Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ЧАСТЬ I. СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
Основные понятия
Предмет механики деформируемого твердого тела ...
Сплошная среда .
Однородная среда
Кинематическое описание сплошной среды Внешние силы Принцип Сен-Венана и статически эквивалентные системы сил
Внутренние силы
Упругость
Пластичность
Последействие п ползучесть
Тела изотропные и анизотропные
Глава 2. Стержни и стержневые системы — растяжение и сжатие
Растяжение п сжатие стержней
Напряжения и деформации при растяжении — сжатии
Перемещение узлов стержневых систем
Статически неопределенные задачи на растяжение ——сжатие
Расчет стержневых систем на прочность ....
Остаточные напряжения после пластической деформацир
Большая деформация
Упругая энергия и упругие потенциалы
Термодинамика упругой деформации
Распространение упругих волн в стержнях ....
Напряжения при ударе
Глава 3. Изгиб балок
Действие поперечных сил на балку Закон плоских сечений
Нормальные напряжения при изгибе Изгибающие моменты и перерезывающие силы ...
Прочность и несущая способность при изгибе ...
Упругопластический изгиб
Изгиб тонкостенных стержней открытого профиля ..
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки и его интегрирование
О решении линейных дифференциальных уравнений с по стоянными коэффициентами
Продольно-поперечный изгиб
Изгиб балки на упругом основании
Глава 4. Устойчивость стержней и стержневых систем ...
Постановка задач устойчивости
Критические силы для сжатого стержня по Эйлеру . .
Эластика Эйлера
Устойчивость прямолинейной формы сжатого стержня .
Послекритическое поведение упругих систем ...
Устойчивость пологой арки
78.9.44478.9.444Критические силы при иных видах закрепления стержня Устойчивость стержня в упругой среде Потеря устойчивости за пределом упругости ——схема Кармана
78.9.
444
78.9.
444
Потеря устойчивости за пределом упругости ——схема продолжающегося нагружения
Исследование поведения сжатого стержня при потере устойчивости за пределом упругости
Виецентренное сжатие упругопластического стержня
Неустойчивость растяжения при большой деформации
130132134138140143144130132134138140143144Глава 5. Общие свойства упругих и пластических стержневых си
130
132
134
138
140
143
144
130
132
134
138
140
143
144
л 9^ D>^ z^ 五sdsdsdso §л 9^ D>^ z^ 五sdsdsdso §Упругие и пластические системы Теоремы Лагранжа и Кастильяио
л 9^ D>^ z^ 五sdsdsdso §
л 9^ D>^ z^ 五sdsdsdso §
Линейные упругие системы
Статически неопределимые системы. Экстремальные прип ципы Метод сил и метод перемещений в строительной механике стержневых систем Жесткопластическое тело Условие текучести и поверхность текучести ...
Выпуклость поверхности текучести
Статический метод определения предельной нагрузки
6 681 6 92480 24445 5 56667 71111 1 11111 16 681 6 92480 24445 5 56667 71111 1 11111 180 80 Soso 8г OSes 80 8г 8С 8а80 80 Soso 8г OSes 80 8г 8С 8ав а 6. Колебания стержневых систем ..Колебания систем с конечным числомСобственные формы колебаний .・Главные координатыФормула и способ Рэлея ....Нижние оценки для частоты основногоПродольные колебания стержней .Распространение продольных волн.Динамический изгиб стержней ..Колебания балок постоянного сеченияСпособ Рэлея — РитцаДинамическая устойчивость. Следящаяв а 6. Колебания стержневых систем ..Колебания систем с конечным числомСобственные формы колебаний .・Главные координатыФормула и способ Рэлея ....Нижние оценки для частоты основногоПродольные колебания стержней .Распространение продольных волн.Динамический изгиб стержней ..Колебания балок постоянного сеченияСпособ Рэлея — РитцаДинамическая устойчивость. Следящаястепенейстепенейтонатонасиласиласвооодьсвооодь7792467159157 778888999001111111111227792467159157 77888899900111111111122Кинематически возможные состояния и кинематический ме тод определения предельной нагрузки
6 681 6 92480 2
4445 5 56667 7
1111 1 11111 1
6 681 6 92480 2
4445 5 56667 7
1111 1 11111 1
80 80 Soso 8г OSes 80 8г 8С 8а
80 80 Soso 8г OSes 80 8г 8С 8а
в а 6. Колебания стержневых систем ..
Колебания систем с конечным числом
Собственные формы колебаний .・
Главные координаты
Формула и способ Рэлея ....
Нижние оценки для частоты основного
Продольные колебания стержней .
Распространение продольных волн.
Динамический изгиб стержней ..
Колебания балок постоянного сечения
Способ Рэлея — Ритца
Динамическая устойчивость. Следящая
в а 6. Колебания стержневых систем ..
Колебания систем с конечным числом
Собственные формы колебаний .・
Главные координаты
Формула и способ Рэлея ....
Нижние оценки для частоты основного
Продольные колебания стержней .
Распространение продольных волн.
Динамический изгиб стержней ..
Колебания балок постоянного сечения
Способ Рэлея — Ритца
Динамическая устойчивость. Следящая
степеней
степеней
тона
тона
сила
сила
свооодь
свооодь
7792467159157 77888899900111111111122
7792467159157 77888899900111111111122
8 836915 7 14 6 юююо 011122 2 33 3 3 я2222222 2 22 2 2 28 836915 7 14 6 юююо 011122 2 33 3 3 я2222222 2 22 2 2 2
8 836915 7 14 6 юююо 011122 2 33 3 3 я
2222222 2 22 2 2 2
8 836915 7 14 6 юююо 011122 2 33 3 3 я
2222222 2 22 2 2 2
ЧАСТЬ II. УПРУГОЕ ТЕЛО
Глава 7. Общая теория деформаций и напряжений .
Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве ..
Общая теория деформаций
Определение перемещений по заданной деформации ..
Теория напряжений
Некоторые свойства полей напряжений и деформаций
Круговая диаграмма Мора
Разложение тензора на девиаторную и гидростатическую со ставляющие
Общие криволинейные, цилиндрические и сферические ко ординаты
Геометрически нелинейные задачи
Глава 8. Теория упругости. Общие уравнения и простейшие примеры
Упругое тело
Закон Гука
3.4.
§ 8.5.
Закон Гука для изотропных тел Формулировка задачи теории упругости. Теорема единственности решения Уравнения теории упругости в перемещениях и в напряжениях Температурные эффекты Вариационные уравнения теории упругости ....
Некоторые замечания о вариационных принципах ...
Обобщенные силы и перемещения Теоремы Клапейрона и Максвелла ——Бетти Замечания о задачах теории упругости Одномерные задачи ——трубы и диски Простейшая задача о концентрации напряжений ...
Концентрация напряжений у сферической полости
2 4 8138035714
4 4 4555666677
2 2 2222222222
Глава 9. Антиплоская деформация, кручение, изгиб ....
Антиплоская деформация
Винтовая дислокация
Трещина продольного сдвига
Трещина конечной длины
Освобождение энергии при раскрытии трещины ...
Кручение круглых стержней
Кручение стержней некруглого поперечного сечения
Теорема о циркуляции касательного напряжения. Тонкостенные стержни замкнутого профиля
Простейшие задачи о кручении
Теорема о максимуме касательного напряжения. Угловые точки ...
Концентрация напряжений при кручении
Кручение анизотропных стержней
Кручение тонкостенных стержпей открытого профиля
Нормальные напряжения при кручении тонкостенных стержней
Стесненное кручение и изгиб тонкостенных стержней
Касательные напряжения при изгибе стержней сплошного сечения
78
2
78808385869092960004050810121518
2 2 2 2 2 2 2 2现 3 3 3 3 3 3 3
Глава 10. Плоская задача теории упругости
Основные уравнения плоской задачи Сила и момент, действующие на контур Краевая дислокация Напряженное состояние около трещины Основные плоские задачи теории упругости . . . . Функция напряжений. Ортотропное тело Трещина в ортотропной упругой плоскости . . . . Решение задачи об упругой полуплоскости с помощью преобразования Фурье Сосредоточенная сила на границе полуплоскости. Контактная задача
X9^O^Z^K^^7^O^9. о.о.о.о.о.о.о.о.о.
11111111 18COS8COS8C8O8CC3 OS
3 3814726 8
2 2233344 4 ззззззаз 3
Решение для длинного прямоугольника
Бесконечно длинная полоса
Глава 11. Некоторые пространственные задачи теории упругости
Представление решения задачи теории упругости в форме Папковича — Нейбера
Сосредоточенная сила в изотропной неограниченной упругой среде
Другие типы сингулярных решений
15 6
5 5 5
3 3 3
9
5
3
9 о 3
5 6 6
3 3 3
456781А 41 41 dxJ1456781А 41 41 dxJ14781 247826667 77 77 S3333 333334781 247826667 77 77 S3333 33333л ал а.1.2.2.2..1.2.2.2.3.42.12-3.42.12-56.12.12.56.12.12.7.& 9^ ^ ^7.& 9^ ^ ^§§12.10.12.11.12.12.12.13.12.14.12,15.12.16.12.10.12.11.12.12.12.13.12.14.12,15.12.16..Стержни, пластины и оболочкиПриближенная теория изгиба балок Распространение вариационных методов на геометрически нелинейные задачи Устойчивость сжатого стержня и родственные задачи ..Изгиб пластип. Основные предположения технической теории Линейная теория пластин Изотропные пластины. Дифференциальное уравнение для прогиба и простейшие задачи Прямоугольная ортотропная пластина Прямоугольные пластины из изотропного материала Прямое применение вариационных принципов к задачам изгиба пластин .Большие прогибы Устойчивость пластин .Вариационный метод решения задач устойчивости Осесимметричная деформация цилиндрической оболочки Безмоментпая теория оболочек Безмоментные оболочки вращения Уравпепия краевого эффекта в теории оболочек ....Стержни, пластины и оболочкиПриближенная теория изгиба балок Распространение вариационных методов на геометрически нелинейные задачи Устойчивость сжатого стержня и родственные задачи ..Изгиб пластип. Основные предположения технической теории Линейная теория пластин Изотропные пластины. Дифференциальное уравнение для прогиба и простейшие задачи Прямоугольная ортотропная пластина Прямоугольные пластины из изотропного материала Прямое применение вариационных принципов к задачам изгиба пластин .Большие прогибы Устойчивость пластин .Вариационный метод решения задач устойчивости Осесимметричная деформация цилиндрической оболочки Безмоментпая теория оболочек Безмоментные оболочки вращения Уравпепия краевого эффекта в теории оболочек ...6 68 83 36 68 83 3о 3 57 15 7 9157935799 99 000 0111122233 3 3 4 4 4 44444444о 3 57 15 7 9157935799 99 000 0111122233 3 3 4 4 4 44444444
456781А 41 41 dxJ1
456781А 41 41 dxJ1
4781 24782
6667 77 77 S
3333 33333
4781 24782
6667 77 77 S
3333 33333
л а
л а
.1.2.
2.2.
.1.2.
2.2.
3.4
2.12-
3.4
2.12-
56.
12.12.
56.
12.12.
7.& 9
^ ^ ^
7.& 9
^ ^ ^
§
§
12.10.
12.11.
12.12.
12.13.
12.14.
12,15.
12.16.
12.10.
12.11.
12.12.
12.13.
12.14.
12,15.
12.16.
.Стержни, пластины и оболочки
Приближенная теория изгиба балок Распространение вариационных методов на геометрически нелинейные задачи Устойчивость сжатого стержня и родственные задачи ..
Изгиб пластип. Основные предположения технической теории Линейная теория пластин Изотропные пластины. Дифференциальное уравнение для прогиба и простейшие задачи Прямоугольная ортотропная пластина Прямоугольные пластины из изотропного материала Прямое применение вариационных принципов к задачам изгиба пластин .
Большие прогибы Устойчивость пластин .
Вариационный метод решения задач устойчивости Осесимметричная деформация цилиндрической оболочки Безмоментпая теория оболочек Безмоментные оболочки вращения Уравпепия краевого эффекта в теории оболочек ...
.Стержни, пластины и оболочки
Приближенная теория изгиба балок Распространение вариационных методов на геометрически нелинейные задачи Устойчивость сжатого стержня и родственные задачи ..
Изгиб пластип. Основные предположения технической теории Линейная теория пластин Изотропные пластины. Дифференциальное уравнение для прогиба и простейшие задачи Прямоугольная ортотропная пластина Прямоугольные пластины из изотропного материала Прямое применение вариационных принципов к задачам изгиба пластин .
Большие прогибы Устойчивость пластин .
Вариационный метод решения задач устойчивости Осесимметричная деформация цилиндрической оболочки Безмоментпая теория оболочек Безмоментные оболочки вращения Уравпепия краевого эффекта в теории оболочек ...
6 6
8 8
3 3
6 6
8 8
3 3
о 3 57 15 7 9157935799 99 000 0111122233 3 3 4 4 4 44444444
о 3 57 15 7 9157935799 99 000 0111122233 3 3 4 4 4 44444444
Дислокация Вольтерра
Теорема Вейнгартена
Задача теории упругости для полупространства ...
Нормальная нагрузка на границе полупространства Контактная задача. Жесткий плоский штамп, круглый в плане
Потенциал однородного эллипсоида
Штамп в форме параболоида
Контактная задача Герца
Температурные напряжения
0 03 63 3 3 34 4 4 40 03 63 3 3 34 4 4 49 14 8 13 4 4 4 54 4 4 4 49 14 8 13 4 4 4 54 4 4 4 43 36913569124585 55566666777774 44444444444443 36913569124585 55566666777774 4444444444444
0 03 6
3 3 3 3
4 4 4 4
0 03 6
3 3 3 3
4 4 4 4
9 14 8 1
3 4 4 4 5
4 4 4 4 4
9 14 8 1
3 4 4 4 5
4 4 4 4 4
3 3691356912458
5 5556666677777
4 4444444444444
3 3691356912458
5 5556666677777
4 4444444444444
Глава 13. Динамические задачи теории упругости
Постановка динамических задач теории упругости ...
Свободные и вынужденные колебания
Неравенство Рэлея и метод Ритца
Распространение плоских волн в неограниченной упругой среде
Отражение волн
Распространение волн в слое конечной толщины ...
Распространение волн в стержнях
Размытие фронта сильного разрыва
Глава 14. Дислокации в упругом теле
Дислокации в кристаллах
Дислокации Бюргерса. Сингулярные члены
Дислокации Бюргерса. Полное решение
Прямолинейные дислокации .
Энергия дислокации
Плоская дислокация
Кольцевая дислокация
Дислокации в телах конечного размера
Возможные движения дислокаций
Дислокации в теле, находящемся под нагрузкой ••.
Сила, действующая на дислокацию
Взаимодействие между, дислокациями
Стенка дислокаций
ЧАСТЬ III. НЕУПРУГОСТЬ
808082854 4 4 4808082854 4 4 4Глава 15. Идеальная пластичность
80808285
4 4 4 4
80808285
4 4 4 4
Упругопластическое и жесткопластическое тело ...
Принцип максимума и постулат Друкера
Диссипативная функция
7 18 94 47 18 94 4Постановка задачи теории идеальной пластичности. Теорема единственности
7 1
8 9
4 4
7 1
8 9
4 4
Экстремальные свойства предельных состояний текучести
3 6 0 5 9 39900014 4 5 5 5 53 6 0 5 9 39900014 4 5 5 5 5Условие пластичности для несжимаемого материала. Изотропное тело
3 6 0 5 9 3990001
4 4 5 5 5 5
3 6 0 5 9 3990001
4 4 5 5 5 5
Условие пластичности для анизотропных тел .
Плоская задача теории пластичности
Плоская деформация
Простые решения. Задача Прапдтля
Линии разрыва
5 0 3 6 91 2 2 2 25 5 5 5 55 0 3 6 91 2 2 2 25 5 5 5 5Применение экстремальных принципов к задаче о плоской деформации
5 0 3 6 9
1 2 2 2 2
5 5 5 5 5
5 0 3 6 9
1 2 2 2 2
5 5 5 5 5
Полярно-симметричное пластическое напряженное состояние
Плоское напряженное состояние
Предельное равновесие пластин
Предельное состояние закрученного стержня ....
323236385 5 5 5323236385 5 5 5Глава 16. Упругопластическое упрочняющееся тело .
32323638
5 5 5 5
32323638
5 5 5 5
Деформационная теория пластичности
Теория течения, постулат Друкера
Теория течения, общие уравнения
2 554542 55454Границы применимости деформационной теории пластичности
2 55454
2 55454
Двумерная модель упрочняющегося тела
9 2 4 8 3 5 94 5 5 5 6 6 65 5 5 5 5 5 59 2 4 8 3 5 94 5 5 5 6 6 65 5 5 5 5 5 5Интерпретация соотношений пластичности в пространстве деформаций
9 2 4 8 3 5 9
4 5 5 5 6 6 6
5 5 5 5 5 5 5
9 2 4 8 3 5 9
4 5 5 5 6 6 6
5 5 5 5 5 5 5
Изотропное и трансляционное упрочнение
Кусочно линейные поверхности нагружения ....
Теория скольжения.
Сопоставление моделей с реальностью в пластичности
Распространение yi/ругопластических волн .
Упругопластические волны. Запаздывание текучести
5 5924 60258136877788 8999900005 5 5 5 5 5555566665 5924 60258136877788 8999900005 5 5 5 5 555556666Глава 17. Наследственная теория упругости
5 5924 602581368
77788 899990000
5 5 5 5 5 555556666
5 5924 602581368
77788 899990000
5 5 5 5 5 555556666
Линейная наследственность
Резольвентные операторы
Применение преобразования Лапласа
Функции от операторов
Линейное наследственно-упругое тело. Реологические модели
Экспоненциальные операторы
Наследственно-упругое тело
Периодические нагрузки
Принцип Вольтерра
Устойчивость наследственно-упругих систем .
Вариационные принципы теории наследственной упругости
Элементы нелинейной теории наследственности ...
Распространение волн в наследственно-упругом теле
б6 6б6 6Глава 18. Ползучесть металлов
б6 6
б6 6
Испытания на ползучесть и кривые ползучести ...
Зависимость от напряжения и температуры ....
3..4.5 67.& & & & & 1 1 1 1 Л13..4.5 67.& & & & & 1 1 1 1 Л19145 82469271222 2333344 666666666669145 82469271222 2333344 6666666666611489460 2585 5555667 7 7 76 6 6 6 6 6 6 6 6 6 611489460 2585 5555667 7 7 76 6 6 6 6 6 6 6 6 6 63 3 6 9 3 5 9 3 7 28 8389990 о 1 66666667 773 3 6 9 3 5 9 3 7 28 8389990 о 1 66666667 77
3..4.5 67.
& & & & & 1 1 1 1 Л1
3..4.5 67.
& & & & & 1 1 1 1 Л1
9145 8246927
1222 2333344 66666666666
9145 8246927
1222 2333344 66666666666
11489460 258
5 5555667 7 7 7
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
11489460 258
5 5555667 7 7 7
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
3 3 6 9 3 5 9 3 7 2
8 8389990 о 1 66666667 77
3 3 6 9 3 5 9 3 7 2
8 8389990 о 1 66666667 77
Кинетические уравнения ползучести Простейшие теории одномерной ползучести ....
Теория старения и расчет по изохронным кривым Релаксация напряжений
Установившаяся ползучесть при сложном напряженном состоянии
Частные формы закона ползучести
Труба под действием внутреннего давления ....
Ползучесть вращающегося диска
Установившаяся ползучесть пластин
Неустановившаяся ползучесть. Изотропное упрочнение
Устойчивость при ползучести
Глава 19. Механика разрушения
Предмет механики разрушения
Условие прочности для хрупких тел
Хрупкое и вязкое разрушение
Напряжения и перемещения вблизи кончика трещины
Линейная механика разрушения
Сила сопротивления раскрытию трещины
Линейная модель пластической зоны
Длительное разрушение при высоких температурах. Вязкое разрушение
Хрупкое разрушение при высоких температурах ...
Понятие об усталостном разрушении
Глава 20. Механика композитов
Композиты волокнистого строения
Высокопрочные и высокомодульные волокна ....
Статистическая природа прочности волокна
Прочность пучка
Неэффективная длина волокна в композите ....
Однонаправленные композиты с металлической матрппей
Композиты с полимерной матрицей
Упругие свойства и разрушение композитов сложного строения
Список рекомендуемой литературы .
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
В современной монографической и учебной литературе насчитывается уже значительное количество книг по механике сплошных сред, что с избытком покрывает требования программ соответствующих общих курсов университетов. В то же время имелся большой дефицит книг, специально посвященных общей теории деформируемого твердого тела, крайне необходимых для подготовки специалистов на университетских кафедрах соответствующего цикла, аспирантов по специальности 01.02.04 и т. д. Появление книги Ю. Н. Работнова по существу ликвидировало этот дефицит, она в полной мере отвечает суммарным программам спецкурсов по указанным специальностям.
Без преувеличения можно сказать, что книга Ю. Н. Работнова к настоящему времени является лучшей среди подобных ей книг как у нас в стране, так и за рубежом. Впервые с единых позиций в ней дается изложение основ всех главных разделов механики деформируемого твердого тела. Книгу отличает компактность изложения^ достигаемая за счет широкого применения таких эффективных методов исследования, как вариационные принципы, тензорные исчисления, теория функций комплексного переменного, интегральные преобразования и т. д. Этому также способствует и оригинальная трактовка теории напряжений. Естественно, что, представляя проблему во всем ее многообразии (стержни, пластинки, оболочки, пространственные тепа, упругость, пластичность, ползучесть, наследственность, устойчивость, колебания, распространение волн, длительная прочность, разрушение), автор сконцентрировал внимание на прин^ ципиальных вопросах. Тем не менее книга снабжена достаточно большим количеством примеров расчета, для того чтобы читатель мог составить представление о практических возможностях теории.
Во многом материал книги основан на оригинальных исследованиях автора ——одного из выдающихся механиков современности. Широкая популярность недавно ушедшего от нас автора и отмеченные выше достоинства книги привели к тому, что по истечении короткого времени после выхода в свет книга стала библиографической редкостью. Нисколько не потеряв в актуально- стн, она потребовала скорейшего переиздания. Настоящее второе издание с несущественными изменениями повторяет первое.
В. Д. Клюшников, Р. И. Мазинг
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Механика деформируемого твердого тела, как представляется автору, должна рассматриваться как единая наука, объединяющая те научные дисциплины, которые по традиции излагаются и изучаются раздельно. С другой стороны, это ——именно глава механики сплошной среды, т. е. феноменологическая теория, стремящаяся найти адекватное математическое описание совокупности опытных фактов, устанавливаемых макроэкспериментом. Для механики недостаточно написать определяющие уравнения, нужно уметь их решать при данных граничных условиях и решать возможно точно. Поэтому та картина, которую строит механик, может иногда показаться чрезмерно упрощенной. Но механик вынужден блуждать между Сциллой и Харибдой; с одной стороны, его уравнения должны достаточно точно отражать действительность, с другой ——быть доступными для интегрирования.
Содержание предлагаемой читателю книги состоит из глав, материал которых практически весь излагался автором в лекциях на механико-математическом факультете МГУ и в других университетах. Она разбита на три части. Первая из них написана на вполне элементарном уровне. На примере простейших стержневых систем автор стремился изложить основные идеи общей теории упругих и пластических сред. Вторая часть посвящена теории упругости и ее приложениям. Наконец третья； последняя часть относится к проявлениям неупругости ——теории пластичности, ползучести, механике разрушения.
Автор приносит глубокую благодарность В. В. Болотину и И. В. Гольденблатту, просмотревшим рукопись.
Советы В. В. Болотина заставили автора во многих местах существенно переделать первоначальный текст и, как он полагает, значительно его улучшить.
Ю. Я. Работное
ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемая читателю книга предназначена быть учебным пособием по дисциплине, название которой служит ее заглавием. В технических учебных заведениях преподаются различные предметы, составляющие части механики деформируемого тела. Это —— сопротивление материалов (содержание курса не соответствует его названию), теория упругости, теория пластичности и ряд других разделов науки, которые иногда подаются в виде дополнительных курсов, а иногда вообще опускаются. Но в науке, как и в практической жизни, происходит процесс переоценки ценностей. Элементарный курс сопротивления материалов уже не удовлетворяет современного инженера, во втузах иногда даются небольшие курсы теории упругости и даже теории пластичности. Следует заметить, что в этих курсах изложение носит нарочито элементарный характер. Даже средняя школа стремится сейчас приучить ученика к настоящему математическому языку и более или менее абстрактным представлениям, свойственным современной математике. Курсы высшей математики в технической школе также существенно приблизились к уровню науки сегодняшнего дня. Поэтому чрезмерное упрощение манеры изложения кажется автору неоправданным. Однако в этой книге автор старался не выходить за пределы обычного втузовского курса математики, кроме отдельных параграфов, которые в принципе могут быть опущены при изучении. Сейчас нет серьезных оснований проводить резкую границу между университетским и втузовским преподаванием, в высшей технической школе существуют факультеты и специаль^ ности, на которых объем сообщаемых сведений по математике достаточен для понимания всей книги. В то же время при написании ее автор имел в виду программы мехаиико-математи- дескпх факультетов университетов; весь материал, содержащийся в университетских программах по сопротивлению материалов, теории упругости и теории пластичности в книге содержится. Поэтому автор надеется, что книга может послужить учебником для университетов и учебником либо учебным пособием для учащихся некоторых специальностей технической школы.
При написании книги необходимо было чем-то себя ограничить. Поэтому книга не содержит расчетных методов и не может служить руководством для практических расчетов на прочность. Правда, в наше время никакая книга не может служить серьезным руководством такого рода； в каждой отрасли техники накоплен свой опыт, отраженный в специфических расчетных методиках и нормах прочности. Желая представить здесь в первую
очередь идейную сторону, автор отказался от соблазна включить в свою книгу метод конечных элементов для решения задач теории упругости и пластичности (хотя друзья ему это настоятельно рекомендовали). Метод конечных элементов сейчас нашел очень широкое применение и, вероятно, 90% выпускников кафедры теории пластичности Московского университета работают в промышленности именно над приложениями этого метода.
На русском языке имеются многочисленные монографии, в которых рассмотренные здесь вопросы изложены более полно и детально, некоторые ссылки на такие монографии приводятся в тексте, только их названия: содержатся в небольшом прилагаемом списке литературы. Остальные упоминания о различных результатах отдельных ученых библиографическими ссылками не сопровождаются.
Первые шесть глав представляют собою то, что по традиции можно было бы назвать сопротивлением материалов или элементами строительной механики. Это — механика стержней и стержневых систем. После первой вводной главы, изучение которой рекомендуется всем, следуют две более или менее традиционно написанные главы о растяжении ——сжатии и изгибе. В гл. 4 излагается теория устойчивости стержней и стержневых систем. Эта глава носит принципиальный характер, явление потери устойчивости или выпучивания разъясняется здесь на простейших примерах. Поведение более сложных объектов, например, оболочек, доступно анализу лишь с помощью сложных и громоздких численных методов и поэтому в книге не рассматривается; важно отметить, что качественная картина в этих задачах получается той же, что и в простейших примерах гл. 4. Вопрос об устойчивости под действием следящей силы вынесен в гл. 6, посвященную динамике стержневых систем.
В гл. 5 рассматриваются некоторые общие свойства упругих и пластических стержневых систем. Существенно заметить, что вариационные принципы теории упругости, ассоциированный закон течения, свойство выпуклости поверхности нагружения для пластической системы доказываются здесь совершенно элементарно. Все эти теоремы будут сформулированы и доказаны впоследствии при более общих предположениях* Автору представляется по опыту его педагогической работы, что иллюстрация общих принципов на простейших примерах, где эти общие принципы совершенно очевидны, способствует лучшему их пониманию и усвоению. Гл. 6 посвящена теории колебаний, которая должна занять подобающее место как во втузовских, так и в университетских программах. Кроме собственно задач о колебаниях здесь излагается метод характеристик для решения задач о продольных волнах в стержнях. Этот метод настолько прост и ясен, что им можно пользоваться и его легко понять, не прослушав общего курса дифференциальных уравнений математи-
ческой физики. Таким образом, материал первых шести глав вполне доступен студенту второго курса университета или втуза.
Следующий концентр связан с теорией упругости. В гл* 7 сообщаются элементы тензорного анализа в виде сводки основных фактов и определений. Автору представляется, что для практических целей достаточно (и вполне строго) вести изложение общих теорем в прямоугольной декартовой системе координат. В § 7.8, где идет речь о криволинейных координатах, говорится о задании тензора в произвольном базисе, но эта теория дальнейшего развития не находит. Что касается тензорного языка, который применен в гл. 7 и последующих главах, он совершенно элементарен. Для университетов он привычен и упрощен по сравнению с тем, что дается, скажем, в курсе дифференциальной геометрии. Для студента втуза при>выкнуть к этому языку очень нетрудно. Автор вспоминает, как в начале тридцатых годов среди преподавателей теоретической механики шли ожесточенные споры о том, следует ли излагать механику векторно или же в координатах. Любопытно отметить, что акад. А. Н. Крылов был яростным и убежденным противником векторной символики, которая вводилась Московской школой. Автор получил воспитание в этой школе, поэтому он особенно рад торжеству векторного изложения теоретической механики и надеется, что в учебной литературе по механике твердого тела тензорный язык будет применяться широко и на всех уровнях.
После этого раздела следуют гл. 8—11, относящиеся к классической теории упругости. После некоторых колебаний автор решил все же включить сюда раздел, относящийся к теории конечных деформаций, область применения этой теории слишком ограничена и имеющиеся решения крайне немногочисленны. Подобранный материал в основном соответствует университетской программе. Преподаватель всегда сможет выбрать отсюда те разделы, которые покажутся ему более интересными. В практике преподавания теории упругости на механико-математическом факультете МГУ автор отказался от изложения теории изгиба Сен-Венана, считая, что вопрос о распределении касательных напряжений при изгибе не очень важен. Однако появление ком- позитных материалов с полимерной матрицей, которые слабо сопротивляются сдвигу, заставило ввести опять теорию касательных напряжений при изгибе для балок прямоугольного сечения —что нужно для практики. Вообще, применение в технике композитных материалов заставило включить в курс элементы теории упругости анизотропных тел.
Если в старых курсах теории упругости основной задачей теории выдвигалось обоснование приближенных методов сопротивления материалов, сейчас мы не можем стоять на этой точке зрения. Действительный интерес представляют именно те задачи,
которые принципиально не могут быть решены элементарными средствами. В последние годы сингулярные решения задач теории упругости приобрели новую жизнь, теория дислокаций, т. е. распределенных вдоль линии особенностей, порождающих неод- позначное поле перемещений, позволила удачно и довольно точно моделировать дефекты реальной кристаллической решетки, благодаря которым кристаллы получают возможность пластически деформироваться. Поэтому элементы теории дислокаций вкраплены и в главу об антиплоском напряженном состоянии, и в главы о плоской и пространственной задачах теории упругости. Так же обстоит дело с теорией трещин или разрезов. При распространении трещины освобождается упругая энергия, которая расходуется либо на увеличение поверхностной энергии трещины, либо на производство работы пластической деформации в концевой зоне. Эти факты лежат в основе так называемой линейной механики разрушения.
Предметом гл. 12 служит то, что принято называть прикладной теорией упругости ——стержни, пластины и оболочки. Общпе пропорции курса не позволили уделить этим важным техническим объектам много места, да вряд ли это было бы целесообразно. Для практических расчетов следует обращаться к специальной литературе, изобилующей длинными формулами, таблицами и графиками. Общая точка зрения, проводимая в данной главе, состояла в том, чтобы получать во всех случаях основные уравнения с помощью единообразного приема, а именно отправляясь от вариационных принципов.
Гл. 14, посвященная теории дислокаций, ни в какой мере не относится к физике твердого тела, где эта теория находит приложения. Это ——иллюстрация методов теории упругости, дис- локации предполагаются помещенными в однородную изотропную сплошную среду. Автор предвидит возможную критику его за то, что материал, помещенный в этой главе, соответствует состоянию теории примерно в 50-х годах. Но в теории упругих дислокаций после этого сделано не так уж много. Автору приш- лось решительно противостоять соблазну изложить здесь континуальную теорию дислокаций, это завело бы его, пожалуй, слишком далеко.
Теория пластичности излагается в двух главах, в гл. 15 — теория идеальной пластичности, в следующей гл. 16 ——теория упрочняющихся пластических материалов. Если теория предельного равновесия пластических тел замкнута в себе, опирается на ряд строго доказанных теорем и располагает точными методами, теория упрочняющегося пластического тела имеет еще довольно расплывчатые контуры, предмет ее — скорее обсуждение и сравнение некоторых гипотез и формулировка некоторых принципов довольно общего характера. Читатель заметит эту разницу, объясняемую существом дела.
Наследственная теория упругости и теория ползучести металлов при высоких температурах описывают сходные внешне явления совершенно различными средствами. Как по первому, так и по второму предмету автору принадлежат отдельные монографии довольно большого объема, поэтому выбор минимума материала для этих глав представил определенные субъективные трудности.
Гл. 19 относится к механике разрушения. В современной литературе часто под механикой разрушения понимается один узкий ее раздел, а именно теория распространения трещин хрупкого и квазихрупкого разрушения. Весь формальный аппарат для этого подготовлен ранее, поэтому здесь дается лишь некоторая сводка известных уже читателю результатов и практические выводы и<з них. Большая же часть главы относится к условиям прочности хрупких материалов, теории накопления повреждешп! при длительном действии нагрузок при высоких температурах. Здесь же сообщены краткие сведения об усталостном разрушении. Автор полагает, что вопросы прочности как в принципиальном, так и в прикладном аспекте составляют необходимый элемент образования механика-универсанта и механика-инженера, и сознает совершенно недостаточный объем излагаемого им материала, но в заглавии книги фигурирует только слово «механика», но не «прочность», не «расчеты», не «сопротивление материалов».
Наконец, в последней, двадцатой главе излагаются основы теории высокопрочных композитных материалов волокнистого строения, нашедших применение в последние годы. Эта теория еще далека от завершения, что, вероятно, почувствует читатель.
Автор считал бы полезным дать физическое введение или послесловие, вероятно именно послесловие, поскольку о физических теориях и фактах нужно говорить на достаточно развитом механическом и математическом языке. Но ограниченность объема книги не позволила сделать это.
В современной литературе по механике сплошной среды часто излагается общая теория построения определяющих уравнений для разного рода сред, причем подход к этому у разных ученых различен. В данной книге обсуждаются лишь простейшие модели и простейшие виды определяющих уравнений, относящиеся к таким материалам и таким процессам, которые изучены достаточно хорошо экспериментально. Обсуждение наряду с реальными моделями всего многообразия возможных мыслимых моделей деформируемого твердого тела в рамках этого курса казалось автору неуместным, хотя это отнюдь не означает отрицательного его отношения к подобного рода попыткам вообще.
ЧАСТЬ I
СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Предмет механики деформируемого твердого тела
Механика твердого тела, будучи одной из глав общей механики, изучает движение реальных твердых тел. Различие между твердыми телами, с одной стороны, жидкостями ——с другой, иногда кажется интуитивно ясным (например, сталь и вода), иногда отчетливую границу провести бывает трудно. Лед представляет собою твердое тело, однако ледники медленно сползают с гор в долины подобно жидкости. При прокатке раскаленного металлического листа между валками прокатного стана металл находится в состоянии пластического течения и термин «твердое тело» по отношению к нему носит довольно условный характер. Неясно также, следует ли отнести к жидким или твердым телам такие вещества, как вар, битум, консистентные смазки, морской и озерный ил и т. д. Поэтому дать определение того, что называется твердым телом затруднительно, да пожалуй и невозможно. В последние годы наблюдается определенная тенденция к аксиоматическому построению механики без всякой апелляции к интуиции и так называемому «здравому смыслу». Таким образом, вводятся различные модели, иногда чисто гипотетические, иногда отражающие основные черты поведения тех или иных реальных тел и пренебрегающие второстепенными подробностями. Для таких моделей можно установить некоторый формальный принцип классификации, позволяющий отделить модели жидкостей от моделей твер(дьхх тел, но эта классификация отправляется от свойств уравнений, но не тел как таковых. Поэтому термин «механика твердого тела» будет относиться скорее к методу исследования, чем к его объекту.
Свойства тел, окружающих насхв природе и создаваемых техникой, весьма разнообразны и механика подменяет реальные тела некоторыми и де а лизир ов анными объектами, «механическими моделями». В этой книге мы не будем следовать аксиоматическому методу рассуждений и не будем пренебрегать соображениями, основанными на интуиции, точнее на обобщении резуль-
ПРЕДМЕТ МЕХАНИКИ ДЕ①ОРМПРУЕМОРО ТВЕРДОГО ТЕЛА ]7 татов опыта, как повседневного, который обобщается более или менее бессознательно (это мы и называем интуицией), так и специального, преднамеренно запланированного.
Механика изучает движения, вызванные силами; механическими средствами могут быть измерены только силы, вызывающие движение, и кинематические характеристики движения, т. е. перемещения или изменения во времени некоторых длин. Поэтому в определении модели должны фигурировать только силы и кинематические характеристики движения; поведение модели описывается с помощью уравнений, которые называют определяющими уравнениями. Механические теории, как праавило, носят феноменологический характер; это значит, что в основу их пола、 гаются факты опытного происхождения; притом факты, добытые в результате так называемого макроэксперимента, т. е. такого эксперимента, в ходе которого измеряются только механические величины, непосредственно входящие в определяющие уравнения: силы и перемещения. Но при действии сил в структурных эле- ментах тела происходят внутренние процессы, о которых можно судить, применяя различные физические методы исследования, например, наблюдая в оптический или электронный микроскоп, измеряя электрическое сопротивление и т. д. Эти внутренние процессы существенно определяют поведение материала, но изучение их служит предметом физики, а не механики. Однако понимание физики процесса бывает полезным и для механиков, иногда физические соображения подсказывают выбор наиболее адекватной механической модели, они позволяют во многих случаях судить о пределах применимости тех или иных определяю- щих уравнений, относящихся к данному материалу; если имеются признаки того, что физический механизм деформирования изменился, можно ожидать, что и определяющие уравнения данного типа перестают быть справедливыми. Величины, которые измеряются не механическими, а физическими средствами, могут фигурировать и в определяющих уравнениях, ио роль их сводится к роли вспомогательных параметров, которые в принципе могут быть исключены; для построения механической теории данные макроэксперимента достаточны, тогда как обращение к физике полезно лишь в качестве наводящего соображения. Подобно тому как геометрия содержит в своей основе элементарные опытные факты и результаты повседневных наблюдений, которые резюмируются в виде систем аксиом и вытекающих из них теорем, механика также допускает аксиоматическое построение II в этом смысле может рассматриваться как часть математики. Такая точка зрения не будет развиваться в данной кни- ге, представляющей собою относительно элементарное руковод- ство, тем не менее автор хочет подчеркнуть, что он не разделяет мнение тех, которые считают механику одним из разделов физики.
2 Ю. н. Работнов
Развитие механики твердого тела в значительной степени связано с практическими целями ——расчетом частей сооружений и машин на прочность. Учебная дисциплина, излагающая способы таких расчетов и преподаваемая в технической школе, называется сопротивлением материалов. Содержание соответствующего курса определяется тем уровнем и запасом сведений, который считается в данное время необходимым для практической работы инженера. Термин «сопротивление материалов» неточен, в соответствующем курсе обычно больше внимания уделяется методам расчета простейших элементов конструкций, чем свойствам собственно материалов и их сопротивлению действию приложенных сил.
Более точные и строгие методы, позволяющие производить подобного рода расчеты, изучаются специальными научными дисциплинами, которые носят название теории упругости, теории пластичности, теории ползучести, вязкоупругости, механики раз- рушения и т. д. Более правильно рассматривать их не как отдельные науки, а как ветви или главы механики деформируемого твердого тела. Эта точка зрения и будет проведена в настоящей книге.
Выше был употреблен термин «прочность», который требует некоторого пояснения. В широком смысле слова под нарушением прочности мы будем понимать достижение такого состояния, когда нарушается конструктивная функция изделия, когда оно становится непригодным для эксплуатации. В прямом и более узком смысле слова под нарушением прочности понимается разделение тела на части. Здеь термин «прочность» будет пониматься как в том, так и в другом смысле, каждый раз с соответствующими оговорками.
Последнее замечание будет относиться к области применения механики деформируемого твердого тела. Хотя подавляющее большинство исследований в этой области так или иначе связано с проблемой прочности, методы нашей науки используются, например, в геофизике при изучении распространения сейсмических волн, построении моделей формирования земной коры и рассмотрении других задач. В современной физике твердого тела большую роль играет изучение дефектов кристаллической решетки. Строение этих дефектов часто оказывается возможным описать в терминах механики и наиболее пожалуй интересные результаты последних лет в области теории упругости относятся именно к физике кристаллов.
Сплошная среда
В основе механики лежат законы движения, открытые Ньютоном и справедливые для любых материальных тел. Механика относительности лишь уточняет законы Ньютона, эти уточнения существенны при очень больших скоростях, приближающихся к'
скорости света. При изучении движения реальных твердых тел приближение ньютонианской механики вполне достаточно и мы в дальнейшем ограничимся этими рамками. Заметим, что в так называемой теории магнитоупругости рассматриваются одновременно связанная система уравнений электродинамики и теории упругости. Уравнения Максвелла и уравнения обычной теории упругости инвариантны относительно различных групп преоб* разований, поэтому теория получается более стройной и логичной, если использовать в пей уравнения релятивистской теории упругости. Практически, конечно, на результатах решения задач эти уточнения не сказываются. Для построения конкретных механических теорий необходимо сделать следующий шаг ——определить изучаемый объект. В курсах теоретической механики вводится понятие материальной точки как некоторого простейшего идеального, т. е. не существующего в природе объекта. Материальная точка имеет массу, но не имеет размеров, что абсурдно. Тем не менее понятие материальной точки оказывается достаточным для решения целого ряда вопросов. Например, при изучении движения планет вокруг Солнца вполне достаточно считать как Солнце, так и планеты материальными точками, расстояния между планетами и Солнцем чрезвычайно велики по сравнению с размерами самих небесных тел.
Общие теоремы механики формулируются для системы материальных точек, связанных силами взаимодействия или подчиненных геометрическим связям. Простейшую систему представляет собою так называемое абсолютно твердое тело, т. е. система конечного или бесконечно большого числа материальных точек, расстояния между которыми остаются неизменными. После того как наложено столь жесткое кинематическое ограничение, вопрос о природе сил взаимодействия между точками, составляющими твердое тело, уже не возникает, эти взаимодействия не могут быть измерены никаким способом, они совершенно не влияют на характер движения тела. Продолжая тот же путь рассуждений, можно представить себе реальное твердое тело или жидкость как систему весьма большого числа материальных тоаек, взаимодействующих между собою определенным образом. Физическая точка зрения будет состоять в том, чтобы приписывать этим материальным точкам определенную индивидуальность^ отождествляя их с реальными атомами и молекулами. Лроспе- дить за движением каждой физической точки совершенно невозможно, так как число их слишком велико, поэтому, даже если принять за отправной пункт представление об атомном строении и об определенных законах междуатомного взаимодействия, все равно приходится вводить некоторые осредненные характеристики, описывающие движение атомов и действующие между ними силы, отказываясь от рассмотрения каждого атома в отдельности. Методы статистической физики хорошо развиты применительно 2*
к простейшим системам материальных частиц, а именно к газам. Для твердых тел получение эффективных результатов в этом направлении всегда связано с дополнительными гипотезами. С другой стороны, закон Бойля ——Мариотта был известен задолго до создания кинетической теории газов как эмпирический закон, выведенный из прямого опыта. Механические опыты в принципе производятся наблюдателем, который вооружен лишь собственным глазом и простейшими инструментами. Для невооруженного глаза все тела представляются сплошными, для макроскопического описания движения тел сведения об их атомной и молекулярной структуре совершенно не нужны. Поэтому в механике реальное твердое тело заменяется воображаемой, модельной сплошной средой. Среда называется сплошной, если любой объем, выделенный из нее, содержит вещество, т. е. имеет массу. Ясно, что представление о сплошной среде противоречит пред? ставлению об атомном строении вещества. Действительно, если объемы достаточно малые, то в одном объеме может оказаться атом, другой будет находиться в пространстве между атомами, значит не будет содержать в себе ничего, имеющего массу.
Представление о сплошной среде до чрезвычайности упрощает математическое описание движения тел. Так, если считать, что среда, заполняющая в данный момент некоторый объем, представляет собой жидкость, то это значит, что каждая точка с координатами 爲 принадлежит жидкости; выделяя вокруг этой точки сколь угодно малый объем, мы найдем, что этот объем будет содержать в себе материю, т. е. жидкость. Можно считать точку М фиксированной точкой пространства, тогда в ней задан вектор скорости г, той скорости, которую приобретает малый объем, окружающий эту точку в момент времени 九 При этом нас совершенно не смущает то, что на самом деле в момент времени t точка может принадлежать пустому пространству. Более того, если в точке находится атом, скорость его фактического движения нельзя отождествлять со скоростью жидкости в точке.
Атомы совершают беспорядочные движения и тогда, когда жидкость считается находящейся в покое. Это ——тепловые движения. Сами по себе тепловые движения атомов механику не интересуют, однако температура, служащая мерой этих беспорядочных движений, может фигурировать в определяющих уравнениях механических теорий. Скорости сплошной среды, заменяющей реальное тело, это ——некоторые осредненные скорости, которые определяют наблюдаемые перемещения объемов. Аналогичное положение возникает в твердых телах. Узлы кристаллической решетки представляют собою положения равновесия для образующих решетку атомов, которые колеблются около этих положений равновесия, однако средние расстояния между атомами остаются почти постоянными, и атомы лишь изредка покидают свои узлы решетки. При приложении нагрузки средние
расстояния между атомами меняются, это изменение определяет видимую деформацию кристалла; только эта видимая деформация и представляет интерес для механики. Однако макроскопические свойства кристалла зависят от температуры, которая определяется кинетической энергией колебательного движения атомов; таким образом, эти движения тоже учитываются в механике, только учитываются косвенным образом, через посредство скалярной интегральной характеристики.
Однородная среда
Среда называется однородной, если свойства выделенных из нее одинаковых объемов одинаковы. Очевидно, речь здесь идет о тех свойствах, которые доступны определению средствами механического эксперимента. Говоря о неоднородности или однородности, необходимо уточнить, о каком масштабе идет речь. Введя представление о сплошной среде, мы уже допустили однородность на уровне размера, порядка атомного. Обычный металл или сплав состоит из кристаллических зерен, т. е. кристаллов неправильной огранки, ориентированных случайно, самым различным образом. Выделяя малые элементы из поликристалли- ческого металла, мы можем оказаться в зерне одной ориентации, зерне другой ориентации, на границе двух зерен, на стыке трех зерен (рис. 1.3.1). Очевидно, что свойства этих объемов будут различными, металл неоднороден на уровне размеров зерен. У технических сплавов размер зерен составляет сотые доли милли
метра, он мал по сравнению с размерами изделий из этих сплавов. Поэтому наличие микронеоднородности не влияет на поведение металла в изделии, и металл считают однородной сплошной средой. Многие сплавы состоят из кристаллических зерен, имеющих разный химический состав и разное строение, внутри зерен и на границах между ними могут возникать включения из материала иной природы. Тем не менее подобный сплав рассматривается как однородная сплошная среда. Может возникнуть другой вопрос. Предположим, что нам известны свойства всех составляющих поликристаллической структуры и имеются Данные об их распределении. Требуется определить свойства композиции. Эта задача принадлежит механике, поскольку конечная цель состоит в построении модели сплошного однородного тела со свойствами, эквивалентными свойствам неоднородного тела, имеющего заданное строение.
Существуют неоднородные материалы с большим масштабом неоднородности, например, бетон. Но и изделия из таких мате-
риалов обычно имеют размеры, по сравнению с которыми размеры: структурных элементов пренебрежимо малы.
Представление об однородности среды необходимо для механической теории, хотя некоторые ограничения в этом направлен нии могут быть сняты. Представим себе, например, пластинку из биметалла: медь сварена со сталью, на одной стороне свойства одни, на другой ——другие. Такого рода задачи, когда свойства меняются внезапно и остаются постоянными в довольно больших объемах, принципиальных трудностей не представляют. Свойства материала могут меняться по объему и непрерывным образом. Простейший пример представляет собою неравномерно нагретое тело. Свойства материала зависят от температуры, которая распределена по объему непрерывным образом (или с конечным числом разрывов). Существенно неоднородны так называемые композитные материалы, например полимерная смола, перемешанная с рубленым стеклянным волокном. Но в механике такого рода неоднородная среда заменяется эквивалентной однородной.
Кинематическое описание сплошной среды
Понятие сплошной среды не так просто, как может показаться на первый взгляд н как это казалось подавляющему большинству ученых в XIX и первой половине XX столетий. Оказывается, что можно строить разные модели сплошной среды, наделяя их разными свойствами. Простейшая модель, которую мы будем называть классической моделью, вводится следующим образом. Примем за основное первичное понятие материальную точку. В кинематике это понятие тождественно с понятием геометрической точки. Можно представить себе точку как сферу бесконечно малого радиуса. При стремлении радиуса к нулю единственной величиной, индивидуализирующей точку, остается радиус-вектор центра сферы или три числа — координаты точки. Представляя себе некоторую замкнутую область пространства непрерывно заполненной точками, мы получим модель сплошной среды. Пусть к»。——координаты некоторой точки в момент времени 力°. При движении среды координаты данной точки меняются, в момент t они принимают значения 爲(力).Движение среды полностью задано, если функции 爲⑴ для каждой индивидуальной точки известны. Именно так определяется кинематика классической модели сплошной среды. До недавнего времени эта модель была единственной, на основе ее строились все механические теории. Но можно представить себе и иные сплошные среды, наделенные некоторой внутренней структурой. Будем рассматривать, например, материальную точку как бесконечно малый эллипсоид. Устремляя его размеры к нулю и сохраняя при этом направления главных осей, мы получим среду, с каж-
дой точкой которой неизменно связан ортогональный триэдр. Для индивидуализации точки такого рода нужно задать не только ее координаты, но и направления осей триэдра, скажем —— эйлеровы углы. Кинематика такой среды строится более сложным образом, опа определяется заданием не только перемещений точек, но также и поворотов связанных с ними триэдров.
Если считать, что силы взаимодействия между атомами направлены по прямым, соединяющим их центры (гипотеза центральных сил), то в уравнениях равновесия атомной решетки будут фигурировать только координаты атомов, но не углы их собственных вращешНк Считая число атомов очень большим, а расстояния между ними очень малыми, мы можем получить отсюда закон упругости для сплошной среды, притом для среды, соответствующей классической модели. Такие вычисления действительно производились, однако точные законы междуатомного взаимодействия неизвестны и непосредственно установить их нельзя. Поэтому в основу анализа приходится полагать более или менее правдоподобные гипотезы.
Для целей механики происхождение закона упругости безразлично, его можно рассматривать как эмпирический закон, устанавливаемы!! на основе макроэксперимента, можно постулировать пли принимать за определение некоторого воображаемого объекта, который в силу неизвестных и счастливых обстоятельств ведет себя почти так же, как многие материалы, встречающиеся в природе. Сведения о строении кристаллической решетки тем не менее оказываются полезными, они подсказывают соображения о симметрии упругих свойств и позволяют вследствие этого сократить число необходимых макроэкспериментов, а также спланировать их наиболее рациональным образом.
Взаимодействие молекул не всегда сводится к центральным силам, хотя бы потому, что положительные и отрицательные заряды размещены в молекуле определенным образом. Поэтому кроме сил появляются еще моменты, стремящиеся повернуть молекулы. Адекватная модель сплошной среды, принимающая во внимание вращательные взаимодействия, должна строиться из ориентированных точек и для полного кинематического описания движения такой среды наряду с перемещениями необходимо задавать собственные вращения. Теории сплошной среды такого типа называются моментными теориями.
Можно пойти еще дальше по пути усложнения модели и связать с каждой точкой среды еще некоторый набор кинематических характеристик, изменения которых можно трактовать как обобщенные перемещения. Им соответствуют обобщенные силы — множители в выражении для работы. В последнее время появилось много работ в указанном направлении (так называемая микрополярная теория упругости, например). Теории такого ти- иа еще не нашли больших практических приложений.
Внешние силы
Понятие о силе вводится в механике как первичное понятие. Предполагается, что сила полностью определена, если задан соответствующий вектор, при этом определение того, что такое вектор, относится целиком к области математики. Но здесь следует подчеркнуть, что понятие силы неразрывно связано с представлением о том объекте, на который сила действует. В действительности так называемых сосредоточенных сил, т. е. сил, приложенных к точке, не существует. В теоретической механике изучается движение материальной точки под действием сил —— векторов, но материальная точка это воображаемый объект, абстракция.
Далее вводится понятие об абсолютно жестком теле. При контакте двух жестких тел контакт происходит, вообще говоря, в одной точке (если поверхности выпуклы, например). При контакте реальных твердых тел они деформируются в области контакта и образуется площадка контакта конечных размеров. На этой площадке давление распределено непрерывным образом. Силу тяжести считают приложенной в центре тяжести тела, но в действительности эта сила распределена непрерывным образом по объему, ее приводят к центру тяжести на основании теорем статики об эквивалентности, теорем, которые справедливы только для абсолютно жестких тел.
Возвращаясь к примеру контакта двух твердых тел, заметим, что у достаточно прочных материалов, применяемых в технике, размеры площадки контакта оказываются, как правило, малы по сравнению с размерами тела. Поэтому представление о сосредоточенной силе давления одного тела на другое не совсем бессмысленно. Когда рассматривается состояние тела на достаточно большом расстоянии от площадки контакта, бывает достаточно пренебрегать ее размерами и считать давление сосредоточенным; в окрестности области контакта замена распределенного давления сосредоточенной силой приводит к серьезным ошибкам. Приведенные рассуждения о непрерывно распределенном давлении на площадке контакта, о силе тяжести, непрерывно распределенной по объему, опять-таки относятся не к реальному телу, а к сплошной среде в том смысле, в каком было определено это понятие выше. Можно, конечно, сказать, что в действительности при контакте двух тел вступают в действие силы отталкивания между атомами. Таким образом, вместо непрерывно распределенного давления мы получим опять-таки систему сосредоточенных сил, число которых неизмеримо велико. Но такое представление будет опять-таки лишь грубым приближением к действительности; рассматривая силы междуатомного взаимодействия как силы, действующие на материальные точки, мы отвле-
каемся от реального строения атома и от квантово-механического характера межатомных взаимодействий. Отчасти по этой причине мы остановимся на представлении о материи как о сплошной среде и не будем делать дальнейших шагов.
Чтобы избежать затруднений, связанных с неоднозначностью понятия силы, было бы более естественно принять за отправной пункт представление о работе и ввести обобщенные силы как множители при обобщенных перемещениях в выражении работы. Теперь система сил, действующих на тело, будет целиком определяться заданием кинематики и, следовательно, моделью среды. Однако наглядные представления, связанные с изображением сил в виде векторов, сохраняют определенные преимущества, хотя бы потому, что они привычны. Эти представления с известными ограничениями пригодны и в механике деформируемого твердого тела.
Теоремы геометрической статики формулируются примешь тельно к абсолютно твердому телу или системе таких тел. Распространение этих теорем на деформируемое твердое тело вытекает из принципа отвердения, утверждающего, что равновесие
Рис. 1.5.1Рис. 1.5.1Рис. il.5.2Рис. il.5.2
Рис. 1.5.1
Рис. 1.5.1
Рис. il.5.2
Рис. il.5.2
механической системы не нарушается от наложения дополнительных связей. Рассматривая деформируемое твердое тело как механическую систему, мы постулируем справедливость для него принципа отвердения. В частности, равновесие тела не нарушится, если мы предположим, что оно сделалось абсолютно жестким. В геометрической статике утверждается, что силу можно переносить вдоль линии ее действия (сила есть скользящий вектор). Недопустимость такого переноса иллюстрируется примером, изображенным на рис. 1.5.1. В случае 〃 весь стержень растягивается силой Р, в случае 6 растягивается лишь заштрихованная часть, в случае в стержень вообще не растягивается, сила при-
ложена к месту заделки. Но реакция заделки во всех трех случаях одинакова, она равна приложенной силе и направлена в противоположную сторону; для нахождения реакции нужно составить уравнение равновесия так, как если бы стержень был абсолютно жестким.
На рис. 1.5.2, 〃 изображена балка, лежащая на трех опорах и нагруженная двумя одинаковыми силами в серединах пролетов. Реакции опор будут RA, Вв, /?с. Под действием сил балка слегка прогнется, как показано на чертеже. Согласно принципу отвердения равновесие системы не нарушится, если на нее налагаются дополнительные связи. Значит, мы имеем право предположить, что изогнутая балка стала абсолютно жесткой и составить для нее обычные уравнения статики. Получим
Ra + Rb + Rc = 2P, Ra = Rc. (1.5.1)
Для нахождения трех реакций мы имеем только два уравнения статики. Задачи такого рода называются статически неопределенными, а системы, подобные изображенной на рис. 1.5.2 —— статически неопределимыми. Третье, недостающее уравнение должно быть получено из других соображений, связанных с определенными предположениями о свойствах того материала, из которого изготовлена балка.
Заметим, что уравнения статики не изменяются, если заменить систему сил статически эквивалентной. Для случаев, изображенных на рис. 1.5.2, б и 1.5.2, 6, уравнения статики (1.5.1) сохраняются. Но совершенно очевидно, что независимо от природы материала балки в случае 6 нагрузка будет восприниматься крайними опорами и мы найдем
Ra = Rc =尸，Rb = 0.
В случае 6 вся нагрузка воспринимается средней опорой и решение, удовлетворяющее уравнениям статики (1.5.1), а также требованиям элементарного здравого смысла, будет
/?А = Ес = о, Rb = 2P.
Для случая а соображений, основанных на здравоаг смысле, недостаточно. Для упругой балки метод решения будет изложен в гл. 3, результат получается следующий:
& = &=“ Rb ^Р.
Как показывается в статике, любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна одной силе и одной паре оил (главный вектор и главный момент). Если система сил, приложенная на малом участке поверхности, заменяется главным вектором и главным моментом, мы вводим тем самым понятие
о сосредоточенном моменте, приложенном в точке. Это понятие совершенно чуждо для статики твердого тела, где подчеркивается, что момент есть свободный вектор и его можно переносить параллельно себе как угодно. Ограничения, связанные с введением понятия о сосредоточенной силе и сосредоточенном моменте в механику деформируемого твердого тела, можно пояснить на следующем примере. Представим себе массивную балку, к концу которой прикреплен стержень. На конце стержня приложена сила, как это показано на рис. 1.5.3.
Перенесем силу в центр торцевого сечения балки. На основании правил статики при этом появится момент, который мы считаем приложенным в той же точке, что и сила.
Принцип Сен-Венана
и статически эквивалентные системы сил
Результаты многочисленных точных и приближенных pence- ний убеждают в том, что фактический способ приложения силы и момента к концу стержня сказывается лишь в непосредственной близости к этому концу. В данном случае это означает, что если нас интересуют прогибы и удлинение балки в целом, нам нет необходимости детально анализировать реальную ситуацию, изображенную на рис. 1.5.3, а, при расчетах достаточно исходить из упрощенной схемы, представленной на рис. 1.5.3,6, которая носит совершенно условный характер, поскольку ни сосредоточенных сил, ни сосредоточенных (моментов не существует. Область, в которой сказывается фактический способ приложения нагрузки, заштрихована на рисунке, границы этой области тоже условны; вне ее состояния, соответствующие статически эквивалентным нагрузкам, отличаются достаточно мало. Что значат слова «достаточно мало», мы пока не уточняем. Высказанное правило носит название принципа Сен-Венана, довольно расплывчатая формулировка связана с тем, что этот принцип не доказывается для общего случая, а иллюстрируется многочисленными примерами.
Представляя себе сплошную среду как предельный случай совокупности материальных точек, мы можем трактовать так лазываемую «распределенную» нагрузку как предельный случай совокупности сосредоточенных сил, приложенных к точкам поверхности тела, хотя такое представление в известной мере искусственно и связано с определенными привычками изложения механики в определенной последовательности. На самом деле,
как уже подчеркивалось, введя модель сплошной деформируемой среды, мы должны именно распределенную нагрузку принять
как нечто первично данное, а сосредоточенная сила представляет собою абстракцию. Для пояснения идеи нам достаточно рассмот
реть нагрузку, распределенную по линии, нагрузки, распределенные по поверхности либо по объему непрерывным образом,
вводятся аналогично. Предположим, что линия АВ (рис. 1.6.1)
принадлежит поверхности тела. Разобьем ее на п равных участков длиной б каждый, занумеруем их границы (или середины, или любые точки, принадлежащие участку), приложим в каждой из точек с номером 办 силу А. Положим РЛ/б = qk. Будем теперь безгранично увеличивать число сил, уменьшая расстояние между ними и уменьшая силу так, что отношение 尸立/6 = qk стремит
ся к конечному пределу. При переходе к пределу точка линии АВ
уже не может характеризоваться номером того участка, к которому она принадлежит, этот номер также стремится к бесконечности. Вместо этого следует задавать точку ее координатой, например длиной дуги s, отсчитываемой от точки Л до заданной точки. Итак, предельное значение qk есть g(s). Таким образом, мы ввели понятие о нагрузке, распределенной непрерывно на отрезке кривой АВ.
Если функция g(s) задана, то можно сделать обратный переход, разбить дугу АВ на конечное число участков As и приложить в середине каждого участка сосредоточенную силу g(s)As. Такой прием, состоящий в замене распределенной нагрузки конечным числом сосредоточенных сил, иногда применяется при расчетах, особенно когда используется вычислительная техника. Принцип Сен-Венана позволяет утверждать, что такая замена может сказаться на результатах лишь в непосредственной окрестности линии АВ.
Введем теперь понятие о распределенном моменте. Сначала определим сосредоточенный момент следующим образом. Пусть в точке с координатой s — е приложена сила Р, в точке с координатой s + 8 сила —Р (рис. 1.6.2). Будем уменьшать £ и увеличивать силу Р так, чтобы произведение 2еР = М оставалось постоянным. При 8 -> 0 мы получим сосредоточенный момент М, приложенный в точке, определяемой координатой s. Теперь поступим так же, как при определении распределенной нагрузки. Приложим моменты Mh в точках с номером 左，будем безгранично увеличивать число отрезков 几,уменьшая их длину и уменьшая момент так, чтобы в каждой точке s это отношение стремилось к конечному пределу m(s).
В приведенном рассуждении весьма существен порядок предельных переходов, сначала был введен сосредоточенный момент при g -> 0, потом был определен непрерывно распределенный момент и к нулю устремлялась величина б. Посмотрим, что может получиться при обратном переходе. Пусть на отрезке АВ задано распределетие момента m(s). Это значит, что на участок As действует пара сил с моментом m(s)As. Нарисуем эту пару так, как показано на рис. 1.6.3. Одна сила, равная m(s), приложена в точке с координатой s и направлена вниз, в точке с координатой s + As приложена такая же сила, направленная вверх. Рассмотрим следующий малый участок той же длины As.
На концах этого участка будут приложены силы m{s + А^) = = m + Am. Складывая силы, приложенные в точке s + As, мы найдем, что их сумма равна Am. То же самое получится на границах* всех участков длиной As, на которые можно разбить отрезок АВ, на каждый участок приходится, таким образом, сила Дттг. Переходя к пределу при As 0, мы найдем, что распределение момента zn(s) эквивалентно распределению нагрузки g(s)=dzn/ds. При этом в точках Л и 5 останутся сосредоточенные силы, равные m(sA) и m(sB) соответственно.
Принцип Сен-Венана позволяет предполагать, что такая операция, состоящая в замене распределенного момента распределенной нагрузкой и двумя сосредоточенными силами (сил может быть и больше, если функция m(s) лишь кусочно непрерывна) ,при определенных условиях допустима, хотя в этом примере для выяснения соответствующих условий необходим 6о- лее тонкий анализ. С одним из примеров подобного анализа мы встретимся в § 12.5.
Наконец последний пример, приводимый здесь, будет относиться к так называемой двойной силе. Выберем в теле две точ^ ки, находящиеся на расстоянии б одна от другой, соединим их прямой и приложим в этих точках две равные и противополож- шяе силы, направленные вдоль этой прямой (рис. 1.6.4). Будем неограниченно уменьшать 6, сохраняя величину силы постоян-
ной. Очевидно, что при 6 = 0 две равные и противоположные силы окажутся приложенными к одной и той же точке, они взаимно уничтожатся и на тело не будет произведено никакого действия. Совершенно другой результат получается, если при уменьшении б сила Р увеличивается так, что произведение Р6 остается постоянным. Оказывается, что в пределе при 6 = 0 и 尸一＞ 8 действие сил не исчезает, в теле сохра- « Р, … •…* нится некоторая совершенно определен-
Цпая деформация. Убедиться в этом фак
те с помощью элементарных рассуж- Рис. 1.6.4дений вряд ли возможно, он вытекает
из точного решения уравнений теории упругости. Мы упоминаем о нем по двум причинам: во-первых, чтобы подчеркнуть большую осторожность, которую нужно проявлять при замене системы сил статически эквивалентной, во- вторых, чтобы показать, каким образом последовательность предельных переходов может определить окончательный результат.
Внутренние силы
Сохранение формы твердого тела обеспечивается внутренними связями, природа которых для нас безразлична. Согласно аксиоме связей равновесие системы сохраняется, если разрушить часть связей и заменить их силами, которые называют реакциями связей.
Рассмотрим произвольное тело, нагруженное совокупностью внешних сил Рь Р2, Рз, . • •, Рп・ Будем обозначать эту совокупность символом (尸).Мысленно рассечем тело поверхностью S, проходящей через некоторую внутреннюю точку М. На левую часть действует совокупность сил (Р)л, на правую совокупность сил——(Р)пр・ Для того чтобы каждая из частей сохраняла равновесие, необходимо приложить на поверхности разреза S силы взаимодействия, которые называются внутренними силами или напряжениями.
Рассмотрим, например, как показано на рис. 1.7.1 равновесие левой части. В классической механике сплошных сред предполагают, что реакция отброшенной правой части представляет собою силу, непрерывно распределенную по поверхности разреза. В каждой точке поверхности S определен вектор с, который мы будем называть вектором напряжения или просто напряжением. Это означает следующее. Окружим точку М на поверхности S контуром 匕 который заключает в себе малую площадь со. Сила, действующая со стороны отброшенной правой части на площадку, принадлежащую левой части, равна о(М) со с тем большей точностью, чем меньше площадка со. Иначе говоря, напряжение есть предел, к которому стремится вектор силы, действующей на ило- щадку. В действительности, силы, действующие на конечную
площадку со со стороны отброшенной части тела, распределены по этой площадке каким-то способом. Заменим их главным вектором и главным моментом, ^разделим тот и другой на величи^ ну со и устремим эту величину к нулю, т. е. стянем контур 7 в точку М. Предел отношения главного вектора сип, действующих на площадку, к величине ее площади называется напряжением. В классической теории предполагается неявно, что силы взаимодействия распределены достаточно равномерно и вследствие этого отношение главного момента к величине площадки стремится к нулю вместе с этой последней. Но в принципе можно допустить, что действие одной части тела на другую не сводится к сипам, кроме вектора напряжения с на поверхности разреза появляется . также распределенный момент jut.
Можно пойти дальше по этому пути и предположить, что взаимодействие осуществляется также посредством некоторых образований типа рассмотренных в конце предыдущего параграфа двойных сил, которые распределены по поверхности непрерывно. В современных теориях
сплошных сред подобные предположения делаются, однако значение их состоит скорее в иллюстрации весьма большой степени общности, которая может быть достигнута в рамках представлен ния о сплошной среде и о потенциальной возможности значи^ тельного расширения этих рамок с тем, чтобы описать эффекты, относимые обычно за счет дискретности строения реальных тел. Но существующие теории, уже нашедшие применения к реаль^ ны-м объектам, строятся почти искючительно на основе класса ческой модели, которая до недавнего времени представлялась совершенно очевидной и единственно возможной.
Через внутреннюю точку тела М можно провести бесчисленное множество поверхностей S и, следовательно, выбрать бесчис^ ленное множество площадок с различной ориентацией, задаваемой, например, единичным вектором нормали к площадке 〃. Для каждого вектора п или для каждой ориентации площадки с помощью описанного выше предельного перехода, мы будем получать разные векторы напряжения с. Таким образом, нельзя сказать, что напряжение в точке М есть вектор, это есть совокупность всех векторов напряжений для всех ориентаций пло^ Щадок, содержащих в себе точку М. Можно сказать, что в точ- ке М вектор с есть функция векторам, с = с(〃). В дальнейшем будет показано, что это линейная вектор-функция, три компо' ненты вектора с получаются в результате линейного преобразо-
вания из компонент вектора 几.Очевидно, что формулы, определяющие это линейное преобразование, содержат девять коэффициентов, совокупность которых определяет тензор напряжений (матрица этих коэффициентов оказывается симметричной; таким образом, для задания напряженного состояния 《 в точке нужно задать не девять величин, а //только шесть).
—-<Уб /Вектор напряжения в точке М на площад-
(ке с нормалью п естественно разложить на
人 ^^гй^ )Две составляющие, как показано на рис. 1.7.2,
/Jодна из них, оп, направлена по вектору нор-
^ мали и называется нормальным напряжением, ' вторая, tn, принадлежит плоскости площадки
Рис. 1.7.2 со и называется касательным напряжением. Условимся считать ап положительным, если вектор направлен по внешней нормали к поверхности S. Положительное нормальное напряжение называется растягивающим, отрицательное — сжимающим.
Напряженное состояние тела известно, если задан способ построения вектора напряжений в любой точке тела для любой ориентации площадки. Если во всех точках тела для площадок одинаковой ориентации векторы напряжений одинаковы, напряженное состояние называется однородным. Приведем простейшие примеры однородных напряженных состояний.
Растяжение — сжатие. На торцах призматического тела (рис. 1.7.3) приложены равномерно распределенные нагрузки ин- 一тенсивностью о. Разрезая тело плоскостью, пер- пендикулярной оси, приложим в плоскости раз- (ад|]Вй1ТпЖ> реза равномерно распределенные нормальные на- пряжения, равные по величине нагрузке о. Если тело изготовлено из однородного материала, то
Iнет оснований предполагать, что распределение
Iнапряжений по поперечному сечению будет не-
人一 / однородным, хотя, строго говоря, это необходимо ■ ЙПТТПтптЖ доказать. Для всех существующих моделей твер- дого тела такое доказательство весьма просто.
Рию. 1.7.3 Будем говорить, что в рассматриваемом случае призма находится в состоянии равномерного растяжения. У однородного материала, свойства которого для всех направлений одинаковы, растяжение или сжатие сопровождается удлинением или укорочением в направлении действующей силы.
Чистый сдвиг. На грани прямоугольного параллелепипеда действуют равномерно распределенные касательные усилия интенсивностью т (рис. 1.7.4). Легко убедиться, что параллелепипед будет в равновесии только тогда, когда на всех гранях интенсивность усилий одинакова. Действительно, на верхнюю и ниж-
нюю грани действуют противоположно направленные силы т«с, они образуют пару с плечом Ъ и моментом tabc. Точно такую же пару противоположного направления образуют силы, приложенные к вертикальным граням (при суждении о равновесии тела в целом можно применять принцип отвердения и, следовательно, заменять распределенную нагрузку равнодействующей). Во всех сечениях, параллельных граням ас или cb, возникают равномерно распределенные касательные напряжения.
Рис. 1.7.4Рис. 1.7.4Равенство касательных напряжений на взаимно перпендику^ лярных площадках, действующих в направлении линии их пересечения, называют законом (или, лучше, правилом) парности касательных напряжений. Название «чистый сдвиг» связано с тем, что при таком напряженном состоянии происходит перекашивание первоначально ортогонального элемента; изменение 丫 первоначально прямого угла и называется деформацией сдвига.
Рис. 1.7.4
Рис. 1.7.4
Гидростатическое напряженное состояние. Если па любой площадке, проходящей через данную точку, действует только нормальное напряжение о для всех направлений площадок, напряженное состояние называется гидростатическим. Только та^ кое напряженное состояние возможно в идеальной жидкости (закон Паскаля), но в жидкости о отрицательно и называется давлением. В твердых телах возможно всестороннее равномерное растяжение. Если точка М принадлежит поверхности тела, то одна из проходящих через нее площадок также принадлежит поверхности. По определению на ней должно быть нормальное напряжение, т. е. внешняя нагрузка должна быть направлена по нормали к поверхности и интенсивность ее должна быть по^ стоянной. Таким образом, для осуществления в теле гидроста^ тического напряженного состояния необходимо, чтобы на него действовала равномерно распределенная и нормальная к поверхности нагрузка. Очевидно, это необходимое, но недостаточное
условие.
Упругость
Важнейшее свойство всех без исключения твердых тел ——это упругость. В основе определения этого понятия будет находиться модель идеального упругого тела — объекта, в природе не существующего. Идеальной упругостью называется однозначная зависимость между силами и вызванными этими силами перемещениями. Если прикладывать к упругому телу нагрузки в различной последовательности, то конечное состояние не будет зависеть 3 10. Н. Работнов
от порядка их приложения, оно определяется только конечными значениями нагрузок. Из данного определения следует, в частности, что после снятия нагрузки идеально упругое тело всегда возвращается в исходное состояние. Данное определение упругости несколько упрощено. При более строгом подходе упругое тело следует рассматривать как термодинамическую систему и принимать во внимание изменение температуры, которое может сопровождать деформацию. Далее будет показано, что однозначная зависимость между силами и перемещениями сохраняется, если тело теплоизолировано или если температура его поддерживается постоянной за счет внешнего притока или оттока тепла. Следует заметить, что для большинства твердых тел тепловые эффекты невелики, для металлов они практически неощутимы, для полимеров иногда их приходится принимать во внимание. Мы сохраняем данное определение упругости в качестве рабочего, учитывая, что оно вполне точно для адиабатического и изотермического процессов и практически точно для промежуточных случаев.
Закон упругости выполняется с очень большой степенью точности для кристаллов кварца, для термически обработанной стали, например, если нагрузки, а следовательно, и напряжения, не слишком велики. Другие материалы считают упругими лишь с известным приближением, сознательно пренебрегая той погрешностью, которая связана со сделанным предположением. Существенно, чтобы эта погрешность не выходила 13a определенные пределы, которые устанавливаются требованиями практики. В противном случае приходится применять другие, усложненные модели. Эти модели приходится конструировать из различных элементов; идеальная упругость и представляет один из таких элементов, фигурирующий почти во всех не слишком упрощенных моделях твердого тела.
Основным источником сведений о механических свойствах материалов служит опыт на растяжение. Призматический образец растягивается напряжением о (рис. 1.7.3), измеряется его длина I или расстояние между двумя нанесенными рисками. До растяжения эта длина равнялась ", приращение длины AZ = Z — Zo называется удлинением, а отношение е = AZ/Z0 называется относительным удлинением. (Иногда вместо слова «удлинение» мы будем употреблять более общий термин ——деформация.) Если о меняется определенным известным нам образом как функция времени, говорят, что задана программа испытания a(f). При этом физическое время t не играет роли, важно не протекание процесса во времени, а последовательность событий. Формально это означает, что программы о(力)и о(т) тождественны, если т есть произвольная монотонная функция t. С изменением о меняется е, если о = о(力),то е = e(t). Будем наносить в плоскости о — е точки, соответствующие одинаковым значениям времени 方.
Если все эти точки при всех программах испытания окажутся лежащими на одной и той же кривой, то материал упруг.
Уравнение полученной кривой
а = ф(е) (1.8.1)
и представляет собою закон упругости. Для огромного большинства материалов закон упругости с большой точностью может считаться линейным и его можно записать следующим образом:
о = Ке. (1.8.2)
Величина Е называется модулем упругости, а соотношение (1.8.2) носит название закона Гука (Роберт Гук ——английский математик и физик, 1635—1703).
Закон упругости справедлив, пока напряжение не достигает определенного предела, называемого пределом упругости. Определение этого предела довольно условно; располагая аппаратурой разной чувствительности можно обнаружить отклонение от закона упругости при больших или меньших напряжениях. Напряжение, до которого справедлив закон Гука, называют пределом пропорциональности; замечание об условности определения относится в равной мере и к пределу пропорциональности.
Пластичность
Если напряжение превышает предел упругости, зависимость между нагрузками и перемещениями перестает быть однозначной и перемещения, соответствующие данной системе нагрузок, зависят от порядка их приложения. После снятия нагрузки вызванные ею деформации не исчезают, а частично сохраняются. Эти деформации называются пластическими.
Величина пластической деформации зависит не только от конечной величины действующих сил, но также от порядка их приложения. Вообще говоря, она зависит также от скорости нагружения и от времени пребывания тела под нагрузкой. Однако при построении модели пластического тела бывает целесообразно разделить эти эффекты.
Обратимся снова к опыту на простое растяжение. Если напряжение все время монотонно возрастает и становится при этом выше предела упругости, зависимость между напряжением и деформацией изображается кривой, представленной на рис. 1.9.1. Запишем уравнение этой кривой
0 =中(6), do>0. (1.9.1)
При построении модели пластического тела предполагают, что зто уравнение справедливо при любой программе нагружения, в которой напряжение монотонно возрастает. Скорость нагружения при этом совершенно безразлична, можно приостановить 3*
нагружение и держать образец под нагрузкой сколь угодно долго. Недопустимо лишь нарушение условия а > 0. Для реальных материалов дело обстоит сложнее. На самом деле диаграмма пластического деформирования зависит от скорости. Однако для большинства конструкционных сплавов эта зависимость довольно слабая, разница между кривыми деформирования, которые соответствуют скоростям, разнящимся на два ——три десятичных порядка, ие выходит за пределы разброса свойств индивидуальных образцов. Поэтому мы будем приписывать зависимости (1.9.1) универсальный характер.
Предположим теперь, что мы довели нагружение до точки Л на диаграмме с координатами о，и е'. После этого производится
разгрузка, напряжение о уменьшается до нуля. Диаграмма растяжения, представленная на рис. 1.9.1, отражает не только пластическое поведение материала, по и упругое. Если представить себе, что материал и в пластической области сохраняет упругие свойства, то нужно допустить, что деформация е‘ состоит из двух частей: пластической и упругой. По закону Гука, если предположить, что он сохраняет силу и в пластической области, величина упругой составляющей есть о7Е. При разгрузке пластическая деформация сохраняется неизменной, тогда как упругая исчезает полностью. Следовательно, зависимость напряжение ——удлинение при разгрузке будет изображаться прямой АВ, наклон которой определяется модулем упругости Е. Этот факт довольно хорошо подтверждается опытами па металлах.
Более тщательные эксперименты показывают, что закон разгрузки не описывается совершенно точно уравнением линейной упругости, линия АВ, строго говоря, не прямая. Заменяя ее наиболее близкой прямой, мы находим, что ее наклон не соответствует в точности начальному модулю упругости Е. В существующих теориях пластичности этими незначительными отклонениями от закона Гука при разгрузке пренебрегают. У полимерных материалов, а также у композитных материалов, например стеклопластиков, закон разгрузки отличается от закона Гука очень
существенно. По-видимому, это объясняется тем, что при нагружении материала в нем образуются микротрещины. Действительно, о возникновении трещин на ранних ступенях деформации судят по звуковой эмиссии, которую можно регистрировать специальной аппаратурой.
Более крупные трещины обнаруживаются визуально. На рис. 1.9.2 изображена диаграмма деформирования гипотетического линейно упругого материала, в котором по мере растяжения возникают трещины. Появление трещин эквивалентно уменьшению эффективной площади поперечного сечения, а так как при вычислении напряжения нагрузка делится на общую площадь,
диаграмма при нагружении ничем не отличается от диаграммы пластичности. Разница обнаруживается лишь при разгрузке, которая следует закону упругости, но как бы с уменьшенным
модулем, прямая разгрузки возвращается в начало координат, если все трещины полностью смыкаются. Но в процессе дефор
мации может происходить выкрашивание перемычек между трещинами, что препятствует их полному смыканию после разгрузки, поэтому деформация исчезает не полностью и разгрузка следует некоторой кривой, которая схематически показана штриховой линией. Примерно так выглядит действительная кривая
разгрузки для многих пластмасс.
Возвращаясь к обычной пластичности, т. е. к диаграмме, изображенной на рис. 1.9.1, предположим,' что образец после разгрузки нагружается вновь. Оказывается, что повторная нагрузка следует закону упругости до тех пор, пока снова не будет достигнуто напряжение о', зависимость между о и е опять изображается отрезком ВА. После точки Л, когда становится о > о\ опять вступает в силу зависимость (1.9.1), образец деформируется пластически, упругая же его деформация увеличи
вается в соответствии с повышением напряжения по закону Гука. При о V о' зависимость между напряжением и деформацией, справедливую как при разгрузке, так и при нагружении, удобно записывать в дифференциальной форме
do^Ede (о<о,). (1.9.2)
Соотношения (1.9.1) и (1.9.2) для случая растяжения определяют модель упругопластического тела. Поведение таких материалов как сталь, алюминиевые и
титановые сплавы и другие металлические материалы, применяемые для изготовления несущих элементов конструкций, соответствует этой модели лишь с известным приближением. Для многих практических расчетов точность такой модели достаточна,
она полагается в основу теории пластичности.
У мягкой стали, титановых сплавов и некоторых других материалов переход от упругого участка диаграммы растяжения к пластическому происходит очень резко и пластический участок почти горизонтален. Идеализируя действительное положение, можно изобразить эту диаграмму так, как это показано на рис. 1.9.3. Напряжение в таком идеализированном материале не может превысить величину от, называемую пределом текучести. При о = От величина пластической деформации неопределенна, она может расти сколь угодно, но при уменьшении деформации происходит уменьшение напряжения, т. е. разгрузка, подчиняющаяся закону Гука и описываемая уравнением (1.9.2). Теория идеальной пластичности представляет собою наиболее законченную в математическом отношении главу теории пластичности.
Последействие и ползучесть
Явление последействия типично для полимерных материалов при невысоком уровне напряжений. Представим себе, что образец нагружен за очень короткое время до напряжения о. Деформация его немедленно после нагружения будет &, это упругая деформация. Если теперь оставить образец под действием постоянного напряжения о, мы обнаружим, что он продолжает деформироваться и по истечении некоторого времени 力來 к начальной деформации & прибавится добавочная де- ， формация е', так что полная деформация будет е0 + ег. 七
冬
2
Рис. 1.10.2Рис. 1.10.2С2
Рис. 1.10.2
Рис. 1.10.2
Снимем мгновенно нагрузку в момент времени 力來,упругая деформация % исчезнет, накопленная же за время 力* деформация последействия не исчезнет. На первый взгляд может показаться, что ег — пластическая деформация, но это не так. Разгруженный образец будет продолжать сокращаться со временем, остаточная деформация будет уменьшаться, стремясь к нулю. Этот процесс можно проиллюстрировать графиком, изображенным на рис. 1.10.1. Здесь представлена зависимость дефор-
мации от времени для описанной выше программы испытания. Материалы, обладающие свойством последействия, называют наследственно-упругими или вязкоупругими. Первый термин связан с тем, что поведение таких материалов определяется не только тем воздействием, которое образец испытывает в данный момент, но также историей тех воздействий, которым материал подвергался ранее, в течение всей истории своего существования. Второе название связано с простой механической моделью, которая качественно воспроизводит описанное поведение материала. Эта модель изображена на рис. 1.10.2. Две пружины с жесткостями Ci и с? соединены последовательно, параллельно одной из пружин установлено вязкое сопротивление ——масляный демпфер. Если нагрузки прикладываются очень быстро, масло практически не успевает перетечь из одной части цилиндра в другую, пружина 2 не растягивается, мгновенно упругое поведение системы определяется только жесткостью пружины 2. Если, наоборот, нагружение очень медленное, то сопротивление демпфера, пропорциональное скорости движения поршня, очень мало, сила растягивает как пружину 2, так и пружину 2, перемещение опять линейно зависит от силы, но теперь жесткость с определяется из условия
11 , 1
величина с меньше, чем с】и с2. Прикладывая постоянную нагрузку в течение времени *力 и затем снимая ее, мы получим график зависимости деформации от времени, подобный представленному на рис. 1.10.1.
Нужно заметить, однако, что приведенная модель может служить лишь для качественной иллюстрации, но не для объяснения процессов последействия в твердых телах.
Несколько иначе происходит процесс так называемой ползучести у металлов при повышенной температуре. При мгновенном приложении растягивающей нагрузки к образцу он приобретает мгновенную деформацию &, которая может быть упругой, а может состоять из упругой и пластической части, в зависимости от температуры и напряжения. Если приложенная нагрузка сохраняется постоянной, деформация образца продолжает увеличиваться со временем, к моменту 力* дополнительная деформация становится равной е', график зависимости е от 力 совершенно подобен изображенному на рис. 1.10.1. Но теперь деформация представляет собой необратимую, т. е. пластическую деформацию. В этом можно убедиться только произведя разгрузку. Если начальная деформация упруга, то при разгрузке произойдет мгновенное сокращение на величину с。, если начальная деформация была упругопластпческой, то после разгрузки исчезает только упругая часть g/Е. Разгруженный образец не уменьшает своей длины по-
еле выдержки любой длительности, деформация Г, так же как пластическая часть мгновенной деформации &, представляет собой необратимую, пластическую деформацию.
У реальных материалов свойства последействия и ползучести обычно существуют одновременно. Последействие, т. е. запаздывающая упругость, характерно для высокополимеров. Однако, если уровень напряжений достаточно высок, не вся деформация, накопленная в результате выдержки при постоянной нагрузке, возвращается после разгрузки. С другой стороны, если температура испытания не слишком велика, некоторый возврат, т. е. некоторое уменьшение оставшейся после разгрузки деформации со временем, наблюдается и у металлов.
Тела изотропные и анизотропные
Если свойства образца, вырезанного из материала, не зависят от его ориентации, материал называется изотропным. В противном случае материал называют анизотропным. В зависимости от того, какой критерий принимается при отождествлении свойств образцов, говорят о механической, оптической, тепловой и других видах анизотропии. Кристаллы, например, всегда анизотропны, это определяется их внутренним строением, поскольку атомы в кристаллической решетке располагаются совершенно определенным образом. Зная строение кристаллической решетки, можно сделать некоторые выводы о характере анизотропии, например указать плоскости симметрии. Образцы, вырезанные из кристалла симметрично относительно такой плоскости, обнаружат тождественные свойства. Технические сплавы состоят из кристаллических зерен, ориентация которых беспорядочна и произвольна. Поэтому в теле, состоящем из большого числа таких зерен, нельзя указать какое-то предпочтительное направление, отличающееся от других. Поликристаллический металл ведет себя в среднем как изотропное тело. При этом, конечно, предполагается, что размеры образца достаточно велики и он содержит в себе достаточно много кристаллических зерен. Малые образцы, состоящие из небольшого числа зерен, будут обнаруживать разные свойства, но эта разница совершенно случайна, она зависит не от ориентации образца, а от случайных ориентаций составляющих его зерен.
В прокатанном металле зерна деформируются в направлении прокатки, образуется так называемая текстура. Поэтому свойства образцов, вырезанных в направлении прокатки и в поперечном направлении, будут разными. Такая же анизотропия возникает практически при всех видах обработки металлов давлением. Однако анизотропия упругих свойств, связанная с наличием текстуры, невелика; разницей в модулях упругости стержней, оси которых ориентированы в направлении прокатки и в поперечном направлении, можно пренебречь. Однако пластические свойства
для этих направлений, предел упругости или предел текучести разнятся уже заметно. Надлежащая термическая обработка деформированного металла снимает анизотропию или, по крайней мере, уменьшает ее.
Анизотропия кристаллов объясняется их атомной структурой, но существуют материалы, у которых определяющие их анизотропию структурные элементы имеют значительно большие размеры. Примером может служить древесина, расположение видимых невооруженным глазом волокон создает относительно высокую прочность в направлении оси ствола и малую прочность в поперечном направлении. В этом отношении можно сказать, что природа распорядилась прочностью целлюлозы, из которой, в основном, состоит древесина, наилучшим образом. По этому принципу в технике создают так называемые композитные материалы, примером которых могут служить стеклопластики. Тонкая стеклянная нить имеет высокую прочность, укладывая слои такой нити, пропитывая их смолой и полимеризируя, получают монолитные пластины. Чередуя направления укладки слоев, можно менять степень и характер анизотропии с тем, чтобы использовать прочность волокна напвыгоднейшпм образом. В последние годы были получены и промышленно освоены высокопрочные волокна, значительно превосходящие по своим свойствам стеклянное волокно и, что особенно важно, имеющие значительно более высокий модуль упругости. Наибольшее распространение получили волокна бора и углерода, которыми армируют пластики и металлы.
В технике широко применяют пластины и оболочки, усиленные ребрами. Так, типичная для авиации и ракетной техники конструкция оболочки представляет собой каркас из колец —— шпангоутов и продольных ребер — стрингеров. С каркасом соединяется обшивка из тонкого листа. Если стрингеры и шпангоуты расположены достаточно часто, для расчетных целей такую оболочку можно заменить сплошной анизотропной оболочкой, выбрав надлежащим образом параметры анизотропии. Обычно такая анизотропия называется конструктивной в отличие от «физической». На самом деле такое различение довольно условно, в том и другом случае анизотропия свойств определяется строением тела, разница лишь в размерах дискретных структурных элементов.
ГЛАВА 2
СТЕРЖНИ И СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ 一
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
Растяжение и сжатие стержней
Для выяснения основных идей механики деформируемого твердого тела мы начнем с простейших задач, решение которых основывается на непосредственном использовании данных опыта и требует лишь элементарных соображений. В § 1.7 было рассмотрено простейшее однородное состояние растяжения, которое
возникает в цилиндрическом теле, к торцам которого приложена равномерно распределенная нормальная нагрузка. Изменяя направление внешней нагрузки на противоположное, получим од
Рис. 2.1.1Рис. 2.1.1нородное сжатие, которое формально отличается от растяжения только знаком, который приписывается напряжению о.
Рис. 2.1.1
Рис. 2.1.1
Рис. 2.1.2Рис. 2.1.2Растяжение или сжатие с достаточно хорошей
Рис. 2.1.2
Рис. 2.1.2
степенью точности реализуется в стержнях и стержневых системах типа ферм.
Стержнем называется цилиндрическое тело, поперечный размер которого мал по сравнению с размером в направлении образующей ). Под поперечным размером мы будем понимать расстояние между двумя параллельными касательными к контуру, например h или %' на рис. 2.1.1. Отношение h/l < 1, эта величина представляет собой малый параметр, необходимый для оцен-
кп степени точности теории. Предполагается, что 无 и 九‘ всегда одного порядка, т. е. h/h'〜1 для всех пар касательных.
Тонкостенным называется такой стержень, у которого харак
терные размеры поперечного сечения сильно разнятся между собою и из них можно скомбинировать еще один малый параметр. Простейшим примером служит стержень с сечением в форме вытянутого прямоугольника со сторонами 6 и 7г, причем 6/无《 < 1. На рис. 2.1.1, 6 приведен пример тонкостенного стержня с криволинейным профилем, для него также существует малый параметр 3/九 < 1.
Стержни встречаются как основные элементы огромного боль
шинства инженерных конструкций. Мостовая ферма, схематиче
ски изображенная на рис. 2.1.2, состоит из отдельных стержней, соединенных между собою заклепками или сваркой.
Если все узлы, в которых соединяются стержни фермы, снабжены шарнирами и концы стержней могут свободно поворачиваться без трения, а также если внешние силы приложены только к узлам, все стержни будут находиться в состоянии рас- тяжения или сжатия.
Будем говорить, что стержень растягивается, если к торцам его приложены силы, статически экви- валентные одной силе, действующей по оси стержня. Осью стержня мы будем называть прямую, проходя
сечений. На рис. 2.1.3 виде сил, приложенсечений. На рис. 2.1.3 виде сил, приложенщую через центры его поперечных действующие нагрузки показаны в
сечений. На рис. 2.1.3 виде сил, приложен
сечений. На рис. 2.1.3 виде сил, приложен
ных в центрах торцов стержня, но эти сосредоточенные силы здесь совершенно условны. На самом деле нагрузка прикладывается к концу стержня каким-то совершенно определенным реальным способом. На рис. 2.1.4 схематически изображены некоторые из возможных способов передачи нагрузки на стержень. В случае а изображенная сила представляет собою равнодействующую давления со стороны заклепки или болта на стенки отверстия, мы не очень хорошо знаем, как именно распределено это давление. Случаи бив относятся к закреплению концов образца в захватах машины для испытания на растяжение, образец либо зажимается клиновыми губками с насечкой, либо имеет головку. В случае г конец тяги снабжен винтовой нарезкой. На этот конец навертывается гайка, опирающаяся на плоскость плиты, в которой просверлено отверстие для тяги. Усилие передается от гайки к тяге, распределяясь по виткам нарезки.
Подобных конкретных способов передачи растягивающего усилия к стержню можно указать очень много, все они будут различны. Однако при расчете стержней на растяжение не считаются с индивидуальными особенностями, зависящими от способа приложения нагрузки, а принимают во внимание только равнодействующие сил, приложенных к каждому из концов стержня. Это делается на основании принципа Сен-Венана, который в данном случае может быть сформулирован следующим образом.
Способ приложения силы к торцу стержня сказывается лишь на расстоянии от торца порядка поперечного размера ).
Таким образом, на расстоянии порядка h от торца в случае, изображенном на рис. 2.1.3, и от начала гладкой цилиндрической части на рис. 2.1.4, распределение нормальных напряжений
Рис. 2.1.4
по сечению будет практически равномерным, тем более равномерным будет оно во всех более удаленных сечениях. Но равномерному распределению напряжений соответствует равномерное удлинение, следовательно, первоначально плоские поперечные сечения останутся плоскими и параллельными, они только раздвинутся при растяжении и сблизятся при сжатии. Этот фунда^ ментальный вывод носит название закона плоских сечений.
Этот закон иногда полагают в основу всей теории. Конечно, плоскими остаются только те сечения, которые удалены от концов стержня или места приложения нагрузки на расстояние, порядок которого не меньше порядка поперечного размера.
Все изложенное относится не только к растяжению, но также к сжатию, которое отличается от растяжения формально направлением приложенной силы и, соответственно, знаком напряжения. Фактическая разница между растяжением и сжатием гораздо глубже, при сжатии может возникнуть новое явление ——потеря
устойчивости. Центрально сжатый прямой стержень может сохранить прямолинейную форму лишь тогда, когда сжимающая сила меньше некоторого предельного значения, которое уменьшается с увеличением отношения длины к поперечному размеру. Если сжимающая сила превышает эту предельную величину, называемую критической силой, то при сколь угодно малом эксцентриситете приложения силы или сколь угодно малом искривлении оси стержня он изогнется. Это явление называется потерей устойчивости; устойчивости стержневых систем будет посвящена гл. 4. Там же будет показано, что в области больших пластических деформаций наблюдается своеобразная потеря устойчивости и при растяжении.
Напряжения и деформации при растяжении ——сжатии
Воспроизводя рассуждения § 1.7 применительно к растягиваемому стержню, изображенному на рис. 2.1.3, рассечем его мысленно плоскостью шп, перпендикулярной оси стержня (не слишком близко к концу), и отбросим одну часть, например верхнюю. Оставшаяся нижняя часть изображена на том же рисунке справа. Действие верхней части на нижнюю можно за
менить равномерно распределенными по сечению шп нормаль
Рис. 2.2.1Рис. 2.2.1ными напряжениями о. После того как это сделано, составим уравнение равновесия нижней части стержня
Рис. 2.2.1
Рис. 2.2.1
";尸=0.
Здесь F——площадь поперечного сечения. Отсюда следует:
Сделаем еще одно замечание, относящееся к знакам. Знак внешней силы устанавливается по отношению к той или иной системе координат; таким образом, он совершенно условен. Нельзя сказать, положи-
тельна или отрицательна сила Р, изображен
ная на рис. 2.1.3, так как на этом рисунке ось координат отсутствует. Однако для нормальных напряжений выше, в § 1.7, было установлено совершенно определенное правило знаков, не зависящее от выбора системы координат. Напряжение о счита
ется положительным, если вектор напряжения направлен по внешней нормали к поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем, и отрицательным в противном случае.
Если на тело действуют сжимающие силы (рис. 2.2.1), то поступая по-предыдущему, можно нарисовать в сечепии илп
сразу сжимающие напряжения, обозначив их (——о), или, что удобнее, положительные напряжения о. Во втором случае знак определится автоматически из условия равновесия. В данном случае, поступая любым из двух указанных способов, мы получим одно и то же уравнение равновесия
—oF — Р = 0.
Отсюда
РСТ
Формулы для напряжений при растяжении и сжатии можно объединить
。=±4-(2.2.1)
Здесь Р ——внешняя сила, знак плюс или минус выбирается по смыслу задачи.
При расчете стержневых систем бывает удобно ввести понятие о внутренней силе в стержне (иногда применяется термин «усилие») ^ = +Р в случае растяжения, N = —Р в случае сжатия. Тогда в любом случае
о = ?・(2.2.2)
Переходя к определению деформаций, заметим, что в условиях растяжения материал будет обязательно удлиняться в направлении растяжения, в случае сжатия ——обязательно укорачиваться. В противном случае работа силы Р была бы отрицательной. Для той части стержня, которая находится в условиях чистого растяжения, относительное удлинение
М
оно положительно, если AZ положительно, и отрицательно, если AZ отрицательно.
Для упругого материала по закону Гука е = o/瓦 но о = N/F, поэтому
0 =备=±各.(2.2.3)
Здесь 尸——абсолютная величина внешней силы, знак выбирается по смыслу.
Заметим, что для всех материалов, применяемых в технике, кроме резины и полимеров в каучукообразном состоянии, модуль упругости Е весьма высок по сравнению с пределом упругости или пределом текучести. Так, для стали Е = 2 • 10& кгс/мм2. Поэтому величина упругой деформации для технических сплавов
составляет десятые и даже сотые доли процента, для жестких полимеров (в стеклообразном состоянии) не больше 1——2%.
Если материал изотропен, то цилиндр, растягиваемый в направлении его оси, остается цилиндром. Вообще, кроме деформации е в направлении растяжения, будет происходить деформация в поперечном направлении. Пусть некоторый отрезок, лежащий в поперечном сечении, имел до деформации длину Ь, длина его после деформации будет 6 + Д6 и относительная поперечная деформация е = КЫЪ, При растяжении е положительно, а е‘ отрицательно, поперечные размеры образца уменьшаются. При сжатии картина получается обратная. У изотропного материала величина е‘ одинакова для всех направлений в поперечном
сечении, поскольку деформация упруга вается, отношение стоя и носечении, поскольку деформация упруга вается, отношение стоя и но-we =—-we =—“к“к(2.2.4)(2.2.4)предпочтительного направления нет. Если и подчиняется закону Гука, то, как оказы- поперечной деформации к продольной по-
сечении, поскольку деформация упруга вается, отношение стоя и но
сечении, поскольку деформация упруга вается, отношение стоя и но
-we =—
-we =—
“к
“к
(2.2.4)
(2.2.4)
(1 + е‘)， следовательно, площадь измениласьОтносительное изменение объема равно 爷= (l + d)2(l + e) -1.(1 + е‘)， следовательно, площадь измениласьОтносительное изменение объема равно 爷= (l + d)2(l + e) -1.в отношениив отношении(2.2.5)(2.2.5)Величина v называется коэффициентом Пуассона, это ——константа материала. Значение v для стали, например, равно примерно 0,3. При упругопластических деформациях отношение е'/е меняется в процессе растяжения, оно зависит от напряжения. Объем образца при растяжении и сжатии не остается постоянным. Для изотропного материала изменение объема легко подсчитать. Длина цилиндра увеличилась в отношении (1 + е), линейные размеры поперечного сечения уменьшились в отношении
(1 + е‘)， следовательно, площадь изменилась
Относительное изменение объема равно 爷= (l + d)2(l + e) -1.
(1 + е‘)， следовательно, площадь изменилась
Относительное изменение объема равно 爷= (l + d)2(l + e) -1.
в отношении
в отношении
(2.2.5)
(2.2.5)
Поскольку упругие деформации малы, в формуле (2.2.5) следует удержать только первые степени деформаций и мы получим
-2е' + е.
Естественно предположить, что при растяжении объем материала увеличивается, если е > 0, то ДУ > 0. Для этого нужно, чтобы было
е，>^
Таким образом, коэффициент Пуассона упругого материала не больше 1/2. Высказанное предположение будет строго обосновано в § 8.4. У несжимаемого материала е‘ = —е/2. Пластиче-
ские деформации не сопровождаются изменением объема, поэтому отношение —е'/е в опыте на растяжение упругопластического стержня возрастает с увеличением деформации от величины v на упругом участке диаграммы, стремясь к 1/2.
Рассмотрим теперь случай анизотропного материала, но не произвольного, а построенного определенным образом. Пусть, например, растягивается образец, вырезанный из тканевого стеклопластика вдоль направления основы ткани (рис. 222). Через ось стержня проходят две плоскости симметрии. Очевидно, что призматический образец после деформации остается симметричным, однако деформации в поперечных направлениях 7 m 2 будут разными,
Рис. 2.2.2Рис. 2.2.3 е‘ и е" соответственно. В
упругой области е‘ = —v©
—v2e, здесь vt и v2 — различные коэффициенты Пу
ассона.
При анизотропии более общего вида, когда указать плоскости симметрии нельзя или когда они не параллельны оси растяжения, деформация может иметь более сложный характер, растяжение может сопровождаться перекашиванием стержня, как показано на рис. 2.2.3. Это легко представить себе, если выбрать образец, состоящий из набора жестких пластин, наклонных по отношению к оси и соединенных между собой прослойками из податливого материала, как показано на том же рисунке.
§ 2.3. Перемещение узлов стержневых систем
Стержни, работающие на растяжение и сжатие, часто соединяются в стержневые системы более или менее сложного строения. Соответствующий пример был приведен на рис. 2.1.2. Для того чтобы обеспечить возникновение только растягивающих и сжимающих напряжений, необходимо, как уже было оговорено, чтобы соединения стержней в узле допускали свободный взаимный поворот стержней и чтобы силы прикладывались только в узлах. Заклепочное соединение узлов или сварка их, строго говоря, не дает возможности свободного поворота, поэтому в стержнях, кроме напряжений растяжения ——сжатия, возникают напряжения изгиба, о которых будет идти речь в следующей главе. Однако эти напряжения невелики и при расчетах ими обычно пренебрегают. Если ферма статически определима, а это значит, что уравнения статики, составленные для каждого из
узлов, достаточны для определения всех усилий в стержнях, величины №, где Z — номер стержня, могут считаться известными. Теперь, если все стержни упруги, то удлинение или укорочение каждого из них будет определяться по формуле
А『#2(2.3.1)
при этом знак деформации (растяжение или сжатие) получается автоматически.
Следующая задача будет состоять в определении перемещений узлов фермы. При ее решении существенно упрощающим дело обстоятельством служит малость.
деформаций отдельных стержней, 萍一 一П^
а следовательно, и малость пере-'； —一 +
мещений по сравнению с длиной"
стержня. Обозначая перемеще-Рис. 2.3.1
ние через и, будем считать,
что А〃％ и иИ ——малые величины одного порядка малости. Так бывает в подавляющем большинстве случаев, однако, как мы увидим, не всегда. При сделанном предположении мы полагаем, что перемещение, перпендикулярное оси стержня, не вызывает его удлинения, точнее удлинение его представляет величину более высокого порядка малости, чем малая величина 〃/%. Действительно, пусть правый конец стержня на рис. 2.3.1 получает перпендикулярное его оси перемещение 〃, тогда как левый конец остается на месте. Новая длина стержня
Г =厂而彳=Z У1 + -^.
Разлагая радикал по формуле Ньютона, получим
Г = Z ｝齐 + • . •) •
Как видно, относительное удлинение (，一％)/% имеет порядок квадрата отношения 〃/%•
Рассмотрим теперь пример, пз которого ясен принцип определения не- ремещений. Кронштейн, схематически изображенный на рис. 2.3.2, нагружен в узле А силой Р, направленной, например, вертикально вниз (вообще, направление силы может быть любым). По правилам статики определяются усилия TVi и TV? в стержнях. В данном примере N、> О, W2 V 0. После этого вычисляются удлинения AZj и Д/2 (A%i > 0,应2 V 0). Чтобы определить перемещение узла Л, нужно поступить следующим образом. Предположим, что шарнир в точке А удален и стержни разъединены. Сохраняя направления стержней, сообщим стержню 7 удлинение А厶，конец его переместится в точку «1. Стержню 2 сообщим укорочение — А^, конец его перейдет в точку做・
Чтобы найти новое положение узла А, поверием стержни так, чтобы концы их совпали в точке /〃 пересечения дуг, описанных концами стерж- 4 Ю. н. Работнов
ней при их вращении около неподвижных шарниров. Отрезок /14〃 есть искомое перемещение. Нахождение перемещения или его составляющих по каким-либо осям координат, например горизонтальной и вертикальной оси, представляет собою задачу элементарной геометрии. Установленный выше факт, состоящий в том, что малое перемещение, перпендикулярное оси стержня, вызывает деформацию второго порядка малости, позволяет существенно упростить решение этой геометрической задачи. Вместо того чтобы перемещать концы стержней по дугам окружностей, будем двигать их по перпендикулярам к осям стержней. Соответствующее построение показано на том же рис. 2.3.2. В результате полу-
Рис. 2.3.2Рис. 2.3.244чается несколько отличное положение узла, а именно положение /Г. Замена дуг окружностей перпендикулярами означает, что мы как бы дополнительно деформировали стержни, но эта деформация имеет порядок 歩俏 тогда как порядок основной деформации есть 〃/2. С другой стороны, расстояние А,гА' имеет порядок 饋〃，если ААГ = 〃，ошибка от замены расстояния /4〃 величиной ЛА' есть величина порядка м〃.
Рис. 2.3.2
Рис. 2.3.2
4
4
Рпс. 2.3.2 страдает одной несообразностью: в ием использованы разные масштабы для изображения стержней и их перемещений. На рисунке, например, Д/j составляет примерно одну пятую от 乙，тогда как в действительности А%1〃1 ——величина порядка 10~3. Поэтому вся картина перемещений узла грубо искажена, дуги окружностей существенно отличаются от перпендикуляров к осям и точки 4〃 и 4’ довольно далеки одна от другой. Чтобы избежать этой несообразности, все построения для нахождения точки 4’ выпол-
пяются в другом масштабе отдельно, как показано на том же рисунке внизу. От некоторой точки, изображающей точку А, откладываются отрезки AZ1 и AZ? в направлениях соответствующих стержней и в произвольном масштабе, отличном от масштаба основного чертежа. Из концов этих отрезков к ним восстанавливают перпендикуляры, точка пересечения их есть 4‘. Если бы мы пристроили к этой диаграмме сами стержни в том же масштабе, то неподвижные шарниры оказались бы очень далеко за пределами страницы книги и дуги окружностей весьма большого радиуса были бы па самом деле неотличимы от перпендикуляров.
Применим описанный способ к конструкции, изображенной на рис. 2.3.3. Стержни составляют углы а и В с вертикалью. Требуется определить вертикальную и горизонтальную составляющие перемещения точки А. Построим отдельно диаграмму перемещений (одной и двумя черточками отмечены соответственно параллельные отрезки). Спроектируем ломаную АВА' на направления стержней. Получим
Отсюда находитсяА( sin В + AZ2sinaОтсюда находитсяА( sin В + AZ2sinasin (а + В)sin (а + В)А2 cos В — AZ cos а %= sin (a 十 в) -(2.3.2)А2 cos В — AZ cos а %= sin (a 十 в) -(2.3.2)AZ1 = 〃r sin а + 〃в cos а, Д/2 = —〃r sin § + “в cos §.
Отсюда находится
А( sin В + AZ2sina
Отсюда находится
А( sin В + AZ2sina
sin (а + В)
sin (а + В)
А2 cos В — AZ cos а %= sin (a 十 в) -(2.3.2)
А2 cos В — AZ cos а %= sin (a 十 в) -(2.3.2)
Величины AL и Д?2 легко находятся по формуле (2.3.1), если указана сила, приложенная в точке А. Усилия Ni и № определяются из условий статики.
Заметим, что, если а + § =冗,формулы (2.3.2) становятся неприменимыми. В этом случае перемещение точки А и удлинения стержней имеют различный порядок малости. На рис. 2.3.4 изображена такая система: два
одинаковых стержня образуют угол, равный л, к узлу приложена сила Р, перпендикулярная стержням. В предыдущей задаче мы пренебрегли изменением углов а и В вследствие деформации стержней и составляли уравнения стержня для нахождения Ni и 加2, считая эти углы теми же, что в исходном состоянии. В случае, изображенном на рис. 2.3.4, так делать нельзя, Iмы вынуждены предположить, что узел пере-
местился на величину и, стержни наклонились JУна угол а каждый, так что tg а = и/1. Уравне-
]/ние статики, составленное для деформированной
1/ системы, будет
气 ； 72Nsina-P = 0.(2.3.3)
\Удлинение стержня выразится следующим об-
разом:/ 1 \
I ^ Отсюда, по заколу Гука
(2.3.4)
Рис. 2.3.3Рис. 2.3.4
а как функцию Р. Поскольку упругая деформация стержня мала, перемещение 〃，а следовательно, и угол а тоже малые величины, только другого порядка. Полагая приближенно sin а。tg а ^ a, cos а « 1 — а2/2, внося эти выражения в (2.3.3) и (2.3.4) и проделывая указанное исключение, получим
u = 2忆可回｝.
Зависимость перемещения от силы оказалась резко нелинейной.
Статически неопределенные задачи на растяжение — сжатие
Последний пример предыдущего параграфа относится к особому случаю и представляет собою исключение из общего тгра- вила. Общее же правило состоит в том, что уравнения статики составляются в пренебрежении теми изменениями геометрии, ко- торые связаны с деформацией. Уравнения статики линейны, соотношения между перемещениями и деформациями стержней также линейны. Если считать справедливым закон Гука (2.3.1), то в результате решения цепочки линейных уравнений перемещения окажутся линейными функциями внешних сил.
Теперь мы можем перейти к решению задач статически неопределенных, понятие о которых было дано в § 1.5. Общий план решения таких задач состоит в следующем.
Составить уравнения совместности деформаций, т. е. соотношения, связывающие деформации отдельных элементов при всех возможных перемещениях узлов.
Заменить в уравнениях совместности деформации через напряжения или усилия по закону Гука (или иному закону связи).
Составить уравнения статики, считая геометрию системы определенной для не деформированного состояния системы.
Решить полученную систему линейных уравнений.
В отдельных случаях может возникнуть ситуация, подобная той, которая была рассмотрена в конце предыдущего параграфа. Тогда уравнения совместности деформаций окажутся нелинейными и уравнения статики придется составлять с учетом изме- вевия углов из-за деформации элементов.
Поясним описанную схему на нескольких простейших а. Система из двух .стержней, изображенная на рис.Поясним описанную схему на нескольких простейших а. Система из двух .стержней, изображенная на рис.примерах.2.3.3, дополненапримерах.2.3.3, дополненатретьим вертикальным стержнем. В точке Л приложена сила Р, направленная вертикально вниз (вертикальное цаправление стержня и силы совер- шенно необязательны, это сделано только для определенности).Горизонтальное перемещение точки Л не вызывает удлинения третьего стержня, вертикальное перемещение равно удлинению этого стержня Д/3.С другой стороны, первая из формул (2.3.2) выражает это перемещение через А% и AZ2. Таким образом, получаем уравнение совместноститретьим вертикальным стержнем. В точке Л приложена сила Р, направленная вертикально вниз (вертикальное цаправление стержня и силы совер- шенно необязательны, это сделано только для определенности).Горизонтальное перемещение точки Л не вызывает удлинения третьего стержня, вертикальное перемещение равно удлинению этого стержня Д/3.С другой стороны, первая из формул (2.3.2) выражает это перемещение через А% и AZ2. Таким образом, получаем уравнение совместностиAJ sin § + A% sin аsin (а + Р)AJ sin § + A% sin аsin (а + Р)(2.4.1)(2.4.1)Формулы закона Гука записываются обычным способомФормулы закона Гука записываются обычным способом(2.4.2)(2.4.2)б. Болт сб. Болт сНаконец, уравнения статики для узла Л будут слсдующимп: М cos а + М cos 0 + № — Р = О, М sin а — N2 sin 0 = 0.После того как в уравнении (2.4.1) удлинения будут заменены через усилия с помощью (2.4.2), остается система трех линейных уравнений для определения трех усилий 7Vb N2 и N3.Наконец, уравнения статики для узла Л будут слсдующимп: М cos а + М cos 0 + № — Р = О, М sin а — N2 sin 0 = 0.После того как в уравнении (2.4.1) удлинения будут заменены через усилия с помощью (2.4.2), остается система трех линейных уравнений для определения трех усилий 7Vb N2 и N3.площадью сечения Е вставлен в трубку из того же материала с площадью сечения Г2, как показано на рис. 2.4.1. Приведя головку болта и^шайбу в плотное соприкосновение с трубкой, поворачивают гайку так, чтобы опа переместилась по нарезке в направлении оси на величину h. Требуется определить напряжения в болте и трубке.При выполнении пункта 1 плана, т. е. при составлении уравнения совместности деформаций следует помнить, что эти уравнения “ бые возможные деформации элементов системы.площадью сечения Е вставлен в трубку из того же материала с площадью сечения Г2, как показано на рис. 2.4.1. Приведя головку болта и^шайбу в плотное соприкосновение с трубкой, поворачивают гайку так, чтобы опа переместилась по нарезке в направлении оси на величину h. Требуется определить напряжения в болте и трубке.При выполнении пункта 1 плана, т. е. при составлении уравнения совместности деформаций следует помнить, что эти уравнения “ бые возможные деформации элементов системы.связывают лю-связывают лю-Предположим поэтому, вопреки очевидности,Предположим поэтому, вопреки очевидности,,「——「——厂，———тру6ка, так иболт удлиняются, по удлинение болта больше, чем удлинение трубки на,「——「——厂，———тру6ка, так иболт удлиняются, по удлинение болта больше, чем удлинение трубки начто какчто как
Поясним описанную схему на нескольких простейших а. Система из двух .стержней, изображенная на рис.
Поясним описанную схему на нескольких простейших а. Система из двух .стержней, изображенная на рис.
примерах.
2.3.3, дополнена
примерах.
2.3.3, дополнена
третьим вертикальным стержнем. В точке Л приложена сила Р, направленная вертикально вниз (вертикальное цаправление стержня и силы совер- шенно необязательны, это сделано только для определенности).
Горизонтальное перемещение точки Л не вызывает удлинения третьего стержня, вертикальное перемещение равно удлинению этого стержня Д/3.
С другой стороны, первая из формул (2.3.2) выражает это перемещение через А% и AZ2. Таким образом, получаем уравнение совместности
третьим вертикальным стержнем. В точке Л приложена сила Р, направленная вертикально вниз (вертикальное цаправление стержня и силы совер- шенно необязательны, это сделано только для определенности).
Горизонтальное перемещение точки Л не вызывает удлинения третьего стержня, вертикальное перемещение равно удлинению этого стержня Д/3.
С другой стороны, первая из формул (2.3.2) выражает это перемещение через А% и AZ2. Таким образом, получаем уравнение совместности
AJ sin § + A% sin аsin (а + Р)
AJ sin § + A% sin аsin (а + Р)
(2.4.1)
(2.4.1)
Формулы закона Гука записываются обычным способом
Формулы закона Гука записываются обычным способом
(2.4.2)
(2.4.2)
б. Болт с
б. Болт с
Наконец, уравнения статики для узла Л будут слсдующимп: М cos а + М cos 0 + № — Р = О, М sin а — N2 sin 0 = 0.
После того как в уравнении (2.4.1) удлинения будут заменены через усилия с помощью (2.4.2), остается система трех линейных уравнений для определения трех усилий 7Vb N2 и N3.
Наконец, уравнения статики для узла Л будут слсдующимп: М cos а + М cos 0 + № — Р = О, М sin а — N2 sin 0 = 0.
После того как в уравнении (2.4.1) удлинения будут заменены через усилия с помощью (2.4.2), остается система трех линейных уравнений для определения трех усилий 7Vb N2 и N3.
площадью сечения Е вставлен в трубку из того же материала с площадью сечения Г2, как показано на рис. 2.4.1. Приведя головку болта и^шайбу в плотное соприкосновение с трубкой, поворачивают гайку так, чтобы опа переместилась по нарезке в направлении оси на величину h. Требуется определить напряжения в болте и трубке.
При выполнении пункта 1 плана, т. е. при составлении уравнения совместности деформаций следует помнить, что эти уравнения “ бые возможные деформации элементов системы.
площадью сечения Е вставлен в трубку из того же материала с площадью сечения Г2, как показано на рис. 2.4.1. Приведя головку болта и^шайбу в плотное соприкосновение с трубкой, поворачивают гайку так, чтобы опа переместилась по нарезке в направлении оси на величину h. Требуется определить напряжения в болте и трубке.
При выполнении пункта 1 плана, т. е. при составлении уравнения совместности деформаций следует помнить, что эти уравнения “ бые возможные деформации элементов системы.
связывают лю-
связывают лю-
Предположим поэтому, вопреки очевидности,
Предположим поэтому, вопреки очевидности,
,「——「——厂，———тру6ка, так и
болт удлиняются, по удлинение болта больше, чем удлинение трубки на
,「——「——厂，———тру6ка, так и
болт удлиняются, по удлинение болта больше, чем удлинение трубки на
что как
что как
(2.4.3)(2.4.3)величину h. Итак, A^i — А% "
(2.4.3)
(2.4.3)
Пренебрегая толщиной шайбы, полагаем 1{ = %, заменяя AL и Д/2 через на^ пряжения по закону Гука, перепишем условие (2.4.3) в виде соотношения между напряжениями
EhEh(2.4.4)(2.4.4)
Eh
Eh
(2.4.4)
(2.4.4)
Eh J7^TWEh J7^TW
Eh J
7^TW
Eh J
7^TW
Поскольку мы посчитали оба элемента растянутыми, при составлении уравнения равновесия нужно считать, что как в болте, так и в трубке напряжения положительны. Рассекая систему плоскостью тп и составляя условие равновесия любой из частей, получим
(2.4.5)(2.4.5)6 ь1 +02歹2 = 0.
(2.4.5)
(2.4.5)
Решая систему (2.4.4), (2.4.5), найдем Eh尸2
Совершенно очевидный результат, состоящий в том, что болт растягивается, а трубка сжимается, получился в результате решения автоматически.
в. В следующем примере будет приведено решение статически неопределенной задачи, полученное несколько иным методом, который состоит в том, что у системы освобождают столько связей, сколько нужно для превращения ее в статически определимую. Прикладывая реакции этих связей, выбирают величины их так. чтобы уничтожить перемещения, ставшие возможными благодаря нарушению связей. Эти перемещения вычисляют по отдельности от действующих сил и от неизвестных реакций; вследствие линейности системы результирующее перемещение есть сумма перемещений от каждой из сил по отдельности. Эту сумму приравнивают нулю, таким образом, получают уравнения для нахождения неизвестных реакций.
На рис. 2.4.2 изображен стержень, концы которого закреплены между неподвижными основаниями, он нагружен двумя продольными силами. Требуется определить усилия во всех трех участках стержня.
Освободив верхнюю заделку, мы даем возможность верхнему концу переместиться вниз па величину 6Р, равную
° Ра Р ・2а ЗРа
6P =一瓦7 —- kF,
Приложим теперь к верхнему концу неизвестную реакцию X, которая вытягивает стержень па величину 6^, равную 6х = X-3a/(EF). Условие неизменности длины стержня будет следующим: 6「+ 6х = 0. Отсюда, подставив выражения Зр и 6х, находим X = А. Теперь легко подсчитать, что на первом участке М = Р, на втором TV2 = 0 и на третьем N3 = —Р.
+ г. Следующий пример будет относиться к определению так называемых температурных и монтажных напряжений. Возвращаясь к схеме, изображенной на рис. 2.3.3, примем для простоты, что а = 0, шарнирные крепле-
пия стержней расположены на одной горизонтали, площади сечений и модули упругости стержней одинаковы (рис. 2.4.3). Но средний стержень оказался изготовленным на величину 6 длиннее, чем это необходимо для сборки системы без приложения усилий. В этом случае сборка становится возможной только за счет упругой деформации стержней. Применим общую схему, составим уравнение совместности деформа- ‘々〃^勿〃勿«〃勿，勿箸. ций, основываясь на диаграмме, изображенной вии-
\ I / зу рис. 2.4.3. Условие совместности будет
У 2 Л41 = (А% + 6) cos а.(2.4.6)
\Здесь А%2 — упругая деформация, поэтому уравне-
\ J /ние (2.4.6) переписывается следующим образом:
Рис. 2.4.3Рис. 2.4.3十 61 cos а.
Рис. 2.4.3
Рис. 2.4.3
Составляя уравнение равновесия и решая полученную систему, найдем
Е6 cos? аЕ6 2 cos^ а
%% 1+2 cos3 а * %% 1 + 2 cos3 а
Совершенно такой же результат будет получен, если система собрана без усилий при температуре 力，а после этого средний стержень нагрет до температуры t > %. Действительно, безразлично в каком порядке осуществляются нагревание стержня и сборка системы. Можно представить себе, что сначала средний стержень нагрет, в результате чего он приобрел удлинение 6 = а(£ ——％o)Z, и после этого произведена сборка. Заменяя в полученных выше формулах величину 6 ее выражением через температуру (см. § 2.9), получим решение задач о температурных напряжениях. Заметим, что для задач о температурных или монтажных напряжениях в статически неопределимых системах можно применять полностью указанную в начале этого параграфа схему, т. е. составлять уравнения совместности деформаций обычным способом, но при выполнении пункта 2 учитывать, что полная деформация стержня состоит из упругой деформации и вынужденной несовместной деформации 6, которая может происходить от температуры или от несоответствия действительного размера элемента проектному размеру. Поэтому вместо (2.3.1) нужно использовать следующие соотношения:
(247)(247)Nd.m=瓦可+6.
(247)
(247)
Расчет стержневых систем на прочность
При расчетах инженерных конструкций обычно считают недопустимым либо появление значительных пластических деформаций, либо разрушение всей конструкции в целом или ее отдельных элементов. Характерное напряжение, при котором пластический материал приобретает заметную пластическую дефор^ мацию, называется пределом текучести и обозначается от. Хрупкие материалы ведут себя практически упруго вплоть до момента разрушения, которое происходит при достижении напряжением значения ов, так называемого предела прочности или временного сопротивления. Понятие о пределе текучести 。丁 было введено
в § 1.9 применительно к идеальному упругопластическому материалу, для реальных материалов можно говорить об условном пределе текучести. Предел прочности ов определяют также и для пластических материалов, одиако значительное изменение формы образца в области больших деформаций, при которых происходит разрыв, делает эту величину еще более условной, чем предел текучести.
При расчетах элементов конструкций необходимо иметь некоторый запас, учитывающий неточность изготовления стерж^ ня, возможные перегрузки в условиях эксплуатации, несоответствие характеристик реального материала паспортным данным, неточность выбранной расчетной схемы. Поэтому допускаемое напряжение [о] выбирают, деля От или ов на коэффициент запаса прочности п. Таким образом:
а
[а]=——для пластических материалов,
； (2.5.1)
[а] = — для хрупких материалов. пв
Для единичного стержня, находящегося под действием растягивающей или сжимающей нагрузки, условие прочности записывается так:
lol W[o]・ (2.5.2)
В случае сжатия возможно разрушение от потери устойчивости. Этот вопрос будет детально рассмотрен далее, пока заметим, что расчет на устойчивость формально сводится обычно к расчету на сжатие при соответствующим образом пониженном допускаемом напряжении.
Для статически определимой стержневой системы условие прочности будет выполнено, если условие (2.5.2) не нарушается ни для одного из элементов. Действительно, если хотя бы для одного элемента при некотором значении силы Р условие (2.5.2) нарушается, достаточно увеличить эту силу в п раз, чтобы вся система в целом потекла или разрушилась. В статически определимой системе разрушение одного из стержней или переход его в пластическое состояние превращает систему в механизм, получающий свободу деформироваться неограниченно. Последнее слово употреблено опять-таки в условном смысле. Возможность неограниченной деформации пластического материала относится к случаю идеальной пластичности, реальные материалы обладают упрочнением. С другой стороны, даже система из идеально-пластических стержней при увеличении деформации меняет форму, в результате чего иногда (не всегда) увеличение деформации требует увеличения нагрузки.
Поскольку в статически определимой системе напряжения во всех стержнях представляют собою линейные функции действу
ющих сил, запас прочности по напряжениям, обеспечиваемый выполнением условия (2.5.2), будет в то же время запасом прочности по нагрузкам. В статически неопределимых системах дело обстоит иначе, здесь разрушение или переход в состояние текучести одного из стержней системы еще не означает разрушения системы в целом. Поясним сказанное примером.
На рис. 2.5.1 представлена система из трех стержней, совершенно подобная рассмотренной в примере г § 2.4 и изображенной на рис. 2.4.3. На этот раз система собрана без предварительного
напряжения, она загружена вертикальной силой в точке А.
Рис. 2.5.1Рис. 2.5.1Расчет, выполненный по правилам § 2.4 в предположении упругости стержня, дает
Рис. 2.5.1
Рис. 2.5.1
N* = P——
1 十 2 cos3 а 21 +2 cos3 а
Сразу видно, что N2 > ^l и при увеличении силы Р в среднем стержне предел текучести будет достигнут раньше, чем в крайних наклонных стержнях. Однако это не означает исчерпания несущей способности системы в целом. Крайние стержни, оста
ваясь упругими, препятствуют неограниченной пластической деформации среднего стержня. Таким образом, можно различить две стадии работы системы: упругую стадию, в которой усилия определяются написанными выше формулами, и упругопластическую, которая наступает после перехода хотя бы одного стержня в пластическое состояние. Значение силы Р“ при ко-
тором происходит переход от первой стадии ко второй, определяется из условия, что при Р = Р\ М = ОтЕ Отсюда
Р = От歹(1 + 2 cos3 а).Р = От歹(1 + 2 cos3 а).(2.5.3)(2.5.3)
Р = От歹(1 + 2 cos3 а).
Р = От歹(1 + 2 cos3 а).
(2.5.3)
(2.5.3)
Во второй стадии усилие № остается постоянным^2 = От歹
и задача определения усилия Л^ решается с помощью одного только уравнения статики
М + 2M cos а = Р.
Отсюда
Л\ =Л\ =2 cos а2 cos а(2.5.4)(2.5.4)
Л\ =
Л\ =
2 cos а
2 cos а
(2.5.4)
(2.5.4)
При дальнейшем увеличении силы и в наклонных стержнях начинается- текучесть. Это уже текучесть всей системы в целом.
Соответствующая сила определяет несущую способность системы и обозначается 2 — нагрузка, при которой наступает общая текучесть. Полагая в (2.5.4) ^1 =仇歹 и Р = Рт, найдем
Рт = От歹(1 + 2 cos а). (2.5.5)
Зависимость перемещения и точки А от силы Р изображается графиком, представленным на рис. 2.5.2.
Принимая один и тот же коэффициент запаса 八,получим следующие величины допускаемой нагрузки.
При расчете по допускаемым напряжениям (2.5.3) 尸&亭(1 + 2 cos3а).
При расчете по допустимым нагрузкам (2.5.5)
о F
尸 &(1 + 2 cos а) •
Второй способ расчета приводит к большим допустимым нагрузкам, нежели первый (при а = 30° на 19%). Заметим, что
Рис. 2.5.2Рис. 2.5.2для определения предельного состояния системы, т. е. нагрузки А, нет необходимости прослеживать поведение системы в упругой области и последовательность перехода ее элементов в пластические состояния. В данном случае в предельном состоянии все три стержня текут, поэтому достаточно положить М = М = М =。毋 и составить уравнение равновесия, мы получим формулу (2.5.5). Так получилось вследствие симметрии системы, вообще же, для возможности общего течения доста-
Рис. 2.5.2
Рис. 2.5.2
точно, чтобы напряжения достигли предела текучести в двух стержнях. В случае, изображенном на рис. 2.3.3, заранее не известно, какой стержень потечет первым, какой вторым и который из трех остается упругим. Поэтому, казалось бы, для такой задачи необходимо повторить проделанный выше анализ, который,
естественно, окажется более сложным вследствие асимметрии си- стемы. Но в предельном состоянии могут быть только три воз
можности:
1)2)3)1)2)3)|m1 = 1m[=5£
1)
2)
3)
1)
2)
3)
IMI = IMI =0宙,
Для каждой из этих возможностей с помощью одного только уравнения статики находится величина Рт, а также величина
третьего усилия, ^з, ^l и N2 для первого, второго и третьего случаев соответственно. Оказывается, что только в одном из этих случаев напряжение в третьем стержне, который предполагается упругим, оказывается по абсолютной величине меньше, чем От, при этом величина предельной нагрузки будет наименьшей из трех возможных. Это утверждение пока что мы можем только проиллюстрировать примерами, в дальнейшем оно будет строго доказано (§ 5.9).
Остаточные напряжения после пластической деформации
Рассмотрим теперь совершенно произвольную систему из п стержней, каждый стержень мы будем отмечать индексом j. Число уравнений статики, которые остаются после исключе ния из них реакций в точках закрепления и, следовательно, содержат в качестве неизвестных только п усилий в стержнях, не может превышать 几；если это число равно 几,то система статически определима, если это число есть 〃一 р, то р называется степенью статической неопределимости. Общая запись уравнений статики будет следующая:
п
2 b^Oj = В^ (Z = l, 2,.・.，〃一p).(2.6.1)
Здесь з — напряжение в стержне с номером у.
Если выбросить из системы р «лишних» стержней, то из уравнений (2.6.1) найдутся напряжения в каждом из оставшихся, по формулам закона Гука через них выразятся деформации, и мы сможем вычислить перемещения узлов; деформации оставшихся п — р стержней будут совместными. Но если лишние стержни не выброшены, то деформации их должны быть определенным образом согласованы с деформациями тех, с которыми они связаны. Поэтому должны быть выполнены уравнения совместности деформаций
У а订= 0(» = 1, 2,.・•，р),(2.6.2)
где а^ — известные постоянные коэффициенты. Теперь остается заменить в уравнениях (2.6.2) деформации через напряжения по закону Гука с учетом возможных зазоров, натягов и тепловых деформаций
多=oJEj + 巾・(2.6.3)
Полученная система уравнений представляет собою обобщение тех уравнений, которые мы рассматривали на частных примерах § 2.4. В (2.6.1) величины В, стоящие в правых частях,
представляют собою силы или линейные комбинации сил в за- висимости от того, как составлялись отдельные уравнения системы. Величины @・ в (2.6.3) — это температурные деформации № = %(& —力°) или натяги т］； = 6/Z； (см. обозначения примера г § 2.4).
Уравнения (2,6.1) и (2.6.2) справедливы как в упругом, так и в упругопластическом состоянии системы, тогда как (2.6.3)' верно лишь для упругих стержней. По мере перехода стержней в пластическое со- стояние некоторые из соотношений
заменяются условиями пластич- /7 у ности/ 力 I
Os = Ots (s == 1, 2, ..., " W 卩)./a .*
Когда число перешедших в пластиче- /§ /I
ское состояние стержней становится ltZ_j_I_廿一.
большим 卩，наступает общая текучесть.ео '
Если некоторая система сил (Р), которой соответствуют величины 友 вРис, 261
уравнениях (2.6.1), приводит систему в упругопластическое .состояние и после этого удаляется, т. е・ происходит разгрузка, претерпевшие пластическую деформацию стержни уже не возвращаются в исходное состояние и не дают вернуться в исходное состояние тем стержням, которые оставались упругими. Для отыскания остаточных напряжений после разгрузки мы поступим следующим образом. Обозначим остаточ* ные напряжения 。加,остаточные деформации е^, последние могут быть упругими у тех стержней, которые оставались упру- гими, и упругопластическими у стержней, перешедших в пластическое состояние. Уравнения (2.6.1), (2.6.2) справедливы, как было уже отмечено, для любого состояния системы, следовательно, и для состояния разгрузки, если принять Bi = 0. Таким образом:
2 ЬгА-о = 0,(2.6.4)
п
2 0勾弓0 ~ °・(2.6.5)
Вычтем из уравнения (2.6.1) уравнение (2.6.4) и из (2.6.2) уравнение (2.6.5). Получим
X 6灯(6 — о%) = 3汀 £ % ® — е%) = 0.(2.6.6)
j=ij=i
Обращаясь к диаграмме пластичности, изображенной на рис. 2.6.1, убеждаемся, что при разгрузке как из упругого, так и
из пластического состояния(6 — о)о)=旦(g — Зо) •из пластического состояния(6 — о)о)=旦(g — Зо) •
из пластического состояния
(6 — о)о)=旦(g — Зо) •
из пластического состояния
(6 — о)о)=旦(g — Зо) •
Положим
⑦—咖=0，
Тогда уравнения (2.6.6) можнотождественной (2.6.1) и (2.6.2)
п
j=l
% -0)0 =今
переписать в форме, совершенно
X "届=。,
)=1
но теперь для всех стержней справедлив закон Гука
0；=马康
Решая эти уравнения, мы найдем о； и е； и вычислим остаточные деформации и остаточные напряжения по формулам:
咖=⑦一以 т0 =0，一 起.
Таким образом, мы получаем следующее правило нахождения остаточных напряжений и деформаций после разгрузки.
Для определения напряжений и деформаций, остающихся в упругопластической системе после снятия нагрузки, нужно вычесть из действительных напряжений и деформаций, соответствующих данной нагрузке, напряжения и деформации, вычисленные для той же нагрузки в предположении об упругом поведении всех ее элементов.
Определим для примера остаточные напряжения в системе из трех стержней, изображенной па рис. 2.5.1, в предположении, что Р = "т и, следовательно, все стержни доведены до предела текучести. Фиктивные усилия, вычисленные в предположении упругости стержней, будут
1 + 2 cos3 а 1 + 2 cos3 а
Следовательно, после разгрузки будет
"尸一％"尸一％2cos а1 十 2 cos3 а2cos а1 十 2 cos3 аGtF — P тGtF — P т1 + 2 cos3 а1 + 2 cos3 а
"尸一％
"尸一％
2cos а
1 十 2 cos3 а
2cos а
1 十 2 cos3 а
GtF — P т
GtF — P т
1 + 2 cos3 а
1 + 2 cos3 а
Предположим теперь, что разгруженная система нагружается вторично. Усилия, соответствующие вновь приложенной силе 尸, можно определить так, как если бы остаточных напряжений не было, а потом прибавить к ним остаточные усилия. Получаем
% = oj — (% — 〃)% = oj — (% — 〃)cos2 а1 + 2 cos3 аcos2 а1 + 2 cos3 а“2 = о/ — (°т — °)“2 = о/ — (°т — °)1 + 2 cos%1 + 2 cos%
% = oj — (% — 〃)
% = oj — (% — 〃)
cos2 а
1 + 2 cos3 а
cos2 а
1 + 2 cos3 а
“2 = о/ — (°т — °)
“2 = о/ — (°т — °)
1 + 2 cos%
1 + 2 cos%
Из этих формул ясно видно, что при Р < Рт все три стержня
остаются в упругом состоянии, они переходят в пластическое состояние все сразу при Р = РТ. Не составляет труда показать, что этот результат носит совершенно общий характер, а именно:
При повторной нагрузке все элементы остаются упругими до тех пор, пока новая нагрузка не превышает той, от которой произведена разгрузка.
Обращаясь к рис. 2.5.2, мы видим, что разгрузка от любой точки следует прямой, параллельной начальному участку диаграммы, и повторная нагрузка следует той же прямой до точки А, из которой была произведена разгрузка. После того как будет вновь достигнута точка 4, соответствующая силе Р', напряжения в стержнях, подвергшихся пластической деформации, опять достигают предела текучести, система опять перейдет в упруго- пластическое состояние и дальнейшее деформирование будет следовать той же диаграмме, которой следовала бы зависимость между Рим при отсутствии промежуточной разгрузки.
Такое поведение упругопластической стержневой системы совершенно подобно поведению образца из упрочняющегося упругопластического материала, соответствующего диаграмме иа рис. 1.9.1. Только для образца диаграмма деформирования пред^ ставляет собою плавную кривую, тогда как для стрежневой системы, содержащей конечное число стержней, эта диаграмма бу- дет ломаной.
Отсюда вытекает естественная мысль ——моделировать упрочняющиеся упругопластические тела набором идеально упругопластических стержней, вынужденных деформироваться совместно.
Применение установленного выше правила, позволяющего определить остаточные напряжения после разгрузки, встречает одно ограничение. В рассмотренном примере Мо > 0, a Mo V 0. Может оказаться, что остаточное сжимающее напряжение N20/F по абсолютной величине больше, чем предел текучести. В этом случае говорят о вторичных пластических деформациях: если они появляются, т. е. если в результате расчета оказывается, что какая-то из величин Ок по абсолютной величине превышает от, то все рассуждения, конечно, становятся неверными. Читатель легко убедится сам, что в этом случае правило нахождения остаточных напряжений и деформаций после разгрузки допускает очень простое обобщение. Фиктивные напряжения и деформации, “о и %（）, нужно вычислять с учетом возможности пластических деформаций, но при удвоенном пределе текучести. Отсюда вытекает простое правило для определения того, появляются ли в системе вторичные пластические деформации. Нужно определить напряжения во всех стержнях при Р = Рт в предположении упругости 弋 и проверить, не окажется ли в каком-либо стержне напряже^ тае большим чем 20T.
Большая деформация
При рассмотрении задач о растяжении упругих стержней предполагалось, что деформации малы. Однако пластические деформации металлов и упругие деформации таких материалов как резина могут быть значительны. Посмотрим, каким образом может повлиять учет значительной величины деформаций на приведенные выше рассуждения ）. Прежде всего остановимся на понятии напряжения. При растяжении поперечные размеры стержня уменьшаются, следовательно, уменьшается площадь селения. Истинное напряжение есть сила, поделенная на фактическую площадь поперечного сечения; таким образом, оно зависит не только от величины силы, но и от величины вызванной этой силой деформации. Чтобы построить диаграмму о — е, нужно во время опыта непрерывно измерять поперечный размер стержня, что бывает затруднительно. Часто под напряжением понимают силу, поделенную на первоначальную площадь поперечного сечения, определенное таким образом напряжение называется условным, будем обозначать его о。.
Относительная деформация е была определена как отношение приращения длины к первоначальной длине. Такое определение может быть сохранено и для больших деформаций, однако с ним связано некоторое неудобство. Относительная деформация не аддитивна. Поясним это обстоятельство. Предположим, что стержень деформировался в два приема: первоначальная длина его была Zo, после первой деформации длина стала 厶.Относительная деформация есть 内=（厶—— 2о）〃о・ Теперь стержень деформирован еще раз, длина его стала 勾・ Длина 厶 по отношению ко второму этапу деформирования является начальной, значит относительная деформация на втором этапе есть & =（为一厶）/厶.Полная деформация, отнесенная к первоначальной длине е=（勾——％（））/"• Видно, что
е 耍 ％ + &•
Если % и % малы по сравнению с единицей, то соотношение е = 4 + & справедливо с точностью до величин второго порядка малости; таким образом, малые деформации аддитивны.
В механике резиноподобных материалов вместо относительной деформации е часто используют величину 九=〃厶,называемую кратностью. Очевидно,
X = 1 + е.
В качестве меры деформации, вообще говоря, можно выбрать любую функцию от е （или от 九）.Определенными преимуществами обладает логарифмическая деформация, определяемая
следующим образом:
е = In J = In (1 + е) •
При малых деформациях, разлагая логарифмы в ряд п удерживая первый член, найдем
ё е.
Таким образом, малая логарифмическая деформация совпадает с обычной. Логарифмические деформации аддитивны. Действительно, обращаясь к приведенному выше примеру, когда деформирование производилось в два этапа, найдем
= In -г-, & = In е = In •偌
Очевидно, что
0 = 01 + &.
§ 2氐 Упругая энергия и упругие потенциалы
В этом параграфе мы будем рассматривать упругое тело как механическую консервативную систему, т. е. систему, для которой работа внешней силы целиком затрачивается на сообщение кинетической энергии движения тела и накопление полностью обратимой потенциальной энергии. Последнее свойство ——способность накапливать потенциальную энергию и возвращать ее в том или ином виде ——широко использовалось ранее и, в меньшей степени, используется в настоящее время. Примерами могут служить лук ——во времена доисторические и исторические, заводная пружина часов — в наши дни.
Высказанное утверждение можно записать следующим образом:
4=7 + 0.(2.8.1)
Здесь А ——работа внешних сил, Т ——кинетическая энергия движения, U ——потенциальная энергия деформации. Чтобы вычислить величину £7, нужно предположить, что внешняя сила прикладывается таким образом, чтобы кинетической энергией можно было пренебречь. Очевидно, для этого нужно, чтобы сила прикладывалась достаточно медленно и производила деформацию с малой скоростью. В пределе, при скорости приложения нагрузки, стремящейся к нулю, мы получим из (2.8.1)
4=0.
Заметим, что фактически для выполнения этого равенства с большой точностью нет необходимости делать скорость очень малой. Ведь кинетическая энергия Т изменяется пропорционально квадрату скорости: уменьшая скорость в 10 раз, мы уменьшаем величину Т в 100 раз.
Процесс деформации стержня можно представить себе как последовательность бесконечно малых приращений удлинения d(A2), вызываемых ростом силы, которая связана с удлинением при растяжении — сжатии законом Гука. Поэтому
力=方=J Pd (AZ).(2.8.2)
b
Полагая P =。歹,\l = el и замечая, что IF = V, где V ——объем стержня, найдем
U =卩 f ode.о
Закон упругости связывает о и е зависимостью (1.8.1): о =(р(е). Положим
U = J ode = J <р (е) de.(2.8.3)
о о
Величина U представляет собою упругую энергию на единицу объема. Волнистая черта над символом U обозначает, что эта величина проинтегрирована по всему объему тела, в данном случае просто умножена на объем.
—2Ё*—2Ё*Для линейного упругого тела из (2.8.3) следует
—2Ё*
—2Ё*
(2.8.4)
Для упругой энергии стержня в целом путем умножения (2.8.4)
ется площадьюется площадьюна V = FI или непосредственно, интегрируя (2.8.2) с учетом (2.3.1), находим
ется площадью
ется площадью
U ==當=手NAZ・(2.8.5)
Следует обратить внимание на последнее выражение для U. Условие 4 = 0 требует, чтобы сила прикладывалась постепенно, возрастая от нуля до конечного значения N. График зависимости силы от перемещения представлен при этом на рис. 2.8.1, и работа изобража- заштрихованного треугольника. В теорети
ческой механике консервативными силами называются си
сил справедливо (2.8.1). Вообще,сил справедливо (2.8.1). Вообще,лы, имеющие потенциал, только для таких уравнение сохранения механической энергии
сил справедливо (2.8.1). Вообще,
сил справедливо (2.8.1). Вообще,
зависимость п переменных у^ ^2, • • •, Уп от других п переменных Ni,力2, ..., ^п называется потенциальной в том случае, когда
(2.8.6)(2.8.6)существует такая функция U (力儿),что ди
(2.8.6)
(2.8.6)
могут быть пред-могут быть пред-Оказывается, что если справедливы соотношения (2.8.6), то об-
могут быть пред-
могут быть пред-
ет функция ①(力)такая, что дФет функция ①(力)такая, что дФ(2.8.7)(2.8.7)ратные соотношения, выражающие хк через ys, ставлены в аналогичной форме, т. е. существу
ет функция ①(力)такая, что дФ
ет функция ①(力)такая, что дФ
(2.8.7)
(2.8.7)
Переход от соотношений (2.8.6) к (2.8.7) называется преобразованием Лежандра. Осуществляется оно следующим образом.
Положим
①=爲弘一и.(2.8.8) pIIC> 2.8.2
Предполагается, что соотношения (2.8.6) ре
шены относительно xk и эти выражения внесены в (2.8.8), поэтому Ф =①(办).
Продифференцируем (2.8.8) по 勿.Получим
3① I 忆 dU忆%荻一匹荻.
Вследствие (2.8.6) второй и третий члены в правой части написанного равенства взаимно уничтожаются и остается соотноше-
ние (2.8.7).
(2.8.9)(2.8.9)Дифференцируя (2.8.3) по е, мы получаем ди
(2.8.9)
(2.8.9)
0 =行
Это и есть условие того, что упругая энергия U служит потенциалом напряжений. Применяя преобразование Лежандра, т. е. полагая
①=ое — U =①(о), мы находим
Упругий потенциал U имеет непосредственный механический смысл, это потенциальная энергия упругой деформации, накопленная в теле. Величина Ф такого непосредственно механического смысла не имеет. Иногда эту величину называют дополпитель^ ной работой. Происхождение такого названия ясно из рис. 2.8.2, если U ~ de представляет собой заштрихованную площадь, то Ф дополняет ее до площади прямоугольника со сторонами о и е. Для линейно-упругого материала потенциал деформаций (D численно равен потенциалу напряжений U, диагональ прямо- 5 10. Н. Работиов
угольника делит его площадь на равные части. Из формул (2.8.4) следует:
dU (е) dU (о)о = —：—■, е — —з—.de 'do
Заметим, что вся изложенная теория не предполагает упругости материала, пока не произведена разгрузка и, следовательно, деформация не уменьшается, связь между деформацией п напряжением о = ср (е) одинакова как для упругого, так и для пластического тела.
Термодинамика упругой деформации
Приведенное выше определение упругой деформации и, соответственно, упругого тела нуждается в уточнении. В действительности деформация сопровождается изменением температуры подобно тому, как при сжатии или растяжении газа температура его меняется. Более общее определение упругого тела будет следующее: работа сил, приложенных к упругому телу, на замкнутом по деформации и температуре цикле равна нулю. Разница по сравнению с тем определением, которое было дано в § 1.8, состоит в том, что в конце цикла температура должна быть топ же, что в начале. Очевидно, что вязкое тело (вязкая жидкость) пе подходит под это определение, силы вязкого сопротивления совершают работу, которая переходит в тепло; чтобы цикл был замкнутым не только по деформациям, но п по температуре, это тепло необходимо отвести, количество отведенного тепла равно работе сил и всегда отлично от нуля.
Рассмотрим элемент упругого тела, находящегося в однородном состоянии простого растяжения, например, в виде кубика с ребром, равным единице. На две противоположные грани этого кубика действуют нормальные напряжения о; так как площадь грани равна единице, то действующая сила также есть о. Поскольку длина ребра равна един?ще, то е представляет собою абсолютное удлинение. Еудем рассматривать силу о как внешнюю по отношению к элементу. Если сила увеличилась на do, удлинение увеличилось на de и сила произвела при этом работу о de. Т€оличество тепла в объеме, вообще говоря, изменилось на dQ. Согласно первому началу термодинамики изменение внутренней энергии dU равно
dU = g de + dQ.(2.9.1)
Второе начало термодинамики утверждает существование функции состояния S, называемой энтропией, такой что для обратимых процессов
dQ = TdS.
Здесь Т—температура. Таким образом, dU = a de + Т dS.
Это выражение должно быть полным дифференциалом, внутренняя энергия есть функция деформации и,энтропии
罢，？=翁・(292)
Таким образом, внутренняя энергия является термодинамическим потенциалом. С помощью преобразования Лежандра строятся другие термодинамические потенциалы, а именно:
свободная энергия
U*(e, T) = U — TS, о =若，S =—烁，(2.9.3)
энтальпия
①(o,S)=oe + U, e=嘴，丁=黑 (2.9.4) свободная энтальпия
①* (о, 7)=①一TS, е = ^, S =—察・ (2.9.5)
Процесс называется адиабатическим, если не происходит теплообмена с окружающей средой, т. е. dQ = 0, а следовательно, S = const. Для изотермического процесса Т = const. Теперь ясно, что для адиабатического процесса потенциал напряжений представляет собою внутреннюю энергию, потенциал деформаций — энтальппю. Для изотермического процесса эти потенциалы будут соответственно свободная энергия и свободная энтальпия. Только для изотермического п адиабатического процессов зависимость между напряжением и деформацией в упругом теле однозначна. Вообще, если существует теплообмен с окружающей средой, эта однозначность нарушается.
Предположим, что из опыта определена зависимость между напряжением, деформацией и температурой:
G = Ee — EMT —5(2.9.6)
Здесь а — коэффициент температурного расширения, 北一некоторая температура, соответствующая условно выбранному начальному состоянию, если Т = То и о = 0, то е = 0.
Модуль упругости, фигурирующий в (2.9.6), должен быть определен в изотермических условиях. Если при упругом деформировании образца его температура меняется, то упругая деформация будет сопровождаться температурной деформацией п, ие производя непрерывного замера температуры в течение опыта, мы не сможем отлпчшь упругую деформацию от температурной. Измеряя только силу н деформацию, мы найдем, что зависимость 5*
между приращением напряжения и приращением деформации пе описывается законом Гука с модулем Е.
Предположим, что модуль упругости и коэффициент а не зависят от температуры (это верно лишь приближенно, в узком диапазоне температур). Выражение (2.9.6) для напряжения через деформацию и температуру получается по формулам (2.9.3), о есть производная свободной энергии по деформации. Поэтому, интегрируя (2.9.6), найдем выражение для свободной энергии
厅=号一及e(Т 一7。)十屮⑺.
Здесь 屮(Т)——неопределенная пока функция от температуры. Отсюда находим энтропию упругого тела
S =犷=左ae 一 P .
Теперь вычисляется внутренняя энергия
и =+ TS =+ EaeTQ + 斗一 Т^.
Если деформация равна нулю, то вследствие (2.9.1) внутренняя энергия представляет собой тепловую энергию и равна сеТ. Здесь сс ——теплоемкость при постоянной деформации. Считаем, что величина се постоянна, т. е. что она не зависит ни от деформации, пи от температуры. Полагая в найденном выражении для U величину е = найдем
я|)— Т^г = сеТ.
Это ——дифференциальное уравнение для функции 屮(7), которое легко интегрируется. Нам не нужна функция “(Т) сама по себе, а нужна ее производная г|/(Т), входящая в выражение для энтропии. Так как энтропия определена с точностью до произвольной постоянной, выберем ее таким образом, чтобы при е = 0 н Т = То было S = 0. Опуская промежуточные выкладки, напишем выражение для S
Т
S = Еае + се In ”•(2.9.7)
Выражение для впутреннеИ энергии через деформацию п температуру перепишется следующим образом:
U = ^- + ЕаеТ q + сеТ.(2.9.8)
Но чтобы внутренняя энергия была потенциалом, ее нужно выразить через деформацию и энтропию. Исключая Т из (2.9.7) п
получим
U =~ + EaTQe + сеТ0 ехр 二二丝(2.9.9)
Отсюда можно сразу получить связь между напряжением и деформацией для адиабатического растяжения, когда теплообмен отсутствует. Дифференцируя U по е, получим напряжение
о =窘=Ее + 石叫(1 — ехр 三勻. (2.9.10)
Как видно, если материал подчиняется линейному закону Гука в изотермических условиях, при адиабатическом деформировании зависимость между напряжением и деформацией перестает быть линейной. Однако нелинейность эта весьма слабая. Пред-» положим, что растяжение начато при температуре То, тогда в начальный момент было S = 0, и весь процесс деформирования происходит при нулевом значении энтропии. Положим 5 = 0 в (2.9.10) и разложим экспоненту в ряд, ограничиваясь двумя первыми членами. Получим следующий результат:
о =+ 卜.(2.9.11)
Величина E(i + E^TJc^} называется адиабатическим модулем упругости, он больше чем изотермический модуль. При упругих колебаниях, происходящих с большой частотой, тепло не успевает рассеиваться за время одного периода и частота собственных колебаний определяется адиабатическим модулем. Для металлов разница между адиабатическим и изотермическим модулями незначительна, порядка 1 ——2%, для полимерных материалов эта разница может быть существенно большей. Решая уравнение (2.9.7) относительно температуры, мы нашли
Т = TQ ехрТ = TQ ехрS — Еае
Т = TQ ехр
Т = TQ ехр
Очевидно, такой же результат мы получим, определяя температуру как производную от внутренней энергии по энтропии. Разлагая в ряд экспоненту и полагая 5 = 0, найдем
7 = То(1-警 е).(2.9.12)
Из формулы (2.9.12) следует, что при растяжении материал охлаждается, при сжатии нагревается. Если рассматривается, например, процесс колебаний, в стержне попеременно возникают растяжение и сжатие, т. е. понижение и повышение температуры. Но в реальных условиях всегда происходит теплообмен с окружающей средой, т. е. утечка тепловой энергии. Внешне это
проявляется как затухание колебаний. В длинных стержнях могут распространяться волны типа звуковых, в один и тот же момент некоторые участки стержня растянуты, тогда как соседние сжаты. Вследствие теплопроводности происходит некоторое выравнивание температур. Для анализа такого рода процессов применяется так называемая связанная теория термоупругости, т. е. одновременное рассмотрение уравнений упругости и теплопроводности. Предсказываемые теорией эффекты похожи на эффекты внутреннего трения, и в эксперименте эти два рода явлений бывает трудно различить.
Заметим, что приведенный выше термодинамический анализ сделан в предположении о том, что характеристики материала, как-то Е, а, се постоянны. В действительности это не так. Поэтому для реальных материалов термодинамика несколько усложняется и качественные результаты могут быть другими. Например, многие полимеры при растяжении в упругой области не охлаждаются, как металлы, а нагреваются. Упругое деформирование многих материалов сопровождается пластическим, необратимым деформированием уже при небольших нагрузках, поэтому использование законов термодинамики обратимых процессов не всегда может считаться оправданным.
Распространение упругих волн в стержнях
Предположим, что к концу весьма длинного (полубесконеч- яого) стержня внезапно приложена постоянная сила, которой соответствуют напряжение о и упругая деформация е. Далее, в гл. 6 эта задача будет рассмотрена в более общей постановке, там мы убедимся, что напряженное состояние будет распространяться вдоль стержня со скоростью с, величина которой для
z 2 " Р I т4 广
Рис. 2.10.1 Рис. 2.10.2
данного материала стержня постоянна. По истечении времени t после момента приложения силы картина будет следующая. Участок стержня длины ct будет равномерно сжат пли растянут в зависимости от направления силы, остальная часть стержня останется ненапряженной. Сечение тп, которое служит границей между напряженной и ненапряженной частями стержня, называется фронтом упругой волны, этот фронт движется со скоростью с. Зафиксируем некоторое сечение pq с координатой /, отсчитываемой от конца стержня (рис. 2.10.1). В данный момент t рас-
стояние его от фронта есть ct ——х. Участок длиной ct ——х равномерно сжат напряжением о, относительная деформация его есть е = МЕ、следовательно, сечение pq сместилось из первоначального своего положения на расстояние
u = e (ct -/)=-^T (ct -/).
(2.10.1)(2.10.1)Дифференцируя по времени, найдем скорость движения сечения
(2.10.1)
(2.10.1)
и = К= Е
Скорость, определяемая формулой (2.10.1) , не зависит от 力,лишь бы было 力 < “.При 力 > & должно быть и = 0. Таким образом, если приложенная к концу стержня сила постоянна, то скорость за фронтом тоже постоянна, а на фронте претерпевает разрыв, так же как и напряжение. Если на фронте волны напряжение и скорость претерпевают разрыв, волна называется ударной волной или волной сильного разрыва.
Из факта, устанавливаемого формулой (2.10.1), можно сделать и обратное заключение, а именно, если заставить конец стержня двигаться с постоянной скоростью, то позади фронта волны напряжения будут постоянными. Пусть, например, по концу стержня производится удар телом очень большой массы, движущейся со скоростью и. Тогда от конца пойдет фронт ударной волны со скоростью с, материальная скорость частиц за фронтом будет равна и; по формуле (2.10.1) о = Еи/с. Нам осталось определить скорость распространения фронта волны с. Для этого выделим из рассматриваемого стержня участок длиной dx между сечениями 1—1 и 2—2 (рис. 2.10.2). Пусть в момент времени t фронт упругой волны проходит через сечение 1—7, в момент t + dt через сечение 2——2. Для этого нужно, чтобы dz = c dt. Применим к выделенной части стержня второй закон Ньютона» В течение времени dt в сечении 7—1 действует сила of, тогда как сечение 2—2 остается ненапряженным, следовательно, им-
t вся выделенная движется со ско- движения естьt вся выделенная движется со ско- движения естьпульс силы равен oF dt. В начальный момент часть была в покое, в момент t + dt вся она ростью р, следовательно, изменение количества upb dx = upFc dt.
t вся выделенная движется со ско- движения есть
t вся выделенная движется со ско- движения есть
поперечного сече-поперечного сече-Здесь р — плотность материала, F ——площадь
поперечного сече-
поперечного сече-
ния. Приравняем импульс силы изменению количества движения, получим
О = DpC・О = DpC・(2.10.2)
О = DpC・
О = DpC・
(2.10.3)(2.10.3)Более общая запись соотношения (2.10.2) была бы следующей:
(2.10.3)
(2.10.3)
1田=叵1ре.
Квадратные скобки обозначают скачок соответствующей вели-
чины при переходе через фронт, разницу между значениями, например, а впереди фронта и позади фронта. Это станет совершенно ясным, если мы предположим, что нагрузка прикладывается не к покоящемуся стержню, а к движущемуся и предварительно напряженному. Например, можно представить себе, что к концу стержня приложена ступенчато меняющаяся нагрузка, сначала было о =。一, потом напряжение на конце сразу увеличилось до о+. В результате этого будут распространяться с одинаковой скоростью два упругих фронта и на втором фронте нужно будет записывать условие (2.10.3), полагая [о] = о+ — о~, [少]=р+ — у, при этом о+ и и+, о~ и и- связаны уравнением (2.10.2). Уравнение (2.10.2) или (2.10.3) получено непосредственно из уравнения количества движения и справедливо для фронта волны, распространяющейся в любой сплошной среде. Выражая в этом уравнении скорость через напряжение по формуле (2.10.1), которая относится именно к упругому стержню, мы найдем
с = (2.10.4)'
Из формулы (2.10.1) следует, что пластические деформации неизбежны уже при сравнительно небольших скоростях соударения. Для стали, например, с = 4900 м/с. Полагая Е = 2 • 106 кгс/см2 и От = 3000 кгс/см2, мы находим, что для появления пластических деформаций достаточно, чтобы скорость удара превышала 7,4 м/с, что соответствует высоте падения груза 2,8 м.
Предположим теперь, что постоянная сила действовала
На рис. 2.10.3, 6 изображенаНа рис. 2.10.3, 6 изображенана конец стержня не все время, а в течение определенного промежутка времени т. График зависимости силы от времени приведен на рис. 2.10.3, 〃, при 方 V 0 о = 0, при 0 < i < т о = =const, при 力 > t о = 0.
На рис. 2.10.3, 6 изображена
На рис. 2.10.3, 6 изображена
картина распределения напря
жения по длине стержня при 力 V 工,фронт успел продвинуться на длину с厶 за фронтом всюду напряжение постоянно и равно о. При ^ > т картина меняется, на конце сила уже не действует, значит и напряжение на конце равно нулю. Свободная от напря- я^ений область распространяется по стержню с той же скоростью с, граница ее образует задний фронт волны. График распределения напряжений по длине изображен на рис. 2.10.3, в,
он движется вправо со скоростью с, сохраняя неизменную форму. Этот график повторяет график изменения во времени силы,
действующей на конец стержня, с изменением масштаба по оси абсцисс: вместо времени t за абсциссу принимается длина с%.
Сделанный вывод можно распространить и на тот случай, когда сила Р, приложенная к концу стержня, меняется во времени по произвольному закону. Заменяя плавную кривую ступенчатой, мы сведем задачу к рассмотрению последовательности волн, посылаемых вдоль стержня кратковременными нагрузками постоянной интенсивности, т. е. к уже рассмотренному случаю. Переходя к пределу, получим перемещающееся вдоль стержня распределение напряжений по длине, в точности повторяющее закон изменения силы P(i) со временем. Если в некотором сечении с координатой 力 поставить тензометр, т. е. прибор, измеряющий деформацию, по закону Гука можно определить пропорциональные деформации напряжения о. Зависимость напряжения от времени в любом сечении будет повторять зависимость от времени напряжения, приложенного на конце, со сдвигом на время х/с.
Изложенная теория распространения упругих волн в стержнях не вполне точна по двум причинам:
Продольная деформация стержня сопровождается поперечным расширением или сокращением, в строгой теории должна учитываться инерция поперечного движения.
Наличие фронта, на котором скачком меняется напряжение, а следовательно, деформация, опять-таки вследствие поперечной деформации, сопровождающей продольную, должно привести к образованию ступени на поверхности стержня, что невозможно; при наличии ступени деформации в точке были бы бесконечно велики.
Понятие о точной теории распространения волн в стержнях будет сообщено в гл. 13.
§ 2.11. Напряжения при ударе
Если удар производится по концу весьма длинного стержня, причем скорость ударяющего тела есть и, то напряжение в стержне определится по формуле (2.10.2), которую с учетом (2.10.4) можно переписать следующим образом:
о = Е_・ (2.11.1)
Рассмотрим теперь тот случай, когда удар производится по стержню конечной длины I и масса ударяющего груза не слиш- ком велика. Для определенности будем считать, что другой конец стержня жестко закреплен и груз, например, падает на стержень с высоты 瓦 как показано на рис. 2.11.1. Встречая сопротпвле- ние со стороны стержня, груз будет замедлять движение, ско- роств уменьшится до нуля при наибольшем сжатии стержня.
когда вся кинетическая энергия груза перейдет в упругую энергию сжатого стержня и кинетическую энергию бегающих по
нему волн. После этого груз начнет снова двигаться вверх до тех пор, пока не отделится от стержня. Если длина стержня невелика и масса его много меньше массы груза М, а то продолжительность соударения много больше, чем время прохождения упругой волны по длине I стержня; за это время волна много раз пробежит эту длину, отразится от заделанного конца, вернет- 4 ся к тому концу, по которому произведен удар, ! I~~~г4—F отразится снова и так далее. Сложная волновая 4一一I 丄丄 картина при продольном ударе будет рассмотрена || более детально в гл. 13, сейчас же мы сделаем пред- положение, до чрезвычайности упрощающее весь анализ, а именно мы предположим, что плотность материала стержня равна нулю и, следовательно, / скорость распространения продольной волны беско- Рис. 2.11.1 нечно велика. Это значит, что деформация после
удара распространяется по стержню мгновенно и в каждый момент одинакова во всех сечениях. В такой упрощенной постановке задача решается прямым применением уравнения
энергии:
Т + U = TQ = ^.Т + U = TQ = ^.(2.11.2)(2.11.2)
Т + U = TQ = ^.
Т + U = TQ = ^.
(2.11.2)
(2.11.2)
По мере увеличения деформации стержня скорость груза убывает и на мгновение становится равной нулю тогда, когда величина деформации максимальна. В это мгновение 7 = 0, поэтому из (2.11.2) следует
0=7。= %〃优.
Было сделано предположение о том, что стержень деформируется так же, как и при статическом приложении нагрузки. Поэтому упругая энергия выражается через деформацию по формуле (2.8.5). Внося это выражение в написанное выше условие, найдем
Если груз весом Q падает с высоты 九,как это показано на рисунке, то То = Qh и, следовательно:
(gmax=M響.(gmax=M響.(2.11.3)(2.11.3)
(gmax=M響.
(gmax=M響.
(2.11.3)
(2.11.3)
Заметим, что деформация от статически приложенного груза равна (А2)ст = Q〃(Eb)・ Тогда формула для максимальной деформации
перепишется следующим образом:
(А2)тах=¥22)ст：(2.11.4)
Если груз Q велик, а высота h мала, то формула (2.11.3) становится неточной. Мы уже не имеем права пренебречь той дополнительной работой, которую производит груз на перемещении △2. При AZ = (AZ)max уравнение работ будет следующим:
Q【历十(AZ)max] = *^у (AZ)Kx・
Это — квадратное уравнение для (AZ)max, которое можно переписать в виде
(AZ)Max — 2 (AZ)ct (AZ)max — 2/i (AZ)CT = 0.
Решение его
(ЛОтах = (АОст + Р(АОст + 2无(AZ)ct・(2.11.5)
При решении уравнения мы выбрали знак плюс перед радикалом. Если после соударения груз окажется связанным со стержнем, он будет совершать колебательное движение и решение со знаком минус соответствует крайнему верхнему положению. На самом деле при движении вверх груз отрывается от стержня раньше, чем будет достигнуто это положение.
Если (AZ)ct《无,отсюда следует приближенная формула
Другой крайний случай это тот, когда 无=0, груз не падает, а просто внезапно прикладывается всей своей величиной. Тогда из (2.11.5) следует
(AZ)max=2(AZ)cT・(2.11.6J
Наибольшие силы, действующие на систему во время удара и скл адыв ающие ся из действующих сил и сил инерции, пропорциональны перемещениям. Поэтому при расчетах на действие динамических нагрузок те напряжения, которые получаются в результате статического расчета, следует умножить на динамический коэффициент, равный
(AZ)max/(ДО ст-
В том анализе, который был приведен, совершенно несущественно, что производился сжимающий удар по стержню, как изображено на рис. 2.11.1. Формулы (2.11.2) — (2.11.6) справедливы для любой линейно-упругой системы, если можно допустить, что масса ее пренебрежимо мала по сравнению с массой ударяющего груза.
В действительности процесс удара это ——всегда волновой процесс. В гл. 6 эта же задача будет рассмотрена применительно к продольному удару по стержню более точно, там же будут выяснены ограничения приближенного решения, приведенного в этом параграфе.
ГЛАВА 3
ИЗГИБ БАЛОК
§ 3.1. Действие поперечных сил на балку
Рассмотрим стержень, находящийся под действием приложен
ных к нему поперечных, т. е. перпендикулярных его оси, сил. Такие стержни, нагруженные поперечными силами, обычно называют балками. Если тело упруго, а вначале мы будем рассмат
ривать именно упругие стержни, то действие системы сил можно
рассматривать как сумму действий каждой из сил, взятых по отдельности. Поэтому мы предположим, что на конце стержня приложена одна единственная сосредоточенная сила Р, а другой конец защемлен неподвижно (рис. 3.1.1). Качественные выводы будут справедливы и для пластических стержней при произволь
ной, поперечной нагрузке. Предположим, что все поперечные размеры стержня имеют один и тот же порядок 无，как это было оговорено в § 2.1, длина стержня есть 厶 Очевидно, что если стержень сломается, то это произойдет в сечении, близком к заделке, так называемом «опасном» сечении. Выясним, какие напряжения возникнут в этом сечении.
Прежде всего, сила стремится срезать балку. Употребляя такое не
точное выражение, мы подразумеваем, что для уравновешения силы Р в любом сечении, необязательно опасном, необходимо приложить касательные, «срезывающие» напряжения т\ которые распределены по сечению таким образом, что их равнодействующая уравновешивает силу Р. Будем называть эти напряжения касательными напряжениями изгиба; они показаны внизу рис. 3.1.1, распределение их одинаково во всех сечениях, следовательно, по отношению к срезу все сечения изображенной балки равноопасны.
Далее, сила Р, вообще говоря, вызывает кручение балки. Если стержень имеет продольную плоскость симметрии, то, оче
видно, напряжения кручения не возникнут тогда, когда сила лежит в этой плоскости. Если сила параллельна этой плоскости,
то произведение силы на расстояние линии ее действия от плоскости симметрии называется крутящим моментом. В несимметричном сечении можно всегда найти точку, называемую центром изгиба. Когда поперечная сила действует в плоскости, содержащей в себе центры изгиба всех поперечных сечений, кручения не происходит.
Если напряжения кручения существуют, мы обозначим их т". Как эти напряжения, так и положение центра изгиба не могут быть найдены элементарным способом. Задача кручения относится к теории упругости или иной математической теории деформируемого тела. Исключение представляет случай круглого поперечного сечения, где решение элементарно, однако вряд ли имеет смысл выделять этот изолированный случай из общего контекста.
Наконец, в поперечном сечении должны возникнуть нормальные напряжения, создающие момент, уравновешивающий момент силы Р относительно любой оси, лежащей в плоскости сечения. Эти напряжения мы будем называть нормальными напряжениями изгиба о. Очевидно, что именно нормальные напряжения максимальны в сечении, наиболее удаленном от приложенной силы. Они то и делают это сечение опасным.
Дадим грубую оценку величин напряжений т\ т〃 ио. Для оценки тх заметим, что площадь сечения стержня может отличаться от величины Л2 лишь числовым множителем порядка единицы. Понимая под тх среднее напряжение, мы получим
Y 〜今 (ЗЛ.1)
Формула (3.1.1) дает лишь оценку порядка величины напряжения т\ но не позволяет, конечно, вычислить эту величину, для этого в формуле (3.1.1) должен был бы фигурировать еще числовой множитель.
Крутящий момент представляет собою произведение силы на расстояние между линией ее действия и плоскостью, проходящей через центр изгиба. Значит, порядок величины момента есть Ph. Касательные напряжения кручения могут зависеть только от размера 丸，но не от 厶 следовательно, для них получается такая же оценка
丿〜亲 (3.1.2)
Перейдем к оценке нормальных напряжений. Момент силы относительно оси, лежащей в опасном сечении и, например, ортогональной к направлению силы, есть Р1. Момент внутренних сил, т. е. напряжений о, зависит только от о и h. Соображения размерности убеждают нас в том, что порядок величины этого
момента есть oh3. Поэтому
о 〜-^-^-・ (3.1.3)
Если длина стержня Z велика по сравнению с поперечным размером h, то касательные напряжения т/ и J малы по сравнению с нормальным напряжением о. Это нужно понимать в том смысле, что при увеличении длины стержня с сохранением его поперечного сечения касательные напряжения остаются неизменными, а нормальные возрастают пропорционально длине. Таким образом, всегда можно сделать отношение l/h таким, чтобы наибольшие касательные напряжения составили сколь угодно малую долю от наибольших нормальных. В теории изгиба, как правило, основное внимание обращается именно на нормальные напряжения, касательные же во внимание не принимаются. Исключения могут быть в следующих случаях.
Тонкостенные стержни. Если максимальный размер поперечного сечения h много больше минимального размера 3, в оценке (3.1.1) числовой множитель в правой части может быть порядка 九)3, а если 无/5 ~ 〃九,то касательные напряжения будут того же порядка, что и нормальные.
Такие материалы как древесина, например, имеют малое сопротивление межслойному сдвигу и для достаточно коротких балок существенно меньшие по величине касательные напряжения могут оказаться более опасными, чем нормальные. Именно в этой связи в середине XIX столетия была развита теория касательных напряжений при изгибе. Сейчас учет касательных напряжений оказался необходимым при расчете пластиков, армированных высокопрочным волокном.
§ 3.2. Закон плоских сечений
Ставя своей задачей только определение нормальных напряжений изгиба, в основу теории достаточно положить предположение о том, что плоские до деформации поперечные сечения балки остаются после деформации плоскими и ортогональными к изогнутой оси. Теория изгиба, следующая из этого предположения, носит название технической теории или теории Еернул- ли ——Эйлера. Точная теория изгиба, построенная Сен-Венаиом для случая, когда балка загружена сосредоточенными силами, а также немногочисленные (чрезвычайно громоздкие) решения задач об изгибе распределенной нагрузкой убеждают нас в том, что хотя закон плоских сечений и не соблюдается, полученные на основе его выводы оказываются весьма точными (если, конечно, hll《1).
После того как мы сделали допущение о сохранении плоских сечений, деформированное состояние стержня может быть описа-
но при помощи небольшого числа параметров. Поместим начало координат, а также осп 胃 и ^ в плоскости одного из сечеппй, ось z параллельна образующей цилиндрического тела, представляющего собою балку. Выберем второе сечение, отстоящее от первого па расстоянии Определим деформацию элемента тп、параллельного оси z и заключенного между этими сеченпямп. Будем считать, что первое сечение (левое на рис. 3.2.1) неподвижно,
Рис. 3.2.1Рис. 3.2.1тогда как правое перемещается, оставаясь плоским. Перемещение его состоит из трех элементов:
Рис. 3.2.1
Рис. 3.2.1
Поступательное перемещение в направлении оси z, равное eQdz, где е° ——относительное удлинение элемента, совпадающего с осью z.
Поворот относительно осп 胃 па угол dp* = %dz.
Поворот относительно оси g на угол йфу = 乂？ dz.
Относительное удлинение элемента тп вследствие постзтпательного перемещения и поворота сечения будет
е = е° + к田一乂收. (3.2.1)
Величины Хх=1/рх и к? = 1/ру представляют собою кривизны проекции изогнуто!! оси балки на плоскости yOz п xOz соответственно.
При выводе формулы (3.2.1) мы исключили возможность по
поступательного перемеще-поступательного перемеще-ворота сечения около оси z, а также ния в направлении осей х у. Такое перемещение противоречило бы условию сохранения ортогональности плоскости сечения изогнутой оси балки.
поступательного перемеще-
поступательного перемеще-
Для перехода к напряжениям нам понадобится сделать еще одно предположение, а именно допустить, что любой призматический элемент, образлтющая которого параллельна
оси z, находится в состоянии рас
тяжения пли сжатия вдоль оси z.Рис. 3.2.2
Следовательно, в плоскостях, парал
лельных осп z, нормальные напряжения отсутствуют. В действительности эти напряжения могут появиться вследствие действия на балку распределенной нагрузки. На рис. 3.2.2 изображена балка квадратного сечеппя со стороной квадрата h. Длпна балки равна 厶 опа загружена равномерно распределенным по
верхней плоскости давлением q. Вся сила, действующая на балку, есть
Р = qlh.
Используя оценку (3.1.3), найдем
Рассечем теперь балку горизонтальной плоскостью. В этой плоскости будут действовать нормальные напряжения о'; если плоскость сечения близка к верхней граничной плоскости, то о' весьма мало отличается от (——q); если плоскость сечения близка к нижней граничной плоскости, то о' мало отличается от нуля. Поэтому о' пмеет тот же порядок величины, что д:
o' ~ q.
Сравнивая о' и о видим, что отношение о7о имеет порядок малости 无2/%2, тогда как оценка для отношения касательных напряжений к нормальным была h/l, следовательно, напряжениями о' и подавно можно пренебречь.
Полученная оценка, конечно, несправедлива вблизи мест приложения сосредоточенных нагрузок (понятие сосредоточенной нагрузки или силы должно определяться так, как это было разъяснено в § 1.5). Но техническая теория балок Бернулли ——Эйлера здесь перестает быть применимой. Исключая из рассмотрения эти особые случаи, мы будем считать, что напряжение и деформация связаны между собою обычным законом Гука
о = Ее
и, следовательно, из (3.2.1) получается закон распределения нормальных напряжений по сечению
о = £(в0 + КхУ — %/)・(3.2.2)
Вблизи тех сечений, где приложены сосредоточенные силы, формула (3.2.2), конечно, теряет силу. Однако принцип Сен-Ве- нана и здесь, как и при растяжении ——сжатии, позволяет утверждать, что область нарушения линейного закона распределения напряжений изгиба простирается на длину порядка поперечного размера сечения h.
Нормальные напряжения при изгибе
Установив, что нормальные напряжения при изгибе распределяются по линейному закону в плоскости поперечного сечения, вычислим значения этих напряжений при заданных сплах. Рассмотрим балку, загруженную произвольной системой сил, как показано на рис. 3.3.1. Будем считать, что эти силы не вызывают кручения, т. е. линия действия каждой из них проходит через
Центр изгиба соответствующего сечения (но не обязательно перпендикулярна оси балки). Желая определить нормальные напря
шести уравнений статики оставим три: условия равенства нулюшести уравнений статики оставим три: условия равенства нулюжения в сечении тп, поместим в этом сечении оси прямоугольной системы координат хОу, как это было пояснено в предыдущем параграфе. Мысленно рассечем балку плоскостью хОу> отбросим одну часть балки (на рисунке правую) и рассмотрим равновесие оставшейся части, которая изображена отдельно. Из
шести уравнений статики оставим три: условия равенства нулю
шести уравнений статики оставим три: условия равенства нулю
проекций сил на ось z и моментов относительно осей хну. Получим £刃+ Jo»=0, 2^ + F
+ \ ay dF —2 my — \ G第 dF =0・
FF
(3.3.1)
Индекс «л» вверху обозначает, что суммируются проекции и моменты тех сил, действующих на стержень, которые приложены слева от сечения.
Введем теперь следующие обозначения:
±1 = — 忆，2偃》^=Mj(3.3：2)
Величина Nz называется продольной силой, Мх и Му — изгибающими моментами относительно осей х л у соответственно.
Внесем в уравнения равновесия обозначения (3.3.2) и подставим выражение для о по формуле (3.2.2). Получим
Е (%Sx — %ySy + eQF) — Nz = О,
E (zx/x — щ1Ху + e^S^ + Mx = 0,(3.3.3)
Е (乂』冲—x/v+ eQSy) 一 〃y = 0.
Здесь величины Sx и Sy представляют собой статические моменты площади сечения относительно осей х л у
Sx = ^ у dF, Sy= [ х dF.
FF
Величины Ix и Iy называются осевыми моментами инерции и определяются следующим образом:
Ix=^y^dF, Iy= f x^dF.
моментом инерции,моментом инерции,FА
моментом инерции,
моментом инерции,
Величина 1ху называется центробежным определяют ее следующим выражением:
6 Ю. Н. Работнов
Теория моментов инерции плоских фигур представляет собою чисто геометрическую теорию, она строится совершенно подобно теории моментов инерции масс в механике твердого тела и здесь излагаться не будет. Заметим только следующие свойства введенных велпчпн.
Если Sx = 0, ось / проходит через центр тяжести. Если S* = 0 и 5^ == 0, то начало координат совпадает с центром тяжести сечения. Термин «центр тяжести» в отношении плоской фигуры нужно понимать условно, это понятие приобретает реальный смысл, если представить себе, что на плоскость сечения нанесен бесконечно тонкий материальный слой постоянной плотности.
Осевые моменты инерции всегда положительны и отличны от нуля, если площадь сечения отлична от нуля.
Для любого начала координат можно выбрать такие направления осей / 〃沙，что 厶у = 0. Такие оси называются главными осями сечения. Если начало координат находится в центре тяжести, оси, для которых /綃=0, называются главными центральными осями. В частности, если хотя бы одна из осей есть ось симметрии, то 1ху = 0.
Если принять за оси координат главные центральные оси, то формулы (3.3.3) принимают совсем простой вид, а именно:
МхМуМхМуNzNz% =就.% =就.(3.3.4)(3.3.4)Теперь формулу для напряжений (3.2.2)Теперь формулу для напряжений (3.2.2)дующим образом:дующим образом:можно переписать слеможно переписать сле(3.3.5)(3.3.5)
МхМу
МхМу
Nz
Nz
% =就.
% =就.
(3.3.4)
(3.3.4)
Теперь формулу для напряжений (3.2.2)
Теперь формулу для напряжений (3.2.2)
дующим образом:
дующим образом:
можно переписать сле
можно переписать сле
(3.3.5)
(3.3.5)
Практически при расчетах на изгиб всегда относят сечение стержня к главным осям и пользуются формулами (3.3.4) и (3.3.5).
Заметим, что формулы (3.3.4), связывающие кривизны с моментами, можно представить с помощью потенциалов, как это было сделано в § 2.8 для растяжения — сжатия.
