ГЛАВА I

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

Основные термодинамические соотношенияв газовой динамике

Термодинамические соотношения и понятия входят значительной составной частью в большинство газодинамических исследований. В систему уравнений, описывающих движение и свойства средй, входит уравнение состояния среды, являющееся одним из основных термодинамических уравнений; поэтому настоящую главу целесообразно начать с изложения основных термодинамических соотношений, используемых в дальнейшем.

В термодинамике при постоянном числе частиц обычно используются четыре независимые переменные, характеризующие состояние среды: давление р, удельный объем v, температура 7, энтропия S. При этом четыре независимых дифференциальных соотношения определяют четыре основные термодинамические функции Е, j, F, Ф, где Е ——внутренняя энергия среды, Z ——ее теплосодержание (энтальпия), F — свободная энергия, Ф — так называемый термодинамический потенциал. При известном уравнении состояния любые две переменные, выбранные из числа зависимых и независимых переменных, полностью определяют состояние среды, а следовательно, и все остальные переменные. Здесь понятие зависимых и независимых переменных, конечно, условно. Любые переменные можно выбирать и как зависимые, и как независимые.

В газовой динамике обычно пользуются двумя функциями —— внутренней энергией Е и теплосодержанием %. Независимые переменные р, V, 7, S и потенциалы Е, %, F, Ф связаны между собой следующими дифференциальными соотношениями (термодинамическими тождествами):

dE = Т dS — р dv;成=Т dS -\- vdp; )“ 公

dF = -S d7 — 夕 dv; d①=-S d7 + Ndp^('丿

все эти функции определены как рассчитанные на единицу массы среды. Первое соотношение (1.1) является термодинамическим тождеством, описывающим непосредственно закон сохранения энергии. Остальные соотношения (1.1) являются следствиями

термодинамического тождества и следующих формул, определяющих теплосодержание, свободную энергию и термодинамический потенциал:

I = Е + ру; F = Е - TS; Ф = i - TS.(1.2)

7=(翁]；p =/ dE)s (Для E),，7=急；v =僚s(Для Z),s=_(歙 P =/ dF /)т (Для 尸)，；S = _ Kp； v =I 8p Jt(Для Ф);,7=(翁]；p =/ dE)s (Для E),，7=急；v =僚s(Для Z),s=_(歙 P =/ dF /)т (Для 尸)，；S = _ Kp； v =I 8p Jt(Для Ф);,Из тождеств (1.1), определяющих Е,力 尸，①，имеем соответственно:Из тождеств (1.1), определяющих Е,力 尸，①，имеем соответственно:(1.3)(1.3)

7=(翁]；p =

/ dE

)s (Для E),，

7=急；v =

僚s

(Для Z),

s=_(歙 P =

/ dF /

)т (Для 尸)，；

S = _ Kp； v =

I 8p Jt

(Для Ф);,

7=(翁]；p =

/ dE

)s (Для E),，

7=急；v =

僚s

(Для Z),

s=_(歙 P =

/ dF /

)т (Для 尸)，；

S = _ Kp； v =

I 8p Jt

(Для Ф);,

Из тождеств (1.1), определяющих Е,力 尸，①，имеем соответственно:

Из тождеств (1.1), определяющих Е,力 尸，①，имеем соответственно:

(1.3)

(1.3)

индексы внизу указывают, что соответствующие величины предполагаются постоянными. Пользуясь указанными соотношениями, можно без труда переходить от одной пары независимых переменных к другой. Система этих соотношений является полной; всякий новый введенный потенциал будет зависеть от прежних, потенциалы же Е, Z, F, Ф являются независимыми в смысле их выражения через переменные р, v, Z, S.

Часто первое соотношение (1.1) записывают в виде

dE = dQ + dA,(1.4)

где dQ —Т dS —— элементарное количество тепла, dA= ——pdv —— элементарная работа.

В случае переменного числа частиц к правым частям термодинамических тождеств прибавляется член 卩 dN, где 卩——химический потенциал, N ——число частиц. Например,

dE = Т &S — р dv + 卩 dN,(1.5)

причем

n=(器)SM

Поскольку

dФ = —S dT + v dp + n dN,

то, дифференцируя по ^ это выражение, придем к следующей зависимости:

откудаоткудаФ =心,Ф =心,(1.6)(1.6)

откуда

откуда

Ф =心,

Ф =心,

(1.6)

(1.6)

Отсюда следует, что химический потенциал среды, состоящей из одинаковых частиц, есть термодинамический потенциал, отнесенный к одной молекуле (частице).

При отсутствии источников выделения или поглощения тепла движение среды является адиабатическим^ если при этом в среде отсутствуют диссипативные явления, то энтропия данной частицы постоянна: dS/dt = 0. В случае постоянного числа частиц имеем

(1.7)(1.7)

(1.7)

(1.7)

где

преобразуя с помощью термодинамических соотношений величину (дЕ/ду)Т, можно термодинамическое тождество написать в виде, более удобном для использования в системе уравнений газовой динамики. Поскольку из первого равенства (1.1) имеем

а

то

иитт82少82少= — 3F= — 3Fу—，у—，следовательно,следовательно,что даетчто даетdE = с/Т + ТdE = с/Т + Тааdv — pdv = TdS — pdv,dv — pdv = TdS — pdv,dS = “d In Т +dS = “d In Т +dv.dv.(1.8)(1・9)(1.10)(1.8)(1・9)(1.10)

и

и

т

т

82少

82少

= — 3F

= — 3F

у—，

у—，

следовательно,

следовательно,

что дает

что дает

dE = с/Т + Т

dE = с/Т + Т

а

а

dv — pdv = TdS — pdv,

dv — pdv = TdS — pdv,

dS = “d In Т +

dS = “d In Т +

dv.

dv.

(1.8)

(1・9)

(1.10)

(1.8)

(1・9)

(1.10)

Таким образом, уравнение адиабатичности движения принимает вид

с、•督+ [噜I 备=3(Е)

Соотношение (dS/dv)r = (&p/@T)v можно написать в виде &(Т; S)/&(7; у) = 3 3 v)/& (7; v),

откуда следует удобное для запоминания и полезное для ряда выкладок тождество

a(T；s)

a(p,vr_

связывающее основные термодинамические параметры 7, S, р, v.

Применяя полученные соотношения, выведем тождество, которое будет использовано в дальнейшем. Будем исходить из тождества

Раскрывая якобианы и используя соотношениеРаскрывая якобианы и используя соотношениеи равенствои равенство

Раскрывая якобианы и используя соотношение

Раскрывая якобианы и используя соотношение

и равенство

и равенство

工 в（р；т）a（v；s）т — а（V； S）а（V； г） *工 в（р；т）a（v；s）т — а（V； S）а（V； г） *

工 в（р；т）a（v；s）

т — а（V； S）а（V； г） *

工 в（р；т）a（v；s）

т — а（V； S）а（V； г） *

придем к соотношению

(1.13)(1.13)

(1.13)

(1.13)

Под уравнением состояния среды обычно понимают соотношение, связывающее какие-либо три из четырех независимых переменных;

夕，V, Т, S.

Уравнение состояния, связывающее 夕,v, S или р, S, Т, является при постоянном S уравнением изэнтропы.

Для целей газовой динамики удобно пользоваться уравнением состояния вида р =夕(р, S) или вида S = S (夕，р), однако мы часто будем использовать и уравнение состояния вида р=р (v,T) и вида 7 = 7 (р, S).

Зная уравнение состояния вида р — р (у, •Г), легко определить уравнение состояния вида р = р (n, S) и при S = const уравнение изэнтропы. При этом мы сделаем одно замечание, касающееся условий адиабатичности движения. Среда, в которой отсутствуют теплообмен и источники выделения или поглощения тепла, совершает адиабатические движения, но в случае учета диссипативных сил, например сил вязкости, энтропия каждой частицы среды будет увеличиваться со временем вследствие того, что часть механической энергии среды (энергии ее направленного

движения как целого) перейдет в тепловую энергию хаотического движения молекул, что будет свидетельствовать о необратимости процесса движения среды в целом. Движение среды в этом случае не будет удовлетворять условию постоянства энтропии частицы dSIdt = 0, но, поскольку мы условились не учитывать никаких диссипативных ^процессов, действующих в среде, то под адиабатичностью движения будем понимать именно движения, для которых dS/dt = 0. Движения, для которых S = S° = const, причем постоянная S。везде одна и та же, мы дальше называем изэнтропическими.

Займемся рассмотрением основных видов уравнения состояния для газов, жидких или твердых тел. Рассмотрение начнем для идеального газа. Идеальным газом называют такую среду, в которой отсутствуют внутренние силы взаимодействия между молекулами и можно пренебречь влиянием собственного объема частиц, т. е. для которой внутренняя энергия не зависит от объема при постоянной температуре: (dEldv)T = 0; отсюда из (1.7) следует, что

dE — c^dT,

где % постоянно, что и имеет место для строго идеального газа; интегрируя, получим

Е = с",(1.14)

при этом из соотношения (1.8) видим, что

7 (耨V =Р， откуда

Р = T/(v),(1.15)

где /(у)——произвольная функция удельного объема. Обычно в более строгом классическом понимании идеальным газом является газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона

〃v = ЕТ,(1.16)

т. е. газ, для которого функция /(v) в уравнении (1.14) равна E/v, где

R = ср — %(1.17)

—универсальная газовая постоянная.

Для идеального газа, подчиняющегося уравнению Клапейрона (1.16), имеем

Используя формулы (1.14), (1.16) и (1.17), получим следующее выражение внутренней энергии:

Е = *г，(1/8)

где к = ср1сч — 1 + R/cv есть так называемый показатель степени изэнтропы; при вычислении (-dpldy)s пользуемся равенством (1.9); положив в этом равенстве dS =0, находим (8Tl8y)s； уравнение изэнтропы Пуассона получается интегрированием выражения (—3p/dv)s = кр/у, что дает

P# = o(S),

откуда мы получаем уравнение Пуассона цри S = const, р/р* = о = const. Уравнение состояния, связывающее непосредственно значение энтропии, удобнее написать, пользуясь соотношением

dS = cvd in Т + (~f^) dv = cvd In T + Rd In v = cvdln pv* (1.19) откуда

S-So

4=pv』k=o(S),(1.20)

p

где So ——некоторое начальное значение энтропии, функция о = o(S) выражает некоторое относительное изменение энтропии.

У равнение адиабатичности (изэнтропичностй) движения dS/dt = 0 при этом примет весьма простой вид

嘗=d 号广)=°> или Р =叩匕(I-21)

ИЛИ

-^— (pvK) + 力• grad (卩炉)=0.(1.22)

В случае, когда среда не является газом, а по своим свойствам скорее приближается к твердым или жидким телам, уравнение состояния среды можно написать в виде

Р ^ф(у) +0(n/(v),(1.23)

где Ф (V)описывает потенциальную компоненту давления, возникающую благодаря силам взаимодействия частиц среды, а член 0(Г) / (у) описывает тепловую компоненту давления, возникающую за счет движения частиц.

Для решения ряда задач (в диапазоне давлений до 109 кМсм? и температуре до 106 градусов) и притом с большой точностью можно принять 0(Г) = 7; тогда уравнение (1.23) принимает более

простой вид

Р =O(v) + T/(V)・(1.24)

В этом случае

(諾)v = "V)；

dE = TdS — pdv = cvdT — pdv + 7/ (v) dv = cvdT — Ф (v) dv.

Отсюда, считая cv не зависящим от температуры, получаем

Е = суТ — \ ①(V)dv;Е = суТ — \ ①(V)dv;(1.25)(1.25)

Е = суТ — \ ①(V)dv;

Е = суТ — \ ①(V)dv;

(1.25)

(1.25)

если Cv зависит от Т, нужно писать

Е = \ cydT — Ф(V)dv

или брать среднее значение cv = су в данном рассматриваемом интервале температур. Далее из выражения дифференциала энтропии: dS = c\d (In Т) + /(v)dv имеем

(1.26)

Исключая из (1.21) и (1.23) температуру Т:

Т =与器"=а(V)р 一 В(V),

где а = 1//; В =①//, придем к уравнению состояния вида

= m [ ар _ В] + 专 у(V)dv,(1.27)

которое для дальнейшего использования удобнее написать в виде ?^ ———f / (v)dv

р = ф^)+/е Cv ^ Cv .(1.28)

Для большинства типичных жидких и твердых тел (вода, металл) тепловая компонента давления при обычных условиях, т. е. не очень высоких температурах, значительно меньше, чем потенциальная Tf (v)/O(v)戈 1, и в процессе движения среды температура мало изменяется, а поэтому, как показывает соотношение (1.26), изменение энтропии в процессе движения среды также не должно быть значительным. В случае совершенно несжимаемых сред энтропия всегда постоянна при постоянной температуре. Это обстоятельство объясняется тем, что, рассматривая несжимаемую среду, находящуюся до начала движения в состоянии теплового равновесия, т. е. имеющую везде одинаковую энтропию, мы не

можем совершить над ней никакой внешней работы, так как —\р dv = 0, поскольку dv = 0. Так как при этом Е тЕ(Т), то dE = dQ =Т dS = Су dT; таким образом, в случае адиабатических движений внутренняя энергия остается везде постоянной, остается постоянной также температура среды и ее энтропия. Если несжимаемая среда до движения не находилась в тепловом равновесии, то условие адиабатичности движения примет вид

—^- = -^——F 力• grad 后=0 или -^- = f - -h v• grad Т = 0.

(1.29)

Из этих рассуждений следует, что с большой степенью точности в случае малосжимаемых тел при чисто адиабатических процессах можно пользоваться уравнением состояния вида

Р =①(V),(1.30)

которое будет одновременно выражать уравнение адиабаты, поскольку S = const.

В случае сильно сжатых газов (таких как, например, продукты детонации) и для твердых и жидких тел при весьма больших давлениях пренебрегать изменением энтропии уже нельзя. Поскольку условие изэнтропического движения мы можем написать в виде dS/dt = 0, то отсюда следует, что

В огромном большинстве задач газовой динамики уравнение состояния можно написать в значительно более простом и удобном для использования виде, чем (1.28), полагая, что

p=A{S)F(vl (1.32)

где F(v) обычно задается в виде, рекомендованном еще Тетом:

歹(V)= v~n — v；n = pn — po； (1.33)

здесь n —— показатель политропы, v0 —— начальный удельный объем среды, р0 — ее начальная плотность. Начальная плотность выбирается так, что при р = р0 давление также равно начальному, которое часто принимают за нуль.

Поскольку заметное макроскопическое движение среды внутри твердых и жидких тел или весьма плотных газов ввиду их малой сжимаемости может происходить лишь при весьма высоких давлениях, порядка сотен тысяч атмосфер, то вполне допустимо пренебрегать начальными давлениями, порядок которых в обычных условиях не превосходит нескольких к21c储.Эти сообра-

жения применимы, например, к воде на глубине 10 км; даже при давлениях порядка 1000 кг!см2, такое пренебрежение еще вполне допустимо.

Итак, мы в дальнейшем при решении ряда задач будем пользоваться уравнением состояния вида

p=A(S) (р--р^).(1.34)

В этом случае условие адиабатичности движения примет сравнительно простой вид

=0.(1.35)

Уравнение политропы при этом есть

”/g — p?,(1.36)

где 4 = const. Назовем это уравнение уравнением обобщенной изэнтропы.

Для исследований и преобразований уравнений газовой динамики снова необходимо ввести весьма важную величину, позволяющую легко устанавливать физический смысл решений уравнений, а именно местную скорость звука с. Квадрат звука определяется как частная производная давления ности при постоянной энтропии:

Часто пользуются также величиной

嗇)S = P2(%)S = PV'

причем величина рс = К

называется акустическим импеданцем.

В заключение следует еще отметить соотношение di = Т dS + у dp = Т dS + c2dlnp при

скорости ПО ПЛОТ-(1.37)(1.38)(1.39)(1.40)скорости ПО ПЛОТ-(1.37)(1.38)(1.39)(1.40)S = const,]成=С2d In p, J

скорости ПО ПЛОТ-

(1.37)

(1.38)

(1.39)

(1.40)

скорости ПО ПЛОТ-

(1.37)

(1.38)

(1.39)

(1.40)

что для идеального газа дает следующее выражение теплосодержания:

1 Т=л1 Т=лкЕ.кЕ.(1.41)(1.41)

1 Т=л

1 Т=л

кЕ.

кЕ.

(1.41)

(1.41)

Следует также привести полезное для дальнейшего преобразова

ние

-^- = Mag р —-^- = Mag р —др dSдр dSdSdSРР22к — 1к — 1cdccdcc4S"(А—1)с[c4S"(А—1)с[(1.42)(1.42)

-^- = Mag р —

-^- = Mag р —

др dS

др dS

dS

dS

Р

Р

2

2

к — 1

к — 1

cdc

cdc

c4S"(А—1)с[

c4S"(А—1)с[

(1.42)

(1.42)

при этомпри этом

при этом

при этом

S—So

(1.43)(1.43)с2 = ке % pk-i.

(1.43)

(1.43)

Аналогичные преобразования имеют место и для произвольного уравнения состояния.

В дальнейшем по мере надобности мы будем приводить некоторые дополнительные сведения из термодинамики.

Основные уравнения газовой динамикив форме Эйлера

Ряд макроскопических явлений, происходящих при движении какой-либо среды, может быть изучен методами гидродинамики или газовой динамики. При этом данная среда рассматривается как сплошная, т. е. считается, что любой малый ее объем содержит еще весьма большое количество молекул.

Поэтому, говоря о бесконечно малом объеме среды, мы должны считать этот объем достаточно малым только по сравнению со всем объемом, который занимает рассматриваемая среда (или ее конечная часть), но одновременно допускать, что он достаточно велик по сравнению с расстояниями между молекулами, образующими данную среду.

В этом же смысле следует рассматривать в гидродинамике понятие частиц; говоря, например, о перемещении какой-либо фиксированной частицы жидкости на некоторое расстояние с течением времени, мы должны понимать, что речь идет не о смещении отдельной молекулы, а о смещении некоторого фиксированного объема среды, содержащего достаточно много молекул, но весьма малого по сравнению с объемом, занимаемым средой.

Для математического описания состояния движущейся среды необходимо воспользоваться известными законами сохранения количества движения (импульса), массы и энергии, а также уравнением состояния данной среды. Законы сохранения и уравнения состояния дают возможность в самом общем случае пространственных (трехмерных) движений среды получить шесть основных уравнений гидродинамики (газовой динамики); три (по числу из-

мерений)4 уравнения движения среды дает закон сохранения количества движения и по одному уравнению дают законы сохранения массы и энергии, шестым уравнением является уравнение состояния среды.

Указанные шесть основных уравнений определяют шесть искомых величин, характеризующих движение и состояние среды: три компоненты скорости, плотность, давление и энтропию или температуру среды.

При этом пространственные движения среды можно изучать двумя методами.

Во-первых, принципиально можно для каждого фиксированного момента времени определять распределение шести основных параметров как функций каких-либо трех пространственных координат, т. % распределение этих параметров в пространстве, или, что равносильно, для каждой заданной точки в пространстве определять зависимость указанных шесхи параметров от времени (их распределение по времени).

Во-вторых, можно для каждой фиксированной частицы определять ее движение, а также для любого фиксированного момента времени определять плотность, давление и энтропию или температуру для этой частицы.

Первый метод носит название метода Эйлера, второй ——метода Лагранжа.

Перейдем к выводу основных уравнений гидродинамики (газовой динамики) в форме Эйлера и в форме Лагранжа. При этом уравнения в форме Эйлера мы сначала будем искать в векторной форме, а затем перейдем к обычной координатной форме записи уравнений для прямоугольной, сферической и цилиндрической систем координат. Особое внимание будет обращено на уравнения, определяющие движение и состояние, зависящие от одной пространственной координаты, т. е. на одномерные движения среды, и движения, обладающие цилиндрической и сферической (центральной) симметрией. Эти уравнения описывают так называемые плоские, цилиндрические и сферические волны.

Вывод основных уравнений газовой динамики начнем с уравнения, характеризующего закон сохранения количества движения.

Для этой цели используем второй закон Ньютона, считая, что среда не подвергается воздействию внешних сил; рассмотрим некоторый объем среды V; обозначая давление, действующее в среде, через 夕，можно силу, действующую на поверхность / выделенного объема среды, написать в виде интеграла — §р df, взятого по поверхности / рассматриваемого объема ).

Теорема Остроградского — Гаусса позволяет заменить этот интеграл интегралом по объему

—§ grad pdV.

Последнее выражение показывает, что на каждый элемент объема среды dV действует со стороны среды, его окружающей, сила ——grad р dV, отсюда на единицу объема среды действует сила —grad р, а на единицу массы среды —— сила —(1/р) grad 夕，где р — плотность.

Величину данной силы мы вправе приравнять значению ускорения этой единичной массы, равного dv/dt, где 力 ——скорость, t ——время; таким образом, можно утверждать, что

黑+ 2gradp = 0・(2.1)

Здесь производная dvldt ——ускорение заданной, передвигающейся в пространстве частицы среды. Для того чтобы определить ускорение частицы среды, находящейся в заданной точке пространства, характеризующейся какими-либо координатами ж. (где 力 =1,2,3), следует представить величину дифференциала dv в виде

з

Далее, очевидно,

зdv 8ь у dv dxi

2=1

Первый член правой части этого выражения определяет изменение скорости в данной точке пространства по времени, второй ——изменение скорости при переходе от данной точки пространства к точке, удаленной от нее на расстояние dr, пройденное за время dt рассматриваемой частицей.

Поскольку

зз

S 誤 =(协▽)& и£ 器卷=(4гv)力 i=l2=1'

и так как производная drldt = v, то окончательно можно написать

dv dv . z卞=丁+ (&▽)&♦

Следовательно, уравнение (2.1) представляется в виде

繁 + QV)力 + 春 grad p = О.(2.2)

Уравнение (2.2) является искомым уравнением движения жидкой среды; оно называется также уравнением Эйлера.

Это уравнение, если написать его в координатной форме, что будет сделано ниже, дает три уравнения движения соответственно трем пространственным координатам.

В том случае, когда среда подвергается воздействию внешних сил, например находится в поле тяжести, на каждую единицу массы действует сила тяжести д; эта величина должна быть прибавлена при определении силы, действующей в среде, к величине —1/р grad р, поэтому в данном случае уравнение (2.2) примет вид

需 + (&▼) & + 4" g^d Р =夕・ (2・3)

При выводе уравнения движения (2.2) мы не учитывали диссипативные силы ——силы вязкости, которые могут действовать в движущейся среде; в ряде случаев при движении газов или жидкостей (и даже среды внутри твердых тел) влияние этих сил может быть действительно несущественным.

Классическая газовая динамика занимается изучением таких движений газовой среды, в которых можно пренебречь диссипативными процессами, связанными с действием сил вязкости и теплообмена в газе. Последующие уравнения мы также будем выполнять без учета этих сил.

Перейдем к выводу уравнения, выражающего закон сохранения массы. Рассмотрим снова некоторый объем пространства V. Масса среды в этом объеме есть \р dV, где интеграл берется по

V

всему объему V. Через элемент df поверхности /, ограничивающей этот объем, за единицу времени протекает масса среды dm = =pv-df, причем вектор df равен по величине площади элемента поверхности df и направлен по внешней нормали к этой поверхности, а знак «указывает, что произведение векторов v п df является скалярным. Отсюда следует, что величина dm положительна, если среда вытекает из объема, и отрицательна, если среда втекает в него.

Полная масса жидкости, вытекающая из объема V за единицу времени, равна ^pv-df. где интеграл берется по всей поверхности /, ограничивающей объем V.

То же изменение (уменьшение) массы среды в рассматриваемом объеме за единицу времени иначе можно выразить в виде

Приравнивая оба выражения, определяющие секундный расход среды через поверхность /, придем к соотношению

jjpdV + Qp仅" = 0・

Интеграл по поверхности на основании теоремы Остроградского — Гаусса преобразуется в интеграл по объему jdiv pv dV; поэтому мы приходим к следующему уравнению, выражающему закон сохранения массы:

、(窑 +divp#dV = 0.

Так как это выражение имеет место для любого произвольно заданного объема V, то подынтегральное выражение должно равняться нулю, т. е.

-^-+divp& = 0・(2.4)

Мы получили так называемое уравнение неразрывности. Велиии- на р& = ^ носит название плотности потока среды.

Остается вывести уравнение сохранения энергии. В этом параграфе будет рассмотрен простейший случай, когда в среде отсутствуют источники выделения или поглощения тепла вследствие протекания каких-либо химических реакций в рассматриваемой среде. Заметим также, что мы пренебрегаем теплообменом между отдельными частями среды и соприкасающимися с ней телами.

Отсутствие источников выделения или поглощения тепла и отсутствие теплообмена означают, что движение среды происходит адиабатически, т. е. энтропия S каждой частицы жидкости при ее движении остается постоянной ), что в данном случае и будет выражать закон сохранения энергии.

Обозначая энтропию, отнесенную к единице массы среды, через S, выразим условие адиабатичности движения в виде

挈=Т警=。，(2.5)

где Q — количество тепла, Т — температура. Здесь, как уже указывалось, полная производная энтропии по времени обозна-

чает изменение энтропии данной перемещающейся в пространстве частицы.

Поскольку

ds as I等盼仆 ds

условие адиабатичности движения в форме Эйлера можно написать в виде

萼 + 仅 gradS = O・(2.6)

Это уравнение, используя уравнение неразрывности (2.4), можно написать в виде

$(pS) + div(pS&) = 0,(2.7)

где произведение pSv = Jx носит название плотности потока энтропии.

При изучении движения среды в газовой динамике весьма большой теоретический и прикладной интерес представляют такие случаи, когда в некоторый начальный момент энтропия была одинакова для всех частиц. Тогда при условии адиабатичности процесса она останется постоянной в течение дальнейшего движения среды и

S = So = const,(2.8)

где SQ — начальное значение энтропии.

Связывая давление, плотность и энтропию с помощью уравнения состояния вида

Р = Р(Р, Т),(2.9)

или равносильного ему уравнения состояния

р =，(Р，S),(2.10)

придем к замкнутой системе уравнений

(241)(241)窑 +(^V)^+-ygradp-0,等+ divp& = 0, 萼 +&・gradS = O, p = p(p, S),

(241)

(241)

определяющей при заданных начальных и граничных условиях параметры 也夕，р и 5, характеризующие движение и состояние газа как функции от г и L

Поскольку на основании (2.10) можно написать

grad Р =謂 grad р + 翡 g^d S，

то система уравнений (2.11) сводится к трем уравнениям, определяющим три параметра: &, р и S.

Аналогично с помощью уравнения состояния вида

S = 5(，Р)(2.12)

можно исключить энтропию из уравнений (2.11) и прийти к системе трех уравнений, определяющих 力，夕 口 р.

Перейдем теперь от векторной формы уравнений газовой динамики, которая удобна для краткого написания этих уравнений, к координатной форме, удобной для их исследования и решения.

В прямоугольной системе координат 力，沙,z эти уравнения имеют вид

ди .ди .

p +"矿+" dv .dv .

dw . dw , F + "右 +"

ди , —4-" + IV

dv .

dw .

可+少

8〃1

dz 十 p

珈1

~dz 十 V

也 дх

8" дР dz

=о；

=0；

=0；

dw

др

+ 〃石

+ v -

ар 1

-о—(- ip - 勿

繁+P*

,dv

+ -

div \ dz丿

=0；

=0；

ар 万7

as 、 ds . os . as

S = S (p, p) или p = p (p, S);

. (2.13)

первые три из этих уравнений суть уравнения движения, четвертое —уравнение неразрывности, пятое — уравнение энергии, шестое ——уравнение состояния; и, о, w означают проекции скорости о на оси х, у, z соответственно.

В дальнейшем эти уравнения будут использоваться в различных формах. Полагая в (2.13) ip = 0 и считая равными нулю все частные производные по z, получим уравнения плоского движения:

ди衣dvди衣dv+ и+ и+ 〃+ 〃ди ди . i др с，鈿丄力8"亠1 дР nди ди . i др с，鈿丄力8"亠1 дР nдр .5р. др. dv \as ,ds , dsдр .5р. др. dv \as ,ds , ds=о,=о,=0.=0.(2.14)(2.14)

ди衣dv

ди衣dv

+ и

+ и

+ 〃

+ 〃

ди ди . i др с

，鈿丄力8"亠1 дР n

ди ди . i др с

，鈿丄力8"亠1 дР n

др .5р. др. dv \

as ,ds , ds

др .5р. др. dv \

as ,ds , ds

=о,

=о,

=0.

=0.

(2.14)

(2.14)

Приравнивая в этих уравнениях нулю компоненту скорости v и частные производные по у, придем к трем уравнениям одномерного движения.

При решении различных задач членам, выражающим проек- 1 др 1 др 1 др

ции градиента давления —,万придают различ

ную форму. При изэнтропическом (политропическом) течении идеального газа по формуле (1.42) имеем

-^ = c41np = di,(2.15)

для идеального газа теплосодержание i выражается формулой (1.18):

z =名=尼氏(2.16)

Используя формулу для скорости звука dp/dp = с?, можно выра- 1 др

зить член^-в следующих видах:

р дхр дхaf _ 1 dp aе一р арaf _ 1 dp aе一р ар曳дх曳дх= *2^ = »"tmp・= *2^ = »"tmp・(2.17)(2.17)

р дх

р дх

af _ 1 dp aе一р ар

af _ 1 dp aе一р ар

曳дх

曳дх

= *2^ = »"tmp・

= *2^ = »"tmp・

(2.17)

(2.17)

Далее, с помощью формулы (2.16) можно получить

(2.18)(2.18)1 др р dz1 др р dz1 др — 8Z — 2 дс р дх — дх — к — 1 С дх

(2.18)

(2.18)

1 др р dz

1 др р dz

Аналогично могут быть выражены члены — -g~ и

Различные формы можно придать также уравнению неразрывности. Четвертое уравнение системы (2.13) может быть после деления обеих частей на р выражено в виде

а 】. а 】. д ,а ]. ди . dv .

+ 罂=0.(2.19)

Уравнение неразрывности можно выразить не только через плотность р, но и через скорость звука с, через теплосодержание г и через давление р. Используя формулы (2.15),г(2.16) и с? = * = =oApk-i, легко получить следующие три формы уравнения неразрывности:

дс . дс . дс . дс . к — 1 f ди , Эу , bw \「

k +厶毎+ ”丽+”后+ -^—外右+丽+方卜a

(2.20)

di . di . di ./ ди . dv , dw \ n

文 + "毎+屮+屮+。号+可+石丿=°，

(2.21)

*+"需+畸+。若+р戍*+晋+乘)=。■

(2.22)

В сферической системе координат г; ф； 0, где г ——радиус-вектор, ф ——угол в плоскости ху, 0 ——угол в плоскости, проходящей

Рис. 1.

через ОМ' и вектор г (рис. 1), уравнения газовой динамики имеют вид

диди.Vди wdu v2 + w2 1 др 八 )

8沙I ,, 8。Iоdv( wdvI uv ,vw ctg 0(

jat 卜 ' r sin 0 5ф 'г89 ' гг

丄一二=0；

'pr sin 0 5(p

dw , dw . о dw . wdw . uw v2 ctg 0

8卩 8p ；。 5р w5p у' @〃1 dv

冇十，sffiT同十Е子ПН百再+

+ —-^-+ —+ —ctge) = o；

8SdS ydS wdS c

dt 十"8rT r sin 08(p"^ r50~ —，

S= S(p, p) или p = p(p, S)；

(2.23)

здесь 〃； о; ip ——компоненты скорости по направлениям г; ф； 0.

В цилиндрической системе координат г; ф； z, где г ——радиус- вектор в плоскости г(р, ср —— угол в этой плоскости, z —— высота, уравнения газовой динамики имеют вид

ди . ди , к 十" k +

v ди .ди

-—+ г 1

1

V

勿 dr

=о；

у dv .dv .

公+ ” а~Г '

гdz

uv .

十

1

pr

др а(р

=0；

dw .

~дг + и'

дш . V dw .

丁 +丁麻+必

<+

1 V

Зр dz

=0；

〃曳丄上

-- + P

等+

1 8〃

+勺

dz

=0；

dz

=0；

S = S(p, р) или р = р(р, S);

(2.24)

здесь u, V, w ——проекции скорости на направления г, ф, z.

В случае одномерных движений, а также движений с осевой (цилиндрической) и центральной (сферической) симметрией все параметры среды зависят от одной пространственной координаты и уравнения газовой динамики имеют вид

ди . ди 1 др с

(2.25)(2.25)文 ++ 不 患=0；雾+等+ * = 0；dt ' or 1 r or r

(2.25)

(2.25)

dS . dS a

F =°；

S = S (p; p) или p = p (p; S),

где ^ = 0 для одномерных движений, TV = 1 для движений с цилиндрической симметрией и ^ = 2 для движений со сферической симметрией. Эти уравнения могут быть получены из (2.23) и (2.24). Иногда все три указанных типа течений называют одномерными.

В уравнениях (2.23), (2.24) и (2.25) также будут меняться и число измерений, и члены, выражающие проекции градиента давлений. Напишем, например, уравнения плоского движения в полярных координатах. Для этого положим в уравнения (2.24) w = 0; положим также равными нулю все производные по z; далее положим и = щ V = W； ф = 0в

• Тогда из• Тогда изЧлены -^--架 и -^翁 возьмем в форме (2.18) уравнений (2.24) получим

• Тогда из

• Тогда из

ди , ди . w ди2с八

dw , dw . w dw . uw t 2 сc

(2.26)(2.26)丁 + “丁+tf + k + ^=T▼毎=°； 筈十"岑十子备十P缁需++)=6

(2.26)

(2.26)

Последнее уравнение можно также написать в виде

备 + 4"(?咽十嗡 8妨]=0,(2。27)

В тех случаях, когда параметры, определяющие движение и состояние среды, зависят от времени, движение среды называется неустановившимся (или нестационарным). В самом общем случае пространственных неустановившихся течений мы имеем систему шести уравнений, определяющих шесть искомых параметров р, р, S, 〃，V, w как функций трех пространственных координат и времени.

Если эти параметры не зависят от времени, то движение среды называют установившимся (стационарным); при этом производные указанных параметров по времени обращаются в нули и система уравнений, описывающая установившиеся движения, заметно упрощается, поскольку искомые параметры зависят только от трех пространственных координат.

Систему шести уравнений, как уже указывалось, легко свести к системе пяти уравнений, определяющих р, р, u, г, w или р, S, 〃, г, ip, используя уравнение состояния в той или иной форме.

Пользуясь уравнениями движения в прямоугольной системе координат, легко перейти к уравнениям, определяющим движение среды в форме Лагранжа, чему посвящен следующий параграф.

Основными начальными и граничными условиями при использовании уравнений газовой динамики в форме Эйлера соответственно являются заданное распределение скорости и параметров среды в начальный момент, т. е. при ^ = 0, и распределение скорости и параметров среды во времени на заданной поверхности.

В частности, на твердой неподвижной' стенке нормальная составляющая скорости vn должна быть тождественно равна нулю для любого момента времени. На границе двух непер емешив аю - щихся сред должны быть равными нормальные к границе компоненты скорости и давления для обеих сред.

Основные уравнения газовой динамикив форме Лагранжа

Уравнения газовой динамики, написанные в форме Лагранжа, выражают движение каждой индивидуальной частицы. Решения этих уравнений определяют координаты и параметры состояния этой частицы для любого момента времени 厶 начиная от некоторого начального момента /0, выбранного условно.

Обычно в лагранжевом представлении пользуются прямоугольной системой координат (другие системы координат менее удобны) и задают для момента начала движения 力=0 значения начальных координат какой-либо частицы в виде 力° = а, Уо =仇 z° = с, причем текущие координаты частицы 力,у, z будут являться функциями времени t и начальных значений координат а, Ь, с.

Уравнения движения в форме Лагранжа при отсутствии внешних сил имеют следующий вид:

Нм —д2х—1 8рdv —@2^—1 др •

dt —力2—pa”’dt —a 伊—Р八

dw — J?% —1 др' * '

dt — dt2 — p 8z •,

Эти уравнения аналогичны уравнениям Эйлера. При дифференцировании параметры а; Ь; с следует считать постоянными. При наличии поля тяжести в правой части уравнений (3.1) должна стоять величина проекции ускорения g на соответствующую координатную ось.

Необходимо заметить, что производная от любой функции координат и времени по времени для заданной частицы равна

dF dF , dF , dF , dF/ 8尸、

где F =歹(力,у, z, t) — любая функция. В частности, например, для функции 〃(力,у, t) имеем

d〃 ди . ди ди 8〃/ ди \

寸 +6, с.

Вывод уравнения неразрывности в форме Лагранжа отличен от вывода его в форме Эйлера. Пусть в начальный момент времени плотность некоторой фиксированной частицы есть р0; тогда масса среды, содержащаяся в элементарном объеме d% = da db de этой частицы, есть dm = р0 da db de; в некоторый момент времени t эта же масса будет определяться соотношением dm = —р dx dy dz, где р ——текущая плотность в окрестности заданной частицы. Следовательно,

Ро da db de = pdx dy dz.(3.2)

Так как 力=/(〃，b, с, %), у =歹(а, Ь, с,力，z = z (а,仇 с,力),то

厶=篇责+寫前十祭厶+警戒;

аналогично выразятся dy и dz.

Заменяя в соотношении (3.2) значения dx, dy, dz с помощью только что написанных выражений, придем к уравнению

- с у - с Z - с а а а -а а -а 力-a uZ-а а -а 8 -а а 8- с у - с Z - с а а а -а а -а 力-a uZ-а а -а 8 -а а 83 (3.3 (3.рА = Ро，I

- с у - с Z - с а а а -а а -а 力-a uZ-а а -а 8 -а а 8

- с у - с Z - с а а а -а а -а 力-a uZ-а а -а 8 -а а 8

3 (3.

3 (3.

д — dx dy dz — 8 (“，у, z)

—da db de — д (a; 6; с)

есть якобиан функций /(〃, Ь, с,力,у (а, Ь、с, %), z(a, b, с,力.Уравнение (3.3) выражает закон сохранения массы; при этом начальное значение плотности р0 зависит от начальных значений координат 看)=a； % = 6； z° = % т. е. р0 = Ро(〃，Ь, с). Дифференцируя уравнение (3.3) по времени, придем к дифференциальному уравнению неразрывности

琛■ =0・ (3.4)

Выполняя дифференцирование, получим

p醬+警а =。，

4? =-春寫△=一力儲 +穿" +需0+祭切=△ div也

(3.5)

так как dp/dt =——р div 力,что следует из уравнения неразрывности. Уравнение энергии, которое при сделанных в предыдущем параграфе предположениях является уравнением, выражающим адиабатичность движения, принимает весьма простой вид

(3・6)(3・6)dS _ fdS \ dt ~ \ dt Ь, с

(3・6)

(3・6)

откуда следует, что

S = S(% b, с). (3.7)

Добавляя к этим уравнениям уравнение состояния вида р = =р(р, S) или S = S(p, р), приходим снова к системе шести уравнений, позволяющей определить шесть искомых параметров х, у,

z,夕,р, S; при этом координаты /, у, z определяются как функции о, Ь, с,力，а параметры р, р, 5, характеризующие состояние среды,——как функции 力 z,沙,z.

Отсюда следует, что при использовании уравнений, написанных в форме Лагранжа, основными начальными и граничными условиями являются следующие условия: для момента времени t — 0 мы должны знать начальные значения координат & = а; Уо = b; z0 = с, а также распределение параметров 卩，S, р по начальным значениям координат а, 6, с.

Далее, поскольку компоненты скорости суть

ииdxdx山7U =而，山7U =而，dzdz第=而，第=而，（3.8）（3.8）

и

и

dx

dx

山7

U =而，

山7

U =而，

dz

dz

第=而，

第=而，

（3.8）

（3.8）

то можно задавать начальные значения скорости как функции а, Ь, с при 力=0; можно на некоторой фиксированной поверхности z = z （力，у） задавать и, о, w, р, р, S как функции времени.

На стенке для любых моментов времени нормальная составляющая скорости гп = 0. На границе раздела двух неперемеши- вающихся сред должны быть равны давления и нормальные к границе компоненты скорости для обеих сред.

Переход от решений, написанных в форме Эйлера, к решениям в форме Лагранжа совершается весьма просто. Для этой цели, зная из решений, написанных в форме Эйлера, величины

и = 〃（力，勿 z, Е）, о = о （瑞 弘 z,力），w = и?（力，弘 z, t） （3.9） и решая эту систему обыкновенных дифференциальных уравнений, мы должны принять в качестве постоянных интегрирования （при 力 = 0） величины а, Ь, с, что дает

х = х （а, б, с,以 У = У （〃，“ 舊方），z = z （а,仇 c,方），

т. е. решения в форме Лагранжа.

Напротив, дифференцируя по времени эти выражения и исключая из них и из выражений, полученных после дифференцирования, константы а, Ь, с, придем к решениям в форме Эйлера, исходя из решений в форме Лагранжа.

Решение обоих уравнений в форме Лагранжа представляет значительно большие трудности, чем решение уравнений в форме Эйлера, поскольку, например, представление производной давления по х через производные по а, Ь, с имеет вид

др др др

др др да . др дЬ . др дс да . дЪ . дс

да db дс

что приводит к появлению нелинейных членов в уравнениях движения.

В случае движений, обладающих симметрией и зависящих от одной координаты, уравнения в 巾орм展 Лагранжа не менее, а при решении некоторых задач даже и более удобны, чем уравнения в форме Эйлера. Мы уже видели, что, исходя из уравнения неразрывности, можно получить тождество

方 А = A div v.

Выпишем уравнения в форме Лагранжа, характеризующие одномерные течения и течения с цилиндрической и сферической симметрией (N = 0, 1, 2):

票+^4?=。；金[Р产詣]=0; ](3/0)

Р = Р(Р, S) или S = S (р; р), J

где г — текущая координата, R — значение г при 力=0. Из уравнения (3.7) очевидно, что S = S (Е), т. е. что энтропия зависит только от начального положения заданной частицы и в процессе движения для заданной частицы не изменяется. Отсюда следует, что систему уравнений (3.10) можно заменить двумя уравнениями:

dr 82r 行р 8卩др —)

F =U；(3 14)

卩产嘉竊=р。砂= "S)，i

где в качестве независимого переменного вместо R выбрана энтропия S = S(7?)・

В лагранжевых переменных система (3.10) может быть написана следующим образом:

dr 82r др dp . др dS —)

2% = %rn =以玲.

Укажем на иное представление уравнений в форме Лагранжа для течений, обладающих симметрией. Выберем вместо независимой переменной R величину 九，пропорциональную массе среды, содержащейся в момент времени 力=0 между сечениями R = 0 и R = В:

h=\\RN dR=h(R)h=\\RN dR=h(R)(3.13)(3.13)

h=\\RN dR=h(R)

h=\\RN dR=h(R)

(3.13)

(3.13)

Очевидно, что для любого момента времени

h = \ pr^ dr = h (/?).(3.14)

г(0； О

Дифференцируя соотношение (3.14) по А, придем к соотношению

器=1，(3.15)

откуда получаем дифференцированием по времени уравнение неразрывности в виде

备"器) = 0.(3.16)

Уравнение Эйлера напишем в виде

Р丽謳+景=°；(Е)

поскольку р 丽=厂叫 уравнение Эйлера принимает вид

(3.18)(3.18)舒+需…

(3.18)

(3.18)

Система уравнений (3.16), (3.18) и уравнение S — S (А) являются весьма удобными для исследования; заметим, что, поскольку

др — др 5р I др dS

dh — 8р dh 十 aS dh '

то эта система сводится к системе двух уравнений:

(3.19)(3.19)^1. I rN「生生4.空空］- 0竹十T［如8九十as dh

(3.19)

(3.19)

Далее, вводя удельный объем v = 1/р, эту систему удобно свести к одному уравнению

舒+叫需层傍冷+黑翁］=0.(3.20)

В случае одномерных движений (N = 0) это уравнение приобретает весьма простой вид

д2х 丄 др д2х - др dS п/о 9лч

где力=乙

На этом мы закончим рассмотрение основных уравнений газовой динамики; ниже, используя конкретнее виды уравнения состояния для идеального газа, твердых или жидких тел, мы значительно упростим вид уравнений, написанных как в форме Лагранжа, так и в форме Эйлера.

Для одномерных движений при N = 0 можно прийти к иной форме результирующего уравнения. Так как из первого уравнения (3.10) и уравнения (3.15) имеем

I 勿 一 П. + 而 - u,I 勿 一 П. + 而 - u,дх ~dhдх ~dh(3.22)(3.22)

I 勿 一 П. + 而 - u,

I 勿 一 П. + 而 - u,

дх ~dh

дх ~dh

(3.22)

(3.22)

то, дифференцируя последнее уравнение по t, придем к уравнению

(3.23)(3.23)ди —.

(3.23)

(3.23)

诉=~^Г，

далее, исключая из первого соотношения (3.22) и из (3.23) и, будем иметь

竺L + — = 0(3 24)

Это уравнение справедливо как для изэнтропических, так и для адиабатических движений газа.

§ 4・ Некоторые общие свойства движения среды

Выше уже указывалось, что движения среды могут быть установившимися и неустановившимися в зависимости от того, являются ли параметры, характеризующие состояние среды, функциями одних только координат или еще и функциями времени.

Движения среды, как установившиеся, так и неустановившие- ся, могут быть потенциальными (безвихревыми) или вихревыми в зависимости от того, равен во всей среде вихрь вектора скорости нулю или нет. Если вихрь вектора скорости равен нулю в какой-либо области, то скорость имеет потенциал 屮(力，％ z; t) и является градиентом функции 屮(力,у, z;力：

0 = grad+

®* дх ' ду J dz

Движение в соответствующей области будет безвихревым. Движение будет вихревым в той области, в которой rot о # 0.

Рассмотрим в среде так называемый жидкий контур, т. е. некоторый замкнутый контур Г, движущийся вместе со средой и состоящий из одних и тех же частиц. Интеграл

С = § v-dr = <^) иdx -[- V dy + wdz^

взятый вдоль этого контура, называется циркуляцией скорости. Преобразуя этот контурный интеграл согласно теореме Стокса, будем иметь

(4.1)(4.1)

(4.1)

(4.1)

где стоящий справа интеграл берется по поверхности, охватываемой рассматриваемым замкнутым контуром.

Напишем уравнение Эйлера в виде

^ + (^V)^ + y grad р = О.(4.2)

Поскольку из векторного анализа известно, что

(&V)力=-уgrad д? — [vrolv],

где q = ]Л/2 +。2 + 炉есть величина полной скорости частицы среды, то уравнение (4.2) можно написать в виде

瑞 + ^ grad д2 — [a rot 也 + ^ grad р = 0.(4.3)

Далее, поскольку из (1.1)

成=^+TdS,(4.4)

где i — теплосодержание среды, уравнение (4.3) окончательно можно написать в виде

^ + grad р + 蜀=[v rot v] + T grad S. (4.5)

Это уравнение для удобства дальнейших выкладок можно также написать в виде

dvldt + grad i = Т grad S.(4.6)

Рассмотрим полную производную от циркуляции С по времени:

Так как

dvldt = Tgrad S — grad t; drldt =也

то

dv ,.7 dr dv ,.

"・d> + 万・d* +讶歯=

=T grad Sdr — grad 3d外 + 歹 grad g3-dr,

поэтому

需=?[т gradS + grad (多—矶・d九(4.7)

Так как интеграл от полного дифференциала, взятый по замкнутому контуру, тождественно равен нулю, то

$grad (冬—%)・d> = 0;

отсюда

~ = $ T g^d S-dr =，ot (T grad S)・"，(4.8)

г2

где E — поверхность, охватываемая контуром Г.

Рассмотрение движений среды в любом гравитационном поле не внесет изменений в наши выводы, так как § grad ср • dr = —§ g-dr, и, кроме того, потому, что, поскольку в поле тяжести dZ = T〃S + vdp —— d(p, основные уравнения (4.7) и (4.8) не изменятся.

Величина производной от циркуляции равна нулю в том случае, когда равен нулю вектор:

rot (Т grad S) = grad Т X grad S = 0,(4.9)

где косой крест означает векторное произведение. Отсюда следует, что циркуляция скорости вдоль замкнутого контура остается постоянной при его движении в трех случаях: а) когда движение изэнтропично, S = const и dS = 0; б) когда температура зависит только от энтропии Т = 7(S), так как тогда вектор grad Т параллелен вектору grad S и grad Т 义 grad S = 0; в) когда 7 л S зависят только от одной пространственной координаты, вследствие чего grad Т параллелен grad 5 (одномерные движения и движения, обладающие цилиндрической или центральной симметрией) ).

Отсюда можно сделать такой вывод. Плоские или пространственные неизэнтропичные движения, т. е. движения, сопровождающиеся необратимым выделением или поглощением энергии, обязательно будут вихревыми, поскольку при этом циркуляция скорости не остается постоянной и не может, в частности, быть равной нулю и, следовательно, rot 力 * 0 (исключение составляет случай Т = 7 (5), но и тогда можно только говорить о сохранении циркуляции скорости, а потенциальность течения не должна обязательно иметь место).

В случае вихревого движения могут существовать замкнутые линии тока; при потенциальном течении в односвязной области замкнутые линии тока существовать не могут,

При сохранении циркуляции скорости, поскольку rot (Tgrad S) = 0, то

Т grad S = grad Q,(4.10)

где Q является потенциалом поля Т grad S. В частности, равенство (4.10) справедливо и в случае потенциального движения среды.

Рассмотрим более подробно потенциальные движения. Уравнение Эйлера (4.5) в этом случае примет вид

穿 + grad ^—F % -―。)= 0.(4.11)

Поскольку 力=grad 屮，уравнение (4.11) окончательно можно написать в виде

grad (需 + 勺 + % —。)= 0,(4.12)

что дает

絹 + 冬+ % = &(4.13)

Функция времени, которая появляется при переходе от (4.12) к (4.13), может без ограничения общности быть принятой равной нулю, поскольку потенциал ф определяется соотношением г = =grad ср с точностью до произвольной функции времени. Уравнение (4.13) является первым интегралом уравнений потенциального движения. Уравнение неразрывности, уравнение сохранения энергии и, в частности, уравнение адиабатичности при этом имеют прежний вид.

В случае установившихся движений среды имеем dvldt = 0, следовательно, HqlGt = 0, и уравнение (4.13) переходит в известное уравнение Бернулли

冬 + % =◎・(4.14)

Уравнение Бернулли не является уравнением, выражающим в общем случае закон сохранения энергии, а является просто интегралом дифференциальных уравнений движения среды. При этом в случае адиабатических движений величина Q остается постоянной вдоль каждой линии тока. Это очевидно, поскольку траектория любой частицы представляет собой линию тока и энтропия каждой частицы остается неизменной при ее движении, т. е. вдоль любой траектории dS = 0 и dC = 0. Естественно, что различным линиям тока могут соответствовать и различные значения величин S и С.

В случае изэнтропических течений Q = % = const и уравнение Бернулли (3.15) принимает вид

%—F % = »о，(4.15)

где % — теплосодержание среды в состоянии покоя. При Z = О скорость

q ~ У?2^о(4.16)

определяет максимально возможную скорость движения среды.

В случае неадиабатических установившихся безвихревых движений для каждой линии тока

哆(4.17)

где I “ ——расстояние вдоль каждой линии тока от некоторого выбранного начала.

Как мы показали, в случае неадиабатических процессов циркуляция скорости может сохраняться только при соблюдении условия Тgrad S = grad Q, или при 7 = Т (S), или для движений, обладающих симметрией; в противном случае всякое неадиабатическое движение должно сопровождаться изменением циркуляции скорости при движении жидкого контура, а следовательно, движение будет обязательно вихревым.

В случаях, когда движение при Т = 7 (S) не обладает симметрией, нельзя установить, исходя только из изложенных соображений, будет движение вихревым или потенциальным. Таким образом, условие Т — Т (S) является необходимым, но недостаточным для существования потенциального течения.

В случае несжимаемой среды, поскольку уравнение движения принимает вид

票+ QV)力 + 春gradp = O,

для стационарных движений вдоль линии тока имеем grad (^2/2 + + Р/Ро) = 0, откуда

里=a,(4.18)

2， ро ро

где р0 — плотность среды. Величина Q различна для различных линий тока. В случае потенциальных течений Q = const.

Для того чтобы теперь лучше уяснить закон сохранения энергии в общем виде, воспользуемся следующими рассуждениями. Энергия, заключенная в единице объема среды, равна

е=р(М +笈)，(4.19)

где первый член р^2/2 определяет плотность кинетической энергии в единице объема, а второй член рЕ определяет плотность потенциальной (внутренней) энергии среды. Изменение этой энергии определяется частной производной

ПосколькуПосколькуааГааГ当警+ p岁•罂，当警+ p岁•罂，

Поскольку

Поскольку

ааГ

ааГ

当警+ p岁•罂，

当警+ p岁•罂，

то, воспользовавшись уравнениями (2.11) движения и неразрывности, можно это выражение привести к виду

导(等)=-|^divp& + &gradp + pQV)*],

или, так как grad р = pgrad X — pyQ = р grad 力一р Т grad S, где vQ = 7 grad S, то

"If (嘤)='一 j'-y-divpv + p^.gradf + p(^V)-y- - p(&V)Q〕・ (4.20)

Далее

d (рЕ) = E dp + p dE = E dp + p [dQ + p 崇]=

=E dp + p dQ + ~^ dp = £ dp + p dQ,

где i — E -\- pip есть теплосодержание единицы массы среды. Отсюда следует, что

* М) = Z 嘗 + Р 冬=Р 參-Z div р&.(4.21)

Сравнивая (4.19), (4.20) и (4.21) и произведя очевидные преобразования, придем к выражению

雾=_[k + g div р0 + p(0V)厶 + 多)]+ p 崇 ИЛИ

雾=—div[p0(*+ z)]+p^" =备(等 +рЕ丿，&22)

где dO/dt = dQ/dt + &vQ・ В случае адиабатических течений dQldt = 0, и выражение (4.22) принимает вид

^ = 訊吟+叫=—divjjw用+川.(4.23)

Проинтегрируем обе части соотношения (4.23) по некоторому объему V, заменяя при этом объемный интеграл, стоящий в правой части соотношения, по теореме Остроградского — Гаусса:

§div 麻(与 +，)]dV = §р“冬 + °

V2

где S — поверхность, ограничивающая объем V. В результате придем к выражению

备 \ (粤 + ^dN = — ^v (事 + 2)Q; (4.24)

соотношение (4.24) показывает, что изменение количества энергии среды в объеме V за единицу времени равно количеству энергии,. которая вытекает из этого объема через поверхность /, ограничивающую объем, плюс количество выделяющегося тепла

@ = \”dV(4.25)

за единицу времени в этом же объеме. В случае поглощения тепла Q отрицательно. Отсюда следует, что выражение

/* = Р&{^+ "(4・26)

определяет количество энергии, вытекающей в единицу времени через единицу площади поверхности / объема V; следовательно, это выражение можно назвать вектором плотности потока энергии среды. Величина

勺 + % = ?о(4.27)

определяет энергию, переносимую единицей массы среды.

Перейдем к определению потока импульса. Можно заранее предположить, чт(г поскольку импульс представляет собой вектор, то плотность потока импульса будет являться тензором второго ранга аналогично тому, как плотности потоков энергии и массы являлись векторами, тогда как сами энергия и масса суть скалярные величины.

Импульс среды в единице объема равен

I = р0.(4.28)

Выразим скорость изменения этого вектора за единицу времени д! _ а(р&) ~дГ =如

В прямоугольной системе координат, наиболее удобной в данном случае, Z-я компонента этого вектора будет меняться со временем по закону

к = М(Р%)= irVi + Р к，к = М(Р%)= irVi + Р к，(4.30)(4.30)

к = М(Р%)= irVi + Р к，

к = М(Р%)= irVi + Р к，

(4.30)

(4.30)

где Z = 1, 2, 3 соответственно х,弘 z.Напишем уравнения движения и неразрывности в виде;где Z = 1, 2, 3 соответственно х,弘 z.Напишем уравнения движения и неразрывности в виде;8%8%卜 2 % з^ + -^- = ° (2 = 1,2, 3);з鲁 + 2(Р%) =。(％ = 1, 2, 3).卜 2 % з^ + -^- = ° (2 = 1,2, 3);з鲁 + 2(Р%) =。(％ = 1, 2, 3).кратком(4.31)кратком(4.31)Исключив с помощью этих уравнений dp/dt и dvjdt из соотношения (4.30), можно написать его в видеИсключив с помощью этих уравнений dp/dt и dvjdt из соотношения (4.30), можно написать его в виде吗 _ а(Р%)ы = дГ~吗 _ а(Р%)ы = дГ~=一[工證(Р人)0 + р £%或 + 券]=L к=1 К』 k 2」=一[工證(Р人)0 + р £%或 + 券]=L к=1 К』 k 2」

где Z = 1, 2, 3 соответственно х,弘 z.

Напишем уравнения движения и неразрывности в виде;

где Z = 1, 2, 3 соответственно х,弘 z.

Напишем уравнения движения и неразрывности в виде;

8%

8%

卜 2 % з^ + -^- = ° (2 = 1,2, 3);

з

鲁 + 2(Р%) =。(％ = 1, 2, 3).

卜 2 % з^ + -^- = ° (2 = 1,2, 3);

з

鲁 + 2(Р%) =。(％ = 1, 2, 3).

кратком

(4.31)

кратком

(4.31)

Исключив с помощью этих уравнений dp/dt и dvjdt из соотношения (4.30), можно написать его в виде

Исключив с помощью этих уравнений dp/dt и dvjdt из соотношения (4.30), можно написать его в виде

吗 _ а(Р%)ы = дГ~

吗 _ а(Р%)ы = дГ~

=一[工證(Р人)0 + р £%或 + 券]=

L к=1 К』 k 2」

=一[工證(Р人)0 + р £%或 + 券]=

L к=1 К』 k 2」

а (р%%)а (р%%)а%а%(4.32)(4.32)

а (р%%)

а (р%%)

а%

а%

(4.32)

(4.32)

Поскольку мы имеем

з岩=巨时許，

где 3认一единичный] тензор (6认=1 при X = А; 自左=0 при Z 力矶 выражение (4.32) можно окончательно представить в таком виде:

讀=-^^ =-含[』(РЗ% + Мр)]=-』^- • (4.33) 抡 K=1k=i к

Здесь тензор И注=р%。^ + б^р симметричен. Смысл его становится очевидным, если проинтегрировать выражение (4.33) по некоторому объему V, причем заменить интеграл

согласно обобщенной теореме Остроградского — Гаусса; тогда

(4.34)(4.34)•^- \ р以 d V = — § ni/c &九v

(4.34)

(4.34)

где стоящий слева интеграл определяет изменение Е-й компоненты импульса в заданном рассматриваемом объеме; интеграл, стоящий справа, определяет поэтому количество 2-й компоненты импульса, вытекшее в единицу времени через всю поверхность / этого объема. При этом следует заметить, что

d/； = n^df, где nk ——проекция единичного вектора на Аню ось, п ——единичный вектор, взятый по внешней нормали к элементу поверхности ®/ представляет здесь абсолютную величину данного бесконечно малого элемента поверхности).

Таким образом, можно утверждать, что величина 口我④/卜 есть г-я компонента импульса, протекающего за единицу времени через элемент поверхности d/, a ilik представляет собой /-компоненту импульса, протекающего за единицу времени через единицу поверхности перпендикулярно к оси ^. Тензор П^ называют тензором плотности потока импульса. Поскольку

&к = P^t^k + 3tMР，

то компоненты потока импульса определяются как зз

2 nt必卜=P〃t +』Р%%翫(》= 1,2,3).(4.35)

К=1к=1

3

Здесь 2 口а к 几/с = П^ есть поток импульса, отнесенный к единице поверхности. Это выражение может быть записано в следующей простой векторной форме:

П = рп + pv(vn).(4.36)

Итак, резюмируя изложенное выше о потоках энергии, импульса, массы и энтропии, можно сделать вывод, что движение среды в некоторых случаях весьма выгодно характеризовать величинами плотностей этих потоков, когда величина какой-либо плотности потока может некоторое время оставаться или постоянной, или меняться заданным образом.

Основные уравнения газовой динамикидля некоторых специальных случаев

А. Движение среды при изменениифазового состояния

Представим себе, что мы имеем среду, в которой происходит химическая реакция, сопровождающаяся выделением (или поглощением) энергии, причем фазовое состояние среды при этом изменяется.

Если, например, в каком-либо объеме сгорает твердый порох, при его горении образуются газообразные продукты сгорания и выделяется определенное количество энергии. При этом для упрощения решения ряда задач можно рассматривать твердые частицы пороха как неподвижные, что, вообще говоря, верно только приблизительно, поскольку при истечении продукты сгорания будут вовлекать в движение частицы еще не сгоревшего пороха и последние начнут двигаться с некоторыми скоростями, правда, значительно меньшими, чем продукты сгорания. В другом приближении можно считать, что эти частицы, наоборот, имеют ту же скорость в заданной точке, что и продукты сгорания.

Уравнения движения, характеризующие движение газообразных продуктов сгорания, очевидно, не претерпят никаких изменений по сравнению с уже выведенными нами уравнениями

槊 + (vV) ^+ у gradp = 0,(5.1)

где под плотностью р следует понимать массовую среднюю плотность пороха и газа. При выводе уравнения неразрывности необходимо учесть, что масса продуктов реакции (т) со временем возрастает. От величины

ip* = dmldt

зависит скорость реакции. Поскольку в координатах Лагранжа имеем

dm = pdV = podVo,(5.2)

то

宗小盜卜今8А^欝，(5•3)

где р0 = Ро (力)，А — относительное объемное расширение, р — плотность газа.

Так как d(pA)/成=A dp/dt + p d^/dt, a d^/dt = A div 也 to

系(pA) = A 偿 +

p div v ],

и уравнение (5.3) принимает вид

雾+pdw“=4•芻

—P dP。

—po'

или

叱产+ div力=

at 1

d In po dt

(5・4)

и окончательно

雾 + div (p&)=击(芻 + 力 grad © ,(5.5)

что является уравнением неразрывности, написанным в форме Эйлера.

При условии, что р0 не зависит от времени для каждой лагранжевой частицы, будем иметь d^Jdt = 0, после чего уравнение (5.5) переходит в классическое уравнение неразрывности (2.4).

Выведем уравнение энергии. В случае переменного числа молекул среды термодинамическое тождество, как известно, имеет вид

dE = TdS — pdv + 卩 dN,(5.6)

где 卩=(dE/dN)s. v ——так называемый химический потенциал, N — число частиц молекул среды в единице ее массы. При постоянном давлении и температуре химический потенциал оказывается равным термодинамическому потенциалу Ф, отнесенному к одной молекуле: р, = Ф/TV. (Величина 卩 может быть найдена для каждой заданной среды.) Тождество (5.6) показывает, что в случае переменного числа частиц внутренняя энергия как бы изменяется за счет совершения работы — р dv и изменения некоторого количества тепла dQ* = 7dS + ”N, происходящего вследствие выделения или поглощения тепла в уже существующих частицах, что характеризует член dQ = Т dS, положительный в случае выделения тепла, и при образовании новых частиц, что характеризует член dQ = ^ dN.

Заметим, что может быть и dQ <Z Т dS благодаря неоднократным процессам, происходящим в среде при различного рода реакциях. Тогда величина dQ* характеризует некоторое фиктивное количество тепла и вводится просто для целей удобства написания уравнений.

Таким образом, термодинамическое тождество мы имеем право написать в виде

dQ* = dE + pdN,(5.7)

где dQ* определяет полное количество выделенного (или поглощенного) тепла. Далее, поскольку из (1.7) мы имеем

dE = cvdT + Т [^-^dv pdv,

то

收 = %m + 7(割产；(5.8)

деля это уравнение на d& придем к дифференциальному уравнению, выражающему закон сохранения энергии:

于• = ?需+ "等分+?(飘訂(5.9)

В случае идеального газа это уравнение принимает вид 他一分导-^P黑+V穿。 (54。)

Необходимо указать, что скорость химической реакции, например реакции горения, зависит от р, v и Т, причем обычно наиболее сильно от Т. Для ряда типичных химических реакций в газах скорость реакции w пропорциональна величине

w〜е '(5.11)

или в других случаях для твердых тел

w ~ р0%(5.12)

где 出=const и а2 = const.

Для того чтобы сделать систему уравнений замкнутой (полной), к ней необходимо добавить уравнения химической кинетики, причем в большинстве задач достаточно добавить два уравнения, определяющих зависимость числа образующихся за единицу времени частиц другой фазы от р, v и Т (например, зависимость массы образующегося газа при горении пороха) и зависимость интенсивности выделяемого тепла от тех же параметров за единицу времени.

Обычно эти уравнения устанавливаются полуэмпирически. Иногда, когда количество выделяющейся энергии пропорционально количеству вещества, перешедшего в новую фазу, достаточно одного уравнения химической кинетики.

Полная система уравнений будет содержать восемь уравнений (три уравнения движения, уравнение неразрывности, уравнение энергии, уравнение состояния и два уравнения химической кинетики) ,определяющих восемь параметров (и, о, w, 〃，р, Т (или S), Q, тп) как функции 力，沙，z, t.

В некоторых конкретных случаях возможны упрощения системы указанных уравнений. Например, при горении пороха количество выделяемого тепла Q считается просто пропорциональным количеству образующегося газа (считается, что основная часть реакции горения заканчивается в твердой фазе): Q = mq; рассчитывая Q на единицу массы, получим просто

Q = 9，(5.13)

где q ——известный потенциал пороха (количество энергии, выделяемой при сгорании 1 а пороха), a w ——скорость горения —— определяется как

(5.14)(5.14)w = Вр“,

(5.14)

(5.14)

где В и ос — известные из опыта константы для данного пороха. Тогда

警=Spw^ ВтР%警=Spw^ ВтР%(5.15)(5.15)

警=Spw^ ВтР%

警=Spw^ ВтР%

(5.15)

(5.15)

где S = const — площадь сгорающего пороха, зависящая от его структуры, р — его начальная плотность, В】七 const. При этом уравнение неразрывности в представлении Лагранжа принимает простой вид

*(pA) = ^=gg (5.16)

отсюда легко перейти и к эйлеровой форме уравнения неразрывности

警+ &gradp + pdiv& = р#^・

Далее, как известно, из экспериментов (и может быть доказано теоретически), при горении пороха в полузамкнутом объеме температура горения остается почти постоянной в продолжение всего горения, поэтому состояние продуктов сгорания меняется изотермически, т. е. можно считать, что

pv = RTr, (5.17)

где TV = const есть температура горения. Уравнение (5.17) заменяет в таком случае уравнение энергии, что значительно упрощает задачу решения основных уравнений. Можно также принять, что последнее уравнение энергии для рассматриваемого случая имеет вид dE = dQ — 〃 dv = % d7, 〃v = RT; считая T переменным и полагая, что любая частица сгорает мгновенно, будем иметь dQ = 0 и pG = const, где к для пороха близко к единице. Таким образом, число уравнений сводится к пяти.

В другом случае, когда происходит горение газовых смесей, масса газа остается постоянной и уравнение непрерывности принимает обычный вид. Уравнение сохранения энергии сохраняет форму (5.9), если считать Q* = Q. Принимая газовую смесь за идеальный газ, мы это уравнение теперь запишем в виде

伯一1)竽=卽翁+ V爵・ (I®

В заключение этого раздела отметим, что особый практический интерес представляют одномерные движения рассмотренных процессов, что значительно упрощает задачу интегрирования системы уравнений, описывающих эти процессы. Решению некоторых интересных задач в этой области мы посвящаем специальный раздел нашей работы.

Б. Движение в гравитационном поле

Изучение закономерностей движения газа в поле тяжести представляет большой интерес для ряда астрофизических и космогонических задач, например, для изучения солнечных протуберанцев, для изучения взрывов звезд в теории новых звезд и т. д. Здесь мы дадим основные уравнения теории, а ниже, в главе XIII, применим их к решению ряда конкретных задач.

Уравнение движения газа в поле тяжести имеет вид

絹+ QV)& + ^gradp = д,絹+ QV)& + ^gradp = д,(5.19)(5.19)

絹+ QV)& + ^gradp = д,

絹+ QV)& + ^gradp = д,

(5.19)

(5.19)

где д ——ускорение силы тяжести.

Могут представиться три случая: движение в постоянном поле тяжести, когда д постоянно; движение во внешнем переменном поле тяжести, когда

GMу

0 = — к 九(5.20)

где М — масса внешнего относительно среды тела, создающего гравитационное поле, и движение во внутреннем поле тяжести, когда является справедливым уравнение Пуассона

4冗pG = —div g,(5.21)

где G — гравитационная постоянная: G = 6,667 *10-8 см^/г-сек2. Уравнение Пуассона связывает ускорение силы тяжести с плотностью гравитационной среды.

Рассмотрим более подробно эти три случая.

Когда д постоянно, то соответствующие уравнения Эйлера, отнесенные к какой-либо координатной системе, будут в правой части содержать проекции д на соответствующие оси. Мы эти проекции будем обозначать как g. (2=1, 2, 3) или соответственно gx, gy, gz・

В форме Лагранжа уравнение (5.20) можно записать в виде

du . i дрdv , i дрdiv . i др

布+ т而= gy； +(5・22)

Всегда можно выбрать такую систему координат, в которой одна из осей, например ось Z, будет направлена по линии действия силы тяжести; тогда

gx = g” = °, gz = g,(5.23)

и уравнения (5.22) примут вид

ди . i др с Эу .1 др с дю .1 др

而+ T京而證=g・(5・24)

Аналогичный вид будут иметь и уравнения Эйлера в этой же системе координат.

В случае, когда д = —GM г/г3, где М—масса гравитирующего тела, уравнение Эйлера имеет вид:

穿 + (&▽)& +-^-gradp=-醬•(5.25)

В форме Лагранжа в прямоугольной координатной системе это уравнение напишется так:

1 8р —GMx 5v 1 др —GM у )

P dx —7*3 ，力十 p 列—「3 '

也丄丄亚_ — GMZ(5.26)

dt p~ dz 一 一Г3 '丿

где 厂=]/力2 十沙2 + %2, а 力/人 ylr, z/r являются направляющими косинусами радиуса-вектора г.

В сферической системе координат в представлении Эйлера в уравнении (5.25), дающем проекцию на г, справа войдет член ——G7W7产，другие уравнения не претерпят изменений по сравнению с выведенными нами ранее (без учета поля тяжести). Таким образом, уравнения, описывающие симметричные течения, могут быть написаны в следующих формах:

в форме Эйлера

ди ди 1 др GM,г

(5・27)

в форме Лагранжа

色 + 红=-空^(5 28)

Весьма большой астрофизический интерес представляет последний (самый общий) случай, когда среда движется во внутреннем (собственном) поле тяжести. Поскольку

0 = grad ср,(5.29)

где ср ——потенциал поля тяжести, то уравнение Пуассона (5.21) и уравнение (5.19) примут вид

Аср = — 4nGp,(5.30)

嘗 + (&V)& + 十 g^d P = grad q>,(5.31)

где Д(р =小2屮/3力2 + @2$/J屮2 + @2隼/а%?. Применяя к обеим частям уравнения (5.31) операцию div, придем, исключая А(р с помощью уравнения Пуассона, к такому уравнению:

div [需 + (&v) & + 春 grad p] + 4лСр = 0.(5.32)

Легко представить это уравнение в координатной форме; уравнения (5.31) в прямоугольной системе координат можно написать в виде

du 1 др — 5ф [1 др — 5ф dw 1 др 5ф 代

7灰■=万；石 +(3加)

где du/dt = du/dt + и du/dt + v ди/ду 十 “dw/3z; аналогично выразятся duldt и dwldt.

Уравнение движения симметричных течений в рассматриваемом случае можно написать в двух формах:

в форме Эйлера

ди ди 1 др Эф )

в форме Лаграшка](5.34)

ди 1 др — а屮.I力十 Р 力—dr J

—inGprN.—inGprN.Уравнение Пуассона имеет вид

—inGprN.

—inGprN.

(5.35)

Поскольку в форме Лагранжа уравнение неразрывности можно написать так:

(5.36)(5.36)Р产務= Р°Е%

(5.36)

(5.36)

то уравнение Пуассона в этой же форме пишется в виде

илиили— 4лСр0/?^,— 4лСр0/?^,鳥(gW) = —4冗Gp°Q・鳥(gW) = —4冗Gp°Q・(5.37)(5.38)(5.37)(5.38)

или

или

— 4лСр0/?^,

— 4лСр0/?^,

鳥(gW) = —4冗Gp°Q・

鳥(gW) = —4冗Gp°Q・

(5.37)

(5.38)

(5.37)

(5.38)

Уравнение неразрывности в случае движения в поле тяжести имеет тот же вид, что и при отсутствии массовых сил. Закон сохранения энергии в этом случае примет другой вид. Очевидно, в энергетическом балансе мы должны учесть внутреннюю энергию частиц, возникшую благодаря наличию поля тяжести. Эта гравитационная энергия (Eg) характеризуется потенциалом тяжести ф, рассчитанным на единицу массы; поскольку

(5.39)(5.39)g = grad ср, то Eg =—屮 + const.

(5.39)

(5.39)

52 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. I Таким образом,

dE = TdS - pdN + dEg = Т dS - р dv - d(p. (5.40) С другой стороны, на основании равенства (1.7)

dE = cydT + T 駕 dv 一 рdv 一 即. (5.41)

На основании (5.40) и (5.41) условия адиабатичности движения (dS/dt = 0) могут быть представлены в виде

%嘗+ Т (飘窑=。｝(5.42)

или, на основании (1.37), в виде

噌，器一吟一需，(5.43)

где с ——скорость звука движущейся среды, что дает непосредственно лагранжево представление закона сохранения энергии.

Так как d^/dt = d^ldt + v • grad 屮 и grad ср = g, то

d(p __ 5(р dt — dld(p __ 5(р dt — dl0.0・0.0・(5.44)(5.44)

d(p __ 5(р dt — dl

d(p __ 5(р dt — dl

0.0・

0.0・

(5.44)

(5.44)

В случае стационарных движений, когда Hqiat = 0 (g = const или g = —GM!г2),

雰* = 0・0,(5.45)

при этом случаю g = const соответствует значение 屮=g・r, а в случае д = — GMr/r3 значение

GMGMФ =Y ГФ =Y Г(5.46)(5.46)

GM

GM

Ф =

Y Г

Ф =

Y Г

(5.46)

(5.46)

Для внутреннего (собственного) поля тяжести, когда поле нестационарно, можно второе уравнение (5.43), используя уравнение Пуассона (5.30), при условии адиабатичности движения привести к следующему виду:

АЕ = АВ* — А(р = АЕ* + 4лСр,(5.47)

где Д — оператор Лапласа, а АЕ* = —^р dv.

Это уравнение можно также написать в виде

(5.48)(5.48)AZ = AZ* + 4л6р, где i — теплосодержание среды, i* = jv dp.

