Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ВВЕДЕНИЕ
Вот уже почти 40 лет на механико-математических факультетах классических университетов одним из основных курсов является курс механики сплошной среды (МСС). Его основателями и первыми лекторами были великие учёные-механики, профессора МГУ Леонид Иванович Седов и Алексей Антонович Ильюшин. Оба они написали прекрасные учебники [15, 52], многократно переиздававшиеся и переведённые на многие иностранные языки. На этих учебниках воспитывалось большое количество отечественных учёных и научных сотрудников. За прошедшее время у нас и за рубежом вышло довольно много лекционных курсов и монографий по данному предмету.
Программа курса механики сплошной среды непрерывно модифицировалась, в неё включались новые актуальные разделы и уточнялось дедуктивное описание на основе появляющегося нового математического аппарата, компьютерной техники и инженерных задач. Авторы также принимали участие в этом процессе, регулярно излагая свои мысли в курсах механики сплошной среды, читаемых студентам-механикам 2-го и 3-го курсов и студентам-математикам 5-го курса механико-математического факультета, а также студентам 3-го курса факультета наук о материалах (ФНМ) МГУ. Накопленное выносится теперь на суд читателя.
Мы рассчитываем, что таким читателем будет всякий, кто интересуется современным университетским курсом механики сплошной среды и знает математику в объёме первого курса ВТУЗа. Весь необходимый математический аппарат даётся по ходу изложения. При этом почти везде он представлен только в минимальном виде, с тем чтобы объяснить основную концепцию механики сплошной среды. Вдумчивый и любознательный читатель сможет расширить свои математические познания, используя литературу, на которую, в частности, ссылаются авторы.
В МСС излагаются общие свойства континуальных моделей и предметом исследования могут быть разнообразные объекты. Законы, изучаемые в МСС, позволяют прогнозировать явления
самой различной природы, и потому знакомство с МСС облегчит труд во многих областях науки и техники по расшифровке свойств моделей, выявлению всех следствий и т. д.
Программа курса МСС, читаемого в течение многих лет студентам-механикам механико-математического факультета МГУ профессором Б.Е. Победрей, представлена в приложении. Материал, изложенный в настоящей книге, соответствует только части программы (второму семестру 2-го курса). Поэтому книга названа "Основы механики сплошной среды”. В ней излагаются основные модели МСС сначала для изотермических процессов, а затем с использованием основных законов термодинамики.
Для лучшего понимания изложенного в книге материала авторы рекомендуют читателям воспользоваться сборниками задач и упражнений [18, 30].
Авторы признательны доценту кафедры механики композитов МГУ Л.В. Муравлёвой, внимательно прочитавшей рукопись и сделавшей ряд полезных для авторов замечаний.
Авторы с благодарностью примут отзывы читателей и постараются максимально учесть их в дальнейших изданиях.
6£. Победря, Д.В. Георгиевский
ЛЕКЦИЯ 1
ПОДХОДЫ К ОПИСАНИЮ ДВИЖЕНИЯ
По-разному можно определить предмет механики сплошной среды, впрочем как и всей механики. Объективности здесь не может быть никакой и всё зависит от точки зрения исследователя. Однако в любом определении будет утверждаться, что механика сплошной среды (МСС) — наука феноменологическая. Это означает, что в её основу положен аксиоматический подход, хотя и не в таком законченном виде, как в математике. Дело в том, что одним из элементов построения МСС является эксперимент. Понятие uэкcпepимeнт^^ многогранно и требует подробного разъяснения, о чём немного говорится в дальнейшем. Априорное присутствие этого понятия в формулировке задачи МСС заставляет исследователей в области механики именовать “крфпршпкр!” феноменологического подхода не аксиомами, а постулатами.
В последнее время приобрело особую популярность словосочетание математическое моделирование. Именно моделированием и занимается механика. В частности, МСС занимается моделированием процессов деформирования. Подобно тому как в геометрии каждый вводит понятия: шар, конус, параллелепипед и т. д., не заботясь о том, существуют ли реально такие объекты в природе, в МСС оперируют такими моделями, как упругое тело, идеальная жидкость, совершенный газ и т.п., хотя реальные среды описываются названными моделями лишь при определённых допущениях.
Сплошная среда (или континуум) вводится для описания дискретных физических объектов, с тем чтобы воспользоваться мощным аппаратом математического анализа. Сама по себе сплошная среда никакими априорными свойствами не обладает. Подобно тому как любое множество только после введения некоторой структуры становится пространством, сплошная среда, чтобы стать объектом построения моделей, нуждается во введении системы аксиом и постулатов. Они будут рассмотрены в последующих лекциях.
Рис. 2Рис. 2
Рис. 2
Рис. 2
Отметим, что принцип континуа几изации, используемый для введения сплошной среды, не решает всех проблем. После постановки задачи МСС требуется привлечение вычислительной техники для её решения. Для этого задачу требуется превратить в алгебраическую, т. е. провести процесс дискретизации. В целях анализа полученного решения и сравнения его с экспериментальными результатами приходится вновь континуализировать задачу.
Таким образом, процессы дискретизации и континуализации задачи МСС повторяются несколько раз на различных уровнях. Частично такими проблемами занимается бурно развивающийся раздел механики — вычислительная механика [42]. Об этом пойдёт речь в дальнейшем.
Для описания событий, происходящих в сплошной среде, выберем некоторую систему отсчёта. Чаще всего это будет инерциальная система отсчёта: R1 х Q. Одномерное пространство R1 называется временным'. О < t < оо, а пространство Q — координатным. Инерциальной системой отсчёта она называется потому, что в ней справедлив закон инерции, т. е. она либо покоится, либо движется относительно другой инерциальной системы поступательно, равномерно и прямолинейно. Геометрические свойства и размерность пространства Q выбираются в зависимости от цели предпринимаемого исследования.
Предположим, что существуют двумерные создания, живущие в плоскости листа (рис. 1). Чтобы сделать операцию на сердце такому созданию, двумерный хирург должен сначала рассечь тело пациента. Мы же, трёхмерные люди, можем коснуться его сердца, не производя никаких разрезов. Если такие двумерные создания живут на uгoфpиpoвaннoй^^ двумерной поверхности, которую сжали с обеих сторон двумя жёсткими плитами, то они будут испытывать "напряжённое состояние”, от которого нельзя освободиться никакими силами, действующими
в плоскости деформированного гофра (рис. 2). Ведь гофр может разгрузиться только в трёхмерном пространстве, которое для двумерных созданий является математической абстракцией.
Точно так же в нашем реальном трёхмерном мире возникают напряжения (например, при сварке), от которых можно освободиться только выходя, вообще говоря, в шестимерное евклидово пространство. Поэтому, чтобы изучать такое напряжённое состояние, нужно в качестве Q рассматривать шестимерное евклидово пространство R6 или трёхмерное риманово пространство V3 [38, 39].
Однако чаще всего за координатное пространство Q принимается трёхмерное евклидово пространство R3, которое будем также называть вмещающим ящиком Я. В нём всегда может быть введена прямоугольная декартова система координат, благодаря чему любая точка вмещающего ящика Я описывается радиусом-вектором 尸=&爲，где 爲—векторы ортонормирован- ного базиса 9 . Величины Xi называются пространственными координатами данной точки или данного места в ящике #.
Определим далее тело В (сплошную среду) как трёхмерное дифференцируемое многообразие. Под многообразием понимается множество Е, представленное в виде объединения {U} конечного или счётного числа областей. Для каждой области U задано взаимно однозначное отображение её в открытую область трёхмерного евклидова пространства R3 (задан гомеоморфизм в R3). Тем самым в каждой области заданы координаты £i,&,& (U — координатная окрестность или карта; совокупность карт называется атласом). Пересечение U nUf каждой пары областей в каждом множестве Е является областью, в которой действуют две системы координат: &,&,& (в U) и &/,&/,&/ (в U'). При этом одна система координат выражается через другую соотношениями
2= 1,2,3. (1.1)
Функции W непрерывно дифференцируемы достаточное число раз. Кроме того, во всех точках якобиан преобразования (1.1) отличен от нуля:
尊 (L2)
1) По повторяющемуся индексу i производится суммирование от 1 до 3 (см. стр. 11).
т. е. преобразование & ——> g невырожденно или локально обратимо. Тогда по теореме о неявной функции существует обратное к (1.1) преобразование
& = &(&，&&)， z=l,2,3.(1.3)
Таким образом, с каждым телом В можно связать атлас (в двумерном случае сфера состоит из двух карт). Если же тело R само является евклидовым пространством R3 или его частью, то атлас состоит из одной карты и может рассматриваться одна система координат & для всех окрестностей U — элементов многообразия /3 е R3.
Элементы тела В называются частицами X, а величины & (〃 =1,2, 3) — материальными координатами этих частиц. Конфигурацией S тела В назовём гладкий гомеоморфизм В в область трёхмерного евклидова пространства R3. Таким образом, название частиц связано с одной из таких конфигураций. Движением тела В будем называть однопараметрическое семейство конфигураций 己(方)с временным параметром t Это означает, что в каждый момент времени t имеется uфoтoгpaфия^^ тела В в ящике Я.
Итак, конфигурация тела В в момент времени t представляет собой множество всех мест х, которые занимают составляющие это тело частицы X: % = Е(/3,方)={Е(Х,方)，X е В}. Предполагается, что отображение В ——> 己(В, t) биективно, т. е. две различные частицы в одно и то же время не могут находиться в одном месте ящика и, наоборот, никакая частица ни в один момент врмени не может занимать два различных места. Это
положение носит название гипотезы непроницаемости.
Конфигурация в момент времени t = to называется отсчётной конфигурацией'.力о = Е(/3/о), а в текущий момент t — актуальной конфигурацией', х = Е(/3,方).Координаты ящика 力?，％；,%?, соответствующие отсчётной конфигурации, называются лагранжевыми координатами. Они могут, как и материальные координаты, служить наименованием частицы X (её “названием”). В отличие от материальных координат &,&,&, лагранжевы координаты связаны с выбором параметра 方=用. Поэтому может быть установлено непрерывное и взаимно однозначное соответствие:
x =)(力0,方).(1.4)
Рис. 3Рис. 3в отсчётной конфигурации,в отсчётной конфигурации,Итак, после введения отсчётной и актуальной конфигураций можно определить движение тела как отображение отсчётной конфигурации в актуальную, т. е. заниматься только отображениями uфoтoгpaфий^^ тела, а не самим телом (рис. 3). В силу гипотезы непроницаемости отображение (1.4) будет биективным.
Рис. 3
Рис. 3
в отсчётной конфигурации,
в отсчётной конфигурации,
Место, занимаемое частицей X описывается радиусом-вектором 办：
% = %(&,&,&/о) = ^^\,^,^,t^ki, (1.5) а в актуальной конфигурации — радиусом-вектором г:
尸=尸(&,&,&, 方)= 0(&,&,&,方居， (1.6) где xi — эйлеровы координаты или координаты места в ящике Я, занимаемого частицей, которая в момент t = to занимала место с координатами 力，.Из (1.5), (1.6) следует, что соотношение (1.4) можно записать в виде
0 = 0(%?, %?, %?,方)или 尸=尸(办,方).(1.7)
В соотношениях (1.5) и (1.6), как и всюду далее в книге, используются следующие общепринятые правила суммирования [29, 55]:
индекс, изображающийся малой латинской буквой, изменяется от 1 до 3;
индекс, изображающийся большой латинской буквой, изменяется от 1 до 2;
латинские индексы могут встречаться в каждом одночлене либо один, либо два раза; если индекс встречается два раза, он называется немым и по нему производится суммирование от 1 до 3 (если он изображается малой буквой) или от 1 до 2 (если большой), причём для краткости знаки суммы опускаются; если индекс встречается один раз, он называется свободным (во всех одночленах данной формулы свободные индексы должны совпадать);
индексы, обозначающиеся греческими буквами, могут встречаться в каждом одночлене произвольное число раз, и по ним суммирование не производится (если, разумеется,
специально не написан знак суммы); разным греческим буквам в индексах в данной формуле обязательно соответствуют разные числовые индексы.
Так, например, компактная запись
^iJkL^ak^aL = faiJ эквивалентна системе восемнадцати уравнений (каждое из следующих шести уравнений надо взять при а = 1,2, 3): ailllba{Cai + "1112ьq10a2 + "112 也 20q1 +
+ "1122ьq20q2 + "1131ьq30q1 + "1132ьq30Q2 = /a11；
"1211bq1"1 + "1212ьq10a2 + "1221兄20a1 +
+ "1222兄20a2 + "1231兄3"1 + "1232兄3"2 = /a12；
"211 也1"1 + "2112bq10a2 + "212 也 20q1 +
+ "2122兄20a2 + "2131兄3"1 + "2132兄3"2 = /a21；
"2211坛10a1 + "2212坛10a2 + "2221兄20a1 +
+ "2222兄20a2 + "2231兄3"1 + "2232兄3"2 =九22；
"3111星10Q1 + "3112星10q2 + "3121兄20a1 +
+ "3122兄20a2 + "3131兄3"1 + "3132兄3"2 =九31；
"321 也 10q1 + "3212坛10q2 + "322 也 20q1 +
+ "3222兄20a2 + "3231兄30a1 + "3232兄30q2 = /a32-
Сравнение двух предыдущих формул, без сомнения, убедит читателя в преимуществах использования тензорной алгебры.
Вернёмся к соотношениям (1.7). Они устанавливают связь между отсчётной и актуальной конфигурациями, т. е. описывают закон движения сплошной среды. В силу условий непроницаемости
粤三3餐#。(L8)
a叫 а& a叫
соотношения (1.7) можно обратить следующим образом:
%？=%?(%1,力2,力3, 方)или 办=办(元方). (1.9)
Если в отсчётной конфигурации зафиксировать материальную частицу (например, имеющую лагранжевы координаты * = =G), то из закона движения (1.7) получим уравнение линии:
0 = 0(01,02，。3，方).(1.Ю)
Эта линия называется траекторией частицы.
Если теперь положим в отсчётной конфигурации
力g = Q = const, Х3 = С3 = const, (1.11) т. е. зафиксируем прямую линию, составленную из материальных частиц, параллельную оси координат (О%?), то в актуальной конфигурации в фиксированный момент времени t = Т = const получим с
хг = хг^С2.С^Т\ (1.12)
Уравнения (1.12) описывают некую кривую, составленную из материальных частиц, которые в отсчётной конфигурации лежали на прямой (1.11).
Если теперь положим в отсчётной конфигурации
力g =。3 = const, (1.13) т. e. зафиксируем плоскость, составленную из материальных частиц, параллельную координатной плоскости {Ох^х^), то в актуальной конфигурации в фиксированный момент времени t = Т = const получим
Xi = Xi(x^X2，C3,T). (1.14) Уравнения (1.14) описывают поверхность, составленную из материальных частиц, в которую перешла при движении сплошной среды плоскость (1.13).
Из (1.11), (1.12) следует, что ортонормированный базис, составленный из материальных частиц в отсчётной конфигурации, вообще говоря, превращается в актуальной конфигурации в uкpивoлинeйный^^ базис [36].
Заметим, что в силу (1.8) можно обратить соотношения (1.5) для материальных координат &:
金 = 金(力?，力 g,离方 0). (1.15)
Введём в рассмотрение вектор перемещения как разность векторов г и 办(рис. 4):
％. (1.16) Рис- 4
Компоненты % в базисе 焉 можно считать функциями лагранжевых координаt и времени: щ (%?，力；，%?，方).
Продифференцируем обе части закона движения (1.7) по времени и определим вектор скорости v с компонентами 出 в базисе к〃, являющимися функциями лагранжевых координат
и времени:
d 尸dfZ尸
или网办⑴=^(%⑴=*(%/) = ^保由=^(屯坟 CLLCLL
(1/7)
В (1.17) полные производные по времени совпадают с частными, поскольку лагранжевы координаты 力？ от времени не зависят.
Продифференцируем обе части (1.17) по времени ещё раз и определим вектор ускорения w с компонентами Wi в базисе 焉, являющимися функциями лагранжевых координат и времени:
(1.18)(1.18)仍宕制,器丿）=空（力?，力g,球"=二^（力?,力?,球川
(1.18)
(1.18)
или 研办/）=帝5）丿）=兩^（办，方）= 豆^（办，h
Компоненты тех же самых векторов перемещения, скорости и ускорения в силу (1.9) можно представить и как функции эйлеровых координат Xi и времени:
ui^.^^t) = %(%1,力2,力3,力)；(1.19)
出(力?，力2,球方)=3(%1,力2,力3,坟(1.20)
仍(力?,力2,离方)=1^(力1,力2,力3,力)・(1・21)
Векторы 5(元方)и формулами:
т dv
w =-—= dt
или покомпонентно:
v(f, t) связаны между собой следующими
dvdv dxidvdv八
二岳=岳+厂出，L22
atoxi dtdtoxi
dvi
Wi =——= dt
dvi 1 dvi dxj dvi dvi
二出 + 朋 dt =「O'S)
В (1.22) и (1.23) видно различие между полной производной и частной производной по времени. Для любой физической величины 尸(力 1,力2,力3, 土)，зависящей от эйлеровых координат и времени, полная производная по времени (её также будем обозначать точкой справа вверху буквы) представима в виде
dF
F•（力1,力2,力3，力）=加（力1,力2，力3，力）=
dFdF
瓦（力1,力2，力3，力）+ 而（力1,力2，力3丿）3 ,（1.24）
т. е. в виде суммы частной производной по времени и конвективной производной по времени.
В зависимости от того, какие координаты — лагранжевы * или эйлеровы Xi — выбраны в качестве независимых переменных, различаются два подхода к описанию движения сплошной среды, связанные с именами Ж.Л. Лагранжа и Л. Эйлера [45]. При лагранжевом подходе целью является нахождение закона движения (1.7), т. е. траекторий всех частиц тела. Лагранжево описание деформирования сплошной среды применяется чаще в механике деформируемого твёрдого тела, где удобно следить за движением границы тела.
При эйлеровом, подходе целью является нахождение поля вектора скорости v как функции г и t Эйлерово описание применяется в случаях, когда необходима информация о том, как изменяется со временем та или иная физическая величина в данной точке пространства (ящика Я). Такой подход чаще используется в гидроаэромеханике при исследовании жидкости [10].
Оба подхода эквивалентны. Действительно, зная закон движения (1.7), можно найти согласно (1.17) и (1.18) векторы скорости 不(办，方)и ускорения 5(%,方)и, воспользовавшись соотношениями (1.9), в силу (1.20), (1.21) получить векторные поля v{f, t) и w(r, t).
Пусть теперь имеются три функции з(%1,力2,力3, "• Выпишем систему дифференциальных уравнений относительно функций 力К":
*=3(%1,力2,力3,方)・(1.25)
Решая систему (1.25) с начальными условиями 力広(0)=力? (задачу Коши), находим закон движения 力乂力?，力；，力?，方).
Рассмотрим ниже три характерные задачи.
Пусть имеется закон движения сплошной среды:
力1 = %? + atx^,
力2 =力?一"方力?，(1.26)
力3 =%?，
где а — постоянная. Надо найти поле скоростей з(%1,力2,力3,方) в эйлеровом пространстве.
dxjа吟dxjа吟(1.28)(1.28)(1.29)(1.29)Подставим обратный закон решение задачи:Подставим обратный закон решение задачи:,=力3・движения (1.29) в (1.28) и выпишем,=力3・движения (1.29) в (1.28) и выпишем°2°2力2 + "方力1 =a1 + “2/ '=a1 + “2/ '力2 + "方力1 =a1 + “2/ '=a1 + “2/ '(1.30)(1.30)
dxjа吟
dxjа吟
(1.28)
(1.28)
(1.29)
(1.29)
Подставим обратный закон решение задачи:
Подставим обратный закон решение задачи:
,=力3・
движения (1.29) в (1.28) и выпишем
,=力3・
движения (1.29) в (1.28) и выпишем
°2
°2
力2 + "方力1 =a
1 + “2/ '
=a
1 + “2/ '
力2 + "方力1 =a
1 + “2/ '
=a
1 + “2/ '
(1.30)
(1.30)
Заметим, что 力広(0)=力？ и, кроме того,
1 at 0
(1.27)(1.27)—at 10=1+ a?产 > 0 ,
(1.27)
(1.27)
0 0 1
т. е. система (1.26) действительно представляет собой закон движения.
Дифференцируя (1.26) частным образом по 九 получим
S = a力g ,02 =-"%? ,03 三 0 ,
а обращая (1.26), будем иметь
，о 力1 — atx2勺=1 + “2/ '
<0力2 + a方力1
"2=1+ “2/，
=0.
Как следует из (1.28) иКак следует из (1.28) ивид функций 筑(力?，％g,力§,方)
Как следует из (1.28) и
Как следует из (1.28) и
и。広(力1,力2,力3,方)существенно различен (хотя эти функции и обозначаются одной буквой).
(1.31)(1.31)Пусть теперь дано другое поле скоростей 约(力1,力2,力3,方)в эйлеровом пространстве:
(1.31)
(1.31)
s =学力2，02 = 一G%1 ,03 =00，
где ш и vq постоянны. Требуется определить закон движения частиц.Для этого необходимо решить задачу Коши для трёх уравненийгде ш и vq постоянны. Требуется определить закон движения частиц.Для этого необходимо решить задачу Коши для трёх уравненийdx\с начальными условиями системаdx\с начальными условиями системаdt◎ (0)dt◎ (0)=-G力i ,--=伙)dt=*. Следствием (1.32)=-G力i ,--=伙)dt=*. Следствием (1.32)(1.32)(1.32)являетсяявляется染力2dt2染力2dt2_2 也_=—G 力 2，—7Г =伙)•dt_2 也_=—G 力 2，—7Г =伙)•dt
где ш и vq постоянны. Требуется определить закон движения частиц.
Для этого необходимо решить задачу Коши для трёх уравнений
где ш и vq постоянны. Требуется определить закон движения частиц.
Для этого необходимо решить задачу Коши для трёх уравнений
dx\
с начальными условиями система
dx\
с начальными условиями система
dt
◎ (0)
dt
◎ (0)
=-G力i ,--=伙)
dt
=*. Следствием (1.32)
=-G力i ,--=伙)
dt
=*. Следствием (1.32)
(1.32)
(1.32)
является
является
染力2dt2
染力2dt2
_2 也_
=—G 力 2，—7Г =伙)•
dt
_2 也_
=—G 力 2，—7Г =伙)•
dt
возникающейвозникающейчастиц.уравненийчастиц.уравненийзадачи Коши,задачи Коши,咼而竺加包而咼而竺加包而=。力 2 - Ь%з,=。力 2 - Ь%з,="力3-од, 0(0)=%?.(1.37)="力3-од, 0(0)=%?.(1.37)=Ьх\ - "力2,=Ьх\ - "力2,
возникающей
возникающей
частиц.
уравнений
частиц.
уравнений
задачи Коши,
задачи Коши,
咼而竺加包而
咼而竺加包而
=。力 2 - Ь%з,
=。力 2 - Ь%з,
="力3-од, 0(0)=%?.(1.37)
="力3-од, 0(0)=%?.(1.37)
=Ьх\ - "力2,
=Ьх\ - "力2,
Выпишем её общее решение:
｛
力1 = С\ coscjt + Q sin st,
力2 =。3 cos cut + & sin st,(1.34)
力 3 = v^ + Cb.
Подставим теперь решение (1.34) в уравнения (1.32) и начальные условия, тем самым связывая константы Ci,...,C5 и %?. В результате получим закон движения
，力1 =力? coscjt + 力g sin st,
(1.35)(1.35)< 力2 = — %? sin st + 力g coscjt,、力3 = %g + v^t.
(1.35)
(1.35)
Уравнения (1.35) представляют собой параметрические уравне
ния спирали. Следовательно, каждая частица, не принадлежав
шая в начальный момент оси 力з, движется по спирали с постоянной осевой скоростью 。0 и постоянной угловой скоростью s (рис. 5). Ось же 力з движется вдоль самой себя со скоростью о。.
В третьей задаче имеется поле скоростей 出(力1,力2,力3,方)в эйлеровом пPостранстве:
01 =0%2 - ьа3 ,02 = "力3 -0% i ,
03 = bxi - "力2 ,
где a, b, с — некоторые постоянные. Необхо
димо найти траектории Исследуем систему
в данном случае:
на а, второе на Ь, а третьена а, второе на Ь, а третьеУмножим первое уравнение (1.37)
на а, второе на Ь, а третье
на а, второе на Ь, а третье
на с и просуммируем:
dxi dx2 , dx3
2 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
Интегрируя (1.38) по времени с учётом начальных условий:
aX\ + Ь力2 += "力? + b力g +0力纟，(1.39)
придём к выводу, что каждая частица, имевшая в начальный момент координаты 力?, х^,力§, будет оставаться в плоскости, определяемой (1.39), т. е. траектория каждой частицы является плоской.
Умножим далее первое уравнение (1.37) на 力i, второе на 力2, а третье на 力з и просуммируем:
dx\1 / dxl…
"1号 +"2号+力3寸三5+ M + V =°. k°
at at at 2 1 at at at /
Интегрируя (1.40) по времени и опять же учитывая начальные условия, будем иметь
W + / + /=(力t + (力行 + (/)2,(1.41)
т. е. каждая частица, имевшая в начальный момент координаты Хр 力g,力§, будет оставаться на сфере, определяемой уравне
нием (1.41). Соотношения (1.39) и (1.41) называются первыми интегралами системы (1.37).
Итак, траекториями будут окружности (для каждой частицы своя), являющиеся пересечением плоскости (1.39) и сферы (1.41) (рис. 6). Исключение составляют лишь частицы, находившиеся при 方=用 на прямой I, которая проходит через начало координат и параллельна вектору {а;Ь; с} (эти частицы, очевидно, будут находиться в покое).
Отметим некоторые часто встречающиеся законы движения сплошной среды.
Трёхмерное растяжение-сжатие'.
力& = (1 + “&⑴)力^ , а= 1,2,3,(1.42)
причём а〃(0) = 0 pi 〃広(方)* — 1. Соответствующее поле скоростей 不(元方)имееt вид
Если “з (方)=0, то говорят о двумерном растяжении-сжатии в плоскости (0%1%2). Еели аз(方)="2(方)=0, то имееt место одномерное растяжение-сжатие вдоль оси (0%i).
Одномерный сдвиг:
力1 = %? + a{t)x2 ,力2 = %g ,力з =力纟，(1.44)
причём а(0) = 0. Поле 不(元方)имеет вид
01=g力2,02 =03 = 0・(1・45)
Однородное состояние'.
& =厶盯⑴吟,(1.46)
причём 4叮(0) = b叮；det A(t) 0; b叮—символы Кронекера
% =(1.47)
[0 , если 2 千 з・
Для скоростей Я(г, t) справедливы соотношения
Vi = B^Xk , В = А А-1,(1.48)
где А-1 — обратная к А матрица, т. е. А • А-1 = А-1 • А = I; I — единичная матрица, компонентами которой в декартовой системе координат являются 6盯.
ЛЕКЦИЯ 2
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
Векторной линией данного векторного поля называется такая кривая, в каждой точке （力 1,%2，％з） которой её касается вектор 万（力 1,力2,力3）， принадлежащий этому векторному полю
（рис 7）. Если 万（力 1,力2,力3,方）явно зависит от времени, то картина векторных линий будет со временем меняться. Для векторного поля скоростей векторные линии называются линиями тока.
Если через точку пространства проходит более одной линии тока, то эта точка называется особой. Примеры таких особых точек изображены на рис. 8. Проведём в момент времени t через некоторую неособую точку М с радиусом-вектором г линию тока （рис. 9）. Вдоль этой линии выберем естественный параметр
отсчёта — длину дуги s. Тогда согласно определению линии тока
石=К*%1,%2,%з/),(2.1)
где К, вообще говоря, зависит от s. Запишем соотношение покоординатно:
dxi = Kvi ds = з dX, К ds = dX,(2.2)
d%3d%3=认(2.3)=认(2.3)или в виде d%id%2
d%3
d%3
=认(2.3)
=认(2.3)
03（力1,力2，力3，力）03（力1,力2，力3，力）S (%1,力2,力3,力)02(力1，力2,力3,力)
03（力1,力2，力3，力）
03（力1,力2，力3，力）
где параметр А — скалярная функция длины дуги s.
Система трёх уравнений (2.3) определяет картину линий тока в пространстве в момент времени t Отметим существенное различие между решениями этой системы и решениями системы (1.25), которую по аналогии с (2.3) запишем следующим образом:
М= dx3 =必.(2.4)
01(力1,力2，力3，力)02(力1，力2，力3，力)03(力1，力2，力3，力).
Оно состоит в том, что в (2.3) время фиксировано и входит как параметр, а в (2.4) время меняется и представляет собой независимый аргумент.
Поскольку решением системы (2.3) является семейство линий тока, а решением системы (2.4) — семейство траекторий, то линии тока, вообще говоря, отличаются от траекторий частиц. В самом деле, пусть плоское тело представляет собой квадрат ABCD
(рис. 10), двигающийся поступательно в своей плоскости, причём центр М квадрата вращается по окружности вокруг неподвижной точки О. Траекториями точек квадрата в данном случае будут окружности радиуса \ОМ\ (например, для точки А центр такой окружности находится в точке А). В силу же поступательности движения, т. е. равенства скоростей всех точек тела, линии тока в каждый момент времени будут представлять собой семейство отрезков,
проходящих через все точки квадрата и перпендикулярных в каждый момент времени отрезку |ОМ|.
Найдём, например, линии тока для поля скоростей, задаваемого уравнениями (1.30). Подставляя (1.30) в систему (2.3), получим777
匹(2.5)
atx\ + 力2a方力2 一 力10
Из системы дифференциальных уравнений (2.5) следует, что линиями тока будут пересечения плоскостей 力3 = const и цилиндрических поверхностей, определяемых уравнением
d力2"方力2 一力1
d%i "力力1+%2，,
Для интегрирования уравнения (2.6) с помощью замены д(%)=力2/力 1,力=力1 сведём его к уравнению с разделяющимися
переменными,,7
у + at . ах
которое имеет следующий интеграл:
力 J1 + 炉 exp (at arctgy) = C.(2.8)
Переходя опять к переменным 力i,力2，запишем (2.8) в виде
J(力 1)2 + (力2产 exp ^at arctg —= C (2.9) или же в полярных координатах на плоскости 0x1^2 (г = =，(%1)2 + (力2产,夕=arctg(g/%l))：
r = CeS,力3 = G・(2.10)
Таким образом, линии тока в любой момент представляют собой логарифмические спирали в плоскостях, ортогональных оси (0%з). Траектории же частиц описываются уравнениями (1.26) и представляют собой прямые линии.
Совпадение линий тока с траекториями происходит в двух случаях. Во-первых, это случай установившегося движения, когда поле скоростей стационарно, т. е. явно не зависит от времени:
万：=0 или з=出(%1,力2，力3)■(2.11)
В этом случае уравнения (2.3) и (2.4) идентичны. Во-вторых,
такое совпадение имеет место и при неустановившемся движении, если траектории всех частиц тела прямолинейны. Тогда
семейство огибающих поля скоростей также прямолинейно и не отличается в пространстве от траекторий частиц.
Если выпустить из каждой точки некоторого замкнутого контура С линию тока (рис. 11), то в пространстве образуется трубка тока.
Для дальнейшего изложения понадобятся некоторые понятия и теоремы векторного анализа [36].
Пусть в ортогональной декартовой системе координат в R3 с базисными векторами ki заданы векторы: а =电焉， & =仇焉，с = Ciki (рис. 12). Напомним два типа умножения векторов а и Ь.
Рис. 12Рис. 12Скалярное произведение векторов. Для базисных векторов & •后• = Ь〃・.Тогда
Рис. 12
Рис. 12
а • & = aiki • bjkj =电％b叮=电仇. (2.12) Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю, кроме того: а • & = & • а.
Векторное произведение векторов. Для базисных векторов ki х kj = с”％卮，где с”％ — трёхиндексный символ Леви- Чивиты:
€123 = €231 = *12 = —б213 = —б132 = —б321 =】• (2.13) Остальные же компоненты с”％, т. е. те компоненты, где хотя бы два индекса одинаковы, равны нулю. Тогда
а х & = a^i х bjkj =⑦汴а也麻. (2.14) Векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулю, кроме того: а х b = —Ь х а.
Заметим, что модуль векторного произведения (2.14) векторов а и & численно равен площади X параллелограмма, инатяну- того” на эти векторы (рис. 12):
|а х & I = |а || & I sina = X. (2.15) Вводя единичный вектор нормали п к поверхности X,
n = Hiki, \п^ = щщ = 1, (2.16)
можно определить площадь X как векторную величину:
X = Xn = \axb\fi = dxb =& 17)
X 九k = ^ijk^i^j = Х/с・
Смешанное произведение трёх векторов.
(а х &) • с = (& х с) • а = (с х а) • & =⑦汴电％0c.(2.18)
Модуль величины (2.18) представляет собой объём V параллелепипеда, uнaтянyтoгo^^ на векторы а, b и с (рис. 12):
y=|(ax&).c| = |6^^cfc| = |S.c|.(2.19)
Смешанное произведение трёх компланарных векторов равно нулю.
Введём в рассмотрение дифференциальный оператор V — набла. Его компонентами являются операторы частного дифференцирования:
V = —кг = дгкг.(2.20)
Применяя рассмотренные выше виды умножения к V, получим
V • а = diki • ajkj =仇泣出=》出=div а,(2.21)
▽ х cl a^kg х cljkj上叮衣衣衣分広〃/ rot a, (2.22)
▽夕=di^pki = grad 夕，(2.23)
где 夕(力 1,力2，力3)— некоторая скалярная функция.
Векторное поле 万(力 1,%2,%з) называется потенциальным, если существует такое скалярное поле 夕(力 1,力2,力3)，что
а = grad 夕.(2.24)
Поле 夕 носит название скалярного потенциала а.
Векторное поле 万(力 1,%2，％з) называется соленоидальным, если существует такое векторное поле 矽(力1, %2, %з), что
а = rot(2.25)
Поле j носит название векторного потенциала а 9 .
Дифференциальные операторы diva и rota называются дивергенцией и ротором векторного поля а, а оператор grad 夕—
9 Справедлива теорема Гельмгольца: всякое векторное поле 万(牙，方) может быть однозначно (с точностью до функции времени) представлено в виде: a = grad 夕 + rot г^.
градиентом скалярного поля 夕.В дальнейшем выясним механический смысл введёных дифференциальных операторов, а пока определим линейный оператор второго порядка
△夕=div grad 夕，(2.26)
называемый оператором Лапласа скалярного поля 夕.
Докажем, что для любых скалярного поля 夕 и векторного поля а выполняются тождества
a) div rot а = 0, б) rot grad 夕三 6.(2.27)
Воспользуемся определениями (2.21)-(2.23).
div rot а = div (ц7kdоу 麻)=⑦汴讶^衣〃/ = 0, в силу того что символ Леви-Чивиты ⑦汴 антисимметричен по индексам ink (см. (2.13)), а смешанная производная did^aj по г и fc симметрична. Следовательно, их свёртка по этим индексам равна нулю.
rot gradg = rot (百》夕)=ejikdidj(pkk = 0.
Для того чтобы поле а было потенциально, необходимо и достаточно, чтобы rot а = 0, а для того чтобы оно было соленои- дально, необходимо и достаточно, чтобы diva = 0. Если поле a одновременно потенциально и соленоидально, то его скалярный потенциал, очевидно, является гармонической функцией, т. е. удовлетворяет уравнению Лапласа
△夕=0,(2.28)
и наоборот, любой гармонической функции можно поставить в соответствие векторное поле, являющееся и потенциальным, и соленоидальным [20].
Рассмотрим теперь в качестве а поле вектора скорости 不(力1,力2,力3, Все ранее сформулированные определения и утверждения применимы теперь к v. Скалярный и векторный потенциалы скорости будем по-прежнему обозначать 夕 п соответственно. Введём также в рассмотрение вектор вихря сЗ: 行=|rot Я,(2.29)
являющийся, очевидно, соленоидальным. Векторные линии поля 行(力 1,力2,力3,方)носят название вихревых линий. Если же из каждой точки замкнутого контура выпустить вихревую линию, то в пространстве образуется так называемая вихревая трубка.
(2.30)(2.30)Свяжем с вектором вихря антисимметричный тензор вихря, или спин-тензор,史：
(2.30)
(2.30)
^ij = ^ijk^k-
Подставляя соотношения (2.29) в (2.30), получим
^ij = ~2^ijk^klmdlVm = уЗ"%^ — ^im^jl}diVm =
=Sj)' (2.31)
т. e. компоненты тензора вихря — антисимметричная часть объекта о/,з называемого градиентом скоростей. Его симметричную часть будем обозначать。〃•：
^ij = S〃 = S,。— G" = q(”EJ + Sv)， (2.32)
и называть компонентами тензора скоростей деформаций.
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед со сторонами △力 1, △力2， △力3， рёбра которого лежат на координатных осях прямоугольной декартовой системы с ортами ki (рис. 13).
Объём АУ этого параллелепипеда равен △力i △力2△力з・ Бесконечно малый объём АУ удобно записать в виде
dV = dx\ d%2 d%3・dV = dx\ d%2 d%3・(2.33)(2.33)
dV = dx\ d%2 d%3・
dV = dx\ d%2 d%3・
(2.33)
(2.33)
Объём V, занимаемый сплошной средой, будем обозначать V:
Наряду с координатными элементами объёма будем также рассматривать координатные элементы площади 芯広[36]:
dXq = d%o d%? (a * 0, 0*7，7 * a).Для площадки dX (рис. 13), проходящей через точки A3, с единичной внешней нормалью п можно записатьd£ = d£ riiki = d£ki = d£百.dXq = d%o d%? (a * 0, 0*7，7 * a).Для площадки dX (рис. 13), проходящей через точки A3, с единичной внешней нормалью п можно записатьd£ = d£ riiki = d£ki = d£百.(2.35)(2.35)4,42,4,42,(2.36)(2.36)
dXq = d%o d%? (a * 0, 0*7，7 * a).
Для площадки dX (рис. 13), проходящей через точки A3, с единичной внешней нормалью п можно записать
d£ = d£ riiki = d£ki = d£百.
dXq = d%o d%? (a * 0, 0*7，7 * a).
Для площадки dX (рис. 13), проходящей через точки A3, с единичной внешней нормалью п можно записать
d£ = d£ riiki = d£ki = d£百.
(2.35)
(2.35)
4,42,
4,42,
(2.36)
(2.36)
Следовательно,
>•т тт
=dx\dx2 衣3 + dx^dx^ fci+ do^dg k?=
(2.37)(2.37)=(d%i ki — d% 爲)x(dg ^2 — d%3 爲)=d^ xd而，
(2.37)
(2.37)
т. e. векторный элемент площади dX есть векторное произведение образующих эту площадь векторов 曲2 и dbi, изображённых на рис. 13.
Элементарным потоком dP поля 万(力 1,%2，％з) через векторный элемент площади dX назовём скалярную величину
dP = a • dW = aidEi, или dP = a^dX, (2.38) где “⑺)=a • n — проекция a на нормаль, или нормальная составляющая вектора а на площадке d£.
Пусть теперь V — некоторая область в R3 с границей dV = =X, на которой определена внешняя единичная нормаль п (рис. 14). Пусть в V определено векторное поле 万(力 1,%2,%з)・
По формуле Ньютона-Лейбница для первой компоненты “1 (力 1,%2，％з) можно записать
(2.39)(2.39)Г да\ 7/、
(2.39)
(2.39)
=瓦-
/10
Умножим обе части (2.39) на координатный элемент площади d£i, равный согласно (2.35) dx^dx^.
"也£1 ="也£1 =]-^-dx\ j dx^dx^ + a^xy^dx^dx^. (2.40)
"也£1 =
"也£1 =
/10/
Проинтегрировав равенство (2.40), получим
(2.41)(2.41)
(2.41)
(2.41)
Соотношение, аналогичное (2.41), справедливо и для двух других компонент。2,。3 вектора а. Поэтому
div а Ж (2.42)div а Ж (2.42)
div а Ж (2.42)
div а Ж (2.42)
Подставляя из (2.38) связь dP с d£, окончательно получим формулу Остроградского—Гаусса'.
〃⑺芯= divadV,хv〃⑺芯= divadV,хv(2.43)(2.43)
〃⑺芯= divadV,
хv
〃⑺芯= divadV,
хv
(2.43)
(2.43)
т. е. объёмный интеграл от дивергенции векторного поля равен интегралу по поверхности этого объёма от скалярного произведения самого поля и единичной нормали к поверхности.
Левая часть (2.42) представляет собой поток 0 векторного поля а через всю границу X (рис. 15). Таким образом,
dP = divadV, или diva = —, (2.44)
откуда следует, что дивергенция векторного поля есть изменение потока в единице объёма. В этом состоит механический смысл дифференциального оператора div, определённого в (2.21).
Рис. 15
Из (2.42) видно, что для соленоидального векторного поля поток через любую замкнутую поверхность равен нулю. Отметим также, что все предыдущие рассуждения и формула Остроградского-Гаусса имеют место и для нестационарного векторного поля 万(力 1,力2,力3,方)в каждый момент времени t
Пусть теперь а является полем скоростей 不(力1,力2,力3)в теле V, так что
Р= 沐 dW 三 。⑺ d£ = div vdV = V • vdV. (2.45)
Если v потенциально n 夕一скалярный потенциал, то, подставляя равенство v = grad夕三▽夕 в (2.45), получим для 夕 первую формулу Грина\
grad 夕[ V • WdV= [^dV.(2.46)
on JJJ
Здесь Z\。— оператор Лапласа, определённый в (2.26).
Величина дс/dl, равная скалярному произведению градиента поля с на единичный вектор I, соответствующий некоторому направлению в пространстве, называется производной с по этому направлению. Таким образом, под знаком поверхностного интеграла в (2.46) стоит производная 夕 по нормали, или нормальная производная 夕,в точках поверхности X (она обозначена д(р/дп).
Представим далее скорость в виде v =(р\ grad ^, или, покомпонентно: з =夕 1》夕2, и подставим в (2.45). Получим
вторую формулу Грина\
勿2内勿2内卜di屮\di屮2 +夕1 & &夕2)dV =卜di屮\di屮2 +夕1 & &夕2)dV =
勿2内
勿2内
卜di屮\di屮2 +夕1 & &夕2)dV =
卜di屮\di屮2 +夕1 & &夕2)dV =
х
(2・47)(2・47)= (grad 夕1 • grad 夕2 + 夕 1 △夕2)dV.
(2・47)
(2・47)
Записав вторую формулу Грина для v =夕2 grad 夕 1 и вычитая её из (2.47), получим
d» = (夕 1 △夕2 —夕2△夕 1) dV.d» = (夕 1 △夕2 —夕2△夕 1) dV.(2.48)(2.48)Соотношение (2.48) носит название третьей формулы Грина.Рассмотрим в качестве примера потенциальное течение со скалярным потенциаломСоотношение (2.48) носит название третьей формулы Грина.Рассмотрим в качестве примера потенциальное течение со скалярным потенциалом夕=一肃Найдём линии поток вектора夕=一肃Найдём линии поток вектораQ = const,Q = const,г = \/х^ + х^ + х^ = ,00 . (2.49)г = \/х^ + х^ + х^ = ,00 . (2.49)тока и эквипотенциальные поверхности, а также скорости через поверхность сферы Ха: г = а.тока и эквипотенциальные поверхности, а также скорости через поверхность сферы Ха: г = а.Эквипотенциальными поверхностями (поверхностями 夕=const) для течения (2.49) являются концентрические сферы г = const с центром в точке О (рис. 16). Следовательно, линиями тока будут лучи, исходящие из точки О. Действительно, найдём поле скоростей:3夕 Q dr Q Xi _ Qxi dxi 47rL2 dxi 47rL2 r 47rz *(2.50)Эквипотенциальными поверхностями (поверхностями 夕=const) для течения (2.49) являются концентрические сферы г = const с центром в точке О (рис. 16). Следовательно, линиями тока будут лучи, исходящие из точки О. Действительно, найдём поле скоростей:3夕 Q dr Q Xi _ Qxi dxi 47rL2 dxi 47rL2 r 47rz *(2.50)Компоненты n^ единичной внешней нормали к поверхности сферы % будут направляющими косинусами радиуса-вектора, т. е. rii = Xi/а. ТогдаКомпоненты n^ единичной внешней нормали к поверхности сферы % будут направляющими косинусами радиуса-вектора, т. е. rii = Xi/а. Тогда。⑺ I = УгПг\г=а\r=a。⑺ I = УгПг\г=а\r=aQxi Xi _ Q 4""3 a 4""2Qxi Xi _ Q 4""3 a 4""2(2.51)(2.51)С другой стороны, на поверхностиL/ Qxi Qxi У %С другой стороны, на поверхностиL/ Qxi Qxi У %441/2=ж1/2=ж(2.52)(2.52)
d» = (夕 1 △夕2 —夕2△夕 1) dV.
d» = (夕 1 △夕2 —夕2△夕 1) dV.
(2.48)
(2.48)
Соотношение (2.48) носит название третьей формулы Грина.
Рассмотрим в качестве примера потенциальное течение со скалярным потенциалом
Соотношение (2.48) носит название третьей формулы Грина.
Рассмотрим в качестве примера потенциальное течение со скалярным потенциалом
夕=一肃
Найдём линии поток вектора
夕=一肃
Найдём линии поток вектора
Q = const,
Q = const,
г = \/х^ + х^ + х^ = ,00 . (2.49)
г = \/х^ + х^ + х^ = ,00 . (2.49)
тока и эквипотенциальные поверхности, а также скорости через поверхность сферы Ха: г = а.
тока и эквипотенциальные поверхности, а также скорости через поверхность сферы Ха: г = а.
Эквипотенциальными поверхностями (поверхностями 夕=const) для течения (2.49) являются концентрические сферы г = const с центром в точке О (рис. 16). Следовательно, линиями тока будут лучи, исходящие из точки О. Действительно, найдём поле скоростей:
3夕 Q dr Q Xi _ Qxi dxi 47rL2 dxi 47rL2 r 47rz *
(2.50)
Эквипотенциальными поверхностями (поверхностями 夕=const) для течения (2.49) являются концентрические сферы г = const с центром в точке О (рис. 16). Следовательно, линиями тока будут лучи, исходящие из точки О. Действительно, найдём поле скоростей:
3夕 Q dr Q Xi _ Qxi dxi 47rL2 dxi 47rL2 r 47rz *
(2.50)
Компоненты n^ единичной внешней нормали к поверхности сферы % будут направляющими косинусами радиуса-вектора, т. е. rii = Xi/а. Тогда
Компоненты n^ единичной внешней нормали к поверхности сферы % будут направляющими косинусами радиуса-вектора, т. е. rii = Xi/а. Тогда
。⑺ I = УгПг\г=а
\r=a
。⑺ I = УгПг\г=а
\r=a
Qxi Xi _ Q 4""3 a 4""2
Qxi Xi _ Q 4""3 a 4""2
(2.51)
(2.51)
С другой стороны, на поверхностиL/ Qxi Qxi У %
С другой стороны, на поверхностиL/ Qxi Qxi У %
4
4
1/2=ж
1/2=ж
(2.52)
(2.52)
Из сравнения (2.51) и (2.52) следует, что \v\ = |od)|. Поэтому в любой точке М вектор скорости направлен по нормали к сфере, проходящей через точку М, т. е. к соответствующей эквипотенциальной поверхности. Линиями тока и траекториями будут лучи, выходящие из точки О. Движение со скалярным потенциалом (2.49) называется пространственным источником- стоком. В случае Q〉0 имеем источник в начале координат (скорости всех частиц согласно (2.51) направлены от центра), в случае Q < 0 — сток (скорости всех частиц направлены к центру).
Поток через поверхность сферы % равен
° =[鸟Bal = Q, (2.53)
где 同a| = 4»〃2 — площадь поверхности сферы %• Видно, что величина 0, равная Q, не зависит от радиуса а и характеризует течение как целое. Эта характеристика называется расходом пространственного источника-стока.
Вычислим теперь оператор Лапласа потенциала 夕(2.49):
0 . 1 3а 3%広00 . 1 3а 3%広02__9_-/ + 淘—/2__9_-/ + 淘—/везде, кроме г = 0.везде, кроме г = 0.(2.54)(2.54)
0 . 1 3а 3%広0
0 . 1 3а 3%広0
2__9_
-/ + 淘—/
2__9_
-/ + 淘—/
везде, кроме г = 0.
везде, кроме г = 0.
(2.54)
(2.54)
Но исходя из (2.53) и первой формулы Грина (2.46) можно показать, что интеграл от △夕 по любому шару 匕 с поверхностью % равен Q и не зависит от а.
Таким образом, △夕—необычная функция: она равна нулю везде, кроме начала координат, но интеграл от неё по любому шару с центром в начале координат равен Q * 0. Функция △夕 представляет простейший пример обобщённой функции (делъта- функции). (О правилах использования дельта-функции см. [42].)
Выберем некоторую кривую, соединяющую точки А п В (рис. 17), и назовём циркуляцией 「厶石 векторного поля 万(% 1,力2，力3) вдоль
этой кривой криволинейный интеграл
вв
Гав = а • dr = 出出3.(2.55)
A弘
Циркуляция зависит от направления интегрирования, и Г^л = =—Глв- Если контур С замкнут, то имеем в (2.55)
Vc = ^a'dr = о 电 dxi，(2.56)
При этом положительным считается обход контура С против часовой стрелки.
Если поле 万(力 1,%2，％з) потенциально, то по определению (2.55) циркуляция Г^в равна
Гав = grad 夕・df*= 成〃="石_夕[.(2.57)
На плоскости (0力1力2)рассмотрим элементарный замкнутый контур С, ограничивающий прямоугольник со сторонами △力i и △力2 и площадью АХ3 = △力i△力2 (рис. 18). Так как согласно определению (2.56) d「c = ai dxi, то
Гс = АГ = “1△力 1 + (“2 + △〃？)△力 2 — (“1 + △〃])△力 1 —
一 "2△力2 = △"2△力2 - △"1 △力I = (△力2 - △/)△Х3.(2.58)
(rot万)•忌 d% = (rota) • d%, (2.59)(rot万)•忌 d% = (rota) • d%, (2.59)Устремляя стороны △力i и △力2 к нулю, тем самым стягивая контур С к точке О, получим =
(rot万)•忌 d% = (rota) • d%, (2.59)
(rot万)•忌 d% = (rota) • d%, (2.59)
или
(rot 万)3 =忘，(2.60)
т. е. каждая компонента ротора векторного поля есть изменение циркуляции по соответствующему замкнутому контуру на единицу площади, ограничиваемой этим контуром. В этом со-
сс△出2АЕ3Рис. 18△出2АЕ3Рис. 18
с
с
△出2АЕ3
Рис. 18
△出2АЕ3
Рис. 18
стоит механический смысл дифференциального оператора rot, определённого с помощью (2.22).
Из формулы (2.59) следует
а - dr = rot 万・dW 三 rot 万•歹dX.(2.61)
Направление нормали в (2.61) выбирается так, что с конца вектора п обход контура С виден в положительном направлении. Соотношение (2.61) называется формулой Стокса 9 , означающей, что циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку (в соответствующем направлении) ротора данного поля через любую поверхность, натянутую на этот контур.
Для векторного поля скорости v (2.61) имеет вид
v^df=2 行•五d&(2.62)
Рассмотрим вихревую трубку, ограниченную контурами G и Q (рис. 19). Пусть Сз и С4 — контуры по образующей этой трубки. Обозначим через 工 поверхность, натянутую на С = =Ci U С3 U С2 U С4. Тогда, очевидно,
г/ffff \г
+ + + 卜•肝=2 sd)dX = 0. (2.63)
e'с1。3e2c丿几
Кроме того,
(+ V-dr = 0.(2.64)
1)Она справедлива для односвязных областей
3 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
Обозначая через С^ контур С? с противоположным обходом, получим
V • dr = V • dr.(2.65)
Таким образом, доказана
Первая теорема Гельмгольца. Циркуляция скорости вдоль любого контура, охватывающего одну и ту же вихревую трубку, постоянна.
Эта циркуляция называется напряжённостью г^ вихревой трубки и служит важной её характеристикой:
〃з =不• dr.(2.66)
Согласно формуле Стокса (2.62) и первой теореме Гельмгольца величина 厶 равна удвоенному потоку (в положительном направлении) вектора вихря сЗ через любое сечение вихревой трубки. Таким образом, данный поток также может служить характеристикой вихревой трубки.
Утверждение, аналогичное первой теореме Гельмгольца, справедливо не только для сП, но и для любого соленоидального поля. Так, например, если поле скоростей v соленоидально, т. е. существует векторный потенциал (2.25), то величина iv, iv = & •而(2.67)
постоянна для любого контура С, охватывающего трубку тока, и представляет собой напряжённость трубки тока. Величина iv также равна потоку скорости через любое сечение трубки тока.
Вторая теорема Г ельмгольца. Вихревая трубка не может начинаться либо обрываться внутри тела, а должна быть замкнутой либо выходить на границу тела.
Действительно, в силу того что поток вихря через любое сечение вихревой трубки постоянен, модуль вектора 行 в месте обрыва трубки или стягивания её в одну точку был бы равен бесконечности. В природе замкнутыми вихревыми трубками являются, например, кольца дыма, выходящего из трубы. Водоворот также представляет собой вихревую трубку, один конец
которой упирается в дно, а другой выходит на поверхность водоёма. Особо опасен смерч — трубка, обладающая огромной напряжённостью и способная, как известно, вырывать с корнем деревья и переносить тяжёлые предметы на большие расстояния. Один конец такой трубки опирается на землю или поверхность океана, а другой уходит в слой облаков.
ввввdr ав dtdr ав dtввВозьмём теперь производную по времени от циркуляции скорости по кривой, соединяющей точки А и В на рис. 17:
вв
вв
dr ав dt
dr ав dt
в
в
—.dr + V . — (dr)=dtd八丿
в в в
= w • dr+ v ' dv = 5 • d尸 + g(历怡一I回^). (2.68) AAA
Если точку В устремить к А, тем самым образуя контур С, то \v\b т W\a, и из (2.68) будем иметь
d 「Г
— ov'dr = ow'dr.(2.69)
Равенство (2.69) составляет утверждение кинематической теоремы Кельвина.
Теорема Кельвина. Производная по времени от циркуляции скорости вдоль замкнутого контура равна циркуляции ускорения вдоль того же контура.
Иногда теорему Кельвина формулируют и для разомкнутой кривой в форме (2.68).
ЛЕКЦИЯ 3
ИНВАРИАНТНОСТЬ КИНЕМАТИЧЕСКИХВЕЛИЧИН
Место, занимаемое частицей X в отсчётной конфигурации, описывается соотношениями (1.5), которые представим в виде 办=办(СНТ/о)=必(СЕТ,% 爲.(3.1)
В актуальной конфигурации место, занимаемое частицей, описывается соотношениями (1.6), которые теперь представим в виде r =网г,代户由=炉0,e？/喝.(3.2)
Если материальные координаты F и лагранжевы координаты 力$ выбраны прямоугольными декартовыми, то расположениеЕсли материальные координаты F и лагранжевы координаты 力$ выбраны прямоугольными декартовыми, то расположениеиндексов (вверху или внизу) у и г не имеет значения:.F = &,индексов (вверху или внизу) у и г не имеет значения:.F = &,компонент радиусов-векторов г^компонент радиусов-векторов г^еАУ °еАУ 纟♦еАУ °еАУ 纟♦(3.3)(3.3)
Если материальные координаты F и лагранжевы координаты 力$ выбраны прямоугольными декартовыми, то расположение
Если материальные координаты F и лагранжевы координаты 力$ выбраны прямоугольными декартовыми, то расположение
индексов (вверху или внизу) у и г не имеет значения:.
F = &,
индексов (вверху или внизу) у и г не имеет значения:.
F = &,
компонент радиусов-векторов г^
компонент радиусов-векторов г^
еАУ °еАУ 纟♦
еАУ °еАУ 纟♦
(3.3)
(3.3)
Иначе обстоит дело, если выбранная система координат является криволинейной. Даже если координатные линии, составленные из материальных частиц 力$ = const или £" = const в отсчётной конфигурации были прямолинейными, то в актуальной конфигурации они, вообще говоря, становились кривыми. В некоторых случаях и в недеформированном состоянии бывает удобней вводить ту или иную криволинейную систему координат. Предположим поэтому, что линии F = = const (г = 1,2, 3), выбранные в неко/ £торой точке (3.1) (рис. 20), таковы, что
由八 /выполняются условия
I •(34)
UТогда тройка векторов
/ РТ (3.5)
/так называемого ковариантного ло
Рис. 20кального базиса отсчётной конфигура
ции будет некомпланарной.
Определим теперь ковариантную фундаментальную матрицу отсчётной конфигурации'.
9ij = 9ji = з • g・，g = \dijI ¥ °・(3・6)
Согласно (3.5) и (3.6)
|е&| = \Zcq，Cq = \/9qq・(3.7)
Обратная к g叮 матрица g", удовлетворяющая соотношениям 9%衍=%・，9外产=般，中=/，庐匚: (3・8) называется контравариантной фундаментальной матрицей отсчётной конфигурации.
