических результатов (см. [НО])1). Прямое доказательство приведено в [98].

*) Подобный результат, используемый в теории уравнений Навье — Стокса, позволяет охарактеризовать обобщенные функции, являющиеся градиентами; см. [ПО] или, например, [134, предложение 1.1 гл. I].

Из этого результата следует, что если последовательность ит обладает тем свойством, что е^(н,п) сходится в очень слабом смысле (например, в смысле обобщенных функций) к пределу By-e^^Q), то существует такая обобщенная функция ке(5)'(й))", что ву = еу(н) U, 7 = 1, 2, ..., и).

Формулировки основных результатов и приложения. Напомним определение пространства LZ)(Q), данное в (1.71) гл. I:

LD(Q)= {u е L'(Q)n, еу(и)ЕЛ‘(Й), i, j = 1, 2, ..., пк (1.6)

Легко видеть, что это пространство является банаховым относительно естественной нормы

п

II и |ъп(щ = II и ||Ll(£2)n + 2 Ьц(“)^(д).(I-7)

г J—1

Мы уже отмечали, что это пространство отлично от содержащегося в нем пространства IV^^Q), поскольку в пространстве L1 не выполняется неравенство Корна: вследствие контрпримера Орнштейна [107] (для п = 2) существуют такие ueLD^l^ у которых не все первые частные производные являются суммируемыми функциями. С другой стороны, в качестве частного случая пред- ложеппя 1.3 гл. 1 получаем, что.

(^“(Й))” плотно в LD^.(1.8)

Предположим, что

открытое множество Q принадлежит классу 48х, (1.9) и тогда получаем: '

Теорема 1.1 (теорема о следе). Существует такой сюръективный непрерывный линейный оператор 7 о из LS)(Q) в (ГЦГ))", что

Чо(и)=ик для всех не LD (Й)ПС?2 (Q))". (1.10)

Кроме того, для любых i, j и для любого ф e'g’^Q) имеет место обобщенная формула Грина'

4 J "Sr 'I" из ) dx + f dx =

= ,f (To W) ^Г, (i-И) г

где ST ц— оператор, определенный в (6.2) гл. I.

106

Теорема 1.2 (теорема вложения Соболева). Пространство LD^^ вкладывается — и оператор вложения непрерывен — в пространство (£п* (й))п, г^е I п* = п! (и — 1) .

Теорема 1.3 (теорема о регулярности). Если и еЦ2У (fi))n и если ey(z/)eL1(Q) Эля всех i, i = = 1, 2, ..., п, то и есть функция из (^‘(Q))”.

Теорема 1.4 (теорема о компактности). Вложение LD^Q} в (Lp(И))" компактно для любого р, удовлетворяющего условиям 1^р<п* = п/(п— 1).

Эти теоремы будут доказаны ниже в пи. 1.3—1.6. Мы сейчас выведем из них некоторые следствия.

Предложение 1.2. На факторпространстве LS>(Q)/1% выражение

.2 II ^ij W ИгДы)" i J—1.2 II ^ij W ИгДы)" i J—1(1.12)(1.12)

.2 II ^ij W ИгДы)" i J—1

.2 II ^ij W ИгДы)" i J—1

(1.12)

(1.12)

индуцирует норму, эквивалентную норме, индуцированной пространством LD(Q.).

Доказательство. Ясно, что выражение (1.12) определяет на LD(Q)I&1 норму, мажорируемую нормой, индуцированной пространством ЛУ(Й). По теореме о замкнутом графике предложение будет доказано, если мы установим, что LD^^ISl полно относительно нормы, связанной с (1.12).

Предположим поэтому, что йт—последовательность в L79(Q)/5?, являющаяся последовательностью Конги относительно (1.12), и пусть Нт — представитель йт в пространстве LD(Q) (itmeim). Тогда имеем

2 || eij (^та^) ll^i/Qj =i,;=i■2 || eij (^та^) ll^i/Qj =i,;=i■inf 2 lleij^m —^)lUm. .' KJ—1rm^uminf 2 lleij^m —^)lUm. .' KJ—1rm^um

2 || eij (^та^) ll^i/Qj =

i,;=i■

2 || eij (^та^) ll^i/Qj =

i,;=i■

inf 2 lleij^m —^)lUm

. .' KJ—1

rm^um

inf 2 lleij^m —^)lUm

. .' KJ—1

rm^um

vkGtik

и для любых i и у последовательность ₽у(ит) есть последовательность Копти в L'(Q), которая, следовательно, сходится в этом пространстве к некоторому пределу 5У. Согласно предложению 1.1 существует обобщенная функция и е (S)' (Q) у\ удовлетворяющая условиям еу = еу(м) для всех i, j. Наконец, из теоремы о регулярности (теоремы 1.3) следует, что и е Ц? (Q))", так что и е ЕЩОу п легко проверить, что класс йт сходится к классу й в LDyiy^ относительно нормы, определяемой формулой (1.12).

Предложение 1.3. Для любого u^LD(Q) существует такой элемент г—г{и)^$., что

Wu — r'^Q^c^Q) 2 ки(“) 11^(0)’(1ЛЗ)

KJ—1

где постоянная ci зависит только от Й.

Доказательство. По определению нормы в 1ЛДйМ91 имеем

inf || и — t|!ld(s>) = IMk^W 0-14)

Согласно предложению 1.2 существует такая постоянная ci, зависящая только от области й, что

inf || и — г ||LD(Q) < с, (й) 2 ккМИгДщ (1115)

для всех и из ЕЩй'). Так как пространство 91 конечномерно, то нижняя грань в (1.15) достигается: существует такой элемент г(м)е 9L, что

|| U — г (и) ||LD(Q) = inf || и — г ||г.о(й).

Tegt

Предложение 1Л. Если р — непрерывная полунорма на LD(Q), являющаяся нормой на 91 ^так что из условий р^и^О, и е 91 следует, что и = 0), то выражение

И“)|- 2 кгД^Иь’щ)(1Л6)

г,3=1

является нормой на LD^Q^, эквивалентной исходной норме.

Доказательство. Из сделанных нами предположений следует, что (1.16) определяет норму на LD(ti'), мажорируемую исходной нормой на £0(Й) (так как р(и') ^ cWu^ для всех и). Предложение будет следовать из теоремы о замкнутом графике, если мы покажем, что пространство ££>(й) полно относительно нормы (1.16).

Пусть тогда ит — последовательность Коши относительно (1.16). Последовательность ev(i/m) для любых i и j является последовательностью Коши в £’(й); эта последовательность сходится в £'(й) к некоторому элементу §,; и, согласно предложению 1.1, существует такой 108

элемент иеДЗУ^УД что ^>j = efj(u) для всех i, /. Из теоремы о регулярности (теорема 1.3) следует, что не^Цй))”, так что usLD^, и гцУт — к) сходится к нулю в Л*(й) для всех i, j.

Вследствие предложения 1.3 мы видим, что для любого т существует такой элемент rm = гт(ит —- iz)e St, что последовательность ит — и — гт сходится к нулю в LD(Qy Используя неравенство рУт—Г^^р^— Um + u)+ р(ит — иУ+ p{Uh-U- гД , мы видим, что р(гт— г„)-> 0, если т и к стремятся к 00 (p(um—щ)-* О, так как ит есть последовательность Коши относительно (1.16)). Это означает, что гт—последовательность Коши в й и потому сходится к некоторому пределу г, так что um сходится к и + r в LD^y

Замечание 1.1. i) Объединяя предложение 1.3 и теорему 1.2, мы находим, конечно, что для любого iteLD(Q) существует такой элемент г = г(и^е Й, что

п

h —гМ1и*(й)"<с2(й) 2 lleijMLw (i.i7)

Отображение u -> r(u) можно устроить так, чтобы оно было линейным (и потому непрерывным); Кон дал в [70] явное построение такого отображения г (и).

Более общим образом, мы можем получить такой оператор г с помощью следующего процесса: зададимся базисом ini, w^, ..., wM, где пространство Я предполагается М-мерным, и такими непрерывными линейными формами 01, 02, ..., О», па LD^y, что <0,, щ> = б« для всех i, j. Тогда можно положить

м г (и) = 2 <9ц и) юг(1.18)

Например, в размерности 3 (где М =6), предполагая для простоты, что 0 есть центр тяжести Й1^ж& —0], мы можем взять Wi = et, wi+3 = щ Дх (г = 1, 2, 3), где щ, е^ ез — канонический базис в R3; тогда можно взять 0; (и) = | (21-1 ^Uj y)dx (t = l, 2, 3) Л Q | = = j ^Y a 04(w), 0s(h), 0g(u) положить равными ком- нонептам 70 1 ^ х Д и (х) dx, где /о — линейный оператор й

(тензор инерции Й в точке 0), определенный формулой6 е R3^ [ ж Д (6 Д ж) dx е R3.

Замечание 1.2. i) В предложении 1.4 в качестве р(и) можно взять любую норму (в Я) элемента г (и). Более интересен другой пример, в котором Го — непустое открытое подмножество Г; а именно, можно взять

р (и) = [ | и (ж) | dx.р (и) = [ | и (ж) | dx.(1.19)(1.19)

р (и) = [ | и (ж) | dx.

р (и) = [ | и (ж) | dx.

(1.19)

(1.19)

(Здесь используется теорема о следе — теорема 1.1.)

ii) Из предложения 1.4 следует неравенство типа Пуанкаре: в условиях этого предложения

существует такая постоянная с = с(й), что

(1.20)(1.20)

(1.20)

(1.20)

для всех и из пространства

{у eLD^, р(у)=0).(1.21)

п

В частности, 2 II ец (“) |!;Ло) есть норма па ирост- ранстве (1.21), эквивалентная норме, определяемой LD^.

Доказательство теоремы 1.1. Так как Г ограничено, то для определения следа 7о(м) достаточно определить его в некоторой окрестности каждой точки у множества Г.

Пусть у g Г. Так как по крайней мере одна из компонент вектора х(у) отлична от пуля, то мы можем предполагать, что v„(y)>0. Тогда мы рассмотрим ок- рестпость 2 точки у в Г, допускающую представление вида

2 = {(л/, z„), х’ е О, хп = а(х'}}, (1-22)

где х = (х\, х2, ..., z„-.i), О—ограниченное открытое множество B_Rn~1 и а—функция класса <6'\ положительная па О. Мы можем предполагать также, что

inf vn (ж) = рг > 0. (1.23) хе 2

Для малых а > О, О < а < ац введем множества

Еа = {(я', ж»), х'^О, х„ = «(ж') — а),(1-24)

^а = {(s', ж»), ж' е О, а(х') — а < хп < «(z')} (1.25)

(см. рис. 1.1).

Наша первая цель — определить след и„ на 2. Изме

няя н„ при необходимости на множестве меры нуль, мы можем считать, что для почти всех ж' из О функция

s нп (ж', s) абсолютно непрерывна для s е (а(х' — ai),

а (ж')), и для 0 < a < a' < ао

ai имеем

мп (У, а (ж') — а') -- ип (х',

а(.т')—а'

С Ои-П

а (ж ) — а) +(x,s)ds.

J (/Лп

а(х')—а

(1.26)

Мы можем записать ото равенство в следующем виде:

о(х')—а'

ga'U) — ga (ж) =— (x,s)ds, хе 2, (1.27)

. a(x')-a n

полагая

(1.28)(1.28)ga(x) = ип(х', a(x') — a)

(1.28)

(1.28)

для почти всех x=(x', zn)sL Интегрируя ио 2, видим, что

(a(x')—а'(a(x')—а'откуда получаем, чтооткуда получаем, чтоdx*^п^', а О'))1dx*^п^', а О'))1п(х/)—ап(х/)—аихпихпdx.dx.(1.29)(1.29)

(a(x')—а'

(a(x')—а'

откуда получаем, что

откуда получаем, что

dx*

^п^', а О'))1

dx*

^п^', а О'))1

п(х/)—а

п(х/)—а

ихп

ихп

dx.

dx.

(1.29)

(1.29)

Если а и о/ -> 0, то правая часть (1.29) сходится к О, что показывает, что ga есть последовательность Коши в L1^. Пусть g— ее предел в LX^Y, тогда g и будет следом функции м„ на 2. Очевидно, что если и е s Z,D(Q) Л (^(Q))п, то g = u\2. Отображение иg линейно; с другой стороны, полагая a-> 0 в (1.29) и затем

интегрируя по а' от 0 до ао, видим, что

яя9»и9»иdx, (1.30)dx, (1.30)%Р1%Р1

я

я

9»и

9»и

dx, (1.30)

dx, (1.30)

%

Р1

%

Р1

Последнее соотношение показывает, что линейное отображение w -► g непрерывно как отображение LD (^а0) (и, следовательно, LD(Q)) в L!(2).

Аналогично мы можем определить след функции м, в окрестности точки у в Г для любого такого значения i=l, 2, ..., п — 1, что х’Лу^ 0. Если же v,(y) = 0, то можно заметить, что vn(y)+v.^y)0# 0 и, следовательно, Vn + v.^O в некоторой окрестности точки у в 2. Выберем тогда новый ортопормированный базис в R", для которого направление и-го вектора есть е„ + ef. Последняя компонента и в этом базисе есть vn = (и„ + u()/V2. Совершенно так же, как и выше, мы определим след п„ в окрестности 2, точки у, и этот след принадлежит £*(2^. Это позволяет нам определить вычитанием след ut: на 2< Л 2 этот след содержится в Lx (2( Л 2) и зависит от н е LD^^ линейно и непрерывно.

Склеивая, мы видим, что для любого и из Z.D(Q) определен след 7о(гг)е(А1(Г))", причем 70 непрерывно и линейно отображает LD\^ в (А^Г))", и 7о(к)=и|г для всех и е LD (Q)Л(^ (£2))".

Так как (^'(Q))" плотно в LD(Q) согласно (1.8), то 7о есть единственное непрерывное продолжение отображения взятия обычного следа и -^-и |г, определенного па регулярных функциях.

В частности, так как (JEU (£2))" с LD^), то оператор 70 совпадает на (ТУ1-1 (£2))" с оператором следа на этом пространстве, определенным в [48] (см. (1.32) гл. I). Поскольку оператор 70 сюръективен уже на (^’■‘(Q))" как оператор в (А1 (Г))", то он и подавно сюръективен как оператор из LD^Cl) на (L!(r))n.

Чтобы завершить доказательство теоремы 1.1, остается только доказать формулу Грипа_ (1.11). Опа элементарно доказывается, если и е (^] (Q) )п. По непрерывности, вследствие (1.8), опа остается для всех и е eLD^.

Замечание 1.3. Выведем из теоремы 1.1 следующий результат:

существует такой непрерывный линейный оператор П

из LZ)(Q) в LZ)(R"), что Пн (ж) = и(х)

для почти всех ж е Q для любого и gLD(^. (1.31)

Действительно, поскольку 7о(м)е (£* (Г))", то согласно [48] существует такая функция v е (И^11 (R"\Q))", что ее след на Г совпадает с 70(и), и этот оператор восстановления может быть выбран линейным и непрерывным. Тогда легко видеть, что функция 11м, равная м на Q и и на Rn\Q, содержится в LD(R"), причем П — непрерывный линейный оператор из LD^Q) в LD(1V). Умножая и на функцию_ф е ^ (Rn), равную единице в окрестности множества й, мы можем предполагать, что носитель функции 11м содержится в фиксированном компакте (носитель функции Ч1) •

4. Доказательство теоремы 1.2. Вследствие замечания 1.3 достаточно установить требуемый результат для функций из пространства LD(R"), носитель которых содержится в фиксированном компакте2). С помощью регуляризации мы можем ограничиться регулярными функциями, так что в конце концов нужно установить справедливость следующего утверждения:

существует такая постоянная с = с (и), зависящая только от п, что для любой функции не (^(R"))” выполняется неравенство

1Нгп*(н”)п <сМ ^J6^ МНьЧщ) I1-32) для п* = пЦп—1). Доказательство осуществим в несколько шагов.

Пусть а — вектор в R" с компонентами ±1 и пусть п

v = va есть функция ап = 2 ai“i (м ~ данная функция i

Ниже, в § 2, мы дадим другое доказательство теоремы 1.2, не использующее ни замечание 1.3, ни результаты статьи [48].

из (^(Rn))n) • Тогда мы имеем оо

Va.^= J ^^V sa)ds= ^ 2 “i^ ^ (^ “Ь aS) ds

= 2 «гау J Eij (jl) (хas) ds

М=1 -оо

и, вследствие неравенства Коши — Буняковского, получаем, что

|ya(^)|^n J |4 as) | tZs, (1.33)

где, конечно,

!

n1 1 /2

2 |еъ(и)(ж)|2,(1.34)

Рассмотрим векторы ек1 образующие канонический базис в R", и вектор hk = a — акек (/с = 1, 2, ..., п — 1); напишем тогда следующие равенства:

для i + к имеем>

Ui (ж) = ] Мг (я ' г s/г/,) ds = I 2 ajut,j (ж - г $kh) ds;

— ОО—00 ^^l

для i = к имеем

wft (ж) = j Uh,h^ -I- sek)ds.

Отсюда мы получаем, что

Ма(^) = 2 “iMj^) =■

О пО

= J 2 ctjajMij {х 4- shk) ds + J <Х1Дн,к кж + sek) ds =

— ос V^=|—ОО

о пО

= j 2 а^е{; {и) {х 4- sh^ ds + j aheh_k (u) (ж 4- seh) ds.

— 00 !’(—1—00

i,3^h

Для каждого к отсюда следует неравенство, подобное неравенству (1.33):

1МЖ)К«1МЖ)К«+ оо1

1МЖ)К«

1МЖ)К«

| е (и) (ж + sh^ | ds + J | е (м) (ж + se^ | ds

(1.35)

Используя (1.34) и неравенства (1.35) для к = = 1, 2, ..., п — 1, мы можем написать:

va (ж) |пva (ж) |п

va (ж) |п

va (ж) |п

. + 1 е (и) (^ 4- seh) |}ds, I fa (ж) |n/(n-D < n^hn-l) (^ JQ (ж)("-1)У/(П ^ < Cn 2 Та (я),

(1.36) где cn зависит только от re, а о пробегает множество подмножеств набора (1, 2, ..., ге), и для каждого о имеем

'+”п—I +°°

| е (м) (ж + sa) | ds Д I | e(u)(x + shk) | dsX

-ООЙ J

■heo —oo

Чтобы оценить выражения Ia, введем для каждого о базис в Rn, образованный векторами 61, 62, ..., 6„, где 6,- = ht для (Ео, 6i = et для i = 1, 2, ..., re — 1 при i ^ о, и 6„ = а. Обозначим через |i, §2, ..., s« компоненты вектора ж в этом базисе:

пп

i-1i~l

-Тогда, полагая g ^ = g (.^, видим, что

l/(n-l)

аб,) | ds

1а(х)1С^ = Щ j |е(м)(ж

(1.38)

Правая часть равенства (1.38) содержит произведение функций 01, 9г, ..., 9„, где 9, не зависит от ^:

О, Й) = ( J 17(7) (| h s6i) Ш.(1.39)

Согласно приводимой ниже лемме 1.1, имеем

J 7а ^ dx = с (о) J 70 ^ ^ = С (о) j (9, .. . 0n) V(«~D dg < R«RnRn

п/(п—1)п/(п—1)l/(n-l)

п/(п—1)

п/(п—1)

^c(a)!/n(j | e (u) (ж) | dx

где c(o) — (постоянный) якобиан D^jD^.

С учетом этих оценок формула (1.36) дает неравенство

I va(x) |’,dn-i>d^^cn(S^(CT)1/n| J |E(w)h)|d^l

R"4 °' lR")

(1.40)

Мы завершаем доказательство, осуществляя много последовательных выборов вектора а. Например, если а=(1, 1, ..., 1), а затем а = (1, — 1, ..., —1), то из (1.40) следует, что

hi + • • • ф un |IL„*(B) < с || | е (м) | ||Li(Q) , hi — И2 — . . . — Un HLn*(Q) ^ с' || | 8 (u) I ||L1(Q).

Складывая, получаем отсюда, что

hiln»(£2)<c"|||e(u)||^^(1.41)

Продолжая таким же образом для всех остальных компонент, мы полностью доказываем (1.32).

Для завершения доказательства теоремы 1.2 остается только установить лемму 1.1.

В формулировке этой леммы положим d^ = d£i... d^n. d^ • d^\ ... d^,—id^i+i .. . d^n, di^ d^i... d^n_ j, d^ — -- - d^ .. . d^i-id^i+i ■ • • d^n-x и обозначим через IL проектирование в R" па гиперплоскость gf = 0.

Лемма 1.1. Пусть 9i, ..., 9n—п неотрицательны! измеримых функций на Rn, удовлетворяющих следующил 116

условиям;условиям;(1.42)(1.43)(1.42)(1.43)-/п-1\1/(п-1)~J По* (Оп)1^-1)^nnR"Vi l 7-/п-1\1/(п-1)~J По* (Оп)1^-1)^nnR"Vi l 7

условиям;

условиям;

(1.42)

(1.43)

(1.42)

(1.43)

-/п-1\1/(п-1)~

J По* (Оп)1^-1)^

nnR"Vi l 7

-/п-1\1/(п-1)~

J По* (Оп)1^-1)^

nnR"Vi l 7

Oi не зависит от &, б^ЛЧПДГ).

Тогда произведение 6], .. ., О„ принадлежит ЛДК") и

(1.44)

Доказательство. Формула (1.44) очевидна, если п = 2. Затем опа доказывается индукцией по п. Предположим, что справедливость формулы (1.44) установлена вплоть до порядка п — 1; тогда, используя неравенство Гельдера и предположение индукции, получаем, что для почти всех §„ имеет место неравенство

Остается только проинтегрировать последнее неравенство по 5», 11 мы получаем (1.44).

5. Доказательство теоремы 1.3. После нескольких предварительных замечаний в i) мы докажем в ii), что u е (Zv]0C(Q))n, затем в iii) будет установлен окончательный результат.

Фундаментальное решение уравнений линейной теории упругости есть обобщенная функция умеренного роста И = Е ^е (.3)'(,R"')'),1i Удовлетворяющая при любом ct е R" соотношению

^Е + grad div Е = ct6 ),(1-45)

где 6 — обобщенная функция Дирака в точке 0. Хорошо известно (и легко проверить), что

Е---?-(« grad Л/),(1.46)

где М обозначает фундаментальное решение уравнения Лапласа (АМ = 6). Таким образом,

За .1 . ж /аг \п

о—InНь~ПРИ и = 2,

8л г 1 8л ( r2 I г’

^ /За , я—2 х (аж)\„(^^)

Сп 75I при п о,

\4гп-24г” ) 1

где сп зависит только от п, а г — Ы.

Заметим для дальнейшего, что

производные первого порядка от Е (в смысле

обобщенных функций) являются локально

интегрируемыми функциями (eL}0C(R”)). (1.48)

Действительно, эти производные регулярны и берутся в классическом смысле, кроме начала координат. Явное вычисление показывает, что первые частные производные мажорируются функцией сЫ1-”, которая интегрируема на любом ограниченном подмножестве в R". Отсюда следует (1.48).

Наша ближайшая цель — доказать, что и е е^|0С(К’’). Пусть со — относительно компактное открытое подмножество в Q, со с Q, и пусть Qi и Q2 — два других открытых подмножества в Q, причем со с Qi с с Q, с Q2 с О2 с С). Предположим, что г] > 0 настолько мало, что ц-окрестпость множества со (т. е. объединение шаров В(х, ц) с центрами х^со и радиусомц) содержится в Qi, грокрестность Q, — в Й2, а ц-окрестность й2 — в Q.

Пусть теперь 7 — функция на R класса ^^ с носителем в шаре В(0, ц) и равная 1 в окрестности точки 0. Если мы применим оператор упругости к функции ^Е и обозначим через Е\, ..., Еп компоненты вектора А’(сс) (так что Et = ВДа)), то мы увидим, что /-я компонента вектора (А + grad div) ^Е) равна

А (дЕ^ + Dj div (7В) = 4 (^^j + ^i div E^ +

+ 2 grad 7 grad Ej + grad чОЕ + ^D^ div E +

+ (A7)Bj + (grad D^E. (1.49)

Так как 7 равно единице в окрестности точки 0, то сумма первых двух членов в правой части равна ссД Другие слагаемые, содержащие производные от 7, равны нулю вблизи точки 0 и вне шара В(0, ц). Их сумма

ость функция Е; класса ^^ с компактным носителем, содержащимся в Z? (О, ц).

Пусть теперь и — обобщенная функция, удовлетворяющая условиям теоремы 1.3, и пусть ф е ^^ (Q2), ф = 1 па Qp Мы сейчас покажем, что ери (равная и па fii) есть функция из L' на со. Произведение (ри есть корректно определенная обобщенная функция па R”, возьмем ее свертку с (аф + Е;); получим

1$ = (аф + Ej) * (ф^) = ф (аде,) + £j * (фМ •

Так как последнее слагаемое есть функция класса ^у то мы сможем заключить, что au — 2 ^ФС есть функция з

из Lx па множестве со, если мы покажем, что это условие выполняется также для 1 = 2/,-. С этой целью запишем

7 = 2 {А № -1- D5 div №W -.

j=i

= 2 UM^ -I -5,(у54)}*{О4(ф^)}=

п

= 2 ^гАчЕ^ЦО^изУ^ Dj^Ui^ пп

= 2 н- №У {бу (фи)} = 2 {еу(?Я)}*(фМи)) + г. 5^1г,з=1•

п

+ 4 2 <е« ViE^ * {м,О,Ф + щО;ф}. ij=l

По теперь производные от ^Е, равны пулю впе 5(0, ц), а производные от ср равны нулю вне ЙгХЙп Следовательно, свертка

е^и)* {Щф + м^ф}, носитель которой содержится в Q2\Qi + S(0, ц), обращается в нуль на множестве со. Таким образом, па множестве со выражение I сводится к сумме

2 {е« №} * (среу (u)).(1.50)

tj=i

Поскольку Е и ее первые производные локально интегрируемы, то функция £«(^5) принадлежит L’(R") для всех г и /. По предположению, обобщенная функция фбу(и) является суммируемой функцией. Тогда каждая

119

из сверток в (1.50) принадлежит //(R”), и I есть функция класса Lx на со.Тем самым мы доказали, что ан есть функция класса V па со для всех я eR" и любого относительно компактного множества со в Q. Отсюда следует, что и е е (/фос (Н))п.' iii) Па этом последнем шаге мы докажем, что и е e(Z,1(Q))n. Для любой точки у G Г мы должны найти такую открытую окрестность точки у, в которой и есть функция класса Lx.Так как по крайней мере одна из компонент вектора v(y) отлична от нуля, то мы можем предположить, что vn(y)>0. Как и в доказательстве теоремы 1.1, мы рассмотрим тогда окрестность 2 точки у, удовлетворяющую условиям (1.22), (1.23). Мы рассмотрим также множества (1.24), (1.25) и формулу (1.26).Наша первая цель — доказать, что ограничение ип на .5^ принадлежит классу ТА Для 0 < ос < а' < «о < oci мы можем написать с учетом (1.23) и (1.26):из сверток в (1.50) принадлежит //(R”), и I есть функция класса Lx на со.Тем самым мы доказали, что ан есть функция класса V па со для всех я eR" и любого относительно компактного множества со в Q. Отсюда следует, что и е е (/фос (Н))п.' iii) Па этом последнем шаге мы докажем, что и е e(Z,1(Q))n. Для любой точки у G Г мы должны найти такую открытую окрестность точки у, в которой и есть функция класса Lx.Так как по крайней мере одна из компонент вектора v(y) отлична от нуля, то мы можем предположить, что vn(y)>0. Как и в доказательстве теоремы 1.1, мы рассмотрим тогда окрестность 2 точки у, удовлетворяющую условиям (1.22), (1.23). Мы рассмотрим также множества (1.24), (1.25) и формулу (1.26).Наша первая цель — доказать, что ограничение ип на .5^ принадлежит классу ТА Для 0 < ос < а' < «о < oci мы можем написать с учетом (1.23) и (1.26):“о“о“о“оДГ Ь Qa , «(^ IДГ Ь Qa , «(^ Iа^"V“ f |wn|cZT + (a0-a) JУстремляя сс к 0, получаем, чтоа^"V“ f |wn|cZT + (a0-a) JУстремляя сс к 0, получаем, что^п9'Ч^п9'Чdx. (1.51)dx. (1.51)} | ип I dx} | ип I dxЧЧби, Эт.би, Эт.dx. (1.52)dx. (1.52)

из сверток в (1.50) принадлежит //(R”), и I есть функция класса Lx на со.

Тем самым мы доказали, что ан есть функция класса V па со для всех я eR" и любого относительно компактного множества со в Q. Отсюда следует, что и е е (/фос (Н))п.

' iii) Па этом последнем шаге мы докажем, что и е e(Z,1(Q))n. Для любой точки у G Г мы должны найти такую открытую окрестность точки у, в которой и есть функция класса Lx.

Так как по крайней мере одна из компонент вектора v(y) отлична от нуля, то мы можем предположить, что vn(y)>0. Как и в доказательстве теоремы 1.1, мы рассмотрим тогда окрестность 2 точки у, удовлетворяющую условиям (1.22), (1.23). Мы рассмотрим также множества (1.24), (1.25) и формулу (1.26).

Наша первая цель — доказать, что ограничение ип на .5^ принадлежит классу ТА Для 0 < ос < а' < «о < oci мы можем написать с учетом (1.23) и (1.26):

из сверток в (1.50) принадлежит //(R”), и I есть функция класса Lx на со.

Тем самым мы доказали, что ан есть функция класса V па со для всех я eR" и любого относительно компактного множества со в Q. Отсюда следует, что и е е (/фос (Н))п.

' iii) Па этом последнем шаге мы докажем, что и е e(Z,1(Q))n. Для любой точки у G Г мы должны найти такую открытую окрестность точки у, в которой и есть функция класса Lx.

Так как по крайней мере одна из компонент вектора v(y) отлична от нуля, то мы можем предположить, что vn(y)>0. Как и в доказательстве теоремы 1.1, мы рассмотрим тогда окрестность 2 точки у, удовлетворяющую условиям (1.22), (1.23). Мы рассмотрим также множества (1.24), (1.25) и формулу (1.26).

Наша первая цель — доказать, что ограничение ип на .5^ принадлежит классу ТА Для 0 < ос < а' < «о < oci мы можем написать с учетом (1.23) и (1.26):

“о

“о

“о

“о

ДГ Ь Qa , «(^ I

ДГ Ь Qa , «(^ I

а

^"V“ f |wn|cZT + (a0-a) J

Устремляя сс к 0, получаем, что

а

^"V“ f |wn|cZT + (a0-a) J

Устремляя сс к 0, получаем, что

^п9'Ч

^п9'Ч

dx. (1.51)

dx. (1.51)

} | ип I dx

} | ип I dx

Ч

Ч

би, Эт.

би, Эт.

dx. (1.52)

dx. (1.52)

Так как ип е Цос (Q), то по теореме Фубини интеграл J |нп|йГ конечен для почти всех a (0<a<ai); в частности, можно так выбрать ао, что j* |ып|^Г<оо, и тогда из (1.52) следует, что н„ есть функция класса I? на ■

Точно так же доказывается, что Ui принадлежит классу Lx в окрестности точки у для любого такого i = •= 1, 2, ..., п — 1, что т^у^О. Если v,(p) = 0 (и vn удовлетворяет (1.29)), то тогда ио непрерывности ^’n(^)+v,(z)> 0 в окрестности точки у в Г. Выберем новый ортонормпровапный базис, для которого к-й вектор направлен, как вектор е„ + е,-. Последняя компонента вектора и в этом базисе есть v„ = (un +щ)/У2. Мы доказываем совершенно так же, как и выше, что и„ есть функция класса Lx в окрестности у, и так как мл уже принадлежит Lx вблизи у, то мы получаем желаемый результат для щ. Теорема 1.3 полностью доказана.

Доказательство теоремы 1.4. Мы должны доказать, что множество В функций, ограниченное в LD(^, относительно компактно в (Ep(Q))n, где 1 ^ р < п*. Вследствие замечания 1.3 достаточно установить этот факт для й = R", причем носитель рассматриваемых функций может предполагаться лежащим в фиксированном компакте О в R" ).

Как известно (см. [37]), нужно доказать, что:

для любого Ц > 0 существует такой компакт К с R", что выполняется соотношение

) |ир^^ц для всех иеВ:(1.53)

. СК

для любого ц > 0 существует такое а > 0, что для | h | = ^h^ -)- .. ./i„)1,2 ^ а выполняется соотношение

II xhu — u||Lp(Rn)n < ц для всех и = В, (1-54) где Th — оператор сдвига:

ThfW = Нж1 — к.\, • •., ж„ — /г„).

Свойство (1.54) является утверждением нижеследующей леммы 1.2. Свойство (1.53) есть следствие теоремы вложения — теоремы 1.2:

f \u\pdx = ск

= J \u\pd£<Xmes(P\Ky^^ (j | и |n* dxV*/P

О\К\Rn/

52 с (mes (О\.К))(п*-р)/п* Vu е В,

и следовательно, чтобы выполнялось условие (1.53), достаточно выбрать К а О так, чтобы мера разности О\К была достаточно мала.

Лемма 1.2. Пусть В — ограниченное в LD^W") множество функций, носители которых содержатся в фиксированном компакте в IV.

Тогда для любого р, 1 $5 р < п*, для любого s, 0 ^ ^ s < 1, и для любого и из В выполняется неравенство

Итлм u||/p(Rn)n ^с I ^ Is:!м^«(н11)’ (1.55) где с' < +°о зависит только от р, п, з и от множества О с R", содержащего носители всех функций иеР.

Доказательство этой леммы, приведенное в [108], опирается на следующие леммы 1.3 и 1.4.

Лемма 1.3. Пусть j — суммируемая функция на R" с компактным носителем и пусть 0 ^ X < н. Тогда функции Ы-х и j свертываемы, и функция g=\x\~K*f принадлежит L4 на любом компакте для любого q < njX. Кроме того, для любого компакта К в R” выполняется неравенство

II §Hl»(K) ^лИ Л/Дн’»)’ (1.56) где щ зависит только от q, п, X, К и носителя функции f.

Это — частный случай леммы, доказанной С. Л. Соболевым, и мы отсылаем за доказательством к [117]; см. также [116, гл. VI, § 6].

Лемма 1.4. Пусть f—вещественная функция на К", являющаяся положительно однородной степени 1 — п и принадлежащая классу ^ на дополнении точки О. Тогда для любого з, 0 ^ s ^ 1, существует такая постоянная с', зависящая только от з, п и j, что неравенство

I /I) - / (ж) ] < с: । h д__л_^ + - ДД

I II i J

выполняется для всех х, h е Rn.

Доказательство. Вследствие однородности мы можем предполагать, что |/г| = 1. Тогда при Ы^З/2 имеем \х + /0 =5 5/2, откуда

(|ж|1-п(|ж|1-п|/(^+к)-/(^)|<1/(^ + /0]+ ]/(£)[<

(|ж|1-п

(|ж|1-п

1| л -I- h p-i+s1| л -I- h p-i+s+ | х -|- h |1-п) fsnp | / (z) |l ^ l|z|-l /

1

| л -I- h p-i+s

1

| л -I- h p-i+s

C3 2 / | I r |Тг—1-ha\/ U I

Если |ж| > 3/2, то |ж + /г! ^ 1/2, так что

| / (ж 4- h) — / (ж) К sup | V / (р) |,

где у пробегает множество эс+th, 0 ^ t ^ 1. Так как градиент V/ положительно однороден степени (—и), то эта последняя верхняя грань не превосходит с4 sup | у |-п, где с4 есть верхняя грань lv/(z) I для Izl = 1 и у пробегает тот же интервал [ж, ж + А]. Отсюда следует, что |/(ж-[- 7г) — /(ж)|<

и мы получаем требуемый результат.

Доказательство леммы 1.2. Как и в теореме 1.3, мы используем фундаментальное решение £ задачи линейной теории упругости (см. (1.45), (1.46)). Для а е R" с учетом (1.45) видим, что

ан = а(б * и) = (А£ 4- grad div £) * и = (£;,« + £;,«) * щ = = 2еи(£) * ey(u) = 2£u * e„-(u).

Точно так же, если б^, означает обобщенную функцию Дирака в точке 7г, получаем, что

тДак)=б(Л) * (ам) = 2(б(Л) *£,-,,)* ев(и) = 2(ц£и)* 8у(н),

откуда следует

|тл(аи) — (аи) I = 21 ^т^Е^ — Е^)» е«(и) I =5

^2|тД£и)-£и1 * leti(u)|. (1.57)

Вследствие (1.47) функции Efii принадлежат классу *6” вне начала координат и положительно однородны степени 1 — п. Отсюда с учетом леммы 1.4 получаем, что

I Th ^г,з)— Ег,з I ^ с41 h I Гтд ■ +s 4- • .n-1+s)’

и тогда из (1.57) следует неравенство

| Тк ^а.и') — (аи) | ^

п

< 2с4 | h |s 2 , Tn^i+s *^-h I e« (u) I I e« (u) 11- i,3=l 1 ।

Применяя лемму 1.3 с X — n — 1 + s и q = p, получаем

■123

искомый результат (для произвольного а е R”):

||тЛ(ам) —W S l|ei,-(u)i|,i(Rn); (1.58) i,/=l

ограничивая условия па X в лемме 1.3 на промежуток 0^s<l, мы получаем, как и было обещано, неравенство 1 ^ р < п*. Как уже указывалось, постоянная с' ~ = 4с1с4 зависит только от р, s, п и носителя функций U Е В.

§ 2. Пространство BD (й) (7)

Мы приступаем сейчас к изучению пространства ВТ) ($2), которое (по существу) возникает как пространство функций, для которых в модели пластичности Генки энергия деформации конечна. После нескольких напоминаний и замечаний о пространствах мер, приведенных в и. 2.1, мы даем определение пространства B7)(Q) в и. 2.2 и приводим там некоторые простые свойства этого пространства. В пп. 2.3 и 2.4 мы формулируем основные результаты о пространстве ВТ) (О), аналогичные теоремам 1.1—1.4, установленным для BT)(Q):

результат о регулярности;

теорему о следе: если це8Д(Й), то можно определить след и на Г, и этот след принадлежит (АДГ))”;

результат о вложении типа теорем Соболева;

теорему о компактности.

Доказательства существенно используют результаты, уже установленные для пространства BT)(Q). Теорема о следе, как и некоторые ее приложения, доказывается в п. 2.3. Другие теоремы и их следствия доказаны в п. 2.4.

Пространство ограниченных мер. Пусть, как и прежде, Q — ограниченное открытое множество в R". Обозначим через МДП) пространство ограниченных мер на Q (см. [8, 35, 61]). Это пространство совпадает с пространством таких обобщенных функций ц на Q, что 5)

sup <щср><оо.(2.1)

фе®”” (В)

1<Р(х)]<1

Мы будем обозначать интеграл от функции <р по мере ц и через <щ <р>, и через j* ерц; некоторые авторы обозначают его через J ср dp.

Число, определяемое формулой (2.1), определяет норму па МД52), обозначаемую через ^|ц| и ЦрЦмщ)- Хорошо

Ь

известно, что Mi (52) является банаховым пространством относительно этой нормы и что М\ (52) есть пространство, сопряженное it пространству ^о(^) всех непрерывных функций на 52 с компактным носителем в 52, снабженному нормой равномерной сходимости.

Мы можем отождествить I? (52) с подпространством в Mi (52), условившись отождествлять (и мы условимся делать это) меру ц = /к/ж, кеЩЙ), с функцией h. Норма, индуцируемая на L'(52) нормой пространства MJ52), совпадает с обычной нормой в /v*(52), и Л1 (52) есть замкнутое подпространство в MJ52).

Мы будем говорить, что последовательность мер ц, е eM^l) сходится слабо или широко к цеМ)(52), если для любого ф из ^0(52) (или для любого ф из ‘^ (52)) имеем

■lim <щ, ф> = <ц, ф>.(2.2)

Так как пространство Mi (52) сопряжено к сепарабельному пространству, то оно слабо секвенциально компактно, что означает, что любая ограниченная последовательность щ в Mi (52) содержит подпоследовательность Цщдля которой существует такой элемент peMi(Q), что рц слабо сходится к р.

Норма || р||м (й) полунепрерывна снизу в слабой топологии. Более общим образом, для любого открытого множества О с 52 и для любой последовательности щ, слабо сходящейся к р, выполняется соотношение

f | р К lim inf [ | p,|.(2.3)

bо

Если 52 = Rn, то меру peMi(R”) можно свернуть с функцией р из ^^(R”), и эта свертка р * ц есть функция, принадлежащая ^"(R"). Справедливо неравенство

У | р * ц. | с?ж ^ J | р ] cZa? J | р, |(2.4)

ДПДПДП

и, если р > 0 и р > 0, то имеет место равенство

J р * р dx = / У р dx\ У р.(2.5)

дП\дп / ДП

Меру ц можно регуляризовать, свертывая ее с функциями рп, определенным в (1.8) гл. I. Вследствие (2.5) и соотношений рп ^ 0 и j рп dx — 1 имеем

j |pn*jt|&< J |ц|(2.G)

R”R”

и при ц -> 0 справедливы соотношения

рп * ц -> р слабо в Мх (R"),

J |рп* р|с?ж-> J | р|.(217)

RnR”

Если й Ф R”, то для любого р^МДЙ) и любого ф ^ G So (й) произведение фр определяется как ограниченная мера на R" (с компактным носителем в й), которую можно свертывать с функциями из S^ (R”) или регуляризовать. Если в качестве регуляризующих функций взять, как и выше, функции р^, то при достаточно малом т] (меньшем, чем расстояние от носителя ф до Г), носитель свертки рп * (фр) содержится в й, и, переходя к ограничениям на й, получаем, что

Рч*(фр)->ФР слабо в Л/ДЙ)(2.8)

при т] 0. Если 0 ^ q> ^ 1 и ф = 1 в окрестности открытого множества ы, относительно компактного в Й, то для достаточно малого ц > 0 носитель свертки рп * (фр) содержится в й, и, переходя к ограничениям на множестве со, видим, что

Рп * (фр) Ь н!® слабо в МДы), (2.9) так что соотношение

<р„*(фр), 0><р, 0>(2.10)

выполняется при ц-> 0 для любой функции 6 e“So(®).

Другая важная топология на МДЙ) определяется семейством полунорм

1(Н, Ф)1, Ф^о(Й)

и уклонением

J|h|-J|v|-

О£2

Этим определяется топология на Мх(й'), занимающая промежуточное положение между слабой топологией и

топологией, определяемой нормой. Последовательность р} сходится к р в этой топологии тогда и только тогда, когда

Pj р слабо в Afi(Q),(2.И)

j* IМ J | р |. Йи

Вели все меры р, неотрицательны, то условие (2.11) определяет не что иное, как узкую сходимость мер (см. [8]).

Лемма 2.1. Если р, сходится к р при у °° в смысле (2.11), то для любого борелевского множества О^О, удовлетворяющего условию

f |р|-0,(2.12)

ЙПдО имеем

f | р, If I р | при у-э-оо.(2.13)

о "о

Кроме того, для любой функции ф из ^(й) выполняются соотношения

[<рр;-ФР(2.14)

йЙ

и

f<p| PjH j (pl 14 при(2.15)

ий

Доказательство. Обозначим через О внутренность О, и пусть б — замыкание О в Q. Вследствие (2.3) и (2.12) имеем

Р р || р | ^ lim inf Г | pj |,(2.16)

"о °о

j I HI < ,f I H I й \ о n \ оj I HI < ,f I H I й \ о n \ оlim inf J (рДй\0lim inf J (рДй\0

j I HI < ,f I H I й \ о n \ о

j I HI < ,f I H I й \ о n \ о

lim inf J (рД

й\0

lim inf J (рД

й\0

< J | p| — lim sup f| pj |, (2.17) a i-»* b

откуда и следует (2.13).