(5.48)

(5.48)

В результате мы пришли к системе пяти уравнений: три уравнения движения и уравнение сохранения массы и энергии, причем уравнение сохранения массы третьего порядка относительно потенциала ср, а уравнения движения при выражении g через р станут уравнениями второго порядка.

Аналогичные уравнения можно написать, учитывая выделение тепла в гравитирующей среде, происходящее вследствие какой- либо реакции. В этом случае, учитывая, что Т dS/dt = dQldt # О, получим на основании (1.9)

dt dt •

Выражая дифференциал давления: dp = (dpldT)N dT + (др/ду)т dv и используя соотношение (1.13), получим

(5.49)(5.49)

(5.49)

(5.49)

Явления, сопутствующие протеканиям химических реакций в гравитирующей среде, представляют значительный космогонический и астрофизический интерес, например при изучении строения звезд, и одна из таких задач будет нами рассмотрена в главе об астрономических приложениях газовой динамики неустановив- шихся движений.

Подобного рода явления имеет смысл рассматривать для идеального газа, при этом уравнение (5.49), определяющее энергию, принимает вид

А4冗g 察.(5.50)

На основании того, что dplp = di +(1ц)— Т dS; grad 屮=д, основные уравнения для движения среды в поле тяжести в общем случае можно написать в виде

雰 + @V)& + grad % = T grad S;

岑+ divp& = 0; 4irGp + A(p = 0;(55^)

也=Сv__ 2 dt /др\ [或 "或」，

На этом мы закончим разбор уравнений, характеризующих движения среды в поле тяжести.

В. Одномерные движения среды в трубепеременного сечения

Рассматривая движения среды в трубе, площадь сечения / которой плавно изменяется с осевой координатой 力：/ = /(力)и производная dfldx мала, можно допустить, что подобного рода движение среды является как бы одномерным, происходящим вдоль оси х трубы, и пренебрегать составляющими скорости по осям у, z.

При этом уравнения движения и закон сохранения энергии в общем (неадиабатическом) случае будут сохранять вид, присущий соответствующим уравнениям для строго одномерных движений:

象+ *患=。，(&52)

患=，岑+ ?(鼠然备愕-時]•(5")

Уравнение неразрывности при этом, напротив, изменится. Дадим вывод этого уравнения для одномерного движения.

Рассмотрим элементарный объем, заключающийся между двумя поперечными сечениями трубы, соответствующими значениям ж и ж + йж осевой координаты. За элементарный промежуток времени dt масса среды, находившаяся в момент t в рассматриваемом элементарном объеме, изменилась на величину

亲(/р dx) dt =(/р) dx dt.(5.54)

С другой стороны, то же изменение массы с учетом втекания и вытекания среды через сечения х и х + dx может быть выражено так:

[(/р^)х — (/p^)x+dx]山=——'„ &力 &九(5.55)

Приравнивая (5.54) и (5.55), получим

招僚)+ 备(/Р〃) = О・(5.56)

Система уравнений (5.53) и (5.56) при заданном уравнении состояния полностью описывает движение среды в трубе. Соответствующее уравнение неразрывности в форме Лагранжа будет иметь вид

/Р 嘉= /оРо，(5.57)

где а — лагранжева координата.

Г. Звуковые волны

Рассмотрим случай, когда в среде распространяются малые (звуковые) возмущения. Выбрав систему координат, в которой среда (или данная ее область) неподвижна, и пренебрегая в уравнении движения членом (力十)也 имеющим второй порядок малости, поскольку 力 мало, напишем уравнение движения в виде

患+ *gradp = °，(5.58)

где Ра — плотность среды.

Аналогично, пренебрегая в уравнении неразрывности членом 力 grad р, имеющим также второй порядок малости, напишем это уравнение в виде

謂 + Ра div。= 0.(5.59)

Пренебрегая в уравнении сохранения энергии (энтропии) членом V grad 5, имеющим также второй порядок малости, получим

雾=0 и S^S^y\zY(5.60)

В случае постоянных плотности р — ра и давления р — ра ъ среде энтропия также постоянна. Применяя к уравнению (5.58) операцию div, дифференцируя уравнение (5.59) по времени и рассматривая малые изменения плотности, придем к результату

△Р =需=-Ра 杀罂，(5.61)

где А — оператор Лапласа.

Поскольку Ар == с^Ар, где са — скорость распространения звука в среде, которая постоянна, получим классическое волновое уравнение

唸аP=需・(5.62)

Скорость звука, как известно, определяется выражением с = =М(办＞/3p)s； в случае малых возмущений энтропия с точностью до членов третьего порядка малости остается постоянной, и поэтому можно просто писать, что с2 = dpldp = Ар/Ар (см. § 38).

Следует особо отметить, что движение среды, совершающей малые колебания, является в первом приближении потенциальным. В самом деле, применяя к уравнению (5.58) операцию rot, получаем

д .1., А

—rot =rot grad p = 3

откуда rot & = const. При колебательных движениях среднее по времени значение скорости равно нулю, поэтому и rot & = 0. Следовательно, v== grad ср ,где ф—потенциал. Из уравнения (5.59) имеем

警=—Ра div grad 屮=—раДф；警=—Ра div grad 屮=—раДф；(5.63)(5.63)

警=—Ра div grad 屮=—раДф；

警=—Ра div grad 屮=—раДф；

(5.63)

(5.63)

дифференцируя это уравнение по времени и сравнивая с (5.62), придем к соотношениям

笈=_paA需=e/p，笈=_paA需=e/p，(5.64)(5.64)

笈=_paA需=e/p，

笈=_paA需=e/p，

(5.64)

(5.64)

откудаоткуда

откуда

откуда

(5.65)(5.65)А Ра а 即 ， Ра 即ap=一^^а而 и р = 一^而'

(5.65)

(5.65)

где р‘ = р —— ра есть малое и зменение плотности в звуковой волне. Очевидно, dp'ldt = dpldt и из (5.65) имеем dpfldt = — pjc 渉屮/&#. Используя уравнение (5.63), придем к уравнению

(5.66)

Таким образом, потенциал ф также удовлетворяет волновому уравнению.

В случае плоских цилиндрических или сферических звуковых волн для определения потенциала будем иметь уравнение

С^1票)=「嚼・(5.67)

Для плоских звуковых волн (N = 0) уравнение (5.67) принимает вид

2 !9绅一52ф

Напишем общее решение этого уравнения：

Ф = %& — cat) + 尸2 (г + с£),(5.69)

где 7r1 в[歹2 一 произвольные функции. Для сферических волн 仙=2), поскольку (1/г2) [@/产 d^ldr) / &产j —级 ^r^ldt2, уравнение (5.67) можно написать так:

磁禽(n)=詣(w).(5.70)

Его решение имеет вид

'屮=白(「+ %£).(5.71)

Далее из равенств (5.65) и (5.69) видно, что для плоской волны

мы имеем

^-^^- = ^^~F^ U=ZW =冗+尸2,(5.72)

для сферической волны

p‘ = ^ [%一冗],m=4•[% + 冗]-*[% + %]• (5.73) Для цилиндрической волны решение уравнения (5.67) можно представить в функциях Бесселя или Ганке ля.

Для плоской бегущей волны одна из функций /\ и F2 равна нулю, например F^r + cat) = 0, и мы приходим к соотношению

и = — рУ.(5.74)

Ра

При этом максимальное давление в волне не меняется с расстоянием. Для сферической волны получаем

причем амплитуда волны падает с расстоянием, как 1/г.

Для цилиндрической волны в пределе (на больших расстояниях от источника звука) максимальное давление в волне будет падать, как 1/”・

Элементы теории звуковых волн будут использованы ниже при изучении слабых ударных волн.

Вычислим теперь энергию звуковых волн. Так как энергия в единице объема равна

Е = ^ + рК,(5.76)

где Е ——внутренняя энергия, рассчитанная на единицу массы среды, то избыточная энергия е' = е — еа по сравнению с начальной энергией е。среды с точностью до членов второго порядка включительно определяется соотношением

」_ Pd」F р Pad」p'd I ，а(Р")丄 р'2 *(Р“)占

Так как

d 豆=Tds —pdv= TdS + ^ dp,(5.78)

то, используя формулы (1.3), получим

=Е -4- ~Е. = Iр=Е -4- ~Е. = Iрy叫-y叫-

=Е -4- ~Е. = Iр

=Е -4- ~Е. = Iр

y叫-

y叫-

58 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. t Таким образом, избыточная энергия единицы объема среды равна

Е' = ^ + ”а + *(р')2.(5.79)

Как мы уже знаем, для плоской бегущей волны q = и =尚 р', поэтому, учитывая, что при малых колебаниях р ра, имеем

=+= 炉.(5.80)

Член р'»а в случае малых гармонических колебаний обращается в нуль, поскольку, исходя из уравнения неразрывности, имеем \ р dV = \ Ра &V，откуда \ р，dV = 0.

В случае малых периодических колебаний выражение (5.80) принимает вид

Е‘ = Ра〃2.(5.81)

В общем случае произвольной волны можно написать аналогичную формулу для среднего по времени значения полной звуковой энергии; эта формула следует непосредственно из известной теоремы механики, доказывающей, что в системе, совершающей малые колебания, среднее значение кинетической энергии равно среднему значению потенциальной энергии, поэтому полная средняя звуковая энергия определится формулой

d = 2 \ Q dV = 2 \ pa石2 &V,(5.82)

где 不—средняя скорость движения среды.

Аналогичное рассуждение можно провести для вычисления количества движения в звуковой волне.

Импульс или количество движения в случае распространения звука в конечном объеме пространства, так же как и энергия, отличны от нуля и являются величинами второго порядка малости, т. е. пропорциональны р'〃 〜 р，2 ^> и2.

Ниже, в конкретных случаях распространения плоских цилиндрических или сферических волн, будет определена величина количества движения.

Легко понять, почему для слабой звуковой волны полное количество движения отлично от нуля. Дело в том, что в области сжатия в направлении распространения волны движется масса т Т- mf со средней скоростью F, а в области разрежения приблизительно с той же средней скоростью движется масса т — т‘ в противоположном направлении; таким образом, наблюдается перенос массы 2m'〜р' со скоростью F р' в направлении распространения волны. Перенос массы как раз и свидетельствует о том, что в звуковой волне импульс отличен от нуля.

Вариационный метод вывода уравнений газовой динамики

Основой вариационного метода вывода фундаментальных уравнений математической физики являются так называемые уравнения Лагранжа.

Здесь мы рассмотрим основные вариационные методы, используемые в теории поля. Поскольку сплошная среда эквивалентна некоторому полю, то вариационные уравнения теории поля могут быть использованы для вывода основных уравнений механики сплошной среды.

В основу вариационного вывода законов сохранения энергии- импульса и уравнений движения в этих случаях, как известно, кладется следующий формализм. В случае движения материальной частицы под действием консервативных сил варьируется так называемая функция Лагранжа £*, а в случае поля или сплошной среды ищется так называемый лагранжиан (плотность функции Лагранжа), являющийся скаляром:

£ =卷(6.1)

где dV = dx dy dz ——объем.

В случае произвольного пространства с любой произвольной криволинейной системой координат используется так называемая скалярная плотность лагранжиана £= У ~gL, где g — детерминант, составленный из компонент метрического тензора. При этом метрика пространства задается интервалом

—dS? = giK dx1 dxk,(6.2)

где 且我 являются компонентами четырехмерного метрического тензора; при этом если только пространственная сетка криволинейна, то

—dS? = — С2d伊 + g^ ©/a 山”(6.3)

где gas являются компонентами трехмерного метрического тензора. Иными словами, в этом формализме используется аппарат, аналогичный аппарату общей теории относительности. Зная плотность функции Лагранжа, ищем действие

-S =、£da,(6.4)

которое по определению также является скаляром. В равенстве (6.4) dQ = dx dy dz dt = dV dt есть элементарный 4-объем. Затем ищется экстремум (минимум) действия; при этом необходимо доложить, что

-65 = 6、£源=0,(6.5)

откуда получается следующее вариационное уравнение:

-"5 = \偌刖+ ^5% +蕊8公,滤，-"5 = \偌刖+ ^5% +蕊8公,滤，(6.6)(6.6)

-"5 = \偌刖+ ^5% +蕊8公,滤，

-"5 = \偌刖+ ^5% +蕊8公,滤，

(6.6)

(6.6)

где qi = Зд/З/* qik = д2^д^дх^, a q являются независимыми обобщенными координатами.

Сделаем некоторые преобразования, используя теорему Гаусса и полагая, что на гиперповерхности 6g = 0 и 6% = 0. Получим уравнения Лагранжа ——Эйлера

(6.7)(6.7)

(6.7)

(6.7)

Вычислим теперь (используя теорему Эмми Нетер) в декартовой системе координат dL dL 8L dL

Исключив dLldq из (6.7), получим уравнение

(6・8)(6・8)(6.9)九;k =(6.10)(6.9)九;k =(6.10)工0

(6・8)

(6・8)

(6.9)

九;k =

(6.10)

(6.9)

九;k =

(6.10)

где cur НЕ a dLdL

В общековариантной записи уравнение (6.8) заменяется на =0, что дает

У — g а/2 з/

Тензор Ti является тензором энергии-импульса рассматриваемого поля. Уравнения (6.10) дают законы сохранения импульса и энергии, а также определяют законы движения и сплошности (неразрывности) среды. В случае идеального газа для адиабатических движений единственным скаляром, характеризующим этот газ, является давление р. Таким образом, можно утверждать, что лагранжиан сплошной среды равен L = р. Тензорная плотность лагранжиана % = 了一 g£ = M— gp.

Из уравнения (6.9), считая за q величину S и полагая

[см. (6.16)], легко находим тензор энергии-импульса сплошной среды:

賣=(p + Е)"出濟十節Р.

Из уравнения Гамильтона ——Якоби для материальной точки легко получить аналог этого уравнения для сплошной среды. В самом деле, напишем уравнение Гамильтона — Якоби:

+ 2g°a — — = — m2c2 =г ,(6.11)

где Е ——энергия материальной точки, s ——действие для материальной точки, равное

S = — въс", J/^ 1dt — — тс § ds, as — интервал. Отнесем действие к единице массы (энергии); тогда S = Sim и уравнение (6.11) примет вид

^^^к = g。。£ + g^SaS^ + 2g0aSa = _ 吟 (6.12)

где Sj = dsld^ и т. д. Так как для интервала (6.3) g°° = — 1, gOa =0, то S°2 + gaBSaSp = — С2.

Из релятивистских термодинамических уравнений известно, что в случае сплошной среды энергия, приходящаяся на одну частицу, равна

Е = me2 mw =(詳)(6.13)

где w = i + с^ — релятивистское теплосодержание единицы полной массы (включая внутреннюю энергию),。——энтропия и п — число частиц в единице объема. Из (6.12) и (6.13) имеем

烹^ = £ = — g^S. S. = / 一 gaBSaS® (6.14) Так как

及=рА = /пси1 = тс ^- ； “а = f ； 〃о = А- j гдеl

В = £ 1 — ^ ,讲=0炉=gaB。°。3,(6.15)

a 加一компоненты импульса частиц, то, имея в виду, что с2 —> 以 будем иметь

及=р» = ?炉，5% = р» = -^(646)

Из второго соотношения (6.16), умножая скалярно па р'= =g"Pk, сразу будем иметь уравнение ш2/с2 = g认5石猿，так как % 办=—I.

Перейдем к классическому пределу, полагая, что с—> оо. При этом положим 5 — ф — с2/ = ф — с/°, tv = i -\- с2, где Z — классическое теплосодержание. Тогда уравнение (6.14) примет вид

警=伙=一,+ 4-8*5中，=一［: + 子］. (6.17)

ние Лагранжа (6.7)ние Лагранжа (6.7)напишем теперь в виденапишем теперь в виде8“ 二jDds8“ 二jDds+ ^空产+^乌尹"б®+ ^空产+^乌尹"б®Скалярная функция ср является потенциалом скорости. Уравне

ние Лагранжа (6.7)

ние Лагранжа (6.7)

напишем теперь в виде

напишем теперь в виде

8“ 二jDds

8“ 二jDds

+ ^空产+^乌尹"б®

+ ^空产+^乌尹"б®

Так как компоненты g"B не зависят ни от 屮，ни от 力 а лагранжиан не зависит от ф, а только от производных 屮 и S» =(р< —— 發 и так как dSt = dg, а 5а =(ра и, далее, dp =成/v, то (6.18) перейдет в уравнение

^就)+学鼠卄卡Р费"g9)

Так как

2 =_(取 + 4"g好55)；^； = 一 £ _堯= та = g"B 山， то уравнение (6.19) примет вид

警十昨十斗三

(уравнение неразрывности в кривом 3-пространстве). Так как скорость звука, которую мы обозначим в этом параграфе через з, определяется соотношением со2 = dp Ids = dild In p, то перепишем уравнение (6.20) в виде

穿+吸^ +屮（県+穿+吸^ +屮（県+

穿+吸^ +屮（県+

穿+吸^ +屮（県+

ИЛИ, ПОСКОЛЬКУ (ра = gaB(PB，

嘗+^祭热+(4佈空+瑞手产)+g噜］=0

Так как

£ =—［伙 f + } gY° (屮Y“)f］，

то будем иметь

ф/f + ga^ [^at + g^rY^^-{.-L^l(pY(PoJ =‘ (6.21)

Для идеального газа

0)2 =(力 _ 1) % = _ (论 _ [) [% + _|_ gyd %屮。].

Введя символы Кристоффеля, окончательно придем к уравнению

Фи + 2gap(paq)3 + gaBs [gYO(pY(poa — Г^а g°R 屮丫％]=

=0)2 [ga師a0 _ rta 屮战°a], или

St + 2q)a(Paf = (фаз —冗В %) (^g* —旷暇).(6.22)

Это одно уравнение определяет все виды пространственных изэнтропических течений газа в любой системе отсчета и координат; оно очень удобно для дальнейших преобразований и нахождения решений в каждом случае течения газа.

Приведем примеры вывода уравнений для некоторых конкретных случаев из общего вариационного принципа.

Исследуя, например, одномерные нестационарные движения, мы из уравнения (6.22) сразу же придем к уравнениям

屮" + 2(Pi%f = "1e2_呎)；也=(|/ = 〃； 2=一(0+耳，

откуда, после несложных преобразований и обращая затем переменные, получим такие линейные уравнения 2-го порядка:

必4 — 2A 屮4b + 屮ВB (№ - c2)=。，

屮а4 (加 一 0)一 2aB 屮aВ + 屮ВB (屋 一。2) = 0.

Дальнейшее приведение уравнений к каноническому виду является тривиальной процедурой.

В качестве другого примера можно аналогичным образом, написав метрику в виде dZ2 = d产 _]一 ^^^2 十 ~纟2, рассмотреть плоское установившееся течение.

ГЛАВА II

ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙНЕСТАЦИОНАРНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИМЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК

Характеристики уравнений газовой динамики

В этой главе мы рассмотрим методы исследований уравнений, полученных в предыдущей главе, и продолжим изучение закономерностей движения среды. Исследование уравнений и рассмотрение точных решений начнем с классического случая адиабатического движения среды в отсутствие поля тяжести. При этом рассмотрим сначала движение идеального газа и укажем некоторые обобщенные методы исследования и решения уравнений, описывающих изэнтропические движения плотных сред.

Изучение движения идеального газа представляет наибольший интерес в целом ряде как чисто газодинамических исследований, так и в ряде физических наук: в астрофизике и космогонии, в теории взрыва и метеорологии. Для исследования физических закономерностей движения газа и вообще любой среды наибрль- шее удобство представляют уравнения, написанные в форме Эйлера. При этом для самых общих исследований предпочтительно пользоваться прямоугольной системой координат. В этой системе координат основные уравнения, характеризующие адиабатическое движение идеального газа, как это показано в главе I, имеют вид

0;0;0;0;0.一一-一一 一一=勿剪也^ 石Р一好0;0;0;0;0.一一-一一 一一=勿剪也^ 石Р一好ди.呢,ди.ди.1

0;0;0;0;0.一一-一一 一一=勿剪也^ 石Р一好

0;0;0;0;0.一一-一一 一一=勿剪也^ 石Р一好

dv.dv.dv.dv.1

-aF +丁

dw.dw.dw.дю.1

需+〃票+”需票+p(黑+芻+

4 (赤係)爰盖)+第

Последнее уравнение вытекает из (1.21).

В неподвижной среде малые возмущения (например, малые изменения давления или плотности) распространяются во все стороны со скоростью звука. Прк_этом, если среда неоднородна и скорость звука зависит от координат, то для определения закона движения фронта, распространяющего возмущения, следует

воспользоваться уравнениями

гдегдеdxr> dz …dxr> dz …с = c(芻 У\ z)с = c(芻 У\ z)(7.2)(7.3)(7.2)(7.3)

где

где

dxr> dz …

dxr> dz …

с = c(芻 У\ z)

с = c(芻 У\ z)

(7.2)

(7.3)

(7.2)

(7.3)

есть местная скорость звука, % 3 丫 一 направляющие косинусы скорости в заданной точке поверхности фронта возмущения. Решение этих уравнений при заданной функции с = с(力；у; z) и начальных условиях (при заданной точке возмущения) определяет некоторую гиперповерхность

(7.4)(7.4)/3； У； z; t) = О,

(7.4)

(7.4)

являющуюся поверхностью фронта возмущения.

В более общем случае, когда среда движется и скорость движения в различных местах среды и в различные моменты времени различна, скорость перемещения малых (звуковых) возмущений О, которые можно назвать также звуковыми волнами, будет в каждой данной точке складываться из местной скорости движения среды и местной скорости распространения звука; скорость возмущения будет определяться тремя дифференциальными уравнениями:

к = 乂土 ОСС；

(7.5)(7.5)需=0士 вС; … dz.

(7.5)

(7.5)

寸=儿土丫 С；

где dx/dt^ dyldt^ dz/dt — проекции скорости D распространений фронта возмущений на соответствующие координатные оси, а компоненты скорости и, v, w и с являются в самом общем случае неустановившихся движений среды функциями 力,у, z,力；как и в (7.2) а, В, 丫 ——направляющие косинусы нормали к поверхности фронта.

Реальное значение имеет проекция скорости перемещения фронта возмущений на направление нормали к фронту в данной точке. Эта величина определяется соотношением

Dn = vn + с, (7.6)

где vn — проекция скорости на то же направление. Величина скорости звука с при этом определит скорость распространения фронта возмущения от одной частицы среды к другой в этом же направлении.

Решение системы уравнений (6.5) при заданном начальном условии и известном режиме движения среды и определит гиперповерхность

/(N； у； Z； О = О, которая явится поверхностью фронта возмущения или поверхностью фронта звуковой волны, распространяющейся от источника возмущения.

В том случае, когда движение среды не определено, мы не в состоянии решить систему уравнений (7.5), поскольку не знаем конкретного вида функций и, v^ w и с от х, у, z и 九 Когда фронт волны (или фронт возмущения) приходит в какую-либо точку среды, он возмущает существовавшее ранее движение частицы.

Поскольку фронт звуковой волны несет бесконечно малые возмущения среды, то значение самих параметров, определяющих движение и состояние р; р, с; 〃； г; w среды в этой точке, не изменится (изменится на бесконечно малую величину), но значения производных от этих параметров по координатам (при постоянном времени) или по времени (при постоянных координатах) изменяются при этом на конечную величину в течение бесконечно малого промежутка времени. Следовательно, эти производные в момент прихода фронта волны в данную точку среды претерпят разрыв. Подобного рода разрывы носят название слабых разрывов в отличие от сильных разрывов, когда разрыв терпят непосредственно сами параметры, определяющие движение и состояние среды.

Таким образом, фронт распространяющейся звуковой волны является фронтом распространения слабого разрыва.

В теории дифференциальных уравнений в частных производных подобного рода фронты еще называются характеристическими фронтами или характеристическими поверхностями, или, более кратко, характеристиками. Основные уравнения газовой динамики и, в частности, уравнения (7.1), отображая аналитически физические явления, происходящие при изменении параметров движущейся среды, должны определенным образом выражать и движение характеристических поверхностей. К исследованию этого вопроса мы и переходим.

Пусть

/(力，驴 z;力)=0(7.7)

——некоторая гиперповерхность, координаты которой меняются со временем, и вдоль этой гиперповерхности заданы значения функций u; v\w\pn р. Тогда этими значениями однозначно определяются вдоль гиперповерхности (7.7) все производные указанных функций и, в частности, их внешние производные duldf; dvldf\ dwldf\ dp!df\ dp/df, если только гиперповерхность не является характеристической, или, коротко, характеристикой.

Если же поверхность (7.7) будет характеристической, то производные

8〃 .北.阪.勿.如/7 ач

или не могут быть определены, или определяются неоднозначно.

Найдем условие, которому должна удовлетворять функция /(力,у, z), чтобы уравнение (7.7) выражало характеристику. Будем рассматривать величины w, г, ю, р и р как функции от /; например, р = р[/(^;瑞 у, z)], аналогично выразятся остальные функции. Тогда при дифференцировании этих функций по времени их нужно рассматривать как сложные функции. Вычислим, например, производную

dt 一 df dt

ИЛИ

+若М +警0+票舍（% +爲〃 +豈"+ %缈

Из последнего равенства вытекает, что отношения частных производных функций 乂口/ равны

ар8р8р8Р 一dt 歹_дх=亙=-^ =坛=dpdtдхdzар8р8р8Р 一dt 歹_дх=亙=-^ =坛=dpdtдхdz(740)(740)

ар

8р

8р

8Р 一

dt 歹

_дх

=亙

=-^ =坛=

dp

dt

дх

dz

ар

8р

8р

8Р 一

dt 歹

_дх

=亙

=-^ =坛=

dp

dt

дх

dz

(740)

(740)

Аналогичные соотношения имеют место для остальных функций: u, V, w и р. Введем обозначение

"—а/ df"—а/ dfdf , а/尹。+ -~-纺=ф・df , а/尹。+ -~-纺=ф・(7.11)(7.11)

"—а/ df

"—а/ df

df , а/

尹。+ -~-纺=ф・

df , а/

尹。+ -~-纺=ф・

(7.11)

(7.11)

Тогда уравнения (7.1) можно представить в виде

du.1内屮+ Pdp dp0 _ dxи,、dv . 1аг 屮dp dp8p _8j -0,dw . 1 方■屮+ Pdp dpap = az _0,duа/ 1 dv а/ ⑶df ду丄dv 十df：0.帀dz卜疗屮一”.dp 讲屮=：0・du.1内屮+ Pdp dp0 _ dxи,、dv . 1аг 屮dp dp8p _8j -0,dw . 1 方■屮+ Pdp dpap = az _0,duа/ 1 dv а/ ⑶df ду丄dv 十df：0.帀dz卜疗屮一”.dp 讲屮=：0・(7.12)(7.12)

du.1

内屮+ P

dp dp

0 _ dx

и,、

dv . 1

аг 屮

dp dp

8p _

8j -

0,

dw . 1 方■屮+ P

dp dp

ap = az _

0,

du

а/ 1 dv а/ ⑶df ду

丄dv 十df

：0.

帀

dz卜

疗屮

一”.

dp 讲屮=

：0・

du.1

内屮+ P

dp dp

0 _ dx

и,、

dv . 1

аг 屮

dp dp

8p _

8j -

0,

dw . 1 方■屮+ P

dp dp

ap = az _

0,

du

а/ 1 dv а/ ⑶df ду

丄dv 十df

：0.

帀

dz卜

疗屮

一”.

dp 讲屮=

：0・

(7.12)

(7.12)

Последнее из этих уравнений получается так：Последнее из этих уравнений получается так：中商屮中商屮Р d/」一 5Р d/」一 5

Последнее из этих уравнений получается так：

Последнее из этих уравнений получается так：

中商屮

中商屮

Р d/」一 5

Р d/」一 5

так как -^ = -^- = с2, то получаем: g^~ 屮—с? -^- = 0.

Уравнения (7.12) можно рассматривать как пять однородных линейных уравнений относительно пяти производных (7.8). Задача определения этих производных из уравнений (7.12) станет неопределенной только тогда, когда обратится в нуль определитель:

(Р 00—(Р 00—0ф000фа/'дха/а/Р —Z— у dz0000ф000фа/'дха/а/Р —Z— у dz0006 =6 =Р7Р7ООООООф—С2фф—С2фо.о.3 (7.13 (7.1

(Р 00—

(Р 00—

0

ф

0

0

0

ф

а/

'дх

а/

а/

Р —Z— у dz

0

0

0

0

ф

0

0

0

ф

а/

'дх

а/

а/

Р —Z— у dz

0

0

0

6 =

6 =

Р

7

Р

7

ООО

ООО

ф

—С2ф

ф

—С2ф

о.

о.

3 (7.1

3 (7.1

Случай, когда S = 0, определяет характеристики/(ж; у; z;力)=0.

Условие (7.13) после развертывания определителя примет вид

叫"叫岛2+ (需"岛(7•伍)

Решение ср = 0 дает уравнения линий тока; из него также определяются компоненты скорости 〃； о и и?, поскольку условие

屮=屮=旦灰旦灰1 дх1 дх008〕8у8〕8у+ 第3 = °+ 第3 = °

屮=

屮=

旦灰

旦灰

1 дх

1 дх

0

0

8〕

8у

8〕

8у

+ 第3 = °

+ 第3 = °

соответствует уравнению

w + Qv)力=у =0,

выражающему закон движения каждой фиксированной (лагранжевой) частицы. Отсюда следует, что 0 = drldt = 0 (а, Ь, с) и

成=生=包=三 u"比

что действительно является уравнением линий тока. Другое решение соотношения (7.14)

[(露F芻Г+ (耦1，

которое мы напишем в виде

=土С=土Са/ . а/ I а/ I а/ ф = -~- + ^+。^-十=т 8£ ох оу dzа/ . а/ I а/ I а/ ф = -~- + ^+。^-十=т 8£ ох оу dz

=土С

=土С

а/ . а/ I а/ I а/ ф = -~- + ^+。^-十=

т 8£ ох оу dz

а/ . а/ I а/ I а/ ф = -~- + ^+。^-十=

т 8£ ох оу dz

где с】=力，况2 = У，力з = z определяет искомую характеристическую поверхность.

Возвратимся к первым трем уравнениям (7.12). Будем рассматривать частные производные по 力 х, у, z от функций и, % w, р, р по одну какую-либо сторону от рассматриваемой характеристической поверхности 貝力，у, z, t) = 0. Тогда из равенств вида (7.10) следует, что все частные производные каждой из этих функций пропорциональны соответствующим производным от функции /(瑞 弘 z, t) ). Из равенств (7.10) имеем

ар — dp dfdx 一 df a力，

Вставляя это значение производной др/дх в первое уравнение (7.12), получим

d〃 . 1 dp dp df с

d/屮十р 如 d/ 8宓

ИЛИ

""屮+牛螫=0；

выражая ф из соотношения (7.15), имеем

僵]=像)铝-ееть僵]=像)铝-еетьздесь, например,здесь, например,скачок производной на хаскачок производной на ха

僵]=像)铝-ееть

僵]=像)铝-ееть

здесь, например,

здесь, например,

скачок производной на ха

скачок производной на ха

Аналогично преобразуются два других уравнения （7.12）. Таким образом, мы получаем окончательно:

（九）2 + （壶）2 + （加）2 =（*『；'

（加皆-厶 4H2 + （加祭一dU^T} + WW*-dV = °，, （7.18）

Так как на характеристике имеют место соотношения d〃 =d/; dw =d/;

оуду } дх8 力 J

дуду } 7 дхдх 7

и т. д., вытекающие из соотношений для 卫，v, w, аналогичных соотношению （7.16） для р, то мы приходим к условию

（妙[（需-^+（黑-雾），鬻-耨1=。'

которое выполняется, поскольку df = 0; если при этом еще выполняется условие

ди dv 8辽＞8〃 div dvл n ч

文=任；可=任， （749） то движение в окрестности характеристической поверхности является безвихревым.

Далее, как уже упоминалось, на характеристике полная производная по времени от /（ж, у, z,力）равна нулю:

а力et 十 dt a* 十 dt w 丁 dt a% ‘1 •丿

где dxldt, dyldt, dzldt определяют компоненты скорости движения х ар актеристической поверхности; исключая значение dfldt из уравнений (7.14) и (7.20), придем к такому важному соотношению:

("一署)a+( -黑产卜(产^")丫 = 土 %(7.21)

где

祭备『+哥『+ (御"

суть направляющие косинусы нормали в любой заданной точке характеристической поверхности. Отсюда видно, что проекции с на оси координат равны

受-一m =士以；g0 = ±eв； -^纺=士" (7.22) и что

(警(黑_"丿(7。23)

Уравнения (7.22) являются уравнениями, определяющими закон движения фронта характеристической поверхности (7.5). Эти уравнения мы уже установили ранее, исходя из простых физических соображений. Вычислим теперь величину скорости перемещения фронта возмущений в направлении, перпендикулярном к фронту. Поскольку

df =學乌

где

a dn есть дифференциал нормали в любой точке поверхности, то искомая скорость перемещения характеристической поверхности по нормали к поверхности есть

dn — dt —dtdn — dt —dt(7.24)(7.24)

dn — dt —dt

dn — dt —dt

(7.24)

(7.24)

Уравнения (7.17) мы теперь напишем в виде

d辽± 06 "^" = 0；

(7.25)(7.25)А 土 В 需=0；

(7.25)

(7.25)

d纺土丫= 0;

± _£^_ + adm + 3a + ”券=0.

Найденные нами соотношения показывают, что основные уравнения газовой динамики действительно отображают движения слабых (звуковых) возмущений, возникающих в движущейся среде.

Перейдем теперь к рассмотрению закономерностей распространения энтропийных возмущений.

Уравнение адиабатичности движений при отсутствии источников поглощения или выделении тепла dQ/dt = 0 показывает, что, поскольку

泉粤=窑=等 +”gradS = °,(7.26)

т. e. поскольку

S = S(〃，b, c),(7.27)

то энтропийные возмущения не переносятся звуковыми волнами, а распространяются просто со скоростью среды. Это положение также ясно, потому что энтропия каждой частицы остается постоянной. Таким образом, заданная величина энтропии S* распространяется со скоростью

следовательно, вдоль линии, являющейся решением этого уравнения, dS = 0.

Установленные нами закономерности распространения малых возмущений параметров р; р (или с), а также S, характеризующих состояние среды, являются чрезвычайно важными при изучении неустановившихся движений газа.

Поскольку характеристическая поверхность

貝力，у, z, %) = 0

представляет собой гиперповерхность трех измерений в пространстве четырех измерений, то очевидно, что каждый ее элемент должен быть охарактеризован тремя независимыми направлениями.

Отсюда следует, что для рассматриваемой системы пяти уравнений, определяющих пять функций, мы будем иметь 15 независимых характеристических направлений.

Найденные нами выше общие соотношения вдоль характеристик не являются исчерпывающими при исследовании свойств уравнений и их решений, но эти соотношения отображают физический смысл явлений, имеющих место при распространении возмущений и помогают выяснить общие свойства и природу этих возмущений.

Возмущения могут быть двух типов: волны сжатия и волны разрежения. В газовой динамике и акустике волнами сжатия называются такие движения среды, когда при движении какой-либо частицы среды давление в ней возрастает. В противоположном случае, когда при движении частицы давление в ней падает, мы имеем дело с волной разрежения. Таким образом, уравнения, взятые вдоль какой-либо характеристической поверхности /(①,у, z, %)= =0, будут описывать волну разрежения или сжатия в зависимости от того, возрастает давление в каждом элементе среды при ее движении или, наоборот, падает. Описание характерных особенностей волн сжатия или разрежения представляет большой физический и практический интерес. Ниже мы подробно рассмотрим свойства этих волн и характер их движения.

Распространение энтропийного разрыва, который мы иногда в дальнейшем будем называть особым разрывом, совершенно не зависит от свойств среды; как мы выяснили выше, для любой среды энтропия в частице при адиабатических движениях всегда остается постоянной.

В случае движения неидеального газа, поскольку [см. (1.10)]

dS = cyd In Т + j祭)/% (7.29)

основные характеристические соотношения изменятся. Исследование этого вопроса в самом общем виде не представляет принципиального интереса, и мы в дальнейшем рассмотрим основные соотношения в случае неидеального газа только для одномерной задачи. Здесь лишь укажем, что так как в случае твердых или жидких тел при адиабатических движениях энтропия меняется незначительно, то мы, как и прежде, вправе считать, что

^ =di. (7.30)

Тогда, как легко видеть, основные соотношения вдоль характеристической поверхности (7.18) примут вид

где

В случае неадиабатических движений даже идеального газа характеристические соотношения принимают значительно более сложный вид, и их исследование мы проведем опять-таки только для одномерных движений (см. §8). Решение задачи для многомерных течений связано со значительными трудностями.

Рассмотрим теперь случай чисто изэнтропического движения S = const. Тогда, поскольку

(7.32)(7.32)-^ = -^ d 1ц р = с2d In р =山,

(7.32)

(7.32)

мы придем к таким основным уравнениям, выполняющимся вдоль характеристической поверхности:

U(d〃)2 (do)? + (dw)? 土 cd In p = 0. (7.33) Далее, поскольку cd (In p) = 1/p Vdp dp = ]/ —dpdv =成/p, to соотношение “d* + (dr)2 + (加尸 ± cdlnp = 0, удобно написать в виде

M(d〃)2 + (必)2 + (d援У ± M—dpdv = 0, (7.34) где не предрешается выбор независимой переменной р или v, или в виде

c]/(d〃)2 + (彰)2 + (dip)2 土 或=0. (7.35) В случае идеального газа на основании формул (1.40) и (1.41) получаем d In Z = (" — l)d In р = 2d In с, откуда

d In р =论 j] d Inc и У (du)?十(do)? + (dw)2 士 ^|^必 ~。’

что после интегрирования дает

,M(d")2 + (do)? + (由炉 ± y^~j с = const.(7.36)

Если скорость меняется только по величине, а по направлению не меняется, то (du)2 + (彰尸 + (加产=©炉 и мы ^меем

q ± ^^ с = const.(7.37)

Таким образом, чисто изэнтропическое течение приводит к значительно более простым характеристическим соотношениям, чем адиабатическое.

Характеристики уравненийс двумя независимыми переменными

Рассмотрение характеристик уравнений с двумя независимыми переменными представляет значительный интерес. К числу подобного рода уравнений в газовой динамике относятся уравнения, описывающие неустановившиеся одномерные движения или не- установившиеся движения, обладающие осевой и центральной симметрией, а также установившиеся безвихревые течения, зависящие от двух пространственных координат (плоские и осесимметричные течения среды). Типичными задачами такого рода являются разлет столба газа, детонация и т. п. Здесь мы будем рассматривать только случаи неустановившихся движений среды.

Одномерное течение газа

Начнем рассмотрение с общего случая неадиабатических одномерных движений. Система основных уравнений при этом имеет

вид

(84)(84)ди . ди , i др сI 5э . ди 八

(84)

(84)

dt 或 / др [ dt dt『

причем последнее уравнение есть термодинамическое уравнение сохранения энергии (5.49). Мы рассмотрим среду, подчиняющуюся уравнению состояния вида

р =①(Р) + Т歹(Р)р =①(Р) + Т歹(Р)(8・2)(8・2)

р =①(Р) + Т歹(Р)

р =①(Р) + Т歹(Р)

(8・2)

(8・2)

При этом уравнение сохранения энергии примет вид

号=晶［.号"= （瑞力 （8.3）

мы считаем, что функция Q】=Qi (%, t) может быть произвольно задана. Для получения характеристических соотношений напишем систему основных уравнений в виде

+ ++ +-^ 也<§ uU-^ 也<§ uU+ ++ +^ ^-^也成1-рр^2т^ ^-^也成1-рр^2т一一 一一 一一一一 一一 一一丝威丝威阕(8.阕(8.

+ +

+ +

-^ 也<§ uU

-^ 也<§ uU

+ +

+ +

^ ^-^也成

1-рр^2т

^ ^-^也成

1-рр^2т

一一 一一 一一

一一 一一 一一

丝威

丝威

阕(8.

阕(8.

Второе соотношение в системе уравнений (8.4) получается из второго уравнения (8.1) при использовании зависимости

dp — м -祖=F(Р)&Q

•d力dt 一 cv dz

где dpldt = dpldt + идр/дх; dpldt = dp/dt + u dp/dx.

На основании общего метода, разобранного в предыдущем параграфе, можно написать уравнение характеристической линии в виде

(8.5)(8.5)/ （瑞方）=0,

(8.5)

(8.5)

тогда условия вдоль характеристики, аналогичные условиям, выраженным уравнениями (7.12), будут иметь вид

-^pc4u + ^dp=耽-^pc4u + ^dp=耽(8.6)(8.6)

-^pc4u + ^dp=耽

-^pc4u + ^dp=耽

(8.6)

(8.6)

ТdS = dQ.

Здесь ср — dfldt + и dfldx. Отсюда следует, что вдоль этой линии будет выполняться следующее соотношение:

Это соотношение приводит к уравнению

(8.7)

причем на характеристике ф = 0, откуда dfldt + (〃 土 с) dfldx = О, или

(8.8)

Используя условие (8.7), мы сможем условие (8.6) написать в виде

(8.9)(8.9)dp + pcdu =dQ;

(8.9)

(8.9)

-cv

TdS = dQ\

поскольку

dQ/dt —(\IF [dpldt — c2 dpldt],

то последнее уравнение системы (8.9) можно написать также в виде

dp — с2 dp = -^- dQ.dp — с2 dp = -^- dQ.(8.10)(8.10)

dp — с2 dp = -^- dQ.

dp — с2 dp = -^- dQ.

(8.10)

(8.10)

Полученные результаты можно интерпретировать следующим образом:

вдоль линии dx/dt = и + с имеет место соотношение '

> (8.11)> (8.11)dp + pcd〃 = -^- dQ?

> (8.11)

> (8.11)

а вдоль линии dx/dt — и — с имеем

dp — pcd〃 =上-dQ・cv

Далее очевидно, что вдоль линии dx/dt = и, соответствующей скорости переноса энтропийного возмущения, выполняется соотношение

如―с2dp = J-dQ =-^-TdS.如―с2dp = J-dQ =-^-TdS.(8.12)(8.12)

如―с2dp = J-dQ =-^-TdS.

如―с2dp = J-dQ =-^-TdS.

(8.12)

(8.12)

Это условие вытекает н епо ср едств енно из рассмотрения уравнения (8.3). Таким образом, при одномерном движении среды мы имеем три характеристических направления, вдоль которых выполняются три соотношения. Так как мы имеем множество состояний 〃；с; S, то вдоль этих трех направлений и определяются три семейства характеристик.

Указанное обстоятельство используется при численном решении основной системы уравнений. В том случае, когда движение газа происходит адиабатически, характеристические уравнения (8.1) и (8.12) значительно упрощаются; поскольку dQ = 0, мы будем иметь:

вдоль линии dx/dt = 〃十 с соотношение

(8.13)(8.13)dp + pc du = 0 или %2 dp + pcd〃 + 4^"S= 0 ), а вдоль линии ^- = и — с — соотношение

(8.13)

(8.13)

—dp -j- pcdu = 0 или — c2 dp + pc du1~ dS = 0,

наконец, вдоль линии 嘗-=и — соотношение

dS = 0 или dp = с2 dp.

др др

Соотношениям 士 du + pc d〃 = 0 можно придать вид + У — dp dy + du = 0, откуда после интегрирования получаем

(8.14)(8.14)〃 4 \ 了一 'Рdv = а,〃 一 \ ]Л— dp dv = 3

(8.14)

(8.14)

где а и р — постоянные.

Для идеального газа, поскольку на основании (1.12) и уравнения Клапейрона имеем (dp/dS)v = p/cv, выражение pc d〃土 土 [с2dp + (dp/dS) dS] = 0 принимает вид

阪 ± ( k — i " +阪 ± ( k — i " +dS = 0.dS = 0.

阪 ± ( k — i " +

阪 ± ( k — i " +

dS = 0.

dS = 0.

В случае изэнтропических течений газа (S = const) характеристические уравнения еще более упрощаются; в общем случае для произвольной среды мы будем иметь:

вдоль линии -^» = 〃 + с — соотношение

成 + cd〃 = 0, dx

вдоль линии-gy = 〃 一 с — соотношение

—di + cd〃 = 0,

т. е. будем иметь два семейства характеристик.

В данном случае мы видим, что двум семействам характеристик в плоскости (/, Е), определяемым уравнениями dx/dt — и ± с. соответствует два семейства характеристик в плоскости (и, с): cd〃‘士 di = 0, или, учитывая выражение теплосодержания 2 по формуле (7.32), эти семейства характеристик можно выразить так:

(8.16)(8.16)〃亠、с din р =а,и — § cd In р =В，

(8.16)

(8.16)

где аир — постоянные. Причем эти два семейства характеристик в плоскости (и, с) являются так называемыми изображениями двух семейств характеристик плоскости (%,方)，причем это отображение может не быть взаимно однозначным.

Для среды, подчиняющейся уравнению изэнтропы вида

(8.17)(8.17)р = 4 (р71 — р〉

(8.17)

(8.17)

1) dp*】1) dp*】(8.18)(8.18)на основации формул (1.41) и (1.43) имеем 成=Ап/(п — =1/(〃 —4)必2, поэтому

1) dp*】

1) dp*】

(8.18)

(8.18)

вдоль линии -^- = 〃 + с имеем

,2,

U С = COnSt,

I 九一1'

а вдоль линии 告-=и — с

2,

иТ- с = const.

п — 1

В том случае, когда тг = 3, уравнения (8.18) принимают наиболее простой вид:

(8.19)(8.19)вдоль линии dx/dt = 〃 + с имеет место соотношение и 4- с = а = const

(8.19)

(8.19)

и вдоль линии dx/dt = и — с:

и — с = В = const.

Случай тг = 3 имеет значение при изучении детонации. Очевидно, что при тг = 3 dx/dt = const, где постоянная имеет два значения соответственно значениям величин аир. Следовательно, фронты возмущений (характеристик) распространяются по законам

况=a力 + ^；/=例/2,

где 々ид — константы, т. е. эти характеристики в плоскости характеристик представляют собой прямые линии. Выражения

2U -4т- С = ОС

1

И

。

〃7~С=

П 一 1—

называемые инвариантами Римана, представляют собой характеристики основной системы уравнений в плоскости (и, с) при S = =const уравнений изэнтропы (8.17), причем в этой системе за независимые переменные приняты 辽；с, а за зависимые 况；九 Эти характеристики при любом значении п представляют собой в плоскости 〃；с параллельные прямые линии (рис. 2).

В случае неадиабатических течений соотношения

dp ^pcdu = -^- dQ и Т dS — dQdp ^pcdu = -^- dQ и Т dS — dQ

dp ^pcdu = -^- dQ и Т dS — dQ

dp ^pcdu = -^- dQ и Т dS — dQ

определяют характеристики в характеристическом пространстве (р, р, и), выражая с через р 口 р.

Проанализируем теперь общие физические свойству характеристик для изэнтропических течений какой-либо произвольной среды. Рассмотрим трубу, заполненную нестационарно движущейся в положительном направлении оси х средой, причем параметры, характеризующие свойства среды (р, о) и скорость ее движения 〃， зависят в этом самом общем случае от (瑞 力). Допустим, что в каком- либо сечении трубы мы слабо возмутили движение газа, например, сообщили газу незначительную дополнительную скорость d〃，причем давление и плотность или удель- с ный объем также изменились на а бесконечно малые величины dp; dv. Тогда от сечения, в котором было приложено возмущающее воздействие направо по течению и налево против течения среды, начнут распространяться две элементарные звуковые волны возмущения. Метод численного решения уравнений с использованием этих свойств характеристик

носит название метода характеристик.

Пусть причиной возмущений является бесконечно тонкий невесомый поршень, который до момента начала возмущений (力=0) двигался вместе со средой, а затем при 力=0 начал плавно изменять скорость своего движения в сравнении со скоростью среды, например увеличивать ее (ускорение поршня по отношению к среде при 力=0 равно нулю). Очевидно, при плавном изменении скорости поршня в каждый момент времени от его поверхности будут излучаться все новые и новые элементарные звуковые волны, возмущающие движение среды. При этом вправо по течению скорость и давление будут увеличиваться, т. е. пойдет волна сжатия, а влево по течению, поскольку среда будет при увеличении скорости расширяться, что приведет к падению давления, пойдет волна разрежения. Состояние среды и поршня в каждый данный момент времени 力〉0 (после начала возмущающего воздействия поршня) мы обозначим справа у поршня через р「vx/a скорость движения через 〃工，состояние среды слева у поршня через р2, v2, причем скорость движения среды слева у поршня и2 = 〃「

Из рассмотрения характеристик очевидно, что заданная величина 〃i + < 了一 dp】dV] = % будет распространяться вправо по течению со скоростью

dx

=如+ У】/

dpi

dvi '

(8.20)

а заданная величина % — У—dp】dvj будет распространяться влево против течения со скоростью

В этих выражениях не предрешается выбор вида уравнения из- энтропы р = р(V).

Совершенно аналогичная картина будет иметь место в общем случае неадиабатических движений, прибавится только третье направление в плоскости характеристик (力,/), dx/dt = 〃, вдоль которого будет распространяться состояние Q = Q (%,力,причем величина Q вдоль этой линии будет изменяться по определенному закону; зная с =力 0) = §〃成，мм сможем определить Q = Q Q) или Q = Q (Е) на этой линии.

В случае адиабатических движений, как мы уже неоднократно указывали, вдоль линии х = х (t) — ^и dt энтропия будет сохранять свое постоянное начальное значение.

Рассмотрим теперь характеристики в лагранжевом представлении.

Очевидно, что характеристические соотношения между р, р, с, и, S и Q в самом общем случае неадиабатических течений при этом будут иметь тот же вид, что и в эйлеровом представлении. Изменится выражение dx/dt = и ± с н dx /dt ~ и.

Если взять за независимые лагранжевы переменные

х (Л, 0)% (九,о

%=\ p()dQ= \ pd/ и 力(8.22)

冗(О, 0)х (0, о

dxldh = 1/p,(8.23)dxldh = 1/p,(8.23)то, поскольку dx = (dx/dh) dh + (dx/dt)成， где dxldt = 〃，Мы будем иметь

dxldh = 1/p,

(8.23)

dxldh = 1/p,

(8.23)

dx 1 dh

При этом от соотношения dx/dt = и ± с и + dhlp d厶 определяющего характеристики или закон движения звуковых волн в эйлеровом представлении, мы придем к соотношению

窑=±рс = ±&窑=±рс = ±&(8.24)(8.24)

窑=±рс = ±&

窑=±рс = ±&

(8.24)

(8.24)

определяющему характеристики или закон движения звуковых волн в лагранжевом представлении (здесь К есть импеданц). Для соотношения dxldt = и = dh/p 成 + 〃，определяющего закон движения каждой лагранжевой частицы, мы придем к тривиальному

выражению dhldt = 0, что дает h = const.выражению dhldt = 0, что дает h = const.(8.25)(8.25)Таким образом, например, для неадиабатического течения мы будем иметь следующие характеристические соотношения:Таким образом, например, для неадиабатического течения мы будем иметь следующие характеристические соотношения:Вдоль линии dhldt = рс= К будет выполняться соотношениеdp +n九=专(黑)严Вдоль линии dhldt = рс= К будет выполняться соотношениеdp +n九=专(黑)严илиК du * &Р = ± (务 L dQ・илиК du * &Р = ± (务 L dQ・Вдоль линии dh/dt = — рс = — К будет выполняться соотношениеdp_pcd〃 = ±僚)*QВдоль линии dh/dt = — рс = — К будет выполняться соотношениеdp_pcd〃 = ±僚)*Qилиилиdp — К. d〃dp — К. d〃dQ.dQ.(8.26)(8.26)(8.27)(8.27)

выражению dhldt = 0, что дает h = const.

выражению dhldt = 0, что дает h = const.

(8.25)

(8.25)

Таким образом, например, для неадиабатического течения мы будем иметь следующие характеристические соотношения:

Таким образом, например, для неадиабатического течения мы будем иметь следующие характеристические соотношения:

Вдоль линии dhldt = рс= К будет выполняться соотношение

dp +n九=专(黑)严

Вдоль линии dhldt = рс= К будет выполняться соотношение

dp +n九=专(黑)严

или

К du * &Р = ± (务 L dQ・

или

К du * &Р = ± (务 L dQ・

Вдоль линии dh/dt = — рс = — К будет выполняться соотношение

dp_pcd〃 = ±僚)*Q

Вдоль линии dh/dt = — рс = — К будет выполняться соотношение

dp_pcd〃 = ±僚)*Q

или

или

dp — К. d〃

dp — К. d〃

dQ.

dQ.

(8.26)

(8.26)

(8.27)

(8.27)

(8.28)(8.28)Вдоль линии dh/dt~Q\ h = const будет выполняться соотношение

(8.28)

(8.28)

Т dS = dQ ( или dp — с2 dp =

это соотношение в случае адиабатических течений показывает, что вдоль линии Л = const; dS = 0 и S = const, откуда следует, что

(8.29)(8.29)S = S色).

(8.29)

(8.29)

Соотношения dhldt = ±рс и 为=const определяют характеристики в плоскости (Л, £), а выражения

Ч~ pc d〃 ~р dp = ~~ ("a，"') dQ и Т dS = dQ

определяют по-прежнему характеристики в пространстве р;

Р； 〃・

Симметричные движения среды

Перейдем к определению характеристик в случае движений, обладающих осевой и центральной симметрией. Поскольку основная система уравнений в этих случаях может быть написана

в виде (2.2也):в виде (2.2也):(8.30)(8.30)

в виде (2.2也):

в виде (2.2也):

(8.30)

(8.30)

ДЛЯДЛЯ(последнее уравнение получено из выражения dQ = Т dS в формуле (1.4) и из выражения (1.10) для dS), то после исключения dp из второго уравнения с помощью третьего придем к системе урав- “ ”исследования:

ДЛЯ

ДЛЯ

С§寸也^丝山+ +生况巫力С§寸也^丝山+ +生况巫力(8.31)(8.31)

С§寸也^丝山

+ +生况巫力

С§寸也^丝山

+ +生况巫力

(8.31)

(8.31)

Напишем уравнение характеристической линии в виде]

/ (>/) = 0

Из первых двух уравнений системы (8.31), как и прежде, получаем такие характеристические соотношения:

=*謂№・=*謂№・df .8/.5/7,7. N up占 df

=*謂№・

=*謂№・

中=*+ u-д7 =土0丁； dp 丄 pcd^T-— --

df r @

Поскольку = ф = -gp + и^г , то последнее выражение принимает вид

dp±pcdu+-^-dl =击(畧)dQ.(8.32)

чтоdr .F~ = 〃 十 с выполняется соотношение至+*山pc 1 г drчтоdr .F~ = 〃 十 с выполняется соотношение至+*山pc 1 г drОтсюда следует, вдоль линии du) -卜

что

dr .

F~ = 〃 十 с выполняется соотношение

至+*山

pc 1 г dr

что

dr .

F~ = 〃 十 с выполняется соотношение

至+*山

pc 1 г dr

а вдоль линии -^- = и — с — соотношение 仆(第十整тт(對备

Энтропийные возмущения переносятся со скоростью среды. В случае изэнтропических или политропических течений при уравнении политропы

р = А (рп — ро)

эти уравнения принимают вид

при -^у = 〃 十 с drпри -^у- = и — спри -^у = 〃 十 с drпри -^у- = и — с(8.34)(8.34)

при -^у = 〃 十 с dr

при -^у- = и — с

при -^у = 〃 十 с dr

при -^у- = и — с

(8.34)

(8.34)

Эти уравнения показывают, что характеристики основной системы уравнений не являются прямыми линиями ни в плоскости (и, с) ни в плоскости (г, t)

На достаточно больших расстояниях от оси или центра симметрии член Л udr становится достаточно малым и характеристики в плоскости (и, с) приближаются к характеристикам одномерных движений газа.

Легко может быть получена также лагранжева форма этих характеристик. В качестве примера рассмотрим характеристики адиабатических движений. Выбрав

г (瓦 0)г (耳 О

h = \ Po«n dE = , рг% drг (0, 0)г (0, о

и воспользовавшись выражением

dr — dr dh dr — dh

dt — ' dh dt 卜 Hz — p「N

мы определим, что вдоль линии

которая в лагранжевом представлении имеет уравнение

罂=土 per*

должны выполняться соотношения ,(8.35)

加士 (*+半山)=0

и что вдоль линии drldt = и, которая в лагранжевом представлении имеет уравнение h = const, энтропия S постоянна:

при h = const S = const.при h = const S = const.(8.36)(8.36)

при h = const S = const.

при h = const S = const.

(8.36)

(8.36)

Эта форма характеристик1 весьма неудобна и подтверждает высказанные выше соображения о неудобстве пользования лагранжевыми представлениями при решении задач неодномерного течения среды.

На этом мы закончим исследования характеристических выражений для классических типов неустановившихся движений газа.

Движение газа в поле тяжести

Рассмотрим движение газа в поле тяжести. Напомним, что при этом в уравнение сохранения энергии входит дополнительный член, характеризующий величину потенциальной энергии, что при любых гравитационных полях сильно усложняет систему основных уравнений, повышая ее порядок. Мы будем допускать, что в рассматриваемой области движения давление среды является функцией только ее плотности.

Стоящая справа в уравнении движения величина ускорения силы тяжести в общем случае зависит от г в[九 Это сильно усложняет задачу, поскольку все частицы среды получают дополнительное и переменное ускорение. Вследствие этого мы ниже ограничимся рассмотрением случая симметричного движение газа, считая

д = д (i) (или д = const).

Более тщательное и строгое исследование вопроса о движении газа в поле тяжести при рассмотрении некоторых частных задач будет дано в главе XIII. Итак, мы будем рассматривать систему уравнений (2.25), в которой уравнение неразрывности напишем в форме (2.22) при v = w = О

警+u票++亲=8()'

雾"票+ Р叫票+ ¥] = 0； )(8.37)

dS с

Полагая р = op% мы тем самым приближенно допускаем, что среда движется адиабатически. Поскольку частицы среды получаютПолагая р = op% мы тем самым приближенно допускаем, что среда движется адиабатически. Поскольку частицы среды получаютдополнительное ускорение g, то, переходя к системе координатдополнительное ускорение g, то, переходя к системе координатR = г — \ \ g 0) df 出R = г — \ \ g 0) df 出где R — новая независимаягде R — новая независимаявводявводяскорость а = искорость а = и一 \ gd厶一 \ gd厶мы будем вправемы будем вправепеременная, ирассматриватьпеременная, ирассматриватьдвижение газа вне поля тяжести. Соответствующие уравнениядвижение газа вне поля тяжести. Соответствующие уравнения

Полагая р = op% мы тем самым приближенно допускаем, что среда движется адиабатически. Поскольку частицы среды получают

Полагая р = op% мы тем самым приближенно допускаем, что среда движется адиабатически. Поскольку частицы среды получают

дополнительное ускорение g, то, переходя к системе координат

дополнительное ускорение g, то, переходя к системе координат

R = г — \ \ g 0) df 出

R = г — \ \ g 0) df 出

где R — новая независимая

где R — новая независимая

вводя

вводя

скорость а = и

скорость а = и

一 \ gd厶

一 \ gd厶

мы будем вправе

мы будем вправе

переменная, и

рассматривать

переменная, и

рассматривать

движение газа вне поля тяжести. Соответствующие уравнения

движение газа вне поля тяжести. Соответствующие уравнения

8686метод характеристикметод характеристик(гл. II(гл. II

86

86

метод характеристик

метод характеристик

(гл. II

(гл. II

О；О；(8.38)(8.38)при этом примут вид

О；

О；

(8.38)

(8.38)

да [ да丁十a就да [ да丁十a就:上丝一0，红工"空+

да [ да丁十a就

да [ да丁十a就

+ pd(〃dS . dS n丁 + 〃"^ = °・

Отсюда получаем характеристические соотношения для данной системы уравнений; на линиях dRIdt = 〃士 с должны выполняться условия

d@ 士 (需 + 当竺山)=0,(8.39)

или, переходя к старым переменным, можно утверждать, что на линиях dr/dt = 〃 土 с имеют место условия

d〃 一 g 山 ± [^- + ~^^ dt^ = 0.(8.40)

Эти характеристические соотношения значительно сложнее, чем при движениях среды вне поля тяжести. Энтропия будет сохраняться в каждой частице, т. е. при dr/dt = и имеем

S = const.(8.41)

Движение в трубе переменного сечения

В заключение рассмотрим характеристики одномерных движений в трубе переменного сечения. Поскольку исходная система уравнений (2.25) с уравнением неразрывности в форме (2.22) может быть написана в виде

ди , ди . i др п丁 + " 石+不著一 =°；

票+/需(翁i囁9 =。；(&42)

dQ=TdS,

где F — площадь сечения трубы, то, очевидно, будут иметь место следующие характеристические условия:

вдоль линий dx/dt = и + с должны выполняться

соотношения/о zo\

,,Г dp ,d\nF 内J ni •

Энтропия, очевидно, будет меняться для каждой частицы согласно закону изменения тепла.

Наконец, укажем вкратце, как, используя метод характеристик, можно вычислять параметры одномерных движений газа. Пусть для какого-либо заданного момента времени ^ ищутся приращения А/ =(〃工 + q)加 на характеристике и — 2с/(к — 1)= =const и 厶①=(〃i — q) А/ на характеристике 〃 + 2с/(良一1)= = const, где 〃i и q —— значения и (х) и с Q) при t =力「 Затем определяются новые значения 〃 и с для £ =厶 + А力 что, в конце концов, позволяет вычислить и и с для любых ① и 方〉*• В случае адиабатических движений считаем, что при t = tr для S = const △力 = 〃iA力 и что для а① - (m1土 q)A力 имеем Д (〃士 2/(力一1) С)= =c^S/k (Л ——1) %； чем меньше интервалы А厶 тем точнее результаты вычислений.

Г ЛАВА III

АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ

Автомодельные движения газа,обладающие центрально近一симметрией)

В современной физике и, в частности, в гидродинамике (газовой динамике) весьма большое развитие получили методы, позволяющие исследовать так называемые автомодельные (самоподобные) движения среды.

Автомодельные движения среды принадлежат к такому классу движений, когда параметры, характеризующие состояние и движение среды, меняются так, что распределение любого из этих параметров по координатам остается подобным самому себе при изменении времени, причем масштаб, характеризующий это распределение, может также по определенным законам меняться со временем. Последнее равносильно тому, что и для координат и для какого-либо заданного параметра, имея в заданной точке пространства какое-либо заданное распределение любого из указанных параметров во времени, в других точках пространства, лежащих на определенной линии или плоскости, мы будем иметь распределение этого же параметра во времени таким же при определенном изменении масштаба данного параметра и продолжительности времени.

Аналитически условия автомодельности движения определяются, тем, что могут быть найдены определенные (несколько или одно) соотношения между независимыми переменными, которые играют роль новых независимых переменных. Отсюда следует, что в случае автомодельных движений число независимых переменных в основной системе уравнений соответственно уменьшается. Это в значительной мере упрощает уравнения и делает иногда возможным нахождение ряда аналитических решений, описывающих автомодельные движения среды. В случае двух независимых переменных, а иногда даже и в случае трех независимых переменных основная система уравнений становится системой уравнений не в частных, а в полных (обыкновенных) производных.

Это относится ко всем неустановившимся автомодельным движениям, обладающим симметрией, а также к установившимся плоским движениям и к некоторым типам осесимметричных движений. Таким образом, некоторые типы автомодельных неустановив- шихся плоских и осесимметрических движений описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

Исследование автомодельных движений в ряде важнейших задач современной газовой динамики позволяет делать полезные выводы относительно более широких классов движения среды и устанавливать закономерности движения среды для различных практически интересных случаев. Сюда, например, относится ряд задач о распространении детонационных и ударных волн, о разлете продуктов взрыва, отражении ударных волн и т. д.

Исследование автомодельных движений мы начнем с адиабатических движений идеального и политропного газа в том случае, когда эти движения обладают симметрией.

Основную систему уравнений для случаев движения газа, обладающих центральной симметрией, мы напишем сначала в обычном виде (2.25).

Для удобства дальнейших выкладок мы примем за зависимые переменные u; с; in р. Поскольку мы условились рассматривать движение идеального (или политропного) газа, то из уравнения состояния (1.20)

S—Scр = е ‘V pk = opkмы определим

далее, поскольку с?=力叩乜 то d In а = d In c2 — (fc — 1) d In p, поэтому dp/p = (1/加)[de? + c2d m р]. Так как третье уравнение системы (2.25) можно написать в виде

4T 卜"嘗=о или 亲(1口。)十 〃•^"(In。) =。，一(9.2) то после исключения из полученной системы уравнений величин др a? as / ds as \ к； к и к (или

мы придем к такой системе основных уравнений:

器十①器十^1пр) = 0；

-^- (In p) + u -^- (In p) 4- -^- + -^- = 0; >(9.3)

Введем новые безразмерные зависимые переменные 况;у при помощи соотношении

〃 =№ = ^与(9.4)

и безразмерные независимые переменные In ^ и In г ♦); тогда, если обозначить точками над соответствующими буквами частные производные по In Е, например х = дх/д In /, а штрихами ——частные производные по In г, например х = dxld In г, то система (9.3) примет вид

企—力 + 力片 + 力2 + __|_(矿 + 2у + у (In р)')=0;]

(In р)十力(In p)' + 力‘ (N + 1)力=0; I О У 十型‘ + 2 (ж — 1) у + 伯—1) у [а/ 卜(N 丄 i)x] = 0.'

Следует обратить внимание на то, что в эту систему входят только безразмерные зависимые и независимые переменные, причем независимые переменные, In ^ и In г, входят только под знаком дифференциала. Система основных уравнений, написанная в виде (9.5), позволяет весьма просто исследовать два класса автомодельных движений.

Положим, что х л у являются функцией одной независимой переменной z:

z = —Г ,(9.6)

где а】=const, что и будет характеризовать первый класс движений. Потребуем, чтобы г и / не входили явно в уравнения, которые получаются при указанных подстановках. Тогда при этом плотность р необходимо должна иметь вид

р =於2g (z),(9.7)

где & = const. Поскольку did (In 力)=—a。d/d (In z); @/@ In r = =did (In z), система уравнений (9.5) при сделанных предположениях примет вид

"(啰一“J + 化2 —力 + 善[2g + 旷 + 沙(In &)'] = 0;

(In E)'(力一的)+ 〃2 + 力'+ (% + 1)力=0; ,(9.8)

-^-(力—aj + 伯一1)力'+ [及(论-1) + 3 + 1)]/-2 = 0,

*) Чтобы убедиться в безразмерности этих переменных, достаточно пррд- ставить их в виде In ^ и 1口 五• Очевидно, производные по этим последним переме иным равны производным по переменным In ^ и In г.

где, например, х = dxld In z. Исключая из первых двух уравнений системы (9.8) d (In 己)

—d In & = 一纱=2£^1?2 d In z + d In (力—a】)，(9.9)

мы сможем систему уравнений (9.8) написать в виде d In V

dlnz = (句一冗)d 宓 一(左一1) _

dx — [^ (к— 1) 4- (А：4- 1)] — 2 —

=一2)2 — y •

「2 (。1 — 1) +。2 I 1 八]〃\(9.10)

У [^+ (% + 4)冗 J -公(1-6)(。1一2)")

При интегрировании трех уравнений (9.9) и (9.10) мы получим три произвольные константы с】； с?； Сз； заменяя 力 на 力 + т, где t — const (что мы всегда сможем сделать, так как во все исходные уравнения t входит только под знаком дифференциала), мы придем к выводу, что полное решение системы будет зависеть от шести произвольных констант 〃】；а2； t；。工；с?； с3, т. е. формально это решение будет являться полным интегралом исходной системы уравнений.

Как мы видим, задачу интегрирования исходной системы уравнений в частных производных первого порядка мы свели для автомодельных движений к интегрированию одного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка вида

尸1 (券，У)尸2 (% и)

и к двум квадратурам. Решая при известных начальных условиях уравнение (9.11), мы определим у = у (况),после чего квадратурами найдем z = z (%) и Е = Е (%). Очевидно, что в качестве независимого параметра удобно выбрать именно величину х. Далее, поскольку

£ =卄，у = с2-^- , z = -~ , (9.12)

то г к 力％z, что определит в неявном виде

〃=-力侈)=力5一空1整)=Г % %⑶；

(9.13)(9.13)c =彳 了泡=土吁脸(z) = r ai Th (z)；

(9.13)

(9.13)

P = "2g (z)=产 n(z)；?

22 Q-D + д»

P=^i(3D+a& (Z) =^ % ⑶；

C21^L^K^3L

0 = —^p = t2(а1)-(кТ) a2g4 侈)=「 阴④ П& (纟)・

Таким образом, мы имеем частные решения для автомодельных движений, которые являются как бы полным интегралом системы. Может показаться, что, варьируя произвольные постоянные этих решений, можно построить любые решения, описывающие все возможные движения газа. Однако, поскольку уравнения нелинейны, эта попытка может привести к новым уравнениям, не менее, а возможно и более сложным, чем исходные.

Анализируя результаты ряда частных решений и устанавливая их физическую сущность, можно предвидеть поведение газа в случае более общих и сложных движений, не прибегая к непосредственному решению исходных уравнений. Таким образом, автомодельные решения как бы позволяют производить не математическое, а, так сказать, физическое варьирование и обобщение результатов.

Перейдем к физической интерпретации найденного класса автомодельных движений. Определяя, например,

〃 = jT"(z) =厂 °2 %(z),

мы выясняем распределение и — и (г) для какого-либо фиксированного момента времени. Очевидно, что для другого фиксированного момента времени вид функции 〃 = и (г), т. е. характер зависимости между и и г, останется прежним, но определенным образом изменятся масштабы и и г со временем; масштаб и изменится пропорционально t^-1 и масштаб г ——пропорционально tai. Точно так же, рассматривая в фиксированной точке пространства (при фиксированном г) 〃 = и (Z), можно сделать вывод, что в другой точке пространства (при другом значении г) характер распределения и = и (t) останется неизменным, но при этом масштаб и изменится 〜厂ai/q а масштаб t 〜r1/ai. Аналогичные выводы можно сделать и при выяснении зависимости других параметров от г при постоянных t и от t при постоянных г.

Рассмотрим еще один класс автомодельных движений, обладающих центральной симметрией • Для этой цели снова воспользуемся системой уравнений (9.5), написанной в безразмерных переменных величинах. Положим, что xlt и У у It являются функцией одной безразмерной независимой переменной

z = ге~ах\ (9.14)

где а】=const, т. е. что 况/方=勺(z); ylt2 = % (z); для того чтобы г в[力 не входили явно в уравнения при указанных подстановках, необходимо положить

p =风弋伊)， (9.15)

где “2 = const. Поскольку

дх

a in £

—£ 3 + а м )—力伍

дх

a m г

т a in г 一 ％ m z '

a in /

=叩力十点7]=叩

M 一叫摺?]；

a in г

dinramz '

а 1пр a in i

=_(一a2 + a1 読言]；

a Inp _ d In ; dr — dlnz

> (9.16)

то система уравнений (9.5) при сделанных предположениях примет вид

算1 (^i ——〃i) + 力；+[沙2 + 2弘 + Ух鲁J = 0; '

胃(力工—〃i) + & + 力：1 + W + 1) / = 0； >(9.17)

^飙—旬)+ (" — 1)力1 + \N (A — 1) + 伯 +1)] ^i=0,

где, например,①/= 电/din z.

Как мы видим, в эту систему г и t явно не входят, а следовательно, автомодельные движения подобного типа действительно могут существовать.

Исключая из первых двух уравнений системы (9.17)

_d % +("±?)定]+ 做 db(9.18)

sxi — ai'

мы сможем эту систему уравнений написать в виде

d In 2/1

d m z =("i --("T =(做一宓1)2一/

办—"W (M -1) + " + 句力1 ~ — 「2做 + g丄"

У1 [ ^+ (%+1)/若(01一"1).

(9.19)

Поскольку время t определяется с точностью до произвольной константы т, то решение системы уравнений (9.18) и (9.19) будет зависеть от шести произвольных констант 询；％； t； G； Q； сз (「Re R； 3； % — постоянные интегрирования).

Решение этой системы уравнений во всем аналогично решению системы уравнений для автомодельных движений вида z = r/tai, при этом за независимый параметр снова удобнее всего выбрать параметр q.

Из равенств (9.13) имеем ①工= xlt = u/r, 弘 =y/t2 = c2/r2, откуда

〃=厂勺(z), с = r/% (z),〃=厂勺(z), с = r/% (z),(9.20)(9.20)

〃=厂勺(z), с = r/% (z),

〃=厂勺(z), с = r/% (z),

(9.20)

(9.20)

что определяет также и и с в виде

(9.21)(9.21)(9.22)(9.22)и =夕吒 1 (z), с =夕吒 2 (z),

(9.21)

(9.21)

(9.22)

(9.22)

где £ = Z4，&2 = ^Уу[. Далее,

p =济喔(z)=r仆](z);

2014-аз

р = е(2а1+аг) & ⑶=厂耽 Пз ⑶；

2al—(к—1) а?

о = ^[2di-(fc-D。2”& (z) = г 仰 ％ (z)・

Ha основании найденных решений можно заключить, что масштаб распределения, например, параметра и = и (г) меняется со временем пропорционально 夕世,при этом масштаб г меняется также пропорционально 夕仕.Масштаб распределения 〃=〃(£) меняется пропорционально г, при этом масштаб времени меняется пропорционально In г.

Полученные уравнения для двух типов автомодельных движений допускают частные интегралы в различных частных случаях. Эти интегралы мы будем искать при решениях конкретных задач.

Дадим вывод уравнений автомодельных движений другим методом. Это приведет нас еще к одной форме уравнений, описывающих автомодельные движения. Необходимые выкладки мы подробно произведем для случая z = r/尸】； при z = гега^ выкладки совершенно аналогичны, и мы их не будем здесь приводить, а дадим прямо окончательный результат.

Обратимся снова к исходной системе уравнений (9.1) и, считая % и 沙 функциями одной переменной z на основании (9.4), (9.6), положим

U =力alg (z), р =抑П (z), o = /а»0 (z), (9.23)

где z == 〃-内，〃з = 2 (〃i ——1)——(А — 1) “2； вводя, далее, вместо переменной 匕 переменную ф = a^z — &, мы сможем написать систему уравнения (9.1) в виде

屮(2〃工一1 —(р‘)= а】& — 1) z + ет)кт

(9.24)(9.24)0 + № + 中^ =出 + (%+1)询；

(9.24)

(9.24)

中目="3= 2 (旬一1)一(论—1)a2,

где производные берутся по z. Исключив из первых двух уравнений этой системы с помощью третьего дифференциал

友=縉，(9.25)

получим

內+瞋《鼻+ *)=(然卢屮_ ^("1 _ l)z)穿；

dn I id8(9.26)

ri 丁 屮 I ze，

где

_"2 + (N + !•)。1 _ a2 + (N + 1)。1

=^= 2(ai —1) —(论-1)。2 .

