Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
От редактора перевода
Здание современной теоретической механики покоится на вариационных принципах, сформулированных в 18-м и 19-м веках. Практическое применение этих принципов к решению конкретных задач потребовало развития соответствующей математической теории оптимизации» и такая теория — вариационное исчисление — появилась, стала развиваться и превратилась в одну из основных математических дисциплин. Но как, по любимой присказке Ж.-П. Обена, самая красивая девушка Парижа не может дать больше, чем имеет', так и вариационное исчисление не могло дать механике больше того, чем обладала математика того времени. А в математике хорошо изученными объектами были гладкие функции и функционалы. Это привело к тому, что ставились и решались задачи, которые можно было описать с помощью дифференцируемых функций. Поскольку таких задач достаточно много, большой потребности в негладких постановках не ощущалось, и постепенно, исподволь у механиков создалось впечатление, что в жизни всё сводится к гладким вариационным задачам. Такой стереотип мыш* ления, сложившийся в течение многих поколений, стал мощной опорой консерватизма в среде механиков.
В настоящее время теория оптимизации, и вариационное исчисление в том числе, бурно развиваются, получены новые фундаментальные результаты, которые могут — и должны!—найти приложение в технических науках, и в механике в первую очередь. В частности, можно считать сложившейся теорию негладкого анализа и негладкой оптимизации*
'По-французски эта фраза звучит так: La plus belle fille de Paris ne p^it donner plus qu'elle a.
Предлагаемая вниманию читателя книга греческого учбного Пана- гиотиса Панагиотопулоса представляет собой первое, вполне может быть и не самое совершетное, монографическое изложение результатов (в основном принадл^сащих автору), связанных с приложением современной теории негладкой оптимизации к решению задач механики. Книга имеет подзаголовок «Выпуклые и невыпуклые функции энергии», который отражает её основную направленность — изучение вариационных принципов механики в предположении негладкости соответствующих функций. Французский учёный Ж.-Ж. Моро, один из создателей выпуклого анализа, впервые изучал вариационные задачи механики с негладкими выпуклыми потенциалами. Автор монографии впервые применил к решению вариационных задач механики аппарат негладкого невыпуклого анализа, построенный Р.Т. Рокафелларом, Ф. Кларком и Дж. Варгой.
В ходе работы над переводом переводчики поддерживали постоянный контакт с автором, который внёс в текст ряд изменений, написал для русского издания добавление V, посвящённое применению в механике понятия квазидифференцируемости, и дополнил список литературы (переводчики также добавили к нему ряд работ).
Ценность настоящей книги не столько в решённых до конца конкретных задачах, сколько в самом подходе к их решению. Здесь ещё очень многое предстоит сделать. И если среди наших механиков появятся люди, готовые пойти в новую неизвестную область, чтобы ставить и решать более сложные и практически более важные задачи, используя тот новый математический аппарат, который уже разработан или разрабатывается, то цель перевода настоящей монографии будет достигнута.
А Демьянов
Предисловие
三 унизительно короткий срок на наших глазах задачи на неравенства заняли важное место в математике и теоретической механике. Плоды этого бурного прогресса пожинают прикладная механика и инженерные дисциплины, где многие нерешённые проблемы были решены и >ыл открыт и исследован совершенно новый класс задач.
Настоящая книга выросла из семинаров и курсов лекций по задачам на неравенства в механике, которые я вёл и читал в течение семи лет для самых разных категорий слушателей в Аахенском техническом университете, Аристотелевском университете в Фессалониках, Гамбургском университете и в Миланском техническом университете. Книга адресуется широкому кругу читателей, как математикам» так и инженерам, о чём подробнее сказано в разделе «Указания для читателя».
Излишне говорить, какое сильное влияние оказали на зту книгу пионерские работы Г. Фикеры, Ж.-Л. Лионса, Г. Майера и Ж.-Ж. Моро, создавших и развивших теорию решения указанных задач.
Я благодарен за полезные замечания К. Бисбосу, И. Хаслингеру, Б. Каволю, X. Мэттизу, Х.О. Мэю, Д. Таласлидису и Б. Вернеру. Мне хочется выразить признательность Г. Кириакопулосу и Т. Мандопулу за их исключительную старательность при подготовке рисунков, а также Т. Финнегану и Дж. Гейтли за дружескую помощь в лингвистических вопросах. Наконец, я хотел бы поблагодарить редакторов
издательства «Биркхойзер», трудившихся над моей книгой, и всех, кто принимал участие в подготовке рукописи.
Заранее прошу прощения у тех, чьи работы неумышленно упущены при составлении списка литературы. Я буду признателен читателям за любые замечания и поправки.
Аахен, январь 1983Аахен, январь 1983П.Д. Панагиотопулос
Аахен, январь 1983
Аахен, январь 1983
Введение
Цель настоящей книги — изучение задач механики, вариационная формулировка которых представляет собой выражение принципа виртуальной мощности в форме неравенства. *
Такие задачи, названные здесь задачами на неравенства или односторонними задачами, коренным образом отличаются от задач, в вариационной формулировке которых фигурируют равенства. Последние задачи будем называть двусторонними.
Выражение принципа виртуальной мощности в форме неравенства обычно связывают с именем Фурье. С тех пор и до самого недавнего времени в области задач на неравенства мало что было сделано, прежде всего потому что не существовало достаточно развитой математической теории таких задач. Математическое изучение задач на неравенства было начато в начале шестидесятых годов работами Г. Фикеры, Ж.-Л. Лионса и Г. Стампаккьи. Ж.-Ж. Моро связал теорию вариационных неравенств с выпуклым анализом, и в частности с теорией субдифференцируемости, введя понятие суперпотенциала. Затем была обнаружена связь теории задач на неравенства с теорией максимальных монотонных операторов. Независимо от упомянутых выше авторов, которые рассматривали в основном математические аспекты теории задач на неравенства, Г. Майер ставил и изучал такие задачи в прикладной механике, используя методы теории оптимизации.
Вплоть до последнего десятилетия все изучавшиеся задачи на неравенства относились к случаю выпуклых функций энергии. Поскольку градиент (или, более общим образом, суб дифференциал) выпуклой функции является монотонным отображением, ясно, что теория таких задач неразрывно связана со свойством монотонности, т. е. можно было рассматривать лишь монотонную зависимость между напряже-
ниями и деформациями и монотонные граничные условия. Чтобы преодолеть это ограничение, автор предложил подход, не связанный с предположением о выпуклости функций энергии и основанный на использовании двух новых понятий ——обобщённого градиента Кларка и производного множества Варги. В случае невыпуклых функций энергии получаются вариационные соотношения, которые мы назвали по- лувариационными неравенствами. Если в выпуклом случае статические вариационные неравенства обычно приводят к задачам минимизации потенциальной и дополнительной энергий, в невыпуклом случае возникают задачи о субстационарности.
Заметим, что все задачи на неравенства могут быть также описаны в терминах многозначных операторных уравнений.
Следует подчеркнуть, что если в двусторонних задачах мы имеем дело с дифференцируемыми функциями энергии, то в задачах на неравенства фигурирует недифференцируемые функции. В первом случае обобщённые силы получаются из соответствующего потенциала (взятием градиента), а во втором случае — из выпуклого суперпотенциала (взятием субдифференциала) или невынуклого суперпотенциала (взятием обобщённого градиента Кларка или производного множества Варги). Ввиду многозначности суб дифференциалов и негладкости суперпотенциалов можно было бы говорить о «многозначной механике» или о «негладкой механике».
Что касается численного решения задач на неравенства, то следует различать динамические и статические задачи. Для решения динамической задачи можно провести дискретизацию по времени, сводя задачу к последовательности статических задач. Можно также «сгладить» недифференцируемые функции энергии с помощью той или иной процедуры регуляризации, сводя задачу к последовательности динамических задач на равенства, приводящих к нелинейным дифференциальным уравнениям. Что касается решения статических задач, то здесь имеются две возможности. Если задача может быть поставлена как задача минимизации, то используются подходящие алгоритмы оптимизации; в противном случае применяется процедура сглаживания, приводящая к последовательности нелинейных алгебраических уравнений.
Настоящая книга разделена на три части, носящие соответственно названия «Предварительные сведения» (главы 1 и 2), «Задачи на неравенства» (главы 3 — 9) и «Численные приложения» (главы 10 и 11).
В первых двух главах излагается необходимый математический аппарат. В главах 3 и 4 рассматриваются выпуклые и невыпуклые суперпотенциалы в различных областях нерелятивистской механики. В этих
двух главах подчёркивается связь теории задач на неравенства с теорией многозначных дифференциальных или интегральных уравнений, а также с теориями минимизации и субстаодонарности. Остальные главы части 2 посвящены математическому исследованию односторонних краевых задач. Вначале обсуждаются задачи с трением (глава 5), затем краевые задачи, возникающие при рассмотрении субдифференциальных граничных условий и определяющих соотношений для деформируемых тел (глава 6). Далее формулируются и изучаются задачи на неравенства, возникающие в теории пластин (а именно, в теории Кармана), в связи с чем особое внимание уделяется задачам на собственные значения для вариационных неравенств (глава 7). В главах 8 и 9 речь идёт о задачах на неравенства, возникающие в теориях термоупругости, пластичности и вязко-пластичности. Тот факт, что во второй части основной упор сделан на выпуклых задачах, объясняется тем, что математическая теория полувариационных неравенств родилась лишь совсем недавно и ещё далека от завершения.
Последние две главы книги написаны в другом ключе— они имеют прикладную направленность, хотя мы и старались избегать излишних технических подробностей. В этих главах численные методы решения задач на неравенства иллюстрируются реальными примерами из техники. При выполнении численных расчётов использовались хорошо известные алгоритмы оптимизации, которые входят в состав стандартного программного обеспечения ЭВМ; мы исходим из того, что это может оказаться практически полезным для инженеров.
Указания для читателя
Выбор материала в части 1 определялся потребностями последующих частей. Каждое из определений и каждое из предложений части 1 используется где-нибудь далее в монографии. П редпо лагается, что читатель владеет элементами функционального анализа. Читатель, знакомый с теорией пространств Соболева, может не читать главу 1. Каждую из глав 5—9 можно изучать независимо.
Несмотря на то что мы всюду стремились к математической строгости изложения, при написании книги имелся в виду и читатель, не знакомый с функциональным анализом, а заинтересованный лишь в механике и её приложениях. В таком случае главу 1 надо пропустить совсем, а в главе 2 не следует обращать внимания на доказательства, предполагая везде, что X—это просто л-мерное пространство, а (• , •) обозначает обычное скалярное произведение. Главу 3 следует тогда читать до п. 3.3.4, а в главе 4 нужно опустить пп. 4.1.1 и 4.1.2. В остальных главах не надо обращать внимания на результаты о существовании решения. Каждое вариационное выражение можно понимать в «инженерном смысле» (ср. с книгой Васидзу [333])・ В главах 10 и 11 все задачи дискретизованы, и эти две главы рассчитаны на обе категории читателей.
В заключение одно замечание по поводу терминологии. Термин «поточечно» обычно обозначает, что рассматриваемое условие выполняется почти всюду (см., например, конец п. 3.3.4), однако во всех классических формулировках граничных условий (как, например, в п. 3.3.1) оно означает «в каждой точке». Во всех сомнительных случаях делаются необходимые уточнения.
ЧАСТЬ 1
Предварительные сведения
ГЛАВА 1
Основные понятия и результатыфункционального анализа
В этой главе излагаются основные сведения из функционального анализа, которые понадобятся в дальнейшем при изучении неравенств в механике. Мы начинаем с понятия топологического векторного пространства и связанного с ним понятия двойственности. Затем приводятся некоторые свойства ряда функциональных пространств. Особое внимание уделено пространствам Соболева и пространствам функций ограниченной деформации, для которых доказывается теорема о следе и устанавливаются некоторые свойства вложения. Приведены также неравенства Корна и теорема Грина—Гаусса. В заключение главы излагаются элементы теории векторнозначных функций и распределений, а также дифференциального исчисления.
При написании этой главы использовались многие широко известные руководства, среди них:
Адамс [2], Бурбаки [24—26], Сьярле [41], Дьёдонне [70], Данфорд и Шварц [79], Фикера [98], Гельфанд и Шилов [109], Кёте [164], Лионс [179; 182; 183], Лионс и Мадженес [181], Нечас [231], Робертсон и Робертсон [284], Л. Шварц [297], Смирнов [302], Пев [320], Вайнберг [324], Виленкин [325], фон Кверенбург [277], Иосида [337].
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ
Топологические пространстваи непрерывные отображения
Топологическое векторное пространство (сокращённо ТВП)——эго множество, наделённое двумя структурами — топологического пространства (ТП) и векторного пространства (ВП). Эти две структуры
согласованы в том смысле, что алгебраические операции, связанные с наличием структуры векторного пространства, являются непрерывными. Вначале дадим краткий обзор определений и элементарных свойств ТП и ВП.
Топологическое пространство — это множество 乳 наделенное структурой, которая даёт возможность определить понятия сходимости и непрерывности. Для задания такой структуры достаточно определить в 勿 открытые подмножества. А именно, всякое семейство 5 подмножеств множества 纥 которое содержит
объединение любого числа своих элементов,
пересечение любого конечного числа своих элементов,
пустое множество 0 и само 冢，
называется топологией в (или на)冢
Подмножества, входящие в S, называются открытыми множествами, а пара Х= ｛気 S] — топологическим пространством. Говорят, что подмножество Л пространства X замкнуто, если его дополнение Х\А открыто. Множества 0 и 勿оба замкнуты. Множество F U X называется окрестностью точки х, если существует открытое множество О € S такое что х^О G F (случай F = О не исключается). Точка х € 工 U X называется внутренней точкой множества А, если у неб существует окрестность Е такая что F С А. Множество всех внутренних точек Л называют внутренностью множества 力 и обозначают int 4 Замыкание множества Л, обозначаемое Л,— это множество всех тех точек х € % для которых любая окрестность точки х имеет непустое пересечение с 4 Такие точки называются точками прикосновения множества Л. Очевидно, что множество Л открыто (соотв. замкнуто) тогда и только тогда, когда Л = int Л (соотв. А = А). Границей множества Л называется множество А \ int Л. Говорят, что множество В плотно в/, если Л С Д В частности, В плотно в (или всюду плотно), если В = ^ ТП X называется сепарабельным, если 勿 содержит конечное или счётное всюду плотное множество. Точка х€ Л называется предельной точкой множества Л, если любая её окрестность содержит хотя бы одну точку из А, отличную от X Говорят, что точка х€Л есть предел последовательности [х<] (запись: х『-► х), если любая окрестность точки х содержит все элементы этой последовательности, за исключением разве лишь конечного их числа. В таком случае говорят также, что последовательность (х<] сходится к х.
Заметим, что определение топологии, эквивалентное приведённому выше, можно дать н с помощью понятия окрестности. Система Fx всех окрестностей точки х, называемая также фильтром окрестностей этой точки, обладает следующими свойствами:
х € F VF€ ®
если Е € & и 尸z € & , то 戶i С № W 凡
(Ш) если 戶i € 泾 н № U № U 纥，то /*2 € Л；
(iv) если F\EFx、то существует окрестность 用 W 月，такая что AwFy, Уу е Fi •
Обратно, если для каждой точки х € ^задано некоторое семейство подмножеств Fx множества 幺 причём выполнены условия (i) — (iv), то существует ровно одна топология в 冗 такая что для любого х € Z семейство Fx есть система окрестностей точки х в этой топологии. Всякая подсистема Gx системы Fx, обладающая тем свойством, что для любого 戶 € Е найдется G € G*, такое что G и £ называется фундаментальной системой окрестностей точки х или базисом окрестностей точки х
На данном множестве 勿можно рассматривать различные топологии. Будем говорить, что топология Si тоньше (или сильнее) топологии S2, a S2 грубее (или слабее )> чем Si, если S2 С Si，В этом случае любое подмножество 团 открытое в топологии S2, будет открытым и в Si. Может оказаться, что в 冢заданы две топологии, ни одна из которых не сильнее другой, т. е. они несравнимы. Дискретная топология в ^'(топология, для которой Fx состоит из всех подмножеств множества 冗 содержащих х), является сильнейшей топологией в 绍 а тривиальная топология (Е = ｛勿｝ для любого х)——слабейшей. Пусть X — ТП м 商 U Z Тогда в %" можно ввести топологию, взяв в качестве открытых множеств в 缙 пересечение открытых множеств в 勿 с 商.Такая топология называется индуцированной топологией в 商. Пусть〔4〕，а € Г, — ceMdtcTBO топологичесюях пространств, Ха - =｛笈,S", а € Г, и В?爲 一 их декартово произведение. Типология произведения ——это слабей/иая среди топологий, содержащих все множества вида П Од где Оа W Sa, причем Оа-^ для всех, кроме а€Г
конечного числа, индексов а € Г.
Топологическое пространство X называется отделимым (или хаусдорфовым )топологическим пространством (сокращенно ОТП), если для любых двух различных точек х и у из X найдутся непересекающи- еся окрестности F и G точек хну соответственно. ОТП обладают тем свойством, что в них последовательность может сходиться не более чем к одной точке. В таком пространстве всякое множество, состоящее из одной-единственной точки, замкнуто.
Введем теперь важные понятия непрерывности отображения и полунепрерывности функционала. Пусть Х=｛纭 S｝ и У=｛亥 Т] —два
ТП. Функция /:Х f У называется непрерывной е точке х € 纥 если для любой окрестности G точки /(х) W У найдётся такая окрестность 尸 точки х, что/(F) С G. Если/непрерывна в любой точке х€ X, то говорят, что / непрерывна (на X). Если существует У1 (обратное к / отображение) и оба отображения / и /~1 непрерывны, то / называется взаимно-непрерывным. Отображение f:X-► У, являющееся биекцией и взаимно-непрерывное, называется гомеоморфизмом.
Функционал /:Х-►灰 -[-«, +оо] называется полунепрерывным снизу (соотв. сверху) в точке х (для краткости будем далее использовать сокращения п.н.сн. и п.н.св.), если выполнено следующее условие: для любого a W R, такого что/(х) > а (соотв. /(х) < а), можно указать окрестность F точки х, для которой /(у) > а (соотв. Ду) < а) при всех y^F. Говорят, что функционал / п.н.сн. или w.н.св. (на X), если он обладает этим свойством в любой точке х£Х*
Важный класс топологических пространств образуют метрические пространства. Функционал d:Zx 缪-► IR называется метрикой (или функцией расстояния) на если
d(% у)》0, причем d(x, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = У；
d(x9 у) = d(y9x) v尤 у W 冢；
d(x> у) & d(x> z) + d(a y) v % 弘 z W 冢.
Множество B(x, a) = {у |” C\ d® у) V (соотв.《)a} называется открытым (соотв. замкнутым) шаром с центром в точке х и радиусом а. Множество F С ^, содержащее точку х, объявляется окрестностью точки х, если при некотором a > 0 оно содержит открытый шар В(х, а). Так определённая система окрестностей Fx порождает метрическую топологию в X. Топологическое пространство X = {纥 S] метризуемо, если на нем можно определить функцию расстояния Цх, у), которая задаёт метрическую топологию» совпадающую с S. Любое метризуемое пространство отделимо. В метрическом пространстве множество Л называется ограниченным, если существует aw R, такое что d(x, у)《а для всех х, у €А . Подмножество А метрического пространства X называется полным, если любая последовательность Коши, лежащая в Л, имеет в Л предел. Напомним, что последовательность {х/] с X называется последовательностью Коши (или сходящейся е себе, или фундаментальной), если для каждого £ > 0 найдется натуральное число MQ，такое что d(x〃 Q)《£ для всех i, j》N⑻.Для метрического пространства X непрерывность отображения f:X -► У в точке х эквивалентна условию Длу) -► /(х) при 勺->х (здесь У —произвольное ТП).
1.L2. Локально-выпуклые топологическиевекторные пространства, нормированныепространства и линейные отображения
Множество 勿 называется векторным пространством (ВП) (или линейным пространством (ЛП)) над полем вещественных чисел, если на нбм заданы две функции Ay： ST х ^-> &“ Ms： R х ^-> ST9 записываемые в виде
Av(x, у) = X + У Vxj€ ^
и
Ms(a, х) = ах v〃WR VxW”
причём эти функции обладают следующими свойствами:
х + у = у + х v%ywm
x+(y + z) = (x + y) + z vx 乂 zw 勿；
существует «нулевой» элемент, обозначаемый 0 и называемый началом в 勿，такой что х + 0 = х vxW 勿；
для каждого х€ ST существует единственный элемент множества 勿，обозначаемый -х, такой что х + ( -х) = 0;
(V)а(^х) = (а^)х VxW 勿 v а, /3 € 0?;
(vi) (а + fi)x = ах + fix, VxW 勿 V а, /3 € 0?;
(vii) lx = х vxw 勿；
(viii) a(x + j) = ax + ay ▼乂了崑勿 VaWR.
Функции Av и Ms называются соответственно операциями сложения (векторов) и умножения (вектора) на число.
Векторным подпространством векторного пространства 勿 называется всякое его подмножество 商, для которого х + у^ 3^ v%y€ 商 и axW 商 У х€ Зл V a € 0? . Пусть А, В — подмножества векторного пространства 宏 Положим
ХЛ + ft В ~ [Хх + цу\х^.А, j € Д X, /iWR}.
Если М— заданное семейство подмножеств векторного пространства 疼 то, по определению, 〃+ х = 仪 + 工 | 工 w jZ] . Подмножество Л векторного пространства 勿 выпукло тогда и только тогда, когда ^х + цу€А для всех х, у^А и всех чисел Х>0, /4>0сХ + /4=1. Подмножество векторного пространства называется линейно
независимым, если соотношение вида £ %制=0 возможно лишь
при Xi - Хз = ... = Хл = 0, каково бы ни было w € N и каков бы ни был набор xi,..., хп элементов из 4 Линейно-независимое множество Л
образует базис Гамеля (или просто базис) векторного пространства 疼 если любой элемент х W 艺 может быть представлен в виде линейной комбинации элементов из А. Любое ВП обладает базисом. Если какой-то базис ВП содержит конечное число векторов, скажем л, то и любой другой его базис содержит п элементов и «есть л-мерное ВП.
Важную роль при изложении дальнейшего материала играет понятие факторпространства, которое мы сейчас и напомним.
Пусть М— линейное подпространство пространства 冢 Для х, условие х - у^М задает отношение эквивалентности. Фактор- множестом 〃IM называется множество соответствующих классов эквивалентности. Каждому х w 艺 отвечает класс х + М. Это соответствие называется каноническим отображением пространства 济на 父7А/. Обозначим класс эквивалентности, содержащий элемент х, через [х]. Фактормножество 勿/М можно превратить в ВП, введя операции сложения векторов и умножения на число по правилам
[X] + [у] = [х + у], Х[х] = [Хх].
Отображение /: ST^ 纽 где ^ и ^― векторные пространства, называется линейным, если
f(x + j) = /(х) + Ду),
f(ax) = а /(х) vxyw? v〃wR.(1.1.1)
Множество [х|/(х) = 0) называется ядром отображения / и обозначается ker / Это ——линейное подпространство в 冢 Множество всех линейных отображений мз Zb 纥 обозначаемое J(玄 勿)，превращается в векторное пространство, если определить сложение и умножение на вещественное число следующим образом:
(A+i)(x)=/(x) + g(x),Х/(х) =/(Хх),人 WR. (1.1.2)
Рассмотрим подробнее топологию S на векторном пространстве 宏 Говорят, что топология S согласована с линейной структурой 幺 если отображения Av и Ms непрерывны. При этом предполагается, что 纺 х Z и R х Z наделены топологиями произведения. Векторное пространство, снабжённое топологией, согласованной с векторной структурой, называется топологическим векторным пространством (ТВП). Легко убедиться, что в ТВП операция сдвига /:х -* х + ль является гомеоморфизмом пространства X на себя. Таким образом, если Go ——базис окрестностей нуля, то Go + х——базис окрестностей точки х. Подмножество Л топологического ВП 纺 называется ограниченным, если для любой окрестности F нуля в X существует число а > 0, такое что А С аЕ Линейное отображение f:X-► К где X и У— ТВП,
непрерывно в том и только в том случае, если оно непрерывно в нуле. Если / принадлежит JQG У) и биективно, то/-1 : Y^ X есть линейное сюръективное отображение. Если, кроме того, / взаимнонепрерывно, то оно является линейным гомеоморфизмом (называемым изоморфизмом) между заданными двумя топологическими ВП; при этом сами пространства называются изоморфными. ТВП с отделимой топологией называется отделимым (или хаусдорфовым) топологическим векторным пространством (сокращено ОТВП). Особый интерес предст^ляют ТВП, в которых существует фундаментальная система (или базис) выпуклых окрестностей нуля. Такие пространства называются локально-выпуклыми топологическими векторными пространствами или просто локально-выпуклыми пространствами (ЛВП). Если X отделимо, то оно называется отделимым локалъно- выпуклым топологическим векторным пространством (сокращённо ОЛВП).
Пусть ^—ВП. Функция 尸：艺т R называется полунормой на 疼 если
р(х)》0Vx€^;
(ii)尸(Хх) = I 入 |〃(x) vxw 艺 vX € К ;
(iii)尸(х + У)《尸(x) + 尸(У)Р х, у £ 気
Полунорма, для которс^ из соотношения р(х) = 0 следует х = 0, называется нормой и обычно обозначается |х|. Пусть 3——семейство по- л^вдорм на ВП 気 Тогда множества вида
[х|/?,(х)《畐 £ > 0, rEMJ
образуют базис замкнутых окрестностей нуля и задают локальновыпуклую топологию в 気 Это слабейшая из топологий, согласованных с линейной структурой 疼 для которой любая полунорма из 突 непрерывна.
Топологическое ВП X называется нормируемым, если его топология порождается метрикой d порождаемой некоторой нормой | • | по формуле d(x, у) = |х - у I. Такая топология называется нормированной топологией; она отделима. Пара, состоящая из векторного пространства 艺 и нормы I • I на 疼 называется нормированным пространством. Нормированное пространство наделяется топологией, определяемой нормой. Две нормы | - | и | • | на векторном пространстве X называются эквивалентными, если существуют постоянные Ci, 6 > 0, такие что
с"х|《|х|《0|х| VXE 気(1.1.3)
Любые две нормы в конечномерном ВП эквивалентны. Пусть X и У—нормированные пространства и /€ J(X У). Оператор / является ограниченным, т. е. переводит ограниченные множества в ограничен* ные, тогда и только тогда, когда
|/(х)|у^с|х|х VXWX,(1.1.4)
где с > 0 — некоторая константа.
Линейный оператор /:Хт К где X и У——заданные нормированные пространства, непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен. Пространство всех таких операторов обозначается £(Х У). Говорят, что нормированные пространства ЛГ н У изометричны, если существует биекция f:X -► Y, называемая изометрией, такая что |х|х = |/(х) I у для всех х^Х, Полные нормированные пространства называют банаховыми (или В-пространствами). Если данное нормированное пространство X неполно, с ним можно связать В-пространство К такое что существует линейная изометрия между X и некоторым всюду плотным линейным подпространством пространства X. Пространство X определяется однозначно с точностью до линейной изометрии и называется пополнением пространства X. Любое замкнутое линейное подпространство В-цространства само является В-пространством. Будем говорить, что В-пространство У вложено в В-пространство X, если У С X алгебраически и
|х|х《屮| у vxw К(1.1.5)
где с > 0 — некоторая константа, т. е. если инъекция У в X^вляется непрерывной. Вложение называется (всюду) плотным, если У == X, и компактным, если оно переводит ограниченные множества в относительно компактные. Напомним, что в В-пространстве множество Л называется компактным (соотв. относительно компактным), если любая последовательность в Л (соотв. в Л) содержит подпоследовательность, сходящуюся (в топологии, определяемой нормой) к элементу множества Л (соотв. А).
Пусть X—банахово пространство и М—его замкнутое линейное подпространство. Факторпространство Х/М、снабжённое фактор- нормой
|(х1|х/м= inf |х-д»|,(1.1.6)
также является В-пространством. Некоторые призеры ТВП будут приведены в § 1.3.
ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ТОПОЛОГИЧЕСКИХВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Двойственность» Слабая и сильная топологии
Пусть Z——векторное пространство. Линейные отображения /:«—!₽ называются линейными функционалами или линейными формами на 冢 Пространство J( NR) всех линейных функционалов на 纺 называется алгебраическим сопряжённым к 纺м обозначается 纺* Если /— ненулевой линейный функционал на ТВП X, то уравнение /(х) = О (соотв. /(х) = а а€ R) задаёт в X гиперплоскость (соотв. аффинную гиперплоскость) Н (соотв.风).Отметим, что любая гиперплоскость зХ является либо замкнутой (т. е. Н = Н), либо всюду плотной (т. е. Н = X). Множества {x£X|/(x)V@ и pc^X\f(x) > а] соответственно называются открытыми полупространствами, ограниченными аффинной гиперплоскостью На. Соответственно множества [х|/(х) ^ а] и [х|/(х) ^ а] называются замкнутыми полупространствами, ограниченными гиперплоскостью 瓦.
Говорят, что аффинная гиперплоскость разделяет (соотв. строго разделяет) два подмножества Л и В ТВП X, если
/(х)《а (соотв. /(х) < а) Ух^А ,/00》а (соотв. /(у) >а) PyWB .
Среди элементов пространства 纺* важную роль играют непрерывные линейные функционалы. Они образуют подпространство в называемое топологическим сопряжённым к X м обозначаемое 勿'・ Известная теорема Хана—Банаха гарантирует существование нетривиального (т. е. ненулевого) непрерывного линейного функционала на отделимом ЛВП. Эта теорема является одним из основных результатов функционального анализа. У этой теоремы существует много вариантов; мы приведём её здесь в аналитической и геометрической формах.
Аналитическая форма. Пусть 〃 一 полунорма на ВП 纥 ％ — линейное подпространство в и элемент /Е 2T таков, что |/(»《 《〃(х) vxW绍.Тогда существует продолжение/€ 勿* функционала / (т. е. /(х) = /(х) vxE商)，такое что |/(х) |《р(х) vxE 宏
Геометрическая форма. Пусть Л — открытое выпуклое непустое подмножество ТВП X и М—линейное подпространство в X, не имеющее с Л общих точек. Тогда существует замкнутая аффинная гиперплоскость На9 содержащая М н не имеющая с Л общих точек.
Одним из следствий этой теоремы является тот факт, что два непе- ресекающихся выпуклых непустых подмножества ТВП, одно из кото-
рых открыто, могут быть разделены замкнутой аффинной гиперплоскостью. Если оба множества открыты, они строго разделимы. Если Xi и Х2 — две различные точки отделимого ЛВП X, то их можно разделить замкнутой аффинной гиперплоскостью» которая задает на X непрерывный линейный функционал.
Другое следствие состоит в том, что любое замкнутое выпуклое подмножество ОЛВП можно представить как пересечение всех содержащих его замкнутых полупространств. Пусть X—ЛВП, а 勿'一сопряжённое к нему. Далее через х‘ будем обозначать элементы пространства W, а через (г',» — значение х' в точке х. Как будет видно ниже, это значение можно обозначать также 优 х'〉. Используя эти обозначения, можно выявить некоторую симметрию, существующую между X и Каждому элементу х£Х отвечает линейный функционал на 勿'， определяемый соотношением £(х') = х'(х), х‘ €%". Это — линейное отображение из ^в W*. Если, кроме того, X наделено отделимой топологией, то это отображение инъективно. Таким образом, X отождествляется (с точностью до изоморфизма) с некоторым подпространством 交'пространства 勿'*• Итак, существует определённая симметрия между пространствами X м 勿'в том смысле, что каждое из них изоморфно некоторому подпространству алгебраического сопряжённого к другому. Из определения пространств X и 父~ вытекает, что (г\ х) — билинейная форма на W х 幺 Ввиду теоремы Хана — Банаха она обладает следующими свойствами:
VxW% хНО, существует элемент x'W父二 такой что (х\ х) НО;(1.2.1)
кх‘ WST'、х' # 0, существует такой элемент xw% что
х) К 0.(1.2.2)
Рассмотрим теперь векторные пространства 父S W м билинейную форму (х\ 幻 на 勿，х 纥 обладающую свойствами (1.2.1), (1.2.2). Из этих свойств вытекает, что существует линейное инъективное отображение 艺，в 勿* (соотв. Zb «，*), при котором образом элемента х' €?， (соотв. хЕ 勿)служит линейная форма (х\ х〉 на ^(соотв. на 勿)Таким образом,勿，(соотв.勿)изоморфно некоторому подпространству пространства 父个(соотв. &~*)・ Пара ｛纥 векторных пространств 勿 м 勿'называется дуальной парой или парой векторных пространств в двойственности1, а форма (г\ х〉——спариванием или канонической билинейной формой, приводящей пространства W в двойственность. До сих пор мы рассматривали ST1 независимо
Ср. с понятием двойственности в проективной геометрии.
от его топологии; теперь наряду с алгебраической симметрией между пространствами 勿 и рассмотрим и «топологическую симметрию». Можно показать, что существуют топологии в 艺'，в которых .么'является ОЛВП, причем Услужит топологическим сопряжённым к /'• Пусть Л — подмножество ТВП X. Подмножество
Л° =仅」хУ 勿* sqp|〈х\ 幻 I W 1}(1.2,3)
пространства ST' называется полярой множества А. Пусть В— семейство ограниченных подмножеств пространства 4 обладающее свойствами:
если /1, /ЬЕ 纟 то существует /з£& такое что А\ U/I2 С Лз； (ii) если 4еУн 入 WR, то существует 4 ЕУ, такое что ХЛ1 С с л2.
Локально-выпуклая топология на 勿'，получающаяся, если в качестве L базиса окрестностей нуля взять совокупность 垓。поляр элементов из •纟 называется ^-топологией.
Некоторые примеры ^топологий приведены ниже Если 乡一 семейство всех конечных подмножеств пространства X, то У топология в ?' называется слабой топологией, порождённой 纥 и обозначается £(?', ?). Слабое сопряжённое {«', £(Z‘，勿)]к пространству X будем обозначать через 芻.Топология £ (/ ', ^) может быть также задана с помощью семейства полунорм вида r(x‘)= I {xf, %,) I. В таком случае в качестве фундаментальной системы замкнутых окрестностей нуля можно взять совокупность множеств вида 1
[xf I x'W 勿'，I (х\ Xi) I《畐 i = 1,2,…，冃，(1.2.4)
где с пробегает положительные вещественные значения, а [迎 …，хп] — все конечные подмножества пространства X.
Определим теперь сильную топологию S на ?'・ Она порождается семейством У всех ограниченных подмножеств пространства X, Такая топология называется также топологией ограниченной сходимости, так как последовательность элементов пространства 芻= 区'，S] сходится к нулю, если она сходится к нулю равномерно на всяком ограниченном подмножестве пространства X.
В случае когда X—нормированное ВП, сильная топология на X' задается нормой
|k| = sup I〈X' х〉| 二 sup |伊，(1.2.5)
X w 0
'Ср. c (1.2.3). Заметим, что (x\ x) ^ £ тогда н только тогда, когда (х‘，х/с) W 1-
Аналогично можно определить слабую топологию £(苏 )в 冢 Топология £ (苏 2，) порождается фундаментальной системой окрестностей, образованной множествами вида
1%|х£苏 (х/, х) ^ £, z = 1,2,...,п].(1.2.6)
Здесь [л/, ...,Хд] произвольное конечное подмножество пространства 2', а £ — любое положительное число. Будем обозначать ｛苏 Е(苏 2')｝ через Хг・
Отметим, что на всяком конечномерном ВП 2 имеется только одна топология7.
Топологически дуальные парывекторных пространств
Пусть 2 и 2’ 一 векторные пространства, а 仅'，х) — каноническая билинейная форма, т. е. форма, удовлетворяющая условиям (1.2.1) и (1.2.2). Тогда ｛苏纥1 является дуальной парой. Предположим, что в 2 введена слабая топология £ 例 2')・ Эта топология является самой слабой локально-выпуклой отделимой топологией в 苏 для которой 2，служит сопряженным к 2；・ Введём в 杀，слабую топологию Е (2、2). Эта топология является самой слабой локально-выпуклой отделимой топологией в 2‘，для которой X служит сопряжённым к 艺;.Отсюда следует, что значение функционала х (соотв. х') на элементе к (соотв. х) можно записывать как (х\ х) или (% X〉и что роли пространств X н X’ в дуальной паре взаимозаменяемы.
Пусть X — отделимое ЛВП с топологией 7； а ^х — сопряжённое к нему пространство. Возникает вопрос, как описать все локальновыпуклые отделимые топологии Т в X, при которых сопряжённое к X = I 苏 Т) в точности совпадает с 2'. Говорят, что такие топологии согласуются с двойственностью между 2и По теореме Макки —Аренса, все топологии Т в 纥 согласующиеся с двойственностью между 2и 2', сильнее, чем слабая топология £(纟 2) и слабее, чем некоторая топология £“, называемая топологией Макки, т. е.
Е(纥 2‘)С ТС Ем на 勿(1.2.7)
Аналогично все топологии Т* в Z', согласующиеся с двойственное- п тью между 艺и 艺；сильнее, чем Е (纭艺')，и слабее, чем топология Макки Ем, т. е.