Мы докажем (2.14); доказательство соотношения (2.15) совершенно аналогично. Для любого б>0 суще-

ствует такой компакт Сей, что

(2.18)(2.18)J lpl<6, J I р| -= о.й\сас

(2.18)

(2.18)

Пусть ф Е ^^ (Q), причем 0^ф^1 и ф = 1 на С. Запишем соотношение

J фр; — J (pu < [ qnp,u; — J qnpp 4

йЙЙй

I* | ф | (1 - Ф) I Р; I f | ф I (1 - Ф) I Р К йQ

сПфФР;- | Ф'Фн гйир|ф(ж)| ( |р;| + $ |р|| ййжеИШ\Сй'\С

) ФР;— ) ФР ^ 26 sup | ср (ж) |.(2.19)ЙЙхей) ФР;— ) ФР ^ 26 sup | ср (ж) |.(2.19)ЙЙхейВследствие (2.2), (2.3) и (2.18) (и с учетом того, что дС = Q Л д (Q\C)) имеем

) ФР;— ) ФР ^ 26 sup | ср (ж) |.(2.19)

ЙЙхей

) ФР;— ) ФР ^ 26 sup | ср (ж) |.(2.19)

ЙЙхей

lim supj-»oo

Так как 6>0 можно выбрать сколь угодно малым, то отсюда следует (2.14).

Замечание 2.1. Иногда мы будем рассматривать пространства ограниченных мер со значениями в евклидовом пространстве X (главным образом X = Rn, Х = Е или ED). Это пространство мы будем обозначать тогда через М\ (Q; X); оно является банаховым пространством относительно нормы

J I РI IIР Цмрн-.Х) = sup <р, ф>.

№(х)1х<1

Все сказанное о Mi (Q) легко переносится на этот случай.

Пространство интегрируемых функций на Q, первые частные производные которых (в смысле обобщенных функций) суть ограниченные меры на Q, есть прострап- ство ВИ(О), называемое также пространством функций с ограниченной вариацией на Q. Это пространство изучалось многими авторами). Оно будет служить «моделью» при изучении пространства BD^Qy

Таким образом, определение этого пространства имеет следующий вид:

BV(Q) = {n е Л’(Й), DtveMi^, i = 1, 2, ..., nA. (2.21)

Оно является банаховым пространством относительно «естественной» нормы

1Мву<щ = IM/1^ + 2 И^Цм/щ- (2.22)

Пространство BV (ЙА содержит И711^), но не совпадает с ним; например, если п=1, то функция Хевисайда содержится в BV(— 1, +1), но не в Ж^Ц-!, +1). Тем не менее если область й принадлежит классу ^], то можно (см. [93]) определить след па Г функции иеВУ^А, и этот след принадлежит 7^'(Г) (как и для чеРЕ’ЦЙ), см. [48]). Пространство BV(Й) вкладывается — и оператор вложения непрерывен — в пространство 1" (й). где п* = п(^п — 1) при и >2, и оператор вложения ВТ(Й) в £р(й) компактен, если й ограничена и 1 р < п* (эти результаты справедливы и для пространства РГ^ЦЙ)).

Определение пространства BD (О). Пространство ВП(Й) есть пространство таких ие(£!(й))\ что eti(u) является ограниченной мерой для всех г, 7 = 1, 2, ..., и: BD^A = Vu е V (й)п, 8у(п)е Мх (й), i, j = l, 2, .. ., и).

(2.23)

На этом пространство можно определить норму

||“||во(П)=||и|!ь1 n-|- S II 8ц (и) 1|м (Щ.(2.24)

М'=1

Легко видеть, что пространство BD^A есть банахово пространство относительно этой нормы.

Если и^ВВАУУу Т() Для любого а е Rn имеем (а\?А (аи) е Мх (Й); это выражение имеет следующий вид:

пп

(a v) (ак) = 2 аг“> £ = 2 а4а/Ц (“)’(2-25)

i.j=l*4.7=1

откуда и следует его принадлежность М)(Й). Обратно, если иеЦ^Цй))" и если (ay) (аи)е М\ (Й) для любого а е R", то функция и содержится в 52)(Й): для установления этого факта достаточно записать, что (mV) (au) е Мх (й) последовательно для всех а = е^е, 9 Р. Темам129

(i, j = 1, 2, .. ., n) (e.— канонический базис в R”). Это показывает, что определение В2)(й) является внутренним, оно не зависит от выбора ортопормировапного базиса в R”; конечно, мы могли бы установить этот факт также с помощью перехода от одного ортопормировапного базиса в R” к другому.

Пространство BD(Q) содержит LD(^, которое является в нем собственным подпространством (это доказано ниже); следовательно, пространство ВВ(фГ) содержит и все подпространства в Ы)(Д1у (^’’(й))”, (^'(й))", ... Оно содержит также и пространство (ВУ(Й))П, но)

BV(ДУ BD (йу ВУДУ^ВБДУ (2.2G) Нам будет полезна следующая лемма, из которой вытекает, что ВВУУ^= ЬВДУ

Лемма 2.2. Пусть 2 — многообразие класса ^ размерности п — А, которое разделяет й на два открытых множества Й| и йг.

Пусть и — функция на й, ограничение uw которой на множество й* содержится в С®71 (й^))” (/с = 1, 2).

Тогда для i, / = 1, 2, ..., п выполняется соотношение еДи)= UaW + ЗУДи^ - и(|>)6х,(2.27)

где {еу(и)} — функция, равная е.Ди^) на ЙА (& = 1, 2), 62 — поверхностная обобщенная функция Дирака на S, a v означает единичный вектор нормали на 5, направленный в сторону Йз, причем

ТДр^^Лр^УП(2.28)

(см. рис. 2.1).

Доказательство. Для <р ^ 'g7^ (Q) запишем равенство

<8у (и), <р> = —^ <иь Dj^y—-^- (и5, Z)i<p> =

= J (UiD^4-UjDi(p)dx.

Мы разобьем интеграл по Q на два интеграла — по Qi и Йг — и применим к Qi и йг классические формулы Грина. Получим, что

<еу (u), ф> = [ {еу (и)} ф dx + J $Гу (и<2>— u<D) ф с7Г,

что в точности совпадает с (2.27).

Из этой леммы следует, что f|ey(u)|<j |еу(и)|^ + У |ey(u)|d® + QQfQ2

4- с J I и® - nW I dr, (2.29)

и функция и, о которой идет речь, содержится в ВВ(й)). Напротив, она может принадлежать ЬВ^Й^ только в том случае, когда

^"у (и^- UW) = 0 на 2 Vi, j, (2.30)

откуда следует, что и<2) = ит па S).

Поскольку ЬВ^Й^—собственное подпространство

ВВ(Q) и норма в BD(й) совпадает с нормой ЬВ^Й^ па ВВ(Й), то ВВ^Й)— замкнутое подпространство в ВВ^Й^,

ВВ(Й)^ВВ(Й). (2.31)

Приближение функций из ВВ(Q). Регулярные функции, конечно, не образуют плотного подмножества в ВВ(Й) в топологии, определяемой нормой. В § 3

мы установим результаты об их плотности в более слабой

топологии. Выскажем сразу следующее простое замечание: пусть го и го' — открытые подмножества в Q, причем о с ю'с ю'с 9, и пусть ф—такая функция из

^^(Q), что 0^ф^1 и ф = 1 па го'; тогда если ие еВВ^Й), то функция фи содержится в ВВ(Rn), и, с помощью регуляризации, мы видим с учетом (2.4) — (2.7),

что при ц -> 0 имеем'. -

рп * (фи)фи в ВЦК")",

е^(рп * (фи)) -► е^(фм) слабо в Tl/i (Q) для всех I, j,

$ 1 еу (рп* (<Р«)) | ->■ j |еу(фи)|.

RnRn

Из леммы- 2.1 и замечания 2.1 следует тогда, что выполняется также соотношение

f I еу (Рч* ((РМ) I J I I оо

для всех i, j и всех таких борелевских множеств О в R", что

У|еу(фи)| = О Vi, у. 00

Обозначим теперь через un ограничение функции рп * (фи) на Q. Ограничение функции и„ па множество и не зависит от ф, если ц достаточно мало (если ц меньше расстояния от о до дм'): тогда un совпадает на и с функцией рп * й, где функция й равна и па Q и 0 вне Q. Замечая, что производные функции ф обращаются в пуль на о/ и, следовательно, па w, мы заключаем, что при ц ->■ 0 выполняются соотношения

т] и в Lx (Q)",^ 32)

ец(и)eti(u) слабо в М\ (й)

и

j | еу (и^ | -> j | еу (и) |, Для всех таких го cz и cz Q, .

(оto

что j | е^ (и) | = О, i, j = 1, 2, .. ., n.

da

Теорема о следе в BP (£2). Сейчас мы сформулируем теорему о следе для BP(Q), подобную теореме 1.1, и выведем из псе некоторые следствия. Предположим, что

£2 — открытое множество класса 45 х.(2.34)

Теорема 2.1. Существует сюръективный непрерывный линейный оператор ^о из BD(Q) в (В^Г))", удовлетворяющий условию_

7о(^) = и1г для всех и из BB(Q)n('F(Q))T'. (2.35)

Кроме того, для любых I, ] и для всех qjE^^Q) справедлива обобщенная формула Грина

4" f (Ui £ + и5 £) йх + J ^ ^ = J ^^ ^ dr’Й '^^ ЙГ

(2.36)

Доказательство, i) По существу мы повторяем доказательство теоремы 1.1. 13 любой точке у множества Г по крайней мере одна из компонент вектора v(y) от

лична от пуля, и мы. можем предполагать, например, что

v„(y)>0, и рассматривать тогда окрестность 2 точки у,

которая допускает представление вида (1.22), (1.23). Мы введем также множества 2а и определенные в (1.24), (1.25).

Мы не можем непосредственно применить формулы (1.26), (1.27), по неравенство (1.29) остается справедливым для почти всех а, а', 0<а<а' < ад. действительно, так как и е (7Р (Q) р, то по теореме Фубини функция g» определена и принадлежит Lx (2) для всех ае(0, ai)^, где <§Г—множество меры нуль (мы записываем dx = dxndTlvn в ^ти используем (1.23)). Мы

приближаем функцию и регулярными функциями и^, как

в (2.32), (2.33). При ц 0, еще раз используя теорему Фубини и (2.32), мы видим, что для почти всех осе е(0, ai) имеем gan ч-ga в Lx (2), где ga^ определяется с помощью иа соотношением, аналогичным (1.28). С дру

гой стороны, всех а имеемгой стороны, всех а имеемпоскольку dujdxn е М\ (Q), то для почти = 0, и, таким образом, можно при-

гой стороны, всех а имеем

гой стороны, всех а имеем

мепить соотношение (2.33) к множеству го — ^a' \^а ) При этих условиях из формулы (1.29), справедливой для функции un при всех ц, получаем при переходе к пределу, что эта формула остается справедливой для и и для всех а, а' из (0, а^Х^", где S' 8 есть множество меры пуль.

Как и в теореме 1.1, мы заключаем отсюда, что ga удовлетворяет условию Коши в L1 (2) при a -► 0, а е е (0, ai)\^". Пусть g—ее предел. Соответствие, которое

мы сейчас установили между и и g, не обязательно является линейным, поскольку множество ^' зависит от функции и. Заметим, однако, что формула (1.30) справедлива и доказывается таким же образом.

Совершенно аналогично мы определяем след компоненты щ в окрестности точки у в Г для любого такого значения г = 1, 2, ..., п— 1, что мДр^О. Если Vi(y) = 0, то г,, + Vi * 0 в у и, по непрерывности, в окрестности точ- х suppyни у. Выберем новый ортонорми-

п1'рованный базис в R", для которо-

f^M । ^«рго направление и-го вектора сов-

I—i^o.падает с направлением вектора

। °еп + е,. Последняя компонента

। [ __вектора и в этом базисе есть v„ =

"= (и„ + и^/УЗ. Совершенно так

Рис. 2.2. Носитель ср же, как и выше, мы определим след и„ в окрестности S< точки у, и этот след содержится в L1^^. Вычитая, мы определим след щ на 2( П X, он содержится в Lx ^ Л 2) и удовлетворяет соотношению, аналогичному (1.30).

Тогда, склеивая, мы определяем след 7о(и) вектора и на Г, который принадлежит (Ь^Г))" и удовлет

воряет неравенству

hoWLmn^ (й)ИмЬош)-hoWLmn^ (й)ИмЬош)-(2.37)(2.37)

hoWLmn^ (й)ИмЬош)-

hoWLmn^ (й)ИмЬош)-

(2.37)

(2.37)

Но мы еще не доказали пи того, что 7 о линеен, ни того, что 7о(к) определен нашим построением однозначно. И то ' п другое будет следовать из формулы Грина.

Чтобы доказать формулу Грина (2.36), мы можем снова принять условия (1.22), (1.23) и ограничиться функциями ср с компактным носителем в2и^а0(рис. 2.2).

Формула Грипа (2.36) очевидна, если мы заменим Q на ^ао\^а(О<сс<ао), а функцию и заменим ее регуляризацией un (как в (2.32), (2.33)). Заставляя ц стремиться к 0, мы получаем (2.36) для функции и и области Q, замененной на ^а0\^а- Мы получаем искомый результат, осуществляя затем переход а 0 (а, аоG е(0, ai)W).

Доказав, таким образом, формулу Грина (2'36), мы выводим из нее, что ^"(7о(м)) определен однозначно, откуда следует, что и 70 (и) определен однозначно. Затем из формулы (2.36) следует, что 70 линеен. Наконец, из (2.37) следует непрерывность оператора 70 из 57) (Q) в (^(Г))”.

Теорема 2.1 доказана.

Замечание 2.2. Пусть М—многообразие класса 7?1, вложенное в Q и разбивающее Q на два открытых множества Qi и Q2. Применение теоремы 2.1 и fij и Qi позволяет определить для любой функции и из BZ)(fi) два следа "^(и) и ?o2)(w), принадлежащие ^V^M^y. Вообще говоря, эти следы не равны между собой. Мы будем называть эти следы внешним и внутренним (относительно ориентации, определяемой нормалью к М); см. также замечание 2.3.

Выведем из теоремы 2.1

Предложение 2.1. Предположим, что область О удовлетворяет условию (2.34). Если не BD(Q), то функция й, равная и на Q и 0 на R"\Q, содержится в BD(W"). Кроме того, отображение и-*й непрерывно и линейно как отображение BD(Q) в BD(Rn).

Доказательство. Вычисление, аналогичное вычислению в доказательстве леммы 2.2 (но в котором вместо классической формулы Грина используется (2.36)), показывает, что

<еу (и), Ф> = [ ф£у М (?»(“)) Ф ^Г, (2.38) Й г

для всех <р из ^” (R”)- Отсюда с учетом (2.37) получаем, что

J I ец (м) К J | еу (и) | + с (Q) || и ||Вщй); цП£2

это доказывает, что ueBD^Rj*1) и что линейное отображение и -► й непрерывно.

Замечание 2.3. i) Более общим образом, если wj= =ивйиш=ив Rn\Q, где ие SP(Q), и е BD (R"\fi), то w е BD(Rn) и вычисление, аналогичное вычислениям в предложении 2.1 и в лемме 2.2, показывает, что

<=чМ Ф> = ^феуМ 4- J _ <pev (р) -|- йНп\й

4-^у (То (у — “)) Ф dF (2.39) Г-

a qe;

для всех i, ] и всех ц <= ^Р^ (Rn). Отсюда следует, что

f |е=;М| = f |су(м)| + J_|cy(y)| +

RnЯRn\Q

+ f|^(Y0(p-u))Mr, (2.40) г

IKUr”) <c(q) 1ЬМ>) + kU”x5)L (2-41)

Из соотношений (2.39) и (2.40) следует, что если и^ВП^йУ то внешний и внутренний следы функции и на границе тара В (х, г) с Q тогда и только тогда по совпадают, когда J |е(и)|=/=0. Так как J|s(u)|<oo, ав(х,г)и

то внешний и внутренний следы могут отличаться лишь для счетного набора значений радиуса г. Это замечание легко распространяется на более общее семейство гиперповерхностей, регулярно зависящее от параметра г.

2.4. Другие свойства BD(tl). Предположим для простоты, что Q принадлежит классу ^Ч Тогда справедливы следующие утверждения.

Теорема 2.2 (теорема вложения Соболева). Пространство BDtXy вкладывается — и оператор

РХНи* 1ГуХа *

вложения непрерывен — в пространство \ь (12Д , пл = = п/(п — 1).

Теорема 2.3 (теорема о регулярности). Если ие^В'^У и если вй(к)еМ1(В) для всех i, / =. — 1, 2, ..., п, то и содержится в BD^V

Теорема 2.4 (теорема о компактности). Оператор вложения пространства BD^) в (ТДДЙ))" компактен для любого р, 1 ^ р < n* = n/(ra — 1).

Доказательство теоремы 2.2. Если ие eBD^y то согласно предложению 2.1 функция и, равная и па Q и 0 в Rn\fi, содержится в BD^W1). Регуляризуя ее, мы получаем функции и- = рч * м, содержащиеся в (^^(Q))”. Используя теорему 1.2 и, в частности, неравенство (1.32), мы видим (с учетом (2.5) и (2.41)), что

II ми llb”*(Rn)n ^ С (^) jS II еУ (Mn) Ilb^Rn) ^ с (^) || w ||вП(£2)' (2.42) 136

При р0 функция ил стремится кив (^(R"))" (см. (2.32)), и из неравенства (2.42) следует, что ue e(Ln*(Rn))*, причем

IIи кп*(ип)п < с (Q) IIи llsD(fi)-(2.43)

Замечание 2.4. Как уже было указано выше (см. подстрочное примечание4)), мы можем дать доказательство теорем 1.2 и 2.2, не использующее ни замечания 1.3, ни теоремы о следе из статьи [48]. Действительно, теорема 2.2 использует только неравенство (1.32), которое не зависит от замечания 1.3. С другой стороны, из теоремы 2.2, конечно, следует и теорема 1.2 (LD(Q)c ^BD (52) с (£"*

Доказательство теоремы 2.3. По существу доказательство совпадает с доказательством теоремы 1.3: — на шаге ii), когда речь идет о доказательстве соотношения и е (1фос (52))п, нужно показать, что каждое из слагаемых в сумме (1.50) принадлежит Lv па го (с го с Q). В теореме 1.3 мы заметили, что Ву(чЕ)* * ((pey(u))e D (R"), так как функции еу^Е) и феу(и) содержатся в /’(R"). По это верно и в нашем случае, так как в.у^Е') е Lx (R") и феу(и)е М\ (R"), и нам известно (см., например, [116]), что свертка функции из Lx и ограниченной меры есть функция из L';

— на шаге Hi) неравенство (1.52) нельзя получить непосредственно, но его удается доказать, аппроксимируя и регулярными функциями и переходя к пределу с учетом (2.32), (2.33) (совершенно то же рассуждение, что и в теореме 2.1).

Доказательство теоремы 2.4. Пусть ит — ограниченная последовательность в BD (Q). Согласно предложению 2.1 последовательность йт ограничена в SD(Rn) и, согласно (2.4), семейство сверток pn * um содержится в LD(Rn^ и ограничено в этом пространстве (как семейство с двумя параметрами — т и ц). Согласно теореме 1.4 (заметим, что носители всех функций pn * um содержатся в фиксированном компакте, например, при 0 < <т]<1) семейство p,«i?m относительно компактно в (Lp^R’'))n для любого р, 1 =5 р < ц*, а тогда этим же свойством обладает и сама последовательность um, так как для любого т имеем

p-q * llpiВ la/

при т] —*■ О (см. теорему 2.2). Теорема 2.4 полностью доказана п).

Из этих теорем мы выводим три следствия, совершенно аналогичных предложениям 1.2—1.4, доказательства которых похожи на предыдущие, и поэтому мы их не приводим.

Предложение 2.2.II афакторпространстве

BD(Q.)!^ выражение

(2.44)(2.44)2 J | еу (и) |*Э=1 £2

(2.44)

(2.44)

индуцирует норму, эквивалентную норме, определяемой пространством ВЩЙ).

Предложение 2.3. Для любого и из BD(Q) существует такой элемент r = r(u)^9i, что

^и-г^^с^) £ f|et,(u)|,(2.45)

гл=1 й

где постоянная с зависит только от области Q.

Предложение 2.4. Если р— непрерывная полунорма на ВЩ£1), являющаяся нормой на 91 ^так что если p(u) = Q и и ^91, то и = 0), то выражение

Р^Е 2 J|ey(«)|(2.46)

ij=l й

определяет норму на BD^i), эквивалентную исходной норме.

Замечание 2.5. Мы можем высказать следующие замечания, аналогичные замечаниям 1.1 и 1.2.

Из предложения 2.3 и теоремы 2.2 следует, что для любого uG BD^Q) существует такой элемент г = = r(u) Е 52, ЧТО

h-r(M)UL„» n<c(Q) 2 f|ey(u)|,(2.47)

4j=l й

где постоянная с зависит только от области Q. Явный выбор г (и) может быть осуществлен одним из способов,

В доказательстве теоремы 2.4 мы использовали теорему 1.4 только в случае семейства функций из LZ)(Rn) с носителями, содержащимися в фиксированном компакте. Это утверждение пе зависит от оператора продолжения в замечании 1.3, и, таким образом, теоремы 1.4 и 2.4 доказапы без применения замечания 1.3 и теоремы о следе статьи [48].

указанных в замечании 1.1 ii), которые приводят к непрерывным линейным отображениям u-*r(u) пространства BD(£2) в 91.

Как и в замечании 1.2, мы можем положить в предложении 2.4

р(и)= [ |и(ж)|&(2.48)

(с учетом теоремы о следе — теоремы 2.1).

ш) Из предложения 2.4 следует также справедливость неравенства Пуанкаре:

существует такое с = с(й), что

MlW<c S JleijM|(2Л9)

i,J=l и

для всех и из пространства

KveBD^Y р^=У\.(2.50)

п С

В частности, выражение 2 i I ^-и (и)! определяет ’о=1 и

норму па пространстве (2.50), эквивалентную норме, определяемой пространством 5£)(Q).

Пространство BD^ff) (II)

Мы введем две новые топологии па пространстве ВВ^Й), каждая из которых слабее топологии, определяе- мой нормой (п. 3.1). Затем мы докажем, что в одной из этих топологий отображение следа все еще непрерывно (и. 3.2) и что множество регулярных функций плотно в ВВ(Й) (п. 3.3). Этот последний результат будет неоднократно использоваться в дальнейшем, однако чтение его доводьпо-таки длинного доказательства пе является необходимым для понимания последующих разделов.

Слабые топологии на ВП(Й). Можно показать, что SZ)(Q)—пространство, сопряженное к нормированному пространству; см. [91, 144]. Это наблюдение позволяет определить в этом пространстве слабую* топологию, и тогда замкнутые шары в BD (Q) будут в этой топологии компактны и секвенциально компактны.

Другой способ определить эту топологию состоит в следующем: рассматриваемая топология определяется

семейством норм и полунорм/(см. [7]):

(3.1)(3-2)(3.1)(3-2)[(peij (и) , (ре^Г(^)>[(peij (и) , (ре^Г(^)>i, / = 1, 2, ..., n.i, / = 1, 2, ..., n.II

(3.1)

(3-2)

(3.1)

(3-2)

[(peij (и) , (ре^Г(^)>

[(peij (и) , (ре^Г(^)>

i, / = 1, 2, ..., n.

i, / = 1, 2, ..., n.

В частности, последовательность ит сходится к и в этой топологии, если при m -* °° выполняются соотношения ит и в (£’ (Q))",

(3.3)

E,j(Mm)-^ Eij(u) слабо в Afi (Q) при г, 7 = 1, 2, ..., п.

Мы будем называть эту топологию слабой топологией в B1)(Q). Легко видеть, что

любая ограниченная последовательность в 5Z)(Q)

содержит слабо сходящуюся подпоследовательность. (3.4)

Действительно, если ит ограничена в BD(^, то множество (um) относительно компактно в (Т-ДЙ)) вследствие теоремы 2.4. Следовательно, существуют такая подпоследовательность т' и такой элемент и е ^Lx (й))", что ит- сходится к и в (/'(й))". Так как последовательность t|ey(um)| ограничена, то еу(и)е Мд (й) для г, 7 = 1, b

.. ., п, и, еще раз переходя к подпоследовательности, мы получаем такую подпоследовательность ит-, что Еу (Мт”) слабо сходится к Eij(u) для всех i, j, откуда и следует (3.3) для последовательности ит~.

Другой естественной топологией в BD^Q) является топология, определяемая расстоянием

II “-^LwII “-^Lw(3.5)(3.5)

II “-^Lw

II “-^Lw

(3.5)

(3.5)

Легко убедиться, что эта топология занимает промежуточное положение между слабой топологией и топологией, определяемой нормой па BD (й). Мы будем называть ее промежуточной топологией 12). Например, последовательность ит сходится к и в промежуточной топологии, если кроме соотношений (3.3) выполняется также

,2) На самом дело мы рассматриваем несколько промежуточных топологий; см. замечание 3.1 ii) и другие промежуточные топологии, определяемые в п. 5.3.

соотношение

J | 8(um)|V jj e(u)|.(3.6)

Существуют слабо сходящиеся последовательности, но сходящиеся в промежуточной топологии; отсюда следует, что шары в BD(Q) по являются относительно компактными в промежуточной топологии.

Замечание 3.1. 1) Слабая топология определяет метризуемую топологию на шарах в BD^ (см. [7]).

И) Вместо расстояния (3.5) мы могли бы рассмотреть расстояние

п

^-^W"1" 2 J|eV(M)| — J |еу (р)| .

г,3=1 Й£2

Мы не знаем, совпадает ли определенная таким образом «промежуточная» топология с предыдущей. Таким способом можно определить много других промежуточных топологий (см., в частности, топологии, определенные в и. 5.3).

Замечание 3.2. Теперь можно ответить на вопрос, поставленный во введении к гл. II: если ит — последовательность регулярных функций (скажем, ит е С^4 (Q))”), равномерно сходящаяся на Q к некоторой функции и, причем

[ I в (мт) । ах <. с я

для некоторой постоянной С, то что можно сказать относительно и> ..

Согласно предыдущему, функция и содержится в BD(Q), а последовательность ит слабо сходится к и в BD^Qy Кроме того, для справедливости этого утверждения достаточно, чтобы ит сходилась к и в (^(Q))" (а равномерная сходимость не требуется).

Непрерывность следа. Оператор следа уо, определенный в теореме 2.1, непрерывен в топологии, определяемой нормой, по не непрерывен в слабой топологии ,3).

гз) чТобы убедиться в этом, достаточно заметить, чтс (ВР(Й))П с ВГ>\0)), причем вложение непрерывно, а след не пепре рывеп уже па BV(Q): например. если п = 1 и Q = (0, 1). то по следовательпость функций am, VmW — хт ПРИ 0 < ж < \]т i rm(z) =1 при 1/»г ^ ж ^ 1, сходится слабо к 1, в то время кат Ущ(0) = 0 для всех т.

Напротив, как мы сейчас увидим, оператор То непрерывен в промежуточной топологии.

Теорема 3.1. Оператор следа То непрерывен как оператор из пространства ^D(Q), снабженного промежуточной топологией, в пространство (L1(Г))п.

Иначе говоря, если йт сходится кив смысле (3.3) и (3.6), то

То (и™) То (и) в ^(Г)".(3.7)

Чтобы доказать эту теорему, введем для любого достаточно малого а > 0 (0 < а < ад) множества

12а = Ес е Q, Д^х, Г)>а), Га = дЙа. (3.8)

Если ugBD(Q'), то но теореме о следе — теореме 2.2 — и по замечанию 2.2 мы можем для любого а определить два следа функции и на Г«, которые могут оказаться различными: они соответствуют применению теоремы о следе к областям QK и Q\£2a. Обозначим эти следы через уГ (и) и у^ (и) (а То (и) - след на Г). Согласно замечанию 2.3 соотношение ТГ (ы) ч^ Т? (ы) выполняется тогда и только тогда, когда

f 18 (и) | ^ О,(3.9)

а это может иметь место для не более чем счетного множества ^ 1 значении а.

Справедлива следующая

Лемма 3.1. Существует такая постоянная c = c(Q), зависящая только от области Q, что для любого достаточно малого a > 0 имеет место неравенство

Г | you I с/Г < сГГ | you I с/Г < сГf |e(u)|4 [|т^|йГ+ f \u\dx .

Г | you I с/Г < с

Г

Г | you I с/Г < с

Г

й\Цагай\Йа

(3.10)

Доказательство. Так как отображение То пространства ВВ^) в (L} (Г))” непрерывно, то существует такое c' = c'(Q), что

для всех и из BD(Q).

Пусть ueBD^ и пусть и* — функция, равная 0 в Qa и и в Q\Qa. Вследствие замечания 2.3 и (2.39) функ- 142

ция и* содержится в BD^ и для всех I, j имеет место равенство

еу (и*) = Оыхуаеу (и)'-| Л и W (и))'бга,(3.12)

где 9^— характеристическая функция множества ^/, а 6Га — (поверхностная) обобщенная функция Дирака на Га.

Применяя к функции и* неравенство (3.11), получаем неравенство (3.10).

Теперь мы можем доказать теорему 3.1.

Доказательство теоремы 3.1. Пусть ит — последовательность, сходящаяся к и в смысле (3.3) и (3.6). Как мы уже заметили выше, неравенство (3.9) выполняется для всех a G (0, oo)\^i, где ао > 0 достаточно мало, a ^i не более чем счетно. Вследствие (3.6) и леммы 2.1 мы получаем отсюда, что

J I е (М | -> J I е М I^а^а

для всех ае(0, ссо)\^ь

Так как ит — и сходится к нулю в (L’(Q))n, то из теоремы Фубини следует, что

J | ит — и\ «Г -> 0

Га

для всех ае(0, ао)\^2, где ^2 — множество меры нуль.

Теперь для данного 6 > 0 выберем, и такой выбор возможен, число а>0, где ае(0, ao)\(^i U <82) и а настолько мало, что

f | е (н) | < 6.п\на

Согласно предыдущему, тогда существует такое натуральное Шх = ш\(6), что при т^ ту выполняются неравенства

J |еЫ1^2

П\Оа

[ \U-rn. — U | ЙГ ^ 6,

Га

j \ит — Н|(?Ж^6.

В\Ыа

имеем /)|tZr<4c(Q)6,имеем /)|tZr<4c(Q)6,Из неравенства (3.10), примрйенпого к и™ —и, следует тогда, что при т > mi (6)

имеем /)|tZr<4c(Q)6,

имеем /)|tZr<4c(Q)6,

J I То ^т — г

что и доказывает непрерывность, так как 6 можно выбрать сколь угодно малым.

Приближение функций из BD(Q). Мы приведем два результата о приближении функций из BD(Q) регулярными функциями.

Теорема 3.2. Пространство ^"(Q) плотно в пространстве BD^Q'), снабженном промежуточной топологией.

Доказательство, i) Мы собираемся доказать, что LD^) плотно в BZ)(Q) в промежуточной топологии. Тогда теорема будет следовать из плотности пространства (^“(й))” в LD(Q) в топологии, определяемой нормой (см. (1.8)).

На самом деле мы покажем, что С^00(й))п П BD(Q) плотно в BB(Q). С этой целью мы собираемся показать,

существуетсуществует(3.13)(3.13)что для любого ueBD(Q) и любого 6>0 такой элемент и6 ('g'” (Q) у- П BZ)(Q), что

существует

существует

(3.13)

(3.13)

|| U6 —u|lLi(fi)n<6,

46.

яяя

я

я

Построим и», удовлетворяющий условиям (3.13), (3.14). Так как |е(к)| есть мера Радона, то существует такое г > 0, что

J | в (и) |^6,(3.15)

где

Qo = к е й, а^х, Г)> 1/г).(3.16)

Определим затем для / = 1, 2, ... множества Q, следующим образом:

й; = {жей, а^х, Г)> 1/(/+ г)}.

Открытые мно?кества Q; удовлетворяют следующим соот- ношепиям:

Qj с Qj cz йя.ь / = О, 1, .. .,

U Q; - О.

;=о

По этим множествам Q, Мы определим множества з$-$ с помощью следующих соотношений: положим J^i = Q2, а затем для / = 2, 3, ... положим

s^) = ^j+iQj— ь

Множества ^ образуют открытое покрытие Q, и мы можем построить разложение единицы {ф,}, подчиненное этому покрытию:

ф; G ^й (^1). 0<ф,<1 И 2 Ф; = 1- (3-17) 5=1

Рассмотрим теперь семейства регуляризующих функций ртр, определяемых формулой (1.8) гл. I, где па последовательность тр будут в дальнейшем положены некоторые ограничения. Определим функцию ма формулой

п6 = 2 рщ * (ф,ы).(3.18)

Пусть гр образуют последовательность, монотонно стремящуюся к пулю:

ТЬ+1 С Тр, тр 0 при

и пусть тр настолько малы, что выполняются нижеследующие соотношения:

<6,<6,(3.19)(3.19)[ I рщ * (фхе (U)) | ^ - f I ф^ (и) I bb

<6,

<6,

(3.19)

(3.19)

J I Рв| * (МФ1) — (ыф,) | ах < 62 \ (3.20)

j I Рв5 * (Ы8 (ф,)) — U8 (<Р1) | йх < 62-,\ (3.21)

(Q2\Qi)+B(0, th)cQ3\Qo, (3.22)

^ + В(0, n^c^! и^и^;+1, / >2,(3.23)

где В (0, тр) — шар с центром 0 и радиусом тр (содержащий, таким образом, носитель функции р^) и где использовано символическое обозначение ме(ф), определяемое формулой

U8 (ф) = 8 (фи)—ф8 (и) = Ы ® ^ф + Уф ® м}/2. (3.24) Существование столь малого т],-, что выполняется соотношение (3.19), следует из формул (2.7). Существование

столь малого тр, что выполняется соотношения (3.20) и (3.21), следует из (2.9).

Так как ф] = 1 на Qu то из (3.22) следует, что Ри *(ф]В(и)) = е(м) в некоторой окрестности множества Qoi тогда из (3.15) и (3.19) следует, что

JlEWIJlEWI( I Рщ * (Ф1Е («)) I£2( I Рщ * (Ф1Е («)) I£2<6 + j (1 — ср1)|е(м)|^26.<6 + j (1 — ср1)|е(м)|^26.

JlEWI

JlEWI

( I Рщ * (Ф1Е («)) I

£2

( I Рщ * (Ф1Е («)) I

£2

<6 + j (1 — ср1)|е(м)|^26.

<6 + j (1 — ср1)|е(м)|^26.

(3.25)

Из (3.17) получаем, что

и = 2 ФзЫ,3=1

И с помощью (3.20) мы сразу получаем (3.13):

J ।Ыб — и । ^ ^ 2 J I Ри,- * (фз«) — VjU | & < 6.

£2i^l £2

Для доказательства формулы (3.14) напишем с учетом равенства 2 ие (ф,) = 0, что.

з=1'

в (и6) = 2 Рщ * (ФзЕ (ы)) + 2 РтЬ * (ЫЕ (фз)) =

.3=13=1

= р„ * (ф^ (и)) 4- 2 Рю * (фзЕ (“)) + 13=2

+ 2 1*4 * (ме (ф;)) — U8 (ф;)}.

3=1

Отсюда с помощью (2.6) и (3.21), применяя затем (3.15), получаем неравенство

2 J I Рщ * (Фз8 (ы)) | dx + 2 J| Pn; * (ЫЕ (Фз)) — ы6 (Фз) 1 ^<

3=2 £2.J=1 £2

<2 jT,-|8(n)| + 6<26.

3=2 £2

Объединяя это неравенство с (3.25), получаем (3.14).

Теорема 3.2 доказана. ■

146

Замечание 3.3. i) В связи с замечанием 3.1, ii) следует указать, что мы можем так выбрать щ, что кроме неравенства (3.14) будет выполняться также неравенство

которое доказывает плотность пространства (^“(Й))” в BD(Q) относительно метрики, определенной в замечании .3.1, ii). Это наблюдение мы уточним и разовьем в § 5.

ii) Можно также потребовать, чтобы функция иь удовлетворяла дополнительным условиям, включающим дифференциальные операторы, отличные от 8 (и), и пространства LP(Q) ср=#1. Пример такого рода будет приведен в п. 3.4; общие результаты установлены в [33,139]. Относительно других результатов того же типа о плотности см. [3, 55] в случае пространства BV (Щ и [4] в случае BD^.

Мы можем следующим образом дополнить теорему 3.2.

Теорема 3.3. Для любого и из ВВ^ЗД существует такая последовательность Um^^” (Й))" П LD(Q), что

7o(um)= 7о(м) для всех т,(3.26)

и,п ->■ и относительно расстояния (3.5) при т-*”, (3.27)

Доказательство. Достаточно доказать, что функции ш, удовлетворяющие условиям (3.13) и (3.14), удовлетворяют также условию

7о(иб)= 1о(и).(3.28)

Для этого мы собираемся показать, что и — и» есть предел в пространстве BD^ конечных сумм вида

N

uN — u6n = S [TjW — Pn; * (TjW)] (3-29) 7—1

при 2V -> оо, причем сохраняются обозначения и предположения теоремы 3.2. Так как функции (3.29) обращаются в нуль в окрестности множества Г, то их след на Г равен нулю; так как оператор уо непрерывен на BD(Q) в топологии, определяемой нормой, то отсюда будет следовать равенство (3.28).

Имеем

(и —~ и^ ^un uqn') ” S f Чу и0^. * (ф;К)1,

;=k+iJ

откуда с учетом (3.20) полутом, что

(u — W6) — (^Un —||(Ь1^)П

(3.30)(3.30)< 2 I <V^ — Pn,. * V^jU) I ^ < 62-JV-1 5=N+1 qJ

(3.30)

(3.30)

а эта величина стремится к 0 при ^ -> °°. Точно так же, с учетом (3.21) и (2.4), получаем неравенство

J | в (и — м6 + un — uy^ | ^

< 2| ив (ф,) — Ри. * (М8 (ф,)) | dx +

i=N+iд31

J=.v+1 gJ=.v+1 g[ф,- I 8 (и) | + | Р^. * (ф;8 (и)) | } <

J=.v+1 g

J=.v+1 g

62-n-i + 2 J |е(м)|. (331) £2\£2/у

и величина в правой части стремится к 0 при N-* °°.

3.4. Пространство U(Й). Изучение слабых решений задачи о перемещениях для пластичности (см. (4.16) гл. I) приводит нас к рассмотрению немного более узкого пространства, чем BD^), а именно пространства

t/(Q) = (у е ВО(Q), div у g Z>2(Q)).(3.32)

Имеппо это пространство и является пространством перемещений с конечной энергией для задачи (4.16) гл. I. Это можно усмотреть, поставив, как и в замечании 3.2 следующий вопрос:

пусть ит — последовательность функций

из (^’(Q))", сходящаяся в (L^Q))"(соответственно равномерно на Q)к функции и, причем Т (e(wm)) ограничена.

'Что можно сказать о функции и.

Из выражения для Т, данного в формулах (4.15) i (4.18) гл. I, следует, что для некоторой постоянной ( имеем

■ f (div umy dx 4- кй Г | 8d (um) | dx ^ C,(3.33

ай

и отсюда легко вывести, что не £7(Q) (или соответственно w е (/(Q) П (^(Q))”). Таким образом, изучение пространства £7(Q) представляет естественный интерес.

Пространство U(Q) является банаховым пространством относительно естественной нормы

II и ^(И) = | div и |ь2(й) 4" || и Цвощ).(3.34)

На U (Q) можно определить слабую топологию и промежуточную топологию аналогично тому, как это сделано для BZ)(Q). Слабая топология определяется:

нормой ||u||(LI(fi)n)

и семейством полунорм

J 0 div и dx йJ 0 div и dx й0е f0 (Q),0е f0 (Q),(3.35)(3.35)[ W (и) й[ W (и) йФ е ^о (Q),Ф е ^о (Q),г, / = 1, 2, . .., п.г, / = 1, 2, . .., п.(3.36)(3.36)

J 0 div и dx й

J 0 div и dx й

0е f0 (Q),

0е f0 (Q),

(3.35)

(3.35)

[ W (и) й

[ W (и) й

Ф е ^о (Q),

Ф е ^о (Q),

г, / = 1, 2, . .., п.

г, / = 1, 2, . .., п.

(3.36)

(3.36)

Как и в случае BD(Q), убелщаемся, что если um— ограниченная последовательность в U (Q), то существует ее подпоследовательность (снова обозначаемая через wm), сходящаяся слабо к и в U (Q), т. е.

ит-*ив (L1^))" (по норме),

div ит-* div и в L2(Q) слабо,(3.37)

8y(um)-> 8у(н) bJ/^Q) слабо,

где i, j = 1, 2, . .., n.

Промежуточная топология в 17(Q)—это топология, связанная с расстоянием

d (и, и) = || и — v||Li(Q)n 4- | div (u - у) |L2(Q) 4-

(3.38)(3.38)J I 8 (ы) | — [ I с (у) I qa

(3.38)

(3.38)

Последовательность um сходится к и в промежуточной топологии, если кроме соотношений (3.37) выполняются также соотношения

(3.39)(3.40)(3.39)(3.40)div um-* div и в B2(Q) сильно,f |e(um)| -> У | е (ы) |.

(3.39)

(3.40)

(3.39)

(3.40)

йй

Полезно заметить, что при п = 2 пространство U (Q) есть пространство локального типа, т. е.

если и^и^^ и фе?'*(О), то нф^В(Й). (3.41) ».149

Напротив, если п ^ 3, то неизвестно, так ли это: вследствие теоремы 2.2 имеем BD(Q) с (В2 (Q) )2 при п = 2 и BB(Q) с (//(Q))" с р < 2 при п ^ 3. Так как

div (cpu) = ср div и + и grad ср,(3.42)

то при п > 3 мы не можем утверждать пи для и grad ср, ни, таким образом, для функции div (cpu), что они принадлежат L2(Q).

В заключение установим следующий результат, аналогичный теоремам 3.2 и 3.3.

Теорема 3.4. Для любой функции и из U(Q) существует последовательность функций um *= (Д?” (Й) )" П П BD(Q) fl 17(Q), удовлетворяющих следующим условиям;

То(“т) = У0(и) Vm,(3.43)

при тп оо последовательность ит сходится к и в промежуточной топологии (т. е. в смысле

(3.39), (3.40)).(3.44)

Доказательство, i) Па первое время докажем утверждение теоремы, заменив условие (3.39) менее сильным (при п 5$ 3) утверждением, что

div um div и в Ln*(Q) сильно. (3.45)

Применяя (3.42), мы можем заметить, что div (cpu) е е Ln* (Q) при ^е^Дй-) и и е Щ&У Тогда доказательство будет следовать доказательствам теорем 3.2 и 3.3, обозначения и предположения которых мы примем. — Нужно найти такую функцию и», которая будет удовлетворять не только условиям (3.13) и (3.14), по также и условию

|| div (u — и6) |lLn*(fi) < 6.(3.40)

Потребуем для этого, чтобы функции Рту удовлетворяли следующим дополнительным условиям:

II ~ Рту * W ||гп*(п) < 62^_1,(3.47)

// TjV« - Pny *(T;VM) 5in*(ti) < 62-J-1.(3.48)

Тогда мы получаем, что

div (и — Ue) =

= Д {T;VM — Ра; *(ФА?Ы)} + S {«VTJ — Ра; * (MVT;)b

откуда с помощью (3.47) и (3.48) получаем требуемое неравенство

|| div (u — ue) i|Ln*(o) <26.

— В теореме 3.3 нужно доказать, что, кроме уже доказанных утверждений, имеем

|| div ^и — и6) —(uN — u6N^ ||Ln*(g) -> 0(3.49)

при N->-°°. Но, учитывая (3.47) и (3.48), видим, что

|| div (и — и в — «V + и ем) |1ьп*(й) <

< 2^ || 4W“ ~ Pnj * ('Р; V“) ||ьп*(й) +

+ 2 || мvtj — Pnj * (“VTj) ||ьп*(й) < бг-*-1,

а это действительно стремится к 0 при N -> °°.

Из первого шага доказательства следует, что существует последовательность ит, удовлетворяющая условиям (3.37), (3.40), (3.43) и (3.45). Второй шаг доказательства следует идее статьи [4].