Путём поднятия индексов у векторов ковариантного локального базиса...
守
можно получить контравариантный локальный базис ег отсчётной конфигурации. Вообще говоря, он не является голоном- ным, т. е. связанным с какой-либо системой координат. Заметим, что
守•守=g2”夕备.育=产屮9kl =曲卢• = g& (3.10)
ё3 = gjke^ ek = gjkgk^ = 63\(3.11)
Рассмотрим произвольное векторное поле а в отсчётной конфигурации. В каждой точке вектор а может быть разложен по векторам как базиса (3.5), так и базиса (3.9):
а = а^ =出 ”.(3.12)
Пусть £‘ — новая криволинейная система координат, связанная со старой £" законом преобразования
(3.13)
При этом
Тогда матрица 4；=夾丿/夾"будет невырожденной в каждой точке и существует обратная ей матрица В"” = д^/д^ :
МВ(3.15)
J JJJ JJ
(3.16)(3.16)Векторы локального базиса 爲/ в новой системе координат (3.13) выражаются через базис (3.5) следующим образом:
(3.16)
(3.16)
а = “‘豆/ = a1，@iB%.
(3.17)
Из (3.12) и (3」7) имеем
а" = В%/
(3.18)
Умножая обе части (3.18) на А*7；, суммируя по (3.15), получим
i и учитывая
А“" = А，(В%а"=死/序=а?.
(3.19)
Умножив скалярно вектор а (3.12) на 弓•：
а .⑦=а 9г j =出 b； = dj,
(3.20)
в новой системе координат из (3.20) будем иметь
О// — а * С/ /.
(3.21)
Учитывая (3.16) и (3.20), получим из (3.21)
а/ /а . еj В，)/ ^― а/ В，^ /.
(3.22)
炎"然2然"2
Разложим теперь вектор а по векторам базиса (3.16):
Наконец, используя второе разложение (3.12) вектора а в старом и новом базисе, запишем
а = аЕ =出= агВ\,ег\(3.23)
откуда
尹=МЕ・(3.24)
Теперь выясняется смысл введения верхних и нижних индексов. Как видно из (3.19) и (3.24), величины с верхним индексом преобразуются с помощью матрицы Аг • (контравариантный закон преобразования), а величины (3.16) и (3.22) с нижним индексом — с помощью обратной и транспонированной к матрицы В\, (ковариантный закон преобразования).
Назовём компонентами тензора (п + т)-го ранга, п раз ковариантными и т раз контравариантными, систему величин %兩 诟力龙…‘力，преобразующуюся при переходе к новой системе координат (3.13) по закону (тензорному закону) [48, 50]
п -pin v
a •/ •/•/- Q •/ Q •/ . . . Q •/ A
…62n
X 筋 В力龙…(3.25)
Чтобы построить по компонентам (3.25) сам тензор (п + + т)-го ранга — инвариантный объект, не изменяющийся при преобразованиях (3.13), введём полиаду (п + т)-го порядка:
(3.26)(3.26)еч 0 е22 0 ... 0 守九 0 е^^ 0 6^2 0 ... 0 ejm,
(3.26)
(3.26)
как конгломерат, составленный из векторов ковариантного (3.5) и контравариантного (3.9) базисов отсчётной конфигурации. Нетрудно видеть, что полиада (3.26) преобразуется при переходе (3.13) от одной системы координат к другой по тензорному закону:
е г1 0 е г2 0 ... 0 戸厶 0 е^-/ 0 е^-/ 0 ... 0 弓・脑=
=А“2 ……” 0 ег2 0 ...% J2
...0 егп 0 ej{ 0 ej2 0 ... 0 ejm. (3.27)
Символ 0 называется символом тензорного произведения.
Итак, тензор (п + т)-го ранга а может быть записан в виде а = а• • • "А…，т@м 0 ег2 00 егп 0
~…5
㊂弓1㊂弓2㊂弓7n. (3.28)
Полиада второго порядка называется диадой. В зависимости от типа составляющих её векторов она представляется четырьмя различными способами, в результате чего тензор второго ранга имеет следующие записи:
а =0 肃=а/不 0^- = a^ei 0 ej =庐民 0 弓(3.29)
Тензор I,
I =必爲 * 肃=民 * ” = g..^ 0 浦=0 弓， (3.30) называется единичным тензором второго ранга.
Очевидно, что вектор является тензором первого ранга, а скаляр —тензором нулевого ранга. Не всякая величина, у которой отсутствуют индексы, есть скаляр. Рассмотрим, например, ковариантную фундаментальную матрицу (3.6). Ясно, что
=爲/ •弓•/ = В%В，沁•弓=B\fB^fgij, (3.31)
и определитель gf матрицы (3.6):
y=(det|B\,|)2p, У7=(3.32)
хотя и не имеет индексов, однако не преобразуется по тензорно
му закону, т. е. скаляром не является.
Нетрудно видеть, что определитель любой матрицы, в том числе А"；, может быть записан с помощью символов Леви- Чивиты следующим способом:
1箱=破川4(3.33) Следовательно, символы Леви-Чивиты, вообще говоря, не являются компонентами тензора третьего ранга. Однако величины J^etjk и ^kIyfg при переходе от одной криволинейной системы координат к другой преобразуются по тензорному закону.
Выберем три вектора d万,db, de:
da = daxez, db = d^e3, dc = dckek, (3.34) имеющие длины \da\ =，g叮 d凉 W, \db | =，g叮 d及 d*, \dc \ = =^gij de1 dd. Рассмотрим выражения для скалярного, векторного, тензорного и смешанного произведений этих векторов.
Скалярное произведение
da - db = g^ da1 d».da - db = g^ da1 d».(3.35)(3.35)
da - db = g^ da1 d».
da - db = g^ da1 d».
(3.35)
(3.35)
Векторное произведение. Используя компоненты тензоров Леви-Чивиты, получим
da х db = у/^Cijkda1 d» ek =da х db = у/^Cijkda1 d» ek =1 —1 —(3.36)(3.36)
da х db = у/^Cijkda1 d» ek =
da х db = у/^Cijkda1 d» ek =
1 —
1 —
(3.36)
(3.36)
Векторное произведение da х db совпадает с векторным элементом площади параллелограмма, построенного на векторах da и db. Поэтому
d X о = d£()п = у^ ⑦汴 da' dV е ,(3 37)
("£())& =九qdXo = у^ €ijad(l dW,
где n = n^ek — единичная нормаль к площадке в отсчётной конфигурации.
Тензорное произведение
da® db = da1 d» 员 * 弓(3.38) г) Смешанное произведение
{da х db) • dc= yfge%3kd^ dVdc^.(3.39)
Смешанное произведение (d万 х d而• de представляет собой ориентированный объём dV()элементарного косоугольного параллелепипеда, uнaтянyтoгo^^ на векторы d万，db и de:
dVb = ^егдк 血2 d» 厶&(3.40)
Нулевой индекс в (3.37), (3.40) соответствует отсчётной конфигурации.
Рассмотрим теперь радиус-вектор актуальной конфигурации (3.2). Введём ковариантный локальный базис Д:
т дт
疥，(3.41)
и определим ковариантную фундаментальную матрицу актуальной конфигурации'.
G叮=G〃 = Д.耳・，G = |GV-| # 0.(3.42)
Согласно (3.41) и (3.42)
広&| = J以•以=，Gqq.(3.43)
Матрица G'i, обратная к Gij, удовлетворяет соотношениям
G'kGkj =吟，GjkGk^ = Ь/, |G"| = ^(3.44)
и называется контравариантной фундаментальной матрицей актуальной конфигурации.
Контравариантный локальный базис Ёг актуальной конфигурации получается с помощью поднятия индексов:
Ёг = G 叮局，(3.45)
причём
Ёг • Ё3 = Gzk&lEk • Ei = Gzk&lGki = G泳b{ = G& (3.46)
Ёг - E3 = GjkEz • Ek = G^% = b/.(3.47)
Единичный тензор I может быть выражен и с помощью диады актуальной конфигурации:
―>-> .-> .-> .. . —>->
L = Ei^E% = G”E，0E^ = G⑷旦 0 Er (3.48)
Возьмём три вектора (3.34), составленные из материальных частиц. Им в актуальной конфигурации соответствуют векторы
dA = da"瓦，dB = dVEv dC = d小豆储(3.49)
Их длины равны \dA\ = y/G^daTdaJ, \dB | =，G〃 d扭 d", \dC I = ^Gij de1 dd. Для этих векторов справедливы нижеперечисленные операции.
Скалярное произведение
(3.50)(3.51)(3.52)(3.50)(3.51)(3.52)dA^dB = GZJdc^ d».
(3.50)
(3.51)
(3.52)
(3.50)
(3.51)
(3.52)
Векторное произведение
dAxdB = VGezjkdal d» Ek =击昌％电 db3 Ek,dW = dX N =乃⑦汴 da" d» 月 £
c/Xq -/Vqс/Jjу/Ст tijada，dN.
В (3.52) N = NkEk —единичная нормаль к площадке d£ в актуальной конфигурации.
Тензорное произведение
dA 0 dB = da1 dW 屋 0 耳(3.53) г) Смешанное произведение
(d4 х dX) • dC = VGezjkdal d» d* (3.54)
dV = VGezjkdaz d» d£(3.55)
Рассмотрим теперь величины, характеризующие актуальную конфигурацию среды. Так, относительное изменение длины uмaтepиaльнoгo^^ вектора da имеет вид
回—\da\回—\da\am dan •am dan •(3.56)(3.56)
回
—\da\
回
—\da\
am dan •
am dan •
(3.56)
(3.56)
Если а = г, то согласно (3.1) и (3.2)
(3.57)(3.57)\df\ ds Gij dg dg|d%| — dso — gmn d^m d^n *
(3.57)
(3.57)
(3.58)(3.58)Относительное изменение площади d£()получим из (3.37) и (3.52):
(3.58)
(3.58)
а относительное изменение объёма d% — из (3.40) и (3.55):
(3.59)(3.59)dV _ /g
(3.59)
(3.59)
Векторы d万 и db ортогональны, но векторы dA и dB, вообще говоря, таковыми не будут, ибо
cos(dA,屈)=cos(dA,屈)=\dA\ \dB\ — y/GZJda^ db^Gki dak db1\dA\ \dB\ — y/GZJda^ db^Gki dak db1(3.60)(3.60)
cos(dA,屈)=
cos(dA,屈)=
\dA\ \dB\ — y/GZJda^ db^Gki dak db1
\dA\ \dB\ — y/GZJda^ db^Gki dak db1
(3.60)
(3.60)
Рассмотрим теперь некоторый вектор а с компонентами а1 в отсчётной и Аг в актуальной конфигурациях:
(3.61)(3.61)万="它=42反,
(3.61)
(3.61)
и возьмём частную производную по 己 от всех частей равенства (3.61). Получим
粵=學爲+。零=丝屋+居!.(3.62)
Равенства (3.62) запишем следующим образом:
^ = ▽戸=电丿备=^j^kEk,(3.63)
где введены ковариантные производные контравариантных компонент векторов а и А:
^зак三吟三总 +九衣/ ▽挥三三醬+
(3.64)
Величины Vijк и F叮衣 представляют собой символы Кристоффеля второго рода соответственно в отсчётной и актуальной конфигурациях. Из (3.62) и (3.64) следует, что Г^-к являются коэффициентами разложения векторов dBjд* в базисе 民：
.0
詁f或，(3.65)
а Г叮衣 суть коэффициенты разложения векторов dEi/д^ в базисе Д：Т
H = 盛(3.66)
Скалярно умножая обе части равенств (3.65) и (3.66) на е1 и Ё1 соответственно и учитывая (3.11) и (3.47), получим еле-
дующие явные выражения для Г”" и 1^/:
(3.67)
Покажем, что
(3.68)(3.69)(3.68)(3.69)
(3.68)
(3.69)
(3.68)
(3.69)
Для этого воспользуемся определением (3.6) и преобразуем выражение, стоящее в правой части (3.68) в скобках:
dgim . dgjm dgij — dem dei
- 3貳 dej _ dej 一 _3员
+ ⑦.胃 + 而-3 .戸-S .炉=•而.(3.70) Приведение подобных слагаемых в (3.70) произошло в силу равенства смешанных частных производных:
dei _ 92r _ 92r _ dej 弟=
Умножим, наконец, оба конца цепочки (3.70) на glm/2 и с учётом (3.67) получим требуемое равенство (3.68). Совершенно аналогично доказывается и равенство (3.69).
= R丿，о= R丿，оФормулы (3.65), (3.71) указывают на симметрию символов Кристоффеля второго рода по нижним индексам:
= R丿，
о
= R丿，
о
(3.72)
Из символов Г”' и Г-г путём опускания индексов можно О
получить символы Кристоффеля первого рода Г^-；п и Г”；涼 ^ij；n = ^ijl gin = en . Fij；n = rjGn = En •(3.73)
которые также симметричны по первым двум нижним индексам. Подставим в (3.73) выражения 口/ и Г-^ из (3.68) и (3.69), будем иметь
(3.75)(3.75)
(3.75)
(3.75)
Разложим вектор а (3.61) в базисах ег и 月"отсчётной и актуальной конфигурациий:
(3.76)(3.76)万= "e = 4戸.
(3.76)
(3.76)
Дифференцируя соотношения (3.76) по 0 и пользуясь (3.67), получим
^ = ▽疯=电必/ = JAF,(3.77)
где введены ковариантные производные ковариантных компонент векторов а и А:
(3.78)
При этом.*
岁—Г諸月£(3.79)
Заметим, что соотношения (3.65), (3.66) и (3.79) могут быть записаны следующим образом:
е 泪=о, 口反=0, 电守=О, Z 戸=0.(3.80)
Аналогично имеем для любого тензора, например для тензора 纟：
~6 = Ьг3ег 0 е^ = Вг3Ег®Е\(3.81)
秸三▽& = \7кЪг3ег 0 а = ^кв^3Ёг 0 闻， (3.82) где о ..。.о .
▽к% = %* =万/■ +「а/Ь「・ 一 Пс/%，
© .(3.83)
少'j\k = 夾к+1"3
Как следует из вышеприведённых обозначений, запятая в нижнем индексе означает ковариантную производную в отсчётной конфигурации, а вертикальная черта — ковариантную производную в актуальной конфигурации.
Отметим, что ковариантные производные величин, не имеющих индексов, совпадают с соответствующими частными производными, причём такой величиной может быть не только скаляр с, но и любой инвариантный объект, например вектор а или тензор второго ранга Ь. Этот факт отражён в формулах (3.63), (3.77) и (3.82). ~
Из (3.80) следует
9ij,k = 0, g'jk = 0, Gij\k = 0, G^k = 0. (3.84)
Рассмотрим теперь повторную ковариантную производную 出,汴 ковариантной компоненты вектора а. Пользуясь правилами дифференцирования (3.78), запишем
^i,jk =然;一［ik "/J 一 P汴电“=
_ d2aj I dai _ 疝/ _ °
ООоо一b"小（3.85）一b"小（3.85）
О
О
о
о
一b"小（3.85）
一b"小（3.85）
Если в (3.85) поменять местами индексы j и fc, а затем вычесть одно соотношение из другого, получим
0/
^^i,［jk］ = ^i,jk —电历=Rjki ®,(3.86)
где
自储=-瓦J =察一等+
о оо о
+ ГгктГт31 - ГгдтГтк1 =
о
,(3.87)
［汴］
а пара индексов в квадратных скобках означает операцию альтернирования по этим индексам (3.86). Соотношения (3.87) определяют компоненты тензора кривизны Римана. Для евклидова пространства они тождественно равны нулю.
Симметрия, следующая из определения (3.87), а также тождества Риччи
Rjki1 + Rkij1 + Rijk1 = 0,(3.88)
влекут за собой тот факт, что число независимых компо-
О
нент Rjki1 в ^-мepнoм пространстве равно №(№—1)/12. В трёхмерном пространстве их всего шесть, в двумерном — одна.
(3.88)(3.88)Опуская с помощью g伉 индекс I в тензоре Римана:
(3.88)
(3.88)
Rjkin = Rjki PZn, получим из (3.87) для евклидова пространства
О
Rjkin = 2 ( 3；厂 += 0.Rjkin = 2 ( 3；厂 += 0.(3.89)(3.89)
Rjkin = 2 ( 3；厂 += 0.
Rjkin = 2 ( 3；厂 += 0.
(3.89)
(3.89)
Выполняя описанные выше выкладки для актуальной конфигурации, получим, аналогично (3.89):
三2（右河=0.三2（右河=0.(3.90)(3.90)
三2（右河=0.
三2（右河=0.
(3.90)
(3.90)
ЛЕКЦИЯ 4
МЕРЫ ДЕФОРМАЦИИ
За меру деформации естественно принять величину, которая показывает, как изменяются длины материальных волокон при деформировании и как изменяются углы между ними. Этим требованиям удовлетворяет фундаментальная матрица актуальной конфигурации G“・.В самом деле, в предыдущей лекции было установлено, что с её помощью рассчитывается относительное изменение длины волокна (формула (3.56)), изменение угла между двумя волокнами (формула (3.60)), изменение площади параллелограмма, построенного на двух материальных векторах (формула (3.58)), и объёма параллелепипеда, построенного на трёх материальных векторах (формула (3.59)). Очевидно, что никакого деформирования не происходит, если фундаментальные матрицы отсчётной и актуальной конфигураций совпадают (G叮=g“). Поэтому естественно принять в качестве компонент тензора деформации &叮 полуразность компонент этих фундаментальных матриц:I
- gij).(4.1)
Чтобы связать компоненты деформации (4.1) с вектором перемещений (1.16), продифференцируем (1.16) по координате р
瓦•(4♦2)
Тогда из (3.42) имеем
_ du Ai7a讶-?⑪-,2、
и из (4.1) и (4.3) получим
1 ди ди ди方1 ди ди ди方
1 ди ди ди方
1 ди ди ди方
Но соотношения (4.2) можно записать в виде
Bi = Е» —(4.5)
Тогда из (4.4) имеем
= G・.-亚•月•-至•月• +好(4 6)
и из (4.1) и (4.6) получим другое выражение для компонент деформации:
1 / ди к ОН ди ди \、
D•羽一羽(丄7)
Разложим вектор перемещения (1.16) по векторам базиса в отсчётной и актуальной конфигурациях:
淳="它=。百.(4.8)
Дифференцируя (4.8) по координате 己，получим
0一
弟=▽川昆=▽声z旦.(4.9)
Подставляя (4.9) в (4.4) и (4.7), имеем
&叮=d(“川+%j + “k,Mj)= d(%ie + a^ — U^Uk^. (4・ 10)
В зависимости от выбора базиса на основе (4.10) и (4.9) можно построить различные тензоры. Тензор
7 = Szj^ 0 ^(4.11)
называется тензором деформации Лагранжа, а тензор
3 = 8гзЁг 0 Е^(4.12)
—тензором деформации Эйлера. Тензор
^0^- = V0i7=Vi7(4.13)
называется тензором дисторсии (или градиентом вектора перемещения} отсчётной конфигурации, а тензор
Ёг0^ = ^ 0й=\/й(4.14)
—тензором дисторсии актуальной конфигурации.
4 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
Рассмотрим тензор F, также являющийся мерой деформации. В литературе его называют аффинором или градиентом деформации:
оо. О.а 尸т
F= V 0r = VF = ег 0 ▽尸=守 * * =守 * 旦. (4.15)
На основании тензора (4.15) введём обратный градиент деформации F-1:
F-1 = V 0 fb = Vfb = ^г 0 Vzfb = Ег 0 |^ = Ег 0 е；. (4.16)
Тензоры (4.15) и (4.16) взаимообратны. Действительно,
F.F-1 =ёг0Ё^Ё^ё3=ёг0ёг=厶 (4.17)
Построим тензор FT, транспонированный к F:
рТ = ( е * 尸)=Г0 V = (W)T = Г V = Д 0 守，(4.18) и тензор F~T, транспонированный к F-1:
е-7 =(守区办)三办区寸三▽%三办▽=民区月(4.19)
Заметим, что тензоры дисторсии (4.13), (4.14) связаны с градиентом деформации следующим образом:
°°.°Эи
^ ®и = ^и = ёг®^ги = ёг®-- =
="艺①= E —(4.20)
V ®и = \7и = Ёг ®\7ги = Ёг ®^ = Ёг ®(Ёг-еЛ = 1 -F~x.
(4.21)
С помощью градиентов деформации построим следующие симметричные тензоры [59]:
Правый тензор Коши-Грина С
0 = Е • рТ =守㊂屋• Е * * = Gz声2 0 е<(4.22)
Левый тензор Коши-Грина g
В = FT • F = Д 0 ег • е^ 0= g叮反 0 耳・.(4.23)
Правый тензор Альманси А
A = F~^ F~T =宙艺击曲=gXJEi 0 闻. (4.24)
Левый тензор Альманси М
М = F~T • рт =民㊂月J 闻 0^. = G 叮民 0 弓. (4.25)
Ясно, что тензоры F, С, В, А, М могут служить мерами деформации. Из определений (5.18)-(5.21) легко заключить, что С и М взаимообратны, так же как п В п А:
0•缠=缠・0 =厶 В • А = А • В = 1. (4.26)
Умножив обе части равенства (4.1) на ег 0 е^ либо на 月2 0闻, с учётом (4.22), (4.24) получим выражения тензоров деформации (4.11), (4.12) в виде
(0-0，э = ^1-АУ (4.27)
Пользуясь введёнными обозначениями, тензоры деформации Лагранжа и Эйлера (4.27) можно выразить через тензоры дисторсии следующим образом:
7= j (&淳 + (守历7 + VfZ•(守汾7) , (4.28)
э= j(Vi7 + В码т - ▽淳•(▽曲т) • (4.29)
Докажем далее важную в теории деформаций теорему о полярном разложении тензора второго ранга. Ниже в её доказательстве под F и С подразумеваются тензоры, не обязательно совпадающие с (4.15) и (4.22).
Теорема о полярном разложении. Произвольный тензор второго ранга F можно однозначно представить в виде 1)
Е = Q • О =「Q, (4.30) где Q — ортогональный тензор, т.е. Q1^ = Q~{, a U и V — симметричные положительно определённые тензоры второго ранга, имеющие одинаковые собственные значения.
Для доказательства образуем симметричный тензор С = =F • FT (覆丁 = (F • FT)T =(尸^т • FT = 0). С помощью преобразования F для каждого ненулевого вектора а построим вектор b: b = а - F = FT • а. Тогда а • С • а = а • F • FT • a = b -b = \b\2 > > 0, т. е. тензор С положительно определён.
9 Здесь F не обязательно градиент деформации (4.15).
Из его симметрии и положительной определённости следует, что в некоторой системе координат его компоненты образуют диагональную матрицу. Обозначим собственные значения этой матрицы через Ар 必 А|. Тогда в этой же системе координат некоторый тензор V имеет компонентами диагональную матрицу с элементами Ai > 0, 为〉0 и A3 > 0, так что
(4.31)(4.31)C = V^V.
(4.31)
(4.31)
Итак,
0А
[G] = о о , [Е] = о
\0 о XI V
Докажем, что тензор V — искомый тензор представления (4.30). Действительно из (4.32) следует, что он симметричен и положительно определён. Осталось показать, что тензор
(4.33)(4.33)Q = Y~^E
(4.33)
(4.33)
является ортогональным, т. е. его компоненты в каждой системе координат суть ортогональные матрицы. В самом деле,
= Е-1 'Y'Y'Y~T = L'l = L так как V~T =(艺-噴=У-1-
Построим симметричный положительно определённый тензор U:
~2 V • Q,(4.34)
с помощью симметричного, положительно определённого тензора V. Очевидно, что из определения (4.34) следует (4.30). Таким образом, представление (4.30) доказано.
Для доказательства единственности этого разложения заметим, что из вида [С] (4.32) следует много других тензоров V, например,
/-А1 00 \
и = о -д2 о .
\ о 0 -Аз/
Но все такие тензоры, в отличие от [V] (4.32), не будут положительно определёнными.
Покажем, что тензоры V и U имеют одинаковые собственные значения. Пусть А — одно из собственных значений V и ему
соответствует собственный вектор к, т. е. V - к = Хк, а I = к • Q, или ^ = / • QT = Q • /. Тогда
О 7= (0 •「Q) •厂=夕• (「(Q 7)) = QT •(竣• Г) = аГ
Если в качестве F выбрать градиент деформации (4.15), то тензором С будет правый тензор Коши-Грина (4.22), a Q, V и U будут называться тензором вращения, левым и правым тензорами растяжения соответственно. Кроме того,
& = а • F = а^- • ег 0 Д = а^}Д = а^Ё^ (4.35)
т. е. у векторов 万 п В, использовавшихся в доказательстве теоремы, одинаковые компоненты в базисах е^ и
Так как Q = V~l • F, то согласно (4.34)
U = FT^ V~T ^V^V-^F = FT^V~^F =
=屋*守.(》T产或㊂吊. & *耳・=
=(L1)丝部百® Ё3 =(L1)叮百®耳(4.36)
Таким образом, базисом левого тензора растяжения V является диада отсчётной конфигурации, а правого тензора растяже
ния U — диада актуальной конфигурации:
V =匕尸㊂円 U = иг^Ёг 0耳・.(4.37)
В самом деле, по определению (4.31)
艺2 = Е . рТ =守㊂屋.& * 月^ = G叮守 0 еЛ(4.38)
02 =. F =瓦㊂守 耳・=pV-Д 0 耳(4.39)
Кроме того, из (4.33) легко видеть, что
Q = (U-)尸0初・=(L1声昆0耳.，(4.40)
где (广 1户 и (U~% — компоненты тензоров V~l и Ц~1, обратных тензорам V и U соответственно:
e"1 =(L1声民0亏，0一1=(厂%后0闻.(4.41)
Пусть задан закон движения сплошной среды:
尸=q・刃+ ^⑴，(4.42)
где Q — ортогональный тензор. Движение (4.42) называется жёстким. Найдём для него тензоры деформации Лагранжа, Эйлера и все определённые ранее меры деформации.
Дифференцируя (4.42) по ? получим
屋=Q .民，Е = ег 0 {Q ег) = ег 0 е^ QT = 1^ QT = QT.
(4.43)
Из соотношений (4.22) - (4.27), (4.43) и ортогональности Q следуют выражения для всех мер деформаций
G = qt.@t)7 = Z, 4 = @т)—Lq—1=厶
坦=。7=厶 В = А-1=1,(4.44)
\/u = QT-L ▽淳=2 —R V = U = I
и тензоров деформации Лагранжа и Эйлера
7 = ；(с — 2) = 0, 5 = j(l-А) =0.(4.45)
Результат (4.45) следует и из (4.28), (4.29). Например:
27 = @7-0 + (Q - 2) + @7-2) • (Q - 0 =
=QT + Q_2L + L_QT _Q + L = Q(446)
Итак, деформация при жёстком движении отсутствует.
Если градиент деформации F таков, что в его разложении (4.30) ортогональный тензор Q является единичным: Q = Z, то
E = U = V,(4.47)
т. е. тензор F симметричен. Обратно, если тензор F симметричен, то Q = 2. В этом случае в приложениях вводится так называемый тензор Генки Н:
Н = \nV = \nU.(4.48)
Обратимся теперь к инвариантам симметричных тензоров второго ранга. По теореме Гамильтона-Кели у таких тензоров А = А"民 0 ej = А^ег 0 существует три независимых инварианта, например, линейный tr А — след А, квадратичный tr А2 —
след А • А и кубический det А:
trA = gf =例/叮=g, det 4 = |4%д =乎
tr42 = tr(4A"* 或)= &%
Из (4.49) имеем инварианты правого тензора Коши—Грина
С = G”•載 0 е^:
trC = G“, tr。2 = GlkG3lg^gk\ detC=-. (4.50)
GGКроме того, из (4.22) следует, что
G
G
(4.51)(4.51)det F = det V = det [/ =
(4.51)
(4.51)
g
Обозначим собственные значения С, как и в (4.32), через Ар Х^
и А|, тогда
tr С = Aj + А2 + A3, tr 02 = X； + 入3 + 入鼻，det С = А?А^з-
(4.52)
Очевидно, что любая функция инвариантов (4.52) также будет инвариантом тензора С, например:
g [(tr С)? — tr С?] = А1А2 + ^2^3 + 入办¥， (4.53)
j [―(tr0)3 + 3trCtr。2 + 6detc] =A? + A^ + A| = trС3.
Применим к вектору скорости v =。它=VхEi оператор наб- ла V:
L =守不=宓 * ViV = Ег 0= Ег 0
=Т三靑®跺(厶54)
Найдём разложение тензора L, называемого градиентом скорости, по диадному базису 月"0 闻：
L =储匕•戸 0 Ё3 = V^EZ 0 闻.(4.55)
Заметим далее, что
e . N =守㊂瓦.画㊂耳=守㊂员=Q 0 Д)- = "(4.56)
в силу равенства нулю векторов (己”)’в отсчётной конфигурации. Соотношение (4.56) говорит о том, что дифференцирование
по времени градиента деформации равносильно умножению его справа на градиент скорости.
Как и любой тензор второго ранга, тензор L может быть представлен в виде суммы симметричной и антисимметричной частей:
L = D + R, D = -{L + 乙丁)， Я = g(N — ЬТ), (4.57) где
厂=反㊂月% = VAjEz 0闻(4.58)
—транспонирование тензора L, а
D = DijEi 0 闻，旦=RijEi 0 闻 (4.59) называются соответственно тензором скоростей деформаций и спин-тензором. О компонентах ^；i, Vij и s叮 тензоров L, D п R в прямоугольной декартовой системе координат с базисом ki уже шла речь в лекции 2.
Антисимметричному тензору R естественным образом ставится в соответствие вектор вихря 行
行=木沙现•瓦=木沙储4瓦=%ot也 (4.60) введённый в (2.29). Умножая скалярно все части равенства (4.60) на声, а затем на VG enimEl 0 Ёт, выразим R через сП:
旦=VGenimunEl 0 月7 凡7丿. (4.61)
Проверим, является ли тензор скоростей деформаций D полной производной по времени от тензора Лагранжа 7 или тензора Эйлера э. Производная по времени от компонент тензора деформации даёт компоненты тензора скоростей деформации. Действительно, продифференцируем по времени обе части (4.1) и получим
ё叮叮月厂Ej + Д •耳)=
+ Д- %质*)=^咏 + %9=(4.62)
ИЛИт・ т・
D = el3El®E\(4.63)
Однако тензор D не является полной производной по времени ни от тензора Лагранжа, ни от тензора Эйлера. В самом деле, из определений (4.11), (4.12) имеем
7'=统污"0 m",
〜(4.64)
3 = ^月㊂声+沁(力0声).=g +沁(力0声)•.
Рассмотрим теперь, как изменится скорость vq некоторой частицы в бесконечно близком от неё окружении. Выберем некоторую точку в таком окружении и разложим вектор скорости v в ней в ряд:
a不1 №不
- = -о + 疥 *2 + 2^7<^ + …(4.65)
Благодаря (4.54) разложение (4.65) можно представить в виде
V = vq + dr ' 守不 + g dr ' ^V 0 V 0 ^ • dr + ...=
=vq + dr - L + ^df - ^V 0 N)• dr + … (4.66)
В силу предполагаемой малости длины вектора dr = d^Ei сохраним в правой части (4.66) только два первых слагаемых и воспользуемся соотношением (4.57):
V = vq + dr - L = vq + d尸.D + d尸.R.(4.67)
Введём квадратичную форму Ф относительно компонент вектора dr:
Ф = ；d* ◎ • df= ^现阳dp(4.68)
Очевидно, что
•旦=О • d疋(4.69)
Соотношение (4.69) можно записать в виде
grad Ф = D • dr.(4.70)
Тогда из (4.67) имеем
V = vq + grad Ф + dr ' R.(4.71)
Используя (4.61), получим
df^R=VG ^1Ё^ •值汴 J 月2 0 闻)=
="⑦汴 JdC闻=^x dr. (4.72)
Подставляя (4.72) в (4.71), находим, что
不=诟 + 行 х dr + grad Ф.(4.73)
Формула (4.73) носит название теоремы Коши-Гельмгольца. Она представляет собой обобщение формулы Эйлера для выражения скорости абсолютно твёрдого тела на сплошную среду, в которой происходит деформирование. Заметим, что формула (4.73) отличается от формулы Эйлера не только наличием градиента функции Ф (4.68), но и тем, что она справедлива только в бесконечно малой окрестности точки, имеющей скорость 诟.
ЛЕКЦИЯ 5
МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Деформации называются малыми, если перемещения малы: \и\ « I, где I — диаметр рассматриваемого тела, и все компоненты тензора дисторсии по модулю много меньше едпнгщы:
|W| « 1.(5.1)
Согласно (4.20) и (4.17) в этом случае имеем
▽淳=Z—(2 + 守码-1 =
=1- (1-W+(W)2-...) W, (5.2)
О
так как слагаемые порядка (Vtf)n, п > 2, в (5.2) имеют в силу (5.1) более высокий порядок малости, чем VtZ. Таким образом, тензоры дисторсии недеформированного и деформированного состояний совпадают:
出走2 из\гЁг 0 闻.(5.3)
Поэтому разница между лагранжевым и эйлеровым описанием (лагранжевыми и эйлеровыми координатами) в случае малых деформаций исчезает. Тензоры Лагранжа и Эйлера (4.11), (4.12) в этом случае совпадают:
.1 оо
7 = 5 = € = 0ej = - (VtZ + (▽/') •(5.4)
Компоненты &叮 тензора малых деформаций 互 выражаются через перемещения следующим образом:
£叮=q(%J + ui^ 三"(ej)・(5・5)
Соотношения (5.5) называются соотношениями Коши.
Вычислим для рассматриваемого случая другие меры деформаций, введённые в прошлой лекции. Согласно определениям (4.22)-(4.25) имеем
g = е ，严=a+弋码，a+弋码T
1 +W+ (守历丁 = 2 + 2互，(5.6)
оо
旦=рт • Е = (2 + \7и)т • (2 + ▽/ ^1+(W)t + W=1 + 2€, (5.7)
4 = g-1 . F-T = (2 -e历.(/-e历7
W- (W)T = 2_ 2互，(5.8)
M = F~T . g-1 = (2 — \7и)т . (Z - ▽/
2 _(e历7 一e淳=/一2互.(5.9)
Разложим тензор дисторсии Vtf на симметричную и антисимметричную части:°
▽淳=互+显，(5.10)
так что симметричный тензор деформаций 互 связан с и соотношениями (5.4), а антисимметричный тензор поворотов Q и его
компоненты имеют вид
]ООI
◎=D(▽淳一(▽历)，e".= q("3 - %J)三"伍小 (5・11) С тензором поворотов естественным образом свяжем вектор поворотов 0:
0 = Л=^кЩЁк =击^弋2 出玖=rota (5.12) и аналогично (4.60), (4.61) найдём
Q = 2VGenimQnEl 0 Ёт.(5.13)
Выражения для левого и правого тензоров растяжения и тензора вращения примут вид
也=01/2 =g邑2 +互，(5.14)
Q = U—1 ・Е = (2—互)・(2 +互+3^2 + Q,(5.15)
и = q-^ f = a-Qy a+^+q)^ i+^(5.16)
Выясним геометрический смысл компонент &叮 тензора малых деформаций. Рассмотрим для простоты в недеформирован- ном состоянии ортонормированный базис к〃， так что gij = b叮 и р = 1. Выберем в этом состоянии материальное волокно dr^ в направлении оси с номером а (координатное волокно): 而夕=dxaka, dxa〉0.(5.17)
Если локальным базисом деформированного состояния является базис 以 то это же координатное волокно описывается теперь
вектором df^:вектором df^:dr^ = dxaEa.dr^ = dxaEa.(5.18)(5.18)
вектором df^:
вектором df^:
dr^ = dxaEa.
dr^ = dxaEa.
(5.18)
(5.18)
Заметим, что согласно (4.1) в данном случае Gaa = 1 + 2еаа
0= 2£q0・
Найдём отношение 1а длин (3.57):
/& =/& =dx^Eo, . dx^Eadx^Eo, . dx^Ead力qA^q * d力qA^qd力qA^q * d力qA^q~ 1 + £qq・~ 1 + £qq・Таким образом,Таким образом,&QQ = Zq — 1 =&QQ = Zq — 1 =\dr^\ - |df『|\dr^\ - |df『|(5.19)(5.20)(5.19)(5.20)
/& =
/& =
dx^Eo, . dx^Ea
dx^Eo, . dx^Ea
d力qA^q * d力qA^q
d力qA^q * d力qA^q
~ 1 + £qq・
~ 1 + £qq・
Таким образом,
Таким образом,
&QQ = Zq — 1 =
&QQ = Zq — 1 =
\dr^\ - |df『|
\dr^\ - |df『|
(5.19)
(5.20)
(5.19)
(5.20)
т. e. каждая диагональная компонента £&& представляет собой относительное удлинение координатного волокна, направленного по оси а. В этом состоит геометрический смысл диагональных компонент тензора малых деформаций.
Вычислим теперь угол 夕&户 между координатными волокнами dr^ и d尸(⑺.Из (3.60) имеем
dr^ • d尸(°)
cos夕Q0= J"(叫I"(叫=
dxaEa . dx^E^dxaEa . dxaEa^Jdx^E^ • dx^E。dxaEa . dx^E^dxaEa . dxaEa^Jdx^E^ • dx^E。~ 2“~ 2“(5.21)(5.21)
dxaEa . dx^E^
dxaEa . dxaEa^Jdx^E^ • dx^E。
dxaEa . dx^E^
dxaEa . dxaEa^Jdx^E^ • dx^E。
~ 2“
~ 2“
(5.21)
(5.21)
Ho cos^qO = sin(?r/2 -夕&0)tt/2 -夕&炉=夕^。-夕&炉，ибо
угол 夕М между координатными волокнами
прямой. Итак, недиагональная компонента е&о равна половине угла скашивания 7г/2 —夕&о или половине разности углов между соответствующими координатными волокнами (рис. 21). В этом заключается геометрический смысл компонент тензора деформаций со смешанными индексами.
Наконец, найдём отношение эле
脱И d粛）脱И d粛）Рис. 21Рис. 21ментарных объёмов dV и dVg в данной
脱И d粛）
脱И d粛）
Рис. 21
Рис. 21
точке. Согласно формуле (3.59) для изменения объёмов
гдегдеdVdV—=a/G =1 + 2%広 ~ 1 + 三 1 + 仇—=a/G =1 + 2%広 ~ 1 + 三 1 + 仇J = 7広=竹互=div Й.J = 7広=竹互=div Й.(5.22)(5.23)(5.22)(5.23)
где
где
dV
dV
—=a/G =1 + 2%広 ~ 1 + 三 1 + 仇
—=a/G =1 + 2%広 ~ 1 + 三 1 + 仇
J = 7広=竹互=div Й.
J = 7広=竹互=div Й.
(5.22)
(5.23)
(5.22)
(5.23)
Величина J называется дилатацией или объёмным расширением-сжатием и является первым (линейным) инвариантом тензора малых деформаций & Из (5.22) видно, что
(5%)
т. е. 0 есть относительное изменение объёма в данной точке 9 . В этом состоит геометрический смысл следа тензора деформаций.
В случае малых деформаций, если не будет специальных оговорок, будем иметь дело с прямоугольной декартовой системой координат (с базисом 自)，поэтому все индексы можно писать внизу, например: ц74c〃•.
Тензор 01/3 с компонентами 例"3 будем называть шаровой частью тензора деформаций, а разность е — 01/3 обозначать е. Таким образом,
^ij = ^ij + 2 ^ ^ij, или 互=岂 + 2 ^ 2・ (5.25) След тензора е равен нулю:
trg = tr互一；J tr2 = J — ； • 3J = 0. (5.26)
Такой тензор называется девиатором. Из (5.26) следует, что девиатор и шаровая часть — взаимно ортогональные тензоры (их полная свёртка равна нулю).
Помимо линейного инварианта — дилатации 0 — определим согласно (4.49) квадратичный tre? и кубический |е“| инварианты. Однако чаще всего в качестве квадратичного инварианта выбирается интенсивность деформаций еи > 0:
(5.27)
Имеется в виду объём бесконечно малых окрестностей данной
точки.
Выразим det е через инварианты 仇 еи и det 互 тензора деформаций. Пользуясь (5.25) и (5.27), запишем
1e〃1 = e盯кE\№2汐3k= 1
=levl — 2 夕(£11&22 + &22&33 + ^33^11 — £彳2 — e23 — e31) +
+ g 後(71 + £22 + £33)一斤 '3 = \^ij \ _ gJ .歹(後一0产叮)+
Таким образом, det е является кубическим инвариантом тензора деформаций.
Пусть известны компоненты тензора деформаций &叮 и требуется определить соответствующие им перемещения. В этом случае на соотношения (5.5) можно смотреть как на систему шести дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка относительно трёх неизвестных функций щ. Естественно, система уравнений (5.5) не всегда является совместной. Заметим, что для однородного деформированного состояния
Eij =或・=const(5.28)
решение имеет вид
Ui = ^Xj + “?，(5.29)
где
% 葭=о・(5・30)
Предположим теперь, что разыскиваемое поле вектора перемещений и достаточно гладкое. Тогда выполняется тождество
“к,叮一uk,ji = 0-(5.31)
Добавим в обе части (5.31) выражение %,汴—и^^
"к,叮一uk,ji + ui,jk — Uj,ik = ui,jk — Uj,ik・ (5.32)
Из (5.11) имеем
Дифференцируя равенство (5.33) по х^ и учитывая (5.32), получим
^ji,k = q(“EJk — uj,ik) = ^ki,j — ^kj,i'(5.34)
Продифференцируем ещё раз соотношение (5.34) по @:
^ji,kl = ^ki,jl — £衣/,〃・(5.35)
Левая часть (5.35) симметрична по индексам к и I, так что её свёртка с антисимметричным по к, I символом Леви-Чивиты равна нулю. Поэтому
Cpkl (&ki,jl — &kj,il) = 0-(5.36)
Умножим обе части (5.36) на 加叮 и просуммируем по i и j:
^qij^pkl {^ki,jl — &kj,il) = ^^qij^pkl ^ki,jl =。・(5.37)
Уравнения (5.37) называются уравнениями совместности или условиями совместности Сен-Венана.
Вводя симметричный тензор второго ранга 纟，который называется тензором несовместности, с компонентами
Vij = €泳/ ^jmn &kri,lm.Vij = €泳/ ^jmn &kri,lm.(5.38)(5.38)
Vij = €泳/ ^jmn &kri,lm.
Vij = €泳/ ^jmn &kri,lm.
(5.38)
(5.38)
(5.39)(5.39)уравнения совместности можно записать в виде [42]
(5.39)
(5.39)
Vij = °・
Отметим, что условия совместности Сен-Венана (5.39) справедливы как для малых, так и для больших деформаций, если считать 互 симметричной частью тензора дисторсии VtZ.
(5.40)(5.40)Если задано векторное поле перемещений 〃〃，то, находя из соотношений Коши (5.5) малые деформации &衣八 и подставляя их в (5.38), (5.39), придём к тождествам
(5.40)
(5.40)
$€ikl Cjmn {^k,nlm + un,klm)=。・
Поэтому соотношения (5.39) иногда называют тождествами Сен-Венана.
Тензор несовместности можно получить из тензора кривизны Римана [48]. Положим для актуальной конфигурации
При этом согласно (3.90)
Rklmn = 2Rklmn = 2(5.42)(5.42)
Rklmn = 2
Rklmn = 2
(5.42)
(5.42)
Считая деформации малыми и принимая ортогональную прямоугольную систему координат, из (3.75) получим
Г/ш;п =Г/ш;п =1212° (5 in + 2々八)+ д^6тп + 2emn)° (5 in + 2々八)+ д^6тп + 2emn)源源d^im + 2в/т)d^im + 2в/т)=^1п,т + ^тп,1 — ^Zm,n-=^1п,т + ^тп,1 — ^Zm,n-(5.43)(5.43)
Г/ш;п =
Г/ш;п =
1
2
1
2
° (5 in + 2々八)+ д^6тп + 2emn)
° (5 in + 2々八)+ д^6тп + 2emn)
源
源
d^im + 2в/т)
d^im + 2в/т)
=^1п,т + ^тп,1 — ^Zm,n-
=^1п,т + ^тп,1 — ^Zm,n-
(5.43)
(5.43)
Тогда из (5.41) для малых деформаций имеем
(5.44)(5.45)(5.46)(5.44)(5.45)(5.46)"ij = tiki ^jmn ^ln,mk + ^mn,lk — ^lm,nk) = ^ikl ^jmn ^lm,nk- Используя тождество
(5.44)
(5.45)
(5.46)
(5.44)
(5.45)
(5.46)
^ikl^jmn =^ikl^jmn =^ij ^im 6in ^kj § km ^kn , ^Zj ^Zm ^ln
^ikl^jmn =
^ikl^jmn =
из (5.38), (5.39) получим
^ij = 4叮 + ^^ij — ^ik,kj — ^jk,ki + ^ij {^kl,kl — △£) = 0.
Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор несовместности 纟 можно представить в виде разложения на шаровую часть и девиатор:
纟=2 + ；力么 W = 无 + ；力片，(5.47)
где
ту = tr 2 = %, tr 2 = 0.(5.48)
Из (5.46) следует, что
力=£ki,ki - А0 = 0.(5.49)
Легко видеть, что если справедливы уравнения совместности (5.46), то справедливо уравнение (5.49) и уравнения
— ^ik,kj — ^jk,ki = °・(5.50)
Поэтому если выполняется хотя бы одна из групп условий (5.46) или (5.50), то справедливо условие (5.49). Другими словами, уравнения (5.46) и (5.50) эквивалентны, т. е. из справедливости одних следует справедливость других [42].
5 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
Следовательно, если выполняются условия совместности (5.46), то выполняются условия обращения в нуль всех компонент симметричного тензора второго ранга Н:
Hij = 4叮 + △&〃• 一 ^ik,kj — ^jk,ki + ^>ij{^kl,kl — △£),(5.51)
где £ — произвольный симметричный тензор-константа второго ранга. Очевидно, что
Н〃・=Tij при £〃• = b叮，(5.52)
_2
Hij = при £叮=—6ij.(5.53)
Выберем теперь некоторую точку М° с координатами * и будем считать, что в ней известны перемещения ^(М°) = 〃? и повороты Q^(M°) = С* Кроме того, всюду известны деформации £“•・ Тогда перемещения в любой точке М с координатами & запишем следующим образом:
ммм
"е = "е + dui — "° + &ij "6 + 0jid&j, (5.54) м°м°м°
где &(Л1°)=力?，£i(M) = Xi, и преобразуем последний интеграл в (5.54), пользуясь тождествами (5.34):
M◎ji d& = C336M°M◎ji d& = C336M°ммм°м°M^j^ji,k *k = QjlHj — C*W —M^j^ji,k *k = QjlHj — C*W —мм
M
◎ji d& = C336
M°
M
◎ji d& = C336
M°
м
м
м°
м°
M
^j^ji,k *k = QjlHj — C*W —
M
^j^ji,k *k = QjlHj — C*W —
м
м
£j(&ik,j — &jk,i) d& = CljiXj — Qj^Xj + C?// —
M°
M
6(7kJ — £汴，力 d&k = C*(叼—*) +
м°
M6(7kJ — ^jk,i) d&k =M°M6(7kJ — ^jk,i) d&k =M°м
M
6(7kJ — ^jk,i) d&k =
M°
M
6(7kJ — ^jk,i) d&k =
M°
+ Xj 0ji,k d£k —
M°
=C*(勺•一力?)+(/一6)(0kj - ё17k,/"&• (5.55)
м°
Подставляя (5.55) в (5.54), придём к формулам Чезаро м
Ui = и^ -\- Q*(叼—*) +£泳 + {xj — 6)(7kj — &汴,力"&•
м°
(5.56)
В силу сделанных предположений правая часть (5.56) известна в точке М с координатами &. Таким образом, формулы Чезаро позволяют определить перемещения в любой точке (М) среды по заданным всюду деформациям и известным в одной точке (М°) перемещениям и поворотам.
В формулы Чезаро входит интегрирование по произвольному контуру, начинающемуся в фиксированной точке Мд и заканчивающемуся в точке М, где и определяются перемещения. Устремим М к М° так, чтобы этот контур стал замкнутым. Из (5.56) получим
()£泳 + (力? 一 6)(%kj — &汴,力 d& = 0(5.57)
7
для любой точки М°(х^), принадлежащей контуру 7.
Итак, для односвязного тела необходимым и достаточным условием интегрируемости является выполнение условий совместности (5.39), или (5.46), или (5.50), или (5.51). Если же тело многосвязно, то перечисленные условия только необходимы, и к ним требуется добавить по три уравнения (5.57) для каждого контура 7，не стягивающегося в одну точку.
ЛЕКЦИЯ 6
ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ
В предыдущих лекциях были изучены характеристики кинематики и деформирования сплошной среды и дано определение её движения. Правда, под такое определение подходит и движение нематериальной среды (например, тени). Материальность среды задаётся плотностью вещества. Каждой частице приписывается положительный скаляр 0(£<£?,g^,". Тогда масса m некоторого объёма V определяется интегралом
т = pdV.(6.1)
Для объяснения причин возникновения движения материальных тел требуется введение понятия силы. Едва ли во всех естественных науках есть более распространённое и менее поддающееся определению понятие. Поэтому не будем останавливаться на нём подробно, а предположим, что читатель уже немного знаком со вторым законом Ньютона из классической механики. Заметим только, что Герц сформулировал все законы механики, вовсе не используя понятие силы. К сожалению, механика Герца не получила широкого распространения. В МСС силы делятся на массовые и поверхностные (иногда вместо массовых сил используют объёмные силы). С помощью этих понятий можно сформулировать основные постулаты механики сплошной среды.
Прежде чем переходить к их формулировкам, докажем ряд вспомогательных лемм, имеющих, впрочем, и самостоятельное значение.
Основная лемма. Пусть G е^ и V — произвольная подобласть G. Функция /(力1,力2,力3,方)непрерывна в G и обладает свойством
/(©，^，g由矶^ = 0(6.2)
для любого момента времени t Тогда / = 0.
< Доказательство проведём от противного, а именно: предположим, что в G существует точка （云i,*2,云з）, такая что /（*1,云2,*з丿）* 0 （для определённости /（*i,云2,云з,土）〉0）. В силу непрерывности / существует шар Ш@（云i,云2,云з） радиуса е с центром в （*i,云2,云з）, который полностью принадлежит G и в котором f ^ а > 0.
Выберем V = Ш£ и, используя свойства определённого интеграла, запишем
f4 о
fdV ^а\Ш£\ = -гае3 > 0,（6.3）
что противоречит условию （6.2） леммы. Следовательно, наше предположение о наличии в G хотя бы одной точки （云i,云2,*з）, где /（*i,云2,云з/） ¥ °, неверно. Основная лемма доказана. ►
Назовём жидким, или подвижным, объёмом меняющуюся со временем область пространства, состоящую из одних и тех же материальных частиц.
Лемма о дифференцировании п о времени интеграла по жидкому объёму. Пусть V — жидкий объём. Тогда
i\fdV=\ （^ + /div力 dV,（6.4）
V« \丿
где /（%i,力2,力3,方）三/（近土） — любая функция, для которой
существуют обе части равенства （6.4）.
< В момент времени t жидкий объём занимал область V в пространстве, а в близкий к t момент t + At область Vf = V + AV.
состоит из элементарныхсостоит из элементарныхРис. 22Рис. 22При этом АУ, как видно из рис 22,
состоит из элементарных
состоит из элементарных
Рис. 22
Рис. 22
цилиндрических объёмов dV таких, что
dV = d^v^nAt, （6.5） где d£ — элемент поверхности V, являющийся основанием цилиндра dV, а 不•五△方—высота dV.
Обозначим левую часть （6.4） через /⑴.Согласно определению производной функции одного переменного и формуле
Остроградского-Гаусса (2.43)
/(f, t) dV =/(f, t) dV =I(t) = ^m0 ^] /(ж, t + At) dV —
/(f, t) dV =
/(f, t) dV =
V+AV
=小111。； I" f f(x, t + At) d'K — f(x, t) d'K +
+ lim ± [ /(f, t + At) dV = [ t) dV + AVV+ lim ± [ /(f, t + At) dV = [ t) dV + AVV(6.6)(6.6)
+ lim ± [ /(f, t + At) dV = [ t) dV + AVV
+ lim ± [ /(f, t + At) dV = [ t) dV + AVV
(6.6)
(6.6)
Заметим теперь, что
* + div (/仍=* +》3 + /divi7= M + /div丈 (6.7) otot oxiat
Из (6.6) и (6.7) следует утверждение (6.4) леммы. Из доказательства следует, что / может быть не только скаляром, но иметь также векторную либо тензорную природу. А
Сформулируем первый постулат механики сплошной среды, который называется законом сохранения массы.
Закон сохранения массы (I постулат МСС). Пусть V — произвольный жидкий объём 6 R3. Тогда 6 любой момент
времени7
(6.8)(6.8)ат
(6.8)
(6.8)
——=0
dt
где величина m определена 6 (6.1).
Простое и интуитивно понятное (“масса никуда не исчезает и ниоткуда не вoзникaeт^^) равенство (6.8) представляет собой интегральную формулировку закона. Воспользуемся леммой о дифференцировании по времени интеграла по жидкому объёму (равенство (6.4)). Получим
0 = ^ р(х, t) dV = [+ 0 div , dV. (6.9)
v# '
Жидкий объём V произволен, поэтому основная лемма приводит
к соотношению
^ + pAivv = 0(6.10)
в любой точке пространства и в любой момент времени.
Соотношение (6.10) называется уравнением неразрывности. Оно являетя следствием первого постулата, его дифференциальной формулировкой. В дальнейшем увидим, что все постулаты МСС могут быть сформулированы либо в интегральном виде (для произвольного объёма в любой момент времени), либо в дифференциальном (в любой точке пространства в любой момент времени).
Уравнение неразрывности (6.10) записывают и по-другому. Согласно (6.7)
% + div(M) = 0,(6.11)
или, разделив обе части (6.10) на р,
号产+ divi7=0.(6.12)
Среда называется несжимаемой, если плотность не изменяется со временем:
黑=0.(6.13)
Тогда согласно (6.10)
div 炉=0.(6.14)
Таким образом, поле вектора скорости при движении несжимаемой среды соленоидально и поток вектора скорости через любую замкнутую поверхность равен нулю. Очевидно и обратное: если скорость удовлетворяет соотношению (6.14), то среда несжимаема.
Обратим внимание, что в определении (6.13) фигурирует полная, а не частная производная по времени. Приведём пример
Рис. 23Рис. 23Х1Х1несжимаемого течения, в котором dp/dt * 0. На рис. 23 изображена неограниченная сплошная среда с плотностью p{xi,t), движущаяся поступательно вдоль оси х\ слева направо. Поступательность движения обеспечивает несжимаемость, т. е. dp/dt = 0. С другой стороны,
Рис. 23
Рис. 23
Х1
Х1
находясь в сечении х\ = хю и наблюдая за частицами, проходя
щими со временем через это сечение, легко видеть, что сначала шли “лёгкие” частицы, а затем “тяжёлые”，т. е. dp/dt > 0. Данный контрпример связан с неоднородностью среды по плотности. Если же материал однороден, т. е. grad р = 0, то равенства
dp/dt = 0 и dp/dt = О равносильны и эквивалентны равенству О 三 0о = const.
При лагранжевом описании закон сохранения массы формулируется следующим образом:
dm = pdV = 0о d% = dm。,(6.15)
где dm。= dm\t=(). Учитывая формулы (3.59), (5.22) для относительного изменения объёма, из (6.15) получим
Тогда для малых деформаций имеем
00 =0(1+g)， или р = pg - 9).(6.17)
Как видно из (6.17), при лагранжевом подходе плотность можно определить, зная объёмное расширение-сжатие 仇 т. е. кинематику процесса деформирования.
В дальнейшем пригодится следующая простая лемма.
Лемма 1. Пусть V — жидкий объём. Тогда
i\pfdV=(6.18)
где /(%i,力2,力3丿)三/(疗丿) —— любая функция, для которой существуют обе части равенства (6.18).
◄ Преобразуем левую часть (6.18), используя лемму о дифференцировании по времени интеграла по жидкому объёму:
万 pfdV =-~-r + pfdwv]dV =
at JJ \/
=(6.19)
Но сумма второго и третьего подынтегральных слагаемых в правой части (6.19) в силу уравнения неразрывности (6.10) равна нулю. Лемма доказана. ►
Рассмотрим теперь многофазную сплошную среду [32, 39], состоящую из п компонентов, между которыми могут протекать m химических реакций. В процессе реакций состав одних компонентов уменьшается, а других увеличивается. Поэтому, естественно, закон сохранения массы (6.8) и его дифференциальные следствия (6.10)-(6.12), записанные для каждого компонента, выполняться не будут.