Е 便7 艺)С Tf С Ej^ на 冢I(1.2.8)
Дуальная пара 1% Z，｝ является топологически дуальной и обозначается [X Х[ , если в 艺и 2’ введены топологии, согласующиеся с двойственностью между 2 и 2/
В заключение напомним понятие рефлексивности. Отделимое ЛВП называется рефлексивным, если
Х=(础.(129)
1・2・3・ Двойственность в нормированныхи гильбертовых пространствах
Пусть X ——нормированное пространство с обычной топологией, определяемой нормой, 2'——сопряжённое к нему пространство, т. е. пространство всех непрерывных линейных функционалов на X. В Z может быть введено много топологий, но, имея дело с нормированным пространством, мы всегда будем, если не оговорено противное, рассматривать естественную топологию, определяемую нормой в 2 (т. е. пространство Xj Пространство 珞 обозначаемое просто X、является В-пространством с нормой |xz |, заданной соотношением (1.2.5). Оно называется сильным сопряжённым к X.
Как и в общем случае ТВП, введем естественную каноническую билинейную форму (х?, х) = xf (х), xwX, xf wX，. Но так как X и X’ 一 нормированные пространства, то здесь мы уже не имеем топологической и алгебраической симметрии, какая наблюдается в случае общих ОЛВП, а именно X не будет сопряжённым к X', если Хг не является рефлексным в смысле (1.2.9). Сопряжённое к X’ обозначается через Хп и называется вторым сопряжённым к X. Как и в случае отделимых ЛВП (см. (1.2.4, 6)), можно определить топологии Е(%2')в 艺 и£( 2：艺)в 昜•' Первую из них будем называть слабой топологией в 团 а вторую ♦ -слабой (читается «звёздочка-сла- бой») топологией е 2； чтобы отличить её от слабой топологии 2(來；纥")в 冢:Обе эти топологии локально-выпуклы и отделимы; они слабее, чем топологии, определяемые нормой.
Говорят, что последовательность [хп] элементов нормированного пространства X слабо сходится к элементу %€Х, если
Пт х'(х^ = %'(%)V%' £Х'・(1.2.10)
Последовательность [х„] элементов пространства X', сопряжённого к нормированному пространству X, ♦ -слабо сходится к элементу хУ X', если
lim 爲(х) = Хо(х) Vx€X (1.2.11)
Если слабый предел существует, то он единствен.
Сильная сходимость в X (соотв. в X') всегда влечёт слабую (соотв. ♦ -слабую).
Приведём некоторые важные для последующего изложения результаты.
Если В-пространство X рефлексивно (т. е. X = fAs)s), то всякая сильно ограниченная последовательность в этом пространстве содержит подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторому элементу из X. (Этот результат будет использоваться весьма часто.)
Если X—сепарабельное нормированное пространство, то любая ограниченная последовательность в Xi содержит подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторому элементу из As-
В-пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда всякая сильно ограниченная последовательность в X содержит подпоследовательность, слабо сходящуйся к некоторому элементу из X (теорема Эберлейна ——Шмульяна).
Пусть М—замкнутое линейное подпространство В-пространства (М также является ^-пространством), Мг ——сопряжённое к нему пространство. По определению, для xf |м^М' имеет место соотношение
(к, х) = ^\м, х) ^хеМ VxY X、 (1.2.12)
Теория двойственности В-пространств применима и к гильбертовым пространствам. Напомним определение гильбертова пространства. Пусть X — ВП, (х, у) — симметричная билинейная форма (скалярное произведение) на 苏 которая является положительноопределенной, т. е.
(х, х) > 0 vx€苏 хНО. (1.2.13)
Векторное пространство 2c такой билинейной формой называется вещественным отделимым предгильбертовым пространством. Величина (% л:)"? является нормой на 冢 Если билинейная форма лишь неотрицательно-определённа, т. е.
(% %)》0 Vx£苏 (1.2.14) то соответствующее пространство уже не будет отделимым, а (尤 х)"? будет полунормой на 冢 Полное отделимое предгильбертово пространство называется гильбертовым пространством (сокращенно Н-
Двойствеииость в топологических векторных пространствах 27 пространством). Далее, норма |х| на нормированном пространстве является гильбертовой нормой (т. е. существует положительноопределённая симметричная билинейная форма (% у), такая что |х| = (л; х)1/2) тогда и только тогда, когда справедливо тождество
|х|2+ |»|2 = ^(|х + У『+ |х — »|2) VX ” X (1.2.15)
Если М—замкнутое векторное подпространство //-пространства, то Х\м с нормой, определённой формулой (1.1.6), также является //-пространством.
Говорят, что два вектора х у гильбертова пространства X ортогональны друг другу, если (х у) = 0. Ортогональным дополнением Л/丄 подмножества М С X называется множество
М丄=[у\у^Х, Ху) = 0 VxeAf}.
Если Xi — замкнутое линейное подпространство пространства X, то X = Хх@Х^ Каждый вектор х£ X можно единственным образом представить в виде х = м + где 不 € Xi,吋€ *
Обратимся к вопросу о двойственности //-пространств. Рассмотрим //-пространство X и сопряжённое к нему пространство Х'・ Значение функционала х* € X* в точке х€ % обозначим через (х\ х):
(х;, х〉= х'(^)- (1.2.16)
В сопряженном пространстве X’ введена норма (1.2.5). Определим отображение двойственности /€丄(乂 X，)соотношением
尸:ут斤О)=(外 у〉= 8 у) VX уСХ (1.2.17)
По известной теореме Рисса /является сюръективной изометрией X на X', которая называется канонической изометрией между X и X'. Пространство X', снабжённое скалярным произведением
(X', »') = (/-%，，/Ту') = (х，，/Ту〉 vx\ у' ex', (1.2.18) также является //-пространством. Если //-пространство X отождествляется со своим сопряжённым X', то каноническая изометрия ^становится тождественным отображением. В этом случае каноническая билинейная форма U у) совпадает со скалярным произведением (х, j)4-a X называется поворотным (или центральным У гильбертовым пространством.
В оригинале pivot. — Прим, перев.
Транспонирование непрерывного линейного отображения.Шкалы гильбертовых пространств.
Теорема Лакса ——Милгрэма
Пусть X и У—гильбертовы пространства, X’ и У'—их сопряжённые, (х\ х)х и (у‘, у)у—соответствующие канонические билинейные формы, А:Х^ Y—непрерывный линейный оператор,力€丄(К У). Транспонированным к Л оператором называется оператор 4:У'тХ* определённый соотношением
(Z х}х= J', Ax}y VyY Yf vx€%.(1.2.19)
Если % и У—поворотные пространства, то Л' совпадает с оператором Л* сопряжённым к Л. Последний определяется соотношением
(Д*^ x)x =(M Zx)y V” У Vx€X (1.2.20) где (-,•)% и ( • , ■ )у—скалярные произведения в X и У соответственно. Как следует из (1.2.17), между Л' и Л* существует следующая связь:
Л' = /А^~\(1.2.21) 13
где /и Л"— канонические изометрии между X и X' и между У и У' соответственно.
Нам часть придётся сталкиваться с такой ситуацией: заданы два //-пространства X и % такие что % С К причём это вложение непрерывно и плотно. Тогда сопряжённое пространство У' плотно вложено в X、Каноническая билинейная форма (х\ х)х на X，х X отождествляется с однозначно определённым продолжением канонической билинейной формы {уг,У)у на У，х X Если У ——поворотное пространство, то
%С У= Yf С %\(1.2.22)
причём эти вложения непрерывны и плотны, и однозначно определённое продолжение скалярного произведения в У отождествляется с канонической билинейной формой на X' х X. Пусть М——замкнутое линейное подпространство //-пространства X. Через А?丄 обозначим замкнутое линейное подпространство сопряжённого пространства определяемое формулой
府丄=fx'|х'СХ', (xz, х) = 0 VXCM). (1.2.23)
Пространство, сопряженное к М9 изометрично факторпространству X'/必丄,а пространство, сопряжённое к Х/М, изометрично Л?丄.
Во многих задачах будут рассматриваться семейства //-пространств 1XJ, где параметр а принимает вещественные значения, об-
падающие тем свойством, что при az < s пространство Xai вложено в Хд. Такие семейства называются шкалами гильбертовых пространств. Для наших целей окажутся полезными шкалы //-пространств, удовлетворяющие следующим условиям:
если ai < аг, ່ IR, то Xg С 凡］,причем это вложение плотно;
если ai < аг < аз, то
I X I tt2 < |%|,з -敗)3 -叫无 |,2 - а】)/(аз - ai) VX€%tt3, (1.2.24) где |х|а. —норма в А^;
сопряжённым к Ха служит X _а; пространство % является поворотным, а каноническая билинейная форма на *一“*儿 отождествляется с однозначно определённым продолжением скалярного произведения в %.
Пусть X и X’ 一 гильбертовы пространства и задан оператор А € £(Х Х')・ Ему отвечает непрерывная билинейная форма а на X определяемая соотношением
а(х, у) = у) V% у€Х.(1.2.25)
Обратно, если на X задана непрерывная билинейная форма a(xt у), то она определяет оператор AwL(X, X’) по правилу Ах\у^ а (X у) YxwX. Оператор Л называется коэрцитивным, если найдется константа с > 0, такая, что
а(х, х) > сIх12 Vx€X(1.2.26)
По теореме Лакса ——Милгрэма любой коэрцитивный оператор А\Х^ Xf является изоморфизмом X в X'. Мы будем использовать эту теорему в такой эквивалентной форме: существует единственное решение задачи
для заданного в /е Хг найти %€Х такое что
а® У) = @ У〉 V”X(1.2.27)
НЕКОТОРЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕПРОСТРАНСТВА И ИХ СВОЙСТВА
1-3.1. Пространства 5* 卩面,卩⑴)，卩@)и ”⑴)
Ниже кратко описываются свойства функциональных пространств, используемые в этой книге. Все они определены, если не оговорено противное, на некотором открытом ограниченном связном подмножестве R пространства IR" с границей Г. Везде предполагается, что Г облада-
ет всеми свойствами гладкости, нужными для того, чтобы можно было поставить и изучать рассматриваемую задачу. Заведомо достаточно предположить, что Г является (л - 1)-мерным бесконечно гладким многообразием, причём R локально лежит по одну сторону от Г, но эти условия чересчур ограничительны. Очетидно, что их можно обобщать и изменять, так что 0 и Г могут иметь и более общий вид в зависимости от природы рассматриваемой задачи. Размерности, фигурирующие в задаче, вид изучаемых операторных уравнений, граничные условия, функции, с которыми приходится работать, теоремы, привлекаемые к исследованию задачи, — все эти факторы и определяют свойства 0 и Г.
Например, в случае теорем о следе для прсютранств Соболева и в случае неравенств Кориа, которые будут часто использоваться, достаточно липшицевости границы Г. Это означает, что (i) некоторая окрестность F любой точки х€Г является липшицевой непрерывной гиперповерхностью (см- (1.3.3), л = 1) и (ii) Г разделяет 尸 на два множества—«внешнее» и «внутреннее» (подробнее см. [2; 98; 231]). Обсуждение наиболее общего вида 0 и Г для каждой задачи выходит за рамки настоящей монографии. Далее мы просто предполагаем, что Г достаточно регулярна.
Введём следующие функциональные пространства.
Для всякого неотрицательного целого числа m V 8 обозначим через <7"(0) ВП всех вещественнозначных функций 夕，заданных на 0 и имеющих там непрерывные частные производные Н@ порядка I a I W т. Здесь использованы следующие обозначения:
% = SXn), а = (aittn),
I а I =/ + ••• + ап,
戸 + …+ а“(хь ..., Хл) таО —-,〃夕一夕，
(а«, ” I,..., л — целые неотрицательные числа).
Далее, через C7(R) обозначим подпространство в <7"(口)，состоящее из всех функций ^ € <7"(0) с компактным носителем. Под носителем функции 夕(обозначаемым supp 夕)понимается наименьшее замкнутое подмножество 0, вне которого 夕 равна нулю. Положим
C*(R) = П 门(R).
m к 0
Для любого компактного подмножества Л множества R через
“(I) обозначим множество всех функций 夕£管(口)'，для которых slippy С Л. Оно становится ОЛВП при наделении топологией, порождённой множеством полунорм
Л1, mM = SUp \1^<^ I , /Л < оо.(1.3.1).
I а 丨 Ст» х € Л
Строгий индуктивный предел пространств Q(R), когда А пробегает все компактные подмножества 0, тоже представляет собой ОЛВП. Пространство G°(l) с введённой таким образом топологией обозначим через Р(0). В пространстве Р(0) последовательность [^л] сходится к нулю, если
1 m力 =i1 m力 =i(i) существует подмножество Л С 0, такое что supp^n С А для всех
1 m力 =i
1 m力 =i
)все последовательности {/^^«(х)], а》0, равномерно сходятся к нулю.
Пусть 0 — замыкание О. Через €*"(6) обозначим ВП всех функций ^ € €*"(口)，таких что для каждого а - (а】,...,ал) с |, | & т производная Р0f勿 обладает единственным непрерывным продолжением на R (т. е. если hg ограничена и равномерно непрерывна на 0 для | а | W 用)•
Отметим, что 厂⑴)Н 6^(0). Можно превратить Ь®) в 5-пространство, введя в нём норму
|^|= max sup I I.(1.3.2)
_ ос I a I < m X E Q —
Пространство С7-функций на 0 обозначим через С7(0). Аналогично пространству D(fi) можно ввести пространство D@)二_
Пусть 0 < л ^ 1. Через С"*，л(б) обозначим пространство всех функций ^ € €*"(0), для которых производные 小勿 с | а | W 加 удовлетворяют неравенству
1^(%)-^(у)| wc|x-川” vxyw。，(1.3.3)
ввести в нем норму sup Ihг(х)-h8(y)IX М уввести в нем норму sup Ihг(х)-h8(y)IX М угде с > 0 — некоторая константа. Условие (1.3.3) называется условием Гёльдера с показателем л. При п = 1 условие (1.3.3) превращается в условие Липшиц^. Пространство С"' и(0) становится "пространством, если
ввести в нем норму sup Ihг(х)-h8(y)I
X М у
ввести в нем норму sup Ihг(х)-h8(y)I
X М у
Через 丄尸(口) (где ° £ R + ) обозначим множество всех вещественнозначных измеримых функций / на 0, таких что ( |/(х) |р</0 < 8.
Здесь С7 = П С(П)・一Прим. ред.
m = О
Точнее, мы отождествляем элементы из 丄'(口)，которые почти везде (п. в.) равны на 0, и "(R) в действительности состоит из соответствующих классов экивалентности измеримых функций (две функции 力 и 历 эквивалентны, если 力一历=0 п. в. на 0). Для 1 & 尸 V 8
|/|p = (i |/(x)|W/₽(1.3.5)
Q
является нормой на 丄'・ С введенной таким образом нормой 丄'(口) становится B-пространством. Пространство 丄z(R) является //-пространством, в котором скалярное произведение задаётся формулой
Л) = jAArfQ.(1.3.6)
Говорят, что измеримая на 0 функция / в существенном ограничена, если |/(х) I & с и. в. на 0. Точная нижняя грань таких констант с обозначается ess sup |/(х) |. Векторное пространство всех классов х € Q
эквивалентности в существенном ограниченных на 0 функций обозначим через £°°(0) (две функции/i н 力 отождествляются, если 力一历=О п. в. на 0). Пространство Z°°(0) является В-пространством с нормой l/b = ess sup |/(х)|.(1.3.7)
Здесь везде имеется в виду мера Лебега на 0. Аналогично можно определить пространства Z*(R) (1 ^ р < оо) для произвольного пространства с мерой (0, 0, 〃)(см. [330, 337]).
Напомним, далее, неравенство Минковского:
|/1 + 历 |р & l/i I А + |Л |р» 1 & N V 8,(1.3.8)
и неравенство Гёльдера: если 力€ 丄叫R) и 产]1/r = l/弓 где р“ ^€ [1,оо], i=l, 2, ...,m, то/质…启 3(R) и
I flfl * • - fm I r ^ \f^\ Pl **• |Лп I pm'(1.3.9)
Если 1 &°&qW8 и mes 0 < oo, to £^(0) вложено в 丄“口). Более того» D(R) плотно в 〃(R) при 1 & 夕 v оо. Будем говорить, что р и р' являются (взаимно) сопряжёнными показателями, если
Д рх € [1, оо] И 1/尸 + l/pf = 1.
Пусть 1 ^ р < со. Тогда каждый непрерывный линейный функционал f на £р(0) имеет вид
("〉= €(/)= ®d(Q),(1.3.Ю)
где g€〃'(R). При 1《0<8 пространство [£р((2)]' изометрически
изоморфно и'(0) и потому можно писать [£尸(0)]' = 〃'(0). Следует заметить, что [£°°(fi)]z X L1^. При 1 v р V ℃ пространство £Л(0) является рефлексивным, а при 1《р V 8 — сепарабельным. Нам часто будут встречаться ограниченные последовательности в £°°(й)= =[Z?(a)]'・ В силу сепарабельности L】(S2), у каждой такой последовательности существует подпоследовательность, ♦ -слабо сходящаяся (см. п. 1.2.3) к некоторому элементу из £°°(й),
Пространства распределений
Линейные функционалы £ определённые на пространстве Р(Й), называют обобщёнными функциями или распределениями на Q. Таким образом, распределение / — это элемент пространства 乡'(S2), сопряжённого к Р(й). Значение Д^>) (обозначаемое также (/ з〉называется значением распределения / на пробной функции о Линейная форма на Р(й) является распределением тогда и только тогда, когда она удовлетворяет одному из следующих двух условий:
если последовательность '〃} с £)(0) сходится к нулю в топологии 0(0), то последовательность [(/ 少前 также сходится к нулю;
для любого компактного множества 0】U Я существует неотрицательное целое число т, такое что для всякой функции 修€£>必(0)
I (/ 61 Wc|[|,
где с > 0 — некоторая константа, а “| задана соотношением (1.3.2).
Говорят, что два распределения 力 н 段 равны на Q, если
(Л, 8 = (Л, 8 v^6P(fi).(1.3.11)
На 必'(0) вводится слабая топология, и тогда это пространство становится ОЛВП. При этом /* -*/ в 必'(0) тогда и только тогда, когда
(Л, 6 т 5 ⑴ V^6P(fi).(1.3.12)
Отметим, что если 人-* / в слабой топологии пространства 必'(0), то 力 т / также в сильной топологии 必'(0) (см. [337]). Классическим примером распределения служит распределение Дирака (или дельта-функ- 学紡)%; она определяется для % € 0 соотношением
^ 6 = d%) V 夕 € 50).
Функция 工 определенная п. в. на Q, называется локалъно^интегрируе- мо" (запись:/с 丄厶(0)), если/б L^fii) для любого измеримого множества Ri, для которого 01 содержится в 0. Всякой такой функции /
(
ИНВ № 33
НЕ БОЛЕЕ 1ЙКНИГИВ^5
(в частности, всякой непрерывной функции /) отвечает распределение / определённое по формуле
(Z 冉=\f屮dQV^6D(fl).(1.3.13)
Q
Она называется распределением, эквивалентным функции / Обычно не делают различия между функциями и отвечающими им распределениями (и говорят просто о распределении 工 опуская волну).
Если распределение эквивалентно локально-интегрируемой функции, то оно называется регулярным; в противном случае — сингулярным (таково, например, распределение Дирака). Сингулярные распределения часто записывают как обычные функции. Так, дпя/€0'(а) и wW_D(R) пишут
〈工冉=(1-3.14)
Q
Отметим, что в общем случае нельзя говорить о значении распределения в данной точке х
Важный класс распределений образуют меры. Мера / на О ——это непрерывный линейный функционал на пространстве С?(Я) непрерывных функций с компактным носителем в Я. Пусть ^ W С?(Я). Через (/ © обозначим значение меры / на функции Q его обычно называют интегралом от 少 относительно (или по) / Кроме обозначений (/ р) и /(w) используются также обозначения J ^“н，0(х)“(х). Простран
ство всех мер на 口 обозначается ^(Я). Примером меры может служить распределение Дирака. Другой пример — классическая мера Лебега. Будем говорить, что / является ограниченной мерой на R, если существует вещественное число с > 0, такое что
1(工 61 Wc^r “(х)| vxe C?(fl).(1.3.15)
Пространство всех ограниченных мер на 口 обозначим % !(fl). Оно является сопряжённым к пространству С?(0), если в последнем введена норма sup I 0(х) I ・ Пространство 接】(口) с нормой
l/Ul(0)= sup V ?,|少| = sup "(x)| , (1.3.16)
является нерефлексивным В-пространством.
Распределение / называется неотрицательным, если
(工冉 >0 v^>0, wW0(R)・(1-3.17)
Всякое неотрицательное распределение является мерой (см., скажем, [297]).
Произведение распределения /W 0' (R) н функции <p^D(^) определяется формулой
同 ©=(Z万办(1.3.18)
Произведение двух распределений, вообще говоря, не определено. Производная 7Р/ распределения / определяется соотношением
〈% G = (-l)g|〈工 小6・(1-3.19)
Она является непрерывным линейным функционалом на 2?(Я) и, следовательно, распределением на 口. Операция взятия производной распределения задаёт непрерывное линейное отображение 必'(R) в 或(R).
Отметим, что пространство Lp(fl) вложено в 0'(口)・ Пусть р и ，一сопряженные показатели. Легко видеть, что если /€^'(Й) и
I (Z ^ I &с“1"(з ”6(0),(1.3.20)
где с > 0 — константа, то /€ Lp(^).
Аналогично 必'(口)можно определить пространство распределений 0'(R”). Важным подпространством пространства 0'(R") является пространство распределений медленного роста /(К”)・ Обозначим через S(R") подпространство в。°°(1₽"), состоящее из всех функций £ таких что для любых а = (аь ..., ал) и 0 = (0,..., Зл)
sup lx?1 ...хй"!^ /(х)| < 8・
При наделении топологией, определяемой семейством полунорм
Р(/)= SUg I 尸(Х)2Г/(Х)|,(1.3.21)
где Р(х) — полином, S(R") становится ЛВП, в котором C°(IR") представляет собой плотное подпространство. Пространство S(IR") является пространством С°°-функций на R", быстро убывающих на бесконечности. Для любой функции / w S(R") определим её преобразование Фурье / по формуле
%)=工e -21r也 yg)d% dx^dxi...加, (1.3.22)
где (х;历 = S Xiji. Преобразсжание /^>/ является изоморфизмом S(R**> на себя. Обратное преобразование Фурье задается соотно- шедием
(1.3.23)(1.3.23)/(х) = { е2*^ ^/О)^ dy ^ dy\ ...dyn.
(1.3.23)
(1.3.23)
Сопряжённое пространство 丿'(R") представляет собой подпространство в ^Х^"). Оно называется пространством обобщённых функций медленного роста или пространством умеренных распределений. «Умеренное» распределение — это распределение, которое «не растет на бесконечности слишком быстро». Для умеренных распределений / можно определить преобразование Фурье / положив
〈N 6 = 5 0〉 V^€S(IRn).(1.3.24)
133。Пространства Соболева
Весьма важный класс В-пространств образуют пространства Соболева. Они оказались чрезвычайно удобным инструментом при математическом исследовании краевых задач.
Пусть 1 Wp W о© н /—целое число. Обозначим через 川。(口)пространство всех функций /€ Lp(0), обобщённые (или слабые) производные Daf которых до порядка / включительно также принадлежат Lp(Q)t т. е.
W1'^ = (/1/6 S(0), Dafw Lp(^t |a|《/}.(1.3.25)
Введём в этом пространстве норму
|/|/.₽= [, \D-f\^]l/p.(1.3.26)
Тогда 川 P(R) становится сепарабельным В-пространством (рефлексивным при р > 1). Ясно, что W°,p = Lpt Вложение »，「(О) в Lp(0) непрерывно, и для /1 > 4 Pi》N мы имеем 砍1* 口 С 川"・ Вообще говоря, 0(0)工俨"(口), за исключением случаев О = R” или Z = 0. Обозначим через замыкание D(Q) в 川"(0) относительно нормы (1.3.26). Это — замкнутое векторное подпространство в 川尸(口)，а потому В- пространство. Пространство 川 2(Я) (соотв. 渺 2 (0)) обычно обозначается Н1^) (соотв. /г(Я)), а вместо | • |；, 2 пишут просто | - |/. Отметим, что 2?(0) плотно в /^(О)). Норма | • | / превращает пространство 川(口) (соотв. /г (Я)) в гильбертово пространство со скалярным произведением
(伉 Л))/ = Z (小力，0%) ,(1.3.27)
о W |а| W /
где 伉无)= \ J\fid0 — скалярное произведение в L2(fl). В пространстве方(0) скалярное произведение
伉 Л)/= S 3fb 0a无)(1.3.28)
I « I = /
определяет норму I • I/, которая эквивалентна норме (1.3.26) (лемма Фридрихса). В /?(П)
l/l/ = ( S|巾|分"2(1.3.29)
есть просто полунорма. Функция /€川(口) со свойством 1/1； = О п. в. равна некоторому полиному от х степени ^ Z — 1. Все такие функции образуют замкнутое линейное подпространство 幽-i(R) в /^(О). Величина
111/Л1 =(1/1?+ |力分"2(1.3.30)
есть норма в 川电(/》1), эквивалентная обычной норме. Рассмотрим теперь факторпространство ^(П) = Н1^/^ г (Я) с нормой (см. (LL6))
|[/]|/ = inf|/-g|/, g€^_i(fl).(1.3.31)
Можно показать [41], что полунорма I/I； является нормой в пространстве Q‘(R), эквивалентной норме | [/] |/.
Пространства Соболева W1* ₽(П) могут быть определены и для отрицательных / (отрицательные порядки дифференцирования!). Пусть 1 W，W °°, 1 W /, 1/р + 1/,三 1. Через W~1,P，(^) обозначим пространство распределений / на & таких что
/= Z 0%, gaW"'(R)・(1-3.32)
I a I W /
Пространство W~lt ° (Я) для р' V оо является В-пространством относительно нормы
|/1-/,Р= sup毕产丄，(1-3.33)
где
〈工向=,S J ( -V)\a\gaDa<pdQ.
Можно доказать, что (%'"((!))' при р > 1 является пополнением L。(Я) относительно нормы (1.3.33) (где теперь w принадлежит 川匕 а не 淞 Р)и что для р > 1
(川"(С)у = %fh(C)・(1.3.34)
В случае р = 2 часто используются плотные и компактные вложения
中(С)и1?(С)иНТ(С).(1.3.35)
Теперь определим пространства _№(!₽") и /Г®), где s — произвольное вещественное число. Для этого воспользуемся понятием умеренного распределения. Пространство Соболева _№(!₽"), s w R — это пространство всех умеренных распределений / для которых произведение преобразования Фурье / на (1 + №)$々 является элементом из L2((Rfl). В /F(R") вводится норма
1/1 bg = 1(1 + I X I 2)'”(Х)I 2・(1.3.36)
Эта норма превращает №(^") в //-пространство. В случае когда $ — положительное целое, норма | • | 用偉*)эквивалентна обычной норме (1.3.26). Сопряжённым к пространству //*(!₽") служит №5(1₽л), и для целых положительных $ топология на Н* $(1₽"), определяемая нормой (1.3.36), эквивалентна топологии, порождённой нормой (1.3.33). Определим теперь пространства /Г(Я) для произвольного вещественного £ Для $W R+ будем говорить, что /€/Г(Я), если / есть сужение на 口 некоторого элемента / из _№(!₽")• Норма
|/|s = infSs(1.3.37)
где 7 = / п. в. на & превращает /Г(Я) в //-пространство. Если $ > л/2 + а (а — целое ? 0), то /Г(Я) С С”®), причём это вложение непрерывно. Обозначим через Я® (Я) замыкание 0®) в /Г(П) (где $ > 0). При s W 1/2. справедливо равенство "(R) = /Г(Я), а при $ > > 1/2 мы имеем 才$((!) с /Г(Я).
Можно показать, что при s > 1/2 для достаточно регулярных границ
力(0) = {/|/€ "(0),= 0, на Г дам о《/ < s -(1.3.38)
2
где М〃ЗМ — это j-я нормальная производная от / (в смысле теории распределений), определённая иа Г..
Далее, для s€R+ пространство Н~$(Р) определяется как сопряжённое к (Я*(0))z, т. е.
/г*(с)=(ri«(n)y.(1.3.39)
Семейство пространств /Г(1РЛ) для s € R доставляет пример шкалы гильбертовых пространств, удовлетворяющей условиям, указанным в п. 1.2.4. В качестве Я°(1РЛ) выступает пространство Z?(R"). Для пространств №(0) при любом целом положительном ^ можно построить шкалу гильбертовых пространств 阀心)}, которая для 05 N со
держит все пространства /Г(0). Норма в пространстве №(П) может быть выражена формулой
11/1 = ( 1/1； + S j I -LP1*^)1_Р°7(Х2)L,(1.3.40)
、/а 0|X]._ x21 л + 2 м/
где 5 = / + д, / — положительное целое, а 0 < /* < 1. Норма в 汉~'(口), $》0, определяется по формуле (1.2.5). Для произвольного ограниченного множества индексов пространства №(П) обладают свойствами (i) — (iii) шкалы гильбертовых пространств (см. п. 1.2.4).
Теорема о следе.
Вложения пространств Соболева
В рамках гильбертовой теории исследование неоднородных краевых задач для дифференциальных операторов на 口 приводит к необходимости рассмотрения следов функции /€ Н1^ и её производных на границе Г и соответственно к классу пространств Соболева на границе /Г (Г).
Мы лишь бегло наметим определение пространств №(Г) для s W R (см. [181, 231]). Рассмотрим вначале покрытие границы Г конечным числом открытых ограниченных подмножеств {(//}, у = 1, 2,..., р; затем соответствующее множество достаточно гладких отображений7
^j：Uj^ В = [у\у = [у\ Уп\^Кп9 уг ^Кп-\ \yf\<l9 |/п|<1),для которых обратное отображение 厂丿 существует и достаточногладко, и, наконец, разбиение единицы ®}, подчинённое этому покры-тию. Для всякой заданной на Г функции определим функцию 也(/) на
по формуле
也(/)0', о)= (&Г)6Г J&'，0)).(1.3.41)
Обозначим через №(Г) множество всех функций 工 таких что Wi(/) w/T(R" - I) для 1 W i W 叭 Это определение не зависит от выбора открытого покрытия, отображений W и разбиения единицы. Норма
H/IL.r = (NJ 吗(/)%*,『(1.3.42)
превращает №(Г) в //-пространство. Если 27°(Г) = £2(Г) — поворотное пространство, то
H-$T) = (ТГСГ))'(1.3.43)
для каждого swR. Можно показать, что С*Т) плотно в /Г(Г) при s > 0 н что вложения
/Г(Г) С £2(Г) С Я-5(Г)(1.3.44)
плотны и компактны.
Важную роль играет следующая теорема о следе для пространств Hl(Q), Пусть 7 — линейное отображение
а/ =卜力，7炉=% 1Г，第：0(0) -о(Г)，(1-3.45)
г
где z = 0,1,- 1. Тогда
'Если граница Г равномерно (/"-регулярна, то этн отображения должны принадлежать классу (см.⑵).
у, единственным образом продолжается (по непрерывности) до непрерывного линейного отображения, по-прежнему обозначаемого %, из 川①)на 川-"〔"(Г) (0 < / ^ / - 1); мы сохраняем обозначение "="J}，i = 0,1，…，7 - 1；
(ii))— непрерывный линейный оператор из 川(口)на П 川-…】〃^)；
всякому элементу g = ®} W П /^-'-"^(Г') можно сопоставить элемент g w Н^ так, что g -► g есть непрерывное линейное отображение из 丘 1 /^-"^(Г) в 川(口)и
/ = 0—
= О W Y/ - 1；(1.3.46)
ядром оператора)служит 庁(口).
Итак, можно записать
/У(Д) = [/|/€/^(fl),)j/=0, ow Y/ - 1}・(1.3.47)
Для простоты вместо W мы часто будем писать 8 勿а〃'|「(в смысле предыдущей теоремы о следе). Заметим, что аналогичные теоремы о следе имеют место и для других классов пространств Соболева (см. [2]). Упомянем здесь теорему о следе Гальярдо [108], согласно которой существует непрерывное линейное отображение следа 70 из 宀⑴)на丄1(t).
Наконец, отметим некоторые важные свойства пространств Соболева. Для «регулярных» R U R" имеют место следующие вложения7 (теорема вложения Соболева}, Пусть у > 0, /и > 0 и 1 ^ р < ».
Если тр < л, то
勿 + m"(a)U 加"(0) для 1 w q《一(1.3.48) л — тр
Если тр = % TG (1.3.48) выполняется для 1 ^ ^ < оо.
Если тр > п> (т - 1 )р (соотв. 〃 = (т - 1 )〃)，то
勿 + g Р((2) с а Х(Й) для О < X ^ /и - — (соотв. 0<Х< 1).
“(1.3.49)
Отметим также полезное вложение
/Г(а)С £₽(0) прн ^ =；-彳 > О, s》0.(1.3.50)
По теореме Реллиха — Кондрашова, при у > 0, m》1, 1 & < 8 справедливы следующие утверждения:
(Г) Пусть тр &п. Тогда вложение
^ + »>• ₽(й)с wj- «(Й)(1.3.51)
компактно, если п> тр и 1 ^ ^ < лр/(л - тр) или если л = тир и 1 W q V 8.
(ii‘)Если тр > л, то вложение (1.3.51) компактно для 1 W Q W °°・ (iii‘)Если тр > л, то компактно вложение
勿+ m，P(R)U。(0),(1.3.52)
а если тр >п^(т-1)риО<Х<т - м% то и вложение (1.3.49) тоже компактно.
Как теорема вложения, так и теорема о компактном вложении остаются справедливыми для произвольных 口 и соответствующих пространств W,
Наконец, напомним о компактности вложений
H$(R) U Н$ - а(й) Va > О(5€ IR)(1.3.53)
и
ЯЧй) С £2(Г).(1.3.54)
Систематическое изложение свойств пространств Соболева можно найти в [181; 2; 231].
L35 Пространство функций ограниченной деформации
В теории пластичности важную роль играет недавно введённое пространство 5_D(R) функций ограниченной деформации на fl С IRn (см. [304; 200; 314]). По определению, BD^ = [/|/= ｛川，yiez1^),
恭⑦= 4~S，j+力，DS%'(°)，仃=1，…，可・(1-3-55) Пространство 5_D(R) является нерефлексивным В-пространством с нормой
»/«ВР(а)= £ I川 i+ £ lley(/)«^(Q).(1.3.56)
i = I匕丿=I
Очевидно, %1」(口) с 50((2). Всякое распределение 工 для которого £(>(/) w〃i(R),力丿=1,..., % является элементом пространства
[七峥+1)(口)丁 Предположим, что Г является С^границей. HaBZJ(fl) имеет место следующая теорема о следе. Существует единственное сюръективное непрерывное линейное отображение ”： BD(^) -► [1?(Г)Г, такое что
то(/) =/|г”*50(а)П[С° (①『(1-3.57)
Вложение
BD(Q) С [ЬР(О)Г(1.3.58)
компактно при 1 W 〃 W м/(м - 1), а при р = л/(п - 1) непрерывно. Таким образом, для случая R U R* любая ограниченная последовательность в BD(^) имеет подпоследовательность, которая сильно сходится в и?(а)Г・
§ 14 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Элементы теории векторнозначных функций и распределений
Ниже рассматриваются векторнозначные функции, определённые на вещественном интервале [О, Т], Т < оо. Пусть X—банахово пространство. Говорят, что функция /: [О, Т] т X абсолютно непрерывна на [О, Т], если для любого £ > 0 найдутся 6(£)> 0 и натуральное 几 такие что
S 1/((7)—/(切I we
для всякого набора попарно непересекающихся интервалов (勺；§), удовлетворяющих условию
Z丨{/ 一 (/I Wз⑹。
Справедлива следующая теорема о дифференцируемости. Если X— рефлексивное В-пространство, то всякая абсолютно непрерывная функция /:[0, Т] т X почти везде дифференцируема на (О, Т); при этом
Л0= /(0) + j ^®dt> Q《t《T. (1.4.1)
Здесь производная (df/d 0(0 (называемая также сильной или обыкновенной производимой) от функции /:[0, Т}^ X——это, по определе-
нию, сильный предел разностного отношения
:出.(1.4.2.)
Обозначим через 0'(О 7? X) пространство всех непрерывных линей- 23 ных отображений из D(0T) в X. Элементы /W0'(OW X) называются Х-значными (нли векторными} распределениями на (О, Т). Для /€必'(0石 АЭ определим производную О®/ порядка а по формуле
〈屮 # = (-】)《 寫} v。£ £>(07).(1.4.3)
Обозначим, далее, через £р(07^ X) пространство всех (классов эквивалентности) Хзначных измеримых функций из [0, Т] в X, таких что
|“)|х"р(0Т), 1 WN&8.
Относительно нормы
1/1 £^(07； X)= ( ! 1/«) l&df) "о(L4.4)
оно является В-пространством для 1 ^ р < оо. При р = 8 £。(0工 X) будет В-пространством относительно нормы
1/1 £~(07； X)= ^$т『ир|/«)|х.(1.4.5)
Отметим, что 2/(07?七°(口))= £р((0Т) х Я).
