Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
§ 1# Общие решения и теоремы существования
Общие решения. В задаче о равновесии упругого тела при отсутствии массовых сил разыскиваются общие выражения (перемещений или напряжений), удовлетворяющие по возможности простым дифференциальным уравнениям и построенные так, чтобы уравнения теории упругости выполнялись в силу этих простых уравнений. Роль «простых» играют уравнения Лапласа и бигармоническое; при этом желательно иметь наименьшее число функций. Знание общих решений позволяет при
составлении частных решений уравнений теории упругости использовать хорошо известные «каталоги» решений «простых» уравнений в тех или иных координатах; однако краевые задачи теории упругости, конечно, несводимы, за исключением простейших (полупространство, кручение тела вращения и др.), к задачам типа Дирихле или Неймана для уравнения Лапласа. Ограничение случаем отсутствия массовых сил несущественно, так как построение частного решения, соответствующего этим силам, возможно в общем случае и легко выполняется для их частных заданий (вес, центробежные силы и т. д.). Обзор ранних исследований по общим решениям дан П. Ф. Папковичем (1937); единый способ их построения, основанный на использовании тензора функций напряжений, предложил Ю. А. Крутков (1949).
Внимание к задаче построения общих решений было привлечено опубликованной в 1930 г. статьей Б. Г. Галеркина. Было показано, что уравнениям теории упругости в напряжениях (Г ——тензор напряжений, о —— его первый инвариант)
▽ •0 = 0, (1 + V)V2f + VV(r = 0 (1.1) можно удовлетворить, выражая вектор перемещения и через бигармони- ческий вектор G соотношением
2fm — VV-G — 2 (1 — V)fa. (1.2)
Это решение с указанием, что из него получаются ранее известдые, но без упоминания о его «общности», было предложено Ж. Буссинеском еще в 1889 г. П. Ф. Папкович (1937, 1939) указал, что (1.2) является излишне общим решением уравнения теории упругости в перемещениях
(1 — 2v) V2t< + ▽▽ •刨=0. (1.3)
Это следует из того, что структура уравнения (1.3), при наличии массовой силы в правой части, повторяет структуру решения (1.2). Поэтому, приняв в (1.2) за вектор и решение краевой задачи теории упругости (удовлетворяющей трем условиям на поверхности тела О), мы вправе ожидать, что и вектор 6г может быть подчинен еще трем условиям на О, что, очевидно, излишне. ，
Разыскивая вектор перемещения в форме суммы гармонического вектора и градиента скаляра %
и = 4.(1 — V)В + ▽%, V2B = 0,
приходим, после подстановки в (1.3), к уравнению V2% = —2卩方；его решение представляется суммой частного решения % =——RB ^ решения % = —Bq уравнения Лапласа (через R обозначен вектор-радиус). Итак,
X --(丘・衣 + &), 〃=4(1— v)8 — V (%・8 + &). (1.4)
Такое представление решения уравнения теории упругости было дано П. Ф. Папковичем (1932) и несколько позже Г. Нейбером. По сообщению П. Ф. Папковича, оно ранее было известно Г. Д. Гродскому *). Вектор перемещения (1.4) представлен суммой гармонического вектора В и гармонического скаляра 50 или через четыре гармонические функции Во, Вs (s = 1, 2, 3), где Вs — проекции В на оси декартовой системы координат. Другая форма записи решения (1.4), принадлежащая
И. С. Аржаных (1952) и М. Г. Слободянскому (1954), имеет вид
и = ^(i -V)В + R NB -五^ • А(1.5)
Она отличается от (1.4) (когда & = 0) гармоническим вектором с равной нулю дивергенцией (т. е. ротором гармонического вектора). Были предложены также формы решения, выраженные через гармонические функции при помощи объемных интегралов от ньютоновых потенциалов; таково представление Тер-Мкртичьяна (1947):
% = 4(I-v)3 + *vJ_^_dT.(1.6)
D
Интегральное представление вектора перемещения и через его дивергенцию и ротор, а также через заданные на поверхности тела значения и и его нормальной производной ди/дп дано И. С. Аржаных (1954).
Поскольку на поверхности О тела задаются лишь три краевых условия, представляется допустимым сохранить в выражении общего решения (1.4) только три гармонические функции, отбросив в нем, например, Во или одну из функций Bs (Г. Нейбер). Этот вопрос рассматривал П. Ф. Пап- кович (1939) и более подробно М. Г. Слободянский (1954).
Включение 50 в (1.4) излишне, когда вектор V50 представим через некоторый гармонический вектор 丑* с помощью соотношения
VS0 - 4 (1 - V)В* - ▽五•丑*•(1.7)
Но тогда V ・8* = 0, V X _В* = 0, так что J?* = V®, V2© = 0 л соотношение (1.7) записывается в виде
5o-4(l-v)0-7?g^2 九(仇九)，
причем здесь использовано представление гармонической функции Во во внутренней односвязной области рядом по гармоническим полиномам RnYn. Тогда
@ =(1・8)
п—0'
и при 〃 = 3, л? = 0,25, 50 = Я3Уз соотношению (1.7) нельзя удовлетворить (предполагается, что 0 V у V %). Отсюда, имея в виду теорему Келдыша ——Лаврентьева о представимости в конечной односвязной области гармонической функции равномерно сходящимся рядом гармонических полиномов, надо заключить, что представление (1.7) при v = 0,25 невозможно. Для бесконечной области с полостью в представлении 50 следует заменить п на — (〃 十 1), знаменатель в ряде (1.8) 4 (1 — v) + + 〃 十 1 не обращается в нуль ни при каком целом п и 0 < v < '/2； отбрасывание 50 в этом случае законно. Аналогично доказывается, что решение (1.5) является общим для конечной односвязной области, не исключая V = 0,25, а для бесконечной области с полостью при v 声 0,25. Более общие результаты можно найти у М. Г. Слободянского (1954).
Нам представляется, что в решении (1.4), как и в других формах общих решений, следует видеть полезное вспомогательное средство решения краевых задач теории упругости, допускающее непосредственное использование классических частных решений уравнения Лапласа. При построении решения конкретной задачи сохранение четвертой гармонической
функции облегчает выбор этих решений, поэтому нет нужды от нее отказываться (А. И. Лурье, 1955).
В. И. Блох (1958) исходит из представления вектора перемещения и в форме суммы гармонического вектора и градиента скаляра %. Решение (1.4) содержится в представлении Блоха при % = —(兄•丑+ 50)； полагая % =——7?2歹・。,где С ——гармонический вектор, Блох приходит к представлению
% = 2 (1 — 2v)五 口。一 4 (1 - у)五 х (▽ X С) - WV-C, (1.9) которое можно дополнить градиентом гармонического скаляра и ротором гармонического вектора. В представление Блоха внесены еще слагаемые, выраженные через три плоские гармонические функции.
Формы решений, указанные И. С. Аржаных (1954) и ①.С. Чуриковым (1953),
2[iu = (1 - 2v) В X X В)(1.10)
не отличаются от (1.5).
Более общая форма указана В. М. Деевым (1959):
2tm = [(4v - 3) § + 4 (1 - v) (е - 3)]丑 + § ”3) •五 +
+ [2 (4v - 3) 8 — 6] R VB + &R2W-B,(1.11)
причем p, e, 6 — постоянные, которыми можно распоряжаться произвольно. При надлежащем выборе этих постоянных возвращаемся к решениям (1.4), (1.5), (1.9). В (1.11) содержится также решение
2卩% = 4(1 一 ")丑十 Ag^ 五▽.丑+ ^^7?V72.丑，(1.12)
выражающееся через гармонический вектор В и его дивергенцию ▽•丑・
Известное решение О. Лява для случая аксиальной симметрии (вокруг оси z) следует из (1.2), если принять Gz = % (г, z), G% = 0, Gy = 0. Более общее представление решения в цилиндрических координатах (через гармоническую и бигармоническую функции) дано С. Г. Гутманом (1948).
Для многосвязной области 0°, ограниченной извне поверхностью О0 и изнутри поверхностями 。月(％ = 1,...,左),целиком лежащими в D и не имеющими общих точек между собой и с О。, вектор перемещения при V 声 0,25 представим в виде (М. Г. Слободянский, 1959)
kk
% = 〃(о)+ £ %(力，8 = J5°十 2 В
w0 = 4 (1 一")丑(0)一 ▽五•丑(0),孤(力=4 (1 - V)丑(力一▽%(力，丑(力，
где J5@)—— вектор, гармонический в области, внешней к О% а 丑(о)—— гармонический в О。, причем начало Q^ вектора 五乞 расположено внутри полости, ограниченной поверхностью О». Форма этого решения ——«полная», если луч из ◎» пересекает。乞 в одной точке; она будет «общей», когда О» — замкнутая поверхность Ляпунова ).
Следует еще отметить, что задача построения «общих решений» системы линейных дифференциальных уравнений вида
S Ltjiij = 0(j — 1,2,...,〃)
(в ней Lij — линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами по переменным хи 力2,...,力加)сводится (А. И. Лурье, 1937; позже (1953 г.) румынский ученый Г. Моизил) к разысканию «потенциалов» <Ps (s = 1，. • •,八)，через которые решения Uj выражаются с помощью соотношений вида
=U Мз^фв(7, 2, . . ., zz).
8=1
Здесь MSj — искомые линейные дифференциальные операторы, а каждый из потенциалов (ps удовлетворяет одному и тому же дифференциальному уравнению
К % =。(5 = 1,2,..., 〃).
Легко усмотреть, что оператор К = | £订 | представляет определитель квадратной матрицы операторов L^, a MSj ——алгебраические дополнения /-го столбца этого определителя. В применении к уравнениям теории упругости в перемещениях для изотропного тела описанное вычисление приводит к решению (1.2) Галеркина — Буссинеска. Очевидно, что способ применим к анизотропной среде, к динамическим уравнениям теории упругости и т. д.
Тензор функций напряжений. Напомним, что ротор транспонированного ротора тензора Ф называется тензором несовместимости (Ink) над Ф:
1пкФ = У>< (VX Ф)т-(1.13)
Это — симметричный тензор, если симметричен тензор Ф. Другое представление Ink Ф имеет вид
Ink Ф =―寸& + 2 def ▽•⑦一Ёу-^-Ф — (£V2 — ▽▽) Ф. (1.14) Здесь Ё — единичный тензор, ①=乙(Ф) — первый инвариант Ф; def а = % (▽〃 + ▽〃?)一 операция над вектором а, называемая «деформацией» этого вектора. Примером служит линейный тензор деформации 寥=def и. Условия сплошности (зависимости Сен-Венана) выражают обращение в нуль этого тензора:
Ink g = Ink def % = О.(1.15)
Вообще, для всякого вектора Ink def а = 0. Наоборот, если Ink Ф = О, то Ф = def а — существует вектор, деформацией которого является тензор Ф.
В частности, для тензора ЁФ = Ё I、(Ф)
Ink ЁФ =(总审—▽▽)ф(1.16)
а для тензора с равной нулю дивергенцией (▽•力 = 0)
Ink Ф =—审⑦ + Ink ЁФ.(1.17)
При отсутствии объемных сил таким тензором является тензор напряжений 个；вводя обозначение в = IY (Г), имеем согласно (1.16) и (1.17)
Ink 个=—^2个 + 宦厂2 - ▽▽)。(▽，= 0).(1.18)
Обратившись теперь к закону Гука для изотропного тела
2"倉=疗一小0瓦(1.19)
согласно (1.15) и (1.17) имеем
-^t + ^ (EV2一▽▽)。= 0, и。= °,(1.20)
причем второе соотношение получено образованием первого инварианта тензора в левой части (1.20). Итак, получены зависимости Бельтрами — Мичелла
▽少十岁(L21)
Известно, что тензор с равной нулю дивергенцией представим ротором другого тензора: — если ▽•疗=0, то Т7 — V X С; если, сверх того, тензор Т симметричен (Т = /'), то, введя еще в рассмотрение симметричный тензор Ф, следует принять 0 = (▽ X Ф)т； тогда Г = V X (V X Ф)т = =Ink Ф, Тт = (Ink Ф)т = Ink Ф ~ Т7, так как по условию Фг = Ф. Из этого следует, что уравнения статики сплошной среды при отсутствии массовых сил (V・f = 0,个=Тт) удовлетворяются, если принять
不=Ink 力(3=&т).(1.22)
Введенный Ю. А. Крутковым (1949), В. И. Блохом (1964) и Б. Финци тензор Ф называется тензором функций напряжений. Тензор напряжений Т останется неизменным, если в выражение Ф внесено слагаемое вида def а, где а — произвольный вектор. Это позволяет упрощать форму задания тензора Ф, сохраняя в его выражении только три компоненты. Таковы представления Максвелла (тензор Ф ——диагональный) и Морера (в Ф сохранены только недиагональные компоненты). В книге В. И. Блоха (1964) указаны еще три компонентных задания Ф в декартовых координатах; там же перечислено девять вариантов трехкомпонентных представлений Ф в цилиндрических координатах для случая симметрии вращения (см. также Ю. А. Прутков, 1949, стр. 108).
Преобразование Ю. А. Круткова. Возвращаясь к упругой изотропной среде и учитывая, что по (1.20) и (1.16) Wo> = — Ink 总о\ можно представить зависимости Бельтрами ——Мичелла в виде
Ink[& —* 宓)=0,(1.23)
так что тензор в скобках является деформацией над некоторым вектором с: ?2Ф —В = def с.(1.24)
Вместе с тем согласно (1.22)
о = 7\ (Ink Ф)=审⑦— ▽・▽・& = у2ф — ▽•仇 b = ▽•◎, (1.25) и это позволяет записать (1.24) в виде
У2Ф 一 а (У2Ф — V • b) = def с.(1.26)
Из этого соотношения исключается вектор с; образуя первый инвариант над тензорами в (1.26), приходим к равенству
=0, выражающему обращение в нуль дивергенции вектора в скобках; этот вектор является поэтому ротором другого вектора, но последний можно включить в состав вектора Ъ. Этим определяется вектор с и далее def с; подстановка в (1.25) приводит к уравнению
▽崎=± 宓(守⑦-▽ •⑴+ £ def 匕一二 VV0•(1.27)
Исключив теперь V20 из выражений (1.14), (1.22) и (1.27), приходим к представлению тензора напряжений t в упругой изотропной среде:
Т = ^Е (炉⑦-V&)-僚^ (def Ъ 一 VV^) •(1.28)
Теперь согласно (1.19) определяются тензор деформации 宫 и пол нему вектор перемещения и (отбрасывается перемещение твердого тела):
2隘=М def (▽①-ft)，21m =不▽⑦ 一 >(1.29)
установить соотношение связи только можно прийти, составив дивергенцию=(1.30)установить соотношение связи только можно прийти, составив дивергенцию=(1.30)Формулы Ю. А. Пруткова (1.28) и (1.29) представляют одну из форм общего решения уравнений линейной теории упругости; ими определяются по тензору функций напряжений Ф, удовлетворяющему дифференциальному уравнению (1.27), тензор напряжений Т и вектор перемещения и. Последние оказались зависящими только от 7\ @)=① и Ь = ▽ •◎. Поэтому достаточно, обратившись к (1.27), между этими величинами. К нему в левой и правой частях (1.27):
установить соотношение связи только можно прийти, составив дивергенцию
=(1.30)
установить соотношение связи только можно прийти, составив дивергенцию
=(1.30)
Полагая
b書多，(1.31)
мы удовлетворим этому уравнению (1.30), если вектор G — бигармониче- ский. Согласно (1.29) это приводит к решению (1.2) Галеркина — Буссинеска.
Частным решением уравнения (1.30) служит Ъ = ▽◎, а соответствующее однородное уравнение (при правой части, равной нулю) только значениями постоянных] отличается от уравнения (1.3) для вектора перемещения. Поэтому вектор Ь может быть построен по типу решения Папковича (1.4):
"= £^4 (1 一”)丑一▽(兄•* +&)] + ▽叱(1.32)
и подстановка в (1.29) приводит к представлению (1.4) вектора и.
Основываясь на формулах (1.30), (1.28) и (1.29), Ю. А. Крутков получил многочисленные другие «общие решения». Например, если ввести в рассмотрение вектор К с равной нулю дивергенцией и с ротором,
определяемым через векторы Ь и ▽①：
▽ z=o, VXK= ▽⑦一 2厶)，
то согласно (1.29) и (1.30) приходим, отбросив несущественный постоянный множитель, к решению Корна
^ = V X К — (Г— 2”)Ь (V2K = ▽ X 仇 У К = 0).
Интегральные уравнения пространственной задачи. Составление интегральных уравнений пр остр анственных краевых задач, преодоление трудностей, связанных с их изучением, доказательство существования и разыскание эффективных способов построения их решений — содержание многолетней работы В. Д. Купрадзе (1963) и его сотрудников.. Изложение методов и результатов этих исследований с подробной библиографией содержится также в монографии В. Д. Купрадзе, Т. Г. Гегелия, М. О. Башелейшвили и Т. В. Бурчуладзе, опубликованной в 1968 г.
Далее в этом очерке будут рассмотрены лишь первая и вторая краевые задачи пространственной теории упругости для изотропной однородной среды. Мы ограничимся при этом внутренней задачей ⑴ для односвязного конечного объема (卩° и внешней (е) для бесконечной среды (PJ, снабженной полостью. Предполагается гладкость поверхности О, ограничивающей Vi извне 亿一изнутри).
Потенциалы теории упругости. В рассмотрение вводится тензор Кельвина ——Сомильяны U (М, Q), определяющий перемещение 孤(М, Q) точки М неограниченной упругой среды, вызываемое действием единичной сосредоточенной силы е в точке Q:
孤(М, Q)= О" Q)е и(м, 0 = А-[4-] (1.зз>
(Е — единичный тензор, R = QM = гм — >q, R = | JR j ). Вектор nM-1 напряжения на площадке в точке М с нормалью пм определяется выражением
пм-Г = Ф(М, Q)・e, 6(М, Q)=
^気a」v) /?3 [(1一2y)(飽лг氏-五飽at) - 2 (1 - V)EnM*R-1?3篦^ .五w 专].
(1-34}
Пусть О — замкнутая поверхность {М и О); тогда
Jj 五 Х^(М, Q) doM = 0Jj 五 Х^(М, Q) doM = 0(1.35)(1.35)
Jj 五 Х^(М, Q) doM = 0
Jj 五 Х^(М, Q) doM = 0
(1.35)
(1.35)
и имеет место обобщенная теорема Гаусса
JjO(M, Q) doM^-E8 (Q),JjO(M, Q) doM^-E8 (Q),，16(0=1/20，16(0=1/20Qu%, QuQ Qu叭Qu%, QuQ Qu叭(1.36>(1.36>
JjO(M, Q) doM^-E8 (Q),
JjO(M, Q) doM^-E8 (Q),
，1
6(0=1/2
0
，1
6(0=1/2
0
Qu%, QuQ Qu叭
Qu%, QuQ Qu叭
(1.36>
(1.36>
(匕 一 объем внутри Q Ve — вне。).
Из введенных В. Д. Купрадзе векторных потенциалов теории упругости далее рассматриваются два: первый, подобный потенциалу простого слоя Л (Q) на поверхности О, и второй, подобный потенциалу двойного
«слоя В ((?):
A(Q) = ^a(MyU(M, (?) doM, 卫(Q) = J『b(M) •&(MQ)曲 м・
(1.37)
(1.38)
Очевидно, что 4 (Q) и 卫(Q) при Q £0 представляют решения уравнения теории упругости в перемещениях при отсутствии массовых сил.
Предельные значения на О изнутри и извне первого потенциала, обозначаемые через
▲MQo)= lim 4(Q), 4e(Qo)= lim 4 (Q),
VQQfQoygQo
равны его прямому значению, определяемому несобственным сходящимся интегралом
ЛЛ(Qo) = J J а (М)о -U(M, Q。)&ом*(Qo) = J J а (М)о -U(M, Q。)&ом*(1.39)(1.39)
Л
Л
(Qo) = J J а (М)о -U(M, Q。)&ом*
(Qo) = J J а (М)о -U(M, Q。)&ом*
(1.39)
(1.39)
аналогичные интегралом,аналогичные интегралом,формулам Племели,сходящимся лишь вформулам Племели,сходящимся лишь в卫(Q。)= j " (М) •方(М Qo) doM = о卫(Q。)= j " (М) •方(М Qo) doM = о]im [[ Ь(М)•&(М, Qo)doM I。/。-)]im [[ Ь(М)•&(М, Qo)doM I。/。-)
аналогичные интегралом,
аналогичные интегралом,
формулам Племели,сходящимся лишь в
формулам Племели,сходящимся лишь в
卫(Q。)= j " (М) •方(М Qo) doM = о
卫(Q。)= j " (М) •方(М Qo) doM = о
]im [[ Ь(М)•&(М, Qo)doM I。/。-)
]im [[ Ь(М)•&(М, Qo)doM I。/。-)
Для предельных значений второго потенциала имеют место соотношения
瓦・(Qo) = В(Qo)*b (Qo), Be{Qo) = B (Q°) + 当办 @),(1.40)
причем прямое значение определяется смысле главного значения：
(。(Qo, 8)— окрестность на О точки Q° с диаметром 2е).
При достаточном удалении точки Q и 匕 от поверхности О, JR —> -> —>q, согласно (1.33) и (1.37) имеем (cq = rQ/rQ)
関 A (Q) = ~уё而Y—v"q【В 一 4”) E-eQeQ] • J J 〃 (M doM;
это —— вектор перемещения в Q под действием приложенной в начале координат силы, задаваемой интегралом по О от плотности а (М).
Второй потенциал при Q —> Qg обращается в нуль не медленнее, чем 吋，и его можно трактовать как перемещение, создаваемое системой сил, распределенных по поверхности 0、с равным нулю главным вектором.
Интегральные уравнения. В первой краевой задаче вектор перемещения и (Q), принимающий заданное значение 0 (Q。) на поверхности О (объема Р» во внутренней задаче, полости во внешней задаче), разыскивается в форме второго потенциала теории упругости с неизвестной плотностью Ъ (М):
(1.41)(1.41)u(Q) = B(Q) = ^ Ъ(М)-Ф(М, Q) doM-
(1.41)
(1.41)
В случае внешней задачи это представление предполагает, что и (Qg) имеет порядок г。?； главный вектор сил, которые должны быть распределены по поверхности О полости, чтобы сообщить ее точкам вектор
перемещения 0 (Q。)，должен быть равен нулю. Поэтому решение первой внешней краевой задачи в форме (1.41) может существовать только при специальном задании 0 (Q。)，а в общем случае решение будет представлено суммой (1.41) и потенциала простого слоя (решения «эластостатической задачи Робена»).
Интегральные уравнения внутренней (%) и внешней (е) задач получаются из задания (1.41) путем предельного перехода Ит 孤(Q) = 0 (Q。) спо-
мощью формул Племели (1.40):
I® ^”Qo)-JJ b (М)・© (М, Q°)玄竝=一 0 (Qo),(1.42)
I⑹ …^办 ^0)+^Ь(М)-Ф(М, Qo) doM = 0 (Qo)•(1/3)
о
Несложно проверить, сославшись на (1.30) и (1.36) при 6 (Q)=工丨？， что задание Ъ (М) в# форме перемещения твердого тела
办* (М) = а% +(о х гм = 0о + s X rQo +(о X 兄 (1.44) является решением однородного уравнения, соответствующего (1.43)т 階)• • • 4•加(Qo) = JJ Ь^муФ (М, Qo)曲^ = 0.(1.45)
Вместе с тем 办(М)=——办* (М) является решением уравнения (1.42), когда поверхность О перемещается как твердое тело, тогда весь объем Vt также перемещается как твердое тело; что следует из (1.41) и (1.36) при б (Q) = 1.
Во второй краевой задаче на О задаются поверхностные силы 斤= =(九・7)о, а вектор перемещения разыскивается в форме первого потенциала
% (Q) = j j 〃(M)・U(M, Q) doM-(1.46)
о
Используя (1.34) после опущенных здесь (но нетривиальных) преобразований, приходим к интегральным уравнениям
II® . . . -J a (Qo) + \\ф^о.Муа{М) doM F (Qo) = (nQ • t)0, (1.47)
IM . .. 4 а (Qo) - j j ^ (Qo, M} - а (M) doM = - F(Q0) = (nQ f)0, (1.48)
причем 勿q —— нормаль, внешняя к 卩力
Выше указывалось, что интегралы в векторных уравнениях (1.42)— ——(1.43), (1.47)——(1.48) рассматриваются в смысле их главных значений —— эти системы уравнений сингулярны. Трудность дальнейшего исследования состоит в доказательствах применимости к ним теорем и альтернативы Фредгольма (при 卩 и ”，обеспечивающих положительность потенциальной энергии деформации); см. В. Д. Купрадзе (1963, 1968), а также С. Г. Михлин (1962).
Перепишем полученные уравнения в такой последовательности *):Перепишем полученные уравнения в такой последовательности *):(1.49)(1.49)Н)... ^ 办(Qo) — j"(M)・^(M, Qo)d°M= —&(Qo),II⑹• • • ^ a (Qo) -^ф^0^Муа^М} doM = 一歹(Q°);
Перепишем полученные уравнения в такой последовательности *):
Перепишем полученные уравнения в такой последовательности *):
(1.49)
(1.49)
I(e)• • • 4"办(Q。)+ J" (M)•⑦(M, Qo) doM = 0 (Qo),
)(1・5。)
• • • 〃(Q。)- j j Ф {Qo. M)-a (M) doM = F (Qo);
(/"), //(e)) и (/(e), //<г)) являются союзными парами.
Соответствующие однородные уравнения записываются в виде
1$), 1$). . . -J & (Qo)-^^b(My^(M,Qo)doM = 0,(1.51)
口俨，11$)...■|a(Qo) —九 Jj@(Qo,M)・a(M)d^ = 0,(1.52)
причем 九=1 для /卩)，П^ и 九=—1 для /<е\ 11^.
Существование и единственность решения задач 1(〃)и 1Ке). Достаточно проверить, что 九=1 не является собственным числом однородноге уравнения II俨)(значит, и союзного с ним уравнения I})),——доказывается, что предположение о существовании решения 口限)，отличного от тривиального (a (М)声 0), несовместимо с требованием положительности удельной потенциальной энергии деформации. Согласно теореме Фредгольма отсюда следует существование и единственность решений неоднородных уравнений 1КС)и 1(')при произвольном задании F (QJ в первом и 0 @) во втором.
Вторая внутренняя краевая задача 11(%). Союзное с II卜)уравнение 1仔)имеет нетривиальное решение (1.44). Нетривиальное решение поэтому имеет и D и согласно одной из теорем Фредгольма неоднородное уравнение 口⑶ может иметь решение лишь при условии, что его свободный член F (Q。)ортогонален (1.44):
оо(00 十(О х >Q)• F (Q) doQ = 00 •(00 十(О х >Q)• F (Q) doQ = 00 •оо
о
о
(00 十(О х >Q)• F (Q) doQ = 00 •
(00 十(О х >Q)• F (Q) doQ = 00 •
о
о
Вследствие произвольности г0 и(о это приводит к условиям обращения в нуль главного вектора и главного момента поверхностных сил. При их выполнении решение задачи 11(‘)определено с точностью до слагаемого перемещения тведоготела ——собственного решения союзного уравнения Це\
Эластостатическая задача Робена. Электростатической задачей Робена называют определение потенциала в окружающем замкнутую проводящую поверхность поле по заданному заряду на ней. В теорию упругости термин введен В. Д. Купрадзе (1963)——разыскивается напряженное состояние в неограниченной упругой среде, когда впаянному в нее твердому телу сообщается перемещение
■Wi (Q) = %。+(о X >q・ (1.53)
(1.54)(1.54)Решение задачи разыскивается в форме потенциала простого слоя w(Q^^a^MyU(M, Q) *
(1.54)
(1.54)
и доказывается, что за вектор плотности а° (М) в этом случае следует принять собственное решение задачи Пр), причем — F (Q。) = а° (Q。) (это непосредственно следует из интегрального уравнения П(е)). Таким образом, —а° (Qo) определяет распределение по поверхности смещенного твер-
"冗冗+3
дого тела О реакций среды на него. Назовем через a (Q。)и a (Q。)распреде- ления на О этих сил, вызываемые действием на тело единичной силы V = =々丸,приложенной по оси 々丸,и соответственно единичного момента ж = =ih. Пусть, далее, ^ = %「, ％ = %「X s ——система собственных решений 1$). При этих обозначениях т
a-и doQ = 8kr 3，丁 = 1, 2, . . ., 6).(1.55)
Этим определяются системы собственных решений интегрального уравнения П^\ орт он ормир ов анных с системой собственных решений 1$).
Первая в н е ш н я я краевая задача (1('))・ Задача имеет решение, если свободный член уравнения 1(‘)ортогонален собствен-
ному решению а° (М°) задачи 1項：
(1.56)(1.56)J j 0 (Qo) • 〃° (Qo) d% = 0.
(1.56)
(1.56)
Это условие вызывается не существом задачи, а принятым представлением и(Q) в форме второго потенциала. В рассмотрение вводится вектор
6у
0*(Qo) = 0(Qo)— 2。的(1.57)
и постоянные Dr определяются так, чтобы условие ортогональности (1.56) выполнялось для этого вектора. Согласно (1.55) имеем
j 5 ^* (Со) • ^ (Qo) doQ() = jj 0 (Qo)・a(Qo)曲 q° —% = 0(友=4,6).
Приняв теперь
зh
(1.58)(1.58)= 2 迎 j j 0 (Qo) • a (Qo) “OQo,h=l о
(1.58)
(1.58)
:,p 冗+з
s = 2 "々｝ ) * (Qo)・a (Qo) "oQo, 九=iо
получимполучим&* (Qo) = 0 (Qo) — ®o + 8 X rQo ).&* (Qo) = 0 (Qo) — ®o + 8 X rQo ).(1.59)(1.59)
получим
получим
&* (Qo) = 0 (Qo) — ®o + 8 X rQo ).
&* (Qo) = 0 (Qo) — ®o + 8 X rQo ).
(1.59)
(1.59)
Задача I(e) при свободном члене, равном 0* (Qo), имеет решение, и ею определяется при Q и 叭 вектор %* (Q). Задача Робена в форме (1.54) решается для определяемого согласно (1.58) перемещения %。+ s Х 夕q°,
и искомое решение задачи 1(‘)представляется суммой
% (Q) = %* (Q) + We (Q) (Q и 叭)・ (1.60)
В книгах В. Д. Купарадзе (1963, 1968) рассмотрены интегральные уравнения и вопросы существования их решений не только для задач статики, но и для установившихся колебаний упругой среды. Рассмотрен и ряд других краевых задач, анизотропные и неоднородные среды, уделено место задачам термоупругости, задачам для ограниченного объема и бесконечной среды, снабженных несколькими полостями. Преодолен ряд трудностей, связанных с сингулярностью изучаемых интегральных уравнений; предложены простые по идее (но не по реализации) способы численного решения этих уравнений (В. Д. Купрадзе, 1964, 1967).
Интегральное уравнение задачи 1(г) рассматривал в 1907 г. Дж. Лау- ричелла; Д. И. Шерман (1962) обобщил решение на случай упругого тела конечного объема с несколькими полостями.
В этот очерк не включены приближенные способы решения, основанные на применении вариационных принципов (методы Ритца — Тимошенко, Галеркина, Канторовича). Практика их применения развита в монографии Л. С. Лейбензона (1951). Большое число исследований посвящено изучению сходимости вариационных методов и оценкам погрешности (в ряде случаев двусторонним) приближенных решений (С. Г. Михлин, М. Г. Сло- бодянский).
Пространственные задачи теории упругости
Систематическое изучение пространственных задач теории упругости было предпринято Б. Г» Галеркиным. Используя найденное им представление общего интеграла уравнений теории упругости через три бигармо- нические функции (1930) и применяя ряды, он развивал с начала тридцатых годов метод расчета толстых плит, предполагающий выполнение условий для произвольных нагрузок на торцах и интегральных условий на боковой поверхности; им были изучены плиты прямоугольные, круглые, секторные, треугольные (1931, 1932). В 1931 г. Галеркин построил решение задачи о равновесии слоя, подверженного действию нормальной нагрузки. При помощи рядов, содержащих функции Бесселя и Ханкеля, Галеркин рассмотрел задачу о равновесии полого цилиндра и его части (1933), а позже получил частные решения задачи об осесимметричной деформации полой сферы (1942).
Вслед за этими исследованиями появилась работа Г. Н. Маслова (1938), в которой рассматривалось термоупругое равновесие толстой плиты, полого цилиндра и сферы при действии стационарного теплового потока.
Развитие задачи Буссинеска для полупространства дано В. Г. Ко- роткиным (1938), который исследовал случай приложения нагрузки по прямоугольнику ——постоянной и меняющейся по линейному закону. Задачи для полупространства при задании на границе смещений, а также случай сопряженных между собой полупространств рассматривались Д. И. Шерманом (1943, 1945). Решение, обладающее особенностью типа «центр» в некоторой точке полупространства, получено В. К. Федяниным (1965).
В последнее время появились работы, рассматривающие кручение полупространства (Н. А. Ростовцев, 1955; Б. Л. Минцберг, 1957) и упругого слоя (Я. G. Уфлянд, 1959); случай кручения многослойной среды 2 Механика в СССР, т. 3
(основания) обсужден В. И. Петришиным (1965); кручение двухслойной среды изучено Д. В. Грилицким (1961).
Задачи типа Буссинеска для анизотропной среды рассмотрел В. А. Свекло (1964). Появляются исследования, изучающие поведение по лупр остр анств а из неоднородной среды: С. Г. Лехницкий (1962) исследовал полуплоскость и клин с переменным модулем упругости, Л. Н. Тер- Мкртичьян (1961) рассмотрел пространственные задачи для неоднородной среды (задачу Буссинеска, симметрично нагруженный цилиндр). Более общий вид неоднородного полупространства и полуплоскости изучался Н. А. Ростовцевым (1964); задача Буссинеска для специального типа линейно деформируемой сплошной среды поставлена и решена А. И. Виноградовым (1966). Термоупругая задача для полупространства, граничащего со средой, температура которой задается гауссовым законом распределения, рассмотрена И. Д. Киллем (1966).
При помощи интегралов Фурье равновесие упругого слоя изучил Г. С. Шапиро (1942, 1944); им решена задача о передаче давления, распределенного по площади круга, через слой, лежащий на скальном основании; в соавторстве с Д. Ю. Айзенбергом (1950) им рассмотрена передача давления через слой с круговым отверстием. Передача давления через слой, лежащий на упругом основании, при условии полного слипания слоя и основания изучена Р. М. Раппопорт (1948).
Изгиб толстой плиты поверхностной гармонической нагрузкой исследовал С. Г. Гутман (1940); им же получено решение задачи об изгибе толстой плиты собственным весом (1941); позднее вопросами изгиба толстых плит занимались многие авторы (С. А. Алексеев, 1946; В. И. Блох, 1954; М. И. Гусейн-заде, 1956; В. К. Прокопов, 1963).
В 1942 г. А. И. Лурье предложил новый символический метод решения задачи о равновесии упругого слоя и толстой плиты, основанный на представлении решений уравнений пространственной задачи теории упругости в виде целых трансцендентных функций двумерного оператора Лапласа. Такое представление позволило упростить действия над степенными рядами, компактно записанными при помощи символических операторов, и, кроме того, естественным образом привело к нахождению нового класса решений, позволяющих уточнять выполнение граничных условий на боковой поверхности плиты. Эти решения были названы Лурье «однородными», так как они соответствуют условию отсутствия нагрузки на торцах плиты.
Символический метод Лурье в приложении к теории плит был затем использован Е. М. Кругом (1955), И. Г. Терегуловым (1961), Т. Т. Хачатуряном (1963), У. К. Нигулом (1963); в монографии В. А. Агарева (1963) расширяется область приложения символического метода к теории плит; дальнейшее приложение символического метода к теории плит в сочетании с принципом минимума потенциальной энергии дано В. К. Прокоповым (1965). В работах С. Г. Лехницкого (1959, 1962) символический метод используется при рассмотрении равновесия трансверсально-изотропного слоя и толстой плиты; им получены также соответствующие однородные решения. П. Ф. Недорезов (1964) решил символическим методом задачу о кручении многослойного полого цилиндра.
С помощью символического представления решений оказалось легко установить (А. И. Лурье, 1955), что в неограниченной плите (| z | V 无) отличны от нуля только компоненты Ьх, by, t%y тензора тепловых напряжений. Они выражаются через функцию М (力,у, z), играющую роль, подобную функции Эри в плоской задаче. Функция М определяется
квадратурами по заданному закону стационарного распределения температуры.
При помощи преобразования Фурье С. С. Дымков (1966) решил задачу о равновесии упругого слоя; такой подход позволил автору получить также асимптотические формулы для решения. Для слоя при заданных на его границах перемещениях (вторая основная задача) решение в рядах получено М. Д. Мартыненко (1964). Действие сосредоточенной силы внутри слоя рассмотрели О. Я. Шехтер и О. Е. Приходченко (1964); ими получено, в частности, решение задачи о действии вертикальной силы внутри слоя, лежащего на скальном основании. Случай слоя переменной толщины и круглой плиты переменной толщины при нагрузке, обладающей осевой симметрией, разобран И. И. Семеновой (1965).
Равновесие круглой толстой плиты, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, было изучено при помощи однородных решений Г. Н. Бухариновым (1952), применившим соотношение обобщенной ортогональности П. Ф. Папковича (1940); это соотношение было указано Папковичем для краевых условий функций однородных решений, соответствующих обращению в нуль самих функций и их первых производных на параллельных сторонах полосы; строгое обоснование метода Папковича было дано позднее Г. А. Гринбергом (1953). Равновесие круглой плиты под действием произвольной осесимметричной нагрузки исследовано при помощи однородных решений В. К. Прокоповым (1958). Осесимметричный изгиб круглой плиты в весьма общей постановке рассмотрен Б. Л. Абрамяном и А. А. Баблояном (1958); точное решение задачи о равновесии защемленной по боковой поверхности плиты при помощи бесконечных систем алгебраических уравнений дали В. Т. Гринченко и А.①.Улитко (1963); аналогичные результаты получены Г. М. Валовым (1962). Некоторые частные случаи осесимметричного изгиба толстых плит рассмотрены Н. Т. Глазуновой (1963). А. А. Баблоян (1964) исследовал неосесимметричное загружение круглой плиты, когда на боковой поверхности заданы перемещения (решение представлено в двойных рядах, коэффициенты которых находятся из бесконечных систем).
Бесконечная толстая плита с круглым отверстием рассматривалась в работе О. К. Аксентян (1965); использование однородных решений позволило решить задачу о концентрации напряжений вблизи отверстия сведением к бесконечной системе уравнений для коэффициентов при однородных решениях; М. Абеновой (1965) подобная же задача приведена к интегральным уравнениям типа Фредгольма.
Нестационарная задача о термоупругом (квазистатическом) равновесии толстой плиты рассмотрена А. А. Шевелевым (1965). Р. М. Раппопорт (1962) получила приближенные однородные решения для толстой плитыг построенные в педположении отсутствия поперечной деформации; последнее предположение приводит к ортогональным собственным функциям.
Упругое равновесие бесконечного цилиндра изучалось многими авторами. Осесимметричная задача о действии на полый цилиндр нормального давления, приложенного на участке боковой поверхности, была рассмотрена в 1943 г. Г. С. Шапиро; им было получено решение этой задачи при помощи интегралов Фурье — Бесселя (это решение было позднее повторено В. Н. Поповым, 1956). Однородные решения для сплошного и полого цилиндров при осесимметричной их деформации рассматривались В. К. Прокоповым (1949, 1950). Осесимметричная задача для бесконечного сплошного цилиндра, нагруженного нормальными усилиями по боковой поверхности, была изучена в 1953 г. А. И. Лурье; решение этой задачи,
представленное в форме интегралов Фурье, при помощи контурного интегрирования выражено через функции, соответствующие однородным решениям задачи о цилиндре; предельным переходом получено решение задачи об «опоясанном» цилиндре. Случай касательной нагрузки, а также задача об изгибе бесконечного цилиндра поверхностными усилиями ис- следованы тем же методом в статьях П. 3. Лившица (I960, 1963, 1964).
Сложное нагружение бесконечного цилиндра по его боковой поверхности, когда нагрузка представима интегралом Фурье по осевой координате и рядами Фурье по углу, было исследовано К. В. Соляником-Красса (I960). Им же рассмотрена и более общая задача о равновесии тела вращения, когда тригонометрические функции меридионального угла могут быть выделены в виде отдельных множителей в решении (1958); для полого цилиндра им было исследовано (1965) влияние нагрузки, распределенной на боковых поверхностях в направлении угла (р произвольным образом и представляющей собой полином от осевой координаты z (на торцах выполнялись интегральные условия).
Смешанная осесимметричная задача для бесконечного сплошного или полого цилиндра рассматривалась в статьях Б. И. Когана, А. Ф. Хрусталева, Ф. А. Вайнштейна (1958, 1959, 1963); функция напряжений Лява строилась ими в виде контурного интеграла, содержащего надлежащим образом подобранные функции, зависящие от параметров однородных решений для цилиндра; в работе Б. И. Когана и А. Ф. Хрусталева (1959) использован метод парных интегральных уравнений.
Равновесие конечного цилиндра, сплошного и полого, в осесимметричном случае изучалось при помощи однородных решений В. К. Прокоповым (1950, 1958); Г. Н. Бухаринов (1956) свел решение задачи об осесимметричной деформации сплошного цилиндра конечной длины к отысканию дополнительной функции, для которой составляется интегро-дифференциальное уравнение. В последние годы появилось много работ, посвященных осесимметричной задаче равновесия сплошного цилиндра конечной длины, в которых решение задачи сводится к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений (Б. Л. Абрамян, 1954; Г. М. Валов, 1962; В. А. Лихачев, 1965). Сжатие круглого цилиндра исследовалось Г. М. Валовым (1961) и Е. П. Мирошниченко (1957); равновесие вращающегося цилиндра рассмотрел В. Т. Гринченко (1964); им же дан очень обстоятельный анализ всех аспектов точного выполнения граничных условий в осесимметри та ой задаче для полубесконечного цилиндра (1965). Осесимметричная деформация цилиндра конечной длины, сделанного из трансверсально-изотропного материала, изучалась А. А. Баблояном (1961).
В отдельных случаях удается удовлетворить всем граничным условиям в задаче о равновесии цилиндра конечной длины, не прибегая при этом к решению бесконечных систем (см. Б. Л. Абрамян, 1958; Г. М. Валов, 1957, 1958).
Сложность одновременного точного выполнения всех краевых условий на поверхностях цилиндра заставила искать приближенных путей решения задачи; так, С. И. Тренин (1952) представлял напряженное состояние двумя тензорами: основным и корректирующим, причем последний не дает напряжений на боковой поверхности (однородные решения), а его параметры определяются энергетическим путем. Более общая (не осесимметричная) задача о полом цилиндре рассматривалась аналогичным образом В. И. Ионовым (1957); Я. С. Шайн (1962) дал построение корректирующего тензора в первом приближении.
Несимметричная деформация толстостенного цилиндра была изучена с помощью представления в рядах, содержащих функции Бесселя и Макдональда, в работе И. И. Смоловика и А. Н. Щепетева (1961) и в ряде работ В. С. Сумцова (1957—1959). Строгое выполнение граничных условий в общем случае нагружения полого цилиндра, приводящее к бесконечным системам, было осуществлено Э. Н. Байдой (1959, I960).
Разработке приемов, позволяющих свести исследование осесимметричной деформации толстостенного цилиндра к применению вычислительных машин, посвящены статьи А. Л. Квитки (1959).
Символический метод А. И. Лурье применительно к сплошным и полым цилиндрам, подвергаемым главным образом осесимметричному нагружению, был использован Ф. А. Гохбаумом (1964).
Приближенный метод расчета полых (и сплошных) цилиндров при осесимметричном их нагружении был предложен В. Л. Бидерманом (1946, 1950); представляя касательное напряжение в виде суммы произведений осевых и радиальных функций, Бидерман задавался подходящими функциями радиуса, а для осевых функций получал вытекающие из принципа минимума потенциальной энергии обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие в правых частях функции, зависящие от приложенных по боковым поверхностям цилиндра нормальных нагрузок; распространение метода на случай наличия касательных сил было осуществлено впоследствии В. Г. Горским (1963).
Другой приблишенный способ расчета полых цилиндров, нагруженных нормальной к боковой поверхности нагрузкой, указан G. В. Бояршиновым (1953), предложившим использовать для перемещений выражения, являющиеся обобщением применяемых в теории тонких упругих оболочек. Оригинальный метод последовательных приближений в приложении к задаче о равновесии цилиндра разработал Ф. М. Детинко (1953); им построено решение в рядах по степеням малого параметра (коэффициента Пуассона).
Стационарная задача о термоупругом равновесии полого цилиндра (в случае осевой симметрии) изучалась сперва П. М. Огибаловым (1954), а затем Ю. Н. Шевченко (1958), который учитывал изменение модуля упругости материала вдоль оси цилиндра. А. Н. Подгорный (1965) учел влияние торцов цилиндра, а также центробежных сил; задача решена приближенно с использованием вариационного принципа Лагранжа. П. И. Ермаков (1961) и В. А. Шачнев (1962) рассматривали стационарную задачу термоупругости для сплошного цилиндра конечной длины при осесимметричной его деформации; в первой из этих работ условия на торцах выполнялись приближенно, согласно методу Бидермана, а во второй ——решение задачи сведено к решению интегро-дифференциального уравнения. Стационарная задача термоупругости для бесконечного цилиндра с несколькими полостями сформулирована А. С. Космодамианским (1962) — как температурное поле, так и термоупругое состояние определяются методом Бубнова — Галер кина.
Нестационарная задача термоупругости для полого вращающегося цилиндра изучалась Ю. Н. Шевченко (1961), который выполнял условия на торцах приближенно, с помощью вариационного метода Кастильяно. А. А. Шевелев (1966) решал термоупругую задачу для бесконечного цилиндра, температура окружающей среды вокруг которого изменяется по экспоненциальному закону в функции времени; он определял зависимость максимальных тепловых напряжений от параметров нагревания, что дает возможность сформулировать оптимальную задачу.
И. Уздалев (1962) рассмотрел нестационарную плоскую осесимметричную задачу термоупругости для сплошных и полых цилиндров из анизотропного материала.
Однородные решения для полой сферы в случае осесимметричной ее деформации были указаны в 1943 г. А. И. Лурье; использование этих решений позволило решить задачу для полой сферы, срезанной конической поверхностью с вершиной в центре сферы у одного или у обоих ее полюсов; Лурье произвел также оценку точности решений, основанных на применении кинематических гипотез Кирхгофа — Лява к сферической оболочке.
Задача о равновесии полой сферы при произвольной ее деформации решена А. И. Лурье (1953) с помощью общего решения П. Ф. Папковича; благодаря удачному выбору четвертой функции и применению гармонических векторов автору удалось существенно сократить объем вычислений как в случае второй основной задачи, так и в случае первой основной задачи для полой сферы. Результаты исследований Лурье по пространственным задачам теории упругости собраны в его монографии (1955), где содержатся также решения задач о тяжелом и о вращающемся шаре, о сферической полости в неограниченной среде и др. ).
Другой метод решения задачи о сфере, основанный на связи между плоской и осесимметричной задачами теории упругости и использующий теорию аналитических функций, предложили А. Я. Александров и Ю. И. Соловьев (1962).
Сжатие, чистый изгиб и изгиб силой полой сферы, срезанной у полюсов коническими поверхностями, рассмотрены К. В. Соляником-Красса (1962); напряженное состояние в сферическом поясе, находящемся под действием внутреннего давления, изучал А. Ф. Улитко (1962).
Задача о напряженном состоянии тяжелого упругого массива вблизи вертикальной цилиндрической полости была впервые поставленаА.Н. Дин- ником (1925) в связи с вопросом о давлении горных пород; более подробно эта задача впоследствии изучалась С. Г. Лехницким (1938, 1940), в том числе для трансверсально-изотропного полупространства. Влияние цилиндрической полости на концентрацию напряжений при объемном напряженном состоянии исследовал С. Г. Гутман (I960). Учет действия внешних сил, приложенных на участке поверхности цилиндрической полости, находящейся в упругом полупространстве, произвел Г. Г. Чанкветадзе (1956, 1959); в других работах им рассматривалось упругое полупространство со сферической (1955) и цилиндрической (1956) полостями; его способ исследования основан на введении в осесимметричной задаче комплексного переменного и приложении методов Н. И. Мусхелишвили. Концентрация напряжений вблизи сферической полости в тяжелом полупространстве исследовалась Н. П. Флейшманом и В. Н. Гнатыкивом (1954).
Р. Н. Кауфман (1958) рассмотрела задачу об упругом слое, содержащем шаровую полость; метод ее решения состоит в переносе начала координат сферической системы и введении формул переноса для сферических функций; в другой статье Кауфман (1964) решила тем же методом
задачу о равновесии шара с неконцентрической шаровой полостью. П. И. Перлин (1964) построил решение второй основной задачи о равновесии полого эллипсоида вращения, внутренней поверхностью которого является сфера; Ю. Н. Поди ль чу к (1965) изучил в сферических координатах внутреннюю и внешнюю задачи для эллипсоида вращения. В упомянутых здесь четырех работах решение строится в рядах, коэффициенты которых должны определяться из бесконечной системы уравнений.
Н. Жарков (1963) поставил важную задачу о термоупругих напряжениях в гравитирующей сфере при произвольном законе распределения температуры; стационарная задача термоупругости для полой сферы, модуль которой есть степенная функция радиуса, решена И. Н. Даниловой (1962).
Задачу о равновесии конуса (сплошного и полого) при действии осесимметричной нагрузки рассмотрел в 1944 г. Г. С. Шапиро; им получены полиномиальные решения задачи для некоторых типов поверхностных нагрузок и для действия силы тяжести; иным способом эта задача исследована А. Я. Александровым (1962). Действие сосредоточенного момента, приложенного в вершине конуса, рассмотрел А. Ф. Улитко (I960); в другой его работе (I960) с помощью преобразования Меллина решается общая задача о равновесии упругого конуса. Упругое равновесие осесимметрично нагруженного конуса рассмотрел также К. В. Соляник- Красса (1955, 1962); решение представлено им в виде интеграла Фурье. В. Н. Ионов (1965) дал решение задачи об осесимметричной деформации конического тела; выполнение краевых условий приводит к бесконечной системе уравнений для постоянных корректирующего тензора. Кручение конуса поверхностной нагрузкой рассмотрено К. В. Соляником-Красса (1965) и П.①.Недорезовым (1965).
Задача о равновесии тяжелого параболоида вращения решена Г. С. Шапиро (1950); растяжение и изгиб параболоида, а также растяжение й изгиб тела, содержащего параболоидальную полость, рассмотрены К. В. Соляником-Красса (1958), в другой его работе (1958) исследовано сжатие эллипсоида и однополостного гиперболоида; кручение гиперболоида исследовали Н. Н. Лебедев и И. П. Скальская (1966).
При помощи тороидальных координат А. Ф. Захаревич (1952) рассмотрел равновесие вращающегося тора; В. А. Левшин (1962) построил решение задачи о полом торе, подвергнутом воздействию внешнего и внутреннего давлений. Кручение тора круглого поперечного сечения в связи с расчетом винтовых пружин с малым шагом витков подробно изучил К. В. Соляник-Красса (1950); решение получено им с использованием биполярных координат и содержит ряды, включающие гиперболические, тригонометрические функции и присоединенные функции Лежандра.
Растяжение круглого стержня, содержащего малую эллипсоидальную полость, исследовано К. В. Соляником-Красса (1958) с использованием эллипсоидальных координат. Н. А. Форсман (1958) решила задачу о концентрации напряжений в растянутом стержне круглого поперечного сечения в месте изменения толщины; решение получено в форме определенных интегралов, которые затем вычисляются приближенно.
С 1963 г. стали появляться работы И. И. Воровича и его учеников, л освященные построению асимптотических решений для плит и оболочек, причем за основу такого построения принимаются однородные решения соответствующей трехмерной задачи теории упругости; вариационным методом Лагранжа составляются бесконечные системы уравнений для
контурных значений искомых функций; решение этих систем строится в рядах по степеням толщины плиты или оболочки. Этим методом исследована задача изгиба плиты (О. К. Аксентян и И. И. Ворович, 1963,1964), а также осесимметричные задачи о равновесии цилиндрической и сферической оболочек (Н. А. Базаренко и И. И. Ворович, 1965; Т. В. Виленская и И. И. Ворович, 1966).
Классическая задача Ламе о равновесии прямоугольного параллелепипеда, нагруженного заданными усилиями по всем граням, привлекает к себе внимание многих исследователей, начиная с работ М. М. Филоненко- Бородича. В первой статье этого направления, опубликованной в 1946 г.г М. М. фи лрненко- Б ор одич ввел в рассмотрение косинус-биномы — последовательность неортогональных функций, обладающих полнотой в интервале их определения и обращающихся в нуль вместе со своими первыми производными на границах интервала.
В последующих работах М. М. Филоненко-Бородича косинуобиномы были им использованы для приближенного решения задачи об упругом равновесии прямоугольного параллелепипеда. Идея решения задачи состояла в разбиении тензора напряжений на две части: основной тензор, удовлетворяющий уравнениям рановесия и условиям загружения граней параллелепипеда, и корректирующий тензор, построенный при помощи косинус-биномов и их производных. Последний тензор, удовлетворяя уравнениям равновесия и нулевым граничным условиям, содержит произвольные постоянные, определяемые вариационным методом Кастильяно. М. М. Филоненко-Бородич (1951) изучил задачу о сжатии параллелепипеда равными и противоположно направленными нагрузками и рассмотрел термоупругое равновесие параллелепипеда; позже (1953) он распространил метод на случай цилиндрических координат; ему же принадлежат соображения о выборе основного тензора для любым образом нагруженного параллелепипеда (1957).
С. Кононенко применила метод М. М. Филоненко-Бородича при изучении задачи об изгибе толстой плиты (1953) и сжатии параллелепипеда между жесткими плитами (1954); случай косоугольного параллелепипеда рассматривал А. И. Мешков (1961); В. Н. Спихтаренко (1959) исполь^ зовал этот метод при расчете пластины, лежащей на упругом параллелепипеде.
Другой подход к решению задачи о равновесии упругого параллелепипеда развит в работах Б. А. Бондаренко (1961, 1963), который использовал полиномиальные решения уравнений теории упругости в перемещениях, причем произвольные коэффициенты в этих решениях определяются по методу наименьших квадратов.
Некоторые частные задачи для прямоугольного параллелепипеда, разрешимые в рядах, рассмотрены Г. М. Валовым (1959), А. П. Мелконяном (I960), А. А. Баблояном и С. М. Саакяном (1964).
Изучению задачи о равновесии параллелепипеда при помощи бесконечных систем посвящены две статьи Э. Н. Байды (1958, 1959). Более подробные исследования решения задачи о равновесии параллелепипеда при помощи бесконечных систем для разных типов нагрузки и различных краевых условий произведены в работах Г. М. Валова (1957—1959, 1966), G. М. Саакяна (1965), А. А. Баблояна и С. М. Саакяна (1964); в этом цикле работ рассмотрены как первая и вторая основные задачи, так и некоторые- типы смешанных и контактных задач, причем особое внимание обращена на доказательства регулярности (или квази-вполне-регулярности) получаемых бесконечных систем.
Задачи Сен-Венана и Альманзи
Как известно, задача о свободном кручении призматического стержня приводится к гармонической проблеме, методы решения которой хорошо разработаны. Ранние работы по теории кручения стержней посвящены решению этой задачи в замкнутом виде или при помощи тригонометрических рядов; к ним относятся статьи Б. Г. Галер кина, в которых исследовано кручение призмы с сечением в виде равнобедренного прямоугольного треугольника (1919) и призм параболического поперечного сечения (1924); ряд задач о кручении сечений, ограниченных алгебраическими кривыми, решен в работах Д. Ю. Панова (1935, 1937) и Д. Л. Гавры (1939); позднее кручением параболических призм занимался В. И. Блох (1959). Влияние радиальной трещины при кручении сплошного и полого валов изучено в статьях А. Ш. Локшина (1928) и В. Н. Лыскова (1930). Различным методам решения задачи теории кручения, включая и зкспе- риментал ьные методы, посвящена монография А. Н. Динника, вышедшая в 1938 г.
В 1925 г. Г. В. Колосов и Д. Л. Гавра впервые применили при решении задачи о кручении комплексные переменные, ими была рассмотрена задача о кручении некругового сектора с малым центральным углом. Фундаментальные результаты в этом направлении были получены Н. И. Мусхели- швили (1929), который показал, что задача кручения односвязных и двухсвязных областей сводится к отысканию функции комплексного переменного, отображающей данную область соответственно на круг или на круговое кольцо. Методы теории функций комплексного переменного применялись при решении задач кручения призматических стержней различного профиля в статьях Д. 3. Авазашвили (1940), А. В. Батырева (1953), X. М. Муштари (1938), А. Г. Угодчикова (1956) и др.
Р. О. Кузьмин (1946) использовал конформное отображение в иной форме; им получена удобная формула для непосредственного вычисления жесткости скручиваемого стрежня. Эта формула позволила вычислить жесткость для профилей, контур которых содержит угловые точки. Другая работа, в которой метод комплексного переменного распространяется на случай контура, содержащего угловые точки, принадлежит П. П. Куфа- реву (1937); способ Куфарева использован О. И. Бабаковой (1954) при рассмотрении кручения зетового профиля.
Методом конформного отображения Е. А. Ширяев рассмотрел кручение вала с радиальной, а также с продольной дуговой трещиной (1956), в другой работе Ширяева исследовано кручение круглого вала с двумя разрезами разной глубины, идущими вдоль диаметра сечения (1958). Кручение валов с круговыми выточками изучал А. А. Скоробогатько (1958, 1962). Кручение полых авиационных профилей при помощи теории функций комплексного переменного рассмотрел Г. А. Тирский (1959).
Приближенное решение задачи о кручении уголкового, крестообразного и таврого профилей при помощи конформного отображения получил В. И. Маховиков (1957). А. Г. Угодчиков (1956), развивая приближенные способы конформного отображения, рассмотрел кручение круглого вала с зубцами (шлицами) и трубчатый вал с внутренними зубцами (шлицевая муфта).
Новый способ решения задачи кручения и изгиба полых стержней предложил в 1948 г. Д. И. Шерман. Способ состоит во введении вспомогательной функции, связанной на одной из границ двухсвязной области с комплексной функцией кручения некоторым соотношением; эта
вспомогательная функция удовлетворяет интегральному уравнению Фредгольма, решение которого сводится к решению квазирегулярной (а иногда и вполне регулярной) бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Шерман решил этим способом ряд конкретных задач о кручении двухсвязных профилей, ограниченных окружностями и эллипсами (1950, 1951, 1953).
Дальнейшие теоретические изыскания в этом направлении, приведшие к решению ряда задач кручения полых стержней, проводились ,Д. И. Шерманом (1953, 1955, 1959), Р. Д. Степановым и Д. И. Шерманом (1952), Ю. А. Амензаде (1958); метод Шермана был использован в работах Л. К. Капаняна (1952, 1957), В. И. Яковлевой (1956), а также И. А. Бахтияровым (1959) для кручения коробчатого стержня, М. У. Исмаиловым (1959) в задаче кручения круглого вала с треугольной призматической полостью, М. И. Найманом (1958) в задаче кручения круглого вала с многогранной соосной полостью.
Точное решение задач кручения и изгиба призматических стержней, имеющих поперечное сечение, ограниченное двумя дугами пересекающихся окружностей («луночка»), было получено в 1949 г. с использованием биполярных координат Я. С. Уфляндом; подробное изложение решений задач изгиба и кручения для областей, допускающих решение в биполярных координатах, приведено в его монографии (1950). Позднее В. И. Блох (1956) опубликовал статью, посвященную применению биполярных координат к задаче кручения прямоугольника, образованного дугами ортогональных окружностей. Кручение стержня с линзообразным сечением рассматривали Я. И. Бурак и М. Я. Леонов (I960). С. А. Гриднев применил биполярные координаты при изучении задачи о кручении двухсвязного профиля (1963) и свел решение этой задачи к бесконечным системам.
Для области сектора кольца решение задачи кручения получено К. А. Китовером (1954). Для ряда областей, образованных дугами эллипсов и гипербол, точные решения задачи кручения в эллиптических координатах получены В. И. Блохом (1964).
Приближенные методы решения задачи о кручении и изгибе стержней разрабатывались Д. Ю. Пановым (1934, 1936, 1938); он развивал метод малого параметра и графический метод, изучал кручение стержней, близких к призматическим, кручение и изгиб винтового профиля; им рассмотрена также методом конечных разностей задача о кручении двутавровой балки и вала со шпонкой.
В работах М. Г. Слободянского по теории кручения (1939, 1940, 1951) метод конечных разностей применен только по одной переменной и решение задачи приводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений; этот метод позволил С л об одянск ому, а затем и А. М. Пивоварову (1953) вычислить коэффициенты концентраций во входящих углах полигопальных профилей. Аналогичный прием был употреблен В. Н. Фадеевой (1949) при решении задачи о кручении стержня трапецеидального сечения. Задачу о кручении прокатного уголка изучил Б. Н. Лоповок (1952). Б. А. Розовская (1940) методом конечных разностей рассмотрела задачу о кручении прокатных профилей (уголка, швеллера и двутавра); в другой ее работе (1956), а также в статье Е. П. Оболенского (1959) этот метод использован для решения задачи о кручении вала со шлицами.
Среди других приближенных методов решения задач об изгибе и кручении призматических стержней наибольшее значение имеют вариационные методы, завоевавшие большую популярность прежде всего благодаря работам Л. С. Лейбензона и Л. В. Канторовича. В первой работе Л. С. Лей-
Еензона по теории кручения, появившейся в 1924 г., исследовался вопрос о кручении винтового профиля; в ней было получено приближенное выражение для жесткости профиля винта на кручение. Дальнейшие уточнения зтой формулы были произведены В. П. Ветчинкиным (1926) и Д. Ю. Пановым (1937).
Большое значение имела работа Л. С. Лейбензона (1935) по теории изгиба призматических стержней, в которой подробно разработан эффективный вариационный метод решения этой задачи, исследован вопрос об определении центра изгиба профиля, а также впервые получена теорема о циркуляции касательного напряжения при изгибе. Дальнейшее развитие вопрос об отыскании центра изгиба получил в работах Н. В. Зволинского (1936), Д. Ю. Панова (1934) и Г. Э. Проктора (1936).
Результаты многолетних исследований Л. С. Лейбензона по теории изгиба и кручения стержней, а также по разработке эффективных приемов решения задач суммированы в его монограции (1943).
В 1933 г. Л. В. Канторович предложил новый приближенный метод решения задачи об отыскании минимума двойного интеграла, согласно которому проблема сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям (сходимость метода была им исследована позднее, 1941). В другой статье, совместно с П. В. Фрумкиным (1937), Канторович с успехом применил свой метод к решению задачи о кручении пр ям оу г о л ьник а и уголкового сечения, как симметричного, так и несимметричного. Т. К. Чепова (1937) рассмотрела кручение равнобочной трапеции, а также прямого и косого симметричных уголков; В. Л. Бидерман (1950) изучил кручение трапеции и равнобедренного треугольника; А. П. Карпов (1955) дал решение задачи о кручении ромба.
А. И. Лурье (1939) применил метод Канторовича к задачам изгиба и кручения симметричного профиля, ограниченного параллельными прямыми и алгебраическими кривыми, выражаемыми двучленными уравнениями. Весьма подробно рассмотрела задачи о кручении треугольников, прямоугольного и равнобедренного, Н. О. Гулканян (1953). Введением специального вида неортогональных координат Н. X. Арутюняну удалось решить задачи о кручении уголка и швеллера (1942), в другой работе он получил решение задачи кручения для эллиптического кольцевого сектора, изотропного или с анизотропией частного вида (1947).
Иной приближенный способ решения задачи о кручении призматического стержня, основанный на точечной интерполяции, указал Л. А. Галин (1939). Приближенное решение задачи о кручении стержня таврового сечения альтернирующим методом Шварца получил Б. А. Бондаренко (1956).
М. Я. Леонов предложил приближенный метод определения жесткости тонкостенных профилей, основанный на введении «средних линий» равных касательных напряжений (1956, 1957). Развивая этот метод, М. Я. Леонов (1957, I960), Г. С. Кит (1958, I960) и другие получили приближенные решения для ряда областей как односвязных, так и двухсвязных.
Г. К. Галимханов (1955, 1956) дал приближенное решение задачи о кручении лысочных валов, контур сечения которых составлен из дуг -основной окружности и хорд; постоянные в его решении определяются из условия обращения в нуль интегралов от функции напряжений, взятых по прямолинейным и дуговым участкам контура. Приближенные методы *были использованы для изучения задач кручения также Г. М. Саркисовым и Ю. А. Амензаде (1952) для правильных многогранных профилей, Л. М. Мительманом (1955, 1959) для квадрата, полукруга.
равнобедренного пр ям оу г о л ьн ог о треугольника и авиационного профиля, Л. В. Михайловым (1962) для стержня полукруглого сечения, ослабленного круглой цилиндрической полостью.
Задача о стесненном кручении призматического стержня произвольного поперечного сечения рассматривалась В. К. Прокоповым (1959) и для симметричного профиля — Г. П. Геонджяном (1959); в обеих работах предполагалось, что нормальные напряжения в стестенном сечении пропорциональны депланации свободного кручения, и применялся вариационный метод решения задачи; в качестве примера изучались эллиптическое и прямоугольное поперечные сечения. Стесненное кручение стержня прямоугольного поперечного сечения исследовал также В. П. Нетребко (1956); им использован метод М. М. Филоненко-Бородича в сочетании с принципом Кастильяно. В другой работе Нетребко (1954) тем же* способом изучена задача кручения прямоугольной призмы при заданном законе распределения касательных напряжений на ее торцах. Стесненное кручение полого эллиптического цилиндра рассматриваась С. А. Гридневым (1963).
Точное решение задачи об изгибе силой призматического стержня с сечением в виде кольцевого сектора дал в 1927 г. Б. Г. Галеркин; выражение для функции напряжений было им получено в виде ряда. В той же работе Галеркин изучил при помощи криволинейных координат симметричный изгиб силой консольного стержня, профиль которого ограничен дугами, парабол, парабол и прямой, дугами эллипса и гиперболы. Последний случай исследован также в статье В. С. Тонояна (1961).
Д. 3. Авазашвили (1940) построил решение задачи об изгибе консольного призматического стержня при помощи функций комплексного переменного. Конформным отображением на область кольца Б. А. Ободовский получил решение задачи об изгибе силой полого бруса эллиптического сечения (I960). Л. К. Капанян (1956) использовал приближенное конформное отображение при решении задачи изгиба для круга с криволинейным квадратным вырезом; В. Н. Ракивненко (1962) рассмотрел изгиб кругового цилиндра с двумя полостями с поперечными сечениями в виде квадрата.
Симметричный изгиб стержня, поперечное сечение которого составлено из прямоугольных областей, рассмотрел А. С. Боженко (1948); в другой статье (1954) он изучил несимметричный изгиб прокатных профилей (швеллер, двутавр, тавр) и определил положение центра изгиба. Н. О. Гулка- нян (1955) определила координаты центра изгиба равнобочной трапеции и равнобедренного треугольника приближенным методом. В замкнутом виде решение задачи об изгибе призмы с сечением в виде прямоугольного* треугольника дал Н. И. Попов (1954).
Д. И. Шерман распространил свой метод вспомогательной функции? на задачи изгиба полых призматических стержней и, в частности, рассмотрел случай эллиптического бруса, ослабленного круговой цилиндрической полостью (1953). Ряд задач об изгибе полых стержней методом? Шермана исследовал Ю. А. Амензаде: круг с эллиптическим (1955) и криволинейным (1956) отверстиями, круг с несоосным эллиптическим отверстием (1958) и др. Сечение в виде эллипса с двумя круговыми отверстиями изучил А. С. Космодамианский (I960).
В 1948 г. Н. X. Арутюнян предложил новый метод решения задачи о кручении стержней с полигональным поперечным сечением, сущность которого состоит во введении вспомогательных функций при отыскании функций напряжений и последующем сведении решения задачи к вполне-
регулярным бесконечным системам линейных алгебраических уравнений; затем им была рассмотрена задача о кручении уголка (1949). Методом Арутюняна были исследованы задачи о кручении стержней с разнообразными типами поперечных сечений; сечение в виде трапеции рассмотрели Б. Л. Абрамян и Н. X. Арутюнян (1951), швеллер и тавр — Е. А. Алек- сандрян и Н. О. Гулканян (1953), крестообразное сечение и цилиндр с клиновидными пазами — Б. Л. Абрамян (1949, 1959), коробчатый профиль с трещиной ——А. А. Баблоян (1958). Е. А. Александрян (1952) изучила случаи двутавра, квадрата и прямоугольника со срезанным углом и параллелограмма с углом в 45°; треугольное поперечное сечение и прямоугольник с трещинами исследовала Н. О. Гулканян (1952, 1953); сектор с зубцами рассмотрели Б. Л. Абрамян и В. С. Тоноян (1959).
Кручение (и изгиб) призматических стержней с полым прямоугольным сечением изучил в 1950 г. Б. Л. Абрамян; в другой статье им исследован случай круглого вала с продольными полостями (1959); в работе Б. Л. Абрамяна и А. А. Баблояна (I960) исследовано кручение круглого стержня с продольными выточками или зубцами, имеющего центральную круглую полость. Тем же методом вспомогательных функций и сведением к бесконечным системам Н. О. Гулканян (I960) изучила кручение прямоугольной призмы с двумя симметричными прям оу г о л ьными полостями. В. С. Тоноян {1961) дал решение задачи о кручении полого эл липтическ ог о стержня с продольными выточками. Обстоятельное изложение метода вспомогательных функций в применении к кручению призматических сплошных и полых стержней, а также к задаче кручения составных стержней и тел вращения можно найти в монографии Н. X. Арутюняна и Б. Л. Абрамяна (1963).
Приложение метода вспомогательных функций к задаче изгиба стержней полигонального профиля и сведение проблемы к бесконечным системам было дано в статье Н. X. Арутюняна и Н. О. Гулканян (1954); в этой работе найдены точные значения координат центра изгиба для тавра, швеллера и равнобокого уголка. Н. О. Гулканян (1959) нашла также координаты центра изгиба для сечения в виде прямоугольника с несимметричным прямоугольным вырезом.
Методом Арутюняна М. С. Саркисян (1956) рассмотрел задачу об об изгибе двутавра, Е. Я. Кирин (1963) — исследовал крестообразное поперечное сечение; В. С. Тоноян (1961) — сечение в виде эллипса с выточками. Работы А. А. Баблояна (I960, 1961) посвящены задаче изгиба круглого вала с продольными боковыми выточками, секторной призмы с зубцом и вала с зубцами.
Н. И. Мусхелишвили (1932) разработал теорию кручения и изгиба стержней, составленных из различных материалов и спаянных между собой вдоль боковых поверхностей; решение этой задачи для случая кручения двух спаянных между собой брусьев из разного материала приведено в его известной монографии (изд. 2 — 1935). И. Н. Векуа и А. К. Рухадзе (1933) изучили кручение круглого цилиндра, армированного круговым стержнем, а также кручение и изгиб составного стержня, сечение которого имеет вид конфокальных эллипсов; А. К. Рухадзе (1935) рассмотрел изгиб и кручение составного профиля, образованного эпитрохоидами; случай разграничения гипотрохоидами исследовал Г. А. Кутателадзе (1956). Кручение составного стержня с сечением в виде двух круговых сегментов, спаянных по хорде, при помощи биполярных координат рассмотрели В. М. Дзюба и А. III. Асатурян (1965).
Общей задаче о кручении составного стержня посвящена статья К. С・ Чобаняна (1955); в ней приведена теорема о циркуляции касателв- ного напряжения и рассмотрен вопрос о кручении составного стержня с сечением в виде тавра. В других работах К. С. Чобаняна рассмотрены изгиб составного стержня (1956), определение координат центра изгиба и кручение составного вала переменного диаметра (1958). Кручение многосвязного составного бруса исследовал И. В. Сухаревский (1954). А. Г. Угодчиков (1964) рассмотрел кручение и изгиб составных стержней, вставленных друг в друга; решение задачи строится им при помощи конформного отображения и сведено к бесконечным системам линейных, уравнений.
Задачи кручения и изгиба призматических анизотропных стержней были сформулированы в работах С. Г. Лехницкого (1938, 1942, 1956); результаты этих исследований и решения ряда других задач по теории упругости анизотропных сред суммированы в его монографии (1950). Еще раньше кручение анизотропных призм при помощи обобщенной мембранной аналогии изучал А. Ш. Локшин (1927), рассмотрев сечения в виде круга, эллипса, прямоугольника и параллелограмма. Некоторые задачи об изгибе и кручении анизотропных призм вариационным методом исследовал Л. С. Лейбензон (1940). Приближенному решению задачи о кручении анизотропного стержня авиационного профиля посвящена статья В. Д. Ванторина (1939); некоторые задачи о кручении анизотропного стержня рассмотрел приближенным методом Н. X. Арутюнян (1947,1948). Кручение анизотропного цилиндра изучили Б. Л. Абрамян и А. А. Баб- лоян (1958).
Изгиб и кручение анизотропного стержня с поперечным сечением в виде параллелограмма исследовались Р. С. Минасяном (1938). Ряд задач об изгибе анизотропных стержней рассмотрел В. С. Саркисян (1961, 1962), употребляя метод разложения в ряд по степеням малого параметра. Решая задачу изгиба анизотропного стержня при помощи конформного отображения, Е. Е. Антонов (1964) выразил координаты центра изгиба через коэффициенты отображающей функции. А. С. Космодамианский (1962) дал приближенное решение задач кручения и изгиба ортотропных стержней эллиптического профиля, снабженных полостями эллиптического поперечного сечения.
Задачи о кручении неоднородного призматического стержня решались Б. Л. Абрамяном (1951) и А. X. Манукяном (1952). В. С. Саркисян и В. В. Микаелян (1965) составили формулы для координат центра изгиба составного анизотропного стержня. В последнее время появились решения задач об изгибе (П. О. Галфаян, 1960, 1961) и кручение (А. А. Баб- лоян, 1959; П. О. Галфаян и К. С. Чобанян, 1959) тел, обладающих тонкими усиливающими покрытиями. С. Г. Лехницкий изучил некоторые задачи о кручении тел с переменным модулем упругости (1964, 1965).
В 1950 г. М. Э. Берман дал формулы для координат центра изгиба, выраженные через функции, решающие задачу кручения для стержня того же поперечного сечения; позднее к аналогичному результату пришел В. В. Новожилов (1957); В. К. Прокопов (I960) дал обобщение этих формул на случай многосвязного поперечного сечения изгибаемого стержня. Дальнейшее изучение указанного вопроса принадлежит Г. Ю. Джанелидзе (1963). В случае анизотропного стержня аналогичные результаты получил В. С. Саркисян (1961, 1966). К. С. Чобанян и В. В. Микаелян (1963) вывели формулы для координат центра изгиба сечения стержняг составленного из разных материалов.
Кручение тел вращения изучалось различными методами. А. Ш. Локшин (1923) рассмотрел при помощи криволинейных координат кручение конуса, эллипсоида, гиперболоида и параболоида вращения; в более широкой постановке задачу о кручении тел вращения в криволинейных координатах исследовал Б. А. Соколов (1944); им же рассмотрен вопрос о приложении метода Ритца к задаче кручения ступенчатого вала (1939). Кручение полого усеченного конуса изучил Н. Я. Панарин (1937).
К. В. Соляник-Красса использовал криволинейные координаты при решении задачи о кручении валов, снабженных полостями 1947) или кольцевыми выточками (1948, 1955); результаты этих исследований содержатся также в его монографии «Кручение валов переменного сечения» (1949). Тем же методом им был рассмотрен ряд задач об изгибе стержня переменного сечения, в частности исследована концентрация напряжений у сферической полости в цилиндрическом стержне (1955).
Оценку концентрации напряжений при кручении круглого вала с кольцевой выточкой, основанную на применении теории функций комплексного переменного в сочетании с вариационным методом, получил Г. Н. Положий (1957). Задача о концентрации напряжений при кручении в местах резкого изменения диаметра вала методом сеток изучалась Б. А. Розовской (1956, 1958). Кручение трубы с переменным сечением рассмотрели Ю. А. Амензаде и Г. М. Саркисов (1959).
Кручение анизотропных тел вращения исследовалось в работах С. Г. Лехницкого (1940), Д. В. Грилицкого (1957), Б. Л. Абрамяна и А. А. Баблояна (1958).
Действие усилий, распределенных вдоль боковой поверхности круглого вала, приводящее к его закручиванию, рассмотрели Н. В. Зволин- ский и П. М. Риз (1939), которые изучили равномерное и линейное распределение нагрузки. Более общий случай призматического стержня рассмотрели Л. С. Гильман и С. С. Голушкевич (1943) и П. М. Риз (1940). В статье Л. С. Гильмана (1937) решена задача о кручении упругого кольца парами, равномерно распределенными вдоль оси его. Случай равномерно распределенных вдоль образующих цилиндра скручивающих касательных усилий изучался С. А. Бакановым (1959). Кручение сплошного и полого круговых цилиндров осесимметрично распределенными поверхностными нагрузками рассмотрел при помощи рядов Фурье ——Бесселя В. И. Блох (1954, 1956); к той же проблеме для сплошного цилиндра возвращался П. 3. Лившиц (1962). Задачу о кручении анизотропного стержня усилиями, распределенными вдоль его боковой поверхности, решил С. Г. Лех- ницкий (1961).
Кручение ступенчатого вала нагрузками, приложенными по боковым и торцевым поверхностям и обладающими осевой симметрией, изучено Б. Л. Абрамядом и М. М. Джрбашяном (1951); решение задачи сведено ими к бесконечным системам линейных уравнений. Тем же методом Б. А. Костандян решил задачу о кручении полого ступенчатого вала (1956); им же рассмотрено кручение вала с кольцевой выточкой прямоугольной формы (1954) и кручение вала с насаженным на него диском (1958). Кручение конического стержня и цилиндрического стержня с конической частью изучил Б. Л. Абрамян (1958, I960); в соавторстве с Н. О. Гулканян им (1961) рассмотрено кручение полой составной полусферы.
Задачу о равновесии упругого призматического стержня при действии на него усилий, приложенных к торцам, и свободного от нагрузок по боковой поверхности называют задачей Сен-Венана; в линейной теории
упругости эта задача естественно распадается на две простые задачи (растяжение и чистый изгиб парами), решаемые элементарным путем, и две более сложные (кручение и изгиб силой), подробно рассмотренные выше. В нелинейной теории упругости существенным оказывается взаимное влияние, оказываемое различными нагрузками; необходим учет вторичных эффектов, изучение которых было начато в 1938, 1939 гг. в совместных работах Н. В. Зволинского й П. М. Риза. В последней из цикла этих работ (1939) рассматривалось кручение растянутого бруса. Н. В. Зво- линский изучил также кручение стержня, растянутого массовыми силами (1939). Задаче изгиба растянутого стержня посвящены исследования П. М. Риза (1939) и А. К. Рухадзе (1941), который рассмотрел также влияние на изгиб стержня парой изгиба от поперечной силы (1947). Вторичные эффекты, имеющие место при растяжении и изгибе составных стержней, были выявлены в работе А. Я. Горгидзе и А. К. Рухадзе (1943). Уточнение и развитие этих исследований проводилось в последующих работах А. Я. Горгидзе (1955, 1956), Р. С. Минасяна (1957), А. К. Рухадзе (1954), его же совместно с Д. Н. Долидзе (1957), В. X. Мецугова (1954, 1956). В этом цикле работ широко использовался метод малого параметра.
Задачи о деформациях слегка конических и естественно закрученных стержней заняли значительное место в исследованиях советских ученых; здесь также весьма полезным оказался метод малого параметра. Впервые этот метод был применен Д. Ю. Пановым при решении задачи кручения слегка конического стержня (1938). Задачи о растяжении, кручении и изгибе парами естественно закрученных стержней были изучены П. М. Ризом (1939). В более общей постановке, с и спользованием специальной системы неортогональных координат, задача Сен-Венана для естественно закрученного стержня была решена А. И. Лурье и Г. Ю. Джанелидзе (1940); позднее Г. Ю. Джанелидзе распространил этот метод на слегка конические стержни (1947). В декартовых, координатах изгиб закрученного стержня парами исследовали А. Я. Горгидзе и А. К. Рухадзе (1944), а изгиб поперечной силой —— А. К. Рухадзе (1947). Дальнейшие исследования уточняют и дополняют эти основные результаты; подробнее изучаются вторичные эффекты, усложняются схемы нагрузок (А. Я. Горгидзе, 1958, 1963), рассматриваются составные естественно закрученные (А. Я. Горгидзе и В. X. Мецугов, 1957; А. К. Рухадзе, 1956; А. Ф. Шарангия, 1955) и составные слабо конические стержни (С. В. Б ердзенишвили, 1957).
Метод малого параметра был с успехом применен также при решении задачи о равновесии стержня со слабо изогнутой осью; впервые задачи этого типа были решены П. М. Ризом (1940, 1947) и А. К. Рухадзе (1942). Впоследствии рассматривалось растяжение (Р. С. Минасян, 1954), изгиб парами (А. К. Рухадзе, 1953) и изгиб силой (А. Я. Горгидзе, 1956).
Растяжение и изгиб анизотропного стержня были изучены в 1949 г. С. Г. Лехницким. Позднее Г. М. Хатиашвили рассмотрел более сложную задачу ——анизотропный стержень со слабо изогнутой осью (1965); им же исследована задача Сен-Венана для составных анизотропных тел, близких к призматическим (1963).
Задача об упругом равновесии стержня, боковая поверхность которого нагружена усилиями, являющимися полиномиальными функциями осевой координаты, называется задачей Альманзи. Частный случай этой задачи, когда боковая нагрузка не зависит от осевой координаты, изучался еще Дж. Г. Мичеллом. В 1960 г. Г. Ю. Джанелизе опубликовал общий прием решения задачи Альманзи в напряжениях, сводящийся к решению ряда
двумерных задач, связанных друг с другом рекуррентными соотношениями. Этот прием дал общий способ р.ешения задач Мичелла —— Альманзи и открыл путь для применения методов теории функций комплексного переменного. Частный случай задачи Мичелла, когда на боковую поверхность стержня действует равномерно распределенная нормальная нагрузка изучил А. Л. Хасис (I960); им показано существование линии центров изгиба, для отыскания которой достаточно определить гармоническую функцию кручения задачи Сен-Венана. Для составных брусьев решения задач Сен-Венана. Для составных брусьев решения задач Мичелла и Альманзи было указано Г. М. Хатиашвили (1953, 1955). Классификация и последовательность решения краевых задач, возникающих в связи с задачей Мичелла, указаны А. И. Лурье (1966).
Действие боковой полиномиальной нагрузки на трансверсально-изотропный цилиндр, приводящее к его кручению и к осесимметричной деформации, изучалось С. Г. Лехницким (1961). А. С. Космодамианский (1956, 1961) рассмотрел задачи Мичелла и Альманзи для анизотропной балки. Г. Ю. Джанелидзе (1961) распространил предложенный им метод решения задачи Альманзи на случай анизотропного стержня. Подробнее эта задача рассматривалась Г. М. Хатиашвили, который исследовал задачу Мичелла для составных ортотропных и анизотропных стержней (1962), а также дал обобщение способа Джанелидзе на случай задачи Альманзи для составного ортотропного стержня (1964).
Смешанные пространственные задачи статики упругого тела
Под смешанными краевыми задачами математической теории упругости обычно понимают такие задачи упругого равновесия, когда на поверхности тела расположены линии раздела граничных условий различных типов. Если поверхность рассматриваемого упругого тела состоит из нескольких гладких граней, то могут представиться два основных качественно различных варианта смешанных задач.
В пределах каждой грани тип краевых условий не меняется. Простейшими примерами таких смешанных задач являются равновесие упругого слоя, на одной грани которого заданы напряжения, а на другой перемещения, а также аналогичные задачи для клина, полого цилиндра, конуса и др. Решения указанных конкретных задач можно получить по методу интегральных преобразований Фурье, Ханкеля и т. п. Как указано Г. Я. Поповым и Н. А. Ростовцевым (1966), общие проблемы подобного типа в принципе сводятся к бесконечным системам уравнений. Эти задачи в настоящем обзоре не затрагиваются.
Хотя бы на одной из граней тела имеется линия раздела краевых условий различного вида. Проблемы этого типа, сводящиеся, вообще говоря, к интегральным уравнениям, мы предполагаем здесь разобрать более детально, так как именно они дали толчок для развития, главным образом в' СССР, разнообразных методов решения многих важных смешанных задач теории потенциала и теории упругости. Вместе с тем к подобным смешанным задачам относится ряд прикладных вопросов и, в частности, контактные задачи и некоторые задачи о концентрации напряжений.
К настоящему времени наиболее детально изучены контактные задачи для упругого полупространства, деформируемого жестким штампом, круговым или эллиптическим в плане. Впервые подобная задача рассматривалась еще Ж. Буссинеском для случая осевого вдавливания без трения кругового цилиндра. К этой же категории задач относится классическая 3 Механика в СССР, т. 3
проблема Г. Герца о сжатии упругих тел в таких условиях, когда площадка контакта оказывается эллипсом. В дальнейшее развитие этого круга вопросов весьма существенный вклад внесли советские ученые. А. Н. Динник (1909) и Н. М. Беляев (1924) провели вычисление напряжений в телах, соприкасающихся по круговой или эллиптической площадке (см. также М. С. Кролевец, 1966). Значительное количество важных работ по контактным задачам было выполнено в тридцатых и сороковых годах. В. А. Абрамов (1939 и А. И. Лурье (1940) дали решение контактных задач о нецентрально нагруженном круглом и эллиптическом штампе. Существенные результаты в этом направлении получены И. Я. Штаерма- ном (1939, 1941, 1943), рассмотревшим различные случаи контакта тел вращения без предположения о малости поверхности их соприкосновения? а также впервые исследовавшим задачу о плотном прилегании штампа. В 1941 г. А. И. Лурье с помощью функций Ламе детально рассмотрел некоторые контактные задачи, причем разработал естественный и единообразный подход к задаче Герца и задаче о плотном прилегании. В работах М. Я. Леонова (1939, 1940) и Л. А. Галина (1946, 1947) дано дальнейшее обобщение ряда контактных задач для полупространства. Большой материал оригинального и обзорного характера, относящийся к рассматриваемым проблемам, содержится в монографиях И. Я. Штаермана (1949), Л. А. Галина (1953), А. И. Лурье (1955), а также в обзорных статьях Д. И. Шермана (1950) и Г. С. Шапиро (4950), в которых имеются ссылки на многие работы, не вошедшие в настоящий обзор.
В последующие годы развитие методов, основанных на использова- нии общих уравнений теории упругости и, в частности, функций Панко- вича ——Нейбера, позволило свести многие общие смешанные задачи упругого равновесия полупространства к некоторым классам смешанных задач теории потенциала. При этом в качестве основной из таких задач целесообразно выделить тот случай, когда на всей границе полупространства заданы касательные напряжения, в некоторой конечной области S граничной плоскости z = 0 известно нормальное перемещение 〃z = / (勿,g), а вне S (в области S') задано нормальное напряжение сг2 = о(/, z/). Так, для контактной задачи без трения и пригрузок имеем о = 0, а функция / определяется формой основания штампа. Существенно, что смешанные задачи указанного класса в конечном счете могут быть сведены к нахождению одной гармонической функции, заданной в S, причем в области S' известна ее нормальная производная. Советскими учеными были разработаны эффективные методы подхода к подобным задачам тео- рии потенциала, позволившие, в частности, дать точные решения некоторых контактных и сходных смешанных задач. Основными из этих методов являются следующие: применение сфероидальных и эллипсоидальных координат (А. И. Лурье); построение и использование функции Грина (Л. А. Галин; М. Я. Леонов, 1953); метод интегральных уравнений (И. Я. Штаерман; В. И. Моссаковский, 1953); использование тороидальных координат и интегральных преобразований (Я. С. Уфлянд, 1956, 1967); метод комплексных потенциалов (Н. А. Ростовцев, 1953, 1957). Мы здесь специально не выделяем метод парных интегральных уравнений, успешно развитый Я. Н. Снеддоном *), поскольку его эффективность существенно проявляется при решении более сложных смешанных задач, о которых речь пойдет ниже.
Названные, а также многие другие авторы за последние десятилетия дали исчерпывающие решения ряда новых смешанных задач пространственной теории упругости, в том числе и контактных. Так, Л. А. Галин (1947) и В. Л. Рвачев (1959) рассмотрели вопрос о вдавливании в полупространство клиновидного штампа; в работах Н. А. Кильчевского (1958, I960) даны обобщения задачи Герца и указана связь задачи об упругом контакте с некоторой экстремальной проблемой; В. Л. Рвачев (1956, 1957) решил задачи о штампе в виде полосы и многоугольника, а также рассмотрел случай штампа с основанием, ограниченным кривой второго порядка; работы Г. Я. Попова (1961, 1963) посвящены смешанным задачам для круговой области контакта и для штампа в виде полуплоскости и квадранта; Н. М. Бородачев (1962, 1964, 1966) и А. Ф. Хрусталев (1965) исследовали ряд термоупругих задач для полупространства. Особо следует остановиться на сложной задаче о действии на полупространство полого кругового цилиндра, известной в литературе под названием задачи о кольцевом штампе. Точное решение этой задачи связано с нетабулированными функциями кольца овального сечения (см. Н. Н. Лебедев, 1937). Различные приближенные методы решения этой задачи предложены в работах А. Я. Александрова (1955), Ю. О. Аркадьевой (1962), В. С. Губенко и В. И. Моссаковского (I960), К. И. Егорова (1963), Г. Я. Попова (1967). За последние годы наметился еще один подход к этой и сходным с нею задачам, основанный на использовании парных интегральных уравнений, связанных с преобразованием Мелера — Фока (В. Т. Гринченко и А. Ф. Улитко, 1963; А. А. Баблоян, 1964; А. Н. Руховец и Я. С. Уфлянд, 1965——1967), а также на применении тройных интегральных уравнений ) (Н. М. Бородачев и Ф. Н. Бородачева, 1966). Указанные методы позволяют получить эффективные приближения, основанные на численном решении интегральных уравнений Фредгольма.
В советской литературе было опубликовано большое, число работ, посвященных смешанным задачам, связанным с вопросами изгиба балок и плит на упругом основании. Укажем здесь только на исследования А. Г. Ишковой (1947), М. Я. Леонова (1939) и В. А. Пальмова (I960), относящиеся к изгибу круглой плиты на упругом полупространстве, а также на монографии М. И. Горбунова-Посадова (1953) и Б. Г. Коренева (1954, I960). Итоги многих работ этого направления и большую библиографию читатель найдет в обзорном докладе А. Г. Ишковой и Б. Г. Коренева (1966).
Наряду с контактными задачами, рассмотренные выше смешанные задачи теории потенциала для полупространства могут быть трактованы как задачи о деформации неограниченного упругого тела, ослабленного плоской щелью, занимающей область S (или S'). Действительно, в случае загружения берегов щели, симметричного относительно ее плоскости, достаточно рассмотреть полупространство, на границе которого в области S (или S') заданы напряжения, а вне ее отсутствуют касательные напряжения и нормальное перемещение. В случае антисимметричного загружения даже для круговой щели возникают некоторые дополнительные трудности, разрешенные в работах В. И. Моссаковского (1955) и Я. С. Уфлянда (1967), причем в последней работе эта задача рассмотрена как частный случай общей смешанной задачи, когда на всей границе полупространства задано нормальное напряжение, в области S (S') известно касательное смещение, а в области S' (S) заданы касательные
напряжения. Интересная задача о контакте двух различных сред, на общей границе которых имеется круглая щель, решена В. И. Моссаковским и М. Т. Рыбкой (1964); при этом осуществляется обобщение известного критерия Гриффита ——Снеддона на случай неоднородного тела (см. также статью тех же авторов, 1965). Из работ, относящихся к деформации тел со щелями, укажем еще на интересные статьи В. Т. Гринченко и А. Ф. Улитко (1965), В. М. Александрова и Б. И. Сметанина (1965), а также на работу Я. С. Уфлянда (1958), посвященную задаче о равновесии тела с плоским полубесконечным разрезом.
В большинстве рассмотренных работ, связанных с контактными задачами, предполагалось, что трение между штампом и упругим телом отсутствует. Значительно большие математические трудности представляет другой предельный случай, когда штамп и основание находятся в условиях сцепления (такая задача есть частный случай основной смешанной задачи теории упругости). В отличие от более простых смешанных задач, в этом случае дело сводится к отысканию двух гармонических в полупространстве функций с неразделенными краевыми условиями первого и второго рода. Впервые такая задача для кругового штампа была решена В. И. Моссаковским (1954) путем сведения ее к плоской задаче линейного сопряжения двух аналитических функций. Впоследствии Я. С. Уфлянд (1954, 1967) дал непосредственное решение этой задачи с помощью тороидальных координат и интегрального преобразования Мелера ——Фока. В статье Б. Л. Абрамяна, Н. X. Арутюняна и А. А. Баблояна (1966) осуществлен еще один подход к той же задаче, основанный на использовании парных интегральных уравнений. Контактным задачам при наличии сцепления посвящена также работа В. И. Моссаковского (1963). Решение основной смешанной задачи теории упругости для полупространства с прямолинейной границей раздела краевых условий дано Я. С. Уфляндом (1957) с помощью интегрального преобразования Конторовича ——Лебедева.
Исследованию поведения напряжений вблизи краевой линии штампа, находящегося в условиях сцепления, посвящена статья Г. Н. Савина и В. Л. Рвачева (1963).
Естественным обобщением классической задачи о вдавливании жесткого штампа в упругое полупространство является контактная задача для неограниченного упругого слоя. Исследования этих вопросов интенсивно проводились в СССР в пятидесятых годах, причем, в отличие от случая полупространства, здесь уже не удавалось получить точных решений, а можно было лишь свести соответствующие задачи к интегральным уравнениям. Первой работой здесь следует считать статью Б. И. Когана (1954), в которой составлено и численно решено интегральное уравнение первого рода для контактного давления между круглым штампом и слоем, лежащим на полупр остр анств е. Более эффективное решение сходной задачи дано Н. Н. Лебедевым и Я. С. Уфляндом (1958), которые рассматривали осевое вдавливание кругового в плане жесткого штампа в упругий слой, лежащий на жестком основании, при отсутствии трения.. Эта задача была сведена к парным интегральным уравнениям вида
j Ф (九)J。(g d九=/ (г)(0。V 〃)，оf九①(九)几(断)善3 = 0 ("V厂V8), bj Ф (九)J。(g d九=/ (г)(0。V 〃)，оf九①(九)几(断)善3 = 0 ("V厂V8), bg")g")九%+尸无九%+尸无九九+ ch九九sh kh '九九+ ch九九sh kh '
j Ф (九)J。(g d九=/ (г)(0。V 〃)，
о
f九①(九)几(断)善3 = 0 ("V厂V8), b
j Ф (九)J。(g d九=/ (г)(0。V 〃)，
о
f九①(九)几(断)善3 = 0 ("V厂V8), b
g")
g")
九%+尸无
九%+尸无
九九+ ch九九sh kh '
九九+ ch九九sh kh '
где а ——радиус штампа, h ——толщина слоя, / (г)——заданная функция, связанная с формой основания штампа, Ф (九)——искомая величина. Путем представления решения в виде квадратуры от новой неизвестной функции
второе уравнение удовлетворяется тождественно, а первое сводится к уравнению Фредгольма с непрерывным симметричным ядром. Такой путь решения дает возможность провести ряд числовых расчетов и, в частности, найти связь между перемещением штампа и осевой силой Р с помощью простой формулы
Р = 2冗)ср (%) dt.о
К. Е. Егоров (I960) применил сходную методику к случаю неосевого вдавливания штампа. В статье В. А. Пупырева и Я. С. Уфлянда (I960) и в монографии последнего (1967) дано решение общей смешанной задачи для упругого слоя, а также рассмотрен случай сцепления слоя и основания. Существенно указать, что метод парных интегральных уравнений позволил эффективно рассмотреть и более сложную осесимметричную задачу о сжатии слоя двумя штампами различных радиусов (Ю. Н. Кузьмин и Я. С. Уфлянд, 1967). И. И. Боровичи Ю. А. Устинов (1959) получили сингулярное интегральное уравнение непосредственно для функции Ф (九)и разработали приближенный метод его решения путем разложения в ряд по сте^ пеням alh. Аналогичный метод был применен Д. В. Грилицким к задаче о кручении многослойной среды при помощи сцепленного с ней штампа, а также к ряду сходных контактных задач. Метод парных интегральных уравнений позволил ряду авторов (см., например, Г. М. Валов, 1964; С. М. Котляр. 1964; В. И. Довнорович, 1964) решить различные контактные задачи для упругого слоя, в том числе и термоупругие. Контактные и смешанные задачи для анизотропных тел рассматривались С. Г. Лехницким (1950), Д. В. Грилицким и Я. М. Кизымой (1962, 1964), Р. Я. Сунчелеевым (1965, 1966).
Специальный эффективный метод подхода к • контактным задачам о воздействии штампа на упругий слой, основанный на непосредственном рассмотрении интегрального уравнения для давления под штампом, был предложен В. М. Александровым и И. И. Воровичем (I960, 1964). Решение задачи имело вид разложения по малому параметру ——отношению характерного размера штампа к толщине слоя. Существенно, что эффективные результаты при этом удалось получить не только для кругового, но и для эллиптического в плане штампа, а также для некоторых других форм основания. Указанный метод получил свое дальнейшее развитие в работах В. М. Александрова (1963, .1964, 1967) и других учеников И. И. Воро- вича (см., например, диссертацию В. А. Бабешко, 1966) и в настоящее время может считаться одним из наиболее эффективных для решения рассматриваемого класса контактных задач при произвольной величине отношения толщины слоя к характерному размеру штампа.
Из работ, посвященных более сложным контактным проблемам, отметим статью В. С. Губенко (I960), в которой исследуется вопрос о воздействии кольцевых штампов на упругий слой, а также работу И. И. Воро- вича и В. В. Копасенко (1966) о контактной задаче для полуполосы.
С помощью парных интегральных уравнений могут быть успешно решены задачи о концентрации напряжений в упругом слое, ослабленном соосными круглыми щелями, параллельными границам слоя. Простейшей задачей такого типа (Я. С. Уфлянд, 1959) является равновесие упругого слоя, содержащего в средней плоскости одну симметрично загруженную круговую щель. И. А. Маркузон (1963) исследовал этот же вопрос в связи с задачей о нахождении размеров равновесной трещины по способу Г. И. Баренблатта.
Из других работ, относящихся к равновесию тел со щелями и отверстиями, укажем на статьи В. В. Панасюка (I960), Н. Н. Лебедева и Я. С. Уфлянда (I960), Ю. Н. Кузьмина и Я. С. Уфлянда (1965), Ю. Н. Кузьмина (1966) и Н. В. Пальцуна (1967), а также на обзорную работу Г. Н. Савина, А. С. Космодамианского и А. Н. Гузя (1967).
Остановимся теперь на контактных задачах, относящихся к равновесию бесконечного цилиндра. При рассмотрении этих вопросов наиболее эффективным оказывается метод парных интегральных уравнений, связанных с преобразованием Фурье по осевой координате. Характерной особенностью этого способа является то обстоятельство, что в случае полубесконечной области контакта эти уравнения допускают точное решение с помощью методов теории функций комплексного переменного, опирающихся на возможность факторизации аналитической функции, заданной в полосе. Первой работой этого направления явилась статья Б. И. Когана (1956), посвященная изучению осесимметричного напряженного состояния бесконечного цилиндра, зажатого без трения в полубеско- нечную жесткую обойму. В пр едпо л ожении, что в области контакта задано постоянное радиальное смещение, задача сводится к парным уравнениям вида
Jf(k) e^dX = O 隽＞0),
J (М-2 + 2y)g(九)十九2/弘九)一 0
точное решение которых осуществляется построением некоторой мероморфной функции в виде бесконечного произведения. В более поздних работах Б. И. Когана, А. Ф. Хрусталева и Ф. А. Вайнштейна (1958—— 1965) эта методика была применена к различным смешанным задачам как для сплошного, так и для полого цилиндра, а также в случае трансверсальной анизотропии. Метод решения подобных задач, основанный на сведении их к интегральному уравнению Винера — Хопфа для контактного напряжения, разработан Г. Я. Поповым (1964). Им же дано решение контактной задачи для бесконечного цилиндра с двумя симметричными участками контакта. Укажем еще на статью Г. М. Валова (1966), где с помощью парных интегральных уравнений с тригонометрическими ядрами рассмотрена задача о кручении полого бесконечного цилиндра.
В самое последнее время было достигнуто существенное расширение области разрешимых контактных задач в связи с развитием нового аппарата парных рядов применительно к смешанным задачам для упругой сферы ). Под парными рядами (или парными сумматорными уравнениями)
понимается система уравнений
2 ^пАпКп (x) = fi (х) (〃OVc), n=0
2 Yn4K九(/) = /2 (z) (c v / V b), ?ъ=0
из которой надо определить коэффициенты Ап, причем предполагается, что ядра Кп (/) образуют на промежутке (а, 6) замкнутую систему, а числа а九 и уп заданы. С помощью парных рядов, содержащих разложения по полиномам Лежандра, в работах Н. X. Арутюняна, Б. Л. Абрамяна и А. А. Баблояна (1964, 1966) было решено несколько интересных задач о деформации упругой сферы, а также эллипсоида вращения при смешанных граничных условиях. Ими рассмотрено осесимметричное сжатие сферы двумя симметрично расположенными одинаковыми жесткими штампами в предположении отсутствия трения. Эту задачу удалось свести к парным рядам указанного выше вида при Кп (/) = Р^ ®, о^ = 〃十 1/2, уп = =彳 + Вп (величины рп при 〃一> 8 имеют порядок 1/汽)，а = —1, & = 1. Если обозначить через V (/) значение суммы первого из парных рядов при / > с, то решение сводится к интегральному уравнению
х1
0з 0⑶s(自，汾成=①⑺，
где
S(E, z/) = M2 2 ^nPn ©cos [^n + 4) arccosz/J ,
а Ф (x)——известная функция. Сходным приемом дано решение задачи о кручении упругой сферы двумя сцепленными с ней симметрично расположенными одинаковыми штампами. Методом парных рядов по полиномам Лежандра даны также решения некоторых смешанных задач о сжатии и кручении упругой сферы и вытянутого эллипсоида вращения. Наконец, рассмотрена контактная задача о вдавливании жесткого штампа в упругую сферу, причем парные ряды по полиномам Лежандра были сведены к бесконечной линейной алгебраической системе. В качестве примера рассматривалась сфера, покоящаяся без трения на полусферической выемке и нагруженная по остальной части поверхности.
Парные ряды по полиномам Лежандра могут быть также эффективно использованы с помощью бисферических координат при решении смешанной задачи о кручении полупространства со сферическим включением (см. А. Н. Руховец и Я. С. Уфлянд, 1967).
Отметим также интересную статью Н. М. Бородачева (1967), в которой парные ряды по функциям Бесселя использованы в осесимметричной задаче о вдавливании кругового штампа в торец полубесконечного цилиндра.
Необходимо указать еще на один раздел пространственных смешанных задач теории упругости, получивший в работах советских ученых большое развитие за последние годы. Речь идет о контактных задачах для линейно деформируемого основания и связанных с ними задачах о воздействии штампа на неоднородное упругое полупространство. Основоположные работы здесь принадлежат Б. Г. Кореневу (1954, 1957, I960)
В дальнейшем этими проблемами занимались В. И. Моссаковский (1958), Г. Я. Попов (1959), А. Ф. Раков и В. Л. Рвачев (1961), Н. А. Ростовцев (196.1, 1964) и ряд других авторов. Более подробные сведения по этим вопросам содержатся в обзорном докладе А. Г. Ишковой и Б. Г. Коренева (1966).
В заключение отметим, что значительное количество сведений и большая библиография по смешанным пр остр анств енным задачам теории упругости, изученным в последние годы, содержатся в обзорах Д. И. Шермана (1962), Б. Л. Абрамяна и А. Я. Александрова (1966), Г. Я. Попова и Н. А. Ростовцева (1966), Н. А. Кильчевского и Э. Н. Костюка (1966) В. Л. Рвачева (1967).
Постановка и методы решения задач плоской теории упругости
Одним из наиболее важных и хорошо разработанных к настоящему времени разделов теории упругости, где достижения отечественной науки особенно велики, является так называемая плоская задача теории упругости Успех в разработке плоских задач объясняется привлечением к их рассмотрению теории аналитических функций комплексного переменного. Первые и основополагающие результаты в этом направлении, определяющие современный вид плоской теории в целом, были получены в фундаментальных исследованиях Г. В. Колосова и Н. И. Мусхелишвили.
Под плоской задачей теории упругости понимают плоскую деформацию упругой среды, параллельную заданной плоскости (деформация длинного цилиндра со свободными основаниями), либо плоское ее напряженное состояние (деформация тонкой пластинки силами, лежащими в ее плоскости). Определение упругого равновесия в этих случаях сводится к решению краевых задач для бигармонического уравнения. К бигармоничес- скому же уравнению сводятся задачи равновесия упругих пластинок, подверженных нормальной нагрузке. Плоские задачи и задачи об изгибе пластинок в математической их формулировке весьма сходны между собой, сходны и методы их решений. Поэтому целесообразно совместное рассмотрение этих двух типов задач.
Общие комплексные представления решения плоской задачи. Основные соотношения плоской задачи в обозначениях Н. И. Мусхели- швили предполагаются известными. Область S, занятая упругой средой, представляет связную часть плоскости Оху, ограниченную одним или несколькими замкнутыми контурами без общих точек 厶，％, • • •, L^ Lm+i, причем последний охватывает все предыдущие. При отсутствии контура Lm+i имеем бесконечную область плоскости с отверстиями; рассматриваются также случаи, когда среди контуров Lk имеются разомкнутые части конечной длины или бесконечные (плоскость со щелями, полуплоскость с отверстиями и т. д.). Предполагается отсутствие массовых сил.
Напряжения и перемещения выражаются через комплексные потенциалы Колосова — Мусхелишвили ср (z),屮(z) по формулам
Хк + У« = 2 [q/ (z) + q/ (z)], j
У« — X% + 2%Ху = 2 [zcp〃屮(z) + 屮，(z)], j (5.1) 2卩(и + iv) = xcp (z) — zq/ (z)—屮(z).丿
Эти формулы впервые были указаны Г. В. Колосовым в 1909 г. в основоположном труде «Об одном применении теории функций комплексного
переменного к плоской задаче математической теории упругости». Их[стро- гое обоснование дано позже Н. И. Мусхелишвили (см. его монографию «Некоторые основные задачи математической теории упругости», 1933; изд. 5—1966).
В односвязной и конечной области S при отсутствии сосредоточенных сил и моментов потенциалы 屮(z) и 屮(z) голоморфны. В случае же конечной многосвязной области требования однозначности и конечности напряжений и перемещений в S приводят к представлениям
屮⑵=—"而(К)》(Xk + iY^ In (z — z^ + ф* (z), 'k=t
m (5.2)
屮 G)= 2 冗(〉7)2(^-^)ь(z^Zk)+r^,
где ф* (z) и 屮* (z) голоморфны в S, z月一точки внутри £为，Xk -[- iYk — главный вектор внешних сил на Lk. Для бесконечной области 5, когда контур Lm+i отсутствует, а поле напряжений в бесконечно удаленных частях тела конечно, представления 屮 и 屮 вблизи бесконечно удаленной точки имеют вид
(5.3)(5.3)屮(2)= -1?^7 m Z + % (z) -г Fz,屮⑵=乂 詰常7 m z + 5 (z) +「z.
(5.3)
(5.3)
Через комплексные постоянные Г, Г" определяются напряжения и вращение на бесконечности, X -\- (Y ——главный вектор внешних сил на полной границе L области, а (р0 (z) и гро ⑵ голоморфны в окрестности z = оо. Вектор перемещения на бесконечности ограничен при условиях Г = =「= О, X + IY = 0.
Формулировка основных задач плоской теории упругости. Под основными задачами плоской теории упругости обычно подразумевают следующие три.
Первая основная задача требует определения упругого равновесия тела, когда на его границе заданы внешние силы. Эта задача приводит к следующей граничной задаче теории аналитических функций:
T (力 + 力中‘(方)+ 2(4) = / (^) + c (方)на е, (5.4)
где / (力)——заданная на L функция, определяемая через внешние силы формулой
/0) = z j (X九十産九)必，о
причем s ——дуга контура Lk, отсчитываемая на каждом Lk от некоторой его фиксированной точки в положительном направлении, а С (力)=Ck на Lk, Ch ——комплексная постоянная.
Вторая основная задача заключается в определении упругого равновесия тела по заданным смещениям точек его границы. Для отыскания аналитических в области S функций 屮 и 屮 в этом случае мы будем иметь
граничное условие
乂 中(方)—力中'(方)-2 (%)=g (%)на L,(5.5)
где g (力)-—заданная функция, g (力) = 2卩(乂 十 tv) на L.
Основную смешанную задачу будем ради простоты формулировать для конечной односвязной области, ограниченной одним замкнутым контуром. В этой задаче на части границы U = а^Ьг-\- аф2+ • • - + ^n^n, где akbk (" = 1, . . ., п)——неперекрывающиеся дуги контура £, расположенные в определенном порядке, заданы внешние напряжения, а на другой части U =仇“2 + 匕2〃3 + . - . + Ьпап+1 (е九十丄=“丄)заданы смещения. Соответствующая задача теории аналитических функций имеет вид
"中(4)+4中'(4)+屮(方)=无(%)+。(方)，(5.6)
где h (力)——заданная функция,论=丄 при i Qt、"=——乂 при t, C 上"， С (z)=。为=const при t ^L'. С (力)=0 при t С £"•
Условия (5.4) или (5.5) должны быть соблюдены на каждом из контуров Lk. Постоянная С (力)，фигурирующая в правой части (5.4), может, вообще говоря, принимать различные значения на различных контурах. Только для одного из них она может быть зафиксирована как угодно (обычно полагают 。根+丄=0), а на других контурах они остаются совершенно п р ои зв о л ьными, подлежащими определению в ходе решения задачи. Совершенно так же постоянные Ck в правой части (5.6) (кроме одной, выбираемой как угодно) не задаются заранее и подлежат определению вместе с функциями 屮 и 屮.
В плоской теории упругости рассматривают также так называемую третью основную задачу, когда на границе среды задаются нормальная составляющая вектора смещения и касательная составляющая вектора внешнего напряжения. Это соответс твует соприкасанию упругого тела с жестким профилем заданной формы, когда контакт между упругим и жестким телами происходит по полной их границе.
Если произвольные постоянные в правых частях (5.4) и (5.6) зафиксированы, как указано выше, то дополнительные условия для 屮 и 屮 будут иметь следующий вид:
в первой задаче
Ф (0) = 0, Im ф' (0) = 0;
во второй и смешанной задачах
Ф (0) = 0 либо 屮⑼=0.
Зтим исчерпывается весь произвол в выборе функции 屮 и 屮.
Доказано, что если в случае первой задачи отвлечься от жесткого смещения тела как целого, а в случае третьей задачи для круга ——от жесткого поворота круга вокруг его центра, то каждая из поставленных задач не может иметь более одного решения. Для существования решения первой основной задачи необходимы условия равенства нулю главного вектора и главного момента внешних усилий, приложенных к границе области. При однозначности и непрерывности функции / (力)，фигурирующей в правой части (5.4), эти два условия сводятся к одному (Н. И. Мусхелишвили, 1966):
Re j /(%)袤=0.
В теории изгиба пластинок доказывается, что прогиб w (力,у) срединной поверхности тонкой однородной упругой пластинки, подверженной действию распределенной по ее поверхности нормальной нагрузки, удовлетворяет неоднородному бигармоническому уравнению
ААз =方，(5.7)
где q — интенсивность нагрузки, a D — цилиндрическая жесткость.
После отыскания какого-либо частного решения (5.7) мы можем по известной формуле Гурса представить общее решение этого уравнения □срез две аналитические функции ф и %, причем %，(z)=屮(z). Через них выражаются основные величины, определяющие напряженное состояние пластинки. Имеют место следующие формулы (С. Г. Лехницкий, 1938), аналогичные формулам Колосова ——Мусхелишвили:
Му-Мх + 2Шху = 40 (1 — V)启屮〃 (z) + 炉(z)] +М^-М^ + 2ХН}, |
Mx + My= ^8D(1-v) [ф" (z) + 而J] + 赋 + 邮，! (5.8)
而 K — iN»= ^W^^ + N^-iNl，I
Здесь Мх, Му ——изгибающие моменты, Нху ——скручивающий момент, Nx, Dy ——перерезывающие силы, приходящиеся на единицу длины; Мх, . • •, Ny — те же самые величины, относящиеся к выбранному частному решению уравнения (5.7). Степень определенности функций 屮 и 屮 такова же, что и в плоской задаче.
Для определения прогибов из уравнения (5.7) необходимо к нему присоединить граничные условия, соответствующие тому или иному характеру закрепления границы.
Здесь мы имеем следующие три основные задачи. Мы сформулируем их, имея в виду случай односвязной области, ограниченной замкнутым контуром..
Край пластинки заделан. Это означает, что на границе области S, занятой срединной поверхностью пластинки, должны иметь место соотношения
…，雾=。，(5.9)
где п ——внешняя нормаль к контуру.
Край пластинки свободен. Граничные условия имеют вид
V Дш+(1 —V)Гcos2 0 + sin2 0 + sin 20 ] = 0,I丿1 ду1 дхдуJ
дп 12 ds L \ dy2汲2 /1 dx dy 」 丿
где 0 ——угол, составляемый внешней нормалью с осью Ох; левые части равенств представляют собой соответственно изгибающий момент и обобщенную перерезывающую силу, отнесенные к единице длины и действующие на элемент пластинки с нормалью п.
Край пластинки оперт. Свободному опиранию края отвечают следующие условия:
ш = 0,]
〃如+(1 一亦舞COS2 9 +器 +麻sin2e] = 0・ I(5・11)
Кроме этих основных видов граничных условий, нередко встречаются особо интересные для приложения смешанные условия, когда, напримерг одна часть границы заделана, другая оперта, а остальная свободна.
Поскольку по граничным значениям функции ш и ее нормальной производной всегда можно найти граничные значения частных производных этой функции по / и 勿 задача I об изгибе пластинки вполне равносильна первой основной задаче плоской теории упругости; граничные условия задачи I в точности совпадают с условием (5.4), без какого-нибудь произвола в задании правой части последнего.
Условия на свободной границе (5.10), как это было отмечено С. Г. Лехницким (1938) и И. Н. Векуа (1942), приводят после их надлежащего преобразования к граничной задаче теории функций, вполне аналогичной (5.5). Разница заключается лишь в том, что постоянная 乂 в левой части (5.5) заменяется другой постоянной: 乂 = (3 + v)/(l — v), а правая часть задается с точностью до слагаемого вида iCt + &, где С — вещественная, С^ ——комплексная постоянная. Впрочем, в рассматриваемом случае односвязной области эти постоянные можно положить равными нулю.
Наконец, условия свободного опирания краев (5.11) можно записать через функции 屮 и 屮 в виде (А. И. Каландия, 1953)
(5.12)(5.12)Re{ W(0- (黑)2 "中〃⑺ + 卡⑺]} = gi (/
(5.12)
(5.12)
Re {寨[质G)+*中'⑺+屮⑼} =g24)
где gi, g2 — заданные на L функции,九о = 2 (1 + v)/(l — v).
Нетрудно убедиться, что задача (5.12) и третья задача плоской теории упругости равносильны между собой.
Из сказанного выше ясно, что методы решения плоских задач применимы иногда почти без всяких изменений к задачам изгиба тонких пластинок. Эта возможность впервые была использована А. И. Лурье (1928).
Методы решения плоских задач. Ниже дается краткая характеристика методов решения плоских задач, основанных на применении теории функций комплексного переменного *). Мы ограничимся главным образом рассмотрением случая, когда упругая среда заполняет конечную односвязную область, ограниченную замкнутым контуром. Основную область S, внутреннюю по отношению к £, будем здесь обозначать через S+, а внешнюю (дополняющую S+ до полной плоскости) — через S~.
Напомним некоторые элементарные понятия и предложения> относящиеся к теории аналитических функций и используемые в дальнейшем изложении.
Под интегралом типа Коши подразумевается выражение
方心)=嘉，芈^，(543)
L
где t —— аффикс точки контура £, a z — аффикс произвольной точки плоскости. Если z —— совпадает с точкой 力о контура £, то под интегралом (5.13) будем понимать его главное значение по Коши.
Функция 歹(z), определяемая формулой (5.13), голоморфна как в области S+, так и в 内一 и при достаточной гладкости плотности / (力)(например, если она удовлетворяет условию Гельдера на Л) непрерывна в соответ
ствующих замкнутых областях S + -}-L и S~ + L. Предельные значения этой функции слева и справа от £ в какой-либо точке tQ С 刀，обозначаемые обычно через F+ (力о) и 歹一(力о) соответственно, даются известными формулами Сохоцкого — Племели.
Функцию, голоморфную как в S+, так и в 5" и обладающую непрерывными предельными значениями F+ и F~, называют, следуя Н. И. Мус- хелишвили, кусочно-голоморфной. Пример кусочно-голоморфной функции дает при известных условиях относительно функции / (力)интеграл (5.13).
Для того чтобы заданная на L непрерывная функция / (力)являлась предельным значением некоторой функции / (z), голоморфной в S+, необходимо и достаточно, условие
嘉 J 汇粵=° А"я всех zA (5.14)
Аналогично, условием того, что6bl функция / (力)была граничным значением функции / (z), голоморфной в «，является равенство
j ■^^^-d± = const для всех z^S+. (5.15)
В случае, когда S+ представляет круг единичного радиуса, предыдущим условиям можно придать несколько иной, более удобный для дальнейших целей вид (Н. И. Мусхелишвили, 1966). По заданной функции / (z), голоморфной в S+, определим другую функцию комплексного аргумента согласно равенству
/*(Z)= /代)・ . (5.16)
Для этой функции мы будем иногда пользоваться обозначением 九(z)=7(9.(5.17)
Непосредственной проверкой условий Коши — Римана легко убедиться, что функция /* (z) голоморфна в области 5", включая бесконечно удаленную точку. Наоборот, если функция / (z) голоморфна в 5", то /* (z) будет голоморфной от z в области S+.
Обозначение (5.16) можно применить и в более общем случае, когда, например, / (z) имеет внутри S+ конечное число полюсов. Функция /* (z) будет тогда обладать полюсами тех же порядков в точках, являющихся отражением полюсов / (z) в единичной окружности.
Для граничных значений функции (5.16) будем иметь
友⑴=产6，笈(方)=尸6•(5.18)
Применяя (5.14) к функции /* (z), получим условие
嘉 J ^В^ = const для всех z£S+,(5.19)
L
необходимое и достаточное для того, чтобы непрерывная по окружности функция / (力)была граничным значением некоторой функции / (z), голоморфной в S+. Постоянная, фигурирующая в правой части равенства, имеет определенное значение / (0). Аналогично предыдущему, условие (5.15) примет вид
嘉 j 空粵=0 ДЛЯ всех Z £ S-・(5.20)
Операция (5.16) дает один из возможных способов конструирования голоморфной в 5" функции по заданной / (z), голоморфной в S+. Очевидно, что распространение голоморфной в круге функции на его внешность может быть осуществлено бесчисленным множеством способов. Однако именно указанный способ распространения является одним из немногих, которые полезны в приложениях.
Функция / (z), определяемая как в S+, так и в 5" формулой
J "z) при |^|<1,2 — 1 /*(z) при
очевидно, кусочно-голоморфна. Кроме того, / (z) аналитически продол- жима через те участки окружности | 方 | = 1, на которых Im / (力)=0. Последнее свойство / (z) непосредственно следует из (5.18).
Подобного рода распространение голоморфных функций часто используется в прикладных целях и в случае, когда S+ — полуплоскость. Тогда вместо (5.16) полагают (Н. И. Мусхелишвили, 1966)
戸(z)=戸& (5.21)
Из всех разнообразных методов решения плоских задач, известных в научной литературе к настоящему времени, коснемся здесь в основном лишь тех, которые непосредственно связаны с именами советских ученых 宜 вместе с тем наиболее эффективны как в смысле общих исследований граничных задач, так и для конкретного их изучения в частных случаях. Прежде всего, будем иметь в виду следующие четыре метода:
Метод степенных рядов с применением конформного отображения;
Приведение к функциональным (в частности, к интегральным) уравнениям с применением конформного отображения (случай односвязных областей);
общие методы, приводящие к интегральным уравнениям без конформного отображения;
приведение к задаче линейного сопряжения.
В ряде специальных случаев, особенно при изучении многосвязных сред, представляется целесообразным привлечение к рассмотрению того или иного сочетания методов.
Дадим ниже краткое описание указанных методов.
При решении плоской задачи часто бывает полезно предварительно отобразить конформно заданную область, заполненную упругой средой, на некоторую другую область плоскости вспомогательной переменной * В случае конечной односвязной области S, ограниченной замкнутым контуром, обычно прибегают к отображению на круг единичного радиуса, в случае конечной двухсвязной области — на круговое концентри- веское кольцо, в случае полубесконечной области с границей, уходящей в бесконечность в обе стороны,— на полуплоскость и т. д.
Мы укажем здесь один из вариантов применения конформного отображения в первом из указанных случаев (Н. И. Мусхелишвили, 1966). Пусть
Z = (О (W)
есть соотношение, реализующее требуемое конформное отображение единичного круга | ^ | < 1, контур которого мы обозначим через у, на область S. Функции 屮(z) и 屮(z), выраженные через новую переменную & будем обозначать 屮(W),屮(С)・
Граничные условия (5.4) первой задачи примут тогда вид
屮(о) +" (о) + 屮(о) = / (о) на %(5.22)
(о)
где о* — точка контура ?, о* = е^, / — заданная функция на у.
Предположим возможность следующих разложений в виде комплексных рядов Фурье:
鵠咚"鵠咚"，9) = 2 /炉，(при 丨 W 丨 V 1)，9) = 2 /炉，(при 丨 W 丨 V 1)(5.23)(5.23)中@ = 2аК*屮@ = 2風不,中@ = 2аК*屮@ = 2風不,о1о1оо(5.24)(5.24)и положим, что в единичном круге
鵠咚"
鵠咚"
，9) = 2 /炉，
(при 丨 W 丨 V 1)
，9) = 2 /炉，
(при 丨 W 丨 V 1)
(5.23)
(5.23)
中@ = 2аК*屮@ = 2風不,
中@ = 2аК*屮@ = 2風不,
о
1
о
1
о
о
(5.24)
(5.24)
Тогда на основании (5.22), при известных условиях относительно сходимости предыдущих рядов, мы приходим для определения неизвестных коэффициентов ak, 〃£ к следующим системам уравнений:
〃тп + 2 "“为"тп+^т =/тп(^ — 1 ? 2, .. •),(5.25)
k=i
“ти + £ "“^Ь-тп+^т =/-Tn(^ — 0,1^2, ...).(5.26)
Доказано, что бесконечная система линейных уравнений (5.25) разрешима, если соблюдены условия статики, и что ее решение, вместе с (5.26) дает решение рассматриваемой плоской задачи при достаточной гладкости заданной функции / (力).
Для практики особое значение имеет следующий факт. В случае, когда отображающая функция представляет собой полином
① «) = /С +。2? + .・.+ %广 & * °, % * 0),(5.27)
бесконечная система (5.25) вырождается в следующую конечную систему:
^т — -^т(^>〃+1),
(5.28)(5.28)(5.29)(5.29)〃£ + 〃丄仇十 2〃2b2 + • • • + П(1пЬп — /力
(5.28)
(5.28)
(5.29)
(5.29)
"2 +а1ь2 + 2。263 +•••十(" 一 1) ^п-Фn =/2,
"九+ "丄b九=/九,
а формула (5.26) дает
m+n+1 _"。耳b—772+为一丄==:/ -7П(т = 0,1,2,...).
k=i
Задача сводится к решению конечной системы (5.28).
Указанный прием, очевидно, применим и в случае отображения на круговое кольцо.
Метод степенных рядов в соединении с конформным отображением широко используется до сих пор при решении отдельных конкретных задач. Он применяется иногда и в несколько измененном виде (см., например, Д. И. Шерман, 1951; К. Грей, Quart. J. Meeh, and Appl. Math., 1951, 4 : 4, 444—448; M. Кикукава, Proc. Japan Nat. Congr. Appl. Meeh., 1953 & 1954).
Особо полезным для эффективного решения задачи оказался излагаемый ниже метод, сочетающий конформное отображение с применением аппарата интегралов типа Коши (Н. И. Мусхелишвили, 1966, §§ 78—85). Состоит он в следующем.
Исходя из граничного условия (5.22) и выражая условие, что 屮(о*) является граничным значением на окружности функции 屮(С), голоморфной внутри круга и обращающейся в нуль при С = 0, получим на основании (5.19) функциональное уравнение
屮 © + 鳥 J 黑期如=/ © (Z & S)‘ (5.30)
Доказано, что при фиксированной постоянной Тш [ф^О))^ ^)] уравнение (5.30) однозначно определяет функцию ф (С). После ее определения функция 屮(С) находится непосредственно из (5.22) с помощью интеграла Коши.
Функциональное уравнение (5.30) позволяет строить совершенно элементарными средствами точные решения задачи для широкого класса областей. Приближенное же решение можно в принципе получать для самого общего случая односвязной области.
Для иллюстрации сказанного рассмотрим случай, когда отображающая функция со (W)рациональна. В этом случае выражение
со (о) —，/ 、
3 (О)
фигурирующее под знаком интеграла в (5.30), будет представлять собой граничное значение функции
голоморфной вне % за исключением конечного числа полюсов — особых точек функции ①(С)・
Так как точка С в интеграле (5.30) лежит внутри 丫，этот интеграл вычисляется в конечном виде и будет представлять собой рациональную функцию, содержащую некоторое число неизвестных коэффициентов разложения ф (С). Для этих коэффициентов составляется конечная система линейных уравнений, откуда они всегда могут быть определены вполне однозначно.
Отсюда и следует известное предложение Н. И. Мусхелишвили согласно которому решение плоской задачи для рассматриваемого класса областей можно получить в квадратурах с точностью до решения конечной системы линейных алгебраических уравнений. В частном случае полиномиального отображения вида (5.27) функция ф (^) в (5.30) представится в виде суммы интеграла Коши Л (^) и полинома от 之 степени п,
содержащего в качестве неизвестных первые п коэффициентов самой функции ф (С). Линейная система уравнений, получаемая для определения последних, в точности совпадает с системой (5.28). Обе искомые функции, ф (С) и 屮(С), определяются в замкнутом виде через решение этой системы и заданную функцию /.
Если функция со (^) не рациональна, но разложение ее в круге известно, метод приводит к бесконечной системе линейных уравнений, а это позволяет строить приближённое решение задачи с любой заданной точностью.
Комплексное представление упругих полей в соединении с различными интегральными представлениями аналитических функций представляет удобный аппарат для сведения плоской задачей к интегральным уравнениям. В настоящее время известно несколько вариантов построения таких уравнений. Укажем некоторые из них.
Интегральное уравнение Фредгольма относительно 屮'(ст) можно немедленно получить из функционального уравнения (5.30), предварительно записав его в несколько ином виде и затем устремив точку С изнутри к точке окружности 丫 (Н. И. Мусхелишвили, 1966, § 79). Элементарное исследование этого интегрального уравнения позволяет доказать существование его решения (следовательно, и существование решения соответствующей плоской задачи), если, разумеется, в случае первой задачи для конечной среды соблюдены условия статики. Более подробное исследование этого уравнения провел Д. И. Шерман (1938). Он изучил распределение характеристических чисел интегрального уравнения и доказал, что оно разрешимо для обеих основных задач методом последовательных приближений.
Более общим, охватывающим случай многосвязных областей^ является метод приведения к интегральным уравнениям, не требующий предварительного конформного отображения. Один из таких методов был предложен Н. И. Мусхелишвили (1966, § 98). Сущность его мы разъясним в предположении, что среда конечна и односвязна.
В равенстве (5.4), выражающем граничное условие задачи, перейдем к сопряженным значениям и согласно (5.14) напишем условие того, что функция 屮(力) 一 граничное значение функции от z, голоморфной в S+. Мы получим тогда функциональное уравнение
ЛЛ/ (力)dt i~-z/ (力)dt i~-z= Для всех 2б5 ,
Л
Л
/ (力)dt i~-z
/ (力)dt i~-z
Если мы виразим то же самое условие для ф (力)и 屮'(力)，то будем иметь еще два других равенства, аналогичных предыдущему. Комбинируя эти три равенства, после предварительного перехода в них к пределу по 2 справа получим уравнение Фредгольма для(р (力，указанное Н. И. Мусхелишвили :'
而+ +，硒МП厘十亲/屮⑴d总=一/ （公• （5・32）
Весьма сходное внешне с предыдущим, но по существу совершенно другое уравнение плоской задачи было иным путем построено Д. И・ Шерманом, (1940), о чем мы скажем более подробно ниже.
4 Механика в СССР, т. 3
Согласно исследованиям Д. И. Шермана (1935——1937), уравнение (5.32) пригодно для любой многосвязаной области; оно всегда имеет решение, дающее решение соответствующей плоской задачи. Кроме того, к уравнению (5.32), предварительно, слегка измененному, применим метод последовательных приближений (Д. И. Шерман, 1940).
Интегральное уравнение плоской задачи, также пригодное для любой многосвязной области, было построено еще раньше С. Г. Михлиным (1934, 1935). Для этой цели в рассмотрение вводится так называемая комплексная функция Грина, а затем с ее помощью ——обобщенное ядро Шварца, аналитическое в области, но неоднозначное. В многосвязной области обобщенное ядро обладает свойством, аналогичным свойству обычного ядра Шварца для круга. Уравнение Михлина для односвязной области совпадает с уравнением (5.32). С. Г. Михлин провел исследование построенных уравнений; была доказана их разрешимость, а также применимость для их решения метода последовательных приближений. Результаты изложены в его монографии (1949), где содержатся т^кже применения ядра Шварца к решению плоской задачи в ряде частных случаев.
Исследования Л. Г. Магнарадзе (1937, 1938) показали, что уравнение Мусхелишвили сохраняет силу и в случае углов у границы, если интегралы, содержащиеся в уравнении, понимать в некотором обобщенном смысле.
Простая и удобная во многих отношениях форма интегрального уравнения в общем случае многосвязной области была найдена в 1940 г. Д. И. Шерманом. Дадим вывод уравнения Шермана, ограничиваясь по-прежнему случаем конечной односвязной области. Первую и вторую основные задачи будем на этот раз рассматривать одновременно, объединив их граничные условйя в следующее равенство:
4 中(方)十方屮'(方)+ 屮(4) = /(%) на L, (5.33)
где " = 1 в случае первой задачи и "=——乂 в случае второй. Следуя Шерману, положим в области S
LLco (力)dti — zco (力)dti — z
L
L
co (力)dti — z
co (力)dti — z
co (力)dti — z
где з (力) —— некоторая функция точки контура £, подлежащая определению. Переходя в этих формулах к пределу, когда точка z стремится изнутри к точке t°《L, и подставляя найденные граничные значения в (5.33), после некоторых простых преобразований получим соотношение
左 3 仇)+ 壶 J з ⑺ dln 号"一杀 J 砌 d = /(%).(5・35)
Это интегральное уравнение Фредгольма для со (£), о котором говорилось выше. Оно носит название уравнения Лауричеллы — Шермана.
В случае многосвязной среды целесообразно, следуя Шерману, несколько видоизменить представления (5.34), в результате чего изменится и уравнение (5.35).
Исследование показывает, что однородное уравнение Лауричеллы -^ Шермана не имеет нетривиальных решений и что единственное решение его дает по формулам (5.34) решение исходной граничной задачи.
Представление (5.34) применимо также к решению основной смешанной задачи. Однако в этом случае мы будем иметь дело с интегр а льными уравнениями, содержащими ядра типа Коши, теория которых разработана к настоящему времени с той же полнотой, что для уравнений Фредгольма (Н. И. Мусхелишвили, 1946, 1952; Н. П. Веку а, 1950).
Интегральные уравнения, безусловно, представляют удобное средство для общих исследований граничных задач, в частности для доказательства существования их решения. Но вместе с тем метод интегральных уравнений часто упрекают в недостаточной эффективности, и не без оснований. Попытки практического решения задач на основе этого метода, с его обычной схемой, использующей для счета дискретный аналог интегральных уравнений, малоутешительны даже при современных вычислительных средствах. Поэтому, ввиду отсутствия более приемлемого алгоритма решения для общего случая многосвязной области, приходится разыскивать специальные методы эффективного решения, приспособленные к тем или иным классам граничных задач.
В этом смысле приобретают важное значение различные комбинации перечисленных выше методов. Мы имеем в виду, прежде всего, сочетания функциональных уравнений с методом степенных рядов, метода линейного сопряжения функций с конформным отображением, а также более общие схемы решения, использующие попутно аппарат интегральных уравнений. Некоторые из этих специальных приемов будут указаны ниже.
В ряде работ Д. И. Шермана (см., например, 1947, 1951) был разработан эффективный способ решения плоской задачи для определенного класса (конечных и бесконечных) двухсвязных областей, ограниченных двумя замкнутыми кривыми. Основной чертой метода, определяющей класс допустимых областей, служит требование, чтобы плоская задача для односвязной области (внешней либо внутренней по отношению к одному из ограничивающих область замкнутых контуров) допускала решение в замкнутом виде. Таким образом, границей области могут служить окружности, эллипсы, правильные многоугольники с округлёнными вершинами и т. п. Пример бесконечной области — плоскость с двумя отверстиями требуемого вида. В рассмотрение можно включить и полуплоскость с двумя отверстиями (трехсвязная область), если считать отверстия расположенными далеко от прямолинейной ее границы, а на этой последней требовать удовлетворения граничным условиям лишь приближенно. Задачи этого типа особо важны для приложений в горном деле. При изложении сущности метода будем для определенности считать область S конечной, ограниченной кривыми 1^ (внутренней) и L2 (внешней).
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию со &), определенную на L2 согласно равенству
Ф (力)一力Ф‘代)-屮g)= 2 (о е) (方 на Z/2). (5.36) Склады вая и вычитая почленно равенства (5.36) и (5.4) на L2, получим» считая Q = 0：
屮(力)=з (力)+ /(Z), 1
屮⑶=一［砌+彳修⑼+炉⑶一彳⑺J (5・37)
С помощью ①(£) введем две новые функции 屮。(z) и 屮о (z) следующего вида: 屮。(z) = cp(z) —壶Qz),'
5 — _(5.38)
屮。(Z) = 2 (Z) + 壶 j e(屮曾屯山 一 G (z),
где
方 ^ G⑺及户丄打' 7 2冗% J t — z ' 2冗с J t — z
工2 工2
Если теперь мы доопределим искомые функдии 屮 и 屮，положив их вне L2 равными нулю, то равенства (5.37), как легко в этом убедиться, будут выражать условие аналитической продолжимости вновь введенных функций через контур L2- Для этих голоморфных всюду вне 厶丄 функций 屮。и 屮° на основании равенства (5.4) на " будем иметь граничное условие
фо (力)+ 才屮'(方)+ 屮0 ⑴=Q [大；CO (大)], (5.39)
где Q — некоторый линейный оператор.
Согласно основному требованию метода мы полагаем, далее, что вспомогательная плоская задача (5.39) разрешима в конечном виде.г Очевидно, это всегда будет именно так, если функция, отображающая область вне 0 на круг, рациональна.
По правой части Q, считаемой временно заданной функцией от t, находится методом функциональных уравнений Мусхелишвили (см. выше п. 3.3) решение задачи (5.39) в замкнутом виде, и найденные функции Фо,屮о вносятся в условие (5.36). Это дает для определения ①(方)соотношение в виде интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Затем используется разложение со (£) в комплексный ряд Фурье, и интегральное уравнение сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений.
В ряде случаев интегральные уравнения могут быть непосредственно применены к эффективным решениям задач. Мы укажем на одну возможность применения уравнения Лауричеллы — Шермана.
Предположим, что нам известна функция со (g), реализующая конформное отображение круга на область (внутреннюю либо внешнюю по отношению к контуру £). Если в уравнении (5.35) произвести замену переменной согласно равенству £ = з ⑹，то получим интегральное уравнение на на окружности единичного радиуса. Ядро этого уравнения элементарно выражается через со (о) и сохраняет простую структуру во многих случаях, например в случае любого отображения вида (5.27). Во всех этих случаях к вновь полученному интегральному уравнению применим метод рядов Фурье, что и приводит к эффективному решению задачи.
Под граничной задачей линейного сопряжения мы будем подразумевать следующую задачу: найти функцию 尸(z), голоморфную на разрезанной вдоль линии L комплексной плоскости, по граничному условию
ь+ (力)=a(方)ь一(力)+ Ь (方)， (5.40)
где а (力)и b «) — заданные на L функции, F+ (力)и 耳一 (t) — граничные значения на L искомой функции F (z) слева и справа относительно выбранного вдоль линии L положительного направления. Предполагается, что эти граничные значения существуют всюду, кроме, быть может, конеч-
ного числа точек С^ С2, . • •, Ст линии £, в окрестности которых F (z) допускает оценку
(А и а —постоянные, а< 1).
|Z —以'
Иногда разыскиваются решения граничной задач® (5.40), допускающие полюс в некоторой точке плоскости, не лежащей на £; обычно за такую точку принимается бесконечно удаленная точка.
Мы будем рассматривать задачу (5.40) при следующих предположениях: L состоит из конечного числа непересекающихся замкнутых или разомкнутых гладких контуров, функции а (力)и b (力)удовлетворяют условию Гельдера на L, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, 〃 (0，0.
В этих предположениях задача (5.40) решается в явном виде (в квадратурах). Решение (имеющее полюс на бесконечности) имеет вид
歹⑵參+ X (z)尸(z), ；(5.41)
где P (z) — произвольный полином, а X (z) — так называемое каноническое решение однородной задачи F+ «) = а «) F~ &), которое строится в явном виде (в квадратурах).
Для построения решения, имеющего определенный порядок на бесконечности, следует наложить определенные ограничения на полином Р (z), а также на функцию Ь 0) (см. Н. И. Мусхелишвили, 1966).
Сведение задач плоской теории упругости к задачам линейного сопряжения является одним из эффективных методов решения этих задач (особенно смешанных задач).
Для иллюстрации приведем решение основной смешанной задачи для полуплоскости путем сведения ее к задаче линейного сопряжения (Н. И. Мусхелишвили, 1966).
Пусть изотропное тело занимает нижнюю полуплоскость z/ < 0, которую обозначим через 5". Верхнюю полуплоскость обозначим через S+, действительную ось — через L, за положительное направление на L примем направление, ведующее от —оо к +оо.
Будем исходить из формул общего комплексного представления напряжений и перемещений, в частности будем пользоваться формулами
Уи 一 近^ =①(z) + 西十 z Ф7^ + W)，(5.42)
2n彦+号)=Y①"回J(5.43)
где ①(z) и 4r (z) 一 искомые голоморфные в области S~ функции, которые при больших I z I имеют вид
①(z)= 一信),
屮伍),
(X, У)——главный вектор внешних усилий, приложенных к L.
Вместо двух голоморфных в области 5" функций ①(z) и 4r (z) введем одну кусочно-голоморфную функцию Ф (z), определенную как в S, так и в S+, причем в верхней полуплоскости S+ она будет определена так, что ее значения будут продолжать аналитически значения Ф (z) в нижней
полуплоскости S" через незагруженные участки (если таковые имеются). Определим ①(z) в S+ следующей формулой:
①(z) = —Ф^) — z ①，0) — Т^
Эта формула дает выражение для функции T (z) через функцию ①(z), р аспространенную и на S+:
Т (z)=-①(z) - Ф~Й 一 z ①'(z);
следовательно, компоненты напряжения выражаются через одну функцию ①(z), определенную как в S+, так и в S".
В частности, будем иметь формулу
Yy 一 ZXg =①(z)—① ® + (z - ^) 6 (z),(5.44)
а из формулы (5.43) получаем
2卩(*£+ % 繁)=乂①⑶ + ① G)-侈-К 而•(5.45)
Пусть
представляет совокупность отрезков akbk действительной оси, и пусть на V заданы компоненты смещения, а на остальной части L" = L — V — внешние усилия. Без ограничения общности можно считать, что заданные на Z7 внешние усилия равны нулю (общий случай легко сводится к этому).
Будем считать, что функция Ф (z) непрерывно продолжима слева и справа на £, кроме, быть может, точек ak, bk, а в окрестности этих точек
I①(z) J2(z)IW丁 QV1)・
1z 一|z 一
Будем считать также, что
lim (z — z)①’(z) =0,
когда z стремится к точке t действительной оси, отличной от точек ak и bk. При этих предположениях из формулы (5.44) вытекает
0)+(方)=①一() на L",
т. е. функция Ф (z) голоморфна на всей плоскости, разрезанной вдоль L , и исчезает на бесконечности.
Из формулы же (5.45) будем иметь
① + (2) = 一Y ①-(力)+ 2卩 g‘(方) а c Г),(5.46)
где g (力)—заданная функция, g (方)=и (t) + i v (方),через “ (力)и v (力) обозначены известные на V граничные значения компонент смещения; будем считать, что производная g'(力)удовлетворяет условию Гельдера.
Применив формулу (5.41) для решения задачи сопряжения (5.46), получим
①(Z)=号+X (z) 尸 (力
где X (z) (каноническое решение) имеет вид
X(z)= h (z -"产"% 一如尸ТВ(6=登).
Так как Ф (z) исчезает на бесконечности, а порядок X (z) на бесконечности равен —тг, степень полинома Р (z) не должна превышать тг — 1:
Р (z) = С^ + С^ + . . . + J・
При сведении рассматриваемой задачи к задаче линейного сопряжения мы продифференцировали граничные условия вдоль отрезков а丸Ь&; следовательно, пока мы сумели удовлетворить граничным условиям вдоль akbk с точностью до постоянных слагаемых %. Остается учесть условия Q = Q = •— = % = 0, однако, как легко видеть, достаточно удовлетворить условиям
С]=方 и^ • • • н^ %•
Эти условия сводятся к следующим:
J (и + wz) dt = g (ak+i) — g (b^(友=1,2,…，тг—1).(5.47)
П одставляя в равенства (5.47) вместо 〃 (t) + tv (方)ее выражение через функцию Ф, получим систему п —— 1 линейных уравнений.
Старший коэффициент Со полинома Р (z) определяется через заданный вектор (X, У) внешних усилий:
「 X + iY
Подставляя значение Со в систему (5.47), получим относительно коэффициентов С1? С2, . • •, Cn_i систему п ——1 линейных уравнений. Эта система однозначно разрешима на основании теоремы единственности решения основной смешанной задачи.
Методы теории функций комплексного переменного, о которых выше шла речь в связи с плоской задачей теории упругости, были существенно развиты в исследованиях И. Н. Векуа применительно к более общим задачам теории дифференциальных уравнений в частных производных. В монографии И. Н. Векуа (1948) именно с этой точки зрения исследуется обширный класс эллиптических уравнений в случае двух независимых переменных и даются приложения развитого автором аппарата к различным вопросам теории упругости (стационарное колебание упругого цилиндра, изгиб тонких пластинок и др.).
Здесь же следует упомянуть о многочисленных применениях тех же методов в теории упругих оболочек (И. Н. Векуа, А. Л. Гольденвейзер, Г. Н. Савин).
Наряду с методами теории функций комплексного переменного, позволяющими осуществить решение плоской задачи для областей сравнительно общего вида, эффективные решения для некоторых областей конкретной формы могут быть найдены частными приемами, например с помощью интегральных преобразований Фурье и Меллина.
Преобразование Фурье является весьма удобным аппаратом для рассмотрения различных задач упругого равновесия бесконечной полосы. Простейшие решения подобного рода были найдены еще Л. Н. Дж. Фай-
лоном. Эта методика, получившая широкое развитие в работах советских авторов, в конце тридцатых годов была обобщена и суммирована в известных монографиях П. Ф. Папковича (1939, 1941). В последующем различными авторами было рассмотрено значительное количество новых задач, относящихся к деформациям полосы, полуполосы, соответствующих слоистых сред и анизотропных тел, тепловым напряжениям и др. Не имея возможности их перечислить, отошлем читателя к обзорным работам Д. И. Шермана (1962), Г. Я. Попова и Н. А. Ростовцева (1966), монографиям С. Г. Лехницкого (1957) и М. П. Шереметьева (1968).
Укажем еще на статьи И. Г. Альперина (1930), М. Я. Беленького (1952) и С. Е. Бирмана (1954), относящиеся к смешанным задачам для бесконечной полосы, а также на работы И. А. Маркузона (1963), В. С. То- нояна (1963, 1964), в которых некоторые классы смешанных задач для полуплоскости, полосы и квадранта решены с помощью парных или тройных уравнений, связанных с преобразованием Фурье.
Ряд интересных задач получил свое разрешение с помощью аппарата интегралов Фурье в биполярных координатах. Задачи подобного рода, относящиеся в основном к круговым луночкам, рассматривались Я. С. Уф- ляндом (1950, 1963), Г. Н. Савиным (1951), М. А. Савруком (1957), В. В. Еганяном (1959, 1964) и другими авторами.
Некоторые плоские задачи теории упругости для бесконечного клина допускают точное решение с помощью интегрального преобразования Меллица. Первоначальные исследования этого круга вопросов принадлежат И. Г. Братцу и В. М. Абрамову (1937). Задача о действии на клин сосредоточенной силы впервые рассматривалась А. И. Лурье и Б. 3. Брач- ковским (1941). Анизотропный клин исследовался П. П. Куфаревым (1941). Библиография по указанным задачам имеется в книге Я. С. Уф- лянда (1963).
Развитие метода интегральных преобразований Фурье и Меллина в сочетании с аппаратом интегралов типа Коши содержится в работах С. М. Белоносова (1962), относящихся к областям с угловыми точками и, в частности, к полосе и клину (см. ниже п. 6.1.4).
Основные результаты исследования задачплоской теории упругости
В этом параграфе мы расскажем о некоторых конкретных результатах теории плоских задач, полученных в СССР за истекшее пятидесятилетие. Работы, которых мы коснемся, в основном тесно связаны с методами комплексного переменного и в этом смысле служат иллюстрацией применения и дальнейшего их развития.
Решение основных задач для однородной среды. Первые результаты конкретного содержания, относящиеся к равновесию плоских профилей, были получены Г. В. Колосовым и Н. И. Мусхелишвили.
Методом, указанным в п. 5.3.2, Н. И. Мусхелишвили дал простое решение первой и второй основных задач для круга, кругового кольца и бесконечной плоскости с круговым отверстием. Было разобрано множество частных примеров для различного вида внешних воздействий. Для областей подобного рода, разумеется, не требуется предварительное конформное отображение. Применив конформное отображение, Мусхелишвили решил трудную по тому времени задачу о равновесии сплошного эллипса. Позже эту же задачу решал Д. И. Шерман другим приемом (см. п. 5.3.6).
Методом же степенных рядов была исследована в эффективном виде задача о софокусном эллиптическом кольце (А. И. Каландия, 1953). Алгоритм эффективного решения этой задачи был еще раньше указан М. П. Шереметьевым, использовавшим метод функциональных уравнений в соединении с конформными отображениями (см. п. 5.3.3).
Только что названный метод оказался наиболее удобным для односвязных областей. Как это было выше отмечено, он всегда приводит к эффективному решению, если отображение области осуществляется рациональной функцией. Первые применения метода были указаны самим Н. И. Мусхе- лишвили, давшим замкнутые решения основных задач для ряда конкретных случаев. Из этой серии задач мы выделим равновесие кругового диска под действием контурных сосредоточенных нагрузок и бесконечную пластинку с эллиптическим отверстием. Результаты Мусхелишвили, о которых здесь говорится, были получены автором в его работах двадцатых и тридцатых годов (среди них следует особо отметить его мему ар, опубликованный в 1922 г.). Все эти результаты вместе с другими, принадлежащими тому же автору, подробно изложены в не раз цитировавшейся выше монографии Н. И. Мусхелишвили.
Отметим здесь одно важное применение этого же метода, указанное Г. Н. Савиным. Будем рассматривать задачу о концентрации напряжений в бесконечной пластинке, ослабленной каким-либо отверстием. Считая контур отверстия прямолинейным многоугольником, отобразим внутренность круга на область вне отверстия с помощью интеграла Шварца — Кристоффеля. Разложив этот интеграл в ряд по степеням 工 и удержав в ряде конечное число первых его членов, мы получим приближенное отображение, переводящее окружность в близкую к исходному контуру кривую вида
п
z = 3@ = C(V+2 以不) (6.1)
или, в частном случае,
z = C(^+^L), (6.2)
где С, С卜, т — некоторые постоянные. Изменяя в (6.1) постоянные С, С卜,п, можно получить отверстия в форме круга, эллипса, овала, криволинейного треугольника и четырехугольника и т. п. При отображении (6.1) метод немедленно приводит к решению в замкнутом виде, а это предоставляет возможность приближенного решения задач указанного вида.
Этим путем Г. Н. Савин и его ученики рассмотрели большое число конкретных задач о концентрации напряжений при различных формах и конфигурациях отверстий в однородном поле. Решения этих задач доведены до численных результатов, представленных в виде таблиц и диаграмм. Кроме того, в случаях, особо важных для приложений, построены графики распределения контурных напряжений. Сходным образом решаются Савиным задачи об изгибе тонкой пластинки с отверстием, подверженной действию моментов и нормальных усилий на бесконечности. Подробное изложение относящихся сюда результатов дано в книге Г. Н. Савина (1951), сыгравшей важную роль в последующей разработке этого круга вопросов.
Одновременно с Г. Н. Савиным вопросами о напряжениях в пластинках с отверстиями в форме криволинейных многоугольников занимался М・ И. Найман (1937, 1958), который применил оригинальный подход
к подбору приближенного отображения; он изучал в основном кручение брусьев, ослабленных продольными выточками.
Метод, изложенный в п. 5.3.3, применим с некоторым видоизменением и к случаю полубесконечных областей, когда границей среды служит кривая, удаляющаяся в бесконечность в обе стороны. В этом случае удобнее пользоваться отображением на полуплоскость. Применение метода в общей постановке доказано в монографии Н. И. Мусхелишвили (1966), где приведено также решение некоторых частных задач подобного рода.
Особый интерес для приложений представляет задача о концентрации напряжений в полуплоскости, ослабленной вырезом или имеющей выступы у прямолинейной границы. Задачам этого типа было за последнее время уделено много внимания, особенно за рубежом (Г. Нейбер, М. Сейка, С. Шиоя).
Подход Н. С. Курдина к этим задачам представляется наиболее удачным. Ему удалось, применяя метод Мусхелишвили, детально разобрать некоторые интересные случаи указанного вида (1962).
Возмолшость применения методов теории функций к задачам об изгибе пластинок впервые была иллюстрирована в работе А. И. Лурье (1928), где рассматривалась пластинка с опертыми краями, область срединной поверхности которой конформно отображается на круг посредством рациональной функции. Более подробное изучение этого вопроса было позже проведено А. И. Каландия (1953). В другой работе А. И. Лурье (1940) даются тем же методом замкнутые решения трех основных задач теории изгиба для случая круга. Здесь, как и в предыдущей работе того же автора, использовался метод Мусхелишвили (п. 5.3.3.).
Цитированная выше работа С. Г. Лехницкого (1938) содержит систематическое применение методов комплексного переменного к задачам об изгибе пластинок. В ней выводятся общие комплексные представления основных величин для изотропного и анизотропного случаев, в окончательном виде формулируются основные задачи в терминах комплексного переменного и дается их решение в некоторых частных случаях.
Указанные работы А. И. Лурье и С. Г. Лехницкого явились началом интенсивных исследований в теории изгиба пластинок.
Методом п. 5.3.3 М. М. Фридман (1945) нашел решение некоторых конкретных задач об изгибе пластинки с криволинейным отверстием, изгибаемой моментами и усилиями, приложенными по ее краю.
Особое внимание уделялось задаче равновесия пластинки с опертыми краями. Изучению ее посвящены работы 3. И. Халилова (1950), М. М. Фридмана (1952), Д. И. Шермана (1959), А. И. Каландия (1953).
Метод линейного сопряжения функций (см. п. 5.3.7) оказался весьма удобным средством для общих исследований задач, а также для эффективного их решения в специальных случаях. Он обладает явным преимуществом перед другими при изучении смешанных и контактных задач, где важно уметь выделять особенности решения. Задачи этого типа будут рассмотрены ниже в отдельном разделе.
Применение метода линейного сопряжения функций к плоским задачам впервые было указано в работе Н. И. Мусхелишвили (1941), где рассматривался случай упругой полуплоскости. Решения основных задач в этом случае были найдены в простой и весьма изящной форме. Дальнейшее существенное обобщение метода было предложено И. Н. Карцивадзе (1943), распространившим его на случай круговой области, а также на более общий случай отображения на круг посредством рациональной функции.
Тому же автору принадлежат первые результаты применения метода к решению конкретных задач для указанных областей. Результаты Кар- цивадзе подробно изложены в книге Н. И. Мусхелишвили (1966). Смешанная задача для плоскости с круговым отверстием рассматривалась Б. Л. Минцбергом (1948).
Этим же методом Н. И. Мусхелишвили указал решение в замкнутой форме третьей основной задачи плоской теории упругости (см. стр. 53—55).
Задачу сопряжения с жестким профилем другими методами изучал Г. Н. Положий. Граничные условия задачи были предварительно подвергнуты некоторым преобразованиям, упрощающим форму этих условий на прямолинейных участках границы. Это и дало возможность автору указать решение задачи в явном виде вначале для выпуклых многоугольников (1949, 1950), а затем, после проведения довольно тонких исследований о поведении напряжений в угловых точках при условии непрерывности вектора смещений, для многоугольников самого общего вида, а также для бесконечной плоскости с произвольным многоугольным отверстием (1957).
Изучая основные плоские задачи для односвязных областей с углами, С. М. Белоносов (1954, 1962) предложил метод их решения, позволяющий дать теоретическое обоснование практического приема приближенного решения, основанного на закруглении углов. Конформное отображение данной области на полуплоскость Re ^ > 0 позволяет для отыскания комплексных потенциалов ср и 屮 применить аппарат одностороннего преобразования Лапласа. В результате приемом, аналогичным указанному Н. И. Мусхелишвили (1966, § 78, 79), строятся интегральные уравнения довольно простой структуры, применимые в известном смысле к областям с угловыми точками. Если контур L не содержит угловых точек и вообще достаточно гладок, то ядро интегрального уравнения является фредгольмовым, а в общем случае кусочно-гладкого контура оно принадлежит к типу ядер Карлемана.
Интегральные уравнения С. М. Белоносова, как было им показано (1962), разрешимы для каждой из основных задач. В частных случаях бесконечного клина или полосы интегральное уравнение решается в квадратурах, что приводит в этих случаях к решению задачи в конечном виде. В цитированной книге С. М. Белоносова, куда мы отсылаем читателя за подробностями, определен также класс областей, для которых основные задачи разрешимы в квадратурах указанным методом. Этот класс, помимо областей, близких по форме к клину, полосе и внешности гиперболы, включает в себя также круговое концентрическое кольцо.
Изложенный выше метод Д. И. Шермана (см. п. 5.3.5) был предложен им первоначально (1947) для решения задач кручения и изгиба определенного класса двухсвязных профилей. Применительно к плоской деформации он был проиллюстрирован затем (1951) на примере полуплоскости, ослабленной двумя неодинаковыми круговыми отверстиями. В более поздних исследованиях Шермана метод подвергался существенной переработке, что привело к устранению большого объема промежуточных вычислительных операций. В результате процесс решения стал более обозримым и принял в основной своей части характер рекуррентных соотношений.
В многочисленных работах Д. И. Шермана и его учеников, опубликованных в последние годы, дается применение метода к конкретным задачам о плоской деформации. Были рассмотрены задачи о весомой полуплоскости с двумя отверстиями (круговыми и эллиптическими), р асположенными на значительном расстоянии от прямолинейной границы среды, упругом
круге с отверстием довольно общего очертания, полуплоскости с отверстием, по краю которого впаяно кольцо из другого материала, и другие аналогичные задачи. Обстоятельный обзор результатов по применению метода интегральных уравнений с полной библиографией содержится в очерке Д. И. Шермана (1962), куда следует обратиться читателю для подробного ознакомления с этим кругом вопросов.
К отдельным случаям многосвязной среды применялся обобщенный алгоритм Шварца, развитый в общей форме С. Г. Михлиным (1949) применительно к основной бигармонической задаче. Первая иллюстрация метода была дана тем же автором (1934) на примере весомой полуплоскости с эллиптическим отверстием, когда напряжения на бесконечности распределены по гидростатическому закону.
Сходимость последовательных приближений по Шварцу исследовалась при некоторых ограничениях относительно области в работах С. Г. Михлина и А. Я. Горгидзе. Сходимость метода в общем случае была установлена С. Л. Соболевым (1936).
Алгоритм Шварца не обладает быстрой сходимостью, что следует помнить при практическом использовании метода. Тем не менее в ряде случаев он может дать неплохие результаты. Примерами могут служить работы А. С. Космодамианского (1961, 1964), относящиеся к случаю доух неодинаковых отверстий в бесконечной среде.
При изучении напряжений в пластинке со многими отверстиями одним из основных вопросов является определение степени ослабления среды около данного отверстия, вызванного наличием соседних отверстий. Этим вопросом, представляющим большой интерес для практики горного дела, были посвящены работы Д. И. Шермана и его последователей, о которых говорилось выше. Укажем на некоторые обобщения в этом направлении.
В случае, когда среда ослаблена любым конечным числом отверстий, А. С. Космодамианский (1961, 1962) применял метод Бубнова — Галер- кина. Для искомых комплексных потенциалов 屮 и 屮 он пользовался представлениями в виде бесконечных сумм функций специального вида с неопределенными коэффициентами и получал для приближенного решения систему конечного числа алгебраических уравнений. Метод приводит к особенно хорошим результатам в случае круговых отверстий.
При беспредельном увеличении порядка приближения алгебраические системы становятся бесконечными. Исследования того же автора показали, что эти системы обладают благоприятными свойствами даже при сколь угодно малой близости отверстий друг к другу. В случае некруговых криволинейных отверстий часто оказывается целесообразным применение методов, близких по идее к методу Н. И. Мусхелишвили (А. С. Космодамианский, 1962). Указанные приближенные способы были использованы Космодамианским и некоторыми другими авторами для решения задач в ряде конкретных случаев.
Г. Н. Бухаринов (1937, 1939), используя аналог некоторого алгоритма последовательных приближений, разработанного Г. М. Голузиным для задачи Дирихле, изучил задачу для пластинки или диска, когда среда ослаблена любым конечным числом произвольно расположенных отверстий круговой формы.
Значительный интерес представляет периодическая задача теории упругости. Представим себе неограниченную однородную среду, ослабленную бесконечным рядом одинаковых и периодически расположенных отверстий. Предположим, что все эти отверстия подвержены действию оди-
наковых внешних усилий и центры их расположены на одной и той же прямой. В случае полуплоскости считается, что линия центров параллельна границе полуплоскости и находится от нее на расстоянии, значительно превосходящем размеры отверстия.
Наличие совместных факторов геометрической и силовой симметрий влечет за собой периодичность смещений и напряжений относительно (вещественной) переменной, изменяющейся вдоль линии центров. Периодичность эта позволяет редуцировать задачу к сходной задаче отыскания двух функций, голоморфных в области вне некоторого замкнутого контура. Соображения, приведшие к интегральным уравнениям (5.32), применимы и здесь, что дает возможность построения для задачи интегрального уравнения Фредгольма, всегда разрешимого единственным образом. Это сделано Г. Н. Савиным (1939) (см. также С. Г. Михлин, 1949).
Совместным применением методов функциональных уравнений и степенных рядов удается в ряде случаев построить эффективное решение задачи. Укажем некоторые работы в этом направлении.
Д. И. Шерман (1961) исследовал поле напряжений в весомой среде, ослабленной периодически расположенными отверстиями круговой и квадратной формы. Задача решалась сведением к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Количественный анализ решения позволил автору проследить за распределением напряжений вблизи отверстий в значительном диапазоне изменения численного параметра е, характеризующего относительные размеры области; не представляет исключения и случай близких между собой отверстий.
Периодическая задача с криволинейными отверстиями общей формы рассматривалась еще раньше в работе И. И. Воровича и А. С. Космода- мианского (1959). Для искомых комплексных потенциалов авторами были предложены некоторые интегральные представления, выражающие их через другие аналитические функции, голоморфные в плоскости с одним отверстием. Затем для разыскания этих последних использовался метод малого параметра, и задача сводилась к последовательности однотипных задач для односвязной области. Сходимость метода не исследовалась. Подробный анализ с численными расчетами был проведен для случая эллиптических отверстий, когда пластинка растягивается на бесконечности усилиями, направленными под произвольным углом к линии центров. Некоторое дальнейшее обобщение этого подхода дано А. С. Космо- дамианским (1965).
Следует отметить, что плоская периодическая задача теории упругости впервые была рассмотрена В. Я. Натанзоном (1935), исследовавшим случай двоякопериодической системы круговых отверстий в бесконечном теле.
Более подробные сведения о периодической задаче читатель может найти в цитированном выше обзоре Д. И. Шермана (1962).
За последние годы много внимания уделялось разысканию эффективных методов решения плоских задач, когда основной закон упругости нелинеен, но предположение о малости деформаций сохранено. Особый интерес вызывали вопросы, связанные с определением концентрации напряжений в пластинках и оболочках с отверстиями.
Если нелинейность закона упругости охарактеризовать малым численным параметром, то вместо бигармонического уравнения в этом случае для функции напряжений получится нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка с главным бигармони- ческим членом. Для интегрирования этого уравнения при соответствующих
граничных условиях использовался метод малого параметра, причем отклонения закона упругости от линейного и формы отверстия от круговой считали малыми одновременно. Разлагая функцию напряжений, компоненты вектора смещения, а также функции, фигурирующие в граничных условиях задачи, в ряды по двум параметрам, характеризующим названные выше отклонения, получаем последовательность некоторых бигармо- нических задач для плоскости с круговым отверстием, которые и подлежат решению приближенными способами. ,
Этим путем был решен ряд конкретных задач нелинейной теории упругости.
Численные расчеты показывают, что учет физической нелинейности приводит к более равномерному, по сравнению с линейной теорией, распределению напряжений вблизи отверстий; коэффициент концентрации напряжений становится меньше.
С результатами в этом направлении можно подробно ознакомиться по работам Г. Н. Савина (1965), А. Н. Гузя, Г. Н. Савина и И. А. 口ур- пала (1964).
Кусочно-однородная среда. Подкрепленные и усиленные пластинки. Кусочно-однородной мы будем называть упругую среду, составленную из конечного числа различных по форме и упругим свойствам однородных частей, соединенных в одно сплошное тело тем или иным способом. Соединения разнородных частей могут быть как естественными, так и искусственными. Последние всегда служат цели усиления несущей способности конструкций и часто применяются в инженерной практике.
Представим себе конечную или бесконечную пластинку, имеющую некоторое число отверстий, в которые вставлены сплошные или ослабленные в свою очередь отверстиями шайбы из другого материала. При соединении шайбы с пластинкой она может быть впаяна в отверстие вдоль обвода, запрессована или, скажем, посажена в нее в горячем либо холодном состоянии. Каждый раз, если шайба не впаяна, предполагается, что контуры сопряженных между собой упругих частей приводятся в соприкасание без зазоров и удерживаются от скольжения друг по другу.
В этом разделе будем дополнительно считать, что соприкасающиеся поверхности тел нигде не отстают друг от друга вследствие деформации.
Подкреплять можно, разумеется, не только края отверстий. Пластинку можно усилить кольцами по любому ее краю, а также во внутренних частях, не прилегающих к границе. В последнем случае говорят об усилении пластинки ребрами жесткости.
Полная граница L составного тела будет состоять из наружного конту- тура пластинки (если, разумеется, она не простирается в бесконечность во все стороны), из контуров неподкрепленных отверстий и, наконец, из внутренних контуров вставляемых шайб, если они имеются. Тело может испытывать любые воздействия как внутри, так и на границе.
Граничные условия на неподкрепленном крае пластинки будут, очевидно, обычными, соответствующими заданному на нем режиму силовых воздействий или характеру его закрепления. Условия же на линии раздела сред будут различными в зависимости от способа соединения прилегающих к ней частей.
Например, в случае, когда все отверстия в пластинке, занимающей конечную многосвязную область S с границей 厶=£丄 + 厶2 + • • • ...十 Lm+i, заполнены сплошными дисками из различных материалов, спаянными с пластинкой вдоль обводов отверстий, а напряженное состояние вызвано внешними силами, приложенными лишь, на наружном
контуре пластинки, мы будем иметь следующую задачу теории айалити- ческих функций:
中⑴十方U⑴+而)=/(方)на ^m+Ь (6.3) 屮⑴+方屮'(方)+屮⑴=屮在(方) +方而7) +屮互⑴ на £互， (6.4)
-Ф (0 —- [^ 屮'(0 + 中 ")]=
=『屮左⑺一：上脆⑴+以⑺]на4 (6= 1,2,..碎 (6.5)
где 屮 и 屮 голоморфны в области S, а 屮在 и 屮左 голоморфны в конечной области *К ограниченной контуром 厶冗(6 = 1, 2,・• ., т). Смысл граничного условия (6.3) ясен из предыдущего. Равенства же (6.4) и (6.5) выражают очевидные условия непрерывности компонент векторов смещения и напряжения при переходе через линию раздела сред. Индекс к приписан упругим элементам материала шайбы, занимающей область S否.
Одним из ранних исследований, относящихся к телам неоднородной упругости и выполненных на базе методов комплексного переменного, была работа С. Г. Михлина (1935), в которой с помощью ядра Шварца； упомянутого выше в п. 5.3.4, изучалась общая задача о кусочно-однородной среде методом интегральных уравнений. Некоторые частные случаи были рассмотрены в эффективном виде в другой работе того же автора (1934).
В дальнейшем исследования задач с неоднородной упругостью стали интенсивно развиваться. Значительные успехи были достигнуты в этой области на Украине, где соответствующие вопросы были в течение длительного времени предметом исследования многих авторов. Результаты этих исследований изложены в монографиях Г. Н. Савина (1951), Д. В. Вайнберга (1952), М. П. Шереметьева (I960) и Г. Н. Савина и Н. П. Флейш- мана (1964). Ниже мы коснемся вкратце некоторых основных результатов.
6・2・2・ Начнем со сравнительно простого случая, когда основная пластинка и упругие шайбы, вставляемые в отверстия, изготовлены из одного и того же материала. В этом случае мы должны предположить, что контуры шайбы в ненапряженном состоянии несколько отличны от контуров соответствующих отверстий. Для приложений особенно интересен случай, когда шайбы запрессованы либо посажены в отверстие с заданным упругим натягом.
Граничные условия этой задачи получаются из (6.3) — (6.5), если к правой части (6.5) присоединить заданную функцию, выражающую наличие скачка упругих смещений, и учесть, кроме того, что упругие свойства тела везде одинаковы.
Общий способ решения этой задачи был предложен Д. И. Шерманом (1940). Способ этот основан на аналитическом продолжении функции, подобном изложенному в п. 5.3.5. Согласно этому способу рассматриваемая задача приводится к обычной плоской задаче для полной составной области без каких-либо условий на линии раздела. При этом, однако, вновь полученная задача будет (на наружном контуре) иметь несколько йзмененное граничное условие; в правой части равенства, представляющего это условие, появится дополнительное слагаемое, выражающее некоторое фиктивное воздействие на всю систему в целом.
、 В случае, когда включения имеют круговую форму, упомянутый только что поправочный член может быть представлен в явном виде.
Он имеет особенно простую форму в часто встречающемся на практике случае, когда скачок смещения направлен по нормали и величина его постоянна.
В конечном счете в случае круговых включений решение задачи доводится здесь до конца для составных областей, отображаемых на круг посредством рациональной функции. Этим путем было рассмотрено большое число конкретных задач. Подробные указания на соответствующие публикации имеются в цитированном выше обзоре Д. И. Шермана (1962).
Иначе дело обстоит в случае включений с иными упругими характеристиками. Рассмотрение жесткого включения, очевидно, не вносит, никаких осложнений, ибо в этом случае мы будем иметь дело с обычной плоской задачей при заданных на контуре отверстия упругих смещениях (вторая основная задача). Задача об упругих включениях из различных материалов значительно сложнее.
Эта задача для одного включения, при /с = 1 в (6.3) — (6.5), исследовалась методом, аналогичным намеченному в п. 5.3.5 (Д. И. Шерман, 1958). Для нахождения вспомогательной функции со (力)，вводимой на этот раз на всей границе пластинки 厶1 十厶2, автор получил интегральное уравнение Фредгольма и дал его исследование. В частном случае эксцентричного кругового кольца с включением, рассмотренном для иллюстрации метода, интегральное уравнение заменяется, как и прежде (см. п. 5.3.5), бесконечной системой линейных алгебраических уравнений, позволяющей довести решение до численных результатов.
Случай инородных круговых концентрических колец, последовательно вложенных одно в другое, как было отмечено выше, легко поддается рассмотрению методом степенных рядов.
Этот же метод в соединении с функциональным уравнением позволяет рассмотреть задачу о кольцевых подкреплениях в несколько более общем случае, например, когда бесконечная односвязная область, занятая сопряженными телами, отображается на внешность круга посредством рациональной функции и подкрепляющее кольцо переходит при этом в концентрическое круговое. При таком предположении случай отображения (6.2) изучался М. П. Шереметьевым (1949), который привел подробное решение с численными результатами для подкрепления отверстия в виде софокус- ного эллиптического кольца. В упомянутой монографии Г, Н. Савина (1951) приводятся результаты вычислений и для других форм упругого подкрепления, доставляемых отображением (6.2), и напряжения на подкрепленном контуре отверстий сравниваются с теми же напряжениями в двух предельных случаях, когда подкрепляющее кольцо абсолютно гибкое (пустота) или когда оно абсолютно жесткое.
И. Г. Араманович (1955), развивая метод Д. И. Шермана (см. п. 5.3.5), построил эффективное решение задачи о напряжении в полуплоскости с круговым отверстием, подкрепленным упругим кольцом из другого материала. Нагружение среды может здесь осуществляться различными способами, например растяжением ее, нормальным давлением на внутреннем контуре впаянного кольца, сосредоточенной нагрузкой на прямолинейной границе и др. Схема решения такая же, как и прежде (сведение к бесконечной системе уравнений). Установлено, что полученная здесь система уравнений квазирегулярна при любой близости отверстия к краю полуплоскости.
К эффективному решению задач рассмотренного вида применялся также метод линейного сопряжения функций. В качестве примера укажем на работу И. А. Прусова (1957). рассмотревшего задачу об усилении
отверстия в бесконечной пластинке кольцом переменного сечения, ограниченным извне окружностью, а изнутри эллипсом.
До сих пор мы предполагали, что напряженное состояние упругого кольца, подкрепляющего край отверстия в пластинке, описывается, как и напряженное состояние самой пластинки, уравнениями плоской теории упругости или уравнениями изгиба тонких пластинок. Если подкрепляющее кольцо достаточно тонко или имеет фасонный профиль, то его с большим основанием следует рассматривать как кривой брус, деформации которого описываются элементарными уравнениями теории сопротивления материалов.
В такой постановке задача о подкрепленных краях впервые рассматривалась М. П. Шереметьевым (см., например, его книгу, I960). Подкрепляющее кольцо постоянного сечения было принято за тонкий стержень, обладающий жесткостью на растяжение и изгиб в случае плоского напряженного состояния и жесткостью на изгиб и кручение при изгибе тонких пластинок.
Будем для определенности рассматривать бесконечные пластинки с одним подкрепленным отверстием.
Граничные условия на контуре подкрепленного отверстия получим, как и прежде, требуя равенства соответствующих усилий и смещений с обеих сторон. Эти условия в предыдущем случае были представлены в виде равенств (6.4) и (6.5) На этот раз в правых частях указанных равенств вместо граничных значений функций 屮冗 и 屮冗(уже отпадает надобность рассматривать эти функции) будут фигурировать другие неизвестные, а именно внешние усилия Х^, У九 действующие на кольцо со стороны пластинки, и смещения и0, у0 оси кольца.
Если теперь, исходя из известных уравнений теории малых деформаций криволинейных стержней, выразить смещения и0 и и。через внешнюю нагрузку Хп, Yn ^ подставить соответствующие значения в упомянутое выше граничное условие сопряжения, то для определения функций 屮 и 屮，голоморфных в области пластинки, получим два комплексных условия, содержащие в правых частях одни неизвестные усилия Х^ и У^. Для задач иизгиба пластинки с подкреплением указанного вида неизвестные функции в правой части можно вообще исключить, и мы будем иметь всего одно граничное условие, правда несколько более сложное, нежели обычное условие основной плоской задачи.
В конечном счете появляется возможность эффективного рассмотрения задачи при частных видах отверстий. Случай кругового отверстия поддается подробному анализу методом степенных рядов (М. П. Шереметьев, I960). Для некруговых отверстий задача сложнее, и эффективное решение ее требует применения метода последовательных приближений.
