ПРЕДИСЛОВИЕ

В последние годы все интенсивнее развивается новое научное направление в термомеханике — исследование динамических процессов в анизотропных и изотропных телах с учетом конечной скорости распространения тепла 118, 41, 60]. Вводя в принцип Онза- гера характеристику скорости изменения теплового потока — тепловую инерцию, С. Калиский [68] установил обобщенный закон теплопроводности анизотропных тел. Для изотропных тел этот закон впервые установил А. В. Лыков [36, 37] как гипотезу о конеч・ ных скоростях распространения тепла и массы для тепло- и влаго- переноса в капиллярно-пористых телах. Учитывая члены, появляющиеся в уравнении теплопроводности и граничных условиях теплообмена, полученных на основе обобщенного закона, приходим к обобщенной теории теплопроводности. Задачи теплопроводности,- решаемые на основе этой теории, назовем обобщенными. История развития данного направления в теплопроводности достаточно полно представлена К. Баумейстером и Т. Хамиллом [3]. А. В. Лнков 138], проанализировав обобщенную задачу теплопроводности для полупространства, граничное значение температуры которого изменяется в начальный момент времени незначительно, оставаясь далее постоянным, интерпретирует скорость распространения тепла как производную по времени от глубины проникновения тепла.

Учитывая члены тепловой инерции, появляющиеся в уравнении теплопроводности взаимосвязанной или несвязанной задачи и в граничных условиях теплообмена, а также инерционные члены в уравнениях равновесия, приходим к новой теории динамической термомеханики, которую будем называть обобщенной. Динамические задачи термомеханики, решаемые на основе этой теории, в отличие от классических задач, не учитывающих влияние тепловой инерции^ получили название обобщенных [71].

Настоящая монография посвящена развитию основ обобщенной динамической теории термомеханики анизотропных и изотропных тел, учитывающей конечность скорости распространения тепла.

В первых двух ее частях выводятся уравнения и соотношенияг доказываются основные теоремы, формулируются граничные условия обобщенной термоупругости однородных и неоднородных массивных тел и тонкостенных элементов конструкций (пластин, стержней и оболочек). Приводятся решения обобщенных взаимосвязанных и несвязанных задач термоупругости для тел, подвергаемых тепловым ударам внешней средой или внутренними источниками тепла

или гармоническим воздействиям. Приведенные примеры содержат анализ влияния учета конечной скорости распространения тепла на распределение динамических температурных напряжений в различных телах.

В настоящее время в меньшей мере получили развитие обобщенные теории магнитотермоупругости, термовязкоупругости и термопластичности. В третьей части монографии содержатся лишь некоторые общие вопросы и решения некоторых частных обобщенных динамических задач магнитотермоупругих и термонеупругих тел.

В монографии в основном использованы результаты исследований авторов и их сотрудников О. Ф. Гирняк, Н. А. Кондратюка, Ф. В. Семерака, В. А. Скородинского, Е. П. Хомякевича.

Авторы благодарны О. Ю- Юшкевич, X. Н. Гудыме, С. Т. Ста- сюку, В. О. Волосу за помощь в подготовке рукописи к печати.

ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

%( (i = 1, 2, 3) или 尤,у, z — прямоугольные декартовы координаты, г, ф, z — цилиндрические координаты, г, Ф，0 —сферические координаты, д» — тепловой поток в направлении %厶

% (/, / = 1, 2, 3) — коэффициенты теплопроводности анизотропного тела,

% — коэффициент теплопроводности изотропного тела, се —— объемная теплоемкость при постоянной деформации, @ — объемная теплоемкость,

а =коэффициент температуропроводности,

р — пл отность, т — время, тг — время релаксации теплового потока, Cq — скорость распространения тепла, / = 9 — /0 — приращение температуры точек тела, О — абсолютная температура точек тела, /0——температура тела в ненапряженном состоянии, 3t — плотность внутренних источников тепла, ахх, Uyyt °2z* °%у = Gg Gyz = °2Р，°%z = ^zx ——компоненты тензора напряжений в декартовых координатах,

°11 = °ХХ，°22 = °缈，°33 = °22，°12 = °21 = °М，°23 = °32 = °PZ，°13 = °3i = =o#z — компоненты тензора напряжений в декартовых нумерованных осях,

и, у, з — компоненты вектора перемещений в декартовой системе координат, 〃1, 〃2，〃з —— компоненты вектора перемещений в декартовой системе координат с нумерованными осями,

urt 〃①，иг ——компоненты вектора перемещений в цилиндрической системе координат,

〃，，〃①，〃е ——компоненты вектора перемещений в сферической системе координат,

^хх> egp, ezz, е*д = Су*， eyz = «zy, e*z = ^z% — компоненты тензора деформаций в декартовых координатах,

е〃 ——компоненты тензора деформаций в декартовых нумерованных осях,

立/ -— компоненты тензора скоростей деформаций в декартовых нумерованных осях,

%，%Ф，4z，％ф = V» % = 4，，《ф2 = 4Ф — компоненты тензора деформаций в цилиндрической системе координат,

%「，ефф，咏，% = вфг, % = % 勿①=еф9 — компоненты тензора деформаций в сферической системе координат,

а〃，а力一температурные коэффициенты лйнейного расширения и сдвига анизотропного тела,

а/ ——температурный коэффициент линейного расширения изотропного тела, s — энтропия,

入，卩一постоянные Ляме,

-—коэффициент Пуассона,

Е — модуль упругости,

G — модуль сдвига,Xj — компоненты вектора массовых сил,pi — составляющие внешней нагрузки на поверхности S тела,G — модуль сдвига,Xj — компоненты вектора массовых сил,pi — составляющие внешней нагрузки на поверхности S тела,q阳一упругие постоянные анизотропного тела,

G — модуль сдвига,

Xj — компоненты вектора массовых сил,

pi — составляющие внешней нагрузки на поверхности S тела,

G — модуль сдвига,

Xj — компоненты вектора массовых сил,

pi — составляющие внешней нагрузки на поверхности S тела,

Т, 7* — интегральные характеристики температуры пластин и оболочек,

6 — интегральная характеристика температуры стержня,

а2 ——коэффициент теплоотдачи с боковых поверхностей пластинки (z = 士 6), а?——коэффициент теплоотдачи с боковых поверхностей оболочки (у = 士 д), as — коэффициент теплоотдачи с поверхности S пластинки, тела,

а© а，，а2 — коэффициенты теплоотдачи с поверхностей стержня,

а，—— коэффициент теплоотдачи с цилиндрической поверхности стержня (г = R), 28 — толщина пластинки, оболочки, покрытия,

2h ——ширина промежуточного слоя или подкрепляющего элемента,

6“ 一 символ Кронеккера,

£「一 относительная диэлектрическая проницаемость,

Нг ——относительная магнитная проницаемость,

А — оператор Лапласа,

(1 при ^>0,/1 при £> 0,

s+@=S_@ =

(0 при g《0,(0 при W V 0 — асимметричные единичные функ

ции,

(1 при >0,

S (9 = при g = 0,

(0 при ^ < 0 — симметричная единичная функция,

6 @ — Функция ^Дирака,

Jv (t), yv (?)— функции Бесселя I и II рода,

丿V (?) — модифицированная функция Бесселя I рода,

Ку (С)——функция Макдональда,

erf (С)——интеграл вероятности,

九 1，几2 ——компоненты вектора внешней нормали п к цилиндрической поверхности S пластинки,

好 —температура среды, омывающей поверхности г = ± 6 пластинки, у =* =士 3 оболочки,

，——температура среды, омывающей поверхность S пластинки,

心一компоненты вектора внешней нормами п к поверхности тела.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ АНИЗОТРОПНЫХ И ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ

ГЛАВА ПЕРВАЯ

ОБОБЩЕННАЯ ТЕРМОУПРУГОСТЬ ОДНОРОДНЫХ ТЕЛ

В настоящей главе выводятся уравнения и соотношения обобщенной взаимосвязанной и несвязанной динамической термоупругости анизотропных и изотропных тел с источниками тепла. Формулируются краевые условия и доказываются основные теоремы теории обобщенной термоупругости анизотропных тел. Некоторые теоремы для изотропных тел приведены в работах [56, 63].

Обобщенный закон теплопроводности. Краевые условия

В классической теории теплопроводности принято, что скорость распространения тепла является бесконечно большой. В этом случае, согласно закону теплопроводности Фурье, вектор теплового потока пропорционален градиенту температуры, т. е.

% =—九厶(1.1)

Классический закон теплопроводности (1.1) можно использовать в теории квазистатических температурных напряжений при медленном изменении во времени теплового воздействия. При изучении динамических температурных напряжений в деформируемых телах, когда инерционными членами в уравнениях движения нельзя пренебречь, зачастую необходимо учитывать, что тепло распространяется не бесконечно быстро, а с конечной скоростью

Q =(1.2)

(для металлов тг q Ю-11 се& [38]).

Поскольку тепловой поток устанавливается в теле не мгновенно, а характеризуется конечным временем релаксации, то обобщенный закон теплопроводности в изотропной среде можно представить в виде

也・=一入/小(1.3)

где / = 1 4- тг -^-, т/( — тепловая инерция теплового потока,厶=

Соотношение (1.3) впервые предложил А. В. Лыков [37] как гипотезу о конечных скоростях распространения тепла и массы для

тепло- и влагопереноса в капиллярно-пористых телах. Обоснованию обобщенного закона теплопроводности для изотропных тел и построению на его основе гиперболического уравнения теплопроводности для одномерного случая посвящены работы [3, 37, 38]. А. В. Лыковым [37] рассмотрен вопрос о возможности обобщения гиперболического уравнения теплопроводности на трехмерный случай.

Для анизотропного тела обобщенный закон теплопроводности запишем так [68, 69]:

/% = — ЦАу-(1・4)

Принимая, что тепловой поток через граничную поверхность тела в соответствии с законом Ньютона пропорционален разности температур поверхности тела и внешней среды, имеем

吃％(Е т) = &[t(化 т) — /с(Л 砌， PQS. (1.5)

Подставляя (1.5) в (1.4), получаем обобщенное граничное условие теплообмена третьего рода

〃,％，(Р, t) + ^s[t(P, т)-^ (Р, т)] = 0.(1.6)

Выразим из (1.4) тепловой поток через температуру. Тогда на поверхности тела S будет

%%(Р，т) = —号"/,/(夕，9exp(WF)dg+ge ".(1.7)

'о'

Если начальная температура тела и среды равна нулю, то, как вытекает из (1.5), n^^Q = 0. Следовательно» в этом случае постоянная интегрирования сп, = 0 н обобщенное граничное условие теплообмена третьего рода (1.6) принимает вид

% -V j “(°，° exp ("^)或 + 忍 Q (R 叫-^ (忆砌=0. (1.8) 6

При as -> oo из (1.8) вытекает обычное граничное условие теплообмена первого рода

t(P, * =т).(1.9)

Обобщенное граничное условие теплообмена второго рода (на границе S задается тепловой поток q = {%}) получим из соотношений (1.4), (1.7) для отличного от нуля или равного нулю в начальный момент времени заданного теплового потока соответственно в виде

nло</ (忆匂=-几阿它,叫巾粤，J(Р，9 ^P = о

口一 ％%(Р, t)・(1.10)

Условие идеального теплового контакта (условие четвертого рода) твердых тел состоит в том, что на контактирующей поверхности S тел температура и тепловые потоки одинаковы:

匕(Р") = % (2 矶几#？(尸，т) = 〃"？ (Р, т)・ (Ml)

虑)=——Чк \ 友,/(М&,С)ехр虑)=——Чк \ 友,/(М&,С)ехрДля каждого из контактирующих тел выразим в соответствии с (1.7) тепловой поток через температуру:

虑)=——Чк \ 友,/(М&,С)ехр

虑)=——Чк \ 友,/(М&,С)ехр

(М2)(М2)

(М2)

(М2)

М^ Е %,&

0々 ——область, занятая контактирующим телом； ck — постоянные интегрирования, равные 沪卜=о・

Вычтем из продифференцированного по т соотношения (1.12) для первого тела соответствующее соотношение для второго тела. В результате на поверхности контакта S с учетом второго равенства (1.11) получим

Если в начальный момент времени температуры контактирующих тел постоянны, то из последнего равенства вытекает, что на поверхности S 〃jd，T=()=O. Следовательно, на поверхности S и n^t | т=о= 0. Таким образом, на поверхности контакта ck = 0. Учитывая это и подставляя (1.12) в (1.11), получаем обобщенное граничное условие четвертого рода

^i (Р, ") = % (Р, т), 〃

о

Начальные условия примем в виде

/(М, 0) = %(М), i(M, O) = po(M), M£Q (1.14)

Основные соотношения и уравнения термоупругости

Пусть в недеформированном и ненапряженном состоянии тело имеет температуру /0. Такое исходное состояние назовем естественным. Вследствие действия силовых или тепловых факторов тело будет деформироваться, а его температура изменяться. В теле возникнут перемещения % и приращение температуры. Изменение температуры вызывает возникновение деформаций е^ и напряжений о“, которые являются функциями координат х£ и времени т. Изменение

температуры, соответствующее деформированию, невелико, т. е.

《1, к не приводит к существенным изменениям физико-механических характеристик материала.

Приведем соотношения теории термоупругости, ограничиваясь линейным приближением. В этом случае связь между компонентами тензора деформации 旬 и вектора перемещения 比 будет

旬=万 3,/ + 〃/,O.旬=万 3,/ + 〃/,O.(1.15)(1.15)

旬=万 3,/ + 〃/,O.

旬=万 3,/ + 〃/,O.

(1.15)

(1.15)

Компоненты тензора деформации должны удовлетворять шести уравнениям геометрической совместности:

^/л/ + ekitij ejitik — eik,ji = 0, i, j,电 / = 1, 2, 3.

Уравнения состояния для анизотропных тел, связывающие компоненты тензора напряжений 。订 с компонентами тензора деформаций е〃・ и температурой 9, получим, исходя из следующего выражения свободной энергии:

/(&力 °)= + Qjki^i^ki — ^ijeijt + m/2,

@2/(0, /0)

где m = 一丄丽5•

（i.i6）（i.i6）о〃・=ctjki^ki—e〃•九о〃・=ctjki^ki—e〃•九Подставив выражение свободной энергии / в уравнение 6订= =("^-) ， приходим к соотношению Дюгамеля — Неймана для анизотропного тела [43]

（i.i6）

（i.i6）

о〃・=ctjki^ki—e〃•九

о〃・=ctjki^ki—e〃•九

Здесь Cijki — декартовы компоненты постоянного тензора упругой жесткости для анизотропного тела, причем с»汰i = j注％ с^ = &泌, djki = Ckitj, жесткости Cijki относятся к изотермическому состоянию и определяются в естественном состоянии, т. е. «// = (^/)о.

Решая систему уравнений (1.16) относительно деформаций, получаем

(1.17)(1.17)% = Sijkl^kl + 或心

(1.17)

(1.17)

где Sijki ——модули упругой податливости, удовлетворяющие условиям симметрии s^ki = SjiM, s“釈=s^ s“•版=%z/.

Из соотношений (1.16), (1.17) следует

&雨,&雨,—^kfiijki.—^kfiijki.(L18)(L18)

&雨,

&雨,

—^kfiijki.

—^kfiijki.

(L18)

(L18)

Приращения внутренней энергии U и энтропии s имеют вид [43]

(1.19)(1.19)dU = Cqkiekidetj 4~ t&ide” + с/8,ds = 8叮(12可-]-今曲.

(1.19)

(1.19)

Проинтегрируем полные дифференциалы dU и ds при условии, что в естественном состоянии (е〃 = 0, 6 =幻 I/ = 0, s = 0・ В ре-

зультате находим

(1.20)(1.20)и = ~2" Cijkl^ii^kl + /о也7%・ + с/,s =自冏 + G In (1 + -^-)・

(1.20)

(1.20)

Первый член выражения для энтропии s описывает сопряжение полей температуры и деформации, второй ——энтропию, вызванную теплопроводностью. Первый член для внутренней энергии U имеет чисто упругий характер, второй выражает сопряжение деформаций и температуры, последний имеет чисто тепловой характер. Для I；I《1 выражение для энтропии (1.20) запишется таким образом:

(Ь21)(Ь21)s =也/①/ +快九

(Ь21)

(Ь21)

Подставляя (1.20) в выражение для свободной энергии f = U —sA и разлагая 1п(1 + ；) в степенной ряд с удержанием двух членов, получаем

(1.22)(1.22)fog С恤%*爲/ - 6"。%，/ 一(仓")尸

(1.22)

(1.22)

Исходя из выражения [43]

0s = 一仇『+ wt(1.23)

и обобщенного закона теплопроводности (1.4), выведем уравнения теплопроводности для анизотропной среды.

Подвергая (1.23) действию оператора 厶 находим

/ (0s) = — lqiti + lwt.(1.24)

Продифференцируем (1.21) по т и умножим на 0. Полученное соотношение подвергнем действию оператора /. В результате имеем /(9s)=阮•/ (6%・)+ cel(0 3)•(L25)

Подставляя (1.4), (1.24) в (1.25) и заменяя 0 на /0, получаем 入力 %/ - / (/0自咼 + e/)=-例.(1.26)

Учитывая, что 卩牙=^kiCijki и принимая далее се = с。，уравнение (1.26) записываем в виде

筋/'/7 —" ‘0。也&附/е〃，= c^lilw 卜(1.27)

Пренебрегая в уравнении (1.27) членом —t^kflijkUih определяющим сопряжение температурного поля и поля деформации, приходим к уравнению теплопроводности

7位廿=cvlt — lwt.(1.28)

■ В случае изотропного тела вместо (1.28), (1.27) будет

加=^ +百号，(1.29)

А‘ = W +叮》」哦。一熒，(1.30)

где г] = -^-, в = a? (3九 + 2卩)，e = div a.

Для получения полной системы уравнений термоупругости запишем уравнения движения в перемещениях, основываясь на законе сохранения импульса. Для произвольного объема Q, ограниченного поверхностью S, этот закон имеет вид [431

Р咼票 W=『X,•力口開i=l, 2, 3・(1.31)

QQS

Учитывая, что p； связаны с составляющими тензора напряжений о〃 на поверхности S формулами

亿.=①问，(1.32)

где и；——направляющие косинусы нормали к S, и используя формулу Гаусса — Остроградского

У S/%dS = У o〃,/d匕(1.33)

sb

приводим уравнение (1.31) к виду

(1.34)(1.34)J 9",/ + Х( — р%) dV = 0. s

(1.34)

(1.34)

Поскольку уравнения (1.34) справедливы для произвольного объема, из них следуют локальные уравнения движения

^iij Н~ X, = р%・， i, / = 1, 2, 3.(1.35)

Подставляя (1.16) в (1.35), находим

CijkiUkjj + Х”・=р%・ + М/.(136)

Для изотропного тела вместо (1.36) будет

从"t,〃 + (九 + 卩)〃/,尸 + X( =做,方 + 叫.(L37)

Уравнения (1.27) и (1.36) образуют полную систему дифференциальных уравнений термоупругости для анизотропного тела, а уравнения (1.30) и (1.37) — для изотропного тела в случае обобщенной взаимосвязанной задачи термоупругости. Постоянные Ляме

入 и 卩 в уравнениях (1.37) соответствуют изотермическому состоянию (卩=ре, % =脑).

Представим уравнения (1.30), (1.37) в векторном виде [43]:

А/^ / —叩 divu =А/^ / —叩 divu =儿，儿，(1.38)(1.38)

А/^ / —叩 divu =

А/^ / —叩 divu =

儿，

儿，

(1.38)

(1.38)

[Л — сГ我]rot 〃 = 0,[Л — сГ我]rot 〃 = 0,(1.42)(1.42)

[Л — сГ我]rot 〃 = 0,

[Л — сГ我]rot 〃 = 0,

(1.42)

(1.42)

цЛ« + (九 + 卩)grad div 〃 + X =卩 grad t + p〃.(1.39)

Предположим, что массовые силы и источники тепла отсутствуют. Тогда уравнения (1.38), (1.39) становятся однородными:

(1.40)

(1.41)(1.41)卩厶〃 + 仇 + 卩)grad divu — pgradf = p〃.

(1.41)

(1.41)

Применяя к уравнению (1.41) операцию ротора, получаем волновое уравнение

где &где &{\ — сГ2д^е = тМ,{\ — сГ2д^е = тМ,(1.43)(1.43)

где &

где &

{\ — сГ2д^е = тМ,

{\ — сГ2д^е = тМ,

(1.43)

(1.43)

=—скорость распространения поперечной волны, дх =

Применяя к уравнению (1.41) операцию дивергенции, имеем

где 优= 儿 &卩,е = div Z, r = ]/&^~^——скорость распространения продольной волны.

Уравнение (1.43), определяющее волну расширения, показывает, что эта волна связана с температурой /• Следовательно, необходимо одновременно рассматривать уравнение (1.40). Из уравнений (1.40) и (1.43) видно, что распространение волны расширения связано с выделением тепла. Механическая энергия волны расширения частично переходит в тепло, что и приводит к росту температуры.

Исключая из (1.40), (1.43) функцию /, получаем следующее волновое уравнение, определяющее распространение волны расширения в термоупругой среде:

e = 0.e = 0.a —鼠女a —鼠女

e = 0.

e = 0.

a —鼠女

a —鼠女

Разложив вектор перемещения и вектор массовых сил в уравнениях (1.38), (1.39) на потенциальную и соленоидальную части

ии=grad ① + rot 屮，N = p (grad 抄 + rot %)=grad ① + rot 屮，N = p (grad 抄 + rot %)(1.44)(1.44)

и

и

=grad ① + rot 屮，N = p (grad 抄 + rot %)

=grad ① + rot 屮，N = p (grad 抄 + rot %)

(1.44)

(1.44)

и подставив (1.44) в (1.38), (1.39), запишем уравнения

(1.45)(1.45)ДОт) / — т|/А①

(1.45)

(1.45)

（a一汨2終）①=加一e?■沁,

（А -亩2贫）j = —с尸夫

Исключая из этой системы температуру, находим два волновых

уравнения

"A — e]-20：)(A ——~ 0号—加"必女]①=一加¥——

(1.46)(1.46)-cd(A 用 0,

(1.46)

(1.46)

(A -市七今« = - CL*

Первое из уравнений (1.46) определяет продольную волну, второе —поперечную.

Уравнения движения в цилиндрической системе координат имеют вид

dr"IFdr"IF呪Ф^<p0P ^фd(p呪Ф^<p0P ^фd(p+ arr - 0w J ++ 2。$+争+ arr - 0w J ++ 2。$+争В- = р%_Х「,В- = р%_Х「,pw(p — Хф,pw(p — Хф,(1.47)(1.47)+ О j + -零z.・=о/ — Xz・+ О j + -零z.・=о/ — Xz・

dr

"IF

dr

"IF

呪Ф^<p

0P ^ф

d(p

呪Ф^<p

0P ^ф

d(p

+ arr - 0w J +

+ 2。$+争

+ arr - 0w J +

+ 2。$+争

В- = р%_Х「,

В- = р%_Х「,

pw(p — Хф,

pw(p — Хф,

(1.47)

(1.47)

+ О j + -零z.・=о/ — Xz・

+ О j + -零z.・=о/ — Xz・

7(»，*)，7(»，*)，"дг"дгdrdr恥-九,恥-九,

7(»，

*)，

7(»，

*)，

"дг

"дг

dr

dr

恥-九,

恥-九,

Соотношения между компонентами тензора деформации и компонентами вектора перемещения в этой системе запишутся таким образом:

Уравнение теплопроводности (1.27) для тел, обладающих цилиндрической анизотропией, принимает вид

/1 (备 + } 4")/1 (备 + } 4"),九22@2 a t+ 干十 Л33,九22@2 a t+ 干十 Л33+九:3（；备+ 2彰+九:3（；备+ 2彰+ 2单+ 2单@22 %;2 淵力2 十 /• дгд^dcpdz dr J@22 %;2 淵力2 十 /• дгд^dcpdz dr J

/1 (备 + } 4")

/1 (备 + } 4")

,九22@2 a t

+ 干十 Л33

,九22@2 a t

+ 干十 Л33

+九:3（；备+ 2彰

+九:3（；备+ 2彰

+ 2单

+ 2单

@22 %;2 淵

力2 十 /• дгд^

dcpdz dr J

@22 %;2 淵

力2 十 /• дгд^

dcpdz dr J

一 %? (0II2〃 + 2氏2分①+ 2瓦3区Z + b22约①+

+ 2网3“ + 6зз〃2)= — /叫(1-48)

В случае несвязанной обобщенной динамической задачи термоупругости для цилиндрически анизотропных тел в левой части уравнения (1.48) следует пренебречь вторым членом. Если в каждой точке тела имеется плоскость тепловой симметрии, к которой перпен- дикулярнаЪсьОг, обобщенное уравнение теплопроводности для цилиндрически анизотропных тел получим, положив в уравнении теплопроводности для несвязанной динамической термоупругости 入;з = =^з = 0, а для ортотропного тела, кроме того, Х[2 = 0. Для изотропного тела

М = при i = /,“(0 при i 力 /.

В случае осесимметричной задачи обобщенное уравнение теплопроводности для несвязанной динамической термоупругости изотропного тела запишется таким образом:

竊+(1働

Соответствующие упрощения соотношений закона Гука (1.16} для цилиндрически анизотропных тел получим для случаев, когда в каждой точке тело имеет плоскость упругой симметрии, к которой перпендикулярна ось Oz, три плоскости упругой симметрии, как и в теории упругости цилиндрически анизотропных тел. В случае изотропных тел, отнесенных к цилиндрической системе координат, закон Гука запишется таким образом:

о〃 = 2“〃 + 觴一伊，

о(р(р = 2卩旬0 + ае -做，

и?? = 2 卩"z + 入 е — §'，

^/•ф = 2卩 Ср, оу? == 2|xe「z, °z(p = 2卩02屮，

где л л. диг , 1 / ^ф .\ , диг

Подставляя эти выражения в уравнения равновесия (1.47) и принимая во внимание соотношения между компонентами тензора деформации и компонентами вектора перемещения, находим

卩 А〃「+ 0 + N)~^H-yi給-^ T 祭=P% — X”

“A〃 丄厶 + 卩"u % 丄 2M диг В dt 一у

pA"z + (九+卩)-|-в ^- = p"z -%，

me A =；亲化 £) + % 壽■ + 备—ОМТОР Лапласа.

В случае осесимметричной задачи соотношения закона Гука и уравнения равновесия в перемещениях значительно упрощаются и с учетом соотношении 入=，卩=而十互=G имеют вид [44]

（1.50）（1.50）

（1.50）

（1.50）

1 / 2 （1 一 V）G

расши-расши-где q = у -方^^伝скорость распространения волны рения в упругой среде; и = иг.

расши-

расши-

В сферической системе координат положение точки М определяется тремя координатами: г, ср, 0. Координатными поверхностями в этой системе являются сферы г = const, круговые конусы ср = =const и полуплоскости 0 = const. Соотношения между компонентами тензора деформации и компонентами вектора перемещения и уравнения равновесия в сферической системе координат запишутся в виде

4"（箒+ "）'4"（箒+ "）'

4"（箒+ "）'

4"（箒+ "）'

+ 5ф~ + V（2°〃 一。好—®е ++ Sip ctg ф） = P 乙—x「，+ 5ф~ + V（2°〃 一。好—®е ++ Sip ctg ф） = P 乙—x「，

+ 5ф~ + V（2°〃 一。好—®е +

+ Sip ctg ф） = P 乙—x「，

+ 5ф~ + V（2°〃 一。好—®е +

+ Sip ctg ф） = P 乙—x「，

dr 十 r sin （р OB

г sin ф Нег sin ф Не+ -7^" + ； КаФФ —。68）ctg Ф + Зо>ф] n

г sin ф Не

г sin ф Не

=p 〃①一X（p,

drdr+ T^V 篙-+ 7- ~^ + ；（38<0 + 2 呐嗨 <p）==p〃e — X»

dr

dr

Уравнение теплопроводности для изотропного тела в сферических координатах имеет вид

г2 sin ф Э(рг2 sin ф Э(р1 d1 dsm 屮+ r2 sin2 ф 薄~ —sm 屮+ r2 sin2 ф 薄~ —1^(sinq)"#1^(sinq)"#sin ф ^<рsin ф ^<р+击曾卜+击曾卜

г2 sin ф Э(р

г2 sin ф Э(р

1 d

1 d

sm 屮+ r2 sin2 ф 薄~ —

sm 屮+ r2 sin2 ф 薄~ —

1^(sinq)"#

1^(sinq)"#

sin ф ^<р

sin ф ^<р

+击曾卜

+击曾卜

Пренебрегая в левой части этого уравнения последним членом, получаем уравнение обобщенной теплопроводности

V (爵 + ctg 屮黑)+

「202/_/?I 叫

十 sin ф@82—~'^儿，

необходимое для решения обобщенных несвязанных динамических задач термоупругости.

В случае осесимметричной задачи это уравнение принимает вид

(1.51)(1.51)d2t 2 dt — / i lwt

(1.51)

(1.51)

%2十~ dr - H十W T .

Закон Гука и уравнение движения для данного случая запишутся таким образом [44]:

°〃 = -j骂V [(I - V)參 + 2v — (1 + v) a/]'

CTw = 1 _?2v [v ^~ + 7~ —(J + v)a<Z -■ (L52)

d2u . 2 du 2〃“1 + v dt

Разделение взаимосвязанной системы дифференциальных уравнений

Следуя [43], изложим метод разделения уравнений обобщенной взаимосвязанной термоупругости посредством введения четырех разрешающих функций %», i = 1, 2, 3, 4. Под разделением системы подразумеваем действия, преобразующие ее в систему четырех уравнений высшего порядка, содержащих по одной искомой функции%^

Представим дифференциальные уравнения обобщенной термоупругости изотропного тела

^ui,fj + (九 + N)〃/，/ + x, = p心 + 6力，

в операторном виде

£阳 + l4t —一尸j,L4陷 + L 44t = ^-,(1.53)

где i = 1-3,厶/ = □2以+ bd^j,厶4 =-仇%厶勿・=-n仇"，L44 = =口，Pi =,自=与，ь=之+1，口1^一份就 口3 =

N卩

Введем четыре функции % (i = 1, 2, 3, 4), связанные с переме-

щениями и температурой:

%142l13 厶4

41 小 厶3 L14

%2 L22L23L24

£21 x2 L23L24

〃i =

%3厶32厶33L34

,"2 =

L31%3L33L34

%4 L42 l43l44

£41%4l43 L44

L11L12 %1 厶14

"1， 2l13"1

^21 L 22%2L24

/ -

厶21l22L23%2

〃з =

L31L32%3 L34

/

，31'32L 33%3

^41 厶 42 %4 厶 44

2

j41L42L43%4

Найдем эти определители, рассматривая операторы как числа. Получаем следующие соотношения между функциями q\ = □?%：

% = (8 一採Г) ⑵ - “02Г屮 2 — 女03г9 3 + 生“口2 04，

"2 = -02"f中1 + (8 一0力)92 -0293f屮3 + 仇02 口 2屮4，ц 54)

人=-03女г91 - 0302r92 + (B -0黑)93 + 0003口294,

/ =W次包口 2 % + 02 口 2 92 + °3 口2%] + a + ь)口口2 屮4,, где

8 = (1 +b)口1□3 -自叩出А，F = b □ 3в01]"» □ 1 = a - e12&

Введем обозначение 屮=□?屮4 H запишем соотношения (1.54) в виде

% = (В6〃・一“•“•「)牝 + 卩0&屮，

/ = W“ 口 中/ + (1 + b)口 屮， i=l-3, или в векторной форме

и = В^ — grad div (Гф) + 瓦 grad гр,“ 55)

/ = 4дх div П2Ф + (1 +匕)口2・

Функции “ и t выражаются через векторную функцию <р и скалярную г|): функцию ф можно рассматривать как обобщение на динамические задачи термоупругости векторной функции Галеркина.

□ 2(П1 口— 〃 zr]仇 А)% + 瑞-=О, (□i 口3 -加刀出A)屮+子*□ 2(П1 口— 〃 zr]仇 А)% + 瑞-=О, (□i 口3 -加刀出A)屮+子*4= 1—3,(1.56)4= 1—3,(1.56)О,О,Подставив (1.54), (1.55) в (1.53), получим систему четырех уравнений

□ 2(П1 口— 〃 zr]仇 А)% + 瑞-=О, (□i 口3 -加刀出A)屮+子*

□ 2(П1 口— 〃 zr]仇 А)% + 瑞-=О, (□i 口3 -加刀出A)屮+子*

4= 1—3,

(1.56)

4= 1—3,

(1.56)

О,

О,

где г? =也,4 =,加=-任-市•

ррл» 十

Решение уравнений (1.56) для 屮^ будет состоять из трех членов: частного решения ср? неоднородного уравнения и общих интегралов уравнений

□ 2$； = 0, (口 口3 一加叩决A)加=0.

Функция 屮；удовлетворяет простому волновому уравнению, описывающему поперечную волну, а функция ср» —— сложному волновому уравнению, соответствующему продольной волне.

Решение уравнений (1.56) для 屮 представим в виде суммы 屮= =Wo + 屮'，где 屮о ——частный интеграл неоднородного уравнения, а 吋 —— решение уравнения (口1口3 —— тг\1д^) г|/ = 0.

К уравнениям (1.56) следует добавить одно из граничных условий теплообмена (1.9), (1.8), (1.10), граничные условия для перемещений 〃/ = С/, (Р, т), P^S, или напряжений 仍(Р, т) = 0勺电= =卩(〃厶/ + 〃川)九/ + 仇е — Р0 %, Р U S, или смешанные граничные условия (на части поверхности тела заданы нагрузки, на остальной части ——перемещения), начальные условия (1.14) и начальные условия для перемещений 〃, (М, 0) = g (М), 〃, (М, 0)= =ft (M), М g i = 1 — 3.

Граничные условия записываются, как видим, либо через функции / и 〃j, либо через их производные. Поэтому благодаря соотношениям (1.55) данные условия можно всегда записать через функции д и中.

Основные энергетические уравнения

Для вывода основных энергетических уравнений используем уравнения движения и обобщенное уравнение теплопроводности анизотропных тел:

o〃j + Xj = р%, г» j = 1, 2, 3,(1.57)

Nijt.j — cvlt — t^ii^ii = — /⑵.(1.58)

Умножим уравнение (1.57) на / и проинтегрируем по области Q тела, учитывая формулу Гаусса. В результате получим уравнение f X.vcdV + \ pqdS = р f v^dV + [ о/”％(1.59)

bsbb

выражающее закон сохранения энергии.

Принимая во внимание уравнение Дюгамеля ——Неймана

и〃 = Ciiki^ki —配玄(1.60)

уравнение (1.59) переписываем таким образом:

4г += f X^idV + У P^dS + j 阮&fd匕(1.61)

QSQ

где для кинетической энергии и работы деформации введены соответственно обозначения

К =(皆)§ 叩韜匕 ％ = (}) f c^e^jdV.(1.62)

Формула (1.61) выражает закон сохранения энергии для термоупругой среды.

В этом уравнении для явного учета нагрева тела и тепловых источников используем обобщенное уравнение теплопроводности (1.58): Умножая его на / и интегрируя по области Q, находим

J 爲％/・W = % j 包6・幽Р + т/J stdV + c J Ш — j tl叫dV, (1.63) aqar r

где s — энтропия, имеющая вид [43]

s =也渔/ +毕九(1.64)

Принимая во внимание уравнения (1.61) и (1.63), получаем

崇 + 罂"=J XqW + J Pi%dS + * 卜滋"・db —

-J tidV + -^ j tlwtdV — тг J stdV.(1.65)

° a0 qa

Используя теорему Гаусса и формулу (tt》=计内 + t,%, соотношение (1.65) приводим к виду

糸(К + 吃 + Р) + % = ] XiVidV + J P№dS + RS

-|—； У NjttmjdS,(1.66)

0 Q° S

где функции тепловой энергии и диссипации имеют вид соответственно

Р =诙 f ZW,儿=；§ 中т + Tr f stdV. (1.67) о b0 Qb

Формула (1.66) выражает конечную формулу закона сохранения энергии для термоупругой среды. Правая часть ее содержит источники, создающие поле деформации и температуры.

Как видно из (1.67), введенная диссипативная функция отличается от диссипативной функции Био дополнительным членом —— ускорением роста энтропии системы. Отсюда следует, что в случае, когда скорость распространения тепла бесконечно большая, величина рассеиваемой энергии уменьшается по сравнению с рассеиванием энергии для случая конечной скорости распространения тепла.

Приведенная здесь энергетическая теорема будет использована для доказательства единственности решения обобщенных динамических взаимосвязанных задач термоупругости.

5・ Теорема единственности

Использовав (1.66), докажем теорему единственности решения краевых обобщенных взаимосвязанных задач термоупругости. Рассмотрим тело, занимающее область Q, ограниченную поверхностью S. Тело подвергается действию массовых X,, поверхностных р, сил, внутренних тепловых источников wt и нагреву по поверхности. Эти источники приводят к возникновению в теле перемещений щ, температуры /, а также напряжений о〃・ и деформаций е^. Пусть напряжения и деформации непрерывны вместе со своими первыми производными, а перемещения и температура ——вместе с первыми и вторыми производными для х С S + Q, т > 0.

При этих предположениях докажем единственность решения уравнений термоупругости

с” 也躲用 + Х^ = р% + ^ijtj,(1.68)

爲爲一a" 一 %6"隔=一 ‘⑴(1.69)

при следующих краевых условиях:

円(乂 т) = % (%, t)枕/, / (%, t) = 7 (%成 ％ £ S, т>0,

%(%, 0)=电(%),加(％, 0) = ^(%), /(%, 0) = tN (x),

Цх, 0) = PN (x), %£Q(1.70)

Компоненты тензоров напряжения, деформаций и температура связаны уравнениями Дюгамеля ——Неймана о〃 = cijkieki —— 自儿 где，/ = =4~ (以/ + 〃/")•

Пусть 〃厶，и 〃厶 t"——различные решения системы уравнений (1.68) и (1.69) соответственно, удовлетворяющие краевым условиям (1.70). Обозначим 〃；=加一〃；，严=f — t”. Эти величины удовлетворяют системе уравнений

CijklUk，H — Р% — 6"*/ = 0,0 7])

^ijt,ij — t&i 卩 &j — Q〃* = 0

и краевым условиям

р；(招芍=而吃=0, /*(х, т) == О, %£S, т>0, о??) и- (х, 0) = 0, iii (х, 0) = 0,产(%, 0) = 0,步(匕 0) = 0, %£Q.'

Так как из (1.72) следует, что внутри тела X； = 0, со* = 0, а на поверхности 区 =0,尸 =0, уравнение (1.66) примет вид

^.^^w^ + p^ + x^o

или

負! [(4) S用&圆+ 图加加+ 总卜F W =

(1.73)(1.73)=一 ；f 兩:力dV 一 т「「s屮W《О,0 hb

(1.73)

(1.73)

поскольку выражение 九｝厶厶 является положительно определенной квадратичной формой, a s*/來 > 0.

Работа деформации на единицу объема представляет собой положительно определенную квадратичную форму, поэтому, используя метод Якоби [43], приводим ее к сумме квадратов

Z?= 1, 2,, 6, До = 1, (1.74)

где

% для /=厶 @9—汽一Z ДЛЯ / == f, С9T-/加 ДЛЯ /次厶 С9Т—/,9—论一/ ДЛЯ / =0= if% для /=厶 @9—汽一Z ДЛЯ / == f, С9T-/加 ДЛЯ /次厶 С9Т—/,9—论一/ ДЛЯ / =0= if(1.75)(1.75)

% для /=厶 @9—汽一Z ДЛЯ / == f, С9T-/加 ДЛЯ /次厶 С9Т—/,9—论一/ ДЛЯ / =0= if

% для /=厶 @9—汽一Z ДЛЯ / == f, С9T-/加 ДЛЯ /次厶 С9Т—/,9—论一/ ДЛЯ / =0= if

(1.75)

(1.75)

Принимая во внимание (1.74), соотношение (1.73) переписываем таким образом:

备1[信)(*9 $"+(4") p"：加+(粉卜可川《0. 0 .76)

Из (1.76) следует, что интеграл не возрастает при т > 0. На основании (1-72) заключаем, что при т = 0 он равен нулю, а так как подынтегральное выражение является суммой квадратов, причем %, р,仇，％ положительны, то он равен нулю. Это возможно, когда <pZ = 0, и； = 0, f* = 0 для т > 0 в области Q.

Отсюда на основании (1.75) заключаем, что е* = 0, т. е. е% = 0. Тогда из соотношений Дюгамеля ——Неймана получаем, что о；= =0, т. е. о% = oj,焉=“，f = f для т > 0 в области Q.

Следовательно, решение задачи термоупругости единственно для деформаций, напряжений и температуры, а для перемещений имеем 涼=Ui плюс линейный член, соответствующий жесткому повороту и перемещению.

Вариационная теорема

Рассмотрим вариацию работы деформации (1.62), т. е.

6 吃=J cijkiCkibeadV.

Преобразуя ее с учетом формул (1.57) и (1.60), получаем первую часть теоремы

6恥=J* X^u.dV + J p^dS —p f u^dV + J 自泌勿亦・(1.77) bsba

В правой части этого уравнения имеются вариации перемещений, а также деформаций и отсутствуют вариации температуры. Добавим к (1.77) уравнение, содержащее тепловой поток.

Рассмотрим обобщенный закон теплопроводности [68]

/% =—办,/•(1・78)

Введем вектор 方，связанный с вектором теплового потока соотношением

7= %立(1.79)

Из (1.78) и (1.79) следует, что

乙.=_他%历，(1.80)

где kq — обратная матрица для %.

Умножая (1.80) на 8Hit интегрируя по Q и используя уравнение для скорости роста энтропии [43]

%s = - div 0 = cJ + 6品句，， т. е.

получаем уравнение

j 状"戸,・dS + 倍)『政dY + J ®/6%dY + % j k^H^HjdV = 0. (1.81)

Исключая из уравнений (1.77) и (1.81) члены, содержащие вариации деформации, приходим к вариационному уравнению для обобщенной взаимосвязанной задачи термоупругости анизотропных тел

6Г, + 6Р + 6D = 6L — f 第％dS,(1.82)

s

где

6L = , (Xj — p&) 5%dP + § pfiu^dS, 6Hn = n^H^

P =(长)j ZW, 3D = % j kijSH.lHidV.

Таким образом, вариация суммы работы деформации, теплового потенциала и функции диссипации равна виртуальной работе внешних сил, сил инерции и нагрева поверхности тела.

Теорема взаимности

Докажем теорему взаимности. Рассмотрим системы {Х^, р,; wt;h} и {X；, р；; 曲"}, где h, " — поверхностные нагревы; соответствующие перемещение и температуру обозначим через {〃“ t} и {〃；,，}・ Допустим, что напряжения и деформации являются функциями класса С(1), а перемещения и температура — функциями класса С^- Обе системы величин удовлетворяют уравнению Дюгамеля ——Неймана

5/ = G•雨恤一隹7%。〃 = Qjki^ki — P“'・(1.83)

Применяя к уравнениям (1.83) преобразование Лапласа, затем умножая первое из них на 4/, второе на е班 и вычитая результаты, имеем 5風二％•%• = ^ij(eytf — е；『). Поскольку &, + ①力=uith % + + s〃 = 〃打，5血/ = 0, 或3〃 = 0, то последнее равенство перепишется таким образом:

о〃М,/ — Gijtiij = Р/； ®『一е〃).(1.84)

Интегрируя (1.84) по области Q и учитывая

(SM；),/ = %,/ + 届/晶， Е%),/ =脸血 + 忌幽,/

и формулу Гаусса, получаем

，("М — 口幽)dS +『(о〃，М — Gihiud W + J B〃 (％? — e#) dV = 0, sqh

一 一 一 _(L85)

где Ъцщ =瓦，或％・=pi для x £ S.

Выбранные величины удовлетворяют уравнениям движения (1.57) и однородным начальным условиям

щ (х, 0) = 0, и± (х, 0) = 0, щ (х, 0) = 0, Ui (х, 0) = О,

%£Q, т = 0.(1.86)

Применяя к уравнениям движения (1.57) преобразование Лапласа и используя условия (1.86), находим

+ Х{ = ps2%・，&•」+ % = ps2&.(1.87)

Учитывая (1.87), уравнение (1.85) приводим к виду

j(РМ — ZWj dS + ] (Xj& — X网)dP + f Bq (勿? 一 e#) dP = 0. saa

(1.88)

Уравнение (1.88) является первой частью теоремы взаимности.

Вторую часть этой теоремы получим, если рассмотрим уравнение теплопроводности (1.58) для обеих систем величин при краевых условиях

t{x, т) = й (х, т), f (х, т) = й' (х, т), x£S, т>0, (1.89) /(%, 0) = 0, /(х, 0) =0, Г (х, 0) = 0, ? (х, 0) = 0, т = 0. (1.90) Применяя к уравнениям теплопроводности преобразование Лапласа при (1.86), (1.90), получаем

嶼订=i^n (s + V2) "• + Q (s + V2) £ — (1 + Trs)甌(]叫

入/•/ = ^a (s + 抬2) ^/ + cv(s + т戶2)? — (1 + x^wi

Умножим первое уравнение системы (1.91) на f, второе на /, вычтем результаты и проинтегрируем по объему. В результате получим

J 入% (力『-彳京)db = /o (s + T产)у 阳(ё"？ 一• &т?) dV 一

—(1 + xrs) J (&? — wit) dK(1.92)

Учитывая соотношения

(±%')j =工产+?力，(//)J = Ъ/ +?力，

формулу Гаусса и краевые условия (1.89), уравнение (1.92) приводим к виду

f 竭(万% - h 勿)几/dS - 4 (s + T户)f 也7 (口方一e侨 dV +

4-(1 + 3)，(血'—^dV 匸 0・(1.93)

Полученное уравнение выражает вторую часть теоремы взаимности. Сравнивая (1.88) и (1.93), находим

% (s + r戸2)，(瓦成-反國)dS + % (s + v2) J (N加-x区)dV =

=j 瑞@*-市4 tijdS + (1 + T/)，(位，一而行) dV.(1.94)

sQ

Применяя к уравнению (1.94) обратное преобразование Лапласа и теорему о свертке, имеем

寸dsj["需也“。+ е о

+ '°/dV ,[%(%，T — To) —Ui^ То)- — х；(х, т —т0) х

R О L

X ”齡■-"丄九=pv j M (居 Т — %)的(х, т0)— ° J Q О

т

—«%, т — т0)乙加(X, %)] d% + f X-；dS j [hr (x, T — %)/,"%%)— s о

一九(居T -To)乙(& 喇呼兀.(1.95)

В случае неограниченной среды теорема взаимности упрощается и уравнение (1.94) принимает вид

% (s + V2) ^ (无加—冗3 dV = (1 + %s) J (而/ —冠%) dV (1.96)

t^dV^X^ г-г0)^^—%)^^卜户

Q 0

(1.97)(1.97)=\^ \ ^r ^ T — To) /。叫(%，To) — /(%" — %) % 血(X, Qi d%・

(1.97)

(1.97)

8 о

Когда тело изотропное, вместо (1.95) получаем

+ 胃К% (x,-%质户-A (x, т-т0) ^^卜产

n f ” f [f(X, T — To) lowt (招 To) —/(X, T — To) /向(x, To)] dq + b о

+ a^dS ^[hr (x, т — t0) / „ (x,砌一 S 0

—й(х, T — To)僚“，喇 ％.(1.98)

Если в (1.95), (1.97) и (1.98) перейти к пределу при тг -> 0, получим известные результаты, приведенные в [43].

Теорема Сомилиано

Используя обобщенную теорему взаимности, докажем теорему Сомилиано для анизотропных тел, выражающую перемещения 〃/ и температуру Е внутри тела через распределение перемещений %, нагрузки р「температуры / и производной от температуры на поверхности тела.

『 Определим z перемещения 〃》(%, т), %£◎,!；> 0. Для этого выберем силу X； = 6 (% — ”) 6 (т) 8〃, приложенную в точке (匕)по направлению оси %/, которая действует на неограниченную среду. Тепловые источники отсутствуют, w'^ 0. Вызванные такой силой перемещения и температуру обозначим через 加=(/{ (х,己，т) и f = О”)(х, Е, т). Эти функции определяем из дифференциальных уравнений

CijkiUX虱九 Е, т) + б (х — Е) 6 (т) 6〃 = pUF (х,占，т) +

+饱•世？亿自，矶(1.99)

芻世伙居LT)=恤•囤• + cvl^i}^"，T) (1.100) при однородных начальных условиях

U「(х,己,0) = 0, UP (х, g, 0) = 0,今⑺(х, L 0) = 0,

8⑺(招&,0)=0, %£Q T = 0,(1.101)

Подставляя X； = 5 (% — S) 6 (т) 5小 血 = 0 и найденные из уравнений (1.99) и (1.100) функции ()F и 今⑺,которые являются функциями Грина для неограниченной среды, в уравнение взаимности (1.94), получаем

% (s + 巾)щ & s) = % (s + т/2) f X. (x, s) 0p (%, &, s) dV —

—(1 + v) J wt (x, s)吞⑺(%, E, s) dV + /0 (s + t,s2) J [瓦(x, s) x

X 火(匕 E, s)—用°(X,自 s)Z(%, s)]dS—^ 爲Йд(х, s)萨(x, &, s)— s

-Л(х, s)5>(招 S, s)]%dS,(1.102)

где pih =魂%; о毋一напряжения на поверхности S, вызванные силой X；.

Для определения температуры / (х, т), % £ С, т > 0, выберем источник тепла в теле, который действует в точке (Е) в отсутствие массовых сил, в виде 血=3 (х — В) б (т). Возникающие при этом перемещения и температуру обозначим соответственно через U( (х, Е") и В (х, Е, т) и определим из уравнений

CijkiUktii (х,占，т) = р〃(х, Е, т) + ^jbj (х, &, т), 也 i, / =

=1, 2, 3,(1.103)

桔也/(%自，①=6/% + a而(%, е, T) -

一3(Y一目[6(力 + 吃8(砌(1.104)

при начальных условиях

伉(匕占,0) = 0, R (兀 Е, 0) = 0,私 g, 0) = 0,

8(招 Е, 0) = 0,%, Eg(1.105)

где 句=г (5万 + (/")・

Подставляя ⑷；=3 (% — &) 6 (t), X； = 0 н найденные из уравнений (1.103) и (1.104) перемещения и температуру, которые являются функциями Грина для неограниченной среды, в уравнение взаимности (1.94), находим

(1 +Trs)r(g, s) = (l +v)J^(x, s)^(x, & s)dV —

一"(s + V2) J %(招 s) u侶 制 s)亦 + f %% [乙(% s) e (x, & s)- RS

—万(乂 s) % (%, E, s)] %・dS — 4 (S + V2) У 0(% s) “(X, &, S)—'s

一万俨)(匕 I, s)Z(%, s)]dS,(1.106)

где p^ =礴、几卜 причем a^ — напряжения в точке % £ S, вызванные источником 叫.

После применения обратного преобразования Лапласа уравне-

ния (1.102) и (1.106) перепишутся так:

〃/(Е, т) +(Е, т) = f dq j X； (х, т — т0)攻9 $}' '吐 dV —

6 Q

—?} j d% J 8⑺(x, Е, т — т0) l^t (х, т0) dP + § d% х—?} j d% J 8⑺(x, Е, т — т0) l^t (х, т0) dP + § d% х00X j ^Pi (x, т —т0)X j ^Pi (x, т —т0)閃屮(%, Е，%)/、^Щ(X, t —т0)閃屮(%, Е，%)/、^Щ(X, t —т0)о瑞川(/ & %) 一о瑞川(/ & %) 一加0加0dS—dS—

—?} j d% J 8⑺(x, Е, т — т0) l^t (х, т0) dP + § d% х

—?} j d% J 8⑺(x, Е, т — т0) l^t (х, т0) dP + § d% х

0

0

X j ^Pi (x, т —т0)

X j ^Pi (x, т —т0)

閃屮(%, Е，%)/、

^Щ(X, t —т0)

閃屮(%, Е，%)/、

^Щ(X, t —т0)

о

瑞川(/ & %) 一

о

瑞川(/ & %) 一

加0

加0

dS—

dS—

т

^- j dq j 瑞• *j (%, %)0")(%, E, T - %)- о s

(1.107)(1.107)一九(%%)8?(居 g, I —T0)]n7dS,

(1.107)

(1.107)

т

f 唸工)+ т)怎力=j d% j wt(X, т — т0) %京(х,昌 ％)川— 0 Q

一小小,уT 一%)沁и像*里尔一 0 Q

1小寸卜№ 工一%) %"験,%*-%(/ —QX

X 5^ dS + )而0 J 儿八力(% T - %) e (%,占，%)-

о s

—九(招 т — r0) dj (x, &, %)l%dS・(1.108)

Формулы (1.107) и (1.108) являются обобщением формул Соми- лиано на обобщенные взаимосвязанные задачи термоупругости.

Для изотропного тела формулы Сомилиано имеют вид

")怎 Т) + t几・怎 t) = j dq，% (芻 Т 一 Т0)"皿 X」"dV —

A (^A (^&, т — %) 4s (乂 ％) dV +&, т — %) 4s (乂 ％) dV +%u「(%, E，%)*t — To)%(%，%u「(%, E，%)*t — To)%(%，т — %) Xт — %) X

A (^

A (^

&, т — %) 4s (乂 ％) dV +

&, т — %) 4s (乂 ％) dV +

%u「(%, E，%)*

t — To)%(%，

%u「(%, E，%)*

t — To)%(%，

т — %) X

т — %) X

x ~" • 戸,」S dS--^^ dq j [% (x, To)分⑺(x, E, T — /)— 0 s

—九(匕砌0?(匕 L T —To)] %dS,(1.109)

/ & 工)+ "稿 t) = f d% f wt (x, To)za (x, E, t — t0) dV — о h

6 a

—号 VM 卜'"т 一 ％)%"%*」必—%(% т—%)x

X 玩 dS+ a ) d% ) [% (%, — % О(X, & To)—

— h(x, t —%) 6/(招 & т0)] n}ds,(1.110)

Если в формулах (1.109) и (1.110) перейти к пределу при тг -> f 0, получим результат, приведенный в работе [43].

Теорема Грина

Пусть (/F,仆⑺，Ut и 行一функции Грина для ограниченной термоупругой среды. Приложим силу X； = 3 (х ——。3 (т) 6〃 в точке (р £ Q, которая вызывает в теле перемещения U「и температуру тЭ1^, определяемые из уравнений (1.99) и (1.100) при начальных условиях (1.101) и краевых условиях

UF(x,&t) = 0, 8⑺优备 т) = 0, xgS, g£Q, т>0. (1.111)

Пусть источники тепла отсутствуют, т. е. wt = 0. Аналогично при X； = 0 перемещения (^ и температуру О, возникающие от действия источника тепла 侬;=6 (% ——^) 6 (т), определяем из уравнений (1.103) и (1.104) при начальных условиях (1.105) и краевых условиях

Ojx, &т) = 0, 5(%&т) = 0, xgS, “Q т>0.(1.112)

Считаем, что величины U?、"⑺，& н 5 определены. Тогда уравнения (1.107) и (1.108) запишутся таким образом:

〃/信 т) + %" @ t) = j d% j Xi (x, т — т0)绥(；j %У —

о b

J 0⑺(%, & t — %)的/ (%, %)川一j 仆 J 〃, (％ t —t0) x

О S

(1.113)(1.113)X °‘"'*f dS +-^-J % J 讶(招 т0)世夕(х, & т — т0) n{dStО S

(1.113)

(1.113)

"好 T)+承隽，T)="好 T)+承隽，T)=豆(％ С, т —т0)/0^(х, т0) dV —

"好 T)+承隽，T)=

"好 T)+承隽，T)=

оо%(%,"一 т。) %"*;& ")dV + 4 j九。j 发的 t 一

о

о

(1.114)(1.114)—%)弱也；；；土 ％ dS —，d% § 脸九(居 т — т0)心(招 с, То) 〃/dS. 0 s

(1.114)

(1.114)

Для изотропного тела имеем

3 (& Р + 吃広(& t) = j d%『XJx, т — т0) О R

%晒/备%)%晒/备%)W —W —±jdq “")(%, С, т —т0) /0^ (х, T^dV —о 8

%晒/备%)

%晒/备%)

W —

W —

—j dx^u{ (x, t —To) 0 s—j dx^u{ (x, t —To) 0 s“орра,嘉%)“орра,嘉%)dS + 鼻 J dq j /i (x, %) x0 s

—j dx^u{ (x, t —To) 0 s

—j dx^u{ (x, t —To) 0 s

“орра,嘉%)

“орра,嘉%)

(1.116)(1.116)X 今?(％, C, t—%)%dS, TX 今?(％, C, t—%)%dS, T(1.115)

(1.116)

(1.116)

X 今?(％, C, t—%)%dS, T

X 今?(％, C, t—%)%dS, T

Формулы (1.113) — (1.116) дают возможность определить перемещения и температуру внутри тела, если они заданы на его поверхности и являются обобщением теоремы Грина на обобщенные взаимосвязанные задачи термоупругости анизотропных и изотропных тел.

Если в формулах (1.115) и (1.116) t，-> 0, придем к результатам, приведенным в работе [43].

Метод Майзеля

Предположим, что тело объемом Q, ограниченное поверхностью S, подвергается действию массовых сил и источников тепла. Найдем перемещения и температуру внутри тела, если на части поверхности Si заданы перемещения щ и нормальный градиент температуры k, а на части S?——поверхностные силы р, и температура /г, причем S = Si + S^

Определим температуру / внутри тела. Пусть в точке © £ Q действует тепловой источник з； = 6 (% ——g) 6 (т), а X； = 0. Возникающие при этом перемещения U, и температура 8 находятся из уравнений (1.103) и (1.104) с краевыми условиями

Uj = 0, ^tn = 0 на S], pi = 0, 3 = 0 на S?,(1.117)

“(X, G, 0) = о, Ц (х, ^ 0) == О, 3 (х, W, 0) = о,

3(招 С, 0) = 0.(1.118)

Подставляя 血 =3 (% — ^) 6 (т), X； = 0 н найденные R н 3 в уравнение взаимности, приходим к уравнению

т

t^ t) + т/ 售，t) = j dY I 3 (x, & т — t0) l^t (x, t0) dr0 — a о

—3“ jx(%, _%遡缥尸L/ + jdS屮/(乂 T0)x a оst о

X 5 (x, g, т — t0) d% — j dS I 九阻(x, т0) 5n (x, & т — t0) d% —s3 b

-tAdST — Q MU嘴±4)"% + J J叫

S, 0

т

+ %jdS [区(%& -%) %嚷T。)％(1.119)

b

Определим теперь перемещения 〃「Пусть 9/ = 0, а массовая сила X； = 6 (% — С) 5 (т) 5〃. Возникающие перемещения и температуру обозначим соответственно через U「и 抄⑺.Эти величины получим из уравнений (1.99) и (1.100) при краевых условиях

(7，)= 0,世2 = 0 на S], р^ =圖％7 = 0,抄⑺=0 на S?; (1.120)

UP (招：,0) = 0, 0p (%, & 0) = 0,抄⑺(х, С, 0) = О,評(%, & 0) = 0.

Подставляя X； = 6 (% — Q 6 (т) 6订,и/ = 0 и определенные величины

Up и О⑺ в уравнение взаимности, приходим к уравнению

Щ (& t) + 弋两 @ t) = ) dl/ % (% t — t0)^d% —

Q 0

T

--L^dV j心(x,^,T — %)"叫(修％)dq + a о

+ \dS \ Pi(х» —%)д^代一

s2 о

tт

j dS J 砂(x, т — т0)历噴，321 九 + j dS j Xi" (x, т — т0) X

S] 0Sq 0

о/=1, 2, 3,о/=1, 2, 3,&&(1.121)(1.121)X 咽(修 & %) d% — J dS j 九力々(x, т0) № (招 ^, т — т0) dq,

о

/=1, 2, 3,

о

/=1, 2, 3,

&

&

(1.121)

(1.121)

которое вместе с уравнением (1.119) представляет уравнение Майзеля для обобщенных динамических задач термоупругости.

Когда тело изотропно, формулы (1.119) и (1.121) принимают соответственно вид

т

*£ с)+" & t)=jdY『3(%, ^, т —To)Zott；/(x, T0)dT0 —

8 о

*,“％(%, % °"№/т-т。)/ — а о

%) x%) x3333Т-ТО)叫位(訂工皿 d^+a^dS^k(xtSi о

%) x

%) x

33

33

2 5-2365

X 8 (%, Е, т — To) cho — а \ dS『九(％ то) @,〃 (％ Е，t — %) / +

+ 号 fdS j"(%, T-%) 2也一胃，陶 ％,(1.122)

Si 0

W信t) + %山圖t) = jwj Xj (居t -%吧骂了」"九一

一击 j W j 0⑺(X,Е，T - %) l假t (居 %) dTo +

+ JdS j Pl (x, т - T0)弘""炉 ％)% 一

-jdS jpF (x, T-%.包/盡」。?.% + Si о

+ ^.^dS j/i(x,T—т0)仆卅(х, Е，%)d% — о

т

_#jdS j^(%，%)О")(%，占，t — %)d%, i, /=1, 2, 3. (1.123) Si о

Переходя в (1.122) и (1.123) к пределу при тг f О, получаем результат, приведенный в [43].

ГЛАВА ВТОРАЯ

ОБОБЩЕННАЯ ТЕРМОУПРУГОСТЬ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ

Важное практическое значение имеет решение вопросов концентрации динамических температурных напряжений в окрестности оболочечных, пластинчатых, стержневых, сферических, цилиндрических, круговых включений в твердых телах. Решение этих вопросов значительно облегчается, если область, занятую включением, удается исключить из рассмотрения таким образом, что их влияние характеризуется усложненными граничными условиями. Включения типа пластин и оболочек (один характерный размер мал по сравнению с двумя другими) рассмотрены в работе [45] для классического случая. В [47] исследованы случаи линейного включения (два характерных размера малы по сравнению с третьим) и объемного включения (все три размера включения соизмеримы) для классической квазистатической задачи термоупругости. В [49] выведены термомеханические граничные условия на поверхности тел с покрытиями типа пластин и оболочек.

В настоящей главе приводятся результаты, соответствующие обобщенной несвязанной динамической термоупругости упомянутых неоднородных тел.

Условия неидеального контакта твердых тел

Пусть два тела соединены между собой тонким промежуточным слоем. Тепловые характеристики соединяющихся тел и слоя различны. Теплообмен с окружающей средой осуществляется по закону Ньютона, а между телами и слоем осуществляется идеальный тепловой контакт (рис. 1). В этом случае для определения температурного поля в системе согласно (1.29) имеем уравнения теплопроводности 疗)m =源4.嘉 一 4@凡，=0, 1, 2,(2.1)

обобщенные условия идеального теплового контакта

‘0 =匕

戸0) Tа(1)T

ЧоГ f фо1｝阳 dg = % J % (")或 на S],

% = <2，

⑵2)

T^if J 学伊(E)龙=-^p f 屮2 (占)段 на S?,

% 0% 6

обобщенные граничные условия на поверхности S?

育+訳，色一力）=。育+訳，色一力）=。(2.3)(2.3)

育+訳，色一力）=。

育+訳，色一力）=。

(2.3)

(2.3)

и начальные условияи начальные условияков тепла; 4 = 1+ Тг°ков тепла; 4 = 1+ Тг°

и начальные условия

и начальные условия

ков тепла; 4 = 1+ Тг°

ков тепла; 4 = 1+ Тг°

暇，f； = 0 при т = 0. (2.4)

Здесь 匕一температура промежуточного слоя, первого и второго тел;九Р, 4°— соответственно их теплопроводности и теплоемкости; ® — коэффициенты теплоотдачи с поверхностей (наружных частей поверхностей, ограничивающих промежуточный слой, первое и второе тела);询=—-n2 = 〃(几一нормаль к поверхности So, % — нормаль к поверхности S^ & — нормаль к поверхности S2)； So ——срединная поверхность промежуточного слоя; S】н S?— поверхности контакта первого и второго тел со слоем; 風"一плотность источни

-^-, Тг° — время релаксации тепловых по

токов промежуточного слоя и тел;

三7三一p

晒飞)=е豊备，W(E) = dP 纂， /=1, 2.