Положим
М2 ”2“2
и =戒+或+易・(3・3・6)
Отсюда dUdUdU
С другой стороны
U =胃 х« + 苛 Ху + -у ^о-(3.3.7)
В данном случае, когда справедлив закон Гука, величина U,
определяемая формулой (3.3.6) или (3.3.7), представляет собою упругую энергию изгиба балки на единицу ее длины. Интегрируя любое из этих выражений по длине, можно найти полную энергию балки
Z7 - J Udz. (3.3.8) о
Изгибающие моменты и перерезывающие силы
Определенные в предыдущем параграфе величины Мх и Му, названные изгибающими моментами, изменяются при переходе от одного сечения к другому, так как по мере движения слева направо изменяются плечи и появляются новые силы, приложенные к левой части балки. Для дальнейшего нам будет удобно зафиксировать систему координат, поместив начало ее, например, в крайнем левом сечении балки. Таким образом, по существу нам нужно было бы ввести две системы координат, одну неподвижную, другую подвижную с осями хну, расположенными в рассматриваемом сечении. Мы избежим этого за счет небольшого изменения формулировок, как это будет видно далее. Зафиксировав систему координат, мы задаем каждое сечение его координатой z; следовательно, изгибающие моменты представляют собою функции от z.
В § 3.3 нас интересовали только нормальные напряжения при изгибе, поэтому из шести уравнений равновесия мы фактически составили только три. Проектируя силы, действующие слева от сечения на оси хну, мы получим величины, которые называются перерезывающими силами:
2 8 = Q&, N р； — Qy・
Перерезывающие силы уравновешиваются касательными напряжениями в сечении, но мы не знаем закона их распределения по сечению и поэтому не составляем уравнений равновесия внешних и внутренних сил, подобных уравнениям (3.3.1).
Для дальнейшего нам будет достаточно предположить, что все силы действуют в плоскости, параллельной плоскости 沙。z; при этом оси % и 沙——главные центральные оси сечения. Для упругой балки этот случай будет совершенно общим, действие нагрузки, параллельной плоскости »Oz, учитывается точно таким же способом и результаты - просто складываются. Для пластических балок дело обстоит несколько иначе, но это будет оговорено в свое время. Итак, мы полагаем, единственно для простоты, что Му = 0 и Qx = 0. Заметим, что все силы, действующие на балку, должны быть уравновешены. Поэтому
』乙=0, £ тх — 0.
Второе уравнение справедливо для любой оси, параллельной 6*
оси х. Но совокупность всех сил, действующих на балку, можно разбить на две части: силы, действующие на левую часть, и силы, действующие на правую часть. Поэтому
X制+ 2禺=0，上"¥上" = 0.
При этом разбиение балки на левую и правые части может быть в произвольном сечении.
Теперь, ограничиваясь стержнем, который нагружен силами, действующими в главной плоскости yOz, сформулируем следующие определения:
Перерезывающей силой называется сумма проекций на ось у всех сил, приложенных слева от рассматриваемого сечения, или сумма, сил, приложенных справа, взятая с обратным знаком.
Изгибающим моментом называется момент относительно оси, параллельной оси х и проходящей через центр тяжести сечения всех сил, приложенных слева от сечения, или сил, приложенных справа с обратным знаком.
Во всем изложении мы обошли молчанием вопрос о крутящем моменте, т. е. моменте относительно оси z. Причина этого состоит в том, что теория кручения элементарно изложена быть не может и в этой теории основную роль играет не ось z, проходящая через центр тяжести сечения, а параллельная ей ось, проходящая через центр изгиба.
В сопротивлении материалов и строительной механике приходится иметь дело с функциями Mx(z) и Qy(z). При этом основная трудность состоит в том, что эти функции, как правило, оказываются лишь кусочно гладкими. Задавая их аналитические выражения на разных участках, мы получим очень громоздкую форму представления функций, изображаемых простыми графиками (по большей части ломаными). Поэтому в практике расчетов обычно начинают с построения графиков этих функций, или так называемых эпюр изгибающих моментов и перерезывающих сил. Некоторые аналитические операции, например вычисление интегралов от кусочно линейных функций, сводятся к элементарному вычислению площадей треугольников и трапеций. Такие приемы, которые называют графо-аналитическими, чрезвычайно облегчают решение многих задач, поэтому ниже будут пзлсженн некоторые элементарные приемы построения такого рода эпюр.
Вначале, однако, мы установим дифференциальные соотношения между нагрузкой, перерезывающей силой и изгибающим моментом, справедливые для тех участков, где эти функции дифференцируемы. Рассмотрим стержень, нагруженный силами в плоскости yOz (рис. 3.4.1). Разрежем стержень по сечению шп с координатой z и отбросим левую часть стержня. Рассматривая оставшуюся правую часть, мы должны заменить действие сил, отброшенных вместе с левой частью, их результирующей, равной главному вектору, и парой, момент которой равен главному мо-
менту, приведенными к центру тяжести сечения с координатой z. По определению перерезывающей силы и изгибающего момента главный вектор равен по величине Qy, главный момент Мх. Рассмотрим бесконечно близкое сечение pq с координатой z + dz. Элемент балки, заключенный между сечениями тп и pq, показан на том же рисунке внизу. Если считать, что Qy и Мх являются функциями. от координаты z, то с правой стороны изображен* ного элемента действуют сила Qy +.dQy и момент Мх + dMx. Обозначая интенсивность распределенной нагрузки, т. е. силу, приходящуюся на единицу длины балки, через ‘у, составим уравнения равновесия элемента. Получим
dQv = qy dz^(3.4.1)
dMx — Qy dz.(3.4.2)
Прп составлении уравнения (3.4.2) учтено, что, если qy конечно, то момент от нагрузки qy есть величина второго порядка мало
сти. Для изгиба в плоскости 力Oz, соблюдая правило знаков, получим совершенно аналогичным образом:
dQx = qx dz, dMy == —Qx dz.(3.4.3)
При построении эпюр изгибающих моментов и перерезывающих
сил рекомендуется исходить только из данных выше определений, дифференциальные соотношения (3.4.1) и (3.4.2} полезно
Рис. 3.4.2Рис. 3.4.2использовать для контроля правильности построения.
Рис. 3.4.2
Рис. 3.4.2
Рассмотрим в качестве примера балку, изображенную на рис. 3.4.2. Очевидно, каждая из реакций равна по ве- лкчкне силе Р и направлена вверх. Точки приложения сосредоточенных сил разбивают балку на три участка.
На первом участке
Qn = 一p, mх =一尸:， на втором
Qy = —Р + Р = О, Мх = = —Pz + P(g — a) = —Ра,
на третьем
® = -Р + Р + Р = Р,® = -Р + Р + Р = Р,Мх === —Pz 十 Р (z — a) + P (z — 2〃)= —P (3q — z).
® = -Р + Р + Р = Р,
® = -Р + Р + Р = Р,
При вычислении перерезывающей силы и изгибающего момента на третьем участке мы в данном случае, конечно, поступили неэкономично. Проще
было бы вычислить проекцию и момент силы, находящейся справа от сечения, т. е. одной единственной реакции, с обратным знаком. На том же рисунке 3.4.2 изображены эпюры Qy и Мх.
Во многих случаях построение эпюр возможно и без составления аналитических выражений моментов и перерезывающих сил по участкам. Достаточно вычислить моменты для некоторых характерных сечений, при построении же следует руководствоваться следующими правилами.
Перерезывающая сила претерпевает разрыв только в точке приложения сосредоточенной силы на величину этой силы.
На незагруженном участке перерезывающая сила постоянна.
На равномерно загруженном участке перерезывающая сила есть линейная функция z, возрастающая, если нагрузка положительна.
Изгибающий момент претерпевает разрыв только в точке приложения сосредоточенного момента на величину этого мо
мента.
На незагруженных участках эпюра моментов есть прямая, наклон которой пропорционален перерезывающей силе.
Эпюра моментов образует изломы только там, где перерезывающая сила разрывна, т. е. в точках приложения сосредото
ченных сил.
Изгибающий момент принимает экстремальное значение там, где перерезывающая сила равна нулю.
На свободном конце или концевой опоре изгибающий момент равен нулю, если там не приложен внешний момент.
На равномерно загруженном участке эпюра изгибающих моментов есть парабола, обращенная выпуклостью вверх, если нагрузка положительна (направлена вниз).
Приложим эти правила к балке, изображенной на рис. 3.4.3. Распределенная нагрузка направлена вниз в направлении положительной оси у, следовательно, она положительна. Каждая из реакций опор равна да и направлена вверх. По определению, на участке I перерезывающая сила постоянна и равна —да, на участке III Qy = Так как сосредоточенных с пл нет, то согласно правилу (а) эпюра должна быть непрерывна. Поэтому крайнпе точки эпюр на участках I и III нужно соединить прямой. Согласно правилу (з) на левом и правом концах балки изгибающий момент равен нулю, на участках I и III по правилу (д) эпкь ра прямолинейна. Поэтому достаточно вычислить изгибающий момент на границе между первым и вторым, а также вторым и третьим участками. И тут и там этот момент равен — qa(Z —а). Отложим соответствующие отрезки по вертикали вверх и соединим концы их прямыми с концами отрезка, изображающего балку. В соответствии с правилом (и) на участке П
эпюра моментов представляет собою параболу, направленную выпуклостью вверх. Парабола плавно сопрягается с прямолипейыыми участками согласно правилу (е). Вследствие правила (ж) абсолютная величина момента достигает максимума в середине балки, этот момепт равен
qa? 3 —\
М = - qal = 一 * I - 2 у •
§ 3.5. Прочность и несущая способность при изгибе
Если продольная сила отсутствует и изгиб происходит в плоскости yOz, в формуле (3.3.5) сохраняется только один член, а именно
(3.5.1)(3.5.1)Мху
(3.5.1)
(3.5.1)
7Г
В точках оси х напряжения по этой формуле получаются равными нулю, поэтому ось х называют нейтральной осью сечения, а поверхность, в которую превращается вследствие изгиба плоскость xOz, нейтральной поверхностью.
По аналогии со стержневыми системами (§ 2.5) балки можно рассчитывать на изгиб по допускаемым напряжениям. Для этого нужно потребовать, чтобы наибольшее растягивающее напряжение не превышало величины [о]р, а наибольшее сжимающее — величины [о]сж. Обозначим через 瓦 и Л2 расстояния от центра тяжести сечения до его крайних точек в сжатой и растянутой зонах соответственно. Именно в этих точках, как следует из формулы (3.5.1), абсолютные величины соответствующих напряжений максимальны. Для обеспечения прочности балки по условию допускаемых напряжений должно быть
九h|Ж|^<[а]сж» IMI/W*九h|Ж|^<[а]сж» IMI/W*(3.5.2)(3.5.2)
九h
|Ж|^<[а]сж» IMI/W*
九h
|Ж|^<[а]сж» IMI/W*
(3.5.2)
(3.5.2)
Естественно потребовать, чтобы запас прочности по растягивающим и сжимающим напряжениям был одинаков, это значпт, что знак равенства в условиях (3.5.2) появляется одновременно. Для этого нужно, чтобы было
瓦：论2 = [о]сж : [о]р.
Если допускаемое напряжение на растяжение и сжатие одинаково, то расчет ведется по наибольшей абсолютной величине напряжения, значит требуется выполнение такого условия:
Величина 7JI沙Imax называется моментом сопротивления изгибу я обозначается Wx. Таким образом, расчетная формула будет
следующая:следующая:
следующая:
следующая:
(3.5.3)(3.5.3)需&⑴
(3.5.3)
(3.5.3)
В этой главе, так же как и в предыдущей, мы не рассматрп- ваем детально вопрос о характере и об условиях разрушения. Расчет по допускаемым напряжениям оправдан для хрупких материалов, у которых достижение напряжением предельного значения хотя бы в одной точке (грубо говоря) вызывает появление трещины, которая распространяется катастрофически. Мы увидим далее, что при переменных нагрузках пластические материалы могут разрушаться хрупко и расчет по допускаемым напряжениям в этом случае оправдан.
Приведем выражения моментов инерции и моментов сопротивления для некоторых простейших форм поперечного сечения.
Круг диаметра d:
б. Круговое кольцо с наружным диаметром d и внутренним 乙：б. Круговое кольцо с наружным диаметром d и внутренним 乙：
б. Круговое кольцо с наружным диаметром d и внутренним 乙：
б. Круговое кольцо с наружным диаметром d и внутренним 乙：
в. Прямоугольник с высотой й 〃 шириной Ъ:
Если балка изготовлена из пластического материала, то расчет по допускаемым напряжениям занижает действительную несущую способность балки, как это было в случае статически
неопределимых стержневых систем (§ 2.5). Так же как и в этом случае, бывает целесообразно производить расчет по предельному состоянию. Чтобы пояснить идею, обратимся к рис. 3.5.1, на котором изображено сечение стержня, для простоты симметричное относительно оси у. Рядом нарисованы эпюры распределения напряжений по сечению по мере увеличения изгибающего момента.
Сначала материал упруг, напряжение линейно зависит от координаты у. Когда деформация по абсолютной величине станет больше, чем ет = от/£, напряжение останется постоянным как в растянутой, так и в сжатой части стержня, стержень перейдет в упругопластическое состояние, как показано на рис. б) и в). При этом, вообще, нейтральная ось по мере развития пластических зон перемещается. На рис. а) изображена эпюра, соответствующая предельному состоянию стержня, которое, конечно, никогда не реализуется. Но эта эпюра дает верхнюю оценку для величины изгибающего момента, который может выдержать стержень.
Заметим, что внутренние силы в сечении, уравновешивающие момент от внешних сил, должны приводиться к паре; следовательно, главный вектор их равен нулю. Обозначим через Ft и F2 площади частей, на которые делит сечение нейтральная ось в предельном состоянии. Растягивающая сила равна oTFi, сжимающая сила От歹2・ Вследствие сформулированного условия
5歹 I —(?т" 2 === 0.
Отсюда 尸I =歹2・
Таким образом, нейтральная ось делит поперечное сечение стержня на две равновеликие части. Пусть & и & — центры тяжести этих частей. Тогда момент внутренних сил, т. е. момент пары, составленной растягивающей и сжимающей силами в сечении, есть
ТИт = ” 彳(°1°2)・
Введем так называемый пластический момент сопротивления W^^F^C^^.(3.5.4)
Тогда
мT = 5忆.
Для того чтобы обеспечить прочность балки из идеально-пластического материала с запасом прочности п, мы должны потребовать, чтобы было
Но ст/п = [о], таким образом, мы получаем следующее условие:
II W [о],(3.5.5)
которое отличается от (3.5.3) только тем, что вместо Wx в нем фигурирует 忆・
Примеры.
а. Прямоугольное сечение высотой h и шириной и. Здесь F = bh, расстояние ме;кду центрами тяжести половинок сечения равно 无/2. Поэтому по формуле (3.5.4)
WT =不戒,WT =不戒,• 100 = 50 % .• 100 = 50 % .
WT =不戒,
WT =不戒,
• 100 = 50 % .
• 100 = 50 % .
Сечение 6 форме равнобедренного треугольника (рис. 3.5.2). В подобных треугольниках площади относятся как квадраты сходственных элементов. Поэтому нейтральная ось, делящая пополам площадь треугольника, пройдет па расстоянии 无/丫2 от вершины. Введем вспомогательные осп 〃 н。，проходящие через вершину треугольника. Обозначим через и° координату центра тяжести треугольника, через 。1 и и2 ——координаты центров тяжестп его равновеликих частей. Статический момент всей площади равен сумме статических моментов ее ча- cieii, а именно
11
Отсюда a = 2i；o—⑦，но расстояние С；С2 равно разности ^2 — s, поэтому♦
℃2 = 〃2 -01 — 2 (。0 - U]).
。2 ,2 h
Как хорошо нзвестно г;。=毛 无,％ =可声， следовательно, имеет место
2_
分分=而(2 一 I/力%=0,390瓦
Пластический момент сопротивлонпя WT ^ 0,0973b/*. Обычный момент сопротивления Wx ^ 0,0417&/i2, разница между ними составляет 134%.
Если ось у не служит осью симметрии сечения, нахождение пластического момента сопротивления и вообще рассмотрение предельного состояния при изгибе представляет определенные трудности. Приложение нагрузки в
Рис. 3.5.3Рис. 3.5.3вин сечения С* и С2 лежатвин сечения С* и С2 лежатплоскости, проходящей через главную ось инерции сечения, еще не обеспечивает изгиба именно в этой плоскости. Действительно, представим себе некоторое несимметричное сечение, например изображенное на рис. 3.5.3. Его можно разбить на две равновеликие части бесчисленным числол! способов, например, проводя прямую шп. Центры тяжести полона прямой 卩q; чтобы ось тп бы
Рис. 3.5.3
Рис. 3.5.3
вин сечения С* и С2 лежат
вин сечения С* и С2 лежат
ла нейтральной осью для предельного состояния стержня, необходимо, чтобы действующие силы были приложены в плоскости, параллельной образующим стержня и проходящей через пря-
мую pq. Таким образом, мы легко решаем обратную задачу —- определить, как нужно приложить силы, чтобы изгиб происходил около данной нейтральной оси. Регулярные методы решения прямой задачи неизвестны.
§ 3・6・ Упругопластический изгиб
Будем считать, что сечение балки имеет две оси симметрии,
и изгиб происходит в одной из продольных плоскостей симметрии балки. При этом, очевидно, нейтральная ось не будет менять
своего положения по мере развития пластических зон (как мы
Рис. 3.6.1Рис. 3.6.1убедились в конце § 3.5, в условиях пластичности незначительное, казалось бы, усложнение условпп задачи приводит к неизмеримо возрастающим трудностям при ее решении). Сохраняя гипотезу плоских сечений, положим е = х^. Пусть для материала балки о =(р(е), при этом (р(е)——печетиая функция, (р(—е)= =—ф (^). Это условие означает, что материал ведет себя одинаково при растяжении и сжатии. Чтобы задать форму симметричного сечения балки, достаточно задать ширину его на расстоянии у от плоскости xOz, т. е. функцию 右(У), у w[—h, +Л]. Учитывая область определения функции R нам будет удобнее рассматривать ее как функцию безразмерной координаты b(y/h). Если ось х также служит осью симметрии, то b (y/h)——четная функция.
Рис. 3.6.1
Рис. 3.6.1
Момент относительно оси х сил, действующих на заштрихо
ванную площадку шириной Ъ и высотой dy (рис. 3.6.1), есть
У^Ь dy=屮(乂沙)b 修% М
Приравнивая сумму моментов внутренних сил в сечении сумме моментов внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, т. е. изгибающему моменту, получим
л
\Mx\ = 2^^xy)b^ydy.(3.6.1)
о
Вследствие симметрии относительно оси х интегрирование от —А до +无 заменено интегрированием от нуля до % и результат удвоен.
Формулу (3.6.1) можно преобразовать, приняв за переменную интегрирования вместо у пропорциональную величину е = ну. Если ввести еще обозначение % = к九 для деформации наиболее
удаленной от оси х точки сечения, то формулу (3.6.1) легко привести к виду
= * 屮(е)"(勺"在 и。®)，(362)
Зная функцию 屮(е), можно найти Ф(^о) аналитически либо численно.
Рассмотрим в качестве примера изгиб стержня прямоугольного сечения (b = const) при условии идеальной пластичности. В этом случае
屮(《) =Ee[e<Z ^j,屮(е) = “ {«〉g = %)・
В упругой области
мхмх11bEe2de = ^-^bEe2de = ^-^
мх
мх
1
1
bEe2de = ^-^
bEe2de = ^-^
о
Вспоминая определение предельного момента 〃丁 =匕九2仇,перепишем эту формулу следующим образом:
В упругопластической области
①（ё。） = ^口及26曲十①（ё。） = ^口及26曲十“be de = b”“be de = b”
①（ё。） = ^口及26曲十
①（ё。） = ^口及26曲十
“be de = b”
“be de = b”
Поэтому
(3.6.3)
График зависимости безразмерного момента MJMt от безразмерной кривизны % = 乂九 представлен на рис. 3.6.2. При Мх < 2/зК материал остается упругим, при Мх = 2/3AfT появляется пластическая деформация в крайнем волокне. Это состояние (точка Л) признается опасным при расчете по допускаемым напряжениям. Но при этом несущая способность еще не исчерпана. Максимальная возможная несущая способность стержня, т. е. величина предельного момента, выше чем момент, соответствующий точке 4 на 50%. Но, как видно из графика и пз формулы (3.6.3), это предельное значение момента будет достигнуто тогда, когда кривизна станет бесконечно большой, что невозможно. Получен-
М*М*
М*
М*
ная зависимость между изгибающим моментом и кривизной справедлива до тех пор, пока изгибающий момент возрастает и, следовательно, возрастает деформация каждого волокна. Предположим, что после достижения моментом некоторого значения Мх, которому соответствует кривизна 乂*, началась разгрузка. Деформация каждого волокна будет теперь уменьшаться, значит разгрузка будет происходить в каждом волокне от напряжения о* = =屮(乂來У, по закону упругости. Ког- %
да изгибающий момент равен Мх <:才|
<М© кривизна равна 乂, напряже- '/— ^
ния находятся по закону упругой разгрузки следующим образом:,/
о东一о = Е (х* — хх) У・(3.6.4) Умножим обе части на у dF и проинтегрируем по площади. Так как
f Q^y dF =力片，J og dF = A/x,
Рис. 3.6.2
加；一71Tx = Elx (x* — kJ. (3.6.5)
Когда происходит полная разгрузка, т. е. становится М = 0, кривизна не исчезает, остаточная кривизна 乜。* находится до формуле (3.6.5)
Напряжения в сечении после разгрузки также не исчезают, формула (3.6.4) при к* = Хох дает
(3.6.6)
Очевидно, что остаточные напряжения после разгрузки самоурав- новешены, момент их равен нулю.
Изгпб тонкостенных стержней открытого профиля
Соображения об относительных порядках величин нормальных и касательных напряжении при изгибе, приведенные в § 3.1, к тонкостенным стержням неприменимы. Касательные напряжения, возникающие вследствие изгиба и кручения, имеют в такого рода стержнях тот же порядок величины, что и нормальные напряжения, и сбрасывать их со счета нельзя. Касательными напряжениями изгиба мы будем называть напряжения, распределя-
ющиеся приблизительно равномерно по толщине стенки профиля
и не связанные с закручиванием стержня.
Очевидно, например, что кручения не будет, если изгибать симметричный стержень, хотя бы двутавр или швеллер, силами, действующими в плоскости его симметрии. Весьма большая жесткость на кручение замкнутых тонкостенных профилей делает для них вопрос об условиях отсутствия кручения второстепенным. В тех же случаях, когда тонкостенный стержень открытого профиля изгибается в плоскости, даже являющейся главной плоскостью, но не плоскостью симметрии, необходимо принять особые меры для предотвращения кручения. В этом параграфе мы предполагаем, что в силу тех или иных обстоятельств кручение отсутствует. значит, никаких иных касательных напряжений, кроме как от изгиба, в стержне нет.
Сохранение плоских сечений при наличии касательных напряжений в сечении, очевидно, невозможно. Действительно, касательные напряжения вызывают сдвиг, т. е. из-, мепение первоначально прямого угла, как было отмечено в § 1.7. Таким образом, сечение не может оставаться перпендикуляр-
Рис. 3 7]иым изогнуто!! оси стержня, а так как на
пряжения в сечении распределяются неравномерно, оно не может оставаться плоским (рис. 3.7.1). Однако
если стержень загружен сосредоточенными силами, то на каждом
участке перерезывающая сила постоянна, следовательно, во всех сечениях этого участка распределение касательных напряжений одинаково. Одинаковы и искажения поперечных сечений. Поэтому длина элемента тп между двумя сечениями после деформации равна длине того же элемента, подсчитанной по гипотезе плоских сечений, т. е. тп. Отсюда следует, что для балки, не
сущей сосредоточенные силы, закон распределения нормальных напряжений будет тем же, что по гипотезе плоских сечений
丄 М产/о у л\
Для нахождения касательных напряжений будем считать, что они распределяются по толщине стенки равномерно (рис. 3.7.2). Положение точки на средней поверхности стержня будем определять двумя координатами: 2 — расстоянием от фиксированного сечения по образующей и s ——дугой, отсчитываемой от какого-либо конца средней линии открытого контура сечения. Всю длину дуги средней линии контура сечения обозначим 瓦 толщину стержня 6 будем считать функцией s, но не z. Вырежем элемент •средней поверхности двумя бесконечно близкими образующими и двумя поперечными сечениями. Силы, действующие на грани
объемного элемента, образованного нормальными сечениями, проходящими через стороны элемента средней поверхности, показаны на рис. 3.7.3. Уравнение равновесия элемента примет следующий вид:
*3) + ^g) = 0・(3.7.2)
Заметим, что вследствие правила парности касательных напряжений т = 0 при s = 0 и s = h. Интегрируя (3.7.2), найдем
(3.7.3)
о
Но по формуле (3.7.1), учитывая независимость 6 от z, по-
Рис. 3.7.2Рис. 3.7.2лучим
Рис. 3.7.2
Рис. 3.7.2
5 (стб) —by be d"〃
dz —厶 dz I y dz *
Вспомнив дифференциальные соотношения между изгибающими моментами
и перерезывающими силами, напишем последнее равенство так:
8 (06) — ме
Подставив это выражение в (3.7.3), получим следующую формулу для закона распределения касательных напряжений:
ss
(3.7.4)(3.7.4)тЗ = * J g3 ds + 案 j /5 ds.
(3.7.4)
(3.7.4)
x оо
Интегралы в (3.7.4) представляют собою статические моменты части площади сечения, заштрихованной на рис. 3.7.2.
Если внешние силы действуют в плоскости симметрии сече* ния, которую мы примем за плоскость yOz, то в формуле (3.7.4)
остается один член
(3.7.5)(3.7.5)т5 = ^ J уб ds."о
(3.7.5)
(3.7.5)
Формулу (3.7.5) применяют иногда и для сплошных сечений, предполагая, что вектор т параллелен оси у, и понимая под б ширину сечения на расстоянии у от оси %.
Эти гипотезы можно принять с большой натяжкой, точные решения их не подтверждают.
Так, для прямоугольного сечения наибольшее напряжение получается на нейтральной оси при у = 0, приближенная величина его
Эта формула довольно точна, когда h> Ь, если b> h, она дает иногда большую ошибку.
Предположим теперь, что сечение стержня несимметрично. Покажем, что существует такая ось, параллельная оси стержня, что силы, действующие в любой прохо- дяще!1 через эту ось плоскости, не вызывают кручения. Точку пересечения 人 \этой осп с плоскостью сечения называ-
и \Iют центром изгиба. Если такая точка
\~/С существует, то касательные силы в
\Иi\〃сечении приводятся к равнодепствую-
片 i ущей, проходящей через эту точку.
ИОтсюда следует, что сумма момен-
~тов всех касательных сил в сечении 'относительно точки С равна нулю. На
Iэлемент ds с координатами %, у дейст-
“ “вует сила тб ds (рис. 3.7.4); момент ее
Рпс. 3.7.4относительно точки С есть тб卩 ds, где
р — длина перпендикуляра, опущенного из точки С на касательную. Если С есть центр изгиба, то
В
J тЗр ds = 0. о
Но р ds — это удвоенная площадь треугольника с основанием &s и вершиной в точке С. Положим р ds — й(о. Таким образом,
j тб dco = 0. о
hh九3九3тЗсотЗсоПрименим формулу интегрирования по частям. Получим
h
h
九
3
九
3
тЗсо
тЗсо
J os о
Но т обращается в пуль при s = 0 п s =无.Воспользуемся,
кроме того, для преобразования интеграла уравнением (3.7.2), вспомнив, что
dsdz
как показано выше. Окончательный результат будет следующий: hЛ
Qu「с 亠 f с Поо
а так как Qx и Qy произвольны, положение центра изгиба определяется следующими условиями:
I1 I у①3 ds —- 0, /ду ■—■ j /соЗ ds ^― 0.(3.7.6)
оо
Совершенно элементарно находится центр изгиба для углового профиля. Если принять за полюс вершину, то секториальная площадь (о равна нулю, поэтому условия (3.7.6) выполняются, п вершина есть центр изгиба (рис. 3.7.5). Аналогично для таврового сечения центр изгиба находится в точке пересечения стенки с полкой.
Сделаем в заключение одно замечание о применимости принципа Сен-Венана к тонкостенным стержням. Конечно, для любой формы сечения можно выбрать длину или расстояние от места приложения сил настолько большим, что распределение нормальных напряжений будет следовать линейному закону. Но может оказаться, что затухание местных напряжений произойдет слишком далеко. Нижеследующий простой пример, принадлежащий Власову, разъясняет существо дела.
Представим себе двутавровую балку (рис. 3.7.6), нагруженную четырьмя одинаковыми силами Pi = Р2 = Р3 = Р^ = Р- Каждая из полок будет изгибаться парой РЕ и Р3^4 в разные стороны в плоскости полки. Стенка закручивается, сопротивление ее 7 IO. Н. Работнов
препятствует изгибу полок и на некотором расстоянии от торца напряжения практически исчезнут. Но если стенка тонкая, это произойдет на очень большом расстоянии. Таким образом, статически уравновешенная система сил служит фактором, который может вызвать напряжения, не носящие местного характера. Количественной характеристикой этой четверки сил служит так называемый бимомент В = Pbh,
Таким образом, к концу стержня можно прикладывать не только силы и моменты, но также бимоменты; если стержень тонкостенный, то действие бимомента простирается на достаточное расстояние от торца, в § 9.15 будет дана оценка для этого расстояния.
Дифференциальное уравнение изогнутой осн балки и его интегрирование
При изгибе в главной плоскости yOz связь с кривизной в этой плоскости дается первой из формул (3.3.4), которую» можно переписать следующим образом:
館^ = —MJ(EIQ.館^ = —MJ(EIQ.(3.8.1)(3.8.1)
館^ = —MJ(EIQ.
館^ = —MJ(EIQ.
(3.8.1)
(3.8.1)
Искривленная ось изогнутой балки представляет некоторую кривую в плоскости yOz, задавая перемещение точек первоначально прямой оси балки, совпадающей в на- чальном состоянии с осью z, в виде 亡\ 乙 функции u(z), мы получаем по извест- \ \ной формуле анализа
\ \Здесь штрихи обозначают производные
弋по z, знак плюс или минус выбирается
ав зависимости от того, какую кривиз-
Рис. 3.8.1ну мы считаем положительной. В слу
чае, изображенном на рис. 3.8.1, изгибающий момент положителен. Выпуклость изогнутой оси обращена вверх, значит вторая производная и" тоже положительна. Поэтому в формуле (3.2.2) нужно удержать знак минус, и мы получим следующее точное дифференциальное уравнение изогну
(3.8.3)(3.8.3)той оси:
(3.8.3)
(3.8.3)
(1十不评一瓦;
Интегрирование этого нелинейного дифференциального уравнения довольно затруднительно, хотя и возможно. Некоторые примеры будут приведены в § 4.11. Сейчас же мы займемся при-
=0 (z)・=0 (z)・(3.8.5)(3.8.5)что из формул (3.4.1)что из формул (3.4.1)
=0 (z)・
=0 (z)・
(3.8.5)
(3.8.5)
что из формул (3.4.1)
что из формул (3.4.1)
блпженной, технической теорией. Как правило, балки, представляющие собою несущие элементы конструкций, получают лишь малые прогибы. Поэтому тангенс угла наклона касательной к упругой линии и' мал, а квадратом его, во всяком случае, можно пренебречь по сравнению с единицей. Таким образом, вместо (3.2.3),мы будем применять следующее приближенное уравнение:
(3.8.4)(3.8.4)EI^ =吼岱).
(3.8.4)
(3.8.4)
Иногда бывает более удобно считать заданным не изгибающий
момент Mx{z}, а нагрузку q(z). Вспомним, и (3.4.2) следует: Мх = q. Продифференцировав (3.2.4) два раза по z, получим
Функция, фигурирующая в правой части, может быть, вообще говоря, обобщенной функцией типа дельта-функции (сосредоточенная сила) или производной от дельта-функции (сосредоточенный момент) .
Попытаемся теперь выяснить точность приближенного уравнения (3.8.4) или (3.8.3), сравнив результат его решения
с результатом решения такого уравнения в том случае, когда оно может быть получено без труда. Пусть защемленная балка длиной Z нагружена на конце моментом М (рис. 3.8.2). Из точного уравнения (3.8.1) следует, что балка изогнется по дуге окружности и прогиб на конце
/ = P0 — COS
Разложим косинус в ряд, ограничившись тремя членами разложения:
Выражение для / получается следующим:
пли
(3.8.6)(3.8.6)
(3.8.6)
(3.8.6)
Решим теперь ту же задачу, интегрируя уравнение (3.8.4)
с учетом граничных условий 〃(0)= vr (0) = 0. Получим
/01 Ml
7 =
Здесь через /0 по приближенной порядка малости) ющпм образом:Здесь через /0 по приближенной порядка малости) ющпм образом:обозначена величина прогиба, получающаяся теории. Теперь точное (до величины третьего выражение прогиба можно представить следу-
Здесь через /0 по приближенной порядка малости) ющпм образом:
Здесь через /0 по приближенной порядка малости) ющпм образом:
^ = 4 —4•佇；©ВО
Относительная ошибка при определении прогиба
Если мы довольствуемся при определении прогиба ошибкой в 3%, а большая точность не нужна, так как ошибка в определении модуля упругости обычно бывает большей, то, полагая
мы найдем f"l = 0,3.
Такие большие прогибы бывают у пружин, для расчета которых необходима точная теория. Прогибы балок, применяемых в качестве несущих элементов конструкций, всегда гораздо меньше чем 30% от длины, поэтому уравнения (3.8.4) пли (3.8.5) совершенно достаточны.
Интегрированию уравнений (3.8.4) или (3.8.5) посвящена очень большая литература, хотя с математической точки зрения вопрос представляется элементарным. Вся трудность состоит в том, что правая часть обычна
не является аналитической функцией от z, выражение ее меняется от участка к участку. Поэтому при обычном способе интегрирования приходится на каждом участке вводить свои константы интегрирования и определять их из условий сопряжения. Эти трудности легко обходятся, если ввести в рассмотрение функции, принадлежащие классу Хевисайда Н. Если f(z) w w Н, это значит, что f (z) = 0 при z V 0. Теперь мы можем построить
семейство функций 屮n(z), определенных следующим образом: 产
фп (z)=浦(z》0), фп ⑵=0 (z V 0)・
При п = 0 фо(2) есть единичная функция Хевисайда, (po(z) = Я(г), ф0(2)= 1 при z ^ 0, сро(2)= 0 при z V 0. Очень легко доказать следующее СВОЙСТВО фуНКЦИЙ фп(2)：
J(pn (z — a) dz =(рп+1 (г — а) (а>0).(3.8.8)
о
Действительно, при z < а J 勺九(z — а) dz = 0, при z > 0 о
)中办(z - ")近=(八十1)「；о
таким образом, (3.8.8) доказано. Заметим, что соотношение (3.8.8) позволяет продолжить последовательность функций 中门 в область отрицательных индексов, но это будут уже обобщенные функции. Так $-i(z ——а) равна нулю всюду, кроме точки z = а. Но
I Ут (z — а) dz = 1,'^ а м (&, с).
Очевидно, что(p_i соответствует сосредоточенной силе,屮一2 ——сосредоточенному моменту. В классической механике твердого тела особенности более высокого порядка не встречаются, однако возможность их появления была разъяснена в гл. 1.
Выражение изгибающего момента для любого сечения балки, изображенной на рис. 3.8.3, может быть записано с помощью функций 屮九 следующим образом:
От сосредоточенного момента М в сечении z = а
Мх — 0 при z С а, Мх = М при z 力 а, таким образом,
Мх = M^{z — а).
От сосредоточенной силы Р в сечении z = b
Мх = P(pi(Z — 6).
Распределенная нагрузка постоянной интенсивности q, начинающаяся в точке z = с, может быть задана выражением g(po(z ——с). Интегрируя два раза, получим изгибающий момент:
Мх = д(р2(2 — с).
Эта формула верна для сечения на загруженном участке.
Если нагрузка действует только на участке [с, d], а нам нужно иметь выражение изгибающего момента при z > d, следует продолжить положительную нагрузку вправо от точки неограниченно, а от точки d приложить противоположную ей нагрузку ——g. Тогда, при z > d
Mx = a[s(z — c) — 92 Gz — ")]•
В общем случае, когда на балку действует несколько нагрузок разного рода, получается
必=£ {"屮q (z — 〃) + Р% (z — b) + q [% k — c) — Ф2(纟—&)】}•
Теперь дифференциальное уравнение изгиба (3.8.4) очень легко интегрируется, а именно, если момент инерции /% постоянен, мы получаем
г (z) — V (0) + 歩⑼ z +
++亡Е亡Е{М% (z — 〃) + Р(рз(Z — S + q №4 (z — с)—屮4(Z — 〃)]}•{М% (z — 〃) + Р(рз(Z — S + q №4 (z — с)—屮4(Z — 〃)]}•
+
+
亡Е
亡Е
{М% (z — 〃) + Р(рз(Z — S + q №4 (z — с)—屮4(Z — 〃)]}•
{М% (z — 〃) + Р(рз(Z — S + q №4 (z — с)—屮4(Z — 〃)]}•
Для практического пользования это уравнение бывает удобно записать следующим образом:
о (z) = d (0) + i/ (0) z +
(3.8.9)(3.8.9)1 ^(M(z-a)2 P(z-b^ ,「(z — c)4(z—d)』
(3.8.9)
(3.8.9)
十瓦£2a2! H3! 一丁9[一^i 一—4! Jp
Рис. 3.8.4 условия закрепления левой опорыРис. 3.8.4 условия закрепления левой опорыЗначок «л» над символом суммы обозначает, что для каждого сечения суммируются только те величины, которые относятся к части балки, левой по -отношению к рассматриваемому сечению. При переходе через сечение, где приложен момент либо сила, где начинается или кончается распределенная нагрузка, мы сохраняем все члены в формуле (3.8.9) и лишь добавляем соответствующий новый член. В этой формуле фигурируют две постоянные интегрирования р(0) и z/(0), которые должны определяться из граничных условий.
Рис. 3.8.4 условия закрепления левой опоры
Рис. 3.8.4 условия закрепления левой опоры
Простейший пример представлен на рис. 3.8.4. Реакция опоры здесь равна д〃2, если I — длина балки. Она направлена против оси у, следовательно, отрицательна, тогда как направленная вниз нагрузка положительна. Из следует, что = 0. Итак, по фор
муле (3.8.9)
ElyV (z) ~EIyv' (0) z —冬-^—И 豈・
Постоянная i/(0) находится из условия, что и (%) = 0
0= EIxvr (0) Z —碧 + 笠.
Отсюда следует
EI^ (0) = £•
и, следовательно:
и % = 2^7^ С — 2炉 + z3).
Наибольший прогиб будет при z = 〃2, а именно
Umax ~
(т) = от;-
О решении линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
Более сложные задачи, относящиеся к изгибу, как-то: продольно-поперечный изгиб, изгиб балок на упругом основании, поперечные колебания балок ——сводятся к решению линейных уравнений с постоянными коэффициентами более сложного вида, чем уравнение (3.8.4). Трудность интегрирования этих уравнений заключается в том, что правая часть есть функция от z, имеющая разные аналитические выражения на разных участках. Излагаемый ниже метод применялся еще Коши; для изгиба балок он был детально разработан Крыловым.
Пусть дано линейное однородное дифференциальное уравнение порядка п с постоянными коэффициентами
产乂 歩一%
寿 + % £口 • + +anu=L(u) = 0.(3.9.1)
Возьмем произвольную систему линейно независимых частных решений и построим из них новую систему частных решений 0自 обладающих тем свойством, что
4 ⑼=% (0)=…=U黑-D (0) = 0, 0^7)⑼=1.(3.9.2)
Это всегда возможно. Для этого надо взять линейную комбинацию из частных решений и<
п
г=1
Коэффициенты саь с^,・•・,с^п найдем из уравнений
п
2 ck^i~1}(3・9・3)
г=1
Детерминант этой системы есть детерминант Вронского для системы функций 〃i, 〃2, •.., ип при z = 0, он отличен от нуля вследствие линейной независимости функций 乂卜 〃2, ..., ип. Поэтому всегда можно найти коэффициенты см и фактически построить функцию t4(z).
Образуем систему таких частных решений: 仇(z), U2(z), ..., Un(z). Каждая из этих функций обладает свойством (3.9.2). Составим следующую таблицу, в которой сведены начальные значения функций и их производных:
5252(01 о о и(01 о о ио<О1О ио<О1О и人。0 1人。0 1'(ООО'(ООО
52
52
(01 о о и
(01 о о и
о
<О1О и
о
<О1О и
人。0 1
人。0 1
'(ООО
'(ООО
Во всех клетках этой таолицы стоят нули, лишь на главной диагонали — единицы. Поэтому система Uk частных решений уравнения (3.9.1) называется системой с единичной матрицей. Будем строить общий интеграл уравнения (3.9.1) именно с помощью этой системы частных решений, линейная независимость которой усматривается из того факта, что ее определитель Вронского при z = 0 есть определитель единичной матрицы, следовательно,
равен единице. Таким образом.
'п〃 (z) = £ S%(z)・i=l
Займемся теперь решением неоднородного уравнения
EQ) =/(z).(3.9.4)
Докажем следующую теорему:
Интеграл уравнения (3.9.4), обращающийся в нуль вместе со своими, производными до порядка п — 1 включительно при z = 0, дается формулой
u = ^Un(Z-Qf(Q dZ.(3.9.5)
о
При этом предполагается, что в уравнении (3.9.4) коэффициент при старшей производной сделан равным единице. Вычислим последовательные производные функции 〃(z), определяемой с помощью (3.9.5). Здесь z одновременно является и верхним пределом интеграла, и параметром, поэтому по известной теореме анализа
公(Z)= % (0) 〃Z)+ Ju； (z —工)〃9 居о
Но Un(0) = 0 вследствие специального выбора функций Uh(z). Продолжая процесс дифференцирования, найдем
“〃(z)= J W(z—G)f© 痴о
и так далее, до производной порядка п ——1 включительно. Производная же порядка п
依)(z)=雷 Т) (0)/(з) +J 瓚)(z-^f^d^о
причем U染т) (0) = 1.
Подставим теперь все последовательные производные функции 〃(z) в уравнение (3.9.4). Вследствие постоянства коэффициентов Сг под интегралом получится та же комбинация производных функций U” ⑺,что и в операторе £(〃). Учитывая же, что коэффициент при 乂(厶)есть единица, получим
J £(%)/©ag + "z)= 〃z). о
Но Un есть решение уравнения (3.9.1), L(Un) = 0, поэтому мы получили тождество, что и доказывает теорему.
Формула (3.9.5) дает не какое-нибудь частное решение уравнения (3.9.1), а решение, обращающееся в нуль вместе со своими производными до порядка п ——1 включительно при z = 0. Это большое преимущество полученного решения, упрощающее определение постоянных из начальных условий.
]U九（2 一?〃9讹・ О]U九（2 一?〃9讹・ ООбщий интеграл уравнения (3.9.4) может быть представлен следующим образом:
]U九（2 一?〃9讹・ О
]U九（2 一?〃9讹・ О
〃(z)尸 2 以％(z)+k=i
Постоянные Ci, •.., Cn имеют здесь совершенно определенные значения^ Действительно, положим z = 0. Получим
“(0) = G.
Вычислим производную от и порядка к ——1 и положим z = 0. В правой? части обратятся в нуль все члены, кроме содержащего множителем 以^ так как 捲(0) = 1. Получим
“(”1)(0)=以.
Таким образом,
〃(z) = £(0) Uk (z) + ! и九(z — g) / &)婚 (3.9.6)
Формула (3.9.6) представляет общий интеграл линейного дифференциального уравнения с правой частью в форме, наиболее удобной для приложений. Постоянные интегрирования имеют здесь простой смысл: это начальные (при z = 0) значения искомой функции и ее производных. Поэтому метод интегрирования дифференциальных уравнений, основанный на формуле (3.9.6) и широко применяемый в строительной механике, называется методом начальных параметров, он разрабатывался рядом советских авторов не только в применении к балкам, но также к пластинкам и оболочкам.
В качестве примера рассмотрим уже изученное нами уравнение (3.8.4》
Мх
Соответствующее однородное уравнение
W = 0.
Его частные решения, обладающие единичной матрицей, суть
5 == 1, U2 = z.
Действительно, Ui(0) — 1, U； (0) =0, U2 (0) = 0, U； (0) = 1 • По формуле (3.9.6)
f Мх © v(z) = v (0)-1 + У (0) z 十 J (z — 0 е/ 鸣(3.9.7>
о
По теореме Коши
ZZ Z
J(Z — 9 / (?照=f『〃z) dz dz, оо о
Продольно-поперечный изгиб
Рассмотрим стержень, на который, кроме поперечной нагрузки, действует продольная сжимающая или растягивающая сила. Пока стержень был прямым, эта сила вызывала только растяже
ние или сжатие стержня; как только стержень изогнулся, сила Р (рис. 3.10.1) создает в сечениях изгибающий момент. В случае aj этот момент от силы Р в сечении с координатой z есть Р% где и — прогиб. В случае б) момент есть Р(и — и。)= Ри — Мо. Через М。мы обозначили величину PvQ. Эта величина является неизвестной постоянной^ отнесем ее к по-
которых в сечении полный изгибающийкоторых в сечении полный изгибающийперечным нагрузкам, момент от с координатой z есть Мх. Таким образом, момент
которых в сечении полный изгибающий
которых в сечении полный изгибающий
Mx = Pv + М* (z).
и"и"(3.10.1)(3.10.1)Внесем это выражение в уравнение изгиба (3.8.4). Получим
и"
и"
(3.10.1)
(3.10.1)
Это и есть уравнение продольно-поперечного изгиба. В дальнейшем нужно рассматривать отдельно два случая.
р
(3.10.2)(3.10.2)Р>0, сила растягивает стержень. Положим 斤=АЛ Перепишем уравнение (3.10.1) следующим образом:
(3.10.2)
(3.10.2)
Применим к нему метод, изложенный в предыдущем параграфе. Частные решения соответствующего однородного уравнения
ch kz, - sh kz
удовлетворяют условиям, поставленным для функций lA(z). Действительно, при z = 0 sh kz = 0, производная же этой функции, т. е. ch kz, обращается при 2 = 0 в единицу. Таким образом,
Ui = ch 区 ％ = ~^~ sh kz.
По формуле (3.9.6)
Z*
о (z) = и ⑼ ch kz + vr (0) -^- sh Az + -у J sh /i; (z — ^) ^^ d* ок
(340.3>
Это и есть общее решение уравнения продольно-поперечного изгиба. Вычислим входящий в формулу (3.10.3) интеграл для некоторых видов нагрузок:
Момент М в сечении z = а
М* = Л/ф0 (z — а)
или
М* = 0 при z V а, М* = М при z^a,
о
Эта формула пригодна, если z > а. Если z V а, то интеграл равен нулю.
Сосредоточенная сила Q в сечении z = b М* = Q% (z —力
Если z V Ь, то
J sh /с (z — 4) % 隽—6)女=0.о
Если z > А то этот интеграл равен
j sh " (z — С)隽一Ь) d^ —表 sh " (z — b) — % 应丄.
Таким образом для балки, загруженной моментами и сосредото1- ченными силами:
и (z) = и (0) ch kz + 〃(0) + sh /cz +
} £ {м [ch к (z 一 a) 一 1] + Q [+ sh 乃(z — b) — (z — 6)]}・
(3.10.4)
Здесь, как и в формуле (3.8.9), суммирование распространяется на те силы или моменты, которые приложены слева от рассматриваемого сечения.
Р V 0, сила сжимает стержень. Обозначим теперь через 兴 величину ——Р/ (Е1Х). Уравнение продольно-поперечного изгиба
принимает вид
и" + k2v
М* (z)
(3.10.5)
Решение строится буквально так же, как для растягивающей силы, только вместо гиперболических функций будут функции тригонометрические. Не повторяя выкладок, напишем результат:
o(z)=
V (0) cos kz + vr (0) + sin kz + +『sin к (z —工) о
(3.10.6)
Для балки, загруженной моментами и сосредоточенными силами, интеграл принимает следующий вид:
D(z) =0 ⑼cos kz + i/ (0) — sin kz +
л
+ "p- ^2 yM [1 一 cos к (z 一 〃)] + Q 卜z — b)} sin 为(z — "]}，
(3.10.7)
Приведем пример применения этого уравнения. Балка,
Рис. 3.10.2
лежащая на двух опорах (рис. 3.10.2), сжимается двумя силами, приложенными с эксцсптрп- ситетом е. В концевом сечении приложен, таким образом, момент Ре. По формуле (3.10.7)
1 .
V = V (0) 丁 sin Az 十 е (1 — cos kz),
Постоянную d，(0) определим из условия “(Z) = 0
V (Z) = ^-- sin "Z 十 е (1 — cos kl) = 0.
Отсюда
1 — cos kl
°'(°)=说 sin 机
Подставляя это в выражение для прогиба, получим[1 — cos kll
1 — cos kz — sin kz—$五-应- •(3.10.8)
Если бы сила была растягивающей, в формуле (3.10.8) следовало бы заменить тригонометрические функции гиперболическими
Гch kl — 1 ]
и = е ch kz — i — sh kz —而后一.(3.10.9)
Явления продольно-поперечного изгиба при растяжении и сжатии протекают качественно совершенно по-разному. Предпо-
ложпм, что мы увеличиваем растягивающую силу Р. Тогда увеличивается /с, гиперболические синус и косинус монотонно возрастают, но разность между ними стремится к нулю. Прогиб по формуле (3.10.9) получается отрицательным, величина его растет, но не превышает величину эксцентриситета е. Совершенно иначе обстоит дело, если сила сжимает стержень. При значениях параметра /с厶 кратных л, обращается в нуль sin kl в знаменателе последнего члена формулы (3.10.8). Таким образом, прогиб обращается в бесконечность при некоторых значениях силы.
Не останавливаясь пока подробно на этом факте, заметим, что он тесно связан с теорией устойчивости упругих систем, рассмотренной в гл. 4.
3.11. Изгиб балки на упругом основании
Примером балки на упругом основании является железнодорожная шпала, нагруженная двумя силами, передаваемыми через рельсы. Не имея опор, шпала передает эту нагрузку непосредственно грунту, изгибаясь при этом вследствие податливости грунта.
Термин «упругое основание» в применении к грунту довольно условен, ибо механические свойства грунта не тождественны со свойствами упругого тела в обычном смысле слова. Если поставить задачу о равновесии балки, покоящейся на мае-
сивном упругом теле, огра- 5гТТу|уГТ^^ ниченном с одной стороны плоскостью, мы получим
пример так называемойРис. 3.11.1
контактной задачи теории
упругости, точное решение которой встречает большие математические трудности. Существо их состоит в том, что деформация тела в одной какой-либо точке зависит не только от давления в этой точке, но и от давлений в соседних точках.
Желая упростить постановку задачи и сделать ее доступной элементарным методам, предполагают, что перемещение упругого основания зависит только от давления в той точке, в которой ищется перемещение. Эта гипотеза, иногда называемая гипотезой Винклера, как бы заменяет реальное упругое тело рядом не связанных между собой пружин или стерженьков (рис. 3.11.1). Считая реакцию основания пропорциональной прогибу, найдем, что распределенная непрерывным образом по длине балки реакция есть
q =——cv.
Такая упрощенная модель упругого основания довольно хорошо воспроизводит свойства грунта, который, собственно, не мо-
жет считаться упругим телом: связность между его частицами меньшая, нежели в сплошном упругом теле.
Заметим, что предположение о пропорциональности между прогибом и реакцией основания выполняется совершенно строго для плавающей балки прямоугольного поперечного сечения. Здесь реакция представляет собою подъемную силу Архимеда.
Для составления дифференциального уравнения изгиба балки, лежащей на упругом, в смысле Винклера, основании, мы будем исходить из дифференциального уравнения изгиба в форме (3.8.5). В правой части к действующей нагрузке q мы прибавим реакцию основания (——си) и будем считать жесткость балки при изгибе, т. е. лроизведение E/x, постоянной. Получим
EIxviy = -cv + q(z) (3.11.1) или
Уравнение (3.11.1) встречается не только в задаче о балке на упругом основании, но и в других разделах строительной механики, например, в теории цилиндрических оболочек. Займемся сначала интегрированием однородного уравнения
* + 4at = °. (3.11.2)
Корни характеристического уравнения суть
а(1 + %), а( —4 + 力)，а( —1 — i), а(1 — /).
Комбинируя соответствующие частные решения так, чтобы избавиться от мнимостей, получим общий интеграл уравнения (3.11.2)
V = eaz(A sin az + B cos az) + e~az(C sin az + D cos az).(3.11.3)
Применяя метод § 3.9, мы должны с помощью общего интеграла (3.11.3) образовать систему частных решений с единичной матрицей начальных значений.
Эти решения суть:
Ui = ch az cos az, U? =(ch az sin az + sh az cos az),
!1(З.И.4)
〃з =尸 sh az sin az, U4 =尸(ch az sin az — sh az cos az).
Отметим, что
По формуле (3.9.6)
и(Z)= и (0) a (z) + z/(0) 5(Z)+
+ и 〃(о)а а)+г/〃 ⑼ а(纟)+内⑶.(3.11.5) Здесь
匕(Z)= J七(z-喷幅(3.11.6)
ОX
Вычислим функцию Ui(z) для случая, когда балка загружена сосредоточенной силой в сечении с координатой z = Ь. Заменим сосредоточенную силу равномерно распределенной нагрузкой на участке от Ъ ——е до b 三 е. Интенсивность этой нагрузки примем Q
равной 函・ По формуле (3.11.6) Ui(z) = 0, если z < & ——8. Если 2 > 6 + 8, то
Ь+е
%(z) = J М (z — С) 2&》%
Применим к этому интегралу теорему о среднем. Получим
% 齐 b .
Здесь 仆三(一1, +1).
Будем теперь приближать 8 к пределу, равному нулю. Искомое частное решение представится так:
v1 (z) = 0при z V Ь,
% (z)=齐 ％ (z — 6) при z > 瓦
Желая получить решение в случае сосредоточенного момента, приложенного в сечении с координатой а, приложим в этом сечении сосредоточенную силу величиной Л/7е, в сечении с координатой а + 8 силу —М/е. При z> а + г, суммируя найденные решения для двух сил, получим
% (z) = / -~ С74(2 — а) —^ % (z — а — &) •
Переходя к пределу при 8 -> 0 и вспоминая, что U； = %, найдем% (z) = 0при z V а,
%(“)=券 ％ G — 〃)при z > а.
Рассмотрим, наконец, случай равномерно распределенной нагрузки, начинающейся при z = c. По формуле (3.11.6)
乙(z)=J*(z—С 囁閣ОX
Но, как легко проверить непосредственным вычислением,
%(z) =(z)・
Поэтому
% (z) = 0при z V %
"i(z)=二""^ [“ — U1 (z—с)] при Z ^> с•
Если нагрузка заканчивается при z = d, то считаем ее продолжающейся вправо неограниченно, но прикладываем нагрузку (——q), начиная с z = d. При z > d получим
乙=g [— ％ (z — с) + 力(z — d)] •
Окончательная формула для прогибов будет следующей:
U(Z)= и (0) %(Z)+ J (0) % (z) + "' (0)。3 (z) + 片(0)。4 ⑵ +
Л
(3.11.7)
Символ суммы с индексом《л» вверху нужно понимать так же, как в § 3.8.
Рис. 3.11.2
Рассмотрим в качестве примера задачу об изгибе полубесконечной балки силой и моментом на конце (рис. 3.11.2). В формуле (3.11.5) нужно положить
、= 0, vf, (0) = ^-, z/〃 (С)=*.
Получим
ь =八0) % (z) + 房(0)4 (z) +差 ％ ⑵ + К %(z)・
Для определения постоянных。(0) и 优(0) потребуем, чтобы прогпб на бесконечности был равен нулю. Для этого заметим, что при больших зпа-
чениях аргумента ch az f sh az ~> 1/2 exp az. Следовательно, по формулам (3.11.4)
11
и、(z) + 彳 exp az cos az, U? (z) + 衣 exp az (sin az + cos az),
% (z) -> ^2 exp az sin az, U& (z) + ^^ exp az (sin az — cos az)
При больших z
1(1
и (z) + /- exp az 彳 v (0) cos az 十五?/ (0) (sin az + cos az) -}-
1 M1 Q ,]
^2 £j" sin az 4- ^^ ^y- (sinaz — cos az)|
Сравнивая коэффициенты при cos az и sin az, найдем
1 ,1 Q 1 ,1 M 1 Q
"(o)一W瓦=°'友"⑼+女不瓯=°.
Отсюда
M QМ Q
"⑼=女而7 +女前''(①=一加；一 ЛГ；- 3".8，
Заметим, что прогиб p(z) меняет знак: на некоторых участках балка приподнимается над основанием. Мы предполагаем при решении задачи, что реакция основания возникает и при отрицательных прогибах, что существенно упрощает решение.
8 Ю. Н. Работнов
ГЛАВА 4
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Постановка задач устойчивости
Как оказывается, при некоторых определенных значениях внешних сил упругая система может иметь несколько положений равновесия, причем одни из них устойчивы, другие неустойчивы. Для выяснения этого вопроса обратимся к примеру стержня, сжатого силой Р (рис. 4.1.1). Предполагается, что стержень идеально прямой и сила приложена строго центрально (что практически невозможно). При указанных идеальных условиях прямолинейная форма стержня всегда является возможной 夕 формой его равновесия. Для суждения об устойчивости этой формы равновесия нужно сообщить возмущение, например приложить малую поперечную нагрузку Q, /которая вызовет прогиб. При отсутствии сжимающей
/силы Р малая поперечная сила вызывает малый про-
1гиб. Если сила Р невелика, то положение останется
Iтаким же и равновесие стержня сохраняется устойчи-
[вым. Более строгое определение устойчивости состоит
\в следующем. Равновесие стержня устойчиво, если, за-
\давшись любой величиной 刀 > 0, всегда можно указать
*такую конечную величину е > 0, что при IQ丨 V& вели-
分чина прогиба ни в одной точке не достигнет величины
П, т. е. будет |и丨 Vr|・ Оказывается, как мы увидим Рис. 4.1.1 далее, что это условие не выполняется, если сила Р превышает некоторое критическое значение А. При Р > Рк равновесие стержня становится неустойчивым, это значит, что сколь угодно малое возмущение достаточно для того, чтобы возникли большие прогибы.
В данном случае возмущение создается поперечной силой. Но можно представить себе и другой способ создания возмущения, например можно приложить (распределенную напрузку, неравномерно нагреть стержень, вследствие чего он искривится и т. д. Возникает естественный вопрос ——будет ли зависеть критическая сила от типа возмущения. Для упругих систем, как оказывается, критическая сила от характера возмущения не зависит. Для пластических тел это не так п положение может быть более сложным. Критическая icnjia, понимаемая <в указанном смысле, может зависеть от характера возмущения.
При исследо1вани!и задач устойчивости нужно иметь в виду еще следующее обстоятельство. Реальная механическая система для ее изучения идеализ1ируется, и в конечном счете мы имеем цело не с механическим объектом, а с дифференциальным урав- нением или системой дифференциальных уравнений, отражающих действительные свойства объекта лишь приближенно з в некоторой определенной области. Решение задач устойчивости —— это есть решение математической задачи, т. е. исследование свойств уравнений. Перенос результатов этого исследования на реальный объект, т. е. предсказание механического эффекта, должно делаться с осторожностью, потому что не все свойства решений дифференциальных уравнений являются свойствами механической системы. Мы убедимся в ⑶том в следующих параграфах.
Критические силы для сжатого стержня по Эйлеру
Излагаемый ниже метод исследования устойчивости упругих систем по отношению к малым возмущениям называется методом Эйлера, который применил его для рассмотрения задачи об устойчивости сжатого ютержня. На этом примере и будет проиллюстрирован ниже этот метод, применяемый для решения задач об устойчивости любых упругих систем.
Существо его состоит в том, что постановка задачи об устойчивости по отношению к заданным возмущениям подменяется несколько иной постановкой, в известном смысле упрощенной, а именно, решается вопрос об устойчивости в прямом смысле слова, а о возможности существования двух различных форм равновесия стержня при одном и том же значении силы. Простейшая задача будет относиться к улучаю, изображенному на рис. 4.2.1. Очевидно, что прямолинейная форма равновесия, когда u(z)三 0, возможна. Предположим, что наряду с прямолинейной формой возможна и представленная на рисунке криволинейная форма. Тогда изгибающий момент в се- ^ении с координатой z есть —Pv(z). Поэтому дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня будет
EIxvff +Pv = 0.(4.2.1)
ПрпсоединИ|М ik нему граничные условия
MOD"(4.2.2)
Очевидно, что решение u(z)三 0 удовлетворяет и уравнению (4.2.1) и граничным условиям (4.2.2), но вопрос ставится так: 8*
не может ли иметь уравнение (4.2.1) при граничных условиях (4.2.2) нетривиальное, т. е. отличное от нуля решение. Эта постановка весьма напоминает постановку задачи о нетривиальном решении однородной системы линейных алгебраических уравнений, которое сухцествует, как известно, если определитель системы равен нулю.
Положив —=們 перепишем (4.2.1) в виде
v-+k2v==0
и запишем общий интеграл этого уравнения
и (z) = 4 sin kz + В cos kz.
Из первого граничного условия следует 5 = 0. Подставляя В = 0 во второе граничное условие, находим
(4.2.3)(4.2.3)(4.2.4)(4.2.4)A sin kl = 0.
(4.2.3)
(4.2.3)
(4.2.4)
(4.2.4)
Если и 声 0, А^О, kl = пл, то
—п^Е1х
(4.2.5)(4.2.5)Формула (4.2.4) определяет бесконечную последовательность критических сил, для которых возможно искривленное состояние. Наименьшая критическая сила Р» называется эйлеровой силой Рэ, она равна
(4.2.5)
(4.2.5)
Полученный результат не может у|Довлетворить требованиям
здравого смысла.здравого смысла.Если Р = Рп, то константа Л остается совер-
здравого смысла.
здравого смысла.
шенно неопределенной; значит, при критическом значении силы прогиб может быть каким угодно, равновесие сказывается безразличным. Далее, если сила заключена между Рп и Рп+Ь нетривиального решения задачи не существует и уравнение изгиба не может обнаружить никаких иных форм равновесия, кроме прямолинеиной.
Таким образом, необходимо более детальное изучение фактического поведения сжатого стержня. Заметим, прежде всего, что при составлении уравнения (4.2.1) была допущена известная противоречивость. До сих пор мы всегда имели дело с линейной зависимостью между силами и перемещениями. Эта линейность, помимо закона Гука, вытекала из предположения о малости углов поворота, которое использовалось два раза, а именно:
Уравнения статики составлялись для недеформированного состояния системы.
Соотношения между перемещениями и деформациями элементов системы линеаризовались.
Но, записывая, что Мх = Ри, мы нарушаем первое условие, тогда как полагая 1/р = и〃，мы сохраняем второе. Это ——очевидная непоследовательность, за которую приходится расплачиваться, получая неясный результат. Система (4.2.1), (4.2.2) остается линейной относительно u(z), нам лриходится интегрировать линейное уравнение, но задача но существу нелинейна и критическая сила Рп ищется как корень трансцендентного уравнения (4.2.3).
(4.2.6)(4.2.6)Оставаясь в рамках тех же допущений, выясним, какова связь полученного результата с постановкой задачи .об устопчи^ вости по отношению к заданному возмущению. Обратимся для этого к уравнению продольно-поперечного изгиба (3.10.5), а именно:
(4.2.6)
(4.2.6)
Если возмущение создано произвольной поперечной нагрузкой, то для статически ошределимо迓 балки, изображенной на рис. 4.2.1, всегда можно построить эпюру моментов, т. е. определить функцию 4恋(z)・ Будем считать поэтому, что задание функции М^ и есть задание возмущения. Ищем решение уравнения (4.2.6) в виде
2
.5Л2
as sm — t
Подставляя в (4.2.6), получим
Умножим обе части на sin nnz/l и проинтегрируем по z от z = 0 до 2 = 2. Так как
)sin千sin竿dz = -^-S.n @sn — символ Кронекера), о
то в левой части останется только один член, соответствующий 〃 =s, н мы получим
〃п〃п+ к2+ к2тптп
〃п
〃п
+ к2
+ к2
тп
тп
Здесь
тп = -^- ^ М* (z) sin 乎 dz.о
Подставляя выражение для к2 и используя формулу (4.2.4), найдем
тп
「 н п
Здесь Рп ——критическая сила с номером п. Выражение для прогиба получается следующим:
〃(z)=£^^sin 手.(4.2.7)
n=ln
Функция u(z), удовлетворяющая уравнению (4.2.6) и граничным условиям (4.2.2), непрерывная вместе со своей первой производной, представляется равномерно сходящимся рядом Фурье (4.2.7), содержащим только синусы кратных аргументов. Величины тп представляют собой коэффициенты Фурье для функц1ии Мх, однако соответствующий -ряд Фурье, вообще говоря, не сходится ни в каком смысле, л функцию Мх (z) не представляет (что следует из известной теоремы Гильберта—Шмидта, нашример).
Видно, что при Р = Рп прогиб обращается в бе1сконечность, сколь бы ни было мало mn, т. е. возмущение. Но если Р ¥= Р^ то всегда можно выбрать достаточно малую функцию Мх, чтобы все тп были достаточно малы и мрогиб не превосходил любую заданную величину. Теперь становится ясным, почему реальный смысл имеет именно первая критическая сила. В принципе, конечно, можно представить себе такую возмущающую нагрузку, что иг、= 0, тогда потеря устойчивости произойдет при критической силе ?2・ Но этот идеальный юлучай в действительности неосуществим, при любой поперечной нагрузке т^ =# 0, хотя может быть сколь угодно мало.
Обращение прогиба в бесконечно1сть на самом деле невозможно (；в действительности |u|v〃2), бесконечные прогибы появляются опять как следствие применения линеаризованного выражения для кривизны. Таким образом, полученный результат скорее сигнализирует об опасности, возникающей при Р = Д, чем позволяет оценить действительную 1степень этой опасности.
Эластика Эйлера
Результаты, полученные выше с помощью линеаризованного уравнения изгиба, неудовлетворительны в том отношении, что они не позволяют обнаружить искр1ивленные формы оси стержня при условии Рп<Р < ^n+i, в частности при Р> Рэ. Поэтому
мы рассмотрим задачу, поставленную в предыдущем параграфе, в точной постановке. Напишем дифференциальное уравнение изгиба так:
Е1хк = —Ру.
Кривизна х изогнутой оси равна dB/ds, где 9 ——изображенный на рис. 4.3.1 угол между
Рис. 4.3.1Рис. 4.3.1касательной к изогнутой оси стержня и осью, проходящей через его концы.
Рис. 4.3.1
Рис. 4.3.1
Уравнение изгиба будет следующим:
^=-к2y. (4.3.1)
Здесь 厶 то же, что и в § 4.2.
Продифференцируем уравнение (4.3.1) по s, заметив, что dy/ds = sin 9. Получим
W = —/sme. (4.3.2) ds
Уравнение (4.3.2) интегрируется в квадратурах обычным способом. Запишем его так:
4"青*)=一^sin9.
Заметим, что преобразование левой части вполне аналогично преобразованию левой части уравнения движения при выводе теоремы живых сил. Разделяя переменные и интегрируя, найдем
(患 j = 2"2 (cosB — cos%.
Мы воспользовались здесь граничным условием при s = 0, х = О II О ~ 0Q.
Перейдем в этом выражении к половинным углам по формуле cos 9 = 1 — 2 sin2 (9/2). Получим
偿(433)
Сделаем замену переменной, приняв
sin -|- = sin ^-sin <p.(4.3.4)
Это всегда выполнимо, потому что 9 ^ 90. Дифференцируя (4.3.4),
найдемнайдем
найдем
найдем
cos -^- d—- = sin 学 cos ср d(p.
Преобразуем к новой переменной выражение (4.3.3). Получим, разделяя переменные:
(4.3.5)(4.3.5)ds = —「 -•—：=二:=
(4.3.5)
(4.3.5)
E г • 2 绵• 2
1 — sin 寸 Sin (P
Положим sin(90/2) == тп. Заметим, что при s = 0 0 = 0O и ф =冗/2・ Поэтому, интегрируя левую часть от нуля до s, правую от п/2 до ср, будем иметь
”2”2dcpМ1 —加2 sin2(pdcpМ1 —加2 sin2(p
”2
”2
dcp
М1 —加2 sin2(p
dcp
М1 —加2 sin2(p
Знак минус выбран для того, чтобы было s > 0. Это эллиптический интеграл первого рода, т. е. табулированная функция. Принимая обычные обозначения эллиптических интегралов
dcpУ^1 — тп2 sin2 фdcpУ^1 — тп2 sin2 ф
dcp
У^1 — тп2 sin2 ф
dcp
У^1 — тп2 sin2 ф
получим
ks =-尸（中）+凡
(4.3.6)(4.3.6)При s = 〃2 в силу симметрии 0 = 0, а следовательно, п ср = 0. Поэтому
(4.3.6)
(4.3.6)
Из этого уравнения определяют неизвестную величин^" т, связанную с углом наклона касательной на конце стержня. Теперь можно найти координаты точек изогнутой оси стержня % и ^/, отправляясь от равенств dx/ds ^ sin 0, dy/ds = cos 0.
Перейдем к независимой переменной <р, пользуясь (4.3.4) и (4.3.5). Получ)им
dx = sin 9 ds = — ^ sin ф d^,
dy = cos 8ds= — ± 2 V^ 1 — m2 sin2 фdy = cos 8ds= — ± 2 V^ 1 — m2 sin2 ф11Ml — M sin2 фMl — M sin2 фd(p・d(p・
dy = cos 8ds= — ± 2 V^ 1 — m2 sin2 ф
dy = cos 8ds= — ± 2 V^ 1 — m2 sin2 ф
1
1
Ml — M sin2 ф
Ml — M sin2 ф
d(p・
d(p・
Интегрируя и принимая во внимание, что х = у = 0 при <р = л/2,
получим параметрические уравнения изогнутой оси
фЗдесь £ (ср) = J Р1 —疗фЗдесь £ (ср) = J Р1 —疗sin2(pc/(p——эллиптический интеграл второгоsin2(pc/(p——эллиптический интеграл второго% = ^ cos ф, У = ^ [2 (£ — 石(ф)) — (F — F (ф))]. (4.3.7)
ф
Здесь £ (ср) = J Р1 —疗
ф
Здесь £ (ср) = J Р1 —疗
sin2(pc/(p——эллиптический интеграл второго
sin2(pc/(p——эллиптический интеграл второго
о
рода; Е(冗/2) = Е.
Обратимся теперь ,к .исследованию уравнения (4.3.6).
Полный эллиптический интеграл F не может быть меньше чем п/2; это значение достигается при m = 0. Поэтому если kl < л, то это уравнение не имеет решения; единственно возможная форма равновесия ——лрямолинейная. Но kl = л, если
Это ——первая критическая -аила.
Таким образом, иск(р|И1вленная форма равновесия возможна тогда, когда Р > R. При этом каждому значению Р соответствует совершенно определенное значение тп по уравнению (4.3.6) и определенная кривая прогиба — зластика Эйлера, даваемая уравнениями (4.3.7). Прогиб растет по мере увеличения нагрузки весьма быстро, как показано на рис. 4.3.1.
Теперь понятно, почему мы могли обнаружить криволинейные формы равновесин при Р > Рэ только с помощью точных уравнений. Для этих форм прогибы велики, а приближенное линеаризованное уравнение годится лишь для малых прогибов.
Устойчивость прямолинейной формы сжатого стержня
Результаты, полученные в предыдущем параграфе, еще не дают ответа на вопрос об устойчивости в строгом смысле слова, как з】о было сформулировано в § 4.1. Вместо этого мы по существу ввели бифуркационный критерий устойчивости. Если представить себе процесс нагружения стержня продольной силой как процесс, описываемый кривой зависимости некоторого прогиба от сжимающей силы, то на этой кривюй получаются разветвления в некоторых точках, называемых(критически1|М.11 или точками бифуркации. Так, на (piic. 4.4.1 схематически изображен график зависимости прогиба, например прогиба 6 в середине стержня, от сжимающей силы р пока Р < Рэ это отрезок оси ординат, 6 = 0. При Р > Рз стержень может либо -оставаться прямым, либо искри1В111ться; в соответствии с двумя возможными формами равновесия возникает бифуркация, одному и тому же значению силы Р соответствуют два возможных прогиба (точки Л и В). Вопрос о том, какая форма равновесия, прямолинейная
или искр|цвленная, оказывается устойчивой, остается открытым. Для решения <его нужно было бы предположить, что стержень находится в одном из этих состояний (4 или 5) и что какая-то причина его лз этого состояния вывела. Далее, нужно изучить движение стержня и выяснить, будет ли он возвращаться в ис-
Рис. 4.4.1Рис. 4.4.1ходное состояние или, наоборот, удаляться от него. Таким образом, вопрос об устойчивости равновесия в принципе должен решаться в динамической постановке, в результате анализа уравнений движения. Далее, в гл. 6 такая динамическая постановка вопроса об устойчивости будет рассмотрена, сейчас же мы попытаемся обойтись элементарными соображениями. Согласно известной теореме Дирихле в состоянии устойчивого равновесия энергия системы имеет минимум, следовательно, всякое отклонение от состояния равновесия должно увеличивать энергию системы. Пусть малый прогиб i?(z) и представит собой такое отклонение от прямолинейной формы равновесия.
Рис. 4.4.1
Рис. 4.4.1
ААооСжимающая сила Р совершит при этом работу на перемещении А (см. рпс. 4.2.1), которое вычисляется по следующей формуле:
А
А
о
о
(4.4.1)
вывод которой очевиден (более высокие степени 〃' отброшены). Потенциальная энергия изгиба стержня находится по формулам (3.3.7), (3.3.8), а именно
ТТС 〃2 7
и =为｝ и
о
Таким образам, изменение полной энергии стержня вследствие малого изгиба будет
W=U — P^.(4.4.2)
Если ТУ > 0, то по теореме Дирихле стержень устойчив, в прямолинейном состоянии, если W < 0, стержень неустойчив. Для того, чтобы прийти к этому выводу, нет необходимости ссылаться на теорему Дирихле, если PN > U, сила Р производит работу большую, чем может накопиться в виде упругой энергии стержня, избыточная работа идет на сообщение кинетической энергии, стержень приходит в движение, т. е. прогибается дальше, по мере увеличения прогиба увеличивается и избыточная работа, таким образом, прогиб растет ускоренно. В этом и состоит потеря устойчивости. Для проверки условия устойчивости нужно
задаться видом возмущения. Положим, например, и = asm —.
После элементарных вычислений, найдем, с учетом (4.2.5) w=穿(2 一0).(4.4.3)
Очевидно, что РИ > 0, т. е. стержень устойчив при Р V Р^, тогда как при Р > Р^ прямол!инейная форма стержня всегда неустойчива, хотя бы значение силы и лопало в интервал между ее -критическими значениями.
Проведенное исследование, строго говоря, позволяет утверждать только уютойчив/ость прямолинейной формы по отношению к синусоидальным (во^мущевиям. Возникает вопрос: нельзя ли выбрать такое возмущение u(z), по отношению к которому стержень окаж'ется неустойчивым при действии сжимающей силы Р V О?? Для того чтобы доказать, что 0。есть действительно наименьшая критическая сила, представим себе, что стержню сообщено произвольное возмугцение
〃(z) = £ 〃h sin 字. (4.4.4)
Здесь нам придется союлаться на соответствующую теорему анализа, которая применительно к данному случаю, утверждает возможность представления в .виде ряда (4.4.4) любой функции, которая удовлетворяет граничным условиям и(0) = u(Z) = O, непрерывна вместе со своей первой производной и имеет кусочнонепрерывную вторую производную. Учитывая ортогональность тригонометрических функЦ|ИЙ кратных аргументов, найдем
2 00
呼=击士就(2 - 0).
6=1
Если Р V Pi = Рэ, то все члены суммы положительны и РИ > О при любых 〃s, т. е. для любого возмущения u(z); если Р > Рэ, то можно выбрать такое возмущение, чтобы было W <0 и, следовательно, по отношению к которому стержень неустойчив.
Послекритическое поведение упругих систем
Приближенный анализ, основанный на линеаризованном урав- нени(и, убедил нас в том, что при Р = Рэ стержень находится в безразличном состоянии равновесия. На рис. 4.4.1 горизонталь^ пая штриховая прямая с ординатой Р? изображает эти возможные состояния. Точный анализ § 4.3 показывает, что в действительности, при Р = Р? стержень еще устойчив, увеличение
сжимающей силы вызывает строго определенное увеличение прогиба.
Но можно привести примеры упругих систем, которые ведут себя после достижения критической силы совершенно иначе. Чтобы выяснить существо дела, мы рассмотрим два примера, которые носят совершенно модельный характер, но анализ этих примеров предельно прост, тогда как качественные эффекты получаются темп же, что и для некоторых реальных упругих систем, например оболочек, где результат достигается только путем громоздкого п трудоемкого численного стета на ЭВМ.
Пример 1. Этот пример относится к конструкции, изображенной на рис. 4.5.1. Абсолютно жесткий стержень длиной Z шарнирно закреплен на нижнем конце, спиральная пружина удерживает стержень в равновесии в вертикальном положении. При отклонении стержня от вертикали на угол
Рис. 4.5.1Рис. 4.5.1Рис. 4.5.2Рис. 4.5.2
Рис. 4.5.1
Рис. 4.5.1
Рис. 4.5.2
Рис. 4.5.2
а появляется восстанавливающий момент, пропорциональный углу отклонения М = са. Если к концу стержня приложена вертикальная сила 尸, то отклоненное состояние возможно при выполнении уравнения равновесия:
с а
Pl sin а = са, или Р = -г- (4.5.1)
Заметим, что а/sin а ^ 1, причем знак равенства выполняется лишь при а = 0. Таким образом, мы находим, что положение равновесия стержня, отличное от вертикального, возможно лишь тогда, когда
尸＞p3 =彳. (4.5.2)
График зависимости Р от а, согласно (4.5.1), представлен на рис. 4.5.2 (кривая 7). Поведение такого простейшего элемента до чрезвычайности напоминает поведение сжатого стержня.
Выясним теперь, как будет вести себя рассмотренная система, если в свободном от нагрузки состоянии стержень не вертикален, а уже наклонен по отпошеипю к вертикали на угол а0. Все выводы сохраняют силу, разница будет состоять лишь в том, что момент М пропорционален углу а ——а0,
поэтому вместо (4.5.1) мы получим
sin аsin аКривые зависимости а от Р для разных значении а° показаны на том же рисунке 4.5.2. При Р = Рэ никаких изменений характера этих кривых отметить нельзя, и расчет на устойчивость цри наличии начального отклонения вообще теряет смысл.Пример 2. Точно такой же шарнирно закрепленный стержень, как в примере 1, возвращается в исходное вертикальное положение силой сопротивления А, которая пропорциональна горизонтальному перемещению 乂 конца стержня: R — си (рис. 4.5.3). Так как u = Z sin а, то уравнение равновесия будетКривые зависимости а от Р для разных значении а° показаны на том же рисунке 4.5.2. При Р = Рэ никаких изменений характера этих кривых отметить нельзя, и расчет на устойчивость цри наличии начального отклонения вообще теряет смысл.Пример 2. Точно такой же шарнирно закрепленный стержень, как в примере 1, возвращается в исходное вертикальное положение силой сопротивления А, которая пропорциональна горизонтальному перемещению 乂 конца стержня: R — си (рис. 4.5.3). Так как u = Z sin а, то уравнение равновесия будетPl sin а = cZ2 sin а cos а.Pl sin а = cZ2 sin а cos а.Отсюда, кроме тривиального sin а = 0, находимР = Рэ cos а.Отсюда, кроме тривиального sin а = 0, находимР = Рэ cos а.решениярешенияТеперьТеперь(4.5.3)(4.5.3)Рэ = cl.График зависимости а от 尸 ствии с (4.5.3) представлен паРэ = cl.График зависимости а от 尸 ствии с (4.5.3) представлен па(4.5.4)в соответ- рис. 4.5.4.(4.5.4)в соответ- рис. 4.5.4.Теперь при Р = Рэ вертикальное положение стержня неустойчиво, при увеличении а для сохранения равновесия в каждый момент сила должна уменьшаться, а если остается постоянной, то происходит «хлопок», стержень мгновенно поворачивается на 180° и принимает положение, которое, очевидно, будет устойчивым.Предположим теперь, что в непагруженном состоянии стержень был наклонен под углом а0 к вертикали п, следовательно, R = cZ (sin а — sin а0).Теперь при Р = Рэ вертикальное положение стержня неустойчиво, при увеличении а для сохранения равновесия в каждый момент сила должна уменьшаться, а если остается постоянной, то происходит «хлопок», стержень мгновенно поворачивается на 180° и принимает положение, которое, очевидно, будет устойчивым.Предположим теперь, что в непагруженном состоянии стержень был наклонен под углом а0 к вертикали п, следовательно, R = cZ (sin а — sin а0).Вместо соотношения щее силу и угол:Вместо соотношения щее силу и угол:(4.5.3) мы получаем следующее выражение, связываю-(4.5.3) мы получаем следующее выражение, связываю-sina_sina_cos а.cos а.(4.5.5)(4.5.5)
sin а
sin а
Кривые зависимости а от Р для разных значении а° показаны на том же рисунке 4.5.2. При Р = Рэ никаких изменений характера этих кривых отметить нельзя, и расчет на устойчивость цри наличии начального отклонения вообще теряет смысл.
Пример 2. Точно такой же шарнирно закрепленный стержень, как в примере 1, возвращается в исходное вертикальное положение силой сопротивления А, которая пропорциональна горизонтальному перемещению 乂 конца стержня: R — си (рис. 4.5.3). Так как u = Z sin а, то уравнение равновесия будет
Кривые зависимости а от Р для разных значении а° показаны на том же рисунке 4.5.2. При Р = Рэ никаких изменений характера этих кривых отметить нельзя, и расчет на устойчивость цри наличии начального отклонения вообще теряет смысл.
Пример 2. Точно такой же шарнирно закрепленный стержень, как в примере 1, возвращается в исходное вертикальное положение силой сопротивления А, которая пропорциональна горизонтальному перемещению 乂 конца стержня: R — си (рис. 4.5.3). Так как u = Z sin а, то уравнение равновесия будет
Pl sin а = cZ2 sin а cos а.
Pl sin а = cZ2 sin а cos а.
Отсюда, кроме тривиального sin а = 0, находим
Р = Рэ cos а.
Отсюда, кроме тривиального sin а = 0, находим
Р = Рэ cos а.
решения
решения
Теперь
Теперь
(4.5.3)
(4.5.3)
Рэ = cl.
График зависимости а от 尸 ствии с (4.5.3) представлен па
Рэ = cl.
График зависимости а от 尸 ствии с (4.5.3) представлен па
(4.5.4)
в соответ- рис. 4.5.4.
(4.5.4)
в соответ- рис. 4.5.4.
Теперь при Р = Рэ вертикальное положение стержня неустойчиво, при увеличении а для сохранения равновесия в каждый момент сила должна уменьшаться, а если остается постоянной, то происходит «хлопок», стержень мгновенно поворачивается на 180° и принимает положение, которое, очевидно, будет устойчивым.
Предположим теперь, что в непагруженном состоянии стержень был наклонен под углом а0 к вертикали п, следовательно, R = cZ (sin а — sin а0).
Теперь при Р = Рэ вертикальное положение стержня неустойчиво, при увеличении а для сохранения равновесия в каждый момент сила должна уменьшаться, а если остается постоянной, то происходит «хлопок», стержень мгновенно поворачивается на 180° и принимает положение, которое, очевидно, будет устойчивым.
Предположим теперь, что в непагруженном состоянии стержень был наклонен под углом а0 к вертикали п, следовательно, R = cZ (sin а — sin а0).
Вместо соотношения щее силу и угол:
Вместо соотношения щее силу и угол:
(4.5.3) мы получаем следующее выражение, связываю-
(4.5.3) мы получаем следующее выражение, связываю-
sina_
sina_
cos а.
cos а.
(4.5.5)
(4.5.5)
На том же рис. 4.5.4 схематически показана серия кривых, изображающих зависимость (4.5.5) при разных значениях а0. Функция от а, фигурирующая в правой части (4.5.5), имеет максимум при sina=y<sina(); таким образом, максимальное значение сжимающей силы или критическая сила, соответствующая заданному начальному отклонению, найдется по формуле
Ркр = 2(1 - sin2/3 *3/2. (4.5.6)
В этом примере мы встретились с новым эффектом, вызванным нелинейностью; при некотором критическом значении силы искривленная форма равновесия становится неустойчивой в том смысле, что при достижении этого критического значения перемещение сразу изменяется па конечную величину.
Следует различать два рода эффектов, которые часто объединяют общим термином «неустойчивость». Мы сохраним этот термин применительно к рассмотренной выше проблеме устойчивости прямолинейной формы сжатого стержня, когда сила превышает критическую. Возникновение конечных перемещений при достижении силой критического значения пра-
вильнее называть «выпучиванием» или «хлопком»). Явление выпучивания может быть связано не только с геометрической, по и с физической нелинейностью. Вернемся к примеру 1. Если ограничиться геометрически линейной постановкой, то при малых a sin а а а и вместо (4.5.1) мы получим Р = Рз при любых достаточно малых а, т. е. тот же по существу результат, что в задаче Эйлера об устойчивости сжатого стержня.
Предположим теперь, что зависимость между моментом и углом поворота нелинейна, например:
十僚у](4.5.7)
Здесь Н, %2 и п — постоянные,加\ и М2 имеют размерность изгибающего момента. С другой стороны, момент в шарнире должен равняться действующему моменту силы Р, т. е.
М = Pl sin а ^ Pla.(4.5.8)
Мы предполагаем, что углы достаточно малы; таким образом, задача рассматривается как геометрически линейная. Одновременный учет физической и геометрической нелинейностей существенно усложняет исследование, хотя позволяет обнаружить новые эффекты. Исключая М из (4.5.7) и (4.5.8), мы получим связь между а и Р. Однако основной вопрос, который мы хотим выяснить, это вопрос о существовании критической силы, т. е. такой силы, по достижении которой угол продолжает расти без увеличения нагрузки. Условием достижения критической силы будет равенство нулю производной dP/da. Продифференцируем по а (4.5.8) и положим в правой части dP/da = 0.
Получим
dMМda а
К = Р" = ^，к/” 両=可(4・5・9)
М「仪十 5 + 1)М「仪十 5 + 1)Теперь нам остается найти производную da/dM из (4.5.7) и подставить в (4.5.9). Получим
М「
仪十 5 + 1)
М「
仪十 5 + 1)
(4.5.10)
Исключив а из (4.5.7) и (4.5.10), найдем момепт, соответствующий критическому состоянию
〃кр〃кр
〃кр
〃кр
Соответствующее значение угла поворота а^р находится из уравнения (4.5.10), а критическая сила
一五 Г一五 Г1 + (п + 1)1 + (п + 1)(4.5.11)(4.5.11)
一五 Г
一五 Г
1 + (п + 1)
1 + (п + 1)
(4.5.11)
(4.5.11)
Из формулы (4.5.11) следует, что при а0 = 0 Ркр = MJI. Этот результат можно получить сразу из соображений, совершенно аналогичных тем, которые были положены в основу при решении задачи об устойчивости липейно-
упругой балки. Действительно, положим в (4.5.7) а0 = 0 п будем считать угол отклонения весьма малым. Если а мало, то и момент по формуле (4.5.8) мал, следовательно, вторым членом в квадратных скобках (4.5.7) можно пренебречь по сравнению с единицей. Мы получим
Pla
отсутствует, т. е. М2 = 8, легко решить задачу и при а0 * 0. Действительно, мы получаем в этом случае
Р/а Р
Отсюда
%
“ =1Р/Р •(4.5.12)
Зависимость между а и Р, установленная формулой (4.5.12), монотонна, при Р ->РЭ а —оо независимо от значения а0. График этой зависимости для разных а0 показан на рис. 4.5.5. В нелинейном случае, согласно (4.5.11), критическая сила убывает с увеличением эксцентриситета; графики зависимости между а и Р схематически изображены на рис. 4.5.6.
Устойчивость пологой арки
Явление хлоп(ка, т. е. мгновенного перехода из одного состояния равновесия в другое, типично для оболочек. Как правило, длина волны, образующейся при хлопке, невелика и поэтому можно рассматривать элемент оболочки, претерпевающий хлопок, как лологий. Более простая задача, обнаружитвающая те же качественные особенности, это задача об устойчивости пологой арки, например кругового оче(ртан1ия, как показано на рис. 4.6.1. Пологость понимается в данном случае в том смысле, что угол а《1. Если, как показано на рисунке, ярка загружена равномерным давлением, действующим с выпуклой стороны, то, как оказывается, при некотором значении давления q = ^кр происхо-
дат внезапное прощел1кивание и арка принимает форму, показанную на рисунке штриховой линией, с выпуклостью вниз. Однако мы здесь рассмотрим еще более простую модельную задачу. Два стержня одинаковой длины I закреплены так, как показано на рис. 4.6.2. В исходном состоянии каждый из них составляет угол % с горизонталью. Приложим к среднему шарниру вертикальную •силу Р, направленную вниз. Стержни укоротятся, угол наклона
Рис. 4.6.1Рис. 4.6.1
Рис. 4.6.1
Рис. 4.6.1
их уменьшится, станет^равным а < а。. Будем считать а。< 1, поэтому sin а « а, cos а ^ 1 — а2/2. Длина стержня в исходном состоянии равна Z/cosa0^Z (1 +cto/2), после приложения силы она равна Z/cos а ^ Z(1 + а2/2); таким образом, укорочение А2 = =I (о^ ——“2)/2 и относительная деформациям ^ (а；——а2)/2.Из уравнений статики найдем усилие в каждом стержне N = Р/ (2а). По закону Гука N = EFe, следовательно,
金=4•加(成一叫，P = EFa 就一哈. (4.6.1)
Таким образом, для нахождения величины а получилось кубическое уравнение. Вместо того чтобы отыскивать его корни, удобно исследовать зависимость Р от а. Очевидно, что Р = 0 при а = О и а = ±а0. С увеличением силы Р угол а уменьшается, но при а = О Р = 0, следо1вательно, начиная с какого-то момента, угол продолжает уменьшаться уже не при увеличение, а при уменьшении силы. Выясним, когда это происходит. Для этого вычислим производную dP/da и приравняем ее нулю. Получим уравнение
cZq — За2 — 0.
Отсюда критическое значение угла оскр = ±ос0/УЗ. Когда а достигает критического значения +cc0/V3, сила максимальна и равна 几Р = еЕ^4(4.6.2)
Прп а = —cz0/V3 значение силы то же, но знак противоположен. График зависимости между Р ,и а теперь легко нарисовать, он изображен на рис. 4.6.3. При увелмиении ,силы Р угол а уменьшается, из графика можно найти значение а по заданной силе. Когда сила становится равной критической, т. е. достигается точ-
ка В, равновесие перестает быть устойчивым, происходит хлопок. Стержни мгновенно переходят в положение, соответствующее точке С, когда угол а оприцателен, конфигурация системы становится симметричной изображенной на рис. 4.6.2. Теперь сила Р уже не сжимает стержни,
а растягивает их. Если снять нагрузку, они несколько сократятся и равновесие разгруженной системы будет соответствовать точке D на диаграмме, т. е. углу наклона —%. Чтобы вернуть систему в исходное состояние, нужно приложить силу противоположного направления, т. е. отрицательную. Когда значение ее достигнет
критического (точка Е)，
произойдет обратный хлопок, мы попадём в точку F диаграммы, а если снять нагрузку, то в исходную точку Л. Как видно, отрезок ЕОВ кривой Р ~ а не соответствует каким-либо реально осу
ществляемым состояниям системы.
Приведенные рассуждения основываются на так называемой квазистатической постановке, допускающей мгновенные перемещения точек системы на конечные расстояния. В действительности всякая материальная система обладает массой; поэтому после до-стижеиия силой 尸 критического значения нужно составлять п интегрировать дифференциальные уравнения движения. Фактически состояние, отвечающее точке В, например, реализуется по истечении достаточного времени, когда упругие колеба
ния вследствие тех или иных причин затухнут.
Заметим, что в рассмотренном примере управлять движением системы можно не путем изменения силы, а изменением длин стержней. Формула (4.6.2) позволяет не только определить критическую силу, соответствующую данному а。，но и наоборот, найти значение ос0, при котором данная сила Р принимает критическое значение. Пусть на систему действует постоянная сила 尸， например натяжение пружины с малой жесткостью, такой, что изменением силы при перемещении шарнира можно пренебречь. Будем охлаждать стержни, считая, что концевые шарниры неподвижны. Температурное сокращение стержней эквивалентно уменьшению угла а(), при некоторой температуре угол достигает критического значения и происходит хлопок. Этот принцип используется в некоторых регуляторах температуры, в прикур,ив1а- теле автомобиля п др.; конструкт1ивные формы такого рода уст- poiiCTB, которые производят хлопок при достижении температу- poii определенного значения, до1статочно разнообразны.
9 IO. II. Работнов
Критические силы при иных видах закрепления стержня
Сравнение точных решений с приближенным убедило нас в том, что вопрос о критических силах в линейной постановке решается правильно. При этом реальный смысл, конечно, имеет только первая критическая сила. Итак, для стержня с шарнирно
концами критическая сила определяется форму-
устойчиво.сти на длине стержня укладывается
синусоиды.синусоиды.zzРис. 4.7.2Рис. 4.7.2Рис. 4.7.1Рис. 4.7.1закрепленными лой (4.2.5).При потере одна полуволназакрепленными лой (4.2.5).При потере одна полуволнаВ действительности встречаются и иные способы закрепления концов. Так, если стержень жестко защемлен на одном конце, а другой конец оставлен свободным, то задачу можно привести к предыдущей, как показано на рис. 4.7.1. Подставляя в формулу (4.2.5) 21 вместо /, получим
синусоиды.
синусоиды.
z
z
Рис. 4.7.2
Рис. 4.7.2
Рис. 4.7.1
Рис. 4.7.1
закрепленными лой (4.2.5).
При потере одна полуволна
закрепленными лой (4.2.5).
При потере одна полуволна
р二也Э (2/)2р二也Э (2/)2(4.7.1)(4.7.1)На длине стержня укладывается половина полуволны синусоиды.
р二也
Э (2/)2
р二也
Э (2/)2
(4.7.1)
(4.7.1)
Этими двумя примерами исчерпываются статически определенные задачи об определении критических сил. В качестве примера задачи статически неопределенной рассмотрим
следующую. Один конец стержня жестко заделан, другой закреплен шарнирно.
При искривлении стержня в шарнире возникает реакция R, поэтому дифференциальное уравнение изгиба принимает вид
Е!^ = —Ри — Rz
(р，ис. 4.7.2). Это неоднородное уравнение продольно-поперечного изгиба, полученное нами в § 3.10. Перепишем его так:
17〃 + k2V = —CoZ.
Интеграл этого уравнения
V (z) = & sin kz + С2 cos kz —於 z.(4.7.2)
Прогиб р линейно зависит от трех постоянных: &, С2 и Со,В то же время прогиб удовлетворяет трем <граничньш условиямр (0) = V (Z) = pz (Z) = 0.
Граничные условия однородны, т. е. не содержат свободного зле-
на. Поэтому, подставляя (4.7.2) в граничные условия, мы получил! систему однородных уравнений для трех постоянных С。，С4 и &. А эта система имеет нетривиальное решение тогда, когда определитель ее равен нулю. Это и есть условие для нахождения критической силы. Составим эти уравнения
С I
О + С2 =。，С】 sin kl 4"。2 cos kl — —2— — 0,
к
С] cos kl — С2 sin kl^― = 0.
Исключая постоянные, получим
tg kl — kl = 0.
Наименьший корень этого уравнения kl = 4,49. Критическая сила
(4,49)*
Приводя ее к тому же виду, что формулы (4.2.5) и (4.7.1), найдем
р
Э — (0,7 产
(4.7.3)
Случай стержня, жестко заделанного на двух концах, решается совершенно так же, нужно только ввести в рассмотре-
ние, кроме реакции, еще кон- 工吃 — цевоп момент. Тот же результат можно получить гораздо проще, если заметитьРис. 4.7.3
(рис. 4.7.3), что упругая
линия такого стержня может быть составлена из четырех половинок полуволны синусоиды. Поэтому
(4.7.4)
Объединяя все эти формулы, примем
э~ w
(4.7.5)
Здесь 卩一коэффициент приведения длины. 9*
Устойчивость стержня в упругой среде
Рассмотрим задачу об устойчивости сжатого стержня, окруженного упругой достаточно податливой средой. С подобной задачей встречаются, например, при расчете обсадных труб нефтяных скважин: длинная труба, 'СЖ|Имаемая собственным весом, окружена грунтом и при выпучивание трубы со стороны грунта возникает распределенная реакция. Однако основной (интерес этой задачи для нас состоит в другом, дифференциальное уравнение подобного типа встречается, например, в задачах устойчивости оболочек, и качественный характер явления потери устойчивости в известном смысле одинаков. Будем понимать термин «упругая среда» в том же смысле, в каком понимался термин «упругое основание» в § 3.11, т. е. иотгуспим, что реакция упругой среды связана с прогибом линейной зависимостью.
Обратимся теперь к дифференциальному уравнению продоль- но-*поперечного изгиба (3.10.1). Продифференцируем два раза по z обе части это(го уравнения. Получим
n一 М
*一&" = F・(48分
Но вторая производная изгибающего момента, вызванного поперечной нагружой, равна интенсивности нагрузки с противоположным знаком; эта нагрузка представляет собою реакцию упругой среды, следовательно,
Мх' = —N* = hv.
Подставляя последнее выражение в уравнение (4.8.1),получзим 以Y +务〃+計 =0.
' Положим PJ (S/x) = ^2, V (EI^) = 4a4 и перешппем это уравнение сле!дующим образом:
严 + 兴『+ 4at = о.(48.2)
Мы не будем рассматривать приложение этого уравнения к задачам об устойчивости балок конечной длины с разл1ичными граничными условиями. Система частных решений находится стандартным методом, можно построить систему решений с единичной матрицей, как это описано в § 3.9. Вычисления при этом оказываются довольно громоздкими, поскольку нужно находить корни биквадратного уравнения, отделяя в них действительные и мнимые части. Простейший пример ——это устойчивость стержня бесконечной длины. Очевидно, что постановка такой задачи при отсутствии окружающей упругой среды лишена смысла, при увеличении длины стержня критическая сила стремится к нулю независимо от спюсоба закрепления его концов. В упругой среде
положение оказывается иным. Вид уравнения (4.8.2) подсказывает характер решения, а именно v = sin Xz. Подставляя это вы* ражение в (4.8.2), находим
炉一兴九2+4必=0,
отсюда
/ =炉 + 方.(4.8.3)
Величина к2 пропорциональна критической силе; задавая разные %, т. е. синусовдальные возмущения с разной длиной волны, мы можем получить любую критическую силу. Однако существует такое значение 入,три котором критическая сила минимальна, а именно 九Кр = 2а2. При этом значении 九论？ = 4а2 и, следовательно,
Ар = 4a2 豆厶=2y 亙瓦(4.8.4)
Длина полуволны синусоиды, представляющей собою форму потери устойчивости при минимальной критической: силе, определяемой формулой (4.8.4), равна
^ =焉="/年-(4.8.5)
к шарнирно закрепленному на кон-к шарнирно закрепленному на кон-Найденное решение, очевидно, применимо не только к стерж*
к шарнирно закрепленному на кон-
к шарнирно закрепленному на кон-
ииню бесконечной ДЛ|ИНЫ, но
и
и
цах стержню, если длина его равна критической длине, даваемой формулой (4.8.5), или кратна ей. Действительно, если и = =sin 九z, то о = z/‘ = 0 при z кратных &р・
силу в зависимости от целого числасилу в зависимости от целого числаПредположим теперь, что длина стержня не кратна ZKp. Принимая решения в виде V = sin Az, где 九=пп/l, мы удовлетворим и уравнению, и граничным условиям, следовательно, по формуле (4.8.3) найдем критическую
силу в зависимости от целого числа
силу в зависимости от целого числа
п, т. е. числа полуволн, образующихся на длине Z. Будем обозна
чать критическую силу для бесконечного стержня, даваемую формулой (4.8.4), символом Pg. Обозначим также через 匕 отношение длины стержня 2 к критической длине бесконечного стержня ZKp: ^ = Z/ZKp. Тогда отношение критической силы стерж-
ня конечной длины к критической силе бесконечного стержня после очевидных преобразований формулы (4.8.3) выразится следующим образом:
(4.8.6)(4.8.6)
(4.8.6)
(4.8.6)
Теперь нужно выбрать такое целое п, при котором формула (4.8.6) дает минимальные значения Р/Р^. Очевидно, это будет целое число, ближайшее к величине 1/^ сверху или снизу. На рис. 4.8.1 изображен график зависимости отношения Р/Р^ от & он состоит из кусков кривых, построенных по уравнению (4.8.6) при разных п. Следует заметить, что при 之 > 1 зависимость критической силы от длины становится довольно слабой.
Легко убедиться, что в интерв-але ап < ^ < иг + 1 максималь- Р 1 иг2 + (m + I)2V
ные значения 尸-=工加⑺十〔)■— достигаются тогда, когда формула (4.8.6) дает одинаковый результат при п = т л п = т + 1. Соответствующее значение 之 равно Ут(т+ 1).
Потеря устойчивости
за пределом упругости — схема Кармана
Формула Эйлера для критической силы (4.7.5), о-че)в-идно, применима только тогда, когда материал следует закону Гука. Однако может случиться, что сила, определенная по формуле Эйлера, вызывает в материале сжимающие наиряжения, превышающие предел пропорциональности ). Этим, в частности, объясняется плохое совпадение с опытом, обнаруженное ,в ранних экспериментах по проверке эйлеровой теории устойчивости. Чтобы судить о пределах применимости формулы Эйлера, придадим ей несколько иной вид. Для этого разделим обе части формулы (4.7.5) на площадь поперечного сечения стержня 凡 Слева мы получим критическое напряжение оэ. Величина r = ¥/Jf\ имеющая размерность длины, называется радиусом инерции сечения.
Введем безразмерную величину 儿 называемую гибкостью стержня:
九=史.
г
Формула Эйлера перепишется следующим образом:
(4.9.1)(4.9.1)Ел2
(4.9.1)
(4.9.1)
备=丁
Для длинных и тонких стержней 入 велико, следовательно, критическое напряжение мало. Предельным для прим!енения формулы случаем будет тот, когда аэ равно пределу пропорциональности Оц・ Формула (4.9.1) справедлива тогда, когда 九 > лУй/оп. Так, например, для малоуглеродистой стали при оп = 2000 кгс/см2 предельное значение % равно дфиблизительно 100.
У более коротких стержней потеря устойчивости происходит при напряжениях, превосходящих предел пропорциональности^ т. е. в пластической области. Со-стояние пластического тела, в отличие от состояния упругого тела, зависит не только от мгновенных значений нагрузок, но л от порядаа их приложения. Поэтому, если для упругого стержня возможна лишь единственная постановка вопроса устойчивости и сила Эйлера является единственной критической силой, то в пластической области возможны различные определения неустойчивости и, следовательно, различные критические силы.
Первые решения задачи об устойчивости сжатого стержня за пределом пропорциональности (Энгессер, Ясинский, Карман) относятся к следующей постановке. Стержень нагружается цент* ральной сжимающей силой, принимаются меры для того, чтобы не произошло выпучивания в процессе нагружения. Когда сила достигает значения Р, она удерживается постоянной и стержнк? сообщается малый прогиб. Равновесие стержня под действием силы Р устойчиво, если этот прогиб исчезает после устранения вызвавшей его причины, и неустойчиво, если прогиб увеличивает ся до тех пор, пока не установится новая форма равновесия стержня с искривленной осью. Приближенное исследование, основанное на линеаризованном уравнении изгиба, по существу не поэволяет решать вопрос об устойчивости или неустойчивости какой-либо формы равновесия, это исследование дает возможность найти такое значение нагрузки, при котором равновесие является безразличным. Именно этой задачей было фактически заменено исследование устойчивости упругого стержня в § 4.2.
Итак, предположим, что сжимающее напряжение в стержне есть о. Будем считать, вошреки обыкновению, сжимающие напряжения п сложите льными. Предположим теперь, что стержень изогнулся. Рассматривая потерю устойчивости по отношению к малым возмущениям, введем в рассмотрение изменение напряжения 5о. Так как сжимающая сила при потере устойчивости остается неизменной по предположению, то в одной части сечения будет 6о > 0, в другой 5о V 0. Там, где 6о > 0, мы двигаемся вверх по диаграмме сжатия (рис. 4.9.1). Если 5о достаточно мало, элемент дуги можно заменить элементом касательной и принять
6о = Е/е. (4.9.2〉
Здесь Et = do/de — касательный модуль.
В области, где 5о V 0, происходит разгрузка и зависимость между приращением напряжения и приращением деформации изображается прямой, параллельной начальному, упругому участку диафаммы (рис. 4.9.1). Поэтому здесь
(4.9.3)(4.9.3)5о = Ебе.
(4.9.3)
(4.9.3)
Будем предполагать сечение симметричным (рис. 4.9.2) относительно ПЛОСКО1СТИ наименьшей жесткости. Считаем, что при
Рис. 4.9.1Рис. 4.9.1
Рис. 4.9.1
Рис. 4.9.1
потере устойчивости справедлив закон плоских сечений; поэтому бе = хт], где т]——расстояние точки, принадлежащей сечению, от нейтральной оси пп, положение которой заранее неизвестно.
Так как сжимающая сила при потере устойчивости по предположению остается постоянной, то
^dF = 0.(4.9.4)
Ось пп делит сечение на две части, в одной из этих частей справедли/во соотношение (4.9.2), в другой— соотношение (4.9.3) между 5о и Зе. Разобьем интеграл в условии (4.9.4) соответственно этому на два интеграла, заменим в них 5о через 5е и воспользуемся законом плоских сечений. Получим
Et ^ K^dF + Е ^ 乂п 泌=°,%f2
или
EtS, + ES2 = 0.(4.9.5)
Здесь Si и 52 — |Статические моменты площадей F^ и F2 относительно оси пп (оба считаются положительными).
Вычислим теперь момент относительно оси пп, создаваемый дополнительными напряжениями 5о:
6М = J bog dF = и (Ef/工 + EQ.(4.9.6))
Здесь Ц и 72 — моменты инерлди площадей F£ и F2 относительно оси пп. Формула (4.9.6) выражает зависимость между из* гибающим моментом и кривизной. В упругой области эта зависимость дается следующим соотношением:
5M = Е1м(4.9.7)'
Здесь Е — модуль упругости, 1Х ——момент инерции относительно* центральной оси %. Перепишем формулу (4.9.6) таким образом, чтобы она выглядела аналогично вышеприведенной, а именно г
6〃 = КЦк. (4.9.8)
модулей(4.9.9>модулей(4.9.9>Величина К называется приведенным модулем или Кармана, при этом
модулей
(4.9.9>
модулей
(4.9.9>
7 叩1 +也
-4
Как видно, приведенный модуль зависит не только от мате^ риала, но и от формы попе)речного сечения. Теперь можно рассматривать потерю у(стойчибО'Сти сжатого стержня совершенна так же, как потерю устойчивости в упругой области (§ 4.2). В дифференциальном уравнении изгиба (4.2.1) в соответствии с (4.9.8) нужно будет заменить модуль упругости Е модулем Кармана К. В результате для критического напряжения вместо формулы (4.9.1) получается следующая:
(4.9.10>
на диаграмме ежа- образом, приведен-на диаграмме ежа- образом, приведен-также функ- находится в уравнениятакже функ- находится в уравненияВеличина Et зависит от положения точки тия, следовательно, от напряжения ок. Таким
на диаграмме ежа- образом, приведен-
на диаграмме ежа- образом, приведен-
также функ- находится в уравнения
также функ- находится в уравнения
модуль для высотой h и высота зонымодуль для высотой h и высота зоныный модуль К является цией а； эта величина результате решения (4.9.10).
модуль для высотой h и высота зоны
модуль для высотой h и высота зоны
Вычислим приведенный прямоугольного сечения с шириной Ъ (无 W^)・ Пусть
догрузки будет 占无，высота зоны разгрузки (1 — Е)九(рис. 4.9.3). Тогда
t=告 "2庐，$2 = ^ (1 _ *)2 庐.
Подставляя эти выражения в уравнение (4.9.5), получим
昂頃一(1一自)2后=0.
Отсюда следует
Момент инерции всего сечения относительно оси / равен &Л3/12, момен- ты инерцип частей сечения относительно оси пп
гb^h3
/ _6(1 -炉庐
厶 3
По формуле (4.9.9) модуль Кармана
к = 4(1-F + *1］丛
Подставив сюда значение 自，найдем
К=(р 豆+ PG)?，d
Потеря устойчивости за пределом упругости —— схема продолжающегося нагружения
Исследование у1стойчи1вюсти сжатого стержня приводит к установлению некоторой зависимости между критическим напряже* нием и гибкостью. Пока напряжение меньше предела упругости, эта зависимость дается формулой (4.9.1), за пределом упругости —формулой (4.9.10), если счи-
тать справедливой ту постановку задачи, для которой она была получена.
Будем откладывать критическое напряжение по оси ординат, гибкость ——по оси абсцисс. Для напряжений, меньших чем предел упругости, формула (4.9.1) дает кривую гиперболического типа (рис. 4.10.1). Для напряжений； больших чем предел упругости, кривая построена по формуле (4.9.10). Для построения
нужно иметь точную диаграмму сжатия материала; пользуясь этой кривой, можно для данного сечения определить приведенный модуль как функцию сжимаю-
щего напряжения. При построении кривой удобно вычислять гибкость 九,задаваясь различными значениями сжимающего- напряжения.
В первой работе Энгессера (1889 г.) формула для критического напряжения отличалась от формулы (4.9.10) тем, что в ней вместо приведенного модуля К фигу>рпровал касательный модуль Et. На возможность образований зон разгрузки при потере устойчивости обратил внимание Ф. С. Ясинский, после чего Энгессер переработал свою теорию и ввел приведенный модуль К. Относительно недавно, в 1947 г., старое решение Энгессера, отброшенное самим автором, получило новое освещение в работе Шенли. Представим себе, что стержень нагружается непрерывно возрастающей силой; когда сила достигает некоторого значения Ро, стержень начинает искривляться, но одновременно с искривлен нием происходит дальнейшее сжатие, так как сила продолжает увеличиваться. В результате разгрузки не происходит, напряжения растут во всех точках сечения, быстрее с вогнутой стороны и медленнее с выпуклой. Зависимость между приращениями напряжения и деформации определяется поэтому касательным модулем Et. В результате критическое напряжение находится иа следующего уравнения:
Ок —戸. (4.10.1)
На самом деле, как будет показано ниже, разгрузка П|роисходиту по не сразу, как в схеме Кармана, а постепенно; пока прогибы малы, зона разгрузки мала, она растет с ростом прогиба. Критическое напряжение (4.10.1) соответствует началу процесса выпучивания, когда эффект разгрузки еще не проявился. На рис. 4.10.1 приведена и вторая кривая, рассчитанная по уравнению (4.10.1). Опытные точки ложатся ближе к этой второй кривой.
В постановке Шенли вопрос об устойчивости сводится к вопросу о бифуркации, т. е. разветвлении форм движения. Пока сила меньше чем Ро? при увеличении силы наблюдается одна-единст- венная форма движения стер?кня, а именно его равномерное сжа>- тие. При Р > Ро возможны две формы движения: либо равномерное сжатие, либо непрерывное выпучивание; при этом каждому значению силы Р > В соответствует вполне определенное значение прогиба. Действительно, хотя при выводе формулы (4.10.1) мы воспроизводили тот же ход рассуждения, который привел нас к формуле Эйлера для упругого состояния стержня, на самом деле малое приращение сжимающей силы делает возможным1 лишь малые искривления стержня, не сопровождающиеся разгрузкой. При появлении частичной разгрузки сопротивление изгибу возрастает, поэтому равновесие возможно не при любом зна* чении прогиба, а при вполне определенном его значении.
§ 4.11. Исследование поведения сжатого стержня при потере устойчивости за пределом упругости§ 4.11. Исследование поведения сжатого стержня при потере устойчивости за пределом упругостиПроследим более детально поведение сжатого стержня при возрастании сжимающей силы. Будем считать материал следующим диаграмме сжатия с линейным упрочнением (рис. 4.11.1). Приращения напряжения и дефор-Проследим более детально поведение сжатого стержня при возрастании сжимающей силы. Будем считать материал следующим диаграмме сжатия с линейным упрочнением (рис. 4.11.1). Приращения напряжения и дефор-мации при догрузке и разгрузке соответственно связаны соотношениями(4.9.2) и (4.9.3), причем в формуле (4.9.2) касательный модуль Et постоянен.мации при догрузке и разгрузке соответственно связаны соотношениями(4.9.2) и (4.9.3), причем в формуле (4.9.2) касательный модуль Et постоянен.Рис. 4.11.1Рис. 4.11.1Обозначим через Де укорочение оси стержня после бифуркации, т. е. при изменении нагрузки от Ро до Р, через х ——соответствующую кривизну изогнутой оси стержня. ДеформациюОбозначим через Де укорочение оси стержня после бифуркации, т. е. при изменении нагрузки от Ро до Р, через х ——соответствующую кривизну изогнутой оси стержня. Деформациюволокна с координатой бифуркации, обозначимАе‘ = 2волокна с координатой бифуркации, обозначимАе‘ = 2沙，происшедшую послеОчевидно, что沙，происшедшую послеОчевидно, чтоАе + ху.Ае + ху.(4.11.1)(4.11.1)На нейтральной оси Ае‘ = 0, следовательно, эта ось отстоит от оси / на расстоянии у。= =—Ае/х. Внося (4.11.1) в (4.9.2) и (4.9.3),получимНа нейтральной оси Ае‘ = 0, следовательно, эта ось отстоит от оси / на расстоянии у。= =—Ае/х. Внося (4.11.1) в (4.9.2) и (4.9.3),получимAo = E&Ne + ху), у > 1/0；Ао = Е(Ае + 兄力 у < уо.Ao = E&Ne + ху), у > 1/0；Ао = Е(Ае + 兄力 у < уо.В дальнейшем будемВ дальнейшем будем。п дальнейшем будем считать сечение стержня прямоугольным с высотой 2/г и шириной Ь. Вычислим ДР = Р — Ро и изгибающий момент М。п дальнейшем будем считать сечение стержня прямоугольным с высотой 2/г и шириной Ь. Вычислим ДР = Р — Ро и изгибающий момент М+九+九沙。沙。АР = Ъ ) Да dy = bEt I (Ае +%у) dy + ЬЕ I (Ае + 附)初=АР = Ъ ) Да dy = bEt I (Ае +%у) dy + ЬЕ I (Ае + 附)初=—九—九+无+无hh,(4.11.2),(4.11.2)ЬЕ 2^ЬЕ 2^М = b I Adg dy = bEt I (Ae 十 xy) у 两 + ЬЕ I (Ае + ку) у dy —М = b I Adg dy = bEt I (Ae 十 xy) у 两 + ЬЕ I (Ае + ку) у dy ——Л—ЛУоУо-h-hЬЕЬЕ(兄九—Ае)2 (2乂无 + Ае) + ^?仇无 + Де)2 (2乂九一Ае) .(4.11.3)(兄九—Ае)2 (2乂无 + Ае) + ^?仇无 + Де)2 (2乂九一Ае) .(4.11.3)Правые части в формулах (4.11.2) и (4.11.3) представляют собою однородные функции первой степени относительно Ае и х. Поэтому можно перейти к следующим безразмерным параметрам:Правые части в формулах (4.11.2) и (4.11.3) представляют собою однородные функции первой степени относительно Ае и х. Поэтому можно перейти к следующим безразмерным параметрам:2Е/庐2Etbhз—t— x, e* = —1— Ae, иг* = —— M.ДРДРhNP2Е/庐2Etbhз—t— x, e* = —1— Ae, иг* = —— M.ДРДРhNPУравнения (4.11.2) и (4.11.3) примут следующий вид: 9 Е +9 Е.—(е* — х*)2 + * (е* + х*)2 = 4 靑尤*,Уравнения (4.11.2) и (4.11.3) примут следующий вид: 9 Е +9 Е.—(е* — х*)2 + * (е* + х*)2 = 4 靑尤*,(4.11.4)(4.11.4)тп* =тп* =Е 1Е 1
§ 4.11. Исследование поведения сжатого стержня при потере устойчивости за пределом упругости
§ 4.11. Исследование поведения сжатого стержня при потере устойчивости за пределом упругости
Проследим более детально поведение сжатого стержня при возрастании сжимающей силы. Будем считать материал следующим диаграмме сжатия с линейным упрочнением (рис. 4.11.1). Приращения напряжения и дефор-
Проследим более детально поведение сжатого стержня при возрастании сжимающей силы. Будем считать материал следующим диаграмме сжатия с линейным упрочнением (рис. 4.11.1). Приращения напряжения и дефор-
мации при догрузке и разгрузке соответственно связаны соотношениями(4.9.2) и (4.9.3), причем в формуле (4.9.2) касательный модуль Et постоянен.
мации при догрузке и разгрузке соответственно связаны соотношениями(4.9.2) и (4.9.3), причем в формуле (4.9.2) касательный модуль Et постоянен.
Рис. 4.11.1
Рис. 4.11.1
Обозначим через Де укорочение оси стержня после бифуркации, т. е. при изменении нагрузки от Ро до Р, через х ——соответствующую кривизну изогнутой оси стержня. Деформацию
Обозначим через Де укорочение оси стержня после бифуркации, т. е. при изменении нагрузки от Ро до Р, через х ——соответствующую кривизну изогнутой оси стержня. Деформацию
волокна с координатой бифуркации, обозначим
Ае‘ = 2
волокна с координатой бифуркации, обозначим
Ае‘ = 2
沙，происшедшую послеОчевидно, что
沙，происшедшую послеОчевидно, что
Ае + ху.
Ае + ху.
(4.11.1)
(4.11.1)
На нейтральной оси Ае‘ = 0, следовательно, эта ось отстоит от оси / на расстоянии у。= =—Ае/х. Внося (4.11.1) в (4.9.2) и (4.9.3),получим
На нейтральной оси Ае‘ = 0, следовательно, эта ось отстоит от оси / на расстоянии у。= =—Ае/х. Внося (4.11.1) в (4.9.2) и (4.9.3),получим
Ao = E&Ne + ху), у > 1/0；Ао = Е(Ае + 兄力 у < уо.
Ao = E&Ne + ху), у > 1/0；Ао = Е(Ае + 兄力 у < уо.
В дальнейшем будем
В дальнейшем будем
。п дальнейшем будем считать сечение стержня прямоугольным с высотой 2/г и шириной Ь. Вычислим ДР = Р — Ро и изгибающий момент М
。п дальнейшем будем считать сечение стержня прямоугольным с высотой 2/г и шириной Ь. Вычислим ДР = Р — Ро и изгибающий момент М
+九
+九
沙。
沙。
АР = Ъ ) Да dy = bEt I (Ае +%у) dy + ЬЕ I (Ае + 附)初=
АР = Ъ ) Да dy = bEt I (Ае +%у) dy + ЬЕ I (Ае + 附)初=
—九
—九
+无
+无
h
h
,(4.11.2)
,(4.11.2)
ЬЕ 2^
ЬЕ 2^
М = b I Adg dy = bEt I (Ae 十 xy) у 两 + ЬЕ I (Ае + ку) у dy —
М = b I Adg dy = bEt I (Ae 十 xy) у 两 + ЬЕ I (Ае + ку) у dy —
—Л
—Л
Уо
Уо
-h
-h
ЬЕ
ЬЕ
(兄九—Ае)2 (2乂无 + Ае) + ^?仇无 + Де)2 (2乂九一Ае) .(4.11.3)
(兄九—Ае)2 (2乂无 + Ае) + ^?仇无 + Де)2 (2乂九一Ае) .(4.11.3)
Правые части в формулах (4.11.2) и (4.11.3) представляют собою однородные функции первой степени относительно Ае и х. Поэтому можно перейти к следующим безразмерным параметрам:
Правые части в формулах (4.11.2) и (4.11.3) представляют собою однородные функции первой степени относительно Ае и х. Поэтому можно перейти к следующим безразмерным параметрам:
2Е/庐2Etbhз
—t— x, e* = —1— Ae, иг* = —— M.
ДРДРhNP
2Е/庐2Etbhз
—t— x, e* = —1— Ae, иг* = —— M.
ДРДРhNP
Уравнения (4.11.2) и (4.11.3) примут следующий вид: 9 Е +9 Е.
—(е* — х*)2 + * (е* + х*)2 = 4 靑尤*,
Уравнения (4.11.2) и (4.11.3) примут следующий вид: 9 Е +9 Е.
—(е* — х*)2 + * (е* + х*)2 = 4 靑尤*,
(4.11.4)
(4.11.4)
тп* =
тп* =
Е 1
Е 1
Если из системы уравнений (4.11.4) исключить е*, получится нелинейное соотношение между изгибающим моментом и кривизной. Соответствую-
щпе выкладки слишком сложны, для нас достаточно выяснить характер получающейся зависимости. Заметим, прежде всего, что соотношения (4.11.4) справедливы лишь при |yQ\ V 耳，т. е. когда в сечении существуют зоны догрузки и разгрузки. Вспоминая выражение для у°, найдем, что должно быть 乂无 > Ае и, следовательно, х* > е*. При х* 之 е* во' всем сечении происходит догрузка, следовательно,
23
Переходя к безразмерным величинам, получим
(4.11.5) следовательно, между т* и(4.11.5) следовательно, между т* ит* = х*
(4.11.5) следовательно, между т* и
(4.11.5) следовательно, между т* и
Рис. 4.11.2Рис. 4.11.2При х* = е* первое из уравнений (4.11.4) дает х* = 1, формула (4.11.5) верна при х* W 1. График зависимости х* на первом участке представляет собою биссектрису координатного угла от начала до точки /тг* = х* = 1 (рис. 4.11.2). Дальше кривую нужно строить с помощью уравнений (4.11.4). При больших значениях х* в первом уравнении можно пренебречь правой частью
Рис. 4.11.2
Рис. 4.11.2
Отсюда следуетОтсюда следует1 — V Е^Е1 — V Е^Е=1十 m耳疋=1十 m耳疋(е* — х*)2 —^ (е* + х*)2 = 0.
Отсюда следует
Отсюда следует
1 — V Е^Е
1 — V Е^Е
=1十 m耳疋
=1十 m耳疋
Подставим найденное значение е* во второе уравнение. Получим
m = (1十］/中尸m = (1十］/中尸4
m = (1十］/中尸
m = (1十］/中尸
Но по формуле (4.9.11) множитель перед х* в правой части представляет собою отношение приведенного модуля к касательному, следовательно,
(4.11.6)
Таким образом, кривая зависимости между т* и х* имеет асимптотой луч, выходящий из начала координат с наклоном, равным К®. Теперь нам предстоит решить задачу об изгибе сжатого стержня при нелинейной зависимости между моментом и кривизной, установленной графиком на рис. 4.11.2. Если прогиб есть o(z), изгибающий момент в сечении с координатой z равен М = —Pu(z) (см. § 4.2), кривизна изогнутой оси 乂 =吗z), то отсюда следует, что
х = — % М".
Перейдем к безразмерным величинам. Получим
庐
—m*rr + x* (тп*) = 0.
Заметим, что критическая сила Энгессера — Шенли
冗2 2Etbh3
поэтому предыдущее уравнение можно записать следующим образом:
4 -^ m*z,十 х* (m*)= 0.4 -^ m*z,十 х* (m*)= 0.(4.11.7)(4.11.7)
4 -^ m*z,十 х* (m*)= 0.
4 -^ m*z,十 х* (m*)= 0.
(4.11.7)
(4.11.7)
Будем искать приближенное решение уравнения (4.11.7). Предположим, что стержень, шарнирно закрепленный на двух концах, изгибается по синусоиде, так же как и в случае упругой потери устойчивости. Так как изгибающий момент пропорционален прогибу, можно принятьдп*=т0 sin (nz/l). Подставим т* в уравнение (4.11.6) и потребуем выполнения этого уравнения только в одной точке, при z = 〃2, когда sin (nz/Z) равен единице. Получим
2時i*⑺=0.2時i*⑺=0.(4.11.8)(4.11.8)
2時i*⑺=0.
2時i*⑺=0.
(4.11.8)
(4.11.8)
Уравнение (4.11.8) легко решается графически. Для этого нужно провести из начала координат луч с угловым коэффициентом, равным Р/Ро. Точка пересечения этого луча с кривой х ——т (рис. 4.11.2) имеет своими координатами т* и х* ——безразмерный момент и кривизну в среднем сечении стержня. Если Р V Ро, луч не пересекается с кривой, следовательно, прогиб невозможен, стержень остается прямым. При Р = Ро значение т^
иеопределеипо, луч совпадает с биссектрисой координатного угла, но АР = =Р — Ро = 0, а при переходе от безразмерных параметров к моментам и кривизнам их нужно множить на ДР. Таким образом, прогиб остается равным нулю и при Р = Ро. При Р > Ро каждому значению силы соответствует определенное значение прогиба, которое стремится к бесконечности по мере того, как сила стремится к величине Рк. Примерный график зависимости прогиба от силы приведен на рис. 4.11.3. При Р = Ро происходит бифуркация, прогиб непрерывно растет, стремясь к бесконечности при Р = Рк, где Рк — критгь ческая сила Кармана, определенная по приведенному модулю. Последний результат является следствием того, что мы воспользовались приближенным выражением для кривизны. Если взять точное выражение кривиз
ны, для каждого значения силы прогиб будет конечным, как это было пока
зано для упругого стержня в § 4.3. Заметим, что в приведенном анализе не учтена возможность появления пластической растянутой области в зоне разгрузки, что обязательно будет при цостаточно больших прогибах.
При испытаниях стержней на устойчивость обычно реализуются именно те условия, которые приняты при установлении критерия потери устойчивости Шенли; нагрузка, создаваемая испытательной машиной, непрерывно возрастает. Однако при Р = Pq прогиб первоначально прямого стержня равен нулю; фактически за момент потери устойчивости принимается момент, когда прогиб достигает некоторого достаточно большого значения, поэтому измеренная критическая сила будет находиться между Р° и Рк, притом ближе к Р°. Для реальных материалов критические напряжения, определенные по приведенному и по касательному модулю, отличаются друг от друга мало, как это видно из графика на рис. 4.10.1. В то же время
расчет по касательному модулю дает нижнюю границу для критического напряжения, поэтому его и нужно рекомендовать.
Внецентренное сжатие упругопластического стержня
В предыдущем параграфе было рассмотрено сжатие центрально-нагруженного стержня и обсужден вопрос о поведении этого стержня после того, как произошла бифуркация. Если сила приложена эксцентрично или стержень имеет начальную кривизну, прогиб его будет увеличиваться сразу после приложения нагрузки. Возникает вопрос: будет ли поведение сжатого стержня подобно поведению модели примера 1 § 4.5 или поведению модели примера 2 того же параграфа?
Сжатый и изгибаемый упругопластический стержень представляет собою физически нелинейную систему. Так же как это было показано в § 4.5, физическая нелинейность приводит к тому, что критическая сила будет существенным образом зависеть от начального прогиба или эксцентриситета приложения нагрузки. Исследование таких задач довольно трудно, поэтому мы изложим только идею метода, использованного Хвалла. В § 3.6 было показано, каким образом устанавливается зависимость между кривизной и изгибающим моментом в упругопластическом стержне. Если диаграмма о = =ф(е) для материала известна, то зависимость х = х(加)может быть построена хотя бы численно или графически. При наличии осевой силы анализ § 3.6 должен быть видоизменен, кривизиа будет зависеть не только от 力厶 но и от силы Р, таким образом, х =
=x(^V, Р). Задаваясь разными значениями Р, всегда можно построить серию кривых зависимости х от М хотя бы графически. При внецентренном сжатии М = Р(и + и°), где р0 ——начальный прогиб или, если и。= =const — эксцентриситет приложения нагрузки. Теперь дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня (в геометрически линейной постановке) будет следующим:
/+ 天[Р& + 00), p] =0. (4.12.1)
Интегрируя уравнение (4.12.1) для различных значений силы Р, можно получить серию кривых, представляющих форму оси стержня, и исследовать зависимость прогиба от силы. Положение осложняется
тем, что по мере роста силы в стержне появляются области разгрузки и зависимость х(М, Р) не однозначна.
Практически реализация описанного метода связана с большим объемом вычислительной работы. При выполнении этих вычислений приходится задаваться кривой о =(р(е), т. е. решать задачу для некоторого совершенно определенного материала. Для каждой формы поперечного сечения решение должно строиться заново. На рис. 4.12.1 приведены графики зависимости критического напряжения от гибкости при разных значениях относительного эксцентриситета е/г, где г — радиус инерции сечения. Расчеты были выполнены Хвалла для стержня прямоугольного поперечного сечения на основании реальной диаграммы сжатия строительной мягкой стали с пределом пропорциональности 1900 кгс/см2 и пределом текучести 2400 кгс/см2. При расчетах на устойчивость приходится иметь дело с разными материалами и разными формами поперечных сечений, поэтому обычно расчет ведется не на основании теории, а с помощью эмпирических формул, каждая из которых справедлива для более или менее однотипных стержней из однотипных материалов. Так, согласно действующим в СССР нормам строительного проектирования, расчет на устойчивость заменяется расчетом на
прочность при сжатии с уменьшением соответственно допускаемого напряжения. Требуют, чтобы было
о С [а]сжф(х).
Коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения (р представляет собою функцию от гибкости 入.Эта функция задается таблицей, которую можно найти в соответствующей справочной литературе. Так, для стали при 入=10 屮=0,99; при 入=150 ф = 0,32.
Предполагается, что эксцентриситет или начальное искривление невелики, они находятся в пределах производственного допуска. Поэтому влияние возможного эксцентриситета по существу учитывается выбором величины ф, которая уменьшается с увеличением гибкости.
Неустойчивость растяжения
при большой деформации
При изучении конечных упругих или пластических деформаций закон дефор(мирования естественно задавать как соотношение между истинным напряжением и деформацией. Выбор меры деформации в данном случае безразличен, мы сохраним обычные определения. Если длила образца до деформации была /о, а после деформации стала 厶 то e=(Z —幻儿，следовательно, Z = %o(l + e). Сила, поделенная на площадь начального поперечного сечения образца, называется условным напряжением и。= P/Fo, тогда как истинное напряжение о = P/F относится к фактической площади сечения, которая уменьшается по мере растяжения. Изменение объема при конечной деформации для всех реальных материалов пренебрежимо мало, поэтому можно считать объем неизменным. Из этого услов1ия следует Fl = F0Z0, или F = FJ (1 + е). Следовательно, истинное напряжение будет определяться через условное напряжение и деформацию следующим образом:
а = а0(1 + в).(4.13.1)
Пусть закон деформирования задан, т. е. задана зависимость между истинным напряжением и деформацией
о =(р(е).(4.13.2)
Функция ср(е) для реальных материалов всегда оказывается монотонно возрастающей, с увеличением деформации напряжение увеличивается. Это условие означает, что материал сам по себе устойчив. Но в опыте на растяжение непо1средотвенно измеряется сила или пропорциональная ей величина и。. Может случиться, что процесс растяжения окажется неу|Стойчивым, это значит, что величина и。или Р, достигнув некоторого предельного значения, начнет уменьшаться при дальнейшем росте деформации.
Выясним, когда это произойдет. Внесем в (4.13.2) выражение (4.13.1) для о. Получим
Дифференцируя это выражение по е, найдем условие, при
Рис. 4.13.1Рис. 4.13.1степенными функстепенными функ
Рис. 4.13.1
Рис. 4.13.1
степенными функ
степенными функ
котором do()/de = О
(4.13.3)(4.13.3)8伍)=供•
(4.13.3)
(4.13.3)
Если закон деформирования задан графиком функции 屮(е), то значение деформации, при котором происходит потеря устойчивости, можно найти графически. Для этого из точки, лежащей
на оси с на расстоянии —1 от начала координат (рис. 4.13.1), нужно провести касательную к диаграмме и — е. Абсцисса точки касания определит критическую деформацию. На том же рисунке штрихами построен график зависимости условного напряжения от деформации; при е > 点 условное напряжение, т. е. растяги-
вающая сила, уменьшается
При задании законов деформи
рования, упругого и неупру
гого, часто прибегают к аппрокси1мации их
циями.
Предположим, что(р(е)==е"п, где w > 1. Тогда с помощью- (4.13.3) легко получаем
1
к п— 1
Таким образом, показатель п в предполагаемом степенном законе упрочнения находится очень просто, для этого достаточно измерить деформацию, соответствующую максимуму на диаграмме растяжения.
ГЛАВА 5
ОБЩИЕ СВОЙСТВА УПРУГИХ И ПЛАСТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Упругие и пластические системы
Из стержней, которые претерпевают растяжение или сжатие и изгиб, можно комбинировать разнообразные стержневые системы. Фермами называются системы прямолинейных стержней, соединенных шарнирно и нагруженных внешними силами в шарнирах. Элементы фермы, т. е. стержни, претерпевают растяжение либо сжатие. Система стержней, соединенных между юобою жестко, называется рамой. Элементы рамы, т. е. образующие ее стержни, находятся в состоянии изгиба и одновременного растяжения либо сжатия. Обычно продольные силы не настолько велики, чтобы было необходимо решать для элементов рамы задачу продольно-поперечного изгиба в том смысле, как это было разъяснено в § 3.10. Действие продольных и поперечных нагрузок на элемент рамы учитывается по отдельности. Как в теории растяжения —сжатия, так и в теории изгиба упругих стержней в главах 2 и 3 делалось пре口положение о возможности рассматривать все задачи в геометрически линейной постановке, а ™енно, составлять уравнения равновесия для не деформированного состояния системы и линеаризовать уравнения связи между деформациями и перемещениями. Для упругих систем, подчиняющихся закону Гука, отсюда следует линейная зависим ость между силами п перемещениями, для идеально упруго1пластиче!(жих или жест1копластиче1ских систем на отдельных примерах оказывалось возможным 网остаточно просто определять предельную нагрузку. Как будет показано в этой главе, для геометрически линейных систем оказывается возможным развить некоторые общие методы и установить некоторые общие свойства, не зависящие от конкретного устройства той или иной стержневой системы.
В механике твердого тела, как и в механике вообще, удобно пользоваться понятием обобщенной силы и обобщенного перемещения. Действительно, говоря о силах, действующих на тело, для количественной их оценки часто пользуются некоторыми характеристиками, не являющимися в действительности абсолютными величинами сил. Так, действие изгибающей пары пол-
ностью характеризуется ее моментом; говоря, что балка несет равномерно р аспреде ленную нагрузку, мы полностью определяем внешние силы, действующие на балку. Вообще часто приходится иметь дело не с одной силой, а с группой их, причем эта группа рассматривается как нечто целое. Необходимость рассмотрения таких групп сил становится особенно очевидной, если обратиться
Рис. 5.1.1Рис. 5.1.1Рис. 5.1.2Рис. 5.1.2к изучению статически неопределимых систем. Так, рассекая изображенную на чертеже (рис. 5.1.1) статически неопределимую раму, мы должны приложить
Рис. 5.1.1
Рис. 5.1.1
Рис. 5.1.2
Рис. 5.1.2
к краям разреза две равные и противоположные продольные силы две поперечные силы Q, два момента М. Поэтому лишними неизвестными являются группы сил, определяемые числами N, Q и М, равными продольной и поперечной силам в сечении и изгибающему моменту. Иногда говорят, что за лишние неизвестные принимаются перерезывающая сила и изгибающий момент. Это неточно, так как Qy и Мх представляют собою скалярные величины, которые не являются силой и моментом. Сделав же сечение, мы должны для обеспечения неразрывности тела приложить к краям разреза настоящие силы и пары Q и М.
Будем называть число, определяющее группу сил, обобщенной силой. В этом смысле момент #, распределенная нагрузка q могут рассматриваться как обобщенные силы. Определим формально обобщенное перемещение как множитель при обобщенной силе в выражении работы. Для момента обобщенным перемещением служит угол поворота, так как работа момента есть Мер. Равномерно распределенная нагрузка, приложенная к балке, прогиб которой есть o(z), прогаводит работу
А = ^ qv (z) dz~q^v (z) dz = qs.
Здесь обобщенное перемещение есть(о, т. е. площадь, заключенная между первоначальной осью балки и изогнутой ее осью.
В качестве последнего примера возьмем обобщенную силу, соответствующую двум равным и противоположным силам М приложенным к концам разрезанного элемента фермы (рис. 5.1.2). 10*
Если перемещение левого конца есть 〃匕 перемещение правого 〃2, то работа двух сил
а== N〃i — TV〃2=== N (〃i — 〃2).
Обобщенное перемещение 〃【——〃2 представляет собою относительное расхождение краев разреза.
Теоремы Лагранжа и Кастильяно
Предположим, что к упругой системе приложено п обобщенных сил Qi, которым соответствуют обобщенные перемещения %• Из определения упругости следует, что перемещения являются однозначными функциями сил и обратно
Qi = Qi (Qs) , Qi = Qi(0s)・(5.2.1)
Однако вид этих зависим,о>стей для упругого тела не может быть вполне произволен. Дело в том, что из определения упругости следует, что задание сил или перемещений однозначно определяет состояние упругого тела, которое характеризуется заданием параметров qi или Qi, а также заданием его внутренней энергии U. Для нагладного изображения состояния системы вводят так называемые пространство сил и пространство перемещений. Пространство сил — это пнмерное пространство, в котором по осям ортогональной декартовой системы координат откладываются значения сил Q” задание совокупности сил определяет точгку в этом пространстве. Аналогичным образом определяется пространства перемещений. Формулы (5.2.1) устанавливают взаимно однозначное соответствие точе'к пространства сил и пространства перемещений.
Предположим теперь, что на тело действуют силы QiQ, соответствующие перемещения равны %。，а внутренняя энергия 瓦. Будем менять силы произвольным образом, но так, чтобы в конце концов они приняли исходные значения Q紀.Изображающая точка в пространстве сил олишет при этом замокну тую кривую. Если тело упруго, мы должны получить при этом прежнее значение перемещений и вернуться к прежнему значению внутренней энергии. В пространстве перемещений изображающая точка также опишет замкнутую кривую. Согласно первому началу термодинамики в процессе деформирования все время должно выполняться следующее соотношение:
dA = dE + dQ.(5.2.2)
Здесь dA ——работа внешних сил, dE ——приращение внутренней энергии, dQ — количество тепла, поступившего в систему. Но dA = Qidqi. Подставим эту величину в (5.2.2) и проинтегрируем по замкнутому пути деформирования. Так мы возвратимся к
прежнему значению внутренней энергии, интеграл от dE равен нулю, следовательно:
Qi dQi = fdQ.(5.2.3)
Правая часть представляет собою количество тепла, поступившего в систему за цикл. Для адиабатического процесса этот интеграл равен нулю. Он равен нулю также для изотермического процесса, поскольку вследствие второго начала термодинамики dQ = Т &S при Т = const
f dQ = Т ^) dS = О,поскольку энтропия S есть функция состояния и после дефор-мирования по замкнутому пути мы должны прийти к прежнемузначению энтропии. Таким образом, в двух указанных случаях，Qed%= 0.(5.2.4)
Отсюда следует, что подынтегральное выражение есть полный дифференциал некоторой фун^щии, которую мы будем называть потенциалом сил
Qidqi = dU(qs). или
^・(525)
Соотношение (5.2.5) составляет содержание теоремы Лагранжа. Для адиабатического процесса, когда dQ = 0, из соотношения (5.2.2) сразу ви(дно, что U = Е представляет собою внутреннюю энергию упругого тела. Для изотермического процесса U является свободной энергией. В § 2.9 было указано, что для большинства упругих тел термические эффекты существенной ролн не играют, поэтому делать разницу между внутренней энергией и свободной энергией нет нужды. Мы будем называть функцию U двояко, иногда упругой энергией, иногда потенциалом сил. Второй термин может быть предпочтителен в следующем отношении. Представим себе, что тело состоит из упругопластических элементов п при .нагружении его все эти элементы деформируются активно, тогда не будет прои!сходить разгрузка. Связь между напряжениями и деформациями при активной пластической деформации совершенно неотличима от закона нелинейной упругости до тех пор, пока не произведена разгрузка. Очевидно, что и связь между внешними силами и перемещениями будет такой же, как для нелинейно упругого тела, и формулы (5.2.5) будут справедливы, хотя функция U уже не будет внутренней либо свободной энергией. Конечно, вывод этих формул, основанный на рассмотрении замкнутого цикла де форм ир ов ан ия и законов терм о динамики обратимых процессов, для пластического тела несправед-
лив. Их иногда получают из соображений термодинамики необратимых процессов; мы предпочтем ограничиться замечанием о том, что термодинамика необратимых процессов как раз и основывается на том факте, что для определенных процессов нельзя сказать, обратимы они или нет, пока эти процессы идут в одном направлении.
Обращение формул (5.2.5) достигается с помощью преобразования Лежандра (см. § 2.8). Положим
ФШ=Qiqi-U.(5.2.6)
Следует считать, что в правой части % являются функциями от Qi в соответствии с (5.2.1). Повторяя вывод § 2.8, отсюда находим
公=鉄・(5・2.7)
Функцию ①(Q，мы будем называть потенциалом перемещений, формула (5.2.7) составляет содержание теоремы Кастилья- но. Потенциал Ф называют также дополнительн1ой работой, как и в случае простого одноосного растяжения. Вспсшиная определение основных термодинамических потенциалоов, мы убеждаемся, что для а ди аб атического процесса Ф иредставляет собою энтальпию, для изотермического — свободную энтальпию.
Заметим, что наряду с введенными упругими потенциалами можно строить и другие. Эквивалентность соотношений (5.2.5) и (5.2.7) определяется тем, что за параметры, определяющие состояние упругой системы, можно принять либо перемещения, либо силы. Но можно выбрать в качестве основной смешанную систему определяющих параметров, например т перемещений: 01,生,•…,9加 и п — т сил: Qm+“ .…,Qn・ Систему уравнений (5.2.1) всегда можно представить в таком виде:
Qs = Qs (%, Qr), qP = qP (%, Qr),
▲ WiWm, m + 1^г^щ i^s^m, m + l^p ^n.
Построим теперь следующую функцию:
歹(％, Qr)= Q/p — U (тп + £ W p W тг)・ (5.2.8)
Предполагается, что правая часть мредставлена как функция от qi и Qr. Теперь
dF _ 0 ^Р ди ди дяр
Вследствие (5.2.5), dU/dqi = Q^ dUJdqP = QP, следовательно:
2= -訪(5・2・9)
Продифференцируем функцию F по Qr:
Вследствие (5.2.5) два последних члена взаимно уничтожаются и мы получим
分=崇-.(5.2.10)
Следует заметить, что смешанные потенциалы вида (5.2.8) стали применяться в механике твердого тела лишь в последнее время, тогда как формулы Лагранжа и Касгильяно были известны еще в прошлом столетии.
Линейные упругие системы
Теоремы Лагранжа и Кастильяно были изложены выше для произвольных упругих систем, не обязательно геометрически или физически линейных. Однако наиболее просто применение их к линейным системам. Для линейных систем как потенциал сил, так и потенциал перемещений представляют собою квадратичные формы, и соотношения между силами и перемещениями устанавливаются при помощи линейных соотношений вида
Qi = с订％,(5.3.1)
仇=阮 Qj・(5.3.2)
Величины 0订 ——коэффициенты влияния и с^ ——коэффициенты жесткости связаны очевидными соотношениями с^ = l^ij/l^l, В订=1%1/|с|・ Здесь 丨0|, Id — определители матриц 阮 и %, 10^1, let/ ——алгебраические дополнения элементов 卩订 и &, соответствующих матриц. По теореме Лагранжа Q^ = dU/dq^ Q§ = =dUJdq，、отсюда следует •
& =旦
подставляя (5.3.1), находим
&j = Qi и, аналогично,
阮=阮.
Таким образом, из факта существования потенциалов сил и перемещений следует симметрия матриц коэффициентов влияния и коэффип^иентов жесткости.
Выражения для потенциало(в сил и перемещений записываются очевидным образом
U = 4" с 也%,①=^ijQiQj-
С другой стороны, по теореме Эйлера об однородных функциях
и =и =12"12"dUdUQi^ — Q^iQi^ — Q^i
и =
и =
1
2"
1
2"
dU
dU
Qi^ — Q^i
Qi^ — Q^i
и, аналогично,
Отсюда следует, что так же как и при простом растяжении (§ 2.8) потенциал перемещений равен потенциалу сил и представляет собою упругую энергию, накопленную си1сте(мой.
Одновременно мы получим результат, составляющий содержание теоремы Клапейрона, а именно:
Потенциальная энергия упругой деформации линейной системы равна половине работы внешних сил 冏а произведенных ими, перемещениях
U--^Q^(5.3.3)
Из симметрии матриц &)или 卩订 вытекает еще одна теорема, а именно теорема о взаимности работ Бетти,
Предположим, что к стержневой системе приложена система сил Q” которым соответствуют перемещения %・ Если к той же стержневой системе приложена другая система сил。；, вызывающая перемещения ，乞, то работа сил первой системы на перемещениях^ вызванных действием сил второй системы, равна работе сил второй системы на перемещениях^ вызванных действием сил первой системы,
或或=或或.(5.3.4)
Для доказательства преобразуем выражение, стоящее в левой части, с помощью (5.3.1) и условия с^ = с^
Q:或=/双;或ем；或=Q；Z.
Последнее равенство и до1казы1вает теорему. Для стержневых систем как функция U(^), так и ①(Q, вычисляются по формулам § 2.8 и 3.3, при этом произвадится суммирование по всем стержням, составляющим систему.
Теорема Кастильяно чрезвычайно удобна для нахождения перемещений «в статически определимых системах. Действительно, из уравнений статики мы можем выразить усилие и изгибаю-
щий момент в каждом стержне линейным образом через внешние силы. Поэтому усилие в любом стержне есть
Но dN/dQs можно рассматривать как усилие в стержне, вызванное силой Qs = l・ Положим dN/dQs = N9 (в любом стержне).
Запишем выражение для потенциала перемещений в случае, когда каждый стержень изгибается в одной плоскости, следующим образом:
①=2 爾+ ) 2ЁЦ-
Здесь индексы суммирования опущены, интегрирование выполняется по всем стержням, для каждого из (которых ось z совпадает с осью стержня. Теперь перемещение, соответствующее силе Qs, найдется следующим образом:
9s —: £+ j —gy— ds.(5.3.5)
Формула (5.3.5) была получена Мором. Как видно, это не что иное как прямое следствие теоремы Кастильяно.
Для примера решим задачу об определении перемещения точки Л криволинейного стержня, изображенного па рис. 5.3.1.
Влиянием продольной силы N на перемещение можно пренебречь. Изгибающий момент от силы Р есть
Мх = PR sin ср.
Обозначим номером 1 вертикальное направление, номером 2 ——горизонтальное. Приложим единичную силу в направлении 1 и в направлении 2. Соответствующие моменты:
Мх\ = R sin ф, 〃х2 = Н(1 — cos ср).
nR3PnR3PДля перемещений по формуле (5.3.5) получим
nR3P
nR3P
^- J sin ф (1 — cos ф) d(p = ^, £
При решении этой задачи мы пользовались зависимостью между изменением кривизны и изгибающим моментом, следующей из теории прямого стержня, считая размеры сечения малыми по сравнению с радиусом R.
Этот пример очень отчетливо выявляет преимущества общих теорем. Желая подсчитать тот же прогиб без этих теорем, мы должны были бы составлять дифференциальное уравнение изогнутой оси криволинейного стержня, что требует геометрического рассмотрения. Формула (5.3.5) дает результат совершенно автоматически. Для систем, состоящих из прямолинейных элементов, функции Mg Ns、представляющие собою изгибающий момент ог сосредоточенной силы и продольную силу, являются на каждом участке линейными функциями. Для вычисления интеграла (5.3.5) можно применить гр аф о ан а л итиче ский прием, состоящий в следующем. Пусть нам нужно вычислить интеграл
ь
，屮(s)屮(s) ds.a
Если одна из этих функций, например p(s), линейна, то начало отсчета координаты s всегда можно выбрать так, чтобы было 屮(s) = A:s. Итак,
j ср (s)屮(s) ds = J 屮(s) ks ds.
J 屮(s) sds = Qs。,J 屮(s) sds = Qs。,ks° =屮°.ks° =屮°.
J 屮(s) sds = Qs。,
J 屮(s) sds = Qs。,
ks° =屮°.
ks° =屮°.
Здесь Q ——площадь, ограниченная кривой (p(s) на участке s 三[а, Ь], яро 一 ордината эпюры функции 屮，соответствующая центру тяжести площади Q, поэтому
J 屮(s)屮(s) ds = ◎屮°. (5.3.6)
Установленное простое правило бывает очень полезно при вычислен пл интегралов в формуле (5.3.5). Поясним сказанное примером. Пусть для изображенной на рис. 5.3.2 рамы требуется определить вертикальное перемещение точки А. Построим эпюру моментов от действующих сил и от единичной силы, приложенной в точке Л вертикально вниз. Принимая во внимание только изгиб, заметим, что на первом участке, считая от точки приложения силы, интеграл обращается в нуль. Будем брать площади с верхней эпюры и ординаты под центром тяжести с нижней. Получим
q = 3Pa.2a.J-.2a + ?f^S2a +
EI\ 2 1 2 I 2 丿 Е/
Такое графоаналитическое вычисление интеграла в формуле Мора часто называют перемножением эпюр. Не останавливаясь на конкретных примерах, рассмотрим сам способ перемножения для важнейших частных случаев.
трапеции (рис. 5.3.3, а). Произведение эпюр П = 31yl + 32y2・
Здесь
alЫ1,2
двух трапеций имеют разные знаки, то правилодвух трапеций имеют разные знаки, то правилоЕсли ординаты одной илиЕсли ординаты одной илиРис. 5.3.2Рис. 5.3.2
двух трапеций имеют разные знаки, то правило
двух трапеций имеют разные знаки, то правило
Если ординаты одной или
Если ординаты одной или
Рис. 5.3.2
Рис. 5.3.2
сохраняется (рис. 5.3.3, 6)
П = 31 勿 + 32y2,
alalЫЫ2 d — -g- с,2 d — -g- с,2 ,12 ,1
al
al
Ы
Ы
2 d — -g- с,
2 d — -g- с,
2 ,1
2 ,1
а из эпюр ——параболическая. Такую эпюру представляют как результат наложения симметричной параболы со стрелой ql?2 на трапецию. Площадь эпюры разбивается па три площади (рис. 5.3.4):
(О(О11—al—al
(О
(О
1
1
—al
—al
Центр тяжести площади параболы находится посредине.
Статически неопределимые системы.
Экстремальные принципы
Принцип Лагранжа. Представим себе стержневую систему, например ферму, на которую действует одна обобщенная сила 0, вызывающая обобщенное перемещение q. Сделанное предположение не нарушает общности рассмотрения, поскольку любая система сил может рассматриваться как один обобщенная сила. Кроме перемещения q узлы системы получают перемещения /»(% = 1, 2, ..., 〃), на которых сила Q работы не производит. Перемещения не связаны какими-либо кинематическими ограничениями; приложив надлежащим образом обобщенные силы X», можно получить произвольные величины ^. Задание системы перемещений q, ^; позволяет вычислить деформации всех элементов системы и, следов(ательно, найти потенциал U как функцию q и Xi
U = U (‘，/，.
Дифференцируя U по 爲,мы найдем обобщенные силы X” но в действительносш этих сил нет, поэтому
匹"(5.4.1)
Уравнение (5.4.1) позволяет найти ⑥ в функции от 夕,после этого, если нам нужно найти связь между Q и 夕,мы должны воспользоваться формулой
(542)
Конечно, при выводе не обязательно и не всегда удобно выражать всю заданную нагрузку как одну обобщенную силу. Обычно эти силы рассматривают по отдельности и соответственно получают несколько уравнений вида (5.4.2).”
Если система была статически определимой, то, по существу, уравнения (5.4.1) представляют собою уравнения равновесия, полученные из начала возможных перемещений. Но статическая определимость или неолределимо1сть системы не имеет никакого значения при использовании (5.4.1).
Заметим, что условие р&венств® нулю частных производных функции есть условие того, что функция принимает стационарное значение. Убедимся в том, что это стационарное значение есть минимум. Действительно, вторая вариация функции U(况， равна
2U =皆 @謚-3勺§4 = 4" cifix^xr
Но это есть упругая энергия системы, вычисленная для переме-
щений 5/2, 5/j. Уируган энергия всегда положительна, она обращается в нуль только при б^г = 0, следовательно, 82U > 0. Это и есть усло!вие минимума функции U (伤)•
Пример. Система, изображенная па рис. 5.4.1, состоит из к стержней, прикрепленных верхними концами к потолку и сходящихся в одной точке А. Требуется определить усилия во всех
стержнях, а также перемещения точки А, г~' вертикальное q и горизонтальное %• Приме-// / /
няя результат § 2.3, использованный при вы-// //
воде формулы (2.3.2), находим
А厶cos%-% sinas， L
U =系 2 4% (a cos & _ % sin %)2 cos %•!
Уравнения (5.4.1) и (5.4.2) становятся следу
ющими:Рис. 5.4.1
9 2 EsFs sin % cos2 % — 力 £ ESFS sin2 % cos %= 0,
9 2 4% cos3 & - с 2 ESFS sin & cos2 & = Q.
Таким образом, задача свелась к решению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, коэффициенты которых легко вычисляются при любом числе стержней к. Найдя перемещения ди/, вычисляем деформации стеря^ней и усилия в них по закону Гука.
Принцип Кастилъяно. Рассмотрим произвольную стержневую р раз статически неопределимую систему. Это значит, разрушив Р связей, мы превращаем ее в статически определимую. Но отбрасывая каждую связь, мы должны заменить ее действие силой; таким образом, вводится р неизвестных реакций связей Х[, Х2, ..., Хр. Через «лишние» неизвестные Х^ можно выразить усилия и моменты во всех элементах системы; таким образом, потенциал Ф будет функцией лишних неизвестных Х^. Принцип Кастилъяно состоит в том, что величина Ф, рассматриваемая как функция лишних неизвестных^ имеет минимум для тех значений этих неизвестных^ которые существуют 6 действительности.
Заметим, что обобщенные перемещения, соотв(етствующие лишним неизвестным в статически неопределимых задачах, всегда равны нулю. Если лишняя неизвестная вводится путем отбрасывания внешней связи, то мы требуем, чтобы соответствующее перемещение равнялось нулю. Если неизвестная вводится за счет нарушения внутренних связей, как в примере § 5.1 (рис. 5.1.2), то зто есть обобщенная сила, представляющая собою совокупность “вух сил или двух моментов, приложенных к краям разреза.
Соответствующее обобщенное перемещение ——это или относительное расхождение краев разреза, или угол поворота одного
края относительно другого. Так как в действительности стержень должен оставаться цельным, обобщенное перемещение всегда равно нулю. Значит, по теореме Кастильяно
■^)• =。(2 = 1, 2,...,夕)・■^)• =。(2 = 1, 2,...,夕)・(5.4.3)(5.4.3)
■^)• =。(2 = 1, 2,...,夕)・
■^)• =。(2 = 1, 2,...,夕)・
(5.4.3)
(5.4.3)
Уравнения (5.4.3) представляют условия экстремума функции Ф. Остается показать, что этот экстремум есть минимум. Для этого вычислим вторую вариацию функции
б2ф = 4-^7 ад-
Но 飞^^支:=阮，Поэтому
62Ф = 4 阮6Х抖Xj.
Итак, 62Ф есть упругая энергия, соответствующая силам 5Х». Но упругая энергия является положительно определенной квадратичной формой, так как нельзя приложить к системе такие силы, которые сделали бы отрицательной ее энергию. Поэтому 62Ф > 0 и уравнения (5.4.3) представляют условия минимума потенциальной энергии, рассматриваемой как функция лишних неизвестных.
Условия стационарности потенпиала сил II потенциала перемещений (5.4.1) и (5.4.3) справедливы не только для линейных систем, однако заключение о том, что это стационарное значение
есть минимум, требует выполнения дополнительных условий. Необходимое условие устойчивости равновесия по отношению к бесконечно малым воамущениям состоит в том, чтобы квадратичные формы
期"％ или 万闕丁 dQidQj
были положительно определенными в той точке, где dU/dqi или дФ/dQi обращаются в нуль. Но если линейная система устойчива по отношению к возмущениям любой величины, поскольку соответствующие квадратичные формы положительны при любых значениях аргумента, для нелинейных систем точка, где достигается минимум потенциала, может быть не единственной. Так, обращаясь к примеру стержневой системы, рассмотренной в § 4.6,
и принимая за обобщенное перемещение q величину а, найдем U =^EFl® 一谕 2.
Примерный график зависимости величины U от а представлен на рис. 5.4.2, минимальное значение U достигается при а = 士а°. Таким образом, при отсутствии внешней силы система имеет два состояния равновесия, разделенные потенциальным барьером EFl{J4、Величина этого потенциального барьера соответствует максимуму энергии пр：и а = 0, .в этой зоне dU/da = 0, но равновесие неустойчиво.
Метод сил и метод перемещений в строительной механике стержневых систем
Строительной механикой стержневых систем обычно называют теорию расчета более или менее сложных многократно статически неопределимых систем. На вариационном принципе Кастильяно основывается так называемый метод сил. Запишем выражение потенциала перемещений статически неопределимой системы следующим образом:
①=}阮・XR・+ P^qX% +手Pqq・
Здесь все внешние силы сведены к одной обобщенной силе Q = 1. Теперь уравнения (5.4.3) можно записать следующим образом:
阮羽 + % = 0.(5.5.1)
Индексы Z, у относятся теперь только к «лишним» неизвестным Ху Х2, ..., X* положив Q=l, мы не нарушаем общности, фактически величины действующих сил включены в величины 瓦q. Система (5.5.1) называется системой уравнений метода сил.
Будем называть статически определимую систему, полученную из исходной отбрасыванием лишних связей, основной системой. Перемещение, на котором производит работу сила X», будем называть перемещением с номером i. Выясним, как определяются коэффициенты в уравнениях (5.4.4). Коэффициент % — это не что иное, как перемещение с номером i при условии, что к основной системе приложена сила X/ = 1. По правилу, установленному формулой (5.3.5), мы должны определить усилия и моменты для сил Xt = 1 и Xj = 1, после чего находим
屍=2屍=2NNEFNNEFС ^xi^xjJ -以С ^xi^xjJ -以dz.dz.
屍=2
屍=2
NNEF
NNEF
С ^xi^xj
J -以
С ^xi^xj
J -以
dz.
dz.
Точно так жеТочно так же
Точно так же
Точно так же
Здесь Nq、MxQ ——продольная сила и изгибающий момент, созданные в основной системе внешними силами.
Рассмотрим в качестве примера раму, изображенную на рис. 5.5.1 и имеющую форму квадрата со стороною а. Рассечем ее по оси симметрии,
тш川丨川丨|门тш川丨川丨|门птггпптштптггпптшт三三三三三三三三I /I /ДВУ1ДВУ1三三三三三三三三kuHRRR^kuHRRR^
тш川丨川丨|门
тш川丨川丨|门
птггпптшт
птггпптшт
三三三三
三三三三
I /
I /
ДВУ1
ДВУ1
三三三三
三三三三
kuHRRR^
kuHRRR^
I |м丨им|丨丨I iiiihium丨丨ill
Рис. 5.5.1
приложим пару продольных сил Xi, пару поперечных сил Х2 и пару моментов Хз. Построим эпюры моментов от нагрузки, от сил Xi = 1, от сил X?= =1, от пары моментов Хз = 1. Применяя правило графоаналитического перемножения эпюр, получим
E/Mq = （4 &•岑-—胃族）2 + 〃号= 4 死
а-а 25 3
EI] = -2~•可"•2 + a•".a =丁a ,
以3]2 =以出23=0，е 厶 В3з = 4。, EI^2Q^^
= &号一彩）2+。.吟=4演，以现=2上
Замечая, что величины 卩⑵ 的，汝 равны пулю, мы можем высказать общее правило, что произведение симметричной эпюры па антисимметричную равно нулю. Величина 022 пам не понадобится, существенно лишь, что 昵*0.
Составим систему уравнений （5.5.1）:
53
•у dX]十 2/Х3 + 丁 G"4 = 0,
%4 =。，
2a2X] + 423+~!" 致з=0.
Решение этой системы
X =—丝 X, = 0,=竺1.
]22324
Суммарная эпюра изгибающих моментов построена на том же рис. 5.5.1.
Совершенно аналогичным образом, отправляясь от вариационного принципа Лагранжа, получают уравнения метода перемещений; это не что иное как уравнения (5.4.1) и (5.4.2), записанные в форме, содержащей явно коэффициенты жесткости ). Действительно, U есть квадратичная функция от q,忆彳,а именно: 11 2
и=т % 产产6 + ciqxiq+т ・ Отсюда
djXj + aqq = 0, CiqXi = Q, (5.5.2)
Первый пример предыдущего параграфа по существу представляет собою пример на применение уравнений (5.5.2). Для определения величин с“ следует заметить, что из (5.3.1) вытекает следующее заключение. Предположим, что на систему наложены дополнительные связи, такие, что все свободные перемещения xj = 0, хв = 1 и / #= s. Тогда Cf« представляет собою реакцию связи, запрещающей перемещение z厶 a dqq есть реакция этой связи на действие внешней силы. Вообще, нахождение с» и aq требует реше
Рис. 5.5.3Рис. 5.5.3ния статически неопределенных задач с большим числом лишних неизвестных, но в частных случаях результат получается очень простым. Рассмотрим, например, изображенную на рис. 5.5.2 раму. Как легко видеть, эта рама трижды статически неопределима (по две составляющих реакции и
Рис. 5.5.3
Рис. 5.5.3
реактивному моменту в каждой заделке — шесть неизвестных и три уравнения статики). Пренебрегая продольной деформацией стержней, убеждаемся, что единственная кинематическая переменная, определяющая состояние системы, есть угол поворота узла А. Будем говорить, что система один раз кинематически неопределима. Это значит, что при применении метода
перемещений нам придется решать только одно уравнение. Для составления этого уравнения нам понадобятся решения вспомогательных задач, представленные на рис. 5.5.3. Предоставляем читателю решить эти задачи любым способом, например так, как это было разъяснено в § 3.8. Для нахождения величины ciq наложим связь, предотвращающую поворот. Теперь вертикальный стержень останется ненагруженным, а горизонтальный окажется в положении, изображенном на рис. 5.5.3, 6. Поэтому eg = Q〃8.
Для нахождения величины си повернем узел на угол <р = 1, убрав силу Q. Оба стержня окажутся в состоянии, изображенном на рис. 5.5.3, а, а следовательно,
спсп. 4氏q 8艮厶. 4氏q 8艮厶
сп
сп
. 4氏q 8艮厶
. 4氏q 8艮厶
Подставляя c^q и си в единственное теперь первое уравнение (5.5.2), найдем
8EI* 丄 QZ8EI* 丄 QZ=0,=0,
8EI* 丄 QZ
8EI* 丄 QZ
=0,
=0,
гопластическое, чтобыгопластическое, чтобы
гопластическое, чтобы
гопластическое, чтобы
отсюда
Теперь не составляет труда построить эпюру изгибающих моментов, изображенную на рис. 5.5.4.
Жесткопластическое тело
В предыдущих разделах мы неоднократно рассматривали задачи о предельном равновесии стержней и стержневых систем из идеально-пластического материала. Основная трудность при решении этих задач соютоит в том, чтобы правильно определить
положение пластического шарнира в балке или установить, какие именно стержни перейдут в пластическое состояние, если мы имеем дело с фермой. Можно, конечно, как мы иногда делали, рассмотреть сначала упругое состояние системы. Наиболее напряженный элемент первым перейдет в пластическое состояние при возрастании внешних сил. После этого мы должны рассматривать состояние упру- выяснить, какой элемент перейдет
в пластическое состояние во вторую очередь, и продолжать подобным образом до тех пор, пока мы не дойдем до лсиериания несущей способности системы. Такой путь чрезвычайно сложен
и громоздок, к тому же он вносит элемент, являющийся для
теории предельного равновесия чуждым, а именно представление о переходе от упругого состояния к пластическому. Действительно, в предельном состоянии те элементы, которые не достиг-
ли предела текучести, образуют кинематически изменяемую систему и малые упругие деформации этих элементов не играют никакой роли по сравнению со сколь угодно большими деформациями пластических элементов. Поэтому в самом начале при определении предельного состояния мы можем принять за исходный пункт не схему упругопластич®ского материала, а схему материала жесткопластического, который совсем не деформируется при а < ат и получает возможность неограниченной деформации при а = От・ Диаграмма зависимости между напряжением и деформацией для такого материала изображена на рис. 5.6.1. Если встать на эту точку зрения, то нахождение предельного состояния путем анализа упругого состояния представляется крайне искусственным.
Некоторые общие теоремы, излагаемые ниже, позволят решить поставленную задачу более црямым и простым путем.
Предварительно нам нужно несколько уточнить представление о жесткопластическом теле, которое будет лежать в основе дальнейших рассуждений, хотя окончательные результаты применимы и для удругопласшческого тела. Рассматривая изгиб, например балки из улругоиластичеокого материала без упрочнения, мы получаем диаграмму зависимости между изгибающим моментом и кривизной, состоящую из трех участков: упругого, упругопластического криволинейного и горизонтального участка, соответствующего исчерпанию несущей способности (см. рис. 2.5.2). Переход от упругого состояния к полностью пластическому нас интересовать не будет; поэтому мы заменим эту диаграмму подобной той, которая изображена на рис. 5.6.1. Это значит, что мы считаем, как будто балка совсем не деформируется, пока изгибающий момент меньше чем М^ и получает возможность неограниченно изгибаться, когда момент достигает этого предельного значения.
Здесь мы будем рассматривать систему 血з жесткопластических стержней, работающих на растяжение ——сжатие или изгиб. В элементах этих систем возникают усилия и изгибающие моменты, в некоторых стержнях усилия могут достигнуть величины %т = ОтЬ, эти стержни потескут. В некоторых сечениях изгибаемых стержней момент достигнет предельного значения М^ в этих сечениях образуются пластические шарниры. При некоторой комбинации внешних нагрузок ^т система станет кинем>атически изменяемой, причем для неограниченного течения системы в целом достаточно, чтобы она превратилась в механизм с одной степенью свободы. Для общности и единообразия рассуждений вместо усилий и моментов мы будем говорить об обобщенных внутренних силах Rs, (которые достигают предельных значений Е$т・ Если Rs = Rst, то обобщенное перемещение гв становится неопределенным, как это видно из диаграммы рис. 5.6.1. Вместо того, чтобы говорить о перемещениях, нам будет удобнее говорить о скоро- 11*
стих перемещений, притом в тот момент, когда текучесть только наступила, перемещения еще малы и изменение геометрии несу* щественно. Скорость перемещения гв при Дв = R§t тоже неопределенна, поэтому термин «скорость» понимается здесь в условном смысле: это есть производная от гв по любому монотонно возрастающему параметру. Но каждый элемент, перешедший в состояние текучести, связан с жесткими элементами. Поэтому соотношение между скоростями деформации отдельных элементов будет уже не произвольным, а совершенно определенным; скорости г« находятся с точностью до не определенного множителя.
Условие текучести и поверхность текучести
Пусть на жесткопластическую систему действует система п внешних сил Qi. Условие достижения предельного состояния может быть записано в следующем виде:
歹(Q|,。2, ••” Qn) = 0・ (5.7.1J
Уравнение (5.7.1) определяет в п^мерном пространстве сил поБерхность, которую называют поверхностью текучести, это уравнение называется условием текучести. При достижении условия текучести точки приложения сил Qi получают скорости jt, которые находятся между собою в определенном отношении. Но величины этих скоростей остаются неопределенными, они известны лишь с точностью до общего множителя. Правило, которое устанавливает раопределение скоростей при наступлении текучести, называется законом течения. Общая запись закона течения может быть следующей:
gt = Ui(Qk),厶力=1, 2, •・.，n. (5.7.2)
Здесь % ——любой неотрицательный множитель.
Существенное отличие закона течения (5.7.2) от закона упругости состоит в том, что течение наступает только тогда, когда силы Qh в точности удовлетворяют условию (5.7.1). Если 歹(Qi, Q2, ..., Qn)vO, никакого течения нет,贡=0・ К системе, состоящей из утругоиластических элементов, нельзя приложить такие нагрузки, что F(^a)>0; если такие нагрузки в действительности приложены, необходамо решать задачу уже не статики, а динамики, т. е. вводить в рассмотрение силы инерции.
В пространстве сил каждая комбинация внешних нагрузок изображается точкой с координатами Q^ если точка находится внутри поверхности текучести, система остается жесткой, если точка находится на поверхности, происходит текучесть. Состояния, изображаемые точками вне объема, ограниченного поверхностью текучести, невозможны. Состояние текучести достигается вследствие того, что достаточное число элементов системы переходит в пластическое состояние. Это значит, что обобщенное уси-
лие в соответствующем элементе Ra достигает предельного значения 7?„ и соответствующая обобщенная скорость гв становится отличной от нуля. Пусть число этих элементов есть т. Задавая скорости 九，мы можем всегда найти скорости точек приложения внешних сил д«, причем они будут выражены через 九 линейным образом:
qi = a伉.
Мощность внешних сил есть 0向匕 она должна равняться мощности, необходимой для пластического формоизменения Е8T九； таким образом,
Q& =凡 т九. (5.7.3)
Предположим теперь, что мы немного изменили величины внешних сил, но таким образом, что они продолжают удавлетвю- рять условию текучести (5.7.1). Если при этом в пластическом состоянии остаются те же элементы, то скорости 九 останутся прежними. Останутся прежними и скорости ^, но вместо (5.7.3) мы получим
(Qi + 5Qi)& =凡筛 (5.7.4)
поскольку внутренние силы 7?ST сохраняют постоянное значение. Сравнивая (5.7.3) и (5.7.4), находим
q^Qi = 0.
С другой стороны, из условия того, что Qd + 6Qt удовлетворяет уравнению (5.7.1), следует
Таким образом, 宮=済. (5.7.5)
Соотношение (5.7.5) называется ассоциированным законом течения. Смысл этого термина состоит в том, что закон течения тесно связан с условием текучести, он ассоциирован с этим условием.
Величины 贡 можно рассматривать как составляющие вектора в n-мерном пространстве. Этот вектор имеет совершенно определенное направление, устанавливаемое формулой (5.7.5), но вели- тана его неопределенна. Если строить вектор с компонентами д( в прюстранстве сил, то соотношение (5.7.5) означает, что вектор скорости направлен ло нормали к поверхности текучести. На рис. 5.7.1 изображен кусок поверхности текучести; совокупность сил, действующих на систему, изображается вектором Q; если система находится в предельном состоянии, то точка ", конец
векторвекторQ, являетсяQ, является01 ——九 cos а, Условие равенства нулю проекций01 ——九 cos а, Условие равенства нулю проекций7г =—入 sin а.всех сил на направление скорости7г =—入 sin а.всех сил на направление скорости
вектор
вектор
Q, является
Q, является
01 ——九 cos а, Условие равенства нулю проекций
01 ——九 cos а, Условие равенства нулю проекций
7г =—入 sin а.
всех сил на направление скорости
7г =—入 sin а.
всех сил на направление скорости
вектора Q, лежит на поверхности текучести. Вектор q с компонентами qi направлен по нормали к поверхности текучести в точке М.
Поясним изложенное на нескольких простых примерах.
Система из трех стержней (рис. 5.7.2) нагружена двумя силами Qi 夙。2・ Поскольку силы приложены в одной точке, их геометрическая сумма,
вектором силы в изображающем пространстве, которое в данном случае просто представляет собою плоскость чертежа. Точно так же вектор с компонентами 贡 и @2 представляет собою вектор скорости точки А в обычном смысле. Для того чтобы система превратилась в механизм, необходимо, чтобы два стержня перешли в пластическое состояние и тем самым получили возможность неограниченно деформироваться. Третий стержень останется жестким и будет вращаться около точки закрепления. Таким образом, существует только три направления возможного движения точки А в соответствии с тремя возможными попарными комбинациями перешедших в пластическое состояние стержней. Переберем все эти возможности.
Стержни 1 и 2 находятся е состоянии текучести, вращается стержень 3. Вектор скорости точки 4 перпендикулярен стержню 3, следовательно,
仇=九 cos В, ?2 = % sin §.
При вращении стержня 3 против часовой стрелки, стержни 2 и 2 будут оба растягиваться. Нам достаточно рассмотреть только эту возможность. Усилия в стержнях 7 и 2 при этом одинаковы и равны Wt = OtF, усилие в стержне 3 нас не интересует. Спроектируем все силы на направление, перпендикулярное к стержню 3. Получим
勿Qi cos 0 + Q2 sin 卩=±7VT(sin0 + sin (a + P)).(a)
Знак минус в правой части соответствует вращению стержня 3 по часовой стрелке.
Стержни 1 и 3 находятся в пластическом состоянии, вращается стержень 2; скорость точки Л I 必 / направлена по горизонтали, следовательно,
贡=九，@2 = 0.
Если стержень 1 удлиняется, то стержень 3 будет /укорачиваться, следовательно, усилия в них раз-
у%ных знаков. Проектируя все силы ла горизонталь/ 夕ное направление, найдем
Q\ = dz-/VT (sin а + sin Р).(б)
Рис. 5.7.2в. Стержни 2 и 3 находятся в пластическом со
стоянии. При вращении стержня 2 против часовой стрелки усилия в стержнях 2 и 3 будут сжимающими, в противном случае растягивающими. Скорость точки % перпендикулярна стержню 1, следовательно,
даетдаетQi cos a —Q2 sin а = i^T(sina + sin (а + §)).
дает
дает
В зависимости от комбинаций стержней, перешедших в пластическое состояние, мы получили три распределения скоростей и шесть условий текучести, каждое из которых линейно относительно Qi и Q2. Легко проверить, что соотношение (5.7.5) вьшолняется. Шесть прямых в плоскости Qi, Q2 образуют шестиугольник, представляющий собою поверхность текучести. В данном случае п = 2, пространство сил представляет собою плоскость, а поверхность — замкнутый контур. Тем не менее мы будем сохранять общую терминологию даже в двумерном случае и говорить о поверхности текучести.
На рис. 5.7.3 изображена поверхность текучести для случая, когда а = § = 45°. Эта поверхность состоит из гладких, в данном случае прямолинейных участков, но имеет угловые точки, в которых производная не существует и, следовательно, формула (5.7.5) неприменима. Выясним, что в действительности происходит со стер- яснями, когда система действующих сил изображается угловой точкой. Рассмотрим, например, точку т на рис. 5.7.3. Нагрузка удовлетворяет одновременно и условию текучести (а) и условию текучести (б), следовательно, все три стержня находятся в состоянии текучести, однако скорость точки Л не вполне произвольна, она должна быть такой, чтобы стержень 1 про
должал удлиняться (это относится как к условию (а), так и к условию (б), стержень 2 удлиняется (условие (б)), а стержень 3 укорачивается (условие (б)). Это будет выполнено, если вектор скорости точки А лежит внутри угла, образованного прямыми, перпендикулярными к направлениям стержней 2 н 3. На рис. 5.7.3 мы должны провести нормали к сторонам шестиугольника, пересекающимся в точке тп, направление вектора скорости в точке т неопределенно, но он всегда находится внутри утла, образованного этими нормалями.
В общем случае поверхность текучести есть гиперповерхность в Ппмерном пространстве, она может состоять из гладких кусков, образующих в пересечении ребра. Пусть изображающая точка находится в пересечении двух гладких поверхностей F1(O1) = О, 歹 2(Qi)=0・‘.
Тогда формула (5.7.5) применяется два раза, и мы получаем
следующий закон течения:
(5.7.6)
Здесь Xi и %2 ——неопределенные множители, которые могут при- ним1ать любые значения, но обязательно неотр|ицательные, чтобы вектор скорости был направлен по внешней нормали к поверхности текучести. В протавном случае мощность, затрачиваемая на пластическую деформацию, была бы отрицательна.
Выпуклость поверхности текучести
Изложенные выше рассуждения, приведшие к установлению ассоциированного закона течения, основывались на том, что число структурных элементов системы конечно и существует конечное число форм перехода системы в предельное состояние. На примере было выяснено, что поверхность текучести будет всегда представлять собою многоугольник, поскольку для любой формы перехода в пластическое состояние условие пластичности будет обязательно линейным. Совершенно такое же положение возникает, например, в балке, нагруженной конечным числом сосредоточенных сил. Эпюра моментов для такой балки кусочно-линейна, следовательно, максимальное значение момента может достигаться только в том сечеиии, где приложена сила. Число возможных комбинаций пластических шарниров конечно; для любой комбинации условие статики, связывающее значение внешних сил, будет линейным, поверхность текучести и в этом случае представляет собою многогранник и ассоциированный закон течения сохраняет силу.
Рис. 5.8.1Рис. 5.8.1Рис. 5.8.2Рис. 5.8.2Покажем, что многогранник, представляющий собою поверхность текучести, будет всегда выпуклым. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть случай двух сил. Пусть некоторой комбинации элементов, перешедших в пластическое состояние в плоскости Qi, Q2, соответствует прямая аЪ (рис. 5.8.1). Тогда полуплоскость справа от линии аЪ (отмечено горизонтальной штриховкой) будет областью недо-
Рис. 5.8.1
Рис. 5.8.1
Рис. 5.8.2
Рис. 5.8.2
пустимых состояний; если конец вектора Q оказывается в этой области, усилия в пластических элементах из условия статики должны быть больше предельных, что невозможно. Некоторой другой комбинации пластических элементов соответствует прямая cd. Часть плоскости, находящаяся справа от cd и отмеченная наклонной штриховкой, будет опять-таки областью недопустимых состояний. Следовательно, границей области допустимых состояний является ломаная amd с углом в точке тп, меньшим чем л. Продолжая это построение, мы всегда получим .выпуклый многоугольник и выпуклый многогранник в общем n-мерном случае.
Вообще, число элементов, которые могут переходить в пластические состояния, не обязательно конечно. В балке, несущей распределенную нагрузку, момент может достигать предельного значения в любом сечении. Мысленно заменим гладкую балку стержнем с надрезами на расстоянии Д, как показано на рис. 5.8.2. В таком стержне пластические шарниры будут возникать только в надрезанных сечениях, число их всегда конечно, поэтому поверхность текучести представляет собою многогранник. По доказанному, для такой балки будет справедлив ассоциированный закон течения. Перейдем теперь к пределу при А 0; мы получим исходную балку, для которой поверхность текучести будет кусочно гладкой поверхностью, и распределение скоростей будет по^дчиняться ассоциированному закону.
В качестве примера рассмотрим задачу о совместном действии изгиба и растяжения или сжатия на стержень прямоугольного сечения. Обозначим продольную силу через Qi, изгибающий момент через Q2, высота сечения пусть будет 瓦 ширина &, смещение нейтральной оси * Тогда 弘 представляет собою удлинение средней линии,乌2 ——кривизну. Очевидно, что q【=匕<?2・ Эпюра распределения напряжений показана на рис. 5.8.3. Подсчитывая продольную силу и изгибающий момент, найдем
3 = 26%，02 =停一旦К.
Исключая отсюда С, получим условие предельного состояния
0；02笳
尸（Q? 02）=码+頑一（=°，"Т=T0T，% =切%.