Дальнейшее обобщение этого подхода было дано Г. Н. Савиным и Н. П. Флейшманом (1961). Предполагая подкрепляющий стержень весьма тонким (т. е. считая поперечное сечение стержня весьма узким), они несколько ослабили граничное условие на контуре слоя и сформулировали в терминах комплексного переменного объединенную задачу о кольцевых подкреплениях со смягченными граничными условиями. При выводе этих условий использовалось предположение о том, 41To стержень в случае плоского напряженного состояния не сопротивляется изгибу, а при поперечном изгибе пластинок лишен крутильной жесткости.
Полученная задача теории аналитических функций допускает, подобно основным плоским задачам, решение в замкнутой форме, если область пластинки конформно отображается на круг посредством рациональной
5 Механика в СССР, т. 3
функции. Это иллюстрируется на примере эллиптического отверстия в бесконечной пластинке.
Г. Н. Савин и Н. П. Флейшман (1964), а также М. П. Шереметьев (I960) рассмотрели усиление пластинки при ее поперечном изгибе тонкими кольцами из другого материала (ребра жесткости), расположенными внутри пластинки. В простейшем случае одного ребра имеем следующую картину. Тонкое криволинейное кольцо (точнее, замкнутая упругая линия) припаяно к пластинке во внутренней ее части. Область, занятая срединной поверхностью пластинки, разбивается при этом осевой линией кольца на две связные части (внутреннюю и внешнюю по отношению к этой осевой линии). В каждой из этих областей надо определить пару голоморфных функций комплексного переменного по некоторым условиям на контуре пластинки, а также на линии кольца. Условия сопряжения на этой линии следует составлять, учитывая совместную работу пластинки и подкрепляющего кольца (таких условий три). В конечном счете для определения четырех голоморфных функций имеется четыре комплексных условия вида (6.3) — (6.5), содержащие, кроме заданных величин, две комплексные функции дуги оси кольца, не задаваемые заранее. Этим путем задача об усилении пластинки ребрами жесткости изучалась в ряде случаев. Например, для круглой пластинки с произвольным числом криволинейных ребер построено разрешимое интегральное уравнение Фредгольма.
Некоторые частные задачи (например, круглая пластинка с концентрическим ребром жесткости, эллиптическая пластинка с центральным круговым ребром) решаются эффективно методом рядов.
В упомянутых выше монографиях Г. Н. Савина (1951), Д. В. Вайнберга (1952), М. П. Шереметьева (I960) и Г. Н. Савина и Н. П. Флейш- мана (1964) рассмотрены также некоторые другие задачи о плоском напряженном состоянии и изгибе пластинок как в изотропном, так и анизотропном случае. Наиболее полно изучены, например, вопросы, связанные с влиянием анизотропии материала на концентрацию напряжений вблизи эллиптических отверстий, о рациональном подборе параметров подкрепляющих элементов, о влиянии контурных сосредоточенных нагрузок в многослойном диске.
Смешанные и контактные задачи. Смешанные и контактные задачи относятся к числу наиболее трудных задач теории упругости; при изучении их методом теории функций комплексного переменного получаются граничные задачи с разрывными коэффициентами и возникает необходимость изучения поведения решений в окрестностях точек разрыва.
Как уже отмечалось выше (п. 5.3.4), Д. И. Шерман (1940) построил сингулярное интегральное уравнение с разрывными коэффициентами для основной смешанной плоской задачи; это же уравнение позволяет решить задачу изгиба нормально нагруженной тонкой изотропной пластинки, когда часть края заделана, а часть ——свободна.
А. И. Каландия (1952) построил систему сингулярных интегральных уравнений для решения общей задачи изгиба пластинки, когда часть края заделана, другая ——оперта, а остальная ——свободна. В ряде работ (см. например, А. И. Каландия, 1961; Д. И. Шерман, 1955) дано численное решение смешанных задач изгиба пластинок для областей частного вида.
Одним из наиболее эффективных методов решения смешанных задач плоской теории упругости является метод линейного сопряжения функций; о решении смешанных задач этим методом говорилось выше (п. 5.3.7), Задачи о вдавливании жестких штампов в упругую полуплоскость приводят к граничным задачам сопряжения, которые аналогичны задача
сопряжения, построенной выше (п.5.3.7) для основной смешанной задачи. Задача соприкасания двух упругих тел (обобщенная плоская задача Герца), близких по форме к полуплоскости, когда участок соприкасания мал, также приводится к задаче линейного сопряжения. Решение этих задач методом линейного сопряжения функций приведено в монографии Н. И. Мусхелишвили.
Л. А. Галин (1953) дал решение ряда контактных задач при помощи применения методов теории функций комплексного переменного. И. Я. Штаерман (1949) изучал контактные задачи методом интегральных уравнений.
В работах В. М. Абрамова (1937), Н. И. Глаголева (1942, 1943), В. И. Моссаковского и П. А. Загубиженко (1954), И. Г. Арамановича (1955), В. В. Панасюка (1953, 1954), А. И. Каландия (1957, 1958), М. П. Шереметьева (1952, 1961) ряд контактных задач исследован различными методами.
Плоская статическая задача теории упругости анизотропного тела. Методы теории функций комплексного переменного, как показал впервые С. Г. Лехницкий, с успехом могут быть применены и к плоской задаче анизотропного тела (первые работы С. Г. Лехницкого в этом направлении были опубликованы в тридцатых годах; см., например, монографию: С. Г. Лехницкий, 1947, изд. 2—1957).
Пусть однородное анизотропное тело имеет в каждой точке плоскость упругой симметрии, параллельную данной плоскости, которую мы примем за плоскость Оху, Если тело подвергается плоской деформации, параллельной плоскости Оху, то функция напряжений (функция Эйри) удовлетворяет обобщенному бигармоническому уравнению (имеется в виду случай отсутствия объемных сил)
“0 F 十 “2 蚤2 即2 + “з дх ду3 + 〃4 = 0， (6・6)
где 〃о, . . ., “4 ——действительные постоянные, зависящие от упругих свойств рассматриваемого тела (аналогичное уравнение имеет место и для обобщенного плоского напряженного состояния пластинки).
И в этом случае удается построить общее представление решения при помощи двух аналитических функций комплексных переменных. Это представление зависит от корней характеристического уравнения, соответствующего уравнению (6.6):
“0 —|— d^S —J- “aS® —Н °зЕ —}— “《М ^^ 0. (6.7)
Как показал С. Г. Лехницкий, это уравнение не имеет действительных корней. В случае изотропного тела уравнение (6.7) сводится к уравнению 1 } 2s2 十 s& = 0 и, следовательно, имеет двукратные корни j и —L Если уравнение (6.7) имеет двукратные корни s = а + 通 s = а —用， то общее действительное решение уравнения (6.6) представится в виде
U (^,汾=£ 屮(z) + 2 ^lz) + % (z) + % (z), (6.8)
как и в случае изотропного тела, но на этот раз комплексное переменное z имеет вид z = % + s^ = % + a^+ »^/ ((%, у) € S), где S обозначает область, занятую телом.
Произведя аффинное преобразование
%，= % + ау,矿=闻， (6.9)
придем к комплексному переменному z' = К + iyf, и вменяющемуся в области S', получаемой из области S аффинным преобразованием (6.9).
Формула (6.8) и вытекающие из нее выражения для компонент напряжения и смещения показывают, что этот случай (т. е. случай кратных корней уравнения (6.7)) представляет собой почти полную аналогию со случаем изотропного тела, и поэтому его обычно исключают из рассмотрения.
В случае, когда уравнение (6.7) не имеет кратных корней, т. е. имеет четыре различных попарно сопряженных корня
Sq = CZq -j- %B1, Sq = CZq — »§£,$2 ~ ^2 + %§2，$2 =仪？ 一》§2,
общее действительное решение уравнения (6.6) представляется в виде
U (%, у) = Fi(Z。+ 歹丄(z。+ % (纟2)十歹2 ⑶)(6.10)
при помощи двух аналитических функций переменных
Zi = X + Siy = X + агу + %也勿 Z2 = % 十 S2^/ = % + а2у + %“％ изменяющихсясоответственно в областях 51 и 52, полученных из области S соответствующими аффинными преобразованиями.
В рассматриваемом случае, в отличие от случая изотропного тела, приходится иметь дело с аналитическими функциями двух различных комплексных переменных z^ и z?, изменяющихся в двух различных областях (легко видеть, что переменные z^ и z? связаны между собой аффинным, но неаналитическим преобразованием). Это обстоятельство, вообще говоря, •осложняет решение граничных задач (класс эффективно решаемых гра- йичных задач в случае анизотропного тела значительно уже, чем для изотропного тела). Однако и в случае анизотропного тела удается получить решения граничных задач при помощи методов теории функций комплексного переменного. Ряд важных результатов в этом направлении принадлежит С. Г. Лехницкому, С. Г. Михлину, Г. Н. Савину, Д. И. Шерману и др.
Из общего представления функции напряжений (6.10) вытекают следующие комплексные представления напряжений и смещений:
X^MZRe^a^QD + s；^)；^)],'
У4 = 21^[(1)；(々)+0)；岱2)],(6.11)
XР=-2Re 回①;⑵)+ S2①;%)];
(6.12)(6.12)〃 =2 Re [必①丄(z。+ p2①2(Z2)] — ^У + 〃0, z? = 2 Re[必①丄(zi) + g2①2 02)] + sn + "з
(6.12)
(6.12)
Здесь ①！⑵)=dbjdz!, ①2 (纟2)= &歹2/^2，〃，「2，%, % — вполне определенные постоянные, выражающиеся через упругие константы тела, а ①，〃о,沙о —— произвольные (действительные) постоянные, соответству
ющие жесткому перемещению тела.
Если область S, занятая телом, односвязна, то аналитические функции, участвующие в общих комплексных представлениях, однозначны; в случае многосвязной области это, вообще говоря, многозначные аналитические функции. Например, если область S ограничена несколькими контурами, функции Ф4 (z。и Ф2 包)имеют вид
(6.13)(6.13)①i(zi) =①:⑵)+ 2 4"n(zi -z他),h=l
(6.13)
(6.13)
①2 (z2)= Ф* (z2)+ 2笈在1n(Z2 一z2左),
где Ф* (z0 и Ф* (纟2)— однозначные аналитические функции, zik и z2k . фиксированные точки, а постоянные Ak и Вк выражаются через главные векторы внешних усилий, приложенных к граничным контурам. Если главный вектор усилий, приложенных к каждому из контуров, равен нулю, то постоянные 4左，Bk равны нулю и функции ①丄(z。，Ф2 (z?) однозначны В областях Sq, $2・
Из формул (6.11) следует, что решение первой основной задачи (на границе заданы внешние усилия Хп, Уп) сводится к отысканию аналитических в областях Si и 52 функции ①丄(z0 и Ф2 (z?) по граничному условию
в
(6.14)(6.14)2 Re [①£(z0 + ①2 (z2)] = - ) УП ds + a,о
(6.14)
(6.14)
2 Re [s:(①]⑵)+ S2①2 (z2)] = j X?i ds + e2,о
где 。丄,С2 ——произвольные действительные постоянные.
Аналогично, вторая основная задача сводится к отысканию аналити* ческих функций ①丄⑵)и Ф2 ⑸)по граничному условию
(6.15)(6.15)2 Re [p1 ① 1 ⑵)+ 包①2 (z2)] - д/ + "0 = gi,
(6.15)
(6.15)
2 Re [%① 1 ⑵)+ 急①2 ⑸)]+ ①% + 分 = g2,
где gi и g2 ——заданные граничные значения компонент смещения w и у.
В случае основной смешанной задачи следует комбинировать граничные условия (6.14) и (6.15); в общем случае получим граничную задачу с разрывными коэффициентами.
Следует отметить, что граничные задачи изгиба тонкой анизотроп^ ной пластинки, как и в случае изотропной пластинки, сводятся к задачам теории функций комплексного переменного, к которым приводят плоские задачи. Задача изгиба анизотропной пластинки с заделанным краем сводится к задаче вида (6.14), а задача изгиба пластинки со свободным краем сводится к задаче вида (6.15); смешанная задача изгиба пластинки с частично свободным и частично заделанным краем сводится к задаче вида основной смешанной задачи плоской теории (см. С. Г. Лехницкий> 1947).
Следует отметить, что и некоторые стационарные динамические задачи приводят к задачам указанного выше вида. Так, Л. А. Галин (1953), рао сматривал задачу о штампе, движущемся с постоянной скоростью вдоль границы изотропной полуплоскости, свел ее к граничной задаче теории функций комплексного переменного и таким путем построил ее решение.
Равновесие хрупких тел с трещинами. Построение теории разрушения хрупких материалов связано с изучением напряженного состояния в окрестности поверхности разрыва поля перемещения («трещин») в упругом теле. Наиболее простой является задача о плоском напряженном состоянии в плите с прямолинейным разрезом, нагруженной силами, перпендикулярными разрезу, концы которого достаточно удалены от краев плиты. В линеаризованной постановке классическое решение, получаемое предельным переходом из решения задачи о напряженном состоянии в окрестности эллиптического отверстия, приводит к бесконечным напряжениям в концах трещины (угловых точках области). Без добавочных предполо-
жений оно не дает средств судить, при каком значении параметра нагружения трещина будет распространяться ——начнется процесс хрупкого разрушения.
Теория хрупкого разрушения ведет начало от работ А. А. Гриффита (1920), продолженных Дж. Р. Ирвином (1948 и сл.) и Э. О. Орованом (1950 и сл.). В результате для характеристик прочности материала на хрупкое разрушение была введена новая константа, позволившая рассматривать задачу о хрупких трещинах в постановке классической теории упругости ).
Вопросы кинетики роста трещин рассматривались Г. И. Баренблат- т?ом, В. М. Битовым, Р. Л. Салгаником (1966, 1967), а также Г. И. Ба- ренблаттом, Р. Л. Салгаником, Г. П. Черепановым (1962). Л. М. Качанову (1961) принадлежит попытка дать оценку долговечности тела с трещиной в упруго-вязком теле.
Г. И. Баренблатт и Г. П. Черепанов (I960) рассмотрели задачу о расклинивании ортотропного упругого тела тонким жестким клином, перемещаемым с постоянной скоростью. В задаче о расклинивании бесконечного тела клином конечной длины И. А. Маркузон (1961) получил зависимость длины трещины от длины клина. Распространение трещин сдвига рассмотрели Г. И. Баренблатт и Г. П. Черепанов (1961). Задача об устойчивом развитии трещины, подкрепленной ребрами жесткости, рассмотрена в работе Е. А. Морозовой и В. 3. Партона (1961). Устойчивое развитие двоякопериодической системы трещин исследовано В. 3. Партоном (1965). Г. П. Черепанов (1966) изучил развитие трещин в сжатых телах.
Модель трещины, в которой учитываются также силы сцепления на участках, соизмеримых с длиной трещины, рассматривалась с использованием условия плавного смыкания краев трещины и конечности напряжений на них М. Я. Леоновым и В. В. Панасюком (1959) ). Дано решение большого числа плоских задач о предельном равновесии тела с трещинами лри различных расположении и форме трещин, различных способах нагружения тела с трещинами (В. В. Панасюк и Б. Л. Лозовой, 1962; В. В. Панасюк и Л. Т. Бережницкий, 1964—1966). К этому же классу относятся плоские задачи о напряженном состоянии в окрестности угловых точек контура отверстия (В. В. Панасюк и Е. В. Буйна, 1966), в частности круга с радиальными трещинами (В. В. Панасюк, 1965).
Начальное развитие трещины из угловых точек бесконечного прямоугольного выреза, на дно которого давит жесткий штамп, изучено в работе Г. П. Черепанова (1963).
Задачи о напряженном состоянии вблизи края трещины, выходящей на край плиты или близкой к нему, рассмотрены В. В. Панасюком (I960), Г. И. Баренблаттом и Г. П. Черепановым (I960, 1962). Задача о предельных значениях внешней нагрузки (изгибающего момента, равномерно распределенного давления) на полосу (балку) с прямолинейной трещиной, перпендикулярной оси полосы, рассматривалась в работах Б. Л. Лозового и В. В. Панасюка (1961—1963). Пр остр анственные задачи о предельном равновесии тела с плоской трещиной, имеющей в плане форму круга, рассмотрены М. Я. Леоновым и В. В. Панасюком (1961). Более сложный случай эллиптической трещины рассматривали В. В. Панасюк (1962), М. Я. Леонов и К. Н. Русинко (1963, 1964).
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
7276767772767677В. В. НОВОЖИЛОВ. 〃• Л. ТОЛОКОННИКОВ. К. Ф. ЧЕРНЫХ
72
76
76
77
72
76
76
77
Общие вопросы
Вторичные эффекты в задачах изгиба и кручения призматических и цилиндрических тел
Плоские задачи
Устойчивость равновесия упругого тела
При построении классической линейной теории упругости исполг зуются два предположения: о малости и одинаковом порядке удлинений, сдвигов и углов поворота и о возможности принятия обобщенного закона Гука. Отказ от какого-либо из этих допущений или замена его менее стеснительным ограничением приводит к различным вариантам нелинейной теории упругости.
При переходе к нелинейной теории возникает ряд специфических проблем и трудностей:
выбор системы координат, определяющих положения точек тела;
принятие тех или иных характеристик деформаций и отвечающих им обобщенных напряжений;
установление, с учетом тензорно-инвариантных и термодинамических соображений, вида связи между напряжениями и деформациями; выбор удобной совокупности инвариантов; конкретизация этой связи для различных групп материалов и указание необходимых для этой цели простейших экспериментов;
классификация задач нелинейной теории и нахождение подходов к упрощению нелинейных соотношений в различных частных случаях;
формулировка вариационных и родственных им принципов;
постановка задачи об устойчивости равновесия упругих тел.
В § 1 обзора рассматриваются исследования общего характера, освещающие первые пять из перечисленных проблем. В § 2 разобраны работы, посвященные вторичным эффектам, сопровождающим кручение и изгиб призматических и цилиндрических тел. Работам по плоским задачам посвящен § 3. В § 4 рассматриваются работы по устойчивости равновесия упругих тел, в которых исходными являются общие соотношения нелинейной теории упругости.
Своим развитием нелинейная теория упругости обязана в XIX веке О. Коши, Дж. Грину, Г. Кирхгофу, И. Фингеру, а затем Э. Трефтцу, А. Синьорини, Ф. Д. Мурнагану, М. А. Био и многим современным зарубежным ученым, среди которых прежде всего нужно упомянуть
Р. С. Ривлина, Р. Хилла и А. Э. Грина. Полученные ими результаты во многом перекликаются с результатами советских ученых.
Поскольку целью настоящей статьи является обзор достижений именно советских ученых, она не может дать полной картины состояния нелинейной теории упругости в целом. Об этом следует помнить при чтении статьи.
Общие вопросы
Хотя первые публикации по нелинейной теории упругости в СССР относятся еще к тридцатым годам (Н. В. Зволинский, 1939; Н. В. Зволин- ский и П. М. Риз, 1938, 1939; Д. Ю. Панов, 1939; П. М. Риз, 1938, 1939), глубокое внимание к нелинейным проблемам характерно лишь для последних двух десятилетий. Этому в значительной мере способствовало появление публикаций по общим вопросам теории (К. 3. Галимов, 1946, 1948, 1949; И. И, Гольденблат, 1950; Д. И. Кутил ин, 1947; В. В. Новожилов, 1948) и некоторых других, более поздних. Указанные работы, обсуждающие широкий круг вопросов, определили направление отечественных исследований по нелинейной теории упругости.
В механике сплошных сред используются два типа координат: пространственные —эйлеровы и материальные («вмороженные в тело》)一 лагранжевы (К. 3. Галимов, 1946—1955; И. И. Гольденблат, 1950, 1955; В. В. Крылов, 1956; Д. И. Кутилин, 1947; В. В. Новожилов, 1948). Более удобными в нелинейной теории являются материальные координаты (В. В, Новожилов, 1958), в которых значительно проще формулируются граничные условия и деформационные гипотезы (например, гипотеза прямой нормали в теории пластин и оболочек, гипотеза плоских сечений в теории изгиба балок). Если же рассматривать не сам процесс деформации, а (как это и делается в теории упругости) только начальное и конечное положения тела, то введение пр остр анственных координат становится излишним (Л. И. Седов, 1962). При этом величины, характеризующие деформацию и равновесие тела, можно относить либо к недеформированно- му, либо к деформированному материальному координатному базису. Подробно о выборе координатных векторных базисов и связи между ними сказано в монографии Л. И. Седова (1962).
В качестве основных характеристик деформаций используются полуразности компонент основного метрического тензора в деформированном и недеформированном состояниях (К. 3. Галимов, 1946, 1949, 1955; И. И. Гольденблат, 1950, 1955; В. В. Крылов, 1956; Д. И. Кутилин, 1947; В. В. Новожилов, 1948, 1958). Для описания больших деформаций используются и другие характеристики, среди которых укажем, напримерг следующие: логарифмические (или истинные) деформации; компоненты тензора, совпадающие в главных осях деформации с главными относительными удлинениями; компоненты тензора, контравариантные составляющие которого являются полуразностями соответствующих компонент метрических тензоров в деформированном и недеформированном состояниях. При рассмотрении различных вопросов предпочтительны те или иные- характеристики. Для правильной обработки результатов важно, чтобы принятым обобщенным характеристикам деформации отвечали соответствующие (в выражении для элементарной работы) обобщенные напряжения (В. В. Новожилов, 1951). В монографии Л. И. Седова (1962), подводящей итог более ранним работам (Л. И. Седов, 1960; В. Д. Бондарь, I960, 1961; М. Э. Эглит, 1961), при рассмотрении деформации элемента тела
широко используется теория функций от тензоров. С этих позиций в качестве характеристики деформации может быть принята любая аналитиче- ская функция тензора деформации. Там же для деформации общего вида вводится кососимметричный тензор, соответствующий вектору вращения главных осей деформации.
Ранее была установлена связь между средним поворотом элемента деформируемого тела и ротором вектора смещений (В. В. Новожилов, 1948).
Вопросу о выборе оптимальной системы инвариантов, вычисленик> механического смысла инвариантов и связи между ними уделялось большое внимание (К. 3. Галимов, 1946—1955; И. И. Гольденблат, 1950,. 1955; В. В. Новожилов, 1948, 1958). Так, было отмечено (В. В. Новожилов, 1952), что с точностью до постоянного множителя интенсивность касательных напряжений совпадает со средним значением касательного напряжения в рассматриваемой точке тела. Далее, было использовано тригонометрическое представление главных значений тензоров деформации и напряжений (В. В. Новожилов, 1951). Основными инвариантами при этом являются линейный инвариант, интенсивность девиатора и угол вида тензора (девиатора). Связь между тензорами деформации и напряжения характеризуют обобщенный модуль объемного расширения, обобщенный модуль сдвига и фаза подобия девиаторов (равная разности «углов вида» рассматриваемых тензоров). Из требования существования потенциалов напряжений и деформаций устанавливаются дифференциальные связи между введенными обобщенными модулями.
Сходные зависимости были получены при помощи кругов Мора (А. К. Синицкий, 1958). Тригонометрическое представление главных значений тензора дало возможность (В. В. Новожилов, 1951) конкретизировать коэффициенты предложенной В. Прагером связи между двумя 卜 соосными тензорами. Дальнейшее развитие геометрической стороны вопроса о связи между симметричными тензорами второго ранга дано в работах В. В. Новожилова (1963), Л. И. Седова (1962), К. Ф. Черных (1967).
Обстоятельное рассмотрение вопроса о связи между инвариантами, с привлечением сведений из теории алгебраических инвариантов и теории групп, произведено И. И. Гольденблатом (1950, 1955). Была выяснена возможность введения инвариантов, позволяющих раздельно рассматривать изменение объема элемента и его формоизменение (Л. А. Толоконников, 1956). Там же были предложены соотношения, обобщающие закон подобия девиаторов напряжений и деформаций. На основании этого Л. А. Толоконников (1957) развил вариант квадратичной теории (с четырьмя константами) ,основанный на следующих предположениях: всестороннее давление зависит только от относительного изменения объема, интенсивность касательных напряжений ——только от интенсивности деформации сдвига, «углы вида» тензоров истинных напряжений и логарифмических деформаций равны между собой.
Показано (Д. Д. Ивлев, 1961), что для изотропного тела, различным образом сопротивляющегося растяжению и сжатию, совокупность простейших экспериментов не определяет полностью потенциала деформации./
Установлено (В. Д. Бондарь, 1963), что всякое состояние равновесия тела с отличными от нуля напряжениями и деформациями может быть принято за начальное при специальном определении массовых сил. Довольно часто использовались при построении нелинейной теории упругости термодинамические соображения (И. И. Гольденблат, 1950, 1955;
74в. в. Новожилов, л. а. Толоконников, к. ф. черных
Д. И. Кути л ин, 1947; В. В. Новожилов, 1963). В монографии Л. И. Седова (1962) подробно рассмотрен вопрос о применении термодинамики обратимых процессов для получения замкнутой системы уравнений нелинейной теории упругости. Здесь используются все четыре термодинамических потенциала. При этом в качестве их аргументов (наряду с обычно используемыми компонентами тензоров деформации и напряжений, температурой и энтропией) вводятся также параметры, определяющие физикохимические свойства материалов тела. Последние могут быть и тензорными величинами. Рассмотрен случай наличия внутренних связей (например, условие несжимаемости материала). Подробно исследован случай изотропного тела.
В монографии И. И. Гольденблата (1955), подводящей итог более ранним работам автора (1949, 1950), детально рассмотрен случай, отвечающий принятию в качестве аргументов термодинамических потенциалов инвариантов тензоров деформации и напряжений——упругих модулей (коэффициентов деформаций). Л. И. Седовым (1965) введены в рассмотрение моментные напряжения.
Конкретизация полученных соотношений применительно к резине произведена в работах Г. М. Бартенева и Т. Н. Хазановича (I960), В. Л. Бидермана (1953, 1957, 1958, 1962), В. Л. Бидермана и Б. Л. Бухина (I960, 1961). Предложен общий подход к расчету деталей из резины при больших деформациях и перемещениях (В. Л. Бидерман, 1958). Изучались формы потенциала несжимаемого материала. Выяснялись возможности приближенного удовлетворения условию несжимаемости (В. Л. Бидерман и Н. А. Сухова, 1963). Входящие в многочлен для упругого потенциала четыре константы определяются из экспериментов. Приведены решения некоторых задач для резиновых амортизаторов и прокладок (В. Л. Бидерман, 1962). Г. М. Бартенев и Т. Н. Хазанович (I960) на основании анализа поведения резины при одномерной деформации предложили форму потенциала напряжений с тремя константами.
В работе В. В. Лохина (1963) было отмечено удобство классификации анизотропных сред по их точечным группам симметрии. Показано, что любой тензор, инвариантный относительно данной точечной группы, можно представить в виде линейной комбинации тензоров, составлецных при помощи тензорных операций из некоторого минимального набора тензоров. Л. И. Седов и В. В. Лохин (1963) выявили такие системы тензоров для 7 типов текстур и всех 32 классов кристаллов. Установлен общий вид формул для тензоров произвольного ранга, являющихся нелинейными тензорными функциями скалярных и тензорных функций произвольного ранга (см. также В. В. Лохин и Л. И. Седов, 1963). Показано, что для построения тензорных функций необходимо и достаточно знание полной системы функционально независимых совместных инвариантов рассматриваемых тензоров и тензорных аргументов. Выявлена структура тензорных функций, описывающих состояние текстур и некоторых классов кристаллов (В. В. Лохин, 1963).
В работах Л. Н. Воробьева (1956), Н. А. Кильчевского (1963, 1964), Д. И. Кутилина (1947), В. В. Новожилова (1958) рассмотрены общие теоремы нелинейной теории упругости. Расширенные вариационные начала (типа предложенных в линейной теории Э. Рейсснером) сформулированы К. 3. Галимовым (1952) и И. Г. Терегуловым (1962). Предложенные вариационные принципы содержат в качестве независимо варьируемых функциональных элементов перемещения, напряжения и деформации, свободные от каких-либо связей внутри и на границе тела. Вариационные начала
дают альтернативный подход к решению нелинейных задач —— использование прямых методов математической физики. При наложении связей на варьируемые элементы рассмотренные принципы переходят в классические начала возможных перемещений и возможных изменений напряженного состояния (принцип Кастильяно).
Работы Н. В. Зволинского, Д. М. Панова и П. М. Риза (1938—1943) определили общее направление отечественных прикладных работ по нелинейной упругости (§ 2, 3). Для последних характерно использование так называемой квадратичной теории (варианта нелинейной), получающейся при удержании во всех соотношениях наряду с линейными членами также произведений и квадратов искомых величин.
В. В. Новожилов (1948, 1958) высказал ряд критических замечаний о квадратичной теории. Вкратце они сводятся к следующему. Возможность полной или частичной линеаризации геометрических и статических (динамических) соотношений нелинейной теории упругости определяется чисто геометрическими факторами: величиной удлинений, сдвигов и углов поворота как по сравнению с единицей, так и между собой. Поэтому используемый в квадратичной теории недифференцированный (указанным выше образом) подход к упрощению статико-геометрических соотношений носит формальный характер. Далее, для упрощения соотношений, связывающих напряжения и деформации, недостаточна малость компонент деформации по сравнению с единицей. Требуется сравнивать их с физическими константами материала (пределами пропорциональности)— величинами, как правило, весьма малыми по сравнению с единицей. К тому же для квадратичной теории характерно сохранение в выражении для потенциала напряжений, наряду с квадратичными, и кубических членов (пятиконстантная теория Фойхта ——Мурнагара). Для большинства же реальных материалов отклонение от закона Гука обусловливается четными степенями компонент деформации.
Альтернативный подход к упрощению нелинейных соотношений, свободный от указанных недостатков, подробно изложен В. В. Новожиловым (1948, 1958). Его следствием явилось, в частности, принятое в настоящее время разбиение задач на четыре группы: 1) линейные физически и геометрически; 2) нелинейные физически, но линейные геометрически; 3) линейные физически, но нелинейные геометрически; 4) нелинейные физически и геометрически. В монографии В. В. Новожилова (1948) с позиций общих соотношений нелинейной теории упругости проведен анализ геометрических допущений, широко используемых при изучении деформации стержней, пластин и оболочек.
Хорошо известно, что в важном для практики случае простого нагружения (все напряжения в теле изменяются пропорционально одному и тому же параметру) зависимости теории пластичности вырождаются в формулы нелинейной теории упругости. Л. И. Седовым (1959) показано, что при больших деформациях простое нагружение для тела в целом может быть осуществлено лишь при деформациях весьма специального вида. Выяснению ограничений на вид деформаций, отвечающих простому нагружению, посвящена работа В. Д. Бондаря (I960).
М. Бабич (1954) рассмотрел, с привлечением кинематических и динамических условий совместности, систему уравнений движения упругой среды, потенциал формоизменения которой является произвольной функцией интенсивности деформации. Найдены скорости распространения волн, зависящие от направления однородного поля начальных напряжений, создающих анизотропию.
В статье И. А. Викторова (1963) показывается, что в нелинейной упругой среде продольная основная волна приводит к появлению вторичных продольной и поперечной волн; то же относится и к основной поперечной волне.
Вторичные эффекты в задачах изгибаи кручения призматических и цилиндрических тел
Подсказываемые квадратичной теорией эффекты, дополнительные к тому, что дает линейная теория, называют вторичными. На возможность и целесообразность учета вторичных эффектов указал в 1937 г. Ф. Д. Мур- наган (Amer. J. Math., 1937, 59 : 2, 235—260). Оригинальный подход, к кругу вопросов, возникающих при переходе к квадратичной теории, дан в работах Н. В. Зволинского и П. М. Риза (1939) и П. М. Риза (1947).. В качестве приложения построенной теории рассмотрены эффекты, связанные с осевой деформацией призматических тел при воздействии на них. крутящих моментов. Показано, насколько растяжение увеличивает, а сжатие уменьшает крутильную жесткость брусьев. Определены критические значения сжимающих сил, при которых брус лишается крутильной жесткости.
П. М. Ризом (1938, 1939) решена задача кручения круглого цилиндра с сохранением слагаемых порядка квадрата крутки. Обнаружено осевое сжатие и удлинение радиальных волокон. Аналогичные эффекты возникают при кручении эллиптического цилиндра (Д. Ю. Панов, 1939).
С целью оценки взаимного влияния деформаций чистого изгиба в каждой из главных плоскостей рассмотрен косой изгиб бруса (П. М. Риз и А. И. Пожалостин, 1942). В работах А. Я. Горгидзе и А. К. Рухадзе (1941, 1943), Н. В. Зволинского (1939), Р. С. Минасяна (1962, 1963), П. М. Риза (1939), А. К. Рухадзе (1941, 1947), А. К. Рухадзе и А. Я. Горгидзе (1944) выяснено взаимное влияние различных воздействий на брус (однородный либо составной): осевого растяжения поверхностными и массовыми силами, изгиба парами, изгиба силой, кручения. Показано, в частности, что эффект взаимного влияния нагрузок является существенным для длинных тел тонкого профиля, типа винтов самолетов.
Дальнейшее развитие квадратичной теории дано Л. А. Толоконниковым (1956, 1959). Существенным здесь является принятие предположения о подобии девиаторов деформаций и напряжений, а также разложение обобщенных модулей упругости по двум параметрам (относительному изменению объема и интенсивности формоизменения). Полученные зависимости иллюстрируются на задаче о кручении круглого вала. В работе Н. В. Василенко (1965) проведен анализ квадратичных соотношений термоупругости.
Плоские задачи
При рассмотрении плоских задач нелинейной теории упругости, как и в общем случае, можно выделить три направления.
Первое направление рассматривает задачи, нелинейные как физически, так и геометрически, что характерно для дальнейшего развития теории, сформулированной в работах Дж. Э. Адкинса, А. Э. Грина, Р. Т. Шилда и Дж. К. Николаса. Здесь широко применяется метод малого параметра， использующий в качестве первого приближения линейное решение задачи.
Такой подход позволил эффективно приложить (Г. Н. Савин, 1964) развитый ранее применительно к линейным задачам метод функций комплексного переменного и интегралов типа Коши. Изучены особенности и условия однозначности комплексных потенциалов, сформулированы различные варианты статических и геометрических граничных условий в начальном и деформированном состояниях (Г. Н. Савин и Ю. И. Койф- ман, 1961). Затем был рассмотрен ряд задач о концентрации напряжений около кругового и эллиптического отверстий (свободного и с подкреплением) при однородном напряженном состоянии на бесконечности (Ю. И. Койфман, 1961—1964). Здесь же рассмотрены родственные задачи для пластинки с жестким ядром.
Оригинальный подход к плоскому несжимаемому состоянию предложен Л. А. Толоконниковым (1958). В. Г. Громов (1959) получил строгое решение осесимметричной задачи, позволяющее оценить надежность приближенных методов решения. Дальнейшее развитие получило применение метода функций комплексного переменного (В. Г. Громов и Л. А. Толоконников, 1963). В работе И. Г. Терегулова (1962) снято ограничение, связанное с условием несжимаемости.
Ко второму направлению (задачи, нелинейные геометрически и линейные физически) следует отнести работу В. В. Крылова (1946). В этой одной из первых отечественных публикаций по нелинейной плоской задаче проведен обстоятельный анализ плоского состояния. Продемонстрирована возможность применения функций комплексного переменного.
Третье направление (задачи, нелинейные физически и линейные геометрически) рассматривает малые отклонения в законе формоизменения (по Каудереру). Г. Н. Савиным (1965) пюлучено разрешающее уравнение в произвольных изотермических координатах, определяемых отображающей функцией общего вида. Рассмотрен ряд конкретных задач по определению концентрации напряжений около отверстий при различных полях напряжений на бесконечности. Изучена эффективность упругого подкрепления контура (И. А. Цурпал, 1962——1965). В основу решения ряда задач третьего направления положены соотношения квадратичной теории упругости (И. Н. Слезингер и С. Я. Барская, 1960, 1965). Анализ полученных решений показывает, что учет физической нелинейности материала приводит к уменьшению концентрации напряжений около отверстий.
Устойчивость равновесия упругого тела
Остановимся лишь на работах по устойчивости равновесия упругих тел, в которых исходными являются соотношения нелинейной теории упругости и не используются предположения, присущие теориям тонкостенных конструкций.
Начнем с работы Л. С. Лейбензона (1961), в которой впервые было лроизведено четкое разбиение напряжений, перемещений и деформаций на основные и добавочные, возникающие при потере устойчивости. Полученные для дополнительного состояния зависимости позволили определить критические значения разности давлений, действующих на внешнюю и внутреннюю поверхности полого шара и длинной трубы. В последующих работах Л. С. Лейбензона проведен обстоятельный анализ приближенных методов решения задач устойчивости упругого равновесия.
Обзор общей постановки задач устойчивости равновесия упругого тела, следующего закону Гука, дан в монографии В. В. Новожилова (1948). Здесь выяснены (без каких-либо предварительных упрощений)
условия, при которых возможно появление новой формы равновесия;, сформулированы дифференциальные уравнения и граничные условия проблемы упругой устойчивости; проведен анализ упрощений, следующих из предположения, что исходное состояние описывается соотношениями классической теории упругости; предложен энергетический критерий устойчивости.
Общим вопросам устойчивости посвящена и работа В. В. Болотина (1956). Основное состояние, описываемое зависимостями линейной теории упругости, представлено в ней через тензор Грина, и задача сведена к исследованию систем линейных интегральных уравнений (последние при соответствующих предположениях переходят в уравнения устойчивости тонкостенных элементов конструкций). Изучено влияние на устойчивость изменения поверхностных и массовых сил, а также деформаций, предшествующих потере устойчивости. Общие уравнения нелинейной упругости используются В. В. Болотиным (1958) при обсуждении проблемы устойчивости как «в малом», так и «в большом». При этом принимается предположение о малости удлинений и сдвигов, анализируются собственные значения общей краевой задачи устойчивости «в малом», формулируются соотношения устойчивости «в большом».
А. Ю. Ишлинский (1943) применил уравнения устойчивости равновесия упругого тела к проблеме устойчивости сжатой полосы. Критическое напряжение представлено им в виде ряда по степеням параметра, обращающегося в нуль одновременно с толщиной полосы. Первый член ряда дает значение критической нагрузки по Эйлеру. В развитие этой работы исследована устойчивость сжимаемой полосы при других граничных условиях (Л. В. Ершов и Д. Д. Ивлев, 1961).
В духе работ А. Ю. Ишлинского (1943, 1954) с учетом нелинейности закона формоизменения рассмотрена задача об устойчивости квадратной плиты при одноосном и двуосном сжатии (И. Д. Легеня, 1961, 1962). Дальнейшие исследования привели к выводу о необходимости учета углов поворота при формулировании условий равновесия элемента тела в возмущенном состоянии (И. Д. Легеня, 1963). Показано, что при этом — в постановке В. В. Новожилова (1948) —.в выражении для критического< давления на квадратную плиту имеются отличные от классических слагаемые, не исчезающие при уменьшении толщины плиты.
С учетом поворота несжимаемых элементов тела рассмотрена (К. Н. Семчинов, 1961) потеря устойчивости полосой конечных размеров, получены условия искривления полосы при сжатии; определены критические растягивающие усилия, при которых на полосе образуется шейка.
Задача о сжатии круглой пластины рассмотрена Л. А. Толоконниковым (1959) с учетом деформации и смещений основного состояния. Показано, что зависимость критического давления от относительной длины не является монотонной и однозначной. При этом существует предельное отношение толщины к радиусу, при достижении которого пластина перестает терять устойчивость. Тем же методом найдены критические нагрузки для кольцевой пластины, круговой цилиндрической оболочки и цилиндрической панели при действии поперечного давления (Г. Б. Киреева, 1961, 1966).
Критическое значение сжимающей силы для стержня определена А. И. Лурье (1966) из полученных им общих соотношений.
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
4 А. ВАКУЛЕНКО, Л. М. КАЧАНОВ
Введение 79
Общие замечания 79
Краткий исторический очерк 80
Связи между локальными характеристиками состояния и деформации среды 86
Идеально пластические среды 86
Упрочняющиеся среды с гладкой или кусочно-гладкой поверхностью нагружения 87
Теории типа «теории скольжения» 89
Другие модели пластической среды с упрочнением 90
Деформация при неизменном положении главных осей. Деформационная теория 92
«Постулат изотропии» и исследования по вопросам общей теории тензорных функций и функционалов, возникшие в связи с проблемами реологии пластических сред 94
Некоторые итоги 94
Краевые задачи 96
Общие замечания 96
Жестко-пластическое тело 97
Теоремы о предельной нагрузке 101
Плоская деформация 103
Плоское напряженное состояние 105
Кручение 107
Осесимметричные задачи 108
Анизотропия и неоднородность 109
Упруго-пластическое тело 110
Упруго-пластическое кручение 112
Плоская задача 112
Приспособляемость ИЗ
Упрочняющееся тело 115
Заключение 117
Введение
Общие замечания. Под пластичностью иногда понимают просто способность тела испытывать деформации, не полностью исчезающие с удалением вызвавших их причин. Пластичность в этом смысле — общее- свойство твердых тел. Но чаще в этот термин вкладывают более узкий смысл, отождествляя «пластичность» с «атермической» («холодной») пластичностью, т. е. способностью к остаточным деформациям, не связанным с тепловой подвижностью вещества. Внешне это проявляется в известного рода независимости картины процесса от времени.
Для простоты рассмотрим случай, когда образец （или элементарный объем среды） испытывает деформацию при неизменной температуре и неизменных же внешних электрическом и магнитном полях. Пусть W ——время“ °*订，£订 一 компоненты тензора напряжения и тензора деформации элемента. В соответствии с одним из обычных исходных предположений, в этом случае всегда, когда при f ^ f0 элемент находится в термодинамически равновесном состоянии и заданы &订=&订（力（方》f0）, вполне определенными являются и функции о•订=о•订代）（f 步 %）.
Говорят, что поведение элемента не зависит от времени, если для любых двух процессов 8^} （£）, 8^} СО с одинаковым состоянием элемента при 力=步0 и таких, что для некоторого с > 0 выполняются равенства 礁）（力=8^} （ct + b）（匕=（1 — с"。，力》力о）, при каждом t^ tQ будет и о*% （方）=о•岩（ct + b）・ Это условие очевидным образом обобщается на неизотермические процессы деформации и процессы при изменяющихся электромагнитных полях. Для любой сплошной среды, способной испытывать остаточные деформации и вместе с тем удовлетворяющей этому условию независимости поведения от времени, оправдано название «пластическая» в отмеченном смысле. Характерное с точки зрения термодинамики свойство такой среды состоит в том, что не всякий квазистатический процесс в ней является обратимым процессом.
Необходимо подчеркнуть, что остаточная деформация реального твердого тела вполне атермической быть не может. Чтобы в достаточной мере исключить ползучесть и другие эффекты, связанные с тепловым движением атомных частиц, нужно ограничить снизу допустимые скорости процесса, причем тем больше, чем выше при прочих равных условиях температура. Но для неметаллических материалов этим ограничивается и сама способность к остаточным деформациям: при деформировании неметаллического тела со скоростями, обеспечивающими атермический характер процесса, появление остаточной деформации обычно почти сразу сопровождается разрушением; предотвратить разрушение можно лишь наложением достаточно большого （во многих случаях измеряемого десятками или даже сотнями тысяч атмосфер） гидростатического давления. Значительной атермической пластичностью при обычных значениях шаровой составляющей напряжения обладают только металлы. Естественно поэтому, что экспериментальные основания теории пластичности составляют почти исключительно данные опытов над металлами.
Краткий исторический очерк. Начало развития теории пластичности восходит к семидесятым годам.прошлого века и связано с именами А. Сен-Венана и М. Леви. Сен-Венану первому удалось сформулировать уравнения, удовлетворительно описывающие законы пластического течения металлов на языке механики сплошной среды. Этот успех во многом был обязан экспериментальным исследованиям А. Треска, поставившего в конце шестидесятых годов серию опытов по штамповке и выдавливанию металлов через отверстия. С упоминания об этих опытах и начинается классическая работа Сен-Венана об уравнениях для «внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределом упругости». Эта работа ограничивается случаем плоской деформации, но построенные в ней уравнения были сразу же обобщены М. Леви на трехмерный случай （статьи Сен-Венана и Леви появились почти одна за другой в «Journal de mathematiques pures et appliquees» за 1871 г.; перевод этих статей имеется в сборнике «Теория пластичности», М., 1948）.
Конец прошлого столетия принес мало нового, в начале же нашего века проблемы пластичности стали опять привлекать внимание круп-
ных ученых. В 1909 г. появилась работа А. Хаара и Т. Кармана, содержавшая попытку получить уравнения теории пластичности с помощью вариационного принципа, в 1913 г. —— важная работа Р. Мизеса (см. уже упоминавшийся сборник переводов «Теория пластичности»). В этой работе Мизес отчетливо сформулировал условие пластичности, по которому переход в пластическое состояние определяется значением квадратичного инварианта девиатора напряжения (менее отчетливо и вне связи с построением теории пластичности такое условие высказывалось и ранее). Главным из доводов Мизеса в пользу этого условия была его близость к условию текучести, указанному Треска и использованному Сен-Венаном (условию максимального касательного напряжения). Эта близость связана с тем, что вследствие симметрии тензора напряжения всегда
Т^ 3 S* W^TTmахК 2s*, где
= Н/з (臂十 W + 寸)=Sa0aB
—интенсивность касательных напряжений (т1? т2, т3 ——главные касательные напряжения, s^ ——компоненты девиатора напряжения).
Ряд важных исследований появился в двадцатых годах. Так, Г. Генки и Л. Прандтль обратили внимание на двумерные задачи теории идеальной пластичности, в первую очередь на задачи о плоской деформации: в одной из работ этого периода Генки установил примечательные свойства «линий скольжения» (траекторий ттах) в задаче о плоской деформации идеально пластического тела (Z. angew. Math, und Meeh., 1923, 3 : 4, 241—251); в опубликованной вскоре работе Прандтль указал пути применения этих свойств к решению некоторых конкретных задач (вдавливание штампа, сжатие слоя; см. сборник «Теория пластичности», где имеется и перевод статьи Генки). Вместе с работой X. Гейрингер (1930 г.), в которой были получены уравнения для скоростей на линиях скольжения, эти работы дали толчок широкому развитию исследований по плоской задаче теории идеальной пластичности в конце тридцатых годов и позднее (см. § 3 настоящего обзора).
Еще в одной своей работе двадцатых годов Г. Генки дал хорошо известную сейчас (используемую во многих учебниках сопротивления материалов) энергетическую интерпретацию условия Мизеса и с помощью вариационного принципа, аналогичного принципу, с ф ор му лир ов анному ранее А. Хааром и Т. Карманом, получил определяющие уравнения для идеально пластического тела в виде конечных соотношений связи тензоров напряжения и деформаций. А. Надаи обобщил эти уравнения Генки на случай изотропного тела с упрочнением. Как и в работе Генки, границы применимости конечных уравнений связи тензоров напряжения и деформации для описания пластичности при этом четко не определялись. Ясность в этом вопросе была достигнута позднее, после появления в сороковых годах ряда работ А. А. Ильюшина (см. п. 2.5.).
В двадцатых годах был сделан также существенный шаг в развитии теории Сен-Венана ——Леви, в которой рассматриваемая среда является, в сущности, «жестко-пластической» (способной испытывать только остаточные деформации). Л. Прандтль, по-видимому, первым обратил внимание на этот факт: в одной из его работ начала двадцатых годов дано обобщение уравнений Сен-Венана, по которому приращение деформации d^tj в данной точке среды всегда состоит из упругой и остаточной частей, а тензор напряжения соосен тензору, характеризующему остаточную часть, 6 Механика в СССР, т. 3
а не все приращение деформации. В 1930 г. Э. Рейсс аналогичным образом обобщил вариант теории Сен-Венана — Леви, указанный Р. Мизесом (отличающийся от исходного варианта лишь условием текучести; Z. angew. Math, und Meeh., 1930, 10 :3, 226—274, см. цит. сб. «Теория пластичности»).
К двадцатым годам по справедливости нужно отнести и начало систематических экспериментальных исследований в связи с вопросами теории пластичности. В 1926 г. опубликовали результаты своих опытов М. Рош и А. Эйхингер, а двумя годами позднее появилась фундаментальная работа В. Лоде ). В обоих случаях испытывались образцы в виде тонкостенных трубок, а одной из главных целей эксперимента было сравнение условий текучести Треска и Мизеса для более широкого набора напряженных состояний, чем простое растяжение и чистый сдвиг. Лоде, кроме того, ввел в рассмотрение параметр, характеризующий «вид» (отношение диаметров кругов Мора) двухвалентного симметричного тензора, и изучал в своих опытах связь между 卩° и 卩可一«параметрами Лоде» соответственно тензора напряжения и тензора скорости деформации. На плоскости, отнесенной к координатам 卩⑺ 卩&，，диаграмма этой связи, по данным опытов Лоде, имеет характерный вид, всегда получавшийся и в более поздних опытах такого типа и позволяющий сделать важные выводы относительно конструкции определяющих соотношений.
Надо заметить, что в эти годы началось также экспериментальное изучение пластичности и прочности металлических монокристаллов. Как известно, при охлаждении жидкого металла обычно получается тело с поликристаллической структурой. Выращивание металлического монокристалла —дело трудное, и, несмотря на многовековую историю металлургии, первые способы получения монокристаллов типичных металлов были открыты лишь в 1918—1920 гг. Зато это почти сразу было использовано для широкого изучения законов пластической деформации на «кристаллографическом уровне»* С. Элам, М. Поляни, Э. Шмид и другие физики-металловеды осуществили в двадцатых годах сотни опытов по растяжению и сдвигу монокристаллических образцов за пределами упругости при разной ориентации решетки образца относительно главных осей напряжения. В результате было установлено, что пластическая деформация монокристалла происходит в основном путем взаимной трансляции («скольжения») его частей, разделяемых системами одноименных кристаллографических плоскостей, что наименьшим сопротивлением скольжению обладают кристаллографические плоскости и направления с наиболее плотным размещением узлов решетки и ряд других простых по форме фактов, важнейшие из которых выражают так называемые «законы Шмида» (обзор этих фактов имеется в монографии Э. Шмида и В. Боаса «Пластичность кристаллов», 1935; русский перевод: М.—Л., 1938).
Законы Шмида допускают чисто макроскопическую формулировку, и потому с их помощью можно внести ясность и в некоторые из вопросов о законах пластической деформации «квазиизотропного» (поликристалли- ческого) тела. Однако построение таким путем достаточно полной и строгой теории деформирования поликристаллического образца представляет собой весьма трудную задачу. По этой причине отмеченные успехи физического металловедения не оказали большого влияния на реологию пластических сред — развитие последней и позднее шло в основном по тому
же пути, что и до 1930 г., т. е. исходя непосредственно из данных опытов над обычными образцами.
В начале тридцатых годов важные опыты были поставлены Дж. Тейлором и X. Квинни, Р. Шмидтом, Ф. Одквистом, К. Хоэнемзером. В опытах Тейлора и Квинни изучались взаимная ориентация главных осей тензоров напряжения и скорости деформации и упрочнение. Опыты Шмидта были одними из первых экспериментов, посвященных специально упрочнению при сложном напряженном состоянии (Ingr-Arch., 1932, 3 : 0, 215—235; см. сборник «Теория пластичности»). Подвергнув анализу ряд вариантов условия упрочнения, Шмидт обнаружил, что наиболее удовлетворительным из них является тот, по которому интенсивность касательных напряжений ——функция плотности работы напряжений: s东—Д (ip), dw = 0*(x3 d%B (к такому же выводу на основании своих опытов пришли Дж. Тейлор и X. Квинни). Оказалось, что диаграмма процесса на плоскости в координатах s*, w мало изменяется даже с переходом от опытов с «пропорциональным» нагружением к нагружениям с резкими поворотами главных осей. Ф. Одквист почти сразу отметил, что не менее удовлетворительным является условие, в соответствии с которым
S* g (九)， d九=V^d$aB d$aB・
В обоих случаях не учитывается упругая составляющая деформации. Если упругой деформацией не пренебрегать, то приращение d^ij нужно заменить остаточной его частью 源务=de订一d%. Тогда для любого допустимого состояния
s* 式无(妨，dw = Gb d^
или, по Одквисту,
s*Wg(D 林=联蹴в 蹴в，(1.1)
причем 无 и g — монотонные функции и в обоих случаях d^tj # 0 только при знаке равенства.
Близость условий (1.1), всегда подтверждавшаяся опытами, почти диктует конструкцию простейшего обобщения уравнений Прандтля — Рейсса на случай среды с упрочнением. Дело в том, что условия (1.1) вполне согласуются друг с другом (т. е. h (w) = g (入)для любого процесса) только в том случае, когда в любом состоянии с d唸 方 0 тензор напряжения соосен и подобен тензору d%. Вместе с условием пластической несжимаемости материала и условием текучести Мизеса соосность и подобие этих тензоров заключают в себе и уравнения Рейсса.
Отмеченное (получающееся заменой условия Мизеса любым из условий (1.1)) обобщение уравнений Рейсса несколько инь±м путем было построено Г. Хандельманом и В. Прагером (Прикл. мат. и мех., 1947, 11 : 2, 291—292). Пусть / = ]/2 (s* — g (X)), где по-прежнему 玖=Уd^d^ Соосность и подобие тензоров напряжения и скорости остаточной деформации вместе с условием пластической несжимаемости при этом равносильны соотношению
d喘=d人為,(1.2)
а в соответствии с (1.1) для любого состояния / &0, причем d\^Q только при / = 0, d/ = 0. При указанной конкретизации «функции нагружения»
/ эти соотношения совпадают с соотношениями Хандельмана — Прагера. Для упругой составляющей деформации, как обычно, принимается справедливым закон Гука.
Соотношения Хандельмана — Прагера определяют вполне конкретную и простую модель упруго-пластической среды с упрочнением. В 1951 г. Д. Ч. Драккер сформулировал постулат, вследствие которого тензор скорости остаточной деформации должен быть связан с функцией нагружения «градиентальным» соотношением вида (1.2) в широком классе случаев. В применении к изотермическим процессам в среде с упрочнением и обычным (не изменяющимся в результате пластической деформации) законом разгрузки постулат Драккера равносилен следующему локальному принципу максимума:
0*аВ盛編)* Ь(хВ d或8 (1.3)
для любых действительных (связанных определяющими соотношениями) о•订，d% и любого допустимого (ограниченного только условием / & 0) напряженного состояния ь订； для идеально пластической среды (1.3) всегда выполняется со знаком равенства. Отсюда вытекает, что область в пространстве напряжений, заполняемая траекториями обратимых изменений данного состояния, должна быть всегда невогнутой, а тензор de鲁 для каждого гладкого участка границы этой области («поверхности нагружения») связан с нормалью к ней соотношением вида (1.2).
Определяющие соотношения, в которых функция нагружения играет роль «пластического потенциала», принято называть ассоциированным законом. В случае идеально пластической среды с гладкой поверхностью нагружения (в применении к таким средам чаще называемой поверхностью текучести) принятие постулата Драккера исчерпывает вопрос об определяющих соотношениях, по крайней мере для процессов при неизменном поле температуры. В случае среды с упрочнением требуются дополнительные предположения. Если же поверхность нагружения имеет особые точки, то возникает также вопрос о связи тензора d礴 с другими переменными при изменениях состояния, соответствующих смещениям из этих точек.
Вопрос о законе течения в случае пластического потенциала с сингулярностями был затронут еще Э. Рейссом в начале тридцатых годов, а позднее — в работах В. Прагера. В работах В. Т, Койтера 1953—1956 гг. дано изящное решение этого вопроса для среды с кусочно-гладкой поверхностью нагружения общего вида (Quart. Appl. Meeh., 1953, И : 3, 350—354, и др. статьи, основные результаты и библиография которых имеются в обзорной работе В. Т. Койтера «Общие теоремы теории упруго-пластических сред», 1960; русский перевод: М., 1961).
Если кусочно-гладкая поверхность нагружения состоит из м》1 гладких участков, которым соответствуют функции нагружения 厶，/2,・・・ ...,/п, то, по Койтеру, для любого процесса
п
У 队zn 索，/т<0, (1.4)
причем для каждого m = 1, 2, . . ., п
dXm > 0 тогда и только тогда, когда /т= 0, doa^ > 0 (1.4') (для идеально пластической среды последнее условие формулируется несколько иначе). Для точки на поверхности нагружения, принадлежащей
лишь одному гладкому ее участку, согласно (14) ненулевое значение имеет лишь один член суммы в (1.4) и тензору d% по-прежнему в пространстве напряжений соответствует отрезок с направлением нормали к этой поверхности. Для точек последней, в которых нормаль к ней не определена, больший произвол допускает и принцип максимума (1.3); соответственно в этих случаях на основании (1.4) и (1.4') «активными» могут быть одновременно несколько частичных функций нагружения.
Работы В. Т. Койтера, в частности, позволили понять связь теорий обычного типа с теориями, претендующими на микроструктурный подход. Один из наиболее важных фактов установил сам Койтер, показавший, что при надлежащем выборе функций fm и переходе к пределу при м f оо соотношения (1.4) сводятся к соотношениям «теории скольжения» С. Б. Батдорфа и Б. Будянского.
Эта теория появилась в 1949 г. и была первой привлекшей внимание попыткой построить уравнения теории пластичности, исходя из законов пластической деформации монокристаллов (NACA Techn. Note, 1949, № 1871; русский перевод в сб. перев. «Механика», 1962, № 1). В пятидесятых годах было опубликовано несколько десятков статей, посвященных анализу и некоторым уточнениям теории Батдорфа ——Будянского. К концу пятидесятых годов, однако, стало ясно, что исходные ее положения чрезмерно упрощают картину «скольжения» в поликристалле. Существенную роль сыграли экспериментальные исследования, неизменно показывавшие несостоятельность характерных предсказаний этой теории. Вследствие этого интерес к теориям такого типа на некоторое время угас.
В теорию же, развивавшуюся в рамках классического подхода, в этот период был сделан новый значительный вклад. В соответствии с (1.1) поверхность нагружения в любом состоянии представляет собой цилиндр Мизеса с фиксированной осью, при пластической деформации изменяется лишь радиус цилиндра. Этим исключается прежде всего учет эффекта Баушингера. В работах В. Прагера и других ученых в пятидесятых годах были построены первые конкретные модели упруго-пластической среды с деформационной анизотропией упрочнения и эффектом Баушингера. Позднее появились работы, посвященные уточнению этих моделей. Главным источником уточнений были результаты опытов с многократными знакопеременными нагружениями, осуществлявшихся в пятидесятых и шестидесятых годах многими экспериментаторами и позволивших заметно продвинуться в понимании причин и форм проявления эффекта Баушингера у реальных металлов.
В эти годы были выполнены и другие интересные экспериментальные исследования со сложными нагружениями образцов. Принципиальное значение имели опыты с «малыми догрузками» и исследования эффектов «запаздывания», подробнее о которых будет сказано в § 2. Постепенно становилось очевидным, что удовлетворительно согласовываться с экспериментом при любых нагружениях не может никакая теория, в которой границы упругого поведения для каждого состояния тела описываются одной поверхностью в пространстве напряжений или деформаций. В результате в последнее время снова начал возрастать интерес к теориям, которые с известными основаниями можно назвать микроструктурными.
В заключение отметим, что первые работы по теории пластичности в нашей стране появились в 1936—1938 гг. В послевоенные годы только в изданиях АН СССР было опубликовано свыше двухсот работ. Следующий параграф настоящего очерка посвящен работам советских ученых в области реологии пластических сред, § 3 — работам по краевым задачам.
Обзор не претендует на полноту. Мы избегали рассмотрения частных вопросов или специальных проблем. Так, вовсе не затронуты теория пластических оболочек и пластин, течение тонких пластических слоев, приложения теории к технологическим задачам, проблема устойчивости за пределом упругости, динамические задачи и некоторые другие вопросы.
Связи между локальными характеристиками состоянияи деформации среды
Идеально пластические среды. По определению идеально пластического тела в процессах при неизменной температуре допустимым его состояниям соответствует фиксированная область в пространстве напряжений. Тем самым функция / в уравнении / — 0 границы этой области должна быть функцией только напряжений. В случае кусочно-гладкой поверхности текучести это справедливо для каждой из функций /1? /2,... ...,/,г, соответствующих гладким участкам. В результате соотношения (1.4) вместе с обычными (выражающими закон Гука) уравнениями для упругой составляющей деформации образуют полную систему определяющих соотношений; (1.4') при этом заменится условием, в силу которого d九m > 0 возможно только при /т = 0, dfm = 0,— это также следует непосредственно из определения идеально пластической среды.
Для изотропной среды функции fm должны быть инвариантны относительно полной ортогональной группы и потому могут зависеть от тензора напряжения только через «абсолютные» его инварианты. Условие пластической несжимаемости при этом равносильно условию, что fm от инварианта ЬсфЬоф не зависят и, следовательно, представимы в виде функций скалярных инвариантов девиатора напряжения, в качестве независимых среди которых всегда можно рассматривать интенсивность
S* — 1/Г1/2^аР5а|3
и «угол вида»
Конкретизация функций /т = fm (s*, а^ должна удовлетворять условию невогнутости поверхности текучести. Кроме того, обычно принимается, что пределы текучести при растяжении и сжатии одинаковы. Но и с введением этого условия остается еще большой произвол. В частности, всем перечисленным условиям удовлетворяют оба классических условия текучести: условие Треска и условие Мизеса.
Д. Д. Ивлеву принадлежит идея воспользоваться принципом максимума мощности диссипации для сравнения условий текучести (Д. Д. Ивлев, 1958, 1966). С помощью такого сравнения доказывается предпочтительность условия Треска. Однако кроме принципа максимума при этом приходится использовать предположение, регламентирующее способ измерения предела текучести (который должен всегда определяться из опыта на чистый сдвиг).
Доводы в пользу большего соответствия условия Треска физике пластической деформации высказывались и другими авторами. Известно, с другой стороны, что с экспериментальными данными чаще более удовлетворительно согласуется условие Мизеса. Особенно характерны в этом отношении данные опытов о связи параметров Л оде, ибо эта связь зависит
от производных функции текучести и разница условий Треска и Мизеса становится более ощутимой.
Известно, что «угол вида» данного симметричного тензора определяет направление его составляющей в плоскости «октаэдрической» (равнона- клоненной к главным осям) площадки. С учетом этого нетрудно видеть, что в пределах каждой грани призмы Треска «угол вида» тензора de% сохраняет фиксированное значение, изменяющееся на 丄/з 冗 при переходе на соседнюю грань (рис. 1). При условии же Мизеса в состояниях с de,声 О всегда as —仪胧軍，Параметр Л оде однозначно определяется «углом вида»,
и, переходя к параметрам Л оде, получим картину, изображенную на рис. 2. Условию Треска отвечает ломаная ТОТ, совпадающая при 卩必=О с отрезком [—1, 1] оси 卩$, условию Мизеса — прямая 卩$ =卩~2卩・ После опытов самого В. Л оде, о которых упоминалось в § 1, связь между параметрами Л оде в опытах над различными металлами изучалась Дж. Тейлором и X. Квинни, в сороковых годах — Э. Девисом. В СССР ряд опытов этого типа был поставлен Ю. И. Ягном с сотрудниками (Ю. И. Ягн и И. И. Виноградов, 1954; Н. М. Митрохин и Ю. И. Янг, 1960, и др.). По данным всех этих опытов, в любом случае (в том числе и для металлов с ярко выраженной площадкой текучести) получаются кривые такого вида, как отмеченная на рис. 2 точками, — гладкие и близкие к прямой
Ms =卩 de。.
В связи с вопросом о формах условия текучести следует отметить также работы Н. К. Снитко (1948) и В. В. Новожилова (1952). В соответствии с первой из них отношение пределов упругости при растяжении и чистом сдвиге для поликристаллического образца зависит от типа решетки монокристаллических его элементов. В работе В. В. Новожилова показано, что интенсивность касательных напряжений можно рассматривать как квадратичное среднее касательных напряжений по всевозможным образом ориентированным площадкам в данной точке тела.
Упрочняющиеся среды с гладкой или кусочно-гладкой поверхностью нагружения. Для среды с упрочнением поверхность нагружения изменяется при d*，0. Даже гладкость этой поверхности здесь может быть разной в различных состояниях среды, например: на сначала гладкой во всех своих точках поверхности нагружения в результате пластической
деформации могут появляться точки заострения, число гладких участков кусочно-гладкой поверхности может быть разным в разных состояниях среды и т. д.
С другой стороны, еще опыты тридцатых годов, о которых говорилось в § 1, показали, что в некоторых случаях можно ограничиться простейшим предположением. Это предположение заключается в (1.1) и состоит в том, что изменение поверхности нагружения при de%，0 всегда сводится к преобразованию подобия относительно центра или оси ее симметрии («изотропное упрочнение»).
В рамках этого предположения не учитывается эффект Баушингера. К началу пятидесятых годов было понято, что для описания этого эффекта нужно, чтобы одним из элементов изменения поверхности нагружения при d端 抬 0 была трансляция по направлению смещения текущей точки в пространстве напряжений. В разных формах этот факт отмечался в работах Г. Эдельмана, Д. Ч. Драккера и В. Прагера. В работах В. Прагера 1954——1955 гг. были развиты конкретные модели среды с трансляцией поверхности нагружения.
Одна из таких моделей рассматривалаь в 1954 г. А. Ю. Ишлинским. Основные соотношения для этой среды вытекают из (1.2) при следующей конкретизации функции нагружения:
/ = (SaB —卩аб) (SaB —卩аб) — 2/с2, (2.1} где " — постоянная, а девиатор с компонентами 卩订 представляет собой линейную изотропную функцию девиатора остаточной деформации. В начальном состоянии 卩订=0 и (2.1) совпадает с условием Мизеса. С переходом же за предел упругости цилиндр Мизеса поступательно перемещается как жесткое целое.
Следующий шаг был сделан В. В. Новожиловым и Ю. И. Кадашевичем (1958), исходившими из того факта, что у реальных металлов эффект Баушингера и деформационная анизотропия упрочнения связаны с «микронапряжениями» (неоднородностями поля внутренних сил в объемах с размерами порядка зерна и меньшими). Влияние последних на макроскопические свойства материала анализировалось с помощью механической модели с элементом сухого трения на плоскости и системой пружин, имитирующих макроскопические и остаточные микроскопические напряжения. Закон пластичности, полученный в этой работе, вытекает из (1.2) при функции нагружения вида (2.1), но, в отличие от работы А. Ю. Ишлинского,卩订 связаны с компонентами девиатора пластической деформации нелинейными уравнениями и к ——монотонная функция скаляра К, dK = у d喙 〃£^в・ Авторы особо выделяют случай, когда к = const (среда с идеальным эффектом Баушингера), однако в общем случае здесь поверхность нагружения при d鳴抬 0 испытывает одновременно трансляцию и изотропное расширение. Позднее было показано, что для конкретизации связи тензора “订 с другими переменными существенное значение имеют результаты опытов с многократными знакопеременными нагружениями образцов (Р. А. Арутюнян и А. А. Вакуленко, 1965), Выяснилось также, что предложенное В. В. Новожиловым и Ю. И. Кадашевичем истолкование тензора 卩zj как некоторого «тензора микронапряжений» имеет основания и с точки зрения теории дислокаций (А. А. Вакуленко и Л. М. Качанов, 1969).
Как показывает опыт, упрочнение реальных металлов всегда имеет анизотропный характер. При подходящих нагружениях эффект Баушингера и деформационная анизотропия упрочнения ——эффекты, по существуг.
такого же порядка, как и само упрочнение. Поэтому для любой модели среды с изотропным упрочнением соответствие эксперименту может быть вполне удовлетворительным лишь при процессах, траектории которых в девиаторной гиперплоскости пространства напряжений лежат в достаточно узком конусе с вершиной в точке s订=0. Для сред с трансляцией поверхности нагружения такой конус заменяется цилиндром, пересекающим эту поверхность в окрестности каждого конца какого-либо диаметра,
поскольку теперь допускаются нагружения с изменением знака напряжений. Но в обоих случаях класс процессов, в рамках которого можно ожидать удовлетворительного согласия теории с экспериментом, суживается еще некоторыми дополнительными условиями, ограничивающими кривизну траекторий. Более значительны эти ограничения для сред с изотропным упрочнением, поведение которых при резких поворотах главных осей тензора приращения напряжения даже качественно не всегда согласуется с опытом. Впервые отчетливо это обнаружилось в опытах с так называе
мыми малыми догрузками.2.3. Теории типа «теории скольжения». В СССР первые опыты с малой догрузкой были поставлены А. М. Жуковым и Ю. Н. Работновым (1954). Образцы в виде тонкостенных трубок сначала подвергались растяжению, входе которого им сообщалась некоторая остаточная деформация, после чего при фиксирован- т ной растягивающей силе прикладывались крумыми малыми догрузками.2.3. Теории типа «теории скольжения». В СССР первые опыты с малой догрузкой были поставлены А. М. Жуковым и Ю. Н. Работновым (1954). Образцы в виде тонкостенных трубок сначала подвергались растяжению, входе которого им сообщалась некоторая остаточная деформация, после чего при фиксирован- т ной растягивающей силе прикладывались крутящие пары, вызывавшие касательные напряжения Дт (траектория OMMi на рис. 3). Если поверхность нагружения остается гладкой в «активной» ее точке к моменту догрузки, то смещение 財仅\ лежит в касательной плоскости (рис. 3) и, в силу «нейтральности» таких смещений, с точностью до малых более высокого порядка Ду = Ay?, т. е Ар = G Ду, где G — модуль упругости при сдвиге. В эксперименте же отношение Дт/Ду всегда получалось значительно меньшим модуля G. Известны опыты, втящие пары, вызывавшие касательные напряжения Дт (траектория OMMi на рис. 3). Если поверхность нагружения остается гладкой в «активной» ее точке к моменту догрузки, то смещение 財仅\ лежит в касательной плоскости (рис. 3) и, в силу «нейтральности» таких смещений, с точностью до малых более высокого порядка Ду = Ay?, т. е Ар = G Ду, где G — модуль упругости при сдвиге. В эксперименте же отношение Дт/Ду всегда получалось значительно меньшим модуля G. Известны опыты, вООРис. 3.Рис. 3.которых осуществлял-которых осуществлял-ся «веер» догрузок из данного состояния (опыты П. М. Нахди и Дж. Роули, см. сб. пер ев. «Механика», 1955, № 3, и др.). Заметно неупругими изменения деформации образца при этом обычно оказывались даже при догрузках со смещениями в пространстве напряжений под углами > 1/2 л относися «веер» догрузок из данного состояния (опыты П. М. Нахди и Дж. Роули, см. сб. пер ев. «Механика», 1955, № 3, и др.). Заметно неупругими изменения деформации образца при этом обычно оказывались даже при догрузках со смещениями в пространстве напряжений под углами > 1/2 л относительно вектора, соединяющего начало координат с рассматриваемой точкойтельно вектора, соединяющего начало координат с рассматриваемой точкой
мыми малыми догрузками.
2.3. Теории типа «теории скольжения». В СССР первые опыты с малой догрузкой были поставлены А. М. Жуковым и Ю. Н. Работновым (1954). Образцы в виде тонкостенных трубок сначала подвергались растяжению, входе которого им сообщалась некоторая остаточная деформация, после чего при фиксирован- т ной растягивающей силе прикладывались кру
мыми малыми догрузками.
2.3. Теории типа «теории скольжения». В СССР первые опыты с малой догрузкой были поставлены А. М. Жуковым и Ю. Н. Работновым (1954). Образцы в виде тонкостенных трубок сначала подвергались растяжению, входе которого им сообщалась некоторая остаточная деформация, после чего при фиксирован- т ной растягивающей силе прикладывались кру
тящие пары, вызывавшие касательные напряжения Дт (траектория OMMi на рис. 3). Если поверхность нагружения остается гладкой в «активной» ее точке к моменту догрузки, то смещение 財仅\ лежит в касательной плоскости (рис. 3) и, в силу «нейтральности» таких смещений, с точностью до малых более высокого порядка Ду = Ay?, т. е Ар = G Ду, где G — модуль упругости при сдвиге. В эксперименте же отношение Дт/Ду всегда получалось значительно меньшим модуля G. Известны опыты, в
тящие пары, вызывавшие касательные напряжения Дт (траектория OMMi на рис. 3). Если поверхность нагружения остается гладкой в «активной» ее точке к моменту догрузки, то смещение 財仅\ лежит в касательной плоскости (рис. 3) и, в силу «нейтральности» таких смещений, с точностью до малых более высокого порядка Ду = Ay?, т. е Ар = G Ду, где G — модуль упругости при сдвиге. В эксперименте же отношение Дт/Ду всегда получалось значительно меньшим модуля G. Известны опыты, в
О
О
Рис. 3.
Рис. 3.
которых осуществлял-
которых осуществлял-
ся «веер» догрузок из данного состояния (опыты П. М. Нахди и Дж. Роули, см. сб. пер ев. «Механика», 1955, № 3, и др.). Заметно неупругими изменения деформации образца при этом обычно оказывались даже при догрузках со смещениями в пространстве напряжений под углами > 1/2 л относи
ся «веер» догрузок из данного состояния (опыты П. М. Нахди и Дж. Роули, см. сб. пер ев. «Механика», 1955, № 3, и др.). Заметно неупругими изменения деформации образца при этом обычно оказывались даже при догрузках со смещениями в пространстве напряжений под углами > 1/2 л относи
тельно вектора, соединяющего начало координат с рассматриваемой точкой
тельно вектора, соединяющего начало координат с рассматриваемой точкой
на поверхности нагружения.
В рамках обычного определения этой поверхности отсюда неизбежен вывод, что при начальной гладкости к моменту догрузки на ней может появляться заострение. В качестве еще одного довода в пользу такой возможности иногда рассматриваются также выводы, к которым приводит «теория скольжения» Батдорфа — Будянского и некоторые сходные в своем существе с ней теории других авторов. .
Так, В. Д. Клюшников (1958) предложил плоскую модель пластической среды, в которой, как и в теории Батдорфа — Будянского, пластическая деформация представляет собой результат сдвигов по различным образом ориентированным площадкам в данной точке тела. Вследствие, однако, большей своей простоты модель В. Д. Клюшникова более доступна для анализа связи между напряжениями и деформациями при разных «путях нагружения». Еще более простую двумерную модель предложил Ю. Н. Работнов (1959). Обе эти модели приводят к сходной во многом
картине изменения поверхности нагружения при пластической деформации, которая в свою очередь близка к вытекающей из теории Батдорфа — Будянского и качественно отличается от соответствующей изотропному или трансляционному упрочнению: в отличие от рассматривавшихся в п. 2.2 моделей среды с упрочнением, здесь для широкого класса путей нагружения на поверхности нагружения развивается заострение, вершина которого совпадает с точкой нагружения, в то время как «тыльная» часть этой поверхности не изменяется и остается неподвижной.
Как уже отмечалось, соотношения теории Батдорфа — Будянского можно получить из соотношений ассоциированного закона (1.4) (см. русский перевод работы В. Т. Койтера в сб. перев. «Механика», 1960, № 2). При несколько ином выборе функций fm и также переходе к пределу при 〃f 8 из (1.4) получаются соотношения теории «локальности деформаций», развивавшейся А. К. Малмейстером (1957). В обеих теориях напряжения на площадках скольжения (локального сдвига) совпадают с напряжениями, которые на площадках данной ориентации обусловливаются непосредственно внешними воздействиями. Известно, однако, что в реальном поликристалле напряжения в зернах и частях зерен отличаются от средних напряжений в больших объемах. С появлением макроскопической остаточной деформации микронеоднородность поля напряжений в образце в определенном смысле усиливается, что и является причиной деформационной анизотропии упрочнения и эффекта Баушингера. Естественно поэтому, что предсказания теории Батдорфа ——Будянского плохо согласуются с экспериментом. Это относится и к выводу о «заострении» поверхности нагружения.
В настоящее время известен ряд экспериментальных исследований изменения поверхности нагружения при пластической деформации. В СССР такие исследования проводились А. М. Жуковым (1957), Ю. И. Яг- ном и О. А. Шишмаревым (1958), Г. Б. Талыповым и В. Н. Каменцевым (1959, 1961), Г. Б. Талыповым (1961), О. А. Шишмаревым (1962, 1966). Во всех этих опытах изучалось поведение образцов в виде тонкостенных трубок, но в деталях постановка опытов разными авторами была различной, а потому не во всем согласуются и их выводы. Один из общих выводов, которые можно сделать на основании результатов этих опытов, состоит в том, что существенным (часто единственным или в совокупности лишь с изотропным расширением) элементом изменения геометрии поверхности нагружения в результате заданной пластической деформации является трансляция и что эта поверхность остается гладкой — ничего похожего на появление особенности в точке нагружения во всех перечисленных исследованиях не наблюдалось.
В опытах некоторых зарубежных исследователей трансляционное смещение поверхности нагружения сопровождалось довольно умеренной «тенденцией к образованию угловой точки» (опыты П. К. Берча и В. Н. Финдли, П. М. Нахди с сотрудниками и некоторые другие). '
Другие модели пластической среды с упрочнением. В связи с этими экспериментальными фактами были предприняты попытки построить теорию, удовлетворительную в применении к нагружениям типа ортогональной догрузки, с гладкой в любом состоянии среды поверхностью нагружения. Так, следует отметить работы Г. А. Геммерлинга (1964), в которых было предложено определенного рода обобщение постулата Драккера и, исходя из этого обобщения, построен вариант неассоциированного закона пластичности.
Иное обобщение постулата Драккера ранее предложил А. А. Ильюшин (1961). В этой работе постулируется, что для любого замкнутого по деформациям изотермического процесса
причем знак равенства имеет место только тогда, когда процесс является обратимым.
Как уже говорилось, различие результатов рассматривавшихся в п. 2.3 опытов в значительной мере связано с различием в постановке исследования, точнее ——в методе определения точек поверхности нагружения. Это можно понять уже на примере обычных в технике испытаний металлов при одноосном растяжении или сжатии образцов. Известно, что резкой границы между упругим и упруго-пластическим состояниями обнаружить не удается и предел упругости в таких испытаниях приходится определять условно ——как напряжение, соответствующее некоторому заданному малому значению остаточной деформации. Нисколько не лучше, естественно, положение и в испытаниях при сложном напряженном состоянии ——размеры и форма поверхности нагружения зависят от «допуска» на остаточную деформацию, с которым определяются точки этой поверхности.
Таким образом, в действительности граница упругости не является такой отчетливой, как это определяется концепцией поверхности нагружения в обычной ее форме. С «размытостью» действительной границы упругости в конечном счете связаны и факты, обнаруживаемые в опытах с малой догрузкой. Первый шаг в учете этой размытости составляет отказ от условия о нейтральности нагружений, которым соответствуют смещения по поверхности нагружения. Но при этом исчезает непрерывность связи скоростей 仃订 и &务 для заданной точки на поверхности нагружения и возникают определенные трудности в постановке краевых задач теории. Поэтому представляется естественным сделать и следующий шаг ——рассматривать в качестве изменений с de% 抬 0 и такие изменения состояния среды, которым соответствуют смещения точки нагружения внутрь области, ограничиваемой поверхностью нагружения, при соответствующем уточнении, разумеется, смысла последней. Именно эту поверхность теперь нужно рассматривать не как границу в пространстве о%/области вполне упругого поведения материала, а как геометрическое место точек, соответствующих некоторому заданному малому «допуску» на величину остаточной деформации при нагружении «по лучам» из данного состояния (как, подчеркнем, и определяется эта поверхность в опытах). Такой, по существу, подход был намечен в одной из работ В. Д. Клюшникова (1965), хотя и при несколько иной аргументации.
Действительно, на основании неравенства Коши ——Буняковского можно положить
• 為 dGaB = (1/誥為 m际而)COS ф.
При обычном предположении о «нейтральности» нагружения со смещение ем по поверхности / — 0 для дифференциальной формы d九 в соотношениях ассоциированного закона имеем
秋(2・2)
и с помощью этого и предыдущего выражений соотношение (1.2) можно* записать так:
"*=n 為一ум^м^屮(叫，(2.3)
где 刀 > 0 ——функция напряжений и истории напряжений и
屮(ср) = cos ф при О W 丨屮丨《％冗，屮(屮)=° при %冗 W I ф I ^ я.
(2.3)
Подчеркнем, что (2.3) и (2.3‘) заключают в себе иначе записанную обычную конкретизацию ассоциированного закона для упрочняющейся среды с гладкой поверхностью нагружения. Согласно (2.3) функция 屮(ф) непрерывна, но не дифференцируема при 屮=土 】/? л. Учитывая, что это является одной из основных причин сложности краевых задач теории упруго-пластических сред с упрочнением, В. Д. Клюшников предложил вместо (2.3) определять 屮(ф) в виде аналитической функции, близкой к определяемой соотношениями (2.3‘). Трудно сказать, в какой мере это может упростить краевые задачи, но ясно, что таким путем можно улучшить описание поведения образцов при малых догрузках, конкретизируя функцию 屮(屮) непосредственно с помощью экспериментальных данных. Существенно, чта при этом поверхность нагружения (понимаемая так, как было отмечено выше) может оставаться гладкой в окрестности точки догрузки.
Деформация при неизменном положении главных осей. Деформационная теория. Пусть однородная деформация среды протекает так, что в течение всего процесса положение главных осей тензора деформации (относительно фиксированных материальных осей) остается неизменным. Если среда в начальном состоянии изотропна, то будет неизменным и положение главных осей тензора напряжения, причем, не ограничивая общности, можно считать, что главные оси обоих тензоров совпадают. Тогда в каждый момент процесса справедливо хотя бы одно из следующих тензорных уравнений (В. В. Новожилов 1951, 1954):
—s*「sin (а"2а,)1/3sin (as — а,) /2 2足 I
(2 %「sin (а,+ 2%)1/3 sin as) /2 2K
где Su и з订 ——компоненты девиатора напряжения и девиатора деформации, 1/T/3 Sa8S8样ya 、
= J/ 三5a川a6，o^s = y arccos ^|丿，
a东 и аэ определяются аналогичным образом (когда одновременно sin 3as 六 抬 0 и sin Заэ 声 0, уравнения (2.4) эквивалентны). Эти уравнения содержат в себе только соосность тензоров напряжения и деформации и потому в рассматриваемом случае справедливы независимо от других (сверх начальной изотропии) свойств среды. Специфика среды отражается в уравнениях связи s* и а§ со скалярами тензора деформации, которые нужно присоединить к уравнениям (2.4) и которые для пластической среды, вообще говоря, неголономны и в этом случае. Заведомо голономной эта связь будет лишь при определенном дополнительном ограничении изменения тензора деформации.
Именно допустим, что наряду с положением триэдра главных осей остается неизменным и «угол вида» аэ девиатора деформации и что в любой момент процесса ddjdt > 0. Тогда, как можно показать, при изотропии среды в начальном состоянии и независимости ее поведения от времени о = о(£, %, aj, s* = S*(8, %, aj, as = %(£, %, а»), где о = =i/з OaB^aB，£ ——аналогичный инвариант тензора деформации. Обычно рассматривается частная форма этих функций, при которой (2.4) сводятся к «тензорно-линейному» уравнению и, с соответствующей оговоркой относительно случая разгрузки, для пластической среды
汨=ЗК&, stj = 力力
_ (①(％) при s*=Sm, ds*》0, s*~~ [ 2 G (% —噺 при s^c SM или s* = Ss 曲來 W°,'
где К и G ——постоянные, Ф ——монотонная функция указанного аргумента, sM ——максимальное из уже достигнутых (включая текущее состояние) значений s*
Условие неизменности положения триэдра главных осей и значения «угла вида» аэ девиатора деформации равносильно условию, что з订 = =з* (方)з订，где эц от параметра процесса t не зависят. Процесс реформации, в течение которого выполняется это условие, называется процессом простого или пропорционального деформирования. Аналогично определяется процесс простого нагружения (А. А. Ильюшин, 1948). Согласно (2.5) при простом нагружении будет простьш и деформирование.
Как показал Л. И. Седов (1959), при произвольных (конечных) деформациях процесс деформации может быть простым лишь для некоторых, исключительных значений а». Это связано с тем, что при конечной однородной деформации углы между материальными («вмороженными» в материал) прямыми, вообще говоря, изменяются (исключение составляет одноосное растяжение и другие случаи, соответствующие sin3a9 = 0), так что ориентация относительно этих прямых главных осей симметричного тензора сохраняться не может.
Уравнения (2.5) представляют основной и наиболее простой вариант так называемой деформационной теории пластичности. Исторически последняя имеет своим началом известные работы Г. Генки и А. Надаи, о которых говорилось в § 1. Однако основу этих работ составляли соображения, не позволявшие с полной определенностью судить о сфере применимости теории к реальным металлам. Развитие представлений об основаниях и сфере действия этой теории обязано работам А. А. Ильюшина, опубликованным в сороковых годах и суммированным в монографии (А. А. Ильюшин, 1948)
При простом нагружении траектория процесса в девиаторной гиперплоскости пространства напряжений представляет собой отрезок прямой с началом в точке s〃 = 0. Если текущая точка в этой гиперплоскости перемещается по прямой, проходящей через точку s^ = 0, и пересекает последнюю, то нагружение простым не будет. В. В. Москвитин (1952, 1965) обобщил уравнения деформационной теории и теоремы А. А. Ильюшина о простом нагружении на случай такого «знакопеременного простого» нагружения. Эффекты типа эффекта Баушингера в этих работах учитываются с помощью так называемого «принципа Мазинга» и предложенного В. В. Москвитиным обобщения этого принципа. Подробное изложение всех этих результатов можно найти в монографии (В. В. Москвитин, 1965).
«Постулат изотропии» и исследования по вопросам общей теории тензорных функций и функционалов, возникшие в связи с проблемами реологии пластических сред. Множество Ш всех симметричных двухвалентных тензоров, которые можно определить для фиксированной точки сплошной среды, замкнуто относительно линейных композиций своих элементов и потому представляет некоторую шестимерную линейную систему. С точки зрения линейных свойств эта система вполне аналогична шестимерноА1у евклидову пространству. Но между этими линейными системами имеется и существенное различие. Так, вектор в евклидовом пространстве (независимо от числа измерений пространства) имеет лишь один «скалярный инвариант», в то время как элемент системы ш ——три независимых таких инварианта. Это обстоятельство было главным аргументом одной из сторон в дискуссии о «постулате изотропии» (Д. Д. Ивлев, 1960; В. В. Новожилов, 1961). Позднее В. В. Новожилов более точно охарактеризовал специфику линейной системы ш и наметил путь построения ортонормированного базиса такой системы (1963). К. Ф. Черных (1967) детализировал эти соображения, построив конкретный пример такого базиса.
В рамках классической механики сплошных сред тензор напряжения и тензор деформации — симметричные двухвалентные тензоры и, следовательно, элементы множества ш. Соответствующим образом конкретизируя физическую размерность базисных элементов, можно рассматривать два экземпляра этого множества ——«пространство напряжений» и «пространство деформаций». Девиаторы в каждом из этих пространств образуют линейное подмножество (подпространство), которое обозначим соответственно через Ds и D9. «Постулат изотропии» (А. А. Ильюшин, 1954), представляет собой утверждение, согласно которому для начально изотропной среды траектория процесса в Ds зависит лишь от таких свойств траектории в D9, которые инвариантны по отношению к ортогональным преобразованиям D9. Под ортогональными при этом понимаются линейные преобразования пространства D9, при которых сохраняются квадратичные скаляры девиаторов (девиатор с компонентами а^ преобразуется в девиатор з订,для которого ЗавЗаВ — »々03々6)・ Так как кубические скалярные инварианты девиаторов произвольное ортогональное преобразование не сохраняют, сфера действия постулата изотропии определенным образом ограничена —включает в себя лишь среды, «закон материала» для которых описывается уравнениями, не содержащими произведения двухвалентных тензоров (тензоров с компонентами вида。％々6々/,。力“匕“廿^廿才 и т. д.) и скалярные инварианты типа «угла вида».
В одной из глав монографии (А. А. Ильюшин, 1963) предпринята попытка обобщить постулат изотропии, исходя из определенного аналитического представления траекторий процесса в D3. Надо заметить, что в связи с постулатом изотропии был осуществлен ряд экспериментальных исследований (В. С. Ленский, 1958, 1961).
Некоторые итоги. В заключение подчеркнем, во-первых, что все сделанное к настоящему времени в области «определяющих уравнений» представляет разработку проблемы в классической ее постановке (§ 1). В этих рамках естественным образом определяется понятие идеально пластической среды, при построении теории которой принимаются во внимание лишь самые основные элементы макроскопической картины пластической деформации металлов. Модели идеально пластической среды играют в теории пластичности, в сущности, такую же роль, как идеальная жидкость и идеальный газ в механике жидкостей и газов.
Модели пластической среды с упрочнением должны отражать более тонкие детали пластических свойств металлов. Многообразие и сложность этих деталей делают задачу построения вполне удовлетворительной теории таких сред весьма трудной. Известные к настоящему времени модели пластической среды с упрочнением удовлетворительно согласуются с данными опытов лишь в рамках класса процессов, который, сверх ограничений, определяемых условиями о независимости поведения от времени и неизменности поля температуры, существенно ограничивается также в отношении допустимых путей деформирования или нагружения (траекторий процесса в пространстве Ds или 0J. Особые затруднения вызывает описание поведения реальных металлов при резких изменениях положения главных осей напряжения, соответствующих траекториям типа реализующихся в опытах с «ортогональной» догрузкой. В этих случаях наиболее резко проявляется «размытость» действительной границы упругости материала, для учета которой необходим отказ от некоторых обычных допущений механики пластических сред. Надо заметить, что эта «размытость» проявляется также в результатах опытов по изучению картины «запаздывания» (В. С. Ленский, 1958, 1961).
Некоторые важные эффекты, по существу, совсем выпадают из сферы реологии пластических сред в современном ее состоянии. К числу таких эффектов относится, например, «старение» и другие формы влияния изменений состава «твердых растворов» на макроскопические механические их свойства, хотя это влияние может быть значительным. Так, в ряде работ советских физиков-металловедов было показано, что пластическая деформация некоторых метастабильных сплавов сопровождается такими изменениями состава, в результате которых необратимо изменяется объем образца. Еще один фактор, с учетом которого предположение sgp6ap= О может оказаться недостаточно точным, представляет собой так называемое «пластическое разрыхление» (развитие при пластической деформации поликристалла сети пор и трещин по границам и внутри зерен). В. В. Новожилов (1964) указал на то важное обстоятельство, что, будучи обычно малым вплоть до видимого разрушения образца, при многократных циклических нагружениях это «разрыхление» может стать заметным.
В последние годы наметились некоторые конкретные формы использования в реологии пластических сред достижений физики твердого тел а и термодинамики.
Надо заметить, что первое и второе начала термодинамики позволяют сделать ряд важных выводов уже при обычных общих предположениях о свойствах среды. Так, обнаруживается, что картина «баланса энергии», при которой работа [ Оав^е^в полностью диссипирует, характерна лишь для идеально пластической среды. Для среды, свойства которой изменяются в результате пластической деформации, часть этой работы всегда превращается в так называемую «скрытую энергию деформации» (А. А. Вакуленко, 1961). С учетом этого обстоятельства открывается возможность использования при анализе существующих и разработке новых моделей пластической сплошной среды ряда экспериментальных фактов, которыми располагает современная физика металлов.
Образец (элементарный объем) пластической среды представляет собой систему, одной из характерных особенностей которой является нелинейность и неголономность связей между внешними и внутренними параметрами. В работах Л. И. Седова и М. Э. Эглит (1962) намечен путь построения общих форм «определяющих уравнений» для таких сред
с помощью термодинамики. С этой целью может быть использовано также предположение о наличии «феноменологических связей» (связей между термодинамическими «силами» и «потоками»), лежащее в основе современной термодинамики необратимых процессов (А. А. Вакуленко, 1958, 1961; В. Н. Николаевский, 1966).
Контуры еще одного «мостика» между реологией пластических сред и физикой начали вырисовываться с развитием теории дислокаций. Такие параметры деформационной анизотропии упрочнения, как, например, тензор 卩订 в теории пластических сред с трансляцией поверхности нагружения (п. 2.2), могут быть интерпретированы на базе понятий континуальной теории дислокаций. Несомненно поэтому, что прогресс теории дислокаций окажет влияние на развитие реологии пластических сред. Это влияние может стать взаимным — с прояснением деталей связи между понятиями континуальной теории дислокаций и «обычной» теории пластичности факты, которыми располагает последняя, могут оказаться полезными при решении проблем теории дислокаций и других «дефектов» в твердых телах.
Краевые задачи
Общие замечания. Решение многих технических и геофизических вопросов предъявляет значительные требования к теории пластичности На эти вопросы современная теория пластичности может ответить лишь частично. Прежде всего, как было показано в § 2, даже наиболее общее из известных определяющих уравнений теории пластичности справедливо при выполнении ряда ограничительных условий. Как правило, не представляется возможным убедиться в выполнении этих условий внутри тела при заданных внешних воздействиях. Поэтому использование тех или иных определяющих уравнений в конкретных задачах почти всегда опирается на интуитивные соображения. С другой стороны, нелинейность и неголо- номность уравнений пластического деформирования приводят к трудным математическим проблемам даже в относительно простых (с точки зрения формы тела и внешних воздействий) краевых задачах. При этом (кроме чисто вычислительных) часто возникают трудности принципиального характера.
Своеобразное положение, создавшееся в теории пластичности, отражает эти противоречия. Практические потребности заставляют ставить и хотя бы приближенно решать разнообразные краевые задачи. В то же время отсутствие надежных и достаточно общих уравнений пластического состояния, а также сложная структура уравнений приводят к известной сдержанности в развитии соответствующих теоретических разделов.
Другой аспект затронутой проблемы состоит в следующем. Хотя значение счетных машин быстро растет, нельзя тем не менее свести теорию пластичности к одному лишь составлению вычислительных схем. Важна система представлений о закономерностях и особенностях картины пластического течения. Это побуждает к поискам простейших моделей пластической среды, справедливых хотя бы и в более узких пределах, но пригодных для постановки и решения краевых задач.
Четко определились модели идеального жестко-пластического тела и идеального упруго-пластического тела, использующие представление о фиксированной поверхности текучести и являющиеся приемлемой основой для решения многих конкретных задач. Условие пластичности хорошо подтверждено экспериментами в достаточно большом интервале изменения
напряжений. Необходимо также учесть и косвенные подтверждения этих моделей, вытекающие из сопоставления решений многих задач с опытными данными.
В схеме идеального жестко-пластического тела полностью пренебрегают упругими деформациями. Тело остается недеформируемым, пока не достигается необходимый уровень напряжения, тогда возникает пластическое течение. Эта схема пригодна для нахождения несущей способности тела («предельные нагрузки») и анализа развернутого пластического течения («технологические» задачи).
Идеальная упруго-пластическая схема необходима для рассмотрения задач, в которых упругие и пластические деформации одного порядка. Использование этой схемы связано с преодолением больших математических трудностей.
Рассмотренные модели являются хорошим приближением и в случаях, когда среда обладает небольшим упрочнением.
При заметном упрочнении положение является менее определенным. Рассмотрение краевых задач для упрочняющегося тела в большинстве случаев основывается на простейшей модели изотропного упрочнения. Ограниченное значение этой схемы отмечалось уже выше; ее улучшение за счет добавления жесткого переноса поверхности нагружения не устраняет всех расхождений с экспериментами, существенно усложняя в то же время исходные соотношения. По этим причинам задачи для упрочняющейся среды целесообразно рассматривать лишь при несложных условиях нагружения, когда характер внешних воздействий позволяет надеяться, что элементы тела испытывают нагружение, в определенном смысле близкое к простому. Большинство важных для приложений одномерных задач (осесимметричные задачи для труб, дисков, пластин и т. п.) обычно удовлетворяет указанному условию. К^ак это ни парадоксально, но математические трудности здесь играют известную положительную роль, заставляя ограничиваться анализом лишь важнейших и в то же время достаточно простых (по условиям нагружения) задач.
Как уже отмечалось, теорем, которые позволили бы оценивать уровень «простоты» данной задачи, нет. Оценка пригодности полученных решений основывается обычно на интуитивных соображениях и, быть может, некоторых опытных наблюдениях.
Жестко-пластическое тело. Идеальное жестко-пластическое тело начинает деформироваться лишь при достижении предельной нагрузки. При этом некоторые части тела могут остаться жесткими. Скорости частиц на границе пластической зоны должны быть согласованы со скоростями движения жестких частей тела.
Схема жестко-пластического тела интуитивно применялась еще в ранних работах по теории пластичности (жесткие зоны иногда назывались упругими). Однако необходимость согласования полей напряжений и скоростей долгое время не была осознана. Лишь к концу сороковых годов идея последовательного применения схемы жестко-пластического тела получила широкое признание.
Схема жестко-пластического тела пригодна, если пластическое течение, захватывающее все тело или его часть, не испытывает стеснений. Другая картина имеет место, если, например, труба, испытывающая действие внутреннего давления, находится в недеформируемой обойме; здесь использование жестко-пластической схемы исключается..
Схема жестко-пластического тела является крайней идеализацией, и ее последовательная интерпретация связана с рядом затруднений.
7 Механика в СССР, т. 3
Решение по этой схеме, вообще говоря, может отличаться от решения такой же упруго-пластической задачи при модуле Юнга 笈一> 8. Выделение жестких зон в известной мере произвольно, а напряжения в них не определены. С этим связано характерное для жестко-пластического тела отсутствие единственности конструкции решения и некоторые другие парадоксальные заключения.
Вопросы неединственности решения отпадают, если рассматривать жестко-пластическое тело как предельный случай упруго-пластической среды. Однако реализация этой программы требует выхода за пределы жестко-пластической схемы и связана с большими математическими усложнениями. Фактически мы вынуждены оперировать внутри жестко-пластической схемы и мириться с ее недостатками.
Тем не менее идея последовательного применения схемы жестко-пла' стического тела при выполнении определенных условий естественна и оказалась плодотворной не только для решения статических задач, но и обнаружила также большие преимущества и в анализе ряда динамических вопросов. Затруднения, связанные с неединственностью решения, преодолеваются оценкой последнего на основании экстремальных теорем для предельной нагрузки»
В пластических зонах решение удовлетворяет дифференциальным уравнениям равновесия
Н + Х = (3.1>
закону течения
£订=^sij(3.2)
и условию пластичности Мизеса
SijSij = АЛ(3.3)
Здесь выписаны уравнения теории пластичности Мизеса для изотропного тела. Нетрудно привести и более общие уравнения, введя условие текучести вида
' / (%)=兴
и ассоциированный закон течения
謂7(3.分
для гладких точек поверхности текучести. При этом наибольший интерес представляет условие пластичности Треска ——Сен-Венана
tmax = Const, соответствующее на девиаторной плоскости шестиугольнику, вписанному в круг Мизеса (рис. 1).
Условие Мизеса несколько лучше согласуется с опытными данными, однако общие соображения (близость максимального касательного напряжения к интенсивности касательных напряжений) и незначительность наблюдаемых отклонений говорят о практической равнозначности условий пластичности Мизеса и Треска ——Сен-Венана. В пользу каждого из этих условий иногда приводятся те или иные, не лишенные интереса, соображения. Так, некоторые схемы статистического анализа поликристал- лических агрегатов, опирающиеся на ряд предположений о механизме”
пластической деформации, приводят к условию Мизеса. С другой стороны, условие Треска выделяется в некотором смысле эксаремальными свойствами (Д. Д. Ивлев, 1966). Однако попытки представить условие пластичности Треска —— Сен-Венана как наиболее соответствующее природе пластического течения вряд ли убедительны; при этом исходной является картина пластического течения в монокристаллах» Перенос этих представлений на поликристаллические металлы нельзя считать правомерным.
Переход к условию текучести Треска ——Сен-Венана позволяет во многих случаях упростить математическую формулировку задачи. Возможность последовательного использования этого условия текучести появилась сравнительно недавно после работ В. Прагера и В. Т. Койтера (1953 г.), в которых было дано формальное расширение схемы пластического потенциала (ассоциированного закона течения) на сингулярные поверхности текучести. Течение на ребре представляется линейной комбинацией течений слева и справа от ребра:
где /1 三 const, /2 = const ——уравнения поверхности текучести по обе стороны от ребра. Неопределенные множители 九1,九2 неотрицательны, вследствие чего течение развертывается по направлению, лежащему внутри угла, образованного нормалями к двум смежным граням. Дополнительный неопределенный множитель необходим для возможности выполнения условий совместности деформации в связи с «лишним» ограничением на напряженное состояние.
Подобное расширение ассоциированного закона течения позволяет получить непротиворечивую систему уравнений, причем легко устанавливаются и соответствующие общие теоремы.
Физическая интерпретация определенного таким способом течения на ребре связана с известными трудностями, обнаруживающимися уже в случае простого растяжения, отвечающего угловой точке С (рис. 1) шестиугольника Треска ——Сен-Венана. Течение здесь дано соотношениями
£ 1 =九,+ 九 2， £2 =—儿，&8 =—九 2,
где первое главное направление ориентировано по оси стержня. Поперечные деформации, таким образом, произвольны, выполняется лишь условие несжимаемости. Эта картина не согласуется с привычными представлениями о течении изотропного стержня. Однако подобные парадоксальные результаты обнаруживаются лишь в крайних случаях и относятся главным образом к полю скоростей. Общая же оценка решений, получаемых на основе ассоциированного закона, несомненно, благоприятна —— предельные нагрузки являются хорошим приближением.
Схема Прагера ——Койтера в ряде случаев обладает значительными вычислительными преимуществами. Именно это объясняет быстрое и широкое распространение этой схемы в задаче плоского напряженного состояния, в теории пластических оболочек и пластин, в проблеме осесимметричного течения. Вместе с тем отмеченные выше затруднения побуждают оценивать схему Прагера ——Койтера как идеализированную аппроксимацию более реальной теории Мизеса; с этих позиций вряд ли целесообразно пытаться искать физический смысл отдельных парадоксальных заключений.
Система уравнений (3.1)——(3.3), содержащая десять неизвестных функций с?订,入,修,может быть записана в различных формах. В частности,
7栄
исключая компоненты девиатора напряжений s”, можно получить систему пяти уравнений для пяти неизвестных функций X, % и среднего давления о.
Задачи трехмерного пластического течения весьма трудны и мало изучены. Как показал Т. Томас ), рассматриваемая система уравнений, как правило, эллиптическая. Лишь в отдельных задачах (плоская деформация, кручение и некоторые другие случаи) уравнения имеют вещественные характеристики. Поскольку нелинейные гиперболические уравнения легче поддаются анализу и при этом существенно упрощается постановка краевых задач, предпринимались попытки раздвинуть границы гиперболичности. Иногда это достигается использованием условия текучести Треска ——Сен-Венана. Существование характеристических поверхностей при этом условии отмечено Т. Томасом, которому принадлежит систематический анализ разрывов в пластической среде.
К радикальному упрощению приводит так называемое условие «полной пластичности», согласно которому реализуются напряженные состояния, отвечающие ребрам призмы Треска — Сен-Венана (т. е. вершинам 4,3, . . ., /^ шестиугольника на рис. 1). Для таких («статически определимых») напряженных состояний (Д. Д. Ивлев, 1966) система уравнений будет гиперболической. Доводы физического характера, иногда высказываемые в пользу этой схемы, продиктованы скорее заманчивой простотой математического анализа, нежели существом вопроса. В рамках этой схемы решение многих задач просто невозможно (например, задачи плоского напряженного состояния). Вместе с тем представляется излишне суровой и резко отрицательная точка зрения в отношении условия полной пластичности, наиболее ясно высказанная в книге Р. Хилла («искусственное и нереальное условие текучести», «такие вычисления имеют небольшое или не имеют никакого значения»). Подобные решения могут иметь несомненный интерес. При этом, однако, оценка решений, построенных с помощью условия полной пластичности, должна опираться на экстремальные теоремы. Если решению по этой схеме отвечает кинематически допустимое поле скоростей, то подобное решение приводит к верхней границе предельной нагрузки. Если же напряженное состояние возможно продолжить на все тело, не нарушая условие текучести, мы получим нижнюю границу. В тех случаях, когда полученное решение нельзя отнести ни к одному из упомянутых классов, вопрос о значимости решения остается открытым.
В связи со значением разрывных решений в теории пластичности (в частности, для приближенного нахождения предельной нагрузки) подробно изучены соотношения на поверхностях разрыва. На поверхности разрыва напряжений при выпуклых условиях текучести, как показал в .1961 г. Р. Хилл, скорости деформации равны нулю, а скорости непрерывны. С другой стороны, на поверхности разрыва скоростей девиатор напряжения, вообще говоря, непрерывен; лишь в случае грани призмы Треска возможен разрыв промежуточного главного напряжения (Г. И. Быковцев и Ю. М. Мяснянкин, 1966).
Условие пластичности накладывает определенные ограничения на величину скачка напряженного состояния на поверхности разрыва напряжений. При условии текучести Треска возникает пестрая картина, так как с разных сторон поверхности разрыва могут осуществляться напряженные состояния, соответствующие различным режимам течения. При
напряженных состояниях, отвечающих ребрам призмы Треска, соотношения на поверхности разрыва рассмотрены Д. Д. Ивлевым (1966).
Решения системы уравнений пластического течения строятся для различных частных случаев напряженного и деформированного состояний, имеющих «обычный» механический смысл (плоская деформация, плоское напряженное состояние, кручение и т. д.). Иногда рассматриваются и более специфические случаи.
Например, для сферического деформированного состояния предполагается, что в сферической системе координат г, 6,屮 компоненты скорости деформации и напряжения зависят только от 0, <р, причем тг0 = тГф = 0. В состоянии чистого сдвига задача статически определима, причем соответствующая система принадлежит к гиперболическому типу (Д. Д. Ивлев, 1966). Рассмотрены задачи о конической трубе и о вдавливании клинообразного в плане штампа.
Используя особенности напряженного и деформированного состояний, выявленные в известном решении Л. Прандтля о сжатии тонкого плоского слоя, А. А. Ильюшин (1954) развил общую теорию течения тонкого пластического слоя по недеформируемым поверхностям. Выведенные уравнения применяются для расчета ряда задач обработки металлов давлением.
Имеющиеся решения для слоя относятся к конечной стадии пластического течения, когда на поверхности контакта развиваются значительные касательные напряжения. Изменение напряженного состояния в прослойках с ростом нагрузки (от простого сжатия к сложному напряженному состоянию в конечной стадии) рассмотрел Л. М. Качанов (1954, 1962)
Помимо традиционной постановки задачи о разыскании предельной нагрузки для тела заданной формы, представляют интерес задачи оптимального проектирования («предельное проектирование»). Под этим понимается выбор очертаний тела, обладающего необходимой несущей способностью и в то же время удовлетворяющего некоторым дополнительным оптимальным условиям. Обычно таким условием является требование минимальности веса. Эта проблема, при отсутствии надлежащих ограничений относительно возможных очертаний тела, является, вообще говоря, неопределенной. При рассмотрении стержневых систем (решеток, рам) проблема без большого труда сводится к задаче пр огр аммир ов ания. Этот путь используется при решении ряда инженерных вопросов строительной механики.
Значительно труднее предельное проектирование тел минимального веса при более сложной их конфигурации; задачи такого типа изучены слабо.
Изложение современного состояния теории оптимального проектирования и соответствующие литературные ссылки приведены в книге М. И. Рейтман и Г. С. Шапиро (1966).
Теоремы о предельной нагрузке. Ограничимся рассмотрением малых деформаций и будем пренебрегать изменениями в геометрии тела в процессе деформирования. Впрочем, при известных условиях полученные результаты переносятся на задачи установившегося пластического течения.
Представление о предельной нагрузке («пластическом разрушении», «несущей способности») для идеально пластического тела приобрело большое практическое значение. Расчеты по предельной нагрузке часто позволяют более правильно и экономно определять размеры конструкций и сооружений. К понятию предельной нагрузки можно прийти двумя путями. Можно непосредственно исходить из схемы жестко-пластического
тела; тогда* достижение предельной нагрузки будет отвечать моменту возникновения пластического течения, деформации малы, тело имеет начальную конфигурацию.
Другой путь основан на представлении об упруго-пластическом теле. Здесь предельная нагрузка отвечает конечной стадии упруго-пластической деформации тела, нередко сопровождающейся большими (иногда ——бесконечно большими) деформациями (например, при изгибе и кручении). Фактически этот процесс не прослеживается, и сразу определяется конечное состояние тела при условии малости изменений его конфигурации. Такой переход можно оправдать относительной малостью деформаций упруго-пластического тела при нагрузках, приближающихся к предельной. В обоих случаях теоремы идентичны, речь идет лишь об интерпретации конечных результатов. Мы будем исходить из схемы жестко-пластического тела, не требующей оговорок и внутренне более последовательной. Для этой схемы более естественно формулируются и конкретные краевые задачи. Не нужно, конечно, забывать, что вся сумма допущений содержится в идее жестко-пластического тела и пригодность этого представления должна всякий раз подвергаться анализу. По этой схеме нельзя обсуждать важные вопросы о приспособляемости конструкций, связанные с наличием в ней остаточных напряжений. Эта проблема неизбежно возвращает нас к упруго-пластическому телу.
Пусть жестко-пластическое тело находится под воздействием усилий J\, заданных на части поверхности тела SF, и скоростей v, предписанных точкам части поверхности тела Sv. Объемные силы Xf для простоты опущены. Так как непрерывные поля не представляют большого интереса, предполагается, что напряжения разрывны на некоторых поверхностях S女, а скорости — на некоторых поверхностях S%・
Пусть ⑦‘——любое кинематически возможное поле, разрывное на некоторых поверхностях Sj; тогда
J Fnv dSv^k^Hr dV — ^ F^ dSF + k [ Ap； dSfh (3.6) где последний интеграл распространен на все поверхности разрыва S}, А加--абсолютная величина скачка в касательной составляющей скорости &', Hf ——интенсивность скоростей деформаций сдвига.
Это важное неравенство, характеризующее минимальные свойства действительного поля скоростей, строго доказано А. А. Марковым (1947) для случая непрерывных полей скорости. В терминах строительной механики минимальные свойства действительных перемещений были ранее указаны А. А. Гвоздевым (1938). Современная формулировка выкристаллизовалась в результате более поздних работ Г. Гринберга, Д. Ч. Драккера, В. Прагера, Р. Хилла и других авторов.
Другое неравенство, вытекающее из сопоставления действительного поля напряжений Gtj с любым статически возможным полем &力 лежащим внутри круга текучести или на нем, имеет вид
^FnvdS^^Ffnv dSv+^ (к±тг) Apz dSh,(3.7)
где 岡 ——поверхностное усилие на Sv, отвечающее выбранному полю о；/, a Y W 宓 一 касательная составляющая поля 出)на поверхностях разрыва в направлении вектора относительной скорости.
Теорема о максимальных свойствах действительного напряженного состояния имеет довольно длинную историю. Для некоторых задач стро-
ительной механики эта теорема была высказана еще в работе Г. Казинчи (1934). Ясная формулировка этой теоремы в терминах строительной механики содержится в упоминавшейся работе А. А. Гвоздева (1938). Строгое доказательство теоремы дал С. М. Фейнберг (1948). Как недавно заметил В. Т. Койтер, теорема Э. Мелана о приспособляемости, доказанная им в 1938 г., содержит, по существу, как частный случай обсуждаемую здесь теорему.
Приведенные выше формулировки относятся к среде Мизеса. Легко, однако, установить соответствующие теоремы для произвольной выпуклой поверхности текучести и ассоциированного закона течения. Значение этого закона подчеркнуто В. Т. Койтером, показавшим, что для среды, образованной условием Треска ——Сен-Венана и соотношениями Мизеса (3.2), экстремальные теоремы отсутствуют.
Применение приведенных теорем особенно просто в случае пропорционального нагружения (внешние силы растут пропорционально некоторому параметру т); на части поверхности Sv скорости предполагаются равными нулю (опоры). Кинематически возможному полю г отвечает кинематически возможный коэффициент mh. Статически возможному напряженному состоянию о% ——статический коэффициент ms. Коэффициент предельной нагрузки т^, отвечающий ее истинному значению, ограничен сверху и снизу:
^s & 來& mh・ (3.8)
Итак, необходимо найти такой кинематический механизм пластического разрушения, для которого граница mh была бы наименьшей. С другой стороны, следует разыскать такое статически возможное поле напряжений Oij, лежащее внутри круга текучести или на нем, для которого граница ms была бы наибольшей.
При решении более или менее простых задач сближение mh и ms обычно достигается угадыванием подходящих полей. Иногда даже удается найти совпадающие верхнюю и нижнюю границы. В сложных задачах получить хорошие результаты значительно труднее.
Для построения предельной поверхности пригодны методы математического пр огр аммир ов ания, получившие в последние годы широкое развитие. В ряде случаев условие текучести принимает линейную форму (задачи строительной механики стержневых систем, некоторые осесимметричные задачи), тогда открываются перспективы использования хорошо развитого аппарата линейного пр огр аммир ов ания. В этом направлении имеется ряд работ, выполненных в СССР и за рубежом.
(g — 5)2 十 4т；К = 4/,(g — 5)2 十 4т；К = 4/,(3.9)(3.9)Плоская деформация. Плоская деформация описывается системой уравнений (Сен-Венан, 1870 г.)
(g — 5)2 十 4т；К = 4/,
(g — 5)2 十 4т；К = 4/,
(3.9)
(3.9)
(3.10)
дх ' ду 一，дх ' ду 一，(3.11)(3.11)
дх ' ду 一，
дх ' ду 一，
(3.11)
(3.11)
(*+ U)(厶_0久)+ 2%^ (祭一-^)
Эта система имеет два различных вещественных семейства характеристик, совпадающих с линиями скольжения. Вдоль последних
выполняются соотношения Генки (1923 г.)
-^— е = const = е, -^~ + е = const = %
где о ——среднее давление, 9 ——угол наклона линии скольжения, и соотношения Гейрингер
九 + и d® = 0,dv— и d® = о,
где и, и —— составляющие скорости вдоль линий скольжения. Система уравнений (3.9), (3.10) для напряжений преобразуется к виду
дх ' о дудх & ду
Эта система ——приводимая, т. е. преобразуется в линейную, если провести обращение переменных. При преобразовании выпадает важный класс решений с прямолинейными характеристиками (простые напряженные состояния), широко используемый в приложениях. Разрешимость решений ① = ①(Е, п), У = У (Е, П) исследована в известной работе С. А. Христиановича (1936); там же подробно рассмотрены решения с прямолинейными характеристиками.
Возможность автономного решения уравнений (3.9), (3.10) для напряжений при допустимости некоторых изменений в граничных условиях привела на начальном этапе развития теории к распространению решений так называемых статически определимых задач; при этом поле скоростей обычно не рассматривалось. Разнообразные задачи в этой области были изучены Г. Генки, Л. Прандтлем, В. В. Соколовским (1950) и другими авторами.
Хотя простейшие разрывы напряжений (например, при изгибе) были известны давно, значение разрывных решений было осознано значительно позднее, после работы В. Прагера 1948 г. Границей пластической области является линия скольжения; это положение, которым интуитивно (как и схемой жестко-пластического тела) также пользовались давно, было установлено Р. Хиллом.
Конкретные задачи обычно решаются полуобратным методом. Сначала рассматривается краевая задача для напряжений, причем недостающие условия стараются угадать. После этого изучается поле скоростей и выясняется его совместность с ранее построенным полем напряжений.
Реализация этой схемы для контактных задач, вообще говоря, затруднительна. Такой подбор осуществим, если линии контакта ——прямые и на них заданы простые условия. Если контактная линия —— кривая, угадать распределение контактных напряжений практически невозможно. Тогда следует применить метод согласованного построения полей напряжений и скоростей, развитый Б. А. Друяновым (1961) и В. В. Соколовским (1961) при условии, что возможно указать конструкцию поля скольжения. Решение задачи начинается с определения поля скоростей.
Для решения краевых задач обычно используется конечно-разностный метод Массо. Реже применяются графические способы (В. Прагер, 1955; С. С. Голушкевич, 1948). Л. С. Агамирзян (1961) показал, что аналитическое решение краевых задач методом Римана может быть эффективным при использовании метацилиндрических функций и их таблиц. Тем не менее за методом Массо сохраняется преимущество пр остоты.
Построению полей напряжений вокруг отверстий, вблизи границы («пластический пограничный слой»), уделено значительное внимание в работах В. В. Соколовского.
Методом характеристик изучено большое число разнообразных задач, которые можно (разумеется, несколько условно) разбить на три группы.
Это, прежде всего, задачи о нахождении предельной нагрузки; здесь пренебрегают изменениями конфигурации тела, рассматривая возникновение пластического течения. Сюда, например, относятся задачи о предельном состоянии полос, ослабленных вырезами, о давлении штампов на
пластическое тело, о сжатии слоя и т. д.
Вторую большую группу составляют задачи установившегося пластического течения, связанные с описанием непрерывных процессов обработки металлов (прокатка, волочение, прессование, резание и т. д.).
Более узкий класс образуют задачи неустановившегося пластического течения с геометрическим подобием картины течения (автомодельные задачи), подробно изученные Р. Хиллом. Примером может служить задача
о внедрении жесткого клина в полуплоскость.
В тех случаях, когда решения сопровождаются построением надлежащего поля скоростей, найденная нагрузка является верхней границей.
Здесь не представляется возможным указать все или хотя бы большую часть многочисленных задач, решенных этим методом советскими учеными. Отметим лишь книги Д. Д. Ивлева (1966), А. А. Ильюшина (1948), Л. М. Качанова (1969), В. В. Соколовского (1969), А. Д. Томленова (1953), в которых приводятся решения разнообразных задач.
Плоское напряженное состояние. Несколько более сложной
является задача о плоском напряженном состоянии, возникающем в тонких пластинках, подверженных действию нагрузок, лежащих в срединной плоскости. Случай плоского напряженного состояния важен еще и потому, что аналогичное состояние реализуется при изгибе тонких пластин и оболочек.
В отличие от упругой задачи, когда математические формулировки для случаев деформации и плоского напряженного состояния идентичны, в теории пластичности эти две задачи различны. Компоненты напряжения
ах, о勿 %Ху должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия (3.9) и условию Мизеса
СГх — ^х^у + 呜 + 3匸統=3 依(3.13)
3, 4) и эллиптической I G I > tmax)・не ортогональны и не система уравнений для3, 4) и эллиптической I G I > tmax)・не ортогональны и не система уравнений дляили условию Треска ——Сен-Венана max (I s -02 I, I S I, I02 |}=2".(3.14) Первое уравнение на плоскости главных напряжений 04, сг2 определяет эллипс (рис. 4), второе — вписанный в него шестиугольник. Система уравнений для напряжений была изучена В. В. Соколовским (1945). При условии Мизеса система может быть гиперболической (для внутренних точек дуг 1——2 и 3——4; здесь I о* I < tmax), параболической (точки 2, 2, (для внутренних точек дуг 2——3 и 4——2; здесь
3, 4) и эллиптической I G I > tmax)・
не ортогональны и не система уравнений для
3, 4) и эллиптической I G I > tmax)・
не ортогональны и не система уравнений для
В гиперболическом случае характеристики совпадают с линиями скольжения. В то же время
напряжений является приводимой и существуют простые интегралы, отвечающие прямолинейным семействам характеристик.
Параболический случай отличается простотой: здесь главные напряжения постоянны, неизвестен лишь угол наклона главной площадки.
В эллиптическом случае построение решения наталкивается на большие трудности.
Уравнения для скоростей и разрывные решения рассмотрел в 1952 г. Р. Хилл для случаев гиперболичности и параболичности. Он же установил особенности разрывов скорости, появляющихся в плоском напряженном состоянии; разрывна также и нормальная составляющая скорости, что приводит к появлению локального утонения («шейка») или утолщения («валик»), проходящего по характеристике.
Решение жестко-пластических задач, если оно оказывается возможным без рассмотрения области эллиптичности, реализуется, в общем, теми же приемами, что и в случае плоской деформации, хотя технически и несколько сложнее. Многочисленные конкретные задачи изучены в работах В. В. Соколовского (1950), Р. Хилла, А. П. Грина, Г. Форда и Дж. Лианиса.
Существенное упрощение математической формулировки задачи достигается переходом к условию пластичности Треска ——Сен-Венана. Соответствующая система уравнений для напряжений изучена В. В. Соколовским (1945). При Oi(r2 V 0 она гиперболического типа и совпадает с уравнениями плоской деформации. На горизонтальных и вертикальных гранях шестиугольника система уравнений параболичгеского типа и легко интегрируется. Различным типам уравнений соответствуют различные типы поверхностей скольжения. Использование ассоциированного закона течения позволяет вывести уравнения для скоростей.
Можно предпринять и дальнейшие шаги в том же направлении, именно попытаться подобрать такое приближенное условие пластичности, при котором система уравнений была бы всюду гиперболической. Подобное условие выдвинул, в частности, Р. Мизес; по его предложению эллипс аппроксимируется двумя ветвями парабол. Следует, однако, заметить, что эта аппроксимация довольно грубая, условие же Треска ——Сен-Вена- йа настолько упрощает постановку задачи, что настоятельной необходимости в дальнейших упрощениях математической формулировки нет.
Условие Треска ——Сен-Венана при ассоциированном законе течения нашло широкие применения при пластическом анализе изгиба пластин и оболочек.
В последние два десятилетия получила развитие плоская задача при условии пластичности общего вида
/ (и, 0*2)= const. (3.15)
Скорости деформации при этом обычно определяются посредством ассоциированного закона течения. Отметим некоторые причины, побуждающие к анализу этой задачи. Различные условия текучести в случаях плоской деформации и плоского напряженного состояния, несколько иные предельные условия в механике грунтов делают естественным анализ задачи при общем условии пластичности. Некоторое значение имеют поиски простых приближенных решений, возможных при частных формулировках условия текучести. Наконец, с условием пластичности общего вида в какой-то мере может быть связан важный случай обобщенной плоской деформации, когда длинное цилиндрическое тело испытывает постоянную скорость осевой деформации (ez = const), вызываемую заданной осевой нагрузкой.
Возвращаясь к упомянутой выше системе уравнений плоской задачи при условии пластичности (3.15); отметим, что эта система, вообще говоря,
не вытекает из уравнений трехмерной задачи. Несмотря на указанный дефект, математический анализ этой системы представляет несомненный интерес. Тип системы зависит от вида кривой текучести и положения на ней. Для «гиперболических точек» кривой текучести развита теория характеристик и разрывов (Ж. Мандель, X. Гейриигер, Р. Хилл, В. В. Соколовский и др.). Изучены различные случаи условия текучести (3.15). Выше уже называлось параболическое условие Мизеса. Отметим случай циклоидальной кривой (В. В. Соколовский, 1950), для которого система всюду гиперболическая, причем характеристики ——прямые линии.
Кручение. Задача о чисто пластическом кручении призматического стержня, изученная в основном А. Надаи (1923), отличается относительной простотой. Функция напряжений F (①，沙)удовлетворяет дифференциальному уравнению
и условию постоянства F на каждом из ограничивающих контуров. Поверхность напряжений z = F (х, у) является поверхностью постоянного ската, «крышей», построенной на заданном контуре; она определяется без особых затруднений. Ребра и конические точки поверхности напряжений соответствуют линиям и точкам разрыва касательных напряжений тХ2,七必.При этом величина вектора касательных напряжений постоянна, скачком изменяется его направление. Предельный крутящий момент вычисляется также достаточно просто.
Если кручение осложняется добавочным осевым растяжением (или изгибом), задача становится более трудной. Подробно изучена осесимметричная задача о совместном кручении и растяжении круглого цилиндрического стержня.
Обобщением задачи кручения прямого стержня является задача кручения сектора кругового кольца неизменного поперечного сечения, рассмотренная В. Фрейбергером, а также А. Вангом и В. Прагером (в 1953——1954 гг.). Отличные от нуля компоненты напряжения тГф и т2ф (в цилиндрической системе координат 厂,ср, z; ось z направлена по оси вращения кольца) при подстановке
тг(р = к sin 屮， ％屮=后 cos 屮 (3.16)
удовлетворяют условию текучести. Функция 屮(г, z) определяется из .дифференциального уравнения
sin 屮-|^ — cos 屮 ^——2 -^3L = 0. (3.17)
В отличие от кручения прямого стержня здесь характеристики могут быть криволинейными.
К аналогичной системе уравнений для напряжений приводит задача кручения прямого круглого стержня переменного диаметра (ось z направлена по оси стержня), изученная В. В. Соколовским (1945, 1950). Здесь отличны от нуля те же компоненты напряжения 七丁①,т^ф.
Необходимо найти решепие уравнения (3.17) при аналогичных же траничных условиях; построение поля скоростей легко осуществляется. Для вычисления предельного момента общий анализ поля напряжений излишен. Легко показать, что в предельном состоянии происходит срез в наименьшем поперечном сечении; части стержня выше и ниже этого ♦сечения остаются жесткими. Точное значение предельного момента равно
значению предельного момента для цилиндрического стержня с указанным наименьшим диаметром.
Осесимметричные задачи. При осесимметричной деформации компоненты напряжения и скорости деформации не зависят от полярного угла ср. Если исключить кручение, то окружная составляющая скорости ^ф = 0. Дифференциальные уравнения равновесия в цилиндрических координатах т,屮,z имеют вид
(3.18)(3.18)дг 1 dz 1 г
(3.18)
(3.18)
dr dz r —-
(3.19)(3.19)Условие текучести Мизеса таково:
(3.19)
(3.19)
(К — “)2 + & — ”)2 + (вг — К)? + 6 吃=6兴.
Компоненты скорости деформации
* dvr * vr • dvz * dvr . dvz
А/ = н+丁
связаны с компонентами напряжения соотношениями Мизеса. Для шести неизвестных функций 分,〃⑦ 。丁, bz,。⑦ ％z имеем систему шести уравнений. Эта система, вообще говоря, эллиптического типа (Р. Хилл, 1948 г.); постановка и решение краевых задач наталкиваются на большие математические трудности. Найдены лишь отдельные частные решения.
При решении разнообразных инженерных задач часто используется гипотеза полной пластичности, т. е. принимается условие равенства двух главных напряжений. Тогда, как показал в 1923 г. Г. Генки, задача становится статически определимой и система уравнений (3.18), (3.19) для компонент напряжения будет гиперболической. Xарактеристики совпадают с линиями скольжения в плоскости г, z. С помощью приемов, аналогичных приемам, применяемым в случае плоской деформации, можно рассматривать различные частные задачи. Поле скоростей, если исходить из соотношений Мизеса, построить, вообще говоря, нельзя из-за избытка уравнений. В связи с этим подобные решения трудно оценить, поскольку обычно их не удается отнести ни к статически возможным, ни к кинематически возможным решениям.
В отдельных частных задачах условие полной пластичности иногда удается оправдать. По-видимому, решения при условии полной пластичности дают в ряде случаев приемлемое приближение к предельной нагрузке.
Известные перспективы анализа осесимметричной задачи открываются при переходе к условию пластичности Треска ——Сен-Венана и ассоциированному закону течения. При этом следует отдельно рассматривать течения, отвечающие напряжениям на ребрах призмы текучести и на гранях ее. В первом случае задача статически определима и гиперболична, характеристики совпадают с линиями скольжения. Использование ассоциированного закона позволяет ставить вопрос о разыскании согласованного поля скоростей. Решения этого класса, обсуждавшиеся Р. Т. Шилдом, Д・ Д. Ивлевым (1959) и другими авторами, можно рассматривать как кинематически возможные (если поле скоростей определено) и, следовательно, приписывать им смысл верхней границы. При условии полной пластичности рассмотрена задача о вдавливании гладкого круглого штампа
в полупространство (А. Ю. Ишлинский, 1944; Р. Т. Шилд, 1957). Изучен •также случай кольцевого штампа (Д. Д. Ивлев, 1966).
Анализ течения, отвечающего напряжениям на грани призмы, проведенный А. Д. Коксом, Дж. Исоном и Г. Дж. Гопкинсом (1961 г.), X. Лип- пманом (1962 г.) и другими авторами, показал, что оно является кинематически определимым. На грани, по асеоциированному закону течения, скорость главной деформации в направлении среднего главного напряжения равна нулю; это условие доставляет дополнительное уравнение для скоростей. В результате для нахождения составляющих скорости。丁，vz и угла 屮，определяющего главное направление, имеем систему трех дифференциальных уравнений. Эта система гиперболического типа; характеристики ее ортогональны и в диаметральном сечении г, z совпадают с траекториями главных напряжений.
В отличие от случая полной пластичности здесь решение связано с известными трудностями, вызываемыми сравнительной сложностью системы уравнений для скоростей и необходимостью построения согласованного поля напряжений. Найдены некоторые частные решения, характеризующиеся простыми полями скоростей.
Продвижение в решении осесимметричной задачи будет связано, вероятно, с развитием схемы, опирающейся на условие пластичности Треска —— Сен-Венана. Необходимо правильно комбинировать течения на ребрах и гранях призмы текучести, что требует тщательного анализа поля скоростей и возможных разрывов. Подобные решения явятся хорошим приближением к предельной нагрузке.
Анизотропия и неоднородность. В теории анизотропной пластической среды определились две линии развития. В первом направлении условие пластичности вводится как обобщение квадратичного условия Мизеса для изотропной среды. Второе направление опирается на обобщение условия пластичности Треска — Сен-Венана.
Задача об анизотропной пластической среде впервые поставлена Р. Мизесом в 1928 г. Условие пластичности было сформулировано им как условие постоянства некоторой квадратичной формы напряжений, коэффициенты ktj которой характеризуют анизотропию среды, именно:
/ = "12 (% — %)2 + “23 (% — 0rz)2 十 ^31 (仇一"(^x)2 +
+ t" [“24 (% — %) + “34 (°*x — ”)] + t*z [自5 (% —仇)+
+ "15 (% —施)1 + ^xy 因6 (” 一 ％) + “26 (% — %)】+
+ "45 T*z%z + 饱6%2T第 + 虱4TxyTyz + &4吗2 + "55碇Z^ +
^G6^y const. (3.20)
Эта форма инвариантна относительно замены данной координатной -системы кристаллографически равнозначной системой и относительно наложения гидростатического давления; она содержит 15 независимых констант. Для изотропной среды условие (3.20) переходит в известное условие Мизеса. Скорости деформации определяются ассоциированным законом течения
…备(3.21)
Частный случай анизотропии, содержащий 6 констант, подробно изучил в 1948 г. Р. Хилл:
儿2 (% - %尸 + "23 (% -戋尸 + ^31 (ь一%)2 + 储Ez +
+ 乃55七设 + ^бб^ху const. (3.22)
На основе приведенных условий выполнен ряд исследований в СССР и за границей. Отметим здесь работы Е. В. Маховер (1947), М. Ш. Микела- дзе (1951), В. О. Геогджаева (1900), Р. Хилла, В. Ольшака и других авторов, охватывающие кручение, плоскую деформацию, изгиб пластин и оболочек и бэлее частные задачи.
Несколько сложнее расширение условия пластичности Треска —— Сен-Венана на случай анизотропного тела. В этом направлении наиболее общие результаты получены Д. Д. Ивлевым (1959, 1966). Для анизотропного тела кусочно-линейные условия не только приводят зачастую к более простым краевым задачам, но, возможно, обладают преимуществами и с физической точки зрения (по крайней мере для кристаллов).
При формулировке условия текучести принимается, что оно не зависит от гидростатического давления и определяется в пространстве главных напряжений невогнутой поверхностью. В данном случае это будет поверхность шестигранной призмы, грани которой параллельны гидростатической оси 01 = 0*2 = 0*3，Пределы текучести, входящие в условие пластичности, рассматриваются как функции направляющих косинусов главных осей напряжения относительно главных осей анизотропии. Например, в случае плоской деформации условие текучести имеет вид
(% - %)2 + 4% =纵2 (中)，
где 屮 — угол между направлением наибольшего главного напряжения и осью ①；оси 力,у ориентированы по главным осям анизотропии. Зависимость к (屮)считается известной.
Исследования кручения, плоской задачи и некоторых других задач по этой схеме выполнили Д. Д. Ивлев (1959), Г. И. Быковцев (1961), М. С. Саркисян (I960, 1961).
В отношении пластических свойств реальные тела всегда являются в какой-то мере неоднородными. Эта неоднородность может быть вызвана различными причинами: зависимостью предела текучести от температурного поля, переменным упрочнением, влиянием нейтронного облучения и т. д. Иногда тела состоят из различных материалов (разрывная неоднородность). Использование неоднородности пластических свойств позволяет нередко повысить сопротивление тел, в связи с чем возникают и некоторые своеобразные задачи оптимального проектирования.
Вследствие неоднородности в схеме жестко-пластического тела предел текучести уже не постоянен, а является заданной функцией координат (непрерывной или разрывной). Это вносит значительные усложнения в картину течения.
Теория пластичности неоднородных тел наиболее энергично развивалась в Польше в работах школы В. Ольшака *). В Советском Союзе ряд исследований по теории жестко-пластических неоднородных тел выполнен Б. А. Друяновым (1959), А. И. Кузнецовым (1958, I960), М. А. Задояном (1962), Ю. Р. Лепиком (1963) и другими авторами. Исчерпывающий список литературы приведен в упомянутом выше обзоре.
Упруго-пластическое тело. Во многих случаях важно знать напряжения и деформации в теле, частично перешедшем в пластическое состояние. Интерес к таким упруго-пластическим задачам вызывается многими лричинами. Так, вблизи отверстий, надрезов и других «концентраторов напряжений» возникают местные пластические деформации.
Соответствующие поля необходимо знать для оценки прочности и локальных деформаций. Локальные пластические деформации появляются в большинстве контактных задач. Определение остаточных напряжений и деформаций, лежащее в основе расчета автофретажа конструкций, также требует рассмотрения упруго-пластического состояния. К анализу упруго-пластических задач приводит и проблрма температурных напряжений. Наконец, решение упруго-пластических задач позволяет судить о темпе нарастания деформаций и приближения к предельному состоянию; на конкретных примерах можно оценить приемлемость жестко-пластических решений.
Подходящей основой для рассмотрения упруго-пластических задач являются уравнения теории течения (уравнения Прандтля — Рейсса)
d^ij = d% + dXsu. (3.23)
Приращения упругих деформаций d% вычисляются по закону Гука. Напряжения удовлетворяют условию пластичности Мизеса (3.3). В пластических зонах справедливы уравнения (3.23); в упругих зонах d九=О и соотношения (3.23) переходят в закон Гука. На границе этих зон пластические деформации равны нулю и выполняются условия непрерывности напряжений, деформаций и смещений. Решение таких смешанных задач является чрезвычайно трудным и доступно в принципе лишь с помощью вычислительных машин. Обычный прием заключается в прослеживании развития («шаг за шагом») упруго-пластического состояния по мере роста параметра нагрузки; для определения текущего состояния могут быть использованы различные варианты метода сеток или вариационных методов.
Хорошо разработаны методы решения ряда технически важных «одномерных» задач (осесимметричная деформация труб, вращающихся дисков, изгиб прямого и кругового бруса и т. д.). В редких случаях удается получить аналитические решения.
При достаточно простых внешних нагрузках, условиях закрепления и конфигурации тела можно надеяться, что нагружение в пластической зоне приближается к простому; тогда допустимо исходить из уравнений деформационной теории пластичности — уравнений Генки (вместо (3.23))
£订-% + 伴订， (3.24)
что существенно упрощает решение задачи. Обычно важные инженерные «одномерные» задачи (трубы, диски, круглые пластинки и т. п.) рассматриваются на основе деформационной теории. Подобный подход получил наибольшее распространение в Советском Союзе. Сопоставление имеющихся решений по обеим теориям свидетельствует, как правило, о незначительных расхождениях.
В связи с трудностями построения решений в пластических зонах в последних изредка используется условие полной пластичности. Этот прием вносит искажения, оценить которые здесь обычно не представляется возможным.
Несколько в стороне от затронутых вопросов лежат теоремы о приспособляемости упруго-пластических тел при действии циклических нагрузок. При известных условиях в каждом цикле могут происходить пластические деформации, хотя нагрузки и ниже предельных. Пластические деформации этого типа приводят к разрушению. Теоремы о приспособляемости указывают такие границы изменения нагрузок, внутри которых повторные пластические деформации не происходят благодаря
благоприятному полю остаточных напряжений, возникшему при первых нагружениях. Хотя использование этих теорем не требует решения упруго-пластической задачи, они основаны на модели упруго-пластического тела, в котором могут быть созданы остаточные напряжения.
В заключение отметим также трудную и плохо еще поставленную, но практически важную проблему упруго-пластических колебаний.
Упруго-пластическое кручение. Эта сравнительно простая упруго-пластическая задача была рассмотрена в ранних работах А. Надаи (1923); им указан способ экспериментального решения на основе мембранной аналогии. Первые аналитические решения, полученные Э. Трефтцем в 1925 г., относятся к определению пластической зоны, возникающей вблизи входящего угла при кручении стержня уголкового профиля. Трефтц применил метод конформного отображения для упругой зоны сечения. К решению той же и некоторых других задач Ф. С. Шоу в 1944 г. успешно применил метод сеток (на основе релаксационных приемов Р. Саутвелла).
Л. А. Галин (1944) развил прямой метод решения задачи упругопластического кручения стержней полигонального сечения.
Эффективными оказались различные варианты полуобратного метода, впервые использованного В. В. Соколовским (1942) для решения задачи о кручении овала, близкого к эллипсу. Сначала задается форма упругого ядра, затем надлежащим образом подстраивают к нему пластическую область. Примеры подобных решений приведены в работах Л. А. Галина (1949) и Р. Мизеса. Этот же прием применил В. Фрейбергер (1956) для решения задачи упруго-пластического кручения кругового кольца почти круглого поперечного сечения. В решении упруго-пластической задачи кручения полезны также вариационные методы.
В работах Б. Д. Аннина (1968) доказана теорема существования и единственности решения задачи упруго-пластического кручения стержня овального сечения и развит алгоритм численного решения.
Для односвязного профиля с возрастанием крутящего момента разгрузка, как недавно показал Ф. Г. Ходж, не происходит ни в одной точке сечения. При кручении же стержня с многосвязным сечением разгрузка может в известных условиях наступить. Естественно, что это обстоятельство сильно затрудняет аналитическое решение упруго-пластических задач отмеченного класса.
К задаче упруго-пластического кручения математически близка задача об упруго-пластической антиплоской деформации. Здесь также реализуется состояние чистого сдвига, но заданы напряжения на контуре тела. В работах Г. П. Черепанова (1962) методами теории функций комплексного переменного рассмотрена упруго-пластическая задача для произвольного выреза в неограниченной плоскости. На контуре выреза заданы напряжения, предполагается, что пластическая зона полностью охватывает отверстие.
Плоская задача. Значительно более трудны упруго-пластические задачи в условиях плоской деформации. Для уменьшения трудностей уже сама постановка здесь обычно упрощается. Именно принимается, что в пластической зоне о% — V2 (о% + Оу), т- е・(если исходить из условия текучести Мизеса) материал несжимаем. Далее, рассматривается состояние, отвечающее конечным значениям нагрузок, не прослеживается «шаг за шагом» развитие упруго-пластического состояния по мере роста нагрузок. Между тем в этом процессе может наступать разгрузка в отдельных частях пластических зон. Поэтому невозможно сказать, каким ограничениям должны следовать нагрузки, чтобы было достигнуто рассматриваемое
конечное состояние. Тем не менее несомненный интерес представляют те немногие упруго-пластические задачи, решение которых удалось построить при отмеченных условиях.
Некоторое представление о характере решения можно составить на основании аналогии с изгибом пластинки, обжимаемой на жестком теле, указанной Л. А. Галиным (1948).
Для неодномерных упруго-пластических задач следует прежде всего назвать изящное замкнутое решение задачи о растяжении плоскости со свободным круговым вырезом, найденное Л. А. Галиным (1946); на бесконечности действуют растягивающие напряжения р и g в направлениях осей х ^ у. Предполагается, что пластическая зона полностью охватывает отверстие. Это накладывает некоторое ограничение на параметры нагрузки р, д. При решении существенно используется свойство бигармоничности функции напряжений в пластической зоне, примыкающей к круговому вырезу.
При дополнительных условиях решение Л. А. Галина обобщено на случай пластически неоднородной среды, на случай неравномерного теплового поля. Некоторые новые результаты можно получить, используя метод малого параметра. Эти приемы, однако, не позволяют заметно расширить условия задачи.
Приближенный прием решения упруго-пластических задач для плоскости с вырезом в обратной постановке (задается пластическая зона) развит П. И. Перлиным (I960).
В работах Г. П. Черепанова (1963, 1964) также применяются методы теории функций комплексного переменного, но предположение о том, что на неизвестной границе раздела упругой и пластической зон напряжения являются соответствующими вторыми производными от бигармонической функции, уже снято. Считается, что указанные напряжения — известные функции координат. Развитый метод решения применен к анализу упругопластической задачи о двухосном растяжении тонкой пластинки с круговым вырезом (плоское напряженное состояние) при условии пластичности Треска — Сен-Венана в случае, когда <тф ^> аг ^> 0.
В недавно опубликованных работах Б. Д. Аннина (1968) рассмотрена задача упруго-пластического распределения напряжений в плоскости с отверстиями.
Отметим, наконец, мало разработанный круг вопросов, связанных с обобщенной плоской деформацией. Речь идет о равновесии длинных цилиндрических тел, испытывающих дополнительное осевое растяжение (в отличие от плоской деформации, когда перемещение по оси равно нулю). Для упругого тела эта задача сводится к случаю плоской деформации наложением надлежащего осевого растяжения. В упруго-пластических задачах необходимо рассматривать состояние обобщенной плоской деформации. Из задач этого типа подробно изучена лишь важная для приложений задача о толстостенной трубе под действием внутреннего давления и осевого усилия.
Приспособляемость. После первичного нагружения и разгрузки в упруго-пластическом теле будут, вообще говоря, остаточные напряже^ ния. Если вновь нагрузить тело прежней нагрузкой, то вследствие само- упрочнения новые пластические деформации при известных условиях не произойдут. '
При действии нескольких независимо изменяющихся нагрузок возникает вопрос о безопасных границах их изменения, гарантирующих отсутствие повторных пластических деформаций.
8 Механика в СССР, т. 3
Повторные нагружения могут привести к двум типам разрушений: 1) разрушению вследствие повторяющихся знакопеременных пластических деформаций (пластическая усталость)] 2) разрушению вследствие нарастания односторонней пластической деформации (прогрессирующая деформация).
Благоприятное поле остаточных напряжений может способствовать появлению некоторой области, внутри которой нагрузки могут изменяться как угодно, не вызывая новых пластических деформаций. Тело как бьь приспосабливается в известных пределах к внешним воздействиям. Область приспособляемости определяется двумя теоремами.
Первая теорема (статическая теорема) в общей формулировке доказана в известной работе Э. Мелана 1938 г. Пусть упруго-пластическое тело занимает объем У, ограниченный поверхностью S; на части поверхности SF задана нагрузка Fn, а на части Sv скорости равны нулю. Обозначим через af； напряжения в теле в предположении его идеальной упругости, через ри — некоторое поле остаточных (самоуравновешенных) напряжений, не зависящее от времени.
По теореме Мелана, тело приспособится, если в нем суммарное напряженное состояние о各 + р订 не нарушает условие текучести, т. е.
/(08 +p订)《部・ (3.25>
,"Обратно, приспособляемость невозможна, если не существует не зависящее от времени поле остаточных напряжений р^, для которога выполняется неравенство (3.25).
Вторая теорема (кинематическая теорема} доказана В. Т. Койтером в 1956 г.
Тело приспособится, если при всех допустимых циклах скоростей пластической деформации е订о и всевозможных изменениях нагрузок Fnt, в заданных пределах справедливо неравенство
j d%j FniviQ dSF > j dz j РИ(£订0)dV, (3.26> о 0
где /о ——кинематически возможное поле скоростей, обращающееся в нуль на Sv, Т — некоторый интервал времени, W (勺川)—мощность пластической деформации на допустимых скоростях. И обратно, приспособляемости нет, если найдутся цикл 8^0 и программа изменения нагрузок, нарушающие неравенство (3.26).
Определение границ приспособляемости значительно сложнее вычисления предельных нагрузок. Аналитические решения возможны лишь для простейпшх задач. По теореме Мелана, необходимо найти такое полз остаточных напряжений, которое при условии текучести (3.25) максимально раздвигало бы область изменения нагрузок. Такая постановка приводит к задачам математического программирования. Применение методов： программирования к задаче приспособляемости аналогично их применению к разысканию предельной нагрузки. Как и прежде, в ряде важных случаев применим аппарат линейного программирования.
В отдельных случаях время реализации цикла может быть длительным. За это время могут развиться ^старение, ползучесть и другие явления^ влияющие на границу текучести, поле остаточных напряжений и, следовательно, область приспособляемости. Для ряда технических задач учет этих эффектов представляется* важным.
Большой прикладной интерес имеет проблема приспособляемости при циклических изменениях теплового поля. В результате теплосмец может происходить знакопеременная пластическая деформация, приводящая к разрушению при сравнительно небольшом числе циклов («термическая усталость»). Возможно также постепенное опасное нарастание пластических деформаций.
Расширение теоремы Мелана на случай переменных тепловых полей не встречает затруднений; оно выведено В. Прагером в 1956 г. и независимо от него В. И. Розенблюмом (1957). В отличие от изотермического случая здесь под of. следует понимать решение соответствующей задачи термоупругости.
Кинематическая теорема Койтера также обобщена на тела, испытывающие переменный нагрев (В. И. Розенблюм, 1965). Вопросы приспособляемости конструкций в условиях переменного нагрева подробно изучены в работах Д. А. Гохфельда (1970).
При циклических температурных воздействиях важную роль может играть ползучесть, а также изменение предела текучести. Все это существенно усложняет расчеты и требует кропотливого анализа даже в случае простых стержневых систем.
Отметим, наконец, что нередко в очень нагруженных конструкциях детали испытывают переменные пластические деформации (т. е. работают вне области приспособляемости). В связи с этим возникает необходимость анализа изменений напряжений и деформаций от цикла к циклу. При неоднородных полях задачи этого типа весьма трудны, и пути их постановки и решения только намечаются. '
Упрочняющееся тело. Современные конструкционные металлы заметно упрочняются; схема идеального упруго-пластического тела тогда непригодна. В этих случаях обычно исходят либо из уравнений Прандтля — Рейсса при условии изотропного упрочнения, либо из уравнений деформационной теории при законе «единой кривой» (интенсивность касательных напряжений ——функция интенсивности деформаций сдвига). В Советском Союзе значительное развитие получили решения, основанные на уравнениях деформационной теории. Для зарубежных работ характерно известное недоверие к использованию деформационной теории, хотя и не отрицается ее практическое значение. Закон изотропного упрочнения пригоден лишь при сравнительно несложных путях нагружения. Еще в более узких пределах приемлема схема единой кривой. Поэтому решение краевых задач на основе обеих теорий ограничено рамками достаточно простого нагружения. Более точно формулировать это условие не представляется возможным. Сопоставление имеющихся решений, найденных по обеим теориям, обычно свидетельствует о небольших расхождениях.
В теории течения основные соотношения могут быть записаны в форме
8" =(С»ЛН + 力订瓦z) aAZ«8" =(С»ЛН + 力订瓦z) aAZ«73.27)73.27)
8" =(С»ЛН + 力订瓦z) aAZ«
8" =(С»ЛН + 力订瓦z) aAZ«
73.27)
73.27)
где cuki — упругие постоянные, а 无订瓦％ ——некоторые фзшкции напряже* ний, деформаций и истории деформирования. Эти соотношения внешне напоминают уравнения Гука для линейно упругого анизотропного тела, но возможность появления разгрузки (тогда 力订左％ = 0) в отдельных зонах и переменность 力订必 существенно усложняют решение. В подчеркнутых выше сравнительно узких рамках схемы изотропного упрочнения приобретает значение случай всюду продолжающегося нагружения. Тогда, если рассматривать процесс деформации «шаг за шагом», последовательно
•сообщая нагрузкам малые приращения, на каждой ступеньке нагружения коэффициенты в (3.27) можно считать зависящими только от координат (но не от параметра нагрузки или «времени»). Решение упруго-пластической задачи сводится, таким образом, к решению последовательности задач для анизотропного упругого тела с переменными коэффициентами. Реализация этой схемы в сколько-нибудь сложных (неодномерных) случаях связана, конечно, с преодолением больших вычислительных трудностей.
Некоторые дополнительные возможности построения решений вытекают из вариационных формулировок. На каждом этапе можно ввести квадратичные формы скоростей деформаций П(£订)и скоростей напряжений П (о〃)・
Тогда поле скоростей % соответствует минимуму квадратичного функционала
j II(£zj)dO—j FniVi dSF = min.(3.28)
Скорости напряжений 仃订 сообщают минимум квадратичному функционалу
j П (в力 dP— j FniVi dSv = min.(3.29)
Для решения вариационных уравнений могут быть использованы различные варианты прямых методов.
Как уже отмечалось, при несложных путях нагружения для решения практических задач оправдано применение деформационной теории. Тогда краевые задачи будут относиться к конечным значениям деформаций и напряжений, что существенно проще, чем в теории течения. Удалось построить решения многих частных задач и доказать существование решения (классического или обобщенного) в некоторых проблемах упруго- йластического равновесия.
Решения реализуются при помощи различных вариантов метода последовательных приближений (А. А. Ильюшин, 1948; И. А. Биргер, 1951, и др.) или численно. В первом случае нелинейные члены переносятся в правые части уравнений или включаются в «коэффициенты упругости», затем в той или иной форме применяется метод последовательных приближений. На каждом этапе приближения необходимо решить линейную задачу теории упругости, но с «дополнительными» объемными силами («метод упругих решений») или с измененными коэффициентами упругости («метод переменных параметров упругости»). Процессы эти весьма трудоемки, и в неодномерных задачах редко удается построить более чем одно- два приближения. Сходимость большей части используемых процессов не изучена. Сходимость метода упругих решений при определенных условиях установлена в работах А. И. Кошелева (1955) и С. Г. Петровой (1957).
Уравнения деформационной теории с помощью работы деформации П и дополнительной работы R можно представить в формах
^ПdR№
、(3・30)
Нетрудно показать, что действительное поле перемещений и» сообщает минимум полной энергии системы:
j TidV—^FmUi dSF^mm. (3.31>
Для действительного поля напряжений достигается минимум дополнительной работы (Л. М. Качанов, 1940, 1942):
^RdV^-^FniUi dSu = min. (3.32)
Вариационные уравнения полезны для построения приближенных решений методом Ритца. Система Ритца будет нелинейной, и ее решение не всегда практически осуществимо, не говоря уже о трудностях составления самой системы. Более удобен модифицированный метод Ритца (Л. М. Качанов, 1959), в котором коэффициенты уточняются при рассмотрении последовательности минимальных задач для квадратичных функционалов. Этот прием устраняет громоздкость решения с увеличением номера приближения. Несколько иная модификация метода Ритца предложена А. А. Ильюшиным (1961). Вообще, различные прямые методы, опирающиеся на вариационные уравнения (например, метод прямых, вариационно-разностный метод и т. п.), можно использовать для решения нелинейных задач, если надлежащим образом комбинировать эти методы с методом последовательных приближений. Это замечание относится и к использованию метода Б. Г. Галеркина. ，
Несколько в стороне стоит метод малого параметра, позволяющий немного расширить область применения ранее найденных решений; его можно применять как в дифференциальных, так и в вариационных уравнениях задачи. Так, зная осесимметричные решения, можно с помощью этого метода рассмотреть задачи, близкие к осесимметричным (по нагрузкам или по очертаниям тела, по неоднородности и т. д.). Зтод? прием не позволяет заметно расширить область решения. Лишь немногие задачи этого типа представляют реальный интерес для приложений; сюда можно отнести задачу о слегка овальных и эксцентричных трубах, задачу о вращении слегка эксцентричного диска и т. д.
Что касается численных методов, то в первую очередь их следует использовать для решения практически важных задач, содержащих притом небольшое число геометрических параметров. Здесь прежде всего необходимо назвать цикл задач о концентрации напряжений за пределом упругости.
Целесообразно упомянуть также о некоторых экспериментальных возможностях решения задач пластичности с упрочнением, связанных с методом фотоупругости. Имеется в виду применение метода фотоупругих покрытий и метода фотоползучести.
Наконец, необходимо отметить полезную аналогию между задачами установившейся ползучести и задачами для упрочняющегося тела по деформационной теории при условии несжимаемости. Эта так называемая «упругая аналогия» позволяет осуществлять взаимный обмен решениями и экспериментальными данными.
Заключение. В этом параграфе обсуждались лишь некоторые («классические») краевые задачи. Вопросы устойчивости, динамики, теория оболочек и пластин не затрагивались. Несмотря на предпринимаемые большие усилия и несомненный быстрый прогресс в развитии теории
пластичности, решения многих задач не известны. Частично по этой причине многие важные прикладные задачи остаются неразрешенными.
Даже относительно простая задача определения несущей способности на основе жестко-пластической схемы связана с математическими трудностями. В преодолении последних несомненна роль вычислительных методов. В частности, весьма перспективно использование экстремальных свойств предельной нагрузки и на их основе ——методов математического программирования. Здесь же целесообразно подчеркнуть значение этих методов для определения области приспособляемости.
Мало изучена, но безусловно перспективна проблема оптимального проектирования на основе жестко-пластической схемы.
Гораздо более трудны упруго-пластические задачи при условии идеальной пластичности или изотропного упрочнения. Здесь трудно рассчитывать на успех, ориентируясь на аналитические методы. На первый план выдвигаются вычислительные методы, с помощью которых можно построить решения многих важных задач. В частности, целесообразно отметить цикл задач о концентрации напряжений, представляющий большой интерес для оценки прочности.
Следует ожидать возрастания роли упруго-пластических задач при сложных условиях нагружения, когда необходимо более полно учитывать изменение механических свойств в процессе пластической деформации. Краевые задачи при сложных программах приложения нагрузок, при повторных (циклических) пластических деформациях, анализ упругопластических колебаний ——вот некоторые проблемы, которые ждут решения. Задачи этого типа, в отличие от упомянутых выше, еще не имеют бесспорной математической формулировки, и именно в этом направлении должны быть сконцентрированы прежде всего усилия исследователей.
Другой круг вопросов, представляющих большой интерес, связан с пластическими деформациями при сопутствующих немеханических полях (термопластические задачи, задачи для облучаемого тела и т. д.). Наиболее традиционна и значительна в прикладном отношении проблема термопластичности; здесь получено много приближенных решений, основанных большей частью на уравнениях деформационной теории. Однако разнообразие термомеханических воздействий требует построения и использования существенно более сложных уравнений состояния.
Наконец, все чаще необходимо учитывать эффекты вязкости. Вязкопластические среды (в различных их вариантах) все чаще обсуждаются на страницах журналов. Далее, своеобразные задачи возникают при рассмотрении упруго-пластических деформаций новых материалов, обладающих специальной гетерогенной структурой. Эти вопросы, впрочем, уже лежат вне границ настоящего обзора.
ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
Ю. Н. РАБОТ НОВ )
§ 1. Введение
W 2. Развитие и обоснование теории
Ползучесть как процесс течения
Течение, сопровождающееся старением
Установившаяся ползучесть:
Ползучесть с упрочнением
Более общие законы упрочнения
Теория старения
Теории деформационного типа
Разрушение при ползучести
Кратковременная ползучесть
Линейная вязкоупругость
Нелинейная вязкоупругость
Экспериментальные работы
§ 3. Установившаяся ползучесть и теория старения
Вариационные принципы
Методы последовательных приближений二
Расчет турбинных дисков по методу последовательных приближений
Точные решения
Пластины
Оболочки
Осесимметричная деформация круговой цилиндрической оболочки
Краевой эффект в оболочках
鸟 4. Неустановившаяся ползучесть
Вариационный метод в теории течения
Изгиб стержней по теории упрочнения
Применение критерия Треска. Осесимметричные задачи • • • •
Вариационные принципы в теории упрочнения • • .
Степенной закон ползучести со степенным упрочнением
Пластины и оболочки
Устойчивость при ползучести
Постановка задачи об устойчивости
Устойчивость линейных вязко-упругих систем
Малые отклонения от основного состояния
Вариационные методы для задач выпучивания
Устойчивость оболочек
Разрушение при ползучести
Линейная вязкоупругость
6.1. Реологические модели и дифференциальные соотношения 一 • •
6・2・ Ядра ползучести и релаксации
03345677789022344555678889 012344566899900 22222222222333333333333333444444444&444554* 1 4Л 1 1 103345677789022344555678889 012344566899900 22222222222333333333333333444444444&444554* 1 4Л 1 1 16・3・ Определение параметров ядер по данным экспериментов • • • •
03345677789022344555678889 012344566899900 22222222222333333333333333444444444&44455
4* 1 4Л 1 1 1
03345677789022344555678889 012344566899900 22222222222333333333333333444444444&44455
4* 1 4Л 1 1 1
4-5-6-7-8 &4-5-6-7-8 &Принцип Вольтерра 151
4-5-6-7-8 &
4-5-6-7-8 &
Применение трансформации Лапласа 151
Динамические задачи вязкоупругости 152
Нелинейная вязкоупругость 152
Некоторые приложения теории вязкоупругости 153-
・ Введение
Явление ползучести в узком смысле слова состоит в том, что тело, подверженное действию постоянных нагрузок, медленно деформируется во времени. Задача механической теории ползучести состоит в установлении определяющих уравнений, связывающих механические параметры состояния — напряжения и деформации. Эти соотношения должны существенным образом содержать некоторые временные операторы ——дифференциальные или интегральные. Процесс ползучести часто заканчивается разрушением тела, поэтому в идеале механическая теория разрушения должна содержать в себе элементы, позволяющие предсказывать момент разрушения.
Феноменологический подход, свойственный механике, не избавляет механика от необходимости считаться с физикой процесса и принимать во внимание те внутренние механизмы, которые определяют этот процесс. Кривые зависимости деформации от времени в опыте на растяжениа постоянной нагрузкой для стали при высокой температуре, любого пластика (например, полиэтилена) при нормальной температуре, бетонаг льда, образца горной породы и т. д. внешне кажутся чрезвычайно похожими, и поэтому возникает надежда сконструировать некоторые универсальные уравнения, пригодные для описания всех материалов в любых условиях. Однако внутреннее строение названных выше тел совершенна различно, различны и те механизмы, которые вызывают ползучесть. Глубокое различие процессов ползучести в металлах и полимерах, например, связанное с различием определяющих механизмов, может быть выявлено и в макроэксперименте. Так, деформация ползучести стали практически необратима, после снятия нагрузки накопленная деформация не воз* вращается или возвращается лишь ее небольшая доля. Деформация ползучести полимера при не слишком высоком уровне напряжений почти целиком обратима, она исчезает после снятия нагрузки по истечении некоторого времени.
При изучении ползучести технических сплавов также встречаются разные обстоятельства. Существуют материалы, структурно устойчивые в данном интервале температур и времен; ползучесть таких материалов описывается относительно простыми соотношениями, и для них может быть построена механическая теория. Значительно сложнее обстоит дело с теми сплавами, которые в процессе ползучести при высокой температуре претерпевают фазовые превращения. Описание ползучести таких материалов в терминах механики встречает значительные трудности. В различных температурных диапазонах, как это следует из физических исследований, преобладают различные атомно-дислокационные механизмы ползучести, поэтому уравнения ползучести могут существенно меняться в зависимости от области их приложения.
В настоящем обзоре основное внимание будет уделено теории ползучести металлов при высокой температуре, однако будут освещены и некоторые теоретические результаты, имеющие отношение к ползучести полимерных материалов (теории линейной и нелинейной вязкоупругости).
Впервые с явлением ползучести встречались при эксплуатации паровых турбин, и проблема ограничения ползучести оказалась чрезвычайно острой, при существующих материалах ползучесть и длительная прочность лимитировали возможность повышения рабочих параметров машин. Потребности энергомашиностроения в первую очередь вызвали интенсивную работу по созданию новых теплоустойчивых и жаропрочных материалов и стимулировали большой цикл металлофизических исследований, направленных на выяснение механизма ползучести металлов. Современное состояние вопроса в этой области освещено, например, в обзорной статье В. Л. Инденбома, А. Н. Орлова и В. М. Розенберга (1965), в книге В. М. Розенберга (1968).
Одновременно перед конструкторами встал вопрос о том, каким образом использовать имеющиеся материалы в конструкции, как оценить, допустимый предел температур и напряжений для обеспечения заданной долговечности. Для этого оказалось необходимым построение механической теории ползучести. Испытания материалов на ползучесть по некоторым стандартным методикам велись промышленностью в большом объеме, задачей этих испытаний была выработка некоторых условных критериев стойкости сплава по отношению к ползучести и сравнительная оценка пригодности тех или иных материалов для данных условий эксплуатации на основе этих критериев. Большой опытный материал, накопленный в результате испытаний такого рода, естественно, должен был быть положен в основу при создании механической теории. Однако этого было недостаточно, для создания и обоснования механической теории необходимы специальные целенаправленные эксперименты принципиального характера. Основные вопросы, которые подлежали выяснению в первую очередь, были следующие.
Известны закономерности ползучести при постоянном напряжении. Можно ли на основе этих данных предсказать ход ползучести при переменной нагрузке? В частности, можно ли предсказать закон релаксации, т. е. падения напряжения со временем при постоянной общей деформации?
Все опытные данные относятся к одноосному растяжению. Можно ли по этим данным судить о ползучести при произвольном сложном напряженном состоянии?
Эксперименты, направленные на выяснение этих вопросов, систематически проводились в разных странах, в том числе и у нас, однако окончательное их решение не получено. Это объясняется сложностью экспериментальной техники, дороговизной подобных испытаний и различием свойств материалов.
Что касается анализа кривых ползучести при одноосном растяжении, здесь была проделана большая работа, направленная на поиски более или менее универсальных соотношений, связывающих деформацию е, напряжение о и температуру Т (при о = const). Цель этих поисков состояла в том, чтобы найти способы экстраполяции результатов относительно кратковременных испытаний на большие длительности.
Соответствующие формулы предлагались И. А. Одингом и другими авторами. В практике нашли применение различные так называемые температурно-временные параметры (см., например, Ю. Н. Работнов, 1966) для экстраполяции данных по ползучести, однако каждый из них пригоден лишь для определенного круга материалов и надежных средств экстраполяции не существует.
Современное развитие механической теории ползучести определяется существенным расширением круга ее приложений. Появление транспортных
газовых трубин, с одной стороны, привело к существенному увеличению рабочих температур и, следовательно, применению новых материалов, с другой стороны, заставило обратить серьезное внимание на анализ таких процессов ползучести, при которых нагрузки и температуры нестационарны.
С проблемами ползучести пришлось встретиться в реактивной технике и сверхзвуковой авиации, поэтому получила развитие теория ползучести тонкостенных элементов конструкций — пластин и оболочек. Для этих элементов возникли своеобразные проблемы устойчивости, на которых в последние годы оказались сосредоточены большие усилия исследователей.
Широкое применение в технике полимерных материалов, в частности армированных пластиков, заставило заниматься вопросами ползучести и в применении к этим материалам. Существенная особенность здесь состоит в том, что при малых напряжениях связи между напряжениями и деформациями линейны, поэтому ползучесть может рассматриваться как запаздывающая или наследственная (термин Вольтерра) упругость.
В современной литературе более принят термин «вязкоупругость», которым мы и будем пользоваться, считая все же термин Вольтерра более удачным. Развитие теории линейной вязкоупругости в основном базируется на идее Больцмана — Вольтерра, и разработка ее относится скорее к технической стороне, чем к идейной.
При более высоком уровне напряжений обнаруживается нелинейность, притом относительно слабая. Общая тенденция последних лет и здесь состоит в возврате к старой идее Вольтерра — Фреше описания подобного рода соотношений с помощью некоторых специальных операторов. Реализация этой идеи представляет существенные трудности, и в этом направлении получен ряд новых результатов.
Теория ползучести как раздел механики деформируемого твердого тела сформировалась сравнительно недавно. Первые исследования в этой области относятся к двадцатым-тридцатым годам; общий характер их определяется тем, что проблема ползучести представляла большую важность для энергомашиностроения и инженеры были вынуждены искать простые и быстро ведущие к цели методы решения практических задач. В создании основ теории ползучести большая роль принадлежала тем авторам, которые внесли существенный вклад в формирование современной теории пластичности, отсюда общность многих идей и подходов. В нашей стране первые работы по механической теории ползучести принадлежат Н. М・ Беляеву (1943), К. Д. Миртову (1946), к концу сороковых годов относятся первые исследования Л. М. Качанова, Н. Н. Малинина, Ю. Н. Работнова.
Линейная теория вязкоупругости основывается, с одной стороны, на основополагающих концепциях Больцмана и Вольтерра, с другой стороны, на теории вязко-упругих реологических моделей, восходящей к Дж. Максвеллу и В. Фойхту. Объединяя свойства упругих тел и вязких жидкостей в более общей связи, эта теория имеет дело с линейными дифференциальными или интегро-дифференциальными уравнениями, поэтому в ней открывается широкий простор для приложения эффективных математических методов. Интерес к этой теории существовал все время, но отсутствие реальных технических приложений не стимулировало ее интенсивную^разработку. Ранние исследования в этой области (А. Ю. Иш- линский, А. Н. Герасимов, А. Р. Ржаницын, Ю. Н. Работнов и др.), по существу, не имели з виду решение определенных технических задач, а были направлены скорее на извлечение некоторых математических следствий из принятых моделей.
Реальная область приложения линейной теории вязкоупругости открылась, когда теория была распространена на стареющие материалы «Н・ X. Арутюнян, А. А. Гвоздев, Г. Н. Маслов) и применена к задачам ползучести бетона и других строительных материалов. Эти исследования получили очень широкое развитие, и им посвящен специальный обзор Н. X. Арутюняна в этом сборнике (см. стр. 155—202).
Поведение полимерных материалов при умеренных напряжениях, которые обычно допускаются в конструкциях из этих материалов, как оказывается, вполне удовлетворительно описывается теорией линейной вязкоупругости, притом с ядрами довольно сложного вида (не такими, которые соответствуют простейшим реологическим моделям тела Максвелла или стандартного вязко-упругого тела). Предшествующие теоретические исследования дали в руки готовый аппарат для построения теории вязко-упругости полимеров, и в этой области за короткое время были достигнуты значительные успехи. Большой объем исследований был выполнен научными коллективами при участии А. А. Ильюшина, А. К. Малмейстера, М. И. Розовского, Г. Н. Савина и других.
§ 2・ Развитие и обоснование теории
Ползучесть как процесс течения. Обратимся сначала к одномерному случаю, например растяжению цилиндрического стержня. Общая -точка зрения на процесс ползучести будет состоять в том, что ползучесть это есть процесс вязкого течения, сопровождающегося некоторыми структурными изменениями. Это значит, что скорость ползучести при данном структурном состоянии однозначно определяется напряжением и температурой:
p и u (% 7)・(2•人)
Считается, что полная деформация представляет собой сумму мгновенной деформации с。и деформации ползучести р：
6 = е。+ Р・
В свою очередь, мгновенная деформация состоит из упругой и пластической составляющих, так что
自=备+g‘9)展(*> 0)>
%о =贵， Gvo)・
Если ползучесть не сопровождается структурными изменениями или если эти структурные изменения не влияют на зависимость скорости от напряжения и температуры, то уравнение (2.1) определяет процесс установившейся ползучести и тело, находящееся в состоянии ползучести, можно трактовать как нелинейно вязкую жидкость.
Распространяя эту точку зрения на общий случай трехосного напряженного состояния, следует считать, что компоненты тензора скоростей деформации ползучести р订 являются функциями компонент тензора напряжений и температуры:
Ра =。订(Ks/〕T)・(2・2)
При этом единственное условие, налагаемое на функции。订,состоит в том尸 что мощность диссипации должна быть положительной:
vijaij ＞。・
Обычно предполагается, что зависимости (2.2) — потенциального типа力 т. е. существует потенциал ползучести Ф (а^):
• дф
Отсюда преобразованием Лежандра получаются обратные соотношения
仃订=, U = Gijptj—~①.(2.4)
Существозание потенциалов ① н U, строго говоря, не является следствием каких-либо общих законов механики или термодинамики, однако некоторое обоснование сделанной гипотезы может быть достигнуто в рамках термодинамики необратимых процессов в результате обобщения принципа Онзагера. В направлении построения термодинамической теории пластичности и ползучести был выполнен цикл работ А. А. Вакуленко (1958, 1961, 19ХХ), причем им рассматривались и более общие реологические соотношения.
Следующий шаг по пути уточнения и усовершенствования теории заключается в учете структурных изменений, сопровождающих пол^ зучесть. Структурное состояние материала может быть охарактеризовано набором структурных параметров 外，скалярных в одномерном случае и, вообще говоря, тензорных. Уравнение одномерной ползучести должно быть записано в виде
р = v{e, Т, 21, %,・・•， %)・
При этом должны быть заданы также уравнения, описывающие изменение структурных параметров во времени. В общем случае следует считать, что потенциалы ползучести зависят от структурных параметров:
①=①(^iji 7, 2zn), U = U (卩订，Т, ^m).
Течение, с опрово ж дающееся старением. Простейшее предположение будет состоять в том, что структурный параметр, определяющий сопротивление ползучести, монотонно изменяется со временем. Очевидног что в качестве такого параметра можно выбрать просто время. Если, как это обычно делается, считать мгновенную деформацию упругой и деформацию ползучести не сопровождающейся изменением объема, уравнения теории течения со старением примут следующий вид:
•1 • ^Ф (0订，0
=—*
Теория ползучести, основанная на такого рода уравнениях, развивалась Л. М. Качановым. Особенно простой вид принимают уравнения этой теории в том случае, когда кривые ползучести подобны. Тогда потенциал можно представить в виде произведения функции от напряжений н& функцию времени Ф (о订)т/ (力)и уравнения оказываются по форме совпадающими с уравнениями установившейся ползучести (2.3), если заменить в последних дифференцирование по времени дифференцированием по модифицированному времени т. Поскольку упругие деформации выражаются
через напряжения соотношениями потенциального тцпа, соотношения (2.5) можно переписать в следующем виде:
2力=£订=£(①十需).(2・6)
Здесь П ——дополнительная работа. В уравнениях (2.6) не обязательно лредполагать упругую деформацию, линейно зависящую от напряжений. Более того, можно считать, что мгновенная деформация является упругопластической, подчиняющейся уравнениям теории деформационного типа. Можно показать (Л. М・ Качанов, I960), что для тела, находящегося в состоянии ползучести, из (2.6) следует вариационный принцип типа Кастильяно, заключающийся в том, что функционал
для истинного распределения напряжений имеет минимум. При этом необходимо, чтобы мощность вариации внешйих сил на истинных скоростях равнялась нулю.
Установившаяся ползучесть. В приложениях иногда оказывается возможным пренебречь мгновенной деформацией. Полагая 夕订=外力 получим вместо (2.3)
Уравнения (2.7) называются уравнениями установившейся ползучести. По существу, это уравнения течения нелинейно вязкой жидкости. По @орме они совершенно совпадают с уравнениями нелинейной теории упругости или деформационной теории пластичности. В предположении, что потенциал ①——положительно-определенная и выпуклая функция •своих аргументов, для установившейся ползучести доказана теорема единственности и формулируются вариационные принципы типа Лагранжа м Кастильяно.
Что касается вида функции Ф, обычное предположение состоит в том, что она может быть представлена в виде ①=①(s), где s — однородная «функция первой степени от о〃. Условия отсутствия объемной ползучести приводит к тому, что s не должно зависеть от гидростатической составляющей тензора напряжений. Для изотропных материалов обычно принимают либо s = о。, где ст。——интенсивность напряжений, либо s = о^ ——сг3, где О], Оз ——соответственно наибольшее и наименьшее главные напряжения. Уравнения ползучести ("7) переписываются теперь следующим образом:
『①飞)券. (2.8)
•Обращение формул (2.7) или (2.8) получается в результате преобразования Лежандра. Допустим, что справедливы соотношения (2.8). Производные ds/до и являются однородными функциями нулевой степени от о〃； следо- ъательно, шесть производных, будучи функциями только пяти независимых аргументов, удовлетворяют тождественному соотношению. Можно показать, что это тождественное соотношение записывается в виде
s (毎7 (2項)
где s — однородная функция своих аргументов. Положим и = со(Gj)~ Подобно тому, как s является эквивалентным напряжением, v — эквивалентная скорость деформации. Теперь из (2.8) следует, что
D =①‘(s) = и (s)・
По формуле (2.4) потенциал напряжений
U = ^Ф' (s) — Ф (s) = U Q)1
соотношения, обратные (2.8), имеют вид
о〃= U彳色)，"=s (и)•(2.10%
deijdeij -
Ползучесть с упрочнением. Под упрочнением понимаются такие структурные изменения материала, которые происходят по мере накопления деформации ползучести и приводят к уменьшению скорости ползучести при данном напряжении и температуре. В одномерном случае простейшее предположение заключается в том, что величина накопленной деформации ползучести служит мерой упрочнения. Таким образом,
卩=и (о, Т, р).
Распространение гипотезы упрочнения на пространственный случай ветре- чает определенные затруднения. Вообще говоря, упрочнение, вызванное- ползучестью, резко анизотропно, как это следует, например, из опытов В. С. Наместникова. Однако большинство авторов ограничиваются предположением изотропии упрочнения, которое в этом случае характеризуется одним только скалярным параметром р. Допуская по-прежнему существование потенциала ползучести Ф, зависящего от однороднойг функции первой степени s 9订)，запишем основные уравнения в виде (2.8)г учитывая, что Ф зависит также от р как параметра.