Так как ^^ (й) плотно в Л2(й), то можно найти такую последовательность функций 9me^0 (Й), которая сходится к div и в L2^1), причем при каждом т выполняется равенство

j 0m dx = ^ div и dx14).(3.50)

й й

н) Существует последовательность функций фт из ^^ (Q), сходящаяся к div и в Ьг^йу Если J div udx^O, то можно взять й

I div udx\ I I <pm dx 1, и 0m корректно определена для й\й )

достаточно больших т. Если же J div и dx = 0, то возьмем й

где ф е ’В’” (О) — некоторая фиксированная функция с ) ф dx ф 0. й

Согласно [5] или [52] для любого тп существует такая функция /т(= (И'1,п* (й))п(] (^°° (й])п, где п*=п1(п— 1), что.

div jm = 0m — div am в й,(3.51)

/т = 0падЙ)(3.52)

и

I fm lw1>n*(S)n ^ ^ II ®™ div ^”i Hi.n*(Q)’(3.53)

где с зависит только от й.

Положим тогда

Km Wm d~ /m(3.54)

и убедимся, что функция vm удовлетворяет всем требуемым условиям: vm g LD(Q) П (Й))” П 17(Й) и

J | vm — и | dx ^ J | ит — и | dx |- j | /т | dx, йий

где правая часть стремится к 0 вследствие (3.37) и (3.53). Точно так же

div(fm — u) = 0m — div и 0 в £2(Й) при т оо. Наконец,

е(кт) = е(нт) + ЦЦ,

J I е (М | — 5 | е (нт) | < J | е (/т) |, ййй

и правая часть последнего неравенства стремится к О при т->-оо, так как (вследствие (3.53)) первые частные производные функции /т сходятся к 0 в 17* (Й).

Теорема полностью доказана.

Замечание 3.4. i) Нам неизвестна характеризация пространства ^(Щй)), т. е. пространства следов ^о(м), ме(7(Й). Однако из теоремы 3.4 следует, что это пространство совпадает с пространством ^о(П(Й) П LD(Q)) (которое нам также неизвестно |6)).

И) Совершенно так же, как и в теореме 3.4, ii), можно доказать, что пространство (^“(Q))" плотно в пространстве

t7(Q) П LD(Q)= {у е LD(Q), div и е А2(Й)},

что не вытекает из предложения 1.3 гл. I, поскольку нам неизвестно, является ли это пространство пространством локального типа, когда размерность п пространства Rn больше 2. ■

Замечание 3.5. Согласно теореме 2.2 и теореме 2.4 имеем t7(Q)c (LP(Q))” (р ^ п* = пДп — 1)), где вложение непрерывно, а при р < п* даже компактно. Следовательно, построенная в теоремах 3.3 и 3.4 последовательность ит удовлетворяет, кроме условия (3.37), также и условию

ит -> и в Lp(Q)n сильно (3.55)

для всех р < п*. Кроме того, мы можем так выбрать последовательность ит, чтобы при m -* оо выполнялось соотношение

ит ~> и в Ln* (Q)n. (3.56)

Для того чтобы последовательность ит из теоремы 3.3 удовлетворяла условию (3.56), нужно вместо (3.21) потребовать выполнения условия

[[ р^. * (иё (срД) - ив (cp,-)j|Ln*(£2)n < 62~<

Аналогично, чтобы проверить, что последовательность ит из теоремы 3.4 удовлетворяет (3.56), нужно вместо (3.54) записать

|| Vm Um |l^n*/Qj?i ^ || Um ^ ll/,n*(Q)» 4" |1 /т Иг,и*(й)«

и так как ит -* т в (An*(Q))n, то достаточно проверить, что /т -* 0 в этом пространстве, что легко следует из (3.53), так как и* =5 2.

Выпуклые функции от меры

Наша цель в этом и в следующих параграфах состоит в том, чтобы распространить определение функционала

T (eD (u)) = J ф (eD (и)) dx

(см. (4.15) гл. I) на случай функций u^BD^Y Это

153

будет сделано в начале § 6. В этом параграфе мы определим выражение /(ц), где р — ограниченная мера на Q, а / — выпуклая функция с не более чем линейным ростом на бесконечности; тогда /(ц) является ограниченной мерой на Q, и, кроме того, /(ц) совпадает с функцией / ° Л dx, если ц — функция и ц = h dx, h е Lx (Q).

После условий на функцию / (п. 4.1) мы даем определение и простейшие свойства /(ц) (н. 4.2). Затем мы даем лебеговское разложение J(p) (предполагая известным лебеговское разложение ц) в п. 4.3; наконец в п. 4.4 мы приводим различные дополнительные сведения. Изложение следует [33] и [140].

Условия на /. Пусть X — конечномерное евклидово пространство, в котором мы будем обозначать норму через 1^1, а скалярное произведение — через §ц (см. § 1 гл. I). Зададимся выпуклой функцией / на X со значениями в R, удовлетворяющей условию

/©<МЦ-|£|) ^еХ, (4.1)

где kv ^ 0. Тогда ее область определения есть все пространство X, и, как известно, функция / тогда является непрерывной и даже локально липшицевой на X, и она субдифферепцируема в каждой точке пространства X (см. п. 2.1 гл. I). Сопряженная к пей функция /* является выпуклой собственной и. и. сн. функцией на X со значениями в R U {+°о}:

/* (ц) = sup{^ — /*(£)} УцеХ (4.2)

Область определения функции /*, т. е. область

К = dom /* = (ц е X, j*(ц) < +=}(4.3)

непуста, так как /* не равна тождественно +°°; из (4.1) следует, что множество К ограничено, поскольку

/* (n)^sup [Ч^ — ^(1 + |^|)] ^

> sup [г (I я I — к^ — /с,] г=|£|>0> sup [г (I я I — к^ — /с,] г=|£|>01+ 001+ 00если | ц |если | ц |в противном случае.в противном случае.

> sup [г (I я I — к^ — /с,] г=|£|>0

> sup [г (I я I — к^ — /с,] г=|£|>0

1+ 00

1+ 00

если | ц |

если | ц |

в противном случае.

в противном случае.

Таким образом, если 5(0, к^ обозначает шар с центром 0 и радиусом к\ в X, то выполняются соотношения

1*^>-кг ЧЧеК.1*^>-кг ЧЧеК.(4.4)(4-5)(4.4)(4-5)КсЩО, кх),

1*^>-кг ЧЧеК.

1*^>-кг ЧЧеК.

(4.4)

(4-5)

(4.4)

(4-5)

Предположим, кроме того, что /* ограничена сверху на К1.

УцеХ.(4.6)

С учетом полунепрерывности снизу отсюда следует, что / конечна па множестве ЭК, так что ЭК с К и, таким образом, множество К замкнуто.(4.7)

Иногда мы будем накладывать на функцию / дополнительные ограничения и будем предполагать, что

/>0, /(0) = 0.(4.8)

Легко видеть, что отсюда следуют аналогичные свойства для /*:

/* ^ 0, /* (0) = О, так что О^К. (4.9)

Если / удовлетворяет условиям (4.1) и (4.6), но не удовлетворяет условию (4.8), то можно найти такую аффинную функцию I на X, что

f = g + l,(4.10)

где функция g удовлетворяет условиям (4.1), (4.6) и (4.8). Действительно, для всех g0 из X функция / является субдифферепцируемой, так что существует такое ч0Е d/(go), что

№1Ша6£-Ы V^eX

и тогда функция grs) = /(^ + go)-/ao)-ao(g) =

= /(g + go)-ao(g + ^o) + /*(ao)(4.11)

удовлетворяет (4.1) и (4.8); для проверки (4.6) заметим, что

g* (л) = /* (ч + а0) — Т1^о — /* (а0) УцеХ (4.12)

и при этом

dom g* = dom /* — «о = К — ао, (4.13) д*(ц)<А:2 IА(1+2|£0|) Уце domg* = К — а0. (4.14) Чтобы добиться выполнения (4.10), достаточно ограничиться случаем Во = О, и тогда /* («о) = — /(0).

В заключение введем «главную часть» функции /, обозначаемую через f»; это — опорная функция множества К:

U (|) - sup £ц У^еХ.(4.15)

век

Эта функция выпукла и положительно однородна как функция на X со значениями в R; она удовлетворяет соотношению

и®<ачш ^х.(4.16)

Опа положительна, если / удовлетворяет условию (4.8), так как тогда ОеК вследствие (4.9).

Определение /(р). Пусть й— ограниченное открытое множество в R*. В этом пункте мы будем, не опасаясь путаницы, обозначать через ^о, ^Г, ^ь L\ ... пространства ^(Q; X), ^"(Й;^), М^-ДуЬ'^Ху...

Зададимся выпуклой функцией / па X со значениями в R, удовлетворяющей условиям (4.1) и (4.6) и — на некоторое время — также условию (4.8). Для данной рЕ М\ мы хотим определить Др) как ограниченную (скалярную) меру па й: следовательно, нужно определить </(р), ф> для всех сре^о(й), и мы начнем с определения этого выражения при ф ^ 0.

Для любой меры реЛД=Л/ДЙ; X) и для любой функции ср s 7?0(Й) (ср ^ 0) положим

</ (р). Ф> = sup К (щр) р — J /* (к) ср dx\, (4.17) ” [й пJ

где верхняя грань берется по всем уе^ДД), где

^(^^^^^(Й; X), Г’реЬЦй)}, (4.18)

Определение (4.17) мотивируется тем, что, как мы докажем ниже (см. теорему 4.2), имеет место равенство

</(р), Ф> = ( f(h(x))tp(x)dx,(4.19)

й

если р —■ функция р = h dz при h s L' (й; X).

Легко видеть, что правая часть в (4.17) конечна и неотрицательна: действительно, Ое^Д^), так как 0 s s К (см. (4.9)), и так как /* > 0, то

0«/(р).ф>< sup j ркф<Д J ф | р |. (4.20) ^еф^^ий

Положим

©A^^V’^^^^Xy /*»veP(Q)L (4.21) 3)j (Ц) = Д е U (Й, р; Ху Д-ке^ДЙ)}, (4.22) где 12 (Й, р; X) = lA—множество (классов эквивалент-

ности) функций на й со значениями в X, принадлежащими I? относительно меры ц. Тогда справедлива следующая лемма, которая будет нам полезна в дальнейшем.

Лемма 4.1. Величина </(р), ф> не изменится, если заменить в (4.17) верхнюю грань по S/C^o) на верхнюю грань по Ф^Ф^) или Ф^Ц^.

Доказательство. Так как Ф; {^) с Ф; (^0) сг cS^I$, то достаточно доказать, что верхние грани ио Й?Д^) и ©АЦ^ равны между собой. Для этого возьмем некоторый элемент и в ©АЦА, мы должны приблизить выражение

A (у) = J (рф) ц — J /* (р) ср dx (4.23)

с помощью А (ги), где w е ©j ^й\ Пусть 9Г— возрастающая последовательность функций из ^^(й), удовлетворяющих условиям 0 ^ 0г ^ 1 и сходящихся к 1 (поточечно) при Г-*0°. Из условия выпуклости и из (4.9) получаем, что

О ^ /* (Огр) ^ Or/* (р) + (1 - О,)/* (0) ^ /* (р) .

Тогда теорема Лебега показывает, что А(0гр)->А(р) при г -* °о, откуда следует, что мы можем предполагать, что функция р е Ф5 (L^) есть функция с компактным носителем в Й. Тогда функция р может считаться продолженной нулем впе множества й, и мы можем рассматривать регуляризованные функции рг * р, где

РпМ^Р^pe'g’^R”), O^p^l, J р'(ж)dx = 1,

p (ж) =0 при | x | ^ 1

и, для простоты, p(—x) = p(x), x^R". Функции p„ * P равны нулю впе й, если ц меньше расстояния между границей 9Й и носителем функции р. Тогда из выпуклости получаем; с помощью (4.9), что

0^/*(рч* р)^ Рч */*(р). (4.24) Отсюда следует, что рп * р е Ф! (’$'”), и мы получаем,

157

что

Л (рт) * у) = j (рп * у) фр — j /* (рп * у) ф dx ^ ЙQ

^ J у (Рп * (рф)) — f Рп * /* (у) ф dx. Йй

При р-* О эта миноранта для величины Л(рп*у) сходится к Л (у), откуда следует, что

(4.25)(4.25)lim inf Л (Рп * у) > Л (у).

(4.25)

(4.25)

Т|->0

Это показывает, что нижние грани по 35/(^о°) и по 35/ (^У равны между собой, и лемма доказана.

Теперь мы докажем, что </(р), ф> есть аддитивная функция аргумента ф.

Лемма 4.2. Если функция / удовлетворяет условиям (4.1), (4.6) и (4.8), рsМt и ф[, фге'®’о(Й), причем ф,- > О (г = 1, 2), то.

</(р), ф1 + ф2> = </(р), ф1> + </(р), ф2>.

Доказательство. Легко видеть, что имеет место неравенство

ЧЫ, Ф1 + ф2> ^ </(р), Ф1> + </(р), ф2>.

Мы собираемся доказать обратное неравенство с точностью до ц, где т] > 0 сколь угодно мало. По определению величин </(р), ф1> (i = l, 2) существуют такие и\ и у2 в ^0, что для i = l,2 имеем

</ (р), Фг> — П < J Owd Р — f /* М ф! dx. (4.26) йй

Пусть тогда и — функция на й со значениями в X, равная 0 при ф1 + фг = 0 и равная

Ясно, что функция у является р-измеримой, и так как 1 у (ж) I ^ I у 1 (ж) I + I Уг (ж) I для всех ж е Й, то у g V (Й, р; X), причем

j" (Ф1 + ф2)уИ = S J ^Ф1Р-

йi=1 й

Пусть Й0 = {хей. ф1 (ж) +ф2(ж)> 0). Для любого х из Йо из выпуклости и неотрицательности функции /*

следует, что'

° < f <" И) <№?/* ^ W) + W^> ^^

</* (и, (ж)) + /*(v2(z)).

Па множестве Q\Q0 имеем /*(р(ж)) = 0, так как /*(0) = 0. Отсюда следует, что /* ° и s V (Q), и, таким образом, и е S)s (Ьц). Предыдущие неравенства показывают, что ( /* (у) (фг ! ф2) dx - f /* (у) (cpT + ср2) dx < ий„

2 Р* ^ Ф1 ^Ж = 5 ^ /* (yi) Фг ^, i=l Яо{=1 й

и, с учетом леммы 4.1, мы получаем искомое неравенство

</ (РФ Ф1 "И Фг> > f v (Фг + ф2) Н — f /* И (Ф1 + Фг) d® > Ой

> 2 К w - f /* И Фг ах\> i <t(и)’ ф*> - 21].

|ййI *=1

Если взять теперь фЕ^0((3), то ф можно представить в виде ф = ф+ + ф-, где

Ф+ = шах(ф, 0), ф~ = пгах(—ф, 0), и определим величину </(р), ф>, полагая

ММ, Ф> = ММ, Ф+> - ММ, ф->.(4.27)

Заметим, что па основании леммы 4.1 мы можем заменить в (4.27) величины ф+ и ф- па любую другую такую пару функций ф,, фг из ^(Q), что ф1^0 при i = l, 2 и Ф = ф| — ф2: действительно, тогда выполняется равенство Ф1 + Ф~ = ф2 + ф+, и согласно лемме 4.1 имеем

ММ, Ф1 + ф~> = ММ, Ф1> + ММ, Ф~> =

= ММ, Ф1 + ф+> = ММ, ^> + ММ, ф+>, так что

ММ, ^> = ММ, ^>-ММ, Ф2>.(4.28)

Теорема 4.1. Пусть f—выпуклая функция на X со значениями в R, удовлетворяющая условиям (4.1), (4.6) и (4.8), и пусть ц^МхМ, X). Тогда )М, опреде-

ленная соотношениями (4.17) и (4.27), есть положительная ограниченная мера Радона на Й, абсолютно непрерывная относительно ц.

Доказательство. Нужно показать, что отображение ф-*</(р), Ф> есть положительная линейная форма па 'Fo(^)- Если ф,, ф2е^о(£2), ф = ф1 + ф2, то

Ф« = фг" — фГ, i = l,2, ф = (ф? -I- ф?) — (фГ + фГ), п вследствие (4.28) и леммы 4.2 имеем </ (р), Ф> = </(р), фТ + ф^) —</(р), фГ + Ф?) = 2

= 210 (р), Ф1") — 0 (р)- фГ)1 = </ (р), Ф1> + </ (р), ф2>- <=1

С другой стороны, если Z^R и фо^^^й), то мы должны доказать равенство

</(р), 1ф> = ^</(р), Ф>.(4.29)

Записывая ф в виде ф = ф+ — ф- и различая случаи X > О и X < О, мы сводим задачу доказательства формулы (4,29) к случаю, когда X > 0, ф > 0, что совершенно очевидно.

Из (4.20) нам известно, что /(р)>0. Отсюда следует, что непрерывная линейная форма ф-*</(р), ф> непрерывна на ^(й), так что /(р) есть мера Радона. С другой стороны, вследствие (4.20) и (4.28) для любой функции фЕ^0(О) имеем

I </ (р), Ф> I < </ (Р), I Ф I X &1 J | ф 11 Р I; (4-30) <2

отсюда вытекает, что мера /(ц) абсолютно непрерывна относительно меры р. Теорема полностью доказана.

Замечание 4.1. Функция J(£)=lBl удовлетворяет условиям (4.1), (4.6), (4.8). Так как /*— индикатриса единичного шара ||] ^1, то из (4.17) следует, что мера /(ц) совпадает тогда с мерой |ц|, понимаемой в обычном смысле теории меры.

Точно так же, если Х = Ви если /(s) = s+ или s~, то условия (4.1), (4.6), (4.8) выполняются, и меры /(ц) совпадают с обычными мерами ц+ и ц-; действительно, рассмотрим, например, функцию s+; заметим, что функция /*($) есть индикатриса отрезка [0, 1], и согласно 160

для любой ф из ^(Q), ф ^ О, имеем " '*

</(р), Ф> = SUP ^фр=^фр+.

^^„(й) й й o-ev(x)<i

Перейдем теперь к определению величины </(ц), ф>, где / удовлетворяет условиям (4.1) и (4.6), но не удовлетворяет условию (4.8): мы используем разложение типа (4.10) функции /, т. е. разложение / = g + Z, где I— непрерывная аффинная функция па X, a g — выпуклая функция, удовлетворяющая условиям (4.1), (4.6), (4.8) (например, определяемая соотношением (4.11) для 50 = = 0). Положим тогда

/(p) = g(p)+Z(p).(4.31)

Ясно, что /(ц) — ограниченная мера Радона па Q, абсолютно непрерывная относительно р; остается только проверить, что это определение меры /(ц) корректно, т. е. не зависит от выбора g и I в (4.10). С этой целью мы сейчас покажем, что для всех ф из ^(fi), Ф ^ 0, имеет место равенство]

Цц) = sup К (пф) ц — J /* (к) ф daA. (4.32) ^е®^) U«J

Записав Z (£) = «£+ 6 (а^Х, 6eR). Мы получаем из (4.31), (4.17) и из леммы 4.1, что

</(t0, Ф> =

По g*(r)) = /*(a + т))+ Ъ для всех rj^X, и поэтому ®, Щ) = ®, (Д') - „; таким образом, величина </(ц), Ф> равна также верхней грани

sup К (к -ф а) ФР — J /* (к + а) ф dx\, ■^«е®^) ЬuJ

а эта величина совпадает с правой частью (4.32).

Из (4.32) следует, что если /1 и /2— две выпуклые функции, удовлетворяющие условиям (4.1) и (4.6), и если выполняется неравенство

/I 5 /2,(4.33)

161

то

Ь^^ШУ(4.34)

Это сразу следует из (4.32) и из неравенства /*^/г- Если /1 — / и /2 — ^1 (1 + 1^1), то из (4.1) следует, что

/(^^^(1 + 1^1).(4.35)

С другой стороны, вследствие (4.31) мы получаем, так как g(pi) ^ О, что

./(ц)^/(ц) = аор-/*(ао).(4.36)

Но, так как «oGdom/*, то вследствие (4.4) и (4.6) мы получаем неравенство

/(ц)>-/с11ц| -к2.(4.37)

Лебеговское разложение меры/(ц). Пусть /—выпуклая функция, удовлетворяющая (4.1) и (4.6), и пусть He^i; мы хотим определить лебеговское разложение меры /(ц), считая известным лебеговское разложение меры ц:

ц = h dx + ц®,(4.38)

где h е У, а ц® — сингулярная составляющая меры. Начнем со случая, когда ц® = 0.

Лемма 4.3. Если ц— функция и y^hdx, то

j^ = phdx.(4.39)

Доказательство. Мы можем предполагать, что функция / удовлетворяет условию (4.8), и мы должны доказать тогда, что

<i№i Ф> = ^ j(h(x))ip(x)dx(4.40)

для всех (ре^ДЙ), ф > 0.

Так как /* ^ 0, то J /* (у) ср dx — + 00 при и е У = а

= У(Й; X) и u^Sf^Y Тогда мы можем заменить в (4.32) верхнюю грань по ФАЦ^ на верхнюю грань по всему пространству У и записать равенство

</(р)’ Ф> SUP If (vh — j* (у)) ср dxvel> (h

Если мы рассмотрим функцию 0 па ЙХХ, определенную 162

формулой

при UK-

к '[-|- оопри £ ^ А,

то мы получим, что

(4.41)(4.41)</ (р), Ф> = SUP |“ j ° Сс v (ж)) ^veL1 [£2

(4.41)

(4.41)

Функция 6 — борелевская функция на Q X X со значениями в R), и для почти всех х из Q отображение ;^9(z, §) п. п. сн. Следовательно, эта функция удовлетворяет условиям (2.58) и (2.59) гл. I, т. е. является нормальным интеграпдом на QXX. Вследствие (4.4) и (4.5) выполнено и условие (2.57) гл. Г.

6(ж, §) 2$ —/(ц (1 + Щж) |)ф(ж).

Тогда из (2.60) следует, что верхняя грань в (4.41) равна

J 0* (ж, 0) dx, £2

где 0* — функция, сопряженная к 0 относительно ^, т. е.

0* (^, п) = suP М — 0 (*, £)}>

и, в частности, 0* (ж, 0) = sup {(^/г (ж) — /* (£)) ср (ж)}.

Эта верхняя грань равна ф(ж)/(/г(ж)), откуда и следует равенство (4.40).

Перейдем к общему случаю. Воспользуемся функцией У», связанной с функцией / равенством (4.15); эта функция удовлетворяет условиям (4.1) и (4.6), и, таким образом, мы можем определить меру /оо(ц).

Теорема 4.3. Пусть j — выпуклая функция на X со значениями в R, удовлетворяющая условиям (4.1) и (4.6), и. пусть цеЛ/1(й, X)— мера, лебеговское разложение которой имеет вид (4.38). Тогда лебеговское разложение меры /(ц) имеет вид

/(ц) = /0/г^ + /о0(ц®).(4.42)

Доказательство, i) Докажем сначала искомый результат в предположении, что функция / удовлетворяет условию (4.8). Достаточно доказать справедливость соотношения

</(ц), ф> = <j = kdx, <р> + </„(ц5), ф> (4.43)

для всех ф из ^(Й), удовлетворяющих условию ф > 0. Легко получаем неравенство

</(ц), ф> =С </° kdx, ф> + </<»( Д®), ф>.

Действительно, из (4.17) и (4.38) следует, что

</ (10, ГР> <

^ sup I (уф) (.isl -|- sup /1 <ук — /* (у)) ф dx\ ^

^ sup И (уф)ц5 — /Х(у)ф^Д + {j(hdx\ ф>< ^focWb2й/

<</»(ц®), ф> г <HHdx\ ф>;

в этих неравенствах использован тот факт, что dom /* = = dom /* = - К, причем /1 (£) = 0 для 5е К-

Докажем теперь справедливость противоположного неравенства с точностью до ц. Для данного сколь угодно малого ц > 0 существуют такой элемент У1 в ^^(^о) и такой элемент у2 в ^/(^о), что

<U (ц®), Ф> - Ц < f ('YP) И8,й

</ (Д dx), ф> — X f (у2/г — /* (у2)) ф dx.

Й

Множества ^/('й’о) и ^/^('й’о) па самом деле равны между собой, причем

®i (^о) - ^/оо (^о) = {у е ^0(^; X^v^eK >ix\

Так как мера ц® сингулярна, то существует такое открытое множество О с Q сколь угодно малой меры, па котором сосредоточена мера ц® (так что I ц®1 (Q\O) = 0). Пусть

О = (У, - у2) к - (/* (у,) - /* (у2) ) Е р (Q, X) .

Выберем такое открытое множество О достаточно малой 164

меры, чтобы удовлетворялось условие

f 0ф dx оf 0ф dx о<0,<0,(4.44)(4.44)

f 0ф dx о

f 0ф dx о

<0,

<0,

(4.44)

(4.44)

и определим функцию у следующим образом: ■

_ наО,

U' р2 наQ\O.

Ясно, что функцияуявляетсяц-измеримойи принадле

жит 35/(Фц), и вследствие леммы 4.1

[ (^ф) 0s + f dx — ^j* (у) ср dx </ (ц), ф>.

ЙЙо

Однако правая часть предыдущего неравенства может быть с учетом определения функций У1 и у2 и неравенства (4.44) преобразована следующим образом:

J и1фц8 + J v^k dx + J у.2ф/г dx — J /* (yj ф dx — йоЙ\Оо

— j /* (i’2) rP dx J y^pps -I- J (y2/i — /* (у2)) ф dx -{-

Й\ОЙЙ

-Г J Оф dx > </oo (ps), ф> + </ (/г tZa?), ф> — Зт]. о

Таким образом, равенство (4.43) доказано.

Если функция / не удовлетворяет условию (4.8), то мы воспользуемся разложением (4.10), (4.11) функции /. Вследствие (4.31) и предыдущего исследования имеем

/(H) = g(H) + aop.-/*(ao) =

= g(k dx^-V айк dx + g^ (ц®) + аоц® — /* («о).

Но, согласно (4.13), выполняются соотношения

goo ® sup £т)— ga0 -|- sup gp -= — £а0 + /=о (^).

BGdomg*riedoinj*

Отсюда следует справедливость соотношения (4.42) и в этом случае.

В заключение заметим, что мера /<»(ц®) сингулярпа (во всех случаях) и что она сосредоточена па том же множестве, что и исходная сингулярная мера ц®, поскольку из (4.32) следует, что </о=(ц®), ф>=0 для любой та- 1 кой функции фе^оСО), которая обращается в нуль па носителе меры ц®.

Теорема доказала.

. Дополнительные сведения. В заключение этого параграфа установим некоторые дополнительные результаты.

Так как /(р)—ограниченная мера Радона, то интеграл Ф/(р) имет смысл для любой функции ф из @”(й) Й

(и даже для любой фе£”(Й, р)), и если ф^^сДЙ) и Ф> О, то этот интеграл равен величине </(р), ф>, которая определена в (4.17). Мы хотим показать, что формула (4.17) и формулы, являющиеся следствием леммы 4.1, допускают распространение па случай произвольной неотрицательной функции ср из ^(Й).

Лемма 4.4. Для любой функции ф из ^(й), удовлетворяющей условию ф ^ 0, выполняется соотношение

J ф/ (р) = sup И (уф) р — j /* (у) ф а® й® (йй

где верхняя грань может вычисляться — с одним и тем же результатом — по любому из трех множеств, пробегаемых элементом и: по ^A^oY Э^Д^о) или S>j(Л^У

Доказательство, i) Сначала мы установим утверждение леммы для 3)/(7>ц). Пусть ipe®’”^), где О С ф =С 1 и ф = 1 па относительно компактном открытом подмножестве Й' в й. Тогда с учетом леммы 4.1 получаем, что

J ф/(р) = J W/ (Р) + Й1 ~ ^) Ф/ (Р) = йЙй

= sup И (уфф)р — j/*(y)^da:l + J (1 — ф)ф/(р).

Отсюда, полагая

I = ф/ (р) — sup 11 Уфр — 1 /* (у) ф dx

12^Ф^ Р2 12

получаем, что

7<J (1 — ф)ф/(р) I- sup К(ф —1)уфр —

— J (^ — 1) /* (у) Т ^

Соотношения у(ж)е^ и !l>(z)!^/ci выполняются почти всюду, так как veSj^ (см. (4.4)); используя также (4.5) и (4.35), мы видим, что

I ^ 2^ f (1 — ф) ср | ц | Чкх § (1 — ф) ф dx.и и

Правая часть этого неравенства может быть сделана сколь угодно малой, если выбрать Q' достаточно большим, откуда мы заключаем, что Z ^ 0.

Совершенно аналогично доказывается, что Z > 0, откуда и следует справедливость равенства (4.45) в случае множества 2D; {Ц^-

Чтобы доказать, что верхняя грань по множеству 2^) (и, следовательно, ФД^о^ совпадает с верхней гранью но множеству ^/(Zv^), достаточно повторить рассуждение из леммы 4.2, которое остается справедливым и для функций ф из ^(й), а не из ^(Q).

Лемма доказана. ■

Обозначим через 0» характеристическую функцию множества О <= Q. Если О — борелевское подмножество в й и lie М\ = Л/4 (й; X), то мы можем определить две меры Радона — меру /(6оц) и меру 0о/(ц). Если /(0) = 0 и если ц — мера, определяемая функцией, то эти меры совпадают. Распространим сейчас этот результат на случай произвольных мер ц.

Предложение 4.1. Предположим, что /—выпуклая функция, удовлетворяющая условиям (4.1) и (4.6), а также условию

iW = 0. (4.46)

Тогда для любой меры ц е М[ и любого борелевского О с Q имеем

■ /(0оц) = 0о/(ц). (4.47)

Вследствие (4.31) достаточно доказать это утверждение в случае, когда / удовлетворяет также условию (4.8), что мы и будем предполагать в дальнейшем.

Л е м м а 4.5. Для данной меры у, в М\ и функции f, удовлетворяющей условиям (4.1), (4.6) и (4.8), отображение О^-/(0оц) есть аддитивное и возрастающее по О (О—борелевское подмножество в й) отображение.

Доказательство. Так как / ^ 0, то достаточно доказать аддитивность. Пусть О\ и О2— такие два борелев- мшх подмножества в й, что О\ П О2 = ^, и пусть О =

= 0\ U 02. Мы должны доказать, что для всех фе^0(9), удовлетворяющих условию <р > 0, выполняется соотношение

■ У ф/ (ВоМ) = f ф/ (60 ц) + [ ф/ (00 р)-(4.48)

айа

Для фиксированного ц > О существует такой элемент п Е ^оС^), что

У ф/ (0оц) — р < У о‘ф0ор — f /* (и) ф dx. ййй

Так как /* (0ои) =5 /* (и), то правая часть последнего неравенства не превосходит величины

У ^фОо pt + J п2ф0Огц — J /* (pJ Ф dx — У /* (р2) q>dx

йййй

(где 1\ — pOoJ, а эта величина мажорируется правой частью неравенства (4.48).

Для доказательства обратного неравенства заметим, что существуют такие функции р^^Д^д) (i = l, 2), что

J Ф/ (6о^)—ц^ [ ^{фОо^ — У /* (р») ф dx йпй '

для z = 1, 2. Обозначим через и функцию ОсИф + 6о2Р2, принадлежащую 3)t (L$, и тогда получим

У Ф/ (Оо^) + f Ф/ (Оо2Р) — 2т] <

Йй

< У Рфц — Т /* (у) ф dx < У Ф/ (0оц), ЙЙЙ

откуда и следует утверждение теоремы, так как ц > О произвольно.

Лемма 4.6. В предположениях леммы 4.5 для любого борелевского множества О с Q выполняется соотношение

/==(0оц) = 0о/.х,(ц).(4.49)

Доказательство. Мы должны доказать, что для любой функции ф из ^(0), ф > 0, имеем

Сф/<х.(|1)= sup [рф0ор.

Начнем с изучения случая, когда множество О открыто. В доказательстве теоремы 4.2 мы уже заметили, что

Sи (^о) = ®i (^о) = {^ е ^0 (й; X), v ^ е К Vz е й}.

Так как О открыто, то существует возрастающая последовательность функций Oj из ^^(О), O^Oj^l, сходящаяся к 0о при / -> оо. Тогда J фОДм (р) сходится к

J фОо/со(ц), И поэтому

) <А7=с (р) — sup \ кф0ор а^^(^о)«

< sup К ср | Г || 0; — 0О||р| I <Аф J ф|0~ 0О||р|,

■^Ф^б ^ | aJ а

где последнее выражение стремится к 0 при j -* <”.

Поскольку формула (4.49) для открытого множества О доказана, то из леммы 4.5, примененной к /„, следует, что равенство (4.49) остается справедливым и для замкнутого множества Й:,

/ оо (ОоЦ) /ОО (р) /оо (6й\оЦ) == 0о/оо (р) •

Пусть теперь О — борелевское подмпожество в Q, Л — компакт, В—открытое множество и Л <= О с В. Согласно предыдущему и с учетом леммы 4.5, примененной к /„о, имеем

Оа/ос (р) = /ос (ОаЦ) 5 /„ (ОоЦ) = /оо (6вЦ) = бв/ос (ц) .

Для всех ф из ®’о(Й) с ср > 0 получаем, таким образом, что

У ф/= (р) ^ У ф/=о (Оор) ^ ( ф/оо (р). дав

Беря верхнюю грань по Л и нижнюю грань по В, получаем, что

У ф/оо (Оор) = f ф/оо (р),

ао■

что и доказывает (4.49).

Доказательство предложения 4.1. Завершим теперь доказательство предложения 4.1.

Если О — борелевское подмножество в О', то из теоремы 4.2 ц леммы 4.6 следует, что

/(60р) —/(0о^ dx) + /„ (0оц®) =

= ео/о/г^ + ео/„(р8) = ео/(р), (4.50) откуда п вытекает (4.47).

Выпуклые функционалы от меры

Мы изучим здесь выпуклые функции, определенные на пространстве мер со значениями в R или R U {+<»}. Такие выпуклые функции изучались в прошлом многими авторами: см., в частности, [11, 58, ИЗ, 114, 134, 140]. В этих работах рассматриваемые выпуклые функции вводились либо непосредственно, либо с помощью двойственности. Приведенное здесь изложение построено иначе: оно, как и в [33], состоит в определении функционала F(ц) в виде интеграла по О (или по борелевскому подмножеству О) от меры /(ц), определенной в § 4. Эти функционалы введены и изучены в п. 5.1.

В пи. 5.2 и 5.3 мы изучаем вопросы приближения: речь идет, например, о том, чтобы приблизить меру ц регулярными функциями ит так, чтобы /(um) сходилось К jW, а ( /(пт) dx сходился бы к ^ / (ц); это пе так £2£2

просто, поскольку сходимость ит к ц необходимо является слабой, так как ц не определяется функцией. Результаты этого рода являются целью п. 5.3; сходные результаты получены и для функций, определенных па пространстве УД (О), изученном в § 2, 3.

Определение выпуклых функций. Как ив § 4, обозначим через X конечномерное евклидово пространство. Пусть / — выпуклая функция па X со значениями в R, удовлетворяющая условиям (4.1) и (4.6), и пусть- peJ/i(O; Ху Положим

^(p)=f/(p),(^-l)’

£2

где /(ц)— мера Радона, определенная в § 4. Из леммы 4.4 сразу следует, что

Е(ц) = sup И уц — ^j*^dA.(5.2)

® [й йJ

где верхняя грань берется но одному из множеств — аД^. <w0), ®ДЦ} — все равно, по какому именно. По лемме 4.3, если ц— функция, yi = hdx, KeF, то имеет место равенство.

F (ц) = ^(hl^dx.(5.3)

о

В общем случае ц допускает лебеговское разложение вида

ц = h dx + ц®,• ■ (5.4)

где h е V и ц®— сингулярная мера. Тогда по теореме 4.2 значение /'’(ц) представляется в виде

F (ц) - = F (h dx) + Foo (ps) = J / (A ^ ^ ~r f U (Н®)> (5-5)

где /„ определена в (4.15), a Е„— функционал вида F, связанный с !<,„ соотношением типа (5.1).

Ясно, что Е(ц)еЦ для всех ц из Л/],и согласно (4.35) и (4.37) имеем

-^(Ipl-I^FG.O^fdpH-l). (5.6)

Функция ц-^/'^ц) выпукла и п. н. сн. на Afi(Q; X) согласно формуле (5.2); так как ее область определения есть все пространство М\, то она также и непрерывна на этом пространстве (см. п. 2.1 гл. I). Вследствие (5.2) она также п. н. сн. в широкой топологии на пространстве мер.

Теперь возьмем борелевское подмножество О в Q; мы можем связать также с функцией / функционал Fo, определенный равенством

F0(p)=f/(p)..(5.7)

о '

Если мы предположим, кроме того, что

/(0) = 0,(5.8)

то вследствие предложения 4.1 имеем

Ео(ц) = Е(0оц),(5.9)

где 90 — характеристическая функция О, и справедлива

171

формула, аналогичная (5.2):

F0(p) = sup К i7p. — ( /* (v) dx\ (5.10) ’ (о я J

в которой верхняя грань берется по всем и, пробегающим какое-нибудь из множеств— Ф^ (??“), Ф$ (^о) или аАЦА

Ясно, что /’«(p^R для всех це^. а вследствие (4.35) и (4.37) справедливо неравенство

-АЧ ^|р|-1)^^о(р)^А-Л(|рЦ-1). (5.И) оо

Функция р ->7'о(р) выпукла и непрерывна па Л/^Q; X); напротив, отображение р-^- 0о(р), вообще говоря, не является непрерывным в слабой топологии и функционал /?0(р), вообще говоря, не является и. н.си. относительно этой топологии.

Если О открыто, а / удовлетворяет (4.8), то из формулы (5.10) следует, что

F0(p) = sup К pu — ^ j* (г)<£г|,(5.12)

” (о о J

где верхняя грань берется ио всем уе^О; X), для которых j* ° v е L' (О); это показывает, что Q не играет никакой роли, и что Fo и. и. си. в широкой топологии па М\ (Q;X); конечно, вследствие (4.31) это остается справедливым и в случае, если / не удовлетворяет (4.8).

Сделаем еще несколько замечаний относительно леммы 4.5: предположим, что / удовлетворяет (4.8); тогда имеем:

^о(Ю^0 VO, Vp,(5.13)

^(pX^o'W Vp, VO, O', Ос O', (5.14)

Fo(p)—аддитивная функция p.(5.15)

Наконец, из теоремы 4.2 следует, что если р имеет лебе- говское разложение (5.4), то

Fo (Ц) = W ^ dx 4- f ^ (ps) - f / (А (*)) dx l J U (0opS). оbou

(5.16)

Таким образом, вклад меры ps исчезает, если О не пересекается с (пренебрежимым) множеством, па котором сосредоточена мера ps.

■172■

Приближение выпуклых функций мер. Мы уже упоминали в § 2, что ^^ (Q; X) плотно в пространстве Л/1 (Q; X), снабженном топологией широкой сходимости мер, откуда и следовало, что любая мера р может быть приближена с помощью срезки и регуляризации последовательностью функций из (Q; X) (см. (2.8) — (2.10)). Пространство ^^ (Q; X) пе плотно в пространстве Л/ДЙ; X) в топологии, определяемой нормой (иначе М совпадало бы с L1). Наша цель сейчас — показать, что ^^ плотно в пространстве М\, снабженном промежуточной топологией между слабой топологией и топологией, определяемой нормой.

Пусть дана выпуклая функция / па X со значениями в R, удовлетворяющая условиям (4.1) и (4.6), как и выше; обозначим через М} пространство Л/ДЙ; X), снабженное топологией, связанной со следующими уклонениями (см. [6]):

уклонения, связанные с полунормами Кр, п>|, где не ^(й; X), т. е.

е0(р, v) = Кр — v, п>|; (5.17)

уклонение

^(щ v) =^(щ v) =.f/^-f/(v)6262.f/^-f/(v)6262(5.18)(5.18)

^(щ v) =

^(щ v) =

.f/^-f/(v)

6262

.f/^-f/(v)

6262

(5.18)

(5.18)

Ясно, что эта топология есть промежуточная топология между топологией широкой сходимости и топологией, определяемой нормой; например, последовательность р< сходится к р в Mj, если при / ->- <»

р5 р в смысле широкой сходимости (5.19) и

.f/(M^ j /(и)-6262.f/(M^ j /(и)-6262(5.20)(5.20)

.f/(M^ j /(и)-

6262

.f/(M^ j /(и)-

6262

(5.20)

(5.20)

Докажем следующую теорему.

Теорема 5.1. Если выпуклая функция f удовлетворяет условиям (4.1) и (4.6), то пространство ' ^^(й; X) плотно в пространстве Л/1(й; X), снабженном топологией, связанной с уклонениями (5.17), (5.18).

Доказательство будет следовать из нескольких лемм.

Лемма 5.1. i) Пусть р,— последовательность элементов пространства Л/ДЙ; X), широко сходящаяся к р, и пусть при этом последовательность /(р,) широко схо-

/

дится к мере v ^при i -^- °°Y Тогда справедливо соотношение

(5.21)

ii) Если, кроме того, f ^ 0 и lim sup[ / (рД ^ ^/(ц), mo

/ (р) = v и f / (р) = lira j f^jY(5.22)

аз^^о

Доказательство. Для доказательства справедливости формулы (5.21) мы должны доказать, что

</(р), ф> ^ <v, ф>

для всех ф е ^(Q), ф > 0. Но для фиксированного т] > 0 существует такой элемент и е SDjY&qY что

</ (р). ф> — n < f И:) р — J /* И фыb

Правая часть последнего неравенства равна

lim И (нф) р,- — У /* (к) ф daA ^

з-*» (цв/

' (^ф)J /* ("О ф

йЙj

<Hm </(рД, ф> = <v, Ф>.

Отсюда следует, что

</(р), ф> — Л ^ ’'V, ф>

и, так как г] > 0 сколь угодно мало, то мы получаем искомое неравенство.

Для доказательства справедливости формулы (5.22) заметим, что с учетом формулы (5.21) и соотношения /(р>)^ 0 мы получаем формулу

f / (р) < f V < ]im inf f / (рД < lim sup f / (рД < f f (p),

ЙЙ3-*°= о;H= qQ

где последний переход справедлив по условию ii). Но отсюда следует, что в получеппой цепочке все неравенства являются равенствами. Так как v —/(р)^0 и так как мы только что доказали равенство

y(v-/(p))-O,

Q'

то мы получаем, что v = /(р), и, таким образом, lira j /(рД — J /(p). 3 ’” £2£2

Пусть p г <g7” (Rn), причем p ^ 0, p(-£)=p(~ $), J p^dx = 1; для фиксированного т] > 0 положим pn(r) = R" = ri"”p ( z/r|), x e Rn.J_

Лемма 5.2. Предположим, что Q = R") и ps еД/ДИ"; X); предположим, что функция / удовлетворяет условиям (4.1), (4.6) и (4.8), а функция рп определена выше. Тогда при р 0 мера f(pn* р) широко сходится к /(р) и% .

J j (рп * р) -> J / (р).(5.23)

R«R”

Кроме того, для любого г) > 0 выполняется неравенство

/(рц*рХРц*/(р)-(5.24)

Доказательство, i) Покажем сначала, что

J / (Рц * Р)< J / (р)-(5-25)

RnRn

Для v ^3)j ^б^с учетом четности функции р имеем

j к(р11*р)— j p^dx= J (к*рл)р— J f*^v)dx =

RnRnRnRn .

= J XPn)p — j f* (v * рД dx 4- j M*<D*p^ —t*^dx<, RnRnRn

< J / (p) + j (/* (^ * Ph) — /* O’))dx

RnRn

Из выпуклости получаем, что

/*(Рч* у)^Рч*/*(^),(5.26)

откуда, интегрируя, получаем соотношение

[ /* (Рц*у) ^ ^ J Рч * /* (^ ^ = У /* (у) dx.

RnRnК"'

Отсюда следует, что для любой уе Ф^ (^Г) имеем

У и (р^ * р) — У /* (у) dx < У / (р),

R™■ R™Rn

что и устанавливает (5.25) вследствие (5.2).

Так как / > 0, то и меры /(р,,* р) неотрицательны, и из (5.25) следует, что эти меры остаются в ограниченном подмножестве М\ при р -> 0. Следовательно, существуют такая подпоследовательность гр -*■ 0 и такая мера v е Jf h что

/(P4j*p)^v(5.27)

в широком смысле при р,-*0. Тогда из леммы 5.1, 1) следует, что

/(p)^v.(5.28)

Кроме того, вследствие (5.25) имеем

lim sup J /(Рч;*р)< У /(р),URn

и из пункта п) леммы 5.1 заключаем, что /(p) = v, так что (5.23) выполняется для последовательности гр.