Последнее выражение непосредственно интегрируется

1

^zNd^a = 〃з4“т = const.(9.27)

Квадратура (9.27) является первым интегралом исходной системы уравнений. В основных переменных она может быть написана в виде

1

a 一 /)=(仰一^) = %总..(9.28)

Поскольку из (9.4) и (9.23) следует, что у = kQz^v^-1, то первый

интеграл можно написать в виде

(旬一2)=a34口(专)%2a一3+1)T[("1) a+1],(9.29)

что дает первый интеграл в переменных %; у; z к t. Произведя ряд довольно длинных преобразований, можно свести систему уравнений (9.26) к одному уравнению: 纯[0-山伯_])+论+ []仇侬一Ь)墨]+

ГQ2—[〃(〃-!)+儿+ i]92(Q — b)察'

+ 4仇Qf i + ka-к^一 kNQ -

=(2〃i — 1)〃зК — 〃i(@i — 1).(9.30)

Здесь

a —2，

5 =1 + ("一1)0="小一1) + (中T •

N (k — 1) + (k 十 1)2 (ai — 1) — (/c — 1) o2 ' ] Q

—j (9.31)

e: z(I)+ (中)=摆看=又仰一Ь),仇=zгЬ.I

Решая это уравнение, определяем Q = Q (02) и Q = Q (6J, после чего находим dejd In и =也=(о=瓦(R — b), что определяет и = о (0Х) 口 z = z (0j).

Определение прочих параметров уже не представляет труда:

dz лdzА °о л\

屮=& 説 ° = 〃з 毒6， П = —*(9.32)

Мы видим, что приведенные здесь преобразования позволяют определить решения основной системы уравнений для данного типа автомодельных движений с помощью решения одного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка и только одной квадратуры, вторую квадратуру мы имеем возможность вычислить в общем виде (см. уравнение (9.27)). Решение по-прежнему будет зависеть от шести констант. В случае автомодельных движений, когда z = ге", положим, что

и =夕吒(z), р =夕2% (z), S =央阳侈)， (9.33)

где 〃з = 2al ——“2 (乃 ——1), и» вводя <р = 〃/ —— 己，мы, воспользовавшись системой уравнений (9.1), сможем написать ее в виде

^ч-n &О э- Ф^ч-n &О э- Ф<Р (2。1 一 фЭ = @? + п*те 卜 ^ + ^]；

^ч-n &О э- Ф

^ч-n &О э- Ф

=〃з = 2al — & (论 一 1)；=〃з = 2al — & (论 一 1)；=a2 + (% + 1)旬；(9.34)

=〃з = 2al — & (论 一 1)；

=〃з = 2al — & (论 一 1)；

здесь производные берутся до z. Первый интеграл этой системы будет иметь вид

n(pzNe-a = &з4H = const, (9.35) где 〃 = [а? + (N + 1) aJ/〃3，что в основных переменных можно написать в виде

Окончательное дифференциальное уравнение будет иметь вид 叫Q2 一 [伯—I)N + " + 1 ]仇需(Q 一 矶 +

「Q2_ [(k-l)N + k + l]^^L^-b)]

+ Ад2^[ка + i-k^跑A№J =

=2a1〃3А 一 今，(9.36)

где

a =二产 星l ®(Q -Ь)=「(一5+1；

7 _ (论 一 1) a0 = "体—1) +及+1 -

Мы снова свели решение задачи системы уравнений к решению одного уравнения и одной квадратуры, имея вторую квадратуру в общем виде (9.34)

Исследуем теперь вырожденный случай автомодельных движений. Рассматривая течения газа такого типа, когда z% = rlta^ положим, что а】 — 0; это значит, что z = г; далее, из (9.13) имеем

(9.37)(9.37)/=2(厂)，У = У (厂), p =广飞 行),гt

(9.37)

(9.37)

Система уравнений (9.8) при этом примет вид

力'力 +力2 一力+ +件沙+y+沙?) = 0；

/^ + "2 + 7' + (n+1)力=°； ) (9.38)

力^ 十伯一 1)/，+ [川伯一1) +力+ 1]/一2 = 0, где производные берутся no In г. Исключаем d Ing:力^ 十伯一 1)/，+ [川伯一1) +力+ 1]/一2 = 0, где производные берутся no In г. Исключаем d Ing:—d In g =—d In g =宓' + (% +1)宓+ 〃2宓' + (% +1)宓+ 〃2d In rd In rxdxxdxd In r;d In r;dx [А/ (M — 1) + 〃 + 1] “ 一 2dx [А/ (M — 1) + 〃 + 1] “ 一 2Положим теперь, что 仰 z = z (%), p = Е]()Положим теперь, что 仰 z = z (%), p = Е]()- "竺济+(" +分]+炉a一冗)，(9.39)и z% = rt-a^ это будет означать, что- "竺济+(" +分]+炉a一冗)，(9.39)и z% = rt-a^ это будет означать, что力=力(％), У — У (%)，U = ГГ|1 (力 с = Е2 ⑴,力=力(％), У — У (%)，U = ГГ|1 (力 с = Е2 ⑴,(9.40)(9.40)

力^ 十伯一 1)/，+ [川伯一1) +力+ 1]/一2 = 0, где производные берутся no In г. Исключаем d Ing:

力^ 十伯一 1)/，+ [川伯一1) +力+ 1]/一2 = 0, где производные берутся no In г. Исключаем d Ing:

—d In g =

—d In g =

宓' + (% +1)宓+ 〃2

宓' + (% +1)宓+ 〃2

d In r

d In r

x

dx

x

dx

d In r;

d In r;

dx [А/ (M — 1) + 〃 + 1] “ 一 2

dx [А/ (M — 1) + 〃 + 1] “ 一 2

Положим теперь, что 仰 z = z (%), p = Е]()

Положим теперь, что 仰 z = z (%), p = Е]()

- "竺济+(" +分]+炉a一冗)，

(9.39)

и z% = rt-a^ это будет означать, что

- "竺济+(" +分]+炉a一冗)，

(9.39)

и z% = rt-a^ это будет означать, что

力=力(％), У — У (%)，

U = ГГ|1 (力 с = Е2 ⑴,

力=力(％), У — У (%)，

U = ГГ|1 (力 с = Е2 ⑴,

(9.40)

(9.40)

где a = const. При этом система уравнений (9.5) примет вид

力一力 X-芥 + #.(2 + а) = 0; '

^+(〃 + %+ 1)2 = 0；》(9・41)

4 + [N 伯一1) + 力 + 1]力一2 = 0. J

Здесь производные берутся по In 九 Отсюда получаем

-品=^{wё-1)+" + 1]?-2}=/2+ (2 + a)У一©

—d In т] = (“ + % + I) zd In %.

(9.42)

Как мы видим, в случае вырожденных автомодельных движений решение системы уравнений (9.42) будет зависеть всего от пяти констант и будет описывать некоторые частные случаи автомодельных движений данного типа. Аналогично в том случае, когда автомодельные движения относятся к типу z ^ ге。“ при 旬=О, мы будем иметь z = г:

xi =勺⑺，У1 = У1 (г)»](9 43)

При этом основные уравнения примут вид

々 1 七с] +(" + D1

—d In & = d In r;

_ [X1cL^ + k~l\2(9.44)

у =w(生一1)+4+ 1]方乙/"""；]/・

В случае aj -> oo и z% 二二 广^厂 мы имеем

z = z(£),力]=力1 (%), % = %«),](945)

" =% (力)，e =%(方), P =产 1b (力)，J

где а = const. Основные уравнения напишутся так:

—鳥=品屮侬—1)+乃+ 逹+(2 + 0)У； 1(9.46)

—dlnn = (〃 +ДГ + 1) 7dhi 九

Автомодельные движения в координатах Лагранжа. Основные уравнения адиабатических движений, обладающих точечной симметрией в координатах Лагранжа, имеют вид

票+ ^竊=°；р。f=р。尸羲，Р = 。(e)р* " = ^. (947)

Будем искать решения в предположении, что

Г =尸尸⑷，(9.48)

где q = R/ta. При этом

m=厂-[箱一a*卜产7①⑷.(9.49)

Поскольку

u -仆-吒(z),(9.50)

产-内①(《) = &[%…/(/；(9.51)产-内①(《) = &[%…/(/；(9.51)где z = r!ta^ то из сравнения (9.48), (9.49) и (9.50) следует, что

产-内①(《) = &[%…/(/；(9.51)

产-内①(《) = &[%…/(/；(9.51)

или

это соотношение может иметь смысл лишь при а = 〃「поэтому

Г - taiF ⑼，厶二 f^F -aq ^] .(9.52)

Положим, далее,

^■=产‘№)；^=儿0句)；。(e)= TpjSX (9.53) тогда уравнения (9.47) примут вид

〃i (〃i — I)歹 + 9^〔а? — 2""i + "】+ 唸2訪 + 需=°；

d 尸(9.54)

qY з = /瞰严，

при этом

〃2 = (N 4 1)(〃 一 〃1); 〃з = “1 + a — 2,

аз — ко,2 а + "i — 2 — к (TV + 1) (л — 〃i)(9.55)

"4 一 a 一a*

Систему уравнений (9.54) легко упростить. Исключив т] из последних двух уравнений, получим

Fk(dF/dq)ka)— AqkN+a',

отсюда

dodo〃N + 〃4 .—7〃N + 〃4 .—7

do

do

〃N + 〃4 .—7

〃N + 〃4 .—7

и〃1 ("1 ~ 1)歹 + 0 ^ (" - 2аа± 4- а)十叫? ^ +2产尸一и〃1 ("1 ~ 1)歹 + 0 ^ (" - 2аа± 4- а)十叫? ^ +2产尸一=0.=0.(9.56)(9.56)

и

〃1 ("1 ~ 1)歹 + 0 ^ (" - 2аа± 4- а)十叫? ^ +

2产尸一

и

〃1 ("1 ~ 1)歹 + 0 ^ (" - 2аа± 4- а)十叫? ^ +

2产尸一

=0.

=0.

(9.56)

(9.56)

Порядок этого уравнения может быть понижен подстановкой

(9.57)(9.57)ь=疗屮（g）,

(9.57)

(9.57)

n к (N 1) 4" @4 — 1где В - ~~ 2k吕，и Для уравнениеn к (N 1) 4" @4 — 1где В - ~~ 2k吕，и Для уравнениеопределения р можно написатьопределения р можно написать

n к (N 1) 4" @4 — 1

где В - ~~ 2k吕，и Для уравнение

n к (N 1) 4" @4 — 1

где В - ~~ 2k吕，и Для уравнение

определения р можно написать

определения р можно написать

十 3曙（3。2 — 2廿+。）+叫2黑｝十 3曙（3。2 — 2廿+。）+叫2黑｝用（帥+喘用（帥+喘伫誥+施寻”（ВT）中）伫誥+施寻”（ВT）中）g箒+泯dqg箒+泯dq-(力/V + a)4•-(力/V + a)4•+(9.58)+(9.58)

十 3曙（3。2 — 2廿+。）+叫2黑｝

十 3曙（3。2 — 2廿+。）+叫2黑｝

用（帥+喘

用（帥+喘

伫誥+施寻”（ВT）中）

伫誥+施寻”（ВT）中）

g箒+泯

dq

g箒+泯

dq

-(力/V + a)4•

-(力/V + a)4•

+

(9.58)

+

(9.58)

Поскольку q d^/dq = d^/d In q; 02d2p/dq2 —(p^)/d In 炉—d^ld In q, то, обозначая d^/d In g = 8, будем иметь 炉屮/d In ^2 = dQ/d In q = =0 dd/d^ и окончательно придем к уравнению

к (9 + 砂).屮 十к (9 + 砂).屮 十+ ^~^+ ^~^(Q +」屮)｛［旬(〃i — 1) + В (а — 2а〃1) + а?俨］+ Р0 (За2 十 а — 2аа1) +

к (9 + 砂).

屮 十

к (9 + 砂).

屮 十

+ ^~^

+ ^~^

小累一9( j2B)+ B(BT)屮］

+丄型阡孤-伯n + *)•(9方9)

Решая это уравнение, найдем 0 = 0 (р), затем найдем из уравнения (9.58) ip = ip (д) и из (9.57)尸=户(g), после чего определим из (9.54)(о =(о (д) и п =刀(д), причем решения будут зависеть также от трех постоянных, получаемых при интегрировании двух введенных констант а1иа2и также константы т, входящей в Z, поскольку время определяется с точностью до константы. Таким образом мы придем к полному интегралу, как и в случае интегрирования автомодельных движений в координатах Эйлера.

Перейдем теперь к рассмотрению специальных случаев автомодельных движений среды,

Автомодельные симметричные движениядля некоторых специальных случаев )

А. Авто модельные движения в случае неадиабатических процессов

Автомодельные движения при наличии в среде внутренних источников выделения или поглощения тепла представляют некоторый прикладной интерес, в частности, при изучении процессов сгорания в двигателях.

Так как в случае газа (идеального или политропного) по формуле dQ = Т dS и по формуле (1.20)

dQ = cNTd In а - cNT [d In с2 - (к - 1) d In p],(10.1)

то уравнение сохранения энёргии будет иметь вид

幣=(…)宇+ ^・(Ю.2)

Отсюда следует, что основную систему уравнений одномерного движения (2.25) в переменных и; с; 1п р мы сможем написать в виде

IH嚟7图+号0冋=0；'

^•(Inp) + “ ^；(1пр)十芈=0;> (Ю.З)

左2 決2 7° / 8〃 I Na '\odlno dQ 7.

Рассматривая класс автомодельных движений, когда

Z = 0 ；〃 =心％(Z)= ； 2；

一 Г(10.4)

С = I 1 l2(z) = уУу; р =严 Е(Z),

мы должны выбрать зависимость Q от z и t таким образом, чтобы, удовлетворяя условиям автомодельности движений, привести систему уравнений (10.3) к виду, не содержащему явно 力 или г.

Для этой цели необходимо представить Q в виде

Q =户 8Т 71 (%) + Qo или Q = ^ g (z) -|- Q。，(10.5)

где Qq ——некоторая константа, характеризующая запас начального тепла. В частном случае, когда q (z) = go = const,

Q = ^ + Q°,(Ю.6)

т. e. во всех точках (частицах) закон тепловыделения (теплопо- глощения) будет одинаков [Q — Q。〜(厂/炉].Поскольку t 〜 戸期, то, написав Q в виде

2 ⑸一1)

Q =Г"% + Qo，(1。.7)

мы в случае q2 = const = q0 придем к выражению

2 (ai—1)

Q=qL +Q。，(10.8)

что будет означать независимость интенсивности выделения (поглощения) тепла во времени.

Преобразование уравнений (10.3) к автомодельному (безразмерному) виду не представляет труда. Заметим, что эти уравнения будут во всем совпадать с уравнениями (9.8), за исключением последнего, где в правой части вместо нуля должна стоять величина, равная

Поэтому окончательные уравнения можно написать в виде

dlng= W 七拦；； + @2 dhi %;

力(Й1-Х)学

d zdxуax —

dx [N (k-l)+ k + i]x — 2 — £"T) [2g — q]

У

(曲一力)2 一歹一士一 I (ai — ж) *

равноеравное(10.14)(10.14)видвид—d In W =—d In W =“； + (" + 1)① 1 +。2“； + (" + 1)① 1 +。2xx — aixx — aid In z;d In z;d In zdxid In zdxidln〃iк (к — 1)dq(@1 一 "i)F^" 一体 一 D 一 一—(句 ~ "】)瓦 "("一不屮(〃 一1) + 〃 + 1 ］宓1 —— 221gо k — idg⑸-6)2 — / —而dln〃iк (к — 1)dq(@1 一 "i)F^" 一体 一 D 一 一—(句 ~ "】)瓦 "("一不屮(〃 一1) + 〃 + 1 ］宓1 —— 221gо k — idg⑸-6)2 — / —而(10.15)(10.15)?/r -_ + (2 + 1)，］?/r -_ + (2 + 1)，］k — 1k — 1

равное

равное

(10.14)

(10.14)

вид

вид

—d In W =

—d In W =

“； + (" + 1)① 1 +。2

“； + (" + 1)① 1 +。2

xx — ai

xx — ai

d In z;

d In z;

d In zdxi

d In zdxi

dln〃iк (к — 1)dq

(@1 一 "i)F^" 一体 一 D 一 一—(句 ~ "】)瓦 "("一不

屮(〃 一1) + 〃 + 1 ］宓1 —— 221g

о k — idg

⑸-6)2 — / —而

dln〃iк (к — 1)dq

(@1 一 "i)F^" 一体 一 D 一 一—(句 ~ "】)瓦 "("一不

屮(〃 一1) + 〃 + 1 ］宓1 —— 221g

о k — idg

⑸-6)2 — / —而

(10.15)

(10.15)

?/r -_ + (2 + 1)，］

?/r -_ + (2 + 1)，］

k — 1

k — 1

При этом необходимо выбрать Q в виде

Q = e2sf qi Q) + Q° =叱(z) + Qo.(10.12)

В случае Qi = go = const будем иметь Q = q^a^ + Qo и в случае q = Co = const

Q =叱 ° + Q°・(10.13)

Теперь в системе уравнений (9.17) необходимо в правой части no-

следнего уравнения вместо нуля написать выражение, ^Г~ ［(4 - "О ТОГ + 2窃，卜

Система уравнений, решающая задачу, при этом примет

В том случае, когда вид функции q (для обоих типов движений) известен, решение ряда задач не представляет затруднений. Для заданной газовой смеси необходимо установить зависимость Q от р, р или 7, или, что то же самое, от р и с. Тогда можно найти связи между q; % и у; q; / и % и отыскать решения выведенных здесь уравнений.

Б.Автомодельные движения в полетяжести

Здесь мы рассмотрим движения в различных полях тяжести. При этом будем полагать

р = ирк.(10.16)

Рассмотрение начнем с простейшего случая постоянного поля тяжести.

Основная система уравнений в этом случае будет отличаться от уравнений (9.3) лишь тем, что в правой части первого уравнения вместо нуля будет g (ускорение силы тяжести). Если искать автомодельные движения вида z =中％ то для того, чтобы удовлетворить эти уравнения, необходимо допустить 〃】=2, иначе

в уравнения, описывающие указанный класс движений, войдет в явном виде время t.

В случае движений вида z = геР-^ необходимо положить 〃i = =0, иначе t явно войдет в уравнение.

Таким образом, в системах уравнений, описывающих указанные классы движений, мы должны положить: в уравнении (9.10) 旬=2 口 в уравнении (9.19) ах = 0, что и дает возможность преобразовать систему уравнений (10.17) к виду, описывающему автомодельные движения. При этом в первом уравнении системы (9.10) справа вместо 0 будет стоять член glz (во втором случае при 〃】= =0 z = г). Когда g = GMH、то для движений обоих классов z = r/tai и z = ге~аА мы должны положить 〃】=0 и прибавить к знаменателям правых частей первых уравнений (9.10), (9.19) величины GM*/№ и GM工，N соответственно (здесь также z = г).

Перейдем к более подробному рассмотрению наиболее сложного случая автомодельных движений во внутреннем (собственном) поле тяжести среды. Поскольку

div д = —4nGp,(10.17)

то для симметричных движений это уравнение примет вид

亲(grN)=—4kGprN・(10.18)

Умножая почленно первое уравнение системы (9.3) с правой частью g на 宀 мы придем к такому уравнению:

『[罂 + 嚟]+4* 嘗 + 巒融n p)]} + 4nG , 2書=0. (10.19) Обозначая 4nG ^ prNdr = 6 + t(£), откуда 4冗Gpr% = dQ/dr, мы придем к следующей основной системе уравнений:

于8判dr dt.dr2. du 八т+"в+方=°；dr8r于8判dr dt.dr2. du 八т+"в+方=°；dr8r+碍+（卜一山2卷+喇=0.+碍+（卜一山2卷+喇=0.(10.20)

于8判

dr dt.dr2. du 八

т+"в+方=°；

dr8r

于8判

dr dt.dr2. du 八

т+"в+方=°；

dr8r

+碍+（卜一山2卷+喇=0.

+碍+（卜一山2卷+喇=0.

Положим, как и прежде,

z =至，〃=十力(Z)，с = у 了少(z)，p =力嚏(z) И 0 = t^l(z).

Тогда система уравнений (10.20) примет вид

"(% — а» + / (% — 1) + -^-〔2沙 + yf + У ("I；—

(10.22)(10.22)— (%+[))] + 開2+W(N+1)] z-(N+l)= 0；

(10.22)

(10.22)

~=7 (化一〃i) + 〃2 + % =。；

(力—〃i) + (% — 1) /' + [TV(乃一4) + 乃 + 1] — 2 = 0,, где

, yf =, g =. (10.23)

d In z ” d In z ' 、 d In z ' в d In z2 ' 丿

Заметим, что поскольку уравнение непрерывности можно написать в виде

-^ (р2) + 备(呻哨=о,

то, подставляя сюда рг% = 6厂/4冗6, получим д (dQ/dt + и дд/дг)/дг = =0, откуда

粤 + 〃累=。(W24)

(произвольную функцию времени, появляющуюся при интегрировании, без ограничения общности можно получить равной нулю).

Для автомодельных движений уравнение (10.24) примет вид

(N — 〃1) 1-仰=°・(N — 〃1) 1-仰=°・(10.25)(10.25)

(N — 〃1) 1-仰=°・

(N — 〃1) 1-仰=°・

(10.25)

(10.25)

Для того чтобы первое уравнение системы (10.22) не содержало явно Z, необходимо положить

巨2 + 2 = a】(N + 1),(10.26)

тогда

(10.27)(10.27)/2+a2-ai(N+l)gz-(N+1)—.

(10.27)

(10.27)

Исключая из первого уравнения системы (10.22) с помощью второго уравнения этой же системы величину

之_ — g +冗， 1

% — “1

мы сможем написать эти уравнения в виде

%' (了 — а1) + ^ ^' — ^)+^^yr + ^y — y^ + 1 +

(10.29)(10.29)十宓丿」十zN+1 '

(10.29)

(10.29)

*^ (力一〃1) + 伯一1)片 + (N 出 一 1) + 及 +1)/一

一 2 = 0;

--•(/-a])+ a2 =22 °.

Здесь производные берутся no In z. Положим 占=zN+%, тогда |7| = г|7г| + TV + 1, и система (10.29) примет вид

力'(力一a. + 力(.т — i) + ^^f — У ( : 士：； +

十%-1)]+元=0;

(10.30)(10.30)善 Q — а» + 3—1)犷+ [N (力一1) + 力 + 1] % — 2 = 0; 生(£一旬)+ (7V + 1)(右 一 "J 4 a2=。.

(10.30)

(10.30)

Поскольку в эту систему уравнений параметр z явно не входит, а входит только как d In z, то, исключая d In z, можно систему (10.30) написать в виде

,、d In у 八'

din 2 _ dlnF(ai — “)_⑷一冗)F~-(k —1) _

dx — dc[(jV +4)c —2] — [N(k —1) + 儿 + 1]冗一2 一 > (10.31)

-宏)2 _ J

у [2 + ⑷ + 1) / 一 2(1 - %)(旬一定)+ % (a1一 %)

где положено 戏=(N + l)〃i — 2. Поскольку

ijtGprN =力％N+a2g ⑶=乔=力。2-ag (z),

то, учитывая (10.26), получим a2 = W + 旬(N + 1) = (TV + 1) 〃i — ——2, поэтому “2 — —2. Решение задачи, как видим, сводится к решению двух дифференциальных уравнений первого порядка и одной квадратуре. При этом оно будет зависеть от пяти произвольных постоянных,

Совершенно аналогично можно рассмотреть автомодельные движения во внутреннем поле тяжести в том случае, когда

z = ге-а^. 〃 =t?1便)，c = ry%(z), 6 = 6a2伝(z).

Основные характеризующие задачу уравнения при этом примут вид

d In у】

dlnz _ d1口口用一g _ (的- "°FT 一 伯-1)— dei — dxi (^ + 1)^1 — [N (к — 1) + ^ + 1 ] ^i —

=R_:，(10.32)

n +(" + 1)冷)—^I("1 一 3)+ 才(“1 一 力】)

где 1 = zN+鹏，2； = a】(％ + 1)=他 + 〃i (TV + 1), откуда g = °, а следовательно,

p = E (z)・(Ю.ЗЗ)

В тех случаях, когда 旬=0 или аг -> оо и z = г или z = t, мы приходим к вырожденному типу автомодельных движений, которые являются частными случаями рассмотренных здесь общих автомодельных движений.

Автомодельные одномерные движения в трубе переменного сечения

Л диабатические течения. Система уравнений (2.25) для данного типа движений может быть написана в виде

樂+ 碎+ 4<"^(тр)]=。；'

^-(ln Р)+ 〃系(In р) + ^ + “^^ = 0; >(10.34)

雾+碎十 (" — !),信+ "屮卜0,,

где роль координаты / играет г, / ——площадь поперечного сечения. Уравнение неразрывности взято здесь в виде (2.19).

Могут существовать типы автомодельных движений, когда:

а) / = /№ и б) / = Ае*(10.35)

При этом в случае одномерных движений независимую переменную можно выбирать в одном из видов

z = —^- , z = re~aif, z = teair.(10.36)

М.出М.出(10.37)(10.37)(10.38)(10.38)тогдатогдаd 1п/ _ d In г ―d 1п/ _ d In г ―par^.par^.

М.出

М.出

(10.37)

(10.37)

(10.38)

(10.38)

тогда

тогда

d 1п/ _ d In г ―

d 1п/ _ d In г ―

par^.

par^.

108Ав^гомоДейьнУе Движения сред垃

Исследование начнем со случая

Z 〃 =力十,e =了子 J

Р — Ёaе，/ - 4严.

Система уравнений (10.34) примет вид

〃力 一 “J + ?(? - 1) + ^国 + У + У』)=О； 导(？ 一 〃i) + 〃2 + 犷 + 3 + 1" = °；

~ (?— 〃工)+ 2 (/ — 1) + (乃一I) [" + (а + 1)力]=0,

где производные берутся по In z. Мы видим, что система полученных уравнений во всем одинакова с системой уравнений (9.8), описывающих автомодельные движения, обладающие симметрией, если вместо величины N подставить величину а, которая может принимать любые значения (см. уравнения (9.9) и (9.10)).

В том случае, когда для данного типа автомодельных движений функция / имеет вид

/ = /е吋 %

Для того чтобы система (10.37) описывала автомодельные движения, необходимо положить z = г, что возможно при а】=0.

Исследуем другой тип автомодельных движений, когда

(10.39)(10.39)z = re-а", и = гхг, с = г р%， р = е。嘆，причем / = 41.

(10.39)

(10.39)

Очевидно, система результирующих уравнений также будет во всем подобна уравнениям, описывающим симметричные движения газа, если вместо N подставить а [см. уравнения (9.18) и (9.19)]. В том случае, когда / = Ае^, вместо величины а①i в уравнении неразрывности будет стоять величина 0а① 1rB. Для того чтобы удовлетворить требованиям автомодельности, необходимо положить 久=г, т. е. а】=0.

Неадиабаттеские течения. В случае неадиабатических течений мы вправе воспользоваться уравнениями (10.10) "и (10.15), описывающими симметричные движения газа для случаев z = r/力以 и

z = ге^, заменяя в них N на а, когда / = Агл, и на Раг^, когда / = /е“гВ, полагая при этом “工 = 0.

Рассмотрим еще один тип автомодельных одномерных движений газа, когда z = ^laxlt (неодномерные автомодельные симметричные движения газа при этом не существуют, поскольку г будет входить явно в уравнения в члене Nu/r). Если положить

〃=子，с = У— , р =力噁，z =刍—，(Ю.40)

то система щий вид:то система щий вид:основных уравнений для этого случая примет Следую-

то система щий вид:

то система щий вид:

д (д - 〃i) - "1化2 + ~!- (沙2 + 如曾)=°；

(10.41)(10.41)■y-(*2 - "1) + "1@0 + & + 01力2 -^= °；

(10.41)

(10.41)

~（g 一 旬）一 2旬（№一（）［%；+旬22 号q=

n "（〃 一 1） ” &Q

где, например, a；=dg/dlnz・ В том случае, когда / = 41, d In/ Idr = а/т*, и мы, для того чтобы удовлетворить уравнению (10.41), должны положить z = z (г), т. е.旬—0. При этом, вводя z = z\ поскольку d In z= (1/。工)d In z, мы из уравнений (10.41) должны будем вычеркнуть члены вида а^, 〃1Е7Е, 〃1У；・ В том случае, когда / = А^. d In / Idr = оф№т, мы должны или снова положить при произвольном значении 0 的=0, или положить 0 = 1 и d In //dr = а. Поскольку dQ/dt = dQldt + и dQ/dr, то необходимо положить Q = Qq + q (z)/产，тогда

W 穿"=鼠("—％)— 2q〃i 卜=累 z ) • (40.42)

Систему уравнений (10.41) в самом общем случае можно привести к виду

d In z

d In；d In；22十以(冗2中+a2)①% 2 — 01

d In；

d In；

где

ф

d In zdxz

d In f .

din У2 ,、，、41 —瓏一, 厶 dq

~^~ W-g) ("一!) 欢"仲一1)反

"1 [(论一()伤冲一2 + А: (А: — 1) Т^]

(10.44)

(以-方)2 —城_出_ 1)

ai 一费 dq

倣"22a1

движенийдвижений—J- [2 (1 + 屮啕—依рз] —。1?2 («1 一 冗2)— — q (/с — 1)

движений

движений

На этом мы закончим рассмотрение автомодельных специального вида.

§ 11. Плоские и пространственныеавтомодельные движения

Эти задачи были исследованы в общем виде автором [58].

ди . ди .5/ + "方-w 8〃г 83绍2 Г+丄參=°：div .々〃.W 加0.uw.1 дрсZ十"犷十T而一+ р а：=。；十P愕дю . иaj + Г 十土В ctg 9] = 0;as ,dS.w dS 、аг +ди . ди .5/ + "方-w 8〃г 83绍2 Г+丄參=°：div .々〃.W 加0.uw.1 дрсZ十"犷十T而一+ р а：=。；十P愕дю . иaj + Г 十土В ctg 9] = 0;as ,dS.w dS 、аг +(11.1)(11.1)Мы здесь будем рассматривать плоские и пространственные автомодельные движения в случае адиабатического течения газа. Изучение начнем с движений, обладающих осевой симметрией, и плоских движений. Общие уравнения для этих обоих случаев имеют вид (2.24), если положить в уравнениях (2.24) v = w; 屮=6:

ди . ди .

5/ + "方-

w 8〃

г 83

绍2 Г

+丄參=°：

div .々〃.

W 加0

.uw

.1 дрс

Z十"犷十T而一

+ р а：=。；

十P愕

дю . и

aj + Г 十

土В ctg 9] = 0;

as ,

dS

.w dS 、

аг +

ди . ди .

5/ + "方-

w 8〃

г 83

绍2 Г

+丄參=°：

div .々〃.

W 加0

.uw

.1 дрс

Z十"犷十T而一

+ р а：=。；

十P愕

дю . и

aj + Г 十

土В ctg 9] = 0;

as ,

dS

.w dS 、

аг +

(11.1)

(11.1)

Здесь г ——радиус-вектор, 0 ——угол между осью, совпадающей с движением газа, и радиусом-вектором, и ——проекция скорости на радиус-вектор R, w — проекция скорости на перпендикуляр к г. Член (1/г) (и + w ctg 0) характеризует осесимметричность движения; в случае плоских движений этот член из уравнений исчезает.

Введем величину с2 =论р/р; поскольку

S—So

то уравнения (11.1) мы напишем в нижеследующем, удобном для дальнейших исследований виде:

ди ди , w ди W2 ,1 Г 5с2 , с2 др 1 п

•齐+ "而+ 丁而一丁+行［乔+万斤］ = 0；

Не . dw . w dw . uw .

-dt+Uw+~^+ - +

1 8р1 8р"上竺+岂r］=0； 十А：［гаа十гр」 ，

1 8р

1 8р

(И.2)(И.2). и dp w др ди и 1 dw .

(И.2)

(И.2)

+ ~^ + ^д^ + ^ + т + ~^ +

4 8,2〃 九24 8,2〃 九2W 8c2W 8c27? ae7? ae+他一D （春雾+他一D （春雾iz + 覆ctg 8 = 0.iz + 覆ctg 8 = 0.十p 8r十十p 8r十

4 8,2〃 九2

4 8,2〃 九2

W 8c2

W 8c2

7? ae

7? ae

+

他一D （春雾

+

他一D （春雾

iz + 覆ctg 8 = 0.

iz + 覆ctg 8 = 0.

十p 8r十

十p 8r十

Пусть и = r/J力 〃 = rxjt, w = rx2lt, c = r Yylt, p = r°Zbg , где ①i,①2, У, E являются функциями одной независимой переменной

(И.З)(И.З)z = rat^.

(И.З)

(И.З)

Здесь мы вводим четыре независимые константы а; Ь; а/丫； 0/у, но выражение для z пишем именно в виде (11.3) исключительно для удобства анализа уравнений, к которым мы сейчас придем.

Обозначая, как и раньше, производные по In z штрихом над соответствующей переменной, например %； = dxjd In z, мы после сравнительно простых преобразований придем к такой системе уравнений, описывающих автомодельные движения:

一 / + 力偉 + 仪々 + 丫g) + /； + ?： + / +，

+ + (а + 2 + а~^~)=。；

(11.4)(11.4)—g + c；(B + a£i+Tg) + 2/g+ 今(К + У 告)=О； 匕 + ± (В + а/ + тд) + (2 + а)勺 + ат； + 丫总 +

(11.4)

(11.4)

+ (^i + ^2ctg0) = O;

2 (^1 — 1) + -~- (Р + 仪/工 + *2)—

Автомодельные движения искомого типа, обладающие осевой симметрией, могут существовать лишь при а = О, В = °，когда z = eR в противном случае величина 0 не будет являться независимой переменной, входя явно в уравнения неразрывности, как ctg 0. Если а 方 О, В # 0, то могут существовать только плоские автомодельные движения искомого типа, так как в этом случае член ①I + g ctg 0 отсутствует.

Исследуем сначала случай а = 0, 0 = 0, при этом примем у = 1. Исключая из уравнений (11.4) величину

dlug _ __ dIng _ d In z ——dlug _ __ dIng _ d In z ——b + (2 + а)宓1 + 的 + 経 ctg 0) + — «и

dlug _ __ dIng _ d In z ——

dlug _ __ dIng _ d In z ——

мы придем к уравнениям

一勺+若一遇+ g符+ 一^"沙=0； 黑2 爲-д + 2/0 + х~Т 翁 +

十2 ("_1)①2宓2 」'

)2 d ^' + 2 (4/1一 1) +3 - 1)[符 + (/+ gctg 0) J= 0.

(11.5)(11.5)(11.6)(11.6)рассмат-рассмат-〃о = rwr〃о = rwr+ ^,+ ^,(И.7)(И.7)что для автомодельных движений7 —х— а р 2%2I d In z d In z I 'что для автомодельных движений7 —х— а р 2%2I d In z d In z I 'даетдает（丫 方； = bR + 2/2）；（丫 方； = bR + 2/2）；(11.8)(11.8)Условие потенциальности течения можно записать для риваемого случая осесимметричных движений в виде

(11.5)

(11.5)

(11.6)

(11.6)

рассмат-

рассмат-

〃о = rwr

〃о = rwr

+ ^,

+ ^,

(И.7)

(И.7)

что для автомодельных движений

7 —х— а р 2%2

I d In z d In z I '

что для автомодельных движений

7 —х— а р 2%2

I d In z d In z I '

дает

дает

（丫 方； = bR + 2/2）；

（丫 方； = bR + 2/2）；

(11.8)

(11.8)

при а = 0, у = 1 это условие принимает вид

(11.9)

Легко убедиться в том, что условие (11.9) совместно с уравнениями (11.6), а следовательно, могут существовать автомодельные осесимметричные безвихревые течения газа.

Вихревые автомодельные осесимметричные движения газа существовать не могут.

Перейдем к рассмотрению плоских движений. Поскольку в уравнении системы (11.4) z не входит явно, а лищь как d In z, то, при-

нимая снова у=0 и исключая из этой системы d (In OJ/d^, получим

(11.10)(11.10)(11.11)(11.11)с d In z dgding =俭+(2 + a)ci)FT + a +丽dxi — В + axi + с?

(11.10)

(11.10)

(11.11)

(11.11)

остальные уравнения мы сможем написать в виде a dy dlnzhT 石 +b +叫+ 宓2

d^T =Г 2Т

2 + а + “ 一4 (宓1 — !) — (& + аху)力 — + 行[в + з+з-

Г7" + (В + Otg + 冗2)~j—

у XT (也一D -他 + а”》2"2 -如+方L中五干忌

ааdy B + aci + c2 , “/&冗2

а

а

—2(^1 —1)

В случае плоских движений условие безвихренности движения (11.8) совместно с уравнением (11.4) только при ? = 0, что соответствует z = (г//3/а)а, & = 0, ip = 0, т. е. мы в этом случае будем иметь автомодельные движения с цилиндрической симметрией, уже изученные нами. Иных беавихревых плоских автомодельных течений не существует.

Рассмотрим еще один тип автомодельных движений, когда

и = r%i，w = гх2, с = ^Уу, р =厂麼喔 (11.12) где ①и 力2, У, Е суть функции одной независимой переменной

z = 16昨丫0 =产6 I В 丿.(11.13)

(Здесь а; &; а/丫； 0/丫 一 четыре независимые константы.) Система основных уравнений (11.2) при этом примет вид

力 1 (В + а/ + Yg) + /；—遞 + 于"+ £ (а + 2 + а 冬)=0；

g(B + а/ + тд) + 2/& + + (矿 + 5 告)=°；

b + ~|~ (В + 以勺 + 丫&) + (2 + а)々 + ос 力 I + 丫g +)

+ 的 + &ctge)= о；

2勺 + ^" (в + a& + t&)-

一 3 一 1) [Ь + 导(в + ад + T①2)+ a/] = 0.，

(乩14)

В случае а = 0, 0 = 0

z = 6丫。(у = 1)

и возможны автомодельные осесимметричные движения. Условие безвихренности движения имеет вид (11.8)

丫 rflnT = “ ^^7 + 2力2(*i = “g + 2&)・

В случае а = 0, § = 0 это условие оказывается совместным с уравнениями (11.14), что еще раз дает возможность заключить о существовании только безвихревых автомодельных осесимметричных движений.

Плоские безвихревые движения этого типа возможны лишь при у = 0, что снова приводит к выводу о возможности только безвихревых автомодельных цилиндрических течений.

В самом общем случае пространственных движений, зависящих от трех координат и времени, нельзя найти автомодельных движений, зависящих от одной независимой переменной. Можно, однако, искать такой тип автомодельных движений, когда число независимых переменных уменьшается на один или два параметра.

Написав, например, основные уравнения в сферических координатах и вводя

〃 =/ /, О = / 勿=/ д, ° = / j/勿 р =厂气空，

(11.15)

где 力° %2，①3，У, Е являются функциями углов ф и 0, мы действительно придем к уравнениям с двумя независимыми переменными, в чем можно убедиться путем элементарных, но громоздких вычислений. Написав уравнения в прямоугольных координатах и вводя в качестве независимых переменных величины

мы придем к системе уравнений с тремя независимыми переменными, причем в качестве зависимых переменных мы должны будем взять величины Е, »,初,d и 0, определяемые соотношениями

“ =V =W = ”L 师)

__(11.17)

с = £吋乜 Р = jap.J

Аналогично, положив

九] =еа^х^ 九2 — е"‘У, % = e^'z,，

u = еа^и^ 少=濟配, w = e^iv^ ，(11.18)

с = ea^c, p = e%,,

мы также придем к системе уравнений с тремя независимыми переменными, которые будут описывать определенный тип пространственных автомодельных движений.

Некоторые типы устаиобибтшсс# автомодельных движений. Хотя изучение стационарных движений среды и не входит в задачу данной книги, мы все же вкратце исследуем несколько интересных типов плоских и осесимметричных автомодельных установившихся движений газа, методы исследования которых совершенно аналогичны тем, которыми мы уже пользовались.

Уравнения установившихся осесимметричных течений могут быть написаны в виде (11.1), если исключить из этих уравнений частные производные по времени. Введем величину с2 = кр/р и выразим члены (1/р) др/дг и (1/рг) др/дд в виде (2.17). Тогда система уравнений примет вид (11.2) без частных производных по времени. Положим

и = 产勺，w = 宀g, с = ар Z/, Р =厂喈， (11.19)

где %],况2，У11 Е ——функции одной независимой переменной

z = raz^.(11.20)

В результате придем к системе уравнений, описывающей автомодельные установившиеся движения газа:

"1 力:+ "3/「71 + 力2/1 一鴻 + V [2"1 + "2 + a3 可]+

丄侬1 = 0・

(11.21)(11.21)(11.22)(11.23)(11.22)(11.23)(1 + 〃1)勺？2 + "3/1/2 + g?；十 З I? - °； 才 1 (1 + "1 + "2)+ 〃3/1 + ^2 + ~^~ ("37 1 十/2)+’

(11.21)

(11.21)

(11.22)

(11.23)

(11.22)

(11.23)

+ (勺 + gctg 9) =0；

~~ (@3/1 + /2)+ (2 -论)a2/1 一(力一I) Tp X

X ("3/ + /2)= 0.,

Здесь, например,

В случае 〃з = 0

и система (11.21) имеет решения в предполагаемом «автомодельном» виде.

Если 〃з / 0, то искомые решения могут иметь место лишь для плоских движений газа, когда исчезает член %] + х2 ctg 0,

поскольку в противном случае 0 явно входит в уравнения, решения которых согласно условию автомодельности не должно зависеть от 0.

Исследуем сначала случай а3 = 0. Если исключить ?/&, то система (11.21) может быть приведена к виду

仰说+ 行/； 一湧+ 一(2也¥2)生=0; "

(1+aJ ^.r2+^2^2++ -ц^пу ^ — = °；(11.24)

(1 + 〃] + / 2 J/i+ /2 + 一〃 片，-—F (71+ gctgO) = 0. J

Здесь, например,力工= 需.

Отсюда легко находится решение Буземана, являющееся обобщением решения Прандтля — Майера. (Решение Буземана относится к изучению конических течений.)

Положим, что 〃i = “2 = 〃з = 0・ Тогда все параметры u; w; с; р являются функциями лишь полярного угла 0 и уравнения (11.24) примут вид:.

первое уравнение

公=w.(11.25)

второе уравнение

公 + 炉 + 元三｛ с2 = А^ = const;(11.26)

полученное равенство является уравнением Бернулли; третье уравнение

г 27/21

(“ + 〃〃告方-」=(〃 + 〃dge)・ м・27)

Можно убедиться в том, что для этих движений S = const. В случае плоских движений член и = ur ctg 0 исчезает, и мы приходим к решению Прандтля — Майера, описывающему, например,

задачу об обтеканиизадачу об обтеканииугла:以=у ^二;(Л2 — и2) , что дает

задачу об обтекании

задачу об обтекании

(11.28)(11.28)и = A sin |/^ £十:(0 + 0q)»

(11.28)

(11.28)

где 0о = const.

В общем случае для автомодельных плоских движений, когда 〃з = 0, мы будем иметь, исходя из уравнений (11.23), после исключения

(11.29)(11.29)(11.30)(11.30)g，① 1 (1 +。1 +。2)+a" + ①;

(11.29)

(11.29)

(11.30)

(11.30)

0驱1 +宴2

соотношения

旬2:+ g/ 171+ ?2/1 -б：+靑？j +

++ a2 + a2a3 Г= 0；

(1 + ai) /g+ a3勺2；+ g芯+五三不+

+ ГHЧ =0；

1 Л 一 14 及(a321 + ①2)

勺[I + @1 + л ) + 〃3力1 + ①2 +〃_[ Г = °'丿

Очевидно, что задача сначала может быть сведена к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям первого порядка, а затем даже к одному уравнению первого порядка (поскольку уравнения однородны).

Эти уравнения имеют вид

碗'

ai4[2ai+^+т5т ^^k]

， yf，@3冗1 + У1 yf

("3宓1 + ①2)①2 + к-та3 + 旳 + 方 j^

(1 + 3冗网+ 口7 码乔"曰冗1 ? +句+ 匸г)

где %= dg/也，у，= dyldxr.

Введем новые величины со и Q: (11.31) при этом примут вид

力2 =①①1； у = AR况7; уравнения

(11.32)(11.32)

(11.32)

(11.32)

d In g _ Mi _ M2

■~5cF =石、=京'

十(А 十 1)Q d co J

十"_1 аз + 0丿」L十

каз dQ к — 1 dco

〃2 \ .

=а+旬+^^7)'“з+з+~(“з+з)义

х：二33一q(2旬+。2 + 曰早)];

(11.33)(11.33)Мк [(1 + aj з + 詣用(1 十(* 需)-

(11.33)

(11.33)

一卜一i+曰心+3+占需);

n2= (I + a1'+ ^~1^ (\("3 + 3)S + ^^f) 一

Решая уравнения (11.32), находим Q = Q (co), /】= 力】(о)； далее определяем ①2 = & Qi), У ~ У QJ, а уже затем z = z (勺).В случае безвихревых течений du/dQ = г dwldr + w, что дает для автомодельных движений

Для осесимметричных движений (а3 = 0), решая совместно уравнение (11.34) и уравнения (11.24), найдем, что безвихревые течения возможны лишь при а】= а? = 0; таким образом, решение Буземана является единственным автомодельным безвихревым решением. Тот же результат имеет место и для плоских движений в случае безвихревых течений. Докажем это утверждение. Сравнивая в первом и втором уравнениях (11.30) коэффициенты при у и у', найдем, что 2al + g = 0.

При этом должно быть

〃口； + а^^ + g/工一碣=“з (1 + “J Nig + 〃з%2%2 + 〃觊 1芯.

(11.35)

Заменяя /】=а^ + (1 + 〃' /?， придем к результату 〃】(％； + + /；) = 0, откуда следует, что аг = 0 и а2 — 0» что и доказывает наше утверждение.

Таким образом, безвихревые плоские течения определяются уравнениями

/ аз + s dQ ] каз dQ

dlnu _ 0Д1 +佔一1)0爾丿 + 二，SZT _

ds2〃аз c 论 1 ~~ —

аз + s +^Zf ° + ^J 炉侬+ co)

В случае вихревых течений при S = const, исходя из уравнений Бернулли, можно прийти к результату

* + 遞 + 元?1 = /^"=屮(z),(11-37)

откуда Л = const = <р (z)「故】，что дает уравнение линий тока в виде ф (га^)厂2al = Л. Очевидно, в частном случае для данной линии тока г = const.

В заключение отметим, что в самом общем случае установившихся пространственных движений, зависящих от трех независимых параметров (функций), не существует автомодельных движений, зависящих от одного параметра; можно лишь найти движения, зависящие от двух независимых параметров. Например, если написать уравнения газовой динамики в сферических координатах, то, вводя

〃 _ 宀/] (ф? 0), о = г。】况2 (屮,0), 勿=raix3 (ф, 0),

С = г^Уу (ф, 0), р га^ (ф, 0),

мы придем к решениям, зависящим от двух параметров ср и 0.

Мы исследовали ряд типов автомодельных движений среды в случае адиабатических и неадиабатических процессов, происходящих в движущейся среде. Значительный прикладной интерес представляют и чисто изэнтропические движения среды. Уравнения, описывающие автомодельные изэнтропические движения среды, представляют частный случай уравнений, полученных нами выше, для всех типов автомодельных движений. Поскольку а — а0 — p/pk = cHkpi = const, то в случае автомодельных движений, когда z = r/tai, должны выполняться очевидные условия:

%(储"2私= z(D噁X, где 4 = const, откуда

獄一1 =,显282(吋1)-("1)g = 4z2y и & = ^Аy (生 - 1). (11.38)

Когда z = reft, должны выполняться такие условия: 然=@" и & =鸽，(U.39)

и, наконец, когда z = (1/力)夕/勿，должны выполняться условия pi ^Ау и а2= - 2^ .(11.40)

При этом также вполне очевидно, что уравнения, связывающие 况2, У, z (после исключения величин &'/& или rf/п)，не изменятся, поскольку они выражают непосредственно связь между 力一。"， »-а，С И r/tai.

В случае изэнтропических течений мы вправе пользоваться обобщенным уравнением политропы вида р = А (рп — рп), справедливым для ряда жидких и твердых сред.

Для плоских и осесимметричных изэнтропических неустано- вившихся течений при z = гЧ^^ необходимо положить

歹=勘 a = b =自(11.41)

и при

z =尸6例eY吒/«：-1 =力弘 a - ^ 2. £ » b=0.(11.42)

В случае таких же установившихся течений необходимо положить ё1 = 力弘 "2 =万当〃1・(11.43)

Автомодельные движения описываются решениями, имеющими групповой характер (группу Ли). Существуют методы и работы, посвященные вопросу отыскания решений класса автомодельных уравнений методами теории групп. Эти методы основаны на том, что автомодельные решения задаются представлениями определенной группы G*, той же самой, относительно которой инвариантна система дифференцированных уравнений в частных производных. Поскольку угадать эту группу всегда гораздо проще, чем производить соответствующие расчеты, то мы не будем здесь останавливаться на чисто групповых методах исследования уравнений, тем более, что для уравнений классической газовой динамики все классы автомодельных решений были нами уже найдены в 1944 г.

§ 12. Вариация произвольных достоянныхв автомодельных решениях

Для ряда задач газовой динамики возможно, исходя из частных автомодельных решений, которые дают полный интеграл основной системы уравнений, найти новые решения, причем эти решения уже не будут являться автомодельными7 а позволят

§ 12] ВАРИАЦИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ постоянных 121 приближенно описать общие решения основной системы уравнений газовой динамики (2.25) для движений, обладающих точечной симметрией; при этом будем предполагать, что р = opv.

Основные уравнения, описывающие автомодельные движения, имеют вид (9.9) и (9.10), 〃「g — произвольные константы, кроме того, можно еще ввести произвольную константу т, заменяя t на ^ + т. При интегрировании уравнений (8.9) и (8.10) появятся константы интегрирования q, &, %• Всего при решении системы (9.9) и (9.10) мы будем располагать шестью произвольными константами, что формально дает полный интеграл основной системы уравнений.

Вариация произвольных постоянных в принципе должна позволить искать любые (общие) решения для каждою конкретного случая системы (8.10). Однако формальная вариация может привести к уравнениям еще более сложным, чем исходные. Поэтому сделаем попытку разработать приближенный метод вариации произвольных постоянных для решения одной конкретной задачи —распространения бегущей ударной волны.

Принцип, положенный в основу получения новых решений, заключается в том, что любое движение газа в малом объеме пространства за малый промежуток времени можно считать автомодельным, а произвольное движение газа можно получить, варьируя произвольные постоянные автомодельных решений для фиксированного % по г и для фиксированного г по t так, чтобы удовлетворить граничным и начальным условиям.

Таким образом, для того чтобы найти решения поставленной задачи, необходимо варьировать начальные значения (%н, Ун), а значения произвольных постоянных искать в виде функций от (г,力)，причем возможно искать вид этих функций не для всех произвольных постоянных, а только для некоторых, так как сами □роизвольные постоянные могут являться в ряде случаев функциями друг от друга.

В самом деле, можно показать в общем виде, что 〃？ = 〃2 (〃i)・ Исходя из однозначности решений, необходимо, чтобы одновременно обращались в нули какие-либо два выражения (числители или знаменатели, стоящие в правой части первого из уравнений системы (9.10)). Тогда можно найти некоторую точку

化=疗(〃1， 〃2)， У ~ У (旬，〃2)， (12.1) через которую должно проходить решение этого уравнения. Напишем решение в виде с = F (х, у, а2). Начальные условия дают с = F (%н, Z/h, “1, 〃2)・ Из условия, что решение проходит через точку (^,歹)，имеем

ОтсюдаОтсюдаe =耳(爲歹，"1，〃2).

Отсюда

Отсюда

(12.2)(12.2)"2 := a2 (a1).

(12.2)

(12.2)

Интеграционная постоянная равна с = с (aj. Значит, необходимо искать 〃i = 〃i (г, £), t = t (г,方)，что может быть сделано, исходя из граничных условий, например, из условия разрыва непрерывности вдоль г = г。и равенства какой-либо искомой величины (〃 или р), введенной при г — г, или, исходя из начального условия, при 力=力*. Эти условия определяют также две интеграционные постоянные. В иных условиях может быть, что только а】=а】 (г, /), а другие постоянные определяются из граничных или начальных условий.

Решение задачи в общем виде представляет большие трудности и не дает конкретных выводов, имеющих физическое значение, поэтому необходимо рассмотреть подходящий конкретный пример.

Значительный интерес представляет изучение ударной волны с переменной плотностью на фронте (т. е. реально существующей волны).

Пусть из начала координат распространяется ударная волна. Пусть, далее, на расстоянии q от начала координат давление на фронте волны будет рг (в области (0, rj ударная волна распространилась как сильная, а значение q, для которого р = р* достаточно велико, чтобы было (к ——1)卩工=(А + 1) р0, определяется всецело размерами, т. е. мощностью источника, породившего ударную волну), тогда*)

* =里=(М —4)pi + (k + 4)po “ 9 不 Vo — pl —(及 + 1) pi + (论一1) Po ' <

A = ai 一~ M^£ [(用 + 1) Pi + (^ — 1) Pol, (12.4)

очевидно, что a = 2/(N + 3); таким образом, t = 2q/(N + 3) 0.

Первое уравнение (9.10) для данного случая будет иметь вид

d]nJ_= (ai — х) d\ny — (к — i) dx

X"-[(生-1)乂 + 论 + 1]宓—2*

(12.5)(12.5)(12.6)(12.6)Х [(以一冗)2-

(12.5)

(12.5)

(12.6)

(12.6)

Г 2 (〃i — 1) + 〃2"1

У [^+(N + 1) X X (i - X)(ai - X)

Граничные условия (условия на фронте) будут

7H7Ht _ ui_ _ 2al (pi — po)

7H

7H

7~ — "1 齐一("+1)pi + 伯一1)po

产 /сф!У1 2^2 pi [(/c — i)pi + (k + 1) po]

% =麻屮1 7Г = -^[(百下 1)必+ ("一不広L . a??

Рассмотрим изменение р и v на фронте волны за бесконечно малый интервал времени △厶 т. е. рассмотрим движение волны за этот

11

же интервал времени. Поскольку = ^°2, Р =不 y^z2l2^-^+(3i и, очевидно, что на фронте волны z = zH = const функции от z при z = Zh также постоянны, то d In v = — 〃2d In t, d In p = =[2 (a】一1) + 〃2】din 力；отсюда

Очевидно, p и d In P _ d In v —Очевидно, p и d In P _ d In v —券？ = + 2.(。1一1)]. (12.8) v на фронте связаны уравнениями (12.3), поэтому -"一)勺主^ + 1)Р。. [(к + 1)e + 伯一 1) Р。]. (12.9)

Очевидно, p и d In P _ d In v —

Очевидно, p и d In P _ d In v —

Из (12.8) и (12.9) имеем

出戸)+1 =吐吗标а[伯 + i)P1-(*-i)Ро].(12.Ю)

Мы получили одно уравнение, связывающее 〃】и д; при этом за значение р необходимо взять р「Решим уравнение (12.5) с граничными условиями (12.6) и (12.7). Для сохранения однозначности необходимо одновременно приравнять к нулю выражения

[N(k-i) + (k + i)]x-2 и “2(4[1) +а?+(% + ]“]_

一 х (1 一2)(旬一况).

Только в этом случае d (In z)/dx〉0, что необходимо требовать для расходящейся волны. Применение закона сохранения энергии уже не может дать общего выражения для а2 = 〃2 (〃i), поскольку на всем интервале времени движение не автомодельно. Из условия равенства нулю написанных выражений имеем

” /V(/c-l) + ^ + l” /V(/c-l) + ^ + lх (a1 - 7) (1 - Z)х (a1 - 7) (1 - Z)一么У+做+("+ 1"一么У+做+("+ 1"(12.11)(12.11)

” /V(/c-l) + ^ + l

” /V(/c-l) + ^ + l

х (a1 - 7) (1 - Z)

х (a1 - 7) (1 - Z)

一么У+做+("+ 1"

一么У+做+("+ 1"

(12.11)

(12.11)

Решая уравнение (12.5) и требуя, чтобы решение проходило через точки (%н, Z/h),(2,歹)，найдем g = “2 (〃i)・

Решая совместно (12.10) и (12.11), определим 〃】и 〃2 как функции pi и для заданного рг непосредственно значения ® и д. Как видим, схема решения может быть описана следующим образом: при 0 W 力 < 2/(N + 3) x/D1 =力 1 имеет место автомодельное решение, найденное для сильной волны:

〃2 ~ °,〃2 ~ °,22(12.12)(12.12)

〃2 ~ °,

〃2 ~ °,

2

2

(12.12)

(12.12)

При 力》 左 решаем систему (12.5) с граничными условиями (12.6) и (12.7). Определяем а± и а2, после чего для некоторого Д^ находим Ари исходя из формулы

曾=[2a-1) + 廟乎(12.13)

Далее, для А = Pi + Api определяем ①屮 Ун, снова решаем уравнение (12.5) и т. д.

Учитывая, что пределы изменения а* и а2 невелики, А& можно выбрать достаточно большим. Можно искать решение и в таком приближенном виде. Возьмем величину А/ достаточно большой. Пусть на интервале 友打 > 力戸友 при z = zH все функции от z постоянны. Тогда

在口=胖21)+『 也 =а 8产(12.14)

где 仇 = 友+1/九.Уравнение (12.3) дает

“ (Л - 1) 02(«i-l)+a2 + /с 1

Решая (12.12) и (12.15), найдем 旬 и а2, после чего определяем Vi+1И科+1・

2

Решение начнем при X = 0. При 力〉々 〃工〉户彳3，旬<0, но 2 (〃 一 1) + g〉一(N + 1) а】，так как при относительно малых движениях затухание ударной волны с расстоянием уменьшается. Оказывается, что для W=1hTV = 2 а2 сначала убывает от нуля, затем возрастает, приближаясь к нулю; 〃】монотонно возрастает, приближаясь к единице. При N=0 в пределе (при t -> оо) 〃2 = °, 〃1 = 1・ В этом конкретном случае во всей области решения можно положить t = 0.

Для нахождения связи между ^ и а2 в некаторых случаях, например при изучении бегущей от поршня или из центра ударной волны, можно поступать следующим образом. Полная энергия волны равна

e = 4 “右+喲内廿=4(也)+勻女=尸⑴，

00

где 4 = 1, 2л, 4л при TV = 0, 1, 2;歹(力)一известная из условий задачи функция времени. Например, для точечного взрыва

，(，丿一也0十"+分仲—])_ 5十(%+ 1)体-1/ I ，

где Eq — начальная энергия. Так как

\ E^n ［左 / L)+ 子］dz = ^ (%), Zh = 2H (力) о

и поскольку меняются начальные условия при неавтомодельном движении, причем значение 卩 «) можно вычислить, то 卩(友)力*一2+办仆+3)=歹(«), откуда для каждого момента времени находим % = 〃2 (〃1)・

Решение следует проводить методом последовательных приближений, задавая в решении для ti+1 значения 旬 и а2, найденные для 友,а затем исправлять эти значения.

Таким образом, задача о вычислении параметров бегущей ударной волны принципиально может считаться решенной. Точно так же можно решать и другие задачи адиабатических движений, обладающих центральной симметрией.

Начиная с некоторого t =友，волна становится акустической, когда можно пренебречь уменьшением энергии (при рн/р0 = 1 + 十 А, где А £ 1/2); тогда данное решение нужно сопрягать с известным квазиакустическим. Поскольку варьируются 旬 и а2, а также начальные условия, то константы q, &, с3 также автоматически подвергаются варьированию. При этом константа % определяется при решении уравнения первого порядка, а константы сг и с3 — при взятии квадратур.

В других случаях нужно варьировать и величину т. Совершенно аналогичные рассуждения можно провести для другого случая автомодельных движений, когда

z = re_叫 2=?, %, g = ре-a也

Основные уравнения при этом снова имеют вид (9.18) и (9.19). Вариация произвольных констант аг и а2 осуществлялась так же, как и в первом рассмотренном случае.

ГЛ AB A IV

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЦЛЯ ОДНОМЕРНЫХИЗЭНТРОПИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ СРЕДЫ

§ 13. Основные формы уравнений.

Общие решения в случае ?£ = 3

Одномерные изэнтропические движения среды являются одним из самых изученных разделов газовой динамики как в области неустановившихся, так и в области установившихся движений. Теория одномерных неустановившихся движений среды имеет весьма большое принципиальное значение для выяснения физических закономерностей неустановившихся движений вообще. Выводы, которые можно сделать и которые будут сделаны на основании изучения одномерных неустановившихся движений, являются полезными при исследовании других, более сложных неодномерных видов движения.

Теория одномерных неустановившихся движений имеет также большое прикладное значение в ряде областей техники и физики. В качестве конкретного приложения этой теории мы, в частности, далее рассмотрим некоторые вопросы неустановившихся движений жидкости в различного рода руслах и каналах.

Система уравнений, описывающих одномерные изэнтропические движения среды, как это следует из уравнений (2.25) при 7У=0иг=си уравнения (2.19) при v = w = Q, может быть записана в виде

ди . ди . 1 др с 、

а а Р 7 (13.1)

忑(In Р)+ 4 (In р) + 詣=0・

Пользуясь формулами (2.17): 春患=^，и (2.21) при v= w = О, можно видоизменить уравнения (13.1) так:

8〃'дГ8〃'дГ. ди . di с+ 〃在■ +石=°；. ди . di с+ 〃在■ +石=°；didi+"分+С h°・+"分+С h°・(13.2)(13.2)

8〃'дГ

8〃'дГ

. ди . di с+ 〃在■ +石=°；

. ди . di с+ 〃在■ +石=°；

di

di

+"分+С h°・

+"分+С h°・

(13.2)

(13.2)

Укажем еще одну форму уравнений (13.1). Предположим, что уравнение состояния дано политропой (8.17): р = 4 (рп ——pj)；

градиентный член в первом уравнении (2.25) выразим в форме (2.18): dpi® 8х = 12/{п — 1)] др/дх, а уравнение неразрывности напишем в виде (2.20). Тогда придем к уравнениям:

ди .8〃2дс1С дх —0;дс . дс . п —1 8〃° а宓=0.ди .8〃2дс1С дх —0;дс . дс . п —1 8〃° а宓=0.(13.3)(13.3)

ди .8〃2

дс

1С дх —

0;

дс . дс . п —

1 8〃

° а宓=

0.

ди .8〃2

дс

1С дх —

0;

дс . дс . п —

1 8〃

° а宓=

0.

(13.3)

(13.3)

Так как при тг — 1 эти уравнения использовать нельзя, то напишем уравнения для этого случая еще в одной форме. Пользуясь формулой (2.17), выразим член с градиентом в первом уравнении в форме

@р/р дх —巒3 In р/Лг;

при тг = 1 по политропе (8.17) имеем

р = 4р — 4ро；巒=黑=4 =媒

уравнение неразрывности напишем в форме (2.19). Таким образом, получим новую форму одномерных изэнтропических движений среды для случая тг = 1:

(13.4)(13.4)системысистемы(13.5)(13.5)警+ 〃芻+僚显(1。。=。；导(In p)十"^ (In p) + 票=°.

(13.4)

(13.4)

системы

системы

(13.5)

(13.5)

В § 8 мы вывели уравнения характеристик (8.16) для (8.4), которая при d0 = 0 эквивалентна системе (13.1):

备("土卜dlnp) + 他± С)备(〃土§cdlnp) = 0.

Из уравнения (13.5) видно, что заданное состояние среды, определяемое величиной 〃 + \ cd In р = а, распространяется со скоростью 〃 + с в положительном направлении оси х по течению среды, а состояние, определяемое величиной 〃一 § cd In р = R, распространяется со скоростью м — с против движения среды. При этом распространение возмущений при дозвуковом движении будет -происходить как в положительном, так и отрицательном направлении оси ①,при сверхзвуковом движении возмущения уносятся течением и распространение их происходит только в одном направлении оси ①.(Начало координат мы предполагаем движущимся вместе с источником возмущения.) Волны одного направления, проходя через волны другого направления, будут

взаимодействовать с ними, т. е. распространение волн противоположных направлений не является независимым.

В случае, когда изэнтропа выражается уравнением (8.17), уравнения (13.5) примут вид

4 (旺 £ с) + (〃 ± с) ^ (〃土 с)=。・(13.6)

Так как уравнение (13.6) является частным случаем общего уравнения (13.5) для изэнтропы (8.17), то это уравнение можно истолковать совершенно* аналогично: состояния среды, определяемые величинами 〃土九 __彳 с , распространяются соответственно со скоростями 〃土 с. Так же как и в случае уравнения (13.5), волны, распространяющиеся в противоположных направлениях, зависимы друг от друга.

В том случае, когда п~ ^, величина 九 二у = 1 и система уравнений (13.6) принимает исключительно простой вид

"^ (" 土 С)斗、 (m土 С)為(〃土 С) =0(13.7)

или, если обозначить и-\-с = а, и — с = ^:

等+ а翁=0;普十8票=0.(13.8)

Решение системы (13.7) совершенно очевидно:

х = (и -{- c)t 4' /(4 + с)； х = (и — с) t F2 (и — с),

где 歹i(〃 +с);歹2(〃一 О — две произвольные функции, одна от и -[- с п другая от и ——с. Это решение является общим решением основной системы дифференциальных уравнений в случае тг = 3.

Решение (13.9) удобно записать в виде

х = at + Fr (а), х = ^t + F2 (Р). (13.10)

Определяя при заданных начальных и граничных условиях Fr и 歹2, а затем и а и р как функции от % и 力 или, обратно, /; t как функции аир, найдем

а + Ра — Ва + Ра — В(13.11)(13.11)

а + Ра — В

а + Ра — В

(13.11)

(13.11)

Анализируя уравнение (13.7) и его решение (13.10), можно прийти к выводу, что заданные состояния, определяемые величинами 〃 + с = а и и ——с = р, распространяются в среде при 几=3

независимо друг от друга. На это указывает и то обстоятельство, что определение величины 〃 + с = а в уравнениях (13.10) происходит при заданных граничных и начальных условиях независимо от определения величины и — с = 0.

Эти решения также показывают, что при заданных величинах 〃 + с = а, и — с = ^ закон их распространения в плоскости (力,力)изображается прямыми линиями, что уже было установлено ранее при изучении характеристик уравнений, описывающих одномерные изэнтропические движения среды.

Факт независимости распространения величин и + с = а и 〃 ——с = 0 в случае тг = 3 позволяет аналитически просто решать самые разнообразные задачи в области одномерного изэнтропического движения среды.

При выводе решений (13.8) мы использовали обобщенную из- энтропу (8.17). В ряде случаев эту изэнтропу или изэнтропу р = ОорМ можно заменить изэнтропой

р — А (р3 — Ро)? (13.12) не теряя сильно в точности результата при целесообразном выборе коэффициента Ло для самых различных значений показателей п и к.

Указанный прием ——замена одной изэнтропы другой, более удобной для интегрирования уравнений,— давно уже применяется в газовой динамике. Еще С. А. Чаплыгин для удобства интегрирования уравнений, описывающих плоские установившиеся изэнтропические движения газа, предложил заменить обычную изэнтропу вида

Р = 5)рк аппроксимирующей изэнтропой

р = В-^ = B-An, (13.13)

что позволило ему весьма просто проинтегрировать соответствующую указанным движениям систему уравнений.

Надо заметить, что предложенная здесь нами аппроксимация вида (13.12) значительно удобнее аппроксимации вида (13.13). Последняя может в системе координат (ри) представлять или касательную к некоторой точке истинной изэнтропы, или секущую и поэтому будет значительно хуже ее аппроксимировать, чем обобщенная изэнтропа (13.12), кривизна которой (в области аппроксимации) одного знака с кривизной истинной изэнтропы. Так дело обстоит с формальной стороны. С физической точки зрения аппроксимация (13.13) также значительно менее удобна, чем аппроксимация (13.12). В самом деле, из (13.6) при " = —1 получаедг

систему уравнений характеристик в виде (13.7)

(13.14)(13.14)备(〃土e) + (五干 С)*("土С) = 0.

(13.14)

(13.14)

Анализ этих уравнений показывает, что заданное состояние, определяемое величиной 〃 + с = а, распространяется против течения среды со скоростью 〃 一 с = В, а состояние, определяемое величиной 〃 一 с = 3 распространяется по направлению течения среды со скоростью 〃 + с = а, что, вообще говоря, для реальных газов, а также для типичных несжимаемых жидкостей и твердых тел физически абсурдно. Целесообразно применять уравнение состояния (13.12), при которых получаются простые решения.

§ 14. Особые решения

В предыдущем параграфе мы вывели соотношения, позволяющие изучить распространение заданных состояний среды. Мы установили, что существуют волны двух противоположных направлений, которые в общем случае влияют друг на друга. Только в частном случае, когда уравнение изэнтропы имеет вид (13.5) и п = 3, волны обоих направлений распространяются независимо. Для получения особых решений уравнений одномерных изэнтропических движений будем исходить из соотношений (13.4), установленных нами для общего случая, когда уравнение изэнтропы имеет вид р = р (р). Как уже указывалось, из этого уравнения вытекает, что состояния

u+^cdlnp = а,〃 —\ cd In р = В

распространяются соответственно по течению и против течения со скоростями 〃 + с и и — с, взаимодействуя между собой. Так как значения а = а0 или 0 = 0。при подстановке их в систему (13.4) обращают эту систему тождественно в нуль, то эти значения 0co или р0 и будут являться решениями ——первыми интегралами системы (13.4)

Исследуем сначала подробно случай, когда а = а0, при этом и = а0 — ^ cd In р. Подставляя это значение во второе уравнение (13.4), мы получим

备(In Р)+(〃 — с)显 О11 Р)= °-

Подставляя сюда d In р =——du]с, придем к уравнению

警+ (〃 — с)翁=。・(14.1)

При нахождении решения этого уравнения мы должны помнить о непосредственной сязи между и, с.

Пусть задана одна из величин, и или с, тогда будет известной и другая из этих величин на основании уравнения 〃 + § cd In р = а。, являющегося уравнением характеристики. Выбранная совокупность величин 〃，с соответствует некоторой точке на характеристике. Этой точке соответствует такое решение уравнения (14.1):

а = (и — с) t + F (и),а = (и — с) t + F (и),(14.2)(14.2)где 〃 + \ cd In р = а。.Решение (14.2) определено вдоль характеристики 〃 + \ cd In р = =а0, так как задаваемым состояниям (и, с) соответствовали точки этой характеристики. В случае обобщенного уравнения изэнтропы (8.17) второе уравнение этой системы имеет видгде 〃 + \ cd In р = а。.Решение (14.2) определено вдоль характеристики 〃 + \ cd In р = =а0, так как задаваемым состояниям (и, с) соответствовали точки этой характеристики. В случае обобщенного уравнения изэнтропы (8.17) второе уравнение этой системы имеет вид2m+^^71c = a0.2m+^^71c = a0.(14.3)(14.3)Аналогично при § = 阮，исключая 〃 =仇 + \ cd In р или cd In p из второго уравнения системы (13.4), мы придем к уравнениямАналогично при § = 阮，исключая 〃 =仇 + \ cd In р или cd In p из второго уравнения системы (13.4), мы придем к уравнениям^ +(" +С)祭=° или 岑+(" + e)黑=0■^ +(" +С)祭=° или 岑+(" + e)黑=0■(14.4)(14.4)Решения этих уравнений можно написать в виде х = (и + с) t + F (и),Решения этих уравнений можно написать в виде х = (и + с) t + F (и),(14.5)(14.5)где 〃 — \ cd In р = В。; при законе обобщенной (8.17) рое уравнение системы (14.5) приметгде 〃 — \ cd In р = В。; при законе обобщенной (8.17) рое уравнение системы (14.5) приметизэнтропы вто-изэнтропы вто-видвид2U7九一12U7九一1Во・Во・В случае тг = 1 решения, как это видВ случае тг = 1 решения, как это видвидно из (13.4), принимаютвидно из (13.4), принимаютх = (〃土％) t + F (〃)； *u = +coln-~- + constх = (〃土％) t + F (〃)； *u = +coln-~- + constили i = ±ucQ + const, где с0 = const.В случае тг = 3 имеемх — (ис) t + F (и)] "=土。+ const.или i = ±ucQ + const, где с0 = const.В случае тг = 3 имеемх — (ис) t + F (и)] "=土。+ const.”•6)”•6)(%・7)(%・7)

а = (и — с) t + F (и),

а = (и — с) t + F (и),

(14.2)

(14.2)

где 〃 + \ cd In р = а。.

Решение (14.2) определено вдоль характеристики 〃 + \ cd In р = =а0, так как задаваемым состояниям (и, с) соответствовали точки этой характеристики. В случае обобщенного уравнения изэнтропы (8.17) второе уравнение этой системы имеет вид

где 〃 + \ cd In р = а。.

Решение (14.2) определено вдоль характеристики 〃 + \ cd In р = =а0, так как задаваемым состояниям (и, с) соответствовали точки этой характеристики. В случае обобщенного уравнения изэнтропы (8.17) второе уравнение этой системы имеет вид

2

m+^^71c = a0.

2

m+^^71c = a0.

(14.3)

(14.3)

Аналогично при § = 阮，исключая 〃 =仇 + \ cd In р или cd In p из второго уравнения системы (13.4), мы придем к уравнениям

Аналогично при § = 阮，исключая 〃 =仇 + \ cd In р или cd In p из второго уравнения системы (13.4), мы придем к уравнениям

^ +(" +С)祭=° или 岑+(" + e)黑=0■

^ +(" +С)祭=° или 岑+(" + e)黑=0■

(14.4)

(14.4)

Решения этих уравнений можно написать в виде х = (и + с) t + F (и),

Решения этих уравнений можно написать в виде х = (и + с) t + F (и),

(14.5)

(14.5)

где 〃 — \ cd In р = В。; при законе обобщенной (8.17) рое уравнение системы (14.5) примет

где 〃 — \ cd In р = В。; при законе обобщенной (8.17) рое уравнение системы (14.5) примет

изэнтропы вто-

изэнтропы вто-

вид

вид

2

U7

九一1

2

U7

九一1

Во・

Во・

В случае тг = 1 решения, как это вид

В случае тг = 1 решения, как это вид

видно из (13.4), принимают

видно из (13.4), принимают

х = (〃土％) t + F (〃)； *

u = +coln-~- + const

х = (〃土％) t + F (〃)； *

u = +coln-~- + const

или i = ±ucQ + const, где с0 = const.

В случае тг = 3 имеем

х — (ис) t + F (и)] "=土。+ const.