Легко проверить справедливость ассоциированного закона течения. dF 23 @尸 1dF dF >
Действительно, ^- =^~ =犷，отсюда, ^- : ^- =& Поскольку
нагружения будет кривая в плоскости NM, состоящая из дуг двух парабол （рис. 5.8.4）. Вектор q направлен по нормали к кривой. В точках Л и В направление нормали неопределенно, следовательно, вектор скорости q может принимать любое направление внутри угла, образованного нормалями к каждой из парабол в точке их пересечения. Действительно, если стержень
переведен в пластическое состояние путем растяжения, то деформация его будет не обязательно деформацией только растяжения. Он может одновременно изгибаться произвольным образом, единственное органичение состоит в том, чтобы при этом не было разгрузки, следовательно, было
h京《1白1《8・
Статический метод определения предельной нагрузки
Возможными состояниями системы, состоящей из пластических элементов, будут такие, для которых условие текучести не нарушено
〃QZ0・
Пусть совокупность сил Q； соответствует допустимому состоянию. Бесчисленное множество допустимых состояний можно построить, например, следующим образом. Освободим столько внутренних связей, сколько нужно для того, чтобы система стала статически определимой, заменим эти связи их реакциями, которым припишем любые значения, но такие, чтобы ни в одном из элементов системы усилие не превыша- ло предельного. После этого силы Q； определятся из условий равновесия. Слу-
*чайно может оказаться, что допустимое
Q*/ Q-Qсостояние является истинным, т. е. таким,
/которое соответствует текучести системы.
Вообще, конец вектора Q* лежит внутри поверхности текучести, как показано на рис 59]рис. 5.9.1. Истинное состояние текучести
'*изображается вектором Q, а соответст
вующая скорость направлена по нормали к поверхности в точке М. Вследствие выпуклости поверхности текучести вектор Q — Q* всегда составляет острый угол с вектором q・ Поэтому скалярное произведение их положительно:
(Q-Q*)i>0・(5.9.1)
Из неравенства (5.9.1) вытекает приближенный метод определения предельной нагрузки. Запишем неравенство (5.9.1) в следующем виде:
Qi》Q%・(5.9.2)
Знак равенства возможен только тогда, когда выбранное статически возможное состояние совпадает с истинным. В случае, если на систему действует только одна сила Q, неизвестная скорость q в обеих частях неравенства (5.9.2) сократится и мы
получим
QNQ*.
Таким образом, нагрузка, соответствующая произвольному статически возможному состоянию системы, меньше, чем предельная нагрузка. Этот вывод остается справедливым и для системы сил, действующих на тело, если сравниваются нагрузки, отличающиеся пропорциональным изменением всех сил.
Рассматривая различные статически возможные состояния, мы будем находить различные нагрузки, каждая из которых является приближением снизу для истинной предельной нагрузки. Наи лучшим приближением, согласно доказанной теореме, будет то, для которого нагрузка получается наибольшей.
Упругое состояние системы, при котором предел текучести достигнут в одной или нескольких точках, является по определению статически возможным. Действительно, при решении задачи о нахождении упругого состояния мы должны были позаботиться о выполнении уравнений равновесия; при этом условие текучести нигде не было нарушено и только в отдельных точках это условие достигнуто. Соответствующее значение внешней нагрузки представляет нагрузку, определенную по способу допустимых напряжений (с запасом прочности, равным единице). Таким образом, мы имеем совершенно строгое доказательство того, что расчет по предельному состоянию приводит к большим значениям допускаемой нагрузки, чем расчет по допустимым напряжениям.
Метод приближенного определения предельной нагрузки путем подбора статически возможного состояния мы будем называть статическим методом. Если нам представляется возможность перебрать все статически возможные состояния и найти такое состояние, которому соответствует наибольшее значение нагрузки, то это значение будет точным.
Рассмотрим в качестве примера неразрезнуто балку, состоящую из двух равных пролетов и нагруженную по всей ее длине сплошной равномерно распределенной нарузкой q (рис. 5.9.2). Величину этой нагрузки требуется найти. Обозначим через X реакцию крайней опоры. Давая X всевозможные значения, мы переберем все статически возможные состояния балки. Условие того, что наибольший изгибающий момент равен AG, позволит определить для каждого значения X величину нагрузки д, максимальная нагрузка будет соответствовать предельному состоянию. Изгибающий момент в сечении с координатой z равен
Мк = X名一五川.
Максимальное значение момента, как легко видеть, достигается при z = Q zi = X/g, (Mx)max = ^/(29). Требуя, чтобы модуль этого момента не превышал М^ получим
С другой стороны, максимальное значение момента может быть достиг* нуто на средней опоре при z = Z. Оно равно XI— д/2/2.^Из условия, что а6「 солютная величина этого момента не превышает Мт, найдем
X Мтд* < 2 — + 2 -^-.
Введем безразмерные величины g = ql2/MT r X = Х11М» Полученные нера-« венства перепишутся таким образом:
?<2(1 + Х).(б)
На рис. 5.9.3 штриховкой показана область, в которой вьшолняются неравенства (а) и (б).
Рис. 5.9.2Рис. 5.9.2Рис. 5.9.3Рис. 5.9.3Наибольшее значение нагрузки соответствует точке 4, где пересекают-» ся парабола д* =也芋？ и прямая 0* = 2(( + X). Абсцисса этой точки % = ^ Xi = 2(1 + ]/2)7соответствующее значение нагрузки 01 = 6 + 4丫2, максимальное значение момента в пролете достигается при г (1/2-1).
Рис. 5.9.2
Рис. 5.9.2
Рис. 5.9.3
Рис. 5.9.3
Анализ подобного рода становится затруднительным, если система имеет более высокую степень статической неопределенности, когда приходится искать максимальное значение предельной нагрузки как функции нескольких параметров.
Кинематически возможные состояния
и кинематический метод определения предельной нагрузки
Для того чтобы статически возможное состояние жесткопластической системы было действительным состоянием предельного равновесия, нужно, чтобы это состояние было в то же время кинематически возможным; это значит, что свобода пластической деформации, связанная с переходом отдельных элементов в пластическое состояние, должна иметь возможность реализоваться на самом деле. Обращаясь к примеру, рассмотренному в предыдущем параграфе, мы заметим, что состояния, соответствующие внутренности заштрихованной области на рис. 5.9.3, отвечают условию того, что система остается жесткой. Кривая q соответствует тому случаю, когда в пролетах образовались пластические шарниры. Этого еще недостаточно, чтобы балка получила воз»
можность свободно деформироваться (рис. 5.10.1, а). Если мы рассматриваем статически возможное состояние, удовлетворяющее условию (б), пластический шарнир получается над средней опорой, этого опять-таки недостаточно для того, чтобы балка превратилась в изменяемую систему (рис. 5.10.1, 6). Только тогда, когда пластические шарниры возникнут в пролетах и над средней опорой, что соответствует точке Л диаграммы рис. 5.9.3, балка получает возможность деформироваться так, как показано на рис. 5.10.1,6； такое состояние кинематически возможно, притом совместно со статическим состоянием. Последнее замечание означает, что пластические усилия должны производить положительную работу на соответствующих перемещениях, грубо говоря, если напряжение в стержне равно +©т, он должен удлиняться, а не укорачиваться. Возвращаясь к схеме образования пластических шарниров, изображенной на рис. 5.10.1, а, следует заметить, ито она не исключает возможно-
сти деформации по схеме, показанной на рис. 5.10.1, г, но при этом в левом шарнире относительный поворот имеет направление, противоположное моменту, работа момента отрицательна, и, следовательно, кинематически мыслимая схема деформации несовместима с принятым статически возможным состоянием.
Второй метод определения точного или приближенного значения предельной нагрузки для жесткопластических систем состоит в том, что мы рассматриваем различные кинематически возможные схемы перехода системы в состояние текучести и приравниваем работу внешних сил работе внутренних сил перешедших в пластическое сотояние элементов.
Очевидно, что задаваясь различными кинематическими схемами течения системы, мы будем получать различные значения предельной нагрузки. Оказывается, что и в этом случае можно установить экстремальный принцип, который позволит выделить из всех возможных схем истинную, реализуемую в конструкции, а следовательно, определить истинную несущую способность, т. е. предельную нагрузку.
Обозначим Q； и соответственно г* — кинематически возможное поле скоростей, определенное с точностью до постоянного множителя. Пусть Qi — истинные, неизвестные значения сил в предельном состоянии. Составим уравнение равновесия в форме
Лагранжа, приняв выбранное кинематически возможное поле скоростей за поле виртуальных скоростей. Получим
Q盘：=凡Г：.
В истинном состоянии ни в одном из элементов усилие не может превзойти усилия текучести или момент ——предельного момента текучести. Поэтому Rs ^ /?* = R6T. Запишем следующее неравенство:
Q揑:& 瓦т「；・*(5.10.1)
С другой стороны, определим поле внешних сил Q； так, что для данного кинематически возможного состояния
Q：B =/5.10.2)
Очевидно, что состояние системы под действием сил Q；, вообще говоря, не будет статически допустимым, в каком-то из элементов, для которого соответствующее г* = 0, усилие может быть больше предельного. Сравнивая (5.10.1) и (5.10.2), находим
Q^i>Qi^-(5.10.3)
Неравенство (5.10.3) служит основанием для кинематического метода. Если на систему действует только одна обобщенная сила, то
Q《Q* = ^k.(5.10.4)
Таким образом, кинематический метод дает верхнюю оценку для несущей способности. Если число кинематических состояний конечно, то наименьшая из получающихся оценок представляет собою точную величину несущей способности.
Кинематический метод значительно более прост и удобен для применения, чем статический метод, и поэтому находит гораздо более широкое применение.
Рассмотрим два простых примера.
Жесткий брус (рис. 5.10.2) подвешен на четырех стержнях с различными сечениями или из разных материалов. Таким образом, усилия предела текучести для них даны S^, $2т, $зт и S4T соответственно. Сила Р приложена в середине бруса. Для перехода системы в состояние текучести необходимо, ^тобы три стержня были в пластическом состоянии, а четвертый оставался жестким. Рассмотрим соответственно четыре возможности, когда деформация происходит в - результате поворота относительно точек Л,方, CuD. Очевидно, нужно рассматривать только такие состояния, когда сила Р при повороте совершает положительную работу. Соответствующие схемы показаны на рис. 5.10.3, а, б, в и е. Уравнение работ в этом случае тождественно с уравнением моментов.
В случае а: -у Р* = S2T + 2sзт + 3s4T.
1
в случае 6: ^Р^^ ^Зт + 2s4T + S^,
Рис. 5.10.3Рис. 5.10.3
Рис. 5.10.3
Рис. 5.10.3
1
в случае в:Р* = 231т + S2T + i94T>
3
в случае г： -^ Р* = 351т + 252т + S3Tt
Таким образом, для четырех кинематически возможных состояний мы получили четыре значения для предельной нагрузки
Р* =手 $2т + "з" $зт + 2sв，Р* = 2S】T + 2sзт + 4s《《у, ,42
Р* = 4S]t + 2s2T + 2s《в Р* = 2S]t +$2т + $ ^зт-
Теперь остается подставить числовые значения пределов текучести для стержней и выбрать наименьшее из будет истинная предельная нагрузка. Остальные три значения силы Р* соответствуют состояниям кинематически возможным, но невозможным статически. Дело в том, что при этом усилие в стержне, который предполагался жестким, остается превышающим предел текучести для этого стержня.
В качестве второго примера рассмотрим ту же самую двухпролетную неразрезную балку, которая была рассчитана статическим методом в § 5.9. Зададимся координатой пластического шарнира в пролете (рис. 5.10.4). Рассматривая половину балки, найдем, что работа внешней нагрузки д* равна произведению этой нагрузки на площадь треугольника ADB、т. е.
1
равна ^agZ2§*. Момент в пролете совершает работу на угловом перемещении a + §, момент на опоре —
на угловом перемещении 20, но на каждый пролет приходится лишь половина этой работы. Таким образом, A- a^Z2g* =MT(a + 20).
Заметим, что р = ag/(l —g); сократив на а и введя безразмерную нагрузку так же, как это было сделано в § 5.9, получим
不=2传+耳.
Условие минимума нагрузки приводит к уравнению для Е： 冲+ 2自一1 = 0.
Отсюда Е = ^2 — 1 (второй корень не имеет смысла)二
Соответствующее значение нагрузки д* = 6 + 4丫2 совпадает с величиной, найденной при помощи статического метода.
Без строгого обоснования кинематический метод применялся в сопротивлении материалов достаточно давно и довольно широко.
Если возможно найти строго верхнюю грань статических оценок и нижнюю грань кинематических оценок, соответствующие значения предельной нагрузки совпадут, и мы получим точное решение, истинность которого подтверждается совпадением цифр, найденных двумя разными методами. Иногда в сложных системах перебрать все допустимые статически возможные и кинематически возможные состояния бывает затруднительно. Отыскивая оценки в некоторых классах статически допустимых и кинематически допустимых состояний, мы получаем верхнюю и нижнюю оценки для несущей способности, которые не совпадают между собою. Однако во многих случаях оказывается, что эти оценки заключают истинное значение несущей способности в достаточно узкий интервал, так что поиски точного решения становятся бесполезными. В этом состоит основное преимущество экстремальных принципов, которые позволяют получать простыми средствами очень хорошие приближенные решения трудных задач.
ГЛАВА 6
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Колебания систем с конечным числом степеней свободы
Рассмотрим механическую систему, состоящую из упругого сооружения, которое несет ряд сосредоточенных грузов. Сначала будем представлять себе эти грузы в виде материальных точек, которые мы занумеруем от 1 до п. Массой сооружения будем пренебрегать по сравнению с массой грузов. Обозначим иъ 〃2,〃” перемещения грузов, массы которых 加㈠ тп2, ..., mn. Связь между силами 尸 1, Р2, ..., Рп, приложенными к грузам, и соответствую* щими перемещениями устанавливается соотношениями
如=2 阮巳.(6.1.1)
Единичное перемещение 0仃 определяется, например, так, как было указано в § 5.5.
Разрешая (6.1.1) относительно Р<, мы придем к следующим соотношениям:
N(6.1.2)
Коэффициенты влияния 0灯,как мы видели, находятся просто, вычисление коэффициентов жесткости Сц более затруднительно.
Теперь представим себе, что система пришла в движение. На каждый из грузов действует заданная сила Q“ которая, вообще говоря, является функцией времени; если перемещение груза есть Ui^t), его ускорение равно 说；(£)・ Чтобы составить уравнение движения, следуя принципу Даламбера, положим в соотношениях (6.1.1) и (6.1.2) Pi = Qi — т^. Получим
W W W = 5 ^nQj(6.1.3)
или
皿№ + 2 сгзиз = Qi・(6.1.4)
Форма (6.1.4) для записи уравнений движения механической системы более проста, но мы будем по большей части пользоваться уравнениями в форме (6.1.3) именно потому, что коэффициенты влияния р“ определяются проще.
12 ю. И. Работнов
Заметим, что, по существу, нумеровать от единицы до п нужно не грузы, а степени свободы системы. Поэтому, например, желая решить задачу о колебаниях изображенной на рис. 6.1.1 рамы с грузом конечных размеров на конце, мы обозначим цифрами 1, 2 и 3 степени свободы, соответствующие горизонтальному пе
ремещению, вертикальному пе- -j ремещению и повороту. Соот- 2 ветственно 7nl = m2 представляет собою массу груза, тогда как тпз есть его момент инерции, 〃1 и 辽2 ——это линейные перемещения, тогда как 〃з — угол поворота. Строя эпюры моментов от изображенных
единичных сил и единичного момента и применяя графоаналитический способ вычисления интеграла Мора, найдем необходимые для составления уравнений движения коэффициенты влияния 伝刀
В технике возмущающие силы бывают известны довольно редко, обычно задана только частота возмущающих сил и задача расчета сводится к определению собственных частот свободных колебаний с целью выявления возможности резонанса. Поэтому мы положим в уравнениях движения Qi = 0 и будем искать решение в виде Ui = Oi sin cot В результате подстановки этого вы
ражения в уравнение движения получим
@ — со2 2 ^ij^ijaj = 0 (6.1.5) или
0)2加；仰一2djaj = 0. (6.1.6)
Будем отправляться для определенности от уравнений (6.1.5), хотя те же результаты можно получить, если использовать уравнения в форме (6.1.6).
Рассматриваемая система — это система п линейных однородных уравнений для п неизвестных аь а2,・・•, "п амплитуд свободных колебаний системы. При произвольных значениях со существует лишь тривиальное решение: «1 = а2 = ... = ап = 0. Условие существования нетривиального решения состоит в равенстве нулю определителя системы
1
。127n2• •
1
•61nmn
=0. (6.1.7)
Pmmi
Pn2m2* * *
1
-^г + ₽пптп
Уравнение (6.1.7) представляет собою уравнение степени п относительно со2, которое имеет п корней, каждый из которых определяет собственную частоту системы. Таким образом, упругая система имеет столько собственных частот колебаний, сколько у нее степеней свободы.
Мы будем предполагать, что все корни уравнения (6.1.7) различны. Действительно, корни могут быть равными только тогда, когда коэффициенты податливости и массы грузов принимают совершенно определенные значения; достаточно немного изменить массу одного из грузов или жесткость какого-либо элемента системы, как корни станут различными. Таким образом, случай равных корней не может представлять каких-либо качественных особенностей, и нам нет необходимости на нем останавливаться.
Собственные формы колебаний
Условимся нумеровать корни уравнения частот в порядке возрастания, так что Si V со2V. • • V(оп. Если теперь внести в уравнения (6.1.5) или (6.1.6) величину со = соА, эти уравнения будут иметь отличное от нуля решение
Совокупность амплитуд, соответствующих определенной собственной частоте, называется собственной формой колебаний. Очевидно, что собственная форма определяется с точностью до постоянного множителя.
Собственные формы колебаний обладают свойством ортогональности; выбирая соответствующим образом числовой множитель, их можно сделать ортонормированными, так что
2 ^i^i = ^hi- (6.2.1) г
Для доказательства заметим, что уравнения (6.1.5) или (6.1.6) имеют точно такую же структуру как (6.1.1) или (6.1.2). Но теперь, вместо прогибов 辽厶 в них фигурируют амплитуды а^; силы, вызывающие прогибы, равные амплитудам, определяются так: 、
Применим теорему Бетти (см. § 5.3), принимая за первое состоя- ние системы собственную форму с номером 瓦 за второе состоя- ние форму с номером Z. Получим по формуле (5.3.4)
или
破 S ^i«i«i = со? 2 ^i^a^
а так как по предположению coft 耍 coz, это равенство возможно лишь при условии (6.2.1).
До сих пор мы молчаливо предполагали, что все корни уравнения частот ——действительные и положительные числа. Сейчас мы можем это доказать. Действительно, предположим, что(о« — комплексное число. Тогда обязательно найдется второй корень (о* являющийся комплексным сопряженным числом. Амплитуды собственной формы с номером “ будут также комплексными числами вида 或=% + 中;，амплитуды собственной формы с номером Z будут комплексными сопряженными числами а； = а» — ф<$ Подставляя а，瓜 а： в условие (6.2.1), мы получим
N тХа- = S ^i (ai + 闻=0.
Но это равенство невозможно, так как в левой части все слагаемые положительные.
С другой стороны, величина со^, полученная в результате решения уравнения (6.1.7), всегда положительна. Действительно, положим в (6.1.5) &= а?, со =①月,умножим на m^i и просуммируем по индексу г. Получим, опуская верхние индексы,
еN 0n必)(乃出)阮.(6.2.2)
Сумма, стоящая в левой части, равна единице, а сумма в правой части представляет собою удвоенную потенциальную энергию системы, нагруженной силами т&. Но каковы бы ни были силы, энергия всегда положительна, поэтому двойная сумма в правой части положительна при любых значениях амплитуд а：. Поэтому со| также необходимым образом должно быть положительно.
Пример. Балка на двух опорах длиной 4Z несет три одинаковые массы, расположенные на равных расстояниях между собою и от опор (рис. 6.2.1).
Прежде всего строим эпюры моментов от единичных сил и находим коэффициенты влияния по способу § 5.3
成 ％ = Е/Взз = т Q* Е/%2 = Е 邛 23 = 41 Q*
硏22 =等。久"邛13 =%/.
Запишем матрицу коэффициентов влияния следующим образом:
闻一收修"卜备
〜12Е/ 1
Обозначим о- -о- = z. та со
Рис. 6.2.2Рис. 6.2.2
Рис. 6.2.2
Рис. 6.2.2
Уравнение частот (6.1.7) примет следующий вид:
9 —z 117
И 16 — z 11= 0.
7119 —z
Раскрыв определитель, получим следующее кубическое уравнение: %з __ 34z2 + 78z — 28 = 0.
Корни этого уравнения = 31,56, z2 = 2, z3 = 0,444. Соответствующие частоты
% =0,617]/為吗= 2,45 |/ 焉％ = 5,19 |/善
Уравнения для амплитуд собственных форм колебаний будут такие: «г (9 — z) + @2・11 + “з・7 = О, aril + &• (£6 — z) + 〃з・11 = О, "i，7 + 出力1 +Q3，(9 — z) = 0.
Здесь нужно последовательно принимать z = zi, z = z2, z = z3. Фак
тически всегда приходится рассматривать только два уравнения, в данном
случае можно взять первое и второе. Одна из амплитуд может быть задана по произволу. Примем, например, @з = 1 во всех случаях. Получим
"； = '，W = 1囹6, Д W = 3
〃；=—1, “； = 0,〃； = 1#
а® = 1,吗=—1,416, а|= 1.
Выполнение условий ортогональности легко проверяется. Амплитуды каждой из собственных форм можно умножить на
любое число; подберем в каждом случае это число так, чтобы было выполнено условие нормирования. Нормированные собственные формы колебаний будут следующие:
1 0,500 1 0,708 1 0,500
0,708
Q 0,500 Q 0,708 а 0,500
На рис. 6.2.2 изображены найденные собственные формы колебаний.
Главные координаты
Рассмотрим произвольную конфигурацию упругой системы с сосредоточенными грузами, имеющей п степеней свободы. Эта конфигурация может соответствовать деформированному состоянию от действия произвольной системы внешних сип, может быть некоторой мгновенной конфигурацией, принимаемой системой в процессе движения, вызванного любыми силами при произвольных начальных условиях. Задать такую конфигурацию — это значит задать п перемещений аъ а2, . • •, ап. Эти величины мы будем называть координатами системы. По определению п координат системы произвольны и независимы между собой. Но для того чтобы задать положение системы, существуют и другие возможности, любые п чисел, однозначно определяющих конфигурацию, могут быть приняты за координаты. В частности, за координаты можно принять произвольные линейные комбинации из величин ая, лишь бы они были независимы. Предположим, что собственные формы колебаний системы известны. Введем координаты и,, соответствующие данной конфигурации, следующим образом:
& =或五后.(6.3.1)
Для того чтобы показать законность выбора величин щ в качестве координат, нужно убедиться в том, что из уравнений (6.3.1) величины uh определяются единственным образом. Свойство ортогональности собственных форм колебаний позволяет очень просто решить уравнение (6.3.1) относительно иА.
Для этого умножим уравнение (6.3.1) на 7nd и просуммируем по индексу Z. Получим
2 ^iaiA = Е т^а^и^
Заменим в двойной сумме порядок суммирования. В силу условий ортогональности и нормирования те суммы по 厶 которые относятся к неравным между собой А: и s, обратятся в нули, при s — к соответствующая сумма равна единице. В результате из всей двойной суммы останется один только член ue и мы получим
% =工 Qa 就.(6.3.2)
i
Введенные таким образом координаты и. называются главными координатами системы.
Рассмотрим простой пример, в котором свойство ортогон альности собственных форм принимает наглядный смысл и введение главных координат становится естественным. Изображенная на рис. 6.3.1 рама несет груз на конце. Матрица коэффициентов влияния в этом случае будет такой:
|з ；卜若•
6Е/ 1 -.
Положим z =зо* Уравнение частот будет следующим: тег со
z2—i0z + 7 = 0.
Корни его zi = 9,24, z? = 0,76. Нормированные главные формы колебаний определяются величинами
1/^1/^
1/^
1/^
или
44cos аcos атт1 cos а? sin а“2 =、7^，1 cos а? sin а“2 =、7^，а = 22。31’.а = 22。31’.
4
4
cos а
cos а
т
т
1 cos а
? sin а“2 =、7^，
1 cos а
? sin а“2 =、7^，
а = 22。31’.
а = 22。31’.
Если через центр груза провести оси координат — горизонтальную ось 重1 и вертикальную ось x2i величины а；, а^ и 〃；, 〃: будут компонентами по ОСЯМ 土1 И ±2 двух векторов «1 и «2 (рис. 6.3.1).
Ортогональность собственных форм колебаний нужно понимать в этом случае буквально как ортогональность соответствующих векторов.
Рис. 6.3.1Рис. 6.3.1
Рис. 6.3.1
Рис. 6.3.1
Направим оси координат 〃〔 и 〃2 по векторам, соответствующим собственным формам колебаний. Для рассмотрения динамики системы оси координат wi и 〃2 более естественны, чем случайно выбранные оси координат *1 у 2； по оси ui происходят колебания с частотой g)i, по оси и2— с частотой ®* Произвольные колебательные движения груза естественно представлять
как результат наложения колебаний с двумя разными частотами в двух главных направлениях.
По формулам (6.3.1) в рассматриваемом случае получаем
uj = pm(“1 sin а + “2 cos а), и2 = У"(—“i cos а + д2 sin а).
Это не что иное, как формулы преобразования координат при переходе от осей /1, /2 к осям 〃力 u2； значит, главные координаты системы ——это составляющие вектора перемещения по осям щ и “2, умноженные на постоянную величину Ут.
В общем случае произвольной упругой системы главные координаты не находят такого простого и наглядного истолкования, если не прибегать к геометрической интерпретации при помощи многомерного пространства. Однако значение их полностью сохраняется.
Формула и способ Рэлея
тона, непользуясьтона, непользуясьОпределение собственных частот колебаний упругой системы становится чрезвычайно затруднительным тогда, когда число степеней свободы велико и уравнение частот имеет высокий порядок. Уже раскрытие определителя требует большого труда, не говоря о нахождении корней уравнения частот. В то же время для приложений часто бывает достаточно знать наименьшую первую частоту, так называемую частоту основного一
тона, непользуясь
тона, непользуясь
можно найти с достаточной для практики точностью, приближенным методом Рэлея.
Выпишем уравнения (6.1.6)
(£?т^ — 2 с 灯句=0.
индексу 力индексу 力(6.4.1)(6.4.1)Умножим каждое из них на © и просуммируем по после чего найдем со2 из получившегося уравнения
индексу 力
индексу 力
(6.4.1)
(6.4.1)
Если 仰=а?, то по формуле (6.4.1) мы получим для о2 точное значение 碇；если ⑷一произвольное число, то для о2 по этой формуле получится некоторая величина, вообще говоря, не являющаяся частотой каких-либо колебаний системы.
Представим теперь произвольную конфигурацию системы разложением ее по собственным формам:北 ^ d〃耳・ Внесем это выражение в числитель формулы (6.4.1). Получим
Переменим порядок суммирования, выделив сначала сумму С"〃；・ По формуле (6.1.6) эта сумма равна а^т^ Теперь мы
можем выделить сумму £ тп^а：。，= 3§冗・ Таким образом, мы получим
2 С万a网=｛就琉.
Преобразуем теперь знаменатель формулы (6.4.1)
2叫城=2 m欣嶼^.
Меняя опять порядок суммирования, найдем
Таким образом, формула (6.4.1) может быть переписана так:Таким образом, формула (6.4.1) может быть переписана так:
Таким образом, формула (6.4.1) может быть переписана так:
Таким образом, формула (6.4.1) может быть переписана так:
Так как g V ①2 V …V ①九，то каждый член числителя больше соответствующего члена знаменателя, и мы получаем неравенство со2 > g)i или же
①：胃二 (642)
где а» ——произвольные числа. Знак равенства возможен только тогда, когда 〃2 = ^з = • •.=辽九=0, т. е. конфигурация системы в точности соответствует первой собственной форме.
Неравенство, устанавливаемое формулой (6.4.2), и является содержанием теоремы Рэлея.
Задаваясь совокупностью амплитуд ай которая, на наш взгляд, близка к первой собственной форме колебаний, мы находим по формуле (6.4.2) приближенное значение квадрата первой собственной частоты, представляющее собою верхнюю оценку. Заметим, что числитель в формуле (6.4.2) представляет собою удвоенную потенциальную энергию системы при перемещениях 。為 знаменатель же представляет удвоенную кинетическую энергию, вычисленную в предположении, что скорости равны перемещениям. Особенно простым становится применение этой формулы тогда, когда совокупность величин а» представлена как совокупность перемещений от действующих на систему сил Q8. Тогда потенциальную энергию можно вычислить по теореме Клапейрона. Обозначая перемещение от сил Q8 через ь§, перепишем
формулу Рэлея следующим образом:
(6.4.3)(6.4.3)_ Q V
(6.4.3)
(6.4.3)
В числителе суммирование идет по тем точкам, где приложены силы, в знаменателе ——по точкам, где сосредоточены грузы.
Обратимся к примеру § 6.2 и вычислим для рассмотренной там системы первую частоту свободных колебаний приближенно, по формуле Рэлея. Сначала зададимся формой кривой прогиба, соответствующей одной силе Q, приложенной посередине. При этом
11 0庐16 0庐
WITH，% =
По формуле (6.4.3)
喏 V /&；：什唠="386 昌，％ V 0,622 / 等
Отличие от точного решения coi = 0,617¥Е〃(тп“з) составляет всего 0,8%.
Если взять за форму прогиба упругую линию балки, нагруженной тремя одинаковыми силами в точках 1, 2, 3, т. е. статическую кривую прогиба балки от собственного веса, то три знака приближенного решения совпадают с точным.
§ 6・5・ Нижние оценки для частоты основного тона
При рассмотрении определителя (6.1.7) коэффициент при неизвестной 1/о)2 в старшей степени, а именно в степени 明 равен (—1)п. Легко сообразить, чему будет равен следующий коэффициент при (l/w2)71'1. Если раскрыть определитель по элементам первого столбца или первой строки, то
/ 1 \П—1
мы обязательно получим член ^^! ("^2 I (—()n~i, но аналогичные члены получаются при раскрытии определителя по элементам любой другой строки или столбца. Поэтому если уравнение частот имеет вид
п+ Л1п+ Л1/ 1 \П-1/ 1 \П-1
п
+ Л1
п
+ Л1
/ 1 \П-1
/ 1 \П-1
то
4 = —(PlI^I + 022加2 + • . . + fnn^n) •
С другой стороны, коэффициент при втором по старшенству члене в алгебраическом уравнении равен сумме корней его с обратным знаком
Отсюда
专=В1№ + 脇％ +•••+ Рпп^п -(方+靑 Т
Выражение, заключенное в скобки, всегда положительно, поэтому справедливо неравенство”
1
(6.5.1)(6.5.1)磷-V Bn% + Р22тп2 +...+ 隘1f.
(6.5.1)
(6.5.1)
Рассматривая пример в § 6.2, мы убедились, что собственные частоты довольно сильно разнятся по величине, поэтому формула (6.5.1) может быть использована для приближенного определения первой собственной частоты.
Обращаясь к числовым данным зшомянутого примера, получим
1," , 、^庐 17 тс?EI
-^<(9 + 16 + 9)-^%>°，5%|/肃.
Полученная нижняя граница отличается от точного значения на 3,74%. (формула (6.5.1) (со знаком равенства вместо неравенства) была получена из эксперимента Данкерли в середине прошлого столетия.
Нижнюю оценку (6.5.1) можно как угодно улучшить, применив следующий прием. По формулам (6.1.5), меняя индексы, получим а；=①2Msиг$а§. Внесем это выражение в (6.1.5). В результате придем к следующей линейной однородной системе, которая совершенно эквивалентна исходной
% —公 W ^jsmjmsas = °- (6・5・2)
Составляя определитель системы (6.5.2), получим уравнение частот, подобное (6.1.7), но содержащее уже не квадраты собственных частот, а их четвертые степени. Повторяя буквально приведенные выше рассуждения, найдем
$ V吃•勺% +时严严2 +… (6・5・3)
Неравенство (6.5.3) более сильное чем (6.5.1), потому что сумма 1/(о^ + 1/^3 + • • • меньше по сравнению с величиной l/<oj, чем аналогичная сумма обратных квадратов частот по сравнению с £/со；・ Обращаясь к тому же примеру, находим
1 / тс?
VS*。VS*。_<(121 + 256 + 121)^
VS*。
VS*。
отсюда % > 0,615отсюда % > 0,615Теперь разница с точным решением составля
отсюда % > 0,615
отсюда % > 0,615
ет всего 0,32%.
Очевидно, что аналогичным образом, вместо (6.5.2), можно получить уравнение, содержащее шестые, восьмые и вообще любые четные степени з; таким образом, точность нижней оценки можно неограниченно увеличивать.
§ 6・6・ Продольные колебания стержней
Перейдем теперь к изучению колебаний систем с непрерывным распределением масс. Простейшим примером здесь может служить задача о продольных колебаниях стержня постоянного поперечного сечения. На рис. 6.6.1 показан элемент стержня, который в недеформированном состоянии был заключен между сечениями тп т pq с координатами х и x + dx соответственно. Фиксируя некоторый момент времени t, когда сечение тп занимает положение т'п/、сечение pq ——положение p'q', обозначим перемещение левого сечения, первоначальная координата которого была 力,через и. Смещение и является функцией двух переменных ——времени t и координаты в недеформированном состоянии 力，поэтому смещение сечения с координатой х + dx будет
〃 + |^d/・ На том же рис. 6.6.1 изображен элемент m'n'p'q' отдельно. Обозначим напряжение, действующее в сечении mW, через а, тогда напряжение, действующее в сечении р‘q‘, будет o+f^d%. Н。изображенный элемент находится в движении, его ускорение равно d2u/df1 масса pF dx, где р — плотность, F — площадь поперечного сечения. Составим уравнение движения этого элемента
Но по закону Гука о = Ее, относительная деформация элемент! — тр ди
тртрта е=—=石；внося это в уравнение движения и сокра-
тр
тр
(6.6.1)(6.6.1)щая на F dx, получим
(6.6.1)
(6.6.1)
F — С『=0・
Здесь с = V£/p.
Обращаясь к § 2.10, заметим, что с есть скорость распространения продольной упругой волны.
Дифференциальное уравнение (6.6.1) называется волновым всевозможные динамические процессы. в стержне, распространение волн, а также колебания.
В § 2.10 мы рассмотрели вопрос о распространении волн, не прибегая к дифференциальному уравнению, сейчас мы имеем возможность получить те же результаты иным путем. Действительно, уравнению (6.6.1) мы удовлетворим, положив 北=/(力土力/с), где / — произвольная дважды дифференцируемая функция. Но движение, описываемое найденным решением, представляет собою распространение волн со скоростью
с. Общее решение уравнения (6.6.1), принадлежащее Даламберу, имеет следующий вид:
и = /1 (% —卷丿 + % (% + 子｝(6.6.2)
Два слагаемых представляют собой две волны, бегущие с одинаковою скоростью в противоположных направлениях.
Хотя решение (6.6.2) является совершенно общим в том смысле, что любые движения стержня могут быть представлены
таким образом, при изучении установившихся колебаний оно неудобно, оно не позволяет простым способом обнаружить собственные частоты колебаний. Метод, который мы применим для решения задач о колебаниях, называется методом разделения переменных или методом Фурье. Заметим прежде всего, что уравнение (6.6.1) линейно и его решения обладают следующими очевидными свойствами:
Частное решение уравнения (6.6.1), умноженное на произвольную постоянную, представляет опять решение этого уравнения.
Сумма двух (а следовательно, любого числа) частных решений есть решение.
Будем теперь искать частные решения уравнения (6.6.1)' в виде произведения двух функций 7(方)и Х(/)
u = T(t)X(x).(6.6.3)
Подставим указанное выражение для и в уравнение (6.6.1):
ТХ-НТХ" =6
Здесь точки обозначают дифференцирование по времени, штрихи —дифференцирование по координате.
Разделение переменных состоит в том, что уравнение это записывают следующим образом:
Т с?Х〃 2亍== — (О ・
Первый член представляет собою функцию только времени t, второй член ——функцию только координаты %, равенство возможно только в том случае, если каждая из этих функций постоянная. Таким образом, со2 ——постоянная величина. Для функций 7(力)и Х(/) получаются следующие, уже обыкновенные, дифференциальные уравнения:
Г+со2Т = О?(6・6・4)
Х〃+^Х = 0・(6.6.5)
Общий интеграл первого уравнения
Т = Л sinco^ + B cos(of.
Отсюда видно, что со представляет собою круговую частоту свободных колебаний. Осталось определить функцию Х(/)・ Общий интеграл уравнения (6.6.5)
X = J sin * + С2 cos 詈.(6.6.6)
При определении констант этого уравнения из граничных условий мы сталкиваемся с тем же положением, что и при репрении задачи устойчивости. При однородных граничных уело-
виях для определения констант & и С2 получается система однородных уравнений, имеющая тривиальное нулевое решение. Нетривиальное решение существует только при определенных значениях со, которые и являются собственными частотами.
Прежде чем перейти к примеру, выясним возможные виды граничных условий:
Закрепленный конец,兄=0 при любом 力 следовательно, Х = 0.
Свободный конец, а = 0, следовательно, е = ди/дх = 0, а так как 7(方)вообще не равно нулю, то X，= 0.
На конце прикреплен груз массы М. Применяя принцип Даламбера, приравняем силу инерции груза внутренней силе в концевом сечении:
дгd力
ИЛИ
— MTX = EFTXf.
Исключим отсюда 个 с помощью уравнения (6.6.4) и сократим на общий множитель 7(方).Получим
В качестве примера рассмотрим задачу о колебаниях стержня длиной Z, один конец которого закреплен, а на другом имеется груз массой М (рис. 6.6.2).
0.0.sZ М со .sZ М со .Помещая начало координат в точке / = 0, находим сразу, что постоянная С2 в уравнении (6.6.6) равна нулю. Подставляя значение X = =Cisin(s//c) в граничное условие на конце х — I, где прикреплен груз, находим
0.
0.
sZ М со .
sZ М со .
Если Ci = 0, никаких колебаний нет, колебания возникают только тогда, когда обращается в нуль выражение, заключенное в скобки. Обозначим
^ерез т массу стержня, т = р尸2. Тогда уравнение для нахождения со примет следующий вид:
sZ sZsZ sZтт(6.6.7)(6.6.7)
sZ sZ
sZ sZ
т
т
(6.6.7)
(6.6.7)
Это трансцендентное уравнение имеет бесчисленное множество корней, число собственных частот системы бесконечно велико. Графическое определение корней производится так, как показано на рис. 6.6.3; значения ®1]с, удовлетворяющие уравнению (6.6.7), являются абсциссами точек пересече- т sZ
ния кривой у = tg (①〃с) и гиперболы
При весьма больших значениях со〃с гипербола проходит очень близко к горизонтальной оси, и абсциссы точек пересечения гиперболы с тангенсоидой лишь очень немного отличаются от пл. Поэтому для высоких частот получается асимптотическая формула
(6.6.8)
При достаточно большом п собственная частота, определяемая приближенной формулой (6.6.8), сколь угодно мало отличается от ее точного значения.
Собственную частоту основного тона мы вычислим в предположении, что масса стержня мала по сравнению с массой груза. Тогда (о〃с ——малая величина и уравнение (6.6.7) в первом приближении можно записать следующим образом:
После очевидных преобразований отсюда следует: о = YEF[(IM). Но такое значение собственной частоты мы получили бы, рассматривая колебания системы с одной степенью свободы, а именно стержня, лишенного массы и несущего на конце массу М. Чтобы приближенно учесть массу стержня, удержим в уравнении (6.6.7) не один, а два члена разложения тангенса, а именно положим
Уравнение принимает вид
5"»/ ©Zт] / "EF
Его приближенное решение (^―丿=〃十方/彳・ Отсюда <о= у 7(“ 十五/З)”
Распространение продольных волн
Элементарное рассмотрение задачи о распространении прямой волны в стержне было дано в § 2.10. Там было показано, что зависимость напряжения от времени, заданная в начальном се* тении / = 0, будет повторяться во всех сечениях стержня со сдвигом по времени на величину %/с, где х — расстояние сечения от конца. С другой стороны, распределение напряжений по длине
стержня в любой фиксированный момент t повторяет в соответствующем масштабе функцию времени о (0,力).Первый член в решении Даламбера (6.6.2) представляет собою такую прямую волну; перемещение 辽(0,力) = /(%), заданное на конце, повторяется в любом сечении х со сдвигом по времени. Но решение Даламбера содержит второй член ——обратную волну. Эти обратные волны появляются в стержнях конечной длины в результате отражения от другого конца стержня. Для решения задач такого
Рис. 6.7.1Рис. 6.7.1рода применяется метод характеристик. По классификации, принятой в теории дифференциальных уравнений, уравнение продольных колебаний (6.6.1) относится к гиперболическому типу; характерная особенность гиперболических уравнений со- стоит как раз в том, что для них существуют решения типа волн.
Рис. 6.7.1
Рис. 6.7.1
Определим из (6.6.2) скорости V = du/dt и деформации
е = ди/дх. Заметим, что по закону Гука е = g/Е, поэтому вместо естественного условия, когда на конце стержня приложена сила Р и, следовательно, напряжение равно P/F, можно говорить о том, что на конце задана деформация е. Дифференцируя (6.6.2), получим
Умножим второе соотношение на с, после чего сложим и вычтем получившиеся уравнения. Найдем
v + се = 2gz (^), и — се = 2/'(п)・(6.7.1)
Здесь принято ^ = ^ + х/с, т] = t — х/с.
Величины ^ и т] называются характеристическими координатами, а линии Е = const и 刀=const в плоскости 力，力——характеристиками. Будем называть линию 自(刀=const) положительной характеристикой, линию т] (g = const)——отрицательной характеристикой. Предположим теперь, что в двух точках плоскости %, t (точки р и q на рис. 6.7.1) заданы значения рр, ер, pg, eq. Проведем через точку р положительную характеристику n = const, через q отрицательную характеристику Е = const. Вдоль положительной характеристики постоянна разность d — се, вдоль
Db + с% =。2 + Св2,Db + с% =。2 + Св2,% ——с% = ^2 — се2.% ——с% = ^2 — се2.(6.7.3)(6.7.3)
Db + с% =。2 + Св2,
Db + с% =。2 + Св2,
% ——с% = ^2 — се2.
% ——с% = ^2 — се2.
(6.7.3)
(6.7.3)
отрицательной — сумма у + се. Таким образом, vm 一 сет =办一еер, % + сет =方 + с%・(6.7.2)'
Из уравнения (6.7.2) находятся значения скорости и деформации в точке т, рт и ет. Уравнения (6.7.2) и служат основой метода характеристик для решения уравнения продольных колебаний при заданных начальных и граничных условиях.
Рассмотрим задачу о стержне конечной длины Z, одному концу которого внезапно сообщаем скорость V, которая поддерживается далее постоянной. Картину распространения волн удобно рассматривать в плоскости 瑞 t, как показано на рис. 6.7.2. Вся эта картина расположится в полосе ширины Z. Правый конец можно считать либо свободным, ли-“
бо неподвижно закрепленным. Разберем оба эти случая. На рис. 6.7.2 проведены характеристики g и % которые разбивают полосу на треугольники. Основания этих треугольников занумерованы, при этом отрезки на оси % = 0 нумеруются четными цифрами, а на оси х = I — нечетными. Сами треугольники обозначены буквами а, &, с, ..., отрезок t = 0, % 三(О, I] отмечен индексом 0. Точки, принадлежащие соответствующим отрезкам или областям, мы будем отмечать теми же индексами.
Конец х = I свободен. На оси х = I о = 0, следовательно, е0 = ei = е3 = ... = 0. При х = =0, р2 = ^4 = ^6 =…=Р. На отрезке оси с £ = 0, с 三(0, %], ° = 0, е = 0.
Проведем характеристику положительного направления 01. На ней постоянна разность v ——се, значит Р{ — се〔 = %)— с%. Но ^о = ^о — 0, е【=0, значит pi = 0.
Любая внутренняя точка области а соединяется двумя характеристиками либо с отрезком 0, либо с отрезком 2, где и = 0, е = 0. Поэтому иа = 0, еа = 0. Отрезок 2 соединяется отрицательной характеристикой либо с отрезком 0, либо с отрезком 2, на каждом из этих отрезков d = 0, е = 0, поэтому а + се2 = 0, отсюда е? = —V/c.
Любая точка области b соединяется двумя характеристиками с отрезком 2, поэтому
Отсюда следует ьь = у2, еь — е2.
Установленное правило носит совершенно общий характер; если на отрезке вертикальной оси скорость и деформация сохраняют постоянные значения, то в треугольнике, ограниченном характеристиками, проходящими через крайние точки этого отрезка, скорость и деформация сохраняют те же значения. Вообще, если на отрезке 2 заданы переменные значения скорости и деформации, в правых частях уравнений (6.7.3) будут фигурировать разные значения vz и е?, соответствующие тем точкам, из которых выходят характеристики. Но решение внутри треугольника, ограниченного характеристиками, полностью определяется заданием функций и(£), e(t) на отрезке 2, оно не зависит ни от предшествующей истории, ни от дальнейшего изменения этих функций. Это свойство характеризует гиперболические уравнения или гиперболические системы.
После сделанного замечания нам будет достаточно соединять характеристиками положительного и отрицательного направления попеременно отрезки линии х = 0их = /, а именно:
13 ю. н. Работнов
на линии 2—3:方=а — се2 = 2匕 ез = О,
на линии 3—4: V + се4 = v3 + сез = 2匕 е4 = V]c,
на линии 4——5: р5 = р4 — се4 = 0.
Итак, в треугольниках а, Ь, с,…скорости п деформации чередуются следующим образом:
а& cde/ ...
d 0卩 2Р Р ОV ...
°-т °°-т °Т°Т°卩т卩т
°-т °
°-т °
Т°
Т°
卩
т
卩
т
В треугольнике е будет состояние покоя, так же как в треугольнике а, поэтому в следующих треугольниках состояния чередуются в той же последовательности. ,
Конец х = I неподвижно закреплен^ ь = 0. На участках 0, I, 2, а следовательно, в треугольниках л и & состояние будет тем же, что и в предыдущем случае. Составляя условие на характеристики 2——3, найдем, что на отрезке 3, а следовательно, и в треугольнике с имеем —сес = 2匕 ес = =—2U/c.
Заметим, что совершенно безразлично, сообщена ли концу % = 0 скорость 匕 или к нему приложено внезапно напряжение о = —Ее2 = —EV/c. При отражении от закрепленного конца, как мы установили, значение при> ложепного напряжения удваивается. Дальнейший анализ производится точно таким же способом, как и в первой задаче, мы остановимся на первом отражении от закрепленного конца.
dVМ - EFe = 0.dVМ - EFe = 0.По концу стержня % = 0 производится удар грузом М, движущимся со скоростью V. Противоположный конец стержня х — I неподвижно закреплен. После соударения груз будет двигаться замедленно, уравнение движения его можно записать так:
dV
М - EFe = 0.
dV
М - EFe = 0.
(6.7.4)
Обозначим время прохождения длины стержня упругой волной через т, т = 1/с. При t V 2т, пока отраженная волна еще не возвратилась на конец 力=0? на этом конце выполняется условие е =——V]c. Через V(t) мы будем обозначать скорость и (0,力 равную скорости груза. Перепишем уравнение движения груза следующим образом:
dV m dV ц
M— — се = 0 или +彳 V = 0,方 w [0, 2т]. (6.7.5)
Здесь ц = ?IF]M ——отношение массы стержня к массе груза.
Интеграл уравнения (6.7.5), действительный в указанном интервале и удовлетворяющий условию 7(0) = %, есть
Скорость убывает экспоненциально, деформация или напряжение на конце также убывают экспоненцпальпо до тех пор, пока не придет отраженная волна.
В промежутке времени 力巨(2т, 4т] мы оказываемся на участке 4 диаграммы рис. 6.7.2. На участке 3, как мы уже выяснили, и = 0, е = —2и/с, где величина v соответствует точке отрезка 2, лежащей на соответствующей характеристике. Наша задача состоит в определении движения для момента f, соответствующего точке D участка 4 оси ординат на рис. 6.7.2, поэтому скорость в точке В должна быть отнесена к моменту t ——2т,
следовательно, в точке С
2
e =-工厂 (上一2T).
Составляя условие на характеристике DC, получим
7(0 +се(0 = -2?(大-2工).
Итак
'се (0 == —V⑴—2V(£ —2т).(6.7.7)
Вставляя в уравнение движения выражение (6.7.7) для се(£) и заменяя V(t — 2т) по формуле (6.7.6), получим следующее уравнение:
dV Нс 卩/ Е — 2吟
Интеграл его, удовлетворяющий начальному условию 7(0) = Vo, есть
V = % екр (一卩 /)-芈 〃 一2t) exp (一卩上产)}(6.7.8)
Теперь по формуле (6.7.7) можно вычислить деформацию в месте контакта с ударяющей массой, пропорциональную силе давления груза на стержень,
се (t) = — % exp (―卩 f) [1 + 2 exp 2卩，一卩三^济(6.7.9)
Это решение сохраняет силу до тех пор, пока деформация e(t) не изменит знака. Приравнивая нулю е(», определяемое формулой (6.7.9), получим следующее выражение для соответствующего момента времени t:
* = 1 + * [2 + exp (- 2卩)].
Для того чтобы отделение груза от стержня произошло именно в интервале 力 w (2т, 4т), необходимо, чтобы было
pi》0,584.
При большей массе груза следует продолжить анализ, рассмотрев интервалы (4т, 6т), (6т, 8т) и т. д.
Динамический изгиб стержней
При составлении дифференциального уравнения динамического изгиба стержня мы будем отправляться от дифференциального уравнения изогнутой оси балки, записанного в форме (3.8.5)
ME察)=g(z,t).(6.84)
Единственное различие между уравнениями (3.8.5) и (6.8.1) состоит в том, что в последнем уравнении употреблен символ частной производной по координате. Теперь, рассматривая динамические задачи, мы должны считать, что прогиб и есть функция Двух переменных — координаты z и времени 九 Уравнение (6.8.1) получено для случая равновесия балки, но его можно применить к случаю движения, воспользовавшись принципом Даламбера. 13*
Нагрузка q(z, t) должна включать в себя силы инерции. Ускорение элемента балки в сечении с координатой z есть ~^, сила инерции элемента длиной dz равна ——р歹dz—^; таким образом, dt
сила инерции на единицу длины
q=一吟.
Рассматривая только свободные колебания балки, когда возмущающая сила отсутствует, мы внесем это выражение q в уравнение движения (6.8.1) и получим следующее дифференциальное уравнение:
%3春)+Р歹土°♦(6.8.2)
Уравнение поперечных колебаний в отличие от уравнения продольных колебаний уже не гиперболическое, задачи о распространении поперечных волн носят совершенно иной характер, чем задачи о продольных волнах. Решение типа распространяющейся волны для уравнения (6.8.2) существует не для любой функции /(力一z/c), а например, для функции такого вида:
V = sin (о в——^).
Скорость поперечной волны с найдется, если подставить это выражение в (6.8.2), а именно (при Е1Х = const):
4
Как видно, скорость распространения поперечной волны неограниченно растет с увеличением частоты со. Но произвольно заданное начального возмущения вообще может быть разложено в ряд Фурье, содержащий члены со сколь угодно высокими частотами; таким образом, существуют возмущения, которые распространяются мгновенно.
На этот результат нужно смотреть как на дефект уравнения (6.8.2), пригодного лишь для достаточно длинных волн. Если волны короткие, то, кроме инерции поступательного движения, следует учитывать инерцию вращения, а также влияние на прогиб не только нормальных напряжений, но также и касательных напряжений от перерезывающих сил.
Учтя эти факты, можно получить уточненное уравнение динамического изгиба, которое является гиперболическим и не допускает мгновенного распространения импульсов.
Возвращаясь к уравнению (6.8.2), применим к нему метод разделения переменных, положив u(z,方)=Т(力)Z(z)・ Получим T (EIxZf/),z + pFTZ = 0. Здесь точки обозначают дифференцирование по времени, штрихи ——дифференцирование по координате. Перепишем это уравнение следующим образом:
尸一p^Z•
Повторяя рассуждения, проведенные в аналогичном случае применительно к продольным колебаниям, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения
7 + 炉？ = °,(e/,z〃)〃 一 WpFZ = 0.(6・8・3)
Первое уравнение показывает, что о есть частота свободных колебаний балки. Интегрируя второе уравнение и составляя граничные условия для определения констант, мы убеждаемся, что эти константы не все равны нулю тогда, когда s принимает определенные значения, являющиеся собственными частотами балки. Условимся нумеровать собственные частоты в порядке возрастания, так что о)1 < со2 < (Оз < ... Каждому значению собственной частоты Sh соответствует собственная форма колебаний ZA(z), удовлетворяющая уравнению (6.8.3) при ①=⑴七 а именно:
(EIxZ^^^pFZh = 0.(6.8.4)
Конечно, собственная форма определена с точностью до постоянного множителя.
Собственные формы колебаний обладают свойством ортого< нальности, которое совершенно аналогично свойству, доказанное му в § 6.2 для системы с конечным числом степеней свободы. Если Zh и Z/ ——две собственные формы колебаний, соответствующие разным собственным частотам s^ и О/, то
г
J pFZkZtdz = 0.(6.8.5)
о
Для доказательства заметим, что уравнение (6.8.4) может быть истолковано как уравнение статического изгиба балки распределенной нагрузкой 乌丽 интенсивность которой равна 磕pFZ» Точно так же Zt представляет собой статический прогиб балки от распределенной нагрузки 公=sppPZ/. Применим к этим двум состояниям балки теорему Бетти:
гI
J Zr (z) 9/ (z) dz = ^ Zi(2)Qh (z) dz9(6.8.6)
оо
внеся сюда значения qk и ^, получим
(6.8.7)(6.8.7)со打 pFZhZidz =碇 J pFZiZhdz.оо
(6.8.7)
(6.8.7)
Так как ①儿=/=(0八 это равенство возможно только при выполнении условия (6.8.5).
Для определенности будем нормировать собственные формы колебаний, выбирая постоянный множитель таким образом, чтобы было
J pFZ^dz = 1.(6.8.8)
о
Аналогично тому как произвольная конфигурация системы с конечным числом степеней свободы представляется через собственные формы (§ 6.2), упругая линия балки всегда может быть представлена в виде ряда по собственным формам ее колебаний.
Пусть u(z) есть некоторая функция, представляющая собою прогиб балки под действием нагрузки q(z). Функция u(z) удовлетворяет дифференциальному уравнению изгиба
(后厶/)〃==小
Представим u(z) в виде бесконечного ряда
и (z) = £ Zh (z) ид.(6.8.9)
Внесем этот ряд в дифференциальное уравнение
^ик(Е1хг^г =
Воспользуемся теперь дифференциальным уравнением (6.8.4), чтобы исключить производные от функций ZA. Получим
S uk^kpFZk = g.
ооZ/ dz・Z/ dz・Умножим обе части этого равенства на Z( и проинтегрируем по длине балки. В силу условия ортогональности от ряда в левой части останется только один член с индексом Z, в силу условия нормирования этот член будет
о
о
Z/ dz・
Z/ dz・
Таким образом,
(6.8.10)
Разложение функции u(z) в ряд по функциям Z也(z) представляет собою в известном смысле обобщение разложения Фурье
по тригонометрическим функциям. Если функция d(z) удовлетворяет тем же граничным условиям, что и функция Z^ и четырежды дифференцируема, то ряд (6.8.9) сходится абсолютно и равномерно. Но выполнение названных условий автоматически обеспечивается тем, что u(z) является прогибом от действия нагрузки q(z), причем 5 (z) — интегрируемая функция.
§ 6・9・ Колебания балок постоянного сечения
Если жесткость постоянна, то уравнение (6.8.3) принимает следующий вид:
Для сокращения записи положим 游需=а4. Тогда
ZIV-a4Z = 0.(6.9 ⑴
Корни характеристического уравнения будут 士а и 土%а, поэтому общий интеграл уравнения (6.9.1) имеет вид
Z = Achaz + Bshaz+Ccosaz + D sin az. (6.9.2)
В § 3.9 мы видели, какие преимущества дает использование частных решений с единичной матрицей начальных значений. Эти решения строятся с помощью общего интеграла (6.9.2)
Vx (х) = у (ch х + cos 力)，匕(力)=^ (sh % + sin %),
11
卩3(力)=讶(ch/ —cos n), V\(n) = 0 (she — sin%)・
Легко убедиться в том, что производная по х каждой из последующих функций 匕(/) равна предыдущей функции V\—i(%), причем функции нужно расположить в круговом порядке так, что за функцией У4 следует функция V\・
Итак, общий интеграл уравнения (6.9.2) мы будем записы« вать следующим образом:
Z = G%(az)・(6.9.3)
Рассмотрим теперь несколько примеров.
Балка, лежащая на двух опорах. На каждой опоре равны нулю прогиб и изгибающий момент: Z(0) = О, Z〃(0) = О, Z(Z) = О, Z〃(Z) = 0. Из граничного условия на левом конце при z = 0 сразу следует, что Су = С3 = =0. Действительно, при z = 0 все функции Vk равны нулю, кроме 71 (0), равной единице. Но при двукратном дифференцировании функция 匕 переходит в Pi, следовательно, коэффициенты при Ri и V3 должны обращаться в нуль. Используя остальные граничные условия, мы получим
02%(威)+ a叭(山)=0, C2V4(aZ) + &%(山)=0.
Теперь повторяется обычное рассуждение. Если определитель системы отличен от нуля, то С» = С& = 0, следовательно, никаких колебаний не происходит. Если определитель равен нулю, а должно иметь совершенно опре-
деленное значение, а зная а, мы находим собственную частоту системы. Условие равенства нулю определителя будет следующим:
吗(由)_若@Z)=0.
Отсюда
%(或)=士г 4(aZ)
и либо sh al = 0, либо sin aZ = 0. Первый случай исключается, так как гиперболический синус не имеет действительных нулей, кроме как в начале координат. Остается вторая возможность
а" — мл (孔—■ 1) 2,...).
Вспоминая, что такое а, находим собственные частоты
产几2
Следует заметить, что собственные частоты растут пропорционально квадрату номера, а не первой его степени, как это было в случае продольных колебаний.
В случае балки, лежащей на двух опорах, использование общего интеграла уравнения колебаний в форме (6.9.3) не очень оправдано; если обратиться к формуле (6.9.2), то видно, что граничным условиям задачи удовлетворяет последний член решения, если принять а = лп/Z. Соответствующая собственная 巾орма
Множитель перед синусом выбран так, чтобы было вьшолнено условие нормирования.
Балка с одним заделанным и другим свободным концом. Помещая начало координат в заделке, получаем следующие граничные условия:
Z(0) = 0, Г(0) = 0, Z〃(Z) = 0, Z”)= 0
(в заделке равны нулю прогиб и угол наклона, на свободном конце изгибающий момент и перерезывающая сила). Из условий в заделке следует, что Ci = С2 = 0, из условии на свободном конце
C3V^al) + a%(就)=0,e3%(由)+ a匕 (或)=0.
Уравнение частот
齊(aZ) — %@Z)頂(砌=0
или
cos aZ ch al = —1.
Приводим шесть первых корней этого уравнения:
aZ = 1,875; 4,694; 7,855; 10,996; 14,137; 17,279.
Балка с двумя свободными концами (z = 0 u z = Z). Граничные условия: Z〃(0) = 0, Z〃‘(0) = О, Z〃(Z) = О, Z〃‘(Z) = 0. Из двух первых граничных условий следует Сз = С4 = 0. Из двух других
©%(*) + &匕(威)=0,G%(aZ) + &匕(也)=0.
Уравнение частот,
吟(％)-% W)頂 W) = Q
илиилиcos 山 ch 山=1.
или
или
Первые корни этого уравнения
國=0; 4,730; 7,853; 10,996; 14,137; 17,279.
Способ Рэлея — Ритца
Способ Рэлея, изложенный в применении к системам с конечным числом степеней свободы, находит применение и для приближенного определения частоты основного тона свободных колебаний балки. Пусть v(z)— прогиб балки под действием нагрузки q(z). Составим выражение
^v(z)q (z) dz
・(6.10.1)
J P尸产(z) dz 0
Правая часть аналогична здесь правой части формулы (6.4.3)* только конечные суммы заменены интегралами. Так как v(z) представляет собою прогиб от нагрузки q(z), эту функцию можно представить в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда
у (z) = £ u^Z^ (z) •
h=l
Преобразуем числитель выражения (6.10.1)
f d (z) q (z) dz = £ Zkq dz = f co縫.
0h=l о&=1
Здесь мы воспользовались формулой (6.8.10). Найдем теперь знаменатель. Нам придется возводить в квадрат ряд для d(z) и интегрировать либо квадраты, либо попарные произведения функций Zh1 умноженные на pF. Принимая во внимание условия ортогональности и нормирования (6.8.5) и (6.8.8), получим
J ⑵ & = £ 唸
Таким образом,
со2 =(6.10.2)
Из этого равенства следует, что формула (6.10.1) определяет частоту свободных колебаний балки oft тогда, когда функция d(z) совпадает с соответствующей собственной формой колебаний.
С другой стороны, формулу (6.10.2) можно переписать следующим образом:
吗+埔(%/%)2+…建+吗+ • • •*
Каждый член числителя, начиная со второго, больше чем соответствующий член знаменателя, поэтому со2 ^(0jt или
I
J у (z) g (z) dz
со?<^•(6.10.3)
J pRi? (z) dz о
При использовании формулы (6.10.3) для приближенного определения частоты основного тона мы должны постараться угадать первую собственную форму колебаний. В качестве таковой для балки на двух опорах, например, можно взять кривую прогиба от собственного веса.
Обращаясь к формуле (6.10.3), заметим, что числитель правой части представляет собою удвоенную потенциальную энергию изгиба балки, прогиб которой выражается функцией v(z), тогда как знаменатель — это удвоенная кинетическая энергия, при вычислении которой скорости заменяются прогибами. Поэтому эту формулу можно переписать в следующем более общем виде:
喈《寵.(6.10.4)
Такая более общая трактовка формулы Рэлея позволяет:
Брать в качестве u(z) функцию, выражающую прогиб балок не только от распределенной нагрузки g(z), но и от сосредоточенных сил Q, в точках z,・ Тогда
2U (и) = J d (z) g (z) dz + 2 Qsv (z$)・
Учитывать не только непрерывно распределенную массу балки, но также сосредоточенные массы 人 в точках z<. Тогда
2Т ® = J p/V (z) dz + ^ 加炉(分)・о'
Задаваться функцией u(z), определяя ее не как прогиб от некоторой нагрузки, а просто подбирая непрерывную вместе с первой производной четырежды дифференцируемую функцию, удовлетворяющую граничным условиям задачи.
Воспользуемся формулой § 5.3 для упругой энергии изгиба, заменив в ней момент через кривизну при помощи соотношения
Е1Х = Мх, а именно:
2U =2U =dz
2U =
2U =
(6.10.5)
Знаменатель в формуле (6.10.4) сохраняет свое выражение. Заметим, что при применении метода Рэлея требование удовлетворения функцией d(z) всех граничных условий является излишним. Разрывы вторых производных функций u(z) соответствуют приложенным сосредоточенным моментам, разрывы третьих производных ——сосредоточенным силам. Следовательно, если функция u(z) непрерывна вместе с первой производной и удовлетворяет граничным условиям, наложенным на прогиб и угол поворота, она всегда может быть представлена как функция прогиба некоторой балки под действием распределенной нагрузки, сосредоточенных сил и моментов и доказательство теоремы Рэлея сохраняет силу. Будем называть граничные условия, налагаемые на u(z) и u'(z) кинематическими условиями, а на момент и перерезывающую силу, т. е. на и" (z) и v,H (z) — динамическими условиями.
Дальнейшее развитие метода Рэлея представляет метод Ритца. Выберем п функций s(z), каждая из которых непрерывна вместе со своей производной и удовлетворяет кинематическим граничным условиям. Теми же свойствами обладает линейная комбинация
пu(z) = S %g(z)・
Здесь с】,с2, •・・,сп — произвольные постоянные. Выпишем величины U(u) и 7(и), это будут квадратичные функции коэффициентов &; обозначим их U(&, с2, ..., с# и T(q, с2, • •・,сп). Тогда по формуле (6.10.4)
若《7"^，(6.10.6)
Формула (6.10.6) дает верхнюю оценку для со；, зависящую от коэффициентов G, с2, ..., с^, при этом наилучшей оценкой будет самая меньшая. Вопрос об отыскании наименьшей оценки Для о)1 сводится к нахождению минимума правой части неравенства (6.10.6), рассматриваемой как функция неопределенных коэффициентов. По общему правилу составляем частные производные этого выражения по с» (i = 1, 2, ..., п) и приравниваем
их нулюих нулю唯)"唯)"
их нулю
их нулю
唯)"
唯)"
Сократим ответствии сСократим ответствии сна множитель i/T и обозначим U/T через о2 в со- (6.10.1). Получим систему п уравнений вида
Сократим ответствии с
Сократим ответствии с
(6.10.7)
Система (6.10.7) представляет собою систему линейных однородных уравнений относительно &, она имеет нетривиальное решение только тогда, когда ее определитель равен нулю. Но условие равенства нулю определителя приводит к уравнению степени п относительно о2, корни этого уравнения дают стационарные значения частот со, определяемых формулой (6.10.1). Наименьший корень дает наилучшую при данной аппроксимации прогиба оценку для первой собственной частоты, притом оценку сверху.
Можно показать, что второй корень будет близок к ①;,и разница между точным значением со； и полученным приближением уменьшается с возрастанием числа членов в выражении для u(z)・ Однако нельзя сказать, будет ли это оценка сверху или снизу.
Пример. Балка постоянного сечения длиной I защемлена на одном конце, второй конец свободен. Точное значение собственной частоты основного тона
Примем за функцию u(z) кривую прогиба от сосредоточенной силы Q на конце. Уравнение упругой линии
Потенциальная энергия деформации11 °叩U = E Qu(Z) -gj^・Потенциальная энергия деформации11 °叩U = E Qu(Z) -gj^・Условная кинетическая энергия Г(р)Условная кинетическая энергия Г(р)По формуле (6.10.4)По формуле (6.10.4)
Потенциальная энергия деформации
11 °叩
U = E Qu(Z) -gj^・
Потенциальная энергия деформации
11 °叩
U = E Qu(Z) -gj^・
Условная кинетическая энергия Г(р)
Условная кинетическая энергия Г(р)
По формуле (6.10.4)
По формуле (6.10.4)
Разница с точным решением обнаруживается, как видно, только в третьем знаке.
Применим к рассмотренной уже задаче метод Ритца, положив v(z) = c^z2 + с/З. При этом
u=扌e厶(公；+ 12吋2 + 12嗡户，
Т = ^ рЬ，С2 + -| 々С? + уС^.
Уравнения (6.10.7) получаются следующими:
8-V% + ，2一f。2 = 3
12 — g с) % +(24 — у ^ с2 = 0.
p后尸2
Здесь х = е广 s •
Приравнивая нулю определитель, получим квадратное уравнение, наименьший корень его х = 12,46, поэтому
1 3,53~
Заметим, что и в том и в другом случае мы выбирали функцию u(z), удовлетворяющей только кинематическим граничным условиям. Несмотря на это точность оценки получается довольно высокой. Если взять в качестве d(z) функцию, выражающую прогиб балки от равномерно распределенной нагрузки, будут выполнены и динамические граничные условия. В точном и приближенном решениях при этом совпадают третьи знаки.
§ 6.11. Динамическая устойчивость. Следящая сила
Бифуркационный критерий устойчивости, рассмотренный в § 4.4, как мы выяснили там, не всегда дает ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости равновесия. Неполнота этого критерия связана с тем, что он устанавливает возможность или невозможность смежного состояния равновесия, тогда как при потере устойчивости, вообще говоря, может наступить не новое состояние равновесия, а состояние движения системы. Поэтому естественная постановка задачи устойчивости состоит именно в изучении возможных движений механической системы. Возвращаясь к проблеме устойчивости сжатого стержня, напишем уравнение колебаний такого стержня следующим образом:
W (е唠)+ 畤 + Р畤=8今
Вывод уравнения (6.11.1) не отличается от вывода (6.8.1) , нужно только заметить, что в данном случае
g==-pF- + —.
тогда как М = —Pd так же, как в § 4.2.
Рассмотрим простейший пример балки постоянного поперечного сечения, свободно опертой на двух концах. Если длина балки есть 厶 мы удовлетворим уравнению (6.11.1), приняв v = ^ siny егШ. Подставляя это выражение в уравнение, находим
s = 卄・ (6・Н・2)
Здесь Рз ——первая критическая сила. Формула (6.11.2) показывает, что при Р V Р3 s действительна; таким образом, балка может лишь совершать колебания около положения равновесия. При Р> Р?① становится мнимой и движение стержня апериодично, прогиб неограниченно растет со временем. Таким / образом, парадокс, связанный со статической по- "/рстановкой задачи устойчивости,оказываетсяраз-
/решенным, хотя существованиеи величинакри-
/тической силы предсказываютсяправильно иста-
/тическим решением.
f 咋Следующий пример будет относиться к такой /задаче, когда статическая постановка вообще ни
/к какому результату не приводит. Это задача об
/устойчивости под действием так называемой сле-
Iдящей силы, т. е. силы, приложенной на конце
Iстержня и направленной по касательной к его
Iоси (рис. 6.11.1). Дифференциальное уравнение
остается для этого стержня справедливым при следующих граничных условиях:
Рис. 6.11.1у(о)= у,(О) = О? J(Z)=i/〃a)= 0. (6.11.3)'
Последнее условие означает, что перерезывающая сила на конце обращается в нуль. Выясним, прежде всего, недостаточность статического критерия в этом случае. Для этого примем в уравнении (6.11.1) pF = 0, получим (при EIX = const)
争唠=0,/=券 dz dz
Интеграл этого уравнения
v == A + Bz + C sin kz + D cos kz.
Используя условие при z = Z, получим
—CH sin kl — DH cos kl = 0,
—Ck3 cos kl + Dk3 sin kl == 0.
Приравнивая нулю определитель системы, найдем
一 I sin kl cos kl , c c"5,7 .=k5 = 0.
I — cos kl smkl
Единственный корень этого уравнения А: = 0, следовательно, d 三 0; таким образом, критической силы в смысле Эйлера стержень, нагруженный следящей силой, не имеет, согласно статическому критерию он всегда будет устойчивым.
Будем теперь искать решение динамического уравнения в виде
D = Z(z)e 叫
Функция Z(z) будет удовлетворять дифференциальному уравнению
(£7*Z〃)〃 +PZ" - pFo2Z = 0.(6.11.4)
Решение его
Z = Л sin $iz + В cos $iz + С sh^2z + D ch $ 必.(6.11.5)
Здесь Pi и /р2 — корни соответствующего (6.11.4) характеристического уравнения, которое мы здесь не выписываем. Для неизвестной ¥ получается квадратное уравнение, имеющее один положительный и один отрицательный корень, которые зависят от жесткости, длины и массы стержня, а также от силы Р. Функция Z(z) удовлетворяет граничным условиям (6.11.3). Подставляя (6.11.5) в эти граничные условия, получаем однородную систему уравнений, которая имеет нетривиальное решение, если определитель ее равен нулю. В данном случае равенство нулю определителя приводит к нетривиальному результату, множитель в показателе экспоненты ① находится как функция сжимающей силы Р・ Соответствующее трансцендентное уравнение мы не выписываем, исследование его довольно сложно и может быть выполнено лишь с помощью численных методов. Результат исследования состоит в следующем. При малых Р для ① получается два действительных значения, с увеличением Р эти корни сближаются и при Р = Р* сливаются в один действительный корень. При Р > Рф величина со становится комплексной, следовательно, прогиб неограниченно растет.
Для критической силы Р* разные авторы дают слегка отличающиеся значения. Полагая
八 20Е/х
мы сдедаем ошибку, которая, по-видимому, не превысит 0,25%.
ЧАСТЬ II
УПРУГОЕ ТЕЛО
ГЛАВА 7
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ
Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве
Для механики сплошной среды вообще и механики деформируемого твердого тела в частности аппарат теории тензоров является естественным аппаратом. В большинстве теорий выбор системы координат, в которых ведется рассмотрение, может быть произвольным. Проще всего, конечно, вести это рассмотрение в ортогональных декартовых координатах. Очевидно, что доказательство общих теорем и установление общих принципов при написании уравнений именно в декартовых координатах не нарушает общности. Что касается решения задач, то иногда бывает удобно использовать ту или иную криволинейную систему координат. Однако при этом почти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах ——цилиндрической или сферической для пространственных задач, изотермической координатной сетке, порождаемой конформным отображением, для плоских задач. В некоторых случаях, когда рассматриваются большие деформации тела, сопровождаемые существенным изменением его формы, система координат связывается с материальными точками и деформируется вместе с телом. При построении соответствующих теорий преимущества общей тензорной символики, не связанной с определенным выбором системы координат, становятся очевидными. Однако в большинстве случаев эти преимущества используются при формулировке общих уравнений, не открывая возможности для решения конкретных задач. Поэтому мы будем вести основное изложение в декартовых прямоугольных координатах, случай цилиндрических координат будет рассмотрен отдельно.
Предполагая, что читатель знаком с основами тензорной алгебры и тензорного анализа, напомним некоторые свойства тензоров в евклидовом трехмерном пространстве. При пользовании прямоугольными декартовыми координатами исчезает разница между ковариантными и контравариантными величинами, поэтому мы будем пользоваться только нижними индексами. Будем обозначать координаты точки и соответствующие оси координат одной
и той же буквой с разными индексами: %“ х2 и %з・ Соответственно базисные единичные векторы будут е17 е2, е31 они образуют правый трехгранник.
Определение вектора Q
Q =旬％ + “2% + ®з^з»
По повторяющемуся индексу производится суммирование от i = 1 до 1 = 3. Немой индекс, по которому производится суммирование, может быть обозначен любой латинской буквой
〃；& =玲弓・(7.1.1)
Вектор в двумерном пространстве
Q ==a1e1 + a2e2 ""3" ааса・
Условимся считать, что если немой индекс представляет собою греческую букву, суммирование производится от единицы до двух.
Преобразование компонент вектора к новому базису. Если задан второй ортогональный базис е；, то
а = 〃€勺=а；е,・(7.1.2)
При этом
А{ = ^ijCLji 〃； = ccji^j, «и = е问.(7.1.3)
г. Определение тензора ранга Е. Тензором ранга 乃 называется совокупность величин, зависящих от 乃 индексов 4厶芍.•.访 таких, что при преобразовании координат, т. е. переходе от базиса е^ к е/ и обратно они преобразуются по формулам
(7.1.4)(7.1.4)4/2../ = %1）产32…/应设可2・.■九，""%••& 一电/1电2% ，…电箱左自也…%.
(7.1.4)
(7.1.4)
Примечания. 1. В пункте (а) вектор был определен как экстенсивная величина или сумма произведений вида (7.1.1). Эта сумма может быть интерпретирована геометрически как сумма векторов, но ей можно придавать и чисто формальный смысл. С другой стороны можно было не прибегать к такого рода представлению, определив вектор как тройку чисел, отнесенных к данному базису и преобразующихся при изменении базиса по формулам (7.1.3). Аналогично тензором можно называть не совокупность скалярных величин Л.^.^ ^, а экстенсив или символическое произведение
Мы будем здесь рассматривать только такие преобразования координат, которые оставляют систему координат правой. Это избавит нас от необходимости различать векторы и псевдовекторы, тензоры и псевдотензоры.
14 Ю. Н. Работнов '
д. Мультипликативные тензоры. Если /纟芍…価 есть тензор ранга А, 区七2..力—тензор ранга р, то величины
О»]%，，"成 1，2，・ Jp "ij,%…私'；#2…％
образуют тензор ранга k + р. В частности, если заданы два вектора bi и а», то величины && представляют собою компоненты мультипликативного тензора второго ранга.
е. Свертывание тензоров. Приравнивая два индекса, мы производим суммирование по индексу, в результате получается новый тензор, ранг которого на две единицы меньше. Подобная операция получения тензора ранга /с — 2 из тензора ранга к называется свертыванием. Если А: = 2, то в результате свертывания получается скалярный инвариант. Так, свертывая мультипликативный тензор aibj, получаем скалярное произведение векторов а и &, а& =生&.
ж. Построение инвариантов. Свертывая тензор второго ранга Л^, получаем его первый инвариант Ан. Образуя мультипликативный тензор четвертого ранга АцАк^ можем свернуть его по двум парам индексов: I, к 口 j, I или г, Z и J, к. Таким образом, получают два квадратичных инварианта А^Ац и А^Ац. Аналогичным образом строится кубический инвариант и следующие за ним. Очевидно, число независимых инвариантов тензора любого ранга ограничено. Мы не будем заниматься подсчетом их числа.
Признак тензорного характера величин^ зависящих от индексов, Совокупность величин A^^ik составляет тензор ранга /с в том случае, если в результате свертки их по правилу тензора с любым тензором Bj^r，.jp ранга р мы получим тензор ранга к — р. В частности, если 口返—компоненты к произвольных векторов, то 4仆脑…価 образуют тензор, если свертка
представляет собою скалярный инвариант. Это правило широко применяется в приложениях.
Тензоры 8切 £灯在 〃 7ар. Единичный тензор или тензор Кронекера определяется так: 6灯=彳 при г = /, 6^ = 0 при i*j・ Очевидное тождество
а； = bijdj
доказывает тензорный характер 6У.
Тензор третьего ранга е^ или тензор Леви-Чивита определяется следующим образом: еУА = 0, если среди индексов по крайней мере два одинаковы: &扱=1, если порядок индексов соответствует четной перестановке, т. е. порядок их есть 1, 2, 3, 1, 2,... ...;8ijk = — 1, если порядок индексов соответствует нечетной перестановке 3, 2, 1, 3, 2,...
Исходя из данного определения, легко проверить, что
^ijk^jb^i = « X 6.
Согласно установленному выше правилу величины £通 действительно представляют собою тензор.
В двумерной области тензору Леви-Чивита соответствует тензор 7аР такой, что 7и = 722 = 0, 712 = —721 = 1. Легко убедиться в том, что свертка тензора 7аР с вектором а определяет вектор, равный по величине вектору а, но повернутый на угол п/2 по часовой стрелке.
Симметричные и антисимметричные тензоры второго ранга. Тензор называется симметричным относительно пары индексов, если он не меняется при их перестановке. Тензор называется антисимметричным, если при перестановке пары индексов он меняет знак (как, например, тензор Леви-Чивита). Тензор второго ранга симметричен, если /仃=厶力，тензор 5沙 антисимметричен, если Bij = —Bji. Любой тензор второго ранга может быть разложен на симметричную и антисимметричную части
4)= У(4灯 + 40 + у (4$ —幺川=4万)+ Агл- (7.1.5)
Операцию выделения симметричной и антисимметричной частей тензора мы обозначаем, заключая индексы в круглые и квадратные скобки соответственно. Заметим, что
^ijh^(仃)м 0, SijkAij = 61；аД [г；].
Если а есть произвольный вектор, то
А^^щ 三 0;
отсюда следует
A ijdidj== A ^ij)(ii(ij,(7.1.6)
Главные оси и инварианты симметричного тензора второго ранга. Для каждого симметричного тензора второго ранга можно найти такой базис е» (оси координат 力0, для которого все составляющие тензора с различными индексами исчезают. Три отличные от нуля компоненты с двумя одинаковыми индексами мы будем отмечать одним единственным индексом
4 = 4 (не суммировать).
Направление оси 力;будем задавать единичным вектором Vi. Три вектора образуют ортогональный базис, величины Ai являются корнями кубического уравнения
det 114： — ^ijA II = 0
или, в развернутом виде
43一/丛2 + /必一厶=0
Величины /i, /2, Л представляют собою инварианты тензора 14*
С другой стороны, можно построить систему инвариантов 4, Ли, Лш по общему правилу
4i = 4订 4口 = AijAij, -4in = AijAji^Ahi»
Каждая из двух систем инвариантов полна в том смысле, что любой четвертый инвариант выражается либо через 厶,Z2 и 厶, либо через А^ Лц, Лщ, например:
厶=4,厶=4"（崖一Ai）,厶=4"（朗一34141 + 24ш） •
м. Антисимметричный тензор второго ранга как вектор. Антисимметричный тензор ①订 имеет три различных отличных от нуля компоненты: （о12 = —（О21, З23 = —（о32, （o3i = — Si・ Положим 歹在= =Ч2г^ц. Легко проверить, что
〃 =С）23,「2 = 51, Р$ = S12・
Наоборот, вектору р^ соответствует антисимметричный тензор
①万==^HkPk*
Поэтому векторное произведение s X г может быть записано в виде s万〃色.
н. Радиус-вектор и тензор инерции. Вектор /? называется радиусом-вектором. Образуем мультипликативный тензор 力必厶 умножим его на скалярную весовую функцию 卩（д） и проинтегрируем по объему V. В результате получим тензор, называемый
тензором инерциитензором инерции/订=j卩2死dV\/订=j卩2死dV\
тензором инерции
тензором инерции
/订=j卩2死dV\
/订=j卩2死dV\
В плоском случае при 卩=1 получаем моменты инерции плоской фигуры
'оф = J Xcf,x^dS•s
Эти величины встретились нам выше при изложении теории изгиба （§ 3.3）・
о. Тензоры как результат дифференциальных операций. Производная от скалярной функции точки 屮（力。определяет вектор grad 屮=謂勺.Обозначая —=屮,订 мы можем обращаться с индексами после запятой как с обычными тензорными индексами. Если задано дифференцируемое векторное поле а （外），в результате дифференцирования получается поле тензора второго ранга 办,К%/. После свертывания отсюда получается скалярный инвариант —дивергенция вектора v
div c =力,"
Полагая и = grad ф или vi = ф,«, получаем тензор второго ранга
屮田,и как его свертку, дифференциальный инвариант — лапласиан функции ф
Дф = Ф.н-
Вспоминая, что оператор rot и может быть представлен как символическое векторное произведение оператора «набла» и вектора и, и используя определение е-тензора, получим
rot u = £说",冷.
Общая теория деформаций
Излагаемая ниже теория деформаций носит чисто геометрический характер и не связана с какими-либо предположениями о свойствах деформируемой среды. Будем рассматривать точечное преобразование евклидова пространства, в результате которого точка М (ж) сопоставляется точке Л/'(况')• Будем говорить, что материальная точка М переместилась из точки пространства с радиусом-вектором 力 в точку с радиусом-вектором а/, хотя для кинематической теории вводить понятие материальной точки не обязательно. Деформация области пространства V задана, если величины 力^ заданы как функции от Xi 三 V. Будем считать эти функции непрерывными и деформируемыми всюду, кроме, может быть, некоторых поверхностей £ в объеме V. Будем считать так* же, что если функции %；(%$) неоднозначны, то можно выделить однозначную ветвь.
Величины %а, т. е. декартовы координаты материальной точки до деформации, можно сохранить в качестве индивидуальной характеристики материальной точки, меняющей свое положение в пространстве. Поэтому они играют двойную роль: их можно рассматривать как декартовы координаты по отношению к неизменному базису либо как криволинейные координаты в деформированном пространстве; координатные линии в этом пространстве представляют собою кривые, образованные теми точками, которые до деформации принадлежали прямым, параллельным координатным осям.
Положим
忌一修=〃i (g)・
Вектор w называется вектором перемещения. Будем относить этот вектор к ортогональному базису, связанному с декартовой системой координат х^ Эта оговорка существенна для дальнейшего, так как в принципе можно относить его к базису, образованному касательными к координатным линиям 力^ в деформированном состоянии. Мы не будем вставать здесь на этот второй путь.
Если элемент дуги до деформации есть ds, после деформации он станет равным ds". Положим
(7.24)(7.24)ds' — dse = ST~'
(7.24)
(7.24)
Величина e называется относительной деформацией элемента ds. Элемент дуги в криволинейных координатах выражается следующим образом:
ds2 = dxidxi = dijdXidXj.
Элемент дуги после деформации
ds'2 = dxidxi = (dXi + du，(d%； + dui) = ds2 + 2d^idui + duidui9
Ho dui = zii, jdxj, поэтому
dXidui = uit jdxidxj.
Для вычисления произведения dui dui заменим в нем немой индекс. Тогда
dui dui = duk duk =辽鼠亡〃務 > dXi dxj.
Итак,
ds" — ds2 = (2电 j + uhti ukt" Лхг dxj.(7.2.2)
Выражение, заключенное в скобки, представляет собою тензор, это можно утверждать на основании правила (з) § 7.1. Действительно, левая часть (7.2.1) есть инвариант по определению. На основании правила (7.1.6) в выражении (7.2.2) несимметричный тензор можно заменить его симметричной частью. Положим
e灯="y(%/ +五з+ "生网排(7.2.3)
Симметричный тензор &力 определенный формулой (723), называется тензором деформации. Теперь (7.2.2) можно переписать следующим образом:
ds'2 — ds2 = 2% dXi dxj
или, с учетом (7.2.1),
(l + e)2 —1 =(l + e)2 —1 =2e ； jd力 jdc；2e ； jd力 jdc；(7.2.4)(7.2.4)
(l + e)2 —1 =
(l + e)2 —1 =
2e ； jd力 jdc；
2e ； jd力 jdc；
(7.2.4)
(7.2.4)
Величину, стоящую в левой части, можно принять за меру деформации. Почти во всех теориях, которые будут рассматриваться далее, деформации можно считать малыми, е《1. Пренебрегая е2, из (7.2.4) получим следующий результат:
6 =空(7.2.5)
Заметим, что если направление отрезка ds задано единичным вектором л, то dxjds = ?г< — направляющие косинусы этого отрезка, и формула (7.2.5) принимает вид
е = &/电.(7.2.6)
Задание тензора деформации позволяет определить изменение длины любого линейного элемента, следовательно, полностью задает геометрию деформированного тела.
Антисимметричная часть тензора, фигурирующего в формуле (7.2.2), называется тензором вращения и определяется следующим образом:
^ij = 4" ^Ui^ ~ ^*^*(7.2.7)
Вся теория существенно упрощается, если принять, что не только деформации е^《1, но также вращения со^《1, а следовательно, Ui,；《l・ По существу это предположение делалось в части I книги, где рассматривались стержневые системы. Там же были приведены немногочисленные примеры, когда углы поворота и деформации имели различный порядок малости (§ 4.6). Теперь в формулах (7.2.3) можно выбросить квадратичные члены и мы получим следующие выражения для компонент деформации:
6灯=%3力=方 Qtj+ 以 3(7.2.8)
Выясним теперь геометрический смысл компонент деформации е^. Для этого выведем формулу, дающую изменение угла между отрезками, направленными в исходном состоянии по единичным векторам тип. Обозначим через dr и 6г соответственно эти элементы, через ds и 8s ——длины элементов, через О — угол между ними.
Тогда
dr 6r = ds 8s cos О*.
После деформации
drf = dr + du = (3灯 + г/；j) dxjCi и аналогично
6产=(6万+ m精)6力門.
Положим drz6rz = cos У (1 + em) (1 + е/ ds 6s. В результате получим
cos 夕(1 + Cm) (1 + en) — cos 令=%(加也 + zn/J・ (7.2.9) Положим nt = 1, %2 = % = 0. Тогда по формуле (7.2.6) находим
e ■ &i・
Итак, компоненты деформации с одноименными индексами представляют собою относительные деформации элементов, направленных по осям координат.
Положим теперь nt = 1, n2 = п3 = 0, тп2 = 1, 加丄=加3 = 0・ Тогда О = л/2. Положим О'= п/2 — 丫12， 丫丄2《1・ Пренебрегая величинами второго порядка малости, получим
712 = 2^12.
Итак, компоненты деформации с разными индексами представляют собою половины изменений первоначально прямых углов между соответствующими координатными осями. Величины 丫丄2 называют сдвигами. Вообще, если векторы тип ортогональны, то из (7.2.9) следует
■у утп =〒^ (権网 + 7叫忆)=/*i分(7.2.10)
Определение перемещений по заданной деформации
Шесть компонент тензора деформации выражаются по формулам (7.2.3) или (7.2.8) через три компоненты вектора перемещения. Поэтому следует ожидать, что любые шесть функций координат 6仃 нельзя принять за компоненты деформации, они должны для этого удовлетворять некоторым соотношениям. С другой стороны, если деформации заданы как функции координат и действительно возможны в сплошном теле, нужно ожидать, что перемещения точек тела могут быть определены, конечно ——с точностью до перемещения как жесткого целого. В этом параграфе мы выведем формулы Чезаро, решающие именно вторую задачу, т. е. задачу определения перемещений по данной деформации. При этом попутно мы установим те условия совместности, которым должны удовлетворять заданные компоненты деформации.
Предположим, что перемещение щ некоторой точки тела Л/о(%о) задано, ищется перемещение точки 〃(％)• Соединим точки Мо и М произвольной кривой, будем обозначать текущие координаты этой кривой 自卜.Величины компонент деформации 6^(^) на этой кривой заданы. Предположим на время, что заданы также компоненты тензора вращения (0仃(自卜)・ Считая перемещения малыми в указанном выше смысле, заметим, что из (7.2.7) и (7.2.8) следует
W， = e仃+①仃・
Теперь перемещение точки М находится квадратурами
Ui = ul+ J (е氾 + з讷)恋丸・(7.3.1)
В действительности величины ①仃 неизвестны и наша задача будет состоять в том, чтобы преобразовать (7.3.1), исключив из
этих формул компоненты вращения. Таким образом, нужно преобразовать интеграл
му
J ^ikd^k = I ①订喝••(7.3.2)
Положим d& = —&(◎ — &)• Здесь х} — координаты точки М, в которой ищется перемещение. Подставляя в (7.3.2) и интегрируя по частям, получим мм
J со办為=3多向一喲+ J例水(4一自力愿.(7.3.3)
В результате интегрирования по частям в выражении (7.3.3) появились еще три константы 碣 в добавление к введенным ранее величинам 〃?• В формулах (7.3.3) фигурируют не сами компоненты тензора вращения, а их производные по координатам. Оказывается, что производные от ①讶 выражаются через производные от компонент деформации &)с помощью следующих тождественных соотношений:
①灯,八=&а,，— e*j, -(7.3.4)
В справедливости (7.3.4) легко убедиться, подставив вместо е” и ①炉 их выражения (7.2.8) и (7.2.7). Теперь формулы (7.3.1) переписываются следующим образом:
% =成+ 吗(芍一磅 +
м
+ f ®h + (芍 &力(《氾/ — %j,i)］龙Zt・ (7.3.5)
Они решают задачу об определении перемещений по заданной деформации в том случае, когда интеграл не зависит от пути интегрирования. Для этого нужно, чтобы подынтегральное выражение представляло собою полный дифференциал. Это будет в том случае, если выполняются следующие соотношения:
伪瓦 “ —%,订一&% jk + 0崛 ik = 0.(7.3.6)
Заметим, что условия (7.3.6) можно было получить проще, а именно составляя условия интегрируемости выражения для компонент тензора ①订，производные которых заданы формулами (7.3.4). Левая часть уравнения (7.3.6) представляют собою тензор четвертого ранга, но этот тензор обладает высокой степенью симметрии и он эквивалентен симметричному тензору второго ранга, подобно тому как антисимметричный тензор второго ранга эквивалентен вектору. Действительно, условие (7.3.6) можно
переписать следующим образом:
Sij = ^ikm^jln^kl, mn = 0.(7.3.7)
Чтобы получить условие (7.3.7), следовало бы ввести вместо тензора вращения эквивалентный ему вектор, далее представить тождество (7.3.4) с помощью е-тензора и записать условия интегрируемости этих тождеств как условие равенства нулю ротора вектора, используя еще раз обозначение соответствующей операции с помощью е-тензора. Мы не будем следовать этому пути, а просто проверим, что из 81 соотношения (7.3.6) на самом деле остается только шесть.
Положим i = к = 1, j = s = 2. Получим из (7.3.6)
^11, 22 + «22, 11 — 2^12, 12 = 0.(7.3.8)
Два других соотношения первой группы уравнений совместно- стп получаются круговой перестановкой индексов. Первое из соотношений второй группы получим, приняв I = А = 1, 7 = 2, s = 3. Оно будет следующим:
^11, 23 = (%2, 3 ~ &1, 2 — 023, 1),1*(7・3・9)
Два других соотношения получаются также путем круговой перестановки индексов. При других комбинациях индексов соотношения совместности (7.3.6) выполняются тождественно. Такой же непосредственной проверкой убеждаемся, что (7.3.8) и (7.3.9) следуют из (7.3.6).
Тензор 5仃，образованный из тензора ем по формулам (7.3.7), называется тензором несовместности. Вообще, можно допустить, что в теле реализуется такое деформированное состояние, когда тензор деформации не выражается через вектор перемещений по формулам (7.2.8). Проще всего это можно представить себе следующим образом. Допустим, что из некоторых механических соображений нам нужно разделить тензор деформации на две части, так что ^ = еа + ^гг Так, например, е万 может быть температурной деформацией, тогда как деформации е^ носят механический характер. Условию (7.3.6) удовлетворяет только суммарная деформация, тогда как 5力=——5々 #= 0.
Отметим в заключение следующее тождество:
б”。.(7.3.10)
Действительно, продифференцировав (7.3.7) по %$, получим Sjj, j == ^ikm^jln^kl,mni*
Последний множитель симметричен относительно индексов п, /, предпоследний антисимметричен, поэтому свертка их равна нулю.
Теория напряжений
Пусть на тело, занимающее объем V и ограниченное поверхностью S, действуют объемные силы 尸 и поверхностные силы Т. Это нужно понимать следующим образом. Обозначим через ДР результирующую сил, действующих на элемент объема Д К Тогда
尸=нm.
\Ди/ду^о
Аналогично, если обозначить через AQ результирующую сил, действующих на элемент поверхности AS, то
Предположим, что эти пределы существуют. Приводя силы, действующие на элемент объема или элемент поверхности, к некоторой точке, принадлежащей этому элементу, кроме резуль* тирующей необходимо вводить также момент ЬМ. Предполагается, что
1必傍)=0，1血(器)А$一。 =0；
таким образом, на тело не действуют распределенные по объему или по поверхности моментные нагрузки.
Запишем уравнение равновесия в форме Лагранжа
j F^uidV + f ТМЗ = 0.(7.4.1)
уS
В уравнении (7.4.1) фигурируют только внешние силы, следовательно, оно выполняется не для любых перемещений 6щ а только для тех, которые не сопровождаются деформацией. Действительно, полагая
6а = 6w0 + 6(i)xr,
мы получим из (7.4.1) шесть обычных уравнений статики для равновесия абсолютно жесткого тела. В данном случае мы поступим иначе и запишем условие того, что тело не деформируется, следующим образом:
&产=-у (加+ 6 佝,D = 0.(7.4.2)
Уравнения (7.4.2) можно рассматривать как уравнения связи, при выполнении которых справедливо (7.4.1). Составим уравнения равновесия при этих условиях как уравнения Лагранжа первого рода, введем множители Лагранжа, обозначив их о”).
Применяя обычное правило, получим
У Рi^UidV + У ТiSu^dS —-- [ Sj (6%j + би；,。dV = 0. (7.4.3) vsv
Хорошо известно, что множители Лагранжа представляют собою реакции связей. Соответственно на уравнение (7.4.3) можно смотреть несколько иначе. Первые два члена представляют собою работу внешних сил, объемных и поверхностных. Третий член есть работа внутренних сил, величины 5е^ = i/2(3〃i, j+3儿九彳) представляют собою обобщенные перемещения, а о灯——соответствующие обобщенные силы. Очевидно, что 6戸е” есть инвариант, поэтому бц ——симметричный тензор второго ранга, который называется тензором напряжений. Преобразуем третий интеграл в соотношении (7.4.3) интегрированием по частям. Заметим, прежде всего, что
玄 ^ij (6uij + 5辽厶)=(Jij8uitj
вследствие симметрии тензора 0订.Теперь запишем.
J UijbeijdV = J S/bydP = J [(°订奇儿力,〃——a^jS^] dV = vvv
ss=J ^ijbuinjdS - J 0万,力%dp.
s
s
V
При преобразовании объемного интеграла в поверхностный использована формула Гаусса ——Остроградского, здесь через 孤 обозначен единичный вектор внешней нормали к поверхности S. Теперь (7.4.3) примет следующий вид:
f 9»,j + Ю 8出"一f (^ij^j —北)^UidS = 0.
Это соотношение должно выполняться для любых 6ui? поэтому
S川+ К = °，①三匕(7・4・4)
о灯叫=7%力三S・(7.4.5)
Формула (7.4.5) устанавливает связь между определением тензора напряжений 0叮 и тем определением вектора напряжения и, которое было дано в § 1.7. Действительно, уравнение равновесия справедливо не только для тела в целом, но для любой части тела, например, ограниченной поверхностью S, проходящей через фиксированную точку М и имеющей в этой точке нормаль лж По формуле (7.4.5) получим:
и = б///.(7.4.6)
Эта формула выражает вектор с как линейную вектор-функцию вектора п^ чем было сделано замечание в § 1.7. Нормальная
составляющая вектора
0九—ОЛ — ^ij^i^j •(7.4.7)
Последняя формула совершенно аналогична (7.2.6). Если t есть единичный вектор, лежащий на площадке с нормалью 〃，то составляющая касательного напряжения по этому направлению дается формулой
Tnt = GijHjti,(7.4.8)
аналогичной (7.2.10). Что касается самого вектора касательного напряжения, величина его определяется следующим образом:
т=]/а2 一晓.(7.4.9)
Рис. 7.4.1Рис. 7.4.1Уравнения (7.4.4) называются дифференциальными уравнениями равновесия. Заметим, что тензор несовместности 5仃 удовлетворяет этим уравнениям при отсутствии объемных сил. Из формул (7.4.7) и (7.4.8) непосредственно усматривается механический смысл компонент тензора напряжений. Полагая в (7.4.7) П1 = 1,整2 =九3 = 0, найдем, что Он есть нормальное напряжение на площадке, нормальной к оси 1; аналогично определяются °22 и Озз・ Полагая в (7.4.8) 冷1 = 1,冷2 =冷3=0,/2 = 1?^1 = ^3 = 0
Рис. 7.4.1
Рис. 7.4.1
вытекаетвытекаетнайдем, что О12 есть касательное напряжение на площадке 1 в направлении оси 2 или, вследствие симметрии тензора 。仃,касательное напряжение на площадке 2 в направлении оси 1 (рис. 7.4.1). Из симметрии выражения
вытекает
вытекает
щий результат, который иногда называют законом парности касательных напряжений: касательные напряжения на двух перпендикулярных площадках, действующие по нормалям к линии их пересечения, равны между собою. Мы будем избегать слова «закон» применительно к тривиальному следствию из условия симметрии соответствующего тензора.
Некоторые свойства полей напряжений и деформаций
В этом параграфе будут рассмотрены некоторые следствия, вытекающие из определения симметричного тензора второго ранга в трехмерном и двумерном пространстве и оказывающиеся полезными при формулировке механических теорий. Для определенности мы будем везде говорить о тензоре напряжений, хотя те же самые результаты без всяких изменений переносятся на тензор деформации, тензор инерции и т. д.
Инварианты, главные оси и главные значения тензора. Применяя соображения пункта (и) § 7.1 к тензору напряжений, мы убеждаемся в том, что уравнение для определения главных значений будет
о3 — /р? + До — /з = 0・
Здесь /з = det hjl,厶 и Ц — суммы главных миноров второго и первого ранга соответственно, Ц =。访・ Корни этого уравнения условимся нумеровать в порядке убывания, так что
6》02》03.
Иногда мы будем отступать от этого правила, делая каждый раз соответствующую оговорку. Заметим, что
/[ = О[ +。2 + Оз, А == Ор2 十。2。3 +。3。1, ‘3 = Ор2Оз・ (7.5.1)
Механический смысл приведения тензора напряжений к главным осям состоит в следующем. Около каждой точки напряженного тела можно выделить такой элемент в виде бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда, что на грани его действуют только нормальные напряжения Qi, о2 и Оз・ Перефразируя этот результат применительно к тензору деформаций, мы можем утверждать существование такого бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда, ребра которого удлиняются или укорачиваются в отношениях 1 + е^ 1 + «2, 1 + «з, но прямые углы остаются прямыми. Для инвариантов, представляющих собою коэффициенты соответствующего кубического уравнения, сохраняются формулы (7.5.1) с заменой of на &•
С другой стороны, систему инвариантов тензора напряжений можно построить по общему правилу, путем последовательного свертывания тензорных произведений
Si = (J% Su = GijOij, Sin = GgQkj.
В главных координатах
，i = % + % +。3, 2口 = о； + 徜 + о；, Sju = о： + 或 + о；・
Инварианты £ и Ц просто совпадают, вообще инварианты одной системы выражаются через инварианты другой системы по формулам, которые были приведены в пункте (л) § 7.1.
Главные касательные напряжения. По формуле (7.4.9), используя (7.4.6) и (7.4.7), найдем
炉=就(彊一nl) + 域(八:一n0 + 0；(?г； _ Пз)-
—20]% 冠整^ — 2(j2^3^2^3 — 2%% 九証;.(7.5.2)
Экстремальные значения касательного напряжения, рассматриваемого как функция п” называются главными касательными напряжениями. Уравнение (7.5.2) выражает т2 через три направ-
ляющих косинуса ni? которые связаны известным соотношением
721 + 7^2 + ^3 = !•
Таким образом, нужно решать задачу об отыскании экстремума с дополнительным условием. Напомним, в чем состоит метод Лагранжа для решения подобных задач. Если требуется отыскать экстремум функции 歹(辽，при дополнительном условии ①(必)= 0, то ищется обычным способом экстремум функции F + ХФ? т. е. составляются уравнения
•7h A — =
Присоединяя сюда условие ①(必)= 0, получаем систему уравнений, достаточную для нахождения неизвестных uf и Z. В нашем случае роль функции F играет т2, определенное формулой (7.5.2), а функция ①.=тг；+ тг； + тг；——1. Дифференцируя т2 по п1? получим
20］八1 ［(1 — 2m:) 0］—2及細22〃503］，
Используя формулу (7.4.7), перепишем это выражение следующим образом:
河=2%勺(% - 2g).
Продифференцируем теперь дополнительное условие. Получим
,瓯=2ni*
Производные по % и п2 выражаются совершенно аналогичным образом. В результате мы придем к следующей системе уравнений:
(7.5.3)(7.5.3)Два другиеДва другие九 1 ［。；一［2g4(?,+ 入］=0，九2［埔-2020：+［入］-。，九3【о； —：2озО”+3］ = 0.
(7.5.3)
(7.5.3)
Два другие
Два другие
Очевидное решение системы (7.5.3) есть
% = 1,期==〃з = 0.
удовлетворяются тождественно. Аналогично можно было принятьудовлетворяются тождественно. Аналогично можно было принятьПри этом о = 6, из первого уравнения 厶=о；,
удовлетворяются тождественно. Аналогично можно было принять
удовлетворяются тождественно. Аналогично можно было принять
и Мз = 1. Эти решения тривиальны, на главных площадках
касательное напряжение равно нулю, а для положительной вели^ чины т2 нулевое значение будет экстремальным.
Предположим теперь, что тг】и п2 отличны от нуля, сократим на эти множители в двух первых уравнениях и вычтем одно из другого. Получим
о；—成 一：2 (о J—q) о = 0.
Отсюда
•
Сравнивая с (7.4.7), находим
ZZ] •—■ 7^2 ~—• 1/2, 九3 —• 0•
Третье уравнение при этом выполняется. Соответствующая плоскость, в которой действует экстремальное касательное напряжение, проходит через ось 比з и делит пополам угол между плоскостями 13 и 23. По формуле (7.5.2) вычислим это касательное напряжение
—2•
Аналогично
TT _03一。1
七23§ ' c3i —2 .
Знаки в этих формулах могут быть заменены на обратные.
Совершенно аналогичным образом определяются главные сдвиги:
T12 = & 一 &, 丫 23=& 一 03,y31 = % - %
в теории деформации.
в. Плоское напряженное состояние (плоская деформация). В общем трехмерном случае компоненты тензора напряжения или >деформации преобразуются по формуле
V(7.1.4). Если Озз = Оза = 0, формулы
преобразования компонент симметрич- 〃‘ного тензора в двумерном пространст-
Xве могут быть представлены в чрезвы-
\丿Мчайно простом виде; некоторое графи-
\ческое построение позволяет сделать
уэти формулы наглядно очевидными и
О^* избавить от необходимости запомина-
/ ния их или обращения к учебнику каж-
Рис. 7.5.1дый раз, когда в них возникает необ
ходимость. Предположим, что плоское напряженное состояние задано главными напряжениями, главные оси обозначим 自【и 自2・ Выберем пару взаимно ортогональных векторов л и w\ как показано на рис. 7.5.1. Проекции их на оси & и 自2 будут следующие:
九1 = cos а,
九；=-sin a,
九2 = sin а, К = cos а.
Нормальное напряжение на площадке 几 по формуле (7.4.7)
0n = о】 cos2 а + % sin? а =纟^■% + % ? % cos 2a. (7.5.4)
Нормальное напряжение на площадке 虱
Пп = о】 sin2 а+ а2 cos2 а.
Касательное напряжение на любой площадке w по формуле (7.4.8)
J — от*
тп = — (ах — oQsin a cos а ^? sin 2а.(755)
Направим ось 况】по w, ось х2 по 〃' и перепишем предыдущие формулы следующим образом:
= %广，+ 土 ”2 cos 2а,
%2 =胃'—久 2 % cos 2a,(7.5.6)
о — aa
“2 =F一• sin 2a.
§ 7.6. Круговая диаграмма Мора
Формулы (7.5.4), (7.5.5) допускают очень простую геометрическую интерпретацию (О. Мор, 1882). Выберем две взаимно
оси, назовем горизонтальную ось осью о, верт (рис. 7.6.1). Вектор напряжения на любойоси, назовем горизонтальную ось осью о, верт (рис. 7.6.1). Вектор напряжения на любойперпендикулярные тикальную ——осью
оси, назовем горизонтальную ось осью о, верт (рис. 7.6.1). Вектор напряжения на любой
оси, назовем горизонтальную ось осью о, верт (рис. 7.6.1). Вектор напряжения на любой
площадке с нормалью w, заданный величинами оп и тп, изображается точкой в плоскости о, т. Будем обозначать эту точку буквой п, так же как и нормаль к площадке, на которой действует напряжение. При переходе от одной площадки к другой
15 ю. Н. Работнов
меняется направление нормали, т. е. угол а, и изображающая точка в плоскости о, т описывает замкнутую кривую. Формулы (7.5.4), (7.5.5) задают параметрическое уравнение этой кривой, представляющее собою окружность. Центр ее находится на оси。 в точке с абсциссой (Oi + о2)/2, радиус равен (Oi — а2)/2. Для построения этой окружности следует построить на оси о точки 1 с абсциссой 6 и 2 c абсциссой о2. На отрезке 1——2 как на диаметре строится окружность, называемая кругом Мора). Следует запомнить простое правило: если угол между нормалями к площадкам есть а, то дуга между точками круга Мора, изображающими напряжения на этих площадках, измеряется углом 2а, отсчитываемым в противоположном направлении. Так, на рис. 7.5.1 угол а от оси ^ к нормали п отсчитывается против часовой стрелки, дуга 2a на рис. 7.6.1 от точки 1 к точке 九 берется по часовой стрелке. Напряжение на площадке %', составляющей с площадкой п угол, равный 冗/2, изображается на диаграмме точкой, диаметрально противоположной точке п.
Круговую диаграмму можно построить и тогда, когда заданы напряжения Оав в неглавных осях координат. Построим точку 伤 с координатами ои и о】？ и точку х2 с координатами а2г и —о% как показано на рис. 7.6.2. На отрезке, соединяющем эти точки, как на диаметре, построим окружность. Центр ее будет лежать на оси о на расстоянии (ои + о22)/2 от начала координат. Поме- тим индексами 1 и 2 точки пересечения окружности с осью а, дуга I%】 измеряется углом 2а, направление главной оси номер 1 получим, откладывая угол а от оси %〔 в противоположном направлении.
Радиус круга равен (Oi —。2)/2, он представляет собой гипотенузу заштрихованного треугольника. Отсюда следует
% - % = / (%1 -022产 + 4*・(7.6.1)
При выборе знака перед радикалом учтено, что о〔 > о2. Теперь получаем следующие формулы для главных напряжений:
01,2 - """2s'"/2 士/911 -022产 + 40:2.(7.6.2)
Из этого же треугольника видно, что
2о
tg 2а =•(7.6.3)
Последняя формула определяет угол 2a с точностью до слагаемого, равного л; пэтому для а получаются два значения, разнящиеся на 冗/2. Таким образом, мы находим сразу два угла а4 и а2 между осью 况【и осями 7 и 2 соответственно и не можем
сделать выбор между ними. Поэтому более удобны следующие формулы, вытекающие из рассмотрения треугольников 2х^ или х^1М\
tg& =tg& =%一%%一%(7.6.4)(7.6.4)
tg& =
tg& =
%一%
%一%
(7.6.4)
(7.6.4)
Из рассмотрения круга Мора сразу ясно, что касательное напряжение достигает наибольшего по абсолютной величине зна
чения на площадках, составляющих с главными площадками угол л/4. На круговой диаграмме им соответствуют точки р л q. Величина этого касательного напряжения равна (5 — 6)/2, как было показано в § 7.5.
Очевидно, что точно такая же диаграмма будет изображать тензор двумерной деформации. Если задано трехосное напряженное состояние > а2 > Оз, круговую диаграмму Мора можно построить для трех плоскостей 72, 23 и 13, как показано
на рис. 7.6.3. Наружный круг проходит через точки (оъ0) и (а„ 0) Плоскости от и заключает внутри себя два других круга. Можно
показать, что для всех площадок, ориентированных произвольным образом, точки, изображающие напряженные состояния, будут находиться в заштрихованной области. Доказательство будет приведено в § 19.2, где этот факт понадобится.
Разложение тензора на девиаторную и гидростатическую составляющие
По-прежнему для определенности будем вести речь о тензоре напряжений, хотя теория распространяется на любые симметричные тензоры второго ранга. Положим
(7.7.1)(7.7.1)Ni = О" = Зо.
(7.7.1)
(7.7.1)
Величина о, а также тензор об»/ называется гидростатической составляющей тензора напряжений, а разность
% = 6j — 0龜(7.7.2)
называется девиатором тензора напряжений. Девиатор не меняется от приложения всестороннего растяжения или сжатия. Действительно, если дополнительно приложено гидростатическое давление р, то о» = 0订—p6；j, o' = о — pl 0灯=о^・ 15*
Совершенно аналогично определяется девиатор тензора деформаций. Здесь
Зе = Ei = вц
представляет собою относительное изменение объема при деформации. Первый инвариант девиатора вследствие определения тождественно равен нулю
£三0.
Второй инвариант девиатора определяется следующим образом:
Х口 =(0廿-8加)(0力-8灯0)■
Отсюда следует:
eL工-手工-工-e也(7.7.3)
Точно так же, опуская элементарный вывод, запишем
Еш = Em — X 2п— 421-(7.7.4)
Если представить величину 2и через главные напряжения, мы получим
£Тт ~ *y к°1 - °2)2 + (02 —03)2|+ (03 - %)2］■
Простое и наглядное истолкование этой величины можно получить следующим образом. Вычислим напряжение на площадке, равнонаклонной ко всем трем главным осям. Будем называть эту площадку октаэдрической, а действующие на ней напряжения октаэдрическими напряжениями. Для октаэдрической площадки % = & = & = 1/УЗ. По формуле (7.4.7)
。0 = "У (^1 + % + %) ~。・
По формуле (7.4.9)
% =扌［(j — <72)2 + (а2 一 °з)2 + (j — о，?］。?.(7・7・5)
Таким образом,
£i = 3 唸(7.7.6)
Величину октаэдрического сдвига мы определим по формуле
Yo =等【(0 一 ej + 出 一 %)2 + 电一分)2产.(7.7.7)
Поэтому
瓦i = ^唸(7.7.8)
Разница между формулами (7.7.5) и (7.7.7) связана с тем, что компонентами тензоров являются касательные напряжения и по^ ловины сдвигов, значит величина т0 соответствует у0/2. Итак, нормальное и касательное напряжения на октаэдрической площадке представляют первый инвариант тензора напряжений и второй инвариант девиатора наиболее простым и естественным образом.
Отметим еще одно истолкование величины второго инварианта девиатора тензора напряжений, принадлежащее В. В. Новожилову. Вычислим среднее квадратичное значение касательного напряжения на поверхности сферы. Воспользуемся для этого формулой (7.5.2), приняв в ней п『xJt. Вычисляя интеграл j т2dS, мы встретимся с интегралами двух типов:
Очевидное преобразование приводит /】к следующему виду:
Отсюда следует, что
j T2 ds =扌厶 3 - %)2 + (% - %)2 + 93 - %)2] •
Таким образом, октаэдрическое касательное напряжение отличается от среднего квадратичного касательного напряжения только множителем, который легко вычисляется, но не будет нам нужен.
Возвращаясь к октаэдрической плоскости, попытаемся зафиксировать не только величину, но и направление октаэдрического касательного напряжения.
Приложим к телу гидростатическое напряжение с интенсивностью (—o)l тогда на главных площадках будут действовать напряжения 5 = 5 — о, 6 == 5 — 5 о3 ^ о3 — а, а на октаэдрической площадке нормальное напряжение исчезнет, тогда как касательное сохраняет свою величину т0. Обозначим через § еди-
ничный вектор направления октаэдрического касательного напряжения. Рассмотрим равновесие тетраэдра, заключенного между главными плоскостями и октаэдрической плоскостью (рис. 7.7.1). Обозначим со площадь грани, принадлежащей октаэдрической плоскости. Тогда площадь каждой из остальных граней будет равна ①/¥3. Из уравнений равновесия находим
а = ¥ Зторг.
Направление вектора § можно задать с помощью угла между ним и некоторым фиксированным направлением в октаэдрической плоскости. Проведем, например, луч из центра октаэдрической грани в точку пересечения ее с главной осью 2, направление этого луча зададим с помощью единичного вектора к. Положим
РА: = cos 2.
Из очевидного геометрического рассмотрения следует：
Теперь составляющие вектора В найдутся из следующих уравнений:
В； + 储 + 6； = 1, Bi + §2 + Вз =。，201 — 02 — Рз = /б cos 分.
Первое уравнение есть условие нормирования, второе выражает тот факт, что вектор В лежит в октаэдрической плоскости, наконец, последнее выражает условие pfc = cos О.
Решая эти уравнения относительно 瓦，найдем
Pi = J/ •|•cos令•
Повернув вектор к на угол 2冗/3 против часовой стрелки, т. е. направив его в точку пересечения октаэдрической плоскости с осью 2, мы найдем величину р2 по совершенно аналогичной формуле, поэтому
и, аналогично
03 = |/ 等cos 卜一等).
Теперь мы можем написать следующие формулы для трех главных
напряжений:—
力=о + V 2toe08 必
力=о + М2to cos (。一書)，(7.7.9)
03 = G + P^O COS (分一学).
Угол 2 называется углом подобия девиатора тензора напряжений. Величины а, То и -0 могут быть приняты за систему инвариантов тензора напряжений, величину •& легко связать с тре^ тьим инвариантом девиатора. Действительно, в главных осях
2ш = (% — Оз)з + (% —力)з + (%— ®)з.
Подставляя сюда (7.7.9), получим
tm=/^cos3 仇(7.7.10)
Заметим, что формулы (7.7.9) по существу представляют собою форму представления решения кубического уравнения с коэффициентами Л, /2, Л; это решение было известно давно вне связи с теорией симметричных тензоров второго ранга.
Общие криволинейные, цилиндрические
и сферические координаты
Вся приведенная выше теория напряжений и деформаций сохраняется и при пользовании произвольной криволинейной, не обязательно ортогональной системой координат. В качестве базисных векторов принимают производные от радиуса-вектора точки по криволинейным координатам е，= r,j, по отношению к этому базису вектор или тензор задаются контравариантными компонентами. По отношению к взаимному базису векторы и тензоры задаются ковариантными составляющими.
Формулы (7.2.3) и (7.2.8) сохраняют силу:
6и=T(uiJ + m小+ "左泌a,力， или
е 廿=у (〃“ + 〃人t),
но теперь индексы после запятой обозначают ковариантное дифференцирование
"3尸就一理"互.(7.8.1)
Если вектор перемещения и тензор деформации задаются кова-
риантными составляющими, тензор напряжения следует задавать контравариантными составляющими, для того чтобы в третьем интеграле уравнения (7.4.3) под интегралом был инвариант с"е^・ Теперь уравнения равновесия (7.4.4) примут вид
或+刑=0,・
а граничные условия (7.4.5)
Ковариантное дифференцирование контравариантного тензора производится по правилу
或=嘗 + ^庐"+ %0*(7.8.2)
Напоминаем определение символов Кристоффеля второго рода. Если ga ——метрический тензор, это значит, элемент дуги имеет вид
ds? = gijd^ dx\ то
=空 + 禦一第.(7.8.3)
При определении символов Кристоффеля второго рода часто бывает более удобно пользоваться непосредственно геометрическими соображениями, связанными с формулами дифференцирования базисных векторов
Именно так удобно поступать в случае декартовых или сферических координат.
Последнее замечание в этой связи будет относиться к тому случаю, когда криволинейные координаты ортогональны. Вместо естественного базиса ek = r>ft, векторы которого имеют разную длину и, вообще, разную размерность, бывает удобно воспользоваться местным базисом, образованным единичными векторами ik = ек! Vgkk (не суммировать). Тогда «физические» компоненты вектора или тензора, т. е. компоненты по отношению к локальной декартовой системе координат, определяются следующим образом:
J = /盛不=@，4"=Jgiig方4力=4)
V g五V ^i^；
(не суммировать).
Имея дело со столь простыми системами координат, как цилиндрическая или сферическая, можно проделать всю намечен-
ную выше цепочку выводов. В элементарных руководствах обычно приходят к цели более коротким путем — выделяют бесконечно малый элемент, сообщают ему перемещение и находят деформации, прикладывают к его граням напряжения и составляют уравнения равновесия. Предлагая читателю сделать соответствующий вывод формул тем или иным способом самостоятельно, приведем здесь лишь окончательные результаты. Физические компоненты векторов и тензоров мы будем отмечать не цифровыми индексами, а буквенными нижними индексами, соответствующими обозначениям криволинейных координат. Одноименные индексы удваиваться не будут.
Цилиндрические координаты ds2 = dr2 + dz2 + r^d^. Формулы для компонент тензора деформации:
ди.1%今=而，^ = T^0 +T^ди.1%今=而，^ = T^0 +T^今6 =今6 =丄/丄竺:TkT^e丄/丄竺:TkT^e
ди.1%
今=而，^ = T^0 +T^
ди.1%
今=而，^ = T^0 +T^
今6 =
今6 =
丄/丄竺:
TkT^e
丄/丄竺:
TkT^e
Дифференциальные уравнения равновесия:
(7.8.5)(7.8.5)宗+ ；号+ Х + Т + " =。， 方+"7而+而+…6 +凡=0, h + T 市 + 石 + + 几=Q
(7.8.5)
(7.8.5)
Сферические координаты ds2 = dr2 + 产 sin2 9 〃屮方 + 产 时. Компоненты деформации：
一一吗:= 12一一吗:= 121_sin 令 ^ф% J% г dr 1/18% 万［下打1_sin 令 ^ф% J% г dr 1/18% 万［下打+ v + ctg^T，^=不丽+不,+ v + ctg^T，^=不丽+不,_ 1 / 1 диг 佝■?3 + 7^幫•_ 1 / 1 диг 佝■?3 + 7^幫•(7.8.6)(7.8.6)
一一吗:
= 12
一一吗:
= 12
1_
sin 令 ^ф
% J% г dr 1/18% 万［下打
1_
sin 令 ^ф
% J% г dr 1/18% 万［下打
+ v + ctg^T，^=不丽+不,
+ v + ctg^T，^=不丽+不,
_ 1 / 1 диг 佝
■?3 + 7^幫•
_ 1 / 1 диг 佝
■?3 + 7^幫•
(7.8.6)
(7.8.6)
+ 3 = °,+ 3 = °,+ Fф = О?(7.8.7)+ Fф = О?(7.8.7)+ % = 0.+ % = 0.
+ 3 = °,
+ 3 = °,
+ Fф = О?
(7.8.7)
+ Fф = О?
(7.8.7)
+ % = 0.
+ % = 0.
Дифференциальные уравнения равновесия:
8% I 竺^* 丄巴± 亠 2%-%-% + %octg° dr r sin 今 @cp r @今十r
°%Ф II 1 do^ , 3% + 2^^ ctgO
dr г sin 6 Jcp 十 r d仆十r
巴2上 I °%0亠工吧:丄3%0+ (00 - %) ctg8 dr 十r sin行 @中十 Т ^^ 'f
§ 7.9. Геометрически нелинейные задачи
Откажемся от ограничения малостью компонент тензора поворота, которое до сих пор всюду принималось. Теперь мы должны пользоваться нелинейными выражениями (7.2.3) для компонент тензора деформации. Введем опять напряжения как множители Лагранжа и составим уравнение равновесия, совершенно аналогичное уравнению (7.4.3), а именно,
j Fi&UidV + J Т^щЛ81» j。打3(U{j + 岗」+ wft,<wAj) &卩=О
VS
или
J Fibu^dV + j Тibu^dS — v8
—I" j о» (8〃i J + 6〃j,f + u^^Uhtj + 〃AJ 3〃斬。dP = 0# (7.9.1)
Выражение
Oij(8uitj + ukti8uht j) может быть записано в виде
“ (6m + ин,1) 6 以,力(7.9.2)
Аналогично
Oij(6ujt < + uA j Suki«) = afJ(6w + 以,"6uht «・
Заменяя обозначение немого индекса и используя симметрию тензора 仃灯,находим, что это второе выражение равно первому, т. е. (7.9.2). Поэтому условие равновесия (7.9.1) можно переписать следующим образом:
J FjSuidV + ] Т^щЛ8 — J 0勾(6乂 + идд) 8uktjdV = 0. у8
Преобразуя третий интеграл путем интегрирования по частям и приравнивая нулю выражения, стоящие под знаком объемного и поверхностного ицтегралов, получим уравнения равновесия
[%•(% + "a, DI j =氏(7.9.3)
и условия на поверхности
[о 订(6凯 + 辽比,i)]% = ?h・(7.9.4)
Для того чтобы составить уравнения (7.9.3) и (7.9.4), необходимо заранее знать перемещения ик или же располагать уравнениями связи трех перемещений с деформациями и суметь исключить компоненты поворота, так как
辽瓦《 н CjW + Si・
Соответствующая задача механики становится нелинейной.
В принципе можно было бы подойти к составлению уравнений равновесия в теле, претерпевающем конечную деформацию, иным способом. Если метрический тензор до деформации был 方力 то после деформации он станет g^. Тензор конечной деформации в общем случае можно определить так:
旬=}(gij —gij)・
При этом тензор е^ можно относить как к начальному базису, так и к базису в деформированном пространстве. Это не одно и то же, поскольку переход к контравариантным и смешанным компонентам будет производиться по-разному. Далее можно определить контравариантные компоненты тензора напряжений в деформированном теле и написать уравнения равновесия обычным способом
о? + 川=0.
Но здесь при вычислении ковариантных производных нужно использовать символы Кристоффеля, вычисленные для деформированного тела, и составляющие вектора F брать по отношению к базису, связанному с деформированной координатной сеткой. Таким образом, все трудности остаются, не будучи написанными в явном виде. В этом смысле уравнения (7.9.3) и (7.9.4) кажутся проще, они относятся к декартовой системе координат, не деформирующейся с деформацией тела. Компоненты тензора напряжений также сохраняют механический смысл, это ——обобщен* ные силы, соответствующие обобщенным перемещениям е^・
ГЛАВА 8
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ
Упругое тело
Будем называть упругим телом такое тело, у которого напряжение в каждой точке есть однозначная функция деформации
S = <P"(“m)・(8.1.1)
Назовем путем нагружения или соответственно путем деформирования процесс изменения тензора напряжений или тензора деформаций в зависимости от некоторого монотонно возрастающего параметра, который мы назовем «временем». На самом деле реальное время при определении модели упругого тела никакой роли не играет; употребляя этот термин мы говорим лишь о последовательности событий, но не о их временной протяженности. Для наглядности тензор напряжений или тензор деформаций можно изображать векторами, составляющие которых равны компонентам соответствующих тензоров. Положим, например,
Si = Оу S2 —。22, Ss = Озз, $4 =。2 力£б =。3"Sq = O[2,
(8.1.2J
с】=e“, & = &2, % = «зз, e« = 2&з, & = 2&” 备=2e,2・
Тогда векторы а и e служат изображением тензоров напряжений и деформаций в шестимерных пространствах напряжений и деформаций соответственно. Впоследствии будет выяснено, почему в качестве &, М и е6 выбраны удвоенные компоненты тензора &). Такое изображение не единственно; с одной стороны, можно было бы ввести не шестимерное, а девятимерное пространство, если не обращать внимание на симметрию тензоров о” и е“, обозначать, скажем, а12 и 3 как разные компоненты вектора о и не умножать % «*/) на два. С другой стороны, нужно помнить, что представление тензора в виде вектора имеет лишь ограниченный смысл и пригодно только для определенной фиксированной системы отнесения; формулы преобразования компонент вектора и компонент тензора при изменении осей координат различны, поэтому, отнеся тензор напряжений или дефор-
наций к новым осям координат, мы получим совершенно другой изображающий вектор. Вместо того, чтобы изображать напряженное и деформированное состояние шестимерными векторами, мы могли бы ограничиться трехмерными пространствами, приняв за составляющие соответствующих векторов главные напряжения и главные деформации. Формулировка общих закономерностей, связывающих напряжения и деформации, для главных значений соответствующих тензоров представляется наиболее простой и естественной, если материал изотропен (см. § 1.11). Если материал анизотропен, преимущества такого представления утрачиваются.
Путь деформирования или путь нагружения, таким образом, могут быть представлены как кривые, описываемые концами векторов о и е в соответствующих пространствах. Закон упругости, т. е. уравнения (8.1.1) устанавливают, в частности, что замкнутому пути деформирования соответствует замкнутый путь нагружения и наоборот.
Рассмотрим теперь такой класс упругих материалов, для которых работа, произведенная над элементарным объемом в замкнутом цикле по деформациям или напряжениям, равна нулю. В классической литературе именно это определение принималось за определение упругого материала; в современных руководствах по отношению к ним применяется термин «гиперупругие». Сохраняя обычную терминологию, мы сохраним название «упругие» тела для таких тел, к которым относится не только первое условие, сформулированное в начале, но также требование отсутствия немеханических потерь энергии или, наоборот, необходимости привлечения немеханической энергии извне при деформировании. В § 7.4 было выписано выражение для вариации работы внутренних сил на возможных вариациях деформаций; если вариации деформаций заменить их действительными приращениями, мы получим элементарную работу внутренних сил на единицу объема или изменение упругой энергии. Предположение о «гиперупругости» исключает влияние термических эффектов. Итак, изменение внутренней энергии равно
dU = Cijde" = skdek.
Представление в форме скалярного произведения векторов в шестимерном пространстве и потребовало обозначений 统=2々3, .. •, в девятимерном пространстве было бы просто е《=е23. Условие равенства нулю работы на произвольном замкнутом цикле будет следующим:
0 dU = $5；^% = 0.
Для этого необходимо, чтобы подынтегральное выражение
представляло собой полный дифференциал, следовательно, dU
8U8UИтак, упругая энергия U есть функция от компонент деформации U = U (а。 и закон упругости принимает следующий вид:
8U
8U
(8.1.3)
Мы предположим, что соотношения (8.1.3) однозначно разрешимы относительно е^・ С помощью преобразования Лежандра эти обратные соотношения можно представить при помощи формул, аналогичных (8.1.2). Если U(eQ служит потенциалом напряжений, то потенциал деформаций или дополнительная работа определяется следующим образом (см. § 2.8):
①(3) = 5必一U. (8.1.4》
Отсюда следует:
(8.1.5)(8.1.5)编=丽
(8.1.5)
(8.1.5)
Происхождение термина «дополнительная работа» было разъяснено в § 2.8.
Требование однозначной разрешимости уравнений (8.1.3) относительно деформаций эквивалентно условию выпуклости по* верхностей U (&» = const в пространстве деформаций или поверхности O(0ij) = const в пространстве напряжений. Действительно, соотношение (8.1.3), например, означает, что вектор о направлен по нормали к поверхности U = const. Если эта поверхность строго выпукла, то заданному направлению нормали соответствует лишь одна точка поверхности. Однако требование строгой выпуклости может быть смягчено, достаточно потребовать лишь невогнутости соответствующей поверхности. Например, если упругий материал несжимаем и изотропен, то приложение к нему гидростатического давления не вызывает деформации. Наоборот^ если задана деформация, то напряженное состояние определяется не единственным образом, а лишь с точностью до гидростатической составляющей.
Закон Гука
Опыт показывает, что, если деформации малы и тело упруго, то соотношения (8.1.1) линейны, это значит
и? = Е^кЗ(824 J
и обратно
% = IlfjjyGw.(8.2.2)
Тензор четвертого ранга 豆仃鼠 будем называть тензором модулей
упругости, а тензор Пда ——тензором упругих податливостей. Вследствие (8.1.3) и (8.1.5)
齿=也也=也dehl 先' dGkl 叫/
поэтому тензоры 后灯必 и 口仃必 симметричны относительно первой и второй пар индексов
Eijki= Еа* Пг-jju = Ukiij»(8.2.3)
Из симметрии тензоров ау и &： следует, что тензоры модулей и податливостей не меняются при перестановке индексов i и 九 fc и Z. В результате оказывается, что из 81 компоненты тензора четвертого ранга в трехмерном пространстве различными остаются лишь 21 компонента. Соответствующие потенциалы имеют следующий вид:
U = Т Еименем,①=彳 ^W^ij^hi*(8.2.4)
Заметим, что для линейно-упругого тела по теореме Эйлера об однородных функциях
dU
0咒力=ёu码=2U;
поэтому из формулы (8.1.4) следует
Ф^и,
и введение термина «дополнительная работа» не вызывается необходимостью, функция Ф есть та же упругая энергия U, но выраженная через напряжения. Тем не менее в дальнейшем, во избежание путаницы, мы будем сохранять принятую ранее терминологию и раздельные обозначения для функций ① и U.
Материал, свойства которого одинаковы для образцов, вырезанных в любом направлении, называется изотропным. Более точно, это определение изотропии относится к весьма малым образцам, вырезанным в окрестности одной и той же точки. Изотропный материал может быть неоднородным, т. е. упругие свойства его могут меняться от точки к точке. Очевидно, что потенциал напряжений или упругая энергия изотропного тела не должен меняться при изменении осей координат, поэтому он должен выражаться через инварианты тензора деформаций. Единственная однородная квадратичная форма, составленная из этих инвариантов, зависит от двух констант и выражается следующим образом:
U =手(九痰+ 2n百口).(8.2.5)
Модули X и ц называются упругими постоянными Паме, они
полностью описывают упругие свойства изотропного тела. Представим выражения для и % следующим образом:
E1=eн = 6吗, 网 =6万加/步必，еu = e^eij = &/力&我亚.
Таким образом, (8.2.5) принимает вид
U = T(入8石M+ 2卩6泳6")ё万加.
Сравнивая с (8.2.1), находим
(826)(826)Etjhi = ^6ij6ki 2)1&疯2・
(826)
(826)
Очевидно, что выражения (8.2.6) для модулей упругости изотропного тела сохраняют свой вид для любой системы координат, поскольку тензор Кронекера при изменении системы координат не меняется.
В общем случае модули упругости Ew и податливости Пу« преобразуются по формулам преобразования тензора четвертого ранга
(8.2.7)(8.2.7)E^jhl = Е pqrg^ip^jq^kr^ Is •
(8.2.7)
(8.2.7)
Здесь 冷印—направляющие косинусы оси х^ по отношению к осям хр (или наоборот, оси хР по отношению к осям %厶 вследствие высокой степени симметрии тензора Epqra это безразлично).
Часто оказывается, что анизотропное тело обладает известной симметрией строения. Это относится, прежде всего, к кристаллам, к композитным материалам регулярного строения, к биологическим объектам типа древесины или кости. Используя свойства симметрии, можно выбрать такую специальную систему координат, для которой некоторые компоненты тензора модулей упругости обращаются в нуль или становятся тождественно равными между собой, и общее число упругих констант оказывается меньше чем 21.
Представим совокупность модулей упругости в виде снимет* ричной матрицы следующим образом:
ЕЕ
11111122
^1133
"1123
"1131
"1112
*2222
*2233
%223
*2231
*2212
*3333
*3323
*3331
*3312
*2323
*2331
*2312
*3131
*3112
"1212
Плоскость 力i%2 называется плоскостью упругой симметрии тогда, когда вид упругого потенциала не меняется при замене коор-
динат: %； = %i，%；= %2, %з= — %з・ Плоскость симметрии существует, когда любому структурному элементу соответствует точна такой же структурный элемент, расположенный симметрично относительно плоскости %i%2・ Так, базисные плоскости кристаллов с кубической или гексагональной решеткой будут плоскостями упругой симметрии. При указанной замене координаты компоненты перемещения и остаются неизменными, тогда как 辽* меняет знак, становясь 〃з = — u3. Индексы прп обозначениях Ецы соответствуют индексам перемещений и координат, по которым производится их дифференцирование. Производные от ut и 辽2 по %з меняют знак на противоположный так же, как производная от 〃з по ①I и %2・ Но производная и3>3, а следовательно, деформация е33 знака не меняет. Для того чтобы упругий потенциал не изменился при указанной замене координат, нужно, чтобы из выражения его выпали члены, меняющие знак и, следовательно, те модули, в обозначении которых индекс 3 используется один или три раза, должны обратиться в нуль. Матрица модулей получается следующей:
^1111
*1122
"1133
0
0
^1112
*2222
*2233
0
0
*2212
*3333
0
0
*3312
4з23
*2331
0
*3131
0 *1212
Итак, при наличии одной плоскости упругой симметрии число упругих постоянных уменьшается до тринадцати.
Если плоскость XiX3 также представляет собою плоскость упругой симметрии, то обращаются в нуль те модули, в обозначениях которых индекс 2 встречается один или три раза. Заменяя в предыдущей матрице соответствующие элементы ну* лями, получим следующую матрицу:
ЕЕ с Е с000
^11111122 ^1133UUи
*2222*2233。。。
%зз ООО
/32300
Е0
3131и
Е
^1212
Теперь число упругих постоянных стало равно девяти. Заметим, что те модули, в обозначениях которых индекс 1 встречается один или три раза, также обратились в нуль. Это значит, уто если в теле имеются две взаимно ортогональные плоскости упругой симметрии, то третья ортогональная к ним плоскость будет также плоскостью упругой симметрии. Тело, имеющее три ‘6 ю. Н. Работнов
плоскости упругой симметрии и характеризуемое девятью упругими постоянными, называется ортотропным телом. Для обозначения упругих констант анизотропного тела в физике кристаллов обычно применяется не четырехиндексная система, а двухин- дексная, основанная на соответствии, устанавливаемом формулами (8.1.2), а именно:
$i = CijCj, в| = c^Sj.(8.2.8)
Модули упругости % и податливости с# образуют матрицы 6X6, симметричные вследствие существования потенциала. Таким образом, число упругих постоянных равно 21.
Необходимо подчеркнуть, что число упругих постоянных, фигурирующих в законе Гука, сокращается лишь тогда, когда плоскости симметрии приняты за координатные плоскости. В других системах координат по-прежнему уравнения будут содержать двадцать одну константу, которые выражаются через девять независимых констант формулами (8.2.7).
Закон Гука для изотропных тел
В приложениях часто пользуются формой записи закона Гука, отличной от той общей формы, которая была сообщена в § 8.2, и выбирают в качестве упругих констант некоторые комбинации из введенных выше, которые делают формулы более удобными или оказываются более доступными для непосредственного экспериментального определения.
Изотропное тело. Полагая 石【=Зе = 0, запишем уравнения (8.2.1) для изотропного тела с учетом (8.2.6) в следующем виде:
Оу =入 86“ + 2цеъ-.(8.3.1)
Если нужно записать эти уравнения разрешенными относительно &力 то бывает удобно, вместо постоянных 九 и 卩,воспользоваться так называемыми техническими постоянными
v一2(九十n)，九+"+
Теперь результат обращения (8.3.1) запишется следующим образом:
= ^^(О" — р^。6 j •(8.3.2)
Чтобы выяснить смысл постоянных F и V, перепишем уравнения (8.3.2), отказавшись от последовательного сохранения тензорной формы. Для этого подставим вместо о его выражение.
Получим
41 =善[。1工一v (。22 + Озз)] , • • •，Y12 = 2&2 =万 ^12» • • •(8.3.3)
Из формул (8.3.3) видно, что Е — модуль упругости, a v — коэффициент Пуассона, которые были определены в § 2.2.
Свертывая (8.3.1) по индексам Z и у, получим
За = (3 九 + 2卩)9.
Положим
k = 入 + 3 卩=3a 一2斤, тогда
с = Ке.(8.3.4)
Величина К называется объемным модулем упругости.
Закон Гука можно записать также, разбивая соответствующие тензоры на девиаторную и шаровую составляющие. Вычтем из обеих частей (8.3.1) 。6修 причем в правой части заменим о по формуле (8.3.4). Получим
о» — об 灯=2卩(6仃一ebij), или Ofj= 2цв{у, (8.3.5》
Здесь черточки над буквами, как и ранее, обозначают девиаторы соответствующих тензоров. Заметим, что для постоянной 卩 часто применяется другое обозначение, а именно 卩=G. Вторая группа формул (8.3.3) типа 丫 = t/卩 дает основание называть эту величину модулем сдвига.
Для положительной определенности квадратичной формы упругой энергии необходимо и достаточно условие А>0,卩 > 0・ Что касается технических постоянных, модуль Е должен быть положителен. Положительны также модули К и G; отсюда следует такое ограничение возможных значений коэффициента Пуассона
-l^v<l/2.
Значение v = 1/2 соответствует несжимаемому материалу. Опыт показывает, что для всех известных изотропных материалов v > >0・ Было сделано много попыток доказать, что нижняя граница Для V равна нулю, а не —1, но достичь этого в рамках рациональной механики, конечно, нельзя.
Ортотропное тело. По аналогии с формулами (8.3.3) за* кон упругости для ортотропного тела записывают следующим 46・
образом:
^11 = F 911 一 %2。22 — %3033)，
ё22 = 7r (022 - "23083 一 "21011),(8.3.6)
%зТ%F "嗡『%зТ%F "嗡『31313131
%зТ
%F "嗡『
%зТ
%F "嗡『
31
31
31
31
В этих формулах фигурируют 12 упругих констант, независимы; из условии ^― = ^—,следует:В этих формулах фигурируют 12 упругих констант, независимы; из условии ^― = ^—,следует:но они нено они не
В этих формулах фигурируют 12 упругих констант, независимы; из условии ^― = ^—,следует:
В этих формулах фигурируют 12 упругих констант, независимы; из условии ^― = ^—,следует:
но они не
но они не
3 —① & = 111 V233 —① & = 111 V23V32亨V32亨(8.3.7)(8.3.7)
3 —① & = 111 V23
3 —① & = 111 V23
V32亨
V32亨
(8.3.7)
(8.3.7)
В результате число независимых упругих постоянных оказывается равным 9, как и должно быть для ортотропного тела.
Формулировка задачи теории упругости. Теорема единственности решения
Выпишем полную систему уравнений теории упругости, которые были по отдельности сообщены в § 7.2, 7.4 и 8.2.
Уравнения равновесия:
(8.4.1)(8.4.1)(8.4.2)(8.4.3)(8.4.2)(8.4.3)0仃,:+ 居=0.
(8.4.1)
(8.4.1)
(8.4.2)
(8.4.3)
(8.4.2)
(8.4.3)
Закон упругости: в общем случае
ди
и для линейно-упругого тела
0仃=豆"以"1•
Выражения компонент деформации через перемещения:
%R 〃(工力・%R 〃(工力・(8.4.4)
%R 〃(工力・
%R 〃(工力・
Здесь и в дальнейшем при общих рассуждениях и доказательствах общих теорем мы будем предполагать заданными следующие условия на границе. Пусть поверхность тела S состоит из двух частей: S = Sr + Su. Будем считать, что в каждой точке Xi поверхности задано
м； = U｛，勺 ^= S “,м； = U｛，勺 ^= S “,(8.4.5)(8.4.5)
м； = U｛，勺 ^= S “,
м； = U｛，勺 ^= S “,
(8.4.5)
(8.4.5)
5沔=7；, g 巨 St.(8.4.6)
Этот простейший случай далеко не исчерпывает всех возмож-
ностей. Так, например, при вдавливании жесткого штампа в упругое тело часто считают трение отсутствующим. Тогда, если направить ось %з по нормали к поверхности тела, граничные условия под штампом будут такими:
佝=〃 32^13 =023 = °，
В дальнейшем нам встретятся задачи подобного типа, однако в общей теории выделять их не имеет смысла, приводимые ниже рассуждения легко перефразируются и на такие случаи.
Итак, задача теории упругости состоит в решении уравнений (8.4.1) — (8.4.4) при граничных условиях (8.4.5), (8.4.6)・
Если 5 = 5М, следовательно, на всей поверхности тела заданы перемещения, соответствующая задача называется первой основной задачей теории упругости. Если S = ST и на всей поверхности заданы усилия 7\, мы будем говорить о второй основной задаче. Сформулированная выше постановка относится к смешанной задаче.
Первый вопрос, который естественно поставить, состоит в том, всегда ли существует решение. Теоремами существования решения задач теории упругости занимались многие авторы. Для линейной теории упругости теоремы существования доказывались Фредгольмом, Лауричелла, Коссера, Лихтенштейном и другими авторами в начале этого столетия.
Мы не будем здесь приводить эти довольно сложные и громоздкие доказательства, а будем просто строить соответствующее решение, удовлетворяющее как дифференциальным уравнениям, так и граничным условиям задачи.
Заметим, что вопрос существования решения далеко не всегда решается положительно, если закон упругости нелинеен. Так, при степенном законе упругости, соответствующем в одномерном случае зависимости вида
о = аеа (а < 1),можно привести примеры задач, когда решение не существует.Это связано с тем, что производная do/de = ааеа^ становитсябесконечно большой при е = 0.
Во всех примерах, которые будут рассмотрены ниже, вопрос существования решения не возникает, поскольку эти решения будут построены фактически. Однако вопрос о том, единственно ли найденное решение, важен, и теорему единственности необходимо доказать. Это доказательство мы проведем для линейного закона упругости (8.4.3).
Предположим, что одним и тем же объемным силам при одинаковых граничных условиях типа (8.4.5—6) соответствуют два различных решения о万，eu, ui и а^, Up Разность этих ре- тении 0甘=а, — а：；, е^ = ©灯——е^, и^щ— 〃不 удовлетворяет всем
уравнениям (8.4.1) при Fi = 0, уравнениям (8.4.3), (8.4.4) и нулевым граничным условиям: и^ = 0, %寸三5丁, uf = 0, ^ е 5и. Таким образом, доказательство единственности проводится стандартным для линейных уравнений методом, оно сводится к доказательству отсутствия решения однородной спстемы. Положим в уравнениях (8.4.1) £ = 0, умножим на uf и проинтегрируем по объему. Получим
J OijjUidV = 0.
Преобразуем этот интеграл, заметив, что о仃，j м» = (о订м, j — о^е^・ Итак,
J 05Mdp = J (^i)j &卩一J ^i^ijdV = 0.
VVV
Но первый интеграл по формуле Гаусса ——Остроградского преобразуется в интеграл по поверхности
J 9订•％)/ ©卩=j ^arijUidS.J 9订•％)/ ©卩=j ^arijUidS.VVss
J 9订•％)/ ©卩=j ^arijUidS.
J 9订•％)/ ©卩=j ^arijUidS.
V
V
s
s
Этот поверхностный интеграл равен нулю вследствие условий на поверхности:
%=0, Xi ^ 5U;
d/j = 0, q 三 ST.
Итак, остается
J Oi^dV = 0.
Если выполняются (8.4.3) и упругий потенциал U представляет собою однородную квадратичную функцию от &力 то по теореме Эйлера об однородных функциях
Интеграл по области от положительно олределенной функции равен нулю только тогда, когда эта функция равна нулю во всех точках, а это возможно лишь тогда, когда всюду е^, а следовательно, и о” равны нулю. Таким образом, нулевым граничным условиям могут соответствовать только нулевые решения. Этим и доказывается теорема единственности.
Заметим, что перемещения определяются при этом не единственным образом, а с точностью до перемещения тела как жесткого целого. Это следует из формул Чезаро (§ 7.3), которые определяют перемещение с точностью до шести констант 〃?，со%
Если закон упругости (8.4.2) нелинеен, состояния, отмеченные одним штрихом и двумя штрихами, нужно считать бесконечно близкими, тогда е^ и 0仃 бесконечно малы. Пренебрегая величинами второго и более высокого порядка малости, представим уравнения связи (8.4.2) следующим образом:
д2ид2иdei3depqdei3depq(8.4.7)(8.4.7)
д2и
д2и
dei3depq
dei3depq
(8.4.7)
(8.4.7)
Соотношения (8.4.7) имеют совершенно ту же структуру, что (8.4.3). Воспроизведя буквально приведенные выше рассуждения для линейного случая, убеждаемся, что решение единственно тогда, когда квадратичная форма
(8.4.8)(8.4.8)此死y〃q》0,
(8.4.8)
(8.4.8)
т. е. положительно определена. Данное доказательство позволяет утверждать лишь единственность в малом. Условие (8.4.8) представляет собою условие выпуклости поверхности U (е^) = const
в пространстве деформаций. Но если эта поверхность выпукла
во всех точках, то условие (8.4.8) обеспечивает и единственность в большом. Строгое доказательство этого почти очевидного факта мы опускаем.
Необходимо подчеркнуть, что теорема единственности доказана нами для геометрически линейной постановки задачи теории упругости. Если условие (8.4.8) не выполнено, единственности может не существовать. Это может означать одно из двух: либо принятая модель сплошной среды некорректна, либо материал неустойчив. Примером такого неустойчивого материала
служит материал с падающей диаграммой растяжения, подобной изображенной на рис. 8.4.1. Видно непосредственно, что одному
и тому же значению напряжения на этой диаграмме соответствуют два разных значения деформации. Вопрос о действительном существовании таких неустойчивых упругих материалов остается открытым; диаграммы вида изображенной на рис. 8.4.1 наблюдаются при описании пластического поведения и представ
ляют зависимость условного напряжения, т. е. растягивающей силы от деформации. Пример неустойчивости такого рода был рассмотрен в § 4.13. Для геометрически нелинейных систем
теорема единственности несправедлива: нарушение единственности соответствует потере устойчивости упругого тела. Рассмотрению подобного рода задач в элементарной постановке была посвящена вся четвертая глава.
Уравнения теории упругости в перемещениях и в напряжениях
Уравнения (8.4.1) — (8.4.4) можно привести к системе трех уравнений для нахождения трех неизвестных компонент вектора перемещения uf. Для этого, прежде всего, комбинируя (8.4.3) и (8.4.4), запишем
и” = Т Eijiugj + %)•(8.5.1)
Внесем (8.5.1) в уравнения (8.4.1) и получим следующую систему:
Etjki (% и + w w) + 2凡=0.(8.5.2)
Эти уравнения образуют систему шестого порядка. Для изотропного тела по формуле (8.2.6)
Е 仃必=Лбубы 4* 2[i6ik6ji.
Подставляя в (8.5.2), вычислим по отдельности входящие туда суммы
6廿6版辽匹 и = м耳m н e,«.
Действительно, множитель 3订6以 отличен от нуля только тогда, когда / =力 и 1 = к. Точно также
&n6hiUit kj = 〃瓦 м = 9,<»
8ik8jiUkt ij = 〃力 Ah = A〃, 5ik^ilUl, M = 〃h, ik = 9,i・
В результате для изотропного тела получаем систему уравнений, которую обычно называют уравнениями Ламе,
(% + м) 61£ + 心〃；+ R = 0.(8.5.3)
В большинстве задач теории упругости можно считать объемные силы отсутствующими и полагать Ff = 0. Действительно, объемные силы выражаются обычно весьма простыми функциями от координат (например, сила тяжести), и нахождение частного решения уравнения (8.5.3) труда не составляет. Это частное решение может быть любым, вся разница будет сводиться к изменению граничных условий, которые теперь ставятся уже для однородной системы (8.5.3). Нахождение решения этой системы при заданных граничных условиях и составляет основную трудность.
Сделаем некоторые заключения о свойствах функций 〃力 вытекающие из (8.5.3)・ Полагая Fi = 0, продифференцируем каждое из уравнений по соответствующей координате ①< и произведем
свертку по индексу г. Получим
Д6 = 0. (8.5.4)
Таким образом, объемное расширение в упругом изотропном теле при отсутствии массовых сил есть гармоническая функция. Взяв теперь оператор Лапласа от левой части уравнения (8.5.3) при Fi = 0, убедимся в том, что
AAui = 0. (8.5.5)
Каждая из компонент вектора перемещения представляет собою бигармоническию функцию от координат.
Однако не следует думать, что задача теории упругости может быть сведена к интегрированию системы (8.5.5) или что величина 0 может быть найдена по известным методам решения уравнения Лапласа. Величина 0 никогда не бывает задана на границе и определить ее, решая задачу Дирихле, не удается. Система (8.5.5) представляет собою систему двенадцатого псь рядка, тогда как исходная система (8.5.3) шестого порядка. Чтобы определить бигармоническую функцию, на границе области необходимо задать два условия, например, щ и дщ!дщ т. е. нормальную производную от 〃i, тогда как для решения системы (8.5.3) достаточно задать только величины щ в каждой точке поверхности. Относительно легко построить три бигармонические функции, принимающие на границе заданные значения, но вообще они не будут удовлетворять уравнениям (8.5.3).
Постановка граничных условий для уравнений Ламе особенно проста, когда речь идет о первой основной задаче теории упругости, т. е. когда на поверхности задано щ = 〃；・ Если на границе заданы усилия, то следует по закону Гука выразить напряжения через деформации, т. е. первые производные от перемещений, и внести в граничные условия (8.4.6). Таким образом, ва границе оказываются заданными некоторые линейные комбинации из первых производных функций и：, которые мы выписывать не будем.
С другой стороны, за неизвестные можно принять компоненты тензора напряжений. Дифференциальные уравнения равновесия, которые мы перепишем, положив равными нулю объемные силы в соответствии со сделанным выше замечанием
O/j, j = 0, (8.5.6) недостаточны для определения напряженного состояния в упругом теле. Недостающие уравнения можно было бы получить следующим образом. Выразим деформации через напряжения и подставим полученные выражения в уравнения совместности (7.3.7) и (7.3.8). Однако поскольку уравнения Ламе уже выведены, мы можем прийти к цели более коротким путем.
Перепишем уравнения Ламе в виде
以=一中餘・
Вычислим теперь оператор Лапласа от компоненты деформации 厶旬=у (А〃ю + А%*,。к — & 吉上 8廿(8.5.7)
С другой стороны, из уравнений закона Гука (8.3.1) следует
△%j = % Ао 亦
При написании последней формулы учтено, что Д0 = 0 (8.5.4). Внеся выражение для Ае“ в (8,5.7), получим
А® + 2 (А + 卩)9 阳=0.
Теперь осталось лишь заменить 0 через о с помощью (8.3.4). Окончательно получим
А°М + 装玛2 и岗=0, или Ао订 + ^^ и,刃=0. (8.5.8)
Уравнения (8.5.8) называются уравнениями Бельтрами ——Митчела (более точно ——Митчел получил их для отличных от нуля объемных сил, что не вносит сколько-нибудь существенных осложнений. По указанным выше причинам нам казалось бесполезным приводить эти более полные уравнения). Свертывая (8.5.8) по индексу 厶 убеждаемся, что
Да = 0.(8.5.9)
Беря оператор Лапласа от (8.5.8), находим
ААо 万=0.(8.5.10)
Соотношения (8.5.9) и (8.5.10), конечно, немедленно следуют из (8.5.4) и (8.5.5).
Система уравнений Бельтрами ——Митчела ——это система 12-го порядка. Произведя дифференцирование при их выводе, мы искусственно повысили порядок исходной системы. В результате оказывается, что возможные решения системы (8.5.8) порождают класс функций более широкий, чем возможные решения задачи теории упругости. Решения системы (8.5.8) не обязательно удовлетворяют уравнениям равновесия. Это ясно хотя бы из следующего примера. Пусть напряжения ——произвольные линейные функции координат 。仃=aijkxh. Поскольку уравнения (8.5.8) содержат лишь вторые производные от о», эти уравнения будут выполнены тождественно при любых значениях постоянных а^.
Но подставляя 。订=公摭以 в уравнения равновесия, мы найдем, что эти постоянные связаны тремя условиями вида а诩=0.
Если на всей поверхности тела заданы усилия, граничные условия задают на поверхности линейные комбинации искомых функций, т. е. напряжения. Но если заданы перемещения точек поверхности, то сформулировать граничные условия в напряжениях в общем виде невозможно; эти условия будут содержать некоторые интегралы от напряжений и их производных, которые получатся, если в формулы Чезаро внести выражения деформаций через напряжения по закону Гука. Иногда, например, в плоской задаче теории упругости соответствующие преобразования удается довести до конца.
Температурные эффекты
Всякое твердое тело расширяется при нагревании и сокращает свои размеры при охлаждении. Если к телу при этом приложены силы, они совершают работу; таким образом, тепловая энергия превращается в механическую. Применение к упругому телу законов термодинамики показывает, что возможно и обратное превращение.
% = Eijki (е拉一а^АТ) •% = Eijki (е拉一а^АТ) •(8.6.1)(8.6.1)Будем исходить из опытного факта, состоящего в том, что упругая деформация и температурная деформация аддитивны. Поэтому
% = Eijki (е拉一а^АТ) •
% = Eijki (е拉一а^АТ) •
(8.6.1)
(8.6.1)
Здесь ам — тензор коэффициентов термического расширения, АТ = Т — То ——изменение температуры. Соотношения Дюамеля — Неймана (8.6.1) мы будем принимать за первичный опытный факт. Постоянные 后仃必 определяются при Т = То, АТ = 0, т. е. в изотермических условиях. Если ДГ не мало, то Е^м и aw должны рассматриваться как функции температуры; мы будем считать разность АТ настолько малой, что модули и коэффициенты расширения могут считаться постоянными. Таким образом, (8.6.1) представляют собою закон термоупругости в изотермических условиях. Для обратимого процесса
ат с ат
Здесь 4r (е“, Т) — свободная энергия, S — удельная энтропия. Интегрируя (8.6.1), находим
中=2 ^ijki^ij^ki — ^ijki^ki^ij (T — 7。)+ / (7)(8.6.2)
и, следовательно,
S = Eij^hi^a — /' (?) •(8.6.3)
Внутренняя энергия, как известно, выражается следующей
формулой:формулой:и = ^ + TS,и = ^ + TS,илиили
формулой:
формулой:
и = ^ + TS,
и = ^ + TS,
или
или
U = -^%冗国产奴+即科女色凡+ 〃Т) — Tf (Г).(8.6.4)
При фиксированной деформации изменение свободной энергии совершается только за счет поступления в упругое тело тепла извне, следовательно,
〃Т)-7у(Т)= СеТ・
Здесь се ——теплоемкость при постоянной деформации, которую мы считаем постоянной, как и другие параметры, если приращение температуры невелико. Дифференциальное уравнение для функции /(7) получилось таким же, как в теории газов, интегрируя его, находим
/(T)=-ceTlnT,
(8.6.5)(8.6.5)подставляя в (8.6.3), получаем выражение для энтропии S =е£沖。左声万+ “ In歹•
(8.6.5)
(8.6.5)
Аддитивная постоянная в выражении для энтропии выбрана так, чтобы было 5 = 0 при 6仃=0, 7 = J%.
S - e^讣俨hf仃S - e^讣俨hf仃Теперь, разрешая (8.6.5) относительно Т и подставляя в (8.6.4), находим
S - e^讣俨hf仃
S - e^讣俨hf仃
U (е^, S) = е Е^е^е^ + Е^а^е^Т^ + се ехр
(8.6.6)
Как известно, о订=岁，Т =禁 В адиабатическом процессе
5 = const, при Т = То было 5 = 0, следовательно, в (8.6.6) следует принять S = 0. Соотношение между а^ и е^ в этом случае по
лучается вообще говоря нелинейным, но сохранение этой нелинейности не имеет смысла, поскольку нелинейные члены имеют тот же порядок, что и отброшенные ранее малые величины, например, изменение модулей с температурой. Дифференцируя по
6仃,разлагая в ряд экспоненту и удерживая лишь первые два члена в разложении, получим
+ ~ ^hlrs^ijpq^rs^pqу «左2・(8.6.7)
Составляющие тензора четвертого ранга, заключенные в скобки в формуле (8.6.7), представляют собою адиабатические модули упругости, которые больше чем изотермические. Для металлов
эта разница весьма мала, величина ее для одноосного растяжения была оценена в § 2.9, эта оценка сохраняет порядок величины и для общего случая.
Дифференцируя (8.6.6) по S, полагая S = 0 и удерживая два члена разложения экспоненты в ряд, найдем изменение температуры
-= - 丁当加电1卢甘. (8.6.8)
Разница между адиабатическим и изотермическим модулями объясняется тем, что при деформировании температура меняется и происходит температурная деформация, приложенные напряжения должны не только вызвать заданную деформацию, но и компенсировать температурную.
Преобразование Лежандра позволяет получить энтальпию как функцию напряжений и энтропии и свободную энтальпию как функцию напряжений и температуры. Таким образом, потенциалом напряжений для изотермического процесса служит свободная энергия, для адиабатического ——внутренняя энергия. Аналогичным способом получаются различные потенциалы деформаций для изотермического и адиабатического случаев.
Если теплоизоляция отсутствует или же процессы не настолько медленны, чтобы все время существовало температурное- равновесие с окружающей средой, часть механической энергии^ превращающейся в тепло, будет рассеиваться. Совместное рассмотрение уравнений теории упругости с температурными аленами п уравнений теплопроводности позволяет ставить так называемую связанную задачу термоупругости. Обнаруживаемые при этом эффекты незначительны и в эксперименте их трудно отличить от эффектов, связанных с внутренним трением. Поэтому исследование эффекта температуры в теории упругости почти всегда основывается на уравнениях Дюамеля ——Неймана (8.6.1), в которых модули упругости считаются постоянными и не зависящими от характера термодинамического процесса.
Вариационные уравнения теории упругости
Система уравнений теории упругости н граничные условия представляют собою уравнения Эйлера и естественные граничные условия некоторой вариационной задачи. Построим следующий функционал:
11 ]—^Uij~ ~2U^ij11 ]—^Uij~ ~2U^ij—U （%，）+ 口叫—U （%，）+ 口叫dV +dV +
11 ]
—^Uij~ ~2U^ij
11 ]
—^Uij~ ~2U^ij
—U （%，）+ 口叫
—U （%，）+ 口叫
dV +
dV +
+ f Tj u^dS + J S/j (〃t — uj dS. (8.7.1〉
丁
Будем рассматривать в этом функционале и<, е” и а” как независимые функциональные аргументы и приравняем нулю вариацию этого функционала
&=J ［打灯卜"一 т也j一4 "*)+ 5/卜旬一 4 8"精-4加工J—
у
券龜仃 + F^ dV + ^ T^SuidS +
+ f 6(Jij7ij(U{ — U{) dS 4- J GijKjbuidS. (8.7.2) susu
Приравняв получимПриравняв получимнулю множитель при бо^ в объемном интеграле,
Приравняв получим
Приравняв получим
旬=у (uiJ + 勿,4)，
(8.4.5)(8.4.5)т. е. уравнение (8.4.4). Приравнивая нулю аналогичный множитель в поверхностном интеграле, получим граничное условие
(8.4.5)
(8.4.5)
Точно так же, поскольку (8.7.2) справедливо при любых значениях Зе“, из него следует уравнение (8.4.2)
частям ин-частям ин-тензора Оцтензора Оцди
частям ин-
частям ин-
тензора Оц
тензора Оц
у он равену он равенТеперь преобразуем с помощью интегрирования по теграл у J СГ|； (6и^ + 6и；д) dF. Вследствие симметрии
у он равен
у он равен
j ^ij^itjdV = — j OijjSuidV + f в^п^щйЗ.
vvs
уравненийуравненийС учетом выполненного преобразования, а также
уравнений
уравнений
(8.4.2) и условия (8.4.5) вариация функционала перепишется следующим образом:
+ J Ti^UidS + J o^njbaidS, (8.7.3)+ J Ti^UidS + J o^njbaidS, (8.7.3)= J (Sj/ + Fi) 6uidV — J OijrijduidS +
+ J Ti^UidS + J o^njbaidS, (8.7.3)
+ J Ti^UidS + J o^njbaidS, (8.7.3)
вариаций 6м“ получается gw匕勺 w St,вариаций 6м“ получается gw匕勺 w St,Syотсюда, вследствие произвольностиS 川 + 3 = 0,5 沔=7；,
вариаций 6м“ получается gw匕
勺 w St,
вариаций 6м“ получается gw匕
勺 w St,
т・ e. уравнения равновесия (8.4.1) и граничное условие (8.4.6).
Принимая часть естественных условий вариационной задачи за предварительные условия, мы получим вариационные уравнения или вариационные принципы более частного характераг когда функционал зависит от меньшего числа варьируемых параметров.
Вариационный принцип Рейснера. Предположим, что заранее выполнены условия (8.4.2), следовательно, 0仃 представлены как функции деформаций % и предполагается существование обратной зависимости. При этом природа этих величин не уточни* ется, т. е. не предполагается, что они выражаются через перемещения по формулам (8.4.4). Тогда входящая под интеграл комбинация о仃％ может рассматриваться как функция от о场 так 次& как и величина U. Вследствие (8.1.4)
%% - U(加)=<!>(%)•
Теперь функционал J перепишется следующим образом:
J"G = J+ 〃j,i) + ①付灯)+ 歹г^г] dV +
V
+ f T*UidS + f a^j (^i — ui) ^- (8.7.0
Индексы при обозначении функционала указывают на то, что он выражается через независимые функции о^ и 弘.Варьируя эти аргументы, найдем
+ Зо万 + F j6u J dV + f М bu^dS +
+ f &1订&(〃 一 и*) dS + f 5/,&“dS>
Приравнивая нулю множитель при Зо订 в объемном интеграле,, сразу получаем
^^ij+щ^ =誥？
Учитывая, что вследствие (8.1.5) дФ/до^ = eih это равенства представляет собою (8.4.4). Точно так же отсюда получается граничное условие при Xi w Su
U\ — и^.
Прежде чем приравнивать нулю множитель при 6uf необходимо выполнить интегрирование по частям, как и в предыдущем слу-
чае. После этого вариация функционала с учетом обращения в нуль членов, содержащих Ьо^, примет вид, в точности совпадающий с (8.4.3); из произвольности 8щ вытекают дифференциальные уравнения равновесия и граничные условия при Xi е ST, как это было показано выше.
Вариационный принцип Лагранжа. Предположим, что заранее выполнены уравнения (8.4.4) и геометрическое граничное условие (8.4.5). Тогда функционал (8.7.1) приведется к следующему виду:
Ju~ \ [— U (е») + F俐]dV + j* T；w"S •(8.7.5)
Функционал (8.7.5) называется функционалом Лагранжа, он зависит только от вектора перемещения ub поскольку фигурирующие в выражении (8.7.5) компоненты деформации предполагаются выраженными через перемещения. Приравняем нулю вариацию функционала Лагранжа
б/u = J Г — |~ &万 + FifiuJ dV + ^ T；6〃idS = 0.
g L 万」 sT
Положим
Пока что на это равенство мы будем смотреть просто как на пе-реобозначение для производных ди/двц. Теперь можно написать号&仃=а^6е灯=s抖仰力
Подставляя в выражение для 6JU и выполняя интегрирование по частям, найдем
6/u = f (。万j + Рг) ^idV— J(у^п^щй5 + J T；6%dS・vsSt
Но второй интеграл равен нулю на части поверхности S^, так как геометрическое граничное условие на этой части предполагается выполненным и би» = 0. Поэтому из условия равенства нулю вариации 5J“ вытекает уравнение равновесия
Ou, j + 冗=0
и граничное условие
5/j = Т;,々wSt・
Вариационный принцип Кастилъяно. Предположим, что выполнены дифференциальные уравнения равновесия и граничные условия на части поверхности 5Т, кроме того деформации свя-
заны с напряжениями законом упругости. Последнее предположение делалось при выводе функционала Рейснера (8.7.4), поэтому мы примем за отправный пункт именно этот функционал, а не самый общий (8.7.1). Преобразуем объемный интеграл
+ ”» dP = — J sj,m dV+ J Q^n^i dS; vs
подставляя его в (8.7.4), получим
J“g = J [(о订・J + %) % + ①(аи)] &口 一 ] GaTijUi dS +
++J Т^щ dS+ J Oi/j(^j —〃：)dS・
+
+
Sy§u
Считая, что уравнения (8.4.1) и граничные условия (8.4.6) выполнены заранее, получим функционал, зависящий только от напряжений
J。= f ①(仇力 dV — J о炉&u：dS・ (8.7.6) b su
Функционал (8.7.6) называется функционалом Кастильяно. При варьировании этого функционала необходимо иметь в виду, что уравнения (8.4.1) и граничные условия (8.4.6) предполагаются выполненными. Поэтому должно быть
6бг = 0, бо/j^ == 0, Xi 5Т. (8.7.7)1
Покажем, что условие 6/。= 0 влечет за собою выполнение условий совместности для деформаций, которые пока что формально определены следующим образом:
Варьируя функционал при условиях (8.7.7), мы воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа, т. е. будем рассматривать следующий функционал:
К。= J [①(c^ij)—九t (仇储 + Fi)] dV —
—J o^jUjUidS — j* |i| {^ijnj — T；) "S• (8.7.8) su sr
Теперь вариации 6o“ уже можно считать совершенно произволь* ными, т. е. не подчиненными (8.7.7) . Приравняем нулю вариацию ‘7 Ю, Н. Работнов
этого функционала
5К。=，(暮一熊,6а^ dP- f ^i^u-dS 一 J ^^ dS= 0.
Преобразовав интегрированием по частям объемный интеграл, перепишем это условие следующим образом:
3K(j = J-儿，力 86)dV + j bo订%•(九t ——u*) dS +
+，^ijnj (^i—Нг) ^S. Sy
Отсюда
^^ = e力="^ (%,/ + %,3 熊=% , 修三 Su，
Xi ~卩i, %i巨£г・
Таким образом, шесть формально введенных компонент деформации выражаются через вектор 入》точно так же, как определенные обычным способом компоненты деформации выражаются через вектор 心・ Теперь, зная е$ можно определить Хг интегрированием по формулам Чезаро и получить обычным способом уравнения совместности (7.3.5) или (7.3.6). Излишне говорить, что введенный формально, как множитель Лагранжа, вектор 儿 представляет собою в действительности вектор перемещения
Лг三心.
Некоторые замечания о вариационных принципах
Вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно были сформулированы независимо от общего вариационного уравнения 6/ = 0, где J выражается формулой (8.7.1). Их называли и называют энергетическими принципами, поскольку интеграл от U по объему есть упругая энергия, а для линейно-упругого тела, для которого принцип Кастильяно был впервые сформулирован, ф — U. Общая точка зрения, состоящая в том, что все уравнения теории упругости служат уравнениями Эйлера для некоторого функционала, была высказана Вашидзу в 1958 г., принцип Рейснера был открыт его автором в 1955 г. Правда, позже было обнаружено, что общий вариационный принцип (8.7.2) был сформулирован еще в 1911 г. Хеллингером, который опубликовал его в издании, редко читаемом специалистами по теории упругости. Так или иначе принципы Лагранжа и Кастильяно применяются в теории упругости чаще всего. Эти принципы имеют одно преимущество, состоящее в том, что они являются экстремальными. Обращение в нуль первой вариации функционала означает, что величина этого функционала принимает стационарное значение, которое может быть максимальным или минимальным или ли тем, ни другим. Если вычислить вторую вариацию функционала (8.7.1) или функционала Рейснера, мы получим некоторую квадратичную функцию от вариаций ба^, 6%% би： в первом случае, 6〃“ 6a：j во втором. Вариацию этих аргументов можно всегда выбрать так, чтобы вторая вариация функционала была по нашему желанию либо
положительной, либо отрицательной. Поэтому обращение в нуль первой вариации функционала не означает, что функционал достигает при этом экстремального значения. С функционалом Лагранжа дело обстоит иначе. Вторая вариация его выражается следующим образом:
/ y 吗，dehl
Фигурирующая под интегралом квадратичная форма положительно определенна для любой разумной модели материала, для которой справедлива теорема единственности (§ 8.4). Можно показать, что если функция U всюду строго вьшукла, т. е. если эта квадратичная форма положительна всюду, функционал имеет абсолютный максимум для истинного поля перемещений. Если и. есть некоторое поле перемещений, не представляющее собою решение рассматриваемой задачи теории упругости, a Ui ——истинное поле перемещений, то
Ju W>^U «)•(8.8.1)
Для линейного закона упругости
£ ^£^ 5气产м = U (5啕.
Эта квадратичная форма положительно определенна, третья и следующие вариации функционала Ju тождественно равны нулю; таким образом, доказывается неравенство (8.8.1), которое носит не локальный характер.
Аналогичным образом доказывается, что функционал Кастильяно для истинного напряженного состояния принимает минимальное значение
〃&)<〃(％)•(8・8・2)
Вариационный принцип Лагранжа представляет собой прямой результат применения к упругому телу начала возможных перемещений. Пусть тело находится в равновесии под действием внешних сил F< иГ*, которые совершают работу на перемещениях и». Внутренние силы, т. е. напряжения —Odj, совершают работу на соответствующих им обобщенных перемещениях etj. Введем в рассмотрение систему возможных перемещений 6〃彳,которые непрерывны вместе со своими первыми производными и обращаются в нуль при %i w Su. Виртуальная работа всех сил, включая внутренние, должна быть равна нулю, следовательно:
J /3% dV+ j 7；5% dS-(。庚气,d°= 0.(8.8.3)
vsTv
Ho dij = dUjdei^ поэтому Gij^Cij = 6U, при Xi w поверхностный интеграл обращается в нуль, тогда как при х.三 ST Т^= Т；, поэтому (8.8.3) можно записать в виде
6 Л* = 0,
где 7и — функционал Лагранжа (8.7.5).
Для вывода вариационного принципа Кастильяно, рассмотрим воображаемое напряженное состояние 6。门 такое, что 6。门，,=0, 3(7门几)=0,力彳 w St. Значения, которые принимают величины 6aij на части поверхности 5и, могут быть произвольны. Поскольку состояние 5 о仃 удовлетворяет условиям равновесия, составим уравнения равновесия в форме Лагранжа, приняв за виртуальные перемещения истинные перемещения и< и соответствующие 17*
деформации eij = w(<, ；). Получим
—J ‘J产ij d。+ J 5%产产:dS= 0,(8.8.4)
а так как ец = дФ/доц, то ^仿押门=5①，и уравнение (8.8.4) может быть записано в виде
6几=0,
где фунционал Л； определяется формулой (8.7.6).
Обобщенные силы и перемещения
Для стержневых систем вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно были уже установлены выше, а именно в § 5.2. Там же упоминалось о возможности построения смешанных вариационных принципов, в формулировке которых участвуют как силы, так и перемещения. Способ доказательства был подобен тому, который изложен в § 8.8.
Во всех реальных случаях действующие на тело силы могут быть представлены как линейные функции конечного числа или счетного множества параметров, которые мы будем называть обобщенными силадш и обозначать Qs. Работа сил на вызванных ими перемещениях может быть всегда представлена следующим образом:
[F^ dV + f Тгщ dS= Qsqs.(8.9.1)
vs
Здесь qs — обобщенные перемещения.
Рассмотрим несколько примеров.
Сосредоточенная сила. Предположим, что на части поверхности AS приложена распределенная нагрузка постоянной итенсивности 7\. Положим Pi = Ti^S. Будем неограниченно уменьшать размер площадки AS, стягивая ее к точке поверхности М, и одновременно будем увеличивать Ti так, чтобы произведение 7\AS оставалось постоянным. В пределе мы получим сосредоточенную силу с компонентами 尸九
Теперь по теореме о среднем
(T^i dS =匕(AT) f T. dS=匕(・『)匕. ASAS
Здесь M'——точка, принадлежащая площадке AS. В пределе точка ЛГ совпадает с точкой М. Таким образом.
Qi 二1 Pi, 9i u1 〃i(").
Примечание. В линейной теории упругости перемещение в точке приложения сосредоточенной силы бесконечно велико, как будет показано далее (§ 11.2). Это не должно влиять на данное выше формальное определение Qi и дз На сосредоточенную силу можно смотреть как на совокупность трех сил, каждая из которых направлена параллельно одной из координатных осей. Но можно рассматривать эту силу как одно целое, приняв
8a обобщенную силу величину q=/q：+q：+q算
Соответствующее обобщенное перемещение представляет собою проекцию полного перемещения на направление силы
。1^1 +02g2 +03g3q = q •
Действительно, работа может быть представлена следующим образом:
QiOi + Q2,2 + ОзОз = Qg・
Сосредотрченный момент. К упругому телу прикреплена абсолютно жесткая шайба (рис. 8.9.1). К этой шайбе приложены две параллельные
и противоположно направленные силы Р и —Р, расстояние между ними равно h. Работа этих сил
4 == р〃[ — р〃2・
Положим Р = Q/ht тогда
«4 = Q д •
Величина (щ ——〃2)/无 представляет собою угол поворота жесткой шайбы. Перейдем теперь к пределу, увеличивая безгранично силу Р и уменьшая плечо h так, чтобы момент Q = Ph оставался неизменным. В пределе мы получим то, что называется сосредоточенным моментом, его можно принять за обобщенную силу. Соответствующим обобщенным перемещением будет угол поворота элемента, к которому приложен момент.
Произвольная поперечная нагрузка р(%), действующая на балку. Как следует из результатов § 3.8 прогиб балки v(x) при любой полеречной нагрузке представляет собою функцию, непрерывную вместе со своей производной.
На рис. 8.9.2 изображена балка, свободно опертая на двух концах, для нее функция v(x) удовлетворяет следующим граничным условиям: и(0) =« е= p(Z) = 0, р^О) = u〃(Z) = 0. Поэтому функция d(%) представляется в виде равномерно сходящегося ряда синусов кратных аргументов:
Счетное множество коэффициентов ряда д^ может быть принято за совокупность обобщенных перемещений. Если р(х) есть нагрузка, то
I
r , "冗工
I р (%) sin —j— dx.
о
При этом функция р(х) должна быть только интегрируемой, она может
принадлежать к классу обобщенных функций, т. е. содержать дельта-функции и их производные; функция р(х) вообще не может быть представлена в виде тригонометрического ряда.
Поскольку все уравнения теории упругости линейны, всякое решение задачи теории упругости, т. е. напряжения, деформации и перемещения, выражается линейным образом через приложенные внешние силы. А эти силы, как мы выяснили, сводятся к конечному числу или счетному множеству обобщенных сил. Поэтому объемный интеграл, фигурирующий в выражении функционала Кастильяно (8.7.6), есть квадратичная функция от обобщенных сил
j(D (仇力 dU = 6(Qs).
Поскольку ①(0仃)представляет собой положительно определенную функцию о», интеграл от нее по объему V есть положительно определенная функция от Q$. Поверхностный интеграл в (8.7.6) выражает работу сил, приложенных к поверхности, ее можно также записать через обобщенные силы и перемещения. В результате функционал (8.7.6) перепишется следующим образом:
J° = ®(Qs)-Q&・(8.9.2J
Пусть сила Qm получила приращение 6Qm, тогда из условия 6Jo = 0 получим
^^ ^Qm — Qm^Qm =。，
отсюда
Qm=^・(8.9.3)
В такой формулировке теорема Кастильяно ничем не отличается от теоремы, приведенной в § 5.2 для стержневых систем.
Точно таким же способом, если считать заданными перемещения компоненты деформации представятся как линейные функции от 9力 поэтому
Ju(%j) dv=u(qi). у
Функционал Лагранжа (8.7.5) принимает вид
L = -O(q)+Q%・(8.9 •行
Варьируя только одно перемещение, например д^, получим
При выводе формул (8.9.3) мы считаем заданными внешние силы, при выводе формул (8.9.5) считали заданными перемещения. Этим отнюдь не ограничивается общность соответствующих выводов. Если рассматривается задача со смешанными граничными условиями, то ее можно представить как задачу с заданными силами, только часть этих сил известна, а часть представляет собой силы реакции связей, которые заранее неизвестны. Будем обозначать неизвестные силы через Х^, а соответствующие перемещения через Тогда по формуле (8.9.3)
Q =患. (8.9.6)
Но если силы Х^ неизвестны, то должны быть заданы перемещения точек их приложения %；, поэтому (8.9.6) представляет собою систему уравнений для нахождения неизвестных Х「Обычно неизвестную реакцию можно выбрать так, чтобы соответствующее перемещение было равно нулю; такого рода примеры были приведены в § 5.2.
Теоремы Клапейрона и Максвелла ——Бетти
Тот факт, что упругая энергия U = Ф представляет собою однородную квадратичную функцию от обобщенных сил или обобщенных перемещений, позволяет немедленно доказать две простые теоремы, а именно:
Теорема Клапейрона. По теореме Эйлера об однородных функциях
2。= 1^ % = Q&2 ①=^* Qi = Qt%,
отсюда
U =①=^ Qw%・(8.10.1)
У пру гая энергия равна половине работы внешних сил на их перемещениях.
Если не вводить в рассмотрение обобщенные силы и обобщенные перемещения, то можно переписать соотношения (8.10.1) следующим о'бразом:
U =①=^ j F^dV +~j A〃idS・ (8.10.2) Vs
Теорема Максвелла. Квадратичная форма Ф имеет необходимым образом следующий вид:
Ф =4 %(№,
где brs образуют симметричную матрицу. Обобщенные перемещения
выражаются следующим образом:
q.-breQr.(8.10.3)：
Свойство симметрии коэффициентов в соотношении (8.10.3J было обнаружено Максвеллом и сформулировано в виде соответствующей теоремы.
Теорема Бетти представляет собой по существу иную формулировку теоремы Максвелла. Пусть к одному и тому же телу сначала приложена система сил Q% которой соответствуют перемещения 9” потом система сил Q；, которой соответствуют перемещения q$・ Тогда работа сил первой системы на перемещениях точек их приложения^ вызванных действием сил второй см- стемы, равна работе сил второй системы на перемещениях точек их приложения, вызванных действием сил первой системы.
Действительно,
q$Qs = brsQrQ s<) 9s Qs = bsrQrQs*
Вследствие симметрии матрицы b〃 правые части равны, отсюда следует
&Q；=成 Q；・(8.10.4)
Это же соотношение можно записать в иной форме
J ^dV + f T；u；dS = J 片或dP + f T^dS. (8.10.5) VSVs
Тождество (8.10.5) представляет собой простое следствие симметрии тензора модулей упругости или тензора податливостей. Действительно, положим в правой части (8.10.5) Т；=《网 и преобразуем поверхностный интеграл в объемный. Учитывая, что напряжения о» удовлетворяют вместе с силами F< дифференциальным уравнением равновесия, получим
J 尸/d卩 + "储dS = J &e%d卩=J Ei川感向jdV・ (8.10.6) VSVV
Выражение в правой части симметрично относительно верхних индексов《штрих» и «два штриха», поэтому, преобразуя левую часть (8.10.5) подобным образом, мы получим в точности такое же выражение.
Все приведенные теоремы ——Клапейрона, Максвелла и Бетти были уже доказаны в § 5.3 для частного случая стержневых систем.
С помощью формулы (8.10.6) можно получить очень простые результаты, относящиеся к вычислению средних значений компонент деформации в напряженном упругом теле. Положим п^ =з s= const. Тогда по закону Гука находятся е万=cons% а по из-
вестным значениям постоянных компонент деформации находятся перемещения Щ. Введем обозначения для средних значений компонент деформации еу, вызванных действием сил Л и: Т^
©j〉= y^ijdV.