Стандартное рассуждение от противного показывает тогда, что все семейство /(Рл* р) широко сходится к /(р) при р —»- 0, так что (5.23) выполняется для всего семейства р.■

Для доказательства неравенства" (5.24) приблизим р последовательностью функций и,еЬЦй; X); например, положим н> = р[;, *р. Напишем неравенство выпуклости (5.26), заменяя и на щ:

/(рч*иД^рл*/(м,).

Вследствие (5.23) последовательность /(щ) слабо сходится к /(р) при / -»• оо. Точно так же

Рч * ^= Рч * Р1/J * Р = Pi/j * (Рч * Р) .

слабо сходится к рп*р, и мера /(рп*щ) слабо сходится к /(Рп*Р). Отсюда предельным переходом получаем (5.24).

Замечание 5.1. Мы получили помпого больше, чем (5.23):

f / (Рп * И) j / (и)оо

для любого открытого множества О. Доказательство протекает совершенно так же, как и выше для IV, если заметить, что интеграл ^ /(р) есть п. п. сп. функция от ц 'о

в широкой топологии, если множество О открыто.

Рассмотрим снова случай ограниченного открытого множества Q в IV и установим следующую лемму, из которой вытекает теорема 5.1.

Лемма 5.3. Для любой цеЛ/ДЙ; X) существует последовательность и, е ^^ (Q; Х\ сходящаяся к ц в широкой топологии и удовлетворяющая условию

У|мД^<[|и| V/,(5.29)

Q£2

а при / -> оо удовлетворяющая условию

J|«;|^^J|p|.(5.30)

Кроме того, для любой функции f, удовлетворяющей условиям (4.1), (4.6), выполняются следующие соотношения:.

/(uj) широко сходится к /(р),(5.31)

J f^dx-^ \i<pV(5.32)

£2Q

Доказательство, i) Начнем с приближения меры ц последовательностью мер с компактным носителем в Q: пусть Qj — такая возрастающая последовательность открытых множеств, что

Q.cQjcQ^ V/,

■U ^ = Q,

5=1

и пусть для любого j функция ф; принадлежит ^^ (Q), причем 0 ^ ф; $£ 1 и ф^ = 1 на Qj. Из теоремы Лебега следует, что ф,щ сходится к ц в Mv (Q; X) при / -► °°.

Введем теперь для любого / функцию и, = р^. * (ф,р), где рп определена, как и выше, а тр > О — величина меньшая, чем расстояние от носителя фj до границы д^. Ясно, что щ широко сходится к р при у °°. Действительно, для любой 0 е % q (Q) имеем

<uj, 0) — [ (р^ *0) ф;р;

при этом р^. * 9 равномерно сходится к 9, .в то время как ф,р сходится к р в М\ (Й; X); отсюда следует, что lim <и.р 9> = ^ 9ц.

? °°й

С другой стороны, вследствие (2.6) и ввиду неравенства фj ^ 1 имеем

J | U; I dx :-= J | р^. * (ф;р) | = J ф; I р К J I Р I; (5.33; ЯЯЯЯ

отсюда следует (5.29). Кроме того, вследствие полуне- прерывиости снизу при / ->- оо имеем

f | р | ^ lim inf ^ | uj | dx,

а это неравенство вместе с (5.33) дает (5.30).

Докажем теперь соотношения (5.31), (5.32) ь слу чае, ногда функция / удовлетворяет также и соотноше нию (4.8). Согласно лемме 5.2 имеем'

0 < / (иД = / (р^ * (ф,р)) < рЛ; * j (ф;р)(5.34

и вследствие приводимой ниже леммы 5.4 пмее? /(ф,р)^ /(р), так что

(5.35(5.35J / Ы dx < J pn. * / (ф;р) dx = J / (Ф;р) C J / (p).

(5.35

(5.35

Последовательность функций /(иД ограничена в Т'(й) следовательно, существуют такая нодпоследователыюст /' -»- оо и такая мера v е Л/p(Q), что /(нД широко сходит ся к 7И1(Й). Из (5.34) легко вывести, что v^f(p), г кроме того, из леммы 5.1 вытекает противаиолояшое ш равенство v^/(p). Таким образом, v = /(p), и вся ш следовательпость /(щ) сходится широко к /(р). Кром 178

того, из полупепрерывпости следует, что

[ /(р) lim inf / («Д dx,(5.36)

йi^°° й

что вместе с (5.35) дает (5.32).

Остается теперь доказать соотношения (5.31), (5.32) и в случае, когда / не удовлетворяет условию (4.8).

Применяя соотношение (5.32) к функциям / ® — ^i" и / (ё) — ^Г, где &i — компоненты вектора £ в некотором базисе пространства X, мы видим, что

J «; <7гf р,(5.37)

ЙQ

ПРИ / _> °°- Таким образом, мы получаем требуемый результат, используя разложение (4.10), (4.11) функции / и свойства (5.31) и (5.32) для функции g, возникающей в (4.10).

В заключение докажем упомянутое выше утверждение.

Л е м м а 5.4. Предположим, что функция / удовлетворяет условиям (4.1), (4.6) и (4.8). Нустъ^ ре eM[(Q; X) и пусть ф! и фг—такие функции в ^(й), что 0 сд epi сд ф2..(5.38)

Тогда

0/(фох)^/(ф2Ц).(5.39)

Доказательство. Для любого 0 е ^^ (Q), 0 ^ 0, и для любого уе^Д^о) выполняется соотношение

^ ф! (у0) ц — f /* (у) 0 dx = [ ф2 (/гуО) ц — ^ /* (Лу) 0 dx ■ |- г, ййий

где

г = J (/* (/гу) — /* (у)) 0 dx й

и h— функция, равная фг(ж)/фг(^) при фг^^О и равная 0 при фг(ж)= фг(ж)= 0. Функция h, очевидно, измерима, и из неравенства |/гу| ^ !у| следует, что hv е eL*(Q; ц). Замечая, что /* 5= 0 и /*(0) = 0 (см. (4.9)), и используя выпуклость /*, мы видим, что почти всюду справедливы неравенства

/*(^(г)у(ж))^ /г(а:)/*(у(.г) )<5 /*(у(ж)),(5.40)

12*179

откуда следует, что hv е. 2D j ^L^. Замечая, что Sj^L^cz. cS^ ^n используя лемму 4.1, убеждаемся, что

J (йуО) (ф2ц) — J /* (/гу) 0 йх < J 0/ (ф2ц).

С другой стороны, г^О согласно (5.40), откуда следует, что

f (у0) (ф^) — J /* (у) 9 ах < J 0/ (ф2я)

для всех и е 2Di^o^ и всех 0е<37”(й), 0^0; это доказывает неравенство (5.39).

Теорема 5.1 полностью доказана.

3. Приближение выпуклых функций па ВР(Й). Установим сейчас один результат о плотности для пространства BD^Qy Рассмотрим на пространстве X = ED выпуклую функцию /, удовлетворяющую условиям (4.1), (4.6) и (4.8); в частности, в качестве такой функции можно взять функцию тр”, определенную формулой (3.42) гл. I. Определим для такой функции / расстояние да па BZ)(Q) с помощью формулы (ср. (3.5)):

а} (и, v) = ^u — v ||Li(£i)n + J I е (и) I — J I е (у) I -|-

+ J/(«DM)-f/(eDH- (3-41)

Это расстояние определяет па BD(^ промежуточную топологию между слабой топологией и топологией, определяемой нормой; например (см. (3.3) и (3.6)), последовательность ит сходится .к и относительно этого расстояния, если при т -* оо выполняются соотношения

ит и в Lx (й)л,

еу (мт) -> бу (ге) широко в Му (Q),(t, j = 1, 2, . .., re),

(5.42)(5.42)f I е (и^ | -> J | е (re) |,

(5.42)

(5.42)

f/(ED(rem))->[/(E»(re)).

Докажем следующую теорему. _

Теорема 5.2. Пространство (^"(Q))" плотно в пространстве BD(^'), снабженном топологией, определенной расстоянием (5.41).

180"

Более точно, для любого и из ВВ^й^ существует такая последовательность Ume.^” (Q))n П LD(Q), что

для всех m идля всех m и1о(и™) = ТоМdf(um, и)->- О1о(и™) = ТоМdf(um, и)->- О(5.43)(5.44)(5.43)(5.44)

для всех m и

для всех m и

1о(и™) = ТоМ

df(um, и)->- О

1о(и™) = ТоМ

df(um, и)->- О

(5.43)

(5.44)

(5.43)

(5.44)

при пг -> оо.

Доказательство, i) В §4 мы заметили, что функция ц -> ^(н) непрерывна па Л/ДЙ; X) в топологии, определяемой нормой. Отсюда следует, что функция и-> ^ / (к° (и)) непрерывна па BD(Й) и, следовательно, па LD(^. Тогда, поскольку (^"(Й))" плотно в LD^^ (см. (1.8)), то (^"(й))" плотно также и в ЛО(Й), снабженном расстоянием df, и, следовательно, первая часть теоремы является непосредственным следствием соотношений (5.43) и (5.44).

Доказательство соотношений (5.43) и (5.44), приводимое ниже, очень близко к доказательству теорем 3.2 и 3.3; мы примем их обозначения и предположения.

Для доказательства соотношения (5.44) мы сейчас покажем, как и в доказательстве теоремы 3.2, что для данного и из ВВ^Й') для любого б>0 существует такой Use^^y* П ЫДйу что

[1 tie и^х^^б,[1 tie и^х^^б,(5.45)(5.45)

[1 tie и^х^^б,

[1 tie и^х^^б,

(5.45)

(5.45)

J I е Н) I — j I к W | £2£2J I е Н) I — j I к W | £2£2<46,<46,(5.46)(5.46)

J I е Н) I — j I к W | £2£2

J I е Н) I — j I к W | £2£2

<46,

<46,

(5.46)

(5.46)

й£2й£2<с6,<с6,(5.47)(5.47)

й£2

й£2

<с6,

<с6,

(5.47)

(5.47)

। где постоянная С зависит только от /; отсюда длямт=Мбт

> при б™ = 1/т будет следовать (5.44).

' Построение и», осуществленное в теореме 3.2, сразу ■ дает соотношения (5.45), (5.46) (совпадающие с (3.13), ; (3.14)); достаточно немного изменить это построение, чтобы получить также (5.47). Выберем для этого область Йо так, чтобы выполнялись не только соотношения (3.15) и (3.16), но и соотношение

мера (й\й0)^6.(5.48)

С другой стороны, вследствие (5.23) и согласно замеча-

181

пию 5.1 можно выбрать pi настолько малым, чтобы выполнялись не только соотношения (3.19) — (3.21), но и соотношение

<6.<6.(5.49)(5.49)f / (Рщ * (<PieD(«))— f / (<PLeu (и^ ^о“и

<6.

<6.

(5.49)

(5.49)

Теперь получаем:

f / (eD («б)) — С / (8° (и))

йй

Ь^Ы)- j/^»“о“оЬ^Ы)- j/^»“о“оh J l/(eDM)| + J |/(eD(u))|.

Ь^Ы)- j/^»

“о“о

Ь^Ы)- j/^»

“о“о

Ии“о

(5.50)

Так как все функции ср, (/ 5s 2) и их производные обращаются в пуль в окрестности Йо, то сп(нв)-рТц* *8°(ф1иб) па Йо и е" (и) = (pieD(tt) на й0. Тогда вследствие теоремы 4.2 имеем

| Й(ь°Ы)- J/C*1») =

j J (pll,* ((pi8D (Н))) — ) /((p^u))

«оUo

а эта величина не превосходит б согласно условию (5.49). Другие члены в правой части равенства' (5.50) можно оценить сверху с помощью (4.35) и неравенства |еп(н)1 ^. =5 1&(р) I; получим, что

J |/№б))| + J |/№))|</с1 [(2-Не(М ;|еИ).

й\а0й\й0й<п0

С помощью вычисления, аналогичного вычислению (3.25), видим, что

й\й0й\й0<26,<26,(5.51)(5.51)

й\й0

й\й0

<26,

<26,

(5.51)

(5.51)

и тогда вследствие (3.15), (5.48) и предыдущих оценок убеждаемся, что правая часть формулы (5.50) но превосходит произведения (l + 5/«i)6, что и означает справедливость неравенства (5.47) с постоянной с = 1 + 5^1.

Мы доказали (5.44); относительно (5.43) соответствующий результат доказан в теореме 3.3, поскольку по- 182

слодовйтбльность ит, рассматриваемая здесь, — та же, что и в теореме 3.3.

Замечание 5.2. Мы можем выбрать щ так, чтобы (5.49) выполнялось для произвольного конечного множества функций, удовлетворяющих (4.1), (4.6) и (4.8): тогда последовательность ит приближает и относительно всех соответствующих расстояний dj сразу. Ото наблюдение уточняет замечание 3.3.

С другой стороны, неизвестно, можно ли, как в теореме 5.1, найти последовательность ит, приближающую и относительно сразу всех расстояний d,.

В заключение .получим аналогичный результат для пространства U(Й) (см. (3.32)):

Z7(Q)={y еЩ)(Й), divy е Л2(О)}.(5.52)

Пусть дала выпуклая функция / па X = Еп со значениями в R, удовлетворяющая условиям (4.1), (4.6), (4.8). Можно ввести на Z7(Q) промежуточную топологию между слабой топологией (см. (3.37)) и топологией, определяемой нормой; эта топология определяется приводимым ниже расстоянием, которое следует сравнить с (3.38):

dj ^и, v) = 1| и — и |1/?(В)П -!-1 div (и — у) |J?(B)

++I MM)|-J Iе (01I MM)|-J Iе (01-1йй-1йй(5.53)(5.53)

+

+

I MM)|-J Iе (01

I MM)|-J Iе (01

-1

йй

-1

йй

(5.53)

(5.53)

Последовательность um сходится к и в U (Q) относительно этой метрики, если (см. (3.37), (3.39), (3.40)) выполняются следующие соотношения:

ит и в (L^Q))" (сильная сходимость), (5.54) div ит div и в Z,2(Q) (сильная сходимость),

■&ь(щп)~^ £ь(и) в Mi(Q) слабо Vi, /,(5.55)

f |e(um)|-> $ 1 е (“) Ь йй

J/(eDM)^J/(eD« (5'5Г,) йй

Объединяя результаты теорем 3.4 и 5.2, получаем, что справедлива )

Теорема 5.3. Для любого и из U(Q) существует последовательность Ume^?” (Q))” fl LD^tMJ (й), обладающая следующими свойствами-.

Vo (“m) Vo W Ут, (5.57) при m oo последовательность um сходится

к и относительно расстояния (5.53) ' (5.58)

(г. е. в смысле (5.54)—(5.56)).

Замечание 5.3. i) Согласно лемме 5.1 л (5.56) последовательность /(sD(um)) широко сходится к /(е^м)) □ри ТП -> ОО и

J/(8D(wm))-^J/(eD (</)).

П) Можно обобщить замечание 5.2: можно выбрать ит так, чтобы соотношения (5.57), (5.58) (и утверждение приведенного выше пункта i)) выполнялись одновременно для произвольного конечного семейства функций /.

Замечание 5.4. Согласно замечанию 3.5 последовательность ит, определяемая теоремой 5.3, удовлетворяет также условию

ит -> и в (Лр(й))п (5.59) при т -* оо для любого р, удовлетворяющего условию 1 «2 р < п* = и/(и — 1), и можно выбрать также последовательность ит так, чтобы соотношение (5.59) выполнялось для р = п*.

. § 6. Пример выпуклых функций мер: ослабление задачи о перемещениях

Начиная отсюда и до конца настоящей главы мы возвращаемся к изучению задачи о перемещениях для идеально пластической упругой модели, т. е. задачи (4.16), (4.17) гл. I. Как мы видели, у пас,- вообще говоря, мало надежды доказать существование регулярного решения этой задачи в связи с разрывами поля перемещений, которые могут появляться в области й или па ее границе. Введение ослабленной задачи ((6.4) гл. I) учитывает разрывы, которые могут появляться па границе (граничное условие и = ио может не выполняться па Го). Сейчас мы собираемся ввести, используя пространство ВО(Й), новый вариант ослабленной задачи, который позволяет учесть разрывы поля перемещений в области Й.

Определение ослабленной задачи использует понятие выпуклой функции меры, изученное в § 4, 5.

В и. 6.1 мы приводим ослабленную задачу, поставленную в пространство SD(Q), и доказываем в п. 6.2, что нижняя грань в этой задаче совпадает с нижними гранями задач (4.16) гл. I и (6.4) гл. I. Затем в п. 6.3 мы высказываем ряд замечаний о минимизирующих последовательностях для ослабленной задачи и показываем су

ществование решения в относительно простом частном случае. Существование решения ослабленной задачи в общем случае будет установлено в § 8.

Во всей оставшейся части настоящей главы Q обозначает открытое множество в R", где и 9= 2 произвольно,

что не приводит пи к каким дополнительным трудностям и позволяет исследовать также полезный частный случай п = 2. Распространение результатов гл. I па случай п + 3 осуществляется без труда.

Определение ослабленной задачи. Мы примем, не напоминая их, обозначения пп. 3—6 гл. I. Функция ф, участвующая в (6.10) гл. I, определена в (4.9), (4.10) гл. I; это — выпуклая функция на Е со значениями в R. Ее ограничение ф” па подпространство удовлетворяет условиям (4.18) гл. I; кроме того, согласно (4.10) гл. I функция, сопряженная к ф°, есть функция на Е° со значениями в R U {+ оо), определенная равенством)

(фО)*^(фО)*^(6.1)(6.1)JL yjD^D прИ ^D G j^,+ оо при t]d ^ KU.

(фО)*^

(фО)*^

(6.1)

(6.1)

Следовательно, область определения этой функции есть выпуклое множество К'\ и, конечно, функция (фп)* ограничена сверху па Ku; полагая X = Е“, f — ф°, мы видим, что условия (4.1) и (4.6) в § 4 выполняются. Согласно (6.1) имеем (ф°)*>0 и (ф°)*(0)=0; отсюда переходом к сопряженной функции получаем, что ф° обладает теми же свойствами, так что условие (4.8) тоже выполняется. Таким образом (см. (4.4), (4.5), (4.6)), имеем

^(1^|-1)<фВ(5О)<^Ь°1 ^DeED, (6.2)

(6.3)(6.3)sup (ф°)* (тр) < Д2 = k\j(4р), трек0

(6.3)

(6.3)

ф°^0,^D(0)=0,(6.4)

(фп)*^0, (фв)*(0)=0.(6.5)

Если теперь иеВО(й). то sD(u)—ограниченная мера па Й со значениями в Еи и ф'^е"(и))— ограниченная мера на Q с неотрицательными вещественными значениями, которая полностью определяется теоремой 4.1. В частности (см. (4.34) и (6.2)), имеем

Ф'>(бп(у))— ограниченная неотрицательная

мера Радона на Й, (6.6)

Фв(б1’(у))^ Л1|бв(у)|.(6.7)

Если б"(у) = KdxA- е"(у)® — лебеговское разложение меры б" (у), то по теореме 4.2

ф^Б0 (у)) = ф”^) dx г ^“ Ь^Ч1^,(6.8)

где ф™ есть опорная функция множества К" в пространстве Е”; это—ограничение па Е" функции ф», введенной в (5.1) и (5.2) гл. I. Как и в общем случае, носитель сингулярной части меры ф"(е°(у)) содержится в носителе сингулярной части б" (у)®.

Все перечисленное выше позволяет нам определить, как и в § 5, функционал

Т°(б°(у))= [ ф°(ев(у)).(6.9)

Эта формула задает корректно определенное число, неотрицательное и конечное для любой v^BD^Y

Рассмотрим теперь пространство U(й) (см. (3.32)):

U^-Vv^BD^Y divy ^^(Q)},(610)

и рассмотрим для любого у <s U(Й) ограниченную меру (см. (4.9) гл. I)

ф (б (у)) = -^- (div у)2 + ф° (eD (у)),(6.11)

а также функционал (ср. (4.15) гл. I)

Чг(б(у)) — ^ ф (б (у)) — -^- ^(div у)2 dx + ^фо(е°(у)). (6.12) й12Ь

Вследствие теоремы о следе в ВО(Й) (теорема 2.1) выражение L(vY возникающее в (4.14) гл. I, имеет 186

смысл для любой у е ^O(Q):

L^ = fvdx 4- ^у<7Г,(6.13)

qг,

поскольку

je^L-^y, ^(^(Г,))”.(6.14)

То же самое относится к слагаемому (см. (6.6) гл. I) иоо^Ы^-^аг,(6.15)

г0'

где ^(ио—v)= «от — ут есть касательная составляющая следа элемента ио—и па Г, и (см. (6.2) и (6.3) гл. I) имеем

15 (г) = -у ^№ ”' р^^’

^р^^и^-^р^(6ЛС)

для всех i, 7 = 1, 2, ..., п и для любого p=(pi, ..., р<?) — ■е (L] (Го))", где v = (vi, ..., vn) обозначает внешнюю пор- маль Г.

Наконец, мы определим множество допустимых функций и, обобщающее (6.5) гл. I:

(6'а = Vu е и(Й'), w = uav па Го}. (6.17)

С учетом всех предыдущих определений ослабленная .задача Q имеет в точности тот же вид, что и задача (6.4) гл. I:

inf |Т (е (0) + J 400 (.Г” (Yt (u0 - и))) dT - L Ц. (6.18)

Ясно, что задача (6.18) является обобщением задачи (6.4) гл. I, поскольку состоит в минимизации того же функционала, но па большем множестве, так как множество (6.17) содержит множество, определенное в (6.5) гл. I. Напомним, с другой стороны, что задача (6.4) гл. I является, в свою очередь, расширением задачи (4.16) гл. 1:

(4.16) гл. I с: (6.4) гл. I cz (6.18).

999Q

Отсюда следует, что

inf^ = inf ^Sl^ inf Q,(6.20)

187

где равенство пижпих граней задач 9* и 9*9 доказано в теореме 6.1 гл. I. Мы сейчас докажем, что нижняя грань задачи Q — та же, что и у двух других задач.

Равенство нижних граней.

Теорема 6.1. Нижняя грань в задаче (6.18) совпадает с нижними гранями задач (6.4) гл. I и, (4.16) гл. I.

Доказательство. Согласно теореме 6.1 гл. I достаточно доказать совпадение с нижней гранью задачи (6.4) гл. I. Нужно показать, что если и е Са, то существует такая последовательность vm элементов допустимого множества, определенного для задачи 991 в (6.5) гл. I, что выполняется соотношение

V (8 М + f ^= (^” (Yt («о - Ут))) ЙГ - L (ут) ->

Го

¥ (е (у)) + J ^ ^ (Vt («о - Ут))) ^Г - L (у). (6.21) го

Рассмотрим с этой целью последовательность ут, построенную в теореме 5.3. Так как след ут па Г равен следу и на Г, то vm\ = uox на Го для всех т, причем выпол-. пяются также соотношения

J фоо k9"D (Yt (мо — Гт))) dr(^” (Yt (»о — у))) dr,

гог»

JgvmtZr= ^gvdT. г, г.

Из сходимости vm к v в (Z?(Q))n следует, таким образом, сходимость L^vm^ к L^vY Так как div vm ->- divy в £2(Q) сильно (см. (5.54)), то

-—- J (div vmY dx—> -^- j* (div у)2 dx.£2h

Наконец, сходимость Ч/с(ес(ут)) к V^e^y)) есть не что иное, как второе свойство (5.56), в котором / заменено па t^y.

Таким образом, мы доказали в рассматриваемом случае утверждение (6.21), в котором, однако, последовательность ут образовала не элементами пространства (//l(Q))n, а элементами пространства (??" (Q) )п Г1 5 L/)(Q) П ?7(Q). Для завершения доказательства достаточно заметить, что совершенно так же, как и в лемме 6.2 гл. I, мы можем для любого m приблизить vm — uq с 188

произвольной заданной точностью относительно нормы пространства L77(Q) П Z7(Q) функцией ит из (^2(£.2))n, равной пулю в окрестности множества Го. Так как все функционалы в (6.18) непрерывны в (сильной) топологии пространства LD (Q) П U(Q), то мы получаем (6.21), в котором ут заменено па и0+и)т, причем для любого т элемент к0 + wm содержится в допустимом множестве (6,5) гл. I.

Существование решения ослабленной задачи в простейшем случае. Выскажем несколько простых замечаний о минимизирующих последовательностях задачи ^, а затем установим существование решения задачи Q в частном случае.

Теорема 5.1 гл. I дает нам необходимое и достаточное условие того, что нижняя грань задач ^, ЯЯ и Q конечна (> — оо); это условие имеет следующий вид (см. (5.12) и (5.13) гл. I):

inf ^(8° (у)) >1,(6.22)

где нижняя грань берется по множеству функций у, удовлетворяющих следующим условиям:

уе/71(0)3, div у = 0, у = 0 на Го, L(y)= 1. (6.23)

С другой стороны, из предложения 4.1 и замечания 5.2 гл. I следует, что если неравенство в (6.22) является строгим, то любая минимизирующая последовательноегь задачи Я ограничена в смысле формул (4.21) и (4.22) гл. I. Теперь мы можем уточнить это замечание и распространить его па случай задачи Q.

Предложение 6.1. Если неравенство в (6.22) является строгим, то любая минимизирующая последовательность задач Я, ЯЯ или Q ограничена в пространстве f7(Q), если Го непусто, и в пространстве и^^Я в противном случае.

Доказательство. Введем задачи Qx (Х^О), как мы это сделали в предложении 4.1 гл. I:

in^ (Ч4е(у))^«(^(Уг^о-У^^Г-иДу)!. (6.24)

% а I ГоJ

Если X—нижняя грань задачи (6.22), (6.23), то из предложения 4.1 гл. I (и замечания 5.2 там же), с одной стороны, и только что доказанной теоремы 6.1, с другой стороны, следует, что нижняя грань в задаче (6.24)

189

конечна тогда и только тогда, когда 0 ^ X ^ X. Так как по предположению имеем X > 1, то существует такое X, что 1 < X < X. Пусть теперь vm — минимизирующая последовательность для задачи Q.= Qv.

/(ym)-E(ym)-*inf^ при mс», где

J ^ - W (е (у)) + f ^ (^” (Тт (Ко - 0)) ^Г, (6.25)

откуда следует, что

J (vm) — L (t-m) > (1^j J (ym) 4- ~ (.7 (ym) — XL (vm)) >

l Л /Л

Отсюда получаем, что J(ym) остается ограниченным при m оо. С учетом (6.2) выводим, что

е"(у,„) остается ограниченным в 7t/i(Q; Е), (6.26)

div у,„ остается ограниченным в L1^).(6.27)

Отсюда выводим также, с помощью неравенства (5.4) гл. I, что vT”(у^У™ — wo) остается ограниченным в 7>'(Го; Е") при т -> °о; отсюда с учетом (6.26) гл. I получаем, что ут(Гт—«о) остается ограниченным в (7Т(Го))п. Так как ymv = Uqv, то

ym |го остается ограниченным в (Lt (Г0))п при т->оо.

(6.28)

В § 2 было доказано (предложение 2.4 и замечание 2.6 ii)), что если Го— открытое непустое множество в Г, то формула

(* | е (у) | + J | у | с/Г

QГо

определяет норму на BD(O^ эквивалентную исходной норме. Ив (6.26) — (6.28) вытекает, что

ит остается ограниченным в (7J(Q))” и, '

следовательно, также и в E(Q) при т -► °р.(6.29).

В случае, если Го пусто, мы сразу получаем из предложения 2.2 с учетом (6.26) и (6.27), что

щ„ остается ограниченным в (L1^))”/^ и, следовательно, также и в Z7(Q)/i% при m ~> °°.(6.30)

Предложение полностью доказано.

Замечание 6.1. Напомним, что условие (6.22) эквивалентно условию существования допустимого о для задачи 9х при X ^ 1 (и, следовательно, удовлетворяющего условию (5.28) гл. 1). Таким образом, это условие необходимо и достаточно для того, чтобы нижняя грань задач 9. 991 и Q была конечна.

Условие, что неравенство в (6.22) является строгим, эквивалентно (см. § 5 гл. I) существованию допустимого о для задачи 9\ при некотором X > 1. В такой форме это условие известно в литературе под названием условия допустимого груза.

Замечание 6.2. Согласно (3.4) и (3.37) минимизирующая последовательность содержит подпоследовательность, снова обозначаемую через vm, которая слабо сходится в U(й):

у,„ и в (L^fi))" (ио норме),

'div vm div и в X2(Q) слабо, (6.31)

Е«(ит)в«(п) в Mv^ слабо.

Чтобы с помощью классических методов вариационного исчисления установить теперь, что и ость решение задачи Q, нужно иметь возможность утверждать, что и е ’g’,,

т. о. что uv = wqv па Го; (6.32) знать, что /(п) — L(y) п.и. си. в слабой топологии

на U(Q) (т. е. топологии, соответствующей сходимости (6.31), см. (3.35), (3.36)).(6.33)

Утверждение (6.32) является одним из результатов, входящих в § 7, а утверждение (6.33) будет установлено в § JT Заметим относительно (6.33), что отображения, определяемые формулами

[ gvdV и f ^ (^° (ут (п - м0)) ЙГ

Г1го

пе являются и. н. сн. в слабой топологии U (£4); напротив, нужно доказать, что все выражение 7(h)—Г(н) является п. и. сн. в этой топологии.

Замечание 6.3. Опишем в заключение случай, в котором трудности задач (6.32) и (6.33) существенно упрощаются: это случай, когда

Го = 0, Г1 = Г, g = 0.(6.34)

Тогда вопрос (6^32) снимается, так как <@a=UV^- Что же касается полунепрерывпости снизу разности 2(h) — — L^vy то мы можем заметить, что L непрерывен, так как

L (и) = J fv dx.

С другой стороны, функционал J(у) сводится к

-^ J (div у)2 dx-\- j4°(eD«4242

Полупепрерывность снизу первого слагаемого является совершенно стандартным утверждением; полупепрерыв- пость второго слагаемого суммы указана в § 5.

Наконец, если inf ^>—00 и, более точно, если неравенство в (6.22) является строгим, то мы получаем существование решения задачи Q в пространстве U(12)/^, а потому и в H(Q), если выполнены условия (6.34).

Двойственность между обобщеннымиперемещениями и обобщенными напряжениями

Если о — июле напряжений в L2(Q; Е) и если и — поле перемещений в BD^y то произведение о па еДиУ вообще говоря, не имеет смысла; для о и е(п) не выполняется обобщенная формула Грина (см. (1.49) и (1.51) гл. I), и, таким образом, априори совершенно неясно, как установить двойственность между задачей об обобщенных перемещениях, введенной в § 6, т. с. задачей (6.18), и задачей о напряжениях ((4.29) и (4.30) гл. I). Напомним, что эта задача состоит в отыскании

(1С 1

suplа) + I (av)uodlj, (7.1) ° Iг

где о должна принадлежать ^ П Жа при

9а = (о g Ь2^У Еу div о + / = 0 в 12, ov = g иа ГД

и

Жа = <ое//(8; Е^ oD(z)eKD для почти всех .reQ},

(7-3) причем

^ (а, т) = -4- 1 tr а tr т dx + 4- С odtd dx, (7.4) ’П X 3J

£2а

Пашацельвнастоящемпараграфесостоитвтом,

чтобыпридатьсмысл выражениюос(и),обобщитьфор

мулу Грина (1.51) гл. I и установить двойственность между задачами (6.18) и (7.1). Всего этого мы собираемся достичь с помощью более полного использования информации, которую песет допустимость и для (6.18) (пе^) и допустимость о для (7.1) (о е ^ а П У(а}; в основном мы следуем [76, 77]. Мы отсылаем к [27] относительно другого подхода к задаче и к [2] за некоторыми результатами, которые пересекаются с нашими.

В и. 7.1 мы даем некоторые дополнительные сведения о тензорах напряжений; в частности, мы получаем технический результат о приближении функции о, допустимой для задачи (7.1), с помощью более регулярных функций, а также приводим результат о регулярности для таких тензоров, обобщающий теорему вложения Соболева (скажем, (1.20) гл. I). В п. 7.2 мы обобщаем теорему о следе, приведенную в (1.41) гл. I, и показываем, что при u^VV^YY и div ие М\ (й) выражению uvlr можно придать смысл. В и. 7.3 мы придаем смысл произведению ое(н) при о е ^ п Ж а и и е ^^ это произведение ое(н) определяется как ограниченная мера па й (а не как функция). Наконец, в п. 7.4 мы приводим новый вариант двойственности между (6.18) и (7.1).

Дополнительные сведения о тензоре напряжений. Введем пространство)

2(й)= {Ое/?(Q; е^ divaE(Ln+i(Q))", oD е L” (Й; Е^.

(7.5)

Ясно, что если о допустима для задачи (7.1), то о г е2(й), как только

/е(£п+1(Й))п.

Пространство 2(Й) является банаховым пространством относительно естественной нормы

II ^Ьщ) ~ I ° Il2(H;S) "I- II div ^Ili^+ltQ))71 ~Т" II ^II^^jeD)'

Пространство ^“(й; Е) не плотно в 2(Й) относительно вышеприведенной нормы, по мы сейчас увидим, в каком смысле элемент о пространства 5(й) может быть приближен регулярными функциями.

Лемма 7.1. Пусть й— такое ограниченное открытое множество в Rn, что дополнение 'З’й удовлетворяет условию конуса {см. (1.16) гл. I). Пусть oe[?(Q; Е) (1 $5 р < оо) задано и пусть oD е L” (й; Е”^ и div о е е;(£,г,(й))п (l^r^p). Тогда существует такая последовательность ат элементов пространства ^“(Й; Е), что

II °m Hl°°(q;ko) ^с(^)!1аП1!ьоо(п;Еп)’(7-6)

где постоянная с(й) зависит только от области Й, причем при тп~* оо4

.ато в ^(Й; Е),(7.7)

div о™div о в (Ег(й))п.(7.8)

Доказательство. Доказательство но существу повторяет рассуждение в предложении 1.3 гл. I: положим в соотношении (1.74) гл. I т = п2 и а,о = р; затем возьмем ^[О = div о, Ц = 3, с^ = г и ^го = oD, Z2 = п2, а2= = оо; из условия г ^ р вытекает, что это пространство локального тина. Построение, осуществленное в предложении 1.3 гл, I, состоит в записи

а = ера J- 2 Ф1а,ге!а = ера J- 2 Ф1а,ге!(7-9)(7-9)

а = ера J- 2 Ф1а,ге!

а = ера J- 2 Ф1а,ге!

(7-9)

(7-9)

где фе'й’^(й), O^cp^l, epi е ^ {О^, O^cpi^l, где

(7.Ю)(7.Ю)Oi — шары с центрами в точках Г и столь малого радиуса, чтобы условие (1.16) гл. I (для области 'ё'Й) выполнялось; так как граница Г компактна, то она может быть покрыта конечным числом таких Оь и, следовательно, разложение единицы

(7.Ю)

(7.Ю)

1 = Ф + 2 Фиiej

подчиненное покрытию замыкания й областями й и Оь является конечным.

Построенные в пункте ii) указанного предложения функции Рп(сгср) удовлетворяют при ц О соотношениям

Рч * (°ф)"^ оф в £р(й; Е),div рл * (сер) div(a<p) в Ь^йУи, конечно, ■

II Рв * ("d,p) Lo= С 11 oD<p L~ < II °D L~-(7-1 ^

Аналогичные замечания справедливы для ограничений па Q регуляризаций функций оф,. Складывая (при ц = = 1/т), получим (7.7), (7.8) и также (7.6), поскольку сумма (7.10) конечна.

Замечание 7.1. i) Пусть х4 е Г — центр шара О„ указанного в лемме 7.1. Вышеприведенные функции ср и ср„ где / ^ i, обращаются в нуль в окрестности точки х', и следовательно, для достаточно большого т функция о™ совпадает с регуляризацией фго в достаточно малой окрестности точки х\ откуда следует, как и для (7.11), что

Мы» (о^лож) ^llaDlli°°wE)’ ^7Л2)

где Ох <= Oi — подходящий шар с центром х4.

Наконец, х4 можно выбрать произвольно близким к :ге Г, и мы можем дополнить лемму 7.1 также следующим утверждением: последовательность am, определяемая леммой 7.1, может быть выбрана так, что для произвольной точки ж s Г выполняется соотношение

II *^т 1е°°(ОГ)О;Е) ^ II °D Hl”(O;E)’

где О — шар с центром х, радиус которого достаточно мал, но не зависит от т. (7.13) ii) Если, более точно, значение функции oD(^) принадлежит К” для почти всех х из й, то ффж)^ (ж)е Ад почти всюду (так как 0 е AD и 0^ф<(ж)^1), и вышеприведенное рассуждение показывает, что о™ (ж) е К для почти всех х из О П Й, где О определена так же, как и выше.

Заменяя ф{ функцией ф, введенной в (7.10), мы видим, что результат, приведенный в (7.13) или в предыдущем пункте ii), остается справедливым для любого

относительно компактного множества О в й, О с О с й; это—следствие (7.11).

Мы уже отмечали — и часто использовали — тот факт, что если ое£2(й; Я) и div а е (L2 (й) у\ то можно определить след ov на Г с ^vo = ovlr е(Я-1/2(Г))п (см. (1.47) гл. I). Мы можем улучшить этот результат при oeS(Q).

Предположим, кроме того, что

й — ограниченная открытая область в R" класса <5’2.

(7-14)

Лемма 7.2. Если о^2(й) и й удовлетворяет условию (7.14), то (ov)T е (£°° (Г) )п и

II (°v)t !ILOO(D« ^ дД И °D |1ь°°(п;В)’(7-15)

где (о\)г— касательная компонента cv на Г:

■(ov) т = ov —: [ (ov) v] v.(7-16)

Доказательство. Пусть о™ — последовательность, построенная в лемме 7.1 и приближающая а. Согласно (7.7) и (7.8) (с р = т = 2) и теореме о следе (1.47) гл. I имеем

(ov) т = ov — [ (ov) v] v.(7.16)

при m -* оо. Искомый результат будет установлен, если мы покажем справедливость (7.15) для функций от; достаточно даже — вследствие замечания 7.1 и (7.13)—доказать, что

II (ymV)T||Loo(Oqr)n ^ Д/^^ °т к°°(й;Е)’

где О — достаточно малый открытый шар с центром в некоторой точке ж границы Г.

Действительно, для регулярной функции искомое свойство есть локальное алгебраическое свойство: выбираем в каждой точке у е Г П О такой ортонормированный базис, что одна из его осей параллельна нормали v(y) в точке у, и с помощью элементарного вычисления находим

I (От (у) V (у^ I2 = п—1п—1•

= 2 (ы2<4 2 (w<4K(<. (7Л8)

3=1г, 3=1

где через ^ц обозначены компоненты а™ (у) в этом базисе и вектор v выбран параллельным последней оси, v = = (0, ..., О, 1).

Замечание 7.2. Из доказательства леммы 7.2 с учетом (7.17) следует, что последовательность о„„ определяемая леммой 7.1, удовлетворяет также соотношению

(omv)T(ov)T в (Е”(Г))'1 слабо* (7.19)

при тп-* оо (в добавление к (7.17)).

Приведем теперь результат о регулярности для функций из 2(й) (включение в пространствах Lp').

Предложение 7.1. Пусть й— ограниченное открытое множество в IV класса ^2.

i) Пусть о е L1 (й; Е) и пусть oD е L” (й; Е) и divae(Ep(fi))n (1<р<га). Тогда

oeLp*^;EY р* — пр.Цп — р1),(7.20)

и существует такая постоянная c = c(Q,p), зависящая только от й и р, что

II ^^IlLP^n)^:

<с(й, ^){||tra|l^(£J) +llCTD|lLoe(£2;E)T||diva;iLP(Q)„}. (7,21) it) В частности, если ое£(й), то о е Ер(й) для л/о- бого конечного р (1^р <°°), и из (7.21) следует, что

11<р№е)<сЧЙ,*^(7-22)

Доказательство. Мы докажем только утверждение i), поскольку п. ii) является его непосредственным следствием. Па самом деле мы должны доказать, что trae е Ер* (й) и что выполняется (7.21). Для этого достаточно доказать, что для всех ф из |@’” (Й) имеем

ииф1та drф1та dr<С^Р,°УЖ№<С^Р,°УЖ№(7.23)(7.23)

и

и

ф1та dr

ф1та dr

<С^Р,°УЖ№

<С^Р,°УЖ№

(7.23)

(7.23)

где q — показатель, сопряженный к р*, т. е. q = р*! Цр* — !), и ^(й, р, а)—правая часть формулы (7.21).

Исследуем сначала случай, когда

J ф dr = 0.(7.24)

Обозначим через Т решение задачи Неймана

(7.25)(7.25)VT = ф в Й,dT/Sv = 0 на Г

(7.25)

(7.25)

и положим u = V4r. Так как Q— область класса <8’2, то из обычных результатов о регулярности для задачи Неймана (см., например, [89]) следует, что TeW2’^) и

mU^^W^(7-26)

где Су зависит только от Q и q (следовательно, от р).

Рассмотрим теперь последовательность функций от, которая приближает о в условиях леммы 7.1 (где риг заменены на 1 и р соответственно). Для каждого m мы применим обычную формулу Грина (1.49) гл. I с о,„ и и. Замечая, что

ае (к) = -1- tr а div н । - aDeD (и),(7.27)

мы получаем равенство

(tr am) (div u) dx =(tr am) (div u) dx =1 п

(tr am) (div u) dx =

(tr am) (div u) dx =

= f [(^mv) и] 4Г — J (div am) и dx — J o°eD (и) dx. (7.28) гай

Так как ^^^^’(Q), то div и, e°(u) и и, суть суммируемые функции па Q, и след и на Г содержится в Л1 (Г) (согласно (1.32) гл. I). С другой стороны, uv = d4f/dv = = 0 па Г, так что

[(amv) u] di = ^ (omv)T ит dr.(7.29)

гг

При этих условиях соотношения сходимости (7.7) (с р = 1), (7.8) (с г = р) и (7.19) оказываются достаточными для того, чтобы перейти к пределу при m 00 в (7.28). Мы получим

-^- J (tro)(divu)d;r =

= J (ov)T uT dr — ^ (div а) и dx — J aDeD (u) dx (7.30) гbй

и

J (tr a) ф dx ^ ra J | (av)T uT | dr + ra J | (div a) и | dx -f- qгй■

+ n J | oD6D (u) I dx. (7.31)

Q

Оценим теперь сверху правую часть формулы (7.31).

Первый интеграл в правой части (7.31) не превосходит величины

пII (av)xllL=o(r)) I и । аг < п IIaD||loo(Q) j I и । аггг

согласно (7.15). С другой стороны, с учетом (7.20) и

теоремы Гальярдо о следе ((1.32) гл. I) получаем, что

( I и-1 ^Г < с' А || и iiwi,i(Q)n < 41| ^ ||w2,i№) < QI Ф lL9(Q)- г

Второй интеграл справа в (7.31) согласно неравенству Гельдера не превосходит произведения

п || div о ||Lp(B)n I! и ||Lp'(£j)n,

где р' — р/(р — 1). Но функция zz = grad V принадлежит (1У’’(Й))П, и по теореме вложения Соболева (см. (1.28) гл. I) это пространство вкладывается в точности в (Lp' (Q))n(1/// = ifq— 1/га). Наконец, мы оцениваем это второе слагаемое справа в (7.31) сверху величиной

eg || div о|1ЬР(Й)П || V 1'^2,q№ < 441| div о|ILP(£2) „|| ф Цьд(Р).

Третий член справа в (7.31) аналогичным образом оценивается сверху цепочкой

п II °D IIl°°(q;e) IIsD W Jl1(B;e) ^

св || °D Иь^ШЕ) II U IITV1 >1 (Q)Tt ^ C1 II °D Hl”(Q;E) Il ^.ИцЦО)-

Объединяя все эти оценки, мы видим, что из (7.31) следует (7.23), если ф удовлетворяет (7.24).

Для завершения доказательства остается только установить неравенство типа (7.23) в случае, когда ф е е^ДО) не удовлетворяет условию (7.24). В этом случае мы можем написать — мы вправе это сделать — неравенство (7.23), в котором функция ф заменена функцией

^"wJ^^’(7-32)

где | Q| обозпачает меру области Q. Отсюда легко следует,

что

J ф tr о dx

Й

tra]

+

+ C (Q, p, о) И ф Ц,л > + с" (Й, 9) J | ф | dx ]. \Q/

Из этого неравенства легко следует неравенство того же типа, что и (7.23), что доказывает наше предложение.