Если X—гильбертово пространство, то и L2(07^ X) тоже становится гильбертовым пространством при наделении скалярным произведением
(Л,万)//(о；； х) = I (fD, fi(t))xdt.(1.4.6)
о
Если X——рефлексивное В-пространство, то £р(07^ X) при 1 < р < <ю также рефлексивно, а сопряжённое к нему может быть отождествлено с " (ОТ； X'), где рг——сопряжённый с р показатель. Если X нерефлексивно, то сопряжённым к нему служит 必 (0北 Xf). Здесь индекс w указывает, что 必(07? X') состоит из слабо (weakly) измеримый Функций £ таких что |/| ^р>^т, х7)< °0- Нам часто придётся иметь Дело с ограниченными последовательностями [Л! в £°°(07? X), где *—гильбертово пространство. Всякая такая последовательность со-
В том смысле что веществеииозиачиая функция t -► (/(0,力* измерима для любого
держит подпоследовательность, ♦ -слабо сходящуюся к некоторому элементу /о € L°°(07； X):
тт.
Id, 6xdtf I 伉，哈xdt Vow丄【(ОТ； X').(1.4.7)
оо
Каждой функции /€//(0北 X), где X—банахово пространство и ，》1, отвечает единственное распределение, снова обозначаемое через f, которое задаётся соотношением
〈工 6= L/V)df)力V°W0(O7).(1.4.8)
О
Если/wZ?(07； X), то функция F(f) = j f(t)dt п. в. дифференцируема на (0, Г) и0
-^(0=/(0п. в. на(0,Т).-^(0=/(0п. в. на(0,Т).(1.4.9)(1.4.9)
-^(0=/(0п. в. на(0,Т).
-^(0=/(0п. в. на(0,Т).
(1.4.9)
(1.4.9)
Далее, теорема Лебега утверждает, что
lim 4г ( /(0Л = /(0 п. в. на (0, Г).(1.4.10)
” т 01
5/^0Y
Пусть X—банахово пространство, т — положительное целое число и 1 买〃《 8. Введём пространство
吋"(07； X) = 5»外9(0工 X), 0《i《m].(L4.ll)
Обозначим через АСт, p(07J X) пространство всех Хзначных абсолютно непрерывных функций, у которых производные ^f/dt^ определённые п. в. на [0, Г], при 1《i《/и - 1 абсолютно непрерывны, а при 0 ^i ^ т принадлежат £0(07； X). Если / w 吋"(07； X), то существует функция/е ЛCm, p(PT, X), такая что
/(0 = 7(0 п. в. на (0, Т),(1.4.12)
и справедливо обратное утверждение. Пусть X и У—банаховы пространства, для которых в (1.2.22) имеют место плотные вложения. Рассмотрим пространство
仍，2(0" х) = {/|/€L2(07； X), Df^l}^T, X)}.(1.4.13)
Можно доказать, что существует функция jwAC，2(0Z X), удовлетворяющая условию (1.4.12). Поэтому Df может рассматриваться как производная df/dt от функции / Справедлива следующая теорема о непрерывности: любая функция /W 涉〔2(0?； X) из [0, Т] в У и. в. непрерывна, т. е. /W С°(07； У). Если 九无 W IF1,2(07； X), то функция
L〈/(f), Л(0)х абсолютно непрерывна на [О, Г] и
新〈力⑺，力（力х =《⑴,新〈力⑺，力（力х =《⑴,XX++/ d力⑺\di~-/ d力⑺\di~-
新〈力⑺，力（力х =《⑴,
新〈力⑺，力（力х =《⑴,
X
X
+
+
/ d力⑺
\di~-
/ d力⑺
\di~-
п. в. на (О, Т).(1.4.14)
Эта теорема показывает, что для указанных / имеет смысл начальное условие f = fa^Y при f = 0. Вот почему теорема о непрерывности играет важную роль при исследовании краевых задач динамики.
Элементы дифференциального исчисления
Пусть F:X -* У—нелинейный оператор» X и У—два В-пространства. Графиком оператора F называется множество
^(f) = {(^ j) I х € A； j € к у = F(x)].(1.4.15)
Пусть 夕一открытое подмножество в X. Будем говорить, что графики операторов 尸:夕т К F:夕т У касаются в точке №W© если
г I F(x) — F(x) I у
hm I 二 产=0.(1.4.16)
Мы ищем линейные функции, графики которых касаются графика нелинейного операторов данной тощее хь W С Существует не более одной линейной функции F\X т У вида F(x) = F(w) + L(x - хь), где L — линейное отображение, график которой касателен к графику Fb хь- Говорят, что отображение F:^-^ Y дифференцируемо по Фреше (или просто дифференцируемо) в точке к, если существует непрерывный линейный оператор из X в У, обозначаемый (dF/dx)(xo)t такой что график ^(F) касатела! в к к графику У (F) оператора F:X т У, определет- ного соотношением
F(x) = F(x0) + 爲^ (х0)(х - хо).(1.4.17)
Если оператор дифференцируем по Фреше в каждой точке ль С ^ то говорят, что он дифференцируем по Фреше на 歹 Величина (dF/dx)(xo)(x - ль) называется дифференциалом Фреше, а отображение (dF/dx)(x()):X-* У—производной Фреше в точке ль (последняя является элементом пространства L(X У)). Нетрудно проверить, что производная Фреше для постоянного отображения /(х) = с равна нулю, а Для непрерывного линейного отображения совпадает с ним самим.
Далее, пусть X—отделимое ЛВП, У—банахово пространство, 疗一открытое подмножество вХ 尸：夕 tXww 歹 Для всякого hwX
можно найти с > 0, такое что к + 从力 w 夕 при |д | < с. Допустим, что
lim I 世? + 号 - ％>)- F'(xo, 〃)I у = 0-(14.18)
Оператор 力一 戶'(№ 力)называется дифференциалом Пгто оператора F в точке к при приращении Л. Если предел в (1.4.18) существует для любого Л с AS то говорят, что оператор F дифференцируем по Пгто в точке Хо, и оператор 力一戶，俏，Л) называют дифференциалом Пгто в точке к. Это однородный по й оператор, т. е.
尸(К, a力)=af俏丿)VaWR.(1.4.19)
Если, кроме того, оператор h F' (хо, h) линеен и непрерывен по Л, то его можно записать в виде 尸‘俏)力.Тогда Ff(xo):X-* Y называют производной Гато отображения F в точке ль.
Если отображение F дифференцируемо по Фреше в ль, то оно ; дифференцируемо в этой точке и по Гато. Если производная Гато Ff существует и непрерывна в некоторой окрестности точки ль, то F дифференцируемо по Фреше в ль. В обоих случаях
嚣(Хо)=尸'(Хо).(1.4.20)
Предположим, что у функционала /:夕 т R существует производная Гато /'(ль) W來：Она называется градиентом / в точке ль и обозначается grad /(ль). Ясно, что
(grad /(х), й) =/(х + дй) V h WC 世£ R. (1.4.21)
U д= о
Оператор 必：夕一來；для которого существует функционал 工 такой что при каждом XW 夕
М(х) = grad /(х),(1.4.22)
называется потенциальным; а функционал / называется в этом случае потенциалом оператора ^(подробнее см. [324]).
Некотсфые дополштельные пшмтия я результаты
Ниже приводится ряд дополнительных определений и результатов, которые будут иногда использоваться в последующих главах.
Пусть X и У—два Я-пространства,戶一нелинейный оператор из % в К Будем говорить, что оператор F ограничен, если он переводит ограниченные множества в ограниченные. Если F переводит последовательности, слабо сходящиеся в X, в последовательности
сильно сходящиеся в К то он называется вполне непрерывным. Оператор 戶:Xi т К где Xi U X называется компактным, если он непрерывен и переводит ограниченные подмножества в Xi в относительно компактные подмножества в К Если X — рефлексивное В-простран- ство, то всякий вполне непрерывный оператор 戶 является компактным. Вполне непрерывные линейные операторы f:X -* К где X, У—гильбертовы пространства, всегда компактны.
Оператор 戶：Х-*Х', где X' — сопряжённое к рефлексивному В- пространству, называется псевдомонотонным, если
он ограничен;
для любой последовательности [/} € X такой что хп~^ хо слабо в X и lim sup(F(xn), хп — xj《0, выполнено неравенство
liminf (F(xn), xn - x) ^〈戶(№),№ - x) VxcX. (1.4.23)
Если I — тождественный оператор, X — банахово пространство, Л — непрерывный линейный оператор X X то множество всех вещественных чисел 入，таких что оператор А -入 / не имеет ограниченного обратного, называется спектром оператора Л и обозначается а(А). Если ker (4 — 入 /) Н 0 H 入 W ст(Л), то 入 называется собственным значением А. Всякий ненулевой элемент л € X принадлежащий кег (Л - X /), называется собственным вектором, отвечающим собственному значению X. Более общим образом, рассмотрим уравнение
/(х X) = 0, х W % 入 € R.(1,4.24)
Точка (ло, Хо) называется точкой бифуркации уравнения (1.4.24), если, во-первых, (Ло, Хо) лежит на кривой решений х = x(s),人= X(s) (где s — параметр), проходящей через (№ Хо), и, во-вторых* в любой окрестности точки (必 Хо) существует решение уравнения (1.4.24), отличное от (л (s), X(s)).
Наконец, приведём ещё некоторые результаты из теории пространств Соболева, играющие существенную роль при изучении задач на неравенства. Предположим, что О — открытое ограниченное связное подмножество пространства IR 3 с липшиц^ой границей Г. Рассмотрим на нём //-пространства [Z2(0)]3 и [№ (О)]3, снабжённые обычными нормами. Пусть £ =(£(/],力 / = 1, 2, 3, — симметричный тензор, определённый на [L2(Q)]6 соотношениями
£炉=£(/(〃)= ~~2 (w*. j ^~ ^j, i) V 〃 = k J W [У/1 (0)产.(1.4.25)
Далее, рассмотрим конечномерное подпространство
必=S DC [川(出]3, ] £ij(v)£ij(v)dQ к 0].(1.4.26)
Q
Всякая функция r W % представима в виде
г = r(x) = q + Ьлк a, bWR* xwO.(1.4.27)
Имея в виду деформируемое тело (теория малых деформаций), занимающее в иедеформированном состоянии объём 0, мы рассматриваем и как вектор перемещений, £ ——как тензор деформаций, г——как вектор перемещений твёрдого тела.
Приведём два важных неравенства.
Первое неравенство Корна. Пусть % — замкнутое линейное подпространство пространства [Я1 (О)], причём 匕)П0 = [0]. Тогда существует константа с > 0, такая что
j Eij(u)Eij(u)d0 > с II и И? Vu€ Ро,(1.4.28)
оз
где II • К1 — норма в [Я1 (О)]3, т. е. И 〃 II ；=邑 II 〃『廿.
Второе неравенство Корна. Существует такая константа с > 0, что j Eij(u)Etj(u)dQ + \u\l^c\u\] V и € [Я1 (fl)]3 ,(1.4.29)
где I iz 12 = ( , jj I 19 "2 — норма пространства [L2(«)J3.
Доказательства этих неравенств можно найти в [98].
Далее, на Г определены пространства (£2(Г)]3 и (Я1/2(Г)]3. Вложение (£2(Г)]3 О [Н"2(Г)]3 компактно и плотно. По теореме о следе для пространств Соболева можно для любого U W [Я1/2(Г)]3 найти (ие единственное) 〃£ [№(fl)]3, такое что7
Т(и) = (/ и II 〃 IL W ell U1I [川/2(门广，(1.4.30)
где с > 0 — константа. Кроме того2,
)(〃)=〃|「▼〃£【刀@)]3 .'(1.4.31)
Пусть о = [ay], Lj= 1,2,3,—— другой тензор (например, тензор напряжений). Векторные пространства
h =т 0 = {0加 otj =咖 6八七2(0)](1.4.32)
и
С = 8。€区 aUtj^L2^(1.4.33)
снабжённые соответственно нормами
|。山=[J wdfl]172(1.4.34)
I。| е = [ I OijOijdQ + J aij.jOik,久0]1〃，(1.4.35)
являются ^^пространствами. Обозначим через л 二(л,) орт внешней нормали к Г. Существует следовое отображение 7 W L(E, [Я-1/2(Г)]3), обладающее тем свойством, что для любого F^[H~1/2(Г)]3 можно определить oWE, такое что
7(a) = aij\rnj V о W [0@)Г ,
—г、n I I I m(L4.36)
)9) = Е |小 ^ с|Г|[Я-1/2(г)]з .
Здесь с > 0 — константа, а 歹一следовое отображение. Для любых а С Е и 〃€[//1(0)]3 справедлива формула Грина — Гаусса
J ay£y(v)dO + j aij,jVidQ = (v(ff)，v(v)) .(1-4.37)
Здесь 〈 •，•)——каноническая билинейная форма иа [Я-1/2(Г)]3 X х [№/2(Г)]3. Формула (1.4.37), называемая также обобщённой формулой Грина — Гаусса, легко получается продолжением по непрерывности из стандартной формулы Пжна — Гаусса для т W [£>(◎)]* Для этого достаточно принять во внимание, что [Z)(0)]6 плотно в Е (см., например, [13]). Из (1.4.37) следует, что если oW £, то 歹 <т однозначно определено как элемент [№/2(Г)]3.
Для простоты в настоящей книге мы часто опускаем 7 и 7 при записи следов, если это не может вызвать недо разумений.
Векторы U и 胤 определённые на границе Г, могуть быть разложены на нормальную и тангенциальную (относительно Г) составляющие Un、Ut и FN9 Ft- Очевидно, что если а € [Z.2(r)]3, то On = а^ ат - а ~ aNn. Сложнее случай a w [№/2(Г)]3. Предположим, что граница Г регулярна7. Положим
Нт = {v\ve [Я1/2(Г)13, Vim = 0 п. в. на Г).(1.4.38)
Для а € [№/2(Г)]3 отображение а т {〃》, 〃т} является изоморфизмом [№/2(Г)]3 иа №/2(Г) х Нт. В сопряжённых пространствах составляющие 〃育 и q个 однозначно определяются соотношением
S，а)=〈〃众 *i/2 +〈〃£ 喻нт Va€ [Я1/2(Г)]3,(1.4.39)
где (•, 力/2 и (-, •) Нг—канонические билинейные формы иа Я~ 1/2(Г) X №/2(Г) и Н分 X Нт соответственно. Отображение af -► [а^9 。丹 является изоморфизмом ((Я^)]3)' на Я-1/2(Г) х Нт. Существу-
ет непрерывное линейное отображение v^ (соотв.)丁)из [№(0)]3 на №/2(Г) (соотв. Нт), такое что
Тх(и)= 〃『I г И/, ути = u I г —)М〃)〃 V и € [Р(0)]3(1.4.40)
и
Т(и) = т^(w) + ут®V 〃 W [Я1 (О)]3 .(1.4.41)
Аналогично существует непрерывное линейное отображение 歹川 (соотв. 7т) из £ на Н~1/2(Г) (соотв. 77分，такое что
认(о)=的 I г W〃斤丁9) = ЕI М/}-亏n(o) пV а € [£>(0)]6(JL.4.42)
и
〈歹(о), S = еМ。)，U" 1/2 +〈^т(。)，U*$
VoW Z V UW [Я1/2(Г)]3.(1.4.43)
Пусть задана пара [Un, Ut\ С №/2(Г) х Нт (соотв. [Av,尸т} W W №/2(Г) х Н*、Тогда можно найти (не единственную) функцию и € [№(0)]3 (соотв. а С Е), такую что
)n(〃)= 5、7Г(и)二 Ut (соотв.认(о)=乐，斤К。)=尸丁)・(1.4.44) Отображения {Un、Ut] -* u и {反,&} т о непрерывны и линейны. Для любых т С Е и и € [//^О)]3 справедлива формула Грина — Гаусса I 7"%(u)dR + I iy,ji)id0 = (yv(t), т^(У)h/2 + GtO Тг(у))Ht . (1.4.45) В вышеприведенных формулах мы часто будем писать просто (., •〉 вместо〈 •，- )1/2 или (. , • )Нг если это не может привести к недоразумениям. Отметим, что указанные выше результаты можно обобщить на случай границ класса С0,1; в этом случае требуется незначительная модификация пространств Un в Ut [132].
Для и € BD(Q) формула Грина — Гаусса справедлива в следующем виде [304, 314]. Пусть
力(R( = 6 丁 = {例}, Tij = 丁施用 £ D®),力/ = 1,2, 3].
Тогда имеет место соотношение
{ Ttjd£у(т) + 5 TijtjVidQ
=J (уо v)iTi/njdrV т С ^(Я) V и С BD(0).(1446)
г
Если S — некоторая поверхность, делящая R на два непустых множества 0+ и 0-, то существуют два непрерывных линейных отображения 7+ и 7- из BD(Q) на [L7(s)]5, такие что для т W 方面)и для функций у с supp у с 0
J Tij,jViBQ + J Tijd£ij(v) = J(v_ v)iTijnjds v v € BD®, (1.4.47) 1-Q-S
j Tij,jVidQ + j TijdEij(v) = J(v+ v)iTijnjds V v € BD(Q). (1.4.48)
Функции)+ d u)_ j называются соответственно внешним следом ивнут- ренним следом функции * на S относительно 0. Если v€ С°(0), то y+v = 7_v = u|s, нов общем случае эти два следа не равны. Если р —— непрерывная полунорма на 5D偿),являющаяся одновременно нормой на 缢 то норма
(1.4.49)(1.4.49)III W III = 〃(〃)+ 纟 II £ij(u) II “(R)
(1.4.49)
(1.4.49)
/ = 1
эквивалентна исходной норме (1.3.56) [314].
ГЛАВА 2
Элементы выпуклого анализа
В настоящей главе приведены некоторые понятия и основные результаты выпуклого анализа, используемые в дальнейшем изложении. Вначале определяется понятие выпуклости, затем сообщается ряд сведений о выпуклых и полунепрерывных снизу функционалах, а также о минимизации функционалов на выпуклых множествах. Вводится понятие суб дифференциала и описывается его связь с понятием односторонней дифференцируемости по Гато. Далее следует определение сопряжённого функционала и некоторые теоремы об операции сопряжения. Глава завершается изложением элементов теории максимальных монотонных операторов. Особое внимание уделено максимальным монотонным операторам на IR, поскольку они позволяют записать в компактной форме основные классы вариационных неравенств. Выясняется также связь между выпуклым анализом и теорией вариационных неравенств.
Изложение в этой главе основано главным образом на статьях Дитера [69], Фенхеля' [95], Моро [209] и Моско [215; 216], а также на монографиях Ауслендера [15]-, Барбу и Прекупану [17], Брезиса [29], Экланда и Темама [91], Рокафеллара [288; 289] и Янга [338].
§ 2.L ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИОНАЛЫ
Определения
Пусть X—отделимое ЛВП и К — подмножество в X. Напомним, что К называется выпуклым^ если
Xxi + (1 —入)%2 W К(2.1.1)
для всех XiWK, XzWKu 0 < X < 1 (рис. 2.1.1). Все линейные подпространства пространства X (включая само X) выпуклы. Условимся пус-
тое множество 0 также считать выпуклым. Характеристическим свойством выпуклых множеств является то, что вместе в любыми двумя точками Xi и & они содержат весь отрезок, соединяющий эти точки (рис. 2.1.1). Любое пересечение выпуклых множеств выпукло; для произвольного объединения выпуклых множеств это уже не так. Пусть дано произвольное множество Ki С X. Совокупность всех конечных линейных комбинаций Е笳х% xt^Ki, z = 1, 2, ..., л, удовлет
воряющих условию 2 X/ = 1, называется аффинной оболочкой множества К・ Если дополнительно потребовать, чтобы выполнялось условие X/ ^ 0, / = 1, 2, ..., л, то получающееся множество называется выпуклой оболочкой множества Ki и обозначается со Ki. Это — наименьшее выпуклое подмножество в X, содержащее К. Точка х^К\ называется относительно-внутренней точкой множества Ki, если она является внутренней точкой К\^ рассматриваемого (топологически) как подпространство своей аффинной оболочки. Множество всех относительно-внутренних точек множества К\ называется его относительной внутренностью и обозначается rel int Ki. Особый интерес представляют выпуклые конусы. Множество KU X называется конусом, если вместе с любой своей точкой х оно содержит точки Хх для всех 入》0. Конус К является выпуклым, если Xi + Х2^ К для любых Xi WK、x?W К.
Вещественнозначный функционал /: K—R называется выпуклым (соотв. строго выпуклым) на К, если для любых Xi € К, Хг^К и 0 < X < 1 справедливо неравенство
/(Xxi + (1 -入)％2)W (соотв. <)X/(Xi) + (1 - Х)/(Х2). (2.1.2)
Геометрическая интерпретация этого определения дана на рис. 2.1.2. Функционал / называется вогнутым (соотв. строго вогнутым), если -/является выпуклым (соотв. строго выпуклым). Линейные функционалы одновременно и вогнуты, и выпуклы, но не строго. Определение
Рис. 2.1.2. Геометрический смысл определения выпуклой функции.
выпуклости, данное в (2.1.2), можно обобщить таким образом, чтобы охватить случай выпуклых функционалов^ принимающих и бесконечные значения. Такой функционал f: К называется выпуклым на К, если неравенство (2.1.2) выполнено для любых Xi W К, и & € К, для которых правая часть этого неравенства имеет смысл. Очевидно, что эта правая часть не определена, если /(xi) = -/3) = ± 8. Поскольку допускаются выпуклые функционалы, принимающие бесконечные значения, можно ограничиться рассмотрением функционалов, определенных на всём пространстве X. Действительно, если /: К-> R — выпуклый функционал на К, то можно определить его выпуклое продолжение / на X, положив Дх) = /(х) для х^К и Дх) = оо для К.
Каждому выпуклому множеству К можно сопоставить выпуклый функционал 厶：灰，задаваемый формулой
/к(х)=Г при(2.1.3)
(00 при х《К
и называемый индикатором (или характеристической функцией} множества К, Пусть /: Х-* 灰一выпуклый функционал. Тогда множество
((х, Х)1/(х) СХ,入 €R, х€Х}(2.1.4)
называется надграфиком / и обозначается epi / Нетрудно проверить, что эквивалентное общее понятие выпуклости получится, если под выпуклым функционалом понимать функционал, для которого epi/является выпуклым множеством в X х R.
Эффективная область определения £>(/) выпуклого функционала / на X определяется соотношением
D(f) = {xlxWX, /“)V 8},(2.1.5)
Функционал / называется собственным, если /: Х->(-8, + оо] и /壬 оо. Если /— выпуклый функционал, то и функционал М (X》0) тоже выпуклый. Если /1 。走——выпуклые функционалы, то и их сумма 力+犬 тоже выпукла (мы принимаем, что (Л + 力)(х) = -°°> если /1(х) = -6(%) = ±«)..
Полунепрерывные снизу выпуклые функционалы
Дадим теперь определение полунепрерывных снизу (соотв. сверху) функционалов (ср. с и. 1.1.1). Функционал /: Х~^^ X - {気 Т} называется полунепрерывным снизу (п.н.сн.) на X, если для любого 入 € R множество
{х\хеХ, /(х) WN(2.1.6)
замкнуто в X. Функционал / называется полунепрерывн ым сверху (п.н.св.), если функхщонал —f п.н.сн. Из этих определений следует, что функционал /: X т 灰 п.н.сн. (соотв. п.н.св.) на X тогда и только тогда, когда
lim inf f(x^》/(х) vx € X,(2.1.7)
(соотв. lim sup/(xn) ^/(x) YxWX)(2.1.8)
发T X
для любой последовательности {/}, сходящейся к точке х в ^топологии пространства X? Если условие (2.1.7) (соотв. (2.1.8)) выполнено в данной точке х, то / называется п.н.сн. (соотв. п.н.св.) в этой точке Свойство полунепрерывности снизу функционала / тесно связано с замкнутостью множества epi / Справедлив следующий результат: Предложение 2.1.1. Функционал /: Х~> 灰 полунепрерывен снизу тогда и только тогда, когда множество epi/ замкнуто в X х R
Это утверждение легко следует из того наблюдения, что / п.н.сн. тогда и только тогда, когда функционал F(x, а) = /(х) - а п.н.сн. на X х R. Подробное доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.
Пусть X——отделимое ЛВП с топологией 驾 согласованной с двойственностью между Zu 团，(см. (1.2.7)). Следующее важное утверждение часто используется при доказательстве теорем существования:
Предложение 2.L2. Выпуклое подмножество пространства X, замкнутое в топологии 驾 замкнуто и в любой другой топологии, согласованной с дв ойств енностью между 2。纱
Доказательство. В силу теоремы Хана — Банаха любое замкнутое выпуклое подмножество пространства X представимо как пересечение всех содержащих его замкнутых полупространств. Но замкнутые аффинные гиперплоскости и замкнутые полупространства одни и те же для любой топологии Т в X согласованной с указанной двойственностью. □
В нормированном ВП выпуклое множество замкнуто (в нормированной топологии) тогда и только тогда, когда оно слабо замкнуто. Из этого утверждения и предложения 2.1.1 вытекает следующее интересное свойство выпуклых п.н.сн. функционалов /: 欣：
Предложение 2.1.3. Если выпуклый функционал / п.н.сн. в топологии 7； он п.н.сн. и в любой другой топологии, согласованной с двойственностью между 纱 и 纱
В нормированном векторном пространстве X функционал /: X—灰 п.н.сн. (на X) тогда и только тогда, когда он слабо п.н.сн.
Функционалу / мы сопоставляем его надграфик ер" а всякому множеству К можно сопоставить его индикатор 1к・ Легко показать, что К замкнуто тогда и только тогда, когда его индикатор п.н.сн.
Отметим ещё два свойства непрерывных выпуклых функционалов (доказательства можно найти в [17; 91]).
Предложение 2.1.4. Выпуклый функционал /: X—fR является собственным и непрерывным на множестве int D(f) К 0 тогда и только тогда, когда у некоторой точки хь € X найдётся такая окрестность F, что /(х)壬一8 на 戶 и /(х) V а V 8 W 戶(〃 w R).
Предложение 2.1.5. JB банаховом пространстве X выпуклый п.н.сн. функционал /: X -* R непрерывен на множестве int £>(/).
§ 2・2・ МИНИМИЗАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
Существование минимума
Как мы сейчас покажем, понятие выпуклости играет существенную роль в задачах оптимизации.
Рассмотрим задачу минимизации выпуклого функционала / на выпуклом множестве К С X, где X—отделимое ЛВП. Требуется найти точку Хо, такую что
/(Хо) = inf{/(x)lx€K}三 inf /(х).(2.2.1)
К
Если в точке xq^K функционал / достигает своего инфимума на К, то можно написать
/(хо) = min{/(x)lxwK}三 min/(х).(2.2.2)
Любая точка хь, удовлетворяющая (2.2.2), называется решением задачи оптимизации.
Пусть К—непустое выпуклое замкнутое подмножество в X, /: К-> 灰 ——выпуклый п.н.сн. собственный функционал. Очевидно, что / можно продолжить на всё X, поэтому задачу (2.2.2) можно ставить на всём пространстве X. Следующее предложение, являющееся одним из фундаментальных результатов в теории оптимизации, даёт условия, гарантирующие, что / достигает своего минимума на К.
Предложение 2.2.1. Пусть X—рефлексивное банахово пространство с нормой 1Ы1. Если
Нш/(х) = оо при 11x11 -* оо, xWK U X、(223)
или
множество К ограничено,(2.2.4)
то задача (2.2.2) имеет хотя бы одно решение. Если, кроме того, /— строго выпуклый функционал, то это решение единственно.
Доказательство. Пусть {хп}—какая-либо минимизирующая последовательность для 工 т. е. Хц£К Рп и
/(*) = inf/(х) = /•(2.2.5)
Очевидно, что - оо ^ / < оо. Далее, из (2.2.3) следует, что 11*11 W с, где с — некоторая постоянная. Действительно, если бы это было не так, то у последовательности {修} нашлась бы подпоследовательность {/，}, такая что Ux〃 J -> оо при 〃'-> оо. Но тогда мы имели бы /(%，) ~* оо
и, следовательно, / = 8. Аналогично последовательность {х„) ограничена в случае, когда вместо (2.2.3) выполнено условие (2.2.4). Но в рефлексивном банаховом пространстве из любой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность (обозначим её снова {/，}), слабо сходящуюся к некоторой точке MwX (ср. с п. 1.2.3). Множество К замкнуто и выпукло; следовательно, оно также слабо-замкнуто (см. п. 2.1.2), и, значит, хе К. Как выпуклый п.н.сн. функционал / слабо полунепрерывен снизу на К, поэтому
/(х)《lim inf/(/,).(2.2.6)
〃'-* 8
Следовательно, в силу (2.2.5),
灰 W 4(2.2.7)
откуда следует, что / К - 8 и х = хь. Пусть теперь /— строго выпуклый функционал и Xi, %2 ——два различных решения задачи (2.2.1). Тогда (% 4- %2)/2 W К, и в силу строгой выпуклости / справедливо неравенство
/ 6 (Xi + Х2)) < I (/(Х1) + У(Х2)) = mf,/(x).
Следовательно, Xi = Хг. 口
Из выпуклости и полунепрерывности снизу функционала / следует, что решения задачи (2.2.2) образуют замкнутое выпуклое подмножество пространства X* Если выполнены условия предложения 2.2.1, то это множество непусто.
2・2・2・ Вариационные неравенства
В этом пункте будут получены некоторые вариационные неравенства, эквивалентные условию (2.2.1). Пусть X—отделимое ЛВП и <-,•> — каноническое спаривание.
Предложение 2.2.2. Пусть / =力 + 欠一собственный функционал, причём/i и ft выпуклы и п.н.сн. на К. Предположим, что на X существует grad/i，Для любого XoWK следующие утверждения равносильны:
/(№)= inf/(x),(2.2.8)
<grad /1 (хь), х - хь> + 欠(x) - 欠(xo)》0 Vx W К,(2.2.9)
<grad/i(x), x - x0> +欠(x)—吴(%。)》0 VxwK.(2.2.10)
Доказательство. Положим Х] = (1 - Х)хо + Хх,入 W (0, 1). Из (2.2.8) ввиду выпуклости ft следует, что
/(Хо) W /(Х：) W /1(X1) + (1 -入)犬(Хо) + №8 Vx € К, (2.2.11) или
I [/1((1 -入)X0 + Хх) -/1(хо)1 + 犬(Х) — £(хо)》О Vx & К. (2.2.12)
Устремив здесь 入 к нулю, получим (2.2.9). Обратно, из (2.2.9), используя известное неравенство7
/1(х) -/1(хо)》<grad/i(x), х - хь> VxWK,(2.2.13)
получаем
/(х) - /(хо)》0 Ухе К,(2.2.14)
что эквивалентно (228). В силу выпуклости 工 справедливо условие монотонности
<grad/i(x) 一 grad/i(x0), х - хо> > 0.(2.2.15)
Складывая (2.2.15) с (2.2.9), приходим к (2.2.10). Пусть теперь выполнено неравенство (2.2.10). Возьмем в нём х = (1 - Х)хо + Ххь Xi WK, Хе (0, 1). Из выпуклости ^ следует неравенство
(grad/1((1 — Х)хь + Xxj), Xi — хь> +6(xi)—方(加)》О VX)WK.Q.2.16)
Положив
无G) =/1((1 —入)хо + Mi) + X(^(xi)—欠(хь)),(2.2.17)
получим выпуклый функционал X -> й(Х), причём 力'G) = <grad/i((l - Х)х0 + 務)，Xi - хь>
+ Л(х0 -Л(хо) ^ О VX €(O, 1].(2.2.18)
Таким образом, справедливо неравенство й(1)》й(0+). Из него вытекает (2.2.14), а значит, и (2.2.9). □
В [300] показано, что и в тех случаях, когда grad 工(х) не существу- 叭 можно указать два вариационных неравенства, эквивалентных (2.2.8) (см. также [66]).
'Каждое из соотношений (2.2.13) и (2.2.15) является необходимым и достаточным Условием выпуклости функционала /: К -> R если grad/ существует на К (см. [91]).
§ 23 СУБДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСГЬ
3.1. Определения и основные результаты
Если функционал / дифференцируем, его дифференциальные свойства могут быть описаны с помощью гиперплоскостей, касательных к графику / В случае когда / ——выпуклый не обязательно дифференцируемый функционал, его дифференциальные свойства можно описать с помощью опорных гиперплоскостей к надграфику 工 что очевидно в одномерном случае (для/: R -> 灰)).Это приводит к понятию субдифференциала, обобщающему понятие классического дифференциала.
В данном параграфе мы предполагаем, что X—отделимое ЛВП, X' —сопряжённое к нему, <•,•> — каноническое спаривание X с Xf и /: Х-> 辰.Всякий вектор х' W X* для которого выполнено неравенство
/(^1) - /W > <х\ Xi - х> VX] € X,(2.3.1)
называется субградиентом функционала / в точке х W X (предполагается, что значение f3 конечно). Множество всех х' W X', удовлетворяющих (2.3.1), называется субдифференциалом функционала / в точке х и обозначается df(x). Условие (2.3.1) можно записать так:
х' W〃a).(2.3.2)
Множество D(df) = {х I df(x) Н 0} называется областью определения 亚 Многозначное отображение df: Х-*Х' будем называть субдифференциалом функционала /
Определим аффинную функцию £ соотношением Z(x)) =f(x) + <х\ X] -х〉Vxi W Х・ Она задаёт гиперплоскость, называемую опорной к надграфику функционала / в точке (х, /(%))• Из (2.3.1) видно, что для тех х, в которых /(х) конечно, опорная гиперплоскость к множеству epi/в точке (х, /(х)) не является «вертикальной». Если 办(х) н 0, то/называется субдифференцируемым в точке х. Из (2.3.1) непосредственно вытекает, что необходимым и достаточным условием того, что хь есть точка минимума функционала / на X, является включение
OW“(xo)・(2.3.3)
Это объясняет роль субдифференциала в теории оптимизации. Ниже приведены некоторые свойства суб дифференциалов.
Предложение 2.3.1. Множество df(x) выпукло и замкнуто в топологии ?(纱\ ”
Доказательство. Если "(%) = 0 или "(%) = {х* ], xz € X\ то наше утверждение очевидно. Пусть х/, Х2 € У(х). Из (2.3.1) следует, что М； + (1 -入)х£ € ЭДх) V入 € (0, 1), т. е. df(x) — выпуклое множество. Предположим, что "(%) не замкнуто в топологии £(①'，
N), и пусть %о 4 办(х) — предельная точка множества 办(х). Можно подобрать вектор Xi € X, такой что
/(xi) - /(х) < <xj, ди - х>.(2.3.4)
Так как функционал <•» %i - х> непрерывен в топологии Е(^\ ^), то у точки х； существует окрестность F、такая что (2.3.4) справедливо для всех х' ^ Е Таким образом, FQ df(x) = 0, а это противоречит предположению, что xj — предельная точка множества "(х). 口
Следующие два предложения дают достаточные условия существования субднффе- ренциала выпуклого функционала.
Предложение 2.3.2. Пусть /: Х~> 辰一выпуклый функционал, конечный и непрерывный в точке хо € X. Тогда 炉(ль) К 0 •
Доказательство. В силу непрерывности функционала / при х = хь, точка (ль, /(ль) + е) € int epi / для всех е > 0. Точка (ль, /(ль)) является граничной для выпуклого множества epi / По теореме Хана — Банаха существует замкнутая аффинная гиперплоскость 逐 проходящая через точку (хь, /(ль)) и отделяющая (хь, /(№)) от множества int epi / Пусть Л^ задаётся уравнением
《х', х〉4- а'а = b, х€ X, х' W X', а, а', b W R,(2.3.5)
где
<х\ х〉4- а'а》Ь V(x, а) € epi/(2.3.6)
и
《X', №〉+ а^^ = Ь.(2.3.7)
Число а' отлично от нуля, т. е. гиперплоскость Л^не является «вертикальной». Действительно, если бы а' = 0, то в силу (2.3.6) и (2.3.7) мы имели бы <х - ль, х'〉》0 кх £ D(f) и, следовательно, х' = 0, что невозможно. Таким образом, а' > 0. Из (2.3.5—7), поделив на а* получаем
/(х) — /(№)》〈一 + , х — м) Vx€ X,(2.3.8)
т. е.
——€ 岁<№),(2.3.9)
а это и означает, что 办(№)# 0. □
Можно усилить этот результат:
Предложение 2・3・3・ Если выполнены предположения предложения 2.3.2, то df(x) К 0 для всех х€ int D(J),
Доказательство. Так как функционал / конечен и непрерывен в точке -^о, то по предложению 2.1.4 у точки ль найдётся окрестность, в которой
он не равен тождественно - оо и ограничен сверху некоторой постоянной а V 8. Таким образом, / конечен и непрерывен на int £>(/). Для завершения доказательства остаётся применить предложение 2.3.2. □
Представляет особый интерес частный случай выпуклых функционалов f ~ 1к9 где 1к — индикатор (см. (2.1.3)) непустого выпуклого множества К в отделимом ЛВП X. В этом случае для х£К
д1к(х) = {к 1厶(占)-1к(х)》《к, Xi 一 х> VM WX}, (2.3.10) или, что то же самое,
д1к(х) =(Xх I <xz, Xi - х> 0 Vxi WK}.(2.3.11)
Геометрический смысл вариационного неравенства
《к, Xi - х> 0 Vxi € К, xwK(2.3.12)
заключается в том, что вектор х' является внешней нормалью к множеству К в точке х. Совокупность всех векторов х', удовлетворяющих условию (2.3.12), образует внешний нормальный конус к множеству К в точке х. Этот конус
пуст для х《К,
содержит по крайней мере нулевой элемент для х^К,
состоит из одного нуля для % W int К
(см, [213, 288]).