Для моделирования многофазных сред примем, что каждая макрочастица с плотностью р состоит из п микрочастиц (компонентов, так что в каждой точке пространства в любой момент времени присутствуют сразу все п компонентов, каждый С ПЛОТНОСТЬЮ Ра{х, t)(Q = 1,...,九)：
n
£oq = 0・(6.20)
Назовём величину “，
n
массовой концентрацией (или просто концентрацией) компонента а. Обозначив через va{x, t) скорость каждого компонента, определим скорость макрочастицы как скорость центра масс микрочастиц:
v = -^2pava.(6.22)
'а= 1
Введём также для каждого компонента вектор диффузионного потока ja:
Ь = Ра® -不).(6.23)
Суммируя все п равенств (6.23), с учётом (6.20) и (6.22) получим
=(6.24)
Приравняем левую часть уравнения неразрывности (6.11), записанную для компонента с номером а, величине 丫&, называемой образованием вещества а и равной
т
丫& =(6.25)
где величина %/ пропорциональна стехиометрическому коэффициенту, с которым компонент а входит в 1-ю химическую реакцию;刀—скорости химических реакций. Таким образом, 曾+ div(&办)= Yq.(6.26)
Суммируя n равенств (6.26), придём к уравнению неразрывности (6.11), т. е. сумма образований всех веществ в многофазной среде равна нулю:
ппт
Е^ = ЕЕу ai Ji = 0.(6.27)
Соотношения (6.26) представляют собой уравнения неразрывности для каждого компонента многофазной среды.
Пользуясь уравнениями неразрывности для многофазных сред, выведем уравнения диффузии
0* + div^ = Yq, а = 1,... ,п.(6.28)
Для этого преобразуем левую часть (6.26):
曾 + div (/9Q巾)=曾 + div Sq巾-pav + 0q不)-
—+ j = ± + divJ^+ grad pa'v + \p at у ot
- dp- dpa - dp
+ 0qdlV ^ — Ca — — /9qdlV V = —T— + div Ja — ca —-= dtdtdt
d(o“)dtd(o“)dt雲 + div 衣=+ 小工 (6.29)雲 + div 衣=+ 小工 (6.29)
d(o“)dt
d(o“)dt
雲 + div 衣=+ 小工 (6.29)
雲 + div 衣=+ 小工 (6.29)
Рис. 24Рис. 24(6.30)(6.30)
Рис. 24
Рис. 24
(6.30)
(6.30)
Отсюда и следует (6.28).
Вернёмся к понятию силы и рассмотрим элемент массы Ат, заключённый в объёме АУ и содержащий точку М (рис. 24), а также суммарную силу АЛ, действующую на этот элемент. Выполняя предельный переход
hm —— =
△VtO Am 1
получим новыйполучим новыйвектор —вектор —в точке М. Поле F(x, t)в точке М. Поле F(x, t)массовую силу F^M, приложенную образует векторное поле массовыхмассовую силу F^M, приложенную образует векторное поле массовыхДУЭМ
получим новый
получим новый
вектор —
вектор —
в точке М. Поле F(x, t)
в точке М. Поле F(x, t)
массовую силу F^M, приложенную образует векторное поле массовых
массовую силу F^M, приложенную образует векторное поле массовых
сил в R3 и по размерности совпадает с ускорением ("сила, отнесенная к единице массы”). Характерным примером массовых сил является ускорение сил тяготения, в частности ускорение р силы тяжести. Наряду с массовыми силами будем рассматривать объёмные силы X:
Х = pF. (6.31)
Мысленно рассечём плоскостью тело, занимающее объём V (рис. 25) и находящееся в равновесии. Удалим одну из частей этого тела, например правую. Чтобы левая часть оставалась в равновесии, очевидно, к плоскости сечения нужно приложить
(6.32)(6.32)некоторые силы (рис. 26). Выделим на этой плоскости элементарную площадку △£ и обозначим через АЛ силу, действующую на неё. Стягивая площадку △£ к точке М, получим
(6.32)
(6.32)
Вектор 耳^) называется поверхностной силой в точке М на площадке с нормалью п и имеет размерность давления ("сила на единицу плoщaди^^). Величина 5(八)(疗，方)не образует векторного поля, так как зависит не только от точки пространства, но и от площадки, проходящей через эту точку. На последний факт указывает верхний индекс (п).
Для того чтобы найти суммарную силу, действующую на объём V, необходимо проинтегрировать по V вектор Х{х, t), а для нахождения суммарной силы, действующей на поверхность X, надо проинтегрировать по X вектор €(叫疗,方).В последнем случае в каждой точке X надо выбирать единичную нормаль n(x, t), отложенную в положительном направлении. Заметим, что У (叫近方)=—S^~n\x, t).
Пусть V — произвольный жидкий объём внутри данного тела, а X — поверхность, ограничивающая этот объём. Назовём интеграл
Q = I pvdV (6.33)
количеством движения, заключённым в объёме V.
Сформулируем теперь второй постулат механики сплошной среды, или закон об изменении количества движения.
Закон об изменении количества движения (II постулат МСС). Пусть Q е R3 — объём, занимаемый телом 6 актуальной конфигурации, V — произвольный жидкий объём 6 С, а X — его граница с единичной внешней нормалью N. Тогда 6 любой момент времени
g = \pFdV+ [ «Г)心(6.34)
m. e. производная no времени от количества движения среды, заключённой s V, равна сумме объёмных сил, приложенных к V, и поверхностных сил, действующих на X.
Интегральная формулировка (6.34) — обобщение второго закона Ньютона на сплошные среды.
dt ,dt ,pvdVpvdV(6.35)(6.35)По лемме 1 (6.18) dQ dt
dt ,
dt ,
pvdV
pvdV
(6.35)
(6.35)
Рассмотрим тетраэдр, построенный на векторах А = ^Ei, 疗=庐皮m色=卢月3, которые направлены вдоль базисных векторов в деформированном состоянии (рис. 27). Объём данного
тетраэдра равен одной шестой объёма косоугольного параллелепипеда, построенного на А, В и С, или, согласно (3.55),
% = (6.36) о о
Обозначим Zb,为，S3 и X площади треугольников ОВС, ОСА, О АВ и АВС. Первые три
из них равны половинам площадей параллелограммов, построенных на векторах А, В, С. Обозначим также через N единичную нормаль к площадке АВС, через 0 — угол между векторами N и 后з, а через h — высоту тетраэдра, опущенную из точки О. Из (3.52) и (3.46) имеем
2X1 ="庐03 区1] =几311庐03,
2S2 =3al 広 2| =，gG22。3〃1,(6.37)
2Хз = "а】庐広 3| =，GG33Mb2.
(6.38)(6.39)(6.38)(6.39)Кроме того, очевидно, % = ^h.
(6.38)
(6.39)
(6.38)
(6.39)
Из (6.36), (6.37)з и (6.38) получим
决_ Хз
Так как
h = \С\ cos0 = i，дзз cosJ, cos0 =，段 = } , (6.40) v G33 v G33
то hj(? = ^з. Подставим это равенство в (6.39):
(6.41)
Очевидно, что в (6.41) вместо индекса 3 можно поставить любой другой, т. е.
3% v3% v»1_»2_»3»1_»2_»3(6.42)(6.42)
3% v
3% v
»1_»2_»3
»1_»2_»3
(6.42)
(6.42)
Применим теперь II постулат МСС к выбранному тетраэдру, воспользовавшись формулой (6.35):
- 列g⑵g⑶心
Xi%S3
где S^ — поверхностные силы на координатных площадках Интегралы по в (6.43) входят со знаком “мпнус”，ибо внешние нормали N^ к этим площадкам противонаправлены векторам Еа контравариантного локального базиса деформированного состояния.
Пользуясь тождеством (6.42), умножим левую часть (6.43) на 九/(3Vi), первый интеграл в правой части (6.43) на 1 /X, а каждый из оставшихся интегралов — на Nq\/GQQ»q：
必(6.44)
Устремим высоту h тетраэдра к нулю. Обозначим пределы:
II「(6・45)
匕J'—厶a J
Тогда из (6.44) и (6.45) в пределе будем иметь з
= £ NaVG^S^.(6.46)
Векторы S(N), S^ носят название векторов истинных напряжений. Наряду с ними введём в рассмотрение векторы напряжений на площадках
戶 Q = VG^S^al(6.47)
Из (6.46) следует, что
€(n)= др\(6.48)
Чтобы разобраться в тензорном характере введённых величин, предположим, что направление вектора N совпадает с направлением нового вектора 砂/ контравариантного базиса, преобразующегося при переходе к этой новой системе координат по тензорному закону
月 ， =⑷；戸.(6.49)
(6.50)(6.51)(6.52)аналогич-(6.50)(6.51)(6.52)аналогич-В силу коллинеарности векторов N и Ёа，имеем
(6.50)
(6.51)
(6.52)
аналогич-
(6.50)
(6.51)
(6.52)
аналогич-
Тогда из (6.49), (6.50) следует
= А"；宙.
Поэтому из (6.46) имеем з
g(N)三= £ Aa^SaVG^.
При этом величина «(°‘) определяется пределом, ным (6.45) при X т %/.
Из (6.52) видно, что величины €(°‘)не преобразуются по тензорному закону. Иначе обстоит дело с величинами 戶°, входящими в (6.47). Подставляя (6.47) в (6.52), получим
戸/ = NQ.(6.53)
Следовательно, величины 戸 преобразуются при переходе от одной системы координат к другой по тензорному закону.
Разложим векторы напряжений Рг по векторам базиса: 戸=рз£・.(6.54)
Нетрудно видеть, что величины Р” являются компонентами тензора Р:___
P = Pj 0Ej= р国 0 场.(6.55)
Тензор (6.55) называется тензором напряжений Коши.
Соотношение (6.48) выражают связь вектора напряжений на произвольной наклонной площадке в данной точке с векторами напряжений на трёх координатных площадках в этой же точке.
Возвратимся к интегральной формулировке (6.34) II постулата МСС и подставим в (6.34) выражения (6.35) и (6.48). Преобразуя поверхностный интеграл согласно формуле Остроградского- Гаусса,
(6.56)(6.56)S(N)dX= VZFZ dV = V-F= DivFdV, запишем
(6.56)
(6.56)
Отсюда, а также из основной леммы следуют уравнения движения сплошной среды:
= VZFZ + pF или # = Div£ +爾 (6.58) atat ~
Векторные уравнения движения (6.58) представляют собой дифференциальную формулировку закона об изменении количества движения (II постулата МСС). Если правые части в (6.58) равны нулю тождественно, то говорят о статике. В этом случае уравненият
DivP + pF = 0(6.59)
называются уравнениями равновесия.
Если же величины, входящие в уравнения (6.58), зависят от времени, но силы инерции pdv/dt пренебрежимо малы по сравнению со слагаемыми в левой части (6.58), говорят о квазистатике. В этом случае также пользуются уравнениями равновесия (6.59).
ЛЕКЦИЯ 7
ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ (продолжение)
Рассмотрим третий постулат механики сплошной среды — закон об изменении момента количества движения. Пусть тело в актуальной конфигурации занимает объём Q G R3. Введём в рассмотрение вектор В
В = г х {pv)dV(7.1)
момента количества движения (кинетического момента) сплошной среды, заключённой в жидком объёме V с границей X (У е С). Аналогично вектору количества движения Q он является обобщением момента количества движения материальной точки и абсолютно жёсткого тела.
Закон о б изменении момента количества движения (III постулат МСС). Пусть V — произвольный жидкий объём в V E^Lf а И — его граница с единичной внешней нормалью N. Тогда 6 любой момент времени
—=г х {pF)dV+ 尸 x«(N)dX,(7.2)
m. e. производная no времени от момента количества движения среды, заключённой 6 V, равна сумме моментов объёмных сил, приложенных к V, и моментов поверхностных сил, действующих на X.
Для вывода соответствующих дифференциальных соотношений, как и ранее, сведём все слагаемые в (7.2) к объёмным интегралам, после чего воспользуемся основной леммой. По лемме 1 (6.29) имеем
尸d卜g 尸 X 不)dV =
Си (/Си (/Си (/
6 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
0^（尸x不）d卜=0^（尸x不）d卜=0(不 х Я) dV +0(不 х Я) dV +(7.3)(7.3)
0^（尸x不）d卜=
0^（尸x不）d卜=
0(不 х Я) dV +
0(不 х Я) dV +
(7.3)
(7.3)
Подставляя далее в (7.2) вместо S(n) выражения (6.48),
получим
г х S^ d£г х S^ d£г х ^Ni dSг х ^Ni dSVz(r х Рг) dV =Vz(r х Рг) dV =(▽kx Рг + гх 戸)dV(▽kx Рг + гх 戸)dVД х FMV +Д х FMV +
г х S^ d£
г х S^ d£
г х ^Ni dS
г х ^Ni dS
Vz(r х Рг) dV =
Vz(r х Рг) dV =
(▽kx Рг + гх 戸)dV
(▽kx Рг + гх 戸)dV
Д х FMV +
Д х FMV +
+ r x Div PdV. (7.4)
С учётом (7.3) и (7.4) соотношение (7.2) может быть записано следующим образом:
г х(0^ -pF- Div£)dV= Д х 戸dV. (7.5) v*
Выражение, стоящее в скобках в левой части (7.5), в силу уравнений движения (6.58) равно нулю. Тогда по основной лемме в каждой точке
6 =氏х户=瓦х耳.W = pv 乃б汴砂， (7.6) откуда следует
у" = у 小(7.7)
Итак, дифференциальным следствием закона об изменении момента количества движения является симметричность тензора напряжений Коши Р [38]. О геометрической интерпретации напряжённого состояния в точке речь пойдёт в следующей лекции.
Заметим, что в прошлой лекции, когда говорилось о многофазной среде, предполагалось, что скорость макрочастицы совпадает со скоростью центра масс микрочастиц (6.22). Это означает, что центр масс микрочастиц совпадает с координатами макрочастицы. Если такое совпадение не осуществляется, то для распределения масс необходимо ввести ещё одну характеристику —тензор моментов инерции макрочастицы, компоненты
которого записываются, например, в виде
т
儿=,(7.8)
где 符'—координаты микрочастицы а относительно макрочастицы.
Введём гипотетический параметр 1а =(己％!。))"？ — длину радиуса-вектора микрочастицы а относительно макрочастицы. В этом случае первый инвариант тензора (7.8) имеет вид
т
JmJn = 2fp忌(7.9)
Назовём J плотностью моментов инерции. Очевидно, что для неё можно записать уравнение, аналогичное уравнению неразрывности (6.10) или (6.11):
# +Jdiv 不=0, 号+ div(Ji7) = 0.(7.10)
Поэтому для J справедлива лемма 1.
Кроме того, в такой среде должна появиться новая кинематическая характеристика, связанная с вращением микрочастиц. Назовём эту характеристику /7 вектором внутреннего вращения. В этом случае говорят о наличии в теле моментных напряжений и постулат об изменении момента количества движения (7.2) записывается в виде
{pv)dV+=
= 卜 X {pF) + M^dV+ (fxSw + Q^d^. (7.11)
В (7.11) M — вектор распределённых объёмных моментов в теле;
=前№ = (^№瓦，(7.12)
где Q" _ компоненты тензора моментных напряжений Q = =Д 0 Qz = Q"瓦 0 Ej.
Дифференциальным следствием постулата (7.11) являются уравнения моментов. Они могут быть получены стандартным путём: сведением всех слагаемых в (7.11) к объёмным инте- 6*
гралам и использованием основной леммы. Не останавливаясь на выкладках, запишем уравнение моментов в векторной форме:
J洋="+屋x戸+ ▽»,(7.13)
или
j^ = M + W VGexjk Ek + V,QZ. (7.14)
Из (7.14) видно, что в случае присутствия моментных напряжений тензор напряжений Коши Р, вообще говоря, несимметричен.
Вернёмся к уравнениям движения сплошной среды, записанным в векторном виде (6.58). Умножим их скалярно на dr = vdt и проинтегрируем по V. В правой части получим
p^^vdtdV =р不•不dV 三 dlC, (7.15)
Величину /С назовём кинетической энергией тела, занимающего объём V:
г
К = $ p\v^dV.(7.16)
Второе слагаемое в левой части (6.58) приведёт к следующему выражению:
pF • vdtdV = ^pF' drdV =.(7.17)
Скалярное произведение pF • dr представляет собой элементарную работу объёмной силы pF на перемещении d元 поэтому величину Ь/『естественно назвать приращением работы объёмных сил. Для выражений, вообще говоря, не являющихся полными дифференциалами, в отличие от интеграла (7.15), здесь и в дальнейшем будем использовать символ Ь, а не d.
Преобразуем далее первое слагаемое в левой части (6.58) с помощью теоремы Остроградского-Гаусса:
^zP^vdtdV = dt 胃人声.研 dV — dt Рг • V^dV =
VVV
=dt P • Ж d^-dt P^--dV= S(N)•-
XE
-dt P%3E3 • VzVfc> dV = M^e) - dt「％•/» =
=ь/夕-dt dv = ь/夕- m 於叮 dv =
三 b/? + b/(” Величину
b")= S(N)."dX(7.18)
назовём приращением работы поверхностных сил, а
Ь/⑴=-рз 於叮 d»(7.19)
—приращением работы внутренних сил 9 .
Таким образом, из уравнений движения (6.58) следует одно интегральное скалярное равенство
次= b/(e)+ b/(2),(7.20)
где
б" = Ь/『+ 毋(7.21)
есть приращение работы внешних сил. Равенство (7.20) называется теоремой живых сил.
Рассмотрим теперь постулат об изменении количества движения (6.34), который сформулируем в отсчётной конфигурации. Воспользуемся равенством (6.15) для объёмных интегралов и (3.58) — для поверхностного. Тогда получим
[ PQFdVQ + [ S^N^(7.22)
VVVа V g
VbVbSov
Верхние индексы (e) и (г) у приращений 5А означают соответственно: external — uвнeшний^^ и internal — “внутренней”.
Введём вектор напряжений 彳⑺)на недеформированной площадке с единичной нормалью п следующим равенством [38]:
(7.23)
Из (7.23) очевидно, что векторы напряжений на недеформирован- ных координатных площадках связаны с векторами напряжений на деформированных площадках Рг соотношениями
(7.24)
Подставляя теперь (7.23) в (7.22) и проводя уже знакомые преобразования интегралов, получим уравнения движения сплошной среды 6 отсчётной конфигурации'.
€涉+因戸=固^.(7.25)
В статическом или квазистатическом случаях имеем уравнения равновесия 6 отсчётной конфигурации'.
储戸 + PoF = 0.(7.26)
Разложим векторы напряжений рг по векторам базиса отсчётной конфигурации:
歹=声前.(7.27)
Введём на их основе тензор напряжений Пиолы, или тензор обобщённых напряжений'.
匹 =必击艺弓=击艺(7.28)
Нетрудно установить связь между тензорами напряжений Пиолы 7г и Коши Р. Для этого умножим скалярно справа обе части равенства (4.19) на Ej и получим, что
亏(7.29)
Тогда из (7.24) и (7.28) следует
И = ег®рг = ^Е「т♦ Р. (7.30)
Иногда наряду с тензорами тг и F рассматривают тензор напряжений Кирхгофа К
К = Ёг0р\(7.31)
который связан с тензором Пиолы следующим образом:
①=爲㊂评=e一7 •瓦㊂评=е一7 •久. (7.32)
Рассмотрим теперь формулировку закона об изменении момента количества движения в отсчётной конфигурации. Не останавливаясь подробно на выкладках, аналогичных проделанным в этой лекции ранее, преобразуем интегральное равенство (7.2) к виду
PQ (fx ^)dVb= PQ^fxF) dVQ+ г х sH dS0 (7.33) %%%
и после применения формулы Остроградского-Гаусса и основной леммы получим в каждой точке объёма V
屋 х 歹=0.(7.34)
Векторное равенство (7.34) — дифференциальное следствие закона об изменении момента количества движения в отсчётной конфигурации. Из (7.34) не следует симметрия тензора Пиолы 廷. Действительно, согласно (3.41) и (1.16)
Ei х рг =(昆+х歹=昆х玛位+心育X前位=
=历/汴(7.35)
В силу (7.34) и (7.35) имеют место равенства
⑦汴夕⑷+%%心0叮=0,⑦汴夕⑷+%%心0叮=0,(7.36)(7.36)
⑦汴夕⑷+%%心0叮=0,
⑦汴夕⑷+%%心0叮=0,
(7.36)
(7.36)
показывающие, что тензор 叟，вообще говоря, несимметричен.
Умножим теперь обе части (7.25) скалярно на вектор dr = =V dt. Тогда правая часть полученного равенства запишется в виде
dk = d^ pqv- GdVb),(7.37)
откуда
1 г
к=- PQ\v\2dVQ.(7.38)
Из второго слагаемого левой части получим
. drdVo,(7.39)
Vb а из первого слагаемого
f о.「 /、f .. dv
dt ▽涉•不d%= s(n)• drd^Q - dt ^e3 ^dVQ. (7.40) %%%
Тензорное равенство
Г = ek®E'k = ek®^(7.41)
говорит о том, что подынтегральное выражение в последнем слагаемом в (7.40) можно записать следующим образом:
卢亏，费 =仔(742) С другой стороны,
庐亏•$=声弓- Vk,Sk =庐⑦"(7.43)
Поэтому, обозначая
%『= s^n^drd^o,(7.44)
弘⑴=-dt M ： £ dVo = -dt 夕叮оз d%,(7.45)
Vb%
получим из (7.39), (7.40), (7.44), (7.45) теорему живых сил для отсчётной конфигурации:
dk = da^ +да^.(7.46)
О
Так же как и в (4.57), тензор ▽不 представляется в виде суммы своей симметричной части, тензора скоростей деформаций D = d"•發0炭с компонентами
]оо
dij = q(十叼+十川力‘(7.47)
и антисимметричной части — спин-тензора R = г^ег 0 е^
с компонентами〔 о о
rij = 2_ Ss)・(7・48)
Наряду с (7.45) имеем ещё одну форму записи величины Ьа"
弘⑴=-dt夕(叮)d叮d% - dt办汕々7 d%),(7.49)
причём из-за несимметричности тензора Пиолы второй интеграл в правой части (7.49), вообще говоря, не равен нулю.
(8.1)(8.1)
(8.1)
(8.1)
ЛЕКЦИЯ 8
НАПРЯЖЁННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ
Рассмотрим тензор напряжений Коши Р и его представление (6.55) в актуальной конфигурации. Изучение будем вести в прямоугольной декартовой системе координат с базисными векторами 再，поэтому все индексы будем писать внизу. Согласно (6.48) вектор истинных напряжений
на площадке с единичной нормалью N (рис. 28) представляется в виде
g(N) = Njp3 = NjPj'R.(8.2)
Из (8.1) и (8.2) следует, что компоненты вектора 矶~)на любой площадке связаны с компонентами нормали к этой площадке
тензорным законом:
S；z)= Pj»Nj = PijN» (8.3)
На координатных площадках, где N^ =応，№。)= Bai, из (8.3) имеем
歹)=Р^ (8.4)
Таким образом, компонентам тензора напряжений Коши можно придать следующий физический смысл: величина Pji (равная Pij в силу закона парности касательных напряжений (7.7))
в данной точке равна "宓 компоненте вектора истинных нап
ряжений, действующего на площадке, проведённой через эту точку, с нормалью в направлении оси с ортом kj. Напряжённое
состояние в точке полностью определяется тензором напряжений Р в этой точке [31,61]. Компоненты Раа будем называть растягивающими, а %户—сдвигающими.
Рис. 29Рис. 29Нормальным напряжением o(n) на площадке с нормалью N назовём проекцию вектора истинных напряжений «(N) на N (рис. 29):
Рис. 29
Рис. 29
O(N) = g(N). N = s；N)M =
Нормальное напряжение представляет
собой квадратичную форму, построенную с помощью симметричной матрицы Pij на компонентах 乂.
Касательным напряжением т(~)на площадке с нормалью N назовём проекцию вектора €(~)на саму площадку (или на касательную к площадке плоскость). По теореме Пифагора T(N) = Jg(N)|2 — 0(N))2 = Js「)s；N) — 0NjN，=
=y/p^P^^^(8.6)
Возвращаясь к координатным площадкам с нормалями N(°), из (8.4) и определений (8.5), (8.6) имеем
<>)=S^ • ka =
№ =，密)箱)一9(叫2 = d p.RLP/ =用 0 + p*
(8・7)
Исследуем теперь экстремальность величин <7(~)и т(~) в фиксированной точке на различных площадках. Существуют ли площадки, на которых касательное напряжение принимает своё минимальное, т. е. нулевое, значение? На таких площадках вектор «(~)должен быть параллелен нормали N. Запишем это требование в компонентах:
PijNj = oNj, или (Q3• — adij^Nj = 0.(8.8)
Система трёх однородных уравнениий (8.8) будет иметь нетривиальное решение лишь в том случае, когда её определитель равен нулю. Это равносильно тому, что а является решением характеристического (векового) уравнения третьей степени
er。— /[О*? + 厶。一/з = 0.(8.9)
Здесь 厶，А,，з ——инварианты тензора напряжений Коши F:
厶=tr£, ，2 = tr£*, /3 = det£,(8.10)
где — алгебраическое дополнение Р.
В силу симметрии тензора Р все три корня:内，吵。3, уравнения (8.9), называемые главными напряжениями, действительны, а собственные направления, называемые главными направлениями, взаимно ортогональны. Выразим инварианты (8.10) через 内，о2 pl。3：
/1=01+02+03，/2 = 6 02 + 02 03 + 03 6，/3 =内0203・
(8.11)
Инварианты симметричных тензоров второго ранга уже встречались в лекции 4, где говорилось о том, что любая функция 尸(/1,，2,/з) также является инвариантом. Поэтому вместо А часто используют и другие квадратичные инварианты, например о, + 協 + 或 а вместо /3 — кубические инварианты, например о? + 城 + 對(см. (4.53)).
Итак, на трёх взаимно перпендикулярных главных площад
ках, каждая из которых ортогональна своему главному направ
лению, касательные напряжения равны нулю. Такая тройка пло
щадок существует в каждой точке среды и единственна, если а\ 丰 о?丰 о、丰。\、Если, например, 。1 =。2 ¥。3，то на любой
площадке, содержащей третью главную ось, касательное напряжение нулевое. Если же (71=02 =。3, то тензор напряжений в данной точке явлется шаровым и т(~) = 0 на любой площадке,
проходящей через эту точку.
В этом базисе зВ этом базисе зPij =,Q=1Pij =,Q=1(8.12)(8.12)Направим в некоторой точке О векторы ki ортонормирован- ного базиса вдоль главных осей.
В этом базисе з
В этом базисе з
Pij =,
Q=1
Pij =,
Q=1
(8.12)
(8.12)
и согласно (8.3) компоненты вектора «(N)имеют вид
5户)=内а.(8.13)
Построим бесконечно малый октаэдр с центром в точке О (рис. 30) такой, чтобы нормали к каждой из восьми его граней имели компонентами числа ±1/%/^・ Грани построенного октаэдра равнонаклонены к главным осям и называются октаэдрическими площадками. Вычислим на них нормальное。(。⑷ и касательное т(°кт) напряжения. Согласно (8.13) и определениям (8.5)
и (8.6) имеем §
О(окт) = £oqNFkt)2 = ；0] + 02 + %) = ^_ 三 /(8.14)
т(окт)= j；(d + 滤 + 馮)一3。1 +02 +03产=
= J J (内一02产+。2-03产+。3-bl)2 = * J/? - 3/2, (8-15) так как ^окт^ = ±1/\/^・ Величина а называется средним напряжением. Как видно из (8.14) и (8.15), нормальное и касательное напряжения на октаэдрических площадках выражаются через инварианты (8.11) и, следовательно, сами являются инвариантами. Их можно выбирать в качестве линейного и квадратичного инвариантов тензора напряжений.
Поставим теперь вопрос: на каких площадках в данной точке касательное напряжение достигает своего максимального значения? Очевидно, что на этих же площадках достигает максимума и квадрат касательного напряжения. Исследование удобно проводить в главных осях, поэтому с учётом (8.13) формулу (8.6) можно записать следующим образом:
Кроме того, компоненты единичного вектора нормали N\, N2, ^з связаны условием
М + № + №= 1.(8.17)
Составим функцию Лагранжа
〃N1,N2,N3)= (t(n))2 —МММ — 1)(8.18)
с неопределённым множителем А и, используя (8.16), запишем необходимые условия экстремума:
^^~ = 2o^Nq — 4<7qNq(<7iNF + 0?№ + ьз^)—
<“-2XNq = 0,(8.19)
* = 1 - NN = 0,
где a = 1,2, 3.
Система четырёх уравнений (8.19) удовлетворяется в нижеперечисленных случаях.
Na = ±1, N^ = Nq = 0. Три площадки с такими нормалями, как уже известно, являются главными. На них неотрицательная величина т(~), действительно, принимает своё экстремальное, а именно минимальное (нулевое), значение.
= 0,斗 * 0,* 0. Тогда система (8.19) сводится
к трём уравнениям:
- 2(^^ + ayN^ = А,
о?辰 一 2(^^ + сг7^)] = А,(8.20)
N…"1.
(8.21)(8.21)(8.22)(8.22)Предположим, что все главные напряжения различны, и расставим их в убывающем порядке:
(8.21)
(8.21)
(8.22)
(8.22)
内〉02〉03♦
В этом случае решение системы (8.20) следующее: 阴=3= 1/2, (0，т) = {(1;2), (2;3), (3;1)}.
Итак, необходимые требования условного экстремума, сформулированные в пункте (б), реализуются на шести различных
площадках, одна из компонент нормали к каждой из которых
равна нулю, а две другиеравна нулю, а две другиекомпоненты, как следует из (8.22), равны ±1/а/5. Геометрически это означает, что все эти площадки являются биссекторными к всевозможным двугранным углам, образованным главными площадками. На рис. 31 показаны две из шести таких площадок, они являются биссекторными к двугранным углам, которые образуют первая и вторая
равна нулю, а две другие
равна нулю, а две другие
р 3] главные площадки.
' Подсчитаем, пользуясь (8.16), значения (т(~))2 на каждой из шести найденных площадок. Заметим, что (т(~))2 зависит лишь от квадратов ком
понент нормали, поэтому эти шесть площадок разбиваются на три пары с нормалями {0, 1 /\/5, ±1/\/5}, {1 /\/5, 0, ±1/\/2}, {1/а/5, ±1/а/5, 0}. На ортогональных площадках из одной пары касательные напряжения совпадают. Углы же между двумя площадками из разных пар равны тг/З, так как косинусы углов между соответствующими нормалями равны ±1/2.
Подставим в (8.16) компоненты Ni = 0, № = N3 = 1/\/2 и получим: (丁(~))2 = (о? — ьз)2/4, или, в силу предположения (8.21): t(n)= (о? —。3)/2 三 丁23・ Аналогично найдём касательные напряжения на площадках из двух других пар:
6—02 。2一％ б—% n2 = —2一， '23 = —2一， е3 = —2一
Предоставляем читателю самостоятельно показать, что если все главные напряжения различны, то на указанных парах биссекторных площадок касательные напряжения действительно достигают своих локальных экстремальных, а именно максимальных, значений т^，丁23, Сз, определяемых (8.23). Они носят название максимальных касательных напряжений. В силу предположения (8.21) наибольшим среди них (глобальным максимумом величины t(n)) является величина
6 —。3 —丁13 =2= Tmax6 —。3 —丁13 =2= Tmax(8.24)(8.24)
6 —。3 —
丁13 =2= Tmax
6 —。3 —
丁13 =2= Tmax
(8.24)
(8.24)
Она равна сумме двух других максимальных касательных напряжений:
Пз = С2 + 丁23・(8.25)
Итак, напряжение т^2 в данной точке реализуется на площадках, делящих пополам прямые двугранные углы между первой и третьей координатными (главными) площадками. Заметим, что касательное напряжение на октаэдрических площадках 丁(。*丁) согласно (8.15) и (8.23) выражается через максимальные касательные напряжения следующим образом:
= |J/ + 嗡 + 唱・(8-26)
Для геометрической интерпретации пространственного напряжённого состояния в точке используют плоскую диаграмму, приведённую на рис. 32, а. По оси абсцисс отложены главные напряжения(71,(72, 6r3 pl на трёх образовавшихся отрезках, как на диаметрах, построены так называемые круги Мора. В силу (8.23) очевидно, что радиусами этих кругов будут величины е, 丁23, Сз (ординаты верхних точек кругов). Если два из трёх главных напряжений совпадают, то три круга Мора вырождаются в один (рис. 32,6), и геометрическая интерпретация по-прежнему будет справедлива. Если же все главные напряжения равны друг другу,
Рис. 32Рис. 32ai = а2 = сгз6ai = а2 = сгз6
Рис. 32
Рис. 32
ai = а2 = сгз
6
ai = а2 = сгз
6
т. е. тензор напряжений Коши в данной точке шаровой, то круги Мора вырождаются в одну точку на оси абсцисс (рис. 32,6).
Обратимся теперь к плоскости, определяемой первым и вторым главными направлениями тензора напряжений в некоторой точке, т. е. к третьей главной площадке. Оси (0%i) и (О%2)направим вдоль главных направлений. Выберем в данной плоскости некоторый единичный вектор N и ортогональный ему единичный вектор Т (рис. 33):
N = Njkj, Ni=cosq, ^2 = sina,(8.27)
Т = T[k[, Т] = — sin a, T? = cos a.(8.28)
Найдём нормальное и касательное напряжения на площадке с нормалью N. Так как оси (0%i) и (О%2)главные, то
= б cos2 a +。2 sin2 a = 内 + 6rl ? cos 2a. (8.29) Согласно (8.16) и (8.21)
= Jcr；N； + 嗚党—(CT]N； + 02^)2 =
= cos2 a + a2 sin2 a — (ai cos2 a + ^2 sin2 a)2 =
=|(ai — er?) sin a cos a| = ~^~^\ sin 2al. (8.30) Заметим, что в силу (8.13) и (8.30)
T(N) = QiNbi +(j2N2T2\ = \S^ • f|.(8.31)
Из выражения (8.30) для т(~)следует уже известный из этой лекции факт: максимальное касательное напряжение, равное (ai — <72)/2, или 丁12，реализуется на площадках, для которых sin 2a = ±1, или a = »/2 土》/4. Эти площадки являются бис- секторными по отношению к главным.
Пусть теперь ось (0%з) остаётся главным направлением тензора напряжений, а в плоскости (0力1力2) (на третьей главной площадке) возьмём систему координат, повёрнутую относительно главных осей на угол а①2 八
(рис. 33), так что_ )\
必к^ = Т. (8.32) 丁 \ 用
В новой (штрихованной) системе координатОzi
N =阴自，N； = 1, N，= 0, (8.33)
Г =項自，Т； = 0, g = 1, (8.34)Рис. 33
т. е. площадка с нормалью N, на которой действует вектор «(~), является координатной, а именно ортогональной оси (О%|).
Пользуясь формулой (8.4), отражающей физический смысл компонент тензора Р =旦冗 ¥ g, а также соотношениями (8.29)-(8.32), можно записать
凡=S「)= «(N)•再=«Г) . " = °(N)=
= *^ + %3os2a, (8.35)
凡=S「)= S^ -区=S^ - f =匆 J sin 2a.(8.36)
Из условия инвариантности
P；i + 旦2 = о 1 + °2(8.37)
и (8.35) получим выражение для 旦？：
鸟2 =吋cos 2a.(8.38)
Обратим теперь соотношения (8.35), (8.36) и (8.38), выразив величины а,内 и с^ через компоненты 弓丿：
] 2P
а =歹 arctg J^ ,(8.39)
内;2 = I(P(i + g2 土 J(Ri-与2产 + 4a^) .(8.40)
Таким образом, если в данной точке в некоторой системе координат известны компоненты Ри тензора напряжений Коши Р, то по формулам (8.39), (8.40) в этой точке можно вычислить главные напряжения и ориентацию главных площадок по отношению к координатным.
7 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
рически представляют собой и ординаты точек 罔 и М2.рически представляют собой и ординаты точек 罔 и М2.На рис. 34 изображён круг Мора, соответствующий главным напряжениям ai и сг^. Откладывая произвольный угол 2а, отметим точки 罔 и М, принадлежащие кругу. Тогда компоненты тензора Р в системе координат, повёрнутой относительно главных осей на угол а, геомет- указанные на рисунке абсциссы
рически представляют собой и ординаты точек 罔 и М2.
рически представляют собой и ординаты точек 罔 и М2.
В заключение лекции заметим, что в случае малых деформаций тензоры напряжений Коши Р, Пиолы тг и Кирхгофа К, связанные соотношениями (7.30), (7.32), совпадают. Действительно, в силу (4.20) и (5.10)
(8.41)(8.41)(8.42)(8.42)F = I + e + Q, Е「7 = Z —互+Q, а в силу (5.22)
(8.41)
(8.41)
(8.42)
(8.42)
7 = +仇
Поэтому для малых деформаций есть смысл говорить просто о тензоре напряжений а:
(8.43)(8.43)Р = тт = К = а.
(8.43)
(8.43)
ЛЕКЦИЯ 9
ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОСТЕЙ
Изученные в предыдущих лекциях основные постулаты уже позволяют рассмотреть некоторые простейшие модели механики сплошной среды. Напомним, что одно скалярное уравнение неразрывности (6.10)
^ + pdivv = 0(9.1)
и одно векторное уравнение движения (6.58)
представляют собой незамкнутую систему четырёх уравнений относительно десяти неизвестных функций координат и времени. Этими неизвестными являются: плотность р, три компоненты вектора скорости v и шесть независимых компонент симметричного тензора напряжений Коши Р (согласно (6.54) Рг = P^EjY Симметрия его обеспечивается равенствами (7.7), являющимися следствиями закона об изменении момента количества движения.
Очевидно, что для замыкания системы (9.1), (9.2) необходимо привлечь ещё шесть соотношений, определяющих конкретную среду. Они называются определяющими соотношениями и описывают модель сплошной среды.
Рассмотрим сначала модель идеальной жидкости [20, 23, 26, 35, 46]. Определим её как среду, в которой в любой точке на любой площадке с единичной нормалью N вектор напряжений «(N) ортогонален этой площадке, т. е.
S^ = ±5(n)|N.(9.3)
Коэффициент пропорциональности между векторами S^ и N в (9.3) называется давлением р{х, t):
S^ = pN.(9.4)
Давление образует скалярное поле в R3, так что длина вектора S^ в идеальной жидкости (равная \р\) зависит лишь от
точки пространства и не зависит от площадки, проведённой через эту точку.
Так как согласно (6.48)風~)=声то из (9.4) имеем
戸=-рЁ\(9.5)
Умножим (9.5) тензорно на Д и воспользуемся (6.55). Получим
Р = -рЕг0Ег = -р1,(9.6)
т. е. тензор напряжений Коши в каждой точке идеальной жидкости является шаровым и характеризуется одной скалярной функцией — давлением.
Из (9.5) также следует, что
▽/=一储(夕戸)=一柞戸=-gradp. (9.7)
Подставляя ▽広戶"из (9.7) в (9.2), получим уравнения Эйлера движения идеальной жидкости. В векторном виде они выглядят следующим образом:
0^ = — grad 夕+。戶，(9.8)
или, после деления на。# 0:
夕=--gradp + F.(9.9)
at p
Однако система четырёх уравнений (9.1), (9.9) по-прежнему остаётся незамкнутой. Действительно, неизвестными являются пять величин: плотность р, три компоненты вектора скорости v и давление р.
Если положить, что идеальная жидкость несжимаема и однородна, то плотность является постоянной р = pq и её можно исключить из числа неизвестных. Тогда число неизвестных величин (три компоненты вектора v и давление 夕)совпадает с числом уравнений, в число которых входят три уравнения движения Эйлера (9.9) и условие несжимаемости (6.14)
div Я = 0.(9.10)
Если идеальная несжимаемая среда неоднородна, то плотность р(х, t) становится пятой неизвестной функцией. Система четырёх уравнений (9.9), (9.10) замыкается пятым уравнением (6.13), которое можно записать в виде
2 + 不・ grad0 = 0.(9.11)
Идеальная жидкость называется баротропной, если давление является известной функцией от плотности или наоборот:
夕=夕(。) или р = р{р).(9.12)
Функция (9.12) представляет собой определяющее соотношение идеальной жидкости, замыкающее систему (9.1), (9.9). При 0(夕)=о。мы имеем дело с несжимаемой средой.
Для баротропной жидкости удобно ввести функцию давления 0(近方)такую, что 1)
d0=?.(9.13)
Из определения (9.13) следует, что
gradP = - gradp.(9.14)
Интегрируя (9.13) при заданном определяющем соотношении (9.12), функцию давления можно записать в одном из двух видов:
либо
р“(9.16)
J Рdp
Пусть массовые силы 尸(疗，方)обладают скалярным потенциалом U(近坎
F = - grad U.(9.17)
Тогда, подставляя (9.14) и (9.17) в уравнения движения (9.9), получим
凉 + grad (0 +U) = 0.(9.18)
Возникает вопрос: можно ли ускорение w = dv/dt, входящее в (9.18), как и остальные слагаемые, представить в виде градиента некоторой скалярной функции? Покажем, что вектор ускорения w(r, t) представим в форме Громеки-Лэмба\
1
w = — + - grad I回2 + 2行 x 不，(9.19)
где 行—вектор вихря, определяемый в (2.29).
Не путать функцию давления V с давлением р!
Будем считать, что в актуальной конфигурации задана прямоугольная декартова система координат с единичными ортами ki так, что V = Viki,行=s启.Преобразуем fc-ю компоненту вектора, являющегося суммой двух последних слагаемых в (9.19):
；grad 回2 + 2仃 х ' • 4 = ；(33)庆 + ^eijkUiVj =
=^i^i,k + ^ijk ^mni ^n,m^j = ^i^i,k + {^jm^kn — ^jn^km)^n,m^j =
=33,k + ^k,m^m — Ьпк^п = ^k,m^mi (9.20) и заметим, что она совпадает с k-Й компонентой конвективной производной по времени вектора скорости. Сумма частной и конвективной производных согласно (1.23) есть полная производная по времени от скорости, или ускорение w.
Воспользуемся доказанным результатом и подставим ускорение в форме Громеки-Лэмба в (9.18). Получим
Ц+grad (亨+ 0 +и) =2^x0. (9.21)
Рассмотрим два частных случая интегрируемости уравнения (9.21).
Пусть движение идеальной баротропной жидкости установившееся, т. е. выполняется условие (2.11). Спроектируем в каждой точке среды векторное уравнение (9.21) на линию тока (или на траекторию, совпадающую в силу стационарности с линией тока), которая проходит через эту точку. Так как по определению линии тока вектор v направлен в каждой точке и в каждый момент времени по касательной к этой линии, проекция правой части (9.21) равна нулю. В результате будем иметь
grad (，+ ° + U)= 0, (9.22) или
L^ + p + U = С, (9.23) где С — постоянная величина вдоль каждой линии тока. Она не является константой для всей области течения.
Первый интеграл (9.23) уравнений движения (9.21) называется интегралом Бернулли. Он справедлив не только для линии тока, но и для каждой вихревой линии, т. е. линии, касательная к которой параллельна вектору ш. В этом случае С постоянна вдоль каждой вихревой линии.
(9.21) и предпо- жидкости потен-(9.21) и предпо- жидкости потен-(9.24)(9.24)Возвратимся к уравнениям движения ложим, что течение идеальной баротропной циально:
(9.21) и предпо- жидкости потен-
(9.21) и предпо- жидкости потен-
(9.24)
(9.24)
V = grad 夕.
Тогда 2cj = rot grad 夕=0. Подставим (9.24) в (9.21) и получим
(9.25)(9.25)grad (午 + J g^d ^ + V + U^ = 0,
(9.25)
(9.25)
или
寺+ ；|grad 夕『 + 0 +。= 〃".(9.26)
Первый интеграл (9.26) уравнений движения (9.21) называется интегралом Коши-Лагранжа. Функция /(" определена во всей области течения V.
Для нахождения константы С в интеграле Бернулли (9.23) и функции /⑴ в интеграле Коши-Лагранжа (9.26) необходимо использовать начальные и граничные условия. Начальные условия задаются в момент времени t = 0 во всех точках V:
t = 0 : 不=不°(疗).t = 0 : 不=不°(疗).(9.27)(9.27)
t = 0 : 不=不°(疗).
t = 0 : 不=不°(疗).
(9.27)
(9.27)
Граничные условия задаются в любой момент времени, но лишь на границе X =立 U £$ области V. В случае идеальной жидкости возможно задание либо нормальной скорости о(~)= Я • 7V：
o（n）=00（近方）,o（n）=00（近方）,(9.28)(9.28)
o（n）=00（近方）,
o（n）=00（近方）,
(9.28)
(9.28)
либо давления 夕:
不G Xs :夕=夕0（近方）.（9.29）
Граничные условия (9.28) называются кинематическими, а условия (9.29) — статическими. В (9.28), естественно, предполагается, что в точке х 6 Х^ существует единичная нормаль N. В особых же точках, таких как рёбра, угловые точки, точки возврата, граничные условия имеют другой вид, на котором сейчас останавливаться не будем.
Приведём далее примеры задач механики идеальной жидкости, допускающих решение на основе первых интегралов уравнений движения, в частности интеграла Бернулли. Во всех задачах будем полагать, что жидкость однородна и несжимаема, поэтому, как следует из (9.15), 0 = p/pQ.
Тяжёлая жидкость вытекает из открытого резервуара, показанного на рис. 35, через малое отверстие в боковой стенке. Найти скорость истечения в тот момент, когда расстояние от этого отверстия до верхней границы жидкости равно h.
и = gz.и = gz.Направим ось 力з = 2 вверх и выберем начало координат на уровне отверстия, как указано на рис. 35. Единственной массовой силой является сила тяжести F = —g爲，обладающая потенциалом
и = gz.
и = gz.
(9.30)
Выберем линию тока 7, начинающуюся в точке А на верхней поверхности жидкости и выходящую через отверстие в точке В. Будем
полагать, что резервуар достаточно
Р“с・ 35 большой и скорости точек верхней поверхности равны нулю (действительно, они много меньше искомой скорости истечения), поэтому движение за небольшой промежуток времени можно считать установившимся. Следовательно, вдоль линии 7 справедлив интеграл Бернулли (9.23). Запишем его для двух точек, А и В, принадлежащих 7:
亍+ " +"厶=亍+ ^+"8・(9.31)
Так как 2厶=h, zB = 0, \v\A = 0, из (9.31) получим
(9.32)(9.32)
(9.32)
(9.32)
Выражение (9.32) и является ответом в данной задаче. Если внешние давления в точках Ап В одинаковы и равны, например, атмосферному, то
|^|в = (9.33)
Любопытно, что формула (9.33) в точности совпадает с известной из классической механики формулой Торричелли для скорости материальной точки, брошенной с высоты h из состояния покоя.
Можно поставить и иную задачу: каким должно быть минимальное давление рв вокруг резервуара, для того чтобы тяжёлая жидкость не вытекала из него? Для ответа надо вое-
пользоваться решением (9.32) и положить в нём \v\B = 0. Тогда Рв = Ра +。0，儿(9・34)
Распределение давления (9.34) характерно для гидростатики идеальной несжимаемой жидкости в поле силы тяжести.
Определить скорость на свободной поверхности идеальной жидкости справа от вертикальной стенки (рис. 36).
Направим, как и в предыдущей задаче, ось 力3 = 2 вверх, а начало координат выберем в точке О. Пусть глубина водоёма
до стенки мало отличается от гА, а после стенки равна zB = =zA — h. Течение реки будем считать установившимся, а в качестве линии тока выберем линию 7，принадлежащую свободной поверхности как до стенки, так и после неё. Потенциал массовой силы (силы тяжести) име
ет вид (9.30). Записывая для двух точек А п В, принадлежащих 7, интеграл Бернулли согласно (9.31) и учитывая, что рА =
=Рв = Ратм, получим
% = J吟 + 2g瓦(9.35)
Если на свободной поверхности водоёма достаточно далеко от стенки жидкость покоилась (% ^ 0), то из (9.35) вновь получим формулу (9.33), аналогичную формуле Торричелли. Выражение для скорости (9.35) используется при расчёте и проектировании
водосливов, плотин, запруд и других гидроинженерных сооружений.
Интеграл Бернулли (9.23) также находит применение в задачах, связанных с измерением скорости потока жидкости. Простейшим измерительным прибором такого рода служит трубка Пито-Прандтля (рис. 37), представляющая собой узкое цилиндрическое тело с отверстиями, через которые по нескольким
°оо。D0°оо。D0ААРис. 37Рис. 37
°оо
。D0
°оо
。D0
А
А
Рис. 37
Рис. 37
каналам (коленам трубки) может течь жидкость. Трубка устанавливается вдоль стационарного горизонтального потока идеальной жидкости. Одно колено трубки выходит в её переднюю (лобовую) часть навстречу набегающему потоку. Конец А этого колена называется точкой торможения, в ней скорость потока тормозится до нуля, а давление равно давлению торможения, или заторможенному давлению 夕*. Другое колено выходит из трубки в точке В, расположенной достаточно далеко от А, так что vB и рв мало отличаются от скорости 00c и давления р^ набегающего потока.
Выберем линию тока, проходящую через точки А п В, и запишем для неё интеграл Бернулли в виде (9.31). Так как 2厶 ~ zb^ будем иметь
Перепад давлений Ар пропорционален разности высот △九 уровней жидкости в двух коленах трубки Пито-Прандтля. Коэффи- цииент этой пропорциональности равен 〃д, где 〃 = “欢)—плотность жидкости, находящейся в трубке (она может отличаться от жидкости в потоке). Поэтому
Ооо =，2ag△九. (9.37)
Рассмотрим теперь другую модель, а именно пористую среду [11]. В такой среде присутствуют две составляющие: недефор- мируемый каркас и поры, заполненные идеальной жидкостью, причём жидкость может фильтроваться сквозь стенки каркаса. В связи с этим модель пористой среды называется также фильтрационной моделью. Полагается, что в некотором бесконечно малом объёме dV, окружающем точку х тела в момент t, объём пор равен d%, так что известная величина
0 < х(х, t) < 1, (9.38)
зависит от координат и времени. В предельных случаях х = =0 и х = 1 имеем, очевидно, сплошной каркас без пор либо идеальную жидкость.
Общая масса m жидкости (6.1),
т = pdVi = ир dV,т = pdVi = ир dV,(9.39)(9.39)
т = pdVi = ир dV,
т = pdVi = ир dV,
(9.39)
(9.39)
не меняется со временем, поэтому из закона сохранения массы (6.8) и леммы о дифференцировании по времени интеграла по жидкому объёму (6.4) следует, что
0(丁)+ div (〃0行)=0.(9.40)
Назовём величину
и =(9.41)
скоростью фильтрации в отличие от физической скорости v. Тогда соотношение (9.40) можно переписать следующим образом:
+ div (И = 0.(9.42)
Скорость фильтрации пропорциональна силе трения 冗 жидкости о стенки каркаса (закон Дарси):
Ти
Ер =-灭，(9.43)
где К — коэффициент проникания.
Аналогично уравнениям движения Эйлера (9.9) запишем векторные уравнения, описывающие фильтрацию. В них уже фигурирует не физическая скорость, а скорость фильтрации:
号=—1 gradp + F + 月гр.(9.44)
at p
Так как фильтрация осуществляется очень медленно, инерционной левой частью в (9.44) обычно пренебрегают. Тогда с учётом (9.43) соотношение (9.44) приобретает вид
и носит название обобщённого закона Дарси.
Подставим теперь обобщённый закон Дарси в (9.42) и получим
。(丁)+ div [К{pF — gradp)] = 0.(9.46)
Если жидкость, движущаяся в порах, баротропна, то уравнение (9.46) (с учётом (9.12)) полностью описывает фильтрационную модель.
Пусть теперь тензор напряжений Коши (6.55) в жидкости не является шаровым, как в (9.6), а имеет вид
£ = —〃 + £,(9.47)
дг = тгзЁг 0 闻=川反 0 Ё3(9.48)
есть тензор вязких напряжений, представляющий собой линейную изотропную тензорную функцию от скоростей деформации В (4.62):
丁盯=》i(tr В) Gij + 2从1。叮，(9.49)
trD = div 也 v = VzE\ (9.50)
Соотношения (9.49) являются определяющими соотношениями среды, называемой ньютоновской вязкой жидкостью или просто вязкой жидкостью [7, 20, 23, 26, 53]. Коэффициенты Ai и 从1, являющиеся материальными константами определяющих соотношений (9.49), характеризуют жидкость и называются соответственно объёмной и сдвиговой вязкостью. Подставляя (9.48) и (9.49) в (9.47), выпишем компоненты тензора Р:
Pij =(—夕 + Aitr D) G^ + 2从1。叮.(9.51)
Для вывода уравнений движения такой среды подставим в общие уравнения (9.2) векторы напряжения Рг = P^Ej, вычисленные на основании (9.51). Получим уравнения движения сжимаемой вязкой жидкости:
0^ = — gradp + (Ai + 从i) grad div v + 从i△不 + pF. (9.52)
Если же среда несжимаема, т. е. div Я = 0, то из (9.52) следуют уравнения движения Навъе-Стокса вязкой несжимаемой жидкости:
= - gradp + //1АЯ + pF,(9.53)
или"不 I
—=——gradp + 〃△不 + F.(9.54)
必 p
В случае несжимаемости нет смысла говорить об объёмной вязкости, поэтому 从 1 называют просто коэффициентом вязкости или динамической вязкостью, тогда как “ =卩寸р носит название кинематической вязкости. Смысл этих названий станет ясным из лекции, посвящённой размерностям физических величин.
Итак, замкнутая система уравнений вязкой несжимаемой жидкости представляет собой векторное уравнение (9.53) или (9.54) и условие несжимаемости (9.10). При этом разыскиваются четыре величины: компоненты вектора скорости v и давление р.
Если в отличие от (9.49) тензор-функция, связывающая г и D, нелинейна, то жидкость называется нелинейно-вязкой или неньютоновской [8].
Обратимся теперь к начальным и граничным условиям, необходимым для постановки начально-краевой задачи движения вязкой несжимаемой жидкости. Поскольку уравнения Навье- Стокса (9.54), как и уравнения Эйлера (9.9), имеют первый порядок по времени, начальные условия (9.27) остаются в силе. По координатам уравнения (9.54) имеют второй порядок (оператор Лапласа), поэтому граничных условий (9.28), (9.29) уже недостаточно.
Кинематические условия на границе Х。 вязкой жидкости имеют следующий вид:
疗 G 匕：V = vq{x, t).(9.55)
Чаще всего по границе Х。 вязкая жидкость соприкасается с твёрдым телом (“стенкой”)， движущимся со скоростью 诟(疗,方)， поэтому условия (9.55) называют также условиями прилипания. Статические граничные условия записываются следующим образом:
疗 е Xs： «(N)= s^x, t).(9.56)
Если вектор 尻(疗，方)нулевой, то £$ называется свободной поверхностью. Если Х。= X, то говорят о первой краевой задаче, если £$ = X, то о второй краевой задаче, если же Х。* 0 и Xs 7^ 0 — то о смешанной краевой задаче.
ЛЕКЦИЯ 10
ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ
Продолжим начатое в прошлой лекции изучение моделей сплошных сред и перейдём от жидкостей к твёрдым деформируемым телам. В механике сплошной среды часто твёрдые тела отличают от жидкости не по агрегатному состоянию вещества. Обычно, если используется лагранжев подход и кинематика деформирования описывается вектором перемещения и тензором деформаций, то говорят о твёрдом теле [47]. Если же используется эйлеров подход и кинематика характеризуется вектором скорости и тензором скоростей деформаций, то речь идёт о жидкости или газе. При этом, как правило, несжимаемая среда называется жидкостью, а сжимаемая — газом.
Будем изучать малые деформации и введём прямоугольную декартову систему координат. Частную производную по координате будем обозначать запятой в индексе. Тогда уравнения движения (6.58) в компонентах записываются следующим образом: 0牛=0% +0月，(1°，1)
или, с учётом (1.18),
Р А/ = "“ J + pFi・(10.2)
Три уравнения движения (10.2) и шесть соотношений Коши (5.5) содержат пятнадцать неизвестных величин: по шесть компонент симметричных тензоров напряжений сг〃・ (8.43) и малых деформаций &叮(5.4), а также и три компоненты вектора перемещений %. Напомним, что плотность р не входит в число неизвестных, а определяется из уравнения неразрывности (6.17) в лагранжевых координатах после нахождения деформаций и дилатации J. Система (10.2), (5.5) незамкнута, и для её замыкания сплошную среду необходимо конкретизировать, т. е. задать определяющие соотношения среды. В предыдущей лекции уже встречались подобные соотношения для идеальной баротропной жидкости (9.12) и для ньютоновской вязкой жидкости (9.49).
Рассмотрим линейное упругое тело [1, 22, 28, 33, 43, 54, 57, 58], т. е. среду, в которой тензоры а и € связаны линейной, вообще говоря, анизотропной тензор-функцией. Общий вид такой функции следующий:
= С盯kl&kl, НЛП О = Q :互•(10.3)
Шесть независимых соотношений (10.3) носят название закона Гука для анизотропного упругого тела [25], а тензор четвёртого ранга С = Cijkiki 0 kj 0 k^ 0 ki называется тензором модулей упругости. В силу симметрии <т叮=aji он, очевидно, симметричен по первым двум индексам, а в силу симметрии &叮=汕— по последним двум.