Замечание 7.3. Если о — сферический тензор, т. е. Оу = убу, то предположения относительно о в предложении 7.1 i) означают, что ye ^'^(Q) (1 < р < п), и тогда утверждение (7.20), (7.21) совершенно тождественно утверждению теоремы вложения Соболева для Wl,p(Q) (т. е. (1.28) гл. I, если т = 1').

Теорема о следе. Мы дадим здесь вариант теоремы (1.41) гл. I, который придает смысл выражению vvlr при и e^L2^ V и divysL2(Q) и который позволяет пользоваться обобщенной формулой Грина — формулой (1.42) гл. I (см. [89] или [135], теорема 1.2 гл. 1).

Определим пространство

Z(fi) = {у е Ly (Q)’*, div и е М\ (Q)).(7.33)

Это — банахово пространство относительно естественной нормы

II У Ilz(<2) ~ II У |’ь1(й)” II <iiv УЦ^рП)-

Предложение 7.2. Предположим, что Й— ограниченное открытое множество в R” класса %2.

Существует непрерывное линейное отображение yv пространства Z(O) в С^1 (Г))', удовлетворяющее уловиям

7v(y)=yvlr для всех и^^1^^(7.34)

и

<Vv (у), Ф> = [ у grad Ф dx + [ Ф div v (7.35) йй

для всех ysZ(Q), для всех гр s'??1 (Г) и всех таких фЕ^1^), ЧТО Ф1г = ф.

Доказательство. Обозначим через Л (у, Ф) правую часть формулы (7.35); мы хотим показать, что она зависит только от Ф|г = гр и что отображение гр-*■ -► Л(у, Ф) линейно и непрерывно на 'ё’ДГ).

Доказать, что Л(у, Ф) зависит только от Ф1Г,— это_зна- чит доказать, что Л(у, Ф)=0, как только фе^1^.1) и Ф|г = 0.

Если Фе^^й) и Ф1г =0, то мы рассмотрим последовательность функций Фт, определяемых формулой

Фт(ж)=Ф(ж)9(тй(ж)),(7.36)

где т е N, d^ — расстояние от ж до Г, а 9 — функция класса ’8’” на (0, ”) со значениями в [0, 1], причем 9 (s) = 0 при 0 < s < 1 и 9 (s) ^ 1 при s ^ 2.

Регуляризуя Фт и переходя к пределу, легко получаем, что

Л(у, Фт) = 0 Vm.(7.37)

Для доказательства того, что Q(y, Ф) = 0, достаточно, таким образом, показать, что

Л (у, Ф) = lim Л (у, Ф7П).(7.38)

771->оо

Но

sup I Фт (ж) — Ф (ж) |< sup I ф (ж) I жейd(x)<2/m

и правая часть стремится к 0 при т -> <», так как Ф равномерно непрерывна на й и Ф = 0 на Г; отсюда следует, что

^ Фт div у -> [ Ф div уh£2

при т -> °°.

С другой стороны, учитывая неравенство Igradd^)! =5 =5 1, получаем, что

) у grad Ф dx — ) у grad Фт dx £2Q

[ | у (ж) 11 grad Ф (ж) 19 (md (ж)) dx -|- Q

+ ^ т | Ф (ж) 11 9' (md (ж)) | Igrad d (ж) | йж^

Q

^ sup | grad Ф | J | у (ж) | dx ф-£2d(x)^2/m

-'- m sup | 9' (s) | J | ф (ж) | dx, s^°d(x)^2/m

и так как мера множества (zeQ, d-^^^lm?! не превосходит с/m для некоторой подходящей постоянной с, причем Ф = 0 на Г, то последнее выражение стремится к О при т->°°, что и доказывает соотношение (7.38).

ii) Теперь для доказательства линейности и непрерывности отображения

ФЕ^^^Л^.Ф) (7.39)

достаточно показать, что для любой функции ф из ^’(Г) существует такая функция Ф е ’8’1 (52), что Ф1Г = Ф, и, кроме того, отображение ф -> Ф, определяемое таким образом, линейно и непрерывно. Этот факт стандартен; поскольку открытое множество 52 принадлежит классу ^2, ■ то можно взять, например,

Ф(ж) = [1 — 0(тс?(ж))]ф(л(ж)),

где 9 — такая же, как и выше, m достаточно велико, а л (ж) — проекция ж на Г, которая определена и принадлежит классу ^ при с/(ж)^т]о, где цо>О достаточно мало (следовательно, т^2/т]о).

Обозначим через ^v(u) линейную форму, определенную формулой (7.39), и, таким образом, завершим доказательство формулы (7.35).

Для доказательства (7.34) заметим, что если ие еС^Дй))11, то, сравнивая (7.35) с классической формулой Грина, получаем, что

<Yv (^) — yv |г, Ф> = 0 Уф е ^ (Г).

Отсюда следует, что ^у(н)=^|р в (^‘(Г))' (и, следовательно, также в смысле обобщенных функций на Г).

Замечание 7.4. Из (7.34) и (7.35) следует, что ^у есть единственное продолжение отображения

V е ^ (52)" ~ их |ге^(Г)

до непрерывного линейного отображения пространства Z(Q) в (С1 (Г))'. Отдельно взятое условие (7.34) не обеспечивает единственности "^ так как (^‘(О))” по плотно в Z(Q); аналогичная ситуация уже возникала в связи с теоремой о следе для BZ) (52) (теорема 2.1).

Определение ое(и) как меры. Мы покажем сейчас, что при не U(D) и oe2(Q) можно определить ое(м) как ограниченную меру па 52.

Легко определить oe(iz) как обобщенную функцию па 52. Действительно, если о и м достаточно регулярны и ес- 202

ли мы напишем формулу Грина ((1.51) гл. I) с и, замененным на (ри, где <р е g7^ (52), то мы получим

■ J сте (и) <р dx =

= — [ (div ст) u(p dx — ^ ст (и 0 grad <р) dx. (7.40) .£2£2

Если oeS(Q), и е £7(52) и ср g g7” (52), то правая часть формулы (7.40) имеет смысл согласно теореме 2.2 (так как и г (О'1* (52))п, п* = и/(п — 1)) и предложению 7.1 (в частности, GGLr(9.; Е)); с другой сторопы, правая часть (7.40) линейно зависит от <р и непрерывна в топологии равномерной сходимости функций ср и их первых производных. Таким образом, правая часть формулы (7.40) определяет обобщенную функцию, которую мы обо- ■ значим через oe(tz). Записывая обычное алгебраическое соотношение

ии(и) = —-(divu)(tro) l o-DgD^)(7.41)

и замечая, что (div u) (1г о) ость суммируемая функция, мы определяем также и обобщенную функцию о°е°(н): <ре (и), <р> — — J (div ст) п<р dx — J ст (и 0 grad ср) dx, (7.42) 12£2

(ст^е-0^), <р) =— I (div м) (tr ст) ср dx —

— ( (div ст) 1мр dx — ^ ст (u 0 grad ср) dx, (7 АЗ) £2£2

где <р — любая функция из g7” (52).

Оказывается, что справедлива следующая

Лемма 7.3. Обобщенные функции ое(и) и oDe,7(u), определенные формулами (7.42) и (ТАЗ) соответственно, суть ограниченные меры на 52; мера oDeD(u) абсолютно непрерывна относительно меры |e"(u)i, причем

^oDeD(,u) <ikDL”(B;^ f l(pl|eD(u)| (7.44) а£2

• для любой ф из g7o(52).

Доказательство. Достаточно установить утверждение леммы для oDeD(u). Рассмотрим последовательность

203

Um, приближающую и, которая построена в теореме 3.4 и замечании 3.5: последовательность ит сходится к и в смысле (3.37), (3.39), (3.40) и (3.55), так что при т -► оо

ит->и в (Lp(Q))n сильно Ур <п*,div ито -> div ив L1 (Q) сильно,

. Sy (um)^-еу (и) широко Чг,},(7.45)

|eD (um)|->J |eD(u)|;ЙQ

для доказательства последней сходимости можно взять (5.42) с /(£D) = l£lD ). Следовательно, в соответствии с (2.15) получаем для любой (pe^(Q). что

J ФI eD (um) |-> ^p|sD(u)|.(7.46)

ЙQ

С другой стороны, из (7.43) и (7.45) сразу следует, что oDe”(um) сходится к oDen(u) в смысле обобщенных функций, т. е.

<oDeD(ит), ср> ->- <оре°(п), ф> (7.47)

при т -* оо для любой ф е ^” (Q). Следовательно, переходя к пределу в неравенстве

С (oDeD ^ит^ ф ах <|| ои Цдоо^;^ J ы I eD(wm) |, получаем с учетом (7.46) (примененного к |ф|) и (7.47), что

I <ОПеР <и\ ф> КII О D ||Loo(y;E) 5 I ф 11 КD (u) IQ

для любой гре'С(О). Отсюда классическим путем (см. [8, 116]) следует, что oDeD(u) есть ограниченная мера, удовлетворяющая условию (7.44) (с фе?о(й)) и абсолютно непрерывная относительно |е°(н)|.

Конечно, меры ое(н) и oDeD(u) билинейно зависят от о и и. Они зависят также непрерывно от о и и в подходящих топологиях. Относительно и справедлива

Лемма 7.4. Пусть ее 2(0) и и е U(й); меры се,^ и о^е”^.) непрерывно зависят от и в следующем

смысле: если ит сходится кив смысле (7.45), то при m -»- °° имеем

$ Ф (oDeD (um)) + J ф (OD6D (u)),(7.48)

QQ

У Ф (oe (uro))У ф (ae (u))(7.49)

qa

для всех ф e % (Q).

Доказательство. Достаточно доказать (7.48). Для любого б > 0 можно найти такой компакт С с Q, что

J |eD(u)|^6,(7.50)

а\с

У | еу (w) | = 0.(7.51)

ос

Пусть тогда ф е 8’” (Q), причем 0 =5 ф< 1 и ф = 1 на С. С учетом (7.44) получаем, что

[ ф (oDeD (um)) — [ ф (aD6D;(u^ ^ |У фф (aD6D (um)) — aйla

— У Фф (oyeD (u)) Н- У ф(1 — ф)(а”еу(пт))

Ф (1 — ф) (6DeD (и))Ф (1 — ф) (6DeD (и))

Ф (1 — ф) (6DeD (и))

Ф (1 — ф) (6DeD (и))

IУ фф (oDeD ^ит^ — У (p^oD6D(u^ -|- laа

+ 1(Р1®’(й)11°В11т-№;е) ( |eD(^n)|-|- $ |е°(м)| ш\са\с

Вследствие леммы 2.1 и соотношений (7.45) и (7.51)

имеем lim У |e/J(um)|=- ( |еу(н)|. Тогда из леммы т^°°й\СЙ\С

7.3 и (7.50) вытекает, что

lim sup ^ ф (o°8d (итУ) — Уф (oDeD (и)) т-*°° аа

^26 | ф |^(н) || oD ||LOO -Q;E)-

И, так как б>0 сколь угодно мало, то искомое утверждение установлено.

Что касается непрерывности относительно о, то мы рассмотрим такую последовательность функций от из S(Q), что при m оо

ат->о в ^(Q;^ сильно,(7.52)

div сттdiv ст в (ZT^1 (й))п сильно, (7.53)

Om->aD в L°° (Q; £°) слабо *.(7.54)

Заметим, что если от удовлетворяет условиям (7.52) и (7.53), то (7.54) выполняется тогда и только тогда, когда От ограничена в L”, т. е.

|^к(КЕО)<с'(’-®)

С помощью теоремы Лебега из (7.52) и (7.54) легко следует, что о„ сходится тогда к о” в Ер(&; S”) для любого конечного р (1^р). Мы видим также, учитывая предложение 7.1, что

от—>о в LP(Q;E) сильно Vp, (1^р<оо). (7.56)

Справедлива следующая

Лемма 7.5. Меры ое(и) и о11^^ непрерывно зависят от о в следующем смысле: если иеС^Й), ее е2(В) и От сходится ков смысле (7.52)—(7.54), то при пг->- °о имеем

. . J <р(о^И->(<р(оОеО(и)),(7.57)

j Ф (стте (к)) -> J ф (сте (к))(7.58)

Qй■

для любой функции ф из ^(Q).

Доказательство. Достаточно доказать (7.57). Если фе^(Й), то (7.5J) легко следует из определения (7.43). Если фЕ^(Й), то для любого б>0 существует такая функция ф е ^” (Q), что 0 ^ ф ^ 1 и

У(1-Ф)|ев(и)|<6.

£2

Согласно (7.44) имеем

J ф (1 — ф) (адеп (к))QJ ф (1 — ф) (адеп (к))QH^Hb^fQjE)H^Hb^fQjE)J (1 — ф) | eD К

J ф (1 — ф) (адеп (к))

Q

J ф (1 — ф) (адеп (к))

Q

H^Hb^fQjE)

H^Hb^fQjE)

.^ 6 || OD ||£оо(й;£)

и, кроме того, используя (7.55), видим, что для любого m также

J <р(1 — ^(о^е^к)) QJ <р(1 — ^(о^е^к)) Qсб.сб.

J <р(1 — ^(о^е^к)) Q

J <р(1 — ^(о^е^к)) Q

сб.

сб.

Отсюда следует, что

О"т8О"т81212(u)) — J(p(oDeD(M)) |< QI

О"т8

О"т8

12

12

-!-6(c-Hctd||l0o).-!-6(c-Hctd||l0o).<ртр (o°eD (и)) — f срф (oDeD (и))Q

-!-6(c-Hctd||l0o).

-!-6(c-Hctd||l0o).

Таким образом, верхний предел этой величины при т ->- -»■ оо не превосходит 6 (с 5" Hc^l^oo), и, так как б>0 сколь угодно мало, то этот верхний предел равен нулю, что и доказывает (7.57).

Следующее замечание относится к следу па Г функции (ov)u.

Лемма 7.6. Если открытое множество Q принадлежит классу ^, то существует единственная обобщенная функция на Г, обозначаемая через {ох)и, удовлетворяющая следующим условиям; эта обобщенная функция принадлежит (^‘(Г))', причем для любой (ре^^Г) и любой такой функции фе^^О), что Ф|г = ф, справедливо равенство

<(ov) и, (р) = ^Ф (oded (и)) :' -^~ J (div м) (ire) Ф dx -}- qи

+ J (div ст) нФ dx + J ст (и 0 grad Ф) dx. (7.59) с£2

Доказательство. Так как и е (LnHn~l) (Q) )п, то из предложения 7.1 следует, что ои е (L1 (Q) )”. Кроме того, формула (7.42) в точности означает, что div (ои) = сте (u) + (div ст) и =

= oDeD (и)-i- (div и) (tr ст) ф- (div о) и. ,

Из предыдущих результатов следует, что div (он) есть ограниченная мера на Q, и мы можем воспользоваться предложением 7.2 с и = ои; это предложение позволяет нам определить функцию ^(v) — чДом), которая удовлетворяет формуле Грина (7.35). Если мы договоримся, допуская вольность речи, обозначать через (ov)u или

207

(ou)v обобщенную функцию fv(ou), то (7.35) становится формулой (7.59), и лемма доказана.

Мы можем несколько уточнить определение (ov)u. Если а и и достаточно регулярны, то мы можем написать

(ov)u = (ov)TuT+ (ov)vmv.(7.60)

В рассматриваемом случае имеем (ov)T=(oDv)t вследствие леммы 7.2, и (ov)T принадлежит (Ь°°(Г))"; с другой стороны, ute^Lx (Г))п вследствие теоремы о следе для SZ)(Q); скалярное произведение (ov)TuT корректно определено и также принадлежит В1 (Г); напротив, (ov)vuv не определепо при oeS(Q) и u^U(^. Установим сейчас следующее утверждение.

Лемма 7.7. Если о е S(Q), и е £7(0) ц,

ще//1/2(Г)(7.61)

или

(7.62) то соотношение (7.60) выполняется.

Доказательство. Заметим сначала, что каждое слагаемое в (7.60) действительно имеет смысл: (ov)u— по лемме 7.6, выражение (ov)TuT—согласно приведенному выше рассуждению; наконец, что касается (ov)vuv, то если выполнено (7.61), то ще//|/2(Г) и (ov)ve e//-i/2(p) согласно (1.47) гл. I и (oy)vuv корректно определено как обобщенная функция па Г (и принадлежит (^’(Г))'), так как функции из ^'(Г) действуют мультипликативно в //|/2(Г). Если же выполнено (7.62), то еще проще—имеем (ov)v е (L°° (Г))", но щ е ^(ЕДГ))" по теореме о следе для EE(Q), и произведение (ov)vuv есть суммируемая функция па Г.

Для доказательства (7.60) мы должны установить равенство

<(ov)u, ф> = < (ov)TtzT, ф> + <(оу)¥щ, ф> (7.63) для любой ф из ^‘(Q).

В случае (7.61) приблизим о последовательностью регулярных функций ат, удовлетворяющих условиям (7.52) — (7.54)—в соответствии с леммой 7.1. Для каждого тп справедлива формула Грина (7.59), в которой о заменено па от, и ясно, что в этом случае <(omv) и, ф> =

= [ (щ^)ифЕГ — [ (ату)титфйГ+ ^ (omv)v иуф £?Г. (7.64) ггг

Переход к пределу в формулах (7.59) и (7.64) допустим, и в пределе мы получаем (7.63); относительно предельного перехода в (7.64) заметим, что вследствие (7.52) — (7.54) и формулы (1.47) гл. I имеем

(omv)v^(ov)v в И-'/2(Г).(7.65)

Так как Щф е Я1/2(Г), то, конечно,

[ (amv)v п¥ф dr =-- <(omv)v, п¥ф> -> <(ov)v, муф> (7.66) г

при m-* <».

В случае (7.62) рассуждение аналогично: тогда мы приближаем функцию и последовательностью ит, удовлетворяющей условиям (7.45).

Объединим все эти леммы.

Теорема 7.1. Для любых и е U(О) и oe2(Q) можно ввести меры ое,(и) и oDeD(M) на Q, определенные формулами (7.42) и (7.43) соответственно. Эти меры линейно и непрерывно зависят от о и и (раздельно, т. е. при фиксированном втором аргументе') относительно топологий, указанных в леммах ЧА и 7.5.

Наконец, можно определить обобщенную функцию (<jv)u е^1 (Г))', для которой справедлива обобщенная формула Грина (Ч.^).

Замечание 7.5. В дополнение к лемме 7.7 заметим, что если ое^/'Х (см. (7.2), (7.3)) и и е (см. (6.17)), то и^ | Го м0 |Го е Н1'2 (Го) и ov |Г1 = g |Г1, так что (ох)у|Г1 ^v|Pi е/^(FJ но условию (6.14).

Следовательно, мы получили некоторую комбинацию условий (7.61) и (7.62). Можно показать, что в этом случае

<(ov) и, ф> = У (ov)T пхф di г 5 (av)v ^ф dV + <(cv)v, п0¥ф> rri(7.67)

для всех ф пз ^'(Г). Смысл каждого из слагаемых в правой части (7.67) очевиден, за исключением последнего слагаемого; папомним, что он представляет собой значение формы двойственности па паре элементов (ov)ve еу-№^р) и п^ф е Я1/2(Г), где, по условию, функция и0 предполагается равной пулю па Tj (см. (4.2) гл. I). Мы отсылаем к [77] ио поводу весьма технического до- - казательства этого результата.

Укажем еще несколько дополнений к предыдущим результатам.

Замечание 7.6. Меры ое(н) л oneD(w) равны обычному скалярному произведению о и е(м) (соответственно о° и ес(н)) в некоторых случаях, когда это произведение имеет смысл; например, это так, если в дополнение к предыдущим условиям (o^2(Q), ue[;(Q)) имеем■

oD e^Q; £")(7.68)

или если

eD^eL4P-; EBY(7,69)

И в том, и в другом случае для доказательства нашего утверждения достаточно проверить, что (ср. (7.40), (7.42), (7.43))

^аоео ^иу <0 = J (poDeD (п) = i- J (d iv и) (tr а) ф dx — ий

— J (div о) нф dx — ^ о (и 0 grad ф) dx (7.70) йй

для всех ф из ^” (Q); в интеграле ^poD6D(n) выра- й

жение oDeD(u) есть произведение непрерывной функции о° на меру eD(u) в случае (7.68) и произведение функции oD класса L°° на функцию eD (и) из D в случае (7.69). Вследствие формулы Грина ((1.51) гл. 1) соотношение (7.70) очевидно при oeS(Q) и достаточно регулярном и, например, при и е (Я1 (Q) )”. В случае справедливости (7.68) формула (7.70) получается переходом к пределу ио приближающей функцию и последовательности ит, удовлетворяющей условию (7.45); в случае (7.69) мы приближаем и последовательностью ит г е (g’^fi))”, сходящейся к и в ЛО(О)П £7(0) (так как (^”(Q))n плотно в LD(Q) П U^) согласно замечанию 3.4, ii)).

Замечание 7.7. i) В общем случае (o^S(Q) и и^С7(0)) произведения ое(м) и о°е°(н) локальны, т. е.

(9о)е(м)= О(ое(п)),(7.71)

oe(9u) = (oe(u))9 + o(u ® grad 9)(7.72)

для всех Ве^^Й); это сразу следует из соотношений (7.42) и (7.43). Отсюда следует, что если О — открытое

210

подмножество в Q, то

О1в (м)= 02в(и) на О, если щ, 02 eS('Q) , 01 = 02

на О ине U^,(7.73)

ае(М1)= ае(м2) на О, еслиое£(й)

и и\, u^eU(Q), mi = м2 на 0.(7.74)

ii) Если mgI7(Q), то eD (и) e M1 (Q; ED^, и можно написать лебеговское разложение этой меры:

8d(m)=^+6d(m)s,(7.75)

где h е U (Q; ED^, a eD (m)s g Мх (Q; Ed) сингулярна относительно лебеговской меры dx. Если теперь о = e£(Q), то можно определить меру od6d(m)®, полагая

aDeD (М) s = aneD ^ _ „п^(7 76)

где od6d(m)g Д/^О) определена выше, a с^ЛеЕЦЙ). Тогда od6d(m)s — сингулярная мера относительно лебеговской меры dx и абсолютно непрерывная мера относительно |бс(м)|, причем

J 4<W И5 I < || о |1^(й. Е^ J | Ф11 вс ^1(7.77)

аIи

для всех ф из ^(fi). ■ "

Для проверки этого утверждения достаточно приблизить а последовательностью функций amG'S’“(Q; Е), удовлетворяющей (7.52) — (7.55), и заметить, что вследствие замечания 7.1, ii) эту последовательность можно выбрать так, чтобы выполнялось условие

°т Il”(o;e) ^И^Иг"^-^)’°т Il”(o;e) ^И^Иг"^-^)’(7.78)(7.78)

°т Il”(o;e) ^И^Иг"^-^)’

°т Il”(o;e) ^И^Иг"^-^)’

(7.78)

(7.78)

где О — открытая окрестность носителя ф. Так как мера От£п (м) широко СХОДИТСЯ К 0°6° (м) , a Omh сходится к aDh в E*(Q) вследствие теоремы Лебега, то OmeD (м)8 широко сходится к а°е”(м)к; с другой стороны, согласно замечанию 7.6 и соотношению (7.75) имеем

OmeD (и) = a°?i dx + a°eD (и)8,

и из неравенства

ввФ<Ъп8° (_U^SФ<Ъп8° (_U^S<Ьт11ь»(о;Б) f |ф||е°(м)8я

в

в

Ф<Ъп8° (_U^S

Ф<Ъп8° (_U^S

<hDllLTOf|<pl|e»(M)S| я

получаем в пределе неравенство (7.77). Затем классическим путем получаем, что oDeD(zz)s абсолютно непрерывна относительно 1е°(н)®| и leD(zz)|.

7.4. Обобщенная двойственность. Начнем со следующего наблюдения.

Лемма 7.8. Для любых и е ^ и любых ое^ n 5^а имеем

-^(divzz)2>-^(divzz)(tra) —-^-(trcr)2 в Q, (7.79) 6п2га х

ф (е° (м)) 2^ <тп8п (и) — ^- |о»|2 в Q),(7.80)

ip» (^”D (wot — Иг) )> (мог — Mr) (av)T на Г0 ). (7.81)

Доказательство. Очевидно, что соотношение (7.79) выполняется почти всюду в Q. Для доказательства (7.80) приблизим и последовательностью функций мт, удовлетворяющей условиям (7.45). По определению ф* и вследствие того, что сДДх^еК” почти всюду, мы получаем для любого m соотношение

Ф (sD (um) (ж)) > oD (ж) е° (um) (ж) — ^ | oD (х) |2,

которое выполняется для почти всех х из Q; отсюда видим, что в смысле обобщенных функций

Ф (8° <Um)) > O^D (Mm) _ _L | qD |2.(7.82)

При тоо мера a°8c(zzm) широко сходится к oDeD(zz) по лемме 7.4. Согласно теореме 5.3 и замечанию 5.3 последовательность ит можно выбрать так, что ф(е"(ггт)), кроме того, широко сходится к ф(е"(п)); тогда из (7.82) получаем (7.80) предельным переходом.

Если а е ^а Г1 ЗСа П ^(Q; ED), то мы получаем по непрерывности, что oD (ж) е KD для всех ж е Г; отсюда, по определению ф-, следует, что в любой точке множества Го

тр» (^"D («От — Мт)) ^ OD^"D (мот — Мт);

с помощью простого алгебраического преобразования, явным образом проведенного в (6.26) гл. I, убеждаемся, что правая часть этого неравенства равна (щ — мОт) (ov)^; тогда в рассматриваемом случае (7.81) доказано. Если же о принадлежит только 9^ Л 3fa, то мы можем приблизить о последовательностью от, удовлетворяющей условиям (7.52) — (7.54), так, чтобы Om(^)e^D в окрестности Ож fl Q точки жо множества Г (см. замечание 7.1, й)). Согласно предыдущему рассуждению неравенство

ip оо (9~ (Мотмт)) ^ (Моти,т) (отх) т

выполняется почти всюду (относительно меры йГ) на Ох А Го для всех т. При m -> °° последовательность (<Tmv)T сходится к (o°v)T слабо* согласно лемме 7.2; отсюда следует неравенство (7.81) па Ох П Го и, следовательно, па всем Го, так как ^о— произвольная точка Го.

Теперь, складывая (7.79) и (7.80) и интегрируя по Q, видим, что

Т (eD (и)) ^ ^ ос (и)^- ^ (о, о) (7.83)

ы

для всех и из ^а и всех о из 54 (см. (6.12) и (7.3)). Интегрируя (7.81) по Го и складывая с (7.83), получаем неравенство

¥ (8° (и)) -; - f трое (5"° (Нот — »т)) dV

Го

> J os (и) ■ |- [ (пот — uT) (ov)Tg- (о, о). (7.84)

Согласно формуле Грина (7.59) с Ф = 1 и с учетом соотношений (7.60) и (7.67) (с <р=1) видим, что правая часть (7.84) равна

'L (и) 4- (ov) и0 йГ^- .s^ (о, о).

Определяя J, как ив (6.25), формулой

J^ = ^? (е (u)) + f ipoo ^D (кот - щ)) аГ, (7.85) го получим, что

J (и) — Л (и) > j* (av) и0 dij- ^ (а, о) (7.86) г0

для всех м из 'З’о и всех а из ^а П Х„. Учитывая, что

= sup (7.2)= sup (7.2){Г1"

= sup (7.2)

= sup (7.2)

I (av) ий аг(о, а)

Го

и, кроме того,

sup j) (av) u0 ar — (1/2) ^ (a, a)l = ae^an^a |r0j .

= (по теореме 6.1)= inf ((6.10) гл. I)>

>(так как (6.18) есть расширение задачи (6.10) гл. 1)>

>inf (6.18),

то мы снова получаем утверждение теоремы 6.1:

inf(4.16) гл. I = inf(6.4) гл. I = inf (6.18) = sup (7.2).

(7.87)

Таким образом, справедливо

Предложепие 7.2. В предположениях (6.14) и (7.14) неравенство (7.86) выполняется для всех и из ^а и всех а из Sa П Ж,д в частности, из (7.86) следует (7.87), г. е..

inf 6 = sup ^*.(7.88)

Чтобы уточнить двойственность между (6.18) и (7.2), мы можем использовать общие рамки § 2 гл. I, но этот прием плохо приспособлен к пашей ситуации вследствие сложно устроенной двойственности между S(Q) п I7(Q). Поэтому предпочтительнее ввести лагранжеву функцию задачи, приводящую к двойственности с помощью лагранжианов (см., например, [39], гл. 6): эта функция S определяется на ^а X (^а П Ж,) формулой

S (и, а) =

= — L(u)^- ^(а, а) += — L(u)^- ^(а, а) +ае (м) + J (мОт — щ) (av)T аГ.

= — L(u)^- ^(а, а) +

= — L(u)^- ^(а, а) +

Тогда походная и двойственная задачи представляются соответственно в формах (см. [39])

inf f sup S’(и, о)),(7.90)

ue'B’a lae^аЛ^аJ

sup f inf S’(m, cr)l.(7.91)

ae^c^ |ue?aJ

Интегрируя (7.81) на Го, находим, что

[ фоо (^~D (“от — “т)) ^Г > [ (мОт — мт) (пх)т^Г, (7.92) г0г0

S’(u, о)^.

< — Ци) -l-J^^^noT —“т))с?Г -!-Jere (и)^-^(a, o)<

r0Q

< - L ^ - J- f ф^ <=rD (mot - ux^ ar + v (e m) <

Го

^J(n) — L(n). (7.93)

Точно так же, используя (7.59) с Ф = 1, а также (7.60) и (7.67) (с <р = 1) и замечая, что ov = g па Г и nv = = uov на Го, получаем, что

$ (и, о) = —^-(a, о) — J gu аг J (erv) и аг +

riг

+ J (“от — “т) (ov)x аг =^ ^ (а, о) 4- ^ (av) ий аг. (7.94)

Из всего предыдущего следует, что нижняя грань задачи (7.90) и верхняя грань задачи (7.91) равны числу (7.88).

Замечание 7.8. Мы можем рассматривать лагранжиан S’ (м, а) также и па ^a X ^а, где

= (с е L2 (Q; Е), div а е L"+1 (Q)",

ап(ж)г К” для почти всех ж е Q}.

Тогда вместо (7.93) получаем, что

sup $ ^и, a) = J (и) — L (м) ае^ а

и равенство в (7.94) может выполняться только при

О Е .Т/М, = X:

inf $ (и,, а) —

ие'б'д

— (1/2) ^ (о. о) + J ((Tv) мо аг при О 6= ^а П X,,

=1 о

.— оо в остальных случаях.

При этих условиях задачи (7.90) и (7.91) (где ^н П Жа заменено па <5^ совпадают с задачами Q и 5°*, т. е. (6.18) и (7.2).

§ 8. Существование обобщенных решений задачиоб обобщенных перемещениях

Здесь мы достигнем цели, намеченной в гл. II,— мы докажем существование решения задачи об обобщенных перемещениях, т. е. задачи Q, введенной в § 6 (см. (6.18)). Это утверждение уже доказано при дополнительных условиях в п. 6.3; здесь мы установим наш результат в более общем виде. В п. 8.1 содержатся предварительные технические результаты; в п. 8.2 мы приводим основной результат — существование решения и условия оптимальности. Излагаемые здесь результаты следуют статьям [33, 76, 77] и обобщают (в отношении существования) частичные результаты [3, 100, 101, 139].

Предварительные результаты. Обозначения — те же, что и в предыдущих параграфах, в частности, § 6, 7.

Продолжим функцию I/O до функции йо из Rn в R", потребовав при этом, чтобы

Йое7/1(1Г)П, йо1а = н0." (8.1)

Точно так же для любой функции и из ^а определим функцию й из Rn в себя так, чтобы

й = и на Q, й = йо на R"\Q.

Совершенно так же, как и в лемме 2.2, мы убеждаемся, что е,Дй) равно в Rn сумме трех мер

Еу (и) = ОцЕу (и) -Ц Qr4\<2^U («о) ~1' ^ ij k^tj То (^)) ^Г> (8-2) где 0в — характеристическая функция множества В и 7о(и)—след и на Г (а именно, внутренний след функ- 216

ции иеВЩО?). тогда как внешний след функции и на Г есть внешний след ио Е BD (R"\Q), т. е. ко).

Лемма 8.1. Пусть ие^а и a е ^ Л Ж а и пусть ср е 'g’o(Q); тогда

J ф° (q)sD (к)) ^ J (p<TD8D (и) — ^i- J | oD |2 dx. (8.3) Ййsupp q>

Кроме того, если 0 < ср < 1 и В = {ж е Q, 0 < cp(z)< < 1), то справедливы следующие равенства и неравенства-.

J ф° (ере0 (к)) -|- J фс ((1 — ср) 8° (к)) ^ J ф° (е° (к)), (8.4) ййй

^d(8d(m))<'

Й

^ У ф° (q;eD (и)) -’- [ ф° ((1 — ср) 8е (к)) -|- с0 mes В, (8.5) Йй

У ф° (cpeD (м)Х Cj У |8d(m)|,(8.6)

йsuppф

У фоо (ф^0 («от — и-^ ^г У ф- ((1 — ср) =rD (n0T—nT))dr

- f(8.7)

Доказательство. Все эти соотношения легко проверить, если и — достаточно регулярная функция, а в рассматриваемом случае все соотношения можно получить, аппроксимируя и с помощью последовательности um g U(Q) Л i^” (Q))", удовлетворяющей (7.45), и переходя к пределу. Более точно, согласно теореме 5.3 и замечанию 5.3 можно выбрать такую последовательность ит, которая удовлетворяет условиям (7.45) и, кроме того, условиям

i|)D(eD(Km)) сходится слабо к 4>D(eD(w)),

У ф° (eD (um)) сходится к У ф° (еп (к)).^-8)

йй

Небольшая модификация доказательства теоремы (5.3) позволяет выбрать последовательность ит так, чтобы,

кроме того, выполнялись соотношения

ф° (фЕ° (ит)) сходится слабо к "ф^фе0 (и)),

[ ф° (фев (ит^ сходится к J ipD (фе° (и))^-9)

ЙЙ

и аналогичные соотношения, в которых ср заменено на 1 — ср.

По определению ф® почти всюду в Q имеем

фП (фЕ° (um)) > фсг^е0 (um) — ^1 oD |2; интегрируя по носителю функции ср и учитывая при этом, что ф® > 0 и ф® (0) = 0, видим, что

У фв (фсе (um)) = J ф° (фЕ° <ит^ > йsupp ф

> j\<JDED(um) — A- J |oD|2^. йsupp ф

Переходя к пределу и учитывая (7.45) и (8.9), получаем (8.3).

Точно так же, вследствие выпуклости 1|)®, получаем для всех х из Q

ф® (фЕ® (ит)) + ф® ((1 — ф)е®(пт))^ ф®(е®(пт)), если O^cp^l. Интегрируя по Q, мы получим (8.4) для ит; переходя к пределу с учетом (8.8) и соотношении (8.9) для ср и 1 — ср, получаем (8.4).

Неравенство (8.5) для um получается следующим образом: по определению ф® и с учетом того, что KD содержится в шаре пространства Е° с центром в 0 и радиусом к\ (ср. формулы (4.4) и (4.8) — (4.10) гл. I), имеем фо(ф(а:)£о(мт)(^)) = sup (ф (ж) ^е" (ит (ж)) —1 £D |21,

^DeKD IJ

ф°((1 — ф(.г))е°(мт) (ж))>

> sup {(1 — ф(ж))5°е° (llm (ж)) —I^|2l

Складывая, получаем

ф" (ф (ж) eD <ит^х^ -|- ф” ((1 — ф (ж)) е° (пт) ^)>

> sup ^(^(^--Ll^^ ^^(еи(мИ_ 1 .

^dgKd IР J

Интегрируя это неравенство по 5, мы приходим к неравенству (8.5) для ит, где

с0 = kXKW

Затем, переходя к пределу, мы получаем (8.5).

Для доказательства (8.6) напишем, учитывая выпук

лость и неравенство ^“(t0)^ ^il£Dl (см. (6.2)), что

ip” (фес (um)) 5$ ф^0(eD (um)) + (1 - ф) t|)D (0) ^

C ффс(eD(um))C Zc^l£D(um) I.

Интегрируя, видим, что вследствие неравенства ф ^ 1 справедливы соотношения

j ^(фе^и^Х^ j ф |eD (um) К ^ J |eD(Mm)|.

ЙЯвиррф

Это и есть неравенство (8.6) для ит; само неравенство (8.6) получается при т-* =о.

Относительно (8.7) заметим, что вследствие выпуклости для почти всех ж из Го имеем

ф™ (ф^” («От — и^ ) + фоо ( (1 — ф^^ИОт — и^ )

< ^«(^(иот — Ит)).

С другой стороны, по определению ф„ имеем

фоо ^9"D (мОт — мг)) = sup {ф^^-13 (нох — иг)},sDeKD

фоо ((1 — ф)^°(мот — иг)) = sup {(1 — ф) ^^(“от—Мг)};

^DeKD

складывая, получаем

ф«> (ф^*” (нот — «т)) + фоо ((1 — ф) ^'° (u0T — нг)) >

^ sup 1В (М0Т Ит)} = фоо (^~ (Нот Ит))- РекВ

Отсюда следует, что

■фо, (ф^-” (йот — Нт) ) + t|)=o ( (1 — ф)^"0 (йот — ltT) ) =

= Ф~ (^”D (“От - Нт) )

и затем получаем (8.7), интегрируя по Го.

Следующий результат относится к полунепрерывности снизу. Рассмотрим последовательность ит из U (Q),

которая слабо сходится к и, т. е.

Нт и в (L^Q))" сильно и в (ZLn/(n-1) (Q))” слабо, divwm — div и в L2(Q) слабо,(8.10)

е(ит)-*е(и) слабо в М\^\ ЕУ

Тогда если мы рассмотрим функции йт‘.

Пт "— Пт НЯ О, Пт := ^0 НЯ Rn\Q, то ясно, что при m оо

йт-^й в (Л1 (В"))" сильно и в ^Ln,tn~u (В"))” слабо,

(8.11) е (um) е(и) слабо в Л/^В”; Еу

Заметим, что если итх = пум па Г для всех т, то согласно теореме о следе из п. 7.2 (см. предложение 7.2), имеем в пределе wv = uov на Го; следовательно, если все Пт содержится В ^а, то И М содержится в ^а-

Лемма 8.2. Пусть ит — последовательность в ^а, сходящаяся к и^^а в смысле (8.10). Если, множество 9а 0 Уба непусто, то

J (и) — L (и) ^ lim inf {/ (um) — L (ит)}.(8.12)

Доказательство. Пусть ст— элемент множества 9» 0 96а. По определению множеств 9а, Уба, ^« и вследствие формулы Грина (7.59) (для Ф = 1) имеем

J ^ — L ^ = J ^-^- (div к)2^- (divn) (tr ст) j dx -j-

+ J ф (eD (r)) + jX (srD (uox - v^ ar +aro

+ ^ (ctv) u0 ar — J CTD8D (h) — ^ (mot — pT) (ctv)t dr. гяr0

Некоторые слагаемые очевидным образом непрерывны или полунепрерывны снизу в топологии (8.10), и поэтому достаточно доказать полунепрерывность снизу для Л ^ = J Ф (е° (^)) + J фоо (srD (мот — пт)) аг —

Qго

— J aDeD^ — j* (мот — пт) (crv)T аг. (8.13) яГо

Пусть р— функция класса Я?” на (0, °°) с O^p^l, Р (s) = О ДЛЯ 5^1 И Р (s) = 1 ДЛЯ S > 2. Для любого 6 > О положим

Ф6(ж) = p(6_|d(a;, Г1)),

где d^x, Г1) означает расстояние от х до Г^ конечно, функция Ф6 принадлежит классу ^^

Вследствие (8.4) и (8.7) имеем

J ф (eD (um))^ ф^ (У"й (u0T — итт^ di ">

“г0

> f Ф (ФбЕ° (um)) + [ фоо (Фб^и («от — «тт)) аг +

-г f Ф ((1 - Фе) е° М f фоо ((1 - Ф6) 3"D (мот-ит^)аГ. =го

Согласно (8.2) и определению %„. видим, что

eD (um) 0QeD (um) + ОипХГ2е° (u0) + 9"" (u0T — umT) dT

(8-14)

и на основании теоремы 4.2 получаем, что

ф(фбе°(пю)) = ф(Ф6е°(um)) на й,

фоо (Фб^""(иот — Umx) )йГ = ф(Фбев(нт)) па Го,

так что

J ф (Ф6е° (um))[ фс (Фб^-0 (иот — ит^ dY =

= f Ф (ФбКв (um)) — J ф(ф6еп (uQ^ dx.

RnRn\U

Наконец,

4

J1 (^m) ^^I ami

a=i

Лт = f Ф(ФбеС'(н’т)) — j Ф (Фб£° (M0)) ЙХ,

R”Rn\Q

12m = J Ф ((1 — Фб)е° (um)) — J (1 — Ф6) aDeD (um), QЯ

Ism — J Фоо ((1 Фб) ^" (^от ИттЙ II го

J (1 Фб) (Mqt Чтт) (*^)т ^Г, го

14m "^ Ф^П^в^ (^т)У Фб (и от ^тт) (^^)т IV •

QГо

Выражение I\m полунепрерывно снизу в рассматриваемой топологии, и следовательно,

liroinfZlm> f ф (Ф6е° (tc)) — J ф (Фвеи (u0)) dx.RnН"\й

Согласно (8.14) и предыдущему рассуждению, получаем с учетом (8.5) и (8.7), что

J гр (Ф6е° (и)) + J гр» (Фб^” (иот — и^ йГ^^ — С16, sг0

где■

Zx = J ф (eD (и)) + [ ф- (^D (иОт — мт)) 1Г,Йго

С^ =f^((l - Фб)е°(и)) -Ь J^ ((1 - Ф6)£Г°(иот-Ыт))^Г + пг0

+ с0 mes В&, вь = и е й, о с Фб (ж) < и.

Для /я™ воспользуемся (8.3) с <р = 1 — Фа:

1гт > с2б = — -^ JI aD |2 dx.

.Вб

Слагаемое 1зт равно нулю; это доказывается совершенно так же, как и (7.81). Наконец, для Цт мы воспользуемся формулой Грина (7.59) с Ф, замененным на Ф6:

f Ф6апеп (um) + J Ф6(Мот — мтт) (^)т йГ =

hг0

=^- J (div Um) (tr о) Фе dx — У (div а) итФе dx —

£2Г

— | а (um ® grad Фе) dx — J (av) п0Фб с/Г. qг0

Отсюда легко следует — снова с помощью (7.59),—что /4т сходится при т °» к

Л = f °D^U (ы) + ^ (^ОТ — ^т) (ffeX dr — С2б,

ог0

где

С2б = f (1 - Фе) aDeD (и) + f (1 - Ф6) (мОт - ^) (av). ЙГ.

QГд

Наконец, получаем.

lim inf J\ (um) ^ Jх {и) — Суь — С2б.

Так как 6 > 0 может быть выбрано произвольно малым, а Си и Сге стремятся к пулю при стремлении 6 к пулю, то

lim inf Jv (ит)^ Jx (и),(8.15)

и утверждение доказано.

2. Существование решения и условия оптимальности. Напомним паши предположения:

Q — открытое множество класса 'З?2,(8.16)

и граница Г области Q разбита на Го, Г,, Г*, где Го и Г[ открыты в Г, а Г*— общая граница Ге и Г1— замкнута в Г, причем выполняется условие (2.105) гл. I. С другой стороны, зададимся функциями

/E(L”(Q))”25))(817)

^е(£”(Г1))п,(8.18)

п0 е (Я1 (й))", еГоУо (“о)= То К)-(8-19)

где 6г0 — характеристическая функция Го в Г и 70 (ио) — след по па Г, для простоты снова обозначаемый через uq.

Задача о перемещениях есть задача (6.18). Она находится в двойственности с задачей о напряжениях (7.1) — (7.4) в смысле, определенном в конце § 7. Напомним, что нижняя грань в задаче о перемещениях конечна, т. е. условие

inf {J (и) — L (и)} > — оо(8.20)

Было бы достаточно предполагать, что / е (L"(Q))n.