Тогда из формулы (8.10.6) следует
(8.10.7)(8.10.7)Sj〈е万〉—р~ ^J ^iU^V + j Тw©S)・
(8.10.7)
(8.10.7)
Нижеследующий пример взят из книги «Математическая теория упругости» Лява, который приводит его со ссылкой на оригинальную работу Бетти.
Цилиндр высотой h произвольного поперечного сечения поставлен на горизонтальную ылоскость и деформируется под действием собственного веса. Обозначим ось цилиндра индексом 3, положим а33 = и, а остальные компоненты напряжения примем равными нулю. Тогда е^ = и]Е, 〃з = с%з/Е・ По формуле (8.10.7)
Г ^зa<e33>=7^J PgR"尸曲^з・
о
Здесь р ——плотность, g ——ускорение силы тяжести,尸 ——площадь сечения. Отсюда
%Pg庐
h〈％з〉一 Зё~・
Эта величина представляет собою укорочение цилиндра. Чтобы вычислить изменение его объема, положим aCj = аб^, тогда Зе'= & = с/К, 〃з = о&/(ЗК) и по формуле (8.10.7)
u〈°〉=Pg《区飞尸d飞,
о
отсюда
Замечания о задачах теории упругости
В § 8.4 была сформулирована задача теории упругости, которая состоит в интегрировании системы уравнений с частными производными при определенных граничных условиях. Общие методы интегрирования этой системы составляют предмет математической теории упругости, этим методам посвящена огромная литература и в настоящем курсе мы не имеем возможности идти в этом направлении слишком далеко.
Однако следует отметить здесь те цели, которые имеются в виду при отыскании решений. Приближенные методы отыскания напряжений и деформаций в упругих телах, основанные на частных гипотезах простейшего характера, принято относить к тому, что называется сопротивлением материалов. Примером может служить приближенная теория растяжения и изгиба стержней, изложенная в гл. 2, 3 и 5. Теория упругости позволяет получить точное решение задачи изгиба для определенных случаев и сравнить его с приближенным; таким образом, находится строгая оценка погрешности элементарйой теории.
Однако существенно больший интерес представляют такие задачи, для решения которых элементарные гипотезы не могут привести к цели. Типичный пример ——задача о кручении призматического стержня. Если принять для кручения такую же гипотезу плоских сечений, которая была принята для изгиба, окажется, что верный результат получится только для того случая, когда сечение представляет собою круг или круговое кольцо; для других форм сечения эта гипотеза приведет к очень грубой ошибке. Точно так же никакие элементарные предположения не позволяют найти напряжения в толстостенной трубе, подверженной действию внутреннего давления. Можно привести много примеров других элементов конструкций, для которых напряжения и деформации нельзя определить с помощью элементарных приемов, а нужно использовать уравнения теории упругости.
Не всегда удается получить точное решение задачи теории упругости, даже если это возможно — не всегда имеет смысл им пользоваться. Часто оказывается, что та точность, с которой известны граничные условия задачи, делает практически бессмысленным стремление к большой точности самого решения. Поэтому наряду с точными методами математической теории упругости развиваются упрощенные приближенные теории, подобные, например, технической теории изгиба, рассмотренной нами ранее. Вариационные принципы теории упругости позволяют указать путь для построения таких приближенных теорий рациональным образом.
В последнее время открылась новая обширная область приложения теории упругости к физике твердого тела. Идеальный кристалл с правильным расположением атомов упруг. Всякие нарушения правильности кристаллической решетки приводят к появлению поля напряжений, которое с достаточной степенью точности может быть изучено методами теории упругости. В следующих главах, посвященных решению задач теории упругости, основное внимание будет обращено именно на эту сторону, будут приведены некоторые результаты, которые необходимы для понимания современных точек зрения на механику неупругих деформаций и разрушения.
d% °rr方 + 一d% °rr方 + 一-5-5竺=0,竺=0,丁 + T = 6丁 + T = 6(8.12.1)(8.12.1)
d% °rr
方 + 一
d% °rr
方 + 一
-5
-5
竺=0,
竺=0,
丁 + T = 6
丁 + T = 6
(8.12.1)
(8.12.1)
Одномерные задачи — трубы и диски
Наиболее простые решения задач теории упругости, как и
других механических теорий, получаются тогда, когда искомые
функции зависят от одной только координаты и дифференциальные уравнения в частных производных становятся обыкновенны
ми дифференциальными уравнениями. Таких задач немного и они
обычно служат пробным камнем при выяснении степени эффективности той или иной теории, решение их относительно просто и результат решения обозрим.
В качестве одного из простейших примеров рассмотрим задачу о толстостенной трубе под действием внутреннего давления. Обозначим: а —— внутренний радиус трубы, Ь ——внешний радиус, q ——давление (рис. 8.12.1). Будем считать, что труба очень длинная и к торцам ее приложены растягивающие силы Р. Вследствие принципа Сен-Венана можно утверждать, что
поперечные сечения ее останутся плоскими и напряженное состояние будет во всех сечениях одинаково. Очевидно, что эту
задачу следует рассматривать в цилиндрических координатах, т. е. пользоваться уравнениями § 7.8, считая, что искомые функции зависят только от радиуса г. Тогда уравнения равновесия (7.8.5) принимают вид
Последнее уравнение немедленно интегрируется, мы получаем Urz = С/г, но при г = а или г = b orz = 0, к поверхности трубы приложено только нормальное давление. Поэтому должно быть С = 0 и, следовательно, arz 三 0.
Поскольку сечения остаются плоскими, осевая деформация е2Х постоянна. Деформации, радиальная и окружная, выражаются соответственно по формулам (7.8.4)
ии(8.12.2)(8.12.2)
и
и
(8.12.2)
(8.12.2)
Заметим, что условие совместности получается из (8.12.2) чрезвычайно просто, для этого нужно исключить из этих соотношений: 〃.В результате получим
Теперь нужно написать соотношения закона Гука
«гг = W 9" — V(5z + 0*06)],
“в =万 Ее— w (%? + Sz)L(8.12.4)
%z = "zz — W (Gqo + O^rr)] = COIlSt <
Решение системы (8.12.1), (8.12.4) и (8.12.2) или (8.12.3J можно провести разными способами. Если нас интересуют в первую очередь напряжения, скорее всего к цели приводит следующий прием.
Заметим, что если принять
®т = "^-匕"ее =雾,(8.12.5)
то уравнение равновесия будет удовлетворено тождественно. Внесем теперь выражения (8.12.5) в (8.12.4) и подставим выражения е” и вее через F в условие совместности (8.12.3). В результате получим следующее дифференциальное уравнение для функции 尸：
р + 丄尸-乌 В = О.(8.12.6)
Общий интеграл этого уравнения будет
F = Аг + -у-,；
следовательно, по формулам (8.12.5) получим
5 = 4 + (Гое = Л—告.(8.12.7)
гг
Постоянные Л и В определяются из граничных условий, а именно, при п = а и” = —д, при г = b и” = О. Подставляя первое из выражений (8.12.7) в граничные условия, найдем
На рис. 8.12.2 показаны графики (эпюры) распределения напряжений по толщине стенки.
Заметим, что величины и” и Сое не зависят от растягивающей силы. Этого нужно было ожидать, уравнения теории упругости линейны, поэтому для них справедлив принцип суперпозиции решений. Осевые напряжения о22 определяются теперь из последней
формулы (8.12.4)
dz = Eezz + 2vA.
Таким образом, напряжение a2Z оказывается постоянным. Про
изведение этого напряжения на площадь кольцевого сечения тру
бы л (Ь2 — а2) равно растягивающей силе; если величина силы задана, то это условие позволяет найти 6zz・
Например, если труба снабжена доньями, на которые действует то же давление q, сила равна па?,. С учетом найденного выражения для Л, получаем
Для несжимаемого материала
(V = 1/2) осевая деформация за
крытой трубы равна нулю. Если мы теперь хотим определить
перемещение 〃, проще всего воспользоваться вторым уравнением (8.12.4), из которого следует, согласно определению е0е
u =万[0>00 - v (0什 + Sz)] •
dGrr ,唯一恥丁 + —7—dGrr ,唯一恥丁 + —7—+ рсо2г = 0.+ рсо2г = 0.(8.12.8)(8.12.8)Задача о вращающемся диске постоянной толщины решается аналогичным образом. Если толщина диска мала по сравнению с радиусом, можно считать напряжения равномерно распределенными по толщине и, следовательно, не зависящими от координаты z. Уравнение равновесия отличается от (8.12.1) только наличием массовых сил ——сил инерции Fr = рсо2г. Таким образом,
dGrr ,唯一恥丁 + —7—
dGrr ,唯一恥丁 + —7—
+ рсо2г = 0.
+ рсо2г = 0.
(8.12.8)
(8.12.8)
Этому уравнению можно удовлетворить, полагая
Пгт = -у-, а00 = Ff + рсо2г2.
Соотношения (8.12.2), (8.12.3) сохраняют силу, в (8.12.4) нужно принять Uzz = 0; тогда, очевидно, e2Z определится из третьего уравнения и уже не будет константой. Выражая деформации через функцию F и внося в уравнение совместности, получим
F^ + ^F^^F^—^ + v) рсо2г.
Общий интеграл этого уравнения'
月=/尸 + 产一士/рсо2,3.
Отсюда
% = 4 + "^— ~^~ рз2r2, Qqq = 4 —^— —^~ PS?戸.(8.12.9)
Для сплошного диска радиусом Ь постоянная В должна обращаться в нуль, иначе при г = 0 напряжения будут бесконечно велики. Вторая константа Л находится из граничного условия Огг = 0 при г = Ь. Окончательный результат оказывается следу* ющимп
。什=士甘 ро2 (严一г2), а00 = Ц^ Р&2 伙—言^ 2). (8.12.10)
Совершенно аналогичным образом можно получить приближенное решение задачи о вращающемся диске переменной толщины й(г). Упрощающее предположение состоит в том, что на* пряжения о” и Os распределены по толщине равномерно и напряжения Ozz, как и другие компоненты тензора напряжений, равны нулю. Очевидно, что это предположение не позволяет удовлетворить граничному условию на поверхности диска, вектор нормали к поверхности составляет с осью угол а, тангенс которого есть dh/dr и напряжение о” дает на поверхности неуравновешенную силу
Tr = arr cos ^а) у= О.
Чтобы уничтожить эту силу, необходимо допустить существование касательных напряжений Trz таких, что на поверхности
arr cos (手—а) + %z cos а = 0・
Пренебрегая этой невязкой, которая мало сказывается на результатах при условии, что \dh/dr\《1, заменим уравнение (8.12.8)： следующим:*
А 他К) + 九叫二。戰 + hp^r = 0.(8.12.11)
Комбинируя (8.12.11) с (8.12.4) и (8.12.2), можно получить дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэф^ фициентами для функции 〃(г), ввести функцию напряжений 尸 и получить аналогичное дифференциальное уравнение для этой функции. Следует заметить, что для наиболее интересного для приложений случая ——конического диска ——уравнение интегрируется в гипергеометрических функциях. Предоставляя читателю
вывести соответствующее уравнение, находящее приложение при проектировании дисков турбин, вернемся к уравнению (8.12.11) и поставим вопрос о том, по какому закону нужно изменять профиль диска, чтобы использовать материал наивыгоднейшим образом. Очевидно, что для этого нужно, чтобы во всех точках напряжения были постоянны. Полагая О" = Оее = о, получим следующее уравнение для функции А (г):
寥+嗒％ = 0.
Интеграл его равен
h = hQ exp (—囁 ”(8.12.12)
Для того чтобы в диске, профиль которого построен по уравнению (8.12.12), напряжение было постоянным, необходимо приложить на наружном контуре нагрузку, вызывающую радиальное напряжение о. Практически это условие выполнить довольно трудно, к тому же диск равного сопротивления, профиль которого задан формулой (8.12.2), сложен в изготовлении. Поэтому в настоящее время диски равного сопротивления на практике не применяются.
Простейшая задача о концентрации напряжений
Очевидное решение уравнений теории упругости есть 。仃= const. При этом деформации по закону Гука также постоянны
лы, а именноTi = Oi/j.лы, а именноTi = Oi/j.(8.13.1)(8.13.1)Рис. 8.13.1Рис. 8.13.1и, следовательно, перемещения представляют собою линейные функции координат. Чтобы осуществить в теле такое однородное напряженное состояние, необходимо лишь приложить к его поверхности соответствующие внешние си- ~
лы, а именно
Ti = Oi/j.
лы, а именно
Ti = Oi/j.
(8.13.1)
(8.13.1)
Рис. 8.13.1
Рис. 8.13.1
состояние о仃,если бы полости не было. При наличии полостисостояние о仃,если бы полости не было. При наличии полостиПредположим теперь, что в большом теле сделана малая полость (рис. 8.13.1). Наибольший линейный размер этой полости мал по сравнению с характерным размером тела и с расстоянием полости от границы. Пусть на поверхности S приложены такие усилия 7\, которые создали бы в теле однородное напряженное
состояние о仃,если бы полости не было. При наличии полости
состояние о仃,если бы полости не было. При наличии полости
естественно ожидать, что в большей части тела напряженное со
стояние остается практически однородным, только в непосредственной окрестности полости распределение напряжений будет существенно отличаться от однородного. Это заключение пред-
ставляет собою принцип Сен-Венана, примененный к рассматриваемому случаю; более точная формулировка будет следующая. Характерный размер R зоны концентрации напряжений около полости имеет порядок характерного размера полости d и не зависит от размера тела L, если отношение L/d достаточно велико.
Поэтому при решении задач о концентрации напряжений часто используется прием, состоящий в том, что вместо ре аль* ного тела конечных размеров рассматривается бесконечное про*
странство, заполненное упругим материалом, и граничное условие
на поверхности тела вида (8.13.1) заме*
няется требованием того, что напряжения стремятся к заданным постоянным значениям по мере удаления от источника концентрации.
Простейший пример такого рода мож* но рассмотреть на основе результатов пре* дыдущего параграфа. Пусть тонкая пластина произвольной формы в плане подвергнута действию равномерно распреде* ленного усилия р, нормального к ее контуру Г (рис. 8.13.2). Если пластина
не имеет вырезов, в ней возникает напряженное состояние: ан = а22 = р, Озз = О12 = О23 = Оз【=0. В плоскости XiX2 все оси ——главные, и на любой площадке, па
раллельной оси /з, нормальное напряжение есть р, а касательное равно нулю. Предположим теперь, что в пластине сделано отверстие радиусом а, и найдем распределение напряжений. Прежде чем решать эту задачу, заметим, что схема, изображенная на рис. 8.13.2, может быть применена и к другой задаче. Пусть мы имеем дело не с тонкой пластиной, а с очень длинным цилиндром, фигура на рис. 8.13.2 представляет его поперечное сечение. К боковой поверхности цилиндра приложены нормальные усилия р, равномерно распределенные по всей поверхности. Вдоль оси цилиндра просверлено отверстие по всей длине.* По-прежнему, если отверстия нет, то Оц = О22 = р, О12 = О23 = Оз【=0, но напряжение Озз，0, оно найдется из условия сохранения плоских сечений. Для нахождения Озз нужно оговорить, чему равна сила, приложенная к торцам и растягивающая либо сжимающая цилиндр. В том и другом случае распределение напряжений Оц и О22 будет одним и тем же. Внешняя нагрузка такова, что в теле
нельзя указать предпочтительного направления, поэтому распределение напряжений осесимметрично и дается формулами (8.12.7). Для определения констант получаются следующие условия:。丁 = 0 при г = а, втр при г -> ©о. Отсюда
На контуре отверстия при г = а напряжение Оее достигает максимального значения
(Оее)тах = 2P.
Таким образом, наличие отверстия увеличивает максимальное напряжение в два раза.
Число, указывающее во сколько раз максимальное напряжение при наличии концентратора превышает напряжение в той же точке в теле, не имеющем концентратора, называется коэффициентом концентрации напряжений к. В рассмотренном примере к = 2.
Предположение об однородности напряженного состояния при решении задач концентрации напряжений не обязательно. Действительно, если поле напряжений меняется в зависимости от координат, то всегда можно указать характерную длину, на которой происходит это изменение, и если размер концентратора достаточно мал по сравнению с этой характерной длиной, то напряженное состояние можно считать однородным и переносить граничные условия на бесконечность.
Проиллюстрируем это на примере вращающегося диска. Формулы (8.12.9) указывают, что распределение напряжений в диске неоднородно, характерная длина, на которой они меняются, есть радиус диска Ъ. При
3 + V 2 2
г = 0。仃=% —g~ Р① 匕• Если в центре диска сделано отверстие радиусом а, причем q《Ь, то следует ожидать, что максимальное напряжение будет вдвое больше. Не составляет труда решить задачу о диске с центральным отверстием точно. Для этого нужно определить константы в формулах (8.12.9) из граничных условий: ог = 0 при г = а и при г = Ь. После несложных вычислений, находим
стее = ^4~^ pd (庐 +a2 + 廿-^^ 产)•
с _ 3 + v стее = —4—с _ 3 + v стее = —4—卜+ e卜+ e
с _ 3 + v стее = —4—
с _ 3 + v стее = —4—
卜+ e
卜+ e
К3 + *V
Если a -> 0, o^e-> ~^~ p(o“忆 т. e. оказываются ровно вдвое больше, чем
для сплошного диска.
В рассмотренном примере мы смогли оценить эффект концентрации и в том случае, когда отношение а/Ъ произвольно. Вообще такие задачи, когда размер концентратора сравним с размером тела и расстоянием от концентратора до границы, оказываются существенно более сложными, в большинстве случаев результат удается получить лишь с помощью численных методов. 18 Ю. Н. Работнов
Концентрация напряжений у сферической полости
Рассматриваемая ниже задача представляет собою пространственный аналог той плоской задачи о концентрации напряжений, которая была рассмотрена в предыдущем параграфе. Бесконечно упругое пространство растягивается во всех направлениях равномерно, в этом пространстве содержится сферическая полость радиусом а. Употребляя термин «упругое пространство», мы должны представить себе тело достаточно больших размеров (линейный размер 乙)丄 на границе которого приложена нагрузка, создающая в нем равномерное растяжение во всех направлениях с интенсивностью о. Если тело не содержит полости, т. е. нет второго характерного размера, с которым можно сравнивать размер тела нет необходимости говорить о том, велик этот размер или мал. Но если речь идет о концентрации напряжений около полости радиусом а, коэффициент концентрации будет зависеть от малого параметра a/L и при стремлении этого параметра к нулю будет стремиться к некоторому конечному значению, которое не может зависеть ни от & ни от L. В примере с вращающимся диском в § 8.13 этот предельный переход был сделан явно, что оказалось возможным ввиду простоты задачи. Вообще, полагают этот малый параметр равным нулю с самого начала, это можно сделать, либо считая размер а бесконечно малым, либо размер Л бесконечно большим. Делая второе предположение, мы приходим к представлению об упругом пространстве, т. е. об упругой среде, заполняющей все пространство.
Поставленную задачу естественно решать в сферических координатах; воспользовавшись уравнениями (7.8.6) и (7.8.7)? можно решать ее в декартовых координатах и лишь окончательный результат представить в сферических. Мы пойдем по этому второму пути. При наличии сферической симметрии перемещения направлены по радиусам, выходящим из центра симметрии, и величина перемещения зависит только от расстояния точки до центра симметрии г. Компоненты перемещения 也 будут проекциями вектора радиального перемещения иг на направления соответствующих осей, т. е.
щ = иг (г) ?・ (8-14.1)
Дальнейший ход решения должен был бы заключаться в следующем. Выражения для 〃》подставляются в уравнения Ламе при Fi = 0, каждое из этих трех уравнений приводится к одному и тому же дифференциальному уравнению для функции ит(г). Это будет уравнение второго порядка, следовательно, два независимых частных решения определяют его общий интеграл. Естественно ожидать, что эти частные решения, как и в осесимметричной задаче, будут степенными функциями от г. Чтобы
упростить дело, будем сразу искать перемещения в виде 〃；=rnxi(8.14.2)
и попытаемся удовлетворить уравнениям Ламе. Заметим предварительно, что
、°Р 2дг力 ％
а)产=XiXi = 2 следовательно, г—= ^, ^ =—；
6ikXk =窃
бн = би + б22 + бзз = 3.
Дифференцируя (8.14.2) по %力 найдем
“и = nrn~2XiXj + гябу.(8.14.3)
Отсюда
0 = uiti = (п + 3)严.(8.14.4)
Выражение для и^ симметрично относительно индексов Z и /, поэтому uitj = Ujti, следовательно, е仃=u^；.
Продифференцируем выражение для 以j по хк. Получим^ учитывая замечания а) и б),
UiJk ~п(п — 2) 76-4/詳声互 + 〃产-2 (必％ + R施 № + xh6ij) •
Для подстановки в уравнения Ламе нам понадобится выражение △〃「=〃$#• Произведем свертывание предыдущего равенства по индексам j и 论.После приведения получим
А% = п(п + 3) r^Xi，
Подставим 0 и Ai^ в уравнение Ламе. В результате получится
"(〃 + 3)(九 + 2从)rn-2Xi = 0.
Это равенство возможно при п = 0 и п = —3; таким образом:
Щ = [сг + 不)g・(8.14.5)
Сравнивая с (8.14.1), находим радиальное перемещение
ur = Cj + 刍•・(8.14.6)
Получим теперь формулы для напряжений. Заметим, что при 〃 =—3 0 = 0, при п = 0 по формуле (8.14.4) 0 = 3; эту величину нужно умножить на G. Величины 侬 представляют собою суммы выражений, определенных формулами (8.14.3) при п = 0 и 九=—3, умноженных на соответствующие константы. Подставляя в формулы закона Гука, найдем
aU - G (3九 + 2n)6心 + e2n(一3 -^ + 学)• (8.14.7)
Вырежем мысленно элемент, изображенный на рис. 8.14.1. Две грани его принадлежат поверхностям бесконечно близких 48*
концентрических сфер радиусом г и г + аг, остальные грани взаимно ортогональны и ориентированы произвольным образом. Нормальные напряжения на сферических элементах мы обозначим а, это есть радиальное напряжение. Нормальные напряжения на других гранях одинаковы, обозначим их d・ Касательные на-
Рис. 8.14.1Рис. 8.14.1пряжения отсутствуют. Это заключение есть необходимое следствие предполагаемой центральной симметрии, в касательной плоскости к сфере нельзя указать предпочтительного направления. Мы можем направить оси координат, как показано на рисунке, ось g — по
Рис. 8.14.1
Рис. 8.14.1
радиусу, оси %2 и х3 ——параллельно нормалям к остальным граням. Тогда координаты эле* мента будут х^ 0, 0, г =力“ ои = о「, 022 = Озз = о». Подставляя в (8.14.7), получим
К = & (ЗА + 2卩)一爷，立=С (3九 + 2卩)+ 谷，(8.14.8)
С помощью формул (8.14.8) можно решить задачу о полой сфере под действием наружного и внутреннего давления, совершенно аналогичную рассмотренной ранее задаче о трубе. Мы не будем выписывать относящиеся сюда формулы, которые получаются элементарно.
Отметим два частных решения, представляющих определенный интерес.
Концентрация напряжений около сферической полости. Положим G (3九+ 2卩)=о。. Из формул (8.14.8) следует, что при г-> оо напряженное состояние стремится к состоянию всестороннего растяжения (или сжатия) напряжением и。. Сферическая полость имеет радиус а, при г = а 。丁 = 0. Отсюда следует
-2% 卩="% % =。()0+讶3).
Напряжение о» достигает максимального значения (at)max = 3/2П0 при г = =а; таким образом, коэффициент концентрации равен 3/2.
Центр расширения. Положим Ci = 0 и будем считать тело неограниченным. На поверхности сферы радиусом а перемещение 〃2 по формуле (8.14.6) равно Q/@2. Умножив величину перемещения на площадь поверхности сферы, мы получим изменение ее объема
4m2 н а? = 4 冗 8 = ДК
Следовательно, Сг = ДУ/(4л). Таким образом, решена следующая задача. В бесконечное упругое пространство вставлена абсолютно жесткая сфера радиусом а. Радиус ее увеличился вследствие каких-то причин так, что объем сферы получил приращение АР. Напряжения во всем упругом
пространстве даются формулами
ap卩 ap卩% = — ЪГ 3，％ = 1л"祸
которые имеют смысл, конечно, только при г > а. Существенно заметить, что в эти формулы радиус жесткой сферы а не входит, напряжения и перемещения в произвольной точке зависят только от того, как изменился объем жесткого включения, но не зависят от размеров включения. Поэтому радиус а можно сделать сколь угодно малым, можно даже перейти к пределу, устремив а к нулю. Однако при этом формулы (8.14.9) формально справедливы для сколь угодно малых г и при г, стремящемся к нулю, напряжения неограниченно растут. Мы получили сингулярное, т. е. обладающее особенностью, решение, соответствующее так называемому центру расширения. При малых г оно имеет только формальный смысл, перемещение, определяемое формулой (8.14.6), также растет неограниченно с уменьшением г; картина оказывается противоречащей элементарному здравому смыслу. Существо дела состоит, конечно, в том, что при малых г предположения линейной теории упругости становятся неверными и формальные решения перестают описывать истинное состояние тела. Однако на достаточно больших расстояниях от центра расширения формулы верны.
Нужно отметить, что при 或=0 относительное изменение объема 0 равно нулю. Это ——любопытная особенность найденного решения: изменение объема жесткого включения не вызывает изменения объема какой-либо части окружающей упругой среды.
В металлических сплавах при фазовых превращениях выпадают мелкодисперсные частицы новой фазы, образование которой связано с изменением объема. В матрице, т. е. в основной массе металла, при этом возникают напряжения. Если выделения достаточно малы, их можно моделировать центрами расширения.
ГЛАВА 9
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ, КРУЧЕНИЕ, ИЗГИБ
Антиплоская деформация
Здесь будет рассмотрен некоторый класс задач теории упругости, для которых решения получаются с помощью относитель* но простых математических средств. Представим себе цилиндрическое тело, нагруженное по боковой поверхности усилиями, равномерно распределенными вдоль образующих и направленными вдоль образующих. Направим ось 力з по оси цилиндра, оси Na(g и д) в плоскости поперечного сечения. На боковой поверхности п3 = 0, па — направляющие косинусы нормали к контуру сечения Г в плоскости ха. Согласно сделанному предполо* жению на боковой поверхности S
Та = 0, 7з = Т (^а) (а = 1, 2).
Граничными условиями на торцах цилиндра мы пока заниматься не будем, цилиндр считается очень длинным и мы рас-
Рис. 9.1.1Рис. 9.1.1сматриваем сечения, достаточно удален* ные от торцов.
Рис. 9.1.1
Рис. 9.1.1
Попытаемся удовлетворить уравнениям теории упругости, приняв щ = =〃2 = 0，и^ = ^и (^а)« Тогда по формулам закона' Гука
°31 = ^.1,°32 = “衝
Отличные от нуля компоненты тензора напряжений представляют собою каса
(9.1.1)：(9.1.1)：тельные напряжения в плоскости поперечного сечения, показанные на рис. 9.1.1. Будем обозначать их для краткости о31 = Ti, а32 = т2. Тогда
(9.1.1)：
(9.1.1)：
Та = “,а・
Два первых уравнения равновесия (8.4.1) будут выполняться тождественно, третье же примет следующий простой вид:
(9.1.2)：(9.1.2)：Та,а = 0.
(9.1.2)：
(9.1.2)：
(9.1.3)(9.1.3)Граничное условие на контуре Г тапа = T(s).
(9.1.3)
(9.1.3)
Усилие Т предполагается заданным как функция дуги контура s. Запишем уравнения (9.1.1) и (9.1.2) в развернутом виде
(9.1.Г)(9.1.Г)
(9.1.Г)
(9.1.Г)
(9.1.23(9.1.23
(9.1.23
(9.1.23
Дифференцируя первое из уравнений (9.1.1/) по х2, а второе по Ri, заключаем, что вследствие независимости второй смешанной производной от порядка дифференцирования
(9.1.4)
Уравнения (9.1.2) и (9.1.4) напоминают известные соотношения Коши ——Римана, которые связывают действительную и мнимую части функции комплексной переменной. Положим z = g + + ix2 (не смешивать с обозначением координаты z). Функция комплексной переменной "(z) может быть представлена следующим образом:
W(z) = 〃(g,力2)+ iv(х^ g), где 〃 и и — действительные функции двух переменных. Условие дифференцируемости функции ip(z) состоит в том, что частные производные функций 〃 и и связаны соотношением Коши — Римана, а именно,
ди — ди_ — — ди
Сравнивая эти соотношения с уравнениями (9.1.2') и (9.1.4), убеждаемся, что комплексная комбинация Ti — jr2 есть дифференцируемая функция комплексной переменной z
Tj — % = "(z).(9.1.5)
Обозначение w/(z) для произвольной функции от z выбрано для удобства.
Выражение (9.1.5), где “'(z)—любая дифференцируемая функция, представляет собою общее решение антиплоской задачи теории упругости, граничное условие (9.1.3) позволяет определить функцию w/(z) единственным образом. Действительно, внося в это условие выражения (9.1.1) и заменяя производные от функции и производными от функции % заметим, что оно
принимает следующий вид:
dq ds 十 дх2 ds "
Отсюда, интегрируя, получаем
(9.1.6)(9.1.6)Im о? = J 7 (s) ds.
(9.1.6)
(9.1.6)
Фигурирующий в правой части интеграл есть однозначная функция от s, вследствие выполнения уравнения равновесия для тела в целом .
$ Т (s) ds = 0.
Однако до сих пор решение еще не полно, нам осталось найти перемещение и(ха). Используя (9.1.V), перепишем (9.1.5)： следующим образом:
// 、 ди . ди必(2)=两一”瓦-
Вспомним теперь, что производная от функции комплексной переменной z не зависит от того направления, по которому сообщается приращение независимой переменной. Поэтому
wf (z)=wf (z)=ди .ди ди , ди
wf (z)=
wf (z)=
行+ "两=运+"运•
Вследствие соотношений Коши — Римана можно написать также
”(z)=生I — ш2.
Сравнивая это выражение с (9.4.6), замечаем, что функция и есть действительная часть функции ip(z)
〃 = Reip(z).(9.1.7】
Винтовая дислокация
Положим
w (z) = — Лд In z == Л (0 — i In r)t г2 = xl + 唸 0 = arctg —*
По формуле (9.1.7) перемещение us есть
и3 = —arctg—.
Полярный угол 0 изменяется на 2л при полном обходе вокруг начала координат; таким образом, перемещение оказывается неоднозначной функцией координат. Смысл такой неоднозначно-
сти перемещения легко понять. Рассмотрим длинную трубу с внешним радиусом R и внутренним радиусом с (рис. 9.2.1). Представим себе, что труба разрезана плоскостью, проходящей через ее ось с одной стороны, края разреза сдвинуты один от
носительно другого в направлении, параллельном оси, на вели
чину 6; после этого плоскости разреза сварены или склеены
между собой. В трубе возникнут некоторые напряжения, им будут соответствовать определенные деформации. Если теперь вычислять
перемещения по деформациям, то окажется, что при обходе по замкнутому пути перемещения получат приращения 儿 Найденное решение как раз содержит такую особенность. Удобно переписать его в следующем виде:
(9.2.1)(9.2.1)(9.2.2)(9.2.2)% = ^arctg^・
(9.2.1)
(9.2.1)
(9.2.2)
(9.2.2)
Вычислим теперь напряжения. По формуле (9.1.5) ・цЫ 1ц& ж2 + 旣 1
Отсюда 一也左一世.土
У 一 2л戸t & — 2л产・
На рис. 9.2.2 показаны эти напряжения. Результирующий вектор напряжения направлен перпендикулярно радиусу, вели* чина его
М 1
Заметим, что в точках контура вектор т направлен по касательной к окружности, поэтому выполняется граничное условие Г == 0・
Итак, мы действительно получили решение для трубы с разрезом, удовлетворяющее граничным условиям. Можно предста-
вить себе, что после сварки поверхностей разреза шов зачищен, концы обрезаны и нет никаких внешних признаков того, что над трубой производилась описанная операция. Однако в трубе существуют напряжения, притом без внешних сил. Это можно обнаружить, если разрезать трубу, например, вдоль образующей. Она сейчас же примет вид, изображенный на рис. 9.2.1. Напряжения, существующие в теле, свободном от внешних сил, называются начальными напряжениями. Начальные напряжения возникают при неравномерном затвердевании слитков, при остывании поковок, после сварки и других технологических операций.
Полученное решение соответствует тому, что называется винтовой дислокацией.
Предположим теперь, что мы имеем дело не с трубой, а со сплошным цилиндром. Формулы (9.2.1) и (9.2.2) можно применить и к этому случаю, на оси цилиндра при 力】=g = 0 напря- жения оказываются бесконечно большими. Таким образом, мы получили некоторое сингулярное решение теории упругости. Бесконечно большие напряжения в теле, конечно, невозможны. На самом деле, если напряжения достаточно велики, уравнения линейной теории упругости утрачивают силу. Формулы (9.2.2) имеют смысл тогда, когда г > с, с — некоторая определенная ве- личина. При г V с нужно строить решения, основываясь на ис* тинных нелинейных зависимостях. Линия, на которой напряжения, вычисленные с помощью линейной теории, обращаются в бесконечность, называется линией дислокации, вектор Ь——векто ром Бюргерса (рис. 9.2.1). Область г < с, непосредственно примыкающая к линии дислокации, называется ядром дислокации. Теория упругости не дает возможности судить о том, что происходит внутри ядра дислокации. Винтовая дислокация характе^ ризуется тем, что ее линия — прямая и вектор Бюргерса направлен по линии дослокации.
Заметим, что из формул для перемещения и напряжений (9.2.1) и (922) нельзя сделать заключения о том, в каком именно месте был произведен разрыв и последующая сварка. Это — общее свойство дислокаций типа Вольтерра, к которому принадлежит винтовая дислокация.
Вычислим теперь энергию винтовой дислокации, приходящуюся на единицу длины цилиндра. Для этого существует два пути. Первый путь состоит в том, что мы берем выражение для удельной энергии U =击(工；+ 七3 и интегрируем его по объему. Второй, более простой, основан на применении теоремы Клапейрона. Представим себе, что труба разрезана с одной стороны полуплоскостью XiOx3. Чтобы удержать поверхность разреза на месте, к двум его сторонам нужно приложить продольные каса^ тельные усилия Т = & = |^；・ Будем смотреть на усилие Т как
на внешнюю силу, приложение которой создано дислокацией, т. е. вызвано относительным смещением поверхностей разреза на величину 6. Тогда, по теореме Клапейрона
U = WjTbdS=4『雪^ = ^h4・(9.2.3)
Sс 1
Величина энергии стремится к бесконечности при Д -> оо и при с -> 0. Первое кажется естественным, второе же лишний раз подчеркивает, что для сплошного тела решение, соответствующее линейной дислокации, физически невозможно, оно непригодно для ядра дислокации и оценка энергии ядра должна производиться на основе каких-то других соображений, выходящих за рамки линейной теории упругости.
Трещина продольного сдвига
Рассмотрим функцию комплексной переменной
必(z) = Z ]/Т = PF(— sin ~- + i cos -|-)・
Посмотрим, какому решению антиплоской задачи соответствует эта функция. Действительная часть ее с точностью до множителя, о котором мы пока не заботимся, есть перемещение
Re ip (z) = — /г sin -|-.
При 0 = л Re w{z)= Tr, при 0 = —л Re w{z) = Tr; таким образом, на отрицательной полуоси х^ перемещение претерпевает
Рис. 9.3.1Рис. 9.3.1
Рис. 9.3.1
Рис. 9.3.1
разрыв. Нужно представить себе неограниченное упругое пространство, разрезанное по полуплоскости ж2 = 0, g V 0 ：(рис. 9.3.1); края разреза получают перемещения в направлении оси %з в противоположные стороны, величина перемещения пропорциональна корню квадратному из расстояния от края трещины (рис. 9.3.2).
Выясним теперь, какое при этом будет напряженное состояние и какие внешние силы нужно приложить к телу. Производная
функции “(Z)
W (z) = -—7=- =7= Sin —5~ -F t COS E
2”z2Д/八22
При 8 = ±冗 выражение w/(z) действительно, следовательно, по формуле (9.1.5), напряжение т2 равно нулю и на поверхности разреза никакие силы не приложены. Очевидно, что функцию zp(z) можно умножить на любую постоянную. Обозначим эту постоянную —КУ2/л; и выпишем решение
w(z) = -Kiy^t(9.3.1)
"3 =午sin -|-,(9.3.2)
к ек е/q &
JR = W c°S"T・ (933)
Единственный параметр, фигурирующий в решении, это величина К ——коэффициент интенсивности, имеющий размерность силы, разделенной на длину в степени 3/2. Существенно в этом решении то, что напряжения обращав 产ются в бесконечность при г = 0. То же
самое было и в случае дислокации, од* X \\ нако здесь особенность более слабая, а
/&7 именно вида 1/7г, тогда как для дисло-
// кации особенность была вида 1/г. Про
// деланное исследование может оставить
/，/ впечатление некоторой искусственности,
у/Действительно, остается неясным, как
\丿можно на самом деле осуществить со-
стояние, описываемое (9.3.1, 9.3.2).
Рис. 9.3.3Реальный смысл полученного ре-
зультата заключается в следующем. Представим себе упругое тело конечных размеров в плоскости /1, г2, содержащее трещину конечной длины (рис. 9.3.3). Тело подвержено действию произвольной системы внешних сил. Нужно, конечно, помнить, что мы рассматриваем антиплоское напряженное состояние, значит тело представляет собой бесконечно длинный цилиндр. Трещина или щель имеет бесконечную длину в направлении оси х3 и на рис. 9.3.3 изобра^ жено любое поперечное сечение этого цилиндра. Внешние силы, приложенные к боковой поверхности цилиндра, а возможно и к поверхности трещины, параллельны оси g и поэтому не изображены на рисунке.
В результате решения, более или менее сложного, мы можем найти распределение напряжений во всех точках сечения. При этом обязательно окажется, что по мере приближения к концу
трещины напряжения неограниченно растут. Если направить оси координат так, как показано на рис. 9.3.3, т. е. ось х^ по касательной к оси трещины, и поместить начало координат в конце трещины, то формулы для напряжений будут обязательно иметь
видее
Z = 一 ~|/而 sin «у + ・・.，т2 = у— cos н + ・・・(9.3.4)
Мы ничего не можем сказать в общем случае о структуре дополнительных невыписанных членов в этих разложениях, кроме того, что они остаются конечными при г = 0. Значит при до< статочно малых г выписанные главные части в формулах для напряжений преобладают и только они имеют значение. Коэффициент интенсивности К будет зависеть от формы сечения, формы щели и внешних нагрузок; он находится в результате решения задачи теории упругости. При этом полное решение задачи обычно и не интересует, основная цель состоит как раз в нахождении коэффициента интенсивности.
Трещина конечной длины
Рассмотрим теперь уже реальную задачу о напряжениях в теле, содержащем трещину. Будем считать тело неограниченным; на бесконечности задано q = 0, т2 = т0. Трещина занимает от* резок действительной оси /【已[—с, с] (рис. 9.4.1). Рассмотрим функцию комплексной переменной
力=/%yF^・(9.4.1)
Для точек действительной оси Jz?—發=j/"归；一發 будет действительным, если I%/ > с, и чисто мнимым, если I%/Vc. Поэтому действительная часть функции m(nJ равна нулю вне трещины и равна 士 4Mс2 — на берегах трещины; значения ее на верхнем и нижнем берегу в соответствующих точках равны по величине и противоположны по знаку. Производная функции w(z) 办(z) = p|^・(9.4.2)
При z = %i величина wr (2) будет действительной, если I%」< с; поэтому вследствие (9.1.5) на берегах трещины т2 = 0, поверхность трещины свободна от напряжений. Осталось проверить условия на бесконечности. При z-> 8 wf {z)-> Ai. Таким образом, должно быть 4% = 0 —Е・ Следовательно,
Л = -то.(9.4.3)
Итак, формулы (9.4.1) — (9.4.3) дают решение поставленной задачи. Отделяя действительные и мнимые части, мы могли бы
выписать полные выражения для перемещения 〃з и напряжений J, т2. Мы ограничимся исследованием напряженного состояния вблизи одного из концов трещины, например правого. Поместим на правом конце трещины начало вспомогательной системы координат 三，％ положим ^ == peiQ (см. рис. 9.4.1). Тогда z = с + С и
w = 一中y2広十片.
Разложим это выражение в ряд по степеням С・ Получим "=—玩о V2cg(4 + "^ + • • •) •
Для наших целей нет нужды вьшисывать следующие члены степенного ряда в скобках. Существенно то, что первый член содержит С"?, второй ^3/2, третий 勺5/2 и так далее. При почленном дифференцировании только первый член будет содержать С в отрицательной степени, а именно ^~1/2, все остальные члены будут положительными степенями 匕・ Следовательно, при С -> 0 все члены разложения для и/(С) будут стремиться к нулю, кроме первого,
который стремится к бесконечности. Поэтому в окрестности конца трещины нам достаточно только первого члена, а именно, 必售)=一玩。¥就*(9.4.4)
Сравнивая с (9.3.1), убеждаемся, что (9.4.4) и (9.3.1) тождественно совпадают, если принять
К = ТоУнс.(9.4.5)
Выражения для напряжений вблизи конца трещины, соответствующие приближенному выражению (9.4.4), даются формулами (9.3.3); если вычислить точные значения Ti и т2, то их выражения необходимым образом будут иметь структуру формул (9.3.4).
Освобождение энергии при раскрытии трещины
Обозначим через Uo упругую энергию тела, подверженного действию некоторой нагрузки и не содержащего трещины. Если в теле образовалась трещина, например прямолинейная длиной 2с, энергия тела изменится и будет равна U. Кажется очевидным, что U < UQ, появление трещины уменьшает упругую энергию. Имея дело с антиплоским напряженным состоянием в бе-
сконечно длинном цилиндре, мы будем понимать под Uo или U энергию, приходящуюся на единицу длины в направлении оси %з・ Оценить разницу между С7 и % можно из очень простых соображений. На достаточно большом расстоянии от трещины касательное напряжение постоянно и равно т0, следовательно, энергия на единицу площади поперечного сечения есть認冲)，В окрестности трещины напряжения в среднем уменьшаются, значит удельная на единицу площади энергия меньше чем 云/(2卩)・ Площадь разгруженной части около трещины необходимым образом имеет порядок с2, так как никакого другого линейного размера, кроме с, в условиях задачи не содержится. Итак,
Т2С2
% — U 〜*~・(9.5.1)
В этом рассуждении не все строго. Если тело имеет конечные размеры, то в оценке (9.5.1) фигурирует, кроме длины, еще и некоторый характерный размер тела. Вообще говоря не очевидно, что при безграничном увеличении размера тела при фиксированной длине трещины разность UQ — U стремится к конечному пределу.
При фактических вычислениях мы будем исходить из решения (§ 9.3), полученного для бесконечного упругого пространства. Самый прямой и, казалось бы, естественный путь вычисления величины Uo — U заключается в следующем. Для тела, не содержащего трещины, 口 = 0, r = q, следовательно,
Здесь dS ——элемент площади поперечного сечения, интегрирование распространено по всей плоскости %匕 2?・ Для тела, содержащего трещину,
Оба эти интеграла расходящиеся, значения их бесконечно велики, но разность
U0 一 U = -^ J (tq一君 一 T2)dS
оказывается конечной, ее можно вычислить непосредственно.
Этот прямой путь оказывается не самым простым. Другой способ, которому мы и последуем, состоит в следующем. Окружим трещину произвольным контуром Г в плоскости 2], %2 и выделим из неограниченного упругого пространства цилиндр, основание которого ограничено контуром Г. Вектор касательного
напряжения в плоскости 初 g в точке контура Г разложим на составляющие: нормальную к контуру тп и касательную т8. На боковой поверхности цилиндра будут действовать касательные напряжения, равные тп и направленные вдоль образующей. Их можно рассматривать как внешние силы по отношению к цилиндру, поэтому упругая энергия на единицу длины цилиндра найдется по теореме Клапейрона
U =等j工必3ds.г
Теперь можно сделать предельный переход, удаляя контур Г в бесконечность. Очевидно, что U будет также стремиться к
На контуре окружностиНа контуре окружностибесконечности, но нас интересует не величина U, а разность между Uo и U. Заметим, что форма контура Г при этом безразлична, ее нужно выбирать из соображений удобства и простоты интегрирования. Пусть, например, контур Г будет окружностью радиусом г с центром в начале координат (рис. 9.5.1). Тогда
На контуре окружности
На контуре окружности
тп = Ti cos 0 + т2 sin 0. (9.5.2)
В § 9.3 мы нашли, чтоВ § 9.3 мы нашли, что
В § 9.3 мы нашли, что
В § 9.3 мы нашли, что
T］一玩2 =T］一玩2 =|zl = г; если |zl》с, то|zl = г; если |zl》с, тоОтделяя действительную часть от мнимой, получаемОтделяя действительную часть от мнимой, получаемq = — q ^2sin 28 + ・.・；т2 = т0 ^1 + ^^ cos 28 + ...). (9.5.4)
T］一玩2 =
T］一玩2 =
|zl = г; если |zl》с, то
|zl = г; если |zl》с, то
Отделяя действительную часть от мнимой, получаем
Отделяя действительную часть от мнимой, получаем
Теперь, по формуле (9.5.2)
тп = т0 sin 0 ^1 — —^ + ・・・)・(9.5.5)
Для вычисления us нужно разложить выражение (9.4.1) функции w в окрестности бесконечно удаленной точки, т. е. при больших значениях |z|
必(z)=—巾Z —~2 +・・・)・
Удержим только первый член в этом разложении и отделим
действительную часть. Получим
〃з =-^rsinE) 一卜.・.〃з =-^rsinE) 一卜.・.(9.5.6)(9.5.6)
〃з =-^rsinE) 一卜.・.
〃з =-^rsinE) 一卜.・.
(9.5.6)
(9.5.6)
Теперь, по теореме Клапейрона
о/
Разница энергийРазница энергийОчевидно, что при неограниченном увеличении г величина U стремится к бесконечности, притом за счет первого члена в скобках. Положив в формуле для U с = 0 мы получим энергию цилиндра, не содержащего трещины,
Разница энергий
Разница энергий
(9.5.7)
не зависит от радиуса г, следовательно, можно считать г бесконечно большим.
При выводе формулы (9.5.7) мы удержали лишь первые члены в разложениях для q, т2 и %. Легко сообразить, что дало бы удерживание следующих членов. Третий член в разложении (9.5.5) будет содержать в знаменателе г* второй член в разложении (9.5.6) будет содержать множитель 1/г. При вычислении U следующие слагаемые будут поэтому обязательно содержать отрицательные степени г, которые обращаются в нуль при предельном переходе, когда г устремляется к бесконечности.
Энергия тела, содержащего трещину, меньше чем энергия тела, которое трещины не содержит. Если длина с трещины увеличивается, то происходит освобождение упругой энергии. Если половина длины увеличилась на Ас, то из (9.5.7) следует
AU =-冗寸 Ас = - Ас. (9.5.8)
Соотношение (9.5.8), выраженное через коэффициент интенсивности К、получено нами для конкретного частного случая — трещины длиной 2с в бесконечном теле, нагруженном равномерно распределенными усилиями на бесконечности. Однако полученный результат совершенно универсален, он справедлив для любой трещины, так как освобождение энергии происходит в области, непосредственно примыкающей к концу трещины. Чтобы показать это, поступим следующим образом. Сделаем разрез вдоль оси впереди трещины на отрезке длины Ас (рис. 9.5.2). Чтобы края разреза не разошлись, к ним нужно приложить распреде- 19 ю. Н. Работнов
ленные силы, интенсивность которых пряжению в неразрезанном теле, т. е. (9.3.4) при 0 = 0
равна касательному на-вычисляется по формулеравна касательному на-вычисляется по формуле= k
равна касательному на-вычисляется по формуле
равна касательному на-вычисляется по формуле
края разреза начнут рас-края разреза начнут рас-Будем теперь уменьшать эти силы,
края разреза начнут рас-
края разреза начнут рас-
ходиться. Когда силы обратятся в нуль, мы получим ту же трещину, что в исходном состоянии, но передвинутую вправо на длину Ас. Берега трещины в новом положении показаны на рисунке штриховой линией. Перемещение 〃з будет определяться формулой (9.3.2) при 0 = л и при перенесенном на величину Ас начале координат; таким образом,
К"
E(Ac — n).
По теореме Клапейрона, изменение упругой энергии равно половине работы сил т на перемещении и3; таким образом,
Дс
AU — I 口 dx.о
Множитель 1/2 сократился, потому что расхождение берегов равно 2〃з, как видно из рис. 9.5.2. Подставляя выражения т и 〃з, найдем
Интеграл в этой формуле легко вычислить, он равен л/2, поэтому
AU =-巫&(9.5.9)
Разница между этой формулой и формулой (9.5.8) объясняется тем, что в первом случае изменение длины трещины равнялось 2Ас, трещина расширялась влево и вправо с сохранением симметрии. При выводе формулы (9.5.9) предполагалось, что трещина распространяется вправо на длину Ас, и только.
Кручение круглых стержней
Рассмотрим тело, представляющее собою длинный цилиндр с осью, параллельной оси /з, сечение его в плоскости %匕 х2 ограничено контуром Г или несколькими контурами ГА. Предположим, что боковая поверхность стержня свободна от напри-
жений, а к торцам приложены усилия, статически эквивалентные паре сил с моментом М. Вспоминая техническую теорию изгиба балок, основанную на гипотезе плоских сечений, предположим,
что и при кручении плоские сечения остаются плоскими, они
только поворачиваются одно относительно другого.
Будем считать, что концевое сечение 力з = 0 неподвижно. Се
чение, отстоящее от него на расстоянии 力з, поворачивается на
угол, пропорциональный расстоянию, а именно 仔力з・ Величину 1ft можно назвать погонным, т. е. приходящимся на единицу длины, углом закручивания. Из рис. 9.6.1 видно, что
"[=-О/3/2, 〃2 ==仔力3/1.
Отсюда следует, что %з =—仔％2, е2з = ^i, все остальные компоненты деформации равны нулю. По закону Гука все компоненты напряжения, кроме S3 и 仇3, равны нулю; обозначая эти компоненты так, как было принято выше в § 9.1, найдем
G = —р&д,工2 =卩仆力i・(9.6.1)
Напряженное состояние оказывается того же типа, что в случае антиплоской деформации, поэтому уравнения равновесия (9.1.2) и граничные условия (9.1.3) сохраняют силу. Выражения (9.6.1) тождественно удовлетворяют условиям равновесия. Граничное условие на боковой поверхности (9.1.3) дает после подстановки в него (9.6.1)
%/2 -冷2/1 = О, или
^!:八2 =/1 ：/2■
Это условие означает, что нормаль к контуру в данной точке направлена так же, как радиус-вектор точки, значит ——контур представляет собою окружность. Итак, формулы (9.6.1) дают только решение задачи о кручении стержня, сечение которого ограничено концентрическими окружностями, значит либо сплошного круглого стержня, либо трубы. Вектор касательного напряжения, компоненты которого даются формулами (9.6.1), направлен перпендикулярно радиусу-вектору и величина его
T=同8厂 b2 =/:+ 若).(9.6.2)
На элемент площади dS ^= г dr d(p действует сила % dS = ц^йг d(p, она создает момент относительно оси х3 на плече г, следовательно, усилия в каждом сечении статически эквивалентны паре 19*
Выражение
2Л R2Л R
2Л R
2Л R
(9.6.3)(9.6.3)называется полярным моментом инерции площади сечения. Таким образом, для трубы мы получили следующую зависимость погонного угла закручивания от крутящего момента:
(9.6.3)
(9.6.3)
Теперь величина напряжения на радиусе г выражается следующим образом:
(9.6.4)(9.6.4)_ Mr
(9.6.4)
(9.6.4)
T = 丁
Кручение стержней некруглого поперечного сечения
Предположение о том, что поперечное сечение стержня при кручении остается плоским, вполне аналогично такому же предположению в элементарной теории изгиба балок, которая была изложена в третьей главе. Но применительно к задачам изгиба это предположение выполняется во всех случаях с практически достаточной точностью, оно позволяет определить основные при изгибе напряжения —нормальные к плоскости сечения. Некоторое искривление поперечных сечений может происходить за счет касательных напряжений, ио эти напряжения, как было показано, относительно невелики. Для кручения, когда возникают именно касательные напряжения, поперечные сечения действительно остаются плоскими только тогда, когда сечение ограничено концентрическими окружностями, как это было рассмотрено в § 9.6. Чтобы построить решения в общем случае, добавим к напряженному состоянию (9.6.1) напряженное состояние, соответствующее антиплоской деформации по формулам (9.1.1). Получим
Ti = и 1 —卩 8/2, 工2 — 〃,2 + 卩 8力 1(9.7.1)
и выберем функцию и так, чтобы было выполнено соответствующее граничное условие на поверхности цилиндра, которое
принимает следующий вид:
ti〃i + 工2八2 = 0, ха^ Г, Г ——контур сечения цилиндра.
Подставляя сюда (9.7.1), получим
4,1% + 辽解2 — W& (力2% — g〃2)= О
или
^=^ (^2^1 -々色l)■^=^ (^2^1 -々色l)■(9.7.2)(9.7.2)
^=^ (^2^1 -々色l)■
^=^ (^2^1 -々色l)■
(9.7.2)
(9.7.2)
Таким образом, решение задачи о кручении свелось к задаче Неймана ——нахождению гармонической функции и в области, ограниченной контуром Г, по заданному значению ее нормальной производной на контуре. '
Пусть теперь и — функция от х^ гармонически сопряженная с 〃(第а), т. е. связанная с ней соотношениями Коши ——Римана,
浓，=W.2,也,2 = 一%.
Заменяя в (9.7.1) производные от и производными от и, получим
Ti = p2 -酿力 2, R = -01 + m8/1.
Граничное условие (9.7.2) преобразуется к следующему виду:
Здесь символ ^ обозначает дифференцирование по дуге контура s. Выписанное граничное условие можно проинтегрировать по дуге. В результате получим
и =財:咤Г? + С, %awl\(9.7.3)
тогда как функция и — гармоническая, Аи = 0.
Таким образом, задача о кручении оказалась сведенной к задаче Дирихле.
Формулы для Ti и т2 можно переписать следующим образом:
aFdFZ = ^，0 = _运•aFdFZ = ^，0 = _运•(9.7.4)(9.7.4)
aFdF
Z = ^，0 = _运•
aFdF
Z = ^，0 = _运•
(9.7.4)
(9.7.4)
Здесь
Поскольку и — гармоническая функция, функция F, называемая
функцией напряжений, удовлетворяет уравнению Пуассона
AF = 一2財，(9.7.5)
тогда как граничное условие (9.7.3) заменяется следующим простым условием:
歹=&,力а^П・(9.7.6)
В этой записи учтена возможность того, что область поперечного сечения многосвязна и граница ее состоит из ряда контуров rft. Если сечение односвязно, то постоянную С на единственном контуре Г можно выбрать по произволу, например, положить 0 = 6. Для многосвязных областей далее будет установлено правило, позволяющее назначить постоянные Ck.
Заметим, что формулам (9.7.4) можно придать симметричный вид, а именно,
% = 丫 ар^,В・(9.7.7)
Здесь тензор уар определен в пункте (и) § 7.1.
Встретившийся здесь прием введения функции напряжений с помощью (9.7.4) или (9.7.7) носит совершенно общий характер. При построении теории сложного сдвига и кручения можно было принять за отправной пункт не кинематическую гипотезу § 9.6, а уравнение равновесия (9.1.2) вместе с предположением о равенстве нулю всех остальных компонент напряжения. Представляя Ti и т2 как производные от функции F, мы удовлетворим уравнению равновесия. Из (8.5.8) следует, что при равенстве нулю остальных напряжений как в, так и т2 ——гармонические функции. Отсюда следует
NF = const.
Вычисляя теперь перемещения, мы убеждаемся, что это как раз та константа, которая фигурирует в (9.7.5).
Нам осталось показать, что решение задачи в любой из трех эквивалентных формулировок действительно относится к кручению призматического стержня парой сил, приложенной на торце. Прежде всего необходимо проверить, что результирующая внутренних сил в сечении равна нулю, это значит, что
f qdS= f т2 d5 = 0.(9.7.8)
Запишем первое условие следующим образом:
I 竺 dx±dx2 0. s %
Этот интеграл преобразуется в контурный, следовательно, должно
быть
f Fn2ds — 0. г
На каждом из контуров, образующих границу площади сечения, 歹=const, следовательно, выносится из-под знака интеграла. Оставшийся интеграл
Аналогично доказывается выполнение второго условия （9.7.8）. Вычислим теперь момент внутренних сил в сечении
М = J （%力 1 — %g） dS = — j （力jF,i + &歹,2）dS.
Перепишем это следующим образом:
m = - j [（力 1 方）,i + （力2ь）,2]dS + 2（尸 dS.
SS
Первый интеграл преобразуется в контурный, а именно,
-\p （/1人+力2八2）曲=-』以 [（力济1 +/2%）曲.
на внеш- Интегрална внеш- Интеграл（9.7.9）（9.7.9）sДля односвязной области в этой формуле остается только интегралsДля односвязной области в этой формуле остается только интегралЗдесь сумма распространена на внутренние контуры, нем контуре Го можно зафиксировать значение Со = 0. f （力山1 +/2八2）而=j （/2d/1 -/id/2）= 2Q^, где Qk ——площадь, ограниченная контуром ГА. Итак, М = -2 工醯 2 JbdS.
на внеш- Интеграл
на внеш- Интеграл
（9.7.9）
（9.7.9）
s
Для односвязной области в этой формуле остается только интеграл
s
Для односвязной области в этой формуле остается только интеграл
М = 2] FdS.s
Следует заметить, что, строго говоря, напряженное состояние （9.7.4） будет осуществлено лишь тогда, когда на торцах стержня приложены внешние нагрузки, определяемые этими формулами. Однако мы ограничились составлением условия равенства нулю главного вектора и равенства заданной величине М главного момента усилий на торцах. Вследствие принципа Сен-Вена- на, разъясненного в § 2.1, практический способ приложения кру-
тящего момента сказывается лишь вблизи торцов. Начиная с некоторого расстояния, порядок величины которого равен но рядку поперечного размера, распределение напряжений будет соответствовать построенному решению.
Теорема о циркуляции касательного напряжения. Тонкостенные стержни замкнутого профиля
контуру т, целиком перечным сечением,контуру т, целиком перечным сечением,Циркуляция вектора касательного напряжения по замкнутому
контуру т, целиком перечным сечением,
контуру т, целиком перечным сечением,
лежащему внутри области, занимаемой по- определяется следующим образом:
/ =，(qd力 1 + T2dx2).
Подставляя сюда выражения для напряжений по формулам
получим
0 [du -屮91 (x2dx1 一%1出7)]. v
Функция 〃(s) представляет собою перемещение в направлении оси 第з, при отсутствии дислокации (§ 9.2) это есть однозначная функция координат, следовательно,
0九=0・V
Таким образом,
/ =因步(-x2dxl + /]d/2).
Этот интеграл уже встречался нам в § 9.7, он представляет собою удвоенную площадь Q, ограниченную контуром у, поэтому
(9.8.1)(9.8.1)= - 20附.
(9.8.1)
(9.8.1)
Формула (9.8.1) и составляет содержание теоремы о циркуляции касательного напряжения.
Если сечение односвязно, формулу (9.8.1) можно получить сразу, применив теорему Стокса,
ds = j A 歹 dS,sds = j A 歹 dS,s
ds = j A 歹 dS,s
ds = j A 歹 dS,s
но в этом случае формула выражает тривиальный факт и не представляет интереса. Для многосвязной области, если контур Y содержит в себе один или несколько граничных контуров, формальное применение теоремы Стокса не приведет к формуле (9.8.1), которая выражает некоторые дополнительные требования, а именно ——требование однозначности перемещения. Действи-
тельно, можно представить себе функции 乂 (％а), содержащие в себе члены вида (9.8.1), т. е. винтовые дислокации с особенностями, помещенными внутри отверстий. В этом случае перемещение не будет однозначным и формула (9.8.1) окажется неверной. Представим себе, например, трубу, изображенную на рис. 9.2.1. Ее разрезали вдоль образующей, сдвинули края разреза на величину & и сварили, как было разъяснено в § 9.2. В трубе возникнут касательные напряжения, существующие при отсутствии внешних сил. При обходе по замкнутому контуру
перемещение получает приращение, равное > и формула (9.8.1) перестает 夕 быть верной.
Рассмотрим кручение стержня с много связным сечением при отсутствии - дислокаций. Положим С == 0 на наружном контуре. Если зафиксировать 一
SSРис, 9.8.2Рис, 9.8.2константы Ck на внутренних контурах по произволу, решение уравнения (9.7.5) при граничных условиях (9.7.6) всегда можно построить, но этому решению, вообще говоря, будет соответствовать неоднозначное перемещение. Для того чтобы перемещение было однозначным, необходимо выбрать надлежащим образом константы Ck. Составляя условия (9.8.1) для всех возможных контуров, не преобразующихся один в другой путем непрерывного деформирования, мы получим необходимые уравнения для определения констант СА.
S
S
Рис, 9.8.2
Рис, 9.8.2
Проиллюстрируем метод на примере задачи о кручении тонкостенного стержня замкнутого профиля, например такого, который изображен на рис. 9.8.1. Штрихами показана средняя линия профиля, образующая систему замкнутых многоугольников, занумерованных цифрами 2, 2, 5, 4, 5. Внешнюю область мы будем обозначать индексом нуль. Участок профиля между многоугольником 2 и многоугольником 2, например, мы будем обозначать двойным индексом 12. Рассмотрим стенку rs, изображенную от-
дельно на рис. 9.8.2, а. Выберем локальную систему координат 力,у так, как это показано на рисунке. Толщина профиля h есть величина переменная, но она меняется медленно. Ось стенки криволинейна, но радиус кривизны ее велик по сравнению с толщиной h. Поэтому мы заменим действительную стенку той, которая изображена на рис. 9.8.2, 6, она ограничена параллельными прямыми, которые простираются бесконечно далеко. В этом случае функция напряжений не зависит от 第,уравнение (9.7.5) становится следующим:
(9.8.2)
а граничное условие
Решение уравнения (9.8.2) будет следующим:
9+/4+雜俘一#•
Отсюда
t? = 0, Тх =(С$ — С。— 2卩8y.
Второй член, линейно зависящий от р и отражающий неравномерность распределения напряжений по толщине стенки, в технической теории отбрасывается и касательное напряжение считается постоянным
% = t = ~^~ (С$ — ©)•(9.8.3)
Величину h в формуле (9.8.3) следует считать переменной — функцией дуги профиля h = h(s). Это изменение настолько медленно, что при выводе формулы (9.8.3) мы сочли возможным с цим не считаться. Отброшенный член в выражении для т достигает максимума при у =无/2, величина его равняется при этом 时无・ В дальнейшем мы покажем, что действительно
п 7„ С 8—Сг
九《—2-
и сделанное упрощение на самом деле оправдано. Для дальнейшего нам понадобится выбрать определенное правило знаков. Расставим предположительно стрелки, указывающие направление касательного напряжения, как это сделано на
рис. 9.8.1. Совместим ось 力 с предположительным направлением т. Теперь ось у будет указывать на ту область, индекс которой в формуле (9.8.3) нужно поставить на первое место (индекс s). Так, на стенке 21
“1 = 4"(Ci — &),
на стенке 34
工34 = ； (°з — О
и так далее.
Для определения констант Ck применим теорему о циркуляции. Пусть Qb С?, • • •, Qs — площади многоугольников с соответствующими индексами. Тогда беря, например, контур, окружающий многоугольник 7, получим по формуле (9.8.1)
G1 _ 0。)『毕 + (& - G)J告 _ (G — &) J 登=_ 2^Q「(9.8.4) 011215
При этом положительным считалось направление обхода против часовой стрелки и учитывались предположительно выбранные направления т на каждом участке.
Уравнение, подобное уравнению (9.8.4), можно написать для каждого контура, окружающего один или несколько многоугольников; число таких уравнений будет равно числу неизвестных констант (величину 少。можно зафиксировать по произволу, например принять Со = 0).
Решая систему уравнений, подобных (9.8.4), мы найдем, что каждая из величин Ch имеет порядок
以〜时罕〜卩仔
Здесь L ——характерный линейный размер стенки. Поэтому определяемая формулой (9.8.3) величина т имеет порядок 卩仆£, тогда как отброшенный в выражении для т член, как мы видели, имел порядок рЖ; таким образом, ошибка, происходящая от его отбрасывания, имеет порядок
h/L《1, если стержень действительно тонкостенный.
Теперь нам.осталось вычислить крутящий момент. С принятой степенью точности.
〃 =一2£ C0h・(9.8.5)
Второй член в формуле (9.7.9) / представляющий собою удвоенный интеграл от функции напряжений цо площади сечения, при данной степени приближения следует отбросить.
Простейшие задачи о кручении
Рассмотрим некоторые задачи теории кручения, решаемые относительно элементарными средствами. Прежде всего, если мы выберем произвольную функцию удовлетворяющую уравнению (9.7.5), то условие F = const определит контур того сечения, для которого функция F дает решение задачи кручения. Конечно, набор сколько-нибудь полезных решений такого типа ограничен, однако некоторые случаи оказываются интересными.
а. Кручение стержня эллиптического поперечного сечения. Положим
/ (/1，/2)= j +扌一丄
Тогда
В соответствии со сказанным выше функция
p=_m否3 +青一）⑶仇1）
решает задачу о кручении стержня, сечение которого есть эл
липс
(9.9.2)
Касательные напряжения выражаются следующими формулами:
(9.9.3)(9.9.3)
(9.9.3)
(9.9.3)
Абсолютная величина вектора касательного напряжения равна
t = 2时t = 2时V q%： + ь%；<? +声'V q%： + ь%；<? +声'
t = 2时
t = 2时
V q%： + ь%；
<? +声'
V q%： + ь%；
<? +声'
Видно, что величина t монотонно растет вместе с 力 и g 口$ следовательно, не может достигать максимума внутри области, наибольшее значение t достигается на контуре. Исключая из выражения * например, z“ с помощью условия (9.9.2) нахоДйм, что на контуре
Т == 2卩0@
г6一庐）宕+戸
Положим для определенности а > b, тогда т достигает максимального значения при х2 = Ь, а именно,
стак = 2卩0 a2 + 产
Вычислим теперь крутящий момент, интегрируя F по площади эллипса,
М = 2^^^ (^ + ^^^ d^a = ^?$• (99.4)
Из результатов этого параграфа получаются как частный случай известные уже результаты для стержня кругового сечения.б. Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения.Из результатов этого параграфа получаются как частный случай известные уже результаты для стержня кругового сечения.б. Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения.Пусть сечение стержня есть прямоугольник 26, Ь>а. Примем за оси g и g оси симметрии сечения, как показано на рис. 9.9.1, и положимПусть сечение стержня есть прямоугольник 26, Ь>а. Примем за оси g и g оси симметрии сечения, как показано на рис. 9.9.1, и положимсосоР = ± Утг (力2)COS 九тг%1，九九— n=oР = ± Утг (力2)COS 九тг%1，九九— n=o2д + 1 зт2 а2д + 1 зт2 аПри таком выборе функции граничное условие при х^ = 士аПри таком выборе функции граничное условие при х^ = 士а(9.9.5) напряжений будет авто-(9.9.5) напряжений будет авто-матически выполнено. Кроме того, эта функция четна относительно 力匕 следовательно, dFJdx^ нечетна по этой же переменной, напряжения т2 в точках М и М^ расположенных симметрично по отношению к оси 力2, равны по величине и противоположны по знаку. Подставим (9.9.5) в условиематически выполнено. Кроме того, эта функция четна относительно 力匕 следовательно, dFJdx^ нечетна по этой же переменной, напряжения т2 в точках М и М^ расположенных симметрично по отношению к оси 力2, равны по величине и противоположны по знаку. Подставим (9.9.5) в условиесторонами 2a исторонами 2a иРис. 9.9.1Рис. 9.9.1(9.7.5). Получим(9.7.5). Получим
Из результатов этого параграфа получаются как частный случай известные уже результаты для стержня кругового сечения.
б. Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения.
Из результатов этого параграфа получаются как частный случай известные уже результаты для стержня кругового сечения.
б. Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения.
Пусть сечение стержня есть прямоугольник 26, Ь>а. Примем за оси g и g оси симметрии сечения, как показано на рис. 9.9.1, и положим
Пусть сечение стержня есть прямоугольник 26, Ь>а. Примем за оси g и g оси симметрии сечения, как показано на рис. 9.9.1, и положим
со
со
Р = ± Утг (力2)COS 九тг%1，九九— n=o
Р = ± Утг (力2)COS 九тг%1，九九— n=o
2д + 1 зт
2 а
2д + 1 зт
2 а
При таком выборе функции граничное условие при х^ = 士а
При таком выборе функции граничное условие при х^ = 士а
(9.9.5) напряжений будет авто-
(9.9.5) напряжений будет авто-
матически выполнено. Кроме того, эта функция четна относительно 力匕 следовательно, dFJdx^ нечетна по этой же переменной, напряжения т2 в точках М и М^ расположенных симметрично по отношению к оси 力2, равны по величине и противоположны по знаку. Подставим (9.9.5) в условие
матически выполнено. Кроме того, эта функция четна относительно 力匕 следовательно, dFJdx^ нечетна по этой же переменной, напряжения т2 в точках М и М^ расположенных симметрично по отношению к оси 力2, равны по величине и противоположны по знаку. Подставим (9.9.5) в условие
сторонами 2a и
сторонами 2a и
Рис. 9.9.1
Рис. 9.9.1
(9.7.5). Получим
(9.7.5). Получим
2(уп —九^уn)cos九加e]=-2卩0.
n—Q
Умножим обе части этого равенства на cos XAXi и проинтегрируем по %1、в пределах от —а до +а. Заметим, что
j cos 九左力1 cos 九m%id%i = ab^m, J cos 九儿％1&%1 = 2(["-.
Поэтому для функций Yk получается следующая последовательность дифференциальных уравнений:
Yk -熊У h = 4卩心(以?〜
Интеграл каждого из этих уравнений, удовлетворяющий условию 爲(士Ь)=0, есть
% = - 4©% = - 4©ch大т2 ch入月6ch大т2 ch入月6
% = - 4©
% = - 4©
ch大т2 ch入月6
ch大т2 ch入月6
стержнястержняТаким образом, функция напряжений для кручения прямоугольного сечения получается следующей:
стержня
стержня
F = — 4卩3 £ —4" [1 —济心В?) cos統况2・(9.9.6)
При выводе этой формулы безразлично какой размер принять за размер 〃，а какой обозначить буквой Ъ. Поставленное выше условие Ь> а совершенно необязательно для вывода формулы (9.9.6), однако если принять это допущение, выражение для функции F может быть представлено в несколько иной форме.
Представим себе, что сечение стержня представляет очень вытянутый прямоугольник, так что b》а. Тогда, очевидно, в большей части сечения функция F практически не зависит от д. Это значит, что касательные напряжения почти параллельны длинной стороне. Итак, примем F = F0(Xi), уравнение (9.7.5) становится обыкновенным дифференциальным уравнением
竺竺=—2卩抄.=—2卩抄.
竺
竺
=—2卩抄.
=—2卩抄.
Решение его, удовлетворяющее условию 凡(±〃)=0, естьFo = |ы0 (а2 — /；).
В действительности F зависит как от /〕, так и от 力2, и мы примем
F = Fo + Fi (х^ ^2).
Теперь функция F{ есть гармоническая функция:
А 匕=0.
Положим по-прежнему, что Fi представляется рядом (9.9.5), функции Yk будут теперь удовлетворять однородным дифференциальным уравнениям
Нам нужно рассматривать только четные решения, поэтому
у*九/Цch九乳/2,F工I /?г ch九九/2 COS九九/].
г=0
Теперь нужно выбрать величины Ak так, чтобы удовлетворить
граничному условию при g = 土仇 а именно,
F (/, 土 Ь)=卩。(“2 —况；)+ X 4 ch 統b cos 九汽％ = 0.
n=0
Умножим на cosAh/i и проинтегрируем от х^ = —а до х^ =+а・ В результате получим
4 =铀取一1广—-.麻ch *
Окончательная формула для F принимает следующий вид:
ь=n0 或一式 + 4 £(一 ? - cos 九汽/ .(9.9.7)
Ряд (9.9.7) отличается от ряда (9.9.6) тем, что часть его просуммирована. Последнюю формулу можно было бы получить и путем прямого преобразования (9.9.6); мы специально привели два различных решения одной и той же задачи для того, чтобы проиллюстрировать полезный прием, применяемый при интегрировании линейных дифференциальных уравнений в частных производных методом Фурье; прежде чем отыскивать решение в виде ряда, выделяется некоторое частное решение, обычно полином. Ряд в формуле (9.9.7) представляет собою некоторую поправку к полиномиальному решению, этот ряд сходится весьма быстро, особенно если b》а, и допускает дифференцирование, необходимое для определения Tt и т2.
Не выписывая здесь легко получающиеся из (9.9.7) формулы для крутящего момента и касательных напряжений, представим их в следующем виде:
Af = к^^ (2а)3 2Ь, тШах = 2 (9.9.8) / (2а)“ (2Ь)
Коэффициенты 自 и 弘 зависят от отношения & : а, значения их, рассчитанные Сен-Венаном, приводятся в следующей таблице:
Ыа
协
也
b/a
瓦
財
1
0,1406
0,208
0,263
0,267
1,2
0,166
0,219
0,281
0,282
1,5
0,196
0,231
0,291
0,291
2,0
0,229
0,246
10
0,312
0,312
2,5
0,249
0,253
ОО
0,333
0,3?3
Теорема о максимуме касательного напряжения.
Угловые точки
На примере стержня эллиптического сечения мы убедились в том, что касательное напряжение достигает максимума в точке, принадлежащей контуру сечения. Если решение представлено в виде ряда, как например для прямоугольного сечения, то сделать подобное заключение, основываясь непосредственно на анализе найденного решения, затруднительно. Однако, опираясь на известные свойства гармонических функций, можно доказать, что величина касательного напряжения не может принимать максимального (так же как и минимального) значения во внутренней точке области, следовательно, наибольшая величина достигается на контуре. В теории гармонических функций существует теорема о том, что гармоническая функция не может иметь экстремума внутри области, эту теорему мы считаем известной и будем на нее опираться. Пусть в некоторой точке области сечения М касательное напряжение есть т. Направим ось ci параллельно вектору т в точке Л/, тогда %\м = т = dF!dx2. Поскольку F удовлетворяет уравнению Пуассона, dF/dx2 есть гармоническая функция, которая не может принимать экстремальное значение во внутренней точке области своего определения. Поэтому в окрестности точки М всегда найдется такая точка Q, для которой Tiq > Tim. Но абсолютная величина касательного напряжения т = ]/ t； + т言 ％, поэтому Tq > %\м. Таким образом, доказано, что ни в
одной внутренней точке области касательное напряжение не может достигать максимума (так же как и минимума).
Что касается поведения касательного напряжения на контуре сечения, некоторые особенности могут возникнуть тогда, когда контур имеет угловые точки. Полагая 〃(z) — и + iv, как это было сделано в § 9.1, мы удовлетворим условию того, что функции 〃(са) и и(са) —гармонические сопряженные. Формулы (9.7.1) или эквивалентные им (9.7.2) могут быть переписаны следующим образом:
(9.10.1)(9.10.1)Т = Т1 —力工2 = l/(z) — фб'з.
(9.10.1)
(9.10.1)
Теперь граничное условие для комплексной функции кручения запишется следующим образом:
(9.10.2)(9.10.2)Im 〃 = т 卩8zz +。炉 z е Г^.
(9.10.2)
(9.10.2)
Пусть точка О контура представляет собою угловую точку, касательные к контуру образуют в этой точке угол а (рис. 9.10.1). Если а V 兀,как изображено на рисунке, будем называть угол выступающим, если а > зт — входящим. Продолжим касательные и рассмотрим вместо реального сечения область в виде угла, образованного касательными, направим ось z вдоль одной из сторон угла. Характер особенности в точке。от такой замены, очевидно, не меняется. Функция
удовлетворяет условию (9.10.1). Действительно,удовлетворяет условию (9.10.1). Действительно,
удовлетворяет условию (9.10.1). Действительно,
удовлетворяет условию (9.10.1). Действительно,
1m % = 4" М c°s■黑《 ⑴戸十 * (z = %")・
При 0 = 0 и 0 = а Im u0 = -J 目产 +。左， что соответствует выполнению условия (9.10.1). К функции 〃о может быть добавлена аналитическая внутри угла функция 如，обращающаяся в нуль на сторонах угла 0 = 0 и 0 = а. Представим эту функцию в виде .
(9.10.3)(9.10.3)弋 м0
(9.10.3)
(9.10.3)
Mi= 2j ahz 'k=i
Если ak — вещественные числа, Im 〃i = 0 при 6 = 0; чтобы выполнялось условие Im Ui = 0 при 0 = а, нужно, чтобы было sin Xto = 0, следовательно, 九=冗/a.
ле (9.10.1)ле (9.10.1)Чтобы удовлетворить условию (9Л0.2) в ряде (9.10.3), следует сохранить только положительные степени z\ так как 〃i (0) = 0. По форму-
ле (9.10.1)
ле (9.10.1)
T = T1 -k2 =卩а1 九Z*一I + ...
Для выступающего угла а < л, следовательно, % > 4 и т(0) = 0. Для входящего угла а > л, следовательно, % < 1 и т(0) = оо.
Концентрация напряжений при кручении
Пусть задача кручения решена для некоторой области S (рис. 9.11.1, а). Рассмотрим теперь стержень, сечение которого представляет плоскую область S', которая отличается от области S наличием концентратора напряжений. Так называется, например, канавка на поверхности стержня (рис. 9.11.1, б) или внутренняя цил индриче ская полость, пересекающая плоскость сечения по контуру 丫 (рис. 9.11.1, в). Концентратор напряжений не должен образовывать входящих углов. В противном случае,
ио-предыдущему, касательное напряжение в угловой точке равно бесконечности, и задача о концентрации напряжений становится беспредметной.
Будем считать, что концентратор напряжений мал. Это озна- qaei следующее. Проведем окружность наименьшего радиуса 6, 2Q Ю. Н. Работнов
полностью заключающую в себя концентратор. Проведем окружность радиусом р с тем же центром. Такую же окружность проведем в сечении стержня без концентратора, она выделит из области S область ①，ограниченную или одной окружностью радиусом р, или дугой окружности радиусом р и частью дуги контура Г области S, как показано на рис. 9.11.1, 6, в. Концентратор считается малым в том случае, когда выполнены следующие условия.
Решение задачи кручения для области S дает в области со значения Ti и т2, мало отличающиеся от постоянных t； и т；・
Характерный размер концентратора мал по сравнению с размером области
5《р.
Тогда задача о концентрации напряжений при кручении может быть заменена задачей о концентрации напряжений при антиплоской деформации для бесконечного или полубесконеч- ного тела. В этом теле сделана цилиндрическая полость или вырез с края, напряжения Ti и т2 стремятся к т? и т® при 况匕 况2, стремящихся к бесконечности, поверхность полости или граничная поверхность в случае полубесконечного тела свободны от напряжений. Для определения комплексной функции кручения, мы имеем
Im u(z)= С, z^y + F,(9.11.1)
Ti — ir2 = 〃‘ (z).(9.11.2)
При ЭТОМ 优(8)= £ — Хт：・
Рассмотрим задачу о концентрации напряжений около полости, имеющей форму кругового цилиндра радиусом а. Поместим начало координат в центре кругового сечения полости; таким образом, на контуре 丫 z = aeR Положим
/ (z) = Z + }
При z = ас'。
/(〃e'°) = 2〃 cos 0.
Следовательно, Im / = 0 при z ^ у. Итак, функция f(z) удовлетворяет граничному условию (9.11.1). Далее
/' (z) = 1^, /'(8)= 1・
Не нарушая общности, можно потребовать, чтобы при z = 8 было тх = т；= т, т2 = 0, поэтому функция
u = xjz +召(9.1КЗ)
решает поставленную задачу о концентрации напряжений около круглого отверстия.
Из (9.11.3) следует
(9.11.4)
Максимальное значение касательного напряжения в согласии с теоремой § 9.10 достигается на контуре отверстия, т. е. при z = @e'9. Подставляя последнее выражение в (9.11.4), получим
Ti = т(1 — cos 20), т2 = тsin20.
Наибольшая величина касательного напряжения получается при 8 = ± г/2, а именно,
Emax = 2Т.
Множитель, показывающий во сколько раз максимальное напря- жение больше, чем напряжение на бесконечности, называется коэффициентом концентрации напряжений.
Учитывая сделанные в начале параграфа оговорки о малости концентратора, позволившей заменить задачу кручения задачей об антиплоской деформации, мы можем определить коэффициент концентрации иначе; это множитель, показывающий во сколько раз увеличивается напряжение при наличии концентратора по сравнению с тем, которое было бы в этом же месте при кручении стержня без концентратора.
В данном случае коэффициент концентрации равен 2. Заметим, что при 0 = 0 т2 = 0. Поэтому, если рассечь тело плоскостью £i, /з, эта плоская граница будет свободна от напряжений. Таким образом, найденное решение будет справедливо не только для бесконечной плоскости с круговым отверстием, но также для полуплоскости с вырезом в форме полуокружности или для стержня с полукруглой канавкой на поверхности; если радиус кривизны контура сечения много больше чем а, решение для бесконечной полуплоскости будет мало отличаться от истинного.
Для отверстий, форма которых отличается от круговой, решение получается с помощью конформного отображения. Пусть функция z=s(C) осуществляет конформное отображение области, внешней по отношению к контуру 匕 на внешность единичного круга в плоскости 之.Потребуем, чтобы при С f 8 ①化)f & тогда будет о/(8)= 1. Теперь функция
〃 = xg + ^J (9.11.5)
дает решение задачи о концентрации напряжения. Действительно, d〃 — 1 du 1 Л 1 \
Up 広 Zf 8 du/dz T, поэтому условие (9.11.2) выполняется.
С другой стороны, на единичной окружности 之=е'。 Im и = 0, Теперь напряжения находятся по следующей формуле:
Ti 一 斤2 = ^^j , 一 £)(9.11.6)
Желая определить напряжения в произвольной точке сечения, мы должны в формуле (9.11.6) перейти к переменной z. Однако для нахождения коэффициента концентрации в этом нет необходимости, максимум т = ]Лт1 + т| будет всегда достигаться при С = е%
Пример. Полость в виде эллиптического цилиндра с полуосями а и Ь, направленными вдоль х\ и 立2 соответственно. Отображение внешней области эллипса на плоскость с выброшенным единичным кругом дается формулой
8日) ="可壮=不方-
2
По формуле (9.11.6) при ^ = i получаем тх = -^ 2j_"^,т* Поэтому коэффициент концентрации
b
==1 + 7-(9.儿7)
Мы опустили достаточно простое, но требующее некоторых выкладок доказательство того, что наибольшее касательное напряжение возникает именно при С = 士» или (0, 士Ь) в плоскости 立卜 立2； что в этих точках напряжения экстремальны, следует из соображений симметрии.
Кручение анизотропных стержней
Мы рассмотрим здесь простейший случай кручения ортотропного стержня, для которого координатные плоскости служат плоскостями упругой симметрии. Согласно § 8.2 в этом случае
Т1 = Ц1 (из, 1 —0^2),七2 =卩2(〃3, 2 + 今立1)・(9.12.1)
Здесь, в соответствии с обозначением упомянутого параграфа,卩i =后⑶出 卩2 = e2323・
Напряжения Ti и 电 по-прежнему выражаются через функцию напряжений по формулам (9.7.4). Внесем эти выражения в (9.12.1), исключим функцию 〃з. Получим
11%尸,11+不歹,22 = _ 2也11%尸,11+不歹,22 = _ 2也(9.12.2)(9.12.2)
11
%尸,11+不歹,22 = _ 2也
11
%尸,11+不歹,22 = _ 2也
(9.12.2)
(9.12.2)
Это уравнение можно разными способами привести к виду (9.7.5), т. е. к уравнению кручения изотропного стержня. Один из таких способов состоит в следующем. Сделаем замену координат по формулам
Тогда уравнение для функции напряжений примет следующий вид:
/歹d2歹，卩收 。/歹d2歹，卩收 。(9.12.4)(9.12.4)
/歹d2歹，卩收 。
/歹d2歹，卩收 。
(9.12.4)
(9.12.4)
Это уравнение совпадает с (9.7.5) (за исключением множителя в правой части); таким образом, задача о кручении ортотропного стержня свелась к задаче о кручении изотропного стержня, сечение которого подвергнуто аффинному преобразованию (9.12.3), т. е. ограничено в плоскости £ т] контуром Г7, который получается из контура Г в плоскости жа путем растяжения или сжатия в направлении координатных осей. Граничное условие в плоскости ха на контуре Г остается прежним:尸=С. Это же условие выполняется и на преобразованном контуре Г', поскольку между Г и Р‘ существует точечное соответствие.
Ограничиваясь случаем односвязной области, перепишем выражение (9.7.9) для крутящего момента в виде интеграла по площади S' в плоскости Е, п：
"='/IM丄卜"，・匕T&
а. Стержень эллиптического сечения. Полагая
• Определим теперь крутящий момент• Определим теперь крутящий моменткак и для изотропного стержня, убеждаемся, что уравнение (9.12.2) будет 證九卩2
• Определим теперь крутящий момент
• Определим теперь крутящий момент
/% + 庐%/% + 庐%выполнено при 4 =—"
/% + 庐%
/% + 庐%
по обычной формуле (9.7.9), опустив знак,
以庐庐%% 彰产2=満工工6%分.以庐庐%% 彰产2=満工工6%分.(9.12.5)(9.12.5)
以庐庐%% 彰产2=満工工6%分.
以庐庐%% 彰产2=満工工6%分.
(9.12.5)
(9.12.5)
б. Стержень прямоугольного сечения. Уравнение (9.12.4) решается теперь для прямоугольника со сторонами
с учетом приведенных выше формул, связь между углом закручивания и крутящим моментом дается следующей формулой:
(9.12.6)(9.12.6)М= &卩田(2а)з(2Ь)・
(9.12.6)
(9.12.6)
Здесь к\ определяется по-прежнему таблицей § 9.9, но зависит не от отношения &/а, а от отношения
Для армированных материалов типа стеклопластиков, углепластиков и боропластиков важно определить по отдельности модули gi и 卩2 ——сдвига в плоскости пластины и межслойного сдвига. Это можно сделать, испытав на кручение два плоских образца с различными отношениями Ь/q.
Кручение тонкостенных стержней открытого профиля
Если сечение имеет форму весьма длинного, вытянутого прямоугольника с размерами сторон 2 и 5, 3/2 < 1, то формулы (9.9.8) принимают вид
М = $ 卩今33%, ттах =駕.М = $ 卩今33%, ттах =駕.(9.13.1)(9.13.1)
М = $ 卩今33%, ттах =駕.
М = $ 卩今33%, ттах =駕.
(9.13.1)
(9.13.1)
Действительно, как видно из таблицы § 9.9, коэффициенты к、 и к2 стремятся к величине 1/3 при неограниченном уменьшении отношения 6/2; при 6// = 1/10 погрешность формул (9.13.1) составляет около 6%. Вспомним второй способ, при помощи которого была решена задача о кручении стержня прямоугольного сечения в § 9.9. Сначала предполагалось, что касательные на^ пряжения параллельны длинной стороне прямоугольника. При
этом на концах не будет выполнено граничное условие, состоящее в том, что вектор касательного напряжения в точках контура направлен по касательной к нему. Необходимая поправка была построена в виде ряда. Если прямоугольник очень вытянутый, то эта поправка будет сказываться лишь на расстоянии & от конца, при этом, очевидно, размер d имеет порядок ширины профиля 6. Если 5/2《 《1, то dll <^ 1, и для очень вытянутых
профилей поправка перестает быть существенной. Профили прокатных балок из металла обычно бывают составлены из узких
прямоугольников. На рис. 9.13.1 изображены так называемые тавровый, двухтавровый и зетовый профили. Если профиль в целом закручивается на угол 6, то в каждом из составляющих его
прямоугольных стержней возникает момент, определяемый формулой (9.13.1), где 6г и 厶 относятся к элементу с номером z. Таким образом, получается формула
"=3卩0e6%・(9.13.2)
Определим отсюда 屯 и, находя по формуле (9.13.1) крутящий момент М в каждом из прямоугольных элементов, получим
MsMsМ2<М2<(9.13.3)(9.13.3)
Ms
Ms
М
2<
М
2<
(9.13.3)
(9.13.3)
Теперь по формуле (9.13.1) находим наибольшее касательное
(9.13.4)(9.13.4)напряжение в элементе с номером s
(9.13.4)
(9.13.4)
2 °i4
Из последней формулы следует, что наибольшее касательное напряжение будет там, где толщина 5s максимальна. Очевидно, найденные формулы дают погрешность тем большую, чем больше отношение &/2»; при выводе их мы пренебрегали взаимным влиянием элементов в зонах, обведенных кружками на
рис. 9.13.1.
Предположим теперь, что профиль тонкостенного стержня имеет криволинейное очертание, как показано на рис. 9.13.2.
Штрихами изображена средняя линия профиля, s — дуговая координата, измеряемая вдоль этой средней линии, 5(s)——переменная толщина. Более точно нужно считать, что задана средняя линия, в каждой точке М к ней проведена нормаль, по нормали отложены отрезки 5(s)/2 в каждую сторону, множество концов таких отрезков образует границу контура. Будем считать, что S/Z《1, при этом I есть
длина дуги средней линии. Сделаем еще
предположение о том, что радиус кривизны средней линии р имеет тот же порядок, что 厶 т. е. велик по сравнению с 6. Отдельные изломы, которые возможны здесь, так же как в примерах, приведенных на рис. 9.13.1, вносят такую же погрешность; теория перестает быть справедливой в окрестности точки излома. Записывая формулу, связывающую момент с погонным
углом закручивания, в виде
М =卩©С】
будем называть величину С геометрической жесткостью. Для криволинейного стержня фигурирующая в уравнении (9.13.2) сумма будет заменена интегралом и мы получим
° = Wf 33(s)ds.(9.13.5)
о
тогда как касательное напряжение в точке, примыкающей к граничной поверхности,
/、6(5),,
т (s)=靑 М.
Нормальные напряжения при кручении тонкостенных стержней
Как следует из общей теории, поперечные сечения стержня остаются при кручении плоскими только тогда, когда стержень представляет собою круговой цилиндр. Во всех других случаях происходит искажение поперечного сечения, так называемая депланация. Однако формулы (9.7.5) показывают, что контур сечения не искажается в своей плоскости, а поворачивается как целое; депланация, т. е. буквально выход из плоскости, связана только с перемещением точек в направлении оси х3. Для того чтобы изложенная теория кручения была применима, необходимо, чтобы внешние связи не препятствовали депланации. В противном случае ставится задача о так называемом стесненном кручении. Эта задача решается относительно элементарными средствами для тонкостен
ных стержней открытого профиля, для которых она и представ* ляет особый интерес.
Чтобы пояснить существо дела, определим жесткость при кручении тонкостенной трубы с радиусом R и толщиной стенки 6 (рис. 9.14.1). По формуле (9.6.3) для малых отношений 6/2? приближенно
а=2лдзв.
Разрежем теперь трубу вдоль образующей. Вычисляя жесткость по формуле (9.13.5), найдем
Q = g 2лН63 и отношение
£б =丄 f
Для тонкостенной трубы, когда Ь/R《1, уменьшение жесткости за счет сделанного разреза чрезвычайно сильно. Причина этого ясна: в сплошной трубе возникают касательные напряжения в сечениях ее вдоль образующей, в разрезанной трубе эти напряжения снимаются и она получает возможность деплани- ровать.
А теперь обратимся к случаю, изображенному на рис. 9.14.2. Разрезанная вдоль образующей труба заделана одним концом, к другому концу приложен крутящий момент. Жесткость такой трубы будет больше, чем в предыдущем случае, но меньше, чем
размер есть R、торазмер есть R、тоу сплошной трубы. Заделка предотвращает депланацию торцового сечения, в результате жесткость увеличивается при этом в тем большей степени, чем короче труба. Для сплошного стержня эффект стеснения депланации убывает быстро по мере удаления
размер есть R、то
размер есть R、то
宓宓Рис. 9.14.3Рис. 9.14.3от заделки; если единственный характерный зона концевого эффекта имеет длину порядка R, В этом состоит принцип Сен-Венана, разъясненный применительно к задаче о кручении в § 9.7. Однако для тонкостенных стержней оценка области концевого эффекта оказывается иной. Дело в том, что, кроме малого параметра R/1, появляется второй
宓
宓
Рис. 9.14.3
Рис. 9.14.3
Рис. 9.14.2
малый параметр 3/7?, и простые соображения размерности оказываются недостаточными для того, чтобы выяснить истинное положение дел.
Сохраняя основную гипотезу теории кручения, представим величину касательного напряжения т следующим образом:
t =卩卜р cos а 十 ^)・(9.14.1)
Формула (9.14.1) представляет собою не что иное, как другую запись общих формул (9.7.1); первый член соответствует повороту сечения на угол О на единицу длины относительно некоторого центра О (рис. 9.14.3); здесь р ——радиус-вектор, а — угол между радиусом-вектором и нормалью к траектории касательного напряжения. Величина du3/ds представляет собою депланацию, ds есть элемент дуги траектории касательного напряжения т, т. е. линии, в каждой точке которой вектор т направлен по касательной. Но на средней линии контура т = 0; применяя формулу (9.14.1) к средней линии, найдем '
吩р cos a ds + d几з = 0.
Произведение р cos a ds = р ds представляет собою удвоенную площадь заштрихованного треугольника ds, таким образом,
О dco + du3 = 0.
Интегрируя это дифференциальное соотношение, найдем
〃3(s, g)= — 2(g)s(s).(9.14.2)
Величина s(s) называется векториальной площадью, опа заштри-
хована на рис. 9.14.3. Дифференцируя перемещение и3 по координате /з, мы найдем величину относительного удлинения в направлении оси 3
%з =辽з, з =—号‘(g)co (s).
Таким образом, в плоскости поперечного сечения, кроме касательных напряжений т, появляются нормальные напряжения
о = Ее33 = —-Е0, (л:3)(о(5).(9.14.3)
В формуле (9.14.3) остается неопределенность, связанная с выбором точки О, принимаемой за центр вращения, а также с выбором начала отсчета векториальной площади вдоль дуги контура. Чтобы устранить эту неопределенность, выясним, как изменяется вид формулы (9.14.3), если принять за полюс другую точку, например точку В. Из очевидного геометрического рассмотрения (известного в теоретической механике при выводе интеграла площадей для движения точки под действием центральной силы) мы можем записать
d^c = (N1C /1)d/2+ (/2e ^2)dXi.
Здесь xac — координаты точки С, /а — текущие координаты точки дуги s. Аналогично
do)B =—(力1в — g)dg + (%2в — ^2)dX{.
Отсюда
dtt)C = do)B (%1C ^1B)d%2 + (力2c 力2B)d%i・
Интегрируя, находим
Sc = Sb + (/2С — %2B)%i — (%ic — %ib)%2・(9.14.4)
Таким образом, секториальная площадь определена с точностью до линейной функции от координат. Записывая формулу (9.14.3) в виде
о = 4g + Вх2 + С — Е& (g) s (s),(9.14.5)
мы можем выбрать точку С и начало отсчета секториальной площади по произволу, руководствуясь лишь соображениями удобства. Примем за оси ха главные центральные оси инерции, так что
Iг
J Хаб ds = О, J 力i&G 曲=0(9.14.6)
оо
(см. § 3.3). Выберем точку С так, чтобы было
II
J ①《sb ds = О, J соб ds = 0.(9.14.7)
оо
Определенная таким образом точка С называется центром изгиба, происхождение этого термина будет ясно из дальнейшего.
Составим теперь уравнения в § 3.7:j об ds = N, J одЗ "s =Подставляя выражения (9.14.4) (9.14.6), находимСоставим теперь уравнения в § 3.7:j об ds = N, J одЗ "s =Подставляя выражения (9.14.4) (9.14.6), находимравновесия, как это делалось—М^ J ax^ds — М2.для о и учитывая (9.14.5) иравновесия, как это делалось—М^ J ax^ds — М2.для о и учитывая (9.14.5) иг N° = А，г N° = А，"一4，"一4，
Составим теперь уравнения в § 3.7:
j об ds = N, J одЗ "s =
Подставляя выражения (9.14.4) (9.14.6), находим
Составим теперь уравнения в § 3.7:
j об ds = N, J одЗ "s =
Подставляя выражения (9.14.4) (9.14.6), находим
равновесия, как это делалось
—М^ J ax^ds — М2.
для о и учитывая (9.14.5) и
равновесия, как это делалось
—М^ J ax^ds — М2.
для о и учитывая (9.14.5) и
г N
° = А，
г N
° = А，
"一4，
"一4，
Здесь 歹=J 6 ds — площадь сечения, Ц и /2 — моменты инерции относительно осей Xi и х2 соответственно. Теперь формулу (9.14.5) можно переписать следующим образом:
(9.14.8)(9.14.8)0=一学 + 学1 + ^ 一 е卄 0.厶 ‘2 F
(9.14.8)
(9.14.8)
Полученная формула для нормального напряжения отличается от той, которая относится к элементарной теории изгиба, наличием последнего члена, содержащего векториальную площадь. Этот член появляется тогда, когда погонный угол закручивания *0 меняется с координатой %з・
Стесненное кручение и изгиб тонкостенных стержней
Предположив, что изгиб отсутствует и продольная сила равна нулю, мы получим формулу (9.14.3) для нормальных напряжений, связанных только с кручением. Рассматривая равновесие малого элемента, изображенного на рис. 3.7.3, мы найдем, что нормальные напряжения, меняющиеся с координатой /з, влекут за собою появление касательных напряжений, и дифференциальное уравнение рановесия элемента будет
д (资),д (об) = °ds 十о% —
Отсюда
Tб = 一 f (03),3曲.(9.15.1)
о
Заметим, что вывод этой формулы буквально повторяет вывод формулы касательных напряжений при изгибе в § 3.7, но теперь величина о связана с кручением и определяется формулой (9.14.3). Внося это выражение в (9.15.1), находим
一等 f 3§ds.(9.15.2)
о
Теперь крутящий момент в сечении будет состоять из двух частей:
М3=М^+Ма.(9.15.3)
Первая составляющая 弘 находится обычным способом, по формуле 嶋= р0& где жесткость С определяется формулой (9.13.6), тогда как вторая составляющая это — момент от напряжения т, даваемого выражением (9.15.2),
J sM^ = E^f ^d(d^8ds.6 о
Интегрируя по частям с учетом последнего из условий (9.14.6), получим
М® = -Е 中.(9.15.4)
Здесь величина
I
/0=f 0)26 加
О
называется векториальным моментом инерции. Если крутящий момент Мз задан, то, подставляя Мк и М® в соотношение (9.15.3), получим следующее дифференциальное уравнение стесненного кручения:
Е1Ж -。財=一吼(g)・(9.15.5)
Решение однородного уравнения может быть представлено в виде0=exp (土 子)X const.
Здесь линейный размер d представляет собою то расстояние от торца, на котором концевой эффект заметно ослабевает. Из уравнения (9.15.5) следует
d
Возвращаясь к примеру с трубой (§ 9.14), мы легко находим, что векториальный момент инерции имеет порядок R58, геометрическая жесткость С — порядок Д63, следовательно,
&〜五2/3.
Как видно, второй малый параметр З/五，о котором шла речь в § 9.14, появляется в знаменателе и значительно увеличивает зону концевого эффекта по сравнению с той, которую предполагает принцип Сен-Венана.
Полагая —Е1^ =В, перепишем формулу для нормальных напряжений в виде
6=Вб/1д・(9.15.6)
Эта формула до чрезвычайности похожа на формулу для напря-
жений при изгибе. Роль координаты играет векториальная площадь, роль момента инерции ——векториальный момент инерции. Величину В называют бимоментом. Условие ортогональности четырех функций от s, а именно,
3,力I,力2, з,устанавливаемое формулами (9.15.6), (9.14.7), позволяет предста-вить нагрузку р、заданную на торце стержня, следующим образом:
吋一卓+呈+g一詈+ Е. (9.15.7)
Здесь R ——некоторый остаток, ортогональный к четырем перечисленным функциям. Умножая на (об и интегрируя, вследствие условий ортогональности, получаем
В = — J pcobds.(9.15.8)
Бимоментная нагрузка, таким образом, характеризует самоурав- новешенную систему сил, приложенных на конце стержня. Первые три члена формулы (9.15.7) определяют напряженное состояние, распространяющееся сколь угодно далеко от торца, бимоментная нагрузка в тонкостенных стержнях вызывает напряжения, затухающие на характерной длине d, наконец, оставшаяся самоуравновешенная нагрузка вызывает напряжения, которые в рассматриваемой приближенной теории не принимаются во внимание.
Пример 1. Трубка радиусом R с толщиной стенки 6 разрезана вдоль образующей на длине Z. Концы трубки остаются неразрезанными. Требуется определить жесткость ее при кручении.
Принимая за начало отсчета секториальной площади точку 4 (рис. 9.14.1), получим за = R2(p, х2 = R sin ср. По формуле (9.14.4)
Sc = R2①-J- aR sin ср.
Чтобы точка С была центром изгиба, необходимо выполнение условия
J 9c (屮)衣2 sin Ф dcp = 0.
Выполняя интегрирование, находим отсюда 〃 = 2Z? и, следовательно,Зс =衣2(屮 + 2 sin ср).
Секториальный момент инерции находится как интеграл от з^ по дуге контура, результат получается следующий:
2
Т冗^足工
Теперь находим размер
d =冗 у 2 (1 + v) 3r = 5,06 飞-
(при V = 0,3) и переписываем уравнение (9.15.5) в виде
8〃8〃今 М 1 _ %讃=丽声=丁今 М 1 _ %讃=丽声=丁
8〃
8〃
今 М 1 _ %讃=丽声=丁
今 М 1 _ %讃=丽声=丁
Граничные уравнения должны выражать тот факт, что в сечениях * = 0 и 力з = I депланация отсутствует, следовательно, 8(0) = 8(Z) = 0. Интеграл этого уравнения
& = i + 4 ch + В sh ~^"・
Из граничных условий находим
4 Q А 4 Ch(〃d)—1
4 =储，3 = % sh (〃d)
Интегрируя 8 (%з) от 力з = 0 до %з =厶 получим полный угол закручивания. После подстановки найденных констант, окончательный результат получается следующим:
(р= 8。%(р= 8。%d_ ch (〃d) — 1 ]Z sh (l/d) J
(р= 8。%
(р= 8。%
Величина 8。представляет собою погонный угол закручивания разрезанной трубы без стеснения депланации.
Пример 2. Четыре силы, равные по абсолютной величине Р и приложенные к торцу двухтаврового стержня, как показано на рис. 3.7.6, служат примером чисто бимоментной нагрузки. Если к торцу приложены сосредоточенные силы Qt, то интеграл в формуле (9.15.8) заменяется конечной суммой
= — £ QQi，
Здесь Qi — векториальная площадь, определяющая положение силы Q「 В случае, изображенном на рис. 3.7.6, элементарный расчет приводит к результату
В = Pbh.
Этот пример привел Власов, чтобы пояснить медленное затухание бимо- ментных напряжений. Если стенка балки исчезает, каждая из полос оказывается в состоянии чистого изгиба моментом РЬ, напряжения изгиба передаются сколь угодно далеко без всякого ослабления. Связываюдцая полки стенка закручивается, поэтому изгибающий момент в каждой из полок постепенно уменьшается и на некотором расстоянии от торца нормальные напряжения в сечении балки становятся пренебрежимо малыми. Но это расстояние определяется соотношением между большой изгибной жесткостью полки и малой крутильной жесткостью стенки, это расстояние во всяком случае много больше, чем размеры b и h.
Касательные напряжения при изгибе стержней сплошного сечения
Элементарная теория касательных напряжений при изгибе относится к сечениям балок, изгибаемых в плоскости симметрии х20х2. В основу ее полагаются следующие грубые предположения.
Касательное напряжение т = О23 направлено по оси х2, составляющая oi3 = 0.
Величина т зависит только от х2.
Выделим элемент балки, изображенный иа рис. 9.16.1, он ограничен плоскостями: х3 = const, х3 + dx3 = const. В плоскости
= const действует нормальное напряжение о = у- %2, в плоско-
М + АМ сти %з + d/з = const — нормальное напряжение о + 〃о=ух2;
таким образом, в направлении оси появляется сила
)о &方=—J x2dF.
Величина интеграла представляет собою статический момент площади той части сечения, которая отстоит от оси %i на расстоянии, большем чем х2. Обозначим этот статический момент S「По
Рис. 9.16.1Рис. 9.16.1явившаяся сила уравновешивается касательными напряжениями т, равномерно распределенными по нижней граничной площадке b(x2)dx3. Уравнение равновесия получается следующим:
Рис. 9.16.1
Рис. 9.16.1
dM 秸=rb dx3.
(9.16.1)(9.16.1)Отсюда, вспоминая, что dM/dx3 = Q есть перерезывающая сила, получаем формулу
(9.16.1)
(9.16.1)
Эта формула была выведена Журавским в середине прошлого века и применена при проектировании деревянных мостов. Дерево слабо сопротивляется сдвигу в продольной плоскости и для коротких деревянных балок касательные напряжения могут быть более опасными, чем нормальные. Деревянные балки, как правило, имеют прямоугольное сечение, для прямоугольника с высотой 2% формула (9.16.1) дает следующий результат:
(9.16.2)(9.16.2)
(9.16.2)
(9.16.2)
Здесь F — площадь поперечного сечения.
По этой формуле наибольшее касательное напряжение ттах — =^g достигается при %2 = 0, т. е. на нейтральном слое балки, где нормальное напряжение равно нулю.
В действительности, для касательных напряжений должно быть выполнено граничное условие (9.1.3). Это значит, что в точках контура вектор касательного напряжения должен быть на-
правлен по касательной к контуру. Предположение (а) удовлетворяет этому условию для прямоугольного сечения, поэтому можно ожидать, что именно для прямоугольного сечения элементарная теория окажется точной. Для других форм поперечного сечения нарушение граничного условия приводит к серьезной погрешности.
Рис. 9.16.2Рис. 9.16.2
Рис. 9.16.2
Рис. 9.16.2
Заметим, что при выводе формулы для касательных напряжений при изгибе тонкостенных стержней (§ 3.7) был использован совершенно тот же способ рассуждений, что и при выводе формулы (9.16.1). У тонкостенных стержней, действительно, касательные напряжения могут иметь тот же порядок величин, что и нормальные. В сплошных стержнях касательные напряжения малы, для металлических балок они, как правило, несущественны, поэтому и теория касательных напряжений в таких балках лишена практического значения. Нужно признать, что в течение ряда десятилетий элементарная теория, приводящая к формуле (9.16.1), излагалась скорее по традиции. Реальная область ее применения для металлических конструкций относится к расчету составных балок, подобных тем, которые изображены на рис. 9.16.2. Касательное усилие в плоскости разъема концентрируется в крепежных элементах ——болтах или заклепках ——или передается через сварной шов. Расчет деревянных балок, представлявший важность во времена Журавского, утратил свою ак-
туальность. Однако проблема определения касательных напряжений при изгибе возникла вновь в последние годы в связи с применением новых композитных материалов, теории которых будет посвящена гл. 20. Поэтому мы изложим здесь схему построения точной теории изгиба, ограничиваясь наиболее важным для приложений случаем, когда сечение балки прямоугольно.
Если балка длиной I заделана одним концом и нагружена на другом конце силой, лежащей в плоскости симметрии, мы предположим, что нормальное напряжение изгиба определяется так же, как в элементарной теории, а именно,
При этом координата 力з отсчитывается от заделки. Предположим также, что все компоненты напряжения, кроме Оаз, равны нулю. При этом первые два уравнения равновесия удовлетворяются тождественно, тогда как третье становится следующим:
Здесь, как и ранее принято, “а = та. Этому уравнению можно удовлетворить, приняв
q =-中,2, % =屮,1+孟仇2一砚(9.16.3)
Легко проверить, что член, пропорциональный Р, в выражении для т2 представляет собою элементарное решение. Подставив (9.16.3) в уравнения Бельтрами ——Митчела (§ 8.5), получим
А(р,2 = 0,厶屮，1 =『%£・
Отсюда следует
a屮(9.16.4)
Для прямоугольника 力【=±6, х2 = 土% граничные условия будут следующими: при = ±b q =(p,2 = 0, при x2 = ±h т2 = =фл = 0. Таким образом, на контуре прямоугольника ср = const или ф = 0. Решение уравнения (9.16.4) ищется совершенно таким же способом, как для задачи кручения в § 9.9. Частное решение уравнения (9.16.4), обращающееся в нуль при 力=土6, есть
% = 奇(電一
Теперь полагаем ф =(р0 + 屮㈠ где(р0 ——гармоническая функция, удовлетворяющая условиям: (р0 = 0 при 力【= ±6, (р0 + ср，! = 0 при 21 Ю. Н. Работнов
力2 = 士无.Не приводя выкладок, почти буквально повторяющих выкладки § 9.9, запишем окончательный результат
屮 1 + V /］冗3〈庐 b 丿 自 庐 ch (knh/b) b J-
(9.16.5)
Теперь распределение напряжения на отрезке 力2 = 0 будет неравномерным, в центре сечения напряжения уменьшаются по сравнению с величиной, даваемой элементарной формулой (9.16.2). Наибольшее значение напряжений достигается при 力 1 = 士А разница по сравнению с элементарным решением увеличивается с уменьшением 无/仇 для квадрата она составляет 12,6%, при h/b = 1/4 эта разница достигает почти 100%. Как оказывается, для анизотропных композитных материалов поправка к элементарной теории, даваемая формулой, аналогичной (9.16.5), может быть весьма существенна.
ГЛАВА 10
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Основные уравнения плоской задачи
Состоянием плоской деформации называется такое состояние упругого тела, когда
перемещение вдоль одной из осей, например %з, равно нулю
〃з = 0；(10.1.1)
компоненты перемещения 〃【и ^2, а также компоненты тензора напряжений зависят только от %【и х2
〃а = 〃а(б),。仃=0订(廟，а,р = 1, 2.(10.1.2)
Отсюда немедленно следует, что для изотропного тела ai3 = О23 = =0. Действительно, деформация %з, например, равна
4з = § (и1,з + изд) — 0,
так как 〃【не зависит от %з, а и3 = 0.
Для того чтобы в теле осуществить плоскую деформацию, нужно, чтобы граничные условия не зависели от координаты х3. Представим себе длинный цилиндр с осью, параллельной оси %з, на боковой поверхности цилиндра % = 0, так как нормаль к поверхности перпендикулярна оси %з・ Если в каждой точке боковой поверхности приложены усилия 7\ и Т2, лежащие в плоскости поперечного сечения, граничное условие для напряжений имеет вид
Оар^р == Та»( 10.1.3)
При этом уже нет необходимости рассматривать всю боковую поверхность, условие (10.1.3) можно считать выполненным на контуре Г любого поперечного сечения цилиндра плоскостью 力【, 力2, например в плоскости 力з = 0. Уравнения теории упругости для перемещений и. или напряжений。邱 образуют замкнутую систему. После решения ее условие 〃з = 0 (и, следовательно, Сзз = =0) позволяет определить компоненту напряжения Озз, а именно,
Озз ~ VOaa*
Рассмотренная в § 8.12 задача о равновесии длинной трубы служит примером задачи о плоской деформации. Действительно, 21*
накладывая на состояние плоской деформации равномерное растяжение или сжатие в направлении оси 力з, можно сделать деформацию аз равной произвольной постоянной величине и соответственно сообщить результирующей нормальных напряжений в сечении любое заданное значение.
В теории антиплоского напряженного состояния мы убедились, какие удобства связаны с представлением решения через функцию комплексной переменной. В теории плоской деформации применим аналогичный метод, но соотношения оказываются более сложными. Положим, как обычно,
z = g + z/2, 彳=/1 - z力2.
На эти формулы можно смотреть как на формулы преобразования координат, поскольку они устанавливают взаимно однозначное соответствие между парами переменных /】и 力2 c одной стороны, z и 三 с другой. Любая функция двух переменных х{ и х2 может быть представлена как функция переменных z и 彳.Пусть /(z, z) — такая функция. Если нужно продифференцировать ее по 力 1 или 力2, следует применить правило дифференцирования сложной функции. По этому правилу
且=旦4•"包@%1 dz @z， дх^且=旦4•"包@%1 dz @z， дх^修一М)修一М)(10.1.4)(10.1.4)
且=旦4•"包
@%1 dz @z， дх^
且=旦4•"包
@%1 dz @z， дх^
修一М)
修一М)
(10.1.4)
(10.1.4)
Оператор Лапласа от функции / преобразуется следующим образом:
(10.1.5)(10.1.5)А/ = 4 乜dz dz
(10.1.5)
(10.1.5)
Выпишем теперь уравнения Ламе для плоской деформации, когда 辽з = 0:
gA^l = -(Х+ ц) 0.1, ЦДи2 = ~(Х + ц) 6,2, 0 = "а,
Будем считать, что 〃〔 и а? представлены как функции от z и z, воспользуемся формулой (10.1.5) и заменим два уравнения Ламе одним уравнением
4卩一0 什=-(九 + 卩)(6,i + 汾,2),- ^1 + 方〃2・(10.1.6)
В § 8.5 было показано, что 0 — гармоническая функция, следовательно, она может рассматриваться как действительная часть аналитической функции комплексной переменной
6 + 师=/(z).
Из соотношений Коши ——Римана 6」=屮*, 0,2 =—屮」следует
0,1 + 沮2 = 0.1 — ^,1 = f' (?) •
Здесь f'(z)— функция, комплексно сопряженная с /'(z). Уравнение (10.1.6) принимает вид
4卩——(九 + 卩)7' (z) •
dz dz
Проинтегрируем обе части по переменной z, получим
却警=-(九+k)M)+ g'(z)・(Ю.1.7)
Здесь g'(z)——произвольная функция комплексной переменной z. Интегрируем еще раз по переменной z и приходим к следующему результату:
4 卩 zp =—(入 + w)zf (z) + g(z) + 五(引. (10.1.8)
Вследствие (10.1.4) можно написать следующие очевидные тождества: .. dw dw.
u1,1 + Ш2,1 =寸 +，u1,2 ^2,2 =
dz
отсюда получается
(Ul,l + 〃2,2)+ % (〃2,1 + 〃1,2)= 2T. dz
Следовательно, 0 = Wi, i + u2,2 = 2 Re dw/dz. Таким образом, действительные части выражения (10.1.7) и функции 2ц/(г) равны Re [- (X + 卩)f 0) + g‘ (z) ] = Re 2卩/ (z).
Но функции /(z) и / (z) отличаются только знаком при мнимой части, действительные части их одинаковы, поэтому из написанного равенства следует
一(九 + 卩)/(z)+ g‘ (z) = 2 M(z)
с точностью до чисто мнимой постоянной. Отсюда
и формула (10.1.8) принимает следующий вид:
铮^ =一注装Z以@+ g (z) +方(z).
Эта формула получена Колосовым и Мусхелишвили иным путем, она представляет общее решение задачи о плоской деформации, выраженное через две произвольные аналитические функции комплексной переменной. Обычно найденное решение записыва
ется в следующем виде:
乂 —乂 —母=3 —4v.母=3 —4v.(10.1.9)(10.1.9)加(〃1 + %) = Хф(2)— 2(Р‘(z) — 2 (z),
乂 —
乂 —
母=3 —4v.
母=3 —4v.
(10.1.9)
(10.1.9)
Функции ср и 2 отличаются от g и 无 лишь постоянными множителями, а именно,
W , h
屮=强，屮=一讶.
Такое представление удобно в том отношении, что формулы для напряжений оказываются не содержащими упругих констант. Из формул закона Гука
Oil = %0 + 2卩〃1, I, 022 = Х0 + 2卩江2, 2 следует
Оц + а2г — 2 (X + ц) 0, но
9 = Re 〃z) = Reg'=脩 Re 屮'・
Таким образом,
On +。22 = 4 Re q/(z) •(10.1.10)
Рассмотрим теперь следующую комплексную комбинацию из компонент тензора напряжений:
022 - он - 2ю12 = 2从(a2, 2 一 〃1, 1 - Ш1, 2 -血2, 1).
Произведем перегруппировку членов в правой части
Таким образом,
“2 — ％i — 2竹 12 = — 2 吗=2 (纾《)+ / &)) (10.1.11) dz
и аналогично
。22 — ”1 + 2%2 = — 2 窘=2 (孙(z) + 炉(z))・ (10.1.12)
Кривая в плоскости 力㈠ х2 задается уравнением 力a = /a(s) или в комплексной форме z = z(s), или z = z(s). За параметр s всегда можно выбрать длину дуги этой кривой, отсчитываемую от произвольной точки. Пусть кривая z = z(s) есть след пересечения с плоскостью 力 1, %2 цилиндрической поверхности, образующая которой параллельна оси 力з. Компоненты усилия на этой поверхности равны
Та = Пар^р
ИЛИ
7\ ds = Он d%2 — Oi2 d%i, Т2 ds = а12 dx2 — О22 &/】•
Образуем комплексную комбинацию Zi + iT^ Полагая d% = {dz + dz), d%2 = ——^ (dz — dz), получим
2Z(7\ + 力？2)ds = (du + о22)Й2 + (仇2 — Si — 2ol2) dz
или по формулам (10.1.10), (10.1.11)
Z (7\ + 汙2)ds = (q/ + 6‘) dz + (z?〃 + ")凉
Выражение, стоящее в правой части, есть полный дифференциал функции двух комплексных переменных: ф + z^ + гр; таким образом,
力 J (7\ + 汉2)曲=屮 + zq/ + 屮.(10.1.13)
Полученные формулы применимы не только к состоянию плоской деформации, но также к плоскому напряженному состоянию, которое характеризуется условиями
Озз = °, Оза = 0.
Такое состояние с известным приближением реализуется в пластине толщиной 2无，нагруженной силами, лежащими в ее средней плоскости, которую мы примем за плоскость 况匕 ^2. Тогда граничные плоскости будут плоскостями 力з = ±无・ Если понимать под напряжениями их средние значения по толщине пластины, а именно величины
〈0灯〉~ 2д f 0万"/3，二 h
то напряжения〈Оза〉из уравнений равновесия выпадут. Действительно, выпишем первое уравнение равновесия
011, 1 + 012, 2 + 013, 3 = О
и проинтегрируем его по 力з от —h до +h. При интегрировании третьего члена получим
J 013,3 "况3 = ^13 I—л? —л
но граничные плоскости пластины по условию свободны от касательных напряжений. Таким образом, мы получаем только два Уравнения равновесия, такие же, как в задаче о плоской деформации
OaBf = 0.(10.1.14)
При написании уравнений (10.1.14) угловые скобки, символизирующие осреднение по толщине, опущены.
В уравнениях закона Гука мы положим Озз = 0, поэтому 九令 + 2|Л&з = 0 (仆=Сн + 022 + 033).
Отсюда находим
Теперь оставшиеся уравнения закона Гука можно переписать следующим образом:
0aB =九*然耶 + 2卩%6,九* = ^^・(10.1.15)
Вся дальнейшая теория развивается так же, как в § 10.1 для плоской деформации; разница состоит в том, что постоянная % заменена постоянной 九* и величина 乂 выражается следующим образом:
Сила и момент, действующие на контур
Если усилие 7a задано на замкнутом граничном контуре односвязной или многосвязной области, то по формуле (10.1.13) можно определить главный вектор R{ + iR2 усилий, приложенных к контуру. Действительно,
& + 方包=，(普 + ^2)ds,
отсюда——
Z (7?i + ZE?) = [ф + zq/ + 吋「(10.2.1)
Прямые скобки с индексом Г внизу обозначают приращение заключенного в скобки выражения при обходе контура по часовой стрелке. Из формулы (10.2.1) следует, что если область многосвязна и главный вектор сил, приложенных к одному из граничных контуров, отличен от нуля, то функции ф или ф, или и та и другая должны быть неоднозначными. Тело, сечение которого представляет собой односвязную область, должно быть в равновесии под действием внешних сил, поэтому, если во внутренних точках не приложены сосредоточенные силы,凡 + iR2 = 0 и функции ф, 2 однозначны. Вычислим теперь главный момент приложенных к контуру Г сил по формуле
М - ^ (力口2 —/271)曲=-Re f Z (Ti + 閉2)z ds.
С помощью (10.1.13) представим это выражение следующим образом:
М = — Re z d (ф + zq/ + 屮).
Выполним интегрирование по частям, заметив при этом, что Re z(p = Re z(p, поэтому соответствующие члены, появляющиеся при интегрировании, взаимно уничтожаются. В результате получим следующую формулу:
М = Re [ J 屮 dz — z d屮—zzq/ (z)]p・(10.2.2)
Если область S, представляющая сечение тела плоскостью х3 = 0, многосвязная, мы обозначим, как и прежде, наружный контур Го, внутренние ГА. В частности, контур Го может быть стянут к бесконечно удаленной точке, тогда область S представляет собой бесконечную плоскость с отверстиями, ограниченными контурами ГА. Пусть Rlh и T?2h—составляющие главного вектора усилий, приложенных к контуру 1\. Функции ф и гр, голоморфные в области сечения S, должны обладать такими особенностями в области Sa, ограниченной контуром Гл и не принадлежащей телу, чтобы при обходе контура 1\ выполнялось условие (10.2.1). В то же время напряжения и перемещения, а следовательно, правая часть (10.1.10), (10.1.11) и (10.1.9) должны оставаться однозначными. Примем
ф = Л ln(z — zft)+(р1? 2 = 5 In (z — zA) + 2i・
Здесь Za —- произвольная точка,名丸三 &,屮】k 2】一однозначные функции, голоморфные в S. Поскольку производные от ф и -ф однозначны, требование однозначности напряжений удовлетворяется автоматически. Заметим, что [ln(z — zk) Jr == 2ni, [In (z — zh)]r = =—2nZ. Условие однозначности перемещения приводит к следующему равенству:—
(10.2.3)(10.2.4)(10.2.5)(10.2.3)(10.2.4)(10.2.5)2п1(Ак + 3)= 0,тогда как из условия (10.2.1) следует% (凡儿 + 山 2а) = —2л» (/ — В) •
(10.2.3)
(10.2.4)
(10.2.5)
(10.2.3)
(10.2.4)
(10.2.5)
Находя Л и В из (10.2.3) и (10.2.4), получим
屮(z) = - %Mfln(Z - ^) + %， 屮(z)=吸1；俨ln (z - Zh) +心・
Если неуравновешенные силы приложены и к другим контурам, то соответствующие логарифмические члены просто добавляются к выражениям (1025).
Представим теперь себе^ что контур Гл стягивается в точку, тогда как главный вектор R{ + Ш2 остается неизменным. Формулы (10.2.5) сохраняют силу, лишь бы было zA ^ Sh. В пределе, когда контур 1\ стягивается к точке zhl мы получаем сосредоточенную силу в точке 窃・ Таким образом, формулы (10.2.5) дают
решение для сосредоточенной силы, приложенной внутри области.
Обратимся теперь к тому случаю, когда область S представляет собою всю плоскость переменной z, содержащую либо отверстия Sa, либо сосредоточенные силы в точках zh. В этом общем случае
NN
屮=£ 4 In (z — zQ + 屮*,屮=£ Bk In (z — zQ + 屮*. (10.2.6) k~lh=i
Здесь ср* и ip*—аналитические и однозначные в области S функции. Вне круга радиусом R, заключающего в себе все контуры 1\,
屮* = * «П2П,必=£ bn^1.(10.2.7)
Потребуем, чтобы компоненты тензора напряжений остались на бесконечности ограниченными. Для этого нужно, чтобы в разложении (10.2.7) исчезли все члены, соответствующие положительным "^2; таким образом,
屮* = Fz + ф0 (z),屮* = Pz + G (z)・
Здесь фо и i|90 ——функции, голоморфные на бесконечности. При z т 8 迈3 (10.1.10) и (10.1.12) следует
аП + ^ = 2(Г + Т), а^-аП + 2ш^-2Г.
Отсюда
Г А (аП + 啮)+ © Г =扌(礎一崂 + 2诚)・(10.2.8)
Что касается величины перемещения при z 8, то по формуле (10.1.9) оно равно нулю лишь тогда, когда
伍访 + 毋20=0, F = o, r = o.
Это значит, что главный вектор приложенных к телу сил и напряжения на бесконетаости равны нулю.
Выясним теперь, в какой мере определены введенные функции ф и 4). Если заданы напряжения, мы отправляемся от формул (10.1.10)——(10.1.12). В них входят только производные от функций ф и ф, следовательно, сами функции определены с точностью до постоянных а + »В и a' + Zg соответственно. Более того, от производной (pz входит только действительная часть, следовательно, сама функция ф определяется с точностью до слагаемого
Ху + а + 嶼.
В формуле (10.2.8) опять-таки появляется мнимая константа iC,
соответствующая п，Таким образом, если задавать напряжения, то функции 屮 и 冲 могут содержать пять произвольных констант 7，а, р, а' и р‘・ Теперь комплексное перемещение по формуле (10.1.9) определяется с точностью до слагаемого, соответствующего перемещению тела как твердого целого,
"乂 一 1) у + 3 — а')+ Х(0 — р')・
Накладывая определенные связи, например, закрепляя элемент, мы подчиняем пять констант трем условиям, две постоянные по- прежнему остаются неопределенными и их можно зафиксировать произвольным образом. В дальнейшем, если не оговаривается противное, мы будем полагать а = § = 0, следовательно,(р(0) = 0.
Краевая дислокация
При рассмотрении винтовой дислокации (§ 9.2) мы встречались с примером сингулярного решения уравнений теории упругости, соответствующего особенности во всех зонах прямой — оси %з・ Аналогичным образом можно построить сингулярное ре
с направлением векс направлением векшение уравнений теории упругости для плоского деформированного состояния, которому соответствует неоднозначное поле перемещений. Будем называть краевой дислокацией такую дислокацию, для которой вектор Бюргерса перпендикулярен оси дислокации. Это значит, что если принять ось %з за линию дислокации, перемещение при обходе контура, окружающего ось %з, получает приращение, равное &. Мы предположим, что и2 при этом остается однозначным, но это предположение не нарушает общности, направление оси Xt всегда можно выбрать совпадающим
с направлением век
с направлением век
тора Ь. Образование краевой дислокации можно предста
вить себе так. В бесконечной упругой среде вырезан ци-
линдр, ось которого есть ось %з・ Рассечем среду полуплоскостью,
параллельной > оси х3 и пересекающей поверхность цилиндра, как показано на рис. 10.3.1, раздвинем края разреза на расстояние Ь вдоль оси 力I и заполним образовавшуюся щель материалом. После того как дислокация создана, никаких следов от разреза
не оказалось, материал снова стал сплошным и однородным. Чтобы найти точное решение поставленной задачи, мы должны еще удовлетворить граничным условиям на поверхности цилиндрической полости. Вместо этого мы поступим следующим образом. Будем стягивать контур основания цилиндра в точку %а = 0. В пределе мы получим уже сплошное упругое пространство, в котором осуществлено некоторое напряженное состояние. Сле-
дует ожидать, что на оси х3 напряжения обладают особенностью. Для получения необходимой неоднозначности и здесь, так же как при решении задачи о сосредоточенной силе или о внутреннем контуре, несущем неравномерную нагрузку, следует выбрать функции (p(z) и p(z) содержащими логарифмические члены, но теперь уравнения для коэффициентов при них изменятся, условие неоднозначности перемещений примет вид
2р7Ь = 2位(х4 + В),(10.3.1)
а в уравнении (10.2.4) нужно принять силу, равной нулю, и мы получим
0 = 2位(4一月).(10.3.2)
Таким образом, краевой дислокации соответствуют следующие функции 屮 и 冲：
屮=n 詳疥ln G - 喲+中*，(Ю-3.3)
V = n (1*7 ln G — zQ + 明.(Ю.3.4)
Дислокации рассмотренного типа, соответствующие поступательному относительному перемещению краев разреза, мы будем называть дислокациями Бюргерса. Вольтерра рассмотрел более общий тип дислокаций, когда кроме относительного поступательного перемещения имеется еще относительный поворот краев разреза. Положим
Ф = cz ln(z — zk) + 伙，屮=冲2・
Здесь (р2 и 也一функции, определенные формулами (10.3.3), (10.3.4). Теперь производная q/(zj неоднозначна. На самом деле,
(pz(Z)= с In (z — zj + ・..，|[ф, (z) ]r = 2Mc,
но действительная часть q/(z) остается однозначной, если с действительно. Вторая производная 屮 〃(z) остается однозначной, поэтому условие однозначности напряжений выполняется. Добавляя к функции 屮2 слагаемые с ln(z —zQ, мы должны потребовать, чтобы главный вектор сил, приложенных к контуру, по-прежнему равнялся нулю. По формуле (10.2.1) мы проверяем, что условие выполняется тождественно, если оно выполнено для функций ф2 и 巾2・ Теперь дополнительное приращение перемещения при обходе контура, заключающего в себе точку z^, будет
2Mx [旬 + ш2]Г/1 = 2冗山(1 + 冗)z.
Таким образом, кроме поступательного относительного перемещения краев разреза, происходит поворот их на угол лс(1 + х)/ц. Возвращаясь к дислокации Бюргерса, приведем явные формулы для перемещений и напряжений в случае напряженной упругой
среды, когда 屮*=屮东=0・ Подставляя (10.3.3), (10.3.4) в (10.1.9) и отделяя действительную часть от мнимой, мы получаем выражения для перемещений, а именно,
—4(1+ 乂)—4(1+ 乂)2 л2 л2 力产2a +中弋2 力产2a +中弋G =Г产),G =Г产),
—4(1+ 乂)
—4(1+ 乂)
2 л
2 л
2 力产2
a +中弋
2 力产2
a +中弋
G =Г产),
G =Г产),
〃2〃24(1 + X)卜一勺1 Ж2-2л一-石彳1 + % ^4(1 + X)卜一勺1 Ж2-2л一-石彳1 + % ^
〃2
〃2
4(1 + X)卜一勺1 Ж2
-2л一-石彳1 + % ^
4(1 + X)卜一勺1 Ж2
-2л一-石彳1 + % ^
Обращаясь к выражению для 4 иОбращаясь к выражению для 4 ирепишем эти формулы следующим образом:репишем эти формулы следующим образом:вспоминая, что х = 3 —4v, ue・вспоминая, что х = 3 —4v, ue・
Обращаясь к выражению для 4 и
Обращаясь к выражению для 4 и
репишем эти формулы следующим образом:
репишем эти формулы следующим образом:
вспоминая, что х = 3 —4v, ue・
вспоминая, что х = 3 —4v, ue・
"1 =捺 a +"1 =捺 a +1 力产21 力产22 (1 - V)~ 丿'2 (1 - V)~ 丿'
"1 =捺 a +
"1 =捺 a +
1 力产2
1 力产2
2 (1 - V)~ 丿'
2 (1 - V)~ 丿'
4 (1 - V)产广4 (1 - V)产广(10.3.5)(10.3.5)&1 — 2v ,
4 (1 - V)产广
4 (1 - V)产广
(10.3.5)
(10.3.5)
“2 =—石;L (1 — V)ln 厂
а = arctg —, 产=%： + W・
Переходим к вычислению напряжений. Для подстановки в формулы (10.1.10) и (10.1.11) нам понадобятся следующие величины:
中'(z) = - ?=一认丄彈_" ~ 一炉 G), 中"(z)="0
Z(p〃 (z) = 2гЛ 4> = 2M ~ =缉(力；一3%Z — 3话力2 + 威)•
В результате подстановки находим напряжения, а именно,
0 —刀飞㈣+喲 一产(宕t)
%1〃 4，022 -5，
гг (10.3.6)
Формулы (10.3.5) и (10.3.6) определяют поля перемещений и напряжений в зависимости от вектора Бюргерса &. При этом совершенно безразлично, по какой поверхности производился разрез и была ли эта поверхность плоскостью, как показано на рис. 10.3.1. В частности, разрез можно произвести по полуплоскости 力2 = 0,力I > 0 и сдвинуть нижний край разреза относительно верхнего на величину Ь. Такой способ создания краевой дислокации не требует удаления либо добавления материала.
Энергию упругого объема, содержащего краевую дислокацию, можно вычислить точно таким же способом, как вычислялась энергия винтовой дислокации в § 9.2. Касательное напряжение
On в плоскости 力2 = 0 есть
Т = "12Т = "12—2л (1 — V)/ J—2л (1 — V)/ J
Т = "12
Т = "12
—2л (1 — V)/ J
—2л (1 — V)/ J
По теореме Клапейрона
R
(10.3.7)(10.3.7)U = ｝『тЬ dS = 777~—Г In 竺.
(10.3.7)
(10.3.7)
2 J4л (1 — v) с
с
Рассуждения здесь в точности совпадают с теми, которые были приведены в § 9.2 применительно к винтовой дислокации. Точно так же интеграл оказывается расходящимся, если подставлять пределы интегрирования 0 и °°. Выражение (10.3.7) отличается от (9.2.3) только множителем (1 — v) в знаменателе.
* Напряженное состояние около трещины
Теперь мы в состоянии решать более реальную задачу о напряженном состоянии при наличии трещины или щели, чем задача о трещине продольного сдвига, рассмотренная в § 9.3, 9.4.
Упругое пространство разрезано на части плоскости —a W %【W а, д = 0, на бесконечности а22 = о, Он == 012 = 0. В плоскости 力i%2 трещине соответствует изображенный на рис. 10.4.1 разрез между зонами /1 = 土а. Из условий симметрии очевидно, что на оси /1 должно быть “2 = ==0. Мы удовлетворим этому условию, если примем
2 (z) = —z^r (z) +(p(z).(10.4.1)
Подставим это выражение 屮(z) в формулу (10.1.9). Получим
2卩(〃1+必2)= xq)(z) -(z - z)q/(z)一9(z).
Отделяя действительную и мнимую части, находим следующие выражения для перемещений:
gut = (1 — 2v) Re 屮 + g Im 屮‘，
，(10.4.2)
卩〃2 = 2(1 — v) Im 屮一力2 Re 屮'•
По формуле (10.1.12)
。22 — On + 2ZOi2 = —2(z —引屮 〃(z).
Из этого соотношения и (10.1.10) находим
о” = 2 (Re 屮‘ + g Im 屮 〃)，“2 = 2 (Re 屮‘ 一g Im 屮〃)， 〃(10.4.3)
Oi2 = —2/2 Re 屮"・
Формулы (10.4.2) и (10.4.3) определяют поле перемещений и напряжений с помощью одной только функции комплексной переменной ф (z). При 力2 = 0 012 = 0, Оц = 2 Re(рл = а2г,
晔=(1 — 2v)Re(p, 晔= 2(1 — v)Im(p.
Желая решить с помощью найденных формул поставленную задачу о трещине, следует выбрать функцию (p(z) таким образом, чтобы Re(pz была равна нулю на отрезке —aV© v+a. Так же, как и в соответствующей задаче для антиплоского состояния, положим
屮⑵=С /^^, и(Z)= у=^(10.4.4)
Выясним, к чему стремятся компоненты напряжения при z + 8. В формулы для напряжений входит 屮'(z), при этом (рл (°°) = С. Произведение 力2屮〃(z) при z +<», как легко показать, стремится к нулю. Действительно,
"С点2
①(z) = g2_/)1/2 一透—d)3/2 图
как %2(%2 —出)一"2, так и х2^^ — а2)-3/2 стремятся к одному и тому же пределу 力2/z, следовательно, произведение 力2屮〃(z) стремится к нулю.
Таким образом, при z -> 8
Ou = О22 = 2С，и? = 0.
Если принять 2С = о, функция (р(^) = CVz2 — а2 служит решением задачи о всестороннем растяжении тела, содержащего трещину. Эта задача отличается от той, которая была поставлена вначале. Действительно, мы потребовали, чтобы на бесконечности было О22 = о» а ои = 0. Но это несущественно. Предположим, что тело, содержащее трещину, растягивается вдоль трещины. Тогда, очевидно, наличие трещины никак не влияет на напряженное состояние, которое остается однородным. Поэтому, для того чтобы перейти от найденного решения к решению первоначально поставленной задачи, достаточно прибавить к напряжению аи, даваемому первой из формул (10.4.3), постоянное сжимающее напряжение ——о. Нас будет прежде всего интересовать распределение напряжений около конца трещины, где напряжения велики. Поэтому указанная поправка никакой роли не играет и мы ев вводить не будем. Вычисление поля перемещений и напряжений
приводит к довольно громоздким выражениям, и мы ограничимся нахождением напряжения о2г и перемещения и2 для точек плоскости х2 = 0. По формулам (10.4.2) и (10.4.3) получаем
022 = 0, m2 =") )/a2 -建,"J v %022 = 0, m2 =") )/a2 -建,"J v %о%】о%】(10.4.5)(10.4.5)〃2 — 0, I / I > 〃•〃2 — 0, I / I > 〃•
022 = 0, m2 =") )/a2 -建,"J v %
022 = 0, m2 =") )/a2 -建,"J v %
о%】
о%】
(10.4.5)
(10.4.5)
〃2 — 0, I / I > 〃•
〃2 — 0, I / I > 〃•
В непосредственной близости кончика трещины |д —〃]=厂《 < а, разлагая выражения для и2 и 022 по степеням г, мы получим для главных членов разложения следующие формулы:
% 、~t /2 = Ki = о Упа. (10.4.6)
Как видно, характер особенностей у конца трещины совершенно такой же, как в случае трещины продольного сдвига. Коэффициент интенсивности К【определяется точно так же, с заменой т на о.
Похожим способом решается задача о трещине в поле чистого сдвига, расположенной на оси 力匕 как и в предыдущем случае, но при следующих условиях на бесконечности:
"К = G о岂=о^ = 0.
Примем теперь вместо (10.4.1) следующее выражение для функции 屮：
2 = —ф — zq/.
Подставляя его в (10.1.9), получим
2从(〃1 + 位 2)= х(р —(2 — z)q/ (z) +(p(z).
Отделим действительную часть от мнимой, получим формулы для перемещений
[Ш] = 2(1 — v)Re ф + rr2 Im 屮‘，
(10.4.7)'
卩"2 = (1 - 2v) Im 中一力2 Re 屮‘.
По известным формулам вычислим напряжения
о“ = 2 (Re 屮‘ + %2 Im 屮〃)，
O22 = 2glm(p〃，(10.4.8)
О12 = 2 (—Im 屮‘ 一％2 Re 屮〃).
Заметим, что теперь при 力2 = 0 выполняется условие о2г = 0. Положим
Ф^С ]Л^^ и = _^^=.(10.4.9)
Так же как и выше, убеждаемся в том, что произведение 力2屮〃 (z) стремится к нулю при z —8, тогда как(р'(8)= С7. Таким образом, при z — 8
о” = О22 = 0, 。12 и —2c = т.
Полагая Кп = тУла, убеждаемся в то^ что все компоненты напряжения имеют особенность типа 1/Уг около кончика трещины и на оси 力i：
т = ^ц/У2лг.
Последние формулы имеют ту же структуру, что при антипло- ском состоянии и для трещины в поле растягивающих напря- н^ений.；
Основные плоские задачи теории упругости
Первая основная задача. Так называется задача об определении перемещений по заданным на контуре усилиям. Если на каждом из контуров 1\ заданы составляющие усилия 7\ и Т2, вычисляются функции
fk — flk + 〃2月=i / (& + 附2)ds.о
Задача состоит в нахождении функций 屮 и 也 удовлетворяющих граничным условиям:
А = flk + 炉2左= Ф(2)+ 么而‘6) + 7 切，z^vk. (10.5.1)
Наружный контур Го может стянуться в бесконечно удаленную точку, в этом случае функции 屮 и 屮 ведут себя на бесконечности так, как это было выяснено в § 10.2, а именно,
ф = Гг + ф0(2),屮(z) = F'z + 屮 о (z),
где фо(2) и 屮o(z) голоморфны на бесконечности и в области S, тогда как постоянные Г и Г7 определяются формулами (10.2.8).
Вторая основная задача. Если на границе заданы перемещения, на каждая из контуров 1\ известна функция дуги s
gik + ig2k = 2ii(ui + iu2).
Задача сводится к нахождению функций ср и гр, удовлетворяющих граничному условию
gh = gih + 电2卜=乂屮(z) - zq/ (z) — p(z), z 三 I\・(10.5.2)
Кроме двух основных задач встречаются смешанные задачи, когда на части границы заданы усилия, а на другой части — перемещения или на одном и том же участке границы задана некоторая линейная комбинация из усилий и перемещений, 22 ю. н. Работпов
Задача о трещине, например, по существу представляет собой первую основную задачу, область, ограниченная контуром Г, превратилась в щель, поверхность этой щели свободна от усилий, на этой поверхности, т. е. на верхней и нижней сторонах разреза 力 + if2 = 0. Но примененный в § 10.4 искусственный прием сводит дело по существу к смешанной задаче; зафиксировав функцию ip(z) с помощью (10.4.1), мы выбираем функцию так, чтобы было о22 = а12 = 0, х2 = 0 при kJ < а и и2 = 0 при 丨力J > а. Последнее условие вытекало из симметрии задачи.
Здесь мы рассмотрим в первую очередь основные задачи для трех случаев:
для односвязной конечной области;
для бесконечной плоскости, из которой выброшена часть, ограниченная контуром Г;
для полубесконечной области, лежащей по одну сторону незамкнутой кривой.
Задача для многосвязных областей представляет значительно большие трудности, для решения их применяются специальные методы, изложение которых вышло бы за рамки данной книги.
При решении задачи типа а) и б) обычно бывает удобно преобразовать область S либо на круг единичного радиуса (случай а), либо на плоскость с выброшенным кругом единичного радиуса (случай б). В том и другом случае функция z ==(о (^) ? осуществляющая конформное отображение областей, устанавливает соответствие между точками контура z 三 Г и точками окружности единичного радиуса g = о = е‘" в плоскости С・ Функции 屮 и г|)будут теперь функциями переменной g. Для краткости мы будем употреблять для них те же символы, т. е. вместо ф[со(^)] будем писать просто 屮(z), хотя строго говоря это и некорректно. Нужно было бы писать
屮(z) = Q>[s(g)] = 5(g), причем функции 屮 и 恥 различны.
Чтобы преобразовать граничные условия, заметим, что
dz~ 存豆—d &)•
Теперь граничные условия будут выполняться на контуре окружности ^ = а и функции ft + 小，так же как g【+ Zg2 должны рассматриваться как функции о или, что то же? угла О. Вместо (10.5.1) и (10.5.2) мы теперь получим
〃抄)=/1 © + 也 &)=屮(0) + 鴨而‘G) + 可(办 (Ю.5.3)
g⑼=gi⑼+b2⑼=乂屮9) 一 J^ M‘ G)一受6)・(10・5.4)
Метод решения первой и второй задачи для круговой области
или плоскости с выброшенным кругом один и тот же; поскольку условия (10.5.3) и (10.5.4) имеют совершенно одинаковую структуру, этот метод основывается на применении интеграла Коши. Напомним некоторые свойства интеграла Коши. Пусть контур Г делит плоскость комплексной переменной z на внутреннюю конечную область S+ и внешнюю бесконечную область S~\ Если функция /(z) голоморфна в S+ и непрерывна в S+ + Г, то
為/盘成= 〃z),zwS+,(Ю.5.5)
г
為J"^ = 0,(Ю.5.6)
г
Если /(z) голоморфна в S~ и непрерывна в S+ + Г, то ^^dt = j^zmS+, (Ю.5.7)
г
Z 三 8一・(Ю.5.8)
г
Интегралом типа Коши называется выражение следующего вида:
1(£)+ 访2 ⑶
2л^ J t — zГ
Здесь 瓦(力)и h2(t) — функции, заданные на контуре Г, при этом комплексная комбинация h^ + 2^2 не является контурным значением какой-либо функции комплексной переменной.
Идею применения интегралов Коши к решению плоской задачи теории упругости мы проиллюстрируем на примере первой краевой задачи для круговой области. Пусть радиус круга равен единице, условие (10.5.1) выполняется при z = а = е/й. Умножим обе части (10.5.1) на 為^^ и проинтегрируем по окружности. Получим
Ф (о) do 0 - zФ (о) do 0 - zI 1断⑹十 2 m J о — zI 1断⑹十 2 m J о — zdo +do +1 f千⑹舟2л£ J о — z1 f千⑹舟2л£ J о — z
Ф (о) do 0 - z
Ф (о) do 0 - z
I 1断⑹
十 2 m J о — z
I 1断⑹
十 2 m J о — z
do +
do +
1 f千⑹舟
2л£ J о — z
1 f千⑹舟
2л£ J о — z
Интеграл в левой части представляет собою интеграл типа Коши, он всегда может быть вычислен, поскольку /4 и /2 — известные функции от О. Функция ср голоморфна в S+, первый интеграл в правой части есть интеграл Коши, по формуле (10.5.5)
Второй интеграл на первый взгляд не есть интеграл Коши. Од- 22*
нако на самом деле он приводится к интегралу Коши. Это приведение основывается на том, что"
?=^.(10.5.9)
Голоморфная в S+ функция ф может быть представлена в виде ряда
屮=а/ + а?%? + …
(мы принимаем, как было условлено ранее, ср (0) = 0), следовательно,一 _
屮‘ (0)= 旬 + 2〃20+ 3a3炉 +. … 屮'(？)= Z + 等 + ^ + …
Произведение oq/(o) задается, таким образом, следующим рядом:
旬0 + 2& Ч—^ + • • •, следовательно, оно представляет собою контурное значение аналитической функции—
一 一 顷
a# + 2a2 H—~ + • • •
Первый член этого ряда представляет собою функцию, голоморфную в S+, вследствие (10.5.5) интеграл Коши от 工内 есть atZ при z 三 S+. Остальная часть ряда голоморфна во внешней области S~, значение ее при z + 8 есть 2а2, поэтому по формуле (10.5.7) интеграл Коши от нее равен 2а2. Итак,
嘉居竺"办+ 2%.Г
Поступим точно таким же образом с последним интегралом, положим
г|)=瓦 + Ь/ + &z2 + …
Тогда—
可(『)=%+
Эту функцию можно рассматривать как контурное значение аналитической функции, получающейся путем замены о на z. Она голоморфна в 5~ и принимает значение Бо при z -> 8, поэтому
1e可(不)加_ e
0 — 6
Итак, мы получили
ф (z) = ^^ У 3± ? '" — 口仔—2优2 —瓦・(10.5*10)
И} этого соотношения необходимо исключить постоянные 万匕 а2 и 50. Для этого разложим в ряд интеграл в правой части (10.5.10)
1 "(о) do = f / (о)而 =i^fd(y z C fdo 丽 J a — z — J о (1 — и/о)—策 J "a 2ni J a2 十
Внесем это разложение в (10.5.10) и представим функцию ср также в виде ряда. Получим
O]Z + &z2 +O]Z + &z2 +
O]Z + &z2 +
O]Z + &z2 +
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, найдем
瓦+ 2a2 =為J鲁,旬+旬=為J写.
Вторая из этих формул определяет действительную часть коэффициента а】. Выше было показано (§ 10.2), что мнимая часть его может быть выбрана произвольной. Положим ее равной нулю, тогда
- 1 Cfdo旬=旬=而)f.
Теперь (10.5.10) можно переписать следующим образом:
$(z)=為J岩-為除-為『鲁.曲5制
Последний член в формуле (10.5.11) есть постоянная, которую можно опустить. Но тогда не будет выполнено условие (впрочем произвольное и необязательное) (р(0) = 0.
Чтобы определить функцию ®(z), перейдем от граничного условия (10.5.1) к комплексно сопряженному и разрешим его относительно 州(z)・ Получим
州(。)=/ (о) — 9 (о) — o(pz (о) •
Вычислим от обеих частей интеграл типа Коши, который в каждом случае будет сводиться к интегралу Коши вследствие (10.5.9). Не приводя Детальных рассуждений, выпишем результат
屮⑶=為『当一守 一2(10512)
Очевидно, что решение задачи теории упругости возможно лишь тогда, когда приложенные силы статически уравновешены. Главный вектор сил равен нулю тогда, когда функция / есть однозначная функция дуги контура граничной окружности. Выше мы убедились, что 壷/^^ есть действительное число. Легко пока-
зать, что это есть условие равенства нулю главного момента. Заметим, что
поэтому
Заменяя d/ его выражением i(Tt + iT2), выпишем условие равенства нулю мнимой части контурного интеграла, а именно,
J (力/2一 %2?1) "s = 0.
Это и есть условие равенства нулю главного момента.
Если функция со (^), отображающая окружность единичного радиуса на контур Г границы упругого тела, рациональна, метод остается по существу тем же самым и решение задачи всегда может быть доведено до конца и представлено в замкнутом виде. Выражения, фигурирующие в равенствах (10.5.3) и (10.5.4), при этом всегда могут быть представлены как контурные значения рациональных аналитических функций переменной g и интегралы типа Коши вычисляются как интегралы Коши. Метод комплексной переменной применительно к плоским задачам очень хороши представлен в ряде монографий и учебной литературе (Мусхели- швили, Савин, Новожилов, Амен-Заде и др.), поэтому здесь он не будет развиваться более подробно и иллюстрироваться другими примерами.
Функция напряжений. Ортотропное тело
Уравнения равновесия плоской задачи при отсутствии объемных сил
(УаВ, ₽ = 0
будут тождественно удовлетворяться, если принять
"аб = ТабТв£бе(Ю.6.1)
ИЛИ
0н = F,22, 022 =ь,11, 012 =一ь,12.(10.6.2)
Функция F называется функцией напряжений. Выражая компоненты деформации через напряжения, а следовательно, через функцию F и подставляя эти выражения в единственное теперь условие совместности из системы (7.3.5)
&1,22 + ^22,11 — 2a2,12 = 0,(Ю.6.3)
мы получим единственное дифференциальное уравнение для функ-
ции F. Вся изложенная выше теория, связанная с применением функций комплексной переменной, может быть построена (и строится обычно) на этой основе. Как оказывается, общая теория становится более простой тогда, когда материал анизотропен, изложенная выше теория для изотропного материала представляет собою вырожденный случай.
Рассмотрение произвольной анизотропии не представляет каких бы то ни было принципиальных трудностей, вся техническая трудность состоит в необходимости решения алгебраического уравнения четвертой степени, корни которого, вообще говоря, комплексны. Для приложений нам будет достаточно ограничиться плоской задачей для ортотропного материала. Будем записывать уравнения закона Гука по отношению к осям упругой симметрии материала следующим образом:
01 =豆［(1 -九)011 - "®］，ё22 =方 Id 十九)%2 - Wlll?
В обозначениях (8.3.6)
1-%_ 1! + %__ 1 V _ V12 _ V21 2 (1 + %) _ 1
Часто употребляются также следующие обозначения:
^ =咤\雯=端，靑=嘍1 =端，*=曦:(10.6.5)
Разрешим соотношения (10.6.4) относительно оаР. Получим
01 —
］_九2_"2 ［a + 入)出1+ ^22］，
^22 ~
］一九22 К1 九)ё22 + "分1］，(Ю.6.6)
Е
012 =
1+乂%2•
Ограничения на параметры анизотропии очевидны. Должно быть l-r-v2>0, х>-1.(10.6.7)
Заменим теперь в (10.6.4) ааР с помощью (10.6.2) и подставим в (10.6.3). Получим
(1 + 入)％⑴ + 2(1 + 乂 一 v)F1122 + (1-%)F2222 = 0. (10.6.8)
Решение этого уравнения ищем в виде F = j{x^ + icorr2). Подставляя это выражение в (10.6.8), находим, что уравнение будет удовлетворено при любой четырежды дифференцируемой функции
/(z), если со удовлетворяет следующему уравнению:
(1-A)炉一2(1 + 乂一")炉 +([ +九)= 0.
Решение этого биквадратного уравнения
炉=目21 土 萨吾(1。69)
Для древесины, стеклопластиков, углепластиков и боропластиков, т. е. практически для всех применяемых в практике ортотропных материалов, значения(о2, даваемые формулой (10.6.9), действительны и, очевидно, положительны. Обозначим эти корни 士р и 士g (р > g)・ Заметим, что: j^・
Поскольку функция F должна быть действительной, то общее решение уравнения (10.6.8) может быть записано следующим образом:
F(ха) = F(Zi) + F (zi) + Н(z2) + Н 02),
(10.6.10) zl = xl + 5 g, z2 = xi + iqx2.
Полагая 2尸=力 2"'=无，по формулам (10.6.2) найдем
2он =—广[f (z^ + f' (zi)] — g2 [hf (z2) + hf (z2)],
2。22 = /'⑵)+ f '(Zl) + 无'(%2)+ 九'(Z2),
2仇2 = -ip[f {^-f'^^y-iqSh' (z?) — 万'(厶)], или
61 =—寸 Re /'(Z[) - g2 Re 无,⑵)，
o22 = Re f (z J + Re 力(z?),(10.6.11)
012 = —p Im /' (zj — g Im hr (z?).
Так как eii = 〃i, i, e22 = ^2,2, перемещения ua найдутся, если под^ ставить (10.6.1) в первые две формулы (10.6.4) и проинтегрировать. В результате получаем
% = — / (1 + X) + V] Re / (zx) — [g2 (1 + X) + 竹 Re无(Z2),
辽2 = f 1(1 —九)+ 切 Im 〃zj + 十[(1 —九)+ vg2] Im h (&)•
(10.6.12)
Для изотропного тела 九=0, х = v и формула (10.6.9) дает равные корни, следовательно, р = q = i и представление функции напряжений в виде (10.6.10) перестает быть справедливым. Таким образом, случай изотропии ——вырожденный, требующий осо^ бого исследования. Это исследование было выполнено другим методом в § 10.1, поэтому мы только наметим основную идею вы「 вода тех же формул, отправляясь от бигармонического уравнения,
которому удовлетворяет функция напряжений:
ААР = £1111 + 2" [122 + 歹,2222 = 0・(10.6.13)
Сделаем в этом уравнении замену переменных z = x^ + ix^ z = =力1 — ix2. В новых переменных бигармоническое уравнение запишется следующим образом:
Это уравнение интегрируется непосредственно четыре раза подряд по всем аргументам, при этом учитывается, что АР = =4-^1=011+。22(10・1・4) есть действительная величина и сама dz dz
функция напряжений также действительна. В результате получается известная формула Гурса, дающая представление бигармо- нической функции через две произвольные функции комплексной переменной
F = zf(z) + zf(z) + h(z) + h(z).(10.6.14)
Теперь формулы (10.1.10) — (10.1.12) получаются путем дифференцирования и образования соответствующих комбинаций из вторых производных функции F с надлежащими переобозначениями, перемещение находится путем последующего интегрирования, как и для анизотропного тела.
Возвращаясь к анизотропному телу, сформулируем постановку первой и второй основных задач.
Первая задача. На контуре заданы усилия Л (s) и Г2(5). Внесем в выражения
T1 = 011% +012"2, T2 =021"1 +022"2
величины направляющих косинусов нормали к контуру dxd〃i
% =石，电=一 IP
а также выражения оаР через функцию напряжений по формулам (10.6.2). Получим
?1 = f 22 前 + £2I 市=石(£2)， dxndx^ j
?2 = — £12 石一£11 石=一鋁(％)，
Таким образом, функция напряжений F должна удовлетворять следующим двум контурным условиям:
匕2 = J Trds = /1，匹 1 = 一 f T2ds = —，2・
Обращаясь к выражению (10.6.10) для функции напряжений, перепишем эти граничные условия для функций /(zj и h(z2)
Ф 卄⑵)一 f 伉)]+ iq [h(Z2) — 方(б) ] = 2厶(s),
(10.6.15)
/(Z1)+了(五)+无"2)+ 五(三2)= -2%(s).
Вторая задача. Величины перемещений, определяемые формулами (10.6.12), принимают на границе заданное значение
〃1 = gl, 〃2 = &•
Трещина в ортотропной упругой плоскости
Упругая ортотропная плоскость растягивается напряжением 022 = о。 на бесконечности, на отрезке [——а, а] оси х\ сделан разрез. Положим
/ 3)=厶/z； — “2,/，(zj = -р==・
—7==Г7Im'/ = 0,—7==Г7Im'/ = 0,Для точек действительной оси z】=%卜 Имеем при |д| > а Ах^ Re / =
—7==Г7Im'/ = 0,
—7==Г7Im'/ = 0,
при |а；11 V а
Re/-0,1т/=-
Функция 无(Z2) определяется подобным же образом:
五(Z2)= 3 j/*Z2 —•
По формулам (10.6.11) находим, что на поверхности разреза %2 = 0, ]〃i| V а
。22 = °，％1 =。，П12 Т = - (^Л + 9В)Т7==2
1 / a2 一 /2
Приравнивая нулю величину т, получаем
PA + qB = 0.(10.7.1)
При zi->8 и z2 f 8 f -^ А, 〃-> R Таким образом, при gf 8 61 f -> —р2/ —炉瓦 (j22 _> л 4- в. Если на бесконечности задано растягивающее напряжение 022 = о。，то
Л + В = ао.(10.7.2)
Решая уравнения (10.7.1) и (10.7.2), находим
4 =一也二， 笈=生一.(10.7.3)
р — ар— q
При этом на бесконечности оказывается приложенным также растягивающее напряжение оц = рдо。； чтобы снять его, на полученное решение накладывается равномерное сжатие вдоль оси 力卜
Вычислим теперь распределение напряжений 51 и 022 для точек действительной оси вне разреза. Получим
°22=°0°22=°0% = %рд% = %рд乜一一4乜一一4/^7/^7(10.7.4)(10.7.4)
°22=°0
°22=°0
% = %рд
% = %рд
乜一一4
乜一一4
/^7
/^7
(10.7.4)
(10.7.4)
Поскольку нас интересует напряженное состояние в непосредственной окрестности кончика трещины, введем локальную систему координат 占= =g — а, т] = %2・ При Е《а из (10.7.4) получаем
% =合Г % = Р，7W，及L W而.(1。・7.5)
Коэффициент Ki интенсивности напряжений 022 определяется так же, как для изотропного материала, тогда как коз①①пциент интенсивности напря^ жений 51 отличается от него множителем pq = 丫(1 ——九)/(1 + 九).
В ортогонально армированном материале опасными направлениями возможного разрушения будут направления осей х\ и 力2, поэтому мы рассмотрим поле напряжений около кончика трещины более детально. Положим & = Е + 力W G = Е + 町％ Pi = &2 + 卩守,Р^ =占2 +『倘 ％ =arctg у,
e an02 =arctg-g-. При p《а получимe an02 =arctg-g-. При p《а получимh ^h ^AaBaAaBa/初 22丿，/初 22丿，KiKi—— ( cos — Z sin •P一八 22 I—— ( cos — Z sin •P一八 22 I
e an
02 =arctg-g-. При p《а получим
e an
02 =arctg-g-. При p《а получим
h ^
h ^
Aa
Ba
Aa
Ba
/初 22丿，
/初 22丿，
Ki
Ki
—— ( cos — Z sin •
P一八 22 I
—— ( cos — Z sin •
P一八 22 I
Отсюда по формуле (10.6.11)
11• 41• 6。〕戸彳Sm芽-歹福Sm» ,• 41• 6。〕戸彳Sm芽-歹福Sm» ,(10.7.6)(10.7.6)0, 0i = 02 =冗/20, 0i = 02 =冗/2%%修 1 Vpq修 1 Vpq"而j УТ Vp + VF"而j УТ Vp + VF(10.7.7)(10.7.7)
1
1
• 41• 6。〕
戸彳Sm芽-歹福Sm» ,
• 41• 6。〕
戸彳Sm芽-歹福Sm» ,
(10.7.6)
(10.7.6)
0, 0i = 02 =冗/2
0, 0i = 02 =冗/2
%
%
修 1 Vpq
修 1 Vpq
"而j УТ Vp + VF
"而j УТ Vp + VF
(10.7.7)
(10.7.7)
В сечении, проходящем через ось £2, кроме напряжения。⑵ действует норВ сечении, проходящем через ось £2, кроме напряжения。⑵ действует нор
В сечении, проходящем через ось £2, кроме напряжения。⑵ действует нор
В сечении, проходящем через ось £2, кроме напряжения。⑵ действует нор
мальное сжимающее напряжение
(10.7.8)(10.7.8)_ _ К 1 рд
(10.7.8)
(10.7.8)
% = _^ТЩ^1/&+1/7
Рассмотрим теперь задачу о распространении трещины при сдвиге. Заменяя в выражениях для / и g 4 на iA, В на 必，найдем, что граничное условие для О12 на поверхности трещины выполняется автоматически; условия 62 = 0, %三[—a, а] и 52 = to, zi, 2-> 00 приведут к следующей системе:
4+3 = 0, рА + qB = Tq.
В результате вычислений убеждаемся, что на оси х\ касательное напряжение б? имеет ту же особенность, что в изотропном случае, а именно,
а12 =区口 = % "м(10.7.9)
Решение задачи об упругой полуплоскости с помощью преобразования Фурье
Применение интегральных преобразований позволяет свести задачу об интегрировании дифференциальных уравнений в частных производных к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений для изображения искомых функций. Для иллюстрации этой идеи мы приведем здесь решение задачи об упругой полуплоскости с помощью преобразования Фурье; для областей другого вида оказываются удобными другие интегральные преобразования. Напомним, что в § 10.4 были изложены приемы, позволяющие получить относительно простое решение этой задачи; формулы (10.4.2) и (10.4.3) относились к случаю, когда на границе “2 = 0, а формулы (10.4.7) и (10.4.6) —к случаю, когда равно нулю нормальное давление 022 при х2 = 0. Таким образом, задача о полуплоскости может быть сведена к определению одной единственной функции cp(z) по заданным значениям ее действительной или мнимой части на границе. Ограничиваясь теми примерами, которые были рассмотрены в § 10.4, перейдем к изложению метода интегральных преобразований.
Напомним определение и основные свойства преобразования Фурье. Если ，(力)——интегрируемая функция, х ^ (—°°, +°°), то ее образом Фурье называется функция действительной переменной р
4-00
Обратно, если образ Фурье некоторой функции / (р) известен, то сама функция восстанавливается по формуле
Рассмотрим теперь следующую задачу. Упругая среда заполняет полуплоскость —°°V%2 V 0, ось 力 1 есть граница полуплоскости. Для удобства в этом параграфе мы вернемся к обычным обозначениям осей координат, полагая 力1 =力,х2 = у. Пусть на границе задано
32(力，0) = -0(%)，d2(力，0) = 0. (10.8.1)
Совершенно аналогичным образом можно задать другие граничные условия, выкладки при этом изменятся лишь незначительно и совершенно очевидным образом. Поэтому мы ограничимся рассмотрением задачи с граничными условиями (10.8.1).
Выпишем уравнения равновесия
右+万-и, / +而一и・右+万-и, / +而一и・(10.8.2)(10.8.2)
右+万-и, / +而一и・
右+万-и, / +而一и・
(10.8.2)
(10.8.2)
Умножим уравнения (10.8.2) на е?" и проинтегрируем но % в пределах от —оо до +°°・ Заметим, что, если g(±8)= 0, то интегрирование по частям дает
+ оо4-00
j g'(力)e^xdx =—少 J g (力)e^xdx = — ipg (p)
и аналогично
J g⑺(£)eipxdx = (— ip)ng (p)・
Таким образом, мы получим уравнения равновесия
jpU]] + О]_2 = °,勿％] + (?22 == 0・(1U.8.3)
Здесь штрихи обозначают дифференцирование по переменной у. Подвергая преобразованию Фурье граничные условия (10.8.1), получим
。22 (р, 0) = -q(р), о】?(р, 0)== 0.(Ю.8.4)
Как было показано в § 8.5, каждая из компонент тензора напряжений есть бигармоническая функция, поэтому
°%22 丄 2 °%22, @%22 _ 0
Применяя к этому_ уравнению преобразование Фурье, получим для образа Фурье о2г следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:
0贫-2P%22 + P幻22 ~。・
Запишем решение его следующим образом:
,宦=(4+砌"叫(10.8.5)
По существу это есть склейка двух решений, +р и —р представляют собою двойные корни характеристического уравнения, решение рассматривается в нижней полуплоскости О22(р, —°°) = О, поэтому, если р > 0, то нужно брать решение, соответствующее корню +/?, а если р V 0, то решение, соответствующее корню —р. Дифференцируя (10.8.5) по у, получим
в22^=(А\р\ + В\р\у + В)е\Р^.
Подставляя в граничные условия (10.8.4), с учетом (10.8.3) найдем
4 = -?(Р), В=历历(/?)•
Теперь (10.8.5) можно переписать следующим образом:
022 = -?(p)(1•- Iply*叫(10.8.6)
С помощью (10.8.3) найдем последовательно
oi2 = -iq{p)pye^\ O]] = q(p) (1+ |р|у)е吸(10.8.7)
По формуле обращения находятся сами напряжения. Мы приведем подробные вычисления для одного из них, например о2г：
q (р) (1 — I р IU)e^y-^dp,
-12s)=声-12s)=声j\(E)e'PE 龙.j\(E)e'PE 龙.Внеся это выражение в формулу дляВнеся это выражение в формулу для
-1
2s)=声
-1
2s)=声
j\(E)e'PE 龙.
j\(E)e'PE 龙.
Внеся это выражение в формулу для
Внеся это выражение в формулу для
О22, мы можем переменить порядок интегрирования. Получим
%2 = ^ J 9(三)庞 J(' -1Р w ^-^x-^dp.(10.8.8)
Вычислим первую половину внутреннего интеграла: 4-оо0
J e^y~^x~^dp = ( e~p^y^^x~^dp +
-y 十八方一e)|0^ + »("一三)-y 十八方一e)|0^ + »("一三)—y + i^ — i)—y + i^ — i)
-y 十八方一e)|0^ + »("一三)
-y 十八方一e)|0^ + »("一三)
—y + i^ — i)
—y + i^ — i)
Здесь г2 == (х — ^)2 + у2. Аналогичным образом вычисляется вторая половина внутреннего интеграла
J I I ^у-^р(x~^dp = — 2 у .
Проделав подобным же образом все вычисления, мы получим следующие формулы, представляющие собою решение первой
основной задачи для полуплоскости:
22+ оо+ ооq (E) z/ Q —己)2q (E) z/ Q —己)2十8十8лл"三，022 =一"三，022 =一22ллg阳广g阳广无,无,十8十8(10.8.9)(10.8.9)q (E) Q (力一E)q (E) Q (力一E)°12 =°12 =r4r4
2
2
+ оо
+ оо
q (E) z/ Q —己)2
q (E) z/ Q —己)2
十8
十8
л
л
"三，022 =一
"三，022 =一
2
2
л
л
g阳广
g阳广
无,
无,
十8
十8
(10.8.9)
(10.8.9)
q (E) Q (力一E)
q (E) Q (力一E)
°12 =
°12 =
r4
r4
Сосредоточенная сила на границе полуплоскости. Контактная задача
Пусть на участке —е W 自 W е, 0(Е) = Р/(2е), тогда как на остальной границе q(W) = O. Переходя к пределу при 6-^0, найдем
2P /=^.11冗戸，2P /=^.11冗戸，c2P广022 = _^/，c2P广022 = _^/，。12——察.(10.9.1)。12——察.(10.9.1)
2P /
=^.
11冗戸，
2P /
=^.
11冗戸，
c2P广
022 = _^/，
c2P广
022 = _^/，
。12——察.(10.9.1)
。12——察.(10.9.1)
Эти формулы дают решение задачи о сосредоточенной силе, приложенной к границе упругой полуплоскости. Найденное решение, как и всякое другое решение задачи о действии сосредоточенной силы, не должно пониматься буквально в том смысле, который вытекает из названия параграфа. Действительно, при 况=у = 0 напряжения оказываются бесконечно большими.
Формулами (10.9.1) можно пользоваться в двух случаях:
Нагрузка большой интенсивности распределена на малом +е
участке, например, на участке —eW/We, причем j gd/=P,
-8
тогда формулы (10.9.1) верны в области \х\》е, \у\》е.
Из формул (10.9.1) обратным переходом можно получить (10.8.9). Для этого нужно в (10.9.1) заменить координату / на 力一自，т. е. получить решение для сосредоточенной силы, приложенной в точке 况一£. Далее, эта сила Р полагается равной g(W)dg и производится интегрирование по g. Хотя мы и отправлялись от решения для сосредоточенной силы, получающиеся в результате формулы (10.8.9) содержат сходящиеся интегралы и напряжения оказываются конечными, если функция g (幻 ограничена.
Иногда такой обратный путь оказывается более эффективным, решение для сосредоточенной силы можно бывает получить независимо, иногда просто путем подбора. Так, напряженное состояние, описываемое простыми формулами (10.9.1), оказывается еще более простым, если преобразовать компоненты тензора оаР к полярным координатам, приняв точку приложения силы за начало. Вместо этого мы сразу выведем соответствующие формулы в
(10.9.2)(10.9.2)полярных координатах. Положим
(10.9.2)
(10.9.2)
О"=彳一-—, eFoo — 0, Ke — U.
Здесь угол 6 отсчитывается от линии действия силы, как показано на рис. 10.9.1. Непосредственной проверкой убеждаемся, что уравнения равновесия (7.8.5) будут при этом выполнены тождественно. Уравнения совместности Бельтрами ——Митчела (8.5.8) приведутся к единственному условию
△ dr = 0,
которое также выполняется тождественно.
Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что формулы (10.9.1) и (10.9.2) совпадают.
Вообще говоря, способ подбора, пример которого был приведен, нужно применять с известной осторожностью, существует опасность того, что при этом в точке приложения сосредоточенной силы появится дополнительная излишняя особенность. Пре
дельный переход, использованный при выводе формул (10.9.1), исключает эту опасность.
Для нахождения перемещений следовало бы применить тот же способ, что и при выводе формул (10.9.1), т. е. проинтегрировать соотношения для образов Фурье и перейти к оригиналам. Однако мы вычислим перемещение 〃2 другим, более простым способом. Вследствие закона Гука
Рис. 10.9.1Рис. 10.9.117\历=期=可(022 — Wll)-17\历=期=可(022 — Wll)-
Рис. 10.9.1
Рис. 10.9.1
17\
历=期=可(022 — Wll)-
17\
历=期=可(022 — Wll)-
Мы приняли для определенности, что осуществлено плоское напряженное состояние. При плоской деформации изменяются значения констант. Интегрируя это соотношение, получим
〃2(N, 0)=分 J(。22 - Wil) d“
Применим эту формулу к тому случаю, когда на границе приложена сосредоточенная сила, следовательно, напряжения выражаются формулами (10.9.1). Вычислим первый интеграл
Положим у2/х2 = z. Тогда о
J(m « + z) _8 + }• (10.9.3)
При подстановке нижнего предела правая часть в этом равенстве обращается в бесконечность при любом 况,таким образом, сосредоточенная сила в плоской задаче вызывает бесконечные перемещения не только в точке ее приложения, что было бы естественно, но всюду. Это обстоятельство представляется парадоксальным, но оно есть неизбежное следствие самой постановки плоской задачи. Как мы увидим далее (§ 11.7), если сосредоточенная сила приложена к границе упругого полупространства, а не полуплоскости, парадокс исчезает, перемещения оказываются конечными всюду кроме точки приложения силы.
Интеграл от Оц в тех же пределах оказывается конечной величиной, независимой от координаты 况，мы не выписываем значение этого интеграла и возвращаемся к рассмотрению обращающейся в бесконечность части, даваемой формулой (10.9.3). Продифференцируем найденное выражение 乂2(力,0) по х. Получим
дх 2л£ дх 〈 十力2 丿 冗笈 X \i+ z) |_oo 冗笈 ％
Таким образом, хотя перемещение бесконечно всюду на линии В = 0, производная от перемещения или угловой коэффициент касательной к деформированной границе конечна всюду кроме точки / = 0.
Пусть теперь граница полуплоскости несет нормальную нагрузку g(g), угол наклона касательной к искривленной границе cc(n) определяется путем суперпозиции
аЗ)=^ J猾龙・ ”9・4)
Контактной задачей для полуплоскости называется смешанная задача теории упругости, когда одна часть границы свободна от усилий или на ней действуют заданные усилия, тогда как на другой части границы осуществляется контакт с упругим или жестким телом, вдавливаемым в полуплоскость. Здесь мы рас- смотрим простейшую контактную задачу: на участке %w[—а, а] в полуплоскость вдавливаетеся жесткий штамп без трения; таким образом, на участке контакта 〃2(况，0) = g(^), “2 = 0 всюду, о2г равно нулю вне участка контакта, на участке контакта о2г == = —,(%)• Полагая a(/) = g'(%) и подставляя в (10.9.4), получим 23 ю. Н. Работнов
интегральное уравнение для функции д(况)
(10.9.5)(10.9.5)
(10.9.5)
(10.9.5)
ъ
Решение уравнения вида 『‘ gf dg = / (况) дается формулой
中设）=认一尢i） }"（絞竺二J阳處+ m一：后二犷
(10.9.6)：
Как видно, решение не единственно, второй член содержит произвольную постоянную с, которая определяется из дополнительных условий, например, если задана действующая на штамп сила.
Рассмотрим задачу о действии на полуплоскость загруженного плоского жесткого штампа, так что g(^) = const, g' = 0. Применяя к решению уравнения^ (10.9.5) формулу (10.9.6), найдем, что интегральный член будет равен нулю и давление дается следующим выражением:
^W = y=^X const.
Постоянный мнажитель легко определяется из условия
+а
J q(x) dx =尸,
где Р ——действующая на штамп сила. Отсюда получаем
，(％)=，(％)=л У^а2 —力2 •л У^а2 —力2 •(10.9.7)(10.9.7)
，(％)=
，(％)=
л У^а2 —力2 •
л У^а2 —力2 •
(10.9.7)
(10.9.7)
Следует обратить внимание на то, что особенность у края штампа получается точно такой же, как в задаче о трещине, рассмотренной в § 10.4. В действительности, эти задачи совершенно идентичны, задача о трещине нормального разрыва ставится как смешанная задача, разница состоит лишь в том, что в задаче о штампе задано равное нулю перемещение вне отрезка [—а, а] оси х и напряжение на бесконечности конечно, в задаче о штампе перемещение постоянно и отлично от нуля на этом отрезке, на бесконечности напряжение отсутствует. Формулу (10.9.7) можно без труда получить по методу § 10.4, мы предоставляем сделать это читателю.
Решение для длинного прямоугольника
Часто применяемые на практике балки таврового, двутаврового, зетового, коробчатого и других тонкостенных сечений могут рассматриваться как состоящие из длинных прямоугольных полос, соединенных между собой вдоль краев. Элементарная теория изгиба применительно к таким, профилям может быть неточной; более правильные расчеты получаются, если строить для каждой из полос решение плоской задачи теории упругости и эти решения сопрягать между собою. Таким образом, возникает естественная необходимость построения решения плоской задачи для длинного, вытянутого прямоугольника. Оговорка о том, что прямоугольник должен быть вытянут, существенна. Дело в том, что метод разделения переменных, который будет применен в этой задаче, не позволяет удовлетворить двум граничным условиям на каждой стороне. Поэтому при решении добиваются точного удовлетворения граничных условий на длинных сторонах, тогда как на коротких сторонах граничные условия выполняются лишь интегрально. Вспомним, что такая же ситуация встречается в теории кручения и изгиба. Пусть ширина балки есть 26, длина 厶 оси координат выбраны так, что границами служат линии 右=0,右=厶 g = 士b・
Будем искать функцию напряжений в одной из следующих форм:
F = Z fn (nJ cos —- (решение Рибьера). (10.10.1) п=1
Ь = £ %(N2)sin^^* (решение Файлона). (10.10.2) п=1
Подставляя в уравнение для функции напряжений (10.6.8), мы получим дифференциальное уравнение четвертого порядка для функций одинаковое как для решения Рибьера, так и для решения Файлона. Каждая из функций /п будет зависеть от четырех констант. Представляя заданные при х2 = 士b нагрузки или перемещения формально рядами по косинусам или синусам аргумента, кратного 冗®/厶 мы находим эти константы; таким образом, граничные условия на длинных сторонах оказываются удовлетворенными. Подчеркнем еще то, как это уже делалось неоднократно, что ряды Фурье для заданных величин нагрузок вовсе не обязательно должны быть сходящимися, нагрузки могут быть разрывными и даже содержать дельта-функции или производные от них (сосредоточенные силы и моменты).
Функция F(xb 况2)в решении Рибьера четна относительно %【, поэтому можно представить себе, что оно относится не к одной 2尹
полосе, а последовательности любого числа полос длиной Z, как показано на рис. 10.10.1. Из этого рисунка видно, что при х4 = О м % = Z концы полосы не могут поворачиваться, значит, % = 0. Из симметрии следует, что в этих сечениях момент экстремален, поэтому поперечная сила Q = dM/dx{ равна нулю. Действительно, 。12 =—尸,12, подставляя сюда (10.10.1), мы находим, что о12 = 0, тогда как Оц = FtZ2 ^ 0. То, что 〃] = 0, можно показать точными
Рис. 10.10.1Рис. 10.10.1
Рис. 10.10.1
Рис. 10.10.1
вычислениями, однако приведенные выше соображения симметрии кажутся нам достаточными.
Обращаясь к решению Файлона, мы убеждаемся, что при распространении его на бесконечную цепочку одинаковых балок картина будет такая, как показано на рис. 10.10.2. При х^ = 0, Xi = I равен нулю изгибающий момент. Действительно, из формул (10.10.2) следует, что бц = FM обращается в нуль в указанных сечениях.
Принципи а льн ая возможность решения задачи теории упругости для прямоугольной области состоит в следующем. Сложим функции Рибьера и Файлона (10.10.1) и (10.10.2). Прибавим вторую такую же сумму, в которой координаты х{ и х2 поменяем местами. Для постоянных коэффициентов функций /п при удовлетворении граничных условий получаются бесконечные системы линейных алгебраических уравнений. Для построения фактического численного решения эти бесконечные системы приходится где-то обрывать. При этом возникает трудный вопрос о том, в какой мере решение указанной системы из конечного числа уравнений приближает истинный результат.
Бесконечно длинная полоса
Ограничившись сделанными замечаниями, относящимися к прямоугольникам длинным, но имеющим конечную длину, мы перейдем к случаю, когда длина полосы чрезвычайно велика по сравнению с ее шириной, так что I можно считать бесконечно большой. Тогда ряды Фурье по косинусам или синусам заменя-
ются соответствующими интегралами Фурье. Положим, например,
4-00
ь=J / (九％) cos (入比J dA.
(10.11.1)
Это решение соответствует нагрузке, расположенной симметрично относительно оси х2. Заменяя в (10.11.1) косинус через синус, мы получим решение для обратно-симметричной нагрузки. Поскольку любая нагрузка может быть разложена на симметричную и обратно-симметричную части, комбинация двух таких выражений позволяет решить любую задачу. Здесь мы ограничимся симметричным случаем, т. е. уравнением (10.11.1). Обратно-симметричный случай рассматривается совершенно аналогично. Если материал изотропен, функция напряжений бигармонична, она удовлетворяет уравнению
АМ = 0.
Подставляя сюда выражение (10.11.1) для функции F, найдем, что она удовлетворяет уравнению
产 V —2 炉/〃 +Vf = O.(10.11.2)
Общий интеграл его
/(厶况2)= 4 ch 九％2 十 3 sh 入g + CA工2 ch Ax? + D Xx2 sh \x2.(10.11.3)
Здесь величины А, В, С и D представляют собою функции от 入. Общий метод проще всего пояснить на примерах.