Перепишем уравнение теплопроводности для слоя, отнесенного к смешанной системе координат (а, р, у), в виде

Р”о + 4^" = — 4 -^б)>(2・5)

где

Температура слоя удовлетворяет соотношениям (2.2) и условиям

-|^" + 力)4('о 一 J)= ° на So,(2.6)

/0 =妈 4 = 0 при т = 0,(2.7)

где 厶 ——температура среды, омывающей поверхность S；; /4 ——нормаль к этой поверхности; А и В ——коэффициенты первой квадратичной формы поверхности So.

Если усреднить уравнения (2.5) — (2.7) в соответствии с интегральными характеристиками температуры

T П击j恤,

-6

&67* = "^" J 品处&67* = "^" J 品处(2.8)(2.8)A。严* + 3大伊［（备）+ + （备）J 一 _^（疝一6）=-4胱,A。严* + 3大伊［（备）+ + （备）J 一 _^（疝一6）=-4胱,(2.9)(2.9)器+m-)=。,器+m-)=。,дТ*дТ*+割。(7*一 元)=0 на %£(2.10)+割。(7*一 元)=0 на %£(2.10)T =常)，7 = 0, T* = О, T； = 0 при г = 0,где л<> = 2%% ％ =新,(贵)± =(号)产士6，疔=% 1Т=±6；呼о = j 如!"&丫, U^o = -у j w^ydy — отнесенная к единице площа-—6T =常)，7 = 0, T* = О, T； = 0 при г = 0,где л<> = 2%% ％ =新,(贵)± =(号)产士6，疔=% 1Т=±6；呼о = j 如!"&丫, U^o = -у j w^ydy — отнесенная к единице площа-—6ди срединной плоскости слоя плотность источников тепла иди срединной плоскости слоя плотность источников тепла иность «моментов» источников тепла; Тс = —^丁ность «моментов» источников тепла; Тс = —^丁плот-Т；=плот-Т；=36=而f也d?Воспользовавшись операторным методом, общее нения (2.5) находим в виде36=而f也d?Воспользовавшись операторным методом, общее нения (2.5) находим в видерешениерешениеурав-урав-戸—1 cos ру о — 2 cos p6戸—1 cos ру о — 2 cos p6才 + /0 -才 + /0 -%(qHqq%(qHqq恥2恥2++соответственно получим

&6

7* = "^" J 品处

&6

7* = "^" J 品处

(2.8)

(2.8)

A。严* + 3大伊［（备）+ + （备）J 一 _^（疝一6）=-4胱,

A。严* + 3大伊［（备）+ + （备）J 一 _^（疝一6）=-4胱,

(2.9)

(2.9)

器+m-)=。,

器+m-)=。,

дТ*

дТ*

+割。(7*一 元)=0 на %

£(2.10)

+割。(7*一 元)=0 на %

£(2.10)

T =常)，7 = 0, T* = О, T； = 0 при г = 0,где л<> = 2%% ％ =新,(贵)± =(号)产士6，疔=% 1Т=±6；呼о = j 如!"&丫, U^o = -у j w^ydy — отнесенная к единице площа-—6

T =常)，7 = 0, T* = О, T； = 0 при г = 0,где л<> = 2%% ％ =新,(贵)± =(号)产士6，疔=% 1Т=±6；呼о = j 如!"&丫, U^o = -у j w^ydy — отнесенная к единице площа-—6

ди срединной плоскости слоя плотность источников тепла и

ди срединной плоскости слоя плотность источников тепла и

ность «моментов» источников тепла; Тс = —^丁

ность «моментов» источников тепла; Тс = —^丁

плот-

Т；=

плот-

Т；=

36

=而f也d?

Воспользовавшись операторным методом, общее нения (2.5) находим в виде

36

=而f也d?

Воспользовавшись операторным методом, общее нения (2.5) находим в виде

решение

решение

урав-

урав-

戸—1 cos ру о — 2 cos p6

戸—1 cos ру о — 2 cos p6

才 + /0 -

才 + /0 -

%(qHqq

%(qHqq

恥2

恥2

+

+

丄 /oQo十砂庐'丄 /oQo十砂庐'(2.И)(2.И)[1 sin ру L十尸 "(Q^ — QS")

丄 /oQo

十砂庐'

丄 /oQo

十砂庐'

(2.И)

(2.И)

十 T-而Г]"0 —7。型^ 一.

V

где Q± = Qo |р=土6, Qo = Р 卜也 Р (W — у)風°)陰t)愈.

о

Принимая во внимание (2.9) и (2.11), находим

т 1 tg рб L+ I l ‘。9才十 QQ ] I "%

7* =等三毒"匹抹一行一7* =等三毒"匹抹一行一%(Q 才一Qo")4V%(Q 才一Qo")4V'广砂户,'广砂户,(2Л2)(2Л2)

7* =等三毒"匹抹一行一

7* =等三毒"匹抹一行一

%(Q 才一Qo")4V

%(Q 才一Qo")4V

'广砂户,

'广砂户,

(2Л2)

(2Л2)

где % = 23 j Qo"?'伙=262 J QoWy・ —6—б

Подставляя (2.12) в (2.9), (2.10), учитывая условия (2.2) и переходя в полученных соотношениях к пределу при 6 0, сохраняя при этом постоянными величины Ло, Со, %, WQ и Wo, получаем следующие обобщенные условия неидеального теплового контакта тел, соединенных тонким промежуточным слоем:

m (4 + Q + 2d。)传器+等嘉)+ (1 -當卜

XX-术 У Ф1 (?)欣 +-术 У Ф1 (?)欣 +屮2 (Е)您=屮2 (Е)您=-C0l0^±^-2l0W0f-C0l0^±^-2l0W0f(2.13)(2.13)

X

X

-术 У Ф1 (?)欣 +

-术 У Ф1 (?)欣 +

屮2 (Е)您=

屮2 (Е)您=

-C0l0^±^-2l0W0f

-C0l0^±^-2l0W0f

(2.13)

(2.13)

A。A （左一%） + 6产（% 舒一* 器）+小号毋”*（」*序“^-

(2.14)(2.14)⑵15)⑵15)一-為伉一厶)=C0Z0%也一 2Z。胱на S。，

(2.14)

(2.14)

⑵15)

⑵15)

1。(/1 一/2) I ao / / ^1 一 ‘2т**\ — C uc 7

- + 密Тс' — Она

21•抖=配 备产A-l，中" = 0，备(厶尹-)=о при Т = 0 на So.

Рассмотрим частные случаи условий (2.13).

Пусть Тг0) -> 0, т?声 0, т^2) у= 0. В этом случае будет2九⑴ T2入⑵ T

А()А (匕 + %) + —(If J % 0)欣 + т(；),屮2 (S 倉=

(2.16)

Л0Л (& — %) + ■"■(!)"，Ф1 (Ю d& & — 4) 一

-皆^阳她=以^^^^-2% на S。.

Если 40) 0, т9)-> О,七奥吸 О, то имеем

Л0Л 侑 + %) + 2入f)-^- + -为『屮2 (Е)庞=& °"W — 2呼0，

'а (匕-%) + 6")- 一 6 方 J % ⑧优一 (2.17) ^&一方2)= &^^ 一 2胱 на S。.

При 40)->0, T^2)->0 и t「#0 находим

A。A S +为)+ 箒 j 5阳匈+ 2九伊备 =C。2鱼/ - 2恥，

A。A (友-%) +等j %⑤處一 6从2)爵-

一 -^ & 一 切=Co ^^ 一 2胱 на S°.(2.18)

Пусть т^0) Ф 0, t?f 0, tf)f 0. В этом случае будет A。A 佐 + %) + 2/0 ｝卜爵 + 炉矗)=C&^^l - 2/严。，

A。A 色-%) + 6/0 ®"崔-北伊 岩)一-号(G - %)=

=Co/o 隐尹"一 2%呪 на S°.(2.19)

Если же 豊声0, т?)#0, a t?)f 0, условия (2.13) принимают вид '

A0a 色 + /2) + 2*)普器 + 2%九0 豈 +

+ (1 - "货)看-J % 值)龙=сого "結区 - 2g,

% A & 一 %)+ 6т<0)号■岩—6，。大伊备一^_ 色-%)+

+ (1^П~) x(i)' J 中1 (&)恋=C<A "&齐'-24% на So. (2.20)

В случае т^ ^0, т^2) #= 0, tg)-> 0 имеем

A。А (勺+g)+2/詛1)裁+ 2炉書嘉十

(2.21)(2.21)+ (1 - ■T)* J %⑥成="。吟蜉-2‘陷‘

(2.21)

(2.21)

A°A & — %) + 6/0^П -^- — 6т「-^ -^77(zi —幻—

(1^~) ■力-У 屮2 (占)或=CqIq ”'d不"——2/о^о на So,

В классическом случае «£)-> 0, т? ~> 0, t夕 f 0) имеем условия

Л0Д & + Q + 2対)备 + 2九卩备=с。^У^ - 2%，

с(2.22)

А°А 怡—/2) + 6九？讀—бМ2) -^^" & 一 ％) и

=仇吟尹一2呪на S。,

которые при з?)^ 0 получены в работе [45].

Для металлов (т^ = т? = т^2)=吟[38] находим

(2.23)(2.23)Л0Д 生 + %) + 2 m" 岩 + 炉器)=со/ 吟冲一2/%, А°А & —幻 + 6 ®" ^-—鹿豈)一-^- & - %)=

(2.23)

(2.23)

=a/^^2/刃:^ S。.

Наконец, умножая каждый член условий (2.14) на 力 и пренебрегая членами, содержащими произведения Лого, Сого» получаем

*侍■矗 + 當券) + (1-$)耨%(SdE +

H

(°)\九⑵T

力)ТЖ" j 屮2 (E) dE = — 4%,「6(2 24)

《传器T爵)+(「*)夠M-•

/t(0) \ 心2) т

一(1^тУ "^7 J 屮2 (S庞-元(% 一 %) 3"'。步。^ S0.

В классическом случае (卅=守)=*)= 0) при 或^ = 0 эти условия приведены в [4].

Условия жесткого сцепления на границе слой — тело запишутся таким образом:

得)=碍)，Q = % при у = + 6,О,)=碍)，〃=成2 при Y = — 6.

Здесь Оу — вектор напряжений, действующий на поверхности у ^ =const: 2尸仇範 + о削％ ±р7V〃；力，ё2, en — орты координатного триедра на поверхности So; t/0 ——вектор перемещений промежуточного слоя; 〃i, 〃2 — векторы перемещений первого и второго тел.

Уравнения движения элемента оболочки с учетом (2.25) имеют вид [46]

(1 + ^6)(1 + 瓦6)码)一(1 — ^6)(1 — fe26)碎)—

-р/ (1 + M)(l + 左初员dY =_ 4~ (噜 + *),

品〃 X [(1 + 自6)(1 + 爲6)码)+ (1- M)(1 一 瓦6)需)-

一号，0 +自?)(1 +e?)0。W也=-6

+ T + ^ X N^Ah X n\ (2.26)

где 々i,々2 ——главные кривизны поверхности So;七=дг/да, rp = =дг/д^, г ——радиус-вектор точки на поверхности So; р0 ——плотность материала промежуточного слоя.

Компоненты вектора перемещения промежуточного слоя выражаются через компоненты вектора перемещения срединной поверхности по формулам [46]

Uo (% ₽, Y)= % 3, Р)—令о% 兀 Q 自 Y)= % (а, 0)—标％

WQ^, В, 丫)= g(% 0),(2.27)

где

我=｝符一自"。，雷=В * 一 卷% (2，28)

Ni, Mi и 乂2, 乂2 ——векторы усилия и момента, действующие в сечениях соответственно а = const и р = const.

Раскрывая в равенствах (2.26) векторные произведения, принимая во внимание равенства (2.27), (2.28) и переходя в них к пределу при 6 -> 0, сохраняя жесткости на растяжение — сжатие go=/|等 и на изгиб g；=等若^ , роО) = 26р0, pj = -|-р63

постоянными, находим такие условия на So;

% = 〃丄=〃2，

個圖一瓏）=吟-黑等+篇S]2 +

+网（警一黑Ma + 2#+2备卷砌一 一 /8（Ро0）^о + Ро財各0）,

+网（*_第得+ 2粤+ 2备栗+网（*_第得+ 2粤+ 2备栗(2.29)(2.29)++例嘲-咽）т一*m+警+**

+网（*_第得+ 2粤+ 2备栗

+网（*_第得+ 2粤+ 2备栗

(2.29)

(2.29)

+

+

-48 (pg%0-p0々2m*),

^磷一限二备3（啓一票也+警

+需砌 — AB^w0 - po (备需 +布箱 -

—AB (Л1^ 1 + k2N2),

где

М = go【£俨 + "о唄一а/0) (1 + %) С,m=统威)+臬？ ~^0)(1 + V0)TI,

(2.30)(2.30)Ml = g； 乂” + %必°)— ~^~ (1 + Vo) T* 加2 = g: ^" + %乂我-与一(1 + %) 7*

(2.30)

(2.30)

S12 = 3 (1 - %) go眼"12 = (1 -%)g:乂佻 81°\ 4°\ 酬，乂俨，x20)»

%12 — компоненты деформации поверхности So.

Выражения (2.29) представляют собой искомые условия неидеального контакта для определения обобщенных динамических температурных напряжений разнородных тел.

Термомеханические граничные условия для тел с покрытиями

Пусть тело покрыто тонким слоем из другого материала. Между телом и покрытием осуществляется идеальный термомеханический контакт, а на границе покрытие — среда — теплообмен по закону

Ньютона. Тогда для определения температурного поля покрытия имеем отнесенное к смешанной системе координат (а, р, 丫) уравнение теплопроводности (2.5), условия идеального теплового контакта

/。=力%/中。⑧施⑧恋即以Y = 一6,(2.31)

граничное условие Ньютона

晋 + 新‘0仇一公=0прн Y = + 6(2.32)

и начальные условия

/0 =心，厶=0, f = /(0), 2=0 при т = 0,(2.33)

где /。 = 1 +产亲；% = 。 0① 佘；9=e % 备；产，t,一 времена релаксации теплового потока покрытия и тела;入?)，儿 ——их коэффициенты теплопроводности; /0, / — их температуры;初"— плотность источников тепла покрытия; а0 ——коэффициент теплоотдачи с поверхности ? = + 6；厶一температура среды, омывающей эту поверхность.

Пользуясь операторным методом, общее решение уравнения (2.5) с учетом первого условия (2.31) находим в виде

Р cos p6L + -^- /0 sin рб (L + 幻一満。； --COSp? +

p cos 2"6 + T訐 /0 sin 2p6

P sin 成厂 +/0 cos р6 色一厂)一

+ —J业’-曲РY + 紙，(2.34)

P cos 2p6 + -y^- Zo sin 2p6'

где

% = p cos 成Q 丁 +3n 娥 +sin p3 (Q 甫 + Q7),

%2 = P sin 成Q鼠 + (~^『 cos p6 + 储 cos /?6 (Q扌一Q)

V

Qo = p J sin " (g — 丫)血)(&т)或，Q^ = Qo |y=±o, 6

(弟广=(營)i，

Подставляя решение (2.34) в интегральные характеристики температуры (2.8), получаем

'p cos 2p6 + Zo sin 2p6"

(2.35)

p sin рЫ- + Zo cos p6 (/. - О - 7* — & sin рб ——рб cos p6儿U P .

/ +

p cos 2po +• /0 sin 2po

"о%

66

где % = -^y j Q()d% 加=謁-J yQodR

Усредним уравнение (2.5) в соответствии с (2.8) и с учетом второго условия (2.31) и выражений (2.35). В полученном соотношении устремим 6 к нулю, сохраняя постоянными приведенные теплопроводность Ло = 2%/0)6, теплоемкость Со = 2c3, внутреннее термосопротивление % = 26/九步 покрытия, произведения Лого, Сого и WQi Wq, В результате приходим к следующему обобщенному условию теплообмена через тонкое покрытие:.

W）聲j屮（白）q=叫（1+%）⑶一+产鈴（黑厂+

где %=J ^dy.胱=年 j 域削y，＞=r0 一 -廿

сопротивление теплообмену поверхности z = — 6. Приведем частные случаи условия (2.36).

Пусть 等 f 0, тл 丰 0. Тогда получаем такое условие: “a[(i +-^7)广+ -^f屮©题) +号也一厂)-

_0 +^)普卜(^ = *[(1+专)備厂+*((亲)一_

J ф (С) d矶 + %•(2.37)

Если же —°)片 0, %0, имеем

Л»А [f1 + О г+4 ^ (-^)~]+V(/с - Г)-

7+0。禺)一二64(1+時)備)一+

+ ^^)~] + 1^-⑵ 38)

Для классического случая (t「-> 0, т^ f 0) получаем соотношение

а。а [(1 +昜)厂+而(备厂I +才华一厂)一

FT"啪+等闺Г

+I + 呼。，(2.39)

которое при 或)= 0 приведено в работе [48].

Для металлов (т? = тг) будет

А。а К +號)厂+ 3g 限门 + £也一厂)_

++ 們.(2.40)

Если в условиях (2.36)——(2.40) пренебречь произведениями А。，。и Сого, получим более простые условия. В частности, условия (2.36) и (2.39) запишутся соответственно в виде

^r + ^(tc^n-^+^^ 詳開厂 +

+ （1^7^ "^~ У Ф（^）^^ = ^0/0 ^-|~^ + %%,（241）

A。A「+ U自一厂）一儿0 + ^7）居）一=Со （為厂+网

（2.42）

Сформулируем теперь соответствующие механические граничные условия.

На границе тело ——покрытие имеют место условия жесткого сцепления

а^ =碍，u = UQ при 丫 = — 6,（2.43）

а на границе покрытие — среда — условия

2，）= о£） при у = + 3.（2.44）

Из уравнений движения элемента тонкой оболочки с учетом （2.43）, （2.44） находим [46]

б

（1 + 耳6） （1 + 局6）呼 一 （1 —砧）（1 —砧）吗 一 г。/ （1 + 々w） （1 + 一6

+ 电Y）零户=-$•（噜 + 啥），（2.45）

беа X （1 + 月3） （1 + 局3）或）+ （1 -自3） （1 -自3） 0Q一

-後上 0 + 自Y）0 +月Y）力。办]=一£（_^1- ++

+历a X忆+4% X方2）.

Здесь 自，局—главные кривизны поверхности So;厂一радиус-вектор точки на So^ Uq — вектор перемещений; р0 — плотность материала покрытия;^ = 乂衣 + N嬴 + Q^ 瓦=乂2启 + NW + Q2^, Oy = ОауС] + 0師。2 + O'w^n-

Раскрывая в равенствах （2.45） векторные произведения и переходя в них к пределу при 6 — 0, сохраняя при этом постоянными жесткость на растяжение — сжатие g0 =県 ина изгиб go

— vo

po = 2p06, p；=善 p（）63, находим такие условия j1 -j

на Sd

"b (际-/)=嚟•一票必 +需+缁% + ,

+ m费一票此+ 2耍+2今祭%)一

—48 (р$%и + Ро 自 б。)，

/8 (喃_嘿)=峥_醬m + 讐 +署邑2 +

4月(帶一翳他+ 2陪+ 2备黑h^-(2 46)

—/В (р£)и。+ Po 偽齿)，

十而%2丿+粛方—而何i + 一^— +

+ -^" % ) - ABpo)w0 - po 卜。 "^ +8: ^") - AБ (瓦А\ +

+ 財 乂2),

где “°, %, % — компоненты перемещений поверхности S。，

备 ^ ； ~|^ 网〃o，齿=；-f^2^о» PoO) = 26p0, po = -y-p0S3,

% = go [£(i0) + Vo或)一a俨(1 + №)7],此=g小理 + v譏)一 一衿1+"。)叫

“2 = go [40) + v08i0) — a,°)(1 + %) T], M2 = gQ "$S + ”諷°)—

-挛(1+%)Т*],

S12 = * (1 — %) go%2, "12 = (1 — %) g汲佻 ％ — коэффициент Пуассона； £0 ——модуль упругости； а/0)——температурный коэффициент линейного расширения покрытия; £也或)，е佻 乂恥，乂孔 乂设——компоненты деформации поверхности So.

《「 Выражения (2.36) и (2.46) представляют собой искомые граничные условия для определения обобщенных динамических температурных напряжений в телах с покрытиями.

3. Термомеханические граничные условия для тел со сферическими включениями

Пусть включение занимает область в виде шара радиусом R. Температурное поле ^0 внутри включения согласно (1.29) определяется из уравнения теплопроводности

簪胃(2.47)

dr2 1 r orи\/

rДО02 = *凄.

На стыке включения и тела выполняются обобщенные условия идеального теплового контакта

% = %，缥 j%⑧處屮⑧庞 npH「= R・ (2.48) Tr 6'6

Решение уравнения (2.47) с учетом условий симметрии -^-|— а 0 и первого условия (2.48) имеет вид

，。=；繇产，。=；繇产

，。=；繇产

，。=；繇产

一隸 gh 〃 (R 7) /о或)怎 T) d^,(2.49)

где /* = f』・

Подставляя (2.49) во второе условие (2.48), находим

儿儿W R j 屮* (Е) dE = j J°1 S&R cth 隽R — 1)产一

儿

儿

где

我=善書，包=1 +爸)*，中*(3 =再修)*，

\ dr / 力 |r=R

Среднее значение температуры включения запишется таким образом:

7。= -4-(cthpR——一—--f (电网.—

"R I 咻丿罐)p2R2，〈 sh М

—2)汕侬* m °)d斗(2.51)

Если в (2.50), (2.51) устремить т^ н т「к нулю, придем к результатам, приведенным в работе 147], Если в выражении (2.50) ограничиться первыми членами разложений операторов, придем к приближенному условию

胃^0) j 9* (e)雄=警> j exp (与三卜见箒底一胱，(2.52) позволяющему определять температурные поля в телах с малыми объемными включениями.

Здесь

胱= fexpp^)%(R，E)dg, WQ = ^]^l.w^ о \ % 丿о

Отметим частные случаи граничного условия (2.52).

Для металлов т^ = т, [38]. В этом случае имеем

(票)* =冬代/^-一外•(2.53)

Если т£)* 0, а т「0, то получим

j ехр 1^ 畳畴-胱•(2.54)

При этом использовано равенство

肾甘卜0)次=[也决『，Q，55)

на доказательстве которого остановимся.

Известно, что

ехр ()

lim ―' = 26 (— Е).(2.56)

Подставляя (2.56) в левую часть равенства (2.55), находим

Jim 寻 J 瞰⑧恶=2 j 3 (т — Е) [^^>『d& = [-^L『，(2.57) что совпадает с равенством (2.55).

Пусть Т?)-> 0, т；г 哪 0. Для этого случая имеем

今R J 瞋⑧鹿= 等»R2黑一%.(2.58)

Если % -> 0, Tr0) -> 0, из (2.52) следует

%R Л 享必黑(2・59)

Если ввести приведенную теплопроводность тела на поверхности стыка Л = 九/S (S = 4л7?2) и приведенную теплоемкость включения Со = r^V(Р =等 冗火3), условие (2.59), например, запишется таким образом:

Л(4г) =& 祭—每⑵ 60)

где % = 4冗『哦侬步(Л» t)力]. о

Для определения радиальных динамических температурных напряжений включения имеем соотношение [44]

源=T^Г [(1 - V。) * + 2v。，一 (1 + V。) "叱],(2.61) где радиальное перемещение % удовлетворяет уравнению

* 除—2 告一Р証。=易。)生,(2.62)

dr2 1 г dr г2о ] _ %4\/

Общее решение уравнения (2.62) имеет вид

〃о = -у- (% + ；) ехр (— рог) + -~- (л, —^ ехр (рог) +

+ 爲写 J 卜。ch "。& -三)_%丝_出k。(% Э 归(2.63)

Определяя постоянные s и с? из условий

%』=0, % = 〃 при г = R,(2.64)

находим

；(Ро + ；卜冷(—"用 + 与^P S") f

uQ =—~———二^伊一

-^-+ -^-у ехр (一 PqR) + -^-— -^-j exp SoR)

-3。ch % (RT) 一

+ *?* j [% ch "° (r — & _sh Po(； — E)]也怎 T)席，(2.65> где “* = 〃o |「=r・

Подставив (2.65) в граничное условие

Or? = О〃 при г = R、(2.66)

получим

1 — 2v()1 — 2v()1 — 2v0 2 .1 — v01 + %又十1 + %1 — 2v0 2 .1 — v01 + %又十1 + %-i- 一 Po cth PqR-i- 一 Po cth PqR

1 — 2v()

1 — 2v()

1 — 2v0 2 .1 — v0

1 + %又十1 + %

1 — 2v0 2 .1 — v0

1 + %又十1 + %

-i- 一 Po cth PqR

-i- 一 Po cth PqR

+ .斥h*shp°R j龜脸 T)sh %泌 + 2a&*，(2.67)

где £0 — модуль упругости включения.Подставляя вместо /0 его выражение (2.49), находимгде £0 — модуль упругости включения.Подставляя вместо /0 его выражение (2.49), находим°4°%「％R cth p°R — pR cth pR *p?—夕 2 p()R cth %R — 1°4°%「％R cth p°R — pR cth pR *p?—夕 2 p()R cth %R — 1

где £0 — модуль упругости включения.

Подставляя вместо /0 его выражение (2.49), находим

где £0 — модуль упругости включения.

Подставляя вместо /0 его выражение (2.49), находим

°4°%「％R cth p°R — pR cth pR *

p?—夕 2 p()R cth %R — 1

°4°%「％R cth p°R — pR cth pR *

p?—夕 2 p()R cth %R — 1

一俞!囁需囁蒜综翁凯侬。&词卜⑵68)

В (2.68) операторы имеют такие разложения:

~^~ — "о cth %R~^~ — "о cth %R-%[з +芋一靑 &R)4 +-%[з +芋一靑 &R)4 +

~^~ — "о cth %R

~^~ — "о cth %R

-%[з +芋一靑 &R)4 +

-%[з +芋一靑 &R)4 +

+ 7875仇r"-…]'

爲 %R cth%R —pRcth pR —( 心 f 1

—向—p2 %R cth %R — 1— 丿[ПК"

一斎[3 S°R)2 + 10 SR)2] + 豆修[2 (历R)4 - 5 (%R)2 义

X (pR)? + 15(pR)4]+

區sh pR sh poE - sh 陪 sh Р乐 _ 廟 ( sh2oW _

(2.69)(2.69)而—夕2 sh pR (%R ch 〃oR — sh %R) — 届—户 I sh p^R

(2.69)

(2.69)

SoRcth "<>R — 1尸=—4ф — (4") ]+ + 1W【83 - 84 寓 + 悟)I SoR)2 + ~iW [139~ -140 協)+ 圉](哂2 + 604W [-4325 + 4404闺-

-84 (4)?+5 (4)1(^^4+-sow [-4901 +

+ 4980 悟『-84 闺 7 + 5 (-|-)9] (P。R产(PR)" +

+ 誌И— 1657 + 1668 修】2 闺4(告电

Подставляя (2.69) в (2.68), приходим к граничному условию

=Н编炉｛]+咼仇2 [击 一击8命+

一备(3 (〃。©2 + 10 ("R)2)+ 1^ (2 (%R)4 - 5 S°R)2 SR)2 ++ 15 (哂4) + …]卜 + 4^^ 产” + ~^ (83% 一一 84步3 + 取7)+ 縱(139场。一140场3 + 场7)++ -g^- (- 4325% + 4404% - 84场？ + 5%) ++ &需燒匕(-4901% + 4980% - 84取7 + 5%) +

+ (一 1657% + 1668% - 12场7 + 恥)+(2.70)

1 /и >ии

где

步権=1!^ j "%風0)化")施=器J限+%或⑴R力力].

Умножим каждый член равенства (2.70) на 4冗R2 и введем такие величины: Nr =.o；「S ——радиальное усилие на поверхности S = ==4冗R? тела, р£)«= p0V —— приведенная плотность включения, go = G()R ——приведенный модуль сдвига, 4俨=a；°)R ——приведенный коэффициент линейного расширения. Тогда, сохраняя члены, содержащие только эти величины, для малых включений получаем граничное условие

М =告 р俨讃 + 8；!££g。s — 旭*)•(2.71)

Условия (2.52) и (2.71) представляют собой термомеханические граничные условия для определения обобщенных динамических температурных напряжений в телах, содержащих малые объемные включения.

Условия теплообмена для тел со стержневыми включениями

Предположим, что включение занимает область г《 R. Тогда для определения температурного поля t0 включения согласно (1.29) имеем уравнение теплопроводности

翁+；票+理。=一"。弟，Q，72）

идеального(2.73)идеального(2.73)Пусть на поверхности г = R выполняются условия теплового контакта

идеального

(2.73)

идеального

(2.73)

九(0)tt

ЧоГ，屮。⑧ dg = -7- f 屮(E)恋，

Tr 0r 6

/о = t при г = R.

Воспользовавшись операторным методом, представление общего решения уравнения (2.72) находим в виде

tQ = AJ0(pr) + BYQ(pr) +

+爲-J /（"）У。（陶一4（闻儿（叫丸就①區U %. （2.74）

Из условия ограниченности температуры при г = 0 следует, что 8 = 0. Определяя постоянную Л из второго условия (2.73), общее решение уравнения (2.72) записываем в виде

‘。=-7^rf + 新 j U。(*)У。(闻-

R

一 Jq (闻儿(*)] &就°)& T) d4一昜-^~ ¥4SR)匕(闻一

一 4 (优)го (PR)]就就①(白,力盟，(2.75)

где 严=W=r.

Подставляя вместо t0 его выражение (2.75) в первое из условий (2.73), находим

j中* ⑧ ^审 jexp(一^A)[<^/* +

+表J 7^請弘國)(5)咼處=0.(2.76)

Полученное условие (2.76) дает возможность точно определить значение температуры на границе включения.

Таким образом, задача теплопроводности с цилиндрическим включением приведена к следующей задаче: в области, занятой основным материалом, найти решение уравнения теплопроводности, удовлетворяющее на поверхности г = R условию (2.76), а на остальных границах области — обычным граничным условиям задачи теп лоп р оводн ости, а также начальным условиям.

Разлагая операторы Jr (pR)IJQ (pR) и Jo (Х)/Л (Р^) в ряды, условие (2.76) переписываем таким образом:

=-卜Хp(一^1^)® 展*° +4~р2 + *?е?+ …)尸 +

+ 俞卜0 + ；雇R2(% 一 ％)+ 占 р^(3% — 4Г2 +

+冷)+…收(2.77)

где

晨=■書，辰=1 + d°)書， (2.78)

R

步〃=景! 4叶%曲①信"叱" =0, 2, 4,…

Пусть решение задачи известно, т. е. найдено 俨.Тогда среднее по поперечному сечению значение температуры включения определяется по формуле

(2.79) (S)

Подставляя вместо /0 его значение из (2.75) в формулу (2.79), получаем

Т° = (1 + 击/^2 +^р^ + …戸 + 加 № -取2)+

+ $ 炉R2(3% 一 4叭 + 取4)+ 击 P^ (190J — 27也 +

+ 9场4一/6)+ …•+ 9场4一/6)+ …•(2.80)(2.80)

+ 9场4一/6)+ …•

+ 9场4一/6)+ …•

(2.80)

(2.80)

Условие (2.77) можно значительно упростить в случае тонких цилиндрических включений. Ограничившись первыми членами раз- 54

ложений операторов Ji(pR)/J()(pR), JQ (р^)/^0 (Р^)» получим 箫与 以*@成=

=-J ¥ j exp (-'^ 债一曾書卜* 怎 R) dE -号Т，

(2.81) где

吼=J exp吃怎 R)庞.(2.82)

Для металлов (тЛ = т^о)) условие перепишется таким образом: 儿 R (£)* + 4 猾)R2 (謂-* 4") + % =。•⑵83)

Если tP #= 0, a e 今 0, то из (2.81) находим

% R (4-)* =-嘗"jexp (一上請)(备 _ ^•贵)/* 她一胱•

(2.84)

При d°)-> 0 и тЛ #： 0 будет

陪j瞋⑧^=-4蝴)i (需一康第)一%，(2-85)

где ^o = J^O) ^^}d^ о

Наконец, для классического случая ①今 0, —°)-> 0) имеем

儿仪条)* = 一岑g(察一普黑一)一%・(2.86)

Введем приведенную теплопроводность и теплоемкость включения Л = %fs Со = Ms (S = nR2), приведенную теплопроводность поверхности контакта тела Л =儿L (L = 2冗R). В результате условие (2.86) принимает вид

A ("I") = — Ло 新 + & -^-—吼， (2,87) где 吼=2л %.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

ОБОБЩЕННАЯ ТЕРМОУПРУГОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

Операторным методом и методом предельного перехода получены точные и приближенные уравнения обобщенной теплопроводности для анизотропных и изотропных пластинок и стержней, изотропных оболочек с внутренними источниками тепла. Выведены уравнения связанной и несвязанной термоупругости анизотропных и изотропных пластинок [19——21], несвязанной термоупругости изотропных стержней и оболочек. Для изотропных пластинок с криволинейным краем сформулированы условия теплообмена на подкрепленном крае и условия неидеального теплового контакта. Сформулированы термомеханические граничные условия для определения обобщенных динамических температурных напряжений на стыке пластинок и подкрепляющих стержней, пластинок и стержневых включений, пластинок и круговых включений. Граничные условия дают, в частности, возможность изучать динамические температурные напряжения в окрестности металлических неоднородностей стеклянных элементов конструкций электроннолучевых приборов.

Уравнения теплопроводности для пластинок

Рассмотрим однородную анизотропную пластинку постоянной толщины 26, имеющую в каждой точке плоскость тепловой симметрии, к которой нормальна ось Oz (рис. 2). Пластинка нагревается произвольно распределенными по ее объему источниками тепла плотностью wt (М, т) и внешней средой, теплообмен через поверхности пластинки с которой осуществляется по закону Ньютона. Предположим, что теплофизические характеристики материала пластинки не зависят от температуры. Температура t (М, т) в произвольной точке пластинки в момент времени т определяется из уравнения теплопроводности (1.29), имеющего в данном случае вид

声 +(3・1)

при граничных условиях на ее поверхностях

Х33 -^- 土 ос*/ (/ — /*) = 0 при z = 土 3,(3.2)

LJ + %/ (/ —呢)=0 на цилиндрической поверхности S (3.3)

и начальных условиях

Z = ‘。，募=Ро ПРИ т = 0,Z = ‘。，募=Ро ПРИ т = 0,(3.4)(3.4)где операторы р?。厶$ в случае пластинки с прямолинейной и цилиндрической анизотропией имеют соответственно видгде операторы р?。厶$ в случае пластинки с прямолинейной и цилиндрической анизотропией имеют соответственно вид2 厶 °2°202p =自1元-2自2两-+紘可p2 =財1 （病+；联）+ 2牛舒+■2 厶 °2°202p =自1元-2自2两-+紘可p2 =財1 （病+；联）+ 2牛舒+■^Г亚，^Г亚，(3.5)d dr"，(3.6)(3.5)d dr"，(3.6)гдегде44"1依1凄+ 后2击）+拉2 （*2黑+脸等）,（3.7）"1依1凄+ 后2击）+拉2 （*2黑+脸等）,（3.7）空，m=强空，m=强Воспользовавшись операторным методом, общее решение уравнения (3.1) запишем в видеВоспользовавшись операторным методом, общее решение уравнения (3.1) запишем в виде.,.sin pz / dtf = cos pztz=u + 丁户Чз^2.,.sin pz / dtf = cos pztz=u + 丁户Чз^2к +к +(3.9)(3.9)где wQгде wQZР \ sin р (С — z) wt @ d& оZР \ sin р (С — z) wt @ d& о,(3.8),(3.8)Вводя интегральные характеристикибТ=亲」滋，T* = 一Вводя интегральные характеристикибТ=亲」滋，T* = 一температурыб262-|'龙—6температурыб262-|'龙—6(3.10)(3.10)

Z = ‘。，募=Ро ПРИ т = 0,

Z = ‘。，募=Ро ПРИ т = 0,

(3.4)

(3.4)

где операторы р?。厶$ в случае пластинки с прямолинейной и цилиндрической анизотропией имеют соответственно вид

где операторы р?。厶$ в случае пластинки с прямолинейной и цилиндрической анизотропией имеют соответственно вид

2 厶 °2°202

p =自1元-2自2两-+紘可

p2 =財1 （病+；联）+ 2牛舒+■

2 厶 °2°202

p =自1元-2自2两-+紘可

p2 =財1 （病+；联）+ 2牛舒+■

^Г亚，

^Г亚，

(3.5)

d dr"，

(3.6)

(3.5)

d dr"，

(3.6)

где

где

4

4

"1依1凄+ 后2击）+拉2 （*2黑+脸等）,（3.7）

"1依1凄+ 后2击）+拉2 （*2黑+脸等）,（3.7）

空，m=强

空，m=强

Воспользовавшись операторным методом, общее решение уравнения (3.1) запишем в виде

Воспользовавшись операторным методом, общее решение уравнения (3.1) запишем в виде

.,.sin pz / dt

f = cos pztz=u + 丁户

Чз^2

.,.sin pz / dt

f = cos pztz=u + 丁户

Чз^2

к +

к +

(3.9)

(3.9)

где wQ

где wQ

Z

Р \ sin р (С — z) wt @ d& о

Z

Р \ sin р (С — z) wt @ d& о

,(3.8)

,(3.8)

Вводя интегральные характеристикиб

Т=亲」滋，T* = 一

Вводя интегральные характеристикиб

Т=亲」滋，T* = 一

температуры

б

262-|'龙

—6

температуры

б

262-|'龙

—6

(3.10)

(3.10)

(3.11)(3.11)T* = 一3二 （ S电跄加6 ［「бT* = 一3二 （ S电跄加6 ［「б+ z=0+ z=0Q*Q*%3卢%3卢

(3.11)

(3.11)

T* = 一3二 （ S电跄加6 ［「б

T* = 一3二 （ S电跄加6 ［「б

+ z=0

+ z=0

Q*

Q*

%3卢

%3卢

и интегрируя (3.9) в соответствии с (3.10), находим т sin% “ I Q

где

Q* = 贵国一侬一电需广+ （需门｝ +零，（3・12）

若’(~^~) — значения функции g и ее производной по z при бб

z= 士5,取=j 侬〃2,取* = -|- j zwtdz — отнесенная к единице —6—6

площади срединной плоскости пластинки плотность источников тепла и плотность «моментов» источников тепла, характеризующая неравномерность распределения источников по толщине [5].

一 Из соотношений (3.11) следует

力=0=力=0=где R = Тгде R = ТsinpBQ入扌3户sinpBQ入扌3户R,R,=丄=丄户錚户錚应 /z=o — 3 sin р6 — р6 cos "6应 /z=o — 3 sin р6 — р6 cos "6R* = 7*R* = 7*Q*Q*a33户a33户Подставив (3.13) в (3.9), выразим температуру через ееПодставив (3.13) в (3.9), выразим температуру через ее(3.13)инте-(3.13)инте-гральные характеристики:гральные характеристики:

力=0=

力=0=

где R = Т

где R = Т

sinpBQ

入扌3户

sinpBQ

入扌3户

R,

R,

=丄

=丄

户錚

户錚

应 /z=o — 3 sin р6 — р6 cos "6

应 /z=o — 3 sin р6 — р6 cos "6

R* = 7*

R* = 7*

Q*

Q*

a33户

a33户

Подставив (3.13) в (3.9), выразим температуру через ее

Подставив (3.13) в (3.9), выразим температуру через ее

(3.13)инте-

(3.13)инте-

гральные характеристики:

гральные характеристики:

'=1Йг c°s必R + 等 sinpfiipScospS sin *R* +•(3」4)

Для определения интегральных характеристик температуры 7 и Т* подставим (3.14) в граничные условия (3.2). Учитывая (3.12), находим следующую систему двух дифференциальных уравнений бесконечно высокого порядка:

2翫覩2T — a+曲 ctg рб /R— 4- 1 —際市俨=

H — Q+阵 + а」£) — № +[寸/2威 + а『/2侬丁], (3.15)

%з

23*3阳* _ (2 华 + 4) 户个一3"娥 ctg р6 IR = J，"\/ 1 — pd ctg рб

0-3(叫_〃二 +a_/住)一/场* +-^- (1 + "^~也)3扌一

-(1 + /- 3/) Wq ,

./+ ± L

где а± = 土 а『，4 = 一幺？上•

Условия теплообмена на цилиндрической поверхности S и начальные условия после интегрирования по z (3.3) и (3.4) в соответствии с (3.10) запишутся в виде

厶7+ @/(7 — 7》=0,(3.16)

&Т* + %/ (Г* — %*) = 0 на цилиндрической поверхности S,

7 = '。，票=°。，7*=爲，窘=" прнт = 0, (3.17)

6

J todz9

-6 б

To = -^5- У 2tQdz,

(3.18)

f tcdz,

%* = ~2^~ / "泌，

(3.19)

厶

d

6

-6

尸。=2§2 У zp()dz.

(3.20)

гдегдеВ случае, когда на поверхности S пластинки имеет место обобщенное граничное условие второго рода, в граничных условиях (3.16) произведения а$方 и а5ТГ следует заменить выражениями

где

где

Qs =方卜，％”2，Qs = ~^" £ z%dz, (3.21) a as положить равным нулю.

Система уравнений (3.15) вместе с выражением (3.14) эквивалентна уравнению (3.1) и граничным условиям (3.2). Поэтому ее решение будет точным решением задачи теплопроводности для анизотропной пластинки произвольной постоянной толщины.

Найдем приближенную систему уравнений теплопроводности для тонких анизотропных пластинок. Для этого, обозначая А” = =2Х//6, iJ = 1, 2, приведенные коэффициенты теплопроводности, С = 2&3 приведенную объемную теплоемкость, rz = 号-внутрен- %3

нее термосопротивление в направлении z и предполагая, что \pnT\<Z + оо, \pnT^\<Z + °°, переходим в (3.15) к пределу при 6-^0, сохраняя постоянными Л；/,С, rz,WnW^.^ результате получим следующую систему уравнений:

LT — /(а+Т + а_Т*) = — / (场 + а+4 + а_£),

LT* — 3 (%Т* + /а_Т) = -/”* + За+£ + За_ф, (3,22) где оператор 厶 для пластинки с прямолинейной и цилиндрической анизотропией имеет соответственно вид

(3.23)

l=Au 备 + 2л12 备7 + /2 書"一a 黑,l=Au 备 + 2л12 备7 + /2 書"一a 黑,а а0 =不-+ a+Z.

l=Au 备 + 2л12 备7 + /2 書"一a 黑,

l=Au 备 + 2л12 备7 + /2 書"一a 黑,

После того как Т и Т* определены, температура в любой точке пластинки может быть найдена из (3.14). Если в (3.14) также

(3.24)(3.24)перейти к пределу при 6 -> 0, сохраняя постоянным отношение z/6, получим выражение

(3.24)

(3.24)

по которому температура при известных 7 н Т* определяется приближенно.

Если задача теплопроводности симметрична относительно срединной плоскости z = 0 пластинки, т. е.

疔=我=厶玻=а/ = % 俨=0, Т* = 0,(3.25)

то вместо системы уравнений (3.22) получим следующее уравнение теплопроводности для определения нестационарного обобщенного, плоского температурного поля в анизотропной пластинке:

LT — 2a?/ (Т —力)=一 IW.(3.26)

Вместо граничных условий (3.16) в этом случае останется только первое, а вместо начальных условий (3.17)——первых два.

Для изотропных пластинок (九% =九为=儿，九;2 = 0) имеем приближенную систему уравнений для определения интегральных характеристик температуры

ААТ—а/ (Т — %) - а」(Т* 一 £) = В 祭一叱 ©

ААТ* — За」(Т — ф — З (后 + а+" Т* + 3叶匕=

Для симметричной относительно срединной плоскости пластинки задачи теплопроводности уравнение теплопроводности имеет вид

+(3・28)

Краевые условия запишутся в этом случае таким образом:

-^" + (% + сГ1 -^-j (Т ——Т》=0 на цилиндрической поверх

ности S,(3.29)

Т 匸『о，黑' =「о ПРИ 工=0,(3.30)

где 乂2 = у^-； q = у^постоянная, имеющая • размерность скорости; hs ——относительный коэффициент теплоотдачи с поверхности S.

Уравнения теплопроводности для стержней

Рассмотрим ортотропную прямоугольную полосу —— пластинку длиной 2d, шириной 2h и толщиной 26 (рис. 3). Пластинка нагрева-

Рис. 3Рис. 3ется симметрично распределенными относительно плоскостей х = =0, z=0 источниками тепла плотности wt (х, у、z, т) и внешней средой, теплообмен с которой осуществляется по закону (3.32) и (3.33).

Рис. 3

Рис. 3

Усредненная по толщине пластинки температура в момент времени т определяется из уравнения (3.26), где

厶=А* + 人乡 ^Cl 凄,Az = 21/8.(3.31)

Граничные и начальные условия в данном случае имеют вид

渡"^" 土a丿(7 - К) =0пре % = 土用，(3.32)

或笥"土 a/ ⑺—^) = 0при а=土 d,(3.33)

T = T。，祭=Р。 nРи °=°，(3・34)

а%, а,, а2 ——коэффициенты теплоотдачи с поверхностей % = ± 瓦 у = ±dt z = ± 6; t^ 彌，公一температуры сред, омывающих эти поверхности.

Перепишем уравнение (3.26) с учетом (3.31) в виде

+ 炉 Т = — 9・(3.35)

Здесь

22 ^吗虑产

С помощью операторного метода решение уравнения (3.35) запишется таким образом:'

T = cosMId + ^L,(3.36)

где %(х) = р\sinpCx)qdZ. о

(3.37)(3.37)Вводя интегральную характеристику температуры

(3.37)

(3.37)

и интегрируя уравнение (3.35) и выражение (3.36) в соответствии с (3.37), получаем

击［爆广一(黑「卄心一古(夫+今W (3.38)

X笋儿计务，(3.39)

где h65Л

Q = -~ I q^dx, F = 46ft, IT « JJ Wfdzdx,片=-^『t：dx・

—h—6—A—A

Из соотношения (3.39) запишем

7%=。=备 R，(3・40)

где R = 3.

Подставляя выражение (3.40) в (3.36), находим

Т = cos pxR + »М^ ・(3.41)

Использовав граничное условие (3.32), получим

卷［宏)+-(纂)］=^~(mctg"/iR+^^T). (3.42)

С учетом соотношения (3.42) уравнение для определения интегральной характеристики О запишется в виде

心尸卢仆—Axf)h ctg pRR = %丿 ％(用厂2 —修］-W — AJ.TI (3.43) где Ах = 4aAД Лг = 4а2Л.

Граничное и начальные условия (3.33) и (3.34) после интегрирования по % в соответствии с (3.37) имеют вид

底符土 叫①一罂)=。при у = ± d, (3.44)

8 =爲，S = б。 при т = 0.(3.45)

Уравнение (3.43) вместе с выражением (3.41) эквивалентно уравнению (3.31) и граничному условию (3.32). Следовательно, решение уравнения (3.43) будет точным решением задачи теплопроводности для полосы —— пластинки.

Пусть толщина 26 и ширина 2/i полосы одного порядка. Тогда, полагая, что | р"О | < + оо, переходим в (3.43) к пределу при Л -> 0я сохраняя при этом постоянными А», С, W, At (i = х, г). В результате получим следующее уравнение теплопроводности для ортотропного стержня:

(А, "^С / "^) 8 — Azl^ = — / (呼 + Axtc + 4片),(3.46)

где Ау =入;F ——приведенный коэффициент теплопроводности; Ле = Ах +Аг — приведенная теплоотдача всей поверхности стержня; С = cvF — приведенная теплоемкость стержня.

Если температуры сред, омывающих поверхности стержня z = = ± 6, % = ±瓦 равны между собой: f^ = U = 力，то уравнение (3.46) запишется в виде

(4 备—О W) ° - А^1^ —力)=—版・ (3.47)

Уравнение теплопроводности для ортотропного стержня, записанное в виде (3.47), может быть использовано при определении температурных полей в стержнях произвольного поперечного сечения. Если коэффициенты теплоотдачи с боковых поверхностей стержня квадратного поперечного сечения (h = В) равны между собой, а* = =а2 = а, то в уравнении (3.47) следует положить А = Ах = Аг = =4万а, F = 4歩，Д2 = 8Аа. В случае изотропных стержней в полученных выше уравнениях и граничных условиях следует положить 九)=九

Приведем еще вывод уравнений теплопроводности для стержней, обладающих цилиндрической анизотропией. Рассмотрим цилиндр радиусом R, через поверхности 厂=R, z = ± 6 которого осуществляется теплообмен с внешней средой температур 厶，^? соответственно.

Уравнение теплопроводности для определения температурного поля в цилиндре имеет вид

4•(3・48)

Граничные условия запишутся таким образом:

% ^ + а/ « —心=0 при 厂=R,(3.49)

4@24@2*署 土若/(/ —冴)=0 при z=±d・(3.50)

4@2

4@2

Начальные условия имеют вид (1.14). Здесь р?=

* / -^-； 峭 * — коэффициенты теплопроводности в направлениях г, z; а「，а? — коэффициенты теплоотдачи с поверхностей г = R, z = 土 d・

Решение уравнения (3.48) имеет вид

f = /((⑺ + BY q (*)+ --r j 卩。(*)у о (闻一

-人(网)%(*)]a⑴(& 2")d备

где Jv (0, Fv (Й — функции Бесселя первого и второго рода.

Учитывая условие симметрии 系］_° = 0, получаем

t = Jq (рг) /，=о + -^- j I J。(川)% (〃С)—

(3.51)(3.51)—^O (")4 (网)1 0电储 2") d&

(3.51)

(3.51)

Введем в рассмотрение интегральную характеристику температуры

R

Т = -^-，” к % т) 〃・(3.52)

Решение (3.51) с помощью этой интегральной характеристики нетрудно записать в виде

/ = 4- ^ (?-#)+</小(")％ (闻-

一九(*)4依)］a®/信2, T)匈 声J0 (川)J ро (项；：(骑)—

一 % (階］制(”8心(3.53)

R

где 取* = -^- j C例信 z, t) dg =7募"•

Подставляя (3.53) в (3.49), получаем следующее уравнение:

严一i^p^^+Wjg。(叫一

-/。(陶］册患成一 24=一殳. (3.54)

Введем в рассмотрение приведенную теплопроводность Лг = =九;尸 в направлении z, теплоемкость С = &尸，сопротивление Rr = 二丁 теплообмену на поверхности г = R, где F = jtR?— площадь поперечного сечения стержня.

Разложив в (3.54) операторы в ряды, перейдем к пределу при R — 0, сохраняя при этом постоянными Л2, С, R「, W. В результате приходим к следующему уравнению теплопроводности для стержней, обладающих цилиндрической анизотропией:

М鋁= 1^ + С号 一1吼(3.55)

Для изотропных (忌=儿，а，=仪欠)стержней будет уравнение +° 黑-取.(3-56)

Интегрируя граничные (3.50) и начальные (1.14) условия в соответствии с (3.52), находим

* 票 土 a?Z (Т — Т?) = 0 при z = ± 6,

Т = То, Т = Ро при т = 0, где

RRR

璋=У 爾女，「о = "^г У /dg, PQ =『5或・

Уравнения теплопроводности для оболочек

广 Рассмотрим однородную оболочку толщиной 26, нагреваемую произвольно распределенными по ее объему источниками тепла плотности wt (а, р, у, т) и внешней средой. Через поверхности оболочки осуществляется теплообмен. В этом случае температура / (а, р, у, т) согласно (1.29) и [45] определяется из уравнения теплопроводности 削 +*+ 2e暂-—粤(3.57)

1 Оу? 1 dy а ди Л/

при граничных условиях на ее поверхностях у = ± 3

%(*)土土 若/(产一冴)=0(3,58)

и начальных условиях

/ = /0, / = 0 при т = 0.(3.59)

Если оболочка не замкнута, то соотношения, аналогичные условиям (3.58), можно записать на ее краях. Введем замену f = =е"-%. Тогда уравнение (3.57) преобразуется к виду

請+…一/.(3.60)

Здесь 炉=р；—依,р； = А —= *^~ , 9 = lwt^.

Решая уравнение (3.60) с помощью операторного метода, получаем следующее представление общего решения уравнения (3.57):

1 = L [m PY + 条 sin 川"I +儔)l + 务"]，Ml)

где g()= pjsiiip(g —Y)g@a,0,T)dG. о

Вводя интегральные характеристики температуры

66

(3.62)

и учитывая соотношение -^#- = —р2 @ + q), интегрируем (3.61) в соответствии с (3.62). В результате получим

?="力=0 + m(m=0 +亲,

(3.63)

7* = "%=。+ 例*(*)n+7* = "%=。+ 例*(*)n+Q*Q*Здесь ^Здесь ^sh fe6 cos рб + 口—必 ch 必 sin 成),sh fe6 cos рб + 口—必 ch 必 sin 成),

7* = "%=。+ 例*(*)n+

7* = "%=。+ 例*(*)n+

Q*

Q*

Здесь ^

Здесь ^

sh fe6 cos рб + 口—必 ch 必 sin 成),

sh fe6 cos рб + 口—必 ch 必 sin 成),

M = -9 - (— k ch 力6 sin p3 + p sh Л6 cos p6), pp@

№№4胪—«2、

№

№

——2^6 ch k8 cos рб Hsh ^8 cos p6 +

名丿

° Ssh^S sin pB + /?〈•* k ch E6 sin 〃3),

(3.64)(3.64)M* = -( 抬 sh 必 sin 成 + /.三伫 ch 々6 sin Р6 一

(3.64)

(3.64)

"(%6)2 \PP；

—p3 ch 必 cos рЗ + 2 sh 找 cos pB \,

Q =一击因2 ［缈+1Q =一击因2 ［缈+1m/也m/也++

Q =一击因2 ［缈+1

Q =一击因2 ［缈+1

m/也

m/也

+

+

+犬(6一就疝一濟行)，

Q* = 譌产№ 一砌ё用疝一a +必)济行一

一收(亨住门制咼，

9^'——значения функции qQ и ее производной при у = ± S.

Из соотношений (3.63) следует

(3.65)(3.65)RM* — R*M (祖)— NR* — №R

(3.65)

(3.65)

n 1 \ dy ,y=o 一 n

где

几=NM* — №M = —[2 胪6 ch2 ^8 sin 2p6 -岑 sin 2рЗ +

+ 备(ch 2左3 — cos 2p6) j,

R = r-备，R* = t*一备•

Подставив (3.65) в (3.61), выразим температуру через ее интегральные характеристики:

/ = ^^ [(cos * + 6 ^L)(RM* - r*m)+

+ JM «R* 一 №r)+ 翁]・(3.66)

Для определения Г н T* имеем еще неиспользованные условия на поверхностях у = 土 В. Подставляя температуру (3.66) в условия (3.58), после несложных преобразований получаем следующую систему двух дифференциальных уравнений бесконечно высокого порядка:

~-〔2 [(卜旷「『М* $ % sin р 6 + N* sh k8 cos p 3)R +

+ 2 (_^^^— ch Й6 sin p 6 — 乂 sh 66 cos/? 3)R* +

+七(第•广一产(炒厂一(玻一砌+

+ ； |("望丁 竺-a，/ sin рб + M*a^.l cos pb) R +

+ (_ aLsinp6 - M(4/8sm)…中厂?—

—(a+%4 + a—/£) = О,

(3.67)

} {_ 2 卜姒*^■而竺 sh 抬 sin рб + 2V* ch 找 cospb"-

一 2 (爲М/ . sh 抬 sin 成一N ch 找 cos pb) R* +

+力 L (*广+瞪(器厂i (/+ 6)]} +

+ } {( "*々丁 “* 印 sin рб + №d」cos p§ ) R +

+(2^^ а〃 sin p8 一 MaLl cos p^R^ + -^ (oc+/^V 一

-al产行)} -(а+/七 + а_/ф = 0.

Здесь а± = е一*%+土产а~;隹=厶 尹"；及，как следует из формулы (3.66), при у = 土 3 имеет вид

产=济我；［卜os成土山一吋一)(RM* - RM)土

土 sin£d(NR* 一 N*R) +

Система уравнений (3.67) вместе с выражением (3.66) вполне эквивалентна уравнению (3.57) и граничным условиям (3.58). Поэтому ее решение будет точным решением задачи теплопроводности для оболочки произвольной постоянной толщины 28. Если в уравнениях (3.67) перейти к пределу при 6 -> 0 с учетом постоянных приведенной теплопроводности Л = 2%6, приведенной теплоем- 261

кости С = 2仇5, термосопротивлений 大=rk = получим такую приближенную систему уравнений для оболочки:

АА7 - aj (7 — ％) - а」(Г* -比)十 生 7* = О 幫一/Г,

(3.68)

ААГ* — За+/ (Т —总)一За_/ (Т —辞)ААГ* — За+/ (Т —总)一За_/ (Т —辞)昇*=aa的,昇*=aa的,

ААГ* — За+/ (Т —总)一За_/ (Т —辞)

ААГ* — За+/ (Т —总)一За_/ (Т —辞)

昇*=aa的,

昇*=aa的,

Уравнения несвязанной термоупругости анизотропных пластинок

Рассмотрим неравномерно нагреваемую однородную пластинку, обладающую прямолинейной анизотропией и отнесенную к прямоугольной системе координат х,弘 z. Примем срединную плоскость за координатную плоскость хОу, поместив начало координат в произвольной точке О. Направим ось z перпендикулярно к плоскости тепловой и упругой симметрии, параллельной срединной плоскости пластинки..

Выведем дсновные уравнения и соотношения несвязанной динамической задачи термоупругости для пластинок, предположив, что поперечные сечения пластинки не искривляются и после деформации остаются нормальными к срединной плоскости (гипотеза неизменных нормалей), а также что нормальное напряжение мало в сечениях, параллельных срединной плоскости, по сравнению с на-

пряжениями в по перечных сечениях, т. е. считаем справедливыми такие равенства:

•(3.69)•(3.69)

•(3.69)

•(3.69)

где 〃，己，侬一 проекции вектора перемещения на координатные оси точек срединной плоскости, не зависящие от z.

В силу сделанного предположения относительно тепловых упругих свойств пластинки будем считать справедливыми уравнения обобщенного закона Гука в форме

(3.70)(3.70)ехх = а11ахх + “12。" + %30rzz + а^Рхд + 片也 6" =a12°** + "22°" + a23022 + "26°*g + a22 % % =a13%% + a230" + a330勿 + "360%9 + О43 力 % =a4 40/ + "4 5°%z + a23力 〃2 = "4 5°* + "5 5%z + a13^, exy = %6%* + "260g0 + a36% + a^Xg + 国2 九

(3.70)

(3.70)

Решив четыре первых уравнения (3.70) относительно аХх, о^, а2г и 0初,найдем

°ХХ ^С11ехх + С12еуу + ©13% + С1беху — Ри^,

。纱=С12ехх + °22«勿 + C23ezz + С2веху —网 2力(3 71)

%Z = ^13exx +023喝 +033% + %6e*g一033%,

гдеC11гдеC11e22e22^Xy = ClQexx +026e" +c36勿 4"С664g-012/,

где

C11

где

C11

e22

e22

- ("22a33a66 一 "22電6 一贤3&6 + 2&3〃26〃36 -遍6033)，

=~ (%1"33466 - аu碌一施"66 + 2al3"16"36 - 届6"33)，

&3 = ~ ("11a22"66 一 ^11^26 一 "；2066 + 2"12"16"26 一 ^16^22)»

'66 = "^" ("11"2 2"33"11"23"12a$3 + 2"12"13"23 一 "13%2)，

2

a2 = ^" ("12"36 一 "12"33"66 + "13"23"66 一 ^13^26^36 +

+ "16"26"33 一 ^16^23^36)»

12

013 =元(a12a23066 一 "12a26%6 —a13"22066 + "13"26 +

+ "16"22"36 一 "16"26"23)，

e16 = "^ (a12"26"33 一 "12a23436 + %3"22436 一 "13"23a26 一

-%6"22433 + %6陽3),

%6 = 3 ("11a23"36 +a11"33026 -以13412"36 + "；3"26 +

+ "16a12"33 一 "16。13a23)，

023 = "^ (a11436a26 一 "11"23"66 + "13"12"66 一 @13" 16a26 一

"16"12"36 +a16"23)，

%6 =万~ (a11"23"26 一 "11"22a36 + "12"23 + 016@13。22 -

-%2413026 - "16。12。23)，

m=(01粗22 -湍)(&3066 - "金)+ 2&6036 ("11423 - "12"13)++ ^13^26 - "口 (鹿a66 + 碌"33)+ 2a12"23 (013&6 一 "1643e) +

+ 2a2 6"16 (a12033 一 "13023)+ "13"22 (2a16"36 一 "13066)+

+ 编冠3 -022"33)。

P11 == 0^11^11 + ^22^12 + а33^1з + а12^1б»优2 = 0^11^11 + 042c22 4~ 043c23 + а12^26»Рзз = а； 03 + 0^22^23 + а33^38 + а 12^36»0,2 = а%% + 042c26 + азз^зв + а：沁 6・

Из третьего уравнения (3.71) с учетом третьего равенства (3.69) следует

ezz =^(e13限* + e2 3cgy +e36〃" 一 033%).(3.7 2)

Подставляя выражения е〃 в первые два и последнее уравнения (3.71), находим

g хх =当1С抹 + 当2С" + ^iQexy - 61 J,

О” = ^12^xx + 822°” 4" 826?初—022‘，'(3.73)

^xy = 816g/ + 线心” + 筑 60 初一016’，

где

^11 = f ("22&6 一 ^26), ^22 = 3 ("1心66 -编)，

当2 = ； ("16026 - "12&6)，统6 = -4~ (0口&2 - 0；2),

^16 =齐(“12a26 — °22al6)，旦6 = % (%2a16 — 406)，

д =д =a11°12°16@12°22°26，@16@26^66a11°12°16@12°22°26，@16@26^66(3.74)(3.74)

д =

д =

a11°12°16

@12°22°26，

@16@26^66

a11°12°16

@12°22°26，

@16@26^66

(3.74)

(3.74)

Р11 = аП^11 + 仪22旦12 + a12^ie，

Рй2 = ©[В]? + ^22^22 + ^12826，

P12 = &1当6 + ^22826 + 0^125ee.

Из уравнений (3.73) с учетом (3.69) следует

0r%* = ^11^11 + ^12^22 + 2816cl.2 + z (8口乂1工 + 512x22 + + 25lex12) — ₽и/,

%/ = ^12^11 + 822c22 + 2B26^12 + z (B12xn 十

+ ^22X22 + 2B26X12) — 022%

^Xy = ^16^11 + 旦6。22 + 2826^12 + Z (B16XU + ^26^22 +

+ 2B66x12) — В/

гдегдеdu加 с ди . dv

где

где

41=京^ e22=石，242 =万+宕，

d2wd2wd2w

%1 = --^' x22 = 一 寸' "12 = _"^

суть деформации срединной плоскости и изменения кривизны.

Проинтегрировав уравнения (3.75) и уравнения (3.75), умноженные на z, по z от —6 до 6, получим следующие выражения для усилий и моментов:

(3.76)(3.76)(3.77)(3.77)Nх = 26 (^11^11 + В]?%? + 2В1б^12 —%/), NУ = 28 (В12^11 + ^22^22 + 2В26^12 — ?22^)， T*g = 26 (В1веп + В26е22 + 2Вбве12 —九丁)，

(3.76)

(3.76)

(3.77)

(3.77)

m* =d11乂11 +。12 乂 22 + 2016x12 - 6"7*, мУ =012x11 +。22x22 + 2026x12 一0227*, нхУ й。16x11 +。26x22 + 2D66X12 - 612 7*,

где

66о

N* =『o%%dz, Ng = \ Gygdz, TXy ~ TyX = j o%ydz,

—6—6—6

66б

Л1* = , zo%xdz, М.у = У zdyydz,НХу = Нух =『zoXydz9

—6—6—6

*262263

Р〃・=仇/・；Dii = Вч —^ жесткости анизотропной пластинки, а именно: О”，D2a — жесткости изгиба вокруг осей Оу, Ox, D6e — жесткость кручения, D16, О26 — побочные жесткости.

Проинтегрируем уравнения движения

禦+零+讐=p欝(物,w) (3-78)

и эти уравнения, умноженные на z, по z от—6 до 6, учитывая при этом равенства (3.69). В результате соответственно получим [48]

汕х丄更纥穽〃汕х丄更纥穽〃(3.79)(3.79)

汕х丄更纥穽〃

汕х丄更纥穽〃

(3.79)

(3.79)

(3.80)(3.80)M дН”у _ q _ _ О* °з@

(3.80)

(3.80)

d 恤 I дНух с _ с* °з@~1^~ 十 F 5y 一―以"5诵F '

б6

где Qz* = У Oxz^^, Qzg = J。2屈2, Q* — -6^p, Q = 2p5— приведенная плотность материала пластинки.