Понятие субдифференцируемости тесно связано с понятием односторонней дифференцируемости по Гато. Эта связь дает возможность конструктивно описать субдифференциалы выпуклых функций.
3.2. Односторонний дифференциал Гато по направлениям
Пусть X—отделимое ЛВП. Будем говорить, что функционал /: X -> 辰 односторонне дифференцируем (по Гато) по направлениям в точке Хо, если для любого 无 W X существует предел
lim &)上匣)二/出=戶(x。，»•(2.3.13)
Отметим, что в качестве пределов в (2.3.13) допускаются значения ч-оо и - оо. Величина /х (х0, й) называется односторонним дифференциалом Гато функционала / в точке хь при приращении й. Если /* (х0> Л) = -/' (хь, -й) vA € X, то / является дифференцируемым (по Гато) в точке хь по направлениям. Легко показать, что 户(хь, й) — выпуклая
положительно-однородная функция от й. Одно из важнейших свойств выпуклых функционалов их односторонняя дифференцируемость по направлениям [122, 288]:
Предложение 2.3.4. Пусть /: Х-> 辰一выпуклый функционал. Тогда / односторонне дифференцируем по направлениям во всякой точке х € X, где Лх) К ±8.
Доказательство. Очевидно, что для любого Л разностное отношение в (2.3.13) не убывает, на полуоси 0 < ^ < 8. Следовательно, предел в (2.3.13) существует, причём
产(х, 〃)= inf ** + 吻二/⑴.□(2.3.14)
儿:>0出
Предложение 2・3・5・ Для всякого выпуклого функционала /: X -> & в точках, где /(х) К ±8, выполнены неравенства
/8)-/(х)》/8 М т) VxiWX,(2.3.15)
Jf (х, Xi — х) —ff (х, —(Xi 一 х)) Vxi W X.(2.3« 16)
Доказательство. Положив в (2.3.13) Л = Xi - х, 0 < ^ ^ 1, получим (2.3.15). Из выпуклости / следует, что
产(х, Х1 - х) = Нт "* + “8 - »)一 *" w/g) - /(Х).(2.3.17)
Чтобы, устддовить (2.3.16), достаточно показать, что
+ 助)-/(Х) + /(" - №0 - /(х) 2 0 Vzi w X (2.3.18)
для ^ > 0. Действительно, положив Л = Xi - х и перейдя к пределу при 川 т 0, придем к (2.3.16). Неравенство (2.3.18) получается из (2.1.2) при X] = х + дА, Х2 — х — fih ц Л = 1/2. □
В одномерном случае (/: R -> 任)неравенства (2.3.15) и (2.3.16) имеют простой геометрический смысл (см. рис. 2.3.1).
Связь между субдифференциалом выпуклого функционала и его односторонним дифференциалом Гато по направлениям ясна из следующего предложения.
Предложение 2.3.6. Пусть /: Х-> 辰一выпуклый функционал и /(хь) К ±8. Если х' € df(xd), то
Г(Хо,Л> Yh£X,(2.3.19)
2.3.1. Геометрический смысл неравенств (2.3.15) и (2.3.16).2.3.1. Геометрический смысл неравенств (2.3.15) и (2.3.16).
2.3.1. Геометрический смысл неравенств (2.3.15) и (2.3.16).
2.3.1. Геометрический смысл неравенств (2.3.15) и (2.3.16).
Рис.
Доказательство. Это неравенство получается» если в определении субградиента (2.3.1) положить Xi = х 4- ХЛ, X > 0, и перейти к пределу при 入 т 0 +. □
Этот результат можно усилить:
Предложение 2.3.7. Пусть /: X т 欣一выпуклый функционал, ограниченный в некоторой окрестности точки хь € X. Тогда
/'(хь, Л) = max {《х‘，h}\xf €дУ(хь)) ▼〃 €Х.(2.3.20)
Доказательство. Из предложения 2.1.4 следует, что / непрерывен в точке 的.Легко проверить, что для любого 人》0 точка (的 + АЛ, /(的)+ \7，(的，й)) принадлежит int epi/ Для любого фиксированного Хо > 0 найдётся замкнутая аффинная гиперплоскость а проходящая через точку (為，d) = (ль + Хо九 〃&) + 儿/'(的，й)), отделяющая int epi / от этой точки. В случае Хо = 0 получим (2.3.9). Если же Хо > 0, то
<х', £о -的〉+ а'(М - а)《0(2.3.21)
для всех (的,а) € epi/ Полагая а = 〃&) и учитывая, что а' > 0, заключаем на основании (2.3.21), что
〈一х'/。'，й>》/'(%, й).(2.3.22)
Из (2.3.22) и (2.3.19) следует (2.3.20). □
Доказанные два предложения позволяют просто описать множество df(x) в одномерном случае. Нетрудно видеть, что для /: IR -► IR точка х‘，принадлежит df(x) в том и только в том случае, если х‘ есть тангенс угла наклона невертикальной прямой, проходящей через точку (хь, /(х0)) и не пересекающейся с int epi / Положим /z(x, 1)= = /"(х), /Х(х, -1) = -fL (х). Это соответственно правосторонняя и левосторонняя производные в точке х. Очевидно, что
U) С </；(х).
Пусть f— выпуклый П.Н.СН. собственный функционал на R. В этом случае можно определить правостороннюю и левостороннюю производные /； , /1 и для x《D(J), положив /；=/!=» (соотв. -8)для точек, лежащих справа (соотв. слева) от множества D(f). Тогда для /: К —代 можно написать
df(x)= (x'C^I/LCxXx' W/1(x)}・(2.3.23)
Для право- и левосторонних производных выпуклого функционала на R справедливы следующие два предложения:
Предложение 2.3.8. Пусть /——выпуклый п.нхн. собственный функционал на R Тогда функции /； и fL не убывают на fR и принимают конечные значения на множестве int D(/), и если Xi < х < хг> то
/； (Xi) W /-(х) W /； (х) W 几(х2).(2-3.24)
Доказательство. В силу предложения 2.3.4 производные /+ (х) и fL (х) существуют для всех xeD(f)t и fL (х) W/I(x)・ Конечность производных /+ и 广 на int D(f) следует из монотонности разностных отношений, определяющих соответственно правостороннюю и левостороннюю производные. Если Xi < Хг и “ Хг € D(f), то неравенство /+ (xi) W/二(хг) очевидно. Если же Xi, Хг QD(f), то это неравенство выполнено по определению. □
Предложение 2.3.9. Пусть /——выпуклый п.нхн. собственный функционал на R Тогда для всех х справедливы предельные соотношения
现 /； (z) = /； (х), z吧 A (z)=广(х).
Доказательство. Из (2.3.24) вытекает, что функции А и 厂 не убывают и
/； (х) w Нт 几⑵ W lim /； (z)・(2.3.25)
z^x+z^x+
Но, в силу предложения 2.1.5, lim /⑵=/(x). Если x, Xi QD(f), то до- казываемое утверждение очевидно. Если же х, Xi €D(/) и х < Xi, то /(^1)- /3 lim /(xi) — /⑵％
—=lim 》hm /+ ⑵(2.3.26)
Xi — XХ\ Z
и, следовательно,
lim/；⑵ W lim 竺一一于=八(x).(2.3.27)
Соответственно lim A (z) = f+ (x). Второе равенство доказывается аналогично. □+
Теперь предположим, что на R задана функция 8, удовлетворяющая условию
/L(x) W 6(» W/I (х) vxe R.(2.3.28)
Из (2.3.24) следует, что 8 — неубывающая функция. Далее (предложение 2.3.9),
8+ (х) = lim 8(z) = /； (х), 8- (х) = lim 8(z) = /二(х).(2.3.29)
Из этих соотношений и из (2.3.23) вытекает, что 8 (соотв.管 полностью определяет 川' (соотв. 8)・ Таким образом,
次0=卜€r丨8-(X)С W6+(x)}.r(2.3.30)
В заключение рассмотрим случай, когда субдифференциал состоит из одного-единственного элемента.
Предложение 2.3.10. /: X—R — выпуклый функционал. Предположим, что в точке х существует grad /(х). Тогда 办(» = (grad /(х)). Обратно, если функционал / конечен и непрерывен в точке х и dfa состоит из одного-единственного элемента, то существует grad /(х) и /х) = (grad/(x)).
Доказательство. Из известного неравенства
/(Х1) - /(х)》<grad/(x), Xi - х> VX1 € X(2.3.31)
следует, что grad/(х) € 办(х)・ Пусть xf — ещё один элемент множества 8/(х). Так как градиент функционала / в точке х существует, то /Х(х, й) = <grad/(х), й>. Из (2.3.19) получаем
{xf - grad/(х), 〃〉W 0 УЛ€Х.(2.3.32)
Положим /л = х‘ 一 grad /(х). Неравенство (2.3.32) справедливо, в частности, при й = ±йь откуда следует, что Л1 = 0, т. е. х'= =grad /(х). Обратно, из предложения 2.3.7 вытекает, что
f'(x, й) = <xz, й> V〃£X,(2.3.33)
где х' —единственный элемент суб дифференциала "(х)・ Следовательно, хх = grad/(х). □
Проиллюстрируем понятие субдифференциала на ряде простых примеров._
) Пусть функционал /: R т 広 задан формулой
”-g(x-a) при xW〃i,
/(х) = 0при G W х W “2,(2.3.34)
、8при X > £72.
Рнс. 2.3.2. Графики функций (2.3.34) н (2.3.35).
/(х) =/(х) =при Ixl W а, в остальных точках.при Ixl W а, в остальных точках.при 1x1 < а, в остальных точках.при 1x1 < а, в остальных точках.Тогда (см. рис. 2.3.2)
/(х) =
/(х) =
при Ixl W а, в остальных точках.
при Ixl W а, в остальных точках.
при 1x1 < а, в остальных точках.
при 1x1 < а, в остальных точках.
_g
[—g, 0]
при при
X < £71, х = “А
打(х)= ■
0
при
ai < х < “2,(2.3.35)
[0, 8]
при
X = “2,
0
при
x >敢.
(ii) Пусть /: R т 厄 задается формулой
(2.3.36)
Тогда
(2.3.37)
Заметим, что 办(士а) = 0, хотя ±aeD(f), (См. [288].)
СУБДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Субдифференциал суммы и композиции
В этом пункте мы докажем некоторые утверждения об операциях над субдифференциалом. Пусть X, как и раньше, — отделимое ЛВП.
Предложение 2,4.1. Пусть /: % -* fR и X > 0. Тогда для всех xeD(df)
a(v)(x)= xaf(x).(2.4.1)
Доказательство. Это немедленно следует из (2.3.1). □
Предложение 2.4.2. Пусть 力：Хт 底 力：X—危 Тогда для всех х€ w。(泌)0。(吩)
^(х) + 盼(х) С д(/1 + Л)(х).(2.4.2)
Доказательство. Если х' = х/ + х/» где х/ W dfi(x) и х/^ 猊(х), то
5+6)0)=力(幻+力0)
》/1(х) + 力(х) + <Хь z- х> +〈右，z - X》
=(Л + 力)(х) + @‘，Z - х〉 Vz W Х・(2-4-3)
Следовательно, х У 8(/1 + 向3), чем (2.4.2) и доказано. □
Включение (2.4.2) превращается в равенство, если выполнены некоторые дополнительные условия:
Предложение 2.4.3. Пусть .6： X —代 н力：X —史一выпуклые функционалы и в точке х существует grad^(x). Если x^D(df\)9 то
@5 +无)3)=奶 3) + 跪《)•(2.4.4)
Доказательство. Достаточно показать, что любой элемент xz w 8(/1 + + Л)(х)можно представить в виде х* = х/ + grad力(х), где х/ W d/i(x), 盼(х) = {gmd 灵(х)}・ Если в неравенстве
/i(z) + Л(г) -Л(х) -Л(х) ^ <х\ z - х> vzwX (2.4.5) заменить z на х + 从(z - х), ^ > 0, поделить на ^ и устремить 从 к 0 + , то мы получим
/；(х, z - х)^ <xf - grad^W, z — X〉 vzWX. (2.4.6)
Из (2.3.15) и (2.4.6) вытекает» что
х' - grad Л W € Vi(x). □(2.4.7)
Этот результат можно обобщить (см. [91]):
Предложение 2.4.4. Пусть /1： %->(-», + оо] и ^: %-►(-<», +оо]— выпуклые П.Н.СН. ф^кционалы и существует точка 的 W 0(/1) С D5), в которой функционал 力 непрерывен. Тогда
д(Л + Л)(х) = ОЛЗ) + 跪3)vx W X(2.4.8)
Доказательство. Достаточно показать^ что любой элемент х' £ 8(/1 + 历)(х) представим в виде х' = х； + х£, где х" М(х) и х/ € 研(х). Найдём для данного Р такие х； н х{. Рассмотрим следующие выпуклые подмножества пространства X х IR:
圈={⑵a)1 力⑵-力(x) - "', z - » Wa},
% = Qg1乃⑵-及⑴4-a}.( 49)
Из неравенства
力(z) + /zU)-力(%)-及(%)》Л z - х>(2.4.10)
следует, что у 醫 н 该 общими могут быть лишь граничные точки. Кроме того, int Ж # 0, так как Л1 есть надграфик выпуклого функционала
g(z) =/i(z) - /1(х)-《/, Z - х>,(2.4.11)
непрерывного в точке 的.Поэтому множества 岗 н ^ можно разделить замкнутой аффинной гиперплоскостью 箔 которая не является «вертикальной» (см. доказательство предложения 2.3.2). Следовательно, найдутся функционал z' € X' и число b W IR, такие что
Л(х) - Л(г) W <z\ z> + д
W 力(力-力(х)-《X、Z - ％〉 Vz€ %.(2.4.12)
Положив z = x, получим, что b = -《z', x>. Тогда нз (2.4.12) следует, что -z' € 奶(х) и z，+ x'W 奶(х). Таким образом, xf = z‘ + х', а х{ = -z'. □
Вычислим теперь суб дифференциал композиции. Пусть X (соотв. У) — отделимое ЛВП и X’ (соотв. Y') — сопряжённое к нему. Пусть, далее, /: X— У——непрерывный линейный оператор, а /': X' -► У'—— его сопряжённый.
Предложение 2・4・5. Пусть/: У-> (- оо, +8] — выпуклый п.н.сн. функционал и существует точка jo = Ьсо, в которой этот функционал конечен и непрерывен. Тогда
d(f-l)x= lfdf(lx) VxwX.(2.4.13)
Доказательство. Пусть ух € 3f{tx). Очевидно, что суперпозиция /® /: х -*/(Zx) имеет те же свойства, что н /. Поэтому
/(У) - /(改)》О', У -改》у Vj€ К(2.4.14)
Таким образом,
5 /)(z) - (Г。0(х)》3, /(z - х)>у =《厂尸，z - хМ vz € X. (2.4.15)
Следовательно,
Г^(/х) с д(/о /)(х) vx € X.(2.4.16)
Установим теперь обратное включение. Пусть х* € b{f»Z)(x). Рассмотрим в У х К аффинное подпространство
，={(伝 “'，Z - х〉х + (/■。/)(#)) для z € X}.(2.4.17)
Так как х' € 也。/)W* из определения субдифференциала (2.3.1) следует, что у множеств 2 н epi / общими могут быть только граничные точки. В силу условий, наложенных на工 имеем int epi/ # 0. Следовательно, epi/н -Zmomho разделить «невертикальной» замкнутой аффинной гиперплоскостью 叁 содержащей 上 Поэтому существует функционал у1 € такой что
”'，/z>r + b = “'，z - »х + (/■ ° /)(х) Vz € X.(2.4.18)
Положив z = 0, получим b = (f。/)(#) 一〈#', х>. Таким образом, из (2.4.18) следует, что %，= Гу*. Далее, поскольку пересечение #с int epi/ пусто, то'
О', У〉у + Ф0(х) -〈/'8'), хН W/&) V" К(2.4.19)
или,
“'，У - /х〉у W /О) - /(/х) v^ € К(2.4.20)
Последнее неравенство означает, что у' € 办0х), т. а х' = /'у У Г df(lx)t что н требовалось доказать. □
Следующий пример иллюстрирует правило вычислеь.^ суб дифференциала суммы. Пусть /—выпуклый функционал, причём grad / существует на вс€м пространстве X, и пусть К f 0 — выпуклое подмножество в X. Задача минимизации функционала / на множестве К эквивалентна задаче минимизации функционала f + Ik ^ X. Для того чтобы точка 的 была решением этой задачи, необходимо и достаточно, чтобы
Q^d(f(x^ + 1к(х^(2.4.21)
(см. (2.3.3)). Согласно предложению 2.4.3, включение (2.4.21) эквивалентно тому, что
一 grad /(的)€ 8厶俏).(2.4.22)
Относительная внутренность множества R(df)
Обозначим через R(df) образ суб дифференциала 而 т. е. множество (xz \xf €办(工)，х，EX', x€%). Ниже мы формулируем результат об относительной внутренности множества 灭(Q/), который может оказаться полезным при решении «нелинейных» задач на неравенства. Доказательство этого результата, основанное на применении одной «неклассической» теоремы об отделении выпуклых множеств, можно найти в [268; 296].
Предложение 2.4.6. (а) Пусть Q — конечномерное пространство и /— выпуклый П.Н.СН. собственный функционал на Q. Для того чтобы
Oerel int/?(d/),(2.4.23)
необходимо и достаточно, чтобы Q было прямой суммой векторных пространств Q и %, удовлетворяющих следующим условиям: функционал /постоянен на Qi, и существуют постоянные 仃 > 0 м 6, такие что
/(q) 2 Cl I* + 6 vqw %•(2.4.24)
(Ь) Пусть X — банахово пространство, Q — конечномерное подпространство в X, 0/ — сопряженное к нему, х‘ £Х‘ и х* l^€ Q.' (см. (1.2.12)). Далее, пусть Ф ——выпуклый п.н.сн. собственный функционал на X. Для того чтобы
х' l^€ rel int Я(дФх)9(2.4.25)
где ①彳——выпуклый п.н.сн. собственный функционал на Q, заданный соотношением
石(Q)=①G + q) для 三 €l>(①)，(2.4.26)
необходимо и достаточно, чтобы Q разлагалось в прямую сумму векторных пространств Q,i и Ог> удовлетворяющих следующим условиям: функционал 尸：х т ①(х) -〈л/, х》постоянен на Од, и существуют такие постоянные 门 > 0 н % 叨 что для любого J?€ Q,, где 亙 замкнуто " X = Q ㊉&, выполнялось неравенство
①(尤 + q) — (xz, q〉x》а — czllyll* + Сз Iq^x Vq € ®・(2.4.27)
Заметим, что из этого предложения следует, что множества rel int 灭(8①〒)и 灭(8①3 не зависят от 冗 если 三 €Z>(①).Действительно, условие, характеризующее rel int /?(ЭФ^)» не зависит от выбора 三 € 厶(①).Далее, легко убедиться, что замыкание множества 灭(8①)совпадает с замыканием множества rel int Я(дФ) (см. [288]). То же верно и для /?(ЭФх).
§ 2・5・ СОПРЯЖЁННЫЕ К ВЫПУКЛЫМ ФУНКЦИОНАЛАМ
2.5,1. Классы Г(А) и Г\)(用
Пусть (%, X」一пара ОЛВП в двойственности и <х\ х)_—соответствующее спаривание. Для заданного функционала /: X—fR естественно поставить вопрос, существует ли непрерывная аффинная функция <х\-> - ^,从€ R, служащая минорантой 工 т. е. такая что
/(х) > <х\ х》-从 VxwX.(2.5.1)
Необходимым и достаточным условием существования такой миноранты является выполнение неравенства
从》sup (〈х「х> - /(х)).(2.5.2)
Этим соотношением вводится сопряженный с / функционал f ——функционал на определяемый по формуле
7c(х‘)= sup «х\ х> - /(х)).(2.5.3)
Ясно, что супремум в (2.5.3) можно брать по множеству D(/)- Сопряженный функционал f можно рассматривать как результат взятия поточечного супремума семейства непрерывных аффинных функционалов g(・)=<•, х> - ^, где (х, ^) € epi/ Обозначим через Г(Х) множество всех функционалов /: X -► R, которые представимы как поточечные супремумы семейств непрерывных аффинных функционалов <х\-> + a, awR, заданных на X, Справедливы следующие результаты.
Предложение 2.5.1. Пусть /:衣一выпуклый п.н.сн. функционал.
Если найдётся хотя бы одна точка хь, такая что /(&) = -8, то / не может принимать конечных значений.
Доказательство. Рассуждая от противного, предположим, что найдётся точка Xi, такая что /(Xi) € R・ Тогда, в силу выпуклости 工 /(Хлъ + + (1 — X)xi) = - 8 для всех 0 < X < 1. Устремив 入 к нулю, в силу полунепрерывности / снизу получим /(xi) = -оо, что противоречит нашему предположению.
Предложение 2.5.2. Класс Г(Х) состоит j точности из выпуклых п.нхн. собственных функционалов /: X->R н констант +8 и -оо.
Доказательство. Пусть / w Г(Л). Очевидно, что / — выпуклый п.н.сн. функционал. Если Г(Л) = 0, то поточечный супремум семейства Г (Л), как обычно, считается равным -оо. Прн Г(Л) Н 0 этот супремум не может быть равен -».
Обратно, пусть / я ±». Очевидно, что /€ Г(Л). Пусть теперь /— выпуклый п.н.сн. собственный функционал. Выберем точку (&, оо) W X х R, такую что Дль) > оо. Множество epi / выпукло и замкнуто в X х R, следовательно, (хъ,砌 ^epi / Поэтому epi / и (хь, ао) можно строго разделить замкнутой аффинной гиперплоскостью 叁 описываемой уравнением*
《/, х> + а，а = Ь,(2.5.4)
где х£Х、х‘ £Х，на, b W R. Тогда
+ а'ао < b(2.5.5)
и
〈/, х> + а，а > b v(x, а) € epi / ,(2.5.6)
Если & € />(/)» то, положив, х = & н а = Дхь), получим, что аz > 0 и, значит» b <х\ ль>
的 V - V/3)).(2.5.7)
Тем самым мы построили непрерывный аффинный функционал X -* R, значения которого лежат между /(的)и а°. Следовательно, / W Г(Л). Аналогичный функционал может быть построен и для & , Л(/)- В этом случае, если а，= 0, рассуждаем, как и прежде. Если же а' = 0» то из (2.5.5) следует, что《％',・》V b в точке &. С другой стороны,
из (2.5.6) следует, что《х'」> > b на />(/). Таким образом, можно выбрать х；£ Х\ di € IR и с > 0 так, чтобы
Ob < di - <х/, ль> + с(Ь - <х\ ль» <〃ль). 口(2.5.8)
Обозначим через Го(АЭ множество всех функционалов Г(Л), таких что Дх)樂 ±8. Очевидно, что Го(АЭ — это множество выпуклых п.н.сн. собственных функционалов на X.
Пусть Fi и /*2 — две функции X т 后 Если 乃 является поточечным супремумом непрерывных аффинных функций, каждая из которых для всех х не превосходит Л, то 7*2 служит наибольшей минорантой функции 尸 1 в классе Г(Л), и наоборот. В таком случае F? называется Г- регуляризацией функции Л. Очевидно, что если Л € Г (Л), то 尸i совпадает со своей Г-регуляризацией. Аналогично можно определить наибольшую п.нхн. миноранту функции Fi： X-► IR,которая называется л.нхн.-регуляризацией функции 片 и обозначается К. Если функция 尸] выпуклая и обладает непрерывной аффинной минорантой, то 尸i = №・ Можно показать [91], что в общем случае (без предположения о выпуклости 尸1)
尸2《瓦《Fl.(2.5.9)
Докажем теперь ряд важных утверждений о связи между выпуклым функционалом / и сопряжённым с ним функционалом
Предложение 2.5.3. Пусть /— выпуклый функционал на X. Тогда f является выпуклым п.н.сн. функционалом на Если при этом функционал /собственный, то nf — также собственный функционал, и наоборот.
Доказательства Так как 7е € Г*(X) то, по предложению 2.5.2, Г — выпуклый п.нхн. функционал на X、 Доказательство второй части предложения тривиально. □
Определим теперь функционал 尸 на X формулой
尸(х) = (/Т(х) = sup «х\ х> 一尸@')) YxwX. (2.5.10)
Функционал 尸 является сопряжённым с f. Ясно, что 尸 есть Г-регу- ляризация функционала /
Предложение 2.5.4. Для любого /€「(制 имеет место равенство
尸"(2.5.11)
Доказательство. Из предложения 2.5.2 следует, что / представляет собой поточечный супремум аффинных функций 〈％',•〉一〃 с д = =丿(％')・ Поэтому из (2.5.10) вытекает (2.5.11). 口
Очевидно, что если/i W 犬 на X, то 力》右 на X，. Так как^ является Г -регуляриз ацией 工 то на X выполнено неравенство / > ^, и, следовательно, f &尸 на X. С другой стороны,
#е(х，)= sup(〈V, х> —#с(х))《#(х)(2.5.12)
г
откуда
尸с=#・(2.5.13)
Пусть X—нормированное пространство^ Если /—произвольный функционал на X, принимающий значения в 底 то# я尸一выпуклые функционалы. Кроме того, f является *-слабо п.н.сн. на X', а ^― слабо п.н.сн. на X [17].
2・5・2・ Операция сопряжения
Из доказанного в предыдущем пункте вытекает, что если /^ Г(Л) и gWF(X'), то /= gC влечёт g =/\ я наоборот. Такие функционалы / и g называются взаимно-сопряжёнными или двойственными друг другу. Исключим из рассмотрения взаимно-сопряженные функционалы /胃 ±оо я g w 干оо, т. е. рассмотрим классы Г0(АЭ и Го(Х'). Операцию сопряжения /f# можно рассматривать как взаимно-однозначное соответствие между классами Го(Х) и Го(Х')・ Эта операция f f называется преобразованием Фенхеля1. Она тесно связана с преобразованием Лежандра для выпуклых дифференцируемых функционалов (см. [288; 338]). Из определения (2.5.3) функционала f следует неравенство
/(х) ^f^} > <х\ х> VxWX W WX\(2.5.14)
которое справедливо для любого выпуклого собственного функциона- ла/и сопряженного с ним функционала/7. Это неравенство называют неравенством Фенхеля [95]. Заметим, что двойственные друг другу функционалы естественно возникают при решении следующей простой задачи. Пусть W — множество всех пар собственных функционалов /: Xf (-8, оо] и g: X' -* (-оо, оо], для которых
/3) + g(X)》&', х〉 NxWX 次 WX'・(2.5.15)
'Ее называют также преобразованием Фенхеля — Юнга, преобразованием Лежандра —Фенхедя, преобразованием поляризации
Требуется найти пару функционалов 伉,go) w 叱 таких что из соотношений (Л g) W % я / g V go, следует / = /о, g = go・ Легко проверить (см. (2.5.3)), что Л = go и go = Уо, т. е. пары 伉，go) — это в точности пары двойственных функционалов /)wFo(X) и goWFo(X').
Установим связь между df и 3f.
Предложение 2.5.5. Пусть /—выпуклый собственный функционал на X, Следующие утверждения эквивалентны:
хУ 办(х)；(2.5.16)
супремум sup «х\ %〉-/(%)) достигается при z = х; (2.5.17)
/(х) +«Л(х')《Л х>;(2.5.18)
/(х) +/ЧХ) = <х\ х>.(2.5.19)
Если, кроме того, / п.н.сн., то эти утверждения эквивалентны еще двум:
(V)x^df(xf);(2.5.20)
(vi) супремум sup (〈z* х> -#(%')) достигается при / =х‘. z'5，(2.5.21)
Доказательства Эквивалентность условий (2.5.16) и (2.5.17) немедленно следует из определения субградиента (см. (2.3.1)). Из (2.5.3) вытекает, что (2.5.17) эквивалентно (2.5.18), а также (2.5.19). Рассуждая аналогично, получаем, что (2.5.20) эквивалентно условию (2.5.21), которое в свою очередь эквивалентно неравенству
尸(Х) +F(x') = М, Х>.(2.5.22)
Но последнее в силу (2.5.11) эквивалентно (2.5.19). □
Мы заключаем, что в условиях предложения 2.5.5 суб дифференциал 3f совпадает с обратным отображением W/)~L То же справедливо в случае, когда X—рефлексивное банахово пространство. Проиллюстрируем операцию сопряжения следующими двумя примерами:
Пусть f — 1к9 где К—непустое выпуклое подмножество пространства X. Тогда 及 задаётся на X’ равенством
及(х‘)= sup〈X', х>.XWK及(х‘)= sup〈X', х>.XWK(2.5.23)(2.5.23)
及(х‘)= sup〈X', х>.XWK
及(х‘)= sup〈X', х>.XWK
(2.5.23)
(2.5.23)
Функционал 及 называется опорной функцией множества К. Пусть теперь К—линейное подпространство М пространства R". Тогда супремум в (2.5.23) отличен от 4- оо, только если〈х‘, х〉= 0 VxWAf. Следовательно, 及=1М1, где М^ — ортогональное дополнение к М.
Пусть X = X’ = Н, где Н—гильбертово пространство. Функционал /о： х -^ txlJf/2 является единственным решением уравнения / = #. Действительно, легко видеть, что /о = Уо- Далее, если /—другой выпуклый функционал, такой что / = 7е, то он тоже собственный. Тогда из (2.5.14) следует, что /(х) > 11x11^/2 =%(%)• Но операция сопряжения обращает неравенства, поэтому f《抵 следовательно,
§ 2・6・ МАКСИМАЛЬНЫЕ МОНОТОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
2・6・1. Определения и основные результаты
Пусть 2н С — векторные пространства и А — отображение из 2 в множество 0(C) всех подмножеств пространства Такие отображения называют многозначными. Для многозначного отображения из условий A (xi) Э Xi и Л(Х1) Зу{ не следует, что х/ = у{, как это было в случае однозначных функций. Рассматривая А как подмножество в 2x2', можно написать А(х) = [у^^г 1(х, у)^А]. Множество Z>(Z) = {xlxw% Л(х) # 0) называется областью определения отображения Л, а множество K(Z) = U А(х) — его образом. В случае х^Х
многозначных отображений запись у ^ Л(х) подразумевает, что x^D(A).
Если А и В — два многозначных оператора на Й7 то ХЛ + дв, X, 从 WR ——многозначный оператор, переводящий х в ХЛ(х) + дй(х)= ={Ху + 眼lywZ(x), zW_S(x)}・ При этом D(XA + дв) = D(A)C\D(B),
Предположим, далее, что 2 н С приведены в двойственность с помощью спаривания <xz, х>, xW”x' WC・ Многозначное отображение A: 2T0(C) называется монотонным, если
(71 一及，Xi - x2〉》0
Vxi, X2^.D[A) Vji € Л(Х1)V^2 ^ A(X2).(2.6.1)
Если в (2.6.1) знак > заменить знаком > , то Л называется строго монотонным. Ниже под монотонным оператором, если не оговорено противное, мы будем понимать многозначный монотонный оператор.
Предложение 2.6.1. Пусть /——выпуклый собственный функционал на 2 Тогда 以——монотонный многозначный оператор из й^в 次(С).
Доказательство. Предположим, что yi W 办(修)，力 € Э/(Х2). Если сложить соответствующие вариационные неравенства, фигурирующие в определении 办8) и 凯冷)，то получим (2.6.1). □
Графиком многозначного оператора А: 攵I乡1 (Z') называется множество
乡⑷={(х, j)I(x, j) € D(A) X "', y^A(x)}.
Ясно, что У。U 区(力2)тогда и только тогда, когда 5i(x) С Лг(х) vx£ 幺 Множество <of всех монотонных операторов из ^ в 4(2，) можно частично упорядочить по включению графиков. Можно показать, что при этом любое вполне упорядоченное подмножество в 〃 имеет верхнюю грань. Тогда по известной лемме Цорна (см. [277; 337]) ^содержит по крайней мере один максимальный элемент. Такие элементы называются максимальными монотонными операторами. Таким образом, монотонный оператор А: 2—4(2') является максимальным монотонным тогда и только тогда, когда для любого монотонного оператора В:攵一乡1(攵~) из включения У(5) С У(5) следует, что А = В. Другими словами, монотонный оператор Л максимален тогда и только тогда, когда У (А) не является собственным подмножеством никакого другого монотонного подмножества в Zx Можно дать ещё одно эквивалентное определение максимального монотонного оператора: оператор А: 2—4(2') называется максимальным монотонным, если (i) Л ——монотонный оператор и (ii) для любых х£ 勿ятаких что
<У - Jn х - xi> ^ 0 Vxi € D(A) Vji ^ Л(Х1),(2.6.2)
выполнено соотношение
”5(х)・(2.6.3)
Пусть Л: Н f Н, где Н — гильбертово пространство, н /: Н -* Н— тождественный оператор.
Предложение 2.6.2. Если оператор Л + 7 сюръективен, т. е. R(A + 7) = Я, и Л — монотонный оператор, то Л — максимальный монотонный оператор.
Доказательство. Рассуждая от противного, предположим, что существует такой оператор 8: Н f Н, что ^(В) D ^(А). Тогда если (х, у) ^^(В)у то найдётся элемент Xi € 0(/), такой что х + у ^ (А + 7)(占).Отсюда следует, что х + у W х + 8(х) и х + у е € xi + 8(x1). Так как В — монотонный оператор, то
⑵ 一 Z, Н - х)н》О VZ1 € 83) Vz W 8(х).(2.6.4)
Полагая zi = х + у - xi, z = у^ получим неравенство
(х - хь ли - х)》0(2.6.5)
откуда следует, что xi = xt у ^ Л(х). □
Справедливо н обратное утверждение [29]. По поводу обобщения этих результатов см. [17].
Следующее предложение устанавливает связь между понятиями максимального монотонного оператора и субдифференциала. Для экономии места мы приводим его без доказательства (см. [17; 29]).
Предложение 2・6・3・ Пусть X — банахово пространство. Субдифференциал Э/ всякого выпуклого п.н.сн. функционала / на X является максимальным монотонным оператором.
2.6.2. Максимальные монотонные графики в 諸
Рассмотрим класс всех монотонных отображений 0: R ->0(R). Всякое подмножество 以 этого класса можно упорядочить с помощью обычного покоординатного отношения порядка на плоскости. Подмножество в К? вполне упорядочено в смысле этого отношения порядка тогда и только тогда, когда для любых пар 8,电)и (电 危)из этого подмножества выполнены либо неравенства х» & х?必 х{ & х/, либо неравенства Xi > хг и Xi > 立.Всякая полная неубывающая кривая7 в R? является графиком』⑹ некоторого максимального монотонного отображения 6： R т0(К). В декартовой системе координат такой график напоминает график непрерывной неубывающей функции, с той лишь разницей, что он может содержать и вертикальные участки. Максимальные монотонные графики в 黯 широко будут использованы в дальнейшем для формулировки односторонних граничных условий. Сейчас мы докажем один результат, касающийся связи полных неубывающих кривых в 露 я субдифференциалов выпуклых п.н.сн. функций на R.
Предложение 2.6.4. Пусть 6： Rf0(R) — максимальный монотонный оператор. С точностью до постоянного слагаемого существует единственный выпуклый п.н.сн. собственный функционал /: R 一 底 удовлетворяющий соотношению
6 =亚 (2.6.6)
Доказательство. Предположим, что для некоторого a W R значение 6(a) конечно. Положим
/3 = j 8(f)力/ (2.6.7)
2 Полные неубывающие кривые —^то подмножества в fR2 вида 「={(*, *')€ € IR2I^-(х) W К W Г+ (х)), где у: R -* 庇一неубывающая функция,勿壬 8, а у- и у+ — отвечающие ей п.н.сн. и п.н.св. функции. — Прим, перев.
2 Проблем с существованием этого интеграла не возникает, поскольку отображение 8 п.в. однозначно. — Прим. ред.
Интеграл в (2.6.7) определен н конечен для х нз того интервала г, где функционал 8 конечен, так как 8 не убывает. Далее, этот интеграл определён7 на замыкании г интервала Г. Ясно, ЧТО /(х) = 8 ДЛЯ X q Г. Пусть XI, *2 € г, хз = Х^1 + (1 - Х)х2,入 € (0, 1) и Xi < Х2・ Тогда
/(хз) - /(Х1) = j 8(f)力 w (хз - М)6(хз)(2.6.8)
Н
Х2
/(Х2)- /(хз) = j 8(f)曲 w 3 - хз)8(&).(2.6.9)
Выпуклость / на г следует из (2.6.8) и (2.6.9). В силу непрерывности / иа г, / является выпуклым п.н.сн. собственным функционалом на R. Для всех х из г и всех z > х выполнено соотношение
Устремив z к х+, получим /+ (х)》6(х)・ Проведя аналогичное рассуждение и устремив Z к де-, получим f- (х) W 6(х)・ На основании (2.3.29) заключаем, что /+ =8+ и /1 = =8- Vx€IR. Таким образом,
广=8一 W8 W8+ =/1 SW R,(2.6.11)
а из (2.3.30) следует, что 8 =亚
Предположим теперь, что существует другой функционал /* € Го(К), такой что 6 = У*. Тогда в силу (2.3.28)
片 W8WU'(2.6.12)
и, следовательно,
Л = 3- =Л, Л = 3+ =/；•(2.6.13)
Но, как легко видеть (см. предложение 2.3.8), int D(f*) = int D(j) = int г. Это следует из того, что /± (соота.片)конечны иа int £>(/) (соотв. иа int £>(/*)) и г С £>(/) С г. Ввиду того что /и /* п.н.си., значения/и/* на R определяются их значениями на int г.