Пусть тензор-функция (10.3) является потенциальной, т. е. существует скалярный потенциал деформаций 次(互)，
W^ = ^Cij^iE^iEij,(10.4)
такой что
Подставим выражение (10.4) в (10.5. Тогда имеемПодставим выражение (10.4) в (10.5. Тогда имеем
Подставим выражение (10.4) в (10.5. Тогда имеем
Подставим выражение (10.4) в (10.5. Тогда имеем
4 Cijkl (^^klmn^ij + ^^ijmn^kl)=歹 Cijmn8ij + ~ Cmnkl&kl,
где А = ^ijkiki 0 kj 0 kk 0 ki — единичный тензор четвёртого ранга с компонентами
△ijkl = 2 (厶k%/ + ^iZ^jk)-(10.6)
Легко проверить, что
2A肉daki daki2A肉daki daki(Ю.7)(Ю.7)
2A肉
daki daki
2A肉
daki daki
(Ю.7)
(Ю.7)
для любого тензора второго ранга а. Из определения (10.6) кроме того следует, что для любого симметричного по первым и последним двум индексам тензора четвёртого ранга А справедливы
соотношения
^■ijkl^klmn = ^ijkl^-klmn = ^-ijmn ИЛИ A '. ^ = ^ '. A = A, (10.8) т. e. тензор А в самом деле является единичным.
Из (10.4) следует, что тензор модулей упругости перестановочен ещё и по парам индексов. Эта перестановочность эквивалентна равенству смешанных производных от W по &叮 и &規：
(10.9)(10.10)(10.9)(10.10)daij d2W d2Wda^i
(10.9)
(10.10)
(10.9)
(10.10)
dekl dskidsij dsijdski 庆叮
Cijkl = Cjikl = Ctjik = Cklij.
Подсчитаем, сколько независимых компонент в R3 имеет тензор модулей упругости, обладающий симметрией (10.10). В общем случае в R3 тензор четвёртого ранга имеет З4 = 81 независимую компоненту. Поэтому для наглядности на плоскости набор этих компонент можно формально представить в виде матрицы 9x9:
/Снн °2211 Сззн &211 °2311 Jill ^2111 С3211/Снн °2211 Сззн &211 °2311 Jill ^2111 С3211333333333 123231123333333333222222222 123231123222222222-- -- -- -- -- -- -- -- -_1 2 3 2 3 1 1 2 3 333333333333333333123231123 22222222222222222212 3 2 3 112 3333333333 123231123333333333222222222 123231123222222222-- -- -- -- -- -- -- -- -_1 2 3 2 3 1 1 2 3 333333333333333333123231123 22222222222222222212 3 2 3 112 3222222222123231123222222222123231123333333333- - - - - - - - - - - - - - - - - _1 2 3 2 3 1 1 2 3 222222222 3333333331 2 3 2 3 1 1 2 3333333333- - - - - - - - - - - - - - - - - _1 2 3 2 3 1 1 2 3 222222222 3333333331 2 3 2 3 1 1 2 3
/Снн °2211 Сззн &211 °2311 Jill ^2111 С3211
/Снн °2211 Сззн &211 °2311 Jill ^2111 С3211
333333333 123231123
333333333
222222222 123231123
222222222
-- -- -- -- -- -- -- -- -_
1 2 3 2 3 1 1 2 3 333333333
333333333
123231123 222222222
222222222
12 3 2 3 112 3
333333333 123231123
333333333
222222222 123231123
222222222
-- -- -- -- -- -- -- -- -_
1 2 3 2 3 1 1 2 3 333333333
333333333
123231123 222222222
222222222
12 3 2 3 112 3
222222222
123231123
222222222
123231123
333333333- - - - - - - - - - - - - - - - - _
1 2 3 2 3 1 1 2 3 222222222 333333333
1 2 3 2 3 1 1 2 3
333333333- - - - - - - - - - - - - - - - - _
1 2 3 2 3 1 1 2 3 222222222 333333333
1 2 3 2 3 1 1 2 3
В силу того что Cijki = Cjiki, последние три строки матрицы совпадают соответственно с её четвёртой, пятой и шестой строками, а в силу того что C^ki = Cijik, последние три столбца матрицы совпадают с её четвёртым, пятым и шестым столбцами. Следовательно, независимыми будут элементы, составляющие лишь верхний левый минор 6x6. Наконец, условие C^ki = Cj^uj означает, что этот минор симметричен относительно главной диагонали. Симметричная же матрица шестого порядка имеет 6 • (6 + 1)/2 = 21 независимую компоненту.
Рассуждая аналогично, нетрудно установить, что в R2 тензор модулей упругости С имеет шесть независимых компонент.
Обратный закон Гука, т. е. тензор-функция, обратная к (10.3), записывается в виде
= Jijkl^kl, нлп 互=J ： О,(10.12)
где J = Jijkiki 0 kj 0 kk 0 ki — тензор упругих податливостей. Тензоры четвёртого ранга С и J взаимообратны, т. е.
CijklJklmn = JijklCklmn = △叮ПЛП С J = ^ '. С = А.
(10.13)
Аналогично (10.4) введём скалярный потенциал напряжений Мо)：
= 2 Jijkl^kl^ij,(10.14)
такой что
ё……"15)
Тогда типы симметрии тензоров J и С совпадают:
Jijkl = Jjikl = Jijlk = Jklij •(10.16)
Отметим, что объекты С и J являются материальными функциями (в данном случае материальными тензор-константами) определяющих соотношений (10.3), (10.12).
Если упругая среда изотропна, то компоненты C^kl представимы в виде линейной комбинации всевозможных свёрток символов Кронекера [36]:
Cijkl = ^^ij^kl 从岳衣％/ + 从 ^U^jk'(10.17)
С учётом симметрии (10.10) необходимо в (10.17) положить 从= =/У, так что компоненты тензора модулей упругости для изотропной среды имеют вид
Cjjkl = ^^ij^kl从(b泳％/ + Gil^jk)=入^ij^kl + 2从△広汴(10.18)
Подставим выражения (10.18) в (10.3) и получим закон Гука для изотропного материала'.
= XO^ij + 2〃е叮，(10.19)
где J — дилатация (5.23). Коэффициенты X п 从，называемые постоянными Ламе, представляют собой независимые материальные константы определяющих соотношений (10.19) изотропного упругого тела.
8 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
Разобьём тензоры деформаций и напряжений на шаровые части и девиаторы (см. (5.25)):
= —О b 叮 + е 叮, 。盯=о ^ij + 6叮，
J I(10.20)
夕=&kk, b =可飞卜,^kk = °, 6/ck = °・
Умножая обе части (10.19) на b叮，получим связь шаровых частей:
а =а =е = ке,е = ке,(10.21)(10.21)
а =
а =
е = ке,
е = ке,
(10.21)
(10.21)
где постоянная К — модуль объёмного растяжения-сжатия. Умножая далее обе части равенства (10.21) на b叮 и вычитая из (10.19), получим связь девиаторов s и е:
Sij = 2〃е〃・.(10.22)
Постоянную Ламе 从 называют также модулем сдвига.
Подставляя в (10.20) выражения 0 из (10.21) и е叮 из (10.22), получим
叼防(一获先吟+ 0) (1°・23) Введём вместо X n 从 так называемые технические постоянные'. Е — модуль Юнга п ^ — коэффициент Пуассона, из соотношений
А=-——然一―,从(10.24)
(l + z/)(l-2 少 У 2(1+ Z7)' 丿
В конце этой лекции будет выявлен механический смысл упругих постоянных Е ь “. Пока же отметим, что для встречающихся в природе изотропных упругих сред коэффициент Пуассона меняется в интервале от 0 до 1/2.
Подставим (10.24) в (10.23) и после преобразований придём к обратному закону Гука для изотропного материала'.
』［-3i^a6ij + (1 + ^)сг叮］•(10.25)
Заметим, что из пяти уже введённых упругих постоянных — А, № К, Е, ^ — в качестве независимых можно выбрать любые две. Выражения для трёх остальных следуют из формул (10.21) и (10.24).
Найдём вид скалярных потенциалов 次(互)(10.4) и w(a) (10.14) для изотропной среды. Пользуясь соотношениями (10.19)
и (10.25), запишем
VK = ^(^^^v + 2 从e叮)ё叮=歹入庐 + 从 £〃•£"•=
=；KJ2 + /dCijCij, (10.26)
^ =玩 о叮—3гусгь叮 + (1 + ^)0叮]=-玩扰 +
OijOij = 赤 b 名^6叮6叮♦ (10.27)
Из (10.26) следует, что условия положительной определённости квадратичной формы 次(互)следующие:
К〉0,从〉0,(10.28)
а из (10.27) видно, что квадратичная форма w(a) положительно определена в каждом из двух следующих случаев:
Е > 0, —1<Y；.(10.29)
либо/、
Е < 0, G (-ос; -1) U ( д； +ос) .(10.30)
С учётом ранее сделанного замечания о значениях коэффициента Пуассона для реальных материалов (0 < z/ < 1/2) можно утверждать, что из систем (10.29), (10.30) физически реализуется только первая.
Так как /z = В/[2(1 + z/)], К = В/[3(1 — 2z/)], то условия (10.28) совпадают с объединением условий (10.29), (10.30). Это естественно, поскольку, как следует из (10.3), (10.4) и (10.12), (10.14), VKQ) = w(a) для любого напряжённо- деформированного состояния в упругом теле.
Итак, шесть определяющих соотношений линейного упругого материала — (10.3) либо (10.12), а в случае изотропии — (10.19) либо (10.25), замыкают систему (10.2), (5.5) пятнадцати уравнений в области V.
О начальных и граничных условиях уже говорилось в предыдущей лекции. В отличие от (9.27), теперь надо задавать и перемещения, и скорости частиц в начальный момент времени: t = 0: и = и^{х\ 而=評⑺.(10.31)
Это вызвано тем, что уравнения (10.2) имеют второй порядок по времени. Граничные же условия на кинематической Х〃 и
статической £$ частях поверхности X = dV записываются по аналогии с (9.55), (9.56):
疗 G： и = uq{x, t).(10.32)
疗 е Xs ：S^ =尻出/).(10.33)
В компонентах векторное условие (10.33) имеет вид
х е Xs : OijNj = 5ог(^(10.34)
Как и ранее, если Х〃 = X, то задача называется первой краевой, если £$ = X, то второй краевой, если Х。* 0 и Xs ^ 0 — то смешанной.
Подставим соотношения Коши (5.5) в (10.19):
^ij = X"k,kb叮 + 乩(Ui,j ~\~ ^j,i\(10.35)
а затем (10.35) — в уравнения движения (10.2). В результате получим уравнения Ламе движения изотропного упругого тела [5]:
Р ^1 = (X + 向Uj,ji + 从+ pFi (10.36) Их можно написать и в векторной форме
р = (》+ 〃)g^d div и + //АгГ + pF.(10.37)
Для записи статических граничных условий (10.34) в терминах перемещений подставим в них выражения (10.35):
хXukjkNi + 从(/ + Uj,iN)=t).(10.38)
Таким образом, начально-краевая задача теории упругости в перемещениях состоит в решении трёх уравнений Ламе (10.36) при выполнении начальных условий (10.31) и граничных условий (10.32), (10.38).
Если изучается не движение, а состояние покоя тела в поле внешних сил, т. е. (du/dt)(x, t) = 0, то вместо уравнений движения записываются уравнения равновесия
0% + pFi = 0,(10.39)
а вместо динамических уравнений Ламе (10.36) — статические уравнения
(10.40)(10.40)(/X + 向乜),ji + 从△% + pFi = 0.
(10.40)
(10.40)
Начальных условий (10.31) уже задавать не требуется. Соответствующие краевые задачи (10.39), (5.5), (10.19), (10.32), (10.34) и (10.40), (10.32), (10.38) называются статическими задачами теории упругости.
Если массовые и поверхностные силы зависят от времени столь незначительно, что силами инерции (правыми частями уравнений (10.2) и (10.36)) можно пренебречь, то говорят о квазистатике и квазистатических задачах теории упругости.
Обратимся теперь к интегральному равенству (7.20), выражающему теорему живых сил, или теорему об энергии в МСС. Для изотропной упругой среды изменение работы внутренних сил (7.19) имеет вид
小「dW
b/(2)= - 0 产叮 dV = - —€v- dV =
=- dWdV = -d WdV = -d^ (10.41)
и является полным дифференциалом. Назовём величину
/(" = —夕=一 WdV(10.42)
работой внутренних сил, а интегральный оператор 夕—потенциальной энергией деформаций. Для изотропного тела
8發 + 〃白沁)dV.(10.43)
Пусть массовые и поверхностные силы не зависят от перемещений. Тогда изменение работы внешних сил (7.21) также есть полный дифференциал и согласно (7.17), (7.18)
/(е) = pF • udv + S^ • ud^. (10.44)
Таким образом, каждое слагаемое в (7.20) является полным дифференциалом, поэтому можно записать первый интеграл теоремы об энергии:/、
—/(е) =£.(10.45)
Интегральный оператор £ называется полной энергией упругого тела или лагранжианом. Он представляет собой константу
интегрирования соотношения (7.20) и, следовательно, является постоянной по времени величиной.
Пользуясь этим фактом, можно доказать теорему единственности решения динамической задачи теории упругости. Действительно, предположим, что существует два решения 淳‘ и ип динамической задачи в перемещениях. Для разности этих решений и = ип —淳‘ имеем однородную задачу, а именно: однородные уравнения Ламе (F = 0)
Р 3 j = (' +(10.46)
однородные граничные условия (од = 0,尻=0)
疗 G ： и = 0,
\ m丄лЛ _ n (1°•47) 力 6•入Пк,к№ + 从()—。
и однородные начальные условия (淳° = 0,不° = 0)
力=о：汇=0, — = 0.(10.48)
Для рассматриваемой системы /(«)= 0 и из (10.45) и постоянства лагранжиана следует, что
(⑴ + 夕⑴=((0) + 夕(0).(10.49)
Но кинетическая энергия /С (7.16), зависящая лишь от скоростей, в силу (10.48) равна нулю при t = 0, а при t > 0 неотрицательна. Потенциальная энергия 夕(10.43), зависящая от деформаций, также в силу (10.48) равна нулю при t = 0, а при t > 0 неотрицательна. Правая часть в (10.49) равна нулю, а следовательно, и левая часть этого равенства в любой момент t равна нулю, т. е. /С("=夕(方)=0. Если упругие постоянные таковы, что квадратичная форма VK(2)положительно определена, то все скорости и деформации в теле равны нулю, или
диг дип /〃диг дип /〃(10.50)(10.50)
диг дип /〃
диг дип /〃
(10.50)
(10.50)
В случае второй краевой задачи равенства (10.50) и заключают в себе теорему единственности. В случае первой либо смешанной краевой задачи из (10.50) дополнительно следует, что uf = ип.
Рассмотрим одну из простейших краевых задач статической теории упругости: растяжение- сжатие стержня (рис. 38). Пусть к торцам однородного стержня
с постоянным по длине круго
вым сечением площади X приложена продольная сила X = Хк\ на X⑴ и —X = —Xki на X⑵.Внешние нормали N^ и к обоим торцам и нормаль "(6°*) к свободной боковой поверхности имеют компоненты 此⑴=—М⑵=仇i, ^бок^ = 0, поэтому граничные условия (10.34) записываются следующим образом:
疗⑴，不⑵：01 =营厶1,
X(10.51)
疗6Х（бок）：0川+小3…
Поскольку на всей поверхности стержня задаётся вектор напряжений, данная задача является второй краевой задачей.
Решением уравнений равновесия (10.39) при отсутствии массовых сил, удовлетворяющим граничным условиям (10.51), будет, очевидно, поле напряжений
X
СТ” = — = (Jq, 0*22 = ^33 = ^12 =。23 = ^31 = °・(10.52)
/1/1°о戸 &22 = &33°о戸 &22 = &33Этому полю напряжений согласно обратному закону Гука (10.25) соответствует поле деформаций
/1
/1
°о
戸 &22 = &33
°о
戸 &22 = &33
万/2 = &23 = &31 = °・ (10.53)
Из (10.53) выведем механический смысл технических постоянных Е к ”. Модуль Юнга Е есть коэффициент пропорциональности между растягивающим (сжимающим) напряжением ст。
и продольной деформацией е” при одномерном растяжении- сжатии стержня. Коэффициент Пуассона и, взятый со знаком “мпнус”，есть коэффициент пропорциональности между поперечной &22 н продольной €ц деформациями при одномерном растяжении-сжатии стержня. Если сила X растягивающая (X > 0), то из физических соображений ясно, что стержень удлиняется, т. е. е” > 0, а если сжимающая (X < 0), то стержень укорачивается, т. е. е” < 0. Таким образом, модуль Юнга —величина положительная, неравенства (10.30) для реальных
упругих материалов невыполнимы и условиями положительной определённости W{e) и w(a) будут неравенства (10.29).
Задача теории упругости может быть сформулирована не только в перемещениях, но и в напряжениях. Это бывает более удобно, если на границе тела заданы нагрузки.
Рассмотрим, как и ранее, область V, занимаемую линейно упругим телом, с замкнутой границей X. Трёх уравнений равновесия в V относительно шести компонент тензора напряжений а недостаточно для замыкания системы. Попытаемся её замкнуть. Для этого воспользуемся уравнениями совместности в виде (5.51).
Подставим в уравнения (5.50) выражения обратного закона Гука (10.25) для изотропной среды и после некоторых преобразований придём к шести уравнениям совместности уже в компонентах тензора напряжений:
(1 + ^/\(Jij + 3。值=3i^Aa6ij + (1 + ^Sikkj +。汴聞)• (10・54) Из уравнений равновесия следует, что о泳,韌・=—pF^； (Jjk,ki = =—pFj^. Таким образом, правую часть (10.54) можно выразить через F:
△。叮 + [+〃 JU = — ]) 〃div户Ь〃・—/9(兄j + Fj^. (10.55)
Получены недостающие для замыкания системы уравнения в области. Они носят название уравнения Белътрами- Мичелла 9 .
Классическая постановка квазистатической задачи теории упругости в напряжениях [3, 61] состоит в решении трёх уравнений равновесия и шести уравнений Бельтрами-Мичелла (10.55) в области V относительно шести компонент <т叮 при удовлетворении трёх граничных условий:
%(a)ki = "?，© 产九 2 = S?・ (10.56)
Уравнения Бельтрами-Мичелла (10.55) были получены для замыкания трёх уравнений равновесия в области V относительно шести компонент <т叮.Однако самих уравнений (10.55) всего шесть, и, таким образом, в V имеются теперь девять уравнений относительно тех же шести неизвестных функций. На границе области X выполняются всего три условия (10.56).
1)Так же как и (10.54), в литературе их часто называют уравнениями совместности в напряжениях.
Б.Е. Победря создал новую постановку задачи в напряжениях, которая лучше приспособлена для использования численных методов [40]. В ней для разыскания шести независимых компонент тензора напряжений решается шесть обобщённых уравнений совместности. При этом граничных условий для них оказывается тоже шесть: к трём условиям (10.56) добавляются три уравнения равновесия, перенесённые на границу области X.
Не будем здесь останавливаться на подробном анализе “но- 6。立” постановки задачи теории упругости 6 напряжениях, её преимуществе при численных решениях, направляя читателя к монографии [44].
Заметим только, что в литературе давно предпринимались попытки сократить число независимых дифференциальных уравнений совместности в напряжениях с шести до трёх. К сожалению, такие попытки предпринимаются и теперь. В [9] приведены контрпримеры, демонстрирующие, что при таком сокращении нарушается корректность постановки задачи в напряжениях.
Итак, для односвязного тела в трёхмерном евклидовом пространстве существует шесть функционально независимых дифференциальных уравнений совместности деформаций (а значит, и напряжений) для существования однозначного поля перемещений. Этот чисто геометрический факт и связан он с тем, что тензор кривизны Римана [48] в трёхмерном пространстве имеет шесть независимых компонент.
До сих пор в этой лекции изучалась линейная упругая среда и использовались для этого малые деформации. Рассмотрим теперь модель нелинейной упругой среды [12, 27, 34, 64], примером которой могут служить резина и некоторые другие эластомеры. Термин "геометрическая нeлинeйнocть^^ означает, что неравенство (5.1) не имеет места, а значит, деформации связаны с перемещениями не соотношениями Коши (5.5), а общими нелинейными соотношениями (4.10). В МСС существует и другое понятие — "физическая нелинейность,\ означающее, что определяющие соотношения среды, в отличие от (10.3) и (10.12), представляют собой нелинейные тензор-функции или функционалы.
Выберем отсчётную конфигурацию с базисом недеформиро- ванного состояния 民 и вспомним уравнения движения сплошной среды (7.25) в отсчётной конфигурации. Напряжённое состояние характеризуется тензором напряжений Пиолы 廷(7.28). Сплош-
ная среда называется упругой, если существует скалярный потенциал деформаций W(F), такой что
7 dW
Тогда изменение работы внутренних сил (7.45) записывается следующим образом:
=- dWdVo = -d WdV0 = -d^, (10.58)
Vb%
и, следовательно,
/⑴=-夕，(10.59)
где интегральный оператор 夕，как и в линейном случае (10.42), носит название потенциальной энергии деформации. Упругая среда считается заданной, если известен потенциал W(F).
В качестве меры деформации удобнее выбрать не F, а правый тензор Коши-Грина (4.22), являющийся симметричным. Образуем новый скалярный потенциал W{C\.
%(Е)=而(。)=而(А//),(10.60)
где 厶，А,，з — инварианты (4.50) тензора С.
ЛЕКЦИЯ И
РАЗМЕРНОСТИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Физические величины, рассматриваемые в механике, различаются не только своей геометрической структурой (скаляры, векторы, тензоры второго ранга и т.п.), но и “напменованпем”. Некоторые из них безразмерны (угол в радианах, компоненты тензора деформаций), другие имеют размерность. Например, плотность р можно измерять в г/см3, можно в кг/м3, а можно и в кГ • с2/см4. Очевидно, что первые две размерности различаются между собой только величиной: масштабом массы (1 кг= 1000г) и масштабом длины (1м= 100см). Третья же размерность отличается от первых двух своей природой. В ней участвуют сила, время и длина.
Таким образом, размерности физических величин связаны с комбинациями единиц измерения — эталонных масштабов, служащих для измерения. Можно выбрать основные масштабы, или основные единицы измерения. Тогда другие единицы будут производными. Если какую-то производную единицу нельзя выразить в системе основных, то система не является полной. В задачах механики в качестве основных единиц часто выбирают единицы измерения М, L, Г соответственно для массы (т), длины (/) и времени (方) 9 . В абсолютной физической системе (СГС) ими являются грамм, сантиметр и секунда, а в Международной системе (СИ) — килограмм, метр и секунда.
Основные единицы измерения считаются эталонными и выбираются по договорённости. Так, договорились считать 1/31556925,9747 тропического года, рассчитанную для 1900 г., эталоном времени и назвать одной секундой, а 1650763,73 длины волн излучения в вакууме атома криптона-86 — эталоном длины и назвать одним метром. Назовём классом систем единиц измерения совокупность систем единиц измерения, различающихся между собой только величиной, но не природой основных единиц измерения. Так системы
1)Хотя при рассмотрении “сложных” моделей данная система может оказаться неполной.
СГС и СИ принадлежат одному классу, называемому {MLT}. Именно к этим системам относится приведённый пример с двумя первыми размерностями плотности р. В другой известный класс {FLT} входят системы, где основными служат единицы измерения силы, длины и времени. К этому классу относится третья размерность плотности р в примере.
Размерностью [X] физической величины X называется функция, определяющая, во сколько раз изменяется численное значение этой величины X при переходе от одной системы единиц к другой внутри данного класса. Безразмерными же будут величины, численные значения которых одинаковы во всех системах единиц измерения данного класса.
Выберем в классе {MLT} две системы единиц измерения и выразим размерность [X] физической величины X в этих системах. Согласно определению размерности
X = X^M^L^Tx} = X2^M2,L2,T2\ (11.1)
где Х〃 — численное значение величины X в системе с номером г. Пользуясь тем, что все системы внутри данного класса равноправны, можно принять за исходную первую систему. Тогда в силу определения безразмерной величины
x2 = ^假，||，野，(11.2)
Сравнивая (11.1) с (11.2), получим функциональное уравнение
Для его решения продифференцируем обе части (11.3) по Mi и положим после этого М、=М? = М, L\=L? = L\ Ti=7^ = T:
МЭМ^1,= ^M,L,T) дМ(1L4)
Обозначая а = (3夕/3711)(1, 1, 1) и интегрируя по М дифференциальное уравнение (11.4), будем иметь
員 M,L,T) =山(Е,Т),(11.5)
где ^ — произвольная функция своих аргументов.
нение для沙нение для沙ТД =以厶,Т1)-以е2，72)'ТД =以厶,Т1)-以е2，72)'(11.6)(11.6)Подставим (11.5) в (11.3) и выпишем функциональное урав
нение для沙
нение для沙
ТД =以厶,Т1)
-以е2，72)'
ТД =以厶,Т1)
-以е2，72)'
(11.6)
(11.6)
т. е. уравнение, отличающееся от (11.3) только тем, что у функции на один аргумент меньше, чем у 夕.Повторяя ещё два раза такие же рассуждения, придём к тому, что 夕 является степенной функцией по отношению ко всем своим аргументам:
^M,L,T} = CMaL^, С = const. (11.7)
Формулой (11.7) представлено утверждение леммы о степенном выражении размерности.
Лемма (о степенном выражении размерности). Размерность любой физической величины представляет собой степенной одночлен.
Это означает, например, что никакая величина не может иметь размерность sin кг или м + с.
Говорят, что величины Xi,...,Xk имеют независимые размерности, если размерность ни одной из них нельзя представить в виде произведения степеней размерностей остальных величин. Ни одна из размерно независимых величин, например X], не может быть безразмерной, иначе можно было бы представить [Xi] = [Ха]°, а = 2,к.
Докажем далее важную лемму об унарном выборе независимой размерности. Для общности изложения будем действовать в классе систем единиц измерения {Mi ... Мп}, n 1.
Лемма (об унарном выборе независимой размерности) [2]. Всегда можно перейти от исходной системы к некоторой другой системе того же класса, так чтобы любая из размерно независимых величин X],…，X* для определённости X], увеличила своё значение 6 произвольное число А раз, а все прочие остались бы неизменными.
Действительно, пусть в исходной системе единиц измерения
[X" = М^1 •... • М*п,+ …+> 0, 〃 = 1,k,
(11.8) а в разыскиваемой
[Х1]=4(%7И1)т ・(qJl4)QR
причём числа а叮(〃 =1,..., к; / = 1,...,九)известны, а ^ надо найти. Сравнивая (11.8), (11.9), получим систему к уравнений относительно п неизвестных. Логарифмируя каждое уравнение, выпишем получившуюся систему к линейных уравнений относительно In %,…，Inq八
an\nqi + ... + ain\nqn = -\nA,
a211nq1 + …+ «2п In qn = 0,(11.10)
Q/d In % + •.. + Q/cn In qn = 0.
Поскольку в классе {Mi ... Mn} максимальное число величин с независимыми размерностями равно п, т. е. fc < п, исследуем два случая.
к < п. Как следует из (11.8), в любой строке матрицы (а”)，в том числе и в первой, имеется хотя бы один ненулевой элемент. Поэтому система (11.10) будет иметь решения всегда, кроме случая, когда первая строка матрицы (а〃) есть линейная комбинация остальных fc — 1 её строк:
a11 = e2a21 + …+ 以аk1,
< (11.11)
、&1八=°2a2八 + . . . + Ck°kri.
Потенцируем первое равенство (11.11) по основанию Mi (другими словами, возведём Mi “в обе части первого равенства (11.11)”)，второе по основанию М и так далее, наконец, последнее — по основанию Мп. После этого перемножим получившиеся п равенств и получим
[Xi] = Mf11 乂洲=(Mf21 • ... •"黑九产.X
x…尸=江2产・[Xk产，(11.12)
что противоречит определению независимых размерностей величин Х〃. Предположение о несовместности системы (11.10) оказалось неверным.
к = п. Система (11.10) не будет иметь решений, если определитель матрицы (а叮)равен нулю. Так как в любой её строке, в том числе и в первой, есть хотя бы один ненулевой элемент, остаются справедливыми рассуждения пункта (а).
Таким образом, система (11.10) всегда имеет хотя бы одно решение, и существует набор чисел %,...,д八，позволяющий перейти от исходной системы единиц измерения к искомой системе. В ней размерности величин Х〃 будут записываться в виде (11.9). Лемма доказана.
Пусть в некоторой задаче механики определяемая величина У каким-то образом зависит от к определяющих параметров Xi,…，Хк：
У = /(Х1 ,• • •, Хе , Хт^_ 1,...,Хк), (11.13)
причём X],…，Хт (0 < m < fc) — величины с независимыми размерностями. Выразим через них размерности величин Xm+i, • • •, Х&, Y:
口] = [ХГ • [Х"Т
П1 =П1 =Xw+lXw+lи перейдём следующим образом к безразмерным переменным (критериям) П4,…，Щ_т, П:
П1 =
П1 =
Xw+l
Xw+l
п =]•・・・•п =]•・・・•(11.15)(11.15)
п =
]•・・・•
п =
]•・・・•
(11.15)
(11.15)
Соотношение (11.13) можно переписать в виде
...，口衣―“xyi •・X^R)= Г(Х1,...,Хт,П1,...,Щ_т).
(11.16)
(11•⑺(11•⑺Согласно доказанной ранее лемме об унарном выборе независимой размерности существует функция Ф, зависящая уже не от к, а от к — т переменных, такая что
(11•⑺
(11•⑺
И = Ф(П1,..., И^—т^.
Подставляя последнее соотношение (11.15) в (11.17), получим с учётом (11.13), что функция / обладает следующим свойством: f^^.^Xk^X^ ^...^Х^ X
(11.18)(11.18)Xm+i Хк
(11.18)
(11.18)
Это важное свойство носит название обобщённой однородности функции /.
Тем самым доказана П-теорема, являющаяся ключевой в теории размерностей [6, 51]. Сформулировать её можно так.
П-теорема теории размерностей. Пусть существует физическая закономерность, выраженная зависимостью некоторой величины от к, вообще говоря, размерных определяющих параметров. Тогда данную зависимость можно представить 6 виде обобщённой однородности, т. е. 6 виде зависимости некоторой безразмерной величины от безразмерных определяющих параметров, число которых меньше к на число определяющих параметров с независимыми размерностями.
Формулировка и доказательство настоящей теоремы в литературе приписывается Э. Букингему. Заметим лишь, что его работа [63] по данному вопросу опубликована несколько позже, чем не получившая всемирной известности работа [60] русского математика и инженера А. Федермана.
С помощью П-теоремы можно, не решая начально-краевой задачи и даже не располагая математической моделью явления, только из соображений размерности выводить зависимости одних физических величин от других. Так, выдающийся немецкий учёный Г. Герц, проводя анализ размерностей в задаче о контактном взаимодействии двух упругих тел, получившей в последствии его имя, вывел зависимость размеров площадки контакта, а также максимального давления на ней от силы сдавливания тел. Точное решение контактной задачи блестяще подтвердило результаты Герца.
Приведём ниже три примера, иллюстрирующие применение П-теоремы в самых разных областях механики [2, 51].
Задача о математическом маятнике. На рис. 39 изображён математический маятник, период малых колебаний Т которого является определяемой величиной. Из физического смысла следует, что Т может зависеть от массы m материальной точки,
длины I невесомого стержня, величины ускорения д силы тяжести и угла 0о начального отклонения. Все эти параметры следует считать определяющими независимо от того, действительно ли зависит от них Т или нет.
По аналогии с соотношением (11.13) запишем
Т =/(тп,/,д, %), к = 4,(11.19)
и будем придерживаться описанной ранее схемы. Размерности всех параметров задачи следующие: [m] = М, [Z] = L, [д] = LT~2, 价]=1;[Г] = Т. Параметров с независимыми
размерностями три (т = 3): Xi = m, X? = I, Х3 = д.
Выразим [Г] через [m], [Z], [д] в виде степенной функции: [Г] = [тп严卩产卜产，(11.20)
приравняем показатели при М, L и Г в (11.20) и придём к неоднородной системе трёх линейных уравнений с тремя неизвестными eq, &2, &з：
(0 = &1,
< 0 = &2 + &3，
[1 = —2&з・
Решение этой системы таково: «1 = 0, &2 = 1/2, &з = —1/2.
Таким образом, в силу безразмерности начального угла и того, что [Т] = [т]0^]1/2^]-1/2, критерии П1 и П имеют следующий вид:т
П-теорема утверждает, что искомая связь (11.19) эквивалентна соотношению П =孰口1), или
Т(11.21)
где Ф — некоторая функция всего одного (а не четырёх, как /) аргумента (k — т = 4 — 3 = 1).
Из формулы (11.21) уже видно, что период малых колебаний не зависит от массы материальной точки. Осталось определить функцию ◎(£()). Это достигается с помощью ряда опытов с математическим маятником, в которых необходимо изменять только
9 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
один параметр — начальную амплитуду %)(%)« 1) — и измерять тоже только одну величину — период Т. Длина I и ускорение д для всех таких опытов постоянны, поэтому их надо померить один раз.
Опыты дадут с достаточным приближением: ◎(£()) = 27r. Малые колебания математического маятника оказываются изохронными, и такой маятник применим для измерения промежутков времени. Наоборот, если период Г известен, то по формуле д = =47r2//丁2 определяется ускорение свободного падения в данной области пространства. Мысль об изохронности малых колебаний впервые пришла в голову Г. Галилею, когда он наблюдал в Флорентийском кафедральном соборе за качаниями паникадила.
Задача о сильном взрыве. При сильном взрыве заряда происходит почти мгновенное выделение значительной энергии и в направлении от места взрыва начинает распространяться ударная волна. Давление за передней поверхностью (фронтом) волны во много раз больше начального давления воздуха. В зависимости от геометрической формы заряда фронт может принимать различный вид. Если взрыв происходит в одной точке (точечный взрыв), то фронт в каждый момент времени представляет собой сферу радиуса 7?(方)(рис. 40, а). Если заряд равномерно рассредоточен вдоль прямой (осесимметричный взрыв), то
Рис. 40Рис. 40
Рис. 40
Рис. 40
фронтом является цилиндр радиуса 7?(方)(рис. 40,6). Наконец, если заряд равномерно распределён по плоскости (плоский взрыв), то фронт представляет собой пару плоскостей, отстоящих друг от друга на расстоянии 27?(方)(рис. 40,6).
Выберем в качестве определяемой величину R и перечислим определяющие параметры. К ним следует отнести время t,
плотность р атмосферы, в которой произведён взрыв, а также характеризующий мощность заряда параметр Е. Последний в зависимости от случаев а, 6, в представляет собой либо энергию, либо её линейную или поверхностную плотности соответственно. Таким образом, к = 3, Х\ = t, Х2 = р, Х^ = Е и
А = {/,Е)・(11.22)
Размерности всех параметров задачи следующие: [t] = Т, [р] = ML~3, [Е^М^-^Т^, [А]=Е, где ^=1,2,3 для плоского, осесимметричного и точечного взрывов соответственно. Нетрудно заметить, что для любого N тройка величин t, р, Е размерно независима, и её можно выбрать в качестве базиса (т = 3).
Для выражения в этом базисе размерности [А] найдём параметры «1, «2 и &з следующей степенной функции:
[Я]=用3価产国产.(11.23)
Приравнивая в обеих частях равенства (11.23) показатели при М, L и Т, придём к системе уравнений:
‘ 0 = &2 + &з,
< 1 = —За? + (N — 1)&з,
、0 = cq — 2&з・
Её решение таково: а\ = 2/(2 + ^), а2 = —1/(2 + ^), &з = =1/(2+ N). Таким образом,
[Я]=用 2(2+N尸価「(2+N 尸闿(2+N))
Единственная безразмерная величина в данной задаче имеет вид
(11.24)(11.24)(矶2/“2+N)t(矶2/“2+N)tR
(11.24)
(11.24)
(矶2/“2+N)t
(矶2/“2+N)t
Так как k — т = 3 — 3 = 0, то согласно П-теореме П = Ф, причём Ф ни от чего не зависит и равно некоторой константе С Из (11.24) получим следующее выражение для R:
/ 硏 2 \ 2+2V
R =.(11.25)
Чтобы найти константы Ci, С2, С3, достаточно осуществить по одному взрыву каждого из трёх типов. Зная Е и р, надо измерить время 方*, за которое фронт волны пройдёт расстоя-
ние R* между зарядом и улавливающим прибором. Тогда из
формулы (11.25) получим
(11.26)(11.26)
(11.26)
(11.26)
Скорость V распространения фронта получается дифференцированием по t обеих частей (11.25):
_ 2Qv / Е \^n=2 + N 丿_ 2Qv / Е \^n=2 + N 丿(11.27)(11.27)
_ 2Qv / Е \^n
=2 + N 丿
_ 2Qv / Е \^n
=2 + N 丿
(11.27)
(11.27)
Как видно, о т оо при 方 т 0, но характер особенности о 〜 〜方一n/(2+n) зависит от уу, т. е. от формы заряда. Интересно,
что для увеличения скорости о вдвое в плоском случае надо выбрать заряд в 8 раз мощнее, в осесимметричном — в 16 раз, а в сферически симметричном — в 32 раза!
Подробнее о задаче о сильном взрыве читатель может узнать из книги [51], где также опубликованы фотографии взрыва атомной бомбы в Нью-Мехико в 1945 г. Стробоскопический анализ этих фотографий очень хорошо подтверждает формулу (11.25) для случая ^ = 3. По расчётам Дж. Тейлора в момент изображённого взрыва выделилась энергия порядка 1014 кг -м/с2, или 108 MДж. К таким же выводам независимо пришли Л.И. Седов и Дж. фон Нейман.
Задача об обтекании шара потоком. Поместим в горизон
тальный поток сжимаемого вязкого газа абсолютно твёрдый шар
и будем удерживать его в состоянии покоя. После того, как течение установится, со стороны окружающей среды на шар
будет действовать некоторая постоянная сила F. Следовательно, для удержания его в покое надо приложить силу —F (рис. 41).
Величина F = \F\ может зависеть от радиуса шара а (характерного линейного размера),
скорости V газа на бесконечности (характерной скорости)
и физико-механических свойств — плотности 〃 динамической вязкости 从 и скорости звука с в газе. Таким образом,
f=/(电0,化从,0)，fc = 5.f=/(电0,化从,0)，fc = 5.(11.28)(11.28)
f=/(电0,化从,0)，fc = 5.
f=/(电0,化从,0)，fc = 5.
(11.28)
(11.28)
Выпишем размерности определяющих параметров и определяемой величины: 同=£, \y\=LT~x, [р\ = ML~3, [从]= =ML~1T~1, [с] = LT-1; [F] = MLT~2. Любые три из первых четырёх определяющих параметров размерно независимы. Результат не должен зависеть от того, какую тройку величин включить в базис, поэтому положим: X] = а, X? = о, Х3 = р, Х4 =从，Х5 = с.
Для выражения размерностей [〃], [с] и [F] в базисе a, v, р запишем три степенные функции:
[从]=同仇[v]^[pf\ [с] = [а 卩[。产历产，[F] = [а 严[vp[pf\
(11.29) и получающиеся после приравнивания показателей при М, L и Т в каждом из равенств (11.29) три неоднородные системы линейных уравнений:
1 = 0з,—1 =仇 + 仇一30з,—1 = —%,1 = 0з,—1 =仇 + 仇一30з,—1 = —%,'0 = 7з,< 1 = 71 + 72 - 3)з, 、一1 = 一,2，'0 = 7з,< 1 = 71 + 72 - 3)з, 、一1 = 一,2，
1 = 0з,
—1 =仇 + 仇一30з,
—1 = —%,
1 = 0з,
—1 =仇 + 仇一30з,
—1 = —%,
'0 = 7з,
< 1 = 71 + 72 - 3)з, 、一1 = 一,2，
'0 = 7з,
< 1 = 71 + 72 - 3)з, 、一1 = 一,2，
1 = q3，
1 = Q] + a2 - 3a3,
—2 = 一a2，
имеющие решения:仇=仇=伪=1, 71 = 7з = 0, 72 = h &i = =&2 = 2, &3 = 1.
Итак, в задаче образуются три безразмерных критерия:
П1 = —^―, 口2 = -，П = 2 2 •avpV
Величины, обратные П1 и П2, в механике сплошной среды носят название чисел Рейнольдса (Re) и Маха (М). Если М < 1, то имеем дозвуковой поток газа, а если М > 1, то сверхзвуковой. Согласно П-теореме
尸=^2а2Ф(ПьП2)=仆2a2 双 Rj м).(11.30)
Таким образом, безразмерная сила П зависит только от двух параметров (fc — m = 5 — 3 = 2): Re и М. Если эффектом сжимаемости набегающего потока можно пренебречь (тогда речь идёт о вязкой несжимаемой жидкости), то у функции & остаётся один
аргумент Re:
尸=a2"2 双 Re).(11.31)
Как показывают эксперименты, проводимые в аэродинамических трубах, при малых скоростях обтекания сила сопротивления прямо пропорциональна скорости v. Из формулы (11.31) следует, что в этом случае 双Re) = C/Re, где С — константа. Имеем…к
F = C/^va,(11.32)
т. е. при малых числах Рейнольдса сила F не зависит от плотности среды, поэтому такое обтекание называется безынерционным. Проводя единственный эксперимент и измеряя в нём все величины, входящие в (11.32), можно вычислить постоянную С. Она равна 6». Выражение силы сопротивления при Re«l, 尸=бтг/wa,(11.33)
называют формулой Стокса. Из неё, в частности, при 从=О следует парадокс Эйлера-Даламбера\ при стационарном обтекании тела конечного размера идеальной несжимаемой жидкостью и отсутствии источников и стоков главный вектор сил давления потока на тело равен нулю.
В данной задаче встретились два безразмерных параметра —Re и М. Число Рейнольдса по определению представляет собой величину, обратную безразмерной вязкости в базисе, состоящем из характерного линейного размера, характерной скорости и плотности. Число Маха — величина, обратная безразмерной скорости звука. В задачах, где существенно влияние силы тяжести, важную роль играет число Фруда Fr — величина, обратная безразмерному ускорению силы тяжести. В задачах, где имеется характерная частота s (например, в теории колебаний), вводят в рассмотрение число Струхала St, обратное безразмерной частоте. Если же в системе имеется характерная величина 夕 размерности ML~XT~^ (давление, упругие модули, предел текучести), то, будучи обезразмеренной в том же базисе, данная величина называется числом, Эйлера Ей. Таким образом,
2
Re =, ]V[ = —, Fr = —, St = —, Eu = —
从сдазаpvz
(11.34)
С теорией размерностей тесно связана теория подобия [51], лежащая в основе масштабного моделирования физических
явлений. Метод моделирования состоит в проведении экспериментального процесса, подобного реальному. При этом подобными называются разномасштабные процессы, математическое описание которых различается только численными значениями входящих в них размерных величин. Безразмерные же параметры 〈критерии подобия) 口卜...,口衣一加,являющиеся аргументами функции Ф в соотношении (11.17), для таких процессов одинаковы.
ЛЕКЦИЯ 12
ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ
Рассматриваемые системы характеризуются большим числом всевозможных параметров. Это плотность р, векторы перемещений и и скорости Я, тензоры напряжений £,廷，а п деформаций э, 7，互，массовые силы F и поверхностные силы 8 Каждый из параметров имеет определённую тензорную природу и размерность. Среди параметров существуют так называемые основные (F, D, е, р и т. д.) и их потоки (廷，£, о,夕 п т. д.). Первые из них называются обобщёнными перемещениями, а вторые —обобщёнными силами. Связь между первыми и вторыми задаётся с помощью определяющих соотношений (см. лекцию 9). При этом изменение работы внутренних сил записывается в виде
8/(2)= - Е ： dFdV, 8/(2)= - о”・ dV, (12.1)
или гг 1
ь/⑴=—必 Р叮。叮 dv^ b/(2)= ppd_ dV. (12.2)
Среди параметров системы существуют такие, которые полностью характеризуют состояние системы, т. е. зная их, можно вычислить все остальные параметры. Эти параметры называются термодинамическими параметрами состояния. Если определяющие соотношения модели связывают между собой термодинамические параметры состояния, то они называются уравнениями состояния среды.
Для описания изменений параметров системы вводится понятие процесса. Это зависимость того или иного параметра от времени при некоторых условиях. Например, в упругой среде изменение со временем компонент тензора малых деформаций &叮 при постоянной температуре называется изотермическим процессом деформации.
Если изменяется со временем термодинамический параметр состояния, то говорят о термодинамическом процессе. В случае,
если такой процесс начинается и заканчивается при одинаковых значениях параметра состояния, то он называется термодинамическим циклом.
Большое значение имеет деление термодинамических процессов на обратимые и необратимые [14]. Обратимые могут протекать в любом направлении (значение параметров состояния остаётся прежним при замене t на —t). Необратимые процессы протекают только в одном направлении и описывают выравнивание температуры, давления и т. п.
В механике очень часто приходится иметь дело с неизотермическими процессами, т. е. с изменяемой со временем температурой, которая всегда считается термодинамическим параметром состояния. Для изучения таких процессов придётся рассмотреть основные законы феноменологической термодинамики. Будем считать, что понятие температуры интуитивно известно каждому читателю. Введём (также без строгого определения) понятие теплоты Q. Первый закон термодинамики (он имеет много формулировок) утверждает, что теплота есть вид энергии. На основе закона сохранения энергии полная энергия будет состоять из суммы механической и тепловой энергий. Механическая энергия в статике упругого тела описывается потенциальной энергией деформации (10.42):
夕=-/(” (12.3)
Тогда полная энергия Е для неизотермического процесса должна иметь вид
Е =夕 + Q = const. (12.4)
Если же для рассматриваемой модели изменение работы внутренних сил не может выражаться полным дифференциалом, как это имеет место для упругой модели (10.41), то закон сохранения энергии естественно представить в дифференциальной форме
dE = —б/© +6Q, (12.5) где Е называется внутренней энергией, которая зависит от температуры Т и других термодинамических параметров состояния (например, от некоторых тензоров ^, г = 1,2,...). Внутренняя энергия есть работа, которую надо совершить, чтобы перевести систему из одного состояния Т(°),必，)в другое Т⑴，必?).
Периодически действующее устройство для превращения тепла в работу — тепловая машина — может работать только
при наличии различных температур Т(о)и т⑴. С её помощью можно создать термодинамический цикл. Тогда из (12.5) следует, что р р р
odE = 0, об/⑴=obQ, (12.6)
илиили/⑴=Q./⑴=Q.(12.7)(12.7)
или
или
/⑴=Q.
/⑴=Q.
(12.7)
(12.7)
Отсюда следует ещё одна формулировка первого закона термодинамики: невозможно создать вечный двигатель первого рода — машину, которая могла бы совершить механическую работу, не затрачивая энергии.
Ещё одна формулировка первого закона термодинамики, говорящая об эквивиалентности тепла работе, следует из размерности величины Q:
[Q] = 1 кал ^4,186 Дж, (12.8) причём 10-7Дж = 1 эрг = 1 см2 • г/с2. Калория, джоуль и эрг служат для измерения Q.
Для того чтобы более чётко проследить действие законов термодинамики на конкретной модели, выберем в качестве таковой модель совершенного газа [4,62]. Для него определяющее соотношение записывается в виде уравнения состояния Клапейрона
р = pRT,(12.9)
где R — газовая постоянная, которая для воздуха равна R 287,042 м2/(с2 • град). Иногда вместо величины R вводят другие постоянные, следующие из соотношений
Мэ т0
где Mq — средняя масса одной грамм-молекулы газа, 7no —— средняя масса молекулы в граммах, А。^ 8,314 • 107 эрг/(моль х х град), fco ~ 1,38 • 10-16эрг/град — постоянная Больцмана. Тогда уравнение состояния (12.9) записывается в одной из двух следующих форм:
pV = RqT(12.11)
или
ри = kT,(12.12)
где
吟也。=粤^ = ^ = 6,023 • 1023. (12.13)
ррNmg
Число N называется числом Авогадро.
Используя последнее из соотношений (12.2) и принимая объём, по которому происходит интегрирование, конечным, но настолько малым, что внутри него величины р п р неизменны, получим
Ь/⑴=ppVd~.(12.14)
Р
Учитывая первое соотношение (12.13), из которого следует, что
MQd- = dV,(12.15)
Р имеем для совершенного газа
Ь/⑴=pdV.(12.16)
Тогда из формулировки (12.5) первого закона термодинамики получим
8Q = dE + pdV.(12.17)
Нам будет удобнее пользоваться уравнением состояния совершенного газа в форме (12.11). Из (12.11) следует, что изотермы
описываются уравнением (рис. 42) pV = const. (12.18) Можно ввести шкалу температур совершенного газа, полагая температуру равной pV/R() вдоль изотермы одного моля такого газа. Однако в дальнейшем при формулировке второго закона термодинамики будет ясно, что понятие температуры не должно зависеть от свойств
среды.
Теплоёмкость с системы равна количеству тепла AQ, которое нужно подвести к системе, чтобы повысить её температуру на АТ при заданных условиях:
с =с =1而享△jo АТ1而享△jo АТ(12.19)(12.19)
с =
с =
1而享
△jo АТ
1而享
△jo АТ
(12.19)
(12.19)
Если при этом поддерживается постоянный объём, то из (12.17) имеем
lim△JOlim△JO(割\/ V=const(割\/ V=const==
lim
△JO
lim
△JO
(割
\/ V=const
(割
\/ V=const
=
=
При р = const из (12.19) и (12.17) следует
lim△JOlim△JOр =constр =const=СР=СР(12.21)(12.21)
lim
△JO
lim
△JO
р =const
р =const
=СР
=СР
(12.21)
(12.21)
В силу того что термодинамические параметры состояния 夕 и V связаны соотношением (12.17), внутреннюю энергию Е для совершенного газа можно выразить в виде функции двух параметров состояния: либо Е = Е(夕，Т), либо
(12.22)(12.22)Е = Е”Т).
(12.22)
(12.22)
Заметим, что этот факт справедлив не только для совершенного газа, но и для газа, подчиняющегося более общему уравнению состояния
(12.23)(12.23)/д,кт)= о.
(12.23)
(12.23)
Из (12.22) имеем
Используя (12.24), из (12.20) и (12.21) получимИспользуя (12.24), из (12.20) и (12.21) получим(12.24)(12.24)0 P — cv0 P — cv(12.25)(12.25)
Используя (12.24), из (12.20) и (12.21) получим
Используя (12.24), из (12.20) и (12.21) получим
(12.24)
(12.24)
0 P — cv
0 P — cv
(12.25)
(12.25)
Чтобы исследовать зависимость внутренней энергии от объёма, Ж.Ф. Гей-Люссак в 1802 г., а позднее Дж. П. Джоуль провели опыты, в которых газ свободно расширялся, переходя из одного сосуда в другой. В этих опытах было установлено, что
(12.26)
с уравнением состоя- одно из определений следует, чтос уравнением состоя- одно из определений следует, чтоЭто оказалось ошибочным для газа ния (12.23), но было принято как совершенного газа. Из (12.24) и (12.26)
с уравнением состоя- одно из определений следует, что
с уравнением состоя- одно из определений следует, что
E(V,T) = E(p,T) = E(T)・E(V,T) = E(p,T) = E(T)・(12.27)(12.27)
E(V,T) = E(p,T) = E(T)・
E(V,T) = E(p,T) = E(T)・
(12.27)
(12.27)
Таким образом, термодинамическая модель совершенного газа задаётся термодинамической функцией состояния (внутренней энергией) в виде
Е = cvT + const. (12.28)
Из (12.25) и (12.26) для такого газа следует формула Майера
(12.29)(12.29)Сделаем замечание по поводу обратимости и необратимости процессов в модели совершенного газа. Пусть в момент ТСделаем замечание по поводу обратимости и необратимости процессов в модели совершенного газа. Пусть в момент Тобъём, занимаемый совершенным газом в цилиндре под поршнем (рис. 43), равен Давление, при котором поршень находился бы в равновесии, равно夕=*•(12.30)Если же это давление выше равновесного (12.30), то после отпускания поршня он начнётобъём, занимаемый совершенным газом в цилиндре под поршнем (рис. 43), равен Давление, при котором поршень находился бы в равновесии, равно夕=*•(12.30)Если же это давление выше равновесного (12.30), то после отпускания поршня он начнётРоРо//〃〃//〃///〃/7777//〃〃//〃///〃/7777〃〃/////////////////77777〃〃/////////////////77777匕匕двигаться вверх и, совершивнекоторые возможные колебания,^ис, ‘3в момент “2” остановится в положении 心，в котором давление 夕2 уравновешивает внешнее давление ро- Кинетическаядвигаться вверх и, совершивнекоторые возможные колебания,^ис, ‘3в момент “2” остановится в положении 心，в котором давление 夕2 уравновешивает внешнее давление ро- Кинетическаяэнергия, связанная с колебательными движениями поршня, перейдёт в тепло. Остальную часть полной энергии обозначим как необратимую работу:энергия, связанная с колебательными движениями поршня, перейдёт в тепло. Остальную часть полной энергии обозначим как необратимую работу:Аеобр=Р0(^-У1). (12.31)Очевидно, что увеличить работу (12.31) можно за счёт повышения внешнего давления ро- Однако его нельзя сделать большим чем “равновесное” давление (12.30), ведь иначе поршень будет двигаться вниз. Таким образом, оптимальным будет равновесное давление ро- Тогда движение поршня будет совершаться бесконечно медленно. Такой процесс называется равновесным. Ясно, что он является идеальным, т. е. неосуществимым на практике. Работу поршня в данном процессе назовём обратимой:Аеобр=Р0(^-У1). (12.31)Очевидно, что увеличить работу (12.31) можно за счёт повышения внешнего давления ро- Однако его нельзя сделать большим чем “равновесное” давление (12.30), ведь иначе поршень будет двигаться вниз. Таким образом, оптимальным будет равновесное давление ро- Тогда движение поршня будет совершаться бесконечно медленно. Такой процесс называется равновесным. Ясно, что он является идеальным, т. е. неосуществимым на практике. Работу поршня в данном процессе назовём обратимой:4бр= dV = R0T 歹=尺0丁1口吞. (12.32) 0И4бр= dV = R0T 歹=尺0丁1口吞. (12.32) 0ИЭто наибольшее значение работы при изотермическом расширении газа. Сравнивая (12.32) с (12.31) и воспользовавшись для ро выражением (12.30), получимЭто наибольшее значение работы при изотермическом расширении газа. Сравнивая (12.32) с (12.31) и воспользовавшись для ро выражением (12.30), получимАнеобр < 4о6р・Анеобр < 4о6р・(12.33)(12.33)
(12.29)
(12.29)
Сделаем замечание по поводу обратимости и необратимости процессов в модели совершенного газа. Пусть в момент Т
Сделаем замечание по поводу обратимости и необратимости процессов в модели совершенного газа. Пусть в момент Т
объём, занимаемый совершенным газом в цилиндре под поршнем (рис. 43), равен Давление, при котором поршень находился бы в равновесии, равно
夕=*•(12.30)
Если же это давление выше равновесного (12.30), то после отпускания поршня он начнёт
объём, занимаемый совершенным газом в цилиндре под поршнем (рис. 43), равен Давление, при котором поршень находился бы в равновесии, равно
夕=*•(12.30)
Если же это давление выше равновесного (12.30), то после отпускания поршня он начнёт
Ро
Ро
//〃〃//〃///〃/7777
//〃〃//〃///〃/7777
〃〃/////////////////77777
〃〃/////////////////77777
匕
匕
двигаться вверх и, совершив
некоторые возможные колебания,^ис, ‘3
в момент “2” остановится в положении 心，в котором давление 夕2 уравновешивает внешнее давление ро- Кинетическая
двигаться вверх и, совершив
некоторые возможные колебания,^ис, ‘3
в момент “2” остановится в положении 心，в котором давление 夕2 уравновешивает внешнее давление ро- Кинетическая
энергия, связанная с колебательными движениями поршня, перейдёт в тепло. Остальную часть полной энергии обозначим как необратимую работу:
энергия, связанная с колебательными движениями поршня, перейдёт в тепло. Остальную часть полной энергии обозначим как необратимую работу:
Аеобр=Р0(^-У1). (12.31)
Очевидно, что увеличить работу (12.31) можно за счёт повышения внешнего давления ро- Однако его нельзя сделать большим чем “равновесное” давление (12.30), ведь иначе поршень будет двигаться вниз. Таким образом, оптимальным будет равновесное давление ро- Тогда движение поршня будет совершаться бесконечно медленно. Такой процесс называется равновесным. Ясно, что он является идеальным, т. е. неосуществимым на практике. Работу поршня в данном процессе назовём обратимой:
Аеобр=Р0(^-У1). (12.31)
Очевидно, что увеличить работу (12.31) можно за счёт повышения внешнего давления ро- Однако его нельзя сделать большим чем “равновесное” давление (12.30), ведь иначе поршень будет двигаться вниз. Таким образом, оптимальным будет равновесное давление ро- Тогда движение поршня будет совершаться бесконечно медленно. Такой процесс называется равновесным. Ясно, что он является идеальным, т. е. неосуществимым на практике. Работу поршня в данном процессе назовём обратимой:
4бр= dV = R0T 歹=尺0丁1口吞. (12.32) 0И
4бр= dV = R0T 歹=尺0丁1口吞. (12.32) 0И
Это наибольшее значение работы при изотермическом расширении газа. Сравнивая (12.32) с (12.31) и воспользовавшись для ро выражением (12.30), получим
Это наибольшее значение работы при изотермическом расширении газа. Сравнивая (12.32) с (12.31) и воспользовавшись для ро выражением (12.30), получим
Анеобр < 4о6р・
Анеобр < 4о6р・
(12.33)
(12.33)
Каким бы способом не осуществлялся необратимый процесс между двумя фиксированными значениями объёма 匕 п 匕, в любом случае будет выполняться неравенство (12.33). При 夕о = 0 необратимая работа равна нулю (опыт Гей-Люссака), а работу (12.32) можно сделать бесконечной при неограниченном объёме.