Из (3.80) с учетом выражений (3.77) следуют такие выражения перерезывающих сил:

Qzx =-回需 + 3加 ^^ +(% + 2.6)藹T +

+026需]-£i 嚮+ 价2 亲 + Q*1^'

+ 3% 讓 ++ 3% 讓 +Qz, = — [&6 4?" +(% + 2Аб) ^^

+ 3% 讓 +

+ 3% 讓 +

+ &2 密]一能-份2 晋 + ** ^Г •

Исключая из (3.80) и третьего уравнения (3.79) Q^h Qzg, приходим к уравнению

挈+ 2 券^ + 摯• = Q 票-R* 4V °叫 ©si)d%2* дхду * 办2@辞^т27'/

Подставляя (3.76) и (3.77) в первые два уравнения (3.79) и уравнение (3.81), имеем следующую систему дифференциальных уравнений для определения трех функций 弘 〃 w:

+ (%+ 绕6)謁％ 瑞=

+ 传12 + 统6)"^一% 击一也2亨=p而，(3.82)

0]需+ 426蒜+ 2(0]2 + 256)奇 +

+ 也2 -g不=一a w + ◎而(A®)•

Первые два уравнения (3.82) описывают плоское напряженное состояние, а третье представляет собой уравнение поперечных колебаний анизотропной пластинки.

Общее решение двух взаимосвязанных уравнений (3.82) □黑〃 + + □肾и = %, / = 1; 2, можно представить в виде

" =□£①一□俨屮\ v = □俨屮一□册①.(3.83)

Здесь функции Ф и Т удовлетворяют соответственно уравнениям □①=4, □▽ = %，(3.84)

где □ = □f)□肾一 □册□孔0/ = - 口尸厂

В случае пластинки с прямолинейной ортотропией для определения функций и, и, w вместо (3.82) будем иметь такую систему дифференциальных уравнений:

GA” + ^—6)— + (当~ + G) -~ = 61 票 + Р«,

GA。+ (% — G)務 + (ВЛ + G)爲=也器 + р。，

5 爵+2А^^-+П2* = -£"Уг_()

一Р2— Q侬 + a*A叫

Me Bij^^’^M^^, 2=纥等，,・=1, 2, ₽；= =国-3- , & = G 粤，D3 = D^yx + Da, Pi = % (或 + a；vj, P2 =

=в? (a%* + a；), Ext Ey, vx = %, vy = W",或，(4 —модули Юнга, коэффициенты Пуассона, температурные коэффициенты линейного расширения для главных направлений; Gxy ——модуль сдвига; Ох, D2> Dk — жесткости изгиба и жесткость кручения для главных направлений упругости или главные жесткости.

Рассмотрим теперь пластинку с цилиндрической анизотропией, отнесенную к цилиндрической системе координат г, ср, г. Будем считать, что поперечные сечения пластинки после деформации не искривляются и остаются нормальными, о〃 =0 по всей толщине пластинки, т. е. для данной пластинки остаются справедливыми равенства (3.69). Поступая так же, как и при выводе формул (3.73), для определения компонентов напряжений о〃，аф(р, агф в пластинке с цилиндрической анизотропией получим следующие выражения через функции и, и,

(3.86)(3.86)。/г = ВцС” + Bi2%0 + ^16^Ф011А

(3.86)

(3.86)

°屮屮=812°〃 十 ^22^фф + ^26^Ф§22’，

О” = В^гг + 526^ФФ + 8б6 勿Р — 612’，

где

е〃 = ~М〃т*)，%<₽= } 〃+書一2(穿+ }器)]‘

е，（ре，（р

е，（р

е，（р

Подставляя (3.86) в уравнения равновесия в полярных координатах

吐+丄dr ' г% I 1drг@2儿2吐+丄dr ' г% I 1drг@2儿2ат” I М — %ат” I М — %叫^фУН вдгд^叫^фУН вдгд^7+ 2 ―^- = Qy,.:(2М, —网)+ ；佘• +7+ 2 ―^- = Qy,.:(2М, —网)+ ；佘• +

吐+丄dr ' г

% I 1

drг

@2儿2

吐+丄dr ' г

% I 1

drг

@2儿2

ат” I М — %

ат” I М — %

叫

^ф

УН вдгд^

叫

^ф

УН вдгд^

7

+ 2 ―^- = Qy,.

:(2М, —网)+ ；佘• +

7

+ 2 ―^- = Qy,.

:(2М, —网)+ ；佘• +

+三等=爾一 ЗА成

для определения функций 〃，и, w записываем следующую систему дифференциальных уравнений:

,в2б / 1 d2v 加[и \ [ % /1 *〃丨 心

一;券)-告哥+")iE点+

I P12 " t Pll —网2

牛裔+粤得+黑)+%儲+予*)+

I / /0 两 1 да } й ] ди \ ^

+ do (尸2 * + J "^ + 需 + ^粤-R - P"=

(3.87)(3.87)= %(?+等7)+乎器，

(3.87)

(3.87)

刍1 票 + 2 (当2 + 2区6)尸2 ( 爲p2 -； 离%) +

+ Х+ Х03@力303@力3_L #22 十冲_L #22 十冲1 д&з d2w1 д&з d2w户 ^(p4 dr2户 ^(p4 dr2++

+ Х

+ Х

03@

力3

03@

力3

_L #22 十冲

_L #22 十冲

1 д&з d2w

1 д&з d2w

户 ^(p4 dr2

户 ^(p4 dr2

+

+

+ 2 (% + 2稣6 + %)广4器. +鲁需++ 2 (% + 2稣6 + %)广4器. +鲁需++ ；当6+ / % (+ ；当6+ / % (GM dФ3力GM dФ3力丄伫_一尸3 0!_) +'户力d中d(p丿十1 d3w . d2w F扶р3 十力d(р丄伫_一尸3 0!_) +'户力d中d(p丿十1 d3w . d2w F扶р3 十力d(р+++ Bn/Dr (Q侬一R*A侬) ^~(瓦 -!^-F+ Bn/Dr (Q侬一R*A侬) ^~(瓦 -!^-F

+ 2 (% + 2稣6 + %)广4器. +鲁需+

+ 2 (% + 2稣6 + %)广4器. +鲁需+

+ ；当6

+ / % (

+ ；当6

+ / % (

GM dФ3力

GM dФ3力

丄伫_一尸3 0!_) +

'户力d中d(p丿十

1 d3w . d2w F扶р3 十力d(р

丄伫_一尸3 0!_) +

'户力d中d(p丿十

1 d3w . d2w F扶р3 十力d(р

+

+

+ Bn/Dr (Q侬一R*A侬) ^~(瓦 -!^-F

+ Bn/Dr (Q侬一R*A侬) ^~(瓦 -!^-F

+ 2% 零 +广门2力d中1+ 2% 零 +广门2力d中1P22 ^P22 ^丄9%丄丄9%丄++2%一%22%一%2drdrгдегдеdd6666-66-66-б б-б б(3.88)(3.88)

+ 2% 零 +广门2力d中1

+ 2% 零 +广门2力d中1

P22 ^

P22 ^

丄9%丄

丄9%丄

+

+

2%一%2

2%一%2

dr

dr

где

где

d

d

6

6

6

6

-6

6

-6

6

-б б

-б б

(3.88)

(3.88)

В случае осесимметричной задачи уравнения (3.86) запишутся в виде

(3.89)

где

Er

女2 _ /

а, = а，+ V/-(pOc(p, а* = сс(р + w(pQr,

Е「, Еф — модули Юнга для растяжения (сжатия) в радиальном и тангенциальном направлениях; £, 或 一 температурные коэффициенты линейного расширения в этих направлениях: ”皿,”屮—— главные коэффициенты Пуассона.

Уравнения (3.88) для определения функций 〃，侬 в этом случае примут вид

А〃 一等〃一с「％ = гр (г, т),(3.90)

□[需+ ■需一等(芻一；絹)]+施一

—Q*A侬=Dr^ 亿 т),(3.91)

ГАе屮(г, т) = а； ~ + а? ；, а? = а；—央鼠，

琥(小一耳2，明一冬粤，

p(1— "“%，)3(1 _ "戸Р).

5. Уравнения несвязанной термоупругости изотропных пластинок и стержней

Для изотропной пластинки, отнесенной к прямоугольной системе координат, из (3.75) — (3.77), (3.85) получаем такие соотношения и уравнения:

2G \ ди , ди / &2@@2@ \,1

OwutS^I^ + v"^■ —+v 需)一％(1 + V)/], (3.92)

m =金偿+ v晋)一書m =金偿+ v晋)一書T — g ( du dv\ 初一2(1 + V)十 ,T — g ( du dv\ 初一2(1 + V)十 ,(3.93)(3.93)G/ = G尚 + 壊 Г” 鵠*

m =金偿+ v晋)一書

m =金偿+ v晋)一書

T — g ( du dv\ 初一2(1 + V)十 ,

T — g ( du dv\ 初一2(1 + V)十 ,

(3.93)

(3.93)

M* = _n(需+ v穿")一07^%"，

м« =-"需 + V 零)-D 北二)6，

ГГ\ C d2W

+忠备(黑+糸)-中=2告%雾(3.94) (%, nay,办

ААз + -^ ⑪ А& = ^— аД1 + и) ^― ,(3.95)

где g = 2E5 — жесткость пластинки на растяжение (сжатие); D = 2e觉.2 G

=5；ее жесткость на изгиб; с。= — .

3(1 —V2)р

Часто целесообразно выразить напряжения через усилия и моменты. Исключая из (3.92) производные перемещений с помощью соотношений (3.93), получаем выражения напряжений через усилия и моменты.

°хх = •]丄 у I— ®Е/ + -^ 1(1 — V)Nx + NR + -^ [(1 —

—v)此 + М“ ,

(3.96)(3.96)〜p = T，у {— %Et + -~ [(1 — v) 3 十 ％] + 農г [(1 —

(3.96)

(3.96)

6刘="if - -,亲"妝б6刘="if - -,亲"妝б66—») My + M^ ;

6刘="if - -,亲"妝б

6刘="if - -,亲"妝б

6

6

где Nt = %Е J tdz, Mt = atE [ ztdz.

Уравнения (3.94) относятся к обобщенному плоскому термонапряженному состоянию, (3.95) является уравнением поперечных колебаний изотропной пластинки. Очень часто третьим членом в уравнении (3.95) пренебрегают [44].

Выразим взаимосвязанные уравнения (3.94) через функции Т и Ф, используя известное представление компонентов вектора перемещения 〃，V через эти функции:

(3.97)(3.97)d屮,d①d中d①

(3.97)

(3.97)

U = —чр —ч~~- , V = —чч— •

дх1 дудудх

Подставляя (3.97) в (3.94), для определения функций Т и Ф находим следующие уравнения:

□ 3 = %(1 + V)Т, П2Ф = 0,(3.98)

где 4r соответствует безвихревой волне расширения, распространяющейся со скоростью & = jZ 万(；& 力,а Ф — эквиволюминальной

волне вращения, распространяющейся со скоростью с2 =

口 = А — Q 2 -^",，= 1，2.

~ду~/~ду~/+ Р^,+ Р^,Подставляя (3.97) в соотношения закона Гука (3.92), для обобщенного плоского термонапряженного состояния с учетом (3.98) получаем

~ду~/

~ду~/

+ Р^,

+ Р^,

= - 20-|r (需 + 穿)+ p中，.(3.99)

"2G分哥-嚟)+ Р血」

@2q

В случае одномерной задачи имеем охх = р -^- ,о” = % <—

@2中@2▼

—2G-^2~, где функция Т удовлетворяет уравнению [44]=

= ^Г2Т+(1 +v)azT.

Уравнения и соотношения для изотропных пластинок, отнесенных к цилиндрической системе координат, получаем, как частный случай, из уравнений и соотношений, приведенных в предыдущем параграфе для пластинок, обладающих цилиндрической анизотропией. В частности, между деформациями егг, ефф и 分① на расстоянии z от срединной плоскости и соответствующими напряжениями имеем следующие соотношения:

^ГГ — ^фф I /1 + V1 ас、

% = g L aj, вГф —£；-- op,(3.100)

%(₽ — VO"Ё%(₽ — VO"Ё+ а/.+ а/.

%(₽ — VO"Ё

%(₽ — VO"Ё

+ а/.

+ а/.

Умножим эти равенства на dz, а затем на zdz и проинтегрируем в пределах от г = —6 до z = 3. Используя выражения

С，，= С" + 2Х/т，^ФФ =。22 + ^фф, ^гф =。12 + ^^^г^(3.101)

и (3.88), получаем

е = ГЛе = ГЛ%一% I T Q _ F а?, е<₽Ф =%一% I T Q _ F а?, е<₽Ф =『凡『凡gg+ %7\+ %7\1 +v ЛГMr-vM^g Nz，X" = D(l—“)1 +v ЛГMr-vM^g Nz，X" = D(l—“)++7*7*(3.102)(3.102)

е = ГЛ

е = ГЛ

%一% I T Q _ F а?, е<₽Ф =

%一% I T Q _ F а?, е<₽Ф =

『凡

『凡

g

g

+ %7\

+ %7\

1 +v ЛГMr-vM^

g Nz，X" = D(l—“)

1 +v ЛГMr-vM^

g Nz，X" = D(l—“)

+

+

7*

7*

(3.102)

(3.102)

乂睜=Q(l-y2)十丁 ' *B = 0(1 -y)'

где

a1=事，%2=4•傷+")，о” — 1 Ou 、 ди v _d2^

乂<Р0 = _了~^Г丁，%0 = 一亍丿.

Определив из (3.102) усилия и моменты, найдем следующие соотношения между усилиями, моментами и деформациями:

Nr = Dn [% + vew — (1 + v) %7],

N^ = Dn Wj + ^(₽ф — (1 + v) a?],

N2N0r u1 (1 v) DnCz，

A4r = D ХГЛ + VX(pqp — (1 + V)电-g-

мф = о[мф = о[T*T*vx〃 十 хфф — (I + v) az 飞一,vx〃 十 хфф — (I + v) az 飞一,

мф = о[

мф = о[

T*

T*

vx〃 十 хфф — (I + v) az 飞一,

vx〃 十 хфф — (I + v) az 飞一,

H® = //фг = (1 — v) D&①,

где Dn = qj у — цилиндрическая жесткость растяжения пластин- 6б

ки; 7 =击 J /虑，T* =费 J z滋.

Из (3.100)——(3.102) следуют следующие формулы напряжений:

^rr = ^ + ^Mr+^(T + ^-t) 0叫=-^ + 亲m$+ Т^Т(т+

+ 亲 н”

Положив в (3.89) — (3.91) Ег = Е^ = Е, а；=城=а6 v” = =%屮=V, для осесимметричной задачи имеем

агг = Т^?[("^ + +)(〃 —2票)一％(1 + V)%，(3.103)

^ = t^[(v^ + ^-)(w-z^)_^(1 +v)/. »

(3.104)(3.104)(3.105)(3.105)А〃^Г 〃 = a< (1 + у) -^-,。[奈+年需」7(票一4争)]+而一

(3.104)

(3.104)

(3.105)

(3.105)

—Q* 血—— ％(l+v)《罰+ r£)r*.

Граничные условия для пластинки могут быть следующими:

край свободно оперт или шарнирно закреплен:

{%，N;、Г%’, Т«} = 0,侬=О, {М*, Мг} = 0;

край жестко заделан или скользяще закреплен:

他 "} = 0, 5 = 0, {票，等) = 0；

край свободен:

{N%, М，Тху、7“} = °，

°[需 +(2 — О ^^ += О,

[dr \ dr2 十厂d(p2 丿 НТа~ \ дгдср —

=0.

г1 1 一 V dr

Термоупругое состояние тонкого изотропного стержня при нали« чии теплоотдачи с его поверхности и внутренних источников тепла описывается уравнением теплопроводности (3.56), где z = у, уравнением движения

警= ри，(З.Ю6)

и соотношением

5Е 傷— ®т)・(З.Ю7)

Исключая из (3.106), (3.107) напряжения а^, получаем

器一cd6=电器，(3.108)

скорость звука в стержне при изотермических

условиях.

Уравнения несвязанной термоупругости изотропных оболочек

Рассмотрим тонкую оболочку, срединная поверхность которой отнесена к линиям кривизны. Пусть а, 0 — координаты срединной поверхности, у —— расстояние по нормали произвольной точки оболочки от ее срединной поверхности. Тогда, если исходить из гипотезы о неизменности нормального элемента, для оболочки, находящейся в условиях нестационарного температурного поля / (а, р, у, т), будем иметь следующие геометрические соотношения

выражения перемещений U, V,呼 в произвольной точке оболочки через перемещения м, и, w точек срединной поверхности

U = 〃一％» V = и*—仆2» 呼=切(％ Р),(3.109)

где 力 и 备一компоненты вектора поворота

豆=_ 扌怎 + ^ + 爲J〃；(3.110)

elf e2 и en — координатные орты, образующие правую тройку; е„ направлен по нормали в сторону выпуклости поверхности,

需1_д需1_д也邦1-B也邦1-B

需

1_д

需

1_д

也邦

1-B

也邦

1-B

q 1/1 ди 1 加 1 дВ ,1 дА \

爲= 而 Tia АВ"~да V ~АВ ~д^~ 〃丿,

,局=^главные ее кривизны;,局=^главные ее кривизны;Л и В — коэффициенты первой квадратичной формы базисной поверхности;財=

,局=^главные ее кривизны;

,局=^главные ее кривизны;

выражения компонент деформации eaa, е^ и еарв произвольной точке оболочки через компоненты деформации срединной поверхности

%a = Q1 + %11Y，е^В =。22 十 乂22% CaB = 2«12 + 2乂]2%(3.112)

где

1 du I \ dA

% =T毎+布而4幽

%2 = %掾 + $ 黑 "+ 饱侬，(3.113)

2% = V 备({) + * 备闺,

Y 22Y 221 дД / 1 dwАВ而\Т而1 дД / 1 dwАВ而\Т而1дВ / 1 dwAB da [ 4 da1дВ / 1 dwAB da [ 4 daв) уравнения совместности деформаций^Bx22 дВ 一 дЛх^2 % ― I ^ f °反22 IF 石F邮f 12十勺l 近一十в) уравнения совместности деформаций^Bx22 дВ 一 дЛх^2 % ― I ^ f °反22 IF 石F邮f 12十勺l 近一十(3.114)(3.114)

Y 22

Y 22

1 дД / 1 dw

АВ而\Т而

1 дД / 1 dw

АВ而\Т而

1дВ / 1 dw

AB da [ 4 da

1дВ / 1 dw

AB da [ 4 da

в) уравнения совместности деформаций

^Bx22 дВ 一 дЛх^2 % ― I ^ f °反22 I

F 石F邮f 12十勺l 近一十

в) уравнения совместности деформаций

^Bx22 дВ 一 дЛх^2 % ― I ^ f °反22 I

F 石F邮f 12十勺l 近一十

(3.114)

(3.114)

+ 4!+ 2 堂+ 2*亲 3)= 0,

-两%2 我 后y12十& [ 邮-十

+ 缁 022 + 2噜 + 2 令警 Q = 0,（3.115）

自%1 +瓦"u-击[备；（一-^ + 黑41 + 際J

+ 粛 力2）+ 丽方（乖-+ 而e22 + -^ + 而eQi = 0.

Уравнения движения тонкой оболочки в векторной форме имеют вид

吃(噜+誓卜P"，

（3.116）

АВ （ да + <jp + Ci X М + е? X М）“ 金，

и=ие1+ 茄 2 + 庇П，0 =一抄 20 + 抄 252，

儿=м2 + N嬴 + Q1% 加1 =-而 12% + %爲，

（3.117）

戸2 = Mg + 乂2工2 + Q2^，田2 = — M% + М21е2,

m = J （1 + 卷Y）Oaad% m2 =，（1 + 局7）0师映，

-6—6

6d

乂2 = ] （1 + 耳Y）。紋％ “21 = J（1 + 自Y）°в/%

-6-6

66

> （3.118）

Ml = J （1 + 饱Y）Naady, M12 =，（1 + 囱丫） ТОсф/,

—6—6

乂2 = J （1 + 自Y）WbM» ^21 = J （1 + 自Y） 丫恥力

являются компонентами вектора внутренних усилий и моментов; Qi, Q2 —перерезывающие силы, определяемые соотношениями

Qi =

AB \

дВМг да

дВ,

да 2 1

d 4 M2i

一叫，

Q2 =

AB \

дДМ2 邛

dM12B ~5s

+黑嶋i)

一叫

（3.119）

也=

02也

等也

Наконец, физические соотношения между компонентами деформации срединной поверхности, а также усилиями и моментами имеют вид [46]

м = Dn [01 + ve22 — % (1 + v) Г], Mt = D xn + vx22 —

(3.120)(3.120)_(l+v)^T*],

(3.120)

(3.120)

N? = Dn 匕2 + ”％ —电(1 + v) T], M2 = D x22 + 夕乂口 一

一(5)*叶

S]2 = 0 - V)^^^12^ "12 = (1 ")。* 12。,

Если усилия M, S12, М и моменты М19 /712, М2 найдены, то компоненты напряжений в произвольной точке оболочки определяются формулами

県=击("1 + 3m1+) +書，+ +7* 一 "，

аР₽ = 4- (^ + ЗМ2 i") + 7^7 (Г + 1Г* - 0©•⑵)

0rаВ = ~^"卜 12 + 3" 12 +) •

Из формул (3.120) видно, что для определения усилий и моментов в неравномерно нагреваемой оболочке нет необходимости определять температуру /, а достаточно найти лишь ее усредненные характеристики Т и 7*. Выражение для температуры / необходимо для нахождения напряжений (3.121) в оболочке.

Уравнения взаимосвязанной термоупругости анизотропных пластинок

Поступая аналогично случаю несвязанной динамической задачи термоупругости пластинок, обладающих прямолинейной анизотропией, в случае обобщенного плоского термонапряженного состояния получаем систему уравнений обобщенной взаимосвязанной динамической задачи термоупругостй

□；%+□)%+ □£)「= -Qj, /=1-3,(3.122)

и ее общее решение.

" =(□Г)□「一□黑□名))①+ (口熟口「一□俨□中)屮+ 1

+ (□，)□◎—□£)□「) ©,

0 = (□驴□ r 一 □ 产□p)① + (口产口屮 一口罗□ p)屮 +19心

十(□罗口p一口口口户)0,

7 = (□旷□ Г)一口 驴□£))<!)+ (□単□"—□，)□衿 V +

+ (□抖□£)- 口對□曾)"

где функции Ф, Т, 0 удовлетворяют уравнениям

□ Ф = — Qd 口屮=—Q2，□ @ = — Q3,(3.124)

а операторы □}), □乳□孔□ имеют вид

□整)=/。/备□p，口£=*备口”，

□ ?)= /?2九；3 一等厶

□ = □卜(□护□屮一□$”)□?)+ □『)(□!“)□「一 □$)□屮)+

+ □p(□罗□6")一 □驴□界)；

Qi, Q2 — компоненты вектора массовых сил; Q3 =闻-+ 号 ltc.

Условия неидеального теплового контакта изотропных пластинок

Пусть две разнородные изотропные пластинки сопряжены тонким изотропным промежуточным слоем из другого материала шириной 2h. Толщина сопрягаемых элементов одинакова и равна 25. Величины, относящиеся к слою и пластинкам, будем обозначать индексами 0, 1, 2. Отнесем эту систему к координатам s, % и 2. Контуры 厶^ соответствуют поверхностям So i = 0, 1, 2 (рис. 4).

Источники тепла в системе отсутствуют, а через боковые поверхности осуществляется теплообмен с окружающей средой в сЪответ- ствии с обобщенным законом Ньютона (1.6). Тогда для определения

обобщенного нестационарного температурного поля в промежуточном слое согласно (3.27) имеем уравнение теплопроводности и начальные условия

2^°)必7。一 2。［a半(7。一 4) + a9 (几-ф + 2^0)6 爵］=0,

(3.125)

2MsMГ； 一号冗 _ 3/0 ［# 笛一2) + а9 (7。-库)十+等工3票］=0,

где 4)= 1 + J" -^- ; а步=а扌士 а鼠；а* — коэффициенты мепло

отдачи с поверхностей z =отдачи с поверхностей z =±6； % =今；隆=等皓±a）；±6； % =今；隆=等皓±a）；

отдачи с поверхностей z =

отдачи с поверхностей z =

±6； % =今；隆=等皓±a）；

±6； % =今；隆=等皓±a）；

б6

(3.126)(3.126)7。= "^"/ ’о"?，7。="^"/ ""；

(3.126)

(3.126)

А — оператор Лапласа в системе (s, п) [4],

△=(书 修[方制+4-[d4-]｝；

D = \ + kn(k — кривизна контура 厶°, п ——расстояние от рассматриваемой точки до осевой линии Lo срединной поверхности прослойки),

То(м, 0) = 4, т^м. 0) = 0,

"о(м 0)八 "；(М 0)"о(м 0)八 "；(М 0)(3.127)(3.127)

"о(м 0)八 "；(М 0)

"о(м 0)八 "；(М 0)

(3.127)

(3.127)

при т = 0, М £ So・Предполагаем, что на поверхностях сопряжения прослойки с пластинками системы выполняются условия идеального теплового контакта (1.13), которые после усреднения примут видпри т = 0, М £ So・Предполагаем, что на поверхностях сопряжения прослойки с пластинками системы выполняются условия идеального теплового контакта (1.13), которые после усреднения примут вид気 f Фо^С = Чту У 屮 1% Г。= У；, О0* j 屮。或=金 J 屮2%7。= 72,•~k j屮;女="^гj屮力& r =爲 0V 0気 f Фо^С = Чту У 屮 1% Г。= У；, О0* j 屮。或=金 J 屮2%7。= 72,•~k j屮;女="^гj屮力& r =爲 0V 0HaSi, (3.128)HaSi, (3.128)на S2, (3.129)на S2, (3.129)гдегде也（S,小 G 0 = е 学）y”J“Q，屮;（s，几，G 9 = e也（S,小 G 0 = е 学）y”J“Q，屮;（s，几，G 9 = eг Xг X

при т = 0, М £ So・

Предполагаем, что на поверхностях сопряжения прослойки с пластинками системы выполняются условия идеального теплового контакта (1.13), которые после усреднения примут вид

при т = 0, М £ So・

Предполагаем, что на поверхностях сопряжения прослойки с пластинками системы выполняются условия идеального теплового контакта (1.13), которые после усреднения примут вид

気 f Фо^С = Чту У 屮 1% Г。= У；, О0

* j 屮。或=金 J 屮2%7。= 72,

•~k j屮;女="^гj屮力& r =爲 0V 0

気 f Фо^С = Чту У 屮 1% Г。= У；, О0

* j 屮。或=金 J 屮2%7。= 72,

•~k j屮;女="^гj屮力& r =爲 0V 0

HaSi, (3.128)

HaSi, (3.128)

на S2, (3.129)

на S2, (3.129)

где

где

也（S,小 G 0 = е 学）y”J“Q，屮;（s，几，G 9 = e

也（S,小 G 0 = е 学）y”J“Q，屮;（s，几，G 9 = e

г X

г X

XX打;(s, n, D打;(s, n, Ddndni = 0, 1, 2.i = 0, 1, 2.

X

X

打;(s, n, D

打;(s, n, D

dn

dn

i = 0, 1, 2.

i = 0, 1, 2.

Считаем ширину 2h промежуточного слоя одного порядка с толщиной системы. Усредняя уравнения теплопроводности (3.125)

в соответствии с (3.126) с точностью до слагаемых 々％ получаем

2濟）鲁+翠［除）+ -儲厂］-2。回"讨）十

+ aN (®* - 07) + 2640)票1 = О,

則。，甞十*[(學у<%]

(3.130)(3.130)-3/0 a伊(©* - 07) + a£)(@ - 0+) + ^■普)=0, 2缺伊鲁+明(明+ + (*]-豊小

(3.130)

(3.130)

- ?Г) - /о [层① 2 -时)+ 处(酢一份)+ 26^ 票]=0, 則。)欝+学假卜(事｝颦G+-

—Т^г)—丄 м — 3% 衅)(0* — 4) + a* (0 —砧)+ ,26碍)汕]

+ -3дr\^

где ds ——элемент дуги контура Lo;

hhh

@ =击J TM @* = 4-J九加，日才=击『4加，07 =—й—A—ft

tLdn,tLdn,

tLdn,

tLdn,

"=整-J nTodnt 0* =奈，":力1,僦=

—й—h

=奈 j ntLdn.=奈 j ntLdn.

=奈 j ntLdn.

=奈 j ntLdn.

Индексы плюс и минус указывают на значения функций при П = 土九.

Учитывая условия идеального теплового контакта (3.128) и (3.129) при % = 土 /г, вместо (3.130) имеем

2删s鲁+今(% j %戏+*)一冷心j$2或+

0,

++警)一 4 同(® -破)+ ad (0*- 07) + 2础)票］=警)一 4 同(® -破)+ ad (0*- 07) + 2础)票］=+ 萃黑卜 °，（3.131）

+

+

警)一 4 同(® -破)+ ad (0*- 07) + 2础)票］=

警)一 4 同(® -破)+ ad (0*- 07) + 2础)票］=

2呢。）争+毕•卜j %恋+誓）+替（% j屮盛+警）一一 一+ （Л -a）一 " [a訳0 一 破）+ ad （0* -心）+

+ 26B架]=0,

（公一7》—亠今*一 3/0 a駅3* -盯）+（公一7》—亠今*一 3/0 a駅3* -盯）+2濟）-^-+早卜1!中放+寥）+警（% J做+

（公一7》—亠今*一 3/0 a駅3* -盯）+

（公一7》—亠今*一 3/0 a駅3* -盯）+

+ m 2 一 晒 + ¥警卜0，(3.132)

где

Преположив, что температура по ширине промежуточного слоя изменяется по линейному закону, и введя приведенные теплопроводность Ао = 46/й?), теплоемкость Со = 4МсМ коэффициенты теплоотдачи Л± = 2/ia± и термосопротивления & = -(0)^ , Rh = =^^ слоя, после перехода в (3.132) к пределу при Л-> 0, сохраняя эти характеристики постоянными, получаем такие условия

теплового контакта на поверхности So:

АоАо@2(А +「2)@2(А +「2)决2决2+ 4+ 4当U5女+普当U5女+普\0+ 笈)+ a^^\0+ 笈)+ a^^2(Л^.©+ + Л^©Г)] = 0,2(Л^.©+ + Л^©Г)] = 0,咽+心咽+心即т即т+ 4+ 44 （3J屮也+号4 （3J屮也+号—“2 (匕2，屮2&C +\ О—“2 (匕2，屮2&C +\ Оо12 一衣о12 一衣6 + 7)-3/。舛(7； +6 + 7)-3/。舛(7； +

Ао

Ао

@2(А +「2)

@2(А +「2)

决2

决2

+ 4

+ 4

当U5女+普

当U5女+普

\0

+ 笈)+ a^^

\0

+ 笈)+ a^^

2(Л^.©+ + Л^©Г)] = 0,

2(Л^.©+ + Л^©Г)] = 0,

咽+心

咽+心

即

т

即

т

+ 4

+ 4

4 （3J屮也+号

4 （3J屮也+号

—“2 (匕2，屮2&C +

\ О

—“2 (匕2，屮2&C +

\ О

о

12 一衣

о

12 一衣

6 + 7)-3/。舛(7； +

6 + 7)-3/。舛(7； +

d（7； + W）d（7； + W）3 dt3 dt-2(Л^@7+Л-©Ъ =0,-2(Л^@7+Л-©Ъ =0,

d（7； + W）

d（7； + W）

3 dt

3 dt

-2(Л^@7+Л-©Ъ =0,

-2(Л^@7+Л-©Ъ =0,

02(7\一北)02(7\一北)ds2ds2+ 12 卜 1G I %dg + ~^L) ++ 12 卜 1G I %dg + ~^L) +

02(7\一北)

02(7\一北)

ds2

ds2

+ 12 卜 1G I %dg + ~^L) +

+ 12 卜 1G I %dg + ~^L) +

+ d2 (b2 J中2魂++ d2 (b2 J中2魂+\ о-т^+^^-т^+с.-2(/2 + 纪砧]=0,\ о-т^+^^-т^+с.-2(/2 + 纪砧]=0,（北一4）—/。4（л~（北一4）—/。4（л~d（门一北）drd（门一北）dr

+ d2 (b2 J中2魂+

+ d2 (b2 J中2魂+

\ о

-т^+^^-т^+с.

-2(/2 + 纪砧]=0,

\ о

-т^+^^-т^+с.

-2(/2 + 纪砧]=0,

（北一4）—/。4（л~

（北一4）—/。4（л~

d（门一北）dr

d（门一北）dr

02*吟02*吟Os?тOs?т+ 12 卜 1 (% j ф*^€ + ~^) ++ 12 卜 1 (% j ф*^€ + ~^) +— 12(* +— 12(* ++ d2 (b2 f屮2理++ d2 (b2 f屮2理+

02*吟

02*吟

Os?

т

Os?

т

+ 12 卜 1 (% j ф*^€ + ~^) +

+ 12 卜 1 (% j ф*^€ + ~^) +

— 12(* +

— 12(* +

+ d2 (b2 f屮2理+

+ d2 (b2 f屮2理+

3 От3 От-3/q/1 (口 -北)+ 肥- (7\ - T2)+

3 От

3 От

一 2 (4* 抄扌 +/2 抄 >)=0.

Если задача теплопроводности симметрична относите, динной плоскости рассматриваемой системы пластинок 88

получаем такие условия на поверхности So：

+ 票)]-2/0[Л0 (7\ + Л) + 24电 + 4- 0 ⑺产]=О.

(3.134)

ло 5尸 + 12 4 。 j %dC + 鲁)+ 厶卜2 j ^ +

Умножая (3.134) на Rh и пренебрегая произведениями 卜忠龊 C0Rh и /()&, содержащими Л2, приходим к более простым условиям на поверхности So：

4 (% j用女+符)=&(j収女+警)，

40j屮被 + 誓)=h^".(3.135)

Эти условия характеризуются термосопротивлением R^, временами релаксации тепловых потоков пластинок т?,尤)и промежуточного слоя т^0)-

Рассмотрим частные случаи условий (3.135).

Пусть

т£)= о, х^^О.(3.136)

Учитывая, что

. 一匸 I

lim — = 23(t —0(3.137)

и используя известные свойства дельта-функции Дирака 6 (т — Q, записываем соотношения

。；巴方卜恋=需,

С учетом (3.136) — (3.138) условия (3.135) имеют вид

П-「2П-「2на S。,на S。,26中с」26中с」(3.139)(3.139)Еслит^ = 0, *),爸)#0, то согласно (3.138) условия (3.135) примут вид務%吟=入步％ (瓦j中2d"吟),2硒(醬=金支на当.Пу炉=0,工?)，J5.Тогда условия (3.135) запишем как4汽。需=炉~Йгgj %處+零)，Для металлов, [38] (т「= т) будетU)尊=26九屮尊= апдп 'dn RhЕслит^ = 0, *),爸)#0, то согласно (3.138) условия (3.135) примут вид務%吟=入步％ (瓦j中2d"吟),2硒(醬=金支на当.Пу炉=0,工?)，J5.Тогда условия (3.135) запишем как4汽。需=炉~Йгgj %處+零)，Для металлов, [38] (т「= т) будетU)尊=26九屮尊= апдп 'dn Rh(3.140)(3.140)(3.141)(3.141)(3.142)(3.142)(3.143)(3.143)(3.144)(3.144)

П-「2

П-「2

на S。,

на S。,

26中с」

26中с」

(3.139)

(3.139)

Если

т^ = 0, *),爸)#0, то согласно (3.138) условия (3.135) примут вид

務%吟=入步％ (瓦j中2d"吟),

2硒(醬=金支на当.

Пу

炉=0,工?)，J5.

Тогда условия (3.135) запишем как

4汽。需=炉~Йгgj %處+零)，

Для металлов, [38] (т「= т) будет

U)尊=26九屮尊= апдп 'dn Rh

Если

т^ = 0, *),爸)#0, то согласно (3.138) условия (3.135) примут вид

務%吟=入步％ (瓦j中2d"吟),

2硒(醬=金支на当.

Пу

炉=0,工?)，J5.

Тогда условия (3.135) запишем как

4汽。需=炉~Йгgj %處+零)，

Для металлов, [38] (т「= т) будет

U)尊=26九屮尊= апдп 'dn Rh

(3.140)

(3.140)

(3.141)

(3.141)

(3.142)

(3.142)

(3.143)

(3.143)

(3.144)

(3.144)

9・ Условия теплообмена на подкрепленномкриволинейном краю изотропных пластинок

Пусть край L тонкой изотропной пластинки толщиной 26 подкреплен кольцом из другого материала такой же толщины и ширины 2方(рис. 5), S ——поверхность, по которой соединены кольцо и пластинка (контур L), Sc — внутренняя цилиндрическая поверхность кольца (контур S^ — внешняя цилиндрическая поверхность пластинки (контур G，).

Предположим, что теплообмен через поверхности системы с окружающей средой происходит в соответствии с законом Ньютона, а между кольцом и пластинкой осуществляется идеальный тепловой контакт. Источники тепла в системе отсутствуют. Тогда для определения температурного поля в кольце согласно (3.28) имеем

(3.145)(3.145)(3.146)(3.146)(3.147)(3.147)(3.148)(3.148)獰）獰）

(3.145)

(3.145)

(3.146)

(3.146)

(3.147)

(3.147)

(3.148)

(3.148)

獰）

獰）

уравнение теплопроводности

АТ。= % №(7。一幻 + * 祭^ ,

граничные условия

入(0)(

中吨= %)仇叱7。= 7 на поверхности Г 0

"'°)~^" = М % — 'J на поверхности So

и начальные условия

7 = " =厶,~^~ = 0 при т = 0,

где

■^^ + 户7о = 一 話/(Л，■^^ + 户7о = 一 話/(Л，(3.149)(3.149)

■^^ + 户7о = 一 話/(Л，

■^^ + 户7о = 一 話/(Л，

(3.149)

(3.149)

儿，九£)——коэффициенты теплопроводности; 40)——объемный коэффициент теплоемкости; а? — коэффициент теплоотдачи с боковых поверхностей z = 土6 кольца; внутренней цилиндрической поверхности Sc кольца; /с — температура среды, омывающей по-

верхности системы; тг и J°)

время релаксации теплового потока пластинки и кольца; Т。一 температура кольца.

Приняв, что ширина кольца 2/г одного порядка малости с толщиной 26, будем рассматривать его как тонкий стержень. Выведем условие, которому должна удовлетворять температура плас

тинки на подкрепленном краю, считая, что ось стержня совпадает с контуром пластинки. Для этого отнесем стержень к координатамs, п. Запишем уравнение (3.145) в этих координатах, пренебрегая величинами kn 依 ——кривизна оси стержня 厶о) по сравнению с единицей. В результате для определения температуры кольца получим уравнение

где

炉=篇一хо/0 - ?亲，由一创емент дуги 厶.

Рассмотрим интегральные характеристики

(3.150)(3.150)®о = j TQdn, ©о = £• J nTQdn.

(3.150)

(3.150)

-五一五

Тогда, усредняя (3.149) в соответствии с (3.150), получаем

g+4 [(祭广一(魯厂卜一启年(3•⑸)

^o+負［（唔广+（*［-巫a一鳥m

индексы плюс и минусиндексы плюс и минусгде & =击 j icdn,處=像『nt^n, ~h—A

индексы плюс и минус

индексы плюс и минус

указывают на значения функций при п = ± А.

Определим 0 и @* через граничные значения температуры То при п = ±九.Для этого запишем решение уравнения (3.149) в виде

7。=44静（需+"）+肺（中一方）］+

4—J h sin p (C — n) dC4—J h sin p (C — n) dC^T^^in^^+A)^(3・152)^T^^in^^+A)^(3・152)

4—J h sin p (C — n) dC

4—J h sin p (C — n) dC

^T^^in^^+A)^(3・152)

^T^^in^^+A)^(3・152)

Интегрируя (3.152) в соответствии с (3.150), находим г- h〜

{ cos pntcdn

(3.153)(3.153)—2ph ' *p2~ 2h cos ph ''

(3.153)

(3.153)

2/ 3 J sin pnicdn

可=負(1 -研 ctg Ph) (^ — 7T) + 等-/к

Подставив (3.153) в (3.151), с учетом условий (3.146) и (3.147) получим

j cos pntcdn

Р tg Ph (Г + 7Т) + х録 f as 成一+

+ (祭厂一験("-幻=°，(3・154)

XqZ0 J sin pntcdn

-P ctg 师(T — 6)4- ―丁— +

+ (醬广+龄(71力)=。，

гдегдеИз системы (3.154) определимИз системы (3.154) определим

где

где

Из системы (3.154) определим

Из системы (3.154) определим

Т^=[р (tg ph + ctg 叫L pT (ctg ph — tg "九)—

Подставим (3.155) в первое уравнение (3.154) и устремим h ~> f 0, сохраняя при этом постоянными приведенные теплопроводность стержня Ло = ^F, объемную теплоемкость Со = c^F, внутреннее термосопротивление Rh = Ж/0)6, сопротивление теплообмену на поверхностях z = ± 3 стержня R? = l/2a^/i, сопротивление теплообмену цилиндрической поверхности Sc Ro = =1/2 а0 6, но пренебрегая произведениями A07?h, CQRh и Rh/Rz. В результате получим следующее условие теплообмена на подкрепленном тонким стержнем краю 厶 пластинки:

-/。С。票=/。(先 + 备)(7一公， (3」56)

где F = 46九 ——площадь поперечного сечения стержня.

Условие (3.156), которому должна удовлетворять температура на подкрепленном краю пластинки, характеризуется такими теплофизическими параметрами стержня: приведенными теплопроводностью, объемной теплоемкостью, сопротивлением теплообмену цилиндрической поверхности Sc, внутренним сопротивлением и сопротивлением теплообмену на боковых поверхностях z = 士 6, временами релаксации тепловых потоков пластинки и стержня.

Рассмотрим частные случаи условий (3.156). Пусть тг = 0 и т,°)у= 0. Тогда условие (3.156) принимает вид

区+竟州 一办(3・157)

Если d" = 0, % 方 О, то вместо (3.156) будет

т

A。祭 +"^(1 +舞)j中贰一备累=

= (* + £)(「— ')3158)

Для металлов (т； = тг) [38] условие (3.156) запишется как

A。黑" +a(1备)黑 一心0黑 =

=/(* + 焉(D•(3.159)

При тЛ = 0 и 七?)= 0 из (3.156) следует известное условие [481 для классического случая.

Положив в (3.156) а0 = а£), получим условие теплообмена на подкрепленном тонким криволинейным стержнем краю 厶 пластинки в виде

一/启祭=/。加(7一幻，(3.160)

где т = 2& + 4h — часть контура поперечного сечения стержня, омываемая внешней средой. Условие (3.160) применимо для стержня произвольного поперечного сечения.

К определению обобщенных динамических температурных напряжений на стыке пластинок и стержней

Рассмотрим две разнородные пластинки толщиной 26, между которыми осуществляется идеальный тепловой контакт. Пусть ширина верхней пластинки 2用.Через поверхности системы происходит теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. Все величины, относящиеся к верхней пластинке, будем обозначать индексом 0 (рис. 6).

Для определения нестационарного обобщенного плоского температурного поля в верхней пластинке используем уравнение теплопроводности (3.28) в виде

等 + 爲 T° = — Qo,(3.161)

граничное условие теплообмена

九俨亲=a'% Go -考)亚玄 ％ = 0,(3.162)

условие идеального теплового контакта г

屮о我=~~，屮先，Т = То при х = 2，(3.163)

и начальные условия (3.148), где e一工

八2严 z / 2 . 1 d \/①"叨)дt (X,协?

на подкрепленном прямовыразим температуру Тона подкрепленном прямовыразим температуру То屮(％ 协 G У = Т 可犷 “,Qo = "(^+x*cJ，* =

на подкрепленном прямовыразим температуру То

на подкрепленном прямовыразим температуру То

Сформулируем условие теплообмена линейном краю пластинки. Для этого верхней пластинки через граничные (при % == 2/г) значения температуры нижней пластинки.

Решение уравнения (3.161) имеет вид

Т (х, у、七)=4 cos pQx + В sin рох +

+ ；卜也/?0低一x)Qo& у,外亜.

" о

(3.164)

Определяя постоянные интегрирования Л и В из граничного условия (3.162) и второго условия (3.163), находим

4 (用，У, T)=4 (用，У, T)=a sin 2%從一/у。+ %7а sin 2%用 + Pq cos 2P°/i

4 (用，У, T)=

4 (用，У, T)=

(3.165)(3.165)A”a (T —%-cos%%)

(3.165)

(3.165)

I '协 丿—a sin 2pQh + p0 cos 2pQh，

где

1 :a ⑼/

% = 丁 J sin pQ (E — 2九)Qo庞，а = - ^ 0 .

Подставив (3.165) в (3.164), а затем в (3.163), получим граничное условие теплообмена

2八

，(р0 cos РоЕ + a sin %Е) Qo (自，弘 т)花

Т产 _ 2 =

а cos 2%九—р0 sin 2poh 'p0 (a cos 2P°九一％ sin 2p0h)

*% a sin 2p^i + Pq cos 2pohi>W°)"o Q cos 2pjz — ％ sin 2%九)X

X (x譚4 中("，9' * E)席 + 票)X (x譚4 中("，9' * E)席 + 票)при х = 2用.при х = 2用.(3.166)(3.166)

X (x譚4 中("，9' * E)席 + 票)

X (x譚4 中("，9' * E)席 + 票)

при х = 2用.

при х = 2用.

(3.166)

(3.166)

Пусть ширина 2九 верхней пластинки одного порядка малости с ее толщиной, т. е. ее можно рассматривать как тонкий стержень.

Если в (3.166) представить тригонометрические функции рядами и ограничиться членами первого порядка, получим следующее приближенное условие для температуры, соответствующее тон

кому подкрепляющему стержню:

[Ло "^г —厶(，限 +。07 + "40嚣 +

+ 4 [% + 2/7 С + "0 -^~ (仇 + 247 J +

+ А金(1 + "礎R。)(气萨J中(匕弘G自)庞+

+ 丿=0 при X = 2瓦(3.167)

где

Ло =九俨尸，Co = ^F, Л = 23% & =砂？

礎=樱+ 2儿,4。)= 26理，

2h2Л

% = j ^0^，加=告j呼0您.00

Отметим частные случаи условия (3.167).

Для металлов [38](七，= 40)) (3.167) принимает вид

А "^ — 4(4膿 + Соj「+ %"¥嵋 + 4 % + 2Д2Тс +

+ 4~^~ Q + 24т J)+ А (1 + "謂胤)票-=

=0 при % = 2九.(3.168)

Пусть тг = 0, ^г} #= 0. Тогда (3.167) запишется таким образом:

% "^ — %(4$)+ С。~^)] 7 + %{£ 嵋 + 4% + 2ДгТс +

+ % …%。"(加 + 2儿丁；)] + Л/о(1 + lQA{x}R^ ~|^ =

=0 при % =2瓦(3.169)

Если т，°) 0 н 亏=/= 0, условие (3.167) примет вид

[а。^г '(4$)+ С。j Т + 4?嵋 + % + 2儿£ +

Ч菅‘(例 + 242Tс) + -~ (1 + 力C)Ro) j 屮(%,协 ％ У 您 ПРИ х = 2h・ °(3.170)

Если коэффициент теплоотдачи с поверхности % = 0 велик, т. е. а^ -> оо, то (3.167) запишется как

号(加+ 24爲一备К 一由+ 2A三[%)；； X

X f ф(X, у, т, ю ^ + 4г = ° 叩их = 2儿(3.171)

о_

Если на краю подкрепляющего стержня % = 0 задается тепловой поток, то в (3.167) следует положить а£)爲 =^х и а^ = 0. В этом случае

[儿备 一 4(24 + c0^]t + iq 仇 + 24北)+ 26% +

A①一T怜Г

42J中(招协Т，Ю匈+

тг о

-|^—殺-=0 при X = 2h.-|^—殺-=0 при X = 2h.(3.172)(3.172)

-|^—殺-=0 при X = 2h.

-|^—殺-=0 при X = 2h.

(3.172)

(3.172)

Пусть поверхность % = 0 теплоизолирована (成)=0), тогда условие (3.167) примут вид

[л0 备一/°(2А + с0^-)]т + /0(% + 24TJ +

Л(тг-т^) f

h (⑵)中(居协。，E) "E +

dT

+ —^-芻=0 при x = 2/z.(3.173)

Пусть между нижней и верхней пластинками осуществляется идеальный термомеханический контакт, т. е.

〃о = 〃，％ = и,。1? = о*%,。!/ = Оху при % = 2用.(3.174)

Динамические температурные напряжения в пластинках определяются из уравнений (3.98), которые в данном случае имеют вид

簪 + Л =滤)(1 + v0)T0,欝 + 爲①。=0, (3.175)

□1屮=%(1+w)T, О2Ф = 0,(3.176)

гдегде

где

где

成=产一号，口 = A -g,"l,2,

B=m"*，a=肃+丽，

备p。；％，匾=等，*=前為，。、小

функции Фо и 4fo связаны с перемещениями соотношениями

% =甞 + 吃。，。。=B4f。一需•(3・177)

Решения уравнений (3.175) имеют соответственно вид 屮。=A】 cos об + В】 sin %% 十

+ " J! J sin 円(尤 一 E)北优，(3.178)

Фо = 4 cos р2х + & sin &%・(3.179)

В случае свободной от внешней нагрузки системы при х = О имеем

謂=嚼=0.(3.180)

Подставив (3.178), (3.179) в формулы (3.99) и соотношения (3.177), находим

о目=2рр2 (— A sin 〃2% + 区 cos 口2%)—饱(4 cos 凸％ + + В】 sin A% + Z (%)),

(3.181)(3.181)嚙=2M2 (— 4 sin P№ + B2 cos /V)— 2(1 + v0) a%。+ + a (4 cos %x + Bi sin %x + Z (x)),

(3.181)

(3.181)

^xy = 2Ml (— & sin А% + Bi cos pxx H—+

+ Bo (4 cos p2x 4- B2 sin 无灯，

+ § (4 cos %% + 当 sin /?2%),(3.182)+ § (4 cos %% + 当 sin /?2%),(3.182)

+ § (4 cos %% + 当 sin /?2%),(3.182)

+ § (4 cos %% + 当 sin /?2%),(3.182)

гдегде% = § (/J】 cos р/ + Bx sin %% + Z (%)) + p2 (Л2 sin 无尤—^2 cos 厶工),

где

где

a(q)

a = 02 -爲 + 2讨，%)=, во = 62 + 区,

7a + 此)碎)f / нт」。

Z (%) =) sin % (% — E) T0庞.

о

Подставив (3.181) в (3.180) и в первые два условия (3.174), постоянные интегрирования находим в виде

гдегде4 = 2М2В2Во= Во 44 = 2М2В2Во= Во 44 =4 =仇=仇=su — kv — sZ* + 々0ZsL 一力0su — kv — sZ* + 々0ZsL 一力0尸т〃 — Lu —尸］Z* + L0Z々尸1 — sL尸т〃 — Lu —尸］Z* + L0Z々尸1 — sL(3.183)(3.183)

где

где

4 = 2М2В2Во

= Во 4

4 = 2М2В2Во

= Во 4

4 =

4 =

仇=

仇=

su — kv — sZ* + 々0ZsL 一力0

su — kv — sZ* + 々0ZsL 一力0

尸т〃 — Lu —尸］Z* + L0Z々尸1 — sL

尸т〃 — Lu —尸］Z* + L0Z々尸1 — sL

(3.183)

(3.183)

s =昔(2伏 cos 2内用—自 cos 2p2/i),

^ = 4- (Po sin 2%力—2"或 2 sin 2凸端

L =亲(2 俨 cos 2pji —瓦 cos 2pi%

尸 1 = -^- (2%% sin 2pji — В。sin 2%用)；Z* = Z；卜=2九.

Подставив (3.183) в (3.181), а затем результат в последние два условия (3.174), получим

% =争〃 + 陰—(в 岑+ Po)z_ 岑 Z*,(3.184)

тхy =^- h 4—^- V + (-^- + 26) Z - в -^- Z при %=2ft,

где

p=(404 + 隐"歩2 cos 2 凸用 cos 2%力-4俨%/?230 +

+ P2(42储 + Po)sin2凸用sin222儿 % = ~^一, W = 一呢, °i = 02 (У — P2)(po sin 2% 用 cos 2р2й — 402%% sin 2P 也 cos 2 凸/1), £>2 = 2§PiP2Po (₽o + 2曾)(1 — cos 2Pm cos 2%用)—

—§ (阀 + 802而向 sin 2p* sin 2P2儿

D3 = 〃i (P2 — pl) (Po sin 2p2h cos 2pi% — 402Plp? sin 2%用 cos 202m.

В случае одномерной задачи

% =丄(一p2 tg 2Pl/ш + pl tg 2^^/* —区Z) при % = 2九・(3.185) Pi

Если край % = 0 защемлен и теплоизолирован (“° = и。= 0, -^- = 0) (см. рис. 6), граничные условия при х = 2й получим аналогично предыдущему случаю в виде

G* = ^u+岑 и -^"Z* —(卩幣 + §o)z,(3.186)

% = 一登" +岑。+ (岑 + 2"Z*T*Z,

где

R = 262Plp2 (1 — cos 2%九 cos 2/?2九)一(P4 + P2P1) sin 2p1h sin 2P乱

Mi = №(P2 — В?)(俨 sin 2Pm cos 2.2力一〃歩2 sin 2pji cos 2%九)，

乂2 = В [%P2 (302 + P2) (cos 2円九 cos 2p2h — 1) +

+偉4 4-俨而+ 2p/)sin 2"/sin 2P也

% = Pi (₽2 — P2) (PiP2 sin 2/?i九 cos 2p2h —俨 sin 2p2h cos 2Pm.

Пусть ширина верхней пластинки одного порядка малости с ее толщиной, т. е. ее можно рассматривать как тонкий стержень. Разложив в условиях (3.184) операторы в ряд и ограничившись членами, содержащими жесткость на растяжение ——сжатие g0 = EQF и на изгиб g； = Ео/ и & = ро尸，Q] = р0/, при % = 2力 получим

233 4g；禦 + % 要—•(4焉-2風J 一

dy4 I。北2\ иGo (1 + vo) / dp2dt2

26。初=一4(2+3切血春~一痂带+ %奈+

+卜6焉+ 2風(5 — v。)帚е]薪+Q唔备一

—a『)~^"「go (7 + 6v0) -^ — (10 — 4v0) (1 + v0) Qo -^] X

xT + a，°)g。*,(3.187)

где 尸=45儿 / = -у 6Л3, Ео = 2Go (1 + ”0)，а Т удовлетворяет условию (3.167).

Условия (3.166) при аналогичных предположениях примут вид п 2 k1 — 3v0 dv , ж 3 + 2v0 — Vq ^зу

%』=T~^ Go〃- g。4(1一喻亨 + g。 8(1-%)2 丽一

_Q* (J + Vq)2 ^ _ ^(0)К。4(1— %) ~ё^ t g。_Q* (J + Vq)2 ^ _ ^(0)К。4(1— %) ~ё^ t g。TT1 — v01 — v0(0)* 5 — 3%02T .‘g° (1-,)2 R- +(0)* 5 — 3%02T .‘g° (1-,)2 R- +

_Q* (J + Vq)2 ^ _ ^(0)

К。4(1— %) ~ё^ t g。

_Q* (J + Vq)2 ^ _ ^(0)

К。4(1— %) ~ё^ t g。

T

T

1 — v0

1 — v0

(0)* 5 — 3%02T .

‘g° (1-,)2 R- +

(0)* 5 — 3%02T .

‘g° (1-,)2 R- +

+ 2层旧；*近旦

口I 1 — 3v0 d〃 I 3 — 2"o + vo d%

0初尸=Go。+ g。 4(」%•而+鄧-班1一"。)2可+

+ Q；f^ 隸 叩” ％ = 2九，(3.188)

где G； = 2&?o，a 7 удовлетворяет условию (3.173).

Уравнения (3.176), известные соотношения закона Гука для пластинок, граничные условия (3.167) и (3.187) или (3.188) и (3.189), начальные условия для температуры, скорости нагрева, перемещения, скорости перемещений, обычные условия теплообмена и механические граничные условия на других поверхностях пластинки представляют собой полную краевую обобщенную динамическую задачу термоупругости для определения динамических температурных напряжений на стыке пластинок и подкрепляющих стержней.

11- Термомеханические граничные условия для определения обобщенных динамических температурных напряжений в пластинках с круговыми включениями

Рассмотрим пластинку с круговым включением радиусом R. Через боковую поверхность системы z = + 3 осуществляется теплообмен с внешней средой, температура которой есть функция времени tc (т). Начальная температура и скорость нагревания предполагаются равными нулю. Поверхность z = —6 теплоизолирована. Рассмотрим сначала включение как тонкую пластинку. Для определения обобщенного нестационарного температурного поля в нем согласно (3.17), (3.27) и (3.128) имеем уравнения теплопроводности и краевые условия

2 羽)m7。一 /。好(t。 + 7；) = 2 碍)% 鲁 fa",

2 九？6a7； - 3 卜砂(7。+ r) +予r J

-3/。(4叱；(3.189)

7 = % “碎=冬J屮妆,戸=冗,^ f屮峽=号j險g г о4 о' оV о

при г = R,(3.190)

Tq = To = Tq = Tq = O при т = 0,(3.191)

где

/ х ~— дТ *дТ*

屮亿 0 С) = е ， 丁，(р* = е 「 一^.

Применяя к (3.189) и (3.190) преобразование Лапласа с учетом начальных условий (3.191), получаем

А()АТо —砂汽(Г。十 То) = CqS^qTо —砂у£,

AqA冗—3 a%。(2 +冗)+ j 冗卜 C°s%冗 一 3(4。)就с, (3.192) 亙亙=豎也，? = ?0,

Y dr Yo dr

—(°)—при г = R*(3.193)

亙空=& %，产=冗

Решения уравнений (3.192) g учетом второго и четвертого условий (3.193) примут вид

方=—A{^Iq Sj) + 4。叫乜(p2r) + 8°,

冗=^1. (P1r)-《°% (р2г) + 瓦，(3.194)

где

L 1 + 少，№ = ^U(7|i + 屮戸 岑)，'=1, 2,

汽=1 + ^S, ^ = 11^ -n咒 a?)* =或)%,/=* &恥 ++ (I + 3蜡)躋］,①。)=半(I + 3屮必，

Подставляя (3.194) в первое и третье условия (3.193), на поверхности сопряжения /• = R получаем

%=-*（「讀一旦则，%=-*（「讀一旦则，务* = ±仍1-%)，务* = ±仍1-%)，при г = R,при г = R,(3.195)(3.195)

%=-*（「讀一旦则，

%=-*（「讀一旦则，

务* = ±仍1-%)，

务* = ±仍1-%)，

при г = R,

при г = R,

(3.195)

(3.195)

где 7V О — модифицированная функция Бесселя первого рода порядка V =； 0,1;

Pi綾卜+产-号）="，犬需心

Представим операторы /^ J )僚："в виде ряда. Предполагая, что диаметр включения одного порядка с толщиной пластинки, ограничимся первыми членами разложений операторов. В результате на поверхности сопряжения /• = R пластинки и включения полу-

чаем

亲m=4(不+戸一力)+/不，

1-^ = 3Л[?_^ + (1 + ^^)^]+^ (3，196)

Здесь А = S^ — приведенная теплопроводность пластинки на поверхности контакта; S = 4л/?6 — площадь поверхности контакта; Ло = SQo^} — приведенная теплоотдача с поверхности включения So = л/?2; с。= с^У0 — приведенная теплоемкость включения; VQ = 2som — объем включения.

Устремив в (3.196) тЛ f 0, тУ -> 0, запишем

A~^ = Ag+ 帀一 iR + scH

dприг=К・

(3.197)

Переходя в формулах (3.196) и (3.197) от изображений к оригиналам, получаем соответственно приближенные обобщенные и классические условия теплообмена на поверхности сопряжения пластинки и включения при г = R

~ J 屮d^ = 4(7 + Т* — ％) + с0 ~|^ ,

刃*.(3.198)

А 系= 4(7 + 7—) + & 黑，

@7*「/4 \] дТ* (3.199)

a-^ = 34 7 +T*(1 + 硬讨-q +•

Сформулируем условия теплообмена (3.198), исходя из граничного условия (2.81):

工一х

否三= (备备)x

% оо

X 统 при r= R・(3.200)

Поскольку начальная температура равна нулю, (3.200) принимает вид

ооp v} дЧ яe 亦或+p v} дЧ яe 亦或+

о

о

p v} дЧ я

e 亦或+

p v} дЧ я

e 亦或+

+子事崇叩"=R(3・201)

Предполагая, что температура по толщине пластинки изменяется по линейному закону

66

方=7 +告 T*, T=击，依，7* =备，才dz, (3.202) —5—6

и принимая во внимание граничные условия на боковых поверхностях пластинки

九‘①祭- "。а?" G -力)прИ г = 6,

-Ц- - 0 при г = — 6,(3.20?)

интегрируем (3.201) согласно (3.202). В результате получим искомые условия теплообмена на границе г = R в виде (3.198).

Сформулируем соответствующие термоупругие граничные условия на поверхности сопряжения пластинки и включения. Для определения напряженно-деформированного состояния включения имеем соотношения для усилий, моментов, перерезывающих сил; уравнения для радиального перемещения и и прогиба ш и краевые условия [4]:

争+ vo — _a?)(l+v°)7；],

№)= T?^卜。争+俨(1 +%)7；j,(3.204)

4 [等 + 学争 + % (1 + v°) 4].

乂麗=-5 卜祭 + 4•礬 + a") (1 + V。) 4].(3-205) Q，" = —^o ■^■^Aw0 4- a/0) (1 + v0) ~^~ j > Q^ — 0, (3.206) △% 一 卜T + (理厂 2 篇]% =制。)(1 + %)等，(3.207)

AAg + xo -^^ = — a/0) (1 + v0) —^ ,(3.208)

Nr = N,\ 〃 = % при r = R, % |r=o = 0,(3.209)

Mr=M^\ Qr = Q^\ w = w.^^^- npn「=R,

g|「=o*8, M，°)Jo耍 8,(3.210)

(3.211)(3.211)u = u = w = w = 0 при т = 0,

(3.211)

(3.211)

где d" = )/где d" = )/Po(lio)'Po(lio)'УУ

где d" = )/

где d" = )/

Po(lio)'

Po(lio)'

У

У

Применяя к (3.204)——(3.210) преобразование Лапласа с учетом начальных условий (3.211), получаем

瑋=T^f卜。翁+学一透)(1 +"。)可,(3.212) 砂)=[噜 + -争 + a伊(1 + V。)用， 鸣)=-°。卜。噜 + 4•噜 + 费(l+v0)^], (3.213) 守=-4 春辰。+ a俨(1 + %) ?],宏)=0, (3.214)

A"o —(』+ 区)％ =或①(1 + %) "^*,(3.215)

AAg — pwW0 = — a，°)(1 + %)—产,(3.216)

N，= Nr、〃 -— 〃о при г = R, % |「=o ^11 0,(3.217)

Mr^\ Q=^\ 而=瓯，< => при「=

=R, g|「=o耍 оо, M，)[r=o,8,(3.218)

Pc = 7^7，或=—乂鼠2.