выполняется тогда и только тогда, когда выполнено одно из нижеследующих равносильных условий:

inf Voo (б°(у) ) > 1, где нижняя грань

берется по множеству всех таких и е(Я* (Q))n, что div к = 0, у = 0 на Го, Л(к) = 1, (8.21) или существует о е др^ где

^а = {о е £2 (Q; Я), div о + / = 0 в <2, ov = g на ГI},

и ^Чх^ — К11 для почти всех теО (8.22)

Назовем условием допустимого груза одно из двух следующих равносильных условий:

Inf Чгос(е"(и))>1, где нижняя грань берется

по тому же множеству у, что и в (8.21); (8.23) существует такой элемент ое^а, что о” (ж) е/-Я”

почти всюду по х е Q, где 0 ^ % < 1.(8.24)

Согласно предложению 6.1, если условие допустимого груза выполнено, то любая минимизирующая последовательность задачи о перемещениях ограничена в U (62) (соответственно в U(Q)/i%, если Го = 0).

Справедлива

Теорема 8.1. Если выполнены предположения (8.16) — (8.19), если Го ^ 0 и выполняется условие допустимого груза, то задача о перемещениях (6.18) имеет решение в (7(Q).

Пусть выполнены те же предположения и пусть и е еТ,и а е дро \ \ ЧТ„ . Тогда функция и является решением (6.18), а о— решением задачи (7.4) в том и только том случае, когда

ф (eD (и)) г ^ | orD |'2 — cDen (и) в Q,(8.25)

х div и —-1-tr ст в 12,(8.26)

фоо (9"D (иох — их^ = (иот — ит) (ctv)t на Го.

(8-2 )

Доказательство. Теперь существование решения легко получить прямым методом вариационного исчисле- 224

ния. Пусть (um)—минимизирующая последовательность для (6.18). Она принадлежит ^а и ограничена в t7(Q); следовательно, опа содержит подпоследовательность — снова обозначаемую через (и„),— которая сходится к и слабо, т. е. в смысле (8.10) (см. (3.4) и (3.37)). Согласно предложению 7.2 функция и принадлежит ^„, и по лемме 8.2

J (и) = L (и) ^ lim inf {J (um) — L (нт)}.

Отсюда следует, что и — решение задачи (6.18).

Согласно доказательству (7.86) при и ое^аП П Жа равенство в (7.86) выполняется тогда и только тогда, когда в соотношениях (7.79), (7.81) имеет место равенство, так что они принимают вид (8.25) — (8.27).

Замечание 8.1. i) Доказательство существования в теореме 8.1 состоит в том, чтобы показать, что некоторая минимизирующая последовательность для задачи Q, содержит подпоследовательность, которая слабо сходится к некоторому решению задачи Q. Более общим образом: если выполнены условия теоремы 8.1, то любая минимизирующая последовательность для задачи ^, @91 или Q, имеет точки накопления в слабой топологии пространства C7(Q), и любая точка накопления минимизирующей последовательности является обобщенным решением, т. е. решением задачи Q.

Если Го = 0 и Г1 = Г и если выполнено условие

L(n)-0 Vne^, (8.28)

то мы получаем существование решения задачи о перемещениях, рассматривая задачу в факторпрострапстве, как в предложении 2.7 гл. I.

ГЛАВА III

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИИ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИН

Введение

Целью настоящей главы, которая короче предыдущих, является изучепис некоторых задач, связанных с задачами, изученными в гл. I, П. В § 1 мы рассмотрим различные асимптотические задачи, соответствующие не идеально пластическим моделям; мы изучим эти пе идеально пластические задачи, а также поведение этих задач, когда параметр, характеризующий «неидеальпость», стремится к 0. В § 2 мы рассмотрим задачи, возникающие в теории пластин, для которых мы проводим изучение, параллельное уже проведенному для размерности 3: задача теории упругости; существование решепия и двойственность; идеально пластическая задача; двойственность; изучение задачи о напряжениях; введение в пространство, аналогичное пространству BD для задачи о перемещениях (пространство ПВ^у, формулировка задачи об обобщенных перемещениях в НВ^) и существование решения для этой задачи.

Некоторые асимптотические задачи:не идеально пластические задачи

Мы изучим в этом параграфе различные возмущенные модели упругой идеально пластической модели, рассмотренной в гл. I, II. Рассматриваемые возмущепия, уже упомянутые в § 3 гл. I, суть упруго-вязкопластические задачи, задачи типа Нортона — Хоффа и задачи с упроч- непием. Эти возмущения рассматриваются соответственно в пп. 1.1, 1.2, 1.3. В каждом из изучаемых нами случаев мы ограничиваемся изучением возмущенной задачи (задача о напряжениях и о перемещениях: двойственность и существование решения). Затем мы изучаем поведение возмущенной задачи, когда параметр, характеризующий возмущение, стремится к нулю; когда эта связь установ- 226

лена, мы получаем сходимость решений возмущенных задач к решениям упругой идеально пластической задачи.

Упруговязкопластическпе возмущения. Примем предположения и условия § 4 гл. I; в частности, (4.1) — (4.10). Обозначим через т|?е и т^р функции ф в упругом и в идеально пластическом случае, а через фе и фр — их сопряженные функции; иначе говоря (см. (2.65), (2.68), (4.5), (4.9) гл. I),

ФД£) = 4 (tr^ + p|^|2 VtE^ (1.1)

^M=l^T) = ^ + ^hDl2 VneP, (1.2)

Фр(г]) = ^(n) ПРИ nG^ Ф*(п)=-| 00

в противном случае, фр = (фр)*. (1.3)

Для любого а > 0 определим выпуклую функцию фа на Е со значениями в R и ее сопряженную функцию фа; имеем (см. (3.46) гл. 1)

ФаСФ = 4" ^1- "^ 1П — РКП]2, U-^)

где Рк — проектор в пространстве Е на К. Согласно результату статьи [155] функция ц -* (1/2) [ц — РкЦ]2 выпукла, непрерывна и дифференцируема по Гато из Е в R, причем ее дифференциалом является отображение ц -*• ->- ц — Рктр Отсюда следует, что функция Фа строго выпукла как функция па Е со значениями в R, непрерывна и дифференцируема по Гато, причем ее дифференциалом является отображение

Лц + ^П — рк^. (1.5)

Функции фа суть возмущения функций ф*, например, в следующем смысле: для любого ц в Е имеем Фа(ч)-*- ~*Фр(т1) при а->-0. Действительно, Ркт] = ц и Ф<х (и) = = ф*(г|)прп i]e^, а если ц £ К, то фа^)-*- I" °° = Фр(11) при а 0.

Функция фа сопряжена к функции фа = (фа)*, которая выпукла и и. н. сн. на Е со значениями в RU{+”} (см. § 2 гл. I). Явный вид фа мы дать не можем; отметим, однако, следующие свойства функции фа.

in*in*997

in*

in*

Лемма 1.1. Для всех а>0 функция фа непрерывна и выпукла как отображение Е в R; кроме того, для всех § из Е имеем

Фр (I) ^а ^ ^ Ф. © ^ max (И, ^) | g |S(1.6)

фа^^т^-}-^)^.(1.7)

Доказательство. Достаточно доказать неравенства (1.6) и (1.7); действительно, из (1.6) следует, что фа конечно в любой точке пространства Е, и так как эта функция выпукла, то этого достаточно, чтобы утверждать ее непрерывность; неравенства (1.6) очевидны, так как фе ^фа^фр. Относительно (1.7) заметим, что поскольку К = KD ® R/ (см. (4.4) гл. I), то

РкЛ ~ -у tr к\1 4- Pkdi\d VrieS, (1.8)

где PkD — проектор в пространстве ED на KD. Тогда, так как 0 ^ К°, то | Tj — ^дТ] | = | t]d — PkdTid | ^ | r]D |, и поэтому

Фа(^) = 8Пр{^—ф*(ц)| = ■пек

-4h°~ А'А'г}йа,,г5)А

+ «up hv - (^+A), ^a a _s.№ + ^l hDP.

TiueEu I\ r/ J

Задача о перемещениях, которую мы обозначим через ^в, похожа на задачу (4.16), (4.17) гл. I (см. также (3.18) гл. I); она имеет вид

inf {^(e^-LH, (^а),(1.9)

где ^а и L^v") определены так же, как и в (4.13), (4.14) гл. I, причем

Va (т) = j фа (т (ж)) dx(1.10)

й

для всех Te//(Q; Е). Из (1.6), (1.7) следует, что ^«(т) конечна для всех те£2(О; Е), и согласно предложению 2.4 гл. I функция т-*гРа(т) конечна и непрерывна па E2(Q; Е) со значениями в В.

Функция н-* Чга(е(у)) непрерывна и выпукла

как отображение (7/1(Q))3bR. (1.11)

Для того чтобы определить задачу 9^, двойственную к ^а, мы будем действовать совершенно так же, как и в и. 4.2 гл. I: выберем те же пространства 7, У, Л, Е и, напротив, определим G формулой

G(p) = ^«(р^))^ Vp е У = Е2 (Q; Е). (1.12) Q

Чтобы определить 9^ мы должны вычислить Е*(Л*р), что на самом деле уже сделано в (4.25) гл. I, и найти G*(p); но G*(p) определяется с помощью предложения 2.5 гл. I, которое дает

еЧрГ-ч^р^

J^a(pW)^ = 4 ^^Р’ PW-^\P - Ркр\Ъ№Е) (1ЛЗ) а•

для всех р е У* = L2(Q; Е). Вводя тензор а = — р, мы можем следующим образом явно задать задачу 9>а, определенную в (2.36) гл. I:

sup I— А ^ (Щ а) - ^ I ° - рко lb(fi;E) + J(ov) и0 ^L

(1.14)

где верхняя грань берется по множеству всех о из 9'а (см. (3.6) гл. I). Эта задача 9а является вариантом со штрафом задачи 9** из (4.29) гл. I; штраф вводится в условие, что aD (ж) е KD почти всюду.

Предположим, что Го=^0, чтобы немного упростить задачу. Тогда справедлива

Теорема 1.1. i) Для любого а>0 задачи 9„ и 9а имеют единственное решение; обозначим эти решения через иа и оа соответственно; тогда

inf ^ = SUp^ е R(1.15)

и

6 (ua) = ^a 25" (°a ~ Рк^а) ПОЧТПН всюду в Й. (1.16)

При a О имеем

inf ^a — sup ^-> inf ^ = sup^*. (1.17)

Если sup ^* > — о», то оа сходится в L2(Q; Е) к решению о задачи 9*. Если, кроме того, выполняется условие допустимого груза, то последовательность иа ограничена в U^), и любой слабый предел подпоследовательности последовательности иа есть обобщенное решение задачи 9.

Доказательство, i) Для фиксированного a > О множество допустимых функций о для задачи (1.14) (т. е. множество 9<^ непусто; следовательно, sup^a>—сю, и inf^eR согласно (2.28) гл. I. Как и для (1.11), мы видим, что функция У а непрерывна на L2(Q; S) и, следовательно, выполняется условие (2.29) гл. I — например, при и° = ио; тогда из (2.30) гл. I следует (1.15) и существование решения задачи 9а. Это решение оа единственно вследствие строгой выпуклости отображения о-*^(о, о), и тем самым — также отображение п-> -^^„(п). Теперь с помощью предложения 2.1 гл. I мы получаем существование решения задачи 9а, причем из (1.11) и (1.7) вытекает, что условия (2.38) и (2.42) гл. I выполнены.

Если иа — решение задачи 9а, то соотношение экстремальности (2.31) гл. I записывается в виде

Ya(e(ua)) + Y:(aa) = (aa, е^,(1.18)

откуда следует, что почти всюду в Q имеем ^а (е (па)) + Лр£ (па) = <Iae (иа), что равносильно (см. (3.9) и (3.10) гл. I) одному из двух условий:

е («а) М е дфа (о-а (ж)) для почти всех хг^, (1.19) ста(ж)е 8фа(е(иа))(ж) для почти всех же й. (1.20) Вследствие (1.5) соотношение (1.19), в свою очередь, совпадает с (1.16).

Наконец, остается только доказать единственность решения задачи 9а-, о« единственно, и из (1.16) следует, 230

что и e(ua) единственно. Отсюда следует, что иа единственно с точностью до перемещения как жесткого целого, и это жесткое перемещение определяется граничными условиями иа = м0 па Го (Го — непустое открытое подмножество в Г по условию).

Изучим теперь переход к пределу при a0. Начнем с исследования случая, в котором sup ^*>—00 и существует допустимое о для задачи ^*; в частности, решение (которое для задачи ^* существует и единственно). Так как о допустимо для ^а и при этом 'фа^'Ф*, то ^a (Ca) — f (tr«v) ий dr ^ Ta (d) — ( (dv) Uo dT

r0r0

^T*(o)- ((ov)u0dr. (1.21)

Отсюда следует, что sup^a ограничен снизу при a0, причем

— оо <sup^*^liminf (sup^a)- (1.22) a->o

Из теоремы о следе (1.47) гл. I следует, что существует такая постоянная ci, зависящая только от области О, что

IIav Hn-i^r)3 ^ о 11 ° IbW) + I div а kwl (i-23) для любого о из L2(Q; Е') с div о ^ (Л2 (Q))3; в частности, если о^^а и div a = /, то

Il •TV ||Н_1/2(Г)Я = С1 [ I *Т 1ь2(0;щ + I/Il2(Q)3]-(l-2^)

Отсюда следует, что при о е ^ имеем

f (crv)uodrf (crv)uodrггооff(dv)w0 dT ^(dv)w0 dT ^

f (crv)uodr

f (crv)uodr

г

г

о

о

f

f

(dv)w0 dT ^

(dv)w0 dT ^

= 11 ^ Ид— 1/2(Г)д II То (Мо) |1д1/2(Г)3 — с2 { I^I^IfilE) + ^] —

<-^ ^ (ст, ст)-|-с3, (1.25)

где С2 зависит от Q, /, ug, а сз зависит от тех же величин и от х и ц (но не от о). Подставляя это в (1.21) и учитывая (1.13), получаем, что

—^ ^ (<Ta> Оа) + -^ I оа Рк^а 1ь2(й;Е) =

^ с3 — sup ^а ^ ^3 — SUP 3s*- ('I -26)

Таким образом, последовательность оа ограничена в Л2(О; Е); из нее можно извлечь подпоследовательность, снова обозначаемую через оа, которая слабо сходится в этом пространстве к некоторому пределу п0. На самом деле По е ^ так как это множество замкнуто и выпукло в Z?(Q; Е); кроме того, вследствие (1.26) и ввиду полу- пепрорывпости снизу выпуклой функции

т^|т-Рдт|=2№£)

имеем

I о» - РКа0 |E2№E) S Иш inf 10а - Рко« |2L2(Q;E) = 0. (1.27) а-*о

Отсюда следует, что 0О(;г) = Яд-Оо М для почти всех ж из Q и также о^ (х) е KD почти всюду, как только По допустима для S9*. Из (1.21) и (1.13) выводим также, что

С*

~2" ^ (о«, Ид) ] (0<х^) Но (7Г ^ Ч^а (На) J (o«V) UQ dT =

= —sup.^a- (1-28)

Согласно теореме о следе (1.47) гл. I имеем

0aV -* aov в Я~1/2(Г)3 слабо(1-29)

и

( (nav) и0 di ->- J (aov) u0 dT.(1.30)

Гг

оо

Тогда из (1.28) ввиду полунепрерывное™ снизу следует, что

4-^(п0,о0)— I (nov) uu dT ^ lim inf (— sup^*), (1.31) -Ja^o

откуда с учетом (1.22) получаем

sup 5s* ^^- ^ (о0, 0д) + [ (o0v) ыо ^Г-(^ -32)

Так как По допустима для ^*, то это означает, что по есть решение задачи ^*, и о0 = о, так как решение задачи ^* единственно (теорема 4.1 гл. I); кроме того, из (1.22), 232

(1.32) получаем, что

sup S9* = ■—i-(о, a) + J (o^ u0 dV

ro

~ ^Jo"' (— ^ ^ ^ ^ ~ ^ । °a ~ Рк°а £3№Л) —

— j (crav) u0 сЛ1! ;g lim sup (sup^) <S sup ^*. (1.33) pI a^o

J

И па самом деле, все рассматриваемые неравенства являются равенствами. С одной стороны, отсюда следует справедливость (1.17) в рассматриваемом случае (sup У* > — °°); с другой стороны, отсюда следует, что при a -* О

| Оа — Рк^а |l2(ti;E)^’U-^l)

si- (cra, cra) si- ip, a).(1.35)

В связи с (1.35) и со слабой сходимостью aa к а в L2(Q; £) имеем ^(аа — а, оа — о)->- 0 при а -* О, откуда следует, что

(1.36)(1.36)а»-»-а в Z-2(Q; Е^. сильно.

(1.36)

(1.36)

Наконец, классическое рассуждение от противного показывает, что не только подпоследовательность, по и вся последовательность aa сходится ков £2(О; Е^ сильно.

Рассмотрим теперь случай, когда sup ^* = — оо; тогда необходимо sup ^ -> — °°. Действительно, если бы это условие не выполнялось, то вышеприведенные рассуждения (и (1.26)) показывали бы, что из aa можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся в Е2(Й;Е) к допустимому элементу по для ^*, что невозможно. Таким образом, Sup^a-»—оо, и (1.17) установлено.

Остается изучить поведение решения иа задачи ^а в предположении, что выполнено условие допустимого груза. Но вследствие (1.6) и всего предыдущего имеем 47p(e(izC[)) — L(ua)^ Va(e(na))- L(ua) =

= inf^a-^inf^. (1.37)

Так как uae^„ и потому ua Е ^a, то ua — минимизирующая последовательность для задачи ^ и также для допустимой задачи Q; теперь достаточно применить теорему 8.1 гл. II.

Замечание 1.1. Если inf ^ = sup ^* = — °°, то у нас нет никакой информации о поведении ua и а«.

Замечание 1.2. Мы отсылаем к [38] по поводу других вопросов об упруго-пластических моделях и к [87] относителыто общих результатов о методах штрафа.

Возмущения типа Нортона — Хоффа. Мы уже напоминали в (3.55) гл. I определение калибровочной функции выпуклого множества К; это функция

9® = inf{s, ^esK, s>0) V^eS. (1.38)

Так как в рассматриваемом случае К = KD ® RZ, то £ е г sK тогда и только тогда, когда gD ^ sKD, и следовательно,

0© = e(gD)(1.39)

и ограничение 9 на ED есть также калибровочная функция множества KD. Функция 9 выпукла и конечна в каждой точке пространства Е, так как К” содержит окрестность точки 0; следовательно, эта функция непрерывна на Е. С другой стороны, так как 0 ^ К, то

9(^)^1^^К.-(1.40)

Для фиксированного а (0<а^1) мы, как и в [47], определим выпуклую функцию ф* (сравнить с (3.56) гл. 1 при а = 1/д):

фа (п) = 4" ЛФ1 + ах1° (ч)17"С1-41)

для фиксированного Xi > 0. Согласно предыдущему функция фа выпукла, конечна и непрерывна в каждой точке пространства Е; она также строго выпукла, поскольку это верно для (1/2)Лцт]. Функция ф« сопряжена к фа = = (фа)*, которая выпукла и п. п. сн. па Е со значениями в R U {—оо}_ Явный вид фа нам неизвестен, но имеют место следующие неравенства, которые будут нам полезны в дальнейшем.

Лемма 1.2. Для любого а>0 функция фа выпукла и непрерывна как функция на Е со значениями в R, и для любого ^еЕ имеем

Фр © - ахх ^ фа ® ^ 2L (tr t)2 + С11 ^ р/а-“), (1.42)

Фа ® ^ f (tr ^ - ^ + (1 - а) с, | £° |1/(1"а),

(1.43) где cy и за — постоянные, не зависящие от |.

234

Доказательство. Как и в лемме 1.1, достаточно доказать (1.42) и (1.43). Заметим, что поскольку KD содержит шар В , (0) и содержится в шаре В , (0) в ED, то й0

^Vk^O^^^Vk',.(1.44)

Отсюда следует, что

^^-(tr^)2^^-(tr^)2Фа ©^ sup £П — веЕ (Фа ©^ sup £П — веЕ (х /., Св в/ I Г]D | \ 1/а1<^-(tr^2+ sup g n — X1« —77-2TlDeEDl\ *1 / Jх /., Св в/ I Г]D | \ 1/а1<^-(tr^2+ sup g n — X1« —77-2TlDeEDl\ *1 / Jsup i>°sup i>°^-y(tr^)2 + (1 — a)^-y(tr^)2 + (1 — a)(^^^/(Г-а)xa/(l-a)(^^^/(Г-а)xa/(l-a)

^^-(tr^)2

^^-(tr^)2

Фа ©^ sup £П — веЕ (

Фа ©^ sup £П — веЕ (

х /., Св в/ I Г]D | \ 1/а1

<^-(tr^2+ sup g n — X1« —77-

2TlDeEDl\ *1 / J

х /., Св в/ I Г]D | \ 1/а1

<^-(tr^2+ sup g n — X1« —77-

2TlDeEDl\ *1 / J

sup i>°

sup i>°

^-y(tr^)2 + (1 — a)

^-y(tr^)2 + (1 — a)

(^^^/(Г-а)xa/(l-a)

(^^^/(Г-а)xa/(l-a)

что доказывает второе неравенство (1.42), а первое следует из соотношения Фа^Фр + «Хр Относительно (1.43) напишем неравенства

(lr Tj)218x(lr Tj)218xФа(Ю^

(lr Tj)2

18x

(lr Tj)2

18x

^ sup £ Т| + -=- tr ^ tr -и

(trg)GR I°

^Dged

— х,а— х,аk X0k X0\ 1/a) x) }^4(tr^+\ 1/a) x) }^4(tr^+

— х,а

— х,а

k X0

k X0

\ 1/a) x

) }^4(tr^+

\ 1/a) x

) }^4(tr^+

+ sup mD U — 77-— Xxa [I t>0 [\ ^0 / J

Так как t2 ^ 2a,tWa + 1 — 2a по неравенству Юнга, то

(E) S-=-(lr Q* -1^-“+ sup{ 1E-11 -(p^r. + 2)«<>'«}b a^-(trE)= +^* + (1 -«)((-^fcг+2)MИ,|E,’l,,(,-,.

Лемма доказана.

(1.45)(1.45)Задача о перемещениях может быть записана в виде

(1.45)

(1.45)

inf {Ta (е (у)) — L (у)}, №^0

где, как в (1.10),

Та(т)- f фа(т(ж))йж УтеУ(й;£). (1.4G) й

Согласно (1.42), (1.43) и предложению 2.4 гл. I, функция Va выпукла, конечна и непрерывна на множестве {теЛ'^'-^ЦЙ; Е), trre^Q)} (147)

и, следовательно, па всем L2(Q; Е).

Чтобы определить задачу .Еа, двойственную к ^а, мы будем действовать в точности так же, как и выше, в п. 1.2. В нашем случае находим, что.

= J фа (р (я)) dx _-^- .s^ (р, р^ + aXj J 6 (р (ж))1/™ dx, (1.48)

12Й

и, полагая о = — р, мы можем переписать задачу ^а в виде

sup Iу s4- (а, о) —ахх I 6 (ст (ж))1/" dx + I (av) и0 с/Г .

а^Дйг0

(1.49)

Перед тем как формулировать основной результат, мы образуем несколько измененный вариант задачи ^а, в котором ^а в (1.45) заменено множеством

^ [уе Е1^3, еп^ е Е1,(1~а)^; ЕД, div veU (Q), и = ий на Го).

Вследствие предложения 1.3 гл. I мы вправе утверждать, что нижние грани выражения УДе (г?)) — L(v) в ^“’и ^а совпадают.

Мы предположим также, что Го ^ 0, и тогда оказывается справедливым утверждение, аналогичное теореме 1.1.

Теорема 1.2. i) Для любого а>0 задачи Уа и ^а находятся в двойственности и

inf = sup ^„ е R;(1.50)

задача ^а имеет единственное решение аа, а ^а имеет решение PPrL при условии, что в (1.45) множество ^а заменено на ^а"^

236

При a -»■ О выполняется соотношение

inf ^a = sup 5”а^ inf 3s — Slip 5s*.(1.51)

Если sup^* > — °°, то Oa сходится в L2(Q; E) к решению a задачи 3*. Если, кроме того, выполняется условие допустимого груза, то семейство иа остается ограниченным в U^, и любой слабый предел последовательности, выделенной из иа, есть обобщенное решение задачи 3.

Доказательство. Это доказательство совершенно аналогично доказательству теоремы 1.1, и мы отметим только те части, в которых рассуждения отличаются. В и. i) единственная разница состоит в том, что соотношение экстремальности—а именно, условие, что е (иа) (ж) е ЗТ^ (оа(х)) почти всюду—не может быть выражено явно в форме (1.16), а, кроме того, мы не можем доказать единственность решения За.

В и. ii) рассуждение немного отличается, поскольку вследствие (1.26) речь идет о том, чтобы доказать, что Оо (х) е KD почти всюду, и, таким образом, что о0 допустимо для 3*. В рассматриваемом случае

a ^9(af)I/ad^^c.(1-52)

Вследствие полунепрерывности снизу мы можем написать для любой функции ф е 'S’ (Q) (qp > 0) неравенство

6 (о° (х)) ф (ж) dx ^ lira inf f 0 (aD (г)) ф (ж) dx. q«-о о

Согласно неравенству Вельдера последняя величина не превосходит выражения

lim inf I/ f ф (^Vd-a) d^V “0 (cra)1^^^"

®-»o Цп) \а/

Вследствие теоремы Лебега и (1.52) это выражение не превосходит числа

Г \/сГ

I Ф (ж) dx | lim I —= I ф (ж) dx.

J у V a /

Таким образом,

[ 9 (d?) Ф ^ = j Ф ^x ой

для всех ф^^д), ср^О и следовательно, почти всюду О^М)^!;

вместе с (1.40) это доказывает, что о°^еКп почти всюду и, таким образом, о0 допустимо для задачи ^*. Остальная часть доказательства проходит теперь без существенных пзменепий.

Замечание 1.3. Мы отсылаем к оригинальным статьям [66] и [106] относительно механических аспектов уравнения состояния, известного как уравнение Нортона — Хоффа; мы отсылаем к [47] но поводу других свойств обобщенного закона Нортона — Хоффа, рассматриваемых в этой статье. Результаты теоремы 1.2 частично содержатся в [141], а в остальном являются новыми (см. также [105]).

Модели с упрочнением. Рассмотрим теперь возмущения упругой идеально пластической задачи, соответствующие учету явлепий упрочнения (см. п. 3.3, IV гл. I). Введем вспомогательное конечномерное евклидово пространство Е\ и функцию ф па Q со значениями в Е\, представляющую собой параметр упрочнения (см. [62, 118]). Зададимся для а >0 семейством таких выпуклых множеств J^a в EXEy, что

^й = КХ Ev Ж» П (Е X {0}) = К X {0} Va ^ 0. (1.53) Для любого a > 0 зададимся двумя собственными сопряженными выпуклыми и. п. сн. функциями на ЕХЕ\ со значениями в RU{+°°}; функция фа определяется формулой _

. = k1,^) Л^ + (1/2)[л13 при (^,ц)еХа, ч[_|_ оо в противном случае.

Эта функция выпукла, п. п. сн. и пе равна тождественно +°° (.^=#0); она сопряжена к ф« = (ф*)*, которая обладает теми же свойствами. Уточним свойства функции фа с помощью следующей леммы.

Лемма 1.3. Функция фа выпукла и непрерывна на ЕХЕ\ со значениями в R, и для tcex (£, ц) из ЕХЕ\ выполняются неравенства

ц)^4-(1.г^ + р!^ |2+4-ы2,

Фа(^,0)^фр(^ . (1.55) 238 '

Доказательство. По определению'

3Ms-t]) = SUP ! ПП4 ^5 — 4-1 л i2L

^a (£, n) ^ sup Ы — 4" ж) -i- sup fnn — 4" I n |2]>

откуда следует (1.54). Так как 4“(В> Л^О вследствие того, что (0, 0)е J^a, то из (1.54) вытекает, как и выше, что 1|?а конечна в каждой точке ЕХЕ\ и, таким образом, 4'а всюду непрерывна. Относительно (1.55) заметим, что 3fa з К X (0), и тогда

м£,о)^ sup hl — 4-41 — -4-1'п14^ (Ln)e^a I 22 J

■ sup hi—=teK IJ

Примем, кроме того, еще одно предположение относительно т|;а, которое будет выполняться в наших примерах:

существуют такие две постоянные с (a), d(a), зависящие только от а, что с(а)>0.

и чЩ^, 0)^ с(а) lsl2~ d(tz) V^eE. (1.56)

В рассматриваемом случае задача относительно поля перемещений и имеет вид

inf {ТаОФ), ())-Е« (,^а),(1.57)

где положено

v« (т, п) J тра (т (г), Ti (ж)) dx (1.58)

для всех те E2(Q; Е) и ti е E2(Q; Е^.

Для определения задачи ^а, сопряженной к ^а, мы еще раз воспользуемся общим подходом § 2 гл. I. Положим

У = (№ (Q))3 X L2 (Q; Ei), V* сопряженное к У, y=y* = y1Xy2 = Z,2(Q; E)XE2(Q; Ei),

Л = Ai X Л2, Л1 (и) = е (н), Лги = 0.

Для всех (и, и) ^ V введем

F (и, и) —F (и, и) —— Циу если tt е ^J,

F (и, и) —

F (и, и) —

-[- оо в противном случае,

и для всех р =(.pi, рЧ^ Y положим

^ (Pl> Р-Ч — ^а (Pv Рг) ~ J ^а (Р1 W’ Pl W) й30*

12

Тогда ясно, что задача inf ^F (и, и) 4 G (Л (п, у))}, {u,t)eT

представленная в форме (2.2G) гл. I, действительно совпадает с ^а. Для определения ее сопряженной задачи мы должны вычислить F* и G*; из леммы 2.2 гл. I сразу следует, что

F*(z\*p) = ^ (p^Ugdr при — р^^а и = г0

= 4- со в противном случае. (1.59)

Применяя к вычислению G* предложение 2.5 гл. I, мы видим с учетом (1.54), что

G* (р) = J ip* (р, (Fj, р2 (к)) dx

= 4~^(pv РгН ~ Г\РЧЧ Р^- (1.60) 22 й

Тогда задачу ^а можно переписать в виде

sup |(о, сг)1 | (р р dx 4- I (crv) u0 tZrl, (1.61)

<42j 4 j

где положено {pi, р^ = {—о, ср), а верхняя грань в (1.61) берется но множеству

aG^ ^IF^E^(162)

{о (аг), 0 (ж)} е Ж а для почти всех х ей.

Теперь мы проведем изучение задач ^а и 9*а при фиксированном а > 0, а затем изучим поведение этих задач при а ->- 0. Следующее эвристическое замечание позволяет уточнить связь между задачами ^а и ^*: если а = 0, то вследствие (1.53) ограничения (1.62) оставля-

ют ф совершенно произвольным, тогда как о (ж) должно принадлежать К для почти всех ж е Q. Тогда легко осуществить в (1.61) частичный переход к верхней грани по переменной ср: эта верхняя грань достигается при ср = = О, и задача (1.61) становится тождественной задаче 9s*.

Чтобы уточнить это наблюдение, мы примем следующие предположения:

для любого а > 0 множество 8а допустимых

пар (о, ср) для задачи ^ непусто, где

<^а = {(о, ф)^ ^aXL2(Q; ^0, (o(z), ф(ж))е^а

для почти всех ieQ); (1.63)

если (oa., фа.) г 8^ и oaj->o в L2(Q; £)

слабо, а фа.-> ср в Л2 (Q; Еу слабо

при а;->0, то (о, ср) е 8й. (1.64)

Нашими предположениями сейчас являются, во-первых, общие предположения § 4 гл. I и, во-вторых, условия (1.53), (1.56), (1.63) и (1.64), сформулированные выше; предположим также для простоты, что Го^0. Тогда справедлива

Т е о рема 1.3. Пусть выполнены приведенные выше предположения.

Для любого a > 0 задачи 9а и 9^ находятся в двойственности, причем

inf = sup 53* е R.(1.65)

Задача 9а имеет по крайней мере одно решение иа, а задача ^а имеет единственное решение (оа, фа). Эти решения связаны соотношениями экстремальности (воспроизводящими уравнения состояния материала):

(е (иа) (ж), 0) е дф* (оа (ж), фа (ж))'

(1.66)

(<та (ж), сра (ж)) е дфа (е (ыа) (ж), 0) для почти всех х е Q.

Предположим теперь, что при а О имеем

inf ^а = sup ^-> inf ^ = sup .^*.(1-67)

Если inf 9s = sup 9s* > — °°, то семейство aa сходится в Е2(Й; Е) к решению а задачи 9s*. Наконец, если вы-

полняется условие допустимого груза, то иа — минимизирующая последовательность для задачи 9, и ее точки накопления (в слабой топологии пространства U^Q)) являются обобщенными решениями задачи 9.

Доказательство, i) При фиксированном а > О множество допустимых (о, ср) для задачи ^а есть множество <Fa, которое, ио предположению, непусто; следовательно, sup^’a>—оои inf е В. Вследствие (1.54) и (1.56) функция G(p) = фа(Р1, Дг) конечна в каждой точке пространства У, поэтому опа является непрерывной выпуклой функцией па У. Условие (2.29) гл. I выполняется при и° = (ио, 0), а тогда из (2.30) гл. I следует справедливость (1.65) и существование решения (оа, сра) задачи ^а; единственность решения для 9* следует, конечно, из строгой выпуклости отображения

(и, ф)->^(о, п) 1фЦ2(«;К1).

Существование решения ua задачи 9а доказывается применением предложения 2.1 гл. I. Из непрерывности функции хГа па У следует (2.38) гл. I, а (2.42) гл. I легко следует из (1.56). Наконец, (1.66) есть просто другой способ записи условия оптимальности (2.31) гл. I, которое в нашем случае приводит к соотношению

Ya(e(ua), 0) + Ч^а- фа) = (сга, 8 (ма)), которое равносильно условию

Фа (е (ма) (ж), 0) + ф* (Оа (^), фа (*)) = СГа (^) 8 (иа) (я)для почти всех зс^£1, что есть пе что иное, как (1.66).

Рассмотрим теперь переход к пределу при a -> 0 при условии (1.67).

Если sup ^* > — оо, то последовательность sup^a ограничена и

sup ^* = -L (aa, aa) + -у | ф« 112(£г;Е ) ~ [ (^) «оЙГ ^Р- го

Неравенство (1.25) позволяет нам тогда заключить, что (оа, фа) ограничено в 7v2(Q; £)X72(Q; Е\\ Следовательно, существуют такой элемент (о, ф) и такая подпоследовательность а,->-0, что На^^сГо слабо в L2(Q; £) и Фа^-^Фо слабо в i2(Q; E\Y Так как (^ар Ф«;)е «S’aj,

то (оо, фо)е^о и, согласно (1.53), функция Но допустима для 5s*. Вследствие (1.30) и с учетом полунепрерывности имеем

— 4" (сго’ ^о) - 4” । (Ро |2L2(Q;E ) + J (crov) u0 dr ^

ro

Si lim sup {sup^.} = sup^*.

Согласно замечанию, сделанному перед теоремой 1.3, задача 5sa при а = О совпадает с задачей 5s*, и ее едип- ствеппое решение есть (о, 0), где о — решение задачи 5s*; таким образом, оо = о и фо = 0. Затем, как и в теореме 1.1, мы убеждаемся, что oaj ->о в L2(Q; 5) сильно м фа,-*-0 в L2(Q; Е) сильно, а затем — что и все семейство (оа, ф„) целиком сходится к (о, 0) в L2(Q; Е^Х XL2(Q; Ex') сильно.

Согласно (1.55) и (1.67) и вследствие того, что иае е ^„j имеем

jnf 5s S ЧгР(е(иа))— L(lla)^ УДе^,), 0)— £(на) =

'= inf 5^ inf У.

Отсюда следует, что если иа — минимизирующая последовательность для задачи ,5s и если выполнено условие допустимого груза, то мы приходим к том же выводам, что и в теореме 1.1.

Теорема 1.3 доказана.

Перейдем теперь к изучению двух частных случаев,

упомянутых в (3.63) и (3.64) гл. I, для которых мы собираемся непосредственно проверить справедливость предположений (1.53), (1.56), (1.63) (1.64), (1.67).

Пример 1. Это — пример (3.63) гл. I; К есть вы- Пуклос множество Мизеса

К=^еЕ, IV4 s Пк\(1.68)

Ei = R, и при а ^ 0 полагаем

J$fa = {(^ ц)е^ХК, |£DI S У2/с + ац}.

Эти множества замкнуты и выпуклы, причем Жц — КХЕ и Ж» П (Е X {0}) = КX (О). Для доказательства (1.56)

16*243

заметим, что

^«(g, 0)^ sup hf лЦ-А|^|21 _

= sup Ы - 4 Ай - ^ (| F | - /2/r)2l

^ sup hl - 4- 41 - 2-4 (I lD 1 - /2 M

= -4 (tr g)2 + sup sc | r -- 2^ (r - /2 A:)2j =

1a(« + 2p)a

что и доказывает (1.56). Условие (1.63) выполнено; если о — некоторый элемент ^а и если определить ср формулой

(I о° И I — 1/2 к^a’

то (о, (р)^^; следовательно, это множество непусто. Наконец, для доказательства (1.64) заметим, что из неравенства | Qaj | ^ к 1^2 -- a,-q>a. легко следует переходом к пределу, что loDl ^/cV2.

Остается проверить (1.67). Мы можем осуществить в (1.61) переход в верхней грани но ср, от которой требуется принадлежность L2(Q; St) и выполнение условия

Ф М ^ 4 (| сгд (^ | — /2 /с) для почти всех гей

(при фиксированном о). Тогда мы получаем

sup J — 4" (», ») — A f (I °D WI — ^2 kY+ dx +

° 1 2a i

+ f (ov) ir0 cZrl, (1.69)

где верхняя грань берется по о ^ ^п. Эта задача (как и задача (1.14)) является формой задачи 5s* со штрафом в которой невыполнение условия loDl^/cV2 штрафуется членом

® 12

Рассуждение, позволяющее доказать, что sup ^ -> ->sup.^, очень похоже па рассуждение, приведенное в теореме 1.1; мы ого не воспроизводим.

Пример 2. Это — пример (3.64) гл. I; К снова является выпуклым множеством Мизеса (1.68), но теперь E\=ED и при а^О множество Ж а. определяется формулой

Жа = к^ х\^ЕХЕ\ |^-ат]1V2*}. (1.70)

Множества Ж» замкнуты и выпуклы, Жо = КХ Е\ и Жп. П (Е X {0}) = К X {01. Условие (1.63) выполняется, так как если о ^ ^ п (p(^) = (l/a)oD (ж), то (о, ф)^^; соотношение (1.64) получается с помощью полунепрерывности.

Проверка условий (1.56) и (1.67) осуществляется применением следующей леммы,

Лемма 1.4. Для любого ^ из Е выполняются неравенства

0 ^ фа (g, 0) - фр © ^(| gD | + I)2, (1.71)

Ф« G, 0) - фр © ^ - f (| |D I2 - 4). (1.72) 4 (а +1)

Доказательство. По определению имеем

1^—ат1|<|/2/1

и, беря верхнюю грань относительно tr § и полагая £ = = £D — ест], получаем равенство

♦«й.0) = -?г(»гНг +

+ 5 2=^ + а5°’1 "41Е + "ч I' - 41 ч I-}.

Мы можем взять верхнюю грань по £; тогда мы находим, что

Фа(^ 0)= ^-№- +

+ sup WDri— 4-(«2 + !) I nl2 + Ф₽и° —

BeED I)

Вычисление функции чрр для выпуклого множества Мизеса было проведено в (4.11) и (4.12) гл. I; явная форма функции фр показывает, что эта функция липшицева; таким образом,

1фр(^-ат1)-фр(Г)1 Sa]T]|.(1.73)

Отсюда следует, что

Фа (В, 0) - фр (Ю = фа (£, 0) - 4- (tr £)2 - фр (^)

^ sup lagDn^-(а2-г l)ln!2 + a|rill^rieED1

Точно так же получаем

Фа (В. 0) —фр®^ sup fa^DT]—-|-(a2 + l)hP —ah|l^ nG£oI2J

Условие (1.56) следует из (1.73). Для доказательства (1.67) заметим, что кроме (1.71) выполняется также неравенство

Hlf^Ss Yp(e(ua), 0) —L(ua)^

S Ya(e(ua), 0) — Z(ua) = inf ^a.

С другой стороны, для всех и из ^а имеем, с учетом (1-71),

inf ^ ^ Ya (е (и), 0) — L (ц) ^

a2 С

^ Yp (е (и)) - L (П) + -Л—Л (I 8° МI + 1 )2 &-

Если а -> 0, то мы видим, что

lim sup {inf ^а} ^ Vp (е (и)) — L (у). а->0

Так как у е ^ произвольно, то этот верхний предел необходимо не превосходит inf 9s, что и доказывает соотношение (1.67).

§ 2. Некоторые задачи теории пластин

Здесь мы осуществляем изучение вариационной задачи теории пластин, принимая упругую идеально пластическую модель. Изложение, которое следует работам [30—32], параллельно изложению, проведенному в гл. I, II для трехмерной задачи. В п. 2.1 после нескольких замечаний об используемых функциональных пространствах мы напоминаем постановку рассматриваемой механической модели пластины и кратко рассматриваем случай, когда пластина является упругой, а именно: вариационные задачи для перемещений и поля напряжений, единственность и существование решения, двойственность. В п. 2.2 мы описываем собственно пластическую модель (после указания нескольких свойств падпотепциала ф). Мы ставим вариационные задачи для перемещений и напряжений и изучаем их двойственность и существование и единственность решения задачи о напряжениях. Затем мы рассматриваем задачу граничного анализа, связанную с рассматриваемой вариационной задачей; в конце и. 2.2 мы приступаем к изучению обобщенной задачи о перемещениях: начиная с этого места, мы рассматриваем только ослабленную задачу, аналогичную задаче § 6 гл. I, где граничные условия частично ослаблены, а от поля перемещений все еще требуется регулярность во внутренности. Следующий п. 2.3 посвящен изучению пространств с конечной энергией для рассматриваемой задачи; это пространство BB(Q), образованное функциями, суммируемыми в открытой области Q <= R2 вместе с их первыми частными производными, причем вторые производные этих функций (и, следовательно, их матричный гессиан) являются ограниченными мерами. Наконец, в п. 2.4 мы ставим обобщенную вариационную задачу для перемещений в пространстве HB(Qy, мы изучаем ее двойственность с вариационной задачей относительно напряжений и получаем результат о существовании решения.

Во избежание слишком длинных обсуждений мы ограничиваемся в этом разделе описанием основных шагов и опускаем некоторые доказательства, отсылая к [30] за полными рассмотрениями.

Некоторые замечания. Упругая модель.

Функциональные пространства. Пусть Q — ограниченная область в R2, граница которой Г предполагается принадлежащей классу ^2. Займемся пространствами H'(Q) и //2(Q) (см. (1.26) гл. I). Если mg//2(Q), то

обозначим через ^и градиент и, а через VV^— матрицу, являющуюся гессианом и; норма и в 2Z2(Q) записывается, следовательно, в виде

Ш2 = {Ы2+ |VMp+ [Wnl^i/s, (2.1)

где 1-1 означает, как и выше, норму в пространстве (L2(£2))™. Напомним, что Я1 (£2) вкладывается (и оператор вложения непрерывен) в />P(Q) для любого конечного р^1 (см. (1.28) гл. I) и что существуют такие два непрерывных линейных отображения уо» Yi пространства //2(£2) в L2(Q), что

То(и) = м1г, Yi (ы) = dn/dvlr (2.2)

для всех и из ^(Q) (см. (1.31) гл. I). Образ пространства Я2(О) при отображении yi есть Я1/2(Г); обозначим через Я3/2(Г)<= 1/1/2(Г) образ /72(£2) при отображении у0; это — гильбертово пространство (например, относительно структуры, переносимой отображением ^о), и можно показать, что отображение yoXyi есть сюръективное отображение IPt^E) на Я3/2(Г)Х Я1/2(Г); за большей частью подробностей мы отсылаем к [1, 89]. Согласно (1.27) гл. I и предложению 1.3 гл. I пространство ^”(£2) плотно в iP^Yp Если обобщенная функция и на £2 имеет вторые производные в Л2 (£2), то и содержится в Я2 (£2): это легко следует из предложения 1.2 гл. I, примененного к D\u, D^u и и. Кроме того, если Hi обозначает пространство многочленов степени, не превосходящей 1 (т. с. Hi — ядро оператора W), то па 772(Q)/IIi выражение IVV^I является нормой, эквивалентной естественной норме; можно также легко проверить, что если р— полунорма па Я2(£2), являющаяся нормой на Hi, то

p(n)+|W и\ (2.3)

есть норма на Я2(Q), эквивалентная естественной норме. Например, это выполняется для выражения Ш + |WM|, которое соответствует р(п)= Ш.