Итак, необратимые процессы приводят к рассеиванию энергии, её диссипации. Был рассмотрен изотермический процесс. Процесс, происходящий без изменения тепла (6Q = 0) называется адиабатическим. Из (12.17) имеем
dE + pdV = 0.(12.34)
Чтобы процесс был обратимым, внешнее давление 夕о, действующее на поршень, должно, как и прежде, очень мало отличаться от равновесного давления, определяемого уравнением состояния (12.23). Однако теперь температура не является постоянной, поэтому из (12.34) и (12.22) имеем
优)产+信)严(12，35)
Для совершенного газа в силу (12.26) и (12.20) из (12.35) получим
cv dT + pdV = 0,(12.36)
откуда с учётом уравнения состояния (12.11) имеет место дифференциальное уравнение
%*+ 吟=0(12.37)
с первым интегралом
TV^/cv = const.(12.38)
Введём обозначение 7 для показателя адиабаты'.
(12.39)
Тогда уравнение адиабаты (12.38) на основании формулы Майера (12.29) переписывается в форме
7VLi = const.(12.40)
Пользуясь уравнением состояния (12.11), можно получить уравнение адиабаты, называемой адиабатой Пуассона, в виде
= const,= const. (12.41)
На рис. 44 показаны адиабата (12.40) и изотерма из уравнения состояния (12.11).
Соотношения (12.40) и (12.41) показывают, что при адиабатическом сжатии газ нагревается. Этим пользуются для воспламенения горючей смеси в цилиндрах двигателя Дизеля. Охлаждение с помощью адиабатического расширения является одним из способов достижения низких температур.
Чтобы распространить полученные
cv dT +cv dT +(12.42)(12.42)результаты на “реальные” газы, подчиняющиеся уравнению состояния (12.23), нужно воспользоваться соотношением (12.35):
cv dT +
cv dT +
(12.42)
(12.42)
Частным случаем уравнения состояния (12.23) является закон Ван-дер-Ваальса
R+ $) (о - b) = кТ, (12.43) где а и b — некоторые постоянные. Можно рассмотреть не только изотермический и адиабатический процессы. Если в уравнениях (12.40) и (12.41) вместо показателя адиабаты 7 поставить произвольное число п > 0, то получим уравнение политропы. Например,
TVn~x = const. (12.44)
В этом случае необходимо использовать уравнение (12.17), ко
торое запишем в виде
dQ = cv dT + pdV / 0.(12.45)
Вычислим имеем
величину dQ для политропного процесса. Из (12.44) 尸—1 dT+{n- 1)7尸一2 dy = 0,(12.46)
откуда
1 V
dV=--dT.(12.47)
Поэтому
pdV == -^dT.(12.48)
Наконец, подставляя (12.48) в (12.45), будем иметь
(12.49)(12.49)
(12.49)
(12.49)
Итак, количество тепла, подводимого к системе при повышении температуры на один градус, остаётся постоянным. Поэтому политропный процесс можно определить как процесс, идущий при постоянной теплоёмкости: cv = const или ср = const. Постоянная величина в (12.49)
Дрп — 1Дрп — 1(12.50)(12.50)
Дрп — 1
Дрп — 1
(12.50)
(12.50)
ля политропы п. Она равналя политропы п. Она равнаРис. 45Рис. 45Заметим, что до сих пор дящиеся в равновесии. ЕслиЗаметим, что до сих пор дящиеся в равновесии. ЕслилучимлучимdE + dK = б/® + 6Q.dE + dK = б/® + 6Q.(12.51)(12.51)
ля политропы п. Она равна
ля политропы п. Она равна
Рис. 45
Рис. 45
Заметим, что до сих пор дящиеся в равновесии. Если
Заметим, что до сих пор дящиеся в равновесии. Если
лучим
лучим
dE + dK = б/® + 6Q.
dE + dK = б/® + 6Q.
(12.51)
(12.51)
принимает различные значения в зависимости от показате
нулю только при n = cp/cv = 7. Политропа на рис. 45 изображена штриховой линией и лежит между адиабатой и изотермой. Заметим, что изобара (процесс при постоянном давлении) и изохора (процесс при постоянном объёме) получаются как частные случаи политропного процесса. В самом деле, при п = 7 имеем адиабату (7 ^ 1,41 для атомарного газа), при n = 1 — изотерму, при п = 0 — изобару, при п = =оо — изохору.
рассматривались системы, нахо- же учитывать движение данных
систем, то необходимо принимать во внимание кинетическую энергию. Тогда формулировку первого закона термодинамики можно несколько изменить, воспользовавшись теоремой живых сил (7.20). Подставляя из (7.20) в (12.5) выражение Ь/("), по
Обратим внимание, что уже неоднократно ранее употреблялось слово “знергая”, например: кинетическая энергия /С (7.16), потенциальная энергия деформации 夕(10.43), полная энергия £ (10.45). Все эти величины имеют одну и ту же размерность
[/С] = 3 = [£] = мь2т-2.[/С] = 3 = [£] = мь2т-2.(12.52)(12.52)
[/С] = 3 = [£] = мь2т-2.
[/С] = 3 = [£] = мь2т-2.
(12.52)
(12.52)
В дальнейшем встретятся ещё тепловая и электромагнитная энергии. Существуют гравитационная, ядерная энергии, энергия массы тс2, где с — скорость света, и т. д. Так что же такое энергия?
Дать чёткое определение этой величины скорее всего невозможно. Будет важно лишь знать, что, во-первых, энергия имеет размерность (12.1) и, во-вторых, она всегда является произведением обобщённой силы на обобщённое перемещение. Энергия вводится для расчёта численных величин, после сложения которых получается постоянная величина — полная энергия. Согласно универсальному закону сохранения энергии, эта величина не меняется ни при каких превращениях, происходящих в природе (химические реакции, фазовые переходы, разрушение).
10 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
ЛЕКЦИЯ 13
ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ
В предыдущей лекции говорилось, что механическую энергию можно всегда перевести в тепло. Обратное возможно не всегда. Возникающие ограничения связаны со вторым законом термодинамики [14, 42], который, как и первый, имеет несколько формулировок. Рассмотрим сначала две самые распространённые.
Формулировка Клаузиуса. Тепло не может самопроизвольно переходить от менее нагретого тела к более нагретому.
Формулировка Кельвина и Планка. Невозможно построить периодически действующую машину, единственным результатом действия которой было бы совершение механической работы за счёт охлаждения теплового резервуара.
Эти две формулировки эквивалентны, что следует из ниже приведённых рассуждений. Тепловые машины работают таким образом, что рабочее вещество расширяется в результате поглощения тепла от резервуара, находящегося при некоторой температуре Т]. Чтобы вернуться к первоначальному состоянию, это вещество нужно снова сжать, т. е. передать тепло резервуару с температурой 4)⑵ < ")• Однако на сжатие ⑵ т 7Ь) необходимо затратить меньше работы, чем было получено при расширении ⑵ т Г). Согласно формулировке 1 невозможно передать это тепло резервуару с температурой Т\ > Т^ без каких-либо изменений. Отсюда вытекает справедливость формулировки 2.
Обратно, в силу 2 невозможно извлечь тепло из некоторого резервуара, превратив его в работу, и снова превратить в тепло (например, трением) в резервуаре с температурой Г ⑵ > Tq). Следовательно, из формулировки 2 вытекает формулировка 1.
Заметим, что если бы утверждения 1 и 2 не выполнялись, то можно было бы получить тепло из резервуара ⑵)и превратить его в работу при помощи циклического процесса ⑵ Tq Ti). Это не нарушало бы первого закона термодинамики (12.5), т. е. соотношения (12.7). Такая машина обладала бы способностью
совершать работу, не потребляя энергии, ибо в природе существуют источники неограниченного количества тепла (например, океаны). Такие машины называют вечным двигателем второго рода. Следовательно, можно дать ещё одну формулировку второго закона термодинамики.
Невозможно построить вечный двигатель второго рода.
Рассмотрим теперь некоторый циклический процесс в тепловых машинах. Он состоит из двух адиабат и двух изотерм и называется циклом Карно (рис. 46): Jt2t3t4tJ.
Рис. 46Рис. 46
Рис. 46
Рис. 46
Этап / т 2. Изотермическое расширение, связанное с поглощением тепла Q2, при температуре Т? = const.
Этап 2 — 3. Адиабатическое расширение (Q = 0).
Этап 3 — 4. Изотермическое сжатие, связанное с отдачей тепла Qi, при температуре Г ⑵ < 耳).
Этап 4 т/. Адиабатическое сжатие (Q = 0).
Так как идёт речь о цикле (замкнутом термодинамическом процессе), то согласно (12.7) имеем
/⑴= Q2-Q1・(13.1)
(13.2)(13.2)Отношение работы (13.1) к количеству тепла Q2, извлечённому из более нагретого резервуара ⑴)，называется коэффициентом полезного действия (к.п.д.) тепловой машины. Обозначим его через 〃：
(13.2)
(13.2)
Q2 Q2
Согласно второму закону термодинамики /⑴ < Q^, т. е.
7/ < 1.(13.3)
Основываясь на втором законе термодинамики, покажем, что к.п.д. 〃 максимален в случае, если рассматриваемый нами термодинамический процесс обратим. Для этого рассмотрим тепловую машину, в которой цикл проводится (не обязательно обратимым путём) между резервуарами с температурами 耳 п % ⑵ < < 耳).К.п.д. такой машины подсчитывается на основании формулы (13.2). Нужно доказать, что
〃 W 〃обр, (13.4)
(13.5)(13.5)где 〃обр — к.п.д. машины с обратимым процессом. Из (13.2) следует, что неравенство (13.4) эквивалентно неравенству
(13.5)
(13.5)
Q2 / Q^ '
где Q，p и Q” 一 соответственно отдаваемое и поглощаемое тепло в обратимом цикле: Jt2t3t4tJ.
Предположим, что машина с необратимым циклом спарена с обратимой машиной, которая работает в обратном направлении между резервуарами с теми же температурами, причём резервуару с более высокой температурой Т? отдаётся количество тепла Q^"， а от резервуара с более низкой температурой Ti поглощается количество тепла Q，p. Согласно первому закону термодинамики обратимая машина за один цикл совершит работу (13.1)
/(“ = ◊” — ◊¥(13.6)
Общая же работа от действия спаренных машин будет
/(z)= (Q2 —Q1) —(Q^P —Q『P).(13.7)
Предположим далее, что обратимая машина отдаёт резервуару с более высокой температурой как раз то количество тепла, которое поглощает обратимая машина:
Q^p = Q2・(13.8)
Тогда из (13.7) и (13.8) следует
/(2)=Q,P — Q].
Это означает, что количество тепла Q°6p — Qi полностью превратилось в работу, причём никаких других изменений не произошло. Но согласно формулировке 2 второго закона термодинамики это невозможно. Поэтому работа /⑴ не может быть положительной, а значит в (13.9) Q°6p W Qi・ Но из (13.8) сразу
следует, что
(13.10)
или (13.4), что и требовалось доказать.
Заметим, что равенство в (13.4) имеет место, если первая машина работает тоже обратимо. Поскольку в рассуждениях не использовались свойства рабочего тела, то к.п.д. зависит только от температуры:
406P = 〃(T1, T2)•(13.11)
Кельвин установил, что универсальность 7706P можно использовать, чтобы ввести температурную шкалу, не связанную со свойствами рабочего тела. Выражение Q^/Q^9 тоже является универсальной функцией. Поэтому
(13.12)(13.12)Qi =夕(％)
(13.12)
(13.12)
Q2夕(T2)
где 夕—некоторая функция температуры. Тогда можно ввести промежуточный резервуар при температуре 7]1P ⑵ < 7]1P < < 耳)，который отдавал бы и получал одинаковое количество тепла (2叩 в двух дополнительных циклах Карно (T3Q1； 7^р, Qnp) и (7Lp,Qnp；皂，Q2)・ Так как
(13.13)(13.13)Qi _ Qi Qnp
(13.13)
(13.13)
Q2 Qnp Q2
[Т] = 0.[Т] = 0.и поскольку 小 выбирается произвольно, то, очевидно, справедливо (13.12). Тогда выбирают шкалу, в которой температура имеет независимую размерность 0:
[Т] = 0.
[Т] = 0.
(13.14)
Поэтому
[Q]= “炉丁-2,卜目=[До] = ML2T"ег、, [Я]=炉丁-26rl.
(13.15)
Докажем теперь теорему об абсолютной температуре.
Теорема о б абсолютной температуре. В соотношении (13.12) можно принять
夕(Т) =Т.(13.16)
В самом деле, рассмотрим цикл Карно, в котором рабочим телом является совершенный газ (рис. 46).
Этап / т 2. Изотермическое расширение от 吒 до 匕.В силу того что для совершенного газа внутренняя энергия имеет вид (12.28), при изотермическом процессе Е = const. Поэтому всё тепло, полученное от резервуара, превратится в работу, и на этом этапе получим
2
Q2==(13.17)
i
Этап 2 — 3. Адиабатическое расширение от 匕 до 匕.Согласно (12.45) на этом этапе будем иметь
з
。貝耳—Ti)= LdV.(13.18)
2
Из уравнения Пуассона (12.40) получим
耳旷1 =Ti『i.(13.19)
Этап 3 — 4. Изотермическое сжатие от 匕 до %. На этом этапе
4
fИ
Qi = I pdV =尺0丁1 In 寸.(13.20)
з
Этап 4TL Адиабатическое сжатие от % до 打.Согласно уравнению Пуассона (12.40) имеем на данном этапе
(13.21)
Теперь, сравнивая (13.19) и (13.21), получим
= ±(13.22)
Подставляя (13.22) в (13.17) и (13.20), будем иметь
1 =(13-23)
что, собственно говоря, и требовалось доказать.
Таким образом, к.п.д. согласно (13.2) записывается в виде
" ==(13.24)
При этом полагается, что
Т> 0.(13.25)
Итак, из (13.24) и тождества
Q2 = (1-〃№ +的2(13.26)
видно, что часть теплоты 77Q2 превращается в работу /⑴, а остальная часть (1—〃)Q2 отдаётся холодильнику (тепло- приёмнику). При этом было доказано, что к.п.д. максимален для цикла Карно. Разумеется, можно рассмотреть произвольный
цикл, но, как видно из рис. 47, он как угодно точно аппроксимируем циклами Карно.
Докажем теперь так называемую лемму о тепле.
Лемма о тепле. Пусть некоторая система совершает циклический процесс С, обмениваясь теплом с резервуарами, имеющими температуры Т\,Т^,..., Тп, a QlQ?,…Qn, —соответствующие количества тепла, которыми система обменивается с резервуарами, причём поглощаемое тепло считается положительным, а отдаваемое отрицательным. Тогда
生 +隼+ ... + & W0・(13.27)
Для доказательства возьмём обратимый процесс С°бр, кото_ рый составлен из п обратимых процессов Карно, совершающихся
между каждым "м резервуаром Т% (〃 = 1,..., zi) п новым резервуаром То- В каждом таком "м процессе от нового резервуара отнимается количество тепла Q；°), а резервуару「возвращается количество тепла Q〃. Таким образом, в результате сложного процесса С + С°6р состояние всех резервуаров останется неизменным, причём из нового резервуара будет отнято в общей сложности количество тепла Qo：
Qo = £qT)・(13.28)
определяютсяопределяютсяПоскольку процесс。。8 обратимый, то все соотношением (13.23), т. е.
определяются
определяются
(13.29)(13.29)Qi _ Ti
(13.29)
(13.29)
Тогда из (13.28) и (13.29) имеем
(13.30)(13.30)Qo = Tot*
(13.30)
(13.30)
г=12
Итак, из одного резервуара (нового) при температуре Tq было извлечено некоторое количество тепла Qo- Согласно формулировке 2 второго закона термодинамики величина Qo должна быть неположительной. Из (13.25) и (13.30) получим
(13.31)(13.31)
(13.31)
(13.31)
что и требовалось доказать. Знак равенства в (13.31) относится к случаю, когда процесс С также обратим.
При доказательстве леммы о тепле был использован дискретный набор резервуаров. Из рис. 47 видно, что любой циклический процесс может быть составлен из циклов Карно. Если температура изменяется непрерывно, то представим себе непрерывный набор резервуаров, причём из каждого система будет поглощать бесконечно малое количество тепла 6Q. Не будем останавливаться на строгом переходе к непрерывному случаю, а отметим, что в результате такого предельного перехода неравенство (13.31) может быть записано в виде
Интегрирование в (13.32) осуществляется по циклу, причём знак равенства относится к случаю, когда рассматривается обратимый циклический процесс. В этом случае из (13.32) будем иметь (рис. 47)
2、5QO6PТ +12、5QO6PТ +11
2
、5QO6P
Т +
1
2
、5QO6P
Т +
1
(13.33)(13.33)f 6QO6P 八
(13.33)
(13.33)
2
Соотношение (13.33) даёт основание ввести новую термодинамическую функцию состояния, называемую энтропией'. S = =5(р, V). Из (13.33) следует, что
21
岑一审=S ⑵-S⑴，(13.34)
2
т. е. интеграл в (13.34) не зависит от пути. Поэтому функцию энтропии можно определить с точностью до константы, зафиксировав значения (夕 1,吒)в точке 1, и переходить в любое состояние 2 с помощью (13.34). Если один из процессов, например 1 — 2, необратим, то
2
廿+ j写(13.35)
1
т. е.
2
岑 ⑵⑴.(13.36)
1
Если изучается адиабатический процесс, то из (13.36) имеем
(13.37)(13.37)S⑵2S⑴.
(13.37)
(13.37)
Таким образом, в необратимом процессе энтропия конечного состояния больше, чем исходная. Из этого обстоятельства Клаузиус сделал вывод: энтропия Вселенной стремится к максимуму.
В открытых (адиабатически незамкнутых) системах энтропия может уменьшаться, но общая (суммарная) энтропия системы и окружающей среды обязательно возрастает. Эта направленность энтропии служит психологическим отличием прошлого от настоящего и будущего.
Если система находится в тепловом контакте с термостатом и взаимодействие окружающей среды характеризуется температурой внешней среды Т° и давлением внешней среды 夕о, то из (13.36) будем иметь
dS)(13.38) 丿о
Это и есть одна из формулировок второго закона термодинамики. Неравенство (13.38) называется неравенством Клаузиуса. Однако на практике удобней пользоваться эквивалентным (13.38) равенством
TdS = 8Q + W^ dt,(13.39)
где W^ — функция диссипации (функция рассеивания}. Очевидно, что
ТУ*》0,(13.40)
причём равенство (13.40) относится к обратимым процессам.
Неравенство (13.38) вместе с первым законом термодинамики (12.17) приводит к ещё одному неравенству:
TQdS^dE + pQ dК(13.41)
При обратимом процессе величины ро и ^о связаны уравнением состояния, так что
TdS = dE+pdV.(13.42)
Соотношение (13.42) называется термодинамическим тождеством и является следствием первого и второго законов термодинамики. Для необратимых же процессов данное тождество принимает вид неравенства (13.41), которое согласно (13.39) можно переписать в виде равенства
TdS = dE + pdV + W4t.(13.43)
Запишем размерность энтропии (см. (13.15)): [S] = [Rq\ = =[к] = [/(2)»т = М^Т-©-1.
В 1877 г. Людвиг Больцман ввёл в теорию теплоты статистическое представление 9 . Он использовал понятие термодинамической вероятности W. В отличие от математической вероятности 夕，изменяющейся в пределах 0 < р < 1, термодинамическая вероятность W всегда больше единицы (W > 1). Состояние системы, соответствующее фиксированным значениям термодинамических параметров состояния Т,从储 может быть
описано определённым числом механических состояний W, параметрами которых служат, например, обобщённые координаты и импульсы (см. лекцию 16). Коротко можно сказать, что W — число микроспособов реализации данного макроскопического состояния системы. Таким образом, величина W тем больше, чем более беспорядочным является состояние системы с точки зрения параметров, описывающих механическое движение молекул этой системы.
Каждому значению термодинамической вероятности W, по Больцману, соответствует некоторая величина S(W). Суммарная энтропия S двух систем будет равна
S = SA + SB. (13.44)
Для термодинамической же вероятности суммарной системы, очевидно, выполняется равенство
% =(13.45)
Таким образом,
5(% • %) = 5(%)+ 5(%).(13.46)
Решением функционального уравнения (13.46) является
S = k\nW.(13.47)
Формула (13.47) называется формулой Больцмана. Она высечена на памятнике Больцману в Вене.
Докажем, что в (13.47) к — постоянная Больцмана, введённая в лекции 12. В самом деле, для совершенного газа из (13.40) имеем
TdS = cv dT + pdV.(13.48)
Отсюда
dT 夕dT dVn
dS = cv — + — dV = cv — + A。— = cv d\nT + Rq din V.
(13.49)
Следовательно, для совершенного газа энтропия имеет вид
S = cvln (7V「+ const.(13.50)
Для изотермического процесса из (13.49) имеем
Решая уравнение (13.51), получим
= А()1* = к1時.(13.52)
Последнее равенство в (13.52) следует из (13.47).
Если N — число Авогадро, т. е. число молекул в одном моле вещества, то математическая вероятность pN найти все молекулы в объёме 吒 (если газ занимает больший объём 匕) будет (Vi/V^)N, а вероятность рп найти в 打 ровно п молекул равна
где 弋—число сочетаний из N по п. Вероятность найти все молекулы в объёме 匕 равна также W\/W^. Воспользуемся этим результатом, чтобы преобразовать выражение (13.52), полагая в нём & = const, & = S:
S = k喘= kln ⑶小哈 (13.54)
Наконец, сравнивая (13.54) с (13.52), получим
kN = Rj(13.55)
Равенство (13.55) может быть получено из (12.10) и (12.13) при определении постоянной Больцмана, что и доказывает утверждение.
Заметим, что из (13.49) и (13.52) следует W 1 и S т 0 при Т — 0. Однако теорема Нернста утверждает, что никакую систему нельзя охладить до абсолютного нуля. Иногда это утверждение называют третьим законом термодинамики. Он используется главным образом в физике низких температур.
Нулевым законом термодинамики часто называют параметризацию состояния теплового равновесия. Говорят, что две системы, каждая из которых пребывает в состоянии однородного термодинамического равновесия (все термодинамические параметры состояния Т,从広 постоянны), находятся в тепловом равновесии, если обе остаются в состоянии термодинамического равновесия после приведения их в контакт с помощью какого- либо устройства.
ЛЕКЦИЯ 14
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОСТУЛАТЫ МСС
Внимательный читатель наверняка обратил внимание на то, что в лекциях 12 и 13 отсутствует математическая строгость. Были введены без должного определения понятия температуры Т, тепла Q, использованы неопределяемые выражения “теплее”， “холоднее”，"тепловой кoнтaкт^^ и т. п. В лекции 12 первый закон термодинамики сформулирован как эквивалентность тепла и механической энергии, а в лекции 13 даны две формулировки второго закона термодинамики, которые не являются инвариантными относительно этой эквивалентности.
В литературе существуют попытки аксиоматического, т. е. строго математического, построения феноменологической термодинамики. Все эти попытки основаны на принятии принципа Каратеодори. Не будем здесь давать аксиоматическое построение термодинамики, однако проследим некоторые основные положения его структуры.
Под термином "система А” будем понимать некоторую систему, находящуюся в состоянии однородного термодинамического равновесия, т. е. характеризующуюся термодинамическими параметрами состояния А\, А^,..., ЛПА. Каждый из указанных параметров может быть тензором нулевого ранга (скаляром), тензором первого ранга (вектором), тензором второго ранга и т. д.
Пусть имеются две другие системы: В и С. Согласно нулевому закону термодинамики, если каждая из двух систем А и В находится в тепловом равновесии с С, то А находится в тепловом равновесии с В. Введём символ “〜” для отношения теплового равновесия между двумя системами. Пусть это отношение удовлетворяет следующим свойствам.
1°°. А А (рефлективность).
2°°. А В =^> В А (симметричность).
3°°. А В V В 〜С 4 〜С (транзитивность).
Тогда отношение теплового равновесия есть отношение эквивалентности. Таким образом, все системы разбиваются на классы эквивалентности, причём две системы типа А будут находиться
в одном классе тогда и только тогда, когда они находятся в тепловом равновесии друг с другом.
Среди различных типов термодинамических систем существуют такие, которые характеризуются всего одним скалярным термодинамическим параметром состояния 乌.Выберем одну из таких систем и будем её называть системой Э. Поэтому существует функциональная связь для системы каждого типа, например:
^э =夕厶(％1, • • •, ^па )，
Т?—夕 в (В1 , ♦ ♦ ♦ , Вп 8 ) ,f \ л 1 \
丁3 =夕с (а,..., Спс), такая, что две системы А и В находятся в тепловом равновесии тогда и только тогда, когда
丁3 =夕厶(4 , • • • , ^ПА )=夕8 (月1 , • • •,月八8 )•(14.2)
Таким образом, нулевой закон термодинамики приводит к определению нового параметра состояния 乌，который годится для всех термодинамических систем. Данный параметр называется эмпирической температурой и его удобно ввести как независимый параметр состояния, выразив через него, например, некоторый скалярный параметр:
4八厶=山厶(41, • • •, 4八厶一1,马)•(14.3)
Первый закон термодинамики, о котором шла речь в лекции 12, обеспечил введение понятий внутренней энергии Е и теплоты Q. При этом величина 6Q является энергией, переданной от одной системы к другой благодаря разнице эмпирических температур между ними. Для адиабатических процессов из (12.5) следует, что
dE + М(г) =0.(14.4)
Второй закон термодинамики служит для введения понятий абсолютной температурной шкалы и энтропии. Заметим, что соотношение (14.3) говорит о том, что каждый термодинамический параметр состояния, например внутренняя энергия Е, выражается через термодинамические параметры состояния в форме
Е = E{Ai,..., Ат, 7э)， т = пА - 1.(14.5)
В выражении работы внутренних сил тензорные величины 4, J,…，Ат можно считать обобщёнными перемещениями.
Соответствующие им обобщённые силы обозначим через Pj：
Vj =乃(4,, Ат,乌)，j = 1,..., m, (14.6)
так что m
6/⑴=£乃也.(14.7)
Обобщённые силы (14.6) связаны с обобщёнными перемещениями некоторыми определяющими соотношениями (уравнениями состояния). Если процесс равновесный и протекает так медленно, что каждая обобщённая сила (14.6) в любой момент соответствует уравнениям состояния, то из первого закона термодинамики (12.5) имеем
5Q = dE + Ь/⑴5Q = dE + Ь/⑴m=Em=EdAj + ^^ d乌.dAj + ^^ d乌.(14.8)(14.8)
5Q = dE + Ь/⑴
5Q = dE + Ь/⑴
m
=E
m
=E
dAj + ^^ d乌.
dAj + ^^ d乌.
(14.8)
(14.8)
Итак, согласно (14.8) для равновесных процессов величина 6Q — линейная дифференциальная форма (форма Пфаффа) независимых термодинамических параметров состояния.
Каратеодори дал следующую формулировку второго закона термодинамики.
Для любого состояния термодинамической системы существует как угодно близкое к нему состояние, которое не может быть достигнуто из исходного с помощью адиабатического равновесного процесса (принцип Каратеодори).
Так как для адиабатического равновесного процесса 6Q = О, то (14.8) становится уравнением в полных дифференциалах:
тт3歹dAj + —dT3 = 0.3歹dAj + —dT3 = 0.(14.9)(14.9)
т
т
3歹
dAj + —dT3 = 0.
3歹
dAj + —dT3 = 0.
(14.9)
(14.9)
Согласно принципу Каратеодори существуют близкие состояния, которые нельзя соединить с помощью решения уравнения (14.9). Каратеодори показал, что это означает интегрируемость формы Пфаффа (14.8), т. е. существуют функции v^A\,..., Ат, 7э) и М(4，…，Ат,乌)такие, что
или, подробнее:
Г \dA3+P4dA^ + di^dT3\ = 两也 + 広鹏.
””(14.11)
Функцию у{А\, ..., Ат, 7э) называют интегрирующим множителем формы Пфаффа, a M(Ai,..., Ат,7э) — ассоциированной функцией. Можно показать, что среди всех возможных интегрирующих множителей ^ существует единственный с точностью до константы множитель, зависящий только от температуры 乌. Его обозначают Т(乌)и называют абсолютной температурой. Это универсальная функция состояния, применимая ко всем термодинамическим системам. Ассоциированную к ней функцию обозначают S(A，…，Ат,乌)=S(“i,..., “加,Г) и называют энтропией рассматриваемой системы. Тогда уравнение (14.10) принимает вид
dQ = TdS = dE + d/⑴=寸(/ + О, ： % + |f dT
1(14.12)
Оно справедливо для любого равновесного процесса между соседними состояниями.
Итак, принцип Каратеодори (4) позволяет ввести энтропию и абсолютную температуру, не прибегая к модели совершенного газа и циклу Карно. Для газа же с уравнением состояния (12.23) из (14.12) имеем
+ Р+ РdV.dV.(14.13)(14.13)
+ Р
+ Р
dV.
dV.
(14.13)
(14.13)
В этом случае число независимых параметров состояния равно двум, следовательно, всякая форма Пфаффа имеет интегрирующий множитель. Из (14.13) получим
備)戸Т停)(14」4)
Легко проверить выполнимость соотношения (14.14) для совершенного газа (при выполнении (12.26) и (12.11)) и для газа Ван- дер-Ваальса (12.43).
Заметим, что любая функция от термодинамических потенциалов и термодинамических параметров состояния также будет термодинамическим параметром. Наряду с внутренней энер-
гией Е(у,…，也m,S) рассмотрим, в частности, следующие потенциалы [38, 39]:
—энтальпия (теплосодержание) Н = Н(В,..., Рт, S):
т
Н = Е + £2・：切；(14.15)
—свободная энергия Гельмгольца F =尸(“i,..., “加，Т):
F = E — TS; ~~ (14.16)
—термодинамический потенциал Гиббса G = G(B,…
• • • ,Т)：
G = H-TS.(14.17)
Используя формулировки первого (12.5) и второго (14.12) законов термодинамики, можно записать (14.7) в виде т
Ь/(2)= £ 匕：也勿(14.18)
получим термодинамическое тождество (13.40) в виде
т
dE = TdS — £p・.d 廿(14.19)
Чтобы перейти от одного термодинамического потенциала к другому, воспользуемся преобразованием Лежандра функции 夕(力 1, %2, • • •), дифференциал которой равен
d夕с 夕 с 夕 d%2 + ...三 X] dx 1 + X? d%2 + ♦ ♦ ♦ (14.20) UX\少力2
Преобразование Лежандра ставит в соответствие функции 夕(力 1,力2, •…)Другую функцию @(Xi, Х2,...) такую, что
◎=夕 一 Х\Х\ 一 X?力2 - • • •(14.21)
Тогда
d@ = d夕 一 X\ dx 1 一 X\ dX\ 一 X? dx? 一 力2 dX? — ...(14.22)
(14.23)(14.23)ТогдаТогдаТеперь можно перейти, например, от внутренней энергии Е к энтальпии (14.15), вводя
(14.23)
(14.23)
Тогда
Тогда
т
dE = -^P3 :d^+TdS,(14.24)
11 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
и из (14.19) и (14.15) получим
ттт
dH = dE + ^2 匕：d® + ^2 出：d 匕=T dS + ^^ 邑：d匕,
少=1j=ij=i
(14.25)
откуда
дН_дН _
as =，泥 J = 4
(14.26)
Аналогично для перехода Н — G имеем из (14.17)
и (14.25):
dG = dH -TdS - SdT = £邑：dP3 - SdT,
(14.27)
откуда
dG _dG _
(14.28)
Точно так же для перехода Е F из (14.16) и (14.24)
получим
dF = dE- TdS - SdT = ~^Р3 : d® — SdT,
(14.29)
°TKWa dFdF
(14.30)
Заметим, что термодинамические параметры ” и их потоки Pj должны задаваться при выборе модели.
Для описания моделей МСС удобнее использовать плотности рассматриваемых термодинамических функций и потенциалов. Чтобы выразиться точнее, запишем ещё раз формулировку первого закона термодинамики в виде (12.51)
dE + dK = М(е) + 5Q(14.31)
или в виде (12.5)
dE = -М(г) + 5Q.(14.32)
Запишем далее формулировку второго закона термодинамики в форме (13.39)
TdS = 6Q + W4t.(14.33)
Исключая bQ из (13.32) и (13.33), выпишем термодинамическое тождество, обобщающее (13.43):
dE = TdS- Ь/⑴-ТУ*必.(14.34)
Выражения для dK, 6/(«) и b/(") известны из соотношений (7.15), (7.21), (7.17), (7.18), (12.2). Запишем в интегральной форме неизвестные ещё выражения, входящие в формулировки первого (14.31) и второго (14.33) законов термодинамики. Назовём плотностью внутренней энергии е, плотностью энтропии 6 и плотностью рассеивания w* величины, определяемые следующим образом:
Е= pedV, S= psdV, %*= w^dV. (14.35) VVV
Чтобы записать выражение для величины 6Q, рассмотрим произвольный конечный объём V тела, ограниченный поверхностью X (рис. 48). Пусть в каждой материальной точке этого объёма задана массовая плотность тепла q, а на границе объёма на ка- ж дом элементе площади действует工(I 夕(每＜)(九)
q(八)_ нормальная составляющая (\
вектора потока тепла q:х/
qd) = qini = q- п. (14.36)Рис. 48
Тогда приток тепла 6Q в объёме V за промежуток времени dt будет равен
bQ = —必 q^d^ + dt pqdV,(14.37)
а в силу (14.36)
6Q = —dt q • nd^ + dt pq dV = dt {pq — div^) dV. (14.38) xVV
Знак минус в первом слагаемом правой части (14.37) объясняется тем, что нормаль п является внешней, а положительный поверхностный приток тепла должен быть направлен извне внутрь тела с объёмом V.
Заметим, что размерности вновь введённых величин таковы:
[e]=炉7-2,圆=12Г-2@-1 回=e2厂3 k(叫=mT-3
(14.39)
Итак, из (14.33) имеем в каждой материальной точке объёма V:力
рТ = pq- qi,i + w*.(14.40)
и*
Уравнение (14.40) называется уравнением притока тепла. Очевидно, что оно является дифференциальным следствием второго закона термодинамики.
Для большинства тел справедливы определяющие соотношения, связывающие вектор теплового потока q с градиентом температуры gradT. Эти соотношения называются законом теплопроводности Фурье:
-Д • grad Г, или 伉=—A“7j, (14.41) где Л — положительно определённый симметричный тензор второго ранга, называемый тензором теплопроводности. Используя (14.41), уравнение притока тепла (14.40) можно записать в форме ,
"寸=а+e广加+川• (14.42)
Первый и второй законы термодинамики формулируются в виде постулатов МСС.
Закон сохранения энергии (IV постулат МСС). Пусть С е 肤3 _ объём, занимаемый телом 6 актуальной конфигурации, V — произвольный жидкий объём 6 С, а X — его граница с единичной нормалью N. Тогда 6 любой момент времени
+ (，N).可—q(N、d£, (14.43)
или, учитывая теорему живых сил (7.20), zJ ггг
— pedV = (pq + pUDQ dV - q(N)dX. (14.44)
В самом деле, из (7.20), (7.21), (7.16)-(7.18) имеем
pF • V dV +pF • V dV +
pF • V dV +
pF • V dV +
(14.45)(14.45)+ «(N).不芯+ 迎力严.
(14.45)
(14.45)
Подставляя (14.45) в (14.43), получим (14.44).
Заменим в (14.43) поверхностный интеграл на объёмный с помощью теоремы Остроградского-Гаусса:
(«(N)•不—q(N))dX = ^P^v-q^Nzd^ =
= Vz (Fг • 17 - ^) dV = j (VzFz • v + P^D%3 - Vz ^) dV, (14.46) и получим в каждой точке объёма V:
Р(А%")=阳+(7 声 +屈)+
+ W%・ —储宀(14.47)
Учитывая уравнения движения сплошной среды (6.58), получим дифференциальное следствие закона сохранения энергии (четвёртого постулата МСС):
P^t=Pq — N、d + P'D 小(14.48)
Точно к такому же результату придём, если в (14.44) заменим поверхностный интеграл на объёмный:
(14.49)(14.49)q(N) dV = f #м d£ = I 储 q" dV,
(14.49)
(14.49)
и применим основную лемму.Постулат о притоке тепла (V постулат МСС). Пусть С G 肤3 — объём, занимаемый телом, 6 актуальной конфигурации, V — произвольный жидкий объём 6 С, а X — его границаи применим основную лемму.Постулат о притоке тепла (V постулат МСС). Пусть С G 肤3 — объём, занимаемый телом, 6 актуальной конфигурации, V — произвольный жидкий объём 6 С, а X — его границас единичной нормалью N. Тогда 6 любойс единичной нормалью N. Тогда 6 любойdtdtps dV =ps dV =' q（N）' q（N）”-小 Х +”-小 Х +момент временимомент времени(14.50)(14.50)
и применим основную лемму.
Постулат о притоке тепла (V постулат МСС). Пусть С G 肤3 — объём, занимаемый телом, 6 актуальной конфигурации, V — произвольный жидкий объём 6 С, а X — его граница
и применим основную лемму.
Постулат о притоке тепла (V постулат МСС). Пусть С G 肤3 — объём, занимаемый телом, 6 актуальной конфигурации, V — произвольный жидкий объём 6 С, а X — его граница
с единичной нормалью N. Тогда 6 любой
с единичной нормалью N. Тогда 6 любой
dt
dt
ps dV =
ps dV =
' q（N）
' q（N）
”-小 Х +
”-小 Х +
момент времени
момент времени
(14.50)
(14.50)
Последний интеграл в правой части (14.50) называется производством энтропии'.
и всегда неотрицателен. Покажем это.
Заменяя поверхностный интеграл в (14.50) на объёмный,Заменяя поверхностный интеграл в (14.50) на объёмный,и применяя основную лемму, получим дифференциальное следствие пятого постулата МСС — уравнение притока тепла:и применяя основную лемму, получим дифференциальное следствие пятого постулата МСС — уравнение притока тепла:(14.52)(14.52)
Заменяя поверхностный интеграл в (14.50) на объёмный,
Заменяя поверхностный интеграл в (14.50) на объёмный,
и применяя основную лемму, получим дифференциальное следствие пятого постулата МСС — уравнение притока тепла:
и применяя основную лемму, получим дифференциальное следствие пятого постулата МСС — уравнение притока тепла:
(14.52)
(14.52)
pT- = pq-\7^ + w\(14.53)
Согласно (13.40) w* 0, а в силу (13.25) Г > 0. Поэтому первое слагаемое подынтегрального выражения в (14.51) неотрицательно. Далее, согласно закону теплопроводности Фурье (14.41) производство энтропии S* записывается в виде
S* = J (Аdv》0.(14.54)
Тензор Л положительно определён, т. е. S* не может принимать отрицательные значения, что и доказывает неравенство (14.51).
Модель МСС, для которой w* = 0, называется обратимой. Из (14.51) и (14.54) видно, что производство энтропии не равно нулю и для обратимой модели, если только рассматривается необратимый процесс (теплопроводности).
Все пять постулатов МСС допускают запись в едином виде. Пусть а — некоторая скалярная либо векторная величина, т. е. тензор нулевого либо первого ранга. Тогда закон изменения этой величины представим в интегральной форме:
^ padV = pAdV+ B(N)dX+ CdV, (14.55) VVEV
где A — некоторый тензор того же ранга, что и а, называемый источником величины а; В^ — поток величины а:
В^ = B・N,(14.56)
где тензор В имеет ранг, на единицу больший, чем а; С — некоторый тензор того же ранга, что и а, называемый производством величины а, причём для скалярной величины а
С )0.(14.57)
Дифференциальное следствие интегрального соотношения (14.55) имеет вид
р^ = pA + DivB + C.(14.58)
Если А = 2(n)= С = О, то (14.55) называется законом сохранения величины Jy pa dV.
Для первого постулата (6.8) имеем
1, А == С
=о,
(14.59)
для второго постулата (6.34) a = v, A = F, g(N)=g(N),
с = о,
(14.60)
для третьего постулата (7.2)
a = fxv, A = fxF,= fx S^Nl C = 0,
(14.61)
для четвёртого постулата (14.44)
〃 = A = pq + PZJDlv B^ = -q для пятого постулата (14.50)
a = s, A =B(N)= _^J,
Как уже было отмечено, в задачах
(N), С = о, w* q^iT МСС удобней
(14.62)
(14.63)
пользо-
ваться плотностями е, s термодинамических потенциалов Е, S (14.35). Это же относится и к теплоёмкостям cv (12.20) и ср (12.21). Будем пользоваться массовыми плотностями этих вели
чин и называть их для сокращённости просто соответствующими теплоёмкостями:
= pcv dV, ср = рср dV.(14.64)
В силу (12.13) из (14.64) следует другое определение величин cv
笳网65)
В самом деле, при малых, но конечных величинах V из (14.64) следует: cv = pcvV.
ЛЕКЦИЯ 15
НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Вооружившись знанием пяти основных постулатов МСС, вновь сформулируем рассмотренные ранее основные модели сплошных сред, но уже с учётом неизотермических процессов.
Выпишем дифференциальные следствия известных постулатов. Из постулата о сохранении масс имеем уравнение неразрывности (6.10)
^ + pdivv = 0.(15.1)
Следствием постулата об изменении количества движения являются уравнения движения сплошной среды (6.58)
Р^ = VZF' + pF.(15.2)
При этом согласно постулату об изменении кинетического момента тензор напряжений Коши (6.55)
Е =屋㊂戸=W屋0局(15.3)
оказывается симметричным.
Дифференциальным следствием первого закона термодинамики (14.48) является уравнение сохранения энергии
p^=pq-Awq + P^DZJ,(15.4)
а следствием второго закона термодинамики — уравнение притока тепла (14.58)
/)Т— = pq — div q + w*.(15.5)
Рассмотрим вначале модель идеальной жидкости, под которой будем понимать обратимую среду (w* = 0), обладающую шаровым тензором напряжений (9.6):
=—夕 g吃(15.6)
Тогда изменение работы внутренних сил Ь/("), учитывая (15.1), (15.6), можно записать в виде
ь/⑴=-dt Р“О叮 dV = ba⑴ dV,(15.7)
где
ba ⑴=-dtPlWl3 = dtpG”Du = dtpdivv =
=—-dp = ppd -. (15.8) PP
Для идеальной жидкости уравнения движения (15.2) называются уравнениями движения Эйлера (9.9):
4| = _； grad夕+ 户.(15.9)
Уравнение сохранения энергии (15.4) согласно (15.7), (15.8) при
мет вид
(15.10)(15.10)= а —div 矿
(15.10)
(15.10)
а уравнение притока тепла (15.5) для произвольной обратимой среды будет следующим:
0丁^ = pq-Aivq.0丁^ = pq-Aivq.(15.11)(15.11)
0丁^ = pq-Aivq.
0丁^ = pq-Aivq.
(15.11)
(15.11)
Для совершенного газа имеется определяющее соотношение (уравнение состояния) (12.9). Согласно (12.25) и (14.35) внутренняя энергия Е и её плотность е приобретают вид
(15.12)(15.13)(15.12)(15.13)Е = cvT + const, ре = pcvT + const.Подставляя (15.12) в уравнение (15.10), получимdT-丄夕%9
(15.12)
(15.13)
(15.12)
(15.13)
В случае несжимаемости (dp/dt = 0), учитывая закон теплопроводности Фурье (14.41) для изотропной среды
А叮=Ab叮，仇=—AT,e ,(15.14)
получим из (15.13) уравнение теплопроводности
^― = pq + ЛАТ,(15.15)
которое с учётом (15.11) можно записать в виде
рТ^ = pq + NXT.(15.16)
Сравнение уравнений (15.15) и (15.16) для несжимаемойСравнение уравнений (15.15) и (15.16) для несжимаемойсреды даёт связьсреды даёт связьdTdt，dTdt，(15.17)(15.17)откуда находим выражение плотности энтропии для несжимаемой идеальной жидкости:s = cv\nT + const.(15.18)откуда находим выражение плотности энтропии для несжимаемой идеальной жидкости:s = cv\nT + const.(15.18)Для сжимаемой идеальной жидкости (идеального газа) внутренняя энергия Е и её плотность зависят от двух параметров состояния:E = E(S,B), е = e(s/)・ (15.19)Для сжимаемой идеальной жидкости (идеального газа) внутренняя энергия Е и её плотность зависят от двух параметров состояния:E = E(S,B), е = e(s/)・ (15.19)Тогда из сравнения (15.10) и (15.11) получаемТогда из сравнения (15.10) и (15.11) получаемde = Т ds + —5 dp, Р2de = Т ds + —5 dp, Р2откуда имеемоткуда имеемТаким образом, замкнутую систему уравненийТаким образом, замкнутую систему уравнений(15.20)(15.21)для совер(15.20)(15.21)для совершенного газа при неизотермических процессах составляют три уравнения движения Эйлера (15.9), два уравнения состояния (15.21), уравнение неразрывности (15.1) и уравнение притока тепла (15.11) (или (15.16)), т. е. всего семь уравнений относительно семи неизвестных: v,夕，р, s, Т.Для совершенного газа известно выражение для энтропии (13.50):S = In(7V)t) + const. (15.22) Полагая термодинамические параметры для некоторого состояния фиксированными: Sq, Tq, Vq, запишем (15.22) в видешенного газа при неизотермических процессах составляют три уравнения движения Эйлера (15.9), два уравнения состояния (15.21), уравнение неразрывности (15.1) и уравнение притока тепла (15.11) (или (15.16)), т. е. всего семь уравнений относительно семи неизвестных: v,夕，р, s, Т.Для совершенного газа известно выражение для энтропии (13.50):S = In(7V)t) + const. (15.22) Полагая термодинамические параметры для некоторого состояния фиксированными: Sq, Tq, Vq, запишем (15.22) в виде=Inили, для плотности энтропии:=Inили, для плотности энтропии:InIn(15.23)(15.24)(15.23)(15.24)
Сравнение уравнений (15.15) и (15.16) для несжимаемой
Сравнение уравнений (15.15) и (15.16) для несжимаемой
среды даёт связь
среды даёт связь
dT
dt，
dT
dt，
(15.17)
(15.17)
откуда находим выражение плотности энтропии для несжимаемой идеальной жидкости:
s = cv\nT + const.(15.18)
откуда находим выражение плотности энтропии для несжимаемой идеальной жидкости:
s = cv\nT + const.(15.18)
Для сжимаемой идеальной жидкости (идеального газа) внутренняя энергия Е и её плотность зависят от двух параметров состояния:
E = E(S,B), е = e(s/)・ (15.19)
Для сжимаемой идеальной жидкости (идеального газа) внутренняя энергия Е и её плотность зависят от двух параметров состояния:
E = E(S,B), е = e(s/)・ (15.19)
Тогда из сравнения (15.10) и (15.11) получаем
Тогда из сравнения (15.10) и (15.11) получаем
de = Т ds + —5 dp, Р2
de = Т ds + —5 dp, Р2
откуда имеем
откуда имеем
Таким образом, замкнутую систему уравнений
Таким образом, замкнутую систему уравнений
(15.20)
(15.21)
для совер
(15.20)
(15.21)
для совер
шенного газа при неизотермических процессах составляют три уравнения движения Эйлера (15.9), два уравнения состояния (15.21), уравнение неразрывности (15.1) и уравнение притока тепла (15.11) (или (15.16)), т. е. всего семь уравнений относительно семи неизвестных: v,夕，р, s, Т.
Для совершенного газа известно выражение для энтропии (13.50):
S = In(7V)t) + const. (15.22) Полагая термодинамические параметры для некоторого состояния фиксированными: Sq, Tq, Vq, запишем (15.22) в виде
шенного газа при неизотермических процессах составляют три уравнения движения Эйлера (15.9), два уравнения состояния (15.21), уравнение неразрывности (15.1) и уравнение притока тепла (15.11) (или (15.16)), т. е. всего семь уравнений относительно семи неизвестных: v,夕，р, s, Т.
Для совершенного газа известно выражение для энтропии (13.50):
S = In(7V)t) + const. (15.22) Полагая термодинамические параметры для некоторого состояния фиксированными: Sq, Tq, Vq, запишем (15.22) в виде
=In
или, для плотности энтропии:
=In
или, для плотности энтропии:
In
In
(15.23)
(15.24)
(15.23)
(15.24)
Тогда из (15.24) можно выразить температуру:
и из (15.12) найти выражение для плотности внутренней энергии:
е = cvTq (е) exp ^-———^ + const. (15.26)
Определим теперь модель ньютоновской вязкой жидкости как необратимую среду, для которой плотность свободной энергии Гельмгольца / зависит от двух параметров состояния:
/ = Ж，^),(15.27)
а тензор напряжений Коши имеет вид (9.47)
рз =—夕 g" + t&(15.28)
где тензор uвязкиx^^ напряжений г — линейная тензорная функция от тензора скоростей деформаций (9.49):
= Aidivi7G^ + 2^GlkGjlDki，(15.29)
Из (15.8), (15.27) и (15.28) следует, что для вязкой жидкости изменение плотности работы внутренних сил имеет вид
8а ⑴=--dp — dt r^Dij =勿 d，) + Ai(div?7)2 + 2/iitr D2,
(15.30) где
D = G、kGnD^Dki.(15.31)
Разлагая тензор D на шаровую часть и девиатор。
_1
Dij = Dij + gdivi/G 叮，(15.32)
получим
02 = 0^ + ； (div不)2,(15.33)
где Ои — интенсивность тензора скоростей деформации
5 =而歹(15.34)
Из термодинамического тождества (14.34) и определения (14.16) следует
dF + SdT = -8^ -W4t,(15.35)
что можно записать и в терминах соответствующих плотностей:
pdf + ps dT = —ba⑴—w*dt.(15.36)
Из (15.36), (15.30) находим
pdf + psdT = ^dp + dt丁叮。叮一川必.(15.37)
Принимая во внимание определение модели вязкой жидкости (15.25), из (15.37) получим
и выражение для плотности функции рассеивания
w* =产0叮=卜1 + |从1) (divg2 + 2从1，.(15.39)
Уравнения движения (15.2) для вязкой жидкости выведем, используя определяющие соотношения (15.28), (15.29). Эти уравнения имеют вид (9.52)
р— = — gradp + (Ai + 从i) graddiviJ + 从i△不 + pF. (15.40)
Итак, замкнутую систему уравнений вязкой ньютоновской жидкости составляют три уравнения движения (15.40), два уравнения состояния (15.38), уравнение неразрывности (15.1) и уравнение притока тепла (15.5), которое с учётом закона Фурье можно переписать в виде
pT— = pq + AAT + w\(15.41)
При этом функция рассеивания w* выражается формулой (15.39), а компоненты тензора скоростей деформации Dij связаны с компонентами вектора скорости соотношениями
D^ = ；(▽*/ +(15.42)
Поэтому функция рассеивания в уравнении притока тепла (15.41) выражается с помощью (15.32)-(15.34), (15.41) через компоненты вектора скорости v и имеются, как и в идеальной жидкости, семь уравнений относительно тех же семи неизвестных: Я,夕，р, s, Т.
Из (15.39) видно, что w* положительно определена, если
2
》1 + дМ1》。，АМ〉0.(15.43)
Если жидкость несжимаема, то уравнения Навье- Стокса (15.40) принимают вид (9.54)
—-gradp + 〃△不 + F = 歹，(15.44)
pdt
где 〃 = 〃i/0〉O — коэффициент кинематической вязкости, а функция рассеивания (15.39)
川=2从1厅(15.45)
положительно определена при 从i > 0.
Заметим, что модель вязкой жидкости можно задать не с помощью плотности свободной энергии Гельмгольца (15.27), из которой следуют определяющие соотношения (15.38), а с помощью плотности внутренней энергии (15.19), следствиями которой являются определяющие соотношения (15.21).
Дадим теперь определение линейного упругого тела для неизотермических процессов [19]. Моделью такого тела назовём обратимую среду (w* = 0), для которой свободная энергия Гельмгольца — функция температуры и тензора малых деформаций:
F = F^T\(15.46)
Воспользуемся гипотезой Дюгамеля-Неймана, которая заключается в том, что что аргументом в (15.46) может служить комбинация механической деформации и перепада температуры: 斗=&叮—•也(15.47)
Здесь а叮—компоненты симметричного тензора теплового расширения, а 户一перепад температуры, т. е. разность между текущей температурой Т и некоторой постоянной Tq 9 :
# = Т —Г.(15.48)
Представим тогда функцию / в виде
/ = /0(7) + f(门，(15.49)
выделив аддитивную составляющую /о(Т), зависящую лишь от температуры ). Чтобы определяющие соотношения упругой среды были линейными, естественно выбрать свободную энергию
Постоянная То вводится в связи с недостижимостью абсолютного нуля Т = 0 (третий закон термодинамики).
квадратичной функцией uтeмпepaтypнoй^^ деформации 互丁：
0/ = аЫТ) + Г 汴*石，(15.50)
где C'iki — компоненты тензора четвёртого ранга, обладающего симметрией:
(jijkl _ с〃к/ _ ^jijlk _ ^jklij(]5 5])
которая следует из записи (15.50).
Формула (15.7) записывается в виде
Ь/⑴=- Р叮^々з dV = ba⑴ dV.(15.52)
Выберем для простоты прямоугольную декартову систему координат. Тогда тензор напряжений Коши Р можно записать как а и из (15.52) и (15.8) будем иметь
ba ⑴=—dt а^е'ij = —Oijdwij.(15.53)
pdf + ps dT = (Jijdsij.pdf + ps dT = (Jijdsij.(15.54)(15.55) диффе-(15.56)(15.57)(15.54)(15.55) диффе-(15.56)(15.57)Уравнение (15.36) для обратимой упругой среды примет вид
pdf + ps dT = (Jijdsij.
pdf + ps dT = (Jijdsij.
(15.54)
(15.55) диффе-
(15.56)
(15.57)
(15.54)
(15.55) диффе-
(15.56)
(15.57)
Подставляя в (15.54) выражение (15.49), получим
— a“・dT) + ps dT = oijdwij.
Приравняем в (15.55) коэффициенты при независимых ренциалах dT и d^ij:
—06,—06,
—06,
—06,
Очевидно, что соотношения (15.56), (15.57) годятся для плотности свободной энергии Гельмгольца, произвольно зависящей от тензора 互丁. Если же воспользоваться представлением (15.50), то из (15.57) получим
。切=С汴/(£/с/ — Q/cW), (15.58)
а из (15.56), (15.57) будет следовать выражение энтропии для
упругого тела:
Об = —0 君 +(15.59)
Обозначим теперь аналогично /о аддитивные составляющие плотности энтропии и внутренней энергии, зависящие только
от температуры, через б。и во соответственно. Назовём теплоёмкостью cv предел при постоянной деформации'.
=(15.60)
Тогда из формулировки первого закона термодинамики
dE = dQ- М(г)(15.61)
и из (15.60) следует, что
(15.62)
Теплоёмкость
при постоянном напряжении
обозначим че-
рез ср:
(15.63)
Учитывая, что
е = f -Ts,
(15.64)
а также
_刃_刃0
-—万6。= 一万
(15.65)
получим для теплоёмкостей:
де
-7虫+ 6+包=7虫=_7艺 一+ эт~ эт~ д】
^(15.66)
(15.67)
Тогда из (15.59)
имеем
P^v = рСр — TaijCijklQkl = рСр — Та 叮仇力
(15.68)
где
(15.69)
Таким образом, из (15.67) получим г
-* = ] ^dT = cp\n^ = cp\n +(15.70)
То
Здесь использован закон Дюлонга-Пти\ теплоёмкость твёрдых тел является постоянной при температурах, превышающих так называемую дебаевскую температуру, которая для большинства кристаллов не более 100°-200° К.