Решения уравнений (3.215) и (3.216) с учетом двух последних условий (3.217) и четырех последних условий (3.218) запишутся в

видевиде(3.219)(3.219)g=儿⑺训=R +%便）63恥Г）g=儿⑺训=R +%便）63恥Г）井㈢，R）井㈢，R）

виде

виде

(3.219)

(3.219)

g=儿⑺训=R +%便）63恥Г）

g=儿⑺训=R +%便）63恥Г）

井㈢，R）

井㈢，R）

"。= 皆片2 "卜=r+[卩步恤 - Hi°)m21»

/1го

d丁（%，r） 施p0 г 疗 厶 q抠鼠（P冲厂））

十%疗（%, R） 丁，=a十而［/一%I 1十而d瓦丿

彦一區 \ 2 Pwdt +（%' R）' 2r

где

加/a（0/ ASK） 厶9力］力；=1

百一朮［4S乐）/。9求）/。（p典 厂， 一，

为⑺=/К '咛В©「）=为⑺=/К '咛В©「）=//(/V)//(/V)/о (%R)/о (%R)

为⑺=/К '咛В©「）=

为⑺=/К '咛В©「）=

//(/V)

//(/V)

/о (%R)

/о (%R)

* Ji (p盘)* Ji (p盘)「戸』十碎）7»「戸』十碎）7»M =M =g。g。n /0 (PcR) % k(PcR)n /0 (PcR) % k(PcR)瞪U +瞪U +

* Ji (p盘)

* Ji (p盘)

「戸』十碎）7»

「戸』十碎）7»

M =

M =

g。

g。

n /0 (PcR) % k(PcR)

n /0 (PcR) % k(PcR)

瞪U +

瞪U +

Pw J：；；：R； ' % = £"(I + %)，

@俨 < —JoS") Jo(PJ) 4(%R)•

/ Подставим (3.219) в первое соотношение (3.212), а затем в первое условие (3.217). Подставим (3.220) в первые соотношения (3.213) и (3.214), а потом в первые два условия (3.218). В результате соответственно получим

+ (}4%1 — H1°)G)2)T |r=R + 卩俨f4” ®1 — ©2)T* |r=R +

+++噌（需-5）+噌（需-5）Mr = —DO 卜^ [Mr = —DO 卜^ [哥而24 S ⑵ R)哥而24 S ⑵ R)(3.221)(3.221)斗(％R) J。(％©斗(％R) J。(％©—1 0 |r=R +—1 0 |r=R +1 - %1 - %d扌仇，R）Rd扌仇，R）R-^ I + (81 一 ％) T \r=R +-^ I + (81 一 ％) T \r=R +

+

+

+噌（需-5）

+噌（需-5）

Mr = —DO 卜^ [

Mr = —DO 卜^ [

哥而

24 S ⑵ R)

哥而

24 S ⑵ R)

(3.221)

(3.221)

斗(％R) J。(％©

斗(％R) J。(％©

—1 0 |r=R +

—1 0 |r=R +

1 - %

1 - %

d扌仇，R）R

d扌仇，R）R

-^ I + (81 一 ％) T \r=R +

-^ I + (81 一 ％) T \r=R +

_存0)n(0))

+ (Po^ 1 + Hi°)8i — H2°)82)^* l「=R — Ei ~^—F E ~|~( , (3.222)

Q产一№帀而口 +方位,R)卜/十

гдегде2 dl (%, R)施+ Pw-7~—~""d『(“，R) br2 dl (%, R)施+ Pw-7~—~""d『(“，R) br+(Y1 — 丫2)^\r=R + y=R+(Y1 — 丫2)^\r=R + y=R+叫i%)»+濟-衿+叫i%)»+濟-衿(3.223)(3.223)i= 1, 2,i= 1, 2,Po 百 Pl /0 (%R) a9庆)卩о р^ — Pc J。 A3R) А)(рЮ

где

где

2 dl (%, R)施

+ Pw-7~—~""

d『(“，R) br

2 dl (%, R)施

+ Pw-7~—~""

d『(“，R) br

+(Y1 — 丫2)^\r=R + y=R

+(Y1 — 丫2)^\r=R + y=R

+叫i%)»+濟-衿

+叫i%)»+濟-衿

(3.223)

(3.223)

i= 1, 2,

i= 1, 2,

P；2(2④

2了+若 3丁(%，R) p；2-*

匕=匕=]C2 c d\ (pg, R) + P@ dF(%, R) J]C2 c d\ (pg, R) + P@ dF(%, R) J*з」* (p »R)3 A (PwR)[

匕=

匕=

]C2 c d\ (pg, R) + P@ dF(%, R) J

]C2 c d\ (pg, R) + P@ dF(%, R) J

Pi 7而圻—"⑫初而十

一区制斗，而2 = 一成

Разложив операторы в (3.221) — (3.223) в ряды и ограничиваясь членами, содержащими R не выше второй степени, при 厂=R найдем

м=』и”]+“ *

m, = - 4(1 + V0) [+栗+ 理-^ +鲁S2@, . (3.224)

где % = p°S, £2о = Ро%・

Переходя в (3.224) от изображений к оригиналам, при г = R получаем обобщенные граничные термоупругие условия

М，= —А (1 + V。) [%*^ + ар-^- +~^ 叫，(3.225)

Q尸農(%-4-召办

В случае квазистатической задачи вместо (3.225) при г = /? будет

m=金[£-a叫,

M = -%】+v。)[靑票+а俨筹]J@226)

Q，= o・I

12. Условия неидеального

термомеханического контакта пластинок

Рассмотрим упругую систему, состоящую из двух тонких изотропных разнородных прямоугольных пластинок постоянной толщины 26, сопряженных посредством инородного прямолинейного промежуточного слоя шириной 2/г. Эта система нагревается путем конвективного теплообмена с внешней средой и источниками тепла, температура и плотность которых являются произвольными функциями координат и времени. Начальная температура и скорость нагрева предполагаются равными нулю.

Сформулируем сначала условия теплового контакта пластин 1 и 2, необходимые для определения обобщенных нестационарных температурных полей в области их сочленения со слоем 0, ширина которого считается малой по сравнению с его длиной.

Для этого рассмотрим слой 0, считая его сначала тонкой пластинкой толщины 26. Нестационарное температурное поле в слое определяем из уравнения теплопроводности (3.28), т. е.

鶴+ р力o = -Qo，(3.227)

где

Qo = %(蟲■ + *")，T^ = ^[^dz-

Начальные условия задачи принимаем в виде

Tj = 0,樂• = 0, j = 0, 1, 2, при т = 0.(3.228)

Предположим, что на поверхностях сопряжения промежуточного слоя с пластинками выполняются условия идеального теплового контакта

鯉)г對)；

ТЖ J 屮。底=R J Ф1^» го = Л при х = 4- й,

(of J %戈=—(2Г J 恥愈，「о =「2 ПРИ % =—儿

Tr 0Tr О

где

%的 ％ & = е 写•尹絕•, i = 0, 1, 2, % =击｝蚀,/=1,2.

Общий интеграл уравнения (3.227) с учетом второго и четвертого условий (3.229) имеет вид

7。= I* — % (З + 北1 + т^у — % ® —

—「2】+ % (%)，(3.230)

где

% (%) = f sin % (g — %) Q()dg・

-h

Для упрощения интегро-дифференциальных условий (3.229) продифференцируем их по т. В результате находим

7(о)дТ0 _/ 七、/一

儿~дГ =-砂/%Ю 4 +

+ 胃'眶 ПРИ %=+瓦(3.231)

吟吟*)一*)獰):—"雷 "^fj 中 2(%，К е~Н*)一*)獰):—"雷 "^fj 中 2(%，К е~Нпри % =—瓦при % =—瓦

吟

吟

*)一*)獰):

—"雷 "^fj 中 2(%，К е~Н

*)一*)獰):

—"雷 "^fj 中 2(%，К е~Н

при % =—瓦

при % =—瓦

Подставляя выражение (3.230) в (3.231), получаем

Т2 + cos 2poh [Л — % (Л)П + 猾)零=

=入「% 誓 + ±；F ：；： , %(%，т- Е)庞叩н X = + л, 力44 о

(3.232)

sin 2pQh [ А — % ® — G0S 2%用北]——歹寸 +

*)_*)货)；

4—屮2(招 G 8)dE при % =一瓦

Разложим в уравнениях (3.232) операторы в ряды; в силу малости ширины слоя 2Л ограничимся в этих разложениях лишь членами порядка /Г") Л. В результате получаем

A。备 г +厂)+ 2Т%青中一青 %]-

一"。負(7十+ L) + 2[^^俞j%(儿 Т,自)處一

=2砂％ （7+ +「一 一 2兀）—2/0Г0,（3.233）

A。备（к - #）_ 6 叫俞 理 + 春 ％] - C& 4 （к _-r+）-6p^^号j%他，工，0施 +

=2 （碘。+备卜l-产）+ 2/0 （胱+ 2讃吟.

Здесь

#=a （瓦〃*L=北（一瓦协0刑=（吟）心，忆=（鲁）〜，砂=2跳，伉=然，

% = 2X^6, Л2 = 2炉3, Ло =猾）尸，& =侖，

厶69 勺6

取о = § J wodxdz, Wl =而]/ wQxzdzdx,hй

тс =击£ %Х，冗=杀、力".

Если рассматриваемая система обладает геометрической и физической симметрией относительно оси Оу, то второе условие （3.233） удовлетворяется тождественно и остается только одно условие 4等+2т?今可一С&筹+^^今£%仇，г, & х

Х^ = 2/о [2砂（К 一 Л） - %].（3.234）

Если в условиях （3.233） пренебречь влиянием тепловой инерции, т. е. устремить к нулю величины 七°）, т「, V, то условия неидеального теплового контакта двух разнородных пластинок примут вид

ло *（户 + l）+ 2 （A用 一 л2?-）-e0-A_（# + 丁）=

==24f）（Г+ + T^ — 2北）—2%,（3.235）

Ло 矗(厂 一「+) - 6 (Aji + MF Г 糸(L 一 尹)=

=2(4°)+ 备)(7- —户)+ 4/尸冗 + 2胱.

Сформулируем соответствующие условия неидеального обобщенного термомеханического контакта пластинок 1 и 2, необходимые для получения динамических температурных напряжений в области их сопряжения с пластинкой 0. Для этого рассмотрим пластинку 0 и определим в ней динамические температурные напряжения из уравнений (3.98), т. е.

欝 + Л = £。)(1 + v0) Т„ 等 + М = 0, (3.236) где

1 *1 *i = 1, 2,爲=i = 1, 2,爲=2Go(1 — Vo) Po2Go(1 — Vo) Po

1 *

1 *

i = 1, 2,爲=

i = 1, 2,爲=

2Go

(1 — Vo) Po

2Go

(1 — Vo) Po

Компоненты перемещений и напряжений в пластинке через функции То и Фо определяются формулами (3.97) и (3.99), т. е.

% =欝 + В①。，% =理。一需， (3・237) 当=G。[20欝一(В +质屮J ,謂=

=a[26誉+ (/+磅①。],

。^ = GJ- 2P噜一 2^0)(l+v0)T0 + (乎一爲 + 2加 乂]，(3.238) где В =石•

Предположим, что на поверхностях сопряжения промежуточного слоя с пластинками выполняются условия идеального термомеханического контакта

〃0 = "+, % = ^+,0口 -0工01?=0方 при % = + 力，

Uq = и , и。= и ,。!?—。力”，。^/ =。初 при х = h, (3.239)

Общие интегралы уравнений (3.236) с учетом условий равенства перемещений (3.239) имеют вид

4ro = cos %%4 + sin р/В + Z (х), Фо = cos р2хС + sin р2^> (3.240)

где

Z (%) = -i±A а「)『sin % (% -占)T°嗎

AP2 cos 02句〃+ —— z；(九)]+ В sin P2九 m+ + 厂一0Z (ft)]

—2 (P2 sin pjt cos p^h — pxpa sin p^ cos p^*

5 _「2 sinp2用［"++厂 - Z；（九）］+6 cos 內h［L -。+ + 陷（用）］

一2 （俨 sin prh cos %用一%"2 sin p2^ cos 厶九）'

e _ 6 sin %用［"+ +"一 一Z；（九）］+ Pi cos 网九［厂 - u+ + 0Z （九）］

—2（p2 sin p、h cos p2h ——pm sin p2h cos p*）'

D pcos Р1Я ［〃+— 〃一 一 Z；⑷］+ Pl sin Р/ m+ + 厂一0Z ®］

—2 （P2 sin p2h cos p也一夕1夕2 sin p±h cos p2h）*

（3.241）

Подставляя выражения （3.240） в условия （3.239） равенства соответствующих напряжений на линиях х = ± й, получаем

务［D^ +。2〃一 + R卫 + + &广-Ri§Z ® - QZ；色）-

^^^+ p^Z（H）］=^„

务［一02"+ -01"- + 旦# + Ry - B&Z ® + + AZ% （用）］=^XXt

务［-Rm+ +旦"- +%# +凡l-限3Z色）+

+ R0（/i） + 2MZ；（/i）］ =唠，

［兄4+ - R1"-R#+ -兄广 + BR4Z（九）—

一旦2" （九）］="冲.

（3.242）

Здесь

di = 02 （俨——0务 IP2 sin 201九 cos 2"2九—

—Pi"? sin 2p2h cos 2卩1何，

。2 = % ◎ — P2）［P1P2 sin 2% 九—₽2 Sin 2P 问

& = 一 （阳^ + 2"储 + 俨）p sin 2凸也 sin2/^ + 阳也（3产 +

+ pl） （1 -—cos 2"1九 cos 2"2也），

& = ₽P2P1 （P2 — P2） （COS 2P2也一COS 2"向，

兄=Pi （P2 —— 或 IB2 sin 2p2h cos 2"1用——

——Pi〃2 sin 2"i 力 cos 2.2 何，

& = Pi （俨一成 1"止2 sin 2Pm - ¥ sin 2必矶

A =（俨 + p；成 sin 2Pm sin 2p2h —

—2%p2俨（1 - cos 2%/i cos 2P 扮.

,（3.243）

Для удобства сложим и вычтем соответствующие условия и разложим тригонометрические операторы в выражениях (3.242) в ряды, окончательно ограничиваясь членами порядка /г°,百工沿.В результате граничные условия записываются в виде

屮+%學)+ 3一-1+?二竺」义 V。］丁 0 曲丿丁 L дт 3(1 —%)(1 — Vo)

(3.244)(3.244)X go 晶］中一■2 ；_!:0)- #+ + 7一)= ? (0士 + °G)' (с0 鳥-g$* ^T) " + gв需=23 (0± -0i),

(3.244)

(3.244)

х4> + "^岩=曰(崂+吗)，

(go 备-Qo 备卜--^^г 备(?+ + ?_)= =26(呜一唠).

Здесь EqF =统，G°F = go , EQI = go, p0/ = Qo, pj = Q°,/ =

=百 6/? — момент инерции сечения слоя относительно оси Oz; “ = = 吐拦средний прогиб точек сечения слоя; ф = "/〃 относительный сдвиг сечения ребра, вызванный разностью вертикальных смещении 〃二 и ; и =среднее продольное перемещение точек нормального сечения слоя;屮=^ — угол

поворота сечения слоя, вызванный разностью горизонтальных смещении 打，V \ I =^характеризует перепад температуры по

единице длины высоты слоя.

Пусть й = 0, т. е. слой отсутствует. Тогда, как и следовало ожидать, из (3.244) получаем условия идеального термомеханического контакта двух пластинок

"+ = " >0+ =。,0$ =0%%，0看—0得.(3.245)

Если рассматриваемая система обладает геометрической и физической симметрией относительно оси Оу, то второе и третье

тождественно, а оставшиесятождественно, а оставшиесядвадваусловия (3.244) удовлетворяются принимают вид

тождественно, а оставшиеся

тождественно, а оставшиеся

два

два

+ з Q；鳥+ з Q；鳥1 + Vg — 4Vo * 3(1 — Vq) (1 — v0)鄧1 + Vg — 4Vo * 3(1 — Vq) (1 — v0)鄧屮—屮—(3.246)(3.246)

+ з Q；鳥

+ з Q；鳥

1 + Vg — 4Vo * 3(1 — Vq) (1 — v0)鄧

1 + Vg — 4Vo * 3(1 — Vq) (1 — v0)鄧

屮—

屮—

(3.246)

(3.246)

Пусть слой, соединяющий пластинки 1 и 2, является абсолютно жестким, т. е. f0 = оо (Go = оо), а，°)= 0. Тогда из (3.244) получаем ожидаемые условия

〃+ = 〃 =0, ^十=V = 0.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

ОБОБЩЕННЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ МАССИВНЫХ ТЕЛ

Наиболее полно представлены в литературе исследования обобщенных динамических температурных напряжений в массивных телах. Впервые обобщенная взаимосвязанная динамическая задача термоупругости для изотропного полупространства, подвергнутого тепловому удару по свободной от внешней нагрузки его поверхности, изучалась Е. Б. Поповым [50], для полупространства, на свободной от внешней нагрузки поверхности которого задается в начальный момент времени напряжение, остающееся далее неизменным,—Лордом и Шульманом [71]. В этой работе получено решение задачи при пренебрежении в уравнении (1.39) членом T)Trdivu. Е. Б. Попов показал, что в полупространстве распространяются две волны — тепловая и упругая. Он исследовал характер этих волн при малых и больших значениях времени, а также скорости их распространения. Норвуд, Варен [77] несколько шире рассмотрели эту задачу, исследовав полупространство при скачкообразном изменении во времени деформации, температуры и напряжения на свободной поверхности. Ахенбах [67], использовав теорию распространения поверхности разрыва, исследовал распространение скачка напряжений в полупространстве. В упомянутых источниках, однако, не получены решения в замкнутой форме. Найденные решения являются справедливыми только на волновых фронтах. Лорд и Лопез [72] получили общее решение обобщенной взаимосвязанной динамической задачи термоупругости для полупространства, справедливое для температур, близких к абсолютному нулю. Нейфех [74] рассмотрел полупространство, когда на его границе задан тепловой поток. Результаты этой работы изложены в настоящей главе. Построению автомодельных решений обобщенной взаимосвязанной динамической задачи термоупругости для полупространства и исследованию распространения связанных термоупругих возмущений при постоянном потоке на границе посвящены работы Г. А. Кильчинской [14—16]. Решения обобщенных взаимосвязанных динамических задач термоупругости для пространства со сферической полостью и цилиндра получил Ведхевен [80, 81] для случая, когда граничное значение температуры или напряжения ——произвольная функция времени. Рассмотрены частные случаи, для которых получены асимптотические решения, соответствующие малым значениям времени. Результаты работ [71, 80, 81] получены для слу-

чая пренебрежения инерционным членом r)Trdivw. Норвуд и Варен 177] показали, что пренебрежение этим членом приводит к исчезновению трех из четырех возможных скачков на фронтах и к изменению самих скоростей. Решению обобщенных взаимосвязанных динамических задач термоупругости посвящены также работы [73, 78]. Ю. К. Энгельбрехт [661 провел исследования мод (частных решений, зависящих по экспоненте от времени и одной из координат) системы уравнений обобщенной линейной термоупругости.

Обобщенные несвязанные динамические задачи термоупру* гости для полупространства, слоя, цилиндра, пространства со сферической или цилиндрической полостью изучались в работах [28, 39, 40, 52, 54, 55] при граничном условии теплообмена первого или третьего рода для случая, когда температура среды изменяется в начальный момент времени на некоторую величину, оставаясь далее неизменной (тепловой удар). В работе [29] учитывалась также конечность скорости изменения теплового воздействия на поверхности пространства со сферической полостью. В. Г. Андреев и П. И. Уля ков [11 обобщили результаты М. Д. Михайлова [39] для полупространства, учитывая конечность скорости изменения теплового воздействия на его поверхности. В. Г. Чебан и В. Г. Сучеван [59] решили обобщенную несвязанную динамическую задачу тер* моупругости для полупространства с учетом выгорания материала.

В настоящей главе подробно изучается полупространство. Исследуется влияние взаимосвязанности полей деформации и температур и конечной скорости распространения тепла, влияние обобщенного теплообмена с его поверхности на распространение в нем динамических температурных напряжений.

g Приведены замкнутые решения обобщенных несвязанных динамических задач термоупругости для слоя, цилиндра, пространства с цилиндрической или сферической полостью, подвергнутых тепловому удару внешней средой или источниками тепла, а также для слоя, находящегося под действием потока лучистой энергии,

. Полупространство

Рассмотрим изотропное полупространство z》0, которое подвергается механическому и тепловому воздействию таким образом, что на его поверхности имеют место граничные условия

。(0, /) = % (力，声="(1 + №备卜行一必⑵при с = о,(4.1)

где 9 = aJ, g=号，f =号，М =" = ^.

Для определения поля температур и деформаций в рассматриваемом полупространстве воспользуемся системой уравнений (1.39) и (1.40), которая в данном случае имеет вид

0〃 一喷—m2$=£(U，+ m2〃)，и"—0=»(4.2)

при граничных (4.1) и начальных

今 &, 0) = S (С, 0) = 0, U 信 0) = (7 信 0) =0(4.3)

условиях. Здесь

U —% + 2卩 q"期0 (3% + 2N)2

0 - 3厶 + 2n' 8一 仇+2世)"'3，

Применив к (4.1) и (4.2) преобразование Лапласа с учетом (4.3), получим.

。(0, s) = £ 矛(0, s) = ”*® (0, s)—济]при С = 0, (4.4)

Г —6帝=用2几(4.5)

О〃 —s2。=牝

где 俨=s (1 + M2s), 〃*=〃& + M2s).

Решая уравнения (4.5), для 今 н U находим выражения

豆=^ 次2 依 + "*)'-位-(h + "*)e一" I 0(?2 - %) (%y2 + 俨)+ 5 - M)H*

,-守+咐一%ё一也一 б + £仗一脸「沅4

+ 九"* 55 >(4.6)

(也 一 Yi)(Yi?2 + P2) +(裝一Y；) 〃*

U =U =£01（% + »） 6 + 附一%「侦一（也 + "*） S + £俨一脸「仗］（?2 - %）（%72 + 俨）+ （喝一喲

U =

U =

+ R2品"*+ R2品"*6-%c-0一依

+ R2品"*

+ R2品"*

（也一Yi） （%也+俨）+抬一臂）"*

где

Yu = 3 ｛俨(1 + £)+ s2 土 /[02(1 +e) +s2]2—4s2p2 ｝ •

В работе [71] показано, что при очень низких температурах 8《 《1. Следовательно, в этом случае

у； = s2,核=§2.(4.7)

Подставляя (4.7) в выражения (4.6), получаем

豆匸 仅£§2【(В + Я*) «-位一(s + 〃*) еТ] +

+ «0Я* [8р^ 一⑹+嗽一产)]｝飞0总不小)，(4.8)

° =乎《"* ^_ S2)^+ h^ + (俨_s2)70 + //*)[£曾(S + '*) X

X e—工—(₽ + 〃*) (s2 4-嶼—俨)《Т].

Из (4.6) и (4.8) при Н f 8 следуют известные [72] результаты

吞』。告 -L"） +缶岷2 + 喲'

一（咐+ s2 -脸ef勺，⑷

0'=缶 L-宀 +一 喲 L

-（呼+ s2 -喻e-为；

(4.10)(4.10)而=4邛翼*（e一們-e-U）-下生5 [（嶼+ s2 一俨）l‘-

(4.10)

(4.10)

0'=吞。营竺才（厂优-e-0 + -fb-【嶼ef

—（8₽2 4-S2 -阳 6-m].

Если в (4.8) и (4.10) пренебречь 8 по сравнению с единицей, соответственно получим

+露1^最・宀i)，(4.11)

О(俨— s2)(§ + 〃*)十& [(俨_s2)© + 〃*)e 十 е 卜

而=昌 不 -l)+自(总l+ eт')，(412)

Перепишем выражения (4.10) в виде

豆=6卢& 4- ^о52, U'=吞爲 + %&,(4.13)

где

[e-gsm中)—e一s&

%s (AT 一 1)+ 1

尸 _ (£— 1) (sM2 + 1)+s -”S(SM2+1)8 (sM2 + 1) —sg

~s(M2—I) es (М2—1) + 1 °'〉(4]4)

大 _ e (sAf2 + 1)工匕(加+1)

5 = s(M2 — 1) + 1 °—

(8 一 1) (sM2 + 1) + S c—s匚s (M2 — 1) +"1 e

Возвращаясь в (4.14) к оригиналам, получаем 2L

a = 一届二 1"[ё 2m 6 (/ -附С)-6(/ -9] + giS一 (f — 0 ++ (gi —禽 +g" S_ (/ — M^),

G2 = -J^v K〃2 - 1 一 £怀)e 2M8(f-MO + &M23 (f _ 専-

-£glS- (/ - C) + 卜ЛP - 1 — 8m2) -^- + (g3 -禽)q S_ (/ - Л40,

G3 = ^Лгг [£〃％ 2財 3 (/ — МО + (乂2 _ 1 一 еМ2)з - 0] + + 也忑一(/ - g) + £ (g2 f g3 - gj S_ (f - M^,

— (l-M2)2 е— 2(М2 — 1)еу卢二•冗考

g3 =(m2 一1)2 e'

g4 = 2M(1 - 岬 Д exp I砂F丿 —m河二泳支-"斗

Воспользовавшись теоремой о свертке для преобразования Лапласа, получаем такие выражения для безразмерной температуры и деформации:

* = ^ J^o(/ —П) Gi 信 П) dr) +『出)(/ — n) G2 (^, n) d%

北(4.15)

^f = ^Q(f — ^ G! (?, n) ^П + f % (/ —П)G3 信叫對・

о0

Перейдем теперь в (4.11) к оригиналам. В результате для температуры получим выражение (4.15), в котором функции G】и G2 имеют вид

=^，G； = G2 + e&%冃)，

л俨 岡7S-(/ -0

&J 俨一s2 6+ as =m 一

—M2 [a (1 — Al2) — !)} ”T)+ H^^ + M2 [(1 —AT) a_ 1] x

X 严厶(Ц^) +。1乂2(1 一 M” 一 M 一 1 ] I exp [4^- +

+ 。 0 - а卜。(^)山 + TT^ j e^ + 舒/。(2&9 dn〉, 叶/8

Af e-関+寸力 S_(/-M。

约=J в + 〃* ds =2M2 仲(A 0 +

а выражение для деформации запишется таким образом:

U' = }仇(/ — т]) G；信 П) dr) + J ^о (/ — П) G； % т}) dr}, (4.16) оо

где

G； = Gi +G； = Gi +@ (4 14)@ (4 14)44筑筑о+ioo2M j叶j81_f2ш J О—jooо+ioo2M j叶j81_f2ш J О—joo，G4 = G3 — £，G4 = G3 — £++俨 gTS+s/戸 са 〔с(§2 一 s2) (В + 〃*)ds = 4 + %俨 gTS+s/戸 са 〔с(§2 一 s2) (В + 〃*)ds = 4 + %s2eTB+sf <g _ (P2 _s2) {p + H^ ds =s2eTB+sf <g _ (P2 _s2) {p + H^ ds =&&№ 一 1№ 一 1

G； = Gi +

G； = Gi +

@ (4 14)

@ (4 14)

4

4

筑

筑

о+ioo

2M j

叶j8

1_f

2ш J О—joo

о+ioo

2M j

叶j8

1_f

2ш J О—joo

，G4 = G3 — £

，G4 = G3 — £

+

+

俨 gTS+s/戸 са 〔с

(§2 一 s2) (В + 〃*)ds = 4 + %

俨 gTS+s/戸 са 〔с

(§2 一 s2) (В + 〃*)ds = 4 + %

s2eTB+sf <g _ (P2 _s2) {p + H^ ds =

s2eTB+sf <g _ (P2 _s2) {p + H^ ds =

&

&

№ 一 1

№ 一 1

(I 一 M2)2 J 当(& n) e d, ° = 1 — "2ДР

屮亿 G) = H e 'о屮亿 G) = H e 'оМ/2 一 М2?М/2 一 М2?2M22M2

屮亿 G) = H e 'о

屮亿 G) = H e 'о

М/2 一 М2?

М/2 一 М2?

2M2

2M2

屮（/, C）=今卜то-攸。_e「鳥一■^ x

X ju -г7「J备X ju -г7「J备pT]2 一 M2g2pT]2 一 M2g2八2 一破2八2 一破2击1.击1.

X ju -г7「J备

X ju -г7「J备

pT]2 一 M2g2

pT]2 一 M2g2

八2 一破2

八2 一破2

击1.

击1.

Пример 1 лучаемПример 1 лучаем.Пусть % (0,力=$+ ⑦，0。(0, /) = 0. Тогда из (4.15) по-

Пример 1 лучаем

Пример 1 лучаем

0 = 8"+ м匸 i e+

+务I e如2 + ^Tt「‘2w"怀一 М『%火

X厶(三鼻)*5」一幽…(I +』ё") X

X S_(/T),(4.17)

Первое равенство (4.17) выражает температурное поле через сумму двух ве

личин, умножаемых на асимметричные единичные функции от аргументов (/ — 0

и (/ — ТЙу, которые можно рассматривать как

распространение волн со скоростью у1= 1, % = " соответственно. Аналогичное замечание относится и к выражению поля деформации. Скорость 办，по аналогии со скоростью звука в среде, называется акустической; скорость и?， п0 аналогии с распространением тепловых колебаний при отсутствии связности, называется тепловой. Вычисление М основывается на физических свойствах материалов при низких температурах. Экспериментальные данные тепловых пульсаций свидетельствуют о том, что акустический волновой

фронт опережает тепловой, т. е. М > 1.

Величины скачков для температуры и деформации можно получить из (4.17) при / = $ и / == Mg: для акустического волнового фронта

口‘]=口‘]=1 + Af2(£ — 1) ЛР — 1，1 + Af2(£ — 1) ЛР — 1，⑼=9信f）忆「一 9也，f）仁廿=中二丁，

口‘]=

口‘]=

1 + Af2(£ — 1) ЛР — 1，

1 + Af2(£ — 1) ЛР — 1，

для теплового волнового фронта

eм2 厂麺1 — М2eм2 厂麺1 — М2eМ2 「荻1 —…eМ2 「荻1 —…

eм2 厂麺

1 — М2

eм2 厂麺

1 — М2

eМ2 「荻

1 —…

eМ2 「荻

1 —…

Эти результаты согласуются с результатами работ [50, 77].

т =т =М2—「М2—「Из графиков деформации и температуры (4.17), представленных на рис. 7, можно получить значения характеристик волн для определенных времен. Решение в момент времени “ соответствует решению для малых значений времени, когда скачок теплового волнового фронта значительный, решение в момент времени /2 соответствует решению для больших значений времени. Асимптотические значения температуры и деформации, показанные на этом рисунке, соответствуют значению, проведенному в работе [77], когда (1 + 8) заменено единицей. Интересно отметить, что разрывы температуры и деформации ведущего волнового фронта противоположных знаков — росту температуры соответствует сжатие волнового фронта. При медленном росте теплового волнового фронта знак скачка остается тем же, рост температуры ведет к соответствующему сжатию волнового фронта. Эти результаты согласуются с результатами работы [67], в которой при изучении роста температуры в тепловом волновом фронте установлено, что механические сигналы распространяются быстрее, чем тепловые. На рис. 7 еМ2

т =

т =

М2—「

М2—「

Пусть граничное значение температуры есть функция ^ (/) = 5十 (f) X X S_|_ ｛值—/j sjn з/, а деформация на границе полупространства равна нулю. Пользуясь формулами (4.15), для рассматриваемого случая получаем

帚竺pjfS-f 5』+喰一矶+

+ 心kin з (/ - 幌)S_G一死)S_ (磔 + 号一X

Xe 2M —(1J砂 J sin з (/—切《нт S_ (г] —；) dt]十

+ -рй2ТТ^)Г e2(M2T)M ] sin со (/ — Т]) е ^2'1 S_ (刀—MQ 對 +

'co

+ ―芽的二刁 м…)smco(/—t])^/ g С) S-⑴—恢)dt] —

(0

一-如(Ap 一 1)2- ) sm co (f 一 n) )0X

I co

X / & 0 dES_(ri-Mg) d^

S = 一《^+ ； sin cd (f^MQ S_ #一 幌)S_(M+ ^-一 川 T2M + + FAT J sin co (/— t])e 2M2/(П，9 S—(n —M° “П,(4.19)

где

/ =厶(乌苏产)(守一

Первые два члена в выражениях (4.18) и (4.19) описывают полусинусоидальные колебания. Первый импульс распространяется с акустической скоростью, и его величина очень мала, поскольку мал параметр связности 8. Второй импульс, распространяющийся со скоростью распространения тепла, сначала возрастает по величине, а затем экспоненциально убывает при движении в среде. Эти результаты отличаются от классических тем, что температура испытывает два скачка, распространяющихся с разными скоростями. Интегралы, фигурирующие в (4.18) и (4.19), описывают диффузионный процесс теплопроводности. Действие их прекращается к началу колебаний.

Рассмотрим теперь несвязанную динамическую задачу термоупругости для упругого полупространства z》0. Через его поверхность z = 0 осуществляется теплообмен с внешней средой, темпера-

тура которой изменяется в начальный момент времени на некоторую величину 厶,оставаясь в дальнейшем постоянной. Температура полупространства и скорость нагревания в начальный момент времени равны нулю. На бесконечности температура ограничена.

Для определения нестационарного температурного поля согласно (1.29) имеем уравнение теплопроводности, которое в безразмерном виде запишется таким образом:

*=号+〃2*(4・2。)

Краевые условия имеют вид

/nт

lim О (С, /)#=оо, -±- j ^-Ц- е^ ^ = Я (0-S+ (/)]

при С = 0,(4.21)

8 信力=“竺，〃-=0 при f = 0,(4.22)

где

Для определения динамических температурных напряжений используем уравнение [10]

д替0产-0产丿

Будем считать, что поверхность《=0 свободна от внешней нагрузки, а напряжение и производная от него по времени равны нулю, т. е.

% = 0 при 工=0, % = —^~ = 0 при / = 0, (4.24) где

к % (1 — 2у)

Применяя к уравнениям (4.20), (4.23) и граничным условиям (4.21), (4.24) с учетом начальных условий (4.2»), (4.24) преобразование Лапласа по переменной 力 получаем

(4.25)(4.25)*5 = 0,

(4.25)

(4.25)

lim 0 =Н= оо, G 8lim 0 =Н= оо, G 8—^Н (1 + sfr) 9 = — Н (± + /гj » (4.26)

lim 0 =Н= оо, G 8

lim 0 =Н= оо, G 8

-^ — s^ =$23,(4.27)

応=0 при 工=О.(4.28)

Решения уравнений (4.25) при граничных условиях (4.26) и уравнения (4.27) при граничном условии (4.28) и в предположении, что на бесконечности напряжение ограничено, имеют соответственно вид

0 =我了、. et? ,(4.29)

s[y + Н (1 + S%)]''/

-〃(l+sfr) [y — HQ + s/J *

Z — [(М2 一 1) s 十 1] [(乂2 — "2# s2 — (2H2fr 一 1) S — ”2]

X 傅一g 一e一6].(4.30)

Переходя в (4.29) и (4.30) от изображения к оригиналам, получаем такие выражения обобщенных нестационарного температурного поля и динамических температурных напряжений:

6= 一忌h* ]%l/。3 +寺工ё-% 喲X

22_f/ 1、

X VM^-)^

『1/=0 L幌卩0

+ 1詣 FT叫 S_(/-gM),(4.31)

5 = 4 I。?)S_ (/ — g) + d)S_ (/ — ^M)],(4 32)

% =。〃 0 +%，

где

砂=i卩尸…一mb-恭/о (4#) 一f3

-4г Je-^o (an) £ 4・L(I7 加

碎)=M/<4(a₽) + f e-叫。(叫)2 >・L『d^ -

4ss(仙一1)靠_猊l a =击，₽=W2-W ,

Во = Pi z=ti，So = о, s3 = %•[ ]，g =，

干У1 + 4环疗_4h2片十4附2"2 — 4"4方,吗=/К (/» — I)* 吗=号寸抬2 — 1)2，_"個・一1)2卩i _ "的_Sj)，

“=方而 1—寸{【"2 +fr — M/S + s2 + S3)] sf —

—[1 —M2fr (s^ + SR + S2s3)] Sj — M?力S]S2sз},

匕={【〃2 +fr- M^fr (S1 + s2)] S] + M2Mls2 — 1},

% = e ■ {[M? + fr — M2fr(S1 + S2)] S2 + "2,戸包一1 },

/7(S/ — Sj) = (S] — Sj) ($2 — Sj)・• •(Sf—1 — S,・)(&+1 — Sj) • • •⑹ 一 S-).

Поскольку fr = M2, то решение (4.32) запишется таким образом:

% m2 (m2_d (1 - "2m2)C2M2 丿

f3■

J l"。(砌巨晶TIT)對 S_ (/ T) +

匚二(4.33)

+ 腓l% 球)+ 4-(1% (*)2 ^e-s^dn -

一斗；(j詣-…+备l卜5*嗣]XX S_” 幌)},

где**

山=卩 Jfr=M2,6,—许 \fr=M* ,

S1'2 =2M2 (1 L H2M2) 口 — 2M% 干

干}/ 1 + 4〃4M8 + 4M2"2 — 4H4M4 — 4"2M4].

Если теплообмен с внешней средой через поверхность полупространства осуществляется по классическому закону Ньютона, в выражениях (4.31) и (4.32) следует положить fr = 0.

Если на поверхности полупространства имеет место условие теплообмена первого рода, решение обобщенной динамической задачи

термоупругости находим из (4.32) при 77 оо в виде [391

■1йЛ7г{「『—(/ — С) —■1йЛ7г{「『—(/ — С) —】А—С)+】А—С)+

■1йЛ7г{「『—(/ — С) —

■1йЛ7г{「『—(/ — С) —

】А—С)+

】А—С)+

+ 务《-" f g-(af 川』於 1叫 S_ 伉-攸)} •(4.34)

Соответствующие решения классической динамической задачи термоупругости при граничных условиях третьего и первого рода получены В. И. Даниловской [8, 44]. Они следуют из выражений (4.33) и (4.34) при 714 -> 0 и имеют соответственно вид

“ =—^ПГ [广％抵(毋-м『)+

+rfc (备+m—т^T *

X е* (тй~ +”")]+ Jt 严(1 - 4~ erf 力 7 -

-产T)erfc (Hs_ (/ — О,

」(4.35)

”f 叩T erfc 号^ -勿)+

+ 公 erfc (^^ + Vf^ + LS- (/ -9，

где erfc x = —т=г- f е~1rl dn.

Из выражения (4.32) следует, что в среде образуется фронт упругой и тепловой волн. Положив ^ = 1, находим, что упругая волна в точке / = 1 имеет скачок, величина которого равна АМ3 (НМ —— 1), а тепловая волна в точке f — М имеет скачок, величина которого равна

А е 2ММ3 (1 - "М) + £ 也е—(м-1)_ 杯广(乂-％ 口(М - 1))—

м3■

广叫。(砌m配7g7)叫.

В случае 〃= 0 величина скачков равна нулю.

По формулам (4.32) проведены подсчеты безразмерных обобщенных динамических температурных напряжений а2 при ^ = 1 и различных значениях Н для полупространства из алюминия (Л1 = =2,157). Результаты представлены на рис. 8 и изображены сплошными линиями. Соответствующие классические результаты [4] показаны штриховыми линиями. Из этого рисунка видно, что учет тепло-

вой инерции в граничном условии третьего рода (обобщенный закон Ньютона) и в уравнении теплопроводности приводит к уменьшению динамических температурных напряжений.

В полупространстве образуются два фронта волн. Фронт упругой волны предшествует фронту тепловой. С уменьшением теплоотдачи с поверхности полупространства динамические температурные напряжения уменьшаются. Если в классическом случае наличие конечной теплоотдачи с поверхности полупространства приводит к исчезновению разрывов температурных напряжений, то в случае

обобщенной динамической задачи термоупругости характер напряжений остается таким же, как и при бесконечно большом значении теплоотдачи (граничное условие теплообмена первого рода).

Рассмотрим теперь случай, когда упругое полупространство имеет переменную во времени толщину [59].

Пусть на поверхность полупространства действует некоторая сила р (т) и уменьшение толщины происходит вследствие выгорания материала по данной поверхности. При этом температура tq на движущейся поверхности намного превышает начальную температуру 厶，что приводит к возникновению нестационарного температурного поля, для определения которого имеем уравнения теплопроводности (4.20), начальные условия (4.22), первое краевое условие (4.21) и краевое условие

0 = 1 при С =沙. (4.36)

Для определения динамических температурных напряжений имеем уравнение (4.23) при граничном условии

°z = Р (/) при 甘=vf.(4.37)

Здесь а, = —п; 0 =-：——; и = —^-;

P(f) =

пространства.

p(f)(l—2v).Eat Qq —• %)'

vQ ——скорость убывания толщины полу-

После введения подвижной координаты % = J — vf уравнение (4.20) и краевые условия (4.21), (4.36) принимают вид

(4.38)

0 = 喘一 =0 при / = 0, lim 0 * оо, 0=1 при х = 0. (4.39)

-Применяя к уравнению (4.38) и граничным условиям (4.39) преобразование Лапласа по переменной / с учетом начальных условий, получаем

簪(1 —加2吩 +(2иЛ12s + и)聲—(財2炉 + s)0=O, (4.40)

lim 6 * 8, 0 — —i- при х = 0.(4.41)

Решение уравнения (4.40) при граничных условиях (4.41) имеет вид

b优9 =3广"(4.42)

где

М М2s2 + S + 孚

— и 丄 vM2sУ4

% = 2 (1 — MV)十 1 一 AW H1 — др”

8(4, /) = Г^5_(/-Ш) +8(4, /) = Г^5_(/-Ш) +X = —и/ ,九= С — #,= 一 W,1 —Mv2M J1 一 AW2 (1 — M2u2)X = —и/ ,九= С — #,= 一 W,1 —Mv2M J1 一 AW2 (1 — M2u2)Выполняя обратное преобразование Лапласа и переходя к старым переменным, получаем такое выражение температурного поля:

8(4, /) = Г^5_(/-Ш) +

8(4, /) = Г^5_(/-Ш) +

X = —и/ ,九= С — #,= 一 W,

1 —Mv2M J1 一 AW2 (1 — M2u2)

X = —и/ ,九= С — #,= 一 W,

1 —Mv2M J1 一 AW2 (1 — M2u2)

где

Решение уравнения (4.23) в предположении, что напряжения и температура при ^ -> оо остаются ограниченными, имеет вид

& = g / (s) е—“ + ^匸:内十］0 (С, 9，(4.44)

где A (s) — изображение произвольной функции времени, которое необходимо определить, используя граничное условие (4.37).

Обратное преобразование Лапласа для выражения (4.44) запишется таким образом:

о2 = А (^\) dx\ + R 售，力，(4.45)

где

R信力=而二T e信f) +飞(㈠一 m對♦

0丿

Используя граничное условие (4.37), из (4.45) находим

j / (叫必]=屮(/),(4.46)

где 屮(f) = р (/) — R ®f, /)•

Поскольку скорость убывания толщины полупространства намного меньше скорости упругих волн и = -^-《1, решение интегрального уравнения (4.46) можно записать в виде

#(/) =力.(4.47)

/1=0

Принимая во внимание (4.47), получаем выражения обобщенных динамических температурных напряжений

。2 = S[屮9% 一屮(理)]+ R信) (4.48)

/1=0

Если v0 = 0, т. е. толщина полупространства остается постоянной, имеем решение (4.34).

Цилиндр

Рассмотрим бесконечный цилиндр радиусом R. В начальный момент времени температура поверхности г = R изменяется на некоторую величину 乙，оставаясь в дальнейшем постоянной. Температура и скорость нагревания в начальный момент времени равны нулю.

Для определения нестационарного температурного поля в цилиндре используем уравнение теплопроводности (1.49) и согласно (1.8) граничные условия

lim / 亿 т)片 оо,

(4.49)

+ )喊『” d^ = h[t^ taS+ (т)] при г = R. о

Начальные условия примем в виде

а「- коэффициент теплоотдачи с поверхностиа「- коэффициент теплоотдачи с поверхностигде й ,г = R.где й ,г = R.t (г, т)= …步集丄 =0 при т = 0,(4.50)

а「- коэффициент теплоотдачи с поверхности

а「- коэффициент теплоотдачи с поверхности

где й ,

г = R.

где й ,

г = R.

граничнымт с учетомграничнымт с учетомПрименив к уравнению теплопроводности (1.49) и условиям (4.49) преобразование Лапласа по переменной начальных условий (4.50), получим

граничнымт с учетом

граничнымт с учетом

(4.51)(4.51)

(4.51)

(4.51)

li% 彳亿 s) * оо, —^九(1 + %s) t = 一 hta (-^—H %)

при r = R.(4.52)

Решение уравнения (4.51) при граничных условиях (4.52) имеет вид

/亿s)=/亿s)=(4.53)(4.53)ta 仇 + B*s)厶(г?)

/亿s)=

/亿s)=

(4.53)

(4.53)

s [(九 + B*s) /о (Ry) — 丫厶(R?)]

где

Т = -7— Ms (s 4- m) , p* = hxn tn =管•

При больших значениях s выражение (4.53) запишется так:

Z (г, s) = ta J ср ⑹ e-aR(s+m),(4.54)

где

⑹= В%2 + 2/lp*S + 九2 /As + ^\,

屮 ® — S (s + Si) (s 十 S2)十 (s + Si) (s + S2)丿 /s (s + m)，

S1'2 = _ 一储「— 干S1'2 = _ 一储「— 干

S1'2 = _ 一储「— 干

S1'2 = _ 一储「— 干

L = ± [加P* + 九一瓦 S + S2)], N =专(mh — ^s.^

Для определения динамических температурных напряжений в цилиндре используем соотношения закона Гука и уравнение движения (1.50).

Краевые условия примем в виде

lim 〃 (г, т) = 0, агг (г, т) = 0 при т = R, (4.55)

〃亿 т) = /〃 幫 т) = о при т = 0.(4.56)

Применяя к уравнению (1.50 ) и граничным условиям (4.55) преобразование Лапласа по переменной т с учетом начальных условий (4.56), находим

+ "Г * 一("4■十 备)"=；号电*'(4.57)

lim и (r, s) = 0, о〃 (г, s) |=r = 0.(4.58)

…о

Решив уравнение (4.57) при граничных условиях (4.58) и подставив полученное решение в трансформированные выражения (1.50), получим выражения обобщенных динамических температурных напряжений, которые для больших значений s и 厂片 0 имеют вид

-_ 力 J「屮(S) (s + QP)〃2 (s + qp) (Y 十 q)屮(s) ］ л-аа5 ,

+ ［不练声(Y + P)2⑹一T⑹卜一小而而卜 (4.59)

%_ V Л Я Ф(«)(S + ^1P1) М2

OW _ j a \［汗卫 1 一 汴 х

(s + qpi) (? + q)巾 ⑹ -емJ(s + qpi) (? + q)巾 ⑹ -емJ+ ［” ］岁杯(Y + Pi)w⑸ —+ ［” ］岁杯(Y + Pi)w⑸ —

(s + qpi) (? + q)巾 ⑹ -ем

J

(s + qpi) (? + q)巾 ⑹ -ем

J

+ ［” ］岁杯(Y + Pi)w⑸ —

+ ［” ］岁杯(Y + Pi)w⑸ —

где

л = ЕС%八c 1

3 — a (杯「］)3 — a (杯「］)W (s)=W (s)=(i*(嚥沁)У 丁，р =—『"「“) ， g=F(f

3 — a (杯「］)

3 — a (杯「］)

W (s)=

W (s)=

Cq 偉32 + 2/l%S + 九2) (s 十 加)(s + 加)(B*S + 九)

S (s + Sj) (s + s2) (s + S3) M；(s + 加) S (s + S0 (s + S2) (s + S3)

Возвращаясь к оригиналам, находим такие выражения обобщенных динамических температурных напряжений в цилиндре:

% m ［自+争尸I)+旷万j"。 (?(т -啕)+

Тг4•

dr)dr)Sv (t — a2) +Sv (t — a2) ++ Jn)р0 + 2 切—…)

dr)

dr)

Sv (t — a2) +

Sv (t — a2) +

+ e 厂 No (，o ⑶ + 2% (⑵，z) + 2% 侬，？))+ 5 И/(4 ⑵ +

+ % (G, 2)+ ?2(/，2)+ % (汇,£)+ 也(订，z}+ 尸工(2)+

+ e 2」《 2 П /0 (г) ^x0 + 2 ”T―切)dn S_ (т — %)},(4.60)

Ow = Д^1 л [卜 + 己战f"i) + B^ f) x

X Mm (T-啕)+/「n /0 修"体 + 乎:e"Ji)/乂

X s_ (т — а2) + е 2 卩；(/0 ⑵ + 2% ®, г) + 2у2 (ш, г)) +

+ ?面(Л) (z) + 打(/, z) + 丫2 (G, z) + % («Г, z) + 丫2 (犷,£)) +

+ 砲о ⑵ + е 2 f е 2"厶⑵卜；+ S /f( J")卜I] S_ (т — %)] где**

S]S2s3s4S]S2s3s&S]S2s3s4S】S2s3s4

D3*°3尸4*尸 4

% = T〃 (s：二市田3 - B2sf + 8, - Bq + 终)，

& = -^- 〃 (s；二犷("od — 4s? + ^2S? 一 A^t + 4),Н/ = * 力号二 Sj「(°忑-。百 +。2& -。3)，

" ^ + 方^二0一(尸/ - F2^ + 尸3* -尸4),6i = 5/4=/；，友=% 必・=耳，卩'=也 h=d ,

M =勺|尸尸尸；，4 = a1 (1 『岂"2 )，

4 = & + 婚3 1 一 m2 (& + 0*办

4 = & + a2s3\~Mr（e2 + 9心）,

4 =。4 + 〃3s3] — др £з + 加2）, 4 ~ 〃4$3 J Д|2 （°4 +，4）,

稣稣% С 1 _ м2% С 1 _ м2

稣

稣

% С 1 _ м2

% С 1 _ м2

线=（〃0 — ^о） （S1 + S2 + 53 + S4）+ %「二冗2X

X （伦4 + -^- 4 + &①）’

md、md、筑=（。0 — ^0）（S1S2 + S1S3 + S1S4 + S2sз + S2s4 + S3sJ +

md、

md、

+ % + ”4Г— m2 "（9Q& ^—^—Ь

Вз = （% — 50）（S1S2S3 + S]S2s4 + S1S3s4 + S2s3s* 十

+ % + 62s41*

当=（a0 -筑）S1S2s3s4 + b3S41 - M2 Q@C3 h ■

a = T线厂4 一模，

01 = - 2/ф* 633 + t二 ЛP （自 + 0*），。2 = 下二m2 X

X 他 2 + 〃，-汇一2h^s3, A = 1_林他 3 + 62）-渉 S3,X 他 2 + 〃，-汇一2h^s3, A = 1_林他 3 + 62）-渉 S3,

X 他 2 + 〃，-汇一2h^s3, A = 1_林他 3 + 62）-渉 S3,

X 他 2 + 〃，-汇一2h^s3, A = 1_林他 3 + 62）-渉 S3,

—（% + 尸0）（S1 + S2 + S3）—厶， 尸2 = 7dM2 • [pCqh\ H^-）—

—（% + 尸0）（S1S2 + S1S3 + S2s3）— （£$з + 乂），尸3 = 7二 др " X

X （pcqk2 h^-j - （& + 尸0） S1S2s3 一心3，尸4 - -^/需

4 = 4（『」瓦=3（="

Do = 1 二 № "1v必， °1=」_ m丁（自 + 6*%）-一一（2岬* + 度S）

S = - j e而2” 他2 + "丿 J 一」 y V 他2 + 2/ф*%），

质=丁纥忆电+ "儿） - -^ 九2s3，

尸。=%二而21

. % + 尸0）Cl + S2 + S3）l石“… l

-1 у V 〃O + 尸о）（S/2 + 5戸3 + S2s3）三-丫_ （LS3 + "）,

"4 = 1 J^ *3，% = ~"，a1 = 5： ' "2 = 2力0* + ClP^ '"3 =力2 + 2%еIр, а = e加們 仇=% аp - s4）, % =瓦 + L,匕2 =仇 Si + S2） + %pL + M % = 60sls2 + %pN, & = 2岬* +

+ 4成+呻:，e2=胪+ 2优0* + R" （2邮* +加优），eз = mЛ2 + 4"（用2 + 2呻*九），& = mh^c^,心=加% + 九 + R而*, d2 = mh+ %ph +e歩团0*,厶=c^mh,1工=h + m§*, /2 = mh,

& = 2邮东 + 呻：,k2 = h^ + 2/шф*, k3 —团們nt = h + mh + 加卩*,九 2 = 2 加I + 硏％, n3 = htm.Перейдя в （4.60） к пределу при тг f 0, получим решение задачипри классическом граничном условии Ньютона. Это решение име-ет вид （4.60）, в котором %, а】，&,瓦，&,自，До,厮，4, Др Во, So,Do, Do,。1, D；,尸0, F； равны нулю,“

〃з ^^ С2 =:= ^2 ^^ 九2' d] —- /] —•九， 〃4 — C]pf^,

d2 = h（m + &切,d2 = h（m + &切,4 = %"泣% =专4 = %"泣% =专3专（…%3专（…%

d2 = h（m + &切,

d2 = h（m + &切,

4 = %"泣% =专

4 = %"泣% =专

3专（…%

3专（…%

% =-就吨•,自=加％ % = m儿& =胪（他+ jp）,C4 = mh%ip, 九丄=九（1 + 加）， & = 2тЛ, п3 =团2儿

Si, = 一 W「1 干］/ 1 +，L =丄，N ,

… 2a J% JQcq

4 =炉 1 f 力2 （九 + g）, 4 —胪（зр S3）—。 + ra）（九 + 9），

в2 = -~ 卜 + %p + s4「竺怀（2 优 + &/?）］,当=-^ ^pm + （① + %p） S4 - 丁学%2 （"；九 + 2%pm + 他2力，统=~— 卜求心4「瑞f-卜品（m + qp） + е.р^ ,

筑=! _ Д42 q^mh，iP，2 =」_ 怀 （^ + p） — ,

D3-~^^+P）-^ 尸 ID3-~^^+P）-^ 尸 IhhCqCq?2 =?2 =hh一 s3 — m , F3一 s3 — m , F3i — лр （1 +优）一1 卜1 = " — М2 Xi — лр （1 +优）一1 卜1 = " — М2 X2M2m2M2mXX++加％CQ加％CQmhmh%%尸-*牆•，4=41i尸-*牆•，4=41i瓦=Bjj瓦=Bjj

D3-~^^+P）-^ 尸 I

D3-~^^+P）-^ 尸 I

h

h

Cq

Cq

?2 =

?2 =

h

h

一 s3 — m , F3

一 s3 — m , F3

i — лр （1 +优）一1 卜

1 = " — М2 X

i — лр （1 +优）一1 卜

1 = " — М2 X

2M2m

2M2m

X

X

+

+

加％

CQ

加％

CQ

mh

mh

%

%

尸-*牆•，4=41i

尸-*牆•，4=41i

瓦=Bjj

瓦=Bjj

D； = 丁"• .他 + 口）一-——們

A =1 _ m2 S + 凸）一一^-九 S3,

尸 1 =—：力彳2 "' （I + 加） ，

尺=亏—Нз + ^）|.

尸；=告[1吸2，（p就h +用一二：v s3m],尸4 =1 - M2 .

Пространство с цилиндрической полостью

Рассмотрим бесконечное пространство с цилиндрической полостью радиусом R. В начальный момент времени температура поверхности г = R изменяется на некоторую величину Q, оставаясь в

дальнейшем постоянной. Температура и скорость нагревания в начальный момент времени равны нулю. На бесконечности температура предполагается ограниченной.

Для определения обобщенного нестационарного температурного поля в пространстве с цилиндрической полостью используем уравнение теплопроводности (1.49), начальные условия (4.50), второе граничное условие (4.49), в котором /г =券，и граничное условие ограниченности температуры на бесконечности

lim / (г, т)片 оо.

Изображение температуры в этом случае запишется таким образом:

(4.61)(4.61)_ ta 仇 + B*s) Ko (厂y)

(4.61)

(4.61)

('丿—S [伍 + 6*s)Ko (Ry) + YK1 (Ry)].

При больших значениях s выражение (4.61) имеет вид

7 ]/手9* (s) С-а；н函而，7 ]/手9* (s) С-а；н函而，

7 ]/手9* (s) С-а；н函而，

7 ]/手9* (s) С-а；н函而，

где

©2+2恥S+*」正Ls + N ]

s(s + si)(s + s) _％ 十(s + s】)(s + s・2)一 X

*

X， ai =——a「

/s (s + m)

Для уравнения движения (1.50) используем начальные условия

второе граничное условие (4.55) и граничное условие lim 〃(乙 T)方8.

Динамические температурные напряжения при больших значениях s имеют вид (4.59), в которых следует Положить

а； = — &, а； = — а2, р* = — р,夕；=—-凸，q* = — q,屮* (s)=屮(s),屮* ⑸=屮(s),

屮* (s)=屮* (s)=cq (6,2 + 2/，6*s -г /产)(s + m)

屮* (s)=

屮* (s)=

s (s + Si) (s + s2) (s + S3) ]/s (s + tn)

(s + m) (6*s 十九) .

S (s + Si) (s 十 s.J (s 丁 s3)

Динамические температурные напряжения для бесконечного пространства с цилиндрической полостью при малых значениях времени имеют вид (4.60), где Ah BLi 。订生，А：,D；, F； сле

дует заменить следующими выражениями:

%i = & + 〃2зi~~M2 Ci — В*" #2 Q 〃з + 〃2$з —

~ 下二从旷(°2 -加1), 4 = 04 + "3S3「二麻‘(c3 - 9厶)，

31 = (Во — &) (S1 + s2 + S3 + S4)—匕 11 —部 X

台2 — (3() — ^0)(S1S2 + S1S3 + S1S4 + S2sз + S2s4 + S3s4) — &2 — &1S4 —

1 f 而牙一卜CqC\ ^m ~^~)' 瓦 =(瓦一〃o) (SjlS2sз +

+ S1S2S4 + S1S3S4 + S2s3s4)—瓦一62s4〔岁 Af 2+ S1S2S4 + S1S3S4 + S2s3s4)—瓦一62s4〔岁 Af 2-m "|^)'当=(瓦一%) S1S2s3s4 - %S4 --m "|^)'当=(瓦一%) S1S2s3s4 - %S4 -匾02 -м2 ч匾02 -м2 ч1 - M2 X1 - M2 X厶厶

+ S1S2S4 + S1S3S4 + S2s3s4)—瓦一62s4〔岁 Af 2

+ S1S2S4 + S1S3S4 + S2s3s4)—瓦一62s4〔岁 Af 2

-m "|^)'当=(瓦一%) S1S2s3s4 - %S4 -

-m "|^)'当=(瓦一%) S1S2s3s4 - %S4 -

匾02 -

м2 ч

匾02 -

м2 ч

1 - M2 X

1 - M2 X

厶

厶

义［qcqC3 - ^—-^，然=线，^o = 4，力。 = 4，

力1 = 丁与泅- （^1 -5*切 一（2邮* + Pa）, 瓦 一［岁m2仅2 -

—pl) — (/』+ W*S3)>。3 =1 — ЛР 一 (电—加2)—炉S3,

+ (% —戸0)(sx + s2 + S3) + L,齐2 =…1 岁附2 ' [pCqh^-) +

+ (@0 — F0)(S/2 + S1S3 + s2s3)+ 厶3 + N,

方3 = 1 f М2 .〈PCqh?+ (% — *o) S^S2s3 + 2Vs3，

%； = 4 L：，

及=広1〜加=/2，「丄二屮,

Qi - 1 — м2

(瓦 P*Pi)у(2 即* + РЛз)»

03 -1 - m2

他3012)V力S3,户0 =尸0 ,

d2 -1 一 杯

■伍304)У仇+ 2恥S3),

尸I — 1 _ м2

•(P1Q01% ) + ( V % 戸。)备 + $2 + S3)+

1 V'

+ ( ] у V "о —尸。)(S1S2 + S/з + S2sз) H Ц—— (^S3 + %)，

(4.62)

Положив в (4.60) и (4.62)卩來=0, найдем решение динамической задачи термоупругости, соответствующее классическому закону Ньютона. Если в (4.60) и (4.62), кроме того, перейти к пределу при М f 0, получим решение задачи термоупругости для случая, когда скорость распространения тепла значительно превышает скорость распространения упругой волны.

Пространство со сферическим включением

Рассмотрим пространство, содержащее сферическое включение, в котором с начального момента времени начинают действовать равномерно распределенные источники тепла мощностью %• Начальная температура и скорость нагрева системы равны нулю. На бесконечности температура исчезает.

В этом случае для определения обобщенного нестационарного температурного поля в пространстве со сферическим включением имеем уравнение теплопроводности

т , 2 dt 1 ^/ .1 т勿

и следующие краевые условия:

卜崇=С°1$—И0905+(т) при r = R, /"g = 0,(4.64)

t == 0 при т = 0.

Первое граничное условие (4.64) записано согласно (2.53). Применив к (4.63) и (4.64) преобразование Лапласа по переменной т с учетом принятых начальных условий, получим

疗,2 dtл

А窑= 〃&?"-学 при 厂=凡 7|u8 = 0・

Решение этой краевой задачи имеет вид

F =6-吁А匕(4,65)

где

«С。2 I ]1 о S ] §2

% = — Y +y + k У +

Переходя в выражении (4.65) по формуле обращения к оригиналам, решение обобщенной задачи теплопроводности находим в виде

/ = 一叫叫爲一0 je% ^對I。)也/。 (е) + 2竝点九.

(4.66) Здесь

% = ~^^, 5 = % [嘉(％ —а) е + ?2^(т0 —ах), 8 ,

& = * М* —宕，

Yi (со, х) и 匕(з, %) — функции Ломмеля двух переменных мнимого аргумента,

sx, s2, s3, s4 — корни уравнения

(4.67)(4.67)

(4.67)

(4.67)

一 Переходя в формуле (4.66) к пределу при с«т 8, находим такое классическое температурное поле в пространстве со сферическим включением:

+ 3 召(—1 产 eS，[4十 exp |(r — R) ]/ 号 I erfc (；落 + 丿研 +

+ 4 exp 卜—(r — R) ^Л-5_] erfc (；《但]/"$尸)｝〉，(4.68)

гдегде

где

где

4土 = Со + 余 土 тД=-,У asi

2co [ aCo R — V "Co \ aC0 R 丿

Для определения вызываемых температурным полем (4.66) динамических температурных напряжений в основном материале воспользуемся формулами (1.52).

Полагаем, что в начальный момент времени и = -|^~ = 0. Применяя к уравнению (1.52) для определения радиального перемещения преобразование Лапласа по т, получаем

бР〃」2 du ”2 * ТбР〃」2 du ”2 * Т信+扑=_信+扑=_

бР〃」2 du ”2 * Т

бР〃」2 du ”2 * Т

信+扑=_

信+扑=_

〃g()R 匕)(1 + W-A(1 — v)-〃g()R 匕)(1 + W-A(1 — v)-Решение этого уравнения имеет видРешение этого уравнения имеет вид一"卜方2 + 乡 + ^) Са -杂 6‘, ,°」(4.69)一 - 2G / 力 / 加2 s 1 \ _(—R) 4-0屮@ = aee = -▽一尸尸—一"卜方2 + 乡 + ^) Са -杂 6‘, ,°」(4.69)一 - 2G / 力 / 加2 s 1 \ _(—R) 4-0屮@ = aee = -▽一尸尸—

〃g()R 匕)(1 + W

-A(1 — v)-

〃g()R 匕)(1 + W

-A(1 — v)-

Решение этого уравнения имеет вид

Решение этого уравнения имеет вид

一"卜方2 + 乡 + ^) Са -杂 6‘, ,°」(4.69)

一 - 2G / 力 / 加2 s 1 \ _(—R) 4-

0屮@ = aee = -▽一尸尸—

一"卜方2 + 乡 + ^) Са -杂 6‘, ,°」(4.69)

一 - 2G / 力 / 加2 s 1 \ _(—R) 4-

0屮@ = aee = -▽一尸尸—

где

k =

Поскольку при г f оо это решение ограничено, то В = 0. Определив постоянную интегрирования А из условия (2.71), для изображений обобщенных динамических температурных напряжений получим такие выражения:

一旦卜炉 _ + _ %) e-^^_ 崇 e-LR)?

гдегде叫子+*+叫子+*+ss2s 丽+2s 丽+1——У1——У，鴻=举寿g.，鴻=举寿g.—2y，W — 1 — 2y—2y，W — 1 — 2y一 q.V^RM^A一 q.V^RM^A一Y2一Y2"陪T)［叫*"陪T)［叫*约=约=kk"'行"'行

где

где

叫子+*+

叫子+*+

s

s

2s 丽+

2s 丽+

1——У

1——У

，鴻=举寿g.

，鴻=举寿g.