или i = ±ucQ + const, где с0 = const.

В случае тг = 3 имеем

х — (ис) t + F (и)] "=土。+ const.

”•6)

”•6)

(%・7)

(%・7)

В случае п = —1

(14.8)(14.8)化=(〃干с)力+尸(〃)「 u + c= const.

(14.8)

(14.8)

Решения (14.2) и (14.8) зависят от одной произвольной функции и от одной константы.

Общие решения двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка должны зависеть от двух произвольных функций. Таким образом, особые решения не могут описывать произвольные процессы неустановившихся движений газа; они в состоянии описать только некоторые частные процессы, характер которых мы сейчас выясним.

Первый интеграл основной системы уравнений вида

u+^cdlnp = const

является характеристикой в плоскости (и, с). Следовательно, в особом решении уравнений движение среды может быть определено только вдоль одной характеристики. Отсюда следует, что возмущения среды, описываемые особым решением, могут распространяться только в одном направлении и, следовательно, сбудут описывать волну одного направления, так называемую бегущую или простую (римановскую) волну.

В случае общих решений, как мы уже показали (см. (8.16)), существует два семейства характеристик в плоскости (и, с): и + + \ cd In р = const, 〃一、cd In р = const, которые при изэнтропическом уравнении прямолинейны. Им соответствует вообще два криволинейных семейства характеристик в плоскости (%,力)，яв-

с.с.ляющихся решениями уравнений dx/dt = 〃 + c; dx/dt = и —

с.

с.

В случае особых решений одно из семейств характеристик в плоскости (力 ％), например dx/dt = и + с, отображается на одну характеристику в плоскости (“, с): 〃 + \ cd In р = const, а характеристики другого семейства в плоскости (厶 ％): dx/dt = и ——с —— на некоторые ее точки.

В том случае, когда особые решения основных уравнений определяются общими выражениями (14.5) и (14.2):

с = (〃 + с)力+ % (〃)；力=(〃 一с)力+尸2 (〃)；с = (〃 + с)力+ % (〃)；力=(〃 一с)力+尸2 (〃)；〃 一\ cd In р = Во；〃 +，cd In р = а。,

с = (〃 + с)力+ % (〃)；

力=(〃 一с)力+尸2 (〃)；

с = (〃 + с)力+ % (〃)；

力=(〃 一с)力+尸2 (〃)；

где 歹1 # 0 и F2 =^= 0, соответствующие прямолинейные характеристики в плоскости (/, %) начинаются на некоторой линии х = =力口(力)，являющейся границей рассматриваемой волны. Напри-

мер, при произвольном плавном движении поршня этой границей является сам поршень, и уравнение ①=%口 (I) будет описывать закон его движения.

В некоторых частных случаях произвольные функции Fx или 尸2 могут равняться нулю, тогда уравнения (14.3) и (14.5) примут соответственно вид

и + с= —и + с= —〃 —\ cd In р = Во или и —兰с = В。;〃 —\ cd In р = Во или и —兰с = В。;и — си — с=а0 или и +=а0 или и +(14.9)(14.9)

и + с= —

и + с= —

〃 —\ cd In р = Во или и —兰с = В。;

〃 —\ cd In р = Во или и —兰с = В。;

и — с

и — с

=а0 или и +

=а0 или и +

(14.9)

(14.9)

Как мы видим, в данном случае движения среды оказывается автомодельными, поскольку и И с являются функциями лишь одной независимой переменной z, равной отношению %/Е, т. е. мы имеем дело с уже рассмотренным ранее классом автомодельных движений z ==①/"I где а】=1. В случае обобщенной изэнтропы соотношения (14.9) дают соответственно

+ +吊B。； e=м(十一в0) или

"=++ + *&； С = J^ (а0 -.(14.10)

Соотношения (14.9) показывают, что характеристики

% =(立 + 0)力(14.11)

или соответственно

X = (й — с) t(14.12)

выходят из одной точки 力=0, £ = 0; такие характеристики и волны, ими описываемые, называются центрированными.

Так как в уравнении газовой динамики описывающие одномерные движения ① и 力 входят только под знаком дифференциала, то, вычитая из % и 力 произвольные константы ①° ее %, мы получим следующий наиболее общий вид центрированных волн:

2□при 〃一二тС = Во2при и + ^ ~j с = а。2□при 〃一二тС = Во2при и + ^ ~j с = а。X — Соt — £оX — Соt — £о2一冗0i -力02一冗0i -力0=〃 + c,=〃 + c,=U 一 С=U 一 С(14.13)(14.13)

2□

при 〃一二тС = Во

2

при и + ^ ~j с = а。

2□

при 〃一二тС = Во

2

при и + ^ ~j с = а。

X — Соt — £о

X — Соt — £о

2一冗0

i -力0

2一冗0

i -力0

=〃 + c,

=〃 + c,

=U 一 С

=U 一 С

(14.13)

(14.13)

Характеристики для данных решений будут начинаться в точке 力—• %о, t — %.

Полученные здесь результаты, как мы убедились, принципиально справедливы для любого уравнения изэнтропы.

Характерной особенностью особых решений является тот факт, что при любом уравнении изэнтропы и = и (с) или и = и (р). В классической теории особых решений одномерных движений, данной Ирншоу, особые решения определялись именно, исходя из того, что и — и (р). В этом случае основным уравнениям (13.1) можно придать вид

8рЭрdt 1 дх业 дх2_dln_p=0；8p8p况1 дх曳 十дxдиd In р=0.8рЭрdt 1 дх业 дх2_dln_p=0；8p8p况1 дх曳 十дxдиd In р=0.(14.14)(14.14)

8рЭр

dt 1 дх

业 дх

2_dln_p

=0；

8p8p

况1 дх

曳 十дx

ди

d In р

=0.

8рЭр

dt 1 дх

业 дх

2_dln_p

=0；

8p8p

况1 дх

曳 十дx

ди

d In р

=0.

(14.14)

(14.14)

Оба уравнения будут совместны, еслиОба уравнения будут совместны, еслиd In p a d〃号 ° =71^'osa c*d In p a d〃号 ° =71^'osa c*

Оба уравнения будут совместны, если

Оба уравнения будут совместны, если

d In p a d〃

号 ° =71^'osa c*

d In p a d〃

号 ° =71^'osa c*

дует, чтодует, чтоd〃 = 土cd In р = У—dp dv,d〃 = 土cd In р = У—dp dv,

дует, что

дует, что

d〃 = 土cd In р = У—dp dv,

d〃 = 土cd In р = У—dp dv,

что и подтверждает справедливость доказываемого положения.

Дадим теперь формальный вывод особых решений так, как это принято в настоящее время в теории дифференциальных уравнений. Прежде всего заметим (см. § 5), что при отыскании общих решений мы можем менять роль зависимых и независимых переменных, при этом характеристики уравнений, например, в плоскости (力，力) отобразятся на характеристике в плоскости (и, с) (и, р) и обратно, если якобиан преобразования переменных д (“, р)/3 (力 力)卓 0.

решения,(14.15)(14.16)решения,(14.15)(14.16)В случае, когда 3 (и, р) / 5 (厶力)=0, мы уже не смогли бы менять роль зависимых и независимых переменных, а поэтому изображения одного семейства характеристик в плоскости (%, t) будут попадать только на одну характеристику соответствующего семейства в плоскости (и, р) или (и, с), т. е. изображение одного семейства характеристик %, ^ на и, р будет вырожденным. Решение, основных уравнений в этом случае и будет как раз особым, поскольку многообразие характеристик, а следовательно, и начальных условий, задаваемых на характеристиках, от которых решение зависит, будет также вырожденным (меньшим).

решения,

(14.15)

(14.16)

решения,

(14.15)

(14.16)

Перейдем к аналитическому опр еделению особого исходя из условия

Это условие дает

ди 8р — ди 8р dt д* — дх А/ •

Написав основную систему уравнений (13.1) в виде

ди . ди , с2 с

警+壊+ р^ =。

(здесь третий член первого уравнения взят в виде (2.17), а уравнение неразрывности — в виде (2.14) при v = 0), исключим из нее прежде всего

ди

ди — 8р дх dt — дх 8р дх

тогда уравнения примут вид

8Р丄7/ ap丄傍8Р丄7/ ap丄傍

8Р丄7/ ap丄傍

8Р丄7/ ap丄傍

ар I ар 10〃 л

ЗГ± 〃后 + Р^Г "

(14.17)(14.18)(14.19)(14.17)(14.18)(14.19)Оба уравнения будут совместны в случае ди 11ap

(14.17)

(14.18)

(14.19)

(14.17)

(14.18)

(14.19)

Из (14.16) и (14.17) сразу же получаем ди1 8р

ас — ± с р 力.

Из (14.17) и (14.18) следует, что

d〃 = ± cd In р.

Подстановка этого условия, например, в первое уравнение (13.1), как мы видели, приводит к уравнению (14.1), отвечающему значению а = а0, что приводит к решению (14.2) и второму аналогичному решению, соответствующему значению § = 0°：

①=(и 土 с)力 + 尸(〃)・ (14.20)

Таким образом, исходя из условия, что якобиан 5 (и, р) / 5 (厶 力) равен нулю, мы действительно пришли к уже полученным другим способом особым решениям основной системы уравнений.

Рассмотрим теперь особые решения в форме Лагранжа. Основные уравнения (3.22) для изэнтропических течений в форме Лагранжа имеют вид

(14.21)(14.21)況十dh

(14.21)

(14.21)

P^j

где d% = ро da = р 器 da = р dx\ здесь р0 ——плотность газа при 力=0. Продифференцировав по времени второе уравнение (14.21), получим

器+ 土穿=。■ (伍.22)

Поскольку первое уравнение (14.21) можно написать в виде

(14.23)(14.23)也宀№曲=0

(14.23)

(14.23)

灰十С dh 5

то, полагая и — и (р), мы уравнения (14.22) и (14.23) сможем написать в виде

at十du С dh 5р 8也dp(丄4

Отсюда мы приходим к прежнему условию совместности уравнений системы (14.24) du = ± cd In р, что и понятно, ибо условие совместности не должно зависеть от формы представления уравнений.

Подставляя условие совместности, например, в уравнение (14.23), мы придем к такому результату;

普干К靄=0，(14・25)

где К = рс есть импеданц. Решение уравнения (14.25) находится элементарно; оно имеет вид

九=± & + ①(К) или 九=\ ро da = ± рс力 + Ф (р). (14.26)

В случае политропического газа, когда р = / (рп — ро),

М = ± n_ i с + а, где а = const и

п+1

к =рс=Рн%(^)1 ・"4・27)

Здесь рн и Сн суть начальная плотность и скорость звука в среде, не возмущенной движением.

Решение (14.26) принимает вид 九+lп+1

为=± рhа (^) I £ + ①e)=кН (^уT 力 + ①()(14.28)

Аналогичное выражение можно написать, связывая h, t и и:

п+1

九=const (и — const)n-i 力 + ①(и).(14.29)

Поскольку соответствующее решение в эйлеровой форме есть

力=(〃土 с)力 + 歹(〃)=(士沼"С + 可力 + 尸(с),(14.30)

то, исключая формально из (14.28) и (14.30) величину % мы придем к зависимости, связывающей х, t и h (или а).

Как мы видим, особые решения в форме Лагранжа менее удобны, чем в форме Эйлера.

Рассмотрим пример перехода от особых решений, написанных в форме Эйлера, к решениям в форме Лагранжа. Так как

dx .

方=2 = 〃，

то, дифференцируя по t уравнение (14.30), мы придем к следующее му результату:

干皿備甘偿+務雾=土(当/+耨黑,

откуда

dt I n +1 t de

решение этого уравнения дает (при этом надо помнить, что производная dtldc берется при постоянном Л)

切口=/（九）士、寥切口=/（九）士、寥2

切口=/（九）士、寥

切口=/（九）士、寥

c—i de = / (Д) + ф (с),

откуда

71+1

(14.31)(14.31)/ (%)=士 e?1 上 + Ф ⑹.

(14.31)

(14.31)

При / (fe) = const h решение (14.31) действительно эквивалентно решению (14.28). В случае центрированных волн, когда F (и) = 0, решения в форме Лагранжа также упрощаются и принимают вид

h = ± Кн ^~7")П 1 ^ u ± ~nIff ^ + ^; (14.32)

九=± Kt, 〃 = ±九=± Kt, 〃 = ±в частном случае политропического газа или в общем случае, когда Р = Р(Р),

九=± Kt, 〃 = ±

九=± Kt, 〃 = ±

(14.33)

Поскольку при этом 力=(〃 ± с)力 то исключение из уравнений с в случае политропического газа не представляет затруднений и

связь между 爲 видсвязь между 爲 вид

связь между 爲 вид

связь между 爲 вид

что можно записать кратко в виде

九=&力力 n+i + X2tn+2 ,(14.34)

где 41H 4 — константы.

В том случае, когда начальная плотность не зависит от а, т. е. до начала движения плотность везде одинакова, мы на основании соотношения (14.34) придем к такой зависимости, связывающей 瑞а и加

2__计I R а = &贺叶工 + 4 力叶 1 = —,(14.35)

где Ai и А2 — снова две константы.

Поскольку характеристики в лагранжевом представлении определяются соотношением dh/dt = 土儿 то dhldt = hit, что определяет одно семейство характеристик как ht = const, т. е. это семейство характеристик для центрированных волн является семейством равнобочных гипербол.

Отметим теперь некоторую связь особых решений с решениями, описывающими некоторые классы автомодельных движений. В случае автомодельных движений типа z = xltai (/ = г)

Очевидно, эти зависимости можно написать в виде

Ut'F =屮(或-叫， (14.36)

что в случае 仰=1 дает 〃 =屮(с), т. е. условие того, что эта функция, удовлетворяющая уравнениям газовой динамики, является первым интегралом особого решения; при этом данный тип автомодельных движений, как мы видели выше, является частным случаем особого решения, когда 歹(位三 0 и % = (〃 土 с)九

Точно такие же выводы мы получим при z = /е~叫 когда 〃工=0, и при z =夕俨/力，когда также а】=0. Таким образом, указанные типы автомодельных движений являются некоторыми своеобразными обобщениями особых решений основных уравнений газовой динамики для неизэнтропических неодномерных движений.

Движения среды, описываемые особыми решениями, имеют большое прикладное значение, в чем мы убедимся, решая ряд задач.

Особые решения обладают еще одним важным и интересным свойством. Движения, ими описываемые, обязательно должны сопрягаться (примыкать) с областью покоя или, в более общем случае, с областью стационарного движения среды. Когда параметры, характеризующие движение и состояние среды, постоянны, то очевидно, что условия

и = const, с = const (р = const, р = const) являются тривиальными особыми решениями системы основных уравнений.

Волна, описываемая особым решением, является волной одного направления, и параметры среды на фронте этой волны должны быть обязательно постоянными, чтобы выполнялось условие прямолинейности характеристик одного направления в плоскости (%,力.Только в этом случае закон движения фронта 力=% (力) будет в плоскости (%,力 изображаться прямой линией / = (uH —— —%) £ + const, где uH, % — скорость среды и скорость звука на фронте волны, описываемой особым решением, равные скорости среды и звука в стационарной волне.

Если движение с обеих сторон какой-либо волны нестационарно, то никакая из характеристик обоих семейств не будет в плоскости (①,力)прямолинейна, а следовательно, эта волна не будет описываться особым решением.

Таким образом, возмущение, бегущее по стационарно движущейся среде, действительно может быть описано только особым решением основных уравнений газовой динамики.

Простые волны, т. е. волны, описываемые особыми решениями, могут быть волнами сжатия в том случае, когда их фронт движется по направлению течения среды, и волнами разрежения, когда их фронт движется против течения среды. Простую волну можно представить как систему элементарных звуковых волн, поскольку для последних А〃 = 土 с Др/р, а для простой волны и = + ^cdlnp; это положение станет еще очевиднее, если решение для простой волны мы напишем в виде и — F [х — (и + с) t], отсюда при 〃/с《1 имеем и = F (х + с^, т. е. уравнение бегущей звуковой волны.

§ 15. Общие решения

Для нахождения общих решений одномерных изэнтропических движений среды воспользуемся уравнениями (13.3). Обратим зависимые и независимые переменные, т. е•力 и % будем считать за зависимые, а и и г —— за независимые переменные. Для этой цели

представим уравнения (13.3) в виде якобианов:

а (〃，冗), а & 〃)а“，о 一

(15.1)(15.1)3(£, с)十 а & с)十 a(z,况)— '

(15.1)

(15.1)

Р(3 с)и ° (力')I с2 а «，“)°.

8仏е)十м а包况)十с а а,宓)一

Разделим почленно эти уравнения на якобиан д (u, i)/5 (厶 ％), ио： лагая, что нигде в области искомых решений этот якобиан не обращается в нуль. (В противном случае, как мы уже знаем, придем к особым решениям системы уравнений (15.1)). В результате преобразования получим следующую систему:

а 3, н)丄 7/ & & 〃)丄 & (厶 0 一 n.а(〃，i)十 а (м, i)十 a(〃，》)—⑺

a(t…)I - a(九尸2 8仏")°5.2) a(u, о 十 “ а з, i)十 с а(〃，о — J

Раскрывая якобианы, придем к уравнениям

дх аГдх аГdt . dt 八 "而+而=°；dt . dt 八 "而+而=°；(15.3)(15.3)

дх аГ

дх аГ

dt . dt 八 "而+而=°；

dt . dt 八 "而+而=°；

(15.3)

(15.3)

Для линеаризации этой системы проведем преобразование Лежандра. Введем новую функцию 屮=屮(〃，9 c помощью соотношения

力=就一禦.(15.4)

ди、，

Тогда уравнения (15.3) примут вид

dt@2 屮2 az@2 屮

瓦=石齐；'十С亓=初.

(15.5)

Первое уравнение (15.5) определяет t = d^/di,

(15.6)

второе уравнение примет вид

2空丄生北屮

(15.7)

В случае n = 1 с = сн = У A = const и 奩竺竺=也

(15.8)

Мы пришли в результате проделанных преобразований ——перемены роли зависимых и независимых переменных в исходных уравнениях и введения новой функции 屮(и, %) — к линейному относительно 屮 дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка (15.7).

Интегрировать и исследовать подобные уравнения умел еще Эйлер, затем подробные методы их интегрирования дали Риман и Дарбу. Полагая в случае уравнения изэнтропы вида (8.17)

d，271 — 1d，271 — 1

d，2

71 — 1

d，2

71 — 1

определим теплосодержание не в виде i* = (с2 —— 若)/(孔 ——1)= =發/(几—1) (1 — р()/р)пт, а как величину, определяемую выражением

Назовем Z эффективным теплосодержанием. Введение величины Z — с2/(тг _ 1) сейчас является более удобным для производства дальнейших выкладок. Переход к истинному значению теплосодержания, которое мы здесь обозначим как Z*, не представляет затруднений; Z* = Z ——i0, где i0=園(п ——1) есть эффективное теплосодержание при р = 0. В случае уравнения изэнтропы р = Оорк оба значения теплосодержания — истинного и эффективного — совпадают, поскольку р0 — 0, с。= 0 и i0 = 0. Для удобства дальнейших преобразований напишем теперь уравнение (15.7) в двух видах, выражая все или через Z и и, или сим. Первый вид уравнения очевиден:

(I)偉+ А 累 U5.9)

Второй вид мы получим, определяя

тогдатогдаа屮而а屮而m — 1 a屮.2c до 'm — 1 a屮.2c до '/ п — 1 \2 г а21р 3 — n 1 叫]_ 82屮 [~~2-)[初 十7T=T方 而尸 钎./ п — 1 \2 г а21р 3 — n 1 叫]_ 82屮 [~~2-)[初 十7T=T方 而尸 钎.(15.10)(15.10)

тогда

тогда

а屮而

а屮而

m — 1 a屮.

2c до '

m — 1 a屮.

2c до '

/ п — 1 \2 г а21р 3 — n 1 叫]_ 82屮 [~~2-)[初 十7T=T方 而尸 钎.

/ п — 1 \2 г а21р 3 — n 1 叫]_ 82屮 [~~2-)[初 十7T=T方 而尸 钎.

(15.10)

(15.10)

Если вместо с ввести новую независимую переменную w = =2c/(〃 — 1), то это уравнение можно переписать так:

(15.11)(15.11)

(15.11)

(15.11)

2'2'им с — и — W, 冷—1'им с — и — W, 冷—1'

2'

2'

им с — и — W, 冷—1'

им с — и — W, 冷—1'

Примем теперь за независимые переменные величины а и 卩:

2

а — и + 九二у с = и-[- w, —В =

откудаоткудаи —и —а一Bа一BW =W =支+ в~2~支+ в~2~

откуда

откуда

и —

и —

а一B

а一B

W =

W =

支+ в~2~

支+ в~2~

Величины а и 0 в теории дифференциальных уравнений называются инвариантами Римана. Легко убедиться, что уравнение (15.11) в переменных а и § примет вид

а屮а屮

(15.12)(15.12)а 绅—n — з 5оГ + ад8а。32(7Z — 1) ос 十 В

(15.12)

(15.12)

Такая форма уравнения называется канонической.

В случае тг = 1 мы имеем с = сп = YА + const, di =捲・ • d In p; вводя новую переменную

co = In --

Ph 4

мы приведем уравнение (15.8) к виду

礬+寨=器礬礬+寨=器礬(15.13)(15.13)

礬+寨=器礬

礬+寨=器礬

(15.13)

(15.13)

Снова вводя переменные d и 0; 4员=〃/сн +(о; — 4|3 = и/сн —(о, придем к каноническому уравнению Римана

(15.14)(15.14)

(15.14)

(15.14)

Решение этого уравнения выражается гипергеометрическим рядом (или бесселевыми функциями).

Дифференцируя почленно соотношение (15.9) по г, придем к такому результату:

ь一小黎十等5-1+1)=嘉，

где 屮 1 = d^/di* поскольку мы имеем d^ldi =厶 то это соотношение является уравнением, определяющим t:

/ Л Х - dн . dt d2t

(Z2- 一 1) % “д'.炉 + ТЬ ' q o' •(15.15)

、7 di2 di/

Заменив производные по 2 производными по с и учитывая, что (п — 1)Z = с2, придем к уравнению

(15.16)(15.16)（九一（\2「a2力九+ 1 I dtl _ dЧ

(15.16)

(15.16)

「У 丿［而’十九-1瓦［=丽 ,

Продифференцировав соотношение (15.9) г раз по г, мы получим

Интегрируя г раз по i это же выражение, будем иметь

解一屮先(察)+ [-r(n-l)+l].-^ (察)=先篇), где

L屮 SL屮 S§ 屮 di di ... di.§ 屮 di di ... di.

L屮 S

L屮 S

§ 屮 di di ... di.

§ 屮 di di ... di.

Результаты дифференцирования и интегрирования мы сможем, объединив их, написать так:

@一中装(察)+ [±/-1) + 1]盜借)=舒(u).

(15.17)

Перейдем снова от независимых переменных Z, 〃 к переменным w, 〃，тогда (15.14) мы напишем в виде

• (15.18)• (15.18)

• (15.18)

• (15.18)

Соответствующее каноническое уравнение примет вид

鑫(/)=-IM芸? 土「]$[备(請)+帯(精).•

(15.19)

3 —九 I с+ 2г + 3

Положив -п-згг ± г = 0, определим тг =工上丁 , где 一士/Г十丄

г = 0, 1, 2, 3, ...» оо; тогда уравнения (15.18) и (15.19) напишутся так:

矗(礬)=aё2。)

т. е. станут обычными волновыми уравнениями. Общим решением волнового уравнения, как известно, является 詳= %(а)+%(В),(15.21)

при этом знаку минус соответствует

屮=，一•礬或或…•或，

знаку плюс соответствует

что можно объединить выражением

屮=爵因3)+ %(3)1(15.22)

при условии 汽= 当;；：,厂=0, 1, 2, 3,・・・,8.

Решение (15.22) является общим решением системы уравнений (15.1).

111 У 九一1 '111 У 九一1 '(15.23)(15.23)(15.24)(15.24)Поскольку

111 У 九一1 '

111 У 九一1 '

(15.23)

(15.23)

(15.24)

(15.24)

-b = e 一 w - uc - u - 2,

l71 — 1y几-1'

то, заменяя п через г, придем к таким выражениям:

口 = 〃 + 方±Г = 〃 + "② + 1)%一в =厶-^7 = "-了^^^・，

(Здесь надо помнить, что корень имеет знак ±・)Теперь общее решение (15.18) мы сможем написать в виде

屮=%{ь1[m2(2…)方 + 用 + % []/2(2宀)方 - u]}(15.25)

2г + 3п л о о

для п=可 +, где г = U,оо, чему соответствуют

значения 几 =3, 5/3, 7/5,1, причем

一寥，"樓(15.26)

Значение п = ^； ：•； соответствует реальным значениям показателя политропы,

Решение вида

"=莊[Л 6牙「豆"+ U) + % (了2《-2屮-〃，)](15.27)

будет соответствовать значениям индекса п, равным

— 2尸

где для г — 0, 1, 2, 3, ..., оо значения и равны 几=3, —1; 1/3, 3/5,…，1, что, за исключением случаев г = 0 и г = оо, приводит к нереальным значениям показателя изэнтропы п. Определенный интерес может представлять случай г = 1, когда п =——1 (для ряда аппроксимаций). Очевидно, что У2 (1 — 2г)» =(二 方,т. е. является действительной величиной, поскольку при г〉1 i 〜一с2 Vo.

Общее решение, написанное в виде (15.22), можно преобразовать также к виду, содержащему производные по а и [3. Так как

У宁宀宇=2/三,i = .("

то производная от какой-либо функции z (Z) по Z определится выражением

dz 41( dz I dz \

诉=二1中I而十邛7 ；

таким образом, в случае г = 1

吧 也

△814 质"+兩/1 (a) + /2(p)

屮=齐田10) + %(圳=口 卄厂=--стЙт"”，

где /工(а) и /2 (Р) — две новые произвольные функции

F —4 3/ F —48尸 2

% 一 n — 1 ^Г， ‘2 一 九—1 ag .

3 + В)儔+ *) —2(〃 + ")3 + В)儔+ *) —2(〃 + ")Поскольку при г = 2

3 + В)儔+ *) —2(〃 + ")

3 + В)儔+ *) —2(〃 + ")

@+B)3—

一「色 /1 I 8/2]

一不二Ц石研再十葩Q + 6)2」

то, используя метод полной индукции, можно показать, что при произвольном г

а±「т 〃(а) I @нт /2 (В) 况土гт (а + В)士「十郎士I (а + В)土га±「т 〃(а) I @нт /2 (В) 况土гт (а + В)士「十郎士I (а + В)土г(15.28)(15.28)q+丁

а±「т 〃(а) I @нт /2 (В) 况土гт (а + В)士「十郎士I (а + В)土г

а±「т 〃(а) I @нт /2 (В) 况土гт (а + В)士「十郎士I (а + В)土г

(15.28)

(15.28)

屮=戸? [Л (а) + % (В)]=

Укажем для полноты изложения, что введенные здесь производные функции /1 (а) и /2 (а) связаны с произвольными функциями ^ (а) и 歹2 (а) соотношениями)

九= (』)*П2®+1)]嚼’(与了篇=[2(2Г + 1)Г•答.

Поставленная нами задача отыскания общих решений завершена. Как и следовало ожидать, общее решение двух уравнений в частных производных первого порядка зависит от двух произвольных функций. Произвольные функции 尸工(a), F2 (|3) или 片(а), /2 (0) являются функциями от характеристических соотношений в плоскостях (〃,с) и (〃, Z). Решения, написанные в форме (15.28), определяются производными, взятыми по характеристическим соотношениям (инвариантам Римана) обоих семейств.

При решении конкретных задач различного типа из соображений удобства пользуются либо решениями вида (15.25), либо решениями вида (15.28).

Выпишем теперь решения обоих видов в форме, удобной для использования, когда показатель изэнтропы п может принимать реальные значения п = —1, 3, 5/3, 7/5, ..., 1, т. е. когда значение г в решениях вида

屮=屮=»Т /2 (В)аут (а + В)「»Т /2 (В)аут (а + В)「

屮=

屮=

»Т /2 (В)

аут (а + В)「

»Т /2 (В)

аут (а + В)「

имеет значение г = —1, 0, 1, 2, ..., оо. При этом надо помнить, что 力 и % определяются с точностью до констант, которые мы в решения не вводим.

В случае г = 0, тг = 3

屮=% (и + с) + % (м — с)=

(15.29)(15.29)(15.30)(15.30)=“I ⑺da + ^f2^)d^ =尸I(а) + 尸2(В), при этом

(15.29)

(15.29)

(15.30)

(15.30)

0 〜一(瓦 + 冷 1 -0%丁貝*)=:•

Соотношение (15.30) можно также написать в вмде

Ct - Fi —尸 2； "方=7 + 尸1 + 尸2, откуда

#=(а + e)方一2尸；=(〃 + e)力 + ①](м + e), /=(m 一 e)力一2及=(〃 - e)力 + ①2 (〃 一 e),

(15.31)

т. е. мы пришли к уже известным решениям в случае п = 3. В общем случае, когда г есть произвольное целое (положительное или отрицательное) число, как мы видели,

屮=系[储(了2 (2*+ 屮 + и) + / Н⑵+ 1) 2 - 〃)]=

一 〃 (а) , 8「т % (В)

— /m(a — ву丁 加二似十В)7• .

(15.32)

Иногда выражение (15.32) для 屮 бывает полезно представить в виде производной, порядок которой на единицу меньше:

8「т 戸1( V^72r + 1)7 + 〃)+ 戸2 (了2一(2「+ 1) i — 〃)

,(15.33)

где 戸I и 戸2 — новые произвольные функции. Отсюда

力_方[瓦(VT(2r + 4)i + G +戸2(了2(2Г+不爲一")]_

=為[Л (U2 & + 1) 2 + 〃)+ % (了2 (2厂 + 1) 2 -叨=

»% (В)

д^ (a + p)r+1

(15.34)

x

=2" 一謂;

П =

2r +3

27+1 *

Определим теперь общее выражение для производной д^/ди. Первое представление д^/ди имеет вид

外 а「а「т 戸1 ( 了2 (2г + 1) i 午〃)+ 戸2 ( 了2 (2г + 1) i — 〃) "

=% [% (m2(2厂 + 1)丁+ 〃)+ 耳2 (，2(2厂 +T)2 一 m)], (15.35) di

где знак ' означает производную от функций & и F? по их аргументам. Второе представление д^/ди, выражаемое производными по инвариантам Римана, также легко получить, поскольку

3屮 8屮8屮

灰=灰布；зтому

生=2L 九⑷—а「 ％ (В)=

8〃 — W (а + p)r / Q + B)「—

=Г К 〃 (а)_ £11/2 (В)]

-Lia7*-1 (a + pf-1 却-1 (а + В)「т」

Мы получили, таким образом, общие решения для ряда значений показателей изэнтроп i:

п = —-1, 3, 5/3, 7/5, ..., 1.

Поясним, какой смысл имеют и когда могут при отыскании общих решений употребляться эти показатели.

Случай тг = — 1 имеет главным образом формальное аппроксимационное значение, и только для некоторых деформируемых твердых тел тг = — 1 может иметь реальное значение.

Случай тг = 3 отвечает плотным газам, например продуктам детонации, и, как будет показано ниже, также может быть использован при описании движения вообще плотных сред. Кроме того, вследствие исключительной простоты решений мы часто будем пользоваться значением тг = 3 для аппроксимации ряда изэнтропических законов в случае обычных газов.

"Случаи тг = 5/3 и 7/5 отвечают одноатомному и двухатомному газу при обычных температурах.

Случаи п = 9/7, 11/9, ... и т. д. отвечают нагретым газам.

Случай 几=1 соответствует изотермическим движениям при постоянной энтропии.

Перейдем к рассмотрению некоторых важных свойств общих решений. Прежде всего покажем, что при сопряжении особого и общего решений, возможного только на одной из характеристик:

2

〃 =Чт- с + const = 4-i^ + const, функция 屮 может принимать или заданное значение 屮】(〃)，или значение^ (»)• Поскольку особое решение имеет вид ①=(〃士 с)£ + + F (и), а с другой стороны, в общем решении мы записывали / в виде х — ut ~ @р/3〃，t — d^ldi, то из сравнения этих соотношений следует, что

雾士 С絹 + 尸(“) = 0.(15.37)

Так как при этом d〃 = 土 cd In р = 土 dilc, что определяет 土с = di/du, то

ди du di Г - u

или

叫 + 尸(u) du = О, откуда

屮=—.，歹(〃)d〃 =屮 1 (吟(15.38)

или

"=心⑴，(15.39)

поскольку на характеристиках 〃 = 〃(》), что и доказывает высказанное нами утверждение.

В частном случае, когда особое решение задано в таком виде, что 尸(〃)=0 (для центрированных волн), мы приходим к выводу, что на одной из характеристик

(15.40)(15.40)屮=const.

(15.40)

(15.40)

Так как сама функция р задана с точностью до константы, то, не ограничивая общности, можно считать, что на одной характеристике

屮=0.(15.41)

Это, как мы увидим далее, означает, что одна из произвольных функций общего решения также становится равной нулю. Рассмотрим, например, характеристику и = w — 0, где [3 = const. Покажем, что на этой характеристике имеет место следующее соотношение:

『々出十") = 3 二•(15.42)

\ w div J w2r dw wr+1''

В самом деле, имеем

а 尸1 ® + 〃)— 4 а

wdw W覆2 济'

при 〃 = и? — 6 это равенство переходит в

% Fi 1 厅(2%一3)、'

(штрихи на F' обозначают дифференцирование по w)・ Далее,

(8(%+")=产； 3凡3品

\ w dw / wг^ w^ w5 ?

при и = w — ^ получаем

%’3%丄3网_ 1(2^ — B)「

炉2w4 w° 4\ w3 丿

и т. д., что и доказывает наше утверждение.

АналогичноАналогично歹2 (%一")W歹2 (%一")W1 dr 尸2(2% + ct)1 dr 尸2(2% + ct)(15.43)(15.43)припри

Аналогично

Аналогично

歹2 (%一")

W

歹2 (%一")

W

1 dr 尸2(2% + ct)

1 dr 尸2(2% + ct)

(15.43)

(15.43)

при

при

u = a — w, где a = const.

Найденные общиеНайденные общиерешения определяют % и 力 как функции

Найденные общие

Найденные общие

и,方 или а, 6 в параметрической форме, что не совсем удобно и при решении ряда задач приводит к громоздким выкладкам. Помимо рассмотренных случаев 几=3 и 几=——1, относительно просто рассматриваются случаи, когда п = 5/3 (г = 1) и тг = 7/5 (г - 2).

Область пространства, характеризуемая общим решением, может слева и справа сопрягаться или с областями, также характеризуемыми общими решениями, или с одной стороны с областью, описываемой особым решением. Случай, когда с обеих сторон области общего решения находятся области особых решений, очевидно, исключается, ибо при этом общее решение становится тривиальным и описывает стационарное движение среды.

Область общего решения также .может граничить с одной или с двух сторон с областями, имеющими другую энтропию, т. е. отделяться от них не слабым разрывом, а так называемым особым разрывом. Обе области другой энтропии не могут одновременно являться простыми волнами, описываемыми особыми решениями. С одной стороны область общего решения может быть также ограничена плоской стенкой.

В тех случаях, когда показатель изэнтропы не имеет значения, 2г+ 3“

определяемого соотношением п = 不,решения уравнении, как показал Риман, можно представить в виде гипергеометрических функций.

В заключение укажем еще один эффективный способ решения основных уравнений.

Уравнение состояния при постоянной энтропии совпадает с уравнением изэнтропы и имеет вид р = р (р).

Мы уже знаем, что если вместо уравнения изэнтропы р = /р〃 брать приближенное уравнение р = Ло (р3 — ро), то решения основных уравнений получаются наиболее простыми. Само уравнение состояния р = /рЕ, вообще говоря, не является точным, поскольку при изменении плотности и температуры меняется показатель изэнтропы к и происходят различные необратимые потери энергии. Поэтому задачу точного интегрирования уравнений газодинамики можно поставить следующим образом. Выяснить, для какого вида функций р = р (р), наиболее удачно аппроксимирующих уравнение состояния, получаются наиболее простые

решения уравнений. Весьма удачное решение задачи интегрирования уравнений в подобной постановке провел Г. А. Домбровский 丄).В его методе мы имеем дело с уравнениями движения для специальных семейств функциональных зависимостей между давлением и плотностью, допускающих простые и удобные для решения краевых задач общие интегралы. Из семейств, каждое из которых в методе Г. А. Домбровского зависит от четырех произвольных постоянных ——параметров, выбирается такая конкретная связь, которая наилучшим образом аппроксимирует заданную. Приближенное решение задачи представляет собой точное решение для такой аппроксимирующей связи, при этом точность решения существенным образом зависит от той точности, с какой удается осуществить аппроксимацию исходной заданной зависимости между давлением и плотностью. Наличие четырех произвольных параметров, которыми можно распорядиться по своему усмотрению, позволяет получить хорошие приближения в достаточно широких диапазонах изменений переменной р. Ниже мы кратко рассмотрим некоторые основные соотношения этого метода.

Пусть / ——абсцисса частиц газа, t ——время, и ——скорость, с — скорость звука. Введем в рассмотрение переменную Римана q функцию тока h (координата Лагранжа) и потенциал скорости ф：

dh _ дx 一即Для функцийdh _ дx 一即Для функцийр，р，dh5(p .~didh5(p .~diU =U =a无丄于 a'дх 十 dta无丄于 a'дх 十 dt一瓦一瓦

dh _ дx 一

即

Для функций

dh _ дx 一

即

Для функций

р，

р，

dh

5(p .~di

dh

5(p .~di

U =

U =

a无丄于 a'дх 十 dt

a无丄于 a'дх 十 dt

一瓦

一瓦

имеют место уравнения

(15.44)(15.44)аи _ р av аи _ р avdv — с ди * du — с dv

(15.44)

(15.44)

Эта система является линейной и имеет к тому же удобный симметричный вид.

Аналогичная система может быть записана и для функций h (〃，о), t (и, о):

(15.45)(15.45)dhdt dhdt

(15.45)

(15.45)

丽=_ PC而， 逅=一P0而.

1) См. [59].

Предположим, что коэффициент в системе (15.44) выбран в виде такой функции % (о), которая дает возможность получить общие интегралы этой системы в простом виде. Имеем

子= Х®)・

Соответствующие этой функции зависимости р = р (о) и р = р (v), как легко можно убедиться, определяются формулами

Р = \%⑵而，р = \ Y^p[J%仅)甸2而. (15.46)

При помощи этих формул определяется параметрически (параметр V)семейство связей между давлением и плотностью, допускающее интегрирование системы (15.44) в простом виде. Это семейство зависит от v + 2 произвольных параметров, где v — количество произвольных постоянных, входящих, возможно, в самое функцию % (о).

Семейство связей между давлением и плотностью, допускающее интегрирование в простом виде второй системы, получим, положив

рс = % (о).

В этом случае

где Ci и С2 — произвольные постоянные. Это семейство также зависит от V + 2 параметров.

В качестве коэффициентов систем (15.44) и (15.45) Г. А. Домбровский предлагает следующие функции:

% = 〃2 th2 my, % =孔2 tg2 mv, % =几2 ctg2 mv, % = M cth2 mv, где пит — произвольные действительные постоянные (v = 2).

Если, например,

^ = г^ tg2 mv,

то общие интегралы системы (15.44) имеют следующий вид:

U = 九 siMmo 8 卩 1(g)+/2(叫

—cos mv dv I sin mv J，у = COS2 7ZW a f—/1(9+/2

—n sin mv而[丽/一

где /工(g) и /2(Г)) — произвольные функции характеристических переменных

占=电-e 一 а)， n=歹(0+ m).

По формулам (15.46) в результате выполнения квадратур получаем соответствующее предположению (15.37) семейства связей между давлением и плотностью:

啡 ++ &]，

p =一紋е+а)3+替 ®+су -亲打 + 分

где & и & — произвольные постоянные интегрирования. Если ре =m tg2 ^^

то в простом виде представляются общие интегралы второй системы:

h = 九 si"脸 8 卩i(g) +/2 (叫

—cos mv dv [ sin mv J，力= cos2y?w 8 卩J? —力 Qi)]

— 〃 sin mv dv |_ cos my J，

Соответствующее семейство p = p (p； m, % C15 C2) получаем в результате выполнения квадратур

Р =峻В +喈+ cJT, р=^п^-^ + С2.

Аналогичные формулы могут быть легко получены и для других указанных выше функций % (о).

Свободой выбора постоянных т,几，С\, С2 можно с успехом воспользоваться для получения достаточно высоких приближений к заданной по условию задачи связи между давлением и плотностью. В работе содержится регулярный способ определения этих постоянных из условия третьего порядка касания аппроксимирующей и заданной кривых р = р (р) в произвольной точк е (Ро» Ро)・

Интересно отметить, что все соотношения для связей вида

р = 4 + 5pY (Л = const, В = const)

с показателями у = —1, у = 1/3, у = 5/3, ? = 3 следуют из теории Г. А. Домбровского в качестве некоторых частных случаев.

§ 16. Общие решения в форме Лагранжа

Некоторые задачи, например задача о кавитации (диспергировании) жидких или твердых тел у их свободной поверхности при прохождении сильных ударных волн или волн сжатия, наиболее просто и эффективно решаются в форме Лагранжа.

Основные уравнения одномерных изэнтропических движений среды в форме Лагранжа имеют видОсновные уравнения одномерных изэнтропических движений среды в форме Лагранжа имеют видди~дГди~дГ+ 霹=。；+ 霹=。；8力_ dh —8力_ dh —где dh = (dp/dd)da = p dx, v = 1/p есть удельный объем. Дифференцируя второе уравнение по времени, имеемгде dh = (dp/dd)da = p dx, v = 1/p есть удельный объем. Дифференцируя второе уравнение по времени, имеемди — 8v .dh 一 dt *ди — 8v .dh 一 dt *(16.1)(16.1)(16.2)(16.2)далее, дифференцируя первое уравнение (16.1) по 九 口 уравнение(16.2) по 力 и исключая d2u/dt dh, приходим к уравнениюдалее, дифференцируя первое уравнение (16.1) по 九 口 уравнение(16.2) по 力 и исключая d2u/dt dh, приходим к уравнению(16.3)(16.3)В том случае, когда р — В — Л v, это уравнение непосредственно решается, посколькуВ том случае, когда р — В — Л v, это уравнение непосредственно решается, поскольку82P _ /23州 а» — a”82P _ /23州 а» — a”82V 亦，82V 亦，(16.4)(16.4)

Основные уравнения одномерных изэнтропических движений среды в форме Лагранжа имеют вид

Основные уравнения одномерных изэнтропических движений среды в форме Лагранжа имеют вид

ди~дГ

ди~дГ

+ 霹=。；

+ 霹=。；

8力_ dh —

8力_ dh —

где dh = (dp/dd)da = p dx, v = 1/p есть удельный объем. Дифференцируя второе уравнение по времени, имеем

где dh = (dp/dd)da = p dx, v = 1/p есть удельный объем. Дифференцируя второе уравнение по времени, имеем

ди — 8v .dh 一 dt *

ди — 8v .dh 一 dt *

(16.1)

(16.1)

(16.2)

(16.2)

далее, дифференцируя первое уравнение (16.1) по 九 口 уравнение

(16.2) по 力 и исключая d2u/dt dh, приходим к уравнению

далее, дифференцируя первое уравнение (16.1) по 九 口 уравнение

(16.2) по 力 и исключая d2u/dt dh, приходим к уравнению

(16.3)

(16.3)

В том случае, когда р — В — Л v, это уравнение непосредственно решается, поскольку

В том случае, когда р — В — Л v, это уравнение непосредственно решается, поскольку

82P _ /23州 а» — a”

82P _ /23州 а» — a”

82V 亦，

82V 亦，

(16.4)

(16.4)

т. е. мы пришли к обычному волновому уравнению, решение которого

V =尸！他 + 4) + 尸2 (为一4),(16.5)

где Л имеет размерность импеданца К ~ рс.

В случае уравнения пока произвольной изэнтропы проделаем следующие преобразования, необходимые для анализа и отыскания общих решений уравнений (16.1). Поскольку

dp а?» 石所dp а?» 石所du _ 022822_dv др8% _

dp а?» 石所

dp а?» 石所

犷=R ；新=斫菰， т0 =

что дает

萨=萨=(16.6)(16.6)

萨=

萨=

(16.6)

(16.6)

Заменяя p2c2s отношением p2c2 = pg器(p/pH)n+1, где pH, cH —— плотность и скорость звука в невозмущенной движением среде, мы, поскольку р = dhldx, придем к уравнению

@22а22

(16.7)(16.7)/宓 2 2 丽 _ eН 萨

(16.7)

(16.7)

8庐=рнен 7一"a力\乳+1 = Dn-i dx .n+i •

Это уравнение является обобщением классического волнового уравнения, описывающего распространение звука в среде, характеризуемой уравнением изэнтропы /? = Л (рп — ро). В случае малых возмущений для любого уравнения изэнтропы имеем

рстрн%,九 f 〃рн,

и уравнение (16.7) действительно становится волновым:

д2хд2х(16.8)(16.8)(Впервые уравнение (16.7) было получено Ирншоу.) Напишем теперь исходные уравнения в видеди — dp 8v .ди — 8vdt — dv dh *dh —况.(Впервые уравнение (16.7) было получено Ирншоу.) Напишем теперь исходные уравнения в видеди — dp 8v .ди — 8vdt — dv dh *dh —况.(16.9)(16.9)Представим их для изменения роли зависимых переменных в виде якобиановПредставим их для изменения роли зависимых переменных в виде якобиановa 仙,舟 I dp a (力 v) = 0, a (力 ")=a (v,无) a g,力)十 dv a a, h) 一 ，a(方,九)-a 伍行a 仙,舟 I dp a (力 v) = 0, a (力 ")=a (v,无) a g,力)十 dv a a, h) 一 ，a(方,九)-a 伍行(16.10)(16.10)и разделим почленно эти уравненияи разделим почленно эти уравнениячаечае=0 мы придем к особым=0 мы придем к особымна якобиан 犒 #0 (в слу-решениям основной системына якобиан 犒 #0 (в слу-решениям основной системыуравнений), после чего придем к следующему результату:уравнений), после чего придем к следующему результату:8 (〃，九)I dp_ a a, v) = 0.a (力 ")=a (v,九)a (w, v)十 dv a("，v) 一，a(й，。)一a ("，v)8 (〃，九)I dp_ a a, v) = 0.a (力 ")=a (v,九)a (w, v)十 dv a("，v) 一，a(й，。)一a ("，v)(16.11)(16.11)Вычисляя якобианы, придем к уравнениямВычисляя якобианы, придем к уравнениямdhdh.dp dt n dt dh十济灰■=u；而=质..dp dt n dt dh十济灰■=u；而=质.(16.12)(16.12)Аппроксимируем теперь зависимость между 〃 и v соотношениемАппроксимируем теперь зависимость между 〃 и v соотношениемР + Ро =Р + Ро =(V + Vo)n(V + Vo)n(16.13)(16.13)

д2х

д2х

(16.8)

(16.8)

(Впервые уравнение (16.7) было получено Ирншоу.) Напишем теперь исходные уравнения в виде

ди — dp 8v .ди — 8v

dt — dv dh *dh —况.

(Впервые уравнение (16.7) было получено Ирншоу.) Напишем теперь исходные уравнения в виде

ди — dp 8v .ди — 8v

dt — dv dh *dh —况.

(16.9)

(16.9)

Представим их для изменения роли зависимых переменных в виде якобианов

Представим их для изменения роли зависимых переменных в виде якобианов

a 仙,舟 I dp a (力 v) = 0, a (力 ")=a (v,无) a g,力)十 dv a a, h) 一 ，a(方,九)-a 伍行

a 仙,舟 I dp a (力 v) = 0, a (力 ")=a (v,无) a g,力)十 dv a a, h) 一 ，a(方,九)-a 伍行

(16.10)

(16.10)

и разделим почленно эти уравнения

и разделим почленно эти уравнения

чае

чае

=0 мы придем к особым

=0 мы придем к особым

на якобиан 犒 #0 (в слу-решениям основной системы

на якобиан 犒 #0 (в слу-решениям основной системы

уравнений), после чего придем к следующему результату:

уравнений), после чего придем к следующему результату:

8 (〃，九)I dp_ a a, v) = 0.a (力 ")=a (v,九)

a (w, v)十 dv a("，v) 一，a(й，。)一a ("，v)

8 (〃，九)I dp_ a a, v) = 0.a (力 ")=a (v,九)

a (w, v)十 dv a("，v) 一，a(й，。)一a ("，v)

(16.11)

(16.11)

Вычисляя якобианы, придем к уравнениям

Вычисляя якобианы, придем к уравнениям

dh

dh

.dp dt n dt dh十济灰■=u；而=质.

.dp dt n dt dh十济灰■=u；而=质.

(16.12)

(16.12)

Аппроксимируем теперь зависимость между 〃 и v соотношением

Аппроксимируем теперь зависимость между 〃 и v соотношением

Р + Ро =

Р + Ро =

(V + Vo)n

(V + Vo)n

(16.13)

(16.13)

где о)нгде о)нVh + voVh + vo(О°н(О°н

где о)н

где о)н

Vh + vo

Vh + vo

(О

°н

(О

°н

при этом dp/dv = — Ап/(у + v0)n+1; здесь р^ v0 и А — константы. Вводя новую переменную, которую мы будем называть эффективной скоростью звука

п-1

/ v +УоQ + vo 丿

^■^ 了八(Рн + Ро)(V。+ Vh), придем к

уравнениямуравнениямdh 2而十Рн%dh 2而十Рн%П+1^3! dt диП+1^3! dt ди=0；=0；Oh . n — 1而 + F~ Р"нOh . n — 1而 + F~ Р"нп+1п-1 ае8соп+1п-1 ае8со=0.=0.(16.14)(16.14)Продифференцируем первое уравнение (16.13) по и, а второе уравнение — по с и исключим d^hldu @с, тогда получим одно линейное уравнение второго порядка относительно tПродифференцируем первое уравнение (16.13) по и, а второе уравнение — по с и исключим d^hldu @с, тогда получим одно линейное уравнение второго порядка относительно t/ zz — 1 *2 у a2i/ zz — 1 *2 у a2i九+ 1 1 dt \ _ дЧn — 1 ① 8o)丿—a〃2 •九+ 1 1 dt \ _ дЧn — 1 ① 8o)丿—a〃2 •(16.15)(16.15)Мы, таким образом, пришли к ранее выведенному для эйлеровой формы уравнению (15.16), что и понятно, так как выражение t через и и с не должно зависеть от формы написания уравнений.Продифференцируем теперь первое уравнение (16.14) по с, а второе — по и и, исключая dtldu и дЧ/ди 0% придем к уравнению, определяющему h:Мы, таким образом, пришли к ранее выведенному для эйлеровой формы уравнению (15.16), что и понятно, так как выражение t через и и с не должно зависеть от формы написания уравнений.Продифференцируем теперь первое уравнение (16.14) по с, а второе — по и и, исключая dtldu и дЧ/ди 0% придем к уравнению, определяющему h:

уравнениям

уравнениям

dh 2

而十Рн%

dh 2

而十Рн%

П+1

^3! dt ди

П+1

^3! dt ди

=0；

=0；

Oh . n — 1

而 + F~ Р"н

Oh . n — 1

而 + F~ Р"н

п+1

п-1 ае

8со

п+1

п-1 ае

8со

=0.

=0.

(16.14)

(16.14)

Продифференцируем первое уравнение (16.13) по и, а второе уравнение — по с и исключим d^hldu @с, тогда получим одно линейное уравнение второго порядка относительно t

Продифференцируем первое уравнение (16.13) по и, а второе уравнение — по с и исключим d^hldu @с, тогда получим одно линейное уравнение второго порядка относительно t

/ zz — 1 *2 у a2i

/ zz — 1 *2 у a2i

九+ 1 1 dt \ _ дЧ

n — 1 ① 8o)丿—a〃2 •

九+ 1 1 dt \ _ дЧ

n — 1 ① 8o)丿—a〃2 •

(16.15)

(16.15)

Мы, таким образом, пришли к ранее выведенному для эйлеровой формы уравнению (15.16), что и понятно, так как выражение t через и и с не должно зависеть от формы написания уравнений.

Продифференцируем теперь первое уравнение (16.14) по с, а второе — по и и, исключая dtldu и дЧ/ди 0% придем к уравнению, определяющему h:

Мы, таким образом, пришли к ранее выведенному для эйлеровой формы уравнению (15.16), что и понятно, так как выражение t через и и с не должно зависеть от формы написания уравнений.

Продифференцируем теперь первое уравнение (16.14) по с, а второе — по и и, исключая dtldu и дЧ/ди 0% придем к уравнению, определяющему h:

Это уравнение отличается от уравнения, определяющего 厶 только знаком при первой производной по с. Поскольку для реальных показателей изэнтроп

ДГ+1

t = ^[F^y 2 (2г + 1)1 + и) + F2{f2{2r + i)i ~ и)]=

二 а「 /МФ Iа「 ％ (В)(

—8а「(а + В)「+1十a3r(а + P)r+1，〈

ГД。

几=(2г + 3) / (2г + 1), г - - 1, 0, 1, 2, 3,・•・，оо,а* = 〃 + 2(о/(/2 — 1), —[3* = 〃 一 2(о / (/г — 1),

то для определения h при тех же показателях изэнтропы мы должны, как это следует из соотношений (15.17) и (15.19) предыдущего параграфа, заменить г на —г в решениях (16.16) и поэтому заменить дифференцирование интегрированием. Таким образом,

九=[%(了2(2Г + 1"* + 〃)+ %(了'2(2L + 1)广一叫=

_ д~г /；(『) д~г /；(В*)

=阪』3*十b*)「+i十 相- ◎* + ”+】

где 冗，冗，а также /；, /；——другие произвольные функции, чем в (16.16); тогда п и г будут снова связаны соотношением

〃 =(2г + 3) / (2г + 1), где г = — 1, 0, 1, 2, ..., оо.

Однако при решении задач нет необходимости определять h непосредственно из уравнений (16.17); проще сначала определить t = t (и, с), затем, пользуясь вторым уравнением (16.13):

определитьопределитьdh I m — 1灰 + РМнdh I m — 1灰 + РМнn+1n+1р"н (<)П弋言电+①(3)，р"н (<)П弋言电+①(3)，(16.18)(16.19)(16.18)(16.19)

определить

определить

dh I m — 1

灰 + РМн

dh I m — 1

灰 + РМн

n+1

n+1

р"н (<)П弋言电+①(3)，

р"н (<)П弋言电+①(3)，

(16.18)

(16.19)

(16.18)

(16.19)

Зная t — t (и, (о), % = % (〃， со), h — h (и, (o), формально можно получить

况=尸(儿力)，(16.20)

что определяет связь между %, % и 力 т. е. текущим и начальным значениями координаты %, а затем легко вычисляется

_ 1 _ дх _BF

V — р — dh — ah '.

т. е. находится зависимость плотности в окрестностях заданной частицы от времени.

Так же как и в решениях, написанных в форме Эйлера, решения, написанные в форме Лагранжа, обладают тем свойством, что при сопряжении общего решения с особым на одной из характеристик

2-

〃Чг со = а* = const

какая-либо из произвольных функций становится равной нулю. п+1

Поскольку ①= С У弋 '"•Поскольку ①= С У弋 '"•тото(16.22)(16.22)

Поскольку ①= С У弋 '"•

Поскольку ①= С У弋 '"•

то

то

(16.22)

(16.22)

Далее, зная соотношение для со, легко определить соответствующие зависимости для v и с.

Указанная аппроксимация р + Ро = //(v +v0)n весьма точна для решения различных задач. В частном случае, когда тг=3,

эта аппроксимация при большой точности приводит к простому решению.

В самом деле, при 几=3 уравнение (16.13) принимает вид

Р + Р。=（V +；）з，

причем

(0 = 0)н(0 = 0)нvh + vqv +Vovh + vqv +Vovh + voVHvh + voVHde (vH + Vo)2 视 VH (v + Vo)，de (vH + Vo)2 视 VH (v + Vo)，

(0 = 0)н

(0 = 0)н

vh + vqv +Vo

vh + vqv +Vo

vh + vo

VH

vh + vo

VH

de (vH + Vo)2 视 VH (v + Vo)，

de (vH + Vo)2 视 VH (v + Vo)，

(16.23)(16.23)(16.23)(16.23)гдегде①1 (〃 + (0)+ ①2 (“ — (0)①1 (〃 + (0)+ ①2 (“ — (0)屮=屮=(16.25)(16.25)

(16.23)

(16.23)

(16.23)

(16.23)

где

где

①1 (〃 + (0)+ ①2 (“ — (0)

①1 (〃 + (0)+ ①2 (“ — (0)

屮=

屮=

(16.25)

(16.25)

где % = Vh M3(рн + Po)(Vh + Vo)/(Vr + v0); далее, уравнение (16.14) можно написать в виде

дЧ . 2 dt _ дЧad 十 о а(о — а/

Решение этого уравнения очевидно:

F\ (и + О) + 耳2 (" - 0)(О

Для того чтобы найти 九，удобно поступить следующим образом. Из уравнения dtldN = dh/du находим, что t = &《/&〃，Л =。屮/@v. При этом решение (16.24) дает

Поскольку со = 5/(v + v0), где 5 = (vH + Vo)//3(^H + p0) (vH + v0), TO

a屮 而a屮 而、炉a屮_①讣' 吊'1 I Ф2 + Ф1丁詞一方I①2 -①1]4B、炉a屮_①讣' 吊'1 I Ф2 + Ф1丁詞一方I①2 -①1]4B(16.26)(16.26)

a屮 而

a屮 而

、炉a屮_①讣' 吊'1 I Ф2 + Ф1丁詞一方I①2 -①1]4B

、炉a屮_①讣' 吊'1 I Ф2 + Ф1丁詞一方I①2 -①1]4B

(16.26)

(16.26)

Мы видим, что в координатах Лагранжа общее решение имеет простой вид (особенно при 几=3) при более точной аппроксимации изэнтропы, чем в случае решений в форме Эйлера, а именно в аппроксимации содержится лишняя константа.

На этом мы заканчиваем формальную часть определения общих решений в случае одномерных изэнтропических течений среды и переходим к физическому описанию основных непрерывных волн, могущих распространяться в какой-либо среде.

§ 17. Основные физические закономерностипри распространении волн

Мы уже отмечали, что возможны два вида непрерывных волн (т. е. волн, где все величины, их характеризующие, непрерывны), а именно волны сжатия и волны разрежения.

В волнах сжатия давление в заданной частице среды возрастает по мере ее движения, а волнах разрежения — падает. При этом и те и другие волны в случае одномерного движения среды могут распространяться в противоположных направлениях.

Исследование уравнений, характеризующих одномерные изэнтропические движения среды, показывает нам, что особые решения описывают волны, бегущие в одном направлении, а общие решения представляют собой волну, которая может быть представлена в виде наложенных друг на друга двух волн различных направлений. Обе эти волны могут быть и волнами сжатия и разрежения или одна из них может быть волной сжатия, а другая—— волной разрежения. Таким образом, на некоторых участках в волне двух направлений может наблюдаться сжатие, а на других участках — разрежение среды.

В случае показателя изэнтропы тг = 3, как мы убедились, эти волны, наложенные друг на друга, распространяются независимо, а в общем случае при распространении взаимодействуют друг с другом.

Представляется возможным выяснить еще некоторые основные закономерности, проявляющиеся при распространении различного вида волн.

Исследуем сначала некоторые свойства простой волны. Рассмотрение начнем с бегущей, например, в положительном направлении оси 第，волны. Решения основных уравнений, характеризующих эту волну [см. (14.5) и (14.6)], имеют вид

(17.1)(17.1)归=(“ + с)力 + F(^),

(17.1)

(17.1)

2.,

и =九一4 с + const.

Если через uH и Сн обозначить параметры среды в области стацио

22нарного движения, с которой должна обязательно сопрягаться

2

2

с* и второе соот-с* и второе соот-справа бегущая волна, то const = uH — ношение (17.1) примет вид

с* и второе соот-

с* и второе соот-

〃 —〃н = -^ТГ (с — %)•〃 —〃н = -^ТГ (с — %)•(17.2)(17.2)

〃 —〃н = -^ТГ (с — %)•

〃 —〃н = -^ТГ (с — %)•

(17.2)

(17.2)

Покажем наглядно, что скорость перемещения заданного состояния среды в бегущей волне при заданных значениях и = й, с = с есть й + с.

Напомнил!, что все параметры состояния связаны со скоростью движения 〃 однозначной функциональной зависимостью. Пусть и = й, с = с в некоторой точке % =况。в момент времени t =方°, тогда %о =（讶 + c）Z0 + 尸（讶）；очевидно, что эти же значения и = й, с = с будут наблюдаться в момент времени 力=厶 в некоторой точке / = /1. Поскольку %i =（讶 + с）^ + 尸（立），то очевидно, что

Это выражение показывает, что скорость перемещения заданного состояния, определяемого значениями 〃 =立，с = G, в бегущей по течению волне сжатия есть 讶 + 瓦 Отсюда следует, что два каких-либо различных состояния среды будут перемещаться с постоянными для каждого из них, но различными между собой скоростями 〃 + с.

Так как и ^ с （и и с связаны соотношением （17.2））, то для определения зависимости скорости перемещения достаточно задать только состояние среды, например, при помощи местной скорости звука с. В случае политропического газа скорость перемещения какого-либо заданного состояния 历=立 + 5 будет выражаться соотношением

行=^4- 5 + 〃н — ^т!т %， （174）

которое, заменяя с на й, можно написать в виде

2 = 〃Н + Сн + ^-у^-（立—〃Н）・（17.5）

Отсюда следует, что чем больше с （или 立），тем больше скорость перемещения данного состояния, а это означает, что волна сжатия, описываемая особым решением, не может распространяться, не изменяя своего профиля. Различные точки ее профиля будут перемещаться с различными скоростями; точки, где давление, а следовательно, и с больше, будут выдвигаться вперед по сравнению, с точками профиля, где давление меньше, в результате чего волна будет деформировать^ i.

Пусть в некоторый начальный момент времени зависимость, например, скорости звука в волне от х имела форму синусоиды. В процессе движения форма волны будет непрерывно изменяться; в одних местах волна будет становиться круче, в других, напротив, растягиваться. Это положение является справедливым и в случае произвольного уравнения изэнтропы, для доказательства чего достаточно определить знак производной:

筈尸傍+贲卜击"6）

Поскольку pc = pVdp/dp = ]Л—dp/dv^ то

1 d (pc)V3 d 】/dp .

声pdpc2 dv гdv，

d (〃 + r) — v3dp2,2d (〃 + r) — v3dp2,2(17.7)(17.7)позтому

d (〃 + r) — v3

dp2,2

d (〃 + r) — v3

dp2,2

(17.7)

(17.7)

В тех случаях, когда &2卩/©丫2〉0 или &2丫/如2〉0, имеем d (〃 + с) / &р〉0, что и выражает большую скорость передвижения областей большего давления, а следовательно, и плотности.

Типичные среды (газы, жидкости и твердые тела) обладают как раз такими свойствами, что d?v/dp2〉0 или c^p/dv? > 0. Эти производные берутся при постоянной энтропии (d2v/dp2)s и (d2p/dv2)s.

В случае закона обобщенной изэнтропы

Р 一 А (V Vo 味—~^Г， 3 - vn+2 > U・

d (〃 + с)d (〃 + с)В тех случаях, когда d2p/dv2 = 0, мы имеем

d (〃 + с)

d (〃 + с)

(17.8)

а это означает, что профиль волны при ее распространении не будет деформироваться, т. е. скорость перемещения всех параметров состояния всех точек волны при ее распространении будет оставаться неизменной.

Условию d2p/dv2 — 0 отвечает закон изэнтропы Чаплыгина

(17.9)(17.9)р = В — Av,

(17.9)

(17.9)

или уравнение обобщенной изэнтропы при показателе степени 71 = —1.

Вернемся снова к уравнению % = (〃 + с)力 + 尸(〃 + с). Определим производную дх!ди, считая, что с = с (〃)：

—d(u + c) *—d(u + c) *

—d(u + c) *

—d(u + c) *

Отсюда находим ди —1毎=“嘉卜+f')Отсюда находим ди —1毎=“嘉卜+f')(17.10)(17.10)

Отсюда находим ди —1

毎=“嘉卜+f')

Отсюда находим ди —1

毎=“嘉卜+f')

(17.10)

(17.10)

В тех случаях, когда 尸'〉0, величина ди!дх с увеличением вре-В тех случаях, когда 尸'〉0, величина ди!дх с увеличением вре-мени стремится к нулю. Волна Поскольку в ней и = — \cdlnp寸мени стремится к нулю. Волна Поскольку в ней и = — \cdlnp寸поэтому будет растягиваться, топоэтому будет растягиваться, тоdu右=du右=du dpdu dpd In рd In рdp de — dinedp de — dine<0<0(17.11)(17.11)(при d^pl"〉0) и данная волна будет волной разрежения. В тех(при d^pl"〉0) и данная волна будет волной разрежения. В техслучаях, когда 尸'V 0, выбирая всегда можно найти такой моментслучаях, когда 尸'V 0, выбирая всегда можно найти такой моментначало движения при 力=0, времени 力=% = — Ff, когда величина производной ди/дх — оо. В интервале времени 0 £ 力 W % профиль этой волны становится с течением времени все круче и круче. Стремление производной ди!дх при % = % к бесконечно большим значениям соответствует предельно возможной с крутизне профиля волны и и (%) в данном месте, 一 когда фронт волны станачало движения при 力=0, времени 力=% = — Ff, когда величина производной ди/дх — оо. В интервале времени 0 £ 力 W % профиль этой волны становится с течением времени все круче и круче. Стремление производной ди!дх при % = % к бесконечно большим значениям соответствует предельно возможной с крутизне профиля волны и и (%) в данном месте, 一 когда фронт волны ста

В тех случаях, когда 尸'〉0, величина ди!дх с увеличением вре-

В тех случаях, когда 尸'〉0, величина ди!дх с увеличением вре-

мени стремится к нулю. Волна Поскольку в ней и = — \cdlnp寸

мени стремится к нулю. Волна Поскольку в ней и = — \cdlnp寸

поэтому будет растягиваться, то

поэтому будет растягиваться, то

du

右=

du

右=

du dp

du dp

d In р

d In р

dp de — dine

dp de — dine

<0

<0

(17.11)

(17.11)

(при d^pl"〉0) и данная волна будет волной разрежения. В тех

(при d^pl"〉0) и данная волна будет волной разрежения. В тех

случаях, когда 尸'V 0, выбирая всегда можно найти такой момент

случаях, когда 尸'V 0, выбирая всегда можно найти такой момент

начало движения при 力=0, времени 力=% = — Ff, когда величина производной ди/дх — оо. В интервале времени 0 £ 力 W % профиль этой волны становится с течением времени все круче и круче. Стремление производной ди!дх при % = % к бесконечно большим значениям соответствует предельно возможной с крутизне профиля волны и и (%) в данном месте, 一 когда фронт волны ста

начало движения при 力=0, времени 力=% = — Ff, когда величина производной ди/дх — оо. В интервале времени 0 £ 力 W % профиль этой волны становится с течением времени все круче и круче. Стремление производной ди!дх при % = % к бесконечно большим значениям соответствует предельно возможной с крутизне профиля волны и и (%) в данном месте, 一 когда фронт волны ста

новится вертикальным (рис. 3).

Это явление указывает на момент начала образования и формирования так называемой ударной волны. (Аналогичные выводы можно сделать и для волны и —— с.)

После возникновения ударной волны энтропия каждой части

цы среды изменится, и далее движение этих частиц уже нельзя описывать уравнениями, пригодными для изэнтропических движений среды.

С точки зрения теории характеристик простые волны сжатия и разрежения интересны тем, что поскольку в волне сжатия частицы, имеющие большее давление, а следовательно, и скорость пере

мещения, догоняют частицы с меньшим давлением, то и характеристики в плоскости (%,力：dxldt = м + с (или dx/dt = 〃 ——с), вдоль которых движутся состояния с большими давлениями, а также скоростями, пересекают (догоняют) с течением времени характеристики, переносящие меньшие значения давления (а также и и с). Точки пересечения и будут обозначать места и моменты возникновения элементарных ударных волн. Области за местами пересечения характеристик [в плоскости (%, /)] не имеют физического смысла, поскольку там значения и и с могут быть многозначными (обычно трехзначными), что означает несколько различных состояний в одном и том же сечении среды.

В волнах разрежения, напротив, характеристики в плоскости (瑞 ％) по мере возрастания времени будут расходиться все дальше

друг от друга, что и означает растягивание волны разрежения (рис. 4).

В случае среды,必ля которой d?p/dv2 V 0, в волнах сжатия характеристики будут расходиться, а в волнах разрежения ——

сходиться, поскольку с увеличением давления величина и + с

(или 〃 一 с) для волны первоначального направления будет падать.

Из этих положений следует, что F' — dFId (〃 土 с) не меняет знака во всей области существования простой волны, а следовательно, наши вычисления величины ди/дх были вполне справедливы.

Для волн, описываемых общими решениями, возможны принципиально два основных вида дви

жений: когда среда находится

в замкнутом объеме (в закрытой с обоих концов трубе) и когда среда может, хотя бы в одном направлении, достаточно расширяться.

力 一 g = 〃 0 + %) + ^~ ,力 一 g = 〃 0 + %) + ^~ ,(17.12)(17.12)В первом случае, если написать

力 一 g = 〃 0 + %) + ^~ ,

力 一 g = 〃 0 + %) + ^~ ,

(17.12)

(17.12)

где xQ и /о — совершенно произвольные константы, можно на основании соотношения

++(17.(3)

прийти к выводу, что с течением времени производные д^/дс и д^/ди, во-первых, станут одного порядка малости, а во-вторых, скорость и будет иметь такой же порядок малости, поскольку размеры трубы, заполненной средой, ограничены. Константа tQ для каждой новой волны, возникающей при отражении от стенок прежних волн, будет становиться все больше и больше по мере того, как движение среды успокаивается и и ->0. В пределе

"^■70, -|у- —>0 и 〃一>0,工一>%,+(17.14)

где 力° всегда будет иметь ограниченную величину, характерную для данного объема, занятого средой.

Пока еще среда не успокоилась, можно считать, что д^/дс = =т д^/ди, где т = const, и искать решения для затухающих

волн вида

гр =①(〃 + тс).

(17.15)

Таким образом, затухающие волны можно рассматривать как зву

ковые волны одного направления в плоскости характеристики (и, с), а среду, в которой они распространяются, — как бы находящейся уже в покое.

Перейдем к описанию второго случая, когда среда при своем движении может достаточно расширяться. Прежде всего отметим, что величины производных д^1ди и д^!дс и в данном случае будут стремиться стать одного порядка малости, поскольку область,

занятая волной, может непрерывно увеличиваться, а величины 〃 и с ограничены. Далее, очевидно, что при этом если t f оо, то р ->0 и в случае газа р ->0, с f 0, а величина и остается конеч

ной. (В случае твердой или жидкой среды, когда р = / (рп ——р；), при р = 0 р = ро и дальнейшее неограниченное расширение среды может иногда привести к ее диспергированию (кавитации). Этим

вопросом мы займемся в специальном разделе достаточно подроб

но.) Поэтому отношение

стремится к

нулю и 力

п — 1 и 82

ut. Отсюда также очевидно, что ве

личины d^idc и с становятся одного порядка малости. Таким образом, в пределе (при t f со) * = ut, откуда

(17.16)

что показывает на инерциальность движения. В самом деле, для каждой частицы u = dxldt — xlt^ откуда / = u0Z, где и0 = const—— постоянная скорость данной частицы. Это и понятно, так как упругие силы внутри среды (газа) при р -> 0 (р -> 0, с -> 0) перестают действовать. К соотношению (17.16) можно прийти непосредственно из основных уравнений, полагая р = 0, тогда duldt + + и ди/дх = 0, откуда u = xlt\ при этом уравнение неразрывности принимает вид

_^_(1П р) + -L. _^.(1п р) + .L = о, откуда р = -?瞥,(17.17)

где Ф (/") = Ф (и) — произвольная функция xlt = и.

В частном случае эта функция может быть положена равной некоторой константе и соотношение (17.17), определяющее р, примет вид

Р = 4*(17.18)

Константа Л определяется из интегрального закона сохранения массы. Принимая площадь сечения трубы S = 1, находим, что

масса газа m = \pdz= Аит, где ит — максимальная скорость о

движения газа; отсюда Л = т/ит, что определяет р = mlumt = =тЕт, где хт ——координата фронта расширяющейся среды.

Когда волна, описываемая общим решением, будет являться волной сжатия, то характеристики в плоскости (%,力)одного семейства будут обязательно сходиться. Поведение второго семейства характеристик в этом смысле может быть произвольным.

В том случае, когда характеристики обоих семейств расходятся, мы будем иметь дело с волной разрежения. Заметим, что в случае расширения среды в одном направлении даже при сравнительно небольших интервалах времени, прошедшего с начала расширений, давление р, а следовательно, и плотность р, ограничивающие объем с одной стороны стенки, должны сравнительно незначительно зависеть от координаты и сравнительно сильно меняться со временем; это объясняется тем, что движение среды происходит от стенки и всякие значительные градиенты давлений у стенки должны быстро падать. Отсюда следует, что у стенки скорость должна приблизительно линейно зависеть от %, возрастая от нуля по мере удаления от стенки.

На этом мы закончим формальное исследование основных свойств неустановившихся изэнтропических одномерных движений среды.

Прежде чем перейти к решению ряда конкретных задач, которые будут рассмотрены в следующей главе, необходимо предварительно сделать несколько замечаний о начальных и граничных условиях, которыми мы будем при этом пользоваться.

В случае нахождения особых решений, описывающих простые волны, нам необходимо знать или начальное распределение м (или с) в заданный момент времени t по %, или распределение и (с) при заданном % по 力 а также начальные параметры среды, которая возмущается этой волной.

При отыскании какого-либо общего решения нам необходимо знать условия на характеристиках, вдоль которых это решение сопрягается с соседними волнами двух направлений, или на одной из характеристик с простой волной.

Если движение, характеризуемое общим решением, начинается у стенки, то следует полагать на стенке и = 0. Если волна разделена от других особым разрывом или ограничена движущейся стенкой (поршнем), то необходимо знать закон движения особого разрыва или закон движения стенки (поршня).

ГЛАВА V

ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ

§ 18. Основные закономерности установившихсяизэнтропических потоков

Между установившимися и неустановившимися движениями среды существует ряд существенных отличий. Так, при заданных кинетической энергии и массе движущейся среды ее количество движения, как будет показано в § 25, при установившемся движении максимально, а для различных неустановившихся движений различно.