Естественный выбор меры упрочнения при этом может быть сделан следующим образом. Величины dsld^ij. как однородные функции нулевок степени своих аргументов, удовлетворяют тождеству (2.9). Теперь мера упрочнения естественным образом определяется следующей формулой^ р = js (dp订)，(2.11>
и из (2.8) следует вчто
Р= a*； " =
Если s = а0, то
p= j (4 "石订)"2 "；
если s м2 2tmax, т。P ~— Pi -~ Рз ~— 2ymя у, где Pi и Рз — соответственно® наибольшая л наименьшая главные деформации ползучести.
Когда кривые ползучести подобны, потенциал можно представить как произведение функции от s и функции от р. В приложениях часто используется степенной закон упрочнения
Pij^^i^P^^^(2・12>
При записи уравнения (2.12) масштабы выбраны так, чтобы в уравнении не фигурировали размерные константы. Для законов упрочнения вида
р = p-а/ (о) функция / (о), как показал С. А. Шестериков (1959), должна удовлетворять условию
/〃（。）》/〃（。）》а —1аа —1а于（0）产.于（0）产.
/〃（。）》
/〃（。）》
а —1а
а —1а
于（0）产.
于（0）产.
Отсюда, в частности, следует, что в формуле (2.12) должно быть 〃 > 1. Иногда, по аналогии с установившейся ползучестью, принимают / = exp I о I ——1 (такой выбор функции / не удовлетворяют условию Шестерикова). При отыскании точных решений несоблюдение этого условия может повести к странному и физически неприемлемому поведению решения в области малых о. При приближенных методах это обстоятельство существенной роли не играет и любая аппроксимация, пригодная для тех значений напряжений, которые нас интересуют, будет приемлемой.
00Более общие законы упрочнения. Выбор величины р в качестве параметра упрочнения не единственный из возможных. Более общая гипотеза будет состоять в том, что структурные параметры qs связаны с напряжением, деформацией ползучести, температурой и временем некоторыми дифференциальными соотношениями, вообще говоря, неинтегри- руемыми. Некоторые варианты таких соотношений рассмотрены в книге Ю. Н. Работнова (1966). В частности, за меру упрочнения может быть принята величина необратимой работы, рассеянной в процессе ползучести:
0
0
(2.13)
Такой выбор меры упрочнения был предложен в работах А. А. Вакуленко и И. И. Бугакова (19ХХ), а также Ю. Н. Работнова (1963). Эксперименты показывают, что опыты при переменных нагрузках описываются таким способом лучше, чем с помощью параметра упрочнения (В. С. Наместников и Н. С. Вилесова, 1964).
Теория старения. Применение физически обоснованной теории упрочнения в том или ином варианте-, а также любых уравнений типа уравнений течения связано с большими трудностями. Поэтому в практике заводов и конструкторских бюро получила широкое распространение теория, которая буквально совпадает по форме с деформационной теорией пластичности, но вводит в уравнение время явно как параметр. Первичные данные по ползучести при этом удобно представлять в виде так называемых изохронных кривых. Серия кривых ползучести в координатах е —— 力 для разных значений о представляет собою графическое изображение зависимости между тремя переменными. Эту зависимость можно представить в координатах е — а в виде серии кривых, каждая из которых отвечает заданному времени 力.Расчет на ползучесть по теории старения сводится к серии расчетов по обычной деформационной теории пластичности, причем каждый раз изохронная кривая ползучести отождествляется с диаграммой деформирования материала.
Теории деформационного типа. Применение деформационной теории пластичности при рассмотрении частных задачГоказывается значительно проще, чем применение теорий типа течения. Поэтому и в теории ползучести рядом авторов уравнения строились по следующему принципу. Принималось, что тензоры напряжений и деформаций связаны зависим мостями деформационной теории Надаи —— Генки —— Ильюшина:
, 2(7(),
(о。 и е0 ——интенсивности напряжений и деформаций соответственно, штрихи означают девиаторы). Далее, считалось, что величины о。и е0 связаны той же зависимостью, что напряжение и деформация при одноосном растяжении. Так, Н. Н. Малинин (1948) в развитие идеи Н. М. Беляева полагает
% =0。［击十(幣呪］. (2.14) о 一
Здесь S (о。)——некоторая экспериментально определяемая функция, т (方)——функция времени, учитывающая форму кривых ползучести (Н. М. Беляев полагал т = ^). Ф. С. Чуриков (1949) исходил из гипотезы упрочнения, полагая, что интенсивности напряжений и деформаций ползучести связаны уравнением (2.8) <где р заменено через р(), о — через о。.
Разрушение при ползучести. Схема вязкого разрушения, предложенная Н. Хоффом (США) применительно к растяжению стержня постоянной нагрузкой, состоит в следующем. Предполагается, что скорость ползучести есть функция истинного напряжения, равного о。(1 十 е), где Оо ——напряжение, отнесенное к начальной площади, е ——конечная деформация. Скорость деформации е = е/ (1. + е). Уравнение ползучести получается следующим^
彳± =以6)(1 + е)］・ (2.15)
Величина о。задана как функция времени (в частном случае о。= const). При интегрировании (2.16) оказывается, что деформация е может стремиться к бесконечности при конечном времени t = ^к, которое принимает* ся за время разрушения. При степенном законе ползучести у = ап переменные разделяются и время до разрушения находится из условия
j噺成=}. (2.16)
о
Фактически анализ Н. Хоффа приводит к завышенной оценке времени до разрушения, по достижении некоторого значения деформации напряжение становится настолько большим, что в теле возникает пластическое течение. В. И. Розенблюм (1963) считает материал идеально пластическим с пределом текучести as и принимает за момент разрушения время, когда выполняется условие а0/(1 + е) = Os・ При о。= const и степенном законе ползучести получается
% 4 (2/7)
У многих технических сплавов разрушение происходит в результате развития системы трещин на границах зерен при малой деформации. Схема хрупкого разрушения была рассмотрена Л. М. Качановым (1958) и Ю. Н. Работновым (1959). Степень поврежденности материала характеризуется параметром i|), меняющимся от i|)= 1 у неповрежденного материала до i|)= 0 в момент разрушения. Предполагается, что величина 屮 в каждой точке меняется в соответствии с уравнением
j=—力(*) . (2.18)
Здесь в — наибольшее растягивающее напряжение. Если h = (口/屮尸一 степенная функция, то время достижения величиной 屮 значения 屮=О определяется из условия, имеющего тот же вид, что (2.16):
J建山(2.19)
о
Аналогичная схема, отличающаяся лишь в деталях, была рассмотрена Ю. Н. Работновым.
Л. М. Качановым рассмотрен также случай смешанного разрушения, когда условие 屮=0 достигается при достаточно большой деформации ползучести и при определении действующего напряжения необходимо считаться с изменением площади поперечного сечения.
В развитие идеи Л. М. Качанова была выполнена серия работ шведских авторов (Ф. Одквист, Я. Хюльт и др.), в которых учитывалось влияние мгновенной пластической деформации, а также деформации первой фазы ползучести. По известной схеме Одквиста деформация на неуста- новившемся участке добавляется к мгновенной.
Ю. Н. Работнов (1963) предполагает, что параметр поврежденности со =1 —屮 входит в качестве структурного параметра в уравнения ползучести. Таким образом, если пренебречь упрочнением, уравнения ползучести будут иметь следующий вид:
е = z; (о, со), со = ср (а, (о).(2.20)
При этом может быть рассмотрен случай как конечных, так и малых деформаций. Анализ проведен для довольно общей зависимости вида
е = о% (1 — со)-3, со = cok (1 — со)
Такая точка зрения позволяет описать третьи участки кривых ползучести.
Если предположить, что функции 沙 瓜 屮 в (2.20) отличаются лишь постоянным множителем, то со = е/е*, где е* — равномерная деформация, предшествующая разрушению и считающаяся не зависящей от напряжения. Тогда уравнение ползучести имеет вид
т. е. совпадает по виду с уравнением (2.8), описывающим упрочнение (мгновенная деформация во внимание не принимается). Таким образом, открывается возможность описывать всю кривую ползучести с помощью одного лишь структурного параметра, за который принимается величина деформации ползучести. Эта идея была реализована Г. Ф. Лепиным, который использовал уравнение вида
j“exp (匸％)(2-21)
и показал на большом опытном материале его пригодность для описания ползучести и релаксации.
2・9. Кратковременная ползучесть. При достаточно высоком уровне температур и напряжений упрочнение практически отсутствует; таким образом, вначале скорость ползучести определяется уравнением (2.1), которое остается справедливым независимо от предыстории нагружения. В этих условиях существенную роль играет мгновенная пластическая
9 Механика в СССР, т.3
деформация, которая определяется уравнением (2.2). Модуль упругости и функция g (о) зависят от температуры. Ползучесть обычно сопровождается интенсивным трещинообразованием, в результате чего скорость ползучести увеличивается и наступает разрушение. Для описания процесса необходимо вводить структурный параметр со, а уравнения кратковременной ползучести для одномерного случая принимаются следующими:
Для большинства материалов можно принять п = к, тогда е** — равномерная деформация в момент разрыва (С. Т. Милейко, 1962, 1963; С. Т. Ми- лейко и Ю. Н. Работнов, 1966).*
Линейная вязкоупругость. Ползучесть многих неметаллических материалов описывается с помощью уравнений линейной вязкоупругости. Один из путей построения соотношений этой теории состоит в комбинировании упругих и вязких свойств. Для наглядного изображения такого ряда комбинаций применяют реологические модели, представляющие собою определенные наборы пружин и вязких сопротивлений. Соотношение между напряжениями и деформациями для одномерного случая имеет вид
Р (в) =Q (е)・(2.23)
Здесь Р 且 Q — линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. Соотношения типа (2.23) используются для описания как твердых тел, так и жидкостей. Большой цикл, работ, относящихся к описанию вязко-упругих свойств жидкостей, гелей и т. п., принято относить к области реологии (в данном обзоре эти исследования не затрагиваются).
Другой аппарат для описания вязко-упругих свойств твердых тел был предложен Л. Больцманом и детально развит в работах В. Вольтерра, относящихся к началу этого столетия. Линейный оператор Вольтерра определяется следующим образом:
Kf = K[f(t)+ j х(^-т)/(т)с?т].(2.24)
Это соотношение можно записать в виде
Kf= j K(%-t)/(t)d%
если считать, что ядро содержит особенность типа дельта-функции.
В теории В. Вольтерра используются ядра разностного типа 乂 (力,т) = = % (力 —— т), что вытекает из требования инвариантности относительно изменения начала отсчета времени.
При определенных ограничениях, характеризующих твердые тела, (2.24) эквивалентно (2.23), ядро 乂(力一т) представляет собою линейный агрегат из экспоненциальных функций.
Общие уравнения линейной вязкоупругости для произвольного анизотропного материала могут быть представлены следующим образом:
Здесь E»jki ——матрица линейных операторов Вольтерра, соответствующая матрице модулей упругости в обычной теории.
Аппроксимация ядра 乂 (力 ——т) с помощью экспоненциальных функций позволяет простыми средствами обращать соотношения (2.25), т. е. находить резольвенты соответствующих ядер. При решении задач вязкоупругости используется принцип, сформулированный В. Вольтерра и заключающийся в том, что решение задачи обычной теории упругости может быть трансформировано в решение с о отв етствующей задачи теории вязкоупругости, если заменить упругие константы операторами. Расшифровка появляющихся при этом функций от операторов в принципе всегда выполнима, если эти функции рациональны. В противном случае возникают определенные трудности. Следует заметить, что принцип Вольтерра применим лишь тогда, когда вид граничных условий остается неизменным (он непригоден, например, для задач о движущемся штампе).
В современной литературе для решения задач вязкоупругости применяется также метод, основанный на преобразовании Лапласа. Для изображений напряжений и деформаций соотношение (2.25) принимает вид обычного закона Гука:
о〃 = ^ijkieki-(2.26)
Основные трудности связаны с переходом от изображений к оригиналам. Для стареющих материалов типа бетона ядро оператора Вольтерра не является разностным. Теория ползучести стареющих материалов, ведущая начало от работ Н. X. Арутюняна, получила очень широкое развитие (ей посвящен в этом томе специальный обзор; см. ниже, стр. 155—202).
Для одноосного растяжения закон линейной вязкоупругости принимает вид
e = *[o 十 J К (t — x) в (т) dr j , о = Е[е— J Г (Z — т) ^ (т) dx^ .
Функция К (力——т) называется ядром ползучести, его резольвента F (力——т)——ядром релаксации. Иногда оказывается удобным задавать не сами ядра, а спектры. Если функция Г (力)представлена в виде
Г (0= J а 4 (а) ехр (— а£) da,о
функция / (а) называется спектром релаксации. Аналогично определяется спектр ползучести. При решении динамических задач вводится комплексный модуль Ег 十 iE\ который выражается через спектр релаксации по формуле
Er + iEff^E[i^ip] da\.(2.27)
' о'
В ранних работах по теории линейной вязкоупругости (А. Н. Герасимов, А. Ю. Ишлинский, В. Г. Гоголадзе, М. И. Розовский, Ю. Н. Работ- нов и др.) развивался формальный аппарат теории и выяснялись качественные эффекты, которые могли быть обнаружены в тех или иных случаях. В работах, примыкающих к физико-химическому направлению
9*
(Г. Л. Слонимский и др.), теория применялась для описания тех аспектов поведения различных тел, которые не соответствуют обычным моделям. Значительное развитие теории в пятидесятых годах связано с существен- ным расширением области ее применения. При не слишком высоком уровне напряжений уравнения линейной вязкоупругости хорошо описывают ползучесть бетона (с учетом старения), а также большинства полимерных материалов. Эта теория успешно применяется в механике горных пород, ледяного покрова и пр. Постановка новых прикладных задач стимулировала развитие общих методов и поиски многочисленных частных решений.
Нелинейная вязкоупругость. Еще В. Вольтерра («Fonctions de lignes», 1913) предложил описывать нелинейную вязкоупругость соотношениями вида
t方 t
е= J & (£ —U)o(G)dq + j j K2 (t — Xi,力一r) о(U)о(3)&U &3・ —oo—00—00
(2.28)
Эта идея была, по существу, забыта и лишь недавно воскрешена в работах ряда американских и японских авторов. Более простое соотношение для одноосного растяжения или чистого сдвига было предложено Ю. Н. Работ- новым (1948):
(2.29)(2.29)ср (е) = о + j К (Z — т) а (т) йт.о
(2.29)
(2.29)
М. И. Розовский (1951) и Н. X. Арутюнян (1952) построили для этого же случая иное уравнение, а именно:
(2.30)(2.30)е =屮(о) + ) L(t — x)F[^ (т)] йт.о
(2.30)
(2.30)
Функция ср (е) в левой части (2.29) для активного нагружения должна определяться экспериментально, при разгрузке применительно к металлам ее следует брать линейной, соответствующей закону упругости. Ло-види- мому, основная область применения наеледственных соотношений типа (2.29) или (2.30) — это механика полимеров, для металлов они качественно предсказывают наблюдаемый возврат, но преувеличивают этот эффект (В. С. Наместников и Ю. Н. Работнов, 1961). Комбинация нелинейной вязкоупругости и закона упрочнения позволила Г. И. Брызгалину хорошо описать ползучесть целлулоида при переменных нагрузках.
Экспериментальные работы. В области исследования ползучести и длительного разрушения было выполнено очень большое количество экспериментальных работ, результаты которых позволили проверить и уточнить как теорию ползучести, так и применяемые расчетные методы. Эти работы можно разделить на следующие три группы.
Получение характеристик ползучести, релаксации и длительной прочности отдельных материалов применительно к конкретным техниче^ ским объектам. Обычно целью таких исследований является установление некоторых условных, сравнительных характеристик, позволяющих выбирать материал для заданных условий эксплуатации. С развитием механической теории эти характеристики стали полагаться в основу расчетов >
хотя сами по себе они не дают возможности выбрать ту или иную теорию, которую следовало бы положить в основу расчета сложного процесса.
Работы, направленные на проверку различных теорий ползучести.
Испытания натурных объектов или моделей и сравнение данных испытаний с результатами расчетов.
В настоящем обзоре мы кратко остановимся на исследованиях второй и третьей групп. •
Систематическая проверка гипотезы упрочнения содержится в серии работ А. М. Жукова, Ф. С. Чурикова и Ю. Н. Работнова (1953), В. И. Даниловской, Г. М. Ивановой и Ю. Н. Работнова (1955), В. С. Наместникова и А. А. Хвостункова (I960), В. С. Наместникова (1957, I960), Ю. П. Капте- лина (1962), Г. М. Ивановой (1958). Все эти опыты производились при растяжении, сравнивались результаты испытаний при постоянных и переменных нагрузках. В результате этих исследований, а также работ зарубежных авторов было установлено, что гипотеза упрочнения типа (2.8) удовлетворительно описывает в первом приближении, по крайней мере, первую фазу ползучести.
Опыты на ползучесть при сложном напряженном состоянии технически трудны и немногочисленны. Отметим исследование И. А. Одинга и Г. А. Туляксва (1958), которое для установившейся ползучести подтверждает справедливость критерия типа Треска — Сен-Венана. Результаты опытов В. С. Наместникова (1957), относящиеся к неустановившейся фазе ползучести, в общем, не подтвердили простые зависимости, описанные выше, и заставили автора прибегнуть к более сложным построениям. В. С. Наместников (1957) показал также, что упрочнение при ползучести резко анизотропно.
Ряд работ относится к установлению критериев разрушения при сложном напряженном состоянци. Отметим опыты Б. В. Зверькова (1958), Ш. Н. Каца (1955), В. П. Сдобырева (1958, 1959), И. И. Трунина (1967), И. Н. Лагунцева и В. К. Святославова (1959), И. Н. Лагунцева и Л. И. Федотовой (1959).
Систематические исследования ползучести моделей элементов турбомашин, а также натурных дисков велись в ЦКТИ (Д. П. Варшавский, П. Я. Богуславский, И. Г. Полумордвинова, 1955) и ЦНИИТМАШ (В. П. Рабинович, 1959, I960). Общий итог этих исследований состоит в том, что расчетные методы, основанные на простейшей теории старения, дают удовлетворительный для практики результат в части предсказывания величины деформации и остаточных напряжений. Время до разрушения также может быть предсказано с удовлетворительной степенью точности.
У становившаяся ползучесть и теория старения
Уравнения теории установившейся ползучести и уравнения теории старения, по существу, тождественны с уравнениями деформационной теории пластичности. Разница состоит лишь в том, что в теории установившейся ползучести деформации заменены через скорости деформации7 а в уравнениях теории старения время фигурирует как параметр. Методы, применяемые для решения задач по этим двум теориям, по существу аналогичны. Для установившейся ползучести обычно выбирается некоторая простая аналитическая аппроксимация функции и (s) = Ф' (s), например "=£九(s/o九产 или " = % exp (а/ае), где £九,о九,及, %, % —— константы. Основное преимущество теории старения, обусловившее ее широкое распространение для инженерных расчетов, заключается в возможности
использования первичных кривых ползучести без каких-либо аналитических аппроксимаций, влекущих за собою их неизбежное искажение. Поэтому здесь наибольшее распространение получили численные методы, представляющие собою развитие или модификацию методов, разработанных применительно к теории малых упруго-пластических деформаций.
Вариационные принципы. Вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно для задач ползучести являются, очевидно, простой перефразировкой соответствующих принципов для нелинейно упругого тела, поскольку исходная гипотеза состоит в допущении зависимости потенциального типа между напряжениями и деформациями или скоростями деформации. Систематическое развитие приближенных методов, основанных на принципе Кастильяно, принадлежит Л. М. Качанову. При степенном законе установившейся ползучести с возрастанием показателя п в ряде случаев распределение напряжений мало отличается от того, которое соответствует предельному состоянию идеального жестко-пластического тела. Таким образом, вводится понятие о предельном состоянии ползучести; напряжения о?『для этого состояния находятся по схеме жестко-пластического тела, причем предел текучести зависит от характера нагрузки. Приближенные значения скоростей находятся прямым применением теоремы Кастильяно. Более точные результаты получаются, если представить компоненты напряжения в виде
0订=吟+ к⑺(内一dj)・
Здесь Gij — вообще говоря, любое статически возможное распределение напряжений, например соответствующее упругому состоянию. Множитель К (п) ищется из условия минимума соответствующего функционала.
Метод был проиллюстрирован на большом числе примеров, относящихся к фермам, балкам и рамам, к задачам кручения и пр.
Методы последовательных приближений. Естественным приемом решения нелинейных задач механики твердого тела является способ последовательных приближений, когда на каждом этапе решается линейная задача. В методе упругих решений А. А. Ильюшина в каждом приближении решается задача теории упругости с фиктивными массовыми силами и видоизмененными граничными условиями.
Метод переменных параметров упругости (И. А. Биргер, 1961) основан на том, что уравнения теории ползучести совпадают с уравнениями линейной теории упругости, в которых упругие постоянные являются функциями координат. Эти функции заранее неизвестны, так как зависят нелинейным образом от искомых величин — компонент напряжения или деформации. Каждое последующее приближение находится в результате интегрирования линейных уравнений с переменными коэффициентами, которые выражаются через параметры, найденные в предыдущем приближении. И. А. Биргером указаны приемы, позволяющие добиться наиболее быстрой сходимости процесса последовательных приближений. Такая схема оказывается довольно удобной для реализации вычислений на ЭЦВМ.
Идея переменных параметров упругости оказывается полезной и при применении вариационных принципов типа Лагранжа или Кастильяно (Л. М. Качанов). Вместо того чтобы отыскивать стационарные значения сложного неквадратичного функционала, рассматривается последовательность квадратичных потенциалов того же типа, что и для соответствующих задач теории упругости с переменным модулем. Каждый из функционалов
минимизируется по методу Ритца, найденные значения параметров служат для вычисления модулей упругости следующего приближения.
Расчет турбинных дисков по методу последовательных приближений. Расчет на ползучесть вращающегося диска переменной толщины с переменным температурным полем представляет собою одну из важнейших прикладных задач теории ползучести, которая не потеряла своего значения до настоящего времени. Один из вариантов метода последовательных приближений для этой задачи состоит в следующем. Из уравнения равновесия определяется радиальное напряжение о> как некоторый функционал от окружного напряжения:
К = К (о®).(3.1)
После этого из уравнения совместности и уравнений ползучести определяется gq как функционал от аг, а0, содержащий константу С:
Q ~ Р2 9г，О®，С)・ (3.2)
К решению полученной системы уравнений применяется метод последовательных приближений, в качестве отправного пункта выбирается некоторое распределение напряжений о»
Если функционал /\ определяется однозначно, функционал 歹2 может быть представлен в различных видах, от этого существенным образом зависит быстрота сходимости процесса последовательных приближений. Различные варианты метода даются в работах П. Я. Богуславского (1950),А. Г. Костюка (1953), Н. Н. Малинина (1959) и других авторов. Р. М. Шнейдерович принимает за искомые функции не напряжения, а деформации, окружная деформация выражается через радиальную простым соотношением, получаемым интегрированием уравнения совместности. С помощью уравнения равновесия и уравнений ползучести строится функционал, представляющий радиальную деформацию.
При изготовлении дисков путем ковки или штамповки материал неизбежно приобретает текстуру, вызывающую анизотропию свойств ползучести. О. В. Соснин (1963) рассмотрел установившуюся ползучесть анизотропного диска. Выяснилось, что влияние реальной анизотропии на распределение напряжений не столь велико.
Точные решения. Сравнительно немногочисленные точные решения относятся к одномерным задачам. Так, задача о вращающемся диске приводится к интегрированию системы двух квазилинейных уравнений с краевыми условиями, заданными на границах интервала (Н. Н. Малинин, 1959). Применение ЭЦВМ делает такие расчеты относительно несложными. Применение кусочно-линейных потенциалов позволяет получить для некоторых случаев решение задачи в замкнутом виде. Задача о концентрации напряжений около круглого отверстия в равномерно растянутой пластине решена В. И. Розенблюмом (1959) для критерия типа Треска и Ю. В. Немировским (1964) для критерия наибольшего приведенного напряжения. А. Г. Костюк (1950) рассмотрел диск с отверстием с толщиной, меняющейся по степенному закону в зависимости от радиуса при степенном законе ползучести. К наружному контуру приложена равномерная растягивающая нагрузка. Получено точное решение, представленное в параметрическом виде.
Пластины. При отсутствии усилий связь между кривизнами и моментами совершенно аналогична связи между деформациями и напряжениями в плоском напряженном состоянии и вычисление соответствующего потенциала не вызывает каких-либо затруднений. Для круглых
симметрично нагруженных пластин при кусочно-линейных законах ползучести получаются замкнутые решения. Л. М. Качанов применяет для этих задач метод Ритца. Ряд частных случаев был рассмотрен Н. Н. Малининым при помощи метода Галеркина.
Задача о полукольцевой пластине представляет интерес в связи с расчетом на ползучесть турбинной диафрагмы. Относительно простое приближение решения по методу Ритца было дано В. И. Розенблюмом (1954). П. Я. Богуславский (1950) дал решение этой задачи по способу последовательных приближений, построенному по принципу, который был описан выше применительно к расчету дисков. При этом была выбрана схема, довольно близко отвечающая конструкции реальной диафрагмы.
Оболочки. Теория ползучести оболочек строится обычно на основе гипотезы Кирхгофа ——Лява с пренебрежением членами порядка h/R, где 2无——толщина, R ——характерный радиус. Уравнения связи между усилиями и моментами, с одной стороны, и скоростями деформации срединной поверхности и скоростями изменения кривизны ——с другой, для теории установившейся ползучести записываются следующим образом:
0①_ ^ф方方7' "订石0①_ ^ф方方7' "订石(3.3)(3.3)
0①_ ^ф
方方7' "订石
0①_ ^ф
方方7' "订石
(3.3)
(3.3)
①=К订m订+修)T ij-U.①=К订m订+修)T ij-U.иначе
①=К订m订+修)T ij-U.
①=К订m订+修)T ij-U.
(3.4)
Основная трудность состоит при этом в вычислении потенциала U(£订，%и). Если принять критерий типа Мизеса, то потенциал U получается в результате интегрирования по толщине функции от интенсивности скоростей деформации Н, которая в данном случае имеет вид
h =阂+ 2(£")2 + 片不广/2. (3.5)
Здесь £о 口 乂0 ——интенсивности скоростей деформации срединной поверхности и скоростей изменения кривизн соответственно,(£乂)——билинейная форма, сконструированная из &订 и 乂订.Для нахождения потенциала U функция от Н должна интегрироваться по толщине оболочки, явного выражения V при этом получить не удается.
Один из приемов заключается в кусочном осреднении функции Н по толщине оболочки. И. Г. Терегулов (1962) предлагает считать Н (z) кусочно-постоянной, а именно:
?=匈干2儿(£") +篤吟 (3；6)
Верхний знак относится к области z>0, нижний ——к области 2 Vo. Постоянные %! и 入2 предлагается выбирать из условия того, чтобы получать точный результат в соответствующим образом подобранных частных случаях.
Вместо реальной оболочки иногда рассматривают двухслойную модель (Ю. Н. Работнов, 1951). Если толщина слоев достаточно мала по сравнению с расстоянием 2^1 между ними, то распределение деформаций по толщине каждого слоя можно считать равномерным, величина Н в каждом слое получается из формулы (3.5) при z = ± h^ следовательно, в формуле (3.6) нужно принять ^ = %2 — 无仆 Величина 无丄 для модельной оболочки связана с половиной толщины реальной оболочки соотношением, которое устанавливает эквивалентность поведения реальной и модельной оболочек в каком-либо частном случае, например при чистом изгибе.
Из этого условия при степенном законе ползучести с показателем п следует
力1 = % (2+v) n+1力1 = % (2+v) n+1(3.7)(3.7)
力1 = % (2+v) n+1
力1 = % (2+v) n+1
(3.7)
(3.7)
Другое упрощение соотношения (3.6) получается, если положить 九£ = 0, т. е. просто считать Н постоянным по толщине. Такая схема была предложена В. И. Розенблюмом, однако из других соображений. При 〃 =1 вычисление потенциала U сводится к интегрированию по толщине выражения Я2; таким образом, U оказывается линейной комбинацией из £^ и Xq. Вычисляя функцию Ф, находим, что она зависит от выражения
S=^+^ 旧广.(3.8)
Здесь 力о и т0 ——интенсивности соответствующим образом определенных безразмерных усилий и моментов. С другой стороны, В. И. Розенблюмом ранее было получено приближенное условие предельного состояния для упруг о-пл а стиче ск ой оболочки в виде
焉 + 旧=1.(3.9)
Известная теорема Ч. Р. Келладайна и Д. Ч. Драккера позволяет утверждать, что в пространстве 力力 т^ определенным образом нормированная поверхность S = const будет лежать между поверхностями ^ + 十3/4 m^ = 1 и % + m^ = 1. Отсюда следует, что для 1 ^ п < оо аппроксимация потенциала Ф будет состоять в том, чтобы полагать его функцией величины
S = (tl + km^.(3.10)
При этом З/4 & 及 & 1. Сравнение с точным результатом для чисто из гибкого состояния приводит к следующему выражению для к:
2п
左(2+v)n+1-(3•”)
Осесимметричная деформация круговой цилиндрической оболочки. Применение двухслойной модели приводит к особенно простым результатам для осесимметричной деформации круговой цилиндрической оболочки при отсутствии осевой силы. Изменение кривизны в поперечном направлении при этом отсутствует. Обозначая через £ скорость окружной деформации, а через 乂 скорость изменения кривизны образующей, находим, что
+(3.12)
где к дается формулой (3.11).
Задача о бесконечно длинной цилиндрической оболочке под действием кольцевой нагрузки была решена с помощью вариационного принципа Лагранжа В. И. Розенблюмом. Форма прогиба принималась той же, что и в решении соответствующей задачи теории упругости; варьировалась величина прогиба в том сечении, где приложена нагрузка, а также длина волны.
Ю. Н. Работнов (1966) свел эту задачу к интегрированию системы уравнений
辽" + 2/пз = 0,、
Здесь и ——безразмерная скорость окружной деформации, т ——безразмерный продольный момент, р ——параметр нагрузки. Функция со определяется уравнением
у2 (з) = u2 + m2d)2, (3.14) где и (о)——скорость ползучести при одноосном растяжении напряжением о (с точностью до постоянного множителя). Штрихи означают дифференцирование по безразмерной координате g. Уравнения (3.13) представляют собою уравнения Эйлера вариационной задачи для функционала
I
N = \ ^игтг + %{ьу) + ^絞①一2〃辽]或， (3.15) о 一
где % (со)—известная функция. Функциональные аргументы т (^) и и (^) задаются и варьируются независимо; в этом состоит преимущество функционала (3.15) по сравнению с функционалом Лагранжа. Применение последнего позволяет определить с хорошим приближением прогиб, но при вычислении момента точность теряется.
Были рассмотрены задачи о краевом эффекте для полубесконечной оболочки с опертым и шарнирно закрепленным краем.
В следующей статье Ю. Н. Работнова было показано, что вариационное уравнение типа (3.15) может быть получено из общего вариационного принципа Рейсснера и для других задач теории оболочек, в которых из тех или иных соображений можно считать усилие для одного направления известным, а скорость изменения кривизны для ортогонального направления равной нулю. Это обстоятельство имеет место, например, в теории цил индриче ских оболочек средней длины.
Н. Мазалов и Ю. В. Немировский (1966) рассмотрели задачу о симметричной деформации круговой цилиндрической оболочки, используя двухслойную модель и критерий наибольшего приведенного напряжения. Был изучен случай шарнирно опертой оболочки конечной длины под действием кольцевой нагрузки, получено замкнутое решение.
Краевой эффект в оболочках. Если напряженное состояние в оболочке является в основном бёзмоментным и интенсивность напряжений достаточно велика, напряженное состояние краевого эффекта вблизи закрепленного края может рассчитываться, как поправка к основному напряженному состоянию. Эта идея была реализована И. Г. Терегуловым, который использовал в зоне краевого эффекта уравнения, линеаризованные около основного напряженного состояния, которое считается без- момертным и, следовательно, известным. Теория краевого эффекта при этих предположениях оказывается подобной теории краевого эффекта в упругих оболочках. В качестве иллюстрации была рассмотрена задача о краевом эффекте в цилиндрической круговой оболочке, сжатой в осевом направлении. Краевой эффект в цилиндрической оболочке рассматривался также И. В. Стасенко (1962, 1963).
Неустановившаяся ползучесть
Вариационный метод в теории течения. Наиболее простая теория неустановившейся ползучести ——это теория течения, сопровождающегося старением. Как было отмечено выше, для этой теории справедлив вариационный принцип Л. М. Качанова
5](①+翁)而(4」)
Здесь П ——соответствующий упругий потенциал. В принципе потенциал П не обязательно должен быть квадратичным, он может соответствовать нелинейной упругости или, что то же самое, мгновенной упруго-пластической деформации, которая описывается уравнениями деформационного типа. В этом случае возникают осложнения, связанные с появлением зон разгрузки.
Естественный приближенный метод решения задач неустановившейся ползучести при неизменных внешних силах с помощью вариационного уравнения (4.1) заключается в следующем. Пусть о% — распределение напряжений, соответствующее упругому состоянию,出)一распределение напряжений при установившейся ползучести. Положим приближенно 0订=吃+8 (%)(吗一吃)，］4 2、
О (0) = 0, 0 (oo)-l. j)
Условие (4.1) приводит к дифференциальному уравнению для функции 0 (力).В описанном виде метод применим только тогда, когда кривые ползучести подобны, поскольку лишь в этом случае можно говорить о состоянии установившейся ползучести, характеризуемом распределением напряжения &). Однако некоторая модификация метода позволяет снять это ограничение.
Для задач релаксационного типа, когда на некоторой части поверхности заданы фиксированные смещения, а остальная часть поверхности свободна от усилий (объемные силы также отсутствуют), можно предположить, что все напряжения изменяются пропорционально:
0订=p (方)出户
Применение вариационного уравнения (4.1) приводит в данном случае к заключению о том, что функция р (力)не зависит от формы тела и характера закрепления, она совпадает с той функцией, которая описывает релаксацию напряжений, например, при одноосном растяжении.
Применение этого метода проиллюстрировано многочисленными примерами, содержащимися как в книге Л. М. Качанова, так и в публикациях других авторов. Эти примеры относятся к стержневым системам, задачам изгиба и кручения.
Изгиб стержней по теории упрочнения. Даже простейшая задача о неустановившейся ползучести стержня прямоугольного поперечного сечения при чистом изгибе не имеет точного решения. Н. Н. Щетинин исследовал эту задачу с помощью уравнения ползучести вида •
р = p-а (exp I о I — 4).(4.3)
При анализе выяснилось, что вблизи нейтральной оси напряжение мецяет знак. Это является следствием того, что уравнение (4.3) при малых и непригодно (правая часть должна быть вида ап, где п > 1 + а, как это показал С. А. Шестериков). Для устранения отмеченной особенности в уравнение задачи было внесено некоторое исправление. Прием линеаризации исходного уравнения позволил построить решение в рядах и исследовать их сходимость.
Для расчета на изгиб стержней с произвольным поперечным сечением и произвольным распределением температуры Б. Ф. Шорр (1959) разработал метод численного интегрирования. Закон ползучести был выбран при этом следующий:
方= %(Р)屮(Т) ®р丄* — 4)・(4.4)
Для того чтобы учесть как первый, так и второй участки на кривой ползучести, было принято
无 9) = pF(Р < Pc), h(Р)= рёа = const (р > Рс)
в тех областях, где напряжение (а следовательно, и скорость ползучести) не меняет знака. Но нейтральная ось в процессе ползучести перемещается, поэтому в некоторых точках происходит изменение знака скорости. Для этих областей предлагается заменять функцию 无(р) функцией 无(q), где q определяется следующим образом:
q = p+ +九夕-(о>0), 1
g = p~ + 5 (oVO). j
Здесь р+ ——деформация ползучести, накопленная при растяжении, р~ —— деформация ползучести, накопленная при сжатии. Сам расчет выполняется численным методом, шагами по времени.
Применение критерия Треска. Осесимметричные задачи. Если главные оси напряжений в теле фиксированы и неравенство 04 > 02 > о? все время сохраняется, закон упрочнения в соединении с критерием Треска приводит к следующему результату. Величина эквивалентного напряжения s = о】一Оз, Pi = — Рз = Р, 卩2 = 0. Отсюда следует, что 2р = =卩丄——рз, после чего уравнение ползучести записывается так же, как и для одномерного случая:
Р = и (р, s).
Если два главных напряжения, например 04 и о?, равны между собою, ассоциированный закон дает неоднозначное распределение скоростей, а именно:
Рз = — Р, Pi =入Р, Р2 = (1 —入)Р (0 < X < 1).
Определенная указанным образом величина эквивалентной деформации ползучести р имеет смысл только в том случае, если условие 仃丄 > > 仃2 > Оз сохраняется в течение всего процесса. При изменении знаков в этом неравенстве максимальные сдвиги происходят в других плоскостях и возможность суммирования эффекта упрочнения, происходящего по разным механизмам, является дополнительной гипотезой.
Изложенный упрощенный вариант теории упрочнения был применен Ю. Н. Работновым для задач о ползучести вращающихся дисков и цилиндров. Закон ползучести принимался в виде
рра = exp (s — Р).(4.6)
Здесь величины р и s безразмерны, 0 зависит от температуры и, следовательно, является заданной функций координат. Принцип решения осесимметричных задач состоит в следующем. В результате интегрирования уравнений равновесия и совместности находятся радиальное, окружное и осевое напряжения как некоторые функционалы от р, содержащие еще константы интегрирования. Для диска о「=0, аг и gq зависят от двух констант В и С. Уравнение (4.6) приводится к виду
рра ехр (/?) = exp (S — Р).(4.7)
Здесь S —— функционал от р, зависящий от констант Б и С, радиальной
координаты, начального распределения напряжений и температурной деформации. Вид функционала S зависит от соотношения между напряжениями аг и о% Уравнение (4.7) интегрируется шагами по времени, значения функционала S рассчитываются на основе величины р в предыдущем приближении. На каждом шаге из граничных условий должны быть определены константы В и С. Случай цилиндра рассматривается совершенно аналогичным образом. Если диск не имеет отверстия, в центральной его части возникает конечная область, где ат = о®. Этот случай рассмотрел О. В. Соснин (I960). Численное интегрирование показало, что радиус этой центральной области существенно меняется в процессе ползучести. В другой работе О. В. Соснина (1963) для задачи о вращающемся диске был развит иной метод решения, а именно было получено дифференциальное уравнение для радиального перемещения, решение которого строилось в рядах.
Задача о вращающемся цилиндре была рассмотрена И. Н. Даниловой (1959) применительно к расчету напряжений в пусковом периоде для ротора газовой турбины.
Вариационные принципы в теории упрочнения. Вариационное уравнение (4.1) не предполагает какой-либо специальной гипотезы о характере зависимости потенциала от структурных параметров, оно сохраняет силу и в том случае, если Ф зависит не от времени, а от параметра упрочнения р. Этот факт был замечен С. А. Шестериковым (1957), который сформулировал соответствующий вариационный принцип для теории упрочнения и применил его для решения релаксационных задач. Полагая приближенно
0订=出川(方)，
из (4.1) можно получить функциональное уравнение для р (力)，которое для некоторых частных предположений о законе ползучести может быть решено. С. А. Шестериков получил более общее решение этого уравнения для степенного закона ползучести со степенным упрочнением и проиллюстрировал его применение на задаче о релаксации напряжений в диске с отверстием (I960).
В последнее время для задач ползучести получили распространение более гибкие вариационные принципы, в которых независимому варьированию подтвергаются не только напряжения или скорости деформации, но также скорости изменения напряжений или какие-либо другие параметры. Так, например, вариационный принцип типа Рейсснера для ползучести может быть сформулирован следующим образом. Рассмотрим функционал
j= h6/一①⑹力一一叩r"一/叫曲— J 6m向一琥)d2- J T丸«Е.
(4・8)
Предполагается, что е订=г/2 (〃з / ——〃з /)， о订, Uj варьируются независимо, тогда как о订,а также структурные параметры, которые могут входить в состав потенциала Ф, не варьируются. На части поверхности заданы скорости 辽？ = 〃£ на части поверхности Sr заданы усилия Ti.
Из условия обращения в нуль вариации функционала (4.8) следуют уравнения равновесия, граничные условия и уравнения ползучести.
Применение вариационного уравнения (4.8) встречает определенные технические трудности. Часть этих трудностей связана, например, с тем, что, задаваясь распределением напряжений в виде функций от координат, содержащих свободные параметры, при вычислении интеграла по объему от потенциала Ф мы не можем представить результата в виде явной функции этих параметров. Чтобы обойти эту трудность, И・ Г. Терегулов (19ХХ) предложил видоизменение вариационного принципа. Предположим, что ①=①(g, s), где qt — любые структурные параметры, s — однородная функция первой степени от о订，упругость предполагается линейной с тензором податливостей Bijrs. Положим дФ/ds = v (%, s) и рассмотрим следующий функционал:
2
j ［屮z— J "(g，s) ds + °ijeijФ5~BijrsOijOrs — FiU^ du — 00
—J Gij»j(ui — 〃洋)"一j 7扌〃%〃2.(4.9)
2Г
Здесь, кроме о订 и и», независимыми функциональными аргументами являются также 屮 и z. Варьируя ср, находим z = s; варьируя z, находим 屮 = "(力，z)； уравнения равновесия, граничные условия и уравнения ползучести получаются отсюда обычным способом.
Преимущество функционала《4.9) состоит в том, что как эквивалентное напряжение s = z, так и функция “(％, s)=屮 не выражаются через напряжения, а задаются независимо.
Степенной закон ползучести со степенным упрочнением. Удобной аналитической формой закона ползучести с упрочнением является следующая: •
• 厂 г ds
Здесь все величины приведены к безразмерному виду, так что размерные константы в уравнении не фигурируют. Мера упрочнения может быть выбрана различными способами, а именно:
д=『з(®》，
q=\6tjdpij・
При постоянных нагрузках, действующих на тело в предельном случае, когда упругая деформация пренебрежимо мала, уравнения (4.10) обращаются в уравнения установившейся ползучести с измененным масштабом времени т = ”С+а)Соответствующее состояние может быть названо состоянием квазиустановившейся ползучести (Ю. Н. Работнов, 1966).
Ю. Н. Работновым (1966) предложен следующий метод приближенного решения задач о перераспределении реакций связей в статически неопределимых системах и об обыскании перемещений некоторых точек. Пусть на тело действуют обобщенные силы Q^, которым соответствуют обобщенные перемещения д” Примем 卩彳=乌乞 ——6订Qj, где §订一матрица упругих коэффициентов влияния. Решение задачи квазиустановившейся ползучести имеет вид
где Q — однородная функция первой степени от сил Q” Приближенное решение задачи неустановившейся ползучести получается из следующей системы уравнений:
I 1 + а У dQi\ 丿
Величина Р определяется следующим образом:
величины dQldQi связаныт о ж де ств еннымсоотношением
Q (dQ/dQi) = 1, где Q ——однородная функция первой степени, и
Р =(〃”•)；
；
P=\Qtdqi.
Был рассмотрен случай, кбгда на тело действует одна активная постоянная сила и одна реакция.
Т. Г. Мустафаев (1968) развил этот метод применительно к решению статически неопределимых задач. В окрестности точки минимума функции Q, которая соответствует предельному состоянию квазиустановившейся ползучести, эта функция хорошо аппроксимируется квадратичной зависимостью, что существенно упрощает вычисления. Рассмотрены примеры балок и рам, релаксация составной трубы, релаксация диска, посаженного на вал.
4.6. Пластины и оболочки. Наиболее важные и интересные задачи теории ползучести применительно к оболочкам относятся к вопросам устойчивости и будут рассмотрены отдельно. Приближенный способ для решения геометрически линейных задач по теории течения предложил В. И. Розенблюм. Кривые ползучести предполагаются подобными, что позволяет ввести модифицированное время t (力).Скорости деформации срединной поверхности и скорости изменения кривизны по отношению к модифицированному времени определяются следующим образом:
禦=£他+*)，響=系(①+ * •(442)
Здесь П —— упругий потенциал оболочки, выраженный через усилия и моменты. Структура уравнений (4.12) указывает на то, что для них эквивалентной вариационной формулировкой является (4.1); поэтому для решения отдельных задач может быть использован приближенный прием, указанный Л. М. Качановым и состоящий в том, что усилия и моменты задаются в виде
tij = ty + Q (^) (ty — tij), mu = my + 6 (力)(欣)—哪/)•(4.13)
Здесь одним штрихом отмечены величины, относящиеся к начальному упругому состоянию, двумя штрихами ——величины, найденные из решения задачи установившейся ползучести. Аналогичным образом решение релаксационной задачи ищется в виде、
tij = Р (方)以力 Sj = p (方)自力
Таким способом были решены задачи о релаксации напряжений в круглой пластине при чистом изгибе, о цилиндрическом изгибе прямоугольной плиты, о ползучести свободно опертой круглой пластины под действием равномерного давления.
Ю. Н. Работнов (1966) для рассмотрения задач ползучести оболочек при степенном упрочнении, применил прием, описанный в п. 4.5. Если принять потенциал квазиустановившейся ползучести в виде Sn+1/(n + 1), где S — однородная функция первой степени 力订 и тп〃， то, принимая выражение для S в виде (3.10), следует определить меру упрочнения Р формулой
Р = )(c£ + g%/ *• (4・14) о
Здесь 80п и 比0几——интенсивности скоростей деформации ползучести и изменения кривизны вследствие ползучести, g — константа, зависящая от п. При больших значениях показателя п можно ожидать, что для S окажется подходящей следующая аппроксимация:
S = т0 + ^о» (4.15) которая соответствует предельному состоянию стержня, нагруженного моментом и продольной силой. Выражение (4.15) может быть преобразовано в однородное первой степени, и мера упрочнения определяться по общему правилу.
Для оценки погрешности приближенных методов Г. В. Иванов (1966) рассмотрел простейший случай элемента пластины, к которому приложены продольная сила и момент в том же направлении. Расчет производился на основе вариационного уравнения Д. Л. Сандерса и др., в котором варьируются скорости напряжений и перемещений. Для рассматриваемой задачи достаточно было варьировать скорости напряжений. В качестве эталонного принималось решение, полученное в результате замены интегралов по толщине квадратурной формулой Гаусса с 15 узлами; с ним сравнивался результат, полученный по методу В. И. Розенблюма при линейном законе распределения напряжений по толщине и при аппроксимации этого распределения четырьмя членами разложения по полиномам Лежандра. Последняя аппроксимация дает всегда хороший результат, для других можно указать области значения параметров, для которых они удовлетворительны.
Устойчивость при ползучести
Постановка задачи об устойчивости. Применение термина «устойчивость» к многочисленным задачам, которые будут рассмотрены ниже, в известной мере условно. Ползучесть металлов, как правило, не ограничена; это значит, что при сколь угодно малой нагрузке деформация может быть сколь угодно велика по прошествии достаточно большого времени. Поэтому всякий процесс ползучести неустойчив. Это иллюстрируется известной схемой Н. Хоффа для определения времени вязкого разрушения. Если считать, что степенной закон ползучести справедлив при сколь угодно больших деформациях, то при постоянной нагрузке деформация растет со временем по закону
е= — — log(l —пог^). (5.1)
Здесь о。——напряжение, отнесенное к начальной площади поперечного сечения. Из выражения (5.1) видно, что е-> 8 при t -> ^кр = 1/(па^). Очевидно также, что если изменять величину а0 сколь угодно мало, можно
указать такое время 力 при котором изменение е будет сколь угодно большим.
Для некоторых задач ползучести, сформулированных в геометрически линейной постановке, в отличие от задачи Н. Хоффа, оказывается, что формальное решение приводит к обращению в бесконечность перемещения при конечном значении времени. Это время называется критическим. Очевидно, что определенное таким образом время лишено реального содержания, оно исчезает, если рассмотреть ту же задачу в строгой геометрически нелинейной постановке. Однако характер зависимости перемещения от времени таков, что критическое время оказывается не слишком завышенной оценкой для времени действительной работоспособности элемента.
С другой стороны, ползучесть сопровождается упругой и пластической деформацией. Непрерывный рост перемещений со временем вследствие ползучести может привести систему в такое состояние, что перемещения ее мгновенно изменяются на конечную величину. В геометрически нелинейных системах может произойти упругий хлопок, в пластических элементах —мгновенное выпучивание вследствие исчерпания упруго-пластического сопротивления. При решении задач ползучести момент хлопка или выпучивания обнаруживается тем, что скорость роста перемещений обращается в бесконечность при некотором конечном значении перемещений и конечном времени, которое принимается теперь за критическое. Как известно, для начально искривленного стержня из упруго-пластического материала величина критической сжимающей силы зависит от начального прогиба. Наоборот, если сила задана, то можно указать начальный прогиб, для которого эта сила будет критической. Увеличение прогиба вследствие ползучести можно считать эквивалентным увеличению начального прогиба упруго-пластического стержня; таким образом, при любой величине сжимающей силы в некоторый момент достигается критическое состояние. Однако ползучесть вызывает перераспределение напряжений; поэтому, как показал С. А. Шестериков (1963), приведенная простая схема пригодна лишь для однопараметрической системы. Исследование выпучивания стержней при наличии пластических деформаций численным методом дано в работе В. И. Ванько и С. А. Шестерикова (1967).
Устойчивость линейных вязко-упругих систем. В работе А. Р. Ржаницына (1946) был рассмотрен вопрос об устойчивости сжатого стержня из вязко-упругого материала, поведение которого описывается моделью стандартного вязко-упругого тела:
о 十九о = Е (е + |х^).о 十九о = Е (е + |х^).(5.2)(5.2)
о 十九о = Е (е + |х^).
о 十九о = Е (е + |х^).
(5.2)
(5.2)
В отличие от металлов, ползучесть тела, описываемого уравнением (5.2), ограничена: при 力=0 о = Ее; при 力=8 。=(卩/九)Ее (卩 V 九).Результаты исследования сводятся к следующему. Стержень устойчив, если сжимающая сила меньше критической эйлеровой, определенной по длительному модулю рЕА Если сила больше длительной критической, но меньше мгновенной критической, стержень неустойчив в том смысле, что любое возмущение приводит к неограниченному росту прогиба со временем. Если сила больше мгновенной критической, возмущение вызывает мгновенную потерю устойчивости. ，
Это анализ приведен здесь для того, чтобы подчеркнуть разницу между ползучестью металлов и тел, поведение которых описывается реологическими моделями с ограниченной ползучестью.
10 Механика в СССР, т. 3
Малые отклонения от основного состояния. При рассмотрении геометрически линейных задач о стержнях, пластинах и оболочках естественно рассматривать безмоментное напряженное состояние как основное и линеаризировать уравнения ползучести около основного состояния. Рассматривая задачу о сжатом стержне из материала, следующего закону ползучести с упрочнением, Ю. Н. Работнов и С. А. Шестериков (1956) установили, что вариации напряжений и деформаций связаны уравнением типа (5.2), в котором константы заменяются известными функциями времени. Прогиб представляет Ьобою функцию координаты, умноженную на функцию времени t ⑴.Если стержень был первоначально прямой и в некоторый момент времени t ему сообщено возмущение, например приложена поперечная нагрузка, то можно указать такое критическое время 力нр, что если возмущение произведено в момент t < ^кр, то т < О, если же t > ^кр, то т > 0. Время 厶р было предложено принимать за критическое, в некотором условном смысле. В действительности система неустойчива по отношению к нагрузке, приложенной в любой момент, функция t (力)сначала убывает, достигает минимума и после этого растет неограниченно. Условное критическое время в указанном смысле характеризует относительную быстроту роста прогиба после приложения возмущения. Л. М. Куршин (1961, 1963) предложил характеризовать эту относительную быстроту знаком второй производной; таким образом, за критическое время по Куршину принимается такое время, когда внезапное возмущение вызывает движение с начальным нулевым ускорением (т = 0).
В случае постоянно действующего возмущения, например при наличии начального эксцентриситета приложения нагрузки, t > 0, однако ускорение меняет знак, вначале оно отрицательно, потом становится положительным. С. А. Шестериков (1959) предложил принять за критическое время, когда становится т = 0 при постоянно действующем возмущении.
Линеаризованные уравнения ползучести для пластин были одновременно и независимо получены С. А. Шестериковым (1961) и Л. М. Курши- ным (1961); ряд задач, относящихся к устойчивости пластин и оболочек, на основе линеаризованной теории рассмотрели С. А. Шестериков, Л. М. Куршин, А. П. Кузнецов (1964), И. Г. Терегулов (19ХХ) и другие авторы. При этом использовались те же критерии, которые указаны выше применительно к стержням. Г. В. Иванов (1961) обратил внимание на то, что при обобщении критерия устойчивости на случай неупругих систем существенную роль играет способ перехода из основного состояния в дополнительное, и дал обобщение классического критерия: за критическое значение параметра нагружения принимается то наименьшее значение, при котором возможно нетривиальное состояние равновесия при условии, что переход из основного состояния в нетривиальное равновесное состояние осуществляется при выполнении некоторых ограничивающих условий, налагаемых на дополнительные деформации. В задачах ползуче сти роль параметра нагружения играет время.
Вариационные методы для задач выпучивания. Рассмотрение задач устойчивости с помощью вариационных методов потребовало распространения этих методов на геометрически нелинейную теорию. Если принцип Лагранжа допускает естественное распространение на нелинейный случай, принцип Кастильяно в его обычной форме уже перестает быть применимым, поскольку уравнения равновесия содержат перемеще-
ния. Поэтому для указанных задач получили развитие более общие вариационные принципы, допускающие независимое варьирование как величин, характеризующих напряженное состояние, так и величин, связанных с деформацией. В. И. Розенблюм (1954) получил приближенное решение задачи о выпучивании сжатого первоначально искривленного стержня из условия стационарности функционала
(①十%而偿y限 (5.3)
0 О
Здесь объемный интеграл имеет тот же смысл, что и в (4.1), Р — сжимающая сила, и ——прогиб, z ——координата вдоль оси стержня. Напряжение сг и перемещение и варьируются независимо.
Известный вариационный принцип Рейсснера, сформулированный для теории упругости, находит естественное распространение и применительно к задачам неустановившейся ползучести. В частности, вариационное уравнение типа (4.8) может быть получено и для того случая, когда имеется продольное усилие; таким образом, его можно использовать для рассмотрения задач выпучивания.
Для реализации численного счета оказывается удобным вариационное уравнение Д. Л. Сандерса, Г. Д. Маккомба и Ф. Р. ТПлехте (NACA Techn. Note, 1957, № 4003). Соответствующий функционал имеет вид
j ［0订e订-2" 0订"&, i^k, j—2"(鳄 + 20订)0订］dv一
一［九&.一病)迎一 J t^tdH. (5.4)
Здесь
= (〃2, j+ z + 〃左，2〃也 j+ 〃月，M互，z),
e^ —— скорость мгновенной пластической деформации, которая выражается через о订 либо по закону Гука, либо уравнениями теории пластичности типа течения, р^ — скорости ползучести, зависящие от о〃 и любых структурных параметров; варьируются о订 и 辽厶 Если о〃 и 辽月 заданы в виде линейных агрегатов из надлежащим образом выбранных функций, условие стационарности функционала (5.4) приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, линейных относительно производных.
Г. В. Иванов (1963) построил для геометрически нелинейных задач вариационное уравнение, в котором независимо варьируются напряжения и смещения, при этом сравниваются такие состояния, для которых выполнены как уравнения равновесия, так и уравнения, получающиеся из них в результате дифференцирования.
Вариационное уравнение (4.9), предложенное И. Г. Терегуловым, сохраняет силу и в том случае, когда повороты не малы и компоненты малой деформации выражаются через перемещения нелинейными формулами. Для установившейся ползучести И. Г. Терегуловым (1962, 1966) было построено также другое вариационное уравнение. Соответствующий
10*
функционал имеет види.7= j ｛屮(и — Я)4- j s(р) dv —функционал имеет види.7= j ｛屮(и — Я)4- j s(р) dv —о
функционал имеет вид
и.
7= j ｛屮(и — Я)4- j s(р) dv —
функционал имеет вид
и.
7= j ｛屮(и — Я)4- j s(р) dv —
—0订[ё订—^"(3, j +4九t +4方，左4力冗+4力冗4力冗)]-\-FiUi^ dz? +
+ j ^tj^j (^z —说)〃2— j T?〃i dW. (5.5)
Здесь независимо варьируются напряжения о订，скорости деформации е订， скорости перемещений и^ а также функции гр и £Г.
Устойчивость оболочек. Для достаточно толстых оболочек возможна такая же постановка задачи устойчивости, как и для стержней. Если решать задачу о росте прогиба со временем в геометрически линейной постановке, то оказывается, что прогиб обращается в бесконечность при конечном значении времени, которое принимается за критическое. Таким способом Ю. М. Волчков (1965) рассмотрел выпучивание сжатой цилиндрической оболочки конечной длины, опертой по краям, и полубесконечной оболочки с опертым торцом. Ю. М. Волчков и Ю. В. Немировский (1966) распространили метод на оболочки, подкрепленные стрингерами и шпангоутами. Особенность этих задач состоит в том, что вследствие условий закрепления в оболочке нет начального безмоментного состояния и при анализе нет необходимости вводить начальный прогиб.
Для тонких оболочек положение оказывается иным. Ползучесть приводит к увеличению прогибов и перераспределению напряжений в оболочке, так что в определенный момент времени оболочка оказывается неустойчивой по отношению к мгновенным возмущениям, следующим закону упругости; таким образом, происходит упругая потеря устойчивости типа хлопка. В работе А. С. Вольмира и П. Г. Зыкина (1962) дается приближенное решение задачи об устойчивости сжатой цилиндрической панели. Предполагается, что форма поверхности прогиба сохраняется, но прогиб в результате ползучести растет. Изменение прогиба вследствие ползучести считается эквивалентным изменению начального прогиба. С другой стороны, для каждого значения сжимающей силы существует такой начальный прогиб, для которого эта сила является критической; время достижения величины этого эквивалентного начального прогиба принимается за критическое время.
В действительности ползучесть приводит к изменению формы прогиба и перераспределению напряжений, поэтому для определения критического времени необходимо решать задачу о ползучести, сопровождаемой упругой деформацией. В одномерных задачах применение тех или иных вариационных уравнений приводит к относительно простым приближенным решениям. В. Н. Шепеленко (1965) рассмотрел устойчивость арки с защемленными концами на основе вариационного уравнения (5.4), И. Г. Тере- гулов применил вариационные уравнения (4.9) и (5.5) к цилиндрической панели бесконечной длины и к сферическому сегменту.
Среди двумерных задач наибольшее внимание было сосредоточено на цилиндрической панели и цилиндрической оболочке. Здесь следует назвать работы Г. В. Иванова (1966), Л. М. Куршина (1964), Л. М. Кур- шина и А. П. Кузнецова (19ХХ), Э. И. Григолюка и Ю. В. Липовцева
(1965, 1966). Использовались разные теории ползучести, и при вычислениях, как правило, требующих реализации на ЭВЦМ, принимались те или иные упрощающие предположения. Так, в работах Л. М. Куршина, а также Э. И. Григолюка и Ю. В. Липовцева использовались уравнения ползучести, линеаризованные около основного безмоментного состояния.
Разрушение при ползучести. В. И. Розенблюм (1957) получил решение задачи об определении времени до разрушения диска постоянной толщины с отверстием. В основу положены уравнения установившейся ползучести, распространенные на случай конечных деформаций, таким образом, рассмотрена схема вязкого разрушения. Л. М. Качанов (I960) рассмотрел на основе своей теории некоторые задачи о времени разрушения стержневых систем, сформулировал общую постановку задачи о движении фронта разрушения и определил время разрушения скручиваемого вала. Ю. Н. Работнов (1963) решил задачу о разрушении диска с отверстием по схеме хрупкого разрушения. При этом учитывалось влияние накопления поврежденности на скорость ползучести и, следовательно, на распределение напряжений. Позже Ю. Н. Работнов (1968) рассмотрел вопрос о влиянии концентрации напряжений на длительную прочность. При этом считалось, что распределение напряжений мало отличается от распределения напряжений в жестко-пластическом теле, но переменная величина степени поврежденности со фигурирует в условии пластичности, которое становится подобным условию равновесия неоднородной сыпучей среды.
Линейная вязкоупругость
Реологические модели и дифференциальные соотношения. В ранних работах по вязкоупругости за основу принимались дифференциальные соотношения типа (2.23), откуда, в частности, получаются известные модели Максвелла и Фойхта. А. Н. Герасимов (1938) дал обобщение уравнений Максвелла на трехмерный случай и получил уравнение типа (2.25) с экспоненциальным ядром. В другой работе А. Н. Герасимова (1939) рассмотрен вопрос о малых колебаниях вязко-упругих мембран. А. Ю. Ишлинский (1940) рассматривал модель, которая получила название модели стандартного вязко-упругого тела, для которого связь между напряжениями и деформациями дается уравнением (5.2). Были рассмотрены продольные колебания стержня. В других работах А. Ю. Ишлинского к модели (5.2) добавлялись элементы сухого трения, изучались статистические модели, сконструированные из большого числа вязко-упругих элементов с некоторым распределением параметров. В. 1945 г. А. Ю. Ишлинский предложил обобщение уравнения (5.2) на пространственный случай.
А. Р. Ржаницын (1946) применял модель стандартного вязко-упругого тела к решению многочисленных задач: движение груза по вязко-упругой балке, вязко-упругая балка, лежащая на вязко-упругом основании, устойчивость вязко-упругого стержня и др.
А. Ю. Ишлинский (1946) рассмотрел вопрос о разрушении вязко-упругих материалов. Существенное обобщение дифференциальных законов вязкоупругости принадежит А. Н. Герасимову (1948), который предложил использовать для описания вязко-упругих свойств вместо обычных производных производные дробного порядка в смысле Лиувилля. Обращение подобных соотношений приводит к интегральным уравнениям со слабосингулярным ядром Абеля. Эта идея сыграла большую роль в дальнейшем развитии теории.
Ядра ползучести и релаксации. Для. приложений теории вязкоупругости существенное значение имеет выбор ядер, достаточно хорошо воспроизводящих свойства реальных материалов. Л. Больцман считал, что ядро ползучести обладает сильной особенностью типа (方——т)-1, что приводит к противоречию. По-видимому, Г. Дуффинг впервые применил ядра со слабой особенностью, а именно (力 —— т)а (——1 V a W °)・ В исследованиях советских авторов было уделено большое внимание выбору и исследованию специальных слабосингулярных ядер, описывающих чрезвычайно быстрое нарастание деформации ползучести вначале и асимптотическое стремление ее к некоторому предельному значению. Г. Л. Слонимский (1939) и А. П. Вронский (.1941) предложили ядро следующего вида:
比(力)=力ат exp (—力а) (0 v a W 1). (6.1)
С помощью ядра (6.1) А. П. Бронский описывал процессы последействия в резине. Резольвенту ядра типа (6.1) найти не удалось, но А. П. Бронский показал, что приближенно в качестве резольвенты можно принимать функцию того же вида. А. Р. Ржаницын (1946) сформулировал условие ограниченности ядра и предложил новое сингулярное ядро, более простое по сравнению с (6.1) и обладающее сходными свойствами:
% (力=力ат exp (— §办. (6.2)
Ю. Н. Работнов (1948) построил класс функций, являющихся резольвентами ядра Абеля (力——т)-а:
%%)=”£ к：；：；，］. (6-3)
Эти функции были названы дробно-экспоненциальными. Если принять 5-функцию за ядро ползучести и релаксации, то, как оказывается, существенные особенности ядер (6.1) и (6.2) сохраняются. Однако операторы с ядрами, сконструированными из Э-функций, обладают некоторой специальной алгеброй, резольвенты их образованы из функций того же класса с параметрами, вычисляемыми по простым правилам. Свойства 3-операторов изучались в работах М. И. Розовского, И. И. Круша, Н. Н. Долининой, Е. С. Синайского; был установлен ряд теорем о произведениях этих операторов, о нахождении обратных операторов и т. д. М・ И. Розовский (1959) установил связь Э-функций с функциями Миттаг-Леффлера. Асимптотика Э-функций изучалась Б. Д. Анниным (1961). Г. И. Брызгалиным (1963), Е. С. Синайским (1965). С. 3. Вульфсон (1961) установила, что резольвента ядра Ржаницына имеет вид
ехр (—М) %(Y力). (6.4)
Г. Громов (1967) показал, что для операторов с ядрами (6.4) справедлива та же алгебра, что и для Э-операторов. Тогда же он обобщил основные результаты алгебры экспоненциальных операторов на любые резольвентные операторы, изучил аналитические функции операторов и общий метод их расшифровки.
Определение параметров ядер по данным экспериментов. М. А. Колтунов (1966) предложил метод определения параметров ядра Ржаницына и его резольвенты путем соответствующего сдвига кривой ползучести, представленной в логарифмических координатах. Е. Н. Звонов, Н. И. Малинин, Л. X. Паперник и Б. М. Цейтлин (1966——1968) разработали метод подбора параметров дробно-экспоненциального ядра с ис-
пользованием ЭЦВМ. Экспериментальная кривая ползучести подвергается преобразованию Лапласа, ищется наилучшее приближение для изображения Э-функции. Вопросу об определении параметров ядра (6.1) посвящены работы Г. Л. Слонимского и Л. 3. Роговиной (1964), а также Г. Л. Слонимского с сотрудниками (1966).
Принцип Вольтерра. При решении статических задач вязкоупругости основную роль играет принцип, сформулированный Вольтерра и основанный на том, что линейные операции дифференцирования и интегрирования по координатам и умножения на временной оператор Вольтерра коммутативны. Поэтому любое решение статической задачи классической теории упругости трансформируется в решение соответствующей задачи линейной вязкоупругости путем замены в окончательном результате упругих постоянных с о отв етствующими операторами. Если в решении классической задачи упругие постоянные фигурируют в качестве мноя^и- теля, представляющего собою их рациональную комбинацию, расшифровка рациональной функции операторов сводится к последовательному решению интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Для экспоненциальных и дробно-экспоненциальных операторов эти вычисления производятся по стандартным правилам. Более сложное положение возникает тогда, когда в решении задачи теории упругости упругие константы не образуют рациональных комбинаций, а также если тип граничных условий в разных точках поверхности тела меняется.
Методы, основанные на прямом применении принципа Вольтерра с использованием Э-операторов, развивались М. И. Розовским (1962—— 1964) для различных задач вязкоупругости. Применительно к армированным и неармированным полимерам следует отметить работы Г. Н. Савина и Г. А. Ван Фо Фы (1965), Г. А. Ван Фо Фы (1965—1967), Г. И. Брызгалина (1965), Ф. Я. Булавса и А. М. Скудры (1964, 1965). В ряде работ аппарат линейной теории вязкоупругости был применен к механике горных пород. В этой области следует указать исследования Ж. С. Ержанова (1962, 1963), Ш. М. Айталиева (1964), В. П. Матвеевой, М. И. Розовского и В. Т. Глушко (1964), М. И. Розовского и Г. И. Булаха (1964). Различные варианты теории вязкоупругости для анизотропных материалов рассмотрены М. А. Колтуновым (1964), В. В. Болотиным (1966), А. А. Гер- мелис и В. А. Латишенко (1967).
Принцип Вольтерра оказался применимым и для некоторых контактных задач вязкоупругости, а именно для таких задач, в которых область контакта монотонно увеличивается. Такого рода контактные задачи рассматривали А. Б. Ефимов (1966), Я. Я. Рушицкий (1967), М. И. Розовский и Н. Н. Долинина (1968). Для тех задач, при которых вязко-упругие операторы не образуют рациональных комбинаций, М. И. Розовский (1956) предложил полусимволический метод, который сводит задачу вязкоупругости к решению некоторого интегро-дифференциального уравнения. Задача о движущемся штампе была рассмотрена Р. Я. Ивановой (1964), а также Л. А. Галиным и А. А. Шматковой (1968).
Применение трансформации Лапласа. Применяя преобразование Лапласа к системе уравнений и граничных условий задачи вязкоупругости, для изображений получают уравнения классической теории упругости; после решения этой задачи уже в окончательном результате переходят от изображений к оригиналам. Ограничения, отмеченные выше в связи с применением принципа Вольтерра, сохраняют силу и в этом случае. Основная трудность состоит в фактическом выполнении обращения Медлина. Указанный метод применялся в работах В. Б. Зеленского (1963),
М. А. Колтунова (1964), Я. Г. Скоморовского (1964), Е. С. Синайского (1964, 1965), В. Н. Кукуджанова (1963), Т. Я. Бариновой (1965), А. П. Хо- рошуна (1964). А. А. Ильюшин (1968) развил приближенный метод решения задач вязкоупругости, основанный на специальной аппроксимации зависимости решения задачи теории упругости от коэффициента Пуассона. При этом решение задачи вязкоупругости оказывается зависящим только от двух функций, которые могут определяться независимо из эксперимента. В том же направлении построены работы Д. Л. Быкова (1968), а также В. С. Екельчика и В. Н. Ривкинда (1968). Последние авторы рассматривали вязко-упругое поведение анизотропных пластин и оболочек.
Динамические задачи вязкоупругости. В. Г. Гоголадзе (1938) рассмотрел некоторые волновые задачи теории вязкоупругости, имея в виду приложения к сейсмологии. Были изучены плоские волны расширения и сдвига, а также волны Рейли. Распространение принципа Вольтерра на свободные и вынужденные колебания было осуществлено в работах М. И. Розовского (1963), а также в ряде работ М. И. Розовского и И. И. Круша. Основной факт, положенный в основу теории,——это установленное М. И. Розовским свойство коммутативности:
隸(К*% (%)) = К将醬，屮(0)=屮‘(0) = •・・=屮冲7 (0). (6.5)
Для задач о свободных колебаниях М. И. Розовским был построен класс функций, связанных с дробно-экспоненциальными, подобно тому как тригонометрические функции связаны с обычными экспоненциальными.
При изучении процессов внутреннего трения в металлах при весьма малых амплитудах напряжений и деформаций соотношения линейной вязкоупругости справедливы. До недавнего времени при описании частотных зависимостей внутреннего трения по преимуществу использовались реологические модели, приводящие к дифференциальным зависимостям, а также спектральные представления ядер. В работах Т. Д. Шермергора и С. И. Мешкова (19ХХ) показано, что слабосингулярные ядра с особенностью типа Абеля хорошо описывают зависимости, наблюдаемые в экспериментах.
Нелинейная вязкоупругость. Зависимости типа (2.29) или (2.30) для нелинейного вязко-упругого поведения материала при одноосном напряженном состоянии нашли многочисленные приложения и подвергались уточнению на основе анализа экспериментальных данных. Н. И. Малинин и А. В. Долгов (1964) описали результаты своих опытов соотношением
6 = 丁十6 = 丁十/ ［О（Т）］班/ ［О（Т）］班「（1严［0（切・「（1严［0（切・(6.6)(6.6)
6 = 丁十
6 = 丁十
/ ［О（Т）］班
/ ［О（Т）］班
「（1严［0（切・
「（1严［0（切・
(6.6)
(6.6)
М. А. Колтунов (1966—1968) предложил уравнение, учитывающее непосредственно эффекты скорости деформации и нагружения:
(6.7)(6.7)ф (е, е) = р (о, о)十 j К (力一t) р (о, о) йт.о
(6.7)
(6.7)
Различные варианты нелинейных теорий рассматривали С. 3. Вульфсон (1963, 1964), А. А. Чижик (1964).
Распространение зависимостей рассматриваемого типа на сложное напряженное состояние осуществлялось разными способами. Ю. Н. Ра-
ботнов (1948) использовал уравнение деформационной теории пластичности, при этом интенсивности напряжений и деформаций считаются связанными соотношением (2.29). И. И. Бугаков (1965, 1966) изучал интегральные зависимости общего вида
(6.8)(6.8)&•/(%) = %•⑺ + [ Qij[t — x, ОаВ (т), т (т)] dx.о
(6.8)
(6.8)
Здесь 吗一упругая мгновенная деформация, Т (т) — температура. В работах Г. А. Тетерса (1965) и А. К. Малмейстера (1965) развивается теория локальных деформаций с учетом фактора времени, приводящая к нелинейным интегральным уравнениям. Вариант нелинейно наследственной теории применительно к мерзлым грунтам построил С. С. Вялов (1964), эта теория была несколько упрощена в работе Ю. К. Зарецкого (1964).
Распространение общих зависимостей (2.28) на сложное напряженное состояние приводит к соотношениям весьма сложного вида, и фактическая возможность экспериментального определения последовательных ядер вызывает сомнение. А. А. Ильюшин и П. М. Огибалов (1966) разработали относительно простой вариант теории для случая слабой нелинейности, типичной для полимерных материалов. В основу было положено требование тензорной линейности получающихся соотношений. При удержании в разложениях третьих степеней соотношения этой теории имеют следующий вид:
оо[" (力T) + ф (方，T)]旳⑴五,[" (力T) + ф (方，T)]旳⑴五,
о
о
[" (力T) + ф (方，T)]旳⑴五,
[" (力T) + ф (方，T)]旳⑴五,
(6.9)(6.9)
(6.9)
(6.9)
中(方，t) = J J "3 (方，к & 叫 S (自，n) dn 龙,о 0
S (自,外)=0方(自)Oij⑺.
Здесь штрихи обозначают девиаторы соответствующих тензоров. Обращения уравнений (6.9) имеют аналогичную структуру. Материал при этом считается изотропным, но инвариантность свойств не предполагается. Для стабильных материалов оказывается возможным сделать некоторые заключения о структуре ядер К и К3. При некоторых дополнительных предположениях из (6.9) получены более простые соотношения с ядрами, зависящими от одной лишь переменной.
Рассмотрению нелинейных соотношений общего вида, а также исследованию специальных частных случаев посвящены работы Б. Е. Победри (1965), Б. Е. Победри и М. М. Солдатова (1966——1968), В. В. Москвитина (1967).
Некоторые приложения теории вязкоупругости. Многочисленные приложения теории вязкоупругости относятся к стержням, пластинам и оболочкам, при этом, кроме общих соотношений вязкоупругости, исследовались и существенно более простые модели типа модели Фойхта или Максвелла. Так, в задачах устойчивости при ползучести основной качественный эффект связан с геометрической нелинейностью, вследствие которой возникает возможность упругого хлопка; при рассмотрении отдельных примеров применение линейных соотношений вязкоупругости вместо нелинейного закона ползучести существенно упрощает технику, не меняя,
по существу, качественного результата. С другой стороны, в зависимости от свойств ядра и характера задачи решение, соответствующее некоторому начальному возмущению, может стремиться к конечному пределу или неограниченно возрастать.
Задачи об устойчивости вязко-упругих стержней рассматривали А. М. Даткаев и И. И. Круш (1966), А. М. Локощенко и С. А. Шестериков (1966), И. Е. Прокопович (1967). Устойчивость оболочек рассмотрена в работах В. И. Данилова (1966), И. Г. Терегулова (1965), П. М. Огибалова (1967), М. А. Колтунова (1966, 1967), А. М. Даткаева и И. И. Круша (1966), В. А. Коминара и Н. И. Малинина (1966), И. Е. Прокоповича (1967). Устойчивость вязко-упругой арки рассмотрена А. П. Кузнецовым (1965) и В. Н. Шепеленко (1965).
Слоистые пластины и оболочки с вязко-упругими слоями изучались в работах Э. И. Григолюка (1961), Э. И. Григолюка и П. П. Чулкова (1964).
Г. Н. Савин и Г. А. Ван Фо Фы (1966) и В. Г. Савченко (1966) рассматривали вопрос о концентрации напряжений в вязко-упругих конструктивных элементах.
ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ.ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА
Н. X. АРУТЮНЯН
Экспериментальные исследования ползучести бетона 156
Ползучесть бетона при сжатии и растяжении 157
Ползучесть бетона при кручении, изгибе и сложном лапряжошюм состоянии 163
Влияние анизотропии и а ползучесть бетона 164
Ползучесть бетона при переменных во времени напряжениях и при повторных и вибрационных нагрузках 164
Теории ползучести бетона 169
Феноменологический подход. Некоторыеобщиесоображения...1G9
Реологические модели и их применение к изучениюползучести бетона170
Теория упругой наследственности 174
Теория старения 178
Наследственная теория старения 180
Контактные задачи теории ползучести 193
Плоская контактная задача теории ползучести 193
Пространственная контактная задача теория ползучести 199
Учет ползучести оснований при решении различных контактных задач 201
Большая часть исследований по ползучести стареющих материалов относится к бетону. Поэтому в настоящем обзоре приводятся наиболее важные результаты экспериментальных и теоретических работ именно по ползучести бетона. Отметим, что, как показывают данные экспериментов, многие результаты, относящиеся к механике ползучести бетона, могут быть применены и к другим стареющим материалам.
Первые немногочисленные исследования ползучести бетона относятся к началу XX века, однако они были в то время почти неизвестны практикам. В последующие десятилетия велись систематические и глубокие исследования явления ползучести. Эти исследования, а также опыт строительства показали, что ползучесть бетона оказывает существенное влияние на эксплуатационные свойства и надежность как бетонных, так и обычных и предварительно напряженных железобетонных конструкций. Поэтому в настоящее время ползучесть бетона привлекает все большее и большее внимание исследователей и широких кругов инженеров-практиков и учитывается в официальных нормах проектирования.
В § 1 настоящего обзора рассматриваются экспериментальные исследования ползучести бетона, в § 2 — теории ползучести бетона и в § 3 — контактные задачи теории ползучести. Из громадного количества работ, посвященных изучению явления ползучести бетона, для обзора использованы лишь те, которые имеют отношение к этим вопросам. Физическая
сторона явления ползучести в обзоре практически не затрагивается, так как она с достаточной полнотой рассмотрена в других трудах ). Не рассматриваются также вопросы, связанные с методами расчета бетонных и железобетонных сооружений с учетом ползучести и усадки бетона, поскольку этим вопросам посвящен ряд специальных монографий ).
При составлении настоящего обзора использованы различные материалы, в том числе весьма богатые по содержанию обзоры С. В. Александровского (1966), А. А. Гвоздева (1964, 1966), Н. И. Малинина (1966), И. И. Улицкого и др. (I960), из зарубежных ——О. Вагнера, Р. Лермита, Дж. Л. Сакмана, Т. Хансена ), а также некоторые наиболее важные новые советские и зарубежные работы. В соответствии с задачами настоящего издания основное внимание уделено при этом, естественно, работам, выполненным в СССР,
Экспериментальные исследования ползучести бетона
Впервые на явление ползучести бетона обратил внимание А. Коней- дер (1905 г.) в своих исследованиях деформаций бетона при растяжении в условиях непродолжительного действия нагрузки. Однако самые ранние исследования “ по ползучести бетона принадлежат, по-видимому, Дж. Г. Вулсону (1905 г.) и В. К. Хатту (1907 г.) которые в своих опытах над железобетонными балками отметили увеличение их прогибов во времени под нагрузкой и дали четкое определение явления ползучести бетона.
Некоторое время этому свойству бетона не придавалось особого значения, хотя интерес к нему продолжал постоянно расти. Вскоре началось систематическое экспериментальное исследование влияния различных факторов на ползучесть бетона. Одними из первых исследований в этом направлении были эксперименты Р. Э. Девиса, X. Э. Девиса и В. Г. Гленвилла, результаты которых опубликованы в 1928—1931 гг.
В Советском Союзе первые опыты по изучению ползучести бетона были проведены Ю. А. Нилендером и Я. В. Столяровым и С. И. Дружининым в 1931——1933 гг. Примерно к этому периоду (1935—1939) относятся также оригинальные по методике экспериментальные исследования М. С. Бори- шанского, А. Н. Кузнецова и Е. А. Троицкого, проведенные под общим руководством А. А. Гвоздева. В этих опытах было детально исследовано влияние длительного загружения на поведение гибких внецентренно сжатых колонн. Через несколько лет С. Е. Фрайфельд провел серию интересных экспериментов по исследованию ползучести бетонных цилиндров и железобетонных балок (1941).
Отметим также первые опыты по изучению ползучести бетона при растяжении, поставленные А. В. Саталкиным (1941), и опыты А. П. Коров-
кина (1940, 1941) по исследованию пластической деформации керамзитового бетона при сжатии и изгибе.
Особенно интенсивное развитие получили исследования по ползучести бетона в Советском Союзе в послевоенный период. Именно в этот период появился ряд важных работ по теории ползучести бетона, а также новые экспериментальные исследования по изучению процесса ползучести как в бетоне, так и в некоторых других стареющих материалах.
Ползучесть бетона при|сжатии и растяжении. Ползучесть бетона ——явление сложное. Она зависит от взаимодействия ряда технологических и физико-механических факторов, а также от той среды, в которой нахо-
нанадится бетон. Существенное влияние характер его загружения, возраст к моменту загружения, продолжительность действия нагрузки, размеры образца (т. е. масштабный] фактор), температура, влажность среды и ряд технологических факторов, связанных с самой структурой бетона.
на
на
Экспериментально установлено, что возраст бетона к моменту загру- жения сильно влияет на величину деформаций ползучести: чем моложе бетон в момент загружения, тем больше величина его деформации ползучести за один и тот же промежуток времени наблюдения. Такой харак тер влияния возраста бетона на его ползучесть вполне закономерен. В такой же зависимости находятся и предельные деформации ползучести бетона, загруженного в разном воз расте.
Это хорошо подтверждается как старыми опытами Дж. Р. Шенка (1935 г.) для непрерывно высыхающего бетона, так и опытами С. В. Александровского и Э. Я. Багрия (1966) для гидроизолированного бетона, искусственно защищенного от высыхания (рис. 1). Одновременно эти опыты показывают, что после некоторого времени с момента загруже- ния наблюдается характерная особенность в поведении стареющего бе-
ползучесть бетона оказываютползучесть бетона оказывают150150335D5D6)6)Рис. 1. Влияние возраста бетона на его ползучесть (а ——зависимость полной удельной деформации от возраста бетона к моменту наблюдения; б ——зависимость предельной удельной деформации ползучести от возраста бетона к моменту нагружения; деформации в (сл^/左？)х 10-7, возраст бетона в сутках).Рис. 1. Влияние возраста бетона на его ползучесть (а ——зависимость полной удельной деформации от возраста бетона к моменту наблюдения; б ——зависимость предельной удельной деформации ползучести от возраста бетона к моменту нагружения; деформации в (сл^/左？)х 10-7, возраст бетона в сутках).ЖЖтона, а именно подобие его кривых ползучести. Это и положено в основу одной из теорий ползучести бетона, а именно теории старения (см. п. 2.4).
ползучесть бетона оказывают
ползучесть бетона оказывают
150
150
3
3
5D
5D
6)
6)
Рис. 1. Влияние возраста бетона на его ползучесть (а ——зависимость полной удельной деформации от возраста бетона к моменту наблюдения; б ——зависимость предельной удельной деформации ползучести от возраста бетона к моменту нагружения; деформации в (сл^/左？)х 10-7, возраст бетона в сутках).
Рис. 1. Влияние возраста бетона на его ползучесть (а ——зависимость полной удельной деформации от возраста бетона к моменту наблюдения; б ——зависимость предельной удельной деформации ползучести от возраста бетона к моменту нагружения; деформации в (сл^/左？)х 10-7, возраст бетона в сутках).
Ж
Ж
Существенное влияние на ползучесть высыхающих под нагрузкой бетонных образцов оказывает масштабный фактор. Многочисленные опыты ) показали, что ползучесть не защищенного от высыхания бетона
Рис. 2. Зависимость ползучести бетонных призм от длительности загружения (7 ——призмы сечением 7X7 2 — 10 X 10 3 — 15 X 154 — 20 X 20 сл； ползучесть в мм/м, время в сутках).Рис. 2. Зависимость ползучести бетонных призм от длительности загружения (7 ——призмы сечением 7X7 2 — 10 X 10 3 — 15 X 154 — 20 X 20 сл； ползучесть в мм/м, время в сутках).в естественных условиях как при кратковременном, так и при длительном действии нагрузки тем больше, чем меньше поперечное сечение образца. На рис. 2 приведены кривые ползучести бетонных призм разных сечений при сжатии (К. С. Карапетян, 1956).
Рис. 2. Зависимость ползучести бетонных призм от длительности загружения (7 ——призмы сечением 7X7 2 — 10 X 10 3 — 15 X 15
4 — 20 X 20 сл； ползучесть в мм/м, время в сутках).
Рис. 2. Зависимость ползучести бетонных призм от длительности загружения (7 ——призмы сечением 7X7 2 — 10 X 10 3 — 15 X 15
4 — 20 X 20 сл； ползучесть в мм/м, время в сутках).
Путем обобщения результатов большого количества экспериментальных данных К. С.^Карапетян (1956) и И. И. Улицкий (1962) разработали методику определения коэффициентов масштабности ползучести и усадки бетона, которая позволяет по лабораторным опытам на малых образцах оценить ползучесть и усадку бетона в образцах с большими селениями.
Любопытно отметить, что масштабный фактор, как показали некоторые опыты (К. С. Карапетян, 1964), почти не оказывает влияния на ползучесть бетона при растяжении. Однако эти опыты еще недостаточны для того, чтобы сделать окончательный вывод по этому вопросу. Одновременно отметим, что на ползучести хорошо изолированных образ
цов влияние их размеров почти не сказывается (А. А. Гвоздев, 1966). Относящиеся к тридцатым годам эксперименты Р. Э. Девиса и X. Э. Девиса, Р. Дютрона, а позже и ряда других исследователей, среди которых отметим К. С. Карапетяна (1965) и И. И. Улицкого (1963), выявили существенное влияние влажности среды на ползучесть непрерывно высыхающего бетона как до, так и после его загружения. Результаты этих опытов указывают на то, что по мере высыхания бетона его ползучесть увеличивается.
В то же время в некоторых опытах (А. 3. Басевич, 1949; К. А. Мальцов, 1945; К. М. Милейковская, 1962; Н. А. Мощанский, 1948) наблюдалось, что интенсивное увлажнение и особенно погружение в воду приводит к ускорению ползучести бетона, однако с течением времени это явление сглаживается даже для достаточно старого бетона (В. В. Блинков, 1958; Н. А. Мощанский, 1948).
Для прямого исследования влияния влажности на ползучесть бетона при одновременном его старении С. В. Александровским (1961) по оригинальной методике были проведены специальные опыты, в которых, помимо ползучести, изучалась также и релаксация напряжений в бетоне. Эти опыты проводились таким образом, что исследуемый бетон, загруженный последовательно в разных возрастах, имел различную, но остающуюся уже неизменной с момента загрузки влажность.
Из этих экспериментов следует, что ползучесть и релаксация бетона в естественных условиях повышаются при его высыхании, перекрывая даже с некоторого момента обратное по своему характеру влияние старения бетона.
Таким образом, степень влажности бетона оказывает прямое и существенное влияние на его ползучесть и релаксацию, и учет влияния различ-
ной, в частности переменной, влажности на ползучесть бетона представляет непосредственный интерес для большей части инженерных сооружений, находящихся в подобных условиях.
Выполненные иностранными исследователями опыты ) показали также, что циклические изменения влажности увеличивают деформации ползучести бетона.
По-видимому, между влиянием масштабного фактора и влиянием влажности бетона на его ползучесть имеется тесная связь. В самом деле, так как малые образцы высыхают быстрее больших, то влажность бетона в них через определенный промежуток времени становится меньше, чем в больших образцах, и поэтому ползучесть малых образцов под нагрузкой выше, чем ползучесть больших образцов.
Из немногочисленных опытов по изучению влияния температуры на ползучесть бетона следует, что с повышением температуры деформации ползучести, особенно влажного бетона, у в еличив аются, а с понижением температуры уменьшаются (С. В. Александровский и О. М. Попкова, 1965; А. А. Гвоздев, 1966; см. также упомянутые выше обзоры Р. Лермита и Т. Хансена).
Большую ползучесть обнаруживают при высоких температурах жаро-' упорные бетоны (А. Ф. Милованов, 1963; В. А. Харламов, 1959).
Зависимость ползучести молодого бетона от температурных условий изучалась в работе П. И. Васильева и др. (1966). Из выполненных опытов следует, что в очень раннем возрасте повышение температуры может снижать ползучесть, но позже, в зрелом возрасте, в согласии с другими опытами, может ее увеличивать. На это обстоятельство для старого бетона ранее обратил внимание Т. Хансен.
Экспериментами С. В. Александровского и О. М. Попковой установлено, что в горячей воде (температура до 60°) значительно снижаются прочность на растяжение и модуль упругости бетона и одновременно сильно возрастает его ползучесть.
Влияние температурных условий на рост модуля мгновенных деформаций довольно подробно изучалось П. И. Васильевым и Ю. И. Кононовым (1964).
Многочисленные эксперименты показывают, что с ростом напряжения ползучесть бетона возрастает. Как именно развиваются деформации ползучести бетона во времени при различных уровнях напряжения и какая зависимость существует между ними, с достаточной полнотой было исследовано в систематических опытах ).
На основании этих экспериментов можно считать, что при действии постоянной нагрузки деформации ползучести бетона до образования в нем необратимых микротрещин практически пропорциональны напряжениям, а коэффициент поперечного расширения имеет примерно ту же величину, что и при кратковременном нагружении (Р. Лермит, цит. соч.). Это ——область почти линейной ползучести. Деформация ползучести в этой области, вызванная единичным напряжением, практически не зависит от величины напряжения и называется мерой ползучести. Правда, в первый момент после приложения нагрузки наблюдается некоторая нелинейность деформаций ползучести и в этой области (С. В. Александровский, 1966; Н. И. Катин, 1959), вследствие чего
Рис. 3. Зависимость удельных относительных деформаций ползучести от возраста бетона к моменту наблюдения (а ——0=5 суш, 1 ——о = —-53,9 кз/см^ —~ 0,41_Z?np, 2 — о* — - 35,8 к*см^ — =0,27〃ир, 3 — а — 19,5 к21c 雜=0,14ДПр； б — т( = 11 суш、1 — о = 88,0 кг!сл2 — 0,40^пр» 2 — о = 59,9 кг/сл2 = 0,277?пр,3 — о ==29,1 左z/c%2 = 0,13ДПр； 6 — q = 29 сут, 1 — о =127,1 кг/сл2 = 0,39/е^р； 2 — о=89,9 кг/см2 = —0,277?碇，3 — о = 44,5 кг/см2 = 0,14ДПр；относительные деформации увеличены на графике в 107 раз).Рис. 3. Зависимость удельных относительных деформаций ползучести от возраста бетона к моменту наблюдения (а ——0=5 суш, 1 ——о = —-53,9 кз/см^ —~ 0,41_Z?np, 2 — о* — - 35,8 к*см^ — =0,27〃ир, 3 — а — 19,5 к21c 雜=0,14ДПр； б — т( = 11 суш、1 — о = 88,0 кг!сл2 — 0,40^пр» 2 — о = 59,9 кг/сл2 = 0,277?пр,3 — о ==29,1 左z/c%2 = 0,13ДПр； 6 — q = 29 сут, 1 — о =127,1 кг/сл2 = 0,39/е^р； 2 — о=89,9 кг/см2 = —0,277?碇，3 — о = 44,5 кг/см2 = 0,14ДПр；относительные деформации увеличены на графике в 107 раз).
Рис. 3. Зависимость удельных относительных деформаций ползучести от возраста бетона к моменту наблюдения (а ——0=5 суш, 1 ——о = —-53,9 кз/см^ —~ 0,41_Z?np, 2 — о* — - 35,8 к*см^ — =0,27〃ир, 3 — а — 19,5 к21c 雜=0,14ДПр； б — т( = 11 суш、1 — о = 88,0 кг!сл2 — 0,40^пр» 2 — о = 59,9 кг/сл2 = 0,277?пр,3 — о =
=29,1 左z/c%2 = 0,13ДПр； 6 — q = 29 сут, 1 — о =
127,1 кг/сл2 = 0,39/е^р； 2 — о=89,9 кг/см2 = —0,277?碇，3 — о = 44,5 кг/см2 = 0,14ДПр；
относительные деформации увеличены на графике в 107 раз).
Рис. 3. Зависимость удельных относительных деформаций ползучести от возраста бетона к моменту наблюдения (а ——0=5 суш, 1 ——о = —-53,9 кз/см^ —~ 0,41_Z?np, 2 — о* — - 35,8 к*см^ — =0,27〃ир, 3 — а — 19,5 к21c 雜=0,14ДПр； б — т( = 11 суш、1 — о = 88,0 кг!сл2 — 0,40^пр» 2 — о = 59,9 кг/сл2 = 0,277?пр,3 — о =
=29,1 左z/c%2 = 0,13ДПр； 6 — q = 29 сут, 1 — о =
127,1 кг/сл2 = 0,39/е^р； 2 — о=89,9 кг/см2 = —0,277?碇，3 — о = 44,5 кг/см2 = 0,14ДПр；
относительные деформации увеличены на графике в 107 раз).
различие в кривых удельных деформаций ползучести (т. е. деформаций, отнесенных к единице напряжений), возникшее в этот момент времени, сохраняется и в дальнейшем (рис. 3). Однако степень этой нелинейности быстро снижается (рис. 4), и поэтому в дальнейшем приращения деформаций ползучести зависят от напряжений уже линейно.
Отметим, что граница образования необратимых микротрещин, определяющая верхнююгрань услов ной области линейной ползучести, не составляет постоянной доли от временного сопротивления бетона сжатию R (А. А. Гвоздев,1966).Поданным О.Я.Берга (1961), она лежит примерно в пределах от 50 до 75% этого сопр отивления и тем выше ,чем прочнее бетон. Несомненно, на ее положение могут влиять и другие, пока еще малоизученные факторы.
Экспериментальные исследования по изучению деформации ползучести бетона в широком диапазоне изменений величины напряжений (от 0,2 R до 0,9 R) впервые в Советском Союзе проводились П. И. Васильевым (1951, 1953, 1958). Эти исследования имели своей основной целью по данным опытов на простую ползучесть (т. е. при постоянном напряжении)
установить возможность предсказания деформаций ползучести при произвольных режимах загружения в области высоких напряжений на основе теории упругой наследственности (А. К. Малмейстер, 1957; Ю. Н. Ра- ботнов, 1948; А. Р. Ржаницын, 1949; М. И. Розовский, 1956). Эти исследования показали, что упруго-мгновенные деформации бетона остаются пропорциональными напряжениям вплоть до их значений, почти соответ二 ствующих пределу прочности бетона при сжатии R, и отклонение от линейной зависимости между деформациями ползучести и напряжениями при сжатии, как это было известно и ранее, становится весьма существенным уже при напряжениях, превышающих 0,5А.
Следует отметить, что как в упомянутых экспериментах П. И. Васильева, так и в предшествовавших опытах иностранных исследователей не учитывалось влияние возраста бетона, т. е. его старения, на развитие деформаций ползучести при высоких напряжениях. Заметим также, что эти опыты проводились при сравнительно кратковременном действии нагрузки. В действительности же полное прекращение деформаций ползучести бетона не наступает и в очень отдаленные сроки. В самом деле, опыты по наблюдению роста деформаций ползучести бетона при действии постоянной
Рис. 4. Смягчение во времени нелинейности деформации ползучести (время в сутках).Рис. 4. Смягчение во времени нелинейности деформации ползучести (время в сутках).Рис. 5. Относительный рост деформации ползучести со временем (при относительной влажности 50%, время в годах).Рис. 5. Относительный рост деформации ползучести со временем (при относительной влажности 50%, время в годах).
Рис. 4. Смягчение во времени нелинейности деформации ползучести (время в сутках).
Рис. 4. Смягчение во времени нелинейности деформации ползучести (время в сутках).
Рис. 5. Относительный рост деформации ползучести со временем (при относительной влажности 50%, время в годах).
Рис. 5. Относительный рост деформации ползучести со временем (при относительной влажности 50%, время в годах).
нагрузки в течение 30 лет (Дж. Трокселл и др., Proc. Amer. Soc. Test. Mater., 1958, vol. 58) показали, что деформации ползучести непрерывно растут, хотя и чрезвычайно медленно в последний период (рис. 5).
Экспериментальные исследования ползучести бетона при высоких напряжениях с учетом его старения были выполнены К. С. Карапетяном (1953).
Эти опыты, проводившиеся около двух лет, показали, что характер самой связи между напряжениями и деформациями ползучести, так же как и
граница области линейной пол - зучести, существенно зависит не только от величины напряжения ,но и от возраста бетона, в котором он был нагружен.
Указанное явление, с на- шейточки зрения, весьма зако-
номерно и исходит из самой сущности механизма ползучести бетона. При напряжениях примерно (0,54-0,6) R возникает новое качественное состояние бетона в связи с развитием в нем необратимых микротрещин. Это состояние зависит не только от уровня напряжений, но и от роста прочности, а следовательно, и от возраста бетона.
Н. И. Катин (1959) также исследовал деформации ползучести бетона при высоких уровнях напряжений. Выяснилось, что при этих условиях связь между скоростями деформаций ползучести и напряжениями нелинейна (рис. 6). Однако через небольшой промежуток времени после загру- жения бетона указанная нелинейность существенно смягчается с ростом времени действия нагрузки (рис. 4). Это наблюдается не только для стареющего бетона в связи с повышением его прочности (что ранее было обнаружено К. С. Карапетяном), но и для бетона, старение которого почти прекратилось.
Кривые роста деформаций ползучести во времени при разных уровнях напряжений вследствие этого не подобны, особенно в нелинейной области.
В экспериментальных исследованиях, проведенных в пятидесятых годах в США, а позже также Р. А. Мельником (I960——1963) и Е. А. Яценко (1962), обстоятельно изучены некоторые вопросы ползучести для высоко- 11 Механика в СССР, т. 3
постоянной нагрузки, разгрузить и сразупостоянной нагрузки, разгрузить и сразуРис. 6. Зависимость отношения скорости деформации к напряжению 8П/а от длительности нагружения 7 (_! — о= 0,9%р, 2 — о= 0,817?пр, 3 — о =0,707?цр, 4 о = 0,617?Пр, 5 — о = 0,417?Пр^ 近/o в (с%2%2)X 10-6, Т в сутках).Рис. 6. Зависимость отношения скорости деформации к напряжению 8П/а от длительности нагружения 7 (_! — о= 0,9%р, 2 — о= 0,817?пр, 3 — о =0,707?цр, 4 о = 0,617?Пр, 5 — о = 0,417?Пр^ 近/o в (с%2%2)X 10-6, Т в сутках).
постоянной нагрузки, разгрузить и сразу
постоянной нагрузки, разгрузить и сразу
Рис. 6. Зависимость отношения скорости деформации к напряжению 8П/а от длительности нагружения 7 (_! — о= 0,9%р, 2 — о= 0,817?пр, 3 — о =
0,707?цр, 4 о = 0,617?Пр, 5 — о = 0,417?Пр^ 近/o в (с%2%2)X 10-6, Т в сутках).
Рис. 6. Зависимость отношения скорости деформации к напряжению 8П/а от длительности нагружения 7 (_! — о= 0,9%р, 2 — о= 0,817?пр, 3 — о =
0,707?цр, 4 о = 0,617?Пр, 5 — о = 0,417?Пр^ 近/o в (с%2%2)X 10-6, Т в сутках).
прочных бетонов в широком диапазоне изменения напряжений и для легких бетонов типа термозитобетона.
Бетон, обладая свойством ползучести, обнаруживает, естественно, и релаксацию, т. е. способность изменять свое напряженное состояние,
когда дальнейший процесс деформирования невозможен. Релаксация сжимающих напряжений в бетоне исследована довольно полно (С. В. Александровский, 1962; 1966; И. И. Улицкий и др., 1960; А. В. Яшин, 1959; см. также упомянутые на стр. 156 обзоры О. Вагнера, Р. Лермита и Т. Хансена).
Если бетонный образец, находящийся под длительным действием
после возвращения упругих деформаций зафиксировать его длину, то упругому последействию будут препятствовать наложенные связи, благодаря чему в образце восстановится некоторая часть усилий, под действием которых он прежде находился. И. Е. Прокопович и И. И. Улицкий, изучавшие это явление, справедлива назвали его «восстановлением напряжений».
Деформации последействия после снятия высоких напряжений также нелинейны, особенно в первый
период после разгрузки (Н. И. Катин, 1959).
Ползучесть бетона при растяжении менее изучена, чем при сжатии. Наличие линейной зависимости между
деформациями ползучести при растяжении, вплоть до напряжений,, близких к предельным (0,9 2?р), было подтверждено опытами (П. И. Васильев, 1953; К. С. Карапетян, 1953; Н. И. Катин, 1959; А. М. Скудра, 1956; А. Е. Шейнин и В. Л. Николаев, 1959).
При более высоких напряжениях имеют место нелинейные процессы^ связанные с развитием необратимых микротрещин в бетоне и незатухающей ползучестью, приводящей к разрушению образца. Ползучесть бетона
при высоких растягивающих напряжениях изучена очень мало, хотя она имеет очень важное значение для правильной оценки трещиностойкости железобетонных конструкций и несущей способности некоторых бетонных сооружений.
Рядом авторов проводились исследования соотношения между величинами деформаций ползучести бетона при его сжатии и растяжении ), но результаты ^т5и± исследований были весьма разноречивыми. Причины этого рассмотрены С. В. Александровским (1962). Опыты Н. И. Катина
(1959), проведенные на гидроизолиройанных от высыхания растворных образцах из молодого бетона, внесли ясность в этот вопрос и показали, что при численно равных по величине напряжениях ползучесть бетона при растяжении на 20—30% выше, чем при сжатии. Объясняется это влиянием микродефектов структуры бетона, неизбежно возникающих в нем при растяжении в молодом возрасте. У бетона зрелого возраста в аналогичных опытах наблюдалась почти одинаковая ползучесть при сжатии и растяжении (С. В. Александровский, 1966; А. Е. Шейнин и В. Л. Николаев, 1959). Можно, видимо, считать, что меры ползучести одного и того же бетона при сжатии и растяжении практически мало различаются между собой.
Ползучесть бетона при кручении, изгибе и сложном напряженном состоянии. Специальные исследования ползучести бетона при кручении* проведенные В. В. Блинковым (1955), К. С. Карапетяном (1962) и А. М. Скудрой (1959), установили, что связь между напряжениями и деформациями ползучести бетона при кручении и осевом растяжении линейна почти до его разрушения.
Исследованию ползучести бетона при чистом сдвиге посвящена также работа К. М. Дака и X. Э. Девиса (Proc. Amer. Soc. Test. Mater., 1944, vol. 44).
Имеются также некоторые интересные экспериментальные данные о ползучести бетонных и железобетонных элементов при их изгибе в условиях длительного загружения как в раннем, так и в позднем возрасте бетона (И. И. Улицкий и И. А. Русинов, 1956, 1958, 1959; В. Л. Федоров, 1941).
В ряде опытов С. В. Александровского (1966) и И. И. Темнова (1962) неизменно наблюдалась большая ползучесть при изгибе бетонных брусьев по сравнению со сжатыми образцами.
Опыты на ползучесть при изгибе можно осуществить сравнительно просто на небольших бетонных или железобетонных (армированных) образцах, однако неоднородное напряжейное состояние, в котором находятся эти образцы, испытываемые на изгиб, осложняет явление, особенно при высоких напряжениях, когда в сжатой зоне элемента ползучесть перестает быть линейной, а в растянутой зоне уже имеются трещины.
Ползучесть бетона при сложном напряженном состоянии изучена мало. Кроме немногочисленных данных, которые можно найти в отдельных работах и обзорных статьях (см. упомянутые выше обзоры О. Вагнера и Р. Лермита), здесь следует указать на опыты И. Я. Кублинь (I960) и И. Е. Прокоповича (1963) над полыми бетонными цилиндрами, находящимися под действием внутреннего давления и осевого сжатия или растяжения, а также на экспериментальные иссдадования Г. А. Гамбарова (1962), в которых наблюдалось, что боковое обжатие цилиндров очень существенно уменьшает ползучесть в направлении оси цилиндра, вызванную продольной сжимающей силой.
В последних опытах (К. С. Карапетян и Р. А. Котикян, 1966, 1967) изучалась ползучесть бетона при сжатии с кручением в зависимости от возраста бетона к моменту загружения. Эти опыты подтвердили ранее известные данные о том, что мера ползучести бетона при свободном кручении примерно вдвое больше, чем при осевом сжатии. Кроме того, из этих экспериментов следует, что при данном сложном напряженном состоянии возраст бетона оказывает существенное влияние на его ползучесть. С увеличением возраста ползучесть бетона уменьшается, причем почти с такой же интенсивностью, как и при простом нагружении.
Обработка опытных кривых ползучести бетона при сжатии с кручением для различных уровней напряжения, не превышающих половины предела прочности бетона при растяжении 7?р, показала, что эти кривые с достаточной точностью могут быть описаны линейными уравнениями наследственной теории старения бетона (С. В. Александровский, 1966; Н. X. Арутюнян, 1952; Г. Н.-Маслов, 1941).
Влияние анизотропии на ползучесть бетона. Влияние анизотропии на ползучесть и длительную прочность изучалось как у тяжелых, так и у легких бетонов. Исследования К. С. Карапетяна (1957, 1964), а в дальнейшем и И. Е. Прокоповича (1963) показали, что величина деформации ползучести зависит от направления усилия относительно слоев укладки бетона при его изготовлении. Это показывает, что бетон ортотропен относительно деформации ползучести. Однако степень ортотропности для тяжелых и легких бетонов различна. Так, ползучесть туфобетона, загруженного перпендикулярно к слоям его укладки, оказалась примерно на 63% больше, чем ползучесть этого же туфобетона, загруженного параллельно слоям (К. С. Карапетян, 1957). Результаты же опытов над тяжелыми бетонами показали, что влияние анизотропии на их ползучесть и длительную прочность невелико. Например, в опытах И. Е. Прокоповича деформации ползучести обычного тяжелого бетона при сжатии перпендикулярно к слоям укладки были всего на 7% больше, чем при сжатии вдоль этих слоев.
Дальнейшие более систематические исследования в этой области (К. С. Карапетян, 1964, 1965) позволили выявить, что с увеличением размера поперечного сечения бетонного элемента, содержания цемента и влажности среды влияние анизотропии на ползучесть бетона при сжатии уменьшается. При растяжении влияние анизотропии практически не зависит от размера сечения образца. Интересно отметить, что в области нелинейной ползучести влияние анизотропии на ползучесть бетона с повышением напряжения усиливается.
Таким образом, та предпосылка в современных теориях ползучести, согласно которой бетон рассматривается как изотропный материал, приемлема только для тяжелых бетонов. Что касается легких бетонов, то для них основные уравнения теории ползучести должны быть построены с учетом ортотропности бетона.
Ползучесть бетона при переменных во времени напряжениях и при повторных и вибрационных нагрузках. Ползучесть бетона при переменных напряжениях проявляется своеобразно и имеет характерные особенности, изучение которых очень важно по ряду причин принципиального и прикладного значения. Так, например, действующие на сооружение нагрузки в процессе его возведения и эксплуатации часто изменяются; время от времени может происходить полная или частичная разгрузка. Но даже при постоянных нагрузках напряженное состояние упругоползучего тела может изменяться во времени вследствие влияния процесса ползучести на первоначальное упруго-мгновенное поле напряжений. С другой стороны, данные о ползучести бетона при переменных напряжениях (например, при повышении нагрузки ступенями, при релаксации напряжений, частичной или полной разгрузке, периодическом загруже- нии) позволяют судить о степени точности исходных уравнений современных теорий ползучести бетона и, в частности, весьма важного для этих теорий принципа наложения воздействий.
В 1954 г. В. В. Блинков опубликовал результаты эксперимента л ьных исследований ползучести бетона и цементного раствора при постоянных
сжимающих и растягивающих напряжениях, а также под действием повторных загружений однозначной и знакопеременной нагрузкой в течение 1,5——2 и более месяцев. Величина сжимающих напряжений в этих опытах не превышала (0,4+0,5)2?, т. е. находилась в области линейной ползучести. Обработка результатов этих опытов показала хорошее совпадение
Рис. 7. Зависимость напряжений и полных относительных деформаций от возраста бетона к моменту наблюдения при периодических нагрузках {а ——напряжения в кг/cj^^ сжатие указано положительным, растяжение —отрицательным; 6 ——полные относительные деформации, увеличенные в 105 раз; 1 — экспериментальные данные, 2 — расчет по наследственной теории старения, возраст бетона указан в сутках).
полученных данных с наследственной теорией старения бетона и, в частности, с принципом наложения воздействий, хотя и были обнаружены некоторые расхождения, вызванные необратимыми деформациями, не связанными с процессом старения бетона. В настоящее время имеется большое число работ, в которых экспериментально изучена применимость принципа наложения воздействий к деформациям ползучести.
При ступенчатом повышении напряжений, если их величина не выходит из области линейной ползучести, приемлемость принципа наложения воздействий хорошо подтвердилась при кратковременных испытаниях для молодого бетона (П. И. Васильев, 1953), а также для бетона, старение которого практически уже прекратилось (Ли Гуан-цзун, I960). При знакопеременных приращениях напряжений погрешности принципа наложения оказались несколько большими (С. В. Александровский, 1966; А. В. Яшин, 1959).
Наибольший интерес представляют опыты С. В. Александровского, Э. Я. Багрия, В. Я. Багрия и О. М. Попковой (1966) по проверке принципа наложения при переменных во времени напряжениях, при знакопеременных периодических нагрузках, а также при различных уровнях напряжений. Эти исследования, проведенные при характерных и важных для приложений режимах загружения, показали, что погрешности принципа
Рис. 8. Зависимость напряжений и полных относительных деформаций от возраста бетона к моменту наблюдения при периодических нагрузках {а — напряжения в к21c启； 6 — относительный уровень напряжений;
6 ——полные относительные деформации, увеличенные в 105 раз; 1 ——экспериментальные данные, 2 ——расчет по наследственной теории старения, возраст бетона указан в сутках).
наложения невелики и что в большей части случаев этот принцип применим. В частности, в опытах С. В. Александровского и В. Я. Багрия, результаты которых приведены на рис. 7 и 8, было получено хорошее совпадение экспериментальных данных с теоретическими кривыми полных деформаций образцов при периодических нагрузках, рассчитанными по наследственной теории старения бетона с применением принципа наложения воздействий. Аналогичный результат был получен и для случая переменных во времени напряжений при различных режимах нагружения (рис. 9 и 10).
Вместе с тем многочисленные опыты по квазистатическому нагружению и разгружению бетона в области не очень больших напряжений (В. В. Блинков, 1958; П. И. Васильев, 1953; Н. И. Катин, 1959;
А. В. Яшин, 1959, 1963) показали, что восстановление деформации ползучести бетона после его разгрузки (так называемая обратная ползучесть) иногда на 20——30% меньше, чем деформация ползучести образца-близнеца, впервые загруженного в том же возрасте теми же напряжениями одинаковой продолжительности действия (рис. 11). Это явление наблюдалось и в последующих экспериментах С. В. Александровского и др. (1966).
Рядом авторов был предложен метод учета этого явления в современных теориях ползучести бетона (С. В. Александровский, 1966; □. И. Васильев, 1953; А. А. Гвоздев, 1964). Явление обратной ползучести нельзя считать достаточно изученным. Надежно установлено, что после разгрузки
ттРис. 9. [Зависимость напряжений и относительных деформаций ползучести от возраста бетона к моменту наблюдения при переменных во времени нагрузках (а — напряжения в 左2/с九2； 6 一 относительные деформации ползучести, увеличенные в 105 раз; 1 — экспериментальные данные, 2 — расчет по наследственной теории старения, возраст бетона указан в сутках).Рис. 9. [Зависимость напряжений и относительных деформаций ползучести от возраста бетона к моменту наблюдения при переменных во времени нагрузках (а — напряжения в 左2/с九2； 6 一 относительные деформации ползучести, увеличенные в 105 раз; 1 — экспериментальные данные, 2 — расчет по наследственной теории старения, возраст бетона указан в сутках).Рис. 10. Зависимость напряжений и относительных деформаций ползучести от возраста бетона к моменту наблюдения при переменных во времени нагрузках {а ——напряжения в 尤z/c%?； 6 — относительные деформации ползучести, увеличенные в 10б раз; 1 — экспериментальное данные, 2 — расчет по наследственной теории старения, возраст бетона указан в сутках).Рис. 10. Зависимость напряжений и относительных деформаций ползучести от возраста бетона к моменту наблюдения при переменных во времени нагрузках {а ——напряжения в 尤z/c%?； 6 — относительные деформации ползучести, увеличенные в 10б раз; 1 — экспериментальное данные, 2 — расчет по наследственной теории старения, возраст бетона указан в сутках).
т
т
Рис. 9. [Зависимость напряжений и относительных деформаций ползучести от возраста бетона к моменту наблюдения при переменных во времени нагрузках (а — напряжения в 左2/с九2； 6 一 относительные деформации ползучести, увеличенные в 105 раз; 1 — экспериментальные данные, 2 — расчет по наследственной теории старения, возраст бетона указан в сутках).
Рис. 9. [Зависимость напряжений и относительных деформаций ползучести от возраста бетона к моменту наблюдения при переменных во времени нагрузках (а — напряжения в 左2/с九2； 6 一 относительные деформации ползучести, увеличенные в 105 раз; 1 — экспериментальные данные, 2 — расчет по наследственной теории старения, возраст бетона указан в сутках).
Рис. 10. Зависимость напряжений и относительных деформаций ползучести от возраста бетона к моменту наблюдения при переменных во времени нагрузках {а ——напряжения в 尤z/c%?； 6 — относительные деформации ползучести, увеличенные в 10б раз; 1 — экспериментальное данные, 2 — расчет по наследственной теории старения, возраст бетона указан в сутках).
Рис. 10. Зависимость напряжений и относительных деформаций ползучести от возраста бетона к моменту наблюдения при переменных во времени нагрузках {а ——напряжения в 尤z/c%?； 6 — относительные деформации ползучести, увеличенные в 10б раз; 1 — экспериментальное данные, 2 — расчет по наследственной теории старения, возраст бетона указан в сутках).
в старом бетоне восстанавливается некоторая (причем большая) часть его деформации, накопленная в первом периоде ползучести. Однако при медленно изменяющихся напряжениях иногда можно пренебречь эффектом обратной ползучести бетона, правда, с некоторой погрешностью. При циклических же изменениях напряжений восстановление деформации ползучести бетона (т. е. его обратная ползучесть) может оказать существенное влияние на напряженное и деформированное состояние. Обратная ползучесть в бетоне экспериментально изучалась Р. Лермитом (Proc. 4th Intern. Symp. US Bureau Stand., 1964, vol. 2).
В условиях циклического изменения напряжения с большой частотой возникает в бетоне эффект виброползучести; он состоит в том, что деформация ползучести бетона при действии циклических напряжений с большой частотой может оказаться в 2——4 раза больше, чем обычная деформация у образцов-близнецов при статическом нагружении их теми же напряжениями (В. М. Бондаренко, 1966; А. К. Малмейстер, 1957). При этом деформации виброползучести в бетоне тем выше, чем больше
амплитуда вибрационных пульсирующих напряжений и частота их колебаний.
По наблюдениям А. К. Малмейстера и К. К. Шкербелиса (1957), ползучесть бетона существенно интенсифицируется, если на постоянно действующую нагрузку налагается вибрационное напряжение даже с незна
чительными амплитудами.чительными амплитудами.При испытании бетонных образцов на ползучесть в условиях цикличе
чительными амплитудами.
чительными амплитудами.
ского изменения напряжений с частотой порядка 500 в минуту через 24
Рис. 11. Xарактеристики восстановления деформации ползучести бетона после его разгрузки по опытам А. В. Яшина (а — деформации ползучести при нагрузке е/а в (см2/кг) X X 10~7; 6 — деформации последействия после разгрузки (в тех же единицах); е — модуль упругости при загружении призм (7) и при их разгрузке после длительной выдержки под нагрузкой (2); 3, 5, 77, 72, 73, 15 — номера призм, возраст бетона указан в сутках).Рис. 11. Xарактеристики восстановления деформации ползучести бетона после его разгрузки по опытам А. В. Яшина (а — деформации ползучести при нагрузке е/а в (см2/кг) X X 10~7; 6 — деформации последействия после разгрузки (в тех же единицах); е — модуль упругости при загружении призм (7) и при их разгрузке после длительной выдержки под нагрузкой (2); 3, 5, 77, 72, 73, 15 — номера призм, возраст бетона указан в сутках).часа (720 000 циклов) была получена та же деформация, что и у образцов-близнецов за 28 дней при их статическом нагружении, а 14 суток действия циклической нагрузки оказались эквивалентными (в отношении величины деформации ползучести) 600 суткам воздействия на образцы-близнецы постоянной нагрузки той же интенсивности. Одновременно было замечено, что образец, находившийся под постоянной нагрузкой около 1000 дней, почти не обнаружил роста деформаций при последующей пульсации этого же напряжения в количестве 3 000 000 циклов (см. упомянутый выше обзор Р. Лермита). Следовательно, бетон, находящийся под длительным действием постоянной нагрузки, практически не обнаруживает уже свойства ползучести при последую-
Рис. 11. Xарактеристики восстановления деформации ползучести бетона после его разгрузки по опытам А. В. Яшина (а — деформации ползучести при нагрузке е/а в (см2/кг) X X 10~7; 6 — деформации последействия после разгрузки (в тех же единицах); е — модуль упругости при загружении призм (7) и при их разгрузке после длительной выдержки под нагрузкой (2); 3, 5, 77, 72, 73, 15 — номера призм, возраст бетона указан в сутках).
Рис. 11. Xарактеристики восстановления деформации ползучести бетона после его разгрузки по опытам А. В. Яшина (а — деформации ползучести при нагрузке е/а в (см2/кг) X X 10~7; 6 — деформации последействия после разгрузки (в тех же единицах); е — модуль упругости при загружении призм (7) и при их разгрузке после длительной выдержки под нагрузкой (2); 3, 5, 77, 72, 73, 15 — номера призм, возраст бетона указан в сутках).
щих циклических нагружениях.
В. М. Бондаренко (1966), сопоставляя полученные им опытные кривые ползучести бетона при действии статической нагрузки с соответствующими кривыми виброползучести, заметил, что ординаты любой кривой виброползуче
сти, полученные при стационарном режиме воздействия циклических напряжений, отличаются от соответствующих ординат обычных кривых ползучести у образцов-близнецов (при их статическом загружении теми же напряжениями) постоянным множителем, называемым коэффициентом виброползучести (рис. 12). На это ранее обратил внимание О. Я. Берг (1950).
Опытные данные о виброползучести, полученные при различных режимах циклических воздействий В. М. Бондаренко, позволяют утверждать^
Рис. 12. Прогибы балочек, нагруженных статической и динамической нагрузкой (7 —— со — 30, Н = 18; 2 — со = 30, Н = 16; 3 — со = 25, Н — 16; 4 — со = 25, Н — 14; 5 — со = 20, Н = 14; 6 — со = 20, Н = 12; 7 — со = 15, Н = 12; 8 — со = 15, Н = 10; 9 — со = 10, Н = 10; 10 — со = 10, 8=8; 11 — со = 5, 8=8; 72 — со = 5, 8=6;73 — со = 0, Н = 0).Рис. 12. Прогибы балочек, нагруженных статической и динамической нагрузкой (7 —— со — 30, Н = 18; 2 — со = 30, Н = 16; 3 — со = 25, Н — 16; 4 — со = 25, Н — 14; 5 — со = 20, Н = 14; 6 — со = 20, Н = 12; 7 — со = 15, Н = 12; 8 — со = 15, Н = 10; 9 — со = 10, Н = 10; 10 — со = 10, 8=8; 11 — со = 5, 8=8; 72 — со = 5, 8=6;73 — со = 0, Н = 0).что коэффициент виброползучести зависит только от амплитуды циклических напряжений и частоты их колебаний.
Рис. 12. Прогибы балочек, нагруженных статической и динамической нагрузкой (7 —— со — 30, Н = 18; 2 — со = 30, Н = 16; 3 — со = 25, Н — 16; 4 — со = 25, Н — 14; 5 — со = 20, Н = 14; 6 — со = 20, Н = 12; 7 — со = 15, Н = 12; 8 — со = 15, Н = 10; 9 — со = 10, Н = 10; 10 — со = 10, 8=8; 11 — со = 5, 8=8; 72 — со = 5, 8=6;
73 — со = 0, Н = 0).
Рис. 12. Прогибы балочек, нагруженных статической и динамической нагрузкой (7 —— со — 30, Н = 18; 2 — со = 30, Н = 16; 3 — со = 25, Н — 16; 4 — со = 25, Н — 14; 5 — со = 20, Н = 14; 6 — со = 20, Н = 12; 7 — со = 15, Н = 12; 8 — со = 15, Н = 10; 9 — со = 10, Н = 10; 10 — со = 10, 8=8; 11 — со = 5, 8=8; 72 — со = 5, 8=6;
73 — со = 0, Н = 0).
В НИИЖБ Госстроя СССР (см. А. А. Гвоздев, 1966) проводились испытания бетонных призм на центральное сжатие в условиях циклического изменения напряжений, причем отношение минимального напряжения к максимальному в цикле оставалось всегда постоянным. Эти опыты проводились в широком диапазоне изменения напряжений, но при условии, что максимальное значение напряжений не превышало половины призменной прочности бетона при сжатии 2?пр. Оказалось, что при указанном уровне напряжений деформация виброползучести бетона зависит от напряжений практически линейно. Поэтому можно воспользоваться (аналогично тому, как в случае статических нагрузок) понятием меры виброползучести, которая представляет собой величину неупругой деформации, отнесенной к единичному напряжению, и является функцией целочисленного аргумента, а именно числа повторения нагрузки при заданном отношении минимального напряжения при данной частоте вибрации.
к напряжению, максимальному в циклек напряжению, максимальному в циклеИзучение явления виброползучести бетона связана с известными трудностями. Поэтому в настоящее время мы располагаем лишь небольшим числом экспериментов в этой области. Пока еще не ясны причины и механизм виброползучести бетона. Почти не изучено влияние технологических и структурных факторов на протекание процесса виброползучести. Поэтому экспериментальные и теоретические исследования в этой области требуют самого интенсивного развития.
к напряжению, максимальному в цикле
к напряжению, максимальному в цикле
Теории ползучести бетона
Феноменологический подход. Некоторые общие соображения. Современные физические теории ползучести Позволяют дать качественное объяснение многим особенностям явления ползучести, наблюдаемого в стареющих материалах, типичным представителем которых является бетон. Однако эти теории пока еще очень далеки от возможности количественного описания ползучести бетона, находящегося в сколько-нибудь сложных условиях нагружения. Поэтому на данном этапе развития науки эти теории, позволяя глубже проникнуть в механизм ползучести, тем не менее не в состоянии помочь механике построить общие уравнения теории ползучести. Вот почему современные теории ползучести бетона ограничиваются феноменологическим подходом: следуя обычному методу механики
сплошных сред, необходимые для количественного анализа уравнения строят на основе некоторых достаточно общих предположений в сочетании с результатами макроэксперимента. Эти уравнения должны давать картину развития во времени напряженного и деформированного состояний в упруго-ползучем теле при различных условиях его загружения.
Вывод механических уравнений ползучести для материалов, подверженных старению (в частности, для бетона),—— задача трудная, так как процесс ползучести в бетоне протекает не только сложно, но и своеобразно л зависит от многих факторов. Если стремиться учесть в механических уравнениях ползучести все особенности этого явления (как главные, и второстепенные), то мы не сумеем построить математическую модель такого упруго-ползучего телл, а следовательно, не сумеем получить и замкнутую систему механических уравнений теории ползучести.
В настоящее время не существует единой теории ползучести, пригодной для всех материалов, и, как справедливо полагает ряд авторов (Л. М. Качанов, 1960; Ю. Н. Работнов, 1966), такой теории и не может быть, так как законы ползучести для различных материалов различны вследствие самой природы тех физических процессов, которые лежат в основе ползучести этих материалов.
Поэтому при построении феноменологической теории ползучести для стареющих материалов (в частности бетона) очень важно, чтобы исходные уравнения, достаточно правильно отражая основные свойства явлений ползучести этих материалов в наиболее важных случаях их нагружения, в то же время в конкретных приложениях приводили к постановке определенных краевых задач математической физики, допускающих эффективное решение.
Такой путь построения феноменологической теории ползучести является вполне естественным и в настоящее время стал традиционным. Достаточно вспомнить, что таким же путем развивались и другие разделы механики сплошной среды, например теория упругости и динамика идеального газа, в основе которых лежат модели, также учитывающие только важнейшие особенности рассматриваемых ими объектов.
Для механики и особенно для такой ее обширной части, как механика сплошной среды, справедливы некогда сказанные Шиллером слова: «Чтобы схватить преходящее явление, человек должен сковать его узами закона, прекрасное тело расчленить на понятия и сохранить его живой дух в скудном словесном остове».
2・2・ Реологические модели и их применение к изучению ползучести бетона. Переходя к рассмотрению теоретических работ в области линейной ползучести, начнем с исследований, в которых рассматривается одноосное напряженное состояние.
Для описания явлений ползучести бетона часто пользуются в качестве эвристического инструмента различного рода реологическими моделями, составленными из пружин, цилиндров с поршнями и т. п. При этом полагают, что пружины и вязкие элементы в этих моделях описывают соответственно свойства упругости и вязкости реальных материалов. Комбинируя пружины и вязкие элементы при параллельном, последовательном или групповом их соединении, можно получить механические модели, отвечающие тому или иному (простому или сложному) реологическому состоянию. Можно получить, например, модель, нелинейно реагирующую на нагрузку, или модель, выключающуюся при разгрузке, или, наконец, модель с параметрами, изменяющимися во времени (А. М. Фрейденталь и Р. Ролл, Amer. Concrete, Inst., June 1958; А. А. Гвоздев, 1966).
Последняя модель, по крайней мере качественно, воспроизводит картину механического поведения бетона под нагрузкой во времени (Н. X. Арутюнян и М. М. Манукян, 1961).
Однако при этом необходимо помнить, что всякая модель такого рода является, как это справедливо отметил Ю. Н. Работнов (1966), лишь аналогом, отражающим в той или иной степени механическое поведение материала в зависимости от времени, но не средством объяснения явлений, лроисходящих в нем.
Можно показать, что деформационные свойства наиболее простых реологических моделей описываются линейным дифференциальным уравнением вида
k=n k=p 4=^ 盜 (2.1)
乱=0 h=0
где а0 = i, ak и bk ——параметры материала, соответствующие элементам реологической модели и обычно принимаемые постоянными *), а 8 и а —— деформация и напряжение упруго-вязкого материала. Уравнением (2.1) обычно и пользуются при решении прикладных задач, подбирая при этом значения коэффициентов。女 и bk на основании результатов экспериментального изучения физико-механических свойств нестареющего упруго-вязкого материала.
Если сформулировано реологическое уравнение материала, то можно не задумываться над тем, какой именно механической модели оно соответствует. Тем не менее желательно иметь возможность построить такую модель, так как наличие ее обеспечивает по крайней мере непротиворечивость рассматриваемого уравнения.
Следует отметить, что иногда при расчете элементов конструкций на ползучесть применяют реологическое уравнение (2.1), предварительно заменяя в нем постоянные параметры материала некоторыми функциями времени с целью учесть таким путем влияние старения бетона на его ползучесть. Незаконность такой операции очевидна, так как она противоречит реологической схеме, на основе которой получено исходное уравнение (2.1).
Пользуясь уравнением (2.1), в ряде случаев удается получить удовлетворительное решение, пригодное, правда, только для описания ограниченного круга явлений в упруго-вязких материалах, не подверженных старению.
Ф. Леви (Pap. 4е Congr. Fed. intern, precontr. (1962), 1963) принял механическую модель, в которой упругий элемент (заполнитель) и упруговязкий элемент (цементное тесто) соединены параллельно; при этом коэффициенты соответствующего реологического уравнения определяются из свойств и соотношения объемов указанных компонентов бетона. Однако, как'отмечает сам Леви, такая модель не всегда удовлетворительно отражает данные экспериментов. Для лучшего согласования с опытными данными Леви видоизменил реологическую схему так, чтобы параметры материалов, входящие в соответствующее уравнение, получили новые значения, более правильно отражающие некоторые особенности составляющих элементов бетона. Теперь один из этих параметров зависит уже не только от модуля упругости, но и от характера поверхности заполнителя.
Т. Хансен (цит. соч.) описывает деформационные свойства бетона простой механической моделью, в которой скорость деформации при
постоянном напряжении не зависит от времени, что,как известно, соответствует состоянию установившейся ползучести. Однако, в отличие от металлов, для бетона такая реологическая модель принципиально неприемлема, особенно в области линейной ползучести.
Опыт построения своеобразной теории ползучести бетона был предпринят в 1943 г. А. А. Гвоздевым. Исходя из представлений о механизме ползучести, которые в свое время выдвигал Э. Фрейсине, и положений, применяемых до настоящего времени к длительным деформациям грунтов, Гвоздев рассмотрел тело с порами, заполненными жидко-газообразной фазой, и предположил, что при приложении напряжений девиатор деформаций мгновенно принимает значение, определяемое девиатором напряжений и модулем сдвига, а жидко-газообразная фаза, удельный объем которой линейно зависит от давления в порах и среднего нормального напряжения скелета, фильтруется сквозь поры, причем объемная деформация меняется во времени. Такая модель качественно отражает ряд свойств, присущих ползучести, и была применена к решению некоторых задач. Однако вскоре сам автор признал ее непригодной. Не говоря уже о том, что с ее помощыо не могла быть объяснена ползучесть при кручении, она приводила к неправильному результату даже при одноосном сжатии; а именно получалосьу что поперечные размеры образца должны сокращаться со временем по такому же закону, как и продольные размеры, что не подтверждается экспериментами.
А. Ю. Ишлинский (1940), а затем А. Р. Ржаницын (1954) пользовались для исследований линейной ползучести уравнением
пЕг + Яе = тго + а, (2.2) где Е — мгновенный модуль упругости, Н — длительный модуль упругости, п ——время релаксации.
Уравнение (2.2) является частным случаем уравнения (2.1) при п = =р = 1. Упруго-вязкое тело, поведение которого описывает реологическое уравнение (2.2), соответствует механической модели Кельвина, представляющей собой параллельно соединенные упругий и вязкий элементы, с которыми последовательно соединен упругий элемент *).
В таком упруго-вязком теле, часто называемом телом Кельвина, имеет место полная обратимость деформации ползучести, и уравнение (2.2> описывает в нем упругое последействие. Релаксация же напряжения в этом теле будет происходить по экспоненциальному закону с аргументом ——tin, как это легко установить из уравнения (2.2), если его представить в интегральной форме (А. Ю. Ишлинский, 1940; Ю. Н. Работнов, 1966). При этом, если после приложения мгновенной деформации в рассматриваемом теле возникает напряжение, определяемое по мгновенному модулю, то в дальнейшем, при сохранении этой деформации неизменной, напряжение будет релаксировать до величины, соответствующей той же- деформации при длительном модуле.
Отметим, что реологическое уравнение (2.2), описывая упругое последействие, совершенно не учитывает наличия необратимой части деформации ползучести бетона, а полученные на основе его экспоненциальные кривые релаксации с аргументом ——tin, как правило, располагаются выше опытных кривых релаксации бетона и характеризуются более медленным понижением напряжения (С. В. Александровский, 1966; П. И. Васильев,
4958; И. Е. Прокопович, 1963; И. И. Улицкий, 1963). Как указывает А. А. Гвоздев (1966), некоторые авторы ), для того чтобы избежать существенных расхождений между теоретическими результатами и опытными данными, полученными при испытаниях бетона на простую ползучесть и релаксацию, при использовании реологического уравнения (2.2) подбирают новые значения для его коэффициентов, особенно для времени релаксации п, подчеркивая при этом, что параметры материала, входящие в это уравнение, не являются постоянными, а зависят от времени и процесса нагружения. Однако вид и характер этих зависимостей и путь построения реологического уравнения с переменными параметрами (функциями) пока остаются неясными.
Как известно (Ю. Н. Работнов, 1966), реологическое уравнение (2.2) -эквивалентно интегральному соотношению
8 ⑺=4" [о(/) + (九一м) [ o(t) e-以D dt] , (2.3) о
где E — мгновенный модуль упругости, l/卩=nEIH — время запаздывания, а 1/九 = п —— время релаксации, причем длительный модуль упругости Н =豆卩/九 меньше мгновенного модуля Е, так как всегда 九 > 卩.
Если определить скорость деформации ползучести бетона при действии постоянной нагрузки, пользуясь интегральным соотношением (2.3), то она окажется гораздо меньше действительной скорости, имеющей место сразу после нагружения, и выше ее в последующий период. Заметим, что измерить эту скорость сейчас же после нагружения затруднительно, поэтому фактически измеряется скорость в самой начальной фазе нагружения.
Учитывая это обстоятельство, А. Р. Ржаницын предложил в интегральном соотношении (2.3) сочетать свойства экспоненциального ядра со свойствами ядра типа Абеля со слабой особенностью, т. е. рассматривать ядро следующего вида:
K(I)= U^e-B(J), (2.4)
где Л > 0, р>0 и0<а<1 — постоянные параметры, определяемые из опытов на простую ползучесть. Резольвента этого ядра построена С. 3. Вульфсон (1961). ”
Такой выбор функций последействия отвечает затухающему характеру процесса ползучести и гораздо лучше описывает развитие скорости деформации бетона, у которого старение фактически уже завершено, по крайней мере в начальной фазе нагружения.
Соотношения между напряжениями и деформациями с учетом влияния времени являются остовом феноменологической теории ползучести любого материала (и, в частности, бетона), а вид и характер этих соотношений отличают различные теории друг от друга.
Теории ползучести бетона в современной литературе обычно классифицируются следующим образом: а) теория упругой наследственности; б) теория старения; в) наследственная теория старения ).
Ниже излагаются основные положения и главные характерные особенности этих теорий.
Теория упругой наследственности. Как известно, дифференциальное уравнение (2.1), которое обычно принимается за исходное физическое соотношение в реологии упруго-вязких материалов, при п = р может быть заменено интегральным соотношением, содержащим оператор Вольтерра, подобно тому как дифференциальное уравнение (2.2) заменяется интегральным соотношением (2.3), с той только разницей, что теперь ядро ползучести К (^ ——т) содержит уже не одну экспоненциальную функцию, а целый набор таких функций вида
К (— т) 丁寸 B^he~ 闕(J),(2.5)
k~ 1
где 8女 и В女一постоянные параметры материала, определяемые из опытов на простую ползучесть.
Естественно, что здесь напрашивается идея обобщить линейный закон вязкоупругости.
В самом деле, мы можем рассматривать ядро полученного интегрального уравнения Вольтерра независимо от дифференциального уравнения (2.1) или от соответствующей ему реологической модели, т. е., иначе говоря, понимать под ядром К (方 ——т) не сумму конечного числа экспоненциальных функций, а произвольную функцию, зависящую от разности двух аргументов ——времени приложения нагрузки т и момента наблюдения t. Эта функция должна удовлетворять некоторым весьма общим условиям, о которых будет сказано ниже. При этом должен только сохраняться общий принцип наложения воздействий, согласно которому деформация, вызываемая суммой напряжений Ao*i + Ао*2, должна быть равна сумме деформаций, вызываемых напряжениями Ao*i и Ао*2 в отдельности. Таким путем мы приходим к основному уравнению теории упругой наследственности, которое записывается в одном из следующих видов:
£(/)=* [о (/) — j К (/ — т) о (т) dt],]
t°-}(2.6)
Функция К (t —— т) называется ядром ползучести, а функция Г (t —— т) —— ядром релаксации. Последняя функция является резольвентой ядра ползучести. Материал, поведение которого, в зависимости от времени, описывается соотношением (2.6), называется упруго-наследственным материалом.
Если идеально упругий материал имеет свойство как бы моментальна забывать все, что произошло с ним в прошлом, то упруго-наследственный материал обладает своеобразной «памятью» и не забывает происходившее с ним в прошлом. Однако эти «воспоминания» с течением времени изглаживаются из памяти. В связи со сказанным функцию К (t ——т) часто называют «функцией памяти». Эта функция при неограниченном возрастании времени монотонно убывает.
Принцип наследственности впервые был указан Л. Больцманом в 1876 г., а теория упругой наследственности была создана и развита В. Вольтерра (Fonctions des lignes. Paris, 1913).
Итак, не зависящие от возраста свойства упруго-наследственного материала полностью определяются модулем упругости и ядром ползучести (или ядром релаксации) интегрального уравнения Вольтерра (2.6). В некоторых случаях для описания свойств упруго-наследственного материала используются другие функции, связанные с его ядром ползучести или ядром релаксации интегральным преобразованием Лапласа, например спектры релаксации и ползучести, комплексный модуль упругости и т. п. (Б. Гросс, Mathematical structure of the theories of viscoelasticity. Paris, 1953; H. И. Малинин, 1966; Ю. H. Работнов, 1966), которыми характеризуют реакцию материала на единичный импульс.
Вместо ядер ползучести и релаксации иногда удобнее иметь дело с функциями
С(2)= j (2)dz иdz,(2.7)
оо
которые называются соответственно функциями ползучести и релаксации. Они определяются непосредственно из опыта на ползучесть при постоянном напряжении или из опыта на релаксацию при постаянной полной деформации.
Для бетона функция ползучести и функция релаксации должны удовлетворять следующим условиям:
普…) = 0,]]
粤= F(z) = 0j(2.8)
причем
С(0) = Р(0) = 0, С(оо) = Со, P(g) = Po,
а С。и Ро ——предельные значения соответственно функции ползучести и функции релаксации бетона. Эти соотношения справедливы в области линейной ползучести бетона.
Как установил еще В. Вольтерра, интегральный оператор Вольтерра, который входит в основную зависимость (2.6) теории упругой наследственности, удовлетворяет также условию замкнутого цикла Вольтерра. Это условие выражает инвариантность интегрального соотношения (2.6) относительно изменения начала отсчета времени; поэтому теория упругой наследственности с условием замкнутого цикла может отражать только поведение материалов, свойства которых не меняются во времени, т. е. нестареющих материалов, а также материалов, подверженных старению, но таких, для которых этот процесс фактически прекратился, иначе говоря материалов старого возраста.
Интересная попытка распространить теорию упругой наследственности на стареющие материалы, в частности на бетон, была сделана А. Р. Ржаницыным (1958), предложившим отразить явления старения путем замены в исходном уравнении (2.6) шкалы действительного времени шкалой приведенного времени. Однако этот способ не позволяет учесть изменение во времени модуля мгновенной деформации бетона, а также влияние возраста бетона в момент загружения на величину, к которой стремится деформация ползучести при не огр аниченном возрастании времени. Между тем наблюдения показывают, что возраст бетона в момент его загружения существенно влияет на предельное значение как упруго-мгновенных деформаций, так и деформаций ползучести (С. В. Александровскийу
1966; П. И. Васильев, 1957; К. С. Карапетян, 1959; И. Е. Прокопович, 1963 ))•
Необходимо отметить, что в линейной теории упругой наследственности с условием замкнутого цикла деформация ползучести является полностью обратимой. Это непосредственно следует из уравнения (2.5), которое описывает явления последействия в упруго-наследственном материале. В действительности же, как показывают опыты (С. В. Александровский, 1966; В. В. Блинков, 1958; И. Е. Прокопович, 1963, и И. И. Улицкий, 1963), обратимая часть деформации ползучести в бетоне сильно зависит от возраста бетона и длительности его загружения и может составить от 15 до 70%. При этом, чем короче длительность загружения, тем больше степень обратимости деформации ползучести бетона, и, чем моложе бетон, тем больше остаточная деформация его ползучести, которая может составлять соответственно от 85 до 30%.
Таким образом, линейная теория упругой наследственности в применении к бетону даже в его старом возрасте, когда выполняется условие замкнутого цикла Вольтерра, совершенно не учитывает наличия необратимой части деформации ползучести, и поэтому согласно этой теории начальная скарость релаксации напряжения получается меньше, а конечная скорость — больше, чем в действительности.
В линейной теории упругой наследственности с условием замкнутого цикла В. Вольтерра сформулировал важный принцип, который был позже назван его именем. Этот принцип позволяет решить статическую задачу теории упругой наследственности, если известно решение этой же задачи в рамках обычной теории упругости. Для этого нужно лишь в решении упругой задачи заменить постоянные Ламе (модуль Юнга, коэффициент Пуассона или модуль сдвига) соответствующими операторами типа Вольтерра.
Дальнейшее развитие области применения принципа Вольтерра дано в работах Ю. Н. Работнова (1948, 1966), М. И. Розовского (1951), С. 3. Вульфсон (1961). Отметим, что основная трудность применения этого принципа заключается в определении результатов действия операторов Вольтерра, так как единого метода для такого определения пока не имеется.
Основные уравнения линейной теории упругой наследственности при условии замкнутого цикла для общего случая пространственного напряженного состояния легко получить из обычных уравнений теории упругости, если в них согласно принципу Вольтерра заменить упругие константы соответствующими операторами (Ю. Н. Работнов, 1966; М. И. Розовский, 1951).
Исходные уравнения линейной теории ползучести для анизотропного наследственного тела получены И. И. Гольденблатом (1955),. который на основе некоторых термодинамических соображений и так называемого принципа Онзагера представил зависимость между напряжениями и деформациями для такой среды в наиболее общем виде.
Как известно (см. § 1), при высоких напряжениях (о》0,5 R) линейная связь между напряжениями и деформациями ползучести бетона нарушается. Что же касается упруго-мгновенных деформаций, то они остаются пропорциональными напряжениям вплоть до значений, почти соответствующих пределу прочности бетона R. Учитывая это, П. И. Васильев (1953) предложил воспользоваться нелинейной теорией упругой наследственности и представить зависимость между напряжениями
и полными деформациями бетона во времени в следующем виде:
e ⑴=噜一 J — ь(0⑺)就， (2.9) о
где К (力——т)——ядро ползучести для бетона, удовлетворяющее условию (2.8), а 耳(о (力))一некоторая функция, характеризующая нелинейную зависимость между напряжениями и деформациями ползучести бетона. Обе эти функции определяются из соответствующих испытаний бетона на простую ползучесть.
Заметим, что с точки зрения применения к временным процессам все сказанное об уравнении (2.6), а именно об условиях замкнутого цикла и полной обратимости деформаций ползучести, остается в силе и для уравнения (2.9).
К нелинейной ползучести бетона и к уравнению типа (2.9) мы вернемся ниже. Здесь же хочется отметить следующее: обобщение теории упругой наследственности при условии замкнутого цикла с целью изучения процессов нелинейной ползучести обосновал Ю. Н. Работнов (1948), предложивший представить связь между деформациями и напряжениями в виде следующего интегрального уравнения Вольтерра:
屮⑻=屮十 j К С - т)。⑴ d J (2.10) о
где ф(8)——некоторая нелинейная функция, характеризующая закон мгновенной деформации, К (力 ——т)——ядро, определяемое по опытным кривым ползучести.
Согласно этой теории, получившей название теории пластической наследственности, изохронные кривые ползучести, построенные для разных уровней напряжения, должны быть подобны кривой мгновенной деформации. Это положение с достаточной точностью подтверждается опытными данными для некоторых металлов и пластмасс (Н. И. Малинин, 1966; Ю. Н. Работнов, 1966).
Указанный способ обобщения уравнения теории упругой наследственности на случай нелинейной ползучести, конечноне является единственным. Г. Лидерман (Elastic and creep properties of filamentous and other high polymers. Washington, 1943) и M. И. Розовский (1951) пользуются интегральным уравнением другого вида:
Е«) = р(о(%)) +j К (t — t)耳付⑴)dr. (2.11) о
Лидерман применил уравнение такого вида для изучения ползучести некоторых полимеров.
Уравнение (2.11) содержит три функции, подлежащие определению из опыта, и поэтому оно обладает большей общностью по сравнению с уравнением (2.10) теории пластической наследственности, в котором фигурируют лишь две такие функции. Однако определение функций, которые входят в уравнение (2.10), проще, чем определение соответствующих функций в уравнении (2.11), а результаты, получаемые по этим двум нелинейным теориям наследственности, примерно одинаковы.
В то же время обработка экспериментальных данных показывает, что обратимая часть деформации ползучести, наблюдаемая в действительности, меньше, чем это следует из любой теории нелинейной ползучести наследст- 12 Механика в СССР, т. 3
венного типа (П. И. Васильев, 1953; В. С. Наместников и Ю. Н. Работновг 1961; И. Е. Прокопович, 1963).
Для описания явления нелинейной ползучести в телах, не подверженных старению, наряду с интегральными соотношениями (2.9), (2.10) и (2.11) можно воспользоваться и более общими уравнениями нелинейной теории наследственности, которые при условии замкнутого цикла получаются путем функционального разложения Вольтерра ——Фреше. Однако применение этих уравнений связано со значительными трудностями.*
Отметим, что большой вклад в развитие методов решения задач теории упругой и пластической наследственности для нестареющих материалов внесли в СССР А. К. Малмейстер, М. И. Розовский, Ю. Н. Работнов, А. Р. Ржаницын, а за рубежом —— Э. Г. Ли, X. Бланд, Г. Лидерман.
2・4・ Теория старения. Теория ползучести бетона развивалась не только в различных направлениях, но и параллельными путями, имея при этом всегда единую цель ——предсказать с той или иной степенью точности поведение бетона во времени при переменных режимах его нагружения и на основе этого оценить влияние ползучести на состояние и работу конструкций.
Исторически первые попытки в этом направлении с учетом старения материалов были сделаны в тридцатых годах К. С. Уитни и несколько позже Ф. Дишингером. Уитни обратил внимание на то, что кривые ползучести бетонных образцов, загруженных в различном возрасте одинаковыми напряжениями, начиная с некоторого времени, становятся почти параллельными друг другу в том смысле, что имеют параллельные касательные в точках, соответствующих одному и тому же времени наблюдения. Иначе говоря, кривую ползучести бетона для данного возраста можно получить из кривой ползучести для более раннего его возраста, если отбросить ту часть последней кривой, которая соответствует разности возрастов.
Из этой предпосылки непосредственно следует, что в этом случае мера ползучести бетона С (力,т), под которой мы будем понимать относительную деформацию ползучести стареющего материала (в частности, бетона), наблюдаемую к моменту времени t и вызванную единичным напряжением, приложенным в некотором возрасте бетона т, имеет вид
e (方，Q = 0 (方)一 0 ⑴， (2.12) а это означает, что скорость удельной деформации ползучести dC (力，x)/dt, равная в данном случае С (力)，не зависит от возраста бетона т,. при котором он был нагружен. Тогда дифференциальное уравнение для определения скорости полной деформации в области линейной ползучести при переменном модуле упругости можно записать в виде
d& 1 do I dC zq
(2」3)
Это соотношение обобщает известное уравнение Максвелла, которое получается из соотношения (2.13) при С (力)=const и при Е (т) = % = const.
На основе уравнения (2.13) поведение материалов, (в частности, бетона), находящихся в условиях ползучести, можно представить простой реологической моделью, состоящей из последовательно соединенных упругого элемента и элемента вязкого трения, причем упругость и вязкость этих элементов меняются со временем соответственно множителям Е (t) и С (力)в уравнении (2.13).
Зависимость между деформациями и напряжениями, записанную в виде дифференциального уравнения (2.13) можно представить и в интегральной форме:
9錦d瑞К⑴"(2・伍)
b
где ядро ползучести
К G，т) = К^ = Е^ А [贵一 С (t)](2.15)
есть функция только возраста бетона т, т. е. времени действия напряжения. Техническая теория ползучести бетона, исходящая из уравнения (2.13), связывающего деформацию, напряжение и время, или из эквивалентного ему уравнения (2.14), получила название теории старения *). Эта теория благодаря своей простоте нашла широкое применение при решении задач по определению перемещений в железобетонных конструкциях, потерь предварительного напряжения и в ряде других прикладных задач»
Теория старения применительно к исследованию напряженного и деформированного состояний бетонных и железобетонных сооружений развивалась в работах Ф. Дишингера (Bauingenieur, 193 7), Н. 33—36, 39— 40), Л. В. Столярова (1941), Н. А. Буданова (1949), И. Е. Скрябина (1949), В. Л. Сидорова (1941), И. И. Улицкого (1948, 1960, 1963) и многих других авторов. Эта теория вошла в немецкие нормы по предварительно напряженным конструкциям.
Концепции теории старения, по существу, придерживался в своих ранних работах и С. Е. Фрайфельд (1941).
И. И. Улицкий (1959, 1964), помимо тех исследований, которые он провел по линейной теории старения и ее приложениям к расчету бетонных и железобетонных конструкций, рассмотрел ряд задач теории ползучести в нелинейной постановке, пользуясь зависимостью между скоростями деформаций и напряжениями вида
где а, Р и m ——постоянные параметры. Подобное уравнение, по-видимому, впервые рассматривалось X. Дейвенпортом.
Теория течения, основанная на уравнении типа (2.16), получила широкое распространение для изучения ползучести металлов благодаря работам Л. М. Качанова.
Теория старения не обладает достаточной общностью для описания процессов деформирования упруго-наследственного материала (в частности, бетона), свойства которого меняются во времени. Более того, она в известном отношении противоречит опытам, поставленным для проверки и уточнения некоторых основных положений и результатов этой теории. С другой стороны, теория старения, имея в своей основе определенную физическую предпосылку, исходит и а реологического уравнения (2.13) которое позволяет получить с достаточной точностью простые решения для определенного круга прикладных задач. К числу таких задач относятся, например, перераспределение напряжения между бетоном и арматурой в центрально сжатых железобетонных элементах, потеря пред
варительного напряжения вследствие усадки и ползучести бетона и другие задачи этого рода, когда нас интересует только конечное состояние, к которому стремится данная конструкция вследствие ползучести.
Но при переменных напряжениях, особенно если они меняются достаточно интенсивно, теория старения приводит к неправдоподобным результатам. Основной недостаток этой теории заключается в том, что скорость изменения деформации ползучести бетона получается не зависящей от истории его нагружения, т. е. от свойств наследственности материала, а это существенно расходится с данными макроэксперимента.
Недостатки теории старения проявляются особенно сильно при повторных нагрузках и особенно при разгрузке. Вопреки экспериментам по этой теории получается полная необратимость деформации ползучести и, как ■следствие этого, отсутствие процесса восстановления напряжения при релаксации. В итоге это приводит к интенсификации процесса релаксации напряжения во времени и к существенному завышению степени релаксации, особенно при загружении бетона в молодом возрасте (С. В. Александровский, 1966; И. Ё. Прокопович и И. И. Улицкий, 1963). Можно показать (И. Е. Прокопович, 1963), что меру ползучести бетона, определяемую соотношением (2.12) и принятую в теории старения, можно получить из выражения для меры ползучести 。(方——т), принятой (в теории упругой наследственности, если разложить С (力——т) в ряд Тейлора и, удержав два первых члена, изменить масштаб времени. Это обстоятельство естественно привело к идее попытаться синтезировать своеобразным способом меры ползучести теории старения и теории упругой наследственности с таким расчетом, чтобы те факты, которые не укладываются в рамки теории старения, могли быть объяснены с помощью теории упругой наследственности, и наоборот.
Первая попытка в этой области принадлежит Д. Макгенри (Proc. Amer. Soc. Test. Mater., 1943, vol. 43), предложившему своеобразное сочетание мер ползучести теории упругой н ас ледственности и теории старения. В дальнейшем аналогичные предложения были сделаны И. Ё. Прокоповичем и И. И. Улицким (1963), а также Е. А. Яценко (1964). Однако эти попытки, в том числе и первая, наиболее удачная из них, не отражают с достаточной точностью основные свойства явления ползучести бетона во времени, а именно его старение и наследственность, что, впрочем, признает и сам Макгенри.
Наследственная теория старения. Большая часть исследований в области наследственной теории ползучести со времен работ В. Вольтерра посвящена нестареющим материалам, т. е. материалам, для которых выполняется так называемое условие замкнутого цикла. Что касается исследований явления ползучести в упруго-наследственных материалах, подверженных старению, т. е. в материалах, свойства которых изменяются во времени, то их было проведено сравнительно мало. Большая часть этих исследований относится к бетону.
Как показывают эксперименты (см. § 1), бетон имеет сложный механизм ползучести и своеобразный спектр релаксации. Поэтому для математического описания процессов ползучести и релаксации в бетоне, отражающего ход этих процессов достаточно близко к действительности, необходимы соотношения между напряжениями, деформациями и временем более общие, чем зависимость (2.6) теории упругой наследственности при условии замкнутого цикла или уравнение (2.13) теории старения.
В настоящее время теорией ползучести бетона, наиболее полно отражающей основные свойства и поведение бетона во времени под влиянием
внешних воздействий, является теория, получившая название наследственной теории старения или теории упруго-ползучего тела. Эта теория одновременно учитывает как старение, так и наследственность материала, а так же частичную обратимость деформации ползучести бетона.
Начало создания наследственной теории старения было положено в работе Г. Н. Маслова (1941), а ее полное построение как математической теории ползучести бетона дано Н. X. Арутюняном (1947, 1952).
Эта теория получила свое дальнейшее развитие в трудах С. В. Александровского, П. И. Васильева, А. А. Гвоздева, И. Я. Панарина, И. Е. Прокоповича и ряда других исследователей, и на ее основе разработаны надежные методы расчета элементов конструкций с учетом ползучести материала.
В области линейной ползучести бетона наследственная теория старения при одноосном напряженном состоянии исходит из следующих основных уравнений (С. В. Александровский, 1966; Н. X. Арутюнян, 1952; А. А. Гвоздев, 1955).
t
Е«)=瑞一『霜К«，т)办，(2」7)
o (力)=豆(0 [e G)十 J e (t) Г (Z, t) dr],(2.18)
где функция Г (力,т) есть резольвента ядра
т)=笈⑴捻 6(厶 т)(2.19)
интегрального уравнения (2.17), а 6 (力,т)——полная продольная относительная деформация, наблюдаемая в момент времени t и вызванная единичным напряжением, приложенным к бетону в некотором возрасте т. Эта деформация, которая складывается из упруго-мгновенной деформации и деформации ползучести, определяется зависимостью
力(2-20)
где Е (т)——переменный модуль мгновенной деформации бетона, а С (力t)—— мера ползучести бетона, которая в области линейной ползучести не зависит от величины напряжения, но зависит одновременно как от возраста бетона т, так и^от продолжительности действия нагрузки (力——т). Напомним, что под мерой ползучести С (力,т) понимается относительная деформация ползучести стареющего материала, наблюдаемая к моменту времени t и вызванная единичным напряжением, приложенным к бетону в некотором возрасте т.
Ядро оператора Вольтерра К (力,т), входящее в интегральное соотношение (2.17), часто называют наследственной функцией влияния или «функцией памяти». Эту функцию, характеризующую реакцию стареющего материала, в частности бетона, на единичный импульс, приложенный в некотором возрастав материала т, имея в виду соотношения (2.19) и (2.20), можно записать в виде
К т)=-Е '(2.2D
т. е. выделить из наследственной функции влияние мгновенной деформации и влияние деформации ползучести бетона. Таким образом.
наследственная функция влияния К (方,т) однозначно выражается через модуль мгновенной деформации Е (т) и меру ползучести бетона С (力,т).
Основньш вопросом при построении линейной теории ползучести бетона является выбор наследственной функции влияния, т. е. вида ядра К (力，т) или Г (力，т) в интегральных уравнениях (2.17) или (2.18) на основании которых должны быть получены решения основных задач равновесия упруго-ползучего тела, подверженного старению, каким является бетон. Разумеется, выбор наследственной функции влияния эквивалентен выбору вида функций для модуля упруго-мгновенной деформации Е (т) и для меры ползучести бетона С (力,т).
Многочисленные опыты ) показывают, что модуль упруго-мгновенной деформации бетона Е (т) с увеличением возраста бетона т монотонно растет, асимптотически приближаясь к предельному значению модуля упругости 笈о для бетона весьма зрелого возраста. Правда, на изменение модуля упругости Е (т) оказывает некоторое влияние и длительность действия внешней нагрузки, вызывающей изменение плотности бетона, особенно в раннем его возрасте вследствие большой пластичности (А. Д. Росс, J. Instn Civ. Engng, 1938; А. В. Саталкин и Б. А. Сеченко, 1956). Значительное влияние на величину модуля упругости оказывает и условие твердения бетона, т. е. условие, при котором происходит процесс его старения. Например, с увеличением температуры твердения бетона скорость нарастания его модуля упругости Е (т) во времени увеличивается (П. И. Васильев и Ю. И. Кононов, 1964). Модуль упругости бетона в некоторых случаях зависит и от величины напряжения, при котором измерены упругомгновенные деформации, а именно: с ростом напряжений вплоть до предела прочности бетона при сжатии R он падает (Н. Г. Корсак, 1941).
Однако учесть одновременно зависимость модуля мгновенной деформации бетона Е (т) от всех указанных выше факторов и от возраста бетона весьма трудно. В этом направлении в настоящее время делаются только первые попытки, поэтому в современной теории ползучести бетона учитывают зависимость модуля мгновенной деформации только от возраста бетона т, делая это посредством аппроксимации с достаточно высокой точностью опытных кривых мгновенных деформаций гиперболическими или экспоненциальными функциями различного вида (С. В. Александровский, 1966; Н. X. Арутюнян, 1952; И. Е. Прокопович, 1963).
Переходя к выбору вида функции для меры ползучести С (厶 т), предварительно отметим основные свойства и характер изменения этой функции во времени.
Многочисленные опыты в области линейной ползучести бетона показывают, что мера ползучести С (力,т) должна удовлетворять следующим условиям:
。(方，т)>0 при X>t,
С (方，t) = 0 при Z = t;
Нт £'及 D = 0 при OW^W力；
мера ползучести С (方，т) должна монотонно убывать с возрастом материала т, т. е.
дС (厶 т) )с
—при
причем так, чтобы
lim С (Z, т) =(р (т), где ср (т)——предельное значение меры ползучести для данного возраста материала;
начиная с некоторого возраста т0, значение С (力,т) должно сколь угодно мало отличаться от меры ползучести С (方——т) для старого или уже стареющего материала, для которого выполняется условие замкнутости цикла.
Что же касается наследственной функции влияния, то, как показывают экспериментальные исследования (А. А. Гвоздев, 1955; А. В. Яшин, 1959), кривые К (т), отвечающие постоянному значению аргумента 力, имеют два участка с весьма быстрым изменением функции К (т): один — при малых значениях т, который, согласно (2.21), связан со скоростью изменения модуля упруго-мгновенных деформаций, т. е. с влиянием старения на упругие деформации, а другой — при малых значениях (方 ——т), который связан с большой скоростью деформаций ползучести сразу же после загружения и с резким падением этой скорости по мере роста длительности загружения (力——т). На это обстоятельство неоднократно указывал А. А. Гвоздев.
Некоторые из предложенных аналитических выражений (G. 3. Вульфсон,' 1961; А. В. Яшин, 1959) для наследственной функции влияния К (力——т), хорошо описывающие ее поведение на активных участках (т. е. в окрестности т = Ои 力——t = 0), настолько сложны, что либо вовсе неприемлемы для построения решений уравнений теории ползучести, либо приводят к чрезвычайно сложным операциям.
Одновременно отметим, что даже при очень высоких напряжениях, близких к разрушающим, ползучесть бетона, как показывают эксперименты ), имеет затухающий характер. Поэтому интегралы
% «, t) = J К (方，т) йт и co (Z, т) = J Г (Z,工)：近(2.22)
при любых значениях 力 > t и, в частности, при 力一> оо должны быть конеч- ныл1и, так как в противном случае ползучесть могла бы иметь незатухающий характер, что не свойственно бетону и не наблюдается в действительности. Отметим также, что при постоянном модуле упругости Е (т) = Eq функции % (力,т) и со (力,т) с точностью до постоянного множителя Eq совпадают с мерой ползучести бетона С (力,т) и мерой релаксации р (力,т).
На основании указанных выше соображений, а также принимая во внимание, что процесс старения, т. е. изменение физико-механических свойств материала во времени, может считаться не зависящим от процесса деформации, Н. X. Арутюнян (1947, 1952) предложил представить меру ползучести С (九 т) для стареющего материала в виде произведения двух •функций, одна из которых учитывает процесс старения материала, а другая ——влияние длительности его нагружения, т. е. в виде
С 伉 т;) = С (力一t, К) = Ф (т) / (^ — т),(2.23)
где ср (т)——функция, определяющая процесс старения материала (в дальнейшем будем называть ее функцией старения); эта функция с увеличением
возраста материала т монотонно убывает и стремится к некоторой постоянной, т. е.
lim ср (т) = Со.(2.24)
Если под постоянной Со понимать предельное значение меры ползучести материала в его старом возрасте, то тогда функция / (£ ——т), характеризующая наследственные свойства материала, должна в интервале О《 方 ——1； W °° изменяться в пределах
0</а- ^Х 1.(2.25)
Воспользуемся для аппроксимации / (方 —— т) суммой экспоненциальных функций вида
(2・26)
где Bk и уА ——постоянные параметры, подобранные надлежащим образом для данного материала, причем
k=n、
27、
Yo =。，Yfe> 0 ("=1, 2, 3,...,〃)..
Таким образом, для меры ползучести С (方,т) получаем выражение
С (力，t) = С « — q t)=屮⑴寸母(I),(2.28)
A=0
где Bh и yh удовлетворяют условиям (2.27). Такое представление меры ползучести С 伝 т) характерно тем, что оно отражает одновременно оба основных свойства явления ползучести материала, а именно его старение и наследственность. Очевидно, что при больших т зависимость (2.23) вследствие условия (2.24) переходит в асимптотическое равенство для меры ползучести С (方,т) ^ Со / (^ ——t), положенное в основу теории упругой наследственности с условием замкнутого цикла.
С учетом зависимостей (2.21) и (2.28) наследственная функция влияния, т. е. ядро К (力 т) оператора Вольтерра в интегральном соотношении (2.17), примет вид
К (九 т)=直⑴ + W gk ⑺(2.29)
A=0
где для сокращения записи введены обозначения
后⑴=-WT 署》，gA ⑴=E ⑴ Bh 仲‘⑴ + YMP (т)].(2.30)
Функцию старения ср (т) обычно аппроксимируют одним из выражений k=nk=n
ф(т) = С0+ 2 ^V или 屮(工)=。0十 X 4е』匚(2.31)
k-i °k=i
Впоследствии (К. G. Карапетян, 1959; И. Е. Прокопович, 1958) для аппроксимации было использовано также выражение
k=n
屮⑴=e。十2 丁(2・32)
где Со, Ak и г ——константы материала.-
Как известно, для явлений ползучести стареющих материалов (в частности, и для бетона) характерно большое разнообразие опытных данных. Поэтому вряд ли имеет смысл стремиться к очень точному аналитическому описанию кривых ползучести на всех их участках, так как это неизбежно приводит к трудным математическим задачам и в то же время лишь приближенно отражает (вследствие разброса) исходные данные, добытые из экспериментов. Вместо этого достаточно того, чтобы получаемые в результате аппроксимации зависимости правильно отражали главные черты явления ползучести в наиболее важных случаях загружения и одновременно были бы простыми, чтобы в дальнейшем было ими удобно пользоваться.
Исходя из этого, в выражении (2.29) для наследственной функции влияния К (方,т) ограничимся только первыми двумя членами, т. е. примем, чта
К«,工)=豆©^ [击+(р ⑴(1-L(D)]・(2.33)
Важно отметить, что ядро К (力,t), определяемое выражением (2.29) или (2.33), является вырожденным, и поэтому интегральное уравнение (2.17) можно заменить дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами, что открывает более реальные возможности для получения качественных результатов, чем это возможно при оперировании с интегральными уравнениями.
Ядро К (力 т) интегрального уравнения (2.17), определяемое выражением (2.33), имеет своей резольвентой (Н. X. Арутюнян, 1952)
F"，t)=北0一Y⑴一备*]+
гдегдеef (%)dx,ef (%)dx,ПП(工)=丫 j [1 + ф(т)Е(т)1 dta Ti(工)=丫 j [1 + ф(т)Е(т)1 dta Ti(2.34)(2.35)(2.34)(2.35)
где
где
ef (%)dx,
ef (%)dx,
П
П
(工)=丫 j [1 + ф(т)Е(т)1 dta Ti
(工)=丫 j [1 + ф(т)Е(т)1 dta Ti
(2.34)
(2.35)
(2.34)
(2.35)
Если функция старения ср (т) имеет вид ср (т) = С。十 /1/% а модуль упругости Е (т) = Eq = const, то решение задач теории ползучести в большей части случаев выражается через неполные гамма-функции с аргументом р = yAiEQ, которые табулированы. Это большое преимущество ядер К (力 т) вида (2.29) и (2.33), т. е. наследственных функций влияния, определяемых этими выражениями.
Интересно отметить, что материалы, для которых р близко к нулю, являются быстро стареющими; для них ядро наследственности мало зависит от возраста. Если же р близко к 0,5, что имеет место обычно для большей части бетонов, или превышает это значение, то такой материал является медленно стареющим.
Очевидно, что кроме С。, /1 и р константой материала нужно считать и нижний предел 口 интеграла, входящего в уравнение (2.17), так как эта есть время, начиная с которого можно считать, что поведение бетона описывается наследственной теорией старения.
Однако ядрам вида (2.29) и (2.33), которые можно представить в виде
(2.36>(2.36>К (力 * =方⑴ + g (т) h (t — t),
(2.36>
(2.36>
где
1 〃Е (т)Е (т) 〃т ，
а
g(t"« —1)= S gh ⑴ Ст),A=0
и которые положены в основу наследственной теории старения бетона, свойственны и недостатки.
Как видно, выражение меры ползучести С (力,т) в виде (2.23) исходит из подобия кривых ползучести в различных возрастах бетона ). Между тем, если сравнить опытные кривые ползучести, полученные на образцах, загруженных в возрасте нескольких суток, с кривыми ползучести для бетона зрелого возраста, то нетрудно убедиться, что подобие нарушается. Скорости роста деформации ползучести в молодом возрасте бетона затухают относительно быстрее, чем в старом возрасте, хотя абсолютные их значения в первом случае больше. Поэтому, если определить скорость деформации ползучести в первый момент приложения нагрузки, пользуясь формулами (2.28) и (2.27), то она окажется гораздо меньше действительной, иначе говоря, кривые ползучести, построенные по этим формулам, поднимаются более вяло, чем это наблюдается в экспериментах. Как показывают исследования (С. В. Александровский, 1966; А. А. Гвоздев, 1955), это может привести к определенным погрешностям в случае быстро изменяющихся напряжений, а также в задачах о релаксации напряжений в молодом возрасте бетона. Поэтому естественно, что с целью учета этих обстоятельств были сделаны различные предложения для дальнейшего уточнения и усовершенствования выражений (2.23) и (2.28) для меры ползучести бетона С (力,т) при одновременном сохранении их основной структуры и преимуществ.
Выше уже упоминалось предложение И. Е. Прокоповича и И. И. Улицкого (1963) представлять меру ползучести бетона как сумму мер ползучести теории упругой наследственности и теории старения, т. е. в виде
С 伉 ^=C^-^^+F (力)一F (叽(2.37)
Для меры ползучести бетона С (力 т) А. В. Яшин (1959) предложил выражение, представляющее собой сумму меры ползучести Н. X. Арутюняна (2.23) и меры ползучести теории старения (2.12), т. е.
С (力 т) = ср (т) / (^ — t) + 歹(方)一F (t).(2.38)
Позже выражение для меры ползучести С 伉 t), сходное с (2.38) при 尸⑴=К log t (К = const), было предложено на основе изучения микроструктуры бетона Т. Хансеном (соч., цит. на стр. 156).
Наиболее удачная попытка в этом направлении принадлежит С. В. Александровскому (1964, 1966), предложившему для меры ползучести бетона С (力 т) следующее выражение, дающее большую скорость деформации ползучести бетона в начале нагружения:
0亿T) = а (T) ［1 -ё—一。)］十屮⑴一屮⑴［为三个］，(2・39)
где % а, /1 и』2 — параметры материала, причем у》а > 0 при 0 & & / 2 W 1, а 屮(т) и A (t), подобно <р (», суть функции старения, монотонно убывающие с увеличением возраста бетона t. Легко видеть, что первый член, входящий в выражение (2.39), представляет собой не что иное, как меру ползучести, определяемую соотношением вида (2.23).
Интегральное уравнение (2.17) наследственной теории старения с ядром, отвечающим выражению (2.39), можно свести к дифференциальному уравнению второго порядка с переменными коэффициентами.
Сопоставляя результаты, полученные теоретическим путем и путем специально поставленных экспериментов (С. В. Александровский и др., 1966), проведенных при различных режимах загружения образцов (рис. 9 и 10), можно сделать вывод, что наследственная теория старения с ядром, отвечающим выражению (2.39), в области эксплуатационных значений напряжений достаточно точно описывает линейную ползучесть бетона с одновременным учетом его старения и наследственности.
Наследственная теория старения, как это следует из основного интегрального уравнения (2.17) с вырожденным ядром, например, вида (2.33) или (2.36), учитывает частичную обратимость деформации ползучести, причем доля необратимых деформаций определяется интенсивностью процесса старения материала.
Это обстоятельство весьма существенно для напряженного состояния инженерных сооружений, возникающего под влиянием температурных воздействий, приложенных в раннем возрасте бетона и, как известно, приводящих к образованию больших остаточных напряжений.
Как уже указывалось выше, среда, поведение которой описывается наследственной теорией старения, по прошествии достаточно длительного времени переходит в среду, описываемую теорией упругой наследственности с условием замкнутого цикла, т. е. в среду с полной обратимостью деформации ползучести. Такое положение не вполне отвечает действительности. Хотя в бетоне старого возраста отчетливо проявляются явления упругого последействия, однако доля необратимых деформаций ползучести в нем может быть также весьма значительной.
Необратимые деформации, не связанные с процессом старения бетона, не могут быть учтены с помощью основных уравнений (2.17) и (2.18) линейной теории наследственного старения. Способ учета таких деформаций, а также обнаруженных в опытах явлений более интенсивного накопления .деформации ползучести при многократных повторных загружениях по по сравнению с ползучестью при постоянной нагрузке, был предложен П. И. Васильевым (1953) и А. А. Гвоздевым (1964). Изложим кратко сущность этого способа в трактовке А. А. Гвоздева (1964, 1966).
Сохраним соотношение (2.17) для случая неубывающих нагрузок, но для убывающей нагрузки введем другое ядро L (力 t), удовлетворяющее условию
\L{t. х)\<\ К (т, т) |. (2.40)
Представим функцию
как разность двух неубывающих функций: а (方)—& ⑴一а?⑴，где 31 (力一сумма всех положительных, а э2 ⑺一сумма абсолютных значений всех отрицательных приращений функции э «). Тогда механическое
уравнение ползучести можно записать в следующем виде:
方t
Е (%) = 9 «) — j Э4(T)К (厶 Т)ЙТ + j % (t) L (厶 t) dt =
T1Tl
=a (Z) — f a (t) К «")轰一j % ⑴[K «, t) — £ «, t)] dt, (2.41> T1T1
где t — момент наблюдения, q — момент начала загружения и е (力一 полная деформация.
Теперь функции L (力 t) и К (九 т) уже не являются наследственными функциями влияния, понимаемыми в обычном смысле, так как они входят в уравнение (2.41), которое отличается от уравнения (2.17) дополнительным членом с другим ядром, и если это ядро удовлетворяет условию (2.40), то уравнение (2.41) уже может отразить различие в эффектах нагрузки и разгрузки, явление виброползучести и некоторые особенности поведения бетона в условиях неоднородного напряженного состояния. В самом деле, из соотношения (2.41) при выполнении условия (2.40) следует, что на последующем изменении полной деформации во времени разгрузка скажется слабее, чем нагрузка с такой же'интенсивностью и такой же длительности.
При вибрационных напряжениях функции з4 (力)и »2 〃) растут, но так как влияние первой из них на рост деформации вследствие неравенства (2.40) сильнее, чем влияние второй на уменьшение деформации, то деформации виб р опо л зуче сти окажутся больше деформаций ползучести под. постоянным напряжением, равным максимальному напряжению в цикле вибрационного нагружения. Однако экспериментально эти предположения пока еще не проверены, а аналитические выражения для ядер К (九 т) и L (九 т) не предложены.
При рассмотрении пространственной задачи теории ползучести бетона важно отметить, что для бетона, в отличие от других материалов, нельзя считать, что наиболее существенную роль играет сдвиговое последействие, а объемное последействие отсутствует. Учитывая это, Н. X. Арутюнян (1952) показал, что напряженное состояние, вызванное действием внешних сил в упруго-ползучем теле, в двух случаях тождественно совпадает с напряжениями упруго-мгновенной задачи для этого же тела, не обладающего ползучестью, а именно:
когда коэффициенты упругой поперечной деформации v (т) и поперечной деформации ползучести v* «, т) постоянны и одинаковы, т. е. имеет место равенство
V (т) = V* (力 t) = w = const;(2.42}
когда напряжения в теле постоянны или- изменяются линейно」 в пространстве, независимо от того, выполняется ли равенство (2.42), т. е. даже при различных коэффициентах поперечной деформации v (т) И V* (力 V).
Если же напряженное состояние упруго-ползучего тела вызвано, только вынужденными деформациями и при этом имеет место равенство (2.42), то его полные деформации не зависят от ползучести и тождественно равны деформациям упруго-мгновенной задачи для этого же тела, а полные напряжения отличаются от напряжений в соответствующем упругом теле и определяются через них с помощью независимых интегральных.