—2y，W — 1 — 2y

—2y，W — 1 — 2y

一 q.V^RM^A

一 q.V^RM^A

一Y2

一Y2

"陪T)［叫*

"陪T)［叫*

约=

约=

k

k

"'行

"'行

Переходя в (4.69) от изображений к оригиналам, находим выражения обобщенных динамических температурных напряжений /8 I

0" =乎(Т —电)等 £ £ s尚］g s.)［戸i) 一 1 一 r \00 i=l I

一 Sj (т ― а2)］ + % 亿 sj j e 20/。(党1一%))［("^" +

+ 专)6S网一出)-■ S_ (Т- %)科 0z5> 卜% 亿 sj X

T*0

义，【五［/0(8)+ 2彳］［財(1。) 一 1］丸 +

十九匕S,.)J IS⑻［(訝+善卜…_詩］同〉，

%8 f(4.70)

o(p(p = We =停〈S- (т — а?) ^~ 2 ^ yT2fi (/*, s) ［es^~a2)—

—: sc (T s一 а2)1 + % 亿 s, J e 2a /0 (磋(工一то)^-~~ +

+ 专卜*"f 一 ~~j dq - S_ (T 一 %)m" 卜%", s) x

X J ^^To ［/0(8)+ 2而俨“7 一 1］九 +

+ A (r, Sj) р 2“ /о ® ［(諧 + 专)『Q —訝］d"〉・

Здесь

* — 2oc/v2^oc®7?V 0 AG— 1 + v л - q 厶 Зр；

。=応而而f "2 =厂к M = F，% =礴^，"小）=晉$ +专（芳十警卜5+（芳+警+鲁尸++管+礬+兮+& +嘗+抄+

m）=* +春（嘤+ 沖+管 +*+鲁卜4 +

+ （号+*+ 警）"毋偿+ *g +鲁斗

+食］一制，+食］一制，

+食］一制，

+食］一制，

匕广冷^^^+鲁卜統瓦=中（爲TH

,（也一В） Co 丄丄「B + M — B） 丄

++V1 — 6 aRV1 — 6 aR

+

+

V1 — 6 aR

V1 — 6 aR

力_2 + n 厶_叫（?0m2—瓦e0

”5 — -^-，”6 — jRA，”7 — K，

uu（2 + 刀）a。。 部唔goW \V2WGR2 丿，（2 + 刀）a。。 部唔goW \V2WGR2 丿，（Vi —₽） }, %（Vi —₽） }, %1+v。1+v。1-2% '1-2% '（2 + П）С。— ~ В—~RA~（2 + П）С。— ~ В—~RA~_噬0L R，_噬0L R，

u

u

（2 + 刀）a。。 部

唔goW \

V2WGR2 丿，

（2 + 刀）a。。 部

唔goW \

V2WGR2 丿，

（Vi —₽） }, %

（Vi —₽） }, %

1+v。

1+v。

1-2% '

1-2% '

（2 + П）С。— ~ В

—~RA~

（2 + П）С。— ~ В

—~RA~

_噬0L R，

_噬0L R，

府匕什器力+需T 慄一季（1-%卜++ ^（1-号小+煮，九（小）=$（上嘤竺一卡++翁一负；一%）,仙）=学成+mw一孙+

匕2 五匕2 五% .ьДrq 产I% .ьДrq 产I

匕2 五

匕2 五

% .ьД

rq 产I

% .ьД

rq 产I

/；（八）=-吉卜1+m2（%一1）卜一L^^i）s +

+ 4-(-7-_%)，a2 =

Sl s2> S3, S4 — корни уравнения (4.67), a s5, s6, s7 — корни уравнения

普(号+善卜+爲小赞"

+ 嗡^ (м。+ Т)=。' S5 =审•(4.71)

Переходя в формулах (4.70) к пределу при с« -> 8, классические динамические температурные напряжения в пространстве со сферическим включением находим в виде

0" = ?〈S一 (Т 一 喝产士 0俨n s厂2% 亿 s,) +

+ 睪* erf (M*f№f)— s，2% 亿 s.)[l + s,(—%)]}- 一侖争5 je-Fexp((_R) /^)erfc(謊 + % +

+ exp(г-К)У詈)erfc(^^ -К«з^]^—

-串 3)s^ + ^ + r^f^ 叫謁)一

—M "^F【& —穴)％ 亿 sD — 2f8(r, s,-)] exp (“4『))} &匕〉>

o<p<p = Gee — -~〈S— (t — <x2) ^^ 斗 ai^ s~2fs (r, sj +

+ 号續 erf ]/^=^卜户-叫-sF2/s (r, s"l + s, (t - a2)]j -

一話2附 je-f 陳((一R)唄)erfc(晨 + 个 ++ exp (— & — R) M普)erfc— М同竹一

erfcerfc3 т

erfc

erfc

-乎俨r-徐亿s,）z^） +厂百亿s） I

—U^Г〔&—' R)f7 (尸'si)一'2f8"' sj] exp ("《а?j] d, ”

'(4.72)

Здесь

自=自=2atv2clRVQGA2atv2clRVQGA,%(r, s) = lim "(r, s), f^(r, s) = lim % 亿 s),,%(r, s) = lim "(r, s), f^(r, s) = lim % 亿 s),

自=

自=

2atv2clRVQGA

2atv2clRVQGA

,%(r, s) = lim "(r, s), f^(r, s) = lim % 亿 s),

,%(r, s) = lim "(r, s), f^(r, s) = lim % 亿 s),

% 亿 s) = lim % 亿 s),府亿 s) = lim 九亿 s),Мт0Mfо% 亿 s) = lim % 亿 s),府亿 s) = lim 九亿 s),Мт0Mfо必)=應/),必)=應/),

% 亿 s) = lim % 亿 s),府亿 s) = lim 九亿 s),Мт0Mfо

% 亿 s) = lim % 亿 s),府亿 s) = lim 九亿 s),Мт0Mfо

必)=應/),

必)=應/),

仙（个）=加为（个），贸仆）=應肺,s）,仙（个）=加为（个），贸仆）=應肺,s）,小）=吟小），小）=吟小），

仙（个）=加为（个），贸仆）=應肺,s）,

仙（个）=加为（个），贸仆）=應肺,s）,

小）=吟小），

小）=吟小），

S3, s《,s5 —— корни уравнения (4.71), s6 = —.

Из выражений (4.70) и (4.72) следует, что обобщенные температурные динамические напряжения испытывают два скачка, соответствующие фронту тепловой и упругой волн, классические —— один, соответствующий упругой волне.

Пространство со сферической полостью

Рассмотрим бесконечную упругую среду со сферической полостью радиусом R. В начальный момент времени температура поверхности изменяется на некоторую величину %, оставаясь в даль- не访тем постоянной.

Для определения обобщенного нестационарного температурного поля в рассматриваемой среде имеем уравнение теплопроводности (4.63), начальные условия (4.50) и согласно (1.8) граничные условия

lim /亿 t) = 0,丄専尹- е 写 dq = h't — %S+ (т)] при г = R

…8"Г * 0T

Воспользовавшись преобразованием Лапласа, изображение температуры находим в виде

t亿s)=粤餐秆^(4.73)

где

% =」丁 , ” =丿 ,В* =忆，Y = 4~ /s (s + m), m =.

Переходя в (4.73) к оригиналам, получаем

/亿 T) = 6 {4卢2 [/0 ⑵ + 2% ®, %)+ 2?2 (侬，z)] +

2_ т

+ £ 4。- 寸 ° 厶⑶ + % ("土 £)+ ?2 ("土 z)+ Y1 ("厂，2)+ Y2 (犷,2)1 一

mm22/0 ⑶ S-(T一%),/0 ⑶ S-(T一%),

m

m

2

2

/0 ⑶ S-(T一%),

/0 ⑶ S-(T一%),

(4.74)(4.74)где/ 一 "2/ B*S； 一 "@ + %尸專Г，& = ■ Si(S/ — Sz・)где/ 一 "2/ B*S； 一 "@ + %尸專Г，& = ■ Si(S/ — Sz・)侬=彳（工一 %）,侬=彳（工一 %）,

(4.74)

(4.74)

где

/ 一 "2/ B*S； 一 "@ + %

尸專Г，& = ■ Si(S/ — Sz・)

где

/ 一 "2/ B*S； 一 "@ + %

尸專Г，& = ■ Si(S/ — Sz・)

侬=彳（工一 %）,

侬=彳（工一 %）,

Bi =Bi =(S[ + s? ■—■，m — Hj st + mH ° — SR?(S[ + s? ■—■，m — Hj st + mH ° — SR?',/ = 1, 2, i 片 j,',/ = 1, 2, i 片 j,+"，=+"，=mm£ =一?/e,£ =一?/e,

Bi =

Bi =

(S[ + s? ■—■，m — Hj st + mH ° — SR?

(S[ + s? ■—■，m — Hj st + mH ° — SR?

',/ = 1, 2, i 片 j,

',/ = 1, 2, i 片 j,

+

"，=

+

"，=

m

m

£ =一?/e,

£ =一?/e,

H. - h^\ % = " + 儿 H2 - hH^；\

8 =也С孤尸附崂一1厂）他=券

(2 毋*" 一 1)吟 2a ©歸 一1)(2 毋*" 一 1)吟 2a ©歸 一1)(2 那*a 1)2 吟(2 那*a 1)2 吟叫叫4a2（惊号一1）2В 泌一1 ,4a2（惊号一1）2В 泌一1 ,

(2 毋*" 一 1)吟 2a ©歸 一1)

(2 毋*" 一 1)吟 2a ©歸 一1)

(2 那*a 1)2 吟

(2 那*a 1)2 吟

叫

叫

4a2（惊号一1）2В 泌一1 ,

4a2（惊号一1）2В 泌一1 ,

Для определения динамических температурных напряжений используем соотношение (1.52).

Предположим, что поверхность г = R свободна от внешней нагрузки. Тогда граничные условия имеют вид

lim 〃(г, т) = 0, сг“|г=к = 0.(4.75)

Применив к уравнению движения (1.52) преобразование Лапласа по переменной т, получим уравнение (4.68), решение которого при граничных условиях (4.75) имеет вид

"(Г, s) = A (s)仪+子)。一电喝価+ в0(% +爲)宀

где

①告

atc^aR 伍 + B*s)

(〃2-l)s2 (s + S3) (〃 + B*S + Y)

'D(S)-(s+s4)(s+S5)'

C?

几= 2/7耳，

q = 2p 疋，

r —R

S3 = 〃 纱—1)，

S4,5=m [1 干 V

Подставив выражения и (л, s) и (4.73) в соотношения закона 「у~ ка (1.52), запишем такие изображения динамических температурных напряжений:

Grr = 4Grr = 4吊4+…F，吊4+…F，(4.76)(4.76)-Ла(РФ =2~-Ла(РФ =2~s$¥黑М 賜春?)I (1 + 号 + bs + 由2) ef r^j-7二(1 + 4s + 方2)…，(s + s4)(s + s5) v 17 Гs$¥黑М 賜春?)I (1 + 号 + bs + 由2) ef r^j-7二(1 + 4s + 方2)…，(s + s4)(s + s5) v 17 ГгдегдеA =A =4G （1 +V）出击%吟山_1产（1一恤2-1）*一1），= IF 患，4G （1 +V）出击%吟山_1产（1一恤2-1）*一1），= IF 患，7Г 人 产L = —, и =—7Г 人 产L = —, и =—d =d =1—p) м1—p) м

Grr = 4

Grr = 4

吊4+…F，

吊4+…F，

(4.76)

(4.76)

-Л

а(РФ =2~

-Л

а(РФ =2~

s$¥黑М 賜春?)I (1 + 号 + bs + 由2) ef r^j

-7二(1 + 4s + 方2)…，

(s + s4)(s + s5) v 17 Г

s$¥黑М 賜春?)I (1 + 号 + bs + 由2) ef r^j

-7二(1 + 4s + 方2)…，

(s + s4)(s + s5) v 17 Г

где

где

A =

A =

4G （1 +V）出击%吟山_1产

（1一恤2-1）*一1），= IF 患，

4G （1 +V）出击%吟山_1产

（1一恤2-1）*一1），= IF 患，

7Г 人 产

L = —, и =—

7Г 人 产

L = —, и =—

d =

d =

1—

p) м

1—

p) м

Переходя в (4.76) от изображений к оригиналам, обобщенные динамические температурные напряжения находим в виде

£ J e 2 儿⑵ + 2% (侬,z) + 2?2 (吗叫 ^n +

+ e 2 医 & Q) + 2% 侬,£)+ 2丫2 侬,％)) + ЛЛ ⑵ + 3

+ 2 m/。⑵ + Y1 (小，N)+ T2 (炉,z)+ Y1 ("二 N)+ 丫2 ("厂，2川一

т таТ)°е 2 /о ⑵ £ 儿•《аi=lт таТ)°е 2 /о ⑵ £ 儿•《аi=l-у* (т—а2)仆(t — а2) J-у* (т—а2)仆(t — а2) JS- (t— aj +S- (t— aj ++ 4 g J万&叫含氏lJL物++ 4 g J万&叫含氏lJL物+

т та

Т)°

е 2 /о ⑵ £ 儿•《

аi=l

т та

Т)°

е 2 /о ⑵ £ 儿•《

аi=l

-у* (т—а2)

仆(t — а2) J

-у* (т—а2)

仆(t — а2) J

S- (t— aj +

S- (t— aj +

+ 4 g J万&叫含氏lJL物+

+ 4 g J万&叫含氏lJL物+

00P =00P =（一 Ю1 （т -а2）-!32 - N] 6* Sj（T 出），s_ （T-吗，-f--4f - %； & ⑵ + 2% 仲，％）+ 2/（% * +（一 Ю1 （т -а2）-!32 - N] 6* Sj（T 出），s_ （T-吗，-f--4f - %； & ⑵ + 2% 仲，％）+ 2/（% * +（4.77）（4.77）3+ 尸小⑵ + 2 В： 4 ⑵ + % （时,£）+ 丫2 （#，Z）+ % （〃厂,£）+3+ 尸小⑵ + 2 В： 4 ⑵ + % （时,£）+ 丫2 （#，Z）+ % （〃厂,£）++ 丫2 （〃「£））- f 】万"/。⑵巨J"f J%} S_ （Т 一 ％） +{К — _2L5他 一 f），J，%（T）） N 由「"『a收 +a2'=1+ 丫2 （〃「£））- f 】万"/。⑵巨J"f J%} S_ （Т 一 ％） +{К — _2L5他 一 f），J，%（T）） N 由「"『a收 +a2'=1+ [q。他 T） 。一万"一叫。（т _ &） _ （f 一 力喧歌f f）+ [q。他 T） 。一万"一叫。（т _ &） _ （f 一 力喧歌f f）S- （т— a2）,S- （т— a2）,гдегде+小4（呉），+小4（呉），S]S2sзS]S2sзPi = —г—As?— D^ + D^ — D3si + D4],（Sj—Sj）Pi = —г—As?— D^ + D^ — D3si + D4],（Sj—Sj）

00P =

00P =

（一 Ю1 （т -а2）-!32 - N] 6* Sj（T 出），s_ （T-吗，

-f--4f - %； & ⑵ + 2% 仲，％）+ 2/（% * +

（一 Ю1 （т -а2）-!32 - N] 6* Sj（T 出），s_ （T-吗，

-f--4f - %； & ⑵ + 2% 仲，％）+ 2/（% * +

（4.77）

（4.77）

3

+ 尸小⑵ + 2 В： 4 ⑵ + % （时,£）+ 丫2 （#，Z）+ % （〃厂,£）+

3

+ 尸小⑵ + 2 В： 4 ⑵ + % （时,£）+ 丫2 （#，Z）+ % （〃厂,£）+

+ 丫2 （〃「£））- f 】万"/。⑵巨J"f J%} S_ （Т 一 ％） +

{К — _2L5

他 一 f），J，%（T）） N 由「"『a收 +

a2'=1

+ 丫2 （〃「£））- f 】万"/。⑵巨J"f J%} S_ （Т 一 ％） +

{К — _2L5

他 一 f），J，%（T）） N 由「"『a收 +

a2'=1

+ [q。他 T） 。一万"一叫。（т _ &） _ （f 一 力喧歌f f）

+ [q。他 T） 。一万"一叫。（т _ &） _ （f 一 力喧歌f f）

S- （т— a2）,

S- （т— a2）,

где

где

+小4（呉），

+小4（呉），

S]S2sз

S]S2sз

Pi = —г—As?— D^ + D^ — D3si + D4],

（Sj—Sj）

Pi = —г—As?— D^ + D^ — D3si + D4],

（Sj—Sj）

°； = &〃」W"一忆&2 + ^-Ml，

% = s〃7 （s： — st） \МЛ — М^ + ^2\- 一此1，

入：=西匕Г Rd - As, + 尸3】，^/=1, 2, 3,

】S]S2s3s4s5 *

32 =而気卜"*色+春+六+ ^ + 2|,Hl = "（Sjl S* "1© — ^2S^ + ‘3S^ — ^4Si + '"，"=n J二/ Qs? — Q?s? + Сз5^ — Q&Sj + Q5],

M =Г [K（）s? — ^1sf + К 2€ — K3S? + K&W — ^5si + "бЬ

（S/ — St）

6* = —, J—r [C（）s；C\s? + C2g —- Сз$（ + &], G / = 1, 2, ..., 5,

“(S/ ~"r S〉=(S1 !— sz) (s2 — Sj) •・•(Sj—I — sj(S»+1 — Sj)….(Sj — s)

4 =礪，2 =雁:仇+切一喲ЛЛ

2 =做"+解一"бl+皆)，

。3 =也小 + 切-3，D4 = hH, * = %

G = % (用 + 切一0*〃C『2, C2 =附 + hH— n [hcq - + ±),

C3^{h+H)q^-^. C&=qhH, K°=^,

К» = l^ + 碼(h + H)-配限L,

% =解(1 + 初)+ 即* (h + H) + khH - %L(0j* + ^)- ^ &几% = ql^ + ^(l + qH)(h+H) + g"-例厂色 + 厶九)一

。—g (40* + 册)，

K& =戒 + ql^ (h + H) + hH(l+kq)~ nhc~2} 〃色 + 幫)，

凡=祁*他+") +初4"一等，兄=m"，

Mo = Ikh -广解 + 々0* (m一si - S2 - s3)J,

Mi = -^ 叭一币* 仅 + /7) + m (kh —戒)一雁(s/2 + sxs3 + s2sз)]

他=目用(1 一向+咻(1 一也一 f//)],

М3 = ~тН{1 — гН), No = B：(d —軌

М =你* @一田+岬*@一期+解"

"2 =九出回一例+b»色+ ")，N3 = bhH,Р0 = ；0一舟0*,a =；[昵 + (d -力)伍 + 怖*)] - ^0 (S1 + S2 +、%),

尸2 = *【硏 + %他力 + 优九(d — k)]—尸。(sas2 + S1S3 + s2s3),

尸3 =；欣厶一尸0SlS2S3， Qo = },

Qi =亠仅一^P*) — Qo(si + $2 + % + S4 + S5),

Q2= ~ W*q—₽*n (力 + ")1 —1

'~* Qo (S1S2 + Si S3 + SXS4 + SR + s2s3 + S2s4 + S2s5 + S3s4 + S3s5 + S4s5),Q3 = g(L 几〃)一Qo ®s2s3 + S]S2s4 + S]S2s5 + S2s3s4 + S2s3s5 + S3S4S5),Q4 = — Qo(S]S2s3s4 + SR2s3s5 + s2s3s4s5), Q5 = — Q^js2s3s4s5,

Lo = f1,厶=(kh + 0J* —呻3 期一Lo(S] + S2 + S3 + 坛 + s6).

% = -^巾* (1 +初)+九4 一佛几4 -0* "力仅+ ")1 (-

—厶)(SR + S1S3 + S1S4 + S1S5 + S2s3 + S2s4 + S2s5 + S3s4 + S3s5 + S4S5), "3 = 一 ^"也丸 + 用(1 + kq)一 "伟,-knhH -叩 J* (h + ")]— 厶0(S]_S2sз + SjS2s4 + SjS2s5 + s2s3s4 十 S2s3s5 + S3s4s5)， м=；巾*g + q% -明(用+ ")-优八切,-

—Lo(S1S2s3s4 + S/2s3S5 + S2s3s4s5),厶=g (夕一tlH) — ^S/2s3s4s5,〃声= %——Si ± у Si (sz — m)](工一％),/ = 1, 2, 3.

Положив в (4.74) и (4.77) p = 0, получим решение, соответствующее случаю классического теплообмена через поверхность г = R. Это решение имеет вид

/亿 T) = 5/亿 T) = 5】石 \ ⑵ B«f( J")+ 度「2(D] dn —

/亿 T) = 5

/亿 T) = 5

—HCqC~k [4 (/0 ⑵ + 2Y1 (叫 2)+ 2丫2 ®，£)) +

2

+ W 4 & ⑵ + Y1 (炉，2) +丫2 (〃亡 2)+ % (〃丁, £)+

+Y2("丁，z)p_ (T-aj,

/Г 1； 加

О” = 4* ! E J e 2 n (/0 (г) + 2% ®, г) + 2匕(® г)) d” +

-^т з ~

+ 眦-丁 ° (Л Q) + 2% ®, £)+ 2丫2 侬,£)) + 6一斤 ° ? Pi & ⑵ +

+ % ("步,£)+ Y2 ("九 z)+ % ("二 %)+ ?2 ("厂，z))-

(4.78)(4.78)т 俏3-1

(4.78)

(4.78)

T L%修）?兀.l（『）而s_口-%）+

— j 5

+（ ё 行⑺£也對一

La2I

S_ （т —

°W =一乎一■y-/6- h °（/0（2）+ 2% （侬,2）+ 2?2 （侬,Z）） +

т 3 -

+ ^~~\2 b： （/0 ⑵ + Y1 （姑 z）+ ?2 （"文 z）+ 力（〃厂，2）+

+ Y2（〃7»）一，ё一方%⑵?方LD對 S_（T-%） +

+ （f~k） f Г~\（T）） S £ef『一出）對一

где

4= +，4= ” （/—Sa， & =闻爲工近）'

5 =牛，昨占（-）,民=占（他一sj,

S[S2sзS[S2sзG）1 =G）1 =КбS]_S2s3s4s5КбS]_S2s3s4s5

S[S2sз

S[S2sз

G）1 =

G）1 =

Кб

S]_S2s3s4s5

Кб

S]_S2s3s4s5

^2 = s ss：T~ 艮—冗（4~ + J+；+4,

® = li^r ©'— △* + 瓦）’设=^Ьг 仙科—心'"=&•〃 （s：—”Sj）・ ^^ J "菱 + M2SL — ”з）,

^-1ц^^-^ + ^

〃 （s二 Sf）（厶sf— 工2$^ + ^3S?— Ej + Z5），

П （s； — s,）П （s； — s,）（0芯 + 03s3,（0芯 + 03s3,

П （s； — s,）

П （s； — s,）

（0芯 + 03s3,

（0芯 + 03s3,

S’ = /二%）"（冗© -冗昆3 + R減一冗S, + 心,

8:=万©二 Sj）（以彳一小3" + 64）.〜~〜〜〜〜〜〜

Выражения коэффициентов D〃 С；, К〃 L〃 М〃 №、Р；, Q； равны соответственно выражениям О〃 С/, К/, L/, М/, N〃 Р^ Q/ при В* = 0・

Рассмотрим теперь случай, когда на поверхности полости имеет место ус ловие теплообмена первого рода

/ （г, т） = taS+ （т） при /•=/?•

В этом случае обобщенное температурное поле и динамические температурные напряжения находим из （4.78） при й ~> оо в виде

/ G 力=乎 е 2 ［/о ⑵ + 2丫1 （叫 z） + 2у2 （ш, z）］ S_（т— %）,

* =】方%0（2）+2%（叫2）+2?2（叫窈［±一 ^eTEf 個 +

+ ^1寸/。0）悟+干宀7佃+

+ ke 2 ［/0 ⑵ + % （〃+, z） + 丫2 （〃+，z） + 71 （〃一，z） + 丫2 （〃一，2）］} X {т т3

+ k（T —2）+ %2 + g卜—（Т _ 电），

1力（4.79）

/ т т

。叫=^ 2 厶（%） + 2% （吗 z） + 2也 ®, г）］ X

Xe—ssf^ + a-^e 2 儿⑵+ %（〃+,z） + y2（〃\z） +

+ % （厂,z） + % 3一，z）］ }S_ （т — %） +

!

тз

^Г^-『J 丁% （叫2旅f『Г如+% а2i=l

где+ （f - 期_吗，

pj = 〃（Sj—Sj）侬；一，*Sj + 1）, P* = 〃（s；f），

弋口(S/ - Si)弋口(S/ - Si)[Rs： — l^ + (kq + 1) sf — ql*St + 处[Rs： — l^ + (kq + 1) sf — ql*St + 处

弋口(S/ - Si)

弋口(S/ - Si)

[Rs： — l^ + (kq + 1) sf — ql*St + 处

[Rs： — l^ + (kq + 1) sf — ql*St + 处

唠=〃:;二T‘S] = S3‘ S2 = S4， s3 = s5.

Осуществляя, кроме того, предельный переход при % -> 8, приходим к решению известной классической динамической задачи термоупругости [44]

“=声 jlp2 + 2丫。(丫 + p)]^3 + Л Re (p) (p + 2犷)一

+ 5 [尸(р) (2р + 聯р) — Ер] е^з + С [2pF (р)—+ 5 [尸(р) (2р + 聯р) — Ер] е^з + С [2pF (р)—

+ 5 [尸(р) (2р + 聯р) — Ер] е^з + С [2pF (р)—

+ 5 [尸(р) (2р + 聯р) — Ер] е^з + С [2pF (р)—

—Ер]① + 2 j/"£ + F (p) j (2pQ + C?p) — DE^^ S_ [/ —-.

—丫(P— 1)] + ~з~ [(2/ + 2丫2 + 1 —p2)①(C) + 2 (p + 1) ]/"々cT —

-①1 (P，力+叩①2(P，力]'

、/ з(4.80)

% = * 1阵2 一 丫 (? + P)] e景 + / Re(仍(p) (/力一

. Y 一七Y/*з?2①(?)# +闵*p 一f(p)⑴混-1)] X

X k 2 ①(/硒廿3 + b [f(p) (?/%p — 1)—項*p]两一

-C[F (p) + E产p] (co + 2]/^-) + F(p) (CM*p — Q) —

一 DEl^ S_ 炉 一 丫 (p — 1)] 一 击[(2f + 2丫2 + 1 + p2)①© ++ 2 (p 十 1) ]/善 еТ— (丫 2 — /*р2)Ф1 ©j) + 叩① 2 (р,力卜

гдегдеР =Р =五'，五'，атат(1 — v) %?(1 — v) %?Y =Y =5 =5 =а*@Еа*@Е

где

где

Р =

Р =

五'，

五'，

ат

ат

(1 — v) %?

(1 — v) %?

Y =

Y =

5 =

5 =

а*@Е

а*@Е

①1值力=①g+手卜击+牛①1值力=①g+手卜击+牛-①也一-①也一— 2V / — Рл1 - v一， 一 7， 一 W 0 + 2?0 + 2产切— 2V / — Рл1 - v一， 一 7， 一 W 0 + 2?0 + 2产切

①1值力=①g+手卜击+牛

①1值力=①g+手卜击+牛

-①也一

-①也一

— 2V / — Рл

1 - v一， 一 7， 一 W 0 + 2?0 + 2产切

— 2V / — Рл

1 - v一， 一 7， 一 W 0 + 2?0 + 2产切

3 =布 +餐+ 备‘ e*；I 。 = y-3，

E = — g —，( 1 + 2?) p,尸(p) = — g(Y + p) + 力[1 + 0 (丫 一2yp — р)|.

На поверхности полости, как следует из (4.79) и (4.80), при г = R имеем

а(р = — 1 ——8仔 ” + *6 ” (5 cos nf + co? sin 九f) 一

—03^ ” J ea^I0(p*n)由]+ %e ， (g cos nf —

—co4 sin nf) j eS cos 九“° @*n)d» +о

+ ®з sin nf + co4 cos nf) e^ sin nfIQ (B*r)) d» ,

(4.81)(4.81)6」

(4.81)

(4.81)

屮1 + 2/?7 + 20?2 Iy J

гдегде-+ 弋叫（无）+ &侬2 ⑸），

где

где

СО]—入2$1， 0)2 =九(九2 — 1)—九S], 九=j^" ~|1 ,

①3 =(2/7- 2 - "^-) (2 - 2)一九2(S1 _ p) (-^- - 2力, g="青一2办(2 一切+九(邑一切出一 2 一 青，

a = ~S5, T"吟^a = ~S5, T"吟^

a = ~S5, T"吟^

a = ~S5, T"吟^

4 =击(3 - 2切，% = p九2 (Лf - 1) [(2 — .^ +九2(S] 一 刀]，

p3 — 2P

U —U —3 = а?м(м2_1)，m(з - 2刀

U —

U —

?(m2 - 1)[(2一0)2 + 九2包一炉]'

1/(— 1 + j九)+ p (]-认)Qi-2-1；П——“22~^Ч-ф + —р1/(— 1 + j九)+ p (]-认)Qi-2-1；П——“22~^Ч-ф + —р(3 - 2р)I/ — (- 1 + 认)(3 - 2р)I/ — (- 1 + 认)%= 2+巾+十同，"%= 2+巾+十同，"e = 1 - 2"(m2 - 1) + 2匕2 (m2 — 1 )2,

1/(— 1 + j九)+ p (]-认)

Qi-2-1；П——“2

2~^Ч-ф + —р

1/(— 1 + j九)+ p (]-认)

Qi-2-1；П——“2

2~^Ч-ф + —р

(3 - 2р)I/ — (- 1 + 认)

(3 - 2р)I/ — (- 1 + 认)

%= 2+巾+十同，"

%= 2+巾+十同，"

- (- 1 -次)+?(1 + »九)

2 - p - «Р + -^-)九

々=1, 2,(4.82)々=1, 2,(4.82)(3 - 2.) ]/ ~~ (•~• 1 -认)

々=1, 2,(4.82)

々=1, 2,(4.82)

^=viVQn/fj/今(1 + 才)・

По первой формуле (4.81) рассчитаны обобщенные динамические

поверхности г = R пространства со сферической полостью, результаты которых представлены на рис. 9 (кривая /). Результаты соответствующей классической задачи изображены кривой 2. Из рисунка видно, что классическое динамическое окружное напряжение на поверхности 厂= =R испытывает непродолжительные колебания и затем быстро приближается к квазистатиче- скому постоянному значению (прямая 3). Обобщенное дина

мическое температурное напряжение испытывает продолжительные колебания около квазистатического решения и значительно отличается по величине от классического динамического напряжения.

Приведем решение обобщенной динамической задачи термоупругости для бесконечной упругой среды со сферической полостью, поверхность которой в начальный момент времени подвергается тепловому удару с конечной скоростью изменения температуры, т. е.

t\r^R = ? 3+ (т) -(т-т0)S+ (т-喇. (4.83)

Поступая аналогично предыдущему, находим такие обобщенные температурное поле и динамические температурные напряжения для этого случая:

t = г： '2 1% + a^S— (т0 — т)] 4- g % (т —电)х

ттat m

X , е~ 2 п ①⑴對 _ axS_ (т0 — t) [ e"" 2 刀①⑺ dq —

%6

-J 6一aj”万"①⑺ W，(4.84)

т—To」

0"=%[尸《，t) — Qi(r^ T)1 + 似2<2,・(々 о)-

—电匕(г, 0)] S+ (т — т0) — (т — т0) [Рf (г, 0) — Qj (г, 0)] +

--)if-不吁0 L

гдегдеТКУ- о-j 1—)屮ТКУ- о-j 1—)屮" OQi (厂，切 a2 -而—" OQi (厂，切 a2 -而—-⑴一a2)-⑴一a2)對一對一迎①，⑴办迎①，⑴办%%對,對,(4.85)(4.85)

где

где

ТКУ- о

-j 1—)屮

ТКУ- о

-j 1—)屮

" OQi (厂，切 a2 -而—

" OQi (厂，切 a2 -而—

-⑴一a2)

-⑴一a2)

對一

對一

迎①，⑴办

迎①，⑴办

%

%

對,

對,

(4.85)

(4.85)

P《,t) = т驾厂[十 e" ~S1【卩2$1 (т — %) + Hi5i —卩2 +

+ (阿s； - Hisi + 卩2) ё S式°一电)]+(S]卩2T - Mosi + hА -卩2)X

X j e 2 ПФ (г]) dr]賢*-，芈 2n①⑺對+

+ g("(”£〃)” ±\j e-(号―)n 厶传，戸3)d"

Q*，T) = 4^ 冷。d 一 啕 + 仇 + £ 触f(一%)+

+『一号q（i +m）/0 （号力+加叭（号力］g 4・l（一叶12M,

卩0 = Q^ (Г),ci'а (М2 一 1)卩0 = Q^ (Г),ci'а (М2 一 1)Ni = Q 扌(г),Ni = Q 扌(г),—(1 + V)aiRc^ta

卩0 = Q^ (Г),

ci

'а (М2 一 1)

卩0 = Q^ (Г),

ci

'а (М2 一 1)

Ni = Q 扌(г),

Ni = Q 扌(г),

= (l—v)(l—M2)To，

n2 = 2(r)，S1

。（Г）= “， ，（了）= j，似Г）=号，k6-° 一"）:"二I）, S2,3 = — 青（Y 干 k Y （丫 一 2））,?=目，黑产®九「縞螳⑺+儒助e），

% =縞Q扌便）+縞Q扌你）+爲"低），%=縉丿便‘ +宁^а扌便），"= ~^r p（R）'Q丰⑺=n （r） M2 ±：k （r）, Q^ （г）=枕（г） М2т 士 s^ （г）,）。=認i你），吋縞Mg（R），L需Mg（R），P* 6 =, q*（Г） = g当,九* ⑺= 7^,卩:=°「⑺，

pi = ^ (r),卩；=p* (r), QF ⑺=Qf (г) при п (г) = п* (г);九;=儿，①；=со, при n (г) = /г* (г),

p ⑺=⑺，?⑺=7* ⑺；₽о =,

01 = —仇oS；一% S； + 九2s；-九3sl + 九 J

& — Si)(S3 — S0

02 = -(7?? (4S2 -九戸^ + 九2S^ —九3s2 + 九J,

S5(S1 — S2)(53 — S2)

卩3 = —* (^oS3 一 ^1S3 + 九—九3s3 + 九 J

s3(S1 — S3)(S2 — S3)

1(S2 — S1)(S3 — Sl) *f(Sj) =G)oS； —喚 +(o1(S2 — S1)(S3 — Sl) *f(Sj) =G)oS； —喚 +(o^ = ^^\^~^(T+~^+'k)]1

1(S2 — S1)(S3 — Sl) *

f(Sj) =G)oS； —喚 +(o

1(S2 — S1)(S3 — Sl) *

f(Sj) =G)oS； —喚 +(o

(S1 — S2)(S3 — S2)*3(S1 — S3)(S2 — S3)1

Лр (厂，"=—2亿矶 Q(p(r, t) = —Qr 亿 t) При 血=囤*,

В случае, когда температура поверхности изменяется в начальный момент времени на некоторую величину %, оставаясь в дальнейшем постоянной, динамические температурные напряжения определяются из выражений

。扭亿 Т) = Р； (г, т) S_(T — aj — Qi (г, т) S_(t — а2), (4.86) где**

Рi (г, р) = t°Pj (厂，т), Q,(厂，t) = ^oQl (^» T)・

Из последнего выражения следует, что в среде образуется фронт упругой и тепловой волн. Если фронт упругой волны предшествует фронту тепловой, то о^Са】. При 0 < т < а2 напряжения равны нулю, при т = а2 имеем скачок фронта упругой волны, величина которого равна :竺;;卜? + £ 附)・ При т =出 имеем скачок фронта тепловой волны, величина которой определяется из выражений Р* (г, 04) — Q； (г, aj. В интервале a2Vt Va】напряжения уменьшаются.

Если скорость распространения тепла значительно превышает скорость распространения упругой волны, т. е. Л1 -> 0, получим известное решение задачи термоупругости для бесконечного упругого пространства со с巾ерическо访 полостью.

Слой

Рассмотрим слой толщиной б. Температура поверхности изменяется в начальный момент времени на некоторую величину 力，оставаясь в дальне访тем постоянной, а температура поверхности z = 6 равна нулю. Сло访 подвергается действию потока лучистой энергии по закону Бугера [11]. В начальньгй момент времени температура слоя и скорость нагревания равны нулю.

Считаем, что интенсивность потока лучистой энергии wt (т)= = %S+ (т). Задача об определении обобщенного температурного поля в слое согласно (1.39) сводится к решению уравнения

需=编 + М2 _^_ 一 (i + 〃 早戸(力 ef；(4.87)

при следующих краевых условиях:

e = S+(”pnC = O,(4.88)

8 = 0 при С = С。，

9(С, /)=菖"=0 при / = 0,(4.89)

где, = ?，力=皆，=財=含，0 = =Т，僞=绡о，0 (力=O°S+ (力 I = —безразмерный коэффициент поглощения материала.

Применяя к уравнению (4.87) и граничным условиям (4.88) преобразование Лапласа по переменной / с учетом начальных условий (4.89), получаем

箒".一 (М2s2 + s)4 = _ (； + 力象宀， (4.90)

e(G, s)= — при ^ = о,

_(4.91)

е (& s) = о при а =《о。

Решение уравнения (4.90) при граничных условиях (4.91) имеет вид

「W 一(2CoT)Y. Е

6 信 s) = F (s) £- [_；二万击 一- + % (S) eT/_

гдегде-A⑹宀。-A⑹宀。g—(Co—C)» — g—(So+^)V1 - gTo 丫g—(Co—C)» — g—(So+^)V1 - gTo 丫(4.92)(4.92)尸(s) = ! 一 4 (s),尸(s) = ! 一 4 (s),

где

где

-A⑹宀。

-A⑹宀。

g—(Co—C)» — g—(So+^)V1 - gTo 丫

g—(Co—C)» — g—(So+^)V1 - gTo 丫

(4.92)

(4.92)

尸(s) = ! 一 4 (s),

尸(s) = ! 一 4 (s),

• y = ]/ M2s2 + $.

Переходя в (4.92) от изображений к оригиналам, находим

0 =产之(％ + £ yf) — ｝苏卜'％О х

"ОО8~~丄■

х X 凡(电 2)s_ (/ 一 Ma~) 一 £ 凡侬，z) S— (/ — Mat)

_n=0n=l'

一 % N凡（妃，?*）s_什一椰才）一 В凡血*,列）s_（/一M盯）+一 % N凡（妃，?*）s_什一椰才）一 В凡血*,列）s_（/一M盯）+,n=0j C 一"* 白 0,n=0j C 一"* 白 022/2=18/2=18』％ £GJ%, z)S_(f-Ala；r)—i=l .九=0』％ £GJ%, z)S_(f-Ala；r)—i=l .九=0九=0九=0

一 % N凡（妃，?*）s_什一椰才）一 В凡血*,列）s_（/一M盯）+

一 % N凡（妃，?*）s_什一椰才）一 В凡血*,列）s_（/一M盯）+

,n=0

j C 一"* 白 0

,n=0

j C 一"* 白 0

2

2

/2=1

8

/2=1

8

』％ £GJ%, z)S_(f-Ala；r)—

i=l .九=0

』％ £GJ%, z)S_(f-Ala；r)—

i=l .九=0

九=0

九=0

8 q ~]

—』d (%, z) S_ (/ — Man)—

几=1J

一虫"I t G〃(〃：, z^)S_(f-M^)-一虫"I t G〃(〃：, z^)S_(f-M^)-/=1/=1/2 = 0/2 = 0

一虫"I t G〃(〃：, z^)S_(f-M^)-

一虫"I t G〃(〃：, z^)S_(f-M^)-

/=1

/=1

/2 = 0

/2 = 0

(4.93)(4.93)一 £g〃笳，Z*)S-(f — *]|,n=lJ

(4.93)

(4.93)

где

R№ z) = /о (z) + 2% 侬，г) + 2丫2 (侬，г),

Gn 伯,z)=厶⑵ + 丫1 (计,z) + & (〃扌，2)+ 71 («Г, z) + № (〃”，*

a扌—（2拉一1） Mo + 备 ％ = （2/i + 1）电一С»

时=2吨。+ & 际=2吨o-g,如=击（/一例茹）,

" = ^W "*^"W 2*=2W

鳥■/尸 一 （Ma"，£

〃声〃声杀—2±/，杀—2±/，1М21М2（/一欣叮）,（/一欣叮）,

〃声

〃声

杀—2±/，

杀—2±/，

1

М2

1

М2

（/一欣叮）,

（/一欣叮）,

^,%=4，加="打方=吃'

8，2=一击(1 千 S + 4M2 小,8，2=一击(1 千 S + 4M2 小,X。= 1Й21sls2 rX。= 1Й21sls2 r爲 + e Y I ^^r，小，2=±爲 + e Y I ^^r，小，2=±frsi —M2Si (s2 — sj *frsi —M2Si (s2 — sj *81,2 = 土81,2 = 土m25,・一（1一00〃"•一（端十/：）m25,・一（1一00〃"•一（端十/：）M2Si (sx — s2) =1, 2.M2Si (sx — s2) =1, 2.

8，2=一击(1 千 S + 4M2 小,

8，2=一击(1 千 S + 4M2 小,

X。= 1Й21sls2 r

X。= 1Й21sls2 r

爲 + e Y I ^^r，小，2=±

爲 + e Y I ^^r，小，2=±

frsi —

M2Si (s2 — sj *

frsi —

M2Si (s2 — sj *

81,2 = 土

81,2 = 土

m25,・一（1一00〃"•一（端十/：）

m25,・一（1一00〃"•一（端十/：）

M2Si (sx — s2) =1, 2.

M2Si (sx — s2) =1, 2.

Для определения обобщенных динамических температурных напряжений используем уравнение (4.23) и начальные условия (4.24) при следующих граничных условиях:

% = 0 при 白=О, G = С。，(4.94)

где

%

位7

.Применяя к уравнению (4.23) и граничным условиям (4.94) преобразование Лапласа по переменной 力 получаем уравнение (4.27) и граничные условия

0rz =。при С = О, С = Со・(4.95)

Решение уравнения (4.27) при граничных условиях (4.95) имеет вид

-_ s2 Г 爲(1 十 ％) 第 e-*6_。-筛+5 _

2一 y2—s2 s(s2 —虑)1—e-2*s

s2-0o/>s —(标十心0) eTs 一e-(2*T)s I5%2_/3)-1~ +

M2s2 + (l+fr 爲)s — d +仆о) е-6_е-(2С°Т)У

S (?2 一抹)[-6-2g/

00（1 +%）（Y2 -S）一S（y2 一匕）S 一当 e

(4.96)(4.96)端（1十抗） 囂。e一也。-之）丫一。一也。十之冲s （?2 一 /旷]_「2切

(4.96)

(4.96)

Переходя в (4.96) от изображений к оригиналам, получаем такие выражения обобщенных динамических температурных напряжений:

a2= 2 父 W 尸*一%工(f 一茹)一

々=3 Ij=0

/2= 1/2= 1Ln=oLn=o

/2= 1

/2= 1

Ln=o

Ln=o

_2 不总~B；T）s_（f _片）口2 %eff _

一〔$i 卜卢一『S (%, z)S_(/-Ma-)-

/=1 II 九=0

一 £ % 血,г) S_ (f — Mat) ] — g I £ G厶(以 z*) S_ (/ 一 M^ — n=lJ_ n—Q

— £%(£ Z*)S_(f — MB；T)],(4.97)

гдегде九J

где

где

电 / = 3, 4, 5, j=^= k,电 / = 3, 4, 5, j=^= k,仆 о— frsk沖 一 ]/T(s；二 s^)，

电 / = 3, 4, 5, j=^= k,

电 / = 3, 4, 5, j=^= k,

sk + °%々一(端十 /：)_个01 — frSi

:(m2一 1)〃回7月)‘'% = ЛР (m2 一 厂?(S,一出)'

M 峙一(1 -" si -("0十e).1 。 0/

加2(也2- 1)〃回—S/)， 厶 r = 1, 2, 3, t^r,

_爲 ％ (М2 — I 居 一 (М2 一 1) s^ + (1 + 勿 Sp

=—祢(М2 —iy万(Sm — S〃)，

团，P — 1, 2, 3, 4, 5, m 力 p, $3 = 〃2 一 ]

S4=/*, S§ = —4，〃(S/・ —Sj)=(Si—S/)(S2—Sj)(Sj —у) X

X(Si+i — sj (Sj — sj.

Положив в (4.97) fr = 0, получим решение динамической задачи термоупругости для случая, когда влияние тепловой инерции на источники тепла не учитывается.

Известное [11] решение классической динамической задачи термоупругости для слоя найдем из (4.97) при fr = 0, М 0 в виде

厶=士矶 $ 尸*T 力 S_ C 一时）_ £ e^{f-^s_ （f-pn）］_

-ef。^Bf\ J C 一啞）s_（/ _ cQ _ w 户"-喈太一 疗一 /=1几=0n=l

屮〃 （6扌，S/"） - t 办（院，S/,力］+

J j=l .m=0/1=1~

+ e *t0 2 Dk £ 办（an , sk, /）—^ 也（a扌，s^,力一

—°T' g Fpe-sj,（4.98）

ГДе 必 ％ % 力=} e~sif 尸小5 erfc （許 一 〃/冴）+

+ d%H/ erfc （^^ + i 丿sif ）卜si,2 =干 /*, S3 = — 1,

% = — g, / = 1, 2, 3,力=3, 4, p = 1, 2, 4, 4 =^ О。（4 — 1）,

“2 =^" % & + 1）' *3 =刍（2/： + 4 + 20。— 1）,

国=;齿d+l）&-1）,区=一也写也，

G = —j- （^o —片）& — 1）,

e2 = 4 L1-（0。一力 & + 1），e3=号（*一/：）一占，0】=一号5=士尸1 = -4（1氢），尸2 = 2/*（：二*）1?3 = 2：［二*9 办

Нагрев тел равномерно распределенными источниками тепла

Рассмотрим слой, нагреваемый равномерно распределенными источниками тепла, плотность которых изменяется в начальна访 момент времени на некоторую величину, оставаясь далее постоянной. Поверхности слоя z = 0,z = 5 предполагаются теплоизолированными

Начальные температура и скорость нагревания слоя равны нулю.

Для определения температурного поля в слое имеем уравнение теплопроводности

~|^ = -^" + М? ~|^$+ (/) — // (/),(4.99)

краевые условия

患=0 при ^ = 0, g = Co，(4.100)

6 =患=0 при / = 0,(4.101)

где e = -^； С =*；e。=②；/=^"；力=乎；0-мот。

ность равномерно распределенных источников тепла.

Решение краевой задачи (4.99) — (4.101) в изображениях имеет вид

6 =』・(4.102)

В случае, когда fr = 0, изображение температурного поля запишется таким образом:

0011• s2 (Л12s + 1)•• s2 (Л12s + 1)•(4.103)(4.103)

0

0

1

1

• s2 (Л12s + 1)•

• s2 (Л12s + 1)•

(4.103)

(4.103)

Переходя в (4.102) и (4.103) от изображений к оригиналам, соответственно получаем

0 = А(4.104)

Q = f — M2(l —】而)・(4.105)

Для определения динамических температурных напряжений используем уравнение (4.23), граничные условия (4.94) и начальные условия (4.24).

Изображения температурных напряжений для /Л =^ 0 и /г = 0 будут соответственно иметь вид

с—(GoT)s

e-（2第一3）s

1 一 0—2®

/第一「（Co+0S:

+K 二办-1，

(4.106)

碎)=碎)=(4.107)(4.107)

碎)=

碎)=

(4.107)

(4.107)

ЛР М2 、

I g—第—g—(bo+C)s + ~li-2C°s -

e~a()T)s 一 e~~(2电一S

1 Г』

1 .

Переходя в (4.106) и (4.107) от изображений к оригиналам, соответственно получаем

。广十{(/7)S_0 —0Т+(—1)“£ [(/-嗚-0х

X S_ (/ —成 о — 0 — (/ —吨о + 0 S— (/ —或 ° + C)l}> (4.108)

-s_ с—0 + (— 1)" 0 [向指f)-1)S_ (f —吗一о —

-(e M-DS-C — ^o + g)]}.(4.109)

По формулам (4.108) и (4.109) при М = 2,157, у == 0,1, ^ = 1, 白о=2 проведены расчеты динамических температурных напряжений (рис. 10). На рисунке кривая / соответствует решению классической и полной обобщенной динамической задач термоупругости, кривая 2— решению, соответствующему случаю отсут- ствия влияния тепловой инерции на источники тепла 亿=0). Неучет тепловой инерции на источники тепла приводит к увеличению максимальных динамических температурных напряжений в пять раз.

Рассмотрим свободный от внешней нагрузки шар, нагреваемый так же, как и слой. Поверхность шара г = R предполагается теплоизолированной. Начальные температура и скорость нагревания шара равны нулю.

Для определения температурного поля в шаре имеем уравнение теплопроводности

d?t 、2 dt 1 dt . —2 d2t 9I/л i

林+ 7^[S+(T)4-Tr6(T)](4.110)

и краевые условия

~- = 0 при r = R, /*8 при г == 0,(4.111)

/ = / = 0 при т = 0.(4.112)

Воспользовавшись преобразованием Лапласа по т, найдем изо

бражение температуры

(4.113)(4.113)力（1 + ST「）

(4.113)

(4.113)

Переходя в (4.113) от изображения к оригиналу, получаем

(4.114)(4.114)

(4.114)

(4.114)

Поскольку W =-^-, (4.114) принимает вид

(4.115)

Если не учитывать инерции источников тепла, то температурное поле в шаре запишется таким образом:

(4.116)(4.116)

(4.116)

(4.116)

Предположим, что радиальное перемещение и скорость в начальный момент времени равны нулю, т. е.

и — и = 0 при т = 0.и — и = 0 при т = 0.(4.П7)(4.П7)

и — и = 0 при т = 0.

и — и = 0 при т = 0.

(4.П7)

(4.П7)

2G1 — 2v2G1 — 2v(4.118)(4.119)(4.118)(4.119)и |г=о =и |г=о =О,О,0〃 |「=А =。・0〃 |「=А =。・(4.120)(4.120)

2G

1 — 2v

2G

1 — 2v

(4.118)

(4.119)

(4.118)

(4.119)

и |г=о =

и |г=о =

О,

О,

0〃 |「=А =。・

0〃 |「=А =。・

(4.120)

(4.120)

Для определения возникающих в шаре динамических температурных напряжений воспользуемся соотношениями и уравнением (1.52), которые после применения преобразования Лапласа запишутся в виде

% =］驾V (1 - v)若"+ 2v (1 + V)ajj,

@2〃2 d〃 с 〃 s2 -1 + v 近

Преобразованные граничные условия находим в виде

Решение краевой задачи (4.113), (4.118) — (4.120) имеет вид

(4.121)(4.121)

(4.121)

(4.121)

гдегдеN = 2G%N = 2G%若(I + V)若(I + V)1 +STr1 +STr

где

где

N = 2G%

N = 2G%

若(I + V)

若(I + V)

1 +STr

1 +STr

л^ = (1 — V)^2s2 ± 2crk (2v ~ 1) s — 2cf (2v — 1), h = r, R,B* = w2s2 土(1 — 2v) qrs + (2v — 1) ft

При r = 0 выражение (4.121) принимает вид

員員蒜=当『蒜=当『Jr R3s3g %-2 二 RL祺一4展"Jr R3s3g %-2 二 RL祺一4展"3q2(1+v)3q2(1+v).(4.122).(4.122)

員

員

蒜=当『

蒜=当『

Jr R3s3g %

-2 二 R

L祺一4展"

Jr R3s3g %

-2 二 R

L祺一4展"

3q

2(1+v)

3q

2(1+v)

.(4.122)

.(4.122)

Перейдем в (4.121) и (4.122) от изображений к оригиналам при —2—R

малых значениях времени. В этом случае е " q 0. Динамические температурные напряжения в шаре для г У=0 и г = 0 принимают соответственно вид

七3Hr+°，

。，=磊｛КМ 一力柒 № -

无e（碑『个+史）"+）+无e（碑『个+史）"+）+

无e（碑『个+史）"+）+

无e（碑『个+史）"+）+

+ /(/ + 〃一 〃2)] s_ (/ — 涂 + и -[(М2 - M d7e 心

学,：：(b?f- + 或孑-)+ 4(/ + Л-m2)] X

4y2v —1^(1—V)

x5_(/-辰一0｝一炉 + 伉一m2)(1一。m)],

0①=?%仕例2 一力)J'"+

+一三:一/+倒)L + - 星m+)-

4Jz2v-l^(l-v)3 V 十，

d+

一~^ (/ + Л - M2)] S_ (/ - ^ + cr) - [(М2 - /г) е М2 +

4/2v-l^d-v)3 V/

f- (/ + fr - m2)] S_ (/ - Cr —以)｝ - [/ + 伉一m2) (1 - e № )],

(4.123)

CrT

Г2(1 + v)「力一乂2

龙&+

a-2w(『TR)у^=г(~а

— Q_e …込)]S. (f - ^) - [/ + (fr - M2) (1 - ^)], (4.124) где

d声= (l-w)當+ 2m2(1一2V)(m2士电)，^ = r, R,

厶=后一杯(1一2V)(m±0，

m市口 (f 一頂 士 S(1 一2v)(f 一 必 土 gГ)

加土 二 (JvKr ， П± =(1 一仇 R ，

u「= К。"， U(p = Ko(ps

理=【(I — v) Cr — fr ^2v — 1 (V2v — 1 ± 1)] [(v — 1) Cr +

+ M2 /石=T(/石二！千 1)] {w + (-1) J 涂]土

± 修 + (- 1)气用/^Л} (/^zj 干 I),

#2 = [(1 -V)^—fr/西二I仅殺二I 土 1) [m2/2^=1 X

X (/2v - l 干 1) — (1 - V)涂)][(1 -V)Й + 2芯(V 士 /2Kу+

+ (1 - w) (- 1)J 以涂 /27=7 (/以二J ± 力(V 干

午/朱二口)，i=l, 2,.

q 卩 (1 — 2v)儿彳

Ж = К = 2G(1 + V)ада2，

Q土 н [(I — ”)涂一fr ^2v — 1(/2v — 1 ± 1)] [(1 — w) 6 —

—лек^П(/2Т=Л 干 1)](/27=и 土 1).

Температурные напряжения, обусловленные температурным полем (4.116), получим из (4.123) и (4.124) при fr = О, Q =й= 8. Температурные напряжения, обусловленные температурным полем (4.115), представленные в виде (4.123) и (4.124), после упрощения запишутся таким образом:

(1一V)好_^)呢j+力 丄 Kr)pr^(f_* + G)

一田亍与—[г十丁二丁丿а_嗚 十

+圖+圖

+圖

+圖

卜1一Y)(6 + 编呢。"一|/\ . vT^dlG)

-1с/г=^№ — 17 卜m(1 二v)Gr

一与&S正若R +

S-UTr — GT,(4.125)

X sin正言产.+/G涂做一,X

X cosX cos)<Г=^ (/-*+%) ①二一仇欠)<Г=^ (/-*+%) ①二一仇欠S一0一涂 + m)-S一0一涂 + m)-

X cos

X cos

)<Г=^ (/-*+%) ①二一仇欠

)<Г=^ (/-*+%) ①二一仇欠

S一0一涂 + m)-

S一0一涂 + m)-

“，善黃［(vЙ-(l-2v)® + 2啕 X

X Sin U:吃含士 + MG (以+爾^ *

X cosX cosУ 1 — 2v (f — Wr — Cr)У 1 — 2v (f — Wr — Cr)(17)叁 J 2^ (1-2w(Fr)2(i+ v)^ 10'3 (1 — v)(17)叁 J 2^ (1-2w(Fr)2(i+ v)^ 10'3 (1 — v)S-U — Ur — J)—厶S-U — Ur — J)—厶8s匕尹《^R) +(I -v) ^丁8s匕尹《^R) +(I -v) ^丁+ J/1 — 2v sin+ J/1 — 2v sinМГ^"*)(1—v)Ur~МГ^"*)(1—v)Ur~S— (/ —涂)—f •S— (/ —涂)—f •(4.126)(4.126)

X cos

X cos

У 1 — 2v (f — Wr — Cr)

У 1 — 2v (f — Wr — Cr)

(17)叁 J 2^ (1-2w(Fr)

2(i+ v)^ 10'

3 (1 — v)

(17)叁 J 2^ (1-2w(Fr)

2(i+ v)^ 10'

3 (1 — v)

S-U — Ur — J)—厶

S-U — Ur — J)—厶

8s匕尹《^R) +

(I -v) ^丁

8s匕尹《^R) +

(I -v) ^丁

+ J/1 — 2v sin

+ J/1 — 2v sin

МГ^"*)(1—v)Ur~

МГ^"*)(1—v)Ur~

S— (/ —涂)—f •

S— (/ —涂)—f •

(4.126)

(4.126)

Как видим, выражения напряжений (4.125) и (4.126) не зависят от скорости распространения тепла. Таким образом, решение полной обобщенной динамической задачи термоупругости совпадает с решением классической задачи.

По формулам (4.125), (4.126) и (4.123), (4.124) при 〃 = 0 рассчитаны динамические температурные напряжения в медном шаре (рис. 11 и 12). При подсчетах принято / = 1, ^ = 1, М = 1,29. Кривые / и 2 соответствуют напряжениям аф | ^=о, подсчитанным по формулам (4.125), (4.126) и (4.123), (4.124) при 力=0 и соответственно равным 0,2380 (кривая /) — и 0,2492 (кривая 2).

Из графиков следует, что неучет инерции источников тепла приводит к значительному увеличению тангенциальных динамических температурных напряжений.

ГЛАВА ПЯТАЯ

ДВУМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ПЛАСТИНОК

В настоящей главе определяются и исследуются двумерные обобщенные динамические температурные напряжения в анизотропных и изотропных пластинках [21——23], подвергаемых апериодическим во времени тепловым воздействиям внутренними источниками тепла или внешней средой. Выясняется влияние степени анизотропии, тепловой инерции источников тепла, конечной скорости распространения тепла и теплоотдачи с боковых поверхностей пластинок на характер распределения двумерных динамических температурных напряжений в пластинках.

Полоса, полубесконечная и бесконечная пластинки, нагреваемые источниками тепла

Рассмотрим полосу — пластинку, краевые поверхности % = =—d2> % = 4 которой теплоизолированы, а через ее боковые поверхности z = ± 5 осуществляется конвективный теплообмен с внешней средой нулевой температуры. Температура пластинки и скорость нагрева в начальный момент времени равны нулю.

Пусть плотность действующих в такой пластинке источников тепла есть функция

吗=击 6(%)呼°®, т).

Тогда уравнение теплопроводности (3.28) для определения обобщенного нестационарного температурного поля в пластинке запишется таким образом:

黑■ 十3(х)修仅，T).(5.1)

kkКраевые условия согласно (3.30) в данном случае имеют вид

k

k

=0, Т = Т == 0 при т = 0.

一厶/1

Воспользовавшись преобразованием Фурье — Лапласа, получаем выражение трансформанты Фурье — Лапласа температуры '=YshY(£ *d2)lch 丫(“2 —心 + %) + ch 丫 (4 + 厶一I 打)],(5.2)

гдегдеQ = ^!■祈。，т н и d + 炉 + 青 + 营，』=；+ 乂％八 P = 1 + 3

где

где

Решение динамической задачи термоупругости получим с помощью (3.98) и (3.99). Предположив, что перемещения и скорости перемещений в начальный момент времени равны нулю, и применив к (3.98) и (3.99) преобразование Фурье — Лапласа, соответственно находим

%=2m戒一粤)fps2变

鼠=2G^ (砸一圖+ ps2可，•(5.3)

Qxy = — 2G -—-(警^ + 询屮)+ р52Ф,

^-^ = ^+v)T9(5.4)

鬻 一Y師=0,(5.5)

где

Ъ = /什导，"1' 2。

Если пластинка свободная от внешней нагрузки, на ее поверхностях х = —d2 и х = di имеем трансформированные граничные условия

(5.6)COOT-(5.7)(5.8)(5.6)COOT-(5.7)(5.8)и** —3 и*，—^ 0 при % == -6^2) % — d「

(5.6)

COOT-

(5.7)

(5.8)

(5.6)

COOT-

(5.7)

(5.8)

Решения уравнений (5.4) и (5.5) с учетом (5.6) имеют ветственно вид

可=& ch %% + Л2 sh %% + К 伍一土:"①=4 ch w + 4 sh у?%,

где

D = 8G2瞰А??几［ch % (& + %) ch 匕(心 + 厶)一1］十+ (16G4唄у/ + n2) sh Yi (di + d?) sh & (4 + %),4 = /＜贫 j= 1, 2,

n = 4G2f］2若 + ps4,m = 2Gt)2 十 ps2,

。1 = 4G2112y2% [ch 丫2 @1 + d2)耳(％) — (e—& ch 丫也 +

+ e-& ch %dj] + 秉 sh 丫2 (心 + d2)眸(％) —-声許F"仞 sh 也 3i + d，"(％) + 4G2112yl丫2 2 匕(％ 十+ %)“ (％) + ch yd】 ch 丫抠2 + ch 丫4 ch 匕山]} — ^G^y^i xX (Pi sh %& + p2 sh ?2d2)— (2Gi])4 丫质 sh 匕(& + ^2)扌+ (%)，K—§ 上卢-土"Q …”A = iK* / = 3, 4,

鹫+LF

D2 = 4G2刀2匕孔[ch 也(厶 + d2) 8- ⑷ +(6一Y& sh Y& -

-屮 sh %dj] + F sh 已(必 + &) 9- (%) + ri

夺亲 Sh %(4 + 厶)屯(Y J + 声謐不帀{n sh Y2 (4 + d2)?-(?1)++ 4G2y]2YiY2 [chу? (4 + dj装(％) + chyd1 sh丫也—

-ch 网 sh %dj} + 4G2T)272孔(Pi ch %必一p2 ch Y也)一

—(2Gr))4 V1T1 sh 也(4 + 4) £_(%),

D3 = (2GQ8 A?2m sh % (庄 + d2) 0一 (也)+ 2G^mn 心一弘％ sh у2dl —

—с""%厶 sh у2d2 + J (丫2)ch % (必 + d?)] +

+ 泞證 + 厶)MM【ch%(& + d2) J仏)+

+ ch 丫厶 sh 丫2d2 — ch yd2 sh 也&] + (2Gn)3 Y2yf sh % (& + d?)占一 (y3)} ++ (2Gr))3 团丫書2 (% ch 丫2d2 — Pi ch %&) + 2Gx\mn sh % (& +

+ ^2)J (丫2)，

o4 = (2Gr))8 Y1Y2m sh 打(& + &) £十(也)+ 2Gr)mn [8+ (%) ch % (& ++ d^-e~^ ch у2d2 — e-v& ch 丫乩]+ 丫 shy24 d0 ^2G^i™ X

X [ch 沌 ch y2Z2 + ch 也 ch 力厶—U 仇)ch у & + %)】一

—(2Gr))3 у?у2 sh у? @1 + 4"+ 作2)}十(2Gt))3 团丫必(％ sh %厶 +

+ 〃 sh %厶)+ 2Gx\mn sh % (4 + d2)耳(也)，E士 (%)=ch Y4 ch yД 土 ch 傾 ch yД,白士 (%)=ch ?厶 sh 匕4 土 ch 他 sh yД,% = с—& + 6一》厶 ch % (& + 厶)，必=e-& + e— ch % (山 + d2),

% (%) = L/ sh 汕 ± 6f" sh Y厶，0士(也)==e-%厶 ch Y厶 土 6一叫 ch Y儿.

Подставляя в (5.3) вместо 屮 н ① их выражения (5.7), (5.8), получаем такие трансформанты обобщенных динамических температурных напряжений:

- Кefl冏- Кefl冏YiYi{26%г] (A sh ?2х + D4 ch 也%) + 加| ° 偿一 )+ 2 ch %x + A sh 词},

- К

efl冏

- К

efl冏

Yi

Yi

(5.9)(5.9)啓]一广(Y2)(03 ch Y2% + 2 Sh Y2%) - 2G"D (土 X

(5.9)

(5.9)

^Уу = -^ {- 2Gt)Y2 (q3 sh ?2% + & ch ?2%) + Q 卜(%) X

X -X -，—%図，—%図YiYi，（Y）±］一广（%）（°1 ch Y/ +02 sh %±，（Y）±］一广（%）（°1 ch Y/ +02 sh %±

X -

X -

，—%図

，—%図

Yi

Yi

，（Y）±］一广（%）（°1 ch Y/ +02 sh %±

，（Y）±］一广（%）（°1 ch Y/ +02 sh %±

где

厂(匕)=2Gy彳—ps2,i = 1, 2, г (丫)= 2Gy2 — ps2.