Скорости движения среды под влиянием разности давления также различны в установившихся и неустановившихся потоках. Предельные скорости истечения разреженной среды в пустоту в случае неустановившихся движений в несколько раз превышают соответствующие скорости истечения в установившемся потоке. Для плотных сред может наблюдаться обратная картина.

Основное отличие между этими двумя видами движения среды заключается в том, что в неустановившемся потоке некоторые частицы движущейся среды имеют энергию большую, чем средняя энергия, а некоторые ——меньшую, тогда как в случае установившегося изэнтропического потока энергия всех его частиц одинакова. В процессе движения в неустановившихся потоках происходит непрерывное перераспределение энергии по массам движущегося вещества.

Для того чтобы мы могли сравнивать закономерности движения среды в ряде неустановившихся потоков с соответствующими закономерностями установившегося движения среды, целесообразно сначала вкратце рассмотреть основные свойства установившегося потока.

Рассмотрение проведем для одномерного потока, движущегося в трубе переменного сечения.

Уравнение движения для установившихся одномерных потоков, как это следует из первого уравнения (13.1), сразу допускает первый интеграл

X Н—^ = % = const, (18.1) который носит название уравнения Бернулли; здесь fH ——теплосодержание покоящейся среды.

Уравнение неразрывности при этом принимает также весьма простой вид

// = ри/ = т,(18.2)

где у — плотность потока, / — сечение трубы, т — масса среды, протекающая через любое поперечное сечение в одну секунду (секундный расход среды).

При истечении среды в пустоту, т. е. при неограниченном увеличении /, когда р ->0 и Z ->0 [или р -^р0 и / возрастает, но ограниченно в случае закона изэнтропы р = Л (pn — pj)], мы имеем

〃 =〃тах = 2]/加，(18.3)

где итах ——максимально возможная скорость движения среды при заданном теплосодержании покоящейся среды

Рассмотрим поток, движущийся в сопле, которое сначала плавно сужается, а затем расширяется (сопло Лаваля). Очевидно, что в минимальном сечении f = fk величина плотности потока J = ри достигает максимума. Это значит, что

dj = и dp -}- р du = 0.(18.4)

Поскольку уравнение Бернулли можно представить в дифференциальном виде

勺=或=产乎=一 udu,(18.5)

то, определяя из (18.4) dp/p = dulu и подставляя в (18.5), мы придем к соотношениям и2 = с2, откуда

и = + с(18.6)

что показывает на достижение в минимальном сечении сопла звукового режима течения. Это сечение называется критическим и значение величины uk = ck ——также критическим.

В случае закона обобщенной изэнтропы уравнение Бернулли принимает вид

что в случае газа, когда р()= 0,汽=%, дает

炉=告器口一(金)к]■ (18・8)

В случае несжимаемой среды (жидкости)

(18.9)(18.9)2

(18.9)

(18.9)

炉=丁(Рн — р)・

Выражая максимальную скорость истечения через сн, где % — скорость звука в покоящейся среде, из формулы (18.7) при с ->0, мы придем к известному соотношению

"max = /生 ％"max = /生 ％(18.10)(18.10)

"max = /生 ％

"max = /生 ％

(18.10)

(18.10)

Выражая также критическую скорость ик = с^ через сн (для чего необходимо в формулу (18.1) вставить значение теплосодержания » = % + 九：彳(с?—器)；затем, полагая <? = 〃 = %, найти %), придем к такому классическому соотношению:

〃кI 1" Сн "^3 const.(18.11)

Из соотношений (18.7) и (18.11) можно получить выражение

龙一器=Ttф? 优一喲，(18.12)

которое будет справедливо и для пространственных течений газа, если вместо скорости и подставить полную скорость.

Уравнение (18.12) показывает, что если в заданном сечении mV%, то и 〃 V с, если 〃〉％, то и 〃〉с, поскольку Ск = 了2/(?1 + 1)сн является везде в текущем газе постоянной величиной. Продифференцировав и поделив на ри/ уравнение (18.2), получим

曲+ & + ? = о；

поскольку из равенства (18.5) получаем значение величины dp/p, равное dp/p = — {и2/с2) (du/и), то окончательно имеем

偿一丿穿=+(1843)

Из этого равенства следует, что в случае дозвукового потока, когда и <Z с, будут выполняться условия d〃〉0 при d/ V 0 и d〃 V 0 при df〉0, т. е. дозвуковой поток тормозится в расширяющейся трубе и ускоряется в сужающейся. В случае сверхзвукового потока, когда 〃〉с, du^> 0 при d/〉0 и d〃 V 0 при df V 0, т. е. сверхзвуковой поток ускоряется в расширяющейся трубе и тормозится в сужающейся. В обоих случаях в критическом

§ 18] ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ УСТАНОВИВШИХСЯ потоков 169 сечении, когда d/ = 0, достигается критическая скорость течения, т. е. 〃к = 土 ％ — j/^ 九 + 4

жения установившихся потоков обобщаются на неодномерные адиабатические движения. При этом под и следует понимать полную скорость движения среды (о), а величина ZH будет постоянна только для данной линии тока, изменяясь от одной линии тока к другой.

В случае пространственных движений величина площади сечения / будет иметь некоторое условное значение; можно рассмотреть ряд линий тока и, выбирая некоторую поверхность, образованную заданными линиями тока, рассматривать ее сечение так, чтобы эти сечения были перпендикулярны ко всем линиям тока, лежащим внутри указанной поверхности; тогда наши выводы относительно критической скорости в случае изэнтропических движений оказались бы верными. Для адиабатических движений указанная поверхность должна содержать достаточно малое количество линий тока, для того чтобы наши выводы относительно критической скорости также оказались верными.

Продолжим рассмотрение одномерных движений. В тех случаях, когда среда истекает через сопло Лаваля не в пустоту, а в другую среду, давление которой р., в критическом сечении сопла не обязательно может быть достигнут критический режим движения, определяемый условием 〃н = % = V^ln + 1 сн. Если противодавление внешней среды ра определяется из соотношения

п—1п—1"2"222九+1九+1пп5 +Ра5 +Ра4； +%4； +%(18.14)(18.14)

п—1

п—1

"2

"2

2

2

九+1

九+1

п

п

5 +Ра

5 +Ра

4； +%

4； +%

(18.14)

(18.14)

то это означает, что в критическом сечении достигается как раз режим критического истечения при условии, что внешнее противодавление равно

(18.15)(18.15)Ра =Ра =

(18.15)

(18.15)

Ра =

Ра =

Хотя при повышении противодавления до величины ра〉рк скорость истечения среды через сопло по-прежнему будет подчиняться уравнениям (18.1) или (18.7), это истечение всегда будет дозвуковым.

Пусть теперь PaV Рк, тогда всегда можно рассчитать выходное сечение сопла /в так, чтобы на выходе давление в истекающей

среде было бы ра, при этом

п+1

，/Р； + РаГ(九 Г

(18.16)

Это соотношение определяет также любое сечение сопла /】,если в него подставить вместо величины ра текущую величину р> Если для сопла заданной формы повышать противодавление внешней среды, то на выходе возникнет ударная волна, которая будет входить в глубь сопла, пока не достигнет критического сечения; после этого секундный расход среды через сопло, который определяется формулой

加—РкСк/к — РнСн/к (九 + ()加—РкСк/к — РнСн/к (九 + ()п+1п+1(18.17)(18.17)

加—РкСк/к — РнСн/к (九 + ()

加—РкСк/к — РнСн/к (九 + ()

п+1

п+1

(18.17)

(18.17)

начнет уменьшаться. Секундное количество движения (тяга) определяется соотношением

1 = ти = тСяу ^^-(-ф^Г ]•(18Л8)

В случае истечения газа, когда р0 — 0, п = к, соотношения (18.15), (18.16), (18.17) и (18.18) примут соответственно вид

卜(18.19)卜(18.19)

卜(18.19)

卜(18.19)

В случае 乃=1, т. е. при изотермическом процессе, и2 = 2谨 In рн/р； при этом в случае истечения в пустоту скорость истечения будет неограниченно возрастать.

Соответствующие этому случаю формулы, определяющие /в, т, /, будут иметь вид

где е ——основание натуральных логарифмов, т = dm/dt, I = dlldt.

При рассмотрении истечения среды из большого резервуара в пространство можно сделать вывод, что. критическая скорость истечения в случае р^、ра достигается непосредственно на выходе из резервуара, и поэтому выходное сечение будет являться критическим сечением.

В несжимаемой среде скорость звука с2 = dp/dp = оо, так как р = const, и поэтому всякое истечение среды является дозвуковым. Отсюда в несжимаемой среде секундный расход ее через какое-либо сечение определяется просто соотношением

加—Po/i〃 — Po/i |/^ '( \ ~ = fi V2Po (рн — Ра)» (18.21) причем скорость истечения определяется формулой

讨=*(Рн — Ра)»(18.22)

где /1 ——площадь такого сечения трубы, в котором достигается режим движения р = ра. Поэтому в произвольном сечении трубы / давление определяется соотношением

Р = Ра + 2^ 佟(18.23)

и скорость движения среды — соотношением

секундное количество движения среды в сечении, где р = ра, выражается соотношением

/ =位〃 —2/1 (рн — Ра) •/ =位〃 —2/1 (рн — Ра) •(18.25)(18.25)

/ =位〃 —2/1 (рн — Ра) •

/ =位〃 —2/1 (рн — Ра) •

(18.25)

(18.25)

Целый ряд полученных здесь результатов мы используем при изучении стационарных ударных волн (что в дальнейшем позволит нам изучать неустановившиеся адиабатические движения среды, в которой могут возникать нестационарные волны).

В заключение этого раздела следует указать, что выражение секундного импульса в случае газа на выходе из сопла можно написать, используя формулы (18.19), также в виде

(18.26)(18.26)

(18.26)

(18.26)

Основные уравнения, изэнтропические теченияОсновные уравнения, изэнтропические теченияди дх dv дхди дх dv дх+。+。Эи I 1 др 8у 十 р дх1 др 而十丁 8yЭи I 1 др 8у 十 р дх1 др 而十丁 8yО,О,О,О,(19.1)(19.1)

Основные уравнения, изэнтропические течения

Основные уравнения, изэнтропические течения

ди дх dv дх

ди дх dv дх

+。

+。

Эи I 1 др 8у 十 р дх

1 др 而十丁 8y

Эи I 1 др 8у 十 р дх

1 др 而十丁 8y

О,

О,

О,

О,

(19.1)

(19.1)

§ 19. Интегрирование уравнений плоскихизэнтропических течений газа

описывающие плоские установившиеся газа [см. (2.13)], имеют вид

а(р〃) [ а (р“)8力十 дуа(р〃) [ а (р“)8力十 ду0.0.причемпричемU2 +评-"2~U2 +评-"2~+ z = %,+ z = %,(19.2)(19.2)V =,V =,(19.3)(19.3)

а(р〃) [ а (р“)8力十 ду

а(р〃) [ а (р“)8力十 ду

0.

0.

причем

причем

U2 +评

-"2~

U2 +评

-"2~

+ z = %,

+ z = %,

(19.2)

(19.2)

V =,

V =,

(19.3)

(19.3)

Из первых двух уравнений системы (20.1) следует уравнение Бернулли

где ф — потенциал скорости. Решение последнего уравнения системы (19.1) можно представить через функцию тока ^ (^, у):

ро =—ро =—а屮дх，а屮дх，р〃 = + аг •р〃 = + аг •(19.4)(19.4)

ро =—

ро =—

а屮

дх，

а屮

дх，

р〃 = + аг •

р〃 = + аг •

(19.4)

(19.4)

Введем обозначение для модуля полной скорости а = У и2 +??2 и угла 0 между направлением полной скорости и осью %, тогда и = a cos В, V = a sin 0, и уравнения (19.3) и (19.4) после простых преобразований примут вид (уравнения Чаплыгина)

р〃 需= ($т)^・р〃 需= ($т)^・(19.5)(19.5)

р〃 需= ($т)^・

р〃 需= ($т)^・

(19.5)

(19.5)

Уравнения (19.5) являются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных. Они решаются графо-аналитическим методом характеристик в области сверхзвукового течения при соответствующих граничных условиях. Но можно при искусственно аппроксимированной изэнтропе найти и точные решения для плоских установившихся течений газа.

Впервые метод аппроксимации изэнтропы в виде р = р* — —const/p, где р* = const, предложил С. А. Чаплыгин, затем Л. И. Седов [25], С. А. Христианович [5], Г. А. Домбровский [59] и другие ученые предложили более точные аппроксимации изэнтропы, при которых также можно было искать точные решения.

Мы изложим здесь свой метод, аналогичный методу Г. А. Домбровского, но имеющий то достоинство, что он приводит по форме к таким же решениям, какие имеют место для одноразмерных неустановившихся изэнтропических течений газа.

Преобразуем уравнения (19.5); поскольку

ada = — di, а2 = — 2 (i — г0),气—1 = — [1 + >^%^dp]=

=一 P2K(P), где i0 — теплосодержание покоя, К (р) — функция Чаплыгина, то систему (19.5) можно написать в виде

2(» — io) 8屮8(р8屮5ф 2 (i — io)/4 q с\

Введем обозначение 歯"成，OS)

где ди/ — пока произвольные функции, тогда система (19.6) примет вид

88 — / dr] '88 —/ 8т)

Исключая отсюда при помощи дифференцирования функцию гр, придем к уравнению

窯=矶**+/鴉]■(19.8)

Если принять, что

一"2= 各，一(19.9) где а ——любое целое (положительное или отрицательное) число, то придем к известному уравнению Эйлера:

寸一ag十2a + 1 8产(丄

которое имеет аналитическое решение:

_ 8"1公[了2(2a + 1)， + 9] + /[了2(28 + 1)0一0](9

屮-8产уд• I

Уравнение, аналогичное уравнению (19.10), в свое время для плоских течений нашел С. В. Фалькович, однако его вывод был иным и более громоздким ).

Из условий (19.7) и (19.9) можно определить q (р), / (р), Z = ”р), а затем р — р (р), т. е. вид уравнения состояния, при котором существует решение (19.11). Это уравнение состояния будет содержать семь произвольных констант, что вполне достаточно для удовлетворительной аппроксимации истинного уравнения состояния р = р (р). Если а2/с2〉1, то К V 1 м уравнение (19.8) является уравнением гиперболического типа, при а2/с2 < 1 уравнение (19.8) имеет эллиптический тип. При К〉1 в решении (19.11) 2 (2а + 1), V 0. Разделив второе соотношение (19.9) на первое, найдем, что / = А^а^12, где А± — произвольная константа. Исключив из первого соотношения (19.9) и (19.7) функцию К и затем /, получим

-卡市…(19.12)

Теперь, исключив из первого соотношения (19.9) функцию /, можно привести его к виду

д(2а+1)/2 = Г?4a -(2а+1)/4а

' L (2а + 1)父」

Отсюда имеем

dg(2a+D/2 = Г?](2а+1)/4a j^-(2a+l)/4a

L (2a+1)4 J

Сравнивая это с выражением (19.12), найдем, что

力 0-(2a+l)/4a — 八/2a 2d 十 1 p di 2a — 1 2 (г — го)

где A — новая произвольная константа, причем

4 = 4 /Поскольку4 = 4 /Поскольку2a+ 1 Г / 2a - 1 \2 2a + 1 Г2a+ 1 Г / 2a - 1 \2 2a + 1 Гр diр didpdp2 (i-io) = Кр? — ]，2 (i-io) = Кр? — ]，

4 = 4 /

Поскольку

4 = 4 /

Поскольку

2a+ 1 Г / 2a - 1 \2 2a + 1 Г

2a+ 1 Г / 2a - 1 \2 2a + 1 Г

р di

р di

dp

dp

2 (i-io) = Кр? — ]，

2 (i-io) = Кр? — ]，

то

dpXp2 — Г，dpXp2 — Г，dR-(2a+l)/4a _ 2ot 十 1 4%“

dp

Xp2 — Г，

dp

Xp2 — Г，

—2a — 1

откуда, вводя новые безразмерные переменные

p =4自，p =4自，приходим к специальному比寸приходим к специальному比寸К = 3 Tl4a/37),уравнению РиккатиК = 3 Tl4a/37),уравнению Риккати—±2 + 刀4a/(1-2а).—±2 + 刀4a/(1-2а).(19.13)(19.13)

p =4自，

p =4自，

приходим к специальному

比

寸

приходим к специальному

比

寸

К = 3 Tl4a/37),уравнению Риккати

К = 3 Tl4a/37),уравнению Риккати

—±2 + 刀4a/(1-2а).

—±2 + 刀4a/(1-2а).

(19.13)

(19.13)

Заметим, что можно было бы к переменным 三 и 刀 прибавить произвольные константы J。и т)0, увеличив этим число произвольных параметров, аппроксимирующих уравнение состояния.

Решение уравнения (19.13) имеет вид

221 —2а1 —2аn(l+2a)/(l-2a)Q (哨，n(l+2a)/(l-2a)Q (哨，(19.14)(19.14)

2

2

1 —2а

1 —2а

n(l+2a)/(l-2a)Q (哨，

n(l+2a)/(l-2a)Q (哨，

(19.14)

(19.14)

гдеа(п) =гдеа(п) =4(展/(1-2&)产+1 Мо ехр [(2а -1)严(『2а)]十 ехр [(1-2а)唄/(-2。)]} "涧(L)汽{4 ехр [(2а - l)ni/(i-2a)] + exp [(1 - 2а)产⑪。)]}4(展/(1-2&)产+1 Мо ехр [(2а -1)严(『2а)]十 ехр [(1-2а)唄/(-2。)]} "涧(L)汽{4 ехр [(2а - l)ni/(i-2a)] + exp [(1 - 2а)产⑪。)]}Здесь』о — постоянная интегрирования. При этом р = jl^naraMif^a.Здесь』о — постоянная интегрирования. При этом р = jl^naraMif^a.(19.15)(19.15)

где

а(п) =

где

а(п) =

4(展/(1-2&)产+1 Мо ехр [(2а -1)严(『2а)]十 ехр [(1-2а)唄/(-2。)]} "涧(L)汽{4 ехр [(2а - l)ni/(i-2a)] + exp [(1 - 2а)产⑪。)]}

4(展/(1-2&)产+1 Мо ехр [(2а -1)严(『2а)]十 ехр [(1-2а)唄/(-2。)]} "涧(L)汽{4 ехр [(2а - l)ni/(i-2a)] + exp [(1 - 2а)产⑪。)]}

Здесь』о — постоянная интегрирования. При этом р = jl^naraMif^a.

Здесь』о — постоянная интегрирования. При этом р = jl^naraMif^a.

(19.15)

(19.15)

Из (19.12) и (19.13) di2 (i - 加 Подставляя сюда g изИз (19.12) и (19.13) di2 (i - 加 Подставляя сюда g изимеем_ dpимеем_ dpР[Кр2-1]Р[Кр2-1]—也n4"(1-201).—也n4"(1-201).(19.14), находимdi 2a — 1 ,•：——г- = —77s—«П, I — io 4c(19.14), находимdi 2a — 1 ,•：——г- = —77s—«П, I — io 4c

Из (19.12) и (19.13) di

2 (i - 加 Подставляя сюда g из

Из (19.12) и (19.13) di

2 (i - 加 Подставляя сюда g из

имеем

_ dp

имеем

_ dp

Р[Кр2-1]

Р[Кр2-1]

—也n4"(1-201).

—也n4"(1-201).

(19.14), находим

di 2a — 1 ,

•：——г- = —77s—«П, I — io 4c

(19.14), находим

di 2a — 1 ,

•：——г- = —77s—«П, I — io 4c

откуда получаем решение для г

i = i。+ £ exP [(2a 一 D \ 患]，

где В ——постоянная интегрирования.

Поскольку dp = pdZ, то

dp =不 J2a n4a/(l-2a)^(2a-l)、黑 dt],

откуда

(19Д6)(19Д6)P = P* + 丁4 J M(i-2a)exp [(2a — 1) \ 帯]d% где p* ——постоянная интегрирования.

(19Д6)

(19Д6)

Соотношения (19.15) и (19.16) дают в параметрическом виде связь между р и р. Эта связь содержит четыре произвольных константы Ло, А, 5, р* и одну целочисленную произвольную константу а, а также константы 占。и % — всего семь констант.

Если рассматривать конкретные случаи решения уравнения (19.13) для разных а, то легко установить, что при а = 0 мы будем иметь уравнение изэнтропы р = р* — const/p, т. е. аппроксимацию Чаплыгина. При 工 а = 1, 2, 3,…，оо с большой точностью получим

р 弋 pf + const р*(19.17)

где соответственно Л = 3, 5/3, 7/5, ..., 1. Если считать, что уравнение изэнтропы (19.17) выполняется точно, то уравнение (19.13) незначительно изменится, так что решение (19.17) будет приближенным (с хорошей степенью приближения) решением уравнения (19.13).

Мы имеем решение в виде 屮=屮(д, 6) или 屮=屮(〃，о) (поскольку q = q (а)), а надо иметь решения

〃 =〃(/,沙)，V = V (瑞 у) или

/ = /(〃，〃)， у = у (〃，и)

[% = % (а, 0),沙=у (а, 0)]. Для этой цели надо использовать хорошо известное преобразование Лежандра; введение функции = ― <р 十 /〃 + 沙〃 при соотношениях

△ а①sin о а①.с @①.cos о а①

ACOS9 苏一167r + 丁而，

где Ф = a^-^ da, полностью решает поставленную задачу отыскания общего решения исходных уравнений.

Обычно точно решают преобразованные уравнения для плоских течений при аппроксимированной изэнтропе. Здесь, наоборот, для точной изэнтропы мы ищем приближенное решение основных уравнений. Очевидно, что оба эти подхода дополняют друг друга и могут иметь полезные применения.

Волна разрежения одного направленияпри истечении ранее покоящегося газа

Представим себе трубу, перегороженную в двух местах стенками. Пусть область между стенками заполнена покоящимся газом, а вне стенок — пустота. Расстояние между стенками обозначим через 厶 Ось х направим параллельно оси трубы, начало координат поместим у правого закрытого конца (рис. 5). Площадь

сечения трубы постоянна и принимается равной единице. Параметры покоящегося газа обозначим через рн, ря, Сн, 〃н = 0.

В момент времени £ = 0 в сечении / = 0 снимем правую стенку. При этом начнется неустановившееся истечение газа в пустоту, и одновременно возникнет волна разрежения одного направления. Границами волны являются справа фронт истечения в пустоту, двигающийся вправо, и фронт волны разрежения, двигающийся влево.

В данном случае собственная скорость частиц всюду будет направлена противоположно скорости распространения фронта волны разрежения.

При снятии стенки вначале приходят в движение смежные с этой стенкой слои газа, постепенно движение захватывает все более далекие области, лежащие левее того места, где находилась снятая стенка.

Когда частицы газа с плотностью рн, первоначально находившиеся в покое, начинают двигаться вправо, постепенно убыстряя свое движение, плотность в той части заполненной области, где началось движение, очевидно, будет падать. Этот процесс

постепенно распространяется справа налево от снятой стенки, т. е. в указанном направлении распространяется волна разрежения. Очевидно, уравнения, описывающие эту волну, должны явиться решением основных уравнений газовой динамики для неустановившихся процессов. При этом решение должно быть особым (римановским), так как волна разрежения представляет собой волну одного направления, распространяющуюся по невозмущенной среде.

Здесь важно отметить то обстоятельство, что фронт волн идет только влево от снятой стенки, внутрь заполненной области. Фронт же газа, истекающего направо в пустоту, нельзя рассматривать как волну, так как здесь частички газа сами движутся, но никакой среды в движение не приводят. Распределение скорости и плотности по обе стороны от снятой стенки описывается одними и теми же уравнениями, область же существования волны, описываемая данным решением, распространяется с течением времени в обе стороны от точки 况=0.

Для решения поставленной задачи при уравнении изэнтропы р = OopR мы воспользуемся римановскими решениями основных уравнений газовой динамики, полученными в § 14 [см. (14.2) и

(14.3)1,(14.3)1,(20.1)(20.1)〃тах ~〃тах ~22(20.3)(20.3)

(14.3)1,

(14.3)1,

(20.1)

(20.1)

〃тах ~

〃тах ~

2

2

(20.3)

(20.3)

а = (и — с) t + 尸(u),и = — {у с + const.

Знак минус перед с показывает, что фронт волны движется налево.

Первое граничное условие, очевидно, состоит в том, что в заполненной области между стенками газ находится в покое и скорость звука в нем имеет некоторое определенное значение &• Это условие позволяет нам определить константы во втором уравнении (20.1). Подставляя в него значения и — ин — 0, с = сн, найдем

2

0 = -% + const,

откуда

const = 2&/侬—1),

и второе уравнение (20.1) примет окончательный вид

(20.2)(20.2)2 /、

(20.2)

(20.2)

〃=乃—](% — С).

Оно является как бы аналогом уравнения Бернулли. Разница состоит в том, что в уравнении Бернулли стоят квадраты скоростей, а здесь скорости входят в первой степени. Предельная скорость при истечении в пустоту, очевидно, будет определяться соотношением

Сравнивая ее с предельной скоростью истечения в пустоту при установившемся процессе, при постоянной плотности газа в сосуде, которая определяется соотношением

найдем, чтонайдем, что〃тах =〃тах ="max неустанов "max уставов"max неустанов "max уставов(20.4)(20.5)(20.4)(20.5)

найдем, что

найдем, что

〃тах =

〃тах =

"max неустанов "max уставов

"max неустанов "max уставов

(20.4)

(20.5)

(20.4)

(20.5)

При 力 V 3 это отношение всегда больше единицы, т. е. для большинства газов скорость потока при неустановившемся истечении всегда больше по сравнению с установившимся. Например, для воздуха (к = 7/5) скорость неустановившегося истечения примерно в 2,2 раза больше скорости установившегося истечения.

Второе условие данной задачи состоит в том, что в начальный момент при снятии стенки значения и и с в этом месте (т. е. при 力=0) являются неопределенными.

Скорость скачком возрастает от нуля до своего предельного значения u = итах = 2%/(乃—1), а плотность и скорость звука скачком падают до нуля от начальных значений р = Рн, с = %• Это условие позволяет нам определить произвольную функцию F (〃)，входящую в первое уравнение.

Можно показать, что эта функция должна тождественно равняться нулю, поскольку движение при 力=0 определено в точке (в сечении) % = 0.

Действительно, если F (и) = 0, то первое уравнение (20.1) принимает вид

% = (〃 一 с)力(20.6)

откуда при % = 0, / = 0, 〃 —— с = 0/0, т. е. значения и и с являются любыми в указанном интервале согласно условиям задачи.

Таким образом, учитывая граничные условия задачи, мы получили решение в виде

2(20.7)

и =匸Т & 一 ° •,

Истечение происходит в пустоту, поэтому формально мы будем называть фронтом растекающихся газов те точки, в которых р равно нулю, а др/дх не равно нулю. За этим фронтом мы, очевидно, будем иметь некоторое распределение скорости и плотности, при котором скорость газа всюду положительна, а плотность его не превышает начальной плотности газа в сосуде. Таким образом, во всей области, захваченной возмущением, плотность, а следовательно, и скорость звука будут меньше, чем начальные плотности и скорость звука в сосуде.

Найдем, с какой скоростью движется фронт волны разрежения. Так как фронт волны разрежения в каждый данный момент граничит с областью невозмущенного газа в сосуде, то, очевидно, что на фронте с = Сн,辽=0. Следовательно, для фронта волны первое уравнение (20.7) дает

(20.8)

т. е. фронт волны разрежения движется справа налево со скоростью с$ равной местной скорости звука. Соотношение х = — с^ является характеристикой наших уравнений.

Этот результат вполне закономерен, так как слабые разрывы, к которым принадлежит и волна разрежения (поскольку в ней скачок испытывают не сами величины, характеризующие состояние, а их производные), вообще распространяются в покоящейся среде с местной звуковой скоростью.

Найдем теперь распределение и и с во всей области, по которой прошло возмущение, в зависимости от времени.

Разрешая уравнения (20.7) относительно 〃 и с, мы определим

и =и =

и =

и =

Отсюда мы видим, что в каждый данный момент распределение и и с изображается прямыми линиями (рис. 6).

Далее мы видим, что в сечении % = 0 всегда

и = с = %，”，(20.10)

т. е. устанавливается критический режим истечения. Совершенно ясно, что состояние, при котором и = с, должно оставаться в покое, так как скорость распространения этого состояния 〃 一 с я данном случае равна нулю.

На фронте волны разрежения, как мы видели,如=0, с = %, фронт волны разрежения движется со скоростью —%. На фронте истекающего газа umax = 2 сИ/(к — 1), с = 0. Скорость перемещения фронта совпадает со скоростью летящих впереди частиц. В качестве примера нарисуем график распределения и и с при к = 7/5 (двухатомный газ).

Уравнения (8.9) при к = 7/5 дают

(20.11)(20.11)

(20.11)

(20.11)

Тогда через некоторое время t после снятия стенки волна разрежения пройдет влево на расстояние 厶 передние же частицы газа пролетят расстояние 5cH厶 и мы получим картину распределения 〃 и с, показанную на рис. 6. Это движение газа является автомодельным, поскольку все параметры, характеризующие его, являются функциями линейными отношения x[t.

Отражение волны разрежения )

Найденное в § 19 решение будет справедливо до тех пор, пока волна разрежения не дойдет до левой стенки, находящейся на расстоянии I от начала координат. Это произойдет в момент времени

£=%=4". (21.1)

После этого возникнет отраженная волна, которая будет распространяться по уже возмущенному газу, и, следовательно, эта волна должна быть описана общими решениями основных уравнений газовой динамики. Эти решения, как мы знаем [см. (15.33) и (15.34)1, можно написать в виде )

»Т 尸 1[у2(2Г+1" + 〃] + /[u2(2Г+ 1戸一〃]

"察，/ = 〃方一巽，(21.2)

diduI

r=—1,0, 1,2,3, ・・・,8・J

Nr 十 TJ

Для определения двух произвольных функций Fr и F2 необходимо знать два каких-либо начальных или граничных условия. Первое условие заключается в том, что на стенке скорость газа при любом t тождественно равна нулю. Поскольку независимыми переменными являются (u, Z), то это условие необходимо

(21.3)(21.3)сформулировать так: при ①=—I и = 0 при произвольном

(21.3)

(21.3)

Второе условие легко найти, рассматривая сопряжение отраженной волны с падающей римановской волной. Линию сопряжения, которая будет характеристикой (поскольку возмущения распространяются по характеристикам), можно найти из условия

(21.4)(21.4)dx ,

(21.4)

(21.4)

Заметим, что для определения и и с мы можем и не знать уравнения этой линии. Очевидно, что вдоль этой характеристики значения 〃 и % определяемые обоими решениями, не терпят разрыва (сопрягаются непрерывно), терпят разрыв лишь производные ди/дх, дс/дх.

Формулы предыдущего параграфа (20.9) дают и (/, %), с (/, t) в виде

〃=仔Т&(1 + 方)，с =-与^ 方).(21・5)

Отсюда

dx 4] 3 — к х

"=中% +E彳-(2L6)

Интегрируя и помня, что интегральная кривая дол жна проходить через точку х = — I,力=〃％, находим

0 =告9他М手尸.(21.7)

На этой линии

〃 =k~i (% — с)(21.8)

и, как мы знаем (15.41),屮 = 0.

Выразив 乃 через г, с через 厶 согласно формулам к = -g：*", с = 了依—1)力=]/* -2r j( i, второе условие мы можем сформулировать так. На характеристике сопряжения выполняются условия

и = /2 (2г + 1) [П - Н],屮=0.

При этом произвольные функции 歹工 и F2 будут зависеть от аргументов

Л -尸 1^2 (2г 十 1)М,尸2 =尸2 I/2 (2r + 1) (2/7 — fl；)].

Таким образом, это условие не определяет /\ и 尸2, поскольку % на характеристике постоянно, но, исходя из него, можно показать, что尸2三0.

Докажем это утверждение сначала для г = 0 (тг = 3, что соответствует продуктам детонации) и для г = 1 (тг = 5/3 соответствует одноатомному газу). При г = 0 мы должны воспользоваться общим решением, написанным в форме (15.27):

屮=% [/2/ + и\ + F2 [J万一и].

Согласно граничному условию задачи на фронте нового решения

2 = % (/2ZJ + 爲[/2(2/1 一 了卧三 0.

Поскольку функция от переменной величины не может тождественно равняться нулю, то необходимо и достаточно, чтобы F2 三 0.

Точно так же при 厂=1, воспользовавшись общим решением в форме (21.2), мы получим

尸 1[了而+ 〃]+&[М 所一〃]

на характеристике

/[U%]+/[yK(2VT—у%)] _0

Отсюда также ясно, что при гр = 0 F^ = 0.

Можно доказать, пользуясь интегрированием, что F2= 0 для

любоголюбого“ 2г+ 1*「= " 2,…Таким“ 2г+ 1*「= " 2,…Такимобразом,образом,мы нашли,мы нашли,что 屮 должно зависеть лишь от одной произвольной функции, т. е・что 屮 должно зависеть лишь от одной произвольной функции, т. е・屮=屮=агT 尸1（了耳?十"）dF1 уТагT 尸1（了耳?十"）dF1 уТ(21.9)(21.9)

любого

любого

“ 2г+ 1*「= " 2,…Таким

“ 2г+ 1*「= " 2,…Таким

образом,

образом,

мы нашли,

мы нашли,

что 屮 должно зависеть лишь от одной произвольной функции, т. е・

что 屮 должно зависеть лишь от одной произвольной функции, т. е・

屮=

屮=

агT 尸1（了耳?十"）

dF1 уТ

агT 尸1（了耳?十"）

dF1 уТ

(21.9)

(21.9)

где для краткости мы обозначили Е = 2 (2r + 1).

Из условия на стенке при 〃三 0 и из соотношения %=〃£ —— —д^/ди имеем —х = + 2 = д^/ди, или, поскольку dFJdu = =2/丽 @%/dl имеем

" =7^系尸"瓦 + 6，(21Л0)

что дает

% U瓦• + 0] = ¥ z ^/^ ,(21.11)

причем мы интегрируем в пределах от i до iH, поскольку при и = Q i может меняться от значения % до текущего значения Z. Таким образом, при и = 0 мы нашли выражение для 夕р

Поскольку 歹1 — bi(V?R2 + 〃)，то при 〃 # 0 мы придем к выражению

尸i =尸i =2 VR2 VR-(У瓦 +〃)2— Е%- R-(У瓦 +〃)2— Е%- R(21.12)(21.12)

尸i =

尸i =

2 VR

2 VR

-(У瓦 +〃)2— Е%

- R

-(У瓦 +〃)2— Е%

- R

(21.12)

(21.12)

Отсюда имеем

(21.13)(21.13)I 戸[(了布 + ")2-％f

(21.13)

(21.13)

или, вводя новую переменную 6 = № =炉=(%二丁с] [7?= =2 (2г + 1)], получаем окончательно

I ат [(/0 + ^-0н]г

屮一可"aL /6，

(21.14)(21.14)_ ir дг [(/ё + ^)2-0н]г

(21.14)

(21.14)

—ао7 /б ，

, I а「т (У6 + 〃)[(У© + 〃)2—9н)「т

* = ut ——;

(г-l)! 8门工/о

Напишем отдельно выражение р для случая 厂=0. Из формулы (15.27) имеем при тг = 3:屮=三1M2» + 〃】+ 尸2【了2» — ul; как уже показано выше, F2 三 0. Далее, на стенке % =—厶〃三 0, и из соотношения 况=〃力一д^/ди имеем I = д^/ди или I = F' (2Z). После интегрирования в пределах от % до % получим I (了2% — г- 了2加)=歹1 (了金)；таким образом, мы определили функцию F* для случая 几=3; так как 2% = с2, то функция 屮 будет иметь вид

^ = ^ (/2Z + и) = I (с ^сн + 〃)・ (21.15)

На линии сопряжения данного и особого решений на основании формулы (20.7) имеем и — 2 (сн — с) /(/с — 1) = }^0н — К®» откуда

k+1

(21.16)

поскольку все остальные члены правой части второй формулы (21.14) после r-го дифференцирования при подстановке и = =了反[|Л^ — У打=рб^ — У® обращаются в нули. Анало-

гично из третьей формулы (21.14) находим

х — ut — Z ("^F")= 〃力一I ^~-) = (〃 一 c)九 (21.17)

т. е. приходим к первой формуле (20.7), что является хорошим контролем наших вычислений.

Подставляя из (21.16) величину t в (21.17), придем к формуле

1

①=(2r + 1) сн力 - 2 (г + 1) %力(/) ^ =

з—х

(21.18)(21.18)2,〃+!"%£、市

(21.18)

(21.18)

Таким образом, как и следовало ожидать, мы пришли к формуле (21.7), выведенной нами ранее из других, более элементарных соображений.

Поскольку правый фронт (фронт разлета) римановского решения движется по закону / = 2cH〃(及—1) = (2r + 1)%厶 то особое решение при t 戸 Z/cH на основании (21.18) и последнего уравнения оказывается определенным на интервале

1 / I \ ЧТ

(2г + 1) Сн方》力》(2г + 1) Сн% — 2 (г + 1) Сн% (彳丿 •

Таким образом, величина интервала движущегося газа, не затронутого отраженной волной разрежения, будет

△% = 2(r + l)Z (早)叶1 ・ (21.19)

Представляет весьма значительный интерес найти распределение и и р при 力一＞ 8 и определить при этом полное количество движения газа, которое должно быть равно импульсу, воспринимаемому стенкой. При этом можно легко показать, что масса газа, находящегося в интервале А/ (в интервале римановского решения), будет стремиться к нулю. Таким образом, оказывается необходимым лишь найти распределение величин и и р для отраженной волны.

Очевидно, плотность газа р (力)при 力 т 8 при любом / будет стремиться к нулю, поскольку масса газа конечна, а область его распространения бесконечна. При этом величина Z также будет

стремиться к нулю, а следовательно, определяя t по второй формуле (21.14), легко убедиться в том, что все члены при дифферен-стремиться к нулю, а следовательно, определяя t по второй формуле (21.14), легко убедиться в том, что все члены при дифферен-цировании дадут нуль, кроме одного. В самом деле, будет равноцировании дадут нуль, кроме одного. В самом деле, будет равнозначение tзначение tТак какТак как(21.20)(21.20)剂（丿22% °剂（丿22% °(21.21)(21.21)порядок г или 0 (порядок нуля) в знаменателе этой производной будет наиболыпий; приводя остальные члены, получаемые придифференцировании, к степени 02 , мы должны их умножитьна 0, взятое в некоторой положительной степени, что при 0 -> 0 будет обращать эти члены в нули.Из (21.20) будем иметьпорядок г или 0 (порядок нуля) в знаменателе этой производной будет наиболыпий; приводя остальные члены, получаемые придифференцировании, к степени 02 , мы должны их умножитьна 0, взятое в некоторой положительной степени, что при 0 -> 0 будет обращать эти члены в нули.Из (21.20) будем иметь(2г)!Л(ен-иУ Сн (2r)!(0H-uV(2г)!Л(ен-иУ Сн (2r)!(0H-uVг+—22「+1(г|)2 82г+—22「+1(г|)2 82(г!)222г0г(г!)222г0г(21.22)(21.22)Аналогично, используя третью формулу (21.14), найдем, чтоАналогично, используя третью формулу (21.14), найдем, что力=ut.力=ut.(21.23)(21.23)Это следует из того обстоятельства, что порядок величины д^/ди соответствует порядку величины 0 叫％^ 30 〜 用/了％Займемся преобразованием формулы (21.22). ПосколькуЭто следует из того обстоятельства, что порядок величины д^/ди соответствует порядку величины 0 叫％^ 30 〜 用/了％Займемся преобразованием формулы (21.22). Посколькубн = (2r + I)2 备 м = (2r + 1) (Сн — с), с ~ р2r+1 то можно написать, чтобн = (2r + I)2 备 м = (2r + 1) (Сн — с), с ~ р2r+1 то можно написать, что[(2r + 1) /产П(^广"=b「+1)味严1 ^[(2r + 1) /产П(^广"=b「+1)味严1 ^Обозначая постоянный множитель формулы (21.22): (2r)!/(r!)222r=В, найдем, чтоОбозначая постоянный множитель формулы (21.22): (2r)!/(r!)222r=В, найдем, что=в=в

стремиться к нулю, а следовательно, определяя t по второй формуле (21.14), легко убедиться в том, что все члены при дифферен-

стремиться к нулю, а следовательно, определяя t по второй формуле (21.14), легко убедиться в том, что все члены при дифферен-

цировании дадут нуль, кроме одного. В самом деле, будет равно

цировании дадут нуль, кроме одного. В самом деле, будет равно

значение t

значение t

Так как

Так как

(21.20)

(21.20)

剂（丿22% °

剂（丿22% °

(21.21)

(21.21)

порядок г или 0 (порядок нуля) в знаменателе этой производной будет наиболыпий; приводя остальные члены, получаемые при

дифференцировании, к степени 02 , мы должны их умножить

на 0, взятое в некоторой положительной степени, что при 0 -> 0 будет обращать эти члены в нули.

Из (21.20) будем иметь

порядок г или 0 (порядок нуля) в знаменателе этой производной будет наиболыпий; приводя остальные члены, получаемые при

дифференцировании, к степени 02 , мы должны их умножить

на 0, взятое в некоторой положительной степени, что при 0 -> 0 будет обращать эти члены в нули.

Из (21.20) будем иметь

(2г)!Л(ен-иУ Сн (2r)!(0H-uV

(2г)!Л(ен-иУ Сн (2r)!(0H-uV

г+—

22「+1(г|)2 82

г+—

22「+1(г|)2 82

(г!)222г0г

(г!)222г0г

(21.22)

(21.22)

Аналогично, используя третью формулу (21.14), найдем, что

Аналогично, используя третью формулу (21.14), найдем, что

力=ut.

力=ut.

(21.23)

(21.23)

Это следует из того обстоятельства, что порядок величины д^/ди соответствует порядку величины 0 叫％^ 30 〜 用/了％

Займемся преобразованием формулы (21.22). Поскольку

Это следует из того обстоятельства, что порядок величины д^/ди соответствует порядку величины 0 叫％^ 30 〜 用/了％

Займемся преобразованием формулы (21.22). Поскольку

бн = (2r + I)2 备 м = (2r + 1) (Сн — с), с ~ р2r+1 то можно написать, что

бн = (2r + I)2 备 м = (2r + 1) (Сн — с), с ~ р2r+1 то можно написать, что

[(2r + 1) /产П(^广"=b「+1)味严1 ^

[(2r + 1) /产П(^广"=b「+1)味严1 ^

Обозначая постоянный множитель формулы (21.22): (2r)!/(r!)222r=В, найдем, что

Обозначая постоянный множитель формулы (21.22): (2r)!/(r!)222r=В, найдем, что

=в

=в

откуда

(21.24)(21.24)

(21.24)

(21.24)

что дает распределение плотности по скорости при Е оо

Покажем теперь, что действительно в интервале особого решения масса газа стремится к нулю. Поскольку р = р (с), то, используя (21.15), найдем, что плотность в интервале особого решения определяется формулой

Ш

2Г+1「2尸+11 X "12Г+1

=+ » — 2(г + 1) с^

при 力 f оо р 0, откуда xjt = (2r + 1) % = 2%/(乃一1) = umax. Масса газа на интервале Дх определяется интегралом

АМ = \ pd①,

勺=/ — 2 (г + 1) %£勺=/ — 2 (г + 1) %£где согласно (21.17) и (21.18)

勺=/ — 2 (г + 1) %£

勺=/ — 2 (г + 1) %£

况о = (2厂 + 1) Сн%,

Отсюда следует, что

ДМ = —<(Z。一 z)dz,

где

z = "^, 20 = 2r + 1, Zi = 2r + 1 — 2 (r + 1) (-^y)•

Интегрирование дает

AM = Рн”《盡 У = PJ 专='

где pHZ = Мп есть полная начальная масса газа. Отсюда видно, что при 力 f 8 AAff 0. Для определения полного импульса, действующего на стенку, воспользуемся выражением

/ = \ p〃d①.(21.25)

При 力 т 8 эта формула переходит в

Ко

/= \ pudx.(21.26)

Формула (21.24) дает, поскольку и = x]t = %z = (A — l)umax z/2 = z〃max/(2r + 1), следующее значение импульса /:

/ = M-BW^r ! G — Z2)「Z dz = ^^ (2r+ 1)2.

Подставив сюда величину В, будем иметь

(21.27)(21.27)(2г+ 1)! (2г+ 1).22г+1г!(г+ 1)!

(21.27)

(21.27)

Поскольку с^/к ("——1) = £н，где £н ——энергия покоящегося в сосуде газа, рассчитанная на единицу массы, то сн = "^2 (2 г + 3) £ц/(2г 十 +• 1). Вводя полную энергию газа Ен = Мнен, приводим формулу (21.27) к виду

/ = 了2 (2L + 3)m品 菖广?二=e 了方е (21.28)

где 占=]f2r + 3линга имеемгде 占=]f2r + 3линга имеем(2г+ 922г+1г! (г + 1)!(2г+ 922г+1г! (г + 1)!При к = 1, г-> оо по формуле Стир-При к = 1, г-> оо по формуле Стир-

где 占=]f2r + 3

линга имеем

где 占=]f2r + 3

линга имеем

(2г+ 922г+1г! (г + 1)!

(2г+ 922г+1г! (г + 1)!

При к = 1, г-> оо по формуле Стир-

При к = 1, г-> оо по формуле Стир-

В таком виде формула, определяющая импульс, особенно удобна для практического использования в ряде задач современной газовой динамики. Значение g для различных к п г удобно задать табличкой

к

3

5/3

7/5

9/7

11/9

1

г

0

1

2

3

4

ОО

(0,865 ，

0,839

0,825

0,818

0,816

0,796

Как мы видим, величина Е мало зависит от значения к или г.

Вычислим теперь давление р± у стенки после прихода волны разрежения. Для этого момента t & 〃％, р = рн. При t》〃％, поскольку на стенке 〃三 0, из второго уравнения (21.14) имеем

IR а「(8 - 9J爭萨 /О

Вводя переменную

2n—12n—1

2n—1

2n—1

придем к выражению, определяющему давление рт:

су _ 1 dr (z — l)r _ 1 < 2 (г — а)! (2а)!-門旦

I ~ 7r也『—У2— 一声_0 2 一沙山产

Отсюда следует также формула для определения импульса

ОО80PH

/ = Рн -—F \ Pi 成=办；—F \ Pi力—S 力 &Р1 =、力 “Pi'(2’・3°) н 2Н 丄 Рн °

снсн

2а-И2Г十3 dpi2а-И2Г十3 dpiОчевидно, внеинтегральный член после интегрирования по частям дает после подстановки пределов импульс для простой волны: —Рн〃Сн・ Таким образом, получаем следующее выражение импульса:

2а-И

2Г十3 dpi

2а-И

2Г十3 dpi

7 @Н г

^、工①(誥)

О 0\/

(2「+ 3) pj(2「+ 3) pj@н a=r0 a=o@н a=r0 a=oФФ2(「+ l-a)2(「+ l-a)2(叶1-a)2叶32(叶1-a)2叶3(21.31)(21.31)ЗдесьЗдесь

(2「+ 3) pj

(2「+ 3) pj

@н a=r

0 a=o

@н a=r

0 a=o

Ф

Ф

2(「+ l-a)

2(「+ l-a)

2(叶1-a)

2叶3

2(叶1-a)

2叶3

(21.31)

(21.31)

Здесь

Здесь

①=①(r, a)=①=①(r, a)=2(r — a)! (2a)! [(r — a)! a!]22(r — a)! (2a)! [(r — a)! a!]2

①=①(r, a)=

①=①(r, a)=

2(r — a)! (2a)! [(r — a)! a!]2

2(r — a)! (2a)! [(r — a)! a!]2

Отсюда, поскольку рн ==Отсюда, поскольку рн =='；；j： Рн4 И ZpH = "н.'；；j： Рн4 И ZpH = "н.где Мн —где Мн —

Отсюда, поскольку рн ==

Отсюда, поскольку рн ==

'；；j： Рн4 И ZpH = "н.

'；；j： Рн4 И ZpH = "н.

где Мн —

где Мн —

масса газа, имеем

(21.32)(21.32)=у 2(「一 а)!(2х)!

(21.32)

(21.32)

?2г+1 н н ^^ [(г — а)! а!]2 (г + 1 — а) *

Вводя полную энергию

ен =將霧%哈

придем к выражению

/ = 了2 (2г+ 3) Мн矶贵 2 [(-2」；!；!常普『・(21.33)

Произведя суммирование, получим уже известное по формуле (21.28) выражение для импульса

1= 了2 (2г+ 3) МВ1= 了2 (2г+ 3) МВ⑵+ 1)122Г+3 (「+ !)[⑵+ 1)122Г+3 (「+ !)[

1= 了2 (2г+ 3) МВ

1= 了2 (2г+ 3) МВ

⑵+ 1)1

22Г+3 (「+ !)[

⑵+ 1)1

22Г+3 (「+ !)[

В случае А = 1 (г = оо) сумма в формуле (21.33) равна

г-*оо11

1 у 2(г-а)【(2г)!=丄尸 4=丄 f 曲 =(

声'g G — a)“l)2 =元勺厂У网厂币=K’mr^ =，

где § = а/r; аналогично соотношение (21.30) сводится к

¥ = ；$(^)(2L34)

что в свою очередь выражается через функцию Бесселя нулевого порядка /о от чисто мнимого аргумента. Вводя переменную у:

В = ―L , придем к выражению где

In , J = J (m) = \ ~7=r ・

2 m 'J 匕 _y2

Дифференцируя J (тп) дважды по параметру т, имеем

1

9= Wy^，

11

厂(加)=( 产6…^_ = J - f emu |41 一疗电.

д У1 — g2 Д

Беря последний интеграл по частям, приходим к уравнению

「㈣+三厂(m)=J⑺;「㈣+三厂(m)=J⑺;(21.35)(21.35)

「㈣+三厂(m)=J⑺;

「㈣+三厂(m)=J⑺;

(21.35)

(21.35)

(21.36)(21.36)решением этого уравнения и является функция Бесселя нулевого порядка от чисто мнимого аргумента

(21.36)

(21.36)

J = /о W)；

таким образом, в случае /с 二二 1 (г = оо) имеем окончательно соотношение

华=W“ 川吟)•(2L37)

Вычислим теперь давление р2 в точке сопряжения отраженной и римановской волн; поскольку с 〜р2k, то воспользовавшись (21.15), будем иметь

4k2「+34k2「+3(21.38)(21.38)

4k2「+3

4k2「+3

(21.38)

(21.38)

Приведем функции 力=/ (р, в[力=力(р?) определяемые из формул (21.30) и (21.38):Приведем функции 力=/ (р, в[力=力(р?) определяемые из формул (21.30) и (21.38):для различных к,для различных к,

Приведем функции 力=/ (р, в[力=力(р?) определяемые из формул (21.30) и (21.38):

Приведем функции 力=/ (р, в[力=力(р?) определяемые из формул (21.30) и (21.38):

для различных к,

для различных к,

1111&丄&丄+ 5+ 5

11

11

&丄

&丄

+ 5

+ 5

1з

儿=^，学=為［35 （鲁）+ 20 （鲁）+

■12_2g

^«(Г+ЧГ+Ч^ЛЧ^Г-)

Для определенности сравним р】и р? в момент t =力2， когда отраженная волна достигнет начала координат. При этом t =力?• В этот момент на основании (20.9) %/с = (" + 1)/2 и на основании (21.15) имеем

竽=羊=然)5 =(您抖广.(44。)

В табличке, приводимой ниже, даны значения отношения Р2/Р1 для различных к.

Рис. 7.Рис. 7.стью, оставаясь почтистью, оставаясь почтинаты (рис. 7). Следует заметить, что изменение давления со временем в отраженной волне, напротив, весьма значительно. Таким образом, график местной скорости звука с на участке от стенки (/ = — Z) до начала координат (/ = =0), являющийся отрезком прямой, с течением времени опускается вниз со значительной скоропараллельным оси /.

Рис. 7.

Рис. 7.

стью, оставаясь почти

стью, оставаясь почти

В случае /с = 3 (г = 0，р =网=应 на всем интервале отраженной волны. В самом деле, при тг — 3 из формулы (21.15) имеем

^ = 1(и + с — %)；

отсюда

х = ut — ~ = ut —

С другой стороны, из формул (21.7) и (21.8) при 乃=3 имеем

①=— 2，〃 = % — с; из этих равенств следует

(21.41)(21.41)

(21.41)

(21.41)

Таким образом, рис являются в случае к = 3 функциями только времени и вовсе не зависят от 力.

Мы уже говорили о том, что при неограниченном расширении среды и, в частности, газа давление и плотность в отраженной волне должны сравнительно сильно меняться со временем и мало зависеть от координаты. На основании (21.23) и (21.24) мы полу- тали следующие асимптотические формулы, характеризующие распределение скорости и плотности в отраженной от стенки вол-

не по прошествии достаточно большого интервала времени после отражения:

(2「)!(2「)!〃 =丁〃 =丁Р — £7 Рн22г(г!)2(2г + 1 严Р — £7 Рн22г(г!)2(2г + 1 严[(2г+ 1)2[(2г+ 1)2(21.42)(21.42)

(2「)!

(2「)!

〃 =丁

〃 =丁

Р — £7 Рн22г(г!)2(2г + 1 严

Р — £7 Рн22г(г!)2(2г + 1 严

[(2г+ 1)2

[(2г+ 1)2

(21.42)

(21.42)

Поскольку вблизи стенки 〃 = 0 при 力оо, то плотность характеризуется следующей простой формулой:

РРI (2г)!'н %* 22г (г!)2I (2г)!'н %* 22г (г!)2(21.43)(21.43)

Р

Р

I (2г)!

'н %* 22г (г!)2

I (2г)!

'н %* 22г (г!)2

(21.43)

(21.43)

К этим формулам можно прийти непосредственно, исходя из основных исходных уравнений, если положить в них давление равным нулю; тогда решения этих уравнений принимают вид

(21.44)(21.44)ж = ut, р = —

(21.44)

(21.44)

Первая формула сразу дает и — xlt и вторая определяет, что р зависит не только от t, но и от ①/Е = и, однако вид этой функции определить без сопряжения с простой волной невозможно.

Как мы видим, решение для отраженной от стенки волны является весьма сложным и неудобным в ряде преобразований. Однако, учитывая малую зависимость давления и плотности от координаты 况，можно найти приближенное, весьма простое решение для этой волны, дающее хорошую точность. Для этой цели аппроксимируем давление, действующее на стенку в отраженной волне, как функцию времени соотношением

(21.45)(21.45)

(21.45)

(21.45)

где 自 и 7 — неизвестные пока константы (〃％& 力 W°°)・ Для их определения постудим следующим образом: вычислим для данной аппроксимации полный импульс, действующий на стенку при истечении газа в пустоту в бесконечно длинной трубе:

8н)\ pdt =8н)\ pdt =с/Сн 瓦一1с/Сн 瓦一1(21.46)(21.46)

8н)

\ pdt =

8н)

\ pdt =

с/

Сн 瓦一1

с/

Сн 瓦一1

(21.46)

(21.46)

Поскольку рц1/сн = МнС"к, где к — %/%, а % = 了似乃一I)笈н/Мн, то

(21.47)(21.47)

(21.47)

(21.47)

Точное выражение, определяющее /, имеет вид

(21.48)(21.48)/ = yW^；隐

(21.48)

(21.48)

где

/2Г+3 (2r+ 1)!/2Г+3 (2r+ 1)!22Г+] г! (г + 1)!.22Г+] г! (г + 1)!.(21.49)(21.49)

/2Г+3 (2r+ 1)!

/2Г+3 (2r+ 1)!

22Г+] г! (г + 1)!.

22Г+] г! (г + 1)!.

(21.49)

(21.49)

Значение Е для различных 及 и г мы задали таблицей.

Сравнивая значения /, определяемые формулами (21.47) и (21.48), придем к следующей связи между 瓦 и сп 7/7:

= J/^ Т^Т Е (& -1)-自.= J/^ Т^Т Е (& -1)-自.(21.50)(21.50)

= J/^ Т^Т Е (& -1)-自.

= J/^ Т^Т Е (& -1)-自.

(21.50)

(21.50)

(21.51)(21.51)(21.52)(21.52)даетдаетd In р Лп7d In р Лп7=ка.=ка.(21.53)(21.53)

(21.51)

(21.51)

(21.52)

(21.52)

дает

дает

d In р Лп7

d In р Лп7

=ка.

=ка.

(21.53)

(21.53)

Далее с целью определения второй зависимости между к工 и cH7/Z вычислим значение производной d hi p/d In Z у стенки (при 力=——I) в момент начала отражения t = 〃％• Уравнение неразрывности, если его написать в виде

d In р 7,8〃

而=他苏，

а значение скорости у стенки представить в виде

х -\- Iи = а —-—,

Займемся определениями величины а в падающей особой волне

"=等仔+e"."=等仔+e".(21.54)(21.54)

"=等仔+e".

"=等仔+e".

(21.54)

(21.54)

Фронт отраженной волны при % = — Z, t = — будет двигаться по закону

落"=嘗=〃 + с = с%(21.55)

Подставляя в соотношение (21.54) значение и из соотношения

(21.56)(21.56)(21.57)(21.57)dlnp _Ш7 =dlnp _Ш7 =kikiУУ(21.58)(21.58)Сравнивая теперь выражения (21.57) и (21.58), определяющие 一 d In p/d In t при t—l/cR в сечении x =——厶 придем к выражению, определяющему вторую связь между 左】и с③I:Сравнивая теперь выражения (21.57) и (21.58), определяющие 一 d In p/d In t при t—l/cR в сечении x =——厶 придем к выражению, определяющему вторую связь между 左】и с③I:4 自 " + 14Далее, сопоставляя результат определения cQ/i (21.50) и (21.59), находим4 自 " + 14Далее, сопоставляя результат определения cQ/i (21.50) и (21.59), находим(21.59)(21.59)по формулампо формулам& =1 ——& =1 ——к + 1к + 14左+ 14左+ 1[/否一11[/否一11(21.60)(21.60)/高一/高一

(21.56)

(21.56)

(21.57)

(21.57)

dlnp _

Ш7 =

dlnp _

Ш7 =

ki

ki

У

У

(21.58)

(21.58)

Сравнивая теперь выражения (21.57) и (21.58), определяющие 一 d In p/d In t при t—l/cR в сечении x =——厶 придем к выражению, определяющему вторую связь между 左】и с③I:

Сравнивая теперь выражения (21.57) и (21.58), определяющие 一 d In p/d In t при t—l/cR в сечении x =——厶 придем к выражению, определяющему вторую связь между 左】и с③I:

4 自 " + 14

Далее, сопоставляя результат определения cQ/i (21.50) и (21.59), находим

4 自 " + 14

Далее, сопоставляя результат определения cQ/i (21.50) и (21.59), находим

(21.59)

(21.59)

по формулам

по формулам

& =

1 ——

& =

1 ——

к + 1

к + 1

4

左+ 1

4

左+ 1

[/否一

1

1

[/否一

1

1

(21.60)

(21.60)

/高一

/高一

(21.52), придем к такому результату: 况(加 + 1) 〃/2 — % = =%£ —(左 + 1) а〃2; отсюда

dx —%.

dt —论 + 1'

сравнивая выражения (21.55) и (21.56), определяем

4d InР埶

〃=中 и -7ПБТ = ^Т・

Далее, дифференцируя давление в соотношении (21.45) по времени и вставляя в полученную производную значение t = 〃Сн, найдем, что

Следующая табличка дает значения к* и -у- для различных к.

к

3

5/3

7/5

9/7

1

瓦

3

1,80

1,55

1,45

1

с/

丁

0

-0,28

-0,33

—0,36

-0,5

Как видим, подобный приближенный метод определения параметров отраженной волны значительно проще, чем точный. Введение эффективного показателя изэнтропы Z\ и величины 7 облегчит в дальнейшем решение ряда более сложных задач.

§ 22・ Двустороннее истечение газа из циишндрического сосуда в трубу *)

Рассмотрим теперь задачу, являющуюся обобщением предыдущей задачи.

Пусть газ начинает в момент 力=0 истекать из правого конца цилиндрического сосуда длины Z; через некоторый промежуток времени t : 0 £ t & 〃％, т. е. прежде чем волна разрежения, идущая налево от правого конца, достигнет левого конца, начинается истечение из левого конца. Как и прежде, начало координат выбираем на правом конце, ось ① направляем вправо. В течение промежутка времени 0《力 & t решение описывается простой волной, идущей влево от правого конца. В момент т от левого конца вправо начинает распространяться вторая встречная волна разрежения. Пусть 叫一момент встречи этих волн. Очевидно, t <： q< Z/cH. В течение промежутка времени г《》& q между фронтами встречных волн имеется невозмущенная среда и решение описывается этими простыми волнами.

В момент встречи t】возникнет новая волна, которая должна выражаться обЬ,им решением, поскольку она распространяется в возмущенной среде. Найдем функцию 屮，описывающую эту волну.

Особые решения имеют вид:

для волны разрежения, идущей справа налево:

и = М% — У"0, % = (〃 一 с) t,(22.1)

для волны, идущей слева направо:

м =倘一网，力=他 + с) & - т) — Z・ (22.2)

Поскольку в месте встречи 0 = 0Н, 〃 = 0, с = сн, то встреча произойдет при

•) Задача была решена автором в 1948 г.

Как и прежде, на линии сопряжения падающей и отраженной первой волны (идущей налево) имеем 屮三 0. Из этого условия, как и ранее, следует, что одна из произвольных функций 尸】и F2, через которые выражается функция 屮，равна нулю:

尸2三。.

Таким образом,屮 зависит только от одной функции F、и эта зависимость имеет вид

尹"F^VRi + u)

Функция jF\ определяется из условия сопряжения отражения второй волны (идущей направо) с падающей волной.

Будем искать 尸i в такой форме, чтобы функция 屮 имела вид

._/Т]! ^22, (U® + У% + "У (了6 — U°H + ")「(U6 + 112 y§^ + 〃)

(22.4) где th м Па надлежит определить из граничных условий. Поскольку d^ldB = 1/2]40 d^ldu вдоль линии и = 仅6 —— V^m то при 方=0 х = —(а + с) х — р; далее, из соотношения х — ut ——д^/ди при 力=0 имеем х =——d^ldu} отсюда получаем

翳=口 + t色+明赤 =

= H^D++【4(r +()yE-KV辐]:(22.5)

непосредственное вычисление &屮/曲 из выражения (22.4) дает

翳=徐鳥[(他-畑鹏+ V e] =_

=^={2 (г + 1) /ё-[2г +(1-陶 У篇}・(22.6)

Сравнивая оба выражения для d^/dQ, найдем, что 小/]/^ = 2т/2Е； % (2г + 1 — т]2) = t]/^/Z — 1; отсюдаСравнивая оба выражения для d^/dQ, найдем, что 小/]/^ = 2т/2Е； % (2г + 1 — т]2) = t]/^/Z — 1; отсюда(22.7)(22.7)

Сравнивая оба выражения для d^/dQ, найдем, что 小/]/^ = 2т/2Е； % (2г + 1 — т]2) = t]/^/Z — 1; отсюда

Сравнивая оба выражения для d^/dQ, найдем, что 小/]/^ = 2т/2Е； % (2г + 1 — т]2) = t]/^/Z — 1; отсюда

(22.7)

(22.7)

Таким образом, окончательно имеем

,% дг^ (/0 + }Z0； + u)r(/0-]<0；-u)r[(/0 + u)J + (2r+l)]

巾=2MH авт頂*

(22.8)

Поскольку &屮/А» =力 то легко проверить, что найденная функция 屮 правильно определяет момент встречи двух волн разрежения

т . I т ./7?

Рассмотрим теперь отдельно случай, когда истечение начинается одновременно из обоих концов (г = 0). Очевидно, что при этом П = °，%小=1； d屮/说=Z/2/0 и решение (22.4) будет иметь вид

Z а1 (頂+了解+炉(吸一件;一 〃)[

=2 bl[(]/X+〃)2-寸

Легко убедиться, что эта функция действительно удовлетворяет равенству d^/dQ = Z/2]/6 при и = "^0 — ]/"0н. Эта задача аналогична задаче отраженной волны разрежения от стенки, поставленной при ①=—1/2.

Займемся теперь изучением распределения параметров правого и левого истекающих потоков газа в общем случае. Очевидно, что при зтом 0 &t &〃％； при 力 f 8 мы имеем 6 f 0. Потоки массы, импульса и энергии, идущие направо, определяются интегралом

2,

z(x = Ba \ pua dx\

о

при а = 0, 1, 2 этот интеграл выражает соответственно потоки массы, импульса и энергии. Значение константы ра определяется из балансов массы, импульсов и энергии. Вычисление 0。будет дано ниже. Обозначим величину 2сн/ (к — 1) через А. При 力оо можно получить асимптотические формулы, аналогичные формулам (21.23) и (21.24):

£ -— Ut^

2 I (2Г+ 1)).

эти формулы могут быть получены теми же методами, что и формулы (21.23), (21.24). Вставляя значение р в выражение для za, будем иметь

ziM仔+ “仔力仔+屮阅若

о

и для левого потока

Введем обозначение』z = %/力 тогда 1

Za = % § (1 - %2)г (z + ⑵娼)/) z^dz (для правого потока), о

z(x = Ва，(1 — z*)' (z — *丄出)"‘)z。dz (для левого потока), о

Вычисляя интегралы, найдем, чтоВычисляя интегралы, найдем, что

Вычисляя интегралы, найдем, что

Вычисляя интегралы, найдем, что

(22.10)

здесь Mi — масса, истекающая направо, М2 — масса, истекающая налево. (Значение В。определяется из условия Мг + М2 = =Мн = %Рн・)Очевидно, что при т = 0 М± — М2 = ЛГн/2.

门I Rl

При t =——=——получим% 2 %

(2Г+6！ г!(г + 1)! 22г+1(2Г+6！ г!(г + 1)! 22г+1&+ 1)!] г!(г + 1)!22「+1 J&+ 1)!] г!(г + 1)!22「+1 J(22.11)(22.11)Предельные случаи для к даютПредельные случаи для к дают衣=1 & т оо) Mi = "2 —竣•衣=1 & т оо) Mi = "2 —竣•

(2Г+6！ г!(г + 1)! 22г+1

(2Г+6！ г!(г + 1)! 22г+1

&+ 1)!] г!(г + 1)!22「+1 J

&+ 1)!] г!(г + 1)!22「+1 J

(22.11)

(22.11)

Предельные случаи для к дают

Предельные случаи для к дают

衣=1 & т оо) Mi = "2 —竣•

衣=1 & т оо) Mi = "2 —竣•

Для импульсов имеем

厶=Bi厶=Bi22r (r!)2(2r + l)Z

厶=Bi

厶=Bi

(2r + 1)! (2r + 3)j/-0Hr2 (r 十 1)

r22「(N)2(2「+W

'2-饱[(2宀)!(2Г+ 3)-网T2(Г+ 1)

Очевидно, что

厶 +/2=Р*=-T- =丁丁 = й=

"н%т

= ~i~ (2Г + 1)(2厂 + 3)； отсюда

牛(2?(22.13)

1 Z (r!)222r+1'

и мы приходим к следующим окончательным формулам для импульсов:

厶=&吟I+ i±4)(2「)L] вправо

12 L l (2г + 1)(2г + 3)^2(г + 1)(г!гИ аПРаВ0»

="нН； Г纱1(2宀)(2» ] налево

厶-2 L I (2r + l)(2r + 3)2(r + l)(r!)2r2rJ

(22.14)

При т = 0 имеем

T_ %了毋(2Г+l)(2r)! 一(2Г+(户(2Г)]

乙—一乙一一2~ 2(「+ 4) (R2r2r 一 22卄"| (r + 今厂'(•)

при т = 〃％ = R/2]^QH

Мпу^г л (2г + 1)(2г)! ]

Предельные случаи для 及 дают

加=3,厶,2 =纟察[事 土1];(29.17)

"=3 几2 = %А [整 土 含卜 (22.18)

Заменим 了％ через энергию; так как гн =乃包=(2г + 3)/ /(2г + 1)8н, то 0Н = 2 (2г + 3)8н, что при г -> оо (后=1) дает 0н = 4а; таким образом, мы будем иметь

3е司察土閑.

Далее, так как сн = У к (к ——1)ен -> У ен/^, то 了％"22 ~

=V闻1/21cH = М"2; отсюда окончательно получаем

厶=—厶=/*^ ・(22.19)

"% (2г+(『(2г)! 丁 22Г+1 " (г+ 4)"% (2г+(『(2г)! 丁 22Г+1 " (г+ 4)/2(2г + 3)МнЕн/2(2г + 3)МнЕнТаким образом, в случае /с = 1 количества движения истекающего газа одинаковы по абсолютной величине и противоположны по знаку. При t = 0 также

"% (2г+(『(2г)! 丁 22Г+1 " (г+ 4)

"% (2г+(『(2г)! 丁 22Г+1 " (г+ 4)

/2(2г + 3)МнЕн

/2(2г + 3)МнЕн

(2г+ »22г+1Г|(г + 1)! *

(22.20)

Как видим, мы получили результат, аналогичный тому,

к которому мы пришли, рассматривая отражение волны разрежения от стенки, где I = 2/1? поскольку истечение происходило

в. одну сторону.

Для вычисления энергий имеем формулу

"「(2Г+4乂22Г(Г!)2( 一

- p2 [ 了眛 一(2尸 + 少(2Г+ 3) ± 2 (L + 1) (Г+ 2)」?

где знак плюс — для правого и знак минус — для левого потоков .Так как Е工 + Е? == ^ГнЕн Ен == Л^н^н/2 (2汽 + 3), то

& =年%М3а》】)

Отсюда

「1 I |/%т(2г)1](22 22)

|Д (2г + 3)±—Г- 22(「+1)「!(叶 2)!」()

или, заменяя 0Н через %, получим

九 =孚(2Г + 1)(土竿謠黑] + 鼻].(22.23)

Очевидно, что при т = 0 ^ = ^2 — Ен/2・ При т = 〃备 получим

/L*(2r + Q2( 土盛优；2)! +鼻)•(22幽

Предельные случаи для к дают

论=3? £\,2 =论=3? £\,2 ="н*「] %l"н*「] %l彳彳以以乃=1, ^1,2 =加н器T [± j/^^ -у Ь 区]—加нС%.乃=1, ^1,2 =加н器T [± j/^^ -у Ь 区]—加нС%.(22.25)(22.25)

论=3? £\,2 =

论=3? £\,2 =

"н*「] %l

"н*「] %l

彳

彳

以

以

乃=1, ^1,2 =加н器T [± j/^^ -у Ь 区]—加нС%.

乃=1, ^1,2 =加н器T [± j/^^ -у Ь 区]—加нС%.

(22.25)

(22.25)

Заменяя % через гн =笈н/"н, получим 鬲爲=土学=士整，(22.26)

отсюда действительно получаем 笈】+ 笈2 = Ен, что является контролем напшх вычислений.

Решение задачи для произвольного показателя изэнтропы, не определяемого соотношением к = (2г + 3)/ (2г + 1), также возможно, однако, как мы уже указывали, это решение может быть выражено в виде гипергеометрических функций и поэтому должно иметь еще более сложный вид, чем решение, найденное нами для частных значений показателей изэнтропы. Однако, поскольку величина импульса и характер распределения массы и энергии, истекающих в противоположные стороны, мало зависят от величины, показателя изэнтропы, то нет никакой необходимости отыскивать сложные решения.

§ 23 ・ Истечение газа из трубыконечной длины в йустоту

Рассмотрим закономерности ных размеров, причем сначалаРассмотрим закономерности ных размеров, причем сначала0=一厶工工口t27= ZРис. 8.0=一厶工工口t27= ZРис. 8.истечения газа из трубы конеч- рассмотрим истечение газа в пустоту. Начальные условия возьмем прежние, т. е. положим, что истечение начинается при % = 0, / = 0, но будем считать, что труба обрывается при хь — Zo (рис. 8). Первая особая (римановская) волна, какистечения газа из трубы конеч- рассмотрим истечение газа в пустоту. Начальные условия возьмем прежние, т. е. положим, что истечение начинается при % = 0, / = 0, но будем считать, что труба обрывается при хь — Zo (рис. 8). Первая особая (римановская) волна, как

Рассмотрим закономерности ных размеров, причем сначала

Рассмотрим закономерности ных размеров, причем сначала

0=一厶工工口t27= Z

Рис. 8.

0=一厶工工口t27= Z

Рис. 8.

истечения газа из трубы конеч- рассмотрим истечение газа в пустоту. Начальные условия возьмем прежние, т. е. положим, что истечение начинается при % = 0, / = 0, но будем считать, что труба обрывается при хь — Zo (рис. 8). Первая особая (римановская) волна, как

истечения газа из трубы конеч- рассмотрим истечение газа в пустоту. Начальные условия возьмем прежние, т. е. положим, что истечение начинается при % = 0, / = 0, но будем считать, что труба обрывается при хь — Zo (рис. 8). Первая особая (римановская) волна, как

мы знаем, характеризуется уравнениями

(23.1)(23.1)〃 —С = 7，

(23.1)

(23.1)

"=豈(% 一С).

в сечении /в сечении /0, 〃к = Ск =0, 〃к = Ск =2т+т2т+тСн, при 况〉0 〃〉с, следовательСн, при 况〉0 〃〉с, следовательно, при х = %〉0 от открытого конца никакие возмущения нено, при х = %〉0 от открытого конца никакие возмущения немогут пойти в глубь трубы.Отгороженная от стенки волна характеризуется функцией [см. (21.9)], через которую выражаются 力 и %:могут пойти в глубь трубы.Отгороженная от стенки волна характеризуется функцией [см. (21.9)], через которую выражаются 力 и %:

в сечении /

в сечении /

0, 〃к = Ск =

0, 〃к = Ск =

2т+т

2т+т

Сн, при 况〉0 〃〉с, следователь

Сн, при 况〉0 〃〉с, следователь

но, при х = %〉0 от открытого конца никакие возмущения не

но, при х = %〉0 от открытого конца никакие возмущения не

могут пойти в глубь трубы.

Отгороженная от стенки волна характеризуется функцией [см. (21.9)], через которую выражаются 力 и %:

могут пойти в глубь трубы.

Отгороженная от стенки волна характеризуется функцией [см. (21.9)], через которую выражаются 力 и %:

(23.2)(23.2)I ат【(頂 + “)2-8J

(23.2)

(23.2)

t — az — н аз，% — ди ,

где 6 = EZ = 2 (2r + 1) i = [2с/ (& — I)2].