уравнений Вольтерра вида (Н. X. Арутюнян, 1952; Г. Н. Маслов, 1941)
(2.43)
где о* (^), • • ., xjy (力，• • • 一 компоненты тензора напряжений в расмат- риваемом теле с учетом ползучести и переменного модуля упругости материала, а о* (力,• • •, ^ху 0) — соответствующие упруго-мгновенные напряжения в этом же теле. (Остальные зависимости получаются циклической перестановкой координат 优，у, z.)
В дальнейшем С. В. Александровский (1966) показал, что указанные выше положения справедливы не только при граничных условиях, когда на поверхности тела заданы напряжения, но и в случае, когда граничные условия заданы в перемещениях или являются смешанными. Однако при любых граничных условиях для этого необходимо, чтобы на поверхности тела отсутствовали упруго-податливые связи.
Разумеется, эти положения не будут сохраняться, если учитывается различие между эффектами нагружения и разгрузки.
Обобщение изложенных выше положений на случай нелинейной ползучести дал Ю. К. Зарецкий (1964).
И. Е. Прокопович (1963) развил наследственную теорию старения применительно с системам, неоднородным по своим упругим и реологическим свойствам, а С. И. Боре (Studii §i cere. sti. Acad. RPR, Fil. Ia§i, ser. 1, 1958, 9 : 1, 125——130) применил эту теорию к ортотропным средам, обладающим свойством ползучести.
В последние годы современная теория ползучести бетона нашла большое практическое применение. На ее основе решен ряд важных прикладных задач и разработаны надежные методы расчета элементов инженерных конструкций с учетом ползучести материала, уже вошедшие в действующие нормы пр оектир ования.
Температурные задачи теории ползучести бетона рассматривались С. В. Александровским (1964, 1966), Н. X. Арутюняном (1952), Н. X. Арутюняном и Б. Л. Абрамяном (1955), П. И. Васильевым (1952, 1958, 1962), М. А. Задояном (1957, 1958), М. М. Манукяном (1956), Н. Я. Панариным (1956, 1957), И. Е. Прокоповичем (1962, 1963). Полученные результаты показывают, что температурные напряжения в бетонных массивах при учете деформаций ползучести во многих случаях в три-четыре раза меньше соответствующих напряжений, найденных по упругому расчету.
Задачи кручения и изгиба составных призматических стержней и валов переменного диаметра на основе линейной теории наследственного старения исследовались в работах Н. X. Арутюняна и К. С. Чобаняна (1955—— 1957), М. А. Задояна (1959), В. С. Саркисяна (1959). Изучению влияния ползучести на напряженное и деформированное состояние оболочек и пластин различных видов посвящены работы Г. С. Григоряна (1957, I960) и И. Е. Прокоповича (1956, 1961, 1962), а задачи определения потерь напряжения, обусловленных проявлением ползучести бетона в предварительно напряженных конструкциях, рассматривались Н. X. Арутюняном <1952), Н. А. Будановым (1958, I960), Н. Я. Панариным (1957), И. Е. Прокоповичем (1958, 1963), И. И. Улицким (1958, I960), А. В. Швецовым
(1962), К. К. Якобсоном (1952, 1954), Е. А. Яценко (1963, 1964). Вопросам? расчета бетонных и железобетонных конструкций с учетом ползучести посвящены работы С. В. Александровского (1966), Н. X. Арутюняна (1947, 1952), Н. X. Арутюняна и К. С. Чобаняна (1955-1957), И. И. Голь- денблата и Н. А. Николаенко (I960), Г. С. Григоряна (1957, I960), М. А. Задояна (1956, 1958, 1959), М. М. Манукяна (1956), И. Е. Прокоповича (1956, 1958, 1961—1963), В. С. Саркисяна (1959), А. М. Смирнова (1953,1954), И. И. Улицкого (1950, I960), В. Д. Харлаба (1961); в них рассмотрены задачи о влиянии осадки сооружений на напряженное и деформированное состояние, о перераспределении напряжений между бетоном и арматурой в железобетонных конструкциях и об определении прогибов в железобетонных элементах и балках.
Исследования, проведенные над железобетонными балками, показали значительный рост прогибов во времени за счет ползучести сжатой зоны бетона.
Особенности поведения бетона в области нелинейной ползучести весьма сложны и изучены недостаточно полно, поэтому в настоящее время крайне необходимы всесторонние и углубленные экспериментальные исследования ползучести бетона при высоких уровнях напряжения и различных режимах загружения.
Физический нелинейный характер ползучести бетона отчетливо проявляется как при ступенчатом повышении нагрузки, так и при загружении образцов постоянными сжимающими напряжениями различной величины. Как уже отмечалось выше (см. § 1), нелинейность становится весьма существенной при напряжениях, превышающих (по абсолютному значению) половину от предела прочности бетона на сжатие, т. е. при о^1/?/?. Учитывая линейную зависимость между упруго-мгновенными деформациями и напряжениями (которая, как известно, имеет место для напряжений, почти соответствующих пределу прочности R) и пользуясь интегралом суперпозиций, можно основное уравнение нелинейной теории наследственного старения при одноосном напряженном состоянии представить в виде
(2/4)
Т1 Т1
для всех значений о (Z)》工/2兄・ Если функцию Ф (Z,叫 о (т)) представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от т и (Z —т), а вторая только от о, т. е. в виде
①亿 q о (t))=歹(О ⑴)^^ , (2.45)
а меру ползучести С ", т) определить выражениями (2.28) или (2.39), то получится интегральное уравнение нелинейной теории наследственного старения, предложенное Н. X. Арутюняном (1952):
ё«)=虢-i 0⑴备［击」肌-t歹(。⑴)史巽(2.46) T1 T1
При помощи этого уравнения Р. А. Александряном, Н. X. Арутюняном и М. М. Манукяном в 1958—1963 гг. решен ряд задач по крученик>
и изгибу призматических стержней и валов переменного диаметра на основе нелинейной теории наследственности с учетом старения материала. Решения задач сводятся к исследованию нелинейных интегральных и интегро- дифференциальных уравнений Вольтерра второго рода. Для решения этих уравнений используется метод малого параметра (этим параметром характеризуется степень нелинейности деформации ползучести), причем приводится доказательство сходимости предложенного метода решения.
На основе нелинейной теории старения решены ) задачи о релаксации напряжений в центрально сжатых бетонных и железобетонных элементах и задача о напряженном состоянии центрально сжатого железобетонного элемента при длительном действии постоянной нагрузки. Особое внимание уделено исследованию величины потерь предварительного напряжения.
М. А. Задоян (1958) составил вариационные уравнения для нелинейной теории наследственного старения и применил их к решению некоторых прикладных задач.
Возвращаясь к уравнениям (2.44) и (2.46), нам хотелось бы здесь отметить, что для стареющих материалов, у которых время упругого последействия или время релаксации зависит от напряжения о, функция Ф (力，т, о (т)) не может быть представлена в виде упомянутого выше произведения (2.45), иначе говоря, для кривых ползучести не имеет места подобие в области высоких напряжений, т. е. при о > 1/2 А.
Существование зависимости времени упругого последействия или времени релаксации от напряжения для такого стареющего материала, как бетон, подтверждается экспериментальными исследованиями К. С. Карапетяна (1953, 1959) и Н. И. Катина (1959). Эти исследования показали, что при достаточно длительном приложении нагрузки кривые ползучести, полученные на образцах, загруженных в одном и том же возрасте напряжениями различной величины, перестают быть аффинными, а нелинейность деформации ползучести с течением времени смягчается.
Основной причиной этого является рост прочности бетона с течением времени, т. е. процесс его старения и соответствующее увеличение области линейной ползучести. Однако и в старом бетоне продолжается та же тенденция, хотя и не так интенсивно.
В работе И. И. Улицкого (1963) приводятся многочисленные данные, подтверждающие, что нелинейность деформации ползучести смягчается со временем, и предлагается приближенный прием для учета этого явления при решении различных задач по теории старения.
Е. А. Яценко (1962, 1963) на основе теории старения получил в замкнутой форме решения некоторых задач с учетом временного, скоропреходящего характера нелинейной ползучести бетона.
Чжао* Цзу-у (Acta mech. Sinica, 1959, № 4) и С. 3. Вульфсон (1964) предложили отразить явление смягчения нелинейности деформации ползучести со временем путем представления меры ползучести для старого бетона в виде суммы линейной и нелинейной частей с соответствующими мерами ползучести С (力亠 тг) и С (力一т), причем скорость затухания С (力一т) больше, чем С (t — т). Однако этим путем нельзя учесть влияние старения бетона на снижение нелинейности деформации его ползучести.
Это может быть отражено с помощью зависимости
(2.47)(2.47)еПолз(0 = j j 亲F® 用力(т]—тт)嗡~бй]Мг,
(2.47)
(2.47)
переходит в зави- мерой ползучестипереходит в зави- мерой ползучести(2.48)(2.48)предложенной П. И. Васильевым (1953).
переходит в зави- мерой ползучести
переходит в зави- мерой ползучести
(2.48)
(2.48)
В области линейной ползучести зависимость (2.47) симость линейной теории наследственного старения с
。(力 t) = j g (tt)九(方一t) dr,
где К (九 工)=g (т)方(力一тг) есть ядро ползучести (при Е = const), определяемое выражениями (2.33) или (2： 29). При отсутствии старения уравнение (2.47) переходит в уравнение (2.9) нелинейной теории упругой наследственности с условием замкнутого цикла.
Здесь нам хотелось бы обратить внимание и на следующее важное обстоятельство: нелинейное уравнение наследственной теории старения (2.46), строго говоря, применимо лишь в случае отсутствия разгрузок. В самом деле, опытами установлено (см. § 1), что в области нелинейной ползучести бетона последействие в нем после его разгрузки при различных уровнях напряжений не следует тому же нелинейному закону, по которому развиваются деформации ползучести при нагружении этого же бетона согласно уравнению (2.46) наследственной теории старения бетона. Более того, на основании некоторых предварительных данных представляется возможным полагать, что явление последействия в бетоне при его разгрузке в области высоких напряжений по своему характеру протекает ближе к линейному закону, хотя при этом по-прежнему имеет место неполная обратимость деформации ползучести.
Поэтому нелинейная теория ползучести бетона в ее современном виде, основанная на исходных уравнениях (2.9), (2.16) или (2.46), т. е. на допущении подобия кривых ползучести, и не учитывающая явления смягчения нелинейности деформации ползучести бетона со временем, а также различие между эффектами нагрузки и разгрузки, является хотя и важным, но лишь первым шагом в создании нелинейной теории ползучести бетона. Дальнейшее уточнение и развитие этой теории должно быть основано на более широком и полном теоретическом обобщении экспериментального материала.
Рассмотренное выше нелинейное уравнение (2.46) наследственной теории старения бетона относится к одноосному напряженному состоянию. Для составления соответствующих уравнений при объемном напряженном состоянии имеется еще слишком мало экспериментальных данных. Однако здесь следует ожидать значительных трудностей. Необходимо иметь в виду что, в отличие от ползучести металлов, на ползучесть бетона при высоких напряжениях весьма существенно влияет среднее нормальное напряжение, т. е. объемная деформация. Это обстоятельство всегда необходимо иметь в виду при применении различных форм обобщения теории пластичности на случай нелинейной ползучести бетона.
Другой важной проблемой является отражение в уравнениях теории ползучести бетона влияния температурно-влажностного режима на дефор- мативные свойства материала.
Как известно, при изменениях температуры и влажности ряда тел изменяются также и все их физико-механические свойства, в том числе и мера ползучести. Как показывают эксперименты, пренебрежение этим
обстоятельством при значительных изменениях температуры и влажности недопустимо. В связи с этим при построении теории ползучести для стареющих материалов необходимо учитывать их теплофизические и механические свойства. При этом особое внимание следует уделить случаю периодически изменяющих температурных и влажностных полей.
Важно также всесторонне изучить ползучесть стареющих материалов в условиях низких отрицательных температур.
Наконец, большой интерес представляет дальнейшее развитие наследственной теории ползучести для анизотропных и разномодульных стареющих материалов. При этом не следует останавливаться перед применением всего многообразия методов современной математики и средств вычислительной техники, если это может оказаться оправданным поставленными целями.
Контактные задачи теории ползучести
Развитие теории ползучести, в частности доказательство теорем о влиянии ползучести на напряженное и деформированное состояние изотропного тела (Н. X. Арутюнян, 1952; И. Е. Прокопович, 1956) и решение плоской контактной задачи теории пластичности (Н. X. Арутюнян, 1959) создало предпосылки для рассмотрения контактных задач теории ползучести с учетом старения материала. Существенную роль в этом вопросе сыграл также новый эффективный метод решения интегральных уравнений Фредгольма первого и второго рода (М. Г. Крейн, 1954, 1955), позволяющий получать решения, если известно решение соответствующего уравнения с правой частью, равной единице. Заметим, что с механической точки зрения это решение соответствует решению плоской контактной задали для случая давления на полуплоскость жесткого штампа с прямолинейным основанием.
Плоская контактная задача теории ползучести. Плоская контактная задача линейной теории ползучести впервые была изучена И. Е. Прокоповичем (1956). Известное решение теории упругости (И. Я. Штаерман, 1949) и основные уравнения наследственной теории старения (Н. X. Арутюнян, 1952) позволили ему получить для определения вертикального перемещения v границы Z-ro полупространства, находящегося в условиях плоской деформации и загруженного нормальными силами р * (%,方), приложенными на площади 5, следующую формулу:
建 ^ = ^[Р^1)^Ц] j К(£, s) p*(s, t) ds + C^t^(3.1)
где
t
(3.3)(3.3)LiP*(5, z) = j Ki G，t) P*(s, T)dt,(3.2)
(3.3)
(3.3)
Пусть два соприкасающихся между собой в точке или по линии тела, обладающих свойством линейной ползучести, прижимаются одно к другому под действием внешних сил, равнодействующая которых Р 优)перпендикулярна к оси 力 и проходит через начало координат. Соотношение, которому должны удовлетворять перемещения точек области контакта этих тел, как известно, имеет вид
(3.4)(3.4)疗(办 + 唠(方)=A* G) - /i (/) - /2 ⑷,
(3.4)
(3.4)
где А*(力)=Д* (方)+ A* (t) — сближение тел в направлении оси у, а 厶(％) и/2 (^)——уравнения поверхностей, ограничивающих первое и второе тела.
Если полагать, что трение и сцепление между сжимаемыми телами отсутствуют, то тогда на участке контакта каждое из этих тел будет испытывать только нормальное давление р* (х, Z). Но обычно область контакта бывает мала по сравнению с размерами сжимаемых тел; поэтому можно считать, что перемещения на участке контакта сжимаемых тел будут такими же, как у граничных точек двух полуплоскостей (верхней и нижней), находящихся под действием того же нормального давления р* (%, f), что и рассматриваемые сжимаемые тела.
к衣( (力工)+*2(力 c) J7 /zV / ,\ /о (^)к衣( (力工)+*2(力 c) J7 /zV / ,\ /о (^)Пользуясь формулой (3.1) и соотношением (3.4), И. Е. Прокопович для определения контактного давления р* (%, t) получил следующее интегральное уравнение:
к衣( (力工)+*2(力 c) J7 /zV / ,\ /о (^)
к衣( (力工)+*2(力 c) J7 /zV / ,\ /о (^)
(3.6)(3.6)где
(3.6)
(3.6)
% (%)=%⑺+-% (* e (方)=/因(方)+方2 (外，
где 4 — известная величина, зависящая от параметров материала, /±(/> и %(/) — уравнения контактных поверхностей первого и второго тела, С (力)—функция, связанная с суммарным неупругим перемещением A* (f).
(о (/,方)一j k (方，t) со(X. X) dx = F (瑞方),co (%,方)=j К (力，s) p* (s, t) ds,(о (/,方)一j k (方，t) со(X. X) dx = F (瑞方),co (%,方)=j К (力，s) p* (s, t) ds,Интегральное уравнение (3.5) позволяет разыскать интенсивность контактного давления р* (ж,方)в зависимости от положения точки по ширине контакта и продолжительности действия нагрузки. Это уравнение можно представить в более компактной форме:
(о (/,方)一j k (方，t) со(X. X) dx = F (瑞方),co (%,方)=j К (力，s) p* (s, t) ds,
(о (/,方)一j k (方，t) со(X. X) dx = F (瑞方),co (%,方)=j К (力，s) p* (s, t) ds,
(3.7)
(3.8)
что позволяет задачу определения неизвестного контактного давления р*(£,方)свести к последовательному решению связанных между собой двух интегральных уравнений (3.7) и (3.8).
Первое из этих уравнений, т. е. уравнение (3.7), которому должна удовлетворять со (ж,方)как функция времени 力,учитывает влияние ползучести материала на распределение контактных давлений р *(£,方)и представляет собой линейное интегральное уравнение Вольтерра второго рода, которое для различных случаев ядер ползучести К (力,т) подробно исследовано (С. В. Александровский, 1966; Н. X. Арутюнян, 1952; И. Е. Проко-
пович, 1963; М. И. Розовский, 1965). Если принять предположение (2.42), то (3.7) перейдет в уравнение, аналогичное уравнению, описывающему напряженное состояние системы, составленной из двух неоднородных элементов, при наличии вынужденных деформаций (И. Е. Прокопович, 1963). Если два контактирующих тела обладают одинаковыми модулями упругости и одинаковыми мерами ползучести, то при условии (2.42) уравнение (3.7) аналогично уравнению, описывающему релаксацию напряжений в однородном и изотропном теле (Н. X. Арутюнян, 1952; И. Е. Проко- пович, 1963).
Второе интегральное уравнение, (3.8), которому должна удовлетво^ рять р* (%,方)как функция %, представляет собой интегральное уравнение Фредгольма первого рода с ядром К (%, s) = In (1/ | % ——s |), имеющим слабую особенность, и правой частью со (£,力)，являющейся решением уравнения (3.7).
Если решение уравнения (3.7) представить в форме
① @ 方)=у ($ — Е (f) /о @) (3.9)
и далее, пользуясь методом М. Г. Крейна (1955), решить интегральное уравнение (3.8) с правой частью (3.9) при учете условия (2.42), то для определения р* (%,方)в случае симметричной задачи о контакте двух тел в уело- виях линейной ползучести и с учетом старения материала получается спе- дующая формула:
р*(%, z)= —А=+я(ор*(%, z)= —А=+я(о2 f 辽如 j %(s)冗 2 J Д/〃2 — %2 J -|/U2„S22 f 辽如 j %(s)冗 2 J Д/〃2 — %2 J -|/U2„S2(3.10)(3.10)
р*(%, z)= —А=+я(о
р*(%, z)= —А=+я(о
2 f 辽如 j %(s)
冗 2 J Д/〃2 — %2 J -|/U2„S2
2 f 辽如 j %(s)
冗 2 J Д/〃2 — %2 J -|/U2„S2
(3.10)
(3.10)
Заметим, что функция H (f), которая является решением интегрального уравнения (3.7) с правой частью, равной 1/9 (f), учитывает влияние упругомгновенных деформаций и деформаций ползучести сжимаемых тел с учетом старения материала на контактное давление р* (ж,方)в рассматриваемом периоде времени. В формуле (3.10) первый член представляет собою решение с особенностями в точках с = 士 а и подлежит сохранению только в случае заданной ширины контакта 2а; при этом неизвестная функция у (f) определяется из уравнения равновесия
а
夕⑺:=jp* (瑞力)d/. (3.11)
Когда же ширина контакта 2а (/) не задана, т. е. контакт между сжимаемыми телами происходит по плавным поверхностям, то неизвестная функция у = у «) определяется из требования, чтобы в формуле (3.10) первый член, представляющий решение с особенностью, исчез, т. е. у (f) = 0, а переменная во времени ширина контакта 2а (方)определяется из уравнения рав* новесия (3.11).
Для случая контакта по некоторым поверхностям частного вида полу^ чены простые расчетные формулы. Например, при контакте по цилиндра ческой поверхности /0 (力)=х/2 例R、когда ширина контакта не задана,
?* (瑞曾(3/2)
Аналогичным путем И. Е. Прокопович (1956) получил формулы для определения р* (%,方)в случае кососимметричной задачи о контакте двух тел в условиях линейной ползучести с учетом старения материала., В дальнейшем М・ М・ Манукян (1965) показал, что решение плосцоц
13*
контактной задачи линейной теории ползучести с учетом старения материала при двух симметрично расположенных участках контакта (— а & &% & ——&,方 & %&а) сводится к решению связанных между собой -интегрального уравнения (3.7) и уравнения (3.8) с ядром
К (%, S)= 1П ]%2 —s2] ' (3.13) Решение построено при помощи замены переменных и введения новой функции q & f), связанной с давлением 卩* (力，方)и определяемой по формуле, аналогичной (3.10).
Т. Ширинкулов (1964) установил, что плоская контактная задача линейной теории ползучести с учетом старения материала для тел, модуль упругости которых возрастает с глубиной по степенному закону, тоже может быть сведена к решению двух интегральных уравнений типа (3.7) и (3.8). В другой работе того же автора (1963) на основе наследственной теории старения приводится решение плоской контактной задачи линейной теории ползучести с учетом сил трения, когда коэффициенты поперечного расширения сжимаемых тел равны и постоянны во времени.
В работе А. М. Симоняна (1966) рассмотрено равновесие двух сжимаемых ортотропных тел при плоской деформации в условиях линейной ползучести с учетом старения материала.
Значительно большие трудности пришлось преодолеть при рассмотрении контактной задачи с учетом нелинейной ползучести материала. Это связано с тем, что построению решения должны были предшествовать рассмотрение задачи о равновесии полуплоскости (полупространства), нагруженной приложенной к ее границе сосредоточенной силой Р (f), и вывод формул для определения перемещений этой границы при действии распределенного давления р* (%, £)・
Плоская контактная задача нелинейной теории ползучести впервые была поставлена и решена Н. X. Арутюняном (1959). Основная зависимость между интенсивностью деформаций s ⑴ и интенсивностью напряжений а (%) была принята, согласно теории пластической наследственности с учетом старения материала (Н. X. Арутюнян, 1952; Ю. Н. Работнов, 1966), в виде
Ко* (0 = о (力)一j о (т) К (方，工)dq (3.14) где
к 也* =竺鼾~ (^0>0, О<|Ш<1), (3.15)
С (f, т) — мера ползучести, а К。и(1 — физические константы материала. Материал предполагается несжимаемым.
Тогда при действии сосредоточенной силы Р (f) для определения вертикального перемещения границы полуплоскости (или полупространства в случае плоской деформации), с учетом нелинейной ползучести и старения материала, получается следующая формула:
/ ⑴=4 [(1 — L)P(t)]m\s-x 卩-m + D(ty (3.16) где тп=1/|1, £ ——текущая абсцисса точки границы полуплоскости, для которой определяется перемещение 。*(力),s ——абсцисса точки приложения силы Р (方)，
厶 ——оператор Вольтерра с ядром ползучести (3.2) или (3.15), a J — известная постоянная, зависящая от (х・
Далее Н. X. Арутюнян показал, что если разбить эпюру давления р*(£,力)，действующего на участке контакта S (а & % & Ь), на элементар^ ные полоски шириной As； и высотой p^(sj t) (j = 1, 2,・・・,九)瓜 рассмотреть действие одной из этих полосок (например, у-й с абсциссой х = s) на нижнюю полуплоскость, то граничная точка этой полуплоскости с произвольной абсциссой х получит в направлении оси у перемещение 沙* (力), которое определится с помощью формул
v(t) = 5* (力)一о «)1,(3.18)
石(力=% (%) P*(s力力)As力 hj (t) = A^\ Sj — x 俨7 (1 — L).(3.19)
В дальнейшем величину v (t) будем называть обобщенным перемещением точек границы полуплоскости. Здесь важно отметить, что это обобщенное перемещение, как это следует из соотношения (3.19), линейно зависит от действующей силы, что для истинных перемещений у* (力)не имеет места ни в одной точке тела.
При одновременном действии на участке контакта S системы сил Pj (力)=Р* (s/, t) As； (у = 1, 2, •・・，n; n — число элементарных полосок шириной As/ на участке контакта) с помощью разложения в ряд Тейлора доказана возможность представления обобщенного перемещения v (/) в виде
0(%)=2%)(4)?* (s,方)As)+20加⑺0* (Sj,力)?*做")p*⑸/) AsjAs月十...
(3.20) Вследствие малости участка контакта S в выражении (3.20) для обобщенного перемещения v (t) при той степени точности, которая принята при решении данной задачи, можно ограничиться первым главным членом разложения. Это позволяет после перехода к пределу при Asj f 0 получить для определения обобщенных перемещений границы Z-й полуплоскости, вызванных давлением р* (%,力)，действующим на участке контакта S, следующую формулу:
В(力)=4 [(1 —£) J 玄⑶ s)卩*(s, t) ds)y +D(t), К (%, s) = t；_； j ・
'(3.21)
Таким образом, формула (3.21) выражает и обосновывает принцип приближенной суперпозиции обобщенных перемещений v (力)，дающий возможность свести решение плоской контактной задачи нелинейной теории ползучести с учетом старения материала (или теории пластичности со степенным упрочнением) к совместному решению двух связанных между собой интегральных уравнений вида
со (%, t) — J со (瑞 т) К (t, т) (h = F (%,力)，(3.22)
丫際=①m，方),(3.23)
где
歹(瑞4)=[Y⑺一%⑺此%⑺="甯，，(3.24)
a Ai и Л 2, согласно (3.17), определяются через константы материалов обоих тел:.
] j^m ，2女 т *
Таким образом, и в нелинейной постановке, основанной на физической зависимости (3.14), контактная задача наследственной теории ползучести сводится к последовательному решению двух связанных между собой интегральных уравнений (3.22) и (3.23). Решение уравнения (3.22) при различных ядрах (3.15) достаточно хорошо изучено (С. В. Александровский, 1966; Н. X. Арутюнян, 1952; И. Е. Прокопович, 1956; Ю. Н. Работаов, 1966; М. И. Розовский,1955); поэтому разыскание функции со (%,方) не ' встречает затруднений. Решение же интегрального уравнения Фредгольма первого рода (3.23) со слабой особенностью, когда областью контакта между телами является отрезок — 〃&%&〃, строится по методу М. Г. Крейна (1954, 1955).
Например, для случая симметричной задачи о контакте двух тел в условиях нелинейной ползучести получена формула
?*(力，t) = K (卩)3 力 Y) _ j 「阳" j , (s，")"s ] (3.25) К (a2 — /2)n J — /2)以 g r(U2 — §2)卩」
где
К、 Г ( 2 ""(号)画号)s(s, Z)ds q
а Г (z) — гамма-функция.
При заданной ширине контакта 2а неизвестная функция 丫 = 丫 (力) подбирается так, чтобы выполнялось условие (3.11), которое равносильно уравнению
①丄(a，z，Y)= Tr.(3。27)
si吋
Из этого же уравнения определяется величина 2а (力)при неизвестной ширине контакта; при этом функция у (力)должна удовлетворять условию обращения в нуль первого члена в формуле (3.25), представляющего решение с особенностями, т. е. условию
①；(a, f, у) = 0.(3.28)
Изучена и решена также кососимметричная плоская контактная задача с учетом нелинейной ползучести. Следует отметить, что случай произвольного нагружения сжимаемых тел не может быть получен путем наложения указанных выше двух случаев (симметричного и кососимметричного) и должен быть решен отдельно как самостоятельная задача (Н. X. Арутюнян, 1959).
Уравнения и формулы, полученные Н. X'. Арутюняном (1959) при t = т1? представляют собой решение плоской контактной задачи теории пластичности со степенным упрочнением материала, а при 卩=1 — решение плоской контактной задачи теории упругости (И. Я. Штаерман, 1949). При ти = 0 давление под жестким плоским штампом р*(£), полученное
согласно формуле (3.25), дает закон распределения, соответствующего известному решению Л. Прандтля (см. Л. М. Качанов, I960).
На основании решения Н. X. Арутюняна М. М. Манукян (1963) изучил задачу о вдавливании жесткого клина в полуплоскость в условиях неуста- новившейся ползучести. Им рассмотрены случаи заданной и неизвестной ширины контакта и выведены формулы для определения у (力)и。(力)•
Плоская контактная задача нелинейной теории ползучести при наличии сил трения в условиях установившейся ползучести ретена Н. X. Арутюняном и М. М. Манукяном (1963). При этом зависимости между интенсивностью скоростей деформации и интенсивностью напряжений приняты в виде
Ко№ = а,(3.29)
где К。且 卩—константы материала (О V 卩 V 1)・
Если принять, что одно из тел неподвижно и на участке контакта соприкасающихся тел действует нормальное давление р (%) и кулоново трение q (х) = кр (%), и воспользоваться принципом суперпозиции для обобщенных перемещений, то решение задачи нелинейной теории ползучести с учетом сил трения сведется к решению сингулярного интегрального уравнения Фредгольма первого рода следующего вида:
Г [做一sign (s — %) аУ р (s) ds =歹(3.30)
I s — x |1-M，，
где
方⑺=[Y-/。3)r
a 〃i, 〃2, gi ——постоянные, определяемые через физические константы материала К。,卩 и коэффициент трения Л.
Структура ядра этого интегрального уравнения вызвала необходимость в специальной разработке способа его решения. Для случая вдавливания жесткого штампа с прямолинейным основанием в полуплоскость, т. е. когда правая часть интегрального уравнения (3.30) со слабой особенностью является постоянной, удалось получить (Н. X. Арутюнян и М. М. Манукян, 1963) точное решение этого интегрального уравнения в замкнутом виде. При помощи этого решения для определения контактного давления р(X) была получена формула
=?(号"(卩一Р“ 冗(LP)p+ 一Р
卩力Р) уh冗 1/("2_/2)以 I )，
содержащая постоянную р, которая определяется через параметры 。丄, a2 и 卩.
Решение контактной задачи с учетом сил трения развито М. М. Манукяном (1963) для случая неустановившейся ползучести, описываемой зависимостью (3.14).
Пространственная контактная задача теории ползучести. Пространственная контактная задача теории ползучести в линейной постановке изучалась Н. Ф. Какосимиди и И. Е. Прокоповичем (1962). При выпол- вении условий (2.42) для определения вертикальных перемещений границы
i-го полупространства получена формула
(3.31)(3.31)玻(方)=Ai [Fz (方)一Li] J j К (s, n)卩* (s, n, Z) ds d%
(3.31)
(3.31)
где
4 = 上言储⑺4 = 上言储⑺11马 (z)马 (z)，К (s, л)=，К (s, л)=11Д/(%2 —s2)2 + @2 —刀2)2Д/(%2 —s2)2 + @2 —刀2)2，(3.32)，(3.32)
4 = 上言储⑺
4 = 上言储⑺
1
1
马 (z)
马 (z)
，К (s, л)=
，К (s, л)=
1
1
Д/(%2 —s2)2 + @2 —刀2)2
Д/(%2 —s2)2 + @2 —刀2)2
，(3.32)
，(3.32)
а оператор Lf определяется соотношением (3.2).
Неизвестное контактное давление р* (ж, у, t) определяется из интегрального уравнения
j j A" (s,哨卩* ® П, t) dsdn —
—j j j 2f (s, y\)K(t, t) p*(s, т], t) ds dx\dx = F(X, y, Z), (3.33) Ti S
аналогичного (3.5) и допускающего представление в виде двух уравнений：
ии沙，т:）к а, t）布=尸（瑞 у, 0沙，т:）к а, t）布=尸（瑞 у, 0①(力，勿 Z) = j j К (s, n) /?* (s, n, t) ds dn・①(力，勿 Z) = j j К (s, n) /?* (s, n, t) ds dn・(3.34)(3.35)(3.34)(3.35)
и
и
沙，т:）к а, t）布=尸（瑞 у, 0
沙，т:）к а, t）布=尸（瑞 у, 0
①(力，勿 Z) = j j К (s, n) /?* (s, n, t) ds dn・
①(力，勿 Z) = j j К (s, n) /?* (s, n, t) ds dn・
(3.34)
(3.35)
(3.34)
(3.35)
При этом К (& т) и 歹(х, у,方)определяются формулами, аналогичными (3.6), с учетом того, что /0 = /о (%, У} = /1 (怎 У)+ /2 (%, У)・
Интегральные уравнения (3.34) и (3.7) совершенно идентичны. Уравнение (3.35) при фиксированном моменте времени t описывает упругомгновенную задачу.
Пространственная задача линейной теории ползучести с учетом старения материала рассматривалась также М. Пределяну (Bull. math. Soc. sci. math, et phys., 1964, 6 : 3-4, 219—229) с приложением полученных результатов, в частности, к решению задачи о контакте двух сферических тел, находящихся под действием постоянной сжимающей силы.
В работе А. Б. Ефимова (1966) рассмотрена осесимметричная контактная задача для линейно-вязко-упругих тел. Контактное давление автор выражает через интегральный оператор, воздействующий на некоторую функцию координат г и времени t, отображающую влияние нагружения и разгрузки. При этом установлено, что связь контактного давления с радиусом круга контакта при повторной разгрузке зависит не от полной истории процесса контакта, а от соответствующей «усеченной траектории» «нагружения ——разгрузки».
А. И. Кузнецовым (1962) на основе идей, развитых в работах Н. X. Арутюняна (1959), решена задача о вдавливании жесткого штампа в полупространство, находящееся в условиях нелинейной ползучести, характеризующейся физическим уравнением, аналогичным (3.14), или при степенном упрочнении материала. Построению решения рассматриваем мой задачи пр едшеств ов а л и: рассмотрение задачи о равновесии полупространства с учетом ползучести материала при действии сосредоточенной силы Р (力),вывод формул для определения перемещений границы этого полупространства, находящегося в условиях установившейся ползучести, при действии распределенного давления р* (%, у,力)и, наконец, решение зада-
«ш о вдавливании штампа в п о лупр остр анств о со степенным упрочнением
материала.
Решение задачи о вдавливании жесткого штампа в полупространство при нелинейной ползучести материала основано на возможности представления вертикальных перемещений границ п о л у пр о стр анств а формулой
вида
у* (Z) = A [(1 —L) jjx(s, т])^*(5, П,力)曲&刀『 (加=+),(3.36)
которая получается из принципа суперпозиции обобщенных перемещений. Здесь Л — известная величина, зависящая от параметров материала К& и 卩(0 V 从 V 1)； оператор Е определяется согласно (3.2) и (3.3) или (3.15), а ядро
(3.37)(3.37)
(3.37)
(3.37)
Формула (3.36) позволила свести задачу определения неизвестного контактного давления р* (%, у, t) к решению двух интегральных уравнений (3.34) и (3.35). При этом ядра К (力 т) и К (s, 哨 принимаются согласно (3.15) и (3.37), a F (%, у,力)一по (3.24) с учетом того, что
%(瑞 у) = %(”)¥(“，У)
и у (力)в общем случае имеет вид у (力)=Д* (力)+ а (力)％ + § (力)у; для определения неизвестных функций Д* (力)，а (%) и В (力)используются три условия равновесия штампа.
А. И. Кузнецов (1962) рассмотрел случай штампа с плоским эллиптическим основанием и случай осесимметричного штампа.
Все полученные в упомянутых работах решения задач о контакте двух тел, находящихся в условиях неустановившейся ползучести, относятся к случаям, когда определение контактного давления р* (瑞 t) сводится к последовательному решению двух связанных между собой интегральных уравнений типа (3.22) и (3.23) или (3.34) и (3.35).
Решения контактных задач теории неустановившейся ползучести, естественно, оказалось возможным получить из такого рода системы уравнений только благодаря определенным предположениям о физической зависимости между напряжениями и деформациями, положенным в основу наследственной теории ползучести.
Характерным является то, что, согласно полученным выше решениям, ползучесть материала контактирующих тел не влияет на закон распределения контактных напряжений во времени, если контакт между этими телами происходит по линии или по плоскости, как, например, при вдавливании жестких штампов в полуплоскость или в полупространство в условиях неустановившейся ползучести.
Ползучесть материала контактирующих тел влияет на распределение давлений только в случае, когда контакт между этими телами происходит по крив о л инейным поверхностям, причем при заранее неизвестной ширине контакта площадь его при длительном действии нагрузки существенно изменяется со временем.
Учет ползучести оснований при решении различных контактных задач. Вопросы расчета балок на упругом основании, обладающем ползучестью, рассматривались в работах А. Р. Ржаницына (1949), М. И. Розовского (1956), И. И. Гольденблата и Н. А. Николаенко (I960), И. Е. Прокоповича (1963). В них приводятся решения задач расчета балок, лежащих
на сплошном основании, в случаях, когда материалы балок и оснований соответствуют реологической модели упруго-вязкого тела Кельвина или подчиняются законам линейной теории упругой наследственности.
М. И. Розовский (1951) дал решение задачи о деформации фундаментальной балки с учетом ползучести основания, когда последнее подчиняется винклеровой гипотезе коэффициента постели.
В работе И. И. Кийсса (1949) приводится расчет железобетонных балок с учетом ползучести бетона и основания исходя из условия равенства кривизны балки и поверхности основания. Для решения исходного уравнения И. И. Кийсс пользовался приближенными методами. В качестве приложения им рассмотрена задача, в которой основание является слоистым. При решении задач старение материалов балки и основания не учитывалось.
Своеобразной контактной задачей является задача о термонапряженном состоянии массивного бетонного блока, лежащего на основании из скалы или ранее уложенного бетона. Соответствующее решение плоской задачи выполнено Н. X. Арутюняном и Б. Л. Абрамяном (1955); при этом считалось, что между основанием и блоком расположен упругий слой. В дальнейшем это решение было развито М. М. Манукяном (1956) и М. А. Задояном (1957) и применено ими к круглым и прямоугольным блокам с учетом ползучести бетона. И. Е. Прокопович (1962) предложил приближенный способ расчета бетонных блоков с учетом их упругих свойств и ползучести основания. Соответствующее решение позволило ему выявить особенности влияния соотношений геометрических размеров блоков на их термонапряженное состояние и послужило основой для последующей разработки им практического способа расчета (1964). Этот способ позволяет учесть изменение температурного и влажностного режима, геометрические размеры блоков, конструкцию основания, изменение модуля упруго-мгновенных деформаций и релаксацию напряжений вследствие ползучести бетона. В последующем было изучено термонапряженное состояние системы двух массивных блоков (В. В. Крисальный, 1966).
На основе идей работы И. Е. Прокоповича (1956) Н. Ф. Какосимиди, применив наследственную теорию старения, разработал приближенный способ расчета фундаментной полосы (I960) и круглой плиты (1965), лежащих на упруго-ползучем основании. Для описания механических свойств оснований автор использовал модель упруго-ползучего полупространства, находящегося в условиях плоской деформации. Задача свелась к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода. Учет ползучести основания при расчете фундаментных полос (а также балок) приводит к возрастанию расчетных усилий, заметному перераспределению контактных давлений и возрастанию изгибающих моментов.
Ж. С. Ержанов (1964) рассмотрел на основе наследственной теории Ю. Н. Работнова несколько задач, посвященных исследованию напряженно-деформированного состояния подземных сооружений с учетом ползучести горной породы. Он исследовал напряженно-деформированное состояние горного массива вокруг закрепленной и незакрепленной шахтной и горизонтальной выработок. Ж. С. Ержанов и А. К. Егоров (1965) исследовали механизм зарождения складчатой структуры в земной коре при тектонических процессах, исходя из модели релаксирующего упруго-вязкого тела, представленного вольтерровыми уравнениями.
Используя общие принципы термодинамики, Л. С. Лапидус (1965) получил для горной породы при некоторых допущениях наследственную «функцию влияния, совпадающую по виду с функцией Кольрауша —— Вронского и хорошо согласующуюся с экспериментом.
МЕХАНИКА ГРУНТОВ
С. С. ГРИГОРЯН, 8. 4. ИОСЕЛЕВИЧ
Введение 203
Исследования деформируемости грунтов 205
Исследования прочности и несущей способности грунтов 210
Влияние временных эффектов 217
Динамика грунтов* 222
Введение
В науке о твердом деформируемом теле механика грунтов занимает особое положение. Выражается это в том, что механика грунтов привлекает ряд представлений и методов из различных разделов механики сплошной среды (теорий упругости, пластичности, ползучести, фильтрации)* Поэтому аппарат и задачи механики грунтов выглядят довольно пестро. Зта особенность обусловлена тем, что объект исследований ——грунт представляет собой сложную многофазную дисперсную систему, макроскопическое поведение которой под действием нагрузок определяется протеканием многих параллельно идущих процессов различной механической природы. Из-за многообразия природных разновидностей грунтов и условий воздействия на них эти процессы могут проявляться с различной интенсивностью и тем самым приводить к соответствующему многообразию форм макроскопического поведения среды. Задача механики грунтов, таким образом, в принципе представляется достаточно сложной. Для ее постановки и решения требуются ясное понимание и рациональная схематизация основных процессов, протекающих в грунте, и привлечение адекватных научных методов количественного анализа.
В историческом плане развитие механики грунтов, действительно, характеризовалось постоянными и небезуспешными попытками привлечения методов механики сплошной среды для решения практических задач и формирования общего облика этой научной дисциплины. С другой стороны, само развитие некоторых разделов механики сплошной среды (теории пластичности, теории предельных состояний) стимулировалось задачами механики грунтов, некоторые фундаментальные представления которой были сформулированы еще в XVIII и XIX веках (Ш. Кулон, В. Том- «сон, О. Мор, В. Ранкин, О. Рейнольдс и др.). Тем не менее в самостоятельную механическую дисциплину механика грунтов сформировалась сравнительно недавно, в двадцатых годах, когда были начаты система- таческие и значительные по результатам исследования К. Терцаги
и Н. М. Герсеванова. В этих исследованиях уже были намечены основные направления развития механики грунтов и методы решения соответствующих задач, основанные на использовании математических средств из теорий упругости, пластичности и фильтрации.
Последующее развитие механики грунтов характеризовалось углублением внимания к экспериментальному изучению механических свойств грунтов, необходимых для разработки теории, и совершенствованием самой теории. Предмет исследований в соответствии с нуждами практики был подвергнут систематизации, и были очерчены основные разделы механики грунтов. Эти разделы можно обрисовать следующим образом.
Вопросы деформируемости грунтовых оснований и массивов. Одной из основных практических задач, для решения которых необходимо привлекать методы механики грунтов, является оценка деформаций и смещений грунта вблизи фундаментов зданий и сооружений, а также деформаций грунта в окрестности подземных сооружений. Напряженно-деформированные состояния указанных сооружений и грунта, на котором или в котором они возведены, существенным образом связаны. Поэтому для расчета деформируемости (эксплуатационной пригодности), прочности и устойчивости этих сооружений необходимо знание деформационных, характеристик грунтового массива, В связи с этим один из важных разделов механики грунтов имеет дело с экспериментальным изучением деформаций различных грунтов под нагрузкой и разработкой теоретических методов количественного описания и расчёта поведения системы «сооружение ——грунтовый массив».
Вопросы прочности и несущей способности грунтовых оснований и массивов. Оценка несущей способности и устойчивости оснований под сооружениями и откосов также является одной из основных инженерно-строительных задач, решаемых методами механики грунтов. Для решения этой задачи разрабатываются соответствующие экспериментальные методы исследования пластических и прочностных свойств грунтов и теоретические модели.
Вопросы развития медленных механических процессов в грунтах в о времени. Описанные выше две задачи о деформируемости и прочности грунтов являются основными для приложений. В ряде случаев развитие деформаций в грунтах и достижение предельных по прочности или устойчивости состояний в грунтовых основаниях и массивах протекают в течение длительных промежутков времени, значительно превосходящих время приложения внешних нагрузок. Это обусловлено процессами ползучести минерального скелета и движением воды в поровом пространстве деформирующегося грунта. Изучение и количественное описание этих процессов требуют привлечения методов теорий ползучести и фильтрации с учетом реальных свойств, характеризующих деформируемость и прочность грунтового скелета.
Вопросы динамики грунтов. Исследование поведения грунтов под действием динамических нагрузок приобретает все большую актуальность в связи с практическими задачами оценки и расчета эффектов, сопровождающих ударное, взрывное и вибрационное воздействия на грунты. Здесь основные задачи сводятся к изучению характеристик деформируемости и прочности грунтов при больших скоростях приложения внешних нагрузок и к обоснованному учету инерционных эффектов.
Интенсификация и разнообразие строительства в нашей стране, связанное с этим повышение удельных нагрузок на грунтовые основания, применение более丄экономичных статически неопределимых сооружений
и конструкций, необходимость разработки проектов и строительства уникальных крупных сооружений (гидротехнических, транспортных, подземных и т. д.), широкое использование взрыва и вибрации при проведении строительных и иных работ стимулир ов а л и и продолжают стимулировать углубленный научный анализ вопросов механики грунтов и привели к^значительному прогрессу в этой области в нашей стране.
В настоящем кратком обзоре дается описание основных этапов и достижений в развитии механики грунтов в СССР за 50 лет.
Исследования деформируемости грунтов
Изучение деформационных свойств грунта, естественно, начинается с постановки простейших опытов по сжатию образцов, позволяющих установить соответствие между действующим в образце напряжением и возникшей в нем деформацией. Результаты такого рода экспериментов, называемых компрессионными (сжатие образца без возможности его расширения в боковые стороны), изображенные на плоскости переменных о, е (сжимающее напряжение и деформация), имеют вид, показанный на рис. 1. Характерной особенностью приведенного графика является наличие близкого
Рис. 1. Рис. 2.
к прямолинейному начального участка, за которым следует резкое искривление диаграммы, приводящее к почти полному прекращению роста деформации е при дальнейшем увеличении напряжения о.
Другая схема эксперимента, предназначенного для выявления деформационных свойств уже не образца грунта, а массива в целом, состоит в измерении осадок жесткого штампа, вдавливаемого в грунт заданной нагрузкой. Типичный результат такого эксперимента в переменных S, Р (осадка, вдавливающая сила) изображен на рис. 2. Здесь также наблюдается начальный прямолинейный участок на диаграмме, за которым последняя резко искривляется, и с дальнейшим ростом нагрузки на штамп осадка растет весьма значительно (исчерпывается несущая способность грунтового основания под штампом).
Наличие прямолинейных участков на приведенных диаграммах, естественно, приводит к мысли рассматривать грунтовую среду, подверженную действию сравнительно небольших напряжений, как линейно упругую. Такое предложение было сделано еще П. А. Миняевым в 1914 г. Дальнейшее развитие эта идея получила в работах Н. П. Пузыревского (1923, 1934) и особенно Н. М. Герсеванова (1930, 1933). Для того чтобы подчеркнуть не вполне упругий характер поведения грунта даже при малых
напряжениях, проявляющийся при разгрузке, Н. М. Герсеванов ввел специальное название «линейно деформируемая среда». Идея оказалась весьма прогрессивной ——она позволила применить хорошо развитый аппарат теории упругости для систематического количественного анализа разнообразных задач механики грунтов, установить, в какой мера получающиеся при этом результаты согласуются с реальностью, и дала возможность формулировки на этой основе практических рекомендаций.
В грунтовом основании под жестким штампом (сооружением) даже при небольших нагрузках вблизи краев штампа из-за резкой концентрации напряжений развиваются области неупругого деформирования. Поэтому вопрос о применимости теории упругости должен быть решен прежде всего путем оценки влияния этих областей на поведение системы. В. А. Флориным (1936) было указано, что при размерах неупругих областей, составляющих некоторую небольшую долю размера штампа, их влия* ние несущественно, и, используя аппарат теории упругости, можно расчетным путем определять осадки сооружений. В дальнейшем решения задач теории упругости были широко использованы для разработки методов расчета осадок сооружений и прочности конструкций на упругом основании. В этой связи следует упомянуть работы Н. М. Герсеванова и А. Я. Мачерета (1935,. 1937), Н. Н. Маслова (1936, 1940), В. А. Флорина (1936, 1948, 1959, 1961), К. Е. Егорова (1938, 1949, 1960, 1961), В. Г. Ко- роткина (1938), О. Я. Шехтер (1939), Н. А. Цытовича (1941, 1963, 1967), М. И. Горбунова-Посадова (1946, 1949, 1953), Б. Н. Жемочкина и А. П. Синицына (1947, 1962), А. А. Ничипоровича (1955, 1957), С. А. Роза (1959). ,
Наряду с интенсивным применением теории упругости для решения прикладных задач механики грунтов продолжались исследования по установлению пределов применимости и обоснованию этого подхода. В теоретическом плане эти исследования сводились к следующему. По решению задачи в рамках теории упругости и экспериментально установленному соотношению, связывающему компоненты тензора напряжений в предела ном состоянии (в частности, по условию Кулона), определялись очертания и размеры областей, в которых «нарушается» условие применимости упругой модели. На этой основе формулировались ограничения на нагрузку, при выполнении которых применение теории упругости должно приводить к удовлетворительным результатам. Вывод сводится к тому, что размеры «пластических» областей не должны превышать 0,25 а, где а —— размер фундамента сооружения. Кроме того, был сделан ряд схематизаций по учету влияния начального напряженного состояния грунтового основания, обусловленного его весомостью, а также неоднородности и анизотропии грунта на распределение напряжений и деформаций основания под сооружением, предназначенных для устранения наблюдающихся несоответствий (иногда значительных) между предсказаниями теории упругости и опытом. Эти схематизации сводились к тому, что вместо однородного упругого основания тем или иным способом в рассмотрение вводилось упругое основание конечной толщины, выбор которой позволял согласовать данные теории и опыта.
По этому поводу следует отметить, кроме упоминавшихся работ Н. П. Пузыревского, работы В. А. Флорина (1938, 1949), Д. Е. Польшина (1939, 1961), В. Г. Березанцева (I960), Р. В. Серебряного (1961), М. И. Горбунова-Посадова (1962). Соответствующие выводы и рекомендации этих работ нашли отражение в ныне действующих нормах (1962).
Экспериментальные исследования, проводившиеся для установления применимости упругой модели при описании механического поведения грунтового основания, уже в тридцатых годах (X. Пресс, 1930; X. Р. Хакимов, 1939) выявили один весьма Существенный факт. Оказалось, что при фиксированной удельной нагрузке на жесткий штамп осадка последнего с изменением его размеров лишь в сравнительно узком диапазоне значений размера может быть согласована с предсказаниями теории упругости. Типичные результаты таких опытов, впоследствии проводившихся в большом количестве, изображены на рис. 3, где показана зависимость
Рис. 3. Рис. 4.
осадки квадратного штампа S от размера его стороны а при постоянной удельной нагрузке q. Результат применения теории упругости (в тех же терминах) изображен на рис. 4.
Существующие объяснения качественного и количественного различий между этими диаграммами носят интуитивный характер и состоят в следующем. Если при фиксированной удельной нагрузке уменьшать размер штампа а, то роль пластических деформаций в основании начинает возрастать, соответственно растут и осадки, пока при каком-то значении а не будет исчерпана несущая способность основания (ср. рис. 2). Затухание же роста осадок с ростом а связывается либо с неоднородным строением основания по глубине, либо с влиянием начальных напряжений в основании, обусловленных весомостью грунта. Приведенное объяснение существования нисходящей ветви зависимости S = S (а) представляется удовлетворительным, однако следует подчеркнуть, что из этого объяснения не ясно, почему при уменьшении а роль сдвиговых пластических деформаций возрастает. Имеющиеся в литературе соображения относительно природы затухания роста осадок при больших а и расчетные приемы, связанные с упоминавшимся выше способом введения деформируемого основания конечной толщины, весьма расплывчаты и не могут быть приняты в качестве рационального научного объяснения.
Необходимость правильного объяснения обсуждаемых эффектов имеет принципиальное и существенное прикладное значение. С решением этого вопроса связана проблема выбора между сравнительно простым линейным аппаратом теории упругости и возможными построениями нелинейных моделей. Конечно, существенная нелинейность в поведении грунта проявляется уже в простейших опытах типа компрессионных, так же как и линейно упругое поведение при малых напряжениях (см. рис. 1). Применение теории упругости при умеренных значениях а также допустимо (ср. рис. 3 и 4). Однако для больших значений а (порядка 10 м и более) упругая модель резко расходится с опытом, и требуется выяснить, с чем на самом деле связан этот эффект.
Можно показать, что для однородного грунтового массива при любой нелинейности модели грунта в условиях невесомости эффект затухания роста осадок с ростом а невозможен. В самом деле, в любой нелинейной модели однородной среды, не учитывающей изменений в напряженно- деформированном состоянии при фиксированных нагрузках (именно о таких моделях только и идет речь в настоящем параграфе), могут фигурировать различные параметры, имеющие лишь размерность напряжения (различные модули деформации или прочностные константы 豆i,豆2, • • •, £n). Поэтому зависимость осадки S от определяющих ее параметров можно записать в виде .
Из соображений теории размерностей следует, что это соотношение допускает представление
из которого видно, что при постоянной удельной нагрузке на штамп (q = const) и фиксированной среде (百» = const; i = 1, 2, •..,九)зависимость осадки S от размера штампа а линейна. Таким образом, нелинейность зависимости S = S (〃)при больших а может быть в рамках рассматриваемого типа моделей среды обусловлена либо неоднородностью среды, либо взаимодействием начального напряженно-деформированного состояния среды, вызванного ее весомостью, с напряжениями и деформациями от внешней нагрузки. Однако, как показали опыты, нелинейность зависимости S = S](〃) наблюдается и в однородных грунтах. Поэтому следует в этом случае исключить первую из указанных возможностей.
Можно, далее, показать, что в случае линейно упругой модели даже при наличии начальных напряжений и деформаций, вызванных весомостью, нелинейной зависимости S от 〃 получить нельзя. В самом деле, для такой модели среды в силу линейности задачи в целом задача определения напряжений, деформаций и т. д., вызванных внешней нагрузкой, полностью отделяется от соответствующей задачи, связанной с весомостью среды. Таким образом, задача определения дополнительной осадки грунта под штампом, вызванной нагрузкой (только об этой осадке и идет речь), ничем не отличается от этой же задачи для невесомой среды. Вывод сводится к тому, что только в рамках нелинейной модели возможна взаимная игра начальных полей напряжений и деформаций, обусловленных весомостью, с полями, индуцированньтми внешней нагрузкой, и объяснение эффекта затухания роста осадки с ростом размера штампа должно быть связано именно с этим обстоятельством.
Обратимся теперь к вопросу о природе нисходящей ветви зависимости S = S (〃). Как уже отмечалось, в отсутствие весомости при любой нелинейности модели эта зависимость будет линейной. Поэтому существование нисходящей ветви также вызвано влиянием силы тяжести, только в этом случае, т. е. при малых а, имеет место взаимодействие нелинейных эффектов при деформациях сдвига (а не уплотнения) с весомостью.
В обоих случаях среди определяющих параметров появляется объемный вес среды у, и зависимость осадки от этих параметров приобретает вид
откуда и следует, что зависимость S = S (〃) может быть достаточно сложной. При малых а влияние весомости проявляется на сдвиговых деформа-
циях (нисходящая ветвь диаграммы S ——а), а при больших ——на деформациях сжатия (затухающая ветвь).
Дополнительно отметим, что наличие обсуждаемого нелинейного взаимодействия будет еще сказываться благоприятным образом на развитии упруго-пластических областей у краев штампа при росте нагрузки, стесняя это развитие, что приведет и к повышению теоретических значений несущей способности оснований. В связи с этим укажем, что существующие методы оценки несущей способности приводят к заниженным ее значениям в сравнении с экспериментом (см., например, М. И. Горбунов-Посадов, Устойчивость фундаментов на песчаном основании. М・，1962).
Для иллюстрации сказанного рассмотрим задачу определения осадки S при очень больших значениях а. Если допустить, что при а -> оо осадка S остается конечной (это согласуется с опытом, см. рис. 3), то это будет означать, что при действии однородной нагрузки q на поверхность весомого грунтового полупространства осадка этой поверхности будет конечной, а соответствующая задача ——одномерной. Для получения решения этой задачи требуется лишь компрессионная диаграмма грунта (рис. 1), и результат имеет вид
Soo= j к (w + q) —E(?Z)] dz,о
где 丫 ——объемный вес грунта.
8оо = Ит 8 (о).8оо = Ит 8 (о).Для сходимости интеграла в этом соотношении требуется только выпуклость и ограниченность функции е = е (о) при а—> оо, а именно такими свойствами и обладает компрессионная диаграмма. Оценка интеграла при не очень больших q дает
8оо = Ит 8 (о).
8оо = Ит 8 (о).
где
В качестве примера рассмотрим случай, когда
q = 2 左77cM2, 丫 = 1,6 Г/см3, Eg ^ 3 -10"2 (песок).
Для осадки Sg получаем Sg ^ 0,4 於, что согласуется с данными натурных наблюдений за осадками крупных в плане сооружений.
Таким образом, дальнейшие исследования деформируемости ррунто- вы女 оснований и массивов должны базироваться на построении согласующихся с опытом нелинейных моделей среды. К этому выводу приводят и экспериментальные факты, полученные в результате систематических лабораторных исследований деформируемости образцов грунта при сложных напряженных состояниях (А. И. Боткин, 1939, 1940; С. С. Вялов, 1956, 1959; М. Н. Гольдштейн, 1956; А. С. Строганов, 1956, 1964; И. В. Федоров, 1957, 1958; Г. М. Ломизе, 1959, 1961, 1965, 1966; С. С. Вялов и Е. П. Шушерина, 1964; И. Н. Иващенко, 1966; Г. М. Ломизе и А. Л. Кры- жановский, 1966, 1967, и др.), данные натурных наблюдений за осадками фундаментов и перемещениями поверхности грунта вокруг возведенных зданий и сооружений, а также наблюдения за осадками поверхности грунта при исследовании грунтовых оснований пробными нагрузками 14 Механика в СССР, т. 3
(Ю. М. Абелев, 1934, 1948; X. Р. Хакимов, 1938; И. И. Черкасов, 1958; К. Е. Егоров, 1960; Д. Е. Польшин и Н. Я. Рудницкий, 1960; В. П. Ушкалов, 1962, и др.). Среди зарубежных работ этого направления следует отметить исследования X. Муса и X. Каля (DEGEBO, 1961, Н. 14).
Опыты показали, что при нагружении грунта наблюдается нелинейность не только в объемной деформируемости (компрессия), но и при деформациях сдвига. При этом сдвиговые деформации обусловлены не только касательными, но и нормальными напряжениями, а объемная деформация определяется не только средним давлением — она существенно зависит от девиатора напряжений (эффект дилатансии). Последний эффект был обнаружен в опытах еще О. Рейнольдсом (1885), однако серьезное его изучение и использование в теоретических построениях началось много позднее.
Попытки учета нелинейных эффектов в деформируемости грунтов делались путем замены упругих постоянных в модели линейно деформируемой среды некоторыми функциями инвариантов тензора напряжений (И. В. Федоров, 1957, 1958; Г. М. Ломизе, 1959, 1961, 1966; А. С. Строганов, 1961; С. С. Вялов, 1964——1966; X. А. Рахматулин, А. Я. Сагомонян и Н. А. Алексеев, 1964; Г. А. Гениев, 1965; И. Н. Иващенко, 1965; Г. М. Ло- мизе и И. Н. Иващенко, 1965, 1966; В. А. Иоселевич и Б. И. Дидух, 1966; А. Л. Крыжановский, 1966, и др.).
Появление экспериментальных данных о деформационных свойствах грунтов при сложных напряженных состояниях позволило более рационально подойти к проблеме построения нелинейных моделей, приспособленных для описания специфики механического поведения материала, свойственной именно грунтовой среде. Были сформулированы полные математические модели, учитывающие поведение среды как в допредельных состояниях (состояния, при которых деформации ограничены и могут расти лишь с ростом напряжений), так и в предельном напряженном состоянии (состояние пластического теченил). Этим вопросам посвящены работы С. С. Григоряна (1959, i960) и В. А. Иоселевича (1967), в которых были учтены основные экспериментально установленные существенные свойства деформируемости грунтов в рамках современных представлений о моделях механики сплошной среды.
Отметим, что в настоящем параграфе речь идет только о моделях деформируемости, не учитывающих временных эффектов. Последние будут специально обсуждены в § 4.
Дальнейшая работа в рассматриваемом направлении, как нам представляется, должна быть связана с совершенствованием и детализацией математических моделей грунтовой среды и разработкой эффективных расчетных методов решения основных прикладных задач на основе таких моделей.
Исследования прочностии несущей способности грунтов
В строительной механике грунтов наряду с задачей о деформируемости основания имеет важнейшее значение задача о его несущей способности и устойчивости. Эта задача оказывается главной при расчете и проектировании сооружений с большой удельной нагрузкой, действующей на основание, и особенно в случаях, когда внешняя нагрузка имеет горизонтальную составляющую (гидротехнические и иные сооружения). Для решения задач, связанных с оценкой устойчивости грунтовых откосов и бортов
карьеров, также требуются главным образом сведения о прочностных свойствах грунтов.
Важнейшей особенностью механического поведения грунта под нагрузкой является существование двух диапазонов изменения напряженного состояния, в пределах которых поведение грунта существенно различно. Первый из них, соответствующий так называемому допредельному состоянию, характерен тем, что при данном напряженном состоянии деформации оказываются вполне определенными и стабильными, изменение последних происходит лишь при увеличении уровня напряжений. Второй из указанных диапазонов характеризуется достижением некоторой комбинацией напряжений критического уровня, при котором деформации могут неограниченно развиваться и привести либо к хрупкому разрушению грунта, либо к возникновению значительных смещений (пластическое течение). Наличие этих двух диапазонов делает картину до некоторой степени похожей на то, что имеет место при деформировании обычных конструкционных упруго-пластических материалов, где первой стадией является упругость, а второй — упруго-пластическое деформирование. Существенная разница заключается в том, что, во-первых, для грунтов в допредельном и предельном состояниях значительная часть деформаций оказывается необратимой и, во-вторых, из-за пористости и дисперсности грунтов необратимость деформаций не ограничивается лишь сдвиговыми деформациями —объемная деформация в грунтах также главным образом необратима.
Все это, конечно, осложняет задачу адекватного математического описания такого материала и требует реализации значительно более обширной программы экспериментов, достаточных для обоснования и конкретизации такого рода описания. В этих трудностях кроется причина того, что в отличие от других разделов механики твердого деформируемого тела, развитых к настоящему времени достаточно хорошо, в механике грунтов решение соответствующих вопросов общего и принципиального характера оказалось продвинутым в меньшей степени.
Одним из основных вопросов здесь является установление критерия перехода материала в предельное состояние. Постановка и первое решение этого вопроса для простейших ситуаций восходят к работам Ш. Кулона (1773 г.), который показал, что в предельном состоянии на площадках возможного скольжения нормальное и касательное напряжения связаны линейным соотношением типа закона сухого трения. Дальнейшее развитие этот вопрос получил в работах О. Мора и В. Ранкина. Выработанные на основе этих работ представления о законе прочности грунта привели к разработке специальной экспериментальной техники и методик для опытного определения параметров прочностного соотношения в реальных грунтах.
К сожалению, в течение длительного промежутка времени схемы лабораторных опытов оставались принципиально неудовлетворительными (в испытуемых образцах напряженное состояние оказывалось существенно неоднородным и плохо контролируемым), а получаемые результаты давали лишь качественные представления о процессе и грубо ориентиров очные количественные сведения. Только в сороковых годах началось более углубленное изучение вопроса и разработка более совершенной экспериментальной техники (появились приборы трехосного сжатия, сдвиговые приборы с кручением образцов и др.).
В работах А. И. Боткина (1939, 1940) было показано, что условие предельного напряженного состояния представляет собой инвариантное 14*
соотношение, связывающее линейным образом интенсивность касательных напряжений со средним давлением, и, таким образом, не совпадает с условием Кулона. Это соотношение в традиционной механике пластичности известно под названием условия Губера ——Мизеса ——Шлейхера. Впоследствии в механике грунтов это соотношение иногда стало называться условием Боткина. Новые опыты, проведенные более тщательно и на большем разнообразии грунтов М. В. Малышевым (1954, 1963), Б. Н. Баршевским (1956), И. В. Федоровым (1957), С. С. Вяловым и Е. П. Шушериной (1963, 1964), С. С. Бабицкой (1964), А. С. Строгановым (1964, 1965), Г. М. Ло- мизе и А. Л. Крыжановским (1966) и др., выявили дополнительные особенности и детали прочностного соотношения для грунтов. Однако общее свойство этого соотношения, заключающееся в росте предела сдвиговой прочности грунта с давлением, осталось без существенных изменений. Вопрос об использовании того или иного конкретного инвариантного вида этого соотношения может решаться на основе опытных данных и в зависимости от конкретных особенностей рассматриваемых задач. При этом соображения математического удобства, связанного с решаемой задачей, могут играть важную роль. В связи с этим следует отметить, что в литературе (Б. Н. Баршевский, 1956; М. В. Малышев, 1963; А. С. Строганов, 1964, и др.) имела место дискуссия по поводу выбора между условиями Кулона, Боткина и др., которая в связи со сказанным лишена сколько- нибудь содержательного предмета.
Наряду с углубленными экспериментально-теоретическими исследованиями самого вида условия прочности (условия предельного состояния), в механике грунтов интенсивно развивались математические методы решения задач о предельных напряженных состояниях грунтовых массивов. Это было связано с тем, что некоторые задачи (плоская и осесимметричная) при определенных граничных условиях, формулируемых в напряжениях, оказываются статически определимыми, если предположить, что в каждой точке рассматриваемой в задае области грунтового массива среда находится в предельном напряженном состоянии. При этих условиях соответствующая математическая задача формулируется для некоторой системы гиперболических уравнений, для решения которой можно воспользоваться хорошо развитым математическим аппаратом, в частности методом характеристик. В этом направлении после классических работ В. Ранкина, Л. Прандтля, Р. Хилла было решено множество конкретных краевых задач о несущей способности оснований и устойчивости откосов и подпорных стенок (В. В. Соколовский, 1942, 1954, 1960; С. С. Голушкевич, 1948, 1957; В. Г. Березанцев, 1953, и др.). Нужно отметить, что в отличие от плоской задачи в случае осевой симметрии для замыкания системы уравнений в напряжениях одного условия предельного состояния Кулона недостаточно, и приходится привлекать дополнительное предположение о напряженном состоянии. В качестве такого предположения В. Г. Березанце- вым было использовано известное условие Кармана — Хаара о полноте предельного состояния, т. е. о совпадении промежуточного по величине главного напряжения с одним из двух других.
По поводу обсуждаемого направления теоретических исследований необходимо отметить, что они, во-первых, приспособлены для решения лишь ограниченного класса задач, допускающих формулировку только в напряжениях, и, во-вторых, даже для этого класса построенные решения не позволяют сказать что-либо о деформациях и смещениях в среде. Более того, известно, что решения задач в рамках описанной схематизации не всегда единственны и выбор решения без привлечения дополнительных
сведений о полях деформаций и смещений невозможен. Использование таких соображений позволяет не только сделать выбор, но иногда приводит даже к заключению о некорректности некоторых решений, построенных без рассмотрения соотношений, связывающих напряженное состояние с деформированным. Все это хорошо известно в теории пластичности ), однако в механике грунтов этому вопросу до недавнего времени не уделялось достаточного внимания.
В инженерно-строительной практике постоянно делались сопоставления решений задач, основанных на описанных выше схематизациях, с данными натурных наблюдений. Такие сопоставления часто обнаруживали значительные несоответствия, и это побуждало исследователей изыскивать пути совершенствования теории. Дело в том, что при формулировке математической задачи в рамках схемы теории предельного равновесия необходимо сделать допущение о том, что часть грунтового массива не охвачена предельным состоянием и остается жесткой. Выбор же этой части, по существу, делается в значительной степени произвольным образом. Из-за этого не всегда такой выбор приводит к результатам, сколько-нибудь близкими к действительности. Это обстоятельство привело к возникновению более сложных построений, в которых делалась попытка учесть упругое деформирование грунта в части массива, примыкающей к области предельного состояния (упругое ядро под штампом в задаче о несущей способности основания). Такие уточнения были сделаны на основе экспериментальных данных (В. И. Курдюмов, 1889, 1891 гг.; М. Ш. Минцковский, 1952, 1957, 1962; М. В. Малышев, 1953; А. С. Кананян, 1954, и др.), выявивших существование «упругих» областей. Полученные с учетом этой особенности приближенные решения задач (М. И. Горбунов- Посадов, 1957, 1962; М. В. Малышев, 1959; М. Ш. Минцковский, 1962) позволили приблизить расчетные данные к результатам натурных наблюдений.
Приближенный характер этих решений связан, во-первых, с заданием границы, разделяющей упругую область и области предельного состояния, и, во-вторых, с тем, что на этой границе задаются дополнительные соотношения для смещений, неизбежные из-за отсутствия сведений о смещениях в области предельного состояния.
Отрыв теоретических построений, связанных с определением несущей способности оснований и устойчивости откосов, от методов оценки деформационных свойств грунтов и осадок сооружений в механике грунтов осознан уже давно, и постоянно делались попытки установления связи между теорией деформирования грунтов и теорией предельных состояний. Очевидно, оценка деформаций грунтового массива и соответствующих осадок при приближении к предельному состоянию откоса или системы «грунтовое основание — сооружение» имеет не менее важное значение, чем оценка просто несущей способности. Тем не менее методы расчета деформаций и осадок именно в этих состояниях почти отсутствуют.
По-видимому, впервые на необходимость единого подхода к построению теории деформируемости и перехода в предельное состояние обратил внимание Г. М. Ломизе (1959), исходя из представлений о том, что всякая деформация грунта (как в допредельном, так и в предельном состояниях) и значительной степени необратима и обусловлена взаимными смещениями
и переукладкой частиц грунтового скелета, вызванными локальными переходами в «предельные» состояния. При этом «глобальный» переход элемента грунта в предельное состояние есть просто следствие возрастания числа таких локальных переходов до максимально возможного. Эти представления, весьма ясные по своему физическому содержанию, приводят к необходимости развивать единую теорию деформирования и перехода в предельное состояние. Конечно, при этом фактические построения и математические схематизации могут быть различными и приспособленными для решения различных специфических классов задач. Однако важно иметь в виду, что математическая модель среды должна быть одна. Она должна позволять в принципе решить любую задачу о поведении грунтового массива в процессе его нагружения с определением полей напряжений, деформаций и смещений, определением областей допредельных и предельных состояний вплоть до полного исчерпания несущей способности и даже последующего разрушения, разыгрывающегося с участием динамических эффектов.
Попытки такого рода единых теоретических построений с той или иной степенью математической полноты были предприняты в упоминавшихся выше работах Г. М. Ломизе и его учеников (И. Н. Иващенко, А. Л. Крыжановский и др.), в которых, однако, свойства деформируемости рассматривались вплоть до предельного состояния, но не в самом предельном состоянии. В этих работах формулировались связи между напряжениями и деформациями в виде обычного инвариантного квазилинейного тензорного соотношения. Определенные инвариантные обобщения экспериментальных данных по испытанию грунта, необходимые для возможных, построений такого рода, делались еще А. И. Боткиным (1940) и позднее И. В. Федоровым (1957, 1958), А. С. Строгановым (1961), С. С. Вяловым (1964) и др.
X. А. Рахматулиным, А. Я. Сагомоняном и Н. А. Алексеевым (1962) была предложена деформационная модель грунта, являющаяся конкретным вариантом нелинейно упругой модели сплошной среды (связь между напряжениями и деформациями допускает потенциальное представление). Однако следует отметить, что из-за преимущественной необратимости процессов деформирования грунтов модель нелинейно упругого тела не может быть удовлетворительным описанием (потенциальность связи напряжений с деформациями является недопустимо жестким ограничением). При существенной необратимости процесса деформирования указанная связь должна быть более общей (неголономной).
Простейшая модель грунтовой среды, учитывающая нелинейный и необратимый характер объемных и сдвиговых деформаций и охватывающая как допредельные, так и предельные состояния грунта, была предложена С. С. Григоряном (1959, I960). В этой модели связь между напряжениями и деформациями при сдвиге в допредельном состоянии принята в виде линейно упругого закона, а влияние сдвигающих напряжений на объемную деформируемость отсутствует (нет эффекта дилатансии).
Математическая модель, учитывающая нелинейность материала при допредельном деформировании, а также эффект дилатансии, основанная на анализе многочисленных экспериментальных данных, была предложена В. А. Иоселевичем (1967). Эта модель для допредельных процессов голономна, но не является моделью нелинейно упругого тела и поэтому содержит меньше ограничительных допущений. Вместе с тем голономность' делает ее в принципе ограниченной ——в рамках этой модели нельзя
получить удовлетворительного описания процессов, в которых нагружение оказывается существенно не простым.
В связи с вопросами оценки несущей способности и устойчивости -оснований и откосов необходимо упомянуть специальное направление исследований, связанное с разработкой приближенных методов. Основная идея этих методов, по-видимому, содержалась уже в работах Ш. Кулона, и ее мотивировка и реализация выглядят следующим образом. При исчерпании несущей способности грунтового массива потеря устойчивости осуществляется в результате смещения некоторой части массива по поверхности скольжения. Детальный механизм этого явления связан с таким развитием напряженно-деформированного состояния массива, при котором приближение к состоянию, когда теряется устойчивость, характеризуется резкой локализацией сдвиговых деформаций вблизи некоторой поверхности, по которой затем и происходит соскальзывание части массива. Естественно, для точного расчетного описания этого явления требуются, с одной стороны, достаточно совершенные модели среды,、допускающие детальное прослеживание развития процесса деформирования в допредельном и предельном состояниях, и, с другой стороны, с о отв етствующие математические методы решения возникающих здесь существенно нелинейных задач. Ни тем, ни другим вплоть до недавнего времени исследователи не располагали. Теория предельного равновесия, как уже отмечалось, в принципе не в состоянии решить эту задачу.
Поскольку в действительности потеря устойчивости происходит именно с образованием четко выраженной поверхности скольжения, то естественным образом возникает идея получить числовые оценки, задав- шить правдоподобными очертаниями этой поверхности и полагая, что на ней нормальные и касательные напряжения связаны условием предельного равновесия (условием типа Кулона). При таком подходе задача обычно состоит либо в определении предельно допустимых нагрузок, либо в оценке коэффициента устойчивости, в некотором смысле выясняющего, насколько допустимая нагрузка больше действующей. Фактическое решение этой задачи заключается в том, что вводится в рассмотрение семейство поверхностей скольжения заданной формы (плоскости, круглоцилиндрические поверхности и т. д.), для каждой из них определяются условия равновесия массива, ограниченного снизу этой поверхностью, и находится величина предельной нагрузки или коэффициента устойчивости. Затем выбирается та поверхность из рассматриваемого семейства, для которой критическая нагрузка или коэффициент устойчивости минимальны. Полученные таким образом величины позволяют в какой-то мере судить о действительной несущей способности массива (по величине предельной нагрузки) или о близости системы к предельному, в смысле устойчивости, состоянию {по коэффициенту устойчивости). Исследования в этом направлении развивались в работах С. И. Белзецкого (1914), Н. М. Герсеванова (1923), М. М. Гришина (1951), М. И. Горбунова-Посадова и В. В. Кречмера (1951), Д. Е. Польшина и Р. А. Токаря (1952), В. А. Иоселевича (1961) и др.
В этих работах поверхности скольжения задавались либо в виде системы плоскостей, либо предполагалось, что скольжение происходит по круглоцилиндрической поверхности. В зарубежных работах этого направления использовались также комбинированные поверхности скольжения (см., например, Л. Бьеррум, Geotechnique, 1954, 4:0, 59—69; 1955, 5:0, 101—119). В работах В. И. Новоторцева (1938) и П. Д. Евдокимова (1956, 1966) форма поверхностей скольжения выбиралась из
решений задач теории предельного равновесия для невесомой грунтовой среды, а устойчивость таким образом очерченного массива грунта оценивалась описанным выше путем.
В связи с обсуждаемым вопросом нужно еще раз остановиться на общих представлениях о характере напряженно-деформированного состояния грунтовых массивов при приближении к критическим условиямt приводящим к потере устойчивости и разрушению основания или откоса. Представляется нереальным используемое обычно допущение о том, что при этих условиях весь сползающий массив грунта находится в предельном напряженном состоянии. Более того, рассмотрение, например, задачи об устойчивости свободного от пригрузки откоса показывает, что вблизи точки излома поверхности откоса напряженное состояние, обусловленное только собственным весом грунта, вообще говоря, не будет предельным. В то же время при неблагоприятных в целом очертаниях поверхности откоса его устойчивость не будет обеспечена. Потеря устойчивости связана с тем, что в глубине откоса развивается некоторая область предельного напряженного состояния, выходящая на поверхность грунтового массиваг к которой и приурочена поверхность скольжения. Именно такая точка зрения была высказана в работах Г. И. Тер-Степаняна (1957, 1961) и М. Н. Гольдштейна (1964). Нам представляется, что более строгие и рациональные по сравнению с существующими решения вопроса об устойчивости и несущей способности оснований и откосов должны основываться на такого рода представлениях и полных математических моделях грунтовой среды.
Наконец, отметим еще, что вопрос о влиянии взаимодействия нелинейной деформируемости грунта и его весомости, обсуждавшийся в § 2, столь же важен и для решения проблемы несущей способности и устойчивости оснований и откосов. Этот вопрос должен, на наш взгляд, быть подвергнут систематическим иссл ед ов аниям.
К проблеме оценки деформируемости и прочности грунтов относится также своеобразный процесс резкого падения прочности и соответствующего возрастания деформируемости особых разновидностей грунтов (лессы, лессовидные суглинки и др.), проявляющийся при их сильном увлажнении (замачивании),——так называемое явление просадки. Механизм этого явления состоит в том, что указанные грунты в их естественном маловлажном состоянии обладают аномально высокой пористостью и в то же время значительной прочностью скелета. При замачивании прочность скелета резко уменьшается из-за растворения цементирующего материала, и грунт под действием нагрузки испытывает значительную деформацию.
Традиционные методы оценки просадочности макропористых грунтов обычно связаны с компрессионными испытаниями образцов незамеченного и замоченного грунта, а также с определением дополнительной осадки штампа при замачивании грунтового основания. По данным такого рода экспериментов в инженерных расчетах учитывается влияние просадки на деформации основания и возводимого на нем сооружения.
Исследованиям просадочных свойств грунтов посвящены работы Р. А. Токаря (1937), Н. Я. Денисова (1946, 1953), Ю. М. Абелева (1948), А. Л. Рубинштейна (1951, 1957), М. Н. Гольдштейна (1956, 1961), А. К. Ларионова (1958, 1959). Попытки учета влияния сложного напряженного состояния на просадочность были предприняты в работах Г. М. Ломизе и А. А. Григорян (1957), М. Н. Гольдштейна (1959), Г. М. Ломизе (1959). '
В теоретических и экспериментальных работах более позднего времени была намечена необходимость учета совместного развития во времени двух взаимосвязанных процессов: инфильтрационного процесса увлажнения грунта и процесса просадочного деформирования скелета (Г. М. Ломизе, 1961, 1962, 1967; А. А. Мустафаев, 1961, 1964, 1966; В. И. Крутов и И. В. Тарасова, 1964; А. А. Григорян и Б. Б. Кулаченок, 1965; А. А. Мустафаев и С. К. Алиев, 1966; Г. М. Ломизе и И. Н. Иващенко, 1967, и др.). Следует отметить, что взаимная связь указанных процессов в данном случае весьма существенна, ибо просадка приводит к значительному уменьшению фильтрационной способности грунта и тем самым к затруднению замачивания новых областей грунтового массива и соответствующему ограничению дальнейших просадок. Наконец, отметим, что в просадочных явлениях наблюдается пороговый эффект ——для возникновения просадочной деформации элемента грунта при заданных условиях необходимо, чтобы напряжения превзошли некоторое пороговое значение.
Совокупность возникающих здесь задач скорее относится к разделу механики грунтов, в котором изучаются временные эффекты (§ 4). В связи с этими вопросами ограничимся лишь указанием на то, что до настоящего- времени детально разработанная теория рассматриваемых явлений отсутствует.
Влияние временных эффектов
В предыдущих параграфах рассматривались вопросы деформируемости и прочности грунтов в условиях, когда при заданной системе внешних нагрузок на грунт последний находится в равновесном состоянии с фиксированными полями напряжений, деформаций и смещений. При определенных условиях (сухие или маловлажные грунты, медленно меняющиеся внешние нагрузки и т. п.) такие состояния вырабатываются синхронно с изменением внешней нагрузки. Однако не менее распространенными являются случаи, когда такого рода стабилизированные состояния вырабатываются в течение более или менее продолжительного времени после прекращения изменений внешней нагрузки. Это связано с тем, что наличие воды в порах грунтовой среды (как правило, это глинистые грунты) обусловливает при приложении нагрузки протекание процессов ползучести минерального скелета и фильтрации так называемой свободной воды в грунте через пористый скелет, что, в свою очередь, приводит к перераспределению напряжений и возникновению дополнительных деформаций скелета. Процессы подобного рода, обусловленные только фильтрацией свободной воды, в механике грунтов имеют специальное название ——фильтрационная консолидация грунтов. Эффекты же, вызываемые ползучестью скелета, в литературе иногда называются вторичной консолидацией.
Очевидно, перестройка напряженно-деформированного состояния грунтового массива под сооружением или в откосах, обусловленная процессами ползучести и консолидации, может привести к эффектам, влияние которых в ряде случаев будет решающим и должно быть принято во внимание при оценке несущей способности основания, его деформируемости и т. д. Поэтому задача правильного количественного описания этих процессов представляется важной для механики грунтов.
Исторически вопросы фильтрационной консолидации грунтов начали разрабатываться раньше, чем проблема ползучести в грунтах. Первые
работы в этом направлении были выполнены К. Терцаги ) и Н. М. Гер- севановым (1934). В этих работах была предложена модель, в которой грунтовый скелет предполагался линейно деформируемым и проницаемым для поровой жидкости, причем фильтрация описывалась при помощи закона Дарси (К. Терцаги) или уточненного за счет учета движения скелета грунта, связанного с его деформируемостью, закона Дарси ——Гер- севанова. На этой основе был решен ряд одномерных задач фильтрационной консолидации грунтов.
Впоследствии существенный клад в рассматриваемую проблему был сделан в работах В. А. Флорина (1938—1953), которым были учтены силовое воздействие фильтрационного потока жидкости на пористый скелет, зависимость фильтрационных характеристик процесса от меняющейся пористости, существование фильтрационного порога (начального градиента напора), сжимаемость жидкости в порах грунта, обусловленная присутствием газа в жидкости, влияние ползучести скелета на процесс консолидации и т. д. В. А. Флориным были составлены уравнения консолидации для общего пространственного случая и решено большое количество конкретных задач. Следует отметить, что для возможности более полного учета многочисленных нелинейных эффектов, сопровождающих консолидацию, В. А. Флориным были развиты численные методы решения задач, что в его время, когда еще не была создана современная вычислительная техника, было, безусловно, большим достижением.
Аналогичная теоретическая модель для описания консолидации была предложена за рубежом М. А. Био (J. Appl. Phys., 1941, vol. 12).
В связи с развитием теории консолидации грунтов необходимо отметить также работы Я. А. Мачерета (1934), Н. А. Цытовича (1934, 1940), С. А. Роза (1937, 1950), Я. И. Френкеля (1944), В. Г. Булычева (1948), Д. Е. Польшина (1948), В. Г. Короткина (1951, 1955), М. Н. Гольдштейна (1952) и др. Фильтрационная теория консолидации развивалась и в последнее время ).
На основе модели Флорина — Био был решен ряд неодномерных задач (Н. Н. Веригин, 1961, 1965; В. 3. Партон, 1961, 1965), рассмотрены некоторые вопросы распространения акустических волн в такой среде (В, Н. Николаевский, 1962).
Н. Н. Масловым (1935, 1955, 1958) и М. Н. Гольдштейном (1952, 1957) была ясно сформулирована важность и необходимость введения в рассмотрение явления ползучести минерального скелета при расчетах процессов деформирования грунтов во времени. Последующие исследования, в частности экспериментальные, показали, что развитие деформаций грунтов во времени при фиксированных внешних нагрузках обусловлено двумя существенно разными по природе явлениями ——фильтрационной консолидацией и ползучестью скелета. Было показано также, что наличие газа в порах скелета, приводящее к заметной сжимаемости поровой жидкости, существенно сказывается на количественных характеристиках процесса.
Первое математическое описание явления ползучести грунта в рамках линейной наследственной теории было выполнено еще В. А. Флориным (1953). Однако дальнейшие исследования ползучести грунтов прово-
дались в какой-то мере в отрыве от теории фильтрационной консолидации. Этому, вероятно, способствовало появление существенных эксперименталь- 丑ых данных о свойствах ползучести плотных глинистых грунтов и мерзлых грунтов (С. Р. Месчян, 1954—1967; С. С. Вялов, 1955—1965; М. Н. Гольдштейн, 1957, 1962; А. М. Скибицкий, 1957, 1961; Н. Н. Маслов, 1958, 1965; А. Л. Гольдин, 1963, 1965; Е. П. Шушерина, 1964, 1966, и др.), которые удовлетворительно согласовывались с теорией наследственной ползучести. Стали интенсивно разрабатываться детали этой теории применительно к конкретным особенностям грунтовой среды. Исследовались влияние характера напряженного состояния на соотношения ползучести (С. С. Вялов, 1961, 1964), нелинейность оператора ползучести (А. Л. Гольдин, 1963; Ю. К. Зарецкий, 1964; С. Р. Месчян, 1964, 1967; В. А. Мизюм- ский, 1964, и др.), возможность описаний без наследственных операторов в рамках нелинейно вязкой модели Шведова ——Бингама (Н. Н. Маслов, 1958).
Следует отметить, что развитие теоретических работ в этом направлении оказалось в определенном несоответствии с экспериментом в том смысле, что существующий экспериментальный материал не столь богат и представителен, чтобы на его основе с необходимой полнотой производить апробацию многочисленных теорий и их конкретизацию для реальных разновидностей грунтов. С другой стороны, чрезмерная сложность указанных теорий затрудняет широкое их использование для решения конкретных прикладных задач.
В этой связи нам представляется рациональной попытка Н. Н. Маслова обойтись для описания процессов ползучести грунтов простыми аппроксимациями соотношений ползучести в рамках ненаследственных моделей. Можно надеяться, что в дальнейшем на этом пути для многих задач будут получены относительно простые решения, достаточные по точности для приложений.
Работы последнего периода по рассматриваемой проблеме характеризуются попытками построения расчетных моделей, в которых производится одновременный учет как свойства ползучести грунтового скелета, так и фильтрационной консолидации. В этой связи укажем на работу Ю. К. Зарецкого (1967), в которой сделано обобщение модели фильтрационной консолидации Флорина ——Био путем введения линейных наследственных операторов вместо упругих постоянных для грунтового скелета и на этой основе решен ряд задач. Нужно, однако, отметить, что при построении общей системы уравнений Ю. К. Зарецким вводится физически нереальное предположение о разуплотняющем действии порового давления в жидкости на минеральный скелет, причем этот эффект также наделяется свойством наследственной ползучести. G другой стороны в соотношениях этой модели утрачен ряд существенных особенностей доведения грунта, введенных в рассмотрение еще В. А. Флориным (нелинейные эффекты, порог фильтрации и т* д.). Поэтому неясно, в какой мере подобные обобщения соответствуют реальному поведению грунта.
В зарубежной литературе вопросу одновременного учета фильтрационной консолидации и ползучести скелета посвящены выполненные в КНР работы Т. К. Тана (1957—1959), которые отличает математическая простота схематизации ползучести скелета (скелет наделяется свойством вязкости).
Среди работ последнего времени нужно отметить экспериментальные исследования М. Н. Гольдштейна (1957), М. Ю. Абелева (1963),
С. С. Бабицкой (1963), 3. Г. Тер-Мартиросяна и Н. А. Цытовича (1965,1967), в которых проводилось лабораторное изучение развития порового давления и деформаций грунта в образцах при разнообразных способах приложения внешней нагрузки. Эти исследования позволяют опытным путем оценить отдельно влияние сжимаемости поровой жидкости, обусловленной наличием в ней пузырьков газа, фильтрационных эффектов и свойств ползучести минерального скелета. В работах 3. Г. Тер-Мартиросяна и М. Ю. Абелева по результатам опытов отмеченного типа на основе решений соответствующих задач, возникающих для условий опыта, предложены методики нахождения количественных характеристик указанных выше эффектов, определяющих протекание деформаций грунта во вре* мени. Обсуждаемое направление экспериментально-теоретических исследований временных свойств грунтов представляется важным. На этом пути возможно дальнейшее совершенствование и упрощение теоретических моделей, приспособленных и практически пригодных для прикладных целей. Аналогичное утверждение нужно сделать относительно направления экспериментально-теоретического изучения свойств ползучести грунтов для случаев, когда эти свойства оказываются единственно существенными (плотные глины, мерзлые грунты и т. д.).
Следует еще остановиться на вопросах оценки влияния порового давления на прочность и несущую способность оснований и откосов. Подобно тому как изучение эффектов ползучести и фильтрационной консолидации существенно для прогноза развития деформаций оснований и осадок сооружений во времени, учет этих факторов в задачах о несущей способности и устойчивости оснований и откосов также необходим и важен для приложений. Простейшие и широко распространенные приемы для такого учета сводятся к следующему. В соотношении, связывающем сдвигающие и нормальные напряжения в предельном состоянии, из нормальных сжимающих напряжений вычитается поровое давление. Допустимые внешние нагрузки на основание или откос при этом оказываются пониженными. Решение практических задач устойчивости обычно производится по приближенной схеме с использованием поверхностей скольжения фиксированной формы, рассмотренной в § 3. По этому вопросу следует отметить работы Г. И. Тер-Степаняна (1957, 1961), М. Н. Гольдштейна (1964) и др.
К обсуждаемым вопросам примыкает проблема длительной прочности в грунтах, т. е. задача исследования эффекта снижения сопротивления сдвигу в процессе ползучести (Н. Н. Маслов, 1958, 1964, 1965; М. Н. Гольдштейн и С. С. Бабицкая, 1959, 1964; Я. Л. Коган и В. А. Иоселевич, 1961; С. Р. Месчян, 1961, 1962, 1965; А. М. Скибицкий, 1961, и др.).
В связи с рассматриваемым в настоящем параграфе кругом задак нам представляется важным еще следующее обстоятельство. При обсуждении проблемы описания деформируемости грунтов было отмечено (§ 2)f что существующие расчетно-теоретические методы, основанные на схеме- линейно деформируемой модели среды (теории упругости), находятся в резком противоречии с данными наблюдений, и это вынуждает вводить искусственные схематизации в расчеты (эквивалентный упругий слой, активная толща и т. д.).
Как было показано в § 2, природа такого несоответствия кроется во взаимной игре нелинейной деформируемости грунта и его весомости, учет которой позволяет легко согласовать данные наблюдений с теоретическим прогнозом. Поскольку эта нелинейность, безусловно, влияет столь же существенным образом на все характеристики фильтрацион-
ной консолидации и ползучести грунтов (это влияние было установлено на самых ранних стадиях изучения консолидации и рассматривалось уже в работах Н. М. Герсеванова, В. А. Флорина и др.), то для многих практических задач, в которых массивы грунта, охваченные процессами консолидации и ползучести, простираются на достаточные глубины, влияние в з аим о действия нелинейности и весомости может оказаться определяющим. Об этом, по-видимому, свидетельствует следующий факт. Значения коэффициента вязкости грунтов, получающиеся при лаб о* раторных исследованиях образцов грунта, как правило, на несколько порядков меньше оценочных значений, получающихся при обработке данных наблюдений за осадками крупных натурных сооружений.
К сожалению, исследование этих вопросов, как и в теории стабилизированных деформаций грунтов, пока еще не получило должного развития.
К проблеме исследования и описания изменений во времени напряженно-деформированного состояния грунтов при фиксированных нагрузках относятся также специфические задачи о так называемом набухании глинистых грунтов и морозном пучении промерзающих грунтов. Существо явлений, о которых идет речь, состоит в следующем. Плотные глинистые грунты, поры которых не вполне насыщены влагой, при контакте с водой интенсивно ее поглощают, что приводит к увеличению объема грунта. Если возможность такого увеличения объема ограничена, в грунте возникают дополнительные напряжения, которые могут достигать значительных величин. Аналогичное явление наблюдается при промерзании грунтов.
Распространяющийся в грунте фронт промерзания, поглощающий незамерзшую влагу, создает впереди себя дефицит влажности, что порождает миграцию незамерзшей воды по направлению к фронту. Возникающее при этом перераспределение влаги в массиве грунта после ее замерзания приводит при соответствующих условиях к заполнению пор льдом и возникновению обусловленных этим напряжений. Здесь так же, как и в случае набухания глин, будут возникать дополнительные деформации и перемещения в грунтовом массиве и дополнительные значительные напряжения. Естественно, при расчете деформируемости и прочности оснований и сооружений на них эти эффекты могут оказаться важными, и нужны методы их количественного описания.
Ясно, что как процесс набухания, так и морозное пучение, будучи обусловлены миграцией влаги в порах грунта, развиваются во времени. Поэтому теория этих явлений должна основываться на закономерностях массо- и теплопереноса в пористой среде и предсказывать развитие напряженно-деформированных состояний в грунтах во времени.
К сожалению, экспериментальному изучению процессов набухания посвящено весьма небольшое число работ, выполнявшихся, как правило, в связи с конкретными прикладными задачами. Некоторые теоретические результаты по этому вопросу были получены в работах Б. В. Дерягина {1937, 1956), С. В. Нерпина (1955, 1958, 1961). Однако сколько-нибудь развитая теория этих процессов пока отсутствует.
Аналогичным образом дело обстоит с вопросами морозного пучения. Экспериментальное исследование морозного пучения проводилось в работах М. И. Сумгина (1932, 1937), Н. А. Цытовича (1937, 1940, 1941, 1945, 1947), И. А. Тютюнова (1947, 1951), М. Н. Гольдштейна (1948, 1950), Б. И. Далматова (1954, 1957), Г. М. Шахунянца (1955, 1958, 1961) и др.
Динамика грунтов
В механике грунтов динамические задачи возникли первоначальна в связи с необходимостью расчета оснований под фундаментами крупных машин, возбуждающих вибрации фундаментов и грунтовых оснований, и вопросами расчета погружения свай. Задачи, связанные с забивкой свай в грунт, рассматривались еще Н. М. Герсевановым (1932), который ввел в расчетную схему волновые процессы в забиваемой свае. Впоследствии исследования в этом направлении были развиты в работах Б. П. Попова (1949), В. Н. Голубкова (1950) и др.
Расчет колебаний фундаментов основывается на сведении задачи тем или иным способом (например, с использованием упругих, упруго-вязких и иных схематизаций основания) к задаче о колебаниях системы с конечным числом степеней свободы (Н. П. Павлюк, 1933; О. А. Савинов, 1940,. 1960; Д. Д. Баркан, 1948, 1956; О. Я. Шехтер, 1948, 1955, 1961; Н. М. Бо- фодачев, 1964, 1966; В. М. Сеймов, 1967, и др.).
К проблеме расчета колебаний оснований близки задачи о вибрационном погружении свай в грунты и вибрационном уплотнении грунтов. Эксперименты по определению механических характеристик грунтов прк вибрационных воздействиях, выполнявшиеся в связи с этим направлением исследований, обнаружили определенные зависимости указанных характеристик от параметров вибрационного воздействия (Д. Д. Баркан, 1943,. 1959, и др.). Полученные сведения позволили использовать эти зависимости для разработки инженерных методов расчета вибропогружения (Д. Д. Баркан, 1943, 1959; Ю. И. Неймарк, 1953; О. А. Савинов, и А. Я. Лускин, 1960; О. Я. Шехтер, 1961, и др.) и в задачах о колебаниях оснований.
Основные экспериментально установленные факты, выявившие характер влияния вибраций на механические свойства грунтов (в основном песчаных), сводятся к следующему. Вибрация вызывает изменение- деформационных и прочностных свойств грунта (существенно возрастает сжимаемость и резко падает сопротивление сдвигу). Кроме того, грунт приобретает свойства вязкой жидкости. Особенность рассматриваемых эффектов состоит в том, что они оказываются обусловленными только, ускорениями колебаний, и зависимость механических характеристик от ускорения носит четко выраженный пороговый характер ——влияние' колебаний на механические характеристики (сжимаемость, коэффициент вибровязкости и т. д.) начинает сказываться лишь после достижения амплитудой вибрационного ускорения некоторого порогового значения. Проведенные эксперименты позволили выявить как сами пороговые значения ускорения, так и конкретный вид указанных зависимостей (Н. А. Преображенская, 1958; И. А. Савченко, 1958; Д. Д. Баркан, 1959, и др.). Д. Д. Барканом, О. Я. Шехтер, О. А. Савиновым и другими с учетом полученных в опытах данных были разработаны методы теоретического решения задач о вибропогружении свай и иных конструкций в грунт и о глубинном и поверхностном уплотнении грунтов вибраторами. Полученные при этом результаты позволили разработать, рациональные инженерные методы расчета и проектирования как вибровозбудителей, так и самих процессов вибропогружения и виброуплотнения. .
Следует отметить, что наличие упомянутых выше порогов важно не только в принципиальном отношении, оно существенно и в чисто прикладном асненте проблемы, ибо приводит к локализации проявления виброэф-
фектов в некоторой области вблизи источника вибраций и количественна определяет размеры этой области.
В последнее время делались попытки построить общие математические модели для описания механического поведения грунтов с учетом описанных выше зависимостей механических характеристик среды от вибрационных ускорений (Н. Н. Ермолаев, 1963, 1967; Б. И. Дидух, 1967, и др.).
К рассмотренной проблеме близко примыкает задача количественного описания явлений разжижения и консолидации грунтов (песчаных) при динамических воздействиях. Проведенные экспериментальные исследования показали, что разжижение песков, по-видимому, также обусловлено в основном амплитудой ускорений динамического воздействия (М. Н. Гольдштейн, 1953; Н. Н. Маслов, 1957, 1959; П. Л. Иванов, 1962, и др.). С другой стороны, имеются экспериментальные свидетельства того, что при прохождении ударных волн разжижение песчаного грунта определяется интенсивностью скачка давлений на фронте волны (Г. М. Ляхов, 1961, 1964). Вопрос о природе разжижения в настоящее время нельзя считать окончательно решенным.
Резкое повышение интереса к динамическим задачам в механике грунтов относится к сороковым годам. Оно было обусловлено возникновением практических задач, потребовавших количественной оценки результатов действия интенсивных кратковременных нагрузок на грунты (взрыв, ударное трамбование грунтов, проникание твердых тел в грунт и т. и.). Особенность этих задач состоит в том, что действующие на грунт напряжения оказываются намного (на порядки) превосходящими уровни напряжений, характерные для традиционной инженерно-строительной практики, и меняются в широком диапазоне значений. В этих задачах, как правило, динамическое воздействие существенно отлично от вибрационного (обычно это однократное ударно-волновое воздействие) и виброэффекты описанного выше характера не имеют места. Однако кратковременность и большая скорость приложения нагрузки приводят к тому, что механические характеристики грунта оказываются, вообще говоря, отличными от статических.. Это связано, очевидно, с тем, что в рассматриваемых условиях все медленно развивающиеся во времени эффекты (фильтрация жидкости, ползучесть скелета и т. п.) оказываются «замороженными». Поэтому для получения фактических сведений о динамических характеристиках грунтов оказываются необходимыми динамические эксперименты. С другой стороны, ясно, что в целом характер зависимостей между параметрами, определяющими механические свойства грунтов, будет таким же, что и в статике. Поэтому здесь также возникают проблемы описания деформационных и прочностных свойств грунта в рамках представлений, подобных имеющимся в статике.
Первые попытки схематического расчета действия взрыва в грунте были предприняты в работах X. А. Рахматулина (1945, 1951) и А. Ю. Иш- линского, Н. В. Зволинского и И. 3. Степаненко (1954), в которых грунт схематизировался идеальной (лишенной касательных напряжений) необратимо уплотняемой средой.
В работах А. С. Компанейца (1956), Э. И. Андрианкина и В. П. Коря- вова (1959) и А. Я. Сагомоняна (1961) эта схема была усовершенствована введением в рассмотрение касательных напряжений, связанных с нормальными напряжениями условиями предельного состояния типа условия Кулона. В задаче о центрально симметричном взрыве этого- условия достаточно для замыкания уравнений и получения расчетных соотношений.
Большое внимание в связи с проблемой оценки действия взрыва на грунт уделялось рассмотрению задачи о распространении плоской взрывной волны в грунте. Одним из первых здесь было исследование Б. А. Олисова (1953), в котором использован подход X. А. Рахматулина в задаче о волне разгрузки (1945). Впоследствии задача о плоской одномерной взрывной волне рассматривалась многими авторами. Полезные простые приближенные решения были получены Г. М. Ляховым и Н. И. Поляковой (1959). G. С. Григоряном (1958), по-видимому, впервые на основе анализа особенностей диаграммы деформируемости грунта была предсказана качественная картина развития взрывной волны в процессе ее распространения (появление упругих волн впереди фронта ударной волны сжатия). Эксперименты подтвердили существование ожидаемой картины, и впоследствии в теоретических построениях это обстоятельство было принято во внимание.
В отмеченных выше подходах к решению простейших одномерных задач вопрос о построении общей математической модели грунтовой среды не ставился. Такая модель была предложена С. С. Григоряном (1959, I960). В его модели учтены все основные механические свойства грунтов, существенные для динамических процессов (нелинейная и необратимая объемная деформируемость, упруго-пластический сдвиг, зависимость предела упругости при сдвиге от давления). Объемная деформация предполагается зависящей только от среднего давления (необратимым образом), тем самым игнорируются эффекты дилатансии. Сдвиговая деформируемость в допредельном состоянии описывается по линейно упругой схеме, а в предельном состоянии — по схеме Прандтля — Рейсса с условием пластичности типа Мизеса ——Шлейхера ——Боткина. Автором предлагается эту модель использовать как для быстрых динамических процессов, так и для статических в условиях, когда не проявляются временные эффекты, с учетом того, что для динамики и статики конкретный вид определяющих среду уравнений состояния и значения механических параметров могут быть различными.
Впоследствии для проверки основных допущений, принятых в этой модели, и конкретизации входящих в нее функций и параметров были проведены обширные полевые динамические эксперименты, обнаружившие ее приемлемость для описания динамического поведения основных разновидностей грунтов (В. Д. Алексеенко, С. С. Григорян, Л. И. Кошелев, Г. М. Ляхов, 3. В. Нарожная, В. В. Мельников, А. Ф. Новгородов, Г. В. Рыков, Г. М. Тавлинцев, 1960—1964).
В рамках предложенной модели С. С. Григоряном был решен ряд задач о действии взрыва в грунтах (задача о подземном взрыве, 1964; задача о действии наземного взрыва, 1962, 1965; задачи об одномерных плоских взрывных волнах, 1965, и др.). Задача о подземном взрыве в мягком грунте рассматривалась и ранее (см. выше, а также работы В. Н. Родионова, А. Н. Ромашова и А. П. Сухотина, 1958, 1959), но в более схематизированной постановке, которая, в частности, не позволяла рассчитать параметры излучаемой взрывом упругой волны.
На основе модели С. С. Григоряна был решен ряд других задач динамики грунтов (одномерные автомодельные и квазистатические движения — С. С. Григорян, Ф. Л. Черноусько, 1961; отражение и преломление упругопластических волн на границе раздела сред и от жестких преград — Н. В. Зволинский и Г. В. Рыков, 1963; А. М. Скобеев, 1964; точные решения об одномерных автомодельных движениях с ударными волнами применительно к задаче о волнах в грунте, индуцированных
воздушной ударной волной наземного взрыва,——Э. Ф. Хайретдинов, 1966, и др.).
Соображения, принятые при построении модели для мягких грунтов, впоследствии С. С. Григоряном были использованы также при построении математической модели, предназначенной для описания динамических процессов в скальных горных породах с учетом их упруго-пластических свойств и хрупкого разрушения (1967). На этой основе была решена задача о подземном взрыве в горной породе (С. С. Григорян и А. Б. Багдасарян, 1967). Построенное решение позволяет рассчитать процессы разрушения породы вблизи взрывного очага и излучения упругих волн взрывом. При этом оказывается, что на форму излученной волны и ее затухание с расстоянием существенно влияет протекание процесса разрушения породы вблизи очага. Подобная задача рассматривалась ранее при сильных упрощающих предположениях (В. П. Корявов, 1962; В. Н. Родионов, 1962, и др.).
В связи с вопросом о построении динамических моделей грунтовой среды нужно отметить работы Г. М. Ляхова (1959, 1961, 1964), в которых на основе опытных данных о распространении взрывных волн в водонасыщенных песках было предложено рассматривать такие грунты как идеальную сжимаемую жидкость с особым уравнением состояния, в котором учитывается существенное влияние защемленного в поровой воде газа. Используя эту модель, Г. М. Ляхов и Н. И. Полякова решили ряд одномерных задач о распространении и действии взрывных волн в водонасыщенных грунтах (1959, 1962).
Применительно к вопросу о динамическом уплотнении грунтов рассматривалась одномерная задача трамбования массивной плитой, сбрасываемой на грунт с определенной высоты (Б. И. Дидух, 1962, 1963; С. С. Григорян, 1964), и были получены простые формулы, позволяющие рассчитать остаточные уплотнения грунта и толщину уплотненного слоя.
В связи с проблемой описания динамических процессов в грунтах необходимо отметить, что в определенных условиях даже при кратковременных воздействиях в поведении грунта проявляются временные эффекты («динамическая» вязкость). В последнее время эти свойства грунтов подвергались экспериментальному исследованию (Г. М. Ляхов, В. В. Мельников, Г. В. Рыков и др.), однако исчерпывающего решения вопроса и соответствующего количественного описания этих эффектов пока еще нет. 、
Развитие исследований по динамике грунтов, кроме продвижения в области теории, сопр ов ожда л ось разработкой и совершенствованием экспериментальных средств и методик, приспособленных для изучения динамических процессов в грунтах в широких масштабах.
Для решения прикладных задач, связанных с действием взрыва на грунт, был построен ряд простых расчетных схем и сделаны соответствующие инженерные рекомендации, оказавшиеся при фактической реализации достаточно эффективными. К числу таких предложений относится идея М. А. Лаврентьева (I960) о направленном метании массы грунта при подрыве заряда специальной формы. Идея состоит в том, что если импульс, передаваемый взрывом выбрасываемой массе грунта через его поверхность, убывает по линейному закону в направлении метания, то выбрасываемая масса грунта приобретает поступательное движение, как целое, и, таким образом, при выбросе грунт нё разбрасывается. Многочисленные опыты, проведенные сотрудниками М. А. Лаврентьева (В. М. Кузнецов, Е. Н. Шер и др., 1960)f подтвердили это положение — 15 Механика в СССР, т» 3
в опытах процесс выброса грунта обладает очень хорошей направленностью.
Разработке расчетных методик для описания выброса грунта при взрыве и реализации мощных взрывов на выброс были посвящены также работы Г. И. Покровского и И. С. Федорова (1957), Г. И. Покровского и А. А. Черниговского (1957), В. Н. Родионова, А. Н. Ромашова и А. П. Сухотина (1958), Т. М. Саламахина (1958), М. М. Докучаева, В. Н. Родионова и А. Н. Ромашова (1963) и др.
Проблема адекватного описания поведения грунтов при динамических воздействиях в настоящее время не может считаться полностью решенной. Здесь, как и в статике, дальнейшая работа должна быть направлена на совершенствование и детализацию математических моделей среды, экспериментальных методов исследования и разработку методов решения задач, необходимых для приложений, а также для проверки представительности тех или иных гипотез и моделей.
В заключение мы считаем необходимым специально отметить, что настоящий обзор, конечно, не является исчерпывающим и не должен быть таким, по нашему мнению. Литература по механике грунтов, в частности из-за большого многообразия ее задач и объектов Исследования, столь обширна, что составление исчерпывающего обзора практически невозможно.
Авторы видели свою задачу лишь в том, чтобы по возможности полно охарактеризовать важнейшие принципиальные вопросы рассматриваемой области механики и описать главные тенденции ее развития в нашей стране за 50 лет. Мы отдаем себе отчет также и в том, что на реализацию этой программы, конечно, повлияли личные вкусы и воззрения авторов#
ТЕОРИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИНОК
Н. А. АЛУМЯЭ
704702256781479152333444444455556622222222222222222704702256781479152333444444455556622222222222222222Введение
70470225678147915
23334444444555566
22222222222222222
70470225678147915
23334444444555566
22222222222222222
Основные соотношения теории упругих оболочек
Вариационные методы
Качественный анализ напряженного состояния
Сведение к интегро-дифференциальным уравнениям
Метод комплексного представления уравнений общей теории оболочек
Напряженное состояние около отверстия
Расчет оболочек на сосредоточенную нагрузку
Безмоментные гибкие оболочки
Гибкие оболочки в приборах
Собственные колебания
Переходные процессы деформации
Новые задачи динамики оболочек
Анизотропные оболочки
Слоистые оболочки
Приведение задач теории упругости к теории оболочек
Заключение
Введение
В связи с большой областью практических приложений теория оболочек развивалась в Советском Союзе быстрыми темпами, следуя в этом неуклонно за ростом технологической вооруженности и производственных мощностей.
Со временем область приложений теории оболочек существенно расширялась, перемещался центр тяжести усилий, направленных на решение конкретных задач: если в первые десятилетия стимулирующей исследования областью была строительная техника, то позже ведущая роль перешла к авиационной технике, судостроению и машиностроению.
Вместе с непрестанным ростом объема научных исследований для обеспечения технического прогресса в целом возросло и число специалистов, занятых решением проблем теории оболочек. Если ранее вопросы теории оболочек обсуждались в рамках всесоюзных конференций по прочности и пластичности на уровне секции или же на небольших совещаниях, посвященных исключительно расчету оболочек (Москва, 1952; Тарту, 1957), то последующие всесоюзные конференции по теории оболочек и пластинок в Казани (I960), Львове (1962), Ереване (1963), Москве (1965), Баку (1966) и Днепропетровске (1969) были уже весьма представительными собраниями, со все возрастающим числом участников
(до 700 человек), докладов и сообщений. Следует отметить весьма полную публикацию материалов этих конференций. Исследования по теории оболочек были неплохо представлены и на всесоюзных съездах по теоретической и прикладной механике, состоявшихся в Москве (1960—1968). Весьма существенно расширялась в СССР сеть научных центров по разработке теории оболочек. Наряду с Москвой, Ленинградом и Киевом, возникли и укрепились сильные коллективы в Казани, Новосибирске, Ереване, Тбилиси, Харькове, Ростове-на-Дону и других городах.
О развертывающемся размахе исследований по теории оболочек свидетельствует и число опубликованных работ: в 1955 г. Реферативный журнал «Механика» реферировал в разделе «Оболочки и пластинки» около 60 работ советских авторов по теории пластинок и оболочек, а в 1967 г. соответствующее число было, по грубой оценке, около 600 (многие работы по теории пластинок и оболочек реферируются в других разделах РЖ «Механика», например в разделах «Упругие волны», «Колебания упругих тел»).
Однако было бы ошибочно полагать, что основная часть результатов, составляющих в данное время содержание теории оболочек и пластинок, получена за последние десять лет. Бурное развитие теории оболочек стало возможным благодаря фундаментальным исследованиям ученых- предшественников.
Результаты работ советских ученых в области теории пластинок и оболочек в раннем периоде развития теории подытоживались неоднократно, в частности, они кратко изложены в обзорных статьях Ю. Н. Работнова (1950), И. Г. Васильева (1956), Б. Г. Коренева (1956) и О. Д. Ониа- швили (1957). В настоящем обзоре эти результаты могут быть затронуты еще более кратко.
Отметим прежде всего работы Б. Г. Галеркина (1932, 1935) по применению к анализу толстых плит общих решений уравнений теории упругости, выраженных через бигармонические функции, а также монографии Б. Г. Галеркина (1934) и Ю. А. Шиманского (1934), посвященные расчету пластинок разного очертания по классической теории изгиба. Метод асимптотического интегрирования для расчета оболочек вращения впервые был применен И. Я. Штаерманом (1924); он же указал на аналогию между статическими расчетами оболочки вращения и кривого (плоского) стержня на упругом основании. Решение ряда интересных задач безмоментной теории куполов дано в монографии В. Э. Новодворского (1932), с именем которого связано одно из условий применимости безмоментной теории： тангенциальные краевые условия не должны допускать изгибания срединной поверхности (В. Э. Новодворский, 1933).
В начале тридцатых годов интенсивно велись исследования цилиндрических оболочек (наиболее существенные результаты опубликованы в статьях А. А. Гвоздева, 1932; П. Л. Пастернака, 1932, и в монографиях В. 3. Власова, 1933, 1936). В работах В. 3. Власова последовательно и весьма эффективно проводилась идея сочетания методов теории упругости и строительной механики. С. М. Файнберг (1936) предложил упрощенную теорию расчета круговых цилиндрических оболочек открытого профиля, сводящуюся к интегрированию дифференциального уравнения четвертого порядка с комплексными коэффициентами. Весьма актуальной в эти годы была задача о безбалочном покрытии; за разведочной работой Л. С. Лейбензона последовали труды С. А. Гершгорина 《1933) и А. С. Малиева (1935), в которых была уточнена постановка задачи .
К этому времени относятся также первые работы по нелинейной теории пластинок типа Кармана (П. А. Соколов, 1932; Б. И. Слепов, 1935; В. М. Даревский, 1936; П. Я. Полубаринова-Кочина, 1936). В связи с этими исследованиями нельзя не отметить как выдающееся достижение двустороннюю оценку для редукционного коэффициента пластинки после потери устойчивости, полученную Н. В. Зволинским (1940) с помощью вариационного метода.
Заслуживают внимания ранние работы о действии удара на пластинку (А. И. Лурье, 1934; А. П. Филиппов, 1938).
Разработанные к концу тридцатых годов методы решения линейных и нелинейных задач статики и динамики пластинок сведены в капитальной монографии П. Ф. Папковича (1941), сыгравшей весьма существенную роль в деле подготовки научных и инженерных кадров для различных отраслей техники.
Первые крупные исследования по общей теории упругих оболочек созревают к началу сороковых годов. Освоению и анализу теории оболочек способствовало применение ведущими учеными страны тензорной символики для записи основных соотношений теории. Уравнения совместности деформации впервые вывел А. Л. Гольденвейзер (1939); А. И. Лурье (1940) и А. Л. Гольденвейзер (1940) ввели в теорию оболочек функции напряжения, через которые определяются усилия и моменты, тождественно удовлетворяющие уравнениям равновесия. А. Н. Кильчев- ский (1940) указал способы построения теории оболочек и решения ее задач на основе теоремы о взаимности. Уравнения в перемещениях геометрически нелинейной теории были опубликованы X. М. Муштари (1939) — изложенный им вариант теории является обобщением упрощенной нелинейной теории пластинок Кармана на оболочки произвольного очертания.
Позже В. 3. Власов (1944) представил упрощенные уравнения общей линейной теории в форме, аналогичной классической форме уравнений пластинок теории Кармана,— здесь все искомые величины выражены через одну функцию напряжения (плоской задачи) и функцию прогиба срединной поверхности. В этой же работе Власов ввел также общеизвестное теперь понятие пологой оболочки; расчет пологой оболочки проводится в предположении, что главные кривизны оболочки постоянны, а срединная поверхность может быть задана в евклидовой метрике (отметим, кстати, что этот вариант стал, после соответствующих обобщений, наиболее популярным также при постановке и решении геометрически нелинейных задач теории оболочек).
Серия работ по качественному исследованию напряженных состояний в оболочках была открыта А. Л. Гольденвейзером (1945—1947); впоследствии изложенные в его статьях методы были использованы при анализе задач линейной теории устойчивости и колебаний, а также в нелинейной теории оболочек.
Аналогия между статическими и геометрическими соотношениями в частных случаях была подмечена давно. В общей линейной теории такая аналогия была указана А. Л. Гольденвейзером (1940). Наиболее последовательно это свойство основных соотношений линейной теории оболочек было использовано В. В. Новожиловым (1946) при выводе уравнений общей теории оболочек посредством введения комплексных неизвестных, попарно составленных из величин-аналогов; первые приложения этой теории относятся к расчету оболочек вращения и цилиндрических оболочек.
В. В. Новожилов (1946) и Л. И. Балабух (1946) предложили простейшие соотношения упругости, не противоречащие шестому уравнению равновесия и обеспечивающие выполнение в теории оболочек теоремы единственности Кирхгофа (или вариационных принципов) и теоремы взаимности Бетти.
Параллельно развитию общей теории были достигнуты существенные результаты и в решении частных задач линейной теории. Теория безмо- ментных оболочек обогатилась установлением зависимости общего характера решения от знака гауссовой кривизны срединной поверхности (В. В. Соколовский, 1943), использованием аналогии между задачами изгибания поверхностей и безмоментной теории для вывода заключений о единственности решения (Ю. Н. Работнов, 1946), применением в ряде работ теории функций комплексного переменного для расчета оболочек, представляющих собой центральные поверхности второго порядка. Большое количество исследований было посвящено расчету цилиндрических оболочек — наиболее часто встречающемуся в практике типу оболочек (В. В. Новожилов, 1946; А. Л. Гольденвейзер, 1947; А. И. Лурье, 1946). В. 3. Власов (1944), развивая далее идею сочетания методов строительной механики и теории упругости, разработал вариационный метод расчета многосвязных призматических оболочек, в частности для расчета этих конструкций на колебания (В. 3. Власов, 1947).
Математическое изложение состояния линейной теории оболочек в эти годы дано в обзорной статье А. Л. Гольденвейзера и А. И. Лурье (1947). К этому времени накопилось много новых результатов в теории оболочек; содержание теории уже во многом отличалось от классического изложения О. Лява. Поэтому неудивительно, что одна за другой в течение небольшого времени вышли в свет монографии А. И. Лурье (1947), В. 3. Власова (1949), В. В. Новожилова (1951), А. Л. Гольденвейзера (1953), составляющие фундамент современной теории оболочек. Они также широко известны за границей и переведены на иностранные языки (английский, немецкий, испанский). Эти выдающиеся труды посвящены линейной теории. Исключение представляет монография В. 3. Власова, в которую включено и изложение основ нелинейной теории пологих оболочек.
Общая нелинейная теория развивалась главным образом в трудах X. М. Муштари и К. 3. Галимова; в систематизированной форме полученные результаты приведены в их совместной монографии《Нелинейная теория упругих оболочек» (1957). Более детально эти результаты будут освещены в дальнейших разделах обзора.
Основные соотношения теории упругих оболочек
Было бы естественно думать, что за время длительного развития основные уравнения теории упругих оболочек получили законченную форму и в наши дни уже не являются предметом исследований и дискуссий. Фактически же последнее десятилетие свидетельствует о все возрастающем интересе именно к проблеме построения самих уравнений или, вернее, к установлению процедуры последовательного уточнения напряженного состояния. Было бы ошибкой полагать, что интерес этот связан исключительно с новыми задачами — расчетом однородных анизотропных оболочек из новых конструкционных материалов и многослойных анизотропных оболочек, определением полей ускорения около фронта распространения волн напряжения и т. д. Эта проблема продолжает стоять, и не без оснований, также и перед линейной теорией равновесия изотропных ободочек.
Ее постановка стимулируется в линейной теории равновесия, во-первых, важностью разработки основ расчета оболочек «средней» толщины, во-вторых, потребностями анализа напряженного состояния в особых точках (например, около вершины конической оболочки, в зоне приложения сосредоточенной нагрузки), в-третьих, необходимостью выяснения вопроса о том, как удовлетворить краевым условиям (или в каком смысле будут удовлетворены при помощи того или иного расчетного алгоритма краевые условия); наконец, на примере простейших задач (линейной теории равновесия) легче всего разработать основные методы приведения задач теории упругости к задачам теории оболочек, когда размерность объекта исследования уменьшается на единицу.
Из сказанного, однако, не следует, что теория оболочек опирается сегодня еще на шаткие основания. Нет сомнения в том, что для широкого круга практических задач классический вариант теории Кирхгофа —— Лява дает вполне адекватное описание напряженного состояния оболочек. Как и многие другие выдающиеся достижения науки, этот вариант теории подвергался с течением времени лишь небольшим (хотя и необходимым) поправкам; он будет и впредь находить оправданное применение при решении многих сложных задач теории оболочек.
Слабое место теории Кирхгофа ——Лява заключается в кажущемся противоречии исходных гипотез: (1) при определении деформации по толщине оболочки предполагается, что поперечный сдвиг равен нулю, но в условиях равновесия сохраняются поперечные силы; (2) при определении деформации по толщине оболочки предполагается, что длины отрезков на нормали к срединной поверхности в процессе деформации не изменяются, но в соотношениях упругости принимается gzz = 0. В настоящее время эти противоречия научились в большинстве случаев устранять при помощи надлежащей интерпретации. Исключение представляют напряженные состояния с большим показателем изменяемости и напряженные состояния в многослойных оболочках с мягким заполнителем, где учет поперечного сдвига обязателен. Однако, поскольку исключения существуют, оправдан и пересмотр основных уравнений теории оболочек с помощью новых средств научного исследования. Например, численное решение на ЭВМ задач теории упругости, близких к задачам теории оболочек, вполне может выявить новые способы сведения и даже поставить проблему сведения в явной форме.
Вместе с тем полезно не упускать из виду возможность практического приложения новых результатов, ожидаемых при выполнении программы пересмотра теории. Оболочка, как правило, является только элементом конструкции. Чтобы рассчитать оболочку, нужно определить, вообще говоря, условия упругой заделки ее краевого сечения. Нередко эта задача может быть решена только в первом приближении путем выражения условия заделки через ограниченное число коэффициентов жесткости (или податливости). При этом кинематические условия сопряжения оболочки окаймляющей оболочку конструкции формулируются через такое же число обобщенных перемещений (отнесенных к линии пересечения срединной и контурной поверхностей оболочки).
Классическая теория Кирхгофа — Лява определяет кинематику на краю оболочки через четыре обобщенных перемещения, а различные ее современные модификации (теории типа Рейсснера, Тимошенко)— через пять. В последнем случае предполагается, что тангенциальные перемещения изменяются в направлении нормали по линейному закону, а нормальные перемещения одинаковы для всех точек на одной нормали.
Но даже при пяти обобщенных перемещениях для представления кинематики оболочки необходимо введение дополнительного предположения о том, что абсолютное значение gzz всюду на нормали существенно меньше суммы абсолютных значений тангенциальных напряжений 仃鼠鼠，Oa& Овв・
Нелинейные уравнения теории типа Тимошенко для негибких многослойных оболочек даны Э. И. Григолюком (1958). Приведем здесь основные соотношения геометрически нелинейного варианта теории для изотропной однослойной оболочки (Л. Я. Айнола, 1965).
Пусть 〃сф, Ьсф ——тензоры первой и второй квадратичных форм срединной поверхности, Va ——символ ковариантного дифференцирования в метрике a* G — модуль сдвига, v — коэффициент поперечного расширения, р ——плотность материала, h — толщина оболочки,夕竄,р ——компоненты вектора внешних сил, та — компоненты вектора моментов, отнесенных к единице площади срединной поверхности, va 十纟屮竄，147 + zip —— компоненты вектора смещения, z — расстояние точки от срединной поверхности. Тогда основные соотношения сводятся к следующей системе: уравнения движения
Vv ［咸 + / В) 7勺一成产 一 b^T^ + Va (收m) +
+ Va (Ma^^)- b琥феМ。丫 一瞅” + 卢=о, (2.1) 碓(〃aY 十《ay) Т°° + Vp(3(x7°°) ++ 毬屮口№ +
+ Vb (就用MaB) + ^Va(5ma6)—优房+ 〃 = 0,(2.2)
Vv ［僦+ e』)M打一(戚+ * n 一虎3丫*丫 一M倣3終十加=0；(2.3)
соотношения упругости
P^qT^ = Gh(6邓 + 6卽 + e.%e6Y + заз8),(2.4)
乙倂0М"=我 G%3 (乂аВ + 乂椒 + 3、%% + *▽a% + 峭<%5 + %3В5)，(2.5)
乃(a) Nq = Gh (<0a 4~ Фа + T^^av)?(2・6)
где
e(zB = Va〃B baB^7, 乂aB = Va9B b(zB屮，
^a = Va^7 十 baY〃"，尸аВуб = ^av^30 -〔、, 〃аВ〃у6,
причем 2 определяется недифференциальным соотношением
(1 + V)Gh (2ф + ф^ф?)一 雨邱7風6 = о.(2.7)
Краевые условия к этой системе приведены в упомянутой выше работе Л. Я. Айнолы.
Изложенный вариант предназначен для решения весьма общих нелинейных задач динамики. Необходимость учета сил инерции заставляет решать такие задачи в перемещениях. При решении же задач равновесия желательно иметь большой набор основных соотношений. В первую очередь интерес представляют условия совместности деформаций (десять величин ^a3, XaB, Sa определяются через шесть величин 〃《, ^, (ра, 2)； однако в нелинейной теории они пока не получены.
Разнообразие нелинейных динамических задач весьма велико; сюда относятся проблемы распространения упругих волн с конечной амплиту-
дой, а также задачи о стационарных нелинейных колебаниях около состояния равновесия. Общие же соотношения нелинейной динамики весьма сложны, поэтому при решении конкретных задач необходим предварительный качественный анализ решения с целью упрощения (или даже частичного уточнения) чисто формально выведенных квазилинейных уравнений. Нередко такой анализ приводит к хорошо известным нелинейным уравнениям типа Кармана, дополненным учетом сил инерции нормальных колебаний.
Для решения нелинейных задач равновесия более удобным может оказаться вариант соотношений, выведенный К. 3. Галимовым (1951) на основе гипотезы Кирхгофа —— Лява. Эти соотношения сводятся к следующим:
условия равновесия
Va 俨8 — bg*M^) +或九%, a。(S。。一 "*й吗—成*№ +评=0, (2.8) 十匕靓(S^+b^M^)十夕=0,(2.9)
VaMaB + 嚟Р%, а、М^ 一 № — 加：=0；(2.10)
условия совместности деформаций
/%оа (“▽а%в1- XapXva ^尸冗，оф尸：＜jy )—
一(2A〃aB __ 先6) Хар _ K〃aB%6 = 0, (2.11)
网(V*aB + (M+ 乂乂，)Р,舗=0;(2.12)
соотношения упругости
SaB = А^^8лк + Ва^Кл^(2.13)
М^ = B^s^ + С^^(2.14)
соотношения между тензорами деформации и компонентами вектора перемещения срединной поверхности
2%в = а^ — “《в = %в + 0肥 + е/ев 九 + ①竄①口，(2.15)
ХаВ =就8 — 6аВ = у。丫气冗九(W + ^) (йр + Ср') gaB + Va^/S 十欣 £倂)+
+ "”。代①” (〃* + 〃¥) (VaCB" — Ь^ЗВ), (2.16) %, аЗ = Vae3% + V^aK — Vx^aP，(2.17)
где H ——средняя, а К ——гауссова кривизна срединной поверхности.
От физических соотношений надо требовать, чтобы они допускали существование потенциальной энергии деформации, кинематические же соотношения должны дать нулевые значения компонентам тензоров деформации при движении оболочки как твердого тела. К условиям требования «красоты» можно отнести существование аналогии между соотношениями равновесия и совместности деформаций (вариант такой нелинейной теории опубликован автором обзора в 1956 г.).
Предметом дискуссии может являться еще так называемое шестое уравнение равновесия. Классическая теория требует, чтобы физическими соотношениями оно удовлетворялось тождественно. Однако А. И. Лурье (1950) показал, что с введением симметричных тензоров усилий и моментов этот вопрос отпадает.
Несмотря на большое количество предложенных вариантов, «единой» общей нелинейной теории упругих оболочек, удовлетворяющей всем требованиям, пока не существует. Что же касается практических приложений нелинейной теории, то громадное большинство исследователей применяют упрощенный вариант нелинейных соотношений, известный под названием системы уравнений типа Кармана. Об этом свидетельствуют монографии А. С. Вольмира (1956), ,Х. М. Муштари и К. 3. Галимова (1957), М. С. Корнишина (1964), обзорные статьи А. С. Вольмира (1958), X. М. Муштари (1958, 1962), В. И. а)еодосьева (1966).
Применение упрощенной системы уравнений типа Кармана в рассмотренных на практике случаях достаточно удовлетворительно обосновано и целесообразно. Однако интегрирование даже этой системы представляет большие трудности. В настоящее время естественной предпосылкой для решения задач нелинейной теории оболочек является использование вычислительной техники, инициаторами чего у нас были А. Ю. Биркган и А. С. Вольмир (1959). Вместе с тем прогресс в этом направлении не столь велик, как можно было ожидать. В качестве примера можно указать на задачу об осесимметричных формах равновесия сферического купола, привлекающую до сих пор внимание многих видных исследователей (В. И. Феодосьев, 1963; М. С. Корнишин, 1966; И. И. Ворович и В. Ф. Зипалова, 1966). Если общее математическое обеспечение вычислительной техники в ближайшее время значительно улучшится, на что можно надеяться, то многие трудности решения нелинейных задач теории оболочек будут устранены с помощью создания универсальных программ (как это имеет место в настоящее время в линейной алгебре). Однако на исключено, что в некоторых случаях будет целесообразно разработать специфические для задач теории оболочек расчетные алгоритмы. Одна из таких процедур предложена М. С. Корнишиным и X. М. Муштари (1959). Небольшой обзор применения вычислительных методов в теории оболочек дан И. В. Свирским (1966).
В заключение следует отметить, что интегрирование уравнений теории оболочек и пластинок в элементарных или специальных (табулированных) функциях удается лишь в исключительных случаях. Далеко идущие результаты в этом направлении достигнуты А. Д. Коваленко, разработавшим применение теории обобщенных гипергеометрических функций для определения напряженного состояния в дисках, круглых пластинках переменной толщины и конических оболочках вращения по линейной теории равновесия. Эти результаты частично изложены в монографиях и обзорной статье А. Д. Коваленко (1955, 1959, 1963) и в книге А. Д. Коваленко, Я. М. Григоренко и Л. А. Ильина (1963).
Вариационные методы
Включение в настоящий обзор раздела о вариационных методах может показаться неожиданным, однако эти методы находят в .теории оболочек со своими сложными соотношениями такое широкое и разнообразное применение, что следует подчеркнуть их значимость. Общая теория оболочек или же ее упрощенные варианты для решения каких-либо конкретных задач, конечно, могут быть построены без использования аппарата вариационных методов, но нужно привлечь внимание и к обратной точке зрения: раз некоторая совокупность расчетных соотношений построена, следует проверить, обладает ли данная модель упругой системы потенциалом, допускающим вариационную формулировку рассматриваемой задачи.
На завершающем этапе разработки уравнений линейной теории оболочек это хорошее правило не упускалось из виду (А. Л. Гольденвейзер, 1944).
Исторически оправдана высокая оценка роли вариационных методов для вывода краевых условий к системе дифференциальных уравнений, моделирующих тонкое упругое тело сложной конфигурации и строения.
Путев одител ем в области применения вариационных методов в линейной теории пластинок и оболочек можно считать монографию Л. С. Лей- бензона (1943). Данное в ней изложение методов Лагранжа, Кастильяно и Трефтца для случая пластинки открыло также возможности обобщения этих результатов без особых затруднений и на линейную теорию оболочек.
Подлинное значение вариационных методов выявилось при дальнейшем развитии теории оболочек, в связи с постановкой новых задач нелинейной теории, созданием теории анизотропных и слоистых оболочек, попытками усовершенствовать линейную теорию оболочек.
При постановке новых проблем исходным пунктом в большинстве случаев является начало возможных перемещений, приводящее к вариационной формуле Лагранжа для данного объекта. Если задачу целесообразно формулировать в перемещениях, то на этом функции вариационного исчисления при решении рассматриваемой задачи и кончаются. В нелинейной же теории оболочек самым распространенным вариантом являются уравнения типа Кармана, сформулированные в смешанной форме (через прогиб и функцию напряжения). Ясно, что различным формулировкам соответствуют разные вариационные формулы. Получение таких формул нередко представляет достаточный интерес (хотя бы для нестрогого обоснования процедуры метода Бубнова ——Галеркина). Например, большое внимание было уделено обобщению вариационного принципа Кастильяно на нелинейную теорию равновесия пластинок и оболочек (Н. А. Алумяэ, 1950; К. 3. Галимов, 1951, 1958).
Первые вариационные формулировки нелинейной теории оболочек были построены по интуиции. Среди них назовем вариационные уравнения смешанного типа обобщенной теории Кармана (Н. А. Алумяэ 1950; М. А. Колтунов, 1952 ], а также уравнения общей нелинейной теории (К. 3. Галимов, 1956).
Немного позже Л. Я. Айнола (1957) на примере уравнений типа Кармана показал, что при помощи метода неопределенных множителей Лагранжа можно из вариационной формулы возможных перемещений вывести замкнутую (с возвращением в исходную) систему вариационных формул; в случае уравнений Кармана число различных формул оказалось равным 181. В общей нелинейной теории это число может оказаться и еще больше.
К. 3. Галимов, разрабатывая в своих трудах вариационные формулы общей теории (точной в рамках гипотез Кирхгофа), не обращал внимания на промежуточные результаты ——вариационные формулы, а стремился к узловым точкам замкнутой цепи этих формул. Основные результаты этой работы приведены в монографии X. М. Муштари и К. 3. Галимова (1957).
Весьма полный набор известных в теории изотропных оболочек вариационных формул обобщен Н. К. Галимовым (1965) на нелинейную теорию трехслойных оболочек.
Как было отмечено, вариационные методы являются надежным средством для вывода краевых условий. Одна из сложнейших задач в нелинейной теории ——формулировка геометрических граничных условий в усилиях и моментах — успешно решена не без помощи вариационных уравнений К. 3. Галимовым (1958, I960).
Исходным положением при определении нестационарных процессов деформации с помощью вариационных методов является принцип Гамильтона для упругих систем. Однако этот принцип применяется для вывода уравнений движения, но не для непосредственного построения приближенного решения по методу Ритца, так как обобщенные координаты системы неизвестны в конечный момент интервала времени, в течение которого изучение процесса представляет интерес. Для того чтобы использовать метод Ритца, нужно к энергетическому функционалу прибавить некоторые дополнительные члены, описывающие состояние системы в конечный момент времени, но в итоге полученный функционал не обладает уже потенциалом.
Сравнительно недавно Л. Я. Айнола (1966) все же построил вариационное уравнение для решения нестационарных линейных задач в форме интеграла свертки (по времени), где функциональные аргументы должны удовлетворять начальным условиям относительно координат, но не обязательно относительно скоростей; в конечный же момент времени функциональные аргументы ничем не стеснены. В нелинейных задачах аналогичное по содержанию вариационное уравнение в форме билинейного интеграла типа свертки может быть получено за счет удваивания числа функциональных аргументов (введением дополнительных неизвестных).
При исследовании кратковременных нестационарных процессов (например, в случае, когда упругие волны, распространяясь от источника, не успели охватить всю оболочку) может оказаться полезным приложение вариационных уравнений в форме, предложенной Л. И. Слепяном (1965). В этих вариационных формулах учитывается изменение границы деформированной области во времени, т. е. функциональные аргументы задаются только в области существенных деформаций. Естественно ожидать, что выделение области существенных деформаций значительно повышает практическую сходимость при решении широкого класса нестационарных задач, в том числе и "задач, описываемых уравнениями параболического типа.
Основной базой для сведения двумерных задач теории пластинок и оболочек к задачам систем с конечным числом степеней свободы служат методы Ритца и Бубнова ——Галеркина для решения вариационных уравнений. Подавляющее большинство нелинейных задач теории пластинок и оболочек решено именно таким путем. При этом всегда возникают вопросы: в каком смысле приближенное решение, если оно существует, будет удовлетворять условиям исходной краевой задачи? какова погрешность приближенного решения? Этим вопросам посвящен цикл работ И. И. Во- ровича (1955——1958) по нелинейной статике и динамике пологих оболочек. Ответы на поставленные вопросы Ворович дал в терминах функционального анализа. К сожалению, здесь невозможно даже конспективно изложить эти результаты ). Отметим лишь, что указанное направление получило дальнейшее развитие в основном в работах В. Н. Морозова (1958, 1962), Л. С. Срубщика и В. И. Юдовича (1962, 1966).
Качественный анализ напряженного состояния
Трудно себе представить направление, которое больше содействовало бы развитию теории и расширению алгоритмов расчета оболочек, чем разработка общих методов качественного анализа напряженного и деформированного состояний. Результаты качественного анализа выявляют возможности расчленения общего напряженного состояния на элементарные, указывают упрощенные соотношения для определения этих элементарных состояний, позволяют установить оценки погрешностей, возникающих при переходе на упрощенные соотношения, и, наконец, намечают итерационные процессы для нахождения общего напряженного состояния с нужной равномерной точностью во всей области.
Разработка всех этих вопросов имеет длительную историю. Так, например, И. Я. Штаерман (1924) указал на целесообразность раздельного определения основного (безмоментного) напряженного состояния и краевых эффектов в оболочках вращения при осесимметричной нагрузке еще более сорока лет тому назад. В начале тридцатых годов произошло бурное развитие методов расчета цилиндрических оболочек, в основном благодаря успешным исследованиям В. 3. Власова (1933, 1936), приведшим к варианту расчета (получившему в наше время название «полубезмомент- ной» теории ——по терминологии В. В. Новожилова, 1951), описывающему обобщенные краевые эффекты около асимптотического края. Позже в работах А. Л. Гольденвейзера (1947, 1953) были даны обобщения упрощенного расчета краевых эффектов в статике оболочек нулевой гауссовой кривизны произвольного очертания и отрицательной гауссовой кривизны около асимптотического края. Результаты этих исследований показали, что для недлинных оболочек полученные соотношения представляют собой частные случаи так называемой «технической» моментной теории оболочек (по терминологии В. 3. Власова, 1944), предназначенной для расчета напряженных состояний с большим показателем изменяемости. В тензорной записи разрешающее уравнение этой теории имеет в смешанной форме следующее представление:
乔(VaVa)2 卩 +。吸哂MVp卩=0, (4.1)
где V = 2Eh吟w + %屮，причем <p ——функция напряжения, w ——нормальное смещение срединной поверхности, т]2 =九//3 (1 — v2). В случае обобщенных краевых эффектов показатели изменяемости напряженного состояния в направлениях вдоль и поперек края различны, поэтому дифференциальные инварианты в этом уравнении выписываются в упрощенной форме, с пренебрежением несущественными членами.
При длинных асимптотических краях обобщенные краевые эффекты вырождаются: показатель изменяемости напряженного состояния около края уже не будет достаточно большим для применения разрешающего уравнения (4.1).
Следует отметить, что техническая теория оболочек сама по себе не ставит задачу расчленения напряженного состояния на элементарные; это для нее, можно сказать, задача второстепенная. Такой вариант теории оболочек давно уже применяется не только в линейных задачах статики, но и в нелинейных задачах статики, устойчивости равновесия и динамики (X. М. Муштари, 1939; В. 3. Власов, 1947). Вопросы расчленения напряженного состояния и раздельного определения элементарных напряженных состояний в только что названных задачах изучены сравнительно
слабо (X. М. Муштари, 1949; Н. А. Алумяэ, 1953, 1954; Л. Я. Айнола, 1965; А. Л. Гольденвейзер, 1966). Отметим, что в этих задачах основное напряженное состояние оболочек нулевой кривизны весьма часто относится к типу обобщенного краевого эффекта.
Важно подчеркнуть, что самым трудным моментом при качественном анализе напряженного состояния является не установление возможности существования того или иного элементарного состояния, а установление краевых условий для конкретного элементарного состояния. Например, основное напряженное состояние плоской пластинки при большой более или менее равномерно распределенной поперечной нагрузке будет мембранным. Это состояние описывается системой уравнений
(VaVcc)2 屮=о, c«vc3PvaVp(p • VvVp^ = р. (4.2)
Для того чтобы проинтегрировать эту систему методом расчленения напряженных состояний, необходимо определить краевые условия для элементарных напряженных состояний. Для этого нужен анализ нелинейных краевых эффектов (при больших прогибах пластинки они, как известно, появляются). Само собой разумеется, что не всегда возможно раздельное наложение краевых условий по отдельным состояниям, т. е. в конечном итоге их раздельное определение. Впрочем, вопросы существования мембранного решения пластинок и оболочек вращения были в последнее время обстоятельно исследованы с применением функционального анализа в работах Н. Ф. Морозова (1962), Л. С. Срубщика (1964), Л. U. Срубщика и В. И. Юдовича (1964, 1966).
Между тем аналогичные трудности существуют и в линейных задачах. Примером служит проблема выяснения граничных условий, которые следует выполнять по безмоментной теории. Этому вопросу посвящены работы А. Л. Гольденвейзера (1948, I960), К. Ф. Черных (1964).
Для линейных задач наиболее совершенный аппарат исследования элементарных напряженных состояний был предложен А. Л. Гольденвейзером (1953); ему же принадлежит дальнейшая разработка (1959) этого аппарата, представляющего собой обобщение известного из теории обыкновенных дифференциальных уравнений метода асимптотического интегрирования ) на уравнения в частных производных, содержащие малый параметр (относительная толщина оболочки),
г(* /2)=户®+内(4.3)
где г, v0, Vi, ... — функции только от координат х1 и х2, a k — некоторая достаточно «большая» постоянная, порядок которой определяется характером осцилляции краевых условий.
В качестве простейших можно наметить следующие три процедуры рекуррентного определения г, и。，％,...:
постоянная к ——относительно малая величина: c^c^byprar^ = 0 (% = VY),
ca^bap (2%▽即о + 〃oV"b) + %唄加з (产％)2 % = 0
И Т. Д.；
постоянная 力 определяет показатель изменяемости того же порядка, что и у простого краевого эффекта:
泣2n2 什“風)2 + С^С^ЬурГаГ^ = О,
2 [2泣2^2 (产％)川 + C^c^b^r^ Vp^o +
+ [2注2n2^丫(厂吋“” + с^с^ъ^аг^\ 〃o= О
и т. Д.；
постоянная к — относительно большая величина:
С%)? = О,
如2 {4r«r3VaV^o + 4 (w。" + r°V“B) ▽即о +
+ [2raVaVMB + (Va ^)2] uo} + ^^師%，。%r酬0 = 0；
здесь из-за краткости характеристических линий оператора (VaVa)2 функцию vQ нужно определять из линейного уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Для интегрирования последнего уравнения, очевидно, может быть применен опять-таки метод ВКБ. Следовательно, 〃о нужно представить в форме
〃о = е 丿五р (卫° +1 + • • • ) '(4.4)
где р = р (* ①2),卫о = и0 (%i,①2), .； процедура метода ВКБ приво
дит к следующему уравнению для определения функции р:
Зв (如2加рарв + c^C^byp) = 0 (Ра = Vap).(4.5)
Таким образом, решение в рассматриваемом случае ищется в форме
V = ехр (кг + /3)・(〃о + А：-%% + ・・・).(4.6)
Это еще удачный случай в том смысле, что здесь все же удалось указать процедуру отыскания решения. А удалось это потому, что кратность характеристик оператора (VaVa)2 всюду одинакова. А. Л. Гольденвейзер (I960, 1962) указал общие приемы (в отношении более общих уравнений) построения решений, с применением нисходящих дробных степеней 力 для представления как функции изменяемости, так и функции интенсивности.
При применении метода ВКБ могут встретиться значительно более трудные вопросы построения решения. Примером может служить случай, когда выполняется рекуррентная процедура (1) и срединная поверхность оболочки содержит линию, где изменяется знак гауссовой кривизны. Впрочем, определенные функции vQ по линейному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка сводится к интегрированию системы обыкновенных уравнений, поэтому выяснение особых точек и характера решения около этих точек не должно представлять в каждом конкретном случае принципиальных затруднений. Вопросы же построения решения в духе метода ВКБ являются при наличии таких особых точек предметом исследования в современном математическом анализе даже в задачах, сводящихся к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Обращая в данном обзоре так много внимания на конструктивную сторону построения решения, следует в противовес также отметить, что рассмотренное здесь простое уравнение технической теории оболочек само является результатом упрощения системы более точных (?) уравнений на основе качественного анализа. Поэтому определение того или иного напряженного состояния разделяется на три этапа: (1) выяснение структуры разрешающих уравнений при заданном показателе изменяемости напряженного состояния с определением облаюти применимости упрощенных соотношений (здесь процедура ВКБ применяется в скрытой форме); (2) выяснение возможностей применения метода ВКБ в его стандартном виде для интегрирования уравнений в установленной ранее области; при наличии в этой области точек поворота решений необходимо, как правило, (3) обобщение метода ВКБ хотя бы для формального построения решения в области, содержащей точку поворота.
К настоящему времени почти все основные результаты получены средствами первого этапа; ко второму этапу относятся исследования А. Л. Гольденвейзера (1959, I960). Относящиеся к третьему этапу задачи находятся еще в стадии постановки, если говорить о системах, не сводящихся к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Обидно признаться, что можно указать только одну работу по теории оболочек, где процедура метода ВКБ была применена для фактического (численного) построения решения двумерной краевой задачи (А. Петрова- Денева, 1966). Следовало бы ожидать, что мощный метод качественного анализа является по крайней мере удовлетворительным расчетным алгоритмом
В целом проблематика качественного анализа решения уравнений теории оболочек ничем не отличается от соответствующей проблематики в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Настоящих математиков ——специалистов по теории дифференциальных уравне ний ——проблемы теории оболочек пока мало привлекают. Участие в развитии теории оболочек М. И. Вишика и Л. А. Люстерника (1957, I960) было слишком кратковременным, чтобы оставить глубокий след в математической теории оболочек. В то же время чувствуется, что в теории оболочек использовано не все то, что может предложить для «внедрения» теория дифференциальных уравнений. Впрочем, следует сказать, что и среди специалистов по теории оболочек в последнее время ослабел интерес к проблемам общей теории и, в частности, к проблемам качественного анализа напряженного состояния произвольных оболочек. Ответственность за это несут не широкие возможности вычислительной тех* ники, упраздняющие необходимость качественного анализа, а скорее то обстоятельство, что многие объекты новой техники хотя и работают в сложных условиях нагружения, но по своей конфигурации просты (цилиндрические панели, оболочки вращения) и для них эти вопросы не так остры. Оболочки сложной конфигурации прежде всего встречаются в современной архитектуре; возникающие там уникальные задачи решаются так или иначе без заметного сопутствующего вклада в теорию.
Сведение к интегро-дифференциальным уравнениям
Естественное стремление к расширению арсенала методов исследования и расчета привело к формулировке краевых задач теории оболочек в форме интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Работы
в этом направлении заслуживают внимания, так как изучение свойств решения интегральных уравнений весьма мощными методами функционального анализа значительно проще, чем изучение дифференциальных уравнений; кроме того, численное интегрирование функций ——операция более точная, чем дифференцирование, поэтому необходимая точность результата достигается с меньшим объемом вычислений. Однако сразу нужно отметить, что ядра интегральных уравнений теории оболочек не просты и препятствуют получению конечных результатов без заметных усилий. Кроме того, результаты приходится интерпретировать с позиций теории обобщенных решений.
Сведение дифференциальных уравнений теории оболочек к инте- гродифференциальным уравнениям производится на базе теоремы о взаимности работ. Для того чтобы получить систему интегро-дифференциальных уравнений, в качестве вспомогательных состояний рассматриваются действия на оболочку единичных (сосредоточенных обобщенных) сил.
Впервые такой подход к выводу интегро-дифференциальных уравнений наметил Н. А. Кильчевский (1940). В этой и более поздних работах Кильчевского (1946, 1959), а также во многих работах его последователей вспомогательные состояния определялись в плоской пластинке, поэтому между метриками на пластинке и изучаемой оболочке устанавливалось взаимно однозначное соответствие; согласно такой концепции те члены в уравнениях, которые характеризуют влияние кривизны оболочки, необходимо рассматривать как нагрузочные. Впрочем, принятие пластинки за систему, по которой строятся вспомогательные состояния, не является, конечно, обязательным.
Это направление со временем получило значительное развитие ——расширилась номенклатура объектов, а также сфера воздействий на оболочку. Отметим здесь только некоторые работы, посвященные задачам равновесия цилиндрических оболочек (Н. И. Ремизова, 1959), оболочек вращения (Г. И. Ткачук, 1961) и пологих оболочек (Б. Н. Фрадлин и С. М. Шахновский, 1958), исследованию динамики оболочек с привлечением аппарата операционного исчисления (Н. А. Кильчевский, 1955), представлению интегро-дифференциальных уравнений оболочек в усилиях-моментах (Н. И. Ремизова, 1962).
Не прибегая к теореме взаимности работ упругой системы, можно чисто формальными методами вывести интегро-дифференциальные уравнения равновесия даже при конечных перемещениях пологой оболочки и оболочки вращения (А. А. Березовский, 1959, I960). Этот путь применялся в более простых случаях неоднократно и ранее (В. Н. Шаншмелашвили, 1955; И. А. Биргер, 1956).
Все же.в силу отмеченных выше трудностей, возникающих при построении решения вспомогательных задач ——ядер интегральных уравнений,—— метод приведения дифференциальных уравнений к интегро-дифференциальным и интегральным уравнениям в целом в теории оболочек не пользовался особым успехом.
Вместе с тем этим методом эффективно решены до конца далеко не простые задачи о напряженном состоянии около отверстий (прямоугольных и эллиптических) в цилиндрических оболочках (Д. В. Вайнберг и А. Л. Синявский, 1961). Это дает повод поклонникам данного направления выразить надежду, что оно имеет преимущество при решении особо сложных задач, круг которых должен постепенно обрисоваться (Н. А. Кильчевский, 1964).
16 Механика в СССР, т. 3
Метод комплексного представления уравненийобщей теории оболочек
Аналогия между статическими и геометрическими соотношениями теории оболочек привела В. В. Новожилова (1946) к установлению уравнения в комплексной форме, где неизвестными являются комплексные перемещения. Этот способ применим только для линейных задач равновесия, но при их решении он имеет явные достоинства. Уже в первой стадии разработки соответствующей теории были определены несущественные члены в разрешающих уравнениях. Введение комплексных функций позволило понизить вдвое порядок дифференциальных уравнений, что сделало систему уравнений более обозримой. Это имеет большое значение при решении задач с переменными коэффициентами. Например, при рассмотрении осесимметричной или обратносимметричной нагрузки для оболочек вращения задача сводится к уравнению второго порядка, где легко разобраться в осложнениях, вызванных наличием точек поворота. Типичным представителем такого случая является тороидальная оболочка (Е. Ф. Зе- нова, В. В. Новожилов, 1951; В. С. Чернина, 1955), Это замечание относится, однако, к любой оболочке неположительной кривизны; в других случаях метод приводит просто к упрощению качественного анализа и нужных при решении выкладок (Р. Л. Малкина, 1954). Любопытно отметить, что существуют задачи, для которых краевые условия могут быть сформулированы в терминах комплексных усилий или перемещений,——в этом случае отпадает необходимость отделения вещественных и мнимых частей до получения решения (в аналитической форме). Задачи этого типа указаны в монографии К. Ф. Черных (1962, 1964), где изложены все основные результаты, связанные с представлением соотношений теории оболочек в комплексной форме. Отметим из них следующие.
Сконструированы вариационные уравнения, для которых уравнения в комплексных усилиях, уравнения в комплексных смещениях и условия комплексного сопряжения являются уравнениями Эйлера (К. Ф. Черныхг 1958); даны методы определения смещений в случае многозначной функции напряжений, введены уравнения Мейснера при обратносимметричной нагрузке (К. Ф. Черных, 1959); указан эффективный прием расчета оболочек на сосредоточенные воздействия (В. В. Новожилов и К. Ф. Черныхт 1963); предложено уточнение уравнений пологих оболочек В. 3. Власова; выведены комплексные уравнения термоупругости.
В заключение следует заметить, что в линейной теории равновесия многие известные варианты расчета элементарных напряженных состояний представляются в комплексной форме, без установления связи с понятиями, введенными в теорию оболочек В. В. Новожиловым. Эта связь с точки зрения общей теории рассматривалась А. Л. Гольденвейзером (1957).
Краткий обзор развития метода комплексного представления дан В. В. Новожиловым (1964).
Напряженное состояние около отверстия
Разработка проблемы напряженного состояния около отверстий была начата А. И. Лурье (1946) на примере кругового отверстия в цилиндрической круговой оболочке, находящейся под действием равномерного давления. В указанной работе, которая служит идейным источником большого числа последующих исследований, Лурье исходит из системы, определяющей быстро изменяющееся напряженное состояние около отверстия-
Если совместить центр отверстия с началом полугеодезической системы координат, то около отверстия напряженное состояние будет описываться решением уравнения в комплексной форме
(那十万 0一玖I(Y -Bcos 29)丽十
+(Y +6cos 29)^^ + ^sin2e譌 + 靑备(什6cos 26)备了 = 0 (7.1) для произвольной оболочки с параметрами кривизны у, 0 (линия 6 = 0 совпадает с линией кривизны), причем %2 = 2 ]/3 (1 —— v2) r^/hR, a h —— толщина оболочки, г0 ——радиус кругового отверстия (р = 1), R — характерный радиус кривизны срединной поверхности. Уравнение (7.1)——приближенная запись более общего уравнения
^^V 一 ъ^с^Ъ^^^^ 0 (7.2) в полугеодезической системе координат около малого отверстия.
Решение в тригонометрических рядах по координате приводит к сложной системе совместных уравнений. В случае цилиндрической оболочки (丫 = I/?, б =——V2) А. И. Лурье удалось преобразованием функции 7 значительно упростить задачу и свести ее к решению уравнения Бесселя. Числовые результаты получены в случае малого отверстия (%2《1) путем разложения решения в ряд по степеням %. Таким образом, в первом приближении исследуется напряженное состояние пластинки; следующие приближения получаются как решения неоднородных уравнений плоской задачи и изгиба пластинки. Отсюда вытекает возможность (Ю. А. Шевля- ков, 1953) привлечения к решению задачи мощного аппарата аналитических функций, разработанного Н. И. Мусхелишвили. Результаты работ по применению теории аналитических функций описаны в общем обзоре по теории упругости, включенном в настоящий сборник (стр. 40——70). Однако применение аппарата теории аналитических функций не является обязательным в данном круге задач; Лурье и большинство его последователей провели исследования в рамках математического анализа с вещественными координатами.
После появления фундаментальной статьи А. И. Лурье стали постепенно разворачиваться исследования по напряженному состоянию около отверстий; в настоящее время число публикаций по этому вопросу быстро растет: так, Г. Н. Савин в своем обзорном докладе (1962) на Львовской конференции смог сослаться на 40 отечественных работ по концентрации напряжений в оболочках, а за последующие 5 лет их число утроилось.
Метод малого параметра (за который в рассматриваемом случае принимается приведенный радиус отверстия) применим для решения широкого круга задач по определению напряженного состояния около отверстий. Можно даже сказать, что работы, в которых применяется предложенный Лурье подход к решению, преобладают в рассматриваемой области исследований. В этом нет ничего удивительного, так как имеется достаточный простор для обобщения задачи без существенного изменения методики исследования. Так, вместо равномерного внутреннего давления можно рассматривать другие виды нагрузки цилиндрической оболочки, например кручение (Ю. А. Шевляков и Ф. С. Зигель, 1954); рассматривались сферические и пологие оболочки, ортотропные оболочки, оболочки с так или иначе закрепленным отверстием (с кольцом при различных свойствах жесткости или же с шайбой, твердой или упругой). Обзор исследований,
выполненных в этом направлении до 1961 г., дан Г. Н. Савиным (1961, 1962). Основные работы в рассматриваемой области были выполнены первоначально Ю. А. Шевляковым (1953, 1955, 1956) и И. М. Пироговым (1956, 1962, 1963), опубликовавшими несколько десятков работ по довольно узкой тематике. Позднее в эти исследования включился Г. Н. Савин со своей школой, расширивший круг исследований отверстиями, контур которых представляет гладкую кривую без угловых точек. Это обобщение достигается конформным преобразованием z = s (g) (z = р exp i0, g = =Pi exp iy) единичного круга p = 1 в контур Г с помощью функции <о (С) = с {^ + &/" Например, эллиптическое отверстие с полуосями 〃 11b характеризуется коэффициентами с = V2 (а + &)^ е = (^ — ——Ь)/(а + Ь),论=1. Концентрация напряжений в сферической оболочке около эллиптического отверстия исследовалась Г. Н. Савиным и Г. Н. Ван Фо Фы (I960), у квадратного и треугольного отверстия — А. Н. Гузем (1964, 1965). Следует отметить, что Гузь опубликовал в те же годы большую серию статей по результатам исследования напряженного состояния около малых отверстий различного очертания в оболочках разной конфигурации; достигнуты эти результаты методом разложения решения по степеням малых параметров. Методом малого параметра изучены и физически нелинейные задачи о концентрации напряжений около отверстий (И. А. Цурпал, 1963). К изложенному следует добавить, что результаты приложения метода малого параметра тем лучше, чем меньше отверстие, в то время как классическая теория оболочек вовсе не позволяет исследовать концентрацию напряжения около очень малых отверстий.
В последнее время возник интерес к задаче о подкреплении отверстия, при котором бы сохранилось то же самое напряженное состояние, которое имеется при данной нагрузке без отверстия (Г. Н. Савин и Н. П. Флейш- ман, 1964; В. И. Тульчий, 1965). Решение этой задачи, впрочем, не всегда возможно.
Относительно мало результатов имеется по концентрации напряжений около больших отверстий (р 拄 1). Это можно объяснить тем, что при р》1 расчет оболочки сводится к типичной однородной задаче теории оболочек в двухсвязной области, где наличие отверстия в оболочке уже не является определяющим. Среди задач такого рода простейшими являются задачи с круговым отверстием в оболочке положительной гауссовой кривизны, труднейшими же, по-видимому,——с отверстием, контур которого в отдельных точках касается асимптотических линий (в случае оболочек отрицательной или нулевой гауссовой кривизны). В этих точках простой краевой эффект вырождается, в чем легко убедиться, рассматривая, например, приближенное уравнение для определения простого краевого эффекта (при %2 > 1) около кругового отверстия
務一玖2(Y一6cos28)г=0;
отсюда следует, что при значениях 0 = 0О, где 丫 = 5 cos 20о, краевой эффект действительно вырождается. Вместе с тем такая точка на контуре является одновременно особой точкой безмоментного оператора уравнения (7.1); поэтому расчленение решения на безмоментное состояние и краевой эффект в этом случае лишается обычных качественных свойств. Анализ и решение подобных задач представляют несомненный интерес ). Вкратце
с постановкой этого вопроса можно познакомиться по статье Л. Б. Име- нитова (1966), где рассмотрен частный случай оболочки положительной кривизны.
Энергетический метод определения напряжений при больших отверстиях применил О. А. Фролов (1961). Д. В. Вайнберг и А. Л. Синявский (1961) искусно использовали для этой цели принцип взаимности работ.
Обстоятельный обзор состояния проблемы концентрации напряжений около отверстий дан Г. Н. Савиным (1966). В нем подчеркивается, что практически концепция о малых отверстиях применима в более широком интервале (вплоть до %? = 3); это установлено теоретическими и многочисленными экспериментальными исследованиями (А. Я. Александров и др., 1966).
Расчет оболочек на сосредоточенную нагрузку
Элементарное правило конструирования требует, чтобы более или менее значительные сосредоточенные нагрузки были приложены к подкрепляющим оболочку ребрам, распределяющим нагрузку на оболочку по линиям сопряжения. Несмотря на это, иногда приходится нагрузку на оболочку передавать непосредственно через небольшую площадь, линейные размеры которой соизмеримы с толщиной стенки оболочки.
Определение напряженного состояния оболочек при сосредоточенной нагрузке уже длительное время занимает внимание исследователей. Сферическая оболочка рассмотрена А. Г. Гольденвейзером (1944), свободно опертая пологая оболочка ——В. 3. Власовым (1949), цилиндрическая оболочка — В. М. Даревским (1952). Во всех этих работах получены аналитические выражения для особенности решения в окрестности точки приложения нормальной сосредоточенной силы. Позже круг задач был расширен в направлении разного типа воздействий (тангенциальная и моментная сосредоточенные нагрузки) и очертания оболочек. К анализу напряженного состояния оболочек был привлечен аппарат теории обобщенных функций и полигармонических уравнений. Отметим здесь работы В. В. Новожилова и К. Ф. Черных (1963), а также Г. Н. Чернышева (1963) по выявлению особенностей в произвольной упругой оболочке, вызванных сосредоточенными силами и моментами.
Знание аналитических выражений для особенностей решения около сосредоточенной нагрузки имеет большое теоретическое и практическое значение. Последнее заключается в возможности улучшить сходимость рядов, к которым обычно приводит расчет оболочки, подверженной действию сосредоточенной нагрузки. Однако надо заметить, что эта возможность используется редко ).
Причиной такого отношения является, очевидно, то обстоятельство, что аналитическое выражение особенности аппроксимирует решение удовлетворительно только в очень малой области около точки приложения нагрузки. Получение формул, учитывающих наличие напряженного состояния типа краевого эффекта, представляло бы большой интерес. Но в этом направлении пока сделаны лишь первые шаги (В. С. Чернина, 1963, 1965; Г. Н. Чернышев, 1966).
Далее, напряженное состояние оболочки под площадкой и около площадки нагружения существенно трехмерно. Поэтому уравнения теории оболочек не в состоянии описать особенностей решения (в самом благоприятном случае они лишь моделируют эти особенности), выводимых на базе только старших операторов уравнений теории Кирхгофа ——Лява. В связи с этим возникает вопрос о том, какие коррективы вносит в полученные до сих пор результаты по особенности решения применение уравнений типа Рейсснера (или Тимошенко) или же двумерной системы более высокого порядка, лучше учитывающей трехмерный характер действительного напряженного состояния.
В последнее время начаты исследования о влиянии местного усиления площадки нагружения разной формы накладками на напряженное состояние. цилиндрических оболочек (В. М. Даревский, 1964; Ю. Г. Коноплев и А. В. Саченков, 1966); даны рекомендации о выборе формы накладки для уменьшения концентрации напряжений около приложения нагрузки.
Недавно изучены особенности напряженного состояния около сосредоточенной массы при свободных колебаниях цилиндрической панели (В. М. Даревский и И. Л. Шмаринов, 1966). Представляет интерес обзорная статья В. М. Даревского (1966).
Безмоментные гибкие оболочки
Тонкие оболочки с весьма малой изгибной жесткостью (часто именуемые «мягкими») рассчитываются в основном по безмоментной теории. Для них является характерным более или менее равномерно распределенное внутреннее давление. В общем случае равновесного состояния в оболочке образуются две зоны: «растянутая» и «складчатая». В «складчатой» зоне одно из главных безмоментных усилий равно нулю (складки образуются из-за местной потери устойчивости), а другое ——положительно. Граница между этими зонами, конечно, заранее не известна.
До сих пор основным объектом исследования были оболочки вращения. Разработка общей теории безмоментных весьма гибких оболочек находится в начальной стадии (С. А. Алексеев, 1966). Это неудивительно, так как здесь только в отдельных случаях возможна линеаризация задачи. Физические соотношения в работах по гибким оболочкам варьируются в широком диапазоне. С одной стороны, существуют материалы для гибких оболочек, которые можно считать нерастяжимыми. Допущение о нерастя- жимости материала значительно упрощает исследование. Относящийся к такому материалу круг задач рассмотрен С. А. Алексеевым (1955). С другой стороны, нередко приходится считаться с весьма большой дефор- мативностью материала, когда в основу механической характеристики кладется зависимость между истинными напряжениями и логарифмическими деформациями (А. С. Григорьев, 1957, 1961; И. В. Кеппен, 1960; И. И. Фе дик, 1962).
При больших растягивающих усилиях возможно существование безмоментных краевых эффектов (Ю. Н. Работнов, 1946). Это позволяет при благоприятных условиях воспринимать безмоментной оболочкой распределенную по линии (не по площади) нагрузку. Ряд задач такого типа решен В. И. Усюкиным (1964), в том числе для тороидальной оболочки.
В последнее время внимание уделяется несущей способности гибких безмоментных оболочек (И. С. Мамедов, 1963; Ю. Ф. Фокин, 1965), выражающийся в наличии максимальной нагрузки даже в предположении об идеальных материалах с неограниченной прочностью.
В целом проблематика безмоментных гибких оболочек сводилась бы к задаче определения основного напряженного состояния жестких оболочек, если бы перемещения были малыми. Но теорию мягких оболочек характеризует, как правило, применение точных геометрических соотношений. Далее, проблема местной устойчивости у мягких оболочек не является решающей для суждения о работоспособности ——нередко возникающие складки допустимы. Тем не менее выяснение условий существования двухосного напряженного состояния не может не представлять интереса, поскольку локальные критерии типа
аа^ > 0, с^с^Т^ > О
малоэффективны для решения сложных задач. С. А. Алексеев (1965) вывел условие неотрицательности главных компонент тензора усилий 7“% накладывающее ограничение на форму оболочки при заданной нагрузке; например, в случае трехосного эллипсоида и равномерного давления это выражается в требовании, чтобы на отрезках, обратно пропорциональных квадратам осей, можно было построить треугольники.
Сжатое изложение теории и основных задач по мягким оболочкам имеется в статьях С. А. Алексеева (1965, 1966); частично в них дан также краткий обзор выполненных работ.
Гибкие оболочки в приборах
Значительный цикл работ посвящен установлению основных характеристик упругой гофрированной мембраны, являющейся важным элементом некоторых приборов. В первом приближении такая мембрана может рассматриваться как анизотропная пластинка, а на самом деле ——это оболочка с переменной по знаку гауссовой кривизной (в случае, например, синусоидального гофра) или комплекс соединенных между собой коротких конических оболочек (при пилообразном профиле мембраны). Обилие параметров, определяющих конфигурацию гофрированной мембраны, необходимость расчета гибкой оболочки по нелинейной теории ——все это представляет большие трудности для получения общих заключений о рабочих характеристиках в зависимости от конструктивных параметров. Вместе с тем при расчете гофрированной мембраны основная задача заключается не в определении распределения напряжений, а в отыскании лрогиба в центре мембраны. Это делает доступным ее решение вариационными методами, которые и были до сих пор основным орудием исследования гофрированных мембран.
Работа Д. Ю. Панова (1941) была одной из первых по нелинейной теории мембран с весьма пологой гофрировкой. Позже к этой тематике подключился В. И. Феодосьев (1945, 1946, 1949). Со временем были сняты стесняющие предположения относительно пологости гофра и плавности его формы, рассмотрены гофрированные пологие оболочки (Л. Е. Андреева, 1953, 1958, 1962), проведены экспериментальные исследования {В. Я. Ильминский, 1955). При расчете гофрированных пластинок и пологих оболочек вариационными методами большое значение имеет выбор координатных функций, особенно в случае, когда число их должно быть невелико, а гофр оболочки густой; при выборе координатных функций должны быть учтены шаг и глубина гофра, его форма, индивидуальные характеристики жесткости (Э. Л. Аксельрад, 1963, 1964).
Второй тип широко используемых в приборостроении тонкостенных упругих элементов представляют сильфоны. Эти объекты были предметом
анализа уже в монографии В. И. Феодосьева (1949), а позже в работах В. И. Королева (1954) и В. С. Черниной (1955). Сильфоны представляют собой составную конструкцию из тороидальных оболочек, поэтому развитие методов расчета сильфонов следует продвижениям в теории тороидальных оболочек. В разработку этих взаимосвязанных вопросов в последнее десятилетие внесли вклад С. А. Тумаркин (1959), В. С. Чернина (1961), А. Н. Волков (1962, 1963), А. Р. Ярошенко (1965), В. А. Сухарев (1966). К этим работам примыкают исследования по изгибу кривых тонкостенных труб (Э. Л. Аксельрад, 1961, 1965).
Собственные колебания
Весьма широкую тему для исследований представляет определение спектра частот и принадлежащих им собственных форм колебаний. Оно является вспомогательной задачей при динамических расчетах как вынужденных колебаний, так и других квазистационарных процессов. За исключением свободно опертых пологих оболочек и цилиндрических панелей, любая задача из этой области содержит и сегодня достаточно трудностей для ее решения.
Исследования колебаний пластинок и оболочек имеют длительную историю. Определение собственных частот пластинки, например, можно отнести к классическим задачам математической физики; то же можно сказать и по поводу колебаний сферической оболочки, хотя последние являются предметом многочисленных исследований и в настоящее время (П. Е. Товстик, 1965),——классические задачи не обязательно просты.
Ранний период исследований колебания оболочек характеризуется решением частных задач (А. П. Филиппов, 1937; В. 3. Власов и Б. М. Теренин, 1947, О. Д. Ониашвили, 1950; В. Е. Бреславский, 1953, 1954; Э. И. Григолюк, 1956). Состояние первоначальной разработки этой проблемы описано в монографии О. Д. Ониашвили (1957); некоторые более поздние результаты по частным объектам приведены в справочнике В. С. Гонткевича (1964). Отметим работы Р. Л. Малкиной (1958, I960) о колебаниях некруговых цилиндрических оболочек, В. Е. Бреславского (1959) о влиянии отверстий на частоты, И. И. Трапезина (1959). Д. Д. Уль- яницкого (1958) о малых колебаниях конической оболочки и лопастей гидротурбин; У. К. Нигул (1958) подробно исследовал полный спектр и формы колебаний цилиндрической оболочки. К этому же времени относятся первые работы по свободным колебаниям анизотропных и многослойных оболочек.
Естественное обобщение задачи о свободных колебаниях получается при анализе собственных частот оболочки, находящейся под нагрузкой (при некотором, обычно безмоментном напряженном состоянии). Результаты для конкретных нагрузок имеются у В. Е. Бреславского (1956), М. В. Никулина (1959). Как известно, изучение колебательных свойств под нагрузкой является основным методом исследования устойчивости равновесия данной системы. Поэтому чаще всего центр тяжести в этой серии работ лежит в сфере проблем устойчивости упругих систем.
Достаточно большой ряд работ по колебаниям пластинок и оболочек с конечными прогибами был открыт Э. И. Григолюком (1955). Основной путь исследования колебаний оболочек с конечной амплитудой ——эта сведение к системе с одной-двумя степенями свободы и дальнейшее применение результатов, разработанных в нелинейной механике. Этот прием господствует в настоящее время при решении сложнейших задач динамики
оболочек. Сюда относятся задачи по параметрическим колебаниям, нелинейному флаттеру, динамической устойчивости при ударной нагрузке и т. п.
Линейная теория колебаний пластинок и оболочек по своей форме мало отличается от линейной теории равновесия ——согласно принципу Даламбера влияние инерции можно учесть в качестве нагрузки. Развитие этой теории могло бы идти параллельно с развитием теории равновесия. Однако пока в нашем распоряжении нет исследований по теории колебаний оболочек такой общности, как мы имеем в теории равновесия. Никак не умаляя значения монографии О. Д. Ониашвили и справочника В. С. Гонткевича, следует сказать, что они посвящены изложению частных результатов и не ставят целью систематический анализ многообразия колебательных форм с позиций общей теории оболочек.
Вместе с тем уже давно обнаружено, что в задачах по малым колебаниям оболочек возможно расчленение общего состояния движения (и напряженного состояния) на элементарные состояния, известные из общей теории равновесия оболочек. Такие состояния были описаны в обзорной статье Н, А. Алумяэ (1958). За исключением простейших объектов, проведение качественного анализа задачи с целью расчленения общего состояния движения на элементарные приводит к значительному сокращенито вычислительной работы. Опираясь на эту процедуру, Л. Ю. Поверус и Р. К. Ряямет (1958) определили основные тоны колебания конической оболочки по полубезмоментной теории.
Рассматриваемая проблема была предметом обстоятельного анализа в рамках А. Л. Гольденвейзера (1961, 1966), подошедшего к ней с точки зрения общей теории оболочек, т. е. применительно к произвольной оболочке. В последней статье Гольденвейзер подытожил результаты качественного исследования свободных колебаний с большим показателем изменяемости состояния перемещений. Целью исследования было установление областей для параметров, характеризующих функцию изменяемости ,в которых возможно расчленение общего состояния перемещений на элементарные. Классификация задач проведена с учетом геометрических свойств контурной линии, от которых существенно зависит характер дополнительных интегралов, привлекаемых для удовлетворения краевых условий. Основное внимание в статье уделено безмоментным поперечным колебаниям, происходящим при относительно малых частотах и сопровождаемым лишь малыми тангенциальными колебаниями. Разрешающее уравнение этих колебаний имеет любопытную структуру:
с^с^Ъ^^рШ 士 coaa₽VaV₽^ = 0 (11.1) (з ——приведенная частота), она заслуживает дальнейшего изучения. Это же замечание относится и к чисто изгибной деформации оболочек отрицательной кривизны, где изгибание срединной поверхности с большим показателем изменяемости не локализовано, как у оболочек положительной кривизны.
Принципиальные трудности применения метода ВКБ могут появиться даже при решении одномерных задач. Дело в том, что уравнения с переменными коэффициентами в определенной полосе частот имеют в области интегрирования так называемые точки ветвления; в окрестности этих точек метод ВКБ перестает работать. Решение возникающих в этом случае проблем посвящены работы Н. А. Алумяэ (I960) и П. Е. Товстика (1965, 1966). В случае двумерных задач эти вопросы применительно к теории оболочек практически не изучены.