Положив в (5.9) da = 0,力=d н переходя к пределу при I -> оо для полубесконечной пластинки находим

%* = ~^~ L* + (^2卜-%* + 8 -—-唄丫2 (% — Yi) X

X L — L*) +澀

%=2KW尸一 2 (1 一贽长L* +

+ (1 一平产，w+ 8*内2Y驚一光L”h芻 (5.10)

2" = к 卜(Yi)l[^^- + -^ 哦也(十" - Jj] +

+ 8嘉"飞-号卜个l} +瞅

где DQ = n — 4G2t)2y172.

Положив в (5.9) & = da = d н переходя к пределу при d -> 8, для неограниченной пластинки получаем

謂= 2GKir)(ef 用一ef 阳)sign%,，(5,11)

啦= K#Yi)fг (?) —у—J •

Переходя в (5.2), (5.9) — (5.11) по формуле обращения к оригиналам, получаем решения обобщенных задач для произвольно изменяющейся по координате у и времени плотности источников тепла.

Рассмотрим несколько частных случаев нагрева пластинки.

Пример 1, Пусть функция % @, т) имеет вид

吃)(弘 t) = (1 + ^)S+ (т),%=^~・(5.12)

Подставляя трансформанту Фурье — Лапласа этой функции % = #[6(П)+ + 々就‘(п)] в (5.10) и (5.11) и переходя от изображений к оригиналам, находим такие выражения обобщенных динамических температурных напряжений: в полуограниченной пластинке

г~22

% = о* =s(1 + 々初В (— l)"+i 义

义{S一卜^-卜"'Ci^ + sncq [Pq (xt ^ — 2e PN%, t)]} +

+譏，，

£ —产 '-卜 T) j 剂 У J 諾* +

+ PXCqR ©]吨 + W- sn+ PXCqR ©]吨 + W- sn(5.13)(5.13)

+ PXCqR ©]吨 + W- sn

+ PXCqR ©]吨 + W- sn

(5.13)

(5.13)

备 a +同勿£ I）计〈卜2 -孚卜

X 2sne " “Pl (%, fqe 式 “'s_ 卜^~jj + ^-~-+ xp2j X

X 蚩e 2”[1"( J]S_(T-±)+ 急 Ро(ю —

—竺萨~/оЗГ)) dn ^ + «ед；

в неограниченной пластинке

Л/ (I +码力Л/ (I +码力电％Pq(%, T)I电％Pq(%, T)I2(slsJ c^2(slsJ c^x кx кгдегде^o (%P0 應^o (%P0 應^axrt^axrt=他6& 一给'叽2=他6& 一给'叽2襯=一襯=一/0) Nk sign x/0) Nk sign x+ 1%1%次©华+ 1%1%次©华$Т)>A^d+M)$Т)>A^d+M)义 Pq(%’ т) -2c2义 Pq(%’ т) -2c2「0 P=V 1^ 一炉，jnmd 吟一"，R「0 P=V 1^ 一炉，jnmd 吟一"，R“j 尸)T0“j 尸)T0*"")也*"")也/(区*)/(区*)а=/毁一%2, Р/=“оа=/毁一%2, Р/=“о

Л/ (I +码力

Л/ (I +码力

电％Pq(%, T)I

电％Pq(%, T)I

2(slsJ c^

2(slsJ c^

x к

x к

где

где

^o (%P0 應

^o (%P0 應

^axrt

^axrt

=他6& 一给'叽2

=他6& 一给'叽2

襯=一

襯=一

/0) Nk sign x

/0) Nk sign x

+ 1%1%次©华

+ 1%1%次©华

$Т)>

A^d+M)

$Т)>

A^d+M)

义 Pq(%’ т) -2c2

义 Pq(%’ т) -2c2

「0

P=V 1^ 一炉，jnmd 吟一"，R

「0

P=V 1^ 一炉，jnmd 吟一"，R

“j 尸)T0

“j 尸)T0

*"")也

*"")也

/(区*)

/(区*)

а=/毁一%2, Р/=“о

а=/毁一%2, Р/=“о

= 1,2, Р^= Pq^Q. а* = а(1+М"尸，不二/初必一炉.

噸слз噸слзИз формул (5.14) при у = 0 для напряжения 。=，^

噸слз

噸слз

cz/Eqa

дует

用)=一爲卜i + MW + b2(i-M2)| 2

— |M)M京 2 +粤 e S—G-MIEI) f exp —瓦 +

+ 乂一2)-y l；o[/ (1 + Mi/)2 — M2b2-"，肃竺 謂卜 (5.15)

где

b =告叫 ± =晉’ f = ?G M="^' M" = MiJ,

"2 = [1 + Mi,士 ]/7「+一m小2 + Ь2(1一m2)] (1 一 m2厂1,

厶=1 +粤M2,%=坛(1+m2

Если скорость распространения тепла cq намного превышает скорость распространения упругих волн, то

吧=吧=12T=F I 产 ”1+唱12T=F I 产 ”1+唱2九2+ 2碑)2九2+ 2碑)界 G7界 G7хerfc (-^^+/丽翔Fхerfc (-^^+/丽翔FS『C-IE|) , (5.16)S『C-IE|) , (5.16)十一學M^x■W前礎х十一學M^x■W前礎х

吧=

吧=

12

T=F I 产 ”1+唱

12

T=F I 产 ”1+唱

2九2+ 2碑)

2九2+ 2碑)

界 G7

界 G7

хerfc (-^^+/丽翔F

хerfc (-^^+/丽翔F

S『C-IE|) , (5.16)

S『C-IE|) , (5.16)

十一學M^x

■W前礎х

十一學M^x

■W前礎х

где丛% = 1 ± #1十产・

(6.17)(6.17)Пример 2. Зададим функцию % (у, т) следующим образом:

(6.17)

(6.17)

W0(yt т) = cos a)yS^ (т).

Применив к этой функции преобразование Фурье — Лапласа и подставив результат в (5.11), перейдем от трансформант к оригиналам. В результате получим

(5.18)

где

%=》[%(1%1，叫 sQ 一业(1%|, T, SQI %(m cossg,

(5.19)(5.19)£ 卩陶)屮0(1%1, Т, srt)—r(sn) ф0 (|x|, T, s“)]嘗继

(5.19)

(5.19)

M(隔)

% = s N【％(I x I，T» sQ — 5 (I % I，* sQ] •

n=0%(S“)

ЗдесьЗдесь~2

Здесь

Здесь

二 °〃 Л qCp尸22 -2

6=^ё^，Qou-j^， ％ =q -%，

^=7й^,'隔)=炉+炉+^+哥'

，(s“) = @2 + S【2, So = О,

K(s) = sj_(备 +"2)С* ,D,2=-^"(1 土 ,-^-产+1),

Соответствующее решение классической динамической задачи термоупругости для бесконечной пластинки запишется таким образом:

或？ = — N 伸(т,丨 ％ I, 0) —(р(т, |х|, 0)]—飞工 X

I "冲" 一 s2

COS8协

+斷炉

—丫証（工，I % I，O）］cossy,

嚼т

（一 1尸

屮(% 1%1, s〃)+

屮(％ I % 1，sQ I cos sy + ■ J I %—

.(5.20)

粤2(% " °)+

S/2>1、2

2 「

£ (- 1)п+1Х

П=1

噌=Mo sign x

CDX

乂恋一o媵(q I % I，sQ sinsg.

j /1(% ]/ d

哦

炉

Здесь

dr]

X

叱

Ф (t, %, s“)= qS一

“ a/切 2

N = ^^

屮氾居”）=^卜一％ё昧（7^

_4叫-T备+Y了矶

=T",瓦=(一1)叶 1szi•

При % = 0, у = 0, = 1 выражения напряжений (5.20) запишутся в виде

аз

erf Уа+BJf

2

^/Й7^ 住+ 4%

成1

4 (自 一 1)

/ ^ (perf М帀、

'*FT +

+

2

局+ 4%

+

成2

4(自一 1)

1

2 + %

U + /g)-Jii(f)]，

(5.21)

^утт^

erf y(\ + BJf +

4 + 2%(月+ 43①十

1\ erf MW

4

(自 + 4%

(1 — v) ch*4(^-1)

+

4 + 2%

局+ 4% 自一1

е”讶I

(1 - V)成 2

4

4 他 1 — 1)局 + 48 g

匕X

где

5

，f厶…働

°xy = °，

4 Abs 咽), “EqJ

2乂 2

， f =炉次，во = ^

岛,2=1 士/匸F，也2=1+%十容

f _七々]f _匕尼2

Pi= J Г~几①熏，尸2=f e 2 4©叱

оо

/仍=1 +/1(力一，4(力d/0

является интегральной функцией Бесселя.

Соответствующие выражения напряжений для квазистатической задачи будут

o% = —Й""o% = —Й""(5.22)(5.22)0〃 = — 0%к h= /1+冤0〃 = — 0%к h= /1+冤erf 1/(1+ BJ/.erf 1/(1+ BJ/.

o% = —Й""

o% = —Й""

(5.22)

(5.22)

0〃 = — 0%к h= /1+冤

0〃 = — 0%к h= /1+冤

erf 1/(1+ BJ/.

erf 1/(1+ BJ/.

Переходя в (5.22) к пределу при / ->оо, получаем выражения напряжений в начале координат при стационарном тепловом режиме

111， О" n — Ox1， О" n — Ox1yW^1yW^(5.23)(5.23)

1

1

1， О" n — Ox

1， О" n — Ox

1yW^

1yW^

(5.23)

(5.23)

Для теплоизолированной пластинки (8@ = 0) вместо (5.21) будет

=(1 + 告)"+ G" + f) erf 力 + p^ 4 尸十

+ (l+f)[Jii(/)-l]-Ji(/),。〃 = (。一1/一皿万一% (5.24)

где

d = ef ^ 「口。© % - -~ erf M犷｝

Бесконечная анизотропная пластинка, нагреваемая источниками тепла

Рассмотрим тонкую анизотропную однородную бесконечную пластинку, которая нагревается источниками тепла плотности

吗(%, У、т)=蚩 cos 5% cos 6瞪+ (т).(5.25)

Для определения температурного поля Т (х, у, т) в данной пластинке согласно (3.26) имеем уравнение теплопроводности

d2Td2T@2「

M + 2比g硝-+同0 一 乂叮n

(5.26)(5.27)(5.26)(5.27)=£ 祭—^7 cos 必％ cos ①步[S+ (т) + £б (т)] и начальные условия

(5.26)

(5.27)

(5.26)

(5.27)

Т = 0, ~^" = 0 при т = О,

где

*1

*科

Воспользовавшись преобразованием Фурье по %, у н Лапласа по % получим выражение трансформанты температуры

戸= 仍[1 + ST>] [6 (а「3%) + 6 (Е + ®%)] [6 8 + 8〃)+ 6 (п —①加 (5 28)

46*]S 斗+ s卜2力+ 击)十炉十自2 + 2kxy^ +同哦

Используя свойства дельта-функции Дирака и переходя в (5.28) к оригиналам, находим искомое температурное поле в пластинке

0= Ve%cos(X + Y) + 乌土羯 Wcos(X-Y)), (5,29)

内£1'屮十(陶Ф-(p/)

где рл, pj ——корни уравнений 屮+ (р) = 0,屮一(р) = 0:

ч>±(Р)=р[^+рф + %)+% а+2 瓦卢+ky^+切，

9 й守y", 出 =弟，吟=^,f = g%,

a^-^^) 8 =需'0 = ^t' X = %必，y = ^-

Вызываемые этим температурным полем температурные напряжения в данной пластинке определим по формулам (3.76), которые

перепишем в виде

% = Bц 黑+ % 招 + Bn)(警 + 票)-V，%g = % 黑 + % 普 + Bw {^ + 農)-脇T，

где перемещения 〃，и выражаются через функции Ф, V в виде (3.83):

"=□2 ①一•^-口。田，。=□1中一□()①，(5.31)

а функции Ф, Т удовлетворяют уравнениям (3.84):

口①=趾先+罂罟，口"*黑+警器，(5・32)

где口 = 口口一需山，Oxгде口 = 口口一需山，Ox32丄&6^2，9 %62дх2 丁 Вц ду2 ' 3口 дхду32丄&6^2，9 %62дх2 丁 Вц ду2 ' 3口 дхду

где

口 = 口口一需山，Ox

где

口 = 口口一需山，Ox

32丄&6^2，9 %62

дх2 丁 Вц ду2 ' 3口 дхду

32丄&6^2，9 %62

дх2 丁 Вц ду2 ' 3口 дхду

5 一次2 十稣6 ду2 十 以6 °%dУ 2 0t2

口0 一 区6 。%2 十 B6б дхду вбв g仪'с； = •у- ' с^ 二•

Подставив (5.31) в (5.30), получим

gхЛ = ^- [(B口 口2 -当6 口。)① + (当6 口 1 - % 口0)剪 +

+ -^" 卜/ 口 2 - % 口 0)① + (%2 口 1 -

~ = "^- 卜/ 口 2 -区6 口 0)① + (当6 口1 -

(5.33)(5.33)一% 笥：□())可 + -^- [(b26 口 - % □())① +

(5.33)

(5.33)

+ (旦2 口 1 - %6 ■^：- 口。)中]-В22北

0现="^- [(316 口2 -仇6 口0)① +

+ （866 口 1 -乩6 "g^ 口。） V + 等" （筑6 口 2 -当6 口。）① +

+ （区6 口 ^" 口。）中 一 九7・

Применяя к (5.32), (5.33) преобразование Фурье по %, у, Лапласа по т и переходя от трансформант к оригиналам, находим такие выражения динамических температурных напряжений в бесконечной анизотропной пластинке:

.4.4=У R“dJ f „ (旬 + 以)c"" cos (X + У) + 厶(闻(％ + p・)epif cos (X - У) ] — Ru&=У R“dJ f „ (旬 + 以)c"" cos (X + У) + 厶(闻(％ + p・)epif cos (X - У) ] — Ru&仁(Р/)7仁(Р/)7(% + /)厘М cos(X + Y) +(% + /)厘М cos(X + Y) +左,，=1Q-(Pi)'xL (p/)左,，=1Q-(Pi)'xL (p/)(% + p)或"COS (X - y)-r22仇(% + p)或"COS (X - y)-r22仇} (5.34)} (5.34)

.4

.4

=У R“dJ f „ (旬 + 以)c"" cos (X + У) + 厶(闻(％ + p・)epif cos (X - У) ] — Ru&

=У R“dJ f „ (旬 + 以)c"" cos (X + У) + 厶(闻(％ + p・)epif cos (X - У) ] — Ru&

仁(Р/)

7

仁(Р/)

7

(% + /)厘М cos(X + Y) +

(% + /)厘М cos(X + Y) +

左,，=1Q-(Pi)

'xL (p/)

左,，=1Q-(Pi)

'xL (p/)

(% + p)或"COS (X - y)-r22仇

(% + p)或"COS (X - y)-r22仇

} (5.34)

} (5.34)

W = £ Rud J(& + P0 幽 cos (X + Y) +

u L狂(陶

+『:;:(& + A)幽 cos (X — У)J — T?120,

где pki pj — корни уравнений соответственно

%± (р) = 0,厶(р) = р，+ р 仅 + 啕 + & (1 土 2財庐 +

+ &£2 + b)W + p^ + d2 + 佃器 + 4 需)£2 土

± 2 (厶-^- "F 4 2：-) " + "® [- 4 ± 24£ + (4 + 2Л2) e2 ±

±2每3-4吁凡尸矗？ % =醬，

j =匕 Уч

尸土 (")=卢[1 + 品m"!^- 士 ("1^" + ₽12 + 0；2m-^} ++ 022m ~^： ) 8 + (^^-012 + 案 m622)e2j + ^2 [- 4 士 2л3e +

+ (4 +/2 + 612/3 + Р22^1) 士(4 + 仇2"3 + ?22 В1~-

一礒警卜8 + (能统一院需T词斗Q± (P)=户[器+ 0；2加器± (塞+£2舒+忻2*++ 022m -^-) 8 + 仇 2 "^—F 622m 一贯忆)62 j + d2 [Л6 + 恒人七± (022/3 + Р12/4 + 4) e + (4 + Pl 2^0 + 02244 - 022%)炉 土士 2强4()№ - ₽22>1784],

Z* (p)=户[營"+0；2加士 (色-+能舞-+加食"+

+ m,* ) 8 + (自2_^b022加"*)耳 + % [- 012% ±

± (4 + 0124 一022/1) 8 + (4 + 2012/2 + 0224)或 ±

士 (— 4 + P12^o + 022A2)в3 — P12^784],

IВ】?％ л = 4б .1

Положив в (5.34) В1в = В^ = 0,卩;2 = 0,后2 = 0, получим такие выражения динамических температурных напряжений в ортотропной бесконечной пластинке:

К V L『"(八2 〃 I B#2d2限 c2、I

^ = L1VW [叭厶 + —G— q +

+ 4% 1 + Bi"&v；炉 + р*2ег (v# _ 1)]} x

X (% + " J cos X cos У — L0,

X (% + 必)COS Xcos У — L俄2仇

%g =工 专力){区倩"+ 等 d2)+ 陋2 [限(1 - V2e2) +

+眷峭-Y2口 (% +济)sin X sin匕

3

6 = У ' %扌 8 с%" cos Xcos У,

где

Рк ——корни уравнения ^(Р)= 0,

屮(")=9(Р){р4 + 户[("^" “2 + -^- ") &2 + & + d2j +

+ did? [ 1 Н—^~ 84 + -^- (В2 -"— BiV2'2v2G) e2jj,

死 一 корни уравнения <р (р) = 0, 限=,

Ри

Ф(p)= Р[炉 + Pip + a^ + aq(\ + 电或 + ①],L = . e)(]_:：环)一・

Пусть пластинка изготовлена из стеклотекстолита КАСТ-В, для которого "=¥,祭=0,69,今=1,97,今=2,85,匕=0,174, v2 = ==0,12, Р22 = 0,89. Если принять q = cq, то при & = % = 1, d2 = =0,35 температурные напряжения в начале координат имеют вид 7

><(1+热)区"一 1,718,><(1+热)区"一 1,718,(5.36)(5.36)仇=£ ^^7 欣(1 + 0，1077£2) + 0,3503(1 + 0,914е2 + 0,1077е4] X

><(1+热)区"一 1,718,

><(1+热)区"一 1,718,

(5.36)

(5.36)

7

〜=£ \j^T 彼(0'12 + 0,6208e2) + 0,3503 (0,12 +

+ 0,9373e2 + 0,6208e4)] (1 + p^ 必"一1,540.

По формулам (5.36) проведены расчеты изменения обобщенных динамических температурных напряжений в зависимости от / при b =5 0, b = 1, 8 = 2. Результаты представлены в виде графиков на

рис. 13, 14 (при b = 0) и 15, 16 (при b = 1) и изображены кривыми /. Соответствующие классические динамические температурные напряжения показаны кривыми 2. Из этих рисунков следует, что как классические, так и обобщенные динамические температурные напряжения испытывают колебания около соответствующего квазистатического решения (кривые 3), причем максимальные обобщенные динамические температурные напряжения значительно превышают соответствующие классические в теплоизолированной пластинке. Учет теплоотдачи с боковых поверхностей пластинки приводит к уменьшению разности между обобщенными и классическими динамическими температурными напряжениями.

В случае изотропной пластинки (В】=В?=】/诃,G = %* , ”i = ”2 = V, 01 =邑=0) формулы (5.35) принимают вид

7

+ 切2 [1 + (1 + ”)炉 + ve4]j cos X cos Ye%' — 0,

з^^ШиР*心+缶力+

+ 4d2 [v + (1 + v) 82 + e4] J cos X cos У成"一0,

7女=17女=1e (Рk + /)e (Рk + /)w'（陶w'（陶1 — 1V1 — 1V++

7

女=1

7

女=1

e (Рk + /)

e (Рk + /)

w'（陶

w'（陶

1 — 1V

1 — 1V

+

+

+ 4d2 (1 — v) (1 + e2) j sin X sin У^,

3

9 = £ 绥扌？ cos X cos 丫館, £屮(廟

гдегде0/ =0/ =2%•九戒6 (1 *-V)2%•九戒6 (1 *-V)atqEatqE,/ = X, у、Т初=,/ = X, у、Т初=2%入喚(1 - V)2%入喚(1 - V)сздЕсздЕ

где

где

0/ =

0/ =

2%•九戒6 (1 *-V)

2%•九戒6 (1 *-V)

atqE

atqE

,/ = X, у、Т初=

,/ = X, у、Т初=

2%入喚(1 - V)

2%入喚(1 - V)

сздЕ

сздЕ

pk — корни уравнений

屮(Р)=屮(Р) [р4 + р2 卜工 + d2+ 也 2 或壯!^ w)k] + 41d2(1 + e2)2) = 0,

中(")="，+(%+ ь)0+ %(1 +炉 + m]=0.

Если пластинка изготовлена из алюминия (v = 0,3, тг = =10一" сек, а = 018см2/сек1 £ = 7,2 • 105 к/7слД 九/ = 1,9 ккал!см х X 〃 • град\ то при b = 0, £ = 1, 4 = 1 d2 = 0,35, aq = 0,31. Обобщенные температурные напря- 以巧 жения (5.37) в начале координат примут вид

О 一。— W 1,3(…

*一 ,一m广州 '

“ =0,(5.38)

где pj — корни уравнения % (р)= =р(号 + 0,31р + 0,62) (р2 + 2) = 0,

0 = V &t~ °丿迎 «叫 р. — корни уравнения % (р) = р(р2 + 0,31р +

岗小(S)

+ 0,62) = 0.

По формулам (5.38) рассчитаны обобщенные динамические температурные напряжения ох = оу в зависимости от /, которые представлены на рис. 17 (кривая /). Кривая 2 соответствует случаю, когда не учитывается инерция источников тепла. Кривой 3 изображено классическое решение.

Как видим, во всех трех случаях напряжения испытывают продолжительные колебания, причем максимальных значений они достигают в случае полной обобщенной динамической задачи.

Полоса-пластинка и полубесконечная пластинка, нагреваемые по краю

Рассмотрим тонкую изотропную однородную бесконечную полосу-пластинку, через боковые поверхности z = 士 6, x = 0 которой осуществляется теплообмен с внешней средой в соответствии с обобщенным законом Ньютона. Температура среды, омывающей поверхность z = 土 6, равна нулю, а температура среды, омывающей поверхность % = 0, равна tc (у, т). Поверхность х = d теплоизолирована. Предположим, что температура Т и скорость нагрева- дт°

ния -^- пластинки в начальный момент времени равны нулю.

Для определения нестационарного температурного поля в пластинке согласно (3.28) имеем уравнение теплопроводности

d2T/т1 " I 1 *т

а/ /! 乂 —江 дт2(5.39)

и краевые условия

票=0 при % = d, 票=hcl[T — % ®, т)] при % = 0, (5.40)

Т = 0,= 0 при т = 0,(5.41)

7 = 0,晋■= 0 при I 川=8(5.42)

для обычных функций; для обобщенных функций эти условия ставить нет необходимости.

Применив к равенствам (5.39), (5.40) при условиях (5.41), (5.42) преобразование Фурье — Лапласа, получим

黑一丫 2亍=°,(5.43)

寥=0 при % = 4 g = h(l + STr)⑦一豆(n，s)] при x = 0, (5.44) где

尸=唄 + 炉+ 糸 +斗，T ={ dy^Te^dT.

cqY 加—oo 0

Решение уравнения (5.43) при условии (5.44) имеет вид

亍— 力％ (1 + si>) ch 丫 (％ — d)入(П，s)zr g

— YshVd + ^(l +srr)chVd —，(5*J丿

где

%m s) = J d/ 力

У 2冗—8 о

Переходя в (5.45) к оригиналам, получаем общее решение нестационарной задачи теплопроводности для рассматриваемой полосы- пластинки

80+汲7=謁}西 J ic^s)80+汲7=謁}西 J ic^s)% (1 + 5)ch у (% - d)产—叨 厶 /5 40YshYd + &(l +i>s)chYd S'心约丿% (1 + 5)ch у (% - d)产—叨 厶 /5 40YshYd + &(l +i>s)chYd S'心约丿

80+汲

7=謁}西 J ic^s)

80+汲

7=謁}西 J ic^s)

% (1 + 5)ch у (% - d)产—叨 厶 /5 40

YshYd + &(l +i>s)chYd S'心约丿

% (1 + 5)ch у (% - d)产—叨 厶 /5 40

YshYd + &(l +i>s)chYd S'心约丿

Двумерные динамические температурные напряжения в пластинке, вызываемые температурным полем (5.46), определим, воспользовавшись формулами (3.98) и (3.99).

Если пластинка свободна от внешней нагрузки, то динамические температурные напряжения должны удовлетворять таким граничным условиям:

Gtj = 0 при |y|f 8 для обычных функций (для обобщенных функций эти условия ставить нет необходимости);

Gxx=zoxy = 0 при х = 0, х = d.(5.47)

Подвергая (3.98), (3.99) и второе условие (5.47) преобразованию Фурье — Лапласа и используя первое условие (5.47), получаем

(5.48)(5.49)(5.50)(5.48)(5.49)(5.50)&* = 26“卩一j警)+p52可，

(5.48)

(5.49)

(5.50)

(5.48)

(5.49)

(5.50)

о*у = — 2G—(豊 + i^ + Р«2Ф.

^一*W = a,(l+v)冗 瞎一Y2①=0,

о%% =。初=0 при х = 0, % = d,

где

箱=唄+寺，‘=1, 2.

Решения уравнений (5.49) с учетом (5.45) и (5.50) имеют соответственно вид

屮=4 ch у/ + Л2 sh у/ + NT、①=4 ch y2x + 4 sh 匕%，(5.51)

где

A、= NR 好 “NR 誓，4 = WR 容 4 = WR 当，0 =(川 + 167；?齡4哦)sh %d sh ?2d - 8m2%Y2G2唄(ch ^d ch ?2d- 1),£)丄=4G2唄丫2 仰咕[ch %d (ch %d ch yd— 1)—ch 丫2d — ch yd]—一 4G2n2%丫2丫 ch 丫回 sh 丫2d sh yd} — m4 sh %d sh 丫2d ch yd 十+ 4加2G2n2?2? sh ?0 sh yd ch y2d,

D2 = 4G2哦у2 {m?【Y sh yd (1 <— ch ^d ch у2① +

+ ¥i sh %d (1 — ch 丫2d ch 河| + 4G2n2力也丫 sh %d sh 丫2d sh yd} ++ 历 sh ?2d (ch %d ch yd — 1),D3 = 2mGx\ {4G2n2丫寿2 [丫 sh 餌一％ sh %d ++ (% sh % d ch ?d — 丫 ch %d sh ?d) ch 叭句 +

+ m?(Yi sh у2d + у sh yd sh %d sh 丫2d5 Yi sh 丫2d ch %dch yd)}, D4 = 2/nGr)[(% ch%d ch yd — у sh yd sh % d) ch у2d —

*— Yi (ch 丫2d + ch yd — ch %d) + 4G^唄％% sh у2d (y sh yd ch %d —•—%sh%dch yd)], R = 7|*=d, m = 2Gv^ + ps2,w(l 十").

Подставив выражения (5.51) в (5.48), получим такие трансформанты температурных напряжений:

о%% = т (4 ch %% + 42 sh %% + NT)—

一 2GWY2 (4 sh &% + 4 ch у?%),

^ = r(Ti) IЛ1 ch Y!% + Л2 sh Yi%) + г (у) TN +

+ 2Gi^ (Д3 sh y2x + Л4 ch y2x),(')

G%y = —m (Л3 ch ?2% + 4 sh 丫2%)—

—2Gir)[% (4 sh %% + A ch ?/) + RNy sh y(x —d)], где

厂(力)=一 2Gy； + ps2 i= 1, 2, s.

Переходя в (5.52) по формуле обращения для преобразования Фурье — Лапласа от трансформанты к оригиналам, имеем общее решение динамической задачи термоупругости для полосы-пластинки

ОО a-j-Zoo

°" =£ dr] , Gi^-^yds, % / n X, у. (5.53)

冗)丄-80一,8

Переходя в (5.52) к пределу при d -> 00, находим следующие выражения трансформант Фурье — Лапласа температурных напряжений для полубесконечной пластинки:

%〃• = 土品卜(5.54)

где

% = Nm [Q«f * + 寄一^ 哦也 е - %)gf %],

Руу = “PS? (1 + у) [Qe-点 + 穿 I 一 ％E 干 一 2*,

Ag = Mn [2G%Qcf ” + w-* - mR (Y — ％) Г^],

IT + 力* (I + t「s)] ^―——^ s2 + — + xaj

Q = ^D""1 [2Gr)2y2(y — %) — ~^]> D = 4G2Tl2丫2(丫2 — Yi) + P2^-

Переходя в (5.54) по формулам обращения (5.53) от трансформант К оригиналам, получаем общее решение двухмерной обобщенной динамической задачи термоупругости для полубесконечной пластинки.

Предположим, что температура среды омывающей край пластинки,— линейная функция координаты у и единичная функция времени, т. е.

tc = (% + /创，+ (t).(5.55)

Подставляя (5.55) в (5.46) и (5.54), переходим затем к оригиналам. В результате находим такие температурное поле и динамические температурные напряжения в пластинке:

0 =工鳩当切一 X -^у k瓦(1 +济3)"因力一 m (^ 一 /) X信川，

I i(5.56)

…了砧冲黑叫a二g若上{网a+PM)伸& ” ^1中1(爲)

-^P^S_ (/ - g)] + M (Pk - Pj) {(Pk - Pn) ^Z2 (g, f)S^(f-^^%^ 川},

Gy = NGx 0,

" 册壯产工鳥师a+i宀」t-

I ”碎S_ (f — eg)] + M (玖 一 Pi)(爲 一 ％) [e^Z. atf)S_(f^ 庇)一

—e Z?(昌,f) S_ ” E)]} H b*M2 一 1 厶 证彳加 X

X U瓦(1 + рМЖрк 一 P1I)〕％庞& 怎力 S_ (f — 比)一MX 怎川「

一 М2 9々 I %])®-P碎s_ (/ — 啕 + 州 & 力]},(5.57)

W屮(&，力=eеm + 0辆『e-р6厶需^湍纯吨S_ (f 一网，

%因力=「р〃0 9 h2一(自的2)+ (% 一 %[) j e-pV0 (a Mh 一(y4)2)吨 x

XS_dM),

УУZ1脸力=J 6一叫0 （吨）呢，z2 电力=J e-pg/。（鸣%Z1脸力=J 6一叫0 （吨）呢，z2 电力=J e-pg/。（鸣%ОР = Р/г ―!2* ° =2， М =ОР = Р/г ―!2* ° =2， М =оCqQ" " = 丁оCqQ" " = 丁6=而，6=而，bb

У

У

Z1脸力=J 6一叫0 （吨）呢，z2 电力=J e-pg/。（鸣%

Z1脸力=J 6一叫0 （吨）呢，z2 电力=J e-pg/。（鸣%

О

Р = Р/г ―!2* ° =2， М =

О

Р = Р/г ―!2* ° =2， М =

о

CqQ

" " = 丁

о

CqQ

" " = 丁

6=而，

6=而，

b

b

0 =不，网=一丁， Pll,l = 一而，р2 = 4 (bxM2 — 1) ,

_ 一 (4 + 6m2)士 y16—8bM2+b2M2_ 16b_

〃3,4 =8 (М2 一 1)， Рь = U,

屮(p) == (P — Pl) (P — 02)，<P1(P)= (P — 02)(P — Рз)(P「P4)，屮(P) = P% (P)，

6 =6 =u“(l —V)~a%-u“(l —V)~a%-i = x, У,i = x, У,XxyXxy°xya倒°xya倒

6 =

6 =

u“(l —V)~a%-

u“(l —V)~a%-

i = x, У,

i = x, У,

Xxy

Xxy

°xya倒

°xya倒

При 厶 f oo н У = О из (5.56), (5.57) находим

e»L 2M + 詣 у 1 — b2M2 \ e 2M2 —l0e»L 2M + 詣 у 1 — b2M2 \ e 2M2 —l0（嘉 Md-2M2）仔一 （&的2）（嘉 Md-2M2）仔一 （&的2）唄2_(ЕМ)2唄2_(ЕМ)2d^ Xd^ X

e»L 2M + 詣 у 1 — b2M2 \ e 2M2 —l0

e»L 2M + 詣 у 1 — b2M2 \ e 2M2 —l0

（嘉 Md-2M2）仔一 （&的2）

（嘉 Md-2M2）仔一 （&的2）

唄2_(ЕМ)2

唄2_(ЕМ)2

d^ X

d^ X

xs一 (f-EM),xs一 (f-EM),(5.58)(5.58)I44aB 2—1 工月=3I44aB 2—1 工月=3，^-伸怎力 一 ^S_(f - E)], %~ e 怎 0 麻=0,，^-伸怎力 一 ^S_(f - E)], %~ e 怎 0 麻=0,(5.59)(5.59)

xs一 (f-EM),

xs一 (f-EM),

(5.58)

(5.58)

I4

4aB 2—1 工

月=3

I4

4aB 2—1 工

月=3

，^-伸怎力 一 ^S_(f - E)], %~ e 怎 0 麻=0,

，^-伸怎力 一 ^S_(f - E)], %~ e 怎 0 麻=0,

(5.59)

(5.59)

_ Qi % — ЛР J_ Qi % — ЛР J4 哨吟点Т宀.—一e一"呦+4 哨吟点Т宀.—一e一"呦+

_ Qi % — ЛР J

_ Qi % — ЛР J

4 哨

吟点Т宀.—一e一"呦+

4 哨

吟点Т宀.—一e一"呦+

+ 崇2T £ ~~m—ph) zi(E，力。-唳比s_(/—^)—% 因 /)], 々=393(陶

屮2 S) = (P — Рз) (P — Р/， % (P)=叫2 S)・

Если скорость распространения тепла намного превышает скорость распространения упругой волны q, решение задачи получаем для теплоизолированной пластинки из (5.59) при М -> 0 в виде

2Р府

" S 器21 卜一*一(--我/ erfc (^r - m而)+

+哗ё叫饰+ U碎,

Oy = vax — erfc —』,

2斤

5* S i^r CL HF. (f T)] +

(5.60)

+ &{g erfc 蟲_2 exp (一 导)+ 卜‘erfc (备 + 一

一尸龙erf

где Pi = O,卩2= 1-

С целью оценки влияния скорости распространения тепла на распределение двумерных динамических температурных напряжений в тонкой пластинке рас- которой cq = 2930 м/сек, q = 5410 м/сек [33, 37], а значит, М = 1,846. По формулам (5.59) при b = 0 и (5.60) при / = 1 проведены числовые подсчеты изменения -динамических температурных напряжений о* и %ху (рис. 18). Кривые / соответствуют обобщенному решению, кривые 2 — классическому.

Как следует из этого рисунка, учет конечности скорости распростра

нения тепла приводит к уменьшению максимальных динамических температурных напряжений. На рис. 19 показано изменение обобщенного динамического температурного напряжения о* вдоль Е при различных фиксированных значениях f. Расстояние между двумя фронтами волн увеличивается с ростом f.

График изменения безразмерной температуры (5.58) в зависимости от безразмерной координаты Е при фиксированном значении безразмерного времени f = 1 для различных значений отношения скорости упругой волны q к скорости распространения тепла Cq представлен на рис. 20. На рис. 21 показано изменение безразмерной температуры в зависимости от безразмерного времени при фиксированном значении безразмерной координаты Е = 1. На рис. 22 и 23 представлена зависимость динамического температурного напряжения о* соответственно от безразмерной координаты при фиксированном значении времени f = 1 и от безразмерного времени при фиксированном значении координаты Е = 1 для различных значений отношения М = -^-. Остановимся более подробно на рассмотрении

графиков изменения температуры напряжения о*. Возьмем произвольную точку внутри полубесконечной пластинки, в которой при М > 1 (cq < q) вначале температура и напряжения равны нулю. В момент времени f =己 к этой точке приходит продольная упругая волна напряжения, фронт которой движется со скоростью & от поверхности х = 0 внутрь пластинки. В данной точке возникает скачком величиной (1 ——442)-1 сжимающее напряжение о%, которое затем уменьшается. В момент времени / =儿怎 к этой точке подходит тепловая волна, фронт

q

Рис. 22

也4

也8

"也8

产

一一

伊3、

6

L84&

◎

磔

1

彳

/

Z2

7

1

Г

1

1

г

о

%。

Рис. 21

которой движется в том же направлении со скоростью Cq. Когда М < 1 (r^ < q), к рассматриваемой точке в момент времени / = Mg приходит тепловая волна, а в момент времени / = Mg в ней скачкообразно возникает сжимающее напряже* ние, которое затем возрастает, а в момент времени j = Е оно скачком величиной (1 —附2)—1 переходит в область растяжения. Далее напряжение уменьшается до нуля, приближаясь к квазистатическому.

Когда Л4 = 1 (% = с) напряжение о% имеет вид

0* = 6(/ 一 自)。2 + 等s_(f-E)^2 /1?三/叱(5.61)

Как видно из (5.61), величина напряжения характеризуется свойством дельта-функции Дирака 6 (/ ——Е), равной нулю всюду, за исключением точки f = Е, в которой она обращается в бесконечность.

Наибольшее значение охх при q 抬 q, как видно из рис. 22 и 23> достигается при f = W：

8_（1一V）（1—m2），8_（1一V）（1—m2），(5.62)(5.62)

8_（1一V）（1—m2），

8_（1一V）（1—m2），

(5.62)

(5.62)

ГЛАВА 山ЕСТАЯ

ОДНОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

Изучаются обобщенные колебания балки прямоугольного поперечного сечения [57], прямоугольной [30] и круговой [58] пластинок, подвергаемых тепловому удару по одной из боковых поверхностей. Обобщенные одномерные динамические температурные напряжения определяются в полубесконечной пластинке, нагреваемой действующим на некотором расстоянии от края или движущимся в глубь ее плоским источником тепла. Затем рассматриваются изотропная круговая 126] и бесконечная с круговым отверстием [27] пластинки, подвергнутые тепловому удару внешней средой по краевой поверхности. Рассмотрен также бесконечный цилиндрический стержень, подвергнутый тепловому удару источниками тепла, периодически изменяющимися по осевой координате.

Прямоугольная балка, нагреваемая потоком тепла

Рассмотрим свободно опертую балку постоянного прямоугольного сечения F = 23d, ширина d и высота 26 которой малы по сравнению с ее длиной L (рис. 24). К поверхности балки у = 6 в начальный момент времени подводится тепловой поток q, величина которого в дальнейшем остается неизменной. Поверхности z = 土 -^~, х = 0, х = L, у =——6 балки предполагаются теплоизолированными.

В этом случае одномерная краевая задача теплопроводности сводится к вычислению температурного поля в бесконечном слое толщиной 26, определяемого из обобщенного уравнения теплопроводности

d2t 10/—2 дЧ心

0 =T冇+ 0 *(6，1)

при краевых условиях

必击&或=£■S+（矶

0"

dt In

(6.2)

t = -^- = 0 При E = 0,

(6.3)

Применяя к (6.1) и (6.2) преобразование Лапласа по переменной т с учетом начальных условий (6.3), соответственно находим

где ? =где ? =备L = B； +力 备 L-6 =。，(6.5)备L = B； +力 备 L-6 =。，(6.5)Рис. 24Рис. 24屯屯

где ? =

где ? =

备L = B； +力 备 L-6 =。，(6.5)

备L = B； +力 备 L-6 =。，(6.5)

Рис. 24

Рис. 24

屯

屯

оо 2/=2/齐+(/)[[右~- 0 /72-- 1оо 2/=2/齐+(/)[[右~- 0 /72-- 1е/г/п (乡)、а /е/г/п (乡)、а /гдегде(6.7)(6.7)

оо 2

/=2/齐+(/)[[

右~- 0 /72-- 1

оо 2

/=2/齐+(/)[[

右~- 0 /72-- 1

е/г/п (乡)、

а /

е/г/п (乡)、

а /

где

где

(6.7)

(6.7)

Решение краевой задачи (6.4) и (6.5) имеет вид

、鳥卜 + ；) Д 0 3 + ；Т) 23 + е- 3 + А О %. (6.6)

Переходя в (6.6) к оригиналам, получаем следующее выражение температурного поля:~

Найдем необходимое далее выражение температурного момента

闆=翁七厶j tydy,(6.8)

где /z — момент инерции поперечного сечения балки относительно оси 02・

Применяя к выражению (6.8) преобразование Лапласа по переменной т, находим

б

Mt^^EI^lydy.(6.9)

Подставляя в (6.9) вместо fего значение (6.6), получаем

园="1^ &+；№ -耍)•(6」。)

Переходя в (6.10) к оригиналам, приходим к такому выражению безразмерного температурного момента:

I92az^/Z 一 16a2| 26 «[2，街 °

+ 2a 2 (- 1/-1 S- (f-■^)г"/о修 H-

~^dt + fr [粤-4 产ё一"%吊 (4- ； 3；出力 +

+ 2a ^ S_ (/ - A)(一1尸 /1恥。(V 八T) X

(6.11)(6.11)X方（/一词）,

(6.11)

(6.11)

a2_ 4е 2 =~a7a2_ 4е 2 =~a7где О (f) == — 1 + «2/ + 0一必『；1尸](% % g) —, вырожденная гипергео-

a2

_ 4е 2 =~a7

a2

_ 4е 2 =~a7

метрическая функция, причем 】尸(-|- , 3, а2/): Как следует из (6.11),

(6.12)(6.12)(6.13)(6.13)т, (0) = 0.

(6.12)

(6.12)

(6.13)

(6.13)

Прогиб балки V определяем из уравнения [4]

г，г № I г， d2v02M

叫"^彳+

Введем следующие безразмерные величины:

t = 2L у® 厶 *192afqZ?'e P次_t = 2L у® 厶 *192afqZ?'e P次_т留

t = 2L у

® 厶 *192afqZ?'

e P次_

t = 2L у

® 厶 *192afqZ?'

e P次_

23 昨 _ ] / ' a 《京=у ^Г，

c=j/ —； S = Ly -jкоэффициент гибкости балки; с—скорость распространения продольной волны в балке; q ——характерное термическое время; 丁加——период собственных колебаний балки.

Поскольку Mf (т)——функция только времени, принимая во внимание введенные обозначения, уравнение (6.13) перепишем таким образом:

8叩^+段=0(6.14)

(дифференцирование по ^ и / обозначено соответственно штрихами и точками).

Граничные и начальные условия зададим в виде

Р(0") = 0, V(1J) = O,片(0,/) =恤，卜3力=色；(6.15)

P 需 0) = 0, M怎 0) = 0.(6.16)

Определим сначала квазистатический прогиб Vs；, удовлетворяющий уравнению

啰=0(6.17)

при следующих граничных условиях:

Vst = о при 5 = 0, />0;匕/ = опри g == 1, / >0;

02P02|/(6.18)

-^ =恤 при 占=0, f>0; -^ = mt при 占=1, />0.

Решение задачи (6.17) и (6.18) имеет вид

匕/=-^一占位一• 1)・(6.19)

Из (6.12) следует, что

Vst (5, 0) = 0・(6.20)

Для определения 丿女(Е, 8) используем теорему о конечном значении:—

Vst怎8)= Нт叭怎/) = lim疗覓怎s)=ffooSfO

=岂尹 lim sB (s)=尧乳自—1).(6.21)

Для определения динамического прогиба V применим к (6.14) и (6.15) преобразование Лапласа по переменной / при условии (6.16). В результате получим _

銀 + Y2e=0,(6.22)

где__

F(0,s) = 0, D(l,s) = O, d2V (0, s) 二 d2V(^ s) —

-碍-=/， —再-}(6.23)

s

Y=于-

Решение краевой задачи (6.22) и (6.23) имеет вид

%, 5）=歩血需,%, 5）=歩血需,(6.24)(6.24)

%, 5）=歩血需,

%, 5）=歩血需,

(6.24)

(6.24)

где

s ch 卢 + COS\ 頂召s ch 卢 + COS\ 頂召①⑹=；М隸Esh杲"1) + Sh岳^髙(E—D ,

s ch 卢 + COS

\ 頂召

s ch 卢 + COS

\ 頂召

屮（s）=

Для определения оригинала функции

G(s)=G(s)=①(s) 屮(s)①(s) 屮(s)(6.25)(6.25)

G(s)=

G(s)=

①(s) 屮(s)

①(s) 屮(s)

(6.25)

(6.25)

применяем теорему разложения

(6.26)(6.26)G(/)屯需附

(6.26)

(6.26)

где sk —— корни уравнения 屮(s) = 0:

s = 0 (нулевой корень);

s. =干几2冗2皮,，々=1, 3, 5,…

Так как

①(sj = - ^^ sin 亭 ch 等 sin ^,屮‘国)=一等 sin 等 ch 果，

то

у山辺眼= 白屮’陶）у山辺眼= 白屮’陶）44旅环旅环£包等1 COS炉冗252f.左=1,3,5£包等1 COS炉冗252f.左=1,3,5Для корня s = 0 имеемДля корня s = 0 имеемKm①⑹=自(E「l) st о 炉(s)2B2Km①⑹=自(E「l) st о 炉(s)2B2(6.27)(6.28)(6.27)(6.28)

у山辺眼= 白屮’陶）

у山辺眼= 白屮’陶）

4

4

旅环

旅环

£包等1 COS炉冗252f.

左=1,3,5

£包等1 COS炉冗252f.

左=1,3,5

Для корня s = 0 имеем

Для корня s = 0 имеем

Km①⑹=自(E「l) st о 炉(s)2B2

Km①⑹=自(E「l) st о 炉(s)2B2

(6.27)

(6.28)

(6.27)

(6.28)

Принимая во внимание (6.27) и (6.28), окончательно находим

G(/)= %* +击 S ^^^f.

々=1,3,5

Перейдя в выражении Go (s) = smz к оригиналам, находим

仇(/)= < ［毕 -2* 券厶(粵)+

+ 2 唸(一1 尸 S一 (f _訂j I + %(4 M *一系)DJ

T) dg + fr 粤-a50 今 f (/0 (粤卜4(明)+

*2嚐1尸S一 (f-A)｝修外一方)础，

(6.29)

где

0(/)- —1 +々2,+ е-ан.

2л12л1Оригинал произведения двух изображений G (s) и Go (s) получаем по теореме о свертке

2л1

2л1

G (s)仇(s) У@ = j G (9 仇(/— С) %о

Выполняя необходимые преобразования, находим окончательное выражение прогиба

u怎，) = %&/) +警 工 包醬因仍+ /a仍],(6.30) /=1,3,5

где2

(•(/) =粤—а“Г %(京)Ei(f-Qd^ +

со/ а2

+ 2ag(—l)iS_(/_^)Jjr /0(4- ]/"卦

X 弓(/ - C)d&

а" — cos j2n2B2f 十(一—)sin №/232/

必 + /%484，

К/ (Е,力 имеет вид (6/9).

Если в (6.30) положить fr = 0, получим решение обобщенной динамической задачи термоупругости для балки, на поверхности у = =+ 0 которой имеет место классическое условие теплообмена второго рода

.dt Iq

可 L=+6 = %S+(力.

Поскольку с^ = — , то a~2 = fr и, следовательно, выражение прогиба (6.30) запишется таким образом:

b怎/)=匕不/)+击 2 包*U$sin*切一/=1,3,5L

-ap~ 4 (^) sin 必戸炉(f-Qd^ +

+ 2唸(_ 1 尸 s_ (f - * j j ч(4 ]/守 T x

义^(，一0硝2冴或，(6.31)

Переходя в (6.31) к пределу при fr -> 0, находим известное решение классической динамической задачи термоупругости [41

^ 3 т" — 1)^ 3 т" — 1)96962+/=1,3,5//2+/=1,3,5//+ 272 = 1,3,5+ 272 = 1,3,5sin化几三sin化几三紋аз紋аз冗285^冗285^sin n2n2B2f —sin n2n2B2f —- 2/=1,3,5- 2/=1,3,5e一产罔尸+九4炉e一产罔尸+九4炉I （煮了I （煮了sin 九2n232, — cos 几2几282f ♦sin 九2n232, — cos 几2几282f ♦尸4- ”中尸4- ”中

^ 3 т" — 1)

^ 3 т" — 1)

96

96

2+

/=1,3,5//

2+

/=1,3,5//

+ 2

72 = 1,3,5

+ 2

72 = 1,3,5

sin化几三

sin化几三

紋аз

紋аз

冗285^

冗285^

sin n2n2B2f —

sin n2n2B2f —

- 2

/=1,3,5

- 2

/=1,3,5

e一产罔

尸+九4炉

e一产罔

尸+九4炉

I （煮了

I （煮了

sin 九2n232, — cos 几2几282f ♦

sin 九2n232, — cos 几2几282f ♦

尸4- ”中

尸4- ”中

Решение (6.31) наиболее удобно для малых значений f. Получим решение задачи в иной форме, пригодное для любых значений /.

Принимая во внимание разложение

汽% 4% P汽% 4% P1%2+胪1%2+胪

汽% 4% P

汽% 4% P

1

%2+胪

1

%2+胪

формулу (6.10) переписываем в виде

一 48waqCqEJz]

Учитывая эту формулу и переходя в (6.24) от изображений к оригиналам, для обобщенного динамического прогиба получаем выражение

y=1匕一 2 "^1 2[(炉一曲2M2户+广5『х

/=1,3,5々=1,3,5

-cos 产Л252f — -glz^沙2- sin 产几2斤/，(6.32)

где обобщенный квазистатический прогиб К/ имеет вид

%=亠［强一-嘉 2

++sinгтттуsinгтттуРассмотрим алюминиевую балку длиной 0,25 儿.Рассчитаем прогиб при В = 1 и g = 0,5.На рис. 25 представлены графики обобщенного (кривая /) и классического (кривая 2) квазистатического прогибов. Из рисункаРассмотрим алюминиевую балку длиной 0,25 儿.Рассчитаем прогиб при В = 1 и g = 0,5.На рис. 25 представлены графики обобщенного (кривая /) и классического (кривая 2) квазистатического прогибов. Из рисунка

+

+

sinгттту

sinгттту

Рассмотрим алюминиевую балку длиной 0,25 儿.Рассчитаем прогиб при В = 1 и g = 0,5.

На рис. 25 представлены графики обобщенного (кривая /) и классического (кривая 2) квазистатического прогибов. Из рисунка

Рассмотрим алюминиевую балку длиной 0,25 儿.Рассчитаем прогиб при В = 1 и g = 0,5.

На рис. 25 представлены графики обобщенного (кривая /) и классического (кривая 2) квазистатического прогибов. Из рисунка

видно, что обобщенный квазистатический прогиб совершает затухающие колебания около классического прогиба, не испытывающего колебания.

На рис. 26 приведены графики обобщенного динамического прогиба (кривая /), подсчитанного по формуле (6.32). Как видим,

обобщенный динамический прогиб совершает колебания около обобщенного квазистатического прогиба (кривая 2). Соответствующие классические результаты для динамического и квазистатического прогибов изображены на этом рисунке кривыми 3 м 4.

При 5 = 1 и 己=0,5 отношение максимального значения обобщенного динамического прогиба к максимальному значению обобщенного квазистатического прогиба составляет 1,13, в то время как в классическом случае это отношение равно 1,75. Отношение максимального значения обобщенного квазистатического прогиба к максимальному значению классического прогиба равно 2,75, в то же время отношение максимального значения обобщенного динамического прогиба к максимальному значению классического

динамического прогиба составляет 2,48.

Таким образом, учет тепловой инерции приводит к существенному увеличению максимального значения динамического и квазистатического прогибов. В случае обобщенной задачи термоупругости при В = 1 влияние инерционных сил меньше, чем в случае классической задачи.

На рис. 27 показано изменение отношения классического динамического и квазистатического максимальных прогибов в зависимости от параметра В. При уменьшении значения В влияние инерционных сил становится все более значительным. При 8 = 0 это влияние полностью предотвращает прогиб балки в любой конечный период времени. С другой стороны, при В f 8 инерционные силы исчезают, а решение становится квазистатическим.

Прямоугольная пластинка, нагреваемая по боковой поверхности потоком тепла

Рассмотрим свободно опертую по всем сторонам прямоугольную пластинку |х| < Ь, |у У d, к поверхности z = + 3 которой в начальный момент времени подводится поток тепла q, остающийся в дальнейшем постоянным (рис. 28). Нижняя поверхность пластан- ки z = —6 и ее краевые поверхности % = ± Ь, у = ± d теплоизолированные. Температурное поле зависит только от координаты z и времени т, а поэтому определяется из уравнения теплопроводности

/1 及 _2 дЧ

= 十 Q IF

(6,33)

при краевых условиях

(6.34)(6.34)祭L=^回⑺+依⑼，若l_6=。.

(6.34)

(6.34)

/ = ~ = 0

Применяя к (6.33) и (6.34) при условии (6.35) преобразование Лапласа по переменной т, получаем

при т = 0.

(6.35)

dH

dt I =

~dz |z=6 一 df dz

一Y叼=0,

■fr(4+

(6.36)

Рис. 28

吏.

где

(6.37)

ch y (z + 3) sh 2Y3ch y (z + 3) sh 2Y3Решение уравнения (6.36) при условии (6.37) имеет вид

ch y (z + 3) sh 2Y3

ch y (z + 3) sh 2Y3

(6.38)

Переходя в выражении (6.38) по формуле обращения к оригиналу, решение задачи теплопроводности находим в виде

8282f 6

82

82

B^zn(z)a

+ 卜一 丁 % (号]/产一 -^y±)]s_(/ -良咨)S+ (/), (6.39)

где

0必=4々一3 1-,0々2 = 4々 -~> 1 J—^

a aa aс atс at

a a

a a

с at

с at

Определяем необходимую в дальнейшем интегральную характеристику температуры [44]

6

(6.40)(6.40)他=11^，〃血

(6.40)

(6.40)

Применяя к (6.40) преобразование Лапласа по т и принимая во внимание (6.38), после интегрирования находим

同=-4^a(6 一干)•m41)

Переходя в (6.41) от изображений к оригиналам, получаем

м = 蔡 S+ (/) {о仍一鲁产ef &停；4；喇+

+ 2ag (一尸S』一善)j

A=1\/ 2论'

a

T) dg + 屮(D — 2a3/e~ 争厶(等 /) +

+ 2a£ (- 1 尸 S_ (f - 4) j ?事 ％ (4 MW-4 $) X

xD(f~^d^S+(f)t(6.42)

где D (f) = —1 + a2f +。一"彳 /】@； 丫； 2) — вырожденная гипергеометрическая функция.

Поскольку Mt есть только функция времени, для определения прогиба пластинки ш имеем уравнение [46]

DWw + С® = 0,(6.43)

где Q = 26р; А =+ -^-, D — жесткость на изгиб.

В случае свободно опертой пластинки граничные условия имеют вид

如=0, -^ = — (1 + V)%М/ при х = ± &,

^(6.44)

® = °，= —О + ”)％М/ при у = ± d.

Представим прогиб w в виде суммы квазистатической составляющей 5s/ и динамической составляющей wd:

(6.45)(6.45)(6.46)(6.46)W==Wsi + 叱ь

(6.45)

(6.45)

(6.46)

(6.46)

где wSi удовлетворяет уравнению

ААд/ = 0

при краевых условиях (6.44), в которых следует заменить 切 на侬s/・

Решение задачи (6.44) и (6.46) имеет вид [44]

Wst = —-у-(1 + ”) Mt (%2 + у2) + 枕》5 (4 ch апу +

+ апуВп sh апу} cos 仪経 +

(6.47)(6.47)+ 2 (& ch ₽nx + ^Dn sh Rm) cos P也

(6.47)

(6.47)

Здесь

a=—$(ch“ +导bsh“),a=—$(ch“ +导bsh“),(6.48)(6.48)

a=—$(ch“ +导bsh“),

a=—$(ch“ +导bsh“),

(6.48)

(6.48)

к ~ 2ch and 'к ~ 2ch and 'bn2ch%b 'bn2ch%b '

к ~ 2ch and '

к ~ 2ch and '

bn

2ch%b '

bn

2ch%b '

6. = -5e + ~言卜 in*

Квазистатическая составляющая wst прогиба удовлетворяет граничным условиям (6.44), динамическая составляющая ——начальным условиям

wd = = 0 при т = 0 (6.49)

и однородным граничным условиям

wd = О, А侬& = 0 при % = 土“ у = ±d.(6.50)

Подставляя решение (6.45) в уравнение (6.43) и учитывая уравнение (6.46), получаем

АА” + ^wd = — 乂2 叫/,(6.51)

где 乂2 =万.

Если динамическую составляющую прогиба представить выражением

5d = ££ Япт (х) cos апх cos ^ту,(6.52)

п=1,3,5 пг=1,3,5

то условия (6.50) удовлетворяются. Здесь функция qmn (т) пока не известная. Она удовлетворяет начальным условиям (6.49).

Представим функцию wst в виде двойного тригонометрического ряда

з 2£ К пт COS 0^ X cos ^俏 у.(6.53)

n=l,3,5 m=l,3,5

Подставляя выражение (6.53) в уравнение [44]

Ад/ = — (1 十 v) atMt(6.54)

и используя ряд оо oо俏

也=一箒此工 2—cosa^cosp^,

п=1,3,5 m=l,3,5 находим n-\-m

К师=(1 + V)士~D沪=knmM (6.55)

Подставляя (6.52) и (6.53) в (6.51), получаем дифференциальное уравнение относительно qnm (т)

?nm + ^nmQnm = knmM.^(6.56)

где

Применяя к уравнению (6.56) преобразование Лапласа по переменной т и учитывая условия

qnm = °， Qnm = 0 При Т = О,

(6.58)

М = 0, Mt =联^ при т =。+ , приходим к уравнению

(S? + з農)Qnm = — hnm 俨乂, 一； Mt (0 +)].

Отсюда

^-kjMt~ з 黑.(6.59)

LS2 +喩V丿

Переходя в (6.59) от изображения к оригиналам, используя при этом теорему о свертке и формулы (6.41) и (6.58), приходим к соотношению

qnm (т)=寨f |-^ sin owv — -у [Unm (т) + xrUnm (喇]・(6.60)

Здесь

^nm (工:—0 de 4-^nm (工:—0 de 4-^^nm (^9 X^^nm (^9 X

^nm (工:—0 de 4-

^nm (工:—0 de 4-

^^nm (^9 X

^^nm (^9 X

Подставляя (6.60) в (6.52), окончательный результат для динамической части решения получаем в виде

汽2££ 々几俏｛Sill СОзиТ —

(6.61)(6.61)现0金15山磊,5

(6.61)

(6.61)

-y 0师⑺+写&他(廟cos anx cos院协

Положив в (6.45), (6.53) и (6.61) fr = 0, находим решение обобщенной динамической задачи термоупругости для прямоугольной пластинки, на боковой поверхности z = + 3 которой имеет место классическое условие теплообмена второго рода.

Поскольку 4 ― т—，то а[2 = %・ Следовательно, выражения прогиба пластинки (6.45), (6.53) и (6.61) можно переписать в виде

"翁阜5上5焼力一等产品悟；3； g +

H—т— j е 2 /о (姜 J sin °W (/1g) dg + 3m0

+ 2а£（—1尸S—卜削j e-丁％修］А」礬）X

.sinco (fig) 1公公6

nmnm+ / —GJ dq cos anx cos ^myt co^ = —^~ .(6.62)

nm

nm

Если в (6.62) перейти к пределу при fr -> 0, получим решение классической динамической задачи термоупругости [44]

w =w =^nS,^^ 1 + 肃Г sin*—^nS,^^ 1 + 肃Г sin*—96 V可•氢96 V可•氢^1шГт + 俨 COS ^nmf + 粤^1шГт + 俨 COS ^nmf + 粤1Щ^ + ^1Щ^ + ^ cosa〃％cosB£， cosa〃％cosB£，

w =

w =

^nS,^^ 1 + 肃Г sin*—

^nS,^^ 1 + 肃Г sin*—

96 V

可•氢

96 V

可•氢

^1шГт + 俨 COS ^nmf + 粤

^1шГт + 俨 COS ^nmf + 粤

1Щ^ + ^

1Щ^ + ^

cosa〃％cosB£，

cosa〃％cosB£，

(6.63)

6 =而•

Круговая пластинка, нагреваемая по боковой поверхности потоком тепла

Пусть к поверхности z = 6 свободно опертой круглой пластины радиусом R (рис. 29) в начальный момент времени подводится тепловой поток 〃， который далее остается постоянным. ПоверхностиПусть к поверхности z = 6 свободно опертой круглой пластины радиусом R (рис. 29) в начальный момент времени подводится тепловой поток 〃， который далее остается постоянным. Поверхностипластины 2 = —6 и r = R предполагаются теплоизолированными. Возникающее при этом обобщенное температурное поле определим из уравнения теплопроводностипластины 2 = —6 и r = R предполагаются теплоизолированными. Возникающее при этом обобщенное температурное поле определим из уравнения теплопроводности1 dr dr11 dr dr1dtdt+ cL+ cL空 戏历2空 戏历2(6.64)(6.64)

Пусть к поверхности z = 6 свободно опертой круглой пластины радиусом R (рис. 29) в начальный момент времени подводится тепловой поток 〃， который далее остается постоянным. Поверхности

Пусть к поверхности z = 6 свободно опертой круглой пластины радиусом R (рис. 29) в начальный момент времени подводится тепловой поток 〃， который далее остается постоянным. Поверхности

пластины 2 = —6 и r = R предполагаются теплоизолированными. Возникающее при этом обобщенное температурное поле определим из уравнения теплопроводности

пластины 2 = —6 и r = R предполагаются теплоизолированными. Возникающее при этом обобщенное температурное поле определим из уравнения теплопроводности

1 d

r dr

1

1 d

r dr

1

dt

dt

+ cL

+ cL

空 戏

历2

空 戏

历2

(6.64)

(6.64)

при краевых условиях专咼 z=6「Y=/S+(t),при краевых условиях专咼 z=6「Y=/S+(t),凱—6 = a 削i = a凱—6 = a 削i = a(6.65)(6.65)

при краевых условиях

专咼 z=6「Y=/S+(t),

при краевых условиях

专咼 z=6「Y=/S+(t),

凱—6 = a 削i = a

凱—6 = a 削i = a

(6.65)

(6.65)

Of пOf ппри т = 0.при т = 0.(6.66)(6.66)

Of п

Of п

при т = 0.

при т = 0.

(6.66)

(6.66)

Пользуясь преобразованием Лапласа по переменной т, находим такое решение краевой задачи теплопроводности (6.64) — (6.66):

2

時 s+(f)N? i

々=]m~\/

a2

曦©

對+

+ А

a*

6 厉n(O

a

吼©

S-(f-与殳)，(6.67)

где

《=今，fг =窘，f =$，限 1 (0 = 2^ + 4- —f *

愧2(9 = 2々+ 4~ +С.

Найдем необходимую далее интегральную характеристику температуры [17]

饵=欝 М纹.(6.68)

Подставляя (6.67) в (6.68), получаем

m=舞•[粤一等什叫a (4- ； 4；司+

+ 2a £|(一 尸 S_ (f 一 A) / Г * % 修 /"『У) Xx0"9爱+小-学一等5“/等；3； аV) +

+ 2a，(-ILS』—之)fX

ХЙ(/-0^ |s+(/),(6.69)

где D(f) = —l+a2f + i.

Поскольку Mt есть только функция времени, то для определения прогиба w имеем уравнение [171

АДГ + х2Г= 0(6.70)

при начальных и граничных условиях

呼=0, 祭=0 при / = 0,(6.71)

取=仇"З^" + 万而 + 网=° при р = 1,(6.72)

где

x _16034，3(1_衿，— zPo°>

А=守+ "而=7■而[p而卜P =戸，G = 丁，

厶儆

a^(l + v) R2 •

Решение уравнения (6.70) ищем в виде суммы квазистатического прогиба Wst и динамической части прогиба %

W = Wst + Wd.(6.73)

Квазистатический прогиб Wst удовлетворяет уравнению

^Wst = 0(6.74)

при граничных условиях

呼s/ = 0,др?"” + ~—Q~ + 也=° ПРИ р = 1・(6.75)

Решение краевой задачи (6.74) и (6.75) имеет вид

% ="(IT).(6.76)

Подставляя (6.73) в уравнение (6.70) и условия (6.71), (6.72), учитывая уравнение (6.74) и выражение (6.76), для определения динамической части прогиба Wd получаем уравнение

AA叭+ 乂2砲+ _^霄_

mz = 0

(6.77)

при начальных и граничных условиях

冷一0，弘 + 2 (1 + ") / - 0

при / = 0,

(6.78)

昨0,*+二"0

"0р21 pdp

при p = L

(6.79)

Применяя к (6.77) и (6.79) преобразование Лапласа по переменной

т и учитывая начальные условия (6.78) и равенства mt (0) = 6, получаем уравнение

(必十馮2)吼=一里^穿厠

и граничные условия

他t (°) = °，

(6.80)

1^d = 0, —j~5— + — —з— ^ 0 при р = 1 .