Линия сопряжения этой волны и первой римановской описывается [см. (21.7)] уравнением

(23.3)(23.3)

(23.3)

(23.3)

на линии сопряжения на основании (21.15) имеем

fc-l2 (I)fc-l2 (I)(23.4)(23.4)

fc-l2 (I)

fc-l2 (I)

(23.4)

(23.4)

В момент времени t = %, который определяется из (23.3) при х = Zo, фронт отраженной волны дойдет до открытого конца; поскольку при этом 〃〉с, то новой отраженной волны не возникнет. Однако с течением времени, поскольку скорость газа в отраженной волне в любом заданном сечении будет падать быстрее скорости звука, наступит момент, когда при / =厶 будет и — с.

В самом деле, в пределе при 力一> оо в заданном сечении и,

]к-1к-1

р , с 〜р 2 〜2 , т. е. при " < 3 скорость газа действительно убывает быстрее, чем скорость звука. Вычисляя 屮 при и = с = "/О/ (2г + 1) и исключая из £ = Я5ф/^0; х — ut — ——。屮/@〃 и и 0, найдем линию F (瑞 力)=0, вдоль которой и = с, что при 力="определяет момент времени 力=力()，когда на открытом конце будет и = с. При t = tQ возникнет отраженная от открытого конца волна, которая будет распространяться налево, причем на ее фронте будет выполняться условие и — 2с/(k — 1)= =const или 〃一 pH = const, откуда

了8 — 〃 = 了猊一〃o，(23.5)

где 00 и 〃о — значения 0 и и при 力=% в сечении х = Zo; очевидно, 〃о = V^qI (2г + 1) = с0; таким образом, условие (23.5) примет вид

了0_ 〃=击了/.(23.6)

Значение 0О определяется условием tQ = R д^/дд при и = с. Когда отраженная от открытого конца волна дойдет до стенки, то, поскольку на стенке и = 0, мы на основании (23.5) и (23.4) придем к соотношениям

Co 2厂 + 1，Po \ 2r + l /•W 丿

Для вычисления времени прихода волны к стенке воспользуемся

известным выражением (21.30)

r加+1

%力 1 V 2 (г — а)! (2а)! ( %оч

При этом возникнет новая отраженная от стенки волна, которая пойдет к открытому концу; процесс возникновения новых волн и их отражения пойдет далее, возникнет сложная (力 f оо) система волн, интенсивность которых безгранично убывает; эту систему волн весьма затруднительно описать аналитически.

Приведем выражение для подсчета величины импульса, действующего на стенку в случае трубы конечной длины. В случае истечения в пустоту при бесконечно длинной трубе искомый импульс может быть выражен формулой (21.31)

/=、力 dm，(23.9)

а】

где а — давление на стенке. В исследуемом случае

厶=---[- \ /?а/ + §p成 + ...2(23.10)

где Pi ——значение давления на стенку в момент прихода первой волны, отраженной от открытого конца, р2 — значение давления в момент прихода второй отраженной от открытого конца волны; функция р = р (£) для каждой волны своя. Выражение (23.10) можно представить в виде, аналогичном виду формулы (21.31):

Рнpi

厶=、力 dp + \ $ dp + .・・，(23.11)

Pig

или, вводя Z, можно выражение (23.11) написать в виде

Piin

厶=/ -"* \ t dp + \ 力 ©Р + • • •,(23.12)

о〃

где функция £ =力(р) для каждой волны своя; значение функции £ =力(р) для первого интеграла дано выражением (23.8). Очевидно, что величина импульса при конечной трубе меньше, чем величина импульса при бесконечной трубе. Это объясняется тем, что часть внутренней энергии переходит в кинетическую уже вне трубы. Наибольшая разность bl = I — I* будет при /0 = 0,

с увеличением Zo AZ уменьшается, при Zo -> оо AZ -> 0. В момент прихода волны, отраженной от открытого конца, к стенке импульс определяется формулой

7 = / — \ tdp + ph(23.13)

о

Рассмотрим предельный случай Zo = 0, при этом 〃()= % = =2 %/ (к + 1); далее, из (23.4) имеем

к+1к+1

( А: + 1)2 (к-/

Затем из формулы (23.7), учитывая, что к = (2г + 3) / (2г + 1), получаем с/% = (А + 1)r72cH = (3 — А:) /2; отсюда

2k

ci 3 — к pi /3 — к \ кт

Q = Tipr， ^ = \J+iJ •

Уравнение (23.8) определяет с^Щ т. е. момент прихода к стенке волны, отраженной от открытого конца. (Заметим, что в случае А = 3 мы не получим 力，так как волна, отраженная от открытого конца, не возникает ни при каком Zo, и остается справедливым при любом t》〃Сн решение для волны, отраженной от стенки.) В случае А = 3 pJPh = 0, в случае А = 1 отношение давлений Pi/Ph = 1/е2^ 0,136 (е — основание натуральных логарифмов).

В момент прихода волны, отраженной от открытого конца, к стенке импульс определяется формулой (23.13). _

Вычислим в случае lQ = 0, к — 7/5 величину Z:

рhJ=而不，о%力 1089 .，рhJ=而不，о%力 1089 .，% 9-4.81 '% 9-4.81 'Рн( 7・295 .Рн( 7・295 .Pi =Pi =г Рн%「35 .г Рн%「35 .121121, Р/ 121Е，= у ——•, Р/ 121Е，= у ——•18-27 '18-27 '7・2957・295IK^y — 18.27.6IK^y — 18.27.61 _ Рн" 35 厶 5356 \ "VTTV^ 25515/ •1 _ Рн" 35 厶 5356 \ "VTTV^ 25515/ •

рhJ=而不，о

%力 1089 .

，

рhJ=而不，о

%力 1089 .

，

% 9-4.81 '

% 9-4.81 '

Рн( 7・295 .

Рн( 7・295 .

Pi =

Pi =

г Рн%「35 .

г Рн%「35 .

121

121

, Р/ 121

Е，= у ——•

, Р/ 121

Е，= у ——•

18-27 '

18-27 '

7・295

7・295

IK^y — 18.27.6

IK^y — 18.27.6

1 _ Рн" 35 厶 5356 \ "VTTV^ 25515/ •

1 _ Рн" 35 厶 5356 \ "VTTV^ 25515/ •

Таким образом,

^ = 1 一勰= 1 — °2=°，79・

Следовательно, мы видим, что основная часть импульса создается, во-первых, невозмущенным газом до прихода первой римановской волны и, во-вторых, при действии первой отраженной от стенки

волны; последующие волны создают лишь 0,21 импульса. Вычислим теперь величину / в случае п = 7/5 (г = 2) для произ

вольного %• При этом на основании (23.2) функция 屮 имеет вид

—I a [10(/-/H) + u2+2u /шр

Значения 力 и % = % при 〃к = 4 = 了Юг/5 имеют вид:

"姦［69+ 备+ 44（切 +75（刍］,"姦［69+ 备+ 44（切 +75（刍］,

"姦［69+ 备+ 44（切 +75（刍］,

"姦［69+ 备+ 44（切 +75（刍］,

исключая 力 приходим к выражению

专=鳥[24 信)+75(v) - (190+备)]-

Отсюда-

侍 У=OS 厂=貳1。/1+14 т ] •侍 У=OS 厂=貳1。/1+14 т ] •Поскольку из формулы (23.7) 資=(手),тоПоскольку из формулы (23.7) 資=(手),то2г -1

侍 У=OS 厂=貳1。/1+14 т ] •

侍 У=OS 厂=貳1。/1+14 т ] •

Поскольку из формулы (23.7) 資=(手),то

Поскольку из формулы (23.7) 資=(手),то

где n = 10" + 25厶/2夂 一 1.

Далее, вычислим р1? исходя из формулы (23.8), заменяя в этой формуле отношения 凸辰 через 刀 согласно предыдущему равенству:

华=^en可+4^m+姦п方]■ Отсюда

n1 =紀号+ + + ^].

Далее определяем сперва через pjp^ затем через 刀 интеграл

рх7АЛЛ

卜4甸传)7+(誥)*图7卜

% 4 L г]3 ~ т]2 ' Т)J

Таким образом,

Отсюда следует, что

Из таблички видно, что величина △/=/ —— / быстро падает при увеличении Zo/Z. Представляется интересным произвести приближенную оценку импульса, создаваемого последующими волнами при 力〉，•

С этой целью, полагая,

太=偿广，(23.15)

где к】=const, найдем, что остаточная величина импульса выражается так:

ОО

△/ =，pdt^j^,(23.16)

и полный импульс равен

/ = / + △/・(23.17)

Значение кг можно вычислить, исходя из таких условий: на выходе из трубы (% = 0) полный расход газа определяется формулой

%ОО

Мн = ^pudt + \ pudt\(23.18)

0/о

здесь Л/н ——полная масса газа, Ма = pHZ； значение р в первом интеграле определяется из условия 〃к = с^ = 2сн/ (А + 1)

2р / 2 \ кт •工=(¥+Т；，；

для второго интеграла, используя (23.15), имеем следующее значение:

где

к+1

таким образом, к+1

что дает

瓦=金—•(23.19)

安严一

Например, для к — 7/5 имеем 后=25/13; отсюда на основании формулы (23.16) и полученного выше значения р由 пслучаем А/ = рн1 (48г|~3 + 8旷2 + 3т)-1) / (& — 1)2сц； так как / = =35pHZ/16cH, а т) = 9 при Zo = 0, то А/ — 0,123 /; отсюда /j = = / + △/ = 0,79/ + 0,123/ = 0,91/.

Аналогичные расчеты можно без труда сделать для произвольного 2。〉0 и А. При этом значение кг определяется из соотношения аналогичного (23.18), с той только разницей, что к моменту £о истекшая масса определяется интегрированием расхода в римановской волне и в волне, отраженной от стенки.

Очевидно, что значение h будет приближаться к значению к при увеличении %• Однако, пренебрегая изменением къ можно с точностью до нескольких процентов вычислить Д/ для найденного значения кг, причем значение р^】необходимо вычислить по формулам (23.7) и (23.8). Можно с той же точностью положить, что для к = 7/5 Д7/ (Z — 7) = const = 3146/5356 = 0,6, тогда

/] = / + (/_ /)0,6 = 0,6/ + 0,4Л(23.20)

отсюда в случае к = 7/5 придем к табличке

»0

0

1

2

5

10

ОО

0,913

0,344

0,960

0,972

0,980

1,000

Таким образом, различие в импульсах оказывается не значительным.

Полученное приближение, как мы указывали, будет достаточно точным, поскольку при малых Zo значение & меняется мало, при больших /0, несмотря на то, что мы пользуемся неточным значением разность (/ —厶)// весьма мала.

Нахождение произвольных функций Fj и 歹2，описывающих волну разрежения, отраженную от открытого конца, несмотря на простоту граничных условий, представляет, за исключением случая, когда к = 3, большие трудности.

В случае А = 3, поскольку волны и + с и и — с распространяются независимо и никакого отражения волны от открытого конца не будет происходить, весь процесс истечения газа из трубы конечной длины в пустоту описывается двумя решениями (двумя волнами) — особым решением, характеризующим простую волну, и общим решением, характеризующим отраженную от стенки волну. В самом деле, в начале настоящего параграфа мы видели, что при А = 3 и при 力一> 8 имеем и ~ 1/^ и с ~ 1/& следовательно, вне трубы 〃〉с, и отражение особой волны от открытого конца внутрь трубы невозможно.

§ 24. Некоторые случаи неустановившегосяистечения газа

Рассмотрим такую задачу. Пусть газ находится в трубе, за

крытой с одного из ее концов (левого) и ограниченной в некотором

сечении поршнем. В этом сечении мы поместим начало координат и будем считать, что в момент времени t = 0

поршень начинает вне

запно или плавно дви-Рис- 9-

гаться. Длину трубы

между начальным положением поршня и левой стенкой, как и прежде, обозначим через I (рис. 9).

Рассмотрим сначала плавное движение поршня (начальная скорость поршня равна нулю), причем будем считать, что поршень выдвигается вправо и объем, занимаемый газом, возрастает, так что в газе образуется волна разрежения; поскольку ранее газ покоился, то волна, идущая по этому газу, будет простой волной ).

Для описания этой волны мы воспользуемся уравнениями

(24.1)(24.1)х = (и — с) % + 尸(〃),

(24.1)

(24.1)

2 /、

" =" _1(/ 一 С)，

где Сн — начальная скорость звука в покоящемся газе.

Произвольная функция F (и) может быть легко определена, если известен закон движения поршня, который для этой цели удобно задать в виде

力=±n (〃п), / = %п (〃п), (24.2)

причем dxjdt = %п = ип, где 〃口 ——скорость поршня. Отсюда следует, что поскольку скорость газа на поршне равна скорости поршня, то F (〃)=①口 一(〃 一 c)tn и

Характеристики dxfdt = 〃 一 с =(况—/口) / (力—力口) будут начинаться на линии

% = %п (0-(24.4)

Поскольку скорость звука в пределе не может быть меньше нуля, то, как это видно из второго уравнения (24.1), скорость движения газа не может быть больше чем 2cH / (^ — 1)； поэтому при достижении поршнем этой скорости и дальнейшем увеличении ее поршень оторвется от расширяющегося газа и между ним и фронтом газа возникнет область вакуума. Для того чтобы мы были уверены в отсутствии волн сжатия при произвольном движении поршня, нам необходимо положить, что величина ускорения поршня не может уменьшаться в процессе его движения, пока его скорость меньше чем 2сп/(к — 1), а затем скорость поршня нигде не становится меньше этой скорости. Если эти предположения выполняются, то критическая скорость 辽耳=с^ = 2сн/(/с + 1) достигается там, где

/ = /ц (〃п) = /ц (〃/1) = Rк = const,

т. е. в постоянном сечении х = xk по прошествии определенного времени, когда до этого сечения дойдет поршень, и затем там до прихода отраженной от стенки волны сохраняется.

Волна разрежения, отраженная от стенки, будет отличаться от найденных выше, поскольку простая волна в данной задаче также отличается от волн, которые мы рассматривали выше.

Если поршень набирает скорость достаточно быстро, то отраженная волна может не догнать поршень, и весь процесс расширения газа опишется двумя волнами: простой и первой отраженной.

Если поршень набирает скорость медленно, то волна, отраженная от стенки, догонит поршень и снова отразится от него, причем, как увидим дальше, она может дойти или не дойти до стенки; в случае весьма медленного движения поршня (по сравнению с начальной скоростью звука) может возникнуть система многих отраженных волн.

Рассмотрим конкретный случай, когда ускорение поршня постоянно. В этом случае

(24.5)(24.5)

(24.5)

(24.5)

поэтому из уравнений (24.1) имеем

(24.6)(24.6)①=(〃 _ 0 0 一 + 蟲=(〃 _ с) £ + * —

(24.6)

(24.6)

Критическое течение ик = % = 2%/(A + 1) достигается при 2*

①11 =五=(生+ 1)万~ •

Предельная скорость 乂值乂 =力当.Сн достигается при 力口 = u2max/ /2а = 2(^1 а(к — I)2. Отраженную от стенки волну мы здесь не будем рассматривать, хотя ее нахождение не представляет особых трудностей.

Перейдем к рассмотрению случая, когда поршень начинает выдвигаться внезапно с постоянной скоростью 〃口°. При этом, если uno V "max, возникают, как сейчас убедимся, две волны, из которых одна, примыкающая к поршню, является стационарной волной, как бы отраженной от поршня. Вторая волна, идущая по невозмущенному, покоящемуся газу, является простой волной (рис. 10).

Простая волна описывается уравнениями

F = 〃一 Q(% — с)(24.8)

и определяется до момента отражения от стенки на интервале

-еh£《力 V (况И0 - с口0)力 при

“ ="no, С — Сцо = Сн —*2 "по；(24.9)

таким образом, при х = (ип0 — c^t : u = ип0 и с = спо, точно так же при / = unot: и = ип0, с = спо- Отсюда следует, что на

интервалеинтервале(^ио Спо)力《力 5^^ "по%(^ио Спо)力《力 5^^ "по%(24.10)(24.10)

интервале

интервале

(^ио Спо)力《力 5^^ "по%

(^ио Спо)力《力 5^^ "по%

(24.10)

(24.10)

существует стационарная волна

〃 =^ио, с =〃 =^ио, с =Сцо・Сцо・(24.11)(24.11)

〃 =^ио, с =

〃 =^ио, с =

Сцо・

Сцо・

(24.11)

(24.11)

Не вводя эту стационарную волну, как бы отраженную от поршня, мы не могли бы удовлетворить всем граничным условиям задачи.

При ипо = “max область существования стационарной волны становится равной нулю, так как ^口。= 0 и интервал (24.10) равен нулю. При ипо > umax между поршнем и фронтом расширяющегося газа образуется область вакуума. ，

В момент времени t = //сн простая волна дойдет до стенки, и возникнет уже известная нам отраженная волна

гдегде._ I а「т [(頂+ 〃)2-е/._ I а「т [(頂+ 〃)2-е/е =质=(告 с『=峭 Е = 2 (2г + 1),е =质=(告 с『=峭 Е = 2 (2г + 1),(24.12)(24.13)(24.12)(24.13)

где

где

._ I а「т [(頂+ 〃)2-е/

._ I а「т [(頂+ 〃)2-е/

е =质=(告 с『=峭 Е = 2 (2г + 1),

е =质=(告 с『=峭 Е = 2 (2г + 1),

(24.12)

(24.13)

(24.12)

(24.13)

Фронт этой волны будет на страняться слева направо поФронт этой волны будет на страняться слева направо поосновании формулы (21.7) распро- законуосновании формулы (21.7) распро- закону

Фронт этой волны будет на страняться слева направо по

Фронт этой волны будет на страняться слева направо по

основании формулы (21.7) распро- закону

основании формулы (21.7) распро- закону

(24.14)(24.14)

(24.14)

(24.14)

Фронт раздела между простой волной и стационарной будет также двигаться слева направо по закону ①=(坛。——eno)t Так как из (24.9) имеем ип0 =^ (% — сПо)» то этот закон можно выразить

в форме

①=(% — %)力=击 ％力 g -宇 ^ ) •(24.15)

При Uno V Umax фронт отраженной волны настигнет этот фронт

в точке

бб(24.16)(24.16)

б

б

(24.16)

(24.16)

в момент времени 片，определяемый из соотношения

к+12 (Dк+12 (D(24.17)(24.17)

к+1

2 (D

к+1

2 (D

(24.17)

(24.17)

При этом опять возникнет новая волна, которая будет простой, поскольку с одной стороны (справа) она будет сопрягаться со стационарной волной.

Эта волна опишется соотношениями

(24.18)(24.18)х = (и + c)t + 尸(〃),

(24.18)

(24.18)

“ ~ 加 £ (% + С)・

Отсюда, используя выражение для их, из формулы (24.9) получим

222

и —无_ £ С = их 一 к — ] сх =及 _( (% — 2спо).

Произвольная функция F (и) определяется из условия сопряжения этой новой волны с волной (24.12) вдоль характеристики (后一1)〃 = 2 (с + % — 2спо)•

Поскольку для волны, описываемой общим решением (24.12), х = ut — 5^/3и, то, как мы знаем (см. соотношения (15.38) и (15.39)), вдоль этой характеристики

(〃)=%") =—票-(24.19)

Так как d^/du =(西/dc) (dc/d〃)= (d^jdc) (к — 1)/2 = (d^IgZIR, где Е = 4/ (/с — 1) = 2 (2r + 1), отсюда следует, что

尸 1(С)= 一 案%(24・20)

2

При и = 及—不 с — В и любой функции F имеем 尸(”十〃)= 2

=F (2w — p). Здесь В =百二彳(2&0 — %) = 2и?По — ^н； далее

используем соотношение (15.42),

(24.21)(24.21)/ 8 歹侬 + 〃)— 1 дг F (2w — В) \wdu)j w — 2「8 以wr+1

(24.21)

(24.21)

Поскольку в рассматриваемом случае функция F равна

F (w -\- и)=F (w -\- и)=虹吐艺二^£=[w+ "）2 T了 /б虹吐艺二^£=[w+ "）2 T了 /б

F (w -\- и)=

F (w -\- и)=

虹吐艺二^£=[w+ "）2 T了 /б

虹吐艺二^£=[w+ "）2 T了 /б

мы имеем

а「т [(Уе + w)2 —0Н]Г _ ^ а「т [® —%产 + %(% —%)】2 ае「т /б — & а}^

Отсюда следует, что

2/ М [ W — %io)2 + % W — %io) F

厂！ а^тт?〃г

一尸（С）Ц' /aw一尸（С）Ц' /aw_ 2Z »_ 2Z »[(况-^口0)2 + %h(?〃 — ?rn0)1Г[(况-^口0)2 + %h(?〃 — ?rn0)1Гr! dwr22 ¥К aFr! dwr22 ¥К aFwr【(С-%О)2+% (Cino)】'wr【(С-%О)2+% (Cino)】'(24.22)(24.22)

一尸（С）Ц

' /aw

一尸（С）Ц

' /aw

_ 2Z »

_ 2Z »

[(况-^口0)2 + %h(?〃 — ?rn0)1Г

[(况-^口0)2 + %h(?〃 — ?rn0)1Г

r! dwr

22 ¥К aF

r! dwr

22 ¥К aF

wr

【(С-%О)2+% (Cino)】'

wr

【(С-%О)2+% (Cino)】'

(24.22)

(24.22)

力=(〃 + с) £力=(〃 + с) £2； а「【(с-%)?+ %“一％)『2； а「【(с-%)?+ %“一％)『(24.23)(24.23)Таким образом,

力=(〃 + с) £

力=(〃 + с) £

2； а「【(с-%)?+ %“一％)『

2； а「【(с-%)?+ %“一％)『

(24.23)

(24.23)

2

乂 =不口(С + % — 2с)

Очевидно, эта волна является волной сжатия. Правый фронт этой волны будет распространяться по закону dx/dt = ип0 + Сц() и будет прямолинеен. Когда этот фронт достигнет поршня и от него отразится, возникнет новая волна, описываемая общими решениями. Мы ее рассматривать не будем. Левый фронт волны будет распространяться по закону dx/dt — и — с; поскольку при этом во всей области этой волны (А — 1) 〃 = 2 (с + % — 2епо)? то у стенки, где 辽=0, будем иметь

С = Q = 2cliо — Сн；С = Q = 2cliо — Сн；(24.24)(24.24)

С = Q = 2cliо — Сн；

С = Q = 2cliо — Сн；

(24.24)

(24.24)

так как с〉0, этот фронт дойдет до стенки при условии, что 2%0〉&, в противном случае он или просто не дойдет до стенки, двигаясь все же налево, или будет двигаться направо.

Давление на стенке r момент прихода фронта второй простой волны выразится формулой

(24.25)(24.25)

(24.25)

(24.25)

Время прихода фронта к стенке определится из выражения

г2а-|-1

(24.26)(24.26)芷==丄 р 2(г — а)!(2ос)! /

(24.26)

(24.26)

—-^F g [(г-а)!(а!)『\7Г 丿

(см. (21.30)). Возникающая при этом отраженная волна обязательно должна быть стационарной, поскольку с ней сопрягается простая волна. Поскольку у стенки и = Q, то и везде в волне будет

м = 0, с = G，(24.27) т. е. у стенки будет существовать область покоя до тех пор, пока волна, отраженная от поршня, не придет к стенке.

Повторим в наглядной геометрической форме все проведенные рассуждения. Для этого обратимся к рис. 11.

На рис. 11 показана схема областей, соответствующих различным волнам, и характеристик, являющихся границами этих областей в плоскости (力,力) для некоторых начальных стадий процесса распространения и отражения волн. На этом рисунке мы видим:

Область простой волны О АВ, ограниченную прямолинейными характеристиками О А и ОБ и криволинейной характеристикой АВ. Характеристика О А, уравнение которой / = —Сн 力 является фронтом волны разрежения. Уравнение характеристики ОВ: / = (〃口0 — Си。)力;эта характеристика есть граница между областями простой и стационарной волны. Когда в момент t = Z/cH фронт волны разрежения, распространяющийся по характеристике О А, дойдет до неподвижной стенки, возникнет отраженная волна. Фронт отраженной волны будет распространяться по криволинейной характеристике 4区，уравнение которой dxjdt = 〃 + с.

Область стационарной волны; эта область ограничена прямолинейными характеристиками ОВ и ОО; уравнение прямой ОВ мы уже знаем, уравнение прямой OD х = u^t выражает закон движения поршня.

Область отраженной от стенки волны ограничена стенкой, уже известной нам криволинейной характеристикой АВ и криволинейной характеристикой ВС. Определим уравнение этой характеристики. Отраженная волна, фронт которой распространяется по характеристике АВ. в некоторый момент tB догонит стационарную волну. В момент 方=方⑶ координата % = /⑶(tB и хв ——координаты точки В в плоскости (%,力)).От точки 5 пойдет новая волна. Правый фронт этой волны будет распространяться по прямолинейной характеристике BD: dxldt =(Uno + спо)； эта характеристика является границей новой волны со стационарной волной. Левый фронт новой волны есть криволинейная характеристика ВС, уравнение которой dx/dt ^ и — с. Таким образом, границы области отраженной волны суть АВ, ВС и АС (стенка).

Область новой волны, возникшей в точке В, т. е. в момент, когда фронт отраженной волны нагнал стационарную волну. Эта волна является простой, так как она граничит со стационарной волной. Правым фронтом новой простой волны является прямолинейная характеристика BD, левым ——криволинейная характеристика ВС, На рис. 11 криволинейная характеристика загибается назад и пересекается со стенкой. Выше указывалось, что это возможно только при 2спо〉％• Если это условие не выполняется, то характеристика ВС может не пересечься со стенкой. Она, в частности, может отклониться вправо, как это показано на чертеже (пунктирная линия ВС').

Процесс дальнейших отражений на этом не заканчивается. Мы уже указывали, что новая простая волна, возникшая в момент 包，может отразиться от стенки. Кроме того, правый фронт простой волны в некоторый момент нагонит поршень в точке D, возникнет новая волна и т. д.

На этом мы закончим рассмотрение различных волн разрежения. Решенные здесь задачи имеют важные применения, в частности, во внутренней баллистике.

Задачи об истечении плотной среды в пустоту, если среда подчиняется уравнению обобщенной изэнтропы, мы дадим в специальной главе.

Основные закономерностинестационарного истечения газа

Проанализируем теперь полученные результаты в отношении нестационарного истечения газов в пустоту. Прежде всего отметим, что в случае свободного истечения ранее покоящегося газа в том сечении, откуда начал истекать газ, всегда автоматически

устанавливается критическая скорость истечения. Величина этой скорости определяется соотношением

2 ии = ск ~ “ _|_ [ %；(25.1)

таким образом, поскольку при стационарном истечении критическая скорость равна

то величина критической скорости при нестационарном истечении относится к величине критической скорости при стационарном истечении, как 了2/(乃 + 1). Отсюда давление при нестационарном истечении в критическом сечении меньше в (2/(к + 1)) раз, чем при стационарном.

Главной особенностью нестационарного истечения газа является перераспределение плотности энергии по массе истекающего газа. Если до истечения плотность энергии была везде одна и та же и равнялась величине

e 磋

н — к (к — 1)，

то на правом фронте особого решения плотность энергии, рассчитанная на единицу массы, максимальна и равна

отсюдаотсюда'max —2Т~ = (6 — 1)2'max —2Т~ = (6 — 1)2(25.4)(25.4)(25.5)(25.5)

отсюда

отсюда

'max —2

Т~ = (6 — 1)2

'max —2

Т~ = (6 — 1)2

(25.4)

(25.4)

(25.5)

(25.5)

что, например, для к = 7/5 дает значение 8тах/ен = 7.

Если идти от этого фронта налево, к фронту волны разрежения, то величина 8 будет монотонно уменьшаться до значения 8Н. Объемная плотность энергии в волне всегда меньше начальной, которая равна величине рн£н・ Объемная плотность кинетической энергий 8К = р〃2/2 при истечении в пустоту на обоих фронтах равна нулю, так как или и, или р равно нулю; следовательно, в волне 8К имеет максимальное значение.

Будем искать максимум величины ри2/2. Для этого достаточно 22

найти максимум величины Л —或一】饋，поскольку р 〜с^"1.

2

Обобщим задачу и будем искать максимум величины А = с^—1 иа.

Так как

то, дифференцируя А по z = /" и приравнивая полученное выражение нулю, имеем скорость распространения максимальной величины р〃а：

(25.6)(25.7)(25.6)(25.7)== 2(а—1)сн

(25.6)

(25.7)

(25.6)

(25.7)

что даетчто дает— 2 + а(/с —1)，

что дает

что дает

2ас2c

眩一支("- 1)+2，° а (/с-1) + 2 ,

Очевидно, что значение а = 1 соответствует распространению плотности импульса, при этом 纟 =(2〃)= 0. Значение а = 2 дает скорость распространения максимума плотности энергии, при этом 2 = (x/f) = //А. Значение а = 3 дает скорость распространения максимума плотности мощности, при этом z = =(硏)=4%/(3后-1).

Таким образом, мы действительно видим, что скорость отдельных частей потока является функцией массы этих частей. Небольшая масса имеет скорость, значительно превышающую среднюю скорость, соответствующую начальной плотности энергии ен =捲/网/с — 1); напротив, основная часть массы движется со скоростями меньшими, чем средняя скорость.

Поскольку и = и (М), то ясно, что при нестационарном движении величина количества движения (импульса) будет меньше, чем при стационарном движении этой же массы газа Мн с тем же запасом энергии 晶・

В самом деле,

% %

7=，〃dM, = ； § иЫМ, (25.8) о о

где и = и (М), dM = р dx,

В случае одномерного движения для каждого заданного момента времени tM М (а:), Е = Е ⑺,откуда М = М (Е) или Е — Е (М), поэтому соотношение (25.8) можно написать в наиболее общем виде

%

\(25.9)

о

Для фиксированного сечения имеем Е ~ Е (^), М = М (^), и мы

снова придем к соотношению (25.9). Однако значения импульса из-за изменения функции М = М (Е) могут быть различны.

Найдем условие максимума /, если Ен и Мн заданы. Составим выражение для импульса

%

Z = Х^ = Ф = ,(〃+ 圖 d〃，о

где 九一множитель Лагранжа.

Дифференцируя выражение и =九〃2/2 по и и приравнивая результат нулю, имеем 1 + 九〃 = 0; отсюда и = —1/九 = const. Таким образом, I достигает при заданной энергии максимума, если скорость газа не зависит от М, иначе говоря, если скорость постоянна, т. е. в случае стационарного течения газа. Можно показать, что этот экстремум дает именно максимум. При этом., поскольку при истечении в пустоту Ен = Мн讶?/2, /Ст = "н讶， то мы имеем, что

/ст = и 2%Ен,(25.10)

где 讶——средняя скорость.

В случае нестационарного течения для определения импульса при заданной энергии мы пришли к выражению

/ = Р2(2г+3)МнЕн ®第工! •(25.11)

Исследуем это выражение. При А = 3, г = 0/ = 了3/27%£工 при А = 1, гт 8, применяя формулу Стирлинга для выражения (2г + 1)!/г! (г + 1)!, имеем

/ ；"品.

Напишем формулу (25.11), в виде

гдегде^ = /27+1^ = /27+1(2 宀)！22г+1(г + 1)|г!(2 宀)！22г+1(г + 1)|г!

где

где

^ = /27+1

^ = /27+1

(2 宀)！22г+1(г + 1)|г!

(2 宀)！22г+1(г + 1)|г!

Для определения ± мы имели табличку на стр. 188.

Величина g = /Нест/^ст показывает отношение импульса нестационарного потока К соответствующему стационарному ).

Мы видим, что действительно это отношение всегда меньше единицы. Для грубых сравнений, поскольку при высоких

температурах сгорания газа (в условиях взрыва и сгорания) 九 = 1, 2, можно полагать, что g = 0,8.

Истечение покоящегося газа из сосуда может быть интерпретировано как истечение продуктов реакции какой-либо газовой (или жидкой) системы или конденсированного взрывчатого вещества в случае мгновенного взрыва или сгорания. Тогда 8Н = —Q, где Q ——теплота реакции (сгорания).

В реальной задаче труба не простирается (направо) до бесконечности, а обрывается где-то при х — 2°. Тогда, как мы знаем из § 20, величина импульса, действующего на стенку, будет на 18—20% меньше импульса при неограниченно длинной трубе, так как часть внутренней (потенциальной) энергии переходит в кинетическую энергию газа вне трубы.

При стационарном истечении и при ограниченной длине трубы будет иметь место аналогичная картина. Грубо говоря, можно положить, что как при стационарном, так и нестационарном истечении только около одной трети оставшейся внутренней энергии газа в свободном пространстве пойдет на создание осевой составляющей количества движения.

Однако при нестационарном истечении, кроме того, будут происходить перераспределения кинетической энергии по массе газа, и поэтому разница в полном количестве движения по сравнению со стационарным истечением газа будет того же порядка (или несколько меньше), что и при неограниченной длинной трубе.

Отметим также, что если комбинировать определенным образом стационарное истечение газа с нестационарным, то предельная скорость истечения будет выше, чем просто при нестационарном истечении. Пусть, например, сначала покоящийся газ истекает через сопло стационарно, тогда имеем 〃； = 2 (爲一 —с；)/(力—1). Далее начинается нестационарное истечение, при этом 〃 = 〃i + 2(q — с)/(论—1). Очевидно, величина

” =т=т(% - о + > т~г (從-方)

имеет максимум, если с；=爲=2с^/(к + 1); тогда

以% - с]

и при истечении в пустоту и = У (к + 1)/2 umax, т. е. предельная возможная скорость в 了(А + 1)/2 раз больше максимальной скорости только нестационарного истечения.

.Итак, из изложенного вытекает фундаментальный вывод, что количество движения (или импульс) в случае нестационарног о

§ 25] ЗАКОНОМЕРНОСТИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ИСТЕЧЕНИЯ ГАЗА 221 потока при заданных массе и энергии всегда меньше, чем в случае стационарного потока. Для дополнительной иллюстрации этого положения приведем элементарное рассуждение. Допустим, что мы имеем два тела массы т1 и д, движущихся со скоростями 〃i и 〃2； их полное количество движения и кинетическая энергия будут соответственно равны

I = %〃1 + П泓2，^к = у（^1^1 + 血2喲.

Если предположить, что мы имеем тело массы т = тх + 加纟， движущееся со скоростью u = Y2EJ{m1 + т^. где Ек — кинетическая энергия массы та же по величине, что и в первом случае, то количество движения этого тела будет

/0 =me=/（加1 就 + 加2〃；）（aПI + 加2）.

Очевидно, что /（Д всегда больше единицы. В самом деле,

（飞戒 + Ш^（7П! + 加2）＞ （^1^1 + 加2%）2, поскольку после преобразований мы приходим к очевидному неравенству 咸 + 〃；〉2и^и2 или （〃工—u2）2〉0.

Попытаемся оценить для ряда случаев, насколько количество движения нестационарного потока отличается от количества движения стационарного потока при заданных массе и энергии. Пусть в случае нестационарного потока р = const, а скорости распределяются пропорционально координате 力,при этом 力工《力《力2, и — ах для фиксированного момента времени, где а = const. Тогда кинетическая энергия стационарного потока равна

еК = ^川讲（%2 一%1）=券-,

где й — скорость стационарного потока, / — сечение. Количество движения этого потока равно

/о = fsu （g ——力i） = ME = ]Л2М矶.

В случае нестационарного потока по-прежнему

М = /р（3 — /）, но

Ек =等 /р〃2 ^x2dx=亲”炉（①:+ &勺 + z；）.

При 勺=0 ее произвольном g

（25.12）

что соответствует минимуму количества движения. Максимальное значение количества движения будет, как легко убедиться, при 力 1 =々2, что в пределе соответствует стационарному движению бесконечно малой массы.

Пусть теперь р = 6%, 〃 = ах, где Ь = const, тогда в случае нестационарного потока

m = jb 、 e d/ =与（/一就），Xi

3冗1 +冗2

尸_"a2坤+畛女+少1名+吗 6 1+，

отсюда

3 ?（^1 + 宓2）（吟 + 宓*2 + 力竭 + 唱）

Минимальное значение I достигается при ①】=О

/ =告匕砾・（25.13）

Аналогично можно исследовать и другие более сложные случаи. Мы остановимся еще лишь на одном. Пусть р = р° + Ь力, 〃 =〃о + “％. Тогда

久2

м = / \（Ро + bx） dx = f （①2 - ^1） （ро + -у

Если положить ① 1 = 0, т. е. искать минимальное значение /, то

м = /р（р；2 + /-^- , J = -| Мах^ — Z^L ,

4~ •

Отсюда

（2544）

В случае р()= 0 приходим к соотношению (25.13), в случае р = =const — к соотношению (25.12). Преобразовав соотношение (25.14), придем к выражению

При bx2 = —р0 величина р = 0 для z =力暂；в этом случае имеем предельное распределение энергии по массе, когда минимальная плотность (р -> 0) соответствует максимальной скорости. При этом

(25.15)(25.15)/ =丿等М%・

(25.15)

(25.15)

Как нетрудно убедиться из приведенных примеров, при самых различных случаях распределения р = р (%) и м = 〃 (z) величина количества движения нестационарного потока несущественно меньше, чем при стационарном движении. Этот вывод имеет весьма важное практическое значение.

Попытаемся теперь в общем случае установить связь между количествами движения стационарного и нестационарного потоков.

_ \ и du 4 —

Поскольку I = Мй, где 伉=— , а Ек = Л/u2, то, устанавливая связь между средним значением квадрата скорости и2 и квадратом средней скорости (й)2 в виде (況尸=02u2, таким образом, 0 = й/V 硒, придем к соотношению

(25.16)(25.16)I = Q^2ME^

(25.16)

(25.16)

Очевидно, что при самых разнообразных законах распределения плотности по скорости величина 0 будет мало отличаться от единицы, будучи всегда меньше нее.

В заключение остановимся на втором способе определения массы, количества движения и энергии нестационарного потока. С этой целью в фиксированном сечении для интервала времени 力2,方I определим следующие величины:

М = f^pudt, I — f ^u^dt. Ек = ^^u^dt9

Можно также написать уравнение для потенциальной энергии Еп: поскольку плотность потенциальной энергии в единице объема

для идеального газа р/z。，то

Импульс Zp, действующий на какую-либо преграду, в случае нестационарного движения определяется очевидной формулой

/Р = f^pdt,(25.17)

если с другой стороны преграды действует противодавление「工= =pi (力)• В частном случае, когда с другой стороны стенки действует атмосферное давление, импульс, действующий на стенку за время 力2 — &, будет равен

IP=-f\pdt 一/рк 的一幻・

Поскольку в теории нестационарных движений газа обычно давление (а также плотность и скорость) не выражается явно через время t (за исключением простых, римановских волн), а, напротив, t может быть явно выражено через р, то соотношение (25.17) удобно написать в виде

厶=f^pdt = f[pt(p)]^-f^ tdp.(25.18)

匕Pi

Закон перераспределения энергии и импульса при нестационарном истечении имеет и важное принципиальное значение, и чисто технические использования.

Волны сжатия одного направления

Как уже было показано выше, в плоскости характеристик (①，t) пересечения фронтов элементарных волн сжатия характеризуются пересечением характеристик.

Формально, рассматривая огибающую данного семейства характеристик, проведенную через крайние точки пересечения характеристик, можно считать, что эта огибающая является фронтом образующейся ударной волны. (Заметим, что, как правило, образуются две огибающие, имеющие начальную угловую точку.)

На самом же деле необходимо учесть, что при пересечении каких-либо двух характеристик от точки пересечения отойдут но-

§ 26] ВОЛНЫ СЖАТИЯ ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ 225 вая характеристика другого семейства и линия особого разрыва; пересечение этих характеристик в более поздние моменты времени с новыми характеристиками изменит их направление; даже для простой волны характеристики уже перестанут быть прямолинейными, а поэтому огибающая, которая является фронтом образующейся ударной волны, для искаженных характеристик будет отличаться от огибающей первоначального семейства характеристик.

Для определенности рассмотрим следующую задачу. Бесконечно длинная труба, заполненная покоящимся газом, ограничена поршнем. Движение поршня слева направо начинается при 方=0 в сечении % = 0, в процессе движения ускорение поршня не убывает. При 力=0 ускорение поршня равно нулю. Тогда бегущая от поршня простая волна опишется уравнениями

力=(〃 + с) £ + J7 ®,

2 , ,и —方二彳 С + const.

Прежде всего найдем значение постоянной. Поскольку при 辽=О с = %, где са — начальная скорость звука в газе, не возмущенном движением, то постояцная равна 2%/(乃——1) и

2

〃=匸互 “一％)•(26.2)

Значение произвольной функции F (и) определится из закона движения поршня, который удобно задать в виде

% =宠口(〃п),力=力п (〃п),(26.3)

=〃 + с.=〃 + с.где dxjdt = 〃ц・ Тогда F (и) = %п ——(〃 + с)%п и первое уравнение (26.1) примет вид

=〃 + с.

=〃 + с.

(26.4)

Считая, что в начальной стадии образования ударной волны идущие от нее возмущения мало влияют на характеристики

力=力口 + (〃 + с) (£ — Zn),(28.5)

мы легко определим уравнение огибающей. Поскольку хп и 片 являются функциями ип, то, продифференцировав по ип выражение

% — %п — (〃 + с)(力—£п) = О,

придем к уравнению

W + ⑴ ^ =計卜(1 + 窑)(—G)・(26.6)

ПосколькуПоскольку

Поскольку

Поскольку

d"n 阪口 g

где g = dujdt есть ускорение поршня, то уравнение (26.6) при* нимает вид

方—卜=寸一Ц; .(26.7)

Отсюда

(и + с) сп duсп dt

* 力口 — gd (〃 + с) — d In (〃 + с) •

Если мы ие знаем уравнения изэнтропы, то величину 1 + de Ida на основании (17.7) можно представить в виде

4 . de р%4 d2v

Уравнения (26.7) и (26.8) и представляют искомую огибающую в параметрическом виде, причем 辽=а。является параметром.

Этим уравнениям можно придать более простой вид; вычислим частную производную по и от выражения

—% + (〃 + с)/ + 歹(м + с) = 0;(26.9)

приравнивая ее нулю, получим

отсюдаотсюдаииd (〃 + с) dF d(u -}-с)d〃 ' " (〃 + с) du/- 2広+不=一ь①=尸一(U + C*'・d (〃 + с) dF d(u -}-с)d〃 ' " (〃 + с) du/- 2広+不=一ь①=尸一(U + C*'・(26.10)(26.11)(26.10)(26.11)

отсюда

отсюда

и

и

d (〃 + с) dF d(u -}-с)d〃 ' " (〃 + с) du

/- 2広+不=一ь

①=尸一(U + C*'・

d (〃 + с) dF d(u -}-с)d〃 ' " (〃 + с) du

/- 2広+不=一ь

①=尸一(U + C*'・

(26.10)

(26.11)

(26.10)

(26.11)

Уравнения (26.10) и (26.11) снова представляют огибающую в параметрическом виде. Будем искать минимальное время, когда образуется ударная волна; для этой цели необходимо приравнять производную dhd (и + с) нулю; отсюда

疗尸d(u -\- с)疗尸d(u -\- с)F№ = 0.F№ = 0.(26.12)(26.12)

疗尸d(u -\- с)

疗尸d(u -\- с)

F№ = 0.

F№ = 0.

(26.12)

(26.12)

Найдем теперь частные производные дх/ди и д2х/ди^; очевидно, они пропорциональны производным дх!д (и + с) и д2х/д (и + с)?.

Из уравнения (26.9) имеем

а(〃 + с) - с д(и + с)^ г •

Из условия, что на огибающей t =—尸'，вытекает, что на этой огибающей дх/д (〃 + с) = 0; отсюда имеем

儔) = 0，(裏(26.14)

需=。，需=。，что подтверждает наше предположение относительно огибающей как фронта ударной волны. Далее, поскольку для t = fmmb〃 = = 0, то д2х1д (и + с)? = 0, следовательно,

需=。，

需=。，

(26.15)

что показывает на перегиб линии % =力(и) или и — и (х) у места образования ударной волны. Из уравнений (26.10), (26.11)_и (26.12) можно определить три неизвестные величины ^п,彳口, 立口 + 0口，характеризующие место и момент образования ударной волны, а также скорость газа плюс скорость звука в месте ее образования.

При определении 尸(〃 + с) необходимо знать, конечно, связь между 〃 и с, например, в общем виде для произвольного уравнения изэнтропы

〃 =\ cd In р + const.〃 =\ cd In р + const.(26.16)(26.16)

〃 =\ cd In р + const.

〃 =\ cd In р + const.

(26.16)

(26.16)

Однако не всегда вдоль ударной волны вторая производная равна нулю. В самом деле, пусть например, F == AQ + Аг (и + с) + + 4(〃 + с)2, тогда 户=& + 2А2 (и + с), Fr, = 2Л2 =/= 0. В том случае, когда 尸"ф 0, необходимо найти характеристику х = (и + с) t + F (и) с максимальным наклоном к оси х в плоскости (%, t) (т. е. с минимальным значением и, а также с), которая пересекает огибающую. Точка пересечения и определит координаты начала огибающей, т. е. ударной волны.

От места образования ударной волны пойдет криволинейная характеристика, определяемая уравнением

(26.17)(26.17)dx

(26.17)

(26.17)

^=〃 —с

dx不=〃•dx不=〃•Ее уравнение может быть найдено без труда, поскольку и и с в волне известны; линия особого (энтропийного) разрыва определится из уравнения

dx

不=〃•

dx

不=〃•

(26.18)

В области между линиями, описываемыми уравнениями (26.17) и (26.18), движение газа будет изэнтропическим и может, вообще говоря, быть определено сравнительно просто. В области между линией особого разрыва движение уже не будет изэнтропическим, так как энтропия при образовании ударной волны возрастает. Это движение можно также определить сравнительно просто, полагая, что образующаяся ударная волна слабая, и пренебрегая поэтому ростом энтропии. Нормальное решение задачи после

пересечения характеристик абсурдно, поскольку это решение становится многозначным: одной и той же координате будут соответствовать обычно три значения скорости газа и других параметров состояния газа.

Рассмотрим теперь некоторые примеры, имеющие принципиальное значение для понимания описанных процессов.

Пусть, например, поршень движется с постоянным ускорением g, тогда

?n =,力n = ―1, ^п =；(26.19)

отсюда следует, что

/ = (〃 +，)(£ —^-j + ^=(〃 + с)£ —子一 ^・(26.20)

Графическое изображение и = и (х), с = с (х) для заданного момента времени дано на рис. 12. В случае уравнения адиабаты р = Uopk имеем

(26.21)

〃 + 1 \

—и；

ки2

・

(26.22)

2%(F)g '2%(F)g '(26.26)(26.26)х =х =2*侬+ l)g •2*侬+ l)g •(26.27)(26.27)интересный пример, когда всеинтересный пример, когда все

2%

(F)g '

2%

(F)g '

(26.26)

(26.26)

х =

х =

2*

侬+ l)g •

2*

侬+ l)g •

(26.27)

(26.27)

интересный пример, когда все

интересный пример, когда все

Для нахождения огибающей на основании (26.7) и (26.21) будем иметь

£=7Я^ТУ7 (% + &〃)，(26.23)

откуда

=矿方7 [方+机理+ 吟出公]•(26・24)

Исключая из последнего выражения zz, придем непосредственно к уравнению огибающей

/ = %* + £ [-Ц^ g£ 一 ％F = %’ + 夢. (26.25)

Отсюда очевидно, что минимальное время образования ударной волны есть

когда 〃 = 0, т・ е. на характеристике / = Cat место образования ударной волны определяется отсюда как

Заметим, что для этого примера вторая производная не равна нулю: д2х!ди^ = —4/2, что означает одностороннюю

кривизну линии и = и (х).

Рассмотрим теперь другой

прямые характеристики пересекаются в одной точке (д,力°), т. е. мы имеем дело с центрированной волной сжатия (рис. 13). Зададимся местом и временем образования ударной волны, т. е. точкой пересечения всех характеристик в плоскости (%, t). Пусть это будет точка (д, t^). Очевидно, что д = catQ, поскольку пер

вая элементарная ударная волна распространяется в невозму

щенном газе.

До наступления сильного разрыва мы вправе воспользоваться особым решением, которое, как мы уже указывали, является

уравнением характеристик

2 ,、

(26.28)(26.28)М = % — ( (с — %)，力=(м + с)力+歹(〃)・

(26.28)

(26.28)

Напишем уравнение характеристик в плоскости (力,力),проходящих через точку (①°, %)：

三Jи +с = са+ А+1 и.(26.29)

через dxldtчерез dxldtТаким образом, F (и) = х^ — (〃 + с) t0. Заменяя и

через dxldt

через dxldt

для поршня, получим уравнение

#(宓一со) _2 /力一定0_\

d (Z —方0) к + 1 , t —历 °) ,

Решая это линейное дифференциальное уравнение, получим

力一%=(力一幻鬲［a 一T^\(Е_%)- 母 d(上_ 幻］=

=4 (£ -浦计I —忘戸 分 « - %).

Константа А определится из начальных условий при 力=0, % = 0:

Вставляя в последнее равенство х^ = cat, можно выразить из него постоянную А. Вставляя полученное значение Л в общий интеграл, выразим закон движения поршня

力=人+』%隔一 0 一 露 ^产仇一 %)市・(26.30)

Рассмотрим теперь задачу о распространении колебаний газа в бесконечно длинной трубе перед периодически колеблющимся поршнем.

В качестве несколько идеализированного примера допустим, что в сечении 力=0 скорость газа колеблется по закону

〃 =〃о sin со力

где 〃о ——конечная величина, (о ——частота колебаний.

Таким образом, мы будем рассматривать колебания конечной амплитуды, а не весьма малой, как это обычно считают в задачах акустики. При этом поршень должен испытывать заданные

колебания в окрестностях сечения 况=0, с той же частотой со. Очевидно, что эти колебания будут распространяться в газе в виде бегущей волны одного направления (бегущей слева направо), описываемой римановским решением:

力=(〃 + с)力 + 歹(u),

(26.31)(26.31)2 ,、

(26.31)

(26.31)

石』“_%)・

Произвольная функция в первом уравнении (26.31) определится из граничного условия, согласно которому при / = О

и = f (t) = и0 sin ①九и = f (t) = и0 sin ①九(26.32)(26.32)

и = f (t) = и0 sin ①九

и = f (t) = и0 sin ①九

(26.32)

(26.32)

В данном случае £ =屮(м) = 1/со arcsin u/u0, и для F (и) согласно первому уравнению (26.31) получим

W (и) = — (〃 + с) ^-arcsin 言•

Решение можно записать следующим образом:

arcsinоarcsinо詐）

arcsin

о

arcsin

о

или в более удобной форме

u = uosin з T^T)•u = uosin з T^T)•(26.33)(26.33)

u = uosin з T^T)•

u = uosin з T^T)•

(26.33)

(26.33)

Мы видим, что при х = 0 это решение дает 〃 = “° sinco^, что является контролем его правильности. Поскольку на поршне

什通口Ca + 一丁丸什通口Ca + 一丁丸帚=〃n = 〃оsin①，Д^—、= /sin① /1

什通口

Ca + 一丁丸

什通口

Ca + 一丁丸

[%十丁 "口丿I

то из решения этого уравнения (в неявном виде) можно определить закон колебания поршня.

Уравнение (26.33) описывает бегущую волну произвольной амплитуды. Отсюда как частный случай можно получить решение для волны малой амплитуды. Если смещение частиц очень мало, т. е. величины и и с ——са можно считать малыми (здесь важно, что и есть величина порядка с—са), то, пренебрегая этими величинами по сравнению с са, найдем обычное уравнение звуковой волны

и = uosin(o t

Полученное нами решение (26.33) для колебаний конечной амплитуды в начальный момент представляет собой гармоническое синусоидальное колебание и отличается от звукового колебания лишь величиной амплитуды. Через некоторое время в результате деформации волна потеряет свою синусоидальную форму, фронт ее, как мы уже указывали, будет становиться все более крутым и волна станет в некоторый момент времени ударной.

Приравнивая нулю производные дх!ди и @2/7@〃2, найдем

(26.34)(26.34)

(26.34)

(26.34)

Уравнения (26.33) и (26.34) определяют координату и скорость в момент образования ударной волны. В рассматриваемом случае благодаря периодичности колебаний ударные волны начнут образовываться в разные моменты времени в различных местах независимо друг от друга.

Рассмотрим задачу о периодических колебаниях поршня. Пусть даны

归口 = ZoSin ①厶 Un =帚—Xn = (O/oCOSSt = U0CO3 (D*,归口 = ZoSin ①厶 Un =帚—Xn = (O/oCOSSt = U0CO3 (D*,(26.35)(26.35)

归口 = ZoSin ①厶 Un =帚—Xn = (O/oCOSSt = U0CO3 (D*,

归口 = ZoSin ①厶 Un =帚—Xn = (O/oCOSSt = U0CO3 (D*,

(26.35)

(26.35)

В случае малых колебаний (при g f 0) это соотношение переходит в уравнение бегущей звуковой волны

и = Uq cos 3 tи = Uq cos 3 t

и = Uq cos 3 t

и = Uq cos 3 t

Из последних двух примеров можно заключить, что при периодическом движении поршня возникают попеременно волны сжатия и разрежения. В том случае, когда волна сжатия наталкивается на какое-либо препятствие, например на стенку, при отражении от этого препятствия обязательно возникают ударные волны. При внезапном движении поршня, когда его ускорение бесконечно в момент начала движения, у поршня сразу же возникают ударные волны.

В заключение решим еще одну интересную задачу, связанную с прохождением волны разрежения по движущемуся газу (по волне сжатия), и проиллюстрируем метод решения для показателя изэнтропы 左=3. Пусть поршень движется равноускоренно. В некоторый момент времени t = Ц!са фронт волны сжатия доходит до конца трубы (/ = 2°), который в этот момент открывается, и начинается истечение газа; требуется определить движение газа после начала его истечения в пустоту.

Движение газа в волне сжатия при 力=3 на основании (26.20) и (26.21) определяется уравнениями

х = (u + c)(t ——廿 + 券，〃 一с = — %.(26.36)

Так как 〃 = (〃 一 с — с0)/2, то

/ 丄、*[3(〃 + с)+с ][〃 +，一％]

х = (и -{- с) t .(26.3i)

Поскольку волны и -\- с и и — с при 力=3 распространяются независимо, то в образующейся при истечении волне разрежения соотношение (26.37) будет сохраняться. Волна же опишется уравнением

〃 — 土彳；(26.38)

фронт этой волны будет двигаться по волне разрежения по закону

что следует из сопряжения волн (26.36) и (26.38), откуда

/ = 2%о —笃力.(26.39)

В сечении х ^ lQ при t = Zo/c。 скорость газа и скорость звука испытывают разрыв.

Для полноты исследования вычислим теперь давления и плотности в простой волне сжатия. При этом будем считать, что в более общем случае волна сжатия распространяется по стационарно движущемуся газу с параметрами 卩⑺ Ра, %, 〃а, гДе 〃а — скорость движения газа до его возмущения бегущей волной сжатия.

Поскольку в этом случае 〃 = 〃。+ 2 (с — %)/ (乃一1), то

С = % + 与丄(〃 —〃а).(26.40)

ОтсюдаОтсюда(26.41)(26.41)

Отсюда

Отсюда

(26.41)

(26.41)

Для дальнейших вычислений нам понадобятся первые члены этих выражений при разложении их в ряд:

РР=1=1(4^ + 1)4~(4^ + 1)4~u - %3 -衣u - %3 -衣(26.42)(26.42)

Р

Р

=1

=1

(4^ + 1)

4~

(4^ + 1)

4~

u - %3 -衣

u - %3 -衣

(26.42)

(26.42)

II рименение координат Лагранжа в качестве примера. Рассмотрим снова задачу с равномерно движущимся поршнем. Соот- ношёние с = с窑 + - у-- и при этом сохраняет силу. Поскольку газ до начала движения имел постоянную плотность, то уравнение, описывающее волну сжатия, имеет вид

无=%" = Ра% (-^ ) I 力 + 歹(％

+耳（С）■+耳（С）■где а ——координата Лагранжа (начальная координата любой частицы), или

+耳（С）■

+耳（С）■

ии〃 —gt =〃 —gt =(26.43)

и

и

〃 —gt =

〃 —gt =

2% (с — %)Hfg —2% (с — %)Hfg —k+1k+1Поскольку на поршне имеем а = ан = const =2 (с — ％)/ (к 一 1), то 力=2 (с — ％)小 + Qg и

2% (с — %)

Hfg —

2% (с — %)

Hfg —

k+1

k+1

歹（С）= 〃n

откуда

k+lk+lиз чего находятсяиз чего находятсяс = с (а^ t)с = с (а^ t)3 +()g .3 +()g .(26.44)(26.44)

k+l

k+l

из чего находятся

из чего находятся

с = с (а^ t)

с = с (а^ t)

3 +()g .

3 +()g .

(26.44)

(26.44)

последнее уравнениепоследнее уравнениех — х (a, t)х — х (a, t)(26.45)(26.45)

последнее уравнение

последнее уравнение

х — х (a, t)

х — х (a, t)

(26.45)

(26.45)

полностью решает задачу в координатах Лагранжа и определяет траектории частиц газа.

Проще решать эту задачу можно, как мы указывали в начале нашего исследования, зная из уравнений, написанных в форме Эйлера,

u=嘗=〃(伤力

решение этого уравнения и определяет % = %«,〃)•

Действительно, поскольку

生 + 1,"% k*

тоdx前=что даеттоdx前=что дает/с + 丄/с + 丄22,.к +1 du сп du ku du,.к +1 du сп du ku dudtdtF + 1F + 1++% + ^% + ^

то

dx

前=

что дает

то

dx

前=

что дает

/с + 丄

/с + 丄

2

2

,.к +1 du сп du ku du

,.к +1 du сп du ku du

dt

dt

F + 1

F + 1

+

+

% + ^

% + ^

2~ и2~ и22

2~ и

2~ и

2

2

откудаоткудаfc+ifc+i22

откуда

откуда

fc+i

fc+i

2

2

+

2+ —. (26.46)2+ —. (26.46)где 4 = const, которая определяется из условия £ = 0. Отсюда

2

+ —. (26.46)

2

+ —. (26.46)

Таким образом, мы получили решения, определяющие траектории лагранжевых частиц в параметрическом виде, причем параметром является 辽——скорость движения газа.

Изучая простые волны сжатия, мы вплотную подошли к понятию так называемой ударной волны. В следующей главе мы подробно изучим свойства этих волн и основные закономерности их распространения. Необходимость введения ударных волн обусловлена не только физическими требованиями, но и продиктована формально математическими причинами — невозможностью однозначного описания волн сжатия после пересечений их характеристик.

Исторически необходимость введения ударных волн при изучении неустановившихся движений газа, а следовательно, и возможность их существования, была установлена до их экспериментального обнаружения именно благодаря математическим исследованиям Ирншоу и Римана.

Г Л ABA VI

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН

§ 27. Общие условия на разрывах

Дальнейшее изучение неустановившихся течений какой-либо произвольной среды, и особенно газа, невозможно без рассмотрения ударных волн, которые, как мы показали, могут возникать при распространении волн сжатия. Введение ударных волн сильно расширит класс изучаемых движений среды. Мы здесь будем в основном рассматривать условия, имеющие место на фронте произвольной, не одномерно движущейся ударной волны. Кроме того, мы также ознакомимся со свойствами уже известных нам особых (или энтропийных) разрывов и так называемых тангенциальных разрывов. Движение среды при возникновении ударных волн будем считать адиабатическим.

При движении среды в ней могут возникать различного рода разрывы непрерывности ряда параметров, характеризующих состояние и движение этой среды. Разрыв непрерывности этих величин имеет место вдоль некоторой поверхности, которая называется поверхностью разрыва.

При неустановившихся движениях среды поверхности разрыва, вообще говоря, движутся, причем направление движения и скорость движения этих поверхностей могут существенно отличаться от направления и скорости движения самой среды. Так, частицы среды при определенных условиях движения могут пересекать поверхность разрыва. На поверхностях разрыва должны выполняться определенные граничные условия, выражающие основные законы сохранения количества движения, массы и энергии. При этом необходимо на основании второго закона термодинамики помнить, что энтропия частицы при пересечении поверхности разрыва, если это происходит, никогда не может убывать.

Для вывода основных зависимостей, имеющих место на поверхности разрыва, в самом общем случае неустановившихся движений среды рассмотрим какой-либо элемент поверхности разрыва в течение бесконечно малого интервала времени в системе координат, движущейся вместе с рассматриваемым элементом. Рассмотрение проведем в прямоугольной системе координат,

причем ось / направим по нормали к изучаемому элементу (рис. 14).

Исходя из закона сохранения массы, мы должны сделать вы- вод» что на поверхности разрыва должен быть непрерывным поток вещества через рассматриваемый элемент поверхности. Поток вещества в этом случае, отнесенный к единице площади поверхности разрыва, есть ри; поэтому, обозначая соответственно индексами 1, 2 состояние среды до пересечения этой поверхности и после пересечения ее, мы напишем уравнение, выражающее закон сохранения массы на поверхности разрыва, в виде

Р1〃1 =卩2〃2・(27,1)

обеим сторонам поверхности площади на основании (4.35)обеим сторонам поверхности площади на основании (4.35)Далее очевидно, что должен быть непрерывен поток импульса на поверхности разрыва, поскольку должны быть равны силы, с которыми действуют друг на друга элементы среды разрыва.

обеим сторонам поверхности площади на основании (4.35)

обеим сторонам поверхности площади на основании (4.35)

Поток импульса через един!выражается соотношениемз

2 小”卜=Р№ + S ри*кПк,(27.2)

к=1К=1

где % = 1, 2, 3 ——единичный вектор нормали на рис. 14 направлен по оси /• Поэтому непрерывность ^-компоненты потока импульса определится соотношением

Pi + РЛ2 = Р2 + р2^22-(27.3)

Непрерывность ^-компоненты и z-компоненты потока импульса даст такие соотношения:

p 丄〃 101 -p2〃202，p1"121 = p2"2^2。(27.4)

Условие непрерывности потока энергии, выражающее закон сохранения энергии, мы сможем на основании (4.26) написать в виде

где gg=吗 + о； + 吋， 璃=成 + 磴 + q есть полная ско> рость среды. Учитывая условие (27.1), мы можем соотношение

(27.5) написать просто в виде

等~ + %=粤 + %.(27.6)

Уравнения (27.1), (27.3), (27.4) и (27.6) полностью определяют условия на поверхности разрыва. Зная давление и состояние среды с одной стороны поверхности разрыва, мы на основании этих пяти уравнений и уравнения состояния среды, которое предполагается известным, сможем определить шесть величин: u2, v2» ”2, Р2, Р2, %, характеризующих движение и состояние среды с другой стороны поверхности разрыва.

Анализируя полученную систему уравнений, можно сделать вывод, что существует три вида поверхности разрыва: особые разрывы, тангенциальные разрывы и ударные волны.

Рассмотрим случай, когда

〃i = 〃2 = 0；(27.7)

это будет означать, что через поверхность разрыва нет потока среды. При этом уравнения (27.1), (27.4) и (27.5) удовлетворяются автоматически. Из уравнения (27.3) следует, что

Pi =卩2‘(27.8)

т. е. давления одинаковы с обеих сторон поверхности разрыва При этом как плотности, так и касательные компоненты скорости %, % и。2, ^2 могут быть любыми с обеих сторон поверхности разрыва и, в частности, некоторые из этих параметров могут быть одинаковыми. В том случае, когда они все одинаковы с обеих сторон, разрыва не существует. Если одинаковы компоненты скорости。1 = г2 и q ='g, а плотности различны

Pi # р2,(27.9)

то такой разрыв называется особым. Энтропия и другие термодинамические параметры, кроме давления, в этом случае также различны с разных сторон поверхности разрыва.

Если значения хотя бы одной из касательных компонент скорости о и и? не равны между собой по обеим сторонам разрыва, то такой разрыв носит название тангенциального. При этом плотности и энтропии могут быть как одинаковыми, так и различными по обеим сторонам поверхности разрыва. Тангенциальный разрыв является своего рода обобщением особого.

Если поток вещества через поверхность разрыва существует, то % и 〃2 отличны от нуля. При этом из уравнений (27.4) имеем

т. е. тангенциальные компоненты скорости непрерывны на поверхности разрыва. В .том случае, когда 〃】=и2, очевидно, что Pi — Рг, Pi = Рч ^ разрыва не существует. Если к 中 а? * О, то плотность, давление и другие термодинамические параметры действительно испытывают скачок на поверхности разрыва, как это очевидно из выведенной нами системы уравнений, которая для данного случая принимает вид

Pl^l = Р2〃2，Pl + Pl^l = Р2 + Р2〃；，~^~ + h =胃 + %• (27.11)

Разрывы указанного вида называются ударными волнами. Поверхность разрыва в этом случае будет называться фронтом ударной волны. Поверхность разрыва может, как мы указывали (см. (7.24)), обладать собственной скоростью движения D、причем всегда можно считать, что эта скорость направлена по нормали к поверхности, так как в любом случае можно выбрать такую подвижную систему координат, чтобы собственное движение поверхности разрыва происходило по нормали к ней. В этом случае в неподвижной системе координат скорости и1? 〃2 будут иметь соответственно значения

〃io = 〃i + О, 〃20 = 〃2 + О・(27.12)

Перейдем от подвижной к неподвижной системе координат. Тогда основные уравнения (27.11) примут вид

Pi (^ю —。) = Р2 (〃2о — D),

(27.13)(27.13)Pl + Pl (^10 -0)2 =p2 + P2 ("20 -0)2，

(27.13)

(27.13)

4 + — (^10 -d产=% + 亏("20 -0产.

В тех случаях, когда % = & = ° и w\ =勿2 = 0, поток среды движется по нормали к поверхности разрыва и мы будем иметь так называемую прямую ударную волну. Если тангенциальные компоненты скорости не равны нулю, мы будем иметь дело с пространственной косой волной; если одна из тангенциальных компонент равна нулю, то такая волна называется просто косой волной.

Основные зависимости, которые мы вывели, являются формально общими для поверхности разрыва любой формы. Тангенциальные и особые разрывы мы здесь подробно рассматривать не будем. Для дальнейших исследований достаточно только знать, что давление и нормальные компоненты скорости по обеим сторонам поверхности тангенциального и особого разрывов одинаковы, а плотности энтропии могут быть различными. В тех

случаях, когда 必=r2 = i^ =勿2 = °，особый разрыв является прямым, в противном случае — косым. При равенстве тангенциальных компонент скорости тангенциальный разрыв вырождается в прямой особый разрыв.

§ 28. Основные свойства ударных волн

Здесь мы исследуем основные свойства ударных волн при различных уравнениях состояния и выясним, как меняются основные параметры, характеризующие состояние среды при изменений интенсивности ударной волны. При этом будем изучать чисто адиабатические процессы.

Найдем из первых двух уравнений (27.11) величины скоростей 〃i и 的：

p2 一月1 p2 —

(28.1)(28.1)р2 — pl pl

(28.1)

(28.1)

(_ p2 - Pl Pl —

Р2 — Pl Р2

где V] = 1/р15 v2 = 1/р2 суть удельные объемы. Отсюда следует, что

〃i — 〃2 = U(Р2 — Pi)(Vi = v2) — 〃у,(28.2)

где uy есть скорость среды за фронтом ударной волны относительно фронта.

Далее из (28.1) имеем

〃；一〃；=(Р2 — Pi) (vi + v2);

используя в этом последнем равенстве формулу (27.11), придем к фундаментальному уравнению

■ 2 "- Si + v2)«(28.3)

Далее, так как на основании (1.2) Z = Е + pv, то отсюда и из (28.3) следует, что

/一目=上产(% -V)(28.4)

Последние два эквивалентных друг другу соотношения называются уравнениями Гюгонио, В соотношения (28.3) и (28.4) входят только параметры, характеризующие состояние среды, и не входят скорости. Так как Е или i являются функциями р, v, то эти соотношения связывают р?, v2 с р1? v「 т. е. связывают давления и удельные объемы за фронтом ударной волны с давлением и удельным объемом среды перед фронтом ударной волны. Поскольку мы рассматривали чисто адиабатический процесс, то со-

отношения (28.3) или (28.4), описывая именно адиабатический ударный процесс, являются уравнениями так называемой ударной адиабаты. Ударную адиабату часто в литературе называют адиабатой Гюгонио. Эта адиабата, выражая закон сохранения энергии, является аналогом обычной изэнтропы и справедлива для любой ударной волны.

Будем считать теперь термодинамические параметры перед фронтом ударной волны постоянными и продифференцируем уравнение (28.4); принимая во внимание, что dE = Т dS — pdv, придем к выражению

dE2 = ?2d52 - P2dV2 =子[dp2(V] - v2) - dV2 (p2 + Pl)], или

2丁2 dS? = dp2(Vi — v2) + dv2(Pz — Pi)・ (28.5)

Поскольку, далее, дифференциал давления можно выразить в форме

придем к выражениюпридем к выражению

придем к выражению

придем к выражению

или

dM^[2^ -^~ М - ^ + -^Г(2&6)

отсюда, переходя к плотностям, имеем

dS2P2Pl dp2(P2 — pi)dS2P2Pl dp2(P2 — pi)a「2 p2 — Pl as?p2Pla「2 p2 — Pl as?p2Pl(28.7)(28.7)I _ I &Р2卩2 —- pi Pl

dS2P2Pl dp2(P2 — pi)

dS2P2Pl dp2(P2 — pi)

a「2 p2 — Pl as?p2Pl

a「2 p2 — Pl as?p2Pl

(28.7)

(28.7)

」8р2р2 — Pl Р2

Величина 27\——罂■ p-~--- всегда может быть выбрана так, чтобы p2Pl

она была больше нуля при соответствующем значении р2 — р> Ниже будет показано, что эта величина положительна везде на ударной адиабате. Поскольку согласно второму началу термодинамики энтропия не может убывать, то dS?〉0 и р2〉Pi (по смыслу явления ударной волны). Отсюда следует, что

(28.8)(28.8)勿2 Р2 — р\ pl&Р2 / р2 — Pl р2

(28.8)

(28.8)

Слева в этом выражении стоит величина, определяющая квадрат скорости звука с；, а справа — квадрат скорости среды 潴 за фронтом ударной волны (см. (27.11)).

Таким образом, это условие дает

Мы установили, что за фронтом ударной волны скорость должна быть дозвуковой. Аналогично, фиксируя термодинамические параметры среды за фронтом ударной волны, посмотрим, какое условие должно выполняться перед фронтом ударной волны, чтобы состояние за ее фронтом могло осуществиться, т. е. чтобы ударная волна вообще существовала.

Будем теперь считать постоянными значения параметров за фронтом и продифференцируем уравнение (28.4):

—(IE、= — Тids】+ Fid% = ~|~ ®Pi (У — v2)+(Pi + P2)dvJ, откуда

—2Tl dSi = dp1 (% — v2) + dvi (p2 — Pi)； (28.10)

отсюда следует, что

一 "^ [?厶 + "f^ (vi — %)]=繁(％ — v2) + (卩2 — Pi) (28.11) и

一砌洛F "1+塞(Vl - Vj]=需+柜^，

ИЛИ

_(28.12)

dpi(P2 —pi) L 1asi pip2 J ар I P2 —pi pi '/

поскольку dSi〉0, “〉0, to

(28.13)

8pi ' Р2 — Pl Pl''

Слева, в этом выражении стоит величина квадрата скорости звука с；, а справа — величина квадрата скорости среды 〃： перед фронтом ударной волны. Поэтому условие (28.13) определяет, что перед фронтом ударной волны должно иметь место неравенство

(28.14)(28.14)q《〃i・

(28.14)

(28.14)

Покажем теперь, что знак равенства в (28.9) и (28.14) соответствует исчезновению поверхности разрыва, а следовательно, и ударной волны. В самом деле, из последних выражений мы в этом случае имеем

(28.15)(28.15)£ =说=生生二金,丄 丄 Pl P2 — Pl

(28.15)

(28.15)

P2 P2 —pl 1 p2

При этом, если мы имеем дело с чисто изэнтропическим процессом

а следовательно, если (談у〉0, то скорость звука должна возрастать вместе с плотностью:

書〉0・(28.16)

Условие же (28.15) показывает, что скорость звука падает при возрастании плотности.

Противоречие между (28.15) и (28.16) исчезает при

= $2，Р1 = р2，〃1 = и^ — Cl =。2，Pl =「2，Т. в. тогда J когда нет поверхности разрыва. Отсюда следует, что ударная волна может существовать только при выполнении условий

〃i J^ q, % ^^。2・(28.17)

Эти требования, как мы показали, выводятся также из условий dS〉0, dp〉0. Следовательно, будет наблюдаться возрастание энтропии любой частицы среды, проходящей через фронт ударной волны.

Из неравенства (28.17) и уравнения р^% = р2и2, выражающего закон сохранения потока вещества, следует, что при переходе через фронт ударной волны плотность и, если (@2р/@р2)$〉0, скорость звука возрастают, а скорость среды падает, т. е. что при Р2>Р1

&>%,〃2<〃1・(28.18)

Неравенства &〉G, %〉〃i，4 V q, u2 V 〃i исключаются из рассмотрения на основании закона сохранения потока вещества. Совокупность неравенств с2 V G, и2 5 〃工 также исключается, поскольку она противоречит условиям (28.17); в самом деле, имеем 辽2〉〃i〉G〉％, но &〉и2, т. е. мы пришли к противоречию. Неравенство же (28.18) является единственным не противоречащим неравенствам (28.17).

Следовательно, если (^2p/3p2)g〉0, то при переходе через фронт ударной волны давление и плотность возрастают. Заметим, что если (@2卩/@卩2須 ^> 0, то и (d^p/dN^s〉0, так как Gpl")s = =2р3 [с2 + 1/2р (@2p/ap2)s]. Ударная волна называется ударной волной сжатия, если при переходе фронта такой волны в сторону движения среды давление и плотность повышаются, а скорость среды падает. (В дальнейшем мы будем рассматривать также ударные волны разрежения, в которых плотность и давление при переходе через фронт убывают, а скорость среды увеличивается.) Так как скорость среды при переходе через фронт падает, то, выбрав систему координат, в которой Uj = 0, можно сделать вывод, что фронт ударной волны будет передвигаться со скоростью 〃工 в

сторону меньших давлений; при этом скорость среды за фронтом ударной волны будет выражаться формулой (28.2)

"2 = "1 = -Uy — —了伪2 - ^1) (V1 - V2),(28.19)

т. e. среда за фронтом волны движется в ту же сторону, что и сам фронт, но с меньшей скоростью.

Если (@2р/ар2)$ — dd/dp v 0, то м dc/dp V 0, поэтому с увеличением скорости звука уменьшается плотность и увеличивается скорость среды при переходе через фронт волны. Следовательно, на поверхности разрыва должны выполняться условия или и2〉 > 〃i, &〉0，или 〃2 < 〃工，3V q・

Оба эти условия не противоречат росту энтропии при переходе среды через поверхность разрыва, т. е. условиям (28.17); ux〉q, 〃2 V &• 0HH показывают, что за фронтом поверхности разрыва при (@2p/@v2)s V 0 и при возрастании энтропии мы можем иметь дело или с ударной волной разрежения (и2〉辽工)，или с ударной волной сжатия, в зависимости от знака второй производной (d2p/dy2)s. Если (d^pldv^s〉0, то, как увидим ниже, возможны только ударные волны сжатия, если (d2pld\^s < 0, — то только ударные волны разрежения.