В последнее время при исследовании существенно двумерных линейных задач наибольшее внимание привлекал, пожалуй, асимптотический метод определения частот (по терминологии В. В. Болотина, предложившего этот метод в 1960 г.). Основная идея метода заключается в следующем. При свободных колебаниях прямоугольной пластинки с большим числом узловых линий естественно ожидать, что во внутренней части пластинки прогиб определяется выражением
w (/,у) = Wq sin kt (/一入0sin 及2(沙一入2)，
где ki и к2 ——показатели изменяемости напряженного состояния в направлении 力 и 沙.Учитывая это, прогиб можно искать в форме w ~ w^ (力)w2 (у). Новые искомые функции д (力)и w2 (у) определяются в некоторой мере раздельно: при нахождении ”i (力)предполагается, что w2 (沙)= =sin 论2(5 —— 入2)・ Решение одномерной задачи содержит пока неизвестный параметр 论？• Для получения уравнения, определяющего к2, поступают аналогично: составляется уравнение для w2 (沙)в предположении, что Wi (力)=sin 乃2(У —入2)・ Совместное решение полученных характеристических уравнений двух одномерных задач (с параметрами ki и 乃2)определяет совместные корни А：!, Л2 и вместе с тем частоту. Исходная идея предполагает, что все интегралы в функции д (力),кроме sin 论1 (力一%i), вносят корректив в напряженное состояние только около краев, т. е. они затухают достаточно быстро (В. В. Болотин называет такие интегралы «динамическими краевыми эффектами»), но следует отметить, что показатель изменяемости у этих интегралов такой же, как и у основного интеграла.
Описанный метод был достаточно быстро развит В. В. Болотиным и его школой. После работ по прямоугольной пластинке (В. В. Болотин, 1961; В. В. Болотин и др., I960) появились исследования спектра поперечных колебаний цилиндрических замкнутых оболочек и цилиндрических панелей (Ю. В. Гаврилов, 1961, 1963), пологих оболочек (В. В. Болотин, I960), пластинок по теории Тимошенко (В. Н. Москаленко, 1961). По теории Тимошенко краевые эффекты при высоких частотах вырождаются; вырождение заключается в том, что основное напряженное состояние описывается несколькими слагаемыми типа
w = w0 sin ki (/一脑)sin 及2 e一九2)，
и применение метода в этом случае несколько усложняется.
Метод изучался на примере пластинки также с позиции вариационных уравнений способом неполного разделения переменных (Л. Я. Айнола, 1963). ,
Обобщение данного метода асимптотического интегрирования на оболочки, для которых следует учитывать переменность метрических коэффициентов, представляет несомненный интерес, но требует, согласно мнению В. В. Болотина (1961, 1962), привлечения аппарата метода ВКБ. В первую очередь должны поддаться анализу оболочки, срединная поверхность которых развертывается на поверхность вращения, а контурные линии совпадают с линиями кривизны. Несомненный академический и практический интерес представляют также оболочки, очерченные по минимальной поверхности, где контурные линии являются асимптотическими линиями срединной поверхности (расчет колебаний турбинных лопаток).
В отношении применимости метода остается вопрос: получим ли мы таким путем все частоты? Утверждать это пока трудно, ибо имеется пример простой одномерной задачи, на котором показано, что при применении
асимптотического метода теряются некоторые частоты (Ж. К. Махортых, 1964). Тем не менее предложенный В. В. Болотиным метод является весьма эффективным для определения большого количества частот и собственных форм свободных колебаний; метод нашел широкое применение при решении различных динамических задач.
На базе асимптотического метода В. В. Болотиным (1963, 1966) изучены плотности собственных частот пластинок и пологих оболочек; им показано существование точек сгущения спектра изгибных колебаний, причем у оболочек неотрицательной кривизны имеется одна такая точка, а у оболочек отрицательной кривизны ——две. Точки сгущения спектра собственных колебаний находятся при частотах g = | c/Ra | и з?= =I dR® I (при последней только в случае оболочек отрицательной кривизны) ;в этих выражениях с — скорость распространения волн сжатия — растяжения в оболочке; координатная сетка на срединной поверхности установлена так, что | Да | V | / I，причем Да, Др — главные радиусы кривизны. Эмпирические данные, извлеченные из анализа сферических и круговых цилиндрических оболочек, подтверждают теоретические результаты. Тем не менее любопытно, что при указанных частотах характеристические линии уравнений безмоментных изгибных колебаний являются кратными; однако кратные характеристики появляются и у оболочек положительной кривизны при частотах g)i и со2 (У сферической оболочки эти значения совпадают). Вопрос о связи между этими явлениями еще ждет ответа. Отметим здесь, что впервые исследования об асимптотическом поведении собственных частот колебаний цилиндрических и пологих оболочек проводились С. А. Терсеновым (1955).
Несомненный интерес представляет распространению результатов о плотности собственных нормальных колебаний на другие типы колебаний оболочек (тангенциальные колебания, высокочастотные изгибные колебания, появляющиеся при учете инерции поворота по теории типа Тимошенко). Эти результаты находят применение при изучении пластинок и оболочек, подверженных действию случайных нагрузок.
Переходные процессы деформации
В современной технике нередко возникают задачи, в которых история процесса представляет интерес только в течение небольшого промежутка времени, соизмеримого со временем пробега волнами деформации пути, равного характерному размеру срединной поверхности оболочки. Для переходных процессов деформации типично наличие невозмущенных областей в оболочке в течение существенной доли от полной истории процесса. Граница возмущенной области характеризуется (в зависимости от нагрузки) более или менее ярко выраженным фронтом волн напряжений. Если движение оболочки описывается уравнениями гиперболического типа, ，то это физически очевидное обстоятельство проявлется и математически. На фронте волны решение, вообще говоря,— разрывное. Так как в упругой среде разрывы распространяются с двумя скоростями, то картина разрывов (не говоря уже о поле перемещений) может оказаться весьма сложной, если учесть, что разрывы отражаются от боковых и контурных поверхностей. Ясно, что при медленном (и длительном) возрастании нагрузок роль этих разрывов в напряженном состоянии ничтожна. Прикладной интерес в первую очередь представляют переходные процессы, возникающие при соударении оболочки с другим телом или преградой, а также при обтекании оболочки ударной волны.
Состояние исследований переходных процессов деформации в оболочках и пластинках подробно освещено в обзоре Л. Я. Айнолы и У. К. Ни- гула (1965), некоторые Дополнения к нему можно найти в обзорном докладе автора (Н. А. Алумяэ, 1966). Ограничимся здесь сжатым изложением основных результатов. Некоторые данные об ударе о произвольную оболочку приведены уже в монографии Н. А. Кильчевского (1949), в которой оболочка моделировалась по теории Кирхгофа — Лява; возникающие при ударе перемещения определены путем применения теоремы о взаимности работ.
Исследования переходных процессов на основе модели гиперболического типа были начаты Я. С. Уфляндом (1947), который вывел новый вариант уравнения изгиба пластинки путем обобщения на пластинку системы гипотез, предложенной С. П. Тимошенко для уточнения уравнения движения стержня. Уфлянд применил для решения нестационарной задачи метод преобразования Лапласа и получил некоторые численные результаты.
Если исключить деятельность геофизиков (см., например, Г. И. Пет- рашень, 1951, 1953) с несколько иной областью интересов, то после работы Я. С. Уфлянда последовало почти десятилетней затишье в публикациях по рассматриваемой теме. Однако в последнее время намечается заметное оживление — вырисовались две основные проблемы.
Первая проблема заключается в разработке методов анализа быстро изменяющихся полей на основе уравнений теории упругости ). Один из этих методов основывается на применении двукратных интегральных преобразований с обращением при помощи метода перевала и с учетом только конечного числа мод. Естественно, что решению конкретных задач должно предшествовать исследование дисперсионных соотношений в высокочастотной области. Оно проведено, например, для антисимметричной (относительно срединной поверхности) деформации пластинки (Ю. К. Коненков, 1960; У. К. Нигул, 1963; А. И. Мяннил и У. К. Нигул, 1963), для которой имеется весьма богатая информация о фазовых и групповых скоростях распространения волн. Уже эти результаты дают возможность оценить точность дисперсионных соотношений, полученных на базе упрощенных теорий (И. Т. Селезов, I960). Наряду с этим большой интерес представляет анализ конкретных переходных процессов; сюда относится работа У. К. Нигула (1963) о волновом процессе изгиба в полубесконечной пластинке.
Применение метода Каньяра для обращения двукратных интегральных преобразований приводит, по существу, к построению системы элементарных волн, возникающих при отражении первичных волн от боковых поверхностей. Этот метод требует большого аналитического мастерства, но все равно не приводит к простым вычислительным алгоритмам (Г. И. Петрашень, 1958). Имеющиеся результаты, главным образом, определяют характер разрывов на фронтах элементарных волн.
Отчасти из-за аналитических трудностей, отчасти в связи с расширением возможностей применения вычислительной техники начали появляться работы, в которых динамические уравнения теории упругости непосредственно интегрируются численными методами (У. К. Нигул, 1965, 1966). Полученные результаты дают довольно ясное представление об областях применимости приближенных теорий; в частности, нашло
подтверждение предположение о том, что около фронтов и других линий разрыва решения приближенные теории сглаживают движение (этот недостаток может оказаться весьма ощутимым, когда определению подлежат ускорения).
Вторая проблема возникает вследствие того, что с помощью теории упругости нельзя выполнить весь нужный объем расчетов и поэтому необходимо усовершенствовать упрощенные теории, построенные на основе различных процедур приведения. Эта проблема в нестационарной динамике стоит так же остро, как и в теории трехслойных оболочек. Подходы к ее решению кратко изложены в параграфе, посвященном приведению уравнений теории упругости к уравнениям двумерной теории оболочек (§ 16). Пока конкретный анализ и приложения не ушли дальше теории типа Тимошенко. Приближенные модели для описания напряженного состояния около разрывов отсутствуют.
На базе теории типа Тимошенко решено достаточно большое количество задач по переходным процессам. Если опустить те исследования, где применяется метод разложения по собственным функциям колебаний (предназначенный для решения квазистационарных задач), то можно упомянуть публикации М. В. Дубинкина (1959), В. Д. Кубенко (1965), Н. Д. Векслера и др. (1965,1966) по решению одномерных задач при краевой нагрузке, а также статью А. В. Агафонова (1965) о действии сосредоточенной силы на цилиндрическую оболочку (двумерная задача). Далее следует отметить работы о реакции пластинки или оболочки на действие подвижной нагрузки: Д. Е. Хейсин (1963) исследовал установившееся движение пластинки, плавающей на поверхности жидкости, В. Л. При- секин (1961) определил критические скорости движения нагрузки в осевом направлении цилиндрической оболочки, Л. И. Слепян (1966) установил асимптотические законы роста амплитуд смещений при критических скоростях движения нагрузки по простым объектам (стержень, безмоментная цилиндрическая оболочка), М. А. Ильгамов и А. А. Яббаров (1965) рассмотрели установившееся движение цилиндрической оболочки с перемещающимся внутри нее разделом между газообразной средой и сплошным упругим заполнителем (с учетом термических эффектов), А. Н. Тюманок (1965) определил по теории типа Тимошенко неустановившиеся колебания цилиндрической оболочки; получены формулы для разрывов при обтекании сферической оболочки ударной волной (Н. А. Алумяэ, 1966); П. Ф. Сабодаш (1965) исследовал установившееся воздействие подвижной нагрузки на пластинку по теории упругости.
Большое внимание уделено нестационарным задачам гидро- и аэроупругости. Гидравлический удар с учетом деформативности был предметом изучения в работах Н. А. Кильчевского и др. (1962), А. С. Вольмира и М. С. Герштейна (1966), причем в последней работе труба моделировалась нелинейно как геометрически, так и физически. Воздействие на длинную круговую цилиндрическую оболочку акустической волны с параллельной к оси оболочки плоскостью фронта рассматривалось Э. И. Григолюком и В. Л. Присекиным (1963) в линейной, а позже — А. С. Вольмиром и М. С. Герштейном (1965) в нелинейной постановке; эти результаты относятся к начальной стадии удара.
За редкими исключениями, решенные до сих пор задачи — одномерные. Это можно понять, если учесть существующую мощность вычислительной техники, с одной стороны, и сложность картины разрывов напряженного состояния, с другой стороны. Решение двумерных линейных ^адач стоит в повестке дня ближайших лет. Принимая во внимание нужды
техники и опыт геофизиков, выполнение намечаемой программы немыслимо без применения вычислительной техники, которая уже обеспечивала решение ряда сложных нелинейных задач.
Применение простейших расчетных алгоритмов для решения дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих переходные процессы, возможно лишь в случаях, когда решение достаточно гладкое. Этого можно достичь, если из общего решения выделить разрывную часть вплоть до нужного порядка. Впрочем, при решении линейных одномерных задач такое разложение применяется весьма часто. Если нелинейный процесс может бить описан полулинейными уравнениями, то для выделения разрывной части решения применимы методы, известные из линейной теории. Исследование же разрывных решений квазилинейных уравнений представляет собой пока белое пятно в теории оболочек. Между тем можно предполагать, что результаты по изучению квазилинейных уравнений внесут дополнительные аспекты в проблематику динамической устойчивости нестационарных процессов в пластинках и оболочках.
Перспективы исследования затронутого здесь вопроса затемнены одним обстоятельством: в зонах, примыкающих к разрывам, теория оболочек неадекватно описывает происходящие там явления. Поэтому исследования в этой области необходимо вести в тесном контакте с разработкой указанной в начале настоящего параграфа первой проблемы. Наконец, заметим, что в практических задачах могут встретиться очень сильные разрывы (например, при обтекании цилиндрической оболочки ударной волной, фронт которой параллелен оси оболочки), поэтому анализ и установление качественных и количественных характеристик разрывов не является «академическим» увлечением, т. е. некоторым гиперболизмом в «параболической природе».
Новые задачи динамики оболочек
За последнее десятилетие бурно развился ряд интересных направлений динамики пластинок и оболочек, в которых основные результаты пока исчерпывались областью динамики систем с конечным числом степеней свободы. Сюда относятся параметрически возбужденные колебания, колебания, возбуждаемые потоком газа, колебания сосудов, частично или целиком заполненных жидкостью, колебания при случайных нагрузках или конструктивных свойствах.
Указанные здесь циклы питаются запросами практики, поэтому о недооценке важности развития начатых исследований говорить не приходится. Вместе с тем поставленные задачи весьма сложны, если рассматривать пластинки и оболочки как объекты одномерного или двумерного континуума. В результате уже в начальной стадии анализа пластинка или оболочка сводится каким-то вариационным методом к системе с конечным числом степеней свободы. Вследствие этого может создаться впечатление,, что перечисленные новые направления исследований не имеют пока непосредственного отношения к «внутренней» теории оболочек, хотя, впрочем, трудно отрицать, что для сведения оболочки к системе с одной степенью свободы необходимо иметь ясное представление о работе оболочки в данных условиях нагрузки. Во всяком случае, приближение этих направлений к «внутренней» теории оболочек должно быть проведено специалистами по теории оболочек, и поэтому в настоящем обзоре следует остановиться; на основных этапах развития затронутых областей.
Параметрические колебания В некоторых линейных задачах пластинок и пологих оболочек возможно разделение переменных (Б. 3. Брачковский, 1942; Г. Ю. Джанелидзе, 1955), в этом случае колебания конструкции определяются хорошо известным уравнением Матье — Хилла, через коэффициенты которого устанавливаются зоны параметров, в которых колебания неустойчивы. Впервые такие задачи были решены для пластинок В. А. Боднером (1938) и 3. И. Халиловым (1942), для оболочек А. Н. Марковым (1949) и О. Д. Ониашвили (1950).
У оболочек из-за большой плотности спектра свободных колебаний зоны неустойчивости параметрических колебаний покрывают значительную область в плоскости «сила — частота», поэтому для практических целей необходимо установление амплитуд колебаний при помощи нелинейной теории с учетом демпфирования. Эта задача была поставлена В. В. Болотиным для пластинки (1954, 1956), а позже и для сферической оболочки (1958). При рассмотрении нелинейных задач, так же как и в случае линейных задач с неразделяющимися переменными (Н. А. Алфутов и В. Ф. Ра- зумеев, 1955), оболочка моделируется системой с одной-двумя степенями свободы.
Если речь идет о системе с одной степенью свободы, то ее динамика определяется уравнением типа
Г + 2旷 + ^[1-T (^)] — e ⑦产 + d (大)产=q (以 где з ——частота свободных малых колебаний системы. Структура этой системы не изменится, если вместо однородной изотропной оболочки рассмотреть оболочку неоднородную с анизотропными слоями в условиях нелинейной упругости, в нестационарном температурном поле (С. А. Ам- барцумян и В. Ц. Гну ни, 1964; В. Ц. Гнуни, 1965). Чаще всего задача заключается в установлении режима стационарных вынужденных колебаний.
Колебания оболочек и пластинок в потоке газа. Первые исследования по совместным колебаниям пластинок и газа относятся к дозвуковым скоростям потока (Г. И. Копзон, 1956; В. В. Болотин, 1956), а также небольшим сверхзвуковым скоростям. Задачи рассматривались в линейной постановке, причем течение предполагалось потенциальным. Следует учесть, что при такой постановке размерность аэродинамической задачи на единицу больше, чем в задаче эластодина- мики для пластинки. Вскоре, однако, было обнаружно, что при больших скоростях потока (с числом Маха М > 2) возможен сильно упрощенный учет аэродинамического взаимодействия; этот вариант учета аэродинамических сил, получивший название «поршневой теории», был применен уже в работах А. А. Мовчана (1957) и Р. Д. Степанова (1957). Надо отметить, что, кроме условий М》丄 и квазистационарности потока, имеется еще условие относительно показателей изменяемости вдоль и поперек возмущенного потока (В. В. Болотин, 1961). «Поршневая теория» осталась пока основной расчетной моделью потока, обтекающего пластинку или оболочку. Несмотря на упрощения в аэродинамической части, точное решение даже линеаризованных краевых задач возможно только в исключительных случаях. Один из таких случаев ——осесимметричное обтекание бесконечно длинной замкнутой круговой цилиндрической оболочки —— был предметом многочисленных исследований (Б. И. Рабинович, 1959; Ю. Ю. Швейко, 1960; Г. Е. Багдасарян, 1962; Е. П. Кудрявцев, 1964), представляющих собой разного рода обобщения простейшей задачи, поставленной В. В. Болотиным в 1956 г. К этому неполному перечню
нужно добавить работы, где изучаются колебания оболочек в газовом потоке с изменяющейся во времени температурой оболочки (С. А. Амбарцумян и Г. Е. Багдасарян, 1964).
В случае пластинок и оболочек конечных размеров прибегают к использованию метода Галеркина для сведения задачи к системе с небольшим числом степеней свободы. При решении нелинейных задач это пока единственный метод получения законченных результатов, причем число степеней свободы, как правило, составляет два.
Первые нелинейные задачи аэроупругости решены В. В. Болотиным (1958, I960) и им же с его сотрудниками (1959). Отметим еще работы Ю. Ю. Швейко (1961), Ю. Н. Новичкова (1962), Г. Е. Багдасаряна (1963). Изучение нестационарного флаттера при одновременном изменении скорости и температуры также начато В. В. Болотиным (1962). К. К. Ливанов (1963) учел влияние тангенциальной инерции на критические скорости (обычно в рассматриваемых задачах учитывается только нормальное ускорение). Обзор исследований по колебаниям пластинок и оболочек в потоке газа, опубликованных до 1961 г., имеется в докладе В. В. Болотина (1962).
Так как линейные задачи об устойчивости пластинок и оболочек в потоке газа сводятся в конечном итоге к исследованию системы с двумя степенями свободы, то без принципиальных затруднений возможны разные обобщения решения «классических», т. е., казалось бы, простейших, задач; объектом могут быть оболочки пологие, анизотропные, многослойные, ребристые, нелинейные упругие ——учет всех этих факторов не вносит существенных изменений в процедуру исследования.
Колебания оболочек, заполненных жидкостью. Свободные колебания заполненных частично или целиком сосудов имеют, естественно, два качественно различных участка спектра. При низких частотах колеблется жидкость, оболочка же является практически безынерционной (квазистатической). При высоких частотах, наоборот, колеблется оболочка, увлекая при этом в движение вместе с сосудом некоторый объем жидкости. Несмотря на возможные упрощения (идеальная жидкость, малые колебания), задачи гидроупругости являются далеко не простыми даже в случае осесимметричных колебаний оболочек вращения —ведь движение жидкости и тогда определяется двумерным волновым уравнением.
Пока перечень выполненных исследований по этой проблеме невелик. Отметим здесь работы Б. Н. Бублика и В. И. Меркулова (1966), Ю. С. Шке- нева (1964), В. П. Шмакова (1964); Ф. Н. Шклярчук (1965, 1966) ввел для упрощения гидродинамической стороны гипотезу плоского отражения жидкости; у Ю. Н. Новичкова (1966) анализ собственных частот напрасно осложнен заданием неконструктивного стыка между оболочкой и диафрагмами; в работе Г. Е. Багдасаряна и В. Ц. Гну ни (1966) задача сведена к линейной системе с одной степенью свободы.
Нет сомнения, что в рассматриваемых вопросах имеется широкое поле для дальнейших исследований.
Обзор исследований по квазистационарным задачам аэро- и гидроупругости пластинок и оболочек имеется в докладе Л. И. Балабуха (1966).
Колебания при случайных нагрузках. Нередко тонкие пластинки и оболочки находятся под действием атмосферной турбулентности, акустического излучения от работающих двигателей и т. д., т. е. подвержены случайным нагрузкам, возбуждающим колебания в широком диапазоне спектра. Большая плотность собственных частот колебаний
делает в этих условиях неприменимым метод разложения решения по собственным функциям. Наоборот, эффективным методом исследования происходящих при случайных нагрузках колебаний оказывается замена дискретной схемы расчета распределенной ——вместо суммирования по частотам свободных колебаний применяется процедура интегрирования в пространстве волновых чисел (по другой терминологии ——показателей изменяемости основного напряженного состояния в двух характерных направлениях). Эффективным средством исследования простейших объектов при широкополосной нагрузке является предложенный В. В. Болотиным (1961) асимптотический метод определения собственных частот и собственных функций. В указанной статье этот прием использовался им применительно к защемленной пластинке; при определенных условиях относительно корреляционных свойств нагрузки был вычислен средний квадрат нормальных напряжений вблизи края. Позже В. В. Болотин (1963) показал, что для средних квадратов и спектральных плотностей можно получить интегральные оценки при достаточно широких условиях для корреляционных функций нагрузки. Частные виды случайного акустического поля в качестве нагрузки были предметом исследований М. Ф. Диментберга (1961, 1962) и Ю. А. Федорова (1963), выполненных на базе корреляционных методов. Далее Ю. А. Федоров (1964) рассмотрел действие на свободно опертую плоскую пластинку плоских акустических волн со случайной частотой и амплитудой, учитывая методом малого параметра геометрическую нелинейность деформации. В. А. Пальмов (1965) вывел спектральные плотности прогиба и напряжений в достаточно удаленной от краев точке при случайной нагрузке волнового типа; им не применялся метод разложения решения по формам собственных колебаний, а учитывалось только частное решение (с большим показателем изменяемости).
Обзор выполненных до 1964 г. исследований можно найти в статье В. В. Болотина (1964), где, кроме корреляционного метода, обсуждены также возможности и полученные результаты в области применения ква- зистатического метода и метода кинетических уравнений для исследования статистических свойств колебаний пластинок и оболочек при случайных нагрузках. Болотин отмечает, что применению математической статистики в различных областях физики и техники посвящено огромное количество работ, причем многие результаты из статистической динамики могут быть интерпретированы в терминах теории пластинок и оболочек. В свойственных теории оболочек задачах приложения этих результатов заключаются в установлении общих свойств спектра колебаний. В линейных задачах это в настоящее время выполнимо; что касается колебания оболочек с конечными амплитудами, то здесь в ближайшем будущем придется, по-видимому, ограничиться рассмотрением конкретных задач, представляющих непосредственный интерес для практики. С точки зрения теории оболочек упор надо делать на учет континуального характера работы оболочки (В. В. Болотин, 1966).
Анизотропные оболочки
Развитие исследований в области однородных анизотропных оболочек шло, в общем, по пути разработки соответствующих разделов теории изотропных оболочек. Это вполне естественно, так как упругие коэффициенты изотропного и анизотропного тел редко различаются по порядку. В этом случае нетрудно сообразить, что (1) основные уравнения трацсверсально- 17 Механика в СССР, т. 3
изотропной оболочки отличают от уравнений изотропной оболочки только другим коэффициентом поперечного сдвига; (2) основные уравнения ортотропной оболочки сохраняют такую же структуру, но вместо двух появляется шесть упругих постоянных; вместе с тем (3) при анизотропии с одной плоскостью симметрии (в дальнейшем называемой общей анизотропией) структура основных уравнений изотропной и анизотропной оболочек уже различна. Как и следует ожидать, большинство результатов по анизотропной деформации относится к ортотропным оболочкам, причем чаще всего предполагается, что главные направления ортотропии совпадают с линиями кривизн срединной поверхности. Все же нужно отметить, что представители теории анизотропных оболочек были весьма активны и при возрождении проблемы уточнения классической теории оболочек, базирующейся на гипотезах Кирхгофа — Лява (С. А. Амбарцумян, 1958). Внутренним стимулом для выдвижения этого вопроса была при этом несостоятельность классической теории при существенной анизотропии материала, а также необходимость применения при таких материалах относительно толстых оболочек (в том числе и многослойных).
Первые работы по анизотропным оболочкам появились давно (И. Я. Штаерман, 1924; X. М. Муштари, 1938), но более или менее обстоятельная разработка соответствующей теории началась лишь около двадцати пяти лет тому назад, когда были опубликованы первые статьи С. А. Амбарцумяна (1947, 1948). Конечно, немалую роль в развитии теории анизотропных пластинок и оболочек сыграли и монографии С. Г. Лех- ницкого (1943,1947), хотя примененный там аппарат теории функций неприменим для расчета оболочек (за исключением некоторых частных случаев безмоментных оболочек).
В течение десятилетия построение теории проводилось по гипотезам Кирхгофа ——Лява, причем в условиях многослойных анизотропных оболочек для всего пакета слоев. Такой подход должен быть вполне приемлем для широкого круга задач, в которых нет существенной анизотропии или же ярко отличных упругих свойств у составных слоев.
За небольшой срок были получены обобщения результатов по основным задачам изотропных оболочек на анизотропные оболочки — по без- моментной теории, по расчету оболочек вращения при симметричном и циклическом нагружениях, содержащему задачу о простых краевых эффектах. До тех пор пока главное внимание уделялось ортотропным (в линиях главных кривизн) оболочкам, эти исследования не приводили к обнаружению существенно новых явлений. Исключение представляет случай, при котором срединная поверхность оболочки имеет (изолированную) омбилическую точку (эту точку, согласно С. А. Амбарцумяну, следует называть физико-геометрически особой точкой), однако в настоящее время этот вопрос интересен, пожалуй, только с теоретической точки зрения.
Когда же начали рассматривать задачи более общей анизотропии, то выяснилось, что безмоментное л чисто моментное состояния не могут быть выделены; вместо этих элементарных состояний возникает сложное напряженное состояние с малым показателем изменяемости. Далее, у оболочки, очерченной по поверхности вращения, при циклически симметричной нагрузке деформация уже не обладает этим свойством; большое влияние оказывает анизотропия. на функцию интенсивности краевого эффекта; увеличивается по модулю остаточный член первого приближения простого краевого эффекта, определяемого методом ВКБ (Л. А. Мовсисян, 1958, 1959).
Уравнения ортотропных цилиндрических оболочек впервые были выведены X. М. Муштари (1939); общий случай анизотропии был рассмотрен значительно позже (С. А. Амбарцумян, 1948); однако в отношении методов интегрирования уравнений при общей анизотропии первые результаты получены лишь сравнительно недавно (В. С. Саркисян, 1963). Обилие упругих постоянных при общей анизотропии порождает именно у цилиндрических оболочек большое число возможных вариантов соотношений, описывающих элементарные состояния (С. А. Амбарцумян, 1954). Может быть, нелишне отметить, что состояния изотропной цилиндрической оболочки сводятся к обобщенному краевому эффекту и простому краевому эффекту; только при расчете напряжений около сосредоточенной нагрузки или малого отверстия к этим состояниям присоединяется еще состояние с большим показателем изменяемости в произвольном направлении на срединной поверхности.
Исследования по линейной и геометрически нелинейной деформации пологих оболочек относятся к случаю ортотропии, и в них для интегрирования уравнений используются в основном методы, заимствованные из области изотропных оболочек (X. М. Муштари, 1938; Е. Ф. Бурмистров, 1955, 1956). Исследованы также задачи термоупругости в нелинейной постановке (Е. Ф. Бурмистров, 1960; С. П. Дургарьян, 1962; С. А. Амбарцумян, 1963); построены варианты нелинейной теории по гипотезам, отличающимся от гипотез Кирхгофа — Лява (С. А. Амбарцумян и Д. В. Пешт- малджян, 195§).
Систематическому изложению линейной теории анизотропных оболочек посвящена монография С. А. Амбарцумяна (1961). Более широкий круг задач по анизотропным оболочкам охвачен в его обзорных статьях (1962, 1964), где сформулированы также основные направления развития и задачи, стоящие на пути успешного продвижения теории анизотропных оболочек. По мнению Амбарцумяна, наибольшего внимания в данное время заслуживают задачи, в которых анизотропия деформации имеет общий характер. В этой области имеется опасность распыления сил и средств на решение частных задач. Вместо этого упор надо делать на разрешение фундаментальных методических вопросов — нужно классифицировать отдельные ситуации, провести качественный анализ напряженного состояния для каждого класса и разработать на основе этого эффективные методы решения.
Слоистые оболочки
Самый распространенный тип слоистых оболочек в современной технике ——это трехслойная оболочка, состоящая из двух тонких внешних слоев из прочного материала, присоединенных к легкому и малопрочному среднему слою — заполнителю. (Применяются также двухслойные и многослойные оболочки.)
Проблема сведения трехмерной задачи к двумерной проявляется здесь сложнейшим образом. Дело в том, что заполнитель может быть не только из изотропного материала, но может обладать и свойствами однородной общей анизотропии или может быть реализован из гофрированного листа и т. п. с трудно определяемыми характеристиками конструктивной анизотропии, причем совместность деформаций между отдельными слоями нужно устанавливать лишь вдоль дискретно расположенных линий.
Первые отечественные публикации по теории слоистых пластинок и оболочек относятся к концу сороковых годов (С. А. Амбарцумян, 1948, 17*
1949; А. П. Прусаков, 1949). В этих и многих последующих работах за основу построения расчетных соотношений была принята система гипотез Кирхгофа — Лява для целого пакета. Главное внимание в первое время было уделено трехслойным пластинкам и прежде всего вопросам устойчивости (общей и местной потери устойчивости несущих слоев). Перечень работ этого времени можно найти в соответствующем разделе обзорной статьи Л. М. Куршина (1962). Проблемы и результаты расчета слоистых оболочек освещены весьма подробно также в монографии и обзорах С. А. Амбарцумяна (1961, 1962, 1964), а достаточно богатый к этому времени справочный материал по формулам расчета и экспериментам — в книге А. Я. Александрова, Л. Э. Брюкнера, Л. М. Куршина и А. П. Прусакова (I960).
Для построения простых и универсальных уравнений по расчету трехслойных пластинок с легким заполнителем пришлось прибегнуть к другим гипотезам в отношении заполнителя; одним из пионеров в этом направлении был А. П. Прусаков (1951). С методической точки зрения обоснование рабочих гипотез иногда страдало от внутренних противоречий, В чем можно убедиться на примере изложения основных идей в только что упомянутой статье Л. М. Куршина (см. там стр. 168—169).
Может быть, именно в создании теории слоистых оболочек была впервые обнаружена существенная необходимость отказаться от привычных гипотез Кирхгофа — Лява и учесть влияние поперечного сдвига, а также обжатия.
Э. И. Григолюк (1957, 1958) при построении геометрически нелинейной теории трехслойных оболочек симметричной структуры исходил из предположений, что в отношении среднего слоя применимы гипотезы Тимошенко, а внешний слой следует гипотезам Кирхгофа ——Лява. Прогиб всех слоев принимался равным. В итоге получалась нелинейная система 12-го порядка. Обобщение этих результатов на оболочки несимметричной структуры дано X. М. Муштари (1961). Слабым местом этого варианта теории явлется предположение о том, что вектор поворота нормали у крайных слоев одинаков и равен градиенту прогиба.
С. А. Амбарцумян (1957) для уточнения классической теории оболочек предложил задавать распределение поперечного сдвига по параболе; это положение заменяет гипотезу Кирхгофа — Лява о сохранении нормали к срединной поверхности после деформации (остальная часть предложений Кирхгофа — Лява сохраняется). Построение теории на основе этой гипотезы несколько сложнее, чем по энергетическому методу, примененному Э. И. Григолюком; но в более или менее существенной мере это проявляется только в нелинейных задачах.
В одной работе по трехслойным оболочкам Э. И. Григолюк и П. П. Чулков (1963) учли формально и обжатие заполнителя при помощи введения соответствующей координаты; деформация внешних слоев была принята точно по гипотезам Кирхгофа — Лява, и это привело к системе 16-го порядка. Позже те же авторы (1964) отказались от учета обжатия (принимая при составлении физических соотношений для слоев “z — 0) и получили систему 12-го порядка, которую в некоторых случаях считают возможным свести к системе 10-го порядка, пренебрегая одним краевым эффектом типа Сен-Венана. Вместе с тем упрощенные соотношения все равно описывают один краевой эффект типа Сен-Венана уравнением такой же структуры, что и отброшенное уравнение; пока не вполне ясно, какой из этих краевых эффектов имеет большую физическую зтачймостьч ： ?
В последнее время повысился интерес к многослойным оболочкам. Без особых затруднений можно построить теорию на основе гипотез Кирхгофа —Лява, и во многих случаях действительно можно получить приемлемые результаты при помощи такой теории (С. А. Амбарцумян, 1961). При существенно различных упругих свойствах отдельных слоев все же напрашиваются исследования по созданию адекватной расчетной модели.
Нелинейные уравнения анизотропных многослойных оболочек при произвольном нагреве, с использованием гипотезы прямых нормалей в каждом слое, приведены Э. И. Григолюком и П. П. Чулковым (1965). Принятая система гипотез сводит расчет n-слойной оболочки к системе квазилинейных дифференциальных уравнений (6 十 4п)-го порядка, решение которой на контурном срезе оболочки должно удовлетворить 3 + 2〃 краевым условиям.
В области теории многослойных анизотропных оболочек многие вопросы еще ждут решения, хотя путь этого решения заложен в известной мере достижениями теории^ однородных изотропных оболочек. Отметим здесь только некоторые из этих вопросов, которые представляются наиболее существенными: 1) какими уравнениями можно описать медленно изменяющиеся напряженные состояния? 2) существуют ли (и при каких условиях) напряженные состояния, которые в классической теории называют простыми краевыми эффектами? каково их число на краю? 3) при каких условиях происходит вырождение простых краевых эффектов в обобщенные краевые эффекты с более медленным затуханием от края? 4) какое число краевых эффектов типа Сен-Венана порождает конкретная теория многослойной оболочки? можно ли их группировать в отдельные классы по свойствам напряженных состояний и адекватна ли данная теория для описания краевых эффектов типа Сен-Венана? При этом нельзя упускать из виду реальные возможности определения 3 十 2〃 коэффициентов упругой заделки на каждом краю: именно здесь существует большой разрыв между теорией и практикой.
Приведение задач теории упругости к теории оболочек
Очевидно, имеется много возможных путей приведения задач теории упругости к задачам теории оболочек для тонкостенных объектов типа пластинок и оболочек. Основные относящиеся сюда результаты освещены в обзорах И. И. Воровича (1966) с упором на задачи равновесия; состояние проблемы приведения при решении динамических задач изложено в обзорной статье Л. Я. Айнолы и У. К. Нигула (1965).
Весьма условно методы приведения можно разделить на следующие основные группы: (1) аналитические методы, (2) вариационные методы, (3) асимптотические методы.
Наибольшую историю среди методов приведения имеет метод степенных рядов, при котором коэффициенты разложения искомых величин (по нормальной к срединной поверхности координате z) определяются рекуррент- но через шесть основных функций (от внутренних координат а, 0 срединной поверхности); последние же определяются условиями на боковых поверхностях (Н. А. Кильчевский, 1939, 1963), которым удовлетворяют с точностью до членов определенного порядка z* так как практически возможно лишь рассмотрение усеченных систем (т. е. систем дифференциальных уравнений конечного порядка). Следует отметить, что удовлетворение краевых условий (на контурных поверхностях) и начальных условий с заданной точностью требует вывода системы дифференциальных
уравнений более высокого порядка точности. Полученные методом разложения решения в степенные ряды усеченные системы в ряде конкретных случаев даны И. Т. Селезовым (1961, 1963) и У. К. Нигулом (1962).
В случае простейших объектов (пластинки, круговой цилиндрической и сферической оболочек) алгоритм степенного ряда может быть доведен до изящных формул «символического» метода А. И. Лурье (1942, 1955) или до метода начальных функций В. 3. Власова (1955). Символический метод применен также для вывода упрощенных уравнений динамики с малыми показателями изменяемости (У. К. Нигул, 1963); однако краевые условия к уравнениям равновесия толстых пластинок получены с использованием вариационной формулировки задачи (В. К. Прокопов, 1965).
При рассмотрении указанных выше простейших объектов к символическому методу примыкает метод «однородных» решений. По этому методу решение задачи теории упругости ищется в форме бесконечной суммы частных решений, удовлетворяющих однородным краевым условиям на боковых поверхностях (параллельных срединной поверхности), но, вообще говоря, не краевым условиям на контурных поверхностях; к этому агрегату решений прибавляется частное решение уравнений теории упругости, удовлетворяющее неоднородные краевые условия на боковых поверхностях. Основные моменты решения задачи заключаются (1) в определении корней трансцендентного характеристического уравнения «однородных» решений и (2) в установлении процедуры, определяющей произволы интегрирования однородных решений через заданные краевые условия на контурных поверхностях; обычно для этой цели пользуются принципом возможных перемещений.
Описанный метод был применен к изучению состояния равновесия круглых.пластинок В. К. Прокоповым (1952), О. К. Аксентяном и И. И. Во- ровичем (1963); случай замкнутой круговой цилиндрической оболочки при осесимметричной деформации был рассмотрен В. К. Прокоповым (1949), а также Н. А. Базаренко и И. И. Воровичем (1965). Вопросам приложения данного метода к теории упругости посвящена обзорная статья Г. Ю. Джанелидзе и В. К. Прокопова (1963).
Следует добавить, что при определении корней характеристического уравнения и принадлежащих к каждому корню напряженных состояний систематически применяется разложение неизвестных по степеням малого параметра, т. е. относительной толщины. Конечно, это самый надежный метод исследования проблемы приведения, но, к сожалению, он применим только для весьма ограниченного класса задач. Например, при изучении распространения волн напряжения метод однородных решений применим без осложнений лишь при определенных краевых условиях, допускающих sin — cos-интегральное преобразование по координате (У. К. Нигул, 1963).
К аналитическим методам сведения в динамике следует отнести также процедуру сопоставления формальных решений в виде контурных интегралов задач теории упругости и теории пластинок. По замыслу Г. И. Пет- рашеня (1951) обе теории должны дать одинаковые разложения для искомых величин в малочастотной части (комплексных) колебаний. Поскольку приближенная теория с меньшей размерностью этого не может полностью обеспечить, то из сопоставления выводятся условия применимости приближенной теории.
Для приведения весьма часто используются энергетические методы, в которых искомые величины аппроксимируются как функции от z неко-
норой замкнутой системой (например, полиномами Лежандра), а дифференциальные соотношения между коэффициентами получаются из вариационной формулы Лагранжа или Кастильяно (или какой-то другой расширенной вариационной формулы). Этим путем без затруднений могут быть построены системы дифференциальных уравнений сколь угодно высокого порядка и получены соответствующие краевые условия (во многих методах, применяемых при решении проблемы приведения, формулировка краевых условий к усеченным системам является самым уязвимым местом неории).
Примеры построения таких уточненных теорий оболочек даны в работах И. Н. Векуа (1955, 1965), И. Г. Терегулова (1962), Н. А. Кильчевского (1963), В. В. Понятовского (1962). Анализ выведенных систем показывает, что с увеличением порядка системы дифференциальных уравнений выше восьмого в решениях появляются краевые эффекты типа Сен-Венана; более того, увеличение порядка системы уравнений (физически это соответствует увеличению числа степеней свободы) порождает только новые интегралы с большим показателем изменяемости — краевые эффекты типа Сен-Венана. Итак, если нужно выделить краевые эффекты Сен-Венана, соответствующие краевому кручению и краевой плоской деформации в первом приближении, то система дифференциальных уравнений теории оболочек должна быть 14-го порядка. Однако пока не имеется опубликованных результатов по анализу таких расширенных систем уравнений теории оболочек.
В связи с попытками решения проблемы приведения вариационными методами следует отметить постановку задачи о наилучшем варианте системы дифференциальных уравнений для определения основных напряженных состояний. Обычно структура уравнений задана (например, в случае изгиба пластинки требуется, чтобы разрешающее уравнение было четвертого порядка), ищется наилучшее в энергетическом смысле и постоянное по срединной поверхности распределение перемещений и напряжений ло толщине, выраженных через одну (искомую) функцию от z (Л. Я. Айнола, 1963). Задача сводится к решению системы интегро-дифференциальных уравнений способом последовательных приближений.
Третья линия решения проблемы приведения — метод непосредственного асимптотического интегрирования. Здесь заменой координат— различной при отыскании качественно различных напряженных состояний — в уравнения теории упругости искусственно вводится параметр (скажем, 8), характеризующий тонкостенность оболочки. Далее каждой неизвестной функции должен быть присвоен определенный непротиворечивый показатель интенсивности, допускающий рекуррентную процедуру определения членов разложения неизвестных по степеням малого параметра е. Отсюда ясно, что для успешного применения метода весьма желательна предварительная информация об основных свойствах определяемого напряженного состояния, иначе можно запутаться в подыскании непротиворечивых показателей интенсивности. Но если этот «пусковой» момент преодолен, то дальнейшее быстро приводит к изящным процедурам определения и последовательного уточнения напряженного состояния для широкого круга задач.
У нас это направление разрабатывается А. Л. Гольденвейзером (1962, 1963, 1965) и его сотрудниками А. В. Колос (1964, 1965), А. Н. Волковым (1965) и М. И. Гусейн-заде (1965). Опубликованные результаты показывают, что основной процесс асимптотического интегрирования приводит в первом и только в первом приближении к известным из классической
теории пластинок и оболочек расчетным соотношениям, описывающим так называемые основные напряженные состояния (сжатие и изгиб пластинки, безмоментное и моментное состояния, состояния с большим показателем изменяемости). Существенно же новыми являются соотношенияг по которым определяются в первом приближении краевые эффекты типа Сен-Венана (уравнения в частных производных краевого кручения и краевой плоской деформации), быстро затухающие у края.
Как во всех неэнергетических методах приведения некоторые трудности представляет собой определение краевых условий, которым должны удовлетворять дифференциальные уравнения, интегрируемые на определенном этапе приближения. Эта проблема решена лишь частично для некоторых вариантов краевых условий пластинки.
Любопытно отметить, что основная процедура сводится к выделению напряженных состояний, которые быстро изменяются в направлении нормали (z), но не в тангенциальных к срединной поверхности направлениях (а, Р); вместе с тем это предположение ведет в нулевом приближении к напряженным состояниям, при которых перемещения ua, up, w и напряжения 0aа, Оав，Opp являются линейными функциями z; в этом случаеt конечно, трудно утверждать, что эти величины быстро изменяются по z. Таким образом, кое-что нужно еще переформулировать, чтобы вполне приемлемые для практики и давно известные результаты не противоречили исходным предположениям.
Применение методов асимптотического интегрирования для решения проблемы приведения находится в целом в начальной стадии развития. Ярким примером этого утверждения является постановка А. Л. Гольденвейзером задачи о напряженных состояниях замкнутой оболочки типа полной сферы (всюду положительной кривизны?). Такую задачу считают наиболее благоприятной в отношении классической теории оболочек. Результаты анализа решения этой задачи весьма интригующие; Гольденвейзер показал, что некоторыми изменениями в физических соотношениях можно увеличить точность уравнений классической теории оболочек. Однако эти соотношения не могут быть выведены на базе гипотез Кирхгофа —Лява; поэтому можно лишь сказать, что в рассматриваемом случае новое содержание удалось представить в старой форме, что не всегда возможно или целесообразно.
Метод асимптотического интегрирования обобщен также для вывода уравнений динамики пластинок при больших перемещениях (Л. Я. Айнола, 1965, 1966). Результаты показывают, что известные уравнения мембранной теории Кармана, линейной теории изгиба с плоским напряженным состоянием и чисто линейной теории являются при определенных условиях нагрузки асимптотическими приближениями уравнений геометрически нелинейной теории упругости. Указанные выше исследования должны представлять интерес в отношении методики — уравнения движения и граничные условия выводятся из требования, чтобы вариация соответствующего функционала равнялась нулю с требуемой асимптотической точностью.
Среди методов приведения особое место занимает применение теоремы о взаимности работ упругой системы к выводу двумерных интегро-дифференциальных уравнений. Разработка способов и приемов в данном направлении была начата Н. А. Кильчевским (1940); результаты исследований подытоживались им неоднократно в статьях обзорного характера и в монографии (1962, 1964), где можно найти и библиографические данные об основных работах по затрагиваемому вопросу.
Теорема о взаимности работ допускает весьма широкую интерпретацию, так как силы и перемещения могут быть рассмотрены также в обобщенном смысле. Хорошо известно, что в этой теореме сопоставляются два состояния; одно из них — основное (искомое) состояние, второе — вспомогательное. Эта теорема может принести пользу, если решение вспомогательной задачи значительно проще решения основной задачи. Одна из двух возможностей заключается в том, что за основу вспомогательного состояния принимается решение о действии сосредоточенной силы в неограниченной упругой среде. Но оболочка имеет (по крайней мере в направлении нормали к срединной поверхности) конечную протяженность, поэтому отсутствие «среды» в этом направлении нужно компенсировать нагрузкой, распределенной на граничных поверхностях оболочки (а также на контурных поверхностях, которые обычно имеются). В проблеме приведения вместо сосредоточенной силы рассматриваются обобщенные силы (например, моменты нулевого, первого и последующих порядков по толщине) и соответствующие обобщенные перемещения; это требует внесения несложных изменений в вышеописанную процедуру.
При исследовании оболочек нулевой кривизны и пологих оболочек, срединная поверхность которых изометрична плоской пластинке, нередко за вспомогательное принимается состояние пластинки, что упрощает построение ядер, но вместе с тем меняет и их структуру. В последнее время выдвинута идея о применении «фокусированных» ядер, т. е. быстро затухающих вспомогательных состояний, для улучшения сходимости вычислительного процесса (Н. А. Кильчевский, 1960; Н. А. Кильчевский, X. X. Константинов и Н. И. Ремизова, 1966). Пока же весь этот круг вопросов характеризуется различными постановками задач, выдвижением новых способов и отсутствием конкретного опыта, добываемого при решении задач приведения до логического конца, т. е. до определенной системы двумерных уравнений. Наибольший интерес представляет решение задач, при которых напряженное состояние оболочки должно быть найдено при помощи уравнений теории упругости (например, краевые эффекты типа Сен-Венана, состояние около «сосредоточенной» нагрузки, около фронтов распространения возмущений и т. д.).
Однако это замечание относится в равной мере ко всем направлениям решения проблемы сведения. Основной тематикой в ближайшем будущем должны являться задачи о напряженном состоянии около особых точек и линий «искажений» напряженного состояния. С точки зрения решения этих задач все известные методы имеют равные шансы на успех. Может быть, к разобранным здесь методам следует присоединить еще чисто численные методы решения уравнений теории упругости (без явной формулировки задачи приведения).
Заключение
Любая задача упругих оболочек характеризуется большим числом исходных данных. Для примера можно указать на следующие признаки:
законы упругости: линейные, нелинейные;
—анизотропия материала: изотропия, ортотропия, трансверсальная изотропия, общая анизотропия;•
— структура оболочки: однослойная, двухслойная, трехслойная, многослойная;
— связность срединной поверхности: односвязная, двусвязная, многосвязная (например, перфорация);
кривизна срединной поверхности: положительная, нулевая, отрицательная, переменного знака (тор, гофрированная пластинка);
геометрические свойства контурных линий: неасимптотические, простые асимптотические, кратные асимптотические;
форма нагрузки: распределенная по поверхности, распределенная по линии, сосредоточенная;
— процесс деформации: статический, стационарный, квазистационар- ный, переходный;
определение нагрузки: заданное, зависящее от взаимодействия оболочки и внешнего поля, случайное (с заданными статистическими характеристиками);
——геометрия деформации: линейная, нелинейная;
—расчетная модель: безмоментная, Кирхгофа — Лява, типа Тимошенко .различные упрощенные варианты этих теорий (например, обобщенный краевой эффект), теория упругости;
—способ анализа: качественный анализ, аналитическое решение, численный метод.
При этом нередко весьма сложно провести четкую границу между деталями отдельных признаков.
Затронутые в данном обзоре вопросы представляют неполную и субъективную выборку из всей проблематики теории упругих оболочек. Этот же характер имеет и перечень упомянутых работ, который может не оставить по своему размеру внушительного впечатления.
Вклад советских ученых в мировую сокровищницу теории упругих оболочек и пластинок имеет весьма большой удельный вес. Нет сомнения в том, что развернутая по стране сеть признанных научных школ обеспечит успешное решение относящихся к теории оболочек задач, выдвигаемых запросами практики, а также внутренними потребностями развития самой науки.
ОБ ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ ПОСТРОЕНИЯТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Я. Н. ВЕКУА
§ 1. Введение 267
§ 2. Теория тонких пологих оболочек 270
§ 3. Безмоментная теория оболочек 282
Введение
Этот обзор состоит из двух частей. Первая часть касается общей задачи построения теории упругих оболочек. Вторая часть посвящена краткому изложению некоторых результатов по мембранной теории выпуклых оболочек. Мы будем касаться только тех вопросов, которые были предметом изучения автора начиная примерно с 1950 г. Обе части тесно связаны с применениями методов теории аналитических функций, которые стали проникать в теорию оболочек с сороковых годов главным образом под влиянием известных исследований Н. И. Мусхелишвили по плоской задаче теории упругости.
Теория оболочек, очевидно, прикладная наука, но она связана со многими разделами современного анализа, являясь источником постановки ряда важных и интересных математических задач. Изучение безмомент- ной теории выпуклых оболочек привело к необходимости расширения рамок классической теории функций. Была развита новая ветвь анализа ——теория обобщенных аналитических функций, которая также тесно связана с геометрической проблемой бесконечно малых изгибаний выпуклых поверхностей (И. Н. Векуа, 1959).
Теория оболочек ——раздел механики сплошной среды. Она разрабатывает методы расчета тонкостенных оболочек, которые широко используются в современных инженерных сооружениях и машиностроении. Типичными примерами оболочек могут служить стены и разного рода перекрытия, обшивки судов, фюзеляжей и крыльев самолетов, корпуса подводных лодок и т. п. Можно различать оболочки упругие и неупругие. Это зависит не только от материала оболочки, но главным образом от характера распределения и величины внешней нагрузки, а также от вида внешних кинематических (геометрических) связей. Если внешняя нагрузка распределена кусочно-непрерывно и не превосходит некоторую характерную критическую нагрузку, то можно рассматривать оболочку как упругую. В дальнейшем, говоря об упругих оболочках, будем предполагать,
что они подчиняются линейному обобщенному закону Гука. Такие оболочки имеют довольно широкие технические применения. Поэтому их изучение представляет значительный прикладной интерес. За рамки упругих свойств можно выходить при изучении состояния безмоментного напряженного равновесия изогнутых оболочек. Здесь нет необходимости привлекать соотношения упругости, если речь идет только об определении напряженного состояния. В этом случае имеем статически определимую задачу. Соотношениями упругости необходимо воспользоваться лишь в том случаеу когда требуется определить также деформированное состояние. Такая задача возникает, если приходится, например, обеспечить выполнение не только физического краевого условия, но также некоторого геометрического (кинематического) граничного задания.
Расчет оболочек на основе уравнений теории упругости связан с большими математическими трудностями. Наука еще не располагает практически удобными методами решения более или менее широкого круга прикладных задач. Теория оболочек стремится упростить эти задачи с учетом специфики оболочек. Прежде всего, принимается во внимание тот факт, что толщина оболочки мала по сравнению с двумя другими линейными ее размерами. Легко представить, что картина деформированнога и напряженного состояний тонкой оболочки существенно зависит также от свойств срединной поверхности. Во многих технических применениях встречаются оболочки, срединные поверхности которых являются в достаточной степени пологими, и учет этого факта позволяет также вносить значительное упрощение в задачу.
Первым существенно важным шагом в теории оболочек является редукция трехмерной задачи к двумерной. Для этой цели часто оболочку представляют как в достаточной степени твердую материальную поверхность, обладающую весьма малой, но все же конечной толщиной. Очевидноу такая модель является весьма грубым приближением к реальной облочке., Тем не менее она позволяет упростить математическую задачу, воссоздать, картину, в достаточной степени близкую к той, которая наблюдается в реальных оболочках. Такая схематизация задачи требует принятия ряда гипотез физического и геометрического характера, формулирующихся, как правило, на основании интуитивных представлений. На первый взгляд эти гипотезы кажутся весьма правдоподобными, но их слабой стороной является отсутствие точных методов экспериментальной проверки для сколько-нибудь широкого круга задач и материалов. Рамки их применимости можно определить в некоторых случаях лишь апостериори, сопоставляя полученные численные результаты с экспериментальными данными или с точными решениями соответствующей трехмерной задачи. Эта довольно неопределенная ситуация создает почву для возникновения различных вариантов теории оболочек. Существующие варианты иногда значительно отличаются друг от друга, причем очень трудно судить о преимуществах того или иного варианта. Общим недостатком для многих существующих вариантов теории оболочек является отсутствие внутренней согласованности между исходными кинематическими и физическими предположениями. Эта несогласованность проявляется, например, в том, что система дифференциальных уравнений теории оболочек не позволяет обеспечить выполнение всех тех краевых условий, которые вытекают из исходных допущений.
В основе большинства вариантов теории оболочек лежит физическая гипотеза, согласно которой принято считать, что для описания напряженного состояния тонкой оболочки практически достаточно определить
усилия и моменты, действующие на элементарные поперечные площадки. В каждой поперечной площадке необходимо определить пять величин: нормальное и касательное усилия, перерезывающую силу, крутящий и изгибающий моменты, которые, очевидно, зависят от положения точки на срединной поверхности, а также от ориентации площадки. Эта задача сводится к определению двух тензоров второго ранга и одного тензора первого ранга, принадлежащих срединной поверхности. Таким образом, требуется найти всего десять функций, являющихся компонентами искомых тензоров. Эти функции удовлетворяют системе пяти уравнений © частными производными первого порядка. Поэтому задача является, вообще говоря, статически неопределимой. С целью устранения этой неопределенности необходимо принять некоторые дальнейшие ограничения относительно характера распределения напряжений или деформаций в оболочке. Можно попытаться сделать задачу статически определимой, приняв с этой целью некоторые ограничения относительно закона распределения усилий и моментов. Например, допустив, что моменты сил напряжения равны нулю всюду, получим статически определимую задачу. Однако состояние безмоментного равновесия представляет собой весьма частный случай общего напряженного состояния оболочки. Это видно из того, что соответствующая система дифференциальных уравнений не позволяет полностью обеспечить выполнение естественных физически краевых условий задачи. Вообще говоря, на границе можно задавать произвольно значения только одной из двух компонент вектора усилия. Например, в случае выпуклой оболочки, задавая граничные значения нормального усилия, можно, решив задачу, определить соответствующие граничные значения касательного усилия. Поэтому заранее нельзя задавать произвольно краевые значения обеих компонент вектора усилия. Несмотря на это, безмоментная, или, иначе, мембранная, теория оболочек имеет значительные практические применения. Это объясняется тем фактом, что, как показывают инженерная практика и теоретические исследования, упомянутое выше расхождение порождает для весьма широкого круга задач лишь некоторый краевой эффект, который не оказывает существенного влияния на характер распределения напряжений вдали от границы. Важным преимуществом мембранной теории является сравнительная простота соответствующей математической задачи, а также тот факт, что она не использует соотношений упругости и, следовательно, применима к весьма широкому кругу упругих и неупругих оболочек.
Другой путь устранения неопределенности, присущей задаче определения усилий и моментов, состоит в использовании соотношений, вытекающих из линейного закона Гука. Однако при этом для получения корректной математической задачи необходимо принять еще ряд добавочных допущений.
Принятие за основу теории оболочек упомянутой выше физической гипотезы тем самым накладывает некоторые ограничения на характер деформации оболочки. Если оболочка подчиняется требованиям физической гипотезы, то это, по существу, означает, что элементарные поперечные площадки должны рассматриваться как абсолютно жесткие фигуры (по крайней мере в первом приближении). В противном случае нельзя было бы, строго говоря, заменять непрерывное распределение сил напряжений по площадке статически эквивалентной сов окупностью силы и пары (усилие и момент). Сложность вопроса состоит в трудности построения такой кинематической модели, которая находится в полном согласии
• с принятой физической гипотезой. Имеющее здесь место несоответствие
порождает тот факт, что полученная система дифференциальных уравнений не согласована с краевыми условиями, которые вытекают из исходных гипотез. Именно такого рода ситуация возникает, например, при использовании известной гипотезы Кирхгофа — Лява. Она налагает слишком стеснительные ограничения на деформацию. В результате настолько сильно суживается класс искомых функций, что невозможно обеспечить выполнение пяти физических краевых условий классической моментной теории оболочек; соответствующая система дифференциальных уравнений обеспечивает выполнение лишь четырех независимых краевых условий.
Таким образом, в моментной теории оболочек, так же как и в мембранной теории, можно лишь частично обеспечить выполнение физических краевых условий. Это противоречие составляет серьезный недостаток классических построений. Стремясь устранить этот дефект, многие исследователи старались найти новые подходы к построению более совершенной теории. В этом направлении учеными разных стран было выполнено много важных исследований, среди которых укажем, например, работы Э. Рейсснера ).
В дальнейшем разговор будет итти главным образом о тех результатах, которые были получены в этом направлении за последние 15—20 лет автором настоящего обзора. Разработан общий метод, позволяющий строить различные варианты теории оболочек, которые классифицируются по степени порядка приближений. Следуя естественному и, по существу, довольно простому пути, удалось построить общую теорию, которая обладает необходимой математической корректностью.
Сначала был исследован случай так называемой призматической оболочки, срединной поверхностью которой является плоскость (1955). Такие оболочки могут иметь, вообще говоря, переменную толщину. Позже эти исследования были обобщены на случай произвольной пологой оболочки (1964, 1965). Ниже вкратце охарактеризуем суть используемого метода и в общих чертах изложим полученные результаты.
Теория тонких пологих оболочек
С помощью обозначений и понятий векторного и тензорного、 анализа уравнения равновесий сплошной среды и соотношения теории упругости можно записать в следующем виде:
уравнение равновесия:
击吗經+…； (2.1/
сила напряжения, действующая на площадку с нормалью I： 羽(° =猖^ 狐= 9Ы)； (2.2)
обобщенный закон Гука:
平‘=入(沢'器)乳h+m(猊”乳,器一m(gе器)乳厶. (2.3).
Эти равенства записаны относительно произвольной системы координат. Поясним принятые здесь обозначения: g — дискриминант метрической квадратичной формы пространства,
ds? = gikdFd干,gm =泯翫 h, (2.4)，
母一массовая сила, 疗一контравариантные составляющие силы напряжения (笫* =夕掠9?女,где 夕°'——контравариантные компоненты тензора напряжения),猊女 и 猊卜——базисные и сопряженные базисные векторы избранной системы координат, U ——вектор смещения, X и jx ——упругие постоянные Ламе.
Вопрос об интегрировании системы уравнений (2.1) и (2.3) с учетом граничных условий является основным предметом изучения теории упругости. Основными краевыми задачами считаются задачи отыскания такого решения этой системы, которое удовлетворяет краевому условию
阻八=f наь⑵5)
или U = f на f(2.6)
где F обозначает границу рассматриваемого упругого тела. Кроме того, не менее важный практический интерес представляет изучение разного рода смешанных краевых задач.
Как уже отмечалось выше, главной целью теории оболочек является разработка методов, позволяющих с учетом специфических свойств оболочек строить приближенные решения упомянутых краевых задач. Переходим к схематическому изложению предложенного для этой цели метода.
Пусть S+ и S~ — лицевые поверхности, S — средийная поверхность оболочки, а 2 — боковая поверхность, ограничивающая оболочку. Если умножить скалярно обе части уравнения (2.1) на некоторый вектор S3 и затем проинтегрировать по области 0, занимаемой оболочкой, то, применяя интегральную формулу Остроградского — Гаусса, получим ^^ь d^ + ^沿牧吟dS++^汚收吋)孙一= S+S-
= ^^dD + ^^^dD, (2.7)
где 阻九+)и 笫⑴-)—силы напряжения, действующие на S+ и S~ соответственно. Это равенство справедливо для любого- непрерывно дифференцируемого векторного поля 泣 если 非？ удовлетворяют уравнению (2.1). Легко можно доказать, что интегральное равенство (2.7) эквивалентно уравнению (2.1).
В дальнейшем будем пользоваться специальной системой координат, для которой к о ординатными линиями гг3 является семейство нормалей к срединной поверхности S. Тогда поверхность S будет координатной поверхностью гг3 = 0, а радиус-вектор 猊 точки оболочки выразится формулой
猊=Г (",优2)十优3 R Q1, /2),(2.8)
где и — единичная нормаль к S в точке (户，炉)，а г — радиус-вектор этой точки.
Возьмем теперь в качестве 23 в равенстве (2.7) векторы вида
泣2 (* ^Рп (4-) 5 = 0, 1,…)，(2.9)
где Рп — полиномы Лежандра степени n, а SBn (炉，炉)—произвольная непрерывно дифференцируемая вектор-функция на S, которая отлична от нуля в некоторой подобласти S', лежащей строго внутри S. Тогда
из (2.7) получим следующие равенства:
/一(九)а(п— 1)(71—3)
J,｛上阻包至—一(2厶十1)[举3+加当3+...] +
(n—2)(n— 4)(n) x d
+ (2zz + l)A^[笫 ° + %2 樂 a+.-j+^l^g^dSHO (2.Ю)
(n = 0, 1,...;皆=0 при &V。)， где
(九)九—
相(公，/2)= 6 +右犷J /普泞(公，炉，齊区(4) d* (2.11)
體=6+^”“匣叫(/I)x8=Zi+(-im„-> (/1)ж3=_,+
+ j Jf 湫户，炉，* Pn (^) d/3].(2.12)
Здесь。обозначает дискриминант первой основной квадратичной формы срединной поверхности
do2 =。加汝叼％3， 〃аВ = “％,(2.13)
т. е.
。-% 1做2 。?2 )* °。(2.14)
Из равенств (2.10) сразу следует, что
1 d味％(n-1)(n- 3)
(2"+1)【笨3+攵2笫3十…]+
(n-2)(n-4)(n)
+(2八 + 1)方魯[笫 С4"举 a+...]+g=0 (2.15)
(〃0, 1,
Надо заметить, что эта система уравнений в точности эквивалентна исходному уравнению (2.1). Она имеет то преимущество, что искомые функции зависят лишь от двух независимых переменных х1 и х2. Ее недостатком является то, что они содержат бесконечное множество уравнений. Ниже будет показано, каким способом можно избавиться от этого неудобства.
Примем два допущения. Первое из них имеет чисто математическое содержание и опирается на известную теорему Вейерштрасса, утверждающую, что любую непрерывную в замкнутом промежутке функцию можно приблизить равномерно полиномами. На основе этой теоремы можно предположить, что приближенное решение задачи (компоненты вектора смещения U и тензора напряжений) можно искать в виде полиномов некоторой степени N по переменной х3 (——Д & %з & 方).
Второе допущение накладывает ограничение на класс рассматриваемых оболочек. Будем рассматривать так называемые тонкие пологие оболочки, для которых можно принять
1 —网炉公；1,1 — к2х3 1(—% & 炉 & %),(2.16)
где к^ и к2 ——главные кривизны срединной поверхности S. Нужно сказать,
что в том случае, когда срединная поверхность является плоскостью, допущения (2.16) выполняются в точности, ибо 向 = 优 = 0. Следовательно, в случае призматических оболочек (в частности, для пластинки) второе допущение отпадает и теория строится только лишь на основе первого допущения.
Возьмем на срединной поверхности в качестве координатных линий ① 1 и 炉 линии кривизны. Тогда
沁=口(1 一儿/3),对2 =e2 (1 - "2/3),
猊3 = П・
(2.17)
Следовательно, в силу допущений (2.16) можно
принять
沁^门，呪2 ^工方猊3 = n,
(2.18)
gaB ^ ^aP = “％， ga3 = °，g33 = 1@,
В = 1, 2),
(2.19)
g = 〃 [1 - 2E%3 + К 03)2] ^ 小
(2.20)
где Е и К —— средняя и главная кривизны срединной поверхности. Поэтому формулы (2.11) можно переписать в виде
翁(公，明m+)An J对％ (4-)姦3.(2.21)
-h
Используем теперь формулы, вытекающие из закона Гука:
Рik ~ 入❷g%h + ^^ihi где
6 = е； = 9? °= div И#
В силу (2.18) напишем
1 /dUdU \a产11 /dlldll \%3^ 0 ( %d/3* dn”33 n d/30/3(〃з = nil),1 /dUdU \a产11 /dlldll \%3^ 0 ( %d/3* dn”33 n d/30/3(〃з = nil),Используя формулы
1 /
dU
dU \
a产1
1 /
dll
dll \
%3^ 0 ( %
d/3
* dn
”33 n d/3
0/3
(〃з = nil),
1 /
dU
dU \
a产1
1 /
dll
dll \
%3^ 0 ( %
d/3
* dn
”33 n d/3
0/3
(〃з = nil),
h
и представляя вектор смещения при помощи бесконечного ряда
U (*居齊=X犷U (*%2) A (^),
A==0
где
①)'hз
X(公，*=卜+40詣j u (**
-h
(2.22)(2.23)(2.24)(2.25)(2.26)(2.27)(2.28)(2.22)(2.23)(2.24)(2.25)(2.26)(2.27)(2.28)18 Механика в СССР, т. 3
(2.22)
(2.23)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
(2.27)
(2.28)
(2.22)
(2.23)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
(2.27)
(2.28)
после некоторых выкладок получим(71)(П)(П)(П)(П).Р tk — ^® gth + ^ е /л, О = е(gaB = 〃аВ，gasH。，g33 = ‘)， где(乳)=力2研1「(n)⑺5)⑺，dlnh ⑺ d In h-\\2 С «В —Ra 〃 В + % 〃 a — 2力0 〃 з — 〃 a @J 一 〃厶 @产 JJ⑺厂(n)(n)⑺(n)2еаз = ^Е[\7а〃з + ЬаВ〃В+ 〃^一 吟響]，}(2.30)после некоторых выкладок получим(71)(П)(П)(П)(П).Р tk — ^® gth + ^ е /л, О = е(gaB = 〃аВ，gasH。，g33 = ‘)， где(乳)=力2研1「(n)⑺5)⑺，dlnh ⑺ d In h-\\2 С «В —Ra 〃 В + % 〃 a — 2力0 〃 з — 〃 a @J 一 〃厶 @产 JJ⑺厂(n)(n)⑺(n)2еаз = ^Е[\7а〃з + ЬаВ〃В+ 〃^一 吟響]，}(2.30)(2.29)(2.29)Va ——символ ковариантной производной относительно метрики срединнойVa ——символ ковариантной производной относительно метрики срединнойповерхностиповерхностиsf；sf；(办(n)|(n)и 2, и з — компоненты вектора U , т. е.(办(n)|(n)и 2, и з — компоненты вектора U , т. е.制（公制（公5)(n),№) =—• U &工° + 〃 з" •5)(n),№) =—• U &工° + 〃 з" •(2.31)(2.31)Далее,Далее,(n)00〃； = (2zz+l) 2 户' k~0(n)£* = (2〃+1) 2 方2h h=G(n)00〃； = (2zz+l) 2 户' k~0(n)£* = (2〃+1) 2 方2h h=G(n+2fe)(n+2fe)(计2+)Ut ,(计2+)Ut ,(2.32)(2.32)
после некоторых выкладок получим
(71)(П)(П)(П)(П).
Р tk — ^® gth + ^ е /л, О = е
(gaB = 〃аВ，gasH。，g33 = ‘)， где
(乳)=力2研1「(n)⑺5)⑺，dlnh ⑺ d In h-\\
2 С «В —Ra 〃 В + % 〃 a — 2力0 〃 з — 〃 a @J 一 〃厶 @产 JJ
⑺厂(n)(n)⑺(n)
2еаз = ^Е[\7а〃з + ЬаВ〃В+ 〃^一 吟響]，}(2.30)
после некоторых выкладок получим
(71)(П)(П)(П)(П).
Р tk — ^® gth + ^ е /л, О = е
(gaB = 〃аВ，gasH。，g33 = ‘)， где
(乳)=力2研1「(n)⑺5)⑺，dlnh ⑺ d In h-\\
2 С «В —Ra 〃 В + % 〃 a — 2力0 〃 з — 〃 a @J 一 〃厶 @产 JJ
⑺厂(n)(n)⑺(n)
2еаз = ^Е[\7а〃з + ЬаВ〃В+ 〃^一 吟響]，}(2.30)
(2.29)
(2.29)
Va ——символ ковариантной производной относительно метрики срединной
Va ——символ ковариантной производной относительно метрики срединной
поверхности
поверхности
sf；
sf；
(办(n)|(n)
и 2, и з — компоненты вектора U , т. е.
(办(n)|(n)
и 2, и з — компоненты вектора U , т. е.
制（公
制（公
5)(n)
,№) =—• U &工° + 〃 з" •
5)(n)
,№) =—• U &工° + 〃 з" •
(2.31)
(2.31)
Далее,
Далее,
(n)00
〃； = (2zz+l) 2 户' k~0
(n)£
* = (2〃+1) 2 方2h h=G
(n)00
〃； = (2zz+l) 2 户' k~0
(n)£
* = (2〃+1) 2 方2h h=G
(n+2fe)
(n+2fe)
(计2+)
Ut ,
(计2+)
Ut ,
(2.32)
(2.32)
Теперь, согласно первому допущению, представим компоненты вектора смещения в виде полиномов степени N:
乜(炉，力2,逆)=2 " n(", /2)尸互(*)・(2.33)
h==0
Следовательно, (①(幻
42=0, 6/=0 при к> N,(2.34)
а суммы (2.32) будут содержать лишь конечное число слагаемых.
5).
Представим теперь 牧 по формулам
⑺.(п).(п).
皆=尸 2%a 十尸 23n.(2.35)
Тогда, используя известные деривационные формулы Гаусса и Вейнгартена, равенства (2.15) можно переписать в виде
YapВ-b2夕 -(2几 + 1)( P В 夕63+…)+ 日力 5-2) r (n~ 4) о(п)
十(2八+1)无当(p °Ф +胪p ^+…)+戶В = 0,
VaPaS + Ьа^Р^- (2z? + 1) ((^1)33 + h2(np3)^}(2.36)
十(2九+ 1"景(S/%3 +加(丁%3+贤з = 0
(P = l, 2; 〃 = 0, 1, . .., TV; Р =0 при 〃 V。). 丿
Внося сюда выражения
Pik = K@gik+2ll eik (gaB=〃aB, ga3 = 0, g33=[),(2.37)
где
2(?аВ = Д2П+1 [Va(^e + ▽曬)aF2Ъа^и 3—u'a^ 1пй—(и)，6уа In 无]J
2(?a3 = Д2П+1 [Va(^3 + b^U в + ?a —(2)旷]口 矶•(2.38)
(n)(ri)
e33 =次+1"，
получим
NVa ("RiVa^B) + NVa (h^V^ua) + xvp (勿九+iy7」%a)+ ]
+ M^+ F^ = 0(P=l,2),(2.39)
Wa (少+1\7羯)3)十招3+弘=05 = 0, 1,N),
где М，——однородные линейные дифференциальные выражения, содер- (п)
жащие искомые функции 〃乞 и их частные производные первого порядка относительно переменных х1 и 优2. Таким образом, получена система уравнений с частными производными второго порядка эллиптического типа. Эта система содержит 3N + 3 уравнения и столь же искомых функций (九)
〃i, зависящих от двух независимых переменных. Ее порядок равен 6N + 6. (П)(п)
Теперь в формулах (2.32) щ и 呜 суть конечные суммы, так как
〃i = 0, если 〃 > N.
Нужно заметить, что из бесконечной системы уравнений (2.15) здесь удержаны только первые N + 1 уравнений, а остальными мы пренебрегли.
Если на боковой поверхности оболочки заданы силы напряже- 5)
ния 第(％), то значения 笨«)можно вычислить вдоль контура L оболочки по формулам
时%)=(〃 + •!)胪 j ^Pn (4) d^5 = 0, 1,…).(2.40)
Следовательно, к системе уравнений (2.36) и (2.37) можно присоедить краевые условия вида
(п)
(2.41)(2.41)恥力=底"a = fn (〃 = 0, 1,.…,N).
(2.41)
(2.41)
Если на боковой поверхности задано поле смещений U, то совершенно так же можно вычислить контурные значения U. Следовательно, к системе уравнений (2.39) можно присоединить краевые условия вида
(九)(%5).c
(2.42)18*(2.42)18*11= 〃【а+〃зП = £"(〃 = 0J,..., N).
(2.42)
18*
(2.42)
18*
Рассматривая проекции на координатные оси, легко убедиться, что краевые условия (2.41) и (2.42) содержат по 37V + 3 равенства.
Для доказательства теорем единственности решения этих краевых задач важную роль играет следующее тождество (предполагается, что
尸=0):
3占j u舐ds П工鼻仃宀e订dS.(2.43) 左=0Lh=0S
При помощи этого равенства легко доказываются теоремы единственности для основных краевых задач (2.41) и (2.42), а также для ряда других задач смешанного типа (И. Н. Векуа, 1965). Теоремы существования можно доказать, используя методы интегральных уравнений (см. там же).
Теоремы единственности и существования обнаруживают внутреннюю непротиворечивость построенной теории. Наличие этого свойства является необходимым атрибутом всякой правильно построенной для физической задачи математической теории. Нельзя, однако, недооценивать и прикладное значение этих теорем. Опираясь на них, легче искать практические приемы решения краевых задач. В ряде случаев метод интегральных уравнений можно использовать также в качестве практического способа построения приближенного решения задачи.
Практическое интегрирование системы уравнений (2.36) и (2.37) является, конечно, трудновыполнимой задачей. Степень трудности, очевидно, значительно возрастает с увеличением числа N.
Однако для случая тонких оболочек можно ограничиться приближениями порядка N = 0 и N = 1. Поэтому остановимся на них более детально. При этом для пластинки и сферической оболочки постоянной толщины полученные выше системы уравнений можно проинтегрировать в явной форме. Приближения порядка ^ = 0 соответствуют тому случаю, когда картины напряженного и деформированного состояния вовсе не зависят от координаты ж3, т. е. одинаковы вдоль поверхностей, параллельных срединной поверхности. Этот случай напряженного равновесия оболочки, по существу, является безмоментным. Но в приближении порядка ^ = 0, в отличие от классической безмоментной теории, мы получаем корректную систему дифференциальных уравнений, которая совместима со всеми (в данном случае с тремя) физическими краевыми условиями. Следует подчеркнуть, что здесь имеем эллиптическую систему уравнений, которая равносильна одному эл липтиче ск ому уравнению шестого порядка, а в классической безмоментной теории задача сводится к эллиптическому уравнению второго порядка.
При N = 0 система уравнений (2.39) принимает вид
nVa (W^P) +卩％伍V%09+大厂(%V>О9 -筋虑b無y 一
-2XV3 (hHu) - 2|iVa (hb^u) - [ihb^au + F3 = 0 (p=l, 2),。,
(2.44)
从Va (无V")_ 4无[(九+ 2卩)班一n肉"十
+ 2大HVa4a + 2llba^al^ + kVa 他/%|3)+方=0.
В случае пластинки постоянной толщины (Д = const) система уравне- щий (2.44) значительно,упрощается и принимает вид (в декартовой системе
координат)
5)4 (2.5)4 (2.0 0c 一一=IT IT 1+ + .A0 0c 一一=IT IT 1+ + .A
5)
4 (2.
5)
4 (2.
0 0c 一一=
IT IT 1+ + .
A
0 0c 一一=
IT IT 1+ + .
A
Общий интеграл этой системы уравнений выражается формулами
2|Ы (〃! + %〃2)= 乂 屮(z) — z 屮‘(z)—屮(z) +
+8л(1-а)д JJ [l5| (^i—^2)-2 (3—4а) (^+/^2) In | ^—2 |] dg di\.
2股=%(z)+屈一鳥 jjbhilW —z| 龙"%
仁等Ji。.仁等Ji。.где 屮，屮 и % — произвольные аналитические функции переменной z =
仁等Ji。.
仁等Ji。.
(2.47)
Интегральные члены в формулах (2.46) выражают частное решение неоднородной системы (2.45), а внеинтегральные члены представляют общее решение соответствующей однородной системы уравнений. Присутствие в формулах (2.46) трех произвольных аналитических функций ср, ip и % означает, что при этом можно обеспечить выполнение трех краевых условий. Кроме того, формулы (2.46) позволяют строить бесконечное множество полных систем частных решений системы (2.45), при помощи которых можно решать. различные краевые задачи для областей частного вида (круг, круговое кольцо и т. п.). Эти частные системы решений можно использовать также для аппроксимации решений для областей любого вида.
Как видно из (2.46), краевые задачи для пластинки сводятся к решению плоской задачи и уравнения Пуассона. Для их решения можно использовать широко известные методы и результаты Н. И. Мусхелишвили.
Если рассматривать однородную систему уравнений (尸i = р2 =^ 0), то усредненные компоненты тензора напряжений ра^ можно выразить формулами
罂9普9北9/0 /Q、
p2 =?21=一，22 =讃，(2/8)
где функция ср удовлетворяет уравнению (И. Н. Векуа, 1955, 1965)
Л^ДДср + 2 联樂 + 2争一三(АД"1) Д(р +
* t дх дх 1 ду ду 1—О 'J
十 1—0 、 @/2d/2 十 dy2 dy2 十 Qx Qy Qx Qy j _. X •)
При h = const (пластинка) получается бигармоническое уравнение
(2.50)(2.50)AAcp = О,
(2.50)
(2.50)
общий интеграл которого, как известно, выражается в явной форме.
Интерес представляет также рассмотрение пластинки переменной толщины (И. Н. Векуа, 1965) вида
Д = Доеах+Ь^ (九°, а, b — const).(2.51)
При этом уравнение (2.49) принимает вид
m学-2a饗-26需一三d+ 62)A什
+三(a2泰謬+ 2而為)=0.(2.52)
Общий интеграл этого уравнения построил А. Р. Хволес.
Для сферической оболочки радиуса R система уравнений в компонентах смещения принимает вид
(2.53)(2.53)从 Va (力V^B) + 卩Va (%V%a)+九▽B (力V小a) 一 * 46+ +也抖X/В(加0+*▽% +川=0偉=1,2),
(2.53)
(2.53)
HVa (历▽时) — ^2^ 〃 一 2(才『)Vc^a 一 务 Va 他4a)十方=0.
Рассмотрим случай однородной системы уравнений (尸丄=F2 = F = Q^) и постоянной толщины (方=const). Тогда общее решение системы имеет вид
u = Wi~y ш2, 〃丄十 Х〃2=—(2.54) dz
где
U = 27? (wi — w^ + 汕з)・(2.55)
Здесь Wi, w2 w3 = произвольные решения уравнений
(V2 + kf)w = 0(% = 1, 2, 3),(2.56)
где
储=备，代=-m^F，优=春，(2方7)
a V2 ——оператор Лапласа на сфере радиуса R. В изотермической системе координат он имеет вид
2 — (1 + /2 + у2)2 / 普@2 \ = (1 + ^)@2
V4比1匆2)R2应，
(2.58)
z = tg^e 帆
(2.59)
Общее решение уравнения вида
(V2 + /) iz; = 6 ("2 = const)(2.60)
выражается формулой (И. Н. Веку а, 1948)
w = aQPn (cos 0) + j [Ф (么力)+ Ф* (z%)] Рп [^ + (1 — t) cos 0] dt, (2.61) •о
где п (п + 1) = "2, 〃о — произвольная постоянная, а Ф и ①* —— произвольные аналитические функции от z. Если w — вещественная функция, то 〃о ——вещественная постоянная, а ①* =①. В рассматриваемом случае g, w2 и w3 — произвольные вещественные функции. Поэтому общее решение системы уравнений (2.53) при 九=const выражается посредством трех произвольных аналитических функций. Подходящим выбором этих функций можно обеспечить выполнение трех граничных заданий.
В явной форме можно построить частное решение при 九=const и для неоднородной системы уравнений (2.53) (И. Н. Векуа, 1965).
Переходим теперь к обзору результатов, относящихся к случаю приближения порядка N = 1 (И. Н. Векуа, 1965).
Компоненты тензора напряжений и вектора смещений в этом случае можно представить в виде
尸温=且旦 s(z }(2.62)
2月 丁 2九3'
尸33 = 7,
CZa = y^ + 4 戶吗 u^ = ^u + ~ /3%(2.63)
где
7a = 2卩焼a, 7 =A力8 + 6n〃 u,,
。(2.64)
§аВ=厶力 3n〃aB + 2|Ll%3naB,
Sa= 2觴3*
£Оф = 1. (x7%6 + v^a)-严"，
屮="!(n/% + b窘 6),
& =貶 + Зи = Va^a — 2Hu + Зи,
刀=噫=Va^ — 2Hu.
Уравнения равновесия имеют* вид
▽a?aB —虑Т°ЧХВ = 0(р=1, 2), '
▽аТ° +匕a“aB + X = 0,
「R a R(2.66'
▽aS^B—史 5°4尸=0 (р = 1,2),'
▽/a +б авSaв + У = 0,
где X% X, УВ, У — компоненты векторов
ЭЕ= j 母〃3十举m+)+浴⑺_)= х%в + Хп, ?(2.67)
炒=j既炉汝3 +方收叫一力收》)= У6% + уп.
Остановимся здесь на случае однородной системы уравнений (ХВ = =X = УВ = У = 0). Тогда система уравнений (2.66) интегрируется в явной форме для пластинки и сферической оболочки постоянной толщины (И. Н. Векуа, 1965). В обоих случаях вектор смещения можно выразить по формуле
U = grad 尸 + п х grad 巨 + si,(2.68)
где grad берется относительно срединной поверхности, а Р, Р и w—скалярные функции, которые выражаются по нижеприведенным формулам.
В случае пластинки постоянной толщины
Р ^^ [ — о"% — /2 —• /2 + 4+"J"(么厶 + 么力)+ 3/3 /а + z①2 + ①3 + ① 3)卜
(2.69)
р={[^^-^+^^
(2.70)
3 = -^ (〃 + 3%з〃)，
(2.71)
где
"=①1+①12"(Z①2+Z①2),
(2.72)
3（；，）（力+ 加，
(2.73)
力，/2，Ф1 и Ф2 — произвольные аналитические функции от z， произвольные решения уравнений
a % и:①一
6】з
(1_；)九2 % —。， As " Д2 з = °・
(2.74)
Наконец,
(2.75)
Общее решение уравнения вида
A4 一九2" - о,
(2.76)
где 九2 __ вещественная постоянная, выражается формулой (И. 1948)
Н. Векуа,
〃 = Re[/(z) —『/«)备То (九V^(z —力))山],
(2.77)
0
где / — произвольная аналитическая функция от z = х -\- iy.
Таким образом, общий интеграл системы уравнений равновесия пластинки в случае приближения порядка N = 1 содержит шесть произвольных аналитических функций. Подходящим выбором этих функций можно обеспечить выполнение шести граничных условий.
В случае сферической оболочки постоянной толщины функции Р. Р w имеют вид
Р —^ R2 (CiiPi + С2^2 + C3w3 + C3w3) + -|-力％ (区2少2 七品"丿3 + 53s3), (2.78〉
巨=4"e2 (少4+少5)十y炉* (居少4 4- &з5),(2.79)
]3—
3 =w 7? (4g + 4少2+ N3s3 +/31P3)+ z 炉(з2 + "3 + 23)，(2.80)
где /加 5加 С» ——вполне определенные постоянные, которые зависят от упругой постоянной Пуассона о и от отношения h/R. Что же касается 勿加 то это произвольные решения уравнений вида
(V2 + *?) wt = 0 (Z = 1, • • ., 5),(2.81)
где V2 —— оператор Лапласа на единичной сфере, а /с- — вполне определенные постоянные. Кроме 优,все остальные 储 ——вещественные постоянные. Поэтому Wi (X R 3) — вещественные функции, a w3 — функция комплекс- позначная. Итак, формула (2.68) содержит в конечном итоге шесть произвольных аналитических функций. Следовательно, она позволяет обеспечить шесть независимых граничных заданий. Например, в случае краевой задачи (2.41) имеют место пять краевых условий классической моментной теории (задаются вдоль границы нормальное и касательное усилия, перерезывающая сила, крутящий и изгибающий моменты) и еще одно новое краевое условие, которое в классической теории не рассматривается, а именно условие вида
S(i)= S% ^ /6.(2.82)
Выясним физический смысл последнего условия. Согласно формулам (2.62) на поперечную площадку 2г с нормалью I действуют силы напряжения
舉⑺=费雷%4 + ^!■青 5公小+ (击 Tala + y ^з" S%) n.(2.83)
Отсюда легко видеть, что на каждую половинку площадки £厶 симметрично расположенную относительно срединной поверхности, действуют усилия
т 产1 一2т 产1 一2工1т3 -4+■工1т3 -4+■++1 一21 一2пр -:S1т3 -4пр -:S1т3 -4++lTly3434+--т т1 -2 1 -2lTly3434+--т т1 -2 1 -2za 5aza 5a5a5a
т 产
1 一2
т 产
1 一2
工1т3 -4+■
工1т3 -4+■
+
+
1 一2
1 一2
пр -
:
S
1т
3 -4
пр -
:
S
1т
3 -4
+
+
lTly3434+--т т1 -2 1 -2
lTly3434+--т т1 -2 1 -2
za 5a
za 5a
5a
5a
(2.85)(2.85)(2.86)(2.86)
(2.85)
(2.85)
(2.86)
(2.86)
Таким образом, на площадку 2г действует суммарное усилие
Е4 + тип
и пара сил
("^ 5"%却 +壊 5%n,一备 S/aZB 一备 S%n卜
Последняя пара представляет собой сумму трех пар:
备(Sa%Sg — S"ZaS0)f, “(2.87)
■^ (S°7a，— S"a) П.
Первые две пары (с точностью до постоянного множителя) совпадают с изгибающей и крутящей парами классической моментной теории, а последняя представляет собой пару пр отив опо л ожн о направленных параллельных нормали срединной поверхности сил, которую условно назовем поперечной парой. Ее момент равен нулю. Если принять гипотезу о жесткости поперечных площадок, то, очевидно, механический эффект действия такой пары сводится к нулю. Но на самом деле:поперечные площадки испытывают деформации. Поэтому пренебрегать поперечной парой априори нет оснований.
Приближение порядка N = 1 отличается от классической моментной теории лишь тем, что в рассмотрение вводится дополнительно поперечная пара сил, которой в классических построениях обычно пренебрегают, как величиной бесконечно малой высшего порядка. Действительно, по величине сила 8°^仪 может оказаться незначительной. Однако рассмотрение поперечной пары сил имеет важное принципиальное значение. При ее помощи удается построить непротиворечивый вариант теории оболочек, согласованный с соответствующими краевыми условиями. Эта теория представляет собой видоизменение классической моментной теории, но ее преимуществом является то, что она свободна . от внутренних противоречий, присущих классическим построениям. Следует также заметить, что усложнение математического аппарата не создает при этом новых существенных трудностей. Это видно на примерах пластинки и сферической оболочки.
§ 3. Безмоментная теория оболочек
^Характерной чертой безмоментной (или мембранной) теории оболочек является то, что она приводит к статически определимой задаче. Эта задача в конечном итоге сводится к системе уравнений с частными производными первого порядка с двумя независимыми переменными. Тип этой системы уравнений определяется знаком гауссовой кривизны К срединной поверхности оболочки. Если К〉0, то имеем систему уравнений эллиптического типа, а если К V 0 или К = 0, то соответственно систему гиперболического или параболического типа.
Мембранное состояние равновесия является частным случаем общего напряженного состояния равновесия. Условие его реализации выражается равенством
JJ 矶1孙+j £UdS = 0,(3.1)
SL
где 3£ ——приведенная поверхностная нагрузка оболочки,
= J ^ dx3 4~ $Р(п+)-(3.2)
£ ——контурная нагрузка, a U — вектор смещения при бесконечно малом изгибании срединной поверхности, т. е. U удовлетворяет равенству
dUdi = 0. / (3.3)
Равенство (3.1) должно удовлетворяться для любого непрерывно дифференцируемого векторного поля U, удовлетворяющего равенству (3.3). Соотношение (3.1) органически связывает безмоментную теорию оболочек с теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей. Эта связь весьма плодотворна. Совместное рассмотрение задач дает возможность глубже и полнее изучить их. Нетрудно понять механический смысл равенства (3.1). Оно означает, что для реализации мембранного состояния напряженного равновесия необходимо и достаточно, чтобы работа внешней нагрузки на перемещениях, соответствующих бесконечно малым изгибаниям срединной поверхности оболочки, равнялась нулю.
Очевидно, чем шире класс векторных полей U, удовлетворяющих уравнению (3.3), тем более стеснительным является условие (3.1).
Это равенство превращается в известное условие статического равновесия абсолютно жесткого тела в случае замкнутой выпуклой оболочки. Как известно (И. Н. Векуа, 1965), такая оболочка является жесткой, т. е. поле смещений имеет вид
U = т X J2 + ® (S2, 6 — const). (3.4)
В других случаях уравнение (3.3) имеет бесконечное множество линейно независимых решений. Поэтому условие (3.1) будет выполняться лишь для некоторого частного класса нагрузок (3£, £) оболочки. Несмотря на это, мембранная теория оболочек находит широкое применение в инженерных расчетах. Дело в том, что применяемые в инженерных сооружениях оболочки в большинстве случаев обладают довольно высокой жесткостью. Поэтому, если две внешние нагрузки (光，£) и @, £) близки, то можно утверждать, что соответствующие поля напряжений также будут близки. (Ниже будет точно определено понятие близости двух нагрузок.) Если одна нагрузка ($, £) удовлетворяет условию безмоментности (3.1), то можно считать, что оболочка является практически безмоментной и при близкой нагрузке ($, £). Это обстоятельство позволяет применять безмоментную теорию к весьма широкому кругу инженерных задач.
Если за счет практически незначительных вариаций внешней нагрузки удается получить другую нагрузку, которая удовлетворяет условию безмоментности, то будем говорить, что данная нагрузка допускает мембранное регулирование. На первый взгляд общая задача мембранного регулирования имеет довольно не определенный характер. Однако, как мы увидим ниже, она допускает вполне определенную математическую формулировку.
В последующем сосредоточим внимание исключительно на выпуклых оболочках (К〉0). Тогда задача приводится, как уже отмечалось выше, к интегрированию системы уравнений с частными производными первого порядка эллиптического типа.
Излагаемые ниже результаты были получены автором, в связи с разработкой общей теории комплекснозначных функций, удовлетворяющих так называемой обобщенной системе уравнений Коши ——Римана (И. Н. Векуа, 1952, 1959)
丁 * 丿 (3.5) 瑞十^ +С〃 +而=0.J
Теория функций вида w = и -\- iv имеет много общего с классической теорией аналитических функций комплексного аргумента z = х -^ iy. Поэтому она названа теорией обобщенных аналитических функций.
Уравнения мембранного равновесия имеют вид
▽а7ав + X6 = 0 偉=1,2), 1
ba^ + X = Q,j*
Известно, что на поверхности положительной гауссовой кривизны можно ввести в рассмотрение сопряженно-изометрическую сеть координатных линий, относительно которой коэффициенты второй основной квадратичной формы имеют вид
•&Ц — &22> 仇 2 — 0.(3.7)*
Тогда можно выбрать ориентацию нормали и к срединной поверхности так, чтобы имели место равенства 6ц =金2 = МаК、где а — дискриминант соответствующей метрической формы срединной поверхности. При этом третье из уравнений (3.6) дает
寞2= 一7u——(3.8)
Вводя теперь в рассмотрение комплексную функцию напряжения
(3.9)(3.9)
(3.9)
(3.9)
первые два уравненияпервые два уравнения(3.10)(3.10)(3.11)(3.11)(3.12)(3.12)из уравнений (3.6) можно записать в виде одного комплекснога
первые два уравнения
первые два уравнения
(3.10)
(3.10)
(3.11)
(3.11)
(3.12)
(3.12)
где
B-i^-~+ 2F；J + i(r^2- F；, — 2F；2),
尸=^ JZk* 善係)__! 优%(X1—М),
Г^р — символы Кристоффеля второго рода,
±=4■後一*）底+ "刽•（3/3）
Итак, найдя решение уравнения (3.10), можно по формулам (3.9) и (3.8) определить соответствующее поле напряжений.
Таким образом, задача определения поля напряженного состояния безмоментного равновесия выпуклой оболочки сводится к интегрированию неоднородного обобщенного уравнения Коши——Римана (3.10). Следовательно, эта задача составляет предмет теории обобщенных аналитических функций, которой в настоящее время посвящена обширная литература.
Следует указать на то, что уравнение (3.3) также допускает комплексную запись. Оно эквивалентно однородному комплексному уравнению
дю dz
Bw~ 0,
(3.14)
сопряженному с (3.10). Здесь w ——комплекснозначная функция, задаваемая формулой
V аД/К
Векторное поле U, удовлетворяющее уравнению (3.3), выражается формулой
(3.16)(3.14)(3.17)(3.16)(3.14)(3.17)11 = Re { - 27T % (z)务十-^ ^ [/a к% (z)]n}, где и ——единичная нормаль к срединной поверхности оболочки. Для двух произвольно взятых решений уравнений (3.10) и выполняется тождество
(3.16)
(3.14)
(3.17)
(3.16)
(3.14)
(3.17)
Re ( j j Frw dx dyRe ( j j Frw dx dy1互1互w'w dz^ =0,
Re ( j j Frw dx dy
Re ( j j Frw dx dy
1
互
1
互
лг
где D ——область на плоскости z, на которую отображается срединная поверхность 5, а Г — граница области D. Можно доказать, что равенства (3.1) и (3.17) эквивалентны.
Из (3.17) следует, что если w и w' удовлетворяют однородным уравнениям
^ + Bw = 0,翌一成，=0,(3.18)
dzdz
то выполняется тождество
Re (击，^"或)=0.(3.19)
г
Усилие, действующее на элементарную площадку 2г шириной ds с нормалью L выражается формулой
办={胃巴Re [力(窑)2]十 x} % 曲 + 響 Im О'(窑门 g‘(3.20)
где
樂8=*罂Х n =-贵(忆+初).(3.21)
Здесь ks и ts ——нормальная кривизна и геодезическое кручение срединной поверхности в направлении f, перпендикулярном I, причем нормаль и направлена в сторону вогнутости поверхности и и = t X f.
Из (3.20) легко следует, что
力(^У= 一玄“ [(М笈+ 兀)Tg — i%Tas)+ 昱 X] ,(3.22)
где Т(〃) и T(zs)——нормальное и касательное усилия, действующие на 2厶 Из этого равенства можно получить ряд важных следствий.
Из равенства (3.22)' сразу видно, что w'd力 является инвариантом, т. е. величиной, которая не зависит от выбора системы координат на срединной поверхности.
Равенство (3.22) показывает также, что правая его часть не может принимать любые заданные (комплексные) значения вдоль границы обо- .лочки. Дело в том, что функция и/, удовлетворяющая обобщенному неодно-
родному уравнению Коши —— Римана (3.10), обладает тем свойством, что она определяется, вообще говоря, заданием на контуре области либо вещественной, либо мнимой ее части. Поэтому значения и/ нельзя задавать произвольно на контуре области (точнее говоря, ее нельзя задавать произвольно даже на любой сколь угодно малой дуге границы). Отсюда следует, что для реализации безмоментного напряженного равновесия оболочки при заданной нагрузке ($, £) необходимо и достаточно, чтобы нормальное и касательное усилия「(〃)и 7(珀),а также приведенная нормальная поверхностная нагрузка X удовлетворяли равенству (3.22), т. е. выражение
一K一1/4[(/左 + f)7"力一派7з)+ 泉可(^)2(3.23)
должно принимать граничные значения некоторого решения уравнения (3.10).'
Это требование всегда можно обеспечить при помощи подходящего выбора граничных значений величин Т(〃), T^s} и X. Если при этом получится нагрузка ($, £), которая близка к заданной внешней нагрузке (X, £), это будет означать, что данная нагрузка допускает краевое мембранное регулирование. Особенно важным является случай, когда мембранное регулирование достигается за счет подходящего выбора приведенной нормальной нагрузки X вдоль края оболочки. Этот вопрос хорошо изучен в случае, когда приведенная поверхностная нагрузка допускает потенциал, т. е.
親=К grad* V + КК(3.24)
где V ——скаляр, a grad* V означает градиент скаляра V на сферическом изображении срединной поверхности. Для этой нагрузки характерно тот что правая часть уравнения (3.10) обращается в нуль (F' = 0), т. е.
Xi =—， Х2 = —.(3.25)
2 УаК a八 К )2\ К 丿' 丿
Задача сводится, таким образом, к следующей обобщенной задаче Римана ——Гильберта: отыскать решение и/ уравнения (3.10), удовлетворяющее на L краевому условию
Im [歩{^]^-K^[xsTal}^ksT{ls^(3.26)
Если эта задача допускает решение, то граничные значения искомого потенциала V определяются по формуле
偿(3.27)
Если краевая задача (3.26) имеет решение, то задача мембранного регулирования нагрузки (£, £) указанным способом допускает бесконечное множество решений. Формулой (3.27) значения искомого потенциала определяются только на границе оболочки. Внутрь области потенциал V можно продолжить произвольно, при этом достаточно обеспечить, чтобы продолженная функция имела кусочно-непрерывные производные первого порядка. Кроме того, очевидно, важным является, чтобы видоизмененная нагрузка сравнительно мало отличалась от первоначальной. Этого можно добитья, если учесть, что функцию V можно продолжить так, чтобы вне некоторой сколь угодно узкой граничной полосы она тождественно
равнялась нулю, причем это можно.реализовать таким образом, чтобы величина max I V I в области была меньше или равна max | V | на границе. Как видно из формулы (3.20), добавочное поле напряжений, соответствующее добавочной потенциальной нагрузке $0, будет выражаться формулой
縱()=KV^{1). (3.28)
Следовательно, вне узкой граничной полосы это поле тождественно обращается в нуль.
Таким образом, если мембранное регулирование возможно посредством нагружения оболочки силами вида (3.24), то его можно осуществить так, чтобы действительная картина напряженного состояния подвергалась искажению лишь внутри некоторой узкой граничной полосы. (Разумеется, мы предполагаем, что оболочка обладает достаточно высокой жесткостью.) Это явление обычно называется краевым эффектом.
Теперь остается выяснить вопрос, всегда ли возможно мембранное регулирование при помощи добавления потенциальной нагрузки. Это- зависит от того, допускает ли решение задача Римана —— Гильберта (3.26). Последний вопрос в настоящее время хорошо изучен. Приведены некоторые относящиеся сюда результаты (И. Н. Векуа, 1959).
Исследование задачи (3.26) показывает, что выпуклая оболочка с двумя и большим числом отверстий (т》2) всегда допускает мембранное регулирование за счет добавочного нагружения силами вида (3.24). Если же оболочка ограничена одним (т = 0) или двумя (т = 1) замкнутыми простыми гладкими контурами, то она, вообще говоря, не допускает такого рода мембранного регулирования. Это возможно только в исключительных случаях.
Для односвязной и двухсвязной оболочек необходимо варьировать не только нормальную поверхностную нагрузку X, но также нормальное и касательное усилия на границе.
Как видно из (3.2), нормальная поверхностная нагрузка X зависит от толщины 无. Поэтому обеспечение выполнения условия (3.27) можно добиться в ряде случаев посредством подходящего выбора толщины Л (力,у) оболочки вдоль ее края. Иными словами, в таких случаях мембранное регулирование оболочки можно осуществить посредством утолщения и утончения оболочки вдоль ее границы. Этим способом, как известно, часто пользуются на практике.
Если массовая сила 咅 сводится к силе тяжести, то будем иметь
X =Qv + X+ + Х_, (3.29}
где Q = 2ру无，v ——проекция единичной нормали и на вертикальное направление в соответствующей граничной точке, Q ——вес объемного элемента оболочки, рассчитанный на единицу площади. При этом в ряде случаев мембранное регулирование можно обеспечить посредством подходящего выбора веса Q оболочки. Вес можно варьировать как посредством подходящего выбора толщины 无,так и за счет изменения плотности р материала оболочки вдоль края.
При изучении проблемы мембранного регулирования полезно рассмотреть пространство Гильберта Н, элементами которого являются нагрузки е = (£, W). Определяя скалярное произведение формулой
®, %) = j j ЭЕ及2 dS + [ £^2 ds^ (3.30〉
введем следующие норму и расстояние:
II е Н = [ (% е) F3 & (4, %) = II G— & II*(3.31)
Пусть Я&—— подпространство элементов (ЗЕ, £), удовлетворяющих условию (3.1). Тогда сопоставим каждой нагрузке е = (ЭЕ, £) неотрицательное число
■ d(e) = min II е —% ||・(3.32)
ео£Н。
Так как Яо — замкнутое подпространство пространства Я, то в Hq существует такой элемент е*, что
d (е) = И е — е*||・(3.33)
Очевидно, условием регулярного мембранного состояния является равенство d (е) = 0.
Число d (е) можно рассматривать как меру степени отклонения нагрузки е = (ЗЕ, £) от множества мембранных нагрузок. Если число d (е) достаточно мало, то нагрузку ($, £) можно считать практически мембранной.
Пусть Я+ ——подпространство, элементами которого являются пары g — (U, U(s)), где U — вектор смещения при бесконечно малых изгибаниях срединной поверхности, a U®) — касательная компонента И вдоль границы. Пусть U；——полная система частных решений уравнения (3.3), удовлетворяющих условиям
®, gj) = М，幻=(%,増))(3.34)
(полные системы частных решений U； уравнения (3.3) можно строить по формуле (3.16), беря полную систему частных решений уравнения (3.14) в качестве Wj). Тогда нетрудно доказать, что
d(e)= £ 吟(3.35)
где Cj —— коэффициенты Фурье нагрузки (3£, £), т. е.
G = j j зеП； dS + [ 5Л1 产 ds.(3.36)
Из (3.35) следует, что сп -> 0, если п -> оо.
Таким образом, условие безмоментности (d = 0) равносильно требованию.
内=0 (j = 1, 2,・・•)・(3.37)
Однако практически трудно проверить выполнение бесконечного числа равенств (3.37), особенно в тех случаях, когда нагрузки задаются не аналитическими выражениями, а в табличной или графической форме. Но в практических задачах нет необходимости требовать точного выполнения всех равенств (3.37), а достаточно лишь обеспечить малость числа d (е), т. е. выполнение некоторого конечного числа первых равенств
6 = 0 (/ — 1, 2,п).(3.38)
Так как сп f 0, если п -> оо, то для заданного е>0 всегда можно выбрать такое п — п (е), что
d(«)= S с? <8.(3.39)
1=П
Итак, для практического обеспечения мембранного состояния равновесия оболочки достаточно лишь выполнения конечного числа п равенств вида (3.38). Очевидно, что всегда 九》6, ибо равенства (3.38) должны содержать обязательно шесть условий статического равновесия оболочки как абсолютно твердого тела.
Важно заметить, что в равенствах (3.38) нет необходимости требовать от векторов U)взаимной ортогональности. Если условия (3.38) выполнены для ортогональной системы векторов U；, то они будут выполняться и для любой их линейной комбинации. Поэтому нет необходимости прибегать к практически сложному и трудоемкому процессу ортогонализации.
Укажем еще один практический способ обеспечения мембранного регулирования. Это нагружение оболочки точечными поверхностными сосредоточенными силами (И. Н. Векуа, I960).
3»3. Практическое построение безмоментного поля напряжений связано с решением обобщенного уравнения Коши — Римана (3.10). Эта задача просто решается в том случае, когда 3 = 0. При этом имеет место неоднородное уравнение Коши — Римана
丝(3.40) dz
и его общее решение выражается формулой
办=/ ⑶ 一j'(3.41)
D
где / ——произвольная аналитическая функция от z = х -\- iy. Случай В = 0 реализуется для алгебраических поверхностей второго порядка. Поэтому он охватывает весьма широкий круг задач, важных для технических приложений. Используя хорошо известные методы решения краевых задач для аналитических функций одного комплексного переменного, можно изучить ряд прикладных задач. В отдельных случаях (например, для круговых областей) можно написать их решения в явной форме.
Особо следует рассмотреть случай замкнутой выпуклой оболочки, нагруженной силами вида (3.24). Такая нагрузка всегда является мембранной, и соответствующее поле напряжений определяется в явной форме:
&z)= X*(z)= —^^(ад + ам).• (3.42)
Последний случай реализуется, например, если приведенная нормальная поверхностная нагрузка пропорциональна главной кривизне в соответствующей точке срединной поверхности:
X = сК (с — const).(3.43)
Тогда потенциал V — const и поверхностная нагрузка 3£о имеет вид
壷=сКп,(3.44)
а соответствующее поле напряжений выражается формулой
£(^ — cK^{i)=—2~с (^t + ts§).(3.45)
Предположим, что усилие 宅«), заданное формулой (3.42), имеет направление L Тогда ts = 0, т. е. срединная поверхность является сферой. Таким образом, если замкнутая выпуклая оболочка нагружена 19 Механика в СССР, т. 3
силами вида (3.24), то соответствующее усилие £(；)в каждой точке срединной поверхности имеет направление I тогда и только тогда, когда срединная поверхность является сферой. В этом случае формула (3.42) принимает вид
&/)= -^RXt, (3.46)，
где R — радиус сферы.
Закончим обзор следующим замечанием, которое в ряде случаев может сильно облегчить практическое решение конкретных задач. Уравнения (3.10) и (3.14) инвариантны относительно проективного преобразования пространства (И. Н. Веку а, 1959). Поэтому легко можно получить формулы преобразования полей смещений и усилий при переходе от данной оболочки к другой, срединные поверхности которых проективно эквивалентны. Используя эти проективные свойства, можно, решив задачу для данной оболочки, построить решения соответствующих задач для проективно эквивалентных оболочек. В силу этого, например, многие задачи для оболочек эллипсоидальной формы можно свести к задачам, для сферической оболочки.
ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Н. В. ЗВОЛИНСКИЙ, М. И. РЕЙТМАН, Г. С. ШАПИРО
Динамика упругих тел 292
Общие вопросы динамики неупругих тел 301
Вводный исторический очерк 301
Распространение волн сильного и слабого разрыва 304
Экстремальные принципы 307
Распространение волн в неуцругих средах 308
Упруго-пластические тела 308
Упруго-вязко-пластические тела 311
Сферические, цилиндрические и неодномерные волны 313
Динамика неупругих конструкций 315
Гибкие нити имембраны 315
Балки 317
Арки и рамы 318
Пластинки и оболочки 320
На первой стадии своего развития динамика деформируемых твердых тел занималась упругими телами.
Уравнения движения упругих тел были выведены еще в начале прошлого столетия. Первоначально они использовались для решения одномерных задач о динамическом растяжении ——сжатии и кручении стержней, изгибе балок и колебаниях круговых цилиндров и сфер. Лишь в начале нашего века эти уравнения были применены для решения сейсмических проблем.
Сейсмология нуждается в изучении законов распространения волн от очага землетрясения до земной поверхности и тех изменений, которые претерпевают эти волны при отражении и преломлении на границах раздела. По наблюдениям движений земной поверхности надо получить наибольшую информацию о механизме очага и, в частности, оценить энергию, освобождающуюся при землетрясении. Большое значение имеет изучение структуры земной коры (или ее верхнего слоя) на основании наблюдений за распространением волновых возмущений. Эти задачи чаще всего решаются на основе представления о грунте как упругом теле.
После второй мировой войны под влиянием научно-технической революции лицо динамики деформируемых твердых тел коренным образом изменилось. Прежде всего это относится к теории воздействия на тела кратковременных нагрузок. Эффективное использование импульсивного нагружения (посредством взрывчатого материала, электромагнитного или электрогидравлического эффекта и т. д.) произвело подлинный переворот
19*
в таких технологических процессах, как клепка, формовка, сварка, упрочнение и резание металлических заготовок. Не меньшее значение имело применение взрывной техники при добыче полезных ископаемых и нефти, создании котлованов и полостей в грунтах, при сейсморазведке, возведении земляных плотин, уплотнении грунтов, бурении скважин ). Важную роль приобрела оценка разрушений при импульсивном нагружении (откол, действие землетрясений и взрывов на конструкции и т. д.).
В названных выше технических приложениях основное значение обычно имеют пластические или вязкие свойства материалов. Эти свойства оказались существенными и для описания поведения ряда новых материалов (в частности, полимеров), характеристики которых резко чувствительны к изменениям температуры и скоростей деформаций. Еще более сложные свойства обнаружили гетерогенные и армированные среды — такие, как грунты, стеклопластики, железобетон и т. д. Естественно, что за последнее время центр тяжести исследований рассматриваемого раздела механики переместился в область динамики неупругих сред.
Предлагаемый обзор не претендует на полноту. В нем освещены преимущественно те разделы динамики деформируемых твердых тел, которые наиболее близки к научным интересам авторов. При этом авторами использованы опубликованные ими ранее или при их участии обзоры (X. А. Рахматулин и Г. С. Шапиро, 1955; Н. В. Зволинский, 1965; Н. В. Зволинский, Б. М. Малышев и Г. С. Шапиро,. 1966; М. И. Рейтман и Г. С. Шапиро, 1968).
Динамика упругих тел
Успехи динамики упругих тел в Советском Союзе были в известной мере подготовлены достижениями ученых дореволюционной России. Первые работы по общим методам интегрирования уравнений динамической теории упругости были выполнены еще в 1831 г. М. В. Остроградским, построившим (одновременно с С. Пуассоном) решения уравнений движения при произвольных начальных данных. Суммируя решения простого гармонического типа, М. В. Остроградский получил решение, соот- ветствующее распространению в неограниченной упругой среде волн двух типов: волн расширения и волн искажения. При распространении волн первого типа в среде возникают сжатия, растяжения и сдвиги, но отсутствуют вращения; волны второго типа вызывают сдвиги и вращения, не создавая объемного расширения.
В предреволюционной России динамике упругого тела уделялось относительно мало внимания. В начале века А. Н. Крылов изучал распространение упругих волн в цилиндрах и стержнях в связи с задачами о напряженном состоянии стволов артиллерийских орудий и снарядов при выстрелах. С. П. Тимошенко развил теорию, учитывающую как местные, так и общие деформации при ударе шарика о балку. А. Н. Динник исследовал динамические напряжения в подъемных канатах.
В первые послереволюционные годы исследования советских ученых были посвящены решению отдельных важных, преимущественно одномерных задач. Е. Л. Николаи (1919) исследовал движение струны переменной длины. Его работа послужила отправным пунктом для многочисленных дальнейших исследований в этой области, имеющих приложения
к расчету подъемных шахтных канатов. Их подробный обзор содержится в книге Г. Н. Савина и О. А. Горошко (1962). Н. М. Беляев (1925) положил начало развитию теории динамической устойчивости движений упругих систем, решив задачу об устойчивости прямолинейного призматического стержня с шарнирными опорами, сжатого продольной гармонически меняющейся со временем силой. Результаты последующих работ в этой области суммированы в монографии В. В. Болотина (1956).
Новый этап развития плоской и трехмерной теории распространения упругих волн начался в тридцатых годах и был связан с достижениями математиков Ленинградского университета, сотрудничавших в Сейсмологическом институте (ныне Институт физики Земли) Академии наук СССР. Математическая школа этого университета, блестящими представителями которой в прошлом были П. Л. Чебышев, А. М. Ляпунов, А. Н. Коркин и В. А. Стеклов, имела замечательные достижения в области решения математических проблем, связанных с принципиальными вопросами естествознания и техники. Видные представители математической школы ЛГУ и их последователи В. И. Смирнов, С. Л. Соболев, В. Г. Го- голадзе, С. Г. Михлин, Е. А. Нарышкина, Д. И. Шерман и другие были привлечены к работе в Сейсмологическом институте и публиковали свои работы в «Трудах» этого института. После Отечественной войны исследования в области распространения упругих волн продолжались в ЛГУ под руководством Г. И. Петрашеня, а в Институте физики Земли — под руководством Н. В. Зволинского и В. И. Кейлис-Борока. Следует заметить, что в послевоенные годы развитие работ по динамическим задачам для упругих сред стало очень широким. Это связано с интенсивным развитием ряда отраслей техники и народного хозяйства (сейсморазведка, промышленное применение взрывов, антисейсмическое строительство и т. 口.). Последние два десятилетия характеризуются не только большим количеством публикаций, но и разнообразием отдельных направлений в исследовании упругих волн.
Ниже мы перечисляем отдельные направления, сопровождая их краткой характеристикой и ссылками на основные опуб лик ов анные работы. Перечень охватывает весь пятидесятилетний период. В то же время ссылки не исчерпывают всей литературы по каждому направлению. Этот недостаток возмещается полным списком работ советских авторов, составляющим заключительный (четвертый) том настоящего издания.
Результаты общего характера, методы решения уравнений теории упругости). Колебания линейно упругой однородной среды описываются векторным уравнением
(X + 2ц) grad div и —卩 rot rot ^ = P ^" (1.1)
или, соответственно, системой скалярных уравнений. Здесь и ——вектор смещения,方——время,九 и 卩——константы Ламе. Эта система уравнений имеет вещественные характеристики и потому может быть отнесена к гиперболическому типу. Краевые задачи включают еще начальные и, вообще
говоря, граничные условия. Таким образом, задачи динамической теории упругости суть либо задачи Коши, либо смешанные краевые задачи.
Одно векторное дифференциальное уравнение второго порядка может быть заменено системой двух волновых уравнений для скалярного и векторного потенциалов.
Важный класс частных решений представляют функционально-инвариантные решения, т.е. такие решения / (力,у, z, t) волнового уравнения, которые порождают решения F (/ (力，у, z,力))для любой (дважды дифференцируемой) функции F. Эти решения были найдены и изучены первоначально для двумерной задачи (С. Л. Соболев, 1934), а затем обобщены на пространственный случай (Н. П. Еругин, 1944). Приложения к конкретным задачам получены для двумерных задач. При этом существенно то, что важные сингулярные решения типа сосредоточенных воздействий описываются функционально-инвариантными решениями. Особенно удобны функционально-инвариантные решения для описания автомодельных двумерных задач. '
Другой цикл плоских и осесимметричных задач динамической упругости доведен до аналитического решения и анализа методом интегральных преобразований (методом неполного разделения переменных). Эти работы выполнены Г. И. Петрашенем и его учениками. Представляя определенные удобства для анализа решения и изучения физических следствий, метод интегральных преобразований более сложен для строго математического обоснования. В прикладных задачах такое обоснование, впрочем, обычно не требуется. .
Принцип взаимности, утверждающий некоторую симметрию между внешним воздействием и наблюдаемыми результатами деформации упругого тела, известен в статике и может быть выражен известной формулой Бетти. Распространение его на динамические упругие явления выполнено В. М. Бабичем (1962).
Стационарные колебания упругой среды описываются эллиптической системой дифференциальных уравнений. Они могут быть приведены к интегральным уравнениям (В. Д. Купрадзе, 1953), в известной степени родственным интегральным уравнениям теории потенциала, но более сложным (из-за наличия собственных значений ——частот собственных колебаний ограниченных объемов). В случае внешних задач должны быть поставлены условия излучения в бесконечности, которые обеспечивают единственность решения (А. Г. Свешников, 1953).
Следует отметить немногочисленные попытки поставить обратные задачи динамической теории упругости, в которых по известным свойствам источника колебаний и движениям границы упругого неоднородного полупространства делаются выводы о свойствах этого полупространства.
Конкретные задачи с простейшей геометрией). Изучались задачи с простыми граничными поверхностями:
полупространство, полуплоскость, слой, сфера, цилиндр. Их выбор определялся, с одной стороны, тем, что граничные поверхности можно было рассматривать как координатные; с другой стороны, в этих простых ситуациях можно было схематизировать реальные задачи практического значения. Особенно много было уделено внимания упругому полупространству (осесимметричная и плоская задачи). Им моделировались некоторые сейсмические задачи. Первая работа о распространении волн в упругом полупространстве опубликован^ Г. Ламбом еще в 1904 г. Впоследствии она заново решена G. Л. Соболевым методом функционально-инвариантных решений и Г. И. Петрашенем с его учениками методом интегральных преобразований. Такие повторные решения оправданы тем, что новый метод решения дает исследователю и новые возможности анализа решения. Волновые поля в полупространстве были изучены довольно подробно. Помимо традиционного источника (нормальной сосредоточенной силы на поверхности) были рассмотрены и другие: центр расширения, касательные воздействия на граничной плоскости.
В дальнейшем рассматривалась подвижная нагрузка на границе полупространства; этим схематизировались перемещения центров атмосферного давления по поверхности Земли либо перемещения распространяющейся ударной волны взрыва. К числу геофизических приложений относятся •также работы о влиянии гравитационных колебаний водных бассейнов на сейсмические колебания (микросейсмы). Общетеоретическое значение имеют работы о движении упругого полупространства при произвольных начальных и граничных условиях.
Отражение и преломление на одной границ е ). Изучение отражения и преломления на одной изолированной плоской границе раздела двух сред является основным звеном расчета многократных отражений в слоистой среде. Вместе с тем изучение однократного .акта отражения ——преломления вскрывает важные качественные особенности явления.
Наиболее типичным и распространенным является случай полного контакта двух сред с разными упругими константами по обе стороны границы раздела, когда относительные смещения сред на границе полностью отсутствуют.
В. Г. Гоголадзе (1947) показал, что коэффициенты отражения и преломления имеют смысл для плоской падающей волны произвольной «формы» (отсутствие дисперсии), и нашел эти коэффициенты. Зависимость коэффициентов от параметров сред и угла падения сложна. Это обусловлено сменой режимов явления при переходе через критические углы и возникновением полного внутреннего отражения. Для облегчения расчетов в прикладных задачах составлены обширные таблицы коэффициентов отражения и цреломления. С границами раздела, вообще говоря, связаны и приуроченные к ним поверхностные волны.
Кроме указанного случая полного контакта были рассмотрены и другие граничные условия на плоскости контакта. Рассматривались случаи нежесткого контакта или такие условия, когда не отражаются объемные волны. Имеются также работы, посвященные «слабым» границам раздела, т. е. таким, на которых модули упругости непрерывны, но производные
от модулей терпят разрыв. Впрочем, эта ситуация уже относится к неоднородным средам. Если на плоскую границу падает неплоская волна, то возникают, вообще говоря, и головные волны. Они также были предметом многочисленных исследований. Головные волны, наряду с другими типами волн, имеют большое значение для сейсморазведки.
Наконец, отметим изучение отражения на криволинейной границе; этот случай относится, по существу, к явлению дифракции.
G л о и с т ы е среды). Основным объектом исследования здесь была система плоскопараллельных однородных слоев с различными упругими свойствами. Такая структура моделирует толщу земной коры. Работы этого направления имели выход преимущественно в области общей, разведочной и инженерной сейсмологии.
Возможны два подхода к расчету сейсмического поля слоистой среды. Один базируется на решении задачи методом интегральных преобразований; он не связан (по крайней мере на первом этапе) с выделением индивидуальных волн. Второй основан (если исходная постановка позволяет это) на рассмотрении последовательных отражений и преломлений. Последний путь наталкивается на трудности учета большого количества волн, которое с каждым актом отражения ——преломления все время увеличивается. Впрочем, современная электронно-вычислительная техника позволяет в ряде случаев успешно справиться с этой задачей.
Если рассматривается волна, бегущая по слоистой среде параллельно границам, то в зависимости от упругих свойств слоев она может в одних слоях и для одних волн описываться уравнениями эллиптического типа (тип поверхностной волны), в других — гиперболического (интерференционная волна). Общее исследование интерференционных и поверхностных волн можно найти в монографии В. И. Кейлис-Борока (1961). Частоты интерференционных колебаний слоев являются внутренней характеристикой слоя как элемента слоистой структуры. Были выполнены работы, в которых рассматривались и жидкие слои. Такие постановки, с одной стороны, могут служить для оценки различия между явлениями, протекающими в твердых и жидких (сжимаемых) средах, а с другой — имеют приложения к распространению волн в твердом основании дна и в самом водоеме.
Глобальное геофизическое рассмотрение волновых свойств земного шара отражено в работе 3. А. Янсон, в которой рассматривается шаровая слоистая среда.
Следует отметить большую, хорошо продуманную и тщательно написанную монографию Л. М. Бреховских (1957) о волнах в слоистых средах (в том числе и даже преимущественно акустических и электромагнитных).
Тонкослоистые среды ). Упругий слой можно считать «тонким», если время пробега волны по его толщине много меньше
характерного времени процесса в целом (например, характерного времени внешнего воздействия). При этом условии можно волновые явления в «поперечном к слою» направлении рассматривать суммарно (в известном смысле асимптотически). Эта точка зрения дает начало большому циклу работ по выводу приближенных уравнений поперечных колебаний пластин (а также стержней и оболочек). Были предложены многочисленные уточнения и поправки к обычной приближенной («инженерной») теории колебаний пластин. Основная идея состоит в том, что выделяется низкочастотная мода колебаний. Если тонкий слой окружен средами с меньшими скоростями распространения, то возникает так называемая интерференционная головная волна. Каждое отражение в слое порождает фронт головной волны; эти волны накладываются друг на друга с небольшим сдвигом по фазе и образуют суммарную низкочастотную волну (Л. А. Молотков и П. В. Кра- уклис, 1963). С тонким слоем с повышенной скоростью распространения связано образование экранированных волн. Они появляются также в результате интерференции волн, отраженных внутри слоя, которые формируют плавную низкочастотную проходящую волну, имеющую облик «сглаженной» преломленной волны. Сглаживание тем больше, чем толще слой; поэтому экранированная волна хорошо наблюдается лишь для тонких слоев (Г. И. Петрашень, 1954; А. С. Алексеев и В. М. Бабич, 1954; Ю. А. Воронин, 1959).
Лучевая асимптотика). Фронт распространяющейся волны представляет собой поверхность разрыва для производных некоторого порядка от смещений. В силу этого в окрестности фронта изменение поля смещений в направлении нормали к фронту значительно более интенсивно, чем такое же изменение вдоль фронта. Это позволяет рассматривать окрестность каждой точки фронта как локально-плоскую волну. На этой идее построен асимптотический метод изучения окрестности фронтов (для неподвижного наблюдателя ——окрестности первого вступления некоторой волны). Этот метод давно известен в акустике и оптике. Перенос его в теорию упругости был впервые осуществлен в работе М. Л. Левина и С. М. Рытова (1956). В дальнейшем он подвергался разработке и использовался как средство приближенного решения задач отражения и преломления. Описание поля в окрестности фронта можно строить с разной степенью точности; в прикладных задачах обычно пользуются первым приближением, но есть случаи, когда оно принципиально недостаточна (Г. С. Подъяпольский, 1959). Лучевой подход, с одной стороны, обладает большой общностью, например, он применим без особых осложнений к неоднородным средам. С другой стороны, есть исключительные ситуации, где он не работает или требует существенной перестройки, например в окрестности начальных точек головных волн (и вообще точек пересечения фронтов), в окрестности каустики и др. (В. М. Бабич, 1961; Ю. Л. Газарян, 1961; Б. Т. Яновская, 1964).
Поверхностные волны ). Эти волны характерны тем, что распространяются «вдоль» граничной поверхности/ Они имеют
особенно большое значение в сейсмологии и изучены, васновном, с позиций этой науки. Будучи приурочены к граничной поверхности, они затухают медленнее объемных волн и несут энергию на большие расстояния. Структура среды, в которой они образовались и через которую прошли, оставляет свой след в виде закона дисперсии. По наблюдениям этого закона делаются попытки получить сведения о строении среды (земной коры).
Поверхностные волны могут быть связаны как со свободной границей, так и с границей раздела сред (В. Д. Купрадзе и С. Л. Соболев, 1930, В. И. Кейлис-Борок, I960).
Помимо сред плоскослоистой структуры, в связи с поверхностными волнами рассматривались и непрерывно-неоднородные среды (В. М. Бабич и И. А. Молотков, 1966), а также области с неплоскими границами. В последнем «случае изучались высокочастотные волны, быстро затухающие с удалением от границы. Предельный случай этого рода ——распространение разрыва производной от смещения по граничной поверхности (И. Г. Петровский, 1945). Для криволинейных границ простейших типов (сфера, цилиндр) могут быть получены точные частные решения задачи о поверхностных волнах. Помимо упомянутых здесь типичных поверхностных волн, были обнаружены и изучены волновые движения, имеющие характер поверхностных волн, но формирующиеся в более сложных условиях (Л. П. Зайцев, 1960; Г. С. Подъяпольский и Ю. И. Васильев, I960).
Неоднородные среды). Так называют упругие среды, в которых коэффициенты Ламе 九，卩 ее плотность р суть функции координат. Если 九，卩 м р — непрерывные функции, а производные этих функций разрывны на некоторых поверхностях, такие поверхности принято называть «слабыми» границами. Некоторые сведения об исследованиях непрерывных сред упомянуты выше в связи с лучевой асимптотикой и поверхностными волнами. Уравнения движения для неоднородных упругих сред, сохраняя те же старшие члены (относительно дифференцирования), имеют еще дополнительные слагаемые с производными первого порядка от вектора смещения. Для этих уравнений были построены фундаментальные решения (В. М. Бабич, 1961). Рассматривались преимущественно среды, неоднородные относительно одной из координат (этот выбор подсказан как соображениями простоты, так и геофизическими приложениями). В неоднородной среде нельзя, вообще говоря, разложить движение на сумму продольных и поперечных волн; однако это возможно при выполнении некоторых условий (дифференциальных), которым надо подчинить функции %, [х и р (В. Ю. Завадский, 1964).
Неоднородная среда, так же как и однородная, обладает двумя типами волновых фронтов ——продольным и поперечным. Они распространяются каждый со своей местной скоростью (соответственно продольной и поперечной). На продольном фронте терпит разрыв ротор вектора %, на поперечном — дивергенция (А. А. Гвоздев, 1959).
В неоднородной среде лучи криволинейны. Это приводит к новым и очень непростым эффектам. Так, в неоднородных средах возникают зоны геометрической тени, в которые возмущения могут проникать только путем .дифракции; вблизи границы раздела в результате многократного отражения криволинейных лучей могут образовываться рефрагированные волны.
Отметим рассмотрение задачи Л амба для неоднородной среды (А. Г, Аленицын, 1966).
Анизотропные среды). Материалы, обладающие упругой анизотропией, широко встречаются в природе и технике. Помимо подлинной (молекулярной) анизотропии, встречается «структурная» анизотропия, обусловленная, например, мелкослоистой структурой материала.
Большое разнообразие в типах анизотропных тел (число констант изменяется от 3 до 21) осложняет их исследование. По большей части рассматривались частные виды сред с небольшим числом констант упругости. Волновые процессы описываются при этом гиперболической системой уравнений с постоянными коэффициентами (для однородной среды). Для анизотропных тел существуют уже не два, а три типа волн.
Из результатов более общего характера следует отметить построение сингулярных (фундаментальных) решений для частных видов анизотропии, обобщение на эти случаи функционально-инвариантных решений {В. А. Свекло, 1961), решение задачи Л амба.
Достаточно много работ посвящено отражению и преломлению волн на плоской границе (которая совпадает с одной из плоскостей анизотро- лии), а также поверхностным волнам типа Рейли (И. О. Осипов, 1961). Решена также задача дифракции на полупрямой.
Дифракция ). Под дифракцией в широком смысле обычно понимают волновые явления, которые не могут быть описаны с помощью лучевых представлений или плоских волн. Типичные задачи дифракции —— взаимодействие волн с различными препятствиями. Аналитические трудности задач дифракции в теории упругости связаны с наличием двух типов волн (продольных и поперечных), которые переплетаются в граничных условиях.
До настоящего времени точных решений имеется очень мало. Для лрепятствий с простой геометрией (сфера, цилиндр, эллипсоид) решение может быть построено методом разделения переменных (В. Д. Купрадзе, 1935). Однако такое решение в бесконечных рядах имеет формальный характер ——оно трудно поддается обоснованию и весьма трудно для физического анализа (облегчить это положение может привлечение современных вычислительных средств).
Дифракция на полубесконечном разрезе (со свободными или закрепленными краями) допускает удобное применение функционально-инвариантных решений и приводит к решению в замкнутой форме (М. М. Фрид-, ман, 1949, А. Ф. Филиппов, 1956).
Много проще задачи дифракции в акустике; в то же время они имеют значительное родство с аналогичными задачами для твердой упругой среды и поэтому изучение дифракции звуковых волн важно для теории упругости. Тонкие аналитические исследования проведены по изучению нестационарного дифракционного фронта, отделяющего область геометрической тени за выпуклым телом от возмущенной среды (В. С. Булдырев» и И. А. Молотков, 1958; В. С. Булдырев, 1959).
К задачам дифракции применялись также приближенные методы. Приближенный подход можно построить на коротковолновой или длинноволновой асимптотике (сравнительно с характерным размером препятствия) . Заслуживает внимания приближенный метод, предложенный Г. Д. Малюжинцем (1959).
Контактные задачи; волны, вызванные внезапными трещинами). В волновых процессах этого рода существенным образом участвует дифракция, поэтому их можно было бы, вообще говоря, объединить и с предыдущим разделом. Задачи о волнах^ вызванных мгновенным нарушением сплошности, подсказаны сейсмологией. Современные представления о механизме очага землетрясения требуют решения следующей задачи: в предварительно напряженной среде мгновенно образуется трещина (разрез), и напряжения с берегов разреза снимаются; надо определить вызванное при этом волновое поле. Для трещины конечной длины такая задача в плоской постановке была впервые решена Л. М. Флитманом (1963). Впоследствии эта постановка была обобщена на случай трещины, возникающей на границе раздела двух различных упругих сред, и на осесимметричные трещины. В этих постановках размер образовавшейся трещины или закон ее распространения считается заранее заданным; это значит, что условия разрушения и процесс разрушения не рассматриваются. Этот второй аспект ——рассмотрение трещины как результата разрушения — требует выхода за пределы собственно теории упругости и здесь не затрагивается ).
Смешанные задачи, которые имеются здесь в виду, могут быть двоякого рода. Во-первых, это динамические задачи о действии штампа на упругое тело. В простейших постановках под телом понимается упругое полупространство, а штамп рассматривается либо в виде бесконечной полосы (плоская задача), либо круговой в плане (Л. М. Флитман, 1959; Н. М. Бо- родачев, I960). Задачи такого типа решались аналитически, но для завершения требовали расчета последовательных типов дифракции на краях штампа или обращения к длиннов о л нов ой асимптотике. Предполагалось, что касательное напряжение на подошве штампа отсутствуют (свободное проскальзывание)・ ，
Как бы обращением этого рода задач является следующая постановка: жесткое массивное тело вмещено в упругую среду или лежит (без отрыва}
на ее поверхности, задана набегающая волна, и требуется определить движение тела. Эта постановка подсказана проблемами инженерной сейсмологии. Были решены задачи, когда массивным телом является полоса на поверхности полупространства (Л. М. Флитман, 1962), полоса, впаянная в упругую среду (Б. В. Костров, 1964), и динамически асимметричный шар, вмещенный в упругую среду (А. Н. Ковшов и И. В. Симонов, 1967). В этих задачах, явно относящихся к области дифракции, внимание переносится с дифракционного поля (которое в некоторых случаях не требуется полностью знать) на закон движения массивного тела.
Общие вопросы динамики неупругих тел
Вводный исторический очерк. Динамика неупругих тел ——сравнительно молодой раздел динамики деформируемых сред, возникший накануне и в период второй мировой войны. Многие главные результаты в нем получены советскими учеными. Становление динамики неупругих тел шло путем, несколько отличным от динамики тел упругих. Первые результаты в динамике упругих тел относились к природе возмущений (волн расширения и волн искажения), распространяющихся в неограниченной среде; лишь спустя несколько десятилетий были исследованы конкретные задачи, касающиеся распространения продольных волн в стержнях. В теории распространения упруго-пластических волн, напротив, сперва было исследовано распространение волн в стержнях и лишь после этого рассмотрена проблема распространения возмущений в неограниченной среде.
В начале § 1 отмечалось, что главные достижения динамики упругих тел были связаны с математической школой Ленинградского университета и Сейсмологическим институтом Академии наук СССР. В известной мере аналогичное утверждение можно высказать о связи первых достижений динамики пластических и вязко-пластических тел с механико-математической школой Московского университета и .Институтом механики Академии наук СССР. Основоположниками динамики вязко-пластических и пластических сред стали современные представители названной школы — А. А. Ильюшин и X. А. Рахматулин. Их исследования были продолжены в Институте механики (В. В. Соколовский, Г. С. Шапиро и др.) и в МГУ (В. С. Ленский, П. М. Огибалов и др). Основные результаты в этой области опубликованы в изданиях Института механики — журнале «Прикладная математика и механика» и «Инженерном сборнике», а также в «Ученых записках» и «Вестнике» Московского университета.
Большую роль в развитии динамики неупругих сред сыграла также школа строительной механики А. А. Гвоздева, И. М. Рабиновича и А. Р. Ржаницына Московского инженерно-строительного института (МИСИ), тесно связанная с Центральным научно-исследовательским институтом промышленных сооружений (ЦНИПС) (ныне Центральный научно-исследовательский институт строительных конструкций —— ЦНИИСК).
А. А. Гвоздев был основоположником теории предельного равновесия, использующей упрощенную пластическую модель тела, не учитывающую упругие деформации и упрочнение (так называемую жестко-пластическую модель). Эта модель нашла широкое применение в статической теории пластичности; она была впервые использована и для решения динамических задач А. А. Гвоздевым (1942). Спустя 10 лет этот метод был усовершенствован в США Э. Ли, П. Саймондсом, В. Прагером и Г. Гопкинсом
и вплоть до настоящего времени успешно используется как в СССР, так и за рубежом.
Упрощенные методы решения динамических задач теории пластичности, в которых конструкции рассматриваются как системы с одной степенью- свободы, разраб атыв а лись И. М. Рабиновичем (1948). Это инженерное направление получило в дальнейшем широкое развитие.
Весьма перспективные исследования вариационных методов решения динамических задач для неупругих сред, начатые А. Р. Ржаницыным (1959), были продолжены в МГУ В. П. Тамужем (1962) и в 口НИИСКз М. И. Рейтманом (1964). Представители той же школы МИСИ (Г. А. Гениев, 1959, 1961; М. И. Эстрин, 1958, 1961, 1962) одними из первых исследовали распространение волн разрыва в двумерной и трехмерной пластической среде.
Труды ученых данной школы публиковались главным образом в сборниках ЦНИПСа (ЦНИИСКа), издававшихся «Стройиздатом».
Сфера распространения исследований по динамике неупругих сред за последние два десятилетия быстро расширялась. В Москве, помимо- МГУ и Института проблем механики Академии наук СССР (организованного на базе Института механики), вопросы динамики неупругих сред, ныне изучаются во многих академических и ведомственных институтах, вузах. Исследования по этим проблемам ведутся и вне Москвы: в Алма- Ате, Баку, Воронеже, Горьком, Киеве, Кишиневе, Ленинграде, Минске,. Новосибирске, Риге, Тарту, Ташкенте, Тбилиси и т. д. Регулярно созываются всесоюзные симпозиумы по распространению упруго-пластических волн в сплошных средах (Москва, 1962; Баку, 1963; Ташкент, 1966; Кишинев, 1968; Алма-Ата, 1971).
Поведение материалов при динамическом нагружении часто существенно отличается от их статического поведения. Это показывает, что адекватное описание динамического поведения материалов может потребовать использования определяющих уравнений, зависящих от времени. Таким образом, к трудностям преимущественно математического характера, возникающим при решении задач динамики упругих тел, в динамике неупругих тел добавляются новые трудности, связанные с выбором надлежащей модели материала, т. е. с выбором определяющих уравнений.
В статических условиях одной из простейших характеристик материала служит диаграмма растяжения. При динамическом нагружении определение диаграммы растяжения становится нетривиальной проблемой. Вследствие возникновения сил инерции (их приходится учитывать при скоростях деформаций, превышающих 10 Мсек) поля напряжений и деформаций в образцах неоднородны. Так как одновременное определение напряжений и деформаций в одной и той же точке образца практически невозможно, по данным таких испытаний нельзя нецосредственно установить вид определяющего уравнения. Обычно формой определяющего уравнения задаются наперед, с точностью до некоторого числа свободных параметров, а затем решают соответствующую волновую задачу и по данным экспериментов определяют неизвестные параметры. Отсюда видно фундаментальное значение простейшей динамической задачи о растяжении стержня при различных допущениях о свойствах его материала.
Очевидно, что попытки установления универсальных определяющих уравнений, пригодных в любом диапазоне изменения напряжений, деформаций, их производных по времени, температуры, гидростатического давления и т. п., должны привести к почти безнадежным трудностям. Поэтому на практике стремятся использовать идеализированные модели, описы-
вающие поведение материалов в ограниченных пределах, отвечающих условиям рассматриваемой задачи.
Полное решение проблемы выбора надлежащей модели материала даже в такой упрощенной форме далеко от завершения, однако имеются примеры удачных частных решений. Так, при сверхвысоких (порядка модуля упругости) давлениях, развивающихся при гиперскоростных соударениях, успешно используется модель идеальной жидкости (М. А. Лаврентьев, 1949). Для материалов типа полимеров, для которых существенны эффекты несовершенной упругости, иногда используется модель вязко- упругого тела (см., например, А. Ю. Ишлинский, 1940). Что касается материалов типа металлов, находящихся под действием умеренно высоких напряжений порядка предела текучести (которым, в основном, и посвящен данный обзор), то для их изучения могут использоваться два подхода. В основе первого из них лежит допущение, что за пределами упругости материал переходит в вязко-пластическое состояние и его определяющее уравнение зависит от времени. Начало этому направлению положили работы А. А. Ильюшина (1940, 1941), в которых в качестве определяющих уравнений использованы уравнения вязко-пластического течения, не учитывающие упругих деформаций. В этих работах дано решение нескольких теоретических задач (удар по цилиндрическому образцу твердым телом, деформирование полого цилиндра под действием внутреннего давления) и описан сконструированный автором первый пневматический копер, позволявший достигать скоростей деформаций порядка 104 Нсек (с помощью его были определены коэффициенты вязкости некоторых металлов). Сразу вслед за тем учениками А. А. Ильюшина были решены задачи о вращении цилиндра в вязко-пластической среде (П. М. Огибалов, 1941) и об ударе цилиндра по вязко-пластической пластинке (Ф. А. Бахшиян, 1948 — опубликование этой работы задержалось на ряд лет). С математической точки зрения уравнения динамики одноосного вязко-пластического тела принадлежат к классу уравнений параболического типа.
Отечественная война прервала работы в данном направлении, однако после войны они стали развиваться у нас и за рубежом во все возрастающем масштабе. Новое направление этим исследованиям дала работа В. В. Соколовского (1948), в которой для анализа распространения продольных волн в стержне была использована известная (предложенная К. Хоэнемзером и В. Прагером) упруго-вязко-пластическая модель материала： При скоростях деформаций, равных нулю, уравнения этой модели переходят в уравнения идеальной пластичности, а при бесконечно больших скоростях деформаций — в уравнения теории упругости. Модифицированная модель, учитывающая деформационное упрочнение материала, была предложена в 1951 г. в США Л. Малверном. Уравнения одноосного движения, основанные на этой модели, принадлежат к гиперболическому типу.
Второй подход, принадлежащий X. А. Рахматулину, предполагает, что при динамическом нагружении материал за пределом упругости переходит в пластическое состояние. Эта точка зрения оправдывается тем, что кривые деформирования многих материалов, особенно металлов, обнаруживают слабую зависимость от скоростей деформаций. У закаленных сталей, например, эти кривые при статических и динамических условиях почти в точности совпадают. С другой стороны, для ряда задач скорости деформаций меняются в пределах всего двух-трех порядков, что может почти не отразиться на связи напряжений и деформаций. Таким образом, при динамическом нагружении часто можно, по крайней мере в первом
304н. в. зволинский, м. и. рейтман, г. С. ШАПИРО
приближении, пользоваться законами деформирования упруго-пластических сред, хотя параметры этих законов могут отличаться от статических.
Начало исследований по распространению упруго-пластических волн положила работа X. А. Рахматулина (1945) о распространении продольных волн в полубесконечном стержне. Беря за основу диаграмму напряжений ——деформаций с различными законами нагружения и разгрузки, X. А. Рахматулин обнаружил существование так называемой волны разгрузки, разделяющей плоскость «пространство — время» на области нагружения и разгрузки. Годом позже Дж. Тейлор в Англии и Т. Карман в США опубликовали менее полные (без учета разгрузки) исследования этой задачи.
Проблема определения волны разгрузки занимает ключевое положение в одномерной теории распространения упруго-пластических волн. Анализ показал, что эта проблема не сводится к классическим задачам Гурса, Коши или смешанной задаче теории гиперболических уравнений. Для нее был разработан специальный метод решения (Г. С. Шапиро, 1946), получивший впоследствии дальнейшее развитие (В. Л. Бидерман, 1952). Исследовались также специфические случаи распространения разрывов (X. А. Рахматулин и Г. С. Шапиро, 1948), причем в случае продольного удара стержня по жесткой преграде была обнаружена возможность существования стационарных разрывов (В. С. Ленский, 1949). Построение автомодельных решений анализировалось Г. И. Баренблаттом (1952). Своеобразный подход к проблеме распространения упруго-пластических волн был предложен К. П. Станюковичем (1955).
Решение следующей по сложности, после задачи о продольных волнах, проблемы — о распространении продольно-поперечных волн в нитях — также принадлежит X. А. Рахматулину (1946) (см. § 4). Его работа послужила источником большого цикла исследований в данной области.
Теория распространения продольных волн вскоре была обобщена и на случай сферической симметрии (Л. В. Альтшулер, 1946; Ф. А. Бах- шиян, 1948; Я. Б. Лунц, 1949).
Некоторые методы применения ЭВМ в задачах динамики пластических сред систематически изучались В. К. Кабуловым (итоги его работ подведены в монографии 1966 г.).
В последующей части обзора освещены далеко не все аспекты динамики неупругих сред. Она посвящена динамическим задачам пластичности и вязкопластичности. В ней вовсе не затрагиваются вопросы, касающиеся моделирования, неоднородных и анизотропных сред, вязко-упругих сред, явлений разрушения, эффектов сверхвысоких (порядка модуля упругости) давлений, а также эффектов проникания; почти не упоминаются экспериментальные исследования.
В настоящем общем введении главное внимание уделено обзору начальных стадий развития каждого направления исследований. Представление об их дальнейшем развитии дано ниже. Обширный материал по тематике обзора можно почерпнуть также из монографий И. И. Голь- денблата и Н. А. Николаенко (1961), X. А. Рахматулина и Ю. А. Демьянова (1961), И. Л. Диковича (1962), Л. П. Орленко (1964), Н. Н. Попова и Б. С. Расторгуева (1964), Ю. Я. Волошенко-Климовицкого (1965), Н. Н. Попова и Б. С. Расторгуева (1966), а также из материалов II и III Всесоюзных симпозиумов по распространению упруго-пластических волн в сплошных средах (1966, 1969).
Распространение волн сильного и слабого разрыва. За пределами упругости полная деформация £订 упруго-пластических тел представляется
как сумма упругой 骑 и пластической 啸 частей. При малых деформациях зависимость между упругими деформациями и напряжениями устанавливается законом Гука £务=五订左zRz・ Предполагается, что объемная деформация является упругой, т. е.唸=0, тогда £% будут компонентами девиатора деформаций.
В деформационной теории пластичности считается, что соотношения между главными напряжениями зависят только от соотношений между главными деформациями. Простейший вариант изотропных зависимостей между пластическими деформациями и напряжениями имеет вид 崂— = F (/2) s订，где /2 = 1/2sijstj (s订 — компоненты девиатора напряжений). Различие между нелинейно упругими и пластическими деформациями проявляется только при разгрузке. При d/2 = s订 ds^ > 0 имеет место нагружение, при й/2 < 0 — разгрузка по закону Гука, а при d/2 = 0 — нейтральное нагружение. При /2</с2, где /с2 — пластическая постоянная, имеет место упругое состояние.
Как показал ряд проведенных в СССР исследований, закономерности распространения слабых и сильных разрывов в нелинейно упругой и упруго-пластической средах существенно отличаются от классического случая распространения разрывов в линейно упругой среде.
В случае трехмерной нелинейно упругой среды возникают три вида волн (В. М. Бабич, 1954). Если вектор смещения непрерывен вместе со своими первыми производными, а его вторые производные имеют скачки на некоторой нестационарной поверхности разрыва, то максимальная и минимальная скорости распространения волн зависят от направления. Таким образом, Йоле напряжений создает своеобразную анизотропию: самые быстрые и самые медленные волны не являются ни продольными, ни поперечными. Волны, движущиеся с промежуточной скоростью, имеют характер поперечных волн. Направление вектора разрыва этих волн зависит от поля напряжений, однако скорость их распространения не зависит от направления.
Анализ распространения волн в двумерной сжимаемой пластической среде показал (Г. А. Гениев, 1959, 1961), что при этом скорости распространения линий слабых разрывов отличны от местной скорости звука. Совпадение бывает только при распространении слабых разрывов в направлении главных нормальных напряжений. Скорость распространения линий слабых разрывов в направлениях, совпадающих с нормалями к площадкам главных касательных напряжений, равна нулю. Всякая линия слабого разрыва является характеристикой. В случае установившихся движений возможно существование действительных характеристик и при дозвуковых скоростях. Ориентация направлений характеристик зависит как от направления и величины модуля вектора скорости, так и от ориентации главных осей напряжений.
Особо изучено распространение волн сильного и слабого разрывов при плоском деформированном состоянии идеально пластической среды в предположении линейной связи между первыми инвариантами тензоров напряжений и скоростей деформаций (М. И. Эстрин, 1961), а также распространение волн слабого разрыва при плоском напряженном состоянии (М. И. Эстрин, .1962; А. Д. Чернышев, 1966). Изучено также распространение сильных разрывов в среде, обладающей нелинейной жесткой )
характеристикой при нагружении и характеризующейся линейной разгрузкой (Г. И. Быковцев, 1961).
Существенные упрощения в анализ распространения волн разрыва вносят представления о кусочно-линейных поверхностях текучести и ассоциированном законе течения. Сперва такой анализ для волн слабого разрыва был проделан в предположении, что точка напряжений находится на ребре призмы поверхности текучести Треска.
В инкрементальной теории пластичности (теория течения) Прандтля — Рейсса предполагается, что приращения пластических деформаций de% определяются значениями напряжений и пропорциональны приращениям напряжений. Если поверхность нагружения совпадает с поверхностью- пластического потенциала, то приращение пластической деформации будет ортогонально к поверхности нагружения и простейшая связь между приращениями напряжений и деформаций будет иметь вид
% = 6誤" df=-^ dokl > 0, (2.1) где / — функция нагружения, G — скалярная функция, зависящая от напряжений, деформаций и истории нагружения.
Полнее всего изучено распространение волн слабого разрыва в изотропных идеально упруго-пластических средах. Наиболее подробный анализ удается провести для сред, удовлетворяющих кусочно-линейным условиям текучести (Г. И. Быковцев, Д. Д. Ивлев и Т. Н. Мартынова, 1966). Для напряженного состояния, с о отв етствующего некоторому ребру призмы текучести, обнаружено, что в теле по любому направлению могут распространяться три волны, причем все три скорост# распространения волн действительны и не зависят от характеристик ребра. Максимальная скорость распространения волн при условии текучести Треска получается равной [(X 十 2卩)/р]“2, она достигается при совпадении волнового фронта с поверхностью касательных напряжений. При произвольной ориентации нормали волновой поверхности относительно главных осей волна сопровождается изменением как объемной, так и сдвиговой деформации. Для напряженного состояния, соответствующего грани призмы текучести, одна из волн распространяется как упругая со скоростью (卩/р)% и не вызывает изменения пластических деформаций; скорости двух других волн слабого разрыва зависят как от направления нормали к поверхности разрыва относительно главных осей тензара напряжений, так и от вида условий текучести.
В случае несжимаемого упруго-пластического материала существуют две скорости распространения волн слабого разрыва. Обе они носят сдвиговой характер, причем одна из них не вызывает изменения пластических деформаций.
Некоторые результаты более частного характера были получены ранее для плоского деформированного (М. И. Эстрин, 1961) и плоского напряженного (М. И. Эстрин, 1962; А. Д. Чернышев, 1966) состояний. Изучалось также распространение волн сильного разрыва в среде, обладающей нелинейной жесткйй характеристикой при нагружении и характеризующейся линейной разгрузкой (Г. И. Быковцев, 1961).
Для упруго-вязко-пластической среды с определяющим уравнением в форме (Д. Д. Ивлев, 1959)
e订 = %• + % 0订=九幫讃订+ 26%, )
・ ・ 〉 (2.2> ⑸・j - n%) (s订一乖务)=鬲 % =中(s订一П%・)，J
где п — коэффициент вязкости,屮一"некоторый положительный множитель, причем 屮：＞ 0 при SijSij》仃丸 屮=0 при s^s^ V 仃务，анализ распространения слабых и сильных разрывов (Г. И. Быковцев и Н. Д. Вервейко, 1966) показал невозможность разрывов пластических составляющих скоростей деформаций:[鳴]=0. Волны ускорений в такой среде распространяются со скоростью упругих волн, равной (G/p)1/2. Затухание волн в рассматриваемом материале происходит быстрее, чем в упругом. Для развертывающихся и выпуклых волновых поверхностей интенсивность эквиволюми- нальных волн равномерно стремится к нулю, если с обеих сторон волновой поверхности имеет место пластическое деформирование. '
Интересный анализ распространения волн разрыва был проделан для своеобразной динамически упрочняющейся среды, текущее состояние которой определяется некоторыми параметрами, характеризующими свойства, приобретенные материалом в процессе динамического нагружения (В. А. Скрипкин, 1962).
Экстремальные принципы. Основная трудность формулировки вариационных принципов для неупругих сред состоит в том, что такие среды представляют собой бесконечномерные механические системы с не- голономными неидеальными связями, для которых несправедлив принцип Лагранжа. Исключение составляет такое движение жестко-идеальнопластического тела, форма которого не меняется со временем (М. И. Рейт- ман, 1965); естественно, что раньше всего экстремальный принцип был предложен именно для этого случая (А. Р. Ржаницын, 1959). Позже был предложен принцип? свободный от названного ограничения (В. П. Тамуж, 1962). Он состоит в требовании минимума функционала /, являющегося гауссовым принуждением для сплошной среды:
=putUidV- J PtUidV^^ TtUidS+ j 5•声订 d°= j FdV. (2.3) V V ST V V
где p — плотность, 期 一 ускорения, Р» — массовые силы, 7\ — поверхностные силы, о订 —— компоненты тензора напряжений, £订 —— компоненты тензора деформаций, V ■— объем тела, ST —— часть поверхности тела, на которой заданы внешние силы. При этом кинематически возможные ускорения деформаций £订 связаны с компонентами вектора ускорений формулами
£订=у W，＞ + "九。・ (2.4)
Принцип сохраняет силу, если имеются сильные разрывы ускорений. В этом случае к гауссову принуждению для среды без разрывов нужно добавить принуждение на поверхностях разрыва
У о订V/ [〃八 dZ, (2.5)
где V； — компоненты нормали к поверхности разрыва I. Легко видеть, что уравнениями Остроградского — Эйлера для функционала / являются уравнения равновесия сплошной среды. В дальнейшем было показано (М. И. Рейтман, 1965), что этот принцип можно обобщить на среды со свойствами весьма общего вида. Свойства сред входят в последний член функционала /. В качестве условий Вейерштрасса ——Эрдмана для I можно получить условия на поверхностях слабых разрывов ускорений
l^ij] cos (vx7) =0,因=[^z, Л- (2.6) L дщ J
Следует заметить, что общий вариационный принцип, с помощью которого находятся инвариантные уравнения движения, определяющие уравнения (модель) и различные дополнительные условия (краевые, начальные условия на поверхности скачков и пр.), был сформулирован Л. И. Седовым (1965). Этот принцип был использован для исследования разрывов в сплошной среде М. В. Лурье (1966).
Распространение волн в неупругих средах
Упруго-пластические тела. Первые два раздела этого параграфа посвящены плоским волнам. Плоские волны делятся на два класса: плоские волны напряжений и плоские волны деформаций. Первые возникают в стержнях и характеризуются трехмерным деформированным состоянием и одномерным (точнее, близким к одномерному) напряженным состоянием. Вторые возникают в плитах и характеризуются трехмерным напряженным состоянием и одномерным деформированным состоянием (см., например, Г. С. Шапиро, 1952).
Скорости деформаций для упруго-пластических тел в явном виде не входят в определяющий закон. Динамический характер нагружения учитывается тем, что связь о = о (е) между напряжениями и деформациями принимается отличной от статической.
Распространение продольных волн нагружения описывается нелинейным гиперболическим уравнением
32Mд2и八
声=(3・！)
где и — продольное смещение, а2 = (1/р) (do/de), р — плотность материала. При монотонном непрерывном нагружении на границе полубесконеч- ной среды и do/* < 0 в теле не возникает ударных волн; при 炉。/^ > О ударные волны появляются (X. А. Рахматулин, 1945; Г. G. Шапиро, 1946). Исследован общий случай автомодельных решений уравнения (3.1), включая возможность перемены знака d?Qld^ и появления ударных волн (Г. И. Баренблатт, 1953, 1957). Рассмотрено также распространение автомодельных возмущений под действием постоянного напряжения, приложенного к концу полубесконечного стержня (Г. Я. Галин, 1958).
За пределами упругости зависимость о = о(8)для упруго-пластических сред имеет различный вид при нагружении и разгрузке. Задача о рас- пространении упруго-пластических волн в полубесконечной среде при (Po/ds2 < 0 и в предположении, что разгрузка совершается по линейно упругому закону, впервые рассмотрена X. А. Рахматулиным (1945). Если х —— продольная координата, t ——время, то в случае полубесконечной среды область (芻力)делится на две чаети. В одной из них происходит нагружение, в другой ——разгрузка. Трудность решения соответствующей систе- ми двух гиперболических уравнений связана с тем, что граница между названными зонами, называемая волной разгрузки, заранее неизвестна. В случае, когда волна разгрузки представляет собой волну слабого разрыва, предлагались различные способы решения: метод степенных рядов <Х.. А. Рахматулин, 1945), метод характеристик (Г. С. Шапиро 1946; В Л- Бидерман, 1952), графический метод (С. Д. Мочалов, 1952) и др.
Проблемы существования и единственности волны разгрузки изучались А. М： Скобеевым (1962); им, кроме того, показано, что при 方8 скорость распространения волны* разгрузки асимптотически стремится JK скорости распространения упругих волн.
Случай ударного нагружения, при котором волна разгрузки представляет собой волну сильного разрыва, был также исследован весьма подробно (X. А. Рахматулин и Г. С. Шапиро, 1948; В. С. Ленский, 1949; Н. Ф. Лебедев, 1952). Этот случай важен в том отношении, что он встречается в задачах о продольных соударениях стержней за пределами упругости (В. Г. Чебан, 1952; Р. И. Надеева, 1953). Для подобных задач представляет интерес одновременный учет местного смятия и процесса распространения волн (С. А. Зегжда, 1965). При этом удалось обнаружить существование некоторого безразмерного параметра, определяющего процесс (в том числе времена соударения и нарастания контактного усилия, максимальное значение контактного усилия и коэффициент восстановления). Кроме того, для полубесконечного стержня и стержня конечной длины из условия равенства потенциальной энергии деформации удалось линеаризовать зависимость между контактной силой и местным смятием.
Прогресс в исследовании распространения плоских упруго-пластических волн выразился как в усовершенствовании аналитических средств, так и в применении ЭВМ.
Существенные упрощения аналитической процедуры были достигнуты за счет удачных аппроксимаций связи между напряжениями и деформациями или преобразований исходной системы уравнений. Так, если записать уравнения движения в виде (Г. А. Домбровский и Г. В. Литвинов, 1966)
dh / \ 6方 dh z v dt
行=0e)五，『a⑻(3・2) причем
壮=+黑，。=，a曲' (3.3)
где h — лагранжева координата, t — время, и — скорость, р0 — начальная плотность, и придать а ⑵ одну из следующих форм );
а (и)=及2 tg2 (?nu), 〃(и)=八2 th2 (znu), а (〃)=価 cth2 (mv) (3.4) (здесь zn и 及一произвольные постоянные), то по формулам
£(〃)=§о(и) = ро j 〃(u)d〃 (3.5) можно получить три семейства зависимостей напряжений от деформаций о = о(£；加，п, &, С2), каждое из которых зависит от четырех параметров: т、п, & и С2 (& и С2 — произвольные постоянные интегрирования в (3.5)). Если заданная связь о = о ® совпадает с одним из этих трех семейств, то решение задачи будет точным; в противном случае удается получить простые приближенные решения. Примеры использования такого преобразования приведены Г. А. Домбровским и Г. В. Литвиновым (1966) и Г. В. Литвиновым (1965).
Принятие связи между напряжениями и деформациями в виде кусков двух линий (прямой и параболы) дало возможность изучить явление распада произвольного разрыва при взаимодействии волны разгрузки с ударной волной на примере задачи о стержне конечной длины, к одному из концов которого приложена нагрузка, остающаяся некоторое время
постоянной, а затем мгновенно снижаемая (А. И. Буравцев и Н. А. Есенина, 1966). С помощью зависимости
(3.6)(3.6)4
(3.6)
(3.6)
0 = 0*一(8十ь冲‘
где А, b, о* s к — константы материала, решена задача о стержне конечной длины, один из концов которого движется с постоянной скоростью (А. И. Буравцев, 1965).
Ряд интересных решений был получен с помощью кусочно-линейных — билинейной (Л. Р. Ставницер, 1964) и трилинейной (А. П. Синицын, 1964)—— аппроксимаций диаграммы и ——8. Последний случай дал возможность изучить распространение волн в затвердевающем упруго-пластическом слое.
Что касается использования ЭВМ, то преимущества применения вычислительной техники в случае метода характеристик были продемонстрированы Н. А. Нестеренко (1964). Была также рассмотрена задача о затухании одномерной волны при экспоненциальном затухании давления на конце стержня (Л. П. Орленко и Г. Ф. Ефремова, 1965).
Особенности распространения упруго-пластических волн в стержнях с переменным пределом текучести, важные при изучении многократных ударов по стержню, рассматривались X. А. Р ахматул иным (1946).
С теоретической и практической точек зрения большое значение имеет задача об отражении и преломлении плоской пластической волны при наличии граничной плоскости. Не удивительно, что она привлекла большое внимание исследователей. Однако посвященные этой проблеме работы (Г. М. Ляхов и Н. И. Полякова, 1962; Н. В. Зволинский и Г. В. Рыков, 1963, 1965; Г. М. Ляхов, Р. А. Осадченко и Н. И. Полякова, 1965; Г. М. Ляхов, 1966; 3. В. Нарожная, 1966; Н. В. Зволинский, 1967) либо содержали решения, основанные на простейшей аппроксимации закона сжатия, либо не учитывали граничной плоскости, либо приводили к сложному аналитическому описанию, из которого было затруднительно сделать какие-либо выводы.
Предположение о жесткой разгрузке (Н. В. Зволинский, 1967) позволило изучить некоторые общие свойства задачи отражения, а также исследовать характер явлений на основе численных решений. При этом оказалось, что обычно принимаемое априорное предположение о том, что в области отраженной волны имеет место разгрузка, вообще ошибочно, хотя погрешности, истекающие из этой ошибки, обычно малы. В частности, если закон сжатия линейный, то гипотеза о разгрузке оправдывается. Исследование влияния граничной плоскости с заданным на ней напряжением на распространение отраженной волны показало, что отраженная волна начинает «чувствовать» внешнюю нагрузку сразу же после начала отражения. Сначала это влияние невелико, но, постепенно возрастая, оно приобретает решающее значение и, наконец, приводит к уничтожению ударной волны, которая никогда не может достигнуть плоскости, кроме случая стационарной волны. Оказалось, что этот факт, отмеченный для частных случаев (см., например, 3. В. Нарожная, 1965), имеет общий характер.
Для некоторых материалов, например для отожженной малоуглеродистой стали, обнаружен эффект так называемого «запаздывания текучести». Оказалось, что при внезапно приложенном постоянном давлении, превышающем статический предел текучести, пластическая деформация возникает не мгновенно, а через некоторое время. Каждому частному значению напряжения о соответствует свое время ^ запаздывания текучести. В слу-
чае, если приложенное напряжение возрастает со временем, для 力丄 обычно используется формула
沁广… (3.7) О .
где о*, а и С — постоянные материала. Формула (3.7), хорошо согласующаяся с экспериментами, была предложена на основании теоретических соображений Дж. Кемпбеллом, который принял за критерий текучести некоторое критическое значение плотности освобожденных дислокаций; величина ti не должна превосходить 1 сек. Влияние температуры на запаздывание текучести исследовалось Ю. Я. Волошенко-Климовицким (1962, 1965). Теория распространения продольных упруг о-пл а стиче ских волн в стержнях с учетом эффекта запаздывания текучести была предложена Ю. Н. Работновым (1967).
Эффекты, связанные с распространением плоских волн при тепловом ударе в упругой среде, изучались В. И. Даниловской (1952). Аналогичная задача для упруго-пластического материала, обладающего линейным упрочнением, исследовалась Ю. П. Суворовым (1964), рассмотревшим тепловой удар по концу полубесконечного стержня при линейном законе возрастания температуры со временем (коэффициент теплопроводности считался пропорциональным температуре, а механические характеристики материала — независимыми от температуры). При таком законе нелинейное уравнение теплопроводности допускает простое автомодельное решение, что существенно упрощает уравнение распространения упруго, пластических волн. Оказалось, что при скорости распространения тепла- равной скорости распространения упругих или пластических возмущений, происходит образование волн сильного разрыва.
Значительный интерес представляют одномерные задачи, посвященные распространению волн при сложном напряженном состоянии. Постановка такой задачи принадлежит X. А. Рахматулину (1952), давшему и ее решение на основе деформационной теории пластичности для случая скру- чивающе-сжимающего удара. Позднее аналогичная задача была рассмотрена для сдвигающе-сжимающего удара (X. А. Рахматулин и В. С. Анциферов, 1964). Эта проблема в дальнейшем привлекла большое внимание за рубежом. Детальное исследование сдвигающе-сжимающего удара на основе теории Прандтля —— Рейсса было проделано А. М. Скобеевым (1965).
Упруго-вязко-пластические тела. Несмотря на то, что упругопластическая модель во многих отношениях правильно отражает динамическое поведение металлов, для выполненных за два последние десятилетия работ по распространению нелинейных волн в твердых телах характерен критический подход к теории упруго-пластических волн, имеющий целью ее уточнение. Выявлены некоторые экспериментальные факты, не допускающие объяснения на основе модели упруго-пластического тела. В первую очередь сюда относятся наблюдения над распространением догруз очных импульсов (волн) в предварительно напряженных стержнях, выведенных за пределы упругости. Теория распространения упругопластических волн предсказывает, что скорость распространения догру- зочного импульса по предварительно деформированному стержню определяется наклоном динамической диаграммы при данной деформации. Однако опыты (см., например, М. В. Малышев, 1961) показали, что в ме Фаллических стержнях передний фронт догрузочного импульса при любых предварительных деформациях распространяется со скоростью упругих
волн. Имеются основания полагать, что эффект, связанный со скоростью пластических деформаций, зависит от величины о ——/(8), представляющей собой превышение мгновенного напряжения над напряжением, соответствующим той же деформации при статическом испытании. Поэтому для модели упруго-вязко-пластической среды обычно используется закон деформир ов ания
总е = опри a<ors, I
・・J
廃=0 +(1)(0-/(8)) при O>Os, J
где Os ——статический предел текучести, или еще более общий закон
(3.9)(3.9)廃=0при ОМ%,
(3.9)
(3.9)
WE = O + g(O, е) при O>Os,
который согласуется с теорией дислокаций. При высоких скоростях деформаций модель вязко-упруго-пластической среды ведет себя упруго с модулем £\ благодаря чему она объясняет распространение догруз очных волн со скоростью упругих волн.
Добавление к этим определяющим уравнениям уравнения движения
(3.10)(3.10)(3.11)(3.11)『80 dv
(3.10)
(3.10)
(3.11)
(3.11)
^7 =p毎
и уравнения непрерывности
д& — dvdt — дх
приводит к системе уравнений гиперболического типа, имеющей три семей
ства характеристик: dx ± с dt =ства характеристик: dx ± с dt =вдоль dx = c dt вдоль dx = — c dt вдоль d% = 0Замена дифференциальныхвдоль dx = c dt вдоль dx = — c dt вдоль d% = 0Замена дифференциальныхО, dx = 0, где с = (E7p)i/2. При этом do — pc dv = — g (a, 8)dt, do + pc du = — g (a, 8)dt, E d& — do = g (a, 8)dt.
ства характеристик: dx ± с dt =
ства характеристик: dx ± с dt =
вдоль dx = c dt вдоль dx = — c dt вдоль d% = 0
Замена дифференциальных
вдоль dx = c dt вдоль dx = — c dt вдоль d% = 0
Замена дифференциальных
соотношений вдоль характеристик урав
нениями в конечных разностях дает возможность численного решения задач. Именно таким путем были получены первые решения в данной области, найденные В. В. Соколовским (1948) для случая / (е) = о$, т. е. для случая материала, не обладающего деформационным упрочнением.
Наиболее полное с математической точки зрения исследование системы уравнений (3.8), (3.10), (3.11) проведено В. Н. Кукуджановым (1965, 1967). В первой из его работ дано решение задачи о распространении упругой волны разгрузки, а во второй ——выполнен анализ системы уравнений асимптотическим методом и с его учетом проделаны детальные вычисления на ЭВМ.
На основе предположения / (е) = as было изучено распространение продольных волн в п олу бе ск онечн ом стержне, составленном из двух частей, обладающих разными пределами текучести (В. Н. Ку куджанов и Л. В. Никитин, 1966). При этом рассматривались разные случаи. В частности если в зоне, прилегающей к ударяемому концу, предел текучести выше, чем в более отдаленной зоне, и величина скорости удара подобрана так, чтобы предел текучести был превышен только во второй зоне, первая часть- стержня остается упругой. Введением новых переменных оба уравнения
сводятся к такому виду, к которому удобно применить преобразование Лапласа.
Были изучены некоторые обобщения закона деформирования (3.8). В частности, анализ распространения волн нагружения для среды с нелинейной вязкостью вида
+ (3」2)
показал (А. М. Скобеев, 1967), что в такой среде возмущения могут распространяться со скоростью, отличной от упругой (движение при этом предполагалось близким к автомодельному).
Явление запаздывания текучести с учетом вязких эффектов исследовали В. С. Ленский и Л. Н. Фомина (1959) и В. А. Котляревский (1962).
При использовании линейной вязко-пластической модели (пренебрегающей упругими деформациями) скорости и напряжения в области, где возникают пластические деформации, должны подчиняться уравнению теплопроводности. Ряд известных решений теории теплопроводности непосредственно переносится на задачи о распространении возмущений в вязкопластических телах. Например, задача об ударе с постоянной скоростью по п о л у бе ск оне чн ому вязко-пластическому стержню эквивалентна задаче о внезапном нагреве полубесконечного стержня, температура конца которого внезапно повышается и остается постоянной (В. В. Соколовский, 1949). В случае вязко-пластического тела, обладающего жесткой разгрузкой, аналогичная задача сводится к задаче Стефана теории теплопроводности (Г. С. Шапиро, 1966).
Большой интерес был проявлен к задаче об ударе вязко-пластического стержня конечной длины о жесткую преграду. Решение ее показало (Г. И. Баренблатт и А. Ю. Ишлинский, 1962), что при ударе стержень делится на две части. В одной из них, примыкающей к ударяемому концу, имеет место в я з к о-пл а стиче ск ое течение; другая часть движется как твердое тело. Положение подвижной границы определяется в ходе решения задачи. Справедливость этой схемы была доказана А. М. Скобеевым (1966).
Первоначально система основных уравнений задачи решалась приближенно, методами осреднения, применяемыми в теории пограничного слоя. В дальнейшем та же задача была решена с использованием приема дискретизации (А. Ю. Ишлинский и Г. П. Слепцова, 1969): стержень заменялся системой сосредоточенных масс, соединенных вязко-пластическими стержнями. При этом решение уравнения теплопроводности с подвижной границей сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
Распространение возмущений при ударе твердым телом по полубеско- нечному вязко-пластическому стержню с учетом линейного деформационного упрочнения было исследовано И. Н. Зверевым (1950); задача была позднее обобщена на случай упруго-вязко-пластического материала (Г. Л. Комиссарова и С. А. Лежов, 1965).
Существенный интерес представляет проблема динамической устойчивости стержней за пределами упругости. С учетом эффектов запаздывания текучести и вязкости ее рассматривали А. К. Перцев и А. Я. Ру- колайне (1965).
Сферические, цилиндрические и неодномерные волны. При возникновении упруго-пластических волн в полубесконечном стержне пластические деформации распространяются до бесконечности (легко показать, что волна разгрузки никогда не догонит фронта упругой волны)”
В случае сферических и цилиндрических волн пластические деформации распространяются только на конечное расстояние.
Задача о распространении сферической волны нагрузки была впервые поставлена Л. В. Альтшулером (1946). Решение для волны нагрузки, справедливое до момента размыва волны сильного разрыва, отделяющей области упругих и пластических деформаций, было получено Ф. А. Бах- шияном (1948). Полное исследование задачи о распространении волн нагружения (включая определение момента размыва волны сильного разрыва) и разгрузки было произведено Я. Б. Лунцем (1949).
Исследование распространения цилиндрических волн сдвига показало (X. А. Рахматулин, 1948), что в случае линейного упрочнения материала величины скоростей и деформаций на фронте упругих волн падают обратно пропорционально квадратному корню расстояния до центра симметрии.. Относительно просто исследуется вопрос о напряжениях в цилиндрической трубе из идеально пластического несжимаемого материала при внезапном приложении нагрузки: дело сводится к интегрированию обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения первого порядка (Е. X. Агабабян, 1953). В случае сжимаемого материала с одним и тем же модулем сжатия как в области упругих, так и в области пластических деформаций задача решается методом характеристик (Е. X. Агабабян, 1955). При этом обнаружено наличие особого типа волн, исходящих от внутренней поверхности цилиндра с одной и той же скоростью и в дальнейшем расслаивающихся.
Аналогичные задачи о распространении возмущений при сферической и цилиндрической симметрии были получены и с учетом вязких эффектов. Численные решения на основе упруго-вязко-пластической модели были найдены для цилиндрических волн сдвига (В. В. Соколовский, 1948), для сферических волн давления (В. Н. Кукуджанов, 1959) и для цилиндрических волн давления (Л. В. Никитин, 1959).
На основе вязко-пластической модели были решены задачи о деформировании цилиндра под действием внутреннего давления (А. А. Ильюшин, 1940) и о распространении цилиндрических волн сдвига (П. М. Оги- балов, 1941; Ф. А. Бахшиян, 1948).
Ряд задач о взрыве в условиях сферической симметрии был решен с ориентацией на динамику грунтов ).
У спехи в решении не одномерных динамических задач на основе пластической модели тел достигнуты лишь за последнее десятилетие. При этом использовались, в частности, некоторые методы газовой динамики.. Как известно, при обтекании тонкого тела со сверхзвуковой скоростью движение среды происходит в основном вдоль плоскостей, перпендикулярных к направлению полета, что существенно упрощает анализ. Это использовалось при решении задач о распространении волн в полупространстве, на границе которого действует нормальное давление. Здесь также можно выделить характерное направление движения, совпадающее с направлением действия давления. Приближенное решение для упругопластического полупространства под действием нормального давления на части границы было получено на основе этого соображения X. А. Рахматулиным (1959).
Систему уравнений плоскодеформированного движения сжимаемой идеально пластической среды оказалось возможным свести и к волновому
уравнению движения баротропного газа (Г. А. Гениев, 1962). С помощью применяемого в газовой динамике метода естественных координат удалось построить приближенные приемы решения уравнений плоскодеформиро- ванного движения же стк о-пл а стиче ск ой и упруго-пластической сред (О. Д. Григорьев, 1962).
Автомодельные движения несжимаемого идеально пластического тела в условиях плоской деформации рассматривались М. И. Эстриным в условиях плоского напряженного состояния (1958) и в случае сжимаемой среды, подчиняющейся условию текучести Треска (1962). Задача о движении с постоянной скоростью ступенчатой нагрузки исследовалась А. М. Скобеевым (1965).
Динамика неупругих конструкций
Под конструкциями будем понимать тела, у которых одно или два измерения значительно превышают третье. К ним относятся стержни, гибкие нити, мембраны, балки, рамы, пластинки и оболочки. Обзор работ по распространению волн в стержнях дан в § 3.