Пример 1. Перерезывание полосы. Как показано на рис. 10.11.1, рав
номерно распределенная нагрузка g приложена с двух сторон полосы
риной 2b на участке длиной 2a. Вследст
ши
вие симметрии задачи относительно оси 力i, нужно принять в выражении (10.11.3) 3 = 0 = 0, тогда /(九力2)будет четной функцией 力2・ Теперь граничным условиям достаточно удовлетворить на верхней стороне полосы, эти условия будут
012 = о, 022 = —q(%i W [—а, а]),О22 — 0 (力 1 亥[а, а]) •
Из формулы (10.11.1) следует, что имеет
012 = 一 2 J Nf (入力以Sin Ax卢,022 = 一 2 j九2/(入/点COS入力]d九 о0
(вследствие четности подынтегральной функции интеграл от —оо до заменен удвоенным интегралом от нуля до бесконечности). Из первого ничного условия следует
X® = О,
+°° rpa-
а из второго
J X2/ (%%) cos 入％以 О
I ^ I > а.
По формулам обратного косинус-преобразования Фурье находима
соэ dX =— sin Ха.1 л%
о
Теперь для функций Л(Х) и D(X) получается следующая система уравнений:
4 sh %Ь + О (sh АЬ + 入b ch 九匕)=О,4 sh %Ь + О (sh АЬ + 入b ch 九匕)=О,” sin Aa
4 sh %Ь + О (sh АЬ + 入b ch 九匕)=О,
4 sh %Ь + О (sh АЬ + 入b ch 九匕)=О,
A eh入b +0九hsh Lb =几а3
Отсюда
D =— 2 sin Ха sh %b ,口九3 (sh 2入b 十 2AЛ).D =— 2 sin Ха sh %b ,口九3 (sh 2入b 十 2AЛ)./— 2 sin 九q (sh ХЛ+ Lb ch 九b) ? ~nX3(sh2A6 + 2A&)~，
D =— 2 sin Ха sh %b ,
口九3 (sh 2入b 十 2AЛ).
D =— 2 sin Ха sh %b ,
口九3 (sh 2入b 十 2AЛ).
Теперь выражения Л (X) и 0(%) нужно внести в (10.11.3) и вычислить интеграл (10.11.1) или вторые производные от него по 力i, %2, т. е. напряже* ния. Фактическое нахождение величин напряжений требует выполнения численных квадратур.
ГЛАВА 11
НЕКОТОРЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Представление решения задачи теории упругости в форме Папковича — Нейбера
Основная идея изложенного в гл. 10 метода комплексной переменной для решения плоской задачи теории упругости состояла в том, чтобы представить искомые напряжения и перемещения через функции комплексной переменной, т. е. по существу через гармонические функции действительных переменных 力а. Для этих функций формулируются те или иные краевые задачи, методы решения которых и составляют содержание соответствующего раздела теории упругости. Большая часть эффективных методов решения пространственных задач теории упругости представляет собою развитие той же идеи. Здесь мы приведем и будем в дальнейшем использовать одно такое представление решения задачи теории упругости через четыре гармонические функции. Это представление было открыто Папковичем в 1932 г* и независимо Нейбером в 1933 г. Будем отправляться от уравнений Ламе при отсутствии объемных сил
仇 + ц)0з+ цДи< ^ 0(11.1.1)
и будем искать решение этих уравнений в следующем виде:
uf ^(р< + -фд.(11.1.2)
Здесь 叫一три гармонические функции, тогда как *ф подбирается с тем, чтобы удовлетворить уравнениям Ламе. Из формул (11.1.2) следует
8 = 〃，j = ЧР), / + А也 А% = А*Ф, i.
Подставляя последнее выражение в (11.1.1)), получим
[(入 +n)屮川・+ (九+ 2n)a鷗=0.
Мы удовлетворим этому уравнению, приняв заключенное в скобки выражение равным нулю. Отсюда следует уравнение, которому удовлетворяет функция 2
a屮+定3% =。■ (mзз)
Здесь мы заменили отношение постоянных Ламе через коэффициент Пуассона по формулам § 8.3.
Уравнение (11.1.3) представляет собою уравнение Пуассона, решение его может быть представлено как сумма любого частного решения и общего решения однородного уравнения, т. е. произвольной гармонической функции. Будем искать частное решение в виде 4> =屮* =4屮々队.Находим последовательно производные функции р*:
^i = A(0 + 强，而Q,屮% = 4 (Фи + 0,£ + 中^/々)•
Отсюда следует
4**11 ~ 厶屮* = 24pe,w
(при свертывании учтено, что функции фг гармонические). Сравнивая последнюю формулу с (11.1.3), найдем
4(1-V)*
Поэтому решение уравнения (11.1.3) будет следующим:
2 = — z《—w) (^h + 屮о),(114.4)
где фо ——четвертая гармоническая функция. Окончательно, комбинируя (11.1.2) и (11.1.4), получаем
3 = 0 -冥£ 句(伙况k+ то)л-(宜.1.5)
Формула (11.1.5) определяет так называемое решение Папкови- ча ——Нейбера. Термин «решение» в данном случае не совсем удачен, это есть некоторое функциональное представление для вектора перемещения в линейно-упругом теле, которое можно использовать для построения уже конкретных решений определенных задач. Мы не будем здесь касаться вопроса о том, может ли любое решение уравнений Ламе быть представлено в виде (11.1.5). Можно доказать, что это так, и, более того, введение четырех гармонических функций излишне; не нарушая общности, можно принять q)o = 0, если только и* 1/4. В тех задачах, которые мы будем рассматривать, произвол, содержащийся в формулах (11.1.5), достаточно широк для того, чтобы позволить удовлетворить граничным условиям.
Сосредоточенная сила в изотропной неограниченной упругой среде
Касаясь вопроса о сосредоточенных силах, мы установили, что соответствующие решения позволяют найти решение для нагрузок, произвольным образом распределенных по поверхности или объему. Излагаемое ниже решение относится к случаю единичной сосредоточенной силы, приложенной в начале координат
и направленной по оси xk. Соответствующие перемещения мы будем отмечать двумя индексами, первый относится к направлению силы, второй индекс — компоненты с номером i вектора и« Таким образом, определяются перемещения им и напряжения 0网力 которые удовлетворяют следующим условиям:
uki ——однозначные функции координат xs.
Всюду кроме точки %$ = 0 выполняются уравнения:
о也= °，源炉=1"(〃切彳 + 〃M,e)，(]] 2 °
"灯=(入6打3a+ 2卩%3〃)仅5z.
uki = 0 при xs = 8.
Если S ——замкнутая поверхность, заключающая е себе начало координат, то
J "力电dW = 3々，.(11.2.2)
пространство Решение за- следующимипространство Решение за- следующими(11.2.3)(11.2.3)Рассмотрим теперь неограниченное упругое с произвольным распределением массовых сил F{. дачи теории упругости для пространства дается формулами:
пространство Решение за- следующими
пространство Решение за- следующими
(11.2.3)
(11.2.3)
如(g) = j uki (^s — Es) Pk &) dV,
О百(％) = J 必办(g — ^8)Fk (gs) dV.
Строение формулы (11.2.3) указывает на то, что uki представляют собою компоненты тензора второго ранга, тогда как % образуют тензор третьего ранга. Эти тензоры называются тензорами Грина для перемещений и напряжений соответственно.
Покажем, что тензор им симметричен
uhi(xs-自s) = uih(xs-自s). (И.2.4)
Заметим прежде всего, что величины uki могут зависеть только от абсолютных величин разностей xs — ^s, поэтому аргументы можно заменить на §s — xs. Единичная сила, направленная по оси координат xk и приложенная в точке gs, вызывает в точке xs перемещение uhi(x$ — §s). Единичная сила, приложенная в точке xs и направленная по оси 力厶 вызывает в точке ^s перемещения Uik(^з — хs). По теореме Бетти
4 • "財i (/8 -自s) == 4 , "源(自S - /s) •
Заменяя в правой части разность 己§ — xs величиной xs —占§, приходим к условию симметрии (11.2.4).
Условие (11.2.2) указывает на то, что величины 。衣仃 должны возрастать с уменьшением г как 1/г, только в этом случае интеграл по поверхности сферы радиусом г от 源仃 может оказаться
независящим от радиуса г. Попытаемся выбрать в качестве функций (р< в формулах (11.1.5) следующие гармонические, всюду кроме начала коордпнат, функции:
屮х =不,Фо = °・
Положим временно
4(1 - V)~ Го+ад*4(1 - V)~ Го+ад*
4(1 - V)~ Го+ад*
4(1 - V)~ Го+ад*
Для вычисления щ по формулам (11.1.5) заметим, что
9鹏=芈=鼻（恤加="一学
(11.2.5)(11.2.5)Подставляя эти выражения в (11.1.5), получим uki = (1 —с)” + с 子.
(11.2.5)
(11.2.5)
Переходим теперь к вычислению напряжений. Вычислим первые производные от 〃必・ При этом используется очевидное тождество dxjdxi = 6Af. Дифференцируя (11.2.5) по 力厶 получим
以 = —(4 —С)峥+ с*^ + с 峥—3「Ф・г г г г
Выражения для компонент деформации будут следующими:
2efeij = 〃^i + 〃端『=一(1 — 2。)fe^ + 2。警一6c 響.
Свертывая по индексам 方 и j, находим
% = eku = (2с — 1) ?
После подстановки в формулы закона Гука находим
。^ =九（2。 - 1）亨 + 卩［（2。 - 1）呸宇必 + 2c導一 6。亨］•
Вернемся к обычным обозначениям упругих констант и приведем подобные члены. Получим
(11.2.6)(11.2.6)_"(九 + 卩) %%% 卩6泣弓 + ^kxi + ^ijxk
(11.2.6)
(11.2.6)
Чтобы проверить выполнение условия (11.2.2), примем за поверхность S сферу радиусом г, для которой п( = xJt、Подынтегральное
363363ДРУГИЕ ТИПЫ вИНРУЛЯРНЫХ РЕШЕНИЙ
363
363
一%+ 2卩一%+ 2卩卩 6GГТ*丿卩 6GГТ*丿выражение в этом условии будет следующим:
一%+ 2卩
一%+ 2卩
卩 6G
ГТ*丿
卩 6G
ГТ*丿
^kij^j
Это выражение нужно интегрировать по поверхности сферы. Заметим, что J等=4冗・ Интеграл от 外％丿卢 обращается в нуль при i 吸 ％, при % = % он одинаков для всех значений индексов и, очевидно,
=帀6仍J h =号0仍.
В результате получаем
-"4Л卩/3左i.-"4Л卩/3左i.
-"4Л卩/3左i.
-"4Л卩/3左i.
Таким образом, найденное решение соответствует не единичной силе, а силе равной —4冗卩6証,приложенной в начале координат. Решение для единичной силы или тензор Грина запишется теперь следующим образом:
^8冗卩（入+ 2卩）^8冗卩（入+ 2卩）.入+ 3卩编1+ ТТ7 力.入+ 3卩编1+ ТТ7 力(11.2.7)(11.2.7)
^8冗卩（入+ 2卩）
^8冗卩（入+ 2卩）
.入+ 3卩编1
+ ТТ7 力
.入+ 3卩编1
+ ТТ7 力
(11.2.7)
(11.2.7)
"万一而而 [3下一+中^卜（11•2.8）
§113. Другие типы сингулярных решении
Отправляясь от формул (11.2.7) и (11.2.8), можно построить другие типы решений с особенностями, как-то:
Двойка凡 сила и сосредоточенный момент. В точке & = О приложена сила —Р, в точке & = Aj приложена сила Р. По формулам (11.2.7) перемещение равно
纵=—PiUhi(0) + PiUhi{^j)=尸公/山・(0)十・• •
Перейдем теперь к пределу, устремляя к нулю Д； и неограниченно увеличивая силу Р” так что произведение Р；А)стремится к конечному пределу РА； f тп灯. Получим следующее решение с особенностью в начале координат:
〃/1 = m@ht,加(11.3.1)
Если % = /, то m§ называется двойной силой без момента (рис. 11.3.1). Система двух равных и противоположно направлен- •них сил, вообще говоря, эквивалентна нулю, но в данном случае,
когда силы неограниченно возрастают с уменьшением расстояния между ними, в упругой среде возникает напряженное состояние. Если »#/, то произведение т^ представляет собою момент пары
Рис. 11.3.1Рис. 11.3.1Р А—Г
Рис. 11.3.1
Рис. 11.3.1
Рис. 11.3.2
и в пределе мы получаем решение, соответствующее сосредоточенному моменту (рис. 11.3.2).
Напряжения будут выражаться теперь совершенно аналогичным образом
Ohs = ^ijOksi, j・(11.3.2)
Мы выпишем здесь в явном виде только выражения (11.3.1), более громоздкие формулы (11.3.2) выписывать не будем,
Uku8叩(九十2卩)\~卜
(11.3.3)
Особенность, соответствующая двойной силе, имеет более высокий порядок, а именно, 1/г2 — для перемещений и 1/г3 — для напряжений.
Центр растяжения (сжати兄).Свернем тензор ukt« по индексам f и у. Соответствующие формулы дают перемещения от трех единичных двойных сил, направленных по координатным осям. Из формул (11.3.3) следует
"呢= 一 4冗(九+2卩)口1.3.4)
Формула (11.3.4) определяет полярно-симметричное поле перемещений, уже рассмотренное в § 8.14, т. е. соответствующее центру сжатия. Таким образом, центр расширения или центр сжатия может рассматриваться как результат наложения трех двойных сил без моментов. Более детальное обсуждение этой задачи содержится в названном параграфе и мы к нему возвращаться не будем.
§ 11.4. Дислокация Вольтерра
Здесь будет рассмотрен другой тип сингулярных решений, когда напряжения и перемещения обращаются в бесконечность не в одной точке, а на некоторой линии. Мы уже встречались с примерами таких спнгуляр- ных решений, рассматривая в § 9.2 винтовую дислокацию, в § 10.3 ——крае-
вую дислокацию. Особенности поля напряжений и перемещений в том и другом случаях были равномерно распределены вдоль прямой — линии дислокации. Здесь мы рассмотрим задачу о дислокации в неограниченной упругой среде в самой общей форме. Пусть дан некоторый замкнутый контур Г (рис. 11.4.1). Построим поверхность Е, проходящую через этот контур, сделаем по этой поверхности разрез. Берега разреза обозначим * и £_. Теперь представим себе, что берега разреза раздвинуты на одну и ТУ я?е величину b в произвольном направлении. Таким образом, относительное смещение краев разреза задано вектором Ь・
В оригинальной теории Вольтерра вектор b может быть не постоянным, а линейной функцией координат. Для приложений к физике твердого тела особое значение имеет тот случай, когда & = const; рассмотрением этого случая мы и ограничимся.
Итак, берега разреза раздвинуты на величину вектора Ь, Может случиться, что при этом нам придется удалить часть материала; там где образуется пустота, заполним ее мысленно тем же
материалом и восстановим сплошность тела. Ан а-“
логичным образом уже строились винтовые и краевые дислокации, сейчас же мы рассматриваем общий случай.
Излагаемое ниже решение было дано самим Вольтерра в 1907 г., позднее Бюргерс (1939 г.), Питч и Келер (1950 г.) и другие авторы представили его в иной форме, более удобной для приложений. Теория упругих дислокаций служит предметом отдельной гл. 14 этой книги, теория Вольтерра в общих чертах излагается ниже.
Будем смотреть на формулы (11.2.7) и (11.2.8), дающие решение для сосредоточенной силы, как на предельный случай решения, соответствующего некоторым массовым силам, распределенным в конечном объеме, при безграничном уменьшении объема. Результирующая этих сил остается все время равной единице, а главный момент стремится к нулю.
До сих пор мы избегали пользоваться в нашем изложении аппаратом теории обобщенных функций и если сейчас будет записано уравнение, содержащее функцию Дирака, то это нужно понимать именно в указанном выше смысле, символ дельта-функции в дифференциальном уравнении обозначает то, что решение ищется для заданной функции, определенной в конечном объеме, а после этого производится предельный переход.
Напомним определение трехмерной функции Дирака A(%s ——^«), состоящее в следующем: интеграл f А (а$ ——EJ dV равен единице, если объем V
заключает в себе точку Е$, и этот интеграл равен нулю в противном случае. Тогда определенные формулами (11.2.8) напряжения удовлетворяют следующим уравнениям:
°kij, j + 6лгД(л：в—К) = 0. (11.4.1)
Здесь, в отличие от (11.2.8), точка приложения силы есть £・ Запись (11.4.1) нужно понимать в том слысле, что объемные силы равны нулю вне объема 匕 содержащего в себе точку & и, скажем, постоянны по величине и равны l/卩 внутри этого объема. При такой постановке задачи решение существует, оно будет непрерывным и ограниченным, при переходе к пределу при
0 мы должны получить формулы (11.2.8). Заметим, что такой путь вывода этих формул представляется более строгим, чем способ подбора решения с особенностью нужного характера, который был использован в § 11.2.
Определим теперь поле перемещений следующим образом:
(11.4.2)(11.4.2)ui= ^ Jh М/2-
(11.4.2)
(11.4.2)
Здесь ns ——единичный вектор нормали к поверхности S. Покажем, что фор* мулы (11.4.2) дают решение задачи о дислокации. Для этого нужно у6е・ диться в следующем:
Перемещение Ui при переходе через поверхность Е изменяется скачком на величину Ь-
Поле перемещений и< удовлетворяет уравнениям теории упругости при нулевых объемных силах.
На поверхности Е и на контуре Г не приложены силы.
Для доказательства первого утверждения поступим следующим образом. Проведем через контур Г вторую поверхность X’ и определим перемещение ui формулой, аналогичной (11.4.2),
Теперь S = 2 + Е' представляет собой замкнутую поверхность; если и, есть внешняя нормаль к S, то п8 есть внутренняя нормаль, и наоборот, поэтому 〃L "； = f GiksbhnsdS.
В этом соотношении интеграл берется на замкнутой поверхности S, поэтому его можно преобразовать в объемный интеграл по формуле Гаусса —— Остроградского, а именно,
М — 〃£ = f ^iks^bk^^
или, вследствие (11.4.1),
и. 一 g = % ) A dP.Уи. 一 g = % ) A dP.У(11.4.3)(11.4.3)
и. 一 g = % ) A dP.У
и. 一 g = % ) A dP.У
(11.4.3)
(11.4.3)
По определению функции Дирака Д правая часть (11.4.3) равна 6彳 или рав
на нулю в зависимости от того, находится точка ха внутри объема 匕 ограниченного поверхностью S, или вне этого объема. Таким образом, левая часть получает скачкообразное приращение при переходе через поверхность S. Но при переходе через поверхность Е может получить приращение только перемещение 況彳；таким образом, первое утверждение доказано. Более того, поверхность S и соответственно 2’ 一 любые поверхности, проходящие через контур Г, и рассуждения, связанные с соотношением (11.4.3), всегда сохраняют силу. Отсюда следует, что в уравнении (11.4.2) интегрирование можно вести по любой поверхности S; выражения
для и； и, следовательно, о门 определяются только заданием контура Г — линии дислокации и вектора Бюргерса 6. Многозначность и» связана с обходом по контуру, окружающему линию дислокации Г (см. рис. 11.4.2), а ие с пересечением какой-то определенной поверхности S. Отсюда ясно, что 〃к 夕 и о叮 представляют собою непрерывные функции координат.
Переходим к проверке второго утверждения. По закону Гука
°U = Ei/qUp,q
J ^ijp^phs.q^kn&^^ Е
НО CTphs == EksmnUprnt п? ПОЭТОМу
аг; = J 々河/hsmn〃卩m,nj屮$&£•S
Используя симметрию тензора Грина ирт1 заметим, что EtjpqUpm)nq = EijpqUmp, qn = Omij, n и, следовательно,
(11.4.4)(11.4.4)。灯=(Eksmrfi kn3amij tr^ *
(11.4.4)
(11.4.4)
Ho Gmij, n, как было показано в § 11.3, есть напряжение, соответствующее двойной силе в точке 自.Таким образом, решение (11.4.2) для перемещений и (11.4.4) для напряжений есть решение задачи теории упругости, соответствующее распределению двойных сил на поверхности S. Это решение (11.4.4) по самому своему построению удовлетворяет однородным уравнениям равновесия во всей области, кроме поверхности S, а так как поверхность S может быть заменена любой другой, проходящей через контур Г, то и на этой поверхности никаких сил действовать не может. Проверка третьего утверждения по существу излишня, легко проверить, что, как это и должно быть, по поверхности S распределены двойные силы без момента. Действительно, из (11.4.4) следует, что интенсивность распределения двойных сил есть
^ш» == Eh8mпЬкП&.
Момент единичной двойной силы в плоскости хтхп равен векторному произведению базисных векторов emX 6n. Таким образом, момент, приходящийся на единицу площади, есть
m = Ehsmrfi^^m X %•
Тензор Ehamn симметричен относительно индексов ?п и 〃, а так как emX еп= =—6nx em, то m = 0. Таким образом, на поверхности S не приложены ни усилия, ни моменты.
Теорема Вейнгартена
При изложении теории дислокаций в предыдущем параграфе мы в большей мере следовали статье Лейбфрида, чем оригинальной работе Воль- терра. Вывод о том, что выбор поверхности разреза W не существен, а поле перемещений и напряжений определяется лишь контуром Г и вектором 瓦 приведет неизбежным образом к выводу о том, что в формулах § 11.4 поверхностные интегралы могут быть преобразованы в интегралы по контуру Г. Для изотропного тела это было сделано частично в работах Бюргерса (1939 г.); в формулах Бюргерса, кроме контурных интегралов, остался еще телесный угол, под которым виден контур Г из данной точки пространства. Пич и Келер в 1950 г. сумели представить телесный угол, также с помощью контурных интегралов. Для анизотропного тела решение в явной форме получить не удалось.
Метод Вольтерра при всем своем изяществе производит впечатление некоторой искусственности, решение оказалось угаданным как бы случайно и оправдано последующей проверкой. Теорема Вейнгартена устанавливает принципиальную возможность решений, соответствующих многозначным перемещениям с сохранением непрерывности деформаций и их производных, и накладывает определенные ограничения на характер неоднозначности.
Выберем две бесконечно близкие точки "^ и М~ на разных сторонах поверхности S на рис. 11.4.1 и две другие бесконечно близкие точки М+ и М~. Соединим точки М^ и М+, М~ и Л/~бесконечно близкими кривыми, одна из которых находится на стороне W+, другая на стороне S~. Положим в формулах Чезаро (7.3.5)
e/+ (巧一自力(eik, j - ekj, i)=刀通
Вследствие сделанного предположения о непрерывности eik и их производных т］+ = т)~ для бесконечно близких точек на двух сторонах поверхности W, но в точках "^ и М； как перемещения 吗，так и повороты со% вообще говоря, различны. По формуле (7.3.5) получаем
u1 = "广+咁(弓一芻)+ J刀/镰
м斤="厂+哦了(有-吗)+］刀访&•%
Криволинейные интегралы разнятся на бесконечно малую величину, поэтому пределы их обозначены буквами 加。口 加 без индексов плюс и минус. Вычитая одно уравнение из другого, получим
［%］=［碍］+ ［鸣］(力厂喲.(11.5.1)
В формуле (11.5.1) квадратные скобки обозначают, как обычно, разрывы соответствующих величин. Это соотношение и составляет содержание теоремы Вейнгартена: если напряжения и их производные непрерывны, то разрывы непрерывности перемещений могут быть только такими, которые соответствуют перемещению жесткого тела.
Задача теории упругости для полупространства
Формулы (11,1.5) представляют перемещения в упругом теле через четыре гармонические функции. Однако в общем случае в граничных условиях фигурируют комбинации этих функций, и воспользоваться известными решениями задач теории гармонических функций, как правило, не удается. Однако в некоторых случаях задача теории упругости сводится к той или иной задаче для уравнения Лапласа; таким образом, удается построить эффективные решения. Одной из таких задач служит задача об упругом полупространстве. Пусть упругая среда занимает область пространства 力з 三［0, °°), плоскость 况з = 0 является границей, на которой заданы те или иные условия. Здесь мы ограничимся изучением наиболее простого случая, когда на граничной плоскости равны нулю касательные напряжения Оаз (а = 1, 2). В этом случае, как будет показано, все перемещения и напряжения выражаются через одну гармоническую функцию. Условимся сохранять индексные обозначения только для осей xt и %2> ось 况з будем обозначать как ось z. Как уже было принято ранее.
индексы, принимающие значения 1, 2, будем отмечать гречески^ ми буквами. Перепишем теперь формулы (11.1.5) следующим образом:
=屮аZ d —才【(屮6力6 + Фо),а + Z%。］,^
"3 =屮3 - % 仕三%丁 ［^(中吟 + Фо) + Фз + 2 票］•
Касательные напряжения Оза выражаются формулами
Оза =卩(〃з,а +Оза =卩(〃з,а +
Оза =卩(〃з,а +
Оза =卩(〃з,а +
После подстановки сюда выражений (11.6.1), находим, что при z = 0 должно быть
d% I 4 — 2v—+ '2(1 ~vj' ^аd% I 4 — 2v—+ '2(1 ~vj' ^а12(l-v)12(l-v)（礬（礬
d% I 4 — 2v
—+ '2(1 ~vj' ^а
d% I 4 — 2v
—+ '2(1 ~vj' ^а
1
2(l-v)
1
2(l-v)
（礬
（礬
Этому условию можно удовлетворить, если принять
^Фа 1 —2v"о小作 1 — 2v
(11.6.2)(11.6.2)石 =--2 (匚F 中3а 而=一冲而 =-2 口一丁产阳3,В.
(11.6.2)
(11.6.2)
Первое условие (11.6.2) утверждает тождественное равенство двух гармонических функций на плоскости z = 0. Но если две гармонические функции совпадают в некоторой области, они совпадают всюду. Что касается второго равенства (11.6.2), левая часть его есть значение при z = 0 гармонической функции d(p0/dz, тогда как правая часть есть граничное при z = 0 значение функции 况дрз,入 В § 11.1 при выводе формул (11.1.4) мы убедились, что если ipi ——гармонические функции, то
a (优绅0 = 2呐,-
В нашем случае р? = грз, г, следовательно,
А (力呻3, г) = 2фз, ^ = 0, поскольку фз ——функция гармоническая.
Таким образом, получаются соотношения, справедливые для всего полупространства, "a1-2"。 西0 l - 2w /, 即3、
亏=一-2(厂可屮з,а, 丁 =可(j |адРз,а + Z 而丿•(11-6.3)
Если ввести обозначение
1 — 2v5(р*〃什八
万屮3 = 右，(4164)
т。 формулы (11.6.3) выражают все функции 屮人 через одну 24 ю. Н. Работнов
гармоническую функцию <р*, а именно,
фа = — ф.а, Фо = <^аф,а + 纟警一瞋 (М・6・5)
(при выводе последнего соотношения следует произвести интегрирование по частям). Теперь по формулам (11.6.1) находятся перемещения
〃а = - (1 一 2v)(р,а - z 樂，〃з = 2 (1 - v)察一z 祭.(11.6.6)
Для простоты записи здесь сделано еще одно переобозначение, а именно,
3 — 4v *屮=4 (1 — w) (1 — 2V)屮，
Через единственную гармоническую функцию (р вычисляются также все напряжения. Мы не будем выписывать здесь все формулы, приведем лишь выражение Озз, а именно,
。33 = 2《劈-2号).(m.6.7)
Возможные краевые задачи при поставленном заранее условии Оаз = 0 на граничной плоскости S при z = 0 будут следующие:
первая задача: Озз = —0(%а), £*S;
вторая задача: 〃з==^(%а), £占3；
смешанная или контактная задача:
〃3 = 1Р(%а),况a®Si, Озз = —q(况а),况а 三 S?, S】+ S? = S.
Поскольку в граничных условиях всех этих трех задач будут фигурировать только производные функции ф по z, а не сама функция или ее производные по %а, при математической формулировке перечисленных краевых задач удобно принять в качестве неизвестной производную от ср по z, положив
鍔=少(%3 z)，
Тогда при z = 0
(11.6.8)(11.6.8)〃з = 2 (1 — V)F, Озз = 2 卩—•<
(11.6.8)
(11.6.8)
Первая задача сводится, таким образом, к определению гармонической функции по заданному на границе значению ее нормальной производной (задача Неймана), вторая задача ——к определению гармонической функции по заданному ее значению на границе (задача Дирихле). Контактная же задача формулируется следующим образом: требуется найти гармоническую в верхнем полупространстве функцию F, если на части S】граничной пло-
скости задано перемещение ш; значит, Р=
WТ@ 二 “，тогда как наWТ@ 二 “，тогда как на«контактная задача» связан«контактная задача» связаноставшейся части-^-= —^j. Термин
W
Т@ 二 “，тогда как на
W
Т@ 二 “，тогда как на
«контактная задача» связан
«контактная задача» связан
с тем, что заданное перемещение и3 = ^ может быть осуществлено путем вдавливания абсолютно жесткого штампа без трения.
хотя некоторые другие задачи, например задача о напряженном? состоянии около плоской трещины, приводят к точно такой же математической формулировке.
Нормальная нагрузка на границе полупространства
Здесь будет рассмотрено общее решение первой основной за^ дачи для упругого полупространства, вторую задачу, как мала реальную, мы рассматривать не будем. Решение задачи Неймана для полупространства, как известно, дается следующей формулой:
(11.7.1)
Здесь 产=(色 一 Ei)2 + (g - &)2 + z2, dS = d^ d^ Функция p(%, z), определяемая формулой (11.7.1), где интеграл берется по всей плоскости z = 0, удовлетворяет уравнению Лапласа и нормальная производная ее (d^/dz)z=Q = —т{х^. Интеграл (11.7.1) называется потенциалом простого слоя плотности тп (况&)• Функ
ция 2 — гармоническая, так как L — гармоническая функция координат % z, а интегрирование ведется по переменным §а. Вычислим теперь производную d^/dz\
@屮=
С mz dS 1 C m cos а ss
Ha рис. 11.7.1 показан угол а. Заметим, что cos a dS/г2 — телесный угол, под которым виден из точки М элемент поверхности dS; обозначим этот телесный угол ds. Разобьем границу полупространства на две части: & — круг радиусом р с центром в точке 4 ——основании перпендикуля2_аг опущенного из точки М на граничную плоскость, и S2 — внешность этого круга. Представим теперь выражение для производной d^/dz в виде суммы двух интегралов
-~n1 ^ u(0-] Hl uG).
dz 2л J2冗 J
S1$2
Применим к первому интегралу теорему о среднем и будем приближать z к нулю, при этом
(т тд2л, f mdsf 0・б?
Следовательно,Следовательно,=——m. о=——m. о
Следовательно,
Следовательно,
=——m. о
=——m. о
Итак, формула (11.7.1) действительно дает решение задачи Неймана для полупространства. Теперь мы можем написать решение лервой основной задачи для упругого полупространства, а именно,
(11.7.2)
В частности, если к поверхности приложена сосредоточенная сила Р, то 歹=品•
Нормальные перемещения точки границы выражаются следующим образом:
(11.7.3)(11.7.3)1 —w Р = г% + 2ц Р2呻 ~ 一 4冗卩(% + И) Г
(11.7.3)
(11.7.3)
В отличие от плоской задачи, рассмотренной в § 10.9, здесь перемещение обращается в бесконечность только в точке приложения силы. При стремлении г к бесконечности, перемещение на поверхности стремится к нулю. С помощью (11.6.6) легко убедиться, что перемещение стремится к нулю по мере удаления ют точки приложения силы по любому направлению.
Контактная задача. Жесткий плоский штамп, круглый в плане
Рассмотренный ниже пример представляет собою трехмерный аналог плоской контактной задачи, решенной в § 10.9. В отличие от плоского случая мы не сумеем представить в замкнутой форме, подобной (10.9.6), решение для штампа произвольного профиля. Для плоского штампа результат может быть получен разными способами; излагаемый ниже метод принадлежит Ростовцеву и, кажется, приводит к цели наиболее коротким путем. Положим N： + /^ = р2 и рассмотрим функцию
р (р, z) = In (z + 山 + У (z + 山)2 + р2)； производная ее по z
dz
M(z + 込)2 + p2
есть гармоническая функция. Действительно, выражение {z + ш)2 + р2 отличается от величины「2 = z2 + p2 только тем, что к координате z добавлено постоянное слагаемое, а функция 1/г есть гармоническая. Отсюда следует, что “(р, z) есть гармоническая функция координат ха, z; действительные и мнимые части функций гр и d^/dz также будут гармоническими. При z = О
(11.8.1)(11.8.1)Im *ф =Im *ф =л/2arcsin (〃/р)л/2arcsin (〃/р)(Р V*(р>〃)・(Р V*(р>〃)・(PV*(р>*
(11.8.1)
(11.8.1)
Im *ф =
Im *ф =
л/2
arcsin (〃/р)
л/2
arcsin (〃/р)
(Р V*
(р>〃)・
(Р V*
(р>〃)・
Положим теперь
F = с Im *ф.
Вследствие (11.8.1) на граничной поверхности при р < а выполняются условия
сзт — w dF — с — q
"T= 2([一 W 毎=M=^ = - 圆?
тогда как при р >。
Если принять с = £(] — у)・, то функция F даст решение задачи о плоском штампе, имеющем в плане форму круга радиуса а, который вдавливается симметрично на глубину w в поверхность упругого тела. При этом вели
чина вдавливания w считается заданной. Давление под штам^ пом при этом определяется «следующей формулой:
q =
2{Л и?
1
冗(l - v) /户二耳
Интегрируя давление по вающую штамп. Удобнее шенном относительно w、
площади круга, найдем силу, вдавли- представить результат в виде, разре-
w =
1——V P
(11.8.2)
Давление, выраженное через силу, будет при этом
Р 1
丽77^
(11.8.3)
Как видно, давление обращается в бесконечность на контуре
штампа, характер особенности при этом совершенно тот же, что в плоской задаче. Эта особенность отражается также и на кар-
тине перемещений, при р = а — 0 ^^ = -^ = О, ПРИ р > 〃，соглас
но （11.8.1）, угловой коэффициент касательной к меридиану деформированной поверхности пропорционален производной
arcsin 2 =— dp Рarcsin 2 =— dp Р
arcsin 2 =— dp Р
arcsin 2 =— dp Р
При р = а + 0 эта величина обращается в бесконечность, разрез участка, примыкающего к краю штампа, имеет вид, показанный на рис. 11.8.1.
Потенциал однородного эллипсоида
Содержание этого параграфа связано с приемом, который применяется для решения смешанных задач теории упругости для полуплоскости. Рассмотрим потенциал U непрерывного распределения масс в некотором объеме, предполагая объем и распределение масс симметричными относительно плоскости z = 0・ Этот потенциал будет необходимым образом четной функцией z, следовательно, производная dU/dz обращается в нуль при z = 0 вне заполненного массой объема. Будем теперь сплющивать объем и, переходя к пределу, получим потенциал простого слоя, нанесенного на некоторую область 5t е S. В области 54 величина потенциала будет некоторой функцией координат ха. Теперь, если принять построенный таким образом потенциал за функцию F, мы получим решение некоторой контактной задачи. Действительно, в области S = S — Si dF/dz = 0, следовательно, эта часть граничной плоскости свободна от напряжений. В области S【F есть некоторая функция координат, определяющая форму штампа.
Напомним определение и некоторые свойства потенциала. Пусть в объеме V задана некоторая функция р （况，,которую мы будем называть плотностью. Обозначим через V+ множество точек, заключенных в объеме V, и через V~ множество точек, находящихся вне этого объема. Потенциалом называется функция и（д）= /学.（и.9.1）
Здесь 产=3-自1）2 + （比2-自2）2 + （力3 - 自3）2. Функция U（怎・）и ее производные U,）непрерывны на границе объема V+, но вторые производные претерпевают разрыв. В теории потенциала доказывается следующее свойство:
AU = 0, ^ е V-, AU = -4np, ^ е у\ （11.9.2J
Фактическое нахождение потенциала путем прямого вычисления интеграла (11.9.1) обычно встречает существенные трудности, поэтому часто подбирают функцию U, удовлетворяющую уравнениям (11.9.2).
Классическим примером такого подбора служит формула для потенциала однородного эллипсоида, принадлежащая Дирихле. Пусть уравнение эллипсоида будет
и плотность р = const.
Составим кубическое уравнение относительно X:
(11.9.3)
Это уравнение имеет три действительных корня. На самом деле при А -> ±8 / = —1, при 九=——а： / =土 8. График функции /(九) пересекает ось 入 три раза, независимо от значений /»・ Обозначим через Zi наибольший корень уравнения (11.9.3) и определим функцию U(/' следующим образом:
д.2
(11.9.4)(11.9.4)U =冗Р%a2a3 J [口@十入)]1/2 d儿
(11.9.4)
(11.9.4)
при этом
и = 0, если хг 三 V+, и =厶“ если © 三 V-.
Если точка 力不 принадлежит поверхности эллипсоида, то уравнение (11.9.3) имеет корень 入=0, причем этот корень будет наибольшим. Действительно, попытавшись построить примерный график функции /(九)，мы убеждаемся, что два корня уравнения (11.9.3) всегда отрицательны. Отсюда следует, что U есть непрерывная функция координат. Вычислим теперь производную dU/dxk = U>h. Получим
Sh = -2w2vJ 计画筛户2。①95)
Член, содержащий множителем производную dU/dxk1 исчезает, так как другой множитель при этом члене есть /(%», и); при 〃=九1 он равен нулю в силу (11.9.3), при 辽=0 равна нулю производная. Непрерывность производных U>h на границе областей V+ и V" устанавливается, как и для функции U. Пам по-
надобятся также вторые производные U)km. Дифференцируя (11.9.4), находим
u,* -23旬好3 Mm J 才^ [口(/:%)]1/2 -
Свернув по индексам кит, получим
At/ = -2W2a3 了1;з口⑷2外产一
\hah + u) [n(af + u)]1/2 *
Интеграл в этом выражении вычисляется; непосредственной проверкой легко убедиться в том, что подынтегральное выражение есть производная по 入 от функции 2 [П (а? + ^)]~1/2, поэтому
(11.9.7)(11.9.7)
(11.9.7)
(11.9.7)
Если Xi 三 V+, то u = 0 и из (11.9.7) следует
Д С7 = —4лр,力尸
Если 爲三卩一,то u = Z, где 入——один из корней уравнения (11.9.3). Заменим в нем 入 через и и продифференцируем по xh. Получим
2/月 _、 状 d〃"± +"T (齊 + ")? dXh
Умножим на — и просуммируем по индексу к. Получим
區十瓦
Отсюда следует
1-421-42af + uaf + u"，h=0,"，h=0,
1-42
1-42
af + u
af + u
"，h=0,
"，h=0,
следовательно, правая часть (11.9.7) обращается в нуль и мы имеем
AU = 0, Xi е V-.
Таким образом, действительно формула (11.9.4) представляет выражение для потенциала однородного эллипсоида, получить «ее путем прямого интегрирования из формулы (11.9.1) было бы весьма затруднительно.
Штамп в форме параболоида
Из формулы (11.9.4) следует, что для внутренних точек эллипсоида потенциал представляет собою квадратичную функцию координат Nj. Будем теперь сплющивать эллипсоид в направлении оси /з = z, т. е. будем устремлять к нулю полуось 〃з, одновременно увеличивая плотность р. В пределе мы получим простой слой, распределенный по площади эллипса с полуосями &1 = 〃 и а2 = &. Плотность этого слоя
пъ ■— 2zp —пъ ■— 2zp —(11.10.1)(11.10.1)
пъ ■— 2zp —
пъ ■— 2zp —
(11.10.1)
(11.10.1)
Потенциал этого простого слоя получается предельным переходом по формуле (11.9.4) (здесь мы возвращаемся к обычным обозначениям координат и полуосей эллипса а, b и с)
力 2У2 2
1 - -0-- — z2
U =пр曲eU =пр曲ea + 九 b + 九 .лл
U =пр曲e
U =пр曲e
(11.10.2)(11.10.2)，‘“=иЛ.
(11.10.2)
(11.10.2)
/(a2 + 九)(庐 + %)%
Теперь в соответствии с результатами § 11.7 мы находим
Принимая во второй из формул (11.6.8) F = U, о33 = — д, находим:
Давление q распределено по площади эллипса с полуосями a и Ь, результирующая сила Р найдется интегрированием по площади:
Р = — j a33 dF= 2(л J m dF.耳耳
Но интеграл от т по площади эллипса равен интегралу от р по
объему исходного эллипсоида, именно с соблюдением этого условия производился предельный переход. Таким образом,
dF = ^ pabc.
Внося в выражение для Р, мы находим 卩рс =为冗@匕 и, следовательно,
L爲屮-ЗТ・US
Перемещение u3 при z = 0 и внутри эллипса определяется теперь первой из формул (11.6.8), а именно,
(〃3)z=0(〃3)z=03…"8呻J y^ (q2 +人)(庐+九)3…"8呻J y^ (q2 +人)(庐+九)庐+九庐+九d 入.(11.10.4)d 入.(11.10.4)
(〃3)z=0
(〃3)z=0
3…"
8呻J y^ (q2 +人)(庐+九)
3…"
8呻J y^ (q2 +人)(庐+九)
庐+九
庐+九
d 入.(11.10.4)
d 入.(11.10.4)
Найденное решение соответствует задаче о вдавливании жесткого штампа, имеющего форму параболоида. Если штамп достаточно пологий и поверхность его гладкая, при этом в точке первоначального контакта радиус кривизны отличен от нуля, то перемещение 〃з может быть разложено в ряд Тейлора и при удержании первых членов разложения его следует рассматривать как квадратичную функцию координат, а именно,
щ=-А^+Ву2 + С.щ=-А^+Ву2 + С.(11.10.5)(11.10.5)
щ=-А^+Ву2 + С.
щ=-А^+Ву2 + С.
(11.10.5)
(11.10.5)
Подставляя в (11.10.4) и приравнивая коэффициенты при у2 и свободных членах, мы получим три уравнения для нахождения глубины вдавливания при х = г/ == 0, т. е. константы С, а также для размеров площадки контакта а и &. Однако прежде чем выписать эти уравнения и извлечь из них некоторые следствия, мы переформулируем саму постановку задачи.
Контактная задача Герца
Как показал Герц (1881 г.), изложенная выше теория распространяется без всяких изменений на случай контакта двух произвольных упругих тел. Два изотропных упругих тела, имеющие, вообще говоря, разные упругие постоянные, ограничены выпуклыми поверхностями. Будем отмечать индексом «плюс» величины, относящиеся к одному из этих тел, и индексом «минус» величины, относящиеся ко второму телу. Эти тела приводятся в соприкосновение так, что точка 0+ первого тела совпадает с точкой 0一 второго тела. Теперь одно тело прижимается к
другому силой Р, вследствие упругой деформации вместо точечного контакта в точке О образуется площадка контакта конечных размеров. Теория Герца основывается на следующих пред
положениях.
6 их первоначальном со・6 их первоначальном со・В окрестности точки О уравнение каждой из поверхностей^
6 их первоначальном со・
6 их первоначальном со・
ограничивающих контактирующие тела
стоянии (do наступления контакта), может быть записано следующим образом (рис. 11.11.1):
z+ =4+炉 + 3+g2 + 20+唱，
(11.11.1)
z- = 4-炉 + 3-g2 + 2С~ху.
Оси х+ и х_, у+ и 沙一 выбраны параллельными, поэтому в формулах (11.11.1) при обозначении координат n и 沙 индексы опущены.
Размеры площадки контакта малы по сравнению с радиусами кривизны поверхностей контактирующих тел, поэтому в разложениях функций
z+(x, у) u z_(x, у) достаточно удер
жать квадратичные члены, как это сделано в формулах (11.11.1) .
Поскольку нас интересует напряженное и деформированное
состояние на площадке контакта и вблизи ее, можно прибли
женно считать, что это напряженное и деформированное состоя*
ние практически не отличается от тосо, которое возникает в упругом полупространстве, поэтому изложенная вы- ine теория сохраняет силу.
Заметим, что величины А, В и С в формулах (11.11.1) могут быть равны-(
ми нулю. Тогда разложение функций ' ［夕 '' z+ и z~ начинается с членов четвертой'
степени относительно N и у (при есте-Рис. 11.11.2
ственном предположении о четности функции х и у). Соответствующая контактная задача была получена Штаерманом.
После приложения силы Р тела приведены в соприкосновение, как показано на рис. 11.11.2. Точки 0+ и О- совпали, совпали также оси /+ и х~, г/+ и у~. Точки а и Ь служат границами площадки контакта в изображенном сечении, точка т+ совпала е точкой т". Обращаясь опять к рис. 11.11.1, видим, что для этого должно быть выполнено геометрическое условие
(11.11.2)(11.11.2)z+ + 片 + z" + u7 = a = const.
(11.11.2)
(11.11.2)
Заметим, что рис. 11.11.1 для упрощения сделан неточно, В действительности точки поверхности контакта получают не только перемещения 〃^ и щ но также 〃f и и^ ^и^ и 〃鼠 которые, вообще говоря, различны для двух контактирующих тел. Поэтому точки тп+ и пт, сливающиеся после деформации в одну точку тп, на рис. 11.11.1 нельзя помещать на одной вертикали. Однако легко убедиться, что учет смещений в плоскости осей /, у приведет к появлению в условии (11.11.2) членов вида 吗/(2R), ・・・， где R ——один из радиусов кривизны. Эти члены имеют второй порядок малости по сравнению с теми, что фигурируют в левой части (11.11.2), и при принятой степени точности теории должны быть отброшены.
Величина а представляет собою сближение тел при упругом контакте. Подставляя выражения (11.11.1) в соотношение (11.11.2), получим
仁 + 市=a —(4+ + 4-)炉 一 (B+ + 5-)于一2 (厂 +e一)冲.
(11.11.3)
Квадратичная форма, стоящая в правой части (11.11.3), может быть преобразована надлежащим поворотом осей в сумму квадратов, поэтому (11.11.3) можно переписать следующим образом:
W + 妬=а — Ах2 — By2.W + 妬=а — Ах2 — By2.(11.11.4)(11.11.4)
W + 妬=а — Ах2 — By2.
W + 妬=а — Ах2 — By2.
(11.11.4)
(11.11.4)
В выражении (11.11.4) оси хну уже не совпадают по направлению с первоначально произвольным образом выбранными осями /± и д±・ Соотношение (11.11.4) заменяет полученные в конце предыдущего параграфа выражения (11.10.5) для прогиба и3 под жестким штампом. Вследствие сформулированного выше третьего предположения теории Герца как 辽^, так и 〃丁 (при 2+ = 0, z" = 0) выражаются по формуле (11.10.4), следовательно, (11.11.4) можно переписать так:
8у
(11.11.5)
Уравнение (11.11.5) щие вычислить а, аУравнение (11.11.5) щие вычислить а, араспадается на три уравнения, позволяю- и Ь. Мы выпишем эти уравнения, положив
Уравнение (11.11.5) щие вычислить а, а
Уравнение (11.11.5) щие вычислить а, а
3 / l-v+ 丽(卩+
+
-V
卩
=о, %
Получим
(11.11.6>(11.11.6>* Q ] /е (1 + Е)(経+
(11.11.6>
(11.11.6>
1』(1 + 5)人(1 + 自)(户+ 自)'
-d』(経+a М&(1+§ (启 +飞)
Каждый из интегралов представляет собою функцию отношения осей эллиптической площадки контакта 4, все они приводятся к эллиптическим интегралам и, следовательно, могут быть вычислены. Мы не будем здесь приводить это решение, ограничив^ шись некоторыми качественными выводами и анализом простейших случаев.
Поделив второе из уравнений (11.11.6) на третье, мы найдему что отношение A/В есть функция 论，но 4 и 耳 зависят только от геометрии соприкасающихся тел, это заданные постоянные. Поэтому отношение Ъ/а =及 не зависит от нагрузки и упругих свойств контактирующих тел, это отношение определяется толька их геометрией.
Следующее заключение, которое можно сделать, состоит в следующем. Отношение PJ或 должно оставаться постоянным при изменении нагрузки, что следует из второго или третьего уравнения, поэтому
а〜Ре
Размер площадки контакта меняется пропорционально корню» кубическому из нагрузки.
Теперь из первой формулы (11.11.6) следует а〜Ре
Сближение контактирующих тел пропорционально нагрузке 6 степени 2/3.
Последний факт был положен Герцем в основу теории соударения упругих тел. Было сделано допущение о том, что зависимость между нагрузкой и перемещением при ударе остается той же, что и в статике. Более точный анализ требует учета сил инерции в самих уравнениях теории упругости.
Обратимся теперь к рассмотрению простейших случаев, когда интегралы в формулах (11.11.6) вычисляются элементарно.
Контакт двух сфер радиусами 7?+ и R~. Очевидно, что уравнение сферы вблизи точки О есть z = r2/(2R), поэтому
2"2R-2R+R^ •
Интеграл в первой формуле (11.11.6) для а при X = 1
Интеграл во второй или третьей формуле (11.11.6) для А=В
Отсюда получаем следующий результат:
〃 = /т 与,а =步 2112 p2^4(Ц.11.7)
Контакт двух круговых цилиндров одинакового радиуса R с перпендикулярными осями. Как легко убедиться, в этом случае площадка контакта будет кругом, формулы (11.11.7) сохраняют силу и в этом случае, но теперь、
"=5 =点・
§ 11.12. Температурные напряжения
Деформация тела, вообще говоря, не обязательно должна быть только упругой, она может быть вызвана какими-либо иными причинами. Как мы увидим дальше, при пластическом деформировании полная деформация оказывается состоящей из двух частей: упругой, связанной с напряжением закона Гука, и пластической, необратимой.
Другой, самый простой пример такой вынужденной неуцругой деформации представляет собою деформация, связанная е изменением температуры. В общем случае температурное расширение анизотропно и температурная деформация // определяется так:
勾=®j (Т — То).
Здесь afJ ——тензор коэффициентов термического расширения, Т — текущая температура, То — условно зафиксированная температура, при которой предполагается, что деформация равна нулю. Тензор 〃з вообще не удовлетворяет уравнениям совместности, поэтому возникают упругие деформации 昂.Полная деформация
期=品+ *
удовлетворяет условиям совместности, т. е. выражается через компоненты перемещения по известным формулам.
Таким образом, мы имеем
Sj = ^ijkl (^ki —龍)・(11.12.1)
Упругое изотропное тело, как правило, изотропно и по отношению к температурной деформации, тензор а^ = абг；, где а ——обычный линейный коэффициент теплового расширения, и формулы (11.12.1) принимают вид
0订=А0бг^ + 2从% — (3a + 2卩)a (Т —北)5 灯.
Внося это выражение в уравнение равновесия, получим
(九 + 卩)办 + 卩А 图 一 а(ЗА + 2卩)Тл = 0.(11.12.2)
Эти уравнения имеют тот же вид, что уравнения Ламе, роль объемных сил Ft играет градиент температуры.
Заметим, что уравнения (11.12.2) непригодны в том случаег когда материал несжимаем; множитель при 厶 обращается в бесконечность. Но для несжимаемого материала X = °° и уравнения закона Гука нужно записывать следующим образом:
0订=obij + 2从6仃.
Здесь гидростатическая составляющая тензора напряжений представляет собою независимую величину в том смысле, что она не связана с деформированным состоянием тела. При наличии температурной деформации мы получаем
0仃=обо + 2卩％・—2ца(Т — То) %
а после подстановки в уравнения равновесия вместо (11.12.2) получается следующая система:
ол + рА〃； 一 2即z2] = 0, uit {= 0.(11.12.3)
Возвращаясь к общему случаю, заметим, что частное решение системы (11.12.2) есть
〃i = S・
После подстановки вПосле подстановки вдифференциальные уравнения найдем
После подстановки в
После подстановки в
^Л =^Л =3九十2 jia+ 2卩3九十2 jia+ 2卩а&・а&・
^Л =
^Л =
3九十2 jia+ 2卩
3九十2 jia+ 2卩
а&・
а&・
Отсюда, переходя к множитель в правой найдемОтсюда, переходя к множитель в правой найдем
Отсюда, переходя к множитель в правой найдем
Отсюда, переходя к множитель в правой найдем
техническим постоянным, т. е. выражая части через коэффициент Пуассона vr
(11.12.4)(11.12.4)а屮=法a九
(11.12.4)
(11.12.4)
Достаточно найти любое частное решение этого уравнения, после чего задача сводится к нахождению решения уравнений Ламе, удовлетворяющего соответствующим образом измененным
граничным условиям. Если распределение температур стационарно, то, как правило, частное решение для функции 2 находится достаточно просто, путем подбора. Вообще же уравнению (11.12.4) удовлетворяет потенциал непрерывного распределения массы плотностью ：—： а? . Это замечание можно исполь-
— V
зовать в тех случаях, когда нагревается какая-то часть упругого нела, при этом существует граница между нагретой и ненагретой частями.
Так, например, используя формулу (11.9.4) для потенциала однородного эллипсоида, можно без труда решить задачу о температурных напряжениях в теле, содержащем в себе мгновенно нагреваемую область, имеющую форму эллипсоида. Теперь перемещения будут определяться по формулам (11.9.5) с точностью до множителя, который читатель легко восстановит. Комбинируя формулы (11.9.5), мы найдем компоненты деформации, а следовательно,—напряжения. Производные от потенциала тяготения представляют собою силы тяготения, которые убывают по мере удаления от начала координат как 1/г2, следовательно, напряжения убывают как 1/г* т. е. так же как перемещения и напряжения от центра расширения. Поэтому формулы 弘=5 дают полное решение для неограниченной среды. В § 8.14 было разъяснено, что центр расширения моделирует напряжения, возникающие при выпадении новой фазы. Очевидно, что изменение объема может быть вызвано не только изменениями температуры, но и фазовыми превращениями, поэтому формулы (11.9.5) могут быть применены к тому случаю, когда частица выпавшей фазы имеет форму эллипсоида; эти выражения пригодны как для точек, принадлежащих внутренности включения (при 辽= 0), так и для точек матрицы (и #= 0). Заметим, что внутри включения перемещения представляют собою линейные функции координат и, следовательно, напряжения постоянны. При этих рассуждениях предполагалось, что упругие свойства включения и матрицы одинаковы. Можно построить решение и для того случая, когда упругие постоянные различны (Эшелби).
Возвращаясь к температурным задачам, вспомним, что распространение тепла описывается уравнением теплопроводности 零=歩а7 a2 ==. dt'ср
Здесь 及一коэффициент теплопроводности, с — теплоемкость, р — плотность.
Продифференцируем (11.12.4) по 力 и внесем в правую часть вместо dT/dt выражение этой производной через АТ из уравнения теплопроводности. Получим
dt 1 — v
Этому уравнению можно удовлетворить, приняв
^ = |±^.a2aJz^ (11.12.5)
Если величины а叮 постоянны, то распределение температуры, линейно зависящее от координат, не вызывает напряжений в теле. Действительно, уравнения совместности содержат только вторые производные от компонент деформации, следовательно, они будут удовлетворены тождественно, если е^ = е；* представляют собою линейные функции от х8. Конечно, при этом предполагается, что поверхность тела не закреплена, в противном слу- лае может оказаться, что перемещения, соответствующие данной системе деформаций и определенные по формулам Чезаро (§ 7.3), окажутся недопустимыми вследствие граничных условий; тогда в местах закрепления возникнут реактивные силы, которые вызовут напряжения в теле,
В анизотропных телах положение осложняется в тех случаях, когда анизотропия криволинейна. Например, цилиндр, изготовленный из стеклопластика или углепластика путем намотки, ортотропен, но упругие свойства его обладают цилиндрической симметрией, в цилиндрических координатах модули упругости и коэффициенты температурного расширения постоянны. Но при переходе к декартовым координатам тензоры Е订以 и а^ будут уже не постоянными, а функциями координат %&; поэтому даже равномерное температурное поле вызовет напряжения. Эта задача легко решается методом, совершенно подобным тому, который был применен в § 8.12 для трубы из изотропного материала. Присваивая радиальному направлению индекс единицы, мы запишем уравнение упругости в форме (10.6.4). Теперь уравнение для функции напряжений оказывается следующим:
(Н.12.6)
Не останавливаясь на элементарном решении этого уравнения при граничных условиях 0n =言歹=0 при г = а и г = Ь, т. е. на внутренней и на наружной поверхностях трубы, заметим, что Для армированных пластиков, как правило, о^ > а2. Из решения следует, что при охлаждении трубы в ней возникают растягивающие радиальные напряжения, которые могут привести к разрыву по цилиндрической поверхности. Такие повреждения наблюдаются в процессе изготовления труб с горячей полимеризаций, при охлаждении после полимеризации возникает кольцевая трещина.
25 ю. н. Работнов
ГЛАВА 12
СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ
Приближенная теория изгиба балок
Элементарная теория, изложенная в гл. 3 и 4, основывалась на гипотезах, введенных ad hoc и обоснованных лишь некоторыми соображениями качественного характера. Здесь мы получим те же уравнения, отправляясь от общих законов теории упругости. Наиболее надежный путь построения приближенных теорий, который будет использован в настоящей главе, состоит в том, что за основу принимаются вариационные уравнения теории упругости в одной из форм, приведенных в § 8.7. После этого делаются некоторые предположения о характере распределения перемещений или напряжений (или того и другого независимо). Дифференциальные уравнения приближенной теории получаются как уравнения Эйлера вариационной задачи для функций от переменных, число которых меньше трех.
Как уже было сказано выше, балкой называется призматическое тело, длина которого много больше поперечных размеров. Выберем оси координат следующим образом. Поместим начало координат в центре тяжести одного из поперечных сечений, расположим оси с】и %2 в плоскости поперечного сечения, тогда х3 будет осью призмы. Направления осей х^ и х2 всегда можно выбрать так, чтобы было
J x^x^dF = 0.
Оси Xi и %2, удовлетворяющие этому условию, называются главными центральными осями инерции поперечного сечения. В частности, если одна из осей есть ось симметрии сечения, оси будут главными.
Предположим, что балка несет поперечную нагрузку в плоскости %2, %з, действующую в направлении оси х^ Обозначим интенсивность этой нагрузки р(%з)・ Функция р (力з) может принадлежать классу обобщенных функций, т. е. включать в себя дельта-функции (сосредоточенные силы) и производные от дельта-функций (сосредоточенные моменты). Сделанное предположение о том, что нагрузка лежит целиком в плоскости х2, /з, не нару&ает общности. Действительно, любая нагрузка может быть разложена на составляющие в плоскостях /“ /з и %2, /з； для
второй плоскости приводимые ниже соображения повторяются буквально, и принцип суперпозиции позволяет рассматривать две независимые задачи по отдельности. Предположим также, что к торцам балки в центрах сечений приложены равные силы Р, растягивающие или сжимающие балку.
Заметим, что нагрузка р(д) не обязательно должна лежать в плоскости %2力3, она может действовать в параллельной плоскости. Величины прогибов и нормальных напряжений при изгибе от этого не меняются, как будет видно из приводимого ниже вывода. Однако касательные напряжения зависят от положения плоскости действия сил, они могут потребовать для своего уравновешивания приложения к торцам балки крутящих моментов. Если ось g есть ось симметрии сечения, то, очевидно, крутящий момент не потребуется, если нагрузка лежит в плоскости /2, %з, нагрузка в любой параллельной плоскости будет вызывать кручение. Однако, если ось х2 есть главная цецтральная ось сечения, но не ось симметрии, и нагрузка лежит в плоскости /2, %з, изгиб, как правило, будет сопровождаться кручением; чтобы кручения не было, ось х2 должна проходить не через центр сечения, а через некоторую точку, называемую центром изгиба. Элементарная теория, позволяющая найти центр изгиба для тонкостенных стержней открытого профиля, была изложена в § 3.7, распространение ее на стержни произвольного сечения служит предметом теории изгиба Сен-Венана, которая в этой книге излагаться не будет.<
Естественно предположить, что изгиб балки будет происходить в плоскости 力2力з, т. е. что первоначально прямая ось балки •станет лежащей в этой плоскости плоской кривой. В дальнейшем, как и в гл. 3, мы будем полагать х2 = у, g = z. Пусть точка N оси балки с координатой z до деформации перешла в положение М, получив перемещение“
w(z) в направлении оси z и u(z) в направлении оси у. Координа-夕
ты точки ^, будут (0, и, z + w) t На рис. 12.1.1 изображены эти 丄
точки, первоначально прямая ось балки и кусочек изогнутой оси, которой принадлежит точ-Рис.12.1.1
ка М.
Сделаем теперь основное упрощающее весь дальнейший анализ предположение, называемое гипотезой плоских сечений. Как нам кажется, слово «гипотеза» в данном случае не вполне уместно. Мы вовсе не предполагаем справедливость этой гипотезы, а строим воображаемый объект, который ведет себя заведомо не так, как реальная балка, у которой сечение вовсе не остается плоским. Но поведение этого воображаемого искусственно по- 25*
строенного объекта мало отличается от поведения реальной балки при определенных условиях. Итак, мы рассматриваем такие деформации балки, когда плоские сечения, перпендикулярные оси балки, остаются плоскими, перпендикулярными оси и после деформации. На рис. 12.1.1 показана некоторая точка М, принадлежащая плоскому сечению, проходящему через точку ^ оси. Радиус-вектор точки М можно записать следующим образом:
r = xe1 + уе2 + z&・
Радиус-вектор точки М', в которую перешла точка М в результате деформации, вследствие предположения о сохранении плоского сечения будет
к = хе1 + (у + и)他 + (z + s —州)％.
При этом выводе, геометрически ясном из рассмотрения рис. 12.1.1, мы считали, что 优=dv/dz《1.
Компоненты перемещения точки М будут, таким образом,
Ui = 0, 〃2 = 〃 и3 == ^ — yvf.(12.1.1)
Вычисляя компоненты деформации, мы находим, что все они равны нулю, кроме одной
ем = " — "・(12.1.2)
Поскольку мы наложили геометрические ограничения на характер деформации балки и предопределили заранее поле деформаций, заданное формулой (12.1.2), содержащей две неизвестные функции одной только переменной z, для получения уравнений изгиба естественно применить вариационный принцип Лагранжа.
Построим функционал Лагранжа по формуле (8.7.5)
几=—『j } Е (力一”〃)2 dFdz+ ^vpdz + P [w (Z) 一 w (0)] 0р0
или, выполнив интегрирование по площади сечения,
几=J (一 ^EFw,2-^-EIvH2 + 叩)dz + P [w(l) - s(0)]・ (12.1.3)
Здесь F — площадь сечения, I — момент инерции площади сечения относительно оси х (см. § 3.3), / = J^db. Вариация функционала Лагранжа должна обращаться в нуль при варьировании независимых аргументов м и и. Варьируя iv, получим
I
—J EFw^wdx + [6^ (Z)-加(0)]尸=0. о
Преобразуем интеграл путем интегрирования по частям. Результат будет следующий:
—EFwr (Z) 6s (Z)十 EFwr (0) bw (0) +
+ [6^ (Z) 一 6^ (0)] P+f EFw^w dz. о
Так как 5如(z) — произвольная функция, то отсюда следует и/' = 0, 歩=const =强.(12.1.4)
Проварьируем теперь прогиб u(z)・ Получим
\^Е1^^п + Pbv) 6z-0. b
Проинтегрировав первый член по частям два раза, преобразуем это равенство к следующему виду:
г
J (— EIv^ + р) М dz + EIvff (Z) 6г/ (Z) — EIv" (0) 61/ (0)— о
-EIvw (Z)6u(Z) + EIvw (0) W(0) = 0. (12.1.5)
Предполагая, что 6u(z)——произвольная дважды дифференцируемая функция, мы должны считать, что 5u(z), zw[0, Z] есть произвольная функция такая, что 6р и 5г/ принимают при z = 0 и z == Z произвольные значения. Поэтому из (12.1.5) следует дифференциальное уравнение
Е1и^-р = о(12.1.6)
и естественные граничные условия
и〃 ⑺=『(О) = 0,苏〃⑺=г/〃 (0) = 0.(12.1.7)
Эти условия относятся к балке со свободными концами. Они изменятся, естественно, если на конце балки приложена сосредоточенная сила или момент. Тогда соответствующие члены необходимо включить в функционал Лагранжа как работу внешних сил. Если на деформацию балки на ее концах наложены некоторые кинематические ограничения, например, и (0) = 0 (конец z = 0 свободно оперт) или u(0) = i/(0) = 0 (конец балки защемлен), то эти ограничения представляют собой предварительные условия, которые служат граничными условиями для (12.1.7), тогда как при варьировании мы должны подчинять тем же условиям би (0) = 0 и (или) 6г/(0) = 0 вариацию 6u(z) и соответствующие члены в (12.1.5) выпадают. Величина EIvff (z) называется изгибающим моментом, величина EIvf,r (z) — перерезыва-
ющей силой; более детальный анализ конкретных примеров был дан в гл. 3. Существо данного параграфа состоит в том, чтобы показать, каким образом элементарная теория может быть получена из точных уравнений теории упругости, если подчинить поле деформаций некоторым ограничениям.
Распространение вариационных методов на геометрически нелинейные задачи
В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория устойчивости упругих стержней. Особенность этих задач состояла в том, что уравнения равновесия составлялись для деформированного состояния стержня, т. е. по существу речь шла о геометрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, описанные в § 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям теории упругости, для которых доказана теорема единственности. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся распространить вариационные уравнения на геометрически нелинейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения статики должны составляться не в исходной системе координат, например декартовой, а в той криволинейной системе координат, в которую превращается исходная вследствие деформации. Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому нам будет удобно вернуться к выводу § 7.4, где напряжения определялись по существу как обобщенные силы, для которых компоненты тензора деформации служили обобщенными перемещениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью S == ST + Su, находится под действием массовых сил R и поверхностных сил 7；, заданных на St. Составим уравнения равновесия в форме Лагранжа, учтя также виртуальную работу внутренних сил, т. е. напряжений, имеющих потенциал U(^), 6 J ［尸№ — U (%扪 dV + f Т\и^ = 0.
Это уравнение по форме не отличается от того, которое получается в результате варьирования (8.7.5), но теперь для компонент тензора деформации мы сохраним точные нелинейные выражения (7.2.3)
侬 ~ 皆(％j + 〃力 + uk,iuhj)-(12.2.1)
Граничные условия на части поверхности Su
〃t - м； = 0(12.2.2)
мы будем считать выполненными заранее; это значит, что пере-
§ 12.2. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ 39J
мещения варьируются с учетом (12.2.2), т. е. так, что Su* = О, Xi '^ £*•
Чтобы учесть дополнительные условия (12.2.1) и (12.2.2), мы введем, как это делалось в § 8.7, множители Лагранжа 。订 и 卩％ тогда условие равновесия будет представлять собой равенство нулю вариации следующего функционала:
6炉1- uitj — g”t —^uk,i4kj^ 一 U (勿力 + 歹i^i] d卩 +
+ J T^dS + f (% — u*) [lidS. (12.2.3) ST^u
Проварьируем перемещения 乂订 Получим
6J = J {} 6/ (S^ij + 6ujj + ukti8ukj + ukj8ukt^ + F也J dP +,
+ J T^u^dS + j bu^dS. (12.2.4)
St
Выражение
Gij(6uitj+uh)iduh)J)
может быть записано в виде
。仃(5証 + uh)i) 6uA( j = Shjbuht 订
Аналогично
Gy (Su^ < + ил j 8ukt г) = Oij (Sy + uht j) 3乂儿；=
=Gij^ki + ukt i) 6uA> ； = skj8ukt j.
Поэтому уравнение (12.2.4) можно записать следующим образом:
f {— skj8uktj + F^u^ dP + J T：MdS + J &/他孙=0.
TsTS"
Преобразуя объемный интеграл обычным способом, получим уравнения равновесия
'昆巾.=0(12.2.5)
и условие на поверхности
з^щ = Ti, 勺巨 St, Sj/j =卩订 /iWSu. (12.2.6)
Здесь
5订=Oftj(6m+必 k)・(12.2.7)
Заметим, что тензор s^ несимметричен, s产 s^. Существо сделанного вывода заключается в следующем. Тензор напряжений о” отнесен к метрике, определенной для не деформированного тела. При составлении дифференциальных уравнений равновесия в
обычной форме то обстоятельство, что координатные плоскости декартовой системы координат искривляются в результате деформации и становятся координатными поверхностями некоторой криволинейной системы координат, во внимание не принимается. Вместо того чтобы рассматривать эти изменения геометрии, мы просто определим напряжения как обобщенные силы, соответствующие компонентам деформации, определенным точными нелинейными формулами. Действительно, варьируя компоненты деформации %• в функционале (12.2.3), мы снова придем к известным уравнениям связи
В заключение перепишем функционал (12.2.3) с учетом (12.2.6)
J = j [°万(е灯g" uij^ ”乞^" un^k^ — U (е万)+ 储izJdP +
v l
+ У TiUidS +『(％ — 〃：) o%3 (狐 + 〃t,k) 〃招S.(12.2.8)
Stsu
Условие стационарности функционала (12.2.8) эквивалентно вы- полнению всех уравнений геометрически нелинейной теории упругости, этот функционал вполне аналогичен функционалу (8.7.1), в который он и превращается после отбрасывания членов, вносящих нелинейность.
Поступая точно так же, как в § 8.7, мы можем получить отсюда функционал Рейснера, а именно,
+ 4j,i + 欤,+ 4j,i + 欤,iukj)—① 9乃)+ ^iu^ dP +iukj)—① 9乃)+ ^iu^ dP +
+ 4j,i + 欤,
+ 4j,i + 欤,
iukj)—① 9乃)+ ^iu^ dP +
iukj)—① 9乃)+ ^iu^ dP +
++J TjU^dS + f (〃i — ^г ) ^ijTbjdS •
+
+
Stsu
Здесь варьируются независимо напряжения о订 и перемещения 〃“ Функционал Лагранжа, записываемый через 〃话 и деформации %, выраженные через 〃i по формулам (12.2.1), послужил отправной точкой для всех выводов. Прямое распространение на геометрически нелинейные задачи вариационного принципа типа Кастильяно невозможно. Действительно, в линейной теории было использовано то обстоятельство, что бе：； выражается через Ьщ по тем же формулам, по которым е订 выражаются через 〃》• Поэтому преобразование объемного интеграла можно было произвести до варьирования функционала. В нелинейной теории этого сделать нельзя.
§ 12*3. Устойчивость сжатого стержня и родственные задачи
При тех же предположениях, которые были приняты за основу в § 12.1, составим точное выражение деформации по формулам (12.2.1)
^и = (" — W) + £ (办一W尸 + 4" У.
Второй член мал по сравнению с первым, но последний может быть того же порядка, что первый. Поэтому мы опускаем второй член и записываем
0]=办 + 等戸一川.(12.3.1)
В нелинейной теории остальные компоненты деформации уже не обращаются все в нуль, но они малы по сравнению с е^. Предположим теперь, что стержень сжимается продольной силой Р, как это было показано на рис. 4.1.1, концы стержня для простоты будем считать шарнирно опертыми. Составим функционал Лагранжа так же, как это делалось в § 12.1, но с учетом выражения (12.3.1) для деформации %丄
I
JU^^^\^EF (歩 + 号吁 + £ W2] dz 一 [w ⑴ 一 w(o)] p.
Варьируя перемещение w, найдем, что
const.(12.3.2)
Существенно заметить, что это соотношение нелинейно относительно прогиба ь. Варьируя перемещение и и преобразуя результат интегрированием по частям, с учетом (12.3.2) придем к следующему дифференциальному уравнению:
Е"+Ри = 0.(12.3.3)
При закреплении стержня по схеме, приведенной на рис. 4.1.1, выполняются следующие граничные условия:
沢0)”(Z) = 0, и〃(0)=「(Z) = 0・(12.3.4)
В § 4.2 уравнение (12.3.3) уже было рассмотрено. Было показа- н。，что при граничных условиях (12.3.4) нетривиальное решение существует лишь тогда, когда сила Р принимает одно из следующих дискретных значений:
Наименьшая критическая сила, соответствующая п == 1, была названа эйлеровой силой. Вся задача об определении критической силы оказалась линейной в том смысле, что она свелась к интегрированию линейного дифференциального уравнения (12.3.3). Однако для определения критических сид оказалось необходимо решать трансцендентное уравнение.
Рассмотрим теперь другую задачу, нелинейный характер которой совершенно очевиден. Предположим, что концы балки неподвижно закреплены так, что 必(0) =如(Z) = 0. Балка несет поперечную нагрузку ^(z)= ^Osin(nz/Z). Добавляя к функционалу
I
Ju работу внешних сил \ qv dz и выбрасывая работу силы Р на о
перемещениях 吟 получим вместо (12.3.3)
Ei— /у = % si 吟Ei— /у = % si 吟(12.3.5)(12.3.5)
Ei— /у = % si 吟
Ei— /у = % si 吟
(12.3.5)
(12.3.5)
Уравнение (12.3.2) сохранится, но величина Р в этом уравнении представляет собой неизвестную, подлежащую определению продольную силу. Очевидно, что знак минус в (12.3.2) следует за* менить на плюс, сила Р будет растягивающей. Положим и = = asin(jiz/Z); тогда, подставляя в (12.3.5), найдем
Интегрируя (12.3.2) от z = 0 до z = Z (с заменой —Р на Р) и подставляя найденное выражение для % получим следующее уравнение:
которое всегда может быть решено графически или численно.
Если нагрузка q(z) представляет собой более сложную функцию, она раскладывается в ряд Фурье и уравнение для Р/Р9 оказывается существенно более сложным; в общем случае левая часть его представляет собою бесконечный ряд. В случае исчезающей изгибной жесткости отсюда получается решение для упругой струны
Р3 = 4阳紹/。=金.
Изгиб пластин.
Основные предположения технической теории
Пластиной называется тело, ограниченное двумя плоскостями z = 土九 и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси z. В плоскости z = 0， называемой срединной плоскостью, выбираются произвольным образом координаты N。 (а = 1,2). Предполагается, что размеры пластины в плане значительно больше, чем толщина 2h (рис. 12.4.1). Так же, как в § 2.1, где речь шла о стержнях, будем принимать за наименьший поперечный размер наименьшее расстояние между касательными к контуру пластины. Под контуром пластины понимается контур сечения цилиндрической поверхностью плоскости z = 0. Так же, как теория изгиба балок, теория пластин может быть построена при помощи любого из вариационных принципов. Если при выводе уравнения изгиба мы отправлялись от вариационного принципа Лагранжа, то здесь мы примем за основу вариационный принцип Рейснера (не в силу каких-то его преимуществ, а для иллюстрации метода). Дело в том, что в физически нелинейной теории пластин, изготовленных из нелинейно-упругого или пласти
ческого материала, реализация вычислений на основе принципа Лагранжа приводит к очень большим трудностям, тогда как принцип Рейснера позволяет получить приближенное решение задачи относительно просто.
Основное кинематическое ограничение, принимаемое в технической теории пластин, называется обычно гипотезой прямых нормалей. Оно вполне аналогично гипотезе плоских сечений теории изгиба (и также мало имеет оснований называться «гипотезой» ).Предполагается, что прямолинейные элементы, нормальные к срединной плоскости пластины до деформации, остаются после деформации прямыми, нормальными к деформированной срединной поверхности и длины этих элементов не меняются.
Обозначим через р радиус-вектор точки срединной плоскости
Р =忆а©а・
Тогда радиус-вектор любой материальной точки плоскости М может быть представлен в виде
г = р + ZV,
гд;е ” = ©1X62——единичный вектор, направленный по оси z. После деформации точка М перейдет в положение М' с радиусом-вектором
к = р' + zw'・
Обозначим через ua, w перемещения точки срединной плоскости N, которая имела до деформации радиус-вектор р. Новый радиус-вектор этой точки
Р，= Р + “а + 5.
Согласно гипотезе прямых нормалей вектор vz представляет собою единичный вектор нормали к деформированной срединной поверхности, заданной радиусом-вектором р. Поэтому
(12.4.1)(12.4.1)—%ХР，2|Р,1ХР,2「
(12.4.1)
(12.4.1)
Производные вектора р' выразятся следующим образом: p\ = % + 也1% + "2,伸 + 忆广， Р,2 = e2 + u1,2ё1 + 42,2ё2 + 四,2".
(12.4.2)высокие(12.4.2)высокиеВекторное произведение, входящее в формулу (12.4.1), ,%%w
(12.4.2)
высокие
(12.4.2)
высокие
р\хр\= 1 + 旬,1 “2,1Ri ^ — е^л — e^w^ + v.
勺,21+ "2,2加,2
В формуле (12.4.2) опущены члены, содержащие более
степени производных от перемещений. Следует заметить, что при этом отбрасываются, например, такие произведения как 卫2,1",2, малые по сравнению с w2,i- Но произведения и квадраты величин w,i и ip* не появляются и их отбрасывать не приходится. Это замечание сделано в связи с тем, что производные от прогибов пластины w могут значительно превышать производные от перемещений иа так, что w.aw^ может быть того же порядка малости, что иа, в・ Действительно, полагая порядок иа> р, равным 8 и w,aR,B, имеющим тот же порядок 8, находим, что порядок 力。равен Уе и порядок 〃％ ^川丫 равен е3/2 < е. В дальнейшем при построении геометрически нелинейной теории мы встретимся с такими обстоятельствами, однако, приближенное равенство (12.4.2) с вытекающими из него следствиями сохранит силу. Теперь мы можем записать
7’ = р + “а — ZW^ + VZ.
Сравнивая выражение для г с исходным выражением для радиуса-вектора г точки М, найдем, что компоненты перемещения этой точки
〃а = ^а — ZM,a・
Теперь по обычным формулам геометрически линейной теории вычисляются компоненты тензора деформации
e^S ~ £耶一zw,aB，е黑=е^ ~ 0・(12.4.3)
Здесь £ав представляют собою компоненты деформации срединной плоскости: 2еа₽ = 〃а, в + 〃в, а. Формулы (12.4.3) достаточны для построения общей теории. Составляя функционал Лагранжа и приравнивая нулю его вариацию, мы получим некоторые дифференциальные уравнения для иа и w с соответствующими граничными условиями, т. е. построим техническую теорию изгиба пластин, заранее предполагающую выполнение известных кинематических ограничений. Но мы будем пользоваться вариационным принципом Рейснера и зададимся следующим законом распределения напряжений по тол- щине:
2无(12.4.4)
°за = %з ~ °・
Симметричные тензоры ТаР и МаР называются тензорами усилий и моментов соответственно. Действительно,
J “廿血=7邱，j* сгар2 dz — Ма^. —fl—/l
Это значит, что на единицу длины сечения пластины плоскостью, параллельной осям 力а и z, действует нормальная сила Гаа, касательная сила Тав, изгибающий момент Маа и крутящий момент Мае (рис. 12.4.2).
Линейная теория пластин
Заметим, что для тела, подчиняющегося закону Гука, соотношения (12.4.3) и (12.4.4) эквивалентны; принимая линейную зависимость деформаций от координаты z, мы автоматически получаем линейную зависимость напряжений от координаты z. Для физически нелинейного тела соотношения (12.4.3) и (12.4.4) взаимно противоречивы, однако при построении приближенной теории это противоречие сознательно допускается.
В линейной теории упругости потенциал деформации выражается следующим образом (§ 8.2):
①(S力=З" ^hlr^hl^rs-(12.5.1)
Для изотропного упругого тела, находящегося в условиях плоского напряженного состояния, получим
①=费【吟 + 唸一2”％g2 + (1 + V)(af2 + 唸)]• (1252)
Составим функционал Рейснера, выполнив интегрирование по координате z. Получим по формуле (8.7.4)
Jug — ^ [— 7耶％0 + Ma^w^ + 言①(Тоф) + 斎①(Мхв) +
十 qw dxx dx2 + J Ta^Uads — J Ma^wi(Xtds 一 J E*ip ds.
VVVVV
V
V
V
V
Здесь в первом интеграле интегрирование ведется в области S, занимаемой пластиной в плоскости 况仆 х2, тогда как контур 丫 ограничивает область S в этой плоскости; единичный вектор 几 представляет собою вектор нормали к контуру 7 в плоскости z = 0 и ds ——элемент дуги этого контура. В формуле (12.5.3) фигурируют усилия и моменты, задаваемые на контуре у. Пока что мы не уточняем виды необходимых граничных условий, поэтому контурные интегралы оставляем в их общей форме; по ходу вывода мы установим, что именно должно быть задано на контуре пластины. Через q обозначена нагрузка на единицу площади, действующая в направлении оси z, через 7?* ——действующие в зтом направлении усилия на контуре. Варьируя Тав и Мхв, получаем
=亢次/ 也耶=疯丽(1253)
или в случае изотропного тела
41 = 2^ (T11 一 "？22)，%2 = ^" (?22 - "711)，
62 =嗡^ T12；(12.5.4)
33
w,11 = _ ^^5 ("Il -"m22)，^,22 = _ ^^§ ("22 - VMn),
3(中)忆 12 —2欧3 М12-3(中)忆 12 —2欧3 М12-(12.5.5)(12.5.5)
3(中)
忆 12 —2欧3 М12-
3(中)
忆 12 —2欧3 М12-
(12.5.5)
(12.5.5)
В теории пластин формулы (12.5.5) часто записываются разрешенными относительно Ма^ а именно,
МнМн'(12.5.6)'(12.5.6)-D(WM + 夕少,22),必2 = -D(0,22 + VW^"12 = 一0(1一*)%2.
Мн
Мн
'(12.5.6)
'(12.5.6)
Здесь величина
D =D =2e庐3(l-v2)2e庐3(l-v2)
D =
D =
2e庐3(l-v2)
2e庐3(l-v2)
называется цилиндрической жесткостью пластины. Заметим, что при изгибе пластины по цилиндрической поверхности, когда
w = W；(^1), ИЗ (12.5.6) следует
以1 =以1 =2后庐2后庐w .w .
以1 =
以1 =
2后庐
2后庐
w .
w .
Обычная теория изгиба балок, примененная к полоске единичной ширины, дала бы следующее соотношение:
《i =寧".
Разница объясняется тем, что при изгибе балки происходит свободная поперечная деформация, сокращение поперечного размера в растянутой области и увеличение его в сжатой области. В широкой пластине такая деформация контура сечения ее плоскостью z, х2 невозможна, стеснение поперечной деформации эквивалентно увеличению модуля упругости, величина Е заменяется на величину E/(i — v2). При v = 0,3 эффект стеснения поперечной деформации увеличивает жесткость на 9,9%.
Варьируя перемещение иа, мы получим, следуя тому же пути, что в § 8.7, такие уравнения равновесия и граничные условия:
^а₽,Р ~0> ^ар^З = ^а или 〃а = 〃а,力а 三？•(12.5.7)
Уравнения (12.5.7) вместе с уравнениями связи (12.5.4) или (12.5.3) для общего случая анизотропного линейно-упругого тела тождественны с уравнениями плоской задачи теории упругости. Итак, усилия в срединной плоскости и перемещения точек срединной плоскости пластины находятся из уравнений плоской задачи независимо от того, изгибается пластина или не изги* бается.
Будем теперь варьировать прогиб w. Интегрируя один раз по частям, получим
6 J ЛГа0",а0~%1 ^力曾—J AfaP^^.aP^^i d况2
SSS
S
S
=f[m盛叫 一Mx3B品,a] %也=
=J Ma^wt(xrb^ds — J Ma^bw^dx^ dx2.
SSV
S
S
Преобразуем второй интеграл таким же способом. Получим
JMa^8wtadx1 dg = J Afap,pna8ivds— M^t^wdx1 d&・
ssVVs
s
s
V
V
Таким образом, вариация функционала при варьировании одного
только прогиба w будет следующая:
6 Jug = J(Map>ap+ q) 5iP d况 1 dx2 + J Ma^^ds —
S
—J M^^n^wds + J RBw ds = 0.
V
У
Вследствие произвольности вариации 6w отсюда следует, прежде
всего, дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют моменты
Мае, ар + ^ = 0.(12.5.8)
Что касается контурных интегралов, мы преобразуем первый из них с тем, чтобы выделить интегрируемую часть dbwjds и оставить производную от би? по нормали. Это необходимо, поскольку независимо можно задавать 3川 и dbw/dn^ тогда как
dbwlds определяется заданием Зм на контуре. Обращаясь к рис. 12.5.1, где показана часть дуги контура с единичными векторами 冷 и £ нормали и касательной соответ
ственно, находим
дд@6д . д
近=几1林—〃2万，冇；="2次+ 〃1咨•
Поэтому после очевидной перегруппировки членов получаем 加СфЗ力,a诈—("11〃； + ”22〃； + 2Л/12^1^2)—
-［妝11〃/2 - m22〃1〃2 +"12 (^2 一 硝］~!~
Положим
М 11^2-1 + ^^22 厶^ + 2A/"i2〃1〃2 = G'
М^^ — M22n±n2 + M12 (嗚—冠)=я.
(12.5.9)
величинувеличину
величину
величину
Величину G будем называть изгибающим моментом, Н ——крутящим моментом. Итак,
МсфЗ Ja呼=G 噤^
ds •
При интегрировании этого выражения по дуге второй член может быть преобразован интегрированием по частям
、Н 甯曲=Ябш Г -J祭бшds・(12.5.10)
Если величина Н задана как непрерывная функция на всем замкнутом контуре у, то первый член исчезает, он появляется
тогда, когда величина Н непрерывна лишь на участке АВ дуги контура у. Теперь с учетом выполнения (12.5.8) мы можем написать
6几0 = J G 嘤曲 + J (^ + Q^6wds — ^ M^m吟a@s — J R*61Vds•vvvv
Здесь
Q = Q^ = "аВ, в 儿a・(12.5.11)
Для того чтобы было 6/ua = 0, как оказывается, нет необходимости задавать все моменты Ма^^ достаточно задать изгибающий момент G* и поперечную силу /?*, тогда на той части контура, где заданы усилия и моменты, должно быть
G = G*, 瑞+ Q = g(12.5.12)
Для пояснения смысла второго из условий (12.5.12) следует обратиться к § 1.6, где была показана элементарным способом^ эквивалентность непрерывного распределения момента и линейной нагрузки.
С учетом отмеченного выпишем окончательное точное выражение функционала Рейснера
—J [— ТофбаВ + MxBjaB + 击①(7邓)+ 斎①(Л/сф) +匆 dxrdx2 +s L」
+ J Ta^nan^ds _ j c* 黑 ds — j R^w ds. (12.5.13) VYV
Выражения для моментов M^ через производные от прогиба wt^ в общем случае получаются обращением уравнений (12.5.3).
Изотропные пластины. Дифференциальное уравнение для прогиба и простейшие задачи
NNw = ~.NNw = ~.Предполагая решенной известными методами первую задачу о нахождении усилий Тав и перемещений 〃а, обратимся к решению задачи об изгибе. Подставим в уравнение (12.5.8) выражения для моментов (12.5.6) и придем к следующему дифференциальному уравнению для прогиба:
NNw = ~.
NNw = ~.
(12.6.1)
Здесь АА ——повторенный два раза оператор Лапласа. В декар^ товых координатах
、AAtT = tP.llll + 2?Р 1122 + 呼 2222・
Ю. Н. Работнов
Для перерезывающих сил Qa по формулам (12.5.11) и (12.5.6) получаем
Qa = -DNw、g(12.6.2)
Уравнение (12.6:1) записано в инвариантной форме, поскольку оператор Лапласа инвариантен при преобразовании координат. В полярных координатах, как известно,
А _ /1 д 1 絕
濟.
Выписывать выражение для два раза повторенного оператора Лапласа AAip мы не будем, способ получения его очевиден. Рассмотрим теперь некоторые простейшие задачи изгиба.
Цилиндрический изгиб. Положим w = w(xCj^ 力,【=力［力$ = =w〃、• •.,以2 = 0. Уравнение (12.6.1) приводится к виду
Это уравнение отличается от уравнения изгиба балки только тем, что модуль Е заменен величиной Е/ (1 — v2), как уже было разъяснено в § 12.5. Интегрируя обычным способом это уравнение, найдем прогиб w и изгибающие моменты
#и = —Dw ”，М22 = vDw ” = —vMn.
Появление поперечного момента #22 указывает на то, что цилиндрический изгиб возможен в двух случаях: либо когда пластина простирается в область ^2 е(—°°, +00), либо когда к ее свободным краям приложены надлежащим образом внешние моменты, например, если пластина прямоугольна и занимает область 力2已(〃,6)； при 力2 = 〃 и 力2 = 6 приложены изгибающие моменты G =—加22・
Чистый изгиб. Положим w = — %4 (况;+ ")・ Уравнение (12.6.1) выполняется тождественно при q = 0, по формулам (12.5.6)
Mh = 〃22 = 4O(1 + v),加|2 = 0・
По формулам (12.5.9) находим
G = AD(l + v), " = 0・
К контуру у любой части пластины оказываются приложенными только изгибающие моменты G (рис. 12.6.1).
Кручение прямоугольной пластины. Положим w = —Ах^. Уравнение (12.6.1) опять-таки будет удовлетворено при g = 0, но теперь
Мц = #22 = 0,加 12 = AD(1 — v).
Предположим, что пластина имеет прямоугольную форму со сторонами, параллельными осям х^ и 力2, как показано на рис. 12.6.2.
первый член в правой части.первый член в правой части.На стороне АВ % = 1, п2 = 0 по формуле (12.5.9) Н =—関2 n =—4力(1—w). На стороне ВС 小=0, n2 = 1, по той же формуле M^=+AD(l — v). Точка В представляет собою точку разрыва непрерывности функции H(s), поэтому, преобразуя распределение момента в распределение нагрузки на контуре по формуле
первый член в правой части.
первый член в правой части.
(12.5.10), мы должны сохранить Для участка АВ точка В служит верхним пределом, для участка ВС — нижним, поэтому
в точке В появляется удвоенная сила, равная 2AD(i — v). На каждом из участков dH/ds = 0. Таким образом, края пластины свободны от нагрузок, но в каждом из углов приложена сосредоточенная сила, как показано на рисунке. Для осуществления такого загружения достаточно опереть пластину в точках 4, С 五 0 и приложить силу в точке В. Такая схема эксперимента применяется для определения крутильной жесткости пластины 0(1—»).
г. Круглая симметрично загруженная пластина. Главные кривизны срединной поверхности пластины при осесимметричном ее изгибе будут
©2。1 dw 1
Подставляя в формулы (12.5.6) вместо 必足 и w^ получим соответственно выражение для радиального момента Мгг и окружного момента Mw
Мтг = — D(叱"+ v -j^)， M(p(p = — D + ” J") • (12.6.3}
Решение однородного уравнения (12.6.1), записанного в полярных координатах, ищется в виде w = rn. Полагая AAip = 0, получим
献=0, (n-2)2 = 0.
Таким образом, характеристическое уравнение имеет два двойных корня и решение его
w = С^ +。2产 + d In г + С^ In г.(12.6.4〉
Если пластина сплошная и прогиб при г = 0 ограничен, то Оз = 0. Член QU 1п г остается конечным при г = 0, но при дифференцировании его достаточное число раз появляется особенность, она соответствует сосредоточенной силе, приложенной в центре пластины. Действительно, перерезывающая сила Qr на окружности радиусом г получается по формуле (12.6.2), которая в полярных координатах примет вид
Полагая w = r^ln г, получим
Qr =Qr =4。4。
Qr =
Qr =
4。
4。
и приравнивая результати приравнивая результатУмножая на длину окружности 2лг
и приравнивая результат
и приравнивая результат
лриложенной в центре силе Р, найдем, что
Выражение для прогиба (12.6.5) нам будет удобно переписать в виде, не содержащем логарифмов размерной величины. Положив радиус внешнего контура пластины равным а, с учетом найденного выражения для С4 перепишем формулу (12.6.4) для сплошной пластины следующим образом:
^ = & +。22 + 焉 In g^ = & +。22 + 焉 In g(12.6.5)(12.6.5)
^ = & +。22 + 焉 In g
^ = & +。22 + 焉 In g
(12.6.5)
(12.6.5)
Постоянные & и С2 находим из граничных условий при г = а. Так, если пластина свободно оперта по контуру, то ш(а) = 0 и 加22(。) = 0・ В результате получается следующая формула для прогиба:
Наибольший прогиб в центре
w (0)—w (0)—3 + V Ра2 16л (1 +v)3 + V Ра2 16л (1 +v)
w (0)—
w (0)—
3 + V Ра2 16л (1 +v)
3 + V Ра2 16л (1 +v)
Если пластина защемлена по контуру, то ir(〃)= zz/(a) = 0 и выражение прогиба будет следующим:
Если пластина несет распределенную нагрузку д, частное решение уравнения (12.6.1) иногда можно просто подобрать. Если q (г) задана разными аналитическими выражениями на разных участках или содержит особенности типа дельфа-функции
(линейная нагрузка, распределенная по окружности), для интегрирования соответствующего уравнения в полярных координатах существует техника, вполне аналогичная той, которая была изложена в § 3.8 применительно к более простому дифференциальному уравнению изгиба балок. Описание этой техники выходит за рамки нашего курса.
Прямоугольная ортотропная пластина
Рассмотрим прямоугольную пластину из ортотропного материала с осями упругой симметрии, параллельными сторонам пластины. Потенциал перемещений, соответствующий уравнениям (10.6.4) для плоского напряженного состояния, будет следующим: ф(0(X0)=靑[(1 —入)。；1 + (1 + ^) 0*22—2vaiia22+(l + x)(CF12 +。：1)]・
(12.7.1)
Ло формулам (12.5.3) получим
呼22 =呼22 =^,12^,1233332切？32切？3[(1 —入)加\i — vM22],[(1 —入)加\i — vM22],2玖32玖3(1 + x) M12(1 + x) M12
呼22 =
呼22 =
^,12
^,12
3
3
3
3
2切？
3
2切？
3
[(1 —入)加\i — vM22],
[(1 —入)加\i — vM22],
2玖3
2玖3
(1 + x) M12
(1 + x) M12
или после обращения
加11 = -О [(1 + 入)例II + VlZ；i22],#22 = -О [(1 -九)切,22 + »⑵1J
(12.7.2)(12.7.2)
(12.7.2)
(12.7.2)
Здесь D =Здесь D =2E庐2E庐
Здесь D =
Здесь D =
2E庐
2E庐
3(i-Z2-v2)3(i-Z2-v2).Для изотропного материала 入=0, % = v
3(i-Z2-v2)
3(i-Z2-v2)
и формулы (12.7.2) переходят в (12.5.6). Внося выражения для моментов (12.7.2) в уравнение равновесия (12.5.8), получим
(1 + 入)^,1111 + 2 (у + -~~〔；然")^?1122 + (1 一 入)^,2222 ~ 先.
(12.7.3)
Точное решение в виде рядов получается в двух случаях, а именно:
а. Пластина оперта по контуру xi = 0,力】=а, х2 = 0,力2 =瓦 Из условия s(n, 0) = 0 следует w^ (xh 0) = 0, поэтому условие равенства нулю момента М22(х1, 0) = 0, вследствие (12.7.2) приводится к условию 3,22(况 1, 0) = 0.
Будем искать прогиб в виде
утлх плх
"=2 %m sin—^! sin -^1m,n
При этом все граничные условия для прогибов и моментов будут выполняться. Подставляя выражение для прогиба в (12.7.3), получим
^^ “ТПП тп,п^^ “ТПП тп,п(1 + Q(用工2卜+丄(1 + Q(用工2卜+丄1 + X1 + Xf甯件)2 +f甯件)2 ++ (1 一 入)(万h Sin -— sin -^-=万 9 (%，％)■+ (1 一 入)(万h Sin -— sin -^-=万 9 (%，％)■.г冗力snxУмножим на sin—-Asinи проинтегрируем по площади:пластины. Заметив, что.г冗力snxУмножим на sin—-Asinи проинтегрируем по площади:пластины. Заметив, чтоИ.加冗立1 ・ ППХ -. ГЛЖ . snx0b q аSH1 —— sin—— sin —■— sin -y- dx±dx2 = — 6mr6n8, о оИ.加冗立1 ・ ППХ -. ГЛЖ . snx0b q аSH1 —— sin—— sin —■— sin -y- dx±dx2 = — 6mr6n8, о оположимположимa b о оa b о оSR力 sin±- dxAxn. b 1 2SR力 sin±- dxAxn. b 1 2Теперь коэффициенты в разложении прогиба (12.7.4) будут определяться следующими формулами:Теперь коэффициенты в разложении прогиба (12.7.4) будут определяться следующими формулами:dmndmn^тп^тпD К + А)(V)4 + 2 卜 + Ц^)(圖2 图2 + « Т (圖口D К + А)(V)4 + 2 卜 + Ц^)(圖2 图2 + « Т (圖口Полученное решение не очень удобно, поскольку вычисление прогиба тре* бует суммирования двойного ряда. Излагаемый ниже способ позволит представить решение той же- задачи в виде одинарного ряда. Выберем оси координат так, как показано на рис. 12.7.1. Предположим, что:б. Стороны 力1 = 0 и х\ = а свободно оперты^ а на двух других сторонах заданы какие угоднограничные условия. ПоложимПолученное решение не очень удобно, поскольку вычисление прогиба тре* бует суммирования двойного ряда. Излагаемый ниже способ позволит представить решение той же- задачи в виде одинарного ряда. Выберем оси координат так, как показано на рис. 12.7.1. Предположим, что:б. Стороны 力1 = 0 и х\ = а свободно оперты^ а на двух других сторонах заданы какие угоднограничные условия. Положим"2"m 近П丁^⑷"2"m 近П丁^⑷(12.7.5}(12.7.5}При таком выборе функции прогиба граничные условия ^ = 0 и s,ii = 0 при 力1 = 0 и %i = q будут выполнены. Подставив (12.7.5) в уравнение (12.7.3), получимПри таком выборе функции прогиба граничные условия ^ = 0 и s,ii = 0 при 力1 = 0 и %i = q будут выполнены. Подставив (12.7.5) в уравнение (12.7.3), получим爾(1 + Х)爾(1 + Х)+ (I -A)闾sin咚1 = q (%，々).+ (I -A)闾sin咚1 = q (%，々).Умножим на sin (mxi/a) и проинтегрируем. ПоложивУмножим на sin (mxi/a) и проинтегрируем. Положива 2 广гях咚(％) = — ]%) sE dR,а 2 广гях咚(％) = — ]%) sE dR,
^^ “ТПП тп,п
^^ “ТПП тп,п
(1 + Q(用工2卜+丄
(1 + Q(用工2卜+丄
1 + X
1 + X
f甯件)2 +
f甯件)2 +
+ (1 一 入)(万h Sin -— sin -^-=万 9 (%，％)■
+ (1 一 入)(万h Sin -— sin -^-=万 9 (%，％)■
.г冗力snx
Умножим на sin—-Asinи проинтегрируем по площади:пластины. Заметив, что
.г冗力snx
Умножим на sin—-Asinи проинтегрируем по площади:пластины. Заметив, что
И.加冗立1 ・ ППХ -. ГЛЖ . snx0b q а
SH1 —— sin—— sin —■— sin -y- dx±dx2 = — 6mr6n8, о о
И.加冗立1 ・ ППХ -. ГЛЖ . snx0b q а
SH1 —— sin—— sin —■— sin -y- dx±dx2 = — 6mr6n8, о о
положим
положим
a b о о
a b о о
SR力 sin±- dxAxn. b 1 2
SR力 sin±- dxAxn. b 1 2
Теперь коэффициенты в разложении прогиба (12.7.4) будут определяться следующими формулами:
Теперь коэффициенты в разложении прогиба (12.7.4) будут определяться следующими формулами:
dmn
dmn
^тп
^тп
D К + А)(V)4 + 2 卜 + Ц^)(圖2 图2 + « Т (圖口
D К + А)(V)4 + 2 卜 + Ц^)(圖2 图2 + « Т (圖口
Полученное решение не очень удобно, поскольку вычисление прогиба тре* бует суммирования двойного ряда. Излагаемый ниже способ позволит представить решение той же- задачи в виде одинарного ряда. Выберем оси координат так, как показано на рис. 12.7.1. Предположим, что:
б. Стороны 力1 = 0 и х\ = а свободно оперты^ а на двух других сторонах заданы какие угоднограничные условия. Положим
Полученное решение не очень удобно, поскольку вычисление прогиба тре* бует суммирования двойного ряда. Излагаемый ниже способ позволит представить решение той же- задачи в виде одинарного ряда. Выберем оси координат так, как показано на рис. 12.7.1. Предположим, что:
б. Стороны 力1 = 0 и х\ = а свободно оперты^ а на двух других сторонах заданы какие угоднограничные условия. Положим
"2"m 近П丁^⑷
"2"m 近П丁^⑷
(12.7.5}
(12.7.5}
При таком выборе функции прогиба граничные условия ^ = 0 и s,ii = 0 при 力1 = 0 и %i = q будут выполнены. Подставив (12.7.5) в уравнение (12.7.3), получим
При таком выборе функции прогиба граничные условия ^ = 0 и s,ii = 0 при 力1 = 0 и %i = q будут выполнены. Подставив (12.7.5) в уравнение (12.7.3), получим
爾(1 + Х)
爾(1 + Х)
+ (I -A)闾sin咚1 = q (%，々).
+ (I -A)闾sin咚1 = q (%，々).
Умножим на sin (mxi/a) и проинтегрируем. Положив
Умножим на sin (mxi/a) и проинтегрируем. Положив
а 2 广гях
咚(％) = — ]%) sE dR,
а 2 广гях
咚(％) = — ]%) sE dR,
найдем, что каждая из функций Уг удовлетворяет следующему дифферент циальному уравнению:
(I - %)亨_ 2卜+ Ц^9图2 у； + а +簿停『4 =务
(12.7.6)
Решение однородного уравнения (12.7.6) ищем в виде
~=eXр (子熙2}
Для величины § получается характеристическое уравнение:
(1 一 А)『一2 卜+ 1 ；•皆亡)Р2 + (1 + А) =0・(12.7.7)
Зто биквадратное уравнение, корни могут быть либо действительными, либо комплексными. В первом случае действительные корни 土瓦 и 土 限,поэтому
% = & Ch &Т + 4 sh 61T + & Ch % Т% = & Ch &Т + 4 sh 61T + & Ch % Т44 s五44 s五тлх2атлх2а
% = & Ch &Т + 4 sh 61T + & Ch % Т
% = & Ch &Т + 4 sh 61T + & Ch % Т
44 s五
44 s五
тлх2а
тлх2а
Во втором случае эти корни попарно сопряженные, а именно, 阮 2, з, 4 = =士夕士 & а следовательно,
, тлхл / , тяхлтПхЛ
ch р ——^ 41cos q ——2 + Л sin g ——^ +
mnx /mnx . тяж 1
+ sh p^ cos g 十 & sin g - 广
Может случиться, что биквадратное уравнение имеет два двойных корня 士0. Для изотропного материала, например, 6 = 1. Случай изотропного материала будет специально рассмотрен в следующем параграфе.
В заключение, рассмотрим задачу о кручении ортотропной прямоугольной пластины. Полагая, как и в пункте (в) § 12.6, 力=—4力1力2, находим, что уравнение (12.7.3) тождественно удовлетворяется; по формуле (12.7.2) получаем
Здесь 夕一одна из четырех сосредоточенных сил, приложенных в углах пластины, как показано на рис. 12.6.2.
Прямоугольные пластины из изотропного материала
Если материал изотропен, т. е. % = v, X = 0, то дифференциальный оператор в уравнении (12.7.3) превращается в двукратно повторенный оператор Лапласа и мы получаем опять уравнение (12.6.1). Применяя к задаче о пластине, две противоположные стороны которой оперты, изложенный в § 12.7 метод, найдем,
что характеристическое уравнение приводится к виду 于—2『+ 1 = 0.
Оно имеет двойные корни § = ±1, поэтому
ущ =(/1 + /3/2)ch h (/2 + 44/2)sh -.(12.8.1)
Уравнение (12.7.6) содержит еще правую часть. Если нагрузка q зависит только от координаты ①匕 то всегда можно представить прогиб в виде
W = WQ+ 5.
Здесь wQ — решение однородного уравнения (12.6.1), построенное в виде ряда (12.7.5), где функции Ym даются выражениями (12.8.1), тогда как 吻一частное решение уравнения изгиба, которое удовлетворяет граничным условиям на опертых сторонах пластины. В качестве такого частного решения можно взять решение задачи о цилиндрическом изгибе. Так, например, если q = const, то
% =至NiT(力‘ —2a/； + "nJ.
Чтобы удовлетворить граничным условиям при х2 = ±Ъ/2, разложим Wi в ряд Фурье. Получим
% =需工靑sE子g=1,3,5,・・.).
Поскольку поверхность прогиба симметрична относительно оси xt в выражении (12.8.1) следует принять 4 = 4 = 0. Выражение для прогиба получается следующем:
W =W =тпхтпх \ . тпхл
W =
W =
+ch ―—— + 4&m& sh —~I sin ———
(m = 1, 3, 5,..・)・
Симметрия поверхности изогнутой пластины относительно оси 况i = 〃/2 заставляет удерживать в этом разложении только члены, тлЪ
соответствующие нечетным т. Положив am, получим следующие условия для нахождения констант:
+ т 4m ch а俏 + а^Л4m sh ат = 0,
41m + 244m) ch dm + ^rn^^m sh (Zm — 0.
Найдя Aim и Л4т из этих уравнений, получим следующий
результат:
" =^^ (/;一 2axi + a3/1)-
0冗2chamb 2 ch am b b 丿 a
(m = l, 3, 5,・・・)•(12.8.2)
Ряд в формуле (12.8.2) сходится чрезвычайно быстро, практически в нем достаточно удержать один первый член. Не останавливаясь на деталях, приведем значения прогиба и изгибающего момента в центре квадратной пластины (а = 6)
力max = 4,06.10~3 党，"max = 4,79-10~2^2 (V = 0,3).
Эти числа понадобятся нам для оценки точности приближенных решений, которые будут получены далее.
Прямое применение вариационных принципов к задачам изгиба пластин
Как было выяснено в § 12.5, задачи деформации срединной поверхности и задача изгиба решаются отдельно и независимо. Поэтому при приложении вариационных методов можно составлять необходимые функционалы отдельно для плоского напряженного состояния Тав, иа и изгиба Мав, ^. Выпишем соответствующие функционалы для изгиба.
Функционал Рейснера. Из формулы (12.5.13) следует
JwM = f 卜瞰,邓 +£©(%) + 同 “& — j G* gL ds — j E*“盛.avv
(12.9.1)
Функционал Лагранжа. Из общей формулы (8.7.5) вследствие кинематической гипотезы (12.4.3) следует
Jw^^(-^U ⑴万)+ qw) d%dq — j °* f^ "s 一 J R*sds. (12.9.2) s1 Vv
Здесь U(вар) = V2^арат^аг.
Для изотропного тела
U = %。[哈 + 4+ 2ve11e22 + (l + v)(^2 + 曦)]・
Функционал Кастильяно. Полагая распределение напряжений по толщине линейным, согласно (12.4.4), находим
/м = ^ф(”ав) dx±dx2 — J G 薔 必 一 j R"ds, (12.9.3) sVV
при этом моменты должны удовлетворять уравнению равновесия (12.5.8) и статическим граничным условиям.
Приложение прямых методов вариационного исчисления к решению за» дач изгиба мы проиллюстрируем на примере вариационного принципа Рейс* нера. Положим
"=N ak^k^ "оф = £ 脸碗 в・(12.9.4)
Здесь q)h ——функции, удовлетворяющие кинематическим граничным условиям, 加忠0 ——функции, удовлетворяющие статическим граничным условиям для моментов. Подставляя в (12.9.1), получим
JwM =尸("，磴В) •
Варьируя параметры 〃財 匕^夕 получим систему уравнений
—=0, 且1 = 0.(12.9.5)
叫 嗝
Функция 歹 содержит квадратичную часть относительно а^, Ь*в и линей* ную часть, соответствующую нагрузке g и силам, приложенным к краям пластины. Поэтому уравнения (12.9.5) будут линейными. Бесконечная система (12.9.5) укорачивается; заменяя ее конечной системой, получим после решения приближенный результат. Если функции 屮卜 и т^§ образуют полные системы, при увеличении числа членов приближенное решение стремится к точному. Для иллюстрации рассмотрим ту же самую задачу, которая была решена в предыдущем параграфе, а именно задачу об изгибе свободно опертой квадратной пластины равномерно распределенной поперечной нагрузкой. Полагая
ш = Л sin—L sin—s-, M_ == В sin—1- sin—±-,
a a иa a
получим по формуле (12.9.1)
Приравнивая нулю производные по 4, 8 n С, получим следующую систему уравнений:
B + 0 = gg, В = 4卑(1 + ”)，0 = 4 卑(l-w),戸б?@2
/24
отсюда A == 4,16-10~3 络，少=5,4-10~2ga2. Такой результат мы
получим, если удержим в двойном ряде (12.7.4) лишь первый член. Ошибка при определении прогиба составляет 2,4%, ошибка при определении наибольшего изгибающего момента несколько больше, она равна 12%. Выбрав выражения для прогиба и для моментов в виде произведений синусов, мы обеспечили точное выполнение соотношений (12.5.6), поэтому результат совпал с тем, который получился бы в результате удержания первого члена в двойном ряде, представляющем точное решение. Поэтому, если бы вместо принципа Рейснера мы использовали принцип Лагранжа, то, приняв такое же выражение для м?, мы нашли бы ту же величину А и путем
дифференцирования по формулам (12.5.6) пришли бы к точно тем же выражениям для моментов. Решим теперь ту же задачу при несколько более грубых предположениях. Положим
w = Axi (а — з)%2(а — g).
Для определения прогиба нам будет достаточно воспользоваться вариационным принципом Лагранжа. Вычисляя интеграл (12.9.2), получим
%230 十 36
Отсюда, дифференцируя по 4 и приравнивая результат нулю, получим
Л = 0,0801 方，“max = 5,008• 10~3 党.
Последний результат отличается от 工оуного на 23%.
Описанная процедура, состоящая в том, что вместо решения дифференциального уравнения ищется непосредственно стационарное значение некоторого функционала, а представление искомых функций — в виде (12.9.7), сводит задачу к нахождению значений коэффициентов ад и 匕^日, при которых квадратичная функция от них принимает стационарное значение, называется процедурой или методом Ритца. Строго говоря, метод Рит< да развит применительно к тому случаю, когда исходным функционалом служит функционал Лагранжа, поэтому необходимо лишь представление прогиба в виде 协=》а心н Следует заметить, что для истинного значения прогиба функционал Лагранжа принимает максимальное значение. Это следует из того, что вторая вариация функционала 7W есть
ss@2。°%叫6@2。°%叫6
s
s
@2。
°%叫6
@2。
°%叫6
и вследствие выпуклости функции U подынтегральное выражение положительно определенно. Точно так же показывается, что функционал Кастилья- но принимает минимальное значение для истинного распределения моментов. Относительно функционала Рейснера подобное заключение сделать нельзя.
Большие прогибы
Для решения задач устойчивости, как мы уже выяснили, уравнения равновесия должны составляться для деформированного состояния упругого тела. Соответственно, применяя вариационное уравнение, в нем необходимо удерживать квадратичные члены в формулах для деформаций, как это было сделано для общей теории в § 12.2 и для задачи об устойчивости стержня в § 12.3. В задачах изгиба пластин достаточно удерживать те квадратичные члены, которые зависят от прогиба w. производные от перемещений иа мы сохраним лишь в первой степени. Повторяя вывод § 12.4, мы найдем, что формулы (12.4.3) сохранят силу и в этом случае, но компоненты деформации срединной поверхности нужно будет вычислять по формулам
(12.10.1)(12.10.1)2СаВ = 〃а,В + 〃В,а + ”。必伊
(12.10.1)
(12.10.1)
Перепишем теперь функционал Рейснера следующим образом:
+ “В,а + М,а^,В)+ Ма^^ ++ “В,а + М,а^,В)+ Ма^^ +
+ “В,а + М,а^,В)+ Ма^^ +
+ “В,а + М,а^,В)+ Ма^^ +
十防①(тав) +济①(Aтоф) + 9加d/ d/2 +
+ j T^n^ds - J G*黑 ds^^ E% ds. (12.10.2) VVV
Варьируя усилия TaP, мы получим уравнения связи (12.5.4), где ^ар определяются формулами (12.10.1), варьируя перемещения 〃а, получим снова дифференциальные уравнения и граничные условия (12.5.7). При варьировании прогиба мы поступаем так же, как в § 12.5, с той разницей, что производные от прогиба входят в множитель при ТаР. Поэтому нам придется дополнительно преобразовать интегрированием по частям вариацию
—6 J Та^^^х^х2 = 一 f T^w^w^dx^dx2 = s
=—f [(Та*,а6©В — (ТсфМ,а),в6^] dxYdx2. s
Но первый интеграл преобразуется в контурный
—f Ta^w^n^w ds,V
а второй вследствие уравнений равновесия (12.5.7) принимает вид
— J T^w^w d/]d%2・8
В результате уравнение равновесия (12.5.8) / заменится следующими
МаВ, аВ — Т(х/2,аВ + Q = °・
Выражая изгибающие моменты через 出晔 получим для изотропной пластины
DWw — Та 曲,哪 + q = 0,(12.10.3)
и в граничном условии (12.5.12) добавится составляющая усилий в срединной поверхности, направленная по оси z; второе из ус* ловий (12.5.12) примет вид
^^ + Q— Тоф 呼 а〃В = Е*・(12.10.4)
Для того чтобы удовлетворить дифференциальным уравнениям равновесия (12.5.7), мы введем функцию усилий, подобно тому,
как в гл. 10 была введена функция напряжений. Положим
Таб = Тас/Увт 歹,ОТ
ИЛИ
711 =歹,22, ^22 = ^,11» 712=—£12,(12.10.5)
при этом уравнения равновесия будут удовлетворены тождественно. Если деформации связаны с усилиями формулами (12.5.4) и компоненты деформации зависят только от z/a, функция F будет бигармонической, как и в обычной плоской задаче. Но теперь компоненты деформации заданы формулами (12.10.1). Об- разуя из них комбинацию, фигурирующую в левой части уравнения совместности (10.6.3), мы найдем, что она уже не обращается тождественно в нуль, теперь уравнение совместности будет следующим:
^11,22 + ^22,11 — 2仆2,12 — "12 —呼 11 以22・
Подставляя выражение деформаций через функцию усилий F по формулам (12.5.4) и (12.10.4), получим
AAF = 2Eh (ip% — шпш22).(12.10.6>
Система уравнений (12.10.3), (12.10.5) и (12.10.6) описывает деформацию пластины с большими прогибами. Эти уравнения называются уравнениями Кармана. Вывод соответствующих урав- нений для анизотропных пластин не встречает никаких затруднений, выписывать эти довольно громоздкие выражения мы здесь не будем. Система оказывается нелинейной, поэтому известны только численные решения ее для отдельных частных случаев путем непосредственного отыскания стационарного значения функционала (12.10.2) по способу, аналогичному тому, который был описан в § 12.9. Сложность состоит в том, что коэффициенты в предполагаемом выражении для прогиба w или функции: напряжений F теперь ищутся из нелинейных алгебраических уравнений. Для симметричной деформации круглой пластинки уравнения (12.10.2) и (12.10.6) становятся обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые можно интегрировать любым численным методом.
Заметим, что если 0 = 0, полученные уравнения описывают прогиб и напряженное состояние мембраны, не сопротивляющейся изгибу. Приведем результаты численного решения задачи о круглой мембране радиусом a и толщиной 2无，нагруженной равномерным давлением д, полученные Хенкиг
Заметим, что удовлетворительное приближенное решение этой задачи может быть получено совершенно элементарно. Предположим, что поверхность мембраны после деформации становится сферической с радиусом р. Стрела прогиба / = “max, радиус кривизны сферы и половина центрального угла
меридионального сечения поверхности мембраны связаны следующими очевидными соотношениями (см. рис. 12.10.1):
ааа “а
Y sin аа, / u2 〜2 .
Сфера находится в состоянии равномерного всестороннего растяжения с напряжением о. Уравнение равновесия будет следующее:
2Да-2ла-сс «= qna^.
ОтсюдаОтсюдаqaо = Ti—.qaо = Ti—.(12.10.7)(12.10.7)
Отсюда
Отсюда
qa
о = Ti—.
qa
о = Ti—.
(12.10.7)
(12.10.7)
4w=两"(它+芯)■4w=两"(它+芯)■сферы, ось /з на-сферы, ось /з на-
4
w=两"(它+芯)■
4
w=两"(它+芯)■
сферы, ось /з на-
сферы, ось /з на-
Легко убедиться в том, что полученное нами непосредственно уравнение равновесия представляет собою уравнение (12.10.3). Действительно, в окрестностей средней точки уравнение изогнутой по сферической поверхности пластины запишется так:
При этомПри этомлокальные оси координат выбраны так,
При этом
При этом
что плоскость 力％ /2 касается
правлена по нормали. Предположив поверхность изогнутой мембраны сферической, мы поставили все ее элементы в одинаковые условия, поэтому такая же локальная система координат мо- жет быть привязана к любой точке. Подставляя В (12.10.3)1^,11 =以 22 = 1/р, 「II = ?22 = 27ш,
叫 12 = 712 = 0, получим выражение (12.10.7).
Относительное удлинение е, одинаковое для всех направлений, представляет собою разность между длиной дуги и, длиной хорды, поделенную на длину хорды, pa —psina 〜а2 ра6
В упругой мембране оме связаны между собой законом Гука
1 - V
е=~Ё
Поэтому
1 — V qa
Е4ta*
Отсюда находим
三二丝.
Г Е 2h
Стрела прогиба / дается следующей формулой:
/2 У Е 2h
При V = 0,3, получаем
/ = ^тах = °，64°а
qa
2Eh
Полученный результат меньше точного на 3,3%, такая ошибка, конечно^ очень мала. Напряжения, одинаковые повсюду, получаются следующими: о = 0,390；/3輩.
Г (2 无)2
Эта величина на 7,8% меньше, чем наибольшее напряжение в центре и на 19% больше, чем минимальное напряжение на краю. Оценка для максимального напряжения тоже оказывается удовлетворительной.
Построенное грубо приближенное решение содержит в себе явное противоречие; из условия равенства напряжений с неизбежностью вытекает равенство всех деформаций, но контур мембраны закреплен и величина деформации контурной линии равна нулю.
Устойчивость пластин
Представим себе, что пластина нагружена таким образом, что усилия Тар отличны от нуля, а прогиб w и, следовательно, моменты Мав равны нулю. Будем называть такое плоское напряженное состояние в пластине начальным напряженным состоянием. В отношении него будем употреблять термин безмоментное состояние. Поставим задачу об устойчивости пластины по отношению к весьма малым (бесконечно малым) искривлениям срединной плоскости. При определении усилий Т^в мы должны были пользоваться обычными уравнениями плоской задачи теории упругости, а следовательно, линеаризированными выражениями для еав・ Если пластина получает малое изгибное возмущение s, то, конечно, величины w>aw^ малы по сравнению с иа,旳 но при варьировании прогиба в (12.10.2) именно эти члены, являющиеся множителями при больших Тав， должны варьироваться.
Таким образом, уравнение (12.10.3) сохраняет силу. Мы перепишем его, опустив величину поперечной нагрузки
DWw - T^w^ = 0.(12.11.1}
Это уравнение служит основным уравнением теории устойчивости изотропных пластин. Здесь усилия Гар считаются заданными^ т. е. найденными в результате предварительного решения плоской задачи теории упругости. Заметим, что обычно начальное напряженное состояние бывает достаточно простым, анализ уравнения (12.11.1) в случае, когда Т?в суть функции координат, оказывается затруднителен.
К уравнению (12.11.1) нужно присоединить однородные граничные условия, например:
O
dw с”
，林=0на защемленном контуре,
G = 0, w = 0на свободно опертом контуре,
G = 0，^ + ^ — Т^в⑵а呼=0 на свободном крае.
Здесь G, Н 近 Q представляют собой линейные дифференциала ные операторы над прогибом, которые вычисляются по формулам, приведенным выше.
Такая постановка задачи ( совершенно аналогична постановке задачи Эйлера об устойчивости сжатого стержня. Требуется найти критическое значение параметра нагрузки, т. е. множителя при 7^в， при котором линейное однородное уравнение (12.11.1) при однородных граничных условиях имеет нетривиальное решение, т. е. решение, отличное от тождественного нуля. Ограниченность и неполнота анализа подобного рода были разъяснены в гл. 4 и мы не возвращаемся к сделанным там разъяснениям. Здесь в качестве примера мы рассмотрим одну только задачу устойчивости: прямоугольная пластина длийой 〃 в направлении оси %i, шириной b в направлении оси х2 равномерно сжимается вдоль оси /4 усилием Т14 = —7. Уравнение (12.11.1) примет вид
DWw + TwAi = 0.
Если пластина шарнирно оперта по контуру, то граничным условиям ш = 0иС = 0на контуре, как в примере (а) § 12.7, мы можем удовлетворить, приняв
р . тпх . ппх
W =Qmn sin —-— sin —-— •
Подставляя это выражение в дифференциальное уравнение, мы придем к серии равенств
Минимальное значение, получаемое для Т при целых п и т, будет критическим сжимающим усилием для пластины, аналогичным силе Эйлера для стержня. Очевидно, что минимум будет достигаться при n = 1. Положив а/b = §, найдем
?『号(市+鼾=察乃б，A (12.11.2)
При фиксированном § минимизируем к(т, §) по т. Получим
丄一旦=0
отсюда следует, что минимум достигается при т = ^\ если § —
целое число, то действительно, полагая т = ^, получаем
По этой формуле определяется критическое усилие для квадратной пластины и пластины, которую можно разбить на целое число квадратов. Если В ——нецелое число, то в формулу (12.11.2) подставляются вместо т ближайшие к В сверху и снизу целые числа. В качестве критической принимается меньшая из получающихся сил. Формула (12.11.2) дает одинаковый результат при т и m + 1, если
к(т, §)= к(т+ 1, §)・
Отсюда легко находим
= ¥т(дп+1)= #2 Уё, У12,...
Таким образом, если §三(1, 2厶 то при ^ < У2 « 1,414 нужно принимать m = 1, при 卩>¥2 следует вносить в формулу (12.11.2) значение дп = 2. График зависимости коэффициента Ч^ от параметра т был показан на рис. 4.8.1, он состоит из пересекающихся дуг кривых, соответствующих разным значениям т. В точках пересечения коэффициент к принимает максимальные значения; считая т индексом левой кривой, легко находим
论max = 4 + m (「十 4)・
Уже при §三(4, 5) можно считать 论=4 независимо от 0, ошибка составит при этом не более 1,25%.
Вариационный метод решения задач устойчивости
Пренебрежение членами w^^ по сравнению с иа> р в (12.10.1) означает, что прогибы пластины считаются малыми и не влияют существенно на деформацию срединной поверхности. Однако из этого не следует, что их можно отбросить в выражении функционала (12.10.2). Действительно, предположим, что уравнения (12.5.7) выполнены заранее и проинтегрируем в (12.10.2) члены виДа ‘厶兀脇,б・ Будем считать также, что поперечные нагрузки на поверхности и краевые моменты на кромках пластины отсутствуют, как это было принято выше. Функционал (12.10.2) примет вид
J = f [I" 7%В呼aJs + МаВ^/хВ + 斎①(屈耶)dxrdx2
27 Ю. Н. Работнов
или, если считать, что выполнены уравнения связи (12.5.3),
М,а”,в — UМ,а”,в — Ud/id%2・(12.12.1)d/id%2・(12.12.1)
М,а”,в — U
М,а”,в — U
d/id%2・(12.12.1)
d/id%2・(12.12.1)
Это ——однородный квадратичный функционал, для которого в изотропном случае уравнение (12.11.1) служит уравнением Эйлера. Вместо того чтобы искать критическую нагрузку путем интегрирования этого уравнения, можно применить прямой метод, а именно, аппроксимировать прогиб при помощи линейного агрегата
W = ^ a^k (/а)
из функций, удовлетворяющих кинематическим граничным условиям, т. е. использовать процедуру Ритца. Функционал при этом обратится в однородную квадратичную функцию от ак и условие 6/ = 0 приведет к системе линейных однородных уравнений вида
舒=°・ (儲・12.2)
Эта однородная система имеет нетривиальное решение лишь при определенных значениях параметра нагрузки, обращающих в нуль детерминант системы.
Предположим, что силы Т^в изменяются пропорционально, так что Тар =——九'普s，где Т^ ——фиксированная величина. Будем искать критическое значение параметра 九.Положим
} J 冗ВМ,аМ,В&%S} J 冗ВМ,аМ,В&%S1^2 = ? (a左),1^2 = ? (a左),
} J 冗ВМ,аМ,В&%S
} J 冗ВМ,аМ,В&%S
1^2 = ? (a左),
1^2 = ? (a左),
Т (。论)и U(&) — известные квадратичные формы. Тогда J = HS)+U®)・
Уравнения (12.12.2) запишутся телерь следующим образом:
(12.12.3)(12.12.3)дТ ди
(12.12.3)
(12.12.3)
0% да
Приравнивая нулю определитель этой системы, мы получим для параметра 入 алгебраическое уравнение, степень которого равна числу членов в представлении прогиба ш; таким образом, если 4 = 1, 2, ..., п, мы получаем п значений % и п «критических» нагрузок. Но мы видели, что в действительности число критических нагрузок и соответственно форм потери устойчивости бесконечно велико. Поэтому естественно поставить вопрос о том, в каком отношении находятся приближенные значения А, найденные описанным методом, и точные величины критических
нагрузок. Соответствующую оценку легко дать для первой, т. е. наименьшей критической нагрузки.
(12.12.4)(12.12.4)Заметим, что уравнение (12.12.3) можно получить с помощью следующего формального приема. Положим / = 0, найдем из этого условия
(12.12.4)
(12.12.4)
Будем теперь искать минимум % как функции от ah. Получим следующую систему уравнений:
Если 7 耍 0, эта система эквивалентна системе (12.12.3); таким образом, задача о нахождении критических значений параметра % сводится к нахождению экстремальных значений 九 как функции от ah^ заданной выражением (12.12.4). Отсюда следует, что наименьшее критическое значение параметра 九 оценивается следующим образом:
(12.12.5)(12.12.5)%min V篤.
(12.12.5)
(12.12.5)
Здесь ah ——произвольный набор чисел. Таким образом, верхняя оценка для наименьшей критической силы дается формулой (12.12.5),
Осесимметричная деформация цилиндрической оболочки
Оболочкой называется тело, ограниченное двумя эквидистантными поверхностями. Чтобы сделать определение более точным, выберем некоторую поверхность S. В каждой точке М этой поверхности проведем нормаль и отложим по одну и по другую сторону поверхности отрезки, равные 无,так что М^М = М2М = h. Совокупность точек М{ образует одну сторону оболочки, совокупность точек М2 亠 другую сторону, 2h ——толщина оболочки, S —— ее срединная поверхность. Оболочка считается тонкостенной, если h《R, где R ——наименьший из главных радиусов кривизны срединной поверхности. Техническая теория оболочек основывается на точно такой же гипотезе прямых нормалей, что и техническая теория пластин. Предполагается, что линейный элемент, нормальный к срединной поверхности до деформации, остается нормальным к деформированной срединной поверхности. Если отнести поверхность к ортогональной системе криволинейных координат и выбрать локальные оси ха в касательной плоскости к срединной поверхности, направив ось z по нормали, то для 27*
деформации Сав можно сохранить формулы (12.4.3), записав их в следующем виде:
臨=%В — 2Хар.臨=%В — 2Хар.(12.13.1)(12.13.1)
臨=%В — 2Хар.
臨=%В — 2Хар.
(12.13.1)
(12.13.1)
(в(вВеличины хаР теперь следует назвать параметрами изменения кривизны; вопрос о том, как выразить в общем случае деформации вар и параметры изменения кривизны хар через перемещения точек срединной поверхности или каким уравнениям совместности они удовлетворяют, изучается в общей теории оболочек, которая здесь рассматриваться не будет. Следует заметить, что формула (12.13.1) не является точным следствием гипотезы прямых нормалей. Это ясно из рис. 12.13.1, абсолютное удлинение элемента тп есть отрезок пп = xz ds, но длина этого элемента есть не ds, a ds(l + z/R), как видно из чертежа. Поэтому относительное удлинение будет
(в
(в
е = 1 十 Z//T
Аналогичным образом нужно было бы исправить и общие формулы (12.13.1), но ошибка, которая получается, если пренебречь этой поправкой, имеет порядок h/R по сравнению с единицей. Доказано результате достаточно сложных вычислений, выходящих за
рамки нашего курса), что сама гипотеза прямых нормалей вносит погрешность порядка hjR по сравнению с точным
решением задачи теории упругости, поэтому удержание членов такого порядка в приближенной теории лишено смысла.
Введем в рассмотрение усилия 7邱 и моменты 71/耶,предположив, что распределение напряжений по толщине по-прежнему линейно, т. е. дается формулами (12.4.4). При вычислении функционала Рейснера, строго говоря, при интегрировании по толщине необходимо учитывать кривизну, т. е. производить интегрирование по площади элемента, изображенного на рис. 12.13.1. Если пренебречь этим обстоятельством, то, как легко показать, ошибка будет опять иметь порядок h/R. Таким образом, с точностью до членов указанного парядка малости функционал Рейснера для оболочки имеет в основном структуру функционала (12.5.13) с той разницей, что вместо величин w^ в нем будут фигурировать параметры изменения кривизны хар.
Простейшим примером, на котором можно проиллюстрировать некоторые общие особенности поведения оболочек служит круговая цилиндрическая оболочка. Предположим, что цилиндрическая оболочка со средним радиусом R, толщиной стенки 2h и длиной L нагружена внутренним давлением '(%)・ Сделаем вна-
чале предположение о том, что длина L много больше радиуса R и что давление q(/) меняется по длине оболочки достаточно медленно. Вырежем из оболочки кольцо длиной d%, разрежем его пополам и рассмотрим равновесие изображенного на рис. 12.13.2 полукольца. Из уравнения немедленно получаем
Т? = qR.
Таким образом, предполагаемое напряженное состояние в оболочке
(12.13.2)(12.13.2)Г1 = О, Т2 = q(x)R, Mi = М2 = 0.
(12.13.2)
(12.13.2)
Принятая система обозначений в данном случае упрощена по сравнению с обычной, касательные усилия и крутящие моменты
отсутствуют вследствие симметрии оболочки и действующей нагрузки, для обозначения сил и моментов достаточно теперь одного индекса 1 для продольного направления и 2 для поперечного. Напряженное состояние, даваемое формулами (12.13.2), называется безмоментным состоянием, изгибающие моменты равны нулю, в оболочке действуют только усилия Та. В действительности безмомент-
ное состояние в оболочке реализовано
быть не мол?ет. В самом деле, усилие Т2 растягивает кольцо, относительное удлинение в окружном направлении е2 = = =^^, следовательно, срединная поверхность оболочки получает
(12.13.3)(12.13.3)радиальное перемещение
(12.13.3)
(12.13.3)
w = eR = E・
Если кривизна в окружном направлении была i/R до нагружения, она станет равной 1/(7? + ^) ^ 1/7? — w/R2; таким образом, изменение кривизны в окружном направлении есть w/B2. По формуле (12.13.1)
Отсюда видно, что неучет изменения кривизны в окружном направлении влечет за собою ошибку, порядок которой не превышает величины h/R, поэтому в дальнейшем мы будем полагать 乂2 = 0. Но если q(x) меняется с координатой х достаточно быст- Р。, то радиальные перемещения соседних колец окажутся различными, образующие цилиндра будут изогнутыми. Соответствующая кривизна определяется так же, как для балки или для
пластинки, а именно,
% ="'(%).
Составим теперь функционал Рейснера, точнее ту часть функционала, которая не зависит от граничных условий,
/ = 2п7? J[— Т?+* %" + i■* —
一景("；+ Л^ — 2MM2)- 9以]瓦
Варьируя Мъ М2, Г2 и ^ и выполняя обычные преобразования члена, содержащего 5”〃, путем интегрирования по частям получим
_ 0一£ + m； = 0, 一£ + 君=a
"'一斎m一吨)=°，"2 一 М = °-
Отсюда путем последовательного исключения Ж\, М2 и Т2 получим следующее дифференциальное уравнение:
加V + 4必(〃 一如。)=0.(12.13.4)
Здесь 4a4 =Здесь 4a4 =^1^, тогда как 叫 есть величина, пропорциональ-
Здесь 4a4 =
Здесь 4a4 =
ная нагрузке q{x) и определяемая формулой (12.13.3).
Уравнение (12.13.4) совершенно подобно изученному в § 3.11 уравнению изгиба балки на упругом основании. Граничные усло-
Рис. 12.13.3Рис. 12.13.3вия здесь совершенно очевидны, они те же, что и для балки. Это становится ясным, если рассмотреть выделенную из оболочки полосу, как показано на рис. 12.13.3. Вследствие кривизны полоски действующие с двух сторон усилия Т2 дают составляющую, направленную по радиусу, а так как Т2 пропорционально прогибу w、 то
Рис. 12.13.3
Рис. 12.13.3
эта полоска находится в тех же условиях, что и бйлка на упругом основании. Именно так выводится уравнение (12.13.4) в элементарных руководствах. Приближенное решение уравнения (12.13.4) есть w = w^ оно пригодно тогда, когда первый член (12.13.4) мал по сравнению со вторым, т. е. функция 叫(力)заметно изменяется на длине много большей, чем характерная длина
入=NhR.
С другой стороны, если q(/) меняется достаточно медленно, то
для удовлетворения граничным условиям необходимо к частному решению w = w0 добавлять решение однородного уравнения, которое затухает на длине порядка 九.Таким образом, общая картина поведения круговой цилиндрической оболочки под действием осесимметричной нагрузки рисуется следующим образом. На большей части длины оболочки в ней реализуется безмоментное напряженное состояние. Изгиб проявляется лишь вблизи концов и в местах резкого изменения нагрузки: он носит характер краевого эффекта, т. е. область, где напряжения изгиба существенны, простирается лишь на некоторую определенную длину порядка X.
Безмоментная теория оболочек )
На примере цилиндрической оболочки мы убедились в том, что при плавно меняющейся нагрузке в большей части оболочки можно пренебречь изгибом и напряжениями от изгибающих моментов по сравнению с равномерно р аспреде ленными по толщине напряжениями от усилий 7aB. Моментное напряженное состояние реализуется только в зоне краевого эффекта, протяженность которой оценивается характерным линейным размером \ =、Rh. Для оболочки положительной гауссовой кривизны этот результат носит совершенно общий характер, схема расчета таких оболочек строится следующим образом. Сначала находится усилие в оболочке, которую представляют как тонкую, нерастяжимую мембрану, совершенно не сопротивляющуюся изгибу. Эта задача решается с помощью одних только уравнений статики и, собственно говоря, не относится к теории упругости. Соответствующая теория называется безмоментной теорией оболочек. Решение, найденное по безмоментной теории, как правило, не позволяет удовлетворить всем граничным условиям, поэтому вблизи границы рассматривается краевой эффект, связанный с изгибом. Ввиду малости области краевого эффекта, уравнения теории оболочек для этой области принимают относительно простую форму. Для вывода уравнений безмоментной теории нам понадобятся некоторые сведения из теории поверхностей, которые предполагаются известными и сообщаются для справки.
Поверхность отнесена к криволинейной системе координат 〃* 〃2 и задана радиусом-вектором г (и1? и^. Векторы rti образуют на поверхности ковариантный базис, вектор единичной нормали к поверхности есть 〃• Метрический ковариантный тензор есть ^ij = г,гг,ь кривизна поверхности задается тензором Ь^ = г,»п = =rtinj- Любой вектор может быть задан в локальном базисе
f, п^ в частности,
r，刃=F 价田 + ^ijn^ "，幺=一瓦丁,八(12.14.1)
Первая группа формул носит название деривационных формуй Гаусса, вторая ——деривационных формул Вейнгартена. Здесь 吟一символы Кристоффеля для поверхности, поднятие индекса у тензора 瓦 производится с помощью метрического контрава- риантного тензора g".
Наряду с метрическим тензором опускание индексов может производиться в результате свертки с дискриминантным тензором ▼gY订，где 712 = 1,气1 = -1, Yu = 丫22 = 0, g = g^g22 — g；2・
Предположим, что точка поверхности получает перемещение 叨，так что радиус-вектор деформированной поверхности есть г+?г?. Условие нерастяжимости при бесконечно малых перемещениях можно записать следующим образом:
dr dw =^ О или
以/,1 = О, 3M,2 + ^,2^,2 = 0,叫 2r,2 = о. (12.14.2)
Так же как при выводе дифференциальных уравнений равновесия сплошной среды мы введем контравариантные компоненты усилия Т^ как множители Лагранжа. Выделим некоторую часть оболочки S, ограниченную контуром Г. На единицу площади действует сила q, на контуре приложено усилие интенсивности Т на единицу длины линии контура. Приравняем нулю работу сил на виртуальных перемещениях, подчиненных условиям (12.14.2). Получим
[{qw — Ta^w^r^ d2 + f Tw ds = 0.
Mг
Преобразуем поверхностный интеграл, используя тождество (7%,№),В = T^r^w + T^r^w + 产飞叱削
исключая с помощью (12.14.1) вторые производные от радиуса- вектора г и вводя вектор нормали v к контуру Г в касательной плоскости
В результате получаем
f (« + ”T°Va + T^n)w 迎 + J (Т — 片％酬,J ds = 0. (12.14.3) Sг
Здесь символ Vt7ali обозначает, как обычно, ковариантную производную тензора
%T耶=7甯+ г^гР +吟严.
Из (12.14.3) следуют уравнения равновесия
(12.14.4)(12.14.4)/7^+于=0,片"邯+" = 0
(12.14.4)
(12.14.4)
и граничное условие
片=7叫8.
Система из двух дифференциальных уравнений и конечные соотношения (12.14.3) позволяют определить три компоненты Т".
Альтернативная форма записи уравнений (12.14.3) получится, если опустить у тензора Za3 индексы двукратным свертыванием его с дискриминантным тензором, т. е. принять
Su=gG2,丛2 = —g『2, S「gTt
Теперь уравнения равновесия можно записать следующим об-
разом:
S11,2 — S12,1 —SilWl + S]2(F；1 — Г12)+ 822"]. + 02g = 0,
(12.14.5)(12.14.5)$22,1 — *^21,2 + цГз2 + $12(Г22 — T；2)— 822^2 + gig = 0, ^11^22 + ^22^11 — 2s12bl2 ~ ?n*
(12.14.5)
(12.14.5)
Безмоментные оболочки вращения
простойнаправ-простойнаправ-Оболочки вращения представляют собою наиболее объект для приложения безмоментной теории. Примем за
простойнаправ-
простойнаправ-
ление 1 направление вдоль меридиана, за направление 2 — окружное направление. На рис. 12.15.1
изображен кусок дуги меридиана. За координатные параметры мы примем длину дуги меридиана s, отсчитываемую от произвольной параллели, и угол ф между плоскостями меридиональных секций, также от
считываемый от произвольной плос
кости. Радиус параллели, на которойРис. 12.15.1
лежит точка 関 т. е. расстояние
этой точки до оси симметрии, есть заданная функция дуги s. При таком выборе координат
gll = 1, g22 = g =叫 gl2 = 0.
Символы Кристоффеля вычисляются по обычным формулам, выражения для них получаются следующими:
£1 = 0, Г；2 = 0, r^2 = -rsin0, Г?х = 0,理=哈w2 = 0.
Угол 9 образован касательной к меридиану и осью симметрии.
Коэффициенты второй квадратичной формы равны
1产
%/为2 =灯%2 = 0.
Здесь радиус кривизны меридиана Ri = ds/d6, радиус кривизны нормального сечения, имеющего общую касательную с параллелью R2 = r/cos 0. Первое из уравнений (12.14.5) удовлетворяется тождественно, второе и третье соответственно принимают вид
•^ - sin 9 卜%1 乩2)+ 分2 = 0,
S11 云 +^22^+ q“2 = 0・
Перейдем теперь к физическим компонентам усилий
Л\ = -~,死=^ii-
Система уравнений равновесия преобразуется следующим об
разом:
箝粤(М-М) + % = 0,箝粤(М-М) + % = 0,(12.15.1)(12.15.1)
箝粤(М-М) + % = 0,
箝粤(М-М) + % = 0,
(12.15.1)
(12.15.1)
г(7П sin 8 + 夕1 cos 0) ds；г(7П sin 8 + 夕1 cos 0) ds；Систему уравнений (12.15.1) можно получить элементарным способом, второе уравнение иногда называют уравнением Лапласа, оно справедливо не только для осесимметричной оболочки, но для любой оболочки:/ отнесенной к линиям кривизны. Первое уравнение можно получить, рассматривая равновесие кольца, заключенного между двумя бесконечно близкими параллелями. В это уравнение войдет величина qn, которая исключается с помощью второго уравнения, отсюда появление усилия N2 в этом уравнении. Но для интегрирования системы (12.15.1) мы пойдем по прямо противоположному пути, а именно, исключим из первого уравнения №. Получившееся уравнение содержит только М, оно легко интегрируется и мы получаем следующий результат:
г(7П sin 8 + 夕1 cos 0) ds；
г(7П sin 8 + 夕1 cos 0) ds；
(12.15.2)(12.15.2)г cos 0
(12.15.2)
(12.15.2)
?2 =一萨* T1 - &%!.1
§ 12.16. Уравнения краевого эффекта в теории оболочек
есть рас-есть рас-Если характерный размер области краевого эффекта 九=¥/?%, соответствующий небольшой кусок оболочки можно
есть рас-
есть рас-
сматривать как плоскую предварительно изогнутую пластину. Это значит, что метрика срединной поверхности оболочки приближенно отождествляется с метрикой плоскости, касательной к срединной поверхности в ее недеформированном состоянии. Линии кривизны поверхности спроектируются на эту плоскость приблизительно как ортогональные прямые, которые можно принять за координатные линии. В окрестности точки касания М
ности можно записатьности можно записатьследующимследующимPirc. 12.16.1Pirc. 12.16.1в декартовых координатах &, z, выбранных так, что оси х& лежат в касательной плоскости, а ось z нормальна к ней, уравнение поверх
ности можно записать
ности можно записать
следующим
следующим
Pirc. 12.16.1
Pirc. 12.16.1
образом:
7
поверхности приобре-поверхности приобре-Здесь Ri и Т?2 — главные радиусы кривизны, Хю = 1/7? 1 и Mo = 1//?2 — начальные кривизны. При изгибе точки
поверхности приобре-
поверхности приобре-
тают дополнительные перемещения в направлении оси z, как показано на рис. 12.16.1 и, соответственно, меняются кривизны, становясь равными 1/7?! + wM. 1/Т?2 + w^. Теперь мы можем модифицировать вывод § 12.10, предположив, что изменения кривизн гр.и и м,22 малы по сравнению с начальными кривизнами l/凡 и 1/Т?2. Заменим в уравнении (12.10.3) кривизны их новыми выражениями и сохраним лишь линейную часть. Получим
Т Т
DWw - U-侪+ 9 = 0.(12.16.1)
При выводе второго уравнения рассуждения должны быть несколько изменены. Задавая поверхность уравнением z = z(/a), мы как бы предполагаем, что поверхность получилась в результате деформации из плоскости. Соответствующие компоненты деформации* мы обозначим 唳・ Они удовлетворяют такому же уравнению совместности, как то, которое было использовано при выводе (12.10.6), вместо кривизн 必,ав в правой части будут фигурировать заданные начальные кривизны l/凡 и 1/Я2. Получим
唯,22+点,]1-2也,]2 =晒.唯,22+点,]1-2也,]2 =晒.(12.16.2)(12.16.2)
唯,22+点,]1-2也,]2 =晒.
唯,22+点,]1-2也,]2 =晒.
(12.16.2)
(12.16.2)
Начальные деформации е^в определяют геометрию ненагружен- ной поверхности и, следовательно, не связаны с напряжениями. Упругие деформации ^ар добавляются к начальным, поэтому
в уравнение совместности нужно подставлять величины е^в + е^ в левую часть и 1/Е1 +如,”,1/Т?2 + ^,22 в правую. Пренебрегая вторыми степенями изменений кривизн м,ав и учитывая (12.16.2), получим следующее уравнение совместности:
^11,22 + ^22,112^12,12 ~^^~"'
Поступая далее точно так же, как при выводе уравнения (12.10.6), получим
△Ab + 2Eh△Ab + 2Eh（賢+词（賢+词=0.=0.(12.16.3)(12.16.3)
△Ab + 2Eh
△Ab + 2Eh
（賢+词
（賢+词
=0.
=0.
(12.16.3)
(12.16.3)
Определим дифференциальный оператор второго порядка 乙 следующим образом:
т 1 / ] /
耳庶十大五！.
Внося в (12.16.1) выражения для усилий через функцию усилий F, перепишем систему уравнений следующим образом:
DWw — Е (歹)+ q = (J, AAF + 2EhL (加)=0.(12.16.4)
В литературе принято называть эти уравнения уравнениями теории пологих оболочек. Соответствующие решения оказываются затухающими на расстоянии по дуге порядка 九=1/Rh. Многие авторы рекомендуют применять их и для оболочек, размер которых в плане существенно больше, чем X. Так, Власов рекомендовал эти уравнения для оболочек, у которых стрела подъема не превышает 1/5 пролета, никак не оговаривая при этом относительную толщину. Многочисленные расчеты с помощью приближенных уравнений (12.16.4) и уравнений точной теории, которые мы здесь не приводим, показали, что для оболочек, применяемых обычно в строительной практике, разница сравнительно невелика и рекомендация Власова может считаться практически обоснованной, хотя строгий анализ подтверждает пригодность уравнений (12.16.4) лишь для оболочек, размер которых в плане имеет порядок X, или для исследования краевых эффектов в оболочках положительной гауссовой кривизны. Последняя оговорка существенна. В оболочках отрицательной кривизны состояния изгиба могут простираться сколь угодно далеко вдоль асимптотических линий. В оболочках нулевой кривизны, например цилиндрических, изложенная в § 12.13 теория применима далеко не всегда. Действительно, приближенная теория изгиба и кручения тонкостенных стержней открытого профиля, изложенная в § 9.(5, по существу представляла собою некоторый упрощенный вариант теории оболочек. Краевой эффект от бимоментной
нагрузки, как было там выяснено, простирается на длину d == =7?2/历，которая гораздо больше, чем характерная длина А = ¥7?无. Характерная особенность решений общей и точной теории оболочек состоит в том, что если такое решение удается найти, то оно, как правило, имеет сложный вид и содержит большое число членов. Однако элементарный анализ показывает, что из этих членов существен только один, все остальные малы и могут быть без ущерба отброшены. Поэтому следует стремиться к тому, чтобы заранее упростить сами исходные уравнения теории с тем, чтобы в результате решения получить именно необходимую его главную часть. Построение таких упрощенных вариантов и анализ пределов их применимости составляет в значительной мере предмет современной теории оболочек, которая не будет излагаться в нашем курсе, носящем общий и скорее вводный характер.
Заметим, что предположение о малости изменений кривизн %в по сравнению с i/Ra не обязательно. Не составляет труда вывести уравнения, подобные уравнениям (12.16.4), но содержащие нелинейные части, как уравнения § 12.10. Такие уравнения применяются, например, для решения задачи о прощелкивании пологой оболочки под действием распределенного давления или сосредоточенной силы. Качественные результаты получаются чрезвычайно похожими на те, которые были получены в § 4.6 для простейшей системы из двух стержней. Но здесь эти результаты могут быть получены только путем применения численных методов.
ГЛАВА 13:
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 13.1. Постановка динамических задач теории упругости
В § 8.4 были выписаны общие уравнения статической теории упругости и соответствующие граничные условия, там же была сформулирована постановка задачи теории упругости. В общем случае движение упругого тела происходит во времени и элементы его обладают ускорениями, поэтому более общей будет постановка динамической задачи теории упругости. В декартовых координатах эти ускорения представляют собою вторые производные от перемещений по времени. Применяя принцип Даламбера, мы получим уравнения движения упругого тела, добавив к действующим силам 歹》силы инерции:
凡f居一P瓦.
Таким образом, уравнения движения, заменяющие (8.4.1), будут следующие:
Gijj — piii + Fi — Q.(13.1.1)
Остальные уравнения (8.4.2)—(8.4.4) и граничные условия (8.4.5), (8.4.6) сохраняются, но теперь к ним нужно добавить начальные условия, а именно,
〃纟=“?， ％ = и?,力=0.(13.1.2)
Оставляя в стороне вопрос о доказательстве существования решения, докажем теорему единственности, при этом мотивировка остается той же, что и для статической задачи в § 8.4. Ход доказательства остается в основных чертах тем же самым. Предположим, что одним и тем же начальным условиям (13.1.2) и граничным условиям удовлетворяют два различных решения системы (13.1.1) и (8.4.2) —(8.4.4), а именно, %, о*^； и；, ©• Тогда разность этих решений щ=щ ——и», о*^ = а^——о*万 удовлетворяет однородным уравнениям движения
Gj, j — р 汇》= 0,(13.1.3)
нулевым начальным условиям
uf 0, й； = 0 при 力=0
и однородным граничным условиям
о订电=О, %i w St, 〃i = 0, Xi ^ Su
(обозначения здесь те же, что в § 8.4).
Умножим (13.1.3) на йй свернем по индексу X и проинтегрируем по объему. Первый интеграл преобразовывается интегрированием по частям
)OijjUidV = ) [(OijU^j —仇产3)] dV = ) OijrijUidS — J о济灯dk
VV6V
Но интеграл по поверхности обращается в нуль вследствие однородных граничных условий.
Заметим, что
• @и • du •• • d (dT
Здесь символом Т обозначена кинетическая энергия, приходящаяся на единицу объема. Таким образом, из (13.1.3) мы получаем
Проинтегрируем это выражение по времени, заметив, что вследствие нулевых начальных условий при 力=0, U = 0 и Г = 0. Получим
^(U + T)dV= 0. (13.1.4) у
Но Т есть положительно определенная квадратичная функция от скоростей 方力 U ——вследствие предположения о выпуклости потенциала ——положительно определенная функция от деформаций е». Поэтому равенство (13.1.4) будет выполнено лишь в том случае, если
&j=： 0, iii 0.
Первое условие означает, что перемещения отвечают движению твердого тела без деформации, из второго следует, что скорости равны нулю, а так как при 力=0 было щ = 0, то перемещение остается равным нулю все время. Отсюда следует
公=以虑=W.
Сформулировав общую постановку динамической задачи теории упругости и доказав теорему единственности, мы перейдем к постановке задач более частного характера, которые и будут рассмотрены в нашем курсе.
Свободные колебания. Упругое тело свободно от действия внешних сил, £ = 0,色泌=0 на &. Часть поверхности Su может быть неподвижно закреплена, на ней щ = 0. Заданы начальные условия (13.1.2). Таким образом, тело приводится в движение сообщением ему начального распределения перемещений и скоростей.
Вынужденные колебания. Если объемные силы 歹匕 поверхностные силы Ti и заданные перемещения точек поверхности % представляют собою периодические функции времени такие, что
% =成①⑴,北=7細⑴，心=说中(方),
и величины, отмеченные индексом «нуль», от времени не зависят, то в качестве типового представителя функции 屮(力)можно принять
Ф (力)=exp (ipt). (13.1.5)
Действительно, любая периодическая функция может быть представлена рядом Фурье. Построив решение для одного члена этого ряда (13.1.5), мы можем воспользоваться принципом суперпозиции для построения полного решения.
Распространение волн. Если в некоторой части тела внезапно создается возмущение, оно распространяется с конечной скоростью. Это значит, что в точке, находящейся на расстоянии L от источника возмущения, в течение некоторого времени т будет сохраняться покой. Периодическое возмущение, создаваемое в точке, будет вызывать в другой точке, отстоящей от нее на расстоянии Л, также периодическое движение, но сдвинутое по фазе. Задачи подобного типа называют волновыми задачами.
Подобно тому как статические задачи теории упругости допускают вариационную формулировку, решение динамической задачи может быть сведено к отысканию стационарного значения интеграла действия
J dt f (Г — U) dV. (13.1.6) о V
В выражении (13.1.6) Т есть кинетическая энергия на единицу объема Т = 'Ар扇済，а
U — U (%) , % = '/2 (〃i,j + ^j,i) •
При составлении интеграла действия мы считали, что к телу не приложены внешние силы, объемные или поверхностные, которые совершают работу на каком-либо из кинематически допустимых полей перемещений 〃.
Свободные и вынужденные колебания
Будем искать решение уравнений движения в следующем виде:
山=U exp施方.
Здесь Ui ——функции только координат, но не времени. Аналогичным образом представятся, очевидно, компоненты деформации и напряжения. Обозначая теперь через 〃& о仃 амплитуды перемещений и напряжений, так что щ = U^ мы получим вместо (13.1.3) следующую систему:
о 订,j — pco^Ei = 0.(13.2.1)
Граничные условия в случае свободных колебаний должны быть однородными, при этом множитель exp 1st сокращается. Вопрос о начальных условиях мы пока оставляем в стороне. Уравнения связи между амплитудами напряжений и деформаций сохраняют форму обычных уравнений закона Гука
0力=Е^мик^ /.(13.2.2)
Система уравнений (13.2.1) и (13.2.2) при однородных граничных условиях имеет очевидное тривиальное решение щ 三 0, 0仃 三 0. Однако при некоторых значениях параметра з =①人 возможно и ненулевое решение
Ui =屮7, 0灯=s%・
Соответствующие значения параметра 孤 называются собственными частотами упругого тела, а функции 屮'определяют собственные формы колебаний. Заметим, что в (13.2.1) войдут квадраты собственных частот, которые сохранятся при всех дальнейших выкладках, поэтому корню 孤 будет всегда соответствовать второй, равный по величине и противоположный по знаку корень —孤.Мы не будем вводить для этих отрицательных корней специальную нумерацию, но следует помнить, что кроме решения 〃t exp 力①力 всегда присутствует и второе решение щ ехр(—fco^). Это замечание позволяет образовывать из них действительные комбинации, которые одни только имеют механический смысл. ”
Выпишем теперь уравнения, связывающие s* с 屮? ц вытекающие из (13.2.1),
4-J 一 Р建蕾=0.(13.2.3)
Очевидно, что вследствие однородности системы уравнений и граничных условий, функции 屮？ и соответственно s* определены с точностью до произвольного множителя. Уравнения (13.2.1) и (13.2.3) могут рассматриваться как уравнения статической задачи теории упругости с массовыми силами —рсо2^. Пусть со =①比 28 Ю. Н. Работнов
есть какая-либо из собственных частот. Тогда Щ = q^ представляет собою перемещение, вызванное действием распределенных по объему сил 夕?=——①^р(р?・ Аналогичным образом при частоте (о$ 乂力=фг есть перемещение, вызванное силами 尸:=——(о^рфр Но по теореме Бетти (§ 8.10)
J и\р\ау=^и\р\ dv,
или
«з J pq4(p； dP= со订 Р咸屮，dV.vи
Но ^к^ ws и вышенаписанное равенство возможно только тогда, когда интеграл равен нулю, следовательно,
f Р屮緬;&Р=0 侬声s).(13.2.4)
v
Равенство (13.2.4) выражает свойство ортогональности собственных форм колебаний, установленных для элементарной теории стержневых систем в § 6.2. Из условия ортогональности следует, в частности, что частоты ①卜 всегда действительны. Чтобы доказать это, предположим противное, а именно, допустим, что(0[= = а + %р. Уравнение для нахождения собственных частот будет обязательно иметь еще один комплексно сопряженный корень (о2 = а ~ ф. Соответствующие собственные формы будут также комплексно сопряженными
^г= рг + %，* = p2 - 修・
Из условия ортогональности следует
J р (р? +咸)附—0・
Но это равенство возможно лишь тогда, когда а 三 0, Qi = 0; таким образом, движений с комплексными частотами быть не может. Очевидно, что этим исключается и случай чисто мнимых частот.
Поскольку 屮? определены лишь с точностью до произвольного постоянного множителя, их можно нормировать произвольным образом. Обычно принимают
J p^dV=8hs.(13.2.5)
V
Соотношения (13.2.5) выражают условия нормирования и одновременно повторяют условия ортогональности собственных форм.
Принцип суперпозиции позволяет представить общее выражение для перемещений при свободных колебаниях упругого тела следующим образом:
Ui = 2 (^ Sin cofei + Bk coscoft^) ^(3；s).(13.2.6)
k—i
Здесь Ak и Bk — неопределенные константы. Соотношение (13.2.6) получается путем комбинации выражений для перемещений, содержащих множители ехр (士施力). Дифференцируя (13.2.6) по времени, находим
% =》(^k^k cos ^kt — B^k sin (и^ ф^(3；s).
々=1
Приравнивая при 力=0 значения перемещений и скоростей их заданным начальным значениям, получим
25左屮，(瑞)=或(/s), 2 4①々屮:(/s) ~ ^? (/s).
Умножаем каждое из этих равенств на р(р? и интегрируем по объему. Вследствие (13.2.5) в левой части от каждого ряда остается лишь по одному члену и мы получим
Bk = [ р或谪 dV. 4 = " £Р^Ф-爲 (13.2.7) vk v
Следует заметить, что соотношения (13.2.6) не предполагают возможности разложения функций “? и и* в ряды по собственным формам колебаний или фундаментальным функциям(р：・ Начальное распределение скоростей вообще может быть даже не непре^ рывным, и если говорить о сходимости, то речь может идти лишь о сходимости в среднем.
Предположим теперь, что на тело действуют периодические силы с круговой частотой р. Для простоты будем считать, ато 尸i = 0, Тi — ^° ехр ipt на всей поверхности S; рассмотрение более общего случая дополнительных трудностей не встречает. Полагая перемещения и напряжения также пропорциональными ехр ipt и сохраняя обозначения щ и 0百 для амплитуд перемещений и напряжений, получим следующие уравнения:
。订,j — рр2〃? =。(13.2.8}
при граничном условии
S/j = Т?, xs 三 S.(13.2.9}
Представим искомое решение в виде
3 = ": + 或，0 万=0% + 吗.
Здесь 國，0^ — решение статической задачи теории упругости, удовлетворяющее уравнениям равновесия
成川=。,
уравнениям связи и граничным условиям (13.2.9). Тогда первая часть решения 〃狂。力 удовлетворяет следующим уравнениям движение
о；а — рр2 忌=рр2 或.(13.2.10)
Положим 〃； = W〃&(pfii соответственно п^ = 2 аь^，г Подставляя эти выражения в (13.2.10) и исключая производные s*,/ с помощью (13.2.3), получим
2 «fep (①^ - 丁)Ф^ = p?2或.
Умножая на фГ и интегрируя по объему, с помощью (13.2.5) найдем
Отсюда следует
Если р =(0m, т. е. частота возмущающей силы совпадает с одной из собственных частот упругого тела, соответствующий коэффициент обращается в бесконечность, т. е. наступает резонанс. Доказательство того, что непрерывные и дважды дифференцируемые функции 〃乞， удовлетворяющие кинематическим граничным условиям, могут быть представлены абсолютно и равномерно сходящимися рядами фундаментальных функций или собственных форм колебаний выходит за рамки этой книги.
Неравенство Рэлея и метод Ритца
Умножим обе части уравнения (13.2.1) на 辽厶 проинтегрируем по объему и разрешим полученное равенство относительно со2. Найдем
со2 = 4.(13.3.1)
I pwf dv
V
Преобразуя числитель интегрированием по частям при однородных
граничных условиях, получим
со2 = J・(13.3.2)
Если 〃小=屮：，то уравнение (13.2.1) выполняется при со = coft и формула (13.3.1) либо (13.3.2) даст точное значение квадрата собственной частоты с номером к. Но если щ ——произвольные функции, то уравнение (13.2.1) не вьшолняется, формула (13.3.2) определяет некоторое число о?, которое, вообще говоря, не представляет собою квадрат частоты каких-либо свободных колебаний системы. Покажем, что функционал, фигурирующий в правой части (13.3.1) или (13.3.2), позволяет получить оценку по крайней мере для наименьшей из собственных частот. Условимся нумеровать собственные частоты в порядке возрастания, так что
S V(02 V 33 V …
Выберем в качестве щ произвольную систему трех дифференцируемых и непрерывных функций, удовлетворяющих кинематическим граничным условиям. Тогда, в соответствии с замечанием, сделанным в конце § 13.2,
〃乞=N
А так как вследствие (13.2.3)
。万，1/ = £ 0在S万/ = p * ah①在中i.
J dV= akam^k j PahpF dP= £ 威诚.
Совершенно аналогично вследствие ортогональности главных форм J Р7〃3&Р= 2 唸
Теперь соотношение (13.3.1) можно переписать следующим образом:
①2 一 "；若+ W唠+…
ai + «1 + …
или
СО2 = С01СО2 = С01臂+礴(%/%)2+…臂+礴(%/%)2+…
СО2 = С01
СО2 = С01
臂+礴(%/%)2+…
臂+礴(%/%)2+…
Но каждый член ряда в числителе не меньше соответствующего 仰ена ряда в знаменателе, так как ((ojg)2>l, поэтому o)i^(o2
и (13.3.2) можно заменить следующим неравенством:
со?<у.(13.3.3)
Здесь U ——упругий потенциал, вычисленный для заданной системы перемещений 辽办 Т ——выражение кинетической энергии, в котором скорости заменены перемещениями 〃八
Неравенство (13.3.3) дает верхнюю оценку для низшей частоты колебаний упругого тела. Если функции щ содержат некоторое число к неопределенных параметров Cs, то £7 = Г (cs) и 7 = = 7(cs)・ Наи лучшим приближениям для ①;будут соответствовать значения 点，минимизирующие дробь в правой части (13.3.3), поэтому должно быть
(*)=°-
Отсюда
или, полагая 077 =(о2,
手=о.(13.3.4)
дс& дс&'/
Наиболее простой результат получается тогда, когда параметры Cs входят в выражение и£ линейно, а именно,
S = £ с/.(13.3.5)
5=1
Тогда уравнения (13.3.4) линейны и однородны; для существования нетривиального решения необходимо, чтобы детерминант системы был равен нулю. Это условие приводит к алгебраическому уравнению степени 及 относительно о?. Вследствие неравенства Рэлея наименьший корень этого уравнения будет давать верхнюю оценку для (о2, которая может только улучшиться с увеличением А. При увеличении " корень уравнения с номером ш будет стремиться к величине ①^, при этом нельзя сказать сверху или снизу. Доказательство этой теоремы мы не приводим, заметим лишь, что для ее выполнения необходима полнота системы функций /工 т. е. возможность представления любой допустимой системы перемещений 弘 в виде (13.3.5). Описанная приближенная процедура определения частот носит название метода Ритца.
Распространение плоских волн в неограниченной упругой среде
Выражая в (13.1.3) напряжения через компоненты перемещения с помощью закона Гука, получаем для общего случая тела с произвольной анизотропией следующие дифференциальные уравнения движения:
扌 Etjhi (〃/u)+ uifkj) — P〃i — °・(13.4.1)
Будем называть плоской волной такое решение системы (13.4.1), которое описывает перемещение неизменной конфигурации в направлении единичного вектора 厶 со скоростью с. Как оказывается, решения такого типа, соответствующие постоянной скорости с, не зависящей от конфигурации, возможны лишь в неограниченной упругой среде. Согласно определению поле перемещений, соответствующее плоской волне, дается следующими выраже^
НИЯМИ：
ut = a•(或一&瑞).(13.4.2)
Подставляя его в (13.4.1), получим
扌石万弘(^kninj +u2儿在电)-P0卢2=0・
Полагая Ui = 8isUs, приведем эту систему к следующему виду:
2 Е订%2 (〃2因6&S + ^h^j^ls) PbjsC?] U$ = 0.
Эта система однородных линейных уравнений имеет нетривиальное решение тогда, когда определитель ее равен нулю. Условие det J %ЕMhi Si电6hs + "左〃抖心)一 рб|з^2 J = 0(13.4.3)
представляет собою кубическое уравнение относительно с2, решение которого определяет для каждого направления л три скорости распространения плоских волн. В частном случае, если тело изотропно, то, как было показано в § 8.2, тензор модулей упругости имеет следующий вид:
Eijhi = ^ifiki 4" 2卩“6〃.
Внесем эти выражения в уравнение (13.4.3). Заметим, что
3 仃3 班 3hs〃也=5ij3h6s 〃必/ = btkbji618nh电=几 i 几s, ^ik^jl^ks^l^j = 6/s.
Теперь уравнение (13.4.3) для скоростей плоских волн примет следующий вид:
det II (X + ц) &% + рА§ — pc26iSH = 0.(13.4.4)'
Для изотропного тела, очевидно, скорости распространения волн во всех направлениях одинаковы, поэтому в (13.4.4) можно принять, например, % = 1, п2 = п3 = 0. Теперь это уравнение запишется следующим образом:
X + 2|Л — рс20оX + 2|Л — рс20оо卩 _ рс20о卩 _ рс2000卩一р/00卩一р/=0.=0.
X + 2|Л — рс2
0
о
X + 2|Л — рс2
0
о
о
卩 _ рс2
0
о
卩 _ рс2
0
0
0
卩一р/
0
0
卩一р/
=0.
=0.
Как видно, оно имеет двойной корень, следовательно, в изотропном теле получается не три, а две скорости распространения плоских волн, а именно,
% = /千，。2=]/下.(13.4.5)
Заметим, что для изотропного тела уравнения движения можно было сразу записать в следующей форме:
(厶 + 卩)9/ + 卩八心一pUi = 0.(13.4.6)
He нарушая общности, мы можем рассмотреть волны, распространяющиеся вдоль оси %1, а именно:
продольные волны: ut = u(ct — xl)1 и2 = и3 = 0, 9 = 〃'； первое уравнение движения приводится к следующему:
(X + 2ц — pc2)uf/ = 0.
Уравнение удовлетворяется, когда с = с^
поперечные волны: 〃】=〃з = 0, ^2 = u(ct — ^J. Подстановка во второе уравнение движения приводит к результату
(ц — рс?)4〃 = 0.
Таким образом» с2 есть скорость распространения поперечных волн.
Заметим, что для поперечных волн 9 = 0, распространение их не сопровождается изменением объема. С другой стороны, для продольных волн rot w =0. Поэтому их называют, соответственно, эквиволюминальными и безвихревыми или волнами искажения и расширения.
В § 2.10 была рассмотрена задача о распространении продольной волны в стержне. Скорость ее, согласно элементарной теории, давалась выражением & = ¥£7р. Эта скорость отлична как от а, так и от &• В действительности волны вида (13.4.2) в стержне, представляющем собою ограниченное тело, распространяться не могут, возмущение, переносимое вдоль оси стержня, меняет свою конфигурацию.
Заметим, что сделанный вывод о возможности существования двух типов волн, распространяющихся со скоростями с4 и с?, носит в известном смысле менее общий характер, чем упомянутый результат в § 2.10. Действительно, отыскивая решение в виде
〃i(c% —力)，мы предполагаем, что функции 〃》по крайней мере дважды дифференцируемы, в противном случае подстановка их в уравнения движения была бы бессмысленна. Первые производные от функций и： по времени — это скорости. Напряжения выражаются через первые производные от перемещений по координатам. Эти первые производные должны быть непрерывны, следовательно, волны рассматриваемого типа не могут нести разрывов скоростей или разрывов напряжений. Для стержня мы сразу предположим, что на фронте волны скорость и деформация, а следовательно, напряжение, меняются скачком, и получим скорость фронта в этом предположении. Волны, несущие разрывы производных от перемещений, т. е. скоростей и напряжений, называются волнами сильного разрыва или ударными волнами. Возможность распространения ударных волн в неограниченной упругой среде со скоростями q и с2 требует дополнительного обоснования. Для продольных волн сильного разрыва применение этого обоснования получается в результате буквального повторения анализа § 2.10 для стержня. Совершенно аналогичные рассуждения, основанные на теореме о количестве движения, позволяют установить возможность распространения ударных волн искажения. Таким образом, уравнения движения упругой среды допускают решения, содержащие разрывы первых производных от перемещений.
Отражение волн
(13.5.1)(13.5.1)Продольная волна, распространяющаяся в направлении оси %i, есть, как мы видели, следующее решение уравнений движения:
(13.5.1)
(13.5.1)
〃1 = / (/[ — С[力),〃2 = 〃3 = 0・
Предположим теперь, что плоская волна распространяется не
вдоль оси 力I, а вдоль некоторой прямой, лежащей в плоскости х{х2 и составляющей угол а с направлением оси Xi (рис. 13.5.1). Направляя ось 自 по этой прямой, мы найдем по формулам преобразования координат
^ = a：i cos а + х2 sin а.
Перемещение U направлено вдоль оси Е и равно
U = fg cos а + g sin а — q力).
Теперь это перемещение можно спроектировать на оси % и д, мы получим
〃i = / (力1 cos а + 力2 sin а — cj) cos а,
〃2 = /(^i cos а + g sin а — cR)sin a,(13.5.2)
% = 0.
Совершенно аналогичным образом можно записать величины перемещений ui? связанных с плоской волной искажения, распространяющейся вдоль луча, лежащего в плоскости 力匕 х2 и составляющего угол 0 с осью 力i・ Теперь
卩=g (© cos § 十 д sin § — &力)
есть перемещение, перпендикулярное к направлению распространения, и составляющие этого перемещения по осям координат
Hi = g (& cos § + & sin § — c2t) sin p,
〃2 = g (色 cos § + 力2 sin § — q力)cos p,(13.5.3)
〃з = 0.
Теперь рассмотрим следующую задачу. Упругая среда занимает полупространство 力i > 0, граница полупространства жестко закреплена таким образом, что на ней перемещения равны нулю (рис. 13.5.2). Справа под углом а0 к оси 力 1 идет волна расширения UQ = /0. Перемещения Ui и и2 в падающей волне даются формулами (13.5.2), в которых нужно заменить а через а0 и q через —а, %так как направление движения волны
[ / на рис. 13.5.2 противоположно тому, ко-
幺工豆 торое было принято при выводе этих формул. В акустике и оптике волна, па- ^ а.дающая на плоскую преграду, отражается
от нее. То же происходит и с упругими волнами, но если на преграду падает волна расширения, то отражаются уже
Рис. 13.5.2две волны: волна расширения и волна
искажения. Сделаем это предположение и покажем, что оно единственное возможное. Итак, предположим, что на стенку падает волна расширения под углом а。， отражается волна расширения U = / под углом а и отражается волна искажения V = g под углом 0. Компоненты полного перемещения найдутся как суммы компонент перемещений от этих трех волн. Комбинируя формулы (13.5.2) и (13.5.3) и учитывая сделанные замечания о разнице направлений падающей и отраженной волн, получим
= /о (力1 cos «о + 力2 sin а0 + cR) cos a0 +
+ f(Xi cos a + g sin a — c^t) cos a — g (力i cos 0 + g sin 0 — q力)sin 0,
〃2 = /о (力1 cos a0 + 力2 sin a0 + cR) sin a0 + ..
+ / (力1 cos a + g sin a — q力)sin a + g (力【cos 0 + g sin 0 — c2t) cos §, % = 0.
Перемещения должны обращаться в нуль на жесткой стенке при g = 0. Следовательно,
/0 (力2 sin а0 + Cit) cos а0 + /(^2 sin а — q力)cos а —
—g (力2 sin § — &力)sin § = 0,
(13.5.4) /о (力2 sin а0 + cR) sin а0 + f(x2 sin а — c止)sin а0 +
，+ g (力2 sin § — 02力)cos § = 0.
Эти равенства должны выполняться для любых значений х2 и 力 а это возможно только тогда, когда аргументы всех функций одинаковы. Это значит, что
力2 sin а0 + с/ =—力2 sin a 十 с/ = (— x2 sin 0 + %%) —•
Отсюда
sin a = — sina0, sin§=——~ sina0.(13.5.5)
Таким образом, волна расширения отражается по закону геометрической оптики, угол падения равен углу отражения. Кроме этого возникает волна искажения, отражающаяся под углом §, при этом 丨0| V |а01, как показано на рис. 13.5.2. Если известна форма падающей волны, т. е. функция /0, из уравнений (13.5.4) находятся функции / и g, определяющие форму отраженных волн. Как видно, они отличаются от функции /0 лишь постоянным множителем, а для функции g также масштабом аргумента.
Мы рассмотрели для простоты довольно искусственную задачу об упругой среде, скрепленной с абсолютно жесткой стенкой. Более реальная задача это, конечно, задача об отражении волны от свободной поверхности. Решается она точно таким же способом, только вместо условия и{ = и2 = 0 при 力i = 0 нужно использовать условие Он = 012 = 0. Напряжения выражаются через первые производные от перемещений, вместо (13.5.4) получатся некоторые равенства, содержащие производные функций f0, / ng. Совершенно такие же рассуждения убеждают в том, что функции должны зависеть от аргументов, отличающихся лишь множителем, и мы неизбежным образом приходим к соотношениям (13.5.5)」
Предположим теперь, что на плоскую стенку падает волна искажения под углом 瓦.Все построение производится совершенно аналогично, нет надобности его повторять. Мы находим, что от стенки отражаются две волны, волна искажения под углом § и волна расширения под углом а, при этом
sinp = — sin0o, sin а =——~ sin ро.
Но с】>。2, поэтому угол а больше, чем угол 0, и решение справедливо лишь до тех пор, пока Isinal < 1. Для этого необходимо, чтобы угол В。не превосходил критического значения
Во V arcsin—.ci
Если коэффициент Пуассона v = 1/3, cjc2 = 2, 隔=30°. Задача о взаимодействии с преградой волны искажения, падающей под углом большим чем критический, решается совершенно иными средствами и совсем не элементарна.
Установленные в этом параграфе факты проливают свет на те волновые процессы, которые могут происходить в ограниченной упругой среде. Даже если начальное возмущение было таково, что оно порождало лишь простые волны одного какого-либо рода, продольные или поперечные, в результате отражений будут возникать и продольные, и поперечные волны, распространяющиеся с разными скоростями. Поэтому решение типа рассмотренных в § 13.4, когда одно и то же деформированное и напряженное состояние переносится без изменения с постоянной скоростью, для ограниченных упругих тел, вообще говоря, невозможно.
Распространение волн в слое конечной толщины
Сделанное в конце § 13.5 замечание не исключает возможности распространения с постоянной скоростью волн специального вида. Особую роль для теории играют синусоидальные волны / = ==sin к{х — ct) X const. Здесь к = 2л/A, L — длина волны, со = =кс ——круговая частота колебательного движения фиксированной точки. Ясно, что вместо синуса можно взять косинус; поскольку уравнения линейны, решения можно складывать, поэтому мы будем задавать синусоидальную волну с помощью комплексного представления / = exp ik (z — ct) X const, суперпозиция двух таких комплексных волн всегда позволит выделить действительную функцию. Обратимся теперь к уравнениям (13.4.6). Дифференцируя по Xi и суммируя, найдем
(九 + 2卩)аё - p 察=°
ИЛИ
您6 —嗯=0.(13.6.1)
dt
Теперь, продифференцируем первое из уравнений (13.4.6) по д, второе по %1 и вычтем одно из другого. Вспоминая определение
антисимметричного тензора ①订，получим
卩а8灯一P —v ot卩а8灯一P —v ot=0.=0.
卩а8灯一P —v ot
卩а8灯一P —v ot
=0.
=0.
Вместо индексов 1 и 2 мы написали i и у, потому что из (13.4.6) можно получить три уравнения для всех возможных комбинаций индексов. Перепишем последнее уравнение так:
e也8万-碧^ = 0.ate也8万-碧^ = 0.at(13.6.2)(13.6.2)
e也8万-碧^ = 0.at
e也8万-碧^ = 0.at
(13.6.2)
(13.6.2)
По виду уравнений (13.6.1) и (13.6.2) можно предположить, что величина 0 распространяется со скоростью с^ величина 3仃 со скоростью &• Но это не совсем так, мы не можем поставить раздельные граничные условия для 0 и для ①订，поэтому фактически уравнения оказываются связанными между собой. Однако эти соображения играют определенную наводящую роль при выборе структуры предполагаемых решений тех или иных задач. Сейчас мы рассмотрим следующую задачу. Бесконечная плита ограничена плоскостями д = ±无.Нужно выяснить вопрос о возможности распространения синусоидальных волн в направлении оси 力 1. Предполагается, что перемещение 〃з = 0. Граничные плоскости 力2 = ±无 свободны от напряжений. Таким образом, нужно найти перемещения 〃i (力匕 力2,力)и 〃2(色,力2,方)• Положим
〃1 =屮/+ 电2, 〃2 =屮,2 -屮,一 (13.6.3)
Вместо неизвестных функций 〃i и 〃2 мы ввели две другие неизвестные функции ф и ф. Вычисляя 0 и С012 = со, получим
0 = Д(р, со =厶屮.
Потребуем, чтобы ср и р удовлетворяли уравнениям (13.6.1) и (13.6.2). а именно, чтобы было
С込屮一票 =0, e込屮一票 =0.(13.6.4)
Если ср и 4)удовлетворяют уравнениям (13.6.4), то 0 и со удовлетворяют (13.6.1) и (13.6.2). Вопрос об общности такого представления остается открытым, во всяком случае формулы (13.6.3) будут определять некоторое решение уравнений динамической теории упругости, а если мы сумеем удовлетворить граничным условиям ——мы найдем некоторое возможное движение упругой среды. Вопрос о том, как создать это движение, также остается открытым.
Будем искать решение уравнений (13.6.4) в виде
屮=/(&) exp ik (%i — ct), 屮=g (g) exp ik (g — ct).
Подставляя выражение для ср в (13.6.4), получим уравнение для /(g)
f-a2/ = 0,
Общий интеграл этого уравнения
/ = Л ch а& + 3 sh а&・
Совершенно аналогичным образом находим
g = С ch Рз + О sh р&,俨=乃2 (]—濟岗)・
Ограничимся рассмотрением волновых движений, симметричных относительно плоскости х2 = 0. При этом 〃】должно быть четной функцией от 力2, а 〃2 ——нечетной. Для этого необходимо, чтобы /(д) была четной, a g(%2)——нечетной. Следовательно, В = С = 0, поэтому
f(x2) = A ch ад, g (力2)=。sh gg.(13.6.5)
Теперь по формулам (13.6.3) мы можем найти выражения для перемещений, а именно,
〃i = W + g‘)exp ik(力]—с力),((3 6 6)
〃2 = (/' — ikg) exp ik (g — ct).
Вследствие симметрии достаточно, чтобы граничные условия были удовлетворены при х2 = +无,условия при х2 = —h выполняются при этом автоматически. На свободной поверхности должно быть 022 = 012 = 0, следовательно,
"1,2+〃2, 1 = 0,九6 + 2卩"2, 2 = 0,/2 ="(13.6.7)
Внесем выражения 〃i и 〃2 по формулам (13.6.6) в граничные условия, подставим туда значения (13.6.5) для функций / ng. Получим
A2ika sh а% + О (俨 + к2) sh §历=О,
Л [с；а2 — (с； — 2或)F] ch ah — D2c^ik^ ch 曲=0.
Эта система допускает для А и D ненулевое решение тогда, когда определитель системы равен нулю. Запишем это условие, заметив предварительно, что
e汝2 -(e: - 2唠)依=W 啰 一 ₽2) •
Получим
(13.6.8)(13.6.8)есть уравнеесть уравнеthafe -(炉+経产・
(13.6.8)
(13.6.8)
есть уравне
есть уравне
Поскольку а 迈 В зависят от с, уравнение (13.6.8)
ние, определяющее скорость распространения синусоидальных
волн в плите. При выводе мы предполагали, что с < с2< с^, поэтому а и В действительны. Но это предположение несущественно; может оказаться, что уравнение (13.6.8) имеет и такие решения для с, при которых либо §, либо а и § становятся мнимыми.
Исследование корней уравнения (13.6.8) затруднительно и мы ограничимся двумя крайними случаями.
Длинные волны. Если длина волны L велика по сравнению с 无,то 0% и а% малы по сравнению с единицей и гиперболические тангенсы можно заменить первыми членами их разложений. Получим
0 — 4〃2aB彦=(旷十"2)2・
Очевидное решение этого уравнения есть Р — 0, следовательно, с = с^ в пластине возможно распространение волн сдвига. Предполагая р =/= 0, получим
4济必=(虫+ 俨)2.(13.6.9)
Подставляя сюда выражения а и Р и разрешая относительно с, находим
Заменив с； и с| их выражениями через упругие константы и плотность и переходя к техническим постоянным £* и v, представим этот результат в следующем виде:
(1-v2) I(1-v2) I(13.6.10)
(1-v2) I
(1-v2) I
Скорость, определяемую формулой (13.6.10), можно назвать «пластиночной». Ее можно получить по элементарному способу § 2.10, рассматривая распространение плоского фронта разрыва. Стесненность деформации условием езз = 0, как мы знаем, приводит к увеличению жесткости в отношении 1: (1-v2).