Следовательно, для плотности энтропии упругих тел справедливо выражение
pS = рСр 1п — к = рСр 1п — к 叮( 15.71)
Если перепад температуры невелик "«7})), то из (15.70) и (15.71) следует
pS = рСр— к aijCbjklWkl —♦
°°(15.72)
Так как уравнение притока тепла (15.41) для анизотропного
тела имеет вид
(15.73)(15.74)(15.71),(15.75)(15.76)(15.77)(15.73)(15.74)(15.71),(15.75)(15.76)(15.77)ds
(15.73)
(15.74)
(15.71),
(15.75)
(15.76)
(15.77)
(15.73)
(15.74)
(15.71),
(15.75)
(15.76)
(15.77)
рт 衣=pq + A〃Z 叮 +
а упругая среда обратима, то, учитывая соотношение ds_P£pdT
pdt ~ т dt
получающееся дифференцированием по времени и (15.73), запишем
дТ
= 04 + A〃Z〃•一 T^aijaij),
или
дТ
дт.
= oq + A“Z 叮—тj 8i：j.
Уравнения движения для упругой среды записываются в виде (10.2)
，~^^ = 0% + pFi,(15.78)
или, с учётом (15.58) и соотношений (5.5),
Р ^2 = Cij^iu^ ij — AjTj +。兄.(15.79)
Итак, замкнутая система уравнений связанной задачи термоупругости состоит из трёх уравнений движения (15.79) и уравнения притока тепла (15.77) (последнее слагаемое в (15.77) можно записать в форме —Т%・％・)относительно четырёх переменных: щ, Т. В большинстве случаев последним слагаемым в правой части (15.77) пренебрегают из-за малости безразмерных величин Тaij. Поэтому, например, для изотропной среды уравнение
притока тепла выглядит так: дт
= PQ ЛАТ.(15.80)
ас
Видно, что уравнение теплопроводности (15.80) может быть решено отдельно (с учётом соответствующих граничных условий и начальных данных), а после этого, зная температуру, необходимо решить уравнения движения (15.79). В этом случае задача термоупругости носит название несвязанной. Для изотропной среды уравнения (15.79) примут вид
ри- = X% + /idui — ЗаКТь + pFi,(15.81)
поскольку в изотропном случае
Bkl = Q^jCijkl = 0^5ij [X^ij^kl + l^{^ik^jl + ^jk^il}]
=a(3Xdki + 2〃b加=ЗаКЬк/. (15.82)
Отметим, что в задачах термоупругости надо различать адиабатические модули упругости и изотермические. В соотношениях (15.58) фигурируют изотермические модули 0盯露 ибо они определяются экспериментально при постоянной температуре. В этом случае соотношения (15.50) записываются в виде
pS + w,pS + w,(15.83)(15.83)
pS + w,
pS + w,
(15.83)
(15.83)
состоя- введёмсостоя- введём(15.85)(15.85)(15.86)(15.86)(15.87)(15.87)
состоя- введём
состоя- введём
(15.85)
(15.85)
(15.86)
(15.86)
(15.87)
(15.87)
где W — упругий потенциал:
W = pf=^Cljkl^(15.84)
Для того чтобы вычислить адиабатические модули С^,
нужно перейти от пары термодинамических параметров ния Г, € к паре s,互.В этих целях согласно (15.64) плотность внутренней энергии
0£ = 2^ijkl {^ij — ^ij^){^kl — Q/c 川)一
Г
—pCpTIn 亍仇jT(%j — а”#)’
выразим из (15.72) перепад температуры
= -{ps -仇干叮)
и подставим в обобщённый закон Гука (15.58):
Oij = Cijkl&kl — Aj (PS — 0kl£kl) •pCv
12 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
Из сравнения (15.58) и (15.87) находим значения адиабатических модулей:
С”См + >(15.88)
Можно поступить и по-другому. При постоянной плотности энтропии из (15.86) имеем
户=—^ijeij + const.(15.89)
P^v
Тогда из (15.64), учитывая малость величин &“•# (пренебрегаем членами с их квадратами), получим
〜 〜 1
= pf = 2 ^ijkl^ij^kl — CijkiaijEklB + COFLSt =
=2 Cijkl&ij£kl + Pkl^kl ^ h COFLSt =
=；Cffki£ij£ki + const. (15.90)
Таким образом, при адиабатическом процессе упругий потенциал 1Уад совпадает со значением ре, так что
ре = рсрТ + 1Уад.(15.91)
ЛЕКЦИЯ 16
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Рассмотрим в пространстве R3 систему из N материальных точек с массами та, а = 1,…，N, движение которых описывается радиусами-векторами
及⑴=%3q-2M +力3q-i后+力3a爲•(16.1)
Скорости частиц равны
巾⑴=霏・(16.2)
Вся система, очевидно, имеет 3N степеней свободы, так что можно выбрать обобщённые координаты q:
Q = {% ⑴,42⑴，…，％№«)}，(16.3)
задание которых полностью характеризует положение всех точек в любой момент t, и построить набор обобщённых скоростей q\
0 = {%⑴,经⑴,…，4n⑴}•о6/)
Компоненты радиусов-векторов х^ связаны с обобщёнными координатами qi с помощью невырожденного преобразования
力k = %k(q/, i,k = \,... ,3N.(16.5)
Кинетическая энергия К системы точек имеет следующий вид 1):
]N] 3N
К = D ^2 mc^\va |2 = 2W(k)(力k)2 =
q=1k=l
=3e6，出^嘗4%三扌仇/(q)4%, (16.6)
1)Для сокращения записи в этой и следующей лекциях (в отличие от других) суммирование по повторяющимся два раза малым латинским индексам производится не от 1 до 3, а от 1 до 3N.
и представляет собой положительно определённую квадратичную форму, построенную на обобщённых скоростях, с коэффициентами b叮，зависящими от обобщённых координат. Потенциальная энергия U системы зависит от обобщённых координат и, вообще говоря, времени:
U(q," =。(％,史，(16・7)
Введём в рассмотрение функцию Лагранжа L:
E(q,q・J) = K{q,q) - U(q,“，(16.8)
зависящую явно от времени, а также от обобщённых переменных и обобщённых скоростей; 6^ переменных {q, q} называются лагранжевыми переменными.
Из аналитической динамики известно, что для консервативных систем имеют место 3N обыкновенных дифференциальных уравнений
(16.9)
относительно переменных q〃, называемые уравнениями Лагранжа второго рода.
Наряду с лагранжевым формализмом используется и гамильтонов формализм. Для этого соотношениями
Pi =历，p =，02⑴，…，。3N ⑴}，(16.10)
вводится набор 夕 обобщённых импульсов р^ и с помощью преобразования Лежандра
H(q,夕丿)=q初一 E(q,。/).(16.11)
определяется функция Гамильтона Н. Она может явно зависеть от времени и 6^ гамильтоновых переменных {q,夕}. Следовательно, её дифференциал записывается в виде
1ТТ эн 7 эн 7 ан 口
dH = —— dqi -|—-— dpi H—dt.(16.12)
dqi dpi dt
С другой стороны, из (16.10) и (16.11) следует, что
dH = ^： dp. + Я dqi -^dq.-^dq.-9^ dt
=Qi dpi — ^- dqi — -^ dt. (16.13)
Приравняем в правых частях (16.12) и (16.13) коэффициенты при независимых 6N + 1 дифференциалах d伉，dpi и dt:
дН dL дН дН dL
狐 j(16・14)
и выразим из (16.9), (16.10) dL/dqi：
dL •
Таким образом, из (16.14), (16.15) получим систему 6^ канонических уравнений Гамильтона'.
.дН . дН
% К /(©б)
Так же как и уравнения Лагранжа (16.9), уравнения (16.16) являются обыкновенными относительно 6^ гамильтоновых переменных {q,夕}. Для решения системы (16.16) необходимо задать начальные условия
力=0： Qi = Qi， Pi = Р^(16.17)
Тогда решениями будут наборы q п р:
q = 4(4°,夕°丿)，р = p^°,p°,t).(16.18)
Если существуют такие функции ga{q,p, t), что вдоль решений (16.18) уравнений Гамильтона
%(〃 夕/) = Са = const,(16.19)
то ga называются первыми интегралами уравнений (16.16). Если размерность g совпадает с размерностью энергии, то первый интеграл (16.19) называется интегралом энергии.
Гамильтоновы переменные, не входящие в число аргументов функции Я, называются циклическими. Если m — число циклических переменных (т < 6^), то сразу можно написать т первых интегралов. Действительно, пусть, например, переменные % и 夕2 циклические, т. е. dH/dq\ = 0 и дН/др^ = 0. Но тогда из уравнений (16.16) следует, что pj = 0 и ^2 = 0. Поэтому функции gi(q,夕，方)=夕1 и 92(4,夕，方) = 42 являются первыми интегралами.
Разделим обе части соотношения (16.12) на dt и воспользуемся уравнениями (16.16):
dH дН дН дН
_ ЖЖ _ дН дН дН _ дНdqi dpi dpi dqi + dt ~ dt ''
т. e., если H не зависит явно от времени (такие системы называются склерономными), то и dH/dt = 0, что говорит о существовании интеграла энергии
Н = К + U = h = Const,(16.21)
где h — полная энергия системы.
Для описания движения системы N точек в R3 можно ввести фазовое пространство Г размерности 6N. Точка (q,夕)G Г в этом пространстве соответствует некоторому состоянию системы. В этом фиксированном состоянии система описывается обобщёнными координатами %,该，…，Q3N и обобщёнными импульсами р\,р^,... ,p3N. Траектория в фазовом пространстве Г означает движение системы с параметрами S ⑴,42 ⑴，…，Q3N ⑴;。1 ⑴，夕2 ⑴，…，P3N ⑴• Начальная точка траектории соответствует параметрам (16.17) при t = 0.
Фиксируем в Г конечный объём А^Ар и достаточно большой промежуток времени (0;方i). Будем следить за теми промежутками времени 方о, когда фазовая траектория находится внутри данного выделенного объёма. Тогда при 方i т оо величина
w = lim —(16.22)
является вероятностью попадания фазовой траектории в объём △q△夕 при t > 0. Если теперь взять бесконечно малый объём
d) = dq dp = dqi …dq3Ndp\ ... dp3N, (16.23) то величина dw пропорциональна dy
dw = f{q,p, t) ^7 = f(q,p,t)dqdp.(16.24)
Коэффициент пропорциональности f{q,p, t) в (16.24) представляет собой плотность вероятности нахождения траектории системы внутри малого объёма dq. Вероятность нахождения
(16.25)(16.25)траектории внутри макрообъёма 7 С Г выражается интегралом
(16.25)
(16.25)
m)) = /("0，方)S= f{q,p,t) dqdp.
77
Необходимо отметить следующие свойства функции /.
Вероятность нахождения траектории во всём пространстве Г в любой момент t равна единице:
f{q,p,t) dqdp = 1. гf{q,p,t) dqdp = 1. г(16.26)(16.26)
f{q,p,t) dqdp = 1. г
f{q,p,t) dqdp = 1. г
(16.26)
(16.26)
Вероятность выхода траектории на границу АГ равна нулю. Другими словами, граница фазового пространства недостижима:
(q,夕)G АГ :/(q,夕/) = 0.(q,夕)G АГ :/(q,夕/) = 0.(16.27)(16.27)
(q,夕)G АГ :/(q,夕/) = 0.
(q,夕)G АГ :/(q,夕/) = 0.
(16.27)
(16.27)
Как и у любой функции времени и гамильтоновых переменных, полная производная по времени df /dt в силу канонических уравнений Гамильтона (16.16) представима в виде
遊=包旦 包二红红也_ 2ldH =
dt dt 3伉"3夕产dt Oqi Opi dpi dqi
= ^ + [/,H], (16.28)
где использовано обозначение
[A{q,p),B{q,p)]=[A{q,p),B{q,p)]=дАдВ dqi dpiдАдВ dqi dpiалавdpi dqiалавdpi dqi(16.29)(16.29)
[A{q,p),B{q,p)]=
[A{q,p),B{q,p)]=
дАдВ dqi dpi
дАдВ dqi dpi
алав
dpi dqi
алав
dpi dqi
(16.29)
(16.29)
называемое скобками Пуассона функций А п В.
Рассмотрим векторное пространство 赎” элементами которого являются векторы R с компонентами (^1,... ,p3N). Векторы скорости V (^,р) в этом пространстве имеют вид
V ="r =(仇①,夕),...，4N(q,夕)，M(q,夕)，…，夕3n(〃夕)} (16.30)
Фазовое пространство Г представляет собой 6^-мepный жидкий объём в 赎Y Аналогом плотности р этого жидкого объёма будет служить плотность вероятности /. Тогда "уравнение неразрыв-
нocти^^ в каждой точке (q,夕)6 Г в любой момент времени t записывается по аналогии с (6.10)
^ + /div* = 0.(16.31)
Но, используя уравнения (16.16), имеем
_ а% 分弘^ A% dp3N _
а2Яа2Я а2Яа2Я с
dpi dqi … dp3N dq3N dqi dpi … dq3N dp3N '
(16.32)
Таким образом, из (16.31) и (16.32) следует
^ = 0,(16.33)
т. е. для истинного движения системы при любых начальных условиях плотность вероятности /(q,夕，方)постоянна. В этом состоит утверждение теоремы Лиувилля. Подставляя (16.33) в (16.28), получим основное уравнение статистической механики —уравнение Лиувилля'.
* + [/, Н] = 0.(16.34)
Уравнение (16.34) является линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка для функции f(q,p, t) с переменными коэффициентами. Эти коэффициенты известны, если задана функция Гамильтона Н. ^Tpaничным^^ условием для / является требование (16.27), а в качестве начального условия можно взять следующее:
方=0： /(4 夕,0)=/0(5夕)，(16.35)
причём функция /о, зависящая от 6^ переменных, задана. Решение начально-краевой задачи (16.34), (16.27), (16.35) и нахождение функции / представляют собой основную задачу статистической механики.
Назовём интеграл
MF =⑺=F{q,p, t)f{q,p, t) dqdp (16.36) г
математическим ожиданием величины 尸(q,夕,方)，или её средним статистическим значением, или средним по ансамблю.
Оно зависит лишь от времени. Так, среднее по ансамблю от функции Гамильтона есть полная энергия системы:
МН = Е.(16.37)
Дисперсией F{q,p, t), или моментом второго порядка F{q,p, t), называется величина
DF = m(f-MF)2 =((f-①炉).(16.38)
Можно определить и другие средние значения £ например среднее по времени
力0
_1 f
F(to) = lim —尸(q⑴，夕⑴，t) dt. (16.39)
to
Если F не зависит от to G [0;То], то говорят, что система при t < То находится в равновесном состоянии. Множество равновесных состояний системы при фиксированных внешних макроскопических условиях носит название равновесного ансамбля этой системы.
Статистическая механика применительно к МСС оперирует средними значениями детерминированных функций [15]. В статистически однородных системах для любой функции F
①)=戸，(16.40)
т. е. среднее по ансамблю совпадает со средним по времени. В этом заключается известная в теории вероятностей гипотеза эргодичности. В рамках данной гипотезы все средние значения разумно трактовать как макроскопические параметры, которые можно измерить в экспериментах.
Образуем формально из 3N обобщённых координат q векторы 办…，衣 с компонентами
41 =(41,42, 4з)，Qn = (^з^-25 ^з^-15 ^з^)(16.41)
и назовём условной вероятностью функции F(q,p,t) величину
尸(元"= F(q,夕丿)/(%,...,3, 43q+1，夕)dq dp,
J(16.42)
Q = 1,N.
В (16.42) в числе аргументов плотности вероятности отсутствуют компоненты вектора qa при некотором а, т. е. точка qa зафиксирована.
Оперирование с условными вероятностями и средними величинами сильно упрощается с помощью аппарата д-функций Дирака, о которых уже упоминалось в лекции 2. Основное свойство 5-функции, которое можно принять в качестве её определения, заключается в том, что для любой непрерывной на отрезке [а; Ь] функции в(力)6Оперирование с условными вероятностями и средними величинами сильно упрощается с помощью аппарата д-функций Дирака, о которых уже упоминалось в лекции 2. Основное свойство 5-функции, которое можно принять в качестве её определения, заключается в том, что для любой непрерывной на отрезке [а; Ь] функции в(力)6Из (16.43) следует, что6{x-y)dy = еСЛИ.[О, если£ООb(g) dg= b(g)dg =—£—ООИз (16.43) следует, что6{x-y)dy = еСЛИ.[О, если£ООb(g) dg= b(g)dg =—£—ООесли а < х < Ь, если х < а или 力 2 b.(16.43)а < х < b,力 W а или х ^ b, (16.44)1, b(一%)=b(%)если а < х < Ь, если х < а или 力 2 b.(16.43)а < х < b,力 W а или х ^ b, (16.44)1, b(一%)=b(%)для любого положительного числа с.
Оперирование с условными вероятностями и средними величинами сильно упрощается с помощью аппарата д-функций Дирака, о которых уже упоминалось в лекции 2. Основное свойство 5-функции, которое можно принять в качестве её определения, заключается в том, что для любой непрерывной на отрезке [а; Ь] функции в(力)
6
Оперирование с условными вероятностями и средними величинами сильно упрощается с помощью аппарата д-функций Дирака, о которых уже упоминалось в лекции 2. Основное свойство 5-функции, которое можно принять в качестве её определения, заключается в том, что для любой непрерывной на отрезке [а; Ь] функции в(力)
6
Из (16.43) следует, что
6{x-y)dy = еСЛИ
.[О, если
£ОО
b(g) dg= b(g)dg =
—£—ОО
Из (16.43) следует, что
6{x-y)dy = еСЛИ
.[О, если
£ОО
b(g) dg= b(g)dg =
—£—ОО
если а < х < Ь, если х < а или 力 2 b.
(16.43)
а < х < b,
力 W а или х ^ b, (16.44)
1, b(一%)=b(%)
если а < х < Ь, если х < а или 力 2 b.
(16.43)
а < х < b,
力 W а или х ^ b, (16.44)
1, b(一%)=b(%)
Кроме того, вводя в рассмотрение функцию Хевисайда 九(力)， или “ступеньку”,
если %》。，(16 45)
()—10, если 力 < 0,(.)
запишем символьную связь 6(%) и 九(力)：
b(力)=h\x).(16.46)
Для проведения стандартных операций математического анализа разрывные функции 6(%) и h(x) можно аппроксимировать последовательностями непрерывных 5-образных (рис. 49)
自(/)自(/)Рис. 50Рис. 50Рис. 49
自(/)
自(/)
Рис. 50
Рис. 50
и 九-образных (рис. 50) функций. При этом 5-образные функции выглядят следующим образом:
6Q (力)=,a 0(%) dx — осгде ф(х)》0 — произвольная6Q (力)=,a 0(%) dx — осгде ф(х)》0 — произвольнаяlim (力)=b(力)，(16.47)
6Q (力)=,
a 0(%) dx — ос
где ф(х)》0 — произвольная
6Q (力)=,
a 0(%) dx — ос
где ф(х)》0 — произвольная
интегрируемая на всей оси функ
ция. Такими функциями могут быть, например,
21
如(%)=02(%)=]+)2心 1.(16.48)
В качестве же 九-образных функций 九& (力)проще всего взять первообразные функций (16.48).
Продифференцируем по х соотношение (16.43) и воспользуемся формулой интегрирования по частям:
济6(%-g)夕(g) dy =济6(%-g)夕(g) dy ="(%)= 石 6(% — g)夕(g) dg =—
济6(%-g)夕(g) dy =
济6(%-g)夕(g) dy =
=—6(% — b)夕(b) + 6(% — a)夕(a) + 6(% — g)d(g) dy. (16.49)
Так как b(力一a) = 6(力一b)三 0 во всех точках интервала a < < х < &, то из (16.49) получим
"(力)=6(力-g)d(g) dy.(16.50)
Рассмотрим также многомерные 5(r)-функции, понимаемые как
6(竹=b(力 i)b(%2)b(%3),(16.51)
или, для векторов (16.41):
Ь(八)=Ь(дза—2)Ь(дз&—1)Ь(дз&)・(16.52)
Тогда аналогично (16.43) и (16.44) будем иметь
b(尸一五)g(五)歯3q_2 歯за—1歯3q =.
/ g（门，
I。，
если feV,
если
(16.53)
1,
если
г е V,
(16.54)
b(尸一衣)dq3a_2dq3a-ldq3a = J
0,
если
尸是k
Определение условной вероятности (16.42) с учётом свойств (16.53) и (16.54) теперь можно дать следующим образом:
尸(元"=F{q,p, t) f(q,p, t) 5(r - ^) dqdp. (16.55) г
ЛЕКЦИЯ 17
МАКРОВЕЛИЧИНЫ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕПАРАМЕТРЫ СОСТОЯНИЯ
Овладев из прошлой лекции понятиями условной вероятности и среднего по ансамблю и по времени, можно перейти к трактовке уже известных макровеличин, таких как плотность, скорость и др., как средних по ансамблю от объектов, с которыми оперирует статистическая механика [15].
Например, средним по объёму числом частиц, находящихся в момент времени t в точке г, назовём сумму
（一衣））=（一衣））=p{r, ^) = \ / b(尸一p{r, ^) = \ / b(尸一
（一衣））=
（一衣））=
p{r, ^) = \ / b(尸一
p{r, ^) = \ / b(尸一
N 「=EQ= 1 pN 「=EQ= 1 p
N 「
=E
Q= 1 p
N 「
=E
Q= 1 p
ь(尸—犬)/(q,夕丿)dqdp, (17.1)
где угловые скобки означают операцию (16.36). Среднее по объёму число частиц / очевидно, имеет размерность L~3. Для того чтобы получить общее число N частиц во всём объёме, занимаемом системой, необходимо проинтегрировать z^(元方)по всему этому объёму.
Величину / N\ N
t) =(£ma6(了一元))=еТяа(ь(尸一八))(17.2)
назовём макроскопической плотностью в момент времени t в точке г. Если массы всех частиц одинаковы и равны т, то из (17.1) и (17.2) следует, что
p(r, t) = m^{r, t).(17.3)
Наряду с определёнными в (16.41) векторами обобщённых координат 伉，…，衣 введём в рассмотрение векторы обобщённых импульсов R, а = 1,…，N:
Ра =(夕3&—2,夕3q—1，夕3q)，Ра =加&项.(17.4)
Тогда макроскопической скоростью частицы, находящейся в момент t в точке г евклидова пространства, называется величина
/ N\1 N
川元方)= -(尸一犬=-£伤"(尸一衣»(17.5)
Обратимся к уравнению Лиувилля (16.34) и перепишем его в новых обозначениях:
%+£ 热质)+工 詣阮)=о- 0?⑹
Умножим обе части соотношения (17.6) на 7nm(尸一函)，про^нте- грируем по Г и просуммируем по ^ от 1 до N. Первое слагаемое в силу определения макроскопической плотности (17.2) даст следующее:
N 「 df
J2 W 6(尸一仿)肃(q,夕⑴dq dp =
0=1 ГN
=(尸一函))=(17.7)
Для третьего слагаемого (17.6) будем иметь
J2w b（尸一仿）（/芯）dqdp =
dqdpdqdp=0, (17.8)=0, (17.8)
dqdp
dqdp
=0, (17.8)
=0, (17.8)
так как последний интеграл по формуле Остроградского-Гаусса можно свести к интегралу по границе АГ фазового пространства Г. Воспользуемся свойством (16.27) плотности вероятности / и сразу получим (17.8).
Второе слагаемое (17.6) с учётом определения (17.5) макроскопической скорости примет следующий вид:
b,一仿)e症(/项)歯如=
/3=1 pQ=1
伪)丽(/仿)dqdp = г伪)丽(/仿)dqdp = гN
伪)丽(/仿)dqdp = г
伪)丽(/仿)dqdp = г
=
=—鼻加0. fq^ ^8{r-q^dqdp =
(17.9) dr 乙 dxi
При переходе от первого выражению ко второму (замена двойной суммы одинарной) и от второго выражения к третьему (интегрирование по частям) в цепочке (17.9) мы вновь воспользовались тем, что функция / на границе АГ обращается в нуль.
Итак, из (17.6)-(17.9) следует uмaкpocкoпичecкoe^^ уравнение неразрывности (6.11):
At 用=。，(GO)
dt dxi
многократно встречавшееся ранее.
Умножим теперь все члены скалярного уравнения (17.6) на вектор 两b(尸一函)，проинтегрируем по Г и просуммируем по 户 от 1 до N. Первое слагаемое в силу определения макроскопической скорости (17.5) даст следующее:
df
5{r - q^ — ^q.p.t) dqdp =
ГNt
=^£ 值зЬ(尸一仿))=号(17.11)
Преобразуем далее третье слагаемое:
£贝?b(尸一函(/亦)歯如=
=P^{r- q^^{fp^ dqdp =
N 3 广 3 т
= -EE]q^fp^i dqdp. (17.12)
Но dpp/dp^i = поэтому, продолжая цепочку (17.12), получим
习习N
习
习
^-qp)fp^dqdp= 一 £位»(尸一伪))=一戈(元块
°т(17.13)
Размерность скорости изменения обобщённого импульса 历 совпадает с размерностью силы. Поэтому величина X в (17.13) по размерности есть сила, отнесённая к единице объёма. Будем называть X(г, t) макроскопической объёмной силой, действующей в момент t в точке г евклидова пространства.
разом:е(尸一函)£/3=1 рQ=1разом:е(尸一函)£/3=1 рQ=1Второе слагаемое уравнения (17.6) после преобразований, аналогичных (17.9) и (17.12), можно записать следующим об
разом:
е(尸一函)£
/3=1 рQ=1
разом:
е(尸一函)£
/3=1 рQ=1
—№)^Ф =
N а
=££丽仍。函)(17」4)
0=1i=i
Представим ^ в виде суммы v — среднего значения по всем точкам — и некоторых добавок △%, среднее от которых равно hУЛЮ：仿=不+ △我(17.15)
Умножая обе части равенства (17.15) на т^ и учитывая (17.4), получим
Рр = Ар^, М(з 三(17.16)
Подставляя (17.15) и (17.16) в (17.14), запишем
N 333 з / N、
£ E 丽(两q例ь(尸-仿))=E 丽+
0 — 1 Z — 1Z — 10 — 1
3 3 Na
+ E 丽 £(△两△q优ь(尸一函))=丽(小河+
32/i=l 2 0=1 '32/i=l 2 0=1 '△两△0例△两△0例宀宀6（尸一仿））=6（尸一仿））=
32/
i=l 2 0=1 '
32/
i=l 2 0=1 '
△两△0例
△两△0例
宀
宀
6（尸一仿））=
6（尸一仿））=
где 斗к”"'(元方)—кинетический вектор внутренних напряжений в момент t в точке г на площадке с нормалью вдоль оси 力 Его компоненты в декартовом базисе kj：
т(зт(з6（尸一6（尸一(17.18)(17.18)
т(з
т(з
6（尸一
6（尸一
(17.18)
(17.18)
являются компонентами симметричного тензора кинетических напряжений.
Собирая вместе выкладки (17.11)-(17.14) и (17.17), а также учитывая, что
а(0仍 I а(0з仍_3(0不)I ^£^/3 _
dt dxi dt " dxi PV @Xi
=需，（17.19）=需，（17.19）d(M)
=需，（17.19）
=需，（17.19）
—dt V d
из уравнения Лиувилля (17.6) получим
г=1г=1(17.20)
г=1
г=1
Заметим, что макроскопическая объёмная сила X(r, t), определённая в (17.13) и фигурирующая в (17.20), возникает в результате как внутреннего взаимодействия точек системы, так и взаимодействия с внешними телами, т. е.
戈(元"=发⑴(元方)+戈(ё)(元U.(17.21)
Предположим, что поле внутреннего взаимодействия 戈("потенциально и представимо в дивергентном виде. Это означает, что 犬⑴(元方)=£Ь,-八))三 t ，(17.22)
N Nu⑴⑷=ЕЕu力e0)),N Nu⑴⑷=ЕЕu力e0)),(17.23)(17.23)где g(n°"(元方)—потенциальный вектор внутренних напряжений. В статистической механике примером функции U("(q) может служить сумма потенциалов U^ парного взаимодействия частиц:
N N
u⑴⑷=ЕЕu力e0)),
N N
u⑴⑷=ЕЕu力e0)),
(17.23)
(17.23)
0=1)=1
где 丁0)— расстояние между частицами с номерами ^ и 7.
13 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
Подставляя сумму (17.21) в (17.20), принимая во внимание (17.22) и вводя в рассмотрение полный макроскопический вектор внутренних напряжений
尸元"=Х(кмн)(元 “ + Х(пот)(元川 (17.24) получим уже знакомые уравнения движения сплошной среды (6.58):
0 源三戈(e). (17.25)
ЛЕКЦИЯ 18
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТОДИНАМИКИ
В лекции 2 уже вводились понятия потенциальности и соленоидальности векторного поля, им даны соответствующие определения (2.24) и (2.25), а также выявлен механический смысл операторов div, rot и grad. Докажем теперь важную в векторном анализе теорему Гельмгольца, утверждающую, что всякое достаточно гладкое в R3 векторное поле можно представить как сумму потенциальной и соленоидальной составляющих.
Теорема Гельмгольца. Для любого векторного поля и{г) класса С2 6 R3 существуют скалярный <9(尸)и векторный 步(尸)потенциалы такие, что
疗=grad 0 + rot ^,(18.1)
причём функция 方 является соленоидальной, т. е. divQ = =0. Если Й 0 при |r I = г оо, то представление (18.1) единственно.
Обозначимт
0 = div и, = r°t и.(18.2)
Применяя к обеим частям (18.1) оператор div и пользуясь формулой (2.27), получим скалярное уравнение для 0:
А0 = 0.(18.3)
Применяя же к обеим частям (18.1) оператор rot и пользуясь соленоидальностью 步 и равенством
rot rot Ф = €〃％(rot ⑺/沐衣=€ijk€lmj*m,likk =
=^kl^im — ^km^il}^m,li^k =弘,ikkk — ^k,ii^k =
=grad div 步—△步=—△頁 (18.4)
получим векторное уравнение для
△步=—/.(18.5)
Неоднородные уравнения Лапласа (18.3) и (18.5) называют уравнениями Пуассона. Их решения можно найти, зная фундаментальное решение уравнения Пуассона. Например, для (18.3)
фундаментальным решением 6*(元 £) будет решение уравнения
(18.6)(18.6)△6* = 6(了—g),
(18.6)
(18.6)
где фиксированный вектор в R3.
Вид скалярного потенциала (2.49), исследованного в лекции 2, указывает на явный вид решения (18.6):
-1
帀，(18.7)
где подгтеперьпонимаетсярасстояниемеждуточкамиг и ^
г =，(◎— &)(•—⑴•(18.8)
Тогдаединственное решениеуравненияПуассона(18.3)имеет
вид
6(门=]6*(元O(Qd乓=—^ ]》壮乓・ (18.9)
Здесь и далее введено обозначение: dV^ = d& d^ d^.
Аналогично выписывается единственное решение для векторного уравнения (18.5):
贯门=zU半*屋(18」°)
Подставим теперь потенциалы (18.9) и (18.10) в (18.1) и с учётом обозначений (18.2) и (18.8) получим
11 f div 17(F)f rot矶£) "I z
仆)=F - grad — dV^ + rot .(18.11)
LVVJ
Внесём в (18.11) дифференциальные (по переменным 力)операторы grad и rot под знак интегралов по переменным £, принимая
(18.12)(18.13)(18.12)(18.13)соотносоотново внимание, что
(18.12)
(18.13)
(18.12)
(18.13)
соотно
соотно
淳W）胃殃+「ot矶Q X片殃V淳W）胃殃+「ot矶Q X片殃VОкончательно будем иметь
淳W）胃殃+「ot矶Q X片殃
V
淳W）胃殃+「ot矶Q X片殃
V
Таким образом, потенциалы 0 и ^ представлены
шениями (18.9), (18.10), а выражение (18.1) имеет вид (18.11)
либо (18.13). Если дополнительно известно, что поле и потенциальное (безвихревое), то в (18.11) и (18.13) отличны от нуля только первые слагаемые, если поле и соленоидальное, то только вторые. Описанный алгоритм нахождения потенциалов 0 и 疗 указывает на единственность разложения (18.1). Теорема Гельмгольца доказана.
Эта теорема векторного анализа играет важную роль в электромагнитодинамике —разделе МСС, занимающемся процессами деформирования сплошных сред под действием сил не только механической, но также электрической и магнитной природы [24, 56]. Говоря об электрических силах, необходимо вспомнить известный в классической механике закон тяготения Ньютона, утверждающий, что для двух точечных масс mi и m2 в пространстве R3
Fn = ~f^^ (18-14) r12|
где Fi2 — сила, действующая со стороны массы mi на 加2, П2 —— вектор, указанный на рис. 51, / 6,673 • 10-11 м3/( кг • с2)— гравитационная постоянная.
Ранее были введены плотность распределения массы р, пробная единичная масса и силы, которые появлялись от взаимодействия пробной массы с другими массами. Пусть теперь
Рис. 51Рис. 52
в пространстве расположены два заряда: ei и 佻(рис. 52). Тогда по аналогии с (18.14) положим, что со стороны заряда ei на 佻 действует кулоновская сила
普2 =(18.15)
Знак “+” в (18.15) выбирается, если заряды одноимённые, а знак “一”, если разноимённые (противоимённые). Соотношение (18.15) называется законом Кулона.
Заметим, что не все элементарные частицы являются источником электромагнитного поля. Так что значения электрического
заряда е приписываются только частицам, которые создают такого рода поля. Законы физики не изменяют своего вида при замене всех положительных зарядов на отрицательные и наоборот.
Если заряды некоторым образом непрерывно распределены в пространстве, то характеристикой такого распределения является плотность заряда pe{f, t) = ^Ит^ Ае/АУ:
е= ре dV,(18.16)
где е — суммарный заряд объёма V. Примем закон постоянства заряда в виде〃
g = 0,(18•⑺
или, если заряды точеченые,
NМ
—丁 = const.(18.18)
Плотность заряда удовлетворяет дифференциальному уравнению постоянства заряда, записываемому аналогично уравнению неразрывности (6.11):
* + divSg = 0,(18.19)
где V — скорость движения зарядов.
Пусть поле создаётся точечным электрическим зарядом во, помещённым в начале координат. Введём характеристику этого поля — вектор электрической напряжённости, или просто напряжённость, Ё — такую, что при внесении в поле пробного заряда е, одноимённого с во, на него действует центральная сила
F = eE.(18.20)
Поле Ё состоит из суммы полей отдельных (свободных) зарядов:--
divE = 4тг^е, rot Е = 0,(18.21)
и является безвихревым. Тогда из теоремы Гельмгольца следует, что существует электрический потенциал 夕，такой что
Ё = — grad 99, △夕=—4»厶・(18.22)
Следовательно, если ре = е()Ь(疗—百，то
夕=曳，(18.23)
и из первой формулы (18.22) получим
Т1Г
Е = —во grad - = с。卞(18.24)
Тогда из (18.20) следует, что
尸= еео/.(18.25)
Выражение (18.25), собственно говоря, и представляет собой закон Кулона.
Если заряд непрерывно распределён по объёму V (или по ПОВерХНОСТИ X, ИЛИ ВДОЛЬ КрИВОЙ Г) С ПЛОТНОСТЬЮ 0е(元方)，то электрический потенциал имеет вид
"dV (夕= 生 dх,夕= 生曲).(18.26)
Vг
Функция 夕(18.26) является решением уравнения Пуассо-
на (18.22)
△夕=—47Г0е,
(18.27)
а следовательно,
div 月= 4тг0е, rot^ = d.(18.28)
Возьмём теперь заряд е в в точке с радиусом-векторомВозьмём теперь заряд е в в точке с радиусом-векторомначале координат и заряд I (рис. 53). Если длинаначале координат и заряд I (рис. 53). Если длина—e|Г|—e|Г|
Возьмём теперь заряд е в в точке с радиусом-вектором
Возьмём теперь заряд е в в точке с радиусом-вектором
начале координат и заряд I (рис. 53). Если длина
начале координат и заряд I (рис. 53). Если длина
—e
|Г|
—e
|Г|
Рис. 53Рис. 53
Рис. 53
Рис. 53
много меньше расстояния от данных зарядов до исследуемых точек, то совокупность зарядов е и —е носит название диполя. Потенциал диполя в произвольной точке г равен
夕=占一朽=egrad 1 7三 grad 1 • d万,(18.29)
КI \f-l\гг
где вектор
dp = el(18.30)
называется поляризационным моментом. Введём также соотношением
dp = PdV(18.31)
вектор поляризации Р. Тогда потенциал диполей, распределённых по объёму V с границей X, равен
4=4=(18.32)(18.32)
4=
4=
(18.32)
(18.32)
Если объём V бесконечен, по нему распределены истинные заряды 1) с плотностью ре и диполи, а на бесконечности и те и другие отсутствуют. Если же существуют одновременно и истинные заряды и поляризационные моменты, то потенциал имеет следующий вид:
夕=—div 戶(F)dг
где г — расстояние (18.8) между £ и текущей точкой г. Функция 夕(18.30) является решением уравнения Пуассона
△夕=—4»(0е —div 戶).(18.34)
Примем во внимание связь (18.22)月 с 夕 п вместо первого равенства (18.28) из (18.34) придём к выражениям
—для плотности истинных зарядов
(18.35)(18.36)(18.37)(18.35)(18.36)(18.37)Ре =div (月+ 4"户)，
(18.35)
(18.36)
(18.37)
(18.35)
(18.36)
(18.37)
—для плотности свободных зарядов
р = div О — Ре — div F
—для плотности поляризационных зарядов
—/?е + 0 = —div Р.
В диэлектриках благодаря воздействию поля электрической напряжённости Ё происходит ориентация диполей, т. е. поляризация. Если диэлектрик изотропный, то вектор поляризации 戶 коллинеарен вектору электрической напряжённости Е. Тогда
Под истинными зарядами понимаются все заряды, которые под действием электрического поля могут перемещаться на большие расстояния. Заряды, входящие в состав нейтральных молекул и колеблющиеся вблизи положений равновесия этих молекул, носят название связанных. Совокупность истинных и связанных зарядов называют свободными зарядами.
вводится так называемый вектор электрической индукции D: 力=月 + 4"/=〃月，(18.38)
Р=(18.39)
где х — диэлектрическая проницаемость среды.
Если среда электрически анизотропна, то определяющие соотношения (18.38) следует записать в более общем виде
力=%.月，(18.40)
где % — симметричный тензор диэлектрической проницаемости. Тогда вместо (18.39) получаем
戶=厂(％ — I) •月.(18.41)
В вакууме электрическое поле изотропно (戶=0) и, следовательно, х = 1.
С помощью понятия поляризации (непосредственно ненаблюдаемой) объясняются изменения электрического поля, возникающие при внесении незаряженного диэлектрика в данное электрическое поле.
Проводник электричества — это тело, для которого в статических условиях потенциал 夕 постоянен, т. е. Ё = 0, ре = 0. Проводники могут нести только поверхностные заряды, следовательно, статически ведут себя как тела с бесконечно большой диэлектрической проницаемостью х. Поляризационные заряды на проводниках называются индуцированными зарядами. Их можно считать истинными зарядами.
Итак, задача электростатики заключается в отыскании векторных полей Ё и D при заданных по форме и положению в пространстве проводниках и изоляторах. При этом
div 力= 4тг0е, D = хЕ, rot Ё = 0.(18.42)
Р^МР^МКак полную аналогию электростатики построим теперь магнитостатику. Для этого вместо электрического заряда е введём магнитный заряд те, т. е. везде сделаем замену е т те. Вместо векторов электрической напряжённости Ё, поляризации 戶 и электрической индукции D введём в рассмотрение векторы магнитной напряжённости Н, намагниченности М
Р^М
Р^М
и магнитной индукции В соответственно, т. е. Ё
В.
Вместо диэлектрической проницаемости х (тензора диэлектрической проницаемости %) будем рассматривать магнитную проницаемость 从(тензор магнитной проницаемости у), т. е. "一从，% 一".
Однако следует сразу отметить несколько различий между величинами магнитостатики и аналогичными им величинами электростатики.
Не существует никакой истинной плотности магнитных зарядов. Поэтому уравнения магнитостатики, в отличие от (18.42), приобретут вид
div В = 0, В = ^Н (疗=必・月)，rot Я = 0,(18.43)
причём
В = Н + 4^М.(18.44)
Для некоторых веществ, например ферромагнетиков, магнитная проницаемость 从 не является постоянной величиной и может сложным образом зависеть от магнитной индукции Н (случай гистерезиса). Поэтому намагниченность М может быть отличной от нуля и в отсутствие магнитной напряжённости Н. Это происходит, например, в постоянных магнитах.
Не существует никаких проводников магнетизма, а также магнитных аналогий диэлектриков и изоляторов. Однако некоторые вещества в силу своей большой магнитной проницаемости ведут себя как магнитные проводники (например, мягкое железо).
Поле магнитной индукции В, как следует из (18.43), соленоидально, что говорит о существовании векторного потенциала 必
В = rot^.(18.45)
Из теоремы Гельмгольца следует, что
1 f £oLB(f)(18.46)
J г
или, согласно (18.43) и (18.44),
炉=[rot 必(f) d(18.47)
J r
Для магнитного поля не существует других зарядов, кроме свободных, и
me = — divHdV = — div (В - 4^M) dV =
=-divMd» = — M-ndS. (18.48)
Соотношением (18.48) формально вводится магнитный заряд.
Заметим, что взаимодействие электрического и магнитного полей в статике отсутствует. Действительно, величины, входящие в группы соотношений (18.42), (18.38), с одной стороны, и (18.43), (18.44) — с другой, взаимно “не пересекаются”. Отличие математической структуры этих групп соотношений состоит лишь в том, что плотность магнитных зарядов положена равной нулю.
Уже говорилось о том, что в случае электростатического равновесия заряды проводников сосредоточиваются в тонком поверхностном слое. Если в какой-либо точке внутри проводника напряжённость электрического поля Ё отлична от нуля, то в проводнике возникает электрический ток, т. е. движение зарядов. При этом силой тока I называется количество электричества, протекающее через сечение проводника в единицу времени:
Т = 429)
Если за любые равные промежутки времени через поперечные сечения проводника проходят одинаковые заряды, ток называется постоянным (по величине и направлению) и обозначается 1°.
Согласно закону сохранения заряда (18.19)
I = - div {Pev)dV = - о济•歹d£.(18.50)
С силой тока I тесно связан вектор плотности силы тока j, но определяется он различными способами в зависимости от причины, вызывающей ток.
Ток называют конвективным в случае переноса заряда плотности ре со скоростью V. Тогда
(18.51)
и из (18.50) имеем
1= 7•歹 d£.(18.52)
Ток проводимости возникает в случае движения заряда в проводнике под силовым воздействием электрического поля Ё. Тогда плотность тока определяется так называемым дифференциальным законом Ома
了=0月，(18.53)
где коэффициент а называется проводимостью среды.
Из-за изменения со временем векторного поля магнитной индукции D возникает так называемый ток смещения с плот
ностьюностью-1 дБ-1 дБ(18.54)(18.54)
ностью
ностью
-1 дБ
-1 дБ
(18.54)
(18.54)
Тогда, пользуясь первым из соотношений электростатики (18.42), запишем
div/ = divdiv/ = div1 dD\ _ д (D47r dt / dt \ 47r1 dD\ _ д (D47r dt / dt \ 47rдре dt .дре dt .(18.55)(18.55)
div/ = div
div/ = div
1 dD\ _ д (D47r dt / dt \ 47r
1 dD\ _ д (D47r dt / dt \ 47r
дре dt .
дре dt .
(18.55)
(18.55)
Полный ток j складывается из составляющих, рассмотренных в (18.51), (18.53), (18.54), причём ток проводимости может быть одновременно и конвективным.
Если ток стационарен, то
divJ=* = O, j=jn, j = I J| = J-n = jn, (18.56)
а длина j вектора j постоянна. Тогда из (18.56) следует
(18.57)(18.57)
(18.57)
(18.57)
т. e. вдоль проводника I является постоянной величиной. Отсюда
Зп = |J| = ^(18.58)
Предположим, что некоторый тонкий криволинейный проводник длины I с поперечным сечением X соединяет две точ-
ки 1 и 2 сплошной среды (рис. 54). Значения электрического потенциала 夕 в этих точках обозначим 夕i п 夕2・ В силу определения 夕(18.22), а также равенства (18.52) можно записать
222
夕1 —夕2 = Ei dxi = E • ds = — ds = —— I. JJJ a 22a
ill
(18.59)
В цепочке (18.59) использовано скалярное
следствие дифференциального закона Ома (18.53) j = аЁ • ds.
Поэтому (18.59) часто называют интегральным законом Ома
или просто законом Ома:
£ = Ж£ = Ж(18.60)
£ = Ж
£ = Ж
где R = Z/(Xa) — сопротивление проводника, £ =—(夕2 —夕1) 一 так называемая электродвижущая сила.
47rГ =Гс47rГ =Гс0方.源L0方.源L(18.61)(18.61)Сформулируем далее закон Ампера, согласно которому сила тока I в замкнутом проводнике L пропорциональна циркуляции Г магнитной напряжённости Н:
47r
Г =Гс
47r
Г =Гс
0方.源
L
0方.源
L
(18.61)
(18.61)
где с = 3 • 108 м/с — скорость света. Проводник L фактически является вихревой линией вектора магнитной напряжённости. Обозначим rot 月=^ и воспользуемся формулой (18.13), выведенной в начале лекции, для выражения Н через ^:
方山 ：又 "乓, 女 = 尸一g rg = 匠丨・ (18.62)
Так как jdV = /d£ ds = ^ dM и J dX = Г, то
Соотношение (18.63), связывающее 月 п Г, называется законом Био-Савара.
Подставляя в (18.63) закон Ампера (18.61) получим формулу Эрстеда
(18.64)
или, в приращениях, dH= J .(18.65)
с J
Согласно (18.52) заменим в (18.65) di на j • ndX и, далее: dIds = ^ndV, dIdW=；dV,
dH = dV,方=1(18.66)
cr6C J Га
Применим теперь к обеим частям второго равенства (18.66) оператор rot по переменным Xi и преобразуем полученное под интегралом двойное векторное произведение по известной формуле векторного анализа 9
守 х О* W) =7(—守.g「"：) + grad|(V J)=
Т 1тТ
=—/△ - = 4»/ b(尸一£).
Следовательно,
rot# = ^= — j呵-6% =竺乙 (18.67) ° v°
9 Заметим, что в этой формуле двойного векторного произведения V х (а х 6) = 6 • Grad а — а • Grad b учтено, что оператор V применяется только к радиусу-вектору г.
ЛЕКЦИЯ 19
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Из предыдущей лекции ясно, что по заданному полю ^ = =rot# (18.67) можно восстановить поле магнитной напряжённости Н:
Н = rot 頁Н = rot 頁т 11f 7
Н = rot 頁
Н = rot 頁
(19.1)(19.1)Ф=-~ -dV =- / dK
(19.1)
(19.1)
J r c J r
причём вектор 步 соленоидален, т. е. div Ф = 0. Однако если наряду с полем тока j имеется ещё поле постоянных магнитов Г变卫犷(19.2)
J r
то соленоидальное поле 疗 может быть представлено в виде
+(19.3)
J усг Г у
откуда следует, что
—△疗=rot rot ^ = 4тг ( - + rot
=rot (Я + 4^М) = rot В, (19.4)
или
rot ^ = В, div В = 0. (19.5) Напомним, что выражение потенциала (19.3) указывает на то, что вектор crot М можно интерпретировать как плотность некоторого тока.
Итак, основные уравнения электромагнетизма записываются в виде
divB = 0, В = ^Н, rot#= ^. (19.6) Физическая размерность величин, описывающих электромагнитные явления, так же как и механических величин, выражается
в классе систем единиц измерения {MLT}. Подробнее на этом остановимся чуть ниже.
Связанность электрических и магнитных полей проявляется в динамике законом индукции Фарадея:
()ds — - -—- Jdt()ds — - -—- Jdt(19.7)(19.7)
()ds — - -—- Jdt
()ds — - -—- Jdt
(19.7)
(19.7)
По теореме Стокса из (19.7) следует
rot 月•歹d£ = (rot 月)八 dX.rot 月•歹d£ = (rot 月)八 dX.(19.8)(19.8)
rot 月•歹d£ = (rot 月)八 dX.
rot 月•歹d£ = (rot 月)八 dX.
(19.8)
(19.8)
Суммируя упомянутые законы электромагнитостатики и электромагнитодинамики, придём к знаменитым уравнениям Максвелла [24, 56]
с dt
< rot Н< rot Н47r47r1 дБ1 дБс div 力=4тг0е, div В = 0.с div 力=4тг0е, div В = 0.(19.9)(19.9)
< rot Н
< rot Н
47r
47r
1 дБ
1 дБ
с div 力=4тг0е, div В = 0.
с div 力=4тг0е, div В = 0.
(19.9)
(19.9)
При этом должны учитываться определяющие соотношения
(19.10)(19.11)(19.12)(19.10)(19.11)(19.12)D = Ё + 47r 戶=xF,В = H + 4тгМ =从应,7= 0百.
(19.10)
(19.11)
(19.12)
(19.10)
(19.11)
(19.12)
Система уравнений (19.9)-(19.12) состоит из восьми уравнений (19.9) и девяти соотношений (19.10)-(19.12), т. е. всего из 17 уравнений. Эта система содержит 16 неизвестных величин: Ё, Н, В, D, j и ре.
Однако последнее из уравнений (19.9) не является независимым. В самом деле, применяя к первому из уравнений (19.9) оператор div, получим
или 而=0.
При t = to положим div В = 0 (начальные условия), тогда последнее уравнение (19.9) имеет место при любом t > tg-
Применяя далее ко второму из уравнений (19.9) оператор div, получим
—divj+= 0,
с с at или
т. е. уже известное уравнение, которое является следствием закона сохранения заряда.
Рассмотрим теперь силы, действующие на заряды в электромагнитодинамике. Из (18.20) и закона Кулона (18.25) при непрерывном распределении заряда с плотностью ре следует
F = реЁ.(19.14)
Элемент проводника, по которому протекает ток плотности j, испытывает в магнитном поле Я так называемую пондеромо- торную силу
F= х Я.(19.15)
Сумма сил (19.14) и (19.15) называется лоренцевой силой'.
F = peE+^-j х Н.(19.16)
Умножим скалярно первое из уравнений (19.9) на Н, а второе на Ё, после чего вычтем одно из другого:
方rot方+ 4开亍
(19.17)
Левую часть выражения (19.17) можно записать, применив свойство смешанного произведения векторов, в форме
Я • (V х Е) - Е • (V х Я) = б^^ЩддЕ^ —⑦汴石泌瓦.(19.18)
С другой стороны, воспользуемся записью смешанного произведения V • (Е х Я):
V • (Е х Я) = eijkdi^EjH^ =⑦汴印也场 +
+ eijkEja^Hk = eijkHiAj Ek — eiBkEi^j Hk. (19.19)
14 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
Из сравнения (19.18) и (19.19) заключаем, что
div (月 х 方)=方• rot 月一月• rot H. (19.20)
Введём теперь так называемый вектор Пойнтинга S:
S = ^ExH,(19.21)
так что
div (月 х 方)=^divF(19.22)
Используя определяющие соотношения (19.10) и (19.11), преобразуем первые два слагаемых в правой части (19.17):
(19.23)(19.24)(19.25)(19.23)(19.24)(19.25). Я +. Е = //Я' - Я + хК - Е = ЬМ|Я|2 + х|Е|2)\
(19.23)
(19.24)
(19.25)
(19.23)
(19.24)
(19.25)
Учитывая (19.20), (19.22) и (19.23), из (19.17) получим 小д+ ^(从i闻2 +刃闻2)・+入月=0, или, после интегрирования по объёму V:
\ЫН\2 + ^\E\2UV = -\^EdV.
87rd方 J '/ JJ
Обратим внимание на единую запись постулатов механики сплошной среды в интегральной форме (14.55) и их дифференциальные следствия (14.58). Сравнивая (14.55) с (19.25) и (14.58) с (19.24), заключаем, что уравнения (19.25) и (19.24) имеют форму законов сохранения энергии применительно к электромагнитной энергии Т:
丫 =^徊闻 2 + 〃闿 2)・(19.26)
Величину Т обычно называют потоком вектора Пойнтинга. Как видно из указанного выше сравнения, источники в (19.24) и (19.25) отсутствуют, а производство j • Ё называют джоулевым
теплом'.= J • Е = —j ♦尸一 а атеплом'.= J • Е = —j ♦尸一 а а尸尸尸 I _ Rr 城而=丁'尸 I _ Rr 城而=丁'(19.27)(19.27)
теплом'.
= J • Е = —j ♦尸一 а а
теплом'.
= J • Е = —j ♦尸一 а а
尸
尸
尸 I _ Rr 城而=丁'
尸 I _ Rr 城而=丁'
(19.27)
(19.27)
где I — длина проводника, X — площадь его сечения, a R — сопротивление.
Предоставляем читателю самостоятельно показать, что для проводника, имеющего форму прямолинейного кругового цилиндра радиуса а, длина вектора Пойнтинга представляется в виде
2тгаХа
Выпишем теперь размерности некоторых используемых электромагнитных величин. Из закона Кулона (18.15) следует, что
[е]=[户]1/2e="1/2工3/2T-1,
из (18.16)
[ре]=[日e-3 = "1/2e-3/27-1,
из (18.20)
[Ё]=[户]/冋="1/2e一1/2T一1,
из (18.49)
[I] = ИT-1 = "1/2工3/2T一2,
из (18.51) или (18.58)
[J]=[刀厂2 = М1/2£-1/2г-1,
из (18.67)
[Я] = [；]L/[c] = "1/2厂1/2厂 1 =区], из (19.21)
[S] = \E^\c\ = ML, [div 5] = ML-'T-3,
и, наконец, из (19.26) и того, что коэффициенты //их безразмерны, следует
[丫]=区]2 ="L1厂2.
Для движущегося проводника необходимо учесть некоторые преобразования. Ведь до сих пор считалось, что все рассматриваемые величины изучаются в некоторой инерциальной системе отсчёта, которая условно принималась неподвижной. Все законы механики одинаковы в любой инерциальной системе отсчёта, или, другими словами, инвариантны относительно группы преобразований Галилея
tf = t,戸=尸一次;.(19.29)
Как же обстоят дела с электромагнитными величинами? Пусть, например, экспериментально установлено, что в некоторой области V пространства R3
月=0.(19.30)
Если заряды покоятся в некоторой системе А, то на них не действуют никакие силы. Тогда из (19.16) следует, что
F = реЁ + х Н = ре(^Е + ^v х Н^ = 0.(19.31)
Если же они движутся относительно системы А с некоторой скоростью 淳,то появляется пондеромоторная сила
月= 0е? х Н.(19.32)
Так как скорость этих зарядов согласно (19.29) равна
心^/ = ЯА - Я,(19.33)
то
F = ^vAf xH + ^vxH.(19.34)
сс
Итак, на заряд, покоящийся относительно системы А‘ (以/ = =0), действует сила
F=^vxH.(19.35)
с
Из (19.14) и (19.35) немедленно следует, что появляется напряжённость электрического поля в системе А':
ТV
= - х Н.(19.36)
с
Вместе с тем из (19.34) следует, что относительно системы А' появляется и магнитное поле
ЯА, = НА = Н,(19.37)
ибо сила F должна быть одинаковой и в системе А, и в системе А； Она выражается формулой Лоренца
F = ре (^а^ + ^ х 瓦V).(19.38)
Таким образом, электромагнитное поле разложить отдельно на электрическую и магнитную составляющие нельзя: поле, которое в системе А является чисто магнитным (月= 0), оказывается с точки зрения системы А', которая равноправна с А, электромагнитным (Ед/ * 0), 后а，¥ 0.
Сравнивая выражения (19.38) и (19.32), убеждаемся, что справедливы следующие преобразования векторов Ё п Н:
EAf = Ё+- х Н, ЯА, = Я - - х Е, (19.39) сс
частным случаем которых при Е = 0 являются выведенные ранее формулы (19.36) и (19.37).
Легко обобщить формулы (19.39) на случай материальной среды при 从 * 1, 〃 * 1 ：
Ef = E+^xB, Bf = B-^xE,
£J(19.40)
Df = D + -xH, Hf = H--xDcc
и
0eN(19.41)
Соотношения (19.40) и (19.41) показывают, что уравнения Максвелла (19.9) неинвариантны относительно группы преобразований Галилея (19.29). Они инвариантны относительно группы преобразований Лоренца в R4:
причём следует учесть постулат о постоянстве скорости света с 3 • 108 м/с.
При о«о в первом из соотношений (19.42) знаменатель можно разложить в ряд по параметру v/c и в нулевом прибли
жении оставитьжении оставить(19.43)(19.43)
жении оставить
жении оставить
(19.43)
(19.43)
Отметим, что группа преобразований Лоренца является предметом исследования специальной теории относительности (СТО).
ЛЕКЦИЯ 20
СВЯЗАННЫЕ МОДЕЛИЭЛЕКТРОМАГНИТОТЕРМОМЕХАНИКИ
Напомним дифференциальные следствия исследованных в лекциях 6, 7 и 14 пяти постулатов МСС. Это уравнение неразрывности (6.10) (I постулат)
^ + pAivv = О',(20.1)
уравнения движения (6.58) (II постулат)
р^ = pF + Div Р;(20.2)
симметрия тензора напряжений Коши (7.7) (III постулат)
Е = £丁；(20.3)
закон сохранения энергии (14.40) (IV постулат)
р-^ = pq-Aivq +Р : D(20.4)
и уравнение притока тепла (14.53) (V постулат)
= pq — div q + w*.(20.5)
В лекции 14 эти постулаты и их дифференциальные следствия были записаны в единой форме. Отметим, что уравнений (20.1)-(20.5) девять, в то время как число неизвестных параметров в них значительно больше. Это означает, что система (20.1)-(20.5) не является замкнутой, и для её замыкания нужно выбрать конкретную модель сплошной среды.