Гибкие нити и мембраны. Трудности построения упруго-пластической теории поперечного удара по нитям связаны с необходимостью учета как двойной нелинейности задачи (отклонений нити от первоначальной формы и нелинейной формы связи между напряжениями и деформациями), так и условий контакта нити с ударяемым телом.
В теории, развитой в ряде работ X. А. Рахматулина (1945, 1947, 1952), лроблемы распространения продольных и поперечных волн в нитях удалось разделить. В первой из указанных работ было дано решение задачи об ударе по гибкой нити бесконечной длины, когда ударяющее тело движется с постоянной скоростью. Аналитически задача сводится к решению двух дифференциальных уравнений относительно двух компонент перемещения. В частности, был рассмотрен практически важный случай, когда диаграмма растяжения нити может быть представлена ломаной из двух участков (билинейный закон). Кроме того, рассматривался нормальный удар телом конечной массы с исчезающе малыми размерами. Возникающее в результате удара натяжение сразу после соударения уменьшает скорость тела. При этом вправо и влево от места соударения одновременно распространяются риманова волна и волна разгрузки. Дальнейшее решение зависит ют постулированного соотношения между скоростями этих волн.
Первые по времени решения относились к бесконечным нитям. И. Н. Зверев (1950) рассмотрел удар нити о клин. В его работе была введена импульсивная сила, действующая на частицы нити, которые находятся на границе областей прилегания и свободного движения.
В задачах о нитях конечной длины картина усложняется за счет отражений от концов. В этих случаях наиболее эффективными оказались численные методы. Последующие улучшения касались главным образом учета реальных условий нагружения.
Так, X. А. Рахматулин исследовал удар по гибкой нити телом заданной формы (например, тупым клином).
Заметим, что относительная аналитическая простота задачи о нити позволила использовать ее в непрямых методах определения механических характеристик материалов.
А. А. Рябис (1966) развил это направление. В его постановке бесконечно длинная гибкая прямолинейная нить налетает на притуплеиное тело и разбивается на две области: область свободного движения нити и область
прилегания нити к телу. Для границы этих областей, названной волной сильного разрыва, выводятся уравнения движения и неразрывности. В обеих областях считается, что движение подчиняется волновым уравнениям. Добавлением геометрических условий задача замыкается. Зависимость о(8)берется по схеме линейного упрочнения. Найдена деформация нити в области прилегания до момента проникновения поперечной волны в прямолинейную часть нити. А. А. Рябисом введена обусловленная импульсивной силой сила трения в области прилегания на волне сильного разрыва. Показано, что сила трения значительно больше касательного усилия, возникающего на волне сильного разрыва. Благодаря этому ока7 зал ось возможным ввести д оп олните л ьн ое условие равенства нулю касательной скорости частиц в области прилегания на волне сильного разрыва. Это позволило определить деформацию названных частиц. Деформация получилась по л ожител ьн ой, т. е. на волне сильного разрыва возникает растяжение, в отличие от предшествующих результатов, упомянутых выше, где возникало сжатие и приходилось в области прилегания вводить волну разгрузки. Рассмотрены условия применимости данной схемы.
Новые численные и аналитические методы дали возможность расширить круг исследуемых задач о нити.
А. Л. Павленко, Б. М. Павлов и Г. С. Росляков (1965, 1966) численна исследовали движение нелинейно упругих нитей.
Н. Н. Попов и Б. С. Расторгуев (1966) дали с помощью разложения в тригонометрический ряд по длине приближенное решение задачи о движении нити из упруг о-пл а стическог о материала с упрочнением по билинейному закону, а также для материала, закон деформирования которого имеет вид
О=』ЕЕ (4.1) k=i
под действием равномерно распределенной нагрузки. Ими рассмотрена та же задача для упруго-вязко-пластического материала. Движение упруг о-в я з к о-п л а стиче ск ой нити в пластической стадии описывается нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка, для решения которого авторы применяют численный метод Адамса ——Штермера. П. А. Рахманов (1959) добавил к условиям задачи об ударе по нити учет влияния сопротивляющейся ее движению среды.
Некоторая аналогия в механическом поведении гибких нитей и тонких мембран позволила вскоре же после исследования явления удара по гибкой нити перейти к аналогичному анализу гибкой мембраны. Первое приближенное решение при условии пренебрежения кольцевыми напряжениями в круглой мембране получил Д. М. Григорян (1949). В ряде последовавших за этим работ это допущение было снято. Так, М. П. Галин (1949) рассмотрел удар по круглой мембране в одной точке телом с постоянной скоростью движения. Позже рассматривался удар по мембране осесимметричным телом (У. Бектур супов, 1966). В последнем случае принималось, что радиальные и поперечные движения не связаны друг с другом и что решение задачи может быть получено с помощью раздельного интегрирования двух различных уравнений распространения волн.
Более сложную задачу рассмотрели С. М. Белоносов, А. Л. Павленко, Б. М. Павлов и Г. С. Росляков (1966), которые исследовали удар по мембране абсолютно жестким цилиндром. Начальный скачок скорости при этом передается по мембране в виде двух волн: поперечной и продольной^
Балки. Систематическое изложение теории динамического нагружения балок можно найти в монографиях X. А. Рахматулина и Ю. А. Демьянова (1961), И. Л. Диковича (1962), И. И. Гольденблата и Н. А. Николаенко (1961).
Получение достаточно строгих решений для динамического нагружения у пр у г о-пл а стических балок встречает серьезные трудности, которые удается преодолеть только в отдельных случаях нагружения и опирания балок. В работе И. Л. Диковича (1962) описано решение для движения свободно опертой балки под действием внезапно приложенной равномерной нагрузки, постоянной во времени и не превышающей .по величине предельную статическую нагрузку. В некоторый момент времени в середине балки образуется пластический шарнир, после чего рассматривается движение двух половинок балки, из анализа которого получается выражение для перемещений, которое остается справедливым до тех пор, пока угловая деформация в пластическом шарнире не изменит знака. Для упрощения И. Л. Диковичем предложены приближенные методы, например метод Бубнова — Галеркина. Как это часто делается в нелинейных задачах, удерживайся один член аппроксимирующего ряда. При этом приходилось вводить допущение о стационарности пластических шарниров, которое, как известно, с ростом интенсивности внезапной нагрузки перестает оправдываться и может привести к серьезным погрешностям. Весьма перспективно применение ЭВМ к расчету балок. Так, В. К. Кабулов (1963) для представления изгибных колебаний консольной балки переменной жесткости воспользовался системой неравных сосредоточенных масс, лодвешенных к невесомому упруго-пластическому элементу.
Специфические черты имеет механическое поведение балок из армированных материалов. Рядом особенностей обладает расчет железобетонных балок (Н. Н. Попов и Б. С. Расторгуев, 1964). Это вызвано тем, что работа железобетонных элементов распадается на четыре стадии: 1) от начала нагружения до появления трещин в растянутой зоне бетона; 2) от окончания первой стадии до наступления текучести арматуры; 3) от окончания второй стадии до разрушения сжатой зоны бетона; 4) потеря несущей способности конструкции. В переармированных конструкциях третья стадия отсутствует и хрупкое разрушение бетона происходит сразу же по окончании второй стадии.
Характер движения железобетонных балок связан в первую очередь с интенсивностью нагружения, которая определяет возникновение упо- мннутых стадий работы материала. Все стадии, кроме первой, требуют учета пластических деформаций, причем во второй и третьей стадиях возможен затухающий колебательный процесс. В случае потери несущей «способности можно применять результаты же стк о-п л а стиче ск ог о анализа, принимая за предельный пластический момент соответствующее предельное значение для железобетонных сечений. Аналогичным образом рассмотрена задача о движении хрупко разрушающейся балки, причем зависимость между углом поворота и моментом принята в виде билинейного закона разупрочнения. Поскольку согласно этой диаграмме сопротивление с ростом прогибов падает и в конечном счете становится равным нулю, для каждого вида нагружения можно указать определенную величину прогиба, при превышении которой произойдет разрушение конструкции.
Н. Н. Попов и Б. С. Расторгуев рассмотрели также движение железо-бетонной балки в первых трех стадиях с учетом линейной зависимости предела текучести арматуры от времени. Схема разрушения балки, как и прежде, принималась в виде механизма с одним шарниром в центре.
Анализ полученных результатов для конкретной балки показал существенное отличие их от расчета по схеме Прандтля. Оказалось, что с увеличением интенсивности импульса динамический предел текучести стремится к постоянной величине, равной 1,75 MQ (Мо —— статический предельный пластический момент).
Как уже отмечалось, существенные математические трудности, возникающие при решении упруг о-пл а стиче ских задач, а также тот факт, что при интенсивных нагружениях стадией упругой работы балки можно пренебречь, создают условия для применения же стк о-п л а стиче ск ог о анализа. При этом могут быть успешно применены вариационные принципы (см., например, решение А. Р. Ржаницына (1959), относящееся к движению- балки на двух опорах, в котором результат, полученный вариационным методом, совпадает с точным).
В то же время применение же стк о-п л а стиче ск ог о анализа позволяет учесть некоторые д оп олните л ьные факторы, которые сделали бы неосуществимым у пр у г о-п л а стиче ский анализ. К числу таких факторов можно отнести влияние внешней среды на движение балки. Движение жесткопластических балок в сопротивляющейся сре^е впервые рассмотрел Г. С. Шапиро (1962). В порядке развития этой работы А. А. Амандосов (1965) рассмотрел движение жестко-пластической балки в сопротивляющейся среде под действием сосредоточенной силы при заданной скорости движения одного из сечений в любой момент времени. Сопротивление среды принималось зависящим от скорости перемещения балки. При некотором специальном задании функции перемещения фиксированного сечения балки удалось получить решение задачи в квадратурах.
Ряд решений задач по движению жестко-идеально-пластических балок приведен в книге И. Л. Диковича (1962). В частности, там собраны решения задач о движении бесконечных балок при перемещении с постоянной скоростью одного сечения и действии в некотором сечении сосредоточенной силы, о движении безопорной балки конечной длины при действии сосредоточенной нагрузки, о движении свободно оперной балки при действии нагрузки, распределенной по параболе.
Арки и рамы. В. П. Тамуж (1962) рассмотрел движение круговой же стк о-п л а стиче ск ой арки под действием приложенной в центре сосредоточенной нагрузки. Предполагалось, что движение арки, аналогична статическому деформированию, происходит с образованием трех пластических шарниров. Далее автор использовал для определения двух независимых параметров, характеризующих механизм деформирования, принадлежащий ему же вариационный принцип, в результате чего задача свелась к решению двух трансцендентных уравнений. Для подтверждения правильности полученных решений необходимо, кроме того, убедиться, что предел текучести не превышен в жестких частях арки. Полученная картина движения в общем удовлетворительно подтверждается экспериментом. Данная работа интересна также как первый пример использования в динамике неупругого тела математического аппарата квадратичного программирования. Если разбить дугу арки на п равных частей, то согласно (2.3) задача сведется к отысканию минимума некоторой квадратичной; функции при линейных ограничениях, т. е. к задаче квадратичного программирования. Для решения этой задачи автор предлагал использовать метод Уолфа.
Аналогичный с точки зрения кинематического механизма подход, применялся к круговым железобетонным аркам Н. Н. Поповым и Б. С. Расторгуевым (1966), которые дали выражения для прогибов упруго-пласти-
ческих арок под действием симметричной и несимметричной нагрузок.
Во всех упомянутых работах, касающихся движения арок, влиянием нормальной и поперечной сил на несущую способность пренебрегал ось. Судя по и сел ед ов анн ому влиянию этих факторов для прямолинейных балок, они могут существенно сказаться на. картине деформирования.
Начиная с шестидесятых годов стали появляться многочисленные исследования, посвященные описанию динамического поведения многостержневых систем, в которых образуются пластические шарниры.
В работе Г. В. Иванова, Ю. В. Немировского, Ю. Н. Работнова (1963) рассмотрена динамика перекрестных балок, перекрывающих прямоугольный пролет и р а сп о л оженных на одинаковых расстояниях одна от другой. В зависимости от соотношения пролетов, расстояний между балками и предельных пластических моментов в них могут встретиться два случая: 1) перекрестные балки остаются неподвижными во все время движения, а каждая главная балка ведет себя как неразрезная на s опорах (s — количество перекрестных балок); 2) после того, как началось движение балок главного направления, исчерпывается несущая способность перекрестных балок. Для каждого случая составлены уравнения движения главных и перекрестных балок. Вид уравнений движения и количество шарниров зависят от того, четно или нечетно количество балок одного направления. Так, при четном количестве перекрестных балок задача сводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений.
Расчет рам на динамические воздействия производился главным образом в связи с проверкой их на сейсмические нагрузки. Эта весьма сложная и актуальная проблема находится сейчас в центре внимания ученых, причем учет пластических деформаций здесь совершенно необходим. Требование, чтобы в результате сейсмического воздействия деформации в каркасе сооружения оставались упругими, приводит к громадному перерасходу материалов. Преодоление математических трудностей, связанных с расчетом рам в упруго-пластической стадии работы, так же как и в случае пространственных конструкций, производится обычно за счет уменьшения числа степеней свободы системы и сосредоточения масс в одной или нескольких точках. При этом чаще всего рама приводится к системе с одной степенью свободы — консоли с сосредоточенной на конце массой. Систематическое изложение такого подхода и его обобщение на системы с двумя степенями свободы проведено в монографии И. И. Гольденблата и Н. И. Николаенко (1961). Авторы рассматривают движение системы с одной степенью свободы, когда материал несущего элемента определяется диаграммой Прандтля под действием мгновенного и прямоугольного импульса. Для работы рам при сейсмических нагрузках характерно полное разрушение элементов в местах действия наибольших изгибающих моментов, в связи с чем в этих местах образуются не пластические, а идеальные шарниры. С математической точки зрения решение таких задач не представляет д оп о л ните л ьных трудностей по сравнению с упругим расчетом, между тем результаты их существенно разнятся. Эта разница проистекает еще и из того, что сейсмические нагрузки, действующие на сооружение, зависят от величины реакции сооружения, а последняя намного уменьшается при учете пластических деформаций и тем более при выключении из работы отдельных связей.
В той же монографии содержится изложение задач о движении систем, в которых несущий элемент обладает упрочнением, при действии мгновенного, прямоугольного, синусоидального и экспоненциально убывающего.
импульсов. В качестве обобщения исследуется система с двумя степенями свободы, материал несущих элементов которой подчиняется схеме Прандтля (разгрузка параллельна прямому нагружению). Рассмотрены свободные колебания описанной системы при условии, что в начальный момент ей придана заданная скорость. Такой подход применим в первом приближении для определения остаточных деформаций.
Следует отметить, что назначение величин сейсмических нагрузок при расчете сооружений весьма условно. Более точный подход связан с учетом акселелограмм реальных землетрясений, что в общем случае следует производить с использованием теории случайных процессов. Однако возможен в качестве приближенного и детерминистический подход к задаче, когда в качестве входных воздействий оперируют математическими ожиданиями ускорений основания сооружения. Тогда же, в начале шестидесятых годов, стало ясно, что возможности аналитического подхода к задаче динамического расчета неупругих рам практически исчерпаны и необходим переход к численным методам, основанным на использовании ЭВМ. В работе А. С. Тяна (1964) процесс движения системы с одной степенью свободы рассматривается по этапам. Использование ЭВМ сделало возможным и неаналитическое задание закона изменения ускорений.
Э. Е. Хачиян (1966) рассмотрел подобным же образом колебания упруго-пластических рам с любым числом степеней свободы. В качестве воздействия принимались акселелограммы реальных землетрясений. Численный пример проделан для четырехэтажной рамы, материал которой следует диаграмме Прандтля. Интегрирование системы производилось приближенным методом с помощью ЭВМ. В результате полученные автором остаточные деформации составляют не более 10——15% от амплитуд, и их роль в колебательном процессе невелика. Этот вывод, сделанный для одного частного примера, разумеется, не дает еще повода для обобщений.
Обратим внимание, что решение этой и аналогичных задач хотя и имеет прямой целью описание поведения рам, но за счет введенных аппроксимаций фактически сводится к расчету консольных балок. В связи с этим здесь могут быть с успехом использованы результаты, полученные для описания движения консольных балок (см. п. 4.2). Это позволит учитывать рассредоточенные по длине массы и, в частности, решить задачу о распространении по высокому сооружению изгибных волн, вызванных сейсмическим толчком.
Разумеется, аппроксимация рамы консолью далеко не отвечает всем требованиям. В связи с этим в ряде работ последнего времени предлагалось рассматривать динамическую картину движения механизма, получающегося при образовании в раме пластических шарниров. Опыт исследования движения жестко-пластических балок показывает, что к реальным результатам здесь можно прийти, только считая шарниры стационарными.
Пластинки и оболочки. Специфика тонкостенных пространственных конструкций часто позволяет считать, то при многих видах нагружения все точки конструкции вовлекаются в работу одновременно, и не исследовать соответствующий волновой процесс. Однако даже в таких условиях задача является весьма сложной за счет необходимости учета пространственной работы материала и непростой кинематики движения. Исследования советских ученых относились сначала к вязко-пластическим и жестко-идеально-пластическим осесимметричным пластинкам.
Вязко-пластические пластинки были исследованы Ф. А. Бахшияном (1948). Он считал материал бингамовым с линейной зависимостью напряжения от скорости деформации и рассмотрел случай, когда ударяющая
масса намного больше массы части пластинки, испытывающей удар, в силу чего можно пренебречь изменением скорости в момент удара. Затем в уточненной постановке изгиб круглой пластинки из вязко-пластического материала исследовался в работе Г. М. Гизатулиной (1964).
А. М. Кочетков (1950) рассмотрел удар абсолютно жестким цилиндром по пластинке из идеально пластического материала и получил численное решение.
Несколько позже исследования были перенесены на другие модели материала пластинки. Упруго-пластические пластинки исследовал М. П. Галин (1958, 1959). Им изучались поперечные колебания балок и пластинок, нагруженных за пределом упругости. Материал считался линейно упрочняющимся и несжимаемым, влиянием сдвигающих усилий и вращательной инерции пренебрегалось. Решение получено с помощью разложений в ряды.
В работе А. П. Синицына (1965) изучены общие условия распространения термоупруго-пластических волн напряжений и проведен расчет упруго-пластических пластинок трех видов (прямоугольной пластинки, пластинки на упругом основании и трехслойной пластинки) при действии внешнего потока тепла, изменяющегося со временем. Для трехслойной пластинки исследованы две специфические формы колебаний и получен критерий для определения оптимального соотношения жесткостей элементов пластинки. Произведена оценка влияния пластических зон.
А. Д. Багдасаров (1964) составил систему дифференциальных уравнений для описания колебаний произвольных упруго-пластических пластинок при больших прогибах. Я. Аминов (1964) составил соответствующую систему для круглых пластинок.
Применение модели жестко-пластического материала позволило Г. С. Шапиро (1959) дать решение задачи об ударе по кольцевой пластинке.
Состояние численных методов и вычислительной техники до середины шестидесятых годов не позволяло использовать упруго-пластическую модель для анализа динамического поведения пластинок, исключая случай осесимметричной задачи. В силу этого для конструкций более сложного очертания в плане (в частности, для прямоугольных пластинок) был предложен ряд решений, в основе которых лежит представление о линиях пластических шарниров, т. е. о некотором обобщении понятия пластического шарнира в изгибаемой балке.
При расчете прямоугольных плит на поперечную нагрузку Н. Н. Попов и Б. С. Расторгуев (1964) предполагали, что после достижения моментом в направлении меньшего пролета в середине плиты предельной величины мгновенно образуются линейные шарниры пластичности, очертание которых соответствует обычной схеме «конверт», которая применяется при определении верхней? границы несущей способности при статическом расчете (углы наклона шарниров в углах принимались равными 45°). Такая, схема, разумеется, весьма приближенна, но она несколько выигрывает по сравнению с полным пренебрежением упругой работой плиты, принятым в жестко-пластическом анализе. Таким образом, плита в пластической стадии представлялась как система с одной степенью свободы. При составлении уравнений движения в пластической стадии работы использовалось уравнение работ. Очевидно, что такой путь возможен лишь при жестком задании механизма деформирования. При интегрировании уравнения движения в пластической стадии начальными условиями служило равенство количества движений в конце упругой и в начале пластической стадии* (
21 Механика в СССР, т. 3
Как подчеркивает В. П. Таму ж (1963), для уточнения механизма деформирования плиты в пластической стадии может быть использован вариационный принцип (2.3).
Ряд исследований был направлен на уточнение понятия внешней среды, в которой происходит движение деформируемых пластинок.
Задача об упруго-пластических деформациях пластинки, лежащей на жидком основании, рассматривалась Л. И. Слепяном (1964).
Удар с постоянной скоростью по кольцевой жестко-пластической пластинке, находящейся в среде, сопротивление которой пропорционально скорости движения пластинки, изучался А. А. Аманд особым (1962).
Предпринимались попытки ввести в рассмотрение более сложные модели механического поведения материала пластинок. Еще в 1959 г. появилась работа Л. В. Никитина, в которой он исследовал движение упруго-вязко-пластических балок и пластинок.
Задача о динамическом поведении осесимметричных оболочек при учете пластических деформаций особенно актуальна в связи с исследованием влияния взрыва и теплового удара на такие конструкции. Поэтому она стала предметом многих исследований. Начнем с исследований по цилиндрическим оболочкам.
Задача динамической устойчивости для упруго-пластической оболочки с начальными несовершенствами решалась А. К. Перцевым (1964). Автором рассмотрен процесс потери устойчивости круговой цилиндрической оболочки, находящейся под действием внешнего гидростатического давления, к боковой поверхности которой приложена динамическая нагрузка. Считалось, что в пластических зонах компоненты напряжения остаются постоянными. Далее вводилась функция напряжений для прогибов и начальной погиби. Влияние жидкости на изгибное движение оболочки учитывалось приближенным коэффициентом. В результате ряда допущений оказалось, что уравнение неразрывности может быть проинтегрировано точно, а уравнение движения — методом Бубнова — Галеркина. В итоге автор проанализировал поведение коэффициента перегрузки, определяющего превышение критической динамической нагрузки над соответствующей статической. С увеличением длительности действия нагрузки коэффициент перегрузки уменьшается, а при значениях длительности, равных или больших трех периодов собственных колебаний, становится практически равным единице.
Упруго-пластический анализ железобетонных оболочек при действии динамической нагрузки дан Н. Н. Поповым и Б. С. Расторгуевым (1964), которые рассмотрели осесимметричную и пологую прямоугольную в плане оболочки. При анализе пологих оболочек в качестве условия перехода в пластическую стадию работы принималось условие достижения текучести в бортовых элементах оболочки. Тангенциальными инерционными силами авторы, как обычно, пренебрегли. В качестве механизма разрушения в пластической стадии работы принималась система шарниров в углах оболочки, направленных под углом 45° к сторонам, и шарниров, параллельных сторонам, так что средняя прямоугольная часть оболочки перемещалась как жесткое целое. При подсчете работы внутренних сил работой изгибающих моментов в шарнирах текучести пренебрегалось.
Для цилиндрических оболочек оказалось возможным проследить весь процесс деформирования конструкции аналитически, разбив его на ряд. стадий.
П. А. Кузиным (1963, 1964) изучено динамическое деформирование жестко-пластической цилиндрической оболочки с заделанными и со св о-
бодно опертыми краями. Нагрузка считается приложенной в некотором сечении оболочки по кольцу.
Полное исследование задачи о движении полубесконечной оболочки со свободным краем под действием кольцевой сосредоточенной нагрузки дано в работе П. А. Кузина и Г. С. Шапиро (1965).
Ряд исследований посвящен движению жестко-пластических сферических куполов. Сюда относятся работы Н. Н. Попова и Б. С. Расторгуева (1964), М. И. Рейтмана (1964) и М. И. Ерхова (1966).
Для динамического нагружения жестко-пластического железобетонного купола Н. Н. Попов и Б. С. Расторгуев (1964) предложили использовать меридиональную схему деформирования, которая реализуется при недостаточно прочном опорном контуре.
В работе М. И. Рейтмана (1964) задача о динамическом деформировании жестко-пластической оболочки, материал которой подчиняется условию Треска, решена с использованием вариационного принципа (2.3) и обобщенного метода Ритца. При этом механизм деформирования, в отличие от описанных выше работ, характеризуется не сосредоточенными, а распределенными деформациями удлинения и изгиба.
Как видим, во многих приближенных исследованиях авторы пренебрегали работой изгибающих моментов. Это оправдывает применение к задачам о динамическом нагружении идеально пластических оболочек обычно^ безмоментной теории оболочек.
М. И. Рейтман (1964) рассматривал идеально пластическую оболочку в предположении, что вся она находится в состоянии текучести. Это позволяет выделить простую систему уравнений, напоминающую уравнения плоской задачи теории пластичности при статическом нагружении< М. И. Ерхов (1966) рассматривал пологую сферическую оболочку под действием нагрузки, действующей в течение заданного конечного промежутка времени. Материал оболочки считался следующим условию текучести, предложенному автором ранее.
А. А. Амандосов (1962) обобщил задачу о движении цилиндрической жестко-пластической оболочки под действием внутреннего давления на случай наличия сопротивляющейся среды. Сила сопротивления принималась пропорциональной скорости нормального перемещения. Автор пришел к выводу, что влияние сопротивляющейся среды существенно даже при «средних» нагрузках.
Задачи динамического деформирования оболочек при взрывных и электрогидравлических воздействиях решались Л. П. Орленко и изложены в его монографии (1964).
УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ СИСТЕМ
в. в. болотин, э. и. ГРИГОЛЮК
Общий исторический обзор 325
Понятие устойчивости упругих систем 323
Уравнения возмущенного движения 331
Методы определения критических параметров 333
Устойчивость упругих стержней и стержневых систем 338
Устойчивость упругих пластин. Устойчивость упругих оболочек (линейная теория) 340
Устойчивостьупругих оболочек (нелинейная теория) 342
Устойчивостьупругих и упруго-пластических систем 346
Устойчивостьвязко-упругих и вязко-упруго-пластических систем . . . . 347
Устойчивостьупругих систем при следящих нагрузках 350
Устойчивостьпри ударных нагрузках 351
Устойчивость вынужденных колебаний и параметрический резонанс в упругих системах 353
Устойчивость упругих систем, взаимодействующих с жидкостью или газом 355
Статистические методы в теории упругой устойчивости 358
Ближайшие задачи и перспективы 360
Общий исторический обзор
Теория устойчивости упругих и неупругих систем принадлежит к числу разделов механики, разработка которых тесно связана с развитием техники. Большая часть задач теории устойчивости зародилась непосредственно из инженерной практики. Повышение прочности конструкционных материалов, тенденция к снижению веса сооружений и машин, внедрение рациональных тонкостенных конструкций — все это стимулировало разработку теории. Последние десятилетия характеризовались резким повышением скоростей, ускорений, температур и других параметров, внедрением новых материалов и новых технологических процессов, выдающимся прогрессом в авиации, ракетной технике, судостроении, энергетике и технологии. В связи с этим возникли новые направления в теории упругой и неупругой устойчивости. Можно без преувеличения сказать, что теория устойчивости деформируемых систем никогда не утратит своей актуальности. Проблема обеспечения устойчивости неотъемлема от задачи повышения прочности конструкционных материалов.
Интерес отечественных ученых к теории устойчивости упругих и неупругих систем имеет традиции, уходящие в далекое прошлое. Эти традиции берут свое начало от классических трудов Л. Эйлера (1744—1757 гг.) по теории продольного изгиба. Среди работ, относящихся к предреволюционному периоду, следует указать на исследования Ф. С. Ясинского (1892—1895 гг.) по упруго-пластическим задачам продольного изгиба
и по обоснованию применимости линейных уравнений для вычисления критических сил, труды И. Г. Бубнова (1902, 1904, 1912 гг.) по устойчивости и послекритическим деформациям элементов судовых конструкций, С. П. Тимошенко (1905——1916 гг.) по продольному изгибу стержней и стержневых систем, плоской форме изгиба стержней, изгибу пластин и оболочек, а также работы Б. Г. Галеркина (1909 г.), А. Н. Динника (1911, 1913 гг.), А. П. Коробова (1911, 1913 гг.). Особое влияние на последующее развитие теории оказали сформулированный С. П. Тимошенко (1907 г.) энергетический метод определения критических нагрузок, а также предложенный впервые И. Г. Бубновым (1911, 1913, 1914 гг.) приближенный метод, получивший позднее название метода Бубнова ——Галеркина.
В периодизации последних пятидесяти лет развития теории, которые являются предметом настоящего обзора, естественно различать довоенный период (1917——1941 гг.) и послевоенный период (1945——196 7 гг.). Работы, опубликованные во время войны, будем условно относить к довоенному периоду. Основным направлением довоенного периода было развитие теории устойчивости упругих стержней и стержневых систем. Вскоре после революции были опубликованы исследования Е. Л. Николаи (1918, 1923) по устойчивости упругих колец и криволинейных стержней. К тому же направлению относятся работы И. Я. Штаермана (1929, 1930, 1937) и А. Н. Динника (1929, 1933, 1935, 1936). Устойчивости стержней и стержневых систем были посвящены исследования А. Н. Крылова (1931, 1935), И. М. Рабиновича (1932), Н. В. Корноухова (1935), А. П. Коробова (1936), Н. Г. Ченцова (1936), А. А. Белоуса (1937), Н. К. Снитко (1938), П. Ф. Папковича (1939), И. Я. Штаермана и А. А. Пиковского (1939). Общую теорию устойчивости тонкостенных стержней открытого профиля разработал В. 3. Власов (1938, 1940). По устойчивости упругих пластин и оболочек.было опубликовано сравнительно немного работ. К ним относятся, в частности, работы Л. С. Лейбензона (1917), П. Ф. Папковича (1920, 1929), И. Я. Штаермана (1929), X. М. Муштари (1934, 1938), В. В. Новожилова (1941).
Вместе с тем в довоенный период появились работы, которые по новизне постановки и содержащимся в них результатам на несколько десятилетий опередили свое время и были по достоинству оценены лишь позднее. К ним, прежде всего, относится статья Н. М. Беляева (1924), в которой впервые была доставлена и решена задача о динамической устойчивости стержня, сжатого периодической продольной силой. Перед войной эти исследования были продолжены Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым (1935), В. Н. Челомеем (1938, 1939), который ввел также термин «динамическая устойчивость» упругих систем, наконец, Г. Ю. Джанелидзе и Ю. М. Радцигом (1940) и В. А. Боднером (1940). Разработка другого аспекта в теории упругой устойчивости была начата Е. Л. Николаи (1928, 1929), который рассмотрел некоторые задачи устойчивости упругих стержней, находящихся под действием «следящих» сил.
Послевоенный период характеризуется обращением к более общим и принципиальным вопросам теории, разработкой теории устойчивости упруго-пластических и вязко-упругих систем, теории динамической устойчивости. Но основное внимание было все же обращено на развитие теории устойчивости оболочек. Разработка линейной теории устойчивости упругих оболочек была завершена В. 3. Власовым (1944, 1949), Ю. Н. Работновым (1946), X. М. Муштари с сотрудниками (1946——1958) и др. Общая нелинейная теория устойчивости оболочек разрабатывалась Н. А. Алу-
мяэ (1949—1956), X. М. Муштари и К. 3. Галимовым (1948—1967), И. И. Воровичем (1955——1957) и др. Своеобразный метод решения нелинейных задач был развит А. В. Погореловым (I960—1966). Многочисленные задачи были рассмотрены Н. А. Кильчевским (1942, 1967), В. И. Феодосье- вым (1946, 1954), Д. Ю. Пановым и В. И. Феодосьевым (1948, 1949), С. А. Амбарцумяном с сотрудниками (1950, 1955), А. С. Вольмиром с сотрудниками (1950——1964), М. А. Колтуновым (1952, 1961), Э. И. Григолю- ком (1954, 1955), X. М. Муштари с сотрудниками (1954—1966), Н. А. Алу- мяэ (1955——1958) и др. Разрабатывались вопросы устойчивости слоистых ортотропных и анизотропных пластин и оболочек. К этому направлению принадлежат работы X. М. Муштари (1938, 1961), С. Г. Лехницкого (1947), В. И. Королева (1956, 1965), А. П. Прусакова (1951—1958), Э. И. Гри- голюка с сотрудниками (1957—1966), А. Я. Александрова с сотрудниками (1959, I960), С. А. Амбарцумяна с сотрудниками (1961—1966), Ю. М. Тарнопольского и Г. А. Тетерса (1965一1967) и др.
Были продолжены исследования по динамической устойчивости упругих систем. Параметрические колебания были рассмотрены в работах И. И. Гольденблата (1947, 1948), В. В. Болотина (1951——1956), Г. Ю. Джанелидзе (1953, 1956), В. Н. Челомея (1956), В. А. Якубовича (1958) и др. Исследование В. Н. Челомея (1956) нашло также и важное техническое приложение. Устойчивость упругих систем при действии сил, зависящих от деформации («следящих») сил, рассматривалась В. В. Болотиным {1956——1961), Г. Ю. Джанелидзе (1958) и др. Статьей М. А. Лаврентьева и А. Ю. Ишлинского (1949) было начато изучение явлений потери устойчивости при ударной нагрузке. Эти явления изучались далее А. С. Вольмиром с сотрудниками (1959—1966), Э. И. Григолюком с сотрудниками (1963) и др. Устойчивость пластин и оболочек, взаимодействующих с жидкостью или газом, анализировалась В. В. Болотиным (1956—1961), Э. И. Григолюком (1956), А. А. Мовчаном (1956, 1957), Р. Д. Степановым (1957— I960), В. В. Болотиным с сотрудниками (1959, 1961), С. А. Амбарцумяном с сотрудниками (1961), П. М. Огибаловым (1961), Э. И. Григолюком с сотрудниками (1962—1965). Г. Н. Микишевым (1959), В. В. Болотиным (1958—1961), И. И. Воровичем (1959) и А. С. Вольмиром с сотрудниками (1964, 1965) было начато применение статистических методов к задачам теории упругой и неупругой устойчивости.
В области устойчивости упруго-пластических систем существенные результаты были получены А. А. Ильюшиным (1944, 1948), Л. А. Толоконниковым (1949), Л. М. Качановым (1951—1956), Ю. Н. Работновым (1952), Я. Г. Пановко (1954, 1962), Ю. Р. Лепиком (1956, 1957), Э. И. Григолюком (1957, 1958), В. Д. Клюшниковым (1957, 1966), Л. В. Ершовым (1961) и др. Устойчивость линейных вязко-упругих систем рассматривалась А. Р. Ржаницыным (1946, 1949). Устойчивость стержней, пластин и оболочек в условиях ползучести изучалась Ю. Н. Работновым и С. А. Шестериковым (1957, 1959, 1961, 1963), Л. М. Куршиным (1961, 1963), Э. И. Григолюком и Ю. В. Липовцевым (1965, 1966), М. А. Колтуновым (1965— 1967) и др.
Было достигнуто продвижение в области общей теории. В. В. Новожилов (1948) проанализировал проблему теории упругой устойчивости с точки зрения нелинейной теории упругости. Эти исследования были продолжены Г. Ю. Джанелидзе (1955), В. В. Болотиным (1956, 1958) и др. Выводу уравнений устойчивости упругих систем из общих вариационных принципов посвящены работы В. В. Болотина (1961, 1965). Другое направление берет начало от работы А. Ю. Ишлинского (1954), в которой
задача об устойчивости равновесия стержня решается на основе уравнений теории упругости. К этому направлению принадлежат, например, работы Д. Д. Ивлева (1965), А. Н. Гузя (1967) и др. Стала общепринятой точка зрения, согласно которой не только задачи устойчивости движения, но и задачи устойчивости равновесия упругих систем следует рассматривать с позиций общей теории устойчивости движения. Была дана строгая постановка задач устойчивости распределенных систем путем распространения теории А. М. Ляпунова на метрические функциональные пространства (В. И. Зубов, 1957; А. А. Мовчан, 1959, I960).
В послевоенный период продолжена разработка методов расчета стержней и стержневых систем на устойчивость. А. Ф. Смирнов (1947) предложил эффективный матричный метод расчета. Развитие этого метода содержится в дальнейших работах А. Ф. Смирнова с сотрудниками (1950, 1957, 1958). А. Р. Ржаницын (1948) предложил метод расчета на устойчивость составных стержней. Е. П. Попов (1948) рассмотрел послекритическое поведение гибких стержней и классифицировал возможные расчетные схемы. Расчету стержней и стержневых систем на устойчивость посвящены работы Н. В. Корноухова (1949), Я. Л. Нудельмана (1949), Н. К. Снитко (1952, 1956), В. Г. Чудновского (1952), И. К. Снитко (I960), С. А. Ро- гицкого (1961), Р. Р. Матевосяна (1961), Н. И. Безухова и О. В. Лужина (1963) и др. Устойчивость тонкостенных стержней изучалась В. 3. Вла^ совым (1947, 1959), С. А. Амбарцумяном (1952), И. Ф. Образцовым (1953) и др. Прикладные вопросы расчета конструкций на устойчивость разрабатывались Б. М. Броуде (1949), А. В. Геммерлингом (1949), А. И. Сегалем (1949), В. В. Пинаджаном (1956) и др.
В довоенные годы получили распространение книги А. Н. Динника (1939), И. Я. Штаермана и А. А. Пиковского (1939). Современное состояние теории устойчивости упругих систем освещено в ряде монографий. К ним относятся книги А. С. Вольмира (1956, 1963, 1967), В. В. Болотина (1956, 1961), А. Ф. Смирнова (1958), X. М. Муштари и К. 3. Галимова (1957), П. М. Огибалова (1963) и др. Расчеты на устойчивость занимают большое место в классической трехтомной монографии по строительной механике корабля П. Ф. Папковича (часть 2, 1941) и в третьем томе руководства С. Д. Пономарева и др. (1959).
Вопросы устойчивости широко представлены в трудах съездов и конференций по механике и, в частности, в трудах всесоюзных конференций по проблемам устойчивости в строительной механике, а также по теории оболочек и пластин.
Понятие устойчивости упругих систем
Устойчивость есть свойство движения (в частном случае ——равновесия), понимаемого в широком, общенаучном смысле слова. Рассмотрим некоторую механическую, электрическую, термодинамическую, биологическую и т. п. систему. Допустим, что известно некоторое движение этой системы, осуществляемое при определенном сочетании параметров системы и окружающей среды. Назовем это движение невозмущенным. Теперь представим себе, что упомянутые параметры (все или их часть) получили небольшие изменения. Движение системы при этом также изменится. Весьма важный вопрос состоит в том, насколько велики будут эти изменения, т. е. насколько возмущенное движение будет отличаться от невозмущенного. Если малые воздействия будут вызывать малые отклонения от невозмущенного движения, то возмущенные движения будут более или менее
плотно группироваться около невозмущенного движения. В этом случае невозмущенное движение называется устойчивым. Если же малые воздействия вызывают большие отклонения системы от невозмущенного движения, то движение называется неустойчивым. Таким образом, устойчивость есть свойство системы мало отклоняться от невозмущенного движения при малых возмущающих воздействиях.
Понятие устойчивости имеет фундаментальное значение. И в природе, и в активной человеческой деятельности сколько-нибудь длительно могут быть использованы лишь устойчивые явления и процессы. Неустойчивые движения могут наблюдаться только непродолжительное время. Таким образом, понятие устойчивости оказывается тесно связанным с понятием осуществимости, реализуемости.
Вопросам устойчивости принадлежит видное место в инженерных расчетах. Идеализированная конструкция, проектируемая инженером, отличается от осуществляемой по этому проекту реальной конструкции. Это отличие обусловлено многочисленными более или менее мелкими отклонениями от проекта, дефектами и несовершенствами. Инженеру необходима уверенность в том, что, несмотря на наличие этих отклонений, реальная конструкция будет работать примерно так же, как и соответствующая ей идеализированная конструкция. При отсутствии такой уверенности проектирование утратило бы смысл. Нетрудно видеть, что именно здесь используется концепция устойчивости. Равновесие или движение проектируемой конструкции будет устойчиво, если малые несовершенства и дефекты, малые отклонения от расчетной схемы вызовут малые отклонения от идеализированных условий работы. Если же малые несовершенства вызовут несопоставимо большие отклонения, то равновесие (движение) будет неустойчивым. Проектировщик должен выбрать размеры конструкции таким образом, чтобы при всех возможных комбинациях нагрузок равновесие (движение) конструкции оставалось устойчивым по отношению ко всем видам возмущений, которые могут встретиться, и, более того, чтобы обеспечивался определенный запас устойчивости.
Отметим четыре элемента, которые должны войти в любое определение устойчивости. Во-первых, это указание на невозмущенное движение (равновесие), устойчивость которого исследуется. Нельзя говорить об «устойчивости системы» вообще, можно говорить лишь об устойчивости определенного движения (равновесия) этой системы. Во-вторых, определение устойчивости должно содержать указание на то, по отношению к каким параметрам движения исследуется устойчивость. Движение может быть устойчивым по отношению к одной группе параметров и неустойчивым по отношению к другой. Третьим элементом определения является указание на класс возмущающих воздействий, вызывающих отклонения от невозмущенного движения. Четвертый элемент — указание на интервал времени, в течение которого требуется близость невозмущенного и возмущенного движений.
Математически строгое определение устойчивости движения упругих систем берет начало от классического определения устойчивости по А. М. Ляпунову (1892 г.). Теория Ляпунова была построена для систем с конечным числом степеней свободы, движение которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. Распространение теории Ляпунова на континуальные системы стало возможным после того, как она была сформулирована в терминах функционального анализа (Н. Н. Красовский, 1956; В. И. Зубов, 1957; А. А. Мовчан, 1959, I960). Это позволило обобщить на весьма широкий класс метрических
пространств многие понятия, теоремы и методы, данные Ляпуновым и его последователями для конечномерного евклидова пространства.
Приведем основные определения （В. И. Зубов, 1957）, опуская при этом некоторые математические тонкости. Для простоты ограничимся случаем, когда движение описывается одной функцией и （力，力）координаты х и времени t. Рассмотрим множество движений, удовлетворяющих граничным условиям, условиям непрерывности и начальному условию и （/, 0）=屮（力）.Обозначим элементы этого множества через U = U （屮，力） и введем метрическое расстояние между элементами множества Z7 и V, обозначаемое через р （U, V）. Пусть невозмущенному движению U0 соответствует начальное условие и （力，0） =（р0- Невозмущенное движение UQ называется устойчивым по отношению к метрике р, если для любого £ > 0 можно указать такое 3 > 0, что из условия р （ср, （р0） V б следует р [U （ср,力），О。】V £ для любых 力 > 0, В противном случае движение называется неустойчивым. Если н ев о змущ енн о е движение U 0 устойчиво и, кроме того, р [U （ср,力），Oo】f 0 при 力 т оо, то оно называется асимптотически устойчивым. А. А. Мовчан （I960） отметил целесообразность определения устойчивости, в котором одновременно используются две различные метрики.
Выбор метрик зависит от типа задачи и требований, которые накладываются на невозмущенное движение из соображений физического и технического характера. Требование локальной близости функции и ее производных приводит к метрикам типа
Pl = sup I 〃 一 и I，Р2 = sup I 〃 一 Z7 I + sup I 〃,力 + q ",
Рз = sup I 〃 一 t； I 十 sup I 〃，力 + q 力 I 十 sup I 〃, ％ — Z7, X I
и т. д. Другую группу образуют метрики, соответствующие близости в среднем:
0L 60L 6={ f[（〃一0）2十（"，方一
0L 6
0L 6
Рб = { J【（〃一少）2 + （〃, t — % 力）2 +（〃,％ — V, J2]彰} "2 ■ о
и т. д. В приложениях обычно требуется не только устойчивость по перемещениям и скоростям, но и по напряжениям и деформациям. К тому же в сплошной среде малость начальных перемещений и скоростей не означает малости начальной энергии системы и не исключает «всплесков» перемещений и скоростей при 力〉0. Поэтому важное место принадлежит метрикам энергетического типа. А. А. Мовчан （1959, I960） и А. М. Слободкин （1962） на примерах показали, что метрика, соответствующая полной энергии системы, приводит к результатам, которые согласуются с непосредственным решением задачи Коши для возмущенного движения.
Технические приложения часто требуют обобщения данных выше определений устойчивости на случай, когда возмущаются не только начальные условия, но и коэффициенты дифференциальных уравнений, граничные условия и сама граница. Расширенные таким образом определения находятся в тесной связи с понятием корректности краевых задач в теории дифференциальных уравнений в частных производных. Вообще, теория устойчивости деформируемых твердых тел, соответствующая по строгости и эффективности классической теории Ляпунова, еще нахо-
дится в стадии начальной разработки. Практически все конкретные результаты по устойчивости упругих и неупругих систем получены либо на основе методов, формально перенесенных из теории устойчивости дискретных систем, либо на основе линеаризованных уравнений возмущенного движения.
Уравнения возмущенного движения
Во многих случаях для суждения об устойчивости можно предположить возмущения достаточно малыми и исследовать их характер, исходя из линеаризованных уравнений возмущенного движения. Покажем порядок составления линеаризованных уравнений применительно к задачам об устойчивости форм движения упругого тела. При этом будем исходить из уравнений нелинейной теории упругости в форме, предложенной В. В. Новожиловым (1948).
Рассмотрим невозмущенное движение упругого тела, характеризуемое вектором перемещений 〃力 тензором напряжений о)互,векторами объемных и поверхностных сил Xj и pj. Невозмущенное движение в прямоугольных декартовых координатах описывается уравнениями
^ki (Sjz + 互 + X/ — p^j, tt = °,(3.1)
где p ——плотность материала. Здесь и в дальнейшем использовано правило суммирования по немым индексам. На загруженной части поверхности тела должны выполняться условия
0^(3〃 + 〃/, z) nk = Р)(3.2)
(п；——вектор нормали к поверхности тела). Дадим телу некоторые малые отклонения от невозмущенного движения и проследим за тем, как эти возмущения меняются со временем. Компоненты возмущенного движения (будем обозначать их значком 〜,а возмущения ——черточкой наверху) будут иметь вид
Xj = X)+ 卩Xj, Pj = Pj + Wj J (возмущения объемных и поверхностных сил в общем случае зависят от времени 力；卩 一 малый параметр). Подставляя (3.3) в (3.1) и (3.2) и используя малость возмущений, получим после линеаризации уравнения
【О/и (%/ + 〃/, z) + о症力 J,丸 + Xj — р〃), a = 0(3.4)
и граничные условия на загруженной поверхности
^hl (Sjl + 〃j, z) + ^kluj, zl 力互=p”(3.5)
При этом Gjk = ^jkimUi, m, где %熱1m — тензор упругих постоянных, соответствующий невозмущенному напряженному состоянию.
Во многих технических задачах невозмущенное движение мало отличается от начального недеформированного состояния и лишь переход от устойчивости к неустойчивости сопровождается нарастанием деформаций. Это позволяет отождествить геометрию невозмущенного состояния с геометрией недеформированного состояния. Уравнения (3.4) и граничные условия (3.5) при этом существенно упрощаются, поскольку в них опускаются члены, содержащие перемещения 〃力 а упругие постоянные берутся для недеформированного состояния.
Если внешние силы потенциальны, то нетрудно составить квадратичный функционал от 〃力 варьирование которого на множестве кинематически допустимых движений приводит к линеаризованным уравнениям возмущенного движения (3.4) и граничным условиям (3.5). Например, в случае, когда все X)= р/ = 0, а перемещения в невозмущенном состоянии пренебрежимо малы, указанный функционал принимает вид
J E J (^JklmUj,J E J (^JklmUj,•,互〃Z, m + Oj互〃z, j〃z,丸——PU;,力〃/, t•,互〃Z, m + Oj互〃z, j〃z,丸——PU;,力〃/, t力о力оVV：)dV}：)dV}dt.dt.(3.6)(3.6)
J E J (^JklmUj,
J E J (^JklmUj,
•,互〃Z, m + Oj互〃z, j〃z,丸——PU;,力〃/, t
•,互〃Z, m + Oj互〃z, j〃z,丸——PU;,力〃/, t
力о
力о
V
V
：)dV}
：)dV}
dt.
dt.
(3.6)
(3.6)
Здесь 力о m 力i ——произвольно выбираемые моменты времени; на концах временного интервала движение не варьируется. Функционал (3.6) с точностью до постоянного множителя совпадает со второй вариацией от интеграла действия, вычисленной на действительных отклонениях от невозмущенного движения.
Задачи устойчивости типичны для тонких и тонкостенных тел. Решения этих задач для стержней, пластин и оболочек строятся обычно на основе приближенных уравнений, в которых используются некоторые кинематические и динамические гипотезы. Имеется несколько путей для получения этих уравнений. Первый, наиболее ранний способ состоит в непосредственном рассмотрении форм движения (равновесия), смежных с невозмущенным. При этом ищется некоторая приведенная нагрузка, которая вводится в уравнение невозмущенного движения. Все рассуждения носят наглядный характер; однако в достаточно сложных задачах эта наглядность оказывается обманчивой. Другой путь состоит в использовании нелинейных уравнений соответствующих прикладных теорий. Линеаризуя последние в окрестности невозмущенного движения, получим искомые уравнения. В теории оболочек этот путь использовался X. М. Муштари (1939), Н. А. Алумяэ (1949), X. М. Муштари и К. 3. Галимовым (1957), Н. А. Кильчевским (1963), В. М. Даревским (1963) и другими авторами. Однако в нелинейной теории имеется еще меньше единства взглядов на то, как должны записываться основные уравнения. Следовательно, идя по этому пути, мы лишь смещаем все трудности в другую, еще менее согласованную область. Третий путь состоит в использовании общих уравнений теории упругой устойчивости (В. В. Новожилов, 1940, 1948). Метод, основанный на соответствующем вариационном принципе, был применен В. В. Болотиным (1965). Этот метод открывает возможность для оценки погрешности различных приближенных вариантов. При этом за меру погрешности принимается взятое по модулю отношение членов, отбрасываемых в выражении для плотности квадратичного функционала, к оставляемым главным членам — «энергетическая» погрешность. Был дан вывод и последовательное упрощение уравнений теории устойчивости тонких упругих оболочек на основе понятия «энергетической» погрешности.
Для удобства дальнейших ссылок приведем линеаризованные уравнения возмущенного движения для некоторых простейших задач. Малые поперечные отклонения тонкого упругого стержня при наличии растягивающей осевой силы N описываются уравнением
(EIwtX^iXX — (NwtX)tX + pFw)tt = 0. (3.7)
Здесь ш (%,力)一нормальное перемещение точек, принадлежащих оси стержня, EI ——изгибная жесткость, F ——площадь поперечного сечения. На защемленном конце должны выполняться условия ш = wtX = 0, а на опертом конце — условия w = wtXX = 0, Если конец свободен, то
граничные условия зависят от поведения силы, приложенной на этом конце. В случае силы, которая перемещается вместе с концом, сохраняя начальное направление в пространстве («мертвая» сила), условия имеют вид wtXX = 0, {EIwiX^^ х ——NwtX = 0. Если сила поворачивается, оставаясь направленной по касательной к деформированной оси стержня («следящая» сила), то граничные условия будут иметь вид
хх = {EIw^ хх)9 х = 0.
Малые поперечные отклонения ш (д, %2,力)тонкой упругой пластины постоянной толщины h с начальными усилиями в срединной поверхности Na§ описываются уравнением
D\\w — (NaBM,B),,a + р^,« = 0, (3.8) где 优а (а = 1, 2) — декартовы координаты на срединной поверхности, D — цилиндрическая жесткость. Для пологой оболочки естественно использовать прямоугольные декартовы координаты, мало отличающиеся от ортогональных криволинейных координат на срединной поверхности. При этом получаем уравнения (В. 3. Власов, 1944; Ю. Н. Работнов, 1946)
D AAlV — AfeX — (Na^, !3), а + р^, И = 0,]
aA%十豆九A几〃 =0. J )
Здесь w (rti,化2,力)一функция нормальных перемещений, % (化厶 化2,力)— функция д on о л ни тел ьных усилий в срединной поверхности,
Аз = Ши + 3,22, А&3 =海例^ + 弘 2,22,
ki и 力2 — главные кривизны срединной поверхности. Более подробные сведения можно получить в учебниках и монографиях С. П. Тимошенко (1946, 1955), В. В. Новожилова (1948), X. М. Муштари и К. 3. Галимова (1957), А. С. Вольмира (1963, 1965).
До сих пор мы обсуждали линеаризованные уравнения возмущенного движения для упругого тела. Аналогично могут быть составлены уравнения для тел, материал которых обладает неупругими свойствами. Так, уравнения для линейного вязко-упругого материала получаются из уравнений для упругого материала, если произвести замену упругих постоянных соответствующими вязко-упругими операторами. Однако в случае упруг о-пл астиче ск ог о материала возникают существенные трудности. Поведение упруго-пластического материала весьма чувствительно к малым изменениям пути деформирования, что проявляется, в частности, в необходимости различать сколь угодно малые нагружения и разгрузку. Уравнения деформирования упруг о-п л а стиче ских систем, вообще говоря, не допускают линеаризации. Линеаризация возможна лишь при некоторых дополнительных предположениях (например, при предположении, что всюду происходит нагружение). Предположения такого рода сужают класс рассматриваемых возмущенных движений; поэтому результаты, полученные на их основе, имеют ограниченный или условный характер.
Методы определения критических параметров
Основная задача теории устойчивости деформируемых систем заключается в отыскании таких значений параметров системы и (или) внешних условий, которые соответствуют переходу от устойчивости к неустойчивости. Эти значения называются критическими. Чаще всего с точностью до параметров задаются внешние силы; тогда говорят о критических силах.
Пусть, например, задача характеризуется одним параметром р. Без ограничения общности можно принять, что р изменяется в пределах О & В & оо, причем при р = 0 невозмущенное движение устойчиво. Верхняя грань значений § = §來,при которых невозмущенное движение остается устойчивым, называется критическим значением. В более общем случае конечного числа параметров целесообразно ввести тг-мерное пространство параметров 卩丄,02, • •・,рп и различать в нем области устойчивости и неустойчивости. Поверхности F (pi, р2, . . ., рп) = 0, разделяющие области устойчивости и неустойчив ости, называются критическими.
Если невозмущенное состояние есть равновесие, то может возникнуть вопрос об одновременном существовании других устойчивых равновесных состояний. Рассмотрим вновь случай одного параметра р. Верхняя грань значений р = §**, при которых невозмущенное состояние является единственным устойчивым состоянием равновесия, называется нижним критическим значением. При §** V 6 V 6* достаточно сильное возмущение может перевести систему в другое устойчивое состояние равновесия. Хорошо известным примером служит явление «хлопка» в тонких оболочках, испытывающих сжатие. В тех задачах, где используется понятие нижнего критического значения, значение 6 = 6* называется верхним критическим. Если поведение системы зависит от п параметров pi, 62,， Bn и начало координат в пространстве параметров соответствует устойчивости, то по аналогии с предыдущим можно ввести понятие о верхней и нижней критических поверхностях.
Общий метод исследования устойчивости упругих систем состоит в рассмотрении совокупности движений, смежных с невозмущенными. Этот метод тесно связан с общей теорией устойчивости движения и называется динамическим методом. При рассмотрении устойчивости форм равновесия уравнения возмущенного движения обычно линеаризуют. Получаемые таким путем уравнения описывают малые колебания системы около положения невозмущенного равновесия. Отсюда и другое название — метод малых колебаний (Е. Л. Николаи, 1928, 1929).
Рассмотрим в качестве примера тонкий упругий стержень, испытывающий осевое сжатие силами, не зависящими от времени. Заменяя в уравнении (3.7) N через ―■ p^ и полагая 必=屮 exp (厂力),получим
(EI^iX + 6 (Np)优 + p歹户屮=0. (4.1)
Уравнение (4.1) рассматривается вместе с однородными граничными условиями (например,屮 = 屮，％»： = 0 для опертого по концам стержня). Мы получаем, таким образом, задачу о собственных значениях, содержащую два параметра — характеристический показатель г и параметр нагрузки р. При 0 = 0 все г——чисто мнимые, а частоты колебаний — действительные. Критическое значение р* определяется из условия, что при 6 > 6东 среди характеристических показателей г впервые окажется хотя бы один, имеющий положительную действительную часть. Если выход, на правую полуплоскость происходит через значение г = 0, то потеря устойчивости невозмущенной формы равновесия носит неколебательный характер. В остальных случаях будет иметь место неустойчивость колебательного типа. В задачах аэроупругости говорят о дивергенции и флаттере соответственно.
Метод малых колебаний не является строго обоснованным. Если диссипация не учитывается, то при 廿 V 6东 все характеристические показатели лежат на мнимой оси. По аналогии с теорией устойчивости дискретных систем такой случай следует квалифицировать как сомнительный.
При потенциальных внешних силах с помощью прямого метода Ляпунова (А. А. Мовчан, 1959) удается строго доказать устойчивость при р V 6*. К тому же в этом случае введение сколь угодно малой полной диссипации смещает все характеристические показатели с мнимой оси на левую полуплоскость. Тогда при 6 V 6* получаем аналог асимптотической устойчивости в теории дискретных систем.
Если внешние силы непотенциальны, то случай чисто мнимых характеристических показателей правильнее называть «квазиустойчивостыо», а значение параметра 0* — «квазикритическим». Введение диссипативных сил с полной диссипацией и здесь устраняет сомнительный случай. При некотором § V В*。 все показатели г находятся в левой полуплоскости; при § > 6*d хотя бы один из них находится в правой полуплоскости. В неконсервативных задачах упругой устойчивости мы встречаемся с весьма существенным и на первый взгляд неожиданным фактом, что стремление параметра диссипации к нулю не обязательно влечет за собой 仇少->■ 6*. При этом предельное значение ^^D зависит от принятого закона диссипации (В. В. Болотин, 1959, 1961).
Остановимся на других методах исследования устойчивости упругого равновесия при потенциальных внешних силах. Среди этих методов важное место принадлежит энергетическому методу. Этот метод основан на теореме Лагранжа — Дирихле, согласно которой в положении устойчивого равновесия суммарная потенциальная энергия системы принимает минимальное значение.Теорема Лагранжа — Дирихле, доказанная строго для системы с конечным числом степеней свободы, была распространена на упругие системы Дж. X. Брайаном (1888 г.), С. П. Тимошенко (1907, 1908, 1910 гг.) и другими.
Применение энергетического метода сводится к исследованию свойств квадратичного функционала потенциальной энергии Э, равной сумме потенциальной энергии деформации (внутренней энергии) и потенциальной энергии внешних сил. Если для всех кинематически допустимых вариаций состояния б?»〉0, то состояние равновесия устойчиво; если хотя бы для некоторых вариаций 62Э V 0, то неустойчиво. Критическое значение параметра р следует искать среди тех значений, для которых одновременно 33 = 0, 62Э = 0. В предположениях, при которых составлены уравнения возмущенного движения (3.6), имеем
32«Э= f ^jklmUj, hUl,m ^^ — P ^ Sj^U^ jUit fe dV (4・2)
(Oj丸 = ——Bs/女). Уравнению (3.7) соответствует выражение
323323=J EI{w)x^dx^^ j NgQ2 dx.=J EI{w)x^dx^^ j NgQ2 dx.0000(4.3)(4.3)
323
323
=J EI{w)x^dx^^ j NgQ2 dx.
=J EI{w)x^dx^^ j NgQ2 dx.
0
0
0
0
(4.3)
(4.3)
В формулах (4.2) и (4.3) для вариаций перемещений использованы те же обозначения, что и для малых возмущений. Заметим, что в учебной и технической литературе слагаемые в правых частях выражений типа (4.2) и (4.3) обычно интерпретируются как «потенциальная энергия деформаций» и «работа внешних сил». Формулы типа
\ EI (w, хх)2 dx
(4・4)(4・4)в=А
(4・4)
(4・4)
£ N W, х)2 dx
6
дают для критических параметров оценку сверху, если сравниваются кинематически допускаемые состояния. Эти формулы можно рассматривать как одну из возможных реализаций энергетического метода (С. П. Тимошенко, 1907 г. и сл.).
Исследование свойств функционала потенциальной энергии можно заменить систематическим рассмотрением смены форм равновесия при изменении параметров системы. Соображения, близкие к известной теории бифуркаций А. Пуанкаре (1884 г.), приводят к статическому методу в теории устойчивости упругих систем. Этот метод позволяет свести исследование устойчивости к отысканию точек разветвления и предельных точек. В окрестности точки разветвления наряду с исследуемой формой равновесия существуют некоторые смежные формы. При переходе через эту точку может происходить потеря устойчивости по типу разветвления форм равновесия. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной формы равновесия к другой. Анализ типов предельных точек и смен равновесных состояний упругих систем можно найти в работах Г. Ю. Джанелидзе (1955), И. И. Гольденблата (1965) и др. Основную трудность в применении метода бифуркаций упругих систем составляет выбор параметров, характеризующих состояние системы. Строго говоря, наличие точек бифуркации не является ни необходимым, ни достаточным условием смены устойчивости. Достоверность выводов, основанных на бифуркационных соображениях, можно повысить, если увеличить число параметров. Но при этом утрачивается главное преимущество бифуркационного метода — геометрическая наглядность.
Аналитическая реализация статического метода приводит к условию
6 (62Э) = 0. (4.5)
Здесь 62Э ——вторая вариация потенциальной энергии системы около невозмущенного состояния равновесия системы, вычисленная в предположении, что вариации перемещений совпадают с действительными возмущениями. Функционал 乎9 вычисляется по формулам типа (4.2) и (4.3) и варьируется далее по всем кинематически допустимым состояниям. Соответствующие уравнения Эйлера ——Остроградского представляют собой известные уравнения нейтрального равновесия, которые описывают равновесие системы в состоянии, смежном с невозмущенным. Варьирование функционала (4.2) приводит к уравнению
Sjhlm 五 1,т) — Р(Ski 〃九»，女—°, . (4.6) а варьирование функционала (4.3) —— к уравнению
(EIwtX^tXX + В (Nip,)% = 0： (4.7) и'т. д. Эти уравнения совпадают с линеаризованными уравнениями возмущенного движения, если полагать возмущения не зависящими от времени. Уравнение (4.7) получается из (4.1), если положить характеристический показатель г равным нулю.
В учебной и технической литературе обычно утверждается, что этот метод годится только для тех задач, в которых потеря устойчивости происходит по типу разветвления форм равновесия. В действительности уравнения нейтрального равновесия могут описывать поведение системы в окрестности предельных точек. Однако при этом необходимо учитывать перемещения и деформации невозмущенного состояния, т. е. исходить
из уравнений типа (3.4). Параметр нагрузки будет входить в уравнения, вообще говоря, нелинейно.
Значительное число частных задач теории упругой устойчивости решено на основе уравнений нейтрального равновесия типа (4.6) и (4.7). Решение задач сводится к отысканию собственных значений и выбору среди них тех, которые соответствуют переходу от устойчивости к неустойчивости. При этом применяются разнообразные методы — как заимствованные из математической физики, вычислительной математики, теории колебаний, так и более специализированные приемы строительной механики, теории оболочек и т. п. Среди них важное место занимают вариационные методы: метод Рейли — Ритца (1873, 1889, 1908 гг.), метод Бубнова (1911 г.) и др. Применение этих методов широко освещено в книгах С. П. Тимошенко (1946), П. Ф. Папковича (1939), Л. С. Лейбензона (1945), Я. А. Пратусевича (1948) и др. В задачах устойчивости оболочек потеря устойчивости, как правило, сопровождается переходом через предельные точки; кроме того, послекритические состояния оболочек представляют определенный технический интерес. Поэтому в теории устойчивости оболочек широко используются нелинейные уравнения и соответствующие энергетические функционалы. Вариационные методы служат здесь почти единственным средством получения конкретных численных результатов (X. М. Муштари, 1946, 1955; А. С. Вольмир, 1956, 1965; X. М. Муштари и К. 3. Галимов, 1957; А. В. Погорелов, 1962, 1966, 1967, и др.). Многие задачи решены при помощи процедуры П. Ф. Папковича (1939), согласно которой часть уравнений удовлетворяется точно, а часть ——в вариационном смысле. Получил распространение также метод сведения задачи устойчивости к обыкновенным дифференциальным уравнениям (В. 3. Власов, 1932, 1939).
Применяемый к расчету устойчивости оболочек при конечных прогибах метод последовательных нагружений (В. В. Петров, 1959) является модификацией метода последовательных приближений. Метод игнориро-' вания форм выпучивания при определении критических сил оболочек, предложенный сперва для линейных задач (В. 3. Власов, 1949), был распространен на нелинейные задачи для однородных (А. В. Саченков, 1963; К. 3. Галимов, 1965) и слоистых оболочек (Э. И. Григолюк, П. П. Чулков 1965).
Ряд результатов в теории упругой устойчивости получен при помощи других аналитических методов, например метода малого параметра (П. Я. Полубаринова-Кочина, 1936; С. А. Алексеев, 1956), метода линейных интегральных уравнений (Н. В. Зволинский, 1937; Я. Л. Нудельман, 1949), асимптотических методов (И. И. Ворович, 1955; В. М. Корнев, 1967). Широко применяются численные и матричные методы (А. Ф. Смирнов, 1947, 1958; А. А. Петропавловский, 1961; А. Ф. Смирнов с сотрудниками^ 1964, и др.). Для расчета стержней и стержневых систем используются методы строительной механики: метод сил, метод деформаций, метод начальных параметров (Н. В. Корноухов, 1939, 1949; А. Ф. Смирнов, 1947; И. П. Прокофьев и А. Ф. Смирнов, 1947; Н. К. Снитко, 1952, 1956; В. Г. Чудновский, 1952; А. Р. Ржаницын, 1955; С. А. Рогицкий, 1961; Н. И. Безухов и О. В. Лужин, 1963, и др.). Применяются качественные методы, позволяющие получить для критических параметров односторонние и двухсторонние оценки. Эти методы берут начало от работы П. Ф. Папковича (1937), в которой устанавливаются некоторые общие свойства критических поверхностей в пространстве параметров. Развитие качественных методов содержится в работах А. Ф. Смирнова (1947), 22 Механика в СССР, т. 3
Я. Л. Нудельмана (1949), Р. Р. Матевосяна (1961), Б. М. Броуде (1964), И. И. Гольденблата (1965) и др.
Если внешние силы непотенциальны, то статический и энергетический методы, вообще говоря, непригодны. Количество неконсервативных задач упругой устойчивости, для которых удается получить точное решение, весьма невелико. Обычный путь решения состоит в переходе к некоторой эквивалентной системе с конечным числом степеней свободы. Такую систему можно получить, например, если распределенную массу заменить конечным числом сосредоточенных масс (Е. Л. Николаи, 1928, 1929; К. С. Дейнеко и М. Я. Леонов, 1955). Другой путь состоит в применении метода Бубнова; при этом решение ищется в виде ряда с коэффициентами, которые являются неизвестными функциями времени. Еще один способ заключается в решении задачи Коши для достаточно широкого класса начальных возмущений. Это решение может быть осуществлено на моделирующих или цифровых вычислительных машинах. Моделируя различные возмущенные движения, мы можем сделать вывод и об устойчивости невозмущенного движения. Этот способ применялся А. С. Вольмиром с сотрудниками (1959, I960), В. В. Болотиным и сотрудниками (1959, I960), В. И.①есщосвевым (1963) и другими.
Устойчивость упругих стержней и стержневых систем
Вопросы устойчивости равновесия упругих стержней и стержневых систем, нагруженных потенциальными силами, относятся к числу наиболее разработанных разделов теории упругой устойчивости. Исследование этих вопросов было начато еще в XVIII веке Л. Эйлером и продолжено Ж. Л. Лагранжем, Г. Кирхгофом и другими крупными математиками и механиками. Бурное развитие промышленного и транспортного строительства, судостроения и т. д. в конце XIX — начале XX века дало толчок к усиленной разработке практических аспектов теории упругой устойчивости. Расчетной схемой для большинства конструкций того времени служили стержни и стержневые системы. Основное внимание исследователей было вначале уделено стержням. К указанному периоду относятся работы Ф. С. Ясинского, И. Г. Бубнова и С. П. Тимошенко.
Среди работ советского периода по устойчивости равновесия упругих стержней можно выделить три направления.
Первое направление образуют работы по устойчивости криволинейных стержней и колец. К ним относятся исследования Е. Л. Николаи (1918, 1923), А. Н. Динника J1929—1936) и И. Я. Штаермана (1929—1937), продолженные в последующем А. А. Белоусом (1937), Г. Ю. Джанелидзе (1939), Э. И. Григолюком (1951), В. Г. Чудновским (1952), Я. А. Пратусе- вичем (1952), А. Б. Моргаевским (1957, 1959), В. М. Макушиным (1959) и др. В ряде работ подробно изучались пространственные формы потери устойчивости с учетом поведения нагрузки в процессе потери устойчивости (А. А. Петропавловский, 1953; В. В. Холчев, 1961, и др.).
Второе направление — это исследование устойчивости тонкостенных стержней открытого и закрытого профиля. Первые и основополагающие результаты здесь принадлежат С. П. Тимошенко (1905, 1906 гг.), построившему теорию устойчивости двутавровых прямолинейных балок. В дальнейшем основные заслуги принадлежат В. 3. Власову (1936——1940), который разработал общую теорию тонкостенных прямолинейных стержней, подробно изучил изгибно-крутильные формы потери устойчивости, ввел понятие круга устойчивости и т. д. Работы В. 3. Власова были продолже-
ны И. Ф. Образцовым (1949, 1953), С. А. Амбарцумяном (1953), Ю. Д. Копейкиным (1957, I960), В. И. Реутом (1959), В. В. Мещеряковым “959, 1962) и др.
Третье направление связано с исследованием деформаций стержней после потери устойчивости. Ряд работ посвящен расчету гибких элементов, встречающихся в приборостроении. Расчет этих элементов базируется на точных (нелинеаризованных) уравнениях упругой кривой. Е. П. Попов (1948) ввел классификацию форм равновесия гибких стержней, имеющих первоначально прямую или круговую оси, и предложил эффективные методы отыскания этих форм. В ряде работ изучаются послекритические деформации упругих стержней, стесненные за счет наложения связей, и оценивается несущая способность после потери устойчивости.
Вопросам расчета стержневых систем на устойчивость посвящена весьма обширная литература. Статически неопределимые фермы, рамы и арки являются типичными расчетными схемами в мостостроении, промышленном строительстве, транспортном машиностроенйи и т. п. Расчет таких систем на устойчивость составляет значительные вычислительные трудности, особенно если система состоит из большого числа стержней и если степень статической неопределимости достаточно высока. Для преодоления этих трудностей разработано большое число приемов, берущих свое начало от классических методов строительной механики. Различные методы обсуждаются в книгах А. Ф. Смирнова (1947, 1958), Н. В. Кор- ноухова (1949), А. И. Сегаля (1949, 1955), Н. К. Снитко (1952, 1956), В. Г. Чудновского (1952), А. Р. Ржаницына (1955), И. К. Снитко (I960), Р. Р. Матевосяна (1961), А. А. Пиковского (1961), С. А. Рогицкого (1961), Н. И. Безухова и О. В. Лужина (1963). Вопросам устойчивости стержневых систем посвящены работы В. А. Гастева (1929), И. М. Рабиновича (1932), А. П. Коробова (1934—1954), С. Н. Никифорова (1938), А. А. Курдюмова (1941—1964), Н. К. Снитко (1947-1966) и др.
Помимо классических методов строительной механики, большое развитие получили численные методы. А. Ф. Смирнов (1947) предложил матричный метод расчета сложных стержневых систем с произвольной степенью статической не определимости. Этот метод, объединяющий концепции строительной механики с идеями инте рп о ляци онных методов, оказался весьма универсальным средством расчета, приспособленным для реализации на электронных вычислительных машинах. В зарубежной литературе аналогичный метод был предложен лишь на десять лет позднее (работы Дж. Аргириса и др.).
Метод А. Ф. Смирнова был применен к расчету на устойчивость сложных стержневых систем —пролетных строений мостов, арок с надарочным строением, многопролетных рамных систем, высоких радиомачт и др. Дальнейшее развитие метода освещено в книгах А. Ф. Смирнова (1958), А. Ф. Смирнова, А. В. Александрова, Н. Н. Шапошникова и Б. Я. Ла- щеникова (1964), в статьях А. В. Александрова (1955, 1957), А. А. Петропавловского (1957, 1964), В. А. Смирнова (1962), Б. Я. Лащеникова (1963), Б. П. Державина (1966) и др.
Инженеры-расчетчики нуждаются также в качественных методах, которые позволили бы делать грубые оценки численных значений критических сил, легко находить наилучшие способы повышения устойчивости, переносить результаты, полученные для одних систем, на более широкий класс систем. Основные результаты в этой области принадлежат П. Ф. Пап- ковичу (1937), А. Ф. Смирнову (1947), Я. Л. Нудельману (1949), Р. Р. Ма- тевосяну (1961), Б. М. Броуде (1963). Примером реализации качественных 22*
методов служат теоремы П. Ф. Папковича о выпуклости критической поверхности. Другим примером могут служить теоремы А. Ф. Смирнова о необходимых условиях для повышения критических сил путем изменения свойств системы.
Устойчивость упругих пластин.
Устойчивость упругих оболочек (линейная теория)
Лйнейная теория устойчивости плоской формы равновесия упругих тонких пластин разработана весьма подробно. Большое количество результатов было получено в пред рев ол юци онный период С. П. Тимошенко (1907—1916 гг.), А. Н. Динником (1911 г.) К. А. Чалышевым (1914 г.), И. Г. Бубновым (1914 г.). Работы последнего, посвященные расчету элементов судовых конструкций, были продолжены П. Ф. Папковичем (1920), А. П. Филипповым (1933), А. Ш. Локшиным (1935), Н. В. Зволинским (1938), А. И. Лурье (1939), П. А. Соколовым (1939) и др.
К настоящему времени накоплен большой материал, относящийся к устойчивости пластин разнообразной формы при различных видах нагружения. Н. А. Алфутов и Л. И. Балабух (1967) вновь вернулись к этой задаче, видоизменив вариационный способ нахождения критического параметра внешних сил.
Опыт показывает, что пластины обычно могут нести значительную нагрузку и после потери устойчивости. Анализ послекритических деформаций базируется, как правило, на системе уравнений, полученной Т. Карманом (1910):
D 一 (ш, ххХ, уу + 呼 ““％, хх — 2必,鬼％, ху) = 0,]
ДА% + Eh (wt xxwt xy — Xi/) 0. J ( •)
Здесь использованы те же обозначения, что и в уравнении (3.9). Методам приближенного интегрирования уравнений (6.1) посвящено весьма большое число работ. П. Ф. Папкович (1920) предложил метод, согласно которому первое уравнение (6.1) удовлетворяется приближенно — в смысле метода Бубнова, второе уравнение удовлетворяется точно, тангенциальные граничные условия — в среднем. Развитие этой идеи содержится в работах П. А. Соколова (1932), Э. И. Григолюка (1949), М. А. Колтунова (1953), А. С. Вольмира (1956), А. В. Кармишина (1956) и др. Наряду с этим для решения уравнений (6.1) применялись другие методы: метод малого параметра (П. Я. Полубаринова-Кочина, 1936), метод последовательных приближений (С. А. Алексеев, 1956), асимптотический метод (И. И. Ворович, 1955), метод конечных разностей (А. С. Вольмир и А. Ю. Биркган, 1963) и др*
Потребности современной техники дали толчок к развитию теории устойчивости анизотропных и слоистых пластин. Вопросы устойчивости анизотропных пластин разрабатывались С. Г. Лехницким (1941—1947) и С. А. Амбарцумяном (1961). Обширная литература посвящена устойчив вости трехслойных пластин с мягким и жестким заполнителями: А. П. Прусаков (1951), Э. И. Григолюк (1957, 1958), Л. М. Куршин (1958), А. Я. Александров, Л. Э. Брюккер, Л. М. Куршин и А. П. Прусаков (I960), А. В. Иванов (1964). Устойчивость биметаллических пластин рассматривалась Э. И. Григолюком (1953). Теория многослойных пластин, состоящих из чередующихся жестких и мягких слоев, была дана В. В. Болотиным (1963); теория была применена к расчету пластин на общую и локальную устойчивость Л. П. Помази (1965) и Е. Н. Синицыным (1966).
Ранние результаты в области теории устойчивости оболочек были получены на основе линейной теории Р. Лоренцем (1908 г.), С. П. Тимошенко (1910, 1914 гг.), Р. Саутвеллом (1913 г.), Р. Мизесом (1914,1929 гг.), Р. Целли (1915 гг.), Л. С. Лейбензоном (1917 г.). Оказалось, что для некоторых основных типов оболочек и типов нагрузки критические параметры могут быть определены по весьма простым приближенным формулам. Так, в случае не слишком длинной и не слишком короткой круговой цилиндрической оболочки радиуса R с толщиной стенки 九，нагруженной осевыми усилиями р, имеем приближенную формулу
(6.2)(6.2)с р Eh夕* ^ 0,6飞一
(6.2)
(6.2)
Для сферической оболочки, находящейся под действием внешнего гидростатического давления р, также получается простая приближенная формула
р來 ^1,2 嘗. (6.3)
Большое количество последующих работ было посвящено уточнению и обобщению ранних результатов. Были рассмотрены задачи устойчивости цилиндрических оболочек при различных способах нагружения, включая комбинированное нагружение (Н. В. Зволинский, 1935, 1937; X. М. Муш- тари, 1938—1957; А. С. Вольмир, 1950—1956; В. М. Даревский, 1957— 1965; С. Н. Кан, 1962—1966, В. В. Кабанов, 1963—1967, и др.). Подвергались исследованию задачи устойчивости конических оболочек (X. М. Му- штари, 1943; Э. И. Григолюк, 1951, 1955; И. И. Трапезин, 1952—1960; Н. А. Алумяэ, 1955, 1957, и др.), тороидальных оболочек (П. А. Загуби- ненко и И. Н. Спиридонов, 1959) и оболочек других форм. Исследовались также задачи устойчивости оболочек при наличии температурных градиентов (В. В. Кабанов, 1962, и др.). В исследованиях X. М. Муштари (1938— 1943) оболочка, имеющая большое число подкрепляющих элементов, была заменена некоторой эквивалентной гладкой анизотропной оболочкой. Такое «размазывание» подкрепляющих элементов затем применялось многочисленными авторами. Учет дискретности подкрепляющих ребер проводился в работах Н. А. Алфутова (1956), В. М. Даревского и Р. И. Кшня- кина (I960), которые анализировали условия, при которых «размазывание» допустимо. Устойчивость конструктивно анизотропных оболочек рассматривал В. В. Кабанов (1964, 1967).
Сравнительно недавно внимание было вновь обращено к классической линейной задаче об устойчивости цилиндрической оболочки. Оказалось, что смягчение тангенциальных граничных условий может приводить к заметному снижению критических усилий по сравнению с классическими граничными условиями. Так, в задаче об осевом сжатии круговой цилиндрической оболочки переход от классического шарнирного опирания к опиранию, в котором обращаются в нуль торцевые касательные напряжения, снижает критическое усилие почти в два раза. При этом уменьшается число полуволн в окружном направлении, соответствующее форме потери устойчивости. Среди работ, посвященных изучению влияния тангенциальных граничных условий, отметим работы А. С. Авдонина (1963), В. И. Кожевникова (1964), Н. А. Алфутова (1965), Н. А. Кильчевского и С. Н. Никулинской (1966), К). М. Хищенко (1966).
Расчет реальных конструкций требует изучения несущей способности оболочек, находящихся под действием локальных нагрузок, имеющих
существенные начальные несовершенства, и, вообще, оболочек, которые с самого начала нагружения находятся в моментном напряженном состоянии. Количество работ по этому направлению весьма велико.
Разрабатывались также проблемы устойчивости различной формы трехслойных оболочек с заполнителем (Э. И. Григолюк и П. П. Чулков, 1963; Л. М. Куршин, 1958—1964; Т. Н. Васицына, 1962; К. 3. Галимов, 1965; М. А. Колтунов, 1965).
Устойчивость упругих оболочек (нелинейная теория)
Важнейшим стимулом для развития нелинейной теории упругих оболочек явилось систематическое расхождение между результатами линейной теории и опытными данными. Для многих типов оболочек и условий нагружения опытные критические усилия оказываются значительно ниже, чем значения, вычисленные согласно линейной теории. Явление потери устойчивости нередко происходит по типу «прощелкивания», «хлопка», т. е. сопровождается скачкообразным нарастанием деформаций с заметным изменением формы срединной поверхности. При этом наблюдаемая картина послекритической деформации обычно существенно отличается от формы бифуркации, которую предсказывает линейная теория.
Первые исследования по нелинейной теории тонких упругих оболочек относятся к предвоенному периоду (работы Л. Г. Доннела, Т. Кармана и С. С. Цяня, X. М. Муштари). Они существенным образом основаны на теории прощелкивания стержней, развитой С. П. Тимошенко (1925, 1935 гг.), К. Б. Бицено (1929 г.), К. Маргерром (1938 г.). После войны исследования развернулись широким фронтом. Руководящая идея этих исследований состояла в том, что для задач устойчивости оболочек типичен факт существования устойчивых форм равновесия, отличных от невозмущенной формы, при значениях параметра нагрузки, меньших классического критического значения. Большое число работ было посвящено отысканию нижних критических усилий для различных типов оболочек и граничных условий и типов нагружения. Устойчивость цилиндрических оболочек и панелей рассматривалась А. С. Вольмиром (1944——1956), X. М. Муштари, К. 3. Галимовым, М. С. Корнишиным и А. В. Саченковым (1946—1957), М. А. Колтуновым (1952), Н. А. Алумяэ (1954), О. И. Те- ребушко (1956) и многими другими авторами. Устойчивость сферических оболочек и панелей изучалась В. И. Феодосьевым (1946—1961), X. М. Муштари и Р. Г. Суркиным (1950—1956), Э. И. Григолюком (1956, 1959), Н. К. Лебедевой (1964), И. И. Воровичем и В. Ф. Зипаловой (1966) и др. Устойчивость конических оболочек рассматривал Э. И. Григолюк (1956). Вопрос о существовании нижних критических усилий изучался И. И. Во- ровичем (1955, 1957). Рассматривалось прощелкивание биметаллических оболочек при нагреве и охлаждении (Д. Ю. Панов, 1948; Э. И. Григолюк, 1953). Изучалось послекритическое поведение трехслойных оболочек (цилиндр, сфера, конус) (Э. И. Григолюк и П. П. Чулков, 1965). Более подробные сведения содержатся в книгах X. М. Муштари и К. 3. Галимова (1957), А. С. Вольмира (1956, 1967), а также в обзорной работе А. С. Вольмира (1966).
Обычно исследования основываются на теории пологих оболочек. Приведем исходную систему дифференциальных уравнений задачи применительно к трехслойным оболочкам с жестким заполнителем,
воспринимающим поперечный сдвиг (Э. И, Григолюк и П, П. Чулков, 1963):
D (1一常 V2) V2V2% 十方,22(自 I 一例"一吗 Q 一
-2歹，J2 (左12 -山，12 一 ^, 12)十 £ 11 (^22 - S, 22-з?22)?，
V2V2歹—— Eh [(2ali -― и —22+}(7.1)
+ (2622— S，22一関，22)呼 11 + 2如：12 + 2山：]2 Q関?12 — 2回2)],
Прогиб равен
m=(1-£ u) /-
Здесь V2( )= ( ),11 + ( ),22，xi (% = 1,2) — ортогональные координаты в исходной поверхности, D — цилиндрическая жесткость пакета, h ——толщина его,沙 ——параметр изгибной жесткости внешних слоев, 论订(％，j =工，2) — кривизны линий исходной поверхности, wQ — начальный прогиб, q — поперечная нагрузка; коэффициент Пуассона всех трех слоев одинаков.
При 0 = оо, ip — %,(р = 0 получаются известные уравнения Мар- герра, а при дополнительном условии
"11 —~ "22 — "12 — О
имеем уравнения Феппля — Кармана (6.1). Систему (7.1) можно трактовать как уточнение классической теории изгиба однородных оболочек, когда учитывается сдвиг по толщине; в отличие от классической теории, эта система совместна с пятью естественными граничными условиями.
Уравнения типа (7.1) можно построить и для многослойных оболочек однородных, ортотропных, анизотропных при конечных прогибах. Это сделано в работах Э. И. Григолюка и П. П. Чулкова (1965). Суть дела в следующем. Оболочка, независимо от того, является она слоистой или нет, разбивается на некоторое число п фиктивных слоев. Далее, для перемещений точек каждого фиктивного слоя принимается линейный закон распределения в зависимости от поперечной координаты. Условия сопряжения слоев и гипотеза о несжимаемости материала каждого слоя в поперечном направлении позволяют охарактеризовать перемещения точек всего пакета 2〃 + 3 независимыми функциями от координат параметризации поверхности оболочки.
Принцип возможных перемещений дает ровно 2тг + 3 уравнения равновесия, которые, на основе закона Гука, записываются относительно перемещений. Ясно, что такой подход позволяет получить двумерную систему уравнений бесконечного порядка, эквивалентную системе трехмерных уравнений упругости слоистой оболочки в предположении ее несжимаемости в поперечном направлении; для этого достаточно число фиктивных слоев устремить к бесконечности равномерно по всей толщине оболочки. Ограничение, накладываемое несжимаемостью материала слоев в поперечном направлении, не является принципиаль-
ным, поскольку от него легко избавиться, считая, что и нормальные перемещения в пределах каждого слоя распределены по линейному закону от поперечной координаты. Выражая перемещения с помощью дифференциальных операций через три произвольные функции (функцию напряжений F и две функции перемещений %,屮)，удается исходную систему 2八 十 3 уравнений привести к трем эквивалентным ей разрешающим уравнениям того же порядка. Преимущество разрешающих уравнений по сравнению с исходной системой состоит главным образом в том, что дифференциальный оператор разрешающей системы содержит резко убывающие коэффициенты с увеличением порядка производных. Это позволяет в зависимости от вида внешней нагрузки и типа краевых условий удерживать необходимый порядок производных, т. е. фактически учитывать только наиболее существенные краевые эффекты. Математически введение функции напряжений F и функций перемещений %,屮 равносильно разложению напряженно-деформированного состояния оболочки по собственным функциям полноосного положительно-определенного оператора, специально приспособленного к структуре данной слоистой оболочки, а усечению операторов разрешающих уравнений соответствует удержание главных коэффициентов разложения.
Последующее развитие исследований привело к существенному пересмотру точки зрения на эту проблему. Чтобы сделать ситуацию более понятной, рассмотрим подробнее задачу об устойчивости круговой цилиндрической оболочки, испытывающей осевое сжатие.
Классическая теория при некоторых упрощениях дает для этой задачи приближенную формулу (6.2). Опытные значения обычно лежат в пределах, которым в этой формуле соответствуют значения числового коэффициента от 0,18 до 0,60. При этом верхнее значение получается для наиболее тщательно изготовленных оболочек и для наиболее аккуратных условий эксперимента. Теоретическое значение нижней критической силы вычислялось для этой задачи приближенно ——путем применения вариационных методов либо к системе уравнений нелинейной теории оболочек, либо к соответствующему энергетическому функционалу. Число варьируемых параметров в ранних работах было весьма невелико. Так, принимались выражения типа
/1sin 齿红 sin 勺十 ％ Sin2 安红 Sin2 ^ + f„
в которых ： первый член соответствует приближению линейной теории, а остальные учитывают несимметричный характер вмятин, образующихся после «хлопка». Здесь %,厶 и % — варьируемые параметры, I — длина оболочки, mi и т2 — положительные целые числа. Вычисления, основанные на подобных выражениях, приводили к значениям нижнего критического усилия, которому в формуле (6.2) соответствует коэффициент, близкий к 0,2. Это значение вполне удовлетворяло исследователей. Однако в последние годы появились результаты более аккуратных вычислений^ в которых использовались ЭВМ, что позволило существенно увеличить число варьируемых параметров. Оказалось, что уточнение метода влечет за собой уменьшение нижнего критического значения. Так, по данным Н. Дж. Хоффа (1966 г.), при увеличении числа членов ряда от трех до пятнадцати коэффициент в формуле (6.2) снижается от 0,1860 до 0,0427. При этом неясно, до какой величины будет уменьшаться этот коэффициент, если мы будем и далее увеличивать число членов ряда. Не менее драмати-
ческой оказалась ситуация с задачей об устойчивости замкнутой сферической оболочки, находящейся под внешним давлением. Приведем некоторые данные о коэффициенте в формуле (6.3), если применять ее для нахождения: нижнего критического давления: X. М. Муштари и Р. Г. Суркин (1950) получили значение 0,10, В. И. Феодосьев (1954) —0,13 (отрицательное значение), X. М. Муштари (1955) + 0,11, А. Г. Габрильянц и В. И. Феодосьев (1961) + 0,06.
Объяснение этих и аналогичных результатов состоит в следующем. Задание формы срединной поверхности после хлопка в виде конечного ряда сильно ограничивает класс возможных форм ее равновесия. Между тем оболочка ——континуальная система. Не исключена возможность, что для нагруженных оболочек существует бесчисленное множество докритиче- ских форм равновесия, отличных от невозмущенной, в том числе некоторое количество устойчивых форм равновесия. Увеличение числа членов ряда расширяет класс возможных форм равновесия. Их практическое значение, впрочем, весьма ограниченно. Для того чтобы реализовать эти формы, требуется конечное возмущение специального класса и достаточно большой величины.
Главной причиной снижения опытных критических сил по сравнению с их классическими значениями служат начальные отклонения срединной поверхности от идеальной формы, несовершенства опорных закреплений, наличие остаточных напряжений и т. д. Верхнее критическое усилие для реальных оболочек, как правило, весьма чувствительно к изменению параметров начальных несовершенств. Этим объясняется как факт снижения опытных критических сил, так и факт их большого разброса. Последнее обстоятельство делает необходимым учет случайного характера начальных несовершенств, что возможно лишь в рамках статистических методов.
Несколько лучше обстоит дело с устойчивостью пологих панелей, опирающихся на достаточно жесткие контуры. Устойчивость цилиндрических, конических и сферических панелей в нелинейной постановке рассматривалась А. С. Вольмиром (1956), Э. И. Григолюком (1956, I960), О. И. Теребушко (1958), И. И. Воровичеми В. Ф. Зипаловой (1966). Наличие достаточно жесткого контура сильно сужает класс возможных форм потери устойчивости панели, поэтому невысокие приближения дают здесь обычно достаточно достоверный результат. Сходная ситуация может встретиться и при расчете подкрепленных оболочек.
Новое направление в нелинейной теории оболочек развивается А. В. Погореловым (I960,1962,1966, 1967). А. В. Погорелов ввел предположение о том, что форма прощелкнутой части срединной поверхности изомет- рична ее первоначальной форме. При этом прощелкнутая часть стыкуется с остальной частью срединной поверхности по некоторым ребрам, в окрестностях которых происходит местное сгибание. Поскольку метод вычисления перемещений и критических усилий у А. В. Погорелова мало отличается от обычного энергетического метода, то наиболее существенной частью предложений А. В. Погорелова является введение нового широкого класса функций, приближенно описывающих деформации в тонких оболочках. А. В. Погорелов произвел вычисления для весьма широкого класса задач и сопоставил результаты вычислений с проведенными им же оригинальными экспериментами. Метод А. В. Погорелова применялся также В. И. Бабенко (1966) и В. В. Михайловым (1966). Обсуждение работ А. В. Погорелова содержится в приложении И. И. Воровича к книге А. В. Погорелова (1966).
Устойчивость упругих и упруг о - плас тических систем
Поскольку задачи устойчивости типичны для тонких и тонкостенных тел, то они обычно ставятся и решаются в рамках прикладных теорий стержней, пластин и оболочек. Тем не менее имеется несколько причин для рассмотрения некоторых задач устойчивости с точки зрения общей теории упругости.
Во-первых, общие уравнения нелинейной теории упругости используются для обоснованного вывода уравнений устойчивости для тонких и тонкостенных тел. Работы этого направления (В. В. Новожилов, 1940, 1948; В. В. Болотин, 1956, 1965; А. И. Лурье, 1966, и др.) уже обсуждались в § 3. Во-вторых, решения задач, полученные на основе теории упругости, могут быть использованы для оценки точности и установления границ применения известных приближенных решений. К этому направлению относятся работы Л. С. Лейбензона (1917) и А. Ю. Ишлинского (1954). Заметим, что в этих работах в качестве уравнений для описания форм равновесия, смежных с невозмущенной формой, предлагалось использовать классические уравнения теории упругости; внешние силы входили при этом только в возмущенные граничные условия. Этот подход обсуждался недавно А. Н. Гузем (1967). В-третьих, необходимость в привлечении уравнений теории упругости возникает в задачах об устойчивости пластин и оболочек, находящихся в контакте с упругим материалом пониженной жесткости. Применительно к слоистым пластинам с мягким наполнителем этот подход развивался А. П. Вороновичем (1948), В. Н. Москаленко (1964) и другими. Устойчивость цилиндрических оболочек с мягким упругим ядром рассматривалась А. П. Варваком (1966). Типичным для этих задач является применение теории пластин и оболочек к несущим слоям и трехмерной теории упругости — к заполнителю.
Если система не обладает достаточной гибкостью, то потеря устойчивости может происходить в упруго-пластическом состоянии. Ф. Энгессер развил теорию устойчивости центрально сжатых стержней за пределом упругости в предположении, что во всех точках поперечного сечения происходит процесс нагружения. В этом случае критическая сила определяется не модулем упругости, как в задаче для упругого материала, а касательным модулем (мы получаем касательно-модульную критическую силу). Ф. С. Ясинский по поводу этой теории заметил, что следует учесть разгрузку в части сечения. Это приводит к существованию нейтральной оси сечения. Учитывая разгрузку в поперечном сечении в предположении, что результирующая осевая сила остается неизменной, Ф. Энгессер получил формулу для критической силы, которая отличается от соответствующей формулы для упругого стержня тем, что вместо модуля упругости в нее входит приведенный модуль, зависящий от формы поперечного сечения стержня. В течение почти всей первой половины нашего столетия считалось, что приведенно-модульная нагрузка и есть критическая нагрузка для упруго-пластических систем и »что первоначальный результат Энгессера ошибочен. Было опубликовано большое число работ, в которых на основе этой концепции решаются различные задачи.
Приведенно-модульная концепция явилась результатом переноса теории бифуркаций форм равновесия из теории упругой устойчивости на упруго-пластические задачи. Этот перенос лишен основания, что стало общепризнанным фактом лишь после того, как на простых моделях была показана ограниченность приведенно-модульной концепции. Оказалось, что нижняя граница критических сил равна касательно-модульной
нагрузке, величина которой подсчитывается по аналогичной формуле для упругого стержня, если подставить в нее касательный модуль вместо модуля Юнга. При этом нетрудно указать условия, при которых реализуется именно касательномодульная критическая нагрузка.
Этот вопрос изучался Ю. Н. Работновым (1952), Я. Г. Пановко (1954—1965), В. Д. Клюшниковым (1957, 1964), Г. В. Ивановым (1961, 1963), Ю. А. Чернухой (1966) и др. В частности, В. Д. Клюшников рассмотрел задачу об устойчивости простейшей упруго-пластической системы в динамической постановке и показал, что невозмущенное состояние системы устойчиво вплоть до достижения касательно-модульной нагрузки.
Bliboj о том, что касательно-модульная и приведенно-модульная нагрузки ограничивают интервал действительных критических усилий, был бы весьма привлекателен, тем более что для многих систем численная разница между этими значениями невелика. Имеется, однако, пример, в котором критическое усилие, по-видимому, превышает приведенно- модульное значение. А. А. Ильюшин (I960) и В. Г. Зубчанинов (I960) рассмотрели выпучивание упруго-пластического стержня, входящего в состав статически неопределимой стержневой системы. Если система оказывает на стержень разгружающее влияние, то, как указывают авторы, прялюлинейная форма стержня может оставаться устойчивой и при некотором превышении приведенно-модульной нагрузки.
До сих пор достаточно сложные задачи упруго-пластической устойчивости рассматриваются в ограниченной постановке, аналогичной касательно-модульной или приведенно-модульной концепциям. Конечные результаты зависят при этом и от того, какой вариант теории пластичности используется. Устойчивость упруго-пластических стержней рассматривалась Л. М. Качановым (1951, 1956), А. В. Геммерлингом (1952, 1959, 1965), Я. Г. Пановко (1954, 1962), А. Р. Ржаницыным (1955), В. В. Пи- наджяном (1956), Ю. Р. Лепиком (1957), Б. П. Макаровым (1965). Общая теория устойчивости пластин и оболочек на основе деформационной теории была предложена А. А. Ильюшиным (1944). Им же было дано решение ряда интересных практических задач. На основе касательно-модульной концепции общая теория устойчивости оболочек развивалась Э. И. Гри- голюком (1957, 1958) в рамках теории типа течения и деформационного типа с учетом упругой сжимаемости материала. Ряд задач устойчивости пластин и оболочек за пределом упругости был рассмотрен Л. А. Толоконниковым (1949—1955), С. М. Поповым (1951, 1954), Ю. Р. Лепиком (1954— 1957), Л. М. Качановым (1956), В. Д. Клюшниковым (1957), Э. И. Григо- люком (1958) и др. Общая теория устойчивости двухслойных оболочек за пределом упругости развита Э. И. Григолюком (1958), ее обобщение дано Э. И. Григолюком и В. В. Кабановым (1966), которые оценили влияние перестановки слоев на величину критических сил. Расчет анизотропных оболочек за пределом упругости проводил В. В. Кабанов (1966, 1967). Современному состоянию теории устойчивости оболочек за пределом упругости посвящен обзор Э. И. Григолюка (1966).
Устойчивость вязко-упругих и вязко-упруго-пластических систем
В настоящем параграфе рассматриваются вопросы устойчивости систем, материал которых подвержен ползучести. При этом будем различать два случая: когда мгновенные пластические деформации отсутствуют и когда имеют место мгновенные пластические деформации. В первом случае будем говорить b вязко-упругих системах, во втором случае — о вязко-
упруго-пластических системах. В свою очередь, будем различать линейные и нелинейные вязко-упругие системы.
Нелинейность вязко-упругих систем, по крайней мере в рамках большинства предлагавшихся до сих пор моделей, является аналитической и допускает линеаризацию. Поэтому задачи устойчивости для вязко-упругих систем оказываются проще, чем для систем упруго-пластических, и теория продвинута здесь несколько дальше. Процесс деформирования вязко-упругих систем развертывается во времени. Существенное значение приобретает тип возмущений и последовательность их действия во времени, а также продолжительность интервала времени, на протяжении которого исследуется устойчивость. В расчетах вязко-упругих систем часто используется понятие критического времени 力*, под которым понимается продолжительность времени от начала нагружения до достижения критического состояния в некотором смысле. В общем случае время 力* оказывается функцией параметров внешних сил и типа возмущений.
Проще всего решается задача об устойчивости систем из линейного вязко-упругого материала. Рассмотрим, например, прямолинейный стержень, сжатый постоянной силой Р. Пусть материал стержня является стандартным линейным материалом в том смысле, что связь между напряжением о и деформацией 8 дается формулой
Здесь Eq — мгновенный модуль упругости, Е^ — длительный модуль упругости, т — время релаксации. Уравнение возмущенного движения имеет вид (4.7), где модуль упругости Е следует заменить соответствующим линейным оператором. Оказывается, что прямолинейная форма стержня устойчива на любом интервале времени, если Р V Pg, где Pg— эйлерова сила, вычисленная по длительному модулю упругости. Если Р > 尸8, то прямолинейная форма стержня будет неустойчива. При Р > Р°, где 尸° вычисляется по мгновенному модулю Е°, потеря устойчивости происходит мгновенно (с точностью до динамического переходного процесса).
Указанная задача была впервые рассмотрена А. Р. Ржаницыным (1946, 1949). Модель линейного вязко-упругого тела удовлетворительно описывает ползучесть многих видов полимеров и бетона; поэтому она широко применяется для расчета конструкций из этих материалов. Укажем на работы Г. С. Григоряна (1964) и Е. Н. Синицына (1966). В. В. Болотин и Е. Н. Синицын (1967) решили задачу о поверхностном выпучивании полупространства из слоистого материала, один из компонентов которого обладает линейными вязко-упругими свойствами. Общая теория вязкоупругих слоистых оболочек с воспринимающими поперечный сдвиг заполнителями при конечных прогибах развита Э. И. Григолюком и П. П. Чулковым (1964).
Ползучесть металлов и сплавов, как правило, носит ярко выраженный нелинейный характер. Модели нелинейной вязко-упругой среды, применяемые в теории ползучести, обычно таковы, что при сколь угодно малых напряжениях они дают деформацию ползучести, неограниченно возрастающую во времени. Поэтому, если задачу об устойчивости систем из таких материалов ставить строго, то будем получать неустойчивость для многих практически важных случаев. Между тем конструкции успешно эксплуатируются в условиях ползучести, если прочность материала не нарушается и если деформации не достигают нежелательных раз-
меров. Таким образом, строгая постановка задачи об устойчивости оказалась с точки зрения технических приложений недостаточно реалистичной.
Было сделано немало попыток для преодоления указанных трудностей. Ю. Н. Работнов и С. А. Шестериков (1957) впервые применили к задаче об устойчивости стержней и пластин из нелинейного вязко-упругого материала динамический критерий устойчивости. При этом рассматривались возмущения, прикладываемые в некоторый момент времени 力 > 0. Было найдено некоторое критическое значение 力*, такое, что возмущения, приложенные при 力 > 力*, приводят к немедленному росту перемещений. Оказалось, что найденное значение 力* находится в согласии с некоторыми инженерными полуэмпирическими критериями. Дальнейший анализ и развитие этих результатов содержатся в статьях К). Н. Работнова (I960), Г. В. Иванова (1961), Л. М. Куршина (1961) и С. А. Шестерикова (1961), И. Г. Терегулова (1965, 1966).
В работах Э. И. Григолюка и Ю. В. Липовцева (1965, 1966) был развит статический метод исследования устойчивости вязко-упругих оболочек, основанный на изучении ветвления форм равновесия в процессе ползучести. Так как вследствие ползучести напряженное и деформированное состояние оболочки непрерывно меняется, то в некоторый момент времени исходная форма равновесия оказывается не единственно возможной и появляются смежные формы равновесия, отличные от исходной. Э. И. Григолюком и Ю. В. Липовцевым было показано, что учет ползучести не приводит к принципиальным изменениям тех представлений о понятии устойчивости и методов решения, которые сложились при исследовании устойчивости упругих систем. Меняется и уточняется лишь расчетная схема. Причем эти изменения существенны лишь в той ее части, которая связана с определением напряжений и деформаций исходного состояния системы. Здесь необходимо учитывать возможные отклонения системы от идеального состояния, обусловленные наличием начальных перемещений, особенностями приложения нагрузки и т. д. Уравнения же нейтрального равновесия, записанные относительно мгновенных приращений (вариаций) напряжений и перемещений, имеют тот же вид, что и для упругих систем. При их записи необходимо лишь учитывать те дополнительные деформации и напряжения исходного состояния, которые накапливаются в процессе ползучести.
Другой путь для получения результатов состоит в следующем. Вместо задачи устойчивости рассматривается задача о поведении системы во времени при заданных начальных условиях и прочих заданных возмущениях. Устанавливается некоторая предельная величина перемещений, деформаций, скоростей и т. п. Ищется время 力*, в течение которого будет достигнуто это предельное значение. К работам этого направления принадлежат работы В. И. Розенблюма (1954), А. С. Вольмира и П. Г. Зыкина (1962), Ю. В. Липовцева (1964), Л. М. Куршина и 10. В. Липовцева (1964), М. А. Колтунова (1965, 1966), Г. В. Иванова и В. Н. Шепеленко (1966).
Широкое распространение получили также полуэмпирические критерии: критерий критической деформации, касательно-модульный критерий и т. д. Обзор этих критериев содержится в книгах Ю. Н. Работнова (1966) и А. С. Вольмира (1967).
В области устойчивости вязко-упруго-пластических систем сделаны лишь первые шаги. Вопрос об учете мгновенной пластической деформации при анализе поведения систем из материала, подверженного ползучести, разбирается в книге Ю. Н. Работнова (1966).
Устойчивость упругих системпри следящих нагрузках
В классической теории упругой устойчивости рассматривались потенциальные внешние силы (в основном гравитационного происхождения). Развитие техники привело к существенному расширению класса нагрузок, действующих на конструкцию. Среди них особое место занимают непотенциальные силы, не зависящие явно от времени. Примером могут служить силы, векторы которых поворачиваются при деформации системы, сохраняя постоянные углы с ортами местного лагранжева базиса. Силы такого типа обычно называют следящими.
Л. Николаи (1928) был, по всей вероятности, первым, кто рассмотрел задачу об устойчивости упругой системы, нагруженной следящими силами. В его работе исследуется устойчивость прямолинейной формы гибкого стержня, один конец которого заделан, а другой ——нагружен сжимающей силой и скручивающим моментом. Было установлено, что в случае, когда вектор момента является «тангенциальным» (т. е. остается направленным по касательной к изогнутой оси стержня), не существует никаких иных форм равновесия, кроме прямолинейной. Отсюда Е. Л. Николаи сделал вывод, что обычный метод определения критической силы в данной задаче неприменим. Составив уравнение малых колебаний стержня около прямолинейной формы равновесия, Е. Л. Николаи установил, что это равновесие неустойчиво при любых значениях скручивающего момента (если не учитывать демпфирование и рассматривать стержень круглого сечения). В следующей работе (1929) было показано, что при наличии неравных изгибных жесткостей прямолинейная форма стержня является устойчивой при достаточно малой величине крутящего момента. При этом существует критическая величина момента, начиная с которой прямолинейная форма перестает быть устойчивой. Результаты Е. Л. Николаи были развиты Г. Ю. Джанелидзе (1939) и И. Е. Шашковым (1941, 1950).
В работах Е. Л. Николаи отсутствовали явные указания на непотенциальный характер внешних сил. В 1939 г. В. И. Реут поставил задачу об устойчивости консольного стержня с траверсой на конце; стержень сжимался силой, линия действия которой оставалась неизменной в пространстве. Оказалось, что и здесь форм равновесия, отличных от прямолинейной, не существует. Б. Л. Николаи (1939) указал на то, что сила является неконсервативной, исследовал малые колебания стержня около положения невозмущенного равновесия и получил критическое значение силы. Работы Е. Л. и Б. Л. Николаи долгое время, по-видимому, оставались незамеченными. Это видно, в частности, из того, что Г. Циглер в 1951—1953 гг. опубликовал ряд работ, в значительной степени повторяющих результаты Е. Л. Николаи. С другой стороны, в пятидесятых годах появилось несколько работ, в которых отсутствие смежных форм равновесия у потенциальной системы ошибочно квалифицировалось как признак устойчивости невозмущенного равновесия, к неконсервативным системам применялся энергетический метод и т. п. В последние годы количество публикаций по неконсервативным задачам упругой устойчивости резко увеличилось. Укажем на работы К. С. Дейнеко и М. Я. Леонова (1955), В. В. Болотина (1956, 1959), Г. Ю. Джанелидзе (1958, 1965), К. Н. Гопака и С. Г. Кривошеевой (1959), Л. М. Зория и М. Я. Леонова (1961, 1962), Н. И. Жинжера (1967). Обзор работ этого направления можно найти в статье Г. Ю. Джанелидзе (1965).
Укажем на некоторые особенности задач об устойчивости упругих систем, нагруженных следящими силами. Потеря устойчивости равновесия такой системы может иметь как колебательный, так и неколебательный характер. В первом случае критический параметр внешних сил зависит не только от распределения жесткостей, но и от распределения масс системы. В частности, возможно снижение критического параметра при сближении парциальных частот собственных колебаний. Другой особенностью является сильное влияние демпфирования на величину критических параметров, если потеря устойчивости происходит по колебательному типу. В большинстве работ по устойчивости упругих систем при наличии следящих сил диссипативные силы в рассмотрение не вводятся. То, что в этих работах называется устойчивостью, по существу представляет собой квазиустойчивость в смысле § 4. Если вычислить критический параметр с учетом диссипации, а затем устремить коэффициенты диссипации к нулю, то предельное значение критического параметра, вообще говоря, не будет совпадать с соответствующим значением, найденным без учета диссипации. Этот эффект был обнаружен еще Г. Циглером в 1952 г. Дальнейший анализ показал (В. В. Болотин, 1959), что предельное значение существенно зависит от соотношения между парциальными коэффициентами диссипации. При этом квазикритическое значение параметра внешних сил представляет собой верхнюю границу критических значений при диссипации, стре~ мящейся к нулю. Недавно этот вопрос был более подробно изучен И. И. Жиня^ером (1967).
Следящие силы могут появиться как результат идеализации взаимодействия конструкции с потоками жидкости или газа (включая давления и реакции струй), при взаимодействии систем с электромагнитным полем и т. п., а также в упругих звеньях систем автоматического управления. Попытка реализовать следящие силы с использованием воздушных струй была предпринята Ю. Н. Новичковым (1967) и Л. К. Паршиным (1967). Устойчивость стержней, подверженных следящим силам и находящихся в сверхзвуковом потоке, изучена А. Г. Горшковым и Ф. Н. Шкляр- чуком (1966).
Устойчивость при ударных нагрузках
К задачам устойчивости упругих систем относят также многие задачи о поведении упругих тел, нагружаемых быстро изменяющимися нагрузками, если последние таковы, что им соответствуют некоторые задачи устойчивости равновесия в классической теории упругой устойчивости. При изучении динамического нагружения упругих систем обычно определяют их поведение во времени при некоторых вполне определенных начальных условиях, т. е., по существу, решают задачу Коши. Вопрос об устойчивости этих решений, как правило, не ставится. Тем не менее в прикладных работах говорят об «устойчивости», «неустойчивости», «критических силах» и т. п., приписывая этим понятиям в зависимости от контекста тот или иной смысл.
Следуя установившейся традиции, эти понятия будут также иногда употребляться в данном параграфе.
Первые работы, посвященные устойчивости упругих систем при ударных нагрузках, принадлежат И. М. Рабиновичу, М. А. Лаврентьеву и А. Ю. Ишлинскому. И. М. Рабинович (1944) рассмотрел задачу о продольном динамическом нагружении стержня, имеющего малую начальную кривизну. М. А. Лаврентьев и А. Ю. Ишлинский (1949) впервые исследо-
вали влияние величины внезапно прилагаемой силы на скорость возрастания возмущений различного типа. Авторы исходили из уравнения типа
(4.7), в первом слагаемом которого w заменялось на ш — ш0 (ш0 — начальное перемещение). Если в момент 力 = 0 прикладывается сила N = —Р, которая при 方 > 0 остается постоянной, то наиболее быстро растут те возмущения, которым соответствуют числа полуволн к, близкие к
加=(金产
Аналогичные выводы были получены для кругового кольца и круговой цилиндрической оболочки. М. А. Лаврентьев и А. Ю. Ишлинский (1949) произвели опыты, создавая ударную нагрузку при помощи взрыва, и подтвердили теоретические результаты. Среди других работ, посвященных динамическому выпучиванию стержней, укажем на работы Н. К. Снитко (1944), И. М. Рабиновича (1947, 1953), В. А. Гастева (1949), И. М. Рабиновича и А. П. Синицына (1956), А. С. Вольмира (1963), А. С. Вольмира и И. Г. Кильдибекова (1966). Динамическое выпучивание упруго-пдасти- ческого стержня было рассмотрено А. К. Перцевым и А. Я. Руколайне (1965).
Динамику выпучивания пластин и оболочек, как правило, следует рассматривать в нелинейной постановке. Исследование сводится к интегрированию уравнений типа (7.1) с инерционными членами при ненулевых начальных условиях или соответствующих уравнений с дополнительными членами, которые учитывают начальные несовершенства и т. п. В такой постановке поведение цилиндрических оболочек и панелей было впервые исследовано В. А. Агамировым и А. С. Вольмиром (1959), а также Г. А. Бойченко, Б. П. Макаровым, Н. И. Судаковой и Ю. Ю. Швейко (1959). Первая группа авторов рассматривала нагружение круговой цилиндрической оболочки силами, возрастающими во времени. Решая задачу Коши на электронной вычислительной машине, они установили значение нагрузки, соответствующей наибольшей скорости нарастания прогибов. Это значение авторы назвали «динамической критической нагрузкой». Вторая группа авторов рассматривала внезапное нагружение упругой цилиндрической панели силами, значения которых затем уменьшаются во времени до нуля. При этом оказалось возможным сформулировать задачу устойчивости. Для некоторого класса задач на плоскости параметров была построена область, соответствующая устойчивости начальной формы панели. В последние годы изучение динамического выпучивания пластин и оболочек велось широким фронтом; обзор этих работ дан в книге А. С. Вольмира (1967). Наибольший интерес и вместе с тем наибольшую трудность представляет учет влияния волновых движений и пластических деформаций на поведение оболочек при быстро меняющихся нагрузках.
К данному вопросу примыкают также задачи о взаимодействии оболочки, находящейся в газе или жидкости, с ударными волнами. Наиболее существенные результаты здесь получены В. В. Новожиловым, А. Д. Александриным, Ю. С. Яковлевым, Б. В. Замышляевым, А. К. Перцевым и Ю. И. Кадашевичем (1961—1964), Э. И. Григолюком, В. Л. Присекиным, Л. М. Куршиным, А. Г. Горшковым и Ф. Н. Шклярчуком (1961, 1963, 1967), А. С. Вольмиром и М. С. Герштейном (1965, 1966). Дальнейшие исследования в этой области должны сопровождаться отказом от чрезмерно упрощенных предположений о взаимодействии между оболочками и окружающей средой.
§ 12. Устойчивость вынужденных колебаний и параметрическийрезонанс в упругих системах
Для обширного класса задач теории упругой устойчивости уравнения возмущенного движения содержат коэффициенты, периодически зависящие от времени. Таковы задачи об устойчивости установившихся вынужденных колебаний упругих систем: прямолинейного упругого стержня, сжатого периодической продольной силой, упругой пластины или оболочки, совершающей периодические колебания в условиях безмоментной деформации, и т. д. К этому классу примыкают также некоторые задачи теории упругих колебаний для систем, параметры которых периодически изменяются во времени. Явления неустойчивости в таких системах называются параметрическим резонансом.
Рассмотрим, например, прямолинейный стержень, нагруженный продольной силой N = No + Nt cos з力. Если пренебречь осевыми деформациями в невозмущенном состоянии, то линеаризованное уравнение возмущенного движения будет иметь вид (4.7). Представляя решение в виде
W力⑺屮在⑺， (12.1)
k=l
где 屮互(％)——полная система базисных функций ——форм собственных колебаний стержня, придем к бесконечной системе обыкновенных диффе^ ренциальных уравнений с периодическими коэффициентами относительно коэффициентов ряда fk (力).Этот важный результат принадлежит В. Н. Челомею (1938), который рассматривал случай произвольного изменения сечения по длине и произвольного изменения сжимающей силы N во времени. В случае стержня, опертого по концам, неизвестные функции в системе разделяются, и мы приходим к уравнениям Матье:
fk,tt + С^ (1 — 2卩左 cos со力)/互=0 (4 = 1,2,...). (12.2)
Здесь Q左 ——частоты собственных колебаний стержня, нагруженного силой "о, N卜 ——эйлеровы силы:
Nh =Nh ="2Л2总/"2Л2总/
Nh =
Nh =
"2Л2总/
"2Л2总/
Известно, что уравнение (12.2) в некоторых областях на плоскости параметров имеет решение, неограниченно возрастающее во времени. Этим областям соответствует неустойчивость невозмущенной формы движения —установившихся продольных колебаний стержня. При малых 卩月 области неустойчивости лежат вблизи частот
3 =w (俏 〃=1, 2一..)・3 =w (俏 〃=1, 2一..)・(12.3)(12.3)
3 =w (俏 〃=1, 2一..)・
3 =w (俏 〃=1, 2一..)・
(12.3)
(12.3)
, Указанная задача была впервые рассмотрена Н. М. Беляевым (1924). В 1935 г. Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов разобрали общий случай опорных закреплений. Применив вариационный метод Бубнова, авторы в первом приближении свели задачу к уравнению (12.2). Н. Е. Кочин (1934) изучил родственную в математическом отношении задачу о колебаниях коленчатых валов. Другие задачи об устойчивости установившихся вынужденных колебаниях стержней, стержневых систем, пластин и оболочек рассматривались В. Н. Челомеем (1938, 1939), В. А. Боднером (1938), Г. Ю. Джанелидзе и М. А. Радцигом (1940), И. С. Аржаных 23 Механика в СССР, т. 3
(1940), 3. И. Халиловым (1942), В. М. Макушиным (1947), А. Ф. Смирновым (1947), А. Н. Марковым (1949), О. Д. Ониашвили (1950), В. В. Болотиным (1951—1956) и др.
Было показано (Б. 3. Брачковский, 1942; Г. Ю. Джанелидзе, 1953, и др.), что подстановка типа (12.1) приводит к разделяющимся уравнениям типа Матье — Хилла в том и только в том случае, если формы собственных колебаний упругой системы совпадают с формами потери устойчивости при статических нагрузках (собственными элементами задачи о бифуркациях). Уравнения для общего случая впервые исследовались В. Н. Челомеем (1938). В. В. Болотин (1953) предложил метод для построения областей неустойчивости в общем случае; этот метод основан на разложении решения в матричные ряды. В. А. Якубович (1958), отправляясь от результатов М. Г. Крейна (1955), развил метод, основанный на введении малого параметра. Подозрительным с точки зрения устойчивости являются частоты, лежащие вблизи
M. Г. Крейн (1955) показал, что для гамильтоновых систем области неустойчивости имеются лишь вблизи частот, которым в формуле (12.4) соответствует верхний знак. Затем В. А. Якубович (1957) установил, что для негамильтоновых систем опасными могут оказаться и остальные комбинационные частоты. В некоторых случаях (например, в задаче об устойчивости плоской формы полосы, изгибаемой периодическими моментами) комбинационные области неустойчивости (у * ") могут оказаться шире основных областей (/ = ")•
В большинстве работ по устойчивости вынужденных колебаний и по параметрическим колебаниям диссипативные силы не учитываются. В областях, которые квалифицируются как области устойчивости, решения линеаризованных уравнений невозмущенного движения ограничены. С точки зрения теории устойчивости Ляпунова это соответствует сомнительному случаю. Таким образом, для более убедительных выводов об устойчивости необходим учет диссипативных сил. Надо отметить также высокую плотность областей неустойчивости, найденных без учета диссипативных сил. Вследствие этого во многих задачах области неустойчивости заполняют почти всю плоскость параметров. Условия ограниченности решений уравнения Матье с добавочным членом, содержащим первую производную от искомой функции, изучались еще А. А. Андроновым и М. А. Леонтовичем (1927). Применительно к параметрическим колебаниям упругих систем этот вопрос рассматривался К. А. Наумовым (1946), В. В. Болотиным (1956) и К. Р. Коваленко (1959). Наименьшее значение коэффициента 卩左，при котором возможен n-й параметрический резонанс ”-й формы, имеет порядок
卩在〜(屮在尸他， (12.5)
где 屮左一относительная диссипация при колебаниях по этой форме. Вследствие соотношения (12.5) при не слишком больших амплитудах изменения внешних сил возбуждаются лишь главные резонансы(72 = 1) и, может быть, о дин-два побочных резонанса. Следует заметить, что в некоторых случаях добавление диссипативных сил может и расширить области неустойчивости. Примером служит влияние диссипации на области комбинационных параметрических резонансов. С другой стороны, весьма важный результат получил В. Н. Челомей (1956). Он показал, что введение
высокочастотных параметрических сил может стабилизировать статически неустойчивые формы равновесия.
Вопрос о необходимости учета перемещений в невозмущенном состоянии при составлении уравнений возмущенного движения был поставлен Г. Ю. Джанелидзе и В. В. Болотиным (1956). Было установлено, например, что в задаче об устойчивости прямолинейной формы стержня, сжатого периодической продольной силой, возможны явления неустойчивости при частоте внешней силы, близкой к частоте собственных продольных колебаний стержня. Большое число задач об устойчивости стержней, стержневых систем, пластин и оболочек было решено с учетом перемещений в невозмущенном состоянии. Дальнейшие исследования были выполнены Г. В. Ми- шенковым (1961), В. Ц. Гнуни (1961) и другими. В последней работе было показано, что учет перемещений в невозмущенном состоянии может расширить границы области неустойчивости для пологой панели на несколько десятков процентов.
Нелинейные задачи параметрических колебаний упругих систем впервые рассматривались И. И. Гольденблатом (1948). Систематическое изучение нелинейных задач для стержней, стержневых систем, пластин и оболочек было выполнено В. В. Болотиным (1951—1956). Параметрические колебания тонких оболочек с учетом геометрической нелинейности рассматривались Г. В. Мишенковым (1961), С. А. Амбарцумяном и В. Ц. Гнуни (1961) и другими. Нелинейные комбинационные колебания упругих систем исследовались Г. В. Мишенковым (1966).
Подробности и дополнительные библиографические указания можно найти в обзорных статьях Е. А. Бейлина и Г. Ю. Джанелидзе (1952) и Г. Ю. Джанелидзе (1965).
Устойчивость упругих систем, взаимодействующихс жидкостью или газом
Большой интерес представляют задачи, в которых рассматривается устойчивость установившегося движения упругих тел, взаимодействую- щих с жидкостью или газом. В этих задачах существенно как воздействие среды на конструкцию, так и обратное влияние деформаций конструкции на распределение скоростей, давлений и т. п. в окружающей среде. Согласно существующей терминологии задачи такого типа относятся к теории аэрогидроупругости.
Первые работы в области аэроупругости были связаны с расчетом устойчивости крыльев и оперения самолетов в потоке воздуха. Явления аэроупругой неустойчивости (дивергенция крыла, флаттер крыла и хвостового оперения) были причиной ряда неудач уже на самой заре авиации; правильное понимание и теоретическое объяснение этих явлений пришло значительно позже. Значительный вклад в эту область был внесен М. В. Келдышем и М. А. Лаврентьевым (1935); Е. П. Гроссман (1937) решил ряд задач, моделируя конструкцию балочной моделью. С точки зрения теории упругой устойчивости флаттер и дивергенция представляют собою типичные явления неустойчивости при наличии неконсервативных сил. При этом флаттер соответствует колебательной неустойчивости, дивергенция —— потере устойчивости путем разветвления форм равновесия.
Если судить по числу публикаций, то наиболее представительным направлением в данной области является теория флаттера пластин и оболочек в сверхзвуковом потоке газа. Интенсивная разработка этой теории началась десять ——пятнадцать лет тому назад в связи с задачей обеспечения 23*
устойчивости тонких обшивок летательных аппаратов. Правда, привлекательность теории панельного флаттера для исследователей в значительной степени объяснялась тем, что многие ее задачи удавалось сформулировать в «чистом» виде, т. е. не усложняя техническими подробностями. В последние годы прикладное значение этой теории значительно возросло.
Многие работы по панельному флаттеру базировались на теории плоских сечений (поршневой теории) А. А. Ильюшина (1948, 1956) или ее эквивалентах — формулах Я. Аккерета, Дж. Лайтхилла и т. п., которые устанавливают локальную связь между возмущенным давлением сверхзвукового потока на деформируемую поверхность и перемещением поверхности в данной точке. Так, малые возмущения р давления на пластину, которая обтекается сверхзвуковым потоком с невозмущенной скоростью U, направленной вдоль оси。力，определяются по формуле
^替(黑+0割・網」)
Здесь р0 ——невозмущенное давление, с° ——невозмущенная скорость звука, 乂 一 показатель политропы. Именно на основе формул типа (13.1) были получены основные качественные и количественные результаты: предсказано явление панельного флаттера, оценен порядок критических скоростей, исследовано влияние кривизны оболочки, начальных усилий в срединной поверхности, конструкционного демпфирования и т. д. В частности, было показано, что для плоской ненагруженной прямоугольной панели со сторонами одного порядка а критическая скорость U* имеет порядок
0东〜—О•
Основные относящиеся сюда результаты были получены А. А. Мовчаном с сотрудниками (1956—1961), Р. Д. Степановым (1957, I960), В. В. Болотиным (1958—1960), Ю. Ю. Швейко (1960—1966), Э. И. Григо- люком, Р. Е. Л ампером и Л. Г. Шандаровым (1963, 1964).
Исследование панельного флаттера в нелинейной постановке представляет интерес в двух отношениях. Во-первых, оно позволяет оценить амплитуды перемещений и напряжений при повышении критической скорости флаттера и ответить на вопрос, в какой мере это превышение является опасным. Во-вторых, исследование нелинейных задач необходимо для того, чтобы изучить поведение упругой системы на границе области неустойчивости и судить о возможности возбуждения автоколебаний конечной амплитуды при докритических скоростях. Теория панельного флаттера в нелинейной постановке разрабатывалась В. В. Болотиным (1958— 1961), С. А. Амбарцумяном и Ж. Е. Багдасаряном (1961), Б. П. Макаровым (1961), Ю. Н. Новичковым (1961—1963), Ю. Ю. Швейко (1961) и др. В указанных работах учитывался ряд факторов: геометрическая и аэродинамическая нелинейности, аэродинамический нагрев, начальные усилия в срединной поверхности и взаимодействие панели с подкрепляющей конструкцией. Для плоской ненагруженной прямоугольной панели, закрепленной на контуре от тангенциальных перемещений, получена оценка амплитуд (В. В. Болотин, 1958)
4-I)"
:где h — толщина панели, U* ——критическая скорость флаттера. В ряде
работ было исследовано влияние параметров конструкции на характер колебаний вблизи границы неустойчивости, рассмотрены нестационарные колебания, оценена скорость возрастания амплитуд при пересечении области неустойчивости и т. д. Многие результаты были получены при помощи аналоговых и цифровых вычислительных машин (Ю. В. Гаврилов, Б. П. Макаров и Ю. Ю. Швейко, 1959; А. С. Вольмир, А. Ю. Биркган и Э. Д. Скурлатов, 1966, 1967).
Параллельно с использованием упрощенных аэродинамических формул задачи устойчивости пластин и оболочек в потоке газа рассматривались с применением линеаризованной потенциальной теории. В. В. Болотин (1956) рассмотрел устойчивость бесконечно длинной круговой цилиндрической оболочки в условиях внешнего и внутреннего обтекания в дозвуковой и в сверхзвуковой области. Среди последующих работ укажем на статьи Б. И. Рабиновича (1959), Ю. Н. Новичкова (1963), Е. П. Кудрявцева (1964), А. Н. Гузя и В. Н. Буйвола (1966), Д. А. Дербенцева (1967). С. А. Алексеев (1967) рассмотрел задачу об устойчивости «мягкой» оболочки в дозвуковом потоке. Начиная с 1961 г. уже не раз обсуждался вопрос о границах применения поршневой теории к задачам устойчивости пластин и оболочек в потоке газа. Среди последних работ отметим статьи К. Е. Ливанова (1965) и О. Ю. Полянского (1965). Наряду с условием М》1 (М — число Маха для невозмущенного потока), условиями малости возмущений и квазистационарности, должно выполняться некоторое условие, связывающее показатели изменяемости возмущений вдоль и поперек потока. Что касается границы сверху для числа М, то она устанавливается с учетом аэродинамического нагрева, ионизации, диссоциации и других явлений, происходящих в пограничном слое. Учету влияния ионизации на устойчивость панели в потоке посвящены статьи А. Д. Лису нов а (I960), Л. П. Кляуза и А. М. Мякушева (1966), Г. Е. Багдасаряна и М. В. Белубекяна (1966).
По-видимому, имеется некоторая область, для которой применение поршневой теории приводит к разумным результатам. Поэтому ее применение оправдано, если задача осложнена некоторыми дополнительными (преимущественно конструкционными) факторами. Большое количество работ посвящено расчету подкрепленных, слоистых и анизотропных оболочек. Среди этих работ в первую очередь должны быть указаны исследования С. А. Амбарцумяна с сотрудниками (1963——1967), Э. И. Григолюка с сотрудниками (1965). Несколько статей С. А. Амбарцумяна с сотрудниками (1964—1966) посвящены рассмотрению панельного флаттера с учетом влияния температуры на упругие параметры оболочки. Среди других работ, в которых используется поршневая теория, следует отдельно упомянуть статью А. Д. Брусиловского, Л. М. Мельниковой и Ю. Ю. Швейко (1966). В ней рассматривается ставшая уже классической задача об устойчивости круговой цилиндрической оболочки конечной длины. В отличие от ряда предшествующих работ, где используется метод Бубнова, здесь доводится до численных результатов точное решение задачи. ：
Количество работ, посвященных экспериментальному исследованию панельного флаттера, невелико. Укажем на работу Г. Н. Микишева (1959), который изучал поведение плоских панелей при числах Маха от 1,7 до 3, и работу Э. И, Григолюка, Р. Е. Лампера и Л. Г. Шандарова (1964). Последние авторы исследовали устойчивость цилиндрических панелей при Rih = 2250 и М = 1,39. Эксперименты дают подтверждение общей качественной картины, которая предсказывается расчетом, хотя явление осложнено рядом побочных факторов.
Статистические методы в теории упругой устойчивости
Между понятиями устойчивости и вероятности имеется глубокая связь. Устойчивые состояния и устойчивые движения в природе и технике наиболее вероятны, а неустойчивые — наименее вероятны и даже невозможны. Статистический подход к проблеме устойчивости в некотором смысле является расширением классического подхода. Устойчивость в классическом смысле — это, по существу, свойство системы оставаться вблизи рассматриваемого. состояния (движения). Статистический подход состоит в исследовании распределений параметров системы вблизи рассматриваемого состояния и, таким образом, содержит в себе более детальное описание поведения системы.
Значение статистических методов для теории упругой устойчивости определяется в первую очередь высокой чувствительностью упругих систем к малым изменениям ряда параметров и случайным характером изменения этих параметров. Для тонких стержней, пластин и особенно оболочек такими параметрами служат малые начальные отклонения от идеальной формы (начальные несовершенства). Именно влиянием малых начальных несовершенств объясняется большой разброс экспериментальных критических сил для тонких упругих оболочек (Б. П. Макаров, 1962; А. С. Вольмир, 1963, и др.).
Решение стохастических задач для распределенных нелинейных систем встречает серьезные математические трудности. Поэтому обычно распределенную систему заменяют эквивалентной в некотором смысле системой с конечным числом степеней свободы. Одна из задач состоит в отыскании распределения критических сил по заданному распределению параметров начальных возмущений. Пусть известна детерминистическая связь между критическим параметром 0* и параметрами возмущений Ui, 〃2，. • •, ^т- Тогда при некоторых ограничениях (В. В. Болотин, 1958) плотность распределения вероятности р (0*) может быть выражена через совместную плотность р (ui? u2, . . ., um). Этот метод был применен для анализа распределения критических сил пологой цилиндрической панели, нагруженной осевыми давлениями. Вычисленные значения математических ожиданий и дисперсий оказались близки к опытным значениям. Б. П. Макаров (1962, 1963) и В. М. Гончаренко (1962) рассмотрели ряд других случаев: осевое и гидростатическое сжатие круговой цилиндрической оболочки, гидростатическое сжатие цилиндрической панели и др. Б. П. Макаров (1962) и А. С. Вольмир (1963) произвели статистическую обработку экспериментальных данных по испытаниям оболочек на устойчивость; в частности, Б. П. Макаров (1962) исследовал экспериментальные данные с точки зрения высказанной им гипотезы о возможности бимодальных распределений критических сил.
Задача о поведении упругих систем с малыми случайными несовершенствами при квазистатическом возрастании внешних сил, строго говоря, выходит за пределы теории упругой устойчивости. Пусть задана детерминистическая зависимость параметров состояния системы 内：％, . . ., % от параметра нагрузки В и параметров щ, и2, . . ., ит. Тогда при некоторых ограничениях может быть вычислена совместная плотность вероятности р 31, и?,..・，％| В) Для параметров 内，％, . . ., %. Вероятность пребывания системы в пределах области допустимых значений параметров, включающей устойчивое положение равновесия, определится путем интегрирования плотности р (生,v2, . . ., vn\ Р) по этой области. Если максимальное значение параметра нагрузки р есть величина случайная, то
применяется формула полной вероятности. Вычисленная таким путем вероятность имеет смысл меры надежности системы (В. В. Болотин, 1958, 1965).
Практическая реализация данной схемы встречает ряд трудностей. Они состоят как в нахождении детерминистической связи между параметрами, так и в экспериментальном определении плотности вероятностей р (иь 〃2，. • •，〃тп). Возможность преодоления экспериментальных трудностей недавно была пр одемонстрир ов а на Б. П. Макаровым (1967), который произвел обмер и статистическую обработку на ЭВМ около 60 круговых цилиндрических оболочек и построил к орре ляци онную матрицу первых 50 коэффициентов Фурье для функции начальных неправильностей.
Изучение устойчивости упругих систем при действии случайных динамических нагрузок было начато И. И. Воровичем (1959). Рассматривая оболочку как нелинейную систему с конечным числом степеней свободы, находящуюся под действием медленно меняющихся сил и случайных толчков броуновского типа, он исходил из следующего уравнения относительно функции р (内，％, . • •, %)：
Здесь Э ("1, г；2， • • •，匕)—потенциальная энергия системы, £ ——параметр диссипации, с ——параметр, характеризующий уровень флуктуаций. Стационарное решение уравнения (14.1) имеет вид
/(%, 2, •〃Q = Cexp (—隼9), (14.2) где С — нормировочная постоянная. Распределение (14.2) совпадает с распределением Гиббса в статистической физике. Оно описывает явную связь между устойчивостью и вероятностью (минимумы потенциальной энергии соответствуют максимумам плотности вероятности, и наоборот). В то же время распределение (14.2) может быть обосновано лишь при весьма частных предположениях о характере внешних случайных сил и диссипации в системе.
Уравнение (14.1) есть уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова для непрерывного марковского процесса в пространстве конфигураций. В работах В. М. Гончаренко (1962, 1964), М. Ф. Диментберга (1962, 1964), А. С. Вольмира и И. Г. Кильдибекова (1964, 1965) эволюция упругих систем с конечным числом степеней свободы трактовалась как марковский процесс в фазовом пространстве. Основное содержание этих работ составляет приближенная оценка вероятности «хлопка» (первого выхода за пределы сепаратрисы или первого пересечения энергетического барьера для простейшей модели оболочки ——нелинейной системы с одной степенью свободы). Эта задача изучалась также Б. П. Макаровым (1965) методом электронного моделирования. Переход к системам с несколькими степенями свободы связан, однако, с большими трудностями. В. В. Болотин и Б. П. Макаров (1965) предложили оценивать устойчивость равновесия по среднему времени пребывания системы в некоторой окрестности равновесия и разработали приближенный метод решения дифференциального уравнения Л. С. Понтрягина. Дальнейшие результаты даны в работе Б. П Макарова (1965).
Рассмотрение вероятностных задач устойчивости упругих систем, трактуемых как распределенные системы, еще только начато. В. В. Бол о-
тин и Б. П. Макаров (1967) в линейной постановке решили задачу о докри- тических деформациях пологой упругой оболочки с начальными неправильностями. Предполагалось, что масштабы неправильностей и корреляции малы по сравнению с характерным размером оболочки и что начальные неправильности образуют однородное эргодическое случайное поле. Получены формулы для корреляционных функций, спектральных плотностей и дисперсий полных и дополнительных перемещений, дополнительных усилий в срединной поверхности и т. д. Исследовано изменение спектрального состава неправильностей и характера корреляционных связей между различными типами неправильностей с увеличением нагрузки,
Ближайшие задачи и перспективы
Теория упругой и неупругой устойчивости относится к числу тех разделов механики, в процессе развития которых решение частных задач, как правило, значительно опережало разработку общих теоретических вопросов. Многие задачи, возникшие из потребностей техники, решались без должного анализа основных понятий, существа используемых методов и границы их применимости. Примером могут служить многолетнее преобладание статического метода и приведенно-модульной концепции в теории устойчивости упруго-пластических систем, необоснованное применение статических критериев к задачам упругой устойчивости при наличии неконсервативных сил и др. Само понятие устойчивости нередко использовалось применительно к задачам, в которых исследование устойчивости, по существу, отсутствовало. Впрочем, эта ситуация свойственна и ряду других прикладных наук; именно это имел в виду Р. Беллман (1964г.), характеризуя понятие «устойчивость» как «сильно перегруженный термин с неустановившимся определением».
В последнее десятилетие положение заметно изменилось к лучшему (см. § 2——4, где была сделана попытка осветить современное состояние общей теории). Все же уточнение фундаментальных понятий и разработка общих строгих методов остаются наиболее важным направлением на ближайшее будущее. Следует ожидать развития теории устойчивости деформируемых твердых тел, которая по строгости и общности соответствовала бы классической теории Ляпунова. По-видимому, можно возлагать большие надежды на теорию Ляпунова, распространенную на случай метрических функциональных пространств. Если для упруго-пластических, вязко-упруго-пластических систем, а также для упругих систем, нагруженных непотенциальными силами, удастся найти способы построения функционалов, аналогичных функциям Ляпунова в классической теории устойчивости, то мы получим новые эффективные и строгие методы для исследования конкретных задач.
В области устойчивости упругих систем, находящихся под действием потенциальных сил, наиболее важным разделом остается теория устойчивости тонких упругих оболочек. Исследования, выполненные в последние годы, окончательно поколебали утвердившуюся было ориентацию на нижние критические усилия. С точки зрения расчета тонкостенных конструкций, а также оценки экспериментальных данных наибольший интерес представляют истинные (верхние) критические усилия, найденные с учетом начальных отклонений срединной поверхности от идеального состояния, реальных способов осуществления граничных условий и реального способа нагружения. При этом во многих задачах появляется необходимость трактовать невозмущенное состояние как моментное и учитывать
при этом перемещения, соответствующие невозмущенному состоянию. Таким образом, возникает необходимость учета всей сложности поведения реальных оболочек в процессе возрастания нагрузок. Преодоление всех этих трудностей требует дальнейшего уточнения нелинейной теории упругих оболочек, разработки эффективных численных методов решения конкретных задач, не основанных на слишком жестких предположениях о характере деформации оболочек, а также совершенствования экспериментальных методов и накопления экспериментальных данных. К сказанному следует добавить, что большая часть факторов, учет которых необходим для приближения теоретических расчетных схем к реальным оболочкам, носит случайный характер. Вообще, развитие вероятностных и статистических методов является одним из наиболее перспективных направлений в теории упругой и неупругой устойчивости. В наибольшей мере это относится к теории устойчивости тонких оболочек, поскольку поведение последних весьма чувствительно к малым изменениям формы срединной поверхности, способа осуществления граничных условий и способа нагружения.
Устойчивость упруго-пластических и вязко-упруго-пластических систем остается наиболее трудным и наименее разработанным разделом теории устойчивости деформируемого твердого тела. В этой области почти исключительно используются нестрогие, приближенные методы. Хотя обычно они вполне удовлетворяют инженеров и дают правильное представление о несущей способности конструкции, с точки зрения теории положение нельзя считать удовлетворительным.
Теория устойчивости упруго-пластических систем должна строиться на основе теории устойчивости движения. Должна рассматриваться не устойчивость какой-либо формы. упруго-пластического равновесия, а устойчивость всего процесса деформирования, развертывающегося во времени. Это не обязательно требует учета сил инерции. Если внешние силы консервативны, то в силу диссипативности упруго-пластической системы достаточным будет рассмотрение медленных возмущений. Для этого можно, например, использовать «медленное» время теории пластического течения. Наряду с невозмущенным процессом следует рассматривать возмущенные процессы упруго-пластического деформирования. Исследование устойчивости сводится к выяснению условий, обеспечивающих близость возмущенных процессов к невозмущенным.
Поставленная задача является весьма трудной. Дело в том, что упруго-пластическая система представляет собой существенно нелинейную систему с нег о л он омными односторонними связями. Уже в одномерных задачах мы сталкиваемся с математическими трудностями при линеаризации уравнений возмущенного движения. Эти трудности связаны с необходимостью различать нагружение и разгрузку, а в ряде случаев учитывать вторичные пластические деформации.
В двумерных и трехмерных задачах дело еще более усложняется из-за наличия угловых точек на поверхности текучести и эффектов, связанных с деформационной анизотропией. К тому же вследствие необратимости пластических деформаций даже сколь угодно малые возмущения на любом этапе процесса деформирования могут накапливаться и, таким образом, влиять на последующее поведение системы. Ввиду этого возникает необходимость различать однократные и повторные нагружения.
Поскольку подавляющая часть конструкций работает в условиях повторных нагружений, то возникает весьма важная задача об устойчивости упруго-пластических систем при повторнопеременных нагрузках.
Эта задача, очевидно, тесно связана с задачей о приспособляемости. Приспособляемость является не чем иным, как явлением стабилизации
процесса накопления упруго-пластических деформаций. Таким образом, приспособляемость и устойчивость ——родственные понятия. Возможно, что, отправляясь от теории приспособляемости, можно получить ряд результатов, относящихся к теории упруго-пластической устойчивости. Можно высказать гипотезу, что при исчезающе малых возмущениях касательно-модульная нагрузка будет верхней границей для сил, при которых имеет место приспособляемость.
Решение перечисленных вопросов требует соответствующего развития теории пластичности. Поведение упруго-пластических систем в процессе потери устойчивости может существенно отличаться от пропорционального нагружения. Поэтому требуется подробное и адекватное описание процесса пластического деформирования при малых, но резких с качественной стороны изменениях путей нагружения. Возможно, что здесь потребуется учет временных эффектов.
Задачи упруго-пластической устойчивости, сформулированные в строгой и полной постановке, могут оказаться слишком трудными для их практического использования. Кроме того, строгая постановка может оказаться нереалистичной с практической точки зрения. В этом случае исследование устойчивости целесообразно заменить непосредственным решением задачи Коши при заданных возмущениях. Развитие вычислительной техники открывает широкие возможности для такого подхода. В сущности, речь идет о математическом моделировании движений, смежных с невозмущенным движением. Этому моделированию можно придать статистический характер, если задавать возмущения в соответствии с некоторыми вероятностными распределениями. Аналогичные подходы уже используются для изучения систем, работающих в условиях ползучести или находящихся под действием ударных нагрузок. Следует отметить, однако, что при этом решаются не задачи устойчивости, а некоторые родственные задачи. При надлежащей постановке такой анализ может дать более полную информацию о свойствах движения, смежных с невозмущенным, чем анализ устойчивости в узком смысле.
В неклассических разделах теории устойчивости также имеется много нерешенных вопросов. Возьмем, например, теорию устойчивости упругих систем, взаимодействующих с жидкостью или газом. В настоящее время наблюдается стремление к использованию более совершенных аэродинамических подходов, стремление к получению точных решений или хотя бы весьма надежных приближенных решений на основе применения ЭВМ. На очереди стоит исследование задач с учетом пограничного слоя, турбулентных пульсаций в потоке, начальных неправильностей в оболочке, вибраций, вызываемых дополнительными внутренними факторами, и т. п. Учет дополнительных осложняющих факторов необходим, если мы желаем получить теоретические результаты, полностью согласующиеся с поведением реальных конструкций в условиях эксплуатации или эксперимента.
Остаются нерешенными некоторые вопросы, связанные с учетом влияния демпфирующих сил на устойчивость упругих систем, нагруженных непотенциальными силами. Большая часть задач об устойчивости упругих систем при наличии следящих нагрузок решалась без учета демпфирования. То, что во многих работах квалифицировалось как устойчивость, на самом деле представляет собой «квазиустойчивость» (в смысле определения, данного в § 4). Учет реальных свойств демпфирующих сил в конструкциях может привести к пересмотру некоторых решений, полу-
ченных ранее. Нуждаются в дальнейшем изучении нелинейные задачи. На очереди стоит учет упруго-пластических и упруго-вязко-пластических эффектов, а также волновых процессов в динамических задачах теории устойчивости и т. п.
Одно из наиболее перспективных направлений связано с применением методов теории вероятностей и математической статистики. Необходимость учета континуального характера упругих систем приводит к рассмотрению стохастических краевых задач. Методы решения нелинейных задач такого рода разработаны еще весьма слабо. До сих пор большая часть задач решается путем приведения упругой системы к эквивалентной в некотором смысле системе с конечным числом степеней свободы. Дальнейшее развитие в данной области требует совершенствования математических методов.
Запросы техники и внутреннее развитие теории будут способствовать постановке все новых и новых задач устойчивости деформируемых систем. В этом отношении теория устойчивости практически неисчерпаема. Разнообразие конструктивных схем, среди которых мы находим сложные пространственные стержневые и тонкостенные системы, анизотропные, подкрепленные и слоистые конструкции, сетчатые и «мягкие» оболочки и т п., разнообразие механических свойств материалов и связанная с этим необходимость учитывать упругие, пластические и вязкие деформации, разнообразие окружающих сред (газ, жидкость, плазма, сложные реологические среды) и способов их взаимодействия с конструкциями (силовые, тепловые, электромагнитные взаимодействия)——все это служит источником новых интересных задач. Но интерес к новым задачам все же не должен уменьшать внимания к фундаментальным понятиям, общим и строгим методам.
МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ)
В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
Введение 365
$ 2. Теории разрушения и теории прочности 367
Анализ напряжений для тел с трещинами 377
Изотропное упругое тело, плоская задача 379
Осесимметричные и пространственные задачи для упругого изотропного тела 384
Кручение, изгиб и продольный сдвиг 386
Анизотропные материалы 387
Неоднородные материалы 387
Изгиб полос (балок), напряженное состояние оболочекстрещинами388
Динамические задачи теории трещин .... ‘ 388
Трещины в горных породах, развитие трещин в сжатых телах...390
Температурные напряжения 391
Анализ предельного состояния 392
Влияние конфигурации и размера конструкции на прочность . . . .394
Физическая природа масштабного эффекта 394
Статистическая природа масштабного эффекта 400
Разрушение при цикдическом нагружении 405
Влияние температуры на прочность твердых тел . • 414
. Проблемы длительной прочности 422
Влияние внешней среды на разрушение твердых тел' . .433
Вопросы перманентного разрушения 441
•§ И. Разрушение при взрыве .449
《42. Некоторые специальные вопросы механики разрушения 456
Разрушение жидкостей 457
Влияние остаточных напряжений и скорости нагружения на прочность твердых тел 460
Разрушение под действием высокочастотных электрического и магнитного полей 463
Влияние нейтронного облучения на механические свойства, прочность и разрушение твердых тел 465
Разрушение под действием мощного фотоизлучения 466
Введение
Термин «механика разрушения», появившийся несколько лет тому назад и быстро завоевавший себе популярность, употребляется в двояком «смысле. В первоначальном, узком понимании этого термина к механике разрушения относили только исследования по распространению трещин,
получившие широкий размах за последние два десятилетия как у нас в СССР, так и за рубежом, особенно в США. В более широком смысле механика разрушения включает в себя ту часть науки о сопротивлении материалов, которая связана с изучением прочности конструкций и сооружений как с учетом имеющихся в теле начальных трещин, так и без него, а также с исследованием различных закономерностей развития трещин. Именно в таком широком смысле авторы понимают здесь механику разрушения.
У истоков этой науки стоят такие корифеи, как Леонардо да Винчи и Галилео Галилей. Леонардо да Винчи, по-видимому, первым поставил задачу проведения опытов по определению несущей способности (эксперименты с железной проволокой). Хотя людям с древних времен приходилось строить различные и весьма сложные сооружения, знания о прочности и разрушении материалов раньше накапливались эмпирически и в значительной степени случайно, опыт передавался из поколения в поколение как некое искусство. Леонардо да Винчи, в частности, при- писывают открытие того явления, которое называют теперь масштабным эффектом. Однако достижения Леонардо да Винчи остались неизвестны непосредственно следовавшим за ним поколениям и поэтому не оказали влияния на развитие механики разрушения. Галилео Галилей, установивший, что разрушающая нагрузка растягиваемого бруса прямо пропорциональна площади его поперечного сечения и не зависит от его длины, по праву может считаться основоположником механики разрушения. Заметим, что этот вывод, несколько модернизированный на неоднородное напряженное состояние, до сих нор играет основную роль в практических инженер- ных расчетах на прочность.
Дальнейшее развитие механики разрушения связано с именами Ш. Кулона, А. Сен-Венана, О. Мора, А. Гриффита. Ш. Кулон, А. Сен- Венан и О. Мор положили начало теории предельного равновесия, А. Гриффит ——теории хрупкого разрушения. Обе эти теории, в настоящее время доведенные их многочисленными последовал'елями до совершенства, составляют фундамент современной механики разрушения. Они дают теоретическое описание различных свойств процесса разрушения, в той или иной мере присущих всем твердым телам.
В природе и человеческой практике встречается великое многообразие материалов, обладающих различными свойствами разрушения. Прежде всего, это металлы и их сплавы, имеющие главное практическое значение в инженерных конструкциях. Затем идут полимеры, биологические ткани и кости, горные породы и грунты, сыпучие тела, стекла и керамика, пористые материалы, композиты, лед и т. д. Многообразны также внешние условия, типы нагрузок, конфигурации конструкций, температура и пр. Изучением способности к разрушению отдельных материалов или некоторых их классов в определенных условиях занимаются в рамках различных естественно-технических дисциплин целые научные направления.
Для механики характерно стремление к описанию основных черт явления разрушения в рамках строго сформулированных и достаточно общих моделей, применяемых к некоторым классам материалов. Вместе с тем существует ряд весьма важных для практики явлений разрушения, которые до сих пор не имеют своего механического истолкования и представляют собой интересное поле деятельности для будущих теоретических изысканий.
Отдавая предпочтение наиболее типичному для механики математическому подходу, авторы тем не менее сочли необходимым изложить также
основные результаты практического направления. Авторы заранее сознают, что некоторые интересные работы по механике разрушения не отражены в предлагаемом обзоре или же освещены недостаточно. Некоторым оправданием может служить обширность избранной темы.
Ряд ценных замечаний и соображений, существенно способствовавших улучшению обзора, был высказан А. А. Ильюшиным, В. В. Новожиловым, Г. С. Писаренко, Ю. Н. Работновым, Л. И. Седовым и С. В. Серен- сеном. Авторы приносят им свою искреннюю благодарность.
Теории разрушения и теории прочности
Наличие структурных образований типа зерен, микротрещин, дислокаций, пачек молекул и т. д. во всех материалах, которые встречаются на практике, приводит к тому, что их прочность оказывается на два-три порядка меньше теоретической, соответствующей идеальному молекулярному порядку. При этом, описательно говоря, чем больше дефектность материала, отклонение его структуры от идеального порядка, тем меньше прочность при прочих равных условиях.
Для различных классов материалов характерны те или иные типы структурных образований, определяющие особенности их деформирования и разрушения. Наряду с физическим исследованием микроструктуры и микроразрушения материалов целесообразно проводить также феноменологический анализ явления разрушения на основе некоторых моделей, отражающих наиболее существенные стороны этого явления. Поскольку, по-видимому, в настоящее время еще рано говорить о возможностях построения какой-то общей теории разрушения, более предпочтительным представляется развитие частных теорий, более или менее хорошо описывающих поведение некоторых классов материалов в определенных условиях. При этом возникает необходимость достаточно полной и общей классификации основных типов поведения твердых тел и соответствующих теорий.
Вначале дадим классификацию употребляемых реологических моделей. Рассмотрим элементарный объем dx dy dz, нагруженный по поверхности напряжениями о订，как некоторый «черный ящик», на вход которого подаются напряжения о〃, а на выходе снимаются деформации £订. Для простоты будем считать, что если в число параметров этой системы ввести температуру 7, то система будет замкнутой ). Согласно основному феноменологическому допущению, деформации £订 должны вполне определяться величинами о订,7 и эволюцией их изменения. При этом бесконечно малые приращения выходных величин могут быть записаны через соответствующие приращения domn, dt и dT в следующем виде:
厶订=Aijmn domn + Ви dt + Си dT (力—время). (2.1)
Здесь Ацтп. B»j, 。订 一 некоторые функционалы от параметров £订(瑞 勿 z,力)，0订(瑞 у, z,力)，T (瑞 у, z,力)в области, занятой телом.
Введем гипотезу «близкодействия». Согласно этой гипотезе параметры, определяющие уравнения (2.1) для произвольно взятого элементарного объема, не зависят от состояния в любом другом элементарном объемег даже сколь угодно близко расположенном. Кроме того, предполагается, что в уравнения (2.1) не входят объемные силы (в частности, инерционные
и гравитационные). Эта гипотеза основана на физическом наблюдении, заключащемся в том, что силы взаимодействия элементарных частиц весьма быстро убывают с увеличением расстояния между ними. Системы, удовлетворяющие этой гипотезе, будем называть системами с близкодейст- вием. Многие известные в механике реологические модели относятся к системам с близкодействием. Только такие системы и рассматриваются в дальнейшем. Функционалы Aijmn,少订,。订 по 力,力，沙,z в определяющих уравнениях (2.1), в случае систем с близкодействием вырождаются в функционалы только по t от параметров £订 о力，Т и только нескольких их производных по X. у, z.
Реологические модели для систем с близкодействием можно разбить на градиентные и безградиентные. В последнем случае в определяющие уравнения производные по 力,у, z от £订 о订,Т не входят. Большинство изучающихся в механике моделей являются безградиентными, однако в теории упругости были предложены также некоторые градиентные модели (Э. и Ф. Коссера, Р. Д. Миндлин и Р. А. Ту пин за рубежом; В. В. Болотин, В. А. Ломакин, В. В. Новожилов и М. Э. Эглит в СССР). В последние годы внимание к градиентным теориям заметно усилилось. По-видимо- му, это объясняется тем, что физические теории микронеоднородного упругого тела приводят к необходимости учета градиентных членов для некоторых порядков производных.
Если функционалы /订龍九,В订,0订 «неинвариантны» относительно сдвига во времени, то соответствующие системы называют системами «со старением». (В действительности время влияет через соответствующие структурные физические параметры, которые исключаются из явного рассмотрения.) Системы такого типа в теории ползучести изучал, в частности, Н. X. Арутюнян (применительно к ползучести бетона). Неинвариантность относительно сдвига во времени показывает, что реологические свойства системы изменяются со временем. Большая часть предложенных реологических моделей инвариантна относительно изменения начала отсчета времени и поэтому описывает системы, свойства которых не изменяются со временем. Далее в настоящем обзоре рассматриваются только безградиентные модели, инвариантные относительно сдвига во времени, для систем с близкодействием.
Дальнейшую классификацию таких систем естественно дать по характеру реакции системы на внешние возмущения. Заметим, что роль реакции системы (элементарный объем) играют деформации &订，а роль внешних возмущений ——нагрузки о订 и температура Т на поверхности элементарного объема. Здесь не обсуждается (не имеющий в данном случае принципиального значения) вопрос о том, в каком смысле понимаются, вообще говоря, конечные деформации £订 элементарного объема. Мы предполагаем, что для заданного состояния частицы, начиная с некоторого момента времени 力 = 0, эволюция внешних возмущений о订：и 7 в точности известна; считается известным также распределение ?订,о订 и 7 в начальный момент 力=0. Элементарный объем состоит из одних и тех же материальных частиц (力,у, z ——лагранжевы координаты). Требуется определить реакцию системы ?行 во времени.
Реакция системы на внешнее возмущение может быть мгновенной и с последействием (соответствующие системы будем называть системами с мгновенной реакцией и с последействием). Для систем с мгновенной реакций Ви = 0, а функционалы Ацтп и С^ не зависят от времени (в том числе от производных параметров по t любого порядка). В таких системах реакция на мгновенное возмущение появляется мгновенно и в дальнейшем,
вообще говоря, остается неизменной, если о〃 и Т не изменяются. В произвольных системах естественно представить полную реакцию (полное приращение деформаций) в виде суммы мгновенной реакции и последействия. Последнее, по определению, представляет собой ту часть полной реакции, которая возникает с течением времени.
Предположим, что внешнее возмущение исчезает с течением времени. При этом реакция системы также может исчезнуть (обратимая реакция). Системы, в которых хотя бы за бесконечно большое время реакция на исчезнувшее возмущение также исчезает, будем называть системами с обратимой реакцией (это определение моделей в теории упругости, см. Л. И. Седов, I960). Таким образом, полную реакцию произвольной системы на исчезнувшее внешнее возмущение в некоторый конечный момент времени можно представить в виде суммы обратимой реакции и необратимой, кото- рая остается даже по истечении сколь угодно большого промежутка времени. В свою очередь, каждое слагаемое состоит из мгновенной реакции и последействия. Остаточные деформации характеризуют «память» системы об исчезнувшем внешнем возмущении в прошлом.
Основные реологические модели по типу реакции можно классифицировать следующим образом.
Термоупругое тело относится к системам с мгновенной обратимой реакцией. Деформации &/ в термоупругих телах представляют собой однозначные функции о订 и Т. Таким образом, для этого случая коэффициенты Aijmn и Си {Bij = 0) в определяющих уравнениях (2.1) представляют собой некоторые обычные функции от о订 и 7, удовлетворяющие, кроме того, условию существования полного дифференциала. К тому же выводу можно прийти, используя термодинамический метод. Дальнейшие упрощения в уравнения (2.1) привносятся при наличии свойств физической или геометрической симметрии системы (например, изотропии), малости деформаций, линейности соотношений (2.1), изотермичности процесса. В рамках таких моделей удалось найти эффективное решение многих важных задач о деформации твердых тел. Соответствующие направления в механике твердого деформируемого тела изучались в многочисленных работах советских авторов (В. В. Болотин, Л. А. Галин, Э. И. Григолюк, Н. И. Мусхелишвили,7 В. В. Новожилов, Г. С. Писаренко, И. М. Рабинович, А. Р. Ржаницын, Г. Н. Савин, В. И. Феодосьев и др.). Работы по этим разделам освещены в других обзорах этого тома.
Упруго-пластическое тело принадлежит к системам с мгновенной реакцией (石订 = 0). Введение дополнительной гипотезы о существовании поверхности нагружения и применение квазитермодинамического постулата Драккера, по-видимому, наиболее просто позволяют получить ассоциированный закон течения, лежащий в основе современной теории упруго- пластических сред. Вместо постулата Драккера можно использовать также следующие два допущения: а) вся необратимая работа переходит в тепло, б) скорость приращения энтропии максимальна; возможно принять и некоторые другие допущения. Согласно асеоциированному закону роль эксперимента, кроме определения термоупругих констант, сводится к определению поверхности нагружения и ее изменения при необратимых процессах деформирования. Использование дополнительных физических принципов дает возможность найти в специальной форме функционалы Ацтп и Cfj из меньшего числа опытов. Тело называют идеально упругопластическим, если соответствующая поверхность нагружения не изменяется при любом процессе деформирования (в этом случае ее называют также поверхностью текучести или условием текучести).
24 Механика в СССР, т. 3
Наиболее известны различные варианты теории текучести, применяемые в основном к металлам и их сплавам, а также к грунтам (Р. Мизесг Э. Рейсс, В. Койтер, В. Прагер, Ф. Ходж, В. В. Новожилов, X. А. Рахматулин, С. С. Григорян, Д. Д. Ивлев и др.).
Если имеет место пропорциональное нагружение, т. е. в каждой точке тела параметры состояния возрастают по известному закону прямо пропорционально параметру нагружения, то уравнения (2.1) (при 5订=0) интегрируются. То же самое справедливо для любого фиксированного пути нагружения данной малой частицы в пространстве (о订，7). В таком направлении подходят к изучению упруго-пластических сред так называемые деформационные теории пластичности (Г. Генки, А. Надаи, А. А. Ильюшин, В. Д. Клюшников, В. С. Ленский и др.).
В СССР по теории пластичности проводились и проводятся широкие исследования как общего порядка (А. А. Ильюшин, В. В. Новожилов, Л. И. Седов и др・), так и посвященные решению конкретных проблем (Л. А. Галин, Д. Д. Ивлев, А. А. Ильюшин, Л. М. Качанов, X. А. Рахматулин, В. В. Соколовский, Г. П. Черепанов, Г. С. Шапиро и др.).
Следует отметить, что основные успехи в решении конкретных задач в основном связаны с идеальной жестко-пластической моделью или с одномерностью задачи, однако определенные результаты достигнуты и по гораздо более сложным неодномерным упруго-пластическим задачам.
Теории предельного состояния (идеальное жестко-пластическое тело, сыпучее тело, тело, не выдерживающее растягивающих напряжений, и др.) можно рассматривать как предельные случаи соответствующих теорий идеальной у пр у г о-п л астической среды, в уравнениях которых опускаются члены с упругой компонентой деформации.
Вязкое тело относится к системам с последействием (с нулевой мгновенной реакцией) и с необратимой реакцией; при этом в уравнениях (2.1) Аитп = °订=0. При этом естественно считать В订 обычными функциями 仃订，£订 и 7. В простейшем случае, когда 石订 представляют собой линейные функции 6/, получается классическая модель вязкой жидкости.
Если учесть также мгновенную деформацию, определяемую согласно теории упруг о-п л а стиче ских сред, и считать 石订 некоторыми функциями о订，(£订—efp и 7, то из (2.1) получится наиболее широко распространенный вариант теории ползучести металлов (% — мгновенные деформации). В основу этой теории положено допущение о существовании потенциала скоростей ползучести. Исследования по теории ползучести получили большой размах в работах Н. X. Арутюняна, Л. М. Качанова, Ю. Н. Работыова, М. И. Розовского и др. ).
Наследственное тело с последействием и с полностью обратимой реакцией описывает поведение большинства полимерных материалов. Весьма общее описание таких систем дается при помощи несколько обобщенной теории Вольтерра:
t
£疗=/о (①力 Т)+ ^Kijmn [Т, Z —，，отп (У)] dtr + о
力t+ J J Kijhimn [T,0 0力t+ J J Kijhimn [T,0 0t —方‘"一方"，O/u ('), ^mn «")] dtr dt" + •. •,t —方‘"一方"，O/u ('), ^mn «")] dtr dt" + •. •,(2・2)(2・2)
力t
+ J J Kijhimn [T,0 0
力t
+ J J Kijhimn [T,0 0
t —方‘"一方"，O/u ('), ^mn «")] dtr dt" + •. •,
t —方‘"一方"，O/u ('), ^mn «")] dtr dt" + •. •,
(2・2)
(2・2)
где
Kijmn [Т,方一，，amn (门=0при f > 脸
(2.3)(2.3)K/jhlmn [Т, t — У, t —方"，O/U&), ^тпп (^Э! ~ ^ При 方‘> %,产 > %
(2.3)
(2.3)
Kijmn (T, & amn) f опри 力 f ОО,
К ijh imn (T,力 Z, Ghl, ^mn)0при Zf 8,
Здесь Kijmn, Kijkimn,・・・ ——непрерывные однозначные функции аргументов Т, (Утш Gkb . . . и вообще говоря, обобщенные функции.
Если отказаться от условий (2.3), то появится также остаточная компонента деформаций и уравнениями (2.2) можно будет описывать также необратимую реакцию (ползучесть).
Наиболее широко распространен вариант линейного вязко-упругого тела или наследственного тела Больцмана, содержащегося в (2.2). По вязкоупругости наиболее существенные результаты в СССР получены в работах Н. X. Арутюняна, А. А. Ильюшина, А. К. Малмейстера, Ю. Н. Работнова и др.
Вязко-пластическое тело относится к разновидности нелинейно вязких сред. Предполагается, что в пространстве (仃订，Т) существует такая фиксированная поверхность, что по одну сторону от этой поверхности реакция на внешнее возмущение отсутствует, а на самой поверхности среда ведет себя как некоторое вязкое тело. Простейшими моделями такого типа описывается поведение густых смазок, металлов при высоких температурах и т. д. В СССР теория вязко-пластического тела разрабатывалась в трудах А. А. Ильюшина, X. А. Рахматулина, В. В. Соколовского и др.
Указанными основными типами реологических тел (упруго-пластическое, вязкое и наследственное тела) или некоторой их комбинацией описывается поведение рассматриваемой системы, если только в системе нет каких-либо скрытых параметров (описывающих, например, химические реакции, фазовые переходы, электромагнитные эффекты и т. д.). В конкретных исследованиях основная сложность заключается в искусстве разумного подбора наиболее простой модели, дающей требуемое объяснение и описание наблюдаемого на опыте реологического явления.
Правильный выбор реологической модели является определяющим при решении проблемы разрушения и прочности, которой занимается механика разрушения. Без предварительного исследования деформатив- ных свойств тел невозможно изучение задач механики разрушения. Вместе с тем подчеркнем, что в физическом плане пластическое де巾орми・ рование играет роль процесса накопления повреждений, т. е. процесса микроразрушения, постепенно подготавливающего макроскопическое раз, рушение.
Работы по механике разрушения можно разбить на два направления. Согласно первому направлению, берущему начало еще от Галилея, предполагается, что разрушение тела происходит, как только в некоторой его точке определенная комбинация параметров о订,£订,Т и t достигнет критического значения. При этом сам процесс разрушения не рассматривается. Ясно, что при таком подходе проблема прочности решается тем или иным подбором реологической модели и критерия разрушения (выбор последнего в сопротивлении материалов обычно называют теорией прочности).
Этот подход является прямым логическим следствием принятого феноменологического рассмотрения в рамках указанных параметров. Физически он оправдывается тем, что развитие дефектов материала,
24*
приводящих к потере несущей способности, весьма часто происходит в узкой околокритической области, так что детальное знание самого процесса разрушения имеет второстепенное значение. При этом определяемый экспериментально критерий разрушения часто можно рассматривать как результат сложных микрофизических процессов разрушения, происходящих в масштабе структурной ячейки вплоть до молекулярного уровня и приводящих к образованию макродефекта. Кроме того, поведение макродефекта (понимаемого феноменологически как некоторый разрыв смещения) зависит от типа разрыва. Например, образование дислокаций и линий скольжения, даже перерезывающих тело, как правило, не приводит к его разрушению.
В качестве критериальной величины чаще других берут наибольшее главное напряжение, наибольшее главное относительное удлинение, наибольшее главное касательное или октаэдрическое напряжение, удельную энергию формоизменения, полную удельную энергию деформации. Каждый из критериев применим при вполне определенных условиях для некоторого класса материалов. Правильное использование этих критериев существенно зависит от практического опыта исследователя или инженера. Накоплению такого опыта посвящено большинство экспериментальных работ по прочности, излагаемых ниже.
Заметим, что в разное историческое время этим критериям придавали различное значение. Например, Г. Ламе и В. Ранкин принимали в качестве критерия прочности наибольшее главное напряжение, а В. Понселе и А. Сен-Венан — наибольшую деформацию.
Приведем два наиболее ярких образца использования, например, критерия наибольшего главного относительного удлинения.
При растяжении стержня под действием постоянного напряжения о, вообще говоря, возникают необратимые деформации ползучести (наиболее существенные для металлов при высоких температурах и полимеров). При этом большую часть времени до разрушения т стержень ползет с постоянной скоростью деформации % (установившаяся ползучесть). Таким образом, получаем
£宀=£о, (2・4)
где £о —— наибольшее относительное удлинение. Если считать величину 8Q постоянной материала и учесть эмпирическую зависимость скорости установившейся ползучести от нагрузки )
% = се九о (С и 九 一 постоянные материала), (2.5)
то формула (2.4) позволит найти время до разрушения в зависимости от приложенного напряжения. Получающаяся формула для долговечности была предложена впервые С. Н. Журковым. Дальнейшие экспериментальные исследования С. Н. Журкова и его сотрудников показали справедливость этой формулы для широкого класса полимеров и металлов, в том числе и для таких материалов, которые до разрушения практически не обнаруживают необратимых деформаций и разрушаются хрупко. Для последних приведенные выше соображения теряют смысл.
При нагружении стержня циклическим напряжением с амплитудой о, меньшей условного предела текучести сг0>2, в стержне происходит нако-
пление пластической деформации и усталостное изменение структуры материала, физически объясняющиеся его микронеоднородностью и, как следствие, невозможностью избежать локальной концентрации напряжений. Пусть за каждый цикл накапливается деформация △&「， причем величина Аер экспоненциально зависит от приложёнцого напряжения о (по аналогии с накоплением необратимых деформаций ползучести):
(2.6)(2.6)Agp = BeaQ.
(2.6)
(2.6)
Очевидно, деформация 80, накопленная за N циклов до разрушения, будет равна AgpN. Отсюда, используя допущение о постоянстве 80, легко найти число циклов до разрушения в зависимости от нагрузки (кривая Велера):
N二鼻(2.7)
Такая зависимость действительно наблюдается в том случае, когда нагрузка ст больше предела усталости. При меньшей нагрузке, по-видимому, вследствие эффекта микроприспособляемости становится неприемлемым допущение о накоплении пластических деформаций.
По изучению теории прочности в СССР были проведены многими научными коллективами широкие исследования, связанные с именами Н. М. Беляева, В. В. Болотина, Н. Н. Давиденкова, А. Н. Динника, С. Н. Журкова, А. А. Ильюшина, Л. М. Качанова, В. В. Новожилова, И. А. Одинга, Г. С. Писаренко, С. Д. Пономарева, И. М. Рабиновича, Ю. Н. Работнова, П. А. Ребиндера, А. Р. Ржаницына, С. В. Серенсена, Н. С. Стрелецкого, Г. В. Ужика, В. И. Феодосьева, Я. Б. Фридмана, Н. П. Щапова и многих других. Эти исследования позволили выработать методы расчета, коэффициенты запаса, стандарты и нормативы, по которым строятся разнообразные сооружения и механизмы. Можно уверенно сказать, что без использования результатов этих исследований был бы невозможен грандиозный успех в подъеме строительства и индустрии в СССР.
Изучение критериев разрушения (теорий прочности) в рамках указанного подхода в настоящее время сохраняет основное практическое значение при расчетах на прочность. Однако исследование прочности и разрушения только в этом направлении недостаточно по ряду причин.
Еще В. Фойхт, проведя серию экспериментов с хрупкими материалами, пришел к отрицательному заключению относительно возможности применения критериев прочности. П. Бриджмен обнаружил в 1931 г. явление «пинч-эффекта», которое невозможно объяснить с позиций теорий прочности (объяснение этого явления дано Г. П. Черепановым, 1965). В известной работе А. Ф. Иоффе с сотрудниками (1924) была поставлена серия опытов по изучению прочности кристаллов каменной соли при различных состояниях поверхности образца. Было обнаружено, что прочность кристалла с растворенным в горячей воде поверхностным слоем во много раз превышает его техническую прочность, достигая в отдельных случаях значения теоретической прочности. Обнаруженный эффект, а также многочисленные случаи разрушения металлических конструкций при напряжениях, меньших условного предела текучести сг0> 2, и многие другие явления разрушения, принципиально необъяснимые с точки зрения теорий прочности, заставили некоторых исследователей отказаться от галилеева представления о прочности как о некоторой константе материала (разумеется, при фиксированных внешних условиях). Это направление, берущее начало от работ А. А. Гриффита, Дж. И. Тейлора, Э. О. Орована, Дж. Р. Ирвина и др., опирается на изучение самого процесса разрушения.
В качестве исходных используются обычно следующие соображения.
Разрушение твердого тела почти всегда происходит вследствие развития в нем некоторых поверхностей разрыва смещений. При этом, если реализуется разрыв нормального к поверхности смещения, то говорят о трещине нормального разрыва (отрыва) или просто трещине; если же реализуется разрыв касательного к поверхности смещения, то говорят о трещине сдвига или дислокации. Роль указанных двух типов разрывов различна в различных конкретных условиях. С уменьшением прочности материала, увеличением температуры, при сжатии, как правило, возрастает роль трещин сдвига и дислокаций. С увеличением прочности, уменьшением температуры, при наличии циклических нагрузок, агрессивных сред, облучения, как правило, возрастает роль трещин нормального разрыва.
Развитие поверхностей разрыва начинается с несовершенств структуры материала, которые приходится рассматривать в начальный момент как некоторые заданные конечные возмущения, всегда присутствующие в системе. Эти возмущения обычно рассматривают в виде некоторых начальных трещин или дислокаций, что хорошо согласуется с прямыми экспериментальными наблюдениями. Дальнейшее развитие начальных возмущений при нагружении может быть самым различным.
Для роста дислокаций характерно почти одновременное и стабильное развитие сразу многих дислокаций, образующих полосы скольжения и целые пластические области. Поэтому теория дислокаций является физической основой феноменологической теории пластичности. Заметим, что модель идеального упруго-пластического тела и теории предельного состояния (типа теории Мора )) дают ответ на вопрос о предельных нагрузках и несущей способности конструкций в рамках самой реологической модели без привлечения каких-либо д оп о л ните л ьных критериев прочности.
Для роста трещин характерно преимущественное развитие одной наиболее опасной трещины (однако есть исключения, например рост трещин в условиях сжатия, близкого к всестороннему), способность ее к быстрому неустойчивому росту, обычно вызывающему разделение тела на части. При составлении критерия прочности на основе теории трещин оказывается, что в большинстве случаев получаются обычные теории прочности, однако фигурирующие в них константы следует считать уже зависящими от размеров начальных трещин, а также от их формы и местоположения. Впрочем, для широкого круга явлений разрушения микронеоднородных тел прочность не зависит от величины начального возмущения (начальной трещины) и определяется характерными параметрами структуры тела, например величиной зерна (на это обстоятельство обратил в 1939 г. внимание Г. Нейбер; см. также Г. П. Черепанов, 1967). Таким образом, формально к этому вопросу можно подойти как к простейшему обобщению обычных теорий прочности введением одного дополнительного внутреннего структурного параметра, не участвующего в формулировке реологической модели. Такой подход созвучен идее о введении в уравнения состояния дополнительных структурных параметров, развиваемой Л. И. Седовым. Не следует забывать также о том, что исследование процесса разрушения весьма часто представляет самостоятельный интерес вне связи с вопросом о несущей способности.