Короткие волны. Гиперболический тангенс с увеличением аргумента стремится к единице, поэтому для коротких волн (13.6.8) принимает вид
илиили4Fa₽ =(俨+ 〃2)2
или
или
(13.6.11)
Раскрывая скобки, получим кубическое уравнение для с2, которое мы не будем выписывать в развернутом виде. Оно имеет три корня, из которых только один определяет скорость с V。2. При с > <?2 величина 0 оказывается мнимой и приведенный выше анализ теряет силу. В результате вычислений оказывается, что при w = 1/4 с = 0,9194 с2, а при v = 1/2 с = 0,9553 с2.
При малых а и р возмущение проникает на малую глубину от поверхности пластины и взаимное влияние двух свободных поверхностей практически отсутствует. Если рассмотреть задачу не об упругом слое конечной толщины, а об упругой полуплоскости, уравнение (13.6.11) будет определять скорость распространения поверхностных воли — так называемых волн Рэлея.
Возвращаясь к общему уравнению (13.6.8), мы убеждаемся, что скорость распространения синусоидальной волны зависит от ее длины. Поэтому заданное возмущение произвольной формы, которое можно представить как сумму гармонических составляющих, будет распространяться по стержню, меняя свою форму. Это явление, т. е. зависимость скорости от длины волны и, как следствие, искажение формы импульса, называется дисперсией, в данном случае геометрической дисперсией, происходящей от наличия свободных границ.
Распространение волн в стержнях
Задача о распространении продольных, крутильных и поперечных волн в длинных стержнях круглого сечения была рассмотрена в 70-х годах прошлого столетия одновременно и независимо Похгаммером и Кри; относительная сложность полученных ими общих формул делала в течение долгого времени их результаты мало обозримыми, лишь в 30-х ——40-х годах были произведены расчеты и построены графики зависимости фазовой скорости от длины волны для случая, когда поле перемещений
осесимметрично.
Весь анализ для случая цилиндрического стержня аналогичен
анализу задачи о распространении волн в пластине, но соотношения (13.6.3) заменяются соответствующими соотношениями
в цилиндрических координатах; уравнения (13.6.4) также запи
сываются в цилиндрических координатах. Вместо функций f(x2) и g (力2)появляются соответству
ющие функции от радиуса, которые удовлетворяют уравнениям Бесселя и скорости волн определяются из трансцендентного уравнения, заменяющего (13.6.8), но содержащего бесселевы функции. Как и для пластины, весьма длинные волны распространяются со «стержневой» скоростью с。= =УА7р, тогда как весьма короткие волны идут по поверх-
Рис. 13.7.1ности со скоростью волн Рэлея.
На рис. 13.7.1 представлена зависимость скорости волны, поделенной на с。，от отношения а/L —— радиуса цилиндра к длине волны. Горизонтальная асимптота соответствует скорости волн Рэлея.
Следует заметить, что эта кривая представляет собою не един
ственное возможное решение соответствующего уравнения, оно справедливо для так называемой первой моды. Для того чтобы
пояснить существо дела, обратимся к формулам (13.6.6), которые сохраняют для стержня примерно такую же структуру. В результате суперпозиции волн, идущих в прямом и обратном направлении, получаются стоячие волны, т. е. решение типа
и = U(r)sin кх sin kct.
Для перемещений иг и их формула имеет одинаковую структуру, поэтому индексы не поставлены. При колебаниях по первой моде перемещения в зависимости от длины волны либо направлены в одну сторону при всех г, либо меняют знак один раз при некотором определенном значении радиуса, который определяет узловой цилиндр. При следующих модах появляется несколько узловых цилиндров.
Сложность точного анализа этой задачи вызвала появление различного рода приближенных теорий, которые обычно строятся следующим образом. Делается некоторое кинематическое предположение о характере распределения перемещений, составляется функционал действия по Гамильтону, варьированием этого функционала получается дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений задачи (идея чрезвычайно близкая к той, которая лежит в основе построения технической теории изгиба балок и пластйн). Простейшая теория, которая будет изложена ниже, основывается на уравнении, выведенном еще Рэлеем. Это уравнение содержит предположение элементарной теории о сохранении плоских сечений, но принимает во внимание инерцию поперечного движения элементов стержня. Направим ось 力i по центральной оси стержня произвольного поперечного сечения, тогда оси х2 и 力з будут лежать в плоскости поперечного сечения. Полагая деформацию е” = ult i независящей от 力2, /з, найдем &2 = &з = —vu^ ъ следовательно, перемещения равны
〃2 == —VZZ1(丄力2,〃3 == —W〃4,丄力з・
Кинетическая энергия на единицу длины балки будет
Т = Р (歹〃:+ V2ZpUisl).
Здесь F ——площадь сечения, 7Р ——полярный момент инерции.
Опуская индексы при и4 и 力匕 напишем выражение для действия:
H =曲爲扪 一 Е 传『｝也(13.7.1)
Здесь г ——радиус инерции сечения, Ip = F俨.Проварьируем функционал (13.7.1). При этом воспользуемся тем обстоятельством, что символы варьирования и дифференцирования переставимы, 29 ю. н. Работнов
поэтомупоэтому2 \дх dt) — дх dt дх dt — дх \дх dt dt / dd @力 dt2 \дх dt) — дх dt дх dt — дх \дх dt dt / dd @力 dt
поэтому
поэтому
2 \дх dt) — дх dt дх dt — дх \дх dt dt / dd @力 dt
2 \дх dt) — дх dt дх dt — дх \дх dt dt / dd @力 dt
=花［石^丽丿—矶豆屯叫+*^
Вследствие симметрии левой части относительно 力 л % в правой части можно поменять местами 力 и 力 и получить путем сложения этих результатов симметричное выражение. Мы не будем это делать, а просто внесем найденные вариации квадратов производных в выражение функционала Н и выполним интегрирование но 力 и но 力.Получим
8Н =8Н =+ pv2r2+ pv2r2鋁+Е^) 8udx +
8Н =
8Н =
+ pv2r2
+ pv2r2
十 J (...)成 + ](・•・)dx^
Вследствие произвольности вариации 3儿 для всех 力広力 отсюда следует дифференциальное уравнение
д2UО?" .2 2—о2 + W 产仇产次2д2UО?" .2 2—о2 + W 产仇产次2дх2 dt2дх2 dt2=0.=0.(13.7.2)(13.7.2)
д2UО?" .2 2
—о2 + W 产
仇产次2
д2UО?" .2 2
—о2 + W 产
仇产次2
дх2 dt2
дх2 dt2
=0.
=0.
(13.7.2)
(13.7.2)
Это уравнение было получено Рэлеем и приведено в его книге «Теория звука», оно воспроизводится в курсе Лява [7]. В стержне, движение которого описывается уравнением (13.7.2), возможно распространение прогрессивных гармонических волн. Полагая и = ехр [等(с力——х) и подставляя это выражение в уравнение, мы найдем
1C°l + *2y2 (〃£)2・1C°l + *2y2 (〃£)2・(13.7.3)(13.7.3)
1
C°l + *2y2 (〃£)2・
1
C°l + *2y2 (〃£)2・
(13.7.3)
(13.7.3)
На рис. 13.7.1 штрихами показана зависимость фазовой скорости от отношения радиуса к длине волны для круглого стержня, для которого 产=〃2/2. Как видно, для волн, длина которых равна или превышает диаметр стержня, совпадение с точным решением очень хорошее.
Размытие фронта сильного разрыва
Поправка Рэлея повышает порядок уравнения до четвертого, линии с力士％ уже не служат характеристиками уравнения (13.7.2), поэтому распространение сильных разрывов вдоль характеристик теперь оказывается невозможным. Очевидно, что перемещение и не может быть разрывным, сильным разрывом в нашем случае будет разрыв деформации е = ди/дх или скорости у = du/dt. Вследствие линейности (13.7.2) и постоянства коэффициентов как деформация, так и скорость удовлетворяют тому же самому уравнению, поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать это уравнение, в котором и заменено через у. Если граничное условие на конце, например, полубесконечного стержня задано как ступенчато изменяющаяся функция от времени, в плоскости %, i мы уже не получим разрывного решения, разрыв будет размываться. Заметим, что в уравнении (13.7.2) имеется малый параметр при старшей производной. Если длина волны L значительно больше, чем 厂，то дифференцирование по х эквивалентно по порядку делению на L, и безразмерный малый параметр (厂/厶产 появляется явным и очевидным образом. Для исследования размытия фронтов мы поступим иным образом. Перейдем от переменных % и £ к характеристическим переменным обычной задачи о продольных волнах
g = а； + с。力 Т)= ж — с。九
Прямая волна распространяется в направлении &; если в обычной теории это волна сильного разрыва, то скорости и деформации не меняются в направлении Е, производные по 己 равны нулю. Но в перпендикулярном направлении 口 эти величины претерпевают скачок, грубо можно сказать, что производные их обращаются в бесконечность. Естественно ожидать, что и решение (13.7.2) будет обладать сходными особенностями, функция у будет медленно меняться в направлении & и быстро меняться в направлении ". Поэтому производные по п будут по величине значительно больше, чем производные но &, и при преобразовании четвертой смешанной производной в уравнении (13.7.2) мы удержим только один, самый большой член, соответствующий четырехкратному дифференцированию по 斗 В результате получим
(13.8.1)(13.8.1)или в результате интегрирования по ” ди v2r2 93р
(13.8.1)
(13.8.1)
Из этого уравнения можно сделать немедленно качественный вывод о размере области размытия фронта, который был задан при / = 0 как разрывная функция времени. Оценим протяженность этой области линейным размером d. Сравнивая порядки величин двух членов уравнения (13.8.1), по-
D 2 У
лучим (числовые множители опущены) ^ = г Отсюда следует оценка
d /тЛг,(13.8.2)
Уравнение (13.8.1) допускает автомодельное решение. Введя новую переменную
о
С= П(呜Т/З, Q = z V2r2,
или, если обозначитьили, если обозначитьмы преобразуем его в обыкновенное дифференциальное уравнение
или, если обозначить
или, если обозначить
du麻—…du麻—…(13.8.3)
du
麻—…
du
麻—…
Это — известное уравнение Эри, ограниченное решение которого записывается следующим образом:
(13.8.4)(13.8.4)卩= CAi (?・
(13.8.4)
(13.8.4)
Здесь Ai (匸)——функция Эри, которая выражается следующим образом через функцию Бесселя:
Ai (9 = 1/U1/3 仔叫・
Разрывное решение в случае, когда концу полубесконечного стержня внезапно сообщается скорость у0, удовлетворяет условиям г? = 0 при n V 0 血 о = Do при п > 0. Подчиним решение уравнения (13.8.3) условиям г?(оо)= =〃о, у(——оо) = 0. Не приводя детальных выкладок, выпишем окончательный результат (Кукуджанов, 1970)
Ai© 関.Ai© 関.吁％吁％
Ai© 関.
Ai© 関.
吁％
吁％
На рис. 13.8.1 показана форма размытого фронта в зависимости от безразмерной координаты £ Переход к характеристическим координатам g, rj УIи натуральным координатам х, t производит
ся без труда. Изображенная на рисунке кар- Iтина растягивается по мере продвижения
\— фронта в соответствии с оценкой (13.8.2). Су-
/щественно отметить первый максимум, орди-
/ната которого превышает высоту заданного
скачка примерно на 25%.
卜1Миндлин и Херрман предложили более
0л точную и сложную систему приближенных
р я、 уравнений, учитывающих поперечную инер-
Гис.цию и сдвиг. Любопытно отметить, что, как
показал Кукуджанов, эта более точная теория при применении описанного выше асимптотического метода приводит к тому же результату.
Недостаток уравнения (13.7.2) состоит в том, что оно соответствует бесконечно большой скорости распространения импульсов, волнистая кривая, изображенная на рис. 13.8.1, уходит вперед бесконечно далеко. В действительности передний фронт образован волной расширения, которая движется вдоль оси стержня с наибольшей скоростью, но очень быстро ослабевает с расстоянием. Далее, по-видимому, возникает сложная комбинация продольных и поперечных волн, отражающихся от боковой поверхности, и наиболее возмущенная область продвигается со скоростью со.
Приведенный анализ представляет интерес для правильной интерпретации результатов динамических испытаний стержней из упруго-пластического материала. Обычно при этом в основу полагается элементарная теория гл. 2, видоизмененная в результате введения тех или иных гипотез о пластическом поведении. Эффекты, связанные с поперечной инерцией, часто искажают результаты и делают сомнительными аргументы, приводимые в пользу той или иной из конкурирующих гипотез.
ГЛАВА 14
ДИСЛОКАЦИИ В УПРУГОМ ТЕЛЕ
Дислокации в кристаллах
За последние десятилетия в физике твердого тела получило широкое распространение представление о несовершенствах кристаллической решетки, называемых дислокациями. Этим несовершенствам приписывается основная роль при объяснении ряда особенностей поведения реальных кристаллов. Механизм пластической деформации, ползучести, разрушения, рассеяния энергии при циклическом деформировании связываются большинством современных авторов с перемещением дислокаций внутри кристалла. Дислокационные представления используются также для объяснения механизма роста кристалла. Возможные дефекты кристаллической решетки не ограничиваются, конечно, одними дислокациями; этим термином называются дефекты особого рода, обладающие совершенно определенными свойствами. Однако дислокационные представления, как оказалось, имеют настолько общий характер, что на их основе можно построить очень большое количество разного рода моделей, объясняющих те или иные свойства реального кристалла, и выбрать из этих моделей те, которые наилучшим образом отвечают опытным данным.
Необходимо заметить, что дислокационные модели для одного и того же явления можно бывает строить различным образом, привнося каждый раз различные физические гипотезы. Поэтому на теорию дислокаций нужно смотреть не как на физическую теорию, направленную на объяснение определенного круга явлений, а скорее как на формальный аппарат, позволяющий конструировать большое количество разнообразных физических теорий. Преимущество дислокационных схем состоит в том, что они позволяют сформулировать гипотезу в точных терминах, не прибегая к интуитивным и зачастую не очень ясным соображениям, и дают возможность произвести расчет, т. е. получить количественный результат.
При построении теории кристаллических дислокаций чрезвычайно плодотворной оказалась идея замены дискретной кристаллической решетки сплошной упругой средой. Дело в том, что всякий дефект кристаллической решетки нарушает равновесие между атомами, в результате чего расстояния между ними меняются. Смещения атомов по отношению к тем положениям,
которые они занимают в идеальной решетке, быстро уменьшаются по мере удаления от дефекта. Поэтому кристалл можно условно разделить на две области: малая область, непосредственно примыкающая к дефекту, где искажение решетки значительно, и весь остальной кристалл, где искажения малы. Эта вторая область с достаточной степенью точности может рассматриваться как сплошная упругая среда. В теории дислокаций делается еще следующий шаг по пути схематизации; несовершенства структуры считаются локализованными вдоль некоторой линии, так называемой линии дислокации, и напряженное состояние описывается как результат решения некоторой задачи теории упругости, соответствующей распределению определенного вида особенностей вдоль линии дислокации.
Такое приближение не всегда достаточно и в ряде случаев в рассмотрение вводится более сложная схема, когда для первой области принимается во внимание реальный характер между- атомного взаимодействия.
Теория упругих дислокаций, т. е. построение и изучение решений уравнений теории упругости, соответствующих некоторому распределению особенностей на заданных линиях, создана достаточно давно. Основные результаты здесь принадлежат Вольтерра. Эта теория носила довольно формальный характер и не имела сколько-нибудь серьезных приложений до тех пор, пока к дислокационным представлениям не прибегла физика кристаллов. С тех пор появилось очень большое количество исследований, направленных на развитие формальной теории дислокаций, и к настоящему времени она приобрела достаточно законченный характер. Здесь будут излагаться лишь элементы формальной теории упругих дислокаций, непосредственные же приложения к физике кристаллов носят чисто и л лю стр атив ный характер.
Для того чтобы ввести понятие о кристаллической дислокации и установить ее связь с упругой дислокацией, рассмотрим модель простейшего кристалла, решетка которого такова, что соседние атомы помещены в вершинах куба. На рис. 14.1.1 изображена одна атомная плоскость такой решетки, линии, соединяющие соседние атомы, образуют одинаковые квадраты. Такое расположение атомов возможно тогда, когда кристалл свободен от дефектов. При наличии дефектов сохранение правильной квадратной сетки уже невозможно, силы, действующие на каждый атом со стороны его соседей, становятся неодинаковыми и решетка искажается. На рис. 14.1.2 изображена атомная плоскость искаженной решетки. Вне области, ограниченной контуром Г, искажение, как видно, невелико. Кристалл с таким незначительным искажением решетки называется «хорошим» кристаллом, точнее, область вдали от дефекта называется «хорошей» областью. Но внутри контура Г, заключающего в себе дефект,
искажение сильнее. Область кристалла с сильно искаженной решеткой называется «плохой».
Осталось дать формальный признак, позволяющий отличать хороший кристалл от плохого. Выберем в идеальной или, как мы будем говорить, эталонной решетке некоторый путь обхода, начинающийся от какого-либо узла, например замкнутый путь abcda. Воспроизведем тот же путь в реальном хорошем кристалле, отправляясь от произвольно выбранного узла 。・ Кристалл считается хорошим, если этот путь может быть воспроизведен
единственным и несомненным способом. Действительно, сравнивая рис. 14.1.1 и рис. 14.1.2, мы не сомневаемся в том, какой узел искаженной решетки соответствует тому или иному узлу эталонной решетки, достаточно только выбрать соответствующие пары соседних атомов, чтобы установить отправную точку и направление выхода; после этого мы без всяких колебаний проводим контур afbfcdfа . Если путь обхода ab'cd/a не окружает плохой области, т. е. не включает в себя контур Г, он будет замкнутым, и при возвращении в точку а эталонной решетки мы вернемся в точку а' реальной решетки, из которой был начат обход. Но если, как показано на рис. 14.1.2, путь обхода окружает плохую область, то может случиться, что путь закончится не в точке а\ а в точке е‘，как показано на чертеже. В этом случае дефект решетки, заключенный внутри контура Г, называется дислокацией. Вектор ае\ представляющий собою величину незамыкания, называется вектором Бюргерса. Более удобно определять вектор Бюргерса не на искаженной решетке, а на эталонной, тогда величина его и направление не зависят от выбора исходной точки обхода и пути, лишь бы он окружал плохую область.
В рассмотренном случае говорят, что в теле произведена дислокация, характеризуемая вектором Бюргерса 6. Легко представить себе, каким образом можно создать в кристалле дислока-
цию. Возьмем лист резины, разграфленный на клетки, разрежем его вдоль одной из нанесенных линий, сместим верхний край разреза относительно нижнего и начнем склеивать края разреза, заботясь о том, чтобы вертикальные линии совпадали. Сначала это можно делать без больших усилий, за счет незначительной деформации резины, по мере приближения к концу разреза это становится все более трудным, резину приходится сильно деформировать. Наконец, когда расстояние до конца остается совсем небольшим, мы вынуждены склеить края как попало, не заботясь о совпадении линий, так как сверху оказываются лишние линии.
Таким образом, конец разреза оказывается окруженным плохой областью. Если теперь воспроизвести на деформированном и склеенном листе замкнутый путь, заданный на листе недефор- мированном или эталонном, этот путь окажется разомкнутым, причем вектор Бюргерса равен величине произведенного сдвига. Хорошая область кристалла может рассматриваться как склеенная упругая среда, поэтому формальная теория упругих дислокаций, рассмотренная в общих чертах в § 11.4, а также для частных случаев в § 9.2 и 10.3, находит приложение в физике металлов.
Однако, как уже было подчеркнуто, предметом этой главы служат не физические приложения, а дальнейшее развитие формальной теории.
В частности, для металлов модель простой кубической решетки, положенная здесь в основу рассмотрения, мало реальна. Наибольший интерес представляют дислокации, расположенные в кристаллографических плоскостях скольжения с вектором Бюргерса, направленным в сторону возможного скольжения. Для гранецентрированной кубической решетки, например, таких систем скольжения (плоскость и направление в этой плоскости) всего двенадцать. Геометрическая теория поведения дислокаций в пересекающихся системах скольжения представляет собою раздел физики твердого тела, она излагается в многочисленных руководствах и здесь затронута не будет (см. например Ван Бюрен) •
Дислокации Бюргерса. Сингулярные члены
В § 11.4 были получены общие формулы, определяющие поле перемещений для дислокаций простейшего вида, а именно таких, которые соответствуют лишь поступательному относительному перемещению сторон разреза. Как это явствует из теоремы Вейнгартена и как предполагается в общей теории Вольтерра, относительное перемещение, вообще говоря, должно соответствовать движению твердого тела, т. е. содержать наряду с поступательным перемещением еще поворот.
В физике твердого тела особую роль играют именно простейшие дислокации рассмотренного типа, которые мы будем называть дислокациями Еюр-
герса ). Общие формулы § 11.4 выражают поле перемещений через поверхностные интегралы по поверхности 2, проходящей через контур Г. Поскольку на поверхности Е напряжения непрерывны, то можно ожидать, что выбор той или иной контрольной поверхности, проходящей через контур Г, несуществен. Поэтому поверхностные интегралы, фигурирующие в формулах (11.4.2), должны преобразовываться в интегралы по контуру Г. Соответствующий вывод можно найти, например, в статье Де Вита, изданной в качестве приложения к книге Эшелби. Здесь мы изложим другой вывод формул для перемещений, соответствующих дислокаций, который принадлежит Бюргерсу. Будем отправляться от решения для сосредоточенной силы Р, приложенной в произвольной точке неограниченной среды, которое мы запишем в первоначальном, непреобразованном виде так, как это спе> дует из представления Папковича ——Нейбера
w=4^7 + grad 收 (14.2.1)
Здесь 屮——непрерывная функция, удовлетворяющая уравнению Пуассона. Задача состоит в определении вектора 〃 смещения в неограниченном упругом теле таким образом, чтобы при обходе по любому контуру, окружающему трубку дислокации, этот вектор получал приращение, равное постоянному вектору Бюргерса Ь. Трубкой дислокации мы будем называть тор(~ идальную полость, окружающую замкнутую линию дислокации Г п такую, что вне этой полости кристалл может считаться хорошим. В переводе на
Рис. 142.1Рис. 142.1язык механики сплошной среды это значит, что путь обхода не должен приближаться к линии Г настолько, чтобы уравнения линейной теории упругости потеряли силу.
Рис. 142.1
Рис. 142.1
Позаботимся прежде всего о том, чтобы получить требуемую многозначность. Гармоническая функция, претерпевающая заданный разрыв при переходе через поверхность Е, натянутую на контур Г, известна; это интеграл Гаусса или потенциал двойного слоя постоянной интенсивности, нанесенного на поверхность,
j言什卜工 (伍22)
Здесь г ——расстояние от произвольной точки прострапства до точки поверхности S, V ——нормаль к этой поверхности.
Будем обозначать координаты точек поверхности через 自з радиус-вектор точки поверхности через &, соответственно координаты произвольной точки пространства с радиусом-вектором 0 будут Xi. Фигурирующая в (14.2.2) производная от 1/г по нормали будет
Но (xi ——&d)/r ——это направляющие косинусы радиуса-вектора, выходящего из точки & к точке х (рис. 14.2.1), следовательно,
8 / 1 \ cos а
尸一而・尸一而・Выражение, стоящее под знаком интеграла в формуле (14.2.2), представляет собою телесный угол, под которым виден из точки g элемент поверхности 2, а функция ф есть телесный угол, под которым виден из точки х контур Г. Таким образом,
尸一而・
尸一而・
(14.2.3)(14.2.3)Полагая
(14.2.3)
(14.2.3)
〃=方屮=一而，
мы выделим ту часть вектора перемещения и, которая обусловливает требуемую неоднозначность. Легко убедиться в том, что формула (14.2.3) представляет собою главную часть перемещения, вызванного непрерывным распределением двойных сил. Действительно, если в некоторой точке поверхности S приложена сила ——6q, а в точке г', находящейся на нормали и отстоящей от поверхности на расстоянии 6s, приложена сила + 6? (см. рис. 14.2.2), то главная часть перемещения по формуле (14.2.1) выразится следующим образом:мы выделим ту часть вектора перемещения и, которая обусловливает требуемую неоднозначность. Легко убедиться в том, что формула (14.2.3) представляет собою главную часть перемещения, вызванного непрерывным распределением двойных сил. Действительно, если в некоторой точке поверхности S приложена сила ——6q, а в точке г', находящейся на нормали и отстоящей от поверхности на расстоянии 6s, приложена сила + 6? (см. рис. 14.2.2), то главная часть перемещения по формуле (14.2.1) выразится следующим образом:величиной порядкавеличиной порядка6e=6e=ММ4л|лг, —4 冗卩 г =4л|лг, —4 冗卩 г =М 3s4呻 dv It ГМ 3s4呻 dv It Гстоянной формула двойныхстоянной формула двойныхУменьшая 6s и увеличивая модуль 6g так, чтобы произведение bqbs оставалось ломало стиполучим двойную силу. Итак,Уменьшая 6s и увеличивая модуль 6g так, чтобы произведение bqbs оставалось ломало стиполучим двойную силу. Итак,(14.2.3) даст перемещение от распределения на поверхности 八 сил интенсивностью 6'6s=bNdW. Момент, приходящийся на единицу площади, есть' 6q X v6s или 卩b х v d W. Интегрируя по поверхности, найдем главный момент всех сил, действующих на поверхность,(14.2.3) даст перемещение от распределения на поверхности 八 сил интенсивностью 6'6s=bNdW. Момент, приходящийся на единицу площади, есть' 6q X v6s или 卩b х v d W. Интегрируя по поверхности, найдем главный момент всех сил, действующих на поверхность,
мы выделим ту часть вектора перемещения и, которая обусловливает требуемую неоднозначность. Легко убедиться в том, что формула (14.2.3) представляет собою главную часть перемещения, вызванного непрерывным распределением двойных сил. Действительно, если в некоторой точке поверхности S приложена сила ——6q, а в точке г', находящейся на нормали и отстоящей от поверхности на расстоянии 6s, приложена сила + 6? (см. рис. 14.2.2), то главная часть перемещения по формуле (14.2.1) выразится следующим образом:
мы выделим ту часть вектора перемещения и, которая обусловливает требуемую неоднозначность. Легко убедиться в том, что формула (14.2.3) представляет собою главную часть перемещения, вызванного непрерывным распределением двойных сил. Действительно, если в некоторой точке поверхности S приложена сила ——6q, а в точке г', находящейся на нормали и отстоящей от поверхности на расстоянии 6s, приложена сила + 6? (см. рис. 14.2.2), то главная часть перемещения по формуле (14.2.1) выразится следующим образом:
величиной порядка
величиной порядка
6e=
6e=
М
М
4л|лг, —4 冗卩 г =
4л|лг, —4 冗卩 г =
М 3s
4呻 dv It Г
М 3s
4呻 dv It Г
стоянной формула двойных
стоянной формула двойных
Уменьшая 6s и увеличивая модуль 6g так, чтобы произведение bqbs оставалось ломало стиполучим двойную силу. Итак,
Уменьшая 6s и увеличивая модуль 6g так, чтобы произведение bqbs оставалось ломало стиполучим двойную силу. Итак,
(14.2.3) даст перемещение от распределения на поверхности 八 сил интенсивностью 6'6s=bNdW. Момент, приходящийся на единицу площади, есть' 6q X v6s или 卩b х v d W. Интегрируя по поверхности, найдем главный момент всех сил, действующих на поверхность,
(14.2.3) даст перемещение от распределения на поверхности 八 сил интенсивностью 6'6s=bNdW. Момент, приходящийся на единицу площади, есть' 6q X v6s или 卩b х v d W. Интегрируя по поверхности, найдем главный момент всех сил, действующих на поверхность,
(14.2.4)(14.2.4)Jf = f Mxv dW・
(14.2.4)
(14.2.4)
Но по смыслу функция ф должна зависеть лишь от выбора контура Г, но не от натянутой на его поверхности S. Поэтому момент М должен свестись к моменту от некоторых сил, распределенных по контуру Г, следовательно, интеграл по поверхности, определяющий момент М, должен преобразовываться в контурный интеграл. Чтобы выполнить это преобразование, будем отправляться от формулы Стокса
,i?Xdg = j rot i?-v dS.
Положим в этой формуле и = /е, где е ——постоянный вектор, / ——скалярная функция координат. Тогда '' 1：
rot V = Vx/e = V/，xe = grad fXe.
Внося выражения для и и rot и в 巾орму^у，Стокса и сокращая на постоянный векторный множитель % получим
'^fdl^—^gt^fXvd2.(14.2.5)
Вектор Бюргерса & может быть представлен как градиент скалярного произведения о|, поэтому формулу (14.2.4) можно переписать следующим образом:
城=一卩，(呜眼 (14.2.6) г
Итак, момент М есть момент от сил, приложенных к контуру. Чтобы определить сами эти силы, воспользуемся тождеством
自Xc^Xb =比(6?) 一 Ъ (自武).
Интеграл по замкнутому контуру от второго члена правой части равен нулю, поэтому (14.2.6) можно переписать следующим образом:
М =—卩，(bXd^)Xl，
г
Теперь видно, что на каждый элемент d& линии контура действует сила, равная ——林匕 Xd^. Второе слагаемое решения будет соответствовать распределению равных и противоположных сил по формулам (14.2.1)
w** =亲 &хф V-(14.2.7)
г
Выражение 迎** может быть представлено также в виде поверхностного интеграла по формуле (14.2.7)
к** = — ^- , &Xgrad-^X w dW = ^- f [grad у (6v) — v (b grad ；)] dE.
''(14.2.8)
Сумма к* -1- w** представляет собою ту часть вектора к, которая обеспечивает выполнение условий требуемой неоднозначности перемещения и отсутствия сил на поверхности дислокационной трубки. Однако вектор к* + +»** не удовлетворяет уравнениям теории упругости; в соответствии со структурой решения для сосредоточенной силы к нему нужно добавить градиент некоторой функции V. Итак,
к = и* 十力** + grad Т.(14.2.9)
Дислокации Бюргерса. Полное решение
Для того чтобы определить функцию 屮,подставим (14.2.8) в уравнения Ламе
(%+林)8,不十必〃不=0.
Учитывая, что к* и м** — гармонические векторы, отсюда получим
(14.3.1)
Здесь 0=div к, постоянная в правой части (14.3.1), принята равной нулю, поскольку нам достаточно выбрать любое частное решение (14.3.1), ведущее себя надлежащим образом на бесконечности и непрерывное вместе со своими производными на поверхности S, т. е. представимое в виде контурного интеграла, не зависящего от выбора контрольной поверхности. Выполнение этого второго условия встречает наибольшие трудности. Вычислим теперь дивергенции векторов и* и и**.
Дивергенция вектора и*. Отправляясь от выражения для и* в виде поверхностного интеграла (формулы (14.2.2) и (14.2.3)), найдем
0* =吃=一急j々蟲(力工
Дивергенция вектора ю**. Будем отправляться от представления этого вектора в виде поверхностного интеграла (14.2.8). Получим
Ho 1/r есть гармоническая функция:
Поэтому
Теперь уравнение (14.3.1) может быть записано следующим образом： a屮=j\ 昂卜工(1432)
Частное решение этого уравнения можно найти следующим образом. Заметим, что Аг = 2/г. Отсюда следует
Умножим обе части этого равенства на 石『九斗立正匕" свернем по индексу i и проинтегрируем по поверхности. Получим
又L九+卩Г d2дх{ dv з j — 2冗 ％ + 2卩 J % dxi dv
Сравнивая с уравнением (14.3.2), мы убеждаемся, что частное решение этого уравнения есть
屮I =亲在鏡J 0諡7心(伍•3・3)
Но это частное решение претерпевает разрыв нормальной производной на поверхности 2 и не может быть преобразовано в контурный интеграл. Чтобы исправить дело, к функции Т необходимо добавить надлежащим образом выбранную гармоническую функцию. Воспользуемся для этого следующей вспомогательной формулой векторного анализа:
rot (i?Xw) = Vx (vxw) = (wV) о — (i?V)w — w div и 十 и div'w.
Положим в этой формуле и =仇 w = (х — |)/г. Получим
(% 一 3)(呻一务)人.b rot+
Здесь С/ ——единичные векторы координатных осей.
Преобразуем теперь подынтегральное выражение в формуле (14.3.3)
（%一扇）（与一哥）（%一扇）（与一哥）bMj-7bMj-7
（%一扇）（与一哥）
（%一扇）（与一哥）
b
Mj-7
b
Mj-7
Выражение, заключенное в квадратные скобки, отличается от величины rot (bx(x — |)/г) только знаком перед вторым членом. Определим теперь функцию Т следующим образом:
屮=^ 存若Г f eм® -自)i等• (伍・3，4)г
Она отличается от функции Ti на величину 亲 ^j^rj^^"E・ Эта функ- s
ция представляет собою потенциал простого слоя на поверхности W, т. е. гармоническую функцию с разрывом нормальной производной, который компенсирует соответствующий разрыв у функции 4rl.
Дадим теперь сводку окончательных формул:
и = и* + и + grad 4P
или
〃=一罢+ ^，Х§ 手 + grad з曰(匕)・§ "&T)・ d^ (14.3.5) гг
С помощью формул предыдущего и настоящего параграфов это выражение может быть представлено через поверхностные интегралы.
Остается сделать некоторые уточнения, относящиеся к выбору знаков. Будем считать, что система координат правая. Положительное направление нормали к поверхности S и положительное направление обхода контура Г таковы, что со стороны положительной нормали обход представляется происходящим против часовой стрелки. При переходе через поверхность 2 со стороны положительной нормали телесный угол получает отрицательное перемещение, равное ——4л, и соответственно перемещение изменяется на величину вектора Бюргерса &. Следовательно, вектор Бюргерса представляет собою перемещение отрицательной стороны поверхности разреза по отношению к ее положительной стороне.
а. Винтовая дислокация. Направим линию дислокации по оси 力з, примем за поверхность W левую полуплоскость на рис. 14.4.1. Телесный угол, под которым видна левая полуплоскость из точки М с координатами жа, равен
0%
Q=4冗京= 2arctg^・
Для винтовой дислокации вектор Бюргерса имеет составляющие (0, 0, &), поэтому
〃：=0, и* = О,〃：=0, и* = О,* Ь力2из = 2^ arct^77* Ь力2из = 2^ arct^77
〃：=0, и* = О,
〃：=0, и* = О,
* Ь力2
из = 2^ arct^77
* Ь力2
из = 2^ arct^77
В данном случае вектор dg направл векторное произведение равно нулю,В данном случае вектор dg направл векторное произведение равно нулю,сательных напряжений получаютсясательных напряжений получаютсяен по оси %з, так х;е как вектор &, их следовательно, 〃** = 0. Векторное произведение bx(x — I) направлено перпендикулярно оси 力 з, поэтому при скалярном умножении его на d^ получится также нуль m 屮=0. Итак, единственная отличная от нуля компонента вектора перемещения 〃 естьен по оси %з, так х;е как вектор &, их следовательно, 〃** = 0. Векторное произведение bx(x — I) направлено перпендикулярно оси 力 з, поэтому при скалярном умножении его на d^ получится также нуль m 屮=0. Итак, единственная отличная от нуля компонента вектора перемещения 〃 есть% =琢 arctg 互・ (14.4.1)Все компоненты напряжения кроме О1з и 。23 обращаются в нуль, для кардующие выражения:% =琢 arctg 互・ (14.4.1)Все компоненты напряжения кроме О1з и 。23 обращаются в нуль, для кардующие выражения:%3 =_困 力； + 况^， %3 = ~2л 值 + 暧%3 =_困 力； + 况^， %3 = ~2л 值 + 暧(14.4.2)(14.4.2)б. Краевая дислокация. Направим по-прежнему ось дислокации по оси &з, вектор Бюргерса ——по оси х\. Телесный угол Q мы уже нашли при рассмотрении винтовой дислокации, следовательно,б. Краевая дислокация. Направим по-прежнему ось дислокации по оси &з, вектор Бюргерса ——по оси х\. Телесный угол Q мы уже нашли при рассмотрении винтовой дислокации, следовательно,
В данном случае вектор dg направл векторное произведение равно нулю,
В данном случае вектор dg направл векторное произведение равно нулю,
сательных напряжений получаются
сательных напряжений получаются
ен по оси %з, так х;е как вектор &, их следовательно, 〃** = 0. Векторное произведение bx(x — I) направлено перпендикулярно оси 力 з, поэтому при скалярном умножении его на d^ получится также нуль m 屮=0. Итак, единственная отличная от нуля компонента вектора перемещения 〃 есть
ен по оси %з, так х;е как вектор &, их следовательно, 〃** = 0. Векторное произведение bx(x — I) направлено перпендикулярно оси 力 з, поэтому при скалярном умножении его на d^ получится также нуль m 屮=0. Итак, единственная отличная от нуля компонента вектора перемещения 〃 есть
% =琢 arctg 互・ (14.4.1)
Все компоненты напряжения кроме О1з и 。23 обращаются в нуль, для кардующие выражения:
% =琢 arctg 互・ (14.4.1)
Все компоненты напряжения кроме О1з и 。23 обращаются в нуль, для кардующие выражения:
%3 =_困 力； + 况^， %3 = ~2л 值 + 暧
%3 =_困 力； + 况^， %3 = ~2л 值 + 暧
(14.4.2)
(14.4.2)
б. Краевая дислокация. Направим по-прежнему ось дислокации по оси &з, вектор Бюргерса ——по оси х\. Телесный угол Q мы уже нашли при рассмотрении винтовой дислокации, следовательно,
б. Краевая дислокация. Направим по-прежнему ось дислокации по оси &з, вектор Бюргерса ——по оси х\. Телесный угол Q мы уже нашли при рассмотрении винтовой дислокации, следовательно,
〃；=臺Г用力〃；=臺Г用力W =傅=°-W =傅=°-
〃；=臺Г用力
〃；=臺Г用力
W =傅=°-
W =傅=°-
Обозначая через d^ элемент оси 力з, найдем, что векторное произведение bxdg имеет единственную отличную от нуля составляющую по оси 忆2, равную — bd^. Таким образом,
+ оо
% =0，〃2 =_迄 J"
Из теории потенциала известно, что интеграл в выражении и** приводится к величине In (力;+ 力;),таким образом,
吟* = 一"^m (老十喲・
Переходим к вычислению функции Т. Произведение [6x(^ — ^)] ^1
рводится в данном случае к величине 6%2d陰；таким образом,
中=祐入十2万J —中=祐入十2万J —^ 石? :"^2； % ln (它 + 名)・^ 石? :"^2； % ln (它 + 名)・
中=祐入十2万J —
中=祐入十2万J —
^ 石? :"^2； % ln (它 + 名)・
^ 石? :"^2； % ln (它 + 名)・
Дифференцируем T no a：i и по 力2：
Nl捻号言，^^-^\^^) + ^
Теперь мы можем выписать формулы для перемещений
&&1 — 2冗1 — 2冗arctg三十中m不耳1arctg三十中m不耳1(14.4.3)(14.4.3)
&
&
1 — 2冗
1 — 2冗
arctg三十中m不耳1
arctg三十中m不耳1
(14.4.3)
(14.4.3)
u2 = ^ _九十2nm （勺十/2）+九十2M竣十W
Не приводя очевидных вычислений, выпишем формулу для вращения
66力1力1%2=不建+ х|・%2=不建+ х|・(14.4.4)(14.4.4)
6
6
力1
力1
%2=不建+ х|・
%2=不建+ х|・
(14.4.4)
(14.4.4)
Формулы для напряжений уже были приведены в § 10.3. Если вектор Бюргерса положителен, дислокация также считается положительной. Точку пересечения положительной дислокации с плоскостью必
х^Ох2 принято изображать значком в форме пере-'
вернутой буквы Т, как показано на рис. 14.4.2.
Краевую дислокацию можно создать разными спо* собами, например сдвигая края разреза по левой или правой полуплоскости 力的①з, разрезая по верхней или нижней полуплоскости 忆2。％3 и перемещая края разреза, в одном случае с добавлением слоя материала, в другом — с его удалением. Условное —тг
обозначение краевой дислокации расшифровывает-彩
ся следующим образом. Горизонтальная переклады- Рис. 14.4.2 на указывает на направление вектора Бюргерса,
вертикальная черточка символизирует слой материала, который нужно ввести в разрез, чтобы создать дислокацию.
Энергия дислокации
Для создания дислокации должна быть затрачена некоторая работа, накапливаемая в виде упругой энергии дислокации. Наиболее простой способ подсчета этой энергии заключается в следующем. Предположим, что в теле сделан разрез и к поверхностям разреза прикладываются внешние си- лы, распределенные точно таким же образом, как распределяются напряжения на поверхности 2, когда дислокация уже создана. Работа этих сил на перемещении & по теореме Клапейрона, равна удвоенной энергии дислокации. Таким образом,一
РИ = 2 I bSdE.
夕夕Рис. 14.5.1Рис. 14.5.1найдется совершенно нациинайдется совершенно нации如 1如 1W =W =4n (1 — v)4n (1 — v)(14.5.3)(14.5.3)
夕
夕
Рис. 14.5.1
Рис. 14.5.1
найдется совершенно нации
найдется совершенно нации
如 1
如 1
W =
W =
4n (1 — v)
4n (1 — v)
(14.5.3)
(14.5.3)
здесь S — вектор напряжения на поверхности £, S = о万夕产产 Следовательно,
W = 4" J о 订七 b产.(14.5.1)
Применим эту формулу к винтовой дислокации. Предположим, что разрез произведен по полуплоскости ж2 = 0 (力i > 0). Касательное напряжение по формуле (14.4.2) равно
三.
Умножим на вектор Бюргерса Ь и проинтегрируем по х\ в пределах от х\ = =с до 况1 = R. Получим выражение энергии на единицу длины
吟裴 J 鲁=舞 In ^.(14.5.2)
Величина с ——это радиус ядра дислокации, имеющий порядок &. Желая вычислить энергию более точно, мы должны были бы прибавить сюда энергию ядра, которая уже не может быть найдена методами теории упругости, для ее подсчета необходимо прибегать к атомным моделям. Величина R представляет собою размер тела, для тела бесконечных размеров и энергия дислокации становится бесконечно большой. В связи с этим можно сделать следующее замечание. При построении дислокации мы исходили из неограниченной среды, в предположении бесконечных размеров тела были вычислены напряжения. В теле конечных размеров, вообще говоря, возникает дополнительная система напряжений, которая находится из условия равенства нулю сил, действующих на свободную поверхность. Для винтовой дислокации как раз дело обстоит просто, поверхность кругового цилиндра,
имеющего осью линию дислокации, свободна от напряжений. Поэтому формулы (14.4.2) и выражение для энергии (14.5.2) совершенно точшы, если линия дислокации совпадает с осью кругового цилиндра радиусом R. В тех случах, когда напряжения от дислокации не оставляют границу свободной от усилий, появляется дополнительная энергия (положительная или отрицательная), которая называется энергией взаимодействия дислокации со свободной поверхностью. Пример дислокации в теле ограниченных размеров будет рассмотрен ниже.
Вычислим теперь энергию краевой дислокации. Касательное напряжение в плоскости 出= =0 по формуле (10.3.6) равно
12 — 2n (1 _ v)/1.
В правой полуплоскости оно направлено так же, как вектор Бюргерса 6, следовательно, энергия таким же способом, как в случае винтовой дисло-
Вместо того чтобы делать разрез в плоскости гг2 = 0 и сдвигать две стороны разреза одну относительно другой (рис. 14.5.1, а), можно было сде-
лать разрез по плоскости 力i = 0, раздвинуть края разреза на величину Ь, заполнить образовавшуюся щель добавочным материалом и спаять (см. рис. 14.5.1, б). Работа, затрачиваемая при этом, есть
R
W = — J О]Р d%с
Знак «минус» стоит здесь потому, что положительная нормаль к верхней полуплоскости 力2°%з направлена влево, при этом, если смотреть со стороны нормали, обход полуплоскости по оси 為 представляется происходящим против часовой стрелки. По формуле (10.3.6) при %】=0
b卩 1
% = — 2л (1 — v)石.
Легко убедиться, что таким способом для энергии дислокации опять получается выражение (14.5.3).
Плоская дислокация
Предположим теперь, что линия дислокации лежит в плоскости а：3 = 0 и вектор Бюргерса находится в той же плоскости и направлен по оси 设 Определим касательные напряжения в плоскости дислокации; для большинства приложений только эти напряжения представляют интерес. В ходе вычислений нам понадобятся производные от перемещений щ, 3, 〃з, ь и2, з и 〃з, 2. Для нахождения производных от составляющих вектора и* мы воспользуемся тем обстоятельством, что функция <р =——Q/(4^) представляет собою потенциал скоростей в неограниченной жидкости при наличии вихревой нити единичной интенсивности. Скорость жидкости выражается при этом формулой Био — Савара
grad 屮=诟屮(方一S)X~^.г
В нашем случае отлична от нуля только компонента перемещения * bQ
Следовательно,
Вычисляя вектор и** по формулам (14.3.5), найдем
г
Здесь г2 = Qi — 3)2 + (д —三2产.Вычислим теперь функцию Т:
力3能21
с = 2(1-V)•
г
30 Ю. Н. Работнов
Соответствующие составляющие перемещения равны
Продифференцируем 4r」и Т.г по 力3, a 4r ,з no 勺 и g и положим 為 Получаем
0.
工】з =*,31
4л ф 戸 ％, =23 = У,32 =戮勺 ~成2 ГГ
Подсчитывая сдвиги ез1 и е32, найдем следующие выражения для касательных напряжений:
.々T1力 2 T2
2c —^—%-——
如8 “2 -自2=^ ri)g…下•%
(14.6.1)
°32
г
жения Si может быть истолкована
простой вид тогда, когда коэффициент Пуассона среды принят равным нулю, следовательно, с = 1/2. В этом случае
(14.6.2)
Формула для отличного от нуля напря- таким образом: величина
(/ 1 - Ei) d& -(/2 -自 2)dgi представляет собою удвоенную площадь треугольника, изображенного штриховкой на рис. 14.6.1, сторонами которого являются элемент дуги контура Г и две прямые, соединяющие концы элемента с точкой 力.Выражение для (Уз1 можно переписать теперь следующим образом:
(14.6.3)
Кольцевая дислокация
На основе вышеивложенной теории плоских дислокаций мы можем рассмотреть напряженное состояние, создаваемое дислокацией в форме кругового кольца радиусом р. Ограничимся рассмотрением случая, когда V = 0; все вычисления можно довести до конца и для общего случая, однако выкладки при этом более сложны. При сделанном допущении каса-
тельное напряжение направлено по вектору Бюргерса и постоянно в точках, равноудаленных от центра кольца дислокации, как ясно по виду формул (14.6.2). Поэтому нам достаточно вычислить t для точки оси 力】,отстоящей на расстояние г от центра. Вводя обозначения, показанные на рис. 14.7.1, и применяя формулу (14.6.2),
найдем
2Л pr cos $ — р2
Т ~(p2 +户一2rp COS 中)3/2
О
可中.
(14.7.1)
Введем обозначение 2Л
dcp
J(「，P)= J (p2 +「2_2中 cOS(p)l/2・ О
(14.7.2)
Рис. 14.7.1 следующим образом:
Формулу
(14.7.1)
можно теперь записать
b卩 dJ Ь卩8т = ^?Р 而= 而(⑺
(14.7.3)
Интеграл (14.7.2) — эллиптический, полагая 屮=2屮 + 冗，приводим его к обычному виду полного эллиптического интеграла первого рода и получаем
4 Р)= 7+74 Р)= 7+7(14.7.4)(14.7.4)
4 Р)= 7+7
4 Р)= 7+7
(14.7.4)
(14.7.4)
Пользуясь формулой (14.7.3), мы можем без труда получить явное выражение для касательного напряжения через эллиптические интегралы первого и второго рода, однако этот вывод для наших целей бесполезен.
Некоторый интерес представляет зато вопрос о характере распределения касательных напряжений вблизи самой линии дислокации, когда г кесьма близко к р. При этом модуль эллиптического интеграла (14.7.4) становится близким к единице и для К(к) применимо следующее разложение:
4 1 / 4 \
^ W = ln~+-4 1п-^г —11А：,2+ ...
Здесь А/ ——дополнительный модуль, А” =】—右2 в нашем случае к = 2}гр/ /(г + р) и, с точностью до первой степени разности р ——г, А/ = (р — г)/(2р). Ограничиваясь первым членом в разложении К(4)и используя формулу (14.7.3), получим
(14.7.5)(14.7.5)
(14.7.5)
(14.7.5)
Здесь выписаны члены, обращающиеся в бесконечность при г-> р. Первый член дает обычную для дислокации особенность, но наряду с ним еще имеется член, обращающийся в бесконечность как логарифм (р — г).
Займемся теперь вычислением энергии кольцевой дислокации. По формуле (14.5.1)
2Л р-с
И7 — -^- ^ J тг dr d(p.о о
В качестве верхнего предела при интегрировании по г выбран не радиус дислокации р, а величина р ——с. Так же как при вычислении энергии линейной дислокации мы считаем, что формулы для напряжений справедливы на расстоянии от линии дислокации, превышающем радиус «плохой» области с.
Воспользуемся вторым выражением для t по формуле (14.7.3) и проинтегрируем по частям. Получаем
р—с
(14.7.6)(14.7.6)［戸刀L- J rJdr
(14.7.6)
(14.7.6)
0丿
Применяя уже использованную нами выше формулу для полного эллиптического интеграла первого рода при значении модуля, близком к единице, найдем, что первый член в фигурных скобках в формуле (14.7.6) равен
，/%-с = 2рЕ 岑.
Интеграл, являющийся вторым членом в фигурных скобках, не расходится при верхнем пределе, равном р, поэтому мы будем вместо него вычислять интеграл
Р
J rJ dr・ о
Воспользуемся первоначальным выражением (14.7.2) для 7, внесем его под знак интеграла и переменим порядок интегрирования. Вычислим сначала р
ГГ drЛ . Ф ,, 1+sin (ф/2) \
о
Осталось проинтегрировать это выражение по <р в пределах от нуля до 2л. Соответствующие интегралы вычисляются элементарно (второй берется интегрированием по частям) и мы получаем
Р ^rJ dr = 8P. о
Окончательное выражение для энергии будет следующим:
W = 2лр<(ь + 31п2 —2)・
Энергия, приходящаяся на единицу длины окружности, оказывается равной 嘿(畔+ 3m2一2)=粤m
Конечно, оценка величины с не настолько точна, чтобы следовало сохранять множитель 1,08, и линейную плотность энергии кольцевой дислокации можно определять по формуле
%=第1口3(伍7方)
Заметим, что при w = 0, как было принято, энергия винтовой и краевой дислокации одинакова. Расчет, сделанный без этого предположения, приводит к формуле, отличающейся от формулы (14.7.7) лишь множителем
1 , 1 1
Т + Е 不К
Таким образом, линейная энергия кольцевой дислокации равна среднему значению энергии краевой и винтовой дислокаций в блоке, размер которого равен радиусу кольцевой дислокации.
Очевидно, что кольцевая дислокация в ненапряженном теле существовать не может, энергия монотонно возрастает с возрастанием радиуса и не существует конечного значения радиуса, для которого энергия минимальна. Если в плоскости скольжения действует касательное напряжение т0, условие равновесия дислокации будет следующим:
dW °
而=2np%b・
Это условие представляет собою результат применения начала возможных перемещений к телу, содержащему дислокацию. Отсюда получается
1叫pто=71^1пТ-
Дислокации в телах конечного размера
Если известно напряженное состояние, соответствующее дислокации в неограниченной упругой среде, то решение задачи о дислокации в теле конечных размеров приводится к статической задаче теории упругости для этого тела при заданных усилиях на поверхности; эти усилия и напряжения, вызванные дислокацией, должны взаимно уничтожаться.
Рис. 14.8.1Рис. 14.8.1Энергия дислокации по-прежнему будет выражаться формулой (14.5.1), но компоненты напряжения в этой формуле определяются в результате решения задачи теории упругости с удовлетворением граничным условиям; поэтому величина энергии будет зависеть от
Рис. 14.8.1
Рис. 14.8.1
положения дислокации в теле. Здесь мы рассмотрим простейший пример ——винтовую дислокацию в круговом цилиндре бесконечной длины, ось которой параллельна оси цилиндра, но не совпадает с ней. Пусть будет радиус цилиндра R, расстояние винтовой дислокации от оси ОС\ = р. Проведем ось х\ через центр сечения и ось дислокации, как показано на рис. 14.8.1, и поместим вторую дисло-
кацию противоположного знака в точке G, находящейся на оси х\ на расстоянии 7?2/р от начала координат. По формулам (14.4.2) напряжения в неограниченной среде для такой пары дислокаций выражаются следующим образом:
,7丄々,7丄々°32°32如 / % 一 P% —五2/p如 / % 一 P% —五2/p2冗 I r22冗 I r2・(14.8.1)・(14.8.1)
,7丄々
,7丄々
°32
°32
如 / % 一 P% —五2/p
如 / % 一 P% —五2/p
2冗 I r2
2冗 I r2
・(14.8.1)
・(14.8.1)
Здесь「1 и「2 — расстояния точки М от точек С* 0 c? соответственно. .
Нормальная к контуру составляющая касательного напряжения на окружности радиусом р определяется так:
% = % 丁+°32 丁.
Подставляя сюда значения напряжений по формулам (14.8.1) и замечая, что из подобия соответствующих треугольников
г2 ： п = 7? ： р,
мы убеждаемся, что тп = 0, следовательно, формулы (14.8.1) определяют напряженное состояние от винтовой дислокации в круговом цилиндре, торцевые сечения которого закреплены от поворота. Последнее обстоятельство вытекает из тех предположений, которые были приняты при выводе основных формул для винтовой дислокации в § 9.2 и 14.4. В сечениях такого закрепленного цилиндра возникает крутящий момент, равный моменту от напряжений О31 и а^2. Величина этого момента
М = j j (“1°；2 - %《1) d&d%2・
(14.8.2)(14.8.2)Вычисляя соответствующие интегралы, находим 旅=黑(Т?2—р2).
(14.8.2)
(14.8.2)
Если торцы цилиндра не закреплены, в нем возникают напряжения кручения от момента, равного и противоположного моменту М, значение которого дается формулой (14.8.2), и цилиндр закручивается на некоторый угол, который находится по обычной формуле теории кручения. Эти дополнительные напряжения кручения
_" ЬР< /?2 - p? _〃 如 /?? - p?
°31 = If 斤 %%2 =-五• М %
Энергия такого цилиндра, содержащего дислокацию, получается по формуле R
W = — ] Т dq •
р+с
Здесь т = О32十 о；2 ПРИ %2 = 0. Окончательный результат получается следующим:
叩=% + 察 Un (1 一 干)一(1 一 产)2].(14.8.4)
Здесь Wo ——энергия винтовой дислокации в неограниченной среде, определяемая по формуле (14.5.2), второй же член формулы может быть назван энергией взаимодействия со свободной поверхностью. В формуле принято g == р/7?. Энергия дислокации, рассматриваемая как функция ее относительной координаты 扌,имеет минимум при 扌=0 и максимум при G =
./ 2 —У 2
=I / 2= 0,541. Таким образом, при ； = 0 дислокация находится в
состоянии устойчивого равновесия, при С = 0,541 ——в состоянии неустойчивого равновесия.
За последние годы уделялось большое внимание изучению так называемых нитевидных кристаллов, обладающих исключительно высокой прочностью. Одна из теорий образований подобного рода кристаллов предполагает, что в нем содержится одна единственная винтовая дислокация, направленная вдоль оси. Соответствующее закручивание может быть обнаружено экспериментально при помощи рентгенографии. В ряде случаев это закручивание было обнаружено. Сделанный в этом параграфе вывод показывает, что действительно винтовая дислокация, направленная по оси цилиндра, будет сохраняться; чтобы вывести ее, необходимо преодолеть потенциальный барьер, равный разности энергий в положении максимума и минимума. При этом неясно, каким образом можно это сделать.
Возможные движения дислокаций
В неограниченной среде поле напряжений, соответствующее дислокации, не зависит от положения линии дислокации. Энергия дислокации также не зависит от положения; следовательно, перемещение линии дислокации как целого не требует дополнительной работы, дислокация свободна перемещаться как угодно, если считать, что в ядре дислокации также действуют консервативные силы и при перемещении ее в ядре не происходит диссипации энергии. В действительности это, конечно, не так н для перемещения дислокации необходимо затратить известную работу, но в теории упругости все силы предполагаются консервативными.
С другой стороны, в кристаллической решетке, которую мы моделируем сплошной средой, энергия дислокации будет меняться в пределах одного междуатомного расстояния. Для того чтобы вывести ее из положения, соответствующего минимуму энергии, необходимо преодолеть потенциальный барьер. Говоря о движении дислокаций, мы имеем в виду движения бесконечно медленные. Движущаяся с конечной скоростью дислокация обладает не только потенциальной энергией, но сообщения этой скорости дислокации, бывшей в покое, нужно затратить некоторую энергию.
Перемещение линии дислокации соответствует конечному относительному перемещению частиц материала по обе стороны от той поверхности, по которой движется линия дислокации. При этом возможны только такие движения, которые не приводят к нарушению сплошности тела. Это значит, что относительное перемещение представляет собою скольжение частиц по поверхности, ометае- мой движущейся дислокацией. Те движения, при которых частицы перемещаются в область, уже заполненную материалом, оче
видно невозможны. Мы исключаем из рассмотрения и такие случаи, когда за движущейся дислокацией образуются пустоты. Чтобы отделить возможные движения дислокаций от невозможных, предположим, что элемент линии дислокации d^ с вектором Бюргерса b перемещается на величину du (рпс. 14.9.1). Относительное перемещение частиц по обе стороны разреза, сделанного по заштрихованной площадке с нормалью v, есть Ь, следовательно, перемещение элемента дислокации вызывает изменение объема
dV = (duXdl) Ъ.
Это изменение объема происходит за счет образования полости в теле, если оно положительно, и попросту невозможно, если оно отрицательно. Таким образом, возможны только такие движения дислокации, когда
(duXdl)b = 0 (14.9.1)
и, следовательно, движение элемента @& происходит в плоскости, определяемой направлением этого элемента и вектором Бюргерса. У винтовой дис- локацин направления линии дислокации и вектора Бюргерса совпадают, следовательно, любая плоскость, проходящая через ось, является плоскостью ее возможного движения. Краевая дислокация может двигаться только в направлении ее вектора Бюргерса или противоположном; другие движения для нее невозможны.
Рассмотренная в § 14.6 плоская дислокация может двигаться как угодно в своей плоскости, но не может выходить из нее. Эта плоскость называется плоскостью скольжения дислокации (не смешивать с кристаллографическими плоскостями скольжения).
Движения дислокации, при которых нарушается условие (14.9.1), называются неконсервативными. Эти движения принципиально возможны вследствие того, что в кристаллической решетке имеются дефекты ——вакансии и внедренные атомы, которые перемещаются в результате неравномерного распределения между атомами энергии их тепловых колебаний. Можно представить себе, что дефект, находящийся вблизи дислокации, движется, это движение носит диффузионный характер, т. е. описывается математически с помощью уравнения диффузии, и дислокация следует за ним, выходя из своей плоскости скольжения. Подобные диффузионные движения дислокаций возможны, главным образом, при высоких температурах, за их счет относят некоторые механизмы ползучести.
Дислокации в теле, находящемся под нагрузкой
Дислокация, созданная в неограниченной упругой среде, может в ней свободно перемещаться, если выполнено условие (14.9.1). Действительно, энергия дислокации не зависит от ее положения, следовательно, движение линии дислокации с сохранением конфигурации не требует затраты дополнительной работы. В теле конечных размеров дислокация уже не свободна, упругая энергия тела зависит от положения дислокации и естественным направлением ее движения будет то, которое приводит к уменьшению энергии. Так, в примере § 14.8 дислокация, находящаяся на расстоянии от оси цилиндра р V 0,541, будет двигаться к оси, стремясь занять положение устойчивого равновесия. Дислокация, удаленная от оси на расстояние, превышающее р = 0,541, будет двигаться от оси, стремясь выйти на поверхность.
Предположим теперь, что к телу, содержащему дислокацию, приложены произвольные внешние силы. Всякое перемещение дислокации внутри тела приводит к перемещениям точек его поверхности; действующие на поверхности внешние силы производят работу на этих перемещениях. Если перемещения при этом направлены противоположно силам и работа отрицательна, общая энергия системы увеличивается, что невозможно, так как никакой дополнительной энергии в тело поступить не может. Таким образом, движения дислокаций, при которых внешние силы производят отрицательную работу, невозможны.
Наоборот, если при перемещении дислокации силы производят положительную работу, общая энергия системы уменьшается, а так как общая энергия всегда стремится принять минимальное значение, прикладывая внешние силы к телу, мы как бы действуем на дислокацию, заставляя ее двигаться. Воспроизведем приведенные рассуждения в более точной форме.
Пусть 。门,щ — система напряжений и перемещений, соответствующая дислокации в теле, ограниченном поверхностью S, линия дислокации есть замкнутая кривая Г, вектор Бюргерса есть &.Как мы видели, энергия дислокации равна
/У] 工
Здесь £ ——произвольная поверхность, проведенная через контур Г, v ——единичный вектор нормали к поверхности £.
Представим теперь себе, что в теле вырезана тороидальная полость, окружающая контур Г, но дислокация еще не произведена. Приложим на наружной поверхности тела систему сил Р', соответствующие напряжения будут。万，перемещения 〃力. Область концентрации напряжений вблизи тороидальной полости простирается на расстояние порядка поперечного раз-
мера полости, при предельном переходе эта область исчезает. Таким образом, напряжения 。灯 и соответствующие перемещения определяются так же, как в сплошном теле.
Сделаем теперь разрез по поверхности Е и переместим стороны разреза на величину вектора Бюргерса. Производимая при этом работа найдется следующим образом:
W = ^ %%%迎 + J P^dS + 4 j。戸向d工282
Первый член представляет собою работу тех внутренних сил, которые уже были приложены к поверхности разреза, второй ——работу внешних сил на дополнительных перемещениях, связанных с дислокацией, наконец третий ——это работа сил, создающих дислокацию, т. е. энергия дислокации Жо« Сумма двух первых членов представляет собою энергию взаимодействия дислокации н поля напряжений от внешних сил
W； = f ^ij^^j^^1 十 J ^iui^•£ S
С другой стороны, эта энергия взаимодействия может быть вычислена путем подсчета работы внутренних сил по всем элементам объема тела
% = J °ijeijdV-
Но по теореме Бетти
J。后严=.f。后严・
Система напряжений 。订 представляет собою самоуравновешенную систему, система деформаций е万 является кинематически возможной в сплош
ном теле, следовательно, согласно начала возможных перемещений
J。万气抖?=0.
Таким образом, энергия взаимодействия Wi равна нулю. Отсюда следует Л= J P'^u.dS = 一 [ о；尸向d工(14.10.1)
ss
Эта формула принадлежит Колоннетти.
Работа внешних сил на перемещениях, вызванных дислокацией, находится по этой формуле через напряжения, соответствующие заданной системе сил. При движении дислокации эта работа получает приращение 64, для возможных движений должно быть 64 > 0.
Обратимся к простому примеру. На рис. 14.10.1 изображен блок конечной длины Z, содержащей положительную краевую дислокацию. На блок действуют такие силы, что в плоскости %1О%з существует только касательное напряжение бз = т, величина которого постоянна.
По формуле Колоннетти величину А можно определить, интегрируя по части плоскости дОд, находящейся впереди дислокации. Тогда на единицу длины линии дислокации
Л = —xb(l — u).
Можно считать, что дислокация получена путем разреза части плоскости х\Ох^ находящейся слева от линии дислокации. Тогда положительным нужно считать направление нормали вниз, ”з = —1 и мы получим
А = xbu.
Два выражения для Л разнятся на постоянную величину. Предположим, что дислокация переместилась на величину dw. Тогда
dA = т& du.
Работа положительна тогда, когда положительно d〃, следовательно, приложенные силы двигают дислокацию вправо до тех пор, пока она не выйдет на поверхность. В результате этого произойдет показанный на рис. 14.10.1 штриховой линией сдвиг одной части блока относительно другой на величину &, т. е. элементарная пластическая деформация.
Отрицательная дислокация в тех же условиях стала бы двигаться влево.
Сила, действующая на дислокацию
В приведенном примере перемещению дислокации на величину du соответствовала работа тЬ Множитель при перемещении в выражении работы естественно назвать силой, действующей на единицу длины линии дислокации. Заметим, что такое определение силы является чисто статическим. Можно говорить о равновесии дислокации, если действующая на нее сила равна нулю. В противном случае направление силы указывает на направление движения, но не позволяет определить, например, ускорение.
К более общему определению силы, действующей на дислокацию, мож« но подойти следующим образом. Представим себе элемент линии дислокации 龙，этот элемент переместился на расстояние du (рис. 14.9.1). В окрестности элемента имеется поле напряжений 。储.Обозначая через v единичный вектор нормали к плоскости движения элемента dg, по формуле (14.10.1) найдем приращение работы внешних сил
dA = —GijVjbidm.
Здесь dco — площадь, ометаемая вектором d& при его движении. С другой стороны, dA можно представить как скалярное произведение некоторого вектора dF и перемещения du
dA = dFdu.
Вектор dF мы будем называть силой, действующей на элемент d& дислокации. Положим Oijbj = pi. Вектор р представляет собою вектор напряжения на площадке, нормальной к вектору Бюргерса, умноженный на величину последнего. А так как v do == daXd^, то
dA =—尸(d^Xd?)
или, переставляя сомножители в смешанном произведении, dA = du (pXd^).
Таким образом, мы нашли силу, действующую на дислокацию,
&F = рх 共.(14.11.1)
Эта сила всегда перпендикулярна линии дислокации.
В действительности, нам нужно знать не силу, действующую на дислокацию, а ту составляющую этой силы, которая действует в плоскости скольжения. Обозначим эту составляющую dQ, она равна силе d尸 за вычетом той ее части, которая направлена по нормали к ds:
dQ =dF — (v dF) V.
Легко проверить, что эта формула может быть записана в виде тройного векторного произведения
dQ = vXdFxv.
Вычислим отдельно произведение
vXdF = vXpXdl = р (v dg) — dg (vp) = — d^ (vp).
Таким образом,
dQ = (vp) (vx^S)
или
dQ = (%%%)(wxd§.(14.11.2)
Первый множитель представляет собою скалярное произведение вектора Бюргерса на вектор напряжения в плоскости скольжения, второй указывает, что сила dQ направлена по нормали к линии дислокации в плоскости скольжения.
Взаимодействие между дислокациями
Пусть в теле созданы две дислокации, линии которых суть Г и Г", векторы Бюргерса b и Ь' соответственно. Этим дислокациям соответствуют системы напряжений。门 и。灯 и деформации ец и 气广 Энергия взаимодействия может быть подсчитана двояким способом; либо нужно предположить, что первая дислокация уже существовала в теле к моменту, когда в нем создается вторая, либо наоборот. Работа напряжений 。订 на относительном перемещении Ь； краев разреза 2', проведенного через контур Г\ представляет собою энергию взаимодействия
%=|4冲2.
Если дислокации создаются в обратном порядке, то
唯=f aijv?/2-
Энергия взаимодействия между двумя дислокациями не равна нулю подобно энергии взаимодействия между дислокацией и полем напряжений от внешних сил. По-прежнему эта энергия может быть вычислена путем суммирования работ, произведенных в элементарных объемах,
% = 1 %e严=J %气严，УУ
Напряжения。储 и。工 самоуравновешены, но деформации е订 и е工 не представляют собою деформаций, возможных в сплошном теле, при создании дислокации сплошность нарушается. Поэтому Wi не является виртуальной работой самоуравновешенной системы сил и не должна обращаться в нуль.
Предположим теперь, что элемент d自 линии дислокации Г перемещается на расстояние d〃・ Соответствующее изменение энергии взаимодействия есть ——dWi. Возможное движение дислокации должно сопровождаться уменьшением энергии взаимодействия; представляя это уменьшение в виде
% =% =
% =
% =
произведения вектора перемещения du на вектор dF 一 d%= dF dE,
мы приходим к определению силы dF, действующей со стороны второй дислокации на элемент d之 первой. Эта сила выражается формулой (14.11.2) предыдущего параграфа, если напряжения 。门 от внешних сил заменить напряжениями а^, создаваемыми второй дислокацией.
Особый интерес для приложений представляют прямолинейные дислокации; взаимодействие прямолинейных дислокаций мы рассмотрим более подробно.
Две параллельные винтовые дислокации. Винтовая дислокация (О, О, Ь) создает поле напряжений, симметричное относительно оси %з, она
не имеет определенной плоскости скольжения и сила взаимодействия между двумя такими дислокациями не зависит от их расположения относительно осей 力а. Направим по оси %з дислокацию (О, 0, bi), вторая дислокация (О, О, Ь2) пусть проходит через точку 怎 0, 0) (рис. 14.2.1). Предположим, что дислокация bi уже существовала, в плоскости 力2 = 0 ей соответствует касательное на-
》1
пряжение 。？3= Зл"~х~' Создавая вто
рую дислокацию, мы производим относительное смещение в направлении оси %з на величину 匕2 краев разреза в плоскости 力2 = 0 от %i =自 до Xi = Е. Соответствующая работа на единицу
длины линии дислокации
Сила взаимодействия между дислокациями
一吧一宀能 h2jx一吧一宀能 h2jx11(14.12.1)(14.12.1)
一吧一宀
能 h2jx
一吧一宀
能 h2jx
1
1
(14.12.1)
(14.12.1)
Формула для силы взаимодействия между двумя винтовыми дислокациями оказывается такой же, как для силы взаимодействия между двумя линейными зарядами. Она положительна, если дислокации одного знака, и отрицательна, если дислокации разных знаков. Таким образом, дислокации одного знака отталкиваются, дислокации разных знаков притягиваются, стремясь слиться в одну дислокацию с вектором Бюргерса bi ——&2. В частности, две дислокации с равными и противоположными векторами Бюргерса, сливаясь, уничтожают друг друга.
Две краевые дислокации е общей плоскости скольжения. Рассмотрим две краевые дислокации, лежащие в плоскости 力2 = 0, одна из них направлена по оси 力з и имеет вектор Бюргерса bi в направлении оси 力卜 другая параллельна ей, проходит через точку (自,0, 0) и имеет вектор Бюргерса Ьг того же направления, что первая. Энергия взаимодействия подсчитывается здесь точно так же, как в случае двух винтовых дислокаций, так как касательное напряжение в плоскости аг2 = 0 от первой дислокации есть
О = i
12 2л (1 — V) N
(14.12.2)(14.12.2)Формула взаимодействия имеет следующий вид:
(14.12.2)
(14.12.2)
2jx (1 — v)'
и в случае краевых дислокации дислокации одного знака отталкиваются^ разных знаков ——притягиваются.
Две краевые дислокации 6 параллельных плоскостях скольжения. Рассмотрим две краевые дислокации так, как это показано на рис. 14.12.2.
Рис. 14.12.2Рис. 14.12.2Первая дислокация вызывает в плоскости скольжения второй дислокации касательное напряжение
Рис. 14.12.2
Рис. 14.12.2
Для нахождения силы, действующей на вторую дислокацию, нет необходимости вычислять энергию взаимодействия, можно просто воспользоваться формулой (14.11.2) (так же, как и в ранее рассмотренных случаях). В точке (Ei, ^2), где помещена вторая дислокация, на плоскости скольжения действует касательное напряжение
2jx (1 — V) p4 ，
естьестьнаправленное так же, как вектор Бюргерса. Для вычисления силы, действующей^ в плоскости скольжения, достаточно знать величину т, в формулу Для этой силы входит скалярное произведение вектора напряжений, действующего на плоскости скольжения, на вектор Бюргерса. Это скалярное произведение равно т&2. Следовательно, величина силы
есть
есть
"—外沙Ei隅一置2冗(1 一 V) p4
очевидных преобразова- в таком виде:очевидных преобразова- в таком виде:(14.12.3)(14.12.3).Заметим, что &】/р = cos 0,品/p = sin 0. Послений представим формулу для силы взаимодействияb^ sin 40
очевидных преобразова- в таком виде:
очевидных преобразова- в таком виде:
(14.12.3)
(14.12.3)
Картину взаимодействия между дислокациями можно представить себе следующим образом. Состояние равновесия осуществляется при 0 = п/4 и 0 = л/2. Если дислокации одного знака, они стремятся удалиться, когда 0 V 冗，4, и сблизиться, если 0 > п/4. Состояние равновесия при 0 = п/4 неустойчиво, при 0 = л/2 устойчиво. Это показано схематически на рис. 14.12.2, здесь же приведен примерный график зависимости силы F от координаты 占2・ Если дислокации имеют разные знаки, картина получается противоположной, при 0 V 冗/4 дислокации стремятся сблизиться, при 0 > л/4 стремятся удалиться. Устойчивое равновесие оказывается при 0 = п/4.
Степень устойчивости взаимного расположения дислокаций определяется энергией активации, т. е. величиной работы, которая необходима для того, чтобы разрушить возникшее образование. Пусть, например, мы имеем две дислокации одного знака, расположенные одна над другой (0 = л/2). Фиксируя нижнюю дислокацию, будем перемещать верхнюю вправо до тех пор, пока сила не обратится в нуль, т. е. 0 не станет равным п/4. Работа силы F на этом пути и есть энергия активации; после того как эта работа
произведена, дислокации будут отталкиваться, и первоначальное состояние уже не восстановится. Подсчитаем энергию активации
U = \ F %
Но 占I =自2 Ctg 0,咫 1 =—三2 sin2g > следовательно,
(14.12.4)(14.12.4)Л/4
(14.12.4)
(14.12.4)
8л(1 —v) J side2л (1 — v)
л/2
§ 14.13. Стенка дислокаций
Предположим теперь, что вдоль оси /2 на равных расстояниях d расположен ряд одинаковых краевых дислокаций (&, 0, 0). Основываясь на результатах предыдущего параграфа, следует ожидать, что такое расположение будет устойчивым. В последующем мы вернемся к вопросу об устойчивости подобного расположения, пока что ограничимся соответствующим допущением. Если мы хотим рассматривать напряженное состояние в точках, отстоящих от оси х2 на расстояние, достаточно большое по сравнению с расстоянием d между дислокациями, мы можем заменить дискретный ряд дислокаций непрерывным их распределением, слоем дислокаций. Представим себе, что на каждый бесконечно малый элемент d^2 оси х2 приходится краевая дислокация с вектором Бюргерса § d^ На больших расстояниях от оси %2 такой слой вызывает напряженное состояние, не отличающееся от напряженного состояния, вызванного рядом дислокаций на расстоянии d одна от другой, если 卩=b/d. Слой дислокаций может простираться неограниченно вдоль оси х2 или может быть расположен на части плоскости %i = 0 от 力2 =——L до %2 = +Е. Рассмотрим сначала случай бесконечной стенки. Вращение, вызванное краевой дислокацией (Ь, 0, 0), проходящей через начало координат, дается формулой (14.4.4):
b 旳
вращениевращениеСледовательно, дислокация 卩 d^2 в точке (0, &2)создает в точке (力卜 х2)
вращение
вращение
Подсчитаем вращение, создаваемое бесконечной стенкой дислокаций:
2л .
Из рис. 14.13.1 видно, что 工Jr = cos 0, следовательно, ~1恶2 COS 0
—-雄2 = — d8・
Таким образом,Таким образом,S=£signR = ^Sig『・S=£signR = ^Sig『・(14.13.1)(14.13.1)Интеграл в формуле для з представляет собою угол, под которым из точки М видна бесконечная ось %2, этот угол равен +л справа от оси %2 и —л слева от оси.
Таким образом,
Таким образом,
S=£signR = ^Sig『・
S=£signR = ^Sig『・
(14.13.1)
(14.13.1)
Итак, стенка дислокаций может служить моделью плоской границы, разделяющей области кристалла, повернутые одна относительно другой на
угол b/d, или моделью границы мозаичных блоков. Так называются существующие в любом реальном кристалле области, отличающиеся слабой относительной разориентацией.
Рассмотрим теперь напряженное состояние в теле при наличии бесконечной стенки дислокаций. Исходя из формулы (10.3,6), для касательного
напряжения жение:
52 получим следующее выра-
12 2jx (1 — v)
因十色一EJF 2
Переходя к введенному выше углу 0, найдем,
"4
6/2
cos 20 de = 0.(14.13.2)
—Л/2
Таким же образом можно убедиться в том, что и остальные напряжения обращаются в нуль. Итак, бесконечная стенка дислокаций оставляет тело ненапряженным, разделяя его на области, повернутые одна относительно Другой.
В действительности, если мы рассматриваем не непрерывно распределенные дислокации, а дискретный ряд, в непосредственной
близости от осп %2 получится напряженное состояние, быстро затухающее по мере удаления от оси. Если мы захотим соединить две части кристалла со слегка разнящейся ориентацией атомных плоскостей, мы обязательно получим несовпадение рядов атомов в плоскости соединения; чтобы добиться необходимого совпадения нужно деформировать решетку, но эти деформации будут носить чисто местный характер. Таким образом, более точная модель границы блока должна быть построена из дискретных дислокаций, расположенных на конечных расстояниях.
Рассмотрим теперь стенку ограниченной длины, занимающую пространство от е2 =--乙 д0 e2 = +^-
X.X.Формула (14.13.2) для О12 сохраняет силу, но пределы интегрирования будут
X.
X.
]/ 若 +（7 一 厶）2]/ 若 +（7 一 厶）2仇=arccos —/ “-二， =，=, 仇=arccos
]/ 若 +（7 一 厶）2
]/ 若 +（7 一 厶）2
1I/”"(…)22
Интегрируя, подставляя пределы и производя некоторые простые преобразования, получим
0 一 W % (比一若一炉)
12冗(1 一 V)(岩_ W +加)2 + 4它若・
Касательное напряжение принимает бесконечно большие значепия при х\ = =0, %2 = 士厶 оно обращается в нуль на линии
比一电+加=0■
Это ——гипербола, проходящая через концы отрезка х\ = 0, %2 三[—Д L]. Она разбивает плоскость 力 1, /2 на две области, в которых 。開 имеет различные знаки. Дислокация того же знака, попавшая в незаштрихованную область (рис. 14.13.1), будет отталкиваться от оси 力2, в заштрихованной области дислокации того же знака притягиваются к осп 力2, за счет чего происходит рост стенки.
ЧАСТЬ III
НЕУПРУГОСТЬ
ГЛАВА 15
ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ
Упругопластическое и жесткопластическое тело
В главе 5 было дано определение идеального упругопластического и жесткопластического тела и выяснены некоторые общие свойства стержневых систем, составленных из идеальных упругопластических или жесткопластических элементов. Термин «идеальная» пластичность понимается здесь, как и в гл. 5, в том смысле, что материал не обладает упрочнением, т. е. при о = От стержень может деформироваться неограниченно. Напомним, что рассматривалась задача о предельном равновесии, т. е. о нахождении нагрузки, при которой наступает общая текучесть. При этом деформации стержней, перешедших в пластическое состояние, как это заранее оговорено, могут быть сколь угодно велики, если не принимать во внимание геометрических ограничений. Учитывая эти последние, более осторожно было бы говорить о мгновенных скоростях пластической деформации; эти мгновенные скорости могут быть совершенно произвольны и действительно сколь угодно велики. Напомним, что исчерпание несущей способности стержневой системы, как правило, соответствует превращению ее в механизм с одной степенью свободы. Поэтому соотношения между скоростями пластической деформации ее элементов остаются жестко фиксированными, эти скорости определяются с точностью до общего произвольного множителя. Напомним также фундаментальный результат, полученный в § 5.7 и 5.8. Если стержневая система нагружена системой обобщенных сил Qi, то в предельном состоянии выполняется условие
歹（Q' = 0・（15.1.1）
При F < 0 система остается жесткой, состояние, при котором F > 0, невозможно. При этом обобщенные скорости перемещений qt, соответствующие обобщенным силам Qt、определяются ассоциированным законом течения
£ =大"^~，（15.1.2）
где 九 ——произвольный множитель. Соотношения между скоро-
стями Qf фиксированы, если Q《не соответствует ребру поверхности нагружения, в противном случае возникает известная неопределенность. Как было показано в § 5.8, функция F не вогнута. Это значит, что если '^*^ таковы, что 歹(Q；)&0,； то справедливо следующее неравенство:
(Qj —Q：)%》° или(Q; — Q；) "^;》°・(15.1.3)
В рассмотренных примерах, относящихся к стержневым системам ——фермам, функция F была кусочно линейной, уравнение F(Q) = 0 в n-мерном пространстве сил Qt определяло многогранник, ограниченный гиперплоскостями. На ребрах пересечения этих гиперплоскостей направление нормали неопределенно, соответственно вектор qi может занимать произвольное положение в плоскости, нормальной к ребру, и внутри угла, образованного пересекающимися граничными гиперплоскостями. Еще большая свобода выбора направления вектора ^ имеется в вершинах многогранника, где пересекаются несколько гиперплоскостей.
Наша задача теперь будет состоять в том, чтобы получить условие пластичности и закон течения для общего случая произвольного напряженного состояния. Рассмотрим элемент в декартовых прямоугольных координатах, компоненты тензора напряжения Gij можно принять за обобщенные силы, действующие на этот элемент. Соответствующие обобщенные скорости будут £灯. Если деформации малы, то &仃=①力 но это предположение не обязательно. Естественно предположить, что пластическое состояние будет достигнуто тогда, когда некоторая функция от компонент тензора напряжений достигнет предельного значения
F(^) = 0.(15.1.4)：
Такие состояния о*, для которых 歹(о^)《0, будем называть допустимыми.
Условие пластичности (15.1.4) может быть геометрически интерпретировано как уравнение поверхности в шестимерном или девятимерном пространстве, где координатами точек служат компоненты напряжений о仃.В первом случае учитывается симметрия тензора 0引 и координат остается всего шесть, во втором случае равенства 。订=о* не используются. Будем называть гиперповерхность, определяемую уравнением (15.1.4), поверхностью текучести. Для изотропного тела условия перехода в пластическое состояние должны определяться только главными напряжениями независимо от ориентации главных осей, поэтому условие пластичности можно записать в виде
F(01,。2, S)= 0.
Геометрическая интерпретация в этом случае вполне наглядна: 31 Ю. Н. Работнов
выписанное условие определяет поверхность в трехмерном евклидовом пространстве. В отдельных частных случаях бывает достаточно рассматривать условие пластичности не в общем шестимерном пространстве, а в каком-либо из его подпространств с меньшим числом измерений.
Теперь нам необходимо принять некоторую систему предположений, которая позволила бы сделать общие заключения о виде функции F и распределении скоростей пластического течения е“・ При этом результаты, полученные для стержневых систем и сформулированные в виде соотношений (15.1.2) и (15.1.3), должны быть использованы в качестве наводящих соображений. Может бить, наиболее простой путь состоял бы в том, чтобы просто постулировать невогнутость функции 歹(о订)и справедливость ассоциированного закона течения; однако представляется соблазнительным положить в основу теории некоторый общий принцип, допускающий достаточно простую формулировку и содержащий в себе все необходимые следствия. Такого рода принципы или постулаты формулировались разными авторами в различной форме; мы приведем здесь два принципа, приводящих к совершенно эквивалентным результатам.
Принцип максимума и постулат Друкера
Принцип максимума Мизеса формулируется следующим образом. Пусть задано распределение скоростей £协 которому соответствует поле напряжений 。仃・ Мощность диссипации D определяется следующим образом:
D = q觴.(15.2.1)
Здесь 叫一тензор скоростей пластической деформации.
Утверждается, что для истинного напряженного состояния мощность диссипации не меньше, чем для любого допустимого состояния а*；, т. е. такого, что во всех точках тела 4鬲)《 《0. Итак,
Sj吗》5声务.
Это условие обычно записывают следующим образом:
鬲)吟》0.(15.2.2)
Неравенство (15.2.2) совершенно аналогично неравенству (15.1.3); оно устанавливает по крайней мере невогнутость поверхности нагружения. Теперь, предполагая, что функция 尸(。仃) непрерывна и кусочно дифференцируема, составим локальное условие максимума диссипации D как функции。仃 при условии соблюдения условия пластичности (15.1.4). Для этого, как хорошо
известно, нужно искать условия экстремума функции
Ф = D — \F =。济务一XF (cF|j),
где 九——неопределенный множитель Лагранжа. Следуя обычному правилу, приравниваем нулю производные от функции Ф по о“・ Отсюда следует
% =入詳二 (15.2.3)
Это ——ассоциированный закон течения, совершенно аналогичный закону (15.1.2), установленному для стержневых систем.
Так же как и в случае стержневой системы, где функция была только кусочно гладкой, точнее ——состояла из линейных участков, можно предположить, что и в условии (15.2.4) функция 尸——кусочно гладкая и в некоторых «угловых точках» одновременно выполняется А условий
К(М = 0 (s = l, ・・・，论). (15.2.4) Применяя ассоциированный закон течения к каждому из условий (15.2.4), найдем
吗=工％标^・ (15.2.5) s=i 订
Из условия положительности мощности диссипации, которое будет установлено в § 15.3, следует, что Х5 > 0.
Если тензор скоростей деформации £仃 представить себе свободным вектором в том же пространстве напряжений, в котором строится поверхность текучести, т. е. откладывать компоненту е” этого вектора по той же координатной оси, по которой откладывается соответствующая компонента о“, и напряженное состояние изображается точкой М поверхности текучести, то вектор скорости пластической деформации направлен по нормали к поверхности в точке М. Если поверхность текучести строго выпукла, то задание компонент 齒 определяет точку М, а следовательно, и напряженное состояние, единственным образом.
В вышеприведенных рассуждениях мы применяли векторный язык, ведя разговор о тензорах. Для простоты и краткости в дальнейшем мы будем часто пользоваться и векторной символикой, обозначая через с напряженное состояние, а через £ 一 распределение скоростей деформаций. Однако нужно помнить, что любые векторные операции для векторов с и £ совершенно незаконны, их нельзя, например, преобразовывать к другим осям координат, формулы преобразования компонент тензора и вектора различны.
Друкер положил в основу построения теории пластичности следующий постулат. Пусть с* ——некоторое допустимое напря- 31*
женное состояние в указанном выше смысле, с — истинное напряженное состояние. Назовем о — с* дополнительным напряжением. Постулат Друкера утверждает, что работа дополнительного напряжения на замкнутом цикле по напряжениям неотрицательна
^(о — о*) de>0.(15.2.6)
Интегрирование ведется в пространстве напряжений по пути, выходящему из точки о* и возвращающемуся в эту же точку. Заметим прежде всего, что для упругопластического тела
de = de' + 曲&,
где ве — упругая деформация, ер — пластическая деформация. Соответственный интеграл разобьется на две части. Заметим также, что
0(。一 и*) de' = § и de' — и* § de' = 0.
Действительно, первый интеграл в правой части представляет собою работу упругой деформации на замкнутом пути, равну])
нулю, второй же интеграл обращается в нуль потому, что упругая деформация однозначно определяется действующим напряжением. Итак, должно быть
^(a-a*)dep>0.
Рассмотрим путь, изображенный на рис. 15.2.1. На участке MN пластическая деформация не происходит, на участке NP напряжение получает приращение de, отрезок NP принадлежит поверхности 歹=0, пластическая деформация получает приращение de'・ Работа дополнительного напряжения есть (о—о*) d©'・
На участке РМ происходит разгрузка, значит, соответствующая часть интеграла опять равна нулю, пластическая деформация при разгрузке не меняется. Итак, из (15.2.6) следует
(0一0*曲Р》0.(15.2.7)
Соотношение (15.2.7) совершенно тождественно с соотношением (15.2.2), только оно записано в векторной форме, во-первых, и не в скоростях, а в приращениях пластической деформации, во- вторых.
Ассоциированный закон течения также следует из постулата Друкера. Для доказательства выберем точку М на самой поверхности текучести по одну и по другую сторону от точки N (точки и М〃 на рис. 15.2.2). Теперь должно быть
(и — 产)dep》0, (и — о*")曲‘ > 0.
Беря точки М‘ 且 М" сколь угодно близко к точке ^, убеждаемся, что одновременное выполнение выписанных неравенств возможно лишь тогда, когда вектор 曲° направлен по нормали к поверхности текучести, т. е.
曲Р=d九詳^(15.2.8)
Заметим, что для жесткопластической модели все оговорки, связанные с выделением пластической части деформации, не нужны, а индексы《р» и «е» при е и е излишни.
Диссипативная функция
Поскольку напряжения определяются через скорости деформации либо единственным образом в случае строго выпуклой поверхности текучести, либо с известной степенью произвола, диссипативная функция (15.2.1) может быть выражена через скорости пластической деформации
0 = 0(%).(15.3.1)
Будем считать, что рассматриваемое тело жестко-пластическое, значит, Е” ——скорости пластической деформации.
Продифференцируем (15.3.1). Получим
eij^aij + 5招8灯=詳^盛灯.
Но вследствие ассоциированного закона течения
=九弾三 do» —^dF = Oj
поскольку выполняется условие идеальной пластичности. Итак, 鏡 (15-3.2)
Соотношения (15.3.2) взаимны по отношению к ассоциированному закону течения (1523), однако они уже не содержат неопределенного множителя, напряжения о^ определяются единственным образом, если D ——строго выпуклая функция от скоростей. Но функция диссипации сама определена с точностью до произвольного множителя 九,что ясно из структуры выражения (15.2.1). Для того чтобы формула (15.3.2) давала определенные величины Он при неопределенном с точностью до множителя задании скоростей деформации, необходимо, чтобы D была однородной функцией первой степени от е», тогда производные dD/дгц будут однородными функциями нулевой степени, т. е. будут зависеть лишь от отношений скоростей. Действительно, подставляя (15.3.2) в (15.2.1), находим
D =码产，
а отсюда по теореме Эйлера об однородных функциях и следует необходимый результат.
Заметим, что если dD/дг^ представляют собою однородные функции нулевой степени от £订，они зависят уже не от шести независимых аргументов, а только от пяти, например от отношения каждой из компонент £仃 к любой, произвольно выбранной из них. Итак, формулы (15.3.2) выражают шесть величин 0灯 через пять независимых аргументов. Отсюда следует, что между ними существует тождественное соотношение. Это тождественное соотношение и есть условие пластичности.
Уравнение -О(е^) = const определяет поверхность постоянной диссипации в пространстве скоростей деформации £仃.Соотношения (15.3.2) показывают, что вектор напряжения с направлен по нормали к поверхности диссипации; этот результат представляет собою прямую, параллель с ассоциированным законом течения, или, скорее, его перефразировку. Некоторая кажущаяся разница состоит в том, что поверхность 歹=0 в пространстве напряжений фиксирована, тогда как поверхность постоянной мощности диссипации может быть выбрана по произволу. Чтобы нормировать эти поверхности, можно поступать совершенно произвольным образом, например можно принимать
0(%)= 1・ (15.3.3)
Для нормированных таким или подобным образом поверхностей постоянной диссипации можно сформулировать принцип максимума, состоящий в следующем. Пусть 。订——заданное напряженное состояние, £仃——соответствующее истинное поле скоростей
деформации, нормированное в смысле (15.3.3), е^— произвольное поле скоростей деформации такое, что D(8^) = 1. Тогда
(8"一£灯)Oij》0.(15.3.4)
Для доказательства неравенства (15.3.4), перепишем его следующим образом:
Но левая часть равна 刀(&仃)=1, остается доказать, что правая часть не больше единицы. Пусть о灯——пластическое напряженное состояние, соответствующее полю скоростей деформации £灯・ Тогда (15.2.2) можно переписать следующим образом:
(и% — crQ £：》0 или
£仃0“ 《 £灯u仃。
Но e*jajj = D (吟)= 1, следовательно,
ei尹炉《 1 •
Этим доказывается неравенство (15.3.4). Из этого неравенства следует невогнутость поверхности постоянной диссипации.
Постановка задачи теории
идеальной пластичности. Теорема единственности
Постановка задачи теории идеальной пластичности существенно отличается от постановки задачи теории упругости. Не претендуя на исчерпание всех возможностей, упомянем здесь три проблемы.
Предельное равновесие жесткопластического тела. С задачами подобного рода мы уже встречались применительно к стержневым системам. Общая постановка будет состоять в следующем. На части поверхности Sv заданы мгновенные скорости перемещений 也,на части поверхности ST заданы усилия цТ<, где ц —неопределенный множитель. Требуется определить несущую способность тела, т. е. то значение параметра нагрузки цг, при котором наступает общая текучесть, это значит, что тело получает возможность неограниченно пластически деформироваться. Вообще при ц < цг в теле могут возникать пластические зоны, но примыкающие к ним жесткие области ограничивают свободу пластического течения.
На рис. 15.4.1 пластические области заштрихованы. При увеличении нагрузки пластические области расширяются и, наконец, сливаются, отделяя жесткие части Л и В друг от друга, как
показано на рис. 15.4.2. Теперь части 4 и 5 могут свободно перемещаться друг относительно друга. Это и значит, что наступило состояние общей текучести.
Можно представить себе, что заданы только скорости перемещений. Например, на рис. 15.4.3 изображен образец с боковыми вырезами, растягиваемый с постоянной скоростью. При этом образец деформируется, в нем наступает состояние общей текучести, как показано на рисунке. Требуется определить величину силы, которую нужно приложить, чтобы образец действительно деформировался. Участок образца, захваченный зажимом, оста« ется жестким, он весь перемещается со скоростью и, но распределение усилий в месте захвата остается совершенно неопределенным, можно искать только величину｝夕
суммарной силы.
Стационарные задачи о пластическом формоиз- менении. При решении вопросов о предельном равно-
Рис. 15.4.1Рис. 15.4.1
Рис. 15.4.1
Рис. 15.4.1
весии рассматриваются только мгновенные распределения скоростей в момент исчерпания несущей способности, тогда как деформации считаются бесконечно малыми. В задачах о пластическом формоизменении деформации велики. Но в теории идеальной пластичности деформации сами по себе не фигурируют, в уравнения входят лишь мгновенные скорости материальных точек. Поэтому в рамках модели жесткопластического тела возможно рассмотрение, например, такой задачи. Стержень (проволока) диаметром D протягивается через коническую фильеру, в результате диаметр уменьшается до величины %, соответственно увеличивается длина. В заштрихованной области материал находится в пластическом состоянии (границы этой области на рис. 15.4.4 показаны совершенно условно). При анализе процесса фиксируется точка пространства, для этой точки пишутся уравнения пластичности, которые относятся не к какому-то определенному материальному элементу, а к тому элементу, который в данный момент проходит через фиксированную точку пространства и в следующий момент ее покидает.
Совершенно аналогично изучаются стационарные движения жидкости в координатах Эйлера, идеально-пластическое тело, подобно жидкости, совершенно лишено памяти о предшествующих воздействиях. В рассмотренном примере можно определить силу Р, необходимую для осуществления протяжки, можно определить давление на стенки фильеры.
Нестационарные задачи о пластическом формоизменении. Задачи такого рода сложны, и примеры решения немногочисленны. Жесткий штамп, внедряющийся
в пластическое полупространство,〔
встречает все большее сопротивле-I |
ние по мере увеличения площади f
контакта и останавливается на не-\
которой глубине (рис. 15.4.5). В ре-)
зультате пластической деформации'
стержня с выточкой, изображенного на рис. 15.4.3, конфигурация выточки меняется по мере растяжения.Рис,
Естественный, хотя и крайне трудо
емкий путь решения таких задач состоит в следующем. Зная мгновенные значения скоростей, можно определить малые перемещения Nu = v А力 где А方——приращение параметра нагрузки (или любая малая величина). Приращения Ам известны и на контуре выточки, следовательно, можно построить новый контур выточки, близкий к исходному, решить задачу пластичности для этого нового контура, определить новые распределения мгновенных ско- &у
ростей и повторить всю процедуру. Так постепенно, шаг за шагом, можно най-
ти изменение геометрии, связанное
с пластической деформацией. Когда вРис,岱45
полуплоскость внедряется клин, зада
ча оказывается автомодельной и находится замкнутое решение. Но это едва ли не единственный пример.
Специфическая особенность идеального жесткопластического тела состоит в том, что в нем, вообще говоря, чередуются пластические и жесткие области, в пластических областях неопределенно распределение скоростей, в жестких — распределение напряжений. Поэтому теорема единственности носит ограниченный характер: она утверждает только единственность распределения напряжений в пластических областях, не фиксируя их границы. Пусть о》, и；, £工 и & Р{, е% — два решения, удовлетворяющие условиям равновесия, статическим и кинематическим граничным условиям. Тогда разность напряжений "% ——"% удовлетворяет уравнениям равновесия и нулевым граничным условиям на St・ Поле скоростей деформации ° —&万 кинематически возможно,
оно соответствует нулевым скоростям на части поверхности Sy・ Составим уравнение равновесия в форме Лагранжа
J (о» —。工)(J — £%)附=0.(15.4.1)
卩
Правая часть должна была бы равняться мощности приложенных внешних сил, но эта мощность тождественно равна нулю вследствие сделанных выше оговорок, касающихся граничных условий для 0仃 и 仇.Если поверхность текучести строго выпукла, то
(©/ —。订)％》0, (W — °ij)爲》0, причем равенство выполняется только тогда, когда а^ = а^. Следовательно, условие (15.4.1) влечет за собою равенство напряжений
Итак, в пластических областях распределение напряжений определяется единственным образом. Интеграл в уравнении (15.4.1) распространяется на весь объем тела, в жесткой области8ij= 8^,； поэтому интеграл по жестким областям обращается в нуль автоматически. Но из этого следует, что распределение напряжений в жесткой области неопределенно.
Полным решением задачи теории идеальной пластичности называется такое решение, которое удовлетворяет уравнениям равновесия, условию пластичности в пластических областях, где напряжения и скорости деформирования связаны ассоциированным законом, и граничным условием, статическим и кинематическим. При этом должно выполняться еще одно условие, относящееся к возможному распределению напряжений в жестких зонах. По доказанному в жесткой зоне может существовать любое напряженное состояние, удовлетворяющее условиям равновесия, граничным условиям и условиям сопряжения с пластическими законами. Необходимо, чтобы напряженное состояние, возможное в жесткой зоне, удовлетворяло условию F(0ij) ^ 0, т. е. было допустимым для жесткопластического тела. При этом достаточно, чтобы можно было найти хотя бы одно точное распределение напряжений. В отношении распределения скоростей и конфигурации жестких зон полное решение не единственно, однако из теоремы о единственности распределения напряжений следует единственность предельной нагрузки, переводящей тело в пластическое состояние, если условие пластичности строго выпукло. Если поверхность текучести только не вогнута, то предельная нагрузка определяется неединственным образом; как правило, природа этой неединственности находит простое объяснение.
Экстремальные свойства предельных состояний текучести
Две теоремы, приведенные ниже, позволяют получить нижнюю и верхнюю оценку для параметра нагружения 卩.Эти теоремы были впервые сформулированы и доказаны Гвоздевым в малодоступной публикации 1936 г.; они многократно переоткры- вались независимо разными авторами.
Теорема о нижней оценке несущей способности. Пусть о小 e<j, Уг — неизвестное нам истинное решение задачи о предельном состоянии тела, подверженного действию системы поверхностных сил Т” о*——некоторое допустимое напряженное состояние, соответствующее поверхностным силам ^. Напомним, что для допустимого напряженного состояния выполняются уравнения равновесия и условие F (о%) & 0. Составим уравнения равновесия в форме Лагранжа как для истинного, так и для допустимого состояния, принимая за поле виртуальных скоростей истинное поле скоростей (заранее неизвестное),
j Oij^a^ = j TgdS + J T^idS^ (15.5.1) vsvsT
Jo*^dV = f TiVidS + J T^dS. (15.5.2) Vs9ST
Здесь Ti = в/. — истинные поверхностные силы, соответствующие предельному состоянию тела, Т：=。；刑一поверхностные силы, соответствующие допустимому состоянию 。打・ Вычитая (15.5.1) из (15.5.2), получим
J Tw^dS — f T*v^dS = У (or» — о? ^tjdV.
Sv施v
Но вследствие (15.2.7) правая часть неотрицательна, поэтому
J T^dS》J T^VidS.(15.5.3)
SvS。
Неравенство (15.5.3) служит для нижней оценки несущей способности. Если внешняя нагрузка сводится к одной обобщенной силе Q, которой соответствует обобщенная скорость 仏 то
J TiVidS = Qj;
sv
в неравенстве (15.5.3) неизвестная скорость g сокращается и получается оценка несущей способности .
QNQ*.(15.5.4)
Возвращаясь к той форме постановки задачи, которая была сфор-
мулирована в § 15.4, примем, что нагрузки заданы в виде 卩7北 и статически допустимое состояние удовлетворяет статическим граничным условиям a^n； = ц*^ на St. Тогда можно принять 卩 за обобщенную силу, а обобщенная скорость будет равна J T^idS] неравенство (15.5.4) принимает вид
Немедленное следствие доказанной теоремы состоит в следующем: расчет по допустимым напряжениям дает значения 8опу・ стимой нагрузки не больше^ чем расчет по предельному состоя^ нию. Действительно, решая задачу теории упругости и требуя, чтобы предел текучести ни в одной точке не был превзойден, мы вводим в рассмотрение допустимое напряженное состояние в смысле, который был установлен выше.
Теорема о верхней оценке несущей способности. Пусть %，吨一произвольное кинематически допустимое поле скоростей и скоростей деформации, т. е. такое поле, которое удовлетворяет граничным условиям и： = у< на части поверхности Sv. По заданным скоростям деформации 鳥 определяются напряжения 血 единственным образом, если поверхность напряжения строго выпукла. Напряжения о» вообще не удовлетворяют уравнениям равновесия. Выпишем уравнения равновесия в форме Лагранжа, принимая у* за поле виртуальных скоростей
J TiV*dS = f Oifi^dV.
Прибавим и вычтем в правой части этого равенства величину мощности пластического формоизменения, соответствующего кинематически допустимому полю 力,а именно, интеграл от 0订£力・ Получим
J T^dS = J a^8*;dV — J (<7*； — и»)吟 dP・ s v v
Но второй член в правой части неотрицателен, поэтому
J T^dS& J o^dV. (15.5.5)
Если по-прежнему внешняя нагрузка представляется одной обобщенной силой Q, то
j 而鬲&匕(15.5.6)
Правая часть известна, если задано кинематически возможное поле скоростей.一
Применяя оценки (15.5.4) и (15.5.6), можно получить интервал, в котором заключено истинное значение предельной нагрузки Q. Если верхняя оценка и нижняя оценка совпадают, то мы получаем точное решение задачи о несущей способности, что следует из доказанной выше теоремы единственности. Элементарные примеры применения статического и кинематического методов оценки несущей способности уже были приведены в гл. 5, далее будут рассмотрены примеры более сложные.
Нахождение кинематически возможных полей скоростей, которые не обязательно должны быть непрерывными, обычно не встречает трудностей; варьируя эти поля, находят нижнюю грань infQ, определяемую формулой (15.5.6). Эта величина infQ может совпадать с точным решением, а может являться наилучшим приближением в определенном классе возможных кинематических схем пластического деформирования.
Построение статически допустимых полей встречает большие трудности, связанные главным образом с тем, что определенные в пластических областях поля напряжений должны допускать продолжение в жесткие зоны, притом такое, что условие пластичности нигде не превышается.
Условие пластичности
для несжимаемого материала. Изотропное тело
Опыт показывает, что пластическая деформация металлов не сопровождается заметным изменением объема, таким образом, скорость объемной деформации равна нулю
£% = ^11 + 或2 + £§з =。・
Подставляя сюда выражения (15.2.3) для скоростей пластического течения, получим
誅+总+說"
Общий интеграл этого дифференциального уравнения в частных производных первого порядка получается стандартным способом. Составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений
竿=华=今=*=号. (15.6.1)
Перебирая три интегрируемые комбинации, найдем
51 — О = С” 022 — G =。2,。33 — (У н С§.
Таким образом, функция F зависит не от самих напряжений,
а от девиаторной составляющей тензора напряжений
歹(％ -。必)=F 位j) = 0.(15.6.2)
Шесть компонент девиатора симметричного тензора не независимы, а связаны между собою условием Si = о* 曰 0. Поэтому можно выбрать такой способ геометрического представления условия (15.6.2), при котором оно изображается поверхностью в пятимерном пространстве. Мы не будем вставать на этот путь, а сразу перейдем к случаю изотропного материала. В этом случае достаточно рассматривать условие пластичности, выраженное через главные напряжения
尸(01,02,03)= 0・尸(01,02,03)= 0・(15.6.3)(15.6.3)
尸(01,02,03)= 0・
尸(01,02,03)= 0・
(15.6.3)
(15.6.3)
Рис. 15.6.1Рис. 15.6.1
Рис. 15.6.1
Рис. 15.6.1
Это условие допускает уже наглядную геометрическую интерпретацию в трехмерном пространстве главных напряжений. Учитывая условие несжимаемости, следует считать функцию текучести зависящей от компонент девиатора напряжений или же
от трех разностей главных напряжений 01 一。2, 。2 — Оз, Оз — Qi, из которых независимы только две. Сохраняя симметрию записи, мы будем принимать условие пластичности для несжимаемого материала в следующем виде:
尸(5 — О2, з —Оз, б —。1) = 0・(15.6.4)
Уравнение (15.6.4) представляет собою уравнение цилиндра с осью, равнона- клоненной к трем координатным осям. Действительно, от изменения каждой из координат。匕。2, Оз на одну и ту же величину уравнение (15.6.4) не нару
шается, а это изменение как раз и соответствует движению по образующей цилиндра. Очевидно теперь, что условие (15.6.4) нет необходимости изображать поверхностью в трехмерном пространстве, достаточно начертить контур основания цилиндра или след пересечения его с октаэдрической плоскостью.
Теперь мы подойдем к такому представлению с другой стороны. Для изотропного материала условие пластичности можно записывать очевидным образом, как соотношение между тремя инвариантами
/(Si, Su, Siu) = 0.
Если материал несжимаем, то от £ условие пластичности по доказанному зависеть не может, и, следовательно, в нем могут фигурировать только второй и третий инварианты девиатора.
Следуя идее § 7.7, будем представлять второй инвариант через посредство октаэдрического касательного напряжения, а участие третьего инварианта ——через угол подобия девиатора. Теперь предельное состояние текучести будет изображаться контуром в эктаэдрической плоскости, уравнение которого в полярных координатах будет
То = ф(^).(15.6.5)
На рис. 15.6.1 представлена октаэдрическая плоскость и проекции на нее главных осей, сплошные лучи соответствуют положительным полуосям, штриховые ——отрицательным. Если предел текучести при растяжении и сжатии одинаков, как это обычно бывает, и равен ат, то на каждом из лучей отсекается отрезок 1/2「
T0=-Lg-crT = тт. Соединяя концы этих отрезков, мы получаем шестиугольник, соответствующий условию наибольшего касательного напряжения. Действительно, наибольшее касательное напряжение равно полуразности наибольшего и наименьшего из главных напряжений; таким образом, если за критерий пластичности принять достижение наибольшим касательным напряжением предельного значения, в пространстве главных напряжений условие пластичности будет изображаться призмой с гранями
5 —О2 = ±От, 仇―0з==±0т, Оз —6=±°т・(15.6.6)
Каждая из этих полскостей отсекает отрезок, равный От на одной из главных осей и —От на другой главной оси; проекции этих
<JIptJoKUB Hd OKIаоДрИЧССНуЮ ПЛОСКОСТЬ И раВНЫ КаК ра.3。牙,
т. е. соответствуют отрезкам, соединяющим вершины шестиугольника с цилиндром.
Условие пластичности наибольшего касательного напряжения, выражаемое формулами (15.6.6), называется условием Треска — Сен-Венана. Очовидно, что из всех выпуклых контуров, проходящих через шесть точек АВ'С А'ВС', шестиугольник Треска — Сен-Венана будет внутренним.
Внешний из семейства выпуклых контуров, проходящих через эти же точки, будет шестиугольник, стороны которого делятся в названных точках пополам. Соответствующее условие пластичности называется условием постоянства наибольшего приведенного напряжения и записывается в виде шести равенств, каждое из которых выполняется на одной из сторон шестиугольника,
222
% — о = ± 可”,。2 一 о = ±з ”,。3 一 о = ± 言 0*т* (15.6.7)
Условие выпуклости поверхности текучести и несжимаемости материала накладывает, как видно, очень жесткие ограничения на вид возможных условий пластичности, которые представляются выпуклыми контурами, заключенными между двумя шести-
угольниками. Это значит, что если предел текучести при растяжении и сжатии одинаков, то влияние третьего инварианта на достижение пластического состояния относительно невелико.
Теперь, пожалуй, наиболее простое и естественное предположение будет состоять в том, чтобы выбрать в качестве контура пластичности просто окружность
т/2
т0 = const = (15.6.8)
по отношению к которой шестиугольник Треска ——Сен-Венана будет вписанным, а шестиугольник максимального приведенного напряжения описанным. Условие пластичности (15.6.8) называется условием пластичности Мизеса.
Возвращаясь к общему представлению тензора напряжений, мы можем переписать условие (15.6.8) следующим образом:
(15.6.9)(15.6.9)工11=== 0可0灯==const = w Пт»
(15.6.9)
(15.6.9)
В пятимерном пространстве девиаторов это ——уравнение гиперсферы; таким образом, в этом пространстве поверхность текуче
В первомВ первомсти строго выпукла. В пространстве напряжений в力 так же как в пространстве главных напряжений 。厶 поверхность текучести представляет собою цилиндр, она только не вогнута. В случае плоского напряженного состояния, когда одно из главных напряжений, скажем о§, равно нулю, естественно вести рассмотрение не в октаэдрической плоскости, а в плоскости Оз = 0. На рис. 15.6.2 представлен шестиугольник, получающийся в пересечении этой плоскости с призмой Треска — Сен-Вена-
В первом
В первом
Мизеса. условий:Мизеса. условий:на и описанный вокруг него эллипс случае выполняется одно из следующих
Мизеса. условий:
Мизеса. условий:
(15.6.10)(15.6.10)5 = ±От, & = ±5г, 6 — 3 = ±От・
(15.6.10)
(15.6.10)
。； + "； - %02 =唸。； + "； - %02 =唸(15.6.11)(15.6.11)Эллипс Мизеса описывается следующим уравнением:
。； + "； - %02 =唸
。； + "； - %02 =唸
(15.6.11)
(15.6.11)
§ 15.7. Условие пластичности для анизотропных тел
Всякая анизотропия по существу представляет собою конструктивную анизотропию: она определяется строением материала, т. е. наличием тех или иных ориентированных структурных элементов, В теории упругости физическая анизотропия не отли-
чима от конструктивной анизотропии, если вообще противопоставление этих терминов имеет какой-то смысл. Вероятно, можно считать, что физическая анизотропия это та же конструктивная, но на атомном уровне. Так или иначе, если мы имеем в распоряжении коробку в виде куба, например, и внутри этой коробки находится сколь угодно сложное нагромождение упругих элементов, связанных механическими устройствами без трения, то в самом общем случае связь между силами, прикладываемыми к граням куба, и его деформациями описывается в линейной области через посредство 21 константы, никакой эксперимент не позволяет нам судить о том, что именно содержится внутри коробки. Если элементы, заключенные в коробку, могут переходить в пластическое состояние, то пластическое поведение рассматриваемого куба может быть очень различным в зависимости от того, какова внутренняя структура коробки.
Многие авторы строили теорию пластичности анизотропного материала, отправляясь от квадратичного условия пластичности, представляющего собою обобщение (15.6.9), а именно,
4加 0仃。必=cons% 4 汴冉万必=const. (15.7.1)
Существуют формулировки условия анизотропной пластичности в виде кусочно линейных соотношений типа теории Треска — Сен-Венана или теории наибольшего приведенного напряжения. Здесь, однако, будет использован другой подход, который кажется более реалистичным для конструктивно-анизотропных элементов, например, пластин и оболочек, подкрепленных ребрами, а также для композитных материалов, армированных непрерывным волокном.
Чтобы разъяснить основную идею, вернемся к той форме рассуждений, которая была проведена в § 5.7, 5.8 применительно к стержневой системе; пусть будут qt — обобщенные скорости деформации некоторых элементов, Q — соответствующие обобщенные силы. Представим себе теперь, что две системы, которые будут соответственно отмечаться индексами 1 и 2, соединены между собою так, что некоторые элементы их деформируются одинаково, будучи связаны между собой. Тогда qf)=壮®)=公. С другой стороны, суммарные усилия Qi = Q$d + Q俨.Условия текучести для системы 1 и 2 записываются соответственно следующим образом:
"(<??)) = % 熊(。俨)=磴 (15.7.2)
Когда система переходит в пластическое состояние, оба условия (15.7.2) выполняются одновременно. В соответствии с ассоцииро- 32 ю. Н. Работнов
ванным законом течения
%=机=d2)=%券=%諾.
производных от(15.7.3)производных от(15.7.3)Отсюда следует пропорциональность частных функций Fi и F2 в состоянии текучести
производных от
(15.7.3)
производных от
(15.7.3)
叫一叫
妆?)— р砲2)・
Примем теперь Q俨=Qi — Q叫 Если число обобщенных сил есть п, система (15.7.2) и (15.7.3) состоит из п + 2 уравнений, исключая из них п +1 величину О?。 и 卩,получим условие пластичности для составной системы
F(Qi) = k\ (15.7.4)
Геометрическая интерпретация этого результата чрезвычайно проста. В пространстве сил Q^ строится поверхность F*(Q?)) ^ =就，поверхность
碎)◎)=储(Qi — Q?))=展 (15.7.5)：
представляет собой поверхность текучести 驚” (Q)=磯 перенесенную параллельно себе так, чтобы центр ее оказался на первой поверхности. Такое построение можно выполнить для любой точки первой поверхности, уравнение (15.7.4) представляет собою уравнение огибающей семейства поверхностей. Очевидно,
что поверхности F1 = l^ и F2 = /^ можно поменять местами, т. е. в качестве поверхности текучести можно принять огибающую поверхностей 歹i(Q；——Q?)) = "；$ эта огибающая будет та же, что и в первом случае. Приведем некоторые простейшие примеры.
Пластина из изотропного материала^ подчиняющегося условию пластичности Мизеса, усилена ортогональной решеткой. Усилия приложены вдоль стержней решетки. Условие пластичности решетки в плоскости “，з изобразится прямоугольником; теку-
честь решетки наступает тогда, когда усилия в той или другой системе ортогональных стержней достигают предела текучести. Этот прямоугольник изображен на рис. 15.7.1, а. На рис. 15.7.1,6 представлен эллипс Мизеса для пластины, уравнение которой дается формулой (15.6.11). Поместим центр эллипса Мизеса в точку контура прямоугольника и будем его двигать, обходя контур. В результате получим фигуру, изображенную на吃
рис. 15.7.2, контур ее состоит из четырех прямолинейных отрезков, соединенных дугами эллипса. Здесь мы предположили,
что оси Qi и о? являются главными осями, поэтому все построение ведется на плоскости. Предположим теперь, что оси о】и 。2 не главные, так что заданы напряжения Qu, 32, Од Решетка не может вы-Рис. 15.7.3
держивать каких бы то ни было касатель
ных напряжений, поэтому поверхность текучести для решетки в трехмерном пространстве о”，а22, 62 останется прямоугольником в плоскости б? = 0. Условие пластичности Мизеса запишется теперь следующим образом:
аh + G22 -011%2 + 30:2 =企，(15.7.6)
Это ——уравнение эллипсоида. Двигая эллипсоид параллельно себе так, чтобы центр его оставался на площади прямоугольника, мы получим поверхность, изображенную на рис. 15.7.3 и напоминающую диванную подушку, она состоит из двух плоских граней, четырех участков поверхности эллиптического цилиндра и частей поверхности эллипсоида по углам.
Треугольная стержневая решетка. Напряженное состояние он, О22, 012 может быть осуществлено в системе, состоящей из одной системы стержней, составляющих угол 屮” с осью о^ тогда и только тогда, когда это напряженное состояние представляет собою простое растяжение или сжатие в направлении стержней. На рис. 15.7.4 представлен соответствующий круг Мора. Обозначая растягивающее напряжение через о и откладывая угол 2cpi в обратном направлении, найдем из рисунка
0*11 = о* (1 + cos 2屮3 仃22 =О (I — cos 2(p1)f
/4 z(15.7.7)
U12 =2" osin2(Pi・
При фиксированном угле q)i в пространстве Qu, 022, Ou изображающая точка пробегает отрезок, вообще говоря, наклонный по отношению ко всем трем осям (рис. 15.7.5). Величина о ограничена условием достижения текучести в стержнях при растяжении или сжатии. Для простоты можно считать эти пределы 32*
одинаковыми, хотя это совсем не обязательно. Если имеется вторая система стержней, ориентированная под другим углом(р2, то допустимые напряженные состояния будут изображаться точками другого отрезка, также симметричного относительно начала координат. Перемещая второй отрезок параллельно самому себе так, чтобы середина его все время находилась на первом отрезке,
мы получим параллелограмм, подобно тому как в примере 1 для ортогональной системы стержней предельная поверхность вырождалась в прямоугольник. Наконец, добавим третью систему стержней, ориентированную под углом(р3. Соответствующий отрезок перемещается по площади параллелограмма, очерчивая грани параллелепипеда. В результате получается параллелепипед, внутренность которого соответствует допустимым состояниям, а граница — предельным состояниям, когда одна из систем стержней переходит в состояние текучести. Добавляя еще системы стержней, будем получать последовательно многогранные цоверхностп текучести; при этом не играет никакой роли то обстоятельство, что тройная система статически определима, а система стержней четырех и более направлений статически неопределима.
Приведенные примеры показывают, что при решении задач предельного равновесия применение условий типа (15.7.1) не может считаться более оправданным, чем всякого рода кусочно линейные аппроксимации, широко распространенные в литературе.
15.8. Плоская задача теории пластичности
Под термином «плоские задачи» мы будем понимать такие, которые вводят в рассмотрение только три компоненты тензора напряжений Оав и соответственно три компоненты тензора скоростей деформации £ав и две компоненты вектора скорости va. Это не означает, что поле напряжений или поле скоростей на
самом деле представляют собою плоские поля; просто оставшиеся компоненты, если они отличны от нуля, не вводятся в рассмотрение. В случае необходимости их, как правило, можно найти после того, как задача уже решена. Условие пластичности может быть выражено в виде соотношения между главными напряжениями о】и。2 в плоскости %а・ Третье напряжение о§ предполагается либо вообще не входящим в условие пластичности, либо исключенным тем или иным способом (при принятой системе обозначений условие Qi > о2> п3, вообще говоря, не выполняется). Вместо о】и。2 нам будет удобно ввести в рассмотрение величины
卩=方(“ + %)，= у(а1 — ^2)*(15.8.1)
С помощью обозначений (15.8.1) любое условие пластичности для изотропного материала может быть записано в виде
т = т(р)・(15.8.2J
Обозначая через гр угол между первым главным направлением и осью с” выразим компоненты тензора Оав через р, t и гр, например, с помощью построения круга Мора следующим образом:
Пи = р + rcos 2г|), 仇2 = р — т cos 2гр, п12 = т sin 2г]). (15.8.3)
Поскольку т есть функция от р согласно (15.8.2), компоненты тензора напряжений выражаются всего через две величины: р и г|). Подставляя в уравнения равновесия выражения (15.8.3), получим
(1 + rz cos 2屮)p,i — 2t sin 2г|тф, + x ptz sin 2x|)+ 2t cos 2屮电2 = 0,
(1 — x cos 2г|)) p.2 + 2t sin 2屮电2 +1'% sin 2屮 + 2т cos 2屮电 1 = 0.
(15.8.4J Здесь т/ = dx/dp.
Для интегрирования квазилинейной системы (15.8.4) применим метод характеристик, заключающийся в следующем. Присоединим к уравнениям (15.8.4) следующие очевидные тождества:
рл dg + 卩,2 电=dp, 2,1 dxi + 山 dx2 = dip.(15.8.5)
Тождества (15.8.5) вместе с уравнениями (15.8.4) представляют собою систему четырех линейных уравнений для четырех неизвестных: в” р,2,电г 电2・ Решение этой системы для р$ например, может быть представлено следующим образом:
р」= *・(15.8.6)
Здесь D — определитель системы, Ор,】一тот же определитель, в котором столбец, содержащий коэффициенты при %, заменен столбцом из правых частей. Определитель D содержит дифференциалы dxi и dx2, следовательно, зависит от выбранного в плос-
кости %а направления. Может случиться, что для некоторого направления, составляющего угол 屮 с осью %】,так что tgcp = = d%2/d%i, знаменатель в формуле (15.8.6) обращается в нуль. Это направление называется характеристическим направлением, а линии, пересекающие ось х^ под углом ср, характеристиками. Для того чтобы соотношение (15.8.6) имело смысл, необходимо, чтобы числитель также обращался в нуль для того же направления. Но определитель DPt i содержит дифференциалы dp и dip, следовательно, уравнение DPt i = 0 представляет собою соотношение между dp и dxf), выполняющееся вдоль характеристики. Иногда это соотношение оказывается возможным проинтегрировать, и мы получаем в замкнутом виде интеграл вдоль характеристики. Итак, положим 0 = 0. Опуская элементарные выкладки, связанные с раскрытием определителя четвертого порядка, придем после упрощений к следующему дифференциальному уравнению характеристик:
dxi (cos 2屮 + t‘)+ 2d/ dx2 sin 2” + (cos 2屮一t‘)dxl = 0.
Отсюда
(15.8.7)(15.8.7).% Sin 2屮 + 1Л — 1/2
(15.8.7)
(15.8.7)
元 cos 2屮十Y
Из формулы (15.8.7) следует, что при It'lvl существует два семейства характеристик, соответствующих знакам плюс и минус в формуле (15.8.7). В этом случае система (15.8.4) называется гиперболической. Если |rzl > 1, то формула (15.8.7) определяет мнимые направления, и система (15.8.4) называется эллиптической. Метод характеристик, т. е. отыскание соотношений вдоль характеристик из условия DPt i = 0, для эллиптической системы не приводит к цели. Наконец, промежуточный случай, когда lrzl = 1 и оба семейства характеристик сливаются, соответствует параболической системе исходных дифференциальных уравнений. В зависимости от вида условия пластичности в теории пластичности встречаются все три случая; при этом гиперболическая задача оказывается наиболее простой, для нее разработаны эффективные методы решения. Дальнейшее изложение будет ограничено почти исключительно случаем гиперболичности уравнений пластичности.
Будем называть семейство характеристик, соответствующее знаку минус в формуле (15.8.7), характеристиками 占，а соответствующее знаку плюс — характеристиками п, понимая под этим то, что можно выбрать параметры | и Т), определяющие положение точки по отношению к системе криволинейных координат, образованных характеристическими линиями. Фактический выбор этих координатных параметров в каждом случае определяется соображениями удобства, соответствующие примеры будут
рассмотрены ниже. Предположим, что ось х^ направлена по касательной к характеристике 占，тогда угол ф равен нулю и из
мы получаем
sin 2i|)= +У1 — т，2 на линии 占・
Аналогично
sin2i|)= —У1 — т，2 на линии Т).
(15.8.8)(15.8.8)Из этих двух соотношений следует, что cos 2 гр = т\
(15.8.8)
(15.8.8)
Знак минус в этом соотношении исключен, так как в противном случае знаменатель в формуле (15.8.7) обратился бы в нуль.
Рис. 15.8.1Рис. 15.8.1Поэтому в каждой точке характеристики составляют углы ±2 с первым главным направлением, как показано на рис. 15.8.1. Из (15.8.8) следует
Рис. 15.8.1
Рис. 15.8.1
tg“ =仔 (15.8.9)
Вместо того чтобы искать соотношения вдоль характеристик стандартным способом, приравнивая нулю соответствующий определитель, мы придем к цели более корот-
ким путем, отправляясь непосредственно
от уравнений (15.8.4). Умножим первое из них на sin 2叭 второе на —cos 2屮 и сложим. Получим
sin 2^рл — (cos 2i|)— т')卩,2 — 2тгрл = 0.
Направим теперь ось по касательной к линии 自・ Вследствие (15.8.8) коэффициент при втором члене исчезнет, sin 2т|)мы заменим на V1 — т，2 и, разделив на 2т, получим следующее дифференциальное соотношение, выполняющееся в любой точке харак- теристики 自：
击 /1 — я/? dp —西=0 на линии &.
Аналогичным образом находим
±yr^dp + d^ = 0 на линии у].
Эти соотношения интегрируются. Положим
G(P)=等 J /Г^^.(15.8.10)
Теперь интегралы вдоль характеристик записываются следующим
образом:образом:
образом:
образом:
(15.8.11)(15.8.11)G(p) —屮=const на линии &
(15.8.11)
(15.8.11)
G(p) +2 = const на линии т)・
Перейдем теперь к рассмотрению поля скоростей. Условие пластичности (15.8.2) может быть записано в стандартной форме так:
歹(6, 6)= t-t(P)= 0・
Вследствие ассоциированного закона пластичности мы находим скорости деформации для главных направлений в следующем виде:
Е = %(1 — Y), е2 = -%(1 + У).(15.8.12)
При этом скорость сдвига равна нулю. Если материал изотропен, то из ассоциированного закона течения следует, что главные оси тензоров о” и % всегда совпадают. Выберем локальные оси декартовой прямоугольной системы координат %】и %2, направленные по главным осям тензора оаР, обозначим Di и р2 компоненты скорости по этим осям, тогда а = vlt i, £2 = i\ 2. Из соотношений (15.8.12) следует тождество
(1 +J)j + (1 —Y)s = 0・
Заменяя а и е2 их выражениями и записывая условие равенства нулю скорости сдвига, получим следующую систему:
(1 + т7)九 1 + (1 — У) % 2 = 0, Pi, 2 + % 1 = 0. (15.8.13) Вследствие (15.8.9) первое уравнение (15.8.13) можно заменить следующим:
cos2 гр рь 1 + sin2 гр 也,2 = 0.
Прибавим к этому уравнению второе уравнение (15.8.13), умноженное на sin г|)cos 4), и сложим. Замечая, что
/,icos^+/.2sini|)= ^/
где dsg ——элемент касательной к характеристике g, представим результат следующим образом:
(% cos 屮 + v^sin 屮)=0.(15.8.14)
Но заключенное в скобки выражение представляет собою составляющую скорости по направлению характеристики 自，которую мы обозначим через р$. Совершенно аналогичный результат получается для скорости по направлению характеристики т), уп. Таким образом, мы получаем
(15.8.15)(15.8.15)d也=0 на касательной к линии 自, dvn = 0 на касательной к линии т].
(15.8.15)
(15.8.15)
Этот результат истолковывается очень просто: при пластическом
течении элементы, принадлежащие характеристикам, не меняют
длины.
Следует подчеркнуть, что в уравнении (15.8.14) ds^ представляет собою дифференциал локальной декартовой системы координат, а не дифференциал дуги характеристики. Поэтому при дифференцировании угол 4)считается постоянным. Соотношения,
выраженные через производные по характеристическим параметрам, можно получить следующим образом. Обозначим через ± и 〃 единичные векторы: касательный к линии 三 и нормальный к ней; представим вектор и следующим образом:
0 = и« + %呼.
Рис. 15.8.2Рис. 15.8.2дуге характеристи-дуге характеристи-Здесь % и г?壮 соответственно — проекции вектора и на касательную к линии § и на нормаль к ней. Заметим, что dt = п dip, dn = — t d^^ как это легко установить из рис. 15.8.2. Продифференцировав вектор и по ки, найдем
Рис. 15.8.2
Рис. 15.8.2
дуге характеристи-
дуге характеристи-
С другой стороны, дифференцируя тот же вектор, заданный в неподвижной локальной системе координат уа, получаем
Проделывая те же выкладки для второго семейства характеристик, мы заменим соотношения (15.8.15) следующими дифференциальными соотношениями, содержащими производные по характеристическим параметрам:
厌-"联费=°，而一"初瓦=0・ (15.846)
Плоская деформация
Если скорость деформации в направлении оси х3 £з = 0, то условна пластичности Мизеса и Треска — Сен-Венана приведут к одному и тому же результату. Действительно, условие Мизеса в главных напряжениях записывается следующим образом:
(% -02户 + (02 - q)2 + (03 一 “)2 = 2 *(15.9.1)
Вследствие ассоциированного закона пластичности имеем
Ез == X (2(Тз — О] — (?2)== 0, поэтому
% = *з~ (ai + %)•
Подставляя в (15.9.1), получим следующее условие пластичности, связывающее главные напряжения в плоскости аь 02：
2
% —% =而”・
Если принять условие пластичности Треска — Сен-Венана, то равенство нулю скорости £3 означает, что в это условие не входит напряжение а3, напряжение о^ есть наибольшее, напряжение 。2 — наименьшее и условие пластичности принимает вид
6 —。2 = От・
Переходя к обозначениям § 15.8, убеждаемся, что как в том, так и в другом случае условие пластичности (15.8.2) принимает самую простую форму, а именно,
% = к.
Постоянная 及 называется пластической постоянной, она составляет 1/2 предела текучести при критерии Треска ——Сен-Венана и От/У3^0,560T для критерия Мизеса. Очевидно, что эта разница никак не сказывается на ходе решения задачи.
По формуле (15.8.9) tga = ±l. Это значит, что характеристики ортогональны и пересекают траектории главных напряжений под углом 土冗/4. Но на площадках, равнонаклонных к главным осям, достигают максимального значения касательные напряжения. Следовательно, характеристики — это траектории главных касательных напряжений. Вследствие (15.8.14) вдоль характеристик удлинения равны нулю, поэтому вся деформация представляет собою чистый сдвиг в осях 邑 Т). Конечно, последнее замечание относится к бесконечно малой деформации, связанной с мгновенным распределением скоростей деформации.
По формуле (15.8.10) мы находим, что
G(p)f
Поэтому интегралы (15.8.11) принимают вид
芸一屮=const на линии 自，
(15.9.2) 孟 + 屮=const на линии Т).
Интегралы уравнений теории пластичности (15.9.2) были получены Хенки в 1923 г. и носят его имя.
Формулы (15.9.2) подсказывают естественный выбор координатных параметров характеристических линий
金+屮=自，金一屮=斗
Как будет показано дальше, существуют вырожденные случаи, когда величины g и п не могут приниматься за криволинейные координаты точки в плоскости %а, но пока мы эти случаи рассматривать не будем.
Дифференциальные уравнения характеристик в плоскости мы получим, записав
姿=tg 屮 на линии 自，誓=ctg 屮 на линии 斗
Вследствие (15.8.9) при т/ = 0 а = л/4. Поскольку угол а наклона характеристик к линиям главных напряжений отличается от угла гр на постоянную величину л/4, мы заменили в соотношениях (15.9.2) угол 2 на угол ф. Таким образом, мы получаем 患-tg 磽=0,崇+ ctg 嘿=0.(15.9.3)
Введем новые переменные по формулам
Xi =豆I cos 屮一豆2 sin ср,%2 =元 1 sin 屮 + 元2 cos ф.
Подставляя их в (15.9.3), получим следующую систему:
дхп 4 —八дх.彳八
•^- + — ^ = 0, 而g~ ^2 = 0.(15.9.4)
Уравнения для скоростей (15.8.16) имеют точно такую же форму. Действительно, для ортогональной сетки характеристик。球= =0% Упт] = — ^ и уравнения принимают вид
請 ^% = 0，^ + "Г^ = °*(15.9.5)
Уравнения (15.9.5) носят название уравнений Гейрингер.
Исключая из (15.9.4) или (15.9.5) любую из переменных, мы находим, что каждая из величин 豆匕 ^2, 0“ Рп удовлетворяет телеграфному уравнению
(15.9.6)(15.9.6)蔬+ 4"/ = 0・
(15.9.6)
(15.9.6)
С помощью найденных уравнений может быть решена следующая основная задача или задача Коши для уравнений теории пластичности. На участке дуги АВ контура тела, находящегося в условиях плоской деформации, заданы усилия (рис. 15.9.1). Положим в формулах (15.8.3) 2 =屮 + 冗/4, они примут следующий
вид:Онвид:Онр — rsin 2(р, О22 = р + t sin 2(р, Oi2 = т cos 2(р. (15.9.7)
вид:
Он
вид:
Он
Поскольку на дуге АВ контура в каждой точке выполнено условие Оав〃в = % а Оав выражаются через две величины, р и ф, то каждой точке контура М можно сопоставить точку т в плоскости
характеристиками,характеристиками,характеристик 自，％ а отрезку АВ в плоскости %а будет соответствовать отрезок ab в плоскости характеристик, как показано на рис. 15.9.2. Для каждой точки т граничной кривой аЪ в плоскости характеристик по формулам (15.9.4) можно вычислить величины 元】и х2. Далее производится интегрирование линейной системы (15.9.4) в плоскости характеристик. Решение определено в треугольнике abc、образованном дугой аЪ и крайними проведенными через точки 〃，Ь. Простейшая
характеристиками,
характеристиками,
численная схема будет состоять в том, что треугольник в плоскости Е, п разбивается ортогональной сеткой координатных линий, а дифференциальные уравнения заменяются разностными
(^2)m,n = (%2)тп—l,n2~ (%1)т—1,тгА&,
(•^l)m,n = (^i)m.n—1 Ч2~ (%2)m,n—1厶巾
Здесь индексы т нумеруют вертикальные ряды точек, индексы
п — горизонтальные.п — горизонтальные.По этим формулам последовательно вычисляются ха в точках ряда, ближайшего к линии аб, затем следующего ближайшего ряда и так далее до точки с. Для каждого угла в плоскости 自,п, таким образом, находятся величины ха и по формулам (15.9.4), координаты точек в физической плоскости. Нанося соответствующие точки В ПЛОСКОСТИ Ха、 мы получаем криволинейные характеристики; каждой точке Q в физической плоскости соответствует точка q в плоскости характеристик, координаты которой 自 и п определяют величины р и ср, а следовательно, компоненты тензора напряжений ааР для точки Q.
п — горизонтальные.
п — горизонтальные.
Совершенно аналогичным способом рассчитывается поле скоростей, если на линии АВ заданы компоненты скорости.
Как мы убедились, решение задачи Коши определяет единственным образом поле напряжений в криволинейном треуголь*
нике АВС. Вообще говоря, это решение может быть продолжено: к характеристике АС или ВС может примыкать новая пластическая область. Именно таким образом строятся перечисленные в § 15.4 задачи жесткопластического анализа, примеры которых будут приведены ниже. Как правило, пластические зоны граничат с зонами, которые остаются жесткими.
Это последнее обстоятельство указывает на то, что задачи теории идеальной пластичности не оказываются статически определенными, как это может показаться на первый взгляд и как считалось в ранние периоды развития теории пластичности. На* личие жестких зон означает кинематическое стеснение пластического течения: на границе жесткой зоны нормальная составляющая скорости должна обращаться в нуль. Поэтому, после того как построено статическое решение по методу, изложенному выше, необходимо проверить, возможно ли для данного поля характеристик построить кинематически возможное поле скоростей. В случаях, изображенных на рис. 15.4.3 или 15.4.4 (в последнем случае стенки фильеры играют роль границ жестких областей), может оказаться, что линия разрыва скрости упирается в границу жесткой зоны,— такое решение недопустимо. Но даже если кинематически возможное поле скоростей удается построить, может оказаться, что скорость диссипации энергии D в некоторой области окажется отрицательной, что также невозможно. Наконец, устанавливая границы жестких и пластических зон, мы всегда располагаем определенной свободой выбора. Может оказаться, что та часть материала, которую мы предполагали жесткой, на самом деле перейдет в состояние текучести. Теперь мы можем сформулировать требования, которые должны предъявляться к истинному или так называемому полному решению плоской задачи теории пластичности, а именно:
возможность построения кинематически допустимого поля скоростей;
неотрицательность диссипации;
непревышение условия пластичности в жестких областях.
Для проверки выполнимости последнего требования обычно бывает достаточно удовлетвориться проверкой возможности продолжения пластических полей в жесткие области. Полученное поле напряжений будет статически допустимым, поэтому верхняя и нижняя оценки предельной нагрузки совпадают, давая точное решение.
Простые решения. Задача Прандтля
В предыдущем параграфе существенным образом предполагалось, что часть границы тела отображается на плоскость Е, т] как некоторая линия, не параллельная оси | или оси п， т. е. не являющаяся характеристикой. Так бывает не всегда. Пред-
положим, что на участок прямолинейной границы действуют равномерно распределенные нормальные усилия о и касательные усилия т (рис. 15.10.1). Нормаль 九 к границе образует угол а с осью с】. По формулам (15.9.7), вычисляя нормальное и касательное напряжения на площадке с нормалью w, получим
<Тп = р — ^ sin 2 (<р — а), Тп =及 cos 2 (ср — а). (15.10.1)
Отсюда находятся постоянные значения 屮 и р, а следовательно,
Рис. 15.10.1Рис. 15.10.2Рис. 15.10.1Рис. 15.10.2
Рис. 15.10.1Рис. 15.10.2
Рис. 15.10.1Рис. 15.10.2
Ео и т)0. Отрезок АВ границы изображается в плоскости 自，т] одной только точкой (三о, т)о). Угол наклона характеристик 屮 постоянен, поэтому пластическое поле представляет собою треугольник; внутри этого треугольника величина р постоянна, она сохраняет то же значение, что и на границе.
Другое простое решение мы получим тогда, когда пластической области соответствует отрезок характеристической линии в плоскости характеристик, на- 「『｛пример линии 自=const, как по-
ZI Iиказано на рис. 15.10.2. Каждая
точка этой линии имеет координаты £ и т)・ Пусть в точке т т) = т)0, значит, ей соответствует в плоскости с” ％2 ^-характеристика, вдоль которой 屮=击(Ео + %),资= =方& — %)• Итак, g-характери-
стики представляют собою прямые, в каждой точке которых напряженное состояние одинаково, т. е. все три компоненты тензора напряжений сохраняют постоянные значения. Совершенно аналогичным образом отрезку линии п = const в плоскости 忆㈠ х2 соответствуют прямолинейные ^-характеристики.
По-видимому, первое решение задачи теории идеальной пластичности принадлежит Прандтлю. В прямолинейную границу вдавливается прямолинейный штамп без трения, так что под штампом возникает распределенное давление q (рис. 15,10.3).
Как мы выяснили, треугольная область под штампом соответствует точке в плоскости характеристик, в этой области возникает постоянное напряженное состояние такое, что а2г = — ?. Характеристики подходят к поверхности под углом эт/4, назовем ^-характеристикой линию, проведенную из некоторой точки под углом —冗/4・ Подставляя в (15.9.7), находим
022 = _q = Р —论； отсюда
р = к — q
в области, отмеченной римской цифрой I. Пристроим к треугольнику справа центрированный пучок линий п，который соединит область / с треугольной областью IIL Характеристика семейства 自 выходит из области / под углом —冗/4, превращается в дугу окружности, ортогональной к прямолинейным характеристикам семейства п и продолжается в области III как отрезок прямой, пересекающей границу под углом +л/4. В области III 022 = 0, и, следовательно, (15.9.7) дает 0 = р + "; отсюда
p =一论.
Но вдоль ^-характеристик величина п, определяемая формулой (15.9.2), остается постоянной. Поэтому
ОтсюдаОтсюдаq = (2 + 冗)及.q = (2 + 冗)及.(1540.2)：(1540.2)：
Отсюда
Отсюда
q = (2 + 冗)及.
q = (2 + 冗)及.
(1540.2)：
(1540.2)：
Прандтль строил изображенную на рис. 15.10.3 симметричную картину. При этом поле скоростей получается следующим образом. Центральный треугольник
Рис. 15.10.4Рис. 15.10.4движется вниз как жесткое целое. На линии АВ тангенциальная составляющая скорости претерпевает разрыв, но нормальная к АВ составляющая, равная V/V2, сохраняется неизменной вдоль каждой из дуг
Рис. 15.10.4
Рис. 15.10.4
окружностей, представляющих собою
стрелкой, скользя по границе жесткой зоны CD.Полученное решение полно, найдено кинематически допустистрелкой, скользя по границе жесткой зоны CD.Полученное решение полно, найдено кинематически допусти^-характеристики в области IL В результате весь треугольник ACD движется как жесткое целое в направлении, указанном
стрелкой, скользя по границе жесткой зоны CD.
Полученное решение полно, найдено кинематически допусти
стрелкой, скользя по границе жесткой зоны CD.
Полученное решение полно, найдено кинематически допусти
мое поле скоростей, диссипация, очевидно, не отрицательна,
возможно продолжение решения в жесткие зоны как угодно далеко. Предельная нагрузка, при которой наступает течение материала, определяется формулой (15.10.1). Но конфигурация пластических зон и кинематика течения единственным образом не определяются. Альтернативная схема, предложенная Хиллом,
представлена на рис. 15.10.4. Два жестких треугольника скользят направо и налево под углом 冗/4, вытесняя материал в векториальных областях и крайних треугольниках. Теперь поле скоростей во всей пластической области EBCDA непрерывно, скольжение происходит по границе жесткой зоны. Очевидно, что предельное значение нагрузки q вычисляется точно так же по формуле (15.10.2). Заметим, что, отправляясь от решения Прандтля, мы можем продолжать пластическое поле вниз, как
ооРлс. 15.10.5Рлс. 15.10.5
о
о
Рлс. 15.10.5
Рлс. 15.10.5
показано на рис. 15.10.5. На том же рисунке представлена картина в плоскости характеристик. Точка Ь соответствует точке В в физической плоскости и всему жесткому треугольнику, отрезки Ьс и bd соответствуют дугам ВС и BD. Построение характеристик в физической плоскости производится путем интегрирования уравнений (15.9.5) с помощью разностной схемы, которая ничем не отличается от описанной выше схемы решения задачи Коши. Расширяя веер пучков прямолинейных характеристик, т. е. продолжая симметричным образом дуги ВС и BD、мы будем продвигать все дальше и дальше точку О, где встречаются крайние характеристики. Реальный смысл этой задачи состоит в схеме перерезывания полосы толщиной 2无・ Нужно представить себе, что к полосе симметричным образом с двух сторон приложены нагрузки, равномерно распределенные на длине I каждая, когда пластические поля от этих нагрузок встречаются в точке О, пластическая область пронизывает всю толщину полосы насквозь, и происходит ее перерезывание. Заметим, что дифференциальное уравнение (15.9.6) может быть проинтегрировано по методу Римана; функцией Римана для него служит некоторое выражение, содержащее функцию Бесселя; мы здесь не приводим этого выражения. Хилл рассчитал таблицы координат точек, по ко-
торым может быть построено поле характеристик, продолжающее поле, ограниченное двумя характеристиками в форме дуг окружности.
Заметим, что решение задачи Прандтля допускает немедленное и совершенно очевидное обобщение. Рассмотрим тупой угол, загруженный равномерно распределенной нагрузкой на одной из сторон, как показано на рис. 15.10.6. Выполняя построение так же, как в задаче Прандтля, мы строим два треугольника I и III и соединяющий их сектор //• В результате точно таких же вычислений мы находим
g = (2 + л — 26) к.g = (2 + л — 26) к.(15.10.3)(15.10.3)
g = (2 + л — 26) к.
g = (2 + л — 26) к.
(15.10.3)
(15.10.3)
Линии разрыва
Формула (15.10.3) и соответствующая конфигурация пластической области относятся только к случаю тупоугольного клина. Если угол б > л/2 и клин остроуголен, области / и III налагаются друг на друга. В этом случае строится решение с линией разрыва напряжений, как показано на рис. 15.11.1. Характеристики в областях АОС и ВОС прямолинейны, они отходят от сторон угла, составляя с ним углы ±л/4 (на рисунке показаны только характеристики одного семейства). На линии ОС должны быть непрерывны нормальное к этой линии напряжение 0n и касательное тп» тогда как напряжение От, показанное на том же рисунке справа, может претерпевать разрыв. Составим поэтому те общие условия, которые должны выполняться на линии разрыва
напряжений. Будем обозначатьРис. 15.11.1
индексами плюс и минус величины, относящиеся к разным сторонам линии разрыва. Условия непрерывности пп и тп по формулам (15.10.1) могут быть записаны следующим образом:
р+ — к sin 2 ((р+ — а) = р-—乃 sin 2 (ср- — а),cos (屮+ — а) = cos (ср- — а).
Из второго уравнения следует
так как, удержав в этом равенстве знак плюс перед скобкой в правой части, мы получили бы (р+ = ср" и, следовательно, не- 33 ю. Н. Работнов
прерывность всех компонент напряжения. Теперь из первого уравнения получаем
р+ — р- = ±2* sin 2 (屮 一 а)・(15.11.1)
Знак плюс или минус в уравнении (15.11.1) выбирается по смыслу. Возвращаясь к задаче об остроугольном клине с углом раствора 2у = л — 6, принимаем прямую ОС за ось х2, тогда а = 0. Так же, как в задаче Прандтля р+ = к — q,歹一=—乃，угол ф+, который составляет идущая слева характеристика с горизонталью (р+ = л/4 — у. Подставляя в (15.11.1), находим
2" — 0 = 士2" cos 2丫.
Для характеристик, изображенных на рис. 15.11.1, в этом соотношении следует выбрать знак плюс, и мы найдем предельную нагрузку следующим образом:
0 = 2/c(1 — cos2y)・(15.11.2)
Выбор знака в данном случае подчинен условию того, что при у, стремящемся к нулю, предельная нагрузка должна также стремиться к нулю.
Из условия пластичности (15.9.2), которое можно переписать так:
(偌一6)2 + 4肾=4們
следует
S = о九士 1A2 一 说,(15.11.3)
а поскольку оп и тп непрерывны, разрыв напряжения о» может происходить только за счет изменения знака перед радикалом. На характеристике тп =乃 и радикал обращается в нуль. Отсюда вытекает фундаментальный результат, а именно: характеристики или линии скольжения не могут служить линиями разрыва для напряжений.
С другой стороны, тангенциальная составляющая скорости может претерпевать разрыв только вдоль характеристики. Это ясно из процедуры построения поля скоростей по характеристикам, отправляясь от линии АВ, на которой скорости заданы. Очевидно, что если распределение скоростей на границе имеет разрыв, претерпевать разрыв может только абсолютная величина скорости, но не ее направление, в противном случае произошло бы нарушение сплошности тела. Характеристика, выходящая из точки разрыва граничных условий, будет нести разрыв тангенциальной составляющей скорости. Таким образом, тангенциальная составляющая скорости течения может претерпевать разрыв только на характеристике или на особой линии, служащей огибающей семейства характеристик.
Возвращаясь к примеру остроугольного клина, обратимся к § 3.6, где было дано элементарное рассмотрение задачи об изгибе стержня из упруго-идеально-пластпческого материала. На рис. 3.5.1 представлены эпюры напряжений в сечении. По мере роста изгибающего момента пластические зоны охватывают все большую часть сечения, упругая область суживается, и в пределе, когда М f 7ИТ, упругая область обращается в плоскость (на чертеже в линию), отделяющую растянутую область от сжатой. Таким образом, линия разрыва напряжений может рассматриваться как предельная конфигурация упругой области, если рассматривать полностью пластическое состояние тела как предельное состояние для тела упругопластического. Но в приведенном выше изложении теории предельного равновесия подобного рода соображения могут иметь лишь наводящий характер.
Применение экстремальных принципов к задаче о плоской деформации
Экстремальные принципы теории идеальной пластичности, изложенные в § 15.5, позволяют весьма просто получить верхние оценки для несущей способности. Обычный способ получения таких оценок заключается в том, что предполагаемая пластическая область разрезается на жесткие блоки, которые могут скользить друг относительно друга, преодолевая силу трения х = к. Одна из возможных схем приближенного решения задачи
Рис. 15.12.1 .
о вдавливаний штампа представлена на рис. 15.12.1. Блоки обозначены большими латинскими буквами, вдавливающийся штамп обозначен буквой Л, оставшаяся жесткой часть массива ——буквой О. Рядом построена диаграмма относительных скоростей; на этой диаграмме точки соответствуют блокам, отрезок CD, например, представляет относительную скорость скольжения блока С относительно D. Из соображений симметрии диаграмма построена только для одной половины пластической области.
Элементарный подход, получающийся в результате сложения произведений длин границ на их относительные скорости и при- 33*
равнивания этого произведения мощности внешних сил, приводит к следующей оценке для предельной нагрузки:
У2 G£osa + tga)"・У2 G£osa + tga)"・(15.12.1)(15.12.1)
У2 G£osa + tga)"・
У2 G£osa + tga)"・
(15.12.1)
(15.12.1)
При а = 30°, получаем
q < 5,77fc,
что превышает точное значение (15.10.2) на 12%. Минимизируя оценку по углу, можно ее немного уменьшить (на 2%). Для задачи о тупом клине, нагруженном на одной из сторон (рис. 15.10.6), кинематически возможная схема состоит в том, что часть материала просто соскальзывает по плоскости, наклонной
Рис. 15.12.2Рис. 15.12.2
Рис. 15.12.2
Рис. 15.12.2
к горизонту под углом р (рис. 15.12.2). Будем считать, что сползает часть угла, занимающая отрезок, равный единице, и вертикальная скорость тоже равна единице. Из нарисованной справа диаграммы скоростей находим, что скорость скольжения есть 1/sin 因 длина, по которой происходит скольжение, найдется по теореме синусов, она равна 己正瑞工 仇・ Поэтому
q<kq<ksin ?sin ?sin р sin(Y — 6)"sin р sin(Y — 6)"
q<k
q<k
sin ?
sin ?
sin р sin(Y — 6)"
sin р sin(Y — 6)"
Как нетрудно убедиться, минимум этого выражения достигается при р =從，таким образом,
2&2&sin ?sin ?sin2 (Y/2/sin2 (Y/2/(15.12.2)(15.12.2)
2&
2&
sin ?
sin ?
sin2 (Y/2/
sin2 (Y/2/
(15.12.2)
(15.12.2)
Знак равенства получается тогда, когда 丫 = л/2, и схема соскальзывания под углом п/4 соответствует точному решению.
Следующий пример относится к протяжке полосы. Половина толщины ее до протяжки равнялась единице, после протяжки Л. Простейшая кинематическая схема представлена на рис. 15.12.3, положение точки F выбирается так, чтобы получилась минимальная верхняя оценка для натяжения р. Положение точки F будем задавать расстоянием ее m до границы EG.
Диаграмма скоростей представлена на том же рисунке. Из элементарной геометрии следует:
Vab =Vab =2 cos а , /2 cos а , /2 cos а2 cos а
Vab =
Vab =
2 cos а , /
2 cos а , /
2 cos а
2 cos а
Р _ 4 + 卜2^ 2 sin аР _ 4 + 卜2^ 2 sin а2k sinal/万2k sinal/万Рис. 15.12.3Рис. 15.12.3
Р _ 4 + 卜2^ 2 sin а
Р _ 4 + 卜2^ 2 sin а
2k sinal/万
2k sinal/万
Рис. 15.12.3
Рис. 15.12.3
При этом принято, что лист поступает в матрицу со скоростью, равной единице, и выходит со скоростью 1/Л. Вычисляя длины отрезков EF и FG и состав-
ляя выражение мощности, развиваемой при взаимном скольжении блоков, получим
Полученное выражение достигает минимума, когда тп = =¥九，и, следовательно,
—2ctga. (15.12.3)
На рис. 15.12.4 представлены графики зависимости величины р/ (2к) от степени редукции 历.Очевидно, что решение имеет смысл тогда, когда р V 2". На рисунке
приведены только те части получающихся при расчете по уравнению (15.12.3) кривых, которые удовлетворяют этому условию. Если угол а невелик, а степень редукции значительна, то меньшая оценка для усилия р получится, если принять более сложную схему разбивки пластической области на блоки, а именно ту, которая показана на рис. 15.12.5. Часть кривой для а = 30е справа от точки излома рассчитана именно по этой схеме (Кал- ладайп).
Для нахождения нижних оценок несущей способности необходимо строить статически допустимое по.яе напряжений. Эта задача, как правило, оказывается более сложной, чем задача построения кинематически возможного поля. Действительно, строя кинематически возможное поле скоростей, мы можем выбрать границу с жесткой областью по произволу и совершенно не должны заботиться о том, может ли эта область на самом деле оставаться жесткой, тогда как статически возможное состояние должно распространяться на всю область, занятую телом. Один простой способ построения статически возможных полей напряжений мы покажем. Заметим прежде всего, что статически воз-
можное напряженное состояние изображается кругом Мора с
радиусом, меньшим или равным пластической постоянной к. Если линия, нормаль к которой есть п, служит линией разрыва
напряжений, на этой линии непрерывны оп и тп, тогда как о? претерпевает разрыв в соответствии с формулой (15.11.3). Точка с координатами оп и тп оказывается, таким образом, общей для кругов Мора, изображающих напряженное состояние по две стороны линии разрыва. Для определенности рассмотрим опять
задачу о штампе. Под штампом возникает состояние двухстороннего сжатия, которое изображается кругом Мора / (рис. 15.12.6).
Точка F соответствует сжатию от приложенной нагрузки д, так что абсцисса ее есть ——q. Круг III изображает состояние сжатия в области, находящейся под свободной поверхностью, главные оси тензора напряжений направлены по вертикали и по горизонтали, вертикальное напряжение равно нулю, поэтому круг
Мора проходит через начало координат. Состояние внутри угла, стороны которого составляют угол 土屮 с вертикалью, проходящей через граничную точку погруженного участка, изображается малым кругом Мора II. Точки тип пересечения круга II с кругами / и III определяют разрывы напряженного состояния.
Вспоминая правило, согласно которому углам в физической плоскости соответствуют удвоенные дуги кругов Мора, проходимые в противоположном направлении, заметим, что углу 冗/2 — <р между прямыми С и М в области III соответствует дуга Ст круга ПЦ измеряемая углом л —- 2(р. Аналогичным образом, дуга Fn на круге I измеряется также центральным углом л — 2(р. Точки тип круга II соответствуют прямым, угол между которыми равен 2(р, поэтому центральный угол, определяющий дугу тптг, равен 4(р. Отсюда следует, что радиусы круга I и круга 〃, проходящие через точку п, пересекаются в этой точке под прямым углом, это же относится к радиусам кругов II и III, проходящим через точку п. Таким образом, если положение точки F задано,
радиус круга II этим определен. Самое дальнее положение точки т. е. самое большое значение нагрузки q получается в том случае, когда в клиновидной области II также осуществляется пластическое состояние, т. е. радиус круга II равен к. Этот случай изображен на рис. 15.12.7; для величины g получается следующая оценка:
q >й(2 + 2У2) 4,83k(15.12.4)
Идя далее по этому же пути, мы можем провести из граничной точки загруженного участка несколько лучей и ввести в рассмотрение соответственно несколько клиновидных зон. В результате оценка для q будет увеличиваться, а в пределе мы получим центрированный пучок характеристик, соответствующий точному решению.
Проведенный анализ относился к упрощенной задаче, когда нагрузка простирается вправо бесконечно далеко. Но полученная оценка (15.12.4) будет справедлива и для штампа конечной ширины. Действительно, обращаясь к рис. 15.12.8, мы убеждаемся, что на границе между областями II и IV выполняются те же условия, что и на границе областей II и ПЦ например. Поэтому в области IV возникает напряженное состояние, изображаемое кругом Мора III на рис. 15.12.6.
Полярно-симметричное пластическое напряженное состояние
Если часть границы плоского тела образована дугой окружности радиусом а и действующая нагрузка направлена по нормали к этой дуге, т. е. по радиусу окружности, поле напряжений мы получим, предположив его полярно-симметричным с полюсом в центре окружности. Напишем уравнение равновесия в полярных координатах, предполагая, что Or и 。①——главные напряжения:
Условие пластичности имеет вид аФ — ог = 土2&. Выбирая для определенности знак плюс, получим
% = 2к_
Отсюда
ог — — g + 2/с In -~, о(р = — q + 2乃(1 + In т)・(15.13.1)
Здесь через q обозначено нормальное давление, приложенное на границе: таким образом, использовано граничное условие аг(а)= =—,・ Траектории главных напряжений ——это лучи и концентрические окружности, поэтому траектории главных касательных напряжений образуют с радиусом углы 土冗/4 в каждой точке, т. е. представляют собою логарифмические спирали.
Простейшая задача, которую можно решить с помощью формул (15.13.1),——это задача о предельном равновесии трубы, находящейся под действием внутреннего давления. Обозначим через а внутренний радиус, через Ь наружный радиус трубы. Полагая в первой из формул (15.13.1) Ог(Ь) = 0, находим
g = 2加 In ^-・
Что касается поля скоростей в данном случае, оно находится элементарно, без применения метода характеристик. Поскольку поле скоростей тоже полярно-симметрично, оно задается при помощи одной только радиальной компоненты скорости и. Скорости в радиальном и осевом направлениях будут соответственно
dvу
外=斤，% = T.
Мы не приводим вывода этих формул, отсылая читателя к § 8.12, где аналогичные выражения были получены не для скоростей деформации, а для деформаций. Поскольку скорость деформации в осевом направлении ez = 0, а материал несжимаем, мы полу-
чаем для функции р(г) следующее дифференциальное уравнение:% + Еф = -^г Ч—— = 0.
Отсюда следует
и = ； х const.(15.13.2)
Формулы (15.13.1) применимы и тогда, когда имеется незагруженный участок границы, образованный дугой окружности; в этом случае нужно положить g = 0. Решение будет определяться единственным образом в криволинейном треугольнике, образованном граничной дугой и выходящими из ее концов логарифмическими спиралями. Конечно, это верно лишь тогда, когда мы
Рис. 15.13.2Рис. 15.13.2Рис. 15.13.3Рис. 15.13.3
Рис. 15.13.2
Рис. 15.13.2
Рис. 15.13.3
Рис. 15.13.3
на самом деле уверены в том, что материал в области, примыкающей к круговой границе, находится в пластическом состоянии. В качестве примера рассмотрим задачу о растяжении полосы с симметричными круглыми вырезами (рис. 15.13.1). Из уравнения логарифмической спирали г = а ехр ср следует, что крайние характеристики встретятся на оси симметрии полосы тогда, когда точки выхода этих характеристик будут определяться углами 士％
причем
В сечении pq распределение напряжений дается второй из формул (15.13.1), а именно:
о^ = 2к +
Интегрируя в пределах от г = адог — a + h и удваивая результат,
получим
為=(I + 力 m « + 4} (15.13.3)
Здесь 4及九——несущая способность гладкой полосы, ширина которой равна минимальной ширине надрезанной полосы. Выражение, стоящее в правой части формулы (15.13.3), всегда больше единицы, оно называется коэффициентом поддержки. При любом виде надреза несущая способность полосы с концентратором будет больше, чем несущая способность полосы с той же минимальной шириной. Это следует из статического экстремального принципа. Если предположить, что в заштрихованной на рис. 15.13.2 полосе растягивающее напряжение равно пределу текучести, а в остальной части полосы напряжения равны нулю, мы получим некоторое статически возможное напряженное состояние; соответствующая нагрузка будет служить оценкой для предельной нагрузки снизу. Что касается поля скоростей для полосы с двумя круговыми вырезами, расчет его оказывается далеко не элементарным. Разделенные пластической зоной части полосы движутся поступательно вдоль оси, удаляясь одна от другой с относительной скоростью V; на граничных характеристиках нормальная составляющая скорости задана и выполнены условия (15.8.16). Эти данные позволяют или строить поле скоростей численно, или же решать задачу аналитически по методу Римана, представляя результат в виде некоторых интегралов, содержащих функции Бесселя. Что касается полноты построения решения, этот вопрос остается открытым. Возможность построения поля скоростей доказывает лишь кинематическую допустимость решения, следовательно, формула (15.3.3) дает наверняка верхнюю оценку. Но могут существовать и другие кинематически возможные схемы, например скольжение по прямой тп. показанной на рис. 15.13.1 штриховой линией, которые дадут для Р оценку более низкую, чем оценка (15.13.3).
Рассмотрим теперь полосу, ослабленную круглым отверстием (рис. 15.13.3). Можно и здесь строить поля характеристик из логарифмических спиралей от контура отверстия до выхода на боковую сторону. Но треугольники, образованные прямолинейными характеристиками, выходящими с боковой стороны, соответствуют равномерному полю растягивающих напряжений. Полученная оценка несущей способности
.Р = 2к(2^-2а)
будет точной, так как статически возможное поле, построенное по тому же принципу на рис. 15.13.2, дает точно ту же величину предельной нагрузкн.、
§ 15.14. Плоское напряженное состояние
В случае плоского напряженного состояния условия пластичности Мизеса и Треска ——Сен-Венана приводят к разным результатам. Рассмотрим сначала условие Мизеса. Для плоского напряженного состояния оно принимает вид
^1 + ^2 - 0r102 = 3 胪.
Мы удовлетворим этому уравнению тождественно, если примем
о】=2" cos (з—亲｝ % = 2"cos(co + 专｝ (15.14.1) Отсюда следует
р =归¥3 cos о,工="sin со.
Для подстановки в формулу (15.8.7), определяющую наклон характеристик, вычислим производную
После подстановки в (15.8.7), получаем
tg(p =tg(p =(15.14.2)(15.14.2)~|/3 sin 2屮 sin s 土 М 3 — 4 cos2 s
tg(p =
tg(p =
(15.14.2)
(15.14.2)
~|/3 cos 2屮 sin s — cos s
Для того чтобы характеристики были действительны, должно быть cos2 со < 3/4. Формулы (15.14.1) представляют собою параметрическое уравнение эллипса в координатах а1? а2. Этот эллипс
изображен на рис. 15.14.1, цифры, стоящие около четырех точек эллипса, обозначают соответствующие значения о. Жирными линиями от(о=л/6 до 5冗/6 и от 7冗/6 до 11л/6 обозначены те области, для которых характеристики действительны и уравнения
гиперболические. В отмеченных четырех точках характеристики совпадают и система уравнений становится параболической, оставшиеся небольшие участки соответствуют области эллиптичности.
Функцию G(p), определенную формулой (15.8.10), удобнее представить как функцию параметра со, а именно,
(15.14.3)
Интегралы вдоль характеристик записываются теперь в форме (15.8.11). Из соотношения (15.14.2) следует, что характеристики не ортогональны. По формуле (15.8.9) можно вычислить угол 土а, который составляют характеристики с первым главным направлением
tga=H；謐士鶉(15.14.4)
В частности, если напряженное состояние представляет собою простое растяжение, то со == л/3, как это видно из рис. 15.14.1, и tga = ¥2, а = 55°44'・ Предположим, что полоса просто растягивается напряжением в 且 pq ——одна из характеристик, отделяющих верхнюю жесткую область от пластической нижней. Неза^ висимо от общей теории покажем, что характеристика pq служит также характеристикой для поля скоростей. Выберем локальные оси координат, как показано на рис. 15.14.2; напряжения в этих осях будут определяться по формулам (15.8.3), а именно,
% =-^(1 — cos 2гр), %2= у (1 + cos2гр), а12 =兴112屮・(15.14.5)
Здесь мы посчитали угол *ф неизвестным, наша задача состоит в том, чтобы показать, что линия pq есть на самом деле характеристика и -ф = л/2 — а. Условие пластичности Мизеса запишется в координатах Ха следующим образом:
0^11 + 0^22 一 %1%2 + ^"(或2 +。外=3友2.
Вследствие ассоциированного закона течения
E11=%(2(Jh -022),c22 == a» (2(522 -01)2%2 = Y12 =九012.
Но вдоль характеристик скорость деформации должна равняться нулю. Подставляя (15.14.5) в условие 2аи — а2г = 0, мы найдем, что угол *ф действительно дополняет угол а до прямого, т. е. -ф = = 35°16'・ В отличие от случая плоской деформации, на границе может претерпевать разрыв не только тангенциальная составляющая, но и нормальная к характеристике составляющая. Теперь
сумма главных удлинений в пластической области уже не равна нулю, следовательно, происходит изменение толщины пластинки.
Формулы (15.14.1), показывают, что при плоском напряженном состоянии величины главных напряжений ограничены величиной 2", в отличие от плоской деформации, где они могут быть сколь угодно велики, лишь бы их разность оставалась постоянной. В задаче о трубе под действием внутреннего давления, рассмотренной в § 15.13, наружный радиус b можно было брать сколь угодно большим, всегда можно приложить настолько боль
шое давление д, чтобы труба полностью перешла состояние. Аналогичным образом в задаче о растяжении полосы с двумя круговыми вырезами протяженность пластической зоны определялась лишь возможным углом у, определяющим ту точку, из которой выходит крайняя характеристика. При плоском напряженном состоянии дело обстоит иначе. К контуру от-
верстия в пластине можноверстия в пластине можноприложить лишь таприложить лишь такое давление, которое не превышает 2友，так
верстия в пластине можно
верстия в пластине можно
приложить лишь та
приложить лишь та
пластическоепластическоевво(р — б, а —。2,о(р — б, а —。2,как на контуре аг == —q,как на контуре аг == —q,а а по модулю неа а по модулю небольше чем 2", как мы уже выяснили. Соответственно пластическая область, имеющая форму кольца, простирается лишь на конечное расстояние. Аналогичная ситуация возникает при решении задачи о растяжении полосы с симметричными круговыми вырезами (рис.
пластическое
пластическое
в
в
о(р — б, а —。2,
о(р — б, а —。2,
как на контуре аг == —q,
как на контуре аг == —q,
а а по модулю не
а а по модулю не
. Эту задачу мы и рассмотрим. Полагая
подставим (15.14.1) в уравнение равновесия. Получим
(рЗ + ctg со) В① + 2 学=0・
При г = а со = л/З, как следует из рис. 15.14.1. Интегрируя уравнение при данном граничном условии, найдем
sin з exp— + со \"3sin з exp— + со \"3(15.14.6)
sin з exp— + со \"3
sin з exp— + со \"3
С возрастанием г величина со убывает, при со = л/6 мы достигаем точки параболичности на изображающем эллипсе, характеристики сливаются при г ^ 2,07а. Если ширина полосы больше чем та, которая необходима для встречи гиперболических областей, идущих от противоположных вырезов. Хилл предложил соединять концы областей гиперболических характеристик прямой, соответствующей параболической точке эллипса Мизеса 屮=冗/6, для которой аф = 2А, & = к (рис. 15.14.3). В наших опытах на титановом сплаве, поведение которого очень близко к поведению идеального упругопластического материала, мы никогда не
получали этих параболических перемычек, Типичная картина приведена на фотографии рис. 15.14.4; здесь в результате специальной техники выявлены пластические области, на фотографии они
Рис. 15.14.4
серые. Как видно, вместо пластической перемычки в середине остается упругий ромб, стороны которого образуют углы с осью стержня порядка 55°, что и следует из теории.
Предельное равновесие пластин
В предельном состоянии пластины, подверженной действию изгибающей нагрузки, срединная плоскость служит плоскостью разрыва напряжений. По ту и другую сторону от этой плоскости реализуется плоское напряженное состояние такое, что OaB（z） = =const, zw （0,无）и Oas（—z） = —0耶（2）. Умножая Оав на 2 и интегрируя по толщине оболочки, мы получим тензор изгибающих моментов
Мар = J “в ⑵ ％ &“ （15.15.1）
Поскольку величины Оав кусочно постоянны, моменты будут удовлетворять условию пластичности, которое совершенно подобно условию пластичности для напряжений. Тензор моментов можно привести к главным осям, и предельное состояние пластины будет изображаться либо эллипсом Мизеса, либо шестиугольником Сен-Венана. Поскольку при изучении плоского напряженного состояния мы пользовались первым условием, здесь мы рассмотрим одну простейшую задачу при помощи условия Треска.
Рис. 15.15.1Рис. 15.15.1+ ^ф 7"^ + г dr.+ ^ф 7"^ + г dr.М 丄 ％一 %М 丄 ％一 %(15.15.2)(15.15.2)
Рис. 15.15.1
Рис. 15.15.1
+ ^ф 7"^ + г dr.
+ ^ф 7"^ + г dr.
М 丄 ％一 %
М 丄 ％一 %
(15.15.2)
(15.15.2)
Графическое представление этого уравнения для моментов не отличается от соответствующего представления для напряжений (рис. 15.15.1). Уравнение равновесия для моментов в декартовых координатах будет, очевидно, иметь вид (12.5.8); для получения этого уравнения в полярной системе координат для полярно
симметричного распределения моментов мы сделаем независимый вывод, отправляясь от начала возможных перемещений. При по
лярно-симметричном изибе прогиб (или скорость прогиба) пластины есть "(г), кривизна радиального сечения равна d^w/dr2, кривизна сечения в плоскости, перпендикулярной радиусу, есть ；^・ Последний результат можно получить путем непосредственного геометрического рассмотрения, а можно сослаться на формулы (8.8.2) для радиальной и окружной деформации в случае полярной симметрии. Напишем теперь функционал
Приравнивая нулю вариацию этого функционала и преобразовывая результат интегрирования по частям, мы получим естественные граничные условия, которые здесь не выписываются, и дифференциальное уравнение
Интегрируя один раз, получим
Величина 彳)qr dr = Q представляет собою поперечную силу, приходящуюся на единицу длины окружности радиусом г. Теперь мы можем непосредственно решать задачи о предельном равновесии круглых симметрично загруженных пластин.
а. Пластина загружена распределенной нагрузкой q и оперта по контуру. Положим Mi =嶋,М2 = Мг. В центре Mr = Mv и напряженное состояние изображается точкой Л на рис. 15.15.1. На контуре при г = а Мг = 0, следовательно, состояние пластины изображается точкой В диаграммы. Предполагая, что состояние пластины в целом соответствует стороне АВ шестиугольника, положим в (15.15.2) М9 = Мт, Q = V2Qr. Подставляя в уравнение
(15.15.2) и интегрируя, получим
=иT—m2.
Из граничного условия Мт (а) = 0 находится предельная нагрузка 6МТ
Пластина загружена сосредоточенной силой Р и оперта по контуру. В этом случае точка г = 0 оказывается особой точкой и выполнение условия Mr — М& в центре не обязательно. Полагая Мф = Мт и интегрируя уравнение (15.15.2) при Q = Р/ (2лг), мы находим
Итак, момент Мг сохраняет постоянное значение, которое должно быть равным нулю вследствие граничного условия Мг{а) = 0. Отсюда находим предельное значение нагрузки Р
p = 2口机.
66Рис. 15.15.2Рис. 15.15.2Напряженное состояние во всей пластине изображается точкой 笈 диаграммы. Заметим, что вследствие ассоциированного закона течения в этом случае форма искривления пластины остается неопределенной, тогда как под действием распределенной нагрузки вдоль стороны АВ скорость прогиба пластины такова, что момент Мг = М2 не производит работу, следовательно, с^з/а产=0 и плоская поверхность пластины превращается в коническую.
6
6
Рис. 15.15.2
Рис. 15.15.2
жения, получаетсяжения, получаетсяДля задач, отличных от полярно-симметричных, точные решения отсутствуют. Однако верхняя оценка, основанная на рассмотрении кинематически возможных форм дви- довольно просто при помощи некоторого еди
жения, получается
жения, получается
нообразного приема, в особенности пригодного для пластин, полигональных в плане. Предположим, что полигональная пластина свободно оперта по контуру и нагружена в точке С сосредоточенной силой Р (рис. 15.15.2). Одна из возможных схем потери несущей способности будет следующая. По линиям, соединяющим точку приложения силы с вершинами контура, происходят изломы, плоская срединная поверхность превращается в поверхность пирамиды, ребра которой образованы указанными линиями, а грани остаются плоскими. Обозначим прогиб в точке приложения силы через 6, длины ребер излома 厶,двугранные углы между гранями примыкающими к соответствующим ребрам, 3s. Изги-
бающий момент на единицу длины линии излома есть Мт, поэтому
Чтобы найти двугранный угол со$, проведем через точку приложения силы С прямую АВ, перпендикулярную линии СС.
(рис. 15.15.3), и продолжим примыкающие к вершине Cs стороны контура пластинки до пересечения с этой прямой в точках Л и В. Левая грань поворачивается около прямой BCS, правая——около прямой ACS, прямая АС В изламывается, как показано на том же чертеже во второй проекции, на этой проекции виден угол G)s. Он равен 3//。+ 6【ВС. Но АС = ls tg ^s, ВС = l8 tg<ps. Вычисляя 3s и подставляя в неравенство для
(15.15.3)(15.15.3)лучим
(15.15.3)
(15.15.3)
Р & Мт 2 (ctg 伙 + ctg G) •
Рассмотрим несколько простых примеров:
Прямоузольная пластина со сторонами а, Ь, нагруженная 6 центре. Для нее ctg (р = Ъ/а, ctg 屮=а/b. Следовательно, по формуле (15.15.3)
Пластина 6 форме правильного п-усольника, нагруженная в центре, л /2 \л
屮=2 =万(1一ctg(p =
Предельная нагрузка дается формулой
Р<2п tg Лп
При 72 f 8 мы получаем в пределе
Р = 2пМт.
А это есть найденное выше точное значение предельной нагрузки для круглой пластины.
15.16. Предельное состояние закрученного стержня
Полагая все компоненты тензора напряжений равными нулю, кроме двух
°3а = Та,
мы получим напряженное состояние, которое в упругом теле соответствовало антиплоской деформации или кручению. Условие 34 ю. Н. Работнов
пластичности в этом случае приведется к условию постоянства касательного напряжения
Т т2 + т2 = F.(15.16.1)
Константа 乃,как мы уже видели, по-разному выражается через предел текучести при растяжении в зависимости от того, пользуемся ли мы условием пластичности Мизеса или Сен-Венана. Мы удовлетворим уравнению (15.16.1), приняв
Т1 = —fcsinO, t2 = kcose.(15.16.2)
На рис. 15.16.1 видно, что вектор т, имеющий постоянную величину, перпендикулярен лучу, составляющему угол 0 с осью /「 Подставим выражения (15.16.2) в уравнения равновесия Та, а = =0. Получим
% cos 0 + 0j2 sin 0 = 0.(15.16.3)
Уравнение (15.16.3)— это линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка. Для интегрирования его применяется метод характеристик, т. е. составляются
дифференциальные уравнения характеристик обычным способом,
cos 0cos 0sin0sin0d0 "Уd0 "У
cos 0
cos 0
sin0
sin0
d0 "У
d0 "У
Отсюда следует .
优2 + 力1 tg 6 = с (8), 9 = const.
Таким образом, характеристики прямолинейны. Так как в точке контура вектор t должен быть направлен по касательной к конуру, то характеристики представляют собою прямые, нормальные к контуру. Очевидно, что для односвязных сечений поле напряжений оказывается разрывным. При кручении стержня кругового сечения характеристики будут радиусами и центр сечения будет особой точкой, в которой направление вектора t не определено. Если контур сечения имеет выступающий угол, как показано на рис. 15.16.2, элементарные геометрические сообра-
жения убеждают нас в том, что из угла будет выходить линия разрыва, на которой пересекаются характеристики, выходящие с двух сторон угла. В окрестности угловой точки касательная к линии разрыва представляет собою биссектрису угла, образованного касательными к сторонам угла.
На рис. 15.16.3 показано построение пластического поля напряжений в стержне прямоугольного сечения. Линии разрыва делят прямоугольник на две трапеции и два треугольника, в каждом из этих элементов вектор касательного напряжения сохраняет постоянное направление, указанное на рисунке.
Вводя функцию напряжений, как это было сделано в теории упругого кручения, т. е. полагая g=Ri, т2 = —F>2, мы получим для функции F следующее дифференциальное уравнение:
川1+川2 =科
Это — уравнение поверхности равного ската. Граничное условие для функции 歹,
так же как в § 9.7, оказывается таким: F = const на контуре; для односвязного сечения можно принять F = 0. Функция F изображается, таким образом, построенной на контуре линейчатой поверхностью, прямолинейные образующие которой нормальны к линии контура и имеют постоянный наклон 乃 к плоокости поперечного сечения. Для круга это будет поверхность конуса, для прямоугольника ——поверхность в виде крыши, ребра которой проектируются на плоскость как линии разрыва. И здесь, как в теории плоского напряженного состояния, линии разрыва напряжений следует рассматривать как выродившиеся упругие области.
Величина предельного момента, так же как и для упругого стержня, выражается формулой
М = 2 f F dxr dx2,
8
т. е. измеряется удвоенным объемом, ограниченным плоскостью сечения и надстроенной над нею поверхностью равного ската к.
ГЛАВА 16
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО
Деформационная теория пластичности
Как мы видели, согласно теории пластического течения, основанной на условии пластичности Треска ——Сен-Венана с ассоциированным законом течения, пластическая деформация представляет собою простой сдвиг в плоскости, определяемой осями наибольшего и наименьшего главных напряжений. Если деформации малы, то скорость деформации равна производной от деформации по времени. С другой стороны, если упрочняющийся материал оказывается в состоянии чистого сдвига, то величина пластического сдвига представляет собою совершенно определенную функцию от касательного напряжения
Yr =屮⑴.(16.1.1)
Естественно предположить, что и при сложном напряженном состоянии зависимость (16.1.1) сохраняет силу. Считая, что полная деформация представляет собою сумму упругой и пластической деформации, и замечая, что
7? = Gp — «зр, т = »(J — 0rз),
е2P = 0 и пластическая объемная деформация отсутствует, мы получаем следующие зависимости между напряжениями и деформациями:
4 =善【0r1 — V (% +。3力 + у Ф
% =瓦付2 — ”3з +。1)】，(16.1.2)
63=百【% 一 V 31 + %)]-У 屮 I2
При этом должно быть Qi > а2 > о3. Уравнения (16.1.2) представляют собою конечные соотношения между напряжениями и деформациями, хотя в основу было положено предположение о том, что пластичность представляет собою именно течение материала. Первичный опытный факт, выражаемый уравнением (16.1.1), можно истолковать и таким образом, что пластическое течение представляет собою чистый сдвиг, но величина дефор-
мации не произвольна, как это было в теории идеальной пластичности, а зависит от действующего напряжения. Уравнение (16.1.1) справедливо тогда, когда т не убывает, более точная запись его будет следующая. Если т изменяется произвольным образом во времени 自 от 自=0 до 自=& то
Tfp = sup(p[T(g)]?自已[0,订・
Это значит, что при разгрузке пластическая деформация сохраняется. Здесь мы не предусмотрели возможность появления вторичных пластических деформаций при приложении больших касательных напряжений противоположного знака. Учет соответствующих эффектов требует введения дополнительных гипотез.
Чрезвычайно простые уравнения (16.1.2) записаны в главных напряжениях. Если направления главных осей заранее неизвест- ны? уравнения нужно записать в произвольных осях. При этом вся простота исчезает, результирующие уравнения становятся сложными до чрезвычайности. Более того, если главные оси известны, мы должны знать заранее, по какой оси будет действовать наибольшее напряжение о4, по какой ——наименьшее Оз・ Но может случиться, что в процессе нагружения соответствующее неравенство нарушается, следовательно, меняется та плоскость, в которой происходит сдвиг. Таким образом, изложенная теория имеет лишь ограниченную область применения.
Так называемая деформационная теория пластичности представляет по существу распространение на пластическое тело того закона связи между напряжениями и деформациями, который устанавливается нелинейной теорией^ упругости. Пластический потенциал, который заменяет здесь упругий потенциал, для изотропного тела есть функция инвариантов тензора деформаций. Обычно при этом применяются следующие гипотезы:
Объемная деформация подчиняется закону линейной упругости
о = ЗКе・(16.1.3)
Упругопластический потенциал U завист только от второго инварианта тензора деформаций, например от октаэдрического сдвига
U=U(Y°)・
Из второй гипотезы следует, что
Су = 2G. (у。) ％.(16.1.4)
Здесь о“ и е^ ——девиаторы соответствующих тензоров, Ge(y0)—— функция октаэдрического сдвига, появляющаяся при дифференцировании потенциала U(у0). Свертывая обе стороны равенства (16.1.4) и вспоминая определения т0 и у。 (см. § 7.7), мы
находим
(16.1.5)(16.1.5)£(Yo)=优.