Вспоминая, что в случае, когда (^р/Нр?)〉0, а следовательно, и (@2р/@у2)〉0, имелась ударная волна сжатия, мы можем теперь окончательно сказать, что ударные волны сжатия могут существовать как при положительных, так и отрицательных (迎/瞅)$, если выполняется условие

(飘 >0.(28.20)

При выводе неравенства u2 V。2 мы допустили, что выражение

272Plp2 -黑(Р2 - Pi)

всегда положительно, поскольку всегда можно выбрать соответствующее значение р2 таким образом, чтобы

272Plp2〉患(Р2 - Pi)-

Очевидно, что это неравенство равносильно следующему:

落2 = 2% -請(Vi-V2)〉0・(28.21)

Так как производная 8P218s на основании (1.12) может быть выражена следующим образом:

Эрг — 丁2 /

(28.22)(28.22)то неравенство (28.21) можно записать и в таком виде:

(28.22)

(28.22)

^ = 2 - —(Vi - v2)>0.

При Vi = v2, pi — p2 величина ^2 во всяком случае положительна. Посмотрим, при каких условиях ^2 обращается в нуль. Пусть давление р2 стремится к бесконечности при v2 ^ 0. В этом случае ударная волна становится неограниченно сильной. Из (28.3) видно, что % f оо; далее из соотношения (27.11) % — 厶=(〃；— — u22)/2 заключаем, что 〃】 f оо.

Теперь рассмотрим левую часть равенства (28.7)

「2?2p1р2(p。一2:冠

L *『 8Sdpz(p2 — pl) “dp2 (vi — V2)

(28.23) Величина dS2/dp2 (vx ——v2), как мы знаем, всюду положительна при Pi W 夕2 V 00. Предположим, что при каком-либо конечном значении р2 = р2 ^2 обращается в нуль. Тогда при этом значении р； имеем 〃2 — 4, а также на основании (28.6) имеем

*； = (-票)s・(28・24)

Но это условие является условием того, что прямая линия, выходящая из точки pi, V], является касательной для ударной адиабаты в точке 卩2*, v2*, так как уравнение (28.6) было получено дифференцированием уравнения ударной адиабаты. При этом угол наклона прямой экстремален (минимален), а следовательно, поскольку значение угла наклона а определяется выражением

(卩2 — Pi) / (vi — v2) = —dp2/dv = tg а, то

(

Р2 —др

&V2/ S *2(Vi — V2)2*

(28.25)

Напишем теперь основные уравнения, вводя плотность потока:

(28.26)(28.26)7 = Р1^1 = Р2〃2, Р2~Р1 =产(Vi 一 v2), »2 - J =勺(V；— V2).

(28.26)

(28.26)

Продифференцируем эти выражения, считая, что рг, р】постоянны. Тогда dp? = d/2 (V1 — v2) — 72 dv2, 72 ds2 + v2 dp2 =团产 x X (vi — V2)]/2— 72V2^v2. Отсюда, очевидно, имеем

奥龄=色押:‘0. (28.27)

Таким образом, величина /2, а следовательно, и j растут вместе с энтропией. Из соотношения (28.25) следуют важные выводы. Отметим сначала, что поскольку в точке касания dj — 0, то и dS2 = 0 (что следует из (28.27)), поэтому мы берем производные при постоянной энтропии. Далее, отсюда видно, что при любом конечном значении р2 = р2* обращение в нуль величины 乳= =2?2 — dp2/dS (vx — v2) влечет за собой обращение в нуль величины производной dS/dp2・ Ударные волны сжатия могут существовать только при условии, что вторая производная (32p/3v2)s везде положительна. Мы приходим к выводу, что точка касания на ударной адиабате существовать не может, поскольку в точке касания на основании (28.25) (d2p2/d^s = 0, так как (5/2/3v2)s = О, а в окрестности точки касания величина (д2р2/дч2) должна менять знак.

Отсюда следует, что нигде на адиабате, ни при каком конечном значении /?2* не выполняется условие

乳=2鋒一體(ь72)=0.

Поскольку при v2 = V]多2〉0, то и везде вдоль ударной адиабаты £〉0・ Поэтому наше предположение, высказанное выше при выводе основных неравенств, оказалось справедливым.

В точке % % величины 32p/5v2 и др/ду не обращаются в нуль при dS = 0, как это видно из соотношений (28.11), (28.27), где и числители и знаменатели обращаются в нуль. Эти величины соответствуют величинам др/дч и @2卩/@丫2 для обычной изэнтро- пы в этой точке.

Покажем теперь, что величина

訂=2 -专翳V】-V2)(28.28)

обращается в нуль в пределе при р2 f 8・ Строгое доказательство заключается в следующем. Поскольку

—济2 器=(Vi — 丫2)( * у厂2)= (% — v2) [c^\ — 72],(28.29)

а величины 兔，d52 и dv положительны, то величина с歸 一 /2 также больше нуля. Мы уже указали ранее, что при р2 оо и v2 ^ 0 мы имеем 辽工 f оо, отсюда / ~> оо, а так как с2〉喲 и v2 ^ 0, то и с2 f 8, а следовательно, величина — ^2 d52/dv2 становится неопределенной, вида оо — оо. Поскольку величина v2 ограничена снизу, то при р2 f 8 赤2 = 0. Отсюда следует, что

—d52/^v2 f 8, а величина

(V1 — Vz)(С；р2 — /2)&V2 5^(V1 — Vz)(С；р2 — /2)&V2 5^=2 —^■黑(Г 一 V2)t0.=2 —^■黑(Г 一 V2)t0.

(V1 — Vz)(С；р2 — /2)&V2 5^

(V1 — Vz)(С；р2 — /2)&V2 5^

=2 —^■黑(Г 一 V2)t0.

=2 —^■黑(Г 一 V2)t0.

В самом деле, из (28.28) имеемВ самом деле, из (28.28) имеем

В самом деле, из (28.28) имеем

В самом деле, из (28.28) имеем

дТдТ(28.30)(28.30)

дТ

дТ

(28.30)

(28.30)

Очевидно, что наименьшая возможная величина v2, если др2/дТ〉0, достигается при 舒2/北=0. Эта величина

2%

(28.31)(28.31)V2 = V2min = % -厄.

(28.31)

(28.31)

w

Величина v2mjn, вообще говоря, не равна нулю. Таким образом, предельная плотность на фронте ударной волны может оставаться ограниченной величиной. То же будет иметь место при (@2р/@р2)$ v V 0 для ударной волны разрежения.

Итак, мы провели подробный анализ свойств ударной адиабаты и показали, что в случае (力&丫纟纭〉。ударным волнам соответствует часть ударной адиабаты, лежащая над точкой 伪工，V0. Легко убедиться в том, что часть ударной адиабаты, лежащая ниже точки (pi, Vi), нереальна, поскольку, обращая наши рассуждения, можно показать, что для нее энтропия будет падать по сравнению со своим начальным значением, соответствующим точке (/?工，v。. Эта часть ударной адиабаты будет при (@2p/3v2)s V 0 соответствовать волне разрежения.

До сих пор мы предполагали, что (。必/^北儿〉0 м вообще (др!дТ)ч〉0. Разберем теперь случай, когда (dp/dT)v V 0. Тогда имеем

匕=V] — ％ / 2垄『； (28.32) (打2丿Q

очевидно, величина F2/^2 уже не может быть равной нулю, поскольку при этом v2 > Vi, р2 V pi，что не может иметь места для ударных волн сжатия, когда (&2P73V2纭 > 0.

Необходимо предположить, что величина

& —(VI — V2)(с； — 啮 &V2

Поскольку величина 务JT? при (др2/дТ^) ^> 0 стремится к нулю, если ，2 f 00 и величина v2 -> ^2min 壬 0, то для того, чтобы 济2/北 не стремилось к нулю, нужно предположить, что v2 f О, т. е. что р -> оо. Таким образом, условие (др/дr)v V 0 приводит к тому, что предельная плотность на фронте ударной волны стремится к бесконечности. Но при этом, поскольку энтропия падает при росте давления (при р = const), в тех областях адиабаты Гю- гонио, где (@2卩/3丫2)$ V 0, могут существовать ударные волны разрежения, где ^pldN^s〉° ударные волны сжатия. Если величина 務/舞 — б то, поскольку v2 ^> Vi, могут существовать только ударные волны разрежения. В тех случаях, когда (^2/^^2)v2 = =Т/Су (др^аТЗ? = 0, величина ^2 не обращается в нуль, в противном случае в волне сжатия v2 будет неограниченно возрастать, т. е. плотность р2 f 0, что противоречит основным условиям, которые должны выполняться на фронте волны сжатия.

Очевидно, что при этом ^2 — 2力2, тогда для определения v2 получаем выражение v? = V】+ 0/0. Если давление не зависит от энтропии (или температуры), а только от плотности, то ни ударные волны сжатия, ни ударные волны разрежения вообще не могут существовать, поскольку dS = 0 и 如=q =如=%，т- е- ударные волны вырождаются в обычные волны сжатия или разрежения (за исключением среды, для которой справедливо уравнение состояния р =——/v + В, где А и В — константы, когда может существовать ударная волна разрежения с предельной плотностью на фронте, равной нулю).

Для реальных волн разрежения реальна нижняя часть ударной адиабаты [под точкой (р】，vj]. Верхняя часть нереальна, так как для нее dS V 0, что противоречит второму началу термодинамики.

Исследуем вопрос о предельной плотности в случае ударных волн разрежения. Очевидно, что наименьшее давление, которое при этом возможно, равно нулю, т. е. р2 = 0, при этом £2 = 0. Следовательно, уравнение Гюгонио (28.4) принимает вид Е* = =Pi “2 — V0/2, отсюда

Так как величина 2Е1/р1 конечна, то и значение v2 = v2min = =% + 2Е1/р1 также конечно. Определим величину 咨\ из равенства (28.12):

见= 27\ + (關(vi —V2)=塞宁齡―с：]・(28.33)

Поскольку

тотоV2 = V] +V2 = V] +(28.34)

то

то

V2 = V] +

V2 = V] +

VzmaxVzmax(28.35)(28.35)Очевидно, что максимальное значение v2 будет при 济『О. Таким образом,

Vzmax

Vzmax

(28.35)

(28.35)

Значение 彳i = 0 достигается при dS1/dv1 -> оо, т. е. для сильной ударной волны разрежения. На основании того, что при р2 f 00

v2min выражается формулой (28.30) И При 卩2 = ° V2max ВЬ1- ражается формулой (28.35), можно сделать вывод, что ударная адиабата над точкой (р】，vj лежит выше изэнтропы Пуассона, а под точкой (pi, V])——ниже ее (рис. 15).

Нам теперь остается исследовать свойства ударной адиабаты в окрестности точки (〃，％).

Из соотношения (28.5) видно,

что при Р2 = Pl, V2 = V! имеемрис. 15.

dS = 0. Разложим значение Е2—Е1

вблизи точки (pi, о。в ряд

по степеням S2 — Sx и v2 ——v】,причем разложение по степеням

v2 — Vi проведем до членов третьего порядка, а в отношении членов со степенями S?——Si ограничимся только одним членом.

=儁)у B2-S1) + 際)s(V2-Vi)+4"(^)s(V2-Vi)2 +

+ 亲傷)s(V2 — T)3.(28.36)

Поскольку

(dE/dS)v = Т, (—@E/@v)s = р, то

Е? — Е工=Т\0 — S^ + Pi “I — v2)^(黑)s"i — v2)2 +

小 4~(瑟)s(Vi — V2)3.(28.37)

С другой стороны,后2 —笈I =(夕2 + 夕 1)/2(V1 — V2). Разложим теперь в ряд по степеням vx — v2 и S? — 5Х значение р2 ——Pi вблизи той же точки; очевидно, в отношении членов

с V]——v2 разложение достаточно вести до членов второго порядка:

Р2 一 A = - 儒）s（% - V2）+ 号（謁s（V1 - V*）2 +

+ （霖）К$2-$1）・（28.38）

Пользуясь теперь формулой （28.37） и исключая Е?—— 后1, получим

1 而八（Vl — V2）3! о2

^2 -；―/储 VI —V2 =可7 肃（Q 一 V2）3.（28.39）

Поскольку S2 ——Si〉0 и в случае ударной волны 丫工〉v2, то должно быть （32p/@v2）s〉0. Аналогично, используя уравнение （28.3） % —友=（卩2 — Pi）/2 （vi + V2）, можно показать, что

邑-S]=击（р2 - Pi）3 （闌s，（28.40）

т. е. энтропия в случае малого скачка является малой величиной третьего порядка, а следовательно, адиабата Гюгонио и изэнтропа имеют в точке （ръ V0 не только общую касательную, но и соприкосновение второго рода. Так как вблизи точки （р* V。 при Gpldy^s〉0 существует ударная волна сжатия, то и всюду, где 卩2〉0, при этом условии также могут существовать ударные волны.

Анализируя соотношения （28.39）, можно сделать вывод, что поскольку $2 — S]〜（％ — v2）3, то разложение давления по степеням плотностей или удельных объемов в точке ①工,V0 для ударной адиабаты с точностью до членов второго порядка включительно совпадает с соответствующим разложением для изэнтропы.

Точно так же покажем, что с точностью до членов второго порядка включительно совпадает величина скорости w2 — 〃工 для обеих адиабат. В самом деле, поскольку для ударной адиабаты % = 〃2 — “1 = У-（必一“）（、一%） =/_ （嘗 + 4•舞叫 * 82P /~a71 乔（A'）2

X Av = I/一詣.Av +丁产豆+…

первые два члена в этом разложении имеют тот же вид, что и для

изэнтропы, то отсюда непосредственно вытекает справедливость нашего утверждения *).

Для инвариантов Римана на основании сделанных разложений можно заключить, что их изменения на фронте ударной волны, так же как изменение энтропии, являются величинами третьего порядка малости относительно Av или Ар. В самом деле, так как

Му 土— 〃1 土— 〃1 =优一 Ар Av，

то

Г \ dS /у I 5v2/ s

ydInp - "ApAv=一.

Анализ разложения величины AS по Av или по Др показывает, что возрастание энтропии для ударной волны сжатия, когда Ар〉 〉0, происходит только при (&2p/0v2)s〉O・ Напротив, для ударной волны разрежения, когда Ар V 0, энтропия возрастает при (@2p/@v2)s V 0, что лишний раз подтверждает ранее сделанные нами выводы. Вопрос о физических причинах возрастания энтропии и о потерях свободной энергии, происходящих при ударных процессах, мы рассмотрим дальше.

§ 29. Ударные волны для взэнтропических(политропшеских) сред

Рассмотрим основные соотношения, которые имеют место при переходе среды через ударный фронт в тех случаях, когда уравнение изэнтропы среды можно написать в виде

(29.1)

Для этой цели нам необходимо прежде всего вычислить значения внутренних энергий Е2 и 笈i・ При этом необходимо помнить, что энтропия среды после прохождения через ударный фронт повышается, а поэтому величина и для среды перед фронтом и за

*) Для изэнтропы из (8.14) имеем

“2 - 〃i = § V- dpdv = ^ j/ — "^ dv =“2 - 〃i = § V- dpdv = ^ j/ — "^ dv =Av =Av ==/-関 Av +=/-関 Av +

“2 - 〃i = § V- dpdv = ^ j/ — "^ dv =

“2 - 〃i = § V- dpdv = ^ j/ — "^ dv =

Av =

Av =

=/-関 Av +

=/-関 Av +

фронтом ударной волны имеет различное значение, а именно 。2〉0rl.

Так как и перед фронтом ударной волны и за фронтом ударной волны состояние среды меняется изэнтропически dS = 0, то из (1.4) имеем dE = — pdv = — р 空；отсюда и из (29.1) следует, что

e工=e工=P1V1"1 — 1P1V1"1 — 1豆2 =豆2 =P2V2"2 - 1P2V2"2 - 1(29.2)(29.2)

e工=

e工=

P1V1

"1 — 1

P1V1

"1 — 1

豆2 =

豆2 =

P2V2

"2 - 1

P2V2

"2 - 1

(29.2)

(29.2)

Значения показателей изэнтропы кг и к2 в случае ударной волны произвольной силы (при произвольной величине /?2) должны быть различны, поскольку различны температуры по обе стороны от поверхности разрыва. Подставляя найденные значения Е、и Е2 в уравнение энергии (28.4) и производя элементарные преобразования, придем к выражениям

瓦 + 1 Р2瓦 + 1 Р2卩27Г卩27Г任一1 pl任一1 pl/+ 1/+ 1Р2 = VI =Р2，Р1 — V2 —Р2 = VI =Р2，Р1 — V2 —"2+1 _£当.后二十1自一 1十月1"2+1 _£当.后二十1自一 1十月1(29.3)(29.3)

瓦 + 1 Р2

瓦 + 1 Р2

卩2

7Г

卩2

7Г

任一1 pl

任一1 pl

/+ 1

/+ 1

Р2 = VI =

Р2，Р1 — V2 —

Р2 = VI =

Р2，Р1 — V2 —

"2+1 _£当.

后二十1自一 1十月1

"2+1 _£当.

后二十1自一 1十月1

(29.3)

(29.3)

Принимая kt = к2 = к, получим

(29.4)(29.4)02— (" + 1) p2 —(乃一1)R1 P2— VI_(乃 + 1)p2 + (论一1) P1

(29.4)

(29.4)

卩1 (/С + 1) pl —(论一1)P2' pl V2 (" + 1)C + (论一1) P2 *

В таком виде эти уравнения носят названия ударных адиабат Гюгонио для политропических сред.

Укажем другой, весьма изящный и простой вывод этих же формул. Поскольку скорость звука в идеальном газе (скорость распространения фронта малых возмущений) определяется формулой

то для случая больших возмущений газа (для случая ударной волны) напишем это выражение в виде Ар/Ар —乃豆/p, где р и р — средние значения р и р】，а величина 及 считается постоянной. Отсюда находим

(29.5)(29.5)Р2 — pi =加 с + Р1 .

(29.5)

(29.5)

Р2 — Pl Р2 + Р1 '

из этого равенства и получаются формулы (29.4).

Если 卩2 стремится к бесконечности (или просто велико по сравнению с р0, то величиной р± можно пренебречь, и тогда для предельного значения p2/pi найдем

(29.6)(29.6)Р2 —兀2 +(

(29.6)

(29.6)

pl 代 一 1

Отсюда, например, при % = 7/5 (двухатомный газ) имеем Р2/Р1 — 6.

Часто делается вывод о том, что при возрастании давления плотность двухатомного газа не может возрасти более чем в шесть раз. Значение р?/Р1 заметным образом зависит от интенсивности ударной волны, так как при сильном сжатии газа в ударной волне существенно возрастает и его температура, а величина к2 соответственно уменьшается. Так, вычисления с использованием уточненных формул и уравнения состояния идеального газа показывают, что в случае воздуха при p2/pi = 3000 за ударным фронтом достигается температура Т? = 38 000° абс. Однако при таких значительных температурах получают сильное развитие процессы диссоциации и ионизации газа, связанные с поглощением энергии, благодаря чему изменяется энергетический баланс, а действительная температура газа за ударным фронтом окажется заметно ниже, чем при классических методах расчета (для указанного выше примера — около 20%).

При столь высоких температурах диссоциация и ионизация газа весьма значительна, и вследствие этого число частиц в нем существенно возрастает, а плотность газа соответственно падает. Поэтому при весьма больших давлениях плотность р2 стремится к меньшему пределу, чем 他 + 1)р/ (卷 一 1), 叫 однако, при этом уменьшается величина к2 и р2 становится больше, чем дает формула (29.6).

Подробные вычисления, проведенные Буркхардтом и Дэвисом, показали, что в случае воздуха при 卩必戸 3000 значение p2/pt мало меняется и приблизительно равно 10, скорость же ударной волны и давление р2, напротив, мало зависят от величины 乃？, и результаты классических расчетов значений этих параметров близки к результатам уточненных вычислений указанных выше авторов.

Напишем теперь снова основные соотношения, которые имеют место для ударного перехода [см. (28.1), (28.2) и (28.4)]:

“у = “2 一 〃i = 1ЛР2-Р1)(% - у?);“у = “2 一 〃i = 1ЛР2-Р1)(% - у?);Р2V2用2 - 1Р2V2用2 - 1P1V1 1Г=ЧP1V1 1Г=ЧА\ 一 £\ =А\ 一 £\ =勺（vD，勺（vD，(29.7)(29.7)

“у = “2 一 〃i = 1ЛР2-Р1)(% - у?);

“у = “2 一 〃i = 1ЛР2-Р1)(% - у?);

Р2V2

用2 - 1

Р2V2

用2 - 1

P1V1 1Г=Ч

P1V1 1Г=Ч

А\ 一 £\ =

А\ 一 £\ =

勺（vD，

勺（vD，

(29.7)

(29.7)

где 〃у = % — 〃i есть скорость газа за фронтом ударной волны относительно самого фронта.

Исходя из этих уравнений, можно выразить величины

как функции величины начальной нормальной компоненты скорости среды 〃i (в случае плоской ударной волны нужно задать просто начальную скорость,! которая и равна величине и^. Исключая из первого уравнения (29.7) величину v2, мы придем сначала к такому уравнению:

/厶2 _"2 一 1

02—_ A piР2 — pi k — 4

(左2 + I) P2 + (“2 - ]) Pl = V1 _ V2 = 2P 工〃1~

(29.8) (заметим здесь, что величина 瓦〉力2，поскольку 2%〉？i)・ Отсюда

(29.9

Обозначим половину величины в последних круглых скобках через Д. Тогда выражение (29.9) напишется в виде

办一0=曾（1 一亲舟（1 +А）.（29.10）

При 儿2 f "工 A f 0, при 〃i f оо (т. е. для сильных ударных волн) также Д ->0. Поэтому величина

2 （“2 + 1）（坛 一 ”1） С：（自一1）（自岩一侬吟2

вообще говоря, всегда мала по сравнению с единицей, и, следовательно, величину А можно представить в виде A q 1/2 (1 + + а/2 — 1) = а/4, а величину р2 — Pi — ^ виде р? 一 Рх = =2р〃；/(& + 1) + Ai, где величина & =山：(自一砌卩2阅/ /[(自—1) (к^и^ —力2勖 всегда мала в сравнении с величиной 2Pl (瓦说-&e；)/自(否2 + 1)，

Итак, для определения величины р2 ——рх можно воспользоваться приближенным выражением

Р2 - PiР2 - Pi(29.11)(29.11)

Р2 - Pi

Р2 - Pi

(29.11)

(29.11)

Поскольку на основании (27.11)

Р2 — Pl — pl^l — P2U2 亍 Pl^l (“I — 〃2)= Pl〃I〃y, (29.12) то

〃y = U1 —— 3^0 諡. (29.13)

Далее, поскольку (口 — v2)/vi = (p2 — Pi)/pi〃；，to

V1 7广帛(1一喈*) + 寿蜀. (29.14)

Рассматривая соотношения (29.10), (29.13) и (29.14), мы видим, что все они имеют одинаковую структуру. Выпишем все эти формулы вместе в таком виде:

Р2 — Pi =医+ 彳 ° + Bi； 〃у = 〃i — "2 =优+，8 + 卩2，

• (29.15)

% 一 v2 =等? 0 + 两 где

(29・16)

Если пренебречь для не очень сильных волн изменением величины 乃，то, полагая & = & =俏 мы значительно упростим эти соотношения. Величины 近 р2 и 6з соответственно равны: Pi = 2PlM汨 А/(饱 + 1),廿2 = Ai/pi〃i, ₽з = v/i/p"; так как при к* = к? = к имеем Д = 0, Дх — 0, то 61 = 02 = 03 = 0 и соотношения (29.15) напишутся так:

гдегде(29.17)(29.17)(29.18)(29.18)

где

где

(29.17)

(29.17)

(29.18)

(29.18)

Для достаточно сильных ударных волн, когда можно пренебречь величиной pi по сравнению с величиной р2, отношение q/〃i мало,

0О ^ 1, и соотношения (29.17) примут вид

—2P1〃；р2 _V1_ 〃2+(.

(29.19)(29.19)Р2 — “2 + ]，71" —V2 2—•('

(29.19)

(29.19)

"1 — 〃2 = 〃у =优 + 1 .

В том случае, когда величина к『к* = к? стремится к единицеt соотношения (29.15) принимают вид

卩2 — Р1 = р^10； 〃1 — 〃2 = 〃у = "Со； V1 — V2 = V100. (29.20)

Дополним выведенные нами соотношения выражением, определяющим температуру на фронте ударной волны для идеального газа. Так как pv = RT, то, выражая отношение p』Pi по формуле (29.3), получим

用2 + 1 2]

(29.21)(29.21)%_Р1_ 里—旦 ”2 —F Pl 十

(29.21)

(29.21)

T1 _ n 卩2 — pi 自 + 1 p2

ki — 1 十 pi

где 7\ = pJRp*

Для сильной ударной волны по формуле (29.6) температура на фронте ее определяется соотношением

(29.22)(29.22)72y —用2 + 1 p2Ti 一 伍一1 pi *

(29.22)

(29.22)

Когда происходит обычный (медленный) адиабатический процесс сжатия газа, то и температура и плотность растут с увеличением давления: Т 〜 合 〜р^-^^ р 〜少色 При внезапном ударном сжатии газа, как мы показали (исключая случай 乃=1), даже при бесконечно сильной ударной волне плотность на ее фронте стремится к конечному, вполне определенному пределу, возрастая примерно в десять раз по сравнению со своим начальным значением (для одноатомного газа, к которому стремится любой газ при высоких температурах и давлениях). Вследствие этого рост температуры при ударном сжатии газа более значителен, чем при обычном сжатии.

Найдем связь между температурой 72y ударного и температурой 72a обычного адиабатического процесса сжатия газа. Поскольку

к—1к—1

к—1

к—1

то

11 А]

Ga \ Pi /\ Pi /У ' Pi /а ' pi /у ' pi /^_±1 I 空

(29.23)(29.24)(29.23)(29.24)自一1 丁 RL

(29.23)

(29.24)

(29.23)

(29.24)

При p2 f 8 это соотношение принимает вид

〃2 + I ( P2 )m2 - 1 V pl j a〃2 + I ( P2 )m2 - 1 V pl j aТ2y — 〃2 + 1 / 尸2 ) к 72a“2 — 1 ( С 丿

〃2 + I ( P2 )

m2 - 1 V pl j a

〃2 + I ( P2 )

m2 - 1 V pl j a

Напишем теперь основные формулы, позволяющие оценить изменение энтропии на фронте ударной волны. Поскольку р = =ор% то, используя (29.23) при кг — к2 —乃，найдем

f偿T(Н｝侬闽

где и】=p^pi характеризует энтропию газа перед фронтом ударной волны. При

空一＞8空一＞8夕1夕1a2 —p 26/?1a2 —p 26/?1(29.26)(29.26)

空一＞8

空一＞8

夕1

夕1

a2 —p 2

6/?1

a2 —p 2

6/?1

(29.26)

(29.26)

Так как в окрестностях точки (夕工，v0 а2 —5, то ударная волна переходит в обычную звуковую волну. Выведем основные соотношения для звуковой волны, считая, что

Ар =夕2 — Pi f 0, Av = v2 — Vi -> 0, Ди — Ux — 〃2 f 0;

тогда первая и третья формулы (29.7) дают соответственно

(29.27)

(29.28)

Уравнение энергии, поскольку dS = 0, сводится к виду dE = =——р dv, что в случае идеального газа дает адиабату Пуассона рМ = и.(29.29)

Поэтому

△〃 = q普，“曾.(29.30)

В заключение выведем еще одно полезное соотношение для ударных волн. Исходя из условия

= 2 + ^ и Z = ^у , д2 =炉 + 卢 + 炉,

будем иметь следующее выражение для скорости звука заторможенного газа за фронтом и перед фронтом ударной волны:

或=с； +写丄就=宦+与2 〃； +々二5 +冠)・(29.31)

Выразим величину ^丁 через плотности и давления р2, р/ р2, р> Соответствующее выражение будет иметь вид

кр\кр\儿一1 P 2 P 2 — Pl2 pl p2 — pi儿一1 P 2 P 2 — Pl2 pl p2 — pi写L。"/写L。"/% + 1 С — Pl I2 p2 — pi% + 1 С — Pl I2 p2 — piк-1к-122(0: + 冠).(0: + 冠).(29.32)(29.32)

кр\

кр\

儿一1 P 2 P 2 — Pl

2 pl p2 — pi

儿一1 P 2 P 2 — Pl

2 pl p2 — pi

写L。"/

写L。"/

% + 1 С — Pl I2 p2 — pi

% + 1 С — Pl I2 p2 — pi

к-1

к-1

2

2

(0: + 冠).

(0: + 冠).

(29.32)

(29.32)

2У+Т2У+Т

2

У+Т

2

У+Т

то длято дляПоскольку критическая скорость звука с2H =

то для

то для

критической скорости мы будем иметь выражение

器=彩^ +证扌/+谈），（29・33）

Отсюда мы видим, что критическая скорость не меняется при переходе через скачок.

Поскольку произведение скоростей на основании (29.7) может быть выражено так

^2 =耗§，(29.34)

то мы приходим к соотношению

或=〃i〃2 + ： + ； (yi + 庙・(29.35)

В это выражение входят только величины скоростей; в случае плоской ударной волны, поскольку Vx — Wx = 0, это соотношение принимает еще более простой вид: ск2 = и^.

§ 30. Плоская ударная волна

Для того чтобы связать более тесно теорию ударных волн и простых волн сжатия, мы здесь рассмотрим также вопрос об отражении ударной волны от стенки и заново дадим вывод основных соотношений для плоской стационарной ударной волны.

Пусть в цилиндре сечением, равным единице, наполненном какой-либо средой, распространяется плоский скачок давления. Для определенности положим, что он движется слева направо, и условимся скорости движения слева направо считать положительными. Скачок давления может быть образован при внезапном толчке и последующем равномерном движении поршня.

Невозмущенное состояние среды справа от скачка давления характеризуется величинами /＞「р1? 〃?. За фронтом скачка будем иметь параметры р2, р。，〃?• Скорость перемещения скачка (фронта ударной волны) обозначим через О (рис. 16).

Напишем снова законы сохранения массгэт, импульса и энергии, причем рассмотрим спстему координат, которая движется вместе с фронтом скачка. В этой системе граница АВ (рис. 16) между невозмущенным и возлгущеяным состояниями среды останется неподвижной, а вся среда будет двигаться справа налево со скоростью Р, на которую накладывается собственная скорость частиц газа. Невозмущенная среда справа от фронта волны (45) будет двигаться налево со скоростью D ——иь а сжатая волной среда слева от фронта — также налево со скоростью D — и2.

Через единицу времени частицы газа, которые заключались в объеме D ——〃i, займут объем D ——u2, так как правая граница рассматриваемого объема займет положение АВ, а левая его граница, пройдя расстояние D ——〃2，переместится в положение C1D1. Очевидно, масса газа, заключавшаяся первоначально в объеме D — 〃i при плотности pi, равна массе, которая будет занимать объем Z) — 〃2 c плотностью р2, т. е.

Pi (〃 一 〃i) = р2 (О — %) = /• (30.1)

Рассматриваемая масса есть масса, проходящая через сечение, равное единице, за одну секунду, т. е. так называемый

секундный расход массы. Уравнение (30.1) представляет собой выражение закона сохранения массы.

Выведем теперь закон сохранения количества движения. Воспользуемся уравнением

Ft = Ми.(30.2)

где F ——сила, t ——время ее действия, Ми ——количество движения, приобретенное рассматриваемым телом. В нашем случае силой, действующей на газ, надо считать перепад давления Р2 — Pi・ Время, в течение которого она действует, положим равным одной секунде. Скорость, которую приобретает газ, есть 〃2 ——〃i・ Масса рассматриваемого объема газа, как мы видели, равна р (О — 〃J・ Тогда теорема об изменении количества движения выразится равенством

02 - Pi - Pi (0 - ":i) (〃2 - ":1)•(30.3)

Обратимся теперь к закону сохранения энергии. Обозначим через Е полную внутреннюю энергию, отнесенную к единице массы среды. Кинетическая энергия среды, отнесенная к единице массы, будет и2/2. При движении среды в единицу времени затрачивается работа, равная р2и2 ——pi〃i・ Отнеся эту работу к единице массы, получим

(р2〃2 - Р^ pi(A-a)•

Тогда общий баланс энергии напишется в виде

и?1吗

^1 + ~ +(p242 — p1"1) 石(0 _喲 =笈2 + 万. (30.4)

Займемся преобразованием выведенных соотношений. Выведем сначала формулу, определяющую разность скоростей и2 — %• Из закона сохранения массы имеем (D — Ui)v2 = (Z) — u2)vi, где vi = 1/pi, v2 = 1/р2, откуда D = (uv2 —妝门)/ (v2 — vj. Вычитая 〃i из обеих частей последнего равенства, найдем D —— —Ux = Vx (“2 — Ui)/(vi — v2). Отсюда можно представить величину / в виде

]=(D — 〃i)/vi — (〃2 — ^i)/(vi — v2)-

Из закона сохранения импульса имеем

Сравнивая два последних выражения, найдем

〃2 — % = Р С?2 —厶)(％ — vj,(30.5)

Из найденных соотношений легко получаем выражение для скорости распространения фронта ударной волны

百.(30.6)

Далее преобразуем уравнение (27.4), представив его в виде

局Y二 — [2*^—(…)卜”艺总

что дает

笈2 —鬲=C ^ c (vi — v2).(30.7)

Перейдем кПерейдем крассмотрению вопроса об отражении потока от стенки. Пусть плоский фронт стационарногорассмотрению вопроса об отражении потока от стенки. Пусть плоский фронт стационарногогазового газовогогазового газовогопотока движется к неподвижпотока движется к неподвижной стенке. Скорость потока перпендикулярна к стенке. Между фронтом и стенкой до удара потока о стенку—вакуум.После удара от стенки пойдет ударная волна, ее фронт — /-/(рис. 17).Введем снова подвижную систему координат, движущую^ ся вместе с фронтом ударной волны. Тогда скорость перед фронтом ударной волны будет 〃i — D, а за фронтом и2 — Dной стенке. Скорость потока перпендикулярна к стенке. Между фронтом и стенкой до удара потока о стенку—вакуум.После удара от стенки пойдет ударная волна, ее фронт — /-/(рис. 17).Введем снова подвижную систему координат, движущую^ ся вместе с фронтом ударной волны. Тогда скорость перед фронтом ударной волны будет 〃i — D, а за фронтом и2 — D/〃〃/〃〃〃/〃〃〃〃/〃〃〃«〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃，iZ4纟乡/〃〃/〃〃〃/〃〃〃〃/〃〃〃«〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃，iZ4纟乡(величины 〃工 и % рассматриваем(величины 〃工 и % рассматриваемкак проекции скорости на ось %).Для определения параметров за фронтом ударной волны мы можем применить формулы, полученные ранее и также выведенные для подвижной системы, движущейся вместе с фронтом ударной волны. К этим формулам нужно еще добавить условие и2 = 0, так как среда у стенки после отражения должна быть неподвижна.Из формулы (30.5), учитывая условие и2 = 0, излучаемкак проекции скорости на ось %).Для определения параметров за фронтом ударной волны мы можем применить формулы, полученные ранее и также выведенные для подвижной системы, движущейся вместе с фронтом ударной волны. К этим формулам нужно еще добавить условие и2 = 0, так как среда у стенки после отражения должна быть неподвижна.Из формулы (30.5), учитывая условие и2 = 0, излучаем

Перейдем к

Перейдем к

рассмотрению вопроса об отражении потока от стенки. Пусть плоский фронт стационарного

рассмотрению вопроса об отражении потока от стенки. Пусть плоский фронт стационарного

газового газового

газового газового

потока движется к неподвиж

потока движется к неподвиж

ной стенке. Скорость потока перпендикулярна к стенке. Между фронтом и стенкой до удара потока о стенку—вакуум.

После удара от стенки пойдет ударная волна, ее фронт — /-/(рис. 17).

Введем снова подвижную систему координат, движущую^ ся вместе с фронтом ударной волны. Тогда скорость перед фронтом ударной волны будет 〃i — D, а за фронтом и2 — D

ной стенке. Скорость потока перпендикулярна к стенке. Между фронтом и стенкой до удара потока о стенку—вакуум.

После удара от стенки пойдет ударная волна, ее фронт — /-/(рис. 17).

Введем снова подвижную систему координат, движущую^ ся вместе с фронтом ударной волны. Тогда скорость перед фронтом ударной волны будет 〃i — D, а за фронтом и2 — D

/〃〃/〃〃〃/〃〃〃〃/〃〃〃«〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃，

iZ

4纟乡

/〃〃/〃〃〃/〃〃〃〃/〃〃〃«〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃，

iZ

4纟乡

(величины 〃工 и % рассматриваем

(величины 〃工 и % рассматриваем

как проекции скорости на ось %).

Для определения параметров за фронтом ударной волны мы можем применить формулы, полученные ранее и также выведенные для подвижной системы, движущейся вместе с фронтом ударной волны. К этим формулам нужно еще добавить условие и2 = 0, так как среда у стенки после отражения должна быть неподвижна.

Из формулы (30.5), учитывая условие и2 = 0, излучаем

как проекции скорости на ось %).

Для определения параметров за фронтом ударной волны мы можем применить формулы, полученные ранее и также выведенные для подвижной системы, движущейся вместе с фронтом ударной волны. К этим формулам нужно еще добавить условие и2 = 0, так как среда у стенки после отражения должна быть неподвижна.

Из формулы (30.5), учитывая условие и2 = 0, излучаем

(30.8)(30.9)(30.8)(30.9)

(30.8)

(30.9)

(30.8)

(30.9)

откудаоткуда〃i = _ US - Pi) (vi -h),〃；=(卩2 — Pl)(V1 — V2),

откуда

откуда

где индексами 1 и 2 соответственвго обозначены параметры падающего и отраженного от стенки потоков газа. Для параметров отраженного потока прц законе р0 三 о и & = & = А, как и в

формулах (29.3) и (29.4), будем иметь

V2 _

V1 -

(左一1)卩2 + (" + 4) pi . (к + 1) 02 + (加一1)尸1 '

(30.10)

очевидно, что для падающего потока р^ и vi никак не связаны ни взаимно, ни с 〃工.Исключая v2 из (30.9) и (30.10), получим

2(R — pi)?

?2(%+ 1) + 砂(" 一 1)

—Piwi ；

отсюда

(30.11)

(30.12)

При малых q/辽工 (а следовательно, и малых р0 формула переходит в

Р2 a Р1 + &4丄 р"・(30.13)

Таким образом, зная параметры и1? р^ “ потока, набегающего на стенку, мы легко определяем все необходимые параметры р2» р2, и2 = 0 отраженного потока.

В рассматриваемой задаче предполагалось, что как поток, так и отраженная ударная волна являются стационарными. На самом деле подобного рода поток, который распространяется в пустом пространстве, как мы видели выше, не может быть стационарным, и поэтому вычисленные нами параметры для отраженной ударной волны будут справедливы только для первого момента удара фронта потока о стенку. Отраженная ударная волна также не будет стационарной.

Если между стенкой и движущимся стационарным потоком находится какая- нибудь среда, например газ, то могут

а) До отражения

и}=0 Pl /?

Р2 ||

Р2齢

б) %。7£ отражения

/ Рз Рз

4 Pz Рг

Рис. 18.

представиться различные случаи отражения этого потока от стенки, поскольку к стенке может приближаться или волна сжатия, или ударная волна.

Рассмотрим отражение от стенки плоской ударной волны сжатия *).

Пусть к стенке приближается фронт ударной волны. Состояние невозмущенного газа у стенки характеризуется величинами

*) Эта задача была решена в 1935 г. С. В. Измайловым и О. Б. Власовым.

〃i= 0, pi, pi, состояние газа за фронтом ударной волны характеризуется значениями и2, р2, 〃，значения тех же величин за фронтом отраженной волны обозначим и3, р3, р3 (рис. 18).

Если падающая на стенку ударная волна стационарна, то отраженная волна также должна быть стационарна. Это следует и из смысла самой задачи, а также по чисто формальным причинам, так как отраженная стационарная волна удовлетворяет, как мы это сейчас покажем, всем необходимым условиям, которые имеют место на фронте произвольной волны, а также автоматически основным уравнениям газовой динамики, являясь их тривиальным решением.

Поскольку на стенке скорость за фронтом отраженной волны должна быть равна нулю: и3 = 0, то и везде в отраженной ударной волне скорость должна быть тождественно равна нулю.

Основные уравнения рассматриваемой задачи, используя формулы (30.5), (30.6) и (30.7), можно написать в виде

〃工=V(P2-Pi) (vi-v2); D1 = Niyr警三岩

(30.14)(30.14)〃2 = У(Рз - P2)(V2 - V3)；I)2 - U2 - V2 у ^飞；

(30.14)

(30.14)

E& — E、= "2 彳口(V] — v2); E3 — £*2 = ^y^ (v2 — 丫3)；

отсюда (〃з — р^ (v2 — V3)=伪2 — Pi) (vi — v2) = 〃； или

(30.15)(30.15)

(30.15)

(30.15)

Поскольку для изэнтропической (политропической) среды на основании формулы (30.10)

л£L =2(Р2 — Pi) .р2 (/f -J- 1) 7^2 + (^ — 1) Pl， то мы имеемл£L =2(Р2 — Pi) .р2 (/f -J- 1) 7^2 + (^ — 1) Pl， то мы имеемр2 —2 3 — 3)рз (к +() С + (" — 1) Р2 '(30.16)р2 —2 3 — 3)рз (к +() С + (" — 1) Р2 '(30.16)

л£L =2(Р2 — Pi) .

р2 (/f -J- 1) 7^2 + (^ — 1) Pl， то мы имеем

л£L =2(Р2 — Pi) .

р2 (/f -J- 1) 7^2 + (^ — 1) Pl， то мы имеем

р2 —2 3 — 3)

рз (к +() С + (" — 1) Р2 '

(30.16)

р2 —2 3 — 3)

рз (к +() С + (" — 1) Р2 '

(30.16)

% (30.17)% (30.17)

% (30.17)

% (30.17)

3 — Р2)2=3 — Р1)2

(论 +() РЗ + (儿一1) Р2 (及一1) Р2 + (〃 + 1) Pl

Представим первые два члена равенства в виде

(А/З — Ар2)2 _ (厶迎户 _ р2呜

2Mpi + (А + 1) Арз+(〃 一1) Ар?—(论一1)厶卩2 + 2〃pi —2

где

Д?з = Рз — Pi, № =夕2 — А；

отсюда найдем, что

АР = 2Am + 济М：：；2?轟=2Ap2 + 中 P2^. (30.18)

Приведем теперь выражение (30.18) к виду, определяющему величину давления, образуемого скоростным напором.

Поскольку внутреннее давление падающей волны есть р?, то можно написать равенство, аналогичное (30.18), в виде

Рз = Р2 + [(〃 一 R)+ (『"*笈芻Ьг]，(3°・19)

где величина, стоящая в скобках, и определяет величину давления, создаваемую потоком при его торможении.

Преобразуя формулу (30.19), напишем ее в виде

_ —2 Aт?2 (р2 —卩1)—(3〃 一 1)卩2 —(及 一 1) Pi/on 2 m

Рз — P2 H_^ p^^卩2 + (A： + 1)* 丿

или в виде

Арз = Ат +签产土包.(30.21)

--^- Д?2 + ?1

Поскольку Ар? с помощью основных уравнений можно написать в виде

№ =与i+ $'(30.22)

ТО

Z十 \(〃一 1)2р2吗丿」

(30.23)

В пределе при р2и22 登卩工

Арз =厶夕2 + ^р2^2 = 3：二:Да или просто Рз = ^~| 02, (30.24)

что следует также из (30.20).

В случае слабой ударной волны

△Рз —厶卩2 + / —Рг^2 j/^ (к —^1)2 姦|尸2Ap2，(30.25)

что также следует из (30.20), т. е. мы приходим к результату, известному в акустике.

Из соотношений (30.14) мы получаем формулы, определяющие

〃2 и Рз, где。2——скорость фронта отраженной ударной волны:

4 = ]/4 = ]/Pi[(^ + l)F2 + (^ —l)Pi]Pi[(^ + l)F2 + (^ —l)Pi][伯一1) Ri + Р/；[伯一1) Ri + Р/；(30.26)(30.26)

4 = ]/

4 = ]/

Pi[(^ + l)F2 + (^ —l)Pi]

Pi[(^ + l)F2 + (^ —l)Pi]

[伯一1) Ri + Р/；

[伯一1) Ri + Р/；

(30.26)

(30.26)

V2 — рз —' кр2

Поскольку Рз —夕2 = 〃2‘ (v2 — v3), то для давления в отраженной ударной волне можно написать такое соотношение:

(30.27)

Если падающая ударная волна сильная, то мы получаем следующие предельные выражения для отраженной волны:

(30.28)(30.28)РЗ _ 上・ Q — ]/2 出一1)2р2-f一元二1， 02一/(k + l)pi •

(30.28)

(30.28)

Энтропия в отраженной ударной волне определяется соотношением

«з — Рз ( Р2 jк — (3〃 一 1) Р2 — (к — 1) Pi (к — 1 8 尸2 [ рз 丿 出一1) Р2 + (论 + 1) Р1 ( ”

Анализ его показывает, что рост энтропии в отраженной волне конечен, так как амплитуда ее относительно падающей волны также всегда конечна (за исключением случая, когда 必 f 8). При Pi ~> оо мы придем к следующей предельной формуле для энтропии:

Оз _ 34 — 1 (k — i\kОз _ 34 — 1 (k — i\k8 — к — 1 \ к8 — к — 1 \ к(30.30)(30.30)

Оз _ 34 — 1 (k — i\k

Оз _ 34 — 1 (k — i\k

8 — к — 1 \ к

8 — к — 1 \ к

(30.30)

(30.30)

Эти формулы показывают, что в случае бесконечно сильной волны величина а3/а2 остается конечной.

§ 31. Косая ударная волна

Будем рассматривать плоскую косую волну, считая, что ее пересекает плоский поток среды, направление которого указано на рис. 19 под некоторым углом. Этот угол между направлением скорости потока и поверхностью фронта ударной волны мы обозначим через ф.

Пусть ди 彰一величины скорости перед фронтом и за фронтом, %，〃2 — соответствующие проекции скорости на ось /，перпендикулярную к фронту волны, о】и о? — проекции скорости на ось,

параллельную фронту волны. Тогда основные уравнения для этого случая примут вид (плоская задача)

Р1〃1 = Р2^2； 4+ 方=»2 + 斤；Pl + Pl^l = Р'2 + Р2磋；"1 ~ ”2，Р1〃1 = Р2^2； 4+ 方=»2 + 斤；Pl + Pl^l = Р'2 + Р2磋；"1 ~ ”2，(31.1)(31.1)После прохождения пр авл ение движенияПосле прохождения пр авл ение движениячерез фронт косой ударнойчерез фронт косой ударнойпотока должнопотока должноизменитьсяизменитьсяволны на- (рис. 19).волны на- (рис. 19).Фронт ударной волныФронт ударной волныЭто происходит потому, что величины нормальных компонент скорости сменяются: 〃2 < 〃и а величины тангенциальных компонент равны между собой.Обозначим угол между направлением движения потока среды за фронтом ударной волны и поверхностьюЭто происходит потому, что величины нормальных компонент скорости сменяются: 〃2 < 〃и а величины тангенциальных компонент равны между собой.Обозначим угол между направлением движения потока среды за фронтом ударной волны и поверхностьюфронта через со очевидны такие( шения:〃]-—1 91 sin 屮，0]91 cos 中，〃2 = 02 Sin ①；& = 02 COS СО,фронта через со очевидны такие( шения:〃]-—1 91 sin 屮，0]91 cos 中，〃2 = 02 Sin ①；& = 02 COS СО,)• Тогда соотно-)• Тогда соотно-(31.2)(31.2)

Р1〃1 = Р2^2； 4+ 方=»2 + 斤；

Pl + Pl^l = Р'2 + Р2磋；"1 ~ ”2，

Р1〃1 = Р2^2； 4+ 方=»2 + 斤；

Pl + Pl^l = Р'2 + Р2磋；"1 ~ ”2，

(31.1)

(31.1)

После прохождения пр авл ение движения

После прохождения пр авл ение движения

через фронт косой ударной

через фронт косой ударной

потока должно

потока должно

измениться

измениться

волны на- (рис. 19).

волны на- (рис. 19).

Фронт ударной волны

Фронт ударной волны

Это происходит потому, что величины нормальных компонент скорости сменяются: 〃2 < 〃и а величины тангенциальных компонент равны между собой.

Обозначим угол между направлением движения потока среды за фронтом ударной волны и поверхностью

Это происходит потому, что величины нормальных компонент скорости сменяются: 〃2 < 〃и а величины тангенциальных компонент равны между собой.

Обозначим угол между направлением движения потока среды за фронтом ударной волны и поверхностью

фронта через со очевидны такие( шения:

〃]-—1 91 sin 屮，

0]91 cos 中，

〃2 = 02 Sin ①；

& = 02 COS СО,

фронта через со очевидны такие( шения:

〃]-—1 91 sin 屮，

0]91 cos 中，

〃2 = 02 Sin ①；

& = 02 COS СО,

)• Тогда соотно-

)• Тогда соотно-

(31.2)

(31.2)

(31.3)(31.3)(31.4)(31.4)

(31.3)

(31.3)

(31.4)

(31.4)

где 91 и д2 ——величины скоростей потоков до фронта и за ним:

9；=龙 + о；,9；=冠 + 鳳

Из соотношений (31.2) имеем

^ =电屮。胃=tgs；

ПОСКОЛЬКУ 。1 = г?2； Pi^l = p2〃2， TO

〃2 _ _P1_ _ V2 _ tg ①

〃1 —石'— tg(p *

Так как u2 < 〃i，to tg ① < tg <p, s < <p, отсюда видно, что угол между направлением движения потока и фронтом волны после прохождения через фронт косой ударной волны уменьшается по сравнению с начальным углом, т, е, лоток как бы приближается

к фронту ударной волны. Угол поворота потока (угол между направлением его движения до фронта и за фронтом) есть

0 = Ф — со.(31.5)

Из уравнений (31.1) имеем

Р2 — Р1 = %"；—卩2〃之=Pl^l (1—•j ；(31 ・6)

以一%& (%+v"=(31.7)

Зная, далее, для заданного уравнения состояния из уравнения Фронт ударней

Рис. 20.

энергии (31.7) связь между pjp、и Р2/Р1, мы, исключив из уравнений (31.4) и (31.6) величины p2/pi и р2/р1? придем к уравнению вида

尸(屮，Pi，Pi，〃i，①)=°, (31.8)

определяющему зависимость между углами <р, со и начальными параметрами потока р「рп 〃「Это дает возможность сразу же определить величины р2, 〃2 и затем величину 厶，что полностью решает задачу об определении параметров потока за фронтом ударной волны (если величины р1? р1? ап ф заданы).

Так как направление движения потока перед и за фронтом ударной волны прямолинейно, то подобное явление может произойти при обтекании потоком среды, движущейся с определенной сверхзвуковой скоростью какого-либо вогнутого угла (л ——0) (рис. 20).

Образование косой ударной волны при обтекании подобного угла, как мы уже знаем, может иметь место лишь при выполнении

условия %〉с「При этом всегда %〉q, поскольку 弘〉0. При а】& с】 ни косая, ни прямая ударные волны не образуются.

Рассматривая задачу обтекания угла сверхзвуковым потоком, мы должны считать заданными параметры р1? р1? ^ и угол поворота потока 0 = ф — со.

Тогда соотношение (31.4) удобнее написать в виде 卫_里=tg (中一8) 〃i — p2 — tg 屮

и соотношение (31.6) в виде

Р2 —Pi = p"sin2(p(l_^)・-(31.10)

Зная 〃/卩1 = / (p2/pi), мы сможем исключить из этих соотношений 卩2勿1，Р2Ф1 и найти связь между ф, р】，р「％, после чего определяется р2, 〃口 u2 и р?, что полностью решает задачу об определении движения среды при обтекании угла. За фронтом ударной волны должно быть 〃2 <。2, но отсюда не следует, что обязательно ^2 < Q，т・ е・ при косом отражении ударной волны скорость после отражения может быть как дозвуковой, так и сверхзвуковой. Взяв соответственную систему координат, начало которой скользит с определенной скоростью по линии фронта ударной волны, можно по произволу сделать ^2〉с? или ,2 V с2. Итак, в косой ударной волне приходящий поток всегда сверхзвуковой, а уходящий может быть и дозвуковым и сверхзвуковым.

Перейдем к более подробному рассмотрению свойства косых волн для политропического (изэнтропического) закона

р = орк.(31.11)

При этом отметим снова, что энтропия и величина и перед фронтом ударной волны имеют значение S】и и「а за фронтом 52 и ^2» причем а2〉о\. Поскольку для этого закона отношения давлений Р2/Р1 и плотностей p2/pi выражаются формулами (29.3), то из формул (31.10) и (29.3) получаем

Р2 _ Pl =pi sn屮一•(31/2)

При /с?=乃1 =左 уравнение (28.14) принимает более простой вид

Р・2 — Pi = -^彳 Pi^i [sin2 屮—"^] •(31.13)

Определим теперь связь между углами <р и 0. Для этой цели воспользуемся соотношениями (31.9), (31.10) и (31.12). Соотношение

(31.10) при исключении p2/pi из (31.12) дает

2〃i2k2 pi

—(3U4)

P2 - 1

подставляя сюда значение pjp? из (31.9), приходим к соотношению

2 Г 彳 _ 且 〃i-~4 tg (ф — 6)~12

(31.15)(31.15)历二"[ 石 "2 - 1 tgq)」 —；2 m _ tg (中-8)) 底+ itg((p — e)」-—Г

(31.15)

(31.15)

“2 — 1 tg ф

В случае к2 =月В случае к2 =月="уравнение (31.15) принимает вид

В случае к2 =月

В случае к2 =月

/с + 1 tg((p—9) к — 1 tg ф

(31.16)

Для анализа найденных соотношений и упрощения ряда дальнейших выкладок можно поступить следующим образом.

В классической теории косой ударной волны доказывается, что при определенных значениях угла раствора клина (или конуса), а именно при углах 0, превосходящих некоторое определенное значение 0О, которое мы вычислим ниже, ударная волна перестает касаться носика клина (или конуса) и отходит от него на определенное расстояние (рис. 21), причем на оси симметрии ударная волна

[Рис. 21.

становится прямой. На участке

00’ происходит дополнительное, уже чисто адиабатическое торможение воздуха. Давление в точке О', таким образом, может быть найдено из соотношения

кт

(31.17)

где 勾 ее /?2 ——теплосодержание и давление Отсюда следует, что

воздуха в точке О'.

Значения и2, р2 и Р2 определяются формулами прямой ударной волны, т. е. из соотношений (31.1), если положить в них % = 0?= =0. Поскольку p2^2 = р；〃；/р2, а отношение рг/р2 определяется соотношением (30.10), то

ОтсюдаОтсюда唾 _ 也(生一1)月2+(加+ 1) Pi _ (" 一分Pi吟+ 2kpiF рГ &-Н)Р2 + (Х —1)Р1 — 2P毋一&-1) pi唾 _ 也(生一1)月2+(加+ 1) Pi _ (" 一分Pi吟+ 2kpiF рГ &-Н)Р2 + (Х —1)Р1 — 2P毋一&-1) pi仪仪(31.19)(31.20)(31.19)(31.20)

Отсюда

Отсюда

唾 _ 也(生一1)月2+(加+ 1) Pi _ (" 一分Pi吟+ 2kpi

F рГ &-Н)Р2 + (Х —1)Р1 — 2P毋一&-1) pi

唾 _ 也(生一1)月2+(加+ 1) Pi _ (" 一分Pi吟+ 2kpi

F рГ &-Н)Р2 + (Х —1)Р1 — 2P毋一&-1) pi

仪

仪

(31.19)

(31.20)

(31.19)

(31.20)

+ •••+ •••При 〃i = q,卩2 = Pi имеем

+ •••

+ •••

网 " I /С-1)Х4 (^ I ^1儿(2 一 加)

(31.21)(31.21)При 〃i登q

(31.21)

(31.21)

% __ 〃 "一1甘T_,| Jc-l I (Л-1)2 N〃 —1)3(2-"), 也―О2~ ) ~И41 一-ЗЙ1§§^ Н

В пределе при 加=1 в первом случае 友侬—pUPi =匕，во втором — 项/?2 = 1- Таким образом, рост давления в зоне обычного адиабатического сжатия незначителен.

Значение критического угла 0 = 0О, при котором скачком меняется режим обтекания, определяется из соотношения (31.18), которое мы теперь напишем в виде

tg (屮一9) = /с — 1 ■ 一值^ 一 — к 4- i 十tg (屮一9) = /с — 1 ■ 一值^ 一 — к 4- i 十(к + 1) g； sin2 ф(к + 1) g； sin2 ф(31.22)(31.22)

tg (屮一9) = /с — 1 ■ 一值^ 一 — к 4- i 十

tg (屮一9) = /с — 1 ■ 一值^ 一 — к 4- i 十

(к + 1) g； sin2 ф

(к + 1) g； sin2 ф

(31.22)

(31.22)

Отсюда для определения tg 屮 приходим к кубическому уравнению

₽ + 1] — tg2 ф ctg 0 [Р — 1 ] +

(31.23)(31.23)+ 1g 中[~Ц^ В + 1] + ctg 8 = 0,

(31.23)

(31.23)

гДе Р =朮/臂=м； является квадратом числа Маха потока до скачка.

Принимая к = 7/5 п обозначая дополнительно ctg 6 = а, tg 屮=Z/, приходим к уравнению

沙3 (В + 5) — 5az/2 (р — 1) + (6р + 5)沙 + 5а = 0.(31.24)

При 8 = 0 沙2 = -р —.不 для любого к (и вообще любого уравнения изэнтропы), откуда получаем тривиальный результат, имеющий место для звуковых волн:

(31.25)(31.25).С1 1

(31.25)

(31.25)

smLk 瓦.

Значения у всегда должны быть положительны, поскольку реальная область существования угла ср задается как 0 & 屮 W л/2. В случае сильной волны (р 身 1) приходим к квадратному уравнению

откудаоткудаО,О,(31.26)(31.26)22炉一к？ау22炉一к？ау丁不二7丁不二7(31.27)(31.27)

откуда

откуда

О,

О,

(31.26)

(31.26)

22

炉一к？ау

22

炉一к？ау

丁不二7

丁不二7

(31.27)

(31.27)

Решение имеет смысл при а〉]//с2 — 1, откуда

Исследуем в общем случае уравнение (31.23). Для фиксированного значения угла поворота потока 6 = 6] зависимость между 0 и у определится соотношением

/с + 1 Q 〃 + 32 — № + ~2^ у+ «1/с + 1 Q 〃 + 32 — № + ~2^ у+ «1(31.29)(31.29)

/с + 1 Q 〃 + 3

2 — № + ~2^ у+ «1

/с + 1 Q 〃 + 3

2 — № + ~2^ у+ «1

(31.29)

(31.29)

где % = ctg 又，у = tg ср. При конечном положительном а〉а0, где а0 определяется условием (31.28): а。= ]/序 一 ],уравнение (31.29) изобразится некоторой кривой (рис. 22).

Реальный смысл имеет часть кривой (изображенная в левом верхнем угле жирной линией), для которой 沙〉0, 0 ：_> 0. Если рассматривать всю кривую в этом угле, то при этом каждому значению В〉Во будут соответствовать два значения 沙，выражаемых верхней ветвью. При § = В。величина у определится однозначно. Действительному процессу, как правило, соответствует меньшее из двух значений 沙 = tg 屮，т. е. меньшее значение угла ф. Величина Во = (qi/cQ^ определяет наименьшее возможное значение ('〔/с，？ для заданного значения угла поворота потока 0 =0Х (третье значение у при В〉Во будет отрицательным и, следовательно, смысла не имеет). Можно сделать вывод, что при § = В。 два положительных корня уравнения (31.23) совпадают. При

этом дискриминант этого уравнения или уравнения (31.29)

А =炉 + рз = °,(31.30)

где q =川/27a3 _ 儿/6a2 + d/2"，p = c/3" -川/9a2, причем a = =伯一1) p/2; b = —a 偉一1); c= (к + l)p/2 + 1； d = a.

Рис. 22.Рис. 22.

Рис. 22.

Рис. 22.

Значение совпадающих корней уравнения (31.23) при этом определя

ется соотношением

з /Ьили, поскольку皿丿十з /Ьили, поскольку皿丿十(31.31)(31.32)(31.31)(31.32)

з /Ь

или, поскольку皿丿十

з /Ь

или, поскольку皿丿十

(31.31)

(31.32)

(31.31)

(31.32)

Условие (31.30) и выражение (31.32) при переходе к основным параметрам а и р напишутся в виде

乂（В 一 1）一（* В + 1『偉一］h一

一忏3 + 1y（『+ 1） = 0；（31.33）

沙0 -沙0 -а (3-1) Г1/1 3『В + “*В + 1)—3f+屮а (3-1) Г1/1 3『В + “*В + 1)—3f+屮+ 1 •+ 1 •(31.34)(31.34)

沙0 -

沙0 -

а (3-1) Г1/1 3『В + “*В + 1)

—3f+屮

а (3-1) Г1/1 3『В + “*В + 1)

—3f+屮

+ 1 •

+ 1 •

(31.34)

(31.34)

Решение уравнения (31.33) напишем в виде

+ VA^+B a aо8 (В- 1)3—+ VA^+B a aо8 (В- 1)3—(31.35)(31.35)

+ VA^+B a aо8 (В- 1)3—

+ VA^+B a aо8 (В- 1)3—

(31.35)

(31.35)

причем перед радикалом выбираем знак плюс, в противном случае придем к мнимым значениям а. Здесь

Л = 27[Ц^₽ + 1]^Н18[Ц^₽+1ДЦ^З + 1)(₽-

-(Ч^З+1}2(3-1)2,5^64(р-1)з(Ш₽ + 1；3(Ц^₽ + 1].

Подставляя значение а0 в уравнение (31.34), придем к связи между

Уо и Р：

+ %2+36 了2(В —1)(^в + 1)+ %2+36 了2(В —1)(^в + 1)卜 + /1 -7Tlh^],⑶.36)卜 + /1 -7Tlh^],⑶.36)

+ %2+3

6 了2(В —1)(^в + 1)

+ %2+3

6 了2(В —1)(^в + 1)

卜 + /1 -7Tlh^],⑶.36)

卜 + /1 -7Tlh^],⑶.36)

где с = 24 (0 — 1)[体 一 1) р/2 + 1] [(* + 1) р/2 + 1]. Выражение (31.35) определяет предельный допустимый угол поворота 6 = % в зависимости от величины § =(必包产.Выражение (31.36) определяет предельный угол наклона ударной волны 屮=屮。 также в зависимости от величины 0. При значениях 0 j> 0О и ф〉ф0, как мы указывали выше, меняется режим обтекания.

Найдем непосредственно связь между предельными углами 0О и(р0. Для этой цели воспользуемся выражением (31.29) и, приравняв соответствующую производную нулю, найдем условие, при котором значение 0 становится экстремальным (минимальным):

确一现 [中*一〒勿]+就=0. (31.37)

Соотношение (31.37) является также следствием соотношений (31.35) и (31.36).

Теперь легко определить значения (p2/pi)o и (p2/pi)o, соответствующие значениям 0О и(р0, т. е. предельные значения плотностей и давлений, как функции § =(史/内尸.Заметим, что если для этой цели воспользоваться соотношением (31.9)

pi = tg (屮一9)tg^

и определить отсюда

电中=呼一 1) 士电中=呼一 1) 士Р2 _ I 2Р2_Р2 _ I 2Р2_

电中=呼一 1) 士

电中=呼一 1) 士

Р2 _ I 2Р2_

Р2 _ I 2Р2_

то прито при響傷一）w/匿響傷一）w/匿(31.38)(31.38)

то при

то при

響傷一）w/匿

響傷一）w/匿

(31.38)

(31.38)

значение tg ф станет комплексным. Однако значение 0, определяемое из (31.38), при знаке равенства будет больше критического: 0〉0О, т. е. изменение режима обтекания произойдет при меньшем угле поворота потока. Следовательно, значение tg 屮=Уp2/pi не будет давать значение tg(р0- Лишь при 0丿& f оо [т. е. при p2/pi =(乃 + 1) /出 — 1)] мы получим правильный результат.

Для вычисления (p2/pi)o воспользуемся соотношением (31.15), которое напишем в виде

2〃 © 吟 4 — 1中р?^-中•2〃 © 吟 4 — 1中р?^-中•(31.39)(31.39)

2〃 © 吟 4 — 1中р?^-中•

2〃 © 吟 4 — 1中р?^-中•

(31.39)

(31.39)

Соотношение (31.36), определяющее у° и(р0, можно написать так:

^2屮。=百^ =中L(31・40)

где м _ M/R м _72(В —1)[0,5 体一1)В + 1К

Отсюда с помощью равенств (31.39) и (31.25) имеем

［（啬）+ 毎］% + %）=备3・（3L41）

Далее, поскольку

（昌）。=（昌）。=(/с + 1) BsiMcpo _ (к — 1) р sin2(ро+ 2 —(/с + 1) BsiMcpo _ (к — 1) р sin2(ро+ 2 —1及 + 1 + (/с + 1)3 sin2 фо1及 + 1 + (/с + 1)3 sin2 фо(31.42)(31.42)

（昌）。=

（昌）。=

(/с + 1) BsiMcpo _ (к — 1) р sin2(ро+ 2 —

(/с + 1) BsiMcpo _ (к — 1) р sin2(ро+ 2 —

1

及 + 1 + (/с + 1)3 sin2 фо

1

及 + 1 + (/с + 1)3 sin2 фо

(31.42)

(31.42)

TOTO毎+麻』（1 +m・（3L43）毎+麻』（1 +m・（3L43）

TO

TO

毎+麻』（1 +m・（3L43）

毎+麻』（1 +m・（3L43）

4—14—1Давление в прямой волне определяется соотношением (31.39); принимая в нем ф0 = п/2, получим

4—1

4—1

(31.44)

Здесь индекс «п» указывает на то, что параметры относятся к прямой волне. Скачок давления Apjp、= (р2/Рх)п —(Рг/Р1)о опреде-

ляется выражением

Аз =

2" □22k q N

中红。у屮。=eBe•

Отношение давления р2о /?2п равно

尸2口 R k-l\^N+l

(31.45)

(31.46)

где, как и прежде, 0 = q；/c；・ Отношение скоростей ^2/^ равно

(31.47)(31.47)仅— Sill ф 〃2

(31.47)

(31.47)

71 sin (ф — 0) 〃i

для косой волны и ujui = qjq* для прямой. Найденные зависимости

ctge0 = a0 = /i(-^-)；2) 1дч)о = % = /2(*);

3) Фо = /з(0о)；4)啓卜 /,⑶ и 5)^ = /5 ⑶

иллюстрируются на рис. 23, 24, 25, 26, 27. Величина д：/方 обозначена на этих рисунках через 0.

Определим теперь, при каких условиях скорость потока за фронтом косой ударной волны может быть больше или меньше скорости звука. Для этой цели воспользуемся следующим уравнением:

也一色生

С； _ 尸 2 Pl —1 十Л

Заменяя величины р2/р1? р2/рх из соотношений (31.14), (31.11), мы придем к такому выражению:

战=i-Цd「一各.(31.48)

Так как ur = grsin <p, то из уравнения (31.48) можно найти связь между числами Маха М^ =必/q, М2 = д，3 и sin ф； при М2 = 1 будем иметь

М； sin2 <Р = 4~ ［忐鼻 + М；］ + ［忐鼻 + М；Т + 4 •

(31.49)

Рис. 24.

Рис. 25.

Рис. 27.

Поскольку мы можем написать соотношения

，，—COS2 Ф

72 一 COS2 (ф — 0) ?

то из них будет следовать, что

(31.50)

Из соотношений (31.49), (31.51) следует связь между величинами

Мг и 0:

sin2 0

/ % — 1 м；一r 中^/ % — 1 м；一r 中^22

/ % — 1 м；

一r 中^

/ % — 1 м；

一r 中^

2

2

= 4"[^еЛ} + М；] +j/fy^：11y+ М卄+ ? (31.52)

При заданном угле поворота потока 0 с увеличением величины М] величина М2 будет уменьшаться, т. е. станет меньше единицы. При заданной величине М】с увеличением угла 0 величина М2 также станет меньше единицы.

Обычно в теории косых ударных волн пользуются несколько иным представлением искомых параметров. Исключая из основных уравнений (31.1) величины р2, р2, j2, u1? можно прийти к соотношению, связывающему скорости за фронтом косой ударной волны 〃2,。2 с величинами д「с「Произведя эти элементарные выкладки, получаем

Р2W I [*—(〃；+W)1("-1)Т2кР2W I [*—(〃；+W)1("-1)Т2к『匕说=就一低『匕说=就一低丁 FJ寺—高声丁 FJ寺—高声（朮一脸一 m：.（朮一脸一 m：.

Р2

W I [*—(〃；+W)1("-1)

Т2к

Р2

W I [*—(〃；+W)1("-1)

Т2к

『匕说=就一低

『匕说=就一低

丁 FJ寺—高声

丁 FJ寺—高声

（朮一脸一 m：.

（朮一脸一 m：.

Далее введем компоненты скоростей по осям х и 沙：ulx = ^, uiv = 0, 〃25c —辽2 sin 屮十。2 COS ф, 〃2U =。2 Sin ф — U2 COS 屮，И, исключая величину ф, а также и2 и。2, в результате можно прийти

к уравнению так называемой ударной поляры

〃；и = (% — "ах)?〃；и = (% — "ах)?2(?1f) + 一中^2(?1f) + 一中^(31.53)(31.53)

〃；и = (% — "ах)?

〃；и = (% — "ах)?

2

(?1f) + 一中^

2

(?1f) + 一中^

(31.53)

(31.53)

Мы получили уравнение так называемой гипоциссоиды. Изо-Мы получили уравнение так называемой гипоциссоиды. Изо-,откладывая по Остальные ветви,откладывая по Остальные ветви

Мы получили уравнение так называемой гипоциссоиды. Изо-

Мы получили уравнение так называемой гипоциссоиды. Изо-

,откладывая по Остальные ветви

,откладывая по Остальные ветви

бразим одну ветвь гипоциссоиды (рис. 28), оси абцисс 〃2х, а по оси ординат и2у.(

ее не имеют физического смысла. Направление вектора скорости 鱼 определяется соотношением

tg° = ^・ (*&) Построенная кривая пересекает ось абсцисс в точках

〃2к ~ ^1 --- Ci, к —1.2 с】

и^ = Трг 先十 Т+Т^1 不；

первое равенство соответствует вырожденной ударной (звуковой) волне. Проведя из точки。прямую под углом 0 к оси абсцисс, мы видим, что эта прямая пересекает кривую в двух точках А и В. Это значит, что при данных начальных параметрах 0, с19 q、принципиально возможны два режима обтекания, что мы определили из предыдущих рассуждений. Обычно осуществляется режим обтекания, соответствующий точке В. Из рис. 28 видно также, что величина угла 0 при заданных q,必 не может превышать определенного значения 0О) соответствующего касательной, проведенной из точки О к кривой. Этот результат также был нами получен выше. При qj% =1 0О = 0, при возрастании величины %/% величина 0О также растет и при ql/c1 -> оо стремится к конечному пределу

sin8o = ~^-・ (31.55)

Из двух режимов возможного обтекания угла со режим, соответствующий точке Л, может осуществляться при обтекании тупого угла, когда его величина 0〉0О. При этом очевидно, что прямому скачку уплотнения будет отвечать точка Q на ударной поляре, поскольку именно для нее и2у — иХУ = 0 и ulyu^ ~ с》，Около такого

подвижнойподвижнойсистемы индексом г; такимсистемы индексом г; таким

подвижной

подвижной

системы индексом г; таким

системы индексом г; таким

тупого угла возникает криволинейная ударная волна, и вдоль нее, поскольку угол между ее фронтом и осью абсцисс будет уменьшаться, стремясь к углу Маха, будут осуществляться состояния, изображающиеся на ударной поляре точками, лежащими между точками Q и Т.

Теория подобной криволинейной волны представляет значительные трудности, и в настоящее время эта задача не имеет полного решения.

§ 32. Регулярное отражение козых ударных волн

Пусть фронт плоской ударной волны подходит к какой-либо плоской же преграде со скоростью D под некоторым углом. Обо-

значим параметры невозмущенного газа соответственно ра,ра, 〃а = 0, те же параметры за фронтом ударной волны обозначим Pi, Pi, %. Определим начальные параметры 厶，Р2, 〃2 отраженной ударной волны, которая при этом возникает, а также рассмотрим состояние газа (воздуха) в окрестностях точки отражения.

Для этой цели рассмотрим движение газа в ударной волне в подвижной системе координат, для которой точка О пересечения фронта ударной волны и поверхности преграды неподвижна (рис. 29).

Будем обозначать скорости относительно этой образом, uar означает отно

сительную скорость невозмущенного газа, %「— относительную скорость за Jфронтом падающей ударной волны, ulr — относительную скорость за фронтом отраженной ударной волны ).

Очевидно,

_ D

(32.1)(32.1)Uar "硒•

(32.1)

(32.1)

Величины составляющих этой скорости, перпендикулярной и параллельной фронту волны, равны соответственно D и D/tgip. После перехода частицами газа фронта ударной волны скорость иаг изменится по величине и по направлению, при этом составляющая скорости О/tg 屮，параллельная фронту ударной волны, не изменится, а составляющая, перпендикулярная к фронту, станет О — 〃i (〃1 — абсолютная скорость). Отсюда

Угол между направлением скорости qlr и скорости иаг обозначим через 0. Мы видим, что при переходе фронта ударной волны скорость среды изменяет направление, поворачиваясь на угол 0 влево (если смотреть по движению). Направление скорости вблизи стенки должно быть параллельно стенке, поэтому направление скорости ^1г должно измениться и стать параллельным стенке, т. е. скорость 9卄 должна повернуться на угол 0 в противоположную сторону. Такое изменение направления возможно только при переходе через фронт II второй ——отраженной ударной волны. Фронт этой волны пройдет через точку О.

Скорость %г встретит фронт II под углом ф. Величину этого угла заранее определить нельзя; мы определим ее в процессе решения задачи. После пересечения фронта II скорость u2r вновь станет параллельной стенке. Угол 屮 между стенкой и фронтом / падающей ударной волны называется углом падения^ а угол ①2 = 屮 —— 0 между стенкой и фронтом II —— углом отражения.