Исторически теория дислокаций и теория трещин сложились отдельно; различие формального аппарата этих теорий объясняется тем обстоя-
тельством, что в теории дислокаций рассматривают непосредственно разрывы смещений и поэтому в линейной теории имеют дело с логарифмическими особенностями, а в теории трещин на поверхности разрыва обычно задают силовые условия и поэтому имеют дело со степенными особенностями. Однако между этими теориями имеется глубокое внутреннее сходство, заключающееся в том, что коэффициентам при этих особенностях в обеих
теориях придается смысл основных параметров системы, ведущих процесс.
В теории трещин наиболее принципиальным моментом является формулировка условия локального разрушения в рассматриваемой точке контура трещины. Для решения вопроса о развитии трещины это так же важно, как, например, выбор правильного критерия разрушения для гладкого образца. Р 1
Наиболее просто формулируется уело- Т*
вие локального разрушения в теории так〃/
называемых квазихрупких трещин, когда Ц наибольший размер области пластических〃
деформаций в рассматриваемой точке конту-/
ра трещины мал по сравнению с расстояни- •ем этой точки до ближайшей границы тела. ^
Простейший вариант этого условия на осно-"
ве физических идей А. А. Гриффита и Г. Ней-Рис- (•
бера был предложен в 1957 г. Дж. Р. Ирвином. Он заключается в том, что коэффициент при особенности напряжений в рассматриваемой точке в момент локального разрушения (и продвижения трещины в этой точке) считается равным некоторой постоянной материала; при этом напряжения вычисляются в предположении идеальной упругости тела. Поскольку указанный коэффициент представляет собой некоторую функцию внешних нагрузок, длины трещины и геометрии тела, находимую из решения упругой задачи в целом, условие локального разрушения на контуре трещины в принципе позволяет определить ее развитие и, в частности, отыскать ту комбинацию внешних нагрузок, которая разделяет области устойчивости и неустойчив ости.
Если рассматривать эти внешние нагрузки как некоторые независимые параметры, вполне определяющие состояние системы, то полученная комбинация нагрузок будет аналогична поверхности предельного равновесия для этого же тела без трещины из некоторого гипотетического идеального упруго-пластического материала. Однако при изменении пути нагружения разрушающая комбинация нагрузок, вообще говоря, будет другой. Таким образом, аналогия поведения идеально упругого тела с трещиной некоторому идеальному упруго-пластическому телу без трещины справедлива лишь для каждого заданного пути нагружения (в частности, для пропорционального нагружения или при монотонном увеличении одного внешнего параметра нагрузки). На рис. 1 эта аналогия изображена схематически диаграммой в координатах «обобщенная нагрузка р ——обобщенное смещение и» (стрелками изображены допустимые способы передвижения по диаграмме). Разумеется, аналогия имеет место с точки зрения внешнего наблюдателя, который умеет лишь измерить реакцию системы и на внешнее возмущение р.
Были предложены различные модели детального механизма разрушения в конце квазихрупкой трещины. Модель Леонова ——Панасюка (1959), предложенная независимо от зарубежных авторов, наиболее проста и уни- ъерсальна. Согласно этой модели принимается, что на продолжении трещины имеется область ослабленных связей; толщина этой области в рамках
теории малых деформаций считается равной нулю. Кроме того, предполагается, что пр отивоположные берега этой области притягиваются один к другому некоторым напряжением, представляющим собой константу материала, а в начале этой области, совпадающей с концом трещины, скачок нормального смещения в момент разрушения становится равным некоторой другой константе материала. Этот критерий может быть применен также к трещинам в упруго-пластических телах, если пластическая область не мала, но пластические деформации сосредоточены вдоль некоторого тонкого слоя на продолжении трещины. Последний случай реализуется,, например, в тонких пластинах из мал оу гл ер одной стали.
В дальнейшем было показано, что все известные модели (а их в настоящее время насчитывается около десяти), отличающиеся детальной схемой описания локального разрыва в конце хрупкой трещины, эквивалентны в том смысле, что всегда приводят к условию Гриффита — Ирвина.
Подход к описанию развития трещин в произвольных сплошных средах был предложен Г. П. Черепановым (1967). Он основан на энергетической концепции и на представлении о сверхтонкой структуре конца трещины, размер которой мал сравнительно с размером пластической области вблизи вершины трещины.
Теория предельного равновесия и теория хрупких трещин составляют основу современной механики разрушения. На основе этих теорий было решено много конкретных проблем большого практического значения. Эти теории дают идеализированное описание свойств пластичности и хрупкости, которые присущи в разной мере всем твердым телам. Однако не следует противопоставлять феноменологические теории прочности и теорик> трещин, которая расшифровывает феноменологическое понятие сопротивления отрыву, объясняет снижение последнего по сравнению с бездефектным кристаллом и придает ему статистический характер.
В реальных условиях прочность твердого тела может зависеть от ель дующих основных факторов: материала, формы и размеров тела, времениу способа приложения нагрузки, числа циклов нагрузки, температурыг параметров, определяющих степень агрессивности внешней среды, скорости и предыстории деформирования.
В следующих параграфах будут указаны, в частности, некоторые обобщения упомянутых выше теорий на случай влияния этих факторов (простейшие обобщения состоят, например, в указании зависимости постоянных, фигурирующих в этих теориях, от некоторых параметров).
На практике оказывается, что существует некоторая переходная зона изменения указанных факторов, которая отделяет область вязкого разрушения от области хрупкого разрушения, причем в последней эксплуатация конструкции обычно считается недопустимой. В области вязкого разрушения расчет прочности производят либо по теории предельного равновесия, либо по теориям прочности.
Вывод о недопустимости работы конструкции в области хрупкого разрушения связан с трудностью обнаружения заранее, методами неразрушающего контроля, трещиноподобных дефектов, могущих привести к разрушению и фигурирующих в формулах хрупкой прочности. Следует иметь в виду, что типы таких дефектов многообразны; могут быть, например, различного рода непровары в сварных конструкциях, зоны окисленного или охрупченного металла, загрязнения, инородные включения металлургической или технологической природы и т. д. Во многих ответственных конструкциях зачастую не удается избежать даже весьма больших
по размерам дефектов. Это связано, прежде всего, с общей тенденцией использования все более прочных (и, как правило, более хрупких) материалов и со специфическими условиями работы некоторых конструкций. Следует принять также во внимание, что разрушение кристаллов, близких к идеальным, носит хрупкий характер. На подобных кристаллах, пока еще в лабораторных условиях, достигнуты весьма большие значения прочности, в десятки и сотни раз превосходящие техническую прочность.
Вывод о недопустимости работы конструкции в области хрупкого разрушения имеет временный характер, и в будущем, по-видимому, его придется пересмотреть. В некоторых конструкциях уже в настоящее время допускается наличие контролируемых трещин, размеры которых не превышают критические.
Отметим два важнейших круга задач, когда вопрос о предельных нагрузках может быть в принципе решен без привлечения механики разрушения, на основании решения задачи в рамках реологической модели. Это — случаи, когда тело способно испытывать произвольные конечные деформации, и задачи на потерю устойчивости.
Анализ напряжений для тел с трещинами )
В последнее время изучению способности материалов к трещинообра- зованию и определению возможности эксплуатации элементов конструкций и сооружений с трещинами уделяется значительное внимание. Одной из важнейших особенностей при такого рода расчетах в рамках линейной теории упругости является учет возникающего перераспределения напряжений в результате образования щелей и трещин под действием внешних нагрузок. Коэффициенты при особенности упругих напряжений в конце трещины (которые, согласно условию Гриффита — Ирвина, определяют локальное разрушение в рассматриваемой точке контура трещины) называют коэффициентами интенсивности напряжений.
При этом поле упругих напряжений в малой окрестности произвольной точки О контура трещины представляется в следующем виде: аж==лЬС081 G — sin^sin f)—醫 Sin^(2 + cos|cosf), '
Ki 6/4 . .0 . 30 \ . Кц . 0030
+芳sm讶)十^sm万cos2 cos讶‘
M • e 030 - хп 0 /.. 0.. зо\
кeOz = v(o“ + oJ rxz= —^p^-sin-^- ,кeOz = v(o“ + oJ rxz= —^p^-sin-^- ,Km"!/2冗厂Km"!/2冗厂0 cos 2,0 cos 2,(3.1)(3.1)
кe
Oz = v(o“ + oJ rxz= —^p^-sin-^- ,
кe
Oz = v(o“ + oJ rxz= —^p^-sin-^- ,
Km
"!/2冗厂
Km
"!/2冗厂
0 cos 2,
0 cos 2,
(3.1)
(3.1)
十甞/£isinr (2~2v + cos24)，
Здесь о© Оу,仿 тху, rxz, ryz — напряжения, и, и, w — компоненты смещения по осям декартовой системы координат 力沙z, г и 0 ——полярные коор
динаты в плоскости ху (рис. 2), К^
"八左口，Кш — коэффициенты интенсивно-
сти напряжений, G и v ——модуль сдви- га и коэффициент Пуассона соответст- 」〜岔 венно.
Если выполняется условие ло- калвной симметрии 衣口 = &口 = О, то говорят о трещинах нормального z разрыва (или трещинах отрыва). В том
Рис. 2.случае, когда К工=Кш = 0, Кц 声 О,
применяют выражение《трещина попе» речного сдвига», а при К工=7ГП = 0, Кш 0 ——«трещина продольного сдвига».
Для наиболее распространенного и важного случая трещин нормального разрыва условие Гриффита ——Ирвина имеет следующий вид:
&＜：&e(服=啓a(3.2)
Здесь постоянная хрупкого материала К^с — критический коэффициент интенсивности напряжений, Е — модуль Юнга, у — энергия диссипации, приходящаяся на единицу площади растущей трещины *).
Нужно отметить, что в окрестности концов трещин в твердых телах условия геометрической и физической линеаризации являются недопустимыми с точки зрения определения тонкой структуры. Поэтому вблизи кромки трещины всегда существует некоторая область, в которой решение (3.1) не описывает деталей явления. При этом упругое решение (3.1) реализуется на расстояниях, больших сравнительно с характерным размером указанной области, но малых по сравнению с характерным линейным размером тела или трещин. Следовательно, при более строгой постановке задачи решение (3.1) играет роль промежуточной асимптотики. Величина у равна необратимой работе внешних сил, затраченной на образование единицы площади поверхности трещины.
Таким образом, основная задача механики хрупкого разрушения сводится к анализу напряжений в соответствующем теле с трещинами.
В настоящем параграфе изложен обзор основных работ по теории хрупких трещин, посвященных определению напряжений для тел с трещинами (при этом упоминаются не только работы, где непосредственно получено выражение для коэффициента интенсивности напряжений, но и важные для теории трещин исследования решений задач теории упругости для областей, содержащих щели и разрезы). Не останавливаясь подробно на методах решения задач математической теории трещин, отме-
ним, что исследования Г. В. Колосова и Н. И. Мусхелишвили явились тем фундаментом, на котором были построены решения важнейших задач, относящихся к этому разделу механики сплошной среды. В силу известного изоморфизма многих явлений исследования Л. А. Галина, Ф. Д. Гахо- ва, М. В. Келдыша, Н. Е. Кочина, М. А. Лаврентьева, С. Г. Лехницкого, А. И. Лурье, Г. Н. Савина, Л. И. Седова, Я. С. Уфлянда, Д. И. Шермана, И. Я. Штаермана и других ученых неоднократно использовались и могут быть непосредственно использованы в дальнейшем для получения решений задач теории трещин. Следует отметить, что большая часть работ по механике хрупкого разрушения выполнена в последнее десятилетие.
Изотропное упругое тело, плоская задача. Исследования по теории напряженного состояния вблизи отверстия, подобного разрывам при образовании трещин, были начаты Ч. Э. Инглисом в 1913 г. и Н. И. Мус- ?селишвили (1919), который в рамках классической теории упругости получил решение задачи о равновесии бесконечного тела с эллиптическим отверстием (в частности, с прямолинейной щелью) под действием произвольного поля напряжений. Основополагающими работами в механике разрушения являются работы А. А. Гриффита (Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1920, A221 : 587, 163—298; Proc. 1st Intern. Gongr. Appl. Meeh. (1924), 1925, p. 55——63), который, используя решения Ч. Э. Инглиса для бесконечного хрупкого тела с прямолинейной трещиной, определил критические значения разрывающих напряжений в случае плоской деформации и плоского напряженного состояния. Он учел явление поверхностного сцепления вблизи края трещины и предложил энергетический критерий для равновесных трещин.
В дальнейшем вопросу развития изолированных прямолинейных трещин в бесконечном хрупком теле при различных вариантах задания внешних нагрузок было посвящено большое количество работ.
Д. И. Шерман (1940) и Н. И. Мусхелишвили (1942) дали точное решение основных задач теории упругости для произвольного числа разрезов вдоль одной прямой или окружности в бесконечной плоскости.
В работе В. И. Моссаковского и П. А. Загубиженко (1954) была решена задача об определении просвета между двумя приближаемыми одна к другой упругими полуплоскостями, возникающего вследствие некоторых сил, приложенных к берегам просвета. Примерно в это же время (1955—1960) некоторые задачи о трещинах в горных породах были поставлены и решены как задачи математической теории упругости без учета прочностных свойств пород у краев выработок (см. п. 3.8).
В 1959 г. были предложены некоторые модели локального разрушения в конце хрупкой трещины (см. указанную выше модель М. Я. Леонова и В. В. Панасюка и моделирование сил сцепления у конца трещины Г. И. Баренблатта, эквивалентное по своим результатам построению Гриффита — Ирвина).
В работах В. В. Панасюка и Л. Т. Бережницкого (1965) исследован общий случай двухосного растяжения пластины с произвольно ориентированной трещиной. В. И. Моссаковский и др. (1968) рассмотрели задачу о распространении прямолинейной трещины под некоторым углом к первоначальному направлению, когда в процессе роста на, конце трещины появляется точка излома. Вопросу влияния начальных напряжений на характер распространения хрупкой трещины посвящена работа И. А. Маркузона (1965). Здесь нагрузка выбрана так, что в отсутствие начальных напряжений трещина во всех случаях развивается устойчиво, а начальные напряжения являются причиной, создающей неустойчивость.
Нужно отметить, что начало роста трещины нельзя от ождествл ять с полным разрушением. Последнее имеет место только в случае лавинообразного неустойчивого распространения. Как показывают эксперименты и расчеты, во многих случаях взаимодействия трещин с препятствиями и границами, а также в задачах взаимодействия систем трещин на значительном участке изменения нагрузки развитие трещины протекает устойчиво. Очевидно, что наличие устойчивых трещин в конструкциях и сооружениях, работающих зачастую в определенных режимах изменения внешних нагрузок гораздо менее опасно, а усиление таких сооружений за счет постановки заклепок и пластин, высверливания отверстий на пути распространения трещин и т. д. может значительно продлить их «жизнь». Задача о подкреплении трещины поперечными ребрами жесткости была решена в работе Е. А. Морозовой и В. 3. Партона (1961).
Большое значение при расчетах на прочность и разрушение имеет вопрос взаимного влияния коллинеарных или произвольным образом ориентированных систем трещин. Г. И. Баренблаттом и Г. П. Черепановым (I960) получено решение задачи о периодической системе разрезов, которая может быть использована для определения длины щели в полосе. В той же работе исследовано влияние границ тела на распространение трещин и рассмотрен случай двух трещин одинаковой длины, поддерживающихся в раскрытом состоянии с ос ред от оченными силами, приложенными к их поверхности. Более детальное исследование вопроса о предельном равновесии пластины с двумя коллинеарными трещинами равной длины и вывод расчетных формул были даны в работах В. В. Панасюка и Б. Л. Лозового (1961), Б. Л. Лозового (1964), Л. Т. Бережницкого (1965). Задача о развитии двух коллинеарных трещин разной длины рассмотрена В. В. Панасюком и Б. Л. Лозовым (1962). Б. Л* Лозовым (1964)* определены критические напряжения для пластины с тремя коллинеарными трещинами.
Л. Т. Бережницкий (1965) рассмотрел наиболее общий случай трещин разной длины, р асп о л ож енных вдоль прямой под углом к направлению* растяжения, причем полученные результаты позволяют определять критические напряжения в задачах с произвольным числом трещин разной длины, р асп о л ож енных вдоль одной оси. В случае систем трещин разной： длины, параллельных некоторому направлению, наибольшую опасность представляет та из них, которая начинает двигаться первой *).
Известно, что реальные материалы, какой бы предварительной обработке они ни подвергались, содержат большое число микродефектов различного рода, развитие которых под действием приложенного поля напряжений приводит к появлению систем трещин, где характер их взаимного влияния может быть весьма разнообразен.
В. 3. Партон (1965), используя асимптотические представления В. Т. Койтера, получил решение задачи для упругой плоскости, ослабленной двоякопериодической системой трещин одинаковой длины (шахматное расположение трещин), каждая из которых подвержена однородному растягивающему напряжению. В этой работе было показано, что определенное взаимное расположение трещин приводит к их стабилизации (устойчивое развитие).
В. М. Кузнецов (1966) рассмотрел приближенный способ решения задачи о равновесии системы полубесконечных параллельных трещин, •с постоянной нагрузкой, действующей на участке конечной длины, причем касательные усилия отсутствуют. Здесь же автор провел сравнение ，с точными решениями аналогичных задач, полученных ранее. Этим же приближенным методом П. А. Мартынюк (1966) рассмотрел упомянутую выше задачу об определении напряжений в бесконечной пластине, ослабленной «системой трещин, расположенных вдоль оси и равноотстоящих одна от другой. Как и в работе В. М. Кузнецова, здесь вводится упрощающее предположение о том, что ах = 0^ на продолжении разреза, а расстояние .между трещинами велико по сравнению с их длиной.
При рассмотрении вопроса о распространении криволинейной трещины используется дополнительная гипотеза о том, что начальное рас- лространение трещины происходит в плоскости, в которой растягивающее напряжение а0 (см. рис. 2) достигает максимального значения. Эта гипотеза была высказана независимо Г. П. Черепановым (1963) и Ф. Эрдоганом и Г. С. Си (Trans. Amer. Soc. Meeh. Engrs, 1963, D85 : 4, 519—527), а также в работах В. В. Панасюка и Л. Т. Бережницкого (1964—1966). В последних с помощью этой гипотезы были получены выражения для •определения величины предельных нагрузок в случае одной, двух и системы дугообразных трещин. Заметим, что в работе Л. В. Ершова и Д. Д. Ивлева (1967) предложена постановка задачи определения направления развития трещины исходя из энергетических соображений. Предварительное определение поля упругих напряжений в окрестности вершин разрезов осуществляется с помощью решения Н. И. Мусхелишвили ).
Особый интерес представляет вопрос исследования предельного равно- ъесия пластин, ослабленных остр оконечными отверстиями. Помимо самостоятельного значения определения несущей способности деталей с такими дефектами, важным является различие в величине критических нагрузок для этих областей и прямолинейных трещин соответствующей длины.
Эффективное решение многих задач указанного типа оказывается возлюжным при помощи методов, использующих теорию функций комплексного переменного, разработанных в монографиях Н. И. Мусхелишвили (1966, 1968), Г. И. Положего (1949), Г. Н. Савина (1951, 1968), Ф. Д. Гахова (1963), С. М. Белоносова (1962). Г. П. Черепановым (1962) указан класс задач плоской теории упругости, в котором с о отв етствующие краевые задачи для аналитических функций могут быть решены в замкнутом виде.
В. В. Панасюк (1962) построил решение задачи о растяжении пластины t отверстием в виде гипоциклоиды и определил упругие напряжения в окрестности угловых точек. Эта же задача была исследована в работе А. П. Гресько (1965) с помощью метода, предложенного С. М. Белоносовым (1962). В. В. Панасюк и Е. В. Буйна (1967) рассмотрели задачу о хрупком теле, ослабленном отверстиями в виде гипоциклоидальных полостей, не взаимодействующих одна с другой. С помощью методов Н. И. Мусхелишвили ими найдено условие достижения критического состояния хотя бы в одной из вершин отверстия. При рассмотрении вопроса о предельном равновесии пластины с острыми концентраторами напряжений В. В. Пана- екж и Л. Т. Бережницкий (1965) выразили коэффициенты интенсивности
напряжений через функцию напряжений и функцию, отображающую» такой контур на единичный круг. Это делает возможным получение при- ближелных решений также в случае далеко отошедшей трещины.
Трудности, связанные с отсутствием рациональных отображающих: функций на полуплоскость и плоскость с круговым отверстием, имеют место в задачах о трещинах, выходящих на поверхность тела. К настоящему времени разработано несколько приемов численного решения задач: о трещинах, выходящих на границу тела, в первую очередь благодаря работам О. Л. Бови (J. Math, and Phys., 1956, 35 : 1, 60—71), Г. Ф. Бюк- нера (Boundary problems in differential equations. Univ. Wisconsin, I960), А. А. Каминского (1965 и сл.). При рассмотрении задачи о произвольном числе симметрично расположенных трещин, выходящих на свободную поверхность кругов ого отверстия в бесконечном теле, О. Л. Бови применил для отображения такой области на внешность единичного круга приближенное представление аналитической функции полиномами, после чего стало возможным применение методов Н. И. Мусхелишвили. Проведенные им конкретное расчеты для простейших случаев одной и двух диаметрально, пр отив оп о л ожных трещин потребовали большого объема вычислительных работ, так как для достаточной точности оказалось необходимым удерживать около тридцати членов полиномиального разложения. А. А. Каминский существенно усовершенствовал метод Бови, добившись гораздо лучшей сходимости при замене отображающей функции такой рациональной: функцией, которая, сохраняя особенность на концах трещин, скругляет углы в местах выхода трещины в полость. Им получены простые формулы для определения величины предельной нагрузки в упомянутой задаче- о пластине, ослабленной круговым отверстием с двумя равными радиальными трещинами. Используя этот метод, Н. Ю. Бабич и А. А. Каминский (1965) построили решение задачи для одной прямолинейной трещины, а А. А. Каминский (1965) — для двух прямолинейных трещин, выходящих на контур эллиптического отверстия (здесь же приведены результаты, расчетов критической нагрузки в зависимости от длины трещины). В дальнейшем А. А. Каминский (1966) получил решение задач для случая, когда одна или две равные трещины выходят на контур произвольного гладкого криволинейного отверстия при одноосном или всестороннем растяжении, и определил критические нагрузки, вызывающие развитие расширенных трещин. Г. Г. Гребенкин и А* А. Каминский (1967) в качестве примера произвели расчет критических нагрузок для двух равных трещин, выходящих на контур квадратного отверстия. В. В. Панасюк (1965) рассмотрел задачу Бови о круговом отверстии с двумя радиальными трещинами разной длины, выходящими на границу отверстия. При определении нормальных напряжений используется приближенный метод, аналогичный методу последовательных приближений, развитому в работах С. Г. Михлина (1935) и Д. И. Шермана (1935). Сравнение с решением О. Л. Бови для двух трещин одинаковой длины дает удовлетворительное совпадение. Некоторые результаты относительно влияния свободной границы полупространства на распространение терщины были получены ранее в работах Ю. А. Устинова (1959) и В. В. Панасюка (I960).
Отмеченные выше численные методы дают хорошие результаты именно для бесконечных областей с трещинами, выходящими на контур отверстия. При рассмотрении конечных областей с угловыми точками указанные методы становятся малоэффективными, и здесь возникают особые трудности. Впервые задача о всестороннем растяжении диска с радиальной трещиной, выходящей на контур, была рассмотрена в работе Е. М. Моро-
зова и Я. Б. Фридмана (1958), но там только приближенно определялось разрушающее напряжение, приложенное по краю диска при малых длинах разреза. Л. Л. Либацкий (1965) свел решение задачи о круглой пластине с прямолинейными разрезами вдоль одного из диаметров к сингулярному интегральному уравнению с регулярной частью, для которого построил приближенный способ решения, сохраняющий вид особенности на краях трещин.
Решение задачи предельного равновесия круглого диска с центральной трещиной получено в работе Л. Л. Либацкого и С. К. Ковчика (1967), в которой аналитическое решение сопоставлено с экспериментальными данными.
При изучении вопроса о концентрации напряжений около щелей и трещин значительный интерес представляет решение смешанных задач теории упругости для неклассических областей типа полосы (слоя). В математическом отношении эти задачи очень трудны. Однако начатое около десяти лет назад систематическое исследование этого вопроса привело к созданию эффективных методов решения задач такого класса (В. М. Александров, И. И. Ворович, Н. Н. Лебедев, Я. С. Уфлянд и др.). Методами операционного исчисления эти задачи довольно легко сводятся к решению интегральных уравнений первого рода с нерегулярным ядром. Наибольший эффект в нахождении удобных для практического использования решений этих уравнений был достигнут при использовании специфичных асимптотических методов. Начало исследований вопроса равновесия трещин в полосе было положено И. А. Маркузоном (1963). В. М. Александров (1965) исследовал равновесные трещины вдоль полосы или слоя, где интегральное уравнение строится для функции, определяющей форму трещины. Им получено приближенное решение путем разложения ядра уравнения в ряд при больших отношениях толщины к размеру трещины и получены зависимости нагрузки от размеров трещины. Используя этот метод и решения уравнений Винера — Хопфа, В. М. Александров и Б. И. Сметанин (1965, 1966) получили выражение для коэффициента интенсивности напряжений на краях равновесной трещины в слое малой толщины. Для случая постоянной нагрузки определяется связь размера равновесной трещины с действующей нагрузкой. Аналогичное решение получено для дискообразной трещины в слое конечной толщины. В. М. Битов и Р. Л. Салганик (1965) рассмотрели в балочном приближении задачу U полубесконечной трещине, проходящей по средней линии полосы, причем для нагрузок, приложенных к берегам трещины, задача сводится к рассмотрению расслаивания под действием нормальной или тангенциальной силы. В этой работе с помощью метода Винера ——Хопфа получено выражение для коэффициента интенсивности напряжений для достаточно больших и достаточно малых значений отношения расстояния от конца трещины до точки приложения силы к полуширине полосы. Используя аналитический метод, развитый В. М. Александровым и И. И. Воровичем (I960) при исследовании контактных задач для слоя большой относительной толщины, Б. И. Сметанин (1968) рассмотрел задачу о продольной щели в клине, а также плоскую и осесимметричную задачи о продольной щели в слое при различных условиях на гранях клина и слоя. Для щели, расположенной симметрично относительно граней клина (слоя), и нормальной нагрузки, приложенной к поверхности щели, получены формулы для определения поверхности щели. Коэффициент интенсивности напряжений выражается в виде асимптотического ряда по степеням безразмерного параметра.
Впервые плоская смешанная задача для щели рассматривалась в работе В. И. Моссаковского и П. А. Загубиженко (1954). Важные в практическом отношении задачи расклинивания также являются смешанными задачами теории упругости. Решение задачи расклинивания хрупких тел представляет собой своеобразную комбинацию решений контактной задачи теории упругости и задач математической теории трещин ).
Задачей, допускающей эффективное точное решение, является задача о расклинивании бесконечного тела неподвижным клином. Г. И. Барен- блатт (1959) получил решение такой задачи для клина постоянной толщины. В отличие от этого случая, когда положение точек схода известно, для клина с закругленной передней кромкой требуется еще определение положения точек схода поверхности трещины с клина. Г. И. Баренблатт и Г. П. Черепанов (I960) исследовали вопрос распространения трещины перед клином с малым закруглением и клином, где форма закругления задается по степенному закону. Здесь проведено исследование случая куло- нова трения, действующего на щеках клина. И. А. Маркузон (1961) сделал дальнейший шаг в исследовании проблемы расклинивания хрупких тел. Он получил зависимость длины трещины от длины клина и исследовал влияние однородных сжимающих или растягивающих напряжений на бесконечности на длину свободной трещины в задаче о расклинивании бесконечного тела клином конечной длины. Задачи расклинивания рассматривались также в работе Г. П. Черепанова (1962) в качестве примера приложения полученного им решения одной линейной краевой задачи Римана для двух функций к смешанным задачам плоской теории упругости.
Точные решения задач расклинивания полосы отсутствуют. Наряду с работой И. В. Обреимова (1930) упомянем исследования В. Д. Кузнецова (1954), М. С. Мецика (1958), Н. Н. Давиденкова (I960), в основе которых также лежит балочное приближение ).
3*2. Осесимметричные и пространственные задачи для упругого изотропного тела. Впервые распределение напряжений для хрупкого трехмерного изотропного тела, содержащего плоскую круглую в плане трещину, при растяжении на бесконечности постоянным напряжением определил М. Я. Леонов (1939) ).
В дальнейшем эта задача при различных вариантах задания внешней нагрузки исследовалась М. Я. Леоновым и В. В. Панасюком (1961), а в последнее время (1968) Е. М. Морозовым и В. 3. Партоном. Найденные здесь в ряде случаев соотношения, связывающие длину трещины с приложенными нагрузками, вполне аналогичны соответствующим случаям плоской деформации и могут быть получены с точностью до безразмерного постоянного множителя из анализа размерностей (Л. И. Седов, 1957).
Первая основная задача теории упругости для пространства с плоской круглой щелью в общем виде была решена В. И. Моссаковским (1955).
Случай кольцевой (круглой в плане) трещины рассмотрен в работе В. Т. Гринченко и А. Ф. Улитко (1965). Полученное ими значение величины предельных напряжений отличается от полученного в 1945 г. результата Р. А. Зака только числовым множителем.
Осесимметричная задача теории упругости для неограниченного пространства, содержащего две плоские круглые щели, где напряженное состояние симметрично относительно средней плоскости, рассматривалась в работах Я. С. Уфлянда (1958), Н. Н. Лебедева и Я. С. Уфлянда (I960). Решение этой задачи строится с помощью выражения компонент через две гармонические функции (представления Папковича — Нейбера) с последующим сведением задачи с помощью преобразований Ханкеля к парным интегральным уравнениям.
Преобразования Мелера — Фока позволили Я. С. Уфлянду (1959) получить решение задачи об осесимметричной деформации неограниченного тела, содержащего плоскую щель, занимающую внешность некоторого круга заданного радиуса. Здесь получены решения как для случая симметричного, так и антисимметричного нагружения. В. В. Панасюк (1962) вернулся к рассмотрению этой задачи и определил возникающие при этом разрушающие нагрузки. ,
И. Довнорович (1962) с помощью разработанных им методов решения пространственных задач теории упругости (1959) определил напряженное состояние упругого тела при наличии плоской щели (разреза). В качестве примеров получены уравнения для расширенных щелей при различных вариантах задания нормального давления, приложенного к поверхности плоской щели в неограниченном упругом теле. В работе Ю. Н. Кузьмина и Я. С. Уфлянда (1965) рассмотрена осесимметричная задача теории упругости для полупространства, ослабленного плоской круглой щелью, а Ю. Н. Кузьмин (1966) исследовал случай неограниченного тела, имеющего две соосные щели различных радиусов.
Преобразования Ханкеля, сводящие задачу к проблеме решения парных интегральных уравнений, находят эффективное применение в осесимметричных задачах для упругого слоя, в частности в задачах о концентрации напряжений в упругом слое, ослабленном плоской круглой щелью (Я. С. Уфлянд, 1959). Эти же задачи другими методами исследовались в упомянутых выше работах В. М. Александрова (1965), В. М. Александрова и Б. И. Сметанина (1965, 1966), Б. И. Сметанина (1968). Используя аппарат дуальных интегральных уравнений, Н. В. Пальцун (1967) решил некоторые задачи о круглых трещинах в слое.
С помощью преобразований Конторовича —— Лебедева Я. С. Уфлянд (1958) рассмотрел задачу для неограниченного упругого тела, содержащего разрез в виде полуплоскости, под действием произвольной системы внешних сил.
В. Панасюк (1962, 1965) для неограниченного изотропного хрупкого тела исследовал вопрос о развитии трещин, имеющих в плане форму, близкую к круговой. Такой называется трещина, максимальное удаление контура которой от окружности мало по сравнению с радиусом круга. Продолжая исследования, начатые в работе М. Я. Леонова и К. И. Чумака (1959), В. В. Панасюк развил метод приближенного решения указанного класса задач, где вопрос о предельной нагрузке для трещины, имеющей в плане форму, близкую к круговой, сводится к определению упругих напряжений в окрестности контура трещины. Частным примером, отно^ сящимся к этому классу задач, является случай плоской трещины, имеющей в плане форму эллипса. С помощью развитого приближенного метода 25 Механика в СССР, т. 3
В. В. Панасюк определил предельные критические напряжения для точек меньшей и большей осей эллипса и сравнил их с результатами точного решения этой задачи, полученного им несколько ранее (1962).
Выражение, определяющее величину предельных напряжений, необходимых для распространения трещины в направлении ее меньшей осй, было получено в работе М. Я. Леонова и К. Н. Русинко (1963) на основе теории макронапряжений, развитой этими же авторами (1961).
Ю. Н. Кузьмин (1966) нашел распределение напряжений в упругом пространстве, ослабленном системой периодических вдоль оси z плоских трещин одинакового радиуса. Для нормальной нагрузки, приложенной к поверхности трещин, задача сводится к решению парных интегральных уравнений, сводимых в дальнейшем к уравнению Фредгольма с непрерывным ядром, выражаемым через известные специальные функции.
3. Кручение, изгиб и продольный сдвиг. Начало исследований вопроса кручения стержней с отверстиями (в предельном случае со щелями) принадлежит Л. Н. Дж. Файлону (Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1900, vol. A 193, p. 309—352). A. H. Динник в 1913 г. получил решение задачи о кручении кругового стержня, содержащего радиальную трещину. При решении задач этого класса широко используются методы, изложение которых содержится в монографиях Н. И. Мусхелишвили (1966), К. В. Со- ляника-Крассы (1949), Н. X. Арутюняна и Б. Л. Абрамяна (1963).
А. Ширяев (1956), используя развитые им методы решения задач при кручении и изгибе (1951), рассмотрел задачу о кручении однородного изотропного круглого бруса с одной трещиной по дуге окружности или по радиусу и с двумя трещинами, расположенными вдоль диаметра.
А. А. Балобян ♦ (1958) рассмотрел вопрос кручения призматических стержней коробчатого поперечного сечения с трещиной.
Общая постановка задач о трещинах продольного сдвига, где распределению смещений соответствует случай так называемой «антиплоской» деформации (напряженное состояние в бесконечном цилиндрическом теле, возникающее под действием постоянных нагрузок, направленных вдоль образующих цилиндра), рассмотрена в работе Г. И. Баренблатта и Г. П. Че> репанова (1961). В отличие от трещин нормального разрыва и трещин поперечного сдвига, в этом случае возможно получить эффективные точные решения многих задач, так как единственное отличное от нуля смещение w удовлетворяет в этом случае уравнению Лапласа. Здесь возможно непосредственное применение широко развитых методов и результатов гидродинамики благодаря очевидной аналогии задач теории упругости для антиплоской деформации и задач плоской гидр о динамики. В указанной работе были получены точные решения задач для бесконечного тела, содержащего круговое отверстие с одной или двумя трещинами, нагруженного на бесконечности постоянным касательным напряжением (аналог задач О. Л. Бови для трещин нормального разрыва),и смешанной задачи для изолированной прямолинейной трещины, на части которой задано постоянное смещение (аналог задачи о расклинивании клином конечной длины, рассмотренной И. А. Маркузоном.в 1961 г.). Здесь же исследованы задачи взаимодействия бесконечной системы одинаковых трещин; расположенных вдоль действительной оси, и случай, когда равные трещины расположены в виде вертикальной однорядной решетки. При рассмотрении задачи о развитии криволинейных трещин продольного сдвига, а также трепщн, форма которых мало отличается от прямолинейной или круговой, авторы использовали гипотезу о том, что развитие криволинейной трещины продольного сдвига происходит по направлению максималь-
ного напряжения tzq. В этой же работе с использованием формул Келдыша ——Седова получено решение динамической задачи о разрезании тела.
Р. Л. Салганик (1962) рассмотрел две задачи об осесимметричных трещинах продольного сдвига (дискообразной и бесконечной кольцевой) в бесконечном теле, когда трещины подвержены действию распределенных по их поверхности касательных напряжений.
Анизотропные материалы. При рассмотрении задач равновесия и распространения трещин в анизотропных средах могут быть широко использованы методы, развитые в монографиях С. Г. Лехницкого (1947, 1950). Впервые задачу о прямолинейной трещине в анизотропной пластине исследовал А. И. Стро (Adv. Phys., 1957, v. 6, р. 418—465).
Г. И. Баренблатт и Г. П. Черепанов (1961) рассмотрели задачу об изолированной прямолинейной трещине, простирающейся вдоль некоторой линии упругой симметрии в ортотропном бесконечном теле в условиях плоской деформации. В этой же работе рассмотрена задача расклинивания ортотропного тела с плоскостями симметрии, параллельными двум осям, абсолютно жестким бесконечным клином, движущимся с постоянной скоростью. Предполагается, что на поверхности соприкосновения клина с расклиниваемым телом действуют силы кулонова трения. Более детально исследуется вопрос о расклинивании ортотропного тела неподвижным клином постоянной толщины в пренебрежении силами трения. В работе Э. П. Фельдмана (1967) в рамках дислокационной теории тонких двойников и трещин исследован вопрос распространения тонкой равновесной трещины вдоль анизотропной полосы конечной толщины. При постепенном возрастании внешних нагрузок трещина растет до некоторого критического значения, после чего происходит мгновенное разрушение полосы.
Некоторые задачи о трещинах, расположенных на границе спаянных полуплоскостей из различных и анизотропных материалов, были исследованы Д. В. Грилицким (1963). Д. В. Грилицкий и Р. М. Луцышин (1967) рассмотрели напряженное состояние анизотропной пластины с впаянным круговым изотропным ядром при наличии разрезов на спае.
О. Н. Романив и Р. С. Косычин (1968) рассмотрели задачу предельного равновесия хрупкой анизотропной пластины с произвольно ориентированной трещиной в условиях двухосного растяжения ——сжатия. Анизотропия сопротивления хрупкому разрушению учитывается соответствующим заданием коэффициента интенсивности напряжений, и считается, что развитие трещины вначале происходит вдоль плоскости, где предельная интенсивность нормальных растягивающих напряжений достигнута раньше, чем в других направлениях.
Неоднородные материалы. Важное практическое значение имеют исследования разрушений склеенных тел, где возможно распространение трещин по месту склейки, в том случае, когда прочность последней относительно невелика. Если прочность склейки, например, двух упругих однородных тел значительная, то трещина распространяется в глубь одного или обоих склеенных тел сообразно закономерности развития трещин в однородных материалах.
Г. П. Черепанов (1962) дал решения основных задач плоской теории упругости в том случае, когда линией раздела различных упругих тел является прямая или окружность, а произвольное число разрезов расположено на этой линии. Аналогичные задачи другим методом были независимо решены Д. В. Грилицким (1963).
В работе Р. Л. Салганика (1963) исследовано поле напряжений и смещений в окрестности конца прямолинейного разреза, являющегося 25*
границей склейки. Р. В. Гольдштейн и Р. Л. Салганик (1963) решили задачу о развили трещин между плоскими пластинами по прямолинейной границе склейки.
Аналогичная задача еще раз была исследована в работе В. И. Моссаковского и М. Т. Рыбки (1965), где на основе условия Гриффита установлен критерий разрушения неоднородной пластины, состоящей из двух однородных, но различных по упругим свойствам частей, ослабленной трещиной по границе.
В. И. Моссаковский и М. Т. Рыбка (1964, 1965) рассмотрели упомянутую выше задачу Р. А. Зака для случая неоднородного хрупкого материала, состоящего из двух склеенных полупространств с различными упругими свойствами. В плоскости склейки имеется круглая в плане трещина л од действием однородных напряжений, приложенных на бесконечности и перпендикулярных границе раздела полупространств. С помощью задач теории потенциала авторы получают решение сведением проблемы к линейной краевой задаче теории аналитических функций.
Изгиб полос (балок), напряженное состояние оболочек с трещинами. Ряд задач предельного равновесия полос, содержащих различные трещины, был решен В. В. Панасюком и Б. Л. Лозовым (1961—1964) с использованием эффективных методов решения соответствующих задач теории упругости, разработанных Н. И. Мусхелишвили и Г. Н. Савиным. Здесь были рассмотрены как задачи об изгибе полос с симметричными относительно продольной оси полосы сквозными прямолинейными трещинами, так и с несимметричными (перпендикулярными боковым граням полосы). Напряженно-деформированное состояние и величина предельной разрывающей нагрузки определяются для различных условий задания внешних нагрузок (постоянные изгибающие моменты, сосредоточенные силы, равномерное давление).
П. Е. Беркович (1966), продолжая исследования В. И. Моссаковского и П. А. Загубиженко (1954), получил решение задачи об изгибе полосы (балки), содержащей прямолинейную трещину конечной ширины, расположенной под некоторым углом к продольной оси балки.
Изучение напряженного состояния оболочек, содержащих трещины связано с большими трудностями. В настоящее время эти исследования только начинаются, но благодаря большим успехам, связанным с решением задач общей теории оболочек, можно надеяться, что в ближайшее время будут предприняты широкие исследования, касающиеся анализа напряженного состояния и условий предельного равновесия оболочек, содержащих трещины ).
Динамические задачи теории трещин. В последнее время значительное внимание привлекают исследования, связанные с вопросами динамического распространения трещин. Начало этим исследованиям было положено Н. Ф. Моттом (Engineering, 1948, 165 : 4275, 16—18), рассмотревшим процесс развития изолированной прямолинейной трещины в бесконечном теле под действием однородного поля растягивающих напряжений. Динамическая задача теории упругости для бесконечного тела с прямо-
линейной трещиной фиксированной длины, движущейся с постоянной скоростью под действием приложенного на бесконечности однородного растягивающего напряжения, была рассмотрена Э. Г. Иоффе (Phil. Mag., 1951, 42 : 330, 739-750). Г. И. Баренблатт и Г. П. Черепанов (I960) исследовали стационарные задачи о движении прямолинейных трещин нормального разрыва. Ими была найдена предельная скорость распространения прямолинейной трещины в однородном упругом теле (равная при- мерно 0,6 &, где & — скорость поперечных волн). Эта та скорость, при которой нарушается прямолинейный характер распространения и начинается ветвление трещины из-за перераспределения напряжений вблизи ее конца. Однако при обеспеченной заранее прямолинейности предельная скорость трещины, распространяющейся в однородном материале, равна скорости поверхностных волн Рейли (〜0,9 &)・
Исследования равновесия и распространения трещины в анизотропной среде (Г. И. Баренблатт и Г. П. Черепанов, 1961) показали, что, как и в изотропном теле, скорость распространения трещины не может пре- восходить скорость волн Рейли. В случае ортотропного тела с двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии для прямолинейности трещины необходимо, чтобы отношение критических коэффициентов интенсивности напряжений в направлении расклинивания и в направлении, ему перпендикулярном, не превышало единицы. Одно из основных предположений в задачах стационарного расклинивания с постоянной скоростью состоит в том, что конец трещины, образующейся перед клином, движется равномерно с той же скоростью. Однако экспериментальные исследования показали, что при развитии трещины, например, с малой скоростью скорость конца совершает регулярные колебания около некоторого среднего значения. Г. И. Баренблатт и Р. Л. Салганик (1963) исследовали явление автоколебательного процесса при расклинивании, предположив, как и А. Н. Стро (J. Meeh, and Phys. Solids, 1960, 8 : 2, 119——122), что критический коэффициент интенсивности напряжений зависит от мгновенной скорости распространения трещины, вначале убывая, а затем возрастая с увеличением скорости. Ими рассмотрены автоколебания при расклинивании жестким клином, движущимся с постоянной скоростью, для бесконечного хрупкого тела； тонкой балки и тонкой стружки, отщепляемой от большого тела.
Проблема неустановившегося распространения трещин исследовалась Г. И. Баренблаттом, Р. Л. Салгаником и Г. П. Черепановым (1962). С учетом ряда предположений относительно сил сцепления ), действующих в концевой области, и распределения растягивающих напряжений, найденных К. Б. Бробергом (Arkiv fys., 1960, 18 : 2, 159—192), авторы получили зависимость скорости распространения трещины от величины приложенного напряжения. Оказалось, что для любого материала существует минимальная скорость устойчивого распространения трещины, которая с увеличением нагрузки возрастает, стремясь к скорости волн Рейли.
Б. В. Костров (1964) с помощью метода инвариантных решений Смирнова ——Соболева нашел решение автомодельной задачи о неустановив- шемся распространении осесимметричной трещины под действием приложенного на бесконечности однородного растягивающего напряжения.
Продолжая исследование вопроса динамического развития трещин, Б. В. Костров (1966) нашел решение нестационарной задачи распространения трещины продольного сдвига в безграничном упругом теле, причем было вычислено распределение напряжений вне трещины при произвольном временном законе перемещения концов трещины. Здесь использовались методы, развитые в задачах о сверхзвуковом обтекании крыла конечного размаха.
Проблеме определения напряжений в окрестности конца трещины, стационарно движущейся по границе склейки двух различных упругих материалов, посвящена работа Р・ В. Гольдштейна (1966). В ней рассматривается в условиях плоской деформации движение с постоянной скоростью (меньшей скорости звука в обоих материалах) полубесконечной трещины, на фиксированном расстоянии от конца которой приложены равные по величине и пр отив оп о л ожн о направленные сосредоточенные силы. Решение с помощью преобразования Фурье и метода Винера —— Хопфа сводится к задаче Римана ——Гильберта для системы функций с кусочно-постоянными коэффициентами. Продолжая изучение закономерностей развития трещин в склеенных телах, Р. В. Гольдштейн (1967) исследовал поверхностные волны, распространяющиеся в соединенных материалах вдоль границы соединения при различных условиях контакта вдоль этой линии.
А. М. Михайлов (1966) рассмотрел движение трещины в узкой полосе в балочном приближении. С использованием вариационного принципа им выведены уравнения движения и граничные условия для смещения нейтральной оси балки, расположенной по одну сторону от трещины.
Точное решение задачи о стационарном движении полубесконечной трещины вдоль средней линии полосы, когда скорость конца трещины не превышает скорости волн Рейли, получено в работе Р. В. Гольдштейна и М. Матчинского (1967). Ими отмечено, что и решение, и коэффициент интенсивности напряжений зависят от частоты собственных антисимметричных волн полосы, распространяющихся с той же скоростью, что и трещина ).
Трещины в горных породах, развитие трещин в сжатых телах. Значительный практический интерес представляет исследование развития трещин в горных породах, возникающих как естественным образом вследствие тектонических движений, так и искусственно образующихся при гидравлических разрывах пластов и т. п.
Впервые задача т о вертикальной трещине (трещина, не полностью заполненная вязкой жидкостью, под действием бокового горного давления) была изучена Ю. П. Желтовым и С. А. Христиановичем (1955). При решении задачи учитывалось только боковое горное давление и давление жидкости. В этой работе для определения зависимости длины трещины от внешних нагрузок использовалось условие конечности напряжений на концах трещины, высказанное С. А. Христиановичем (1955). Еще раньше это условие выдвигалось в работе Г. М. Вестергарда (J. Amer. Concrete Inst., 1933, 5 : 2, 93—103; J. Appl. Meeh., 1939, 5 : 2, A49—A53).
Г. И. Баренблатт (1956) при исследовании механизма гидравлического разрыва нефтеносного пласта рассмотрел задачу о горизонтальной дискообразной трещине, содержащей вязкую жидкость и находящейся на неко
торой глубине от поверхности тяжелого п о л у пр остр анств а. С использованием решения Я. Н. Снеддона и условия о конечности напряжений у конца трещины было получено выражение для радиуса трещины в функции объема и давления закачанной жидкости, глубины залегания и удельного веса породы.
В этой же постановке в работах Ю. П. Желтова (1957) получено решение обобщенной задачи о вертйкальной трещине для случая фильтрующейся через ее поверхность жидкости. Им же предложен приближенный метод решения задачи о горизонтальной трещине в переменном по радиусу поле вертикального давления.
Развитие теоретической геологии, расчеты напряжений, возникающих в горных выработках, железобетонных конструкциях и т. и., потребовали исследований проблемы прочности хрупких тел на сжатие.
И. Моссаковский и М. Т. Рыбка (1965) предложили подход в целях построения теории прочности сжатых хрупких тел с трещинами, исходя из энергетических соображений А. А. Гриффита. Критерий Гриффита использовался М. Т. Рыбкой (1966) для определения длины прямолинейной трещины, вдоль которой действуют силы кулонова трения, в задаче о двухосном сжатии упругой изотропной пластины. Не проводя анализа напряженного состояния в конце трещины, В. И. Моссаковский и др. (1965) нашли распределение напряжений в плоскости, содержащей трещину в виде трехзвенной ломаной, причем однородное сжатие на бесконечности происходит под некоторым углом к среднему звену трещины.
Г. П. Черепанов (1966) исследовал закономерности теории прочности хрупких тел на сжатие в идеализированном случае трещины со свободными берегами. Там же получено замкнутое решение плоской задачи теории упругости для «налегающих» трещин (математический разрез с заданным скачком нормальных смещений и напряжений и касательного напряжения, в то время как силовое взаимодействие против оп о л ожных берегов произвольное и нелинейное), расположенных вдоль одной прямой. В качестве приложения предложена теоретическая схема горного удара, и высказаны некоторые соображения о наиболее безопасных*формах выработок.
П. Е. Беркович (1966) определил распределение напряжений в упругой плоскости с трещиной в неоднородном поле сжимающих напряжений. В предположении, что трещина состоит из трех участков, причем на участке контакта разность вертикальных смещений берегов постоянна, автор с помощью комплексных потенциалов сводит задачу к решению четырех задач линейного сопряжения для определения четырех функций.
Я. Ярема и Г. С. Крестин (1966) методом последовательных приближений определили величину предельной нагрузки в задаче о сжатии диска, содержащего симметричную трещину, с ос р ед от оченными силами.
В работе А. А. Каминского (1967) были определены критические нагрузки, вызывающие развитие одной и двух трещин, которые выходят на контур криволинейного отверстия, когда плоскость сжимается постоянными усилиями. В случае эллиптического отверстия автор получил простые формулы для определения критической нагрузки.
Температурные напряжения. Как известно, температурные задачи, в которых рассматривается установившийся поток тепла, с помощью метода, предложенного Н. И. Мусхелишвили в 1916 г., могут быть сведены к решению обычных плоских задач теории упругости. При этом представление о коэффициенте интенсивности напряжений в основном сохраняется и для задач, связанных с определением температурных напряжений.
Н. М. Бородачев (1966) определил распределение термоупругих напряжений для бесконечного тела, содержащего осесимметричную трещину, а Г. С. Кит и Я. С. Подстригая (1966) нашли распределение стационарного температурного поля напряжений, возникающего в окрестности щели, обладающей теплосопротивлением, когда в бесконечно удаленных точках пластины задан однородный тепловой поток.
Более общая постановка такого рода задач содержится в работе Я. С. Подстригача и Г. С. Кита (1967). Для случая плоскости, содержащей произвольное число теплопроводящих трещин, между противоположными берегами которых отсутствует идеальный тепловой контакт, они предложили метод, позволяющий определить стационарное температурное поле ).
§ 4. Анализ предельного состояния
Теория предельного состояния и теория идеальных упруго-пластических сред дают идеализированное описание основных свойств процесса деформации и разрушения большинства твердых тел в области вязкого разрушения в широком диапазоне времени, температур, скорости деформирования и т. д. Зародившись в работах Ш. Купона, А. Сен-Венана, А. Треска, М. Леви, О. Мора, Л. Прандтля, эти теории затем были всесторонне разработаны советскими и зарубежными учеными. Практическое значение этих теорий выходит далеко за рамки определения прочности и несущей способности конструкций. Здесь следует указать в первую очередь их приложения в вопросах технологической обработки металлов, механики грунтов и горных пород, недавние приложения к решению проблемы псевдоожижения в химической технологии-
В нашей стране развитие теории пластичности началось в тридцатые годы работами С. Л. Соболева (1935), С. А. Христиановича (1936), С. Г. Михлина (1938), которые исследовали некоторые задачи для упруго-пластического и жестко-пластического тел. Важное значение имели работы А. А. Гвоздева (1934, 1938), в которых был предложен метод верхней и нижней оценок для предельных нагрузок на жестко-пластическое тело. Этот метод интенсивно разрабатывался в дальнейшем и лег в основу расчетов прочности на основе кинематически возможных полей скоростей и статически допустимых полей напряжений.
Широкое развитие теории пластичности в нашей стране относится к сороковым годам. А. А. Ильюшин (1943) предложил теорию малых упруго-пластических деформаций, получившую распространение в приложениях. Им была доказана (1945, 1947) теорема о простом нагружении, позволившая на важном частном случае использовать связь между моделью нелинейно упругого тела и моделью упруго-пластической среды. Л. М. Качанов (1940), А. А. Марков (1947) и С. М. Фейнберг (1948) получили основные результаты по вариационным принципам для нелинейно упруго и жестко-пластического тел. Л. А. Галин, А. А. Ильюшин, X. А. Рахматулин, В. В. Соколовский и многие другие дали решения ряда интересных и трудных задач, положивших начало основным научным школам по теории пластичности в СССР.
В. Соколовский получил решение некоторых упруго-пластических задач (1942, 1944, 1948) и контактных задач о давлении жестких штампов на жестко-пластическое тело (1940), развил теорию плоского напряженного (1946) и плоского деформированного (1945) состояний.
Для упрочняющихся тел А. А. Ильюшин (1948) предложил метод упругих решений, сводящий решение граничной задачи для нелинейно упругого тела к бесконечной последовательности соответствующих задач для линейно упругих тел с дополнительными объемными силами. Значительные результаты получены А. А. Ильюшиным (1944——1950) в теории несущей способности пластин и оболочек из упруго-пластического материала и, в частности, при потере устойчивости.
Л. А. Галин (1944——1949) применил методы теории функций комплексного переменного для решения некоторых сложных существенно двумерных упруго-пластических задач.
А. Рахматулин (1945—1948) заложил основы теории распространения волн в упруго-пластических средах.
В последующие годы математическая теория пластичности в СССР развивалась как по пути общих построений и анализа исходных предпосылок, так и по пути накопления конкретных результатов и методов решения краевых задач.
Отметим лишь некоторые общие результаты.
Л. И. Седову (1962) принадлежит общий термодинамический и кинематический анализ основных моделей сплошной среды, наиболее общая формулировка ассоциированного закона течения для упрочняющегося тела при произвольном числе параметров, ответственных за предысторию нагружения. В 1965 г. Л. И. Седов предложил вариационный метод построения математических моделей сплошной среды и указал общую форму соответствующего принципа, применимую не только в классической механике, но также и в релятивистской механике сплошных сред и электродинамике. В рамках этого метода установлены связи теории пластичности и континуальной теории дислокаций.
Ю. Н. Работнов (1968) предложил теорию пластичности, учитывающую эффект задержки текучести для общего трехмерного случая. В 1958 г. он убедительно показал справедливость соотношений деформационного типа при сингулярных поверхностях нагружения. В 1951 г. Ю. Н. Работнов предложил техническую теорию оболочек, которая оказала большое влияние на дальнейшее развитие теории несущей способности оболочек.
В. Новожилов (1947) разрабатывал теорию конечных деформаций, а в 1957—— 1958 гг. совместно с Ю. И. Кадашевичем предложил вариант теории пластической среды с трансляционным упрочнением.
А. Ильюшин (1963) с общефункциональных позиций провел анализ возможных соотношений между напряжениями и деформациями, сформулировал постулат изотропии и вывел структурные формулы для соотношений между напряжениями и деформациями.
Д. Д. Ивлев (1958, 1966), исходя из принципа максимума скорости диссипации механической энергии, предложил вывод ассоциированного закона течения и дал анализ уравнений для наиболее распространенных вариантов теории пластичности. При этом были исследованы сильный и слабые разрывы в смещениях и напряжениях для произвольного трехмерного случая. Им были предложены и изучены также различные модели сложных сред. В 1958 г. Д. Д. Ивлев выдвинул теорию анизотропной идеальной пластичности на основе обобщения условия пластичности Треска.
Д. Клюшников (1958) разрабатывал варианты теории пластичности с анизотропным упрочнением. А. А. Вакуленко (1959) предложил подход к теории упругопластических сред с точки зрения развиваемой им нелинейной термодинамики необратимых процессов.
Модель упруго-пластического тела и теория предельного равновесия нашли широкое применение в механике грунтов и горных пород. Теорию предельного равновесия при условии текучести Кулона обычно называют статикой сыпучей среды. В этом направлении наиболее существенные результаты получены В. В. Соколовским, В. Г. Березанцевым, С. С. Голушкевичем, А. Ю. Ишлинским и др.
Значительное продвижение имело место также в направлении создания новых моделей упруго-пластической среды, применяемых к изучению определенного класса явлений деформирования и разрушения грунтов.
М. Герсеванов, В. А. Флорин, Н. А. Цытович развивали так называемую теорию фильтрационной консолидации для описания деформации грунтов, насыщенных жидкостью. При этом использовалась концепция двойной сплошной среды и определенные представления о свойствах скелета и жидкости, а также об их взаимодействии. Более общую теорию в том же направлении развивал В. Н. Николаевский (I960— 1962), а математическое исследование проблем консолидации принадлежит В. 3. Партону (1964—1968).
. П. Гупало и Г. П. Черепанов (1967) для решения некоторых проблем псевдоожижения в химических реакторах применили модель тепа, не выдерживающего растягивающих напряжений.
С. С. Григорян (1967) применительно к взрывам в прочных горных породах предложил использовать один вариант упруго-пластического тела, являющийся некоторым обобщением (наблюдаемой в опытах с мягкой сталью, но имеющей другие, более сложные закономерности) одномерной диаграммы о — 8 с фиксированным «зубом». При этом распространяющаяся граница упругой и пластической зон будет линией разрыва напряжений и деформаций (фронт разрушения). Указанная модель представляет собой обобщение модели мягкого грунта, предложенной тем же автором в 1960 г., и построений В. П. Корявова (1962) и В. Н. Родионова (1962).
§ 5. Влияние конфигурации и размера конструкции на прочность
Наука о прочности в последние полвека переживает период бурного развития. Прежде всего это связано с прогрессом в создании новых материалов и сплавов, обладающих все более высокой прочностью. Если в течение XIX века для применявшегося в конструкциях технического железа (литое железо) предел прочности поднялся примерно с 30 до 40 кг/мм2, то в настоящее время существуют стальные сплавы с пределом прочности порядка 200—300 кг/мм2, и вполне достижимыми в последующие десятилетия являются прочности порядка 400—600 кг/мм2. При этом физические теории о природе прочности и разрушения оказали существенное влияние на выбор пути по созданию все более прочных сплавов (прежде всего это относится к теории дислокаций и теории трещин).
Будем различать два понятия: металлургическую прочность и конструкционную прочность. Под первой понимается (обычно приводимое в справочниках по материалам) значение прочности, полученное на гладких лабораторных образцах определенных стандартных размеров из материала в состоянии поставки. Прочность изделия из этого же материала (конструкционная прочность) иногда оказывается существенно меньше. Особенно часто это происходит при приближении к области хрупкого разрушения. Влияние размера конструкции.на (конструкционную) прочность будем называть масштабным эффектом.
В области вязкого разрушения масштабный эффект отсутствует, зависимость прочности от конфигурации тела определяется расчетом в рамках выбранных модели тела и условия разрушения в точке по какой- либо теории прочности. В случае идеальных упруго-пластических тел надобность в теории прочности отпадает и прочность вычисляется в рамках самой модели. В области хрупкого разрушения масштабный эффект всегда имеет место, зависимость прочности от конфигурации и размера тела (и в том числе от формы и размеров трещиноподобных дефектов) вычисляется в рамках модели упругого тела по теории Гриффита ——Ирвина. В этом параграфе рассматривается в основном наиболее практически важная область переходного разрушения, в которой масштабный эффект также имеет место и которая изучена гораздо менее полно.
Физическая природа масштабного эффекта. Эволюция взглядов на физическую природу масштабного эффекта была сравнительно длинной и мучительной. Это было вызвано тем, что феноменологические представления о хрупкости и пластичности носили описательный характер, связанный с наблюдением процесса разрушения и формы поверхностей излома. Хрупкое разрушение характерно быстрым протеканием процесса разрушения, отсутствием шейки, ориентировкой поверхности отрыва вдоль площадки наибольшего главного растягивающего напряжения. При вязком разрушении, когда развиваются значительные пластические деформации, в образце образуется шейка, а поверхность отрыва ориентируется вдоль площадки максимального касательного напряжения. Однако на практике во всех материалах в различной мере имеет место сочетание хрупкого и вязкого разрушения.
При увеличении масштаба образца и наличии в нем надрезов или каких-либо концентраторов напряжений наблюдается тенденция к возрастанию вероятности хрупкого разрушения. Поэтому первый вопрос заключается в том, как сравнивать пластический и хрупкий характер разрушения материалов (как определять сопротивление отрыву и склонность мате-
риала к хрупкому разрушению). Несмотря на то что теоретический ответ на этот вопрос был дан еще в классической работе А. А. Гриффита (1920), она в течение почти тридцати лет не оказывала влияния на решение вопросов для конструкционных металлов.
Трудность сравнения состоит в том, что идеальной пластичности масштабный эффект не свойствен ), а в области хрупкого разрушения прочность зависит также от внутренних структурных параметров размерности длины. Последними, по теории А. А. Гриффита, являются длины некоторых начальных трещин, всегда присутствующих в реальном материале, а на самом деле роль трещин могут играть различного рода концентраторы напряжений (инородные включения, пустоты, поры и т. д.), как это впервые подчеркнули А. П. Александров и С. Н. Журков (1933).
Только в последние годы получила общее признание сравнительная оценка материалов по хрупкости или пластичности путем испытания на разрыв образцов с искусственно создаваемой трещиной минимально возможного радиуса кривизны ) в ее конце (создающей относительно наибольшую концентрацию напряжений). Основную роль в формировании этой точки зрения сыграли работы Н. Н. Давиденкова, А. Ф. Иоффе, Г. В. Ужика, Я. Б. Фридмана, Б. А. Дроздовского.
При таком способе испытания заранее локализуется место разрушения и тем самым сводится к минимуму статистический фактор; остаются лишь физические причины, лежащие в основе явлений вязкого и хрупкого разрушения и позволяющие объяснить масштабцый эффект. При этом, как показали многочисленные эксперименты (см., например, работу С. В. Серенсена и Н. А. Махутова, 1967), среднее напряжение в сечении нетто в момент разрушения о九 для образца с надрезом следующим образом зависит от характерного линейного масштаба I (глубины надреза-трещины или расстояния ее конца от противоположной стороны образца): при малых L и соблюдении условий геометрического подобия величина 0vl не зависит от Л и равна металлургической прочности данного сплава (вязкое разрушение); с возрастанием масштаба L прочность пп падает, стремясь к квазихрупкой асимптотике Гриффита ——Ирвина (хрупкое разрушение) ).
Ф. Иоффе (1924) впервые предложил весьма удобную схему, поясняющую переход вязкого разрушения в хрупкое с понижением температуры. Согласно этой схеме напряжения Ов и о。.？ по-разному зависят от температуры Т: первое возрастает с увеличением Т, а второе — убывает, так что точка пересечения этих кривых (температура хладноломкости) разделяет области вязкого и хрупкого разрушения.
Развивая схему А. Ф. Иоффе, Н. Н. Давиденков (1930——1936) ввел понятия хрупкого и вязкого сопротивления отрыву. Сопротивление отрыву он предлагал оценивать растяжением гладких образцов в жидком азоте. В 1930 г. Н. Н. Давиденков опубликовал исследование А. М. Драгомирова (выполненное в 1917 г.), который первым обратил внимание на связь между видом излома и характером снижения нагрузки после максимума при изгибе надрезанных образцов (кристаллические участки в изломе соответствуют срывам нагрузки). Н. Н. Давиденков связал эти наблюдения с испытаниями на ударную вязкость. В эти же годы Н. Н. Давиденков развил определение критической (переходной) температуры хрупкости при помощи построения кривых «ударная вязкость ——температура»г им было предложено также цспользовать эти кривые для косвенного опре- делейия сопротивления отрыву. Н. Н. Давиденков (1938) отметил, что наиболее чувствительна к температуре испытания та часть работы сопротивления, которая затрачена после достижения максимальной величины нагрузки, и что понижение температуры в первую очередь уменьшает именно эту характеристику.
В 1946 г. Б. А. Дроздовский разделил работу изгиба надрезанного образца на работу упруго-пластических деформаций при заданном надрезе и на работу, израсходованную на развитие трещины; последнюю он предложил использовать в качестве количественной оценки вязкости разрушения материала (отвечающейкачественной оценке по виду излома). Эта концепция весьма похожа на обобщение концепции Гриффита, примерно в то же время развивавшееся за границей К. Зенером, Дж. Г. Холомоном, Дж. Р. Ирвином, Э. О. Орованом.
Отметим некоторые работы по определению сопротивления отрыву гладких образцов. Сопротивление отрыву предлагалось оценивать круговым изгибом дисков при температуре ——196° С (Я. Б. Фридман, 1941), испытанием на растяжение тонкого диска, приваренного к двум тягам более твердого материала (А. Л. Немчинский, 1950——1955).
И. Ратнер (1959) изучала корреляцию величины сопротивления отрыву с величиной разрушающего напряжения при повторных нагрузках. М. В. Якутович и В. А. Павлов (1953) исследовали связь типа напряженного состояния с направлением роста трещин.
П. О. Пашков (1950) проводил исследование сопротивления материала хрупкому и вязкому разрушению в связи со структурой материала и формой образца. Я. М. Потак (1955) дал обстоятельный анализ хрупких разрушений конструкций из легированных сталей и показал опасность хрупкого разрушения для сплавов с крупным зерном феррита. Е. М. Шевандин (1953—1965) провел обширные экспериментальные исследования в области хладноломкости малолегированных конструкционных сталей.
Для ряда конструкционных сталей Т. А. Владимирский (1953——1958) построил пр остр анств енные диаграммы «ударная вязкость ——острота надреза —температура»; оказалось, что при изменении остроты надреза материалы могут меняться местами по сравнению с их оценкой по температуре хладноломкости.
Развивая представления Н. Н. Давиденкова, Я. Б. Фридман (1941 —— 1952) предложил так называемую обобщенную теорию прочности, получаемую путем синтеза теории наибольших касательных напряжений и теории наибольших удлинений. Предложенные Я. Б. Фридманом диаграммы механического состояния учитывают как вид напряженного состояния, так и свойства материалов (сопротивление отрыву и сопротивление текучести или срезу). Для одного и того же материала, как следует из этой теории, критерием разрушения в зависимости от отношения растягивающих и максимальных касательных напряжений может быть либо сопротивление срезу, либо сопротивление отрыву.
На образцах с щелевыми дефектами методом накатанных сеток было показано, что процесс разрушения локализуется вблизи конца щели (Я. Б. Фридман й Т. К. Зилова, 1950—1959).
В 1950 г. Г. В. Ужик предложил оценивать сопротивление отрыву лутем испытаний на растяжение круглых образцов с острым кольцевым надрезом. В развитие этой методики Ю. И. Лихачев (1956) предлагал в процессе растяжения измерять также диаметр в надрезе. А. Е. Аснис (1947) качественно оценивал хрупкость стали путем инициирования ударом трещины в надрезе сварного соединения, находящегося под действием внутренних напряжений; в качестве характеристики принималась наибольшая температура, при которой происходило хрупкое разрушение.
Существенным этапом в развитии экспериментальных методов оценки хрупкой прочности явилось использование образцов с заранее полученной усталостной трещиной в испытаниях на статический или ударный изгиб, предложенное Б. А. Дроздовским и Я. Б. Фридманом (1955——1960) в качестве универсальной методики оценки чувствительности металлов (в том числе высокопрочных) к трещине. Эта методика позволяет при помощи специальных вибраторов достаточно легко получить практически любую усталостную трещину с радиусом кривизны в ее конце, который может быть на порядок меньше радиуса кривизны обычной трещины отрыва, т. е. заведомо обеспечивает требование наибольшей остроты надреза.
Отметим здесь еще методику В. Д. Робертсона, по которой трещина иницируется ударом из локально охлажденной области вблизи конца надреза, а затем оцениваются температура и напряжение остановки трещины. Некоторое видоизменение этой методики (применение статических контролируемых нагрузок) было осуществлено В. Г. Черкашкиньш и И. М. Розенштейном (1964). А. П. Гуляев (1967) исследовал на ударный изгиб образцы с надрезами различной остроты и экстраполировал зависимость «ударная работа ——радиус надреза» прямой линией вплоть до нулевого значения радиуса.
В 1965—1967 гг. Я. Б. Фридман, Б. А. Дроздовский и В. М. Маркочев предложили строить «диаграмму разрушения» (зависимость прироста трещины от приложенного напряжения, числа циклов или времени) в качестве характеристики способности материала тормозить разрушение. Прй построении таких диаграмм в листовых материалах была использована разработанная ими методика регистрации развития трещины.
С. Иванова (1967) предложила определять вязкость разрушения на усталостных трещинах по разрушающему напряжению цикла.
Экспериментальные исследования динамики роста трещин выполнил В. М. Финкель (1964 и сл.). 、
В последние годы все большее признание в СССР среди работников прикладного направления и экспериментаторов начинает находить подход к рассмотрению развития трещин и связанных с ним вопросов
разрушения и прочности в рамках исследования тонкой структуры конца трещины, т. е. в рамках одного (для наиболее важного практически случая трещин нормального разрыва) параметра, описывающего распределение напряжений и деформаций вблизи конца трещины,— коэффициента интенсивности напряжений. Эта точка зрения хорошо согласуется с математической теорией квазихрупких трещин и, несмотря на свою ограниченность (она не применима к вязкому или близкому к нему разрушению), весьма прогрессивна.
Экспериментальные работы по контролируемому разрушению (с трещинами) в таком направлении выполнили Б. М. Малышев (1964, 1965) (опыты по расклиниванию), С. Е. Ковчик и В. В. Панасюк (1963—1967) (исследование роста трещины под действием сосредоточенных сил, изучение влияния влажности и температуры на поверхностную энергию стекла и т. и.), В. М. Маркочев (1966) (исследование скорости роста трещин под действием циклических нагрузок).
Контролируемый устойчивый рост хрупкой трещины было предложено использовать для определения постоянных хрупкого разрушения и тем самым чувствительности материалов к трещинам.
Следует отметить изящный способ прямого определения эффективной поверхностной энергии по гистерезисной ветви, полученной в координатах «смещение — сила» при нагружении и разгрузке в процессе устойчивого подрастания трещины. Этот способ применительно к нагружению сосредоточенными силами был предложен С. Е. Ковчиком и В. В. Панасюком (1961). За границей аналогичный метод применительно к началу нестабильного роста трещин в металлах был использован Дж. Р. Ирвином в 1958 г. (так называемый метод смещения или податливости). При таком подходе не используются теоретические решения, а поэтому этот метод, нужно применять для любой формы тела; последнее в некоторых случаях может представлять большое практическое удобство.
Для теории разрушения в переходной области, когда размер пластической зоны сравним с характерным линейным размером тела, представляют интерес решения задач для идеально упруго-пластических тел с разрезами нулевой толщины. Дополненные каким-либо условием локального разрушения в конце трещины, эти решения позволяют определить зависимость прочности от формы и конфигурации тела и, в частности, вычислить масштабный эффект в переходной области. Существенно подчеркнутьг что при этом жестко-пластическое (вязкое) и хрупкое разрушения описываются всегда как некоторые предельные случаи,
В качестве критериальной величины, определяющей начало роста конца трещины, предлагались скачок смещения в конце трещины в том случае, когда пластические деформации сконцентрированы вдоль линии нулевой толщины на продолжении трещины (М. Я. Леонов и В. В. Панасюк, 1959), и удельный поток энергии в конец трещины (Г. П. Черепанов, 1967).
Отметим некоторые полученные теоретические решения. М. Я. Леонов и В. В. Панасюк (1959, 1961) получили решение плоской и осесимметричной упругих задач для одной трещины с разрывом нормального смещения на продолжении трещины; это упругое решение может быть истолковано как решение упруго-пластической задачи в приближенной постановке (постановке Д. С. Дагдейла, названной так по имени англий- скога ученого, который в 1961 г. на основании экспериментальных наблюдений предложил аналогичное решение в качестве решения упруго-пла-- стическЪй задачи).
М. Я. Леонов и Н. Ю. Швайко (1961) рассмотрели твердое тело, деформируемое упруго всюду, за искоючением прослоек «плохого материала» (полосы скольжения), который можно мысленно вырезать, заменив его действие соответствующими силами. При этом возникает задача линейной теории упругости о деформации тела с разрывными перемещениями на некоторых поверхностях. П. М. Витвицкий и М. Я. Леонов (1960—1962) решили некоторые плоские задачи с линейными дислокациями Вольтерра. Ими найдены значения функций Колосова —— Мусхелишвили, определяющих напряженно-деформированное состояние под действием линейной дислокации в неограниченной плоскости с эллиптическим отверстием.
В работах П. М. Витвицкого и М. Я. Леонова предложена расчетная схема в задачах о развитии полос скольжения около острых концентраторов напряжений в упруго-пластических материалах, с помощью которой найдено решение задачи для пластины с узкой щелью или круговым отверстием. Последняя задача была также предметом исследований Л. Л. Ли- бацкого (1966). В этих работах получена зависимость длины полос пластичности от нагрузки.
П. М. Витвицкий, М. Я. Леонов и С. Я. Ярема (1963) показали, что первые косые полосы скольжения в конце разреза при растяжении тонких металлических пластин возникают при напряжениях на бесконечности, равных 0,66 Os, где Os ——предел текучести материала, в то время как направление этих полос образует с плоскостью трещины угол в 58°. Экспериментальное подтверждение эти результаты получили в работах С. Я. Яремы (1962, 1964). Этот же вопрос исследован в работе К. Н. Русинко (1964).
При исследовании возможности существования устойчивой трещины в задачах о разрушении упруго-пластических пластин Л. Г. Лукашев (1963) развивал представления, близкие к модели Леонова ——Панасюка.
П. М. Витвицкий (1965) исследовал вопрос об упруго-пластических деформациях тонкой пластины, ослабленной коллинеарными трещинами равной длины, а также двумя внешними полубесконечными трещинами, в условиях растяжения на бесконечности усилиями, перпендикулярными линии расположения трещин.
В работе Б. В. Кострова и Л. В. Никитина (1967) получено решение задачи для трещины продольного сдвига с бесконечно узкой пластической зоной вблизи концов трещины, причем на границе пластической зоны требуется выполнение условия пластичности Мизеса.
Г. П. Черепанов (1962) получил решение упруго-пластической задачи для трещины продольного сдвига с пластической зоной, формы и размеры которой определяются. В 1967 г. он предложил решение упруго-пластической задачи о распределении напряжений и деформаций в окрестности конца щели; материал предполагался несжимаемым, со степенной зависимостью между вторыми инвариантами девиаторов напряжений и деформаций ).
Дефекты, служащие причиной разрушения образца или конструкции, можно условно разделить на дефекты, образующиеся в металлургическом
процессе, создаваемые в технологическом процессе и возникающие или развивающиеся в процессе эксплуатации конструкции (например, коррозионные или усталостные трещины). Сплав, образующийся в результате металлургического процесса, весьма сложен по свой структуре (неоднороден, анизотропен, со сложным распределением внутренних напряжений). По определению прочность равна примерно К工°/，d, где d —— характерный диаметр наиболее опасного трещиноподобного дефекта, а К^с представляет собой некоторую сложную функцию координат. Задачей металлургического процесса, помимо определенных условий химической и температурной устойчивости сплава, является создание минимальных по размерам и однородно распределенных в пространстве структурных ячеек, границы которых играют роль энергетических прочностных барьеров (такими ячейками чаще всего являются зерна основного металла и химически активных примесей, образующиеся из центров кристаллизации при отвердевании расплава; роль барьеров, по-видимому, играют межкристаллитные пленки, образующиеся из химически неактивных атомов примесей, которые оттеснены к границе в процессе роста зерен). При этом начальный трещиновидный дефект в процессе нагружения развивается примерно до контролируемых заранее размеров зерна, так что в момент разрушения величина d примерно равна диаметру наибольшего зерна. Это поясняет тот факт, что прочность даже очень хрупких сплавов меняется в относительно небольшом диапазоне по сравнению с прочностью аморфных материалов типа стекла. Таким образом, основной путь увеличения металлургической прочности с точки зрения линейной механики разрушения состоит в увеличении &с (применением легирующих добавок и термообработки, влияющей на фазовые превращения, в первую очередь на границах зерен) и уменьшении размера наибольшего зерна (гомогенизацией процесса кристаллизации). ,
Некоторые исследователи указывали на важность учета общего запаса упругой энергии и податливости системы для объяснения масштабного эффекта (Н. Н. Давиденков, Т. К. Зилова, И. А. Разов, Я. Б. Фридман, Е. М. Шевандин и др.).
Статистическая природа масштабного эффекта. Прочность материала всегда представляет собой некоторую случайную величину, так как, во-первых, точное расположение всех дефектов неизвестно заранее, а во-вторых, если бы это расположение и было известно, решение соответствующей математической задачи было бы невозможно из-за ее сложности. Вероятность встретить наиболее крупный и опасный дефект в большем образце больше ——это соображение лежит в основе объяснения масштабного эффекта статистической теорией.
При построении статистической теории можно идти следующими двумя путями:
на основании опыта или интуиции выделить один или несколько наиболее опасных дефектов, а остальные дефекты как бы равномерно «размазать», считая свойства получившейся сплошной среды строго известными из макроэксперимента (длина и, может быть, еще некоторые параметры, определяющие расположение наиболее опасного дефекта, считаются случайными величинами с заданными функциями распределения);
все без исключения дефекты «размазать» по объему, считая получившуюся усредненную среду сплошной и «бездефектной» (локальная прочность этой среды, а также напряжения считаются некоторыми случайными функциями координат с заданными функциями распределения в каждой точке тела, средние же значения напряжений и прочности опре-
деляются соответственно из макротеории и макроопыта); при этом подходе для получения окончательных выражений требуется еще ряд дополнительных допущений (см. ниже). Первый метод ближе. к теории трещин (в нем подчеркивается физическая природа прочности и масштабного эффекта); второй метод более формален, он ближе к теориям прочности в сопротивлении материалов. Указанные подходы имеют несколько различные области применения и играют различную роль на разных стадиях физического процесса разрушения.
Допустим, что в процессе технологии или эксплуатации конструкции в ней не возникли более опасные дефекты-, чем металлургические (которые предполагаются не большими размера зерна), и характерный линейный размер конструкции велик по сравнению с размером зерна. В этом случае применимость второго подхода не вызывает сомнения. Именно этот подход разрабатывается в большинстве исследований, посвященных статистическим вопросам прочности и излагаемых ниже.
Теперь допустим, что при технологическом процессе или в течение предшествующей эксплуатации в конструкции могут возникнуть более опасные дефекты, чем металлургические. Для получения функций распределения согласно второму подходу требуется представительная выборка из некоторого числа п соответствующих конструкций, при этом прогноз относительно прочности одной конкретной конструкции оказывается уже вероятностным. Поэтому практически указанный подход может быть применен лишь к сравнительно малоценным изделиям массового производства, для уникальных же или дорогих конструкций его использовать невозможно. В этом случае может оказаться единственно возможным первый подход, позволяющий, например, путем анализа сравнительно небольшого числа поломок установить примерную величину и расположение дефектов, вызывающих разрушение. При этом следует подчеркнуть, что технологические и эксплуатационные дефекты могут совершенно исказить даже обычный характер масштабного эффекта (например, в более крупных изделиях прочность может быть больше). В дальнейшем эти дефекты исключаются из рассмотрения и под прочностью будет пониматься обычная металлургическая прочность. Следует отметить также условный характер разделения дефектов по происхождению. Для количественного описания стохастических закономерностей прочности предложен ряд статистических теорий. Основные принципы статистической теории прочности для микроскопически неоднородных хрупкоразрушающихся тел были сформулированы на основе экспериментальных наблюдений А. П. Александровым и С. Н. Журковым (1933). Их можно описать следующими положениями. Распространение неоднородности свойств (дефектов) по объему хрупко- разрушающейся среды равновероятно. Момент разрушения наиболее слабого элемента тела совпадает с разрушением тела в целом. Прочность образца, вырезанного из такого тела, определяется наиболее опасным дефектом из всех присутствующих в его поверхностном слое.
Случайный характер распределения неоднородности свойств по объему среды проявляется в рассеивании хрупкой прочности образцов. С увеличением размеров (поверхности) образцов частота попадания более опасных дефектов возрастает, область рассеивания сужается и наиболее вероятная величина прочности убывает, в чем и проявляется масштабный эффект. При однородном напряженном состоянии нижняя граница рассеивания остается общей для образцов всех размеров и прочность самых больших образцов определяется наиболее низкой прочностью образцов малых размеров, если последние еще велики по сравнению с дефектами.
26 Механика в СССР, т. 3
В работе А. П. Александрова и С. Н. Журкова (1933) вводится понятие общей нижней границы рассеивания прочности и зависимость распределений случайных значений прочности тела от его размеров.
Эти представления являются основой предложенной в 1939 г. статистической теории прочности В. Вейбулла, которая опирается на гипотезу «наиболее слабого звена». Такая теория в случае однородного растяжения приводит к степенной зависимости прочности от объема. В дальнейшем она была подтверждена некоторыми экспериментальными данными для металлов (например, в трудах Н. Н. Давиденкова, 1943, и Б. Б. Чечулина, 1954-1963).
Предлагалась также логарифмическая зависимость прочности от объема, которая, как показали Г. М. Бартенев и Ю. С. Зуев (1964)， лучше описывает экспериментальные данные для резин. Для стекол объем в формуле Вейбулла следует заменить рабочей поверхностью (Г. М. Бартенев и Ю. С. Зуев, 1964).
Математический вариант теории «наиболее слабого звена», записанный в форме распределения наименьшего члена случайной выборки, был предложен Т. А. Конторовой и Я. М. Френкелем в 1941 — 1943 гг. Эта теория была использована для определения масштабного эффекта по средним значениям хрупкой прочности в случае однородного напряженного состояния с применением упрощенной формы нормального -закона распределения для случайных значений прочности элементов тела.
В дальнейшем теория «наиболее слабого звена» предлагалась в 1949 г. В. Вейбуллом для описания усталостных разрушений и получила обобщенную математическую трактовку в работе В. В. Болотина (1961), а также была привлечена к описанию масштабного эффекта при усталостном разрушении (Р. Д. Вагапов, 1958—1964; С. В. Серенсен и В. П. Когаев, 1959-1962).
Значительные экспериментальные исследования по выяснению природы масштабного эффекта при однократном нагружении провели Г. М. Бартенев, Ф. Ф. Витман, А. Я. Воловик, М. Я. Гальперин, Н. Н. Да- виденков, Н. А. Махутов, Н. Г. Плеханова, С. И. Ратнер, С. В. Серенсен, Г. А. Степанов, Г. В. Ужик, Я. Б. Фридман, Б. Б. Чечулин, Е. М. Шеван- дин, Н. П. Щапов и др.
Особенно большую роль начинает играть масштабный фактор при наличии охрупчивающих факторов (поверхностно-активная внешняя среда и т. д.). Наиболее изучен масштабный эффект усталостной прочности.
При современных тенденциях развития техники (создание крупных энергетических конструкций, гидротехнических сооружений и т. д.) натурные испытания крупногабаритных деталей на усталость становятся практически нереальными. Иозтому все большее значение приобретает оценка масштабного эффекта, так как в расчет на прочность закладываются характеристики сопротивления усталости, получаемые на лабораторных образцах, размеры которых могут быть в десятки и сотни раз меньше характерных размеров деталей.
Применительно к действию переменных нагрузок было установлено, что снижение предела усталости образцов и деталей с увеличением их размеров имеет два аспекта: металлургический и механический. В первом случае масштабный эффект обусловлен сравнительно высокой степенью несовершенства структуры материала в больших отливках или поковках, идущих на изготовление крупногабаритных деталей. Во втором случаемасштабный эффект проявляется в снижении прочности геометрически
подобных образцов при увеличении их абсолютных размеров и тогда, когда эти образцы вырезаны из одного и того же же тела (Г. В. Ужик, 1942).
Первые экспериментальные работы были посвящены выяснению зависимости пределов усталости геометрически подобных образцов при переменном изгибе и кручении от размеров их поперечного сечения. Для исключения влияния металлургического фактора образцы вырезали из одной и той же заготовки.
Обобщение экспериментальных исследований влияния масштабного фактора по пределу усталости позволило ввести этот фактор, наряду с эффектом концентрации, в определение несущей способности элементов конструкций при переменных напряжениях (С. В. Серенсен, 1937—1945。 Г. В. Ужик, 1942). '
С целью перехода от пределов усталости лабораторных образцов к прочности детали был введен коэффициент влияния размеров поперечного сечения, равный отношению пределов усталости образцов большого» диаметра и лабораторного (С. В. Серенсен, 1934). Экспериментальные исследования обобщаются в виде графиков зависимости относительного снижения пределов усталости от возрастающих размеров поперечного сечения (С. В. Серенсен, 1957; Г. В. Ужик, 1957).
Установлено, что масштабный эффект имеет асимптотическую тенденцию, проявляется сильнее для высокопрочных сталей, неоднородных литых материалов, при наличии концентрации напряжений (С. В. Серен- сен, И. В. Кудрявцев, В. П. Когаев и Л. А. Козлов, 1949).
Одновременно развивались методы натурных испытаний деталей позволившие получить важную информацию (Н. П. Щапов, С. В. Серен- сен). Для приближения результатов опыта к натурным размерам деталей и оценки металлургического фактора были созданы испытательние стенды, позволявшие разрушать образцы с характерным размером сечения 150—300 мм. Оказалось, что для образцов таких сечений пределы усталости снижаются в два-три раза по сравнению с пределами усталости стандартных образцов диаметром 7—10 мм (В. А. Веллер, В. II. Когаев И. В. Кудрявцев, С. В. Серенсен, С. И. Яцкевич). '
Исследовались особенности масштабного эффекта в коррозионной среде (Л. А. Гликман, 1953; Г. В. Карпенко, 1953).
Одновременно с обобщением опытных данных с целью аналитической экстраполяции в область натурных размеров деталей развивалась теория масштабного эффекта при действии переменных нагрузок.
Для описания масштабного эффекта по пределам усталости в зависимости от размеров поперечного сечения тела и неравномерности распределения макроскопических напряжений по этому сечению была привлечена статистическая модель микроскопически неоднородного поликристалличе- ского тела (Н. П. Афанасьев, 1940).
Согласно статистической теории Н. П. Афанасьева предельная безопасная амплитуда напряжения определяется наличием в теле некоторого числа рядом расположенных кристаллитов, микронапряжения в которых в процессе циклического нагружения достигают значения их предела прочности. Достоверность такого события зависит только от размеров поперечного сечения тела и неравномерности распределения макронапряжений по этому сечению, так как предполагается, что переход от одного поперечного сечения к другому не приводит к новой комбинации в распределении микронеоднородностей. Поэтому длина тела и распределение напряжений вдоль его контура не учитываются. Отсюда получается детерминированная зависимость снижения пределов усталости при
растяжении ——сжатии с увеличением размеров поперечного сечения тела и более сильный масштабный эффект при переменном изгибе. По другому варианту той же теории масштабный эффект связан с неравномерностью распределения микронапряжений в поверхностном слое, глубина которого определяется минимальным разрушающим напряжением, равным пределу усталости при растяжении ——сжатии большого образца. Отсюда получается зависимость предела усталости, выраженного через амплитуду напряжения в опасной точке тела, от градиента напряжений в поперечном сечении, Эта теория дает единую детерминистическую интерпретацию масштабного эффекта при изгибе гладких образцов и при наличии концентрации напряжений.
По предложению И. А. Одинга несовершенства реального тела на микроскопическом уровне при переменных деформациях, феноменологически близких к упругим, схематизируются диаграммой идеальной пластичности с горизонтальным участком при напряжении, равном пределу усталости на растяжение — сжатие. Фиктивный предел усталости, вычисленный в предположении упругого распределения напряжений, оказывается тем меньше, чем меньше неравномерность распределения напряжений в опасном сечении тела, т. е. чем больше диаметр образца при изгибе.
На основе разделения влияния градиента напряжений и размеров тела на величину предела усталости масштабный эффект был представлен двумя составляющими, одна из которых обусловлена несовершенством материала на микросконическом уровне, другая ——макроскопической неоднородностью, проявляющейся в рассеивании характеристик сопротивления усталости (Р. Д. Вагапов, 1955). В дальнейшем масштабный эффект стал рассматриваться и в области ограниченной долговечности, т. е. по кривой усталости, представляемой в координатах «амплитуда напряжения ——долговечность».
Было показано, что масштабный эффект можно интерпретировать как уменьшение среднестатистических значений долговечностей и пределов выносливости с увеличенйем поверхности тела при сохранении общей нижней границы рассеивания, если область рассеивания представлена в координатах «амплитуда напряжения в опасной точке ——долговечность» в циклах (масштабного эффекта по нижней границе нет).
С приближением распределения напряжений в поперечном сечении тела к равномерному вся область рассеивания может смещаться в сторону меньших долговечностей, при этом предельной будет кривая усталости по нижней границе рассеивания для гладких образцов, испытанных на растяжение ——сжатие. Тем самым показывается возможность вероятностной оценки сопротивления усталости крупногабаритных деталей по результатам модельных образцов (Р. Д. Вагапов, О. И. Шишорина и Л. А. Хрипина, 1958—1960).
В 1959 г. В. П. Когаев на основе статистического анализа результатов испытаний образцов различной формы и размеров также показал возможность существования общей нижней границы минимальных значений долговечностей для малых вероятностей начальной стадии повреждения при существенной зависимости средних значений долговечности от формы и размеров тела.
Я. С. Подстригая и М. И. Чаевский (1959) предложили учесть температурный эффект циклического нагружения, обусловленный несовершенством материала на микроскопическом уровне, и неравномерность возникающего при этом в образце установившегося температурного поля. По этой теории за счет уменьшения теплоотдачи из внутренних зон тела
с увеличением его поперечного сечения величина растягивающих термоупругих напряжений в поверхностном слое возрастает; масштабный эффект трактуется как влияние асимметрии цикла, вызванной указанными термоупругими напряжениями.
Для стадии разделения тела магистральной трещиной предлагается оценка масштабного эффекта по возрастанию скорости развития трещины с увеличением размеров тела при соблюдении геометрического и силового подобия (Р. Д. Вагапов, 1960, 1961).
С. В. Серенсен и В. П. Когаев (1962) с использованием теории «наиболее слабого звена» и функции распределения Вейбулла описали масштабный эффект с учетом неравномерности распределения напряжений в поперечном сечении тела. Масштабный эффект определялся как уменьшение среднестатистических пределов усталости с уменьшением градиента напряжений в опасном сечении тела и увеличением его периметра. Параметры исходных распределений для элементарных макрообъемов тела и нижнюю границу рассеивания предлагалось определять по результатам статистических испытаний двух серий образцов с различным соотношением градиента напряжений и диаметра образца. Такая информация является универсальной для описания масштабного эффекта в зависимости от градиента напряжений и размеров тела.
В работах Р. Д. Вагапова (1964, 1965) с использованием той же функции распределения Вейбулла масштабный эффект по повреждению тела первой макротрещиной описывался в зависимости от распределения напряжений в его поверхностном слое. Были приведены экспериментальные подтверждения зависимости среднестатистических значений долговечности и прочности от поверхности тела и распределения напряжений вдоль его образующей (в частности, от длины цилиндрического образца), причем параметры исходного распределения определялись по результатам испытаний образцов одной формы.
§ 6. Разрушение при циклическом нагружении
Явление усталостного разрушения было открыто В. Ранкином и А. Велером более ста лет тому назад. С тех пор оно было подвергнуто интенсивному изучению, и в настоящее время механика усталостного разрушения лежит в основе проектирования и расчета большинства динамически напряженных конструкций и машин. С разработкой вопросов усталости непосредственно связано повышение эксплуатационной надежности, снижение веса и увеличение экономических показателей использования динамически напряженных конструкций в народном хозяйстве. Начатые в первые годы этого столетия (М. В. Воропаев, К. К. Симинский) исследования усталости конструкционных материалов, в том числе мостовой стали, чугуна, авиадревисины, получили дальнейшее развитие после революции. М. В. Воропаев раньше многих зарубежных авторов подошел к изучению усталостного разрушения как к процессу и ввел представление о необратимых гистерезисных потерях как о причине усталостного разрушения.
Остановимся на некоторых аспектах явления усталостного разрушения, не касаясь здесь таких вопросов, как ползучесть металлов и полимеров.
В механике усталостного разрушения проводились исследования по определению критериев прочности в зависимости от режима и вида напряженного состояния, анализировались условия подобия и кинетика
накопления усталостных повреждений при нестационарном переменном нагружении, привлекались статистические представления и теория пластичности для количественного описания закономерностей возникновения и развития усталостных трещин и перехода к хрупкому разрушению.
Разработка статистического аспекта механики усталостного разрушения позволила связать исследования прочности при переменных нагрузках с теорией эксплуатационной надежности. По современным представлениям, усталостное -разрушение металлов и полимеров физически обусловлено микронеоднородностью структуры материала и, как следствие, невозможностью избежать локальной концентрации напряжений, что вызывает накопление необратимых микропластических деформаций.
Критерии сопротивления усталостному разрушению при симметричных и асимметричных циклах и сложном напряженном состоянии разрабатывались в свете аналогий с критериями пластичности и статической прочности, а также на основе статистических энергетических представлений.
С. В. Серенсен (1937) предложил принимать зависимость предельных амплитуд напряжений от средних напряжений цикла в форме линейной аппроксимации, выражая коэффициент, характеризующий влияние асимметрии цикла, через пределы выносливости при симметричном и пульсирующем циклах. Л. И. Савельев в 1955 г. предложил выражать этот коэффициент через предел выносливости при симметричном цикле и истинное сопротивление разрушению.
Принимая в качестве критериальной величины, характеризующей усталостную прочность, площадь петли гистерезиса, И. А. Одинг (1937) получил квадратичную зависимость предельных амплитуд от средних напряжений. Д. И. Гольцев (1953), используя аналогию со статической прочностью, пришел к степенной зависимости предельных амплитуд от средних напряжений. При этом в качестве критериальной величины он использовал степенную функцию интенсивности касательных напряжений и среднего давления.
И. А. Одинг (1948) предложил несовершенства реального материала при переменных деформациях, феноменологически близких к упругим, схематизировать петлей гистерезиса или соответствующей ей диаграммой идеальной пластичности с горизонтальным участком при напряжении, равном пределу усталости на растяжение — сжатие. В то же время он принимал за критерий усталостного повреждения ту амплитуду деформаций, при которой ширина петли гистерезиса имеет определенную малую величину.
В дальнейшем в работах Г. С. Писаренко и В. Т. Трощенко (1967) уравнение кривой усталости в области больших чисел циклов было предложено выражать в амплитудах деформаций. За предел усталости авторы предлагали принять те напряжения, которые соответствуют некоторому (малому) значению ширины петли гистерезиса. Таким образом, предел усталости определялся как циклический предел пропорциональности.
На основе экспериментальных исследований усталости для сталей, чугунов и легких сплавов С. В. Серенсен (1941) предложил выражать условия прочности при переменных напряжениях для плоского напряженного состояния гипотезами наибольших касательных или октаэдрических напряжений с учетом (в линейной форме) влияния составляющих нормальных напряжений по соответствующим площадкам.
Н. Н. Афанасьев (1940) сформулировал основные статистические положения механики разрушения поликристаллического тела.
Для получения условий прочности при симметричных или асимметричных циклах и сложном напряженном состоянии он использовал физические представления о металле как микронеоднородней среде, характеризующейся неравномерной микронапряженностью кристаллитов. При этом предполагается, что в процессе циклического нагруя^ения напряжения в отдельных, неблагоприятно ориентированных зернах возрастают вплоть до сопротивления отрыву, что приводит к их разрушению. Однако разрушение изолированных зерен не вызывает еще разрушения тела. За критериальную величину усталостной прочности тела принимается разрушение некоторого числа (постоянного для каждого материала) рядом расположенных микрозерен металла. Вероятность такой ситуации зависит от размеров поперечного сечения тела, неравномерности распределения макронапряжения и макроскопического напряженного состояния.
Существенный вклад в дальнейшее развитие статистической механики поликристаллического тела был внесен С. Д. Волковым (1953, 1954). Рассматривая материал детали как микронеоднородную среду и принимая, что разрушение в каком-либо микрообъеме наступает при достижении растягивающими напряжениями прочности сцепления, он получил условия прочности при переменных нагрузках и сложном напряженном состоянии с учетом асимметрии цикла (I960).
Д. И. Гольцев (1953), используя характеристики несовершенной упругости, принимал площадь петли гистерезиса без учета площади петли на пределе усталости как меру повреждения за один цикл. При этом мера повреждения не зависит от числа циклов, а суммарная работа разрушен- ния 亠 от уровня амплитуды напряжений. Отсюда вытекает уравнение кривой усталости, линейный закон суммирования повреждаемостей при нестационарных режимах нагружения и условие прочности при переменных напряжениях и сложном напряженном состоянии в степенной форме.
Продолжая эти исследования, Р. Д. Вагапов (1964) в связи с явлениями ползучести и релаксации (повторное нагружение) рассмотрел вопрос о петле гистерезиса с переменными по числу циклов параметрами, описывающими зависимость меры повреждения от числа циклов, отклонение от линейного закона суммирования повреждений и зависимость долговечности от типа нагружений.
Н. Н. Вассерман и В. А. Гладковский (1965) рассмотрели явление усталости с точки зрения двух взаимосвязанных процессов: упрочнения и разупрочнения. Процесс упрочнения был охарактеризован величиной минимального повреждающего напряжения, которое возрастает с числом циклов. На этой основе была дана единая интерпретация уравнений кривой усталости и явления тренировки при нестационарных циклах.
И. А. Биргер (1948) сформулировал условия прочности при плоском напряженном состоянии с асимметричными циклами на основе предположения о том, что при асимметричном цикле на сопротивление усталости оказывают влияние только статистические нормальные напряжения.
В работах С. В. Серенсена (1933) была предложена зависимость предела усталости от амплитуды максимального напряжения и от локального градиента напряжения. Продолжая исследование этого аспекта, Н. Н. Афанасьев (1936) предложил статистическое объяснение указанной зависимости. Тот же эффект И. А. Одинг (1948) описал на основе представлений о несовершенной упругости с помощью циклической вязкости (равной произведению модуля упругости на ширину петли пластического гистерезиса). С. В. Серенсен, Г. В. Ужик и Р. Д. Вагапов (1955) предложили условия моделирования усталостного разрушения.
В дальнейшем изменчивость усталостных свойств, проявляющаяся в рассеивании характеристик сопротивления усталости, стала объектом теоретического и экспериментального исследования. В 1948 г. А. И. Кочетов и А. Д. Кролевецкий, а в 1952 г. М. Я. Шашин применили корреляционный анализ для статистического описания наклонного участка кривой усталости с учетом различных вероятностей разрушения. Здесь был принят нормальный закон распределения логарифма долговечности с параметрами, не зависящими от уровня амплитуд напряжений. Исследовалась возможность применения логарифмически нормального распределения для разрушающего числа циклов с учетом порога чувствительности (В. П. Ко- гаев, 1957) и регрессионного анализа для описания наклонного участка кривой усталости по разрушению с учетом зависимости функций распределения от уровня напряжений (М. Н. Степанов, Е. В. Гиацинтов и В. П. Когаев, 1959).
Процесс усталостного повреждения разделяется на две стадии: стадию накопления микроповреждений, рассеянных по объему тела, завершающуюся образованием первой макротрещины, и стадию разделения тела магистральной трещиной. Оценка закономерностей производилась по параметрам равной вероятности равного повреждения (Р. Д. Вагапов, О. И. Шишорина и Л. А. Хрипина, 1958—1964). В этих работах устанавливается аналогия между статистической моделью разрушения идеально хрупкого тела по наиболее «слабому звену» (С. Н. Журков и А. П. Александров, 1933) и предложенной моделью повреждения тела первой макротрещиной усталости. Показана возможность такой вероятностной оценки прочности и долговечности крупногабаритных деталей по результатам статистических испытаний модельных образов вплоть до определения нижней границы рассеивания по повреждению первой макротрещиной.
В работах Л. Г. Седракяна (1958 и сл.) предложена статистическая теория деформирования и разрушения хрупких материалов, позволяющая выявить некоторые особенности сопротивления деформированию реальных конструкционных материалов типа чугуна, бетона, горных пород и др. В основе теории лежит схема идеально неоднородного материала, причем реальные характеристики деформирования зависят от одной произвольной функции (функция распределения неоднородности материала по данному признаку неоднородности) и постоянной материала (коэффициент трения), которые определяются из опыта. Эта модель позволяет объяснить постепенный характер процесса разрушения, усталостную и долговременную прочность, увеличение объема материала при его преимущественном сжатии, наличие нисходящей ветви диаграммы сжатия — растяжения и др.
В. Болотин (1961) для описания статистических закономерностей усталостного разрушения привлек гипотезу «наиболее слабого звена» и уточнил формулировку этой гипотезы в связи с суще ств ов а нием порога минимальных значений.
На основе упомянутой гипотезы С. В. Серенсен и В. П. Когаев (1962) установили зависимость функций распределения случайных значений долговечности и прочности тела данной формы и данных размеров от градиента напряжений в опасном сечении и периметра опасного сечения. В качестве статистического критерия подобия было принято отношение периметра опасного сечения или его части к относительному градиенту первого главного напряжения в этом сечении. С помощью введенного критерия устанавливалась связь между максимальным разрушающим
напряжением в зоне концентрации напряжений и вероятностью разрушения тела.
Р. Д. Вагапов (1959—1965) для предельного случая, когда вероятность повреждения тела на глубине исчезающе мала, предложил теорию рассеивания долговечностей и предела усталости, учитывающую не только поперечные, но и продольные размеры тела и распределение макронапряжений вдоль его контура. Функция распределения зависит при этом от формы, размеров тела и способа его нагружения, т. е. дает вероятностную оценку концентрации напряжений и масштабного эффекта. В рассмотрение вводится совместная плотность случайных величин прочности, долговечности и случайной координаты повреждения первой макротрещиной.
Приблизительно в сороковых годах начинаются интенсивные исследования сопротивления усталости деталей при переменных в процессе эксплуатации амплитудах нагрузок. В работах С. В. Серенсена (1944)， Д. Н. Решетова (1945) и В. М. Бахарева (1945) для оценки долговечности х прочности при переменной во времени амплитуде напряжения анализировалась линейная гипотеза суммирования усталостных повреждений. Были предложены феноменологические трактовки процесса накопления усталостных повреждений при варьируемых амплитудах, которые основываются на анализе свойств вторичных кривых усталости при программном нагружении и отклонений их параметров от условий линейного суммирования повреждений (С. В. Серенсен, Л. А. Козлов, 1953), на использовании энергии гистерезиса, поглощаемой металлом при напряжениях, превышающих предел выносливости (Д. И. Гольцев, 1955), на анализе свойств меры повреждений и введении двух стадий усталостного разрушения (В. В. Болотин, 1959—1963).
Большой практический и теоретический интерес представляет изучение проблемы усталостной прочности при случайных внешних воздействиях.
В. Болотин (1963) сформулировал принципы разбиения случайного процесса на циклы и условия, необходимые для определения среднего ресурса долговечности с использованием представлений о предельной поверхности усталости (в координатах «амплитуда напряжения —— среднее напряжение цикла ——долговечность»).
В. Серенсен, Е. Г. Буглов и В. П. Когаев (I960 и сл.) трактовали оценку сопротивления усталости при случайном нагружении в вероятностном аспекте ).
Оценка опытных закономерностей усталости по параметру равной вероятности повреждения позволила выделить из статистических детерминистические закономерности нелинейного суммирования относительных долговечностей при нестационарном режиме нагружения (Р. Д. Ваганов, 1964 и сл.). На основании изучения накопления усталостных повреждений в статистическом аспекте С. В. Серенсен и В. П. Когаев (1966) оценили детерминированную и случайную составляющие в сумме относительных долговечностей и предложили корректировку линейной гипотезы в зависимости от спектра амплитуд напряжений.
Дальнейшее развитие этого раздела механики связано с построением стохастических моделей процесса усталости. В. В. Болотин и X. Б. Кор-
донский (1961) предложили рассматривать процесс усталостных повреждений как случайный процесс марковского типа. Использование неоднородных во времени процессов, с уменьшающимися во времени интенсивностями переходов, позволило обосновать логарифмически нормальное распределение долговечности и объяснить явление тренировки, т. е. увеличение или уменьшение долговечности при переходе с одного уровня амплитуды напряжений на другой (X. Б. Кордонский, 1961).
С. В. Серенсен и В. П. Когаев (1965) на основе рассмотрения процесса усталости как однородного во времени марковского процесса с конечным множеством состояний и непрерывным временем проанализировали и количественно охарактеризовали статистические закономерности накопления усталостных повреждений при программном нагружении. Функции распределения долговечности при этом получаются методом перемножения стохастических матриц и методом Монте-Карло.
Введение понятия тензора повреждений, который функционально зависит от тензора напряжений, позволило А. А. Ильюшину (1966) разработать подход к исследованию прочности материалов с учетом истории нагружения при циклических нагрузках.
Усталостное разрушение при переменных контактных давлениях изучалось путем исследования контактных напряжений с учетом как нормальных, так и касательных сил в, местах соприкосновения деталей и анализа условий прочности для объемного напряженного состояния, что позволило получить зависимости между предельными контактными давлениями и характеристиками усталости (М. М. Саверин, 1948; С. В. Пине- гин, 1967).
Обширные экспериментальные исследования закономерностей усталостного разрушения позволили накопить, начиная с середины тридцатых годов, обширный материал, касающийся характера кривых усталости, типов функций распределения случайных значений прочности и характеристик влияния состояния поверхности, воздействия сред, полей остаточных напряжений и механических свойств поверхностного слоя на сопротивление усталости (Н. М. Беляев, М. Э. Гарф, Л. А. Гликман, М. М. Гох- берг, Н. Н. Давиденков, Г. В. Карпенко, И. В. Кудрявцев, А. В. Ряб- ченков, М. Н. Степнов, В. И. Труфяков, М. Я. Шашин, Н. П. Щапов и др.).
Результаты теоретических и экспериментальных исследований; в области механики усталостного разрушения явились основой улучшения конструктивных форм деталей, у совершенств ования их расчетов на прочность и технологии изготовления, в том числе поверхностного упрочнения.
Создание конструкций высоких параметров, больших мощностей и размеров потребовало разработки вопросов прочности при циклическом нагружении в упруго-пластической области. В этих условиях в наиболее напряженных зонах узлов и деталей происходит существенное изменение закономерностей деформирования и условий образования и распространения трещин циклического нагружения. Это связано с тем, что при указанных уровнях нагрузок, соответствующих сравнительно 'малому (до 103—104) числу циклов до разрушения, наблюдается перераспределение по числу циклов упруго-пластических деформаций, зависящее от условий нагружения (неоднородность напряженного состояния, температура, скорость деформирования и др.) и от циклических свойств материалов. Процессы образования и развития трещин малоциклового нагружения в общем случае протекают на фоне накопления однонаправленных и циклических пластических деформаций, причем описание ведется на основе соответствующих критериев малоциклового разрушения. Нестационарность
упруго-пластических деформаций при малоцикловом нагруя^ении определяет условия достижения предельных состояний элементов конструкций и соответственно их несущую способность.
Первые работы в СССР по малоцикловой усталости элементов авиационных конструкций были выполнены Н. И. Мариным (1946). Эксперименты, проведенные на цилиндрических трубах (со сварными швами и без них) и пластинах с отверстием, показали, что сопротивление малоцикловому разрушению, выраженное номинальными разрушающими напряжениями, оказывается ниже сопротивления разрушению при однократном статическом нагружении, в зависимости от механических свойств материала и уровня концентрации напряжений.
В последующие годы основные результаты по исследованию сопротивления малоцикловому разрушению были получены в работах Д. А. Гохфельда, В. В. Москвитина, В. В. Новожилова, С. И. Ратнер, С. В. Серенсена, Я. Б. Фридмана, Р. М. Шнейдеровича. Существенное внимание при этом уделялось построению, с одной стороны, уравнений состояния для случая циклического нагружения и, с другой стороны, критериев разрушения.
В. В. Москвитин (1951 — 1965), обобщив положения Г. Мазинга и используя теорию малых упруго-пластических деформаций для случая повторного нагружения, доказал ряд теорем относительно переменных нагружений, вторичных пластических деформаций и предельных состояний. На основе этих теорем оказалось возможным использовать конечные соотношения между напряжениями и деформациями для решения соот- ъетствующих задач. Эти соотношения справедливы при нагружениях, близких к простому. В работах В. В. Москвитина показана также возможность применения разработанной им теории для случая сложного нагружения, когда главные напряжения при циклическом нагружении меняют знак. Теория малых упруго-пластических деформаций при циклическом нагружении была использована В. В. Москвитиным и В. Е. Воронковым (1966) для решения ряда конкретных задач (циклический изгиб бруса и пластин, повторное кручение стержней кругового и овального поперечного сечения, повторное нагружение внутренним давлением толстостенного цилиндра и шара и др.).
Наряду с таким подходом в работах Н. Н. Афанасьева (1953), Ю. Д. Софронова (1959), Н. И. Черняка и Д. А. Гаврилова (1966) были развиты статистические модели поликристаллического конгломерата, состоящего из значительного числа элементов, обладающих различными ориентировкой и механическими свойствами (как без упрочнения, так и с упрочнением). На-основе этих моделей представляется возможным аналитически описать форму петли у пр у г о-п л а стиче ск ог о гистерезиса, эффект Баушингера, а также процесс изменения напряжений и деформаций. Применительно к циклически упрочняющимся материалам Ю. Д. Софроновым получена зависимость между напряжениями, деформациями и числ ом цикл ов до разрушения.
Систематическое экспериментальное исследование уравнений состояния, выполненное С. В. Серенсеном, Р. М. Шнейдеровичем и А. П. Гусенковым (I960—1966), позволило показать существование обобщенной диаграммы циклического деформирования, являющейся для данного материала функцией числа циклов, независимо от характера и вида нагружения. На основе обобщенной ;диаграммы циклического деформирования было предложено записать в конечном виде поцикловые зависимости между «напряжениями и деформациями для процессов нагружения.
В этих работах показано, что пластические составляющие циклических деформаций (ширина петли) убывают или возрастают в зависимости от свойств циклического упрочнения или разупрочнения материала. Кроме того, установлены свойства циклической анизотропии, проявляющейся в одностороннем накоплении пластических деформаций.
В дальнейшем обобщенная диаграмма циклического деформирования была распространена на асимметричные циклы напряжений и на деформирование в условиях повышенных температур с привлечением гипотезы старения. В такой постановке были решены задачи об изгибе и кручении сплошных стержней, о растяжении — сжатии полосы с отверстием и стержней кругового сечения с кольцевыми выточками при циклическом деформировании (Р. М. Шнейдерович, А. П. Гусенков и Г. Г. Медекша, 1966, 1967).
В работах В. В. Новожилова, Р. А. Арутюняна, А. А. Вакуленко, Ю. И. Кадашевича уравнения состояния при циклическом деформировании получены на основе обобщенной теории пластического течения с использованием модели с сухим трением и с учетом микр онапряжений. При этом оказалось возможным рассматривать сложное нагружение и соответствующие предельные состояния.
И. 3. Паллей (1965 и сл.) исследовал процессы неизотермического циклического нагружения на основе обобщения теории пластичности и ползучести с введением подобия девиаторов напряжений и скорости пластической деформации. В связи с этим была решена задача о неравномерно нагретой пластине и диске при циклическом нагружении.
И. Розенблюм, Д. А. Гохфельд и В. В. Москвитин (1958 и сл.) провели исследование предельного состояния при циклическом нагружении стержневых систем, пластин, дисков и оболочек в свете теории приспособляемости.
Д. А. Гохфельд (1964——1967) разработал критерии стабилизации процессов деформации при повторном нагружении и нагреве, описал накопление деформаций, ведущее к «прогрессирующему» разрушению, и на основе теории приспособляемости решил задачу о несущей способности дисков, труб, оболочек и других к он стр уктив ных элементов. Для решения задач о приспособляемости стержневых систем А. А. Чир а с (1966) использовал методы линейного программирования.
В. Серенсен, Н. А. Махутов и Р. М. Шнейдерович (1964——1966} предложили описание условий малоциклового разрушения на основе силовых и деформационных критериев разрушения. Анализ условий малоциклового разрушения получен ими на основе деформационных критериев. В качестве критерия квазистатического разрушения предложена величина предельной односторонне накопленной пластической деформации^ равной деформации при разрушении от однократной нагрузки для однородных и неоднородных напряженных состояний. Использование обобщенных кривых циклического деформирования и деформационных критериев позволило этим авторам (1966 и сл.) определить предельные состояния при усталостных малоцикловых процессах. Для случаев малоциклового нагружения, при которых интенсивности накопления квазиста- тических и усталостных повреждений сопоставимы, предельное число циклов устанавливается на основе гипотезы суммирования этих повреждений. '
Для экспериментальной проверки кинетики циклического деформирования и критериев разрушения развиты экспериментальные методы
исследования поЛей деформаций с помощью оптически активных покрытий (Р. М. Шнейдерович и В. В. Ларионов, 1965), метода муара (Р. М・ Шнейдерович и О. А. Левин, 1967) и метода сеток (Н. А. Махутов, 1964).
В работах В. В. Новожилова и О. Г. Рыбакиной (1966) в качестве критерия разрушения при статическом и малоцикловом нагружении предложен путь пластической деформации, пропорциопальный произведению интенсивности пластических деформаций на число циклов, предельное значение которого зависит от пластического разрыхления материала. Этот критерий использовался для описания циклических разрушений при симметричном и асимметричном цикле деформаций.
Силовой критерий малоциклового нагружения в форме максимального местного напряжения разрабатывался Р. М. Шнейдеровичем и В. В. Ларионовым (1962——1965). Этот критерий позволил описать разрушение при жестком нагружении в условиях однородного напряженного состояния, а также разрушение при внешнем нагружении в зонах концентрации по заданным напряжениям.
Нужно отметить, что в основу энергетических критериев малоциклового разрушения положены различные соображения: полная энергия пластической деформации (А. Г. Костюк, 1966), тепловой эквивалент упруго-пластических деформаций (В. С. Иванова, 1967), энергия пластических деформаций в пределах области упрочнения (Н. С. Можаровский, 1966).
Для описания условий разрушения при малом числе циклов используется функция повреждения материала, зависящая от пути пластического деформирования (В. В. Новожилов и О. Г. Рыбакина, 1966), накопленной энергии пластической деформации (А. Г. Костюк, 1966). Эта функция вводится как в уравнения состояния, так и в условия прочности для установления степени циклического и длительного статического повреждения, влияния асимметрии цикла деформаций.
Весьма важной частью общей проблемы усталости является изучение закономерностей развития трещин в металлах и полимерах при цикличе- ческом нагружении. Еще первыми исследователями явления усталости было замечено, что разрушению обычно предшествует длительное устойчивое развитие трещины. Последующие исследования показали, что около 30—60% всего времени до разрушения в изделии, подвергающемся циклической нагрузке, растет трещина (С. В. Серенсен, Р. М. Шнейдерович и Н. А. Махутов, 1966). Экспериментальные данные по этому вопросу, однако, достаточно разноречивы вследствие трудности обнаружения начальной развивающейся трещины.
Одна из первых работ в СССР по устойчивому развитию фиксированной усталостной трещины была выполнена Р. Д. Вагаповым (1959). В дальнейшем в связи с результатами теории хрупких трещин на основе многочисленных экспериментов было установлено, что скорость распространения усталостной трещины зависит только от характеристик коэффициента интенсивности напряжений в конце трещины, когда размер пластической зоны на краю трещины мал по сравнению с размерами тела (Д. К. Доналдсон и В. Э. Андерсон, Proc. Crack Propagation Symp. (1961), v. 2, Cranfield, 1962, p. 375—441; П. К. Парис — там же; В. М. Маркочев, 1966; К. Д. Миртов, 1968).
Таким образом, зависимость скорости роста трещины от геометрических размеров тела и параметров внешней нагрузки в этом случае представляется через одну величину (коэффициент интенсивности напряжений).
Следует отметить, что допущение о малости пластической области для усталостных трещин гораздо менее существенно, чем для случая разрушения при монотонном нагружении, вследствие более низкого уровня напряжений, при котором протекает процесс разрушения ).
7. Влияние температуры на прочность твердых тел
При исследовании прочности и разрушения металлов и полимеров исключительно важными являются вопросы термопрочности, заключающиеся в изучении прочности материалов и конструкционных элементов под действием различного рода силовых и тепловых нагрузок в широких диапазонах изменения температуры. Особенно большую актуальность эти вопросы приобретают в связи с развитием таких отраслей современного машин остр оения, как реактор остр оение, двигате лестр оение, ракетная техника ,и многих других. Наметившаяся тенденция повышения рабочих температур различных агрегатов и установок требует не только точного определения распределения и интенсивности температурных напряжений и деформаций, но и исследования их влияния на кратковременную и длительную прочность, термическую усталость, термическое выпучивание и другие явления. •
С другой стороны, представляют интерес критерии прочности при сравнительно низких температурах. Развитие космических исследований, вопросы химической технологии, использование металлических конструкций в условиях Дальнего Севера и пр. приводят к необходимости изучения закономерностей явления хладноломкости.
В нашей стране проведены широкие теоретические и экспериментальные исследования различных общих и частных проблем термоупругости и термопрочности (В. В. Болотин, И. И. Гольденблат, Э. И. Григолюк, В. И. Даниловская, А. А. Ильюшин, А. Д. Коваленко, Г. С. Писаренко,. Ю. Н. Работнов, С. В. Серенсен, В. Н. Феодосьев, Я. Б. Фридман и др.). В этом параграфе будут рассмотрены только вопросы термопрочности и разрушения при высоких и низких температурах; вопросы же анализа термоупругих и термопластических деформаций и напряжений до разрушения здесь не освещаются. Исследование прочности при высоких и низких температурах охватывает большой круг вопросов экспериментального и теоретического характера. Экспериментальные исследования прежде всего связаны с получением основных характеристик прочности и дефор- мативности различных материалов (в первую очередь жар опросных) в зависимости от температуры как при кратковременных, так и при длительных нагрузках. К этому же циклу исследований нужно отнести экспериментальное определение упругих постоянных материала при высоких и низких температурах.
За последнее время накоплен значительный объем данных о свойствах твердых тел и полимеров при повышенных температурах и различных нагрузках ). Изучению механических и термических свойств твердых
тел и полимеров при различных температурах посвящено огромное количество интересных и важных работ. Систематические исследования в этом направлении проводились Н. Н. Давиденковым, Б. А. Дроздовским, И. А. Одингом, Г. С. Писаренко, С. В. Серенсеном, Я. Б. Фридманом и их учениками.
В работах Г. С. Писаренко и его сотрудников разрабатывались вопросы, связанные с методикой и средствами определения различных характеристик материалов при высоких и низких температурах (1958 и сл.). Выяснению сложных закономерностей механической и термической прочности в широком диапазоне режимов нагружения и нагрева посвящены работы И. А. Одинга (1945—1962), С. В. Серенсена (1950 и сл.), Я. Б. Фридмана (1952—1962) и их сотрудников.
Накопленный объем данных о свойствах различных материалов при повышенных и пониженных температурах облегчает задачу определения допускаемых напряжений при расчетах конструкций на прочность по напряжениям, вызванным внешней нагрузкой и температурой. Правильный выбор допускаемых напряжений является исключительно важной задачей, так как от этого зависит не только прочность конструкции, но и ее экономичность и легкость. Отметим, что почти все методы расчета допускаемых напряжений при высоких и низких температурах носят весьма приближенный характер, так как материал со временем «устает», «стареет» и находится под действием ряда трудно или совершенно неучитываемых условий, не вводимых в расчеты. Поэтому выбор допускаемых напряжений производится в основном на основании эмпирических или статистических данных ). Построенные методы расчета позволяют определить как кратковременные допускаемые напряжения при равномерной и неравномерной температуре, так и допускаемые напряжения при длительном воздействии нагрузки при повышенных температурах.
В последнее время большое внимание привлекают также исследования вопросов усталости и несовершенной упругости материалов при нормаль ных и высоких температурах ).
С. В. Серенсен и Л. А. Козлов (1958, 1965) при исследовании усталости сплавов при повышенных температурах применили статистический подход, который позволяет оценивать надежность и запасы прочности деталей, работающих при повышенной температуре. Аналогичные исследования для металлокерамических материалов были проведены Г. С. Писаренко и др. (1962).
Особое внимание следует обратить на явление так называемой температурной (тепловой или термической) усталости, сущность которого состоит в возникновении и развитии микротрещин в результате повторного действия температурных напряжений, обусловленного циклическим изменением температуры. В этом случае разрушение протекает в условиях, сходственных с малоцикловым разрушением при повышенных температурах, протекающим, однако, неизотермически, в связи с чем на разрушение оказывают влияние термоструктурные напряжения.
Проблема термоусталости особенно важна в таких областях, как энергетика (повторные пуски агрегатов, варьирование их мощности), самолетостроение (повторный кинетический нагрев), двигателестроение
и т. д., когда в элементах конструкций возникают значительные температурные напряжения.
Еще в 1919 г. Д. К. Чернов подметил основные особенности термической усталости. Он подчеркнул, что причиной образования сетки трещин на стенках канала артиллерийских орудий и на поверхности прокатных вальцов является знакопеременная пластическая деформация, возникающая при повторных нагревах и охлаждениях.
До пятидесятых годов изучение сопротивления конструкционных металлов термоусталостному разрушению проводилось с целью качественного сопоставления поведения материалов при циклически меняющихся температурах. В этих исследованиях использовались образцы различной формы и размеров, в которых для «ужесточения» условий испытания создавались надрезы в виде отверстий и выточек. Нагрев образцов осуществлялся различным образом (в печах электросопротивления, токами высокой частоты, в потоках продуктов сгорания или нагретого воздуха, газовой горелкой, внесением в расплав), а охлаждение ——погружением в жидкость или на воздухе.
В указанных исследованиях для заданного термического режима определялись число циклов до появления трещин, изменение формы и размеров образцов, а иногда и кинетика развития трещин без анализа напряженного и деформированного состояния, возникающего при нагреве и охлаждении образцов. Например, в работе Л. А. Гликмана (1937) при определении числа циклов до разрушения в целых призматических образцах и с продольными канавками было установлено, что трещины появляются быстрее в образцах с надрезами.
. И. Залесский и Д. М. Корнеев (1954) провели исследование разга- ростойкости цилиндрических образцов из различных сталей, нагреваемых в свинцовой ванне и охлаждаемых в проточной воде. Было установлено более раннее образование трещин при наличии структурных превращений в менее «плотной» стали и при менее тщательной обработке поверхности.
М. В. Приданцев и А. Р. Крылова (1958), испытывая листовые образцы с отверстиями при нагреве газовой горелкой и охлаждении на воздухе, показали снижение термостойкости с увеличением толщины листа, а М. Я. Львовским и И. А. Смияном (1958) была разработана методика для оценки сопротивления листовых материалов действию теплосмен.
Как уже отмечалось, результаты этих исследований использовались в основном для сравнительной оценки сопротивления термической усталости различных материалов. В то же время они не могут применяться для оценки несущей способности элементов конструкций и сооружений, напряженное и деформированное состояние в опасных зонах которых существенно зависит от размеров и форм изделий, а также условий теплопередачи.
Развитие исследований по термической усталости в последние 10—15 лет основывается на температурно-временном анализе напряженного и деформированного состояния в элементах конструкций и рассмотрении сопротивления разрушению применительно к соответствующим тепловым и механическим процессам, что открывает определенные возможности в решении задач расчета на прочность деталей при циклическом термине ском нагружении.
Важным этапом экспериментального исследования термоусталости явились работы Л. Ф. Коффина и Р. П. Весли (Trans. Amer. Soc. Meeh. Engrs, 1954, 76 : 6, 923—930), позволившие сравнительно просто и надежно определять напряжения и деформации путем испытания защемленного
по концам тонкостенного циклически нагреваемого трубчатого образца. В дальнейшем было предложено (С. В. Серенсен и П. И. Котов, 1959) проведение испытаний с варьируемой жесткостью путем управления упругой системой нагружения, т. е. варьирование граничных условий в том случае, когда величина силовой деформации оказывается меньше температурной.
Расширение возможных вариантов соотношения механического и температурного циклов (деформация от внешних нагрузок может быть больше температурной, а в момент достижения максимальной температуры может быть не сжатие, а растяжение; сдвиг фаз температурного и механического циклов; различные сочетания термических и механических нагрузок и т. д.) было получено Н. Д. Соболевым и В. И. Егоровым (1962) путем синхронной температурному циклу подгрузки (при нагреве ——сжатие, при охлаждении —— растяжение), А. В. Стрижало (1967) с использованием установки с программным изменением нагрузки и температуры, А. И. Ивановым и Б. Ф. Трахтенбергом (1968) путем разработки методики независимого механического и теплового нагружения.
А. Платонов и Н. М. Скляров (1962) и А. В. Ратнер (1964) предложили оценивать сопротивление материала термической усталости путем испытания образцов при одностороннем накоплении пластической деформации по полуциклам растяжения в момент охлаждения образца.
Р. А. Дульневым, В. И. Егоровым, Е. Н. Пироговым и Н. Д. Соболевым были предложены более точные методы определения величины упругопластической деформации при испытании образцов на растяжение ——сжатие (1962 и сл.).
Большое разнообразие вариантов напряженного и деформированного состояния в реальных условиях циклического температурного нагружения определило необходимость проведения соответствующих исследований. В экспериментах В. Н. Кузнецова (1957) в трубчатом образце создавалось знакопеременное плоское напряженное состояние за счет циклически изменяющегося радиального температурного градиента. Ю. Ф. Баландин (1967) осуществил испытания циклически нагреваемых и охлаждаемых трубчатых образцов, защемленных по концам, при одновременном их нагружении внутренним постоянным давлением.
Нужно отметить, что механизм термической усталости во многом подобен механизму усталости при механическом воздействии, так как в обоих случаях причинами разрушения являются одни и те же факторы: воздействие переменных многократных напряжений и знакопеременные пластические деформации. Поэтому для определения закономерностей термической усталости часто используют вспомогательные данные о поведении изучаемого материала при изотермическом циклическом нагружении (Я. Б. Фридман, 1962). Однако существуют и различия между ними, не позволяющие в ряде случаев заменить испытания на термическую усталость испытаниями на механическую усталость. Дело в том, что за счет изменения температуры в течение каждого цикла происходит постоянное изменение различных физических свойств материала (модуля упругости, предела текучести и др.), приводящее, в свою очередь, к изменению сопротивления материала воздействию термических напряжений. Для термической усталости характерна локализация деформации в зонах с наибольшим температурным перепадом даже в однородном поле напряжений (термическая концентрация) из-за неравномерности температурного ноля, возникающего в деталях. Отметим также, что сопротивление механической усталости при невысоких температурах и не слишком малых частотах 27 Механика в СССР, т. 3
нагружения мало зависит от частоты нагружения, в то время как термическая усталость существенным образом связана с длительностью цикла нагружения, а также с временем выдержки материала в высокотемпературной части цикла.
Многократные циклические напряжения зачастую приводят к разру~ шению сначала отдельных зерен или границ между ними, а затем и к полному разрушению образца (термическая усталость от термоструктурных напряжений). Исследование микроструктурных напряжений в зависимости от температуры было проведено в работах В. А. Лихачева (1958), Н. Н. Да- виденкова и В. А. Лихачева (I960).
Отмеченные выше факты указывают на необходимость систематического исследования термической усталости и, в частности, получения для заданных интервалов температур кривых, связывающих величину деформации с числом циклов до разрушения.
Серьезные теоретические исследования этого аспекта принадлежат Л. Коффину (см. выше) и С. Мансону (Mach. Design, 1958, № 12—13 и 16——18), причем последним предложена единая кривая усталостной прочности.
Н. Кузнецов (1957) экспериментально изучал вопросы прочности при термической усталости и предложил зависимость между числом циклов до разрушения, интенсивностью пластической деформации и максимальной амплитудой линейной пластической деформации.
В работе С. В. Серенсена и П. И. Котова (I960) были получены диаграммы деформирования в полуциклах нагрева и охлаждения.
С. Можаровским (1966) на основании экспериментальных исследований на растяжение стержней из жаропрочных у пр очняющихся материалов получены зависимости между напряжением и деформацией при любом цикле теплового нагружения.
В дальнейшем в работах С. В. Серенсена, Ю. Ф. Баландина, В. И. Егорова, П. И. Котова, Н. С. Можаровского, Н. Д. Соболева (I960 и сл.), были получены эмпирические зависимости долговечности (число циклов до разрушения) от различных параметров напряженного и деформированного состояния и термического цикла (величины изменения пластической и полной деформации, напряжений, перепада температур за цикл и т. д.).
Результаты испытаний ряда жаропрочных сталей в одном и том же интервале температур при одноосном напряженном состоянии и чистом сдвиге позволили Н. Д. Соболеву и В. И. Егорову (1963) предложить энергетическую теорию формоизменения для термической усталости. Установление энергетического критерия разрушения и существование единой кривой циклического деформирования позволяют получить зависимости долговечности от изменения интенсивности напряжений, деформаций и энергии пластической деформации за цикл и показать связь между этими зависимостями. ‘
В работе Н. С. Можаровского (1967) показано, что в качестве основного критерия разрушения пластических у пр очняющихся материалов при термоциклических нагрузках, вызывающих знакопеременные пластические деформации, можно принять величину суммарной необратимо поглощаемой энергии, затраченной на процесс деформационного упрочнения и определяемой по соответствующим диаграммам неизотермического деформирования.
Ю. Ф. Баландин (1964) и Н. С. Можаровский (1967) исследовали влияние наложения статической нагрузки на термоциклические напряжения. ^
Характер температурного цикла (уровень температур, продолжительность цикла) определяет величину деформации, ход кривой циклического деформирования, релаксацию напряжений и сопротивление разрушению. В связи с этим практическое значение имеют результаты исследований Ю. Ф. Баландина (1966) и Р. А. Дульнева (1967), изучавших вопрос влияния времени выдержки при максимальной температуре цикла.
В работах П. И. Котова (1961) и Н. С. Можаровского (1963) была показана возможность представления характеристик теплостойкости материалов при различных температурных режимах в виде единой кривой термической усталости.
Большое число работ посвящено изучению «повреждаемости» материала в результате термоусталостного нагружения. Отмечается существенное изменение (снижение) сопротивления материала деформированию и разрушению при последующем однократном статическом нагружении (Я. Б. (Фридман и В. И. Егоров, I960).
Н. Д. Соболевым и Е. Н. Пироговым (1967) исследовались закономерности накопления повреждений при нестационарных режимах с разделением процесса нагружения на две стадии, одна из которых связана со временем до образования макротрещины, а вторая —— с развитием этой трещины. Было установлено, что при одной и той же вероятности разрушения на первой стадии переход с более высокого уровня нагрузок на меньший уровень дает большее повреждение, чем это следует из линейного закона суммирования повреждений, и, наоборот, меньшее ——при обратном порядке нагружения. Накопление повреждений на второй стадии описывается линейным законом, и скорость развития трещины в данный момент не зависит от предыстории нагружения. Вопросы суммирования повреждений изучались В. М. Филатовым (1967), показавшим в условиях своих опытов применимость линейного суммирования по относительному числу циклов.
В настоящее время важным вопросом является возможность сопоставления различных материалов по их термостойкости с учетом влияния комплекса изменения физических и механических свойств.
Г. Н. Третьяченко (1964) получил выражение, определяющее минимальное значение перепада температур для граничных условий теплообмена, при котором на поверхности цилиндра возникают пластические деформации, ответственные за термоусталостное разрушение. Этот перепад температур является функцией предела текучести, коэффициента Пуассона, модуля упругости и величины, зависящей от критерия Био (Bi = =%Ь/九，где h ——коэффициент теплоотдачи, Ъ ——характерный размер тела, 九 —— коэффициент теплопроводности).
В работе В. И. Егорова и Н. Д. Соболева (1963) для одноосного напряженного состояния дается, с одной стороны, относительная оценка материалов по их долговечности при одних и тех же величинах деформаций и напряжений в фиксированном интервале температур, а с другой стороны, сопоставление проводится для одних и тех же граничных условий, когда деформация при фиксированном перепаде температур зависит от коэффициента линейного расширения.
Одним из способов оценки термостойкости деталей является испытание их в условиях, моделирующих натурные. В этом направлении Г. Н. Третьяченко, Р. Н. Куриат и Л. В. Кравчук (1963, 1964) провели испытания реальных сопловых лопаток газовых турбин с моделированием температуры потока и граничных условий теплообмена на газодинамиче
ском стенде.
С целью повышения сопротивления термической усталости используются различные методы, в том числе применяемые для повышения механической прочности (улучшение качества поверхности, уменьшение концентрации напряжений и т. д.), а также и специфические методы, используемые для выравнивания температурного поля (теплопроводные покрытия и т. д.).
Отметим еще один аспект прямого воздействия температуры на прочность металлов и полимеров. В некоторых случаях детали и элементы конструкций и сооружений подвергаются воздействию температурных напряжений, возникающих в весьма короткий промежуток времени (почти мгновенно) в результате быстрого изменения температуры. Такое нагружение, называемое температурным (тепловым или термическим) ударом, вызывает динамические термические напряжения и приводит к хрупкому разрушению материала.
Наибольшую опасность температурный удар представляет для материалов в хрупком состоянии. В пластическом состоянии тепловой удар обычно безопасен, так как напряжения не могут значительно превзойти предел текучести и уменьшаются со временем.
Как известно, напряженное и деформированное состояние тела, вызванное термическим ударом, может быть определено в ряде случаев путем совместного решения уравнений теплопроводности и термоупругости.
Для сверхбыстрых тепловых процессов (взрыв, тепловые системы с большими тепловыми потоками) правильную картину распространения термоупругих напряжений дает решение динамических задач термоупругости с учетом инерционных членов, в то время как поля температурных напряжений при более медленных тепловых воздействиях довольно точно определяются из решения квазистатических задач термоупругости.
Сравнительно недавно были найдены аналитические решения некоторых динамических задач термоупругости, определяющие характер распространения динамических термоупругих напряжений (В. И. Даниловская, 1950, 1952, I960). Однако, несмотря на всю важность динамических задач, относящихся к различного рода взрывным, быстрым процессам, следует отметить, что наибольшее практическое применение во многих отраслях техники нашли решения статических задач термоупругости при нестационарных температурных полях. В этом случае предполагается, что напряженное состояние в каждый момент времени в точности соответствует перепаду температур, созданному к этому моменту времени, причем инерционными членами пренебрегают. На практике же прибегают к значительным упрощениям даже этих теоретических результатов, обращаясь во многих случаях к неп о сред ств енн ому экспериментальному определению сопротивления материалов при термическом ударе.
Основные методы экспериментального исследования сопротивляемости материалов тепловому удару состоят в следующем. Резкое изменение температурного поля осуществляется путем помещения (сбрасывания) образца в жидкостную ванну или обдувом образца потоком газа или жидкости. Разность температур среды и образца подбирается при этом из условий разрушения.
Возможно также использование резкого нагрева образцов с помощью малоинерционного нагревателя или с помощью внутреннего тепловыделения в материале образца. Тепловыделение может быть создано ядерным излучением, пропусканием электрического тока или токами высокой частоты.
Г. Н. Третьяченко и Л. В. Кравчук (1964) для создания термического удара использовали газодинамический стенд, где кольцевые образцы или детали различной формы подвергались нагреву в продуктах сгорания и охлаждению воздушным потоком. В результате были найдены величины разрушающей разности температур (температура газа ——начальная температура образца) для ряда высокотемпературных металлокерамических материалов.
Методика исследования сопротивляемости хрупких материалов термическому удару при переменном коэффициенте теплоотдачи предложена в работе Н. И. Тихонова и др. (1963). Согласно этой методике образцы нагреваются в подвижной печи, которая затем удаляется, а образец охлаждается теплоизлучением. Теплонапряженность в ходе эксперимента определяется расчетным путем с использованием измеренной во время опыта температуры поверхности образца.
В работе В. И. Даукниса и др. (1967) описывается установка для изучения термического удара, где применена подвижная сборка образцов.
Заслуживают внимания также предложения по использованию лучистого и электронного нагрева в установках по термическому удару, появившиеся в литературе за последнее время.
Одним из полезных приложений термических разрушений является огневое бурение, или термобурение, при котором для разрушения породы используется высокотемпературная струя газа. Теоретическое моделирование явления огневого бурения было предложено Г. П. Черепановым (1966).
О влиянии температуры на прочность полимерных материалов будет сказано ниже. Здесь же отметим исследования прочности резин при повышенных температурах. При изучении вопросов влияния температуры на скорость разрушения ненаполненных резин Г. М. Бартенев (1958—1964) показал, что с повышением температуры увеличивается скорость образования и роста трещин и надрывов. В этих же работах проведено исследование влияния температуры на временную зависимость прочности резин в интервале от 20 до 140° С. Установлено сложное влияние температуры на долговечность, и указан диапазон практически безопасных нагрузок. Было показано, что температурно-временные зависимости для резин отличаются от таковых для твердых полимеров, причем при высоких температурах (90——140° С) в области больших долговечностей наблюдается отклонение кривых временной зависимости прочности от линейной (в координатах 1g т — 1g о), что, по-видимому, связано с изменением структуры в поверхностном слое образцов под действием процессов деструкции. Кроме того, в отличие от твердых тел (Г. М. Бартенев, 1964), напряжение оказывает незначительное влияние на энергию активации, которая для резин принимает довольно низкое значение; это связано, по-видимому, с тем, что кинетику процесса разрушения резин определяют главным образом межмолекулярные связи.
В последнее время, в связи с широким использованием низких температур (жидкие кислород, водород, гелий) во многих отраслях современной техники, потребовалось детальное исследование механических и других свойств металлических материалов в условиях низких температур. Опубликовано большое количество работ, относящихся к исследованию поведения конструкционных металлических и неметаллических материалов при температурах до —253° С (20° К). Эти сведения помогают в процессе выбора материалов при конструировании различных машин, использующих, например, в качестве рабочего тела или рабочей среды сжиженные
газы. Испытания, проводимые при низких и весьма низких температурах, дали возможность изучить процесс перехода от вязкого к хрупкому разрушению и определить величину предельного сопротивления хрупкому разрушению.
Проблема хладноломкости неразрывно связана с именами Ф. Ф. Вит- мана, Н. Н. Давиденкова, А. Ф. Иоффе, Е. М. Шевандина, Н. П. Щапова, М. В. Якутовича и др.
Большое значение имели исследования прочности паяных, сварных и клепаных соединений, а также материалов, содержащихконцейтраторы напряжений, что позволяло предвидеть и предотвращать внезапные аварии, возможные в условиях низких температур.
Исследования, связанные с оценками хладноломкости, были начаты Н. Н. Давиденковым (1930—1938), который дал определение критической (переходной) температуры хрупкости и предложил использовать кривые, связывающие ударную вязкость с температурой, для косвенного определения сопротивления отрыву. Н. Н. Давиденков (1938) отметил, что наиболее чу в ствител ьн ой к температуре испытания является та часть работы, которая затрачивается после достижения максимальной нагрузки (при изгибе надрезанного образца), и что именно эта характеристика уменьшается при понижении температуры.
В дальнейшем Е. М. Шевандин (1953——1965) провел исследования в области хл адн о л омк ости малолегированных конструкционных сталей, а Я. М. Потак (1955) дал анализ хрупких разрушений конструкций из легированной конструкционной стали. Им же отмечена склонность к хрупкому разрушению деталей, содержащих крупные зерна феррита.
Цикл исследований, проведенных Т. А. Владимирским (1953—1958), привел к построению пространственных диаграмм (ударная вязкость- острота надреза ——температура) для ряда конструкционных сталей. Им показано, что при изменении остроты надреза материалы могут меняться местами по оценке их критической температуры.
В работе Г. В. Ужика и Ю. Я. Волошенко-Климовицкого (1962) отмечено, что хрупкое разрушение является преобладающим видом нарушения прочности при низких температурах, и установлены закономерности изменения предела текучести металлов при высоких скоростях нагружения и низких температурах. Здесь же отмечено существенное значение этих параметров при оценке опасности хрупкого разрушения.
Данные о влиянии низких температур на механические свойства металлических сплавов систематизированы в работе П. Ф. Кошелева и С. Е. Беляева (1967).
В заключение обратим внимание на то, что большинство исследователей отмечали усиливающуюся чувствительность материала к концентрации напряжений и падение прочности надрезанных образцов с понижением температуры (Я. Б. Фридман, 1952; Я. М. Потак, 1955; Г. В. Ужик, 1957).
§ 8. Проблемы длительной прочности
Одним из простейших видов нагружения является статическое нагружение до некоторого определенного значения, принимаемого тензором напряжений, с последующим длительным выдерживанием материала при достигнутых значениях нагрузки. В этом случае деформации увеличиваются (уменьшаются) и по истечении некоторого времени материал разрушается. Однако разрушение не происходит до тех пор, пока тензор
напряжений не превосходит некоторого определенного значения, называемого предельной длительной прочностью материала.
Систематические исследования различных закономерностей, связанных с длительной прочностью металлов и полимеров, привели к созданию ряда направлений в этом разделе механики разрушения (А. П. Александров, Г. М. Бартенев, С. Н. Журков, В. А. Каргин, П. П. Кобеко, Б. П. Константинов, Ю. С. Лазуркин, А. К. Малмейстер, А. Н. Орлов, Ю. Н. Работнов и др.).
Исследования временной зависимости прочности начались с выявления роли времени в процессе нагружения силикатных стекол. Еще А. А. Гриффит в 1920 г. показал, что свежеприготовленные стеклянные палочки имеют гораздо большую прочность, чем пробывшие некоторое время на воздухе. Аналогичное явление, отмеченное А. П. Александровым и С. Н. Журковым (1933) при исследованиях прочности кварцевых нитей, послужило началом теоретических и экспериментальных исследований в этой области, проведенных С. Н. Журковым с сотрудниками (1953—1961). Рассмотрение, в основном, одноосного растяжения материалов с различными механическими свойствами показало, что для металлов, пластмасс и полимерных волокон связь между напряжением и долговечностью может быть выражена экспоненциальной зависимостью
t = /е-叫 (8.1)
где Лиа — некоторые константы, зависящие от температуры. Зависимость (8.1) справедлива в довольно широком диапазоне изменения температур, причем «прямые долговечности» при различных температурах образуют (в координатах In т ——о) пучок, выходящий из одной точки, по-видим ому, соответствующей критическому напряжению ok. При относительно низких температурах временная зависимость слабо выражена, и если, например, растяжение происходит с большой скоростью, то разрушение носит характер, близкий к критическому разрушению. В этом случае время слабо влияет на величину разрывного напряжения и разрушение не происходит для всех значений о < 仃卜,как бы долго материал ни находился в напряженном состоянии. Сообразно этому вводится понятие «предела прочности» или техническое понятие «временного сопротивления отрыву». Временная зависимость практически не проявляется для пластмасс при температуре ——200° С и ниже, в то время как для металлов и неорганических стекол, имеющих высокую температуру плавления, уже обычные температуры являются низкими. За исключением случая относительно низких температур, вопрос о прочности решается в зависимости от времени до разрушения, в течение которого образец находился в напряженном состоянии.
В начале тридцатых годов стали интенсивно развиваться исследования, связанные с изучением механических свойств аморфных и высокомолекулярных твердых тел. Развитие этого направления связано с именами А. П. Александрова, П. П. Кобеко, М. О. Корнфельда, Е. В. Кувшинок ого и др. Приблизительно к этому же периоду относится зарождение представлений о ведущей роли теплового движения в определении механических свойств твердых тел. Такой подход в значительной мере основывался на идеях Я. И. Френкеля о термофлуктуационном механизме движения частиц, едином для всех жидкостей и твердых тел. Согласно этой концепции изменение конфигурации атомов в твердом теле происходит в момент тепловой флуктуации, повышающей на некоторое время локальную энергию, а внешнее напряжение приводит лишь
к направленности таких изменений и макроскопическим процессам пластической деформации и разрушения.
В основном в сороковых годах был выполнен обширный комплекс работ по изучению влияния температуры на деформирование полимеров (А. П. Александров, П. П. Кобеко, Е. В. Кувшинский, Ю. С. Лазуркинг Н. И. Шишкин и др.) и металлов (Н. Н. Давиденков, Ф. Ф. Витманг Н. А. Златин, В. А. Степанов, Л. М. Шестопалов и др.).
Кинетическая концепция, где определяющим фактором при пластической деформации считаются тепловые флуктуации, была распространена и на разрушение всех твердых тел. На основе эмпирических исследований долговечности твердых тел под нагрузкой С. Н. Журков получил следующую температурно-временную зависимость:
t = toexp ( % 甫。)・ (8.2)
Здесь to —— константа, близкая к периоду тепловых колебаний (для твердых тел % ^ 10-12 十 10~13 сек).乃 =1,37 X 10~16 — постоянная Больцмана, U = / — y*o ——энергия активации, UQ — энергия активации в отсутствие напряжения, близкая к энергии сублимации для металлов и к энергии химических связей для полимеров, 丫* —— поправочный коэффициент, зависящий от природы и структуры материала.
Зависимость (8.2) оказалась пригодной для довольно широкого класса материалов, в том числе и полимерных, на значительном диапазоне температур и времен испытаний. Отметим, что наибольший разброс экспериментальных данных наблюдается при очень длительных и очень коротких временах разрушения, а наименьший при средних временах длительной прочности, где наиболее хорошо оправдывается зависимость (8.2). Испытания, проведенные в высоком вакууме (Г. М. Бартенев, 1955), показали, что внешняя среда не является первостепенной причиной влияния на временную зависимость, за исключением отдельных частных случаев сильных поверхностно-активных сред (см. В. И. Лихтман, Е. Д. Щукин и П. А. Ребиндер, 1962).
Проблема получения законченных характеристик длительной прочности различных материалов в необходимом диапазоне рабочих температур связана с огромным объемом экспериментальных исследований, зачастую просто невыполнимых для материалов, предназначенных для длительной службы. Естественными поэтому являются многочисленные попытки построения теорий длительной прочности, основанных на экстраполяции результатов кратковременных испытаний или таких, где длительные испытания при низкой температуре заменяются мал од лите л ьными испытаниями при высокой температуре. В основе физических моделей, построенных с учетом этих экспериментов, лежат идеализированные материалы, а абсолютно универсальных формул, по-видимому, вообще не существует, так как различные материалы ведут себя, вообще говоря, по-разному в процессе испытаний. При разрушении кристаллических тел основную роль играют дислокации и пластические деформации, для хрупких аморфных тел — различного рода дефекты и микротрещины.
Еще в двадцатых годах Я. И. Френкель на основе изучения тепловых флуктуаций предсказал появление в кристаллических телах термодинамически равновесных точечных дефектов ——вакансий. В настоящее время 1 теория вакансий является одним из основных направлений исследования в теории твердого тела. В частности, конденсация вакансий, ставших неравновесными вследствие быстрого охлаждения при пластической деформации,
может приводить к образованию пор, рост и объединение которых вызывает разрушение. Теория коагуляции вакансий была развита в работах В. И. Владимирова (I960), В. И. Владимирова и Ш. X. Ханнанова (1967).
Как уже отмечалось выше, пластическая деформация всегда предшествует разрушению и затем зачастую сопровождает его, в связи с чем важным является исследование свойств дислокаций. Первая математическая модель подвижной дислокации была построена Я. И. Френкелем и Т. А. Конторовой (1938). В дальнейшем работы по кинетике дислокационных структур и тонкой структуре ядра дислокаций были продолжены А. Н. Орловым и др. (1950 и сл.).
Для кристаллических тел теории временной зависимости были предложены Б. Я. Пинесом (1955, 1959), Л. Э. Гуревичем и В. И. Владимировым (I960), А. Н. Орловым (1961) и др.
В основе этих теорий лежат те или иные предположения о характере зарождения микротрещин, которые в процессе роста сливаются в одну магистральную трещину, приводящую к разрушению. В работах Б. Я. Пи- неса (1955, 1959) предложена идея самодиффузионного механизма роста трещин, что привело автора к соотношению, сходному с (8.2). Л. Э. Гуревич и В. И. Владимиров (I960) обратили внимание на роль пластической деформации в процессе зарождения и раскрытия трещин.
Вопрос о связи трещинообразования с ползучестью и длительной прочностью пока еще недостаточно изучен. Однако хорошо известен (особенно для чистых металлов и однофазных сплавов) эмпирически установленный (С. Н. Журков и Т. П. Санфирова, 1958; Б. Я. Пинес и А. Ф. Сиренко, I960) факт постоянства произведения скорости установившейся ползучести 8 = de/d力 на время до разрушения:
st = X (8.3)
(при этом 入 не зависит от напряжений и температур). Это обстоятельство ) позволило использовать одни и те же соотношения для экстраполяции данных по ползучести и длительной прочности.
Н. Орлов (1961) указал, что из-за пластической деформации происходит параллельное развитие ползучести и подготовка материала к разрушению. Этот вывод автор сделал на основе отмеченной выше экспериментальной зависимости (8.3), связывающей скорость ползучести с временем до разрушения. А. Н. Орловым была предложена модель разрушения при объединении большого числа микротрещин, образованных на различных линиях скольжения. В последние годы эти работы были продолжены А. Н. Орловым, В. И. Владимировым и Ш. X. Ханнановым, которые показали, что учет дискретности дислокационных скоплений и их перемещений в процессе раскрытия трещины объясняет возможность зарождения микротрещины при локальных напряжениях, значительно меньших теоретической прочности за счет тепловых флуктуаций.
Несколько близких более общих теорий временной зависимости прочности для хрупких тел и хрупких твердых полимеров предложены как в нашей стране (Г. М. Бартенев, 1955), так и за рубежом (П. Гиббс и И. Б. Катлер, J. Amer. Ceram. Soc., 1951, 34 : 7, 200—206; Д. А. Стюарт и О. Л. Андерсон, там же, 1953, 36 : 12, 416—424). В основе этих теорий лежит кинетика роста трещин, рассматриваемая как последовательный
разрыв связей в вершине трещины под действием напряжений и тепловых флуктуаций атомов или молекул. Важными для кинетики длительного статического разрушения явились работы Ю. Н. Работнова по уравнениям состояния с учетом растрескивания (см. также работы С. Т. Милейко, В. Л. Миркина, И. А. Одинга и др.).
В последнее время появился ряд работ, где делается попытка учесть временные эффекты в макроскопической теории трещин. Этот учет производится различными способами.
В модели идеально упругого тела с постоянной поверхностной энергией развитие трещины при фиксированной нагрузке невозможно. Поэтому наблюдаемый рост трещины при постоянной нагрузке должен быть связан с упругими несовершенствами, в частности с явлением текучести твердых тел.
Л. М. Качанов (1961, 1963) рассмотрел случай линейной ползучести, отвечающий схеме максвелловской среды, и установил линейную зависимость критического коэффициента интенсивности напряжений от времени, вводя при этом новую константу материала, названную коэффициентом повреждаемости. В такой постановке он рассмотрел задачу о развитии трещины под действием сосредоточенных сил в бесконечной плоскости и в полосе конечной ширины. Л. М. Качанов отметил, что качественная картина сохраняется в общем и для других линейных сред, обладающих свойством текучести (например, среда, подчиняющаяся интегральным соотношениям Больцмана).
В работах Г. И. Баренблатта, В. М. Ентова и Р. Л. Салганика (1966, 1967) показано, что постоянная в теории равновесных трещин величина критического коэффициента интенсивности напряжений при учете кинетики разрушения становится функцией скорости распространения трещины. При этом считается, что все эффекты при достаточно больших напряжениях (вязкоупругость, микронапряжения и т. д.) сосредоточены в малой концевой области, а материал вне трещины считается по-прежнему упругим. Вид функциональной зависимости этого критического коэффициента можно определить для той или иной конкретной модели связей из составленной авторами системы основных уравнений. В качестве примера был рассмотрен случай гриффитовой трещины, близкой к равновесной, где связь критического коэффициента интенсивности напряжений со скоростью продвижения конца трещины выбиралась для случаев чисто флуктуационного и чисто реологического механизмов. При исследовании условий разрушения и вопросов, связанных с длительной прочностью, авторы показали, что обобщением известного статического условия разрушения является возможность определить разрушение в рассматриваемом случае как не суще ств ов ание решения системы дифференциальных уравнений, определяющих длину трещины (при заданном пути ее распространения). В этих работах было показано также, что критический коэффициент интенсивности напряжений зависит от характера нагружения, причем должен существовать значительный диапазон скоростей нагружения, в котором критический коэффициент, отвечающий моменту разрушения, практически постоянен. .
Особому исследованию подверглось чисто флуктуационное разрушение, имеющее место при относительно малых нагрузках. В этом случае временное эффекты возникают только за счет случайных разрывов связей под действием тепловых флуктуаций, а продвижение трещины происходит настолько медленно, что релаксационными процессами можно пренебречь. Предположив, что начальные трещины имеют размер порядка концевой
области трещины, авторы получили значение характерного времени, входящего в формулу для долговечности (8.2) ).
Как уже отмечалось, важнейшей прочностной характеристикой материала является его долговечность при произвольных режимах нагружения. Обычно эта характеристика определяется непосредственно опытным путем. Но возможен и теоретический расчет в том случае, когда известна, например, временная зависимость прочности при постоянных растягивающих нагрузках. Если, как С. Н Журков и Б. Н. Нарзуллаев (1953), считать, что разрушение является необратимым процессом и скорость роста трещин зависит только от напряжения о, то выполняется условие Дж. Бейли (Glass Ind., 1939, v. 20, № 1—4; Ceram. Abs., 1940, 19 : 4, p. 89)
т(о)
Здесь tz — долговечность образца при любом заданном режиме испытания, т (о)——долговечность при постоянном растягивающем напряжении, которая находится из известной временной зависимости прочности.
Для оценки времени разрушения при переменном во времени нагружении применяется правило Бейли суммирования повреждаемостей, записываемое в форме (8.4), где теперь о = о (力)，а т (а) = т (а (力)，Т) и находится, например, из соотношения (8.2). Многочисленные экспериментальные проверки дают хорошее подтверждение соотношения (8.4), особенно при небольших скоростях изменения нагрузки.
Исключите л ьно важным является вопрос влияния времени на деформацию и прочность полимеров. Как известно, в зависимости от строения, температуры, тепловой предыстории полимеры могут находиться либо в структур н о-жид к ом (вязкотекучем и высокоэластичном), либо в двух твердых (кристаллическом и стеклообразном) состояниях. Прочность полимера зависит не только от его строения и деформационных свойств, но и от физического состояния, тесно связанного со временем деформации, температурой и пр.
П. П. Кобеко, Е. В. Кувшинский и Г. И. Гуревич (1937) впервые предложили релаксационную теорию деформации полимеров, а В. А. Картин и Г. Л. Слонимский (1941, 1948, I960), исходя из общей теории Больцмана ——Вольтерра и представлений о молекулярном строении полимеров, разработали математическую теорию трех деформационных состояний (стеклообразное, высокоэластичное и вязкотекучее), имеющих место при малых напряжениях. При больших напряжениях возникает ряд интересных особенностей, например ориентированная структура при растяжении твердых полимеров, влияющая на прочность и разрушение и резко упрочняющая материал.
А. Каргиным и Т. И. Соголовой (1953, 1964) исследовано влияние ориентации, структуры и времени релакса耳：и:и на прочность полимеров (температурно-временная зависимость времени релаксации предложена и изучена А. П. Александровым, Г. Ис Гуревичем и др., 1945).
Как уже отмечалось выше, согласно С. Н. Журкову, процесс разрушения есть процесс накопления разорванных термофлуктуационным путем связей. С. Н. Журков, Э. Е. Томашевский и др. (1964) непосредственно наблюдали такое увеличение числа разорванных связей, метод ом парамагнитного резонанса. В работах С. Н. Журкова, А. И. Слуцкера, В. И. Бе- техтина и др. (1962——1967) была установлена связь между дислокационной структурой материала и структурно-чувствительным коэффициентом ). Новые представления о кинетической природе разрушения были распространены на случай сложного напряженного состояния в работах В. А. Степанова и др. (1964).
Зарождение микротрещин за счет термофлуктуационных разрывов отдельных связей в ориентированных полимерах рассматривалось А. И. Губановым и А. Д. Чевычеловым (1963 и сл.). Ими было показано, что за счет перераспределения напряжений по связям, в зависимости от длины полимерных цепочек в полимерах, разрывы связей начинаются сразу после приложения нагрузки; это приводит к образованию микротрещин с размерами 100—600 А (порядка размера фибрилл).
Таким образом, согласно современным представлениям микротрещины как в кристаллах, так и в полимерах образуются на самых ранних стадиях пластической деформации, с течением времени их концентрация растет, они взаимодействуют между собой, объединяются, появляются макроскопические трещины, что в конце концов и приводит к разрушению.
Экспериментальные исследования временной зависимости прочности для органических и неорганических стекол, проведенные как в нашей; стране (Г. М. Бартенев, 1950, 1951, 1960; Б. Я. Пине с и А. Ф. Сиренко, I960), так и за рубежом (А. Холланд и В. Тернер, J. Soc. Glass Technol., 1940, 24:101, 73—93, и 1948, 32:144, 5—20), привели к получению довольно большого количества эмпирических формул, причем наиболее удачной оказалась степенная аппроксимация
т = BL. (8.5}
Здесь по-прежнему тио ——значения долговечности и растягивающих напряжений, а 5 и Ь — некоторые константы. На основе этих данных были предложены некоторые теоретические схемы временной зависимости прочности (Т. А. Конторова, 1946; Г. М. Бартенев, I960).
Исследования прочности и механизма разрушения различных полимеров* (кристаллических, аморфных твердых полимеров, линейных и пространственно-структурированных) позволили выявить временные зависимости понижения прочности полимеров (статическая усталость).
Для построения универсальных кривых долговечности полимеров А. В. Тобольский (I960) предложил метод обобщенных координат. Обычно- очень трудно получить зависимости различных свойств полимеров в широком интервале времени. В целях получения таких зависимостей кривые для различных значений температур перемещают на графике для получения обобщенной кривой при выбранной температуре. Такой широко применяемый метод, сформулированный А. В. Тобольским, основан на принципе температурно-временной суперпозиции, в частности температурно-частот^
ной зависимости деформации полимеров, впервые обнаруженной А. П. Александровым и Ю. С. Лазуркиным в 1939 г. Этот метод может быть применен и для построения кривых долговечности в условиях, недоступных для прямого эксперимента.
Широкие исследования влияния времени на прочность кристаллических полимеров и аморфных твердых полимеров проведены А. П. Александровым, Г. М. Бартеневым, В. А. Каргиным, А. И. Китайгородским, Ю. С. Лазуркиным, А. К. Малмейстером, Г. Л. Слонимским и др. При малых напряжениях кристаллические полимеры, пластмассы при обычных, а каучуки и резины при низких температурах ведут себя как обычные твердые тела. Однако после достижения некоторого значения напряжения в наиболее слабом месте образуется «шейка», в которую переходит с течением времени весь образец, после чего вновь происходит растяжение до полного разрыва. Отметим, что, несмотря на сходство, механизм образования *«шейки» кристаллического полимера и аморфного твердого полимера различен. Механизм разрушения аморфных полимеров, находящихся в стеклообразном состоянии, исследован Г. М. Бартеневым (I960, 1964, 1966). ，
Учет временных эффектов является важным при анализе разрушений любых материалов, но особое значение этот вопрос приобретает при рассмотрении полимерных материалов, для которых характерна резкая зависимость разрушения от внешних условий и наличие релаксационных процессов.
Г. Н. Савин и А. А. Каминский (1967) исследовали рост трещин в условиях разрушения твердых полимеров (полимерных стекол) при фиксиро- .ванной температуре для случая постоянной внешней нагрузки длительного действия. Рассмотрев развитие в вязко-упругом материале трещины, структура контура которой учитывает особенности строения трещин в полимерных материалах (пр отив оп о л ожные берега трещины в концевой области на участке конечной длины соединены тонкими нитями-тяжами), авторы, в отличие от предыдущих работ, не требовали выполнения условия малости концевой области. По этой схеме в течение некоторого промежутка времени 0 & 力 & 力* происходит расширение трещины без удлинения, а с момента времени 葭一рост всей трещины.
Согласно представлениям Г. М. Бартенева (I960), действие вибрационных нагрузок создает неоднородное распределение температуры в образце, приводящее к активизации процесса разрушения именно в той области, где оно локализовано. Влияние вибрационного разогрева на распространение трещин в полимерах исследовалось в работе Г. И. Баренблатта, В. М. Ентова и Р. Л. Салганика (1967). Они предположили, что время разрушения определяется развитием магистральной трещины и разрушение носит флуктуационный характер. Авторы не учитывали при этом непосредственное силовое воздействие вибрационных нагрузок, ограничившись лишь учетом вызванного ими разогрева (распределение напряжений и деформаций вычислялось по уравнениям теории упругости). Такой подход продиктован тем, что в опытах при циклическом нагружении полимеров при температуре окружающей среды фактически наблюдаемое время разрушения оказывается меньше, чем вычисленное из условия Бейли (8.4), что объясняется либо влиянием релаксационных процессов, либо разогревом материала при циклическом деформировании за счет механических потерь (В. Р. Регель и А. М. Лексовский, 1965).
Г. П. Черепанов (1967) рассмотрел квазистатический изотермический лроцесс распространения трещин в изотропном однородном вязко-упругом
теле. Он получил для общего случая нелинейное интегро-дифференциальное уравнение для определения времени, а с ним и закона распространения трещины во времени ).
Заметим, что термин «вязкоупругость» включает в себя большой диапазон физических процессов, таких, например, как релаксация, вызываемая физико-механическими, термоупругими, электрическими, механическими или другими явлениями. Как известно, между теориями упругости и вязкоупругости существует глубокая внутренняя связь, причем уравнения линейной теории упругости (с линейными граничными условиями) можно' распространить на случай вязкоупругости путем подстановки зависящих от времени операторов вместо упругих констант (принцип Вольтерра).
Наряду с энергетическим подходом, обладающим преимуществом простоты и общности, существует тенденция к созданию таких моделей разрушения, где происходит последовательный разрыв напряженных связей в теле. Впервые модель такого хрупкого разрушения была предложена Л. Прандтлем (Z. angew. Math, und Meeh., 1933, 13 : 2, 129—133), рассмотревшим два скрепленных по всей длине упругих тела (балки), содержащих трещину, когда поперечные упругие связи хрупко разрушаются при достижении некоторого удлинения ).
В последнее время все большее значение приобретают исследования долговечности резин. По С. Н. Журкову и Б. Н. Нарзуллаеву (1953), уравнение (8.2) может быть применимо не только для твердых тел, но и для всех резин, кроме кристаллизующихся. В то же время экспериментальные исследования, проведенные Г. М. Бартеневым и Ю. С. Зуевым (1964), приводят к соотношению (8.5) для определения величины длительной прочности резин. Теперь в соотношении (8.5) В — некоторая константа〉
зависящая от толщины образца и температуры, 6 ——константа, характеризующая наклон прямых долговечности и зависящая от жескости резины (3《匕《 12 для реальных резин). Наблюдаемое отклонение от уравнения (8.2) (если предполагать константы не зависящими от напряжения и времени для таких материалов, как резина, силикатное стекло, некоторые пластмассы и эбонит) объясняется изменением структуры полимера в процессе деформирования. Временная зависимость прочности резин тесным образом связана с типом каучука и степенью его поперечного сшиванияг а также с влиянием температуры, причем для некоторых каучукоподобных полимеров наряду с (8.2) предложена следующая температурно-временная зависимость прочности:
t = С(г%хр (齐)・ (8.6)
Здесь & и С ——константы, зависящие от типа каучука и структуры вулканизата.
С помощью соотношений (8.2), (8.4), (8.5), и (8.6) были проведены расчеты долговечности пластмасс и резин при циклических растяжениях (С. Н. Журков и Э. Е. Томашевский, 1955; Б. И. Паншин, Г. М.Бартенев и др., 1960; В. Р. Регель и А. М. Лексовский, 1962).
Вопросы влияния агрессивных сред на долговечность пластмасс и резин изложены в следующем параграфе. Детальное исследование этих вопросов с изложением методов увеличения долговечности резин в агрессивных средах содержится в работе Г. М. Бартенева и Ю. С. Зуева (1964).
Остановимся еще на одном аспекте, связанном с исследованием искусственных камней, в частности бетона. Известно, что бетон твердеет после его изготовления, причем с течением времени меняются его упругие, неупругие и прочностные свойства. Для описания процесса деформирования бетона используются различные реологические уравнения как в дифференциальной, так и в интегральной форме, где реологические коэффициенты с течением времени меняются. В этом направлении отметим, в частности, работы Н. X. Арутюняна, А. А. Гвоздева, А. К. Малмейстера, Ю. Н. Работнова и А. Р. Ржаницына.
Бетон представляет собой совокупность кристаллизационных и коагуляционных структур, которые оказывают влияние на прочностные свойства бетона. Однако при рассмотрении вопросов длительной прочности определяющей является кристаллизационная структура. Свойства бетона разрушаться с течением времени при меньших нагрузках, чем величина кратковременных нагрузок, известно давно (Дж. Р. Шенк, J. Amer. Concrete Inst., 1935, vol. 27, p. 2). А. К. Малмейстером с сотрудниками (1957) были предложены методы определения реологических коэффициентов и проведены детальные исследования длительной прочности систем, способных двойниковаться, которые качественно удачно моделируют явление разрушения реальных материалов при отрыве и срезе. Экспериментальная проверка полученных результатов (А. М. Скудра 1956; Е. К. Шкер- белис 1957) дала хорошее их подтверждение. Разработанная методика расчета длительной прочности бетона при растяжении позволяет предвидеть раскрытие трещин в железобетоне во времени и дает возможность судить, о перераспределении напряжений, протекающем в бетоне при его разрушении с течением времени.
Исключительно важными являются исследования длительной прочности в условиях сложного напряженного состояния. В зависимости от условий (температура, напряжения, материал) разрушение происходит
при больших или малых деформациях, т. е. носит вязкий или хрупкий характер. Таким образом, можно говорить о времени вязкого разрушения и времени хрупкого разрушения. Расчет времени вязкого разрушения является задачей теории ползучести, где эксперименты полезны скорее для проверки тех или иных законов ползучести, но не для получения критериев разрушения (Ю. Н. Работнов 1966).
Область хрупких разрушений во многих случаях является более важной при оценке долговечности конструкций и сооружений. Чаще всего предельная деформация бывает не очень большой и срок службы лимитируется этой предельной деформацией, а не вязким разрушением в области больших деформаций. Для современных материалов, например, используемых в турбостроении (характерен хрупкий характер разрушения при относительно малой величине деформации в момент разрушения. Относительно критерия хрупкого разрушения логично предположить, что скорость развития трещин зависит от величины нормального напряжения в плоскостях возникновения трещин. Испытания, проведенные В. П. Сдо- быревым (1958, 1959) на сплавах ЗИ-437Е, изготовленных из прутковых материалов и из штамповочных заготовок для диска газовой турбины, показали, что оценка по наибольшему нормальному напряжению более точна. Было предложено за эквивалентное напряжение принимать величину 6 = 1/2 (огк + о。)，Ок — максимальное напряжение при хрупком разрушении, от。一 напряжение локализованного разрушения. В координатах 0— 1g t (t — время до разрушения) опытные данные располагались близко к единой кривой. Обработка опытных данных Ш. Н. Каца (1955, 1957) для трубчатых образцов из углеродистой и аустенитной стали и данных Б. В. Зверькова (1958) для сплава ЭИ-496 показала, что наилучшие результаты получаются, когда за эквивалентное напряжение принимается именно указанное выше выражение. Исследования В. П. Сдобы- рева, а также И. Е. Курова и В. А. Степанова (1962) и И. И. Трунина (1963) показали, что значение долговечности металлов при кручении определяется по-прежнему сообразно зависимости (8.2), но она несколько меньше значения долговечности при растяжении.
Проведенные экспериментальные исследования длительной прочности при сложном напряженном состоянии позволяют определить время до разрушения изделий различной формы в условиях сложного и неоднородного напряженного состояния. Обычный подход состоит в том, что на основе какой-либо теории ползучести находится величина наибольшего нормального напряжения, которая сопоставляется с кривой длительной прочности, найденной в результате эксперимента. По кривой длительной прочности находится время до разрушения. Такой способ носит, очевидно, условный характер, так как совершенно не принимается во внимание трещино- образорание. При расчетах по теории старения это учитывается лишь частично.
Л. М. Качанов (1958, I960) предложил схему определения долговечности, в которой используются обычные уравнения ползучести, а трещи- нообразование возникает только на площадках, перпендикулярных наибольшему напряжению Oi, причем уравнение кинетики растрескивания принимает вид
со =屮(0*1,①). (8.7)
При фиксированных внешних нагрузках, в то время как распределение напряжений остается постоянным, со согласно (8.7) растет, принимая чсо временем значение со == 1, что соответствует границе фронта разруше-
ния, отделяющей зону, способную к сопротивлению (со V 1), от зоны, где уже произошло разрушение.
Возможности построения более общих теорий длительной прочности с применением различных теорий ползучести были указаны Ю. Н. Работ- новым (1959, 1966) ).
Влияние внешней среды на разрушение твердых тел
О влиянии внешней среды на механические свойства твердых тел, и в частности металлов, известно давно. Вначале исследование этого аспекта осуще ствл ял ось в основном с точки зрения химического (коррозионного) воздействия среды (изменение механических свойств металлов при электрохимической коррозии или растворении).
Продолжая исследования, начатые А. Ф. Иоффе с сотрудниками (1924) по изучению упругих свойств и прочности кристаллов (каменная соль) в различных средах, П. А. Флоренский и др. (1932) показали, что техническая прочность меняется с изменением среды (исследования прочности слюды в воздухе, масле и ряде органических жидкостей). С. Н. Журков (1932) выявил условия получения образцов повышенной прочности из стекол разных сортов при травлении их поверхности плавиковой кислотой. В это же время им были проведены исследования влияния среды на прочность кварца.
Однако влияние окружающей среды наблюдается не только при ее химическом воздействии. Было показано, что адсорбция поверхностноактивных веществ из окружающей среды вызывает облегчение деформации и разрушения твердого тела зачастую в гораздо большей степени, чем при каких-либо химических превращениях.
В основе физико-химического влияния внешней среды на процессы деформации и разрушения лежит эффект понижения прочности в результате адсорбции. Первичное действие адсорбции состоит в том, что поверхностно-активные вещества, понижая поверхностную энергию металлов, способствуют зарождению пластических сдвигов и развитию разнообразных дефектов при меньших напряжениях. Работа по образованию таких «дефектных» поверхностей уменьшается, если свободная поверхностная энергия на границе твердого тела с окружающей средой оказывается сниженной по сравнению с ее наибольшим значением в вакууме. Следовательно, присутствие поверхностно-активной среды приводит к тому, что взаимодействие с адсорбционно-активными молекулами (или атомами) помогает перестройке и разрыву межатомных связей в данном материале. Эффект адсорбционного облегчения деформации или адсорбционного понижения прочности иногда называют эффектом П. А. Ребиндера.
Благодаря исследованиям в этой области, возникающей на границе между молекулярной физикой, физикой твердого тела и физической и коллоидной химией, удалось установить ряд новых явлений, вызываемых адсорбционным взаимодействием деформируемых твердых тел с окружающей средой. К этим новым явлениям следовало бы прежде всего отнести такие, как структурные изменения деформируемых материалов и понижение предела текучести под влиянием адсорбции, повышение скорости ползучести металлов, электрокапиллярный эффект облегчения деформации металлов и понижение усталостной прочности.
Исследования и использование адсорбционного понижения прочности привели в настоящее время к созданию самостоятельной области науки и техники. Изучение отрицательного влияния поверхностно-активных веществ на прочность материалов привело, например, к тому, что недавно предложен новый метод получения более прочных материалов, основанный на использовании адсорбционно-активных веществ.
Первоначально исследовалось главным образом влияние окружающей среды на механические свойства металлических монокристаллов, таких, как олово, свинец, цинк, алюминий, выращиваемых по методу П. Л. Капицы, И. В. * Обреимова и методом рекристаллизации. Было установлено, что интенсивность воздействия поверхностно-активных веществ на механические свойства металлических монокристаллов существенно зависит от температуры и скорости деформации (В. И. Лихтман, П. А. Ребиндер и Л. П. Янова, 1947). В то же время при одинаковых температурах и скоростях деформации механические свойства твердых тел и особенно металлов могут меняться в довольно широком диапазоне в зависимости от распределения напряжений внутри образца. Как известно, обычные диаграммы деформации представляют собой усредненные значения сил и деформаций и дают весьма косвенное представление об истинном распределении напряженного и деформированного состояния внутри тела. Количественная сторона этого вопроса весьма сложна, но качественная картина явления довольно полно исследована, начиная по преимуществу с работ Н. Н. Давиденкова (1936). Дело в том, что в процессе деформирования происходит превращение гомогенной механической системы в гетерогенную, причем это превращение заключается в основном в развитии дефектных участков структуры, всегда присутствующих в реальном твердом теле. Как показали эксперименты (В. И. Лихтман и Е. К. Венстрем, 1949), объемное напряженное состояние существенным образом влияет на величину адсорбционного эффекта (например, он возрастает по мере отклонения напряженного состояния вблизи поверхности от состояния всестороннего сжатия; см. П. А. Ребиндер, Л. А. Шрейнер и др., 1944, 1949).