Поскольку каждое решение одного из двух уравнений (А + а2)吼=0，(А - а2)吼=。

будет решением однородного уравнения (ДА — а4) Wd = 0, то общее решение уравнения (6.82) имеет вид

步即=&.Jо (ар) + С2yo (ар) + Сз,о (°Ф)+ С4Ko (ар), где а2 = ixs.

Частным решением уравнения (6.80) является

(6.81)

(6.82)

(6.83)

旣f)=

PJ 1 ~

2(1 +v) S・

Тогда общее решение уравнения (6.80) имеет такой вид:

步d = &丿о (冲)+ С2yo (ар) + С3/0 (ар) + С4Ko (ар) + °：]工 丫)团户

(6.84)

Поскольку в центре пластинки ее прогиб должен быть конечным, то С2 = С4 = 0. Постоянные & и & находим из условия (6.79). В результате общее решение (6.84) перепишется таким образом:

^d =个^ mt + 2U + V)mi•(6.85)

Здесь

①(s) = /0 (]/^с)厶(/瀛 р) — J。(КМ /о (/荻 Р),(6.86)

гр ⑻=2ms/0 (]/7^)厶(/isx)—

—/fxs(l — v) [/0 (К做)乙(У 次s) + 厶(У ixs)厶(/麻)].(6.87)

Найдем оригинал выраженияНайдем оригинал выражения①(s)①(s)по формулепо формулеG = У 虫%) s fG = У 虫%) s f(6.88)(6.88)

Найдем оригинал выражения

Найдем оригинал выражения

①(s)

①(s)

по формуле

по формуле

G = У 虫%) s f

G = У 虫%) s f

(6.88)

(6.88)

Поскольку корнями уравнения 4f (sm) = 0 являются числа [17]

(6.89)(6.89)Sm = ±‘W，

(6.89)

(6.89)

а2

то при Sm = i -~ ①(％) = — pm (р),屮'(sj =—次dm а при sm = =一力―jF"① 6m)= Pm(P)，屮'(S/и)=—方乂^加.Следовательно, получим

fa2/a28

*/，(6.90)*/，(6.90)竺fv P俏(p).

*/，(6.90)

*/，(6.90)

总1 "心总1 "心一一 ] = 22 鹭

总1 "心

总1 "心

где a^ — корни уравнения

厶(a) I 人(a) — 2a

Pm (p) = /。(am)几 @訥—厶(О /о (a^P),(6.91)

% = a俏[/0 (am) Ji (am)—人(%) Л (a/n)]—

-(1 + v) J0(am) /0(am).(6.92)

Переходя в (6.85) от изображения к оригиналу, используя при этом теорему о свертке и формулы (6.69), (6.90), приходим к следующему выражению для динамической части прогиба:

ООхfС&2

吃=祭£Km(f-Qdz+

+ 2а £ (一 1 尸 S一 (/ _ A) { J 丁 兀悟 Md _与)(_

X%(/-C)dR — %,(6.93)

где

Y 一 乂3 sin 喧 / + 炉 cos 空

K〃 仍=一 ]+ 泻 +u T1-.

Квазистатический прогиб Wst разлагаем в ряд по собственным функциям Рт (р)：

叫=加％ О - Р?)=加餐 Ji %Pm (p)・(6.94)

Здесь ain = j (1p2) ppw (p) dp; Nm — нормирующий множитель,

Nm-JMIM-^-(6.95)

На основании формул

1

f(1 — р2)ppm(Р)ф=-4- 4^ Jq(%j ‘。&) 0

и (6.95) выражениеи (6.95) выражение+ 2а£；(—1尸 л=1+ 2а£；(—1尸 л=14•什%0修；4;司+4•什%0修；4;司+一0泥+力一0泥+力力⑺力⑺(6.76) для Wst преобразуется к виду

и (6.95) выражение

и (6.95) выражение

+ 2а£；(—1尸 л=1

+ 2а£；(—1尸 л=1

4•什%0修；4;司+

4•什%0修；4;司+

一0泥+力

一0泥+力

力⑺

力⑺

x(6.96)x(6.96)+ 2аД(-1Г'5_(/-А) f ^11й(^-У^^

x

(6.96)

x

(6.96)

Подставляя выражение (6.96) в (6.93), получаем

吋崇e^^iF^+f.FM (6.97)

m=\а泅e

где

〃仍〃仍8s *В2/ - (^У sin 唸B2f — e-3f8s *В2/ - (^У sin 唸B2f — e-3fу 4у 4

〃仍

〃仍

8s *В2/ - (^У sin 唸B2f — e-3f

8s *В2/ - (^У sin 唸B2f — e-3f

у 4

у 4

о 123 "万

Y^ Rpa， ◎

Если в (6.96) и (6.97) положить fr = 0, получим решение обобщенной динамической задачи термоупругости для круговой пластинки, на боковой поверхности z =丄 8 которой имеет место классическое условие теплообмена второго рода.

Поскольку 4 = —, то а-2 = %. Следовательно, полный прогиб (6.97) и (6.96) круговой пластинки примет вид

一号 +亲卜制。(汽一号 +亲卜制。(汽

一号 +亲卜制。(汽

一号 +亲卜制。(汽

+ 4a 白一1尸 S. (/ - A) J 卢 I, (4 八2一法)X"a"

卜sin 唸¥(fT)]]

X f—C dg ・(6.98)

嗚B2J

Переходя в (6.98) к пределу при а -> оо, получаем соответствующее решение [171 классической динамической задачи термоупругости для круговой пластинки

ОО*

吟 Е 勺祖(l-cosa^BV)a-2-.

¥〃2# sin *g 一 吟 cos *32/ + *e-Mg

几4m+ *J*

(6.99)

На рис. 30 показано изменение отношения максимального динамического прогиба W к максимальному квазистатическому Wst в зависимости от параметра В. При В f 0 имеет место наибольший динамический эффект, при котором 丽侬* = 2,24.

* st max

Полубесконечная пластинкаг нагреваемая плоским источником тепла

Рассмотрим изотропную свободную от внешней нагрузки полу- бесконечную пластинку, которая подвергается нагреву источником тепла, действующим на расстоянии d от ее края (рис. 31).

Мощность источника изменяется в начальный момент времени на некоторую величину 9, оставаясь в дальнейшем постоянной. Через

боковые поверхности z = ± 5 пластинки осуществляется теплообмен с внешней средой нулевой температуры по закону Ньютона. В начальный момент времени т температура пластинки Т, дТ

скорость нагрева-^-, перемеще- ди

ние и скорость -^- равны нулю. На бесконечности и по краю

пластинка предполагается теплоизолированной.

В этом случае температура Т (х, т) в произвольной точке пластинки в момент времени т определяется из уравнения теплопроводности (3.28), имеющего в данном случае вид

寡一=* +С/2 祭一戈6(-也3+⑺(6.100)

при следующих краевых условиях:

(6.101)(6.101)? =。，=。，

(6.101)

(6.101)

дх |х=одх |%-оо

7 =君=0 нрн t = 0,(6.102)

где *2 = -^; аг — коэффициент теплоотдачи с поверхности z = =土 6, а* = а (а^г 十 I)-1.

Применив к (6.100) и (6.101) при условиях (6.102) преобразование Лапласа по т, получим

(6.103)(6.104)(6.103)(6.104)需一尸Q6(-

(6.103)

(6.104)

(6.103)

(6.104)

^| =0,夕| =0,|%=o， ах

где

Q = +，YI/

Решение уравнения (6.103) при условии (6.104) имеет вид

(6.105)(6.105)戸=Q(l + s) [0一(%+"冲 + 6—1%一山»]

(6.105)

(6.105)

Переходя в выражениях (6.105) к оригиналам, решение обобщенной задачи теплопроводности находим в виде

7 =母q|"畤I"/，*))S.(q)+"GX

Si+$2

><5一(%)卜白 + "2[/。 卜卜，S_ (t；)+

+ /о (в 卜，S—间],(6.106)

где

Е'2=—染 ±1/与一姦2, E(Q %)=

=红『兄 JF"二于,后=一三三， (6.107) bqcq

Если в уравнении (6.100) положить тг = 0, получим температурное поле

7 =+ Q以北 冷))s_(q)+

+ /。卜 к，^4^)) S_ (%)] &(6.108)

соответствующее случаю, когда не учитывается тепловая инерция источника тепла.

Переходя в формуле (6.106) к пределу при q-> 8, классическое температурное поле в пластинке находим в виде

гдегдеТ = £ [е-з+%- (% + 4 0, т) 一 評叶^+ (% + d, 0, т) + + e~x|x~^~ (|х —d|, 0, ^ — e^-^^x — d^ 0, т)], (6.109)

где

где

屮士(％,协 t) = erfc 卜б言■ 士 /® + а%2)с).

Для определения обобщенных динамических температурных напряжений, обусловленных в пластинке температурным полем (6.106), воспользуемся уравнениями [44]

订货=(+)研4^，(6.110)

Gyg = wo%% — cc^ET*(6.111)

(6.112)(6.112)при краевых условиях

(6.112)

(6.112)

о%% =—石一=° при т = 0,

О%* |*=Q =。，U*X |л：->оо = 0, (5уу |дт8 =。・ (6. 113)

Применяя к уравнению (6.110) и первым двум условиям (6.113) преобразование Лапласа по переменной т с учетом условий (6.112), соответственно находим

需一寺眾* = (1 + v)电ps2"(6.114)

^xx |x=o =。，。%% |*f ©о = 0・(6.115)

Общее решение уравнения (6.114) запишется таким образом:

XSXS

= 4+ 5鼻 + %ps(l^)L±WQ b一(计好 +

2g一当ь

(6.116)(6.116)

(6.116)

(6.116)

где Л и В — постоянные интегрирования, которые определяем из условий (6.115) в виде

А =——а坦s0/+ V) (1 +?) Q 仅e-vd —豆 0%), В = 0. (6.117)

Подставляя (6.117) в (6.116), находим

%ps(l + 婚)(1 +s)Q(e—(*+d)v%ps(l + 婚)(1 +s)Q(e—(*+d)vH ciH ci+，一—2l-券+，一—2l-券++尸 г ——d\—)尸 г ——d\—)(6.118)(6.118)

%ps(l + 婚)(1 +s)Q(e—(*+d)v

%ps(l + 婚)(1 +s)Q(e—(*+d)v

H ci

H ci

+，一—2l-券

+，一—2l-券

+

+

尸 г ——d\—)

尸 г ——d\—)

(6.118)

(6.118)

Переходя в (6.118) от изображений к оригиналам, находим обобщенные динамические температурные напряжения в пластинке

и*%и*%修涧Р (1 + V)Q2 (с； — ¥)修涧Р (1 + V)Q2 (с； — ¥)』j芦小（心干脏⑷+』j芦小（心干脏⑷+

и*%

и*%

修涧Р (1 + V)Q2 (с； — ¥)

修涧Р (1 + V)Q2 (с； — ¥)

』j芦小（心干脏⑷+

』j芦小（心干脏⑷+

+ /。卜 G -^)) S-⑵)-2Tb /。卜 k 一 专，争)X

XS_僞）S_k一目而（-C,叫收+

一屮卜-—小一(一中)

X，。卜卜，•^l))S-(T；)+ /o(《T，d21^))S-"一

—2е 2с, /° 卜卜―_^_ ,备》s_(%)s_ 卜—~, (6.119) где

Ф(G %) = (1 + 写S3)孙—(1 + 5sJ У牝 Со = С —•

守sg +守sg +Динамические температурные напряжения, вызываемые температурным полем (6.108), имеют такой вид:

守sg +

守sg +

%с僧(i + ”)pQ f г 号/ L

…帀屮卩。咋

+/。卜 k，^4^）） s-①）一2鼠吋”厶卜 k-^，"0 X

X S_ (J。)S_ (с ^-j ф (^ — 4, 0) "C + S [屮卜, °) X

X S-卜一卓)_屮卜一 ^T1 -。) S- (- 12^)]卜6.120) где

S3,4 = 2〃*(1— Л12) 士 4 3)2 (1 —怀)2 + 1 — М2 •(6.121)

Если в (6.119) перейти к пределу при q -> оо, получим классические динамические напряжения в пластинке

°%x =°%x =a传;p (1 + v) Q V~a2 (si — $2)a传;p (1 + v) Q V~a2 (si — $2)g (- [)’卜//产g (- [)’卜//产=/ Si + a^=/ Si + a^一(3(%+分[^ 屮(％ + d, s-, т)—一(3(%+分[^ 屮(％ + d, s-, т)—

°%x =

°%x =

a传;p (1 + v) Q V~a

2 (si — $2)

a传;p (1 + v) Q V~a

2 (si — $2)

g (- [)’卜//产

g (- [)’卜//产

=/ Si + a^

=/ Si + a^

一(3(%+分

[^ 屮(％ + d, s-, т)—

一(3(%+分

[^ 屮(％ + d, s-, т)—

—』"+d)w+(% + d, Sj, т) + e~^x~d｝屮一 (I % — d I, s^t) —

— еВ“-d“+a%-d|,s,・")] +— еВ“-d“+a%-d|,s,・")] +潦（一年）一eS2^潦（一年）一eS2^%+d ) \X%+d ) \Xxs_«—-—xs_«—-—

— еВ“-d“+a%-d|,s,・")] +

— еВ“-d“+a%-d|,s,・")] +

潦（一年）一eS2^

潦（一年）一eS2^

%+d ) \

X

%+d ) \

X

xs_«—-—

xs_«—-—

-I 2.立卜—-—)I_ у (一 I)”眦八 " , 4"1V Si + a^-I 2.立卜—-—)I_ у (一 I)”眦八 " , 4"1V Si + a^где где (6.122)(6.122)(6.124)(6.124)

-I 2.立卜—-—)

I_ у (一 I)”眦八 " , 4"1V Si + a^

-I 2.立卜—-—)

I_ у (一 I)”眦八 " , 4"1V Si + a^

где

где

(6.122)

(6.122)

(6.124)

(6.124)

XXb 呻“屮一卜，Sj"一^）一

X

X

…*'1 土/1 +警卜也=]/年+炉.(6.123)

При a = 0, d = 0 из (6.119), (6.120) и (6.122) соответственно с〃е・ дует

US-(/-三/而)f

*g6(l-v)/M(M-1)]_M、

…八 尸 S^f-lVM) f eYx Ся (1 v) у (Л4 — 1)J

X "М/") % —尸5_ (f Т) j e-% (^) d「，(6.125)

2^(17) t2^(17) t屮叫黯1屮叫黯1erfcerfc&T&T2匕2匕卜卜— 2erf(/『)S_(D ,— 2erf(/『)S_(D ,(6.126)(6.126)

2^(17) t

2^(17) t

屮叫黯1

屮叫黯1

erfc

erfc

&T

&T

2匕

2匕

卜

卜

— 2erf(/『)S_(D ,

— 2erf(/『)S_(D ,

(6.126)

(6.126)

где

м =м =红，々=红，々=1 +M1 +M内3内32М (1 ~М) *2М (1 ~М) *аа一 0 ，一 0 ，

м =

м =

红，々=

红，々=

1 +M

1 +M

内3

内3

2М (1 ~М) *

2М (1 ~М) *

а

а

一 0 ，

一 0 ，

с“с“аа—а»EQ °—а»EQ °一工宀）S一卜一副食--屮｛一告 fs_｛一-^卄一工宀）S一卜一副食--屮｛一告 fs_｛一-^卄+ 守 /0 I 8 1т,+ 守 /0 I 8 1т,(6.128)(6.128)

с“

с“

а

а

—а»EQ °

—а»EQ °

一工宀）S一卜一副食--屮｛一告 fs_｛一-^卄

一工宀）S一卜一副食--屮｛一告 fs_｛一-^卄

+ 守 /0 I 8 1т,

+ 守 /0 I 8 1т,

(6.128)

(6.128)

%%

Если пластинка нагревается движущимся с постоянной скоростью V вдоль оси Ох плоским источником тепла постоянной мощности q, для определения обобщенного температурного поля согласно (3.28) имеем уравнение теплопроводности

第一依=皆黑 + с】?祭一 q/6(% 一 yT) (6.127)

Применив к (6.127) интегральное преобразование Лапласа при условиях (6.101) и (6.102), найдем такое обобщенное температурное поле в пластинке

(6.129)(6.129)где Si и s2 имеют вид (6.107),

(6.129)

(6.129)

2a* (吟—и2) — у4a*2 (吟一и2)3 号—и2

Без учета инерции теплового источника температурное поле имеет вид

-好 O)dg - u(p 卜^-, 0)S_卜訂•(6.130)

Переходя в (6.128) к пределу при Cq f оо, получаем такое выражение температурного поля в пластинке:

Т =Т =伝他需窖产旷^ А…a, %项一

Т =

Т =

гдегде—需,(6.131)

где

где

%2=差士 ]/备 + 阳2・(6Л32)

Температурные напряжения, обусловленные температурными полями (6.128), (6.130) и (6.131), соответственно имеют вид

%рс储(1 + V)Q /川号一№ \ (成一*)(S3-S4)%рс储(1 + V)Q /川号一№ \ (成一*)(S3-S4)3 T Si+$23 T Si+$2

%рс储(1 + V)Q /川

号一№ \ (成一*)(S3-S4)

%рс储(1 + V)Q /川

号一№ \ (成一*)(S3-S4)

3 T Si+$2

3 T Si+$2

a/P^H(l +v)Q f * f L % 八 о /一х\a/P^H(l +v)Q f * f L % 八 о /一х\X D 卜一白一-^j—/0(е(6%))О(т — g)S_ &^)] d j , (6.134)X D 卜一白一-^j—/0(е(6%))О(т — g)S_ &^)] d j , (6.134)

a/P^H(l +v)Q f * f L % 八 о /一х\

a/P^H(l +v)Q f * f L % 八 о /一х\

X D 卜一白一-^j—/0(е(6%))О(т — g)S_ &^)] d j , (6.134)

X D 卜一白一-^j—/0(е(6%))О(т — g)S_ &^)] d j , (6.134)

—^~) 一 ‘。佃信""S- k -自力"一不典—

X.S一卜^") -/0(Е(% %)) S- 卜^)]｝，(6.133)

°*%

660(%) = £ %优产，g ni=3-——-,(6.135)(兔一％) • • • (Si — Sj_i)(sz — S/+1)• . . (sc — Se)0(%) = £ %优产，g ni=3-——-,(6.135)(兔一％) • • • (Si — Sj_i)(sz — S/+1)• . . (sc — Se)

6

6

0(%) = £ %优产，g n

i=3

-——-,(6.135)

(兔一％) • • • (Si — Sj_i)(sz — S/+1)• . . (sc — Se)

0(%) = £ %优产，g n

i=3

-——-,(6.135)

(兔一％) • • • (Si — Sj_i)(sz — S/+1)• . . (sc — Se)

+ eT"erf ]/6, + 叫一部卜-卜一专)})'(6.136) где Si и S2 имеют вид (6.132), a s3, s4 — (6.123),

а, = s； [(Sj — sj ・・• & — si) (4 — s，+i)⑸一s4)] L

На рис. 32 и 33 представлены графики изменения обобщенных (кривые /) и классических (кривые 2) безразмерных динамических температурных напряжений о* в зависимости от 自 при / = 1 и в зависимости от f при Е = 1 для теплоизолированной алюминиевой пластинки. Кривые 3 соответствуют случаю, когда в решении задачи пренебрегается тепловая инерция источников тепла. Из графиков следует, что максимальное значение обобщенного решения значительно меньше классического, причем в классическом случае при f = 1 максимальное значение напряжения достигается на меньшем расстоянии от края полубесконечной пластинки по сравнению с обобщенным, а при 自=1 максимальное значение напряжения в классическом случае почти в два раза меньше, чем в обобщенном. Учет тепловой инерции источников тепла приводит к значительному умен ьшению напряжений —— при / = 1 приблизительно в 9 раз, а при 自=1 в 5,4 раза.

Бесконечная пластинка, нагреваемая линейным источником тепла

Рассмотрим свободную внешней нагрузки нагреваемую линейным источником тепла бесконечную пластинку, обладающую цилиндрической анизотропией. Мощность источника тепла изменяется в начальный момент времени на некоторую величину 务-,оставаясь в дальнейшем постоянной. Считаем, что температура, скорость дти

нагрева -^-, перемещение и скорость в начальный момент равны нулю, а на бесконечности температура и ее производная по г исчезают.

Согласно (3.26) для определения нестационарного поля в данной пластинке имеем уравнение теплопроводности

a7-們7 =3票 + :黑 _q屮［S+⑴+⑴(硕，(6.137) где

Q = —4冗А»

Решая уравнение (6.137) при указанных краевых условиях методом интегральных преобразований Ханке л я по г в Лапласа по т, получаем искомое температурное поле в пластинке

8 = S_ (/ — ехр+

+ f exp孚空”BL dj ,(6.138)

гдеI

9 =普，叫"，力=(2m2)T [(1 一 ь2M2)(产 一 M2P2)]后，p 鹏.

В случае осесимметричной задачи термоупругости для определения вызываемых этим температурным полем динамических температурных напряжений воспользуемся формулами (3.89), в которых и удовлетворит уравнению (3.90), т. е.

д2и .1 ди 胪 1 /〃

寸+丁 方一了"一/而=№ 矶 (6.139) где

/ 亿 т) = а； ~ + а? ； , а? = а；—炉а：胪=芸.

Применяя к уравнению (6.139) преобразование Лапласа по т, получаем для определения изображения радиального перемещения такое уравнение:

需十;黑一(* +m)" = f(r，s)，(6」40)

где

__ ао*- _

7 忆 s) = 2Q/ _ К。(г?) —+%•

Решение уравнения (6.140) с учетом обращения в нуль в начале координат перемещения и на бесконечности температурных напряжений для k > 1 примет вид

"=】Krg)Ms — Kh«g)Ns，(6.141)

где

Ms = ] rfKk (rg) dr, & = f rflk(rg)"oo0

Подставляя теперь (6.141) в подвергнутые преобразованию Лапласа соотношения (3.89) для определения температурных напряжений в случае обобщенного плоского термонапряженного состояния, находим

d〃 = Е* {IgK/e+l (rg) — krKk (rg)]牝 +

+ lg〃+«g) + Vfe^)] Ms — aJ},(6.142)

О'фф ~ E* U”(pgK/?+i (rg)卜卜尺卜(rg)] "s +

+ 24Pg/々+1 (rg) + 卜叫"g)] Ms — a^2T}, где

耳=上》,戸=±及兄(号).

Перейдем в (6.142) от изображений к оригиналам, умножив для этого обе части уравнений на 广.Воспользовавшись справочными данными [7] и теоремой о свертке, придем к таким интегральным уравнениям Вольтерра первого рода для определения обобщенных динамических температурных напряжений в пластинке:

fр f п

J о, (", 0(/ 一 0 中吨=伍 一 1)!/ 2 口J [а；ф0 (B,r)-O- odoo

—E% 怎 9 — Pl ["^2"屮2 & 々 + 1 , С) Фз 怎財/ — Л)—

-月"^中2 ("，瓦093 &財/ -叫卜"叮施+

P f n「

+ 2 J，f[%% & n — 9 — "% 怎 " 一С)] 中2 (自 / 9 屮3 (p，心 + ooO 0L、

+ 1" -n)+屈^屮2怎財 9 中3("，在 f-rOdgdr)施一中0(",力], (6.143)

fP f n

J W (P, C) (f -e)1哀=3 一 1)!/ 2 N，開a 怎 T] 一 0 一

О.ООО

—Е% (Е，п — 91 ”《 ^г 屮2 怎 々 + 1, 9 屮3 怎 瓦 f — л)—

-叫装中2 &电9中3(自// -n)dgd嶼+

+ 2『，h涼中0怎T] —9 -自用怎刀一0] V”冠中2&汽9 X ко оъ

X d^^ — (1 — ^) Фо (Р，/)

где

Фо ("，力=S_ (f — MJ )俨一М2р2) 2 ехр (—鳥ch 國(p, /)] df,

Фх (P，f) = Mp^j(p,f) + MT业д’ 力 + RM厂％2 J业 д’ g)或],屮2 3 E f)=俨一，2)2 ch [feArch Л S« — p),

办比力=号i而Г尸К2Р 一力/广%- （2Р 一力，也 9, /） = 2A12 （1 — b2M2）2 exp （— f j sh ［侬（p,切 s_ （/ — Mp）,

Полученные интегральные уравнения для конкретного значения k решаются численно.

Если порядок модифицированных функций Бесселя, входящих в （6.143）, равен целому числу с половиной, существует возможность перехода к оригиналам при помощи справочных данных ［7］ и теоремы о свертке для преобразования Лапласа.

В результате выражение для динамических температурных напряжений можно получить в явном виде.

厶 3

Для k = — имеем

" =口 （* + R）［戶 З К）+ 尸2 （p，%）］ - -^［尸 s, G）-尸 3 备）］-一+/［尸（P, 口）一尸（P,电）］# + 十j仍g，5 + 尸3 ^］df^-令 j（f-n）［F（P，口一冷一尸（P，0一 叫 dj 青一^Pw + T）［FS'备）一尸（"'蜘+ R【尸（〃备）+尸（P,备）】++等j仍S' ^ + F^装）］曲+普p尸（P，^ 一 F（p, ^］df ++，-，（/ - 3 ［尸（P,备一①一尸 S，甘3 —喇 d“ 长—®（P,力，0屮Пj‘ （宗+ rJ ［尸（p，装）+ 尸（P，0）］ - 4-［尸（"，g Г一尸 3 至）］一+"j 戶（P, 口）一 尸 S,备）Jdf +十口尸 3 ^ + F（Pi ^］df^—畳 J c — ""尸""一明-尸 S'电—"" d" "^" - j‘'（导 + +） X

X [F (p,厶)一尸(p, ?з)] + 8[尸(d 厶)+ 戶(P，装)1 + 令 j [尸("，备)+ 十f3 £)]df 十个 J仍3義)一尸st3)№/ +录!c 一 n)[尸S，0一切一 一尸(P, $3-n)l+Фо ^ 力，(6.144)

где

尸(P，G) = a尿仇 0 — <Pi (P, 9，

R =十(3 —左開)，& = -^- (3Vq — %P),

Cinf — P + & 甘2 = f — P —白，寸3=/ +。一 &

Для изотропной пластинки (Er = E^— E, a： = a： = a/,旷厂屮=”@「= v) изображение радиального перемещения удовлетворяет трансформированному дифференциальному уравнению (3.104), т. е.

d2u 1 du / 1 I \ -dT

宓+ 卞丁-旧 + 臂尸=(+)%丁'(6.145)

где T=l ~ KQ (ry).

Решение уравнения (6.145) имеет вид

& = aQ；中)[g& (嘲 一 Y&(6.146)

Подставив (6.146) в преобразованные соотношения (3.103) для случая обобщенного плоского термонапряженного состояния, получим

-—%EQ (1 + 写•$)S(l — V)(Y2_g2)-g2K°(「g) + —；—-—%EQ (1 + 写•$)S(l — V)(Y2_g2)-g2K°(「g) + —；——^gKi&g) ——^gKi&g) —Mi(「Y)+g2Ko(rg),Mi(「Y)+g2Ko(rg),

-—%EQ (1 + 写•$)

S(l — V)(Y2_g2)

-g2K°(「g) + —；—

-—%EQ (1 + 写•$)

S(l — V)(Y2_g2)

-g2K°(「g) + —；—

—^gKi&g) —

—^gKi&g) —

Mi(「Y)+g2Ko(rg),

Mi(「Y)+g2Ko(rg),

2w屮=若强^汇为 了亍工gKi (3-暗勺(唁)-

—Y& (e一[(1 一 V)Y2 - g2]凡 ")j •(6.147)

Переходя в (6.147) от изображений к оригиналам, находим такие обобщенные динамические температурные напряжения в изотропной пластинке:

” =s_ (/ — p)【吊(亿 /) + 尸2 (",/)] — S_ (/ — Mp) [& 3 力一尸4 (Р，/)1，

。屮=s_ (/ — Р)[— 尸 1 (亿力 + vF2 3 川 一 S_ (f — Mp) [& s, /) +

+尸4(凡力+尸5(P，川，(6.148)

где

(1 —v)o〃 .'

6 =—灰ё —''=乙叭

+ eXp （ 2（1 士 №）/） j exp （— 2（： 士ЛЯ В（?—户）2 恋一 -（1-川游）/TU^ + exp 陽三^力x

X J exp （一 小三/2）J仔一户）3戏L与（p, /）=

=W^W 卜 + d）（岬―L + exp（2（：士％ /）义 X j exp （-^^ g川_小尸或］一 （1 - d） ［?Д= + + eXP （ 2（1 -Л42）力 f exp （- 2（； 一 M）寸俨一們 恋，’ 国0力=W=W № +d"Kexp（一/）器解• + + exp （ 2（：t，）力 J exp （一 2мЗ 驾2）《）X

yg2_〃2"2丿 R 2M2 / M/2—M2炉丁

+ exp （_"2（1—M2） 7 J exp \ 2M2（1 —〃2）白丿 X

义頂2二М2亦［「

> （6.14»> （6.14»MP，力=U 二 *）k—mmexp 卜姦）X

> （6.14»

> （6.14»

將累+!m-晶瑞嘗^

2（1 +幻 + Ь2（1一/m2）2（1 +幻 + Ь2（1一/m2）2d （1 十 d）2d （1 十 d）M2 expM2 expsh@（p,川］ 了1-62/小sh@（p,川］ 了1-62/小

2（1 +幻 + Ь2（1一/m2）

2（1 +幻 + Ь2（1一/m2）

2d （1 十 d）

2d （1 十 d）

M2 exp

M2 exp

sh@（p,川］ 了1-62/小

sh@（p,川］ 了1-62/小

+ exP( e(: 士吃于f)j exp卜鳥栏％u)X

sh[g(p,倒2(1一) + 加(1一 出 叶十2d(l — d)X

X "exp(f ^|^+exp(市小卜 小(一志瑞4)书齬力

FMS岳卜一М)卜expj击)*旣3 T .f匚 )ch[g(p, 0]]2(1+砌+92(1一m2)

十]/ХР[ 2Ap j^——— Qs2d(1+d) X

x [附2 exp(I +)y=== + exp ( 2(；±%)，)X

XJ吋(一2乂2(1一№)叮7^与方勺+

丁 2d (1—d) J 飞 2M2 丿匕2— М2炉

+ exP (”(i 一旧")J exp J2M2 ° — м2) 0 义

代2 一“ J

d = ]/l+b2(l「M2}・

В случае очень большой скорости распространения тепла (Cq -> оо) решение задачи теплопроводности и термоупругости находим из (6.138) и (6.148) при М = 0,入;=%. Приходим к выражению температурного поля

е^ехр(一字 i£)g (6.150) о

и напряжениям вида (6.148), в которых

尸 1 3 力=f ①I (/ 一9 y?7^或,/S, f)=；J①1(/一0停一户「可与

尸 зЗ /)尸 зЗ /)皿& о皿& о(6.151)(6.151)&("，/)&("，/)1 - V1 - Vj ①2(f Y)P(P, S)C оj ①2(f Y)P(P, S)C о

尸 зЗ /)

尸 зЗ /)

皿& о

皿& о

(6.151)

(6.151)

&("，/)

&("，/)

1 - V

1 - V

j ①2(f Y)P(P, S)C о

j ①2(f Y)P(P, S)C о

KS,力^-1^) ^-^V(p. 0對.

Здесь

ф1 0 = (1 + л) exp ^-Ц-2-力一(1 —ri) exp (与尸g⑺亠屮*(中"

+^Fexp

У=ехр[I-^(再 + f )]'九= PTT^・

Круговая пластинка, нагреваемая по краю

Рассмотрим изотропную круговую пластинку радиусом R, толщиной 26, через поверхности z = ± 6 которой осуществляется теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. В начальный момент времени температура поверхности пластинки г = R изменяется на некоторую величину /а, оставаясь в дальнейшем постоянной. Температура среды, омывающей поверхности z = ± 6, предполагается равной нулю. Источники тепла в пластинке отсутствуют. Температура пластинки и скорость ее нагрева в начальный момент времени равны нулю.

Для определения возникающего в пластинке нестационарного обобщенного плоского температурного поля согласно (3.28) имеем уравнение теплопроводности

加.1дТ1"I1d2T

чx2ZT =ч————5-(6.152) dr21rdradrI吟Od ' 丿

и краевые условия

Т |г==^ = f0S+ (т), Г |d *8,(6.153)

7=黑=0 при т = 0.(6.154)

Применяя к (6.152) и (6.153) преобразование Лапласа по времени т с учетом начальных условий (6.154), получаем

d2T1 dT 赤 с1 rr-v

= "(6・155)

帀|т = &,九=o*O・(6.156)

Решение краевой задачи (6.155) и (6.156) имеет вид

7 — А. 'о "Y),(6 157)

где /0 (%) — функция Бесселя первого рода от мнимого аргумента нулевого порядка.

Ограничимся малыми значениями времени. В этом случае величины гу и R? велики и можно воспользоваться асимптотическим представлением модифицированных функций Бесселя первого рода 厶 W«4 W«]/ ~^еХ-

Искомое обобщенное температурное поле для малых значений времени имеет вид

Q = S_[f — М (Р — р)]^ -у-卜 р (—2 加 2, +

+/1一，2M2 f exp吗p一2图L dj ,

M J 12M2 / у ^2 _ ^2 (P，

(6.158) где P=专、p=卡.

Для определения обобщенных динамических температурных напряжений, возникающих в пластинке, воспользуемся формулами (3.102) для обобщенного плоского термонапряженного состояния и уравнением (3.104) для определения радиального перемещения.

Будем считать, что

и = ■—- = 0 при т = 0.(6.159)

Применяя к (3.104) преобразование Лапласа по т при начальных условиях (6.159), получаем

0〃1 du / 1. s2 \ - ci、 dT

不" + "7一后 + 署)"=(1 +")% 丁 . (6.160)

Решение уравнения (6.160) с учетом (6.157) и краевого условия о” = 0 при г = R имеет вид

S(y — g2)7°(Ry)屮(匕 а /° (Ry)」'0KH丿

где

m _ (I-W ”i(RY)-g2R/o 依仍屮⑺⑶-(1-v)厶(Rg) — gR/。(Rg) *

Подставляя (6.161) в трансформированные формулы (3.102), получаем такие изображения динамических температурных напряжений в пластинке:

啞=^一)(仁*认(^ [g%(⑴ 一 У ,

—g屮(Y，g)A)(rg) + L三 <P(Y，g)4(rg)] ,(6.162)

^ =我三)(汇})/。他Y) {[(V - 1) W -峭 /。(E -

-丄亍* Y厶(⑴一vg屮(% g) /()(rg)—上产屮(% g)k "g)} •

Воспользовавшись асимптотическим представлением функций Бесселя нулевого и первого порядка, вместо (6.162) имеем

初=才爲e得g宀一

——二^ w一似一5 - gy (% g) ё一(RТ)g ++上千屮(Y，由ё一依一胃，(6.163)

嬴=為-#/4 {[(V - 1)一峭产一小一

——^ 丫《_依_「" — vg^ (Y, g) e—(R—「)g — ^^ ф (» g) e—(R_「)g ,

Переходя в (6.163) к оригиналам, получаем выражения обобщенных динамических температурных напряжений

3 = // (Mofo S, /) + 4& S, f) — 4尸2 S,力—4尸з S") +

+ 兄舔①о(р, /) — К//!)](р, /) — К2В2①2(Р，/) +

+ JR (P")l S_ 炉 一 (Р 一 р)] -[С0Т0 (р, /) + &Ч\ (",力一

一 G屮2 (亿 /)] S_ 炉 一 M (P — 〃)]},(6.164)

^ =力書{W4尸о (Z f) + ”&FMpJ) + vA2F2 (p, f) +

+ 4尸3(P, /)— ”。舔①о 3 /) — N1В1Ф1 (p, /) +

+ N2С2Ф2 (p, /) — &①з S,力]S一炉一(P«^― p)] +

+ CN。g,力-v&K (p, /)+ vc2v2 (p, /)-

一(1 - W)中3(d /)1 S_[f-M(P-p)],

справедливые для малых значений времени и при условии, что г > > 0. Здесь

4 = 4 (1 — V)2 {4 (1 — V)贝一V)(1 — Л!?)—川一 b2P2}-1,

л _[2(1 士 少 + (1 - m2)妁 Р

i，2 — 2 [P (1 土 d) - 2 (1 - ”)(1 - М2)】(1 — 〃2)，

л =1 —夕

3 — 2dp (1 —М2)»

—4(1 -v)[(l—v)M2 + P] + ^2P2

仇=M {4(1 — w)[(l — ”) (1 —Af2)—pi —加户}，

О2(1 士 d) + (l_〃2)b2A

1,2 — 2M [P(l 土 d)「2(1—y) (1「М2)]，n3 — — pM，

_ 2(1 士 d) + (l-M2)匕2

G° = pM，5 = 2(i —м2)(1 士 d)d「，

Ко=?，+项 К,2 =

(1—v)[p(l 土 d)-2(1 — ”)(1 —М2)]

=p(l 土 d)(l — Л(2)，

M = ^(P + W)，

V (l-v)[vp(l 士④+ 2(1-v)(1—M2)]

=p(l 士 d)(l -М2)，

尸o(Z/) = exp{丄詐[/—(P —p)]},尸i,2 (",/) =

=exp{法^為【/ — (P — P)]卜 尸з(Р, /)=

=exp I 1 / (P - P)] / {(1 + d) exp [ 2(卜士 3)(f T)]—

— (1—d) exp[》(；三％ (f — o]} exp 广亏。0 d&

(6.165)(6.165)①o(P, f) = exp[匕許(P — P) —

(6.165)

(6.165)

+击)力。 fe^-加硏

①L2(P,力=exp [--涼』(P - P)一 血]X

X j exp ]>57H方++)d厶(昜/口硏a

R旧/) = exp (-加)J exp屬)叱

▽⑴2(1+^) + (1一怀中 L l + d

*o(P，〃一JF 2d(l+d)(l-Afa) ехр[2(1 — лр)X

XU 叫十 2d (l — d)(l — M2)入

X exp [ ь(；三翡"(f — °]} /0 侬(P — Z В 总

K,2 (P, /) = exp (—击){/()助(Р — р, /)] +

+ Yi l^2(P — p9f), ®(P —■ /)] +

+ V2[让2 (p-Z /), ® (p一亿 /)] + Vi m[2 (P -亿 /),

⑪(P — P, » + ?2 (Пи(P — P」)3(P — P, /)]},

中 3 (P,f) = exp (一 鳥){/0 [ш (P - p, f)l +

+ %[甘(P —P")，®(P —Z 力]+ 丫2 [甘(P—P, /),

叫p-z 切+h [旧(P — Z /), w(p-p9 f)] +

+ 丫2 唁仍一Z f)，丿 где

趾2仍一0，"=与黑帚U±M2d2 ++ M /2(1 土 d) + b2([-M2)],

^2(P-P. f)='麻 1弓試T1 士 M2d2 —■ — M ]/2(l ±d) + ^2(l —M2)],

時(P— P，f) = Г『)(1 土 WM),

Yf (招 У)— функция Ломмеля двух переменных мнимого аргумента.

Если скорость распространения тепла Cq значительно превышает скорость рзспространения упругой волны расширения в пластинке 。口 соответствующее решение динамической задачи термоупругости имеет вид (6.164), в котором вместо (6.165) будет

Л0 = 4(1 — v)2[4(l —v)(l —”一 P)—b2P2厂1,

-[2(1 士枕)+ 叫 P 41-v

L2 - 2[P(1 ± n) — (I — v)]n，3 - 2“，

A 一二 4(l-w)(l + b2p)p

4(1—w)(l _y—P) —产尸，

_2(1 士九)+ 加_

句，2 - 2[P(1 士九)一(1 i)]九，3 - ~，

1一"_ 2（1 士力 + 产

—P—，1，2 - -2"（1 士 几）

人。=*仍+*人。=*仍+*（1一"）［p（1 土九）一2（1-"）］P（1 土九）

人。=*仍+*

人。=*仍+*

=等…）“ 3饮戸…

XX尸о(P,力=exp 卜勺 X【/ 一 (P — ")]} , %,2 9,力=exp p 尹.[f —

X

X

—(P —项},尸з S,力=exp [弋 ” (P — р)" {(1 + 九)exp

X (/「0 J「(1 一 九)exp I----- n (/ — 4)X (/「0 J「(1 一 九)exp I----- n (/ — 4)Фо ("，力=Фо ("，力=+今]+今]■ 1 wexpУК■ 1 wexpУК与2 (P _ p) 一与2 (P _ p) 一(6.166)(6.166)/,2(p，力=会eхp[^(р-p)一券]Jexp [(2/,2(p，力=会eхp[^(р-p)一券]Jexp [(2士 n士 n牀牀①3 S，/) = -j^-exp①3 S，/) = -j^-expexp оexp о

X (/「0 J「(1 一 九)exp I----- n (/ — 4)

X (/「0 J「(1 一 九)exp I----- n (/ — 4)

Фо ("，力=

Фо ("，力=

+今]

+今]

■ 1 wexp

УК

■ 1 wexp

УК

与2 (P _ p) 一

与2 (P _ p) 一

(6.166)

(6.166)

/,2(p，力=会eхp[^(р-p)一券]Jexp [(2

/,2(p，力=会eхp[^(р-p)一券]Jexp [(2

士 n

士 n

牀

牀

①3 S，/) = -j^-exp

①3 S，/) = -j^-exp

exp о

exp о

L2(1 + 3 +从-hT [ 4 "I】2九(…)expL2(1 + 3 +从-hT [ 4 "I】2九(…)exp斗一斗一

L2(1 + 3 +从

-hT [ 4 "I】2九(…)exp

L2(1 + 3 +从

-hT [ 4 "I】2九(…)exp

斗一

斗一

門+餐聲叫写"加p門+餐聲叫写"加pFT,FT,

門+餐聲叫写"加p

門+餐聲叫写"加p

FT,

FT,

Т1,2(Р，/)= 4" ехр (~^ П “ {ехр [写丄 了2 (1 士 加书庐| X

X ВС[篇^ + 4" m[2(1 士 编 +婀 f ] + exp [与* X

Решение динамической задачи термоупругости при г = 0 для рассматриваемой пластинки получим следующим образом. Переходя в (6.162) к пределу при г ->0, находим

-~ — jEtq (1 + v)g ]1 —” —

—— s(i-v) 2M—g2)不砌2

_ (1 — v)2 Y<p (Y，g) A (Ry) _ (1 + ”) gRw (Y, g) ]1A7、

2(?2-g2) TU^T2(d-g2)—卜(。」。/丿

где

ф (% g) = g【gR/。(Rg) — (1 — v)厶(Rg)L・

Воспользовавшись асимптотическим представлением для модифицированной функции Бесселя /▽ (г) (v = 6,1) и переходя в (6.167) к оригиналам, обобщенные динамические температурные напряжения для г = 0 находим в виде

% = 0<р =/椅 卜。尸(屈丿)+ AJ (网,力+

+ 4尸电，力+ (1 - V)统J尸(岛"一 0屮@ dg +

+ (\-v)B^F(klt /_S)T(9<~(1-v)B2Jf(^, f-ОХ

x ▽©《s ”p)+勰4 f*±①仍十

+ 4一怨l exp (-加)p-T/_^ (m)/。(以MP) +

+ f ^lCT(f-^I 丄(陶厶(㈣dj -」M"x

Mp0 rJ

x J ①©或一a + v)E]『ф^^а-^^н-

Мр,Мр

(6.168)(6.168)+ (l+v)E2 J ①⑺ Х?(/ — 咽dJs(/-MP),

(6.168)

(6.168)

Мр.

где Bj (/ = О, 1, 2) имеют вид (6.165),

尸(比0=(哂4 +У^exp(时)erfM好，

①(p, /) = exp 击)J g 4 /_ ；(M)/o (卩£)d&屮仍=exp [—志 j /0 (端，X,・(f) = exp (岛f),

EiEi（4包•+加）財（4包•+加）財д _ 1 一 v厶1 士d% = ~P~，修，2 = 2(1-M2)д _ 1 一 v厶1 士d% = ~P~，修，2 = 2(1-M2)

Ei

Ei

（4包•+加）財

（4包•+加）財

д _ 1 一 v厶1 士d

% = ~P~，修，2 = 2(1-M2)

д _ 1 一 v厶1 士d

% = ~P~，修，2 = 2(1-M2)

卩=击/1一ь2MГ ^[(f-&-M^e.

В случае же /И = 0 решение задачи при г = 0 имеет вид

” =о(р = М市'4尸 Зо,力 + 4 (自，/)—

一 4尸电，/) + (1 — v) 8。j 户偽，/- 0 屮* 6 dg +

+ (1 - V)В/ 尸的"一 0 W* @ % 一( 1 一夕)反 j 尸电，f 一。X

义屮*@纟 sg—P)— ①⑺+ -Ц21&£①*©w；c — Odgi

一丄卢&『6 © %(/7)% +，fm6@><оо

где Л/, В； имеют вид (6.166)；

%价=exp (-今)，匕,2(力=exp[(* +，_[2(1 ±M) + 62](1 i л)

1，2 一 2(±n —1),

значении 九=1 в тонкой теплоизолированной (Ь = 0) круговой алюминиевой пластинке радиусом Р = 10. Штриховой линией изображены напряжения, соответствующие бесконечно большой скорости распространения тепла.

С целью выяснения влияния величины радиуса круговой пластинки на динамические температурные напряжения в табл. 1 приве

та б л и ц а 1

"1

^Ф

尸

0

0,5415896

0,6415897

1 1

1 。

1 0,5415896

1 0,5415897

1 1

5

0

0,065321

—0,314282

—0,464058

—0,596498

-0,616757

—0,142224

—0,157780

10

0

0,038847

—0,329719

-0,437518

—0,629321

-0,589276

—0,128529

—0,148756

ВО

0

0,019796

—0,340607

—0,419280

—0,654026

—0,569456

—0,118913

-0,142555

100

0

0,017534

—0,341887

-0,417157

—0,657023

—0,567099

—0,117784

—0,141834

8

0

0,015296

—0,343150

—0,415066

—0,660000

—0,561359

—0,116671

-0,141122

дены значения безразмерных радиальных и кольцевых температурных напряжений, вычисленных при фиксированном значении / и некоторых значениях h. Из таблицы видно, что максимальные

значения радиальных и кольцевых напряжений, достигаемые при& = =1, с ростом радиуса пластинки соответственно уменьшаются и увеличиваются.

Бесконечная пластинка с круговым отверстием, нагреваемая по краю

Определим нестационарное обобщенное температурное поле и вызываемые им динамические температурные напряжения на основе уравнений термоупругости в свободной от внешней нагрузки бесконечной пластинке толщиной 26 с круговым отверстием радиуса R, температура поверхности г = R которой изменяется в начальный момент времени на некоторую величину /а, оставаясь в дальнейшем постоянной. Теплообмен через боковые поверхности пластинки z = 土 3 с внешней средой осуществляется по закону Ньютона. Температура пластинки на бесконечности предполагается ограниченной. Температура среды, омывающей боковые поверхности z = =±8, равна нулю. В начальный момент времени температура пластинки и скорость нагрева равны нулю. Пластинка обладает цилиндрической анизотропией в отношении ее тепловых и упругих свойств.

Для определения обобщенного температурного поля в пластинке в соответствии с (3.26) имеем уравнение теплопроводности

/т~д^/т~д^1 дТ аг От1 дТ аг От(6.170)(6.170)

/т~д^

/т~д^

1 дТ аг От

1 дТ аг От

(6.170)

(6.170)

и краевые условияТ |г=/? = taS+ (т),專［+8= 0,7|т=о = О,纂［=0 =。’где аг =Воспользовавшись преобразованием Лапласа по находим изображение температуры广_ta 儿(rY)一丁凡便Y)•и краевые условияТ |г=/? = taS+ (т),專［+8= 0,7|т=о = О,纂［=0 =。’где аг =Воспользовавшись преобразованием Лапласа по находим изображение температуры广_ta 儿(rY)一丁凡便Y)•(6.171)времени t,(6.172)(6.171)времени t,(6.172)Асимптотические представления функций Макдональда нулевого и первого порядка имеют видАсимптотические представления функций Макдональда нулевого и первого порядка имеют вид

и краевые условия

Т |г=/? = taS+ (т),專［+8= 0,7|т=о = О,纂［=0 =。’

где аг =

Воспользовавшись преобразованием Лапласа по находим изображение температуры

广_ta 儿(rY)一丁凡便Y)•

и краевые условия

Т |г=/? = taS+ (т),專［+8= 0,7|т=о = О,纂［=0 =。’

где аг =

Воспользовавшись преобразованием Лапласа по находим изображение температуры

广_ta 儿(rY)一丁凡便Y)•

(6.171)

времени t,

(6.172)

(6.171)

времени t,

(6.172)

Асимптотические представления функций Макдональда нулевого и первого порядка имеют вид

Асимптотические представления функций Макдональда нулевого и первого порядка имеют вид

Ko(z) = Ki(z)Q)/^e-zKo(z) = Ki(z)Q)/^e-z(6.173)(6.173)

Ko(z) = Ki(z)Q)/^e-z

Ko(z) = Ki(z)Q)/^e-z

(6.173)

(6.173)

Учитывая (6.173) и переходя в (6.172) к оригиналу для малых значений времени, получаем обобщенное температурное поле в пла- 238

стинке

7 = W交嘉闷侬 S — Е 川 + YE S - P,力,з (" — Л Л1 +

+ 丫2К(Р — Р, f), з(р — Р. /)] + %[g(р — Р,/), 9("—尸,川 + + Y2《S-忆力⑫伪一尸，f)]}S」f — MS-P)], (6.174) где

nS-尸，力^A^化一0 + "a"-p，/) =

=~2М2~ 俨一Р + "•

В случае осесимметричной задачи термоупругости для определения обобщенных динамических температурных напряжений имеем формулы (3.89), в которых радиальное перемещение и удовлетворяет уравнению (3.90), т. е.

д% . 1 ди厶2 〃21 。2〃. /\/11

而 + ~ ^дгh 不^ 齐=屮亿 т)，(6.175)

где

屮(г, т) = &雾 + (а；—炉 а：)；・

Будем считать, что перемещения и скорости в начальный момент времени равны нулю.

Применяя к уравнению (6.175) преобразование Лапласа по т, для определения изображения радиального перемещения получаем уравнение

碧 + ；黑-(％ + 身"=®。' s)，(6.176)

где

7 亿 s) = ^^ — a»Ki(¥)+ 乜二:叱 К。(切,

屮(r, s) = J ^e~sxdx.

о

Рштение уравнения (6.176) представим в виде

口 =力厶(3 + ВКк (rg) + 4 (电)I ЖА (Cg)优；—

-KM^Mdl，(6.177)

Определяя постоянные интегрирования Л и В при условии, что пластинка свободна от внешней нагрузки, т. е.

Orr|r==R = 0, lim。〃 = 0, i = г,屮，(6.178)

приходим к таким выражениям изображений динамических температурных напряжений:

鼠= eJ[_2% s) + ^^|R]亿 s)]j标凡(3)関 +

+ Pl (r, s) У 玩КМЗ dg — Ri (G s) J 節4 隽g) d《+

+一石卜(6.179)

5фф = EJ[— P* (г, s) + 黯号兄(r, s)] j /К.禽)她 +Гг

+ %(「，“g咏左@)dg-R2(G S) §c矶3恋 +RR

I * ta R2 亿 $)

где

Л (r，s) = — krIk{rg) + g/J1 (rg),尸2 (Г, s) = kkrIk(rg) + V^glk^l (rg)f% (r，s) = — krKM — gKi(rg),R2 k s)=破K& &g) — V” gKi 0g),

Умножив обе части уравнения (6.179) на s^kK0 (ry) Ri (R, s), перейдем по формуле обращения от изображений к оригиналам. В результате находим, что динамические температурные напряжения удовлетворяют таким интегральным уравнениям Вольтерра первого рода:

S-(/-MP) f %(Р, ^[F^-^ + F^-Q]^^ Мр

=『h1[%(招 n -9 -a*%(招 Т] -01 x

"66b

X [-后々Р中2 (P，Z財9中3 S，々J - E)中4 (修①W - W +

+ м2 (^，?，比 0%(p，k-\.f - ^^(X,瓦 E 一3一

一%*中2 （尸，P，左一1, 9%S，比f 一自）中4 （%,比E -з+ +备％（P,",左一1,9屮з（Р，財f — E）屮N居瓦E —冷+ +%福屮2 3 P,电9屮3 （尸，电f - E） w （居也E - n）一

—%屮2（〃 尸，肋 0%（尸，k— 1, / —Е）ф4（х, *, g—Т） +

+々Р备92（"，P，々-1，0%（P比f - E）屮4（居^，I — n）—

^92（P，尸，后一1, 9屮3 （尸，论一1 J 一自）中4 （%々,E -

P…TI

—喇喇侬% +J J J J [%（%, п-9 —“*%（%,п-В X p о о 0

X [%如物（尸,P,电0屮3 S，也/ - E）屮4优財E 一 n）+

+ 々P屮2 （Р，Р» 也 0 Фз（Р» 々一1 J ― Е）屮4 （%,也 Е — П）+

(6.180)(6.180)

(6.180)

(6.180)

—喇 dddT]4d% + J J J J 仲1 ⑴一C) — а*Фо (匕 П — 9】Xр 6 о b—喇 dddT]4d% + J J J J 仲1 ⑴一C) — а*Фо (匕 П — 9】Xр 6 о bXX居电 9 Фз(х，也 f—& ф4(^> *,? —n) +居电 9 Фз(х，也 f—& ф4(^> *,? —n) ++ %备屮2 (P，%，后一1，9屮3 (%，々j - E)屮4 (尸，也自一T)+ + '0备"2 S'"'后一1 ' 0屮3 (%，財f - E)屮4 (P，々疋一л) + +备用S，%々一1,9屮3(%，电/T)屮N尸,也自一叫]X X d^d^dx + Jq)o (P, 0 依碑5 (",电 f — 9 十+ 屮5 ("，々一1 J — 9 dC — J Фо(Р> 0 饮PR (R 々J — С) + о+ 6 (r 厶一1J1一 9 忆S-(/-MP)i Оф(Р,0 Л^-^+^^-иМ^+ %备屮2 (P，%，后一1，9屮3 (%，々j - E)屮4 (尸，也自一T)+ + '0备"2 S'"'后一1 ' 0屮3 (%，財f - E)屮4 (P，々疋一л) + +备用S，%々一1,9屮3(%，电/T)屮N尸,也自一叫]X X d^d^dx + Jq)o (P, 0 依碑5 (",电 f — 9 十+ 屮5 ("，々一1 J — 9 dC — J Фо(Р> 0 饮PR (R 々J — С) + о+ 6 (r 厶一1J1一 9 忆S-(/-MP)i Оф(Р,0 Л^-^+^^-иМ^

—喇 dddT]4d% + J J J J 仲1 ⑴一C) — а*Фо (匕 П — 9】Xр 6 о b

—喇 dddT]4d% + J J J J 仲1 ⑴一C) — а*Фо (匕 П — 9】Xр 6 о b

X

X

居电 9 Фз(х，也 f—& ф4(^> *,? —n) +

居电 9 Фз(х，也 f—& ф4(^> *,? —n) +

+ %备屮2 (P，%，后一1，9屮3 (%，々j - E)屮4 (尸，也自一T)+ + '0备"2 S'"'后一1 ' 0屮3 (%，財f - E)屮4 (P，々疋一л) + +备用S，%々一1,9屮3(%，电/T)屮N尸,也自一叫]X X d^d^dx + Jq)o (P, 0 依碑5 (",电 f — 9 十

+ 屮5 ("，々一1 J — 9 dC — J Фо(Р> 0 饮PR (R 々J — С) + о

+ 6 (r 厶一1J1一 9 忆

S-(/-MP)i Оф(Р,0 Л^-^+^^-иМ^

+ %备屮2 (P，%，后一1，9屮3 (%，々j - E)屮4 (尸，也自一T)+ + '0备"2 S'"'后一1 ' 0屮3 (%，財f - E)屮4 (P，々疋一л) + +备用S，%々一1,9屮3(%，电/T)屮N尸,也自一叫]X X d^d^dx + Jq)o (P, 0 依碑5 (",电 f — 9 十

+ 屮5 ("，々一1 J — 9 dC — J Фо(Р> 0 饮PR (R 々J — С) + о

+ 6 (r 厶一1J1一 9 忆

S-(/-MP)i Оф(Р,0 Л^-^+^^-иМ^

=H H [% （招 L 0 — а*Фо （%, L 9】悶麻％ х р о о о1

义（Р, р,幺 9 Фз（Р,比 / —9*（%,也占一п） +

+ WhA^2 （尸,P、財。屮3 （P,论一1, /—目屮4 （匕財 Е— П）+

+ 尿p 差屮2 （P，P,々一1，У Tз（P> 々J ~~! E） X

X q）4（^,电 E - T）+ %）*屮2（尸,亿论一1，9 X

义93 （"，力一1，/ 一e）屮4（X，也ё一T）-

—kkpkp^ （p, R 瓦 о 屮3 （P，財 / —三）％ （招瓦 E —冷 +

+女岛屮2（P，尸,也0屮3（尸/- 1 " 一自） T4 （%々，占一切+

+ "2々Р誓屮2 （P,尸，儿-L093 （Р,々，/ 一 e） X

X 中4 （X,々，自一n）一 ^Ф^T2（p» ^» ^ - 1,4） X

X 屮3（尸，々一L / 一三）屮4仇也 ^ - n）］d^dx^dx +

p f四

+ ）1•口［"（%，П -€） -a*то（^ Л-^）］ X

р о о о

X卜局狂屮2 （尸,",也9屮3 （Z hJ - 0中4 （%,比"一切+

+ Wphp屮式P, P, ^, 0фз（Р, k— 1, f — I）屮4（居 k.l — ^ +

+力%专中2 （尸"，力一1, 0屮3（P，力"一W）屮4 （%，电Е一

一冷 + "①备屮2 （P，P,々-L 9 屮3（p，/ - 1 " — ? X.个 f Е Т）

X 屮4 （% 々飞一n） dB哄dx — \，，"％（% П — 9 —」i 6 6 о

—а*Ф0 （%, rj — 0］卜电々р% 仍,％ 財 0 Фз （招財 / — & X

X 屮4 （尸,玄 e 一 Л）- ”％p备屮2 （0, %, 々-1，0х

X % （%，*，/ — !） Ф4 （рЛЛ — ^ + hhp 备屮2 仇 X.k —

@2

—1,^）ф3 （%, h# — 0 屮4（Z ^l — ^ — Vrw-^-^ （A x, k —

— 1,0 %（修 E/ —目屮4（P,电占一n） dS嶼dx「

—J % (P, 0 快月屮5(P,財/ — C) — Vr(p(p5 (p, k — 1, f —1 0]义 О

X 这 + (a* -l)J(p0 (p, 0 麻會仇瓦 f 一 0 + о

+ % (P,左一1, / - 3 /.

Здесь

& = ±，a* = 1 —卫，“ =—• (i = г, Ф),

Рaza/oE*

尸。(/)=(尸 一 № 产丁 техр(-姦)ch 侬(P, /)] S_ (f - MP),尸】(/)= -網 31 尸。©a 7)2 一曾一‘一 (f - — P)也尸2 仍=謂 2,5)工 尸。(9 G - 02 -/2S_(/-S 一尸)%

恥(P，P,財分=1(/ +。)2 — 产厂"ch [k Arch (%)] S^(f + p^ P),wJP,hJ) = F — Pr 2 ch(kArch^S^(f — p\屮5 9,財f) = ТЙЙГ厂*2 -卢厂*一(『一Р)・

Для изотропной пластинки (Ег = £ф = Н, a； = а： = а^ ▽в = ^屮广=V)вместо (6.179) будет

丁 н 30-£)凡(Ry) [к。(⑴一Ко (rg) ++ 宁乎 К1(гу)-*К】(3],%=sd；k。師*(V - d中+峭K。(一)一--^ 吉 k](用一m。(嘲 + 号^ k] (rg)}. (6.181)Переход к оригиналам приводит к следующим интегральнымуравнениям Вольтерра первого рода для определения динамических

температурных напряжений:

s_(/ 一 ” 丄办(/ _ о(1 一 м2P2)Fxp (—姦卜 h 侬(Е Ж

= S_(f — Mp)牝》叫 / ①i(f —С)ехр (—■gljr卜h[侬(Pj)| (1 —一 b2M2)-%g + J ①"_ 9 exp (—磊)ch [w (p/)]仔一-4俨2 2% 一 £ exp (-编 ch [侬(p, g)] 6 一 必們一 2對，+Мр,

+而工脈)?例(/ 一 9仔一們4j,(6.182)

S-C —MP)f ^{f^^-MW^^ MPS-C —MP)f ^{f^^-MW^^ MP鳥卜h [侬(Pj)]dg=鳥卜h [侬(Pj)]dg=

S-C —MP)f ^{f^^-MW^^ MP

S-C —MP)f ^{f^^-MW^^ MP

鳥卜h [侬(Pj)]dg=

鳥卜h [侬(Pj)]dg=

KS-(f- Mp)卜 f R(f — ° exp (-爲卜g — 必夕2)一т xf_丄

X ch國⑵ 初 ％_ 丝？”)• f ① 1G-0Q —匕2M2) 2 x

X exp (-磊卜h [侬(p, 0] dg - J (0-m2户)2 exp (一编]Х

x ch [侬(p, 0] d, - s_(/ — P) [ ^Hf^ J 包"-°)© - P^d^ —

-w^W 卜…G - P^dz

гдегде

где

где

5(/) = l5(/) = l2(l + d) +加(1—ЛР) 2d (1 + d) (1 — Л12) p2(l + d) +加(1—ЛР) 2d (1 + d) (1 — Л12) pw^f\ +w^f\ +

5(/) = l

5(/) = l

2(l + d) +加(1—ЛР) 2d (1 + d) (1 — Л12) p

2(l + d) +加(1—ЛР) 2d (1 + d) (1 — Л12) p

w^f\ +

w^f\ +

十 2d(l —d)(l — М2)2(1 —М2)

①2 (/) = (1 + ④ exp 2(i 士 м2)/] — О —④ exp 2(i —恥)/] •

Таким образом, решение задачи термоупругости как для изо тропной, так и анизотропной пластинок сведено к решению уравнений Вольтерра первого рода, которые можно решать с помощью известных числовых методов.

Бесконечный цилиндрический стержень, нагреваемый источниками тепла

Рассмотрим свободный от внешней нагрузки бесконечный цилиндрический стержень, нагреваемый источниками тепла, плотность которых изменяется по закону

^ = q cos a)yS+ (т).(6.183)

В начальный момент времени температура стержня и его скорость нагревания равны нулю. На бесконечности стержень предполагается теплоизолированным. В этом случае для определения температурного поля в стержне согласно (3.56) имеем уравнение теплопроводности

哥一m=营黑 +考累一Q8S3wS+(t) (6.184) и краевые условия

7* ||£/|->о© =И= °°»(6.185)

Т = Т = 0 при т = 0,(6.186)

где

Решая краевую задачу (6.184)——(6.186) с помощью преобразования Лапласа по переменной т, получаем такое температурное поле в стержне:

T= + Qcos①必 т* sin^ — -^- sin(|т + 0 + -^-J S+ (т),

(6.187) где

…tg…

F = e仟—"*厂2, ?2 =炉 + 炉.