Пусть, как и выше, Е обозначает пространство симметрических тензоров порядка 2. Если Ме1/(Д Е), то обозначим через ^М дивергенцию М, т. е. вектор с компонентами I

М,и = ПхМц + П2МЙ) 1 = 1, 2, (2.4)

и через ^^М дивергенцию VM, т. е. обобщенную

функцию

S П„Ми.(2.5)

Пространство

36 = ШеДЮ; Е), ^Ме £2(Q)}

рсть гильбертово пространство относительно естественной (нормы

W^ = {W + |vvm|2}V2.(26)

Из предложения 1.3 гл. I следует, что ^"(fi; Е) плотно в 36 (относительно нормы (2.6)).

Если 9/e^2(Q; £) и i:e^2(Q), то справедлива формула Грина (см. [38]):

t у (VVM) dx — J М ^Vv) dx =

- ^b0(M)vds-^hl(M)d^ds, (2.7) _ гг

где для М е^2(П; £) имеем

W = (VMH^W, (2.8)

ЬДМ) = (Afv)v;(2.9)

в этих формулах v означает единичный вектор внешней нормали к Г, т — единичный касательный вектор, as — натуральный параметр па Г, измеряемый в направлении вектора т. Эти операторы следа и формула Грина (2.7) обобщены в [30] следующим образом.

Предложение 2.1. i) Существует такое сюръективное непрерывное линейное отображение b = ЬоХ Ь\ пространства 36 в 77-3/2(Q)X Я~1/2(й), что Ьо(М) и ЬДМ) совпадают с выражениями (2.8), (2.9) соответственно для всех М из ^2(Q; £).

Отображение b допускает непрерывное продолжение, т. е. существует такое непрерывное линейное отображение г пространства 7/-3/2(Г)Х 77-1/2(Г) в 36, что Ъйт есть тождественное отображение.

Для любого М из 36 и любого и из £2(Q) имеет место обобщенная формула Грина

J и (^М) дх-\м ^v) dx =

^M^Yo^-^iW,^)). (2.10)

Пространства Я"3/2(Г) и Я-1/2(Г) суть пространства обобщенных функций на Г, соответственно двойственные пространствам Я3/2(Г) и Я1/2(Г) (У(Г)сЯ"1,2(Г) с с Я~3/2(Г)); скобки <•, •> справа в (2.10) выражают значение формы двойственности между пространствами //-з/2(Г) и Я3/2(Г) и между Я~1/2(Г) и Я1/2(Г) соответственно. В дальнейшем для упрощения записи мы будем записывать равенство (2.10) в недопустимо сокращенной форме (2.7).

Мы отсылаем к упомянутым выше работам за доказательством предложения 2.1.

Механическая постановка задачи о пластинах. Рассмотрим топкую пластину, занимающую поверхность Q. Пусть эта пластина подвергается действию поверхпо- стпых сил, ортогональных плоскости, в которой расположена пластина, и пусть /— поверхностная плотность этих сил. Граница Г области Q содержит три дизъюнктных открытых множества Го, Г] и Гг, дополнение которых Г* предполагается образованным конечным числом точек; предполагается, что пластина подвергается на Г2 воздействию сил с линейной плотностью g°, а па Г] U U Г2 — воздействию моментов с линейной плотностью gx. Состояние напряжений пластины полностью определяется полем тензоров М порядка 2 в Q (и это состояние представляет некоторые средние тензора напряжений в пластине). Если перемещения пластины параллельно ее плоскости пренебрежимо малы, то деформация пластины полностью определена скалярной функцией w. Q R, где ш(ж) представляет перемещение точки х области Q в направлении, ортогональном пластине.

Предположим, что вертикальное перемещение Го пластины задано па Го U Г], а нормальная производная w задана на Го:

w = u0 на Го U Гн dwjdv — ui на Го, Го = 0. (2.11) Предположим для простоты, что Го непусто и содержит три точки, не лежащие па одной прямой1). Если uQ = = ui = 0, то пластина зажата на Го и просто закреплена па Г].

’) Отсюда следует, что многочлены степени ^1, равные нулю на Го, тождественно равны пулю. Это предположение, которое, конечно, несущественно, приводит к некоторым упрощениям.

Предположения о заданных величинах выглядят следующим образом:

{е!?^£°е£2(Г2),g^L^UP,); (2.12)

при этом функции по и Ы1 предполагаются заданными как следы U и dUjdv на Г,

по = 7о(^) на Го U Гь ux=V^ на Го, Uejp^.

(2.13)

Предположим также из технических соображений, что 7o(t/) = O па Г2,Ti(^)=0 на Г1 U Г2. (2.14)

Кинематически и статически допустимые множества. Определим теперь поля кинематически допустимых перемещений и статически допустимых напряжений. Первые из них образуют множество ^а = ^а (ы0, и^ = ^ е IP (й), v [г^ = “о- $7 |го = ыт}- (2.15)

Относительно напряжений заметим, что вследствие основного закона механики (см. [38]) поле тензоров М должно удовлетворять грапичным условиям

M^)+g0 = 0 на Г2,(2 16)

bxW-¥gx = 0 на Г,. иГ2,

а в Q — уравнению

WM + / = 0.(2.17)

Это приводит нас к следующему определению:

^=^«(/, g°, g^ =

= ШеЕ2^; Е), М удовлетворяет условиям

(2.16) и (2.17)).(2.18)

Конечно, (2.17) берется в смысле обобщенных функций в й, а затем (2.16) понимается в смысле вышеприведенной теоремы о следе (предложение 2.1).

Множество ^а непусто; мы приведем ниже условия, обеспечивающие непустоту множества 5^. Полезно ввести также множества ^0 = ^(0, 0) и ^’о = 5р(1(О, 0, 0), так

что

^0 = ^еЯ(Ы),к|гиг =0,= 0,(2.19)

^a = Ш e L2 (Q; £), VVM = 0, b0 (M) = 0 па Г2,

bv(M) = О на Г1 U r2}.(2.20)

Уравнение состояния и вариационные задачи. Неизвестными в нашей задаче являются функции w и М, определяющие геометрическое и механическое состояние нагруженной пластины; и; е ^ и Me е S^a- Для полного определения этих функций нужно задать уравнение состояния материала, которое связывает величины М(ж) и ФФмфя) в каждой точке Q. Как и в § 3 гл. I, это уравнение состояния задается с помощью надпотенциала ф—выпуклой п. п. сн. собственной функции па Е со значениями в [0, +«>] — и сопряженной к ф функцией ф*, удовлетворяющей тем же условиям. В любой точке ж области Q имеем

^(^^^(VVu^)),(2.21)

что равносильно (см. (2.21) и (2.23) гл. I) соотношению ^и^ед^м^х)).(2.22)

Исходя из этих соотношений мы получаем — совершенно так же, как и в § 3 гл. I — вариационные принципы, решениями которых являются w и М. Для и е еУ2(2) положим

Z(n) = J/n&J ^г ~ ds — [ ^v ds, (2.23) ЯГ^ТаГ2

а для т e 36 введем

/Дт) = J b6^M)uQds — ^ b1{M)u1 ds2).(2.24)

го^'г1r0

Кроме того, для t^A2(Q) определим функции ^(т)- Уф(т(^))^,(2.25)

£2

У* (т) — ф* (т (.г)) dx.(2.2(1)

£2

Тогда точно так же, как и в § 3 гл. I, проверяется, Что

w реализует минимум ХР (VVy) — L^ в ба1 (2.27)

М реализует минимум ХР* (т) — Z(т) в ^а. (2.28)

Случай линейной задачи теории упругости. В предположении упругого поведения пластины возьмем

ф®-4^ vgeA\ (2-29)

где В — непрерывный линейный оператор из Е в Е, определяемый формулой

В 4й М = DA-a) Кп -Ь Da Г22(2.30)

V21 22/^21 W\ 0 М

где D и а — положительные постоянные, причем 0 < ос < < 1/2 ), так что

Ф ® = D ((1 - а) | £ |2 + a (& + О- (2.31) Легко вычислить сопряженную функцию ф*: так как оператор В обратим, то для любого т] из Е имеем *Ф* (п) sup [т]^4^4 = 4 ^ПП = 'teE I 2 J 2

= ~D (Д_ аау К1 — а) I И12 + «(tr -ц)2}, (2.32) где А = В-х.

Изучение упругой задачи. Согласно (2.25) функция w есть решение задачи

inf {T(VVy)-L(n)} (^ei),(2.33)

где 'ба определено в (2.15), а функция Т — формулами

(2.31). Мы выпишем эту задачу в общей форме, исследованной в (2.26) гл. I, и с этой целью положим

У = /72(й), V* = его сопряженное, Y = Y* = L2(Q; Е).

Пусть Л — линейный оператор у-> VVy, а функции F и G заданы формулами

F (у) = — L (и) при ие^а, иначе F (у) = -j- оо Уу е У,

С(р)=У(р) УреУ.

Чтобы определить задачу, двойственную к (2.27) гл. I, мы должны вычислить F* и G*; согласно предложению 2.5 гл. I имеем

G*(1p') = W*(1p') ^peL2^ Е).

Вычисление F* является целью следующей леммы.

Лемма 2.1. Для любого peY = L2(Q; Е) имеем

F* ^K*p^=—L(p^ при р^Э^а, иначе F* (Л*р) = +°°.

Доказательство. Применим лемму 2.1 гл. I с V = H2^, v* = — L, u0=Un ^ = ^0 (ср. (2.19)). Отсюда мы выводим, что величина F*(A*p) равна

<Л*р L, U) = У ^U + /(7) dx -|-

+ У g^ds- ^Uds (2.35) ■гхиг2г2

при Л*р + L, лежащем в ^°; иначе F* (Л*р) = +°°.

Но условие, что Л*р + L лежит в ^°, равносильно условию

J (pVVy + /у) dx -j- J g1-^ds — ^g°yc?s = O (2.36) я^UTgга

для всех и из ^. Записывая сначала (2.36) для всех к из ^^ (О), мы находим, что Wp + / = 0 в смысле обобщенных функций в О. Отсюда следует, что р е 5g, и мы можем тогда применить обобщенную формулу Грина (2.10); из (2.36) вытекает, что

— ^b^vds-V^b^p^ds А- У gx^ds-^vds=O ГГГ^ГзГ2

для всех v е %. Пусть

У (^0 (г) + §°) и ds - J (^ (р) + g1) ds = 0 Миг %.

1’2ГУГ2

На основании сюръективности Ь^ХЬ\ (см. предложение 2.1) мы получаем отсюда, что bo(p)+g° = O на Г2, bi(p) + + g1 = О па Г| U Г2 и реЭ’а. Обратно, если р^Уа, то A*pAL = №^.

Для р g 9?^ можно применить формулу Грина (2.10) к выражению (2.35) для F*(A*p) и получить, как и было обещало,— L (р).

Теперь мы можем явно выписать задачу, сопряженную к (2.33): согласно (2.27) гл. I и предыдущему рассуждению, эта задача записывается в виде (где р заменено па М):

(.^*) sup(2.37)

МеУа I где введено обозначение

& (М, М) = -±- J АМ (х) М (ж) dx. (2.38)

Предложение 2.2. Задачи (2.31) и (2.36) находятся в двойственности, и

inf (,^CJ = sup М е= R U {-«>}.(2.39)

Число (2.39) конечно (>—°°) тогда и только тогда, когда 9\ непусто. В этом случае задача ^а допускает единственное решение М, ^„i — единственное решение w по модулю П1 П ^q, причем w и М связаны соотношением

М(ж) = A (Wu;(x))для почти всех х е Q. (2.40)

Доказательство. Если ini9^ = — оо, то равенство (2.39) следует из (2.28) гл. Г, так как sup^ei = — — оо, то это означает, что 5^ пусто. Если inf^ei> > — оо, то мы можем заметить, что критерий (2.29) гл. I применим, например, для u°=U, так как функция G непрерывна в каждой точке пространства У. Тогда вследствие (2.30) гл. I равенство (2.39) выполняется и ^ei имеет решение (следовательно, ^^ 0). Это решение единственно, так как функция М-^МАМ, М) строго выпукла.

Если к е^о П П1, то мы видим, что w = U + v содержится в 'б» и, таким образом,

^^и^-ТДю^ 4f^U^-L(UV ГДД^пА9Д>-оо,

Здесь используется результат, аналогичный (2,106) гл. I: б2^) 0 <6» плотно в ^о..

что показывает, что ограничение лилейной формы L на ^о П llj ограничено снизу; следовательно, необходимо имеем

L(y) = 0 Ууе^ППр(2.41)

Полагая J(w)= T (VV^) — L(w), мы можем определить па Я2(й)/('₽о Л П|) функцию /, полагая

J (w) = J (w) Vivetv

(это следует из (2.41)). Если ^а означает образ ^а в /^(QJ/C^o П Hi) при естественной проекции, то мы Можем рассмотреть задачу

inf J (ю).

С помощью предложений 2.1 и 2.2 гл. I легко видеть, что эта задача имеет единственное решение w (для проверки условия (2.43) гл. I можно использовать предложение 2.1). Любой элемент w этого класса эквивалентности, т. е. w е w, есть решение задачи ^ei, а других решений не существует.

В заключение заметим, что соотношение (2.40) воспроизводит условие оптимальности (2.31) гл. I.

Замечание 2.1. Из доказательства предложения 2.2 можно извлечь, что следующие два условия равносильны:

9>а^0 ^L(v) = 0 Упе^0ЛП1; (2.42)

эти условия являются также необходимыми и достаточными ДЛЯ ТОГО, чтобы inf^d = sup^el > — oo.

2.2. Пластическая модель.

Вариационные задачи для перемещений и напряжений. Зададимся таким множеством К с Е, что

К ограничено, замкнуто, выпукло и содержит

окрестность точки 0.(2.43)

Наиболее часто встречающимися примерами [150] являются выпуклые множества

К=ШеЕ, \M?SK) или

К=ШеЕ, max U((M) I S к'), г = 1, 2, 3,

где ki (М) суть собственные значения М.

256

В случае идеального упругопластического поведения (с выпуклым множеством пластичности К) функция ф определяется условием

ф* (Ю = "у ^^ ПРИ = G ^’ иначе ф* (£) =

— + оо VEe £, ф = (ф*)*. (2.44)

Ясно, что функции тр и ф* — собственные выпуклые и. и. сн. функции па Е со значениями в RU {+=»}; что касается ф, то, рассуждая совершенно так же, как и в лемме 4.1 гл. I, убеждаемся, что справедлива

Лемма 2.2. i) Функция ф непрерывна и выпукла как функция на Е со значениями в R и существуют такие две постоянные kn, ki, 0 < k0< k\ < +°о, что

М^-П^Ф^^Ш ^еЕ. (2.45)

п) Функция Чг, определенная формулой (2.25), непрерывна и выпукла как отображение Z-2(Q; £) в R.

Согласно (2.27) поле перемещений w рассматриваемой задачи есть решение задачи

(З9)inf {Т (VV0 — L (у)}.(2.46)

те б” а

Сейчас наша цель состоит в определении задачи, двойственной задаче (2.46), чтобы вернуться к задаче для поля напряжений (т. е. (2.28)) и уточнить связь‘между этими двумя задачами. Мы запишем (2.46) в форме задачи (2.26) гл. I, и с этой целью будем действовать совершенно так же, как и в упругом случае; определим V, У, Л, F, G в точности так же, как и выше, и единственная разница состоит в том, что входящая в определение отображения G функция ф есть функция, заданная формулой (2.44), и согласно предложению 2.5 гл. I ее сопряженная функция равна

G* (р) = Т* (р) = [ ф* (р (ж)) dx = Q

= -у зЗ (р, р) при р (ж) е К для почти всех ze Q, иначе G* (р) = + оо. (2.47)

Заменим р на М и запишем двойственную задачу в виде

(З9*)sup[-4-^(M, М) + L (М)1,(2.48)

М I 2J

47™ 0К7

где верхняя грань берется по М е дра П ЗСа, причем 3t, = \peV$\ Е), р^е К для почти всех igO).

(2.49)

Предложение 2.3. Задачи & и &* находятся в двойственности и

inf .^ = sup ^* е R U {— <»}.(2.50)

Число в формуле (2.50) конечно тогда и только тогда, когда существуют допустимые функции М для задачи &* (т. е. ^а П Жа 0). В этом случае задача У* имеет единственное решение.

Доказательство этой леммы похоже на доказательство предложения 2.2, и мы его не приводим.

Граничный анализ. Сейчас паша цель состоит в том, чтобы ввести задачу 3°al граничного анализа, связанную с задачей ^, и сопряжеппую к ^лъ задачу ^ль, отсюда мы выведем необходимые и достаточные условия того, что inf^*>—00.

Как и в § 5 гл. I, мы рассмотрим функцию Д?го, «главную часть» функции гр, которая является опорной функцией выпуклого множества К, т. е.•

гроо (|)sup gp.(2.51)

чек

Легко видеть, что функция ф„ положительно однородпа:Фоо (гё) --^ ггр1Х, ($) Vr > О,

и, с другой стороны, существуют такие две постоянные к'о и к[ ((Хк'оСк^С + оо), что

^^|^«)^fci^l(2.52)

для всех £ из Е. Отсюда вытекает, что функция грте выпукла и непрерывна как отображение Е в R. Для любой функции т из Z1 (Q; Е^ положим

Ч^ (т) = У фоо (Т (ж)) dx.(2.53)

Вследствие (2.52) функция Ч7„ непрерывна и выпукла как отображение Z^fQ; Е) в R.

Задача граничного анализа записывается в виде^al}inf V» (Wp),(2.54)

где нижняя грань берется по следующему множеству функций и:

{уе'ё’о, £(у)=1).(2.55)

Чтобы установить связь между этой задачей и задачами ^ и ^*, мы сейчас определим задачу, сопряженную к задаче ^al. С этой целью мы запишем ^al в форме (2.26) гл. I и для этого положим:

У = ^о (гильбертово пространство в 7/2(Q)),

V* = сопряженное к У, У = У* = L2(Q; Е^,

Л—отображение и-*^^и, а функции F и G выбираются следующим образом:•

F(y) = О при ге^ и L^ = 1,иначе F(у) = +°° (уеУ);

G(p)=4Mp), p^V.

Вследствие предложения 2.5 гл. I для любого р из У имеем

G* (р) = Т» (р) = 0 при р (х) е К почти всюду;

иначе G* (р) = Т* (р) = + оо.

Для вычисления F*(A*p) (р е У) применим лемму 2.1 гл. 1: пусть Уо~ некоторый элемент ^о, удовлетворяющий условию 2(уо)=1; обозначим через ^ ядро L в У; тогда F есть не что иное, как индикаторная функция множества у0 + ^, и из леммы 2.1 гл. I следует, что

р*(Л*р)= <Л*р, уо>

при Л*р е ^° и +°° в противном случае. Но условие, что Л*рЕ^°, равносильно условию: <Л*р, у> = О для всех таких у из У, что Л(о) = 0. Ио элементарной теореме линейной алгебры это означает, что существует такой X е R, что Л*р + XL = 0, или

<Л*р + XL, у^ = 0 Vy g ^д.

Это условие уже было охарактеризовано в случае леммы 2.1 для Х = 1. Заменяя L па XL, мы видим, что это условие равносильно условию Х-хр е 5^.

Таким образом, мы пришли к тому, что F*(A*p) = = <Л*р, Уо>, если существует такое X е R, что Л*р + + XZ, = O, и F* (Л*р) = +°° в противном случае; но если A*p + AL = 0, то <Л*р, Уо> равно — ХТ(уо)=— X. Отсюда 17*259

получаем:

F* (Л*р) =

_ (—X, если существует такое ZeR, что Х^ре^а, (+ 00 в противном случае.

(2.56)

Сопряженная задача (2.27) гл. I может быть теперь представлена в следующем виде:

sup(X}, ^Y ■(2.57)

где верхняя грань берется по множеству таких р, что

( Wp + ^ = 0 в Q, bo(p')JrXg° = O на Гг,

(2-58)

| bi (М) + Xgi = 0 па Ft U Г2 и р^еК

(почти всюду в О.

Имеем

Предложение 2.4. Задачи, (2.54) и (2.57) находятся в двойственности и

X = inf ^al = sup ^al ^ 0..

Кроме того, 9**Аь допускает no крайней мере одно решение.

Это сразу следует из (2.29), (2.30) гл. I. Тот факт, что задача ^al имеет решение, означает, что существует функция р^Л2(й; Е), удовлетворяющая условию (2.58) с X вместо X. Отсюда мы выводим следующее

Предложение 2.5. Три следующих условия равносильны:

inf ^ = sup^* > — °°;

П) ЯЖ*0;

Х_== inf ^al = 1.

Если X > 1, то любая минимизирующая последовательность для задачи 91 имеет ограниченный в Lx (Q; Е) гессиан.

Доказательство. Пусть р—решение задачи ^al- р удовлетворяет условию (2.58) с Х = Х; следовательно, и для любого 0<Х<Х функция р = (Х/Х)р содержится в ^а и р(ж)е(Х/Х)Х для почти всех х из Q. По ^ХГХ^К^К, так как 0 е К, откуда следует, что р удовлетворяет условию (2.58). Для всех X е [0, X] суще- 260

ствует р, удовлетворяющее условию (2.58), _и, по определению А, не существует такого р при X > %. С учетом предложения 2.3 отсюда следует эквивалентность условий i), ii) и iii).

Обозначим через ^х задачу ^, в которой L заменено на XL. Из предыдущего рассуждения следует, что inf^>—оо тогда и только тогда, когда О^Х^Х. Если Х>1, то существует такое X, что !<%<%. Рассмотрим тогда минимизирующую последовательность ит для ^: V (VVym) - L ^ = ^ {Т (V Vym) - XL Ю} ;

+ (1 - 4) ^ ^^ ^ inf ^ + (1 - 4) Ч' (VVym).

Последовательность 4f(Wym)) таким образом, является ограниченной, и вследствие (2.45) последовательность vm ограничена в L1 (й; Е).

Замечание 2.2. Легко распространить результаты предложений 2.3 и 2.4 па задачи ^х, заменяя L на XL.

Направление исследования. В следующем разделе мы убедимся, что минимизирующая последовательность для задачи 9* па самом доле ограничена в ^■‘(й) (при Х>1). Поведение такой последовательности (ymI было полностью прояснено в § 3 и 4 гл. II. Здесь мы отметим только, что вложение ^'(й) в Wl l(Q) компактно (поскольку это так для вложения ^•’(Й) в £!(й), см. (1.30) гл. I), и поэтому последовательность ит содержит подпоследовательность, сходя- щуюся к своему пределу у по норме пространства W’^Q). Вследствие теоремы о следе ([48]; см. (1.32) гл. I) последовательность 7о(ут) сходится к 7о(у) в 7Т(Г) и, следовательно, 7о(у™) = ио на ГоОГь Тем не менее совершенно не очевидно, что ие ^'’(Й), пли, тем более, что последовательность 71 (vm) = dvm/dv должна сходиться к 71(у)= dy/dv; следовательно, мы не знаем, удовлетворяет ли у граничному условию 8uj8v = U\ 11а Го- Чтобы преодолеть эту трудность, мы введем, как и в § 6 гл. I, ослаблеппую задачу ^Sl, в которой граничные условия задачи 91 частично устранены. Это является целью п. 2.2.3.

3. Ослабленная задача в IP (й). Существование решения задачи 9, вообще говоря, не может быть достигнуто (даже при inf^AL>l), и поэтому в дальнейшем мы ограничимся введением задачи, обобщающей за-

261

Дачу 9 и поставленной в пространстве с конечной энергией. В качестве первого шага в этом направлении мы введем сейчас задачу 99, в которой граничные условия частично ослаблены.

Пусть ifo — функция, введенная в (2.51). Рассмотрим задачу

inf (Wk) + f ^ (ST (Ы1 - Т1 (у))) dr - L ^ L <3>^,$ I г0J

(2.G0)

где нижняя грань берется по следующему множеству функций и;

luejp^ v = uQ па Го U TJ, (2.61)

и для рЕ1ДГ) через 9"^р^ обозначен тензор с компонентами

9"«(р) = pvi^i, i, / = 1, 2,(2.62)

где v = (vi, V2)— единичный вектор внешней нормали к Г.

Задача 99 похожа на задачу 9*. устраняется граничное условие 71 (к) = ш на Го, но, напротив, в минимизируемый функционал добавляется слагаемое

J фоо кЗ" ^ — Т1 (н))) dr. го

Так как ifo„(0) = 0, то задача 99 есть расширение задачи 9 — она соответствует минимизации того же функционала (а именно, функционала (2.60)) на большем множестве ((2.61) вместо ^о); таким образом, имеем

99 => 9, inf 99S inf 9.(2.63)

Мы уточним соотношение между этими задачами в следующем предложении

П р е д л о ж е н и е 2.6. i) Задачи 9 и 99 имеют одну и ту же двойственную задачу, причем

inf 9 = inf 99 = sup^** = sup 99* (eR U {—<»}).

(2.64)

Любая последовательность, минимизирующая для задачи 9, является также минимизирующей последовательностью для задачи 99.

Если число в (2.64) конечно (>—°°), то задачи 9* и 99* имеют единственное решение М, которое определяет состояние напряжений в пластине.

Сейчас мы определим двойственную задачу ЗЧЙ* и затем докажем наше предложение.

Чтобы определить вид задачи SP91*, положим:

У = №(Q), У* = ого сопряженное, у=у* = у1ХУ2, Y1 = L4^,EY Y^L^T^ .

Л = Ах X Л2, Лу = VVv и Л2у = ^ (г) |г0.

Введем также

F (v) = — L(y), если v содержится в множестве (2.61), и = +оо в противном случае (у е У);

G (р) - Gt (рх) + G2 (р2), где р = (рр р2) е У, ^i(Pi) = ^ (Pi)' Gi (to) = J Т= (^ («1 — р2^ dV. '

Тогда задача (2.26) гл. I совпадает с ^^. Для р = = (pi, P^G Г имеем

G* (Pi) = V* (Р1) = -5- (pv р^ при pve^ai

иначе G* (р^ = + оо.

С другой стороны, мы докажем ниже, что

р* (Л*р) •—

Н <b0^PiY U>, если ^еЛ и i^pJ+p^O на Го, (+ °°в противном случае.

(2.65)

Таким образом, задача (2.27) гл. I приводит теперь к следующей задаче ^31*:

supрsupр--^-^(М, М)-^^^)) + j 60(M)u0tZsL

supр

supр

.rolJri.

(2.66)

где верхняя грань борется по множеству таких функций Р, что.

P = (Pt, Р2) = (М, -bxW^L2^1, ^Х^ДГо), (2.67) М е д>й П J^„.

Если Me£2(Q; Е^Э’а, то бо(^) и 6i(M) имеют смысл

263

согласно предложению 2.1, и, таким образом, все условия в (2.67) имеют смысл.

Доказательство предложения 2.6. Мы покажем ниже, что

G^b^M)^ ^(M^ds,(2.68)

г»

если М удовлетворяет условию (2.67). Тогда очевидно, что задачи ^* и ^52* совпадают; как равенство

inf У ЕЙ = sup ^52*,

так и соотношение (2.64) являются следствиями (2.28) — (2.30) гл. I. Другие сформулированные в лемме утверждения теперь легко доказать.

В заключение докажем (2.65) и (2.68).

Доказательство (2.65). Применим лемму 2.1 гл. I с V = №(Q), vo = U, и» = — L, v* = Л*р и

^ = {ve;/2(Q), v = 0 на Го U ГД. (2.69)

Отсюда вытекает, что F* (Л*р) =<.А*р + L, U> при условии, что

<A*pA-L,v>=0(2.70)

для всех у из ^, и Г*(Л*р)= + °° в противном случае. Характеризация таких р, что имеет место (2.70), может быть проведена так же, как и в лемме 2.1, и мы находим, что она сводится к условиям

pi е 9>а и 6] (pi)+ рг = 0 на Го.

Наконец, если р удовлетворяет этим условиям, то bo(pi) и 6i(pt) определены с помощью предложения 2.1, и мы можем применить формулу Грина (2.10), из которой следует, что

<Л*р + L, т = - <60(pi), и>,

откуда и вытекает (2.65).

Доказательство (2.68). Мы должны доказать, что

J b1 (Af) uY ds =

го

— sup И 6ДМ) р2 ds — ^ ф„ (#" (itj — р^ d'si, Р^^ (Го) Но*0'

или, если положить q = рч — м, что

sup | J bv (М) q ds — ^ фоо (^" (?)) ds\ = 0.

^2(Г0) [г,Г,j

Так как эта верхняя грань очевидным образом неотрицательна, то достаточно показать, что

ЬАМ^-Ы^Ш^О(2.71)

почти всюду па Г для всех ^^^(Го). Это неравенство легко проверить, если, кроме того, Ме^ (Q; £); действительно, тогда мы имеем

bi (М) q = MijVtVjq = MS'

и тогда (2.71) воспроизводит тот факт, что ф1(М) = 0 на Го (см. определение ф«,; нужно учесть, что вследствие непрерывности М(ж)е К для всех х из Го). Если М удовлетворяет только условию (2.67), то мы получаем (2.71) с помощью соображений о приближениях, по поводу которых мы отсылаем к [31] (ср. также с леммой 6.3 гл. I).

Неизвестно, существует ли решение задачи S91 — как и для задачи 9\ даже при условии допустимого груза, т. е. условии inf^AL>l. Это существование будет доказано для расширения задачи SSI в пространстве функций с конечной энергией. Теперь пашей целью становится введение и изучение пространства функций с конечной энергией HB(Q), соответствующей нашей задаче.

2.3. Пространство функций с конечной энергией: пространство 7/B(Q). Мы введем и изучим функциональное пространство НВ (й), которое будет играть роль, аналогичную роли пространства В1)(Й), и относительно которого мы убедимся, что оно является пространством конечной энергии для задачи о пластине.

Пространство ПВ^^. Пространство 1IB(Q) определяется как пространство функций и, принадлежащих Л1 (Q) вместе с их первыми частными производными, причем вторые производные этих функций и являются ограниченными мерами. Можно было бы вообразить, что мы нуждаемся в изучении на первом этапе пространства 7/L(Q), аналогичного пространству ZzD(Q): но это было бы пространство функций и, принадлежащих /Э (Й) вместе с их первыми и вторыми частными производными, гг, следовательно, выполняется просто соотношение 1IL(Q) = = P72I(Q).-

Но мы не настаиваем на пространстве И^ЦЙ). Мы удовлетворимся тем, что напомним его основные свойства:

^(й) плотно в ^'(Й),(2.72)

вложение пространства ^’‘(Й) в ^‘’’(й) компактно, (2.73) ^ '(Й) вкладывается (с непрерывным оператором вложения) в^й),(2.74)

существуют такие два непрерывных линейных отображения уо, yi пространства ^-’(Й) в 1/(Г), что

YoM = v|r, YiM = -^|r(2.75)

для всех и из ^(й), и отображение yt сюръективно. Предположим, что открытое множество й с R2 ограничено и принадлежит классу ®'2; тогда (2.72) и (2.73) являются воспроизведениями условий (1.27) и (1.30) гл. I; утверждепие (2.74) доказано в книге [1]. Относительно (2.75): существование у о и у, следует из применения утверждения (1.32) гл. I к функции у и ее первым частным производным. Мы отсылаем к [30] по поводу сюръективности yt и некоторых дополнительных результатов (в частности, того факта, что уо(И^2,1 (Й))с с УК11 (Г), причем образ уо пе совпадает с И71,1 (Г)).

Положим теперь

ЯВ(Й)={уе/?(Й), ОщеР(Й), Dtiv е Мх (Й),

i,7 = l, 2} = {уеИ-М(й), DiSv^Mi(Q), i, / = 1, 2). (2.76) Это — банахово пространство относительно естественной нормы

|| и |1ивщ) = IIV ]|W1,1(Q) + IIV Vy Цм^йге)-

Мы увидим, что если у^ЯЯ(Й), то у непрерывна на й, но, напротив, ее первые частные производные могут оказаться разрывными вдоль некоторых линий, что невозможно для функций из И72,1 (Й): это позволяет учесть изломы пластических пластин, которые они могут переносить, не ломаясь. Мы увидим также, что НВ^) — наибольшее пространство функций, в котором функция энергии ^(VVv) может быть корректно определена (со значением < + <»).

Если и содержится в IIB^l), то ее первые частные производные принадлежат пространству ЯЁ(Й) функции с ограниченной вариацией в Й (см. конец п. 2.1 гл. II). С другой стороны, вектор grad v = Vy содержится ■ в В/)(й); многие свойства НВ(£1) вытекают, таким образом, из известных свойств пространств ВЕ(Й) и ВП^). Например, так как В7(Й) вкладывается (с непрерывным вложением) в пространство /,(Й) и (с компактным вло- жепием) в пространство ВР(Й), 1 < р < 2, то мы получаем, что

ЯВ(й)с Я'(й), и вложение непрерывно, (2.77) вложение НВ(£1) в ТУ'^Й) (1 р < 2) компактно. (2.78)

Точно так же, если и — обобщенная функция на Й, для которой ^и g ^(Q; Я), то уие®'(й)2, причем e^u^eM^Q; Я); отсюда с учетом теоремы 2.3 гл. II следует, что ^и g Ц? (Й) )2. Таким образом, первые частные производные функции и содержатся в В7(й), и так как BV(Й)с Z,2 (й) (и = 2), то м Я2 (й), и, таким образом, и ИВ(Й). Подведем итог:

если и^ф’^ и VVue Л/, (Й; Я), томе ПВ^. (2.79) С учетом всего предыдущего и с помощью рассуждений, похожих на рассуждения в доказательствах предложений 2.3, 2.4 и 2.5 гл. II), мы можем показать также, что: Wm||m(£2;E) индуцирует па пространстве НВ(Й)/П1

норму, эквивалентную норме, индуцированной пространством ЯЯ(Й); (2.80) для любой функции и из HB(Q) существует такой элемент г = г(и)^ Пр что \\и — г ||Нвщ) <с (й) || Wm||M1(q;e), где постоянная с зависит только от й; (2.81)

) Здесь мы используем следующий аналог предложения 1.1 гл. II для гессианов. Пусть gt, (/, / = 1, 2) —семейство обобщенных функций на Й. Тогда следующие условия эквивалентны:

существует такая обобщенная функция и па й, что Sa = Duu (i, j = 1, 2);

для любого такого семейства функций фу g ^(Q) (Я /= 2

= 1,2), что ^ ^иФу = 0 (т. е. У7ф = 0 для ф = [фу g

если р — непрерывная полунорма па НВ (Q), являющаяся нормой па Пр то р (и) + [[ V\u ||м (шю

есть норма на НВ^), эквивалентная исходной норме.

(2.82)

След функций из НВ (Д'). Так как НВД)‘л <=Hl(Q) вследствие (2.77), то след 4о(п) функции и из НВД) определен и принадлежит пространству 771/2(Г). Так как ГТи^ВУД) (i = 1, 2), то из теоремы о следе статьи [93] (см. напоминанио в п. 2.1 гл. II) вытекает, что 4o(vu) определен и принадлежит пространству (Л'(Г))2. Положим 41М = V4o(vn)e V (Г); тогда, используя аппроксимационные соображения, мы можем показать, что Т4о(^м)е Lx (Г) есть не что иное, как касательная производная 9уо(н)/^ функции уо(н). Кроме того, отображения 40 и 41 непрерывны:

существуют такие два линейных отображения 40 и 41, непрерывных как операторы из ЯВ(Й) в IT1’1 (Г)

и L*(T) соответственно, что

у0 (м) = м |г, Т1(и) = -^|г

для всех и из ^2(Й). (2.83)

Используя формулу Грина (2.36) гл. II и аналогичное соотношение для ВИ(Й), мы можем получить обобщенную формулу Грина (2.7):

для любой функции у из НВД) и любойфункции ф из ^(Й; Я) имеем

J v^V^dx — j ф(¥Уу) - <60(ф), ?о(у)> — <6i (V), Yi(v)>- QО

(2-84)

Продолжение и непрерывность функций из Я5(Й). Можно поставить вопрос, при каком условии кусочно-регулярная функция и содержится в Я5(й). Мы ответим па этот вопрос более общим образом.

Предложение 2.7. Пусть Й1 — относительно компактное множество в Й, граница которого S принадлежит классу ^2, и пусть Й2 = й\йь Пусть и — функция из Л*(й), ограничение которой ut на область Й; содержится в Я5(Й;) (i = 1, 2). Тогда и в том и только том

случае содержится в НВ^, когда следы и\ и и^ на S совпадают:

To(^i)= То(“2)«« S.(2.85)

В этом случае выполняется соотношение

= 2 e0,VVu, + sr ^_^Д6г,(2.86)

i=l'*

где 0Qi — характеристическая функция множества Q; и дифдх есть значение на поверхности S функции ^(щ}, ах — нормаль к поверхности S, направленная из Q) к Q2.

Доказательство. Если me/№(Q), то и^ еРГ^ЦО), и условие (2.84) является, таким образом, необходимым. Предположим теперь, что это условие выполнено, и вычислим производную VVw в смысле обобщенных функций. Пусть ф е ^ (Q; Е); мы можем с помощью формулы Грина (2.84) написать равенство

<VVm, ф) = <н, У¥ф) = ^ j к,¥Уф dx =

i=l и{

„ Г !дип диЛ

= 2 J Ф (VVm*) +У?) ^vv) dT- i=1 Щ2

Формула (2.86) тем самым доказана; опа показывает, что и ^ НВ (Q), так как

JlWn]^ J|Wu{| + CJ|^2 —5|^< + 00 •

Q*=1 Щ2

Условие (2.85) показывает, что функция и из ИВ(Q) но имеет разрывов вдоль линий в Q. Па самом деле справедлив намного более точный результат, доказанный в [157] (см. также [31]):

ИВ (Q) с <6 (Q), причем вложение непрерывно. (2.87)

Аппроксимация функций из НВ^^. Пазове» сильной топологией па IIB(Q) топологию, определяемун нормой; слабой топологией назовем топологию, опреде ляемую следующим семейством норм и полунор?

’ ге

(см. [7]):

— нормой Мщ1,1(й)’

Ф е ^ (Q), i, j ~ 1, 2.Ф е ^ (Q), i, j ~ 1, 2.—полунормами ^О^иф , I Й

Ф е ^ (Q), i, j ~ 1, 2.

Ф е ^ (Q), i, j ~ 1, 2.

Например, последовательность и„ сходится к и в слабой топологии, если

(2.88)(2.88)ит^и вТУ1’1^) сильно,WMm Wu слабо в М\ (Q; 5).

(2.88)

(2.88)

Если «,„ есть ограниченная последовательность в НВ (S'), то она относительно компактна в РЕ1,1^) согласно (2.78); следовательно, опа содержит подпоследовательность umj, сходящуюся к своему пределу и в W’^Q). Легко видеть, что umj сходится к и в слабой топологии (в смысле (2.88)); таким образом, мы доказали также, что любая ограниченная последовательность в HB(S) содержит слабо сходящуюся подпоследовательность. (2.89)

Как и в пространстве BD(S'), мы можем определить па HB(S) промежуточную топологию, определенную расстоянием

d(u,v) = || и — i^,^, +d(u,v) = || и — i^,^, +f |VVu|- J | Wv]ЙЙf |VVu|- J | Wv]ЙЙ(2.90)(2.90)

d(u,v) = || и — i^,^, +

d(u,v) = || и — i^,^, +

f |VVu|- J | Wv]

ЙЙ

f |VVu|- J | Wv]

ЙЙ

(2.90)

(2.90)

Это расстояние определяет промежуточную топологию между слабой топологией и сильной топологией.

С другой стороны, функция if, определенная в (2.29), удовлетворяет условиям § 4 гл. II, и это позволяет нам определить ограниченную меру на Q — меру if(VVw)^O, где не НВ (S'). Следовательно, мы можем определить другую промежуточную топологию, а именно топологию, соответствующую расстоянию

d^ (и, и) — d (и, и) -)-d^ (и, и) — d (и, и) -)-[ if (Wu) — [ ф (Wn) ои[ if (Wu) — [ ф (Wn) ои(2.91)(2.91)

d^ (и, и) — d (и, и) -)-

d^ (и, и) — d (и, и) -)-

[ if (Wu) — [ ф (Wn) ои

[ if (Wu) — [ ф (Wn) ои

(2.91)

(2.91)

Можно рассматривать другие расстояния, аналогичные (2.91) и связанные с другими функциями /;, удовлетворяющими условиям § 4 гл. II, по мы ограничимся расстоянием (2.91).

Таким образом, последовательность ит сходится к и в промежуточной топологии, связанной с (2.91), если при

тп -»- оо выполняются следующие условия:

Um-*U В W1’1^) СИЛЬНО,.

Wum->VVu слабо (как меры),■

J|VVnm|-^ jlWn),(2.92)

ф (Wwm)->ф (Ww) слабо (как меры),

j ip(VVum)-* j ip(VVu). 1212

Слабая сходимость тр(^V^m) к 4'(vv«) является следствием других свойств этой сходимости согласно лемме 5.1 гл. И..

В заключение сформулируем результат о приближении функций из HB^ti), аналогичный теоремам 5.2 и 5.3 гл. 11, за доказательством которого мы отсылаем к [30]. ,

Предложение 2.8. Для любой функции и из IIВ (Q) существует последовательность функций Um^ е %” (12) П PC2,1 (£2), удовлетворяющих следующим условиям;

То (“m) = То W> Т1 (“т) ="Т1 (ДУ _ Дт; (2.93) при т-* °° последовательность ит сходится кив смысле расстояния (2.91)

(т. е. выполняются соотношения (2.92)).(2.94)

Замечание 2.3. Предыдущие рассуждения, взятые вместе, позволяют убедиться, что ПВ^!) есть пространство функций с конечной энергией для задачи (2.46) в следующем смысле: если щ — последовательность функций из ^(Q), сходящаяся к и равномерно (или в смысле А1 (12)), причем выполняется соотношение

J ^(Wuj)dx^c, £2

то и содержится в НВ^у Для того чтобы установить справедливость этого утверждения, достаточно использовать (2.89), заметив, что вследствие (2.45) последовательность щ ограничена в ЯВ(12).

Замечание 2.4. Можно так построить последовательность и™, предоставляемую предложением 2.8, чтобы она равномерно сходилась к и в 12; см. [32].

2.4. Обобщенное решение задачи о перемещениях. Сейчас мы собираемся ввести новую форму вариационной задачи о перемещениях, установить существование решений этой задачи и изучить двойственность между вариационной задачей о напряжениях и обобщенной задачей о перемещениях.

Задача о перемещениях в НВ^йу Обобщенная задача о перемещениях является расширением на пространство НВ (Q) задачи ^5?. Функция хр, соответствующая пластической модели (т. е. (2.29)), удовлетворяет условиям (4.1), (4.6) и (4.8) § 4 гл. П, и мы можем определить ^(ц) как ограниченную меру на Q для любой ограниченной меры ц, со значениями в Е, т. е. ц е G 7И1 (Q; Е). В частности, для любой функции и е НВ^Ц корректно определена ограниченная мера ф(^у), и мы можем распространить определение (2.25) функции Ч1", полагая

Ф (р) = f W) Vp е MY (fi; Е),

g(2.Jo)

T (VVy) —- J ф (Wy) УнеЯУ(й).Q

Согласно теореме о следе (2.83) выражение L^ в (2.23) корректно определено при ye//8(Q), а именно

Л (у) = J/у ^ + J g^Y (v) ds — J g°y0 (y) ds, (2.96) Q r^r,r2

как только мы заменим условия (2.12) более сильными условиями

/еР(й), ^°еЛ“(Г2), ^'^^(Г.иГг)). (2.97)

Точно так же npnye/75(Q) функция 'фДЗ^щ ~ ^(у))) корректно определена па Г и суммируема вследствие (2.52); слагаемое

[ ^(^(u! — ?! (v^d!го

тогда действительно имеет смысл.