Дальнейшие исследования монокристаллов позволили выявить влияние поверхностно-активной среды в начальной пластической стадии до предела текучести (В. И. Лихтман и Е. П. Закощикова, 1949). При этом были получены зависимости коэффициента упрочнения от числа циклов нагружений в неактивной и активной средах. Наблюдаемое здесь явление перераспределения деформаций и напряжений под действием адсорбирующихся веществ объясняется активацией релаксационных процессов.
В то же время в работах П. А. Ребиндера, Е. К. Венстрем и др. было исследовано интересное явление, названное электрокапиллярным эффектом, которое состоит в том, что при поляризации поверхности хрупких тел, обладающих электронной проводимостью, а также металлов в водных растворах электролитов твердость металлов изменяется в зависимости от скачка потенциала на границе «твердое тело — раствор».
Известно, что величина поверхностного натяжения определяет ряд. механических свойств твердого тела, таких, например, как твердость,, ползучесть, коэффициент трения и др., что положено в основу определения точки нулевого заряда металлов. Сообразно изменению этой зависимости механических свойств от потенциала, можно определить область адсорбции органического вещества и судить о степени адсорбируемости последнего (П. А. Ребиндер и Н. А. Калиновская, 1934; П. А. Ребиндер и Е. К. Венстрем, 1944, 1945, 1949; В. И. Лихтман, Е. Д. Щукин
и П. А. Ребиндер, 1962). В работах П. А. Ребиндера с сотрудниками была установлена зависимость твердости металла от потенциала в форме Электр окапиллярной кривой, полученной для жидких металлов.
Нужно отметить, что твердость металла отражает степень его диспер- гируемости, приводящей к образованию и расширению микротрещин, причем скорость протекания этих процессов увеличивается при понижении поверхностного натяжения металла. Отсюда при смещении потенциала электрода (в положительную или отрицательную сторону от потенциала нулевого заряда) и при адсорбции органических веществ на границе «электрод — раствор» твердость металлов снижается.
В связи с интересом, проявленным к роли окисных пленок (Б. В. Дерягин, 1937) в адсорбционном эффекте облегчения деформаций, были продолжены исследования электрокапиллярного эффекта при изучении ползучести металлических монокристаллов (Е. К. Венстрем и П. А. Ребиндер, 1952). Для металлов с кубической решеткой различия в механических свойствах между моно- и поликристаллами незначительно. Однако это различие становится весьма ощутимым для металлов, имеющих одну основную систему плоскостей скольжения (например, металлы с гексагональной решеткой или р-олово). Проведенные исследования (В. И. Лихт- ман и П. А. Ребиндер, 1947; С. Я. Вейлер и Л. А. Шрейнер, 1949, 1950; С. Я. Вейлер и Г. И. Епифанов, 1953) показали значительное влияние поверхностно-активных веществ в упругой области деформаций поликри- сталлических металлов.
Рассмотрев этот аспект с иной стороны, С. Я. Вейлер и В. И. Лихтман (I960) установили влияние адсорбционных слоев на упругие деформации металлов при использовании поверхностно-активных смазок в процессах обработки металлов давлением. Работы этого направления привели к разработке теоретических основ и методов применения смазок. Было показано, что в присутствии поверхностно-активных веществ поверхностный слой металла становится более текучим, пластифицируется и при обработке давлением принимает на себя основную часть избыточной сдвиговой деформации. Происходит своего рода самосмазывание (металл смазывается не смазкой, а своим же тонким слоем, пластифицированным этой смазкой). Действие этого тонкого легко деформируемого слоя усиливается от химического взаимодействия металла с активными молекулярными группами п ове рхн ост но-a ктивных веществ, что приводит к образованию своеобразных металлических мыл, связанных с поверхностью и усиливающих процесс ее пластификации. Количественные оценки этого явления, очевидно, затруднительны, но С. Я. Бейлером (1949, 1950, 1953), например, был предложен метод оценки смазочного действия среды в процессах глубокой вытяжки металлов. Значительное снижение усилий в присутствии активных смазок, как оказалось, характерно для различных способов обработки металлов (прессование, осаживание, вытяжка, резание).
Дальнейшие эксперименты, проведенные на поликристаллических металлах, позволили установить эффект возрастания степени возникающего наклепа (упрочнения) при периодических деформациях в присутствии поверхностно-активных веществ (Т. Ю. Любимова, П. А. Ребиндер и др., 1948, 1950).
Продолжая исследования этого аспекта, Г. В. Карпенко с сотрудниками (1949—1953, 1962) расширил представления о разнообразных формах адсорбционного и коррозионного влияния среды на усталостную прочность металлов. Известно, что усталостная прочность металлов может значительно снижаться под влиянием понизителей прочности (таких,
например, как коррозионная среда), причем это снижение зависит от времени пребывания детали в коррозионной среде и от числа циклов нагружения (И. А. Одинг, 1949). Показано, что при коррозионной усталости, приводящей к значительной потере усталостной прочности, имеет место только ограниченная выносливость, причем истинный передел усталости отсутствует (Г. В. Карпенко, 1952).
Вообще, коррозионная усталость включает два процесса: первичный состоит в адсорбционном облегчении образования микротрещин под действием циклической нагрузки, вторичный ——в электрохимической коррозии внутри образовавшихся микротрещин, способствующей их дальнейшему росту. Интересно отметить определенную ориентированность микротрещин усталости в коррозионной среде и преимущественную насыщенность поверхности очагами разрушения при малых величинах коэффициента циклической нагрузки (Г. В. Карпенко, 1951).
Явление коррозионной усталости показывает, что среда, химически воздействуя на металл, влияет на его усталостную прочность. Однако и при отсутствии химического воздействия происходит снижение усталостной прочности, если среда содержит поверхностно-aктивные вещества. Это явление было названо адсорбционной усталостью, причем, в отличие от коррозионного воздействия, снижение усталостной прочности под действием поверхностно-активных сред не зависит от времени пребывания детали в среде и от числа циклов нагружения.
Влияние поверхностно-активных сред на усталостную прочность стали исследовал Ш. Я. Коровский (1948). В дальнейшем было изучено охлаждающее влияние жидких сред и вообще адсорбционное и коррозионное влияние жидких сред на усталостную прочность стали (Г. В. Карпенко и др., 1949, 1952; И. В. Кудрявцев, 1949). Отметим, что существенную роль в снижении усталостной прочности под действием поверхностноактивных веществ играет концентрация этих веществ в растворе и природа растворителя (А. Б. Таубман, 1930; Г. В. Карпенко, 1950).
Важными для механики разрушения являются исследования разрушения металлов в области концентрации напряжений под действием агрессивной среды. Экспериментальные исследования указывают как на катастрофическое падение усталостной прочности образцов с концентраторами напряжений, находящихся под воздействием жидких металлов (М. И. Чаевский, 1961), так и на отсутствие разупрочняющего эффекта при воздействии коррозионной среды (Г. В. Карпенко и Ф. П. Янчишин, 1955; М. И. Чаевский, 1959). Таким образом, в процессе усталостного нагружения адсорбционные, диффузионные и коррозионные факторы могут как снижать, так и повышать усталостную прочность образцов с концентраторами напряжений или не оказывать вообще заметного влияния (М. И. Чаевский и Г. В. Карпенко, 1962). Как показал И. А. Одинг (1959), при циклическом нагружении генерирование дислокаций, их движение, коагуляция и аннигиляция вакантных мест, связанная с диффузией и движением дислокаций, происходят более интенсивно, причем изменение кристаллической решетки препятствует возвращению части дислокаций при разгрузке. Напряжения от циклической нагрузки накладываются на напряжения, возникшие в разультате направленного движения дислокаций и их скопления около препятствий (создание постоянного градиента напряжений в объеме зерна).
М. И. Чаевский (1962, 1965, 1968), используя результаты исследований адсорбционного, диффузионного и коррозионного влияния агрессивных сред при статическом нагружении, пришел к следующим выводам
относительно характера взаимодействия деформируемого металла с агрессивной средой (образцы с концентраторами напряжений, поперечный размер сечения которых во много раз превышает размер зерна): 1) усталостная прочность может значительно снизиться в результате диффузии среды в дефектную часть металла в вершине концентратора напряжений; 2) экс- плуатационные возможности образцов с концентраторами напряжений повышаются в результате образования средой защитного диффузионного слоя из-за диффузии и взаимодействия с дефектным объемом металла; 3) среда растворяет металл у дна концентратора (см. М. С. Гойхман, А. М. Дацишин и др., 1968). Регулярный процесс сглаживает концентратор напряжений, а нерегулярный (по границам зерен) разупрочняет образец с концентратором напряжений, причем уменьшение работоспособ-' ности образца происходит только при большой базе испытаний (Г. В. Карпенко и Ф. П. Янчишин, 1955; М. И. Чаевский, 1959).
Таким образом, наряду с существенной ролью адсорбционных эффектов, большое значение в разупрочнении поликристаллического металла, деформируемого в агрессивной среде, играет химизм процесса.
Вопрос влияния смазочных масел (практически коррозионно-безопасных) на прочность стали приобрел в последнее время самостоятельное значение. Как показали эксперименты, при циклическом нагружении стали в маслах наблюдается явление адсорбционной усталости, зависящее от адсорбционной активности масла (Г. В. Карпенко, 1953). Некоторые аспекты исследований, касающихся влияния жидких сред на усталость стали, качественных изменений стали под действием адсорбционно-усталостного и коррозионно-усталостного процессов, изложены в монографиях В. И. Лихтмана, П. А. Ребиндера и Г. В. Карпенко (1954) и Г. В. Карпенко (1963). Здесь же освещены результаты, касающиеся изменения циклической вязкости стали в различных средах, вопросы влияния частоты изменения напряжения, остаточных напряжений на адсорбционную и корро- зионную усталость стали и масштабный эффект.
Действие внешней среды проявляется по-разному в зависимости от структуры и состава металла (например, у мягкой стали с малым содер^ жанием углерода предел усталостной прочности в агрессивной среде снижается на 3—7%, а у сталей с повышенным содержанием углерода — на 15—20%). Изучение вредного действия поверхностно-активных веществ на усталостные свойства металлов привело к созданию методов повышения стойкости металлов (и особенно стали) к усталости в агрессивных средах. Детальное Исследование вопросов прочности предварительно напряженных элементов конструкций и сооружений, подвергающихся коррозион- ному воздействию, коррозионной усталости стали и растрескивания металлов содержится в работах А. В. Рябченкова (1953), В. В. Романова (I960, 1967), Я. М. Потака (1955), Г. В. Карпенко (1963, 1967), Э. М. Гут- мана (1967).
Еще одно важное направление связано с проблемой прочности металлов при наличии расплавленных металлических покрытий. В технике давно известны многочисленные случаи разрушения ответственных дета^ лей в конструкциях при наличии на их поверхности небольшого количества жидкого металла, когда приложенные напряжения намного ниже предельно допустимых. Интерес к проблеме сохранения прочности конструкций и сооружений при наличии расплавленных металлов особенно возрос в связи со строительством энергетических, ядерных и ракетных установок, где в качестве теплоносителей используются жидкие металлы. Впервые это явление было объяснено с помощью эффекта Ребиндера
в работах С. Т. Кишкина и Я. М. Потака (1955), а исследования П. А. Ребиндера, В. И. Лихтмана, Е. Д. Щукина (1962) и их сотрудников показали, что наибольшие разрушения металлов могут происходить именно в присутствии жидких металлов. Проведенные исследования показали, что адсорбционная активность жидкого металла зависит от величины его растворимости в твердом металле, причем при решении вопроса об адсорбционном понижении прочности (Н. В. Перцов и П. А. Ребиндер, 1958) диагностирующей является диаграмма плавкости соответствующей бинарной системы (диаграмма с узкой областью растворимости легкоплавкого металла в тугоплавком указывает на возможное понижение прочности, в отличие от диаграмм с широкой областью твердых растворов или химических соединений). Изучение электронного строения атомов обоих металлов показало, что резкое понижение прочности происходит в основном, когда оба металла относятся к числу непереходных (Ю. В. Горюнов, Н. В. Перцов и П. А. Ребиндер, 1959). Дальнейшее рассмотрение адсорбционно-активного влияния расплавленных металлов выявило интересную аналогию между закономерностями температурной хрупкости без покрытий и закономерностями хрупкого разрушения при обычных температурах под действием расплавленных металлов, приводящих к разрушению при значительно более низких значениях напряжений (Ю. В. Горюнов, Н. В. Перцов, П. А. Ребиндер, Б. Д. Сумм, Е. Д. Щукин и др., 1963 и сл.).
Помимо резкого понижения прочности и появления хрупкости, жидкий адсорбционно-aктивный металл при высоких температурах и сравнительно малых скоростях деформирования приводит к понижению предела текучести и коэффициента упрочнения металла (пластифицирующее действие), о чем уже упоминалось выше при рассмотрении влияния смазок в процессе обработки металлов давлением. Напомним, что пластическое течение в кристаллах представляет собой зарождение и движение дислокаций в плоскости скольжения и их выход на поверхность кристалла. Как показал Е. Д. Щукин (1962), адсорбция поверхностно-активных веществ влияет на взаимодействие дислокаций с поверхностью. Благодаря уменьшению поверхностной энергии деформируемого твердого тела в результате адсорбции происходит пластифицирование материала (выход дислокации на поверхность происходит при меньшем общем напряжении, а при постоянном внешнем напряжении в единицу времени выходит больше дислокаций, т. е. происходит больше пластических сдвигов). Пластифицирующее действие расплавов аналогично действию органических адсорбционноактивных веществ — в обоих случаях облегчается выход дислокаций на поверхность.
Одним из важных вопросов механики твердого тела является вопрос о развитии макроскопических трещин, причем наличие адсорбционного металла Существенным образом отражается на всем характере разрушения. Скорость роста трещины зависит от быстроты «омывания» берегов трещины и особенно от скорости поступления металлического расплава в вершину трещины. Наряду с распространением расплава вдоль берегов происходит впитывание жидкого металла стенками образующейся трещины, причем конечная длина трещины зависит от своеобразной конкуренции этих процессов. Е. Д. Щукин показал, что чем быстрее распространяется адсорбционный металл и чем медленнее он впитывается стенками, тем больше длина трещины при прочих одинаковых условиях (масса раствора, растягивающие напряжения, геометрия пластинки и т. д.). Получена следующая зависимость длины трещины Z от массы адсорбционно-
активного расплава т (Ю. В. Горюнов, Н. В. Перцов, Б. Д. Сумм, Е. Д. Щукин и др. 1962, 1963)
2 =眺 ％.(9.1)
Таким образом, процесс развития трещины теснейшим образом связан с закономерностями, распространения жидкого металла по свободной от окисной пленки металлической поверхности, где надо различать поверхностную диффузию (миграционное перемещение монослоев) и вязкое растекание фазового слоя.
Изучение закономерностей распространения адсорбционно-активных металлов (Ю. В. Горюнов, Б. Д. Сумм, Н. В. Перцов, П. А. Ребиндер, Е. Д. Щукин и др., 1963) дало возможность объяснить ряд специфических особенностей развития микротрещин в присутствии ртути и галлия. Интересно заметить, что закономерности распространения жидких металлов могут быть с успехом применены не только при рассмотрении вопроса о развитии микротрещин, но и к процессам сварки, пайки, нанесения защитных металлических покрытий, поведения жидкости в условиях невесомости и т. д. Дальнейшее исследование процессов деформации поли- кристаллических металлов в присутствии ад сор б ционно-активных жидких металлов позволило получить расчетные уравнения для определения количества расплава, необходимого для получения предельного адсорбционного понижения прочности (Ю. В. Горюнов, Г. И. Деньщикова, Б. Д. Сумм, В. Ю. Травкин, 1965, 1967). Как показали Ю. В. Горюнов, Б. Д. Сумм, Н. И. Флегонтова (1964), понижение прочности в определенных диапазонах зависит от отношения количества жидкого металла к объему образца.
До сих пор подчеркивалось, что эффект Ре биндер а проявляется в основном тогда, когда на твердое тело действует в совокупности внешняя нагрузка и поверхностно-активная среда (в ненапряженном состоянии заметных изменений механических свойств твердого тела не происходит). Однако, например, п оликр иста л личе ская пластинка цинка в присутствии галлия начинает течь при очень малой нагрузке — собственном весе, что происходит обычно с металлами при очень высоких температурах, близких к температуре плавления. Резкое повышение пластичности в этом случае связано со структурными изменениями, происходящими в межзеренных прослойках при снижении поверхностной энергии из-за адсорбции атомов галлия.
Еще более поразительны изменения структурных свойств монокристаллов (особенно четко в паре «галлий — олово»). Оказалось, что монокристалл, не имеющий структурных дефектов, подобных границам зерен, в присутствии га л лиев ой пленки превращается в поликристалли- ческий образец. Явление самопроизвольного внутреннего диспергирования металла, сопровождающееся сильным понижением поверхностной энергии, может быть использовано для повышения прочности металлов, причем адсорбционно-активные расплавы оказываются уже не понизителями прочности, а способствуют повышению прочности металлов. Наряду с усовершенствованием способов выращивания маленьких, почти бездефектных нитевидных кристалликов предложен метод (В. И. Лихтман, П. А. Ребиндер и Е. Д. Щукин, 1960; П. А. Ребиндер, 1968) замораживания образцов, в которых произошло внутреннее диспергирование, приводящее к однородной и мелкозернистой структуре. Прочность таких образцов в несколько раз превышает прочность исходного недиспергированного образца.
В последнее время удалось использовать влияние внешней среды для повышение прочности катализаторов, играющих огромную роль в современной химической промышленности, исследовать адсорбционное понижение прочности твердых тел при облучении. Понижение прочности неметаллических тел под действием поверхностно-активных веществ нашло применение в вопросах понижения прочности минералов, что приводит к заметной интенсификации процессов бурения.
Важным для механики разрушения, как отмечалось выше, является тот факт, что вещества, находящиеся на поверхности образцов, могут значительно изменять критические напряжения, при которых начинают расти трещины (например, прочность хорошо высушенного стекла повышается в 4—5 раз).
Е. Д. Щукин и В. И. Лихтман (1958, 1959) высказали следующее предположение относительно механизма хрупкого разрушения тел, имеющих произвольные дислокационные неоднородности. При разрушении металлов наблюдаются две основные стадии. На первой из них происходит зарождение и развитие равновесных трещин под действием скалывающих напряжений в местах с высокой концентрацией напряжений. На второй стадии трещины под действием нормальных напряжений переходят от равновесного состояния к спонтанному распространению по всему сечению монокристалла. Эти оба процесса, естественно, облегчаются при понижении свободной поверхностной энергии в результате внедрения поверхностно-активных частиц внутрь кристалла по дефектным участкам структуры. Такая модель мож€т служить теоретическим обоснованием известного опытного факта о постоянстве произведения нормальных и скалывающих напряжений при хрупком разрыве, что позволяет выбрать эту величину произведения в качестве меры прочности монокристалла.
Как уже отмечалось, большой интерес представляет исследование влияния поверхностно-активных сред на развитие трещин. Возникающие при этом многообразные и сложные процессы физико-химического взаимодействия сред, протекающие в условиях высоких локальных напряжений в конце трещины, могут быть сведены к тому, что зависимость физического (адсорбционного) и химического (коррозионного) факторов от напряженно- деформированного состояния в конце трещины в области хрупкого разрушения оказывается вполне определяющейся одним естественным параметром —коэффициентом интенсивности напряжений (Г. Г. Джонсон и П. К. Парис, EngngFracture Meeh., 1968, 1 : 1, 3—45). При этом скорость роста трещины в феноменологическом плане зависит лишь от коэффициента интенсивности напряжений и от физико-химических констант пары «деформируемое тело — внешняя среда». Следует отметить важный опытный результат, заключающийся в том, что влияние внешней среды (проявляющееся в подрастании трещины при постоянном коэффициенте интенсивности напряжений) начинает сказываться лишь при определенном соотношении между физико-химическими параметрами среды и коэффициентом интенсивности напряжений.
Наиболее изучен, по-видимому, чисто адсорбционный механизм понижения эффективной поверхностной энергии твердого тела в поверхностноактивной среде. При этом докритическое подрастание трещины в ряде случаев будет пренебрежимо мало, так что указанное изменение эффективной поверхностной энергии вполне описывает эффект. Для силикатного стекла, например, поверхностная энергия в присутствии влаги понижается примерно на 20%. В металлах эффективная поверхностная энергия приблизительно на три порядка превышает свободную поверхностную энер-
гию, оцениваемую из физических соображений ). Любопытно отметить, однако, что разрушающее напряжение определяется именно эффективной поверхностной энергией, а адсорбционный эффект влияет в первую очередь на свободную поверхностную энергию ),
Вопросы перманентного разрушения
Наряду с процессами локального разрушения (например, в конце трещины) и объемного разрушения (например, при абсолютно вязком разрушении, когда несущая способность образца исчерпывается равномерно по всему опасному сечению) представляют большой практический и теоретический интерес процессы постепенного разрушения поверхности тела или некоторого ее участка. Наиболее важными явлениями, относящимися к этому кругу, являются эрозионное разрушение поверхностного слоя твердого тела в результате силового воздействия потока газа или жидкости (пары «твердое тело ——жидкость», «твердое тело ——газ»), износ твердых тел при трении (пара «твердое тело — твердое тело»), износ твердого тела в потоке жидкости с твердыми частицами (пара «твердое тело — жидкость с твердыми частицами»), а также некоторые другие.
Короткие сроки разрушения конструкционных материалов эрозией,, по истечении которых эксплуатация промышленных объектов становится экономически неэффективной, явились причиной многочисленных исследований этого явления. Вследствие трудностей, связанных с исследованием эрозионного разрушения в чистом виде, практически все исследователи были вынуждены рассматривать эрозионное разрушение при одновременном воздействии ряда факторов, влиявших в большой или меньшей степени на процесс собственно эрозионного разрушения и во всяком случае затруднявших его изучение. Среди них можно указать следующие: химическое взаимодействие материалов с потоками газа или жидкости, химические превращения в самом материала, сублимация, плавление, термические напряжения, явления адсорбции, влияние на свойства материалов различного вида излучений и т. д.
В этом параграфе рассматриваются газовая эрозия, гидроэрозия, износ при граничном трении и абразивная эрозия. При этом охватываются только те работы, которые, по мнению авторов, заметно повлияли на эволюцию взглядов по указанным вопросам и оказали существенное влияние на современное состояние этого направления. Знакомство с этой областью знаний, граничащей с физико-химической механикой, в которой получены пока в основном лишь качественные результаты, представляется также небесполезным для механиков-теоретиков, поскольку это — новая область будущих количественных изысканий.
Большинство исследователей газовой эрозии видели причину механического разрушения поверхности материалов в различных процессах, сопровождающих эрозию. Этим взглядам не в малой степени способствовал тот факт, что напряжения трения на поверхности материалов даже в таких тяжелых условиях, как например, при входе космических аппаратов в плотные слои атмосферы, невелики и значительно меньше предела прочности материала на сдвиг.
В пятидесятых годах К. К. Снитко и др. предложили так называемую окислительную теорию ——одну из разновидностей химических теорий газовой эрозии. Согласно этой теории главная причина эрозионного разрушения металлов состоит в окислении железа (и выгорании углерода) и других элементов, окисляющихся легче железа, под воздействием прямого окисления свободным кислородом, а также при непрямом окислении посредством находящихся в газах двуокиси углерода и паров воды. Эти выводы были основаны на результатах исследования механизма и кинетики процесса разложения пороха при высоких давлениях.
Согласно химическим теориям газовой эрозии поверхность металла, омываемая горячими газами под давлением, претерпевает как структурнохимические (под действием окисления, цементации, азотирования), так и механические изменения, следствием чего является разрушение тонкого поверхностного слоя металла/
Ф. Головин (1941) провел систематическое изучение разрушенных вследствие эрозии стволов артиллерийских орудий и установил наличие наклепанных участков под полями нарезов, обусловленных динамическим действием ведущих поясков снарядов. При этом им был сделан вывод, что на процесс горячей газовой эрозии преобладающее влияние оказывает термический фактор, причем основой механизма разрушения является «вымывание» или «сдувание» струей газов расплавленного или размягченного и потерявшего сплошность (вследствие наличия мелких трещин термической усталости) поверхностного слоя металла.
И. С. Гаев (1950) с сотрудниками получили некоторые экспериментальные данные, косвенно подтвержавшие идею испарения металлов при эрозионном разрушении. Было установлено, что скорость испарения для стали возрастает с увеличением температуры и содержания углерода. Сопоставление уменьшения веса образцов при испарении под воздействием высокой температуры с эрозионными испытаниями образцов из тех же сплавов показало, что материалы по их стойкости в обоих видах испытаний располагаются в одинаковой последовательности. Было установлено, что, наряду с диффузией и рекристаллизацией, скорость испарения может характеризовать прочность связей, удерживающих атомы в кристаллической решетке при нагревании. Эти же параметры, по-видимому, частично характеризуют выносливость металлов и сплавов при высокой температуре и в случае эрозионных испытаний. И. А. Одинг (1949, 1963) считал, что процесс эрозионного разрушения представляет собой чисто механическое воздействие на металл протекающего пара, содержащего капельки воды и различные твердые частицы.
К аналогичному выводу пришел также Н. С. Алферов (1952), который исследовал эрозионное разрушение лопаток газовых турбин в запыленном газовом потоке. По его мнению, одной из причин механического разрушения поверхности металлов в потоке газа, не сопровождающегося оплавлением их поверхности, является наличие в нем пылевидных частиц. Вследствие многочисленных ударов этих твердых частиц о поверхность металла происходит его механическое разрушение.
На поверхности лопаток было обнаружено образование мельчайших трещин, направленных в глубь металла. Они свидетельствуют о явлениях усталости металла в поверхностных слоях. Механическое разрушение при этом объясняется выбиванием мельчайших частиц металла, образующихся в результате появления микротрещин, и срезом образовавшихся неровностей (возвышений, бугорков) ударяющимися о них быстролетящими частицами.
И. Н. Дехтярев (1949) высказал мнение, что значения напряжений в верхних слоях металла турбинных лопаток могут достигать величин, соизмеримых с пределом усталости лопаточных сталей.
И. Н. Богачев и Р. И. Минц (1958 и сл.) на основании имеющей место не од нор одности распределения акустических давлений при обтекании воздушным потоком поверхности самолетных крыльев сделали вывод о неравномерном распределении напряжений в металле. При этом поток быстр отекущего газа оказывает на металлическую поверхность механическое воздействие, которое в силу неоднородности потока приводит к существенной неоднородности поля напряжений в металле. Последнее проливает свет на один из наиболее важных механизмов эрозионного разрушения. При локальном нагружении в каком-либо участке могут встретиться микрообъемы, в которых наряду с упругой деформацией будут иметь место пластическая деформация и даже микротрещины. При этом общий уровень регистрируемой деформации может быть невелик, однако наличие микроразрушения является уже в известной мере опасным в отношении достаточной надежности работы конструкции. Те же авторы отмечали большое значение нагрузок, связанных с аэродинамическим воздействием газов, вытекающих из реактивного сопла, а также возникающих при этом импульсов давления с высокочастотными колебаниями и т. д. При этом оказывается, что нагрузки от указанных факторов, которые могут привести к разрушению за срок службы самолетов, встречаются довольно часто.
При воздействии газового потока на поверхность металла происходит формирование ее рельефа. При этом характер микрорельефа определяется не только видом нагружения, деформацией, но и природой металла. Микрорельеф получаемый при воздействии на поверхность металла быстротекущего потока, следует рассматривать как характеристику поверхности, определяющую эксплуатационную стойкость конструкции. Характер рельефа позволяет сделать предварительное заключение о стойкости металла в данных условиях, так как между способностью металла к образованию микрорельефа и долговечностью существует прямая взаимосвязь. При этом обычные свойства материала (макрохарактеристики, полученные на стандартных образцах с учетом агрессивности среды и температуры) являются лишь грубо ориентировочным критерием оценки долговечности материала при контакте с быстротекущим потоком.
Л. А. Урванцев (1966) на основе анализа известных теорий эрозионного разрушения материалов, вызванного различными причинами, предложил обобщить существующие представления, введя для этого так называемую «главную обобщающуя функцию», которая должна характеризовать свойства среды, пограничного слоя и материала. Предлагаемое им описание механизма эрозионного разрушения охватывает повторноциклическое нагружение поверхностного слоя материала и возникающие в нем усталостные трещины (как в теле зерен, так и по их границам), химическое, тепловое и электрическое воздействие среды и происходящие в материале в результате этого превращения и изменения.
Причину гидроэрозии материалов большинство исследователей усматривает в процессах коррозии и кавитации. А. Д. Моисеев (1954—1956) рассматривал гидроэрозию как электрохимический процесс, который развивается в зависимости от скорости движения воды. Предполагается, что при больших скоростях движения потока окисная пленка не успевает образоваться и коррозионная среда, взаимодействуя с обнаженной поверхностью, создает условия для интенсивного развития электрохимического процесса.
И. Н. Воскресенский, В. В. Фомин и др. (1949) считали, что разрушение металлов при гидроэрозии происходит под действием коррозионного и механического факторов и зависит от скорости движения воды. При малых скоростях потока развивается в основном только электрохимический процесс. С увеличением скорости начинает действовать механический фактор и процесс разрушения металла становится коррозионно-механическим. При больших скоростях потока пре об ладающим является механический фактор. В работе М. Г. Тимербулатова (1965) было показано, что, помимо высокой механической прочности и высокого предела усталости, материалы должны обладать высокими антикоррозионными свойствами.
Л. А. Гликман (1955) показал подчиненную роль коррозионного фактора при гидроэрозии. Было установлено, что скорость гидроэрозии иногда в 105 раз превосходит скорость коррозионного разрушения.
Эрозионное разрушение носит существенно неоднородный характер. Временное упрочнение пластичных металлов (наклеп) под воздействием кавитации распространяется в глубину на несколько микрон (Л. А. Гликман, Ю. Е. Зобачев и др., 1956), эрозии подвергаются прежде всего малопрочные участки поверхности сплавов (И. Н. Богачев, Р. И. Минц и др.г 1961), на поверхности сплавов и бетонов эрозия локализуется прежде всего в естественных порах и трещинах (К. К. Шальнев, Н. П. Розанов и др., 1965). В работе К. К. Шальнева, Р. Д. Степанова и др. (1966)- было обнаружено существенное влияние на интенсивность эрозии нагружения испытуемого образца внешней растягивающей силой.
Представляет интерес изучение эрозионного разрушения на моделях. И. Варга, Б. А. Чернявский и К. К. Шальнев (1962, 1963) исследовали зависимость интенсивности эрозии от гидродинамических параметров и физических свойств жидкостей (скорость потока, характерный размер модели, плотность, поверхностное натяжение, вязкость, объемная упругость жидкость).
И. Р. Крянин (1955—1962) рассматривал гидроэрозию металлов как коррозионно-усталостный процесс в результате одностороннего циклического сжатия. По его мнению, причиной неудачных попыток установить зависимость между кавитационной стойкостью металлов и их коррозионно-усталостной прочностью является особенность характера цикла гидравлических ударов при кавитации, которая не принимается во внимание многими исследователями. В. В. Гавранек (1955) считал гидроэрозию микр оу ста л остным процессом. Имеющиеся на поверхности металла выступы рассматривались им как микроконсоли, которые при гидравлических ударах испытывают знакопеременные нагрузки и вследствие этого отламываются.
А. Константинов (1947), изучая физическую природу кавитацииг пришел к выводу, что разрушение металла при кавитации связано с электрическими разрядами, которые возникают при сжатии кавитационных пузырьков. Эти электрические разряды в виде микроскопических «молний» способны разрушить в течение короткого времени материалы любой прочности. Впоследствии в связи с применением катодной защиты гидротурбин от кавитационной эрозии были проведены дальнейшие исследования электрических эффектов зоны кавитации (В. И. Скоробогатов, 1960; Ю. Н. Пауков, М. К. Болога и К. К. Шальнев, 1968). При этом было подтверждено наличие электрических эффектов и влияние внешнего электри- .ческого поля на интенсивность эрозии.
В работе И. Н. Богачева и Р. И. Минца, В. В. Гавранека, М. Фукса, Д. К. Большуткина и др. (1955) показано, что процесс гидроэрозии обус-
ловлей механическим воздействием гидравлических ударов, возникающих при сокращении кавитационных пузырьков. В результате таких многократных ударов отдельные микрообъемы деформируются, появляются линии сдвигов и двойников. При этом в поверхностном слое повышается твердость. Рентгенографический анализ показывает искажение кристаллической решетки и измельчение блоков структурной мозаики. Разрушению металла предшествует возникновение в поверхностном слое трещин и очагов разрушения.
Исследования, проведенные С. П. Козыревым, К. К. Шальневым и М. Г. Тимербулатовым (1956, 1965) в гидр одинамиче ских трубах, показали, что кавитационные каверны при срывной кавитации не только не схлопываются мгновенно, как это следует из теории Рейли, но и вообще не схлопываются. Обнаружена пульсация каверны во времени с большой частотой, причем при пульсации каверна уменьшается в диаметре, затем исчезает, снова образуется и т. д. Основу кавитационных разрушений составляют поверхностно-усталостные явления в результате высокочастотного импульсного воздействия ).
В. Фомин (1966) на основании своих исследований процесса гидроэрозии металлов и обобщения результатов, полученных другими авторами, пришел к выводу, что она, как правило, наблюдается при больших скоростях потока и происходит в основном за счет механического воздействия жидкости. Природа этого воздействия связана с качественным изменением характера течения жидкости. В этих условиях ударное нагружение приобретает импульсивный характер, т. е. отличается быстрым возрастанием давления, за которым следует такое же быстрое его уменьшение. Характерной особенностью при этом является очень малая область действия максимальных напряжений, соизмеримая с размерами отдельных микроучастков (величиной приблизительно 10~4—10-6 %川).При этом напряжения отличаются локальностью и неравномерностью и возникают в отдельных микрообъемах независимо от того, что происходит в любом другом месте поверхностного слоя. При таком характере механического воздействия разрушение металлов связано с отрывом очень мелких частиц вследствие образования в поверхностном слое микроскопических трещин, которые возникают в результате пластической деформации, протекающей в микрообъемах. В. В. Фомин считает, что гидроэрозию металлов следует рассматривать как процесс, возникающий в результате микроударного воздействия жидкости. При таком характере нагружения сопротивление металла разрушению определяется не усредненными свойствами отдельных макрообъемов, а свойствами металла в микрообъемах, т. е. механической прочностью отдельных микроучастков или структурных составляющих.
При микроударном воздействии возникают напряжения и деформации, локализованные в микрообъемах поверхностного слоя, так что разрушение носит местный характер. Эрозионную прочность металла определяют свойства поверхностного слоя.
На возникновение очагов разрушения влияет также состояние поверхности образца. Однако влияние профиля поверхности сказывается только в начальной стадии эрозионного процесса. При образовании деформационного рельефа это влияние устраняется.
И. Н. Богачев и Р. И. Минц (1958, 1964) исследовали ряд сталей на их сопротивляемость кавитационно-эрозионному разрушению.
В результате ими было установлено, что кавитационно-эрозионная стойкость стали зависит от величины зерна, характера границ и тела зерен. Интенсивность разрушения определяется сочетанием свойств зерен и его границ. Было также подмечено, что стали в вязком состоянии сопротивляются эрозии лучше, чем в хрупком состоянии. Авторы высказали предположение, что сопротивление кавитационно-эрозионному разрушеник> должно зависеть от демпфирующей способности материала (т. е. от величины декремента затухания колебаний), если рассматривать разрушение металла от эрозии как усталостное явление, учитывая многократность воздействия водяных капель на поверхность лопаток.
В процессах взаимного контактирования твердых тел большую роль играют исследования вопросов абразивного разрушения при граничном трении. В. Д. Кузнецов (1947) считал, что механизм абразивного изнашивания является предельно простым и сводится к сумме большого числа элементарных процессов царапанья. При этом между явлением простого царапанья и абразивным износом должна существовать глубокая связь. Однако исследования показали, что однозначной зависимости между абразивным износом и механическими свойствами металла не существует.
Исходя из представления о том, что при изнашивании в одинаковых условиях достигается одинаковая степень пластической деформации и упрочнения, М. М. Хрущов и М. А. Бабичев (I960) предложили теоретическую зависимость между объемным износом, протяженностью пути трения, размером абразивного зерна, нагрузкой и начальной твердостью металла. Проведенные испытания показали, что, действительно износ прямо пропорционален пути трения, нагрузке и размеру абразивного зерна, причем для размера зерна существует критическая величина, при превышении которой абразивный износ не увеличивается. Вместе с тем износ обратно пропорционален значению твердости металла до испытания, что было экспериментально подтверждено для технически чистых металлов и сталей в отожженном состоянии.
Последующие работы показали, что фактическая площадь соприкосновения двух поверхностей значительно отличается от контактной, очерченной внешним контуром этих поверхностей и используемой условно для подсчета средних удельных давлений. При достигаемой сейчас чистоте обработки фактическая площадь контакта составляет от 10-5 до 10-2 контактной площади, вследствие чего на площадках контакта возникают удельные давления в тысячи кГ 1см21. Естественно, что это приводит к быст- ропротекающей пластической деформации микронеровностей, а также к разрушению отдельных участков поверхностного слоя металла. Разрушение наступает вследствие образования микро- и макротрещин; основной причиной возникновения трещин являются, по-видимому, внутренние и термические напряжения. Последние возникают вследствие локальной температурной вспышки, вызванной-переходом в тепло более 50 % внешней энергии, затраченной на необратимый процесс пластической деформации, а также благодаря быстрому охлаждению поверхностных слоев всей массы металла. При этом, поскольку у пластических материалов в условиях переменного температурного поля напряжения в пластической области много меньше, чем упругие напряжения в хрупких материалах, последние хуже сопротивляются термической усталости и, следовательно, выкрашиванию. Кроме того, необходимо помнить, что микропластическая деформация зерен, возникающая при циклических теплосменах и проявляющаяся в виде линий скольжения, а у некоторых металлов также двойникования и мозаичных структур, сопровождается искажением кристаллической
решетки, разрыхлением границ зерен и образованием микропустот, что также ухудшает механические свойства (предел выносливости, длительную прочность) и способствует разрушению материала.
И. В. Крагельский (1963 и сл.) рассматривает появление свободных частиц при граничном трении как результат процессов микрорезания, «глубинного» вырывания и повторного деформирования. Микрорезание наблюдается при внедрении контактирующего выступа на достаточную глубину (примерно 0,2—0,3 радиуса выступа), т. е. при переходе порога внешнего трения. В обычных узлах трения получение частиц износа за счет микрорезания практически исключено, так как заранее подбирают нагрузки, при которых внедрение не достигает необходимой для резания величины.
Глубинное вырывание возникает при нарушении порога внешнего- трения за счет возникновения отрицательного градиента механических свойств по глубине поверхности трения или за счет слитком большого относительного внедрения. Оно носит характер выдирания или выкалывания материала не по месту спайки, а внутри одного из тел. Однако микрорезание и глубинное вырывание материала представляют собой крайние случаи износа при трении.
Согласно И. В. Крагельскому, при установившемся режиме трения шероховатость поверхности воспроизводится, однако механизм воспроизведения шероховатости остается неизвестным. Обычно износ поверхностей трения происходит в основном при скольжении. Это возможно только при образовании на поверхностях пленок, которые предохраняют основной материал от прямого соприкосновения. Пленка, разделяющая поверхности, является совершенно обязательным условием скольжения. Если ее нет, неминуемо рлубинное вырывание.
В условиях сухого трения пленка окисла, которая возникает на поверхности, увеличивается по толщине до определенной величины, отшелушивается, растет снова и т. д. Эта пленка вступает в молекулярное взаимодействие с пленкой другой поверхности. Пленки защищают основной материал от глубинного вырывания, однако не защищают его от деформации, которую он испытывает при скольжении по нему внедрившегося выступа.
Каждое сечение истираемого тела последовательно подвергается сжимающим и растягивающим напряжениям. Этот эффект на основе экспериментальных данных был впервые описан А. С. Радчиком и В. С. Радчи- ком (1958), обнаружившими изменение знака деформации в определенной зоне истираемого образца.
Даже малая повторнодействующая нагрузка на поверхность может привести к ее усталостному разрушению. Усталостные трещины возникают на дефектах, всегда имеющихся в твердом теле. Они связаны как со структурой металла (вакансии в кристаллической решетке, границы блоков), так и со следами обработки (царапинами) и, наконец, с металлургическими дефектами (усадочными порами, газовыми пузырями, включениями шлака, резкой неоднородностью размеров кристаллов, различием в твердости и др.).
В процессе развития трещины, постепенно сливаясь, могут привести к образованию частицы износа. Разрушения, возникающие на поверхностях трения в результате повторных воздействий, названы И. В. Кра- гельским (1963 й сл.) фрикционной усталостью. Разрушение материала, в результате повторных деформаций, приводящих к разрыхлению металла подробно описано Н. Н. Афанасьевым (1965).
М. В. Ханин (1966 и сл.), изучая процесс разрушения материалов в высокотемпературных и высокоскоростных потоках инертного газа в условиях, исключающих практически все виды разрушения, кроме эрозионного, экспериментально показал наличие механического разрушения поверхности. Микроструктурные исследования поверхностных слоев материала, подвергнутого эрозионному разрушению, выявили характерные усталостные изменения (широкие полосы скольжения, микротрещины и т. д.). Это указывает на наличие циклически изменяющегося силового воздействия на поверхность материала со стороны обтекающего его газового потока. Во впадинах неровностей возникает вихревое, пульсирующее движение, вследствие которого на бугорки неровностей действуют изменяющиеся во времени силы, являющиеся причиной эрозионного разрушения.
На основе анализа усталостной теории эрозионного разрушения материалов при граничном трении, развитой И. В. Крагельским, и сопоставления ее с механизмом эрозионного разрушения материалов в потоках газа и жидкости М. В. Ханин пришел в последнее время к выводу, что эрозия как при трении, так и при воздействии потока жидкости представляет собой процесс усталостного разрушения поверхностного слоя, происходящего в результате вынужденных колебаний частиц материала, на выступающие части которого действуют переменные силы. При этом были получены формулы для определения скорости эрозионного разрушения материалов и величины шероховатости их поверхности.
В нашей стране, особенно в послевоенные годы, проводились также значительные исследования по изнашиванию различного оборудования в потоке жидкости или газа с твердыми частицами. Отметим, например, работы, посвященные борьбе с так называемым золовым износом котельного оборудования. Этому вопросу уделено значительное внимание в исследованиях И. К. Лебедева, О. Н. Муровкина, А. В. Рябченкова, С. Н. Сыркина и др.
Изучение процесса гидроабразивной обработки металлов посвящены работы Е. И. Пазюка (1953), Ш. М. Билика (I960) и др. Особенно остро стоит проблема абразивно-эрозионного изнашивания оборудования, используемого в нефтяной и газовой промышленности (фонтанная арматура, буровые насосы, турбобуры, трубы и т. д.). Значительные работы в этом направлении выполнены А. В. Кольченко (1956), Л. А. Шрейнероми А. И. Спиваком (1958), А. А. Антоновым (1963), В. Н. Виноградовым (1963) и др.
Одна из гипотез, объясняющих природу абразивно-эрозионного выкрашивания, высказана Л. Б. Эрлихом (1950). Согласно этой гипотезе большинству сопряженных деталей, работающих в условиях контактных нагрузок, присущи определенные характерные черты, а именно: кратковременность нагружения отдельных участков рабочих поверхностей, значительные локальные нагрузки, многократноциклическое повторение внешней нагрузки, сравнительно большая масса металла, примыкающая к поверхностным слоям, наличие структурной составляющей в виде белой полоски, не травящейся обычными реактивами и обнаруживаемой лишь в результате металлографического анализа. Л. Б. Эрлих предложил схему, намечающую некоторую последовательность явлений, происходящих в поверхностных слоях работающих деталей. Согласно этой схеме в поверхностном слое возникает сначала мгновенное силовое воздействие, затем контактная нагрузка, далее последовательно-пластическая деформация, температурная вспышка и быстрое охлаждение. Мгно-
венное силовое воздействие обусловлено кинетической энергией удара абразивных частиц о поверхность изделия и зависит от массы и скорости частиц. Особое значение приобретает контактное давление, достигающее крайне высоких значений.
При многократных воздействиях абразивных частиц на поверхности металла наблюдается тепловая знакопеременная нагрузка, вызванная изложенными выше причинами. Образующиеся при этом трещины носят усталостный характер, способствуют концентрации напряжений на поверхности изделия и служат, вероятно, одной из главных причин выкрашивания материала. Таким образом, видно, что кинетика процесса выкрашивания, в том числе и при абразивно-эрозионном разрушении, включает в себя различные виды дефорации и определяется рядом механических свойств металла.
Одной из весьма интересных разновидностей перманентного разрушения является разрушение сверхпрочных материалов, прочность которых приближается к теоретической (высокопрочные стекла, получаемые при соблюдении специальных технологических условий, металлические《усы», «бездефектные» стеклянные волокна, высокопрочные полимерные волокна и др.). Разрушение таких материалов происходит «взрывообразно», с распадом на множество мелких частиц. Заметим, что разрушение идеальной кристаллической структуры при достаточно высокой нагрузке должно в пределе происходить в виде распада на отдельные атомы.
«Взрывообразное» разрушение сверхпрочных стекол наблюдалось, например, М. С. Аслановой, Г. М. Бартеневым, Ф. Ф. Витманом, Л. К. Измайловой и др. Теория этого явления, названного явлением самоподдер- живающегося разрушения, была предложена Л. А. Галиным и Г. П. Черепановым (1967). Она основана на рассмотрении фронта перманентного поверхностного разрушения, распространяющегося за счет запаса упругой энергии в теле (аналогично движению детонационной волны за счет запаса химической энергии). Заметим, что подобный тип разрушения может происходить также в обычных хрупких телах (например, в прочных горных породах), если создан достаточный запас упругой энергии. Этого можно добиться, например, в результате сжатия, близкого к всестороннему. В монографии С. Г. Авершина (1955) подробно освещены различные аспекты указанного явления разрушения, которое играет все более важную роль в горной механике (горный удар).
§ 11- Разрушение при взрыве
Если рассмотренные выше проблемы прочности в основном относились к вопросам профилактики сооружений и конструкций, разрушение которых нежелательно, то исследование процессов разрушения при взрыве представляет самостоятельный интерес и в значительной мере определяет эффективность и целесообразность взрывных работ.
При очень быстром выделении достаточно большого количества энергии в некотором объеме твердого тела происходят многообразные процессы разрушения, характер которых существенно зависит от общего количества выделяющейся энергии и ее концентрации, от источника и способа выделения энергии, от физико-механцческих свойств твердого тела.
Источники взрывообразного выделения энергии многообразны. Это — ядерные реакции (атомные и ядерные взрывы), химические реакции (большинство применяемых ВВ), сильные электрические разряды (например, атмосферная молния), мощные световые импульсы (получаемые в кванто- 29 Механика н СССР, т. 3
вых генераторах), запас кинетической или упругой энергии (реализующийся, например, при соударении быстро движущихся тел, при взрывах баллонов со сжатым газом, при горных ударах и землетрясениях, при разрушении высокопрочных стекол или сильно хрупких материалов) ит. д.
Проблема управления энергией взрыва с целью получения наибольшего полезного эффекта является одной из важнейших технических задач. Существенный вклад в решение этой проблемы сделали русские инженеры и ученые Б. Н. Бокий, М. М. Боресков, М. М. Протодьяконов и др. Однако наиболее значительное продвижение в этой области имело место в последние десятилетия.
Остановимся вначале на основных результатах, полученных при излучении действия взрыва в горных породах и грунтах. Взрывчатые вещества используются в горном и строительном деле для дробления и разрыхления пород, а также для выброса или перемещения породы в целях образования искусственных полостей, плотин и т. п.
Практика взрывного дела основана на эмпирическом законе подобия, согласно которому объем разрушенной породы (а также объем полости, образующейся после взрыва) прямо пропорционален объему заряда ВВ. Сейчас трудно установить, кто впервые сформулировал этот закон (одно из первых упоминаний о нем относится к 1628 г. и принадлежит французу Девилю). Коэффициент пропорциональности в нем зависит от прочности пород, характеристик ВВ, формы и расположения зарядов и т. д. Указанный закон подобия нарушается для весьма мощных взрывов из-за сравнительно большого влияния силы тяжести и, по-видим ому, для весьма прочных хрупких пород, вследствие появления прочностной константы материала (критический коэффициент интенсивности напряжений), размерность которой отлична от размерности напряжения.
При исследовании действия взрыва в грунтах и горных породах широко использовалась модель идеальной несжимаемой жидкости (сам взрыв считался мгновенным). При этом распределение импульсов давления и скоростей в пространстве сразу после взрыва определяется из решения некоторой краевой задачи для уравнения Лапласа и может быть построено достаточно эффективно. Такой подход развивали М. А. Лаврентьев, а также О. Е. Власов (1945). Он имеет определенное физическое обоснование, так как давление в камере взрывания от взрыва обычных ВВ достигает десятков и сотен тысяч атмосфер, что намного превышает прочность горных пород. В рамках этого направления О. Е. Власов и С. А. Смирнов (1962) разработали теоретическую схему дробления горных пород взрывом сосредоточенных и удлиненных зарядов, нашли границы и объем зоны дробления, распределение крупности дробления, вероятностный гранулометрический состав раздробленной части горного массива, оценили продолжительность процесса дробления. При этом было существенно использовано введенное О. Е. Власовым представление о критической скорости разрушения. Согласно этому представлению размер кусков породы, образующихся вследствие взрыва, таков, что разность двух соседних кусков равна некоторой критической величине (своей для каждого материала). Эти расчеты позволили получить общее описание характера дробления породы при взрыве. Отметим, что проблема равномерного дробления (чтобы в результате взрыва не оставались куски породы, размер которых превышает некоторый предельный объем, допускаемый из техн о л огических условий) чрезвычайно важна в горнодобывающей промышленности и решению ее было посвящено много экспериментальных и теоретических работ.
М. Кузнецов (1966) применил указанную модель среды для расчета формы воронки выброса. При этом им была использована постановка задачи, предложенная М. А. Лаврентьевым. Модель идеальной жидкости была применена Г. П. Черепановым для решения некоторых задач о воздействии взрыва на подводные и подземные сооружения (1966), а также при построении гидродинамического варианта теории трещин, возникающих под действием взрыва (1963). С этим направлением тесно связан акустический вариант теории откола, предложенный ранее В. С. Ленским (1958).
М. А. Лаврентьев, В. М. Кузнецов и Е. Н. Шер в 1960 г. поставили задачу о направленном выбросе грунта взрывом и дали ее изящное решение как некоторой обратной задачи гидродинамики. Это < решение нашло экспериментальное подтверждение для мягких грунтов. На его основе были предложены способы массовых взрывов на выброс при помощи системы удлиненных зарядов, расположенных соответствующим образом в подземных выработках. При использовании камер увеличенного объема для повышения эффективности действия взрыва было признано целесообразным заполнять их водой.
При исследовании сейсмического эффекта взрыва грунт или горную породу обычно рассматривают как упругое тело. Проблема затухания ударных и сейсмических волн в мягких в од она сыщенных грунтах была исследована в последнее десятилетие Г. М. Ляховым, В. Н. Николаевским и др. При этом было использовано представление о грунте как о двухкомпонентной среде («двойная» сплошная среда —— пористое деформируемое твердое тело, поры которого заполнены жидкостью или газом). Эти вопросы освещены в специальном обзоре Г. К. Михайлова и В. Н. Николаевского, помещенном во втором томе сборника, и здесь не затрагиваются.
Для изучения процесса разрушения и волн напряжений в зоне взрыва предлагалось много подходов с использованием разнообразных усложненных моделей сплошной среды. Отметим вначале основные результаты, полученные путем формулировки математической модели и решения определенных граничных задач для соответствующих дифференциальных уравнений. Все эти результаты опираются на различные варианты описания упруго-пластического тела.
В 1957 г. X. А. Рахматулин предложил модель «пластического газа», являющуюся некоторым обобщением модели идеальной сжимаемой жидкости. Согласно этой модели между давлением и плотностью газа (касательными напряжениями пренебрегается) при нагружении существует однозначная зависимость, которая при разгрузке заменяется некоторой другой закономерностью (в простейшем случае принимается, что в условиях разгрузки плотность остается постоянной). Эта модель дает идеализированное описание свойств грунта, когда среднее гидростатическое давление намного превосходит касательные напряжения.
В дальнейшем X. А. Рахматулин, А. Я. Сагомонян и Н. А. Алексеев (1965) обобщили модель на случай наличия касательных напряжений в рамках деформационных представлений (получающаяся система уравнений представляет собой обобщение уравнений Генки ——Надаи на случай произвольной и необратимой объемной сжимаемости). В более ранних работах А. Ю. Ишлинского, Н. В. Зволинского и И. 3. Степаненко (1954) и А. Я. Сагомоняна (1954) рассмотрены некоторые одномерные задачи динамики грунтовой массы при определенных конкретных положениях относительно свойств среды («пластического газа»). В работах
' 29*
А. С. Компанейца (1956), Н. В. Зволинского (I960), А. Я. Сагомоняна (1961) в аналогичных одномерных задачах учитываются также касательные напряжения (с условием пластичности Прандтля).
Следует отметить экспериментальные работы В. В. Адушкина и А. П. Сухотина (1961), С. С. Григоряна, Г. М. Ляхова, В. В. Мельникова и Г. В. Рыкова (1963), М. В. Гоголева, В. Г. Мыркина, Г. В. Пархомова и А. Н. Ханукаева (1965), А. Б. Багдасаряна и С. С. Григоряна (1967). В этих работах изучалась физическая картина процесса разрушения в ближней зоне камуфлетного взрыва (для изучения взрыва в органическом стекле применялась скоростная киносъемка, а при взрыве в лессовом грунте — вскрытие взрывной полости после взрыва).
Задача о камуфлетном взрыве в идеально пластическом теле для различных частных вариантов была исследована Дж. Тейлором, Р. Хиллом, Э. Пинни и др.
В работах Э. И. Андрианкина, В. П. Корявова (1962, 1965), В. Н. Родионова (1962), X. М. Алиева (1964) при решении сферически симметричной задачи о взрыве в хрупком теле было введено представление о волне разрушения, разделяющей два возможных состояния среды (разрушенное и неразрушенное). Напряжения на этой волне, вообще говоря, терпят разрыв.
В работах С. С. Григоряна (1959—1967) задачи динамики грунтов были рассмотрены в наиболее общей постановке. Им сформулированы гипотезы механической и термодинамической природы, отражающие специфические свойства грунтов и горных пород. На основе этих гипотез построены модели, описывающие процессы деформирования, разрушения и движения рассматриваемых сред при произвольных внешних воздействиях. Построены модели для мягких грунтов (I960) и для твердых хрупко разрушающихся горных пород (1967). Автором изучены общие свойства решений построенных уравнений, выявлены основные качественные особенности описываемых ими движений, сформированы условия и правила моделирования.
На основе предложенных моделей С. С. Григорян рассмотрел ряд задач о действии взрыва в грунтах и горных породах. В частности, были даны решения задач о действии взрыва сосредоточенного заряда в безграничных массивах мягкого грунта и скальной породы.
Кроме того, С. С. Григоряном (1962) дана постановка и алгоритм численного решения задачи о волнах, индуцируемых в грунтовом полупространстве наземным взрывом. В результате решения получены количественные сведения об изменении параметров взрывных волн с расстоянием (мак сима л ьных напряжений, скоростей, остаточных и полных деформаций, смещений, характерных времен действия волны и т. д.), о динамике расширения полости и границ областей разрушений и пластических деформаций, о характере разрушений в этих областях.
Реальный грунт или горная порода в окрестности места достаточно мощного взрыва проявляют свойства, присущие, по-видимому, всем возможным наборам моделей сплошной среды от идеальной жидкости непосредственно вблизи места взрыва до упругого тела на достаточно больших расстояниях от места взрыва. Задача осложняется развитием множества поверхностей разрыва смещений (трещин) в зоне взрыва. В этих условиях любая, даже очень сложная модель среды может рассчитывать лишь на весьма приблизительное описание всей указанной совокупности явлений разрушения. К тому же надо учесть, что объем и сложность соответствующих вычислений при усложнении модели среды резко возрастают.
В этих условиях приобретают практическую важность простые приближенные приемы расчета, основанные в значительной мере на инженерном опыте. '
Следует отметить также, что проблема оптимизации процессов дробления или выброса при взрыве представляет собой по существу обратную (и потому гораздо более сложную) задачу по сравнению с расчетом деформаций и напряжений в среде, подвергнутой заранее заданному воздействию. Поэтому важность отыскания достаточно простых оценок решения прямых задач (иногда только качественного характера) очевидна.
Постановка вопроса о создании общей теории дробления горных пород взрывом принадлежит М. В. Мачинскому (1935). Согласно его исследованиям, три главных фактора, которые определяют раздробление,— это ударная волна, распределение слабых мест в породе и скорость распространения трещин в ней. При этом М. В. Мачинский рассмотрел совместное действие системы точечных и линейных зарядов; особое внимание было уделено определению наивыгоднейшего расстояния между зарядами.
В последние десятилетия установлена связь взрывчатых характеристик ВВ с различными проявлениями действия взрыва в породе.
А. Ф. Беляев и М. А. Садовский (1952) показали, что бризантные характеристики ВВ, обусловленные головной частью импульса взрыва и связанные с плотностью ВВ и скоростью его детонации, предопределяют степень переизмельчения породы только в непосредственной окрестности заряда. Общее действие взрыва, проявляющееся в разрушении тела на более значительных расстояниях от заряда, пропорционально полному импульсу взрыва, связано с общей энергией взрыва и не зависит непосредственно от скорости детонации. Поэтому для дробления больших объемов горной породы необходимо не повышение пикового давления, а увеличение длительности воздействия взрыва на породу.
Для решения последней задачи Н. В. Мельников и Л. Н. Марченко (1958, 1964, 1965) предложили видоизменить конструкции зарядов. Эти изменения сводятся к различному соотношению высоты заряда и его диаметра, введению воздушных промежутков между зарядами, а также между зарядами и стенками зарядной камеры. Указанные предложения, оказавшиеся полезными также при взрывах на выброс, были проверены на большом экспериментальном материале и внедрены в производство. Увеличение времени взрыва оказалось возможным также путем создания новых, менее бризантных видов ВВ.
Той же цели служит короткозамедленный способ взрывания, заключающийся в том, что взрывание каждого последующего заряда или их серии производится с некоторым отставанием во времени (порядка 10-3 сек) по отношению к взрыву предыдущего заряда. Особенно действен этот способ в сочетании с р аци он а льным выбором пространственного расположения зарядов. Большую роль в развитии этого направления сыграли теоретические и экспериментальные исследования К. А. Берлина (1934), Ф. И. Кучерявого, М. Ф. Друкованного и Ю. В. Гаека (1962), Н. Г. Петрова (1964), В. Н. Мосинца (1967), которые предложили ряд схем расстановки зарядов с расчетом времен замедления.
Цикл работ Г. И. Покровского (1955——1958) посвящен исследованию разрушения горных пород взрывом. Согласно его представлениям, в некоторой окрестности места взрыва среда переходит в пластическое состояние, подвергаясь только сжимающим напряжениям. Вслед за этой областью следует зона трещинообразования, в которой действуют растягивающие окружные напряжения.
Г. И. Покровский подчеркнул невозможность существования скачка уплотнения в грунтах с полого возрастающей к омпр е с си онн ой характеристикой и указал на большое влияние свободных поверхностей или искусственно созданных свободных полостей на распределение энергии разрушения в пространстве. Как только волна сжатия доходит до свободной поверхности, сжатое тело начинает расширяться и возникает волна разрежения, вызывающая растягивающие напряжения. В акустическом приближении эта волна соответствует источнику растяжения, являющемуся зеркальным отображением заряда относительно свободной поверхности. Отраженная волна растягивающих напряжений производит несравненно большие разрушения, чем волна сжатия. Этот механизм аналогичен механизму явления откола. В зависимости от механических свойств горных пород и расположения зарядов относительная доля прямой и отраженной волн в общем разрушении будет различной. Основываясь на общей качественной картине разрушения и простых расчетных схемах, Г. И. Покровский предложил ряд удобных формул, нашедших широкое применение во взрывном деле в широком диапазоне изменения параметров.
Иные представления о действии взрыва развивали С. Д. Основин (1939), А.①.Суханов (1950, 1958), М. П. Бродский (1953) и др. Они считали, что при взрыве часть энергии расходуется на отрыв породы от разрушаемого массива по боковой поверхности воронки, а другая часть затрачивается на преодоление силы тяжести взрываемого объема и на дробление породы внутри этого объема. Согласно этим представлениям (основанным также на некоторых дополнительных допущениях) указанный выше закон подобия должен быть заменен другой зависимостью (представляющей собой обобщение формулы М. М. Фролова, которая была предложена еще в 1868 г.).
Дальнейшее развитие указанный подход нашел в работах А. Н. Хану- каева (1958, 1962) и В. Н. Мосинца (1963, 1967). А. Н. Ханукаев, в частности, предложил классифицировать разрушаемые породы на основе акустических характеристик (наиболее известная классификация горных пород по крепости была дана М. М. Протодьяконовым в 1911 г.). В. Н. Мо- синец сформулировал общий энергетический закон дробления горных пород взрывом, в соответствии с которым процесс разрушения горных пород характеризуется наличием строго определенного предела энергоемкости дробления, зависящего от механических свойств горных пород, статистической функции распределения естественных трещин и развиваемых в процессе дробления деформаций^ Для исследований этих авторов характерно углубленное изучение механизма передачи энергии взрыва горному массиву с учетом физико-механических свойств пород, слагающих массив, и его естественной трещиноватости.
Перспективным методом управления действием взрыва является создание специальных искусственных полостей (путем взрывов малой мощности). Такие полости могут использоваться в качестве защитного экрана, предохраняющего от разрушения полезные объекты, а также с целью отражения волны сжатия (и направления отраженной волны растягивающих напряжений в заданный объем, подлежащий разрушению). В. Н. Мо- синец (1963, 1967) нашел некоторые основные закономерности экранирования волн напряжений. Проведенные им экспериментальные исследования показали, что таким способом можно отражать в сторону разрушаемого объема до 20—25% энергии волн (при этом 67—72% теряется на разрушение материала вблизи экрана и лишь 8—10% проходит через экран).
В связи с проблемой защиты сооружений от взрыва следует упомянуть исследование М. А. Лаврентьева, В. М. Кузнецова и Е. Н. Шерра (1962), которые разработали систему пузырьковой защиты от взрыва.
Взрыв начинает находить все большее применение в строительстве грандиозных сооружений, требующем все более мощных и хорошо рассчитанных взрывов. С увеличением масштаба взрыва закон подобия начинает нарушаться вследствие влияния сил тяжести и возникает потребность в более точных расчетных формулах, учитывающих масштабный фактор. Г. И. Покровский предложил соответствующие поправки к формуле М. М. Борескова для расчета величины заряда. Экспериментальные исследования М. М. Докучаева, В. Н. Родионова и А. Н. Ромашова (1963) с мощными взрывами на выброс позволили установить формулу расчета крупных зарядов с учетом их масштаба.
Теории образования выемок и теории движения породы при взрывах на выброс в последние годы было посвящено много исследований. Наиболее существенные результаты в этом направлении получили Ф. А. Баум, Л. К. Белопухов, А. Ф. Беляев, В. А. Виноградов, О. Е. Власов, М. М. Докучаев, В. М. Кузнецов, М. А. Лаврентьев, Г. М. Ляхов, Л. Н. Марченко, Г. И. Покровский, В. Н. Родионов, А. Н. Ромашов, К. П. Станюкович, И. С. Федоров, А. А. Черниговский, Е. Н. Шер, Б. И. Шехтер.
Особый интерес представляют исследования направленного выброса породы взрывом. Г. И. Покровский, И. С. Федоров и М. М. Докучаев (1963) предложили осуществлять направленный выброс путем создания дополнительных свободных поверхностей, полостей или воронок в заданной стороне выброса. М. А. Лаврентьев, Е. Н. Шер и В. М. Кузнецов (1964), исходя из простого точного решения задачи в гидр одинамиче ск ой постановке, предложили исцользовать для этой цели неравномерное распределение заряда ВВ по глубине скважин (толщина слоя ВВ должна возрастать с глубиной линейно). А. А. Черниговский (1965) разработал вариант этого способа путем применения специальной системы плоских и клиновидных зарядов. По-видимому, наиболее эффективным является совместное использование указанных способов взрыва на выброс.
Характерным примером мощного направленного взрыва на выброс можно считать взрыв в Медеу в октябре 1966 г., в результате которого была образована противоселевая плотина. При этом за несколько секунд до взрыва основного заряда (около 3700 т тротила) были осуществлены взрывы четырех вспомогательных зарядов (общим весом около 1600 ттг), создавшие искусственную вспомогательную воронку, которая обеспечила направленный выброс породы.
Чрезвычайно интересным является использование мощных кратковременных давлений, возникающих при направленном вызрыве, для создания высокоскоростных струй металла (явление кумуляции). Кумулятивный эффект, открытый еще в прошлом веке, заключается в том, что если, например, на внешнюю поверхность металлической оболочки в форме конуса равномерно распределить заряд и затем взорвать его, то в результате взрыва из металла формируется тонкая струя (проволока), движущаяся вдоль свой оси с огромной скоростью (порядка 2——10 км/сек). В экспериментах с кумулятивной струей в вакууме достигнута скорость около 100 км/сек. Этот эффект нашел себе применение в конструкции бронебойных снарядов.
В теории кумуляции основополагающими являются работы М. А. Лаврентьева, создавшего гидродинамическую теорию этого явления. На основе зтой теории он определил скорость, толщину и длину сформировавшейся
кумулятивной струи, а также скорость и глубину проникновения исходной струи в твердое тело, расположенное на пути ее движения.
За рамки настоящего обзора выпадают многие интересные аспекты использования взрыва (например, при штамповке, упрочнении структуры металлов, при каталитическом ускорении химических реакций и т. д.)， которые заслуживают специального рассмотрения.
Проблема, родственная разрушению при взрыве, возникает при изучении соударения тел, движущихся с большими относительными скоростями (в зависимости от материала от сотен метров до космических скоростей порядка десятков километров в секунду). Существенные результаты в этом направлении получили Л. В. Альтшулер, Ф. А. Баум, М. И. Бражник, Ф. Ф. Витман, Л. А. Владимиров, Л. А. Галин, Н. А. Златин〉 К. К. Крупников, М. А. Лаврентьев, К. П. Станюкович, В. А. Степанов, Г. П. Черепанов, Б. И. Шехтер и др. Степень изученности этого явления примерно соответствует общему уровню теории действия взрыва на поверхности твердого тела.
Некоторые специальные вопросы механики разрушения
Бурное развитие техники ставит перед механикой разрушения ряд важных новых задач. Отметим в первую очередь проблему влияния облучения на прочность и разрушение твердых тел (пучки нейтронов и протонов, мощное фотоизлучение, высокочастотные электрические и магнитные поля и т. д.). В связи с потребностями ракетной и космической техники большое значение приобретает разрушение твердых топлив, происходящее в сложных условиях горения и являющееся зачастую причиной перехода работы двигателя на неустойчивый режим ). Некоторые проблемы, связанные с новыми технологическими процессами, возникают также при изучении уже известных явлений (разрыв жидкостей, влияние остаточных напряжений и др.).
Фундаментальное значение для механики разрушения и ее многочисленных приложений имеет исследование проблемы прочности идеальных структур. Под идеальной структурой понимается строго периодическое расположение атомов в пространстве (идеальная кристаллическая решетка). Уже первые оценки теоретической прочности оказали революционизирующее влияние на развитие физики прочности и механики разрушения. Дальнейший прогресс в этом направлении, по-видим ому, может быть достигнут путем использования с самого начала квантовомеханических представлений. Здесь можно ожидать значительных успехов не только в более глубоком и точном исследовании теоретической прочности уже
известных кристаллических структур, но и в открытии новых структур, обладающих, например, гораздо большей прочностью.
Остановимся вкратце на некоторых из указанных выше вопросов.
Разрушение жидкостей. За верхнюю границу объемной прочности жидкости принимают абсолютную величину максимального отрицательного давления, которое может быть приложено к жидкости. Верхняя граница объемной прочности изменяется в широких пределах для различных жидкостей. Например, при 20 ℃ эта величина для ртути равна 24 500 кс/с* для воды —— 3250 кек/, а для этилового эфи- “ | ра — 600 кс1с届.Эти цифры соответствуют представлению о разрыве или、 распаде жидкости, происходящем |丨\ одновременно во всем объеме. Одна- I | \ ко механизм разрушения жидкостейI ।
гораздо сложнее. Разрыв жидкостиI
начинается всегда с наиболее «слабо- |
го» звена (таковым может быть, на- | | | пример, пузырек газа, содержащийся 修 в объеме жидкости). При растяжении жидкости радиус пузырька и поверх-ис, *
постная энергия жидкости увеличи
ваются, а давление газа в нем падает. Простой расчет показывает, что зависимость приложенного растягивающего напряжения р от радиуса пузырька R имеет вид, изображенный на рис. 3. Таким образом, до тех пор, пока гидростатическое давление не достигнет максимального значения, пузырек газа устойчив. Потеря устойчивости происходит в момент достижения гидростатическим давлением максимума. Механизм разрушения жидкостей аналогичен механизму хрупкого разрушения твердых тел.
Исследование прочности жидкости показало, что она уменьшается с увеличением радиуса пузырька. Следовательно, опасность представляет газовый пузырек наибольшего радиуса из всех имевшихся до начала растяжения. Эти соображения находят эк спер иментал ьные подтверждения в существенном увеличении прочности жидкости при устранении газовых пузырьков путем приложения значительных давлений (Э. Н. Харви, В. Д. Макэлрой и А. Г. Вители, J. Appl. Phys., 18 : 2, 162—176).
Однако существование маленьких пузырьков газа затруднительно из-за растворимости их в окружающей жидкости, в связи с чем цриходится рассматривать пузырьки пара, возникающие в жидкости при благоприятных флуктуациях. Такой пузырек растет, если упругость пара жидкости Ри больше внешнего давления р (сумма гидростатического давления и силы поверхностного натяжения), и уменьшается в противоположном случае. Критический размер пузырька
(12.1)(12.1)2ог =Рп — Р
(12.1)
(12.1)
Таким образом, разрыв жидкости, подверженной давлению рп ——р, произойдет в момент возникновения пузырьков пара радиуса R > Я*.
Экспериментальные проверки показали, что прочность жидкостей оказывается на 5——6 порядков ниже теоретической прочности. Одной из причин такого расхождения является тот факт, что разрыв жидкостей происходит не в объеме, а на границе раздела жидкости и какой-либо
твердой поверхности (взвешенные в жидкости частицы, стенки сосуда и т. д.).
Расчет прочности при разрыве пузырька пара на границе «твердое тело ——жидкость» был выполнен Я. И. Френкелем (1945), который ввел в рассмотрение величину краевого угла (угол смачивания). Как показали расчеты, поверхностная прочность снижается с ростом краевого угла и становится гораздо меньше объемной прочности.
Объемная прочность жидкостей монотонно уменьшается с повышением температуры, обращаясь в нуль вблизи критической температуры, что довольно хорошо оправдывается экспериментально для большинства жидкостей, кроме воды, для которой максимум объемной прочности достигается при 6° С. Сходство механизмов разрыва жидкостей и твердых тел явилось толчком для проведения ряда экспериментов, которые показали, что при достаточно больших скоростях деформации жидкость ведет себя как твердое тело, способное к хрупкому разрушению. /
М. О. Корнфельд и М. М. Рывкин (1939) провели серию оригинальных ошятов на смеси канифоли с трансформаторным маслом, причем желаемая вязкость смеси достигалась варьированием концентрации канифоли. Разрыв струи, вытекающей через дно сосуда, производился при помощи вращающегося копра. Опыты показали, что при малых скоростях наблюдается пластическая (ламинарная) деформация струи, а при скорости удара около 23 м/сек наступает хрупкое разрушение струи, причем явление хрупкого разрушения может наблюдаться при вязкостях порядка 103 пуаз, т. е. в веществах, заведомо считающихся жидкими.
Отметим здесь также интересные особенности неустойчивого течения полимерных систем, приводящего при определенных условиях к хрупкому разрушению.
Эксперименты, проведенные над различными полимерными материалами (растворы и расплавы полимеров, эластомеры, резиновые смеси и т. д.) при выдавливании их из гладких насадок, показали, что поверхность струи в зависимости от расхода может изменяться от легкого помутнения (шероховатость) до полного разрыва струи на отдельные куски неправильной формы. Для описания этого явления в литературе применяют различные термины, стараясь подчеркнуть особенность поведения поверхности струи в данном рассматриваемом случае («акулья кожа», «кожура апельсина», «разрушение» или «дробление» расплава, «эластичная турбулентность» или «неустойчивое течение»). Под разрушением расплава понимают появление резких колебаний потока на входе в капилляр, приводящих к резкой дефектности. Изучение разрушения расплава имеет большое значение, например, для технологии производства изделий из полимерных материалов, где дефектность струи существенно тормозит производительность таких процессов, как экструзия волокон, листов, кабельной изоляции и т. д.
В экспериментальных исследованиях течение в основном осуществлялось в изотермических условиях при постоянном объемном расходе или перепаде давления, причем определялось напряжение сдвига и скорость сдвига. Момент наступления неустойчивого режима течения соответствовал некоторым критическим значениям скорости и напряжения сдвига.
Г. В. Виноградов, М. Л. Фридман и др. (1962) показали, что существуют две критические точки, первая из которых соответствует началу неустойчивого течения, а вторая — появлению на струе (при более высоких скоростях) крупных периодических дефектов. Широким исследованиям подверглось изучение зависимости этих критических величин от раз-
личных параметров (таких, как температура, относительная длина капилляра, молекулярные характеристики полимера).
В большинстве работ, где изучалось влияние температуры, показано, что критическое значение напряжения сдвига мало изменяется при наступлении неустойчивости течения. В этом случае температурная зависимость критической скорости сдвига определялась энергией активации, вычисленной по наибольшей ньютоновой вязкости (Г. В. Виноградов и А. Я. Малкин, 1965).
Исследование влияния длины капилляра на уловия наступления неустойчив ости показало, что критические значения скорости и напряжения сдвига возрастают с увеличением длины при постоянном давлении, что, по мнению многих авторов, связано с эффектом возмущающего действия входа ).
При построении теоретических схем описанного выше явления было учтено большое число экспериментальных фактов, показывающих, что неустойчивое течение полимеров во многих случаях связано с их эластичностью. Предположение о главной роли высокоэластичности при наступлении неустойчив ости течения было высказано впервые Дж. П. Тор де л л ой (Trans. Soc. Rheol., 1957, v. 1, p. 203—212) и Э. Б. Бегли (Trans. Soc. Rheol., 1961, v. 5, р. 355-368).
Г. В. Виноградов, А. И. Леонов и А. Я. Малкин (1963), не рассматривая детальный механизм неустойчивости, предложили в качестве условия наступления неустойчив ости достижение определенного соотношения между силами упругости и вязкости в потоке. Для системы с одним временем релаксации этот критерий представляет собой произведение характерного времени релаксации на скорость сдвига, причем в простейшем случае он равен критическому значению упругой деформаций. Экспериментальные исследования, проведенные для различных полимерных систем, показали, что наступление неустойчивости удовлетворительно описывается этим критерием. Таким образом, высокоэластичная деформация, накопленная в потоке, определяет критические условия течения.
В последнее время в работах В. А. Городцова, А. В. Каракина, А. И. Леонова и С. А. Регирера сделаны попытки получить решение проблемы устойчивости течения упруго-вязких сред и получения решения отдельных частных задач.
Отметим, что при определенных условиях была замечена некоторая аналогия между явлением разрушения хрупких тел и наступлением неустойчив ости течения.
Дж. Ф. Хаттон (Nature, 1963, 200 : 4907, 646—648; Proc. Roy. Soc. London, 1965, A287 : 1409, 222—239) предложил критерий наступления неустойчивости течения, аналогичный критерию Грифита при образовании трещин в упругой среде. Однако Э. Б. Бегли с соавторами (Nature, 1964, 203 : 4941, 175—176) подверг критике это положение, так как критерий Грифита не учитывает диссипацию энергии при необратимых деформациях, играющую существенную роль для упруго-вязких сред.
Влияние остаточных напряжений и скорости нагружения на прочность твердых тел ). Как известно, остаточные напряжения > существуют в телах независимо от внешних воздействий (силовых и температурных) и возникают вследствие не одн ор одн ости линейных или объемных деформаций в смежных объемах материала. В соответствии- с размерами последних различают макро-, микро- и ультрамикроскопиче- ские напряжения (напряжения первого, второго и третьего рода). Первые научные исследования по остаточным напряжениям принадлежат X. Родману (1857 г.), И. А. Умнову (1871 г.) и Н. В. Каликутскому (1887 г.), которые впервые предложили метод измерения внутренних напряжений. Однако эти работы долгое время оставались незамеченными, и только с двадцатых годов нашего века было обращено серьезное внимание на изучение вопросов, связанных с внутренними напряжениями.
Единой классификации внутренних напряжений, по-видимому, не существует. Наиболее полная и точная классификация была предложена Н. Н. Давиденковым (1936) и уточнена Б. М. Ровийским (1948, 1949). Вопросу «классификации и номенклатуры внутренних напряжений» был посвящен доклад Э. Орована на симпозиуме по внутренним напряжениям в металлах и сплавах (Лондон, 1948), в котором определение внутренних напряжений отвечало понятию «внутреннего напряжения», введенному еще Н. В. Калакутским. Не касаясь анализа этих вопросов, можно условно разделить остаточные напряжения на макронапряжения и микронапряжения в зависимости от скорости изменения напряжений по пространственной координате. Макронапряжения — это такие напряжения материала, которые несущественно изменяются в пределах размера зерна.
В дальнейшем здесь будут затронуты некоторые вопросы, связанные с влиянием остаточных напряжений на прочность и деформации деталей, учитывая действие макроскопических напряжений.
Необходимым условием возникновения внутренних напряжений является появление неоднородности деформированного состояния в различных точках тела (нарушение условия совместности деформаций). Эта неоднородность может быть вызвана самыми различными причинами: неоднородным тепловым расширением или сжатием при неравномерном нагреве или охлаждении тела, фазовыми превращениями, приводящими к неоднородным объемным изменениям (закалка, затвердевание, охлаждение после сварки и т. д.), неоднородной пластической деформацией и т. д.
Сложность изучения закономерностей появления остаточных напряжений связана с необходимостью учета механических, тепловых и физикохимических факторов, влияющих на ход технологического процесса.
Вопрос об определении остаточных напряжений, возникающих в ходе мета ллур гиче ск ого и технологического процессов, очень сложен, так как для его решения требуются теоретические исследования происходящих при этом физико-химических процессов. Перспективные исследования в этом направлении были начаты Я. С. Подстригачом (1964 и сл.). Эксплуа-
тационные остаточные напряжения, вообще говоря, могут быть вычислены в рамках соответствующих механических моделей сплошной среды с необратимой реакцией.
Рассмотрим влияние остаточных напряжений на прочность при статических и переменных нагрузках. Многочисленные экспериментальные данные указывают на сильное влияние остаточных напряжений на надежность и долговечность конструкций и сооружений. Разрушение последних (зачастую в начале эксплуатации) при достаточно низком уровне действующих напряжений иногда объясняется неблагоприятным распределением остаточных напряжений. Как показывают опыты, для пластичных материалов остаточные напряжения мало влияют на величину разрушающего усилия, а пластическая деформация, возникающая от однократных внешних нагрузок, приводит к уменьшению или даже полному исчезновению остаточных напряжений.
Исследование влияния остаточных напряжений на статическую прочность хрупких материалов показало, что величина разрушающей нагрузки обычно ниже значения этой же нагрузки при отсутствии остаточных напряжений. Возникающие перед разрушением малые пластические деформации не устраняют остаточные напряжения, и при склонности материала к хрупкому разрушению влияние остаточных напряжений может оказаться весьма значительным.
Для уменьшения остаточных напряжений и снижения их вредного влияния на хрупкую прочность обычно применяют специальную термообработку деталей.
Часто в процессе эксплуатации различные детали подвергаются действию переменных напряжений. Тогда в общем случае выражение для напряжений, изменяющихся по асимптотическому циклу, имеет постоянную и переменную составляющие:
о = <Лп + о" (”， (12.2) где / (т) — периодическая функция безразмерного времени (—1 & / (t) & W 1), av ——переменное напряжение, am ——постоянное напряжение.
Как известно, остаточные напряжения могут изменяться под воздействием циклических нагрузок. Если сумма остаточных напряжений с переменными больше предела упругости материала, то при циклическом нагружении возникают пластические деформации, уменьшающие остаточные напряжения. Более того, в том случае, когда пластическая деформация, обусловленная переменными напряжениями, превышает величину первоначальных остаточных напряжений, может наблюдаться изменение знака остаточных напряжений (Л. А. Гликман, 1956).
В том случае, когда суммарные напряжения (остаточные и переменные) меньше предела упругости материала, остаточные напряжения мало изменяются при действии переменных нагрузок.
Как показали экспериментальные исследования, если происходит снижение остаточных напряжений, то это имеет место в поверхностных слоях, более слабых по своей физической природе. В этом случае для сохранения остаточных напряжений применяют наклеп поверхностных слоев и обдувку дробью, приводящие к возникновению сжимающих остаточных напряжений и повышению усталостной прочности деталей (С. В. Серенсен, 1950; И. В. Кудрявцев, 1951; М. М. Кобрин, 1954; М. М. Северин, 1955). Таким образом, сжимающие остаточные напряжения повышают усталостную прочность, в то время как растягивающие действуют неблагоприятно. Увеличение усталостной прочности при значительных
остаточных напряжениях в большей степени проявляется для менее пластичных материалов и при концентрации напряжений.
Явление остаточных деформаций при термических циклах подверглось изучению в работах А. А. Бочвара и др. (1957), А. А. Бочвара и Г. И. Томсона (1957), Н. Н. Давиденкова и В. А. Лихачева (I960).
Исследованием влияния остаточных напряжений на процесс разрушения занимались В. А. Ломакин, Я. С. Подстригая, С. Ф. Юрьев (механические исследования по определению величин остаточных напряжений в связи с объемными изменениями), С. П. Борисов, Н. А. Бородин (вопросы релаксации остаточных напряжений), В. П. Когаев, М. Н. Степнов (количественные закономерности повышения и понижения несущей способности в связи с полями напряжений, температурно-временным фактором) и многие другие.
При расчетах на прочность в некоторых случаях необходим учет скорости нагружения, так как в реальных условиях процессы деформирования происходят с самыми различными скоростями, от крайне малых (например, в условиях длительной ползучести) до весьма высоких скоростей (например, в тех случаях, когда процессы пластической деформации и разрушения заканчиваются в ничтожные доли секунды). Осн овну н> массу работ в этом направлении составляют экспериментальные исследования, связанные с определением механических свойств динамически деформируемых материалов. Наиболее полный обзор проведенных в этом направлении исследований можно найти у Л. П. Орленко (1964), а также в книге П. М. Огибалова и И. А. Кийко (1966), где приведены сведения относительно поведения материалов при сверхинтенсивных воздействиях.
Статические и динамические характеристики армко-железа и различных сталей при ударном и скоростном нагружении приведены в монографии Ю. Я. Волошенко-Климовицкого (1965).
Влияние скорости нагружения, в общем, сводится к тому, что с увеличением скорости нагружения относительная роль пластических эффектов уменьшается и разрушение становится более хрупким.
Лучше всего исследовано влияние скорости нагружения для углеродистых сталей. При этом вводятся два предела текучести (верхний и нижний) и оказывается, что наиболее чувствителен к изменению скорости нагружения верхний предел. Чтобы иметь представление о величине этого эффекта, заметим, что при увеличении скорости нагружения на порядок верхний предел текучести углеродистых сталей увеличивается примерно на 4 左？/屈屈2 Таким образом, при увеличении скорости нагружения на пять порядков, что примерно соответствует переходу от статического к ударному нагружению, верхний предел текучести возрастает на 20 кг/мм2. Ясно, что для мягких (мал оугл ер одистых) сталей этот эффект весьма существен, а для высокопрочных (высокоуглеродистых) сталей им можно пренебречь ).
П. И. Скоков и В. И. Беляев (1966), применив статистическую теорию прочности, исследовали вопрос о повышении сопротивляемости деформированию с увеличением скорости деформации. Авторы показали, что увеличение скорости деформирования приводит к более равномерному распределению напряжений по сечению образца.
При исследовании к он стр укци онных сталей, подвергнутых разным видам термической обработки, Г. И. Погодин-Алексеев и Б. А. Артамонов (1964) провели сравнение диаграмм деформаций, построенных методом деформационных характеристик и путем осциллографирования на ненад- резанных образцах. Продолжая исследования в этом направлении, В. И. Бугай и В. Т. Трощенко (1966), с учетом экспериментальных данных, показали, что рассеяние энергии в условиях у пр у г о-пл а стиче ск ой деформации зависит от степени неоднородности и вида напряженного состояния (например, по данным Ф. С. Савицкого (1964), потери энергии в условиях упруго-пластического удара при изгибе составляют приблизительно 7%, а при ударном растяжении — 5%).
В. Я. Мороз, А. В. Попов и Ю. П. Согришин (1964) изучали влияние скорости деформирования на пластичность различных сталей, а также алюминиевых и других сплавов. Эти материалы авторы подразделили на три группы в зависимости от реакции на повышение скорости деформирования.
Статические и динамические испытания медных образцов, проведенные А. Г. Бобровым, А. И. Николаевой и Е. О. Швайковской (1964), показали, что при динамическом нагружении кристаллическая решетка искажается меньше, чем в случае статического испытания.
В отличие от металлов и большинства естественных материалов, для полимеров характерно более сильное влияние таких факторов, как скорость деформирования, температурные и временные эффекты.
В работе К. А. Керимова (1965) на примере резины и поливинила было показано, что динамические кривые «напряжение ——деформация», близкие к прямым, лежат выше статических, причем в области напряжений, близких к нулю, остаточные деформации от динамических нагрузок могут втрое превышать статические.
Исследование различных пластиков (эпоксиднополиэфирная смола, поливинил-бутираль, стеклотекстолиты) позволило Н. П. Иванову и В. А. Степанову (1965) выявить довольно сильную зависимость ударной прочности от температуры (увеличение скорости удара в 107 раз в условиях повышенных температур приводит к повышению прочности в 3—6 раз, тогда как при температуре ——196° при таком повышении скорости прочность повышается только на 25%).
В работе С. М. Кокошвили и В. П. Тамужа (1966) проведено исследование влияния скорости деформирования на механические свойства образцов из полиформальдегида. Результаты показали, что увеличение скорости деформации приводит к повышению прочности материалов, в то время как податливость практически не меняется, что приводит к увеличению энергии разрушения ).
Разрушение под действием высокочастотных электрического и магнитного полей. В последнее время как в Советском Союзе, так и за рубежом ведутся интенсивные исследования электрофизических методов разрушения различных материалов, что потребовало детального изучения электрофизических и других свойств материалов, подвергающихся воздействию электромагнитных полей и электрических разрядов. Первые исследования в этом направлении относятся к электротермическому разрушению диэлектрических материалов при диэлектрическом нагреве. В сороковых годах Г. И. Бабат, А. В. Варзин и др. на примере горных
пород изучили поведение диэлектрических материалов в электрических полях высокой частоты между плоскими электродами. Было показано, что создающиеся под электродами электрические поля высокой напряженности приводят к диэлектрическому нагреву областей, примыкающих к электродам, и образованию температурных напряжений (для горных пород это приводит к расколу крупных кусков и отколу породы от массива). Эффективность разрушения существенно зависит от правильности согласования параметров колебательного контура генератора со свойствами материла (с нагрузкой). Более того, определенным образом сформированное электрическое поле может обеспечивать раскол материала вдоль заданной линии раскола («направленное высокочастотное разрушение»). Многочисленные эксперименты в этой области проведены на горных породах В. С. Кравченко, А. П. Образцовым, В. М. Семеновым и др. (1961—1963). Направленное высокочастотное разрушение может иметь особое значение, например, в таких вопросах, как диэлектрический нагрев горных пород, содержащих ценные включения, что требует избирательного разрушения пустых пород и сохранения ценных.
Попытки интенсифицировать процесс разрушения по отношению к простому диэлектрическому нагреву привели к открытию явления высокочастотного теплового пробоя и электрического разрушения.
Теория высокочастотного теплового пробоя и электротермического разрушения должна связать физические свойства материалов, подвергающихся дроблению, с параметрами поля, определяющими условия теплового пробоя и разрушения. Попытки построения такой теории для горных пород (железистые кварциты и подобные им породы) были предприняты В. Д. Иц- хакиным, А. П. Образцовым и В. В. Устиновым (1962—1964), но сложность строения и анизотропия горных пород, изменчивость их свойств и сложная зависимость последних от температуры, напряженности поля и частоты для разных образцов обусловили получение только некоторых качественных результатов.
За последнее время в связи с успехами в области электроники больших мощностей, позволившими создать мощные генераторы сверхвысокой частоты, волноводы и излучатели, начались некоторые исследования разрушения материалов радиоволнами сверхвысоких частот (СВЧ). В пятидесятых годах Г. И. Бабат, А. В. Варзин и др. показали, что радиоволна СВЧ (порядка 3000 Мгц). падающая на песчаник, вызывает откол тонких пластинок с его поверхности. При мощности магнетрона 5 кет имеет место импульсивный откол с перерывами в несколько десятков секунд, причем увеличение мощности магнетрона в 3 раза увеличивает производительность разрушения в 6 раз. Глубина и распределение потока электромагнитной энергии в материале зависят от длины электромагнитных волн, способа их подведения и электрофизических свойств материала. При действии электромагнитных волн на расстоянии возможна их фокусировка на некоторой глубине, что может привести к явлению откола материала («радиоволновое взламывание»). Экспериментальное подтверждение этого явления на образце гранита получено В. С. Кравченко, А. П. Образцовым и др. (1965).
Тепловой фактор является причиной разрушения не только в случае воздействия потоком тепла (реактивная горелка или плазматрон), но и в случае разрушения радиоволнами. Однако радиоволновый нагрев происходит во всем объеме, пронизываемом электромагнитным потоком, в то время как при тепловом нагреве тепло распространяется вглубь в основном за счет теплопроводности.
Особое значение для горной науки имеют исследования интергрануляционного превращения, приводящего к ослаблению прочности вплоть до полного разрушения зерен материала или к ослаблению межкристаллических связей, под действием высокочастотных электромагнитных полей, а также эффекта расщепления слюды в высокочастотных электрических полях. Поиски наиболее эффективных методов выдвинули проблемы разрушения горных пород токами промышленной частоты (тепловой пробой, способ электрической дуги и расплавления породы) и импульсными электрическими разрядами, отличающимися динамическим, взрывным характером.
Влияние нейтронного облучения на механические свойства, прочность и разрушение твердых тел ). Многочисленные эксперименты по радиоактивному облучению показали заметные изменения как химических, так и механических свойств материалов, причем эти изменения во многих случаях являются трудно восстановимыми и сохраняются в течение длительного времени. Это обстоятельство потребовало не только выработки технологических мер защиты от вредных воздействий, но и разработки новых методов расчета элементов конструкций и сооружений, испытывающих радиоактивное облучение (атомные реакторы, искусственные спутники, космические корабли и станции).
Основным методом экспериментального исследования радиоактивных облучений, влияющих на прочностные характеристики материала, является определение спектра собственных частот образца и изменения логарифмического декремента затухания. Большое количество экспериментальных данных по р а ди оа ктивн ому облучению показало незначитель- ное изменение модуля упругости, в то время как прочность (и особенно текучесть) чрезвычайно чувствительна к облучению. Общим для метал- лов при облучении является не одн ор одн ост ь упруго-пластических свойств, смещение вверх диаграммы растяжения, тенденция к охрупчиванию и в большинстве случаев уменьшению прочности у пластических масс.
Особый интерес вызывает действие облучения на высокомолекулярные вещества. При умеренных дозах облучения пластмассы (напрммер, полиэтилен) упрочняются, в то время как другие вещества теряют прочность, становясь хрупкими, вплоть до превращения в порошок. Однако при больших дозах облучения почти все пластмассы разрушаются, что на первое место выдвигает проблему упрочнения пластмасс и создания радиационностойких полимеров.
Наиболее полный перечень работ, касающихся изменения свойств материалов под действием радиоактивного облучения, с описанием некоторых физических механизмов этого явления содержится в обзорах ①.Бови (1959) и В. С. Ленского (I960). В обзоре В. С. Ленского предложено обобщение теории малых упруго-пластических деформаций на случай неоднородности среды, обусловленной неравномерностью радиационного облучения.
Облучение вещества потоком нейтронов вызывает ряд сложных структурных изменений и превращений. Первичные эффекты состоят в смещении атомов из узлов решетки, а также в возбуждении атомов и электронов без смещения и в ядерных превращениях; вторичным является эффект ионизации.
Внутренние напряжения могут появиться в теле благодаря различным физическим процессам (например, в результате образования в теле объемного расширения). Вообще говоря, появление в разных точках тела различного объемного расширения приводит к возникновению внутренних напряжений даже при отсутствии внешних нагрузок.
Ю. И. Ремнев (1958, 1959) рассмотрел связь между напряжениями и малыми деформациями в кристаллическом твердом теле при объемном расширении, вызванном облучением тяжелыми частицами, и предложил ряд гипотез, позволяющих определить это расширение. Было рассмотрено нейтронное облучение, так как бомбардирующий нейтрон, проходя через кристаллическую решетку, не взаимодействует с атомами кулоновыми силами и производит наибольшее нарушение. Предполагается, что в результате облучения механические свойства материала (модуль Юнга, предел текучести и т. д.) могут меняться, а изотропия материала не нарушается. А. А. Ильюшин и П. М. Огибалов (I960) предложили методы расчета прочности оболочек толстостенного цилиндра и полого шара. Как и в работах Ю. И. Ремнева, здесь принимается, что падение потока нейтронов пропорционально энергии и толщине слоя, а свойства тела в данной точке зависят от дозы облучения в этой точке.
А. Г. Журавлев (1961, 1962) в работах, связанных с определением напряженного и деформированного состояния легких металлов при облучении, помимо предположения об отсутствии ядерных реакций и выполнения указанных выше двух гипотез, пренебрегал возникающей в теле неоднородностью упругих свойств. Это обусловлено наличием экспериментальных фактов слабого изменения упругих свойств по сравнению с изменением характеристик пластичности и прочности, что позволяет для расчета напряжений и деформаций пользоваться обычными уравнениями теории упругости. .
Разрушение под действием мощного фотоизлучения. Новые аспекты исследования прочности и разрушения твердых тел открываются в связи с применением квантовых генераторов, способных создавать лазерные лучи огромной мощности. Исследования напряженного состояния при прохождении лазерного луча были начаты на прозрачных полимерах (органические стекла). Процесс прохождения лазерного луча сопровождается сложными физическими явлениями и при определенной мощности импульса приводит к разрушению прозрачного материала. К настоящему времени накоплен сравнительно небольшой объем физико-механических исследований этого явления. В связи с этим вопросы выделения основных параметров, влияющих на разрушение, а также выявление закономерностей превращения энергии электромагнитных колебаний в механическое напряжение далеки от своего завершения.
Первой работой в этом направлении было исследование Б. М. Ашки- надзе, В. И. Владимирова, В. А. Лихачева и др. (1966), установивших образование плоских с круглым очертанием трещин, расположенных приблизительно под углом 45° к оси луча. Трещины возникают и на пути отраженного от границы тела лазерного луча, когда последний имеет полное внутреннее отражение. Нужно отметить исключительно большую концентрацию энергии при образовании трещин, сравнимую, вообще говоря, с концентрацией энергии при атомном взрыве. По мнению авторов упомянутой работы, разрушение происходит под действием когерентного гиперзвука, генерируемого лазером. Разрушение материала под углом 45° происходит под действием предельных и поперечных фононов, непосредственно генерируемых световой волной.
В то же время В. В. Волков, В. А. Лихачев и др. (1967), В. А. Лихачев, В. М. Салганов и др. (1968) отмечают, что главным эффектом в этих процессах является тепловыделение. .
В работах Г. И. Баренблатта, Н. Н. Всеволодова, О. Е. Марина и др. (1967, 1968) выдвинуто предположение о том, что в начальный момент разрушения в области канала создаются динамические напряжения в результате нагрева и действия гиперзвука. Возникновение этих напряжений приводит к образованию мельчайших сдвиговых дефектов в плоскостях наибольших касательных напряжений, находящихся под углом в 45° к оси луча. Возникновение этих дефектов сопровождается поглощением световой энергии, приводящим к образованию газовых пузырьков с высоким внутренним давлением и температурой, что предопределяет дальнейшее развитие трещин.
Отметим, что разрушение прозрачных диэлектриков под действием мощного лазерного излучения протекает за времена порядка 10~5——10~8 сек. Разрушение начинается на локальных не од нор одн остях и зависит как от мощности, так и от энергии световой волны.
Некоторые соображения относительно характера разрушения прозрачных полимеров высказаны также в работах Б. М. Ашкинадзе, В. А. Лихачева и др. (1966, 1967), Б. Ф. Пономаренко, В. И. Самойлова и др. (1968).
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелев М. Ю. 219
Абелев Ю. М. 210, 216
Абенова М. 19
Абрамов В. А. 34
Абрамов В. В, 460
Абрамян Б*. Л*.裁 20, 29-31, 36, 39, 40, 189,
202, 386
Авазашвили Д. 3. 25, 28
Авдонин А. С. 341
Авершин С. Г. 449
Агабабян Е. X. 314
Агамирзян Л. С. 104
Агамиров В. А. 352
Агарев В. А. 18
Агафонов А. В. 253、
Адкинс Дж- Э. (Adkins J. Е.) 76
Адушкин В. В. 452
1йнол1еЛ. Я： 232： 235, 236, 238, 250, 252, 261,
263, 264, 293
Айталиев Ш. М. 151
Аккерет Я. (Ackeret J)- 356
Аксельрад Э. Л. 247, 248
Аксентян О. К. 19, 24, 262
Александрин А. Д- 352
Александров А. В. 260, 339, 353
А^ек^ВДРОВ А. П. 395, 401, 402, 408, 423, 424,
Алм^андров А. Я. 22, 23, 35, 40, 245, 327, 340
Александров В. М. 36 37, 383, 385
Александровским С. В. 156—1j9, 1о^—1Ь/, 1
175, 176, 180-183, 186, 187, 189, 190, 194, 198
Александрян Е. А. 29
Александрян Р. А. 190
Алексеев А. С. 293, 297, 337, 340
Алексеев Н. А. 210, 214, 451
Алексеев С. А. 18, 246, 247
Алексеенко В. Д. 224
Аленицын А. Г. 298, 299
Алиев С. К. 217
Алумяэ Н. А. 235, 238, 249, 252, 253, 327, 332,
341, 342
Алферов Н. С. 442
Алфутов Н. А. 235, 340, 341
Альпсрип И- Г. 56
Альтшулер Л. В. 304, 314, 4э6
Амандосов А. А. 318, 322 323
Амбарцумян С. А. 255, 256, 258—.bl), 3//, 3Z«,
339, 340, 356, 357
Амензаде Ю. А. 26—28, 31
Аминов Я. 321е 口、
Андерсон В. 3. (Angerson W. Е-)結3
Андерсон О. JI. (Anderson О. L.) 425
Андреева Л. Е. 247
Андрианкин Э. И- 223,
Андронов А. А. 354
Аннин Б. Д. 112, ИЗ, 150
Антонов А. А. 448
Антонов Е. Е. 30
Анциферов В. С..311
Араманович И. Г. 64, 67
Аргирис 'Дж. (Argyris J.) 339
Аржаных И. С. 7, 8, 353
Аркадьева Ю. О. 35
Артамонов Б. А. 463
Арутюнян Н. X. 27—30, 36, 39, 123, 131, 132, 156, 164, 171, 181—183, 185, 186, 188—191, 193—200, 202, 368, 370, 371, 386
Арутюнян Р. А. 88, 412, 431, 433
Асатурян А. Щ. 29
Асланова М. С. 449
Аснис А. Е. 397
Афанасьев Е.①.365
Афанасьев Н. Н. 403, 406, 407, 411, 447
Ашкинадзе Б. М. 466, 467
Бабакова О. И. 25
Бабат Г. И. 463, 464
Бабенко В. И. 345
Бабешко В. А. 37
Бабицкая С. С. 212, 220
Бабич В. М. 75, 293, 294, 297, 298, 305
Бабич И. Ю. 382
Бабичев М. А. 446, 460
Баблоян А. А. 19, 20, 24, 29—31, 35, 36, 39
Б агдасаров А. Д. 321
Багдасарян А. Б. 225, 452
Багдасарян Г. Е. 255, 256, 356, 357
Багрий В. Я. 166
Багрий Э. Я. 157, 166
Базаренко Н. А. 24, 262
Байда Э. Н. 21
Еаканов С. А. 31
Балабух Л. И. 230, 256, 340
Баландин Ю. Ф. 417—419
Баренблатт Г. И. 38, 70, 304, 308, 313, 379, 380, 384, 386, 387, 389, 390, 426, 429, 467
Баринова Т. Я. 152, 296, 298
Баркан Д. Д. 222
Барская С. Я. 77
Бартенев Г. М. 74, 402, 421, 423—425, 428— 431, 449
Баршевский Б. Н. 212
Басевич А. 3.- 158
Батдорф С. Б. (Batdorf S. В.) 85, 89, 90
Батыр ев А. В. 25
Баум Ф. А. 455, 456
Еахарев В. М. 409
Бахтияров И. А. 26
Бахшиян Ф. А. 30 3, 30 4, 314, 320
Башелейшвили М. О. 12
Бегли Э. Б. (Bagley Е. В.) 459
Безухов Н. И- 328, 337, 339, 415
Бейли Дж. (Bailey J.) 427, 429
Бейлин Е. А. 355
Бектурсунов У. 316
Беленький М. Я. 56
Белзецкий С. И. 215
Беллман Р. (Bellman R.) 360/
Белоносов С. М-. 56, 59, 316, 381
Белопухов Л. К. 455
Белоус А. А. 326
Белубекян М. В. 357
Беляев А. Ф. 453, 455
Беляев В. И- 462
Беляев Н. М. 34, 122, 128, 293, 326, 353, 373, 410
Беляев С. Е. 422
Берг О. Я. 156, 160, 168
Бердзенишвили С. Б. 32,
Бережницкий Л. Т. 70, 379 — 381
Березанцев В. Г. 212, 393
Вилесова Н. С. 127Вилесова Н. С. 127Виноградов Виноградов Виноградов Виноградов ВиноградовВиноградов Виноградов Виноградов Виноградов Виноградов459459460460
Вилесова Н. С. 127
Вилесова Н. С. 127
Виноградов Виноградов Виноградов Виноградов Виноградов
Виноградов Виноградов Виноградов Виноградов Виноградов
459
459
460
460
Березовский А. А. 241
Беркович П. Е. 388, 391
Берлин К. А. 453
Берман М. Э. 30
Берч П. К. 90
Бетехтин В. И. 428
Бидерман В. Л. 21, 27, 74, 304, 308
Билик Ш. М. 448
Био М. A. (Biot М. А.) 71, 218, 219
Биргер И. А. 116, 134, 241, 407, 460
Биркган А. Ю. 234, 340, 357
Бирман С. Е. 56
Бицено К. Б. (Biezeno С. В.) 342
Благовещенский А. С. 293
Бланд Д. Р. (Bland D. R.) 178
Блинков В. В. 158, 162—164, 166, 176
Блох В. И. 8, 10, 18, 26, 31
Боас В. (Boas W.) 82
Бобров А. Г. 463
Бови О. Л. (Dowie О. L.) 382, 386
Бови ①.(Bowie F.) 465
Богачев И. Н. 443—445
Боголюбов Н. Н. 326, 353
Богуславский П. Я. 133, 135, 136
Боднер В. А. 255, 326, 353
Боженко А. С. 28
Бойченко Г. А. 352
Бокий Б. Н. 450
Болога М. К. 444
Болотин В. В. 78, 151, 250, 251, 255—257, 293, 327, 328, 332, 335, 338, 340, 346, 348, 35 0, 351, 354, 355, 358 — 360, 368, 369, 373, 402, 408, 409, 414
Больцман Л. (Boltzmann L.) 122, 130, 150, 174, 426, 427
Большуткин Д. К. 444
Бондаренко Б. А. 24, 27, 293
Бондаренко В. М. 167, 168
Бондарь В. Д. 72, 73, 75
Боресков М. М. 450, 455
Борисов С. П. 462
Боришанский М. С. 156
Боровиков А. В. 299
Бородачев Н. М. 35, 39, 222, 300, 392
Бородачева Ф. Н. 35
Бородин Н. А. 462
Боре С. И. (Bor§ С. I.) 189
Боткин А. И. 209, 211, 214
Бочвар А. А. 462
Бояршинов С. В. 21
Бражник М. И. 456
Брайан Дж. X. (Bryan G. Н.) 335
Братец И. Г. 56
Брачковский Б. 3. 56, 255, 354
Бреславский В. Е. 248
Бреховских Л. М. 296, 298
Бриджмен П. В. (Bridgman Р. W.) 373
Броберг К. Б. (Broberg К. В.) 389
Бродский М. П. 454
Вронский А. П. 150, 202
Броуде Б. М. 328, 338, 339
Брусиловский А. Д. 357
Брызгалин Г. И. 132, 150
Брюкнер Л. Э. 260, 340
Бублик Б. Н. 256
Бубнов И. Г. 326, 337, 338, 340
Бугай В. И. 463
Бугаков И. И. 127, 153
Буглов Е. Г. 409
Буданов Н. А. 156, 179, 189
Будянский Б. (Budiansky В.) 85, 89, 90
Буйвол В. Н. 357
Буйна Е. В. 70, 381
Булаве ①.Я. 151
Булах Г. И. 151
Булгаков В. С. 157
Булдырев В. С. 299, 300, 302
Булычев В. Г. 218
Буравцев А. И. 310
Бурак Я. И. 26
Бурмистров Е.①.259
Бурчуладзе Т. В. 12
Буссинеск Ж. (Boussinesq J.) 6, 9, И, 33
Бухаринов Г. Н. 19, z0, 60
Бухин Б. Л. 74
Быков Д. Л. 152
Быковцев Г. И. 100, 110, 306
Бьеррум Л. (Bjerrum L.) 215
Бюкнер Г. <D. (Buckner Н. F.) 382
Вагапов Р. Д. 365, 402, 404, 405, 407—409, .413
Вагнер О. (Wagner О.) 156, 157, 162, 163
Вайнберг Д. В. 63, 66, 241, 245
Вайнштейн Ф. А. 20, 38
Вакуленко А. А. 88, 95, 96, 124, 127, 393, 412
Валов Г. М. 19, 20, 24, 37, 38
Ван ①о Фы Г. А. 151, 154, 244
Ванг A. (Wang A. J.) 107
Ванторин В. Д. 30
Ванько В. И. 145
Варвак А. П. 346
Варга И. (Varga J.) 444
В арзин А. В. 463, 464
Варшавский Д. П. 133
Василенко Н. В. 76
Васильев И. Г. 228
Васильев П. И. 159, 160, 162, 165-167, 72, 176, 178, 181 — 183, 187, 189, 191, 192
Васильев Ю. И. 298
Васицына Т. Н. 342
Вассерман Н. Н. 407
Вейбулл В. (Weibull W.) 402, 405
Вейлер С. Я. 435
Векслер Н. Д. 253
Векуа И. Н. 29, 44, 55, 263, 267, 275, 276 —
280, 283, 287, 289, 290, 296
Векуа Н. П. 51
Велер A. (Wohler А.) 405
Веллер В. А. 403
Венстрем Е. К. 434, 435, 437
Вервейко Н. Д. 307
Веригин Н. Н. 218
Весли Р. П. (Wesley R. Р.) 416
Вестергард Г. М. (Westergaard Н. М.) 390
Ветчинкин В. П. 27
Викторов И. А. 76, 297
Виленская Т. В. 24
А. И. 18
В. А. 455
В. Н. 448
Г. В. 458,
И. И. 87
Витвицкий П. М. 399
Вители А. Г. (Whiteley А. Н.) 457
Витман ①.Ф. 402, 422, 424, 449, 456,
Вишик М. И. 240
Владимиров В. И. 425, 466
Владимиров Л. А. 456
Владимирский Т. А. 396, 422
Власов В. 3. 228—230, 237, 242, 248, 262, 326,
328, 337
Власов О. Е. 450, 455
Волков А. Н. 248, 263
Волков В. В. 467
Воловик А. Я. 402
Волошенко-Климовицкий Ю. Я. 304, 311, 422, 462
Волчков Ю. М. 148
Вольмир А. С. 148, 234, 253, 327, 328, 333, 337, 340—342, 345, 349, 352, 357—359
Вольтерра В. (Volterra V.) 122, 130—132, 151, 174, 175, 180, 427, 430
Воробьев Л. Н. 74
Ворович И. И. 23, 24, 37, 61, 234, 236; 261, 327, 337, 342, 345, 346, 359, 383
Воронин Ю. А. 296, 297
Воронков В. Е. 411
Воронков Н. И. 162
Воропаев М. В. 405
В оскресенский И. Н. 444
Всеволодов Н. Н. 467
В ул сон Дж. Г. (Woolson J. Н.) 156
Вульфсон С. 3. 150, 152, 173, 176, 183, 191
Вялов С. С. 153, 209, 210, 212, 214, 219
Габрильянц А. Г. 345
Гавра Д. Л. 25
Гавранек В. В. 444
Гаврилов Д. А. 411
Гаврилов Ю. В. 348, 357
Гаев И. С. 442
Гаек Ю. В. 453
Газарян Ю. А. 298, 299
Галеркин Б. Г. 6, 9, И, 17, 21, 25, 28, 60, 117, 136, 228, 235, 236, 256, 3 26
Галилей Г. (Galilei G.) 366
Галимов К. 3. 72—74, 230, 233—235, 327,
332, 333, 337, 342
Галимов Н. К. 235
Галимханов К. Г. 27
Галин Л. А. 27, 34, 35, ь7, 69, 112, ИЗ,
369, 370, 392, 449, 456
Галин М. П. 316, 321
Галфаян П. О. 30
Гальперин М. Я. 402
Гамбаров Г. А. 163
Гарф М. Э. 410
Гастев В. А. 339, 352, 354
“Рахов38]
Гвоздев А. А* 102, 103, 156, 158—160, 169, 172, 173, 183, 187, 301, 392, 431
Гвоздев А. А. 297, 298
Гегелия Т. Г. 12
328,
151,
170,
Гейрингер X. (Geiringer Н.) »1, 104, 107
Гельчинский Б. Я. 293, 295, 297, 298
Геммерлинг А. В. 328, 347
Геммерлинг Г. А.
Гениев Г. Генки Г.
370 Геогджаев Геонджян
90
А. 210, 302, 305, 315
Е' 81, 93, 104, 108,
(Непску
Н.)
111,
Герасимов
В. О. 110
Г. П. 28
А. Н. 122,
Гермелис А. А. 151
131, 149
Герсеванов Н. М. 204, 222, 393
Герц Г. (Hertz Н.) 34
Гершгорин С. А. 228
Герштейн М. С. 253, Гест Дж. (Guest J.) Гиацинтов Е. В. 408
205, 206, 215, 218,
221,
352
82
Гиббс П. (Gibbs Р.) 425'
Гизатулина Г. М. 321
Гилман Дж. Дж. (Gilman J. J.) 441
Гильман Л. С.
Глаголев Н. И.
Гладковский В.
Глазунова Н. Т.
Гленвилл В. Г.
176
31
67
А. 407
19
(Glanville W. Н.) 156,
162,
Гликман Л. А. 40 3, 410, 416, 444, 461
Глушко В. Т. 151
Гнатыкив В. Н. 22
Гнуни В. Ц. 255, 256, 355
Гоголадзе В. Г. 131, 152, 293, 295, 296, 297, 299
Гойхман М. С. 437
Головин А. Ф. 442
Голубев А. С. 299
Голубков В. Н. 222
Голузин Г. М. 60
Голушкевич С. G. 31, 104, 212, 393
Гольденблат И. И. 72—74, 176, 190, 201, 304, 317, 319, 327, 336, 338, 355, 414
Гольденвейзер А. Л. 55, 229, 230, 235, 237—
240, 242, 245, 249, 263,
Гольдин А.
Л. 219
264
Гольдштейн М. Н. 209, 216,
Гольдштейн
с Р. В. 298, 300, Гольцев Д. И. 406, 409 Гонткевич В. С. 249
218—221, 223
388, 390
Гончаренко В. М. 359
Гопак К. Н. 350
Гопкинс Г. Дж. (Hopkins Н.(
Горбунов-Посадов М. И. 35, 215
G.) 109, 301 ,206, 209, 213,
Горгидзе А.
Городцов В.
Горошко Горский Горшков Горюнов Гохбаум Гохберг
О.
В.
А.
Я. 32, 60, 76
А. 459
А. 293
Г. 21
Г. 351, 352
Ю. В. 438, 439
①.A. 21
М. М. 410
Гохфельд Д. А. 115, 411, 412
Гребенкин Г. Г. 382
Грей К. (Gray G. А. М.) 48
Гресько А. П. 381
53,
ГриголюК Э. И. 148, 149, 154, 232, 248, 5。， 260, 261, 327, 337, 340—343, 345, 347 —
349, 352, 356, 357, 368, 414
Григоренко Я. М. 234
Григорьев A. G. 246
Григорьев О. Д. 315
Григорян А. А. 216, 217
Григорян Г. С. 189, 190, 348
Григорян Д. М. 316
Григорян G. С. 210, 214, 224, 225, 314, 370, 393, 452
Гриднев С. А. 26, 28
Грилицкий Д. В. 18, 31, 37, 387
Грин А. П. (Green А. Р.) 106
Грин А. Э. (Green А. Е.) 72, 76, 270
Грин Дж. (Green G.) 71
Гринберг Г. (Grinberg Н. J.) 102
Гринберг Г. А. 19
Гринченко В. Т. 19, 20, 35, 36, 385
Гриффит A. A. (Griffith А. А.) 36, 70, 366, 373*
375, 379, 391, 395, 396, 423
Гришин М. М. 215
Гродский Г. Д. 6
Громов В. Г. 77, 150
Гросс Б. (Gross В.) 175
Гроссман Е. П. 355
Губанов А. И. 428
Губенко В. С. 35, 37
Гузь А. Н. 38, 62, 244, 328, 346, 357
Гулканян Н. О., 27—29, 31
Гуляев А. П. 397
Гупало Ю. П. 393
Гура П. М. 460
Гуревич Г. И. 427
Гуревич Л. Э. 425
Гурьянов Н. Г. 245
Гусейн-заде М. И. 18, 263
Гусенков А. П. 411, 412
Гутман С. Г. 8, 18, 22
Гутман Э. М. 437
Давиденков Н. Н. 373, 384, 395—397, 400, 402
410, 415, 418, 422, 424, 434, 460, 462
Дагдейл Д. С. (Dugdale J. S.) 398, 399
Дак К. М. (Duce С. М.) 163
Далматов Б. И. 221
Данилов В. И. 154
Данилова И. Н. 23, 141
Даниловская В. И. 133, 311, 414, 420
Даревский В. М. 229, 245, 246, 332, 341
Даткаев А. М. 154
Даукнис В. И. 421
Дацишин А. М. 437
Девиль (Deville) 450
Девис Р. Э. (Davis R. Е.) 156, 158
Девис X. Э. (Davis Н. Е.) 156, 158 163
Девис Э. (Davis Е. А.) 87
Деев В. М. 8
Дейвенпорт X. (Davenport Н.) 179
Дейнеко К. G. 338, 350
Демьянов Ю. А. 304, 317
Денисов Н. Я. 216
Деньщикова Г. И. 439
Дербенцев Д. А. 357
Державин Б. П. 3 39
Дерягин Б. В. 221, 433
Детинк о Ф. М. 21
Дехтярев И. Н. 443
Джанелидзе Г. Ю. 6, 30, 32, 33, 255, 262, 326*
327, 336, 350, 353, 354, 355
Джонсон Г. Г. (Johnson Н. Н.) 377, 440
Джрбашян М. М. 31
Дзюба В. Б. 29
Дидух Б. И. 210, 223, 225
Дикович И. Л. 304, 317, 318
Диментберг М. Ф. 257, 359
Динник А. Н. 22, 25, 34, 292, 326, 328, 338#
340, 373, 386
Дишингер ①.(Dischinger F.) 178, 179
Довнорович В. И. 37, 385
Докучаев М. М. 226, 455
Долгов А. В. 152
Долидзе Д. Н. 32
Долинин Н. Н. 150, 151
Домбровский Г. А. 309
Доналдсон Д. К. (Donaldson D. G.) 413
Доннел Л. Г. (Donnell L. Н.) 342
Драгомиров А. М. 396
Драккер Д. Ч. (Drucker D. С.) 84, 88, 102*
137
Дроздовский Б. А. 365, 395—397, 415
Дружинин С. И. 156
Друкованный М. Ф. 453
Друянов Б. А. 104, 110
Ефимов А. Б. 151, 200Ефремов Г. Ф.310Жарков В. Н.23Желтов Ю. П.390, 391Жемочкин Б. Н.206Жигалко Ю. П.245Ефимов А. Б. 151, 200Ефремов Г. Ф.310Жарков В. Н.23Желтов Ю. П.390, 391Жемочкин Б. Н.206Жигалко Ю. П.245Климова Д. Н Клюшников В. 393Климова Д. Н Клюшников В. 393
Ефимов А. Б. 151, 200
Ефремов Г. Ф.
310
Жарков В. Н.
23
Желтов Ю. П.
390, 391
Жемочкин Б. Н
.206
Жигалко Ю. П.
245
Ефимов А. Б. 151, 200
Ефремов Г. Ф.
310
Жарков В. Н.
23
Желтов Ю. П.
390, 391
Жемочкин Б. Н
.206
Жигалко Ю. П.
245
Климова Д. Н Клюшников В. 393
Климова Д. Н Клюшников В. 393
Дубинкин М. В. 253
Дульнев Р. А. 417, 419
Дургарьян С. М. 259
Дуффинг Г. (Duffing G.) 150
Дымков С. С. 19
Дютрон Р. (Dutron R.) 158
Евдокимов П. Д. 215
Еганян В. В. . 56
Егоров А. К. 202
Егоров В. И. 417—419
Егоров К. Е. 35, 37, 206, 210
Екельчик В. С. 152
Енальский В. А. 298
Ентов В. М. 70, 383, 426, 429, 430
Епифанов Г. И. 435
Ержанов Ж. С. 151, 202
Ермаков П. И. 21
Ермолаев Н. Н. 223
Еругин Н. П. 293, 294
Ерхов М. И. 323
Ершов Л. В. 78, 327, 381
Есенин Н. А. 310
Жинжер Н. И. 350, 351
Жуков А. М. 89, 90, 133
Журавлев А. Г. 466
Журков С. Н. 372, 373, 395, 401, 402, 408, 423—
425, 427, 428, 430, 431, 433
Заварский В. Ю. 298, 299
Загубиненко П. А. 67, 341, 379, 384, 388
Задоян М. А. 110, 189—191, 202
Зайцев Л. П. 298, 300
Зак Р. A. (Sack R. А.) 385, 388
Залесский В. И. 416
Замышляев Б. В. 352
Зарецкий Ю. К. 153, 189, 219
Захаревич А. Ф. 23
Зверев И. Н. 313, 315
Зверьков Б. В. 133, 432
Зволинский Н. В. 27, 31, 32, 72, 75, 76, 223, 224, 229, 292, 293, 295—297, 310, 337, 340, 341, 451, 452
Зегжда С. А. 309
Зеленский В. Б. 151
Зенер К. (Zener С.) 396
Зенова Е. Ф. 242
Зерна В. (Zerna W.) 270
Зигель Ф. С. 243
Зилова Т. К. 365, 397, 400
Зипалова В. Ф. 234, 342, 345
Златин Н. А. 424, 456
Зобачев Ю. Е. 444
Зоммерфельд A. (Sommerfeld А.) 384
Зорий Л. М. 350
Зубов В. И. 328, 329
Зубчанинов В. Г. 347
Зуев Ю. С. 402, 430, 431
Зыкин П. Г. 148, 349
Иванов А. В. 340
Иванов А. И. 417
Иванов Г. В. 144, 146 — 148, 319, 347, 349
Иванов Н. П. 463
Иванов П. Л. 223
Иванова В. С. 397, 413
Иванова Г. М. 133
Иванова Р. Я. 151
Иващенко И. Н. 210, 214, 217
Ивлев Д. Д. 73, 78, 86, 94, 99—101, 105, 108—
ИО, 308, 330, 372, 378, 383, 395
Измайлова Л. К. 449
Ильгамов М. А. 253
Ильин Л. А. 234
Ильминский В. Я. 247
Ильюшин А. А. 81, 91, 93, 94, 101, 105, 116, 117, 123, 127, 134, 152, 153, 301, 303, 314, .327, 347, 356, 367, 370, 371, 373, 392, 393, 410, 414, 466
Именитов Л. Б. 245
Именитова Ж. М. 294
Инглис Ч. Э. (Inglis Ch. Е.) 379
Инденбом В. Л. 121
Ионов В. Н. 20, 23
Иоселевич В. А. 210, 214, 215, 220, 314
Иоффе А. Ф. 373, 395, 396, 422. 433
Иоффе Э. Г. (Yoffe Е. Н.) 389
Ирвин Дж. Р. (Irwin G. R.) 70, 373, 375, 396, 398, 414
Исакович М. А. 295
Исмаилов М. У. 26
Исон Дж. (Eason G.) 109
Ицхакин В. Д. 464
Ишков П. К. 296
Ишкова А. Г. 35, 40
Ишлинский А. Ю. 78, Ь8, 109, 122, 131, 149, 172, 223, 303, 313, 328, 346, 351, 352, 393, 451
Кабанов В. В. 343, 349
Кабулов В. К. 304, 317
Кадашевич Ю. И. 88, 352, 412
Казинчи Г. (Kazinczy G. V.) 103
Какосимиди Н. Ф. 199, 202
Калакутский Н. В. 460
Каландия А. И. 5, 44, 57, 58, 66, 67
Калиновская Н. А. 434
Каль X. (Kahl Н.) 210
Каменцев В . Н. 90
Каминский А. А. 382, 391, 429, 430
Кан С. Н. 341
Кананян А. С. 213
Канторович 3. Б. 415
Канторович И. Е. 460
Канторович Л. В. 17, 26, 27
Капанян Л. К. 26, 28
Капица П. Л. 434
Каптелин Ю. П. 133
Каракин А. В. 459
Карапетян К. С. 156—159, 161—164, 176, 183, 184, 191
Каргин В. А. 423, 427, 429
Карман Т. (Kdrmdn Th.) 81, 229, 264, 304, 340, 342
Кармишин А. В. 340
Карпенко Г. В. 403, 410, 435—437
Карпенко Л. Н. 365
Карпов А. П. 27
Карцивадзе И. Н. 58, 59
Катин Н. И. 159, 161, 162, 166, 183, 191
Катлер И. Б. (Cutler I. В.) 425
Кауфман Р Н. 22
Кац Ш. Н. 133, 432
Качанов Л. М. 70, 88, 101, 105, 117, 122, 124 — 126, 129, 134, 136, 138, 139, 143, 149, 170, 179, 198, 326, 347, 370, 373, 392, 426, 430, 432
Квинни X. (Quinney Н.) 83, 87
Квитка А. Л. 21
Кейлис-Борок В. И. 293, 296, 298
Келдыш М. В. 7, 355, 379, 387
Келладайн Ч. Р. (Galladine Ch. R.) 137
Кемпбелл Дж. (Campbell J.) 311
Кеппен И. В. 246
Керимов К. А. 463
Кизыма Я. М. 37
Кийко И. А. 462, 465
Кийсс И. И. 202
Кикукава М. (Kikukawa М.) 48
Килль И. Д. 18
Кильдибеков И. Г. 352, 359
Кильчевский Н. А. 35, 40, 74, 229, 241, 252, 253, 261, 263—265, 327, 332, 341
Киносита Н. (Kinoshita N.) 15
Киреева Г. Б. 78
Кирин Е. Я. 29
Кирхгоф Г. (Kirchhoff G.) 71
Кит Г. С. 27, 392
Китайгородский А. И. 429
Китовер К. А. 26
Кишкин С. Т. 438
294
Д. 89, 91, 92, 327, 347, 370,
Кляуз Л. П. 357
Кобеко П. П. 423, 424, 427
Кобрин М. М. 461
Коваленко А. Д. 234, 414
Коваленко К. Р. 354
Ковчик С. Е. 383, 398
Ковшов А. Н. 300, 301
Когаев В. П. 365, 402—405, 408—410, 462
Коган Б. И. 20, 36, 38
Коган Я. Л. 220
Кожевников В. И. 341
Козлов Л. А. 403, 409, 415
Козырев С. П. 445
Койтер В. Т. (Koiter W. Т.) 84, 85, 90, 99, 103,
370, 380
Койфман Ю. И. 77
Кокошвили С. М. 463
Кокс А. Д. (Сох A. D.) 109
Колос А. В. 263
Колосов Г. В. 25, 40, 56, 379
Колтунов М. А. 150—152, 154, 235, 327, 340,
342, 349
Кольченко А. Й. 448
Коминар В. А. 154
Комиссарова Г. Л. 313
Компанеец А. С. 223, 452
Коненков Ю. К. 252
Кононенко Е. С. 24
Кононов Ю. И. 159, 182
Коноплев Ю. Г. 246
Консидер A. (ConsidOre А.) 156
Константинов Б. П. 423
Константинов В. А. 265, 444
Конторова Т. А. 402, 428
Конторович М. И. 36, 385
Копасенко В. В. 37
Копейкин Ю. Д. 339
Копзон Г. И. 255
Кордонский X. Б. 409, 410
Норенев Б. Г. 35, 39, 40, 228
Коркин А. Н. 293
Корнев В. М. 337
Корнеев Д. М. 416
Корнишин М. С. 234, 342
Корноухов Н. В. 326, 328, 337, 339
Корнфельд М. О. 423, 458
Коробов А. П. 326, 339
Коровкин А. П. 157
Коровский Ш. Я. 436
Королев В. И. 248, 327, 342
Короткий В. Г. 17, 206, 218
Корсак Н. Г. 182
Корявов В. П. 223, 225, 393, 452
Космодамиамский А. С. 21, 28, 30, 33, 38,
61
Коссера Ф. (Gosserat F.) 368
Коссера Э. (Gosserat Е.) 368
Костандян Б. А. 31
Костров Б. В. 299—301, 389, 390, 399
Костюк А. Г. 135, 413
Костюк Э. Н. 40
Косычин Р. С. 387
Котикян Р. А. 163
Котляр С. М. 37
Котляревский В- А. 313
Котов П. И. 417—419
Коузов Д. Н. 299
Коффин Л. Ф. (Coffin L. F.) 416, 418
Кочетков А. М. 321
Кочетов А. И- 408
Кочин Н. Е. 353, 379, 384
Кошелев А. И. 116
Кошелев П. Ф. 224, 422
Коши О. (Cauchy A. L.) 71
Кравцова Т. С. 298
Кравченко Б. А. 46и
Кравченко В. С. 464
Кравчук Л. В. 419, 421
Крагельский И. В. 447, 448
Красовский Н. Н. 329
Крауклис П. В. 296, 297
Крейн М. Г. 193, 195, 198, 354
Крестин Г. С. 391
Кречмер В. В. 215
Кривошеева С. Г. 350
Крисальный В. И. 202
Кролевец М. С. 34
Кролевецкий А. Д. 408
Круг Е. М. 18
Крупников К. К. 456
Крутков Ю. А. 10, И
Крутов В. И. 217
Круш И. И. 150, 152, 154
Крыжановский А. Л. 209, 210, 212, 214
Крылов А. Н. 292, 326, 35 3
Крылов В. В. 72, 77
Крылова А. Р. 416
Крянин И. Р. 444
Кубенко В. Д. 253,
Кублинь И. Я. 163
Кувшинский Е. В. 423, 424, 427
Кудрявцев Е. П. 255, 357
Кудрявцев И. В. 403, 410, 436, 460, 461
Кузин П. А. 322, 323
КузнецовА.И.110,200, 201
КузнецовА.Н.156
КузнецовА.П.146,148, 154
КузнецовВ.Д.384,446
Кузнецов В. М. 225, 381, 451, 455
Кузнецов В. Н. 417
Кузьмин Р. О. 25
Кузьмин Ю. Н. 37, 38, 385
Кук Дж. (Cook J.) 82
Кук Дж. К. (Cooke J. С.) 35
Куксенко В. С. 428
Кукуджанов В. Н. 152, 312, 314
Кулаченок Б. Б. 217
Кулон Ш. (Coulomb Ch.) 211, 215, 366
Купрадзе В. Д. 12, 14, 15, 17, 293, 294, 297— 299
Курдин Н. С. 58
Курдюмов А. А. 339
Курдюмов В. И. 213
Куриат Р. Н. 419
Куров И. Е. 432
Куршин Л. М. 146, 148, 149, 260, 327, 340»
342, 349, 352
Кусков А. М. 299
Кутателадзе Г. А. 29
Кутилин Д. И. 72, 74
Куфарев П. П. 25, 56
Кучерявый Ф. И. 453
Кшнякин Р. И. 341
Лаврентьев М. А. 7, 225, 303, 327, 351, 352, 355, 379, 450, 451, 455, 456
Лагунцев И. Н. 133
Лазуркин Ю. С. 423, 424, 429
Лайтхйлл Дж. (Lighthill М. J.) 356
Ламб Г. (Lamb Н.) 295
Ламе Г. (Lam6 G.) 372
Лампер Р. Е. 356, 357
Лапидус Л. С. 202
Ларионов А. К. 216
Ларионов В. В. 413
Латишенко В. А. 151
Лауричелла Дж. (Lauricella G.) 17
Лащеников Б. Я. 339
Лебедев И. К. 448
Лебедев Н. Н. 23, 35, 36, 38, 383, 385
Лебедев Н. Ф. 308
Лебедева Н. К. 342
Леви М. (L6vy М.) 80, 392
Леви Ф. (Levi F.) 171—173
Левин М. Л. 297
Левин О. А. 413
Левитин Л. Б. 296
Левшин В. А. 23
Легеня И. Д. 78
Лежов С. А. 313
Лейбензон Л. С. 17, 26, 27, 30, 77, 228, 235>
337, 341, 346
Лексовский А. М. 428, 431
Ленский В. С. 94, 95, 301, 304, 309, 313, 370, 451, 465
Леонардо да Винчи (Leonardo da Vinci 366
Леонов А. И. 459
Леонов М. Я. 26, 27, 34, 35, 70, 338, 350, 384—
398, 399, 430
Леонтович М. А. 354
Лепик Ю. Р. 110, 327, 347
Лепин Г. Ф. 129
Лермит Р. (L'Hermite R.) 156, 159, 162, 163» 167, 168
Лехницкий С. Г. 18, 22, 29, 31—33, 43, 44, 56»
67—69, 258, 327, 340, 379, 387
Ди Гуан-цзун 165
Ли Э. Г. (Lee Е. Н.) 178, 301
Лианис Дж. (Lianis G.) 106
Либацкий Л. Л. 383
Ливанов К. Е. 357
Ливанов К. К. 256
Лившиц Л. С. 460
Лившиц П. 3. 20, 31
Лидерман Г. (Leaderman Н.) 177, 178
Липовцев Ю. В. 148, 149, 327, 349
Липпман X. (Lippmann Н.) 109
Лисунов А. Д. 357
Литвинов Г. В. 309
Лифшиц И. М. 299
Лихачев В. А. 20, 418, 462, 466, 467
Лихачев Ю. И. 397
Лихтман В. И. 424, 434, 435, 437—440
Лоде В. (Lode W.) 82
Лозовой Б. Л. 70, 380, 388
Локощенко А. М. 154
Ломизе Г. М. 209, Лоповок Б. Н. 26210,212—214, 216, 217Лоренц Р. (LorenzЛохин В. В. 74R.)341Лужин О. В. 328,Лукашев Л. Г. 399337,339Лунц Я. Б. 304, 314Ломизе Г. М. 209, Лоповок Б. Н. 26210,212—214, 216, 217Лоренц Р. (LorenzЛохин В. В. 74R.)341Лужин О. В. 328,Лукашев Л. Г. 399337,339Лунц Я. Б. 304, 314Локшин А. Ш. 25, 30, 31, 340Ломакин В. А. 368, 462Локшин А. Ш. 25, 30, 31, 340Ломакин В. А. 368, 462Лурье А. И. 5, 8, 9, 18, 19, 21, 22, 27, 32—34, 44, 56, 58, 78, 229, 230, 233, 242, 243, 262, 308, 340, 346, 379
Ломизе Г. М. 209, Лоповок Б. Н. 26
210,
212—214, 216, 217
Лоренц Р. (Lorenz
Лохин В. В. 74
R.)
341
Лужин О. В. 328,
Лукашев Л. Г. 399
337,
339
Лунц Я. Б. 304, 314
Ломизе Г. М. 209, Лоповок Б. Н. 26
210,
212—214, 216, 217
Лоренц Р. (Lorenz
Лохин В. В. 74
R.)
341
Лужин О. В. 328,
Лукашев Л. Г. 399
337,
339
Лунц Я. Б. 304, 314
Локшин А. Ш. 25, 30, 31, 340
Ломакин В. А. 368, 462
Локшин А. Ш. 25, 30, 31, 340
Ломакин В. А. 368, 462
Лускин А. Я. 222
Луцышин Р. М. 387
Лысков В. Н. 25
Львовский М. Я. 416
Любимова Т. Ю. 435
Люблинер Дж. (Lubliner J.) 156
Люстерник Л. А. 240
Ляв О. (Love А. Е. Н.) 8, 230
Ляпунов А. М. 29 3, 328, 329
Ляхов Г. М. 223—225, 310, 451, 452, 455
Магнарадзе Л. Г. 50
Мазалов В. Н. 138
Мазинг Г. (Masing G.) 93, 411
Мазон В. (Mason W.) 82
Макаров Б. П. 347, 352, 356—360
Макгенри Д. (McHenry D.) 180
Маккомб Г. Д. (McComb Н. G.) 147
Максвелл Дж. (Maxwell J.) 122
Макушин В. М. 354
Макэлрой В. Д. (McElroy W. D.) 457
Малверн Л. (Malvern L.) 303
Малиев А. С. 228
Малинин Н. И. 150, 152, 154, 156, 17 5, 177
Малинин Н. Н. 119, 122, 128, 135, 136
Малкин А. Я. 459，
Малкина Р. Л. 242, 248
Малмейстер А. К. 90, 123, 153, 156, 160, 167, 168, 173, 178, 371, 423, 429, 431，
Малышев Б. М. 292, 398
Малышев М. В. 212, 213, 311
Малюжинец Г. Д. 299, 300
Мамедов И. С. 246
Мандель Ж. (Mandel J.) 107
Манджавидзе Г. Ф. 5
Мансон С. (Manson S. S.) 418
Манукян А. X. 30
Манукян М. М. 171,189—191, 195, 199,
202
Маргерр К. (Marguerre К.) 342
Марготьев А. Н. 294
Марин Н. И. 411
Марин О. Е. 467
Марков А. А. 102, 392
Марков А. Н. 354
Маркочев В. М. 397, 398, 413
Маркузон И. А. 38, 56, 70, 379, 383, 384,
386
Мартыненко М. Д. 19
Мартынюк П. А. 381
Мархосев Г. С. 294
Марченко Л. Н. 453, 455
Марчук Г. И. 294
Маслов Г. Н. 17, 123, 164, 181, 189
Маслов Н. Н. 206, 218—220, 223
Массо Ж. (Massau J.) 104
Матвеева В. П. 151
Матевосян Р. Р. 328, 338, 339
Матчинский М. 390
Маховер Е. В. 110
Маховиков В. И. 25
Махортых Ж. К. 251
Махутов Н. А. 365, 395, 402, 412, 413
Мачерет А. Я. 206, 218
Мачинский М. В. 453
Медекша Г. Г. 412
Мелан Э. (Melan Е.) 103, 114, 115
Мелконян А. П. 24
Мельник Р. А. 159, 161, 191
Мельников В. В. 224, 225
Мельников Н. В. 453
Мельникова Л. М. 357
Меркулов В. И. 256
Месчян С. Р. 219, 220
Мецика М. С. 384
Мецугов В. X. 32
Мешков А. И. 24
Мешков С. И. 152
Мещеряков В. В. 328
Мизес Р. (Mises R.) 81, 82, 1(6, 109, 370
Мизюмский В. А. 219
Микаелян В. В. 30Микаелян В. В. 30Микеладзе М. Ш. 110
Микаелян В. В. 30
Микаелян В. В. 30
Микишев Г. Н. 327, 357
Милейко С. Т. 130, 426
Милейковская К. М. 158
Минасян Р. С. 30, 32, 76
Миндлин Р. Д. (Mindlin R. D.) 368
Миндлин Я. А. 297, 298
Минц Р. И. 443—445
Минцберг Б. Л. 17, 59
Минцковский М. Ш. 213
Миняев П. А. 205
Миркин В. Л. 426
Мирошниченко Е. П. 20
Миртов К. Д. 122, 413
Мительман Л. М. 27
Митрохин Михайлов Михайлов Михайлов МихайловМитрохин Михайлов Михайлов Михайлов МихайловН. М. 87
Митрохин Михайлов Михайлов Михайлов Михайлов
Митрохин Михайлов Михайлов Михайлов Михайлов
А. М. 390
В. В. 345
Г. К. 218,
Л. В. 28
451451Михлин С. Г. 14, 17, 50, 60, 61, 6“ 68, 295, 382, 392
451
451
Мичелл Дж. Г. (Michell J. Н.) 32
Мишенков Г. В. 355，
293,293,Мовсисян Л. А. 258
293,
293,
Мовчан А. А. 255, 327—330, 335, 356
Можаровский Н. С. 413, 418, 419
Моизил Г. (Moisil G.) 9
Моисеев А. Д. 443
Молотков И. А. 297, 298, 300
Молотков Л. А. 294, 296
Монасевич А. Д. 460
Мор О. (Mohr О.) 203, 211, 366, 392
Мороз В. Я. 463
Морозов В. Н. 236
Морозов Е. М. 377, 382, 384, 388, 389
Морозов Н. Ф. 238
Морозова Е. А. 70, 380
Мосинец В. Н. 365, 453, 454
Москаленко В. Н. 250, 346
Москвитин В. В. 93, 153, 411, 412
Моссаковский В. И. 34—36, 40, 67, 379, 384, 388, 391
Мотт Н. Ф. (Mott N. F.) 388
Мочалов С. Д. 308
Мощанский Н. А. 158
Мура Т. (Mura Т.) 15
Мурнаган Ф. Д. (Murnaghan F. D.) 71, 76
Муровкин О. Н. 448
Мус X. (Muhs Н.) 210
Мустафаев А. А. 217
Мустафаев Т. Г. 143
Мусхелишвили Н. И. 22, 25, 29, 40——42, 45, 46, 48, 49, 51, 53, 56—59, 67, 243, 267, 277, 369, 379, 381, 382, 386, 388, 391
Мухина И. В. 298
Муштари X. М. 25, 229, 230, 234, 235, 2 37, 238, 258—260, 326—328, 332, 335, 337> 341, 342, 345
Мякушев А. М. 357
Мяннил А. И. 252
Мяснянкин Ю. М. 100
Надаи A. (NMdMi А.) 81, 93, 107, 112, 370
Надеева Р. И. 309
Найман М. И. 26, 57
Наймарк Б. М. 293
Наймарк М. А. 296
Наместников В. С. 126, 127, 132, 133, 178
Нарзуллаев Б. Н. 427, 430
Нарожная<3. В. 224, 300
Нарышкина Е. А. 293, 294, 297
Натанзон В. Я. 61
Наумов К. А. 354
Нахди П. М. (Naghdi Р. М.) 89, 90
Недорезов П. Ф. 18. 23
Невиль А. М. (Neville А. М.) 156
Нейбер Г. (Neuber Н.) 6, 7, 58, 374, 375, 427
Неймарк Ю. И. 222
Немировский Ю. В. 135, 138, 148, 319
Немчинский А. Л. 396
Нерпин С. В. 221
Нестеренко Н. А. 310
Нетребко В. П. 28
Нигул У. К. 18, 246, 250, 259, 260
Никитин Л. В. 312, 314, 322, 399
Никифоров С. Н. 339, 341
Николаев Б. Г. 299.
Николаев В. Л. 162, 163, 182
Николаевский А. И. 463
Николаевский В. Н. 96, 218, 393, 451
Николаенко Н. А. 190, 201, 304, 317, 319
Николаи Б. Л. 350
Николаи Е. Л. 292, 326, 334, 336, 350
Николас Дж. К. (Nickolas G. С.) 76
Никулин 血.В. 248
Нилендер Ю. А. 156
Ничипорович А. А. 206
Новгородов А. Ф. 224
Новичков Ю. Н. 254, 351, 356, 357
Новодворский В. Э. 228
Новожилов В. В. 30, 72—75, 77, 78, 87, 88, 92, 94, 95, 229, 230, 237, 242, 245, 326, 327, 331—333, 346, 352, 367—370, 373, 393, 411—413
Новоторцев В. И. 215
Нудельман Я. Л. 328, 337—33S
Облогина Т- И. 295
Ободовский Б. А. 28
Оболенский Е. П. 26
Образцов А. П. Образцов И. Ф. Обреимов И. В.
Огибалов П.
М.
328, 462, 465, Огурцов К. И.
404
328, 339 384, 430, 21, 153, 466 293—296,
434154,
299
301, 303,
Одинг И. А. 121, 133, 37 3, 404, 426, 436, 442
Одквист Ф. (Odqvist F. К. G.)
Озеров Д. К. 296
Олисов Б. А. 224
Ольшак В. (Olszak W.) 110
406, 407, 83, 129
415,
Ониашвили О. Д. 228, 248, 249, 255, 354
Орленко Л. П. 304, 310, 323, 462
Орлов А. Н. 121, 423, 425
Орован Э. О. (Orowan)E. О.) 70, 373, 396, 414, 460
Осадченко Р. А. 310
Осипов И. О. 299
Основин С. Д. 454
Остроградский
М. В. 292
Павленко А. Л. 316
Павлов Б. М. 316>
Павлов В. А. 396
Павлюк Н. П. 222
Пазюк Е. И. 448
Паллей И. 3. 412
Пальмов В. А. 35, 257
Пальцун Н. В. 38, 385
Панарин Н. Я. 31, 156, 181, 189
Панасюк В. В. 38, 67, 70, 377, 379—382, 384*
386, 388, 398, 430
Панов Д. Ю. 25—27, 32, 72, 75, 76, 247, 327. 342
Пановко Я. Г. 327, 347
Паншин Б. И. 431
Паперник Л. X. 119, 150
Папкович П. Ф. 6, 7, 19, 56, 229, 326, 328,
337, 339, 340
Парис П. К. (Paris Р. С.) 377, 413, 414,
440•
Партон В. 3. 70, 218, 380, 384, 389, 393
Пархомов Г. В. 452
Пархомовский Г. Д. 299
Паршин Л. К. 351
Пасугернак П. Л. 228
Пауков Ю. Н. 444
Пахоменко Л. С. 293, 294
Пашков П. О. 396
Перлин П. И. 23, ИЗ
Перцев А. К. 313, 322, 352
Перцов Н. В. 438, 439
Петрашень Г. И. 252,262, 293—297,
299
Петришин В. И. 18
Петров В. В. 337
Петров Н. Г. 453
Петрова С. Г. 116
Петрова-Денева А. 240
Петровский И. Г. 297, 298
Петропавловский А. А. 337—339
Пештмалджян Д. В. 259
Пивоваров А. М. 26
Пиковский А. А. 326, 328, 329
Пинаджян В. В. 328, 347
Пинегин С. В. 410
Пинес Б. Я. 425, 428
Пинни Э. (Pinney Е.) 452
Пирогов Е. Н. 417, 419
Пирогов И. М. 244
Писаренко Г. С. 367, 369, 373, 406, 414,
Платонов А. А. 417
Плеханова Н. Г. 402
Победря Б. Е. 153
Поверус Л. Ю. 249
Погодин-Алексеев Г. И. 463
Погоняйло Г. Г. 296
Погорелов А. В. 327, 337, 345
Подгорный А. Н. 21
Подильчук Ю. Н. 22, 23
Подстригая Я. С. 392, 404, 460, 462
Подъяпольский Г. С. 295—298
Пожалостин А. И. 76
Покровский Г. И. 226, 453—45 5
Положий Г. Н. 31, 59, 381
Полубаринова-Кочина П. Я. 229, 337
Полумордвинова И. Г. 133
Польшин Д. Е. 210, 215, 218
Полякова Н. И. 224, 225, 310
Поляни М. (Polanyi М.) 82
Полянский О. Ю. 357
Помази Л. П. 340
Пономарев С. Д. 328, 373, 415
Пономаренко Б.①.467
Понселе В. (Poncelet J. V.) 372
Понтрягин Л. С. 359
Понятовский В. В. 263
Попкова О. М. 159, 166
Попов А. В. 463
Попов Б. П. 222
Попов В. Н. 19
Попов Г• Я• 33, 35, 38, 40, 56
Попов Е. П. 328, 339
Попов Н. И. 28
Попов Н. Н. 304, 316—318, 321—323
Попов С. М. 347
Потак Я. М. 396, 422, 437, 438
Прагер В. (Prager W.) 73, 83—85, 88, 99, 102,
104, 107, 115, 301, 303, 370
Прандтль Л. (Prandtl L.) 81, 101, 104, 199, 212*
392, 430
Пределяну М. (Predeleanu М.) 200
Преображенская Н. А. 222
Пресс X. (Press Н.) 207
Приданцев М. В. 416
Присекин В. Л. 253, 337, 352
Приходченко О. Е. 19
Прокопов В. К. 5, 18—20, 28, 30, 262
Прокопович И. Е. 154, 156, 162,. 164, 173, 176, 178, 180—182, 184, 186, 189, 190, 193— 195, 198, 199, 201, 202
Прокофьев И. П. 337
Проктор Г. Э. 27
Протодьяконов М. М. 450, 454
Прусаков А. П. 260, 327, 340
Прусов И. А. 64
Пуанкаре А. (РоШсагё Н.) 336
Пуассон С. Д. (Poisson S. D.) 292
Пузыревский Н. П. 205
Пупырев В. А. 37
Рабинович Б. И. 254, 353, 357
Рабинович В. П. 133
Рабинович И. М. 301, 302, 326, 339, 351, 352, 369, 373
Работнов Ю. Н. 89, 121, 122, 127—133, 136— 138, 140, 142, 144, 146, 149, 150, 152, 160, 170—173, 175—178, 198, 202, 228, 230, 246, 311, 319, 326, 327, 347, 349, 367, 370, 371, 373, 393, 414, 423, 425, 426, 431—433, 462
Радциг М. А. 326, 353
Радчик А. С. 447
Радчик В. С. 447
Разов И. А. 400
Разумеев В. Ф. 255
Ракивненко В. Н. 2&
Раков А. X. 40
Ранкин В. (Rankine W. J.) 203, 211, 212, 372, 405
Раппопорт Р. М. 18, 19
Расторгуев Б. С. 304, 316—318, 321—323
Ратнер А. В. 417
Ратнер С. И. 396, 402, 411
Рахманов П. А. 316
Рахматулин X. А. 210, 214, 223, 224, 292, 301, 303, 304, 308—311, 314, 315, 317, 370, 371, 392, 393, 451
Рвачев В. Л. 35, 36, 40
Ребиндер П. А. 373, 424, 433—435, 437— 439
Регель В. Р. 429, 431
Регирер С. А. 459
Рейнольдс О. (Reynolds О.) 203, 210
Рейсс Э. (Reuss Е.) 82, 84, 370
Рейсснер Э. (Reissner Е.) 270
Рейтман М. И. 101, 292, 302, 307, 323, 463
Ремизова Н. И. 241, 265
Ремнев Ю. И. 466
Решетов Д. Н. 409
Ржаницын А. Р. 122, 145, 149, 150, 160, 172, 173, 175, 178, 201, 307, 318, 327, 328, 339, 347, 348, 369, 373, 431
Ривкинд В. Н. 152
Ривлин Р. С. (Rivlin R. S.) 72
Риз II. М. 31, 32, 72, 75, 76
Робертсон A. (Robertson А.) 82
Робертсон В. Д. (Robertson W. D.) 397
Ровинский Б. М. 460
Рогицкий С. А. 328, 337, 339
Роговина Л. 3. 151
Родионов В. Н. 224—226, 393, 452, 455
Родман X. 460
Роза С. А. 206, 218
Розанов Н. П. 444
Розенберг В. М. 121
Розенблюм В. И. 115, 128, 135—137, 143, 144, 147, 149, 412
Розенцвейг Л. Н. 299
Розенштейн И. М. 397
Розовская Б. А. 26, 31
Розовский М. И. 123, 131, 132, 150—152, 160, 176—178, 191, 195, 198, 201, 202, 370
Ролл Ф. (Roll F.) 170
Романив О. Н. 387
Романов В. В. 437
Ромашов А. Н. 224, 226, 455
Росляков Г. С. 316
Росс А. Д. (Ross A. D.) 182
Ростовцев Н. А. 17, 18, 33, 34, 40, 56
Роули Дж. JRowley J. G.) 89
Рош М. (Ros М.) 82
Рубинштейн А. Л. 216
Рудницкий Н. Я. 210
Руколайне А. Я. 313, 352
Русакова Н. Я. 298
Русинко К. Н. 70, 386, 399
Рухадзе А. К. 29, 32, 76
Руховец А. Н. 35, 39
Рушицкий Я. Я. 151
Рыбакина Q. Г. 413
Рыбка М. Т. 36, 388, 391
Рывкин М. М. 458
Рыков Г. В. 224, 225, 310
Рытов С. М. 297
Рыхлевский Я. (Rychlewski J.) 110
Рябис А. А. 315, 316
Рябченков А. В. 410, 437, 448
Ряямет Р. К. 249
Саакян С. М. 24
Сабодаш П. Ф. 251
Савельев Л. И. 406
Саверин М. М. 410
Савин Г. Н. 36, 38, 55—57, 6 4—66, 68, 77, 123, 151, 154, 243—245, 293, 369, 377, 379, 381, 388, 429
Савинов О. А. 222
Савицкий Ф. С. 463
Саврук М. А. 56, 388
Саврук М. П. 388
Савченко В. Г. 154
Савченко И. А. 222
Сагомонян А. Я. 210, 214, 223, 451, 452
Садовский М. А. 453
Саймондс П. (Symonds Р.) 301
Сакман Дж. Л. (Sackman J. L.) 156
Саламахин Т. М. 226
Салп^ник Р. Л. 70, 383, 388, 389, 426, 429,
Салганов В. М. 467
Самойлов В. И. 467
Сандерс Дж. Л. (Sanders J. L.) 144, 147
Санфирова Т. П. 425
Сапунов В. Т. 388
Саркисов Г. М. 27, 31
Саркисян В. С. 30, 189, 190, 259
Саркисян М. С. 29, 30, 110
Саталкин А. В. 156, 162, 182
Саутвелл Р. (Southwell R. V.) 112, 341
Саченков А. В. 246, 337, 342"
Свекло В. А. 18, 294, 295, 299, 300
Свешников А. Г. 243, 294
Свирский И. В. 234
Святославов В. К. 133
Сдобырев В. П. 133, 432
Северин М. М. 461
Сегаль А. И. 328, 339
Седов Л. И. 72—75, 93, 95, 367, 364, 370, 308, 374, 379, 384, 387, 393
Седракян Л. Г. 408
Сейка М. (Seika М.) 58
Сеймов В. М. 222
Селезов И. Т. 252, 262
Семенов В. М. 464
Семенова И. И. 19
Семчинов К. Н. 78
Сен-Венан A. (Saint-Venant А.) 80, 81, 366, 372,
Серенсен С. В. 367, 373, 395, 402, 403, 405— 415, 417, 418, 461
Сеченко Б. А. 182
Си Г. С. (Sih G. С.) 381
Сигалов Л. О. 300
Симинский К. К. 405
Симонов И. В. 300, 301
Симонян А. М. 191
Синайский Е. С. 150, 152
Синицкий А. К. 73
Синицын А. П. 206, 310, 321
Синицын Е. Н. 340, 348, 352
Синьорини A. (Signorini А.) 71
Синявский А. Л. 241, 245
Сиренко А. Ф. 425, 428
Скальская И. П. 23
Скибицкий А. М. 219, 220
Скляров Н. М. 417
Скобеев А. М. 224, 308, 311, 313, 315
Скоков П. И. 462
Скоморовский Я. Г. 152
Скоробогатов В. И. 444
Скоробогатько А. А. 25
Скрипкин В. А. 307
Скрябин И. Е. 179
Скудра А. М. 151, 162, 163, 173, 331
Скуридин Г. А. 293, 296, 297, 299
Скурлатов Э. Д. 357
Слезингер И. Н. 77
Слепов Б. И. 229
Слепцова Г. П. 313
Слепян Л. И. 236, 253, 322
Слободкин А. М. 330
Темнов И. И. 157, 163
Теребушко О. И- 342, 345
Терегулов И. Г. 18, 74, 77, 136, 138, 142, 146>
147, 154, 263, 349
Теренин Б. М. 248
Тер-Мартиросян 3. Г. 220
Тер-Мкртичьян Л. Н. 7, 18
Тернер В. (Turner W. Е. S.) 428
Слободянский М. Г. 7, 8, 17, 26
Слонимский Г. Л. 132, 150, 151, 427, 429
Слуцкер А. И. 428
Сметанин Б.
Смирнов Смирнов Смирнов Смирнов Смирнов
А.
А.
В.
В.
И. М. Ф.
А. И.
383, 385
С. А. 450
328, 337, 339, 340, 354
339
293, 294
Терсенов С. А. 251
Тер-Степанян Г. И. 216, 220
Терцаги К. (Terzaghi К.) 203, 218
Тетере Г. А. 153, 173, 327
~Г. 444, 445
252, 292, 326, 333； 335—338*
Тимербулатов М. Тимошенко С. П. 340—342
Тирский Г. А. 25
Тихонов Н. И. 365, 421
Смирнова Н. С. 299
Смиян И. А. 416
Ткачук Г. И. 241
Тобольский А. В. 428
Смолицкий X. Л. 294
Смоловик И. И. 21
Снеддон Я. Н. (Sneddon I. N.) 34, 38, 391
Снитко К. К. 442
Снитко Н. К. 87, 326, 328, 339
Соболев Н. Д. 365, 417—419
Соболев С. Л. 60, 293, 294, 297—299
Соголова Т. И. 427
Согришин Ю. П. 463
Соколов Б. А. 31
Товстик П. Е. 248, 249
Токарь Р. А. 215, 216
Толоконников Л. А. 73, 76—78, 327, 347
Томашевский Э. Е. 428, 431
Томленов А. Д. 105
Томас Т. (Thomas Т. Y.) 100
Томсон В. (Thomson W.) 203
Томсон Г. И. 462
Соколовский В. В. 104—107, 112, 212, 303, 312—314, 370, 371, 392, 393
230,
Солдатов М. М. 153
Соловьев Ю. И. 22
Соляник-Красса К. В. 20,22, 23
31,
386
Соркин И. Е. 456
Соколов П. А. 229, 340
Соснин О. В. 135, 141
Софронов Ю. Д. 411
Спивак А. И. 448
Спиридонов И. Н. 341
Спихтаренко В. Н. 24
Сретенский Л. Н. 294
Срубщик Л. С. 236, 238
Ставницер Л. Р. 310
Ставровский А. С. 294
Станюкович К. П. 296, 304, 455, 456
Стасенко И. В. 138
Стеклов В. А. 293
Степаненко И. 3. 223, 451
Степанов В. А. 424, 428, 432, 456, 463
Степанов Г. А. 402
Степанов М. Н. 408, 410, 462
Степанов Р. Д. 26, 356, 444
Столяров Я. В. 156, 179
Стрелецкий Н. С. 373
Стрижало А. В. 417
Стро А. Н. (Stroh A. N.) 389
Строганов А. С. 209, 210, 212, 214
Стюарт Д. A. (Stuart D. А.) 425
Суворов Ю. П. 311
Суворова Ю. В. 462
Судакова Н. И. 352
Сумгин М. И. 221
Сумм Б. Д. 438, 439
Сумцов В. С. 21
Сунчелеев Р. Я. 37
Суркин Р. Г. 342, 345
Сутягина А. И. 293, 294
Суханов А. Ф. 454
Сухарев В. А. 248
Сухаревский И. В. 30
Сухова Н. А. 74
Сухотин А. П. 224, 226, 452
Сыркин С. Н. 448
Сюкияйнен В. А. 299
Тоноян В. С. 28, 29, 56
Торделла Дж. П. (Tordella J. Р.) 459
Трантер К. Дж. (Tranter С. J.) 35
Трапезин И. И. 248, 341
Траскин В. Ю. 439
Трахтенберг Б. Ф. 417
Тренин С. И. 20
Треска A. (Tresca Н.) 80, 81, 392
Третьяченко Г. Н. 419, 421
Трефтц Э. (Trefftz Е.) 71, 112
Троицкий Е： А. 156
Трокселл Дж. (Troxell G.) 161
Трунин И. И. 133, 432
Труфяков В. И. 410
Тульчий В. И. 244
Туляков Г. А. 133
Тумаркин С. А. 248
Тупин Р. A. (Toupin R. А.) 368
Тютекин В. В. 295, 299
Тютюнов И. А. 221
Тян А. С. 320
Угодчиков А. Г. 25, 30
Ужик Г. В. 373, 395, 397, 402, 403,
422
Уздалев А. И. 22
Уитни К. С. (Whitney С. S.) 178
Улитко А. Ф. 19, 22, 23, 35, 36, 385
Улицкий И. И. 156—159, 162, 163, 173,
179, 180, 186, 189 — 191
Ульяницкий Д. Д. 248
Умнов И. А. 460
Урбановский В. (Urbanowski W.) 110
Урванцев «Л. А. 443
Успенский И. Н. 296, 299
Устинов В. В. 464
Устинов Ю. А. 37, 382
Усюкин В. И. 246
Уфлянд Я. С. 5, 17, 26, 34—-39, 56, 252,
379, 383, 385
Ушкалов В. П. 210
407,
176,
294,
Тавлинцев Г. М. 224
Талыпов Г. Б. 90
Тамуж В. П. 302, 307, 318, 322, 463
Тан Т. К. (Tan Tjong-Kie) 219
Тарасова И. В. 217
Тарнопольский Ю. М. 327
Таубман А. Б. 436
Тейлор Дж. (Taylor G. I.) 83, 87, 304, 373,
452
Фадеева В. Н. 26
Файлон Л. Н. Дж. (Filon L. N. G.) 55, 56,
386
Файнберг С. М. 228
Файншмидт В. А. 294
Федик И. И. 246
Федоров В. Л. 163, 179
Федоров И. В. 209, 210, 212, 214
Федоров И. С. 226, 455
Федоров Ю. А. 257
Федотова Л. И. 133
Федянин В. К. 17
Фейнберг С. М. 103, 392
Фельдман Э. П. 387
Феодосьев В. И. 234, 247, 248, 327, 338, 342г
345, 369, 373, 414
Филатов В. М. 419
Филатов М. Я. 409
Филиппов А.П.229,248,340
Филиппов А.Ф.297,299,300
Филиппов И.Г.299
Филоненко-Бородич М. М.24, 28
Фингер И. (Finger J.) 71
Финдли В. Н. (Findley W. N.) 90
Финкель В. М. 397
Финци Б. (Finzi В.) 10
Флегонтов Н. И. 439
Флейшман Н. П. 22, 63, 65, 66, 244
Флитман Л. М. 295, 300, 301
Флоренский П. А. 433
Флорин В. А. 206, 218, 219, 221, 393
Фойхт В. (Voigt W.) 122, 373
Фокин Ю. Ф. 246
Фомин В. В. 444, 445
Фомина Л- Н. 313
Форд Г. (Ford Н.) 106
Форсман Н. А. 23
Фрадлин Б. И. 241
<&райфельд С. Е. 156, 179
Фрейбергер В. (Freiberger W.) 107, 112
Фрейденталь А. М. (Freudenthal А. М.) 170
Фрейсине Э. (Freyssinet Е.) 156, 172
Френкель Я. И. 218, 423—425, 458
Френкель Я. М. 402
Френчко Ю. С. 392
Фридман М. Л. 458
<!>рид;ман М. М. 58, 299, 300
Фридман Я. Б. 373, 377, 383, 395—397, 400, 402, 411, 414, 415, 417, 419, 427, 460
Фролов М. М. 454
Фролов О. А. 245
Фрумкин П. В. 27
Фукс М. 444
Хаар А. (Haar А.) 81
Хайкович И. М. 296
Хайретдинов Э. Ф. 224
Хакимов X. Р. 207, 210
Халилов 3. И. 255, 354
Хандельман Г. (Handelman G. Н.) 83
Ханин М. В. 365, 448
Ханнанов Ш. X. 425
Хансен Т. (Hansen Т.) 156, 159, 162, 171,
186
Ханукаев А. Н. 452, 454
Харви Э. Н. (Harvey Е. N.) 457
Харлаб В- Д. 190
Хасис А. Л- 33
Хатиашвили Г. М. 32, 33
Хатт В. К. (Hatt W. К.) 156
Хаттон Дж. Ф. (Hutton J. F.) 459
Хачатурян Т. Т. 18
Хачиян Э. Е. 320
Хволес А. Р. 277
Хвостунков А. А. 133
Хейсин Д. Е. 253
Хилл Р. (Hill R.) 72, 100, 102, 104—107, 109,
212, 213, 452
Хищенко Ю. М. 341
Ходж Ф. Г. (Hodge Ph. G.) 112, 370
Холланд A. (Holland A. J.) 428
Холомон Дж. Г. (Hollomon J. Н.) 396
Холчев В. В. 338
Хорошун Л. П. 152
Хофф Н. Дж. (Hoff N. J.) 128, 144, 145,
344
Хоэнемзер К. (Hohenemser К. Н.) 83, 303
Хрипина Л. А. 404, 408
Христианович С. А. 104, 390, 392
Хрусталев А. ф. 20, 35, 38
Хрущов М. М. 446
Хюльт Я. (Hult J.) 129
Цай И. II. 293
Цейтлин Б. М. 150
Целли Р. (Zoelly R.) 341 '
Цепелев Н. В. 298
Циглер Г. (Ziegler Н.) 350, 351
Цилосани 3. Н. 156
Цой П. И. 299
Цур пал И. А. 62, 77, 244
Цытович Н. А. 206, 218, 220, 221, 393
Цяиь С. С. (Tsien Н. S.) 342
Чабан И. А. 298, 299
Чаевский М. И. 404, 436, 437
Чалышев К. А. 340
Чанкветадзе Г. Г. 22
Чебышев П. Л. 293
Чевычелов А. Д. 428
Чекин Б. С. 298
Челомей В. Н. 326, 327, 353, 354
Ченцов Н. Г. 309, 326
Чепова Т. К. 27
Черепанов Г. П. 70, 112,ИЗ,370,373,374,
378, 380, 381, 384,386,387,389,391,
395, 398, 399, 414,421,427,429,430,
449, 451, 455, 456
Черкасов И. И. 210
Черкашкин В. Г. 397
Черниговский А. А. 226
Чернина В. С. 242, 245, 248
Чернов Д. К. 416
Черноусько Ф. Л. 224
Чернуха Ю. А. 347
Черных К. Ф. 73, 94, 238, 242, 245
Чернышев А. Д. 305, 306
Чернышев Г. Н. 245
Чернявский Б. А. 444
Черняк Н. И. 411
Чечулин Б. Б. 402
Чжао Цзу-у 191
Чижик А. А. 152
Чирас А. А. 412
Чобанян К. С. 30, 189, 190
Чудновский В. Г. 328, 337, 339
Чулков П. П. 154, 260, 261, 328, 342, 343, 348
Чумак К. И. 385
Чуриков Ф. С. 8, 128, 133
Шайн Я. С. 20
Шальнев К. К. 36 5, 444, 445
Шандаров Л. Г. 356, 357
Шаншмелашвили В. Н. 241
Шапиро Г. С. 18, 19, 23, 34, 101, 292, 301, 304, 308, 309, 313, 318, 321, 323, 370, 463
Шапошников Н. Н. 339
Шарангия А.①.32
Шахновский С. М. 241
Шахунянц Г. М. 221
Шачнев В. А. 21
Шашин М. Я- 410
Шашков И. Е. 350
Швайковский Е. О. 463
Швейко Ю. Ю. 256, 352, 356, 357, 399
Швецов А. В. 189
Шёвандин Е. М. 396, 4?0, 402, 422
Шевелев А. А. 19, 21
Шевляков Ю. А. 243, 244
Шевченко Ю. Н. 21
Шейнин А. Е. 156, 162, 163, 173, 182
Шемякин Е. И. 294
Шенк Дж. Р. (Shank J. R.) 157, 176, 431
Шепеленко В. Н. 148, 154, 349
Шер Е. Н. 225, 451, 455
Шербелис Н. К. 168
Шереметьев М. И. 56, 57, 63—67
Шерман Д. И. 17, 25, 26, 28, 34, 40, 48—52, 56, 58—61, 63, 64, 66, 68, 293, 294, 296, 299, 379, 382
Шермергор Т. Д. 152
Шестериков С. А. 127, 139, 141, 14 5, 146, 15 4, 327, 349
Шестопалов Л. М. 424
Шехтер Б. И. 455, 456
Шехтер О. Я- 19, 206, 222, 300
Шилд Р. Т. (Shield R. Т.) 76, 108, 109
Шиллер ①.(Schiller F.) 170
Шиманский Ю. А. 228
Шиоя С. (Shioya S.) 58
Ширинкулов Т. 196
Ширяев Е. А. 25, 386
Шишкин Н. И. 424
Шишмарев О. А. 90
Шишорина О. И. 404, 408
Шкенев Ю. С. 256
Шкербелис К. К. 431
Шклярчук Ф. Н. 256, 351, 352
Шлехте ①.Р. (Schlehte F. R.) 147
Шмаков В. И. 256
Шмаринов И. Л. 246
Шматкова А. А. 151
Шмид Э. (Schmid Е.) 82
Шмидт Р. (Schmidt R.) 83
Шнейдерович Р. М. 135, 365, 411, 412, 413
Шорр Б. Ф. 139
Шоу Ф. С. (Show F. S.) 112
Шрейнер Л. А. 435, 448
Штаерман И. Я. 34, 67, 193, 198, 228, 237,
258, 326, 328, 338, 379
Шумский В. Ф. 459
Шушерина Е. П. 212, 219
Щапов Н. П. 37 3, 402, 40 3, 410, 422
Щепетев А. Н. 21
Щетинин Н. Н. 139
Щукин Е. Д. 424, 434, 438, 440
Эглит М. Э. 72, 95, 368
Эдельман Ф. (Edelman F.) 88
Эйлер Л. (Euler L.) 325, 338
Эйхингер A. (Eichinger А.) 82
Элам С. (Elam С. F.) 82
Энгессер Ф. (Engesser F.) 346
Эрдоган Ф. (Erdogan F.) 381
Эрлих Л. Б. 448
Эстрин М. И. 302, 305, 306, 315
Юдович В. И. 236, 238
Юрьев С. Ф. 462
Яббаров А. А. 253
Яворская И. М. 299
Яги Ю. И. 87, 90
Якобсон К. К. 190
Яковлев Ю. С. 352
Яковлева В. И. 26
Якубович В. А. 327, 354
Якутович М. В. 396, 422
Янова Л. П. 434
Яновская Т. Б. 296, 297
Янсон 3. А. 296
Янчишин Ф. П. 436, 437
Ярема С. Я. 388, 391, 399
Ярошенко А. Р. 248
Ясинский Ф. С. 325, 338, 346
Яценко Е. А. 159, 161, 180, 190, 191
Яцкевич С. И. 403
Яшин А. В. 162, 167, 166, 183, 186,
СОДЕРЖАНИЕ
Линейная теория упругости (Л. И. Каландия^ А. И. Лурье, Г- Ф. Манджавидзе^ В. Я. Прокопов, Я. С・ Уфлянд) 5
Нелинейная теория упругости (8. В. Новожилову Л. Л. Толоконников., R. Ф. Черных} 71
Теория пластичности (А. А. Вакуленко^ Л. М. Качанов} 79
Теория ползучести (Ю. Я. Работное) 119
Ползучесть стареющих материалов. Ползучесть бетона (Я. Х・ Арутюнян) 155
Механика грунтов (С. С. Григорян, В. Л- Иоселевич) 203
Теория упругих оболочек и пластияок (Я. Л. Алумяэ} 227
Об одном направлении построения теории оболочек (Я. Я. Векуа) ....267
Динамика деформируемых твердых тел (Н. В. Зволинский, М. И. Рейтман, Г. С・ Шапиро) 291
Устойчивость упругих и неупругих систем (8. 8. Болотин^ Э. И. Григолюк) 325
Механика разрушения (8. 3. Партон, Г. П. Черепанов) 365
Именной указатель 468
МЕХАНИКА В СССР ЗА ПЯТЬДЕСЯТ ЛЕТТом 3Механика деформируемого твердого телаМ., 1972., 480 стр. с илл.
Редактор Т. К. МихайловТехн, редактор К. Ф. БрудноКорректор И. Б. Румянцева
Сдано в набор 6/V 1972 г. Подписано к печати 7/IX 1972 г.Бумага 70 X 108/16.①из. печ. л. 30. Условн. печ. л. 42.Уч.-изд. л. 41,13. Тираж 5400 экз. Т-03379.
Цена книги 3 р. 29 к. Заказ № 0291
***
Издательство «Наука»
Главная редакцияфизико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
* * *
Ордена Трудового Красного ЗнамениМосковская типография № 7 «Искра революции»Главполиграфпрома Комитета по печатипри Совете Министров СССРг. Москва, Трехпрудный пер., 9
*) В приведенном здесь виде интегральные уравнения первой и второй краевых задач получили также Н. Киносита и Т. Мура (1956), но они не обратили внимания на указанную трудность.
**) Основные результаты в этой области получены В. Д. Купрадзе и С. Л. Соболевым (1930), Е. А. Нарышкиной (1934, 1936, 1940), И. Г. Петровским (1945), Я. А. Мин- длиным (1946), Г. И. Петрашенем (1946), В. Г. Гоголадзе (1948), И. А. Викторовым
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
НАЦИОНАЛЬНЫЙ КОМИТЕТ СССРПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКЕ
МЕХАНИКАВСССР
ЛЕТЛЕТ
ЛЕТ
ЛЕТ
8 ЧЕТЫРЕХ ТОМАХ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Л. И. СЕДОВА (главный редактор), М. А. ЛАВРЕНТЬЕВА, Г. К. МИХАЙЛОВА, Н. И. МУСХЕЛИШВИЛИ и Г. Г. ЧЕРНОГО
МЕХАНИКА
В
СССР
ТОМ 3
МЕХАНИКАДЕФОРМИРУЕМОГОТВЕРДОГО ТЕЛА
531
M55
УДК 531/534
МЕХАНИКА В СССР
ЗА ПЯТЬДЕСЯТ ЛЕТ
ТОМ 1
ОБЩАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА
ТОМ 2
МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА
ТОМ 3
МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Том 4
БИБЛИОГРАФИЯ
2-4-2167—72
Л. И. К АЛ АН ДИ Я. /• И. ЛУРЬЕ. Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ,В. К. ПРОКОПОВ. Я. С. УФЛЯНД(под общей редакцией А. И. Лурье)Общие решения и теоремы существованияОбщие решения-• •Тензор функций напряженийЛ. И. К АЛ АН ДИ Я. /• И. ЛУРЬЕ. Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ,В. К. ПРОКОПОВ. Я. С. УФЛЯНД(под общей редакцией А. И. Лурье)Общие решения и теоремы существованияОбщие решения-• •Тензор функций напряженийЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ)
Л. И. К АЛ АН ДИ Я. /• И. ЛУРЬЕ. Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ,В. К. ПРОКОПОВ. Я. С. УФЛЯНД
(под общей редакцией А. И. Лурье)
Общие решения и теоремы существования
Общие решения-• •
Тензор функций напряжений
Л. И. К АЛ АН ДИ Я. /• И. ЛУРЬЕ. Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ,В. К. ПРОКОПОВ. Я. С. УФЛЯНД
(под общей редакцией А. И. Лурье)
Общие решения и теоремы существования
Общие решения-• •
Тензор функций напряжений
Интегральные уравнения пространственной задачи 12
Пространственные задачи теории упругости 17
Задачи Сен-Венана и Альманзи 25
Смешанные пространственные задачи статики упругого тела 33
Постановка и методы решения задач плоской теории упругости ....40
Общие комплексные представления решения плоской задачи...40
Формулировка основных задач плоской теории упругости ....41
"Методы решения плоских задач 44
Основные результаты исследования задач плоской теории упругости...56
Решение основных задач для однородной среды 56
Кусочногоднородная среда. Подкрепленные и усиленные пластинки 62
Смешанные и контактные задачи 66
Плоская статическая задача теории упругости анизотропного тела 67
Равновесие хрупких тел с трещинами 69