Мы видим, что задачу отражения ударной волны от неподвижной стенки можно интерпретировать как обтекание двух вогнутых тупых углов л — 0. Последняя задача решена в предшествующем параграфе. Поэтому мы можем перейти к составлению уравнений, решающих задачу.

Угол между вектором скорости движения газа за фронтом ударной волны и поверхностью в рассматриваемой системе координат будет 0, причем

(32.2)

где 〃i ——скорость воздуха за фронтом ударной волны в обычной неподвижной системе координат, D ——скорость фронта ударной волны в этой же системе координат. Поскольку Dpa = (О — %J р1? где Ра — начальная плотность воздуха, pj — плотность на фронте

падающей ударной волны, то

(32.3)

Из (32.1) и (32.2) имеем

(32.4)(32.4)tg 伸一9)_ p2

(32.4)

(32.4)

—tg^— ~pТ

Значение скорости движения воздуха за фронтом ударной волны в подвижной системе координат определится формулой

%г = 1Л° — 〃 1)2 + °? ctg2 屮(32.5)

или формулой

(刃2=^)2 Mtg2 屮.(32.6)

Перейдем к анализу закономерностей отражения косой ударной волны от преграды, учтя ранее выведенные зависимости (31.9) и (31.15). Для этой цели воспользуемся следующими основными соотношениями:

■ к — 122 •'

^T P1D^sin2ф [clg2 ^ + fe/] > (32.7)

Pl + 4^Pa= j^1T Pa 戍r Sin?屮；，

tg (cp — 0)_ _pi_ . tg 伸一8) 包(32 8)

Прежде всего определим значение § = q；"c；・ На основании формул (32.7) и (31.12) имеем

2^+ （费逅硝仲+吟一3一1）2^+ （费逅硝仲+吟一3一1）(32.9)(32.9)

2^+ （费逅硝仲+吟一3一1）

2^+ （费逅硝仲+吟一3一1）

(32.9)

(32.9)

Рассмотренные выше регулярные режимы обтекания угла возможны при 0》1. Это условие на основании (32.9) принимает вид 屮> /&尹岛仅岛•(3240)

Обозначим величину угла 屮 при выполнении равенства (32.10) через 屮& тогда при значениях угла 屮〉屮卜 рассмотренный выше режим обтекания (с косым или прямым скачком) невозможен, поскольку будет иметь место дозвуковое обтекание угла. Исследуем область значения угла 力 < 屮木・ Зависимость ^k от pj/po дана ниже на рис. 32 (правая кривая). Эта зависимость показывает, что при определенном значении р1/ра угол 屮在 имеет минимальное значение.

Исключая из соотношений (32.8) tg 0, придем к новому соот

ношению

(32.11)(32.11)1 + ^tg叫—^jtg 屮

(32.11)

(32.11)

+ 誉 tg?屮(! - ~^)tg 屮

Соотношение (32.7) при выражении отношения давлений р2/р1 через отношение плотностей p2/pi после некоторых преобразований дает

/ Pi к-1\

(32.12)

_tg?屮(^ + tg?!() j [/不(曰2 一 tg2 中管一 [)]+_tg?屮(^ + tg?!() j [/不(曰2 一 tg2 中管一 [)]++ tg ф tg 屮+ tg ф tg 屮+++ 厅屮倍-T^tJ 傷 + 叮 2)= О. (32.13)+ 厅屮倍-T^tJ 傷 + 叮 2)= О. (32.13)Исключая из соотношений (32.11) и (32.12) значение pjp?, придем к кубическому уравнению, определяющему tg <р:

_tg?屮(^ + tg?!() j [/不(曰2 一 tg2 中管一 [)]+

_tg?屮(^ + tg?!() j [/不(曰2 一 tg2 中管一 [)]+

+ tg ф tg 屮

+ tg ф tg 屮

+

+

+ 厅屮倍-T^tJ 傷 + 叮 2)= О. (32.13)

+ 厅屮倍-T^tJ 傷 + 叮 2)= О. (32.13)

Прежде чем переходить к анализу этого уравнения, мы можем выяснить ряд важных элементов теории отражения более просто. Воспользуемся снова вторым соотношением (32.8) и определим из него ctg 0:

型 +Ctg2 1|) ctg 0 =产：型 +Ctg2 1|) ctg 0 =产：(32.14)(32.14)

型 +Ctg2 1|) ctg 0 =产：

型 +Ctg2 1|) ctg 0 =产：

(32.14)

(32.14)

далее из соотношения (32.9) определяем

при этомпри этомctl 屮=^ {^ [з + 1)一(力一 1) ^] _ ^_}(32.15)

при этом

при этом

и значение ctg 屮 подставляем в соотношение (32.15); соотношение (32.15) принимает вид

ctg20 =

同伯+ 4 唱―)] + 2(^—1)「

(32.16)

Воспользуемся теперь формулой (31.35), определяющей а = = cig 0 — ctg 00 = /i (Р), т. е. предельный угол поворота потока, при котором меняется режим обтекания, когда косая ударная волна перестает существовать, т. е. отражение перестает быть регулярным и образуется отстоящая от тела криволинейная ударная волна с прямым фронтом на оси симметрии (рис. 21).

Сравнивая оба выражения, определяющие ctg 0 = ctg 00, мы в результате придем к соотношению, определяющему предельную зависимость между pjp? и В при изменении режима отражения.

Поскольку само значение 0 зависит от p"Pi и ctg 屮，то в результате мы найдем предельную связь между (pJPi)。，屮о и 0О, а также, используя формулу (31.23), найдем предельную связь этих параметров с углом (р0.

(32.17)(32.17)(32.18)(32.18)Связь между(Pi/pa)o и Во определяется, с одной стороны, формулой (31.35)

(32.17)

(32.17)

(32.18)

(32.18)

где

Z = 27p^Bo + l『 + (i8 合仇 + 1)[中 Во + 1) X x(Bo-i)—(中 Bo + 小仇一A

8 = 64 偉。-1)3 (* R。+ 1)3 (^ ?0 + 4

0(乃+‘)(^)。-出_1).

С другой стороны, на основании формулы (32.16) та же связь может быть выражена так:

2_ {[安偌』++。+侵 t)}(32 19)

Преобразуя уравнение (32.19) и обозначив величину (pjpa)o — 1 через 力°, придем к кубическому уравнению

₽оао^о + 若[碎(Во — I)—(統'°。+ ')] 一

-2%в0 ("拦 в0 + I)-储=0，

При 力=7/5 это уравнение принимает вид

ЗОро^ + 4 [25就(₽0-1)-(6₽0 + 5)2] 一

一10Р卢0(6阮+5) - 25优=0,

Решение уравнения (32.19) проще всего осуществить следующим образом: дадим 力о (для к = 7/5) определенное значение xQ = xQ1 в интервале 0《况(^ & 5, тогда уравнение (32.19) примет вид

戒=7га(32:20) (―2— В 附 oi +Ро

.Нанесем на график, по осям которого отложены: по оси орди-

уравнением (32.17), и кривую 77, выражаемую уравнением (32.20); тогда точка пересечения кривых дает значения р0 и aj, соответствующие данному значению ж01 = (^——l}・ Эти кривые изображены на рис. 30.

Из соотношения (32.16)

甘屮。=岛。居№ + Q -(кt喘)J -修"

которое теперь напишем в виде

Cig?屮о = Z° =Cig?屮о = Z° =(宓0+1)2(宓0+1)2(32.21)(32.21)определяем далее величину z0 = ctg 屮°. Зная величину 阮 по формуле (31.38) определяем величину у0. Значения ро = tg q)o в зависимости от 0О приводим графически на рис. 31.Далее определяется отношение (p2/pi)o как функция 屮°. Зависимость 九 от(Pi/p)o Дана на рис. 32 (левая кривая), приопределяем далее величину z0 = ctg 屮°. Зная величину 阮 по формуле (31.38) определяем величину у0. Значения ро = tg q)o в зависимости от 0О приводим графически на рис. 31.Далее определяется отношение (p2/pi)o как функция 屮°. Зависимость 九 от(Pi/p)o Дана на рис. 32 (левая кривая), при屮 > Wo регулярное屮 > Wo регулярноеctg6 =ctg6 =В = Ва ВВ = Ва Вотражение невозможно.Перейдем теперь к выяснению пределов изменения угла 0. Из второго уравнения (32.8) имеемотражение невозможно.Перейдем теперь к выяснению пределов изменения угла 0. Из второго уравнения (32.8) имеем~- + Ctg2 屮~- + Ctg2 屮("-■^J&g 屮("-■^J&g 屮ВеличинаВеличина—寸—寸(32.22)(32.22)l1 -保汴g屮l1 -保汴g屮данном случае равнаданном случае равнаВа =Ва =2_ 片с* sin2 屮2_ 片с* sin2 屮(32.23)(32.23)

Cig?屮о = Z° =

Cig?屮о = Z° =

(宓0+1)2

(宓0+1)2

(32.21)

(32.21)

определяем далее величину z0 = ctg 屮°. Зная величину 阮 по формуле (31.38) определяем величину у0. Значения ро = tg q)o в зависимости от 0О приводим графически на рис. 31.

Далее определяется отношение (p2/pi)o как функция 屮°. Зависимость 九 от(Pi/p)o Дана на рис. 32 (левая кривая), при

определяем далее величину z0 = ctg 屮°. Зная величину 阮 по формуле (31.38) определяем величину у0. Значения ро = tg q)o в зависимости от 0О приводим графически на рис. 31.

Далее определяется отношение (p2/pi)o как функция 屮°. Зависимость 九 от(Pi/p)o Дана на рис. 32 (левая кривая), при

屮 > Wo регулярное

屮 > Wo регулярное

ctg6 =

ctg6 =

В = Ва В

В = Ва В

отражение невозможно.

Перейдем теперь к выяснению пределов изменения угла 0. Из второго уравнения (32.8) имеем

отражение невозможно.

Перейдем теперь к выяснению пределов изменения угла 0. Из второго уравнения (32.8) имеем

~- + Ctg2 屮

~- + Ctg2 屮

("-■^J&g 屮

("-■^J&g 屮

Величина

Величина

—寸

—寸

(32.22)

(32.22)

l1 -保汴g屮

l1 -保汴g屮

данном случае равна

данном случае равна

Ва =

Ва =

2_ 片

с* sin2 屮

2_ 片

с* sin2 屮

(32.23)

(32.23)

Укажем условие, при котором величина угла 0 достигает максимального значения; вычисления показывают, что максимальное значение tg 0 равно tg 0max =(Pi — PcJ/ZpPaPi и достигается при

tg" = /^・ (32.24)

Абсолютный максимум величины угла 0 достигается при р，ра = =(й + 1)/(及——1), т. е. для предельно сильной волны. При этом величина 3 определяемая выражением 0 = 2 (р。+ Pi)/[(力 + 1) Pi — — (乃 一 1) ро] равна единице.

Как мы уже указывали, при углах “〉屮卜 для данного отношения pi/р。угол В < 1, а следовательно, сверхзвуковое обтекание второго угла 0 уже невозможно. (При этом 0 < 0тах.)

Определим экстремальное (минимальное) значение угла 办= =屮min И отношение pl/р. ДЛЯ Р — 1. Поскольку из формулы (32.10) имеем

Ctg?屮min 中[1 -(7Г)кр] (7Г^ (32.25)

то

Рис. 32.Рис. 32.(для 〃=£/(для 〃=£/

Рис. 32.

Рис. 32.

(для 〃=£/

(для 〃=£/

(32.26)

откуда ctgWkmin = (А + 1)/8, например, при к = 7/5 этот угол равен ^ mm = 61°20‘ (рис. 32, правая кривая). При (рд/о)。= 1 угол 屮=л/2. При (Ра/Р1)10 =侬 一 1)/(* + 1) ctgWh = V(k-l)f(k + l)f при А = 7/5 = 67°50'・

Резюмируя полученные результаты, можно сформулировать следующие утверждения:

Регулярное отражение возможно лишь в области (Л) значений величин pjpa,屮(Рис. 32). Справа эта область ограничена кривой 屮=屮о・ Регулярное отражение косой ударной волны соответствует такому (регулярному) обтеканию острого угла сверхзвуковым потоком, при котором фронт отраженной ударной волны начинается от вершины угла 0. Такое обтекание, как известно, возможно, если обтекаемый угол не превосходит известной величины.

Сверхзвуковое нерегулярное отражение имеет место при значении величин pi/pa,屮,соответствующих области (Е), ограниченной справа и слева кривыми 屮=屮°,屮=屮左.Этот режим обтекания аналогичен такому обтеканию острого угла сверхзвуковым потоком, когда фронт отраженной ударной волны становится криволинейным и отходит от вершины угла. Это обтекание имеет место тогда, когда обтекаемый угол превосходит некоторое предельное значение, при котором еще возможно регулярное обтекание.

В случае, когда значения величин pr/pa,屮 соответствуют области (В), ограниченной слева кривой 屮=屮冗， имеет место дозвуковое нерегулярное отражение.

Задача об отражении косой ударной волны решена полностью только для области регулярного отражения.

Рис. 33.

Перейдем к анализу основных результатов и составлению схемы расчета параметров отраженной косой ударной волны при регулярном отражении.

Для расчета этих параметров мы имеем две системы формул: одну для зоны косого регулярного отражения и другую для зоны прямого нерегулярного отражения сверхзвукового и дозвукового.

Выпишем первую систему формул; пусть даны pjpa и 屮.Определяем 6 и § = д；/с；

tgO =tgO =tg 屮(Р1 — Pa)Pl + Pa tg2 屮tg 屮(Р1 — Pa)Pl + Pa tg2 屮(32.27)(32.27)

tgO =

tgO =

tg 屮(Р1 — Pa)

Pl + Pa tg2 屮

tg 屮(Р1 — Pa)

Pl + Pa tg2 屮

(32.27)

(32.27)

В _ 2[pZ + p；ctg2 屮]

(” + 4) pipa —(加一()Pa

Далее, определяем угол ф из уравнения

tg? ф [与* В + 1] — tg?屮 ctg 8 (В — 1) + tg 屮tg? ф [与* В + 1] — tg?屮 ctg 8 (В — 1) + tg 屮咛+ 3+ ctg 0 — 0.咛+ 3+ ctg 0 — 0.(32.29)(32.29)

tg? ф [与* В + 1] — tg?屮 ctg 8 (В — 1) + tg 屮

tg? ф [与* В + 1] — tg?屮 ctg 8 (В — 1) + tg 屮

咛+ 3

+ ctg 0 — 0.

咛+ 3

+ ctg 0 — 0.

(32.29)

(32.29)

Для определения угла ф удобно пользоваться номограммой, изображенной на рис. 33, построенной для значения к = 1,4.

Для данного отношения pjpa существует предельный угол 屮 = 屮max； данное решение не имеет места при 屮〉屮木・ Связь между pjpa и 以 дана на рис. 32 (правая кривая; при переходе через 《=屮max угол ф возрастает скачком). Далее определяем давление на фронте отраженной ударной волны, что соответствует давлению на стенке в момент прихода ударной волны и в последующие моменты времени:

Р2 = Pi 十 ^^ (₽sin2(p — 1) = pi [^ppPsi^cp- |^|]. (32.30)

Далее определяем

(32.31)(32.32)(32.33)(32.31)(32.32)(32.33)P2 = (/c + l)P2 + (k —DPI =(〃 + l)Bsill2 屮= tg(p

(32.31)

(32.32)

(32.33)

(32.31)

(32.32)

(32.33)

ИЛИИЛИPl — (〃 一 1)卩2 + (儿 + 1) pi —侬一1) Bsin2(p + 2 — tg (屮一8)

ИЛИ

ИЛИ

_ □/ 2 у (P sin2 ср — 1) (А：Р sin2 Ф + 1)

=p _(论+ 丁/BsiM 屮

— cos(p

02 — 71 cos (屮—0).

Скорость в абсолютной (неподвижной) системе координат будет

(32.34)(32.34)扇=亠_2.s sm 屮 ％

(32.34)

(32.34)

Таким образом, мы определили все необходимые параметры косой отраженной ударной волны.

В качестве контроля определим давление при отражении прямой волны, полагая для этой цели в написанных выше формулах

屮=0. Тогда

6伸=1 — pa/pj； В = 2p；/I(" + 1) pipa —3—1) Pal 屮2;

2p；q)2/屮2 [依 + 1) p1Pa — (" — 1) p2]—

~Ф (乃 + 1) Pi(Pi — Pa)/屮Pl [(乃 + 1) Pl —(加一1) P2】・

Отсюда

屮/屮=【体 + 1) Pi —伯—1) pj/2% =佑 + 1)/2 一 伯一1) Pa/2Pl.

Далее, поскольку p^i = 2кр1р1/[р1 (А: + 1) — pa (к — 1)], то 卩2 = Pl 依 3 + 1) Pl —乃侬—1) Pa —(乃一1) Pal/pa 侬 + 1)= =Pl(*P1 — Pa 侬一Dl/Pa； ОТСЮДа (p2 — A)/P1 =及(P1 — Pa)/pa = =2A： S — Pq)/[(论 一 1)网 + 出 + 1) Po]

И

(32.35)(32.36)(32.35)(32.36)卩2 — (3〃 一 1) pi — (/с — 1) Ра7Г - (〃一l)c + 3 + l)Pa •

(32.35)

(32.36)

(32.35)

(32.36)

Мы пришли к формуле, выведенной выше.

В случае слабой волны из (32.35) будем иметь

Р2 — Р1 = 2(Р1 — Pa)・

Для слабой волны при любом угле падения Др2 = 2Ap】,исключая случай 屮—冗/2 (волна скользит вдоль поверхности). Как показывает рис. 28, при 屮 = 冗/2 в случае pi f Р& области всех трех режимов отражения совпадают, что и объясняет внезапное изменение режима отражения слабой волны.

Таким образом, задача определения регулярного отражения описывается сравнительно простыми соотношениями и поддается полному анализу.

§ 33. Нерегулярное отражение косых ударных волн

Мы установили, что при отражении косых ударных волн могут иметь место три режима отражения, определили границы областей ⑷，(Б), ⑻ (рис. 32), соответствующих этим режимам, и решили задачу регулярного отражения. Задача нерегулярного отражения не может считаться окончательно решенной математически, поэтому при ее рассмотрении мы будем использовать качественные соображения физического характера.

Дадим сначала краткое качественное описание режимов нерегулярного сверхзвукового и дозвукового отражения.

Мы уже говорили о том, что область ⑻ сверхзвукового нерегулярного отражения соответствует обтеканию сверхзвуковым потоком большого острого угла (клина) с криволинейным фронтом образующейся ударной волны, не проходящим через вершину угла. В случае, когда отражение соответствует режиму (8),

точка 0、где соединяются две ударные волны (падающая и отраженная), лежит вне стенки (рис. 34); от этой точки к стенке отходит третья ударная волна, причем касательная к фронту этой волны у стенки перпендикулярна к ней, поскольку здесь поток движется параллельно стенке. От этой же точки отходит и тангенциальный разрыв, который разделяет газ, пересекающий падающую и отраженную ударные волны и ударную волну, идущую от стенки.

Область (В) — область существования слабого нерегулярного отражения, что соответствует как бы режиму обтекания тупого

угла дозвуковым потоком. При этом падающая волна не соприкасается с носиком угла. Отраженная волна вырождается в линию Маха. От точки О, лежащей как и в случае (5), вне стенки, отходит волна Маха и к стенке — ударная волна, аналогичная волне в случае (Б) (рис. 35). От этой точки идет также тангенциальный разрыв.

Таким образом, для определения давления 豆2 y стенки в случаях (Б) и (В) можно воспользоваться формулой прямой ударной волны

Вывод этого соотношения очевиден: не возмущенный ничем поток воздуха с параметрами ра, ра движется в переносной системе координат со скоростью Pj/sin *ф и проходит у стенки через фронт прямой волны. В пределе при 屮=90° имеем

®2 — Ра = к' ра (^1 —瑰)， (33・2)

т. е.豆2 = Pi・ Скорость за фронтом ударной волны (в переносной системе координат) определяется соотношением

(33.3)(33.3)_ _ k — i О ,2碌 si口屮

(33.3)

(33.3)

的=讦T 丽干十 T+T Di

Перейдем теперь к подробному исследованию случаев нерегулярного отражения. Начнем со случая нерегулярного сверхзвукового отражения. Фронт падающей ударной волны в этом случае

будет оканчиваться на некотором расстоянии от стенки, т. е. не будет соприкасаться с ней. Из точки О, где этот фронт заканчивается, будет отходить под некоторым углом к стенке криволинейная ударная волна. Эту точку называют точкой разветвления ударных волн. В системе координат, в которой точка разветвления неподвижна, поток газа будет пересекать для одной своей части непосредственно падающую ударную волну под углом ф, а для другой части ——пересекать криволинейную ударную волну, идущую от точки разветвления к стенке.

Первая часть газа в том случае, когда поток за фронтом падающей волны сверхзвуковой, будет пересекать «отраженную» ударную волну.

Вторая часть газа около самой стенки, поскольку она и до и после прохождения фронта ударной волны движется параллельно стенке, будет пересекать фронт ударной волны под прямым углом; таким образом, участок фронта этой ударной волны у стенки является прямой ударной волной по отношению к движущемуся газу. *

Очевидно, что энтропия как первой части газа для различных линий тока после пересечения «отраженного» фронта, так и второй части газа после пересечения фронта ударной волны у стенки должна быть различна. При этом «справа и слева» от границы раздела между этими двумя частями газа энтропия и скорости течения (тангенциальные) газа должны быть различны. Давления же должны быть одинаковы, а нормальные компоненты скорости равны нулю. Таким образом, линия раздела между двумя различными частями газа должна являться тангенциальным разрывом.

Около точки разветвления можно считать, что фронты ударных волн и линия тангенциального разрыва прямолинейны (рис. 34 иллюстрирует картину отражения ударной волны от стенки для данного случая). Для описания состояния газа в различных областях (между различными фронтами и поверхностью, от которой отражается ударная волна) мы будем иметь следующие зависимости.

За фронтом падающей ударной волны

Р1-р。=+0〃:(1-^)； V。-叮=急(1-^)； esq

За фронтом отраженной ударной волны (у точки разветвления)

Р2 + 儲 = 聋 Sin2中Rig?屮+儔丹'

где 屮=6 + со1?

Р2 = Ui" sin 屮 _ tg(p .zoo к

pi 一 F 一 92 sin (si — E) — tg(coi —5)，( . J

p2/Pi связаны c p2/Pi ударной адиабатой. За фронтом ударной волны, идущей от стенки, вблизи стенки

К-Ра=鼻 Ра (鳥一國)； (зз 6)

-=儿-1 А 丄 2 WsinW

В = RT 十 MT jDi * ,

За фронтом ударной волны, идущей от стенки, у точки разветвления

_ , к — 1 2pQ； sin2(02 一

(33.7)(33.7)#2十忘百阡不而户2=Р2； р2 — 〃1 — q\ sin бtg(o2 К —将 一 $2 sin (©2 — 5) — tg (s — E) *

(33.7)

(33.7)

Так как за фронтом «отраженной» ударной волны даже у самой точки разветвления поток газа может двигаться не параллельно стенке, то положение (угол наклона coj = ф — 0) этого фронта пока является неопределенным, так же как является неопределенным положение (угол наклона .о)2)фронта ударной волны, идущей от стенки, в окрестностях точки разветвления. Для того чтобы сделать задачу определенной, мы можем воспользоваться тем обстоятельством, что давление «справа и слева» от линии тангенциального разрыва одинаково. Тогда для определения направления движения газа за точкой разветвления, что равносильно определению угла наклона линии тангенциального разрыва, мы будем иметь следующую систему формул:

必М Р1 + 龄Sid ф [Ctg2屮卜借月=

(33.8)(33.8)——к — 1 丄 2pa。； sin2(02 .— /с + 1 Pa，A: + 1 sin21|)，

(33.8)

(33.8)

P2 _ (A： + l) 〃 + ("()" __ tgcp . pi (k +〔)pi 十(加一1) Rs tg (ср — 8 —g)' Р2 = (А? + 1)с+ 仲一= tg (О?

— 3 + l)Pa + 3 —£)С —瓜(蝕一Е) *

Мы имеем четыре уравнения с четырьмя неизвестными р2, ф,①纟 и &• Решая эти уравнения, мы определяем искомые углы, а также скорости различных частей газа по обе стороны линии тангенциального разрыва, давление и плотности.

За точкой пересечения ударных волн движение среды будет неодномерно и неизэнтропично, поэтому описание движения газа за точкой разветвления не может быть произведено простыми методами.

Указанная конфигурация не всегда может быть стационарной, так как взаимодействие падающей ударной волны со стенкой может породить возмущения нестационарного вида. Задача отбора стационарных и нестационарных режимов нерегулярного отражения требует еще своего разрешения. Поэтому в случае нестационарного режима отражения в рамках рассмотренных зависимостей мы имеем право говорить лишь о режиме отражения, справедливого для данного момента времени.

В тех случаях, когда за фронтом падающей волны скорость течения газа дозвуковая, ударная волна, как мы уже указывали, превратится в линию Маха.

Конфигурация соответствующих разрывов, которые при этом возникают, изображена на рис. 35. Соотношения, которые описывают состояние газа за различными разрывами в различных местах, аналогичны системе формул (33.6) и (33.7). При этом только надо иметь в виду, что поскольку отраженная волна исчезает, то пара-

метры газа около точки разветвления соответствуют просто параметрам за фронтом падающей ударной волны для части газа, лежащей над линией тангенциального разрыва. Направление линии тангенциального разрыва у точки разветвления и давление р2 =円 определяются соотношениями:

_ — 左一(— 丄 2р〃； — к — + 丄 2p〃； sin2s2

Pl 一- 加/с 4" 1 siM 屮，(, ) откуда со?=屮,что противоречит условиям отрыва волны от стенки; поэтому и нужно считать, что фронт падающей волны у стенки искривляется. Далее,

р2 _ (左+ 4)Р1 + (〃一1) Ра _ tg屮лт

р7 — M)Az + (Dpi — tg 伸一？，丿

что и определит направление вырожденной линии тангенциального разрыва (угол g). Очевидно, и тангенциальный разрыв при этом вырождается в слабый разрыв.

Указанные соотношения помогают решить поставленную задачу.

В заключение рассмотрим более подробно, как меняется давление за фронтом ударной волны при различных режимах отражения.

В случае регулярного отражения для вычисления давлений мы имеем формулу

P2=一告"1 +普国窿中《展中+借了),(3з.н)

Исследуем величину А = sin ф ctg-ф, входящую в это уравнение. Когда эта величина возрастает, то возрастает и давление в отраженной волне. Для исследования экстремума этой величины воспользуемся уравнениями

Л = sin ф ctg гр;)

tg伸一6) 巫.tg(屮一8) — pi }(33.12)

Для экстремума отсюда будем иметь соотношения

〔 sin 2ф / Y ISH12屮丿 ”(33.13)

sin 2 州 d(p = 2 tg 屮 d“・

Отсюда видно, что равенство угла падения ударной волны 屮 углу ф при 屮=0, <р = 0 является одним из решений этой системы уравнений. Это соответствует случаю прямого отражения ударной волны. Другое решение, которое выражается достаточно громоздко, определяет минимум величины А. Минимум Л наступает при W % 屮 ——6 = (о・ Максимума величина Л не имеет.

Проследим, как меняется давление в отраженной волне при изменении угла падения волны 屮.Когда величина 屮 увеличивается от нуля (прямое отражение), то величина <р — e =(o<“H давление 卩2 <「20，гДе Р20 — давление при прямом отражении, т. е. величина р2 давления становится меньше, чем при прямом отражении; при некотором 屮 давление р2 достигает минимума, а затем снова начинает возрастать и при некотором значении угла 屮=“* становится снова равным давлению при прямом отражении.

Рис. 36.

После этого происходит дальнейшее повышение давления по срав- .нению с прямым отражением, но это явление имеет место только для сравнительно слабых ударных волн.

При давлении р2 = р?。= 7р* угол равен 屮* =屮一6 =屮 (для A = 7/5), т. е. углы падения и отражения становятся равными и вместе с тем они равны своему критическому значению 屮°, когда уже невозможно регулярное отражение; поэтому для более сильных волн величина давления при косом отражении уже не может достичь значения, которое имеет место при прямом отражении, следовательно, при 屮* < 屮о давление при отражении косой волны превышает давление при прямом отражении.

Когда наступает нерегулярное отражение, то давление имеет наибольшее значение в прямой волне у стенки; при этом изменение максимальных давлений происходит скачком, поскольку изменение режима отражения также меняется скачком. Однако это давление также меньше, чем давление при прямом отражении.

Отметим, что значение 屮* =屮一6 =① не зависит от амплитуды падающей волны:

cos 2屮* =左"I■丄・(33.14)

При к = 7/5 屮* = 39°.

С увеличением угла 屮 величина давления падает и при 屮= =п/2 становится равной просто давлению в падающей ударной

волне, поскольку никакого отражения уже не будет происходить. Зависимость давления на фронте отраженной волны от угла падения схематически изображена на рис. 36.

Рассмотрим также, как меняется угол отражения (о = ф ——0 в зависимости от угла падения. Сначала, как мы указывали, справедливо неравенство ① <2, затем для несильных ударных волн ①* =屮*, далее со〉”，но потом наступает изменение режима отражения. При нерегулярном отражении с увеличением угла 屮 + (冗/2) угол со отраженной ударной волны также стремится к величине л/2.

§ 34. Втекание газа в трубу со скачком сечения.Смешение газовых потоков

Задача, которую мы здесь будем рассматривать, является аналогом классической задачи о плоской ударной волне и о гидрав

лическом ударе жидкости.

Пусть газ из трубы сечения 九 втекает со скоростью значительно меньшей, чем скорость распространения звука, в трубу сечением /2〉/1 (рис. 37). Параметрыf

газа на контрольной поверхностиj . 」「 . . .

(7) будем обозначать индексамиI|[

на контрольной поверхности 亠二;…“ £I

) — индексами 2.।^1

При выводе основных уравне- 1" "I[

ний мы будем по-прежнему исхо-।I]

дить из трех законов сохранения:；/

массы, количества движения и2

энергии, аналогично тому, как рис 37 это делается в теории ударных * * волн. При этом мы воспользуемся

экспериментально установленным фактом, что в месте скачкообразного изменения сечений давление на стенку трубы большего диаметра равно давлению исходного потока (pj.

Это объясняется тем обстоятельством, что скорость газа у вертикальной стенки переходного сечения мала по сравнению со скоростью звука, поэтому элементарные волны быстро выравнивают давление во всем сечении вблизи места втекания газа.

Напишем основные законы сохранения:

Р1^1/1 =p2"2/2；

(34.1)(34.1)Р1/1 + Р1 就九=Р2/2 + Р2 腸2；

(34.1)

(34.1)

"1十亏="2十亏•

Требуется, зная 凸，р1? иь %, Д/Д, найти р2, р2, и2, %• После преобразования первых двух уравнений (34.1) можно прийти к соотношениям

"；="；=(p2 一 e)V；va — V2(p2 一 e)V；va — V2(34.2)(34.2)

"；=

"；=

(p2 一 e)V；va — V2

(p2 一 e)V；va — V2

(34.2)

(34.2)

где a = /2//1〉1 есть отношение площадей сечений. После этого третье уравнение (34.1) принимает вид

% — % =也^ 力(Vla — V2)% — % =也^ 力(Vla — V2)(34.3)(34.3)

% — % =也^ 力(Vla — V2)

% — % =也^ 力(Vla — V2)

(34.3)

(34.3)

Как видим, уравнения (34.2) и (34.3) аналогичны уравнениям теории ударных волн; отличие заключается лишь в том, что вместо удельного объема v^ в данные уравнения входит величина v^ = V j以卜 Уравнение (34.3) является уравнением энергии рассматриваемого процесса. В случае идеального газа 友=КР^Уг/ /("1 — 1), i2 = /с2P2V2/З2 — 1) и уравнение (34.3) принимает вид, аналогичный виду уравнения ударной адиабаты (адиабаты Гю- гонио). Разрешая это уравнение относительно 网勿工，получим

Р2 _ vi Г自 ^-згг -(医 一 1)』一 V2 (〃2 —()・ (34.4) pi (左2 + 1) v2 -(必一1) via

Разрешая уравнение (34.3) относительно v2/v1? будем иметь

里=^ = Pi〔2"1 ^тту — (”2 -1)』+ (乃2 — ")а「2.(34 5)

Р2 V1(〃2—() С + (及2 + 1)卩2

Подставляя значение v2 в уравнение (34.2), придем к соотноше

ниям

2р1"； =(02 — pi) [(〃2 + 4) 02 + 侬2 — 1) pi] .(34

P2-Pi(k2-1) (比一口-1 丿

(p2 - 〃i) I pi(2比 7~7 -(如一4)+ a (无2 - 1)

2硒谓=I比丁 I_С. (34.7)

C 一 P丄出一1) (^二不—上)

Зная pn Pi и 〃i，можем определить из соотношения (34.6) величину 卩2, а затем из соотношений (34.5) и (34.7) — величины v2 и и2, что полностью решает поставленную задачу.

Эти уравнения, похожие на классические уравнения теории ударных волн, становятся тождественными с ними, если положить a = 1. В случае к* = к? = А, что имеет место для значений а,

близких к единице, уравнения (34.4), (34.5), (34.6) и (34.7) заметно упрощаются и при замене у на 1/р принимают соответственно вид

Р2 = р2 [2〃 一 一 1) а] — pi (M — 1).

五pi(A： + l) —ар?(及一1) ，

р2 =(k + 】)№ + (" — 4) pi.

(34.8)(34.8)pi а (к — 1)「2 + [2/c — (к — 1) ос] pi *)

(34.8)

(34.8)

2PM = 3-Р1)[(〃 + 1)Р2 + (〃一l)pi]；P2 — m[3 _(k — 4)]

(34.9)(34.9)(P2 — pi) [a (/c — 4) P2 + pi (2〃 一 a (/c — 1))]

(34.9)

(34.9)

Необратимые потери энергии здесь, в отличие от потерь в ударной волне, имеют место и при дозвуковых скоростях, а при сверхзвуковых скоростях, в случае одинаковых начальных условий, эти потери больше, чем в ударной волне, вследствие завихренности потока в месте внезапного изменения сечения. Давление р2 при заданной скорости и2 меньше, чем было бы в случае плавного адиабатического расширения, а температура соответственно выше.

Это обстоятельство имеет важное значение при изучении втекания газа в трубы, размеры сечения которых на входе резко меняются в смысле преобразования энергии в этих трубах с целью создания тяги. При этом тяга резко уменьшается.

Выясним, как меняется энтропия газа при переходе его через скачок сечения. Поскольку

(34.10)(34.10)

(34.10)

(34.10)

то относительный рост энтропии будет определяться соотношением

8бГ8бГSy—SiSy—Si(34.11)(34.11)

8

бГ

8

бГ

Sy—Si

Sy—Si

(34.11)

(34.11)

После подстановки в это соотношение значений p2/Pi и v2/vx становится очевидным, что рост энтропии значителен даже при малых изменениях сечений и дозвуковых скоростях; природа необратимых потерь свободной энергии похожа на природу потерь энергии в случае ударных волн. Явления, связанные с этими необратимыми потерями энергии, поддаются анализу.

Для этой цели рассмотрим процесс нестационарного втекания газа из узкой трубы в пшрокую, считая, что в широкой части трубы до этого была пустота.

Очевидно, расширяющийся при таком втекании газ после удара о боковые стенки трубы затормозится и от стенок пойдет

ударная волна, которая будет нестационарной. Вследствие этого энтропия ударившегося газа будет повышаться и за фронтом ударной волны движение станет вихревым, что вытекает из доказанного нами положения о том, что всякое неодномерное и изэнтропическое движение должно быть обязательно вихревым.

Если процесс втекания происходит длительно и втекающий поток стационарен, то в области скачка сечения также установится 01стационарный режим. В непосредствен-

斤 L—ной близости к стенкам движение будет

/кр а вихревым (и притом турбулентным), "/ I— г причем эта часть газа не будет обла-

2дать поступательным движением, а на

границе с движущимся газом будет вовлекаться в движение силами вязко- 夕Iсти, вследствие чего вся выходящая

Р+ р 尹 ж струя газа должна быть завихрена. '" 左р 尸=* На образование вихрей и тратится не- Iобратимо часть энергии.

Покажем теперь, что в области скач- Рис, 38.ка сечения давление должно быть вдоль

всего сечения одинаково. Допустим, что у боковой стенки давление меньше, чем на оси; нормальная компонента скорости газа у стенки равна нулю, а волны сжатия, идущие от оси, которые должны при таком режиме возникнуть, в конце концов выравняют давление вдоль всего сечения.

Точно так же, считая, что у боковой стенки давление больше, чем на оси, мы придем к выводу, что сжатый в этой области газ начнет двигаться от стенок к оси и давление во всем течении выравняется. Равенство давления по всему течению в области скачка сечения хорошо подтверждается различными экспериментами.

В случае несжимаемой среды или относительно небольших дозвуковых скоростей движения газа на основании выведенных нами формул легко получить классические уравнения гидравлического удара. Для этого достаточно положить в уравнениях "1 — /с? •— к —— оо •

Смешение газовых потоков. Рассмотрим случай стационарного смешения. Пусть имеем два сосуда (рис. 38, а); через сечение /1кр одного из них вытекает газ в атмосферу, тогда

к-1说=告闻1一图！;

血 1 = dm/dt ——секундный массовый расход; в случае критиче

ского истеченияского истечения

ского истечения

ского истечения

hi

(34.12)(34.12)应 1 = /iPikpPihGh (“ + ])，" D ；U1 = M " + [ Gh；a=血1〃1,

(34.12)

(34.12)

где ^ — атмосферное давление, р】，〃工一плотность и скорость истечения газа, /\ ——площадь сечения на выходе, р1н, с1н ——начальные параметры газа в сосуде. Аналогичные уравнения будем иметь для другого сосуда, из которого вытекает другой газ:

里= p2 H里= p2 H1；血 2 = /гР2^2 J1；血 2 = /гР2^2 J

里= p2 H

里= p2 H

1

；血 2 = /гР2^2 J

1

；血 2 = /гР2^2 J

в случае критического истечения

血2 = /гРгн^гн (及十(产)；恤=J/ 论十(Зн；厶=血2%• (34.13) Если мы предварительно смешаем оба газа, то будем иметь

(34.14)(34.14)—Pin" + р2н"— Р1н% + %卩2

(34.14)

(34.14)

Рн = V1 + V2，Рн = V1 + V2~，

где V1H 卩2 — объемы сосудов. Далее скорость истечения будет

к—1

标=占用1 一（為广］，血=/p〃■

В случае, когда /кр = /1кр + /2кр и истечение является критическим 应=而1 +应2

1 mu(34.15)

Количество движения, рассчитанное на единицу массы газа, при этом, как правило, возрастает. Это объясняется тем, что количество движения одного (смешанного) потока при постоянной полной энергии больше, чем сумма количества движения двух раздельных

потоков для той же массы газа, поскольку в последнем случае различные массы газа имеют разные скорости, а максимум количества движения, как мы знаем, достигается лишь при условии, что весь газ имеет одну и ту же скорость. Правда, в случае смешения вследствие возрастания энтропии кинетическая энергия газа при атмосферном давлении будет несколько меньше, чем для непере- мешанных потоков, что может несущественно снизить количество движения по сравнению с потоком, энергия которого не уменьшается. Однако, как показывают расчеты, для наиболее типичных случаев смешения газов первый фактор (ликвидация распределения масс по скоростям) превалирует над вторым фактором (потери свободной энергии), поэтому результирующее количество движе- ния для смешанного потока 一несколько больше, чем для

% 一иоласть

смешения 〃несмешанного.

一—Рассмотрим [теперь слу- 与一吋чай смешения двух потоков,

имеющих некоторые скорости движения в области сме-

Рис. 39.шения (рис. 39).

Если при смешении давление повышается, то при дозвуковых скоростях вверх по течению газов пойдет волна сжатия; дойдя до резервуара, из которого вытекают газы, эта волна изменит режим истечения; установившийся режим истечения можно рассчитать, исходя из трех законов сохранения: массы, количества движения и энергии:

加=7П-1 + 加2，ГД© 加=/р〃，加1 = /1Р1,〃：1.， 加2 =『2「2比；

Pi/i + 加1〃1 + P2/2 + 加2〃2 = Р/ + mu = mj;

+ ^2+ *2)=——m^lT + ^^2'2T == ^^+ ^2+ *2)=——m^lT + ^^2'2T == ^^(34.16)(34.16)

+ ^2+ *2)=

——m^lT + ^^2'2T == ^^

+ ^2+ *2)=

——m^lT + ^^2'2T == ^^

(34.16)

(34.16)

где 友т и i2T — параметры заторможенных потоков; напомним, что 血=dmldt = /рм — секундный массовый расход. При этом следует учесть, что до смешения и в области смешения давления должны быть одинаковы: 丛=取=р； поскольку

誥=（肃厂（34.17）

(причем индекс Z = 1, 2), то окончательно система уравнений

Р (Л + /2 — /) + miui + 加2〃2 = /р〃2 = ти;

加從厶 + ^2^2Н = WCjj — /р〃Сц ~ kfltp ~j 2/Р〃3；

Из этой системы легко исключить плотность, и задача сведется к решению двух уравнений с двумя неизвестными.

Следует отметить, что для типичных случаев подобного смешения газов результирующее количество движения смешанного потока, рассчитанного на единицу массы, больше суммы количества движения несмешанных потоков. Однако в случае стационарного и дозвукового перемешивания секундный расход может и уменьшиться, а поэтому секундное количество движения (тяга), как правило, уменьшается при тех же проходных сечениях.

Рассмотрим случай смешения двух сверхзвуковых потоков. Секундный расход при смешении не меняется, а общее количество движения, как правило, возрастает. Система уравнений (34.16) дает

А^1 Z + 炉=/〃； 2i + 标=2%(34.19)

отсюда

2 2Л .. 2 (Л — 1) с

или

"=ТТГ j 士 /(ТТТ 炉-8'(34.20)

после чего определяются все остальные параметры. Числовой расчет в каждой конкретной задаче не представляет ни малейших затруднений. Случаи смешения газов интересны с точки зрения влияния на баланс количества движения двух противоположно действующих факторов ——падения свободной энергии и ликвидации перераспределения масс газа по скоростям.

^Эдно из интересных применений теории установившихся движений и смешения газа относится к области реактивного движения, когда стационарный поток газа истекает через сопло ракеты.

Здесь мы рассмотрим новую задачу из этой области, имеющую принципиальный интерес.

М du = — 〃о dM,М du = — 〃о dM,(34.21)(34.21)Известная формула Циолковского, основанная на законе сохранения импульса и определяющая текущую скорость ракеты при стационарном истечении из нее газов, имеет вид

М du = — 〃о dM,

М du = — 〃о dM,

(34.21)

(34.21)

(34.24)(34.24)(34.25)(34.25)

(34.24)

(34.24)

(34.25)

(34.25)

где 〃о ——скорость истечения газов из ракеты (относительно нее), М ——текущая масса ракеты, и — ее текущая скорость. Интегрирование (34.21) дает

(34.22)

где “н — начальная масса ракеты. Скорость истечения м。зависит от калорийности применяемого топлива и относительного количества вводимых инертных примесей;

(34.23)

где Q — количество тепла, выделяемого 1 г топлива, )ш0 — масса сожженного топлива в момент Е,卩》— инертная масса, выброшенная вместе с топливом в момент 力.Поскольку

Мн = АГ + 卩,

где 卩 = 卩。 + 卩力)то, исходя из (34.23) и (34.24), соотношение (34.22) можно написать в виде

Максимальш я скорость ракеты будет при полном сгорании топлива

где М — конечная масса ракеты, ' 口 一 полная масса истекших газов, J!。——полная 琥асса топлива. Очевидно, что при 区=0 ("о = 0) и 口 f оо скорость й = 0, следовательно, скорость имеет максимум при определенном значении отношения 0 — Ц//Й.

Напишем (34.26) в виде

(34.27)(34.27)

(34.27)

(34.27)

Дифференцируя й по 0, получим

需=|A4 [?^育一言小（1 +吓（34.28）

приравнивая производную нулю, найдем, что

(34.29)(34.30)(34.31)(34.29)(34.30)(34.31)in(i + e)=击.

(34.29)

(34.30)

(34.31)

(34.29)

(34.30)

(34.31)

Отсюда находим, что при

1 +Х^5

м

скорость имеет максимум

й = 1,6и0.

Известно, что при скорости около 11—12 км/сек ракета навсегда покинет Землю; учтя потери скорости на сопротивление атмосферы, следует несколько увеличить эту предельную скорость. Таким образом, если и имеет это значение, то полная масса ракеты после набора скорости должна быть в пять раз меньше, чем начальная. Обычные топлива дают скорость uoi ^ 2 км/сек, где uoi = У2Q. При этом к продуктам сгорания топлива не надо давать инертных примесей. Для более мощных топлив, если 〃。彳〉15 км/сек, следует давать инертные присадки для увеличения коэффициента полезного действия ракеты.

Для будущего атомного двигателя, когда, например, может быть uoi ж 2000 км/сек, отношение 瓦仅。=5・10* при этом

(34.32)(34.32)М 卩104卩q

(34.32)

(34.32)

При таких данных 1 кг «атомного топлива» может выбросить в межпланетное пространство ракету весом около 60 т. Если требуется большая начальная скорость, чем 15 км/сек, то можно давать меньший секундный расход инертных примесей, при этом коэффициент полезного действия ракеты несколько уменьшится, а количество атомного топлива, потребного для выброса ракеты в пространство, несколько увеличится.

§ 35. О нестационарном отражении газового потокаот стенки *)

Здесь мы рассмотрим важную в физическом отношении задачу,

показывающую на интересные энергии при неустановившихся

Рис. 40.

особенности перераспределения движениях среды.

Пусть слева на абсолютно твердую стенку набегает со

скоростью 〃о одномерный

поток

газа. Начало координат поме-

стим в точке пересечения ки с осью / (рис. 40).

стен-

Такой поток газа может быть получен при разлете продуктов детонации или при истечении газа из сосуда, когда ранее газ покоился, причем в

3〃一4 nпервом случае и0 =出二丁О,где D — скорость детонации; во2

втором случае uQ 二^^ сон, где Зн — скорость звука в невозмущенном газе, заполняющем сосуд.

Удар газа о стенку произойдет при % = а/и0, где 〃 ——расстояние между сосудом и стенкой. Для простой падающей волны

имеем х = (и — с) t -\- F (и); так как при 力=0 力= F (〃)———〃, откуда 〃 ——с = (% + 〃)/力. Полагая 辽 =〃о — (2%/(乃一1)), а с = %, получим

—а, то

=«о

где

отсюда

〃о — % =-=- — 〃0

(35.1)

(35.2)

“ к — 1

(①《0).

(35.3)

В том случае, когда мы рассматриваем малую область вблизи стенки,力/а мало, с。также мало, а й0 ж и0, т. е. можно считать, что в этой области поток движется с постоянной скоростью и0. Поэтому можно ожидать, что отраженная ударная волна в рассматриваемой области должна подчиняться законам автомодель-

*) Эта задача была' решена Я. Б. Зельдовичем и автором в 1947 г. [23].

ного движения газа, что, как мы ниже увидим, действительно выполняется.

После удара от стенки налево пойдет отраженная ударная волна. Ниже мы покажем, что эта волна будет сильной, а поэтому на ее фронте рн = р0 (Л + 1)/(及一1), где р0 — плотность газа в падающем на стенку потоке; в том же приближении для малых 22

х/а можно считать, что р〜(％/〃)"工，поскольку р0〜 纤一工. Отсюда ясно, что

Рн _ ^ + ! Г к — 1б 〃0Рн _ ^ + ! Г к — 1б 〃0(35.4)(35.4)

Рн _ ^ + ! Г к — 1б 〃0

Рн _ ^ + ! Г к — 1б 〃0

(35.4)

(35.4)

где рОн и сон — плотность и скорость звука в невозмущенном движении газа.

Скорость фронта отраженной ударной волны на основании формулы (30.6) равна

или

4 = 〃。—出+分丿黑^.(35.5)

Отсюда

嘗=〃。一("+ б/^ЙП)；'(35・6)

где ун = PhV*2/%2. Предположим, что на фронте ①=zutait тогда

dx少

Н = QiZh^st = ах —;

"о - (" + 1) / 费f 糸=旬 F

ИЛИ

〃о - (" + 1) /2(/Йл)Zh"I = a^t^,(35.7)

но на фронте ун и Zr должны быть постоянны, поэтому а】=1 и % —const. Воспользуемся, далее, уравнениями автомодельных движений (9.23), (9.24). Положив 〃 = Е, ф = z — и, получим phi 〜 厂2 〜 /； отсюда вытекает, что а2 = 2/(后 — 1), “з = —2, а =——(А + 1)/2 (衣 ——1). Применим для изучения законов движения отраженного газа уравнения (9.26) и (9.27), из которых нетрудно получить, учитывая, что из формулы (9.25) следует

z = —ф/2, для данного случая (N = 0) следующее уравнение:

4z" + 2z，= （一 4广寸号⑺4［与讨+后引，（35.8）

где производные берутся по in 0; 0 — р/рк. Поэтому, поскольку z，= —(р/2, уравнение (35.8) примет вид

2 誉關俨1疗-кА^] + U+K— = 2r 产-/I.

Введем *) новую величину д:

мтq = Л1-^1^,

тогда уравнение примет вид

Отсюда dq q — k . d0 _ Q 飞出+ 1一十飞-

L /с —1

Интегрируя, имеем

—忙(D, Г /с2 I j 1

g Bq产也—a]忙乜

Выразим ф： (k—1) к8—к+2к—1

/ /2 \-团而 2(F+lj г/с2 4-112W+D—

屮方) q [tzt-^J •

Далее определяем 刀(из 9.27); поскольку

T](pzN0*° = 4 = const, то

к—12k(fc—i)2 - o . .、■" .~-

佇=A^ 3F尸f緒-厂1

(35.9)(35.10)(35.11)(35.12)(35.13)(35.14)(35.9)(35.10)(35.11)(35.12)(35.13)(35.14)Зависимость z от введенного параметра q дается формулой

(35.9)

(35.10)

(35.11)

(35.12)

(35.13)

(35.14)

(35.9)

(35.10)

(35.11)

(35.12)

(35.13)

(35.14)

I火田一 2k一+3

z = + ｝将户+D忆昼停片一)2W+D (L田dg.

(35.15)

Этот интеграл в конечном виде не берется.

Из условия, что на стенке при % = 0 и 〃 = 0, имеем

(35.16)(35.16)Ф = z, z = 0, ф = 0, д = 0,

(35.16)

(35.16)

а следовательно, постоянная интегрирования также равна нулю. Условия на фронте отраженной волны дают

D = %н =“ ± [ j/^ —2 ®нЛн 1 = 〃н + фн =

=〃0 — |/" ^■£ Лн 1% + фн- (35.17) Отсюда

фн — — ^^ 论 2”，喧 i°h,(35.18)

что дает

强=与丄.(35.19)

Вводя функцию

2k3-k+3- 2(曲*)I(q — k)dq2k3-k+3- 2(曲*)I(q — k)dq(35.20)(35.20)Р _ k(k+D /4、

2k3-k+3

- 2(曲*)

I(q — k)dq

2k3-k+3

- 2(曲*)

I(q — k)dq

(35.20)

(35.20)

(Q<0)，(Q<0)，Q(g) = \g-E(咨J

(Q<0)，

(Q<0)，

будем иметь

k-1

4 = + 修广 fa=〃。+4^тфн =

k-1产"-"卜2k-1

" +(丽而乖百/("+分2 、加巾

="。_E (亙)I—) (嘉=旬+4；

(35.21) отсюда

Р=+——•(35.22)

Qh+УE(洋F传产

Теперь определим р, р, 〃 как функции q, давление р опреде- 2

лим из соотношения р =尸?р&6 = tR—1 刀“久 Используя выражения 0 и т] через q [(35.11) и (35.14)] и вспомнив, что ,н =(后一1)/2,

получим

1]

2 (/с — 1)、к—I //с2 + 11

(” +，)2 丿Т丿

14忙

РР/ 2 \"т (к — 1 ；(/с—D W+D Л=\т+т}g而 X/ 2 \"т (к — 1 ；(/с—D W+D Л=\т+т}g而 Xи"ни"нY—к+2 .Y—к+2 .q + 2a 2(产+1)q + 2a 2(产+1)2fcy /F + 1\(f (产+1)k-1‘产+1'2(叶1)2fcy /F + 1\(f (产+1)k-1‘产+1'2(叶1)(35.23)(35.23)

Р

Р

/ 2 \"т (к — 1 ；(/с—D W+D Л

=\т+т}g而 X

/ 2 \"т (к — 1 ；(/с—D W+D Л

=\т+т}g而 X

и

"н

и

"н

Y—к+2 .

Y—к+2 .

q + 2a 2(产+1)

q + 2a 2(产+1)

2fc

y /F + 1\(f (产+1)

k-1

‘产+1'2(叶1)

2fc

y /F + 1\(f (产+1)

k-1

‘产+1'2(叶1)

(35.23)

(35.23)

причем, поскольку Zh = 4 (力一幻，где tQ то на основании (35.4) имеемпричем, поскольку Zh = 4 (力一幻，где tQ то на основании (35.4) имееместь моментесть моментУдара,Удара,

причем, поскольку Zh = 4 (力一幻，где tQ то на основании (35.4) имеем

причем, поскольку Zh = 4 (力一幻，где tQ то на основании (35.4) имеем

есть момент

есть момент

Удара,

Удара,

Рон " — 4〔Рон " — 4〔k +（ "о。^ （£ —力о）倉二彳爲 ^k +（ "о。^ （£ —力о）倉二彳爲 ^(4<0)，(4<0)，

Рон " — 4〔

Рон " — 4〔

k +（ "о。^ （£ —力о）

倉二彳爲 ^

k +（ "о。^ （£ —力о）

倉二彳爲 ^

(4<0)，

(4<0)，

(35.24)(35.24)忆^…)

(35.24)

(35.24)

2

ИЛИ Ph = Poh = 2 (〃o — Dy) I — J；3y —J

—2 八 I к — 1

"H =不戸%十不戸〃0.

Формулы (35.20), (35.23) и (35.24) дают полное решение поставленной задачи.

Интересно отметить, что отношение р/рн всегда близко к единице. В самом деле, у стенки

(35.25)(35.25)Рс _ j 2 (/ + 1) g嘉=1%+，)2)

(35.25)

(35.25)

При /с f 1 Рс/Рн = 1, при /с -> ОО Рс/Рн = 1, при /с = 3

Рс/Рн = 1,12, при " = 7/5 Рс/Рн = 1,07.

Отношение давления на фронте ударной волны к давлению в потоке перед фронтом задается формулой

Рн

2(〃一1)

3 + 4)2

(35.26)

m - 1

^ Р。一阡т

рн; поскольку

А： + 1 Рон _「 к — 1 “о % (力一•口 4_1 рh _"+1 ^T J

ТО

Ph 2k (〃 + 1)— Dv a ~|2

Po (k — I)2 [ 〃o % (Z — 土°)'

(35.27)

Мы видим, что ударная волна действительно является сильной, так как величина a/D (力—— 力°) в окрестностях точки z = 0 весьма велика.

Поскольку мы рассматриваем отражение от стенки малоплотного потока, то значение к & 7/5; для величин 乃，близких к единице, интервал изменения q весьма мал:

(35.28)

Таким образом, функция Q (д) может быть вычислена в пред-

2k 噓+з

伟2 — 12(?+D

положении, что q стремится к нулю в членах ｛工_〔——q\

и (q — 哈. Вычисление дает

Q =—

2m一k+3 依一k+2

2k (/c2 + l) 仰2 + 1)一 2(k2+3) 一 _2(可 1)一

(部一及+2)底—1)g

(35.29)

Отсюда, так как qu =(及一1)/2, имеем

Qh =

2k2一к+зк2一k+2

2/c (/c2 + l)件2 + 1 厂 2W+1) ( 〃 — 1、2W+1)

П/C(/C — 1)2

Zh == — 〃0 2 (出 _g j j，

(35.30)

(35.31)

поэтому мы получаем

к—1

Р / g、而 …寸工）=

2(k—1)к2—к+2

и

依一k+2 2（к叶1）一

Здесь

Рн 〃 「 к (к — I)3 吟(£ — %)] К—1

7^ = 「2 (к + 1)(依 + I) “н。一」， рh 小一1 2Г / + 及 + 2 ]2 〃h _ к — 1 运=f" "0[体 + 1)(胪 + »]，而=-叶I

(35.32)

(35.33)

Значение величины Рн/Ро равно

2(k + D г 胪 + 〃 + 2 а ]2 ”[(к — I)3 uq {t — to)」

(35.34)

Определим величину температуры Т при малых z. что поскольку при малых давлениях газа имеет место состояния р = то

Очевидно, уравнение

Поскольку

五То =

т.

е.

2(к — 1) Г/с3 + /с + 2 а ]2生 L (^ - 1)3 "0 (方一力0)」。

l)(k +1) %H J

(35.35)

(35.36)

(35.37)(35.38)(35.39)(35.37)(35.38)(35.39)

(35.37)

(35.38)

(35.39)

(35.37)

(35.38)

(35.39)

7 _ k 2 г("一"1)3噜(上一力0)]2

' h _ %h [2出 + 1)(k + 1) J

ТО

_「苹+加+ 2 吟

v h -[出 + 1)(宀)1 丁 •

Если 〃o= y|7r %н, ТО

тh = 2",邮 + " + 2 \2

T0Н - "一1 ((兴+1)伯+1)丿，

где 70H — температура невозмущенного истечением газа. За фронтом ударной волны

2(/С-1)

2(Х)产一公+2 一

(35.40)

отсюда нетрудно найти распределение температуры газа в зависимости от его плотности, а следовательно, и в зависимости от его массы. При к = 7/5 7н/Тон = 5,3. Определим значение z, для которого Т/Тон принимает заданное значение. Так как

楚用/=。,312。之,т0 отею«a ^ = (^；)，(35.41)

например, при Т011 — 3000° абс 7 = 16 000° абс имеет место, когда z = Z4, 7 = 48 000° абс достигается при z = zH/2 7.

Следовательно, при ударе газа, истекающего из сосуда, о стенку температура небольшой части газа становится значительно большей, чем начальная. Здесь мы снова имеем дело с интересным случаем перераспределения энергии при нестационарных процессах.

Отметим еще раз, что и при отражении потока газа давление мало зависит от х. Таким образом, можно считать, что вообще для различных отраженных волн (волн разрежения, ударных и детонационных) р является слабой функцией от л: и сильно зависит от £•

В данном случае при увеличении t после от-» ражения р возрастает, как 力 2/(х), что при 左=7/5 дает р ~ 户.

Результаты исследования параметров мир отраженной волны ил-» люстрируются рис • 41.

Дальнейшее рассмотрение задачи для волны представляет значительные труд-Дальнейшее рассмотрение задачи для волны представляет значительные труд-Мы рассмотрели первую стадию отражения головной части простой волны от стенки, тыловых частей особой

Дальнейшее рассмотрение задачи для волны представляет значительные труд-

Дальнейшее рассмотрение задачи для волны представляет значительные труд-

ности, и мы здесь ограничимся лишь некоторыми выводами, относящимися к этому вопросу. Представим себе цилиндрический сосуд, перегороженный в произвольном сечении. Пусть в левой части сосуда находится сжатый газ, а в правой ——пустота. В некоторый момент времени убирается перегородка и начинаются истечение газа в пустоту и отражение волн от правой стенки сосуда. Волна разрежения и фронт разлетающегося газа будут многократно отражаться от противоположных стенок сосуда и взаимодействовать друг с другом до тех пор, пока не установится новое равновесное состояние с повышенной по сравнению с начальной энтропией. Этот рост энтропии обязан своим происхождением в данной задаче ударным волнам.

Сам сосуд при этом процессе сначала получит импульс, направленный налево, поскольку после снятия перегородки на правую стенку не будет действовать никакое давление, а затем, поскольку силы, действующие в сосуде, являются внутренними, этот отри- ца^льный импульс будет полностью скомпенсирован положительным импульсом, который создает поток газа, ударяющийся о правую стенку. При этом центр массы системы сосуд — газ не сместится, сам сосуд совершит некоторое перемещение.

§ 36. Анализ основных свойств ударных волн

Как мы показали выше, ударные волны могут существовать в среде, для которой справедливы неравенство (d2p/dp2)s〉О и автоматически следующие из него неравенства (>卩/@丫2)$〉О и (др/дТ)р > 0.

В области, где значения этих производных неположительны: (辭)4。；(醤k。，

не может существовать устойчивых ударных волн. Возникнув где-либо при определенных условиях, например при внезапном движении газа, и предоставленные самим себе, эти ударные волны будут немедленно вырождаться в волны сжатия (в звуковые волны).

При (dpIdT)^〉0 плотность на фронте ударной волны остается конечной при рт оо; (@р/@7)р < 0 плотность при рт 8 также неограниченно возрастает.

При (др!дТ)р = 0, поскольку (др/д5)р = 0, давление является функцией только от плотности, откуда р= р (р), Е = Е (S). Так как согласно (25.4) изменение внутренней энергии при переходе через фронт волны зависит только от плотности, то энтропия среды при переходе через фронт ударной волны не изменяется, т. е. dS = 0, но, как мы показали выше, отсюда следует, что ut — сг = и2 = q, т. е. ударная волна вырождается в обычную волну сжатия.

Заметим, однако, что при значительном возрастании давления и температуры свойства среды могут резко изменяться по сравнению со свойствами при обычных небольших давлениях, и поэтому наши утверждения о роли некоторых термодинамических производных в природе ударных волн относительны. Для одной и той же среды при изменении условий знаки указанных производных могут меняться (например, для воды при низких температурах и высоких давлениях), поэтому следует, говоря о роли знака этих производных, относить их к данным местным давлениям уже за фронтом волны.

Выясним сначала причины роста энтропии в ударной волне при чисто адиабатическом процессе движения среды. В тех случаях, когда состояние среды при адиабатических процессах изменяется достаточно медленно, адиабатическое движение становится изэнтропическим, поскольку, как мы сейчас покажем, при медленных адиабатических процессах энтропия среды не изменяется.

С термодинамической точки зрения при этом существенно, чтобы изменение внешних воздействий происходило таким образом, чтобы термодинамическое равновесие среды устанавливалось гораздо быстрее, чем изменяются эти внешние условия. Другими

словами, равновесие должно успевать устанавливаться между двумя близкими по времени внешними воздействиями.

Например, при Сжатии газа поршнем необходимо, чтобы скорость порпшя была меньше скорости звука в данной среде, поскольку равновесное состояние среды устанавливается благодаря обмену ее состояний при помощи движущихся в различных направлениях звуковых волн.

Вместе с тем процесс изменения внешних воздействий должен происходить и таким образом, чтобы среда не успела вступить в теплообмен с внешней средой, т. е. происходить быстрее процессов теплообмена (диффузии и прочих свободных явлений). Для реальных сред, особенно газов, эти условия всегда имеют место, поскольку скорость процессов теплопередачи, диффузии и т. д. значительно меньше скорости звука для данной среды.

Будем характеризовать внешние условия, воздействие которых изменяет состояние данной среды, некоторыми параметрами 入и 入2，入3，•••> являющимися функциями времени. Достаточно рассмотреть влияние одного какого-либо параметра, который мы обозначим просто через 入.Производная от энтропии по времени dS/dt должна зависеть определенным образом от скорости изменения величины параметра 入：d入/d力；поскольку мы условились рассматривать медленные изменения внешних воздействий, то величина dK/dt должна быть мала, и мы можем разложить величину dS/dt в ряд по степеням dkjdt. Итак, положим, что

窑=〃g + 〃i 署 + % (备『+ ・• •(36.1)

Поскольку при dk/dt = 0, т. е. когда внешние условия постоянны, S = const, то dS/dt = 0 и должен тождественно быть равным нулю первый член разложения (36.1) а。，т. е. а。= 0. Далее, на основании второго начала термодинамики, всегда dS/dt > 0, поэтому член a】 dk/dt также должен равняться нулю, т. е. 〃】= 0, в противном случае, поскольку величина dK/dt может быть и положительна и отрицательна, величина dS/dt сможет менять знак. Таким образом, разложение величины dS/dt по степеням dk/dt должно начинаться с членов второго порядка. Пренебрегая ввиду малости величины dk/dt членами высших порядков, мы сможем

написать, чтоОтсюданаписать, чтоОтсюда(36.2)(36.3)(36.2)(36.3)

написать, что

Отсюда

написать, что

Отсюда

(36.2)

(36.3)

(36.2)

(36.3)

Следовательно, когда величина dk/dt-^O, то и величина dS/d九f0, т. е. энтропия становится постоянной, что доказывает

обратимость медленного адиабатического процесса, т. е. его изэнтропичность.

Если внешние воздействия на среду изменяются достаточно быстро, то скорость изменения параметра 九：dA/d£ уже не будет малой величиной и ряд (36.1) при dk/dt 5 0 уже не будет сходиться к нулю, а следовательно, энтропия при быстрых адиабатических процессах начнет возрастать.

Представим себе, что мы имеем некоторый объем среды, которая подвергается не очень слабому воздействию внешнего давления, сжимающему ее. Тогда частицы, находящиеся на периферии этого объема, при не бесконечно малом сжатии получают дополнительные конечные скорости; при соударении с другими внутренними частицами произойдут выравнивания скоростей, а следовательно, и рост энтропии системы. Другими словами, направленный определенным образом внешними силами поток частиц среды частично потеряет энергию направленного движения за счет возрастания энергии беспорядочного теплового движения частиц (молекул).

Проиллюстрируем высказанные здесь соображения примером.

Пусть мы имеем некоторый объем покоящейся среды, например, идеального газа, причем одна из его частей была предварительно подвергнута конечному адиабатическому сжатию таким образом, что энтропия этой части газа не изменилась по сравнению с ее начальным значением (процесс обжатия протекал медленно). Таким образом, мы будем иметь среду с одинаковой энтропией, но с различными давлениями и плотностями.

Пусть объем одной части среды есть Vn давление и плотность среды в нем р〔 и рг. Объем другой части среды есть V2, давление и плотность в нем 网；Р2, причем р2 力网；р2 # р「Смешаем теперь оба объема и оценим изменение энтропии, которое при этом произойдет. Законы сохранения массы и энергии для данного процесса примут вид

Р (К + V2) = PiVi + р2V2； )/эл z\

p(V1 + V2)=p1V1+p2V2J( •丿

(мы считаем, что к± = к2 = к и весь объем изолирован от всяческих внешних воздействий). Поскольку 5工=S?, то

Здесь р и р — давление и плотность после смешения. Из этих соотношений имеем

р2V2 + P1V1 .P2V2 + P1V1Pl

P = V2 + V； ~ vT+wLl^r) V2+V4

§ 36]АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ УДАРНЫХ волн 317

Далее, определяем величину ^_ —旦 где 久=е Cv харак-

S-s

теризует энтропию до смешения, а о = е — величину энтропии после смешения.

Очевидно,

上— V2 + V】 、(36.7)

s V2 + V1 ；

Легко убедиться в том, что для любого значения отношений V2/V1 и p2/pi и для реальных значений показателя изэнтропы " величина о®〉1.

Почти аналогичный процесс происходит при образовании ударной волны (например, при ускоренном движении поршня, сжимающего среду). Частицы среды, обладающие большими скоростями, непрерывно обмениваются энергиями с частицами среды, имеющими меньшие скорости; при выравнивании скоростей, т. е. при процессе смешения частиц и отдельных объемов среды, обладающих различными энергиями, энергии выравниваются, а энтропия возрастает, характеризуя стремление среды к равновесному состоянию.

То же происходит и при прохождении частиц через фронт ударной волны благодаря его малой толщине. Толщина фронта ударной волны характеризуется областью резкого изменения параметров движущейся среды. Математически толщина фронта ударной волны должна стремиться стать сколь угодно малой, поскольку состояние элементов среды при больших давлениях и плотностях распространяется.со скоростями 〃 + с, т. е. с большими скоростями, непрерывно увеличивая крутизну профиля волны (§ 17).

С другой стороны, толщина фронта может быть интерпретирована как ширина области, где за счет обмена энергиями частиц, пересекающих ударную волну, с частицами за фронтом волны происходит практически полное выравнивание их средних скоростей, а следовательно, и всех прочих параметров. В молекулярной физике доказывается, что подобного рода процессы, особенно, если они стационарны, происходят на расстояниях порядка нескольких длин свободного пробега молекул, т. е. на таких расстояниях, где каждая молекула может соударяться несколько раз с другими молекулами. На основании высказанных соображений можно считать, что толщина фронта ударной волны по порядку величины именно должна равняться нескольким длинам свободного пробега молекул.

Энергия частиц среды, пересекающих разрыв, преобразуется таким образом, что кинетическая энергия их уменьшается, а внутренняя энергия среды при этом возрастает, т. е. часть энергии направленного движения частиц переходит в энергию хаотического их движения и полностью обратно в энергию направленного потока уже превращена быть не может.

Вследствие необратимости подобного процесса происходит рост энтропии среды.

Гипотеза постоянства энтропии в среде до и после пересечения ею ударной волны, в частности, при произвольной изэнтропе противоречит закону сохранения энергии. В самом деле, полагая энтропию постоянной (dS = 0), будем считать, что

2

力2 —(36.8) i

вместо

2

力2 — ％ = \ (登 + TdS^(36.9)

где пределы интегрирования 1, 2 показывают на состояние среды до и за фронтом ударной волны. Тогда уравнение энергии (28.3)

力2Tl =-至亏且-(% + V2)(36.10)

дает、Vdp= 竺^ 门• (％ + V, или, на основании (28.4),

2

— §pdv=曲抖(Vi — VJ.(36.11)

i

Отсюда после дифференцирования при постоянных рь v1? как мы знаем, получается уравнением

dpz — Р2 — pi= V2--V1，

что дает

Pz — Pi — A (V2 — V0 (A = const),(36.12)

т. e. уравнение изэнтропы Чаплыгина. Всякая другая изэнтропа, например изэнтропа вида р = А (рп — ро), будет противоречить закону сохранения потока энергии при прохождении им фронта ударной волны, если считать, что энтропия постоянна.

Определим величину энергии, необратимо переходящую в тепловую. Для этой цели рассмотрим процесс сжатия среды ударной волной и затем процесс расширения этой сжатой среды.

Сохраняя обычные обозначения, мы индексом 3 будем обозначать состояние расширяющейся среды до внешнего противодавления, которое будем полагать равным р3. Процесс расширения будем считать стационарным. Сравним этот процесс с аналогичным чисто изэнтропическим процессом истечения среды при изменении давления.

Значению давлений р3 соответствует теплосодержание среды

(36.13)(36.13)

(36.13)

(36.13)

Поскольку z2 =% + (冠/2)—(谓/2), Tо

噂2噂2(36.14)(36.14)При изэнтропическом процессе величина теплосодержания в со- 2стоянии 2 есть 2； = % + \~^~，при ударном адиабатическом про- iПри изэнтропическом процессе величина теплосодержания в со- 2стоянии 2 есть 2； = % + \~^~，при ударном адиабатическом про- iцессецессеi2^i1 + ^^+TdS^il+ Jr dS.i2^i1 + ^^+TdS^il+ Jr dS.2222(36.15)(36.15)11112Величина \ Т dS = dQ* определяет величину энергии среды, по. 1шедшей на необратимое возрастание энтропии, т. е. на добавочное, по сравнению с изэнтропическим процессом, тепло. Выражая % — % из (36.10), получим2Величина \ Т dS = dQ* определяет величину энергии среды, по. 1шедшей на необратимое возрастание энтропии, т. е. на добавочное, по сравнению с изэнтропическим процессом, тепло. Выражая % — % из (36.10), получим2Q* = ^TdS=-”夕 12Q* = ^TdS=-”夕 12(V1 + V2)— \vdpi2(V1 + V2)— \vdpi2(Vi — VJ+ “dV. (36.16)12(Vi — VJ+ “dV. (36.16)12Здесь интегралы § ~^-2Здесь интегралы § ~^-2или\ 瓶 dV берутся вдоль изэнтропы2или\ 瓶 dV берутся вдоль изэнтропыS = 5工=const. При расширении среды будем иметьS = 5工=const. При расширении среды будем иметь

噂2

噂2

(36.14)

(36.14)

При изэнтропическом процессе величина теплосодержания в со- 2

стоянии 2 есть 2； = % + \~^~，при ударном адиабатическом про- i

При изэнтропическом процессе величина теплосодержания в со- 2

стоянии 2 есть 2； = % + \~^~，при ударном адиабатическом про- i

цессе

цессе

i2^i1 + ^^+TdS^il+ Jr dS.

i2^i1 + ^^+TdS^il+ Jr dS.

2

2

2

2

(36.15)

(36.15)

1

1

1

1

2

Величина \ Т dS = dQ* определяет величину энергии среды, по. 1

шедшей на необратимое возрастание энтропии, т. е. на добавочное, по сравнению с изэнтропическим процессом, тепло. Выражая % — % из (36.10), получим

2

Величина \ Т dS = dQ* определяет величину энергии среды, по. 1

шедшей на необратимое возрастание энтропии, т. е. на добавочное, по сравнению с изэнтропическим процессом, тепло. Выражая % — % из (36.10), получим

2

Q* = ^TdS=-”夕 1

2

Q* = ^TdS=-”夕 1

2

(V1 + V2)— \vdpi

2

(V1 + V2)— \vdpi

2

(Vi — VJ+ “dV. (36.16)1

2

(Vi — VJ+ “dV. (36.16)1

2

Здесь интегралы § ~^-

2

Здесь интегралы § ~^-

2

или\ 瓶 dV берутся вдоль изэнтропы

2

или\ 瓶 dV берутся вдоль изэнтропы

S = 5工=const. При расширении среды будем иметь

S = 5工=const. При расширении среды будем иметь

где интегралгде интеграл(36.18)(36.18)(36.20)(36.20)

где интеграл

где интеграл

(36.18)

(36.18)

(36.20)

(36.20)

берется вдоль изэнтропы для S = S2 = const.

Отсюда следует, что 232

121

Для изэнтропического процесса при расширении получим, что з

普，(36.19)

1

з

где интеграл，-^~ берется при S = S】=const. 1

Таким образом, скорость истечения для ударного процесса при р = Рз определяется соотношением

Скорость истечения при р = рз для изэнтропического процесса

определится соотношением

ОтсюдаОтсюда(36.21)2+ ^TdS. (36.22)(36.21)2+ ^TdS. (36.22)

Отсюда

Отсюда

(36.21)

2

+ ^TdS. (36.22)

(36.21)

2

+ ^TdS. (36.22)

Здесь очевидно, что поскольку величина %〉％；, то и величина »з > W (при Рз〉0), а поэтому

Из〉〃з・(36.23)