Из (2.6.13) ясно, что еспМ int г X 0, то
/； (х) - f^ (х) = 0 и /L (х) - ^ (х) = 0 Vx € int г.
Следовательно, / = /* + а иа int г, где 。一 постоянная. □
Предложение 2.6.5・ Графики суб дифференциалов ЭД /W Fo(R), — это в точности полные неубывающие кривые в 諸.
'Как предел интегралов Римана или как интеграл Лебега.
2 Случай, когда г состоит из одной-едннствеииой точки, тривиален.
Доказательство. Это сразу следует из предложений 2.3.8, 2.3.9 и 2.6.4. □
Заметим, что доказательство предложения 264 даёт метод нахождения функционала 工 отвечающего заданному отображению £• Другой метод восстановления функционала по отображению £ иллюстрируется следующими простыми примерами.
Пусть отображение 6 задано на R соотношением
0приX <-1,(一8, 0]приX =8(х) =<0при-1< X < 1,[0, + ОО)приX =1,0прих>1.0приX <-1,(一8, 0]приX =8(х) =<0при-1< X < 1,[0, + ОО)приX =1,0прих>1.(2.6.14)(2.6.14)
0
при
X <
-1,
(一8, 0]
при
X =
8(х) =
<
0
при
-1
< X < 1,
[0, + ОО)
при
X =
1,
0
при
х>
1.
0
при
X <
-1,
(一8, 0]
при
X =
8(х) =
<
0
при
-1
< X < 1,
[0, + ОО)
при
X =
1,
0
при
х>
1.
(2.6.14)
(2.6.14)
Тогда £ является максимальным монотонным оператором (см. рис. 2.6.1, (а)). Чтобы построить / определим сначала непрерывную однозначную функцию 仇(называемую регуляризованным оператором)^ зависящую от параметра £ > 0 и при малых £ «близкую» к Это можно сделать, например, так (см. рис. 2.6.1(b)):
при к《一1, £8е(Х)= ■0при -1《х《1,при к》1. £при к《一1, £8е(Х)= ■0при -1《х《1,при к》1. £(2.6.15)(2.6.15)
при к《一1, £
8е(Х)= ■
0при -1《х《1,
при к》1. £
при к《一1, £
8е(Х)= ■
0при -1《х《1,
при к》1. £
(2.6.15)
(2.6.15)
Ясно, что SeWC^R). Можно применить и другую процедуру регуляризации, выбирая ScWCYR) и т. д. При £ — 0+ график 田(区)«стремится» к графику У(/3). Функция fE получается из 6с путём интегрирования (см. рис. 2.6.1(c)):
(х + 1)2 方
при
х W -1,
0
при
—1 ^ X
(х — 1)2 2£
при
л* 2 L
Л(х)=
(2.6.16)
Рис. 2.6.1. Процедура
d)
регуляризации.
Рис. 262. Регуляризация функции f(x) = |х|(х€ fR). Функции 8 н
Функционал / получается из fe Таким образом.
предельным переходом при £一0+・
(2.6.17)(2.6.17),0 при Ixl《1,[оо при 1x1 > 1.
(2.6.17)
(2.6.17)
(см. рис. 2.6.1(d)).
Метод регуляризации тесно связан с методом аппроксимации максимальных монотонных операторов, принадлежащим К. Иосиде (см. п. 7.2.2 и [29]).
Пусть отображение 6： Rf0(R) задаётся соотношениём
-1приX <
(2.6.18)(2.6.18)8(х) =[-1,1]приX =
(2.6.18)
(2.6.18)
、+1приX >
Очевидно, что 6 ——максимальный монотонный оператор. Методом регуляризации или непосредственным вычислением можно показать, что 6 =亚 где /(х) = 1x1 (см. рис. 2.6.2).
ЧАСТЬ 2
Задачи на неравенства
ГЛАВА 3
Вариационныенеравенства и суперпотенциалы
Цель настоящей главы ——объяснить, как появляются задачи на неравенства в механике. С этой целью мы введём некоторые понятия выпуклого анализа в механику. Точнее, будут рассмотрены определяющие соотношения и граничные условия, в которые входят субдифференциалы выпуклых функционалов.
В § 3.1 определяются специальные классы многозначных законов механики, приводящие к вариационным неравенствам и выпуклым задачам минимизации. В § 3.2 вводится понятие суперпотенциала и обсуждается двойственность вариационных принципов. В § 3.3 приведены примеры субдифференциальных определяющих соотношений и граничных условий, сначала в эвклидовом пространстве, а затем и в некоторых функциональных пространствах.
ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ И СВЯЗИ
Обобщённые силы и принцип виртуальной мощности
Метод виртуальной мощности исторически был первой попыткой описания сил, действующих на механическую систему. Некие намёки на этот метод можно найти еще у Аристотеля7, который пытался найти связь между силами и скоростями.
В новое время этот метод был впервые примене Д*Аламбером (см. [3; 130]). По сравнению с классическим подходом векторного анализа метод виртуальной мощности считается более абстрактным и более сложным при практическом применении. Тем не менее большое его достоинство состоит в том, что он отражает внутреннюю природу понятия силы.
'См., например, [10].
Рассмотрим механическую систему Е. Для того чтобы определить силы, действующие на Е, рассмотрим для Е пространство 0всех полей возможных скоростей или возможных перемещений на данном временндм интервале. В зависимости от рассматриваемой задачи элементами 0 служат либо скорости, либо перемещения, обозначаемые в этой главе v и и соответственно. Пусть некоторое вещественное векторное пространство, элементы которого g будем называть силами и <v, р, vW%, gw%—билинейная форма, обладающая следующими двумя свойствами (мы считаем, что %——линейное пространство):
для каждого ° К 0 из % существует элемент g W % такой что Р КО;(3.1.1)
для каждого g К 0 из 夕 существует элемент v W %, такой что G, Q НО.(3.1.2)
В случае когда %—пространство перемещений, в (3.1.1, 2) нужно v заменить на и. Билинейная форма 〈•「〉называется мощностью (соотв. рабопюй) силы « при скорости v (соотв. на перемещении “). Из (i) и (ii) следует, что билинейная форма <•,•> задаёт локально-выпуклые отделимые топологии на 0 н % а пара {% 例 превращается в дуальную пару отделимых ЛВП (см. п. 1.2.1). Соответственно можно определить силу g как непрерывный линейный функционал на % вводя в % топологию, удовлетворяющую соотношению (1.2.7). Пространство % называют пространством виртуальных скоростей (соотв. перемещений), а <•»■> —виртуальной мощностью (соотв. работой). Таким образом, можно сказать, что задана сила g действующая на £, если на 0 задана виртуальная мощность (соотв. работа) G, р (соотв. <и, р), удовлетворяющая условиям (i) и (ii), или если на % задан линейный функционал, непрерывный в топологии, которая не сильнее, чем топология Макки, и не слабее, чем слабая топология. Тройка Г = ={% <v, р,夕],состоящая из векторных пространств %м 乡'н билинейной формы <v, р со свойствами (i) и (ii), называется механическим элеменпюм [229]. Если система Со состоит из подсистем Ei, ..., £〃 и если для каждой из подсистем Е), < - 1, 2, ...» л, известен механиче
ский элемент Е< = {%,《立,&〉, Я], то можно положить 0= Ц @, лс 1
i= 1
<w, р = П 沁，6〉， м%，收賓 (3.1.3)
Очевидно, что Г = 〈力 Q,夕].
Рассмотрим в качестве примеров материальную точку m и твёрдое тело □ в 1R3 [197]. Для материальной точки %= R* и виртуальная мощность силы С，действующей на ш, определяется соотношением 〈*, Р = и『・ Для твёрдого же тела %= R? Действительно, скорость и в точке Р W Q вычисляется по известной формуле
up =以 + зА АР , (3.1.4)
где va ——скорость некоторой фиксированной точки A W [R3, а з ——угловая скорость тела Q. Пространство ^состоит из сил / и моментов Мр, таких что
Мр = Ма+ 京 Л/ (3.1.5)
Это тоже пространство [R6. Каноническая билинейная форма <v, 0, задающая виртуальную мощность, имеет вид
<v, р = vpjfi + 3iMph z = 1, 2, 3. (3.1.6)
Рассмотрим теперь непрерывную м&саническую систему (сплошную среду), которая в момент времени / занимает открытое ограниченное подмножество Q пространства (R3. Пусть %—векторное пространство виртуальных скоростей системы. Движение тела подчиняется следующему принципу виртуальной мощности:
(Hi) В любой момент времени / для любого поля виртуальных скоростей виртуальная мощность всех внутренних и внешних сил, приложенных к системе, равна виртуальной мощности инерциальных сил.
Тело (сплошная среда) рассматривается в некоторой инерциальной системе отсчёта. Среди всех полей скоростей на Q особую роль играют жёсткие поля скоростей (см. добавление II). Векторное пространство этих полей обозначим через 協. Постулируем следующее правило [ИО]:
(Нг) Виртуальная мощность П( внутренних сил, действующих в теле, равна нулю для любого жёсткого поля скоростей в любой момент времени.
В силу линейности Ц значение виртуальной мощности UG) не изменится, если V заменить на v + %, где vo Далее, если записать П/(у) в виде <v, р, то (Hz) эквивалентно утверждению, что П/(у)= =<v, р = 0 Vv €%. Таким образом, мы пришли к факторпростран- ству %= %/協，которое называется пространством объективных виртуальных скоростей (см. добавление II). Все инерциальные силы можно рассматривать как непрерывные линейные функционалы на
% '• Обозначим пространство вс%таких функционалов через 気 Очевидно, что элементы пространств % и ^являются объективными величинами; это легко следует из инвариантности отображения двойственности.
Для дальнейшего описания механики сплошных сред надо помимо пространства уточнить вид линейного отображения v <v,《〉,выражающего виртуальную мощность системы. Так, в рамках локальной теории можно рассматривать выражения для <v, р, в которые входят последовательные производные векторного поля % т. е. величины。九；, 力,拙 и т. д. Таким образом, мы приходим к градиентным теориям первого^ второго и т д. порядков соответственно. В качестве пространства % можно взять декартово произведение 吻(°) х % ⑴ х ... х%(е), где %(冲={叫 次…(производные порядка т)}.
В механике сплошных сред наиболее распространённой является градиентная теория первого порядка, в которой мощность системы зависит от скоростей и их первых градиентов 切，厶 В предположении что мощность Л, внутренних сил, действующих в Q, может быть выражена в интегральной форме
Ili(u) = - jpHv)dD,(3.1.7)
можно показать, что в любой точке Q
А(у) = tijD& Dij = у (也 j + “ i).(3.1.8)
Действительно, в любой точке Q значение рДи) можно записать в общем виде
“(u) = tyDij + т■炉固 + qw, Qij = & 3, j — ц/, i).(3.1.9)
Очевидно, что 力一компоненты некоторого симметричного тензора. Если бы gi # 0 в некоторой окрестности данной точки М^ Qt С Q, то можно было бы определить подсистему системы Q, содержащую точку Л/, и переносную виртуальную скорость, такие что п® # 0 в этой окрестности. Но это противоречило бы (Нг). Аналогично, используя вращательную виртуальную скорость, заключаем, что "/ = 0. Тензор / = (/у) называется тензором внутренних напряжений [ПО], а сим-
'На_^< рассматривается фактортопология. В этой топологии фильтр окрестностей нуля в 0 является образом системы окрестностей нуля в 診 при каноническом отображении (см. п. 1.1.2).
метричный тензор D = ｛。炉｝ —тензорам скоростей деформации. Читателя, интересующегося градиентными теориями второго порядка и соответствующими теориями материалов, имеющих микроструктуру, отошлём к [ПО; 111; 197].
Принимая во внимшше сказанное выше, можно рассматривать пространство % (соотв.乡)как состоящее из тензоров D (соотв. /). Очевидно, что градиентные теории высших порядков приводят к тензорам высших порядков. Соответственно можно обобщить классическое понятие силы и трактовать элементы пространства 乡"как обобщённые силы. Для элементов же пространства % можно использовать термин обобщенные скорости.
Далее, определим виртуальную мощность внешних и внутренних сил, действующих в Q. Различаются объёмные внешние силы (напри- ме, гравитационные, электромагнитные) и поверхностные (или контактные), силы, действующие на границе Г множества Q. В первом случае они определяются как непрерывные линейные функционалы на пространстве %, а во втором — на некотором векторном пространстве %• Предполагается, что последнее пространство содержит следы на Г всех элементов из ^. Элементы пространств % н % не обязательно объективны. Наконец, виртуальная мощность всех инерциальных сил представляет собой линейный функционал на пространстве 勿叱 элементы которого не являются объективными. Обозначим через П„, IL и IL виртуальные мощности объемных, контактных и инерциальных сил соответственно. Из (Hi) следует, что в любой момент времени / для любого поля виртуальных скоростей справедливо равенство
П/ + Пи + Пс = Па.(3.1.10)
Это равенство справедливо также для любой подсистемы, занимающей в данный момент времени Г область Qi С Q.
В рамках градиентной теории первого порядка будем предполагать, что для Qi величины 1Ь(и), ПДи) и Ц((и) (соотв. Пс()и)) можно выразить через интегралы по 5 (соотв, по Г1) от r・(u), А(и) н「《(и) (соотв, рс(уи)). Легко убедиться, что в обоих случаях pv(u) и pc(yw) представимы соответственно в виде
А(и) = fiVi + bijDu + 旬 &/, Ьц = bji, 旬=-q〃(3.1.11)
РсСуи) = 5i(7^)b(3.1.12)
где (/], (dy) и I旬｝ —соответственно объёмная сила, «двойная симметричная» сила и парный тензор в Qi, a (Si)——вектор напряжений на Гь В «чистой» механике плот-
ность мощности инерциальной силы вычисляется по формуле
P«(U)= 2 — Vit(3.1.13)
где q — плотность тела, a dv/dt — материальная производная скорости и. Если все рассматриваемые величины являются достаточно гладкими, то можно воспользоваться формулой Пэйна — Гаусса. Применив хорошо известную методику сведения основных законов механики в глобальной форме к законам в локальной форме (см., например, [112]), получим
叩,J +/=2 而， 0ь一讶+旬=0 в 01,
(3.1.14)
S — <ТуЛу на Г1.
(3.1.15)
Здесь л = |修｝ — орт внешней нормали к поверхности Гь
оц = tij - Ьц ~ су в 01,
(3.1.16)
о = |。廿｝ —тензор напряжений Коши. Ниже мы часто будем использовать (3,1.11, 14) прн
Ьц = су = 0.(3.1.17)
Для статических задач пространство % представляет собой пространство виртуальных обобщённых перемещений. Принцип виртуальной мощности превращается в хорошо известный принцип виртуальных перемещений. Читателя, более глубоко интересующегося принципом виртуальной мощности и виртуальных перемещений» можно отослать к классическим трудам по механике [6; 112; 130; 171; 321].
Подчеркнём, что принцип виртуальной мощности не включает в себя первое и второе начала термодинамики. Они должны быть постулированы независимо. Следует, однако, заметить, что уравнение сохранения энергии можно вывести из принципа виртуальной мощности, если виртуальные скорости учитывают также вариацию времени (см, [133; 253]).
Многозначные определяющие соотношения и связи в механике
Сопоставим данной механической системе Е, для которой определена тройка Е = ｛% G, р,乡1 некоторое отображение A: 2T汽 вообще говоря многозначное. Этим отображением задаётся определяющее соотношение (закон) для £, которое можно записать в виде
(3.1.18)(3.1.18)gW/G)U 5r WW%.
(3.1.18)
(3.1.18)
Область определения и образ многозначного оператора Л называются соответственно областью определения и областью значений опреде-
ляющего соотношения. Например, если A(v) = {匕} для любого vW% то определяющее соотношение имеет вид 《={匕}. Предположим, что
《=-grad %®,(3.1.19)
где W: %-► R — некоторый функционал на % имеющий градиент в любой точке。W %・ Такое определяющее соотношение называется потенциальным, а функционал W—потенциалом.
Как правило, механические системы подчинены связям, т. е. граничным условиям. В этом случае для механической системы допустимы лишь определённые подмножества пространств % м % н мы приходим к определяющему соотношению вида В:父J% 纺и%. Говорят, что В задаёт ограничение (налагает связь) на Е, и пишут
代 BG) U 乡"WW 纭(3.1.20)
С называется реакцией связи. Предположим, например, что некоторая материальная точка в [R3 должна всё время иметь скорость, равную нулю. Тогда реакция связи может принимать любое значение из [R3 и
5®=偿 еспн иЗ= {0},(3.1.21)
в противном случае.
Множества.
{uluW 纥 B(v) ^ 0 } н UB®}
называются соответственно областью определения и областью значений связи. Аналогичные законы и связи получаются, если в (3.1.18— 20) заменить。на “ (т. е. для статических задач). Очевидно, что в абстрактной постановке, с которой мы имеем дело, не всегда можно точно разграничить определяющие соотношения и связи.
Рассмотрим задачу о равновесии системы Е, подчинённой некоторым законам и связям, определённым на % м % с помощью операторов Ai и Bj соответственно. Здесь z = 1, 2, ..., л, a j = 1, 2, ..., т. Из принципа виртуальных перемещений следует, что в положении равновесия
Z & + Z 6 = 0，(3.1.22)
i=l j=1
g W 4(“)v<* W %, © W 5(u) Vu € ^J, j = 1, 2, ..., m.
Итак, в положении равновесия имеем 〃 W Q %" м
лm
0€ Z4® + х^®・(3.1.23)
Особый интерес представляют субдифференциальные законы и связи. В этом случае Л = -ЭФ или 8 = -ЭФ, где Ф — выпуклый п.н.сн. собственный функционал на %. Следуя Моро [211], будем называть Ф суперпотенциалом. Соотношения (3.1.18) и (3.L20) принимают тогда вид
-«саФ(и) или — ^€ ЭФ(р).(3.1.24)
Очевидно (см. п. 2.1.1), достаточно, чтобы Ф был определён лишь на некотором выпуклом замкнутом подмножестве пространства 勿 В гл. 4 суперпотенциальный закон распространяется на случай невыпуклых функционалов путём введения нового понятия — обобщённого градиента Кларка. Другое обобщение (3.1.24), состоящее в рассмотрении соотношений вида (3.1.18), где Л ——максимальный монотонный оператор, обсуждается в [245].
При помощи сопряжённого функционала Фс, который является выпуклым п.н.сн. собственным функционалом на ^(см. п. 2.5.2), можно переписать, скажем, первое из соотношений (3.L24) в таких эквивалентных формах:
“€афс(-0,(3.1.25)
Ф(“)+ ФУ 0 + <и, 0 = 0,(3.1.26)
Ф(“)+ Ф"-。+ С, Q W О "W货 VuW%(3.1.27)
Фунющоналы Ф н фс можно рассматривать как потенциальную и дополнительную энергии, отвечающие определяющему соотношению или связи. По определению, для “С@ н ^€включения (3.1.24) и (3.1.25) эквивалентны вариационным неравенствам
ф(и*) - ф(и)》一«, и* 一 u> Vu* €%(3.1.28)
и
Фс(-^°) - Фс(-Р > -<«, «°-Р叫°€貫(3.1.29)
Далее, пусть Ф является индикатором /^ некоторого выпуклого замкнутого подмножества пространства @. Тогда
-«€ а厶z(u) или -g€ 8厶zG).(3.1.30)
Связь, отвечающая (3.1.30), называется идеальной односторонней связью. Согласно и. 2.3.1,——g представляет собой элемент внешнего нормального конуса к множеству ^в точке и или v. Термин «односторонний» становится понятным, если для и € ^рассмотреть вариационное неравенство
% а* - и> > О VJW 項(3.1.31)
которое вытекает из первого включения (3.1.30) по определению субдифференциала. Действительно, если разность и* - и является допустимой вариацией и в том смысле, что она удовлетворяет (3.1.31), то разность и - и* будет допустимой только в случае, если %— линейное подпространство в %. В этом случае (3.1.31) выполнено как равенство, и потому gw及丄.
Из (3.1.30) следуют обратное соотношение
иса/^(—Q или 9сат^(—0(3.1.32)
и соответствующие вариационные неравенства.
Понятие идеальной односторонней связи может быть проиллюстрировано простым примером. Предположим, что на материальную точку m действует сила /С R* и точка принуждена находиться в выпуклом замкнутом подмножестве К пространства (R3, в котором введена декартова система координат Ом改田 Если К = [х\хе ^3, F(x) W W。｝, где F—непрерывно дифференцируемая на [R3 функция, и если материальная точка взаимодействует с границей множества К без трения, то сила реакции R задается соотношением
К = -Xgrad F(x),入》0,(3.1.33)
где 入一неизвестный коэффициент пропорциональности. Очевидно, что если материальная точка находится в относительной внутренности множества К, то сила реакции равна нулю и X = 0. В противном случае 入》0・ Такой тип связи описывается соотношением
-Кса〃(х)・(3.1.34)
Так как m находится в состоянии равновесия тогда и только тогда, когда
/ + К = 0,(3.1.35)
то
/€ ЭАг(х),(3.1.36)
и наоборот. Для xw К включение (3.1.36) эквивалентно вариационному неравенству
力(疗-盟)WO 3 w К,(3.1.37)
выражающему принцип виртуальных перемещений.
・3・ Задачи минимизации и вариационные неравенства,характеризующие положение равновесия
Рассмотрим систему Е, на которую воздействуют силы &, i = 1, 2, ...,л, и реакции ^> J = 1, 2, ..., т. Пусть %— пространство (обобщённых) перемещений. Эти силы определяются соответственно су-
перпотенциалами Ф, и Ф7, определёнными на пространстве 勿 Условие равновесия (3.1.23) принимает вид
ос 玄 aa(u)+ S а电•(“).(зл.38)
i= 1j=1
Заметим, что если % является пространством обобщённых скоростей и если в (3.1.38) заменить и на 力 то (3.1.38) описывает движение Е без учёта сил инерции. Решение и € £>(дФ1)Я ... П£>(дФт) включения (3.1.38) удовлетворяет условию
nm _
осаФо(и), Ф0(и)= S Ф/(и)+ S Ф/(и)；(3.1.39)
обратное, вообще говоря, неверно. Предложения 243 и 2.4.4 дают следующее достаточное условие эквивалентности (3.1.38) и (3.1.39): если
найдётся I (0 ^ I ^ п + т) суперпотенциалов Ф/ и Ф/, у которых градиенты существуют для любого “€%
существует 碗 W % такое что из оставшихся т + п - I функционалов m + k- /- l в точке «о конечны и непрерывны в топологии, согласованной с двойственностью между % и 无
(т + п - /)-й функционал конечен в точке ио,
то любое решение включения (3.1.38) будет решением включения (3.1.39), и наоборот. Включение (3.1.39) эквивалентно условию (см.
п. 2.3.1)
Фо(и) = тш(Ф0(и*)1и* €%}•(3.1.40)
Таким образом, и минимизирует Фо на % для каждого положения равновесия. Если (3.1.38) и (3.1.39) эквивалентны, то любое решение (3.1.40) отвечает положению равновесия.
Предположим теперь, что некоторые из связей являются идеальными односторонними связями, Т.£・ &j = I為 для 1 《尸 V m, и что субградиенты ЭФ；, 1 < z ^ л, и ЭФ>,尸 + 1 Wj W т, аддитивны. Пусть
лm_р
Фо(«) = s Ф/(«) +2 电(“)，旅=^老内0・(3.1.41)
I = 1J-P+1J-1
Тогда каждому положению равновесия соответствует решение следующей задачи минимизации:
Фо(и) = тш(Ф0(и*)1и* Сс%}.(3.1.42)
Обратное верно, если ЭФ0 и 3以 аддитивны. Для этого достаточно, чтобы выполнялось любое из приводимых ниже трёх условий:
градиент функционала Фо существует для любого “€幽；
существует «<)€%, такое что Фо конечен и непр^)ывен в точке «о；
Ы^П£>(Ф0) Н 0.
Первое условие следует из теоремы 2.4.3, второе и третье — из теоремы 2.4.4. Доказать это представляется читателю в качестве упражнения.
Предположим, что в (3.1.23) первые q операторов Ai (1 ^ i ^ q < V л) постоянны, т. е. АМ = ｛齒｝ ▼“€%・ Таким образом, на систему действуют заданные силы 齒，1 W Y q・ Предположим, что оставшиеся операторы Ai и Bj удовлетворяют соотношениям Л； = -ЭФ/, q + 1 ^ i ^ п9 и В/ = -ЭФ；, 1 &j & т、Тогда (3.1.23) можно переписать в виде
9лm _
^= S^€ Z ЭФ,(и) + S Эф7(и).(3.1.43)
1 = 11 = 9+1J= 1
Всякое решение включения (3.1.43) является решением алгебраического включения
лm _
^€ ЭФо(и), Фо(«) = Z Ф((«) + S Ф/(«)-(3.1.44)
/ = 9 + 1j=l
Обратное верно в случае, если субдифференциалы аддитивны. Как и выше, нетрудно сформулировать достаточные условия эквивалентности (3.1.43) и (3.1.44). Соотношение (3.1,44) эквивалентно для и € ^< вариационному неравенству
Фо(и*) — Фо(и)》《爲 и* — u) Vu* W %.(3.1.45)
Очевидно, что любое решение неравенства (3.1.45) служит решением задачи минимизации
П(и) = min(II(u*)lu* €^),(3.1.46)
где
П(и*) = Фо(и*)—《吃 и* ),(3.1,47)
и обратно.
Функционал П в (3.1.46) выражает потенциальную энергию системы. Это будет показано в следующих пунктах на конкретных примерах. Выше в задаче о равновесии системы в качестве неизвестного рассматривалось (обобщённое) перемещение и. В § 3.2 при помощи теории двойственности мы сформулируем задачу о равновесии как задачу относительно сил, действующих на систему.
Диссипативные законы. Замечания о задачена собственные значения для суперпотенциальных законов
Рассмотрим механический элемент Е = {%, G, Q}, 5nli определяющее соотношение Л:宏—苏纺U 2 на Е. Оно называется диссипативным, если для f € Л(v) выполнено неравенство
G, 0WO.(3.1.48)
Один общий класс диссипативных законов описывается следующим образом: если Л ——монотонный оператор и 0 € /(0), то закон А является диссипативным. Это немедленно следует из условия монотонности《仃-*2, {i - fe> С 0, если взять 吃=0 н % = 0. Следовательно, (3.1.24) задаёт диссипативный закон, если 0 € ЭФ(О).
Предположим, что в некоторой механической задаче положение равновесия описывается соотношением
《€/(“)，(3.1.49)
где А — многозначный оператор, f — заданная сила. По аналогии с классической теорией задач на собственные значения назовём число 入 собственным значением оператора А относительно оператора G:G€)(% 冴')，если
入G“ €/(&).(3.1.50)
Соответствующий вектор “，если он существует, называется собственным вектором оператора А. Подмножество ^С % будем называть собственным множеством1 оператора /, если для некоторого 入
工(故)D 入G(故).(3.1.51)
Если Л = - 8®, то задача на собственные значения принимает вид: найти X € IR и и € ^ такие что
④(“*) - Ф(и)》-<XGu, u* - u> Vu* £%.(3.1.52)
Так как задачи иа собственные значения для вариационных неравенств будут подробно изучены в гл. 7 прн рассмотрении теории пластин Кармана, мы не будем здесь вдаваться в детали. Для полноты изложения сформулируем лишь некоторые результаты нз [1] и [68]. Рассмотрим задачу иа собственные значения, отвечающую закону (3.1.24), и предположим, что % и 歹совпадают с некоторым гильбертовым пространством 宓 Тогда справедлив следующий результат (доказательство см. в [1])
Предложение 3.1.1. Предположим, что выполнены условия:
Ф(и)》0 Vu€< Ф(0) = 0；
множество А = <«lu€^ LI#W с,④(“)< с] компактно для любой постоянной с > 0;
существует замкнутый выпуклый конус <Жс #с вершиной в нуле, такой что пересечение Л^П {u I Ф(и) = 0} ограничено;
'Это понятие для случая монотонных процессов и конечномерных пространств изучалось Рокафелларом [286].
существует ненулевой вектор и € ^Ж такой что ®(“)< «;
(V)если Р^: #т 力一проектор7 из #на 比 то Ф(Р^и) W ④(“)Y“€ 宓
Тогда найдутся X < 0 н “€走 и # 0, служащие решением задачи на собственные значения
-Хи€дФ(и).(3.1.53)
§ 3・2・ СУПЕРПОТЕНЦИАЛЫ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ
Гйпотеза нормальной диссипации
Выше были введены суб дифференциальные соотношения типа (3.1.24) между обобщёнными скоростями。€ 0 и силами 代気 Более общим образом, можно ввести аналогичные многозначные соотношения между «потоками» и «силами», в терминологии теории необратимых термодинамических процессов Онзагера. Будем обозначать через。потоки, а через «— силы. Например,。может быть вектором теплового потока, скорости химической реакции и т. п., а в роли соответствующей «силы» С может выступать градиент температуры, химическое сродство и т. п. Простейшей связью между потоками и силами служит линейный закон
8・=AiJV}9(3-2.1)
где % =牙=R" и выполнены соотношения симметрии Казимира — Онзагера
風=4・(3.2.2)
Хотя соотношения (3.2.1), (3.2.2) и подтверждаются во многих реальных физических задачах, их часто подвергали критике. Дело в том, что, как правило, в физической системе очень трудно провести различие между потоком и силой (см., например, [323]). Соотношение (3.2.1) можно записать в виде
£ = ^ grad 勿О勿G) = Ayvjvj.(3.2.3)
Здесь Сможет также зависеть от других термодинамических параметров [113]. Внутреннюю удельную диссипацию <2/можно выразить в
'Для любого замкнутого выпуклого множества /^и 纥 где ОС— гильбертово пространство, можно определить отображение нз 缪 в 気 ставя в соответствие каждому х € элемент Р^х € 衣 ближайший к х, т. е. inf lx - jl = Их - /^(х)!. Из предло-
виде (см. [112] и добавление III)
〃=g*(3.2.4)
Из второго начала термодинамики следует, что для необратимого процесса
以》0.(3.2.5)
Соответственно
ja/(v) = Aijvivj =如,》0.(3.2.6)
Следующая гипотеза нормальной диссипации является обобщением (3.2.3):
(Hi) Для любого реального термодинамического процесса существует суперпотенциал, т. е. выпуклый п.н.сн. собственный функционал 区 на % такой что
CWA^G).(3.2.7)
Это обобщение7 основано на идее Циглера [342; 343; 344], предложившего для обобщения соотношений Онзагера некий принцип ортогональности. Эту идею применили в выпуклом анализе Моро [212] и Жермен [112; 113], которые и ввели соотношение вида (3.2.7)： Функционал У называется суперпотенциалом диссипации. Из (3.2.7) вытекает обратное соотношение
9€8区。(仇(3.2.8)
где / вместе с У является выпуклым собственным п.н.сн. функционалом. Справедлив следующий результат:
Предложение 3・2・1・ Гипотеза (Hi) эквивалентна каждому из приводимых ниже утверждений:
для заданного потока。соответствующая ему сила £ минимизирует функционал В°(『)一。甯 на 无
для заданной силы £ соответствующий ей поток v доставляет минимум функционалу ^(и*) - 口拒 на %
Это очевидным образом вытекает из определения 夕(см. п. 2.5.1).
Из второго начала термодинамики следует, что неравенство
^i》0(329)
должно выполняться в течение всего термодинамического процесса. Заметим также, что для любого 夕(соотв. 0 вектор {«, -1) (соотв. (V, -1)) нормален к epi 乡(соотв. к epi 夕)в точке (% 乡G)) (соотв. & 乡с(0)・ Этим объясняется название гипотезы (Hi). Следует также отметить, что гипотеза нормальной диссипации вместе с предположением о термодинамическом потенциале (см. [112]) позволяет описать широкий класс определяющих соотношений при помощи двух выпуклых функционалов — суперпотенциала диссипации и термодинамического суперпотенциала [113]. Эти соотношения должны помимо принципа объективности удовлетворять неравенству (3.2.9). В §4.3 приведено обобщение гипотезы (Hi) на случай невыпуклых диссипативных функционалов.
3・2・2. Двойственность вариационных принципов
Задача (3.1.43) о равновесии механической системы порождает выпуклую задачу минимизации (3.1.46) относительно (обобщённых) перемещений «. Понятие двойственности в теории выпуклой минимизации позволяет свести подобную задачу к задаче оптимизации относительно обобщённых сил g Есть много подходов к понятию двойственности в теории выпуклой оптимизации. Ниже будет использован подход, предложенный Фенхелем [95] и Рокафелларом [285; 288] и разработанный Экландом и Темамом [91], поскольку он непосредственно применим к краевым задачам, изучаемым ниже.
Задача (3.1.46) называется прямой (или исходной) задачей (или, в пределах данного параграфа, задачей /). Напомним, что П ——выпуклый п.н.сн. собственный функционал на 吻 Далее, пусть 勿——некоторое отделимое ЛВП, 纣一сопряжённое к нему, и пусть 卩€统 卩'€亥'. Обозначим через <<р, р'〉〉соответствующую каноническую билинейную форму. Определим теперь функционал Р: % х 勿—底 такой что
Р(и*, 0) = П(и*)・ (3.2.10)
Рассмотрим задачу: найти
inf P(u*, р). (3.2.11)
Будем называть её задачей 厶.Очевидно, что при р = 0 задача 1Р превращается в задачу /. Далее, пусть 产——сопряжённый с Р функционал на пространстве 賓х". Рассмотрим задачу: найти
Ее будем называть задачей Iе. Задачу 1Р называют возмущённой формой задачи，а задачу 7c ——задачей, двойственной к I относительно возмущения р. Будем обозначать через inf I и sup Г инфимум и супремум в задачах 7 и 7е соответственно. Ясно, что inf I и sup Iе — это вещественные числа, равные П(“)и sup{-产(0, 广)丨广 €勿」соответственно. Используя (2.5.3), легко проверить, что
一产(0, P‘*) W 尸(“*, 0)昨'*w妥，
(3.2.13)
Отсюда
-оо ^ sup Iе W inf I < оо.
(3.2.14)
Для p € 勿 положим
g(p) = inf % = inf 尸p).
(3215)
Предположим, что
尸(“*, p)€Fo(@x 妥).
(3.2.16)
Предложение 3.2.2. Если выполнено (3.2.16), то g:亥f fR —
выпуклый
функционал.
Доказательство. Покажем, что для любых р и ^ справедливо (2.1.2). Если g(p) или g(y) равно + оо, то (2,1.2) выполняется очевидным образом. Пусть теперь g(p) < оо и g⑷ < оо. Нам надо проверить, что множество epi g выпукло над отрезком, соединяющим точки 卩 и 屮 Пусть ui и иг — элементы пространства % такие что для некоторых а, 6 € fR справедливы неравенства
g(p) W 尸(“1, у) W 〃，(3217)
g@)崑尸(“2, %) Wb・(3.2.18)
Тогда точки (卩，а) и (屮，b) принадлежат epi g. Для того чтобы убедиться, что Х(р, а) + (1 —人)(+，6) € epi g, 0 < X < 1, достаточно показать, что
g(人р + (1 —人)+)W ^ + (1 —人)Ь.,(3.2.19)
Но, действительно,
g(Xp + (1 -人),)=inf 尸(“*, № + (1 -人),)
W 尸(X“i + (1 ~ Х)«2» Хр + (1 —人)+)
W p) + (1 — X)P(«2 j %) w + (1 —人)b. □
Предложение 3.2.3. Пусть g° ——сопряжённый с g функционал. Тогда
gC*) =产(0, р') 昨飞纱'(3.2.20)
и
sup Г = sup ( —gC(p'*)) = g"(0)・(3.2.21)
Доказательство. Оба равенства следуют из (3.2.12), если заметить, что для любого р/
g%')= sup KW，Р>> -g(p)]
=sup sup K〈p‘，p>> -尸p)]=产(0, p‘)， p£.夕“*£勿
и вспомнить определение функционала g". □
Возмущённая задача sup{-k(G ?'*)“'* £%，} связана с задачей /. Поэтому задача, двойственная к Iе относительно возмущения g имеет вид
.inf {产°0)}. •(3.2.22)
Обозначим ее 尸°. Если выполнено (3.2.16), то 产°(“*, 0) = Р(и*, 0) для всех “* €% (см. (2.5.11)), т. е. задача 严 совпадает с исходной задачей /. Далее, так как 产"=产(см. (2.5.13)), то задача 严°, полученная применением ещё одной процедуры сопряжения, совпадает с 7е. В следующем предложении сформулированы условия, при которых inf / = =sup Г.
Предложение 3.2.4. Если выполнено предположение (3.2.16), то следующие утверждения эквивалентны:
-оо < inf / = sup 7c V 8；
значение g(0) конечно и g п.н.сн. при р = 0 (нормальность задачи / [91]);
задача 尸 нормальна.
Доказательство. Пусть выполнено (i). Используя (3.2.21) и (3.2.15), можно записать (i) в виде
g(O) = g"(O)wR.(3.2.23)
Если g — п.н.сн. регуляризация g (см. п. 2.5.1), то справедливо (см.