Следовательно, мы можем поставить обобщенную задачу о перемещениях

inf /^(VVp)f ф»^^ — ^(у)))^ —L(y)l, ^ ^a lГоj

(2.98)

где

^o={i;e^B(Q), y = u0 на ToUrj. (2.99)

Задача Q есть расширение задачи 99, которая, в свою очередь, является расширением задачи 9: подлежащая минимизации функция оказывается той же самой, а множество допустимых перемещений — более широким:

9 = {(2.46)} с^ = {(2.60)} с Q = {'(2.98)}.

Предложение 2.9. Нижняя грань в задачах 9, 99 и Q — одна и та же. Она конечна {> — °°) тогда и только тогда, когда inf 9Аъ ^ 1. Кроме того, если inf 9AL > > 1, то любая минимизирующая последовательность для, одной из этих трех задач ограничена в НВ(Q).

Доказательство. Так как inf 9 = inf 99 и неравенство inf 99 ^ inf Q очевидно, то мы должны доказать, что inf 99 $5 inf Q.

Пусть и е ба-, согласно предложению 2.8, существует последовательность vm ^ б°° (Q) П W2,t (Q) П ба, сходящаяся к у в смысле (2.91), (2.92); отсюда следует, что

Т (VVym) + ^ ф^ (9~ (и^ — У! (um))) ds — L (ym) =

г0

= T (VVym) + фес (^" ^ — Yj (у))) ds — Z, (y) r0

-> T (VVy) + f Ф=с (9- (и. - Т1 (у))) ds - L ^. r0

Это соотношение показывает, что нижняя грань в задаче (2.98) совпадает с нижней гранью по множеству 6“ (Q) П W2’1 (Q) П ба. Если теперь у е Ж2’1 (Q) fl ба, то у — ио г РЕ2'1 (Q) и обращается в нуль на Го (в смысле следов). С помощью соображений аппроксимации, которыми мы пользовались уже много раз7), мы можем

Сходные соображения использовались в доказательстве (2,105) и (2.100) гл. I, но в рассматриваемом сейчас случае рассуждение проще, поскольку граница Г является одномерной.

18 р. Темам 273

показать, что

множество (iy е^” (й), гу = 0 на Го? плотно

в множестве (weJE1^), iy = 0 на Го}. (2.100)

Таким образом, w = v — uq есть продел в И^-Цй) последовательности функций wm из ^"(й), равных нулю на Го- Функции ит = мо + wm содержатся в множество (2.01) и сходятся к у в 1Е2,|(Й). Поскольку функции, подлежащие минимизации в (2.60) или (2.98), непрерывны на 1Ё21(Й) в топологии, определяемой нормой, то нижняя грань в (2.98) по Ж2'1 (й) П ^ совпадает с нижней гранью по 772(Й)П ^а, а это не что иное, как множество (2.61).

Предложение 2.5 показывает тогда, что inf Q = = inf^> — с» тогда и только тогда, когда inf^L^l. С другой стороны, любая минимизирующая последовательность для ^, ^5? или d есть минимизирующая последовательность для 5. Если inf д^дъ > 1 и если ут — минимизирующая последовательность для 5, то в точности так же, как и в предложении 2.5, мы можем показать, что

откуда с учетом (2.45) следует, что.

j | VVnm| ^с.Q

Так как множество Го непусто и содержит три точки, не лежащие па одной прямой, то из (2.82) следует, что формула

j |?0(у)|й« + J | Wv| г0й

определяет на НВ(Й) норму, эквивалентную естественной норме. Последовательность функций ит содержится в ^а, причем ут = ио на Го; отсюда, как и было обещано, следует, что последовательность ит ограничена в НВ^.

Двойственность между напряжениями и обобщенными перемещениями. Рассматривая обобщенные перемещения у, принадлежащие пространству ЯВ(й), мы сталкиваемся с трудностью, подобной той. которую мы преодолели в § 7 гл. II: если п^ЯВ(Й) и Me е£2(Й; Е^ то произведение М^р не имеет смысла,

и мы, вообще говоря, не можем пустить в ход формулу Грина, подобную (2.7), (2.10) пли (2.89). Сейчас паша цель состоит в том, чтобы преодолеть эту трудность: используя всю доступную нам информацию, мы сейчас убедимся, что произведение М^и можно определить как ограниченную меру при М е 9Ра П 3£а и и е *6». Мы установим также обобщение формулы Грина (2.7), и, приняв все это во внимание, мы сможем выявить двойственность между (2.48) и (2.98).

■ Введем пространство

5(Q)=W e7L"(Q; Я), WM е 7?(О)}8). (2.101)

Это банахово пространство относительно естественной нормы

(2.102)

Множество регулярных функций (например, функций из ^”(42; Е)) не плотно в S'(Q); напротив, рассуждая в точности так же, как и в лемме 7.1 (см. также замечание 7.1), мы можем показать, что для любого М_е8(5^ существует такая последовательность М3 в ^“(й; Я), что

'\W^№E^c^MWey (2.103)

где c(Q) зависит только от 42, причем при j -> °° имеем: М,■ -> М в 1/(42; 2?) сильно Vp, 1 ^ р < °°,

и в L" (Q; £) слабо*, (2.104) ^М^ ^^М в L2(Q).(2.105)

Кроме того, утверждение (2.103) можно следующим образом уточнить: можно так выбрать последовательность MSl чтобы, кроме того, для любого j выполнялось соотношение

II з 11ь°°(£2По;Е) — II ^ IIl°°(q;e)’

где О — либо фиксированное относительно компактное подмножество в 42 (и ОПЙ = О), либо шар достаточно малого радиуса с центром в некоторой точке х границы Г. Если иеПВ(й) и Me S'(42), то мы можем определить

Если пойти па некоторые дополнительные технические трудности и использовать (2.87) (которое мы здесь ие доказываем), то оказывается, что мы можем взять

S(Q) = {М е ^”(Q; Е), VVMe^'(Q) или даже е Mi(Q)}.

обобщенную функцию М^^и, полагая <MVVy, (р) =

= — ^ иМ (VV<p) dx — 2 J М ^и ® V<p) dx + j" vq> (WAI) Я Я Я

(2.10f5) для всех tp из ^^ (Q). Нижеследующее предложение даст ряд свойств обобщенной функции M^Vv и показывает, что MWv совпадает с обычным произведением в случае, когда это обычное произведение имеет смысл (Ме^^- Е) или velP^)y

Предложение 2.10. i) Для vgHB(Q) и Me eS(Q) обобщенная функция MWv, определенная формулой (2.106), является ограниченной мерой на й, абсолютно непрерывной по мере IVVpl, причем

^ cpAfVVy я^ cpAfVVy я^II^LwIl'PIIWHЯ^II^LwIl'PIIWHЯ(2.107)(2.107)

^ cpAfVVy я

^ cpAfVVy я

^II^LwIl'PIIWHЯ

^II^LwIl'PIIWHЯ

(2.107)

(2.107)

для всех <р из 'З’о(й).

Если М5—последовательность функций из 5(й), сходящаяся к М в смысле (2.103) — (2.105), то МД^и сходится к MWv в следующем смысле-.

J cpMyVVy-^ fcpMVVy V<p е ^ (Й).

яя.

Если Vj — последовательность функций из НВ(й), сходящаяся кив смысле расстояния (2.90), то M^^Vj сходится к М^и в следующем смысле-.

J ^MV^Uj ( (pMVVy V <р е ^ (й). .яя

Доказательство. С помощью предложения 2.S приблизим функцию у последовательностью функций и из ^”(Й)П Й^Цй), которая сходится к к в смысле расстояния (2.90). С помощью интегрирования по частяк мы видим, что MWvi совпадает с обычным произведени ем для любого /, причем

" ^MV^Vj ^\\M\\LOO№E) 5l<p||VV^|.(2.108

яя

Согласно (2.15) гл. II для любой Ве^(й) при j-* ° имеем

f 0|VVk7|-> [ 0| VVy|.

яя

Тогда, переходя к пределу в (2.108), получаем (2.107), и, таким образом, Л/VVy действительно является ограниченной мерой.

Теперь доказательство утверждений И) и Hi) совершенно аналогично доказательству лемм 7.4 и 7.5 гл. II.

Предложение 2.8, и, в частности, соотношение (2.93), показывает, что y0(/7B(Q)) = уДИ72-1 (Q)) (хотя мы ине знаем, как охарактеризовать это множество) и yi (НВ(Й)) = yi (И72'1 (Q)) = I? (Г). Следующее предложение позволяет определить bo(M) X Ь\(М)е уо(И72'1 (^)) 'X XL” (Г) при MeS(^ и уточнить формулу (2.89).

Предложение 2.11. Существуют Эва таких сюръективных непрерывных линейных отображения ^о и pi пространства S(fi) в уо(И721 (Q))' X L“ (Q), что

^W=WIV MMMW (2.109)

для всех М ^^2(62); кроме того, для любой функции \v^HB^) справедлива следующая формула Грина-.

( МЧЧи - ( и (ЧУМ) dx = <₽! (М), ?! (у)> -

-<№),?» О7»- (2.110)

Доказательство. Сначала мы определим ^о и рь удовлетворяющие соотношению (2.110), для функций рЕ^Дй), а затем распространим утверждение (2.110) на функции v из I/B(Q).

Пусть задана функция М из S(Q). Для данных (шо, гщ) из уо^2,1)^ U (Г) согласно (2.75) существует такая функция w^^.^Q), что y0(u>)=ir0, ^x^w^=Wv Положим

Хм^, w^ = [ w (VVT/) dx — Af(VVty) dx. (2.111) QQ

Так как '8’” (Q) плотно в множестве

IT2'1 (Q) = (к е И72’1 (Q), Yo (к) = Т1 (к) = 0],

то легко удостовериться, что Xm^wq, мц) нс зависит от выбора функции w, удовлетворяющей условиям Уо(^) = = и?о, yi(iw) = wx. Легко доказать также, что отображение {iy0, W,} — Xm^oi w^

линейно. С другой стороны, в [31] доказано, что для любого {»о, Ш1) с ^(И72 - (Q)) X L* (Г) существует такая

функция we РК21 (Q), что'

II ^11^2,1(2) = С ( II ^0 l^0(w2 Л(2)) + Il “Ме^Г))’(2.112)

где постоянная с зависит только от Q. При таком выборе функции w мы находим, что

| Хм (w0, w^ | ^ с (|| w0 II?o(VV2,i(Q)) + II wt |lLi(r) ) ||M ||s(Q).

(2.113)

Отсюда вытекает, что Хм есть непрерывная линейная форма уо(РГ2,1(^) )Х Lx (Г) и что существуют такие два элемента ^о(^), М^), образующие элемент пространства f0(lV2-1 (Q))' X L~ (Г), что

XM(w0, Wi)= ^q^M), w0> — <^|(М), w^.

Это дает нам формулу Грина (2.110) при ysp|Z2',(Q), и отсюда с учетом (2.7) вытекает (2.109).

Рассмотрим теперь отображение М -* {^о(^), ^i(M)} пространства 5(Q) в ^(IP2,1 (^))' X L” (Г). С помощью (2.111) мы убеждаемся, что это отображение линейно, а формула (2.113) показывает, что оно непрерывно. Покажем, что оно сюръективно. Таким образом, пусть (^о, L\) е ^(РР2'1 (Q))' X L” (Г); отображение пространства PC2'1 (Q) в R, определенное формулой

и I (у) = - <Л0, 7о (у)) + <LV Y1 (у)),

является непрерывной линейной формой па PT21(Q). Согласно (2.82) (и при р (и) = | и |Li(£2)) отображение и.

In, VVy) есть изоморфизм пространства IP2’1 (Q) в V (Q)X L1 (Q; Еу согласно теореме Хана — Банаха форма I продолжается до непрерывной линейной формы с той же нормой на пространстве Lx (Q)X Lx (Q; Еу, следовательно, существует такая пара (m, М^ е L” (Q) X XL*№ Еу что

Ци) = \ MWudx — ^ vmda:(2.114)

для всех у из PT21(Q). Из равенства (2.114) при ие е ^^ (й) получаем, что

V4M = те Е”(ЙУ

Таким образом, М е S^Q.y и из (2.114) и всего предыдущего вытекает, что

Ей = ^Му Lt = ^W.

97Я

Наконец, так как I продолжается до линейного отображения с той же нормой, то

И — | II ^о Ии^фв)' + II ^i Hl1^)] = II IIl°°(s;e) +

4* | иг I^oo^q) ^ с || М |S(Q)i

что завершает доказательство сюръективности.

Остается только распространить соотношение (2.110) па функции р^ЯВ(О). Если ye//S(Q), то мы используем аппроксимирующую последовательность у,, определяемую предложением 2.8. Из равенства (2.110) с щ вместо рис помощью (2.93) получаем, что

J MWvj dx — (VVM) dx =

ipQ

- <PiW,Yito)>-<PoW,Yo(^)> = <PiW^kW -

— <Po W> YoW)-

Отсюда предельным переходом мы получим (2.110), если использовать и. iii) предложения 2.10 (cq> = l).

Замечание 2.5. Формула Грипа (2.110) показывает, что операторы (Ро, Pi), продолжающие (&о, ^i), необходимо однозначно определены. Для простоты поэтому мы обозначим их снова через Ьо и &ь

Обобщенная двойственность. Положим для иеНВ^

J (у) = Т (VVp) + f ipro {3~ <иг — Yj (у))) ds. (2.115) г0

Продолжая рассуждение совершенно так же, как и в предложении 7.2 гл. II (с учетом очевидного варианта леммы 7.8 гл. II), мы можем доказать, что

J(y) — L^^L^M)--^-^(M, М) (2.116)

для всех и из ^а и всех М из ^а П MV Тогда мы можем ввести лагранжеву функцию задачи, определенную на О(ОХ):

$ (и, М) = — L (и) — -|- .^ ^Т,М) + [ М\?\7и 4-

Исходная и двойственная задачи, связанные с этим лаг-

279

ранжиапом, имеют классический вид (см. [39], гл. 6):

inf f sup 2? (<щ MW, sup f iiif $ (v,.

^a\M^Q^a J ^^J,^ j

Вследствие (2.116) и приведенных выше результатов эти задачи полностью совпадают с задачами (2.98) и (2.48) соответственно (иначе говоря, с обобщенной задачей о перемещениях, поставленной в /75 (Q), и с «естественной» задачей о напряжениях).

2.4.3. Существование перемещений в НВ^У Пусть выполнены сделанные выше предположения, в частности, условия (2.13), (2.14), (2.43) и (2.97); пусть открытое множество Q принадлежит классу 'З’2, Го ^ 0, причем Го содержит три точки, по лежащие па одной прямой. Назовем условием допустимого груза условие

inf^L>l ^ЗЛТе^ПЖ при 0<%<1. (2.116)

Из этого условия следует, что любая минимизирующая последовательность для задачи Q (или 5s или 2^ ограничена в //B(Q) (см. предложение 2.9). Рассуждая совершенно так же, как и в леммах 8.1 и 8.2 гл. II, мы можем доказать (по поводу полных доказательств см. [30, 32]), что справедлива

Лемма 2.3. Пусть ит—последовательность из ^а, сходящаяся к и^Т?а в смысле (2.88). Если множество Уа 0 2^а непусто, то

J (v) — L (у) < lim inf (J (ym) — L (vm}}.(2.117)

m->oo

Это позволяет нам доказать следующее утверждение.

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (2.13), (2.14), (2.43), (2.97), пусть Го ¥= 0 и пусть выполнено условие допустимого груза. Тогда задача о перемещениях (2.98) имеет решение в ПВ^).

Если в тех же предположениях и и М е ^П У£а, то и есть решение задачи (2.98) и М есть решение задачи (2.48) тогда и только тогда, когда

1|) (Wy) -f- -^- АММ = MWv в Q,(2.118)

. ip» (ST (U1 — Yj (у))) = (иг — Yi (у)) bx (M) на Го. (2.119)

Доказательство аналогично доказательству теоремы 8.1 гл. II; см. [30, 32].

280

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Adams R. S. Sobolev Spaces, Academic Press, New —York, 1975.

Anzclotti G. On the existence of the rates of stress and displacement for Prandtl-Reuss plasticity, Quart. Appl. Math., 41. 1983, № 2, p. 181—208.

Anzelotti G., Giaqunta M. Funzioni BY e trace. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 60, 1978, p. 1—21.

Anzelotti G., Giaqunta M. On the existence of the fields of stresses and displacements for an elasto-perfectly plastic body in static equilibrium. J. Math. Pures Appl., J. Math. Pures Appl., 61 (IX), 1982, № 3, p. 219-244).

Б о г о в с к и й М. Е. Решение первой краевой задачи для уравнения неразрывности несжимаемой среды Ц ДАН СССР. 1979.—Т. 248, № 5,—С. 1037—1040.

Bourbaki N. Elements do Mathematiques, Livre III, Topologie Generale, Hermann, Pairis, 1964. [Рус. пер.: Бурбаки H. Общая топология. Основные структуры./Пср. с фр.— М.: Наука, 1959.]

Bourbaki N. Elements de Mathematiques. Livre V, Espaces Vectoriels Topologiques. Hermann, Paris, 1974. [Рус. nep.: Бурбаки II. Топологические векторные прострапства./Пер. с фр,— М.: Наука, 1969.]

Bourbaki В. Elements de Mathematiques, Livre VI, Integration, Hermann, Paris, 1965. [P у с. ne p.: Бурбаки II. Иптегри- ровапие./Пер. с фр.—M.: Наука, 1977.]

В г е z i s Н. Inequations Variationnnelles, J. Math. Pures Appl., 1971.

В r e z i s H. Multiplicateur de Lagrange en torsion elasto-plas- tique, Arch. Rational Meeh. Anal., 49, 1972—73, p. 32—40.

Brezis H. Integrates Convexes dans les Espaces de Sobolev, Isr, J. Math., 13, 1972, p. 9—23.,,

Brezis H., S t amp ac chia G. Sur la regularite de la solution d’inequations elliptiques, Bull. Soc. Math. France, 96, 1968, p. 153—180.

Bui H. D. La Mecanique de la Rupture Fragile, Masson, Paris, 1977.

Caccioppoli R. Misura a integrazione sugli insiemi dimen- sionalmente orientati. Rend. Accad. Naz. Lincei., Cl. Sc. fis. mat. nat. 8, vol. 12, 1952, p. 3—11 et 137—146.

Caffarelli L., Riviere N. The Lipchitz Character of the stress tensor, when twisting an elastic-plastic bar. Arch. Rational Meeh. Anal., 69, 1979, p. 31—36.

Cattabriga L. Su un problema al conlorno relative al sis- tema di equazioni di Stokes. Rend. Sem. Mat. Univ, Padova, 31, 1961, p. 308—340.

Cesari L. Surface area, Princeton University Press, 1956.

C e s a r i L. Asymptotic behavior and stability problems in ordinary differential equations, Academic Press, New — York, 1963. [P у с пер.: Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость обыкновенных дифференциальных уравпений./Пер. с англ,— М.: Мир, 1964J

Christiansen Е. Limit analysis in Plasticity as a mathematical programming problem. Calcolo, 17, 1980, p. 41—65.

Christiansen E. Limit analysis for plastic plates, SIAM J. Math. Anal. 11, 1980, p. 514—522.

C h r i s t i a/n s e n E. Computation of limit Loads, Internal. J. Numer. Methods Engrg., 17, 1981, p. 1547—1570.

Christiansen E. Examples of collapse solutions in limit analysis, Utilitas Math., 22, 1982, p. 77—102.'

Clement D. Resolution numerique d’un probleme modelc on plasticite. These de 3e Cycle, University de Paris — Sud, 1982.

Courant R. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations. Bull. Amer. Math. Soc., 49, 194.3, p. 1—23.

С г ё p e 1 F. Resolution de problemes de plasticite par des methodes de dualite el d’(4ements finis: calcul a la rupture et deformation. These de 3e Cycle, Universite de Paris —Sud, 1982.

Debord es O. Dualite des theordmes statique et cinemalique dans la theorie de Tadaptation des milieux continus elasto-plas- tiques, C. R. Acad. Sc. Paris, 282, serie A, 1976, p. 535—537.

Debordes O. Contribution a la theorie et an calcul de 1’elaslo- plasticite asymptotique, These, Universite de Marseille, 1977.

Debordes O. Complements au cadre fonctionnel classique en elastoplasticity parfaite et existence de contraintes dansce cadre, C. R. Acad. Sc. Paris, serie I, 294, 1982, p. 349—352.

Debordes O., Nayroles B. Sur la theorie et le calcul a Tadaptation des structures elastoplasliques, J. Mecanique, 15, 1976, p. 1—53.

Deme ng el F. Problemes variationnels en plasticity parfaite des plaques, These de 3e Cycle, University de Paris — Sud, Orsay, 1982.

Demengel F. Fonctions a hessien borne, Ann. Inst. Fourier, 34, 1984, № 2, p. 155-190.

Demengel F. Problemes variationnels en plasticite parfaite des plaques, Numer. Funct. Anal. Optim., 6, 1983, № 1, p. 73—119.

D e m e n g e 1 F., T e m a m R. Convex functions of a measure and applications, Indiana Univ. Math. J., 33, 1984. № 5, p. 673— 700.

Deny J.. Lions J. L. Les espaces du type de Beppo Levi, Ann. Inst. Fourier, 5, 1954, p. 305—370.

Dinculeanu N. Integration on locally compact spaces. Noordhoff Intern. Publ., Leyden, 1974.

Dinculeanu N. Vector Measures, Pergamon Press, Oxford, New — York, 1966.

Dunford N., Schwartz J. T. Linear Operators, Interscience Publishers, New —York, 1958.. [P у с. нер.: Данфорд H. Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Том 1/11ер. с англ.— М.: ИЛ, 1962.]

Duvaut G., Lions J. L. Les inequations en mecanique et en physique. Dunod, Paris, 1972. [P у с. n e p.: Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике./Иер. с фр.— М.: Наука, 1980.]

Е к е 1 a n d I., Temam R. Analyse convexe et problemes varialionnels, Dunod, Paris, 1974. [Рус, пер.: Эклапд И., Темам P. Выпуклый анализ и вариационные цроблемы./Пер. с фр,— М.: Мир, 1979.]

Eke land I., Т е in a m В. Convex analysis and variational problems, traduction anglaise miso a jour de [39], North—Holland, Amsterdam, New —York, 1976.

Fenchol VV. On Conjugate Convex Functions, Canad. J. Math I. 1949, p. 73-77.

F e n c h e 1 W. Convex Cones, Sets and Functions, Noles de cours polycopiees, Princeton University, 1951.

F e n c h e 1 W. A remark on convex sets and polarity, Modd. Lunds. Univ. Mat. Sem., (supplement — band, 1952), p. 82-89.

Fleming W. II. Functions with generalized gradient and generalized surfaces, Ann. Mat. Рига Appl., serie 4, 44, 1957, p. 93—103.

Fro mo nd M., Friaa A. Analyse limite. Comparaison des methodes statique et cinematique, C. R. Acad. Sci. Paris, 286, serie A, 1978, p. 107—110.

From ond M., Friaa A. Limite Analysis of physical Models, dans Nonlinear Problems. Present and Future, A. R. Bishop, D. K. Campbell, B. Nicolaenko, Ed., North — Holland, 1982.

Friaa A. La loi de Norton—Hoff generalisee en plasticite et viscoplasticite, These, Universite de Paris VI, 1979.

Gagliardo E. Caratterizzazioni delle trace sulla frontiera relative alcune classi di funzioni in n variabili, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 27, 1957, p. 284—305.

Germain P. Cours de Mecanique des Milieux Continus, Tome I, Masson, Paris, 1973..

Germain P. Cours de Mecanique. Ecole Polytechnique, 1979.

Germain P. Commentaires sur Г Article «Duality and relaxation in the variational problems of plasticity» de R. Temam ef G. Strang, J. Mecanique, 19, 1980, p. 529—538.

Giaquinta M., Modica G. Nonlinear systems of the type of the stationary Navier—Stokes system. J. Reine Angew. Math., 330, 1!‘82. p. 173-214.

Giorgi E. de. Su una teoria generale della misura (r — 1) dimensionale in uno spazio ad r dimensioni. Annali di Mat., serie 4. vol. 36, 1954, p. 191—213.

Giorgi E. de. Nuovi teoremi relativi alle misure (r — l)-di- mensionali in uno spazio ad r dimensioni. Ricerche di Mat., 4, 1955, p. 95-113.

Giusti E. Minimal surfaces and functions of bounded variation. Noles de cours redigees par G. H. Williams, Depart, of Math., Australian National University, Canberra, 10, 1977.

Gobert J. Une inequation foundamentale de la theorie de - I’elaslicite, Bull. Soc. Roy. Sci. Liege, n°3 et 4, 1962.

Gobert J. Sur une inegalite coercivite, J. Math. Appl., 36, 1971. p. 518—528.

Goff man C., Serrin J. Sublinear functions of Measures and Var.ialional Integrals, Duke Math. J., 31, 1964, p. 159—178.

Greenberg IL J. Complementary minimum principle for an elastic plastic material. Quart. Appl. Math., 7, 1948, p. 85—95.

G и r t i n M.. Temam R. On the anliplane shear problem in finite elasticity, J. Elasticity, 11, 1981, p. 197—206.

Halmos P. R. Measure Theory, Van Nostrand, New —York. 1951. [P У с. u e p.: Халмош II. P. Теория меры./Нер. с англ,— М.: ИЛ, 1953.]

Н а 1 р h е п В., Son N. Q., Sur les materiaux standards generalises, J. Mecanique, 14, 1975, p. 39—63.

He nek у 11. Z. Angew. Math. Phys., 4, 323, 1924.

Hill R. Mathematical Theory of Plasticity, University Press, Oxford, 1950.

Hodge P. Plastic Analysis of Structures. Nouvelle edition, R. E. Krieger Pub. Comp. Malabar, Florida, 1981.

Hoff H. J. Approximate analysis of structures in presence of moderately large creep deformations, Quart. Appl. Math. 12, 1954, p. 49.

J о h n s о n C. Existence theorems for plasticity problems. J. Math. Pures Appl.. 55, 1976, p. 431-444.

Johnson G. On plasticity with hardening. J. Math. Anal. Appl. 62, 1978, p. 325—336.

Johnson C. A mixed finite element method for plasticity problems with hardening, SIAM J. Numer. Anal., 14, 1977, p. 575—583.

К о h n R. Ph. D. Thesis, Princeton University, 1979.

Kohn R. New integral estimates for deformations in terms of their nonlinear strains, Arch. Rational Meeh. Anal., Arch. Rat. Meeh. Anal., 78, 1982, № 2, p. 131—172.

Kohn R., Strang G. Optimal design for torsional rigidity, Proc. Int. Symp. on Mixed and Hybrid Finite Element Methods, Atlanta, 1981.

Kohn R., Strang G. Optimal design of cylinders in shear, MAFFLAP Conference, Brunel. 1981.

Kohn R., Strang G. Structural design optimization, homogenization, and relaxation of variational problems, Proc. Conf, on Disordered Media, Lecture Notes in Physics 154, Springer- Verlag, New —York, 1982.

Kohn R„ Strang G. Hencky — Prandtl nets and constrained Michell trusses, Conf, on Optimum Structural Design, Tucson, 1981. Comput. Methods Appl. Meeh. Engrg., 36, 1983, № 2.

Kohn R., Temam R. Principes variationnels duaux el theo- remes de Fenergie dans le modele de plasticite de Hencky, C. R. Acad. Sci. Paris, Serie I, 294, 1982, p. 205—208.

Kohn R.. Temam R. Dual spaces of stresses and strains with applications to Hencky plasticity, Appl. Math. Optim., Appl. Math. Optim., 10, 1083, Л» 1, p. 1—35.

К о i I e r W. T. General theorems for elastic plastic solids dans Progress in Solid Mechanics, North — Holland, Amsterdam, 1960.

Красносельский M. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений.— М.: Гостехиздат, 1956.

Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости.— М.: Наука, 1970.

L а п с h о n II. Solution du probleme de torsion elasto-plastique d une barre de section quelconque. C. R. Acad. Sci. Paris, 269, 1969, p. 791—794.

Lan ch on H. Sur la solution du probleme de torsion elasto- plastique d’une barre cylindrique de section multiconnexe. C. R. Acad. Sci. Paris, 271. 1970, p. 1137—1140.

Lanchon H. Probleme d’61astoplasticite statique pour un materiau regi par la loi de Hencky. C. R. Acad. Sai. Paris, 271, 1970, p. 888—891.,

Lanchon H. Torsion elastoplastique d une barre de section • simplement ou multiplement connexe, J. Mecanique, 12, 1973, p. 151—171.,

Li ch new sky A. Un probleme modele en theorie de la plas-; liaite: analogic avec le probleme des surfaces minimales. Semi- naire Goulaouic — Schwarz 1978—1979, Ecole Polytechnique.

L i о n s J. L. Problemes aux limites dans les equations aux derivees partielles, Seminaire de Mathematiques Superieures, Universile de Montreal, 1962..

L i о n s J. L. Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non lineaires. Dunod et Gauthier — Villars, Paris, 1969. [P у с. ne p.: Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач./Пер. с фр.— М.: Мир, 1972.]1

Lions j. L. Some methods in the mathematical analysis of systems and their control, Academia Sinica, 1981.

Lions J. L., M a g e n e s E. Problemes aux limites non homo- ; genes et applications, Dunod, Paris, Vol. 1 et 2, 1968. Traduction anglaise, Springer Verlag, Heidelberg, New — York, 1972. [Pyc. . n e p.: Лионс Ж.-Л. Мадж внес Э. Неоднородные граничные задачи и их примепеиия./Пер. с фр.— М.: Наука, 1971.]

Magen es Е., Stamp а с chia G. 1 problem! al contorno per le equazioni differenziali di tipo ellitlico. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 12, 1958, p. 247—357, note (27), p. 320.

Maltbies H., Strang G., Christiansen E. The saddle point of a differential program, dans Energy Methods in Finite Element Analysis, R. Glowinskii, E. Rodin, О. C. Zienkiewicz Ed., John Wiley, New — York, 1979.

Mercier B. Sur la Theorie et Г Analyse Numerique de Problemes de Plasticite. These, Universile de Paris, 1977.

Miranda M. Comportamenlo delli successioni convergent! di frontiere minimal!. Rand. Sem. Mat. Univ, Padova, 1967, p. 238— 257.,

Moreau J. J. Fonctionnelles convexes, Seminaire Equations aux Derivees Partielles, College de France, 1966.

Moreau J. J. La notion de sur-potentiel et Ies liaisons unila- terales en elastostatique, C. R. Acad. Sci, Paris, Serie A, 267, 1968, p. 954—957.

Moreau J. J. Application of Convex Analysis to the treatment of elasloplastic systems, dans Applications of Metods of Functional Analysis to Problems of Mechanics, P. Germain, B. Nayro- les Ed., Lecture Notes in Math., vol. 503, Springer Verlag, 1976, p. 56-89.

Moreau J. J. On unilateral constraints, friction and plasticity, dans New variational Techniques .in Mathematical Physics, G. Capriz, G. Stampacchia, Ed., Edizioni Cremonese, Rome, 1974, p. 175-322..

Moreau J. J. Champs et distributions de tenseurs deformation sur on ouvert de connexite quelconque. Seminaire d’Anaiyse Convexe, Universile de Montpellier, 6, 1976.

Moreau J. J. Isotropie et convexite dans 1'espace des ten- seurs symelriques, Seminaire d’Anaiyse Convexe, 12, n° 6, 11'82.

Naumann J. On variational principles in perfect plasticity, Lecture at the Conference «Problem! matematici nella meccanica dei conlinui», Trenle, Janvier 12—17, 1981.

Naumann J. An existence theorem for displacement field in perfect plasticity under general yield conditions, Rend. Mat. Roma, 3, 1983, № 2, p. 301—324.

N а у г о 1 e s B. Essai de theorie fonctionnelle des structures rigides plastiques parfaites. J. Mecanique. 9, 1970. P. 491—500.

N а у г о 1 e s B. Quelques applications variationnelles de la theorie des fonctions duales a la mecanique des soiides, J. Mecanique, 10, 1971, p. 263—289.

Necas J. Equations aux Derivees Partielles, Presses de 1’Uni- vorsitc de Montreal, 1965.

N e v e u A. Memoire non publie.

Norton F. II. The creep of steel at high temperature, Mac Grow Hill, New — York, 1929.

Ornstein D. A non-inequality for differential operators in the L1 norm, Arch. Rational Meeh. Anal., 11, 1962. p. 40—49.

Paris L. Etude de la regularite d un champ de vecleurs a parlir de son tenseur deformation. Seminaire d’Analyse Convexe, Universite de Montpellier, 12, 1976.

Prager W., Hodge P. Theory of Perfectly Plastic Solids, J. Wiley, New —York, 1951.

Rham G. de. Varietes Differentiables, Hermann, Paris 1960. [Рус. nep.: де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия./ Hep. с фр.— М.: ИЛ, 1956.]

Rockafellar R. Т. Duality and stability in extremum problems involving convex functions, Pacific J. Malli., 21, 1967, p. 167—187.

R о с к a f e 11 a r R. T. Convex Analysis, Princeton University Press, 1970. [P у с. ne p.: Рокафеллар P. T. Выпуклый анализ.— M.: Мир, 1970.]

ИЗ. Rockafellar R. Т. Integrals which are convex functionals I and II, Pacific J. Math., 24, 1966, p. 525—539 et 39, 1971, p. 439—469.

Rockafellar R. T. Integral functionals, normal integrals and measurable selections, dans Nonlinear Operators and the Calculus of Variations, Lecture Noles in Mathematics, vol. 543, Springer Verlag, 1976,

S a 1 e ri с о n J. Applications of the Theory of Plasticity in Soil Mechanics, J. Wiley, New — York, 1974.

Schwartz L. Theorie des distributions, I, II, Hermann Paris, 1950—51 (2e edition, 1957).

Соболе и С. Л. Об одной теореме функционального анализа И ДАН СССР - Т. 1938, № 20 — С. 5—10.,

Son N. Q. Contribution a la theorie macroscopique de I’elaslo- plaslicite avec ecrouissage, These, Paris, 1973.

Son N. Q. Methodes energetiques en mecanique de la rupture. J. Mecanique, 19, 1980, p. 363—386.

Son N. Q. Problemes de Plasticite el de Rupture, Cours de 3e Cycle, Universite Paris — Sud, Orsay, 1980—81.

Strang G. A family of model problems in plasticity. Proc. Symp. Comp. Meth, in Appl. Sc, R. Glowinski et J. L. Lions Ed., Lecture Notes in Computer Sciences. 704, 1979, p. 292—305. Springer Verlag.

Strauss M. Variations of Korn’s and Sobolev's inequalities. Proc. Symp. Pure Math., Vol. 23, D. Spencer Ed., AMS, Providence R. I., 1973.

S u q u о I P. Sur un nouveau cadre fonctionnel pour les equations de la plasticite, C. R. Sci, Paris, 286, serie A, 1978, p. 1129—1132.,

Suquet P. Existence el regularite des solutions des equations de la plasticite, C. R. Acad. Sci. Paris, 286, serie A, 1978, p. 1201—1204.,

Suquet P. Existence et regularite des solutions des equations de la plasticite parfaite, These de 3e Cycle, Universite de Paris, 1978.■

. Suquet P. Un espace fonctionnel pour les equations de la plasticite, Ann. Fac. Sc. Toulouse, 1, 1979, p. 77—87.

Suquet P. Existence and regularity of solutions for plasticity problems, dans Variational Methods in Solid Mechanics, S. Neural Nasser Ed., Pergamon Press, 1980.

Suquet P. Sur les equations de la Plasticite: existence et regularite des solutions, J. Mecanique, 20, 1981, p. 3—39.

Suquet P. Plasticite et homogeneisation, These, Universite de Paris, XI, 1982.

Temam R. Solutions generalisees de certains problemes de calcul des variations, C. R. Acad. Sci. Paris, 271, 1970, p. 1116— 1119.,,

Temam R. Solutions generalisees de certaines equations du type hypersurfaces minima, Arch. Rational Meeh. Anal, 44, 1971. p. 121-156.

Temam R. Existence et unicite de solutions pour des proble- ines du type de Neumann coercifs dans des espaces non reflexifs. G. R. Acad. Sci. Paris. 273, serie A, 1971, p. 609—611.

Temam R. Sur un probleme non lineaire lie aux equations de Maxwell, dans les Actes du Congres d’Analyse Numerique, E. Magenes Ed., Zaniehelli et Academic Press, Rome, 1972.

Temam R. Applications de Fanalyse convexe an calcul des variations, dans Nonlinear operators and the calculus of variations, Lecture Notes in Mathematics, vol. 543, Springer Verlag, 1976.

Temam R. Navier—Stokes Equations. Theory and Numerical Analysis. 2e edition, North — Holland, Amsterdam, New — York, 1979.

Temam R. Mathematical Problems in Plasticity Theory, dans Complementary Problems and Variational Inequalities, R. W. Cottle, F. Gianessi el J. L. Lions, Ed., J. Wiley, New — York, 1980.

Temam R. Mathematical Problems in Placticity, dans Computational Methods in Nonlinear Mechanics, J. T. Oden Ed., North — Holland, Amsterdam, 1980.

Temam R. On the continuity of the trace of vector functions with bounded deformations, Applicable Anal., 11, 1981, p. 291— 302.

Temam A. Existence theorems for the variational problems of plasticity, dans Nonlinear Problems of Analysis in Geometry and Mechanics, M. Atteia, D. Bancel el T. Gumowski, Ed., Pitman, London, 1981.

Tern am R. Approximation de fonctions convexes sur un espace de mesures et application, Cand. Math. Bull., 25, 1982.

Temam R. Some asymptotic problems in mechanics, dans ' Analytic and Numerical Approaches to asymptotic problems in Analysis, O. Axelson, L. S. Frank. A. Vand der Sluis, Ed. North — Holland, Amsterdam, 1981.

Temam R. Calculs of variations, dans Encyclopedia of Systems and Control, Madan Singh Editor, Pergamon Press, ii paraitre.

Temam R., Strang G. Existence de solutions relaxees pour les equations de la plasticite: etude d’un espace fonctionnel. C. R. Acad, Sci. Paris, 287, serie A, 1978, p. 515—518.

Temam R., Strang G. Duality and relaxation in the variational problems of plasticity. J. Mecanique, 19, 1980, p. 493—527.

Temam R., Strang G. Functions of bounded deformation. Arch. Rational Meeh. Anal., 75, 1980. p. 7—21.

Treves F. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Academic Press, New — York, 1967.

Вольперт Л. H. Пространства BV и квазилинейные уравнения // Мат. сб —1967,—Т. 73, № 2,—С. 255—302.

Yang W. П. A generalized von Mises Criterion for Yield and Fracture, J. Appl. Meeh. Tech. Phys., 47, 1980, p. 297—300.

Yang W. H. A useful theorem for constructing convex yield functions, J. Appl. Meeh. Tech. Phys., 47. 1980, p. 301—303.

Yang W. H. Simplified limit analysis of plates, preprint.

Yang W. 11. How to optimally support of plate? J. Appl. Meeh. Tech. Phys., 1981.

Young J. C. Surfaces parametriques generalisees. Bull. Soc. Math. France. 79, 1951, p. 59—85.

Young L. C. Champs vectoriels attaches a une mesure plane. >. Journ. de Math., 35, 1956, p. 345—358.

Young L. C. Generalized curves and the existence of an attai ned absolute minimum in the calculus of variations. C. R. Soc. Sci. et Lettres VArsovie, CI. Ill, vol. 20, 1937, p. 212—235.

Za ran I on ell о E. H. Projections on convex sets in Hilbert spaces and spectral theory, dans Contributions to Non — linear Functional Analysis, E. II. Zarantonello Ed., Academic Press. New —York, 1971.

Foias C., Temam R. Lagrangian representations of a flow. J. Diff. Equal., vol. 57, 3, 1985, p. 440—449.

Bauch J.. Taylor M. Potential and scattering theory on wildly perturbed domains, J. Fund. Anal., vol. 18, 1, 1975, p. 27-59.

158. M о с о л о в П. П„ Мясников Б. П. Вариационные методы и теории течения жестко-вязкопластических сред.— М.: МГУ, 1971.

159*. Ильюшин А. А. Механика сплошных сред.— М.: МГУ, 1978.

160*. Работпов К). II. Механика деформируемого твердого тела.— М.: Наука, 1988.

161*. Седов JI. II. Механика сплошных сред. Т. 1, 2.— М.: Паука, 1983, 1984.

162*. Эдвардс Р. Функциональный апалнз/Пер. с англ.— М.: Мир, 1969.

163*. Гольфа п д И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия пад ними.— М.: Физматгиз, 1961.

6) См. также [163].— Примеч. пер.

29) Оператор 9" выглядит как оператор е, в котором производные 1), заменены умножениями на v,. Оператор 9" возникает также в работах но механике разрушения: см. [1181.

8 р, Темам113

16) Однако в [4] установлено, что для и, пробегающего £7(й), составляющая "fT(u) иробегает все пространство векторов из (/.1(Г))П, касательных к Г. .

то все результаты § 4 могут быть применены также и в случа,

fi = Rn. Если же функция / не удовлетворяет условию (4.8), т

применить эти результаты в случае Q = Rn мы не можем, так ка

разложение (4.10), (4,11) теряет силу, поскольку копстапты и

определяют ограниченных мер па Rn.

соответственно коэффициент Пуассона и модуль Юпга (£ > 0),

е®”” (^’ ^)’ выполняется соотношение 2 ^О’Tij) = 0"

ij=l

Р. ТЕМАМ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕЗАДАЧИТЕОРИИПЛАСТИЧНОСТИ

Перевод с французского

А. И. ШТЕРНА

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

У Т32 ■УДК 517.972/974У Т32 ■УДК 517.972/974PROBLEMES MATHEMATIQUES

У Т32 ■УДК 517.972/974

У Т32 ■УДК 517.972/974

EN PLASTICITE

ROGER ТЕМАМ

Gauthier — Villars

Темам Р. Математические задачи теории пластичности: Пер. с фр.— М.: Паука. Гл. род. физ.-мат. лит., 1991.— 288 с.— ISBN 5-02-014263-8

Исследуется математическая постановка для задач равновесия пластичного тола. Эти модели приводят к интересным математическим задачам нелинейной механики и вариационного исчисления.

Для математиков, механиков, ишкеперов, а также для студентов старших курсов соответствующих специальностей.

Ил. 9. Библиогр. 163 пазв.

Научное издание

ТЕМАМ Роже

Математические задачи теории пластичности

Заведующий редакцией Е. Ю. Ходаи

Редактор А. И. Логинов

Художественный редактор Т. П. Количснно

Технический редактор И. Ш. Лкселърод,

Корректоры Т. С. Родионова, II. В. Румянцева

ИВ № 32658

Сдано в набор 10.11.89. Подписано к печати 23.01.91. Формат 84X108/32.

Бумага типографская № 2. Гарнитура обыкновенная. Печать высокая. Усл печ. л. 15,12. Усл. кр.-отт. 15.12. Уч.-изд. л. 16,01. Тираж 3150 энз.

Заказ № 956. Цена 4 р,

Издательско-производственное и книготорговое объединение «Паука»Главная редакция физико-математической литературы

117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15

Четвертая типография издательства «Паука»630077 Новосибирск, 77, Станиславского, 25

т 1602110000-025 зз-до053(02)-!)!ISBN 5-02-014263-8т 1602110000-025 зз-до053(02)-!)!ISBN 5-02-014263-8© Bordas, ^rja,U^83.

т 1602110000-025 зз-до053(02)-!)!

ISBN 5-02-014263-8

т 1602110000-025 зз-до053(02)-!)!

ISBN 5-02-014263-8

Фп шатлит, а русский язык, ис переводчика, 1991

45(и)И 12 32 58 71 ОО45(и)И 12 32 58 71 ОО104124139153170184192216104124139153170184192216

45

(и)

И 12 32 58 71 ОО

45

(и)

И 12 32 58 71 ОО

104

124

139

153

170

184

192

216

104

124

139

153

170

184

192

216