В классическом случае

7 =今 cos зу(1 — 6一吁)・(6.188)

Для определения напряженно-деформированного состояния, обусловленного в стержне температурным полем (6.187), восполь-

зуемся соотношением (3.107) и уравнением (3.108). Краевые условия примем в виде

limo =0,(6.189)

m ТОО

и = i = 0 при т = 0.(6.190)

Применив к (3.107), (3.108), (6.189) преобразование Лапласа по т с учетом (6.190) и (6.187), после решения полученной краевой задачи находим

о” = — ataqE cos оуо” = — ataqE cos оу俨+d君"e+严+賞俨+d君"e+严+賞(6.191)(6.191)

о” = — ataqE cos оу

о” = — ataqE cos оу

俨+d君"e+严+賞

俨+d君"e+严+賞

(6.191)

(6.191)

Переходя в (6.191) от изображений к оригиналам, имеем。产需——廿三!утT研sm (/+%)+

L

（加城一 2々）2 + 从 （4々他2 一硝（加城一 2々）2 + 从 （4々他2 一硝4々m2—加24々m2—加2+卩1+卩1т 尸庐т 尸庐

（加城一 2々）2 + 从 （4々他2 一硝

（加城一 2々）2 + 从 （4々他2 一硝

4々m2—加2

4々m2—加2

+卩1

+卩1

т 尸庐

т 尸庐

гдегде

где

где

号 » f = "^，力=弋，加=1 + b2M29

〃 =1 + £ — 此々=俨 + * % = arctg (-备)-arctg 證,

= arctg —2々—m产arctg 加2 - 2々松 + 262M4 •

В классическом случае (М = 0) вместо (6.192) будет

о =厂• с。豊:== sin (/ + 九 2)J

где

九2 = T — arctg ~ ・

(6.193)

При "=匕=0, 0 = 1 выражения (6192) и (6.193) принимают соответственно вид

2ЛР —〃4 —22ЛР —〃4 —2cos/ + (М& — Л42 + l)sin/ —

2ЛР —〃4 —2

2ЛР —〃4 —2

加 / 1_2m2 + 2叫也 了4M2_1

〈НАР —j~/ 十

+ cos M嗡H 力］,(6.194)

Решая соответствующую исходную квазистатическую задачу термоупругости, нетрудно убедиться в том, что для этого случая % =°・

По формулам (6.192) и (6.193) при р = 1, г| = О, 7И = 1,7372, 力=0 проведены расчеты безразмерных динамических температурных напряжений (рис. 38). На рис. 38 кривая / описывает изменение обобщенных динамических температурных напряжений, кривая 2 ——классических температурных напряжений в стержне. Динамическое решение колеблется около квазистатического (прямая 3), причем обобщенное решение колеблется со значительно большей амплитудой, чем классическое.

Для / V 8,5 период колебаний обобщенного решения несколько превышает период классического; для / > 8,5 периоды колебаний обобщенного и классического решений совпадают.

ГЛАВА СЕДЬМАЯ

ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В ТЕРМОУПРУГИХ СРЕДАХ

Гармонические волны в термоупругих изотропных средах на основе уравнений классической взаимосвязанной динамической теории термоупругости исследуются В. Новацким [43]. В работе [531 для изучения гармонических плоских волн в пространстве и полупространстве, сферических и цилиндрических волн в пространстве и гармонических волн в слое используется обобщенная взаимосвязанная динамическая теория термоупругости. Плоские гармонические волны в пространстве определяются также в работе А М. Штера [64].

Ведхевен [81] рассматривает гармонические волны в изотропном длинном цилиндре, на свободной от внешней нагрузки поверхности которого имеет место классическое условие теплообмена третьего рода. ,

Настоящая глава содержит исследования, представленные в работах Ф. В. Семерака [53] и Ю. К. Энгельбрехта 166].

1. Плоские волны в пространстве и полупространстве

Рассмотрим распространение плоских гармонических волн в изотропной термоупругой среде. Пусть в неограниченном пространстве в направлении оси Ох движется плоская^волна, изменяющаяся во времени т по гармоническому закону. Эта волна может быть вызвана механическим воздействием (например, массовыми силами, равномерно распределенными на плоскости, перпендикулярной оси Ох) или тепловым воздействием (плоскими тепловыми источниками). Тогда в данный момент времени на произвольной плоскости, перпендикулярной оси Ох, перемещения и температура постоянны. Следовательно, “, и,侬,t являются функциями только переменной х и времени т. В этом случае система уравнений термоупругости (1.40), (1.41) принимает вид

@2〃 1 № dt

дЧ

1

1

汝2

а

От

1

N 0,

*91023

0炉

力

0炉成况-'

гдегде» ЗХ + 2卩〃» ЗХ + 2卩〃ЗХ -|- 2|1ЗХ -|- 2|1

где

где

» ЗХ + 2卩〃

» ЗХ + 2卩〃

ЗХ -|- 2|1

ЗХ -|- 2|1

Решение системы уравнений термоупругости (7.1) ищем в виде 〃 =Re [〃* (х,(о) exp (— /сот)], и = Re [v* (х,(о) exp (— /сот)], 侬=Re [侬* (x, co) exp (— /сот)],'''

f = Re [/* (x,①)exp (— /сот)].

Подставляя (7.2) в (7.1), получаем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд перемещений и температуры:

—др—h a©"=加-，-^r + (?© + Ys) % = zaWs -， (7.3)

+ agU* = 0,+ 6(0 侬 * = О,

где

со a (осо/со

а® =— > р(й = с ， 7® = —7—， q® = —~—・

и“a

Путем исключения из первых двух уравнений (7.3) температуры приходим к системе трех волновых уравнений

(4^ + 9® +(4^ + 9® ++ 蜀 + & 仇 + Т(й) -^г-+ 蜀 + & 仇 + Т(й) -^г-d2炉d2炉+ a2v* = О,+ a2v* = О,需》+Р施* = 0,需》+Р施* = 0,=0,(7.4)=0,(7.4)

(4^ + 9® +

(4^ + 9® +

+ 蜀 + & 仇 + Т(й) -^г-

+ 蜀 + & 仇 + Т(й) -^г-

d2炉

d2炉

+ a2v* = О,

+ a2v* = О,

需》+Р施* = 0,

需》+Р施* = 0,

=0,

(7.4)

=0,

(7.4)

где е = апщ.

Первое из этих уравнений описывает продольную волну, а два следующих — поперечные волны.

Решения двух первых уравнений системы (7.3) запишутся в следующем виде:

〃 =〃* ехр (— йот + ih^ + 〃上 exp (— /сот —访/) +

+ i _5"厶 厂** exp (- /сот + 历2%)-比 exp (-血t — /Л2%)],

а(Л 一九 2

/ =心 exp (— ion + ih2x) + 巴 exp (— ion — ih2x) + (7.5) + i 1 %["& exp (-沁t + 访/j - "二 exp — ih^,

где 欣2 = ； {[^© + (q® + Y?)) (1 + £)士 ^[^м +(9® + ?©) X

X (1 + б)]2 — 4a« (g(o + Y^)} — корни характеристического уравнения

Л4 —胪[a© + (q® + у©) (1 + £)] + 贰(д(й + у©) = 0. (7.6)

Формулы (7.5) будем называть выражениями для продольных термоупругих волн, распространяющихся при постоянной частоте в направлениях х и — х.

Учитывая соотношение

%=味 + 切，， = L 2,(7.7)

приводим (7.5) к следующему виду:

〃=加 ехр |—心 卜^-^〃=加 ехр |—心 卜^-^-%% + "上 ехp [_ is '-(—a)+

〃=加 ехр |—心 卜^-^

〃=加 ехр |—心 卜^-^

+分X +，*/礎｛ 4 exp [-沁卜-号)--

(7.8)(7.8)-t- exp [一心卜 ++ %%]卜

(7.8)

(7.8)

-/(о т 一-/(о т 一—?2X+—?2X++ 巴 exp+ 巴 expJ - z。叫（％+*）*J - z。叫（％+*）*/ = & exp

-/(о т 一

-/(о т 一

—?2X+

—?2X+

+ 巴 exp

+ 巴 exp

J - z。叫（％+*）*

J - z。叫（％+*）*

X %、exp - i(o 卜--—)-%% -一〃上 exp -沁(T 4—j，

где Vj = Re 伪)фазовая скорость; % = Im (勿)——коэффициент затухания.

Используя соотношения

'1(8)|e=0 —a①，用2 (^) |e=0 = Y①(gj. + 值2)，

。1(£)|e=0 — ^i，% ⑹ |e=0 ―。，

。2(£)|e=0 — Y(ogi，02(E)|e=。= ?(0^2>(7・9)

gl,2 = [(аз厂I (V^^№^ 土 废①)]2 ,

из (7.8) можно получить выражения перемещений и температуры для среды, в которой az = 0.

Исследуем корни уравнения (7.6), приведя его сначала к виду

『一С 啰 + % (му + i)(1 + 喇 + 炉(Л« + i) = 0,(7.10)

где

a =m(0* = - ,%

cqасо*

Корни уравнения (7.10) имеют вид 1

М = ± 4" УГ В + (МЧ + 0 (1+е)+У2^(Ф + 即)产 +

+ 伉 + (МЧ + 0 (1 + е) - Г2Х (ф + 师)円｝,(711)

l^±-^V^ \^ + (МЧ + 0 (I + е) + /2Г(Ф + 助产一

—[Х+ (М2Х + 0 (1 + е) — /2Х (屮 + i屮)円｝, где

Ф = (У 1 + М4Х2 + Л42Х)Т,屮=(/1 +〃牧2 —必冷产.

Разложив (7.11) по степеням X""1 и X, найдем приближенное выражение корней 装 и 0 для граничных случаев %》1 и %《1 соответственно.

Для высоких частот со имеем

…m萼m +厶仇厶—2/7也2)(32紋"W厂I +

+ O(W-)] + ①11(4及//口)1 + (4a//；厶 2 + 九厶1L2"1 一

一出/)(128淤"証3尸 + 0,

'(7.12)

合w争m + %仇厶2 + 2%l1) (32及3用%厂1 +

+ 0 (十)+乙卜4九也期7 + (4^1 +就也%一一拉2厶金(128/?"凯3)7 + 0 (十)]卜

где

"1,2 =恤 土几，厶,2 = 2 (1 + £)% 土々，色=1 + М2 (1 + е),

々=2 [£—1 + ”2(1 +哨，及=口 — 2僧(1 ―^ +м^ (1 + е)2]т .

Фазовые скорости и коэффициенты затухания для больших значений частот будут

*=弋 VM，q”^E 三,』1, 2・(7」3)

Для низких частот со выражения корней уравнения (7.10) запишутся в виде

當=m "Н1+e)К + 8 (隼戸 ) + "露(1 招｝ ” +

++4(4々 + 21)厶及一2；1024 (1 + £)64(4々 + 21)厶及一2；1024 (1 + £)6"0⑦( +小一TД守% +"0⑦( +小一TД守% +

+

+

4(4々 + 21)厶及一2；

1024 (1 + £)6

4(4々 + 21)厶及一2；

1024 (1 + £)6

"0⑦( +小一TД守% +

"0⑦( +小一TД守% +

N： - 4厶也2 128(1 +£)4N： - 4厶也2 128(1 +£)4

N： - 4厶也2 128(1 +£)4

N： - 4厶也2 128(1 +£)4

V2 4 (4也 + "1)l1L2 Х3 丄 C /V4\儿 1024 (1 + 8)6 — % +0(%)

^ = 4- /4?引1 + •空霑■二)簿 * +。叫 +

十 1 8(1+吟m X +1024 (1 +8)6 破十

+ 0^)],(7.14)

где

厶* = 4 (1 + 8)2n2 — 5歩，М,2 = 2 (1 + 0 恤土瓦

Следовательно, при X《1 фазовые скорости и коэффициенты затухания имеют вид

и"弄-^й^— )/"告(1 + е) X

х (1 - 而*^ Х)帯，(7・15)

Таблица 2оо丄

В табл. 2 приведены значения фа-

Параметр

0

w зовых скоростей и коэффициентов за

тухания в предельном случае для 】，29бесконечно больших значений часто

ты колебаний в случае классической

%, м/сек % м/сек qv см^1

параметра

OQ 4,360-103

OQ 3,290-103

X для ср

3 314 № и обобщенной задач термоупругости 《445： ю3 Для среды из меди.

1：490.10纟На рис. 39, 40 приведены графи-

5：825・ 10； ки зависимости величины vi,2/clt а на рис. 41, 42 — величин q*i寅、qj朮 от )еды из меди. Графики построены на основе соот-

S = 2 ]/」芒 clt

% =

L1厶2 mm %2 叫(1+£产

ношения (7.11) с использованием следующих выражений:

Из графиков видно, что фазовая скорость vx < cq (для меди 叫％=

•= 0,775, (^i/Cj) х=оо = 0,761, (^2/^1) х=8 н 1,0195, а ^ > с。.

Для сравнения в табл. 3 при некоторых X приведены величины

задач термоупругости. Как видно, учет конечной скорости распространения тепла приводит к существенным изменениям фазовых скоростей и коэффициентов затухания.

Предположим, что решение первых двух уравнений сисземы (7.3) имеет вид и* = и0 exp (ihx)^ 伊=f exp (fhx) с постоянным й.

Тогда в уравнении (7.13)白 ние (7.10) в виде

будет

постоянной. Перепишем уравне-

〃2%4 + j%3 — [1 + 〃2(1 + 叨仲%2 —匕2 (I + £)% + 片=о.(7.16)

Корни этого уравнения будут 为=Ф/ — i^h

/ = 1, 2, 3, 4,

(7.17)

гдегде

где

где

力/С]

qjq：

M ==s 0

М= 1,29

М= 0

М= 1,29

Af=O

М = 1,29

Л1 = 0

М = 1,29

0,1

0,4432

0,4080

1,0083

1,0084

0

0,5522

0,0095

0,0055

0,3

0,7669

0,6030

1,0077

1,0089

0

0,8151

0,0798

0,0473

0,5

0,9900

0,6670

1,0068

1,0097

0

0,9133

0,1954

0,1221

0,7

0,1719

0,7113

1 0057

1,0107

0

0,9569

0,3244

0,2161

1,0

1,4024

0,7347

1,0043

1,0123

0

0,9842

0,4987

0,3639

3,0

2,4413

0,7575

1,0008

1,0178

0

1,0009

0,9033

0,8448

10,0

4,4681

0,7600

1,0001

1,0195

0

1,0001

0,9921

0,9840

Таблица 3

91,2 =，- ± ①1(尸)，屮3,4 = -^- 土 ①1 (-尸)，

屮 1,2 = -J^ 士 ①2 (尸)，屮3,4 = 7^- 土 ①2 (-尸):

①1,2 (尸)=-y- (Va； + 贤 士 ai]2 ,

'，6，2 8M2〃2尸F (1 + ^ )

产=8g -714-2{1_40[1 +m2(1 +£)]},

g ——действительный корень уравнения

8M4g3 + 4M2《2 [1 +M2(1 + 叨 g2 + 2d (1 + £ — 4M2g2) g 十+ * {1 -階[1 + m2 (1 + 叨 + (1 + 叫=0.

Решение двух первых уравнений системы (7.4) имеет вид

и = exp (ihx)【4 exp (―渓丿)+ Л2 exp (― ZX2f) +

+ 4 exp (-以力 + Л exp (-风力，(7.18)

t = exp (ifix)出1 exp (—的f)十 B2 exp (— i%» + + 83 exp (— i%，)十当 exp (— i%J)L(7」9)

где f =—.

Используя обозначения Лг = 〃\, A2 = wL, B3 = ^, В《=iL и зависимости между ними по формулам [43]

〃。. mh %.М(% + *)

” 唸一2 "。2公一瞠一%

выражения (7.18) и (7.19) представляем в виде

и = u+exp [—^f + i (К —屮丿)1 + £ехр [—屮2f +

+ i僅一屮2切 + i °；馨豆 4 exp [-W + Ц^-喷)1 +

+ i2 exp [-媪 + i (Й 一 "],(7.20)

/ = 4 exp [-屮3f + i (第一中3力 1 + 2 exp [-屮J +，(装一中J)]+

+ i '^zz^^^ w+ exP l— 屮丿 + i (UE — Tif)l +

+ i G线(爲羊)ы- exP I-屮2f + i 僅一喻)]，(7.21) где自=等.

Из формул (7.20) и (7.21) видно, что амплитуда упругой тепловой волны пропорциональна величине ехр (——///*), где 产=屮尸 ——время затухания.

Рассмотрим полупространство х > 0, в котором волна распространяется в направлении оси 0%. Температура поверхности полупространства изменяется по гармоническому закону

f (0, т) = 0О ехр (—心工)(7.22)

и поверхность % = 0 свободна от внешней нагрузки: о%% (°, т) = °・(7.23)

В этом случае на основании (7.9) имеем

и = и9 ехр (—而т ++ i —尸 %。ехр (―而т + ih2x)t

(7.24)(7.24)t = W exp (-施工 + 血2%) 4"

(7.24)

(7.24)

+ z 2—〃° exp (- кот + 历/%

鳴

Учитывая, что

% =(% + 2n)-1-y力

и подставляя (7.24) в (7.22) и (7.23), получаем систему

干+干+mh^ао~Л2"Mi (徧+*)匠一 % - Ywmh^ао~Л2"Mi (徧+*)匠一 % - Yw勿=m0o,勿=m0o,备・备・(7.25)(7.25)

干+

干+

mh^ао~Л2"Mi (徧+*)匠一 % - Yw

mh^ао~Л2"Mi (徧+*)匠一 % - Yw

勿=m0o,

勿=m0o,

备・

备・

(7.25)

(7.25)

Определив из (7.25) «0 и /0, находим выражения для перемещения и температуры

u =欣0 iu =欣0 i府一喝府一喝exp (-加工 +，%%) - iexp (-加工 +，%%) - i状一 4状一 4XXX exp (-加工 + 协2%) - iX exp (-加工 + 协2%) - i加九1加九1酬一源酬一源00 exp (— icot + 龙/% (7.26)00 exp (— icot + 龙/% (7.26)

u =欣0 i

u =欣0 i

府一喝

府一喝

exp (-加工 +，%%) - i

exp (-加工 +，%%) - i

状一 4

状一 4

X

X

X exp (-加工 + 协2%) - i

X exp (-加工 + 协2%) - i

加九1

加九1

酬一源

酬一源

00 exp (— icot + 龙/% (7.26)

00 exp (— icot + 龙/% (7.26)

f = f° [exp (— /сот + 历2%) — exp (— i(0E + ih-^x)] ++ 00 exp (- tor + 历/),

где

" = ?巴庐就一仇+擒)(1 + £)]•

В случае несвязанной задачи(8 = 0,九】=аЫ9 九2 = Mg® + Y^) имеем

“ =—2 厂 К Мд(о + у© exp (—• Z(ot + 汉 M國 + *))— % — ％ — %

Ozz =入 一^9fOzz =入 一^9f0"=(2n+厶)备一",0"=(2n+厶)备一",—ia® exp (—血t + taox)],t = 0O exp (―而т +『％，％)+*)•Определив « и /, по формулам

Ozz =入 一^9f

Ozz =入 一^9f

0"=(2n+厶)备一",

0"=(2n+厶)备一",

находим выражения безразмерных напряжений

心一废X心一废XJ =值-務I 片-X (М4 +0 (1 + 圖

心一废X

心一废X

X exp (-我f + 匕舌)严匕 q exp (- f%/ + @自)一

外一废外一废exp (一用+ %©exp (一用+ %©(7.27)(7.27)

外一废

外一废

exp (一用+ %©

exp (一用+ %©

(7.27)

(7.27)

XX「炉十资（九* 一 1）「炉十资（九* 一 1）% = & - ^尸依 一 X ("Z + 0 (1 + 叨 X% = & - ^尸依 一 X ("Z + 0 (1 + 叨 XXXexp （一同+曝自）exp （一同+曝自）ехр (-閔 + @9 -1 炉十白；仇* 一 1)ехр (-閔 + @9 -1 炉十白；仇* 一 1)疗+ ^仇*一 0疗+ ^仇*一 0-2-2XXгдегде°i =°i =5（2R + 九），厶* - 入人一2n十入5（2R + 九），厶* - 入人一2n十入i = x,i = x,НаНарис. 43, 44 приведенырис. 43, 44 приведеныки изменения напряжений воки изменения напряжений во严一容严一容У，z,У，z,графи- време-графи- време-ни при 自=1 и X = 1 для связанной задачи термоупругости. Сплошной линией показаны кривые напряжений в случае обобщенной динамической задачи (Л4 = 1, 29), а штриховой ——в случае классической (М = 0).С целью выяснения влияния частоты нани при 自=1 и X = 1 для связанной задачи термоупругости. Сплошной линией показаны кривые напряжений в случае обобщенной динамической задачи (Л4 = 1, 29), а штриховой ——в случае классической (М = 0).С целью выяснения влияния частоты наexp (一阔 + i^exp (一阔 + i^XД1 = 0Af = =1,29M ^= 0% ==1,290,50,180,170,270,3210,660,350,520,3320,930,730,790,3851,151,621,070,64101,352,171,020,83201,132,021,020,80501,051,921,010,771001,021,870,990,75XД1 = 0Af = =1,29M ^= 0% ==1,290,50,180,170,270,3210,660,350,520,3320,930,730,790,3851,151,621,070,64101,352,171,020,83201,132,021,020,80501,051,921,010,771001,021,870,990,75Таблица 4Таблица 4изменениеизменениеамплитудыамплитудынапряжений в табл. 4 приведены значения амплитуды напряжений в полуограниченном теле из меди для различных значений частоты в случаях бесконечно большой и конечной скорости распространения тепла. При изменении плоской гармонической волны в полупространстве учет скорости распространения тепла приводит к значительному увеличению амплитуды напряжений а^, а2 и уменьшению амплитуды напряжений о* при высоких частотах.напряжений в табл. 4 приведены значения амплитуды напряжений в полуограниченном теле из меди для различных значений частоты в случаях бесконечно большой и конечной скорости распространения тепла. При изменении плоской гармонической волны в полупространстве учет скорости распространения тепла приводит к значительному увеличению амплитуды напряжений а^, а2 и уменьшению амплитуды напряжений о* при высоких частотах.

X

X

「炉十资（九* 一 1）

「炉十资（九* 一 1）

% = & - ^尸依 一 X ("Z + 0 (1 + 叨 X

% = & - ^尸依 一 X ("Z + 0 (1 + 叨 X

X

X

exp （一同+曝自）

exp （一同+曝自）

ехр (-閔 + @9 -

1 炉十白；仇* 一 1)

ехр (-閔 + @9 -

1 炉十白；仇* 一 1)

疗+ ^仇*一 0

疗+ ^仇*一 0

-2

-2

X

X

где

где

°i =

°i =

5

（2R + 九），

厶* - 入

人一2n十入

5

（2R + 九），

厶* - 入

人一2n十入

i = x,

i = x,

На

На

рис. 43, 44 приведены

рис. 43, 44 приведены

ки изменения напряжений во

ки изменения напряжений во

严一容

严一容

У，z,

У，z,

графи- време-

графи- време-

ни при 自=1 и X = 1 для связанной задачи термоупругости. Сплошной линией показаны кривые напряжений в случае обобщенной динамической задачи (Л4 = 1, 29), а штриховой ——в случае классической (М = 0).

С целью выяснения влияния частоты на

ни при 自=1 и X = 1 для связанной задачи термоупругости. Сплошной линией показаны кривые напряжений в случае обобщенной динамической задачи (Л4 = 1, 29), а штриховой ——в случае классической (М = 0).

С целью выяснения влияния частоты на

exp (一阔 + i^

exp (一阔 + i^

X

Д1 = 0

Af = =1,29

M ^= 0

% =

=1,29

0,5

0,18

0,17

0,27

0,32

1

0,66

0,35

0,52

0,33

2

0,93

0,73

0,79

0,38

5

1,15

1,62

1,07

0,64

10

1,35

2,17

1,02

0,83

20

1,13

2,02

1,02

0,80

50

1,05

1,92

1,01

0,77

100

1,02

1,87

0,99

0,75

X

Д1 = 0

Af = =1,29

M ^= 0

% =

=1,29

0,5

0,18

0,17

0,27

0,32

1

0,66

0,35

0,52

0,33

2

0,93

0,73

0,79

0,38

5

1,15

1,62

1,07

0,64

10

1,35

2,17

1,02

0,83

20

1,13

2,02

1,02

0,80

50

1,05

1,92

1,01

0,77

100

1,02

1,87

0,99

0,75

Таблица 4

Таблица 4

изменение

изменение

амплитуды

амплитуды

напряжений в табл. 4 приведены значения амплитуды напряжений в полуограниченном теле из меди для различных значений частоты в случаях бесконечно большой и конечной скорости распространения тепла. При изменении плоской гармонической волны в полупространстве учет скорости распространения тепла приводит к значительному увеличению амплитуды напряжений а^, а2 и уменьшению амплитуды напряжений о* при высоких частотах.

напряжений в табл. 4 приведены значения амплитуды напряжений в полуограниченном теле из меди для различных значений частоты в случаях бесконечно большой и конечной скорости распространения тепла. При изменении плоской гармонической волны в полупространстве учет скорости распространения тепла приводит к значительному увеличению амплитуды напряжений а^, а2 и уменьшению амплитуды напряжений о* при высоких частотах.

Сферические волны в пространстве

Исследуем распространение сферических волн в неограниченной термоупругой среде. В этом случае радиальное перемещение и зависит только от радиуса г = Ух^ +у2+ ^w времени т. Продольные сферические волны возникают под влиянием ряда возмущений (например, точечных сосредоточенных тепловых источников), а также в неограниченной среде со сферической полостью, на поверхности которой задано воздействие в виде равномерного нагрева, равномерной нагрузки или равномерной деформации.

Для исследования сферических волн согласно (1.45) имеем систему уравнений термоупругости

加(7 28)

Термоупругий потенциал и радиальное перемещение связаны между собой зависимостью

Пусть Ф (г, т) и / (г, т) изменяются во времени по гармоническому закону, т. е.

(7.30)(7.31)(7.32)(7.30)(7.31)(7.32)①亿 г) = Re [exp (—面力①* (г, со)], t 亿 t) = Re [exp (— ion) /* 亿 ⑴)]・ Подставляя (7.30) в (7.28), получаем систему уравнений

(7.30)

(7.31)

(7.32)

(7.30)

(7.31)

(7.32)

(a + 9(о + 7^) ^* + 咁(9w + 嗝)A①* = 0,(Л + а©) Ф* —欣* = 0.

Исключая из этой системы функцию ①* (/*), находим

(Д + 庙)(A + 忌)(①*,产)=0, где

历 + 忌=(g(o + Y(o) (1 + e) + 仪①,用也2 = а® («со + Y(o)・

Частные интегралы характеристического уравнения (7.32) имеют вид

；exp (ih^), ； exp (i^r), ； exp (— ih^, ； exp (— ih2r). (7.33)

Рассмотрим только два первых из них, которые описывают волну, расходящуюся от начала координат г = 0 в бесконечность.

Решение уравнений (7.32) представим в виде

①* =；[4 eXр (/J)+ 4 exp (访2厂)],

『(7.34)

产=；—[当 exp (i/zj) + B2 exp (ih2r)].

Введя обозначения 』i = Ф°, 82 = ^， а также выражая Вх через Ф° и А2 через 俨,при использовании уравнений системы (7.31) представим функции ① и £ в виде

Ф° ехр (— ion + ih^) +

4厂团 厂 ★ exp (- ion + ih2n ,

(7.35)(7.35)f (乙 т) = -i- р° exp (— ion + ih^r) +

(7.35)

(7.35)

,〃靖(％ + 箱)不°//

H0①0 exp (- нот + 访/),

% 十 &

Введя фазовую скорость и коэф(})И1шент затухания, получаемВведя фазовую скорость и коэф(})И1шент затухания, получаем/亿t)=3卜exp/亿t)=3卜exp

Введя фазовую скорость и коэф(})И1шент затухания, получаем

Введя фазовую скорость и коэф(})И1шент затухания, получаем

/亿t)=3卜exp

/亿t)=3卜exp

脸器①。expj卜一㈡一洞卜

Как видим, упругая и тепловая волны (7.36) содержат по два члена: квазиупругий и квазитепловой. Обе волны затухают и подвергаются дисперсии.

Для несвязанной динамической задачи будет

力1 ⑻ |е=0 — ^(о,九2 (^) |s—0 = ]/«① + Yeo ,

(7.37)(7.37)Ф (г, т) = —^-:①о ехр —而卜^―)] +

(7.37)

(7.37)

+ RZF W eXP В 血卜—V gj —恥g2

/ 匕 G = ~4- exp/ 匕 G = ~4- exp——is——is+ Csgi •+ Csgi •

/ 匕 G = ~4- exp

/ 匕 G = ~4- exp

——is

——is

+ Csgi •

+ Csgi •

По известной функции Ф определяем перемещения, деформации и напряжения. В сферической системе координат в силу симметрии задачи имеем

02(d02(d(7.38)(7.38)0①4卩0① ,02①

02(d

02(d

(7.38)

(7.38)

аФФ = ®е = — 2卩+ Р ~

Рассмотрим распространение сферических волн в неограниченной термоупругой среде со сферической полостью радиусом R. На границе г = R температура изменяется по гармоническому закону,

поверхность тела свободна от внешней нагрузки, т. е.

(7.39)(7.39)/ (R, т) = 90 ехр (— zojt), о〃(R, т) = 0. Используя формулы (7.35) и (7.39), получаем соотношения

(7.39)

(7.39)

%。ехр "饱r)+ "端®%七吟 ф0 exp (z%R)=R瓦,

(7.40)

%①。ехр (也玲 Н° "2 у и2/° exp (ih2R) = 0,% - h2

из которых определяются постоянные i° и Ф°.

Здесь 几1,2 = 4|л (1 — i%,2 R) — pR2cd2.

Потенциал термоупругого перемещения Ф и температура f принимают вид

①=一 "^ % 他 ехр [访2 (厂—R)]—拉2 exp [% (г — R)]} x

X exp (—心矶(7 41)

* = 工 °。他(底 ~ 忌)exp [f九2 (广一R)]-

—几2 (届—a©) exp R% (厂一R)]} exp (― ion), где

% =(居一忌)几1 - (/if — Oto) 〃2.

В случае несвязанной динамической задачи термоупругости (е = ₽= 0, % = «о,色=/gs + 脸)имеем

ф = * "+士 —吟-{恤 ехр 仇(г - R) (% - gj]-

-加2 exp 做s (广一R)]} exp (一 血吟0 42)

f = -У- 00 еХр [—而卜T 工"gj - Ys (广 一 R) g2，

где

恤=4卩(1 — a/) — p(o2R2,

飞=4卩[1 — 丫点(igi — g2)] — pdR2.

Подставляя выражение термоупругого потенциала перемещений (7.47) в (7.44), получаем выражения безразмерных температурных напряжений

明=~^г {〃；応 ехр [& (" — Р)]—危広 ехр [&(" — Р)]} ехр (— iX/), °и = °е = Т^г {Е成 ехр [匕2 (р — Р)] —(7,43)

—〃М ехр 党 1 (р — Р)]} ехр (―认/),

Xо；м = 0м ==1,29м = 0м ==1,290,50,480,520,480,3711,261,250,900,9622,672,712,281,9754,176,163,984,53103,728,623,756,48203,629,193,597,27503,569,683,537,411003,559,663,537,40Xо；м = 0м ==1,29м = 0м ==1,290,50,480,520,480,3711,261,250,900,9622,672,712,281,9754,176,163,984,53103,728,623,756,48203,629,193,597,27503,569,683,537,411003,559,663,537,40Таблица 5Таблица 5—шт)/ -^ а]①=0,(7.44)а температура согласно (1.45) — уравнению—шт)/ -^ а]①=0,(7.44)а температура согласно (1.45) — уравнению

X

о；

м = 0

м =

=1,29

м = 0

м =

=1,29

0,5

0,48

0,52

0,48

0,37

1

1,26

1,25

0,90

0,96

2

2,67

2,71

2,28

1,97

5

4,17

6,16

3,98

4,53

10

3,72

8,62

3,75

6,48

20

3,62

9,19

3,59

7,27

50

3,56

9,68

3,53

7,41

100

3,55

9,66

3,53

7,40

X

о；

м = 0

м =

=1,29

м = 0

м =

=1,29

0,5

0,48

0,52

0,48

0,37

1

1,26

1,25

0,90

0,96

2

2,67

2,71

2,28

1,97

5

4,17

6,16

3,98

4,53

10

3,72

8,62

3,75

6,48

20

3,62

9,19

3,59

7,27

50

3,56

9,68

3,53

7,41

100

3,55

9,66

3,53

7,40

Таблица 5

Таблица 5

—шт)/ -^ а]①=0,(7.44)

а температура согласно (1.45) — уравнению

—шт)/ -^ а]①=0,(7.44)

а температура согласно (1.45) — уравнению

где

Р =р=卫，

а к "

加 2 = 4 (1 一 忆2p)一P*号产，

居,2 = 4俯如一 1) + P*%2曲 /:,2= 2 (1 - UP -疗2P2)+ p*2”曲 乂* = (Й - %")及 1 - (Й 一 ”)几2,

На рис. 45, 46 приведены графики зависимости напряжений аг, аф и Об от времени при фиксированных значениях безразмерных радиусов Р = 10, р = 11 и безразмерной частоты % = 0,5. Сплошной линией изображены графики напряжений, соответствующие обобщенной модели (М = 1,29), штриховой ——классической (М = 0).

В табл. 5 приведены значения амплитуды напряжений в неограниченном теле из меди в случае классической и обобщенной динамической задач термоупругости при некоторых значениях частоты. Как видно из таблицы, учет конечной скорости распространения тепла приводит к значительному увеличению значений амплитуды напряжений при высоких частотах со.

Цилиндрические волны в пространстве

Рассмотрим цилиндрические волны для случая, когда перемещение и температура зависят только от переменных гит. Эти волны могут возникать под действием линейного источника или же в неограниченной среде с цилиндрической полостью, на поверхности которой заданы равномерно распределенное давление, тепловой поток или деформация.

Термоупругий потенциал перемещения согласно волновому уравнению (1.46) удовлетворяет уравнению

(А 一守备)①=成，(745)

Решение уравнения (7.44) будем искать в виде

①(г, т) = Re [Ф* (г, со) ехр (— /сот)].(7.46)

Подставляя (7.46) в (7.44), получаем

02 + Д [^ + (1 + е)仇 + 喻]+ 诚(^ + 脸} 6 = 0. (7.47)

Запишем (7.47) в виде

(А + Е) (А + 忌)①* = 0,(7.48)

где

届 + 忌=仇 + Vo) (1 + e) + ос© , /i褪=(Хи (q(o + 嗎).

Вспомогательная система имеет вид

(А + 届)①;=0, (А + 磅 Ф； = 0,(7.49)

где

①* =①；+值.

Решениями этой системы являются функции

Ф； = А^ 仇用 + 以鹏2)(財卄/ = 1, 2,(7.50)

где 〃俨 ⑵，〃俨 ⑶ ——функции Ханкеля нулевого порядка.

Так как для больших значений аргумента функции 屮工)= =Re [Hq} (Л/г) ехр (— Z(dt)] описывают волну, расходящуюся от г = 0, а 屮『)=Re [Н^} (/i*) exp (— /сот)] — волну, сходящуюся из бесконечности к 厂=0, решение уравнения (7.44) запишем в вид?

Ф = [4"$)(用J)+ А"* 仇2川 ехР(—血工)•(7.51)

Выражение для температуры получаем по формуле (7.45):

/ = 圓(* -居)"2电Г) + 4(с4 —隔国)电力X

X ехр (— /сот).(7.52)

В (7.51) и (7.52) функцию Ханкеля можно записать в виде линейных комбинаций функций Бесселя первого и второго рода действительного аргумента 〃伊⑵=〃)⑵ + i% (z).

После определения постоянных Д2 и Д2 по известным Ф, t найдем перемещения и напряжения

勿='

aФФ = - 2卩 ^-^- Н—^-随①)，

" = - 2卩(-^J- + -7-等-+ Ц-编①).

Рассмотрим бесконечное пространство с цилиндрической полостью радиуса г = R. Пусть на краевой поверхности тела задана температура, изменяющаяся во времени по гармоническому закону

/ (R, т) = 0О ехр (— /сот).(7.54)

причем поверхность г = R свободна от внешней нагрузки, т. е.

(R, т) = 0. Напряжение на краю о〃 (/?, т) = 6： (R) ехр (— /сот) связано с Ф* соотношением

О； (R)= 一 [学陪 +р炉①*],=R •(7.55)

Из краевых условий (7.55) получаем

4 = тп^^н, 4 = — тп^/х, где

切=2卩％"「肉R) — Rpd”#)(加R), j = 1, 2,

儿 =(忌—庙)几/华仇iR)-(忌一磅勺"X)色2r)，

〃f)(z) ——функция Ханкеля первого порядка.

Для термоупругого потенциала и температуры имеем выражения

①="^■綜庄"俨(九力-旬"f)他/)1 eXр (-而矶

t = -^— 0q["2 (忌一居)"f)(小Г)一几 1 (aш -,疗)风° (62巾 X (7.56)

X ехр (— /сот).

В случае несвязанной динамической задачи (8 = 0,九】=а®. 用2 = ' q(° + 丫*) термоупругий потенциал перемещения и температура принимают вид

①=登 ®0 [优2”$)(а“)—恤跳"(Г /%)+ 宕)1 ехр (— /сот), (7.57)

f = 00 [風D(/ / 击 + 稳)/"伊(R i qs + *)] exp (—心矶

где

% =(%+ yl -a①)"2用記(R/仇)+ %),m1 = 2pxs”f)(仪①/?) — рЛогЯо0 (аю/?),

恤=2卩/夕①十Yw "华(R Jq0 + Y^) 一,

—pRco?//%" (R ]/ ^0)+ Y® )•

%+9*263

Температурные напряжения согласно (7.53) в безразмерных величинах имеют следующий вид:

⑦={*"欣备"*(m)-"之2"？僞p)]+

+ 零危项)(切)一冠础) (?2p)l! exp (一期，

" =L[碗;矶)(6)-咸丄厂力？(6)-*

I X(7.58)

-"总项)偽P) + m危pi "F)@。)1 +

+ " 然[九2"8)(С同一九 1矶)售2p)]} exp (- /соt),

% =生• l^tniH^ 隽同—〃；嵐"俨(C2p)] exp (― a/), где

的=2“ 屮， / = 1, 2,勿=23#)^p) - p*以2H$)@尸)，小=啰—&冠瑞)^p) 一"一篇忘"$)@P).

Волны в слое

Пусть в неограниченном термоупругом слое толщиной 2厶 в положительном направлении оси Оу движется плоская гармоническая во времени волна. С учетом конечной скорости распространения тепла движение волны описывается согласно (1.45) следующими уравнениями:

(7.60)(7.60)(7.61)(7.61)

(7.60)

(7.60)

(7.61)

(7.61)

Положив

/ (%, У、t) = /* (х, у) ехр (/сот),'

Ф (х, у, * =①* (%, у) ехр (/сот),.

屮(匕 У, 6 = 2* (%, У) ехр (心т),, систему (7.59) приведем к следующему виду:

[a -依—喻]产+ ат)伍一脸aФ* = 0(А + 4)①* —团产=О, (А + 脸屮* = 0.

В системе (7.61) исключим функцию 严 с первых двух уравнений, а решение полученной системы возьмем в виде

(7.62)(7.62)Ф* (%, У) = % (%) ехр (―必“),屮* (Х, У)=屮2 (х) ехр (— iay)*

(7.62)

(7.62)

В результате запишем систему дифференциальных уравнений

屮;V — ф1 [2а2 + (1 + 8)(9(о —脸)一<Ха] +

+ Ф1 [d + а2 (1 + £)仇—匐—«①(а2 —强 + 圖]=0, (7.63) ф2 - (a2 -脸92 =。.

Решая эти уравнения и подставляя результат в (7.62), а потом в (7.60), находим функции ① и 屮 в виде

①=[4 ch 九б + 4 ch 九2% + 4 sh 九/ +

+ 4 sh 九2甩 exp [/ (сот — ay)\t« 64)

屮=(A5 ch kx + 4 sh kx) exp [Z (сот — ay)].

Учитывая выражения для функции Ф, имеем решение второго уравнения (7.61)

=~~ [4 俏 + сх© — a?) ch 九6 + Л2 (Х| — * — ос2) ch X2x +

+ 4 陶 + 忌一a?) sh %x + 4 (^2 + 庶一ос2)义 《 ggj X sh 九2%] exp [i (сот — az/)],

гдегдеk =匕^一碾;аи及— корни характеристического уравнения

где

где

九4 - [2a2 + (1 + e)仇-Yto)-*]九2 + 依 +

+ a? (1 + £)仇一?a)) — a& (a2 —夕① + у©)] = 0.(7.66)

При 8 = 0 имеем X? (0) = a2 + ^ — yL 九;(0) = a2 — a^. Поскольку £《1, определим корни Хх и Х2 в виде линейных функций от 8：

%； = а? + %)— 7» + £bi,猫=a? — a* + 862-(7.67)

Подставляя (7.67) в (7.66) и пренебрегая членами порядка е2, имеем

猜 р a2 — a« + e猜 р a2 — a« + eaО （徧一鳴）aО （徧一鳴）iTiT(7.68)(7.68)喝+% 一 * J ‘喝+% 一 * J ‘

猜 р a2 — a« + e

猜 р a2 — a« + e

aО （徧一鳴）

aО （徧一鳴）

i

T

i

T

(7.68)

(7.68)

喝+% 一 * J ‘

喝+% 一 * J ‘

которыекоторыеИз четырех корней 儿 рассмотрим лишь те два корня, удовлетворяют условию Re (九 1,2) > 0.

которые

которые

Неизвестной величиной является коэффициент а, содержащий фазовую скорость волны. Для его определения воспользуемся следующими краевыми условиями: поверхности слоя свободны от напряжений* и на них поддерживается постоянная температура, т. е.

о%% = 0, оХу = 0, / = 0 для % = ± /「(7.69)

Амплитуды напряжений определяются формулами

0農=一 2m+扌团①* + 2u4^

(7.70)(7.70)°/=一 2"(-^ + ;財)①* - 2M

(7.70)

(7.70)

%=2n42г +卩("^—『)▽*，

"=+丁' ° = "^ dГ,

Рассмотрим два типа колебаний: симметричные и антисимметричные относительно срединной плоскости слоя. В первом случае в выражениях (7.64) и (7.65) А3, Д4 и %5, а во втором случае величины Аь Л2 и Л6 должны быть равными нулю.

Используя краевые условия (7.69), соотношения (7.64), (7.65) и (7.70), приходим к системе уравнений, из которой приравниванием определителей к нулю получим следующие трансцендентные уравнения:

при симметричной форме колебаний

(4加2厂](2必一脸*-崎=(th①,7 [(冠+豬一

-a2)九2 th 九24—@^)+ 九^ - a2) % th %//,(7.71)

при антисимметричной форме колебаний

(4to2)~I (2a2 -喻施一崎=(cth 瓦1 厂"(* + 九；一

—必)九2 cth ^2^ — (a^> + * — a?) % cth 九Ji].(7.72)

Введем безразмерные величиныВведем безразмерные величины万=(Фо 一闕俾。+ Pl - 4厂1万=(Фо 一闕俾。+ Pl - 4厂1

Введем безразмерные величины

Введем безразмерные величины

万=(Фо 一闕俾。+ Pl - 4厂1

万=(Фо 一闕俾。+ Pl - 4厂1

где & = /осо; с = со/a ——фазовая скорость лишь для действительного значения а. Для комплексного значения a = 仪欠一ia* экспоненциальный член в формулах (7.64) и (7.65) имеет вид

ехр 口(сот： — ау)] = exp [i (сот — а^у)] ехр (— a*).(7.74)

Фазовая скорость равна с = co/Re (a); g = Im (a)——член, подверженный затуханию. Используя обозначения (7.73), приводим

уравнение (7.71) к виду

(1 - ₽)~ 斤(1 一0,5位2 [骗 + 自 一仇 一 珈 (氏 + % - &)]=

=[th 叫(1 — P)2] ' {HP。+ Pi —也一M (仇一Фо)] X

11

X (1 一阻+ 8晔瓦产th叫(1 一限+ 8?怫1产一

—£晒[1 +6 (ф0 —也)+ &h^ (ZPo —

11

一匐产 th 叫(1 -阻 + sh^}.(7.75)

Рассмотрим случай, когда 仪厶》1. Гиперболический тангенс в этом случае в (7.75) можно положить равным единице. Пренебрегая членами порядка е2, полуднем из (7.75) приближенное уравнение•

(1 - Р) 2 (1 - 0,55)2 [曲 + Ri - Bg — &"(Pl + Pq - Фо)]=

=[Фо + 01 — % — £丸(也一曲)](1 — RP1 + 6^₽P1) 2 —

一哪 1 [1 + ₽ (佃-闻J(7.76)

или после простых преобразований

/(1 ~ ₽) (1 ~I ₽1 - ^ + Фо

(1 — 0,50)2М,

х+ 瓦[伯 一 4 + 曲)(1 一限)1X

X [1 — 0,5₽ (因 + 区 一 乱)-)/(1-5瓦)" +0(肌一脱]]].(7.77)

Для 8 чаемДля 8 чаем=0 правая часть уравнения (7.77) равна нулю; отсюда полу-=0 правая часть уравнения (7.77) равна нулю; отсюда полу-吊偉）=吊偉）=(1一0,5胧U(i — В) (1 — 麻(1一0,5胧U(i — В) (1 — 麻(7.78)(7.78)

Для 8 чаем

Для 8 чаем

=0 правая часть уравнения (7.77) равна нулю; отсюда полу-

=0 правая часть уравнения (7.77) равна нулю; отсюда полу-

吊偉）=

吊偉）=

(1一0,5胧

U(i — В) (1 — 麻

(1一0,5胧

U(i — В) (1 — 麻

(7.78)

(7.78)

Величину , найденную из (7.78), будем обозначать через Вк = ^-у—^ , где 2欠 ——скорость распространения поверхностных волн Релея.

Величину р, соответствующую е 方 0, получим следующим путем. Обозначим через uhF? (Р) правую часть уравнения (7.77), а через б прирост величины 0.

Запишем уравнение (7.76) в виде

Л (阮 + 3) = MF?(阮 +》 (7.79)

Поскольку величина б мала по сравнению c0r (5《阮)，обе части уравнения можно разложить в ряд в окрестности значения

P = Pr・ Сохраняя два члена разложения, получаем

Л與)+ 6 I箒|『吃Q吮用(阮)•(7.80)

Учитывая (7.78), имеем

2 (阮)(1鬻仁R厂

и, следовательно,

6 = 一 睇 1 (他-闻队 + 4Р1 一 分)]2 [1 一 0,5% 他 + % 一 仰- 一 /[1 + 觊(丸一闻](1 一昵R)]}/{[(61 — 闻2 +₽o] (1 一昵R)X

X [0,5^ (1 一6以厂1 + 0,5 (1 -阮厂 1 - (1 一0,5限)]}. (7.81)

Если скорость распространения тепла cq значительно превышает скорость поперечной волны с2» т0 выражение для 6 получим из (7.81), положив % = 0.

Определяемое формулой (7.81) значение 6 зависит от безразмерных величин 8, р0, 0i, 0R и Bg・ Величины 卩 н §r зависят только от механических свойств среды, а 8, р0 и Р^ ——от тепловых и механических свойств.

Рассмотрим зависимость 6 от частоты вынужденных колебаний / 4 \

со, которая входит в безразмерный параметр 60 1Po = -^-1.

Разделяя действительную и мнимую части значения 6, определяем зависимость их от со для алюминиевого слоя (рис. 47). Штриховой линией изображены зависимости Re б и Im 6 от со при q -> 8. При малых значениях со (со f 0) в случае конечной и бесконечно большой скорости распространения тепла Re 6 стремится к одному и тому же пределу 0,00021 и разница между ними незначительна. Мнимая же часть параметра б стремится к нулю.

Влияние конечной скорости распространения тепла проявляется при со > 1010 секГ、Если в случае классической задачи для со -> оо Re 6 и Im 6 стремятся к нулю, то в случае обобщенной задачи Re 6 стремится к пределу — 0,00151, a Im 6 — к значению —0,00317.

Переходя к непосредственному определению фазовой скорости с, для малых значений б можно положить

Поскольку [43]啜=以口 +Поскольку [43]啜=以口 +3 = 5'+ 冲,3 = 5'+ 冲,(7.82)(7.83)(7.84)(7.82)(7.83)(7.84)3 = (Cr + Ас)2 叮2 — С储L Q 2Cr№c^2 , Отсюда получаем относительное приращение скорости Ас 〜 §

Поскольку [43]

啜=以口 +

Поскольку [43]

啜=以口 +

3 = 5'+ 冲,

3 = 5'+ 冲,

(7.82)

(7.83)

(7.84)

(7.82)

(7.83)

(7.84)

ReS'^ilmS-lO3ReS'^ilmS-lO3

ReS'^ilmS-lO3

ReS'^ilmS-lO3

функцию Ф (х, у, т) можно представить в виде

①(％, У, т) = Ф1 W ехр (1 - ~^) [(I + ^7)X

X ст — у expX ст — у expсо 6〃\со 6〃\(7.85)(7.85)

X ст — у exp

X ст — у exp

со 6〃\

со 6〃\

(7.85)

(7.85)

Как видим, множитель Re 6 = 6' увеличивает фазовую скорость в (1 + 5/2Br) раз, а величина Im 6 = 6" есть множитель коэффициента затухания. Величина d обратна коэффициенту затухания,

d = 2|3灰r/®3〃)= 2 1/■陈邙o/&g,(7・86)

для алюминия, например, d = 3,74 • 10~6 卩()/6"・

На рис. 48 для обобщенной задачи сплошными кривыми показана зависимость относительного приращения скорости и коэффициента d от частоты со для алюминиевого слоя. Штриховая линия соответствует случаю, когда скорость распространения тепла предполагается бесконечно большой. Влияние конечной скорости распространения тепла на относительное приращение фазовой скорости и коэффициент, обратный затуханию, значительное, начиная со значения частоты со = 109 4- 1010 сек-4, и с ростом со увеличивается.

Моды распространения одномерных волн в пространстве

Система уравнений обобщенной взаимосвязанной динамической задачи термоупругости в декартовой системе координат допускает частные решения ——моды, которые зависят от времени и одной из

координат через экспоненциальную функцию и не зависят от остальных координат. В работе Ю. К. Энгельбрехта [661 исследуются вопросы дисперсии и затухания в случае таких мод распространения волн для нескольких числовых значений времени релаксации теплового потока. Приведем результаты работы [661 в принятых здесь обозначениях.

Примем за основу одномерную математическую модель обобщенной взаимосвязанной задачи термоупругости

М ——L г =

^гЯ + Я =— “，，

где дифференцирование по координате % обозначено штрихом, дифференцирование по т — точкой.

Представим перемещение и и температуру / в виде

и = иР exp [i (т)х — сот)],

/= /о exp 卩(п% —(от)],(7.88)

где п определяет длину волны [2л (Re r))~J], а ①——период волны [2л (Re з厂，

Подставив (7.88) в (7.87), после некоторых преобразований получим частное уравнение

(со2 —片俏(必① + с^г^ —九浦)一'Р% -~-(№ — /тгсо2т)) — 0.

(7.89)

Введем безразмерные величины

% =号-， Е »(7.90)

где со* — характерная частота,

з*=号 j(7.91)

Математическая модель термоупругой среды с конечной скоростью распространения тепла требует определения еще безразмерного числа колебаний в течение времени тЛ по формуле

п = тЛо,(7.92)

так что характерной частоте со* соответствует характерное число колебаний

п* = т7/о*・(7.93)

Уравнение (7.89) с учетом (7.90) и (7.93) преобразуется к виду

"(自2 —衿(% -认*号 _ 老)+ 喈% (1 一 力几软)=0,(7.94)

где 8 = -у-2коэффициент связанности, ci %

Легко установить связь 〃* с другими используемыми физическими величинами

(7.95)

Отметим следующие очевидные следствия из (7.93) и (7.95): а) при n* > 1 быстрее распространяется волна деформации и

*〉Т ；

при n* V 1 быстрее распространяется тепловая волна и

при /г* = 1 обе волны распространяются с одинаковой

скоростью и т「=- •

Рассмотрим волны с фиксированной частотой. Пусть частота з является заданным вещественным параметром. Тогда решение получается в виде суммы отдельных мод:

4и = ё-以8也£ 0,心*4и = ё-以8也£ 0,心*月=14月=14(7.96)(7.96)/ =…Т£/ =…Т£

4

и = ё-以8也£ 0,心*

4

и = ё-以8也£ 0,心*

月=1

4

月=1

4

(7.96)

(7.96)

/ =…Т£

/ =…Т£

где 。幻 bk ——амплитуды, &后 определяется решением биквадратного уравнения

р 一 F {依*(1 + Е) + 1] %2 + i(1 + Е)X} + 认з = о. (7.97)

Корни уравнения (7.97) удобно представить в виде

(7.98)

где Ck — фазовая скорость, qk — коэффициент затухания.

Опуская выкладки, отметим, что решения (7.96), выписанные с учетом (7.98), по виду совпадают с классическими решениями [66] с точностью до коэффициента связанности, который в данном случае зависит от /г*. От 拉* зависят также фазовая скорость и коэффициент затухания. Рассмотрим более подробно эти зависимости на основе численного решения уравнения (7.97) для стали при £ = 1,14 X X 10~2.

На рис. 49 представлена зависимость функции %/д* от% при различных значениях 几*. Коэффициент затухания q、соответствует волне деформации, распространяющейся в глубь пространственной координаты g* = Eco*/2q. Влияние параметра п* существенно

Рис. 52Рис. 52Рис. 51Рис. 51та затухания q】в случаета затухания q】в случаепри значениях % 〜1,0, начиная с п* > >0,01. В общем случае модифицированная упругая волна подвергается большему затуханию. На рис. 50 представлена зависимость qjq* от 〃* при различных значениях X.

Рис. 52

Рис. 52

Рис. 51

Рис. 51

та затухания q】в случае

та затухания q】в случае

Из поведения функции фазовой скорости с； (рис. 51 и 52) следует, что влияние скорости распространения тепла существенно также при % 〜 1,0. Отметим, что при X V 1 всегда выполняется G > j но при % V 1 может оказаться справедливым и неравенство с； V & (см. рис； 51).

Асимптотические формулы для фазовой скорости q и коэффициен- X V 1, е《1 можно представить в виде

e； = a ［1 + 号(1 + %2宀)(1 + %2广 +。(喲卜 (7.99)

0i = * ［告 ” ° + 5cg О + 旷 + °(吩］* (7.Ю0)

Из (7.99) следует, что при %《1 выполняется условие cf 1 Ч——^-j , характерное как для классической, так и для обобщенной задачи. Асимптотические формулы при %《1 можно записать в виде

с； = r /Г+7 [1 - е (4 - Зе) (1 + 旷4 +。啰)]，

L 8」(7 101)

Выражения (7.101) не зависят от п* (см. рис. 49 и 51).

Рассмотрим волны с фиксированной длиной. Пусть длина волн является заданным фиксированным параметром. Тогда решение в виде суммы отдельных мод выражается таким образом:

и = е Cj pke ,(7.102)

4е』 X-G•Ее一一4е』 X-G•Ее一一(7.103)(7.103)

4е』 X-G

•Ее

一一

4е』 X-G

•Ее

一一

(7.103)

(7.103)

где р^, rk — амплитуды волн, а X论 определяется решением уравнения

№ + j 嚥П*"" (1 + П*)沙一j (] + Е)X += 0'

(7.104)

причем корни уравнения (7.104) представим в виде

% = ± f — ig,爲+2 = ± / — i九， 力=1, 2.(7.105)

Для определения связанности и сдвига фаз рассмотрим модифицированные волны без квазитепловых членов @ = 0), распростра> няющиеся в сторону роста пространственной координаты. В этом случае

и = 〃%-s*g cos [①* Т~ 卜^- Rt)]，(7.106)

/ = ifiyt^ -~- ^~®*^ cos 卜* -у-卜^- jt) + ¥ + 冗]• (7.107) Здесь связанность между волной деформации и обусловленной ею тепловой волной характеризуется коэффициентом Д, определяемым выражением

4 J碍十产滤V 产腸+ （恤一0）24 J碍十产滤V 产腸+ （恤一0）2(7.108)(7.108)

4 J碍十产滤

V 产腸+ （恤一0）2

4 J碍十产滤

V 产腸+ （恤一0）2

(7.108)

(7.108)

где

恤=g + 〃* (产 一 g2),加2 = 1 — 2〃*g・

Тепловая волна и волна деформаций сдвинуты в фазе на угол л + у, где у определяется из соотношения

tg Y =[(尸 + g2)恤一仔恤十 ^2 (产 + g2)2] _i • (7.109) /Ь加2

Изменение коэффициента А и угла сдвига у в зависимости от и п* представлено на рис. 53——55. Коэффициент Л существенно не зависит от /г* при 自《1. При 自 q 1, т. е. при длинах волн порядка 10~6 см, эта зависимость существенна. Сдвиг в фазе у при 三《1 составляет л/2. При J = 1 влияние параметра п* становится существенным. При 〃* = 0 с ростом Е выполняется 丫 > 0, но при /г* * 5A 0 возможны и случаи у V 0. Отметим, что наибольшие отрицательные сдвиги в фазе наблюдаются при 几求弋 0,5 (см. рис. 55).

Если материал обладает таким свойством, что az = 0, то из системы уравнений (7.87) имеем

产=~ +*'(7.110)

Представим решение уравнения (7.110) в виде

/ = t^x~^ .(7.111)

Частотное уравнение с учетом (7.111) имеет вид

F + к =刀・(7.U2)

Вводя безразмерные величины (7.90) и (7.93) в уравнение (7.110), получаем

f =几*炉 + 九(7.113)

Рассмотрим со в качестве вещественного параметра. Решение уравнения (7.110) принимает вид

t^e-^^b^^,(7.114)

где &々=j (-4——h i W~) — решение уравнения (7.113).

Фазовая скорость，；月 и коэффициент затухания 夕兄 определяются из соотношений

儿=(洛I*2 + c ,

力=1, 2,(7.115)

次左=± з* 亠 /I 乎加2 + 1 ,(7.116)

где

b = sin 击，

d = cos ~~—，

Ф = arctg (Xn*)"1 .

Безразмерная длина ^ (fe = 1, 2) вычисляется аналогично (7.98). Решение уравнения (7.110) в виде суммы отдельных мод по форме совпадает с классическим решением. Легко видеть, что 〃* = 0 屮 二-^―,匕2 = d? = -2- , c[k = У2sa . На рис. 56 приведена зависимость величины 二=飞氯 от % = %п*, где /2 представляет амплитуду диффузионного уравнения. Влияние /г* =Д 0 заметно, начиная с /г > 0,1, т. е. при частотах(о q 10~12 сек-4.

Рассмотрим длину волны в качестве вещественного параметра. Тогда решение уравнения (7.110) в виде суммы отдельных мод имеет форму бегущей волны:

(7.117)

где

丛=土 4 -他，% =嗚一，乙=干M Y—爲•

В случае диффузионного уравнения соответствующее решение имеет форму стоячей волны.

Таким образом, при высоких частотах (порядка характеристической) и малых длинах волн (嗚-Л ~ I)необходимо учитывать конечную скорость распространения тепла. В этом случае фазовые скорости, коэффициенты затухания и коэффициент связанности больше, а угол сдвига в фазе волны деформации и тепловой волны меньше, чем соответствующие величины, вычисленные в предположении бесконечной скорости распространения тепла.

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ

ОБОБЩЕННАЯ МАГНИТОТЕРМОУПРУГОСТЬ И ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТЬ

ГЛАВА ВОСЬМАЯ

ОБОБЩЕННАЯ МАГНИТОТЕРМОУПРУГОСТЬ

Основные уравнения и соотношения классической динамической задачи магнитотермоупругости изотропных электропроводных тел приводятся в монографии Новацкого [76]. Калиский [69] вывел основные уравнения и соотношения обобщенной динамической задачи магнитотермоупругости анизотропных тел.

В настоящей главе приводятся решения одномерных обобщенных динамических задач магнитотермоупругости для цилиндра, пространства с цилиндрической полостью и полупространства, полученные на основе сформулированной теории [69, 76] Н. А. Кондратюком [34, 35].

Основные уравнения и соотношения

Уравнения Максвелла совместно с материальными уравнениями среды и законом Ома, уравнения движения и обобщенное уравнение теплопроводности для изотропных электропроводных тел нетрудно получить из соответствующих уравнений для анизотропных тел. В системе СИ они имеют вид

rot Е = — В, rot Н = /, div D ~ 0, div В = О,

В = |Ч%瓦 D = %% 広 + (2 х В)],

(8.1)(8.1)j = о [Е + (и х В)] х grad 玄

(8.1)

(8.1)

[лДм + (九 + 卩)grad div и — 0 grad f + (『X 后)=pu ,

Af — Y]/ div и = — / ("~^~ H—^―) + -彳。'div /,

где p = а/ (3九 + 2卩)；Е,宜疗 ——векторы напряженности электрического и магнитного полей; / — плотность тока; е0 и [ла ——электрическая и магнитная постоянные; о ——удельная электропроводность; х — коэффициент, связывающий электромагнитное поле с температурным градиентом; л0 ——коэффициент, определяющий влияние

плотности вектора тока на плотность теплового потока.

Пусть тело находится во внешнем однородном магнитном поле "о. При этом в случае температурного воздействия внешней средой возникают возмущенные электрическое £ и магнитное й поля.

Общее магнитное поле Н = Но + /г. Пренебрегая источниками тепла и членом, учитывающим превращение механической энергии в тепловую при А 《Яо» уравнения (8.1) записываем таким образом:

rot Е =—卩川(Л， rot /г = /,

div Е = 0, div Л = О,

(8.2)(8.2)占=圆卩0瓦力=%%区+卩川0而X方О)],

(8.2)

(8.2)

j = 0区+瓦卩0而X冗)一乂 grad力

卩A〃 + (九 + 世)grad div « — p grad t + 卩川° @ x 瓦)=pZ

A/=』/ + c~2t + л div/,

где л = Т- ♦ “_

Учитывая, что div rot 方=0, rot rot h = grad div h — A/i = =——Дй, rot grad t = 0, вместо уравнений (8.2) получаем

АЛ — %% + р0 rot (« х 济)=0,

|1Л^ + 0 + 世)grad div и —卩 grad / + 卩小° (rot h xH^ = p〃，"

А/ = ~~ 彳 + cL 彳，

(8.3)

где ро = о卩跟°.

Пусть тело граничит с вакуумом, для которого уравнения Максвелла будут иметь вид

rot £° =—阿而，rot К0 = %声，(8 4)

div 总。=0, div 川=0.

Из (8.4) следуют уравнения

A声——^_ = 0, 战。——* = 0,(8.5)

с2с2 *丿

где 声，/i° — векторы напряженности возмущенного электрического и магнитного полей в вакууме; с = “丄:скорость распростране

ния электромагнитных волн в вакууме.

Для тел идеальной электропроводности система уравнений (8.3) значительно упрощается и принимает вид

h = rot 停 x 宕°),]

g〃 + (九 + 卩)grad div 〃一 R grad t + 时小° [rot rot(〃 x Ho) X 疗°] = p"，

(8.6)

Условия на границе тело ——вакуум запишутся таким образом: 6% + 7\ — Т?п = °,

П = •，/，財(8.7)

斗=£；, h^ =備，

где температурные напряжения о〃 и тензор Максвелла в теле Т〃 и в вакууме запишутся в виде

6/ = 2(Iе〃 + (入e -8方) 6/；,北7 =出川。肉% +%•"， -阮G •砌，鸡=hо仇阻+九財 一 %•油-分)1.

Цилиндр

Рассмотрим цилиндр идеальной электропроводности, находящийся в однородном магнитном поле Н (0, О, 77J и подвергнутый по краевой поверхности 厂° = R。тепловому удару внешней средой температуры /а.

Для определения возникающих в цилиндре температурного поля, возмущенного магнитного поля и поля деформации воспользуемся уравнениями и граничными условиями (8.5)——(8,7), которые в данном случае запишутся таким образом:

А/ = 〃， (8.8)

А〃^и = т —1~— »(8.9)

А 瓦=М0,(8.10)

% = 一 ①(-^—I—^-)，(8.11)

при 广=R

f = QS+ (/),

+ 几0 -7加 + 00% = 0,(8.12)

= 0,

1 dr ，

{f, 〃}广=0 联 8, h— 8 при r f 8・(8.13)

Начальные условия при / = 0 примем в виде

/ = о, / = о, 〃 = о, 〃 = о,.

.丄4丿

% = 0,九0 =。，

где

Д =+ ~г “'/ == 1 + Мо 帯’

m。=含，就=咨 + 届，c；=_^L, (0=整,

Применяя к (8.8)——(8.13) преобразование Лапласа no / с уче

том начальных условий (8.14), получаем

А? = 丫2彳，(8.15)

А" — (s2 + Г2)"=加与，(8.16)

А% = AW%,(8.17)

冗=—①(-^- + 一)，(8」8)

при г = R

i =厶， s

du."7 . n 7 八(8.19)