Модели, в которых учитывается взаимное влияние механических и других полей, называются связанными. Ниже рассмотрим две связанные модели сплошных сред, проявляющих как термомеханические, так и электромагнитные свойства. Первая из них, модель магнитной гидродинамики (МГД) [21], описывает явления, происходящие, например, в плазме, и используется при расчёте и конструировании плазменных двигателей и МГД- генераторов.
Примем, что среда представляет собой идеальную жидкость,
т. е.т. е.£ = -pL£ = -pL(20.6)(20.6)
т. е.
т. е.
£ = -pL
£ = -pL
(20.6)
(20.6)
(dv(dv+ V • Grad Я+ V • Grad Якроме того отсутствуют намагниченность (// = 1) и поляризация (х = 1), но могут протекать токи. Уравнения движения для такой модели записываются следующим образом:
(dv
(dv
+ V • Grad Я
+ V • Grad Я
+ - хЯ,
с
(20.7)
причём последнее слагаемое в правой части присутствует в силу неинерциальности системы отсчёта.
Имеются также семь уравнений Максвелла (19.9):
m月一号「。由div 月=(20.8)
и векторный закон Ома
7= о7= о+ Pel+ Pel(20.9)(20.9)
7= о
7= о
+ Pel
+ Pel
(20.9)
(20.9)
изотропного те-(20.10)изотропного те-(20.10)ла (15.14):ла (15.14):qi = —А〃,qi = —А〃,С учётом закона теплопроводности Фурье для
изотропного те-
(20.10)
изотропного те-
(20.10)
ла (15.14):
ла (15.14):
qi = —А〃,
qi = —А〃,
уравнение притока тепла (20.5) при наличии электромагнитных сил запишется в виде (w* = 0)
p* = pqOT+E*；》 (20.11) dtр dt
Если температура меняется незначительно (Г ^ Tq), то левую часть (20.11) можно линеаризовать вблизи Т = Tq и получить уравнение теплопроводности, обобщающее (15.13):
Pcv~rr = 04 + ЛАТ ++ j • Ё. (20.12)
atр at
Определяющие соотношения идеальной жидкости (15.21)
夕Р2夕Р2(20.13)(20.13)
夕
Р2
夕
Р2
(20.13)
(20.13)
замыкают систему уравнений МГД. Действительно, подсчитаем число неизвестных функций и число выписанных уравнений.
В число неизвестных входят векторы скорости Я, напряжённости электрического поля Ё, напряжённости магнитного поля Н, плотности силы тока j, а также скалярные велпипны: массовая плотность р, плотность заряда ре, давление 夕，температура Г и плотность энтропии 6, т. е. всего 17 величин. С другой стороны, имеются: одно уравнение неразрывности (20.1), три уравнения движения (20.7), семь уравнений Максвелла (20.8), три соотношения Ома (20.9), одно уравнение теплопроводности (20.12) (либо (20.11)) и два определяющих соотношения (20.13), т. е. всего 17 уравнений.
Следовательно, модель МГД для идеальной жидкости получилась замкнутой.
Несложно дать обобщение модели МГД на случай вязкой сжимаемой жидкости. Для этого вместо (20.6) необходимо записать определяющие соотношения (9.51)
Е = -PL +1 =(-夕+ Xidivi7)2 + 2〃i2(20.14)
где Ai и /11 — коэффициенты вязкости, г — тензор uвязкиx^^ напряжений (9.49), D — тензор скоростей деформаций (9.50).
Тогда уравнения движения (20.7) дополнятся новыми слагаемыми:
Р(^ + 不• Grad, = — gradp + (Xi + 从i) graddiviJ +
+ miA^+ pF + ре(^Ё+^х H^ + ^x H, (20.15)
а в правую часть уравнения притока тепла (20.11) согласно (20.5) войдёт функция рассеивания (15.39) (ведь теперь модель необратимая):
= т : D = Xi (divi/)2 + 2〃itr D2 =
三。i + g从i) (div 不)2 + 2从10^. (20.16)
Здесь Du — интенсивность тензора скоростей деформаций (15.34). При этом число уравнений и число неизвестных функций не изменятся и останутся равными 17.
Приведём теперь ещё одну классическую связанную модель электромагнитотермомеханики, а именно модель электротермоупругости (ЭТУ) [13, 19]. Будем рассматривать, как и ранее,
малые деформации
£ 叮=q(sj + uj^(20.⑺
и считать тензор напряжений симметричным (<т叮=а^). Некоторые кристаллы {пьезоэлектрики) обладают свойством прямого пьезоэлектрического эффекта (прямого пьезоэффекта), который описывается определяющими соотношениями, связывающими вектор поляризации 戶 с тензором напряжений а:
p1 =小咏0咏.(20.18)
Тензор третьего ранга с компонентами d〃％ называется тензором пьезомодулей. Заметим, что d^k отличны от нуля только для анизотропной среды.
Если под действием электрического поля кристалл изменяет свою форму, то присутствует так называемый обратный пьезоэлектрический эффект (обратный пьезоэффект):
£ jk = djjkEb.(20.19)
Такими эффектами обладают кварц, сегнетова соль, пьезокерамика (например, титанат бария) и некоторые созданные в последнее время композиты. Эти материалы используются в различного рода преобразователях, микрофонах, стабилизаторах частоты, адаптерах, вибраторах, громкоговорителях и др.
В приборах, регистрирующих температуру (например, термопарах), часто находит применение пироэлектрический эффект (пироэффект) — возникновение электрической поляризации 戶 под действием температуры:
4=3也 # = Т —7Ь,(20.20)
где pi — компоненты материального пироэлектрического вектора.
Токи, в том числе и токи смещения, не учитываются, отсутствуют также и электрические заряды. Поэтому можно воспользоваться уравнениями электростатики, являющимися следствиями уравнений Максвелла (19.9):
rot 月=0, div 力=0.(20.21)
Из (18.38), (20.18) и (20.20) следует
Di = Ei + 4»兄=HijEj + 4Mdi jgk + Pi%.(20.22)
Уравнения движения запишем в виде
。腕 f 阳，(20.23)
а уравнение притока тепла
ds 1
'凉=个面+e广儿］•(20.24)
Из первого соотношения (20.21) следует существование электрического потенциала 夕(18.22):
Ё = — grad 99.(20.25)
Таким образом, неизвестными величинами являются а,互，и, 月，方，夕，s, t, t.e. всего 24 величины. Для их определения имеем шесть соотношений Коши (20.17), четыре уравнения Максвелла (20.21), три уравнения движения (20.23) и одно уравнение притока тепла (20.24), т. е. всего 14 уравнений 9 . Поэтому для замыкания системы необходимо привлечь десять определяющих соотношений.
В лекции 14 уже были введены некоторые термодинамические потенциалы, зависящие от различных параметров. Рассмотрим восемь таких потенциалов, каждый из которых зависит от механических и электрических параметров. Это внутренняя энергия 石(5,互，力)，Ei(S,互，月)，свободная энергия Гельмгольца 尸(T,互,力)，Q(S,互,月)，энтальпия H(S,o,力)，H\(S,更®, потенциал Гиббса G(T, °,力)，Gi(T,a, Ё). Любой из этих восьми потенциалов выражается через другие с помощью преобразования Лежандра.
Так, потенциал G\ можно выразить через внутреннюю энергию Е с помощью преобразования
G、=E — ST — 0 产〃• — DiEi.(20.26)
Тогда
dG\ = 一S dT 一 &叮 ^^ij 一。広 dEj.(20.27)
Введём потенциал G2 такой, что
dG? = S dT + Eij daij + D* dEi =
=Sd^ + £“• dai3 + D* d旦，(20.28)
9 Заметим, что уравнение (20.25) не может быть учтено, ибо из него следует тождественное удовлетворение первого соотношения в (20.21).
где для удобства использована величина = £^/(4»). Для неё из (20.22) имеем
旦=，"ijEj + d^jkOjk + PiO.(20.29)
Вместо энтропии S будем рассматривать её плотность s, для которой справедливо соотношение (15.71)
Т
PS = рСр 1п•(20.3。)
Если температура Т не очень сильно отклоняется от Tq, т. е. 户《 То, то вместо (20.30) можно записать
ps = рСр— k o^ijo~ij.(20.31)
Из связи дифференциалов (20.28), очевидно, следует, что
Вторые производные от G? по основным параметрам дают
A2G2 _ (dS\ _ срA2G2 _
(20.33)(20.33)дТ2\дТ /аТУ d(Jijd(jki daki
(20.33)
(20.33)
A2G2 = 3% =刊・дегде3 —丙—才
Здесь &汴/ — компоненты изотермического тензора упругих податливостей.
Учитывая “связанные” эффекты, выпишем вторые смешанные
производные < рения а〃•：
G?. Получим компоненты тензора теплового расши- ^貴=你=(20.34)
компоненты материального вектора пироэлектричества я：
必3(20 35) дтдЕг — ат —佝
а также пьезоэлектрические модули 办汴:
a2G2 _ дезк _
証而=福(2°・36)
Потенциал G?, как и всякий термодинамический потенциал, зависит от термодинамических параметров состояния, например тензора второго ранга у. Чтобы получить физически линейные определяющие соотношения, будем считать G? квадратичной функцией от 必：
сdG?a2G2
(20.37)
Так как любой термодинамический потенциал определяется с точностью до константы, без ограничения общности примем G； = 0. Кроме того, в некотором равновесном положении 唱= =0 равна нулю обобщённая сила {dG^/dfiij)^) = 0. Таким образом, на определяющие соотношения не оказывают влияния первые два члена разложения (20.37). Используя данное разло
жение, можно записать
32G2 I a2G2
атдагз 叮十 атаЕ% '
A2G2 °
2=F； +
32G282G2
да^дак1ак1 + dEkd(Jij k
(20.38)
a2G2。I a2G2I a2G2
дТдЕг dE^ki^1 дЕгдЕ3 勿
или, в терминах плотности энтропии s, учитывая (20.33)-(20.36):ps = ^户 + ai»ij + PiEi,
^ij = a叮户 + Jijki^ki dkjjEk,(20.39)
°^ = Pi» + djjk。jk + ~^^j •
Равенства (20.39) и являются недостающими десятью определяющими соотношениями, о которых шла речь в этой лекции при постановке задачи ЭТУ.
Если напряжённость электрического поля отсутствует, т. е. 月=0, то определяющие соотношения (20.39) принимают вид
ps =
M = £ 叮—Q〃・# = Jijkl^kl
(20.40)
Умножая вторую группу равенств (20.40) на Cmnij и суммируя по индексам i п j, придём к зависимости (15.58) напряжений от деформаций и перепада температур:
0 mп0 mп=Cmnij(2ij — ^ij ^) = Cmnij&%,=Cmnij(2ij — ^ij ^) = Cmnij&%,(20.41)(20.41)
0 mп
0 mп
=Cmnij(2ij — ^ij ^) = Cmnij&%,
=Cmnij(2ij — ^ij ^) = Cmnij&%,
(20.41)
(20.41)
или, с учётом обозначений (15.69):
0 mп0 mп=Cmnij ^ij — l^mn^'=Cmnij ^ij — l^mn^'(20.42)(20.42)
0 mп
0 mп
=Cmnij ^ij — l^mn^'
=Cmnij ^ij — l^mn^'
(20.42)
(20.42)
Итак, определяющие соотношения линейного термоупругого тела, о которых говорилось в лекции 15, получаются как частный случай соотношений (20.39).
Подставим теперь (20.42) в первое равенство (20.40):
'"^ " + МСЦ) = ^ 户 + 涂^.(20.43)
Обратимся снова к нелинейному уравнению притока тепла (20.24) и линеаризуем его вблизи некоторой температуры Г = То (А «7^)). Дифференцируя по времени (20.43), а также первое равенство (20.40), найдём выражение для производной pds/dt, которое подставим в (20.24). Окончательно линеаризованное уравнение притока тепла можно записать в одной из двух форм:
万=PQ+ (MjTj\i — TQ-—(f3ij£ij)(20.44)
либо
(20.45)(20.45)pCp 毎=04 + (A〃7j),e — TQ — {aijaij).
(20.45)
(20.45)
Как видно, в уравнениях (20.44) и (20.45) присутствуют механические слагаемые, однако в случае медленно текущих термодинамических процессов последними слагаемыми в них можно пренебречь по сравнению с другими 9 . В результате получается обычное уравнение теплопроводности
dTРср^ = PQ+^ijT,j),i^dTРср^ = PQ+^ijT,j),i^(20.46)(20.46)
dT
Рср^ = PQ+^ijT,j),i^
dT
Рср^ = PQ+^ijT,j),i^
(20.46)
(20.46)
которое решается отдельно от системы уравнений электроупругости в случае электростатики.
1)06 этом уже шла речь в лекции 15.
(20.47)(20.47)Попробуем упростить рассмотренную систему двадцати четырёх уравнений. Для этого умножим вторую группу определяющих соотношений (20.39) на Cmnij и просуммируем по индексам i к j:
(20.47)
(20.47)
0 mп = Cmnij Wij — Arm# — ^kmn-^к-)
ввуравне-уравне-(20.48)(20.48)где Сктп = Cmnijdkij^ Подставим напряжения (20.47) ния движения (20.23):
в
в
уравне-
уравне-
(20.48)
(20.48)
Р j/ = pFi + С汴/"kQ — Aj^J + Bkij 屮,kj,
и в третью группу равенств (20.39):
。e=仍方 + djjk(CjkmnUm,ri - %4户 + ^mjk^P ,m) - "^^■夕 J
=〔Pi — dijkBjk)9 + Gimn^m,n + I dbjkUmjk=〔Pi — dijkBjk)9 + Gimn^m,n + I dbjkUmjk9,т・9,т・(20.49)(20.49)
=〔Pi — dijkBjk)9 + Gimn^m,n + I dbjkUmjk
=〔Pi — dijkBjk)9 + Gimn^m,n + I dbjkUmjk
9,т・
9,т・
(20.49)
(20.49)
Из второго уравнения Максвелла (20.21) следует, что
〔Pi — dij^/3j]^)T^ + ^imn^m^i +
++屮,mi = 0-屮,mi = 0-(20.50)(20.50)
+
+
屮,mi = 0-
屮,mi = 0-
(20.50)
(20.50)
Итак, относительно трёх компонент вектора перемещений %, температуры Г и электрического потенциала 夕 получена система пяти уравнений: (20.46), (20.48) и (20.50). Причём благодаря uнeзaвиcимocти^^ уравнения притока тепла (20.46), как уже было замечено, оно решается отдельно, после чего функция Т подставляется в подсистему электроупругости (20.48), (20.50) относительно четырёх неизвестных % и 夕.
ЛЕКЦИЯ 21
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХСООТНОШЕНИЙ
Все сформулированные в лекциях 6 и 7 постулаты справедливы для любой среды: жидкости, газа, твёрдого деформируемого тела, теплорода, плазмы. Для замыкания же системы дифференциальных уравнений, полученных как следствие основных постулатов МСС, требуется введение так называемых определяющих соотношений [41]. Ранее уже были рассмотрены различные параметры кинематического и статического толка. Некоторые из них были названы термодинамическими параметрами состояния.
Из всех рассмотренных параметров (скаляров, векторов, тензоров второго ранга и т. д.) можно выделить два особенных типа. Первый — это так называемые основные параметры', перемещения, скорости, температура и т. п. Второй тип — это двойственные к ним параметры, называемые потоками основных величин. Двойственными они называются потому, что свёртка основного параметра и соответствующего ему потока описывает некоторый вид энергии. Примерами потоков могут служить напряжения или вектор теплового потока.
Связи между основными величинами и их потоками и называются определяющими соотношениями. Если эти основные величины и их потоки являются термодинамическими параметрами состояния, то связывающие их определяющие соотношения часто называются уравнениями состояния. Модель сплошной среды по существу и задаётся определяющими соотношениями, которые могут иметь довольно сложную операторную природу.
В рассмотренных простейших моделях определяющие соотношения имеют вид скалярных, векторных или тензорных функций. Эти определяющие соотношения полностью восстанавливаются по экспериментально найденным числам либо функциям, которые называются материальными функциями, потому что в рамках выбранной математической модели показывают, чем один материал отличается от другого.
Приведём примеры некоторых определяющих соотношений. Вспомним, например:
—закон теплопроводности Фурье (14.41)
Qi = — A“・Tj,(21.1)
—закон Гука (10.3)
= Cijkl&kl,(21.2)
—закон баротропии для идеальной жидкости (9.12)
Р =夕(0) или р = 0(夕)，(21.3)
—связь uвязкиx^^ напряжений со скоростями деформаций (9.49)
Tij = Ai tr D dij + 2乩屮切,(21.4)
—соотношения, описывающие пьезоэлектрический эффект (20.18)
Pi = d^jkOjk,(21.5)
и соотношения, описывающие пироэлектрический эффект (20.20)
Pi =⑵也Pi =⑵也(21.6)
Pi =⑵也
Pi =⑵也
В этих примерах материальными функциями являются тензор теплопроводности с компонентами А叮，тензор модулей упругости Cijki, коэффициенты вязкости X],从i, тензор пьезомодулей dijk и материальный вектор пироэлектричества 夕
Опишем некоторые свойства определяющих соотношений и их материальных функций.
Определяющие соотношения подразделяются на линейные и нелинейные, причём линейность может быть геометрической и физической. Физически аинейнам называется оператор а = =Е(2), для которого выполнен принцип суперпозиции
e(a1 互 1 + Q2互2)= a1e(互 1) + QzE(互2)， a1, q2 G 肤. (21.7)
В противном случае соотношения называются физически нелинейными. Операторы, задающие связи (21.1) - (21.6), очевидно, физически линейны в смысле определения (21.7). Однако их несложно обобщить на нелинейный случай. Например, нелинейный пироэлектрический эффект описывается следующим об
разом:разом:4=3(Т)也4=3(Т)也(21.8)(21.8)
разом:
разом:
4=3(Т)也
4=3(Т)也
(21.8)
(21.8)
а нелинейный закон Фурье имеет вид
(21.9)(21.9)伉=—А叮(|gradT|)Tj.
(21.9)
(21.9)
Как видно, нелинейность достигается тем, что материальные функции （夕з А叮）становятся зависящими от инвариантов величин, которые стоят в правых частях. Для тензоров второго ранга физическая нелинейность вводится сложнее. Так, общий вид тензорно нелинейной изотропной функции одного симметричного тензора от другого симметричного тензора （например, связывающей напряжения и деформации） следующий:
0” =用（厶,/2,厶州叮+ /（厶,厶,/3）e叮+
+ f2（厶，/2, /3）ё法ё衍，（21.10） где материальные функции 尸1, % п 用 зависят от трёх инва- риатнов 厶，А,，з тензора деформаций. Если 用=0, то функция （21.10） называется тензорно линейной или квазилинейной, но остаётся по-прежнему физически нелинейной.
Если для тензорной функции （21.10） существует скалярный потенциал %（厶，厶,，з）, такой что
_dW _ dW д!г° 比 дц а互’то она называется потенциальной.
Геометрическая линейность имеет место, если деформации связаны с перемещениями соотношениями Коши （5.5）
心.（21.12）
Если же деформации не являются малыми и не все компоненты тензора дисторсии много меньше единицы, то
^ij = q（“EJ + UjA + uk,iuk,j）,（21.13）
что означает геометрическую нелинейность.
Различают изотропные и анизотропные определяющие соотношения. Назовём тензорную функцию а（互）инвариантной относительно некоторой группы преобразований S, если для каждой матрицы Q преобразования S справедливо свойство
2（Q-i 互 Q） = Q-%Q.（21.14）
Если S — полная группа движений евклидова пространства R3, то тензорная функция а（互），удовлетворяющая （21.14） для любой ортогональной матрицы Q, называется изотропной.
Тензор, который инвариантен относительно некоторой подгруппы полной ортогональной группы, может быть выражен как сумма конечного числа инвариантных тензоров с некоторыми
15 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
скалярными коэффициентами. Набор этих тензоров называется тензорным базисом данной подгруппы преобразований. Каждая такая подгруппа характеризует определённый класс анизотропии в сплошной среде.
Тензорный базис изотропной среды, как среды, свойства которой одинаковы во всех направлениях и при отражении относительно любой плоскости, состоит только из единичного тензора с компонентами b叮，так что любой материальный тензор второго ранга 纟 в изотропном теле имеет вид
闻=bb〃・.(21.15)
Материальный же тензор четвёртого ранга А, симметричный хотя бы по первым двум индексам, выражается через тензорный базис в виде
^ijkl = 41b 叮 6衣/ + 厶2 伍泳％/ + ^il^jk)-(21.16)
В (21.15) и (21.16) b, 4 и А2 — материальные коэффициенты. Из соображений чётности числа индексов ясно, что тензор нечётного ранга нельзя представить в виде комбинаций символов Кронекера Ь“・.К числу материальных тензоров нечётного ранга можно отнести введённые в лекции 20 материальные векторы 夕広 и тензоры пьезомодулей d〃％. Отсюда сразу следует, что как пироэлектрический эффект (20.20), так и пьезоэлектрический эффект (20.18) в изотропной среде невозможны.
Рассмотрим два распространённых вида анизотропии, или две подгруппы полной ортогональной группы в R3 [25, 36].
Трансверсально изотропная среда характеризуется тем, что в ней свойства не меняются при повороте на любой угол относительно некоторой оси (например, оси (0%з)) и при отражении относительно произвольной плоскости, содержащей эту ось. Тензорный базис в данном случае состоит из единичного вектора вдоль оси трансверсальной изотропии с компонентами 6c =屈, а также тензора
=瓦広瓦/ + ^2i^2j •(21.17)
Материальные тензоры & и А в трансверсально изотропной среде представляются следующим образом:
bij =瓦g6 +Ь20%・，(21.18)
Aijki = А、* 门 ki + A2mklji + 7〃％%) + 4з(7〃&4 + TaK，)+
+ ^《«《衣々 + 45(7泳6々 + %%GG + T〃GQ + TjiCiCk) • (21.19)
В ортотропной среде свойства не меняются при отражении относительно каждой из трёх взаимно перпендикулярных плоскостей, например координатных. Тензорный базис ортотропии состоит из трёх тензоров
*)=隔6因，а = 1,2,3.(21.20)
Тензоры & и А в базисе (21.20) имеют вид
з
仇尸 £Ьа*)，(21.21)
АААА⑴仆⑴仆++++++++5 А +5 А +++++++4 A 134 A 137S⑴仆7S⑴仆++++3 2ъ+3 2ъ+++3 къ3 къ++d 1 一3d 1 一34411 - 311 - 3Л7Л79 А +9 А +3 к+3 к+3 k3 k++IkIk++3 z3 z⑴規⑴規++1 к+1 к+IkIk++++++(21(2122)22)
А
А
А
А
⑴仆
⑴仆
+
+
+
+
+
+
+
+
5 А +
5 А +
+
+
+
+
+
+
4 A 13
4 A 13
7S
⑴仆
7S
⑴仆
+
+
+
+
3 2ъ+
3 2ъ+
+
+
3 къ
3 къ
+
+
d 1 一3
d 1 一3
4
4
11 - 3
11 - 3
Л7
Л7
9 А +
9 А +
3 к+
3 к+
3 k
3 k
+
+
Ik
Ik
+
+
3 z
3 z
⑴規
⑴規
+
+
1 к+
1 к+
Ik
Ik
+
+
+
+
+
+
(21
(21
22)
22)
Если вид материальных функций определяющих соотношений зависит от пространственных координат 力為 например, Cijki^x), А叮(可，dijk^x), говорят, что материал неоднороден. В частном случае неоднородности, когда имеет место зависимость только от одной координаты, например 力3, т. е. dCijki/dx\ = dCijki/dx2 = 0, речь идёт о стратифицированном вдоль оси 力з материале. Типичным стратифицированным материалом явлется земной шар вблизи его поверхности.
Если зависимость материальных функций от координат непрерывна, то имеет место непрерывная неоднородность. Если же данная зависимость описывается разрывными функциями координат, то такое тело называется композитом [37]. Эти 15*
разрывные функции зачастую являются кусочно постоянными, что соответствует композиту с однородными компонентами. По геометрической структуре различают слоистые, т. е. стратифицированные вдоль определённого направления (рис. 55),
WWWWWWРис. 55Рис. 55Рис. 57Рис. 57Рис. 56Рис. 56
WWW
WWW
Рис. 55
Рис. 55
Рис. 57
Рис. 57
Рис. 56
Рис. 56
волокнистые (рис. 56), гранулированные, или зернистые, композиты (рис. 57) и др. Часто материальные функции периодичны по координатам и в композите можно выделить геометрическую ячейку периодичности. Тогда говорят, что он имеет периодическую структуру (все изображённые на рис. 55-57 композиты имеют периодическую структуру), в противном случае —непериодическую (рис. 58).
В неоднородных телах (в частности, в композитах) трудно создать однородное напряжённо-деформированное состояние. Поэтому часто экспериментально находят только осреднённые, или эффективные, характеристики материала.
В материальные функции может явно входить время t, тогда среды, описываемые такими определяющими соотношениями, называются реономными [41, 49]. Примерами реономных соотношений служат связи напряжений и деформаций в теории вязкоупругости:
（7（方）=7?（方一7）/（7）（21.23）
о
или
t
a（t） = r（t, т）€（т） dr,（21.24）
о
где 7?（方）—функция релаксации, Г（九 т） — ядро релаксации, являющиеся материальными функциями вязкоупругого материала. При этом, если выбраны соотношения разностного типа, такие как （21.23）, то связь a（t） с е（±） инвариантна относительно сдвига по времени （такие реономные материалы называются нестареющими）. Для соотношений неразностного типа, таких как （21.24）, связь о⑴ с £（" неинвариантна относительно сдвига по времени. В этом случае реономные материалы называется стареющими.
Эффект нестарения можно объяснить на следующем примере. Зададим два процесса деформирования: /（方）=/（方）九（方）и &2（方）= =£1（方一方0）, отличающиеся друг от друга только сдвигом по времени на to （рис 59）. Подсчитаем для некоторой выбранной функции релаксации R{t） согласно （21.23） oi （方）и（J^{t）. Получим
t方——力0
。2⑴= R（t — т） d&i（T — to） =A（力—5 — to） d&i（s）=
00
力一力0
=R[t —方о — 6）d&i（s） =（7i（方一方°）. （21.25）
о
Равенство （21.25） a2（t） = ai（t — to） （рис 59） свидетельствует о нестарении материала. Если же функции bi （方）и a2（t） находить на основании определяющего соотношения （21.24） для произвольно выбранного ядра релаксации Г（九т）, то, вообще говоря, 。2（方）¥ 01（方一to）, что по определению соответствует стареющему материалу.
Рис. 59
Если в материальные функции время явно не входит, то среда называется склерономной. Простейшим примером склерономной среды служит упругая среда. Для проверки гипотезы о склерономности среды можно, например, задать поверхностные силы, не зависящие от времени, и снять показания деформаций в течение контрольного времени в рабочей части образца. Неизменность деформаций во времени подтверждает допущение о склерономности модели.
Среды можно разделить на обратимые, для которых плотность рассеивания w*, определяемая равенством (14.35), а следовательно, и сама функция рассеивания W^ тождественно равны нулю, и необратимые, для которых w* > 0. Обратимыми средами являются упругая среда и идеальная жидкость. Рассмотренная ранее вязкая жидкость с коэффициентами вязкости Ai и /11 и функцией w* в форме (15.39) относится к необратимым средам.
Если свойства в каждой точке тела зависят от состояния только в этой точке, то говорят, что среда локальна по координатам. Все рассмотренные ранее определяющие соотношения соответствуют локальным средам. Для локальных сред справедлив постулат макроскопической определимости Ильюшина [16], согласно которому каждой точке среды может быть поставлено в соответствие тело конечных размеров (макрообразец, или М-образец), находящееся в однородном напряжённо-
деформируемом состоянии, на котором могут быть изучены все процессы, протекающие в выделенной точке среды.
Примером нелокальной среды по координатам может служить среда, для которой связь напряжений и деформаций в любой точке х описывается соотношениями
3尸)=[Czjkl^skl^dV^ (21.26)
где 匕(疗)—шар радиуса а > 0 с центром в х. Для нелокальной среды постулат макроскопической определимости несправедлив.
Среды различаются свойствами локальности и нелокаль- ности по времени. Локальной по времени называется среда, в которой свойства в каждый момент времени зависят от параметров состояния в этот же момент. Такими свойствами обладают упругий материал, идеальная и вязкая жидкости. Там же, где напряжения в любой момент t зависят от всей истории деформирования на интервале 0 < г < t, т. е являются функционалами процесса деформации, говорят о нелокалъности среды по времени, или о средах с памятью. Примером такого рода определяющих соотношений служит связь напряжений и деформаций (21.23) или (21.24) в теории вязкоупругости, а также в большинстве теорий пластичности.
Как уже отмечалось, материальные функции не могут вычисляться или быть решениями каких-либо уравнений, а должны определяться лишь опытным путём в результате установочных экспериментов [17, 37]. Во всех таких экспериментах суждение о приемлемости того или иного утверждения должно быть согласовано с точностью, которую необходимо достичь при расчёте по выбранной модели. К установочным также относят эксперименты, в которых устанавливаются общие свойства операторной связи напряжений и деформаций, например рассмотренные в этой лекции линейность и нелинейность, изотропия и анизотропия, склерономность и реономность и т. д.
Теорию, основанную на некоторой выбранной модели механики сплошной среды, будем называть “серьезной/', или адекватной, если описан полный набор экспериментов для нахождения всех материальных функций. В противном случае теория называется инесерьёзной^ (неадекватной).
ЛЕКЦИЯ 22
УСЛОВИЯ НА ПОВЕРХНОСТЯХ РАЗРЫВА.ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Основные постулаты МСС в лекциях 6, 7 и 14 были представлены в интегральной форме и в виде дифференциальных следствий. До сих пор считалось, что все изучаемые функции дифференцируемы столько раз, сколько требуется. Рассмотрим теперь более общий случай и будем считать, что в сплошной среде движется так называемая материальная поверхность разрыва Хо
\е-<^ /〃 с единичной нормалью n(x), х е So- By-
/|дем обозначать характеристики механиче
ских величин с одной стороны от поверхности Хо одним штрихом (условно “перед пoвepxнocтью^^), а с другой стороны — дву
Рис. 60 мя штрихами (“за пoвepxнocтью^^) (рис. 60). Множество Хо может моделировать границу раздела двух различных сред, а может находиться внутри однородной среды.
Эта поверхность Хд не будет поверхностью разрыва, если при переходе через неё векторы перемещения, скорости, а также напряжения не терпят разрыва, т. е.
К]=心—* = 0, l(Jijrij] = [(Jij]rij =(吗•一 %-)nj = 0. (22.1) Величины \ui\ и [。叮九/], заключённые в квадратные скобки в (22.1), называются скачками перемещений и напряжений при переходе через поверхность Хд-
Если при переходе через Хо терпят разрыв перемещения, или скорости, или температура, то Хо называется поверхностью сильного разрыва. Если же эти величины непрерывны, но в точках 不 G Хо терпят разрыв их производные по координатам и времени, то Хо называется поверхностью слабого разрыва.
Пусть движение этой поверхности задаётся соотношением г = г (t, а?), (22.2)
где а】，а? — криволинейные координаты. Очевидно, что соотношение (22.2) можно записать в виде
Xi = •(九 а、а?),(22.3)
(22.4)(22.5)(22.4)(22.5)или
(22.4)
(22.5)
(22.4)
(22.5)
9(%1,力2,力3丿)=0.
Тогда вектор единичной нормали п имеет вид gradg
П~ |gradg「
Будем обозначать скорость поверхности в направлении её движения через
D = Dn, D= \D\,(22.6)
т. е. скорость поверхности Хд всегда направлена по нормали к Хо- Вектор 力(疗),х е Хо, вообще говоря, отличается от вектора скорости 不(疗)материальной частицы, находящейся в момент времени t в точке х поверхности.
Поскольку равенство (22.4) выполнено при любом 九 возьмём полную производную по t от обеих его частей:
宇三 +力 gradg = O.(22.7)
Разделим (22.7) на | gradg\ и учтём равенства (22.5) и (22.6). Тогда получим выражение для модуля скорости поверхности Х(): р = dg/dt
—I grad р I
Выберем в пространстве некоторый подвижный (жидкий) объём V, который исследуемая поверхность Хд в каждый момент времени делит на два объёма:『и Vй (рис. 61).
Обратимся теперь к общей интегральной записи постулатов МСС (14.55):
— padV = pAdV+ 2(N)d£+ CdV, (22.9)
VVEV
описывающей изменение величины J^ pa dV. Дифференциальным следствием (22.9) является равенство (или равенства, в за
висимости от ранга тензора а) (14.58)
р^± = pA + DivB + C. atр^± = pA + DivB + C. at(22.10)(22.10)
р^± = pA + DivB + C. at
р^± = pA + DivB + C. at
(22.10)
(22.10)
VРис. 61VРис. 61Полагая а, А, В, С такими же, как в (14.59)-(14.63), из (22.9), (22.10) получим интегральные и дифференциальные формулировки всех пяти постулатов МСС.
V
Рис. 61
V
Рис. 61
вании по времени интеграла по жидкому объёму (6.4):вании по времени интеграла по жидкому объёму (6.4):Воспользуемся леммой о дифференциро
вании по времени интеграла по жидкому объёму (6.4):
вании по времени интеграла по жидкому объёму (6.4):
и применим её последовательно к жидким объёмам V1 и V11 (рис. 61):
[ fDd^. (22.12)
HH»Xo
[貝元[此芯—[/〃0注 (22.13)
V"V"х〃％
Здесь v^ п v^ — значения нормальной составляющей вектора скорости на поверхностях I/ и Х〃 соответственно.
Выполним предельный переход при V = Vf [JVff 0, при этом ЕУ т Хо, Х〃 т Хо- Обозначим 尸 и f" предельные значения непрерывной функции /(元方)при стремлении V 0 со стороны Vf и Vй соответственно. Тогда
J4dx - - [ f&de, [/或芯—[产國筵.(22.14) »So夕〃So
Из (22.12) - (22.14) получим
lim 4 \ fdV= lim[尸+
v-odt J， v-oj dt J
+ [/〃 (國—。匸(22.15)
Проделывая ту же процедуру разбиения V на У7 и Vn с последующим устремлением V к нулю в (22.9), где положим
ра = /, будем иметь
hmJ-\fdV=hm \pAdV+ [(呢-幻 芯 + V тО JV J
+ lim CdV. (22.16) JO
Если величины f, А и С ограничены, то все объёмные интегралы в (22.15) и (22.16) стремятся к нулю. Таким образом, в каждой точке поверхности Хд справедливо соотношение для разрывных на Хо функций / (/〃 一尸三[/]):
/〃(國-D)-л< - D— 2工(22•⑺
называемое условием на поверхности разрыва.
В формулировках каждого из известных постулатов МСС объекты / и В имеют конкретный вид (см. (14.59) - (14.63)). Рассмотрим условия на поверхности разрыва (22.17) применительно к этим постулатам.
Для первого постулата (6.8) (закона сохранения массы) f = р, В = 0. Получающееся из (22.17) скалярное соотношение
"(國一О)=“(％ —О)"(國一О)=“(％ —О)(22.18)(22.18)
"(國一О)=“(％ —О)
"(國一О)=“(％ —О)
(22.18)
(22.18)
описывает скачок плотности при переходе через поверхность Хо- Если рП < 〃，то имеет место скачок разрежения, если же рП > 〃，то скачок уплотнения. Из (22.18) видно, что если % = 0 (распад разрыва), то vrn < D.
Для второго постулата (6.34) (закона об изменении количества движения) / следует заменить на вектор pv, а Вп на Sn = SjUj = aijrijki，Из (22.17) получим
—。—"必(％ —。=(22.19)
или, используя предыдущий закон (22.18),
Р^^п -。=(22.20)
Для третьего постулата (7.2) (закона об изменении момента количества движения) / заменим на г х pv, а В на р х
^ijк ^ 叼"(％ —。) 一 р XjV^ {уп —。)) = ^ijk^ji^krr^^m' (22.21)
Видно, что три соотношения (22.21) являются лишь следствиями соотношений (22.19).
Четвёртый постулат (14.44) представляет собой закон сохранения энергии в МСС. Положим f = е, Вп = —qn и из (22.17) получим скалярное условие
(國—。—“у (% —。=—(匕—办也 (22.22)
или, с учётом (22.18),
。1日鰭—。=—feK・(22.23)
Этот же постулат можно записать и форме (14.43), при этом / = е+|回2/2, Вп = Sn - V — qn. Тогда, принимая во внимание (22.18),
Рг е+ 胃(X —。)= К7g伉П・(22.25)
Для пятого постулата о притоке тепла (14.50) необходимо положить / = 06, Вп = —qn/T\
или, с учётом (22.18),
p^n-D) = -^] пг.(22.27)
Обратимся теперь к соотношению электромагнитодинамики (19.25), для которого / =(刃闻2 + 从|闻2)/(8»), Вп = —Sn, где S — вектор Пойнтинга. Условие на поверхности разрыва (22.17) запишется следующим образом:
卜刃月|2 + М|Я|2)^П _ О)] = —8»sm.(22.28)
В заключение рассмотрим вопрос о так называемой постановке задач для изучаемых в этой книге моделей сплошных сред. Данному вопросу достаточного внимания ещё уделено не было, так как для этой цели требуется знание более серьёзного математического аппарата, чем тот, который использовался до сих пор.
Начнём с простейшего примера. Пусть требуется решить обыкновенное дифференциальное уравнение
S(2229)
при 力》0. Заданная функция /(%) называется правой частью уравнения (22.29). Чтобы решение было единственным, надо записать дополнительные условия (начальные данные) при х =
=
〃 = С1, — = С2.(22.30)
ах
Задача (22.29), (22.30) называется задачей Коши. Очевидно, она имеет единственное решение
〃(力)=(ж - y)f{y) dy + С2х + Cl.(22.31)
о
Если решается уравнение (22.29) на конечном отрезке 0 W W %, то дополнительные условия в граничных точках отрезка можно записать в виде
〃(0) = G, 〃⑺=。2・(22.32)
Эти условия называются краевыми или граничными, а задача (22.29), (22.32) называется краевой задачей. Её единственное решение таково:
жI
“(％) = (% — y)f{y) dy + Cl+ j C2 - Cl - (Z - g)/(g) dy . оо
(22.33)
В механике принято называть начальными данными (начальными условиями) величины, которые задаются в начальный момент времени 方=用 или t = 0. Если уравнения МСС содержат производные по времени, то они называются начально-краевыми (нестационарными или, иногда, динамическими). Правые части таких уравнений, а также заданные величины в начальных и краевых условиях называются входными данными.
Статические задачи (как и стационарные) не содержат в своей формулировке времени. Для таких задач начальных условий во "входных данных” нет.
Если же время входит как параметр в правые части и краевые условия, но уравнения не содержат производных по времени, то
такие задачи называются квазистатическими или квазиста- ционарными. Начальные условия для них также не задаются.
Область V, занимаемая сплошной средой, может быть ограничена замкнутой поверхностью X, но может быть и неограниченной. В последнем случае нужно задавать ещё дополнительные условия на бесконечности. Может случиться, что поверхность X содержит особые точки (например, рёбра или конические точки). Тогда в них также должны быть заданы некоторые дополнительные условия.
Не будем здесь рассматривать вопрос о необходимом числе краевых и дополнительных условий, а приведём примеры для разобранных моделей. Рассмотрим сначала модель идеальной жидкости (лекция 9). Уравнения движения Эйлера (9.9) в прямоугольной декартовой системе координат имеют вид
"(22.34)
dt р
В силу того что в уравнениях (22.34) присутствует только первая производная по времени, начальное условие при t = 0 для вектора v будет одно:
3 = о?.(22.35)
В правой части уравнений (22.34) имеются производные по координатам от одной скалярной величины — давления р. Следовательно, граничное условие для 夕 на поверхности X с единичной нормалью п будет одно:
Р\^=Р^(22.36)
Граничное условие (22.36) называется статическим.
Если же идеальная жидкость движется в области V, ограниченной поверхностью X, не протекает сквозь эту поверхность и не отрывается от неё, то граничное условие (условие непроте- кания) на X будет, разумеется, тоже одно:
°八［=vini\^ = °?・(22.37)
Граничное условие (22.37) называется кинематическим. Его единственность физически оправдана тем, что в идеальной жидкости на касательные составляющие вектора скорости v поверхность X не оказывает никакого влияния (вспомним парадокс Эйлера-Даламбера).
Иногда оказывается, что поверхность X разбита на две части: Xi и 为，такие что 引 U 为=2 »i G 为=0. При этом на части поверхности Xi задано статическое условие (22.36), а на части 为 кинематическое (22.37). Если же область V неограни- чена, то, как уже говорилось, требуется задать дополнительные условия на бесконечености.
Теперь можно говорить о постановке задачи, например, для идеальной несжимаемой жидкости. Эта задача заключается в отыскании трёх компонент вектора скорости v и давления 夕 из решения трёх уравнений Эйлера (22.34) при учёте одного уравнения несжимаемости (9.10). При этом должны удовлетворяться начальные условия (22.35) и некоторые граничные условия, например (22.36), или (22.37), или смешанные', на части границы Xi (22.36), а на оставшейся части Х2 (22.37).
Рассмотрим теперь уравнения Навье-Стокса (9.54) для течения вязкой несжимаемой жидкости:
爵=一厶 +心З + К(22.38)
аг р
Что касается начальных условий, то и для вязкой жидкости они записываются в виде (22.35). Однако в силу того что в уравнениях (22.38) содержатся вторые производные по координатам от вектора скорости, граничных условий на поверхности X будет три. При этом кинематические условия (9.55) (условия прилипания)
(22.39)
означают, что на границе X все три компоненты скорости жидкости совпадают с заданными компонентами 限 вектора скорости твёрдого тела, движущегося вместе с X. Статические граничные условия (9.56) выглядят следующим образом:
S也)1=碎.(22.40)
Разумеется, и здесь можно сформулировать смешанные граничные условия.
Итак, задача о движении вязкой несжимаемой жидкости заключается в отыскании трёх компонент вектора скорости v и давления 夕 из решения трёх уравнений Навье-Стокса (22.38) и уравнения несжимаемости (9.10) при удовлетворении начальным данным (22.35) и граничным условиям (22.39), или (22.40),
или смешанным. В последних двух случаях нужно в граничных условиях использовать определяющие соотношения вязкой жидкости
0” = -p3成j + 2410叮，从］=〃〃(22.41)
и выражения
°L%3j+%)・(2242)
Постановка задачи линейной теории упругости была уже рассмотрена в лекции 10. Напомним, что для изотропной среды задача заключается в отыскании трёх компонент вектора перемещений и из решения уравнений Ламе (10.36)
Р = (X + 从)％ + 从+ рК,(22.43)
где
0 = 〃衣,衣=div и.(22.44)
Так как в уравнения (22.43) входит вторая производная по времени от компонент перемещений, должны выполняться уже два векторных начальных условия при t = 0:
оо
%%, 而=以•
Кроме того, необходимо удовлетворение кинематических
叽=鋁(22.46)
или статических (22.40), или смешанных граничных условий. Как и в вязкой жидкости, в последних двух случаях должны учитываться определяющие соотношения линейной упругости
о*叮=X06ij + 2/ze叮(22.47)
и соотношения Коши
^ij = d("ej + ^j д) •(22.48)
В статической или квазистатической задаче теории упругости нужно найти перемещения из решения трёх уравнений равновесия:
(X + 从)％ + /^/\ui + pFi = 0,(22.49)
при удовлетворении граничным условиям (2.40) либо (2.46).
Отметим важную особенность уравнений равновесия в теории упругости. При выполнении неравенств (10.29) система уравнений (22.49) является системой эллиптического типа, и её никакими предельными переходами нельзя получить из системы уравнений движения (22.43), принадлежащей гиперболическому типу. Однако уравнения параболического типа, к коим относятся уравнения Навье-Стокса (22.38) и уравнение теплопроводности (20.46), при установившемся режиме (течения жидкости или распределения температуры) превращаются в стационарные уравнения эллиптического типа.
16 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
Амензаде Ю.А. Теория упругости. — М.: Высшая школа, 1976.— 272 с.
Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. — Л.: Гидрометеоиздат, 1982. — 255 с.
Божидарник В.В., Сулим Г.Т. Елементи Teopii пружносп.— Льв1в: Св1т, 1994. — 560 с.
Бондарев Е.Н., Дубасов В.Т., Рыжов Ю.А., Свирщевский С.6., Семенников Н.В. Аэрогидромеханика. — М.: Машиностроение, 1993.
Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред (в приложении к теории волн). — М.: Наука, 1982. — 335 с.
Бриджмен П.У. Анализ размерностей. — Ижевск: РХД, 2001.— 148 с.
Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. — М.: Мир, 1973. - 758 с.
Георгиевский Д.В. Тензорно нелинейные эффекты при изотермическом деформировании сплошных сред 〃 Успехи механики.— 2002. Т. 1, №2. - С. 150-176.
Георгиевский Д.В., Победря Б.Е. О числе независимых уравнений совместности в механике деформируемого твёрдого тела 〃 ПММ. - 2004. - Т. 68. Вып.6. - С. 1043-1048.
Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. — М.: Наука, 1978. - 303 с.
Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. — М.: Высшая школа, 1972. — 368 с.
Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. — М.: Мир, 1965. — 456 с.
Гринченко В.Т., Млитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т. 5. Электромагнитоупругость. — Киев: Наукова думка, 1989. — 279 с.
Гроот С. Ое, Мазур 〃 Неравновесная термодинамика.— М.: Мир, 1964.
Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1990. — 312 с.
Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. -М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 272 с.
Ильюшин А.А., Ленский В.С. Сопротивление материалов.— М.: Физматгиз. — 371 с.
Ильюшин А.А., Ломакин В.А., Шмаков А.П. Задачи и упражнения по механике сплошной среды. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1979. - 200 с.
Карнаухов В.Г. Связанные задачи термовязкоупругости. — Киев: Наукова думка, 1982. — 258 с.
Кочин Н.Е., Кабель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. — М.: Физматгиз. Ч. 1. — 1963. — 583 с. Ч. 2. — 1963.— 727 с.
Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика.— М.: Физматгиз, 1962. — 246 с.
Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчула- дзе Т.В. Трёхмерные задачи математической теории упругости.— Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1968. — 628 с.
Ламб X. Гидродинамика. — М.-Ижевск: РХД. — Т. 1. 2003.— 452 с. - Т. 2. 2003. - 482 с.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. — М.: Физматлит, 2001. — 651 с.
Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела.— М.: Наука, 1977. - 416 с.
Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Дрофа, 2003. - 840 с.
Лурье А.И. Теория упругости. — М.: Наука, 1970. — 940 с.
Ляв А. Математическая теория упругости. — М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. - 674 с.
Мак-Конелл А.Дж. Введение в тензорный анализ. — М.: Физматгиз, 1963. — 411 с.
Механика сплошных сред в задачах / Под ред. М.Э. Эглит.— М.: Московский лицей. — Т. 1. 1996. — 396 с. — Т. 2. 1996.— 396 с.
Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1966. — 708 с.
Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. — М.: Наука.— Ч. 1. 1987. - 464 с. - Ч. 2. 1987. - 359 с.
Новацкий В. Теория упругости. — М.: Мир, 1975. — 872 с.
Новожилов В.В. Теория упругости. — Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.
Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики.— М.: Наука, 1981. — 368 с.
Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1986. — 264 с.
Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1984. — 336 с.
Победря 6.Е. Модели механики сплошной среды 〃 Фундамент, и приклад, матем. — 1997. Т. 3. Вып. 1. — С. 93-128.
Победря 6.Е. Модели механики сплошной среды 〃 Изв. РАН. МТТ. - 2000. - №3. - С. 47-59.
Победря Б.Е. Новая постановка задачи механики деформируемого твёрдого тела в напряжениях 〃 Докл. АН СССР. — 1980.— Т. 253, №2. - С. 295-297.
Победря Б.Е. О теории определяющих соотношений в механике деформируемого твёрдого тела 〃 Проблемы механики: Сб. статей к 90-летию со дня рожд. А.Ю. Ишлинского. — М.: Физматлит, 2003. - С. 635-657.
Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1995. — 366 с.
Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Лекции по теории упругости.— М.: Эдиториал УРСС, 1999. — 204 с.
Победря Б.Е., Шешенин С.В., Холматов Т. Задача в напряжениях. —Ташкент: Изд-во "ФАН", 1988. — 200 с.
Прагер В. Введение в механику сплошных сред. — М.: ИЛ, 1963. - 311 с.
Прандтль Л. Гидроаэромеханика. — М.: ИЛ, 1949. — 520 с.
Работное Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела.— М.: Наука, 1979. - 744 с.
Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ.— М.: Наука, 1967. — 664 с.
Савш ГМ., Рущицъкий Я.Я. Елементи механ!ки спадкових сере- довищ. — Киев: Вища школа, 1976. — 251 с.
Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. — М.: Физматгиз, 1962. — 284 с.
Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике.— М.: Наука, 1987. - 430 с.
Седов Л.И. Механика сплошной среды. — М.: Изд-во Моск, ун-та. - Т. 1. 2004. - 528 с. - Т. 2. 2004. - 560 с.
Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости.— М.: ГИТТЛ, 1955. - 520 с.
Снеддон И.Н., Берри 〃.С. Классическая теория упругости.— М.: ГИФМЛ, 1961. - 220 с.
Сокольников И.С. Тензорный анализ, теория и применение в геометрии и в механике сплошных сред. — М.: Наука, 1971.— 374 с.
Тамм И.Е. Основы теории электричества. — М.: Наука, 1976.— 616 с.
Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. — М.: Наука, 1979. - 560 с.
Треффц Е. Математическая теория упругости. — Л.-М.: ГТТИ, 1934. - 172 с.
Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. — М.: Мир, 1975. — 592 с.
Федерман А. О некоторых общих методах интегрирования уравнений с частными производыми первого порядка 〃 Изв. Санкт- Петербургского политехи, ин-та. Отд. техн., естествозн. и мате- мат. -1911. - Т. 16. - С. 97-155.
Филоненко-Бородич ММ. Теория упругости. — М.: Физматгиз, 1959. - 364 с.
Чёрный Г.Г. Газовая динамика. — М.: Наука, 1988. — 424 с.
Buckingham Е. Model experiments and the forms of empirical equations 〃 Trans. Amer. Soc. of Meeh. Eng. — 1915. — V. 37. P. 263-288.
Green 4.E, Zerna W. Theoretical Elasticity. — N.-Y.: Dover Publ. INC, 1968. - 457 p.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ )
Абсолютная температура 160—теорема 150Авогадро число 138Адекватная теория 231Адиабата— показатель 142—Пуассона 142Адиабатический процесс 142Актуальная конфигурация 10Альтернирование 46Альманси тензор—левый 51—правый 50Ампера закон 205Ансамбль—равновесный 185—среднее 184Аффинор 50Базис—ковариантный локальный— — актуальной конфигурации 41отсчётной конфигурации 37—контравариантный локальный— — актуальной конфигурации 41отсчётной конфигурации 37Баротропная жидкость 101Безразмерная величина 124Безынерционное обтекание 134Бельтрами-Мичелла уравнения120Бернулли интеграл 102Био-Савара закон 205Абсолютная температура 160—теорема 150Авогадро число 138Адекватная теория 231Адиабата— показатель 142—Пуассона 142Адиабатический процесс 142Актуальная конфигурация 10Альтернирование 46Альманси тензор—левый 51—правый 50Ампера закон 205Ансамбль—равновесный 185—среднее 184Аффинор 50Базис—ковариантный локальный— — актуальной конфигурации 41отсчётной конфигурации 37—контравариантный локальный— — актуальной конфигурации 41отсчётной конфигурации 37Баротропная жидкость 101Безразмерная величина 124Безынерционное обтекание 134Бельтрами-Мичелла уравнения120Бернулли интеграл 102Био-Савара закон 205Больцмана—постоянная 138—формула 155Ван-дер-Ваальса закон 143Вектор—вихря 25, 56—внутреннего вращения 83—внутренних напряженийкинетический 193макроскопический 194потенциальный 193—диффузионного потока 73—истинных напряжений 78—магнитной индукции 201—магнитной напряжённости 201—намагниченности 201—напряжений 78на недеформированной площадке 86—перемещения 13градиент 49— пироэлектрический 217—плотности силы тока 203—поворотов 60—Пойнтинга 210поток 210—поляризации 199—распределённых объёмных моментов 83—скорости 13—ускорения 14Больцмана—постоянная 138—формула 155Ван-дер-Ваальса закон 143Вектор—вихря 25, 56—внутреннего вращения 83—внутренних напряженийкинетический 193макроскопический 194потенциальный 193—диффузионного потока 73—истинных напряжений 78—магнитной индукции 201—магнитной напряжённости 201—намагниченности 201—напряжений 78на недеформированной площадке 86—перемещения 13градиент 49— пироэлектрический 217—плотности силы тока 203—поворотов 60—Пойнтинга 210поток 210—поляризации 199—распределённых объёмных моментов 83—скорости 13—ускорения 14
Абсолютная температура 160
—теорема 150
Авогадро число 138
Адекватная теория 231
Адиабата
— показатель 142
—Пуассона 142
Адиабатический процесс 142
Актуальная конфигурация 10
Альтернирование 46
Альманси тензор
—левый 51
—правый 50
Ампера закон 205
Ансамбль
—равновесный 185
—среднее 184
Аффинор 50
Базис
—ковариантный локальный
— — актуальной конфигурации 41
отсчётной конфигурации 37
—контравариантный локальный
— — актуальной конфигурации 41
отсчётной конфигурации 37
Баротропная жидкость 101
Безразмерная величина 124
Безынерционное обтекание 134
Бельтрами-Мичелла уравнения
120
Бернулли интеграл 102
Био-Савара закон 205
Абсолютная температура 160
—теорема 150
Авогадро число 138
Адекватная теория 231
Адиабата
— показатель 142
—Пуассона 142
Адиабатический процесс 142
Актуальная конфигурация 10
Альтернирование 46
Альманси тензор
—левый 51
—правый 50
Ампера закон 205
Ансамбль
—равновесный 185
—среднее 184
Аффинор 50
Базис
—ковариантный локальный
— — актуальной конфигурации 41
отсчётной конфигурации 37
—контравариантный локальный
— — актуальной конфигурации 41
отсчётной конфигурации 37
Баротропная жидкость 101
Безразмерная величина 124
Безынерционное обтекание 134
Бельтрами-Мичелла уравнения
120
Бернулли интеграл 102
Био-Савара закон 205
Больцмана
—постоянная 138
—формула 155
Ван-дер-Ваальса закон 143
Вектор
—вихря 25, 56
—внутреннего вращения 83
—внутренних напряжений
кинетический 193
макроскопический 194
потенциальный 193
—диффузионного потока 73
—истинных напряжений 78
—магнитной индукции 201
—магнитной напряжённости 201
—намагниченности 201
—напряжений 78
на недеформированной площадке 86
—перемещения 13
градиент 49
— пироэлектрический 217
—плотности силы тока 203
—поворотов 60
—Пойнтинга 210
поток 210
—поляризации 199
—распределённых объёмных моментов 83
—скорости 13
—ускорения 14
Больцмана
—постоянная 138
—формула 155
Ван-дер-Ваальса закон 143
Вектор
—вихря 25, 56
—внутреннего вращения 83
—внутренних напряжений
кинетический 193
макроскопический 194
потенциальный 193
—диффузионного потока 73
—истинных напряжений 78
—магнитной индукции 201
—магнитной напряжённости 201
—намагниченности 201
—напряжений 78
на недеформированной площадке 86
—перемещения 13
градиент 49
— пироэлектрический 217
—плотности силы тока 203
—поворотов 60
—Пойнтинга 210
поток 210
—поляризации 199
—распределённых объёмных моментов 83
—скорости 13
—ускорения 14
Указана страница, где термин встречается впервые и где он выделен курсивом.