(16.1.5)
(16.1.5)
Соотношение (16.1.5) означает существование единой кривой То — То для всех видов напряженных и деформированных состояний, точнее для всех путей нагружения или деформирования. Таким образом, существование этой кривой должно быть принято за первичный опытный факт, выполнение или невыполнение его при эксперименте служит критерием правильности плп неправильности теории в целом. Величина пластического модуля сдвига G§, определенная как функция октаэдрического сдвига 匕， может рассматриваться и как функция октаэдрического касате льного напряжения т0. Заметим, что принятая гипотеза, выраженная уравнениями (16.1.4) и (16.1.5), не предполагает разделения деформации на упругую и пластическую. Действительно, закон Гука для девиаторных составляющих тензоров напряжений и деформаций записывается так:
% = 2|х%.
Здесь 卩 ——упругий модуль сдвига. Диаграмма зависимости т0 — 丫。, по предположению, одинаковая для всех путей деформирования, включает в себя упругую сдвиговую деформацию, тогда как упругая объемная деформация определяется уравнением (16.1.3).
Вид функции То(уо) проще всего определить из опы*га на чистый сдвиг, например, при кручении тонкостенной трубки кругового сечения. Действительно, при чистом сдвиге
гости К и производить пересчет, основываясь пластичности. Мы не будем здесь описывать отсылая к специальной литературе.гости К и производить пересчет, основываясь пластичности. Мы не будем здесь описывать отсылая к специальной литературе.Здесь т и у ——касательное напряжение и сдвиг. Таким образом, диаграмма т0 — у0 получается из диаграммы чистого сдвига т — у путем простого изменения масштаба. Получить искомую зависимость из опыта на растяжение несколько сложнее. Дело в том, что растяжение сопровождается изменением объема, поэтому для нахождения функции To(Yo) нужно знать объемный модуль упру
гости К и производить пересчет, основываясь пластичности. Мы не будем здесь описывать отсылая к специальной литературе.
гости К и производить пересчет, основываясь пластичности. Мы не будем здесь описывать отсылая к специальной литературе.
на уравнениях эту процедуру,
одноосном напри кручении, по кривой де- показано наодноосном напри кручении, по кривой де- показано наОсновной опытный факт, наблюдаемый при гружении ——растяжении или сжатии, а также : заключается в следующем. Пока мы движемся : формирования от начала координат так, как
одноосном напри кручении, по кривой де- показано на
одноосном напри кручении, по кривой де- показано на
рис. 16.1.1 стрелкой, т. е. пока напряжение и деформация, в данном случае t и у, возрастают, связь между т и у дается диаграммой пластического деформирования. Зависимость между напряже-
нием и деформацией однозначна в том смысле, что она не зависит от скорости деформирования или приложения нагрузки, но она нарушается при движении в обратном направлении, т. е. при изменении знака t или у. Опыт показывает, что при
уменьшении напряжения материал возвращается в упругое состояние, зависимость между напряжением и деформацией при разгрузке изображается на диаграмме прямой, проходящей через ту точку кривой деформирования, от которой произведена разгрузка. Закон упругости при разгрузке ——это не точный физический закон, на самом деле диаграмма раз- гру/зки не вполне прямолинейна, и сред- 多 ний модуль, получаемый при замене истинной диаграммы разгрузки наиболее близкой к ней прямой, может незначительно отличаться от начального модуля М, определяющего наклон первого участка диаграммы нагружения. Но теория пластичности всегда имеет дело с гипотетической идеальной средой, которая воспроизводит поведение реального тела лишь с некоторым приближением. Теперь для общего случая естественно принять следую- 〃7
щее допущение. Если октаэдрическое на-Рис. 16.1.1
пряжение или соответственно октаэдриче
ский сдвиг возрастает, то происходит пластическая деформация, описываемая уравнениями (16.1.4). Если при некоторых значениях т0 ==_т0 и ?о = Yo происходит разгрузка, то изменения девиаторов 0仃 и % связаны законом ynpyroicra, который удобно записывать в дифференциальной форме:
d^ij = 2Mde 万，т0 V 云・ (16.1.6)
Уравнения (16.1.6) заменяют при разгрузке уравнения (16.1.4), тогда как уравнение (16.1.3), естественно, всегда сохраняет силу. В записи условия, при котором справедливо (16.1.6), содержится нечто большее, чем только закон разгрузки, при повторной нагрузке материал будет деформироваться упруго до тех пор, пока октаэдрическое напряжение не достигнет величины т0, от которой производилась разгрузка. При дальнейшем нагружении зависимость т0 — Yo следует по продолжению первоначальной кривой и уравнения (16.1.4) снова вступают в силу, продолжая действовать так, как если бы разгрузки и повторной нагрузки не было. Подчеркнем еще раз, что при реверсировании нагрузки, т. е. при смене растяжения сжатием или после изменения направления крутящего момента мы можем снова выйти в пластическую область. Здесь этот вопрос пока не обсуждается.
Теория течения, постулат Друкера
Альтернативная точка зрения на процесс пластической деформации материала с упрочнением состоит в том, что пластическая деформация представляет собою именно пластическое течение материала, происходящее в общем так же, как пластическое течение идеально пластического материала, описанное в § 15.9. Но теперь поверхность нагружения в изображающем пространстве напряжений не остается неизменной, она меняет свою форму по мере движения изображающей точки в пространстве напряжений, которое было описано в § 15.2. Как и в теории идеальной пластичности, в основу теории пластичности с упрочнением можно положить тот или иной принцип или постулат. Такие постулаты вводились по-разному разными авторами, но все они приводят к одному и тому же следствию, а именно к допущению закона течения, ассоциированного с данной мгновенной поверхностью нагружения.
Здесь мы рассмотрим наиболее известный из них, а именно постулат Друкера, который формулируется так же, как и в теории идеальной пластичности. Итак, представим себе напряжение о^, изображаемое в шестимерном (или девятимерном) пространстве напряжений точкой 〃* ——концом вектора напряжения о*. Через точку М* проходит поверхность нагружения S*, т. е. поверхность, отделяющая область упругих состояний или разгрузки от области пластических состояний. В теории идеальной пластичности путь нагружения, со- провождающего€я пластической деформацией, мог проходить только по поверхности S*, этот путь сопровождался только упругой деформа
рис [6.2.1 Цией, если проходил внутри объема, ограниченного поверхностью S*. Выход пути нагружения за пределы поверхности S* предполагался невозможным. Для упрочняющегося материала движение конца вектора о* за пределы поверхности S* возможно. Так, например, возможно состояние а, отвечающее точке М, через которую проходит новая поверхность нагружения S, как показано на рис. 16.2.1. Предположим теперь, что мы вышли из точки М* и возвратились в нее по некоторому замкнутому пути у, который может частично выходить за пределы поверхности S*, например проходить через точку М, не выходя за пределы поверхности S. Постулат Друкера формулируется совершенно так же, как и для идеальной пластичности. Если о ——вектор напряжения на пути *у, то G —о* ——дополнительное напряжение, и работа его на замкнутом пути неотрицательна. В индексных обозначениях имеем
，(吋——成)de^j》0.(16.2.1)
Рассмотрим именно тот замкнутый путь, который изображен на рис. 16.2.1. Точка М*, соответствующая напряжению о*, лежит внутри поверхности S* или в крайнем случае на этой поверхности, как показано на рисунке. Из точки 〃* можно прийти в любую точку ЛЛ, лежащую на S*, по любой кривой, соединяю
Рис. 16.2.2Рис. 16.2.2щей эти две точки и находящейся целиком внутри поверхности S*. После этого мы сообщаем напряжению с' приращение do, выходящее за пределы поверхности S*, и попадаем в бесконечно близкую точку М. Через нее проходит новая поверхность текучести S; на пути М^М произошло приращение пластической деформации de27. Из точки М в точку М* можно вернуться по пути, заключенному целиком внутри новой поверхности нагружения S, т. е. без дополни-
Рис. 16.2.2
Рис. 16.2.2
тельной пластической деформации. На участках М^М^ и ММ* деформация упруга, на участке М^М малая деформация de со
стоит из упругой и пластической частей
de = de + dep.
Работа дополнительного напряжения на упругой деформации, как было установлено в § 15.2, для замкнутого пути нагружения равна нулю, поэтому из (16.2.1) следует
(о 万一成)d%》0・ (16.2.2)
Условие (16.2.2) означает, что вектор а — о*, где а* — радиус- вектор любой точки внутри поверхности S*, образует тупой угол с направлением вектора d^. Если поверхность нагружения гладкая, то, повторяя рассуждения § 15.2, мы убеждаемся в том, что вектор de° направлен по нормали к поверхности нагружения. Сама поверхность располагается целиком по одну сторону касательной гиперповерхности и, следовательно, является выпуклой или по крайней мере невогнутой.
Предположение о гладкости поверхности S в точке М не обязательно, в некоторых вариантах теории пластического течения принимается, что точка М может быть угловой. Это значит, что касательные в точке М образуют конус с вершиной в этой точке (рис. 16.2.2). Из неравенства (16.2.2) следует, что вектор de* должен лежать внутри конуса, образованного нормалями к поверхности S в окрестности точки М.
Допустим теперь, что о灯=о灯；мы выходим из точки М§ в бесконечно близкую точку М; при этом происходит пластическая деформация de°; после этого возвращаемся в точку М по тому же пути, совершая упругую разгрузку. Из постулата Друкера
следует
do^del》0.(16.2.3)
•Л•ЛПоследнее неравенство характеризует известную устойчивость материала, которую легко проиллюстрировать на примере простого растяжения. Если диаграмма зависимости о — е такова, что с увеличением деформации е напряжение о возрастает, то do de > > 0. Но если свойства материала характеризуются падающей диаграммой, как на рис. 16.2.3, то после точки Л — максимума кривой — неравенство (16.2.3) нарушается. Такой материал неустойчив, он продолжает деформироваться при падающей нагрузке.
•Л
•Л
Рис. 16.2.3Рис. 16.2.3Постулат Друкера, как неоднократно 一 и настойчиво подчерки(вал сам автор, оте нюдь не вытекает из законов термодинамики. Сам Друкер улотребляет для него термин «квазитермодинамический». Поэтому на требование выполнения посту
Рис. 16.2.3
Рис. 16.2.3
лата Друкера следует смотреть как на определение класса устойчивых материалOIB. Подчеркнем, что в данном случае речь идет об устойчивости именно материала, а не образца, подвергнутого растяжению. В § 4.13 был рассмотрен пример неустойчивости растяжения образца из материала, подчиняющегося степенному закону упрочнения, т. е. устойчивого по Друкеру; неустойчивость процесса деформирования была связана с изменением площади поперечного сечения. Существуют материалы, деформирование которых сопровождается появлением внутренних дефектов, что эквивалентно уменьшению площади эффективного, т. е. несущего фактически нагрузку, сечения. При макроскопическом описании поведения таких материалов постулат Друкера не выполняется.
Заметим, что результаты этого параграфа совершенно недостаточны для того, чтобы фактически построить теорию пластического течения. Они лишь устанавливают некоторые разумные рамки, ограничивающие определенным образом выбор системы допущений, отличающих тот или иной вариант теории пластического течения.
Теория течения, общие уравнения
Запишем уравнение поверхности S*, проходящей через точку о,/, следующим образом:
/(%•)-“2 = о.(16.3.1)
В общем случае функция /(о订)и величина /с2 могут зависеть^от деформации и от путей нагружения и деформирования любым,
сколь угодно сложным образом. Величины о仃 удовлетворяют уравнению (16.3.1); при движении по пути нагружения поверхность деформируется и уравнение (16.3.1) меняет свой вид, но таким образом, что конец вектора напряжения всегда лежит на поверхности S. Будем называть нагружение активным, если приращение вектора с направлено в наружную сторону поверхности S и, следовательно, сопровождается пластической деформацией. Если вектор d(j направлен внутрь объема, ограниченного поверхностью S, и, следовательно, происходит лишь упругая деформация, будем называть нагружение пассивным или разгрузкой. Наконец промежуточный случай, когда da лежит на поверхности нагружения, мы будем называть нейтральным нагружением. Сделаем два следующих предположения.
Нейтральное нагружение не сопровождается пластической деформацией. Это условие выражает требование непрерывности при переходе от пассивного нагружения к активному. Заметим, что в теории идеальной пластичности дело обстоит совершенно иначе, там величина пластической деформации или скорости деформации неопределенна и становится отличной от нуля при достижении вектором о поверхности текучести. В деформационной теории, как она была сформулирована выше, непрерывности при переходе от пассивного нагружения к активному нет; при активном нагружении, бесконечно мало отличающемся от нейтрального, происходит пластическая деформация, при бесконечно близком пассивном пути нагружения дефо1рмац*ия упруга. Это обстоятельство служит серьезным доводом, препятствующим расширенному использованию деформационной теории.
Приращения пластической деформации представляют собою линейные функции от приращений напряжения.
Заметим, что хотя мы назвали излагаемую теорию теорией пластического течения, на самом деле до сих пор речь шла не о скоростях течения, а о бесконечно малых приращениях компонент тензора пластической деформации. Но если мы примем, что напряженное состояние меняется в зависимости от какого-либо монотонно возрастающего параметра, мы можем назвать этот параметр временем и ввести в рассмотрение скорости деформации, как это делалось в теории идеальной пластичности. Нужно только помнить, что физическое время не играет в теории пластичности никакой роли, существенна последовательность событий, но не действительная скорость, с которой они происходят. Поэтому можно, как и в теории идеальной пластичности, записать закон пластического течения следующим образом:
Но теперь X уже не произвольная величина, а совершенно определенная функция. Чтобы уточнить структуру этого множителя,
мы воспользуемся двумя введенными выше гипотезами. Разложим приращение вектора с на две составляющие: do\ направленную по касательной к поверхности нагружения, и da", направленную по нормали. Согласно второму предположению вклады в величину dep от этих двух составляющих суммируются, но величина da' соответствует нейтральному нагружению и, согласно первой гипотезе, вклада в приращение пластической деформации не вносит. Следовательно, приращение пластической деформации должно быть пропорционально нормальной составляющей вектора de, которая в свою очередь пропорциональна величине &。也・ Поэтому множитель X должен быть тоже пропорционален этой величине. В результате получаем
需.(16.3.2)
Величина Н в формуле (16.3.2) может быть функцией напряжений и деформаций или функционалом от пути нагружения. Во всяком случае, общая форма записи уравнений (16.3.2) оставляет очень большой простор для выбора частных предположений.
Один вариант теории пластического течения с упрочнением мы уже разобрали в § 16.1. Предполагая, что поверхность течения есть призма Треска — Сен-Венана, и считая, что мы находимся все время на одной и той же грани этой призмы, мы проинтегрировали по существу уравнения (16.3.2) и пришли к некоторому варианту деформационной теории. Другой вариант был предложен Прагером, он основан на предположении, что как функция 力 так и функция Н зависят лишь от второго инварианта девиатора тензора напряжений, например
/ = 2h = 2口 — у 迄.
Теперь
^7 = 2 (0 炉一。5万)=2 0万.
Выражение a^z представляет собою производную по времени
от /, т. е. от 2ц, или, если перейти к октаэдрическому касатель
ному напряжению,
/ = 2口 = 6тото.
Поэтому уравнения (16.3.2) примут вид
(16.3.3)(16.3.3)吗=Gijh (т0) т0.
(16.3.3)
(16.3.3)
В качестве параметра нагружения или времени в том смысле, в
каком это было разъяснено выше, можно принять величину т0, при активном нагружении эта величина монотонно возрастает. Можно указать случай, когда уравнения (16.3.3) можно проинтегрировать, это случай так называемого пропорционального нагружения, когда все компоненты девиатора тензора напряжений изменяются в одном и том же отношении. Величина т0 есть однородная функция первой степени от о协 поэтому при пропорциональном нагружении 仃订/工。=const. В таком случае, интегрируя (16.3.3), получаем
то
е% =晶^『т0^(т0)йт0.
Оказывается, что при пропорциональном нагружении уравнения теории течения типа Прагера и уравнения деформационной теории совпадают. Вычитая из компонент девиатора тензора деформации, определяемых формулами (16.1.4), упругие компоненты, находим
Таким образом,
Величина Gs определяется как функция от 丫。или т0 по диаграмме То — 7о С помощью формулы (16.1.5). Для того чтобы найти функцию Л(т0), продифференцируем полученное соотношение по То, переписав его предварительно в виде
о
В результате получим
使("634)
Величины Gs и Gt называются соответственно секущим и касательным модулями. Величина Gs, согласно формуле (16.1.5), представляет собою угловой коэффициент луча, выходящего из начала координат в точку (т0, «), тогда как Gt = dxjd^ есть угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке. Таким образом, функция Л(т0) легко находится, если известна диаграмма пластичности, полученная при каком-либо одноосном деформировании образца из данного материала.
Теперь, добавляя упругую деформацию, мы можем записать полные уравнения рассматриваемого варианта теории течения следующим образом:
◎=*0万+ ^ 吟+ ^ 6 一 ^卜。. (16.3.5)
§ 16.4. Границы применимости деформационной теории пластичности
Опытные данные, относящиеся к условиям пропорционального нагружения, довольно хорошо подтверждают существование единой для всех видов напряженных состояний кривой зависимости октаэдрического напряжения от октаэдрического сдвига, а также устанавливаемую формулами (16.1.4) пропорциональность между девиатором напряжений и девиатором деформаций. Так обстоит дело, во всяком случае, для углеродистой и низколегированной стали, для титановых сплавов. Однако для некоторых сплавов, например алюминиевых и магниевых, а также высокопрочных сталей, уже диаграмма растяжения не совпадает с диаграммой сжатия, а в плоскости т0 — 丫。опытные точки, соответствующие разным напряженным состояниям, не ложатся на одну кривую. Положение можно исправить, допустив, что пластический потенциал U зависит не только от второго инварианта девиатора, но, возможно, от третьего инварианта и от гидростатической составляющей тензора. Заметим, что уже уравнения (16.1.2) фактически вводят зависимость от третьего инварианта, поверхность нагружения в виде шестигранной призмы задается уравнением вида (15.1.5).
Термин «пропорциональное» нагружение был определен в § 16.3, он относится к соотношениям между компонентами девиатора тензора напряжений. При простых опытах, которые производятся главным образом над тонкостенными трубками под действием растяжения, внутреннего давления и кручения, пропорциональность нагружения обеспечивается пропорциональным изменением внешних сил, приложенных к образцу. Но в общем случае произвольного тела пропорциональное изменение внешних сил не обязательно влечет за собою пропорциональное нагружение, для этого необходимо выполнение некоторых условий, которые нам предстоит выяснить.
Положим Т = Т°а, F =尸°а, здесь Т° и 尸。一постоянные векторные поля, заданные соответственно на поверхности тела и в его объеме, а ——параметр нагружения, возрастающий монотонно. Мы удовлетворим дифференциальным уравнениям равновесия и граничным условиям, положив о万=а?；а. Объемная деформация связана с гидростатической компонентой тензора напряжений
законом Гука
е =斫 а°а + Wa・
С другой стороны, из (16.1.4) следует
Поэтому
е万=3万Wa + e?# = e^ + e° (a — 0) 3万.(16.4.1)
В общем случае эти величины не будут удовлетворять уравнениям совместности. Действительно, если, например, величины е* удовлетворяют этим уравнениям, величины (16.4.1) не будут им удовлетворять, поскольку, во-первых, множитель 0 есть функция координат, во-вторых, добавляется второй член, пропорциональный разности a — 0. Для того чтобы действительно осуществлялось простое нагружение, достаточными условиями будут следующие: во-первых, материал ' несжимаем, во-вторых, Р не зависит от координат. Последнее условие будет выполнено, если Gs (т0) является степенной функцией от т0. Действительно, если у。— “韬，то G$ = ； т；' и 0 = оЛ При 论=4 a = 0 и требование несжимаемости материала отпадает, но это тривиальный случай линейно упругого материала.
Таким образом, достаточные условия того, чтобы при пропорциональном изменении внешних сил осуществлялось пропорциональное нагружение, состоят в следующем (теорема Ильюшина) :
зависимость между октаэдрическим напряжением и октаэдрическим сдвигом степенная;
материал несжимаем.
Первое условие весьма стеснительно, поскольку зависимость должна быть степенной с одним и тем же показателем степени во всем диапазоне изменения т0 и у。, а не кусочно степенная аппроксимация истинной зависимости, которая иногда применяется. Реальные материалы имеют линейно упругий участок диаграммы, поэтому для них первое условие заведомо не выполняется.
Хотя при непропорциональном нагружении деформационная теория дает результаты, отличные от предсказаний логически более оправданной теории течения, при нагружении, близком к пропорциональному, она может удовлетворительно согласоваться с опытом. Само понятие нагружения, близкого к пропорциональному, в достаточной мере неопределенно, если в качестве критерия точности деформационной теории при пропорциональном нагружении мы приняли согласование ее с простейшей тео-
рией течения, то кажется естественным допустить применимость ее в тех случаях, когда не нарушаются некоторые общие принципы, полагаемые в основу теории течения любого вида. Поэтому Будянский поставил задачу выяснения тех условий, при которых уравнения деформационной теории согласуются с постулатом Друкера.
Как было показано в § 16.3, уравнения деформационной тео・ рии можно записать в виде
Вычислим приращение пластической деформации при изменении величин Of；
蹴=^ 优一^)而•力• + y о•万d 假).(16.4.2)
Ho 1/GS = Yo/то, поэтому
Вспоминая, что d%Qfd^ = Gt — касательный модуль, перепишем, (16.4.2) следующим образом:
= 4 (s； — 7)而“ + 4■債—^| о» Т- (16.4.3)
Здесь мы ввели обозначение 52 — 2口 = х1^.
Если обратиться к геометрической интерпретацтш соотношений пластичности в девятимерном пространстве девиаторов напряжений, где напряженное состояние изображается вектором с, то величина s представляет собою длину этого вектора. Заметим, что независимых компонент девиатора всего пять, поэтому некоторые авторы изображают напряженное состояние вектора в пятимерном пространстве, поскольку гидростатическая компонента тензора на пластическое поведение не влияет. Проверим теперь выполнение неравенства (16.2.3), вытекающего из постулата Друкера. Поскольку пластическая деформация не сопровождается изменением объема, на приращениях defj производит работу только девиаторная часть тензора напряжений и неравенство принимает вид
do^d吗》0.(16.4.4)
Подставляя сюда (16.4.3), получим
瑜蹴=4'假一 ^) do^do^ + 债_百曲2 > 0.
При этом учтено, что。廿壮0仃=s ds.
Для реальных материалов диаграмма деформирования всегда направлена выпуклостью кверху и не имеет точек перегиба, поэтому |x>Gs>Gf. Вследствие этих неравенств выражения, заключенные в скобки, положительны, а поэтому условие (16.4.4) всегда выполняется.
Другое следствие из постулата Друкера состоит в том, что вектор 〃е° либо нормален к поверхности нагружения, если она гладкая, либо находится внутри конуса, образованного нормалями к поверхности, если точка нагружения представляет собою угловую точку. При формулировке деформационной теории было сделано предположение, что уравнения ее сохраняют силу тогда, когда То возрастает; при убывании октаэдрического напряжения происходит разгрузка. Таким образом, поверхность нагружения в девиаторном пространстве представляет собою сферу s = const. Это предположение, как оказывается, противоречит постулату Друкера. Действительно, обращаясь к выражению (16.4.3), мы замечаем, что второе слагаемое определяет составляющую вектора нормальную к поверхности сферы. Но первое слагаемое зависит от дифференциалов do^, поэтому вектор de。 меняет свое направление в зависимости от соотношения между этими дифференциалами или непосредственно от вектора do. Отсюда следует, что точка М, конец вектора с, является угловой точкой поверхности нагружения. Если эта точка коническая и касательные к поверхности нагружения образуют конус с углом раствора 20, уравнения деформационной теории справедливы до тех пор, пока вектор dep не выходит за пределы конуса, образованного нормалями к поверхности нагружения, угол раствора этого конуса равен л — 20. Необходимы специальные дополнительные гипотезы для того, чтобы выяснить связь между приращениями напряжений и деформаций, если последние выходят за пределы двух указанных конусов. При этом, конечно, переход от активной деформации к разгрузке происходит непрерывно.
Двумерная модель упрочняющегося тела
Мы не закончили изложения теории Будянского в § 16.4. Для построения полной модёли тела, подчиняющегося уравнениям деформационного типа для некоторых путей нагружения, отличных от пропорционального, необходимы дополнительные гипотезы. Один факт существен, и его следует еще раз подчеркнуть: соотношения деформационной теории могут быть справедливы для непропорциональных нагружений только тогда, когда последующие поверхности нагружения, ограничивающие область упругой разгрузки, имеют угловую точку, перемещающуюся по пути нагружения вместе с концом вектора о. Чтобы выяснить некоторые свойства упруго- лластических систем, которые, вероятно, принадлежат и упругопластическому телу, рассмотрим некоторую простую модель. В качестве такой модели выберем круглую тонкостенную трубу из упругопластического материала, не обладающего упрочнением. Труба изгибается моментами Mi и М2 в перпендикулярных плоскостях 况 1,况з и 况2,况з・ Обозначим радиус трубы R, тол- 3 5 ю. Н. Работнов
щину стенки 6, модуль упругости Е, предел текучести От. Будем называть пропорциональным такое нагружение, когда М\ и М2 изменяются пропорционально. В этом случае нейтральная ось сохраняет свое положение, и, очевидно, можно просто рассматривать изгиб трубы моментом М = =р^М： + Л；, приложенным в неизменной плоскости. Очевидно, что, пе
нарушая общности, можно принять за эту плоскость х2,况з, тогда нейтральной осью будет ось х\ и М = М\. Пока напря
солютной величине равнасолютной величине равнажение нигде не превышает предела текучести, кривизна изогнутой осп Xi = х зависит от момента следующим образом:
солютной величине равна
солютной величине равна
Мм =諦俞
Пластические деформации возникают сначала в точках, наиболее отдаленных от оси /［； при увеличении момента образуются симметричные дуговые пластические области (дуга АВ на рис. 16.5.1 и симметричная с ней внизу). Полярный угол, определяющий границу пластической зоны, мы обозначили через 0. Деформация в точках 4 и 区，а также в сим-
метричных с ними относительно оси 况卜 по аб- От/Е, следовательно,
yR sin 0 =—
Е
В упругой зоне в точке, определяемой полярным углом 屮 V 0, величина напряжения определяется следующим образом:
Вычислим теперь изгибающий момент по формуле
Л/2
М = 4 J ЗоТ?2 sin 屮 d^.о
При этом в пластической области, при 屮 > 6 о = От, а в упругой области справедлива формула (16.5.1). В результате интегрирования получим
М = Л26ат跑土变理.т sin 0
Введем теперь вместо моментов и изменений кривизн безразмерные величины
^iER
Полученная связь между Мих может быть с новыми обозначениями представлена следующим образом:
Q = nqв упругой области при g V 1,
Q = (20 + sin 20) 5 в упругопластической области(16.5.2)
при 7 = 1/sin 0 > 1.
Пластическая деформация появляется при Q =冗，исчерпание несущей
способности наступает при Q =。丁 = 4 (в последней из формул (16.5.2) мы не стали выражать правую часть через q для сокращения записи). Очевидно, что диаграмма зависимости Q от g будет до чрезвычайности напоминать диаграмму деформирования упругопластического материала с упрочнением.
Рассматриваемая модель соответствует телу с начальной изотропией, соотношения (16.5.2) не зависят от того, в какой плоскости производится изгиб или как была выбрана ось х\. Теперь нам легко вернуться к общему случаю, когда изгиб происходит около произвольной оси и на трубу действуют пропорционально возрастающие моменты 加i и М2. Соответствующие кривизны будут 乂1 и 乂2, при пропорциональном нагружении, очевидно, X! ： хг = Mi :府2. Переходя к соответствующим безразмерным величинам, мы можем написать:
Q = G/i, Q2 = G$q2.Q = G/i, Q2 = G$q2.(16.5.3)(16.5.3)
Q = G/i, Q2 = G$q2.
Q = G/i, Q2 = G$q2.
(16.5.3)
(16.5.3)
При этом, если 0? = Q； + Q^ V 冗？ или『=* 十呢 V 1 G$ =冗；при Gw (л, 4) Gs = 20 + sin29 и 0 = arcsin(l/^). Мы получили полный аналог деформационной теории пластичности; уравнения (16.5.3) описывают как упругое поведение трубы, так и ее упругопластическое поведение. Очевидно, что пластический модуль G8 представляет собою отношение Q/q, он может быть выражен как через величину °, так и через величину д, которые играют роль соответствующих октаэдрических составляющих напряжения и деформации.
Но соотношения деформационного типа (16.5.3) справедливы не только для пропорционального нагружения. Предположим, например, что мы довели пропорциональное нагружение путем изгиба в плоскости 况2,况з до некоторого значения Q > 冗, которому соответствует пластическая зона с гра
ницей, определяемой углом 0. После этого будем одновременно изменять и Qi, и。2, но так, чтобы при этом не происходила разгрузка. Теперь новой нейтральной осью будет прямая 〃〃一 составляющая угол а с осью 尤厶 как показано на рис. 16.5.1. Рассмотрим крайний случай, когда точка В остается на месте, а точка Л движется в направлении, указанном стрелкой. Когда левый конец пластической области придет в точку 4', прямая пп! окажется параллельной хорде А'В. Изгибающий момент относительно оси пп! определится по формулам (16.5.2), в которых угол 0 следует заменить через 6 ——§. Таким образом, мы получаем
(16.5.4)(16.5.4)Qi = Q(B — P) cos В,。2 = Q(B — В) sin в.
(16.5.4)
(16.5.4)
Уравнения (16.5.4) представляют собою параметрические уравнения предельного пути нагружения, выходящего из точки Q, для которого соотношения деформационной теории пластичности (16.5.3) еще остаются справедливыми. Заменив § на —§, мы получим симметричную кривую, соответствующую тому случаю, когда точка А остается на месте, а движется точка В. Проводя касательные к линиям (16.5.4), мы получим угол 77, ограниченный прямыми, составляющими углы 士а с осью х\ (рис. 16.5.2). Для приращений параметров Q【и Q2, которые изображаются векторами, лежащими внутри этого угла, уравнения деформационного типа сохраняют силу. Определим угол а. Для этого продифференцируем соотношения (16.5.4). Получим
AQ1 = ^, cos Р (- ДР) — Q sin 0 Д₽,Д(?2 = ^ sin р (一 Д₽) + Q cos 0 др.
В непосредственной окрестности точки Q 0 имеет тот же порядок, что Ар, 35・
поэтомупоэтомуAQ1 = 一 嘉 АР，ДС2 = QAP・AQ1 = 一 嘉 АР，ДС2 = QAP・ЗдесьЗдесь
поэтому
поэтому
AQ1 = 一 嘉 АР，ДС2 = QAP・
AQ1 = 一 嘉 АР，ДС2 = QAP・
Здесь
Здесь
de dq dH dq
Ho dQ/dq представляет собою касательный модуль на кривой деформирования G». Теперь мы можем написать:
AQi = —Gtq ctg О А0, А@ — Gsq Ар.
Наклон предельных путей, проходящих через точку Q, определяется следующим образом:
tga == ± 黑 tg В.(16.5.5)
Gt
В результате простых вычислений находим, что а = л/2 при 0 = 0 и 9 = =л/2, его минимальное значение, равное 7б°28‘, достигается при 0 = 57°30'.
Выясним теперь условия разгрузки в упругую область после пропорционального нагружения. Очевидно, что упругая разгрузка также может произойти не только в результате уменьшения безразмерного момента Qi, трубка возвратится в упругое состояние, если сечения повернутся каждое относительно оси, не пересекающей пластическую область. Пусть эта ось разгрузки составляет угол ср с осью х\. Должно быть 屮 W 9. Область I на рис. 16.5.2, заключенная между лучами, составляющими угол 29, будет той областью, в которую следует направить вектор dQ для упругой разгрузки. Таким образом, контур, играющий роль поверхности нагружения, который вначале был окружностью Q =冗,приобретает угловую точку. Чтобы выяснить форму этого контура вдали от точки Q、поступим следующим образом. Обозначим через Q； и Q； изменения безразмерных изгибающих моментов вследствие разгрузки, так что
% = Q + a，。2 =0+q；・(16.5.6)
Поскольку при разгрузке материал деформируется упруго, Q； и Q； представляют собою составляющие момента, направленного по оси разгрузки. Поэтому можно принять
Q；=——гз cos ср, Q；=——冗3 sin ср.
В точке, определяемой полярным углом 屮，изменение напряжения вследствие разгрузки будет
о' = —з От sin (^ — ф).
Если фиксировать значение ф и менять параметр со, то разгрузка будет происходить вдоль прямой, проходящей через точку Q. Мы выяснили, что разгрузка будет упругой тогда, когда <р V 9. Складывая то напряжение, которое было до момента начала разгрузки, с напряжением о', мы получим
о = % [1 — з sin (屮一ср)], 屮 > 6,
г .,】(16.5.7)
Sin屮
。=% ^ПГо — 3 Sin (屮一ф),屮 V е.
Граница контура нагружения получится из условия, что напряжение достигнет предела текучести при сжатии. Если это произойдет в тон части
сечения, которая была в пластическом состоянии, мы должны обратиться к первой формуле (16.5.7). Наибольшая абсолютная величина о достигается при *ф — <р = л/2, тогда о = ат(1 — о). Полагая о = — От, получаем з = 2 и по формулам (16.5.6)
Qi = Q — 2冗 cos ф,Qi = Q — 2冗 cos ф,。2 = —2л sin ф.。2 = —2л sin ф.(16.5.8)(16.5.8)
Qi = Q — 2冗 cos ф,
Qi = Q — 2冗 cos ф,
。2 = —2л sin ф.
。2 = —2л sin ф.
(16.5.8)
(16.5.8)
Это — уравнение окружности с радиусом 2л и центром в точке (Q, 0).
Выясним теперь возможность появления пластической деформации при разгрузке в той области, которая оставалась при первом нагружении упругой. Условие достижения экстремального значения величиной о, определяемой второй формулой (16.5.7) и рассматриваемой как функция *ф, будет c°s ? — з cos (屮一0) = 0. sin 0
Условие того, что это экстремальное напряжениеУсловие того, что это экстремальное напряжениепри сжатиипри сжатииравно пределу текучестиравно пределу текучести迎』_3 sin (屮一9) = 一 I. sin 0迎』_3 sin (屮一9) = 一 I. sin 0Возводя эти чим угол *ф з, ф, е：Возводя эти чим угол *ф з, ф, е：равенства в квадрат и складывая, мы и получим следующее соотношениеравенства в квадрат и складывая, мы и получим следующее соотношение• 2 л * sin 0• 2 л * sin 0COS фCOS фЭто соотношение эквивалентно следующему:Это соотношение эквивалентно следующему:仅1一0十為『十＜^ =r a6・5・9)仅1一0十為『十＜^ =r a6・5・9)исклю- междуисклю- между
Условие того, что это экстремальное напряжение
Условие того, что это экстремальное напряжение
при сжатии
при сжатии
равно пределу текучести
равно пределу текучести
迎』_3 sin (屮一9) = 一 I. sin 0
迎』_3 sin (屮一9) = 一 I. sin 0
Возводя эти чим угол *ф з, ф, е：
Возводя эти чим угол *ф з, ф, е：
равенства в квадрат и складывая, мы и получим следующее соотношение
равенства в квадрат и складывая, мы и получим следующее соотношение
• 2 л * sin 0
• 2 л * sin 0
COS ф
COS ф
Это соотношение эквивалентно следующему:
Это соотношение эквивалентно следующему:
仅1一0十為『十＜^ =r a6・5・9)
仅1一0十為『十＜^ =r a6・5・9)
исклю- между
исклю- между
Мы получили уравнение окружности радиусом л с центром в точке (Q——冗/sin 9, 0). Таким образом, контур нагружения ограничен двумя прямыми и дугами одной окружности (16.5.8) при 0 V 43°30, и двух окружностей (16.5.8) и (16.5.9) при 0 > 43°30,. На рис. 16.5.3 эти контуры изображены для некоторых значений 0.
Следует обратить внимание на то, что по мере уменьшения 0, т. е. продвижения угловой точки вправо, точка пересечения поверхности нагружения с осью Qi движется влево. Этот результат можно сформулировать следующим образом: увеличение предела текучести при изгибе в одном направлении сопровождается уменьшением предела текучести при изгибе в противоположном направлении.
Интерпретация соотношений пластичности
в пространстве деформаций
В упругой области, а следовательно, внутри поверхности нагружения изменения деформаций связаны с изменениями напряжений законом Гука, поэтому в девятимерном изображающем пространстве деформаций поверхности нагружения S можно поставить в соответствие поверхность деформаций s. Обращаясь к модели § 16.5, замечаем, что в плоскости q^ g? начальная граница пластичности изображается окружностью g^ + g^ = l, точка (Q, 0) соответствует точке (д, 0), где g = 1/sin 0. Отсюда видно преимущество наглядности такого представления. В плоскости Q2 все пластические состояния были заключены между близко лежащими концентрическими окружностями с радиусами Q =冗 и Q = 4, поэтому мы даже не
строили соответствующих графиков, ограничившись схематическим изображением на рис. 16.5.2. В плоскости gb д? пластические состояния занимастроили соответствующих графиков, ограничившись схематическим изображением на рис. 16.5.2. В плоскости gb д? пластические состояния занимаРис. 16.6.1Рис. 16.6.1Чтобы найтилучимЧтобы найтилучимпродифференцируем по Q величину q = Q/Gs. По-продифференцируем по Q величину q = Q/Gs. По-
строили соответствующих графиков, ограничившись схематическим изображением на рис. 16.5.2. В плоскости gb д? пластические состояния занима
строили соответствующих графиков, ограничившись схематическим изображением на рис. 16.5.2. В плоскости gb д? пластические состояния занима
Рис. 16.6.1
Рис. 16.6.1
Чтобы найти
лучим
Чтобы найти
лучим
продифференцируем по Q величину q = Q/Gs. По-
продифференцируем по Q величину q = Q/Gs. По-
ют всю область, внешнюю по отношению к единичному кругу.
А，2 _ А°2“
При упругой разгрузке — но предельные прямые упругой раз
грузки составляют угол 9 с осью Qi в плоскости Qi, Q2, такой же угол составляют с осью 91 предельные прямые в плоскости gi, д* Но здесь этот результат допускает очень простую геометрическую интерпретацию. На рис. 16.6.1 можно видеть, что поскольку отрезок ON равен 1/sin 9, предель-
ные прямые упругой разгрузки касаются начальной окружности текучести. Выясним теперь, что соответствует области II применимости деформационной теории в этом новом представле- нии. Полагая q、= 丁 Q】, будем считать, что Gs задано как функция Q =
Q； + Q^・ Тогда
dq 1
Ho 殴=丁，поэтомуd / 1 \1 / 11 \
Внося это выражение в формулу для Agi, получим
Аналогично
a% =专 Аq2 + (专一专)务 QAQi +02Аq2)■
В окрестности точки (g, 0) следует принять Qi = Q, Q2 = °； таким образом,
AQ] А。？
Отношение приращений деформаций равно
(16.6.1)(16.6.1)А% 启 AQi
(16.6.1)
(16.6.1)
А^2 — Gs ^2'
Подставляя отношение *^~ из (16.5.5), получим
А%
瓯= ±tg°・
Таким образом, область II представляет собою внешний угол, образованный касательными к окружности начальной текучести. Как видно, пзобра- жение в пространстве деформаций в данном случае отличается простотой и симметричностью.
Заметим, что по крайней мере для изотропного материала неравенства (16.2.2) и (16.2.3), вытекающие из постулата Друкера, могут быть переписаны следующим образом:
G订一叨”吗》& (16.6.2)
de^deV. > 0. (16.6.3)
Это следует из того, что на приращении пластической деформации, не сопровождающейся изменением объема, совершает работу только девиатор- ная часть тензора напряжения, а
时一吟=2n&一卷)，
dGij •— 2卩 de^j.
Из (16.2.2) вытекает, что вектор о направлен по нормали к поверхности деформирования, если она гладкая.
Применительно к описанной двумерной модели можно показать справедливость ассоциированного закона. Если мы выйдем из угловой точки в упругую область и достигнем контура нагружения изнутри либо там, где он прямолинеен, либо где. образован дугой окружности, то в первый момент вектор приращения пластической деформации будет направлен по нормали к контуру в соответствии с требованием, вытекающим из постулата Друкера. Мы не будем здесь доказывать это свойство, так же как не будем выводить довольно сложное соотношение между Aqt и AQj для тех случаев, когда путь нагружения продолжается в область, не принадлежащую областям I или II. Смысл проведенного для простой модели анализа заключается в следующем. Точка зрения на упрочняющийся материал как на совокупность упругих и идеально-пластических элементов, скомбинированных каким-то образом, имеет определенный смысл, поэтому некоторые общие принципы, справедливые для модели, естественно допустить и для упрочняющегося тела. Эти принципы состоят в следующем.
Существует некоторый конус такой, что для приращений напряже^ ний, заключенных внутри этого конуса, справедливы соотношения деформационного типа.
Из справедливости деформационной теории для некоторых нагруже^ ний, отличных от пропорционального, следует существование угловой точки на поверхности нагружения.
Для гладкой части поверхности нагружения справедлив ассоцииро^ ванный закон или принцип zpаВиентальности、состоящий в том, что вектор приращения пластической деформации направлен по нормали к поверхности.
Упрочнение при деформировании 6 одном направлении сопровождается разупрочнением при деформировании 6 противоположном направлении, Этот эффект называется эффектом Баушингера,
Изотропное и трансляционное упрочнение
девиатора, то эта поверхность будет сферой, которая увеличивает свой радиус к. Очевидно, что при изотропном упрочнении эффект Баушингера не наблюдается. Наоборот, равномерное расширение сферы по мере увеличения натцряжения означает, что упрочнение при растяжении, например, влечет за собой точно такое же упрочнение при сжатии (рис. 16.7.1, а). Согласно простейшей идеализации опытных данных предел текучести при сжатии должендевиатора, то эта поверхность будет сферой, которая увеличивает свой радиус к. Очевидно, что при изотропном упрочнении эффект Баушингера не наблюдается. Наоборот, равномерное расширение сферы по мере увеличения натцряжения означает, что упрочнение при растяжении, например, влечет за собой точно такое же упрочнение при сжатии (рис. 16.7.1, а). Согласно простейшей идеализации опытных данных предел текучести при сжатии долженПростейшая теория течения, которая формулируется с помощью уравнений (16.3.3) или (16.3.5), была названа теорией изотропного упрочнения. Действительно, согласно этой теории поверхность нагружения, определяемая уравнением (16.3.1), сохраняет свою форму, т. е. изменяется с сохранением подобия. Если откладывать по осям координат в девятимерном пространстве напряжений компоненты
девиатора, то эта поверхность будет сферой, которая увеличивает свой радиус к. Очевидно, что при изотропном упрочнении эффект Баушингера не наблюдается. Наоборот, равномерное расширение сферы по мере увеличения натцряжения означает, что упрочнение при растяжении, например, влечет за собой точно такое же упрочнение при сжатии (рис. 16.7.1, а). Согласно простейшей идеализации опытных данных предел текучести при сжатии должен
девиатора, то эта поверхность будет сферой, которая увеличивает свой радиус к. Очевидно, что при изотропном упрочнении эффект Баушингера не наблюдается. Наоборот, равномерное расширение сферы по мере увеличения натцряжения означает, что упрочнение при растяжении, например, влечет за собой точно такое же упрочнение при сжатии (рис. 16.7.1, а). Согласно простейшей идеализации опытных данных предел текучести при сжатии должен
уменьшаться ровно настолько, насколько увеличился предел текучести при растяжении. Будем говорить в этом случае об идеальном эффекте Баушингера. Очевидно, мы получим идеальный эффект Баушингера, если допустим, что поверхность нагружения перемещается параллельно самой себе, следуя за точкой нагружения, как показано на рис. 16.7.1, 6. Будем называть соответствующую теорию пластичности теорией трансляционного упрочнения. Если уравнение начальной поверхности нагружения было /(。订)=论* то при параллельном переносе уравнение последующей поверхности нагружения будет
(16.7.1)(16.7.1)f(^ij — sQ = АЛ
(16.7.1)
(16.7.1)
Здесь Sij — тензор, составляющие которого служат в пространстве напряжений координатами центра поверхности нагружения, а величина 加 остается постоянной. Тензор §灯 обеспечивает то, что поверхность нагружения всегда проходит через точку нагружения, но этого условия недостаточно, необходимы еще дополнительные гипотезы. Простейшее предположение, сделанное Ишлинским, состоит в том, что
s 炉=с%s 炉=с%(16.7.2)
s 炉=с%
s 炉=с%
где с — постоянный множитель и в качестве функции /(ф；) принят второй инвариант девиатора. При одноосном напряжен-
ном состоянии (16.7.1) и (16.7.2) приводят к линейной связи между напряжением и деформацией; таким образом, эти уравнения описывают пластичность с линейным упрочнением.
Независимо от Ишлинского и почти одновременно с ним Прагер предложил аналогичную гипотезу, назвав ее гипотезой кинематического упрочнения, потому что она может быть проиллюстрирован а на простой кинематической модели. Для наглядности обратимся к двумерному случаю, когда поверхности нагружения соответствует контур нагружения. Представим себе, что изготовлена рамка с вырезом, имеющим форму контура нагружения; эта рамка может свободно перемещаться по плоскости напряжений, причем специальные направляющие обеспечивают поступательное перемещение, предотвращая поворот. В плоскости движется палец, воспроизводящий путь нагружения. Если между пальцем и вырезом рамки нет трения, то при перемещении пальца в произвольном направлении, составляющем острый угол с направлением внешней нормали к контуру выреза, рамка переместится по направлению нормали. Таким образом, перемещение центра рамки будет направлено так же, как приращение пластической деформации, величина этого переме-* щения как раз такая, какая нужна для того, чтобы контур нагружения все время проходил через точку нагружения. А теперь нужно представить себе, что аналогичная кинематическая модель построена в девятимерном пространстве.
Заметим, что при рассмотрении отдельных частных задач теории пластичности вместо всего пространства напряжений можно рассматривать подпространства с меньшим числом измерений. Но здесь приходится проявлять известную осторожность. Так, например, при плоском напряженном состоянии пластическая деформация будет трехмерной и использование двумерной кинематической модели типа Прагера может привести к неверным результатам, как отметил Будянский в дискуссии по статье Прагера. Эти трудности не возникают, если воспользоваться вариантом гипотезы трансляционного упрочнения, который был предложен Циглером. Согласно этой гипотезе тензор s” определяется следующими дифференциальными уравнениями:
S订=Ц(Oij — &，
с естественным начальным условием s仃=0, при 力=0, т. е. до начала пластической деформации. Теперь при 。仃=0 соответствующее s仃 также равно нулю и кинематическая модель сохраняется в любом подпространстве пространства напряжений.
Остановимся, наконец, на варианте теории трансляционного упрочнения, прин ад ле ж ащем Новожилову и Кадашевичу. Эти авторы предполагают, что тензоры s^ и е务 связаны соотноше* ниями типа соотношений деформационной теории пластичности,
а именно, Sij = 2G*e& (16.7.3)
Здесь G* — функция инвариантов тензора &)ил以 е务.При рассмотрении конкретных примеров авторы считали, что G* зависит только от второго инварианта девиатора тензора s^ и в уравнении (16.7.3) фигурируют компоненты девиаторов. При интерпретации этого уравнения тензор s叮 рассматривают как тензор «внутренних» самоуравновешенных напряжений, точнее —— как некоторую интегральную меру этих напряжений, возникающих в кристаллических зернах.
Кусочно линейные поверхности нагружения
Существенная нелинейность соотношений (16.7.3) позволяет описать поведение реального материала значительно лучше, чем это делается с помощью других гипотез.
Теперь мы можем вернуться к той простейшей теории пластичности, с рассмотрения которой мы начали § 16.1. При изучении границ применимости деформационной теории и при анализе простейшей модели мы встретились с такой ситуацией, когда начальная поверхность нагружения была гладкой, а последующие поверхности становятся сингулярными, коническая точка появляется в точке нагружения и следует за нею по пути нагружения. Сейчас речь будет идти об особенностях другого рода. Начальная поверхность нагружения может состоять из частей нескольких гладких поверхностей, образующих при пересечении ребра. Простейший пример, рассмотренный в § 16.1, это призма Сен-Венана, ограниченная шестью гранями. Эта призма в процессе деформации может расширяться с сохранением подобия; в этом случае следует говорить об изотропном упрочнении, а может переноситься параллельно без изменения размеров в случае трансляционного упрочнения. При выводе формул (16.4.2), когда было заранее оговорено, что точка нагружения остается все время на одной и той же грани призмы, разницу между изотропным и трансляционным упрочнением при активном нагружении обнаружить нельзя и элементарные рассуждения, положенные в основу при выводе этих формул, не были связаны с какими-либо предположениями о поведении поверхности нагружения. Сейчас, вставая на ту или иную точку зрения, мы можем получить более общие соотношения, пригодные для тех случаев, когда точка нагружения переходит с одной грани призмы на другую или остается на ребре, образованном пересечением двух граней. Сделаем, например, предположение о том, что упрочнение изотропно. Нам будет удобно видоизменить обозначения по сравнению с § 16.1, а именно, обозначить главные напряже-
ния Og, 0Tl и Oj Предположим, что мы находимся на грани призмы, соответствующей условию 。己一Оп = %・ Тогда / = а£ — ап, 冬=1,纟=—丄，兽=0・ Подставляя в (16.3.2), получим
経=Н(/)(“一 On), ^ =—8(/)(“一 о/，e& = 0. (16.84)
Эти соотношения можно проинтегрировать, и мы получим
磷=无恒一0/ 或=一无(“一0/ d =。■(16.8.2)
Формулы (16.8.2) отличаются от (16.1.2) не добавлена упругая деформация и незначительно изменены обозначения. Очевидно, что конечные соотношения (16.8.2) справедливы не только для пропорционального нагружения, но в гораздо более широких пределах изменения угла, под которым направлен вектор нагружения о. В этом состоит серьезное преимущество теории пластического течения с кусочно линейной поверхностью нагружения. Предположим теперь, что мы вышли на другую грань призмы, напри
мер на ту, которая соответствует условию
。三—Ос = 6. Тогда, интегрируя соотношения, совершенно аналогичные тем, которые были выписаны для первой грани, получим
е£=无限一")+ eg ,蜀=國，礎=一无(。三一0亂(16.8.3)
Здесь штрихами отмечены величины пластической деформации, накопленные на той части пути нагружения, которая соответствовала первой комбинации, а именно, / =。匕—。若 они вычисляются по формулам (16.8.1).
Особого рассмотрения требует тот случай, когда точка нагружения остается на ребре поверхности нагружения. Предположим, например, что。匕=。口，。匸,тогда одновременно выполняются два условия:。三一Ос = ±2" и От)—。匸=±2乃,причем величина " увеличивается в процессе нагружения. На рис. 16.8.1 показано сечение призмы октаэдрической плоскостью в окрестности ребра; в этой плоскости лежат нормали к поверхности призмы. Нормали к граням призмы в точке пересечения ребра с октаэдрической плоскостью образуют угол, внутри которого лежат возможные приращения пластической деформации. Этот угол составляет 60°# Вычисляя по отдельности скорости пластической деформации, соответствующие тем граням, которые пересекаются на ребре, по
формулам типа (16.8.1) и складывая эти скорости, получим
(16.8.4)(16.8.4)И=% 位一)0,就=% 以一^),足=一 (% + h2)(" 一 0排
(16.8.4)
(16.8.4)
Здесь вместо 0Tl написано 0g. Состояние, при котором。匕=0Tb нужно рассматривать как сжатие в направлении оси С напряжением 0g —о匚；на это сжатие накладывается гидростатическое напряженное состояние о = о% которое вследствие несжимаемости материала не должно влиять на скорость пластической деформации. Поэтому следует считать, что как Я1? так и Я2 зависят от разности о& —仇.При этом сумма Н, + Н2 есть заданная, т. е. определяемая из опыта функция, соотношение же между Н{ и Н2 остается неопределенным. Поэтому результат интегрирования уравнений (16.8.4) можно представить следующим образом:
(16.8.5)(16.8.5)求=-无S - 0) 件=九无限一汽),党=(1 -■九)无(" —").
(16.8.5)
(16.8.5)
При 0g = 0 е& = — Д (— Og); таким образом, функция 无(一о二) представляет непосредственно зависимость между пластической деформацией ер и напряжением 0匕 при простом сжатии. В данной теории диаграмма сжатия совпадает с диаграммой растяжения, уравнение которой получается
путем простой 磋=无(久)•путем простой 磋=无(久)•перемены знаков:перемены знаков:вести примеры, когдавести примеры, когдаВ уравнениях деформационного типа (16.8.5) остается один неопределенный параметр 九.Эта неопределенность есть неизбежное следствие жесткого предположения о том, что напряженное состояние изображается точкой ребра призмы пластичности. Такое условие ограничивает выбор возможных напряженных состояний. Для того чтобы при этом были выполнены условия совместности деформаций, необходимо иметь известную кинематическую свободу. Но с другой стороны, можно при- вывод о неопределенности деформации на
путем простой 磋=无(久)•
путем простой 磋=无(久)•
перемены знаков:
перемены знаков:
вести примеры, когда
вести примеры, когда
ребре поверхности нагружения противоречит опыту и, может быть, здравому смыслу. Так при простом растяжении или сжатии в направлении оси поперечные деформации могут быть произвольными, лишь бы выполнялось условие постоянства объема. Этот неприемлемый результат представляет собою неизбежное следствие слишком далеко идущей идеализации. Реально можно было бы
говорить, вероятно, о значительной неустойчивости поперечной деформации. Это значит, что, прикладывая малую поперечную нагрузку в каком-либо направлении, мы достигнем того, что вся или почти вся поперечная деформация будет происходить в этом направлении. Опытов подобного рода не существует, и нам представляется правильным смотреть на теорию течения с кусочно линейной поверхностью нагружения как на аппроксимацию более реальной в механическом смысле теории с гладкой поверхностью нагружения. Впрочем, по этому вопросу имеются и другие точки зрения.
Как всегда, можно привести примеры крайних следствий из принятой аппроксимации, но во многих случаях результаты расчета по кусочно линейной теории достаточно близки к результатам теории с гладкой поверхностью нагружения, возможная погрешность окупается несравненной простотой.
Мы не будем здесь рассматривать в деталях вопрос о модели трансляционного упрочнения с кусочно линейной поверхностью нагружения. Простая схема, приведенная на рис. 16.8.2, иллюстрирует эту разницу. Двигаясь в октаэдрической плоскости по радиальному пути нагружения при изотропном упрочнении, мы будем все время находиться на одной и той же стороне расширяющегося шестиугольника, представляющего собою след пересечения октаэдрической плоскости с расширяющейся призматической поверхностью нагружения. При кинематическом упрочнении шестиугольник сначала будет двигаться вправо по нормали к той стороне, на которой находится конец вектора нагружения. В момент, когда шестиугольник займет положение, показанное штриховой линией, конец вектора нагружения окажется в вершине, которая будет следовать по прямолинейному пути нагружения, увлекая за собою перемещающийся параллельно шестиугольник. Радиус-вектор s центра шестиугольника изображает в некотором масштабе пластическую деформацию, вызванную напряжением с при заданном радиальном пути нагружения. Конечно, это относится к случаю линейного упрочнения.
Следует заметить, что в случае пропорционального нагружения гипотеза трансляционного упрочнения не приводит к уравнениям деформационной теории. Эта оговорка необходима в связи с распространенным мнением об универсальной значимости деформационной теории для пропорциональных нагружений.
Использование в качестве поверхности нагружения призмы Сен-Венана — это далеко не единственная возможность. В § 15.6 мы видели, что в качестве поверхности текучести может быть выбрана шестигранная призма, описанная около цилиндра Мизеса, а не вписанная как призма Сен-Венана. Соответствующий вариант теории строится совершенно аналогичным образом, некоторые авторы использовали его для решения конкретных задач; здесь мы ограничимся лишь упоминанием. В § 15.7 было пока-
зано, сколь сложный вид могут принимать поверхности текучести для анизотропных тел; при решении задач пластичности для таких тел естественно выбирать некоторые кусочно линейные аппроксимации хотя бы не для всей поверхности, а для той ее части, на которой, как можно ожидать, окажется конец вектора нагружения в данной конкретной задаче.
Теория скольжения
Рассмотренные до сих пор теории пластичности основывались на гипотезах формального характера; реальная структура поли- кристаллического материала и хорошо известная картина пластического деформирования крист алличе ских зерен при этом совершенно не принимались во внимание. Такой подход имеет свои преимущества и недостатки. С одной стороны, общие законы пластичности, сформулированные для произвольного тела безотносительно к его физической природе, позволяют охватить единообразным способом широкий круг явлений ——пластичность металлов, предельное равновесие грунтов, хрупкое разрушение горных пород и бетона и так далее. Такая общность чрезвычайно подкупает; действительно, экспериментатор с удивлением обнаруживает, что макроскопическое поведение тел самой разнообразной физической природы оказывается поразительным образом сходным. Оказывается, что это поведение еще более поразительным образом может быть приблизительно хорошо описано при помощи уравнений, полученных из некоторых априорных гипотез достаточно формального характера. Но при более детальном изучении опытных данных оказывается, что при внешнем глобальном сходстве обнаруживаются и различия в поведении разных материалов. Эти различия связаны с тем, что микромеханизмы не только неупругой, но даже упругой деформации не одинаковы. Поэтому естественно стремление к тому, чтобы положить в основу теории пластичности некоторые физические представления о протекании пластической деформации. Нужно признать, что мы еще далеки от возможности построения макроскопической теории, основанной на анализе и описании процессов, происходящих на микроуровне. Теория скольжения Батдорфа и Будянского, которая будет схематически изложена ниже, отнюдь не может быть названа «физической» теорией. Однако положенные в ее основу гипотезы в определенной мере отражают процессы, происходящие внутри отдельных кристаллических зерен, хотя и не воспроизводят их точным и полным образом. Пластическая деформация единичного кристалла происходит за счет сдвига в определенной кристаллографической плоскости в определенном направлении. Совокупность плоскости скольжения и направления скольжения в этой плоскости называется системой скольжения. Система скольжения задается парой ортогональных еди-
ничных векторов: вектора л — нормали к плоскости скольжения и вектора 0 ——направления скольжения. Если касательное напряжение Тпз превышает предел текучести, кристалл пластически деформируется, причем эта деформация представляет собою деформацию чистого сдвига. При пластической деформации величина сдвига Тав есть вполне определенная функция от таР в активном процессе, когда »ав растет. Плоскости скольжения — это плоскости наиболее плотной упаковки атомов, направления
скольжения — это те, для которых расстояния между центрами соседних атомов наименьшие. Так, в кристаллах с кубической гранецентрированной решеткой (рис. 16.9.1) имеется четыре плоскости скольжения и три направления, всего 12 систем скольжения. На рисунке темными кружками обозначены атомы, лежащие в одной из таких плоскостей, и стрелками показаны направления, для которых расстояния между атомами наименьшие. Эти факты надежно установлены из опытов над монокристаллами. Обычно скольжение происходит в не
скольких системах скольжения одновременно; при этом сдвиг, происходящий в одной системе скольжения, оказывает упрочняющее действие на другие системы. Количественное описание этих эффектов взаимного упрочнения пока отсутствует. Следует иметь
в виду, что атомные плоскости не перемещаются одна относительно другой как целое, для этого нужно было бы слишком большое напряжение. Фактически движутся дислокации, при выходе одной дислокации на поверхность кристалла, т. е. при ее исчезновении, две части кристалла, расположенные с двух сторон от плоскости движения дислокации, оказываются смещенными на величину вектора Бюргерса Ь.
Простейшая схема, принятая Батдорфом и Будянским, состоит в том, что для каждого зерна предполагается существование одной только системы скольжения. В более поздней работе тех же авторов было сделано предположение о существовании нескольких систем скольжения, что до чрезвычайности усложнило анализ и привело в общем к тем же качественным выводам. Если дал^е принять схему первой работы Батдорфа и Будянского, т. е. допустить существование одной-единственной системы скольжения, то действительная картина будет достаточно сложной. Для того чтобы пластическая деформация поликристаллического объекта могла произойти на самом деле, необходимо, чтобы соседние зерна не препятствовали этому. Макроскопический эффект пластической деформации тела в целом будет обнаружен, когда в теле появятся цепочки пластически деформированных зерен. На ранних ступенях пластической деформации большие бло-
ки зерен остаются в упругом состоянии, перемещаясь и поворачиваясь как целое. Поэтому пластическая деформация чрезвычайно неоднородна; лишь с увеличением общей деформации происходит выравнивание локальной деформации. В особенности
это относится к материалам с незначительным упрочнением.
В теории скольжения эта сложная картина не воспроизводится, трудности обходятся введением некоторых упрощающих предположений. Зафиксируем по произволу два С взаимно перпендикулярных направления 〃 и 0, определяющих предположительную систему скольжения. Если число зерен в объеме тела велико, то всегда найдется некоторое число зерен, для которых нормаль к плоскости возможного скольжения ——по предположению единственная ——будет находиться внутри / конуса с осью п и телесным углом при вершине dQ (рис. 16.9.2). Материал предполагается
Рис. 16.9.2 статистически изотропным, поэтому число таких зерен пропорционально dQ и не зависит от л. Будем называть их зернами с плоскостью скольжения л« Если число зерен с плоскостью скольжения п достаточно
велико, то среди них существуют такие, для которых направление скольжения лежит внутри угла d§ с биссектрисой §・ Будем называть такие зерна зернами с системой скольжения 〃§• Для статистически изотропного материала относительный объем зерен с системой скольжения 办6 пропорционален dQd§・ В системе скольжения л₽ действует касательное напряжение тп3, соответствующие зерна претерпевают деформацию чистого сдвига Y^B = b(tnB)・ Здесь была сделана гипотеза о том, что напряженное состояние однородно и не меняется от зерна к зерну. Вторая гипотеза состоит в том, что деформация зерен с системой скольжения 厶6 вызывает такую же общую деформацию тела, пропорциональную относительному объему соответствующих зерен, а именно:
d哄0 =尸g) аa d0.
Итак, деформация тела в целом представляет собою результат наложения бесконечно большого числа чистых сдвигов для всех возможных систем скольжения 〃0・ Чтобы вычислить эту деформацию, перейдем к составляющим тензора деформации относительно фиксированных осей & по формулам преобразования компонент тензора второго ранга (§ 7.1). Принимая направления 几 и § за направления 1 и 2 новой системы координат, мы должны принять все е^ равными нулю, кроме ei2 = 7пз/2. Тогда
威%=(%脇•+阳%)曲12・
Но р^ = 7厶,p2i = Pt, следовательно,
编=皆飙自+砚)p(X加dQ dp.
Интегрируя, получим формулы для пластических деформаций
+冗/2
^=4l J (〃的 + 乃包)F(%B)dQ 耶・ (16.9.1)
Q -冗/2
Здесь Q ——поверхность единичной сферы. Касательное напряжение Тп₽ вычисляется по обычной формуле
тпр = OijTZipj.(16.9.2)
При этом использована первая гипотеза, заключающаяся в том, что напряженное состояние однородно и, следовательно, тпр в любом зерне выражается через компоненты тензора о订 по обычным формулам. Если эта гипотеза с известной натяжкой и может быть принята, то предположение о возможности суммирования деформаций, приводящее к формулам (16.9.4), представляет собою далеко идущую идеализацию.
Для фактического вычисления деформаций направления 九 и 0 задаются с помощью эйлеровых углов, по которым и ведется интегрирование. Основная трудность связана с тем, что функция 歹(т) отлична от нуля только при т > тт, поэтому интегралы в формулах (16.9.1) распространяются не на всю поверхность сферы, а лишь на некоторую ее область.
Согласно теории скольжения начало пластической деформации связано с достижением предела текучести в какой-то из систем скольжения. Но если ттах= тт, то всегда найдутся такие зерна, для которых это напряжение будет касательным напряжением в системе скольжения. Поэтому начальная поверхность соответствует условию максимального касательного напряжения Треска ——Сен-Венана. Для последующих поверхностей точка нагружения будет конической точкой.
Вычисления по формулам (16.9.1) довольно сложны и громоздки. Чи- кала смог довести до конца рассмотрение простейшего случая, когда образец сначала растягивается, а потом закручивается. Не воспроизводя выкладки, мы приведем лишь окончательный результат. Поскольку в опыте участвуют два напряжения о и т, его можно представить графически в плоскости, как это сделано на рис. 16.9.3. Начальная поверхность нагружения есть эллипс, уравнение которого
о2 + 4т2 = const.
При растяжении точка нагружения движется по оси абсцисс, пересекает начальную поверхность, доходит до точки М и движется дальше по лучу, выходящему из этой точки. Оказалось, что касательные, проведенные к начальному эллипсу из точки М, делят плоскость о, т на четыре области. Если приращения напряжений таковы, что точка нагружения попадает в область /, происходит упругая разгрузка. Приращения деформаций при 36 ю. Н, Работпов
движении точки нагружения в область II определяются по формулам типа формул деформационной теории, интегралы (16.9.1) пе зависят от пути нагружения, а только от конечных значений а и т. Для путей нагружения, направленных в области Ш и 7V, соотношения между деформациями и напряжениями оказываются довольно сложными, законченный результат получен автором для ортогонального нагружения, показанного стрелкой на рисунке, т. е. для закручивания при постоянной осевой нагрузке. При малых Дт было получено
ДтА?ДтА?=G* ==G* =1+等n传一专）1+等n传一专）(16.9.3)(16.9.3)
Дт
А?
Дт
А?
=G* =
=G* =
1+等n传一专）
1+等n传一专）
(16.9.3)
(16.9.3)
Здесь Eg и 石力——соответственно секущий и касательный модули, определенные по диаграмме растяжения для точки М. Опыт на кручение при постоянной растягивающей силе выявляет разницу между различными теориями пластичности наиболее контрастным образом. По теории течения с гладкой
тельпо равентельпо равенповерхностью текучести начальный модуль G* =卩一модуль упругости при сдвиге. По деформационной теории, соответствующей закону (16.1.4), G = Gs ⑹；это значит, что начальный модуль определяется степенью растяжения перед приложением крутящего момента. Опытные данные показывают, что при небольшой пластической деформации начальный
тельпо равен
тельпо равен
модуль догрузки G* приблизи- модулю упругости; при увеличении пластической деформа
ции предварительного растяжения величина G* несколько уменьшается, однако формула (16.9.3) все же дает заниженный результат. Деформационная теория приведет к существенно меньшей величине G* и, таким обра
зом, резко противоречит эксперименту, что и неудивительно, рассматриваемое нагружение наиболее далеко от пропорционального.
Качественная картина, представленная на рис. 16.9.3, весьма похожа па ту, которая была найдена нами для модели, рассмотренной в § 16.5. Расположение областей на рис. 16.9.3 и 16.6.1 совершенно одинаково, правда рис. 16.6.1 относится к плоскости деформаций, а рис. 16.9.3 — к плоскости напряжений. Такое сходство качественных результатов не должно вызывать удивления. Теория Батдорфа —- Будянского, так же как и наша модель, представляет тело в виде собрания упругопластических элементов; в теории скольжения таким элементом служит зерно, наделенное одной-единст- вепной системой скольжения. При активной пластической деформации касательное напряжение и сдвиг в зерне связаны однозначной функциональной зависимостью и соотношения деформационной теории оказываются
справедливыми до тех пор, пока во всех элементах продолжается активная деформация. При этом с увеличением напряжения пластическая деформация распространяется на новые элементы, но разгрузка нигде не происходит. Такое положение соответствует догрузке внутрь угла 77. При догрузке в области III и IV часть элементов может догружаться, в пластическую деформацию могут втягиваться новые элементы, но некоторые из пластически деформированных зерен разгружаются, возвращаясь в упругое состояние. Этим определяется сложность анализа для указанных областей.
Существуют и другие варианты скольжения ——Бишопа и Хилла, Лина, Малмейстера, Клюшникова, которые здесь рассматриваться не будут. Заметим только, что теория Клюшникова построена для некоторой модельной двумерной среды, поэтому она проще, чем описанная модель Батдорфа —
Будянского. Даже простейшая модель, рассмотренная в § 16.5, приводит к достаточно сложным зависимостям для общего случая, уравнения, полученные для этой модели, не позволяют сделать даже качественный вывод о характере изменения поверхности нагружения при более или менее сложных путях нагружения. Тем более трудно это сделать для изложенной выше теории скольжения, которая, по-видимому, правильно отражает основной механизм пластической деформации поликристаллического металла. Хотя вводимые гипотезы чрезмерно упрощают действительное положение дела, уравнения все же получаются слишком сложными. Это обстоятельство приводит нас к довольно пессимистическим выводам относительно возможного прогресса теории пластичности, основанной на наглядных механических представлениях.
Сопоставление моделей с реальностью в пластичности
В послевоенное время значительные усилия ряда исследователей в разных странах были направлены на построение теории упругопластического деформирования при произвольном виде нагружения. В настоящее время можно считать надежно подтвержденными уравнения деформационной теории при пропорциональном нагружении. Для нагружений, близких к пропорциональному, предсказания этой теории также оказываются удовлетворительными, хотя мера необходимой «близости» по существу не определена. Вопрос о существовании или, наоборот, отсутствии конической точки на поверхности нагружения, если встать на точку зрения теории течения, также остается открытым и вообще вряд ли может быть решен в результате эксперимента.
Любая теория пластичности представляет лишь модель явления и проверке могут подлежать только следствия из этой теории, притом с определенной степенью точности, зависящей от характера рассматриваемой задачи. Определение поверхности текучести требует точной фиксации момента перехода от пластической деформации к упругой, тогда как в действительности этот переход совершается постепенно. В практике эксперимента положение предельной поверхности текучести приходится определять, задаваясь некоторым допуском, некоторой пороговой величиной пластической деформации, которая соответствует выходу на эту поверхность. Но этот порог, вообще говоря, произволен, он зависит от воли экспериментатора и от точности имеющейся в его распоряжении измерительной аппаратуры.
Другое осложняющее обстоятельство состоит в следующем. Предположим, что мы установили допуск пластической деформации при растяжении и сжатии. Спрашивается: как ограничить эквивалентную пластическую деформацию при каком-либо комбинированном напряженном состоянии? Ответить на этот вопрос можно, задавшись определенной теорией пластичности, т. е. сделав предположение о связи тензоров е/ и。切 Но задача экспериментатора состоит именно в установлении связи такого 36*
рода. В действительности некоторые авторы производили эксперименты, имея в распоряжении точные измерительные средства, и строили условные поверхности текучести при разном пороге пластической деформации. Эти кривые оказались очень разными и, вообще говоря, не соответствующими какой-либо из общепринятых теорий. Поэтому возникает вопрос: имеет ли на самом деле понятие поверхности нагружения какой-либо реальный смысл и нужно ли полагать его в основу при построении теории пластичности? Существуют варианты / теории пластичности (Ильюшин), не полагающие в основу понятие поверхности нагружения, а прямо выражающие компоненты тензора напряжений / /占как некоторые функционалы, опреде-
/ / zленные для пути нагружения; одним из
У основных мотивов при построении та'/ /кого рода теорий служит отмеченная
/ I невозможность строгого различения I/между упругой и пластической дефор
мацией в эксперименте. По-видимому, 7любая из существующих теорий пла-
丿стичности может бытьопровергнута
/ 丨в эксперименте, если речь идет о проРис 16 10 1верке тонких эффектов;при разумном
• • •огрублении результатовнекоторые из
них такую экспериментальную проверку выдерживают, по крайней мере для некоторого ограниченного набора экспериментальных программ. Теория течения с кинематическим упрочнением, во всяком случае, описывает, в отличие от других теорий, идеальный эффект Баушингера. Так называется уменьшение предела текучести при сжатии в результате предварительного упрочнения растяжением и наоборот. Идеальный эффект Баушингера состоит в том, что уменьшение предела текучести в обратном направлении в точности равно его увеличению при нагружении в прямом. Диаграмма растяжения ——сжатия при таком идеальном эффекте представлена на рис. 16.10.1. В действительности идеальный эффект Баушингера не наблюдается; вопрос о пластическом деформировании при знакопеременных нагрузках освещен в книгах Москвитина и Шнейдеровича, здесь он рассматриваться не будет. Таким образом, если считать эффект Баушингера идеальным, то гипотеза кинематического упрочнения достаточно хорошо описывает поведение материала при нагружении, происходящем по прямой, проходящей через начало координат в ту и другую сторону, а также, по-видимому, для близких путей нагружения.
В то же время следует признать, что в практике инженерных расчетов до сих пор наибольшее распространение находит
простейшая деформационная теория. Для активного нагружения уравнения этой теории представляют по существу уравнения нелинейной теории упругости. Эти уравнения по форме совпадают с уравнениями теории установившейся ползучести, где их применимость кажется более обоснованной. Некоторые задачи, решение которых будет рассмотрено в гл. 18, совершенно совпадают с аналогичными задачами деформационной теории пластичности.
Распространение упругопластических волн
Распространение упругих однородных волн в стержнях было рассмотрено в элементарной постановке в § 2.10 и 6.7. В § 13.7, 13.8 были выявлены те ограничения, при которых элементарная теория применима (длинные волны) и в первом приближении те поправки, которые нужно внести в результаты элементарной теории, относящейся к предполагаемой возможности распространения фронтов, несущих разрыв деформаций, напряжений и скоростей. Эти ограничения естественным образом снимаются, если рассматривать не волны в стержнях, а плоские волны в полу- бесконечном теле, возникающие в том случае, когда к границе полубесконечного тела внезапно прикладывается нормальное давление или этой границе сообщается мгновенная скорость. Практически эксперименты подобного рода делаются на толстых плитах, заряд взрывчатого вещества укладывается, на поверхцо- сти плиты и подрывается либо вторая плита бросается путем взрыва на первую так, что контакт возникает по всей поверхности одновременно. Создание действительно плоского фронта при этом довольно трудно, с одной стороны. С другой ——измерения перемещений и скоростей возможны только на второй свободной поверхности плиты, от которой отражается приходящая ударная волна. Поэтому информация, извлекаемая из опытов подобного рода, довольно ограничена.
Эти замечания существенны в связи с тем вопросом, который будет рассмотрен ниже, а именно вопросом о распространении упругопластических волн. Большая часть экспериментальных данных, сюда относящихся, получена в опытах по распространению волн именно в стержнях. С другой стороны, пластическая деформация связана с диссипацией энергии, и вопрос, скажем, о прогрессивных волнах для упругопластических тел лишен смысла, возбужденные с одного конца волны быстро затухнут и не дойдут до второго конца. Большая часть опытов производилась при импульсном нагружении на одном конце, измерялись либо остаточные деформации после прохождения пластического фронта, либо изменение деформации во времени в каком-либо сечении образца. Даже приближенный анализ, подобный сделанному в § 13.8 для упругого стержня, для упругопластических
стержней отсутствует, поэтому при интерпретации результатов измерений допускается некоторая погрешность. Мы подчеркиваем это обстоятельство, поскольку различные авторы при построении
теории распространения упругопластических волн полагали в основу разные гипотезы об определяющих уравнениях материала. При сравнении теоретических предсказаний с результатами эксперимента далеко не всегда ясно, объясняются наблюдаемые расхождения природой исходных гипотез или же вторичными эффектами типа рассмотренных в § 13.8. Здесь мы встанем на точку
Рис. 16.11.1Рис. 16.11.1зрения простейшей теории деформационного типа, принадлежащей Тейлору, Карману и Рахматулину. В основу этой теории полагается гипотеза о существовании так называемой динамической диаграммы деформирования. Производя деформирование при разных скоростях деформации или разных скоростях нагружения для металлов, мы будем получать разные диаграммы и — е, при больших скоростях диаграммы располагаются выше. Основная гипотеза, по
Рис. 16.11.1
Рис. 16.11.1
лагаемая в основу теории, заключается в
том, что с увеличением скорости диаграмма не поднимается неограниченно, а приближается к некоторой предельной диаграмме. Можно сказать, что эта диаграмма соответствует бесконечно большой скорости деформации, но такое утверждение имеет смысл только для завершения логической схемы. В действитель
ности утверждается, что при достаточно высоких скоростях деформации диаграмма становится мало чувствительной к изменению скорости и воображаемая «мгновенная» или «динамическая» диаграмма фактически определяет зависимость между напряжением и деформацией при тех скоростях, которые реализуются при распространении пластических волн. Итак, предположим, что уравнение динамической кривой одномерного деформирования есть
(16.11.1)(16.11.1)о =(р(е).
(16.11.1)
(16.11.1)
Соответствующий график представлен на рис. 16.11.1. Существенно, что кривая, изображающая уравнение (16.11.1), направлена выпуклостью вверх, вторая производная <р〃(е) всюду отрицательна. Для реальных металлов дело всегда обстоит именно так. Обращаясь к выводу уравнения продольных колебаний стержней, запишем выведенное там уравнение движения в сле
дующем виде:дующем виде:do с dvdo с dv=0.=0.
дующем виде:
дующем виде:
do с dv
do с dv
=0.
=0.
Здесь V ——скорость движения сечения в целом, и = du/dt, где и — перемещение, принятое за искомую переменную в § 6.6 и далее.
Вместо закона Гука мы должны использовать уравнение (16.11.1). Вводя обозначение
〃(《)= /屮(16.11.2)
перепишем уравнение движения следующим образом:
a2(ё)^一警=0・(16.11.3)
Присоединим к этому уравнению следующее тождество:
^一黑=°，U6M4)
вытекающее из того, что е = ди/дх, р = du/dt.
Для интегрирования системы (16.11.3), (16.11.4) мы применим метод характеристик, уже описанный в § 15.8, применительно к плоской задаче. Присоединим к уравнениям этой системы два соотношения
関dz +得或=而,也+嘗成=曲.(16.11.5)
Мы получим систему из четырех уравнений (16.11.3) — (16.11.5) для четырех частных производных dv/dx, dv/dt, де/дх, de/dt. Приравнивая нулю определитель системы, мы получаем соотношение между дифференциалами dx и d力 определяющее характеристические направления.
Совершенно аналогично, заменяя один из столбцов определителя столбцом правых частей уравнений, приравняем получившийся определитель нулю. Подставляя в результат соотношения между dx и dt для первого и второго характеристического уравнения, получим соотношения между dv и de, выполняющиеся вдоль характеристик. Опуская выкладки, приведем окончательный результат.
Характеристики первого направления
dx — a(e)dt = 0, du + a(e)de=0.(16.11.6)
Характеристики второго направления
dx + a(e)dt = 0, dv — a(e)de = 0.(16.11.7)
Заметим, что соотношения на характеристиках интегрируются. Положим
屮(')=J 〃(《)曲・о
Тогда в результате интегрирования получаем
и ±(р(е) = const.(16.11.8)
Интеграл (16,11.8) выполняется на характеристиках первого се-
мейства с верхним знаком, на характеристиках второго семейства с нижним.
Простейшая задача, решаемая с помощью найденных интегралов, состоит в следующем. Концу полубесконечного стержня в момент 方=0 сообщается скорость р = 7(^), при 方 W0 весь стер
торую точку п. Наторую точку п. Нажень находится в покое. Будем рассматривать картину в плоскости х, £, как показано на рис. 16.11.2. В точке р скорость Vp^V(tP) = Vp известна. Проведем через р характеристику второго семейства с отрицательным наклоном, она пересечет ось х в точке q. На линии pq у — ф = ^ const, но в точке q и = 0ие = 0, следовательно, ф = 0. Поэтому
торую точку п. На
торую точку п. На
7Р — фр = 0,生(％) = Vp.
Проведем теперь характеристику положи-
тельного направления из точки р в неко- этой характеристике р + ф = const, следова
тельно,
vn + ф(^п)= 2VP.
Соединим точку п с точкой т оси х характеристикой второго семейства. Ив условия pm — q)m = 0 найдем
%-(р(еп) = 0・
Поэтому
% = <p(en)= Vp.(16.11.9)
Оказывается, что во всех точках характеристики, выходящей из точки р оси 友 скорость и и деформация е сохраняют постоянные значения. Но наклон характеристики определяется величиной а(е), которая сохраняет на характеристике постоянное значение, следовательно, характеристики прямолинейны. Если V (力)一неубывающая функция времени, характеристики образуют расходящийся пучок, как показано на рис. 16.11.3. Этот рисунок относится к тому случаю, когда скорость растет постепенно от нуля и, следовательно, выходящая из начала координат характеристика соответствует минимальной скорости распространения волны а(0), которая определяется наклоном касательной к диаграмме деформирования в начале координат. Если внезапно концу сообщается отличная от нуля скорость, картина оказывается несколько иной. Для того чтобы выяснить ее, предположим, что скорость нарастает от нуля до величины V в течение короткого времени т, а после остается постоянной. Из точек отрезка [0, т] оси t выходят прямолинейные характеристики, нижняя из них соответствует скорости а(0), верхняя ——скорости 〃(е), где е — деформация, соответствующая скорости V согласно
уравнению (16.11.9). Из точек оси 方三(тг, 8) будут выходить параллельные характеристики с той же скоростью а(е). Перейдем теперь к пределу, устремляя т к нулю. В результате мы получим центрированный пучок (рис. 16.11.4)
х — a(e)t = 0.
Наклон каждой характеристики этого пучка определяет а(е), а следовательно, деформацию е и скорость V по уравнению (16.11.9). Штриховая прямая тп соответствует фиксированному сечению стержня, в котором можно прикрепить датчик и осцил- лографировать деформацию. На участке пр е = 0, в точке р еще 八=0, но на участке рт деформация, а следовательно, и скорость монотонно возрастают, достигая конечного значения в точке т и сохраняя это значение на участке qm. Волны, соответствующие центрированному пучку характеристик, называются волнами Римана.
Располагая осциллограммами деформации, полученными для нескольких датчиков, наклеенных на образце, можно найти динамическую диаграмму деформирования. Для этого нужно отметить в плоскости %, t точки, соответствующие одним и тем же значениям е. По доказанному эти точки лежат на одной и той же характеристике. Проведя прямую и измеряя ее наклон, мы находим скорость а(е) и о =(р(е).
Упругопластические волны.
Запаздывание текучести
Диаграмма деформирования на рис. 16.11.1 не имела упругого участка. Выясним, как будет обстоять дело в том случае, когда существует отличный от нуля предел пропорциональности. В этом случае а(0) = cQ — скорость продольной упругой волны. Для наглядного выяснения существа дела рассмотрим случай упругопластического тела с линейным упрочнением, соответствующая диаграмма изображена на рис. 16.12.1. Предположим, что ско-
рость V монотонно возрастает до некоторой величины 匕，после чего остается постоянной. Пока было V < соет, по стержню шли упругие волны со скоростью с0, характеристики х — cot = const были параллельны. Как только становится V > соет, вступают в силу уравнения пластической динамики. Но при линейном упрочнении скорость пластических волн at определяется наклоном пластического участка диаграммы деформирования и остается постоянной. Характеристики сразу поворачиваются вверх и
Рис. 16.12.1Рис. 16.12.1
Рис. 16.12.1
Рис. 16.12.1
идут параллельно с наклоном а「Точка т на рис. 16.12.2 соответствует точке предела текучести М на рис. 16.12.1. Возникает вопрос: что же делается внутри пучка, образованного лучами тр и mq? Каждый из этих лучей представляет собою крайнюю характеристику упругой и пластической области соответственно, на линии mq сохраняется значение деформации Ст и скорость V = соет. В точке т
поэтому и скорость, и деформация на луче тр будут теми же, что на луче mq. Отсюда с неизбежностью следует, что угол qmp представляет собою область постоянных значений е = ет, V = с。％. На эту область можно смотреть как на своеобразное вырождение пучка волн Римана, проводя лучи внутри этого пучка, мы не можем рассматривать их как волны, потому что в точке М не существует касательной, производная <₽'(%), а следовательно, а(ет) не определены.
Характерная особенность малоуглеродистых сталей — это так называемое запаздывание текучести. Как оказывается при кратковременном действии нагрузки, вызывающей напряжения, зна-
чительно превышающие статический предел текучести, материал может оставаться некоторое непродолжительное время в упругом состоянии. Под статическим пределом текучести здесь мы понимаем условную величину, измеряемую в обычных опытах на стандартном оборудовании. Непродолжительное время нужпо понимать в том смысле, что эффект запаздывания заметен при временах порядка микро- и миллисекунд, т. е. главным образом в волновых процессах. Объяснение механизма этого явления, относящееся к области физики металлов, дается различно разными авторами. Точка зрения Котрелла, которая до недавнего времени была почти общепризнанной, состоит в том, что в углеродистой стали дислокации блокируются растворенными атомами углерода. Под действием напряжения и при наличии тепловых флуктуаций дислокация постепенно высвобождается из облака растворенных атомов, а освободившись, сразу продвигается на большое расстояние, что означает большую пластическую деформацию. Сравнительно недавно была выдвинута альтернативная точка зрения, объясняющая пластическую деформацию после задержки размножением дислокаций. Оставляя в стороне дислокационный язык, заметим, что для материала постулируется определяющее уравнение того же типа, что уравнение, которое применяется для описания ползучести металлов при высоких температурах (см. § 18.4 уравнение (18.4.1)). Соответствующим выбором входящей в это уравнение функции можно добиться удовлетворительного качественного объяснения наблюдаемых явлений, связанных с запаздыванием текучести. Не вставая на какую-либо из этих точек зрения, мы примем в качестве основного условия наступления текучести следующее условие Кот- релла — Екобори:
［屮(0)或=1. (16.12.1) о
Здесь т ——время запаздывания текучести при заданной программе нагружения о(方).Пока величина интеграла в соотношении (16.12.1) меньше единицы, материал остается упругим, при достижении равенства (16.12.1) он переходит в пластическое состояние. Вопрос о том, как происходит этот переход, будет затронут ниже. В качестве функции ф обычно применяют степенную функцию
中偿广 (1642・2)
В этой формуле, конечно, фигурируют две независимые постоянные, а не три, но нам удобно зафиксировать, например, характерное время t* и определять из опыта напряжение о* и показатель степени п. Заметим, что показатель п довольно велик, он достигает значений от 10 до 20.
Рассмотрим два примера применения условия (16.12.1).
Задержка текучести при постоянном напряжении о. Интегрируя (16.12.1), получим
t
Верхний предел текучести при растяжении с постоянной скоростью. При растяжении с постоянной скоростью может быть достигнуто в упругом состоянии напряжение о', зависящее от скорости нагружения и называемое верхним пределом текучести. Полагая о = s力 и интегрируя, представим результат в следующем виде:
d = о J(〃 + l)s 呂"•
Здесь т ——продолжительность растяжения. Заметим, что постоянное напряжение, при котором материал остается упругим в течение времени т, и максимальное напряжение, достигаемое за вре- ^1мя т при нагружении с постоян-
丁 一一 一丿/ной скоростью, отличаются только
множителем (п+ 1)1/п. При больших п этот множитель довольно / кблизок к единице. Так, при п =
/ I= 15 161/15 1,203. Эта разница
/совсем незначительна. Типичная
Iдиаграмма растяжения малоугле-
родистой стали показана на рис. 16.12.3. Высота «зуба теку-
Рис. 16.12.3чести» есть о'; после срыва диа
граммы с зуба, в связи с исчерпанием способности к запаздыванию появляется так называемая площадка текучести. Легко определяемая ордината этой площадки называется нижним пределом текучести; в некоторых руководствах можно встретить утверждения о том, что этот нижний предел текучести представляет собою реальную физическую характеристику материала, тогда как верхний предел зависит от условий эксперимента. В действительности верхний предел о' определяется из физически реального условия (16.12.1), тогда как нижний предел действительно зависит от условий эксперимента. Горизонтальная площадка текучести вовсе не принадлежит диаграмме материала, она обязана своим появлением тому факту, что при растяжении длинного образца пластическая деформация возникает вблизи одного из концов и распространяется фронтом до тех пор, пока не охватит весь образец.
Итак, в общем случае дело нужно представлять себе следующим образом. Материал упруго нагружается до напряжения о'.
которое тем выше, чем больше скорость. При выполнении условия (16.12.1) он мгновенно переходит в пластическое состояние, соответствующее некоторой точке N на диаграмме деформирования (рис. 16.12.4). Учитывая сказанное в § 16.11, мы принимаем за эту диаграмму мгновенную или динамическую диаграмму. Положение точки N и путь перехода определяются целиком условиями эксперимента.
Рис. 16.12.4Рис. 16.12.4Рис. 16.12.5Рис. 16.12.5
Рис. 16.12.4
Рис. 16.12.4
Рис. 16.12.5
Рис. 16.12.5
Теперь мы можем выяснить особенности распространения упругопластических волн в стержнях, материал которых обладает свойством запаздывания текучести. Приложим к концу по- лубесконечного стержня напряжение о«) или сообщим ему скорость У«), что одно и то же. В течение времени т, определяемого из уравнения (16.12.1), от конца стержня будут распространяться только упругие волны, переносящие заданное на конце изменение напряжения вдоль стержня. В каждом сечении условие (16.12.1) будет выполняться при одном и том же значении 力 поэтому упругое состояние в координатах х,力 будет соответствовать точкам полосы на рис. 16.12.5. Верхняя граница полосы представляет собою фронт разгрузки из упругого состояния в пластическое. Этот фронт движется со скоростью упругой волны, следовательно, разгрузка может происходить только по закону Гука. Действительно, в § 2.10 было показано, что разрывы напряжений и скоростей на фронте, движущемся со скоростью % связаны условием
[о] = [v]pc.
С другой стороны, разрыв скорости и разрыв деформации связаны очевидным кинематическим соотношением
О] = [е]с.
Исключая из этих двух условий [v], находим
將=
Этим и доказывается, что при распространении волны от точки М происходит упругая разгрузка в точку Р. Дальше все происходит так же, как и без запаздывания. Образуется область постоянных значений rpq, а далее идут пластические волны, соответствующие динамической диаграмме.
Явление упругой разгрузки после прохождения волны упругого перенапряжения, как можно назвать упругое состояние с напряжением, превышающим предел текучести от, было обнаружено экспериментально.
Г Л Л В А 17
НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
Линейная наследственность
Принцип наследственности, сформулированный Больцманом и получивший значительное математическое развитие в работах Вольтерра, состоит в следующем. Предположим, что некоторый физический или механический процесс определяется воздействием, т. е. заданием некоторой функции v(r), т^(—°0,订・ Реакция рассматриваемого тела или системы определяется некоторой функцией 〃«)• В общем случае величина функции u(t) в настоящий момент времени t определяется не только значением воздействия в данный момент t, но всей историей изменения функции и в указанном выше промежутке времени. Говорят, что и есть функционал от р и записывают его символически следующим образом:
и^^ (и).(17.1.1)
Функционал 歹 называется линейным, если
等(以+%)=歹(⑴+歹沁)，歹(си)= е歹(")，
где с ——константа. Связь между напряжениями и деформациями в тердом теле не обязательно должна иметь характер упругой связи или вид соотношений теории пластичности. Закон связи вида (17.1.1) определяет то, что называется вязкоупругостью или вязкопластичностью; при специальном выборе линейного функционала 歹 можно получить уравнения так называемой линейной вязкоупругости. Термин «вязкоупругость» обязан своим происхождением тому обстоятельству, что при некоторых частных предположениях относительно вида функционала соотношение (17.1.1) можно записать в виде дифференциального соотношения, связывающего линейным образом производные различных порядков от и и р по времени. Линейная связь между one есть закон Гука, линейная связь между о и е есть закон вязкости Ньютона. Получающееся линейное соотоношение между производными от о и от е в известном смысле обобщает эти простейшие модели; поэтому тело, описываемое с помощью этого соотношения, называют вязкоупругим.
В последнее время этот термин получил распространение в применении к телам, поведение которых не может быть описано
при помощи дифференциальных уравнений конечного порядка. Мы предпочитаем в данном случае принадлежащий Вольтерра термин «наследственная упругость», как более точно и более образно передающий существо дела. Однако в этом параграфе и в ближайших следующих собственно наследственная теория упругости излагаться не будет, мы рассмотрим общие формы наследственных зависимостей между любыми физическими величинами.
Достаточно общее выражение линейного функционала (17.1.1) будет следующее:
u(t)^v (0 + Z J К (力，т) и (т) dt・(17.1.2)
Функция К(力 т) называется ядром наследственности. Параметр л может быть принят равным единице, однако в дальнейшем нам будет удобно сравнивать зависимости типа (17.1.2) с одинаковыми ядрами К при различных 入.Ядро наследственности характеризует степень «забывания» к моменту времени t о тех воздействиях, которые были совершены в момент времени т. Поэтому, если свойства материала со временем не меняются, то естественно предположить, что мера «памяти» и «забывания» зависит от разности 力一т. Это интуитивно очевидное предположение было сформулировано Вольтерра в виде условия замкнутого цикла, которое состоит в следующем.
Если v(t) — периодическая функция, то необходимое и достаточное условие того, чтобы и 〃«) была также периодической, состоит в том, что ядро К зависит от разности 力一t
К(力 t) = K« — p)・(17.1.3)
Предположим, что v(t)——периодическая функция с периодом (о:“«+(о) = и⑴.
Внесем в (17.1.2), заменив в этом уравнении t на 力+(о. Получим
什①
u (Z +(о) = V (^ +(о) + Z J К (t + а), т) и (т) Мт・
Заменим теперь переменную интегрирования т на t +(o, получим
u(t + (S) = V (t + (а) + X j Я (^ + (О, Т + (0)17 (т + (0)dr.
Учитывая периодичность и«), найдем, что последнее уравнение совпадает с (17.1.2) в том и только в том случае, когда
+ со, t + о)) = К(& тг).
Дифференцируя по параметру со и полагая (о = 0, получим
дК дК п而+ ^? = °・
Общий интеграл этого уравнения в частных производных первого порядка есть произвольная функция от разности i — т; этим и доказывается равенство (17.1.3).
В уравнении (17.1.2) нижний предел интегрирования принят равным —оо. В действительности, всякая история начинается с некоторого конечного момента времени ——времени создания материала или изготовления изделия, или первого нагружения. Поэтому мы будем записывать интегральное соотношение (17.1.2) с разностным ядром следующим образом:
и — V + ^^ К [t — т) V (т) dt.(17.1.4)
о
Представим (17.1.1) следующим образом: оt
и = и + j K(t — i)v(i;)dx+ ^ К [t — x)v (т) dr.
Применим к первому интегралу теорему о среднем. Получим оо
f К —(т) dx — V (\) J K(t — 1)dt, J м (— Т, 0).
-г-т
Если интеграл
о
j K(%-t)dt = 〃力 Т)
стремится к нулю при неограниченном возрастании Т,力 то ядро удовлетворяет условию затухающей памяти, и замена нижнего предела, равного —8, на значение его, равное нулю, позволяет применять уравнения (17.1.4) вместо (17.1.1). Заметим, что при этом нижний предел был взят конечным, равным —Т. Таким образом, принцип затухающей памяти утверждает не столько возможность замены нижнего предела —8 нулем, сколько несущественность выбора начального момента отсчета времени т = =0. Очевидно, что при периодической функции и (力)функция 〃(力)не будет периодической, но отклонение от периодичности или апериодический добавок к функции u(t) стремится к нулю с возрастанием t.
Вместо полной записи (17.1.4) мы будем пользоваться сокращенной записью
u = (l + Z7f*)v.(17.1.5)
Умножение на оператор К* означает вычисление фигурирующего 37 ю. Н. Работнов
в (17.1.4) интеграла. Для операторов К* можно ввести операцию умножения следующим образом. Произведением двух операторов £*Л/* называется оператор, ядро которого определяется формулой
т
Делая простую замену переменных, убеждаемся, что умножение операторов коммутативно:
L*M* = M*ZA
Очевидно, что таким же способом можно определить умножение неразностных операторов, но в этом случае умножение не коммутативно. В приложениях для так называемых стареющих материалов вводятся и неразностные ядра. Некоммутативность умножения сильно осложняет в этом случае решение конкретных задач.
На уравнение (17.1.5) можно смотреть как на интегральное уравнение Вольтерра второго рода, определяющее функцию v(t) при заданной 〃«)・ Как известно, решение интегрального уравнения записывается так:
p = (l~Zr*(X))u. (17.1.6)
Здесь Г* (X)——резольвентный оператор, ядро которого определяется рядом Неймана. Этот ряд можно получить чисто формально. Решая (17.1.5) относительно и так, как если бы это было алгебраическое уравнение, и сравнивая с (17.1.6), получим
4京=1一m0). (17.1.7)
Если бы в левой части вместо 入К* стояло число, меньшее единицы по модулю, мы могли бы разложить дробь в ряд, представляющий собою геометрическую прогрессию. Сделаем это с операторной дробью, понимая возведение в степень оператора так, как было определено умножение операторов. Получим
г* = К* -九К*2 + 九2K*3 + . (17.1.8)
Это операторное тождество вполне эквивалентно известному ряду Неймана для резольвенты. В теории интегральных уравнений доказывается сходимость ряда Неймана для любых ограниченных ядер К. Здесь мы заметим, не приводя доказательства, что ряд Неймана сходится, если итерированные ядра становятся ограниченными, начиная с некоторого номера. В частности, если ядро имеет особенность вида (t — т)-а, 0《а V 1, то ряд Неймана сходится.
Резольвентные операторы
В задачах наследственной теории упругости приходится вводить несколько операторов Вольтерра и выполнять некоторые операции, состоящие в решении интегральных уравнений, ядра которых представляют некоторые комбинации исходных ядер и их резольвент. Правило умножения операторов и соотношения (17.1.7) позволяют записать и выполнить промежуточные операции преобразований по правилам алгебры, однако заключительный этап будет состоять в решении интегрального уравнения. Ряд Неймана при этом скорее указывает на принципиальную возможность решения интегрального уравнения, чем служит эффективным средством для такого решения. На практике положение облегчается тем фактом, что ядра наследственности, характеризующие свойства материала, выбираются в результате обработки опытных данных, а опытные данные лежат внутри некоторой полосы разброса. Поэтому, как правило, оказывается возможным искать операторы наследственности внутри некоторого класса, достаточно широкого для удовлетворительного воспроизведения опытных данных, с одной стороны^ допускающего явное выполнение обращения (17.1.7), с другой. Выберем некоторый оператор К*, который будем называть порождающим оператором. Тогда оператор F* (九)будем называть резольвентным оператором, порождаемым оператором К*. Из (17.1.7) следует такое явное выражение для резольвентного оператора Г* (X): г(九)=旺而・(1721)
Рассмотрим теперь следующее интегральное уравнение:
辽= (1 +卩F* (入))и.(17.2.2)
Находя отсюда по правилам обычной алгебры функцию и, получим
р = (1-цГ*(Х + ц))1г.(17.2.3)
Мы убедились, что если ядро принадлежит к резольвентному типу, то его резольвента будет опять-таки резольвентным ядром, порождаемым также оператором К*, но при другом значении параметра. Операторное тождество
1 - М* (九 + R)=( +(А* (储
можно переписать, полагая 九=力，九+ 卩=弘 в следующем виде: Г* ⑺ F* 仅)=内[Г* (%) — Г* (у)]・(17.2.4)
Соотношение (17.2.4) выражает теорему об умножении резольвентных операторов. При х = у путем предельного перехода 37*
получаемполучаемр*2р*2竺дх竺дхПродолжая этот процесс, найдемПродолжая этот процесс, найдемрезольвентного оператора F*(n)резольвентного оператора F*(n)выражение для любой степенивыражение для любой степени1 /Тр* m —1)!川т1 /Тр* m —1)!川т(17.2.5)(17.2.5)
получаем
получаем
р*2
р*2
竺дх
竺дх
Продолжая этот процесс, найдем
Продолжая этот процесс, найдем
резольвентного оператора F*(n)
резольвентного оператора F*(n)
выражение для любой степени
выражение для любой степени
1 /Тр* m —1)!川т
1 /Тр* m —1)!川т
(17.2.5)
(17.2.5)
Таким образом, формула (17.2.4) указывает на то, что система резольвентных операторов, порождаемых любым оператором К, образует поле, причем операция возведения в степень недопустима в том смысле, что результат ее выводит за пределы поля.
Для наследственной теории упругости особое значение имеют резольвентные ядра, порождаемые ядром Абеля:
К* =底 /а =[(]；% % > а (17.2.6) r = 0, £VO, —lVaW0・
Ядро Абеля, очевидно, удовлетворяет условию затухающей памяти. В определении (17.2.6) величина Г(1 + а) представляет собою гамма-функцию указанного аргумента. Напомним ее определение и основные свойства
F (%) = J s^e^ds, Г (1 + %) = %Г (%), Г (1) = 1. о
Через гамма-функции выражается так называемый интеграл Эйлера или бета-функция
Jp) г(0)Jp) г(0)В (р, 0)= J z@t (1 —⑵q-idz =о
Jp) г(0)
Jp) г(0)
Используя эту формулу, мы легко получим следующее правило умножения операторов Абеля:
/а，В = 7 а+р+1*
Для этого нужно воспользоваться общим определением умножения операторов, которое было дано в § 17.1, и ввести навую переменную интегрирования z = (s — т)/(f — т). Отсюда следует, в частности, правило возведения оператора Абеля в произволь
ную степеньную степеньЛх =7 т-1+та>Лх =7 т-1+та>(17.2.7)(17.2.7)
ную степень
ную степень
Лх =7 т-1+та>
Лх =7 т-1+та>
(17.2.7)
(17.2.7)
/а становится по-/а становится по-Если а<0 и тп> , +& то индекс оператора ложительным и особенность исчезает.
/а становится по-
/а становится по-
Построим класс резольвентных операторов, порождаемых оператором Абеля. Будем называть их дробно-экспоненциальными операторами Э* (Р) и определять следующим образом:
11一m壊11一m壊= 1 + ₽Э：ф).= 1 + ₽Э：ф).(17.2.8)(17.2.8)
1
1一m壊
1
1一m壊
= 1 + ₽Э：ф).
= 1 + ₽Э：ф).
(17.2.8)
(17.2.8)
Разлагая в ряд фигурирующую в левой части равенства дробь, мы получим выражение для Эа(₽) в виде ряда (17.1.8), на этот раз знакопостоянного. С учетом (17.2.7) мы можем написать явное выражение для ядра оператора Эа (Р)：
Эа 值力)=产 £ 1Ч(гЛ；)(1 + а)「・(1729)
При а < 0 и при малых t первый член ряда оказывается преобладающим, поэтому
九(3力)氏几⑴.
Этот член определяет главную часть особенности. При 0 > 0 члены ряда, соответствующие положительным степеням 力 неограниченно растут вместе с 力 поэтому
За(3 8)=8 (§>0)・
Таким образом, при § > 0 дробно-экспоненциальное ядро не удовлетворяет условию затухающей памяти. Вопрос о поведении Э-функции при §V,0 будет рассмотрен позже; здесь элементарные соображения уже недостаточны.
Заметим, что при а = 0 % = 1, Э0(Р，力)= ехр§£・ Хорошо известно, что если ядром интегрального уравнения служит экспоненциальная функция, то резольвента будет также экспоненци^ альной функцией. Теорема умножения (17.2.4) легко проверяется непосредственно, так же, как формула (17.2.5).
Дробно-экспоненциальные функции и интегралы от них про- табулированы, эти таблицы описаны и частично приведены в книге Работнова (1977). Следует заметить, что дробно-экспоненциальные функции оказались чрезвычайно удобными для описания линейной наследственности в горных породах, полимерах и армированных пластиках. Принимая ядро ползучести в виде одной дробно-экспоненциальной функции
不=Y3鼠一 Р),
удается, как правило, достаточно хорошо описать данные по ползучести, возврату и релаксации. Показатель а при этом обычно оказывается близким к ——0,7, хотя это не может служить общим правилом.
Применение преобразования Лапласа
Напомним, что изображением по Лапласу функции /(£) называется функция f (р) параметра р, определенная следующим образом:
，(р)= \f(t)e-Ptdt.(17.3.1)
о
Параметр р может принимать любые комплексные значения. Заметим, что для определения f (р) необходимо знать функцию /(£) только для положительных значений аргумента, для отрицательных значений ее можно доопределить произвольным образом, например, положив /«)三 6 при 力 V 0. Функция, тождественно равная нулю при отрицательных значениях аргумента, называется функцией, принадлежащей к классу Хевисайда.
Зная изображение f(p), можно восстановить оригинал или функцию /(力)по формуле Меллина
а+гоо
/(*)=為! 〃Р)剂dp・(17.3.2)
Здесь прямая Rep = а выбирается таким образом, чтобы все особые точки функции /(р) располагались слева от этой прямой. Для отрицательных значений t интеграл (17.3.2) равен нулю, поэтому формула Меллина автоматически дает функцию, принадлежащую к классу Хевисайда. Мы не приводим здесь необходимых условий для того, чтобы преобразование Лапласа (17.3.1) существовало, и для того, чтобы функция / (р) служила изображением некоторой функции /(%). Эти условия выполняются для всех тех случаев, с которыми нам придется иметь дело.
Напомним теорему о свертке. Если tt
Hf)= g (т)无(£ —力 dr,
оо
то
了⑺⑺五⑺・(17.3.3)
Отсюда легко получаются известные формулы преобразования Лапласа от интеграла и, следовательно, от производной, если
t
/(%) = [% ⑴迎 Ip) = ^万(»о
Применяя преобразование Лапласа к интегральному уравнению (17.1.4) и используя теорему о свертке, получим
而=(1 +入区)方.
Точно так же, вычисляя интеграл Лапласа от равенства (17.1.6), найдем_
и = (£ —入 Г)м.
Отсюда следует
1-疝=_A_^.(17.3.4)
Соотношение (17.3.4) совершенно сходно по форме с (17.1.7), но, в отличие от него, представляет собою не символическое, а обыч^ ное алгебраическое равенство. В задачах наследственной теории упругости ряд авторов применяет технику преобразования Лал- ласа, здесь мы будем следовать другой системе изложения, а Ш1енно, примем за основу изложенную в § 17.2 теорию резольвентных операторов. Однако преобразование Лапласа нам понадобится для выяснения асимптотических свойств введенных выше дробно-экспоненциальных функций. Вычислим сначала преобразования Лапласа функции /а. Вспоминая определение гамма-функции, находим
/а(Р)=
Принимая в формуле (17.3.4) К = — ^Л, [ = —0%, находим
丸(Р，Р)=ЛТ^・(17.3.5)
Подставляя в формулу Меллина, приходим к следующему ин^ тегральному представлению для функции За (§, £)：
а+ioo
%(Р，9=嘉J謀匕跑 ("・3・6) а—joo #产
Для того чтобы получить интегральное представление для интеграла от Эа-функции или для произведения Эа-1, нужно разделить подынтегральное выражение на 卩.Получим
a+ioo
3^)・1=爲.丄7^£二0)m US?
Известно (см. Дёч), что асимптотическое поведение интеграла Меллина, определяемого формулой (17.3.2), описывается следующим образом. Пусть функция『(р) имеет простые полюсы с неотрицательной действительной частью и р0 ——тот полюс, у которого действительная часть наибольшая. Следовательно, в окрестности полюса р0 функция 『(р) может быть представлена
следующим образом:
Тогда при больших значениях t главный член в асимптотическом разложении функции /(力)будет
/优)〜4成0*.
Если действительные части полюсов отрицательны, функция /(力) стремится к нулю при t f 8, если полюс с наибольшей действительной частью находится в начале координат, функция /(力) стремится к постоянному значению, равному А. Если функция /(卩)неоднозначна, то рассматривается та ветвь функции, которая однозначна в плоскости, разрезанной вдоль отрицательной
полуоси. При § > 0 из формулы [17.3.5) следует, что р0 = Р 1+а поэтому
За(6,力)〜AexpJei^).
Мы убедились еще раз в том, что дробно-экспоненциальная функция при р > 0 неограниченно возрастает с увеличением L Более того, теперь мы знаем, что эта функция растет как обычная экспонента.
При р < 0 положим $ = |0丨声，pQ = т^. Вследствие того, что рассматривается полуплоскость с выброшенной отрицательной полуосью —л < ф < л. Подставляя в уравнение р；+“ — Р = О, находим
屮 1+а
При а< 0 найденное значение ср больше, чем л, поэтому рассматриваемая ветвь функции полюсов не имеет и За(§, £)+0 при 3 Vo и 力-> 8. Что касается изображения функции Эа(Р)-1, оно имеет единственный полюс 卩=0, вычет для этого полюса 4 = —1/р, поэтому
Эа (Р)• 1 — "^" (0VO, С-> 8). (17.3.8) Установленные свойства элементарно проверяются для обычных экспоненциальных функций.
Функции от операторов
Формула (17.1.8) определяет некоторую функцию от оператора 定*, заданную в виде ряда. Этот ряд был получен в результате разложения левой части соотношения (17.1.7). Аналогичным образом может быть определена произвольная функция
от оператора. Пусть /(%) есть произвольная функция комплексной переменной х, аналитическая в окрестности точки % = 0. Представим ее в виде ряда
〃％)= 〃о)+ г (0)^ + 4 /"(°)" + ・・・
По определению этот ряд имеет отличный от нуля радиус сходимости г. Функция /(X*) оператора Вольтерра определяется следующим образом:
/И =/(0) +『(0) К* + *『(0) К*?十・・・(17.4.1)
Вольтерра доказал следующую теорему. Если степенной ряд имеет отличный от нуля радиус сходимости, то операторный ряд, получающийся из него заменой переменной оператором с ограниченным ядром К*, сходится всюду. Операторный ряд мы будем называть сходящимся, если ряд для его ядра сходится абсолютно. Мы не будем здесь приводить доказательство этой теоремы, которое можно найти, например, в книге Работнова [И]. Заметим, что условие ограниченности ядра можно заменить условием ограниченности его итераций, начиная с некоторого номера. Поэтому теорема справедлива для слабо сингулярных ядер типа дробно-экспоненциальных. Будем называть ограниченными такие операторы, которые удовлетворяют условию
{К^(17.4.2)
Таким образом, у ограниченного оператора ограничено не только ядро, но и интеграл от ядра. Предельное соотношение (17.3.8) указывает на то, что Э-операторы при отрицательных § ограничены, но оператор Абеля, соответствующий случаю, когда В = 0, не ограничен. Приведем опять-таки без доказательств со ссылкой на книгу Работнова [11] следующие теоремы, относящиеся к предельным значениям комбинаций из операторов.
Если операторы L* u М* ограничены и N* = L*M*, то 义=£m.(17.4.3)
Если функция g (力)三 G такова, что при любом выборе положительной величины Т)существуют такое число gg и такое ЗНО/Ч^НиС 力—力* д ЧПЪО 8儿£ t ^^^ 力*
lg«) — g«J V%
то
(К^^^К^.(17.4.4)
Произведение оператора К* 6 степени п на единицу стремится при 力一＞ 8 к величине произведения К* на единицу
в степени п:
(K*肺・1)8 = a^. (17.4.5)
Умножая оператор, определенный рядом (17.4.1), на функцию g (力)三 G, получим как результат применения предыдущих теорем следующую.
Произведение аналитической функции /(К*) от ограниченного оператора Волътерра на функцию g^G стремится при неограниченном возрастании t к величине функции / от произведения К8g8
(〃K*)・g)8 = /(K8g8)・ (17.4.6)
Очевидно, что этот ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд для функции /(%)・ В частности, из формулы (17.4.6) следует, что из интегрального уравнения (17.1.5) при условии, что 〃三 G, вытекает такая величина предельного значения переменной v:
Формула (17.4.7) составляет содержание известной теоремы Пэли —Винера, она становится неприменимой при |%Яоо1 = 1.
Линейное наследственно-упругое тело.
Реологические модели
При одноосном напряженном состоянии, например при простом растяжении, основное определяющее соотношение наследственной теории упругости мы будем записывать следующим образом:
« =备(1 +%*”・(17.5.1)
Разрешая относительно напряжения, получим
а = Е(1-Г*)е.(17.5.2)
Здесь Г* — резольвента ядра К* или, наоборот, К* ——резольвента ядра Г*. Будем называть ядро К* ядром ползучести, а Г* ——ядром релаксации. Соответственно рассмотрим две возможные экспериментальные схемы.
Опыт на ползучесть. К телу прикладывается нагрузка, соответствующая напряжению а. При мгновенном приложении нагрузки возникает мгновенная деформация е0 = о/Е. Далее тело деформируется во времени по закону
е = %(1 + К*・1)・
Соответствующий график представлен на рис. 17.5.1. Если оператор К* ограничен, то величина деформации не превосходит
некоторого верхнего предела е^ = б/Ез. Здесь £«> — длительный модуль упругости
00_( + 仁.
Обычный модуль Е следует называть теперь мгновенным моду- лем. Оператор ползучести не обязательно должен быть ограни
ченным. Ползучесть многих материалов описывается ядром Абеля К = Ма・ При этом величина деформации сверху ничем не ограничена, но скорость деформации все время убывает. Существуют эксперименты по ползучести пластиков, продолжавшиеся 100 000 часов (около 12 лет). Зависимость е(£) на всем протяжении испытания была степенной без какой-либо тенденции
к выходу на горизонтальную
асимптоту. Если в момент времени 力=Т произведена разгрузка, то немедленно возвращается мгновенная упругая деформация е°, накопленная же деформация ползучести убывает постепенно. Для любого момента t> Т уравнение (17.5.1) дает
е = ^『К«— 力 dr.
о
Если ядро удовлетворяет условию затухающей памяти, то при 力一> оо е f 0, значит происходит полный возврат.
Опыт на релаксацию. Растянем быстро образец напряжением о。и зафиксируем его деформацию е = а0/£. При постоянной деформации
а = а0(1 — Г* • 1).
Из теоремы 4 предыдущего параграфа следует, что
Eg = ］，к =豆(1 — Гоо). (17.5.3)
Процесс релаксации состоит в том, что напряжение, которое было рав
но в начальный момент Ее, постепенно убывает до величины 后80・ Если ядро ползучести неограниченно, то, как следует из (17.5.3),后8 = 0 и напряжение в процессе релаксации стремится к нулю. Примерная кривая релаксации представлена на рис. 17.5.2. Заметим, что технически осуществить совершенно чистый опыт на релаксацию невозможно. Для полимерных мате^
риалов обычно последовательно с образцом включается достаточно жесткий силоизмеритель. При релаксации напряжения в образце меняется деформация силоизмерителя, по ней судят о величине напряжения. Но вследствие деформации силоизмерите- ля и деформация образца не остается постоянной, таким образом, в этой схеме можно приближаться к условиям чистой релаксации, но нельзя выполнить эти условия вполне точно. Другая система испытаний состоит в том, что установленный на образце тензометр управляет механизмом, изменяющим нагрузку. Поскольку всякий тензометр имеет определенный порог чувствительности, испытание на релаксацию по существу заменяется испытанием на ступенчатую ползучесть, в конце каждой ступени деформация образца восстанавливается до первоначального значения. Можно уменьшить величину этих ступеней, но нельзя их совершенно уничтожить.
Соотношения (17.5.1) и (17.5.2) часто записывают в несколько иной форме.
Определим оператор ползучести
/* ^^{1^ + КЧ^/* ^^{1^ + КЧ^(17.5.4)(17.5.4)
/* ^^{1^ + КЧ^
/* ^^{1^ + КЧ^
(17.5.4)
(17.5.4)
и оператор релаксации
G* = £(/；-Г*/：).G* = £(/；-Г*/：).(17.5.5)(17.5.5)
G* = £(/；-Г*/：).
G* = £(/；-Г*/：).
(17.5.5)
(17.5.5)
Здесь I* ——оператор обычного интегрирования, ядра операторов K*IQ и Г*1о соответственно — это проинтегрированные один раз ядра Я и Г. Теперь закон наследственной упругости может быть записан следующим образом:
е = 7*5 о = G*e.е = 7*5 о = G*e.(17.5.6)(17.5.6)
е = 7*5 о = G*e.
е = 7*5 о = G*e.
(17.5.6)
(17.5.6)
Ядро оператора J* называется функцией ползучести, ядро оператора G* ——функцией релаксации. Они непосредственно определяются из опытов на ползучесть и релаксацию, тогда как для нахождения функций K(t) и F(力)соответствующие кривые бывает необходимо дифференцировать. В современной литературе соотношения (17.5.6) часто записывают в виде так называемых сверток Стилтьеса, а именно,
е = J * do = J J(t — %) da(r),е = J * do = J J(t — %) da(r),ооо = G ^ de = ^ G(t — т) de (т).о(17.5.7)о = G ^ de = ^ G(t — т) de (т).о(17.5.7)
е = J * do = J J(t — %) da(r),
е = J * do = J J(t — %) da(r),
о
о
о = G ^ de = ^ G(t — т) de (т).о
(17.5.7)
о = G ^ de = ^ G(t — т) de (т).о
(17.5.7)
Здесь интегралы понимаются в смысле Стилтьеса, что позволяет рассматривать непосредственно, не делая предельных переходов,
те случаи, когда нагрузка прикладывается или деформация производится мгновенно.
Свойства наследственно-упругого тела, обнаруживаемые при испытаниях на ползучесть или релаксацию и проиллюстрированные графиками на рис. 17.5.1 и 17.5.2, легко воспроизвести на модели, изображенной на рис. 1.10.2. Если обозначить через е перемещение, на котором производит работу сила о, то, как совершенно очевидно, при мгновенном приложении нагрузки сначала растянется только пружина 7; жесткость пружины, или модуль Е^ представляет собою мгновенный модуль. По истечении достаточно большого времени система приблизится к состоянию равновесия, когда скорость, а следовательно, и сопротивление движению поршня в цилиндре с вязкой жидкостью становятся равными нулю. В предельном состоянии податливости пружин складывается, следовательно, длительный модуль определяется следующим образом: Е~^= Е；' + Е^'. Обозначая через т] коэффициент вязкости, который определяет силу сопротивления движению поршня о' в зависимости от скорости по формуле az = це и вводя обозначения
"+/_入為_以
мы получим дифференциальное уравнение движения системы в следующем виде:
% +九 o = E(e + |ie)・(17.5.8)
При большой скорости нагружения отсюда следует g = Ее или о = Ее для мгновенной деформации. В предельном состоянии покоя о =-^- Ее = Eg% отсюда Е^ = £卩/九・ Поскольку Eg V Е, должно быть 卩 V 九,что видно и из формул, определяющих эти величины. Если теперь отвлечься от изображенной на рис. 1.10.2 модели, скомбинированной из пружин и вязкого сопротивления, мы можем принять дифференциальное соотношение (17.5.8) за определяющее уравнение для некоторого материала. Этот модельный материал сейчас принято называть стандартным вязкоупругим телом. Уравнение (17.5.8), как мы видели, качественно правильно описывает поведение реальных материалов в условиях ползучести или релаксации. Однако для количественного описания свойств каких бы то ни было реальных твердых тел, как выяснилось, модель стандартного вязкоупругого тела непригодна.
Реология, наука о течении разного рода тел (от греческого рео — теку), широко пользуется обобщениями рассмотренной простейшей модели, которые вводят в рассмотрение производные более высоких порядков. Общее уравнение типа (17.5.8) будет
иметь следующий вид:
P(6 = Q(e)・(17.5.9)
Здесь Р (о) — линейная функция от а и производных о до порядка п включительно с постоянными коэффициентами, 0(e)— такая же функция от деформации е. К соотношению вида (17.5.9) можно прийти, если рассмотреть модель, составленную из большого числа пружин и вязких сопротивлений, соединенных в разных комбинациях последовательно и параллельно. Конечно, было бы достаточно наивно искать в структуре материала соответствующие упругие и вязкие элементы, однако способ, осно ванный на построении реологических моделей, обладает некоторым преимуществом. Мы убедились, что в уравнении (17.5.8) должно быть 卩V、, при этом не было необходимости в обращении к модели, условие Eg < Е, из которого следует первое неравенство, означает только то, что приложенная сила совершает положительную работу, расходуемую на накопление энергии деформации, а частично рассеиваемую в виде тепла. В общем случае (17.5.9) тоже должны быть выполнены некоторые неравенства, которые могут быть не столь очевидны. Но если построена эквивалентная реологическая модель из стержней, накапливающих энергию, и вязких сопротивлений, рассеивающих ее, то у нас есть полная уверенность в том, что для соответствующего модельного тела законы термодинамики будут выполняться. Второе преимущество модельных представлений состоит в том, что для любой заданной конфигурации системы может быть вычислена внутренняя энергия, представляющая собою энергию упругих пружин, и скорость необратимой диссипации энергии вязкими элементами. Имея в распоряжении закон наследственной упругости (17.5.1), (17.5.2), мы можем подсчитать полную работу деформирования, но не можем отделить накопленную энергию от рассеянной. Поэтому, например, Блонд целиком строит изложение теории на модельных представлениях.
Экспоненциальные операторы
Несмотря на то, что уравнение стандартного вязко-упругого тела может быть применено к описанию свойств реальных тел лишь с большой натяжкой, несколько более детальное изучение этого уравнения все же может оказаться интересным. С другой стороны, следует иметь в виду, что старые работы по вязкоупругости (30-е ——40-е гг.) в значительной мере основывались на модели стандартного тела. В более поздних работах оно также применялось из-за простоты и возможности эффективного решения некоторых задач, которые не удается довести до конца при более сложных определяющих уравнениях. В § 17.2 мы ввели интегральный оператор I*, соответствующий обычному инте-
грированию и порождающий класс резольвентных операторов, ядрами которых служат экспоненциальные функции. Умножим обе части уравнения (17.5.8) на /*• Получим
(1+М)о=Е(1 + М：)е・
Отсюда, применяя обычные алгебраические действия, найдем
。 = e 1+(卩一九)r^](17.6.1)
или, с учетом (17.2.8),
о = Е [1 -(九一卩)3； (- X)] е・(17.6.2)
Наоборот, выражая деформацию е через напряжение о, найдемe = % [1 + (^* -卩)Э* (-卩)]0.
Переход от (17.6.1) к (17.6.2) можно произвести по формуле (17.2.3). Если один экспоненциальный член, фигурирующий в уравнении (17.6.2), недостаточно хорошо воспроизводит опытные данные, естественно попытаться добавить еще несколько экспоненциальных членов и выбрать оператор ползучести следующим образом:
п
= w "就(一支)・(17.6.3)
i=l
Если все 氏 и h положительны, то Kg =》& и Ем < Е. Обращение этого оператора будет выражаться следующим образом:
?* =£ 人3"一也).(17.6.4)
s=l
Величины и 丫§ можно найти следующим образом. Из соотношения между оператором К* и резольвентным оператором Г* (17.1.7) следует
Подставляя сюда выражения (17.6.3) и (17.6.4) и принимая теорему умножения резольвентных операторов (17.2.4), получаем следующую серию равенств:
I + ?占=。，鼻=0.(17.6.5)
Отсюда следует, что 丫§ находятся как корни алгебраического уравнения степени п, после чего ms определяются из системы линейных уравнений. Можно показать, что все 丫$ действительны и положительны.一
Не составляет груда убедиться в том, что интегральное уравнение с ядром (17.6.3) эквивалентно дифференциальному соотношению (17.5.9). Для этого интегральное уравнение (17.5.1) дифференцируется п раз по времени 力；получившаяся система из w +1 уравнений содержит линейным образом е, о н их производные до порядка п включительно, а также п различных интегралов вида Э* (— 0) о. Исключая эти интегралы, мы приходим к дифференциальному соотношению вида (17.5.9). Обратно, для того чтобы перейти от дифференциального закона к интегральному представлению, можно использовать ту же процедуру, которая была применена к стандартному вязкоупругому телу. Нужно умножить соотношение (17.5.9) на 7； , тогда Р и Q обратятся в полиномы степени п от оператора /0, частные двух полиномов следует разложить на простые дроби, каждая из которых расшифровывается как экспоненциальный оператор. При этом необходимо, чтобы корни каждого полинома были различны, действительны и в результате получалось А： > 0 и 必 > 0・ Заметим, что эти достаточные условия положительности работы не необходимы. Можно представить себе, что некоторые к{ отрицательны и некоторые корни §不 комплексны. Появляющиеся в последнем случае осциллирующие ядра в принципе допустимы, хотя при представлении с помощью реологических моделей обычного типа они появиться не могут. Но в принципе реологическая модель может быть и динамической, она может включать в себя, кроме упругих и вязких элементов, массы, могущие совершать колебания. Для описания свойств реальных материалов модели такого рода, насколько нам известно, не применялись.
Наследственно-упругое тело
Для дальнейшего сокращения записи введем упругий оператор Е, представляющий собою сумму постоянного слагаемого и оператора Вольтерра,
e = e(1 一尸)(17.7.1)
Теперь уравнения (17.5.1) и (17.5.2) можно переписать в совсем простом виде
е = -g-, о = Ее.
Эта запись открывает совершенно естественный путь обобщения уравнений закона Гука на наследственно-упругое тело. Примем
а尸 Хббу + 2 卩％.(17.7.2)
Здесь % и н — упругие операторы, построенные так же, как
оператор 瓦 а именно,
九= %(1 + А*), |1 = |1(1 + М*).
Здесь А* и М* — два, вообще говоря, различных оператора, описывающие наследственные свойства изотропной среды. Вместо операторов 九 и 卩 можно ввести «технические» операторы Ей”, из них можно скомбинировать операторный модуль сдвига 卩= =2 (1 + 丁. Расшифровка этого выражения проста, когда Е и v содержат операторные части, принадлежащие к одному и тому же классу резольвентных операторов.
Опытные данные показывают, что объемное последействие незначительно и объемную деформацию можно считать упругой. Поэтому операторный объемный модуль обращается в постоянную. Записывая это уравнение
Е _ Е，一 2v 2
найдем выражение для операторного коэффициента Пуассона v^v + Ц^Г*.(17.7.3)
m十2(1 + ")m十2(1 + ")Вычисляя операторный модуль сдвига для материала без объемного последействия, найдем
m十2(1 + ")
m十2(1 + ")
(17.7.4)
Обращение этой формулы, т. е. получение явного выражения для оператора 卩,достаточно просто тогда, когда К* ——резольвентный оператор. В противном случае необходимо решать тем или иным способом интегральное уравнение.
Для анизотропного тела вводятся тензор-операторы четвертого ранга, заменяющие упругие константы в законе Гука. Соответственно закон наследственной упругости записывается в одной из следующих форм:
аз = Е 打必“厶 ％• = 口仰& (17.7.5)
или
°灯=偽血％厶 e^ = J*jk^hi- (17.7.6) Связь между операторами G歸 и J褊， с одной стороны, ЕцМ и Щ/А, с другой, та же, что и связь, установленная формулами (17.5.5), (17.5.6) для одномерного случая. Положим в операторе EijM слагаемое, содержащее интегральный оператор, равным нулю, получим тензор мгновенных модулей Е仃&・ С другой стороны, 38 ю. Н. Работнов
произведение Eijhi • 1 при 力-> 8 стремится к постоянному тензору длительных модулей. Заметим, что тензоры мгновенных и длительных модулей необходимым образом симметричны, тогда как симметрия операторных модулей, вообще говоря, не вытекает мз каких-либо механических соображений. Это становится ясным, если поставить в соответствие наследственно-упругому телу динамическую модель, содержащую вращающиеся массы. Гироскопические силы не связаны с перемещением симметричной матрицей. Однако в большинстве приложений симметрия матрицы операторных модулей или податливостей постулируется, при этом оказываются справедливыми некоторые теоремы взаимности и вариационные принципы. Если конструировать модели из упругих и вязких элементов, эта симметрия получается необходимым образом. Она следует также, если принять некоторые принципы необратимой термодинамики, например принцип Он- загера. Однако мы предпочитаем избегать подобного рода аргументов.
Единственное условие, которому должны удовлетворять тензоры наследственно-упругих операторов, состоит в том, что работа при произвольном пути деформирования должна быть неотрицательна. Выразим напряжение через деформации по первой из формул (17.7.6). Функции GiiM{t — т) определены только для положительных значений аргумента, нам будет удобно доопределить их для отрицательных значений следующим образом:
G«) = G(T)・
Теперь выражение для работы W может быть записано следующим образом:
2W (0 = J j Gijkl (s — r) de订•(s) deM (r).(17.7.7)
о о
Представим функции Gw через их косинус-преобразования Фурье
Gw(s — т) = ^ j Gljkl (со) cos ①(s —工)ds・
Подставляя их в (17.7.7) и меняя порядок интегрирования, получим
К =亲 f G^i [А^АМ + B^B^i] d(o. (17.7.8) о
Здесь Aij и Вц — функции времени, определяемые следующим образом:
А^ = J cos cos 血订(s), B^ = J sin ssde^ (s)・ оо
В зависимости от программы нагружения величины 4仃 и 5订 могут принимать любые значения, поэтому необходимое и достаточное условие положительности работы состоит в знакоположи- тельности, фигурирующей под интегралом квадратичной формы:
G；jhiAtjAja > 0.(17.7.9)
Полученное неравенство составляет содержание теоремы Брейера и Оната. В одномерном случае это неравенство приводится к условию положительности косинус-преобразования Фурье функции релаксации, Gc > 0. Нетрудно показать, что это условие эквивалентно условию положительности синус-преобразования ядра релаксации, Г8 > 0.
Периодические нагрузки
Возвращаясь к одномерным задачам, рассмотрим поведение наследственно-упругого тела под действием периодического возмущения, например периодического деформирования. Положим
е =备 ехр 必方.(17.8.1)
Если принять в соотношении наследственности нижний предел интеграла равным минус бесконечности, то вследствие условия замкнутого цикла напряжение будет также периодической функцией времени. Поэтому здесь нам будет удобно выбирать нижний предел именно так. Если интегрирование ведется не от —8, а от нуля, то выражение для о будет содержать апериодический добавок, стремящийся к нулю по мере возрастания времени 九 Итак, положим
о = о。ехр [% (з 方 + ср)]・(17.8.2)
Подставляя выражения и 口 е в закон наследственной упругости, записанный, например, в виде (17.5.2), получим
“exp [Z (①力 + tp)] = Ее0 ехр 庙力一J Г (^ — t) exp imdx ・
Заменим переменную интегрирования, положив t — x = z, и представим exp /st как сумму cos сот + г sin сот. Получим
Go ехр [%(①力 + ф)] = EeQ exp ia)t(l — Гс + Л\).
Здесь введены следующие обозначения:
Гс = J Г (г) cos szdz, Г5 = [ Г (г) sin sz dz.оb
Эти величины отличаются от косинус- и синус-преобразований Фурье только множителями.
38*
Определим теперь комплексный модуль упругости Ef + iEf\ зависящий от частоты з. Действительная и мнимая части комплексного модуля выражаются формулами
?=笈(1一二)，e" =£r8.(17.8.3)
Теперь соотношение между напряжением и деформацией может быть записано следующим образом:
0 = (? + 近〃)6.(17.8.4)
Очевидно, что уравнение (17.8.4) справедливо лишь тогда, когда е (力)задано выражением (17.8.1) и от момента начала воздействия прошло достаточно много времени, так что апериодический добавок к выражению (17.8.2) для напряжения может считаться пренебрежимо малым.
Уравнение (17.8.4) может быть переписано также следующим образом:
00 =%]/?2 + 岁2 = %1 硏,tgcp^g-^r^-. (17.8.5)
При выводе этих соотношений мы могли бы использовать закон наследственности, записанный в форме (17.5.1). Повторяя буквально те же вычисления, мы получим
Е' =Е ―_-, Е" = Е ——工——-.(17.8.6) (l+Kj + Kf (1 + /户 +簿 、
Вычислим теперь работу, совершаемую напряжением (17.8.2) на деформации (17.8.1). Переходя к действительным функциям, положим, например, е = е0 sin(о^? а = g0 sin((o^ + ф). Работа за вре・ мн от 力=0 до настоящего момента t определяется следующим образом:
t厶=『о de.о
Проделав необходимые элементарные вычисления, которые мы здесь не приводим, получим следующий результат. Работа будет состоять из двух частей, первая часть ——периодическая функция от 匕 т. е. полностью обратимая работа упругих тел. Но вторая часть оказывается пропорциональной времени 力 следовательно, это та часть работы, которая рассеивается необратимым образом, превращаясь в тепло. Величина необратимой работы в единицу времени называется мощностью диссипации О; выделяя из интеграла работы множитель при 力 получим
D = — зОоРо sin ср.
Отсюда с помощью (17.8.5) получаем
D = ^ ^Ks =等 Е^&.(17.8.7)
Необходимое и достаточное условие положительности диссипации состоит в том, чтобы синус-преобразование ядра ползучести К или ядра релаксации Г было положительно. Но по теореме Брейера ——Оната, приведенной в § 17.7, выполнение этого условия обеспечивает положительность работы при любом виде деформирования или нагружения; это есть единственное термодинамическое ограничение, налагаемое на ядро наследственности.
С помощью комплексного модуля легко решаются задачи о вынужденных колебаниях наследственно-упругих систем. Пусть, например, колебания системы с одной степенью свободы описываются уравнением
и + 時(1 — Г*) и =時 exp ipt.(17.8.8)
Будем искать его решение в виде и = 〃ехр[»(р± +(р)]・ Подставляя это выражение в (17.8.8), выполняя интегрирование при помощи замены переменной 方一t = z и сокращая множитель exp ipt, получаем
〃 [—р? + 時(1 — Гс + /Г8)] = з： ехр (— %(р)・
Отделяя действительную часть от мнимой и вводя обозначения Е‘ и Е〃 вместо Гс и Г, соответственно по формулам (17.8.3), получаем
t伊-軒+僚)「е
Это решение не зависит от начальных условий, значит рассматриваются действительно установившиеся колебания, когда слагаемое в решении, соответствующее свободным колебаниям, затухает практически до нуля. Для решения задачи о свободных колебаниях необходимо исследовать строго интегро-дифференциальное уравнение (17.8.8), что, в общем, затруднительно. Решение этого уравнения можно представить как линейную комбинацию двух функций, которые играют роль синуса и косинуса, но представляются довольно сложными двойными рядами. Насколько нам известно, никто не пытался построить таким образом фактическое решение, т. е. просуммировать и протабулировать эти ряды. Однако некоторое суждение о характере затухания свободных колебаний по истечении достаточно большого времени от их начала, т. е. тогда, когда затухание уже практически не зависит от того, каким образом были возбуждены колебания вначале, можно получить, используя ту же технику. Положим
в уравнении (17.8.8) правую часть равной нулю п будем искать решение однородного уравнения в виде и = exp ipt. Подставляя в (17.8.8) и проделывая те же вычисления, что и в случае вынужденных колебаний, получим
一 р2 十碇 £J产=о.(17.8.10)
Отсюда видно, что р есть комплексное число. Действительное решение уравнения можно записать, например так:
V =sin з 九
Отделяя в следующем из (17.8.10) выражении для р действительную и мнимую части, получаем
3 =•(17.8.11)
Здесь величина \Е\ — абсолютная величина комплексного модуля —определяется первой из формул (17.8.5).
Принцип Вольтерра
Уже в ранних работах Вольтерра было отмечено, что при решении задач наследственной теории упругости операции, связанные с решением дифференциальных уравнений, аналогичных обычным уравнениям теории упругости, и операции интегрирования по времени, связанные с вычислением операторов Вольтерра, могут выполняться в произвольном порядке. Отсюда вытекает следующее правило, которое можно назвать принципом Вольтерра.
Для решения задачи наследственной теории упругости нужно построить решение задачи обычной теории упругости и в окончательном результате заменить упругие постоянные операторами, расшифровав полученные комбинации операторов по известным правилам.
Этот принцип применим при соблюдении определенных условий, которые будут выяснены далее, расшифровка операторных комбинаций также требует некоторых пояснений.
В сороковые — пятидесятые годы, когда наследственная теория упругости получила новое развитие в работах американских авторов, для решения задач получил широкое распространение метод, основанный на применении преобразования Лапласа. Для этого метода был сформулирован принцип соответствия, который по существу представляет собою простую перефразировку принципа Вольтерра. Применяя к основным соотношениям закона наследственной теории упругости (17.7.2) преобразование Лал- ласа, мы получим на основании теоремы о свертке следующие
уравнения:
Gy = X06ij + 2|леи. （17.9.1）
Здесь черточки над буквами обозначают преобразования Лапласа соответствующих функций. Уравнения （17.9.1） имеют форму обычных уравнений закона Гука. Выполняя преобразования Лапласа над уравнениями равновесия, соотношениями связи между деформациями и перемещениями и граничными условиями, мы получим для изображений систему уравнений, совпадающую с системой уравнений теории упругости. Ее решение ничем не отличается от решения задачи обычной теории упругости; изображения напряжений и перемещений оказываются выраженными явно через изображения заданных на границе усилий и перемещений и функций наследственности. Теперь последний этап будет заключаться в том, чтобы перейти от изображений к оригиналам. Эта процедура буквально повторяет ту, которая предписывается принципом Вольтерра, но в других терминах.
Необходимое ограничение применения принципа Вольтерра, равно как и метода, основанного на преобразовании Лапласа, состоит в следующем. В каждой точке поверхности тела должно быть задано либо усилие, либо перемещение, либо какая-нибудь комбинация этих величин, но тип граничных условий не должен меняться. Так, например, принцип Вольтерра неприменим к задаче о движущемся штампе. Пусть штамп длиной L движется со скоростью V по границе полуплоскости. Если штамп гладкий, то касательное _усилие 7\ равно нулю всюду на поверхности, следовательно, 7\ = 0. Но со вторым граничным условием дело обстоит сложнее. Перемещение 辽2«） в фиксированной точке границы М известно только в течение конечного промежутка времени t ^ [0, 0 + L/V\ если 0 — тот момент, когда конец штампа приходит в точку М. Для других значений времени 〃2«） неизвестно, поэтому вычислить изображение по Лапласу 汇2（卩）не представляется возможным. Такое же положение возникает и при прямом применении принципа Вольтерра. Действительно, при окончательной расшифровке полученных операторных соотношений неизбежным образом придется вычислять интеграл
J Н （力-t）他（工）dt. о
Здесь 7?——ядро некоторого результирующего оператора. Но функция 〃2（t） известна только для указанного выше интервала времени.
Заметим, что для решения некоторых задач с переменными границами принцип Вольтерра все же оказывается применимым, эти задачи будут отмечены далее.
Если операторы Лиц относятся к одному и тому же классу
резольвентных операторов и в решении задачи теории упругости появляется рациональная комбинация упругих констант, заменяемых операторами, то описанные выше правила алгебры операторов позволяют свести эту комбинацию к одному оператору того же класса. В противном случае выкладки становятся довольно сложными в такой же мере, в какой сложно обращение преобразования Лапласа. В современной литературе можно найти многочисленные примеры численных решений, основанных на численном обращении преобразования Лапласа.
ехр (±§%)cos 眦 exp (士昵)sin 昵.ехр (±§%)cos 眦 exp (士昵)sin 昵.В некоторых случаях решение задачи теории упругости оказывается таким, которое содержит трансцендентные функции от операторов. В качестве примера можно привести построенное в § 12.13 решение задачи об осесимметричном изгибе круговой цилиндрической оболочки. Решение соответствующего однородного уравнения для упругой оболочки строится из частных решении
ехр (±§%)cos 眦 exp (士昵)sin 昵.
ехр (±§%)cos 眦 exp (士昵)sin 昵.
Здесь 04 — 3(；飞才 L. в задаче наследственной теории упругости постоянная 0 заменяется оператором В, который получается в ре
зультате замены коэффициента Пуассона ” соответствующим оператором. Но ”8 = (” • 1% = 1/2, тогда как % можно принять равным 0,3. Отсюда следует, что отношение ^/^ = 0,95. Совершенно очевидно, что при практическом расчете оболочек следует считать коэффициент Пуассона постоянным. Заметим, что трансцендентные функции от операторов всегда представляют собою функции от коэффициента Пуассона ——единственной безразмерной упругой постоянной для изотропного материала. Поэтому в приложениях часто вместо условия отсутствия объемного последействия, которое приводит к формуле (17.7.3), принимают коэффициент Пуассона просто постоянным, v = v. Такое предположение до чрезвычайности упрощает решение всевозможных задач. Действительно, распределение напряжений в упругом теле обычно зависит от коэффициента Пуассона, если этот коэффициент заменяется оператором, в теле происходит перераспределение напряжений во времени даже при постоянных нагрузках. Но если коэффициент Пуассона постоянен, то распределение напряжений определяется только действующими в данный момент нагрузками; при постоянстве нагрузок распределение напряжений остается неизменным. Перемещения точек тела при этом меняются, их изменение целиком определяется операторным модулем упругости Е, точно так же как этим модулем определяется релаксация напряжений в теле, точки поверхности которого удерживаются неподвижными. Возвращаясь к задаче о цилиндрической оболочке, заметим, что в вырджении для прогиба в знаме・
Нателе появляется цилиндрическая жесткость D = ^^. Ес
ли = -^-[1 + хЭ：(-₽)]и V определяется формулой (17.7.3), то в результате стандартных вычислений, основанных на теореме умножения резольвентных операторов, получаем
(17.9.2)
При выводе этой формулы сохранение v в качестве оператора не вносит серьезных осложнений.
Трансцендентные функции операторов, так же как иррациональные комбинации, можно бывает представить в виде рядов и построить таким образом точное решение задачи. Некоторые примеры такого рода приведены в книге Работнова [И].
Устойчивость наследственно-упругих систем
Уравнение изогнутой оси стеряшя, находящегося под действием продольной сжимающей силы и поперечной нагрузки, получается из уравнения (3.10.1) поперечного изгиба путем простой замены модуля упругости Е оператором Е{1 — Г*). Это интегро-дифференциальное уравнение в общем случае переменной жесткости имеет вид
"Г*係卜啕+噂=д—譬（”w）
Здесь учтено, что стержень может иметь начальный прогиб 1^(%) . Для решения этого интегро-дифференциального уравнения используем метод разложения по собственным функциям. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение
(ё山〃)〃+%"=0(ё山〃)〃+%"=0(17.10.2)(17.10.2)
(ё山〃)〃+%"=0
(ё山〃)〃+%"=0
(17.10.2)
(17.10.2)
и присоединим к нему те граничные условия, которые были поставлены для интегро-дифференциального уравнения (17.10.1). Мы получили обычную задачу об устойчивости продольно сжатого упругого стержня, изученную в гл. 4. Собственные значения Ph уравнения (17.10.2) образуют неограниченную последовательность; каждому собственному значению соответствует фундаментальная функция 〃月.Для однородных граничных условий, не связанных с введением внешних по отношению к системе упругих элементов, справедлива теорема об ортогональности
фундаментальных функций, а именно:
J Elu^dx = 6ks. о
Это условие служит в то же время условием нормировки фундаментальных функций, которые определены с точностью до постоянного множителя. Будем теперь искать решение интегро- дифференциального уравнения (17.10.1) в виде ряда
у h (*)•
Подставим этот ряд в (17.10.1), умножим на EIus и проинтегрируем по длине балки. Используя (17.10.2) и условия ортогональности и нормированности функций 〃月,получим серию уравнений для функции Ts
[-Я(1 -г*) + P]TS = Paqs(t)・ (17.10.3)
Здесь
柒⑴=告［EI "。-Р吟"急，о
При исследовании задач устойчивости интерес представляет лишь первая форма, соответствующая Р1 = Рэ. Сила А называется эйлеровой силой. Положив Р/Рз = р«), перепишем интегральное уравнение (17.10.3) при s = 1 следующим образом (индексы опущены) :
(1 一 р) Т — NT = —0.(17.10.4)
Решение этого уравнения может быть представлено следующим образом:
? -「Ue ("•m6
Предположим сначала, что рассматривается поведение стержня при малых значениях времени. Интегральный член Г*Т в (17.10.4) при этом пренебрежимо мал, и мы получаем обычную формулу теории продольно-поперечного изгиба упругой балки
т = _ q一 1 — Р.
Отсюда видно, что при весьма кратковременном приложении нагрузки по мере приближения силы Р к эйлеровой силе амплитуда прогиба Т может быть сколь угодно большой. При этом интегральный член Г*Т остается сколь угодно малым, если время достаточно мало. Этот результат можно резюмировать еле-
дующим образом: при мгновенном приложении нагрузки происходит упругая потеря устойчивости по Эйлеру.
Если, начиная с некоторого времени 力 способ приложения нагрузки перестает играть роль, это значит q w G в смысле, оговоренном в § 17.4, то вследствие теоремы Пэли ——Винера
g (оо)
Но 1 — fg = Ед/Е; таким образом, при р < Е^/Е стержень асимптотически устойчив в том смысле, что прогиб его под действием продольной силы п произвольной поперечной нагрузки стремится к конечному пределу. Этот предел неограниченно возрастает, когда р стремится к величине отношения Е』Е\ при р > Е^/Е предельная теорема перестает быть справедливой. Общий вывод из рассмотренного примера следующий. Система мгновенно неустойчива, когда нагрузка превосходит эйлерову, вычисленную по мгновенному модулю. Система асимптотически неустойчива, если нагрузка превышает эйлерову нагрузку, соответствующую длительному модулю. При меньших нагрузках система устойчива. Этот результат относится не только к случаю сжатого стержня, но п к любой наследственно-упругой системе, устойчивость которой может быть исследована на основе геометрически линейной постановки задачи типа Эйлера.
Вариационные принципы теории наследственной упругости
В обычной теории упругости вводятся потенциалы напряжений и перемещении следующим образом (§ 8.2):
и。= ~2~^ijkl^i}^kh ①О — — ^iikl^ij^kl'
Введем наряду с упругими потенциалами следующие потенциалы наследственности:
。1 = ^i;-^ ijkl^hh ① 1 = ^ij^ijkl^hb(17.11.1)
При варьировании потенциалов наследственности условимся применять символ вариации только к множителю, стоящему впереди интегрального оператора, так что, например,
6% = бе万F；汴曲%.
Операторы F编 и А^^， вообще говоря, могут быть несимметричными относительно пар индексов 炉 и 也，но нам будет удобно принять такую симметрию. Если Г%〃 = Г*；^, например, то
eij^ijkl^kl = ^kl^ijkl^ir
Отметим еще следующие тождества:
(17.11.2)(17.11.2)6jQj = 2/7о •— U] = 2 ① q + ① i.
(17.11.2)
(17.11.2)
С помощью введенных потенциалов и с учетом принятого правила варьирования мы можем переписать основной закон наследственной теории упругости (17.7.5) следующим образом:
о 灯=± (% — UJ, 3 = М (①о + ① i)・(17.11.3)
Теперь совершенно так же, как это было сделано в обычной теории упругости (§ 8.7), можно построить функционал
J = J 0灯上灯 一 } "打1" Ujt^ - U()(e订)+ U1(6万)+ F1Щ dV +
+ I T*u^dS + J S/j (〃t — ^i) ^^. (17.11.4) §Tsu
Этот функционал совершенно аналогичен известному функционалу Хеллингера ——Вашизу; варьируя напряжения, перемещения и мгновенные значения деформаций, мы получим уравнения наследственной теории упругости и граничные условия как уравнения Эйлера и естественные граничные условия для функционала (17.11.4).
Вариационные принципы типа Рейснера, Лагранжа и Кастиль- яно получаются отсюда совершенно так же, как в обычной теории упругости. При выводе уравнения Рейснера заметим, что вследствие (17.11.2)
но в функционале Рейснера в качестве независимых аргументов принимаются щ и。订,поэтому Uo должно быть выражено через。仃. Вычислим производную от Uo по о仃
叫 °°万叫 °°万dUп деъ1“"网7 = %4n 砲.dUп деъ1“"网7 = %4n 砲.
叫 °°万
叫 °°万
dUп деъ1
“"网7 = %4n 砲.
dUп деъ1
“"网7 = %4n 砲.
Но матрицы Е и П взаимно обратные, поэтому EkiTsRklij — 6ir6js.
Таким образом,
и вследствие (17.11.3)
U。（0订）=①。 +①1.
Теперь функционал Рейснера может быть записан следующим
образом:
Juo = [— S)}(〃韦 + 〃九t) + ①о + ①1 + 歹削]dV +
+ J T^dS + J вг^(щ-щ)а8. (17.11.5> StSu
Функционалы Лагранжа и Кастильяно получаются из соответствующих функционалов для упругого тела простой заменой U на О。一 G, Ф на ①()+①「Мы не выписываем соответствующие выражения, отсылая к § 8.7.
Проиллюстрируем применение одного из вариационных принципов, например принципа типа Рейснера, на примере задачи об изгибе балки. Для одноосного напряженного состояния 5=募 ①1 =%。k*。.
Положим е = ху, о = Mz〃, т. е. зададимся независимо линейным законом распределения как напряжений, так и деформаций по сечению. Подставляя в (17.11.5) и выполняя интегрирование по площади, получим г
^ (一 Мк Н—^-普г + 言> МК^М + q，dz. о
Здесь y = d", d(z)—прогиб балки. Варьируя прогиб v(z), по^ лучим
6 J〃(j = f (— Мби" + qbu) dz = 0 ・ о
Если на концах балки не приложены силы, производящие работу на перемещениях или углах поворота концов, то в результате двукратного интегрирования по частям получаем
J (- ЛГ + g) 6р dz = 0. о
Отсюда сдедует уравнение равновесия 加〃 =q(z)・
Теперь варьируем момент M(z). Получаем
бЛс = J (― X + 芸 + ^^j dMdz = 0. о
Отсюда находим
Х = ^ = 1+^М.(17.11.6>
Полученные следствия из вариационного принципа типа Рейснера носят, конечно, достаточно тривиальный характер. Эти уравнения можно было получить из обычных уравнений изгиба балки простой заменой модуля упругости соответствующим оператором. Но можно представить себе более сложный случай, когда Е и К* представляют собою функции координаты у. Так будет, например, если балка неравномерно нагрета по толщине; ядро наследственности в сильной степени зависит от температуры. Уравнение (17.11.6) в этом случае сохраняет силу, только вместо i/E и К* нужно подставить приведенные величины, а именно,
Таким образом, расчет балки должен производиться по осред- иенному операторному модулю, при этом вариационный принцип фиксирует совершенно определенный способ такого осреднения, которое, вообще говоря, не единственно. При использовании принципа типа Лагранжа, например, мы придем к точно тем же уравнениям, но при зависимости операторного модуля от координаты необходимый способ осреднения окажется иным.
Заметим, что вариационные принципы наследственной теории упругости допускают и иную трактовку. Вследствие принципа Вольтерра можно применять любой метод для решения задачи обычной теории упругости, и лишь в окончательном результате упругие константы следует заменить операторами. Отсюда следует, в частности, что для нахождения точного или приближенного решения задачи теории упругости может быть применен любой из известных вариационных методов; если в результате решения в окончательном результате появится некоторая комбинация упругих констант, ее можно заменить такой же комбинацией из операторов и расшифровать по известным правилам.
Элементы нелинейной теории наследственности
Еще Вольтерра, основываясь на теории, развитой Фреше, представил нелинейный функционал вида (17.1.1) рядом, напоминающим в известной мере ряд Тейлора. Для одномерного случая и применительно к наследственно-упругому телу, это разложение имеет следующий вид:
€ = j 厶 & — %)而(％) +
+ I )」2 (力一G"—兀2)而(q)而(r) + ・・•(17.12.1)
ЭЛЕМЕНТЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ НАСЛЕДСТВЕННОСТИ 607
Приложение формулы (17.12.1) к обработке опытных данных было начато больше чем через пятьдесят лет после появления работы Вольтерра. Следует отметить, что во всех этих новейших работах исследовались материалы, поведение которых мало отличалось от линейного. Поэтому в разложении (17.12.1) была достаточно удержать два члена, соответствующих однократному и тройному интегралам. Двукратный интеграл обычно отбрасывается, так как поведение материала при растяжении и сжатии предполагается одинаковым. Даже при таких упрощениях определение вида ядра, зависящего от трех независимых аргументов, довольно затруднительно. Обращение соотношения (17.12.1) имеет тот же вид, но фактическое выполнение такого обращения встречает существенные трудности. Лишь относительно недавно (1957 г.) кратно-интегральное представление было распространено на случай трехмерного напряженного состояния. При сохранении интегралов до трехкратных включительно поведение изотропного материала описывается при помощи 12 независимых ядер. Многие авторы поэтому стремились упростить полученные соотношения, делая те или иные предположения. Мы не будем здесь касаться этих вопросов.
Возвращаясь к одномерному случаю, сделаем упрощающее* предположение, касающееся структуры последовательных ядер в (17.12.1), а именно, положим
丸
厶(» - G，e — R,…，力一以)=优h U J (力一G)■(17.12.2} i=l
Положим теперь
s = j J (力一t) do (t) = (1 + K*) a.о
Здесь мы заменили нижний предел т = —00 пределом т = 0 по причинам, которые были обсуждены выше. Теперь (17.12.1) перепишется следующим образом:
е = а^ + a2s2 + a3s3 + ...(17.12.3)
Ряд (17.12.3) определяет е как функцию s. Обозначая через 屮(е) обращение этой функции, получим
(p(e) = (l + K*)a.(17.12.4).
Функция (р(в) определяется непосредственно из эксперимента. При a = const из (17.12.4) следует
о = К^Л・(17.12.5>
Уравнение о =(р(е) определяет кривую мгновенного деформирования; кривые ползучести, перестроенные в координатах а, е для
фиксированных значений времени 力，называются изохронными кривыми. Задаваясь видом ядра или определяя его из опытов при малых напряжениях, когда справедливы уравнения линейной наследственности и, следовательно,屮(е) = Хе, мы можем восстановить вид мгновенной кривой, т. е. найти функцию ф(е)・ Для этого необходимо, чтобы в эксперименте подтвердился факт подобия изохронных кривых ползучести, следующий из (17.12.5). Действительно, изохронные кривые ползучести оказываются подобными с достаточной степенью точности для различных материалов. При обработке опытных данных неточность в определении ядра К может быть компенсирована надлежащим выбором функции ф, поэтому более простое ядро Абеля можно принимать вместо дробно-экспоненциальной функции.
Заметим, что нелинейность поведения материала, если она выражена достаточно заметно, обычно бывает связана с необратимостью. Поэтому на уравнение (17.12.4) можно смотреть как на уравнение наследственной пластичности, т. е. считать его справедливым тогда, когда е N 0. Тогда закон разгрузки должен быть сформулирован иначе, например вместо функции (р(е) в уравнение (17.12.4) нужно ввести некоторую функцию *ф(е, е*), где е* ——величина деформации в момент начала разгрузки.
Распространение волн в наследственно-упругом теле
Здесь мы ограничимся рассмотрением одномерных волн и для простоты будем говорить о распространении продольной волны в стержне, хотя правильнее было бы рассматривать плоский фронт в неограниченной среде. Те уравнения, с которыми мы будем иметь дело, совершенно точны для такого плоского фронта, тогда как для стержня они лишь приближенны, так как в них не учитываются поперечная инерция и деформация сдвига. Дифференциальное уравнение распространения волн в упругом стержне, как мы видели в § 6.7, имеет следующий вид:
Здесь с2 = Е/р. Для волн расширения в неограниченной среде Е заменяется на 九 *2卩，для волн искажения на 模，таким образом, математическая теория оказывается совершенно тождественной. Заменяя Е через наследственно-упругий оператор, получим следующее интегро-дифференциальное уравнение:
с? (1 一 Г*)乌一 @ = 0. (17.13.1) дх dt
Прогрессивные волны. Положим
и = exp 2 (力 + ° 击｝(17.13.2)
Если 0, как мы в этом убедимся, комплексное число, q = q& + iq2, то вышеприведенное выражение можно переписать следующим образом:
и = ехр (—等 jexp 心(力 + % 彳)・(17.13.3)
Первый множитель определяет затухание, т. е. убывание амплитуды с расстоянием, величина с/q^ представляет собою скорость распространения волны. Подставляя (17.13.2) в уравнение движения (17.13.1), найдем
/1 + Гс-гГ5
Для каждого конкретного вида ядра в этом выражении можно отделить действительную часть от мнимой и, следовательно, найти о】и 02・ Если затухание невелико и Гв < 1 + Гс, то можно получить приближенное соотношение
g = ?i + ^2«(l + Гс)-1/2 + 忆(4 + F JT2.(17.13.4)
Но 弘=(1 + Гс)-1/2 = NE/Eg, таким образом, скорость прогрессивных волн
Это ——скорость упругих волн, определяемая длительным модулем.
Полученное решение может быть найдено совершенно формальным путем, в результате простой замены в обычном решении задачи о распространении прогрессивных волн в твердом теле модуля упругости Е комплексным модулем Е' + iE". Следует заметить, однако, что решения типа (17.13.2) носят несколько условный характер. Предполагается, что волны движутся пз точки х = —8, в этой точке амплитуда бесконечно велика. Именно так должно обстоять дело, если понимать решение (17.13.2)1 или (17.13.3) в буквальном смысле. На самом деле нужно предположить, что волны возбуждаются где-то достаточно далеко и решение (17.13.3) описывает приближенно скорость прохождения гребня волны через некоторую точку и разницу амплитуд Двух соседних гребней.
Возможность получения решения задач о распространении наследственно-упругих волн прямой заменой обычных модулей комплексными модулями составляет содержание так называемого принципа соответствия для динамических задач. Мы уже при- 39 Ю4 Н Работнов
меняли принцип соответствия для решения задачи о свободных колебаниях системы с одной степенью свободы. Как здесь, так и там мы убедились в том, что этот принцип применим лишь для описания таких процессов, которые можно назвать в известном смысле стационарными.
Ударные волны. Задача о распространении возмущения, несущего разрыв некоторых параметров процесса, решается, пожалуй, проще всего при помощи преобразования Лапласа. Применим преобразование Лапласа по времени к уравнению (17.13.1) и, воспользовавшись тождеством
= +左)-,
представим результат в следующем виде:
成一与a+ k) 〃 = 0.с
Здесь штрихи обозначают дифференцирование по 力. Интеграл этого уравнения, стремящийся к нулю при *f 8, будет следующий:
и = с ехр(二子/子•
Аналогичные выражения, отличающиеся только множителем, получаются и для производных от и, в частности для о. Предположим, что на конце прикладывается постоянное напряжение о。 в момент 4 = 0; тогда о (0, р)= а0/р и, следовательно,
о (%, Р)— -у-ехр (―子］/" + К)・(17.13.5)
Обращение выражения (17.13.5) встречает серьезные трудности, которые удается преодолеть лишь для немногих частных видов ядер, однако асимптотические оценки позволяют сделать некоторые выводы. Прежде всего при малых t и, следовательно, больших р справедливо асимптотическое представление
反(р)~"・
Поэтому
0 (/ p)〜^ ехp (-子^k (0)刃.
Отсюда следует
о 〜п0 ехр y К (0)^ -~ Н ,~^
Итак, волна распространяется со скоростью упругой волны, оп-
ределяемой мгновенным значением модуля. Экспонеициальпый множитель определяет затухание.
С другой стороны, при 力一> 8, р -> 0 становится справедливым следующее предельное соотношение:
ь（8）〜S戸（〃））吋。.
Примем F = К* • i, F = К/p. Поэтому при малых р
及（Р）〜ь（8）=备
Соотношение （17.13.5） принимает вид
0 （力,Р）〜优 exp （一 产｝ Coo = |/"资.
Отсюда следует
При достаточно больших значениях t возмущение распространяется без затухания со скоростью с^ V с. Итак, картину распространения волны в наследственно-упругом теле нужно представить себе следующим образом. Сначала идет упругая волна с мгновенной скоростью с, за фронтом сигнал быстро затухает по экспоненциальному закону. По мере приближения к фронту упругой волны, распространяющейся с длительной скоростью с^, интенсивность сигнала должна возрастать до величины о。на фронте, а за этим фронтом остается постоянной. Такая довольно очевидная картина может быть получена и в результате более строгого анализа.
ГЛАВА 18
Испытания на ползучесть и кривые ползучести
Внешнее протекание процесса ползучести металлов и сплавов при повышенных температурах весьма напоминает ползучесть полимерных материалов или проявление наследственной упругости, рассмотренной в гл. 17. Однако ползучесть металлов не может рассматриваться как наследственно-упругий эффект; деформация ползучести в основном необратима, это с одной стороны, с другой ——зависимости между напряжением и деформацией или скоростью деформации резко нелинейны. В наследственной теории упругости создание более или менее законченной математической теории предшествовало накоплению опытного материала. Можно только удивляться тому, что построения, продиктованные в большей мере внутренней логикой развития науки, чем непосредственными запросами практики, оказались столь хорошо пригодными для описания поведения горных пород, пластмасс, древесины и других материалов. В теории ползучести материалов дело обстояло как раз наоборот. Диски паровых турбин испытывают значительные напряжения от центробежных сил и находятся в условиях относительно высоких температур. Инерционные напряжения не могут быть уменьшены путем увеличения толщины, некоторое снижение напряжений может быть достигнуто за счет выбора рационального профиля, однако здесь имеется совершенно определенный предел. Оказалось, что инерционные напряжения вызывают медленное деформирование диска——увеличение его наружного диаметра и изменение формы профиля. Это явление было названо «ползучестью», по-английски «creep». (В первых русских публикациях это английское слово «крип» употреблялось в транслитерации без перевода.) Усилия металлургов были направлены на получение новых сталей и сплавов, стойких в отношении ползучести. Перед инженерами встала задача расчета на ползучесть, т. е. определения расчетным путем времени, по истечении которого деформация достигнет некоторой наперед задаваемой величины, которая считается предельно допустимой.
Первые теории ползучести создавались именно инженерами, а не механиками-теоретиками, они относятся к середине 20-х годов. В это время уже были сформулированы основные положения теории пластичности, поэтому, естественно, теория ползучести
полагала в основу уже известные законы пластичности, модифицируя их надлежащим образом.
механики сплошной среды;механики сплошной среды;Рис. 18.1.1Рис. 18.1.1Четко выраженная практическая направленность характеризует развитие теории ползучести в последующие годы, вплоть до настоящего времени. В 50-е — 60-е годы эта теория сформировалась как самостоятельная ветвь в это время был накоплен очень большой экспериментальный материал. Были поставлены опыты специально для проверки и уточнения основных гипотез теории, с одной стороны. С другой — в промышленности был выполнен огромный объем экспериментов, направленных на получение данных по ползучести отдельных сплавов, предназначенных для применения их в конструк
механики сплошной среды;
механики сплошной среды;
Рис. 18.1.1
Рис. 18.1.1
циях. Не доставляя достаточно полного материала для проверки математической теории ползучести, эти результаты все же смогли быть использованы теоретиками. Особый интерес представляют эксперименты, выполненные на моделях более или менее сложных изделий ——трубах, дисках, диафрагмах турбин и т. д. Сравнение данных опыта с предсказаниями расчета, построенного на основе той или иной теории, могло служить качественным подтверждением ее правильности.
Стандартный метод испытаний на ползучесть ——это испытание на растяжение постоянной нагрузкой цилиндрического образца. Современные жаропрочные сплавы разрушаются под действием постоянной нагрузки при относительно малой деформации, поэтому деформации ползучести, измеряемые в эксперименте, невелики. С другой стороны, конструктор не может допустить сколько-нибудь большие деформации ползучести (обычно не свыше 1%), поэтому изучение ползучести представляет интерес только в пределах изменения деформации не свыше 1—2%. При этом изменение площади поперечного сечения невелико и постоянство нагрузки можно отождествлять с постоянством деформации. В старых работах、принимались специальные меры для того, чтобы компенсировать уменьшение площади сечения при растяжении соответствующим уменьшением нагрузки; для этого создавались специальные конструкции нагружающих устройств. В современной испытательной технике эти меры не принимаются.
На рис. 18.1.1 представлена типичная кривая ползучести, т. е. диаграмма зависимости деформации е от времени t при постоянном напряжении о. Здесь с。——мгновенная деформация, зависящая только от приложенного напряжения. Она может быть чисто упругой, а может включать в себя мгновенную пластическую деформацию. Римской цифрой I отмечен первый уча-
Ю. Н. Работнов
сток кривой ползучести, скорость ползучести de/dt постепенно убывает до минимального значения и (о). На участке II скорость ползучести сохраняет постоянное значение de/dt = р(о). На третьем участке скорость начинает возрастать и ползучесть заканчивается обрывом образца.
Приведенная диаграмма представляет собою схему. В действительности картина ползучести может быть самой разнообразной. Может отсутствовать первый участок, после непродолжительного периода ползучести с относительно постоянной скоростью она начинает увеличиваться, таким образом, вся диаграмма состоит из третьего участка. Участок II часто бывает трудно выделить, это может быть просто некоторая область около точки перегиба, отделяющей участки I и III. Наконец, при низком уровне напряжений даже при очень длительных испытаниях не будет достигнута минимальная скорость и не произойдет разрыва образца, вся диаграмма ползучести будет состоять из одного первого участка. Йменно такой результат был получен в опытах Робинсона, продолжавшихся 100 000 часов (около 12 лет).
Иногда кривые ползучести выглядят и более сложным образом, периоды замедления и ускорения чередуются не так, как это показано на идеальной диаграмме рис. 18.1.1. Как правило, такое поведение свидетельствует о фазовых переходах в сплаве. Теория, которая будет излагаться ниже, применима к материалам структурно устойчивым, и в принципе фазовые переходы исключаются из рассмотрения.
Уменьшение скорости деформации на первом участке кривой ползучести определяется эффектом упрочнения; ползучесть сопровождается такими структурными изменениями, которые увеличивают сопротивление материала ползучести. При исчерпании способности материала к упрочнению скорость ползучести становится постоянной, кривая ползучести выходит на второй участок.
Если деформации ползучести велики и, следовательно, изменение площади сечения образца значительно, при постоянной нагрузке напряжение будет возрастать и, следовательно, скорость будет, увеличиваться. Таким образом, на диаграмме появится третий участок. Для некоторых материалов такое чисто геометрическое объяснение появления третьего участка оказывается точным. Однако третьи участки наблюдаются на кривых ползучести жаропрочных материалов, которые разрушаются при очень малом удлинении. Причина этого состоит в том, что ползучесть сопровождается образованием микротрещин и микрополостей на границах крист а л личе ских зерен. В результате эффективная площадь сечения, воспринимающая нагрузку, уменьшается и скорость ползучести увеличивается. С увеличением скорости ползучести увеличивается скорость образования новых микротрещин и роста уже имеющихся; наконец в каком-то месте образца микротрещины сливаются, образуя большую трещину разрушения.
Зависимость от напряжения и температуры
При проектировании изделий, работающих в условиях по
вышенных температур, конструктор встречается с задачами различного характера в зависимости от назначения и условий
эксплуатации изделий. Так, элементы стационарных паровых
турбин рассчитываются на сроки службы порядка десяти и более нет, соответственно напряжения и температуры должны быть не
Рис. 18.2.1Рис. 18.2.1слишком высоки. Сопло реактивного двигателя ракеты подвергается действию весьма высоких температур и больших давлений, но продолжительность работы двигателя составляет несколько минут. Соответственно основные механические модели и расчетные методы в этих двух крайних случаях оказываются неодинаковыми, хотя общие принципы построения теории остаются теми же. Поэто-
Рис. 18.2.1
Рис. 18.2.1
му для начала нам будет удобно руководствоваться следующей довольно условной классификацией областей применения теории ползучести:
Длительная ползучесть ——месяцы и годы.
Ползучесть средней длительности ——часы и дни.
Кратковременная ползучесть — секунды и минуты.
Каждая из этих областей характеризуется определенным диапазоном температур и напряжений, который удобно рассмотреть на диаграмме рис. 18.2.1. Зд^сь по оси абсцисс откладывается температура Т, по оси ординат — напряжение о. В результате
кратковременного испытания на разрыв определяется предел прочности Ов・ Верхняя кривая 1 соответствует зависимости предела прочности от температуры, область, лежащая выше этой кривой и обозначенная буквой Р, есть область мгновенного разрушения. Предел прочности ав зависит от скорости испытания, особенно при высоких температурах, но мы не принимаем во внимание эти эффекты при рассуждениях качественного характера. Штриховая кривая 2 определяет ту границу, ниже которой ползучесть вообще не наблюдается. Эта кривая также довольно условна. Многочисленные попытки определения истинного предела ползучести, т. е. такого напряжения (при данной температуре), ниже которого материал вообще не ползет, не привели ни к каким результатам и в настоящее время оставлены. Под действием постоянного напряжения о образец при данной температуре разорвется по истечении времени 九 Наоборот, задаваясь временем 匕 можно определить напряжение, при котором образец в это время разорвется. Назовем. это напряжение длительной прочностью в. Очевидно, что1 величина длительной прочности за-
висит от ^ и эта зависимость довольно сильная. Вопросы разрушения при ползучести будут рассмотрены детально в гл. 19, пока что мы ограничимся сообщенными краткими сведениями. Кривая 3 представляет собою кривую зависимости длительной прочности от температуры при фиксированном t.
Очевидно, что расчет на ползучесть имеет смысл производить тогда, когда деформация ползучести, накопленная за время t, не слишком мала, например, составляет °省10% от упругой деформации. Ошибка
Рв 10% для инженерных расчетов до
пустима, поэтому будем считать, что если деформация ползучести меньше 10% от упругой, с ползучестью вообще можно не считаться. Кривая 4 соответствует тем значениям напряжений и J亍 температур, при которых деформация
ползучести за время t составляет оп-
Рис. 18.2.2ределенную заданную заранее долю от
упругой деформации, например, 10%, 5% или какая-то иная доля. Заштрихованная область П между кривыми 3 и 4 представляет собою ту область, где должна быть справедлива выбранная теория ползучести, если расчеты производятся на длительность службы, равную t. Очевидно, что конфигурация и размеры области П в сильной степени зависят от времени 力；поэтому, если сравнивать длительную и кратковременную ползучесть, может возникнуть ситуация, подобная изображенной на рис. 18.2.2, когда область П1 соответствует длительной ползучести, область П2 ——кратковременной и эти области не имеют общих точек. Диаграммы типа изображенных на рис. 18.2.1 и 18.2.2 фактически удается построить лишь в редких случаях, обычно оказывается возможным выделить лишь некоторые подобласти, для которых определены константы и функции, фигурирующие в законе ползучести, границы же областей обычно точно неизвестны. Однако схематические представления, отраженные этими диаграммами, бывают полезными для того, чтобы ориентировочно оценить границы применимости того или иного варианта теории.
Что касается фактической зависимости скорости ползучести от напряжения и температуры, заметим, что для практических целей бывает удобно задать эти зависимости в аналитической форме. Разброс экспериментальных данных для различных образцов при испытаниях на ползучесть довольно велик, поэтому различные аналитические аппроксимации зависимости скорости ползучести от напряжения дают практически одинаково хороший результат, при выборе этих аппроксимаций следует руководствоваться также и соображениями удобства применения их при расчетах. Наиболее надежные данные, основанные на обработке
большого экспериментального материала, относятся к зависимости от напряжения минимальной скорости ползучести р(о). Приведем некоторые наиболее употребительные зависимости.
Степенной закон:
(18.2.1)(18.2.1)
(18.2.1)
(18.2.1)
В этой формуле фигурируют три константы еп, оп и п, хотя независимые из них только две. Постоянную 8П, например, можно выбирать по произволу, это некоторая характерная скорость деформации, которую следует фикси{)рвать наиболее удобным способом. При невысоких температурах показатель п может быть очень большим, порядка 〃 = g・12. Тогда постоянная оп играет роль, сходную с ролью предела ползучести, если о < оп, хотя бы не намного, скорость и очень мала, если о превышает оп, скорость и сразу становится очень большой.
Недостаток степенного закона состоит в том, что du/do = 0 при о = 0. Аналогичный факт в нелинейной теории упругости при степенном законе приводит к бесконечно большой скорости распространения волны. В задачах теории ползучести также иногда возникают противоречивые ситуации, устранение которых, впрочем, труда не составляет. Зато при решении задач о ползучести при сложном напряженном состоянии степенной закон имеет ряд серьезных преимуществ, благодаря которым он очень широко применяется в настоящее время.
Степенной закон с пределом ползучести. Положим
г (а) = 8n f -^, о > 0九，
2 丿 ，(18.2.2)
и (и) = 0,и & и；・
Теперь постоянная ап может быть на самом деле названа пределом ползучести. С другой стороны, такое толкование не имеет четкого механического смысла или экспериментального подтверждения. Просто, имея в распоряжении три независимые константы вместо двух констант уравнения (18.2.1), можно описать экспериментальные данные несколько лучше. Показатель п' оказывается значительно меньше, чем показатель п в формуле (18.2.1).
Экспоненциальный закон:
V (и)=施 ехр ("^)・(18.2.3)
Зависимость (18.2.3) появляется во многих физических теориях пол!зучести. Она не пригодна для малых значений о. Действительно, при о = 0 из (18.2.3) следует р(о) = 8е^ 0. Чтобы исправить этот недостаток, экспоненциальный закон часто заменяют
законом гиперболического синуса
u(u) = 2£esh^・ (18.2.4)
Формула (18.2.4) при больших значениях о/Ое дает результаты, не отличающиеся от результатов формулы (18.2.3), при малых же значениях о из (18.2.4) следует
v«2ee—t
т. е. линейная зависимость скорости от напряжения. Область малых напряжений обычно мало интересует конструктора, производящего расчет изделия, поэтому экспоненциальным законом (18.2.3) можно пользоваться, не обращая внимания на формальные противоречия в окрестности точки, где о = 0, или устраняя эти противоречия при помощи того или иного искусственного приема..
Что касается зависимости от температуры, все параметры ап и Ое и Ее представляют собою функции температуры. С известной степенью приближения можно считать, что множители перед функциями от напряжения, например, ^пП в формуле (18.2.1) или Ее в формуле (18.2.3) пропорциональны величине
exp {-爲}
Здесь Uo — некоторая энергия активации, к ——постоянная Больцмана, Т ——абсолютная температура. В небольшом диапазоне изменения температур такая аппроксимация может быть удовлетворительна. Но от температуры зависят и другие константы. Так, величина п в степенном законе (18.2.1) уменьшается с температурой. Дать какие-либо аналитические зависимости для изменения констант уравнений (18.2.1) — (18.2.4) в зависимости от температуры затруднительно, поэто)му в книге Работнова и Милейко, содержащей довольно большой опытный материал, эти зависимости представлены просто графиками. В физической литературе можно встретить зависимости скорости ползучести от напряжения и температуры, претендующие на универсальность и имеющие вид
U 一wи = ехр -^—•
Нужно признать, что формулы подобного рода мало пригодны для описания поведения технических сплавов и даже чистых металлов в области напряжений и температур, интересующей конструктора. Тем более не обоснованы рекомендации по использованию формул подобного типа для экстраполяции данных по ползучести на более длительные сроки.
Кинетические уравнения ползучести
Рассматривая ползучесть как некоторый вид квазивязкого течения металла, мы должны допустить, что в каждый момент скорость ползучести при данном структурном состоянии определяется однозначно действующим напряжением и температурой. Структурное состояние ——это термин, чуждый по существу механике, поэтому применение его в данном контексте должно быть пояснено более детально. Понятие о структурном состоянии связано с теми или иными физическими методами фиксации этого состояния ——металлографическими наблюдениями, рентгеноструктурным анализом, измерением электрической проводимости и т. д. Обычно физические методы дают лишь качественную характеристику структуры, выражающуюся, налример, в словесном описании картины, наблюдаемой на микрофотографии шлифа. Иногда эта характеристика может быть выражена числом, но это число бывает затруднительно ввести в механические определяющие уравнения. В современной физической литературе, относящейся к описанию процессов пластической деформации и особенно ползучести, в качестве структурного параметра, характеризующего, например, степень упрочнения материала, принимается плотность дислокаций. Понятие плотности дислокаций нуждается в некотором пояснении. Линейная дислокация характеризуется совокупностью двух векторов ——направленного вдоль оси дислокации и вектора Бюргерса. Можно заменить приближенно распределение большого числа близко расположенных дискретных дислокаций их непрерывным распределением и определить, таким образом, плотность дислокаций, которая представляет собою тензор. Экспериментальных методов для измерения тензора плотности дислокаций не существует. Однако некоторую относительную оценку можно получить, например, путем подсчета так называемых ямок травления. Когда линия дислокации выходит на поверхность, в окрестности точек выхода имеется концентрация напряжений. При травлении реактивами поверхности кристалла окрестность точки выхода дислокаций растравливается более интенсивно, около этой точки образуется ямка. Таким образом, определяется некоторая скалярная мера плотности дислокаций, которая вводится в определяющие уравнения как структурный параметр. Условность такого приема очевидна.
Здесь мы будем вводить параметры состояния в определяющие уравнения более или менее формальным образом. Иногда мы будем называть их параметрами упрочнения или параметрами повреждения, но будем воздерживаться от более детальной их интерпретации. Связь с физической идентификацией структурных состояний материала и вводимыми нами параметрами можно установить, налример, следующим образом. Предположим, что над образцом из данного материала проводится некоторая про-
грамма механических испытаний Л, в ходе испытаний фиксируются структурные состояния любым физическим методом, например, снимаются микрофотографии шлифов Ль Л2, ..., Ап. У нас нет никаких средств для количественной оценки этих фотографий, но мы ясно различаем их; мы можем утверждать, что фотография Ап+1 отличается от фотографии Ап. Будем записывать это так:
Более того, мы можем утверждать, что фотография Ап+1 отвечает стадии процесса деформирования, следующей за Ап. Введем следующее обозначение:
Пусть теперь над образцом производится испытание по другой программе В и снимается серия микрофотографий &, 52, ..., Вт. Будем называть материал однопараметрическим, если для каждой фотографии Bs можно найти тождественную фотографию ЛА, Bs = Ak, и если из B$+i> В$ следует Ah+l > Лд. Теперь в качестве структурного параметра можно принять любую монотонную функцию q от к, q = q(k).
Приведенные рассуждения отнюдь не означают, что нужно на самом деле нумеровать фотографии, это есть лишь некоторая рациональная основа, позволяющая перекинуть мост между физикой и механикой.
В действительности число структурных параметров, используемых в теории ползучести, невелико.
Теперь естественно записать сделанное в начале параграфа утверждение следующим образом:
力= и(о, Т,仇，92,・・•，击)・ (18.3.1)
Здесь через р мы обозначили деформацию ползучести р = е — е^ S， 02, ..., qn — структурные параметры, которым при желании можно приписывать определенный физический смысл, а можно удовлетвориться указанной выше принципиальной возможностью связи с картиной, регистрируемой физическими методами. К уравнению (18.3.1) следует добавить некоторые кинетические уравнения, описывающие изменение структурных параметров 0s. Это могут быть, например, дифференциальные неинтегрируемые соотношения типа
余=哂(5 Т, Р,力 S, 02, •••,击)・ (18.3.2)
Явная зависимость от времени функции ф/ может отражать наличие некоторых процессов, которые происходят во времени независимо от процесса деформирования. Это может быть выпадение новых фаз, диффузионное движение дислокаций и примесных атомов или что-нибудь другое.
Простейшие теории одномерной ползучести
Теория упрочнения. Простейшее и наиболее, может быть, естественное предположение о характере упрочнения состоит в том, что за меру упрочнения принимается просто величина накопленной деформации ползучести “ = р. Теперь основное определяющее уравнение имеет следующий вид:
р = р(а, Т, р). (18.4.1)
Уравнение (18.4.1) иногда называют уравнением состояния при ползучести, но этот термин в теориях, использующих термодинамику, имеет несколько иной смысл. Существенно подчеркнуть, что параметром упрочнения является именно деформация ползучести р; в ранних работах эта оговорка часто не делалась и за параметр упрочнения принималась полная деформация (иногда за вычетом упругой части). Опыты показывают, что мгновенная пластическая деформация, если она невелика ——порядка 1——2%,—— не оказывает упрочняющего влияния на последующую ползучесть. Это можно объяснить некоторой разницей механизма мгновенной пластической деформации и пластической деформации, происходящей в процессе ползучести. В первом случае, если пластическая деформация невелика, она происходит в результате локализованного скольжения по пачкам плотно расположенных плоскостей скольжения в кристаллических зернах, при этом большая часть объема металла остается недеформированной, а следовательно, неупрочненной. Ползучесть происходит в результате скольжения по атомным плоскостям, распределенным по объему равномерно и на близких расстояниях; величина сдвига в каждой плоскости невелика, но достаточна для создания равномерного упрочнения.