(2.5.9)) неравенство
Таким образом, g℃(0) = g(0)二 g(0) и выполнено (ii). Предположим теперь, что (ii) верно. Из (ii) и (3.2.24) следует, что g(0) = g(0) € R. Функционал g является выпуклым и п.н.сн., в силу выпуклости g, а так как g(0) € fR, то g€ Г°(必(см. предложения 2.5.1 и 252), т. е. gcc = g. Переход к двойственным объектам меняет знак неравенства:
gc“》gc》g°・(3.2.25)
Но g℃c = g°, следовательно, gc = ic, откуда вытекает, Uto g(0)= =g(0) = g℃(0) = gS(0)・ Последнее равенство означает, что выполнено
Осталось показать, что (ii) эквивалентно (iii). Но это сразу следует из того, что задача / совпадает с задачей 严. □
Легко проверить, что множество решений задачи 尸 совпадает с agb(0). Действительно, если р' €%' есть решение задачи 尸，то, в силу (3.2.12, 20),
-gc^)》—gC(『) 旳飞沙'•(3.2.26)
н0
—g°(p')= sup<〈0, 〃〉-gC(〃))= gS(0)(3.2.27)
и, следовательно,
P’wagRO).(3.2.28)
Предложение 3.2.5. Пусть значение g(0) конечно. Тогда 8g(0) # 0 в том и только том случае, если g п.н.сн. при р = 0 и задача 尸 имеет хотя бы одно решение.
Доказательство. Так как 8g(0) # 0, то g℃(0) = g(0) € R, g п.н.сн. в нуле и dgcc(O) = 8g(0) Н 0. Действительно, если х € 3^(0), то непрерывный аффинный функционал 厶 задаваемый формулой /(«*) =〈％, и*> + g(0), ограничен сверху функционалом g. Но g℃ является Г-регуляриза- цией фунционала g (см. п. 2.5.1), следовательно,
/(u*) W g"(u*) W g(«*) Vw* € 勿(3.2.29)
Поскольку /(0) = g(0), из (3.2.29) получим
gRO) = g(0),(3.2.30)
Значит, g п.н.сн. в нуле (см. (3.2.24)). Далее,
age(o)= ag(o)N0.(3.2.31)
Так как 3gcc(0) есть множество решений задачи 尸，из (3.2.31) следует существование хотя бы одного решения задачи 尸.
Для доказательства обратного утверждения покажем, как и в предложении 324, что g(0) = g"(0)€ R. Тогда если задача 7c имеет хотя бы одно решение, то 8g(0) # 0. □
Предложение 3.2.6. Предположим, что у задач Inf существуют решения и что
-оо < inf I = sup 7c V оо.(3.2.32)
Тогда любое решение и задачи I и любое решение 卩'задачи 7c удовлетворяют соотношению
(О, “ С »(“，0).(3.2.33)
Обратно, если “ и 卩‘ удовлетворяют (3.2.23), то и служит решением задачи I, а 产'一решением задачи 尸,и, значит, выполнено (3.2.32).
Доказательство. Справедливы равенства
inf I = P(u, 0) = sup Г = 一产(0, р')・(3.2.34)
Поэтому
Ли, 0) + 产(0, М) = <(и, 0), (0, р')〉= 0,(3.2.35)
что эквивалентно (3.2.33). Обратно, если “ и 产' удовлетворяют (3.2.33), то из (3.2.35) и (3.2.13) следует (3.2.32). Очевидно, что и (со- отв. М)есть решение задачи / (соотв. 7е). □
Соотношение (3.2.35) называют условием экстремума для рассматриваемой задачи. Из предложения 3.2.5 следует, что условия - оо < < g(0) < оо и 8g(0) н 0, называемые условиями устойчивости, очень важны, ибо они гарантируют существование решения двойственной задачи.
В задачах механики часто встречается следующая ситуация. Пусть пространство (обобщённых) перемещений имеет вид %(°)х%°)(см. п. 3.1.1), причём элементы “€%© и £ €%⑴ связаны некоторым условием совместимости
£ = Л«.(3.2.36)
Здесь £ — трактуется как внутреннее, а и — как внешнее обобщённое перемещение. В обозначениях данного параграфа, предположим, что “ € % £ € 紡 где % и 勿——отделимые ЛВП с сопряженными 5rH 勿'соответственно. Пусть Л € L^ 勿).Рассмотрим сопряжённый оператор А' €£佟，，多 Этот сопряжённый оператор отображает пространство 乡'внутренних обобщённых сил а в пространство У внешних обобщённых сил 伟 Например, для деформируемого тела в рамках теории
малых деформаций (см. гл. 5) и (соотв. 0 задаёт поле перемещений (соотв. объемных сил), £ (соотв. а) — поле деформаций (соотв. напряжений), а Л ——оператор деформации, т. е. Ли = &,『+ 因#)/2. Предположим, что функционал энергии П, который надо минимизировать (см. (3.1.46)), можно записать в виде
П(и) = П(и, Ли),(3237)
где П: %Х 妥一 R. Тогда можно задать функционал 尸 равенством
尸(“，р) — П(“，Л« — р), р = £.(3.2.38)
Если функционал П выпуклый, то Р —тоже выпуклый функционал, а если П€ Го(%х 妥)，то и РеГ0(^х^).
Рассмотрим вариационную формулировку двойственной задачи (3.2.12) относительно обобщенных сил (р7 - а) [91]:
/晋，(-年(Aё*, 一广)).(3.2.39)
Чтобы получить (3.2.29), заметим, что
产(0, Q = sup [<<PZ, Р*>> - П(и*, Ли* - Р*)]
и* W弘
=sup sup [<<pz, Ли*>> - <<pz, <^*>> - П(«*, ^*)]
f + p* = Ли*
=П^Л р , -р)(3.2.40)
Продолжим изучение достаточных условий устойчивости прямой задачи I, а также достаточных условий существования решения задач I и Г.
Предложение 3.2.7. Пусть П — выпуклый функционал, inf I конечен и хотя бы для ОДНОГО «О € %
П(«о, А«о) V 8 и функционал р -► П(«о, р)
непрерывен в точке Лио.(3.2.41)
Тогда прямая задача
inf П(и*, Ли*)(3.2.42)
«* £吻
устойчива.
Доказательство. При сделанных предположениях найдётся uo € % такое что функционал р 尸(《о, р) конечен и непрерывен при 产=0. Следовательно, в 妥существует такая окрестность нуля 必 что для любого Р € ^функционал 尸(《о, р) ограничен сверху. Тогда (см. (3.2.15)) функци-
онал g(p) также ограничен сверху для всех 卩 € 〃 Следовательно, g непрерывен в нуле (предложение 2.1.4), и, в силу предложения 2.3.2, ag(o)w 0. 口
Из устойчивости задачи I следует, что
inf/= sup Г(3.2.43)
и задача I имеет хотя бы одно решение (см. предложения 3.2.4 и 3.2.5). Условие экстремума (2.3.35) превращается в соотношение
П(и, Ли) + ^^^^ -у)= 0,(3.2.44)
а (3.2.33) принимает вид
(Лzz— рz) € ЭП(и, Ли).(3.2.45)
Предложение 3.2.8. Пусть %— рефлексивное банахово пространство и П€ Го(^х 3^). Пусть, далее, выполнено условие (3.2.41) и
П(и, Au) — оо при Hull -> оо, “€%・(3.2.46)
Тогда прямая и двойственная задачи имеют решения, удовлетворяющие (3.2.43) и (3.2.44) (или (3.2.45)).
Доказательство. Применение к П(“，Ли) предложения 2.2.1 показывает, что решение прямой задачи существует. Остальное следует из предложений 326 и 3.2.7. □
Если вклад, который вносят в энергетический функционал П внешние и внутренние обобщённые перемещения, можно разделить (случай, с которым мы часто будем встречаться), то
П(и, Ли) = Л (и) + В(Ли).(3.2.47)
Если А и В выпуклы, то П и Р также выпуклы, а если А € Го(%) и 8€Го(勿),то 尸 €Г*о(%х 勿).Легко убедиться, что двойственная задача (3.2.39) принимает вид
sup[-Л^-Л'р'*) - Bc(pz*)],(3.2.48)
а (3.2.45) распадается на два включения
-Л'р7 €ЭЛ(и),(3.2.49)
рх €ЭВ(Ли).(3.2.50)
Аналогично условиеэкстремума (3.2.44)заменится двумя соотно
шениями
/(“)+/с( — А，рх)= — {Л*р7, “〉，(3.2.51)
В(Ли) + 5c(“ = <<р\ Л«>>.(3.2.52)
§ 3・3・ СУБДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯИ ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
Субдифференциальные граничные условия
Как и выше, можно определить суб дифференциальные граничные условия, связывающие между собой величины, «отвечающие за энергию (или мощность)»7. Классические граничные условия в механике получаются из этих граничных условий как частный случай.
Мы считаем, что деформируемое тело занимает некоторое открытое ограниченное подмножество R пространства IR3. Границу R обозначаем через Г. Координаты точек х^ 0, х = (xj, / = 1, 2, 3, ..., берутся в некоторой декартовой системе координат. Обозначим S = ｛5/｝ вектор напряжений на Г, 5/ = aynj, где а = ｛。炉｝ —надлежащим образом определённый тензор напряжений, а л = ｛修｝——орт внешней нормали к Г. Разложим вектор S на нормальную и тангенциальную составляющие S^ и St относительно границы Г:
Sn = ^ijnjnt, St； = /Гу -(。炉修用)修.(3.3.1)
Аналогично un и ит обозначают нормальную и тангенциальную составляющие вектора перемещений и относительно границы Г, а и ит——нормальную и тангенциальную составляющие скорости и. Векторы S^, un и vn считаются положительными, если они параллельны вектору л.
Введём некоторый максимальный монотонный оператор 仇： R т 乡(R) и рассмотрим граничное условие в направлении z-й координатной оси
-SW 仇(〃》•(3.3.2)
Из предложения 2.6.4 следует, что с точностью до постоянного слагаемого можно определить такой выпуклый п.нхн. собственный функционал ji на R что
仪=勿i・(3.3.3)
Тогда (3.3.2) можно переписать в виде
-SiWBj®.(3.3.4)
Это соотношение представляет собой субдифференциальное граничное условие; оно понимается поточечно, т. е как соотношение между -S(x) W R и 〃j(x) W R в каждой точке х€ Г. Таким образом, (3.3.2) за-
'В том смысле, что их произведение выражает энергию (или мощность). '
Рис. 3.3.1. Иллюстрация к определению функционалов ji и /：.
даёт, если пользоваться терминологией п. 3.1.2, локальную связь, причём 畛= R, R и <Si,弘〉=SiUi (суммирования нет!).
В п. 3.3.4 этот закон распространяется на более общие пространства. Очевидно, что (3.3.4) можно также записать в обращенном виде
山 W 勿f(-S),(3.3.5)
или
〃工 W 8f( — Si),(3.3.6)
где 8f = 8jf——снова максимальный монотонный оператор на R, обратный к оператору 8・ Как указывалось в п. 2.6.2, график оператора 8» в декартовой системе координат Оху есть полная неубывающая кривая в 可,как правило многозначная. Так, график может включать участки, параллельные осям координат (рис. 3.3.1), что соответствует идеальной пластичности, эффектам скачка и старения. Суперпотенциал ji (со- отв. /) называется локальным суперпотенциалом (соотв. сопряжённым суперпотенциалом) и выражает потенциальную (соотв. дополнительную) энергию локальной связи. Описанную связь можно наглядно представить себе как условную пружину нулевой длины в точке х в направлении f-й координатной оси. Предполагается, что пружина подчинена соотношению (3.3.2).
Аналогично (3.3.2) можно определить граничное условие вида
-SnW8n(〃n) = BjN@心.(3.3.7)
Предположим, что J ——выпуклый п.н.сн. собственный функционал на IP? Тогда на Г можно задать поточечное соотношение вида
—SW@(〃)，(3.3.8)
т. е. монотонное отношение между S(x) и и(х). Можно записать включение, эквивалентное (3.3.8):
(3.3.9а)(3.3.9b)(3.3.9а)(3.3.9b)uedf(-S),/(〃)+产(一S) = 〃iS.
(3.3.9а)
(3.3.9b)
(3.3.9а)
(3.3.9b)
Очевидно, что для (3.3.8) мы имеем 0= R* 夕=露 и《％ q = 〃/.
Аналогично (3.3.8) можно рассмотреть суб дифференциальный закон
(3.3.10)(3.3.10)—StW 勿т(〃т).
(3.3.10)
(3.3.10)
Для некоторых классов задач механики можно выписать аналогичные граничные условия, связывающие между собой S и частнук? производную по времени от перемещения du/dt или же скорость и, а именно:
(3.3.11)(3.3.12)(3.3.11)(3.3.12)紡
(3.3.11)
(3.3.12)
(3.3.11)
(3.3.12)
-sw 勿®.
Приведём некоторые примеры, иллюстрирующие эти граничные условия.
Классическое граничное условие Ui = 〃扣 можно записать в виде (3.3.2) с помощью оператора
仇(%) = {^仇(%) = {^если Ui = 〃2, в противном случаеесли Ui = 〃2, в противном случае(3.3.13)(3.3.13)
仇(%) = {^
仇(%) = {^
если Ui = 〃2, в противном случае
если Ui = 〃2, в противном случае
(3.3.13)
(3.3.13)
(см. рис. 3.3.2(a)) или с помощью функционала
上(3 = [ «上(3 = [ «Рис. 3.3.2. Некоторые простые граничные условия.Рис. 3.3.2. Некоторые простые граничные условия.если必•=〃沁, в противном случае.
上(3 = [ «
上(3 = [ «
Рис. 3.3.2. Некоторые простые граничные условия.
Рис. 3.3.2. Некоторые простые граничные условия.
Граничное условие 5/ = С записывается в виде (3.3.2) или (3.3.4), если положить
仇3) = -G (Ci задано)
или
/(〃» = —CiUi (не суммировать!)
для любого 〃i€R (см. рис. 3.3.2(b)).
Граничное условие
—S^ = kuNi(З.ЗЛ4)
где к > 0 — константа, можно записать в виде (3.3.7), положив
ВМ〃“)= ktiN, Jn(un) = 2 к*(3.3.15)
Это закон Винклер% который описывает при некоторых упрощающих предположениях взаимодействие между деформируемым телом и основанием. Соответствующая фиктивная пружина называется линейной пружиной Винклера. Несмотря на чрезмерную упрощённость этой модели, она находит широкое применение при строительных расчётах. Для улучшения модели можно предположить нелинейную монотонную связь между напряжением и деформацией пружины Винклера (пунктирная линия на рис. 3.3.2(c)), которая также может быть записана в виде (3.3.7).
Указанные выше граничные условия не учитывают возможность потери контакта между телом и основанием [103; 241]. Чтобы её учесть, рассмотрим следующие соотношения:
если 〃“ < 0,то S“ = 0;(3.3.16)
если 〃“》0,то Sn + kuN = 0,(3.3.17)
где 左 >0 ——константа. Соотношение (3.3.16) отвечает случаю отсутствия контакта, а (3.3.17) — его наличию. Области наличия и отсутствия контакта заранее не известны, следовательно, (3.3.16, 17) приводят к свободной краевой задаче. Соответствующие 8n и Jn задаются соотношениями
/n(〃n)=/n(〃n)=6m 〃n)=6m 〃n)=при припри приUN》0,〃N < 0,UN》0,〃N < 0,122 к* при un》0,0 при un < 0.122 к* при un》0,0 при un < 0.(3.3.18)(3.3.19)(3.3.18)(3.3.19)
/n(〃n)=
/n(〃n)=
6m 〃n)=
6m 〃n)=
при при
при при
UN》0,
〃N < 0,
UN》0,
〃N < 0,
12
2 к* при un》0,
0 при un < 0.
12
2 к* при un》0,
0 при un < 0.
(3.3.18)
(3.3.19)
(3.3.18)
(3.3.19)
Рис. 3.3.3. Граничные условия одностороннего контакта.
Кратко можно записать /n(〃n) = ки^+/2у где un+ обозначает положительную часть 〃м т. е. un+ = sup{〃“, 0}. Соотношения (3.3.16, 17) называют условиями одностороннего контакта для линейного закона Винклера, а (З.ЗЛ4)——условием двустороннего контакта (см. [241]).
Более общим образом, рассмотрим операторы
6M〃N)= f при 〃空(3.3.20)
I 0 при Un < 0 и
6M〃N)= f giW - %) при UN》Л,(3.3.21)
(0при un < h
(см. рис. 3.3.3). Здесь 81 ——максимальный монотонный оператор на R, такой что 0 W 6i(0)・ Операторы (3.3.20) и (3.3.21) также приводят к условиям одностороннего контакта, но уже для нелинейного закона Винклера. Во втором случае основание находится на заданном расстоянии Л = й(х) от рассматриваемого тела.
Выписанных соотношений недостаточно для того, чтобы сформулировать краевую задачу; их надо дополнить краевыми условиями, относящимися к St или ит или к обеим этим величинам. Например, можно рассмотреть условие St = Ст, где Ст = Ст(х) — заданная функция, или условие ит - 0 (означающее, что нет скольжения), или, более общо, условие (3.3.10). Возможен также случай, когда 8“ меняется от точки к точке; тогда 阳=8MMM%), %)• Заметим, что разложение условий контакта по касательному и нормальному направлениям существенно упрощает рассматриваемую задачу.
Если деформируемо только тело, а основание — нет, то имеют место граничные условия Синьорина — Фикеры. Они таковы (см. рис. 3.3.4):
если 〃N < 0, то Sn = 0,(3.3.22)
если uN = 0, то Sn《0,
Рис. 3.3.4. Граничные условия Синьорини — Фикеры.Рис. 3.3.4. Граничные условия Синьорини — Фикеры.
Рис. 3.3.4. Граничные условия Синьорини — Фикеры.
Рис. 3.3.4. Граничные условия Синьорини — Фикеры.
или, что то же самое,
С 0. W0 и = 0.(3.3.23)
Соответствующий оператор 纵 имеет
00припри8n(〃n)=8n(〃n)=[0, 4-ОО) при[0, 4-ОО) при00приприо0'0'< => N N N u u Uо0'0'< => N N N u u U(3.3.24)(3.3.24)
0
0
при
при
8n(〃n)=
8n(〃n)=
[0, 4-ОО) при
[0, 4-ОО) при
0
0
при
при
о0'0'
< => N N N u u U
о0'0'
< => N N N u u U
(3.3.24)
(3.3.24)
/n(〃n)二/n(〃n)二при uN W О, при 〃N > 0.при uN W О, при 〃N > 0.а суперпотенциал —
/n(〃n)二
/n(〃n)二
при uN W О, при 〃N > 0.
при uN W О, при 〃N > 0.
(3.3.25)
Контакт между двумя деформируемыми телами может быть описан граничными условиями, аналогичными (3.3.22), в предположении что перемещения достаточно малы (см. рис. 3.3.5). Так как тела не мо-
Рис. 3.3.5. Контакт двух деформируемых тел.Рис. 3.3.5. Контакт двух деформируемых тел.
Рис. 3.3.5. Контакт двух деформируемых тел.
Рис. 3.3.5. Контакт двух деформируемых тел.
гут проникать друг в друга, то можно считать, что сумма перемещений 〃&)и 〃口 этих тел и имеющегося между ними расстояния Л = Л(х) должна быть не меньше величины их взаимного сближения в результате их движения как твёрдых тел. Обозначим через 五“ величину
"就 + 〃口 + 力一 "0,
и пусть Rn — соответствующая контактная сила. Тогда условия контакта имеют вид
если uv > 0, то Rn = 0;(3.2.26)
если un = 0, то Rn》0.
Аналогичные условия описывают статическое поведение трещины в сплошной среде (см. [233]).
(у) Следующий пример касается граничных условий с учётом трения. Рассмотрим такие граничные условия:
если I Srl < д I Sv I, то 〃實=0, i = 1, 2, 3;(3.3.27)
если I Sr I = g I Sn I, то найдётся 入》0, такое что 〃野=-Х5ть (3.3.28)
Здесь 川=g(x) > 0 обозначает коэффициент трения, а I • I ——обычная норма в IP? В случае когда R — двумерное тело, Г есть кривая и, таким образом, St и ит можно задать в локальной правой системе координат (л, т) на Г, где т——касательный орт к Г. Тогда (3.3.27, 28) можно переписать в виде
—Sr^ jSr(ur),(3.3.29)
где (см. рис. 3.3.6)
а о о => < т т та о о => < т т т(3.3.30)(3.3.30)[—g I Sn I, +g ISvl]
а о о => < т т т
а о о => < т т т
(3.3.30)
(3.3.30)
8т(〃т) = Д ISvl
IS“I
Предположим далее, что Sv = Cn、где Cn задано, и обозначим g ICnI через 5窃・ Тогда
(3.3.31)(3.3.31)8г(〃т) = Э(5?о lurl).
(3.3.31)
(3.3.31)
В случае когда 0 ——трехмерное тело, (3.3.27, 28) можно записать лишь в виде (3.3.10), где
(3.3.32)(3.3.32)Jr(wr) = Stq^ut^
(3.3.32)
(3.3.32)
Легко проверить, что
JT(-Sr)=f0, если 15г1^«То,(3.3.33)
(8 в противном случае,
и) таким образом, (3.3.27, 28) можно переписать в эквивалентной форме
〃тС djr( —St).(3.3.34)
Эти две двойственные суб дифференциал ьные формули ровки приводят к вариационным неравенствам (ur, 5Г^ [R3)
jr(u^ - Jt(ut)》一5野(畸-uTi)Vu?€ 露，(3.3.35)
-utXSt, - STl) < 0 vS%£R3 c |S0| ^ ^(3.3.36)
ДЛЯ I Srl W Szb.
В задачах динамики часто рассматривают соотношения, учитывающие трение, вида
-St£ 刃”т(ит) = Э(5т01 url)(3.3.37)
(закон трения Кулона). Если перемещения достаточно малы, то касательную скорость ит можно заменить на dur/dt.
Опишем одно обобщение закона (3.3.37). Оно получается, если суперпотенциал (диссипативную функцию) Jr заменить следующим функционалом:
]т(»т) = ICyl(W 品 + ^луть)1/2-(3.3.38)
Здесь а н 力 —— два ортогональных направления, определённые в каждой точке на поверхности тела, называемые ортотропными^ ига и ип — компоненты скорости иг в локальной системе координат (% 力)，а 阿 н м ——соответствующие коэффициенты трения. Соот-
ношения (3.3.37, 38)
еслн [0+
приводят к закону ортотропного трения, который имеет вид ^^^^ ]< ICnL то ига =5 = 0,(3.3.39)
(包)]=1 Cn 1, то существует 入》0,
SiaSn
такое что vtq =s.(3.3.40)
Комбинируя граничные условия с трением и условия одностороннего контакта, получим следующие соотношения:
если 〃n < 0, то Sn = 0, 5т； = 0, i = 1, 2, 3,(3.3.41)
если 〃“》0, то Sn 4- kuN = О,
где к > 0 ——константа, и выполнены (3.3.37, 38). В этом случае, однако, не удается записать граничные условия в виде (3.3.38).
Приведём теперь некоторые суб дифференциальные граничные условия, возникающие в теории пластин. Здесь 0 ——открытое ограниченное подмножество в IR2, определённое срединной поверхностью пластины. Как обычно, Г обозначает границу Q. Оси 修 и 改 совпадают со срединной поверхностью пластины, а ось хз ——с направлением нормали к этой поверхности. Положительное направление оси хз ——вверх. Перемещения пластины в своей плоскости обозначаются也,U2, а в вертикальной плоскости — через f• Обозначим через М и Q изгибающий момент и полную перерезывающую силу [116] на границе пластины (рис. 3.3.7) и возьмём граничные условия в виде
ME8iME8i(3.3.42)(3.3.42)
ME8i
ME8i
(3.3.42)
(3.3.42)
(3.3.43)(3.3.43)-Q^^) = dj2{^
(3.3.43)
(3.3.43)
где Si (соотв.力),f = 1, 2,——максимальный монотонный оператор (соотв. выпуклый п.н.сн. собственный функционал) на R. Эти соотношения выполнены поточечно.
Ниже приведены некоторые примеры, иллюстрирующие (3.3.42). Соотношение (3.3.43) аналогично (3.3.8), поэтому примеры, иллюстрирующие (3.3.8), могут служить и для иллюстрации (3.3.43).
Граничные условия при вращении пластины с трением задаются соотношениями:
если 1Ml < Мо9 что |^ = О,
Рис. 3.3.7. Изгибающие моменты и полная перерезывающая сила на границе пластины.
если \М\ - М), то существует 入》О,
仇
виде (3.3.42),
где 仇 задается
формулой (см.
[-必，М]
при s = 0>
Mq
при 寨 >°，
(3.3.45)
~ Mq
при 案
такое что М =\^,(3.3.44)
Их можно записать в рис. 3.3.8(a))
А/о ——заданный изгибающий момент. На рис. 3.3.8(b) изображён чуть более общий случай. Эти граничные условия допускают полезную физическую интерпретацию: на границе пластины образуется пластический шарнир. Тогда 必 или Afi, 必一пластические моменты поперечного сечения пластины.
Граничные условия одностороннего вращения пластины имеют вид, аналогичный граничным условиям Синьорини — Фикеры (3.3.22), а именно:
嚣》О, М ^ О, Af 票=0.(3.3.46)
Вид 6 я 丿 очевиден (см. (3.3.24, 25)).
В теории пластин может быть рассмотрен и другой тип суб дифференциальных соотношений. Предположим, что вектор нагрузки / в каждой точке х € Оо С 0 разлагается на заданный вектор / и вектор f, связанный с перемещением рассматриваемой точки соотношением вида
-八 6з(*)=齿з(*)・(3.3.47)
Здесь 6з и /з имеют те же свойства, что /3/ и // в (3.3.42, 43).
В качестве примера рассмотрим пластину, которая в точках хо € Оо С 0, ОоГ)Г = 0, отстоит от деформируемого основания на расстояние й = й(х) (рис. 3.3.9). Предположим, что основание развивает силу реакции, которая пропорциональна его деформации (опора Винклера). Справедливы соотношения
-『W 6(» в По С 0,(3.3.48)
/=0 в 0 \ По.(3.3.49)
Рис. 3.3.9. Пример (viii).Рис. 3.3.9. Пример (viii).Здесь 6 ——максимальный монотонный мулойЗдесь 6 ——максимальный монотонный мулойоператор, задаваемый фор-оператор, задаваемый фор-6(» =6(» =2(* - й) при2(* - й) при00припри》Л,< Л,》Л,< Л,(3.3.50)(3.3.50)
Рис. 3.3.9. Пример (viii).
Рис. 3.3.9. Пример (viii).
Здесь 6 ——максимальный монотонный мулой
Здесь 6 ——максимальный монотонный мулой
оператор, задаваемый фор-
оператор, задаваемый фор-
6(» =
6(» =
2(* - й) при
2(* - й) при
0
0
при
при
》Л,
< Л,
》Л,
< Л,
(3.3.50)
(3.3.50)
где 2 > 0 — константа.
рассмотрены граничные усло-рассмотрены граничные усло-В динамических задачах могут быть
рассмотрены граничные усло-
рассмотрены граничные усло-
вия вида
(3351)(3351)a/1 傷爲)),品a/2 停),
(3351)
(3351)
а также соотношения, связывающие реакцию и перемещение, вида
(3.3.52)(3.3.52)不a力00.
(3.3.52)
(3.3.52)
При изучении задач теплопроводности можно сформулировать субдифференциальные граничные условия, связывающие между собой вектор теплового потока ,= {«} и абсолютную температуру 6 на границе тела. Они имеют вид
(3.3.53)(3.3.53)0m € 6(6),
(3.3.53)
(3.3.53)
где 6： 1₽-><夕(1₽) — максимальный монотонный оператор. Более общим образом, можно считать, что 6 = 6(6(х,力 х, ?)• Из закона Фурье следует, что
0 = Tij%，(3.3.54)
где К= {Л,；］, причем 及炉=府厶——тензор теплопроводности. Для изотропной среды 几炉=ЯЗу. Поэтому (3.3.53) можно переписать в виде -鋁 68)=牙価(3-3.55)
где у —функционал, отвечающий /3, а 88/8п& =叙声田尸、
Рнс, 3.3.10. Примеры (ix) и (х).
Проиллюстрируем (3353) двумя примерами.
Рассмотрим тело, граница которого полупроницаема для тепла, т. е. тепло может втекать в тело, но не может вытекать нз него. Предположим, что температура на Г меняется мгновенно. Пусть Во = 8о(х), х € Г, — температура внешней среды, 8 = 0(х, Г) — температура тела. Если 8 > 氏，то ввиду полупроницаемости границы теплового потока не возникает, следовательно, qg = 0. Если же 6 石叁，то тепловой поток имеет место и qEi < 0. Из предположения о мгновенности изменения температуры на границе следует, что d =如.Это граничное условие записывается в форме (3.3.53), где 0 определяется по формуле (см. рнс. 3.3.10(a))
(0при 夕 > 0о,
8(8) =，[0, -°°) хпри 0 二 8q,(3.3.56)
(0при夕 < 飢
Граничные условия, соответствующие графику на рис. 3.3.10(b), возникают в задачах управления температурой. Температура 8 на Г не должна превосходить 仇.При 夕 > 仇 тепловой поток 争修 должен быть направлен наружу, с тем чтобы сохранялось соотношение 8 W & • Этот тепловой поток является монотонной функцией от 8 при 办 W W 8 W 02, а при 8》夕2 остаётся постоянным (равным g).
Субдифференциальные определяющие соотношения. I
В этом пункте мы изучим определяющие соотношения, описываемые субдифференциальными законами. Некоторые из этих соотношений носят чисто феноменологический характер» но тем не менее оказываются полезными при изучении определённых классов задач прикладной механики и техники. Это замечание относится к приведенным в предыдущем пункте граничным условиям.
Рассмотрим соотношение
<7Waw(£),(3.3.57)
для деформируемого твёрдого тела в рамках теории малых деформаций. Здесь ст = {и»}——тензор напряжений, £ = [£(/]——тензор деформаций, w — выпуклый п.н.сн. собственный функционал на [R6. Соотношение (3.3.57) понимается поточечно, т. е. выражает связь между и(х) и
с(х) в каждой точке х€ 0. Его можно переписать в обращённой форме
£ € dwc(a).(3.3.58)
Функционал w (соотв. w°) есть потенциальная (соотв. дополнительная) энергия на единицу объёма. Эти удельные энергии удовлетворяют следующим вариационным неравенствам: для с € fR6
w(£*) - w(c)》сту(£^ - £у) Ve* € fR6;(3.3.59а)
для о w 麼
产(。°) - »(о)》£v(4 - Sj) Va° W R6.(3.3.59b)
Как и в n. 3.1.2, можно считать, что w, w° — локальные суперпотенциалы, которые задают в каждой точке тела соотношения (3.3.57) или (3.3.58). Ниже приведены некоторые примеры.
Пусть w задано соотношением
W⑻=^ Суа*£0£**,(3.3.60)
причём компоненты тензора С = {Cijhk} (f, j, % к = 1, 2, 3) обладают свойствами симметричности:
Cijhk — Cjihk = Ckhij、(3.3.61а)
и эллиптичности:
Cijhk^ij^hk》CEijEhk V£ = (£у] € R‘，(3.3.61Ь)
где с > 0 — константа. В этом случае (3.5.57) превращается в закон Гука из теории упругости
。仃=Cijhk^hk •(3.3*62)
Если функционал w в (3.3.57) является непрерывно дифференцируем, то мы получаем соотношение
которое описывает(iii) Рассмотримкоторое описывает(iii) Рассмотрим> _ aw⑻нелинейно-упругий материал.> _ aw⑻нелинейно-упругий материал.(3.3.63)(3.3.63)на R суперпотенциална R суперпотенциалw видаw вида
которое описывает
(iii) Рассмотрим
которое описывает
(iii) Рассмотрим
> _ aw⑻
нелинейно-упругий материал.
> _ aw⑻
нелинейно-упругий материал.
(3.3.63)
(3.3.63)
на R суперпотенциал
на R суперпотенциал
w вида
w вида
1 ) 1
Q 〃£ + Q &(£ - £o) при £》£o,
W(£)= j d£20W(£)= j d£20при 0 ^ £ ^ £0,ПРИ £ < 0при 0 ^ £ ^ £0,ПРИ £ < 0(3.3.64)(3.3.64)
W(£)= j d£20
W(£)= j d£20
при 0 ^ £ ^ £0,
ПРИ £ < 0
при 0 ^ £ ^ £0,
ПРИ £ < 0
(3.3.64)
(3.3.64)
(3.3.65)(3.3.65)(〃£ + &(£ - £о) При £》Co, 〃£ПРИ 0 ^ £ ^ £o,
(3.3.65)
(3.3.65)
Опри £ < О
(см. рис. 3.3.11). Такая зависимость между напряжениями и деформациями характеризует поведение нелинейно-упругого стержневого элемента, не выдерживающего отрицательного напряжения (сжатия), например нитевого элемента [243].
(iv) Пусть (см. рис. 3.3.12)
11 ,
w(£)= j q 匕(£ 一 £。)+(£ - £o)(〃£o + °)+ q 〃£； при £()《£《£о,
где а, Ь, с — положительные константы. Тогда
с+ о d+ + + 6 ，- /0с+ о d+ + + 6 ，- /0при £ < £о, при £ = £о> при £0 < £ < £о, (3.3.68) при £ = £о, при £ > £о.
с
+ о d+ + + 6 ，- /0
с
+ о d+ + + 6 ，- /0
Определяющее соотношение (3.3.68) описывает поведение стержневого элемента, который при с < со является линейно-упругим, при с = £о имеет конечный скачок напряжений, между £о и £« вновь является линейно-упругим, а при с = £о имеет бесконечный скачок напряжений, называемый эффектом старения [272]. Отметим сходство между эффектом скачка (рис. 3.3.12(b)) и эффектом Массона—Савара1 [21] (рис. 3.3.12(c)).
(у) Упруго-идеальностареющие материалы. Пусть функционал w задан на 峻 соотношением
w⑻=Wo ⑹ + "(叫 £ =(£//},(3.3.69)
где wo ——непрерывно дифференцируемый выпуклый функционал, а 1к — индикатор выпуклого замкнутого подмножества:
К= {cie(£)《0}(3.3.70)
в К' Здесь Q ——некоторый выпуклый непрерывно дифференцируемый функционал на R* такой что 0WK. Из (3.3.57) и (3.3.69) получаем
吗 с Bw(e)b =+ а/к(е),(3.3.71)
или
_ dw0(£) 一
aiJ =叫
(3.3.72)(3.3.72)而(防一 Eij)《0V£* WK
(3.3.72)
(3.3.72)
для £ W К. Но ст = {万廿} представляет собой элемент внешнего нормального конуса к множеству К в точке £, поэтому (3.3.72) можно переписать в такой эквивалентной форме:
叩=№)+ “ g)> 〃》0, 〃°(£)― 0, °(£)4 0・(3.3.73)
Более общепринятым является термин эффект Ле Шателье. — Прим. ред.
Рнс. 3.3.13. Зависимость между напряжением н деформацией для одномерного резинового элемента: (а) реальная зависимость (схематически); (Ь) идеализированная зависимость.
Таким образом, если 0(£)v 0, то 〃 = 0, и материал ведёт себя как нелинейно-упругий материал. Если 0⑻=0, то никакое, ни конечное, ни бесконечное, приращение напряжений не может вызвать возрастания функции 0(£). Этот эффект называется эффектом идеального старения [184; 272]. Функцию 0(£)можно взять в виде
Q⑹=^ 喘叫一 х2, (3.3.74)
где £” =〔£力 ——девиатор деформации, или в виде
。⑹=& - х2). (3.3.75)
В обоих случаях х — положительная константа, характеризующая материал. Материалы, подчиняющиеся критерию старения (3.3.75), называются материалами ограниченной сжимаемости. Поведение резины и некоторых других пластичных материалов достаточно хорошо описываются определяющим соотношением для стареющих материалов (см. рис. 3.3.13 и [127]). Легко проверить, что если wo определено равенством (3.3.60), где Cj^, /, j, h, k = 1, 2, 3, принадлежат £°°(0) и удовлетворяют (3.3.61а, Ь), то w — строго выпуклая непрерывная функция от с, удовлетворяющая соотношению
w(e)》сеиец V£ € R* (3.3.76)
где с > 0 ——константа. Это неравенство будет использовано в гл. 6 при доказательстве существования решения одной краевой задачи для упругих идеально стареющих материалов.
Кусочно-линейная зависимость между напряжением и деформацией. В одномерных примерах на рис. 3.3.14 и 3.3.15 материал характеризуется более чем одним модулем упругости. Такие законы обычно
Рис. 3.3.14. Одномерные кусочно-линейные законы.
являются упрощением более сложных зависимостей между напряжением и деформацией (штриховые линии на рис. 3.3.14(b), (с)). Законы, представленные на рис. 3.3.14(a), (Ь), можно рассматривать как упругие аналоги упруго-упрочняющегося и жёстко-упрочняющегося материалов. Закон, представленный на рис. 3.3.14(c), упрощённо описывает поведение основания при одноосном сжатии. Разномодульный закон упругости, йзображённый на рис. 3.3.14(d), возникает в волокнистых композитах, которые ведут себя по-разному при растяжении и сжатии из-за эффекта потери устойчивости волокон [219]. Диаграммы на рис. 3.3.15(a), (Ь) описывают поведение недилатирующего элемента в механике горных пород. Этот элемент моделирует поведение интерфейсов в горной породе; он называется недилатирующим, если можно принять упрощающее дело предположение о независимости между сдвигом (£т, от) и сжатием(£», о»).
Приведём обобщение закона, представленного на рис. 3.3.14(a), для трёхмерной сплошной среды. Введём выпуклое множество
Рис. 3.3.15. Зависимость между напряжениями и деформациями для недилатирующего материала в механике горных пород.
К - (с1с ^ £о) и оператор
取⑹=епри ""(£0 ПРИ £
проектирующий IR6 на это выпуклое множество. Тогда диаграмму на рис. 3.3.14(a) можно описать равенством
а ~ £ tg v?i + (/ — &)⑹(tg 依—tg 6),(3.3.77)
где /——тождественный оператор. В трёхмерном случае К——замкнутое выпуклое подмножество пространства IR6 тензоров деформации с, такое что 0€К, я Рк — оператор проектирования на К. Рассмотрим теперь суперпотенциал
w(£)= j Cyhk£ij£hk + 古(£" - [&(£)]")(£炉-[&(£)]"), Д > 0. (3.3.78)
Это приводит к следующему закону:
otj = Cijhk^hk +；【(/— &)£]炉・(3.3.79)
Аналогично можно записать разномодульный закон упругости для трёхмерного тела. Соотношение (3.3.71) формально получается из (3.3.79) при д -► 0, если w。 выразить из (3.3.60). Заметим, что (3.3.77) можно также записать в виде
_…壷。+(f。(誘-壷}33.80)
где К = {а]а ^ а0}. Тогда плотность дополнительной энергии згдшсы- вается в общем виде
*9) = ； Cijhk^ijahk + 专 ® -[尸貝。)切Su -[尸NSh/), д > 0, (3.3.81) где с = [cijhk}——обратный тензор Гука, удовлетворяющий условиям симметричности и эллиптичности, аналогичным (3.3.61). Множество К является замкнутым выпуклым подмножеством пространства R^ тензоров напряжения ст, а Д > 0 — константа. Множество К и константа Д должны быть согласованы с /С и д. Если Д -* 0, то формально получаем определяющее соотношение
£ € awYs = a Q cijhk^hk + 左9)),(з.з.82)
которое служит обобщением на случай трёхмерной сплошной среды
определяющего соотношения, изображенного на рис. 3.3.15(a). Действительно, если К = (a I F(a) ^ 0], где F: R。-► r一непрерывно дифференцируемая функция, то (3.3.82) превращается в
£у = CijhkUhk + 入 п—,入》0,戶(о) W 0, XF(O)= 0.(3383)
Такой материал является упругим аналогом упругого идеально-пластичного материала. Поскольку (3.3.83) не содержит скоростей деформаций и напряжений, такой материал называют ещё «голономным» упругим идеально-пластичным материалом (см. п. 3.3.3). Если в (3.3.83) с = {cijhk} = 0, то мы получаем зависимость между напряжением и деформацией для материала Хенки [275]. Выражения для трёхмерных аналогов кусочно-линейных законов, изображённых на рис. 3.3.14(b), (с), могут быть получены соответственно из (3.3.81) и (3.3.78) отбрасыванием «упругих» членов
勿=1 (电一[尸斤(0)]力，
6j = L ®J - [Рк⑹ij).(3.3.84)
Наконец, трёхмерные обобщения кусочно-линейных зависимостей, имеющих более одного излома, получаются примерно так же, как и в случае (3.3.78), — надо рассмотреть не одно, а несколько выпуклых множеств и соответствующие проекции. Другой метод описания кусочно-линейных законов (напряжение ——деформация) можно найти в [182; 219]. Используя (3.3.78), можно также убедиться, что отображение 丨£ - Рк(£)12 (здесь I• I обозначает норму в IR6) удовлетворяет неравенству
0《"一&(е)|2 — 1е° — Рк(е°)|2
-2(£° - Рк(£°), £ - £°) ^ 1£ - £°12.(3.3.85)
Таким образом, функционал w является непрерывно дифференцируемым и строго выпуклым и удовлетворяет (3.3.76).
Деформационная теория пластичности [333, 156]. Пусть определяющее соотношение имеет вид
®*,(3.3.86)
3(1 - 2*)
"® = aт)吸吟 展=*唸 1 =碌&(3.3.87)
Здесь 丿‘一объёмный модуль материала, g — однозначная функция на Г, удовлетворяющая условиям
——=а(Г)》с】，=ВТ)》。2,(3.3.88)
Г2"
где сь С2 — положительные константы, а — непрерывно дифференцируемая функция на Г. Это соотношение можно переписать в виде (3.3.57)
Е _ V
叩⑹=2^—圆 + 丨 g(「)"・(3.3.89)
6(1 — 2 叫 J
Очевидно, что функционал w является строго выпуклым и непрерывно дифференцируемым и удовлетворяет (3.3.76).
Субдифференциальные определяющие соотношения.!!
В этом пункте изучается ещё один класс определяющих соотношений, а именно соотношения, которые можно записать в виде
0£切(0).(3.3.90)
Предполагается, что (3.3.90) выполняется поточечно в течение всего процесса деформации. Здесь w — суперпотенциал (w £ Го(ГР6)), и = =и(х, 0 ——тензор напряжений Коши, a D = D(x, f)——тензор скоростей деформации в точке х.
При лагранжевом описании движения можно задать суб дифференциальные соотношения между производной по времени от тензора напряжений П)нна Е и тензором напряжений Пиолы ——Кирхгофа £ (см. добавление I). Производная по времени от тензора напряжений Грина в декартовой системе координат имеет вид
Е炉= 7^ = Q(Ujj+ Uj,『+ U&叫u/cjUk,D,(3.3.91)
где
Vij = dvi/dXj9 叨=dXi(X9 t)/dt = u,(X, f).
В случае малых перемещений и малых градиентов перемещений эйлерово описание движения совпадает с лагранжевым, и из (3.3.91) следует, что (см. добавление I)
£了 = £炉== Dij.(3.3.92)
В этом случае (3.3.90) принимает (неголономный) вид
u£aw®.(3.3.93)
Соотношения, обратные к (3.3.90, 93), можно записать при помощи сопряженного суперпотенциала w‘：
D € аи»с(и) и £ € аи»с(и).(3.3.94)
Рис. 3.3.16. Поведение различных вязких материалов (одномерный случай); (а) жестко-идеально-пластичный материал; (Ь) жестко-вязко пластичный материал (жидкость Бингама) [274]; (с) жидкость с двумя значениями вязкости.
Если w также зависит от х н 厶 то (3.3.90) и (3.3.93) можно переписать соответственно в виде
о € dw(D, х, 0 и o£aw(g, х, 0-(3395)
Ниже приведены некоторые примеры, иллюстрирующие законы (3.3.90, 93).
Идеально-пластичные материалы. Зададим замкнутое выпуклое содержащее нуль подмножество К пространства fR6 формулой К = {и丨戶3)《0}, где 戶一некоторая непрерывно дифференцируемая функция, называемая функцией текучести материала. Рассмотрим соотношение
0£风(0)，(3.3.96)
которое также может быть записано в виде (см. (3.3.83))
О"=入盥，入》о,戶(о)《о,XF(a) = 0.(3.3.97)
Таким образом, мы получили определяющие соотношения для жёсткоидеальнопластичного материала (см. рис. 3.3.16). В случае малых деформаций D в (3.3.97) заменяется на тензор скоростей пластической деформацией
Для того чтобы получить закон Прандтля ——Рейсса для упруго- идеалънопластичных материалов, достаточно взять определяющее соотношение вида
iсо + 畋(и),(3.3.98)
面=硫+磺=CijhkOhk + 人 ^—,
Х>0,戶(и) & 0,XF(u) = 0.(3.3.99)
Рассматриваемый как вектор пространства fR6 тензор £р является элементом внешнего нормального конуса к множеству К в точке о (рис. 3.3.17). Если граница множества К имеет угловые точки, скажем, если К ="丨&(。)《0, % = 1, 2, ..., /и}, то в угловой точке
т
圆=£方+ Z从空，从》0,
&(u) & 0,Kt&(。)= 0, к = 3 …，т.(33100)
Очевидно, что тензор скоростей пластической деформации удовлетворяет для о ^К неравенству
計(明-。力 < о Va°€ К;(3.3.101)
это хорошо известный постулат устойчивости Друккера1, или принцип Хилла максимума пластической работы [141; 142; 278] (см. также § 4.3). По поводу возможных видов критерия текучести 尸(и)《0 адресуем читателя к руководствам по теории пластичности. Вообще говоря, критерий текучести может зависеть от времени и от пространственных координат, тогда в (3.3.96, 97) следует записать К = К(х, /)•
'Точнее, постулат ограниченной устойчивости в целом [266].
До сих пор рассматривался лишь случай нагружения. Для того чтобы охватить случай разгрузки, дополним (3.3.99) условиями
入=0, если 戶(и) < 0 или если 戶(и) = 0 и 户(и) < 0,(3.3.102)
入》0, если 戶(и) = 0 и 户(и) = 0.(3.3.103)
Соответственно мы можем записать определяющее соотношение в виде (3.3.98), где
唠(明-。炉)&。V(T0 € К, если 戶(и) & 0,(3.3.104)
唠向=0,если 戶(и) = 0.(3.3.105)
Поверхность текучести может менять форму в процессе деформации (эффект упрочнения). Таким образом, в общем случае можно считать, что критерием текучести служит условие 戶(и, А(У), А) & 0, где А — тензор, Л — скаляр.
Жёстко-вязкопластичные материалы. Используя метод, с помощью которого мы изучали кусочно-линейные законы напряжение——деформация в предыдущем пункте и введённые там обозначения (см. (3.3.81-84)), рассмотрим суперпотенциал
= ^ L _ Рк(0)\2, д > 0,(3.3.106)
где К -^ [о\戶(и) < 0] — выпуклое замкнутое подмножество в fR6, такое что 0£К, F——непрерывно дифференцируемая функция. Константа д называется коэффициентом вязкости. Определяющее соотношение
DedJ^o)(3.3.107)
является обобщением на трёхмерный случай закона, изображённого на рис. 3.3.16(b). Оно описывает жёстко-вязкопластичный материал, называемый также жидкостью Бингама. Это соотношение можно записать в виде
(3.3.108)(3.3.108)D = ^ (и - Рк(и))・
(3.3.108)
(3.3.108)
Если 戶(и) < 0, то материал ведёт себя жёстко, а если 戶(и)》0, то вязко. Предполагая, что 戶(и) имеет вид
(3.3.109)(3.3.109)戶(и) = ^ 做# - g2 =皿—g2 & 0
(3.3.109)
(3.3.109)
(такие функции впервые рассматривал Мизес), получим7
Ясно, что наш материал является несжимаемым: div и = D** = 0.
Dij =Dij =ООесли ац < g,если ац2》g・если ац < g,если ац2》g・(3.3.110)(3.3.110)
Dij =
Dij =
О
О
если ац < g,
если ац2》g・
если ац < g,
если ац2》g・
(3.3.110)
(3.3.110)
Соотношение (3.3.107) можно записать в обращённой форме
(3.3.111)(3.3.111)uWM(0),
(3.3.111)
(3.3.111)
откуда получаем следующую зависимость между и н D:
если Du Н 0,если Dn = 0.если Du Н 0,если Dn = 0.(3.3.112)(3.3.112)В/ = ~р5у + g ^р2 + 2向％, 。*2 4 g.
если Du Н 0,
если Dn = 0.
если Du Н 0,
если Dn = 0.
(3.3.112)
(3.3.112)
Здесь Dji = j DijDij9 a p ——скаляр, который можйо интерпретировать
как давление жидкости.
Существуют материалы, поведение которых хорошо согласуется с приведенным выше законом, например жидкий бетон, некоторые смазочные вещества. Если имеет место термомеханическое взаимодействие, то коэффициент д является функцией температуры. Более подробную информацию о жидкостях Бингама можно найти в [224; 274].
Упруго-вязкопластичные материалы. Пусть определяющее соотиошшие имеет вид
£ = ££ + 产 € Cff + М(。)，£ = ££ + 产 € Cff + М(。)，(3.3.113)(3.3.113)
£ = ££ + 产 € Cff + М(。)，
£ = ££ + 产 € Cff + М(。)，
(3.3.113)
(3.3.113)
где 〃 задано равенством (3.3.106). Это соотношение описывает упруго-вязко-пластичное тело.
(V)Упруго-вязко-пластичные материалы [59]. Для таких материалов тензор скорости деформации есть сумма упругой части е£, вязкой части £у и идеально-пластичной части $р. Определяющие уравншия можно записать в виде
(3.3.114)(3.3.114)£ = £七 + £‘ + £尸 € Си + + а/дг(。).
(3.3.114)
(3.3.114)
2〃
(vi) Упруго-вязко-вязкопластичные материалы [106]. Аналогично (3.3.113) имеем
(3.3.115)(3.3.115)г = гЕ + iv + evp ^си + — + "М。),2д1
(3.3.115)
(3.3.115)
где, вообще говоря, /и # Д2-
(vii) Упруго-пластично-вязкопластичные материалы1 [59]. Для таких материалов
'С помощью субднфференциалов можно получить обобщшие определяющих соотношений для вязкоупруго-пластичных материалов [59], например можно обобщить закон Нортона — Хоффа [105; 107) для задачи об установившемся режиме ползучести.
тензор скоростей деформации записывается следующим образом:
£ = £Е + £р + £уреса + д1к(о) + MS).(3.3.116)
Описание процессов нагружения и разгрузки для материалов последних трёх типов можно найти в [59]. В §4.3 будет изучен другой важный класс материалов, которые подчиняются субдиффереициальным определяющим соотношениям.
Для задач в приращениях можно рассматривать определяющие соотношения вида
о € dw(c) или £ £ dwc(o).(33117)
Пример такого определяющего соотношения будет приведен при изложении теории пластического течения.
(viii) Предположим, что сплошная среда дискретизована соответственно подобранными конечными элементами. Скорости напряжения и деформации z-ro элемента будем обозначать через 每 и ёь Упругопластическая зависимость в приращениях между напряжением и деформацией рассматривалась в [190; 191]. Предполагается, что эта зависимость линейна; следуя Майеру [188], будем считать, что она имеет вид (по i не суммировать!)
ё,- = ef+ ef= F0,s,- + ё/： ef= V,X„(3.3.118)
E = N『S； -HA, 爲》0, E《o, XfF, = 0.(3.3.119)
Здесь Fg — матрица гибкости z-го элемента, а № — матрица, составленная из градиентов № =伍网/3s尹)1 萨)(/ = 1, 2, •・.,/п) функций текучести №, которые равны нулю для напряжённого состояния §?). Матрица V, составлена, как и матрица №, из градиентов V-/ = (32?/ /8§尸))1§⑺ пластических потенциалов. Вектор Е образован из производных' от функций текучести 司，碎 …，闻 вектор * — из /п производных коэффициентов пластичности X/, X?, ..., Х^ матрица Н/ — это (m х /и)-матрица взаимоупрочнения; индекс Т обозначает операцию транспортирования вектора или матрицы. Данная теория включает в себя случай неассоциированных законов течения (отсутствие нормальности: V/ Н Nt), случай упрочнения в соответствии с гипотезой Койте- ра (И = diag(/Z/, ..., Н^), Н{ > 0, j = 1, .. .t m) или с гипотезой Манделя (Н» — симметричная положительно-полуопределённая матрица), а также случаи разупрочнения. С помощью субдифференциатов соотношения (3.3.118, 119) можно записать в виде
4?€ -Vi{ak(HA・ 一 N爲)，К = {力 ly,》0],(3.3.120)
т. a -ef есть результат применения оператора V/ к элементу HQ - -N氐 внешнего нормального к множеству К конуса. Тогда определя-
ющее соотношение примет вид
ё, € Fo/s； - V;{a〃(HQ - N,§) 1.(3.3.121)
Это соотношение можно обобщить, вводя в рассмотрение дополнительные суперпотенциалы, описывающие вязко-пластические эффекты, например так:
ё, € F。向一V( {"к(НА・一N爲)} + 玄 QE{aw^Si)].(3.3.122)
В механике сплошных сред мы часто сталкиваемся с более сложными законами. При помощи понятия суперпотеициала их удаётся записать в форме, позволяющей учитывать разрывы иепрерывиости феноменологической природы, возникающие во многих прикладных задачах. Так например, хорошо известно, что если в определяющем соотношении
ст = ^о/ + wiD + gD’ + т, т € 31K(D),(3.3.123)
где К — выпуклое замкнутое подмножество в IR* а ^, / = 0, 1, 2, — функции плотности и главные инварианты девиатора D [20], отбросить т, то получится описание жидкости Райиера—Ривлииа. Если же т присутствует, то (3.3.123) описывает ту же жидкость, но с учетом эффекта старения. Такое эвристическое расширение строго обоснованного определяющего соотношения для жидкости Рнвлена ——Эриксена приводит к задаче изучения многозначных законов методами рациональной механики.
Распространение суб дифференциальных соотношенийна функциональные пространства
В трёх предыдущих пунктах были введены поточечные суб дифференциальные определяющие соотношения и граничные условия. Суперпотенциалы задают зависимость между величинами, скажем а и £ или S н 〃，в каждой точке множества R или его границы Г. В этом пункте мы распространим субдифференциальные соотношения на функциональные пространства. Это необходимо для постановки и изучения любой краевой задачи, связанной с суб дифференциальными граничными условиями и определяющими соотношениями. С точки зрения механики это необходимо для вывода и изучения соответствующих вариационных принципов. Грубо говоря, ниже изучается следующий важный вопрос: если и»(£(х)) € Го(0?6), то каковы свойства jw(£(x))JO?
а
Как мы увидим, этот вопрос тесно связан с теорией интегрирования выпуклых функций [34; 287; 290].
Пусть, вообще, (Е,囲 д) — некоторое пространство с положительной конечной мерой, д(£) < оо. Если А: Н-^^Н)——многозначный оператор и Н—гильбертово пространство, отождествлённое со своим
сопряжённым» то можно определить оператор А на Z2(E, Н) (продолжение Л на LZ(E, /7)), положив
/£у4(〃)о /(х) € Л(и(х)) д-п.в. на Е.(3.3.124)
В [29]^доказано, что если Л ——максимальный монотонный оператор, то и Л тоже максгхмальный монотонный оператор.
Предложение 3.3.1. Пусть Л = д^, где «— выпуклый п.н.сн. собственный функционал на Н. Для u € LZ(E, Н) определим функционал Ф формулой
1 j 3("(月))а，если з(")€£1(£),
Ф(и) = е(3.3.125)
оо в противном случае.
Тогда Ф является выпуклым п.н.сн. собственным функционалом на L2(Ef Н)9 причём Л = ЭФ, т. е. ЭФ служит продолжением 沁 на £2(е Н).
Доказательство. Так как « п.н.сн., то функционал «(〃(•)) измерим на Е для любой функции “, интегрируемой на Е. Очевидно, что Ф является выпуклым и собственным. Для того чтобы доказать его полунепрерывность снизу на LZ(E, Н)9 достаточно показать, что над график epi Ф замкнут, т. е. что замкнуто множество {(u, X)] 1и € А2(£, И), XeR, Ф(и) < X]. Пусть {ип} —последовательность элементов из 1(Е, /7)П GD(6), такая что Ф(ил) < X и ил -► и € £?(Е, Н). Тогда у неё найдется подпоследовательность, которую снова обозначим {“J такая что 〃“х) т 〃(х) д-п.в. на Е. Покажем, что Ф(м) < X. Пусть а € £>(д^), Ъ € д^(а), а, bwH. Тогда
g(〃Q = зЗп) - з(〃)-(仇 мл 一 а)н》0 д-п.в. на Е, (3.3.126) а поскольку g п.н.сн., то
lim inf g(Un)》g(〃)= «(〃)- «(a)-(仇 u - 〃)“ д-п.в. на E (3.3.127) и
g(〃)》0 Pu W H：(3.3.128)
Чтобы применить лемму Фату, надо убедиться, что функционал g(u) измерим, т. е. что множество {х\х^Е, g(R(x))》а| измеримо для любого а € fR. Но это действительно так, ибо множество {u(x) I u(x) € Н, g("(x))>a} открыто. Из леммы Фату следует, что
j g("(x))d〃 W j lim inf g(%(x))d〃 EE
W lim inf j g(〃n(x))d〃，(3.3.129)
E
и, значит,
j w(“(x))d〃 W Hm inf j w(%(x))d〃 EE
=lim inf Ф(ми)《X.(3.3.130)
Следовательно, Ф(и) W X. Для того чтобы показать, что Л = ЭФ, докажем эквивалентность следующих двух условий: для и, /€ L2(E9 //)
Ф(у) - 6(〃)》j (Л и - “)н〃 Vu € L2(E, //);(3.3.131)
Е
w(u(x)) - w(〃(r))》(/(x), u(x) - и(х))н
д-п.в. на E Vy € L2(E, //).(3.3.132)
Из (ii) немедленно следует (i). Докажем обратное. Пусть S — производное д-измеримое подмножество в Е. Положим в (3.3.131)
и = f "ОО на Е\ S,I w(x) на £
Тогда
j (?(w(x)) - ?(“(х)) - (Дх), w(x) - uix^Hdn》0.(3.3.133)
Так как (3.3.133) справедливо для любого S, то (ii) выполнено. □ Для полноты изложения докажем ещё следующий результат:
Предложение 3.3.2. Каждое из вариационных неравенств (3.3.131, 132) эквивалентно следующему условию:
найдётся A U Е, такое что д(Л) = 0
и
W(u) - ^(м(х))》(/(X), и - и(х))н Рх W Е、A Vu € Н.(3.3.134)
Доказательство. Для того чтобы установить эквивалентность (ii) и (iii), рассмотрим в [£2(Е, /7)Г монотонные графики 夕4) н .兔力2)операторов 4 и /2, задаваемых следующим образом: /е Л1(и) (соотв. /€ 力2(〃)) тогда и только тогда, когда/и и удовлетворяют (3.3.132) (соотв. (3.3.134)). Очевидно, У(4) С .兔4)・ Покажем, что 4 — максимальный монотонный оператор и, следовательно, ДЛ2)=.仪/i). Для этого, в силу предложения 2.6.2, достаточно показать, что оператор / + 力2 сюръективен, т. е. что для
каждого /€ £?(瓦 //) найдётся и € £2(£, /7), такое что /€ (А2 + /)以.Для любого /€ Н вариационное неравенство
(и, и - м)а + р® —夕(м)》(Л и - м)а Vy € Н(3.3.135)
имеет решение и W Н. Действительно, функционал П(м) = 11〃11%/2 + w(〃) - (Л м)я достигает минимума на Н (см. предложение 2.2.1). Далее, этот минимум единствен, и отображение /-♦ % переводит сильно сходящиеся последовательности {fn\ в Н в слабо сходящиеся в Н последовательности [unJ [28]. Поэтому для любого /€ £2(£, Я) найдётся элемент м, такой что
(〃(х), и 一 м(х))н + w(u) - w(〃(x))》№), и - м(х))н
д-п.в. на £ Vv € Н. (3.3.136)
Но это и означает (см., например, [28]), что функция и измерима и принадлежит
В случае когда Е = Q (связное множество, с мерой Лебега) и Н = R* из предложения 3.3.1 вытекает, что функционал 砲 заданный на 比2(口)代 формулой
f w(£(x))dfi, если w®£/?(0),
巾(£)=n(3.3.137)
оо в противном случае,
будет выпуклым, п.н.сн. и собственным, если w обладает теми же свойствами на R* Далее, из доказанной выше эквивалентности условий (i) и (ii) следует, что
a € dW^ £, 卄€[/?(0)]6(3.3.138)
тогда и только тогда, когда для и(л% е(х) € fR6 выполнено включение
а(х) € dw(£(x)) п.в. в Q.(3.3.139)
Аналогично соотношения
£(х) € dw^CaCx)) п.в. в R(33140)
и
wc(a(x)) + w(£(x)) = %(х)и炉(х) п.в. в R(33141)
выполнены тогда и только тогда, когда соответственно
£ € ЭРГ(а),£,。£ [丄2(а)]б(3.3.142)
и (см. предложение 2.5.5)
疗付)+ 歹(£)=(£, а),(3.3.143)
где
1 i wc(ff(x))dO, если >уС(и) w 2?((2),
疗(о) =о(3.3.144)
оо в противном случае.
Функционалы % и 疗 выражают потенциальную и дополнительную энергии внутренних сил рассматриваемого тела. Аналогичным образом могут быть распространены на [L2(0)]6 поточечные соотношения (3.3.90) и (3.3.93).
Для того чтобы обобщить суб дифференциальные граничные условия на п. 3.3.1, применим предложение 3.3.1, положив Е = Г (с обычной мерой Лебега) и Н = IR3, если, скажем, рассматривается, соотношение (3.3.8), или Н = ^, если рассматривается (3.3.7) или (3.3.55), и т. д. Ниже мы дадим обобщение соотношения — 5(х) € Э/(и(х)) на Z2(r). Аналогичный метод применим и к другим типам субдифференциальных граничных условий.
Функционал7
f j(u(x))dr, если /(〃) € L1^),
m(〃)= Г(3.3.145)
оо в противном случае
является выпуклым п.н.сн. собственным функционалом на [丄2(「)]3. Для и, 5 € [Ь2(Г)]3 соотношение
-swam®(3.3.146)
выполнено тогда и только тогда, когда
-S(x) W а/(〃(х)) п.в. на Г.
(33147)
Очевидно, что (3.3.146, 147) эквивалентны обратным
соотношениям
и€дФс(-5)
(3.3.148)
и
〃(х) W a/c( — S(x)) п.в. на Г,
(3.3.149)
а также соотношениям
Ф(м) + Фс(-5) = - j M/WSi^JT
Г
(3.3.150)
'Для простоты мы часто будем опускать х в тех выражениях, которые предполагаются выполненными поточечно.
八〃(Х))+/(-S(x)) = ~Ui(x)Si(x) п.в. на Г,(3.3.151)
где
[jc(-S(x))dT, если /(-5)^40，
ФЧ-S) = Г(3.3.152)
оо в противном случае.
Мы часто будем предполагать, что w W [/f1^)]3. Тогда w —①(〃丨 f) является выпуклым п.н.сн. собственным функционалом на [//1 (О)]3, в силу непрерывности следового отображения. Обозначим через Ф сужение ① I[“i/2(f)f функционала Ф на [//1/2(Г)]3, предполагая, что Ф не равен тождественно +8 на //1/2(Г). Тогда ЭФ и ЭФ задают максимальные монотонные графики в
[£2(Г)]3 х [£2(Г)]3 и [Я1/2(Г)]3 х [Я"1/2(Г)]3
соответственно. Во многих краевых задачах встречаются граничные условия, записанные для w € [/f^O)]3 и S € [Н~ 1/2(Г)]3 в виде
Ф(7и) - Ф(7м) ^ <-S, 7v - уи} WuW[Hi(R)F・ (3.3.153а)
Так как следовое отображение и т)и является сюръекцией [/f^O)]3 на [Н1/2(「)]3, из(зз153а) следует неравенство
&® - Ф(7м)》〈-S, и - ¥〃〉 Wu W [H】/2(r)F,(3.3.153b)
которое эквивалентно включению
-S W 施6〃)или уи W ЭФс(-5).(3.3.154)
Напомним, что <•,*> обозначает каноническое спаривание между [Н”2(「)]3 и [//-"2(「)]3, которое для Sw [Z2(r)]3 задаётся интегралом ]Sj(叫-Ui)dT. Далее черту над Ф и символ 7 мы будем опускать, если г
это не может привести к недоразумениям. Условие (3.3.154) — ослабленная форма граничного условия (3.3.8), ибо полная их эквивалентность гарантируется, только если S € [Z2(r)]3.
Предложения 3.3.1 и 3.3.2 можно обобщить на случай, когда вместо Н берётся банахово пространство X с сопряжённым X', u£LP(E, X), f£LP'(E, X、где 1《。《8, “
——сопряжённый с р показатель [28]. Дополнительные сведения по этому вопросу можно найти в [126].
Пусть Ф — собственный функционал на [//1/2(Г)]3. Будем говорить, что Ф разложим^ если существуют два собственных функционала: Ф^,
заданный на //1/2(Г), и Фт, заданный на Нт(Г) (см. п. 1.4.3), таких что Ф(и)=①“(и“)+ ①т(ит)Vu W [Н1/2(Г)]3,(3.3.155)
где
U = {uj, Vi = tw修 4- и7}-
Предложение 3・3・3・ Пусть граница Г достаточно регулярна7, а функционал Ф на [/fi/2(r)]3 является собственным и разложимым. Если Ф выпукл (соотв. п.н.сн.), то Ф^ и ①丁 также выпуклы (соотв. п.нхн.), и наоборот.- Далее,
①'(У)=①后(4) + ФИГг) WTW [НТ〃т)]3,(3.3.156)
где
伍 V)=〈及，u“〉i/2 + {Тт, vt)ht Vu € [ff1/2(r)]3.(3.3.157)
Доказательство. Так как Ф п.н.сн., то для любой последовательности {v„}, сильно сходящейся кив [//"«г)]* справедливо неравенство
①n(un) + Фт(ут) = Ф(у) & Um inf Ф(ип)
=lim inf [①Mu〃n) + Фт(уит)]. (3.3.158) Рассматривая последовательность {и〃} = {и〃м + ”}, где vt фиксировано и таково, что ①тС”)< оо, устанавливаем полунепрерывность снизу функционала Ф^. Аналогично доказывается полунепрерывность снизу функционала Фт- Обратные утверждения верны, так как [Hi/2(F)]3 изоморфно Нт(Г) х /71/2(Г). Утверждение о выпуклости очевидно. Замечая, что
旷⑺=sup [(7；力一①(叨
u€ 附〃(Г)Г
= SUp 1《Tn, W>l/2 — Ф^(y^)] 4- sup [{ 7г» VT)Hr — ^г(ут)] ру€Я1/2(Г)иг€Яг
=Ф^(Т^) + Ф^(Тг),
получаем (3.3.156). □
Приведём ослабленные формы некоторых граничных условий.
Предположим, что заданы CtWHt и Cn€ № 1/2(Г), и рассмотрим граничные условия
Иг = Ст и S“ — Gv・(3.3.159)
Годится, чтобы она была С1,^регулярна [150].
Зададим на [//1/2(Г)]3 функционал Ф формулами (см. (3.3.155))
①N(UN)= — <Cv, UN〉l/2 (w € /f1/2(r)),(3.3.160a)
力 r(U7)=f° при ur：5 (ur£"r).(3.3.160b)
(ОО при VT^ Ст
Функционал Ф принадлежит классу Го([//1/2(Г)]3) и разложим. В силу
предложения 3.3.3 выполнено (3.3.156). Так как для 丁^旷‘几①)
(3.3.160с)(3.3.160с)力*(Tn) = f " еспн 加=-Cn,/ оо в противном случае
(3.3.160с)
(3.3.160с)
и для Тт W Нт
Ф^Тт) = <Тт, С0Нт,Ф^Тт) = <Тт, С0Нт,(3.3.160d)(3.3.160d)
Ф^Тт) = <Тт, С0Нт,
Ф^Тт) = <Тт, С0Нт,
(3.3.160d)
(3.3.160d)
то
(З.ЗЛбОе)(З.ЗЛбОе)工f〈％ ст〉％，если Tn = / оо в противном случае.
(З.ЗЛбОе)
(З.ЗЛбОе)
Используя Ф и Фс, можно записать граничные условия (3.3.159) в форме (3.3.154). Если С^еЬ2(Г), то условия (3.3.159) эквивалентны поточечным граничным условиям
ит(х) = ст(х) и Sn(x) = Cn(x) п.в. на Г.(3.3.161)
Пусть задано CtW Hj. Рассмотрим граничное условие Синьорины —Фикеры
〃n W 0 п.в. на Г,
《Sn, Un〉\/2 = Q, Sv wo В Я,/2(Г),
(3.3.162)
ST= Ст・(3.3.163)
Следует отметить, что последнее из соотношений (3.3.162) по определению эквивалентно неравенствам (см. (1.3.17))
〈Sn, u“〉i/2》0 Vv/v € //1/2(Г), и“《0 п.в. на Г. (3.3*164) Далее, функционал Ф определяется на [//1/2(Г)]3 с помощью (3.3.155), причём для vn^ Н1/2(Г)
f 0, если 次《0 п.в. на Г,_ * .
①(3.3.165)
[оо, если vn > 0 на Г1 С Г c mes Г1 > О, а для иг W Нт
①丁(иг) = — <Сг, ит〉н厂(3.3.166)
Для WwHT/”)имеем
^n(Tn) = f 0, если Tn "О,(3.3.167)
(8 в противном случае,
а для Тт^ Нт
力我77)= Г °' если Тг= —б，(3.3.168)
(8 в противном случае,
Следовательно, Фс(7) удовлетворяет (3.3.156). Если Sn^ [£2(Г)]3, то (3.3.162) эквивалентно поточечному условию (3.3.22). Таким же образом можно рассмотреть случай одностороннего контакта с деформируемым основанием.
Пусть St0 W 丄飞口，причём ess inf S% > 0. Обозначим через / /', /■ и /f соответствующие инъективные отображения:
/ Н】/2TL2Tb /'： £2(Г)^Я~1/2(Г),/乃：Нтт £丁 = {и W [£2(Г)]3, vint = 0 п.в. на Г),"Lr-W.
Очевидно, что и — {uN, vt} является изометрией [£2(Г)]3 на £2(Г) х х £「. Рассмотрим следующие граничные условия:
если St£ Н% St = /}Кт, St € Lt и I Srl < Sr0 п.в. на Г,
(3.3.169) то 〃丁 = 0 (так что 〃丁 WH「)；
если StW Hf, St = ^т§т9 S^WLtH |£丁| = Sr。п.в. на Г,
то найдётся 入》0, такое что
〃丁 = — XSr, UtW Нт,(3.3.170)
Sn=Cn в Я~1/2(Г).(3.3.171)
Легко проверить, что соотношения (3.3.169, 170) эквивалентны соот-
ношениям
-Sr W 3FrQ^ur), где
R(u) = j 5тььIJT
St = /历，
для и W Lf.
(3.3.172)
(3.3.173)
Условия форме:
(3.3.172) можно сформулировать
St = /т^Тъ 15т1《Sr。п.в. на
Sjo 1 wrl + S^UTi = 0п.в. на
в такой
г, Г.
эквивалентной
(3.3.174)
Функционал Ft задаётся на £丁 соотношением
/^⑺=еспн T^Lt, I fl ^ Sr<, п.в. на Г, (3.3.175) (8 в противном случае.
Для того чтобы записать (3.3.169, 170) в виде (3.3.154), положим Фг = Ft ° 产г、Тогда
0, если TWH% где Т = /}Т, TwLr,
$貝刀=\Тт\ ^Sr0 п.в. на Г,(3.3.176)
оо в противном случае.
Следовательно, (3.3.169, 170) можно переписать в эквивалентной форме (см. (2.4.13))
—St € ЭФг(^г)> или 〃丁 W 8①今( — Sr)(3.3.177)
на Нт х Нт для St = /齐弘.В некоторых случаях, используя специфику рассматриваемых суперпотенциалов, можно сделать полезные заключения. Например, используя вид суперпотенциала ①丁, можно вывести из (3.3.177), что
兽 £[Г°Т)]3 и |兽| с,(3.3.178)
даже если St не принадлежит образу оператора /^ [84]. Действительно, из неравенства
《S「，иг — ит)нт + j S?b(Iуг1 — \ur\)dT》0 VurW Нт (3.3.179) г
вытекает, что
《Sr, и〉+ j SjJul JT —(《Sr, ut)ht + j 5ть1^т1</Г)》0 гг
Vv € [Я1/2(Г)]3,(3.3.180)
так как lul》2” и (St, ут>яг = <5г, и〉. Заменив в этом неравенстве и на 士入力，入》0, и поочередно полагая X = о и X -> оо, получим соответственно
(3.3.181)(3.3.182)(3.3.181)(3.3.182)《Sr, ut)ht + j St0 \ ur\dT g0 г
(3.3.181)
(3.3.182)
(3.3.181)
(3.3.182)
1<5т, u〉l g j StJuIJT Vu € [Я1/2(Г)]\ г
Из (3.3.182) следует, что линейная форма ut〈StS^\ S*u〉 непрерывна на [//1/2(「)产 в топологии, индуцированной из [£!(Г)]3 (предполагается, что это пространство снабжено нормой [Sj^luldr1). Но г
[“1/2(「)]3 плотно в [£!(Г)]3, следовательно, (3.3.178) выполнено. Таким образом,
IStI W Sr。 п.в. на Г.(3.3.183)
Из (3.3.181) и (3.3.183) вытекает, что
〃冗 + 5г0 \ ит\ = 0 п.в. на Г.(3.3.184)
Отсюда и из (3.3.183) получаем поточечные соотношения (3.3.27, 28).
Если определяющие соотношения зависят от х н, возможно, от /, как например в теорнн упруго-пластичности прн К = К(х, /), то предложение 3.3.1 неприменимо. Для полного описания поточечных субдифференцнальных определяющих соотношений необходимы элементы теории интегралов от выпуклых функций [152; 287; 290]. Сформулируем без доказательства некоторые результаты, получающиеся применением этой теории к определяющему соотношению
и(х) € Зит)(х, D(x)).(3.3.185)
Введём функционал
г
jw(x, D(x))dU, если w(・，/)(•)) € £!(Q),
W{D) = W(3.3.186)
oo в противном случае.
Если w — нормальная выпуклая подынтегральная функция на Q х fR6 в смысле Рокафеллара, удовлетворяющая некоторому условию роста, то W € Го([£2(О)]6) и функция oW [£2(Q)]6 принадлежит 8W(D) тогда и только тогда, когда ст(х) W aw(x, Z)(x)) п.в. на Q. Если W зависит ещё и от /, то в (3.3.186) можно заменить Q на Q х (0, 7), и в этом случае получаются аналогичные результаты.
ГЛАВА 4
Вариационные неравенстваи многозначные выпуклыеи невыпуклые задачи в механике
В первом параграфе этой главы изучаются два общих типа вариационных неравенств и предлагается общая схема вывода вариационных «принципов», записанных в форме неравенств. Во втором параграфе при помощи понятия субдифференцируемости изучаются задачи о сосуществующих фазах. Рассматриваются также задачи минимизации для гиббсовых состояний. В третьем параграфе представлена попытка обобщить понятие суперпотенциала на невыпуклые функционалы энергий при помощи понятий обобщенного градиента Кларка и производного множества Варги. Далее вводятся полувариационные неравенства, для них доказываются условия субстационарности, обсуждаются некоторые специальные классы определяющих соотношений и граничных условий, приводящих к подобным задачам. Завершается глава параграфом, в котором задачи на неравенства изучаются с привлечением многозначных интегральных уравнений.
ДВА ОБЩИХ ТИПА ВАРИАЦИОННЫХНЕРАВЕНСТВ И ВЫВОД ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВМЕХАНИКИ В ФОРМЕ НЕРАВЕНСТВ
Л. Вариационные неравенства типа фикеры
Пусть V — вещественное гильбертово пространство и и, v € И Рассмотрим симметричную непрерывную билинейную форму а(必 v) и линейную форму G г). Предположим, что/€ И\ и пусть Н — поворотное гильбертово пространство, такое что
PU HU И\
причём эти вложения непрерывны и плотны. Каноническую билинейную форму будем обозначать через (•, •), норму на Н — через |-|,
а на И — через IM. Рассмотрим следующую задачу: найти 〃wK, такое что
〃(〃，V - и) - (X V - и) 0 vv € X,(4.1.1)
где К — заданное замкнутое выпуклое подмножество в И Это вариационное неравенство будем называть неравенством типа Фикеры в честь итальянского математика Г. Фикеры, который основательно его изучал [96, 97, 99].
Известно, что существует симметричный ограниченный линейный оператор Zтакой что
а(и, г) = (Ли, V) Vw, V € И(4.1.2)
Согласно предложению 2.2.2, решение и^К неравенства (4.1.1), если оно существует, служит решением задачи минимизации
П(м) = min {П(1?)®€К},(4.1.3)
где П(р) = (Zu, u)/2 — СЛ v), и обратно. Следует отметить, что эквивалентность задач (4.1.3) и (4.1.1) доказана лишь при условии, что a(v, г)》0, что означает выпуклость a(v, v). Предположим сначала, что билинейная форма а(ц3 v) коэрцитивна на И, т. е.
а(и, и)》с11〃1|2 VM € И,(4.1.4)
где с > 0 — константа. Условие (4.1.4) означает, что функционал а(и, и) — сильно выпуклый.
Предложение 4ЛЛ. Если выполнено условие (4.1.4), то вариационное неравенство (4.1.1) имеет единственное решение.
Доказательство. Из (4.1.4) вытекает, что функционал а(弘 〃)+ G 〃) тоже является сильно выпуклым. Поэтому у него существует единственная точка минимума. Но условие минимума этого функционала на множестве К и есть условие (4.1.1). □
Рассмотрим, далее, полукоэрцитивный случай. Пусть
кегЛ = {и W 匕 Av = 0)(4.1.5)
и Q (соотв. Q) — ортогональный проектор И на кег Л в Н (соотв. И). Положим р = j ~ Q (соотв. Р — I — 0), где / — тождественное отображение, и предположим, что
。(么 V)2 clp矶2 W€ И,(4.1.6)
где с > 0 — константа. Очевидно,
kerЛ = {矶uw 匕〃(必沙)=0}.
Предположим ещё, что
кег А конечномерно(4.1.7)
и
с\(а(ц, мА" + М) & HuH W Q(〃(弘 w)1/2 + 岡)，(4.L8)
где ci, С2 — положительные константы. Тогда а(и, м)】'？ является полунормой на匕а
III «III = 〃(必 u)1/2 + М
—нормой на И, эквивалентной Hull. Пусть U — некоторое подмножество пространства И, содержащее ненулевые элементы, и пусть для ненулевых uWU
р(“，U) = sup {巾》о,裔 w U}.(4.1.9)
Из (4.1.6) и (4.1.8) вытекает, что
〃(q у)》clip"- vljW И,(4.1.10)
где с > 0 — константа, и что для у € И норма llPiHI эквивалентна норме iPv II.
Рассмотрим теперь ядро функционала f:
ker/= [v\ve Г, (/, у) = 0}.
Обозначим через £ пересечение пространств кег Л и кег 工 и пусть £i — подпространство в кег Л, такое что
кег Л = £ ㊉ Li・(4.1.11)
Далее, обозначим через Q и Q соответственно ортогональные проек- jgpb J на L hJLi (в К), а через Р — оператор / - Q. Очевидно, что Q - Р ~ Р, a Qv ортогонально Pv. Зафиксируем Uo W К и обозначим через К”。множество {矶fWR d + UoWK}. Докажем следующий результат (см. [99]):
Предложение 4.1.2. Пусть выполнены условия (4.1.6—8) и существует Mo W К, такое что
(ОСА е) < 0 для е €кегл П/СИо, р@,石:кег/ск“.)) = оо, (4.1.12)
@) множество P(K“q) замкнуто в К(4.1.13)
Тогда неравенство (4.1.1) имеет решение.
Доказательство. Так как (4.1.1) эквивалентно (4.1.3), достаточно рассмотреть задачу минимизации. Обозначим через I инфимум функционала П(р) на К, и пусть {ип] — минимизирующая последовательность для П(〃)в К, т. е.
П(ил) т inf И® = I при л -► оо.(4.1.14)
Очевидно, что [wn] = {ил — Uo) будет минимизирующей последовательностью для функционала 11(〃 + 〃о) при р€ KUq. Так же как и при доказательстве предложения 2.2.1, покажем, что последовательность {尸％} ограничена в пространстве 匕 Предположим, что llPwrtll -* оо при 〃 т 8. Тогда
cllPwnll2 &。(修，％) = 2П(Мл) 一 2U(Uo) + 2(/ %) - 2a(«о, wn), (4.1.15)
откуда, полагая Zn = wrt/llPwrtll, получаем
cllPw„ll2HPznll2 W ci + 2(ll/llr + 11Лио11г)11^и1Н1^п11. (4.1.16)
Из (4.1.16) с учётом (4Л .8) вытекает, что
lim llPz«ll = lim 峠&11 = 0.(4.1.17)
л-*оол-*®
Но
II豆 l|2 = IlFZnll2 + 11宓俨=1.(4.1.18)
Следовательно, lim IIQzhII2 = 1 и IIQzJI & с. Так как Qzn € ker Л, причём kerЛ в силу (4.1.7) конечномерно, из последовательности {&} можно извлечь подпоследовательность, которую также будем обозначать {&}, такую что {Qzn] сильно сходится к некоторому вектору pwQ(ker/) с ll^ll = 1. Покажем теперь, что для / > 0 справедливо включение
tQ € Р{КиХ(4.1.19)
Действительно, из того что w» W &。и {0} € KUo9 следует, что для любого /_> 0 и всех достаточно больших л мы имеем tZn W &『Тогда tPzn € Р(Ки^, и из (4.1.13) вытекут (4.1.19). Если ” К“。таково, что Ра = q、то а = q + (а - @), q W Q(ker Л) и а - @ W Q(ker/). Следовательно, aw ker/СКм。и (/ q) = G Q)+ СА。一Q)= (/。)V 0, в силу (4.1.12). Ввиду (4.1.8, 15)
О w КтшГ(11Р^п1111Рги112)
& lim sup& lim sup[П(ип) - H(uo)][П(ип) - H(uo)]
& lim sup
& lim sup
[П(ип) - H(uo)]
[П(ип) - H(uo)]
+ 2(/ 瓦)-2«(uo, Pzn) -2(/ e) < 0 (4.1.20)
—^ пришли к противоречию. Таким образом, последовательность {Pm} ограничена в пространстве 匕 поэтому можно извлечь из последовательности W} подпоследовательность, которую опять_ будем обозначать {wn J^cnaGo сходящуюся к некоторому пределу Pw Так как множество P^J ^мкнуто, оно является также слабо-замкнутым, и, значит, Pw € Р(Ки^, Для завершения доказательства покажем, что для
П(и) = /•• (4.1.21)
Действительно, 3 Qw) = 0, и потому
(4.1.22)(4.1.22)II(wn + №)= II(Pwn + uo).
(4.1.22)
(4.1.22)
Но, как хорошо известно, для всякой ограниченной неотрицательной симметричной билинейной формы а(ц и) на V справедливо такое утверждение: если vn^ V слабо в 匕 то
(4.1.23)(4.1.23)lim inf а(р„,分)》a(v9 и)'.Л -*OQ
(4.1.23)
(4.1.23)
Поэтому
I 二 lim II(Pwn + Uo) > H(Pw + Uo) = II(u). (4.1.24)
Отсюда и из (4.1.14) вытекает (4.1.21). 口
/ Это соотношение легко проверить. Пусть % -* и слабо в К Тогда
lim inf a(vnt 办)=lim inf {a(p, v) + 2a(p, va - v) + a(u“ 一 u, vn ~ v) ^ a(p, u), n -• wл -»CO
так как a(也 уя - у) 0 и a(% - у,咖 一 и)》0.
Неравенство (4.1.1) имеет решение, если К ограничено. В этом случае (4.1.6) можно заменить условием
。(〃，〃)》0 Vv€ К(4.1.25)
Следующее предложение даёт необходимое условие существования решения задачи (4.1.1).
Предложение 4.1.3. Пусть (4.1.1) имеет решаше. ^Гогда для любого MoWK и любого е € кетАС\Кио, такого что p(Qqs Q(ker Л Oj^Mo)) = оо, должно выполняться неравенство°'
5 Q)VO・(4.1.26)
Доказательство. Предположим, что и есть решение (4Л .1). Положим в (4.1.1) V = Xq + Uo, X > 0, где q таково, что Хр € кег Л О^п для X > 0. Тогда
。(弘 wo - и) + (Z w - «о) > Х(/ q) Н 0,(4.1.27)
откуда и следует (4.1.26). □
Рассмотрим, далее, факторпространство "ker4
Предложение 4.1.4. Каждое решение и задачи (4.1.1) определяет один и тот же класс [u] W 勿 ker 4 Если 〃 и 优 一 два решения неравенства (4.1.1), то и' = и + q, где q удовлетворяет условиям
(Z е) = 0, Q^kerACiKu，(4.1.28)
Доказательство. Пусть ю W К и 也 W К — два решения неравенства (4.1.1). Положив в (4.1.1) u = ui, р = иг и и = иг, и = ю, получаем из (4.1.10)
с11Р(И! - u2)U2 ^ 0,(4.1.29)
откуда следует, что Ри【= Р«2, т.е. Ри, а тем самым и [и] определены однозначно. Если 〃，минимизирует П на К, то [и]=[〃」и, следовательно, 优=〃 + q, где q W ker 4 Но
И(6) = W q),(4.1.30)
следовательно, q удовлетворяет и первому из соотношений (4.1.28).
Обратно, если и' = и + q п выполнено (4.1.28), то и\ очевидно, тоже решение задачи (4.1.1). □
Обобщение этой теории на случай несимметричных операторов можно найти в [99]. Применим теперь доказанные выше предложения к изучению краевой задачи Синьорини — Фикеры в теории упругости.
Рассмотрим линейно-упругое тело, которое в недеформированном состоянии занимает открытое ограниченное связное подмножество Q в К?. Область 0 задаётся в фиксированной декартовой системе координат 0Х1Лусз； её граница Г предполагается регулярной (см. п. 1.3.1). Пусть Г = r(/UrsUr0, где IY и Г\ — открытые непересекающиеся множества, mes Г^ = 0, mes Г« > 0, а для Fu возможны два случая: mes Г(； > 0 и Г г/ = 0. Предположим, что на Гх выполнено граничное условие Синьорини — Фикеры (3.3.22), а также тангенциальное граничное условие St = Ст, где Ст€ [£2(Г$)]3. Для простоты будем считать, что на Fu перемещения и равны нулю. Для случая mes Г(； > О эта краевая задача порождает (см. пп. 4.1.3 и 6.2.1) вариационное неравенство вида (4.1.1) с
V = % = {矶и£ [У/1 (О)]3, и = 0 п.в. на Г。},(4.1.31)
Н = [Z?(a)F, К= {矶и£ %, u“W0 п.в. на Гх)
и
。(〃，V)= j CijhkEij(u)ehk(v)(^l, /, У = 1, 2, 3;(4.1.32)
здесь С = {Qjhk) — тензор упругих констант с С» 衣 £ L°°(fi), ае = {%}— тензор деформаций, связанный с вектором перемещений u = {uj соотношениями
&/(〃)= ^ (〃ij + 4/,i),(4.1.33)
и
(/, и)=[加@2,(4.1.34)
Q
где f = [ft} — вектор объёмной силы.
Из (4,1.32) и свойств (3.3.61) тензора упругих констант с учётом первого неравенства Корна (1.4.28) очевидным образом следует, что а(и, и) > cllull? vu€ Ро,(4.1.35)
где с > 0 ——константа. Поэтому (а(и, и))1/2 является эквивалентной нормой на %. В силу предложения 4.1.1, при mes Г[/ > 0 вариационное неравенство для задачи Синьорини — Фикеры имеет единственное решение 〃£ %. Если же Г[/ = 0, то V = [^(fi)]3 и kera(u, и)=咏 где
必一пространство перемещений тела как твёрдого, а форма а(〃 и) полукоэрцитивна на 匕 Рассмотрим факторпространство Й 二 V/佻. Из второго неравенства Корна (1.4.29) следует, что
a([切，[用)》3 [用吟 V[M]€ 匕 2(4.1.36)
где с > 0 — константа,
。(同，⑻)=。(弘 u) vm € [и] VuW [v].(4.1.37)
Из второго неравенства Корна следует также, что для всякого ^ > О найдётся такое с > 0, что
а(弘 и) + ^|м|1 > ctut] V〃W[//i(a)]3,(4.L38)
Заметим, что (4.1.36) эквивалентно (4.1.10), где Р = 7 - Q, a Q — ортогональный проектор \НХ (Q)]3 на 例.Положим
烫1 =烫С К,(4.1.39)
% = { р| ± Q W 阕}.
Следующий результат непосредственно вытекает из предложений 4.1.2—4.1.4:
Предложение 4.1.5・ Предположим, что
(/ е)^0 VqW 関，(4.1.40)
(Л е) < 0 VqW阕(4.1.41)
Тогда вариационное неравенство для задачи Синьорини — Фикеры имеет хотя бы одно решение 〃. Любое другое решение % представимо в виде 〃1 = 〃 + q, где q удовлетворяет условиям
QW% (/, е) = 0, и+ q '^ К.(4.1.42)
Доказательство. Применимо предложение_4.1.2 с «о = 0. Поэтому достаточно заметить, что Р(К) замкнуто (0 — проектор V на %)• □
С другими применениями изложенной выше теории, а также с результатами, касающимися регулярности задачи (4.1.1), читатель может ознакомиться по работе Фикеры [99].
Вариационные неравенства других типов
В этом пункте будут изучены вариационные неравенства вида
а(и, 〃一 〃)+ ①⑻ 一 Ф(〃)> (/, v - u) Vp€ И (4.1.43)
для и € И, где Ф —— выпуклый п.н.сн. собственный функционал на И /€ а а(и, и)——непрерывная симметричная билинейная форма на V (неравенства такого типа описаны в [27; 28]). В случае Ф =厶，где 1к — индикатор выпуклого замкнутого подмножества К в V, (4.L43) совпадает с (4.1.1). В случае Ф = Ф + /к неравенство (4.1.43) для 〃 w К эквивалентно неравенству
。(弘 〃一〃)+ 虱〃)-Ф(и) > (/, и - 〃) PvWK. (4.1.44)
Если и является решением неравенства (4.1.43), то
П(〃)= пйп{П(и)|и€ И),(4.1.45)
где
П(у) = ^а(〃 и) + а® - СЛ и),(4.1.46)
и обратно. Это легко следует из предложения 2.2.2, при условии что
а(〃，и) > 0 VM € И.(4.1.47)
Мы изучим более общий тип вариационных неравенств, в которые входят нелинейные псевдомонотонные операторы. Неравенства этого тйпа включают в себя (4.1.43) как частный случай. Пусть V ——вещественное гильбертово пространство и Р'——сопряжённое к нему. Рассмотрим следующую функциональную постановку задачи (4.1.1). Требуется найти и € И, такое что для f^V'
(Тй, и - 〃)+ Ф(и) - Ф(〃)》G и - 〃) VuW 匕 (4.1.48)
Здесь (•, •) — каноническая билинейная форма на И х И\ а Т — некоторый, вообще говоря, нелинейный оператор. Справедлив следующий результат (см. Шатцман [296] и Потье-Ферри[269]):
Предложение 4.1.6. Предположим, что
норма 11〃II на V эквивалентна р(и) + |矶，где р(〃)и |矶一некоторые полунорма и норма на Р и Н соответственно;
(ii)纟二{q\q € И, p(g) = 0} является конечномерным подпространством пространства 匕 Q — ортогональный проектор Р на 纟 относительно Р = Z - и
I尸矶 & cp(v)VuW 匕(4.1.49)
где с > 0 — константа;
Ф ——выпуклый п.н.сн. функционал на И, такой что
О® Н 0, Ф 荣-8；
оператор Т:Vr псевдомонотонен (см. п. 1.4.3);
(V)(Ти, д) = 0 V〃W Р VgW纟；(4.1.50)
(V)существует 6 > 1, такое что неравенство
Т(и, и)》C(/W,(4.1.51)
где с > 0 — константа, справедливо для всех 〃, для которых полунорма р(и) достаточно велика.
Если выполнены предположения (ii) и (и), то включение
/1>€ Rg.) VUo € £>(Ф)(4.1.52)
является необходимым условием существования решения неравенства (4.1.48).
Если выполнены предположения (i)—(vi), то достаточным условием существования решения неравенства (4.1.48) служит существование хотя бы одного Uo € -О(Ф), такого что
力/WrelintR(a®G・(4.L53)
Доказательство. Подставляя v-u = q£ ② в (4.1.48), получим в силу Я：.50)
①①+ q) -①出丿》(Z О)；(4.1.54)
следовательно,
/€аФм (0).(4.1.55)
Учитывая, что К(ЗФ“)не зависит от и, получаем из (4.1,55) искомое необходимое условие (4.1.52).
Пусть 7 — произвольное положительное вещественное число, и пусть Ф(0) = 0. Будем искать решение и неравенства (4.1.48), такое что Hull < 7. Такое решение существует, если
(八吟 V)+ Ф(у) > (/ 〃)(4.1.56)
для любого 〃W Р с llvll = 7 (см. [27; 40]). Рассмотрим пространство 少㊉且，где 宜и 乌 определены в предложении 2.4.6. Из (i) и (ii) следует, что р(р) является нормой на Д эквивалентной норме llvll. Из предложения 2.4.6 и условия (4.1.51) вытекает, что для любого 安€乌 и любого 五 wOc достаточно большой нормой Hull справедливо неравенство
(Т(〃 + 02),五 + 0)+ Ф(и + 02)- (/, и + 02)
》с11й11& - Й/Иг Hull + ci - cillull + сзИ^гН. (4.1.57)
Таким образом, для достаточно больших Hull и II^2II выполнено неравенство (4.1.56), чем доказано существование решения (4.1.48) для oW~D㊉卫.Используя предложение 2.4.6 и условие (4.1.50), заключаем, что то же верно и для 〃 W К Если Ф(0) Н 0, то соответствующим сдвигом можно свести дело к уже разобранному случаю. □
4・1・3・ Вывод вариационных принципов механикив форме неравенств
Под вариационным принципом1 понимают утверждение о том, что решение данного операторного уравнения с заданными граничными я или начальными условиями удовлетворяет некоторому вариацион-
Употребление термина «принцип» в литературе по механике — дань традиции ■:м. например, [130]).
ному уравнению или вариационному неравенству. В первом случае будем называть соответствующую задачу двусторонней, а во втором ——односторонней.
Краевые задачи, приводящие к вариационным неравенствам, мы будем называть задачами на неравенства. С точки зрения механики формулировка задач в виде вариационных уравнений или неравенств соответствует принципу виртуальной мощности или виртуальных перемещений в форме неравенств. Как было отмечено ещё Фурье [171], вариационный принцип записывается в виде неравенства, если вариации некоторых величин в рассматриваемой задаче являются односторонними. Например, если бы (4.1.1) было выполнено для и, v € И, то подстановка w - и = 士”W0 привела бы к вариационному уравнению. Но у нас w, и W К? где К — лишь замкнутое выпуклое подмножество пространства 匕 поэтому такая подстановка недопустима. То же справедливо и в отношении вариационного неравенства (4.1.43) (в этом случае из-за разности Ф(и) - Ф(м)).
В прикладной механике выводу вариационных принципов уделяется большое внимание. Тонти [318; 319] показал, что задачу получения вариационного принципа в форме равенства можно рассматривать как задачу нахождения потенциала для некоторого заданного векторного поля. Конечно, выбор соответствующих функциональных пространств и в особенности выбор канонической билинейной формы, приводящей в двойственность пространство (обобщённых) скоростей или перемещений и пространство (обобщённых) сил, существенно влияет на форму вариационных уравнений. Аналогично обстоит дело и для односторонних задач. В этом случае, как уже отмечалось в [245], вывод вариационного принципа можно рассматривать как поиск суперпотенциала заданного векторного поля. В § 4.3 будет дано обобщение этого утверждения на случай невыпуклых потенциалов.
Чтобы покороче ввести читателя в курс дела, рассмотрим деформируемое тело. Используя обозначения п. 1.4.3, можно, в предположении малых деформаций, записать соотношение
j oij(u)Eij(v - 〃)da + J 5方(〃)® - “мп =〈叩“厶(s - w,)> we [№(n)]3
(4Л.58) для
we[№(n)]3, ax 占(出，矶“2(a), i, /= i, 2, 3.
Это соотношение получается из операторных уравнений рассматриваемой задачи применением теоремы Грина ——Гаусса и является выражением принципа виртуальных перемещений в случае свободного те-
ла, т. е. при отсутствии связей на границе тела Г. Заметим, что при выводе (4.1.58) используется лишь соотношение (4.1.33) между напряжениями и перемещениями.
Предположим, далее, что выполнено граничное условие (3.3.8). Пусть, кроме того, выполнено условие равновесия
б/,/ + 力=0,(4.1.59)
где/€ [//(О)]'——вектор объёмной силы. В итоге(4.1.58,59)и(3.3.145) приводят к следующей вариационной задаче: найти w W [^(П)]3, такое что Ф®) - Ф(М)+ j 6j(〃)£ij(U - u)dO
》j 力(货-场)tfQW W 旧W)]3. (4.1.60)
Будем считать, что с помощью соотношения (3.3.57) тензор напряжений о выражается через некоторый суперпотенциал w. Из (4.1.60) и (3.3.59а) вытекает вариационное неравенство
Ф(и) - Ф(м) + К® - %(〃)》j 工Q - w,)dQ VU€ [〃1(а)]3, (4.1.61)
где W задаётся формулой (3.3.137). Решение и неравенства (4.1.61) будем искать в [^(П)]3. Из сказанного выше можно заключить, что для формулировки вариационного принципа в форме неравенства для задач механики необходимо, во-первых, выбрать соответствующее функциональное «обрамление», для которого справедлива теорема Грина — Гаусса, и, во-вторых, определить суперпотенциал, описывающий изучаемое физическое явление. Зависимость формы вариационного неравенства от выбранного функционального обрамления, в частности от вида канонической билинейной формы, ясна из следующего примера.
Пусть Н — гильбертово пространство, V — банахово пространство, Р' —— сопряжённое к нему. Предполагается, что V С Н С И\ причём эти вложения непрерывны и плотны. Пусть то же самое выполнено для 匕=Ь(р^Т, К), М = 1(0 7； Н) н 匕=^^(ОТ； X), где 2《° W 8 (все пространства снабжены обычными нормами). Рассмотрим следующую задачу: найти многозначный оператор и: [0, 71Tpe u(f)WK п.в. на [0, 7], такой что
-^- + Ли + Xw € д!к(и) + ЭФ (и) п.в. на [0, 7], w(0) = «о W И,(4.1.62)
где К — замкнутое выпуклое подмножество в И,
Ф W Fo(Q, Х€ IR, /:0т Р', /€ 片 и du/dt W 片 п.в. на [0, 7].
Зададим на 匕 х 匕 каноническую билинейную форму
《工 w> = j СЛ w)e_2ХгЛ(4.1.63)
о
《здесь (•, •) — каноническая билинейная форма на К х Р‘) и определим Ф на 匕，положив
Ф(м)=Ф(м)=(4 Л 64)(4 Л 64)j е-2^Ф(м)Л, если Ф(м) € L^O, Т), о
Ф(м)=
Ф(м)=
(4 Л 64)
(4 Л 64)
оо в противном случае.
Формально интегрируя (4.1.62) в пределах от 0 до Г и учитывая
получаем следующую задачу: найти u£ Н, такое что
V — иV — иw(0 £ К п.в. на [0, 7]
V — и
V — и
+ Ф(р)-击(〃)-Х<р, р - w> - {Au + 工 v ~ и)
(4.1.65)(4.1.65)》-；®(0) - wo|h
(4.1.65)
(4.1.65)
для любой функции V € И, удовлетворяющей условиям
■^W 嗯，v(Z) € К п.в. на [0, 7].
Исходя из общих свойств суперпотенциалов, можно сказать, что вариационные принципы в форме неравенств позволяют описывать более сложные, более «реалистические» физические явления, чем принципы, записанные в форме вариационных уравнений.
§ 4・2・ СОСУЩЕСТВУЮЩИЕ ФАЗЫ.
МОРФОЛОГИЯ МАТЕРИАЛЬНЫХ ФАЗ
Неоклассические процессы и гиббсовы состояния.Сосуществующие фазы
При помощи понятия субдифференциала можно изучать морфологию и устойчивость материальных фаз7. Здесь мы следуем в основном идеям Данна и Фосдикка [78], которые в духе работ Гиббса [115] и
'Под фазами понимаются, например, для воды твёрдое, жидкое и газообразное 詫 состояния. Заметим, что в инженерных задачах, скажем в теории упруго-идеально- пластнчных конструкций, термин «сосуществующие фазы» часто означает одновременное наличие упругой н идеально-пластической областей [Упругое и пластическое состояния, как правило, не трактуются как фазовые переходы в классическом смысле.— Ред.]
Колемана и Гринберга [54, 55] построили общую теорию сосуществующих фаз для однокомпонентной материальной системы.
Обозначим через Q подмножество в IR3, занимаемое рассматриваемым телом в начальном положении (при Г 二 0), которое предполагается фиксированным. Граница Г множества Q предполагается достаточно гладкой. Пусть на Q определён некоторый процесс П, т. е. задано упорядоченное множество функций ｛刀，х, G 仇 о, 4 / Q｝， зависящих от положения X W Q (см. добавление 1) и времени Г W R・ Далее, процесс П должен удовлетворять уравнениям сохранения энергии и импульса, а также неравенству Клаузиуса — Дюгема, которые мы запишем соответственно в виде
与 j(£ + ； ViV^dm = j Зз/j - qtnijdT + j (fiVi + Q)dm, (4.2.1)
ITГ；R'
关 j Vidm = j OijnjdV + j 方dm,i = 1, 2, 3,(4.2.2)
ГТГ；R'
~^dm^ ] Я dm -]讐 rfT.(4.2.3)
0R'Г；
Здесь Qf — подмножество в (2 с границей Г';刀=刀(X 0, £ = £(Х 0 и / = /(% /) обозначают соответственно энтропию, внутреннюю энергию и вектор объёмной силы на единицу массы; т — масса (мера) тела; 0 = В(Х 0 — температура, предполагаемая положительной; о= ｛^7 ], 5j = Jij(X, Г), — симметричный тензор напряжений; q = =向｝，0 = 0(Х 0, — вектор теплового потока; Q = Q(X, Г) — количество теплоты на единицу массы;胃=仇｝ — орт внешней нормали к Г/. Если движение тела описывается функцией х = х(Х 0 € IR3, то мы полагаем
й/= х(0, ) Г；= Х(г； О, П = х(п )
Объём, занимаемый телом Q' в момент времени /, обозначается через 匕(Q'). Для заданного движения х можно ввести функцию 勿：R х R т R + , такую что
匕($г)= jj(x t)dm.(4.2.4)
Это удельный объём (на единицу массы).
Совокупность всех процессов П, определённых на 0, обозначим через П(П).
Следуя [78], примем следующую реологическую гипотезу. Она носит весьма общий характер и позволяет рассмотреть широкий класс определяющих соотношений. Материал не обязан быть ни жидким, ни твёрдым, допускаются любые типы затухающей памяти [322]. Реологическая гипотеза определена для некоторого подмножества ГТ (О) множества П(П), элементами которого являются так называемые неоклассические процессы. Эти процессы подчинены некоторым слабым условиям, дающим возможность изучать изменения энтропии, энергии и удельного объёма. Реологическая гипотеза формулируется с привлечением новых понятий многообразия статических состояний и отображения покоя. Процесс 口€口'(0) называется неоклассическим, если
(i)方(X f) = Q(X f) = 0, i = 1, 2, 3 VXW 0 Vf》0;(4.2.5)
существуют два вещественных числа »，и р', называемые соответственно внешней температурой и внешним давлением, такие что
-^ \ Мт》一 \ * dF》一今、0"典(4.2.6)
Xг,г,
и
р'显匕(⑦=-P，*\vdm= \ viOunjdV. (4.2.7)
Здесь j qiriidf называется суммарным нагревом тела и обозначается г,
猊，a j ViOijrijdr — суммарной работой на границе и обозначается 2)1. г,'
Из (4.2.1), (4.2.3) и (4.2.6) следует, что
藹г ] ndm》百7(4.2.8)
и
1 ] (е + р'〃 + ^ Vivi)dm =猊⑺(4.2.9)
для любых П € П' (^) и Г > 0. Для любого заданного процесса П t П ' (О) введём для X W О функцию
ZX, •) = 5(Х, •), МХ, •), £(Х -)]：[0, 8)t[R3
и множество всех таких функций
(4.2,10)(4.2,10)必=U ,(X，力
(4.2,10)
(4.2,10)
ПеП'(й)
назовём множеством всех динамически реализуемых триад.
Пусть 乡一непрерывная поверхность в R? 口 〃 毛 Z Определим функцию /夕 формулой
/3 = Q 8"” "％(4.2.11)
в противном случае
и положим
AS) = [g|g€R3,〈&。〉= —i, -g^dhip)}, (4.2.12) где q — вектор (1, 0, 0), а <•, •> обозначает (в данном пункте) скалярное произведение в fR3. Множество (4.2.12) можно описать иначе так: а(р) = {g|g€ R3,〈g,。〉= -1, 5* _ к g〉》о Vp*e^j. (4.2.13) Легко показать, что если 8(р) ^ 0, то 8(р) замкнуто и выпукло. Далее, если поверхность 乡一гладкая в точке р, то Э(р) состоит из одного элемента — вектора g, нормального к поверхности У в точке р и удовлетворяющего условию (g, 〃〉= - L В дальнейшем будем писать
gW8&),(4.2.14)
если существует хотя бы одна точка 〃 W 夕 такая что g W 8(р).
Теперь мы можем сформулировать реологическую гипотезу (см. рис. 4.2.1 и 4.2.2):
Рис. 4.2.1. Интерпретация реологической гипотезы.Рис. 4.2.1. Интерпретация реологической гипотезы.
Рис. 4.2.1. Интерпретация реологической гипотезы.
Рис. 4.2.1. Интерпретация реологической гипотезы.
(Hi) Предположим, что в IR3 существуют непрерывная поверхность 乡 и непрерывное отображение г: 3^^ такие что
5$) - s, g〉W 0 VsW 必Ygwa⑺,s =(小匕 с),(4.2.15)
и
r(s)=s Vs £ 必CW (4.2.16)
Поверхность 乡 и отображение г называются соответственно многообразием статических состояний и отображением покоя. Всякая точка р£＜乡 называется точкой термостатической фазы для Q. Точки р€纟 такие что g£8(p), называются термостатически опорными точками для 彳 Эти понятия применимы ко многим классам материалов, например к линейно-вязким сжимаемым жидкостям, для которых 幺三纟 аг — тождественное отображение; они применимы также к классу материалов с затухающей памятью [54; 55].
Далее, пусть 多一некоторое множество кусочно-непрерывных интегрируемых функций 力：0-＞当 /(X)=(万(X),网制，g(制)w区 Будем называть их состояниями. Здесь волна над буквой ставится для того, чтобы подчеркнуть, что Д ^, ?, 5 зависят только от X. Множество О может быть разбито на подобласти 0〃 такие что на множествах int Ц- функция р непрерывна. Совокупность всех точек непрерывности р обозначим через &• Множество 力(&) С ^называется эффективным множеством значений р, а любой элемент этого множества ——эффективным значением р. Множество всех Х£ 5, таких что р(Х) = / ；乡
для 力£晶，называется p-фазой для Q. Пусть 8W R и)W R Положим 夕(8, V)= {р =(力，八 С) €纟| !辺掰=仇[Edm = 7]. (4.2.17)
Состояние A)=行0,而，％)€今(仇))назовем гиббсовым, если
j 旅)dm = max { j 力dm|RW多(6, у)].(4.2.18)
Далее введём проектор 勿 определяемый соотношением аф = МРь 立2, Рз) = Зг, р3) для любого р€ IR3.
Тогда (4.2.17) можно записать в виде
多(6, т)=卜 €多|加(! pdm^ = (6, >)},(4.2.19)
a (4.2.18) — в виде
(a, j A)dm)》/a, J pdm\ V^W给(6,)).(4.2.20)
Последнее неравенство характеризует гиббсовы состояния Д).
Если для непрерывной (соотв. непрерывно дифференцируемой) поверхности 乡 отображение (соотв. дифференциал отображения) (?(•)> £(•)) является гомеоморфизмом (соотв. изоморфизмом) для любой точки 力'из окрестности точки р на ^ то говорят, что 乡 собственно- (соотв. идеально^} (?, ^-проектируема в точке 方'• Проще говоря, поверхность У является собственно (?, ^-проектируемой в точке р, если у этой точки существует окрестность, проекция которой на (?, 5)- плоскость не «накладывается сама на себя» (см. [78, рис. 1]); она является идеально (八 ^-проектируемой в точке р, если ^-компонента нормального вектора к У в точке 户 отлична от нуля. Введённые выше определения и обозначения позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия, при которых 8(*^) N 0 и гиббсовы состояния существуют. Так как наша главная задача ——изучить следствия реологической гипотезы, мы не будем вдаваться здесь в подробности. Однако для полноты изложения сформулируем основные результаты (доказательства которых читатель может найти, например, в [78]).
'Очевидно, что все данные выше определения могут быть распространены на случай общих топологических векторных пространств. В этом случае <•, •> обозначает каноническую билинейную форму.
Если 6 н)заданы,力€ 给(6, у) — гиббсово состояние, функция р непрерывна в точке XW О, а поверхность У идеально (Р, ^-проектируема в точке р(Х), то существует единственный вектор gW R?, такой что
gWH5(X))・ (4.2.21)
Для существования гиббсова состояния в 殡(8, у) необходимо, чтобы существовали (i)力(及)，* W &,川=1, 2, ..., m [из (а) следует, что если ^идеально (6, 5)-проектируема в точке р(Х^9 то Н①(%)) Н 0], (ii) «д € (0, 1), % % = 1, такие что (6, у)/ди(П) есть 以образ эле
мента % а凉(ХД
д 1
Любому гиббсову состоянию 0 出命6, у), где р(Х) не является т- п.в.-константой (т. е. п. в. постоянной по отношению к мере т), можно поставить в соответствие некоторое гиббсово состояние 氏 €咨(仇 у), являющееся ступенчатой функцией от X. Эффективная область Д есть подмножество множества 力(Q).
Если Д)——термостатически опорная точка для У и ^ро = (6, у)/ди(П), то постоянная функция, всюду равная Д), есть гиббсово состояние в 6(6, у). Если, кроме того, хотя бы для одного 且€3伍)
<А)- Д g> < 0 V"€乡、{Д)} ', (4.2.22)
то Д)является единственным ди-п.в.-гиббсовым состоянием в 6(6，у)- Если же Д)не удовлетворяет (4.2.22), то существует и другое гиббсово состояние в 咨(6, у), а именно ступенчатая функция, которая ни на одном из своих участков постоянства не совпадает ди-п.в. с Д.
Предположим, что 咨(6, у) содержит гиббсово состояние р, обладающее тем свойством, что поверхность У идеально (匕 е)-проекти- руема в образах р(Х) €^ точек непрерывности X функции р. Такое состояние называется нормальным. Тогда точки р(Х) являются термостатически опорными точками для 当 имеющими некоторую единственную общую опорную гиперплоскость, и ^образом их выпуклой оболочки служит (仇 у)/ди(П). Верно и обратное: если интервал (仇 у) таков, что (仇))/т(0) есть 〃о6раз выпуклой оболочки множества {Pj} термостатически опорных