Вектор
—электрической индукции 201
—электрической напряжённости
198
Векторная линия 20
Векторное произведение 23, 40
Векторный потенциал 24
Вероятность 182
—плотность 182
—термодинамическая 154
—условная 185
Вечный двигатель
—второго рода 147
—первого рода 138
Взаимодействия парного потенциал 193
Вихревая линия 25
Вихревая трубка 25
—напряжённость 34
Вихря вектор 25, 56
Вихря тензор 25
Вмещающий ящик 9
Внешних сил работа 85
Внутреннего вращения вектор 83
Внутренних напряжений
—кинетический вектор 193
—макроскопический вектор 194
—потенциальный вектор 193
Внутренних сил работа 85, 117
Внутренняя энергия 137
—плотность 163
Волокнистый композит 228
Волокно координатное 60
Вращения
—внутреннего вектор 83
—тензор 53
Временное пространство 8
Входные данные 237
Вычислительная механика 8
Вязкая жидкость 108
—нелинейно-вязкая 109
—неньютоновская 109
— ньютоновская 108, 171
Вязких напряжений тензор 108
Вязкость
—динамическая 108
—кинематическая 108
—объёмная 108
—сдвиговая 108
Газ совершенный 138
Газа поток
—дозвуковой 133
—сверхзвуковой 133
Газовая постоянная 138
Галилея группа преобразований 211
Гамильтона
— канонические уравнения 181
—функция 180
Гамильтонов формализм 180
Гамильтоновы переменные 180
Гармоническая функция 25
Гельмгольца теорема 195
—вторая 34
—первая 34
— свободная энергия 161
Генки тензор 54
Геометрически линейная среда 225
Геометрически нелинейная среда 225
Гиббса потенциал термодинамический 161
Гидродинамика магнитная (МГД) 214
Гидростатика 105
Гипотеза
—Дюгамеля-Неймана 173
—непроницаемости 10
—эргодичности 185
Главные направления 92
Главные напряжения 92
Главные площадки 92
Гравитационная постоянная 197
Градиент 25
—вектора перемещений 49
—деформации 50
обратный 50
—скоростей 26, 55
Граничные (краевые) условия 103, 237
—кинематические 103
—смешанные 239
—статические 103
Гранулированный композит 228
Грина формула
—вторая 30
—первая 29
—третья 30
Громеки-Лэмба форма 101
Группа преобразований
—Галилея 211
—Лоренца 213
Гука закон 111
—для изотропного материала 113
—обратный 113
———для изотропного материала 114
Давление 99
—заторможенное 106
Давления функция 101
Дарси закон 107
—обобщённый 107
Двигатель вечный
—второго рода 147
—первого рода 138
Движение 10
—жёсткое 54
—установившееся 22
Движения
—закон 12
—количество 76
момент 81
—уравнения 80
——в отсчётной конфигурации 86
Девиатор 62
Дельта-функция 31, 186
Деформации
—градиент 50
обратный 50
—интенсивность 62
—малые 59
тензор 59
—мера 51
—тензор
Лагранжа 49
Эйлера 49
Деформаций
—потенциал 111
—энергия потенциальная 117
Джоулево тепло 210
Диада 39
Дивергенция 24
Дилатация 62
Динамическая вязкость 108
Диполь 199
Дирака 5-функция 186
Дискретизация 8
Дисперсия 185
Диссипация 142
—функция 154
Дисторсии тензор
актуальной конфигурации
49
отсчётной конфигурации 49
Дифференциальный закон Ома
204
Диффузии уравнение 74
Диффузионного потока вектор 73
Диэлектрик 200
Диэлектрическая проницаемость
201
—тензор 201
Дозвуковой поток газа 133
Дюгамеля-Неймана гипотеза 173
Дюлонга-Пти закон 175
Единицы
—измерения 123
класс систем 123
основные 123
производные 123
Единичный тензор
—второго ранга 39
—четвёртого ранга 111
Единственности теорема 118
Жёсткое движение 54
Живых сил теорема 85
Жидкий (подвижный) объём 69
—лемма о дифференцировании по времени интеграла 69
Жидкость
— баротропная 101
—вязкая 108
неньютоновская 109
ньютоновская 108, 171
—идеальная 99
—нелинейно вязкая 108
Задача
—квазистатическая (квазистацио- нарная) 117, 238
-Коши 15, 237
—краевая 109, 237
вторая 109
первая 109
смешанная 109
—начально-краевая 237
—несвязанная 177
—о математическом маятнике
128
—о сильном взрыве 130
—об обтекании шара потоком 132
—статическая (стационарная) 117, 237
—теории упругости в напряжениях
классическая 120
——“новая” 121
—теории упругости в перемещениях 116
Закон
—Ампера 205
—Био-Савара 205
—Ван-дер-Ваальса 143
Закон
—Гука 111
для изотропного материала 113
обратный 113
для изотропного материала 114
—Дарси 107
обобщённый 107
—движения 12
—Дюлонга-Пти 175
—индукции Фарадея 208
—Кулона 197
—об изменении количества движения (П постулат МСС) 76
—об изменении момента количества движения (Ш постулат МСС) 81
—Ома
дифференциальный 204
интегральный 205
—постоянства заряда 198
—преобразования
ковариантный 38
контравариантный 38
—сохранения величины (общая форма записи) 167
—сохранения массы (I постулат МСС) 70
—сохранения энергии (IV постулат МСС) 164
—тензорный 38
—теплопроводности Фурье 164
—термодинамики
второй 146
———формулировка (принцип) Каратеодори 159
———формулировка Кельвина и Планка 146
———формулировка Клаузиуса 146
нулевой 156
первый 137
третий 156
—тяготения Ньютона 197
Заряд
—закон постоянства 198
—индуцированный 201
—истинный 200
—плотность 198
—свободный 200
—связанный 200
—уравнение постоянства 198
Заторможенное давление 106
Зернистый композит 228
Значение среднее статистическое 184
Идеальная жидкость 99
Изменение относительное
—длины 42
—объёма 42
—площади 42
Измерения единицы 123
Изобара 144
Изотерма 139
Изотермический процесс 139
Изотропная тензор-функция (среда) 225
Изотропный упругий материал 113
—закон Гука 113
—обратный закон Гука 114
Изохора 144
Изохронные колебания 130
Ильюшина постулат макроскопической определимости 230
Импульс обобщённый 180
Индекс
—немой 11
—свободный 11
Индукции
—закон Фарадея 208
—магнитной вектор 201
—электрической вектор 201
Индуцированный заряд 201
Интеграл
—Бернулли 102
—Коши-Лагранжа 103
—первый 18, 181
—энергии 181
Интегральный закон Ома 205
Интенсивность 62
Истинный заряд 200
Истинных напряжений вектор 78
Источник величины 166
Источник-сток 31
Канонические уравнения Гамильтона 181
Каратеодори принцип 159
Карно цикл 147
Касательное напряжение 91
—максимальное 95
Квазилинейная среда 225
Квазистатика 80, 117
Квазистатическая (квазистацио- нарная) задача 117, 238
Кельвина
—теорема 35
—формулировка 146
Кинематическая вязкость 108
Кинематические граничные условия 103
Кинетическая энергия 84
Кинетический вектор внутренних напряжений 193
Кинетический момент 81
Кинетических напряжений тензор 193
Кирхгофа тензор напряжений 86
Клапейрона уравнение состояния 138
Класс систем единиц измерения 123
Клаузиуса
—неравенство 154
—формулировка 146
Ковариантная производная
—ковариантной компоненты 45
—контравариантной компоненты 43
Колебания изохронные 130
Количество движения 76
—закон об изменении (П постулат МСС) 76
—момент 81
Композит 227
——волокнистый 228
——гранулированный 228
—зернистый 228
——слоистый 228
Компонент 73
Конвективная производная по времени 15
Конвективный ток 203
Константа материальная 108
Континуализация 8
Конфигурация 10
——актуальная 10
—отсчётная 10
уравнения движения 86
уравнения равновесия 86
Концентрация 76
—массовая 76
Координатное волокно 60
Координатное пространство 8
Координаты
—лагранжевы 10
—материальные 10
—обобщённые 179
—пространственные 9
——эйлеровы 11
Коши
—задача 15, 237
—соотношения 59
——тензор напряжений 79
Коши-Гельмгольца теорема 58
Коши-Грина тензор
——левый 50
—правый 50
Коши-Лагранжа интеграл 103
Коэффициент
——полезного действия 147
—проникания 107
—Пуассона 114
—стехиометрический 74
Краевая задача 109, 237
—вторая 109
—первая 109
—смешанная 109
Кривизны тензор Римана 46
Кристоффеля символы
—второго рода 43
—первого рода 44
Критерий 12
—подобия 135
Круги Мора 95
Кулона
—закон 197
—сила 197
Лагранжа
—тензор деформации 49
—уравнения второго рода 180
—функция 180
Лагранжев подход 15
Лагранжев формализм 180
Лагранжевы
—координаты 10
—переменные 180
Лагранжиан 117
Ламе
—постоянные 113
—уравнения 116
Лапласа оператор 25
Леви-Чивиты символ 23
Лежандра преобразование 161 Лемма
—о дифференцировании по времени интеграла по жидкому объёму 69
—о степенном выражении размерности 125
—о тепле 151
—об унарном выборе независимой размерности 125
—основная 68
-1 72
Линейное упругое тело 111, 173
Линейность
—геометрическая 225
—физическая 224
Линия
—векторная 20
—вихревая 25
—тока 20
Лиувилля
—теорема 184
—уравнение 184
Локальная среда
—по времени 231
—по координатам 230
Лоренца
—группа преобразований 213
—сила 209
—формула 212
Магнитная гидродинамика (МГД) 214
Магнитная проницаемость 202
—тензор 202
Магнитной индукции вектор 201
Магнитной напряжённости вектор 201
Магнитостатика 201
Майера формула 141
Макрообразец (М-образец) 230
Макроскопическая объёмная сила 192
Макроскопическая плотность 189
Макроскопическая скорость 190
Макроскопический вектор внутренних напряжений 194
Макроскопической определимости постулат Ильюшина 230
Макрочастица 73
Максвелла уравнения 208
Максимальные касательные напряжения 95
Малые деформации 59
Малых деформаций тензор 59
Масса 68
—закон сохранения (I постулат
МСС) 70
Массовая концентрация 73
Массовая сила 74
Масштабное моделирование 134
Математический маятник 128
Математическое моделирование 7
Математическое ожидание 184
Материал
—нестареющий 229
—стареющий 229
Материальная константа 108
Материальная функция 223
Материальные координаты 10
Матрица
—фундаментальная
ковариантная
актуальной конфигурации 41
отсчётной конфигурации 37
контравариантная
актуальной конфигурации 41
отсчётной конфигурации 37
Маха число 133
Машина тепловая 137
Мера деформации 51
Место 9
Микрочастица 73
Многофазная среда 73
Модель
—связанная 214
—фильтрационная 106
Моделирование масштабное 134
Модулей упругости тензор 111 Модуль
—объёмного растяжения-сжатия 114
—сдвига 114
-Юнга 114
Момент
—кинетический 81
—количества движения 81
закон об изменении (Ш постулат МСС) 81
—поляризационный 199
Моментные напряжения 83
—тензор 83
Моментов инерции
—плотность 83
—тензор 82
Моментов уравнения 83
Мора круги 95
Набла 24
Навье-Стокса уравнения 108
Намагниченности вектор 201
Направления главные 92
Напряжение
—касательное 91
— нормальное 91
—среднее 93
Напряжений
—вектор 78
на недеформированной площадке 86
—внутренних
кинетический вектор 193
——макроскопический вектор
194
потенциальный вектор 193
—истинных вектор 78
—потенциал 113
—тензор 98
вязких 108
кинетических 193
Кирхгофа 86
——К.оши 79
моментных 83
обобщённых 86
Пиолы 86
Напряжения
—главные 92
—максимальные касательные 95
—моментные 83
тензор 83
—растягивающие 90
—сдвигающие 90
Напряжённости
—магнитной вектор 201
—электрической вектор 198
Напряжённость
—вихревой трубки 34
—трубки тока 34
Начально-краевая задача 237
Начальные условия 103
Неадекватная теория 231
Независимые размерности 125
—лемма об унарном выборе 125
Нелинейная среда 224
Нелинейно-вязкая жидкость 109
Нелинейно-упругое тело 121
Нелокальная среда
—по времени 231
— по координатам 231
Немой индекс 11
Неньютоновская жидкость 109
Необратимая среда 171, 230
Необратимый процесс 137
Неоднородная среда 227
Непроницаемости гипотеза 10
Непротекания условие 238
Неравенство Клаузиуса 154
Неразрывности уравнение 71
Несвязанная задача 177
“Несерьёзная” теория 231
Несжимаемая среда 71
Несовместности тензор 64
Нестареющий материал 229
Нернста теорема 156
Нормальная производная 29
Нормальное напряжение 91
Ньютона закон тяготения 197 Ньютоновская вязкая жидкость
171
Обобщённая координата 179
Обобщённая скорость 179
Обобщённая функция 31
Обобщённый закон Дарси 107
Обобщённый импульс 180
Обобщённых напряжений тензор 86
Образование вещества 73
Обратимая среда 168, 230
Обратимый процесс 137
Обратный закон Гука 113
—для изотропного материала 114
Обратный пьезоэффект 217
Обтекание
—безынерционное 134
—шара потоком 132
Объём жидкий (подвижный) 69
—лемма о дифференцировании по времени интеграла 69
Объёмная вязкость 108
Объёмная сила 75
—макроскопическая 192
—работа 84
Объёмное растяжение-сжатие 62
—модуль 114
Однородная среда 227
Однородное состояние 19
Октаэдрические площадки 92
Ома закон
—дифференциальный 204
—интегральный 205
Оператор Лапласа 25
Определяемая величина 127
Определяющие параметры 127
Определяющие соотношения 99, 101, 108, НО, 223
—квазилинейные 225
—линейные 224
геометрически 225
физически 224
—нелинейные 224
Ортотропная тензор-функция (среда) 227
Основная лемма 68
Основной параметр 223
Основные единицы 123
Остроградского-Гаусса формула 28
Относительное изменение
—длины 42
—объёма 42
—площади 42
Отсчётная конфигурация 10
Память среды 231
Парадокс Эйлера-Даламбера 134
Параметр
—основной 223
—состояния термодинамический 136
Парного взаимодействия потенциал 193
Первый интеграл 18, 181
Переменные
—гамильтоновы 180
—лагранжевы 180
— циклические 181
Перемещение 13
Перепад температуры 173
Периодическая структура 228
Пиолы тензор напряжений 86
Пироэлектрический вектор 217
Пироэффект 217
Пито-Прандтля трубка 105
Плазма 214
Планка формулировка 146
Плотность 68
—вероятности 182
—внутренней энергии 163
—заряда 198
—макроскопическая 189
—моментов инерции 83
—рассеивания 163
—силы тока 203
—скачок 235
—энтропии 163
Площадки
—главные 92
—октаэдрические 92
Поверхностная сила 75
—работа 85
Поверхность
—разрыва 232
сильного 232
слабого 232
условия 235
—свободная 109
—эквипотенциальная 30
Поворотов
—вектор 60
—тензор 60
Податливостей упругих тензор 113
Подобия критерий 135
Подобные процессы 135
Подход к описанию движения
—лагрнажев 15
—эйлеров 15
Пойнтинга вектор 210
—поток 210
Показатель
—адиабаты 142
—политропы 144
Поле
—потенциальное 24
—соленоидальное 24
Полезного действия коэффициент
147
Полиада 39
Политропы
— показатель 144
—уравнение 143
Полная производная по времени
14
Полная энергия 117
Поляризации вектор 199
Поляризационный момент 199
Пондеромоторная сила 209
Пористая среда 106
Постановка задачи 236
—теории упругости в напряжениях
классическая 120
——“новая” 121
—теории упругости в перемещениях 116
Постоянная
—Больцмана 138
—газовая 138
—гравитационная 197
Постоянные
—Ламе 113
—технические 114
Постоянный ток 203
Постоянства заряда
—закон 198
—уравнение 198
Постулат МСС
I (закон сохранения массы) 70
II (закон об изменении количества движения) 76
III (закон об изменении момента количества движения) 81
IV (закон сохранения энергии)
164
V (о притоке тепла) 165
—макроскопической определимости Ильюшина 230
Потенциал
— Гиббса термодинамический 161
—векторный 24
—деформаций 111
—напряжений 113
—парного взаимодействия 193
—скалярный 24
—электрический 198
Потенциальная тензор-функция (среда) 225
Потенциальная энергия деформаций 117
Потенциальное поле 24
Потенциальный вектор внутренних напряжений 193
Поток 28
—вектора Пойнтинга 210
—величины 166
—газа
дозвуковой 133
сверхзвуковой 133
—диффузионный 73
—основной величины 223
Поток элементарный 27
Преобразование Лежандра 161
Прилипания условия 109
Принцип Каратеодори 159
Приток тепла
—постулат (V постулат МСС)
165
—уравнение 164
Проводимость 204
—ток 204
Проводник 201
Произведение векторов
—векторное 23, 40
—скалярное 23, 40
—смешанное 24, 40
—тензорное 39
Производная
—ковариантная
ковариантной компоненты 45
контравариантной компонен
ты 43
—нормальная 29
—по времени
конвективная 15
полная 14
частная 15
—по направлению 29
Производные единицы 123
Производство
—величины 166
—энтропии 165
Проникания коэффициент 107
Проницаемость
—диэлектрическая 201
тензор 201
—магнитная 202
тензор 202
Пространственные координаты 9
Пространство
—временное 8
—координатное 8
—фазовое 182
Процесс 136
—адиабатический 142
—изотермический 139
—необратимый 137
—обратимый 137
—подобный 135
—равновесный 141
—термодинамический 136
Прямой пьезоэффект 217
Пуассона
—адиабата 142
—коэффициент 114
—скобки 183
—уравнение 195
Пьезомодулей тензор 217
Пьезоэлектрик 217
Пьезоэффект
— обратный 217
—прямой 217
Работа
—внешних сил 85
—внутренних сил 85, 117
—объёмных сил 84
—поверхностных сил 85
Равновесие тепловое 156
Равновесия уравнения 80, 116
—в отсчётной конфигурации 86
Равновесное состояние 185
Равновесный ансамбль 185
Равновесный процесс 141
Размерности независимые 125
Размерность 124
—лемма о степенном выражении 125
Разрежения скачок 235
Разрыва поверхность 232
— сильного 232
—слабого 232
—условия 235
Разрыва распад 235
Распад разрыва 235
Распределённых объёмных моментов вектор 83
Рассеивания
—плотность 163
—функция 154
Растягивающие напряжения 90
Растяжение-сжатие
— двумерное 19
—объёмное 62
модуль 114
—одномерное 19
—трёхмерное 18
Растяжения тензор
—левый 53
—правый 53
Расход 31
Расширение-сжатие объёмное 62
Расширения теплового тензор 173
Реакция химическая 74
Рейнольдса число 133
Реономная среда 229
Римана тензор кривизны 46
Риччи тождества 46
Ротор 24
Сверхзвуковой поток газа 133
Света скорость 205
Свободная поверхность 109
Свободная энергия Гельмгольца
161
Свободный заряд 200
Свободный индекс 11
Связанная модель МСС 214
Связанный заряд 200
Сдвиг
—модуль 114
—одномерный 19
Сдвигающие напряжения 90
Сдвиговая вязкость 108
Сен-Венана
—тождества 64
—условия совместности 64
“Серьёзная” теория 231
Сила
—Кулона 197
—лоренцева 209
—массовая 74
—объёмная 75
макроскопическая 192
—поверхностная 75
—пондеромоторная 209
—тока 203
вектор плотности 203
Сила электродвижущая 205
Сильного разрыва поверхность 232
Сильный взрыв 130
Символ Леви-Чивиты 23
Символы Кристоффеля
—второго рода 43
—первого рода 44
Система склерономная 182
Скалярное произведение 23, 40
Скалярный потенциал 24
Скачок 232
—плотности 235
—разрежения 235
—уплотнения 235
Скашивания угол 61
Склерономная система 182
Склерономная среда 230
Скобки Пуассона 183
Скоростей градиент 26, 55
Скоростей деформаций тензор 26, 56, 88
Скорость 13
—макроскопическая 190
—обобщённая 179
—света 205
—фильтрации 107
—химических реакций 74
Слабого разрыва поверхность 232
Слоистый композит 228
Смешанная краевая задача 109
Смешанное произведение 24, 40
Смешанные граничные условия
239
Смещения ток 204
Совершенный газ 138
Совместности
—уравнения 64
в напряжениях 120
—условия Сен-Венана 64
Соленоидальное поле 24
Соотношения
—Коши 59
—определяющие 99, 101, 108, НО, 223
квазилинейные 225
линейные 224
геометрически 225
физически 224
Соотношения определяющие нелинейные 224
Сопротивление 205
Состояние
—однородное 19
—равновесное 185
Состояния
—параметр термодинамический 136
—уравнение 136
Клапейрона 138
Спин-тензор 25, 56, 89
Среда
—изотропная 225
—квазилинейная 225
—линейная 224
геометрически 225
физически 224
—локальная
по времени 231
по координатам 230
—многофазная 73
—нелинейная 224
—нелокальная
по времени 231
по координатам 231
— необратимая 171, 230
—неоднородная 227
—несжимаемая 71
—обратимая 168, 230
—однородная 227
—ортотропная 227
—пористая 106
—потенциальная 225
—реономная 229
—с памятью 231
—склерономная 230
—стратифицированная 227
— трансверсально изотропная 226
Среднее
—по ансамблю 184
—по времени 185
—по объёму 189
Среднее напряжение 93
Среднее статистическое значение 184
Стареющий материал 229
Статика 80
Статическая (стационарная) задача 117, 237
Статические граничные условия 103
Стационарность 22
Стехиометрический коэффициент 74
Стокса формула
—(векторный анализ) 33
—(обтекание потоком) 134
Стратифицированная среда 227
Струхала число 134
uCтyпeнькa^^ 186
Тело 9
— линейное упругое 111, 173
—нелинейное упругое 121
Температура
— абсолютная 160
теорема 150
—перепад 173
—эмпирическая 158
Тензор
—Альманси
левый 51
правый 50
—вихря 25
—вращения 53
—вязких напряжений 108
—Генки 54
—деформации
Лагранжа 49
Эйлера 49
—дисторсии
— — актуальной конфигурации 49
отсчётной конфигурации 49
—диэлектрической проницаемости 201
—единичный
второго ранга 39
четвёртого ранга 111
—кинетических напряжений 193
—Коши-Грина
левый 50
правый 50
—кривизны Римана 46
Тензор
—магнитной проницаемости 202
—малых деформаций 59
—модулей упругости 111
—моментных напряжений 83
—моментов инерции 82
—напряжений 98
Кирхгофа 86
——К.оши 79
обобщённых 86
Пиолы 86
—несовместности 64
—поворотов 60
— пьезомодулей 217
—растяжения
левый 53
правый 53
—скоростей деформаций 26, 56, 88
—спин- 25, 56, 89
—теплового расширения 173
—теплопроводности 164
—упругих податливостей 113
—(п + т)-го ранга 38
Тензорное произведение 39
Тензорный закон 38
Теорема
—Гельмгольца 195
вторая 34
первая 34
—единственности 118
—живых сил 85
—Кельвина 35
—Коши-Гельмгольца 58
—Лиувилля 184
—Нернста 156
—об абсолютной температуре 150
—о полярном разложении 51
-П- 128
Теория
—адекватная (“серьёзная”) 231
—неадекватная (“несерьёзная”) 231
—размерностей 128
П-теорема 128
Тепло
—джоулево 210
—лемма 151
Тепловая машина 137
Тепловое равновесие 156
Теплового расширения тензор 173
Теплоёмкость 139
при постоянной
деформации
175
при постоянном 175
напряжении
Теплопроводности
—тензор 164
—уравнение 169
—Фурье закон 164
Теплота 137
Термодинамика
—второй закон 146
——формулировка (принцип) Каратеодори 159
——формулировка Кельвина и Планка 146
——формулировка Клаузиуса 146
—нулевой закон 156
—первый закон 137
—третий закон 156
Термодинамическая вероятность 154
Термодинамический параметр состояния 136
Термодинамический потенциал
Гиббса 161
Термодинамический процесс 136
Термодинамический цикл 137
Термодинамическое тождество
154
Технические постоянные 114
Тождества
—Риччи 46
—Сен-Венана 64
Тождество термодинамическое
154
Ток
—конвективный 203
—постоянный 203
—проводимости 204
—сила 203
вектор плотности 203
—смещения 204
Тока
—линия 20
—трубка 23
Торможения точка 106
Точка торможения 106
Траектория 12
Трансверсально изотропная тензор-функция (среда) 226
Трубка
—вихревая 25
напряжённость 34
—Пито-Прандтля 105
—тока 23
напряжённость 34
Тяготения закон Ньютона 197
Угол скашивания 61
Уплотнения скачок 235
Упругих податливостей тензор
113
Упругое тело 111
— линейное 111, 173
—нелинейное 121
Уравнение
—диффузии 74
— Лиувилля 184
—неразрывности 71
—политропы 143
—постоянства заряда 198
—притока тепла 164
—Пуассона 195
—состояния 136
Клапейрона 138
—теплопроводности 169
Уравнения
—Бельтрами-Мичелла 120
—Гамильтона канонические 181
Уравнения
—движения 80
——в отсчётной конфигурации
86
—Лагранжа второго рода 180
—Ламе 116
—Максвелла 208
—моментов 83
—Навье-Стокса 108
—равновесия 80, 116
——в отсчётной конфигурации
86
—совместности 64
в напряжениях 120
—Эйлера 100
Ускорение 14
Условие непротекания 238
Условия
—граничные 103, 237
кинематические 103
смешанные 239
статические 103
—на поверхности разрыва 235
—начальные 103
—прилипания 109
—совместности Сен-Венана 64
Условная вероятность 185
Установившееся движение 22
Установочный эксперимент 231
Фазовое пространство 182
Фарадея закон идукции 208
Физически линейная среда 224
Физически нелинейная среда 224
Фильтрации скорость 107
Фильтрационная модель 106
Форма Громеки-Лэмба 101
Формализм
—гамильтонов 180
—лагранжев 180
Формула
—Больцмана 155
—Грина
вторая 30
первая 29
третья 30
Формула
—Лоренца 212
—Майера 141
—Остроградского-Гаусса 28
—Стокса (векторный анализ) 33
—Стокса (обтекание потоком)
134
—Эрстеда 206
Формулы
—Чезаро 67
Фруда число 134
Функция
—Гамильтона 180
—гармоническая 25
—давления 101
—Дирака (5-функция) 31, 186
—диссипации 154
—Лагранжа 180
—материальная 223
—обобщённая 31
—рассеивания 154
—Хевисайда 186
Фурье теплопроводности закон 164
Характеристики эффективные
228
Хевисайда функция 186
Химическая реакция 74
—скорость 74
Цикл
—Карно 147
—термодинамический 137
Циклические переменные 181
Циркуляция 31
Частица 10
Частная производная по времени
15
Чезаро формулы 67
Число
—Авогадро 138
—Маха 133
—Рейнольдса 133
—Струхала 134
—Фруда 134
—Эйлера 134
Шаровая часть 62
Эйлера
—тензор деформации 49
—уравнения 100
—число 134
Эйлера-Даламбера парадокс 134
Эйлеров подход 15
Эйлеровы координаты 11
Эквипотенциальная поверхность
30
Эксперимент 7
—установочный 231
Электрический потенциал 198
Электрической индукции вектор
201
Электрической напряжённости вектор 198
Электродвижущая сила 205
Электромагнитная энергия 210
Электростатика 201
Электротермоупругость (ЭТУ) 216
Элементарный поток 27
Эмпирическая температура 158
Энергия
—внутренняя 137
плотность 163
—Гельмгольца свободная 161
— деформаций потенциальная
117
— интеграл 181
—закон сохранения (IV постулат МСС) 164
—кинетическая 84
—полная 117
—электромагнитная 210
Энтальпия 161
Энтропия 153
—плотность 163
—производство 165
Эргодичности гипотеза 185
Эрстеда формула 206
Эффективные характеристики 228
Юнга модуль 114
Ящик вмещающий 9
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
АВОГАДРО Амедео (AVOGADRO А.) 138, 156
АЛЬМАНСИ Е.
(ALMANSI Е.) 50, 51
АМПЕР Андре Мари (AMPERE А.М.) 205, 206
БЕЛЬТРАМИ Эудженио (BELTRAMI Е.) 120
БЕРНУЛЛИ Даниил I (BERNOULLI D.) 102-106
БИО Жан Батист (BIOT J.B.) 205
БОЛЬЦМАН Людвиг (BOLTZMANN L.) 138, 154- 156
БУКИНГЕМ Эдгар (BUCKINGHAM Е.) 128
ВАН-ДЕР-ВААЛЬС Иоханнес Дидерик
(VAN DER WAALS J.D.) 143, 160
ГАЛИЛЕЙ Галилео (GALILEI G.) 130, 211, 213
ГАМИЛЬТОН Уильям Роуан (HAMILTON W.R.) 54, 180, 181, 183-185
ГАУСС Карл Фридрих (GAUSS C.F.) 28, 29, 70, 79, 84, 87, 165, 190
ГЕЙ-ЛЮССАК Жозеф Луи (GAY-LUSSAC J.L.) 140, 142
ГЕЛЬМГОЛЬЦ Герман Людвиг Фердинанд
(HELMHOLTZ H.L.F.) 24, 34,
58, 161, 171, 173, 174, 195, 198, 202, 218
ГЕНКИ Хайнрих (HENCKY Н.) 54
ГЕРЦ Генрих Рудольф (HERTZ H.R.) 68, 128
ГИББС Джозайя Уиллард (GIBBS J.W.) 161, 218
ГРИН Альберт Эдвард (GREEN А.Е.) 29-31, 50, 53, 55, 122
ГРОМЕКА Ипполит Степанович 101, 102
ГУК Роберт (НООКЕ R.) 111, 113, 114, 119, 120, 177, 224
ДАЛАМБЕР Жан Лерон (D'ALEMBERT J.L.R.) 134, 238
ДАРСИ Анри Филибер Гаспар (DARCY H.P.G.) 107
ДЖОУЛЬ Джеймс Прескотт (JOULE J.P.) 140
ДИЗЕЛЬ Рудольф (DIESEL R.) 143
ДИРАК Поль Андре Морис ①IRAC Р.А.М.) 186
ДЮГАМЕЛЬ Жан Мари Констант (DUHAMEL J.M.C.) 173
ДЮЛОНГ Пьер Луи (DULONG P.L.) 175
ИЛЬЮШИН Алексей Антонович 5, 230
КАРАТЕОДОРИ Константин (CARATHEODORY С.) 157, 159, 160
КАРНО Николя Леонар Сади (CARNOT N.L.S.) 147, 149- 152, 160
КЕЛИ Артур
(CAYLEY А.) 54
КЕЛЬВИН (ТОМСОН Уильям) лорд (KELVIN lord) 35, 146, 149
КНРХГО① Густав Роберт (KIRCHHOFF G.R.) 86, 98
КЛАПЕЙРОН Бенуа Поль
Эмиль
(CLAPEYRON В.Р.Е.) 138
КЛАУЗИУС Рудольф Юлиус Эмануэль
(CLAUSIUS R.J.E.) 146, 153, 154
КОШИ Огюстен Луи
(CAUCHY A.L.) 15-17, 50, 53, 55, 58, 59, 64, 79, 82, 84, 86, 90, 91, 96-100, 103, 107, НО, 116, 121, 122, 124, 168, 174, 214, 218, 225, 237, 240
КРИСТОФФЕЛЬ Эльвин Бруно (CHRISTOFFEL Е.В.) 43, 44
КРОНЕКЕР Леопольд (CRONECKER L.) 19, 113, 226
КУЛОН Шарль Огюстен (COULOMB С.О.) 197, 199, 209, 211
ЛАГРАНЖ Жозеф Луи (LAGRANGE J.L.) 15, 49, 51, 54, 56, 57, 59, 93, 103, 180, 181
ЛАМЕ Габриель
(LAME G.) 113, 114, 116, 118, 240
ЛАПЛАС Пьер Симон (LAPLACE P.S.) 25, 29, 31, 109, 195
ЛЕВИ-ЧИВИТА Туллио (LEVI-CIVITA Т.) 23, 25, 40, 64
ЛЕЖАНДР Адриен Мари (LEGENDRE А.М.) 161, 180, 218
ЛЕЙБНИЦ Готфрид Вильгельм (LEIBNIZ G.W.) 28
ЛИУВИЛЛЬ Жозеф (LIOUVILLE J.) 184, 190, 193
ЛОРЕНЦ Хендрик Антон (LORENTZ Н.А.) 212, 213
ЛЭМБ Горэйс
(LAMB Н.) 101, 102
МАЙЕР Джозеф Эдвард (MAYER J.E.) 141, 142
МАКСВЕЛЛ Джеймс Клерк (MAXWELL J.C.) 3, 207, 208, 213, 215-218, 222
МАХ Эрнст
(MACH Е.) 133, 134
МИЧЕЛЛ Джон Генри (Michell J.H.) 120
МОР Христиан Отто (MOHR С.О.) 95, 96, 98
НАВЬЕ Луи Мари Анри (NAVIER L.M.H.) 108, 109, 173, 239, 241
НЕЙМАН Джон (Янош) фон (NEUMANN J von) 132
НЕЙМАН Карл Готфрид (NEUMANN K.G.) 173
НЁРНСТ Вальтер ①рщфнх Герман (NERNST W.F.H.) 156
НЬЮТОН Исаак
(NEWTON I.) 28, 68, 76, 197
ОМ Георг Симон (OHM G.S.) 204, 205, 215, 216
ОСТРОГРАДСКИЙ Михаил Васильевич 28, 29, 70, 79, 84, 87, 165, 190
ПИОЛА
(PIOLA G.) 86, 87, 89, 98, 121
ПИТО Анри
(PITOT Н.) 105, 106
ПИФАГОР (Пи%)。0aС 91
ПЛАНК Макс Карл Эрнст Людвиг (PLANCK M.K.E.L.) 146
ПОБЕДРЯ Борис Ефимович 6, 121
ПОЙНТИНГ Джон Генри (POYNTING J.H.) 210, 211, 236
ПРАНДТЛЬ Людвиг (PRANDTL L.) 105, 106
ПТИ Алексис Терез (PETIT А.Т.) 175
ПУАССОН Симеон Дени (POISSON S.D.) 114, 119, 142, 150, 183, 195, 196, 199, 200
ПФАФФ Иоганн Фридрих (PFAFF J.F.) 159, 160
РЕЙНОЛЬДС Осборн (REYNOLDS О.) 133, 134
РИМАН Георг Фридрих Бернхард (RIEMANN G.F.B.) 46, 47, 64, 121
РИЧЧИ-КУРБАСТРО Грегорио (RICCI-CURBASTRO G.) 46
САВАР Феликс (SAVART F.) 205
СЕДОВ Леонид Иванович 5, 132
СЕН-ВЕНАН (БАРРЕ ДЕ СЕН- ВЕНАН) Адемар Жан Клод (SAINT-VENANT A.J.C.) 64
СТОКС Джордж Габриель (STOKES G.G.) 33, 34, 108, 109, 134, 173, 208, 239, 241
СТРУХАЛ В.
(STROUHAL V.) 134
ТЕЙЛОР Джеффри Инграм (TAYLOR G.) 132
ТОРРИЧЕЛЛИ Эванджелиста (TORRICELLI Е.) 104, 105
ФАРАДЕЙ Майкл (FARADAY М.) 208
ФЕДЕРМАН А. 128
①РУД Уильям
(FROUD W.) 134
ФУРЬЕ Жан Батист Жозеф (FOURIER J.B.J.) 164, 166, 169, 172, 215, 224
ХЕВИСАЙД Оливер (Heaviside О.) 186
ЧЕЗАРО Эрнесто (CESARO Е.) 67
ЭЙЛЕР Леонард
(EULER L.) 15,49,51,54,56- 59, 100, 107, 109, 134, 169, 170, 238
ЭРСТЕД Ханс Кристиан (OERSTED Н.С.) 206
ЮНГ Томас
(YOUNG Т.) 114, 119
ПРОГРАММА КУРСА“МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫП(Лектор Б.Е. Победря)
ЧАСТЬ 1
Кинематика сплошной среды
Гипотеза сплошности. Система отсчета. Пространственные координаты. Основная лемма. Дифференцируемое многообразие. Понятие тела. Частицы. Материальные координаты. Отсчетная и актуальная конфигурации. Определение движения тела. Описание движения. Эйлеровы и лагранжевы координаты и связь между ними. Гипотеза непроницаемости. Связь между материальными и лагранжевыми координатами. Тензорная алгебра. Траектория частицы. Векторы скорости и ускорения. Полная, местная и конвективная производные по времени. Преобразование материальных осей и плоскостей. Уравнение траекторий. Векторные линии, линии тока. Уравнения линий тока. Установившееся (стационарное) течение. Основы векторного анализа. Вектор “набла”. Символы Леви-Чивиты. Измерение площадей и объемов. Поток вектора через поверхность. Теорема Остроградского- Гаусса. Потенциальное течение. Источник, сток. Расход. Циркуляция вектора. Теорема Стокса. Вектор вихря. Соленоидальное поле, вихревое поле. Вихревые трубки. Теоремы Гельмгольца о вихрях.
Меры деформации
Дифференцирование по времени интеграла, взятого по жидкому объему. Голономные и неголономные базисы в отсчетной и актуальной конфигурациях. Фундаментальные матрицы. Символы Кристоффеля 1-го и 2-го рода. Ковариантное дифференцирование. Тензоры Леви- Чивиты. Деформирование сплошной среды. Изменение длины волокна, площадей и объемов. Вектор перемещения. Компоненты тензора деформации и их связь с вектором перемещения. Тензоры деформаций Лагранжа и Эйлера. Градиент деформации (тензор дисторсии). Правый и левый тензоры Коши-Грина и Альманси. Связь между ними. Теорема о полярном разложении, её применение к описанию деформирования. Жёсткое движение. Меры и тензоры деформации для него. Тензор Генки. Градиент скорости деформации. Тензор скоростей деформации. Спин-тензор и его связь с вектором вихря. Деформирование малой окрестности точки. Теорема Коши-Гельмгольца. Определение малой деформации. Вид мер и тензоров деформации в случае малых дефор-
маций. Геометрический смысл компонент тензора малых деформаций. Относительное изменение объема. Разложение тензора деформаций на шаровую часть и девиатор. Геометрический смысл разложения. Интегрируемость соотношений Коши. Уравнения совместности Сен- Венана. Тензор несовместности. Его связь с тензором кривизны риманова пространства У3. Формулы Чезаро.
Основные постулаты МСС
Постулат о сохранении массы. Уравнение неразрывности. Закон сохранения массы в лагранжевом описании. Закон сохранения массы для многокомпонентных сред. Уравнения диффузии. Силы, действующие в сплошной среде. Плотность поверхностных сил. Вектор напряжения. Закон изменения количества движения (второй постулат МСС). Векторы напряжений на координатных площадках. Выражение вектора напряжений на произвольной площадке через векторы напряжений координатных площадок. Тензор напряжений Коши. Уравнения движения сплошной среды в актуальной конфигурации. Уравнения равновесия. Постулат об изменении момента количества движения (кинетического момента) — третий постулат МСС. Симметричность тензора напряжений Коши. Внутренние моменты, массовые и поверхностные моменты в сплошной среде. Уравнения движения для моментов. Моментные напряжения. Кинетическая энергия, работа внешних и внутренних сил. Теорема живых сил (актуальная конфигурация). Уравнения движения сплошной среды в отсчетной конфигурации. Тензоры напряжений Пиолы и Кирхгофа. Их связь с тензором Коши. Следствия постулата об изменении момента количества движения для тензора Пиолы. Теорема живых сил для отсчетной конфигурации. Нормальные и касательные напряжения. Закон парности касательных напряжений. Экстремальные свойства нормальных напряжений. Главные напряжения, главные площадки. Инварианты симметричного тензора напряжений. Экстремальные свойства касательных напряжений. Главные касательные напряжения, площадки главных касательных напряжений. Выражения компонент тензора напряжений через главные напряжения. Диаграммы Мора описания напряжённого состояния в точке. Октаэдрические площадки. Физический смысл среднего нормального напряжения и интенсивности тензора напряжений. Тензор напряжений при малых деформациях. Разложение тензора напряжений на девиатор и шаровую часть.
Идеальная жидкость
Определения идеальной жидкости. Уравнения движения Эйлера идеальной жидкости. Замкнутая система уравнений для идеальной несжимаемой жидкости. Замкнутая система уравнений для баротропной жидкости. Граничные условия. Уравнения движения в форме Громеки-Лэмба. Интеграл Бернулли. Интеграл Коши-Лагранжа. Примеры применения интеграла Бернулли.
Модель фильтрации
Пористость грунта. Средняя скорость по объёму пор (физическая скорость). Скорость фильтрации. Закон Дарси. Обобщённый закон Дарси. Замкнутая система уравнений линейной фильтрации.
Модель линейного упругого тела
Обобщённый закон Гука. Группы изотропии, трансверсальной изотропии, ортотропии. Тензоры, инвариантные относительно этих групп. Изотропный тензор четвёртого ранга. Закон Гука для изотропной среды. Связь между девиаторами и шаровыми частями тензоров напряжений и малых деформаций. Упругие постоянные. Замкнутая система уравнений для линейного упругого тела. Уравнения движения и уравнения равновесия Ламе. Краевые задачи теории упругости. Потенциальная энергия деформации. Лагранжиан. Замкнутая система уравнений для упругого тела при конечных деформациях. Упругий потенциал. Изотропная тензорная функция от симметричного тензора второго ранга. Квазилинейная изотропная тензорная функция.
Вязкая ньютоновская жидкость
Определяющие соотношения для вязкой ньютоновской жидкости. Коэффициенты вязкости. Уравнения Навье-Стокса. Замкнутая система уравнений модели несжимаемой вязкой жидкости. Условия прилипания.
Основы теории размерности
Основные и производные единицы измерения. Класс системы единиц измерения. Размерность физической величины. Теорема о степенном выражении размерности. Лемма об унарном выборе независимых размерностей. П-теорема. Понятие энергии. Анализ размерностей при определении периода колебаний математического маятника и радиуса фронта волны при ядерном взрыве.
Термодинамика
Процессы. Термодинамические процессы. Циклы. Обратимые и необратимые процессы. Определяющие соотношения. Уравнения состояния. Уравнение состояния идеального газа. Первый закон термодинамики. Теплоёмкость. Формула Майера. Необратимое и обратимое изотермическое расширение совершенного газа в цилиндре. Диссипация энергии. Адиабата Пуассона. Политропный процесс. Формулировки второго закона термодинамики (Клаузиуса, Кельвина-Планка и др.). Цикл Карно. Коэффициент полезного действия тепловой машины и его наибольшее значение. Теорема об абсолютной температуре. Размерность тепловых величин. Лемма о тепле. Энтропия. Математическая формулировка второго закона термодинамики. Неравенство Клаузиуса. Термодинамическое
тождество. Вероятностное описание энтропии. Теорема Нёрнста (третий закон термодинамики). Температура как интегрирующий множитель. Принцип Каратеодори. Энтропия для совершенного газа. Термодинамические потенциалы и связь между ними. Преобразование Лежандра. Уравнение притока тепла. Закон теплопроводности Фурье. Тензор теплопроводности. Интегральная формулировка первого закона термодинамики (четвёртый постулат МСС). Интегральная формулировка второго закона термодинамики (пятый постулат МСС). Производство энтропии. Дифференциальные следствия законов термодинамики.
Единая формулировка законов сохраненияв интегральном виде и дифференциальные следствия из них
ЧАСТЬ 2
Термодинамическое определение классических моделей
Термодинамическая модель идеальной несжимаемой жидкости. Замкнутая система уравнений. Термодинамическая модель идеального газа. Замкнутая система уравнений. Совершенный газ. Термодинамическая модель вязкой ньютоновской жидкости. Замкнутая система уравнений. Функция рассеивания (диссипации). Положительность коэффициентов вязкости. Термодинамическая модель линейного упругого тела. Тензор теплового расширения. Гипотеза Дюгамеля-Неймана. Адиабатические и изотермические модели. Связанная задача термоупругости. Уравнение теплопроводности для термодинамических моделей МСС.
Основы статистической механики
Уравнение Лагранжа движения N материальных точек. Функция Гамильтона. Канонические уравнения Гамильтона. Первые интегралы движения. Фазовое пространство. Статистический фазовый ансамбль. Среднее по времени. Среднее по ансамблю. Эргодическая гипотеза. Теорема Лиувилля. Функция распределения и ее свойства. Дельтафункция Дирака и ее свойства. Микроканонический ансамбль. Определение макроскопической плотности и скорости. Вывод уравнения неразрывности из теоремы Лиувилля. Канонический ансамбль Гиббса. Смысл модуля канонического ансамбля. Свободная энергия Гельмгольца и энтропия. Термодинамическая вероятность.
Феноменологическая электродинамика
Теорема Гельмгольца о разложении векторного поля на потенциальную и вихревую части. Скалярный и векторный потенциалы. Фундаментальное решение уравнения Пуассона (Лапласа). Закон Кулона. Векторное поле электрической напряженности. Электрический диполь. Истинные и поляризационные заряды. Диэлектрики и про-
водники. Задача электростатики. Магнитостатика. Электрический ток. Его разновидности. Закон Ома. Закон Ампера. Законы Био-Савара и Эрстеда. Следствия из них. Связь электростатического и магнитостатического полей. Основные уравнения электромагнетизма. Закон индукции Фарадея. Уравнения Максвелла электромагнитного поля. Их замкнутость. Вектор Пойнтинга. Закон сохранения электромагнитной энергии. Джоулево тепло. Группы преобразований Галилея и Лоренца. Преобразования векторов электромагнитного поля при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Связанные модели термоэлектромагнитомеханики
Полная система уравнений термо-, электро- и магнитомеханики. Замкнутая система уравнений магнитной гидродинамики для идеальной жидкости. Замкнутая система уравнений магнитной гидродинамики для вязкой жидкости. Прямой и обратный пьезоэффекты. Пироэлектрический эффект. Термодинамические потенциалы электротермоупругости. Определяющие соотношения линейной электроупругости. Замкнутая система уравнений электроупругости.
Разрывы в сплошной среде
Поверхность разрыва в сплошной среде. Скорость ее движения. Дифференцирование по времени интеграла по подвижному объему при наличии в нем движущейся поверхности. Слабые и сильные разрывы. Динамические условия на поверхности разрыва, вытекающие из законов сохранения в МСС. Скачки уплотнения.
Теория определяющих соотношений
Определяющие соотношения и их классификация. Физическая и геометрическая линейность и нелинейность. Изотропия. Анизотропия. Неоднородность. Композиты. Локальность и нелокальность. Постулат макроскопической определимости. История процесса. Геометрическая интерпретация теории определяющих соотношений для процессов деформирования. Граничные условия и начальные данные. Условия идеального контакта. Постановка задачи МСС. Корректная постановка. Обобщенное решение.
Основы гидроаэромеханики
Уравнения гидростатики. Закон Паскаля. Равновесие жидкости в поле силы тяжести. Барометрическая формула. Главный вектор сил и главный момент. Закон Архимеда. Главный вектор сил и главный момент Архимеда. Гидростатическая устойчивость жидкости. Интеграл Бернулли и интеграл Коши-Лагранжа (Эйлера). Функция давления для совершенного газа, для изотермического и адиабатического процессов. Течение несжимаемой жидкости. Коэффициент скоростного напора. Кавитация. Эрозия. Число кавитации. Адиабатическое движение газа. Характеристики торможения. Местная скорость звука.
Максимальная и критическая скорости в адиабатическом движении газа. Связь критических параметров газовой динамики с параметрами торможения. Теория сопла Лаваля. Критический расход сопла Лаваля. Главный вектор сил при обтекании тел в канале с идеальной жидкостью. Парадокс Даламбера-Эйлера. Скачок уплотнения. Динамическая теорема о циркуляции. Теорема Томпсона и ее следствия (теорема Лагранжа). Динамические теоремы Гельмгольца о вихрях. Интеграл Коши-Лагранжа в подвижной системе координат. Потенциал поступательного движения несжимаемой жидкости. Потенциальное течение источника (стока), диполь. Потенциалы простого и двойного слоя. Движения шара в несжимаемой идеальной жидкости. Обтекание шара. Главный вектор сил, действующих на шар. Присоединённая масса. Парадокс Эйлера-Даламбера. Уравнения движения идеального газа. Малые возмущения. Волновое уравнение и его свойства. Запаздывающий потенциал. Эффект Доплера. Угол и конус Маха. Плоскопараллельное движение несжимаемой жидкости. Функция тока. Расход жидкости через контур. Случай движущегося твердого тела. Выражение нормальной составляющей вектора скорости через функцию тока. Потенциальное течение. Циркуляция вектора скорости. Задача Дирихле и задача Неймана при потенциальном плоскопараллельном течении несжимаемой жидкости. Комплексный потенциал и функция скорости (комплексная скорость). Течение, соответствующее степенному комплексному потенциалу. Плоский источник, плоский вихрь, плоский диполь. Обтекание цилиндра плоским потоком несжимаемой жидкости (бесциркуляционное и циркуляционное). Конформное отображение. Обтекание крылового профиля. Аэродинамические силы и моменты. Формула Жуковского. Формула Чаплыгина. Сила сопротивления при обтекании тела идеальными и вязкими жидкостями, газом. Число Рейнольдса. Прямолинейная вихревая нить. Круговой вихрь. Образование воронки. Уравнения Гельмгольца вихревого течения. Постановка задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости. Ламинарное течение Пуазейля. Сопротивление течению вязкой жидкости. Описание турбулентности. Пограничный слой. Уравнения Прандтля. Автомодельность. Уравнения фильтрации и теплопроводности. Фундаментальное решение. Модель многокомпонентной смеси жидкости с учетом химических реакций (композит Био).
Основы теории упругости
Задачи линейной теории термоупругости и их сведение к задачам теории упругости. Оператор Ламе. Упругий потенциал и условия его положительной определенности. Постановка задач линейной теории упругости в перемещениях (первая, вторая и смешанная краевые статические, квазистатические и динамические задачи). Теорема единственности Кирхгофа для динамической и статической задач теории упругости. Теорема Клапейрона. Условия единственности решения второй краевой задачи теории упругости. Условия ее разрешимости. Самоурав-
новешенность. Обобщенные уравнения совместности в напряжениях. Уравнения Бельтрами-Мичелла и Бельтрами. Классическая постановка задачи в напряжениях. “Новая” постановка задачи в напряжениях. Вариационный принцип Лагранжа. Свойства минимума лагранжиана. Его единственность. Вариационный принцип Кастильяно. Свойства максимума кастильяниана. Его единственность. Двусторонние оценки решения задачи теории упругости. Метод Ритца. Задача о простом растяжении бруса. Принцип Сен-Венана. Задача о равномерном давлении на упругий слой. Растяжение бруса под действием собственного веса. Изгиб бруса торцевой нагрузкой. Постановка задачи об изгибе балки. Техническая теория изгиба балки. Изгиб тонкой пластинки. Уравнение прогиба мембраны. Постановка задачи о кручении призматического бруса. Функция напряжения кручения. Крутка и её физический смысл. Вектор касательных напряжений. Теорема о циркуляции касательных напряжений. Формула Прандтля для крутящего момента. Жесткость при кручении. Теорема о максимуме касательных напряжений. Мембранная аналогия. Касательные напряжения в вершинах входящих и выходящих углов. Кручение бруса кругового сечения. Плоское деформированное состояние. Условия его существования. Функция напряжений Эри. Ее физический смысл. Уравнения равновесия в цилиндрической системе координат. Задача Ламе о трубе под давлением. Цилиндрическая оболочка. Коэффициент концентрации напряжения. Плоское напряженное состояние, условия его существования. Обобщенное плоское напряженное состояние. Диск. Закон Гука в случае плоского деформированного состояния и обобщенного плоского напряженного состояния. Теорема Мориса Леви. Выражение функции Эри через комплексные потенциалы. Формулы Колосова-Мусхелишвили. Граничные значения комплексных потенциалов. Решение задачи Ламе методом ТФКП. Два типа волн в неограниченной изотропной упругой среде. Плоская монохроматическая волна. Волновое число. Волновой вектор. Дисперсия. Затухание волн. Волны Релея. Упругие волны в стержне. Кинематические и динамические условия разрыва. Собственные и вынужденные колебания упругих тел. Явление резонанса.
Неупругое поведение материалов
Процессы деформирования. Сложное и простое нагружение. Релаксация, ползучесть. Эффект Баушингера. Активные и пассивные процессы. Условия пластичности Мизеса и Сен-Венана-Треска. Постулаты Дракера и Ильюшина. Теории Прандтля-Рейсса, Сен-Венана. Общая теория пластичности Ильюшина. Постулат изотропии. Критерии разрушения. Теории прочности. Основы линейной теории вязкоупругости. Принцип Вольтерры. Метод аппроксимации. Композиты. Эффективные определяющие соотношения. Метод осреднения в механике композитов.
Понятие устойчивости в МСС. Критическая сила Эйлера. Фракталы в механике. Переход от детерминизма к хаосу.
Литература
Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1990. — 312 с.
Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. —М.: Наука, 1970. — 280 с.
Качанов Л.М. Основы теории пластичности. — М.: Наука, 1969.— 420 с.
Качанов ЛМ. Основы механики разрушения. — М.: Наука, 1974. - 312 с.
Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. — М.: Наука, 1980.— 512 с.
Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин.— М.: Наука, 1984. — 256 с.
Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1966. — 708 с.
Новацкий В. Теория упругости. — М.: Мир, 1975. — 872 с.
Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. — Л.: Судостроение, 1962. - 344 с.
Победря 6.Е. Лекции по тензорному анализу. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1986. — 264 с.
Победря 6.Е. Механика композиционных материалов. — М.: Изд- во Моск, ун-та, 1984. — 336 с.
Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. —М.: Изд-во Моск, ун-та, 1995. — 366 с.
Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Лекции по теории упругости.— М.: Эдиториал УРСС, 1999. — 204 с.
Седов Л.И. Механика сплошной среды. — М.: Изд-во Моск, ун-та. - Т. 1. 2004. - 528 с. - Т. 2. 2004. - 560 с.
УДК 532+539.3
ББК 22,25
П41
По бедря Б. Е., Георгиевский Д. В. Основы механики сплошной среды. Курс лекций. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.— 272 с. - ISBN 5-9221-0649-Х.
Книга представляет собой оригинальный курс лекций. Излагаются кинематика сплошной среды, теория деформированного и напряжённого состояний, законы сохранения, анализ размерностей. Вводятся изотермические модели идеальной жидкости, вязкой жидкости, упругого тела. Даются основы феноменологической термодинамики, и с привлечением её законов формулируются замкнутые постановки задач для неизотермических моделей, в том числе связанных задач термомеханики, электротермоупругости, магнитной гидродинамики. Особое внимание уделяется теории определяющих соотношений. Приводится программа курса «Механика сплошной среды».
Рекомендовано Учебно-методическим советом по математике и механике УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности «Механика».
Учебное издание
ПОБЕДРЯ Борис Ефимович
ГЕ ОРГИ ЕВ С КИЙ Дмитрий Владимирович
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ.
КУРС ЛЕКЦИЙ
Редактор Н.Б. Бартошевич-Жагель
Оригинал-макет: Е.А. Королева
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
Подписано в печать 3.10.2005. Формат 60x90/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Ус л. печ. л. 17. Уч.-изд. л. 17,0. Тираж 1500 экз.
Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
ISBN 5-9221-0649-ХISBN 5-9221-0649-Х117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
ISBN 5-9221-0649-Х
ISBN 5-9221-0649-Х
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО «Чебоксарская типография № 1» 428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
© ФИЗМАТЛИТ, 2006
ISBN 5-9221-0649-ХISBN 5-9221-0649-Х© Б. Е. Победря, Д. В. Георгиевский, 2006
ISBN 5-9221-0649-Х
ISBN 5-9221-0649-Х
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 5
ЛЕКЦИЯ 1. ПОДХОДЫ К ОПИСАНИЮ ДВИЖЕНИЯ 7
ЛЕКЦИЯ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 20
ЛЕКЦИЯ 3. ИНВАРИАНТНОСТЬ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ВЕ
ЛИЧИН 36
ЛЕКЦИЯ 4. МЕРЫ ДЕФОРМАЦИИ 48
ЛЕКЦИЯ 5. МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ 59
ЛЕКЦИЯ 6. ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ 68
ЛЕКЦИЯ 7. ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ (продолжение) 81
ЛЕКЦИЯ 8. НАПРЯЖЁННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ 90
ЛЕКЦИЯ 9. ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОСТЕЙ 99
ЛЕКЦИЯ 10. ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ НО
ЛЕКЦИЯ 11. РАЗМЕРНОСТИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ... 123
ЛЕКЦИЯ 12. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ 136
ЛЕКЦИЯ 13. ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ 146
ЛЕКЦИЯ 14. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОСТУЛАТЫ МСС . 157
ЛЕКЦИЯ 15. НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 168
ЛЕКЦИЯ 16. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 179
ЛЕКЦИЯ 17. МАКРОВЕЛИЧИНЫ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ СОСТОЯНИЯ 189
ЛЕКЦИЯ 18.ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТОДИНАМИКИ 195
ЛЕКЦИЯ 19.УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА 207
ЛЕКЦИЯ 20. СВЯЗАННЫЕ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОМАГНИТО- ТЕРМОМЕХАНИКИ 214
ЛЕКЦИЯ 21. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ 223
ЛЕКЦИЯ 22. УСЛОВИЯ НА ПОВЕРХНОСТЯХ РАЗРЫВА. ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 232
ЛИТЕРАТУРА 242
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 246
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ 262
ПРИЛОЖЕНИЕ. Программа курса "Механика сплошной средн”.. 265