Первые участки кривых ползучести удовлетворительно описываются степенной функцией времени, так что деформация ползучести пропорциональна Г\ В соответствии с этим закон упрочнения можно задать в следующем виде:
Р = L7 (б 件=二^〉 (18-4.2)
В первых опытах Эндрейда (1910 г.) было найдено, что т = 1/3 и, следовательно, а = 2. Этот автор считал показатель т = 1/3 универсальной константой; для подтверждения этого были построены различные физические теории. В действительности величина а для разных материалов непостоянна, она может зависеть от температуры и даже от напряжения. Уравнение (18.4.2) не описывает перехода ко второй фазе. Чтобы объяснить появление второй фазы, следует допустить, что при некоторой величине р способность материала к упрочнению исчерпывается. Для этого в уравнении (18.4.2) функцию пластической деформации р~а
нужно заменить некоторой другой функцией. Так, некоторые авторы принимают
2）卡2）卡Р<РсР》Рс・Р<РсР》Рс・
2）卡
2）卡
Р<Рс
Р》Рс・
Р<Рс
Р》Рс・
Здесь рс — константа. Что касается функции /(о), она может выбираться в том же виде, что функция и (о) в § 18.2; все приведенные там аппроксимации дают в общем одинаково хороший результат.
Теория упрочнения—второй вариант. Вместо того чтобы принимать за меру упрочнения величину деформации ползучести, можно определить параметр упрочнения q как работу, рассеянную вследствие ползучести
q = odp, р = и(о, Т, 0)・q = odp, р = и(о, Т, 0)・(18.4.3)(18.4.3)
q = odp, р = и(о, Т, 0)・
q = odp, р = и(о, Т, 0)・
(18.4.3)
(18.4.3)
Рис. 18.4.1Рис. 18.4.1
Рис. 18.4.1
Рис. 18.4.1
Результаты предсказаний этого второго варианта теории упрочнения немного отличаются от результатов первой теории. Чтобы
выяснить характер отличия, обратимся к опытам на ползучесть при ступенчатом изменении нагрузки. На рис. 18.4.1 представлены две кривые ползучести, соответствующие напряжениям 仇 и 。2, 。2 > Oi・ Для ясности отложена только деформация ползучести р. Представим себе теперь следующий опыт. Сначала было приложено напряжение 。力 ползучесть происходила до момента времени 厶 или до точки 4 на нижней кривой. При t = ti на
пряжение внезапно увеличивается до о2. Согласно уравнению (18.4.1) мерой упрочнения служит деформация 卩匕 поэтому на
кривой ползучести, соответствующей напряжению о2, нужно найти точку В, для которой деформация ползучести р = р^ и просто передвинуть часть кривой ползучести вправо параллельно себе, чтобы совместить точку В с точкой А. Согласно (18.4.3) при о = const мерой упрочнения служит произведение ор. Поэтому на кривой ползучести нужно найти такую точку С, для которой произведение 02P2 = О1Р1, и переместить параллельно себе часть кривой 2, находящуюся выше точки С. По второму варианту
теории кривая ползучести, соответствующая измененной нагрузке, проходит несколько выше. Опытные данные в общем достаточно хорошо подтверждают обычную теорию, соответствующую уравнению (18.4.1), хотя предсказания уравнения (18.4.3) может быть несколько лучше. Столь осторожная оценка связана с тем,
что разница в результатах, получаемых с помощью двух различных 'уравнений, сравнительно невелика, а экспериментальные данное по ползучести обнаруживают разброс.
Теория течения. Принимая в качестве параметра упрочнения произвольную функцию времени или просто время, мы получим уравнение ползучести в следующем виде:
户=d(o, Т,力. (18.4.4)
Такое чрезвычайно упрощенное предположение не выдерживает критики просто в логическом отношении, что касается экспериментальной проверки, в некоторых случаях результаты оказываются удовлетворительными, в других ——грубо неверными. Обращаясь к рассмотренному выше случаю ползучести при ступенчатом изменении нагрузки, заметим, что в точку Л необходимо сместить участок кривой 2, продолжающийся вправо от точки О, соответствующей моменту времени &. При этом скорость ползучести после увеличения нагрузки оказывается резко заниженной по сравнению с вышеизложенными теориями и с данными эксперимента.
Особенно простой вид принимает уравнение (18.4.4) в том случае, когда его можно записать в следующем виде:
j = u(5 Т)т⑴.
Здесь функция т(^) — экспериментально определяемая функция времени. Принимая за(кон ползучести в таком виде, при постоянном напряжении и постоянной температуре мы находим
р = е — & = d(o, 7)т«)・
Последнее уравнение устанавливает подобие кривых ползучести. В ограниченном диапазоне напряжений такое подобие приближенно соблюдается, поэтому для кривых ползучести при постоянном напряжении можно получить вполне удовлетворительную аппроксимацию. Мы перепишем уравнение (18.4.4) при условии подобия кривых ползучести следующим образом:
黑=。(0,7)・ (18.4.5)
Но это есть уравнение нелинейно-вязкого течения жидкости при том условии, что скорость определяется по отношению к видоизмененному времени. Такая простая трактовка делает эту теорию достаточно удобной для практических приложений, хотя явное введение времени в определяющие уравнения лишено механического смысла и приводит к легко обнаруживаемым лроти- воречиям.
Теория старения и расчет по изохронным кривым
Сделав первый шаг по пути отступления от механического здравого смысла и сформулировав теорию течения с помощью (18.4.4) или (18.4.5), мы можем сделать следующий шаг, просто предположив, что е и о связаны между собою функциональной зависимостью, содержащей явно время
е = /(о,力 (18.5.1)
Уравнение (18.5.1) записано для изотермических условий, температуру можно ввести в правую часть в качестве третьего аргумента. Единственное достоинство столь примитивной теории состоит в ее простоте, но это достоинство нельзя сбрасывать со счета. Кривые ползучести многих конструкционных материалов оказываются весьма причудливыми, особенно если процесс ползучести сопровождается фазовыми переходами. Описать эти кривые при помощи какой-либо логически безупречной теории, например теории упрочнения, в том или ином варианте было бы чрезвычайно сложно. С другой стороны, гипотеза упрочнения, принимающая материал однопараметрическим и меняющим структурное состояние (но не фазовый состав) только вследствие деформации, к таким сложным материалам просто непригодна; для них следует строить кинетическое уравнение по типу (18.3.1) и (18.3.2). Уравнение (18.5.1) позволяет воспроизвести опытные кривые пластического деформирования и последующей ползучести во всем их своеобразии, и погрешность при расчете, связанная с несовершенством исходной точки зрения, может быть часто компенсирована с избытком тем выигрышем, который получается за счет точного воспроизведения первых опытных данных.
Для использования формулы (18.5.1) бывает удобно перестраивать первичные кривые ползучести в виде так называемых изохронных кривых. Серия кривых ползучести при разных напряжениях о представляет собою графическое изображение функциональной зависимости между тремя переменными с, е и 方. При этом ей% откладываются по осям координат, величины о служат пометками кривых. Очевидно, что этот график можно перестроить, можно принять за оси координат ось е и ось о, тогда значения времени t будут пометками изохронных кривых. Схема такой перестройки показана на рис. 18.5.1 и вряд ли нуждается в пояснении.
При обработке довольно большого опытного материала было обнаружено, что для многих материалов изохронные кривые ползучести подобны и уравнение изохронных кривых может быть представлено следующим образом:
Рис. 18.5.1Рис. 18.5.1
Рис. 18.5.1
Рис. 18.5.1
Параметры а и В определяются из обработки кривых ползучести, вели如на § для металлов и сплавов близка к 0,3. Уравнение
(18.5.3)(18.5.3)о = ф(в)
(18.5.3)
(18.5.3)
определяет мгновенную кривую деформирования, которая в действительном эксперименте получена быть не может, но может быть восстановлена из серии изохронных кривых ползучести. Опыты
показывают, что мгновенная кривая, определяемая уравнением (18.5.3), достаточно близка к кривой быстрого деформирования (за время порядка 1—2 секунды). По
этому вся серия кривых ползучести для разных о может быть восстановлена в результате испытания на кратковременное растяжение и испытания на ползучесть при одном только уровне •напряжений, что достаточно для нахождения параметров а и §, если функция (р(в) известна.
Заметим, что соотношение (18.5.2) вытекает из нелинейно-наследственной теории, описанной в § 17.12, а именно, из уравнения
屮(е) = (1 + К*)о. (18.5.4)
Частный вид зависимости (18.5.2) получается при условии, что оператор К* имеет ядро Абеля, К — (t — т)р-1. Уравнение (18.5.4), по-видимому, достаточно хорошо описывает наблюдаемые эффек-
ты и в этом смысле может конкурировать с уравнением теории упрочнения. Более того, уравнение наследственного типа описывает некоторые вторичные эффекты, которые гипотеза упрочнения во внимание не принимает, например, возврат после снятия нагрузки, который наблюдается и у металлов, хотя далеко не в такой степени, как у полимеров.
Релаксация напряжений
Если элемент, в котором может происходить ползучесть, связан с упругими элементами, которые стесняют его (возможные деформации, происходит перераспределение напряжений в элементах системы. Собственно для решения задач о перераспределении напряжений нужны теории ползучести, описанные в § 18.4. Если 'перемещения точек системы удерживаются постоянными, то реакции закреплений будут со временем изменяться; этот процесс называется релаксацией реакций. Релаксацией напряжений называется процесс падения со временем напряжения в элемен-
те, длина которого поддерживается постоянной. Простейшая задача релаксационного типа соответствует схеме, представленной на рис. 18.6.1. Стержень единичной длины с единичной площадью поперечного сечения соединен последовательно с дружиной, жесткость которой есть с. В начальный момент стержню
Рис. 18.6.1
сообщено удлинение &, при этом напряжение в нем равно а0. Удлинение пружины соответственно равно о0/с. В дальнейшем суммарная деформация, т. е. сумма удлинений стержня и пружины, поддерживается постоянной, следовательно, выполняется. условие
е + —= «о + — const.
Если материал стержня ползет, то за счет удлинения стержня укорачивается пружина, соответственно напряжение о уменьшается со временем. Измеряя удлинение упругой пружины, можно определить закон релаксации или функцию о(力).
Когда жесткость пружины мала, удлинение стержня практически не влияет на величину усилия в пружине и схема испытания мало отличается от обычной схемы испытания на ползучесть. Другой крайний случай ——это случай бесконечно жесткой пружины, когда с = 8 и следовательно,
е = const. (18.6.1)
Будем называть этот крайний случай чистой релаксацией. Опыт на чистую релаксацию в принципе неосуществим, в действитель- еости можно говорить лишь о некотором приближенном (воспроизведении соответствующих условий. Действительно, при с = оо нельзя измерять напряжение путем измерения деформации пружины, но можно сделать эту жесткость чрезвычайно большой, настолько большой, чтобы можно было, с одной стороны, пренебречь незначительным нарушением условия (18.6.1) и, с другой, иметь возможность измерять очень малые деформации упругого элемента с необходимой точностью.
Другая возможность и чаще применяемая на практике схема эксперимента состоит в том, что образец ползет при постоянной нагрузке. Установленный на нем прибор фиксирует отклонение величины деформации от первоначально заданной и упра)вляет действием сервомеханизма, который уменьшает нагрузку так, чтобы упругое сокращение восстановило первоначальную деформацию образца. Любой прибор имеет определенный порог чув-
ств^гельности, таким образом, опыт на релаксацию заменяется опытом на ползучесть при ступенчато меняющейся нагрузке с обеспечением постоянства деформации лишь в отдельные дискретные моменты.
Испытания на релаксацию по описанным причинам сложны, дороги и не всегда надежны. Механические теории ползучести позволяют рассчитывать процесс релаксации по данным испытаний на ползучесть. Приведем соответствующий анализ, используя разные теории.
Теория упрочнения. Запишем уравнение ползучести (18.4.2) при 'Степенной зависимости /(о) следующим образом:
户丁 = оп・(18.6.2)
Здесь безразмерное напряжение о отнесено к модулю упругости Е, поэтому
р = е — о.
Масштаб времени изменен таким образом, что множитель в правой части перед 0n сделан равным единице. Полагая е = const = =Со, находим р = Gq — g, р = —о. Внося эти значения в (18.6.2), разделяя переменные и интегрируя, найдем
1
『呜宀+a 旦萨心(18.6.3)
Формула (18.6.3) определяет время релаксации ют напряжения а0 до напряжения о. Очевидно, что и при других видах функции /(о) задача решается квадратурами, которые ни при одном из принятых законов ползучести не выражаются через элементарные функции. При втором варианте теории упрочнения, чтобы получить тот же закон ползучести при постоянном напряжении, необходимо заменить уравнение (18.6.2) следующим:
»qa = G宀.(18.6.4)
Здесь в случае релаксации
q = j о dp = - J о 而=；(加一 о2).
Внося в (18.6.4) и выполняя интегрирование, получаем
1
力=oL+1+“ j 专茎関.(18.6.5)
0/00,
Подынтегральное выражение в формуле (18.6.5) отличается от
соответствующего выражения в формуле (18.6.3) множителем
При С V 1 и а > 1 эта величина больше единицы, поэтому формула (18.6.5) предсказывает более медленный ход кривой релаксации.
Теория наследственности. Применяя уравнение (18.5.4) к случаю релаксации, когда е = const и, следовательно, ф =(р0, получаем
° = 1^N =(1T)6・ (1866)
Здесь, как и в гл. 17, Г* — резольвентный оператор по отношению к оператору К*. Проверка уравнения (18.6.6) для металлов, по-видимому, не делалась, а для стеклопластиков она дает довольно хороший результат.
Не составляет труда рассчитать ход кривой релаксации на основе теории течения или теории старения. По существу эти теории совершенно не шриопособлены 'для описания ползучести при переменных нагрузках, а именно так и следует рассматривать процесс релаксации. Тем более может показаться удивительным, что лредсказания этих малоудовлетворительных теорий дают не слишком большую иогрешность. Нужно заметить, что названные теории для своего применения не требуют каких-либо аналитических аппроксимаций, тогда как уравнения типа (18.6.2) удовлетворительно описывают лишь первые участки кривых ползучести структурно устойчивых сплавов.
У становившаяся ползучесть при сложном напряженном состоянии
Под установившейся ползучестью мы будем понимать такой процесс, когда скорость накопления необратимой деформации представляет собою функцию только напряжения и температуры, поэтому при постоянных напряжении и температуре скорость ползучести постоянна. Полагая
е = е0 + р, мы будем считать, что
Р = u(d Т)・
Что касается величины & мгновенной деформации, по предложению Удквиста в нее можно включать также дополнительную деформацию ползучести, накопленную на первом неустановив- шемся участке, как это показано на рис. 18.7.1.
\
(18.7.1)(18.7.1)Следует принять, например, что
(18.7.1)
(18.7.1)
% — "^ h g(Omax)・
Здесь Отах — наибольшее значение напряжения, достигнутое в процессе нагружения. Пользование формулой (18.7.1) можно пояснить следующим образом. Предположим, что приложенное напряжение меняется в соответствии с графиком рис. 18.7.2. На участке ОА напряжение возрастает, величина деформации g(o) определяется в каждый момент действующим напряжением о. После точки 4 напряжение сначала убывает, потом начинает воарастать. Пока о W о&, величина пластической (или условно пластической) деформации остается постоянной, равной g(o&)・ После точки 民 когда становится о > оА, (Пластическая деформация ino-прежнему будет определяться действующим напряжением о.
Уравнения установившейся ползучести достаточно хороша отражают действительное поведение материала в двух случаях:
Процессы большой длительности {десятки и сотни тысяч часов) при умеренных напряжениях и температурах. На кривых ползучести вторые участки весьма протяженны и можно прини^ мать во 1внимание только их.
Кратковременная ползучесть (секунды и минуты) при высоких температурах и напряжениях. В этих условиях упрочнение не происходит, ползучесть начинается с постоянной скоростью, которая потом начинает увеличиваться вследствие тре- щинообразования. Описание соответствующего механизма будет дано в гл. 19, трактующей вопросы разрушения.
Для произвольного напряженного состояния мы сделаем еще один шаг по пути упрощения теории и будем пренебрегать мгновенной деформацией, как упругой, так и пластической. Полагая Ри = е仃,запишем закон течения следующим образом:
eij =d行(0机)•
Единственное условие, налагаемое на функции и“, состоит в том, 41 Ю. Н. Работнов
чтобы мощность диссипации была положительной
%0仃 > 0.
Обычно предполагается, что зависимость скоростей ползучести от напряжений потенциального типа, т. е. существует потенциал скоростей ползучести ①(。订)такой, что
勿尸栗•(18.7.2)
Отсюда преобразованием Лежандра получаются обратные соотношения
о万=U =—①.(18：7.3)
Существование потенциалов ① и U, строго говоря, не является следствием каких-либо общих принципов механики или термодинамики. Некоторое обоснование принятой гипотезы может быть сделано в результате применения принципа типа Онзагера или Циглера в термодинамике необратимых (процессов. С другой стороны, можно соответствующим образом переформулировать постулат Друкера, чтобы получить требуемую потенциальную зависимость. Здесь мы не будем развивать ни ту, ни другую точку зрения. Соотношения вида (18.7.2) и (18.7.3) содержат в себе достаточно широкие возможности для воспроизведения экспериментальных данных, с одной стороны, с другой ——обладают серьезными аналитическими преимуществами. Если заменить в (18.7.2) и (18.7.3) скорости деформации через деформации, мы получим соотношения нелинейной теории упругости или теории пластичности деформационного типа. Для этих теорий справедливы известные вариационные принципы, которые просто перефразируются на случай ползучести. Методы решения задач: деформационной теории пластичности и теории установившейся ползучести совершенно одинаковы. Именно поэтому мы не приводим каких-либо примеров решения задач по деформационной теории пластичности, имея в виду изложить некоторые простейшие задачи здесь, применительно к случаю ползучести.
Необходимо сделать, однако, одну оговорку. Принимать скорость деформации ползучести равной производной от самой деформации можно только, когда деформации малы. В противном случае нужно вводить скорости деформации &仃 каким-либо иным способом. Здесь мы не будем рассматривать вопрос о ползучести при больших деформациях и не будем пытаться построить соот- ветствуюхцие уравнения.
Что касается выбора структуры зависимости, например, потенциала Ф от компонент тензора напряжений, естественно предположить, что потенциал зависит от некоторой однородной функции компонент тензора 。仃.Эта однородная функция s(o订)
без нарушения общности может быть выбрана как функция первой степени, так что
s (入 0订)=Xs(Ojj) •
Полагая ①，(s)= u(s), перепишем уравнения (18.7.2) следующим образом:
包.=八9誨・(18.7.4)
Частные производные ds/d^a представляют собой однородные функции нулевой степени от。仃.Это значит, что шесть частных производных зависят не от шести аргументов, а от пяти, например от отношений компонент 。仃 к одной из них. Отсюда следует, что, исключая эти отношения, мы найдем тождественное соотношение между 0s/0g小 которое всегда можно записать следующим образом:
40(岱75)
Полученное тождественное соотношение необходимым образом однородно относительно своих аргументов, поэтому функция может быть принята однородной функцией первой степени.
Применяя оператор со к обеим частям соотношений (18.7.4) и учитывая наложенное условие однородности, получим
со (%) = и = u(s)・(18.7.6)
Величина s представляет собою приведенное напряжение, величина V ——приведенную скорость деформации. Уравнение (18.7.6) определяет связь между и и s совершенно так же, как при растяжении, когда устанавливается связь между скоростью деформации 8 и напряжением о:
е = и(о)・
Бывает удобно олределять приведенное напряжение s так, чтобы при простом растяжении было s = о, и функцию v(s) так же следует определять из опыта на ползучесть при растяжении. Тогда приведенная скорость и = со(е^) автоматически обратится в скорость деформации растяжения. Умножая (18.7.4) на о仃， найдем мощность диссипации
D = Oij8ij = sv (s).
При этом учтено, что по теореме Эйлера 。仃@$/@0订=s. Определяя потенциал напряжений по формуле (18.7.3), найдем
U = s ①'(s)— Ф (s).
Вследствие (18.7.6) этот потенциал выражается через и и, следо- воречиям.
0万=S切誥・(1877)
Частные формы закона ползучести
Рассмотрим некоторые наиболее применяемые частные формы, которые принимают зависимости предыдущего параграфа.
Приведенное напряжение s пропорционально октаэдрическому касательному напряжению. Положим
s?=笳=-у- 士口 = -|-{2口g~Sij. (18.8.1)
Определенная таким образом величина s = а0, называемая интенсивностью напряжений, связана с т0 следующим образом:
_ Т/Г
t0 — —3…00.
Легко проверить, что при простом растяжении напряжением а 5 = а. Дифференцируя (18.8.1) по а^, получим
(1&8.2)
Возводя в квадрат и свертывая, находим, что
2 Js Js —.
Итак, и =①(啕=(等 ^ifii^12-(18.8.3)
При простом растяжении несжимаемого материала 6ц = 8, 822 = =£зз = —%£, %• = 0 (%，/) и из формулы (18.8.3) следует и = е. Величину и, определяемую формулой (18.8.3), называют интенсивностью скоростей деформации.
Приведенное напряжение пропорционально наибольшему касательному напряжению. Относя тензор напряжений к главным осям, положим
s 01 — Оз (б > 5 >。3)•(18.8.4)
Производные ds/d^t = 1, ^/5a3 = — 1, они связаны тождественным соотношением
1 ( ds 8s \ —
Таким образом,
” = ^-(Е] — %).(18.8.5)
При этом скорость ползучести 82 в направлении промежуточного по величине главного напряжения а2 равна нулю. Особо следует рассмотреть тот случай, когда два главных напряжения равны
между собою. Пусть, напригмер, Qi = а2 > Оз・ Приложим к телу всестороннее сжатие интенсивностью р =色=。2・ Поскольку ло- тенциал ползучести принятг независимым от гидростатической составляющей, распределение скоростей ползучести от этого не изменяется. Но теперь напряжения в направлениях 1 и 2 обратятся в нуль, остается только сжимающее напряжение ——р + Оз в третьем главном направлении. Считая функцию u(s) нечетной, т. е. допуская, что поведенше материала при растяжении и сжатии одинаково, получим
£з =: —и(р — Из).(18.8.6)
Что касается скоростей в двух других направлениях, их величины могут быть произволь.ными, они связаны только условием несжимаемости со скоростью 83. Следует напомнить, что совершенно аналогичное положение было в теории идеальной пластичности при условии лластичшости Треска ——Сен-Венана. Условие равенства двух главных на.пряжений слишком частно, за него приходится расплачиваться допущением известной кинематической свободы.
Несколько более сложны е зависимости, например, учитывающие роль не только второгею инварианта девиатора напряжений, но также третьего инварианта, иногда применяются для интерпретации опытных данных, ,для решения задач они оказываются слишком сложными. Так, можно принять
S = %g@, где(18.8.7)
Такой выбор параметра g ошределяется очень простым выражением его через угол подобия: девиатора ® (см. § 7.7), а именно,
£ = cos 3 仇
Представим главные напряжения по формулам (7.7.9):
2
О] = о # 丁 60 cos О,
Найдем, что скорости дефо|рмации по формулам (18.7.4) выразятся таким образом:
% = u(s) (geos 6 +3g‘sin38sin8),・・・(18.8.8)
Следующие формулы получаются заменой 仆 на 8 — 2л/3 и 9 — 4冗/3 соответственно. Прои этом аргумент функции g, а именно J = cos36, не меняется. Вывод соотношений (18.8.8) очевиден в принципе, но требует проведения выкладок, которые мы здесь опускаем.
Труба под действием внутреннего давления
Решение этой задачи особенно просто в том случае, когда труба имеет донья и внутреннее давление вызывает осевую растягивающую силу. В этом случае деформация оказывается плоской, т. е. скорость деформации в направлении оси трубы ег = 0. Сохраним обозначения § 8.12. Предположим заранее, что ez = 0. Как мы увидим, это упрощающее предположение несущественно. Очевидно, что скорости деформации будут выражаться через радиальную скорость ползучести и по тем же формулам, по которым в § 8.12 были выражены деформации через радиальное перемещение, а именно, &「= dv/dr^ £屮=v/r. Из условия несжимаемости
,V , dv с
£(р + % = 丁+歹=0・
Отсюда, интегрируя, находим и = УЗс/(2г) и, следовательно, £ 一 廿m J е —廿亍e
Здесь с -^неопределенная пока постоянная интегрирования, множитель УЗ/2 введен для удобства. Определим по формуле (18.8.3) величину % а именно, и = с/产.Следует заметить, что если то для достаточно длинной трубы эта величина постоянна, ввести в условие несжимаемости еще одно постоянное слагаемое и проинтегрировать получившееся уравнение не составило бы никакого труда. Вследствие условия ez = 0 должно быть в соответствии с законом ползучести (18.7.4) при условии (18.8.1) а = =‘厶⑸ + о(р) и по формуле (18.8.3)
s = "^3—缶—oy) = s (贵｝(18.9.1)
где s(p)— известная функция, определяющая закон ползучести. Уравнение равновесия в цилиндрических координатах имеет вид
Внося сюда (18.9.1), получим
Интегрируем это уравнение при граничном условии d(a) = —q：
Теперь легко находим о<₽ и 仇:
(18.9.3)(18.9.3)1 С s du ,2, ч
(18.9.3)
(18.9.3)
5Т —F+h(%
(18.9.4)(18.9.4)
(18.9.4)
(18.9.4)
Величина и зависит от неопределенной пока константы с, которую можно найти из второго граничного условия d(b) = 0・ Это условие приводит к следующему уравнению:
一9一合］屮=0. (18.9.5)
При любом задании функции s(u) квадратуры могут быть выполнены хотя бы численно. Таким образом, формулы (18.9.2)— (18.9.5) полностью решают задачу. Остается проверить утверждение о том, что состояние плоской деформации осуществляется в трубе с доньями. Вычислим осевую силу
p = 2n I仇гd厂=——неp = 2n I仇гd厂=——неdv Ozf.dv Ozf.
p = 2n I仇гd厂=——не
p = 2n I仇гd厂=——не
dv Ozf.
dv Ozf.
Внесем сюда выражение (18.9.4) для а. Заметим, что при интегрировании первого члена, равного ——g, нет необходимости переходить к леременной интегрирования 么 этот член дает составляющую осевой силы, равную ——nq(b2 ——а?). Проинтегрируем оставшуюся часть
*Ь 吗叱
叱W%__
% va% b % и% с
Таким образом,
Р = — лд(62 —废)+ л^Ь2 = л^а2, что и доказывает сделанное ранее предположение.
Заметим, что приведенное элементарное решение путем простой перефразировки переносится на случай расчета пластической трубы, просто функция s определяет в этом случае не ско-
рость ползучести, а величину напряжения, соответствующую деформации V. Уравнение (18.9.5) позволяет определить константу с, а следовательно, и радиальное перемещение.
При степенном законе ползучести решение выписывается
в замкнутом виде; полагая в уравнениях (18.9.2) —(18.9.5)
получим в формулы:получим в формулы:(18.9.6)(18.9.6)0 =?5 俨/九-10 =?5 俨/九-1Р = Ь/q.Р = Ь/q.результате элементарных вычислений следующие
получим в формулы:
получим в формулы:
(18.9.6)
(18.9.6)
0 =?
5 俨/九-1
0 =?
5 俨/九-1
Р = Ь/q.
Р = Ь/q.
В задачах теории пластичности стеленной закон редко дает удовлетворительное описание экспериментальных кривых. Как правило, приходится решать упругопластическую задачу; в рамках деформационной теории пластичности нет разницы между формулами, описывающими упругое и пластическое состояния, но функция s(u) оказывается линейной для достаточно малых значений и и нелинейной после достижения предела текучести. Это обстоятельство, естественно, усложняет решение задачи, хотя трудности не носят принципиального характера. Более серьезным моментом служит то, что предположение о несжимаемости материала для упругопластических тел, строго говоря, не выполняется. Имеются многочисленные решения, учитывающие эффект сжимаемости, нам не кажется, что получаемое при этом уточнение настолько серьезно, чтобы была необходимость излагать соответствующие результаты.
Ползучесть вращающегося диска
Задача о расчете на ползучесть вращающегося диска паровой турбины была лервой серьезной технической задачей, которая вызвала необходимость разработки теории ползучести, что было отмечено в начале этой главы. Эта задача не стала менее актуальной и в наше время, когда газовая турбина служит необходимым элементом турбовинтового и турбореактивного самолета. Повышение рабочих температур влечет за собою разработку новых жаропрочных сплавов, для которых задачи расчета на прочность ставятся и решаются примерно теми же методами, что и для паровых турбин.
Число публикаций, посвященных методам расчета вращающихся дисков, исключительно велико. В то время, когда конструктор не располагал электронно-вычислительной техникой,
усилия специалистов были направлены на разработку методов последовательных приближений, пригодных и достаточно удобных для ручного счета. В реальном диске всегда существует неоднородное температурное поле, поэтому параметры, фигурирующие в принятом законе ползучести, представляют собою функции радиуса. Диск имеет переменную толщину 无(г), при этом из технологических и конструктивных соображений профиль делается таким, что функция 无(г) не допускает простого аналитического задания вЪ всей области ее определения.
Не останавливаясь на описании метода последовательных приближений, которое следует искать в специальной литературе, поясним его идею. Из дифференциального уравнения равновесия, составленного с учетом переменности толщины, радиальное напряжение аг определяется как некоторый функционал от аф:
Иг = Л(оф).
После этого из уравнения совместности деформаций и закона ползучести определяется аф как функционал от аг и 仃中,содержащий неизбежным образом константу С:
备=歹2(Ог,备，С)・
К решению полученной системы уравнений применяется метод последовательных приближений, за исходное приближение выбирается некоторое заданное распределение напряжения аф. Если функционал 歹 1 определяется единственным образом, то функционал F2 может быть представлен в различных формах, от выбора вида этого функционала зависит быстрота сходимости процесса последовательных приближений. Нужно отметить, что в некоторых вариантах этот метод дает поразительно быструю сходимость.
Здесь мы изложим идею метода прямого численного интегрирования, который при современных вычислительных средствах реализуется достаточно быстро и просто. В диске возникает плоское напряженное состояние, характеризуемое главным^ напряжениями <7Ф и о- Введем вместо них две другие переменные, а именно, 5 = а0 и угол 0 так, что
% ssin(6 —专｝ аф = 7—y^sin(6 + 哈｝ (18.10.1)
Внося в выражение для а0
О。= О「+ О(р — О^гО'ф,
мы получим тождество s = а0. Вычисляя компоненты скорости деформации по формулам (18.8.2), найдем
4 =1- и cos(6 Н—^-j, е(р = -|- и cos(8^~)・ (18.10.2)
При а0 = const формулы (18.10.1) определяют в плоскости аг, аф
эллипс, каждая точка которого может быть помечена определенным значением 0. На рис. 18.10.1 показана часть этого эллипса с пометками значений 0 для некоторых точек. Эта схема бывает полезной при установлении области изменения угла 0. Диффе
ренциальное уравнение равновесия в предположении постоянства
распределенияраспределенияРис. 18.10.1Рис. 18.10.1напряжений по толщине получается так же, как в § 8.12, с той разницей, что вместо величин а в уравнения входят величины ha. Кроме того, добавляются силы инерции. В результате уравнение получается следующим:
распределения
распределения
Рис. 18.10.1
Рис. 18.10.1
备仅о) + h 斗 г生 + pa^hr = 0.
Примем за независимую переменную величину 之=1п£ = 1пЕ・
Здесь через Ь обозначен наружный радиус диска. Вместо толщины h введем безразмерную функцию
] 无
In —— •
练
Здесь h0 ——произвольная константа, имеющая размерность длины, некоторая характерная толщина диска. Внесем выражения (18.10.1) в уравнение равновесия, заменим дифференцирование по г дифференцированием по g и введем переменную 刀 вместо h. После некоторых преобразований получим следующее уравнение:
翁 cosR — m) + 信 + 閉 sin(8 一书— cos8 +
+ тп 上圭 exp (2之一屮)=0,屮= 加=咚色(18.10.3)
(о*— произвольная константа). Поскольку &$ = u/r, er = dv/dr^ скорости “ и еф удовлетворяют следующему уравнению сов
местности:местности:曲 <р , 5 % 万+-曲 <р , 5 % 万+-=0・=0・
местности:
местности:
曲 <р , 5 % 万+-
曲 <р , 5 % 万+-
=0・
=0・
Положим z=In (и/%), где е* — произвольная константа, имеющая размерность скорости деформации. Внося в уравнения совместности выражения (18.10.2) и учитывая введенное обозначение, получим
受 sin 卜一书一崇 cos(6 一 * 一 /3 cos 8 = 0・(18.10.4)
Система уравнений (18.10.3) и (18.10.4) достаточно проста для ее численного решения. Неудобство состоит в том, что гранич-
ные условия поставлены на внутреннем радиусе г = 〃 и наружном радиусе г = Ь, поэтому приходится применять метод прогонки, задаваться вторым граничным условием при г = 〃, например, и повторять расчет до тех пор, пока не окажется выполненным условие при г = Ь. Для расчетов подобного рода существуют стандартные программы. Подобные методы, основанные на представлении напряжений и перемещений формулами типа (18.10.1) и (18.10.2), применялись для задач пластичности и ползучести Соколовским и Малининым.
У становившаяся ползучесть пластин
Принимая для пластины гипотезу нормальных элементов Кирхгофа, положенную в основу технической теории изгиба упругих лластин (см. § 12.4), мы представим поле скоростей деформаций в пластине следующим образом:
£aв = £?В 一 zх耶.
Здесь £^в ——скорости деформации срединной поверхности, ха₽ —— скорости изменения кривизны, которые связаны с прогибом ”(％а) следующим образом:
ха₽ =应，аВ・
Если закон ползучести для материала известен, то известен потенциал напряжений U(8а₽), так что напряжения выражаются следующим образом:
Вследствие принятого выражения для еа₽ функцию U можно рассматривать как функцию £?卩 и ха₽, содержащую z как параметр. При этом, очевидно,
аизи =1_ ди°%0琥 вzаизи =1_ ди°%0琥 вz(18.11.1)(18.11.1)
аизи =1_ ди
°%0琥 вz
аизи =1_ ди
°%0琥 вz
(18.11.1)
(18.11.1)
Теперь мы можем написать
ди
Проинтегрируем обе части этого равенства по z от ——h до +无. В левой части получится усилие Тар, которое выражается следующим образом:
ЗдесьЗдесьU* = j U (耽В — ZYaj dz.U* = j U (耽В — ZYaj dz.(18.11.3)(18.11.3)
Здесь
Здесь
U* = j U (耽В — ZYaj dz.
U* = j U (耽В — ZYaj dz.
(18.11.3)
(18.11.3)
Совершенно аналогичным образом, вводя изгибающие моменты по формулам
Л/«р = J z(Jap dz一л
и используя соотношение (18.11.1), получим
"а产需•(18-11.4)
Очевидно, что, применяя преобразование Лежандра, можно построить потенциал скоростей деформации
①(Т^в，Мар) — Т^ц,^^ + М如乂в — U такой, что
= YaB = ^^-・(18.11.5)
ар。/以 оф
Фактическое вычисление потенциала U* по формуле (18.11.3) встречает затруднения, получить явное его выражение не удается. Обычный путь, по которому идут разные авторы в тех случаях, когда и усилия Т^в и моменты 7ИаР играют одинаковую роль и ни теми, ни другими пренебрегать нельзя, состоит в той или иной аппроксимации потенциала (обычно потенциала скоростей Ф) с помощью некоторого подходящего выражения, например квадратичной формы относительно ТаВ И Л/аВ・ Если Тар = О или #ар = 0, то потенциал легко вычисляется. В первом случае получается обычный случай плоского напряженного состояния; мы рассмотрим только случай изгиба. Если Еав = —2хар, то u = zk вследствие однородности, ” представляет собою выражение, образованное из компонент тензора хаР точно таким же способом, как и было образовано из компонент тензора 8а₽. Потенциал моментов будет теперь определяться следующей формулой:
hk
u*佑)=年］u(三)庞.(18.11.6)
о
При этом считалось, что ползучесть материала при растяжении и сжатии описывается одинаковым законом, поэтому U(g)—четная функция своего аргумента. Теперь
(18.11.7)
Функция к есть однородная функция первой степени, следова-
тельно, 8〃/8кав связаны тождественным соотношением и существует такой инвариант первой степени от компонент J/aP, 7n(J/aP), что
К邓П*⑵)謊・(18-11-8)
Величины тп и А: связаны однозначной зависимостью, которая может быть установлена, например, из опыта на цилиндрический изгиб.
Если принять критерий 1 § 18.8, то
济=Ml = М；1 + М；2 — м 11M22 + 4" (М^ + 〃£) (18.11.9)
и соответственно/=*=等и соответственно/=*=等Хи + %22 + 乂11乂22 + 等(若2 + X21)j- (18.11.10)Хи + %22 + 乂11乂22 + 等(若2 + X21)j- (18.11.10)Формулы, выражающие скорости изменения кривизн через моменты, будут следующие:Формулы, выражающие скорости изменения кривизн через моменты, будут следующие:x12 =x12 =(18.11.11)(18.11.11)
и соответственно
/=*=等
и соответственно
/=*=等
Хи + %22 + 乂11乂22 + 等(若2 + X21)j- (18.11.10)
Хи + %22 + 乂11乂22 + 等(若2 + X21)j- (18.11.10)
Формулы, выражающие скорости изменения кривизн через моменты, будут следующие:
Формулы, выражающие скорости изменения кривизн через моменты, будут следующие:
x12 =
x12 =
(18.11.11)
(18.11.11)
礬+^^ + m = 0.礬+^^ + m = 0.Точные решения, полученные в результате численного интегрирования, удается найти только для круглых симметрично загруженных пластинок. Умножая уравнения равновесия в цилиндрических координатах на z и интегрируя по толщине, мы получим следующее дифференциальное уравнение для изгибающих моментов:
礬+^^ + m = 0.
礬+^^ + m = 0.
Здесь № ——перерезывающая сила, которая в свою очередь определяется через поперечную нагрузку q(r) в результате интегрирования уравнения
卡 «NR 十 f = 0.
Это уравнение отличается от уравнения равновесия для вращающегося диска только видом свободного члена. Скорости измене-Это уравнение отличается от уравнения равновесия для вращающегося диска только видом свободного члена. Скорости измене-ния кривизн хгния кривизн хгХ(рХ(р1 dw , 丫—-^7, эти формулы совершенно тож1 dw , 丫—-^7, эти формулы совершенно тождественны с теми формулами, которые выражают ег и еф через радиальную скорость, поэтому уравнение совместности буквально совладает с соответствующим уравнением для диска. Моменты выражаются через тп и ф по формулам, совершенно подобнымдественны с теми формулами, которые выражают ег и еф через радиальную скорость, поэтому уравнение совместности буквально совладает с соответствующим уравнением для диска. Моменты выражаются через тп и ф по формулам, совершенно подобным
Это уравнение отличается от уравнения равновесия для вращающегося диска только видом свободного члена. Скорости измене-
Это уравнение отличается от уравнения равновесия для вращающегося диска только видом свободного члена. Скорости измене-
ния кривизн хг
ния кривизн хг
Х(р
Х(р
1 dw , 丫
—-^7, эти формулы совершенно тож
1 dw , 丫
—-^7, эти формулы совершенно тож
дественны с теми формулами, которые выражают ег и еф через радиальную скорость, поэтому уравнение совместности буквально совладает с соответствующим уравнением для диска. Моменты выражаются через тп и ф по формулам, совершенно подобным
дественны с теми формулами, которые выражают ег и еф через радиальную скорость, поэтому уравнение совместности буквально совладает с соответствующим уравнением для диска. Моменты выражаются через тп и ф по формулам, совершенно подобным
формулам (18.10.1), а выражения для скоростей изменения кривизны аналогичны (18.10.2). Отсюда следует, что процедура численного интегрирования, предложенная для вращающихся дисков, целиком переносится на задачи об изгибе пластинок. Нам нет необходимости рассматривать еще раз в деталях эту лишь слегка видоизмененную процедуру. Заметим, что введение в качестве независимой переменной логарифма радиуса и в качестве искомой функции логарифма тп подобно тому, как это было сделано в § 18.10, совсем не обязательно; все рассмотрение можно вести в исходных естественных переменных.
Применения критерия наибольшего касательного напряжения (пункт 2 § 18.8) приводит к тому, что т принимает одно из трех возможных значений:
пъ = I Mr I, т = I Л/q)I, пъ = I Л/ф — Mr I.
Для каждого из участков, на которых выполняется одно из этих трех условий, решение строится весьма просто. Так, например, если т = \МГ\, то хф —~^г = 0 必,следовательно,力 не зависит от г. Если т =丨嶋I, то xr = d^w/dr2 = 0 и пластинка изгибается по конической поверхности. Вся трудность состоит в том, что границы участков ло радиусу пластины заранее неизвестны и нахождение этих границ встречает определенные трудности, которые иногда преодолеваются сравнительно легко, а иногда их преодоление требует труда и изобретательности. Во всяком случае каждая задача при таком подходе требует специального рассмотрения и для решения таких задач необходимы каждый раз особые приемы. В 40-х——50-х годах как в теории ползучести, так и в теории пластичности решалось очень много осесимметричных задач для дисков и пластин по критерию приведенного напряжения, заданного кусочно линейной функцией (автор также не избежал этого всеобщего увлечения). При современной вычислительной технике, по-видимому, более правильно и рационально пользоваться критерием типа Мизеса, один раз составленная и отлаженная программа выдает результаты совершенно единообразным способом для всевозможных нагрузок и всевозможных граничных условий. Решения, использующие кусочно линейные функции, сейчас представляют скорее исторический интерес и здесь рассматриваться не будут.
Неустановившаяся ползучесть.
Изотропное упрочнение
Естественное распространение сформулированной в § 18.4 теории упрочнения на общий случай трехосного напряженного состояния заключается в том, что потенциал напряжений Ф считается зависящим не только от напряжений, но также от
некоторого скалярного параметра упрочнения q:
(18.12.1)(18.12.1)Ф = Ф(5, q).
(18.12.1)
(18.12.1)
В этой записи мы сохранили предположение о том, что зависимость от напряжений о,； сводится к зависимости от приведенного напряжения s, представляющего собою однородную функцию первой степени от 。仃・ Параметр упрочнения может быть определен различными способами. В соответствии с тем анализом, который был приведен в § 18.4, мы рассмотрим два варианта, а именно,
分=『①(0力成， (18.12.2) о
(18.12.3)(18.12.3)02 = J aijPij &九
(18.12.3)
(18.12.3)
*0
Здесь pij ——скорость пластической деформации, р^ = % ——II仃必0奴・ В задачах неустановившейся ползучести необходимо выделять деформацию лолзучести из полной деформации, поэтому закон течения будет записываться следующим образом:
PijPij—d①(g, s) ds—d①(g, s) ds(18.12.4)(18.12.4)
Pij
Pij
—d①(g, s) ds
—d①(g, s) ds
(18.12.4)
(18.12.4)
Возвращаясь к определениям параметра упрочнения (18.12.2) и (18.12.3), замечаем, что при одноосном растяжении q【=р, следовательно, первый критерий служит обобщением первого варианта теории упрочнения. Величина q2 представляет собою рассеянную работу и обобщает естественным образом меру упрочнения во втором варианте теории, рассмотренной в § 18.4. При определении величин рц мы сделали самое общее предположение о том, что материал анизотропен, для изотропного случая и несжимающего материала
Pij = е
Учет сжимаемости не вызывает, очевидно, затруднений.
Рассмотрение двух вариантов выбора параметра упрочнения производится совершенно одинаково и приводит к чрезвычайно близким результатам, поэтому мы проделаем анализ лишь для случая первого, обычного варианта теории упрочнения, соответствующего уравнению (18.12.2). Простейшее предположение о структуре уравнения (18.12.4) будет состоять в том, что правая часть его есть степенная функция от q (индекс опущен) и s. Итак,
…％f"含•網42.5)
В одномерном случае s = const отсюда следует
p = S九戸，
т. е. степенной закон ползучести как по напряжениям, так и по времени. Предположим теперь, что тело нагружено некоторой системой сил Q” которым соответствуют перемещения %. Некоторые из перемещений qh могут быть зафиксированы, соответствующие реакции Qk релаксируют. Другие силы Qs заданы как функции времени, например постоянны. Перемещения qs ищутся как функции времени.
Решение задач неустановившейся ползучести с помощью определяющего уравнения (18.12.5) достаточно сложно, оно может быть выполнено лишь численно шагами по времени, притом на каждом шаге необходима решать задачу о неустановившейся ползучести при постоянном д, зависящем от координат. Однако для определения перемещений отдельных точек и нахождения закона релаксации связей можно применять излагаемый ниже приближенный метод.
Положим
Pi —仇・一阮Qj・ (18.12.6)
Это соотношение представляет собою разложение перемещения gf на две части: р» ——связанную с ползучестью и упругую 。订Qj・ Такое разложение в действительности невозможно, ползучесть меняет распределение напряжений в теле и, следовательно, его упругую деформацию. Тем не менее мы сделаем такое допущение; величины 0仃,коэффициенты влияния, находятся из решения обычной задачи теории упругости.
Предположим теперь, что для рассматриваемого тела решена задача установившейся ползучести в соответствии с определяющим уравнением
В результате этого решения найден потенциал ползучести Q, выраженный через силы Q- Этот потенциал будет однородной функцией степени п от Q^ поэтому может быть представлен как Qn, где Q ——однородная функция первой степени. После этого скорости обобщенных перемещений выразятся следующим образом:
% = Qn^・ (18.12.7)
Предположим теперь, что для нашего тела, для которого мы хотим решать приближенную задачу неустановившейся ползучести, предварительно решены две (вспомогательные задачи.
Задача теории упругости^ в результате которой найдены коэффициенты % в формуле (18.12.6).
Задача установившейся ползучести, в результате чего известна функция Q(QD, определяющая скорости установившейся ползучести по формулам (18.12.7).
Построим теперь следующую систему уравнений:
款(以12.8)
Она имеет ту же структуру, что и система (18.12.5), но в ней фигурируют только внешние силы и скорости точек их приложения. Осталось определить функционал Р первой степени относительно скоростей пластического течения рй Применяя ту же идею, которая была использована при определении параметра 01 формулой (18.12.2), заметим, что частные производные dQ/dQi представляют собою однородные функции нулевой степени относительно Q” поэтому между ними существует тождественное соотношение
Функция Q может быть сделана однородной функцией первой степени своих аргументов. Теперь положим
Р = jc (dpj(18.12.9
Типичная проблема релаксационного типа формулируется следующим образом: к системе приложены две обобщенные силы —— сила Qi, которая остается постоянной, и реакция закрепления 02, которой соответствует зафиксированное перемещение д2. Определим функцию Q таким образом, чтобы было Q(Qi, 0) = Qi, Q(。, Q^= Сг- Уравнения ползучести (18.12.8) запишутся следующим образом:
= 01- Р1202 = ^р^Ь 絵？2 = - 02202 =^7^0氈
(18.12.10)
Положим 力(力)=02/Qi, Q = QJ⑺.Тогда
鼠 =/ (①)一刁‘(/)，誤=广())•
Вследствие однородности функции Q
Разделим первое уравнение (18.12.10)： на второе и учтем
введенные обозначения х и /(%). Получим
Pi =/ — "
〕р—・
С другой стороны,
/2 = 一Р2202 = 一伝201 近.
Теперь выражение параметра упрочнения запишется следующим образом:
Р =脇0 j Q (^^, 1) ^ = 6228g (叫 (18.12.11)
При этом интегрировании было учтено условие 02(O)=Qi, следовательно, при ^ = 0 力=1. Это условие всегда можно поставить, определив надлежащим образом обобщенные силы. Теперь второе из уравнений (18.12.10) может быть проинтегрировано, а именно, мы получаем
網，242)
Это и есть искомый закон релаксации. Что касается перемещения О” оно легко находится в результате интегрирования первого уравнения (18.12.10).
Последнее замечание будет относиться к возможности выбора функции Q однородной первой степени относительно 0【.Если показатель п достаточно велик, то в качестве функции Q можт.о бывает принять функцию текучести для задачи предельного состояния. Так, для балки, изгибаемой моментом М и растягиваемой силой Т, условие предельного состояния будет
М + Г = const.(18.12.13)
Здесь меры момента и силы выбраны таким образом, чтобы в условии пластичности не фигурировали явно какие-либо константы. Левая часть этого условия неоднородна относительно М и Т, поэтому нам следует найти эквивалентпое однородное выражение.
Рассмотрим уравнение
Полагая о = ±1, мы получим (18.12.13). Разрешим это уравне ние отпосителЫЕю о и положим о = ±1. Получим
!(М+ 匕，+ 炉)=土 I.
Теперь мы можем принять
(18.12.14)(18.12.14)Q = ^(M+ 匕，+ о).
(18.12.14)
(18.12.14)
Выражение (18.12.14) будет однородным первой степени относительно М и Т.
§ 18.13. Устойчивость при ползучести
Поскольку ползучесть неограничена и деформация при сколь
угодно малом напряжении за достаточное время может достичь сколь угодно большой величины, то любой процесс ползучести может быть охарактеризован как неустойчивый. Рядом авторов (и автором этой книги в том числе) делались попытки построения некоторых условных критериев устойчивости бифуркацион
ного типа. В применении к сжатому стержню это означает сле
Рис. 18.13.1Рис. 18.13.1дующее. Предположим, что под действием постоянной сжимающей силы стержень равномерно сжимается. В некоторый момент времени он отклоняется от прямолинейной формы. Если отклонение мало, то уравнения теории ползучести линеаризируются. Вообще говоря, созданный прогиб будет неограниченно расти, но при использовании уравнений теории упрочнения может возникнуть такое положение, что прогиб будет сначала убывать до некоторой величины и только потом начнет расти. Условие начального убывания прогиба может трактоваться как условие устойчивости в некотором условном смысле. Выбирая другие типы возмущения, например, пред-
Рис. 18.13.1
Рис. 18.13.1
полагая стержень начально искривленным или эксцентрично
сжатым, авторы принимали за достижение критического состоя- ния момент, когда на кривой прогиб ——время обнаруживалась некоторая характерная точка перехода от медленного его изменения к быстрому. Не касаясь этих результатов, рассмотрим здесь приближенное решение задачи о выпучивании сжатого стержня с сечением в форме идеального двутавра. Это сечение схемати- чески изображено на рис. 18.13.1. Две полки с одинаковой площадью поперечного сечения F/2 соединены стенкой, которая воспринимает перерезывающую силу, но не принимает участия в сопротивлении изгибу. Будем считать, что расстояние между полками велико по сравнению с их толщиной и распределение напряжений в них равномерно, о = о+ в верх! ей полке и о =• о* в нижней. Тогда
N = -jF^ + оГ), М =号(о+ _ а-).
Принимая закон установившейся ползучести в виде
положим
"=备上麻"=备上麻斬'斬'
"=备上麻
"=备上麻
斬'
斬'
тогда
G+^(N + M)Gni L = 6 —j?)g.
Если £ ——скорость деформации оси стержня, 乂 一 скорость изменения кривизны, то скорости деформации верхней и нижней полок будут е + xfe и е — xfe соответственно. Учитывая возможность положительных и отрицательных знаков напряжений и знаков скоростей соответственно, нам будет удобно записывать основной закон ползучести в виде (18.2.1), а именно,
Поэтому
е = 4 \\N + М^ (N + М) + p-J/p-1 ^^м)],
4(18.13.1)
Hh = ^-[\N + M р"1 (N +M)-\N-M р"1 (N - М)\
Идеальный двутавр заменяет реальный стержень, имеющий две оси симметрии. Площадь F должна быть, очевидно, та же, что у реального стержня. Осталось подобрать размер h так, чтобы при изгибе идеальный двутавр вел себя так же, как реальный стержень. Предположим, что последний имеет две оси симметрии, высота его Н и переменная ширина Ь. Положим
/=『告г”阻
Здесь у ——расстояние от оси, проходящей через центр тяжести. Тогда
(18.13.2)(18.13.2)令= (%)•
(18.13.2)
(18.13.2)
Рассмотрим теперь стержень с сечением в форме идеального двутавра длиной 厶 шарнирно опертый по двум концам и сжатый силой Р. Подобно тому как это делалось в § 4.2 при выводе критической силы Эйлера, мы должны принять N = —Р, М = Pw, 乂 = —d^w/dz^dt. Возвращаясь к обычным обозначениям N 且 М в формулах (18.13.1), мы получим из второй из них следующее
дифференциальное уравнение:
Введем безразмерный прогиб w = w/h и безразмерную координату W = z/质 тогда уравнение перепишется следующим образом:
[(1 + ")“一 11 ——必)]•(18.13.3)
Здесь о = P/F.
Для приближенного решения этого уравнения применяются различные приемы. Мы рассмотрим наиболее простой случай 打=3. Заметим, что множитель (а/ап)п представляет собою скорость укорочения стержня от действия силы Р, обозначим эту скорость е0 и перепишем (18.3.3) при п = 3 следующим образом:
= —%甌+ 舒)・(18.13.4)
能dt
Будем искать его приближенное решение в виде
w = c(t) sin -2^・
Подставив в (18.13.4), получим
(喂『С Sin 喑=80(3с sin 芈 + № sin3 噜｝ (18.13.5)
Дальше можно поступать по-разному. Можно, например, потребовать, чтобы (18.13.5) выполнялось в среднем на всем стержне. Для этого уравнение (18.13.5) умножается на sin (冗无三/Z) и интегрируется по длине балки. Мы поступим проще, а именно, потребуем выполнения (18.13.5) в одном сечении — в середине балки. При z = %g = Z/2 получается
2 = %^『(Зс + сЗ).-
Разделим переменные и проинтегрируем. Получим
+с2(3+со)/АО ЛО
%力=-6 [-) 1П *0厂•(你43.6)
Здесь с。——начальный безразмерный прогиб. Величина безразмерного прогиба стремится к бесконечности при стремлении t к конечной величине, называемой критическим временем. Из формулы (18.13.6) следует
Мкр = |(^)2Ь^.(18.13.7)
Применяя другие методы определения критического времени, мы 42 ю. Н. Работнов
будем получать несколько отличные оценки, но уточнения здесь вряд ли необходимы. Величина е0, зависящая от о3, очень чувствительна к величине нагрузки, поэтому при определении критического времени из опыта получается большой разброс. Этот разброс существенно уменьшается, если определять не критическое время, а напряжение, соответствующее данному критическому времени. Это тем более так, что показатель п = 3, выбранный нами для модельной задачи, сильно занижен по сравнению с реальными значениями показателя ползучести. Что касается правой части формулы (18.13.7), она дает тоже лишь ориентировочную оценку, величина с0 редко бывает известна точно, при проектировании реальных конструкций исходят из статистических данных, позволяющих оценить наибольшую возможную величину эксцентриситета при данной технологии изготовления изделия.
Следует заметить, что конечное критическое время, понимаемое в указанном смысле как время обращения прогиба в бесконечность, обязано своим существованием нелинейности определяющего уравнения. Действительно, при п = 1 уравнение (18.13.5) становится следующим:
Применяя ту же технику разделения переменных, мы получим, на этот раз уже точно,
и прогиб достигает бесконечной величины лишь при 力=8.
Сделаем в заключение несколько замечаний об учете мгновенной пластической деформации. В § 4.11 было выяснено, что начально искривленный стержень из упругопластического материала мгновенно выпучивается при достижении нагрузкой кри^ тического значения, которое зависит от начального прогиба. Можно сказать наоборот, каждой силе соответствует критический прогиб, при котором стержень выпучивается от действия этой силы. Если сила Р сжимает стержень, прогиб его растет со временем до тех пор, пока не достигнет критического значения, соответствующего данной силе Р. Это время и будет критическим временем, но при достижении критического времени обращается в бесконечность не прогиб, а скорость изменения прогиба во времени. Приведенное рассуждение не вполне строго: ползучесть меняет распределение напряжений в поперечных сечениях и, следовательно, изменяет зависимость между критической силой и прогибом. Однако погрешность невелика и разъясненная схема сейчас получила признание. •
ГЛАВА 19
МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ
Предмет механики разрушения
В восемнадцати предшествующих главах были изложены различные разделы механики деформируемого твердого тела, при атом практическая направленность каждого из них не очень акцентировалась. Но основная область приложения механики твердого тела ——это оценка прочности реальных элементов конструкций в реальных условиях эксплуатации. С этой точки зрения различные главы приближают нас к решению этого основного вопроса в разной степени. Классическая линейная теория упругости формулирует свою задачу следующим образом: дано некоторое тело, на это тело действуют заданные нагрузки, точки границы тела претерпевают заданные перемещения. Требуется определить поле вектора перемещений и тензора напряжений во всех точках тела. После того как эта задача решена, возникает естественный и основной вопрос ——что это, хорошо или плохо? Разрушится сооружение или не разрушится? Теория упругости сама по себе ответа на этот вопрос не дает. Правда, вная величину напряжений, мы можем потребовать, чтобы в каждой точке тела вьшолнялось условие прочности, т. е. некоторая функция от компонент 。仃 не превосходила допускаемого значения. В частности, можно потребовать, чтобы нигде не достигалось условие пластичности, более того, чтобы по отношению к этому локальному условию сохранялся некоторый запас прочности, понятие о котором было сообщено в гл. 2 и 3. Мы знаем, что для пластичных материалов выполнение условия пластичности в одной точке еще не означает потери несущей способности, что было детально разъяснено на простом примере в § 3.5. Поэтому расчет по допустимым напряжениям для пластичного материала безусловно гарантирует прочность изделия. Для хрупких материалов условие локального разрушения отлично от условия наступления текучести и локальное разрушение может послужить началом разрушения тела в целом. Поэтому расчет по допускаемым напряжениям для хрупких материалов более оправдан. Аналогичная ситуация возникает при переменных нагрузках и при действии высоких температур. В этих условиях Даже пластические материалы разрушаются без заметной ила- этической деформации и микротрещина, возникшая в точке, где 42*
была достигнута опасная комбинация напряжений, может очень быстро распространиться на большое расстояние и привести к разрушению конструкции в целом. В большинстве случаев следует считать разрушенной конструкцию, когда в ней появился первый очаг разрушения, поэтому методы расчета по допускаемым напряжениям могут считаться оправданными.
В то же время теория упругости содержит в себе некоторые разделы, которые отвечают на вопрос о возможности разрушения прямым и непосредственным образом, а именно:
Теория устойчивости упругих систем. Достижение нагрузкой величины критической эйлеровой силы может считаться за момент разрушения. Правда, как мы выяснили на примере сжатого стержня и на некоторых упрощенных искусственных примерах (§ 4.5), достижение критической силы не всегда означает потерю несущей способности. Но при Р > Рэ прогибы начинают, как правило, расти чрезвычайно быстро, поэтому практически эйлерову силу можно принимать за разрушающую нагрузку. В отдельных случаях допускается и работа конструкций в после- критической области. В крыле самолета, например, под действием сжимающих напряжений, обшивка в эксплуатационных условиях может терять устойчивость, но силовая конструкция крыла — лонжероны и нервюры — продолжают сохранять несущую способность.
Теория колебаний. Как мы видели, эта теория позволяет найти спектр собственных частот свободных колебаний упругой системы. Если частота возмущающей силы совпадает с одной из собственных частот свободных колебаний, наступает резонанс. Для линейно-упругого тела в постановке линейной теории упругости амплитуды вынужденных колебаний становятся бесконечно большими. На самом деле так не бывает. Во всех материалах существует внутреннее трение. Теория упругих колебаний с затуханием, пропорциональным скорости, рассматривается в курсах теоретической механики, основной качественный результат состоит в том, что резонансная амллитуда конечна. В реальных материалах внутреннее трение подчинено более сложным законам, даже если его можно считать линейным (см. гл. 17), но качественный результат остается тем же. Поэтому резонансы на высоких гармониках, как правило, не страшны. Для турбинных лопаток, например, гармоники выше пятой-шестой во внимание не принимаются. Но резонанс на основном тоне или на /первых гармониках может считаться причиной неминуемого разрушения. Отмеченные два аспекта мы зафиксировали, но далее развивать не будем.
Линейная механика разрушения. В гл. 9, 10 и 11 применительно к антиплоскому и плоскому состоянию были даны решения для трещин и получены выражения для коэффициентов интенсивности К. Для суждения о том, будет ли трещина рас-
пространяться, необходимо знать единственную константу материала ——так называемую вязкость разрушения или эффективную поверхностную энергию Gc・ Оказалось, что величина Gc выражается через критический коэффициент интенсивности напряжений К, которым (см. гл. 9——11) называется коэффициент при сингулярном члене с особенностью вида (2лг)~1/2 для напряжения около кончика трещины. Таким образом, расчет по линейной механике разрушения на прочность сводится к расчету по допускаемым напряжениям, но эти напряжения могут быть бесконечно большими, условие К<Ке как раз и означает ограничение, налагаемое на степень интенсивности напряжения, стремящегося к бесконечности по мере приближения к концу трещины. В действительности концевая зона, где уравнения теории упругости теряют силу, имеет конечный размер. Если этот размер сравним с размером трещины или с расстоянием от ее конца до свободной поверхности тела, теория линейной механики разрушения становится неприменимой. Вопросы, связанные с фактическим определением вязкости разрушения Gc или Кс и с выявлением ограничений теории, будут рассмотрены ниже.
Следует отметить, что в последние годы появилось очень большое число монографий по механике разрушения. Упомянем семитомный переводной труд энциклопедического характера «Разрушение», монографии Морозова и Партона, Черепанова, ряд переводных сборников. Многие авторы понимают под механикой разрушения именно и только механику распространения трещины. Но в теории трещин предполагается, что материал остается упругим и не меняет своих свойств всюду, кроме окрестности конца трещины, которая или стягивается в точку в линейной механике, или рассматривается как пластическая область или область больших упругих деформаций. Такая точка зрения далеко не исчерпывает многообразия реальных процессов разрушения. При переменных нагрузках, например, уже после относительно небольшого числа циклов в материале появляются субмикроскопические трещины, которые растут и сливаются в макроскопические трещины, приводящие к видимому разрушению. Не вдаваясь в детали микроскопической картины, этот процесс можно представить как накопление поврежденности, характеризуемой некоторым параметром состояния. Кинетика изменения этого парамера должна быть включена в определяющие уравнения среды. Такая точка зрения лежит в основе того, что можно назвать механикой рассеянного разрушения. Соответствующая теория развивается применительно к усталости металлов и длительной прочности при высоких температурах.
До сих пор все изложение носило чисто детерминистский характер, свойства материала считались заданными и совершенно определенными. В действительности упругие, пластические и прочностные характеристики обнаруживают разброс, для
одного и того же материала можно говорить не о постоянной характеристике, а о ее статистическом распределении. Если модуль упругости и предел текучести меняются в узких пределах и расчет по средним значениям достаточно достоверен, то прочность хрупких материалов и их структурных составляющих должна рассматриваться как случайная величина и отвлечься от ее статистического характера принципиально невозможно. Именно статистическая теория позволяет объяснить и оценить количественно так называемый масштабный эффект; прочность большого изделия всегда оказывается меньше, чем прочность малой его модели (после пропорционального перерасчета, конечно). Изложение современных статистических теорий прочности заняло бы слишком много места, однако некоторые сведения нам представлялось необходимым сообщить. Эти сведения особенно существенны для понимания природы прочности современных композитных материалов, состоящих из полимерной или металлической матрицы, армированной угольным, борным или иным высокопрочным волокном. Разброс свойств армирующих волокон довольно велик и для понимания того, в какой мере эти свойства могут быть реализованы в композите, необходимо некоторое представление о статистической природе его прочности. Именно поэтому изложение элементов статистической теории будет дано ниже, в гл. 20.
Условие прочности для хрупких тел
Для хрупких тел, примерами которых могут служить стекла, силикаты, полимеры в стеклообразном состоянии, бетон, закаленные стали, графит и другие материалы, критерий разрушения может быть сформулирован в принципе так же, как критерий пластичности, в виде некоторого соотношения между компонентами тензора напряжений
Н(%) = 0・ (19.2.1)：
Если R(6ij)< 0, материал не разрушается; при выполнении условия (19.2.1) хотя бы в одной точке, в этой точке происходит локальное разрушение. Что нужно понимать под термином «локальное разрушение», зависит от объекта: это либо разрыв, раздавливание или срез некоторых структурных элементов, либо появление зародышевой трещины, которая или распространяется далее как трещина типа Гриффитса, или сливается с трещинами, возникшими в соседних точках, где вьшолнено условие (19.2.1). Заметим, что область локального разрушения служит источником концентрации напряжений, поэтому весьма вероятно появление новых очагов разрушения по соседству с уже возникшими.
Не касаясь многочисленных уточненных применительно к специальным материалам форм соотношения (19.2.1), остановимся
на простейшем п достаточно универсальном условии ——условии Мора. Оно формулируется следующим образом:
Разрушение происходит тогда^ когда на некоторой площадке с нормалью п величина касательного напряжения достигает критического значения, зависящего от действующего на этой площадке нормального напряжения
*1 U / (^п) •*1 U / (^п) •(19.2.2)
*1 U / (^п) •
*1 U / (^п) •
Чтобы сформулировать условие (19.2.2) в терминах главных напряжений, например, нам будет удобно прибегнуть к геометрической интерпретации с помощью круговой диаграммы Мора
(§ 7.6). Если главные напряжения Qi > а2 > а3, то мы можем построить три окружности Мора, как это показано на рис. 19.2.1. В указанном параграфе было сделано замечание о том, что напряженное состояние на любой площадке изображается точкой с координатами ап и тп, лежащей в заштрихованной области. Там мы упомянули об этом факте без доказательства. Здесь нам понадобится только одно, а именно то, что изображающая точка не может выйти за пределы большого круга, построенного на напряжениях сч и а3. Для доказательства предположим противное. Тогда отрезок МС (рис. 19.2.2) больше радиуса круга Мора, и мы имеем следующее неравенство:
值一中了+琶 >(中了.(19.2.3)
После элементарных преобразований это неравенство примет следующий вид:
а2 - On(6 + а) + Юз > 0.
Здесь о2 = On + Tn-
По определению 0n и тп представляют собою нормальное и касательное напряжения на некоторой площадке, следовательно, ал = %冠 + %爲 +03鴻，炉=冠冠+董璃+0品；.
Внеся эти выражения в неравенство （19.2.3）, получим
%5 （1 —冠一忌）+ ［忌一％ （J + %）】冠 > 0.
Но направляющие косинусы связаны соотношением
九:+几;+若=1.
Поэтому выражение в первых скобках равно п^. Сокращая на эту величину, придем окончательно к следующему неравенству:
變一％（J + б） + o& > 0.（19.2.4）
Но это неравенство невозможно. Действительно, квадратный трехчлен относительно а2 в левой части неравенства имеет корни 。2 = 01 и 。2 = °3, при 。2 = ±°° этот трехчлен равен +«\ поэтому в интервале Qi > а2 > Оз он отрицателен. Таким образом, исходное предположение привело к противоречию.
Проводя аналогичные рассуждения, мы можем доказать, что эта точка лежит вне каждого из двух малых кругов Мора, но это нас сейчас не интересует. Условие Тп = /（0п） изображается некоторой кривой в плоскости о, т, той же плоскости, в которой построены круги Мора; эта кривая изображена на рис. 19.2.1. Теперь проверка прочности производится просто, если окружность большого круга Мора не касается предельной кривой, как показано на рисунке, разрушение не произойдет, условие прочности останется ненарушенным. Если круг Мора коснется предельной кривой, то происходит локальное разрушение. Теперь ясно, как построить кривую тп = /（пп）. Нужно произвести испытания до разрушения при однородном напряженном состоянии при различных отношениях сь : Оз и построить соответствующие окружности Мора. Огибающая этих предельных окружностей будет предельной кривой.
Существенно заметить, что промежуточное по величине главное напряжение а2 совсем не фигурирует в условии прочности. Это не вполне соответствует данным опыта и служит определенным недостатком теории. В действительности семейство предельных окружностей Мора не всегда имеет огибающую. Однако ошибка, связанная с пренебрежением ролью о?, обычно не слишком велика.
Условие того, что окружность Мора, построенная на главных напряжениях d и Оз, касается некоторой предельной кривой, может быть записано в виде
Е（6, 5）= 0・（19.2.5）：
Подобно тому, как это делалось для плоской задачи теории пластичности, можно принять за базисные переменные величины Р =（01 + 0з）/2 и t =（0i —Оз）/2 и записать условие прочности
Мора в виде t = g(p)・ (19.2.6)
Совершенно аналогично записывалось условие пластичности для плоского напряженного состояния в § 15.8 (уравнение (15.8.2)). Обычно проще всего бывает определить прочность при растяжении Овр и прочность при сжатии авс. Построив предельные окружности Мора для растяжения и сжатия, проведем к ним
касательную и предположим, что эта прямолинейная касательно служит предельной огибающей Мора. Рассматривая всевозможные окружности, касающиеся, например, прямой АВ на рис・ 19.2.3, найдем, что функция g в этом случае линейна. Действительно, из подобия треугольников ОАВ и КСВ следует
СК:АО = СВ^АВ.
Но СК = (ел — Оз)/2 = £ 05 = ОВ — ОС = ОВ — р, отрезки АО, ОВ и АВ фиксированы заданием предельной кривой. Написанная выше пропорция принимает следующий вид:
т : АО = (ОВ — р):АВ.
Отсюда и следует линейное соотношение между тпр или между 01 и Оз・ Это соотношение иногда бывает удобно записывать еле* дующим образом:
^i % = Овр・(19.2.7)
Развивая ту же идею, которая заставила перейти от условия пластичности Треска к условию пластичности Мизеса, можно предположить, что предельное состояние осуществляется тогда, когда возникает неблагоприятная комбинация октаэдрического касательного напряжения и октаэдрического нормального напряжения. Условие (19.2.6) при этом заменяется следующим:
% = /(о)・(19.2.8)'
Соответствующие теории развивались Шлейхером, Надаи, Я】ном.
Уравнение (19.2.7) дает удовлетворительные результаты для напряженных состояний, заключенных между одноосным растяжением и сжатием. Далекая экстраполяция его за эти пределы сомнительна. Опыты на сжатие при наложенном гидростатическом давлении позволяют уточнить форму предельной огибающей слева, в области всесторонних сжимающих напряжений (рпс. 19.2.4). Однако здесь возникает трудность и известная неопределенность, которая разъяснена в следующем параграфе. Опыты с наложением всестороннего растяжения осуществить не удается, во всяком случае положение точки М, которая должна была бы определять искомое сопротивление отрыву при всестороннем растяжении, определить экспериментально невозможно»
Хрупкое и вязкое разрушение
Свойство разрушаться вязко или хрупко, с заметной пластической деформацией или без нее, не может рассматриваться как абсолютное и неотъемлемое свойство материала. При наложении всестороннего сжатия такие хрупкие в обычных условиях материалы, как мрамор или песчаник, деформируются пластически
или текут, разрушение их происходит после большой пластической деформации. Определение тех истинных напряжений, при которых происходит разрушение в пластической области, с одной стороны, встречает экспериментальные трудности, с другой —— применимость критерия типа (19.2.1) для разрушения в пластической области вызывает определенные сомнения. По-видимому, здесь существенную роль играет величина пластической деформации, которая в уравнение (19.2.1) не входит. Таким образом, строя предельные круги Мора для разных напряженных состояний, мы получим огибающую, касание которой окружности Мора соответствует разным физическим явлениям. Левая часть кривой, показанная на рис. 19.3.1, соответствует наступлению пластического состояния, правая ——хрупкому разрушению. Соедини* ющий их участбк не вполне определен.
В работах Иоффе, Давиденкова, Фридмана и других авторов развивалась мысль о том, что существует два типа разрушения —— разрушение вследствие среза ——пластическое и вследствие отрыва —хрупкое. Схематически это можно показать на графикет приведенном на рис. 19.3.2. Если окружность Мора касается вертикальной прямой 1——1 и не пересекает горизонтальную прямую 2—2, разрушение происходит вследствие отрыва и критерий разрушения записывается следующим образом:
S == Ор, Ql > °・
Сопротивление отрыву ар считается постоянной материала, подлежащей опытному определению. Если окружность Мора касается горизонтальной прямой, то наступает текучесть при касательном напряжении течения тт. Некоторые авторы вводят представление о сопротивлении сдвигу тв > т” т. е. о касательном напряжении, при котором происходит разрушение. Из физических соображений делается заключение о том, что сопротивление отрыву слабо зависит от температуры и скорости испытания, когда как сопротивление пластической деформации от этих факторов зависит сильно. Понижая температуру или увеличивая скорость, можно поднять прямую 2——2 и добиться того, чтобы хрупкое разрушение наступало уже при простом растяжении.
Другой путь состоит в том, чтобы создать в образце такие концентраторы напряжений, которые создают локальное напряженное состояние типа всестороннего растяжения. Следует заметить, что изложенная простая схема носит довольно грубый и приближенный характер. Нет уверенности в том, что сопротивление отрыву действительно представляет собой константу и не зависит от вида напряженного состояния. В действительности чистый отрыв, т. е. разделение тела по исходной поверхности, по-видимому, не наблюдается. Прилегающая к поверхности отрыва зона, хотя бы и очень небольшой глубины, оказывается пластически деформированной. Различные экспериментальные определения сопротивления отрыву не дали надежных результатов, поэтому изложенная здесь схема в значительной мере принадлежит истории. Однако представление о существовании сопротивления сдвигу и сопротивления отрыву сыграло определенную роль для разъяснения физической стороны вопроса о разрушении.
Напряжения и перемещения вблизи кончика трещины
Основные идеи так называемой линейной механики разрушения уже были сформулированы ранее в главах, относящихся к теории упругости. Так, в § 9.4 была рассмотрена трещина конечной длины в поле сдвига, было выяснено, что вблизи тре-
щины на оси, служащей продолжением трещины, напряжения выражаются следующей формулой:
з爆+ °⑴'0941)
тогда как перемещения имеют следующий вид:
〃з = —^丄 了今.(19.4.2)
Здесь г ——расстояние от кончика трещины, измеренное вдоль линии, на которой расположена трещина, в формуле (19.4.1)
это расстояние отсчитывается от кончика вперед, т. е. в неразрушенный материал, в формуле (19.4.2) оно отсчитывается назад.
Совершенно аналогичным образом в § 10.4 было показано,
что трещина в теле, находящемся в условиях плоского напря
женного или плоского деформированного состояния, имеет ту же особенность для напряжений, что и в формуле (19.4.1). Соответствующие формулы для растяжения в направлений, перпендикулярном трещине, будут
(19.4.3)
(формулы (10.4.6)). В том же § 10.4 была рассмотрена тре-
щина в поле сдвига в плоскости трещины. Формулы для этого случая имеют точно такой
же вид, что и формулы (19.4.3), а именно,
衣口n 4 — V
Индексы I, II и III принято относить к различным схемам нагружения, изображенным на рис. 19.4.1. В § 9.5 для трещины, находящейся в условиях антиплоского напряженного состояния, было показано, что освобождение энергии выражается через Кш・ Говоря об освобождении энергии, мы имеем в виду то, что при увеличении длины трещины упругая энергия тела уменьшается. Производная от энергии по длине
GG
G
G
имеет размерность силы, поэтому величину G можно назвать силой сопротивления продвижению трещины, не вкладывая в это
понятие какое-либо содержание, выходящее за рамки того, что дается в данном определении. Анализ § 9.5 повторяется буквально для условий нагружения типа I и типа II. Если одновременно действуют растяжение и сдвиги в двух направлениях, соответствующие работы совершаются независимо и мы получаем общую формулу
G =击卜1 — б(К； + 啰)+ К%1・(19.4.4)
Асимптотические формулы (19.4.1) — (19.4.3) и следующее из них уравнение (19.4.4) пригодны не только для того простейшего случая, для которого они были выведены. При произвольной нагрузке и при произвольной форме трещины особенность для напряжений вблизи кончика будет иметь вид г~1/2, а коэффициент интенсивности, конечно, будет зависеть от нагрузки и от формы трещины. В рассмотренном ранее случае для первой формы было найдено
爲=оУл〃，
где 2〃 一 длина трещины. Совершенно такую же структуру сохраняет выражение коэффициентов интенсивности Ки и 宜ш с соответствующей заменой нормального напряжения на бесконечности о касательным напряжением т. Трещина в поле растягивающих
напряжений представляет, пожалуй, наибольший интерес с точки зрения приложений, поэтому сейчас мы рассмотрим более общую задачу о трещине, края которой не@ут произвольную нагрузку p(/i), одинаковую как на верхнем, так и на нижнем крае разреза (рис. 19.4.2). В § 10.4 были получены формулы для перемещений и напряжений в полуплоскости, содержащей симметрично нагруженную трещину. На участке оси 况匕 ^t е 1[—а, а], задано напряжение 022 = —p(/J, вне этого отрезка и2 = 0. Из формул (10.4.2) и< (10.4.3) следуют такие граничные условия для функции 屮(z):
Re 屮‘ (z)=亲， /1 w [- a, + a],Im 屮(z) = 0, % 亥[―a, + a].
Второе условие можно продифференцировать: в результате мы приходим к краевой задаче для производной(р‘； на участке, за「 нятом трещиной, задана ее действительная часть, вне этого участка мнимая часть равна нулю. 「-
Задача о нахождении аналитической в полуплоскости функции комплексной переменной z при условии, что на отрезках границы 况2 = 0 заданы попеременно действительная или мнимая часть функции, решается с помощью формулы Келдыша — Седова (см., например, Лаврентьев, Шабат). Разобьем границу на отрезки чередующимися точками ak и 瓦,положим
_ (Re/^J, [ак. 6fe],
Ь Im〃%i), х* w (瓦,*1),
g(Z)= # (三尉，无(z) = #(Z -Ь产(z -啕1/2.
Тогда в верхней полуплоскости”
+(19.4.5)
冗i g (z) J £ — zh (г)'/
s Joo
В нашем случае at = —а,几=+〃，s (nJ = у p (nJ,力【w [—a, a], s(Ni) = 0 вне этого отрезка и формула (19.4.5) приводится к следующей:
MzU 注工Р("吊长+号导(1946)
при Z f 8
6(8)=—嘉 \ PW^4^d力 + ?•
Для того чтобы перемещение было однозначно, вычет функции 屮'(К в бесконечно удаленной точке должен быть равным нулю, в противном случае в формулах (10.4.2) неизбежно появятся логарифмические члены. Из этого условия находим
丫。=贵 j р ⑴ Мй^ 跳 (1947)
Нас будет интересовать особенность в кончике трещины, например при z = а. Заметим, что в формуле (19.4.6) интегральный член остается ограниченным при z = 〃, слабые особенности типа (2 —а)1/2 в подынтегральном выражении и перед интегралом взаимно компенсируются. На самом деле всегда можно выбрать такую функцию 卩(z) комплексной переменной z, что р(£) представляет ее значение на отрезке [—а, а] действительной оси. Тогда этот интеграл представляет собою интеграл Коши, его
значение равно значению подынтегральной функции при f = z и сингулярный множитель исчезает.
По формуле (10.4.3) напряжение о22 на оси 力〔равно удвоенной действительной части q/ (z):
(^22)^2e° = 2 R。屮(“° •
Положим
z = a + e,自£矗.
Следовательно, в окрестности кончика трещины сингулярная часть напряжения 侬 есть
221/24У Q "2冗自
Внося сюда выражение для 丫。 (19.4.7) и сравнивая с (19.4.3), находим
+а
"=壷）卩⑴丿^弘（"948）
（W再（W再менится на рменится на р• Если p(t)—• Если p(t)—Рис. 19.4.3Рис. 19.4.3Для правого конца трещины подынтегральное выражение за-
（W再
（W再
менится на р
менится на р
• Если p(t)—
• Если p(t)—
Рис. 19.4.3
Рис. 19.4.3
tdttdt=°£=°£четная функция, то, умножая числитель и знаменатель подынтегрального выражения на У〃 一 £ и замечая, что интеграл от нечетной функции
tdt
tdt
=°£
=°£
преобразуем выражение (19.4.8) к следующему виду:
…嗯『潞号 0949)
Рассмотрим два простейших примера,а
p = const = or, J у 2 —^~* Ki= 0丫冗仅, мы получили уже
известный результат.
Трещина растягивается двумя симметрично приложенными силами (рис. 19.4.3). По формуле (19.4.9)
1 Д/ла
Линейная механика разрушения
Основное предположение линейной механики разрушения состоит в том, что трещина распространяется тогда, когда величина коэффициента интенсивности достигает критического значения, характерного для данного материала. Совершенно эквивалентная формулировка этого предположения состоит в том, что сила G, движущая трещину, превосходит критическое значение — сопротивление распространению трещины. Формула (19.4.4) утверждает эквивалентность двух этих формулировок. Что касается механического содержания принятой гипотезы и всей теории в целом, на этот вопрос можно ответить по-разному, а в рамках формальной теории вообще его можно не ставить. Тем не менее некоторые соображения могут быть высказаны. В оригинальной работе Гриффитса предполагалось, что освобождающаяся при росте трещины упругая энергия расходуется на увеличение поверхностной энергии: если у есть поверхностная энергия на единицу площади, то сила сопротивления движению трещины Gc = 2丫. Анализ Гриффитса в течение долгих лет считался безупречным, хотя в нем содержится некоторый органический дефект. Энергия поверхностного натяжения вводится в уравнения теории как нечто данное и постороннее по отношению к упругому телу. На самом деле, поверхностная энергия есть энергия поверхностного слоя, свойства которого в той или иной мере отличаются от свойств остального материала и при решении задачи теории упругости этот поверхностный слой нужно как-то моделировать. Простейшая схема будет состоять в том, чтобы рассматривать поверхностный слой как бесконечно тонкую пленку с постоянным натяжением у. Если контур свободного отверстия имеет кривизну, то поверхностное натяжение дает нормальную составляющую силы на контуре. При переходе к разрезу, в вершиие которого кривизна становится бесконечно большой, поверхностное натяжение создаст сосредоточенные силы. В результате особенность у кончика трещины оказьтвается более высокого порядка, а именно, вида 1/г, а не 1/Vr. На это обстоятельство было обращено внимание Гудьером, однако полное решение задачи было опубликовано Много позже. В связи с этим можно выразить сомнение, связанное с тем, в какой мере пригодно представление о поверхностном натяжении в твердом теле как о натянутой бесконечно тонкой пленке, а особенно в какой мере эта идеализация сохраняет смысл при переходе к пределу, когда отверстие превращается в бесконечно тонкий разрез.
Измеренные методом раскрытия трещины значения поверхностной энергии удовлетворительно совпадают с другими ее оценками для стекол. Для металлов измеренная величина Gc оказывается на три порядка выше, чем поверхностная энергия. Поэтому здесь приходится искать другие механизмы. У пластичных ме-
таллов в окрестности кончика трещины появляется пластическая область. Протяженность ее d можно грубо оценить по первой формуле (19.4.3). Полагая в ней а2г = сгт, К Klc, r = d, полу^ чаем следующую оценку:
(19.5.1)
Конечно, в формуле (19.5.1) должен фигурировать числовой множитель, который нельзя получить из формулы (19.4.3); для этого
вершаемую в малой пластическойвершаемую в малой пластическойнужно решать соответствующую упругопластическую задачу. Необходимое условие применимости линейной механики разрушения к расчету металлических элементов состоит в том, чтобы размер d был много меньше, чем длина трещины, толщина образца и расстояния от конца трещины до свободной поверхности. Тогда можно считать, что освобождающаяся упругая энергия расходуется на работу пластического деформирования, со
вершаемую в малой пластической
вершаемую в малой пластической
зоне перед кончиком трещины. Пластически деформируемый материал образует тонкий слой вблизи поверхностей трещины. У хрупких мате
риалов, например, у графита, продвижению магистральной трещины предшествует распространение направленных в разные стороны и ветвящихся микротрещин. Затруднительно подсчитать из рациональных соображений затрачиваемую на это работу, однако суммарную работу на единицу длины или силу можно непосредственно определить из макроэксперимента. Символом К1С принято обозначать критический коэффициент интенсивности, определенный в условиях плоской деформации. Для того чтобы в пластической зоне действительно с достаточно хорошим приближением воспроизводились условия плоского деформированного состояния, необходимо, чтобы толщина образца была значительно больше, чем размер пластической зоны d. Так, проект британского стандарта и некоторые ведомственные нормы, приня- 43 ю. Н. Работнов
тые в Советском Союзе, рекомендуют в качестве достоверных определения КТс на образцах, у которых толщина, длина трещины и расстояние от кончика трещины до свободной поверхности не меньше, чем 2五(К1с/ат)2. Наиболее распространенный тип образца, применяемый для определения К1С1 показан схематически на рис. 19.5.1. Это — массивный образец, испытываемый на внецентренное растяжение. Первоначальный надрез продолжается усталостной трещиной, которая создается в результате приложения пульсирующей нагрузки. Фиксируется нагрузка, при которой происходит страгивание трещины. Для того чтобы определить величину Ki” соответствующую моменту страгивания трещины, нужно иметь решение задачи теории упругости для образца принятой формы. Для стандартных образцов такие решения были получены численными методами, результаты представлены в виде аппроксимирующих формул, графиков или таблиц. Если обозначить через Рс силу, при которой страгивается трещина, то критический коэффициент интенсивности находится по формуле
tb Utb U
tb U
tb U
Размеры I, b и t показаны на рис. 19.5.1. На рис. 19.5.2 приведен типичный график этой функции применительно к схеме испытания рис. 19.5.1.
Изложенный способ хорошо проходит для вполне хрупких материалов, например для графита. У стали началу неустойчивого роста трещины предшествует некоторое ее незначительное подрастание при слабо меняющейся нагрузке, происходящее одновременно с формированием пластической зоны около ее конца. Поэтому диаграмма зависимости раскрытия трещины А от силы Р перестает быть линейной и фиксация критической силы Рс носит в известной мере условный характер. Соответствующие правила, обеспечивающие по крайней мере воспроизводимость результатов, оговорены в нормативных документах и здесь, естественно, рассматриватья не будут.
Сила сопротивления раскрытию трещины
В предположении о том, что пластическая зона или зона разрушения у конца трещины очень мала, была получена формула (19.4.4), выражающая силу сопротивления раскрытию трещины Gc через Кс. Ограничиваясь первой модой, перепишем ее следующим образом:
(19.6.1)
Если пластическая зона значительна и распределение напряжений существенно отличается от того распределения напряжений,
которое соответствует слабой сингулярности типа (2пг)-'/2, то формула (19.6.1) утрачивает силу и сама величина критического коэффициента интенсивности теряет смысл. Но сила Gc, соответствующая освобождению упругой энергии при движении трещины, сохраняет смысл и может быть определена непосредственно. Один из методов экспериментального определения силы G, состоит в следующем. Рассмотрим, например, схему испытания надрезанного образца на изгиб сосредоточенной силой Q. Перемещение под действием силы Q точки ее приложения есть и. Поскольку стержень упруг, перемещение пропорционально силе, 〃 = Q6. Величина 6, податливость, зависит от геометрии образца и, конечно, от глубины начальной трещины 2. Существенно знать эту зависимость 6(2), ее можно определить экспериментально, испытывая образцы с разными пропилами. По теореме Клапейрона при действии силы Q упругая энергия
Если при некоторой постоянной силе Q = Qc трещина придет в движение, освобождение упругой энергии будет
Отсюда
& =芸需.(19.6.2)
Если испытание производится на машине с постоянной скоростью захвата, то трещина устойчиво растет с ростом прогиба при падающей нагрузке; регистрируя длину трещины и соотнося ее с величиной прогиба, из одного опыта можно определить податливость 6 как функцию длины трещины I и сразу найти Gc・ Но это будет величина Gc, соответствующая движению трещины, а не страгиванию ее с места. У пластичных материалов эти величины разнятся, у хрупких, например графитов, разница невелика.
В недавнее время концепция силы сопротивления продвижс - нию трещины получила некоторое новое развитие и новую интерпретацию. В работах Эшелби, Райса, Черепанова было показано, что величина G при определенных предположениях может быть представлена в виде некоторого интеграла по пути, не зависящего от этого пути. Пусть U (е^) — упругая энергия на единицу объема тела. Будем рассматривать движение плоской трещины и относить все величины к слою единичной толщины. Рассмотрим интеграл
J = j (и% — Sj"^* 几，"$}(1963)
взятый по некоторому пути, соединяющему точки А и В. Покажем, прежде всего, что этот, так называемый «джей-интеграл» не зависит от пути. Очевидно, для этого достаточно показать, что он обращается в нуль для любого замкнутого пути. Заметив, что dy = 〃ids, преобразуем интеграл по формуле Гаусса — Остроградского
^Udy-оц 譽 njd^ = J J [^- - (a{j 爲 J dz dy. (19.6.4)
Ho
OU _ dU de万 _ - 3气j丄鸣\ _ 丁 a% _ дии
苏H刃j 丁 + 0万b •
Поскольку выполняются уравнения равновесия
0з=0
и
правая часть (19.6.4) обращается в нуль и контурный интеграл равен нулю. Таким образом, /-интеграл не зависит от пути интегрирования. Это свойство сохраняется, если точки Л и В находятся на двух сторонах разреза или трещины. Выясним теперь связь /-интеграла, взятого по произвольной дуге АВ, и силы сопротивления движению трещины. Выделим площадь S, ограниченную дугой АВ и берегами трещины, которую будем предполагать достаточно длинной. Полная энергия части тела (слоя единичной толщины), заключенной в области S, есть
W = ^ Udxdy—(伪沙//?s.SAB
Предположим теперь, что конец трещины продвинулся на расстояние А, при этом совершена работа раскрытия третцины GCA. Эта работа равна изменению энергии части тела S:
GCA = 6Ж.(19.6.5)
Чтобы вычислить 6ГК, заметим, что поля напряжений и перемещений около продвинутой трещины останутся теми же самыми; эти поля можно вычислить, заменив координату 力 на / — А. Таким образом,
8W= (^^dx初一 J。灯察咏s) (— A).
Выполняя интегрирование по координате х и подставляя в
(£9.6.5), находим
Gc = —J.(49.6.6)'
J-интеграл инвариантен, т. е. не зависит от пути интегрирования лишь в том случае, когда существует потенциал U(e^), т. е. когда тело либо упруго, либо подчиняется уравнениям деформационной теории пластичности. Если считать, что материал в пластической области деформируется в соответствии с уравнениями теории течения, например, то /-интеграл уже не будет инвариантен и соотношение (19.6.6) потеряет силу. Условие независимости /-интеграла от пути интегрирования позволяет оценить характер особенности у конца трещины для нелинейного материала. Пусть, например, напряжения и деформации связаны степенной зависимостью о ~ ва. Тогда
1+а
и〜0е〜оТ а."-
Пусть на расстоянии г от кончика трещины о ведет себя как 7m. Тогда первая часть интеграла (19.6.3) будет иметь порядок 卡
(интегрирование по у эквивалентно умножению на г). Чтобы интеграл не зависел от пути, показатель должен быть равен нулю, отсюда
n 一：—.
+a
При a = 1 отсюда получится прежний результат п = —1/2, для идеально-пластического материала a = 0, п = 0 и особенность отсутствует.
(19.6.7)(19.6.7)Если пластическая зона впереди трещины велика, диаграмма зависимости перемещения g от силы Q не будет линейной и формула (19.6.1) становится неприменимой. Однако соотношение
(19.6.7)
(19.6.7)
Ge~ ~Т~дГ
остается верным. Определяя U для разных значений Z просто как площадь, органиченную диаграммой сила ——перемещение, по формуле (19.6.7) можно найти величину Gc ——силу сопротивления движению трещины. В современной литературе часто говорится, что таким способом находится экспериментально величина J-интеграла. Это неточно, для упругопластического материала значение интеграла (19.6.3), вообще говоря, зависит от пути и не может считаться механической характеристикой, тогда как величина Gc всегда сохраняет некоторый объективный
смысл.
воначальной ские зоны,воначальной ские зоны,длиной 2a примыслимые как отрезки нулевой толщины. В этихдлиной 2a примыслимые как отрезки нулевой толщины. В этих
воначальной ские зоны,
воначальной ские зоны,
длиной 2a при
мыслимые как отрезки нулевой толщины. В этих
длиной 2a при
мыслимые как отрезки нулевой толщины. В этих
Линейная модель пластической зоны
Почти одновременно Дагдейл, с одной стороны, .Леонов п Панасюк, с другой, предложили формально эквивалентные модели концевой зоны трещины. Предположение Дагдейла относилось к задаче о трещине в тонком листе, когда можно представить пластическую зону в виде узкой полосы впереди трещины. Де1ь ствительно, пластическая деформация представляет собою сдвиг в плоскостях, составляющих угол л/4 с граничными плоскостями
пластины, в терминах теории пластичности при плоском напряженном состоянии локализация пластического течения в узкой полосе соответствует параболической точке в решении уравнений теории пластичности. Математическая модель соответствует схеме, изображенной на рис. 19.7.1, относящемся к случаю равномерного растяжения вдоль оси у напряжением а-. Трещина с пер- растяжении порождает пластиче-
пластических зонах действует постоянное напряжение, равное пределу текучести От・ Будем рассматривать вместо трещины длиной 2a трещину длиной 2с, отрезки которой aW 丨况| Wc загружены постоянной нагрузкой р(х) = ст. По формуле (19.4.9) коэффициент интенсивности
От напряжения а- коэффициент интенсивности на конце трещины длиной 2c будет по той же формуле
Требуя, чтобы при х = ±с напряжения оставались конечными, мы придем к следующему уравнению:
Отсюда
—os佞詁｝《971)
Положим с —a = d, где d — протяженность пластической области. Если d《a, то а/с « 1 — d/a. При малых d справедливы предположения линейной механики разрушения; значит, имеет определенный смысл величина коэффициента интенсивности. Разла-
гая в (19.7.1) правую часть в ряд и удерживая лишь два члена разложения, получим следующую приближенную формулу для оценки малой протяженности пластической зоны:
(19.7.2)
Эта оценка совпадает с той, которая была получена в § 19.5 из соображений теории размерностей. В условиях плоской деформации или в более сложных случаях, когда толщина плиты не очень мала, но и не слишком велика, оценка сохраняет силу, но числовой коэффициент меняется.
Используя формулы плоской задачи теории упругости, можно определить величину 6С или раскрытие трещины. Мы приведем здесь соответствующую точную формулу без вывода:
="；”“〃1п sec (幾)•(19.7.3)
Отсюда при малых значениях Ое/От, когда пластическая область мала, следует приближенная формула
田=含(1-們=2专.(19.7.4)
Заметим, что эту формулу легко получить с помощью инвариантного /-интеграла. Выберем путь интегрирования так, как показано на рис. 19.7.2 жирной линией. На этом пути dy = О, о//= а〃2, n2ds = dx, в интеграле (19.6.3) остается только про- изводиая от перемещения dujdx и по формуле (19.6.5) мы получаем
Рис. 19.7.2Рис. 19.7.2Gc = — [(〃з) а — (%)»] Or, откуда немедленно следует формула /19.7.4).
Рис. 19.7.2
Рис. 19.7.2
В действительности острый конец трещины перед началом ее продви
жения затупляется, величина раскрытия, предшествующего распространению трещины, может быть измерена. В реальных условиях структура соотношения (19.7,4) сохраняется, меняется лишь числовой коэффициент, который зависит от формы и размеров образца. Поэтому существует пропорциональность между силой сопротивления движению трещины G, или квадратом коэффициента интенсивности Кс, с одной стороны, и величиной критического раскрытия трещины 6С, с другой. Были предприняты значительные усилия по разработке методов определе- вия критического раскрытия трещины для пересчета величин 6с или Кс. Большие надежды, возлагавшиеся на этот метод, связаны с тем, что 6С можно определять на малых образцах, тогда
как для определения К1С необходимо выполнение условий, оговоренных в § 19.5. Эти условия для сталей с невысоким пределом текучести могут быть очень стеснительными. Волна энтузиазма, связанного с методом 6С, достигла максимума около 1970 г., но в последнее время пошла на убыль. Корреляция между 6С и характеристиками вязкости разрушения устанавливается лишь для определенных классов материалов при жесткой стандартизации условий испытаний, и вряд ли можно говорить о 6С как о константе материала.
Длительное разрушение
при высоких температурах. Вязкое разрушение
Теория длительного разрушения или длительной прочности металлов при высоких температурах является в известной мере контрастной по сравнению с описанной выше теорией распро
странения трещин в хрупких или упругопластических телах. При длительном действии нагрузок при повышенной температуре металл ползет, явление ползучести было описано и проанализировано в гл. 18. Там было отмечено, что если уровень напри- жений достаточно высок, то, начиная с некоторого момента, скорость ползучести начинает возрастать (третья фаза ползучести) и процесс ползучести заканчивается разрушением образца.
Основная информация о длительной прочности материала получается в результате испытания на длительную прочность при растяжении. Образец нагружается растягиваюпдей силой, определяется время, по истечении которого образец разрушается. Результаты испытаний представляются в виде так называемой диаграммы длительной прочности, типичная диаграмма представлена на рис. 19.8.1. По оси ординат откладывается логарифм разрушающего напряжения о, по оси абсцисс — логарифм времени до разрушения. В логарифмических координатах эта диаграмма состоит обычно из двух прямолинейных участков, участок АВ с
меньшим наклоном соответствует вязкому разрушению, сопровождаемому большой пластической деформацией. На участке ВС при меньших напряжениях и соответственно больших длительностях деформации разрушения невелики и разрушение можно назвать хрупким или квазихруп- ким. Заметим, что напряжение о относится к первоначальной площади поперечного сечения, поэтому на участке вязкого разрушения по оси ординат в логарифмической шкале откладывается условное напряжение.
В действительности приведенная на рис. 19.8.1 схема реализуется не всегда, у некоторых материалов отсутствует участок вязкого разрушения, у других, наоборот, во всем диапазоне напряжений разрушение носит вязкий характер. Не всегда переход от вязкого разрушения к хрупкому происходит сразу в точке
В диаграммы. В окрестности этой точки
смешанных разрушений, диаграмме соответствует штриховой линией кривая.
Линейный характер
которой на показанная
зависимости
разрушающего напряжения от времени до разрушения подсказывает выбор определяющих уравнений при анализе процесса разрушения. Эти уравнения должны быть такими, чтобы окончательные зависимости представлялись степенными функциями. Рассмотрим способы феноменологического описания того и другого типа разрушений.
Если разрушение происходит при
обычно бывает область
большой деформации, с участком установившейся ползучести можно
йе
не считаться и предполагать
скорость ползучести зависящей только от напряжения. При этом удобно принять логарифмическую меру деформации
е
飞
Здесь х ——длина некоторого отрезка, направленного вдоль оси растяжения, 力о ——его начальная длина.
Уравнение ползучести, как и в § 18.7, мы запишем в следующем виде:
二■
е =gf (а) а + и (а).
(19.8.1)
Если образец растягивается постоянной силой Р, то условное, т. е. отнесенное к первоначальной площади сечения, напряжение есть о。= P/Fo. Из условия несжимаемости материала
К/ = Fx,
Отсюда
号=子"=eхp(2).
Поэтому истинное напряжение равно о = Оо ехр(е).
(19.8.2)；
Исключая с помощью (19.8.2) скорость деформации е из (19.8.1) ,
уравнение для о, которое легко ин-уравнение для о, которое легко ин-(19.8>3)(19.8>3)получим дифференциальное тегрируется, а именно,
уравнение для о, которое легко ин-
уравнение для о, которое легко ин-
(19.8>3)
(19.8>3)
Диаграмма деформирования реальных материалов обычно такова, что при некотором напряжении о = о來 числитель подынтегрального выражения обращается в нуль. Соответствующее значение t по формуле (19.8.3) мы обозначим через 力*. Это время и следует принять за время разрушения. Действительно, график зависимости о от 方 по уравнению (19.8.3) подобен изображенному на рис. 19.8.2 (кривая У), при t = t^ скорость удлинения становится бесконечно большой. Заметим, что условие
g'(%)=0
встречалось нам при рассмотрении вопроса об устойчивости растяжения пластического стержня в § 4.11. Критическому напряжению о* соответствует определенная критическая деформация е*, определяемая из формулы (19.8.2). Таким образом, процесс ползучести устойчив до того момента, когда будет достигнута вследствие ползучести критическая деформация е*・ Это — дефор* мация равномерного растяжения. Фактически при е>е* происходит образование шейки и мгновенный разрыв.
Пренебрегая мгновенной пластической деформацией, мы получим вместо (19.8.3) следующее уравнение:
(19.8.4)(19.8.4)С do
(19.8.4)
(19.8.4)
J0。9) °0
1砲1砲Здесь верхний предел интегрирования принят равным бесконечности, что соответствует превращению образца в бесконечно длинную и бесконечно тонкую нить. График зависимости о от 力 по уравнению (19.8.4) представлен на том же рис. 19.8.2. За критическое время теперь можно принять лишь то конечное время, при котором перемещение и напряжение становятся бесконечно большими. Фактически, конечно, разрыв происходит при некотором конечном перемещении, но кривая о —力 в конце идет вверх чрезвычайно круто и абсцисса асимптоты 九 дает достаточно хорошую оценку времени до разрушения. Если принять степенной закон ползучести v = Аоп, то по формуле (19.8.4) получается
1砲
1砲
(19.8.5)
Степенная зависимость между 力: и а0 хорошо описывает первый прямолинейный участок на диаграмме длительной прочности (рис. 19.8.1).
Хрупкое разрушение при высоких температурах
Длительное действие нагрузки относительно небольшой интенсивности вызывает в металле образование трещин. При достаточно высоких температурах эти трещины имеют закругленные концы и образуются в результате слияния пор, возникающих на границах зерен. Один из предположительных механизмов образования этих пор —— диффузия вакансий из тела зерна к его границам. У технических сплавов, содержащих различные примеси, возможна диффузия примесей к границам и образование хрупких фаз. Ориентировка микротрещин в значительной мере случайна, она определяется ориентировкой граней кристаллов, но по преимуществу трещины возникают на тех гранях, плоскости которых ближе всего к плоскостям, перпендикулярным действию растягивающего напряжения. Этот факт, а также прямые эксперименты на трубчатых образцах при различных видах напряженного состояния приводят к заключению, что интенсивность трещинообразования, а следовательно, и длительная прочность зависят от наибольшего нормального напряжения. Поэтому если на диаграмме рис. 19.8.1 откладывать по оси ординат лота- Ьп巾м наибольшего нормального напряжения, то участок, соответствующий хрупкому разрушению, остается неизменным для всех видов напряженных состояний. Более точный анализ экспериментальных данных привел некоторых авторов к уточнению критерия длительной прочности и введению эквивалентного напряжения, несколько отличного от отах. Получающаяся поправка невелика и здесь рассматриваться не будет. Задача о вязком разрушении, т. е. об устойчивости вязкого течения, будет решаться по-разному для разных форм образцов, поэтому первый участок диаграммы, стремящийся к вязкому разрушению, характеризует лишь те условия, в которых были получены опытные точки, т. е. условия растяжения цилиндрического образца.
' Возвращаясь к вопросу о хрупком разрушении, примем, что наличие микротрещин ослабляет поперечное сечение образца, уменьшая его эффективную площадь. Обозначим через ① степень уменьшения эффективной площади вследствие растрескивания. Если геометрическая площадь поперечного сечения есть F, то эффективная площадь, воспринимающая нагрузку, есть F(1 — о). Поэтому истинное напряжение
а =尸(/~3) = Т=Ъ-(19.9.1)
Здесь рассматривается схема хрупкого разрушения в чистом
виде, поэтому изменение площади сечения, связанное с у длине* нием образца и учтенное в § 19.8, во внимание не принимается^ считается, что удлинение очень мало.
①='ф(0).①='ф(0).Будем считать, что скорость трещинообразованпя есть функ* ция от истинного напряжения
①='ф(0).
①='ф(0).
(19.9.2)
Из уравнения (19.9.1) находится ① как функция о, и после диф ференцирования получаем
Внесем это выражение для(о в (19.9.2), разделим переменные и проинтегрируем. Получим
% =(49.9.3>
ао
Верхний предел интегрирования здесь принят равным бесконеч* ности, как и при рассмотрении вязкого разрушения в § 19.8. В действительности при некотором конечном напряжении, кото* рому соответствует площадь трещин ① V 4, происходит внезапный отрыв. Однако из тех же соображений, что и ранее, мы сохраняем в формуле (19.9.3) бесконечный верхний предел, уточнение этого предела мало сказывается на результате, т. е. на величине 力*——времени до разрушения. Если считать, что ср (о)—— степенная функция <р(о) = сс^, то из (19.9.3) получается
力1
*。(1+用第
Зависимость (19.9.4) отличается от (19.8.5) только показателем ",в логарифмических координатах она изображается также прямой.
В промежуточной области необходимо учитывать как накопление поврежденности ①,так и изменение площади сечения с удлинением образца. Соответствующий анализ может быть иро« делан (Работнов, 1966), мы его здесь не приводим. Приняв за эффективное напряжение величину о, определяемую формулой (19.9.1), мы естественным образом должны прийти к заключению о том, что скорость ползучести определяется тем же эффектив- ным напряжением:
".9.5)
Подставляя сюда найденное из (19.9.3) и (19.9.1) выраженпа
для(о как функции времени 力 мы найдем, что уравнение (19.9.4) будет описывать кривую ползучести с увеличивающейся скоростью. Более общее предположение состоит в том, что скорость ползучести зависит кроме напряжения от двух структурных параметров —параметра упрочнения и параметра поврежденности о. В качестве параметра упрочнения можно принять, как это было сделано в § 18.4, величину накопленной деформации ползучести р. Тогда уравнения одномерной ползучести могут быть записаны, например, следующим образом:
В результате интегрирования этой системы мы получим кривую ползучести с первым участком замедляющейся ползучести, где основную роль играет упрочнение, и с третьим участком ускоренной ползучести, когда параметр поврежденности становится значительным и эффективное напряжение существенно возрастает.
В заключение этого раздела выясним, как определяется длительная прочность при переменных напряжениях. Если ср (о)— степенная функция, ср ~ с (у~^) » то в уравнении (19.9.2) можно разделить переменные:
dco(l —(0尸=c^dt.
Интегрируя от(о = 0 до(о = 1, получим
1 =(1 + 力)J c^dt.о
Если о = const, то 力=力來(о) есть время до разрушения при данном напряжении, причем (1 + к) со' = l/力* (о). Поэтому условие разрушения при переменных нагрузках запишется следующим образом:
J厶9) оJ厶9) о(19.9.6)
J厶9) о
J厶9) о
Уравнение (19.9.6) выражает так называемый принцип линейного суммирования поврежденности.
При экспериментальной проверке принципа линейного суммирования поврежденности обнаруживаются некоторые систематические отклонения, которые, впрочем, не очень велики. Как правило, ошибка получается в сторону занижения долговечности, т. е. повышения запаса прочности.
Понятие об усталостном разрушении
При действии периодических нагрузок, меняющихся очень большое число раз (тысячи и миллионы раз), материалы, разрушающиеся в обычных статических условиях вязко, обнаруживают картину разрушения, совершенно подобную хрупкому разрушению. После некоторого числа циклов на поверхности изделия или образца появляется трещина, которая прорастает все далее и далее до момента разрушения. Ограничиваясь пока случаем простого растяжения — сжатия, будем обозначать среднее напряжение цикла от, амплитуду переменной составляющей о”・ Таким образом, например,
о = 6п + 仇 sin cot(19.10.1)
То, что в качестве периодической функции выбран синус, не существенно, форма цикла мало влияет на условия разрушения, существенно число циклов п, после которого происходит разрушение. Закон изменения напряжения по уравнению (19.10.1) о суще ствляе т ся, например, при изгибе вала, несущего тяжелый маховик. Элементы материала вала испытывают попеременно растяжение и сжатие одинаковой интенсивности, при постоянной угловой скорости ① напряжение есть о = о。sin(ot Такой цикл называется симметричным. Степень асимметрии цикла принято характеризовать параметром г, который определяется как отношение минимального напряжения цикла к максимальному
Г — °min — 07n — %Umax Gm + %
Для симметричного цикла г = —1, при постоянной нагрузке г = +1.
Описанная выше схема нагружения вращающегося вала весом маховика, т. е. силой постоянного направления, используется при устройстве наиболее распространенных испытательных машин. Образец круглого поперечного сечения зажимается в шпиндель, на другом конце образца помещается подшипник, к нему подвешивается груз. Максимальное напряжение подсчитывается по обычным формулам теории упругого изгиба в предположении о том, что материал следует закону Гука. Это не совсем точно, в действительности при циклическом нагружении диаграмма зависимости деформации от напряжения представляет собою криволинейную замкнутую петлю, как схематически показано на рис. 19.10.1. Однако погрешность в определении о обычным сио・ собой невелика и ею можно пренебречь. Прикладывая нагрузки разной величины и фиксируя число циклов до разрушения 八, строят диаграмму, которая схематически показана на рис. 19.10.2. По оси абсцисс откладывается число циклов до разрушения, по оси ординат ——напряжение. Эта диаграмма носит имя Вёлера
испытаний, устанав-испытаний, устанав-口пела циклов. Это число, называемое базой口пела циклов. Это число, называемое базойРис. 19.10.2Рис. 19.10.2
испытаний, устанав-
испытаний, устанав-
口пела циклов. Это число, называемое базой
口пела циклов. Это число, называемое базой
Рис. 19.10.2
Рис. 19.10.2
(1870 г.), который опубликовал первые экспериментальные данные по исследованию усталости. Диаграмма Вёлера для стальных образцов, как оказывается, имеет горизонтальную асимптоту, при n ~ 107 кривая практически выходит на асимптоту, соответствую
щее напряжение называется пределом выносливости и обозначается О-i для данного случая симметричного цикла (г==—1). Особенно хорошо выявляется асимптота, если построить график в полулогарифмических координатах, как показано на рис. 19.10.3.
У цветных металлов и у сталей при повышенных температурах диаграмма Вёлера не имеет асимптоты, предел выносливости определяется условно, как величина напряжения, при котором образец разрушается после заданного
ливается в зависимости от назначения изделия, т. е. от его требуемой долговечности.
Существуют и другие схемы испытания на усталость, при г 三[0, +1], т. е. при одностороннем нагружении, плоский образец изгибается вращающимся эксцентриком. Существуют машины
для испытания на растяжение и сжатие с разным коэффициентом асимметрии цикла, пульсирующая сила создается либо механическим путем, либо при посредстве электромагнита, возбуждающего продольные колебания. В машинах резонансного типа частота возмущающей силы принимается близкой к собственной частоте системы, состоящей из образца и присоединенных к нему масс, система автоматического регулирования поддерживает по* стояйство амплитуды. Основная техническая трудность при ис- пытании на растяжение ——сжатие состоит в центровке образцов; незначительный эксцентриситет приложения нагрузки создает напряжения изгиба, которые практически не поддаются учету. При
обработке и интерпретации результатов усталостных испытаний необходимо иметь в виду следующее.
Большой разброс экспериментальных данных. При испытании большого числа образцов результаты этих испытаний вовсе не укладываются на единую кривую Вёлера, а занимают целую область, схематически показанную штриховкой на рис. 19.10.4.
Поэтому кривая Вёлера представляет собою лишь некоторую среднюю линию. Если число опытов достаточно велико, их можно обработать методами математической статистики и построить кривые, соответствующие данной вероятности разрушения. На рис. 19.10.4 показаны кривые, соответствующие вероятности разрушения 1% и 99 % ・ Теперь предел выносливости следует определять
как напряжение, при котором вероятность усталостного разрушения при достаточно большом числе циклов не превышает некоторую заданную величину. В действительности для получения достаточ)но полной статистической информации нужен очень большой экспериментальный материал,
поэтому под О-】 понимают среднее значение предела выносливости и производят расчет на прочность при симметричном цикле по формуле
аюах<^-, (19Л0.3)
где к ——запас прочности, достаточно большой, чтобы учесть возможный разброс величины а-^ Статистическая теория кривой усталости изложена в книге Болотина.
Масштабный эффект. Для образца диаметром 100 мм из стали предел выносливости может оказаться примерно на 40% ниже, чем для образца диаметром 10 мм. Это объясняется тем, что разрушение начинается от некоторого дефекта, слабого места. Чем больше объем образца, тем больше вероятность нахождения в нем опасного дефекта. Статистическая теория прочности, объясняющая масштабный эффект, будет изложена в § 20.3 приме* нительно к иным объектам, а именно, тонким хрупким волокнам. Приведенный там анализ переносится на задачу об усталостном разрушении, для зависимости прочности от напряженного объема получается следующая формула:
(19.10.4)(19.10.4)
(19.10.4)
(19.10.4)
Здесь o2i есть значение предела выносливости образца с объемом Ро, а — константа, подлежащая определению из опыта, как
это будет разъяснено в § 20.3. Нам казалось, что тонкие волокна ——это более чистый объект для применения статистической теории слабого звена, именно поэтому изложение ее отнесено к гл. 20.
Соотношение (19.10.4) позволяет понять, почему предел вы-
Рис. 19.10.5
выносливости при изгибе. Во втором случае максимальные напряжения действуют в небольшом объеме, примыкающем к поверхности образца. В случае, когда напряжение переменно по сечению, прямое применение формулы (19.10.4) конечно невозможно, но теория § 20.3 позволяет дать количественную оценку разницы между пределом выносливости при изгибе и при растяжении —— сжатии.
Что касается механизма усталостного разрушения, некоторые суждения о нем можно вынести из рассмотрения графика, пред- ставленного на рис. 19.10.5 (Хантер и Фрике, 1953 г.) и относящегося к испытаниям алюминиевых образцов при симметричном цикле. По оси ординат отложено напряжение, отнесенное к условному пределу выносливости о力 определенному на базе 2 • 107 циклов, по оси абсцисс ——число циклов. Кривые соответствуют:
появлению первых следов пластической деформации в кристаллических зернах;
появлению первых микротрещин, обнаруживаемых элект' ронным микроскопом;
началу соединения субмикротрещин в микротрещпны, видимые под оптическим микроскопом;
появлению первой видимой трещины;
разрушению.
44 ю. Н. Работнов
Как видно, процесс разрушения можно разбить на два этапа: инкубационный период, когда внутри материала накапливаются микроскопические повреждения, и этап продвижения магистральной трещины, который заканчивается разрушением. Картина до чрезвычайности напоминает ту, которая наблюдается при длительном разрушении в условиях высоких температур, разница состоит в том, что субмикро- и микротрещины появляются в результате попеременных пластических сдвигов в теле зерна, а не на границах зерен. Существуют теории накопления поврежден- ности при переменных нагрузках (Костюк), которые мы здесь не затрагиваем. Что касается роста трещины, то, как оказывается, скорость его определяется коэффициентом интенсивности напряжений, поэтому можно принять
威dn威dn= /(АК)・= /(АК)・(19.10.5)(19.10.5)
威dn
威dn
= /(АК)・
= /(АК)・
(19.10.5)
(19.10.5)
Здесь Z —— длина трещины, АК = АК【—— амплитуда изменения коэффициента интенсивности, который определяется методами теории упругости. Для функции /(АК) обычно применяют степенную аппроксимацию /(АК)=厶宜7nxeoust. Показатель т в зависимости от материала принимает значения от тп = 2 до m = 6.
Если цикл изменения напряжений несимметричен, то предел выносливости или максимальное напряжение, соответствующее
заданному числу циклов до разрушения, или асимптота кривой Вёлера обозначается аг. Результаты определения предела выносливости при асимметричных циклах бывает удобно представлять в координатах о^ — Ос, как показано на рис. 19.10.6. Проведенная кривая отделяет область состояний, приводящих к разрушению в прямом пли условном смысле, от области допустимых состояний. Точка переселения кривой с осью
о” соответствует пределу выносливости при симметричном цикле о—, на оси абсцисс она отсекает отрезок, равный статическому пределу прочности ав. На этом же графике штриховой линией проведена прямая Отах = От + о。= От・ Область, заключенная между этой прямой и предельной кривой разрушения, будет областью больших пластических деформаций; такие состояния недопустимы. Различные авторы предлагали разные способы для установления вида границы допустимых состояний, основываясь на ограниченном числе опытных данных; изложение этих способов выходит за рамки данной книги.
ГЛАВА 20
МЕХАНИКА КОМПОЗИТОВ
Композиты волокнистого строения
В последние десятилетия наряду с традиционными материа- ламп появились новые искусственные материалы ——так называемые композиты. Строго говоря, термин «композитный материал» или «композит» следовало бы относить ко всем гетерогенным материалам, состоящим из двух или большего числа фаз. Сюда относятся практически все сплавы, применяемые для изготовления элементов конструкций, несущих нагрузку. Соединение хаотически ориентированных зерен пластичного металла и второй более прочной, но хрупкой фазы позволяет в известной мере регулировать свойства конечного продукта, т. е. получать материал с необходимой прочностью и достаточной пластичностью. Усилиями металлургов созданы прочные сплавы на основе железа, алюминия, титана, содержащие различные легирующие добавки. Достигнутый к настоящему времени предел прочности составляет примерно 150 кгс/мм2 для сталей, 50 кгс/мма для алюминиевых сплавов, 100 кгс/мм2 для титановых сплавов. Эти цифры относятся к материалам, из которых можно путем механической обработки получать изделия разнообразной формы. Теоретический предел прочности атомной решетки металла, представляющий собою верхнюю границу того, к чему можно в идеале стремиться, по разным моделям оценивается по-разному, в среднем это 1/10——1/15 от модуля упругости материала. Так, для железа теоретическая прочность оценивается значением примерно 1400 кгс/мм2, что в десять раз выше названной для сплава на железной основе цифры. В настоящее время существуют способы получения тонкой металлической проволоки или ленты с прочностью порядка 400—500 кгс/мм2, что составляет около одной трети теоретической прочности. Однако применение таких проволок или лент в конструктивных элементах неизбежным образом ограничено.
Одним из крупнейших достижений экспериментальной физики последних десятилетий было получение бездислокационных нитевидных кристаллов из металлов, окиси алюминия, карбида кремния, нитрида бора и некоторых других соединений. На этих кристаллах была достигнута теоретическая прочность, что имело огромное принципиальное значение. Надежды на возможность 44*
практической реализации теоретической прочности в конструкциях в общем не оправдались, нитевидные кристаллы слишком малы, диаметр их составляет несколько микрон, а длина 1 —— 2 миллиметра. Наконец обычное стекло в виде тонких нитей диаметром несколько микрон, как оказалось, имеет прочность, равную или превышающую прочность высокопрочных легированных сталей. Из такого тонкого волокна можно делать нити, изго~ товлять стеклоткань. С увеличением диаметра прочность волокна резко падает, прочность же массивных изделий из стекла в сильнейшей степени зависит от состояния поверхности и полностью теряется при появлении мельчайших дефектов. Использование высокопрочных волокон и нитей для несущих элементов конструкций возможно только путем соединения их в -монолитное целое некоторым связующим или погружением их в однородную матрицу. Такой матрицей может служить металл, полимерная смола или что-либо иное. Таким образом, получаются композиты волокнистого строения. В этой главе мы ограничим наше рассмотрение композитами волокнистого строения, армированными прочным волокном.
Первым примером такого рода композитов, получивших достаточно широкое практическое применение, служат стеклопластики (мы не говорим здесь об известных с глубокой древности саманных постройках, т. е. о композитах глина ——солома, механические свойства которых совсем не плохи). Перемешивая полимерную массу с мелко изрубленным стеклянным волокном, мы получаем первый пример композита с хаотическим армированием. Прочность такой пластмассы выше, чем прочность неар- мированного материала, однако потенциальная прочность стеклянного волокна используется при этом далеко не полностью, разрушение всегда происходит по матрице, стеклянные волокна не разрываются, а выдергиваются из пластмассы. Следует заметить, что изделия из хаотически армированных пластиков, например полиэтилена, изготовляются обычными способами ——путем формования, выдавливания, литья. Поэтому стандартное технологическое оборудование оказывается пригодным для получения таких изделий.
Стеклотекстолиты получаются из стеклянной ткани, которая пропитывается полимерной смолой ——эпоксидной, полиэфирной или какой-либо иной. Куски этой ткани укладываются в форму, смола полимеризуется тем или иным способом. Таким образом, можно получить очень просто сложные изделия типа тонкостенных оболочек; для изготовления деталей кузова автомобиля, например, нет необходимости в дорогостоящих сложных штампах и мощном прессовом оборудовании, пропитанная смолой стеклоткань может выкладываться на деревянную или гипсовую форму. Разрушение стеклотекстолитов начинается с того, что хрупкая матрица трескается в местах перегиба нитей, образующих
стеклоткань. Поэтому прочность стеклянных волокон используется далеко не в полной мере.
При изготовлении осесимметричных оболочек из стеклопластиков наилучшие результаты получаются при намотке изделия под натяжением. Стеклянные нити из нескольких катушек собираются в ленту, которая проходит через ванну со смолой и наматывается на оправку на специальном станке. При изготовлении цилиндрической, например, оболочки соли стекловолокна могут укладываться в продольном и окружном направлении, а могут наматываться под разными углами к образующим цилиндра. Меняя порядок укладки армирующих слоев, можно изготовить оптимальное в известном смысле изделие, например, обеспечить его равнопрочность в продольном и поперечном направлении.
Мы не приводим здесь цифр, характеризующих прочность и жесткость стеклянного волокна, эти величины колеблются в довольно широких пределах; зная их, можно вынести лишь весьма относительное суждение о прочности или жесткости композита.
Приведем некоторые сравнительные данные для хороших стеклопластиков, армированных в одном направлении хорошо ориентированным волокном: прочность при растяжении 100 кгс/мм2, модуль упругости Е = 4,2 • 103 кгс/мм2. При плотности около 2 г/см3 удельная прочность, т. е. прочность на единицу массы у стеклопластика оказывается примерно в четыре раза выше, чем у стали, и в полтора раза выше, чем у титанового сплава. Однако низкое значение модуля упругости до чрезвычайности ограничивает возможность использования стеклопластиков в конструкциях, особенно тогда, когда они комбинируются с металлами.
Конструкции из стеклопластиков имеют недостаточную жесткость, использование всего ресурса прочности их часто оказывается невозможным вследствие недопустимо больших перемещений. Тонкостенные конструкции разрушаются обычно вследствие потери устойчивости, а критические нагрузки определяются не прочностью, а модулем упругости. Если соединить титановый элемент с элементом из стеклопластика, например, усилить полку титановой балки элементом из стеклопластика, получится следующее.
Модуль упругости титана равен 11 • 103 кгс/мм2, т. е. в 2,6 раза больше, чем у стеклопластика. Поэтому при совместной работе напряжения в титане будут в 2,6 раза больше. Передел прочности титана и стеклопластика почти одинаков, в результате окажется, что когда напряжения в титановом сплаве равны 100 кгс/мм2, в стеклопластиковой накладке они составляют всего 37 кгс/мм2, т. е. усиление титановой балки накладкой из стеклопластика весьма малоэффективно.
Высокопрочные и высокомодульные волокна
В сравнительно недавнее время были разработаны и промышленно освоены новые непрерывные волокна, обладающие примерно той же или более высокой прочностью, чем стеклянные волокна, и имеющие существенно более высокий модуль упругости. В нижеследующей таблице приводятся данные о прочности и модуле упругости наиболее распространенных и промышленно освоенных видов волокон.
Приводимые здесь цифры носят сугубо ориентировочный характер. На мировом рынке имеется множество видов волокон с чрезвычайно разнообразными механическими характеристиками и не всегда бывает возможно отличить рекламные данные от фактических. Если значения модуля более или менее устойчивы, то цифры прочности весьма условны, они характеризуют относительные преимущества того или иного вида волокна, но не фактическую реализацию прочности в композите. В таблице приведены некоторые характерные значения этих величин.
Вид волокон
0, кгс/мм2
Е • 10~3, кгс/мм2
Стеклянные Борные Угольные Органические
2%0
350 150-300
280
7,2 40 20—45
13
Как будет разъяснено далее, прочность волокна зависит от случайных дефектов, поэтому можно говорить не об абсолютной величине прочности, а о статистическом распределении величин прочности, определяемых в данных условиях на образцах данной длины (обычно 10 мм). Приводимые в таблице цифры представляют собою среднее значение прочности, для задания прочности как случайной величины нужно задать по меньшей мере величину дисперсии, а лучше ——истинную кривую распределения прочности. На образце малой длины вероятность встретить опасный дефект меньше, поэтому следует ожидать, что средняя прочность увеличивается с уменьшением длины образца. Такого рода масштабный эффект действительно довольно сильно выражен у волокнистых материалов.
В других главах этой книги мы не касались свойств отдельных материалов и тем более не затрагивали вопросов, связанных с физической или структурной природой прочности. Конструктор выбирает материалы из имеющегося ассортимента, расчетчик, применяющий методы теории упругости или теории пластичности к оценке прочности, использует лишь весьма скупую
информацию о свойствах применяемого материала, заимствуя ее из справочников или, редко, из результатов лабораторных испытаний. Строгое распределение функций конструктора и материаловеда накладывает определенный отпечаток на традиционный образ мышления инженера, работающего с металлами. Особенность композитов заключается в том, что материал создается в процессе изготовления конструкции. Располагая различным образом волокна, меняя их плотность, т. е. процентное содержание в матрице, можно в принципе получить элементы, обеспечивающие необходимую прочность при наименьшей затрате материала, т. е. оптимизировать конструкцию. Однако реализация оптимального проекта встречает подчас технические трудности, которые могут оказаться непреодолимыми. В результате находится некоторое промежуточное, компромиссное решение. Именно поэтому в настоящей главе, посвященной механике новых материалов, изложению собственно механических представлений будут предпосланы краткие сведения об армирующих волокнах и матрицах.
Борные волокна получаются в результате осаждения бора из газовой фазы на раскаленную вольфрамовую проволоку. Диа* метр проволоки около 10 мкм, диаметр борного волокна бывает обычно 100—-150 мкм. Высокая стоимость вольфрамовой проволоки определяет в значительной мере дороговизну борного волокна, поэтому существует тенденция к увеличению диаметра. Однако более толстое и более жесткое волокно становится малопригодным, например, для намотки.
Кристаллические зерна бора растут на поверхности вольфра^ мовой нити, образуя поликристаллическую структуру с радиальной ориентацией. Дефекты поверхности нити порождают неправильности крист а л личе ской структуры и создают дефекты волокна, снижающие его прочность. Отсюда ——высокие требования к чистоте поверхности вольфрамовой нити. Возможность замены вольфрама нитями из стеклоуглерода обсуждалась в литературе, некоторый практический опыт в этом направлении имеется, однако после нескольких лет работы и большой рекламы (фирма АВКО в США) борного волокна на угольной подложке на рынке практически нет.
После получения волокна вольфрамовая подложка практически исчезает, превращаясь в бориды вольфрама, таким образом, цент- тральная часть волокна обладает очень малой прочностью. Упругие свойства волокна анизотропны, но какие-либо прямые данные о характере этой анизотропии и о величине упругих постоянных отсутствуют, известны только модуль упругости при растяжении вдоль оси волокна и модуль сдвига, определяемый методом крутильных колебаний. Последняя величина является комплексной, т. е. представляет собою некоторую комбинацию основных упругих констант.
Прочность борного волокна в поперечном направлении, по- видимому, невелика. Об этом можно судить потому, что на микрофотографиях шлифов разорванных композитов обнаруживаются продольные трещины.
Углеродное волокно получается обычно в результате карбонизации полиакрилнитрильного волокна. Процесс изготовления этого волокна довольно сложен и содержит несколько стадий: окисление при умеренной температуре, карбонизация и высокотемпературная обработка. Как известно, решетка углерода представляет собою плоскую гексагональную решетку с минимальным расстоянием между атомами 1,42 А. Атомы соединены между собою валентными связями, и модуль упругости в плоскости решетки равен 105 • 103 кгс/мм2, т. е. превышает модуль упругости стали в пять раз. Поэтому и теоретическая прочность также очень высока. Атомные плоскости, отстоящие друг от друга примерно на 3,5 А, связаны между собою относительно слабыми силами, у монокристалла графита модуль упругости в направлении, перпендикулярном атомным слоям, примерно в 200 раз меньше, чем модуль в плоскости слоя. В угольном волокне атомные плоскости ориентированы таким образом, что они содержат в себе прямые, приблизительно параллельные оси волокна.
Средний угол разориентации составляет у хорошего волокна 8—10°. Поэтому модуль упругости при растяжении волокна оказывается в 2,5—5 раз меньше, чем модуль при растяжении в плоскости атомной решетки. При одинаковой степени разориентации материалы, полученные по разной технологии, обнаруживают разные значения модуля. Это связано, по-видимому, с тем, что пучки атомных плоскостей объединяются в слегка искрив^ ленные фибриллы, видимые под электронным микроскопом. Межфибриллярные связи, определяющие эффективный модуль сдвига, могут быть более сильными и менее сильными. Соответственно и характер разрушения моноволокна при разрыве может быть различным, при слабых межфибриллярных связах волокно рассыпается при разрыве в пыль, при сильных ——разделяется на две части более или менее гладкой поверхностью.
В зависимости от температуры обработки получаются волокна либо с высокой прочностью, либо с высоким модулем. При изготовлении углеродных волокон они соединяются в пряди, а пряди в нити. Прядь может содержать 30 моноволокон, а нить 50 прядей, нить слегка подкручивается.
Органические волокна. В обычных полимерах длинные цепные молекулы образуют клубки. Специальные методы позволяют получить полимерное волокно с практически прямолинейными длинными цепными молекулами, ориентированными параллельно оси волокна. При растяжении в этих волокнах реализуется высокая прочность, указанная в табл. 1. Модуль упругости при-
мерно вдвое выше, чем у стеклянного волокна, но существенно меньше, чем у углеродного и борного. Боковые связи между цепными молекулами органического волокна очень слабы, поэтому в композите оно может расщепляться. Композиты, армированные органическим волокном, очень плохо сопротивляются сжатию.
Стеклянные, борные и углеродные волокна следуют закону Гука до момента разрыва, поэтому удлинение при разрыве невелико и энергия, затрачиваемая на разрушение, низкая. Органические волокна обнаруживают некоторые пластические свойства, диаграмма растяжения в конце искривляется, уменьшая свой наклон, и площадь под диаграммой, т. е. работа разрушения, может быть больше, чем у более жестких борных и углеродных волокон.
§ 20.3. Статистическая природа прочности волокна
Так называемые статистические теории прочности были разработаны первоначально в целях описания результатов испытаний на усталость и предсказания прочности элементов машин, находящихся под действием переменных нагрузок. Краткие сведения об усталости были сообщены в одном из параграфов предпоследней главы (§ 19.10). Здесь мы заметим, что результаты испытаний обнаруживают большой разброс, и поэтому современная точка зрения на расчет изделий состоит в том, что мы не можем с абсолютной достоверностью гарантировать прочность изделия, а можем лишь утверждать, что вероятность его разрушения достаточно мала. В основе одной из таких статистических теорий лежит гипотеза слабого звена. Существо этой гипотезы состоит в следующем. Тело мыслится составленным из большого числа структурных элементов, каждый из которых имеет свою локальную прочность. Разрушение всего тела в целом происходит тогда, когда выходит из строя хотя бы один структурный элемент. Для массивных тел такое предположение чрезмерно упрощает фактическое положение дел; для разрушения тела как целого, вероятно, необходимо, чтобы вышла из строя некоторая группа элементов, именно так строятся более сложные и совершенные теории. Но для моноволокна гипотеза слабого звена правильно отражает существо дела. Прямое микроскопическое обследование поверхности волокна ——борного, угольного или иного —— показывает, что на волокне всегда имеются разного рода дефекты ——мелкие и крупные. Эти дефекты расположены случайным образом. Прочность образца волокна длиной Z определяется прочностью его наиболее слабого дефектного места и, таким образом, является случайной величиной. Результаты испытаний партии из некоторого достаточно большого числа волокон п представляются при помощи диаграмм, подобных изображенной на рис. 20.3.1. Число волокон, разорвавшихся при напряжении, ле-
жащем между а и d+i, есть 儿厶 соответствующий прямоугольник, заштрихованный на рисунке, имеет стороны d+i — ^ и пг Изменим масштаб диаграммы, будем откладывать по оси ординат
вместо rii величинувместо rii величинуSr+i-q)'Sr+i-q)'тогда суммарная площадь фи
вместо rii величину
вместо rii величину
Sr+i-q)'
Sr+i-q)'
гуры, ограниченной ломаной и осью абсцисс, будет равна единице. Уменьшая интервалы по оси абсцисс, мы получим в пре
деле плавную кривую (рис. 20.3.2) плотности р(о) распределения прочности волокон длиной I, подчиненную условию нормирования
4-00
j р(о) da = 1.
Теперь величина'
尸(о) = j р (о) da
представляет собою относительное количество волокон, прочность которых не больше о.
Аппроксимируя непосредственно установленное из опыта дискретное распределение прочности непрерывным, мы можем определить:
среднюю величину прочности волокна
+ 8
〈о〉= j op (a) da;(20.3.1)
дисперсию прочности D или среднее квадратичное откло* нение
4-00
D2 = J (а — 8〉)2P (a) da.
Из этой формулы следует
D2 = J 02P (о) do —〈о〉2.(20.3.2)
Отношение
w = D/〈o〉
называется коэффициентом вариации.
Задание средней прочности <о> и в некоторых случаях дисперсии D часто считается достаточным для того, чтобы охарактеризовать прочность волокна. Во всяком случае в технических условиях на волокно фиксируется величина <о> (при заданной длине образца), а иногда ставится требование, чтобы коэффициент вариации w не превосходил некоторого предела. В действительности эти данные совершенно недостаточны для суждения о реальной прочности композита, как будет показано ниже.
Характер зависимости прочности от длины волокна можно установить, не делая каких-то специальных предположений о механизме разрушения и о статистике распределения дефектов. Если F (Z) — вероятность отсутствия на участке длиной I таких дефектов, которые соответствуют разрушающему напряжению, меньшему чем о, так что 歹=1 —Р(о) при фиксированном о, то для участка длиной Г та же вероятность будет 歹(％')・ Предположим теперь, что участки I и. Г соединены последовательно. По теореме об умножении вероятностей вероятность неразрушения участка длины Z + Г равна
F(l + V) = F(l)F^).(20.3.3)
Возьмем логарифмические производные по 2 от обеих частей равенства (20.3.3). Получим
dlnb(Z + Z') dlnb(Z) _ сdl= --&
Величина с должна быть постоянной, поскольку она не меняется от прибавления к длине I произвольной длины V, Интегрируя (20.3.4), получим
F(Z) = exp(-cZ).(20.3.5)
При этом учтено, что F(0) = 1 и соответственно 歹(8)= 0. Отсюда следует
尸(厶 о)= 1 — ехр(—4).
Величина с должна быть функцией действующего напряжения. Делая некоторые дополнительные гипотезы, ряд авторов получали для функции с (о) следующее выражение:
с = (о — Оо)а X const при о > о。，с = 0 при о W 6).
Соответствующее распределение обычно записывается в следующем
виде:
Р = 1 — expР = 1 — expL尸一。0fL尸一。0f(20.3.6)(20.3.6)
Р = 1 — exp
Р = 1 — exp
L尸一。0f
L尸一。0f
(20.3.6)
(20.3.6)
Формула (20.3.6) обычно называется, не вполне правильно, распределением Вейсбулла. Фактически эта формула содержит три константы, выделение характерной длины Lo представляет определенные удобства для приложений, это может быть, например, длина стандартного образца для испытаний. Напряжение о。представляет собою пороговое напряжение, при о < о0 разрушение невозможно. В действительности определение трех констант по данным эксперимента приводит к неустойчивым результатам и величину о。часто полагают равной нулю, так будем поступать п мы. Дифференцируя (20.3.6), находим плотность распределения
2（昨贏倚Г ”р卜专尙）2（昨贏倚Г ”р卜专尙）(20.3.7)(20.3.7)
2（昨贏倚Г ”р卜专尙）
2（昨贏倚Г ”р卜专尙）
(20.3.7)
(20.3.7)
Здесь принято о0 = 0. Вычислим по формуле (20.3.1) среднюю
прочность
8〉8〉
8〉
8〉
Сделав замену переменной
мы приходим к интегралу, определяющему гамма-функцию
J zV%xp (— z)dz = Г(1 + ^о，
и получаем следующую формулу для средней прочности: 〈°〉= % 偿)％ (1+抖 (20.3.8)
Совершенно аналогичные вычисления приводят к следующему выражению для дисперсии прочности (по формуле (20.3.2)):
D =修户，中+力兽卜+ ^(20.3.9)
и для коэффициента вариации
(2。31。)
Существенно заметить, что коэффициент вариации не зависит
от о*. Этот результат получается вследствие того, что в формуле (20.3.6) было принято Оо = 0・ В противном случае величина w будет зависеть как от о。，так и от о*・ На рис. 20.3.3 представлен график зависимости zp от а по формуле (20.3.10).
Зависимость средней прочности <о> от длины образца L, даваемая формулой (20.3.8), описывает масштабный эффект. В логарифмических координатах зависимость между средней прочностью и длиной L по формуле (20.3.8) изображается прямой
линией, наклон которой увеличивается с увеличением коэффициента вариации. Отсюда следует, что может возникнуть положение, схематически изображенное на рис. 20.3.4. Материал / обнаруживает большую среднюю прочность, чем материал II при длине образца 厶0・ Но а2 < аь поэтому у материала II масштабный эффект выражен сильно и для более коротких образцов длины L' картина оказывается обратной, средняя прочность материала II выше.
Прочность пучка
Задача о прочности пучка волокон с различной прочностью его индивидуальных составляющих была полностью исследована в работе Даниелса (1945 г.), относящейся к текстильным нитям. Схема Даниелса с незначительным изменением была перенесена на проблему прочности при растяжении однонаправленного композита, армированного непрерывным волокном. В основу этой схемы полагаются некоторые упрощающие предположения, а именно, считается, что модуль упругости всех волокон одинаков. При выводе соответствующих формул, если число волокон весьма велико, нам нет необходимости даже вставать на вероятностную точку зрения. Представим себе пучок детерминирован^ ным, пусть Р(о)—отношение числа волокон, разрывающихся
при напряжении, меньшем (или равном) о, к общему числу волокон. Предполагая, что волокна распределены в пучке равномерно и диаметр их в среднем одинаков, мы находим, что при напряжении, равном о, Р(о) представляет собою долю (относительную площадь) сечения пучка, в котором волокна уже разорваны, поэтому нагрузка передается на относительную площадь 1 — Р(о). Обозначим через о。 условное напряжение, т. е. силу, отнесенную к первоначальной пло- %щади сечения леразрушенного пучка.
勿Тогда истинное напряжение равно
/ ц 。=宀
/I \ Отсюда следует
“3'6о0==о(1-Р(о)). (20.4.1)
Рис. 20.4.1Поскольку волокна следуют закону
Гука, о = Ее, поэтому уравнение (20.4.1) может рассматриваться как уравнение диаграммы растяжения пучка (рис. 20.4.1). Максимальное значение прочности пучка От соответствует максимуму этой диаграммы. Дифференцируя (20.4.1) по о и приравнивая результат нулю, получим
1 一 Р(『)一 Jp (『)=0.(20.4.2)
Здесь ,(о) = Р(о) — плотность распределения прочности волокон. Из (20.4.2) находится величина а7 и в результате подстановки в (20.4.1) прочность пучка 0° = %. Величина。俏 всегда оказывается меньше средней прочности 〈о〉・ Для иллюстрации рассмотрим очень простой пример, когда плотность распределения р(о) постоянна в интервале с 三(о_, о+) и вследствие условия нормировки р = 1/ (о+ — с_) •
Интегральная плотность распределения имеет вид
尸(0)=託夫(。>。-).
Подставляя в (20.4.2), получаем следующее уравнение:
0+ - 2d = 0.,
Отсюда
п по формуле (20.4.1)
Если о+ = 2о_, то От = п_, при。一 > “2 нужно принять о_ =。'
и опять-такп от = о_, т. е. реализуется наименьшее значение
прочности пучка. В крайнем случае о+ = 2о_, <о> = Зо_/2, таким образом, прочность пучка в полтора раза меньше средней прочности образующих его волокон.
Теперь поставим следующий вопрос. Пусть известно распределение прочности моноволокон, определенное на некоторой длине £()・ Требуется определить прочность пучка волокон длиной L. Если L < Lo (а для композитов, как будет показано ниже, выполняется именно это условие), то в силу вступают два противоположных фактора. С одной стороны, масштабный эффект при большом коэффициенте вариации выражен более сильно, поэтому средняя прочность на длине L растет по сравнению с прочностью, определенной на длине 厶一 С другой стороны, реализация прочности в пучке от оказывается ниже средней прочности и это снижение прочности увеличивается с ростом коэффициента вариации. Поэтому не вполне ясно, какому волокну следует отдать предпочтение, с большим разбросом прочности или с малым разбросом. Во всяком случае, предъявляемые иногда к поставщикам волокна требования ограничить дисперсию прочности некоторым узким пределом не могут считаться оправданными.
Предположим, что распределение прочности волокон определяется формулой Вейсбулла (20.3.6) при о。= 0. Подставляя в (20.4.2), находим
и по формуле (20.4.1)
伶П訂 & (20.4.3)
КоэффициентКоэффициент(20.4.4)прочности(20.4.4)прочностиВ этой формуле е есть основание натуральных логарифмов. Сравнивая с формулой (20.3.8), запишем это выражение в виде
Коэффициент
Коэффициент
(20.4.4)
прочности
(20.4.4)
прочности
можно назвать коэффициентом реализации средней в пучке. Приведем некоторые значения его:
а 51020
宓 0,646 0,754 0,841
Неэффективная длина волокна в композите
(20.5.1)(20.5.1)Обозначим через vf объемное содержание волокна в композите и соответственно vm = 1— vf ——объемное содержание материала матрицы. Получим следующее выражение для среднего напряжения в однонаправленном композите:
(20.5.1)
(20.5.1)
О = О// + Om〃m.
Здесь О/ ——напряжение в волокне, От ——напряжение в матрице. Пренебрегая эффектом поперечной деформации, связанной с неодинаковостью коэффициента Пуассона, найдем, что при совместной и одинаковой деформации волокна и матрицы напряжения относятся как модули упругости. Полимерная матрица упруга вплоть до момента разрушения, отношение модуля упругости угольного волокна к модулю упругости эпоксидной смолы Ef: Ет = 40 000 : 350 = 114, когда напряжение в волокне равно пределу прочности порядка 6 = 300 кгс/мм2, ow = 300 :114 = = 2,6 кгс/мм2, тогда как предел прочности смолы порядка 7—— 8 кгс/мм2. Этот простой подсчет, имеющий целью лишь оценку порядка величины, показывает, что волокна рвутся раньше, чем матрица. Это тем более относится к материалам с металлической
матрицей, способной деформироваться пластически. Если композит состоит из п волокон, то в идеальном случае прямолинейных волокон с одинаковым модулем и одинаковой площадью поперечного сечения усилия распределяются между этими волокнами равномерно. Если одно волокно оборвется, то в том сечении, где произошел обрыв, нагрузка распределится на п — 1 волокон, напряжение в волокнах увеличится и далее разрушение будет происходить по схеме пучка. Распределение усилий между разорванным волокном и соседним, еще не разорванным, осуществляется в результате сдвиговой деформации матрицы, и на некотором расстоянии Zo от места обрыва наличие обрыва практически не будет сказываться на распределении усилий, величина усилия в оборванном волокне будет почти та же, что и в соседних необорванных волокнах. Длина Zo называется неэффективной длиной, длина 2Z0 принимается за длину пучка, к которому применяется изложенная в § 20.4 теория. Для оценки неэффективной длины применяются различные схемы, которые мы и рассмотрим.
Сдвиговый анализ. Рассмотрим волокно, помещенное в трубку из упругого материала матрицы, как показано на рис. 20.5.1. Радиус волокна пусть будет г, радиус трубки R・ Наружная поверхность трубки жестко закреплена. Предположим, что материал трубки работает только на сдвиг, смещение сечения, находящегося на расстоянии х от места обрыва, пусть
будет 〃(力)• Уравнение равновесия элемента длиной dx запишется следующим образом:
лг2 芻 + 2лгг = 0.
Но о = £ ди/дх, вследствие сделанного предположения о том, что
поэтому по-поэтому по-(20.5.2)(20.5.2)матрица работает только на сдвиг, t = 卩〃/(R — г), лучим следующее дифференциальное уравнение:
поэтому по-
поэтому по-
(20.5.2)
(20.5.2)
—7 Н—5 = 0 или —о- Н—= 0.
" 俨dj 俨dх
Здесь
(20.5.3)(20.5.3)
(20.5.3)
(20.5.3)
Решение уравнения (20.5.2), удовлетворяющее условию о(0) = 0 и о(8)= о。，есть
(20.5.4)(20.5.4)о = Оо(1 — е7/в)・
(20.5.4)
(20.5.4)
Определение неэффективной длины, конечно, может быть только условным, например,
длина, на которой напряжение достигает 90% своего предельного значения (Розен),
■ 2,300;
длина 厶 на которой интеграл J (о。——о) &% = к。， о
Касательное напряжение т определяется из условия равновесия, они принимает максимальное значение при % = 0, а именно,
стах =00呼•
Как правило, это напряжение оказывается выше, чем предел прочности материала матрицы при сдвиге.
Решения теории упругости. Более строгая схема решения той же задачи состоит в том, что оборванное волокно рассматривается включенным в анизотропную упругую среду, упругие постоянные которой находятся в результате определения характеристик составляющих гетерогенной системы волокно ——матрица. Мы не приводим здесь это довольно сложное решение, при построении которого волокно рассматривается как стержень и граничные условия на плоскости обрыва удовлетворяются интеграль- но. Оценки неэффективной длины оказываются близкими к тем, которые были получены выше, но распределение касательных 45 ю. И. Работнов
напряжений оказывается существенно иным. На рис. 20.5.2 представлены примерные графики условия t (况)для решения, найденного по схеме пункта 1, и в результате применения методов теории упругости. Наибольшее значение касательного напряжения
достигается на некотором расстоянии от конца и оно существен
но больше, чем это следует из упрощенного сдвигового анализа. Поэтому обрыв неизбежным образом сопровождается отслоением матрицы от волокна. Но такое
ОО2 отслоение, на какие малые расстояния
О
О
оно бы ни распространялось, неизбежно создает сингулярность для напряжений. Картина получается совершенно подобной той, которая изображена на рис. 20.5.3: трещина распространяется вдоль плоской границы двух материалов с разными упругими свойствами. Решение этой пло
ской задачи обнаруживает тот же характер особенности, что и для трещины в однородном материале, напряжение на кончике трещины обращается в бесконечность, как г~1/2, решение соответствующей реальной осесимметричной зада
чи неизвестно.
Определение неэффективной длины с учетом силы трения. Есть основания предполагать, что при вытаскивании волокна из матрицы не происходит сразу полного освобождения волокна
Рис. 20.5.3Рис. 20.5.3Рис. 20.5.4Рис. 20.5.4
Рис. 20.5.3
Рис. 20.5.3
Рис. 20.5.4
Рис. 20.5.4
по всей поверхности. Существует некоторая сила, остающаяся постоянной на определенном, притом не столь малом пути, которая оказывает сопротивление движению волокна. Будем называть эту силу силой трения и обозначим через т величину силы на единицу площади поверхности. Теперь идеальная расчетная схема должна была бы носить такой характер. Цилиндрическая трещина продвинулась на длину Zo (рис. 20.5.4), вследствие растяжения матрицы на поверхность цилиндра длиной Zo и радиусом г действует сила трения 2лг/0т; эта сила равна растягивающему усилию в волокне. Но по определению эффективной длины при x>lQ напряжение в волокне постоянно и равно о0, следовательно, усилие есть 冗产о°・ Разность усилий по левую и
по правую сторону сечения % =厶 создает сингулярность поля напряжений, и коэффициент интенсивности пропорционален этой разности. Если бы мы умели вычислять величину этого коэффициента интенсивности Ки и знали значение критического коэффициента интенсивности, мы смогли бы найти величину 厶.Верхняя оценка для 2° получится в предположении о том, что Кнс — О, таким образом,
2лг/0T =冗产0, откуда
20 T (20.5.5)
Величина т вообще неизвестна, и пути ее экспериментального определения неясны. Во всяком случае она меньше, чем сопротивление композита разрушению при сдвиге. Принимая т = =2 кгс/мм2, о = 240 кгс/мм2 (ориентировочные оценки для углепластика), получим 2° ^ 30d при d = 10 мкм, Zo = 0,3 мм. При разрыве композита поверхность разрыва напоминает щетку, из разлома матрицы, как щетинки, торчат кончики оборванных волокон. Средняя длина этих вытянутых кончиков равна неэффективной длине волокна. Результаты таких измерений показывают, что величина неэффективной длины в сильной степени зависит от технологии изготовления композита, определяющей величину т в формуле (20.5.5), для композитов углерод ——эпоксидная смола величина Zo может достигать 0,5——1 мм. При этой длине большая дисперсия прочности волокон приводит к снижению прочности пучка за счет коэффициента реализации к, определяемого формулой (20.4.4), который не перекрывается увеличением средней прочности вследствие масштабного эффекта.
Однонаправленные композиты с металлической матрицей
Композит, армированный строго параллельными волокнами одного направления, обнаруживает в направлении армирования наибольшую прочность. В поперечном направлении сопротивление его очень невелико, сопротивление сдвигу в плоскости, содержащей волокна, также низкое. Модуль упругости в направлении армирования определяется достаточно точно по правилу смесей, вытекающему непосредственно из формулы (20.5.1). Если деформации волокна и матрицы одинаковы, то
Е е EfVf + Emvm. (20.6.1)
Эта формула приближенна по двум причинам. Во-первых, волокна и матрица имеют разный коэффициент Пуассона, поэтому происходит неравномерная поперечная деформация и возникает поле 45*
микронапряжений. Во-вторых, угольные и органические волокна объединяются в слегка подкрученные нити и параллельность укладки нарушается. Однако формула (20.6.1) дает приемлемые результаты, хотя пользоваться ею следует лишь для ориентировочных предварительных Прикидок при проектировании материала. Определить модуль упругости Е на готовом композите технически гораздо проще, чем набирать статистику модулей моноволокон. В еще большей степени это относится к другим упругим постоянным.
Что касается предсказания прочности композита по данным о прочности его компонент, результаты многочисленных работ разных авторов привели пока к результатам в общем негативным. Теория пучка, изложенная в § 20.4, даст лишь материал для ориентировочных суждений, уточнение этой теории требует исчерпывающей статистической информации не только о прочности моноволокон, но и о распределении модуля упругости. Распределение Вейсбулла не описывает достаточно точным образом распределение прочности моноволокон, фактически распределение оказывается бимодальным, т. е. функция имеет два максимума. Поэтому экстраполяция прочности на малые разрывные длины, основанная на распределении Вейсбулла, совершенно ненадежна. Определение неэффективной длины в большой мере условно. Поэтому здесь будут изложены лишь некоторые наполовину качественные соображения, принадлежащие Милейко и позволяющие объяснить наблюдаемое изменение прочности и характера разрушения композита в зависимости от объемного содержания волокна. В некоторых случаях эти соображения подсказывают меры, необходимые для улучшения свойств композита.
Пластичная матрица. Если материал матрицы пластичен, а волокно хрупко, при достижении удлинения, соответствующего пределу прочности волокна, последнее рвется, тогда как матрица продолжает вытягиваться. В некоторых старых работах (Келли и др.) делается вывод о том, что при малой концентрации хрупких волокон прочность композита может оказаться ниже прочности матрицы. Волокна разрываются при сравнительно низком среднем напряжении, а дальше вся нагрузка воспринимается матрицей, относительная площадь сечения которой vw меньше, чем площадь сечения исходного материала, vm = 1 — i^. Это уменьшение прочности происходит до тех пор, пока vf меньше некоторого критического значения vKP. При vf > vKp большая часть нагрузки воспринимается прочными волокнами и прочность композита растет с увеличением 力.Эта схема была бы верна, если бы разрушение всех волокон происходило в одном и том же сечении. В действительности при малых значениях vf по мере удлинения матрицы происходит беспорядочное дробление. Распределение растягивающего усилия в каждом кусочке длины I > 2Z0 будет таким, как показано на рис. 20.6.1, а, при даль-
нейшей вытяжке возможен разрыв в той средней части, где напряжение максимально.
Если 2& 22о, график распределения усилия будет соответствовать рис. 20.6.1, б, вероятность разрыва такого кусочка волокна уже мала. В результате оказывется, что все волокна раздробятся на отдельные куски длиной от Zo до 2Z0. Величина Zo определяется в данном случае максимальным напряжением, которое
может выдержать отрезок волокна установленной длины, т. е. прочностью волокна, экстраполированной на длину Zo. В результате средняя прочность кусочков раздробленного волокна будет иметь порядок〈o(Zo)〉，она соответствует, например, L = Zo в формуле (20.3.6), если считать справедливой гипотезу слабого звена при распределении Вейсбулла. Теперь прочность композита будет определяться формулой, следующей из (20.5.1):
о = а^〈0/(%)〉+ (1 — Р/)唸. (20.6.2)
Здесь а — коэффициент, учитывающий то, что в одно и то же сечение композита попадают разные сечения оборванных волокон. На конце волокна напряжение равно нулю, в середине оно равно〈0/(幻〉，поэтому коэффициент а равен примерно 1/2. Величина от—это то напряжение в матрице, при котором рвутся или выдергиваются короткие волокна, оно меньше чем о^, если материал матрицы способен к упрочнению. На рис. 20.6.2 в координатах о — и/ уравнению (20.6.2) соответствует прямая 2・
Другой возможный механизм разрушения композита состоит в следующем. При существующей технологии изготовления волокнистых композитов нельзя быть уверенным в том, что волокна распределятся в матрице равномерно. Всегда возможны образования, подобные показанным схематически на рис. 20.6.3. Несколько волокон оказываются плотно сомкнутыми между собою, образуя цепочку длиной с. Если разорвется одно волокно
цепочки, вблизи разрыва появится концентрация напряжений в соседнем волокне, оно разорвется в свою очередь и так далее, пока в композите не образуется трещина длиной с. Может случиться, что она остановится, а может быть и так, что она пойдет дальше и образец разделится на две части. Предполагая вторую возможность, определим прочность композита следующей формулой:
О = U/G/min + (1 —端(4・О = U/G/min + (1 —端(4・(20.6.3)(20.6.3)
О = U/G/min + (1 —端(4・
О = U/G/min + (1 —端(4・
(20.6.3)
(20.6.3)
0 V m^ X (…).0 V m^ X (…).(20.6.4)(20.6.4)
0 V m^ X (…).
0 V m^ X (…).
(20.6.4)
(20.6.4)
Здесь О/min — некоторое относительно небольшое напряжение, при котором разрывается одно волокно цепочки. Следует ожидать, что эта величина уменьшается с возрастанием d力 поскольку
при этом увеличивается число волокон, находящихся в цепочках. Мы не будем учитывать этой возможности и представим уравнение (20.6.3) прямой 2 на рис. 20.6.2.
СтрОГО ГОВОРЯ, КОнеЧНО, От=И=5п, но мы пренебрегли этой разницей на чертеже, точно так же, как мы приняли предельное значение vf = 1, тогда как при плотной упаковке круговых цилиндров одинакового диаметра vf = 0,907. Теперь нам предстоит выяснить, когда вступает в силу второй ме
ханизм разрушения, которому соответствует меньшая прочность. Обозначая через Кс критический коэффициент интенсивности, заметим, что для изотропного материала
Кс
При этом было G = ~言-Kcf где G — работа продвижения трещины на единицу длины или сила сопротивления ее движению. Для анизотропного материала можно было бы вывести аналогичные точные формулы, которые в данном случае для нас бесполезны, существенно то, что
Заключенное в скобки и обозначенное точками выражение представляет собою функцию упругих констант, которая зависит от vf. Но эта зависимость не должна нас интересовать. Существенно то, что сопротивление раскрытию трещины происходит за счет пластической деформации матрицы, оно уменьшается с уменьшением объемной доли матрицы, т. е. увеличением 力・ При 力=1 следует считать G = 0, что мы и делали по существу, предположив, что разрыв одного волокна в цепочке приводит к раз-
рыву всех волокон и образованию трещины длиной с. Таким образом, границей неравенства (20.6.4) служит на рис. 20.6.2 падающая кривая 5. Ломаная ABCD изображает зависимость прочности о от объемного содержания волокна и『,характерное падение прочности после точки В отмечалось в экспериментах. Опытные точки на участке АВ мало отклоняются от прямой, на участке BCD разброс опытных данных существенно больше. Это легко понять, если заметить, что величина с случайна и условия образования трещины размером с также не вполне определенны. Для композиции углерод — алюминий, например, оптимальное содержание угольного волокна, соответствующее точке 5, оказалось равным примерно 0,2—0,3.
Композиты с полимерной матрицей
Полимерная матрица следует закону Гука почти до момента разрушения, незначительные отклонения от закона упругости могут не приниматься во внимание. Как правило, удлинение матрицы при разрыве в несколько раз больше, чем удлинение волокна, поэтому качественная картина поведения такого композита в известной мере напоминает поведение композита с металлической матрицей: при малом объемном содержании волокна возможно его дробление. Однако малая прочность матрицы по отношению к касательным напряжениям и довольно слабая связь между волокном и матрицей вносят свою специфику. В композите органическое волокно ——эпоксидная смола, наоборот, разрывное удлинение смолы меньше, чем удлинение волокна. Ввиду малой прочности матрицы происходит ее дробление на мелкие частички, которые легко отваливаются, обнажая пучки волокон, которые уже относительно легко обрываются.
В армированном высокопрочными волокнами композите трещина не будет распространяться поперек волокон, а приведет к расслоению. Этот механизм впервые был описан и объяснен Гордоном и Куком, которые проделали следующий анализ. Была рассмотрена пластина с эллиптическим отверстием с полуосями а и Ь. Пластина растягивается в направлении малой полуоси. Напряжение О22 достигает максимального значения в точке 况 1 = = %2 = 0 (рпс. 20.7.1), напряжение аи достигает максимума в некоторой точке с координатами /,=/*, %2 = 0. Отношение максимального напряжения ои к максимальному напряжению 022 было вычислено для разных отношений Ыа. Оказалось, что с уменьшением ЭТОГО отношения величина (Оц)тах/(О22)тах стремится к некоторому пределу, который для изотропного материала равен 1/(ЗУЗ)« 0,192 (этот точный результат найден Полиловым, Гордон и Кук считали на ЭВМ и получили отношение около 1/5). Из этого был сделан вывод о том, что если прочность в направлении оси %1 меньше,, чем примерно 1/5 прочности в направле-
нии укладки волокон, образуется показанная на рисунке продольная трещина, которая воспрепятствует росту поперечной.
С другой стороны, Полилов показал, что в некоторой точке контура эллиптического отверстия, отмеченной крестиком на рис. 20.7.1, достигают максимума касательные напряжения （h2, При ЭТОМ ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО Материала ОТНОШеНИе （0i2）max/（022）max оказывается равным приблизительно 0,324 при Ъ/а ~> 0. Касательные напряжения на контуре щели оказываются более опасными, чем нормальные напряжения перед кончиком трещины, и картина расслоения скорее напоминает ту, которая показана на рис. 20.7.2.
Мы не приводим здесь решения для распределения напряжений около эллиптического отверстия, оно может быть получено по методу, схематически описанному в § 10.5, это решение можно найти в книгах Мусхелишвили [8], Савина [13], Амен- Заде. Для анизотропного материала решение также построено, отношение（0i2）max，（022）max получается меньшим, чем для изотропного, но оно почти всегда больше, чем отношение пределов прочности матрицы на сдвиг и композита на разрушение вдоль волокон. Можно определить ту величину объемного содержания волокон, при котором распространение поперечной трещины и продольное раскалывание равновероятны. Для композиции стеклянное волокно ——эпоксидная смола соответствующее значение vf колеблется от 0,2 до 0,3. В реальных стеклопластиках значение vf равно приблизительно 0,7.
На рис. 20.7.3 приведена фотография разорванного образца из однонаправленного углепластика. Видно, что короткие поперечные разрывы разделяются длинными продольными трещинами и схема пучка, описанная в § 20.4, может быть применена лишь с большой натяжкой. Таким образом, прочность однонаправленного композита даже при растяжении в значительной мере определяется сдвиговой прочностью матрицы и прочностью адгезии, которую в свою очередь можно характеризовать критическим коэффициентом интенсивности К“ с. Определение прочности матрицы на сдвиг обычно производят путем опыта на изгиб
сосредоточенной силой по схеме, изображенной на рис. 20.7.4. По элементарной теории (§ 9.16) наибольшее касательное напряжение в сечении будет в срединной плоскости и оно равно
Ттах = 4 0=多，ьь无.
Экспериментально определяемые значения 工料 как оказывается,
Рис. 20.7.3Рис. 20.7.3зависят от отношения 〃九 опытные точки в координатах ттах, l/h располагаются примерно так, как это показано на рис. 20.7.5. В области I трещина образуется ниже середины сечения и сопровождается разломом, в области II происходит действительно разрушение от сдвига в нейтральной плоскости, наконец, в области III — разлом от нормальных напряжений и ный характер. Очевидно,зависят от отношения 〃九 опытные точки в координатах ттах, l/h располагаются примерно так, как это показано на рис. 20.7.5. В области I трещина образуется ниже середины сечения и сопровождается разломом, в области II происходит действительно разрушение от сдвига в нейтральной плоскости, наконец, в области III — разлом от нормальных напряжений и ный характер. Очевидно,□力□力точки для ттах носят фиктив-точки для ттах носят фиктив-чточтозначениязначения
Рис. 20.7.3
Рис. 20.7.3
зависят от отношения 〃九 опытные точки в координатах ттах, l/h располагаются примерно так, как это показано на рис. 20.7.5. В области I трещина образуется ниже середины сечения и сопровождается разломом, в области II происходит действительно разрушение от сдвига в нейтральной плоскости, наконец, в области III — разлом от нормальных напряжений и ный характер. Очевидно,
зависят от отношения 〃九 опытные точки в координатах ттах, l/h располагаются примерно так, как это показано на рис. 20.7.5. В области I трещина образуется ниже середины сечения и сопровождается разломом, в области II происходит действительно разрушение от сдвига в нейтральной плоскости, наконец, в области III — разлом от нормальных напряжений и ный характер. Очевидно,
□力
□力
точки для ттах носят фиктив-
точки для ттах носят фиктив-
что
что
значения
значения
дела прочности при сдвиге соответствуют определению его в области 77, границы которой устанавливаются визуально по характеру разрушения (обычно l/h от 4 до 6). Характер разрушения в области I объясняется, по-видимому, тем, что у очень коротких балок сжимающие нормальные напряжения в плоскостях, параллельных нейтральной, увеличивают сопротивление сдвигу. Действительно, давление передается, как показано схематически на рис. 20.7.4, через ролики довольно большого радиуса, чтобы уменьшить местное смятие. С другой стороны, для балки из материала с резко различающимися между собою модулями нормальной упругости и сдвига концевой эффект затухает не по Сен-Венану. Действительно, в § 20.5 на основе сдвигового анализа было показано, что для волокна радиусом г на
пряженная зона вблизи его конца простирается на глубину §, определяемую формулой (20.5.3). Поэтому следует ожидать, что если поперечный размер стержня из композитного материала
I { I I Ш
Рис. 20.7.5 есть Л, длина зоны краевого эффекта будет иметь порядок не 无, а Д, умноженное на корень квадратный из отношения Е/卩. Для коротких балок из однонаправленных композитов величины X и Z оказываются одного порядка, поэтому теория поперечного изгиба, описанная в § 9.16, для них неприменима.
Малая жесткость по отношению к межслойному сдвигу приводит к тому, что кроме прогиба, определяемого по обычной теории изгиба (§ 3.8), появляется дополнительный прогиб, связанный со сдвиговой деформацией. Соответствующая приближенная теория была дана еще Тимошенко, последующие уточнения мало что к ней прибавили. Мы изложим идею этой теории на простом примере балки на двух опорах, загруженной сосредоточенной силой Р посредине (z = 〃2). Прогиб в точке приложения силы / состоит из двух частей / = Л + /2, величина /1 находится из обычной теории изгиба. По способу, изложенному в § 3.8, мы легко находим
Перерезывающая сила Q по абсолютной величине всюду равна Р/2, она меняет знак в точке приложения силы. Касательное напряжение в сечении от перерезывающей силы т =(2гр(^,沙)， где 2(/, у} — функция, определяющая распределение касательных напряжений по сечению и удовлетворяющая условию
f巾(/，y)dF = 1.
Теперь потенциал перемещений от поперечной силы выразится
следующим образом:
о го
Здесь а есть интеграл от гр2 по площади. В теории Тимошенко, который принимал в стержне прямоугольного сечения параболическое ^распределение напряжений, зависящих только от вертикальной координаты 巩 получается
а = 6/5.(20.7.1)
Определяя прогиб /2 по теореме Кастильяно, легко найдем
Складывая /i и /2, находим, что первая, основная часть прогиба увеличивается пропорционально кубу длины, тогда как /2 зависит от длины в первой степени. Отсюда следует, что, испытывая на изгиб балки разной длины, можно выделить величину /2 и, следовательно, найти модуль межслойного сдвига 卩.Фактически для стеклопластиков получить таким способом надежные результаты не удалось, мелкие экспериментальные ошибки неизбежным образом накладываются и вносят большую погрешность. Пока что, как нам представляется, единственный надежный способ определения ц состоит в испытании на кручение двух стержней прямоугольного сечения с разными отношениями сторон. Способ обработки, описанный в § 9.12, позволяет определить по отдельности модуль сдвига в плоскости листа и модуль межслойного сдвига. Так, для однонаправленного углепластика было найдено, что модуль межслойного сдвига равняется 230 кгс/мм2, тогда как модуль сдвига в плоскости слоя 570 кгс/мм2.
Упругие свойства и разрушение композитов сложного строения
В авиации и реактивной технике, где главным образом применяются современные композитные материалы, обычная техника изготовления листов и пластин состоит в том, что сначала изготовляется так называемый препрег. На барабан под натяжением наматывается лента из волокна, пропитанного смолой. Лента может быть изготовлена заранее с очень редким и слабым утком, а может формоваться непосредственно в процессе намотки — нити с нескольких катушек просто укладываются рядом, образуя сплошную ленту. После намотки лист разрезается по образующей и укладывается на плоскость. Из этих листов или препре-
гов собирается пластина, которая полимеризуется под давлением. Монослои препрега укладываются под разными углами, таким способом можно получить желаемую анизотропию. Иногда слои однонаправленного препрега чередуются со слоями ткани или материалами типа бумаги или даже металлической фольги. Здесь мы изложим только общую схему определения упругих постоянных и расчета на прочность таких сложных пластин, фактическое проведение вычислений без применения ЭВМ затруднительно, а вопросы, связанные с техникой разного рода расчетов, в этой книге не излагаются.
Принимая за основной элемент структуры монослой, будем задавать его упругие свойства тензором модулей упругости 耳》必, который для ортотропного материала может быть задан так, как это сделано в § 10.6. Однако для расчетов нам будет удобно задавать тензор Е靓% (窘 у, 4, 2=1, 2) по отношению к произвольной системе координат. Все слои деформируются одинаково, поэтому напряжения в слое номер s будут
。力=Eijki^kb (20.8.1)
Теперь средние напряжения в композите определятся по формулам
0订=Ei力1/6加,0订=Ei力1/6加,(20.8.2)(20.8.2)
0订=Ei力1/6加,
0订=Ei力1/6加,
(20.8.2)
(20.8.2)
где hs ——толщина слоя с номером s.
Результат обращения соотношений (20.8.2) запишем следующим образом:
«办=^ijkl^kl •
Здесь Е試I ——тензор податливости или матрица, обратная матрице Eijki. При конкретных расчетах бывает удобно переходить на матричный язык, представляя тензор модулей упругости как симметричную матрицу 3X3. Внеся выражения для е^ в формулы (20.8.2), получим
吟=-^ijkl^kb Rijhl —^ijpq^pqkl •(20.8.3)
Теперь проверяется выполнение условия прочности
厶(或))&0(20.8.4)
для каждого слоя по отдельности. Обычно разрушение какого- либо слоя принимается за разрушение конструкции. Но, вообще говоря, выход из строя одного слоя не означает еще потери несущей способности оболочки или пластины. После разрушения в каком-либо смысле одного из слоев его упругие константы изменяются, соответственно, изменяется величина Rijhi и мы должны последовательно проверять оставшиеся слои.
Что касается условия прочности монослоя, здесь возможны
два вида разрушения: скалывание матрицы и разрыв волокон. Если обозначить напряжение вдоль волокон ап, напряжение в
Рис. 20.8.1Рис. 20.8.1перпендикулярном направлении ап и касательное напряжение тп, то разрушение произойдет при нарушении одного из следующих двух условий:
Рис. 20.8.1
Рис. 20.8.1
^п <^ 仇，/ (。汽，^п) <^ 倉・(20.8.5)
Второе условие с достаточной степенью точности аппроксимируется линейной функцией, а именно,
тп + топ V 4.(20.8.6)
На рис. 20.8.1 приведены опытные точ
ки и прямая, соответствующая уравнению (20.8.6). Опыты производились на растяжение образцов, вырезанных под углом к направлению армирования. Величина 乃,как видно, представляет собою сопротивление сдвигу матрицы. По-видимому, этот способ определения А: дает наиболее точные результаты.
При растяжении стержня напряжением о под углом ср к направлению армирования мы имеем о^ = о cos2 ср, an= a sin2 ср,
тп = ^sin 2(р. Если угол ср мал, то приблизительно ап =а (1—ср2), 。；=。屮2, F = о(р・ Для углепластика было определено к = 5,6 кгс/мм2, тогда как 仇=80——100 кгс/мм2. Пренебрегая квадратом угла ср, найдем, что разрушение от скола не произойдет в том случае, когда ср < ~4°.
Укладка слоев волокна с небольшой разориентировкой ±5°, как оказывается, дает определенные преимущества. Прочность на разрыв почти не меняется по сравнению с однонаправленным материалом, но перекрестное армирование тормозит развитие возникших на случайных дефектах трещин. В результате дисперсия прочности оказывается существенно меньшей, чем у одно- направленнога материала при той же средней прочности.
Система из нитей трех различных направлений будет геометрически неизменяема, поэтому современные композиты выкладываются таким образом, чтобы было не менее трех направлений армирования. Если принять за ось /【среднюю линию пластины, то обычная укладка ——это укладка в четырех направлениях под углами к этой оси 0, я/2, 士ср. При чередовании слоев следует сохранять симметрию относительно средней плоскости, чтобы растяжение не сопровождалось изгибом. Варьируя количество слоев той или иной ориентации и меняя угол ср, можно в известном смысле оптимизировать конструкцию, выбирая же-
лаемую степень анизотропии. При оценке такого композита условие (20.8.6) становится малосущественным, разрушение слоя ——это разрыв его волокон, после чего слой просто выключается из работы. Упругие свойства композита теперь мало зависят от упругости смолы, модуль упругости в направлении 〃' и модуль сдвига малы по сравнению с модулем упругости Е в направлении волокон. Поэтому тензор модулей упругости слоя, волокна которого составляют угол ср с осью 尤匕 определится следующим образом. Деформация в направлении п есть еп = =е^ПаЩ. Потенциал напряжений для слоя
U = ｝石^ = ^ ЕпаП^ПуП^.
Поэтому
石1aВ*р6 Е〃а〃В〃у〃6•(20.8.7)
Здесь, как обычно, па,...——направляющие косинусы волокон слоев с номером s по отношению к осям координат /【и х2.
Для системы 0,冗/2, 土屮 при относительных толщинах Ло, Ля/2, % после элементарных вычислений находим
= ^ (% + ЙФ C°S4 叫 后2222 =务(^л/2 + % sin4 屮)，
"_%e2・2""(20.8.8)
£]122 — h COS (p SIM ф = £1212，H -瓦十历门/2 十九中.
Теперь при оценке прочности нужно проверять только условие (20.8.5) и в случае его нарушения повторять расчет, полагая в формулах (20.8.8) толщину разрушенного слоя равной нулю. Конечно, такая схема расчета довольно груба. Уточнение ее связано с довольно громоздкими выкладками.
В заключение остановимся на вопросе о влиянии концентраторов напряжений на прочность армированных пластиков. Напомним, что теоретическим коэффициентом концентрации называется отношение наибольшего нормального напряжения в некоторой точке к величине среднего напряжения, которое при растяжении, например, получается путем деления силы на ослабленную площадь поперечного сечения. Эффективный коэффициент концентрации — это отношение нагрузки, разрушающей гладкий образец, к нагрузке, разрушающей образец с концентратором, при условии, что минимальная площадь сечения в том и другом случае одинакова. Очевидно, что теоретический коэффициент концентрации и эффективный коэффициент не должны совпадать, вовсе не обязательно, чтобы разрушение происходило в результате достижения нормальным напряжением предельного значения в одной только точке. У металлов образование пластических зон перераспределяет напряжения и,
как мы видели в гл. 15, наличие концентратора может даже повысить несущую способность по сравнению с гладким образцом. Композиты с полимерной матрицей ведут себя упруго вплоть до разрушения, и разрушение действительно происходит вследствие отрыва. Однако эффективный коэффициент концен
трации оказывается для них значительно меньше, чем теоретический. По формулам § 10.5 мы можем после некоторых сравнительно несложных вычислений определить поле напряжений около круглого отверстия, растягиваемого приложенным на бе
сконечности напряжением а. Оказывается, что наибольшие нормальные напряжения возникают в точках А и В (рис. 20.8.2), при этом теоретический коэффициент концентрации равен 3. Но в некоторых точках С и D (и симметричных с ними), положение ~ которых определяется полярным углом 叭 достигают максимального значения касательные напряжения 012. Величина угла 2 близка к 20°. Для анизот
ропного материала решение
более сложно, но результат
получается сходным. Коэффициент концентрации оказывается больше 3. Угол 叭 определяющий положение точки мак
симума касательного напряжения, сравнительно мало зависит от степени анизотропии. Но композит плохо сопро
тивляется сдвигу, поэтому в точках, где достигает максимума
касательное напряжение, появляются показанные на рисунке трещины. В однонаправленном материале эти трещины распространяются вдоль штриховых линий на всю длину образца и приводят к общему разрушению. При перекрестном армировании они продвигаются неглубоко и практически не раскрываются; разрушается Смола, но не волокна. Но возникновение этих небольших трещин разгружает материал в окрестности опасных точек А и В. Схематически можно представить дело так, как если бы растягивалась изображенная на рис. 20.8.2 сбоку полоса с неглубокой выточкой. Для коэффициента концентрации напряжений в такой полосе существует приближенная формула Ней- бера, по этой формуле для теоретического коэффициента концентрации к получается оценка к = 1,4— 1,6. Такие же значения получаются для эффективных коэффициентов концентрации напряжений для образцов из стеклопластиков и углепластиков с круглым отверстием.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Болотин В. В. Статические методы в строительной механике.——М.: Строй- издат, 1961.
Д е Вит Р. Континуальная теория дисклинаций. Механика.——М.: Мпр, 1977.——(Новое в зарубежйой технике.)
Закономерности ползучести и длительной прочности: Справочник/Под ред. С. А. Шестерикова.— М.: Машиностроение, 1983.
Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности.— М.: Наука, 1966.
Качанов Л. М. Основы механики разрушения.——М.: Наука, 1974.
Клюшников В. Д. Математическая теория пластичности.— М.: Изд-во МГУ, 1979.
Л я в А. Математическая теория упругости.— М.: ОНТИ, 1935.
Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.——М.: Наука, 1966.
Новожилов В. В. Теория упругости.——М.: Судпромгиз, 1958.
Партон В. 3., Морозов Е. М. Механика упругопластического разрушения.—М.: Наука, 1974.
П о б е д р я Б. Е. Механика композиционных материалов.— М.: Изд-во МГУ, 1984.
Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций,— М.: Наука, 1966.
Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел.——М.: Наука, 1977.
С а в и п Г. Н. Распределения напряжений около отверстий.— Киев: Нау- кова думка, 1968.
Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки.—М.: Физматгиз, 1963.
Хилл Р. Математическая теория пластичности.——М.: Гостехиздат, 1956.
Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения.— М.: Наука, 1974.
§ 14.4. Прямолинейные дислокации
Ю.Н.РАБОТНОВ
МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
圖
Ю. Н. РАБОТНОВ
МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР 6 качестве учебного пособия для студентов механико-математичестшх и физических специальностей университетов
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
①ИЗИКО-МАТЕМАТИНЕСКОЛ ЛИТЕРАТУРЫ
1988
ББК 22.251
Р13 УДК 539.3
Работ нов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела.— Учеб, пособие для вузов,— 2-е изд., испр.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.— 712 с.
ISBN 5-02-013812-6
Книга представляет собой объединение элементов сопротивления материалов, теории упругости, теории пластичности, теории ползучести, вязкоупругости и механики разрушения.
При изложении материала акцент делается на связь между физическими и механическими теориями и на общие принципы в большей мере, нежели на практические расчетные методы, которые легко найти в справочной литературе.
Для студентов университетов в качестве учебного пособия, а также инженеров и специалистов в области механики деформируемого твердого тела.
Табл. 2. Ил. 334. Библиогр. 17 назв.
Рецензенты:
член-корреспондент АН СССР В. В. Болотин,
доктор физико-математических наук В. Д. Клюшников
Юрий Николаевич Работное
МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Редактор Н. Л. Рябенькая
Художественный редактор Т. Н. Колъченко
Технический редактор И. Ш. Аксельрод
Корректоры Т. С. Вайсберг, 〃. С. Сомова
ИБ № 32630
Сдано в набор 06.04.87. Подписано к печати 18.12.87. Т-25212. Формат 60X90/16. Бумага тип. № 1. Гарнитура обыкновенная. Печать высокая. Усл. печ. л. 44,5. Усл. кр.-отт. 44,5. Уч.-изд. л. 44,65. Тираж 8650 экз. Цена 1 р. 80 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077 г. Новосибирск 77. Станиславского, 25
р 1703040000-040g6 88
053(02)-88'
©
ISBN 5-02-013812-6
Издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы, 1979; с изменениями 1988
ПредисловиеПредисловиеПредисловиеПредисловие910910а.1.2 3 4 5 6 в 1 1 1 4J 1 1а 03 О38г 8г 80 § ла.1.2 3 4 5 6 в 1 1 1 4J 1 1а 03 О38г 8г 80 § л161618212224273016161821222427301.234567.8 9з.зз.з.з.з.зз.3.§os§§os§§§ §1.234567.8 9з.зз.з.з.з.зз.3.§os§§os§§§ §38404242454851545862636670737676788083879193981031061091141141151181211231273840424245485154586263667073767678808387919398103106109114114115118121123127
ПредисловиеПредисловие
ПредисловиеПредисловие
9
10
9
10
а.1.2 3 4 5 6 в 1 1 1 4J 1 1
а 03 О38г 8г 80 § л
а.1.2 3 4 5 6 в 1 1 1 4J 1 1
а 03 О38г 8г 80 § л
16
16
18
21
22
24
27
30
16
16
18
21
22
24
27
30
1.234567.8 9з.зз.з.з.з.зз.3.§os§§os§§§ §
1.234567.8 9з.зз.з.з.з.зз.3.§os§§os§§§ §
38
40
42
42
45
48
51
54
58
62
63
66
70
73
76
76
78
80
83
87
91
93
98
103
106
109
114
114
115
118
121
123
127
38
40
42
42
45
48
51
54
58
62
63
66
70
73
76
76
78
80
83
87
91
93
98
103
106
109
114
114
115
118
121
123
127
ОГЛАВЛЕНИЕ
ко второму изданию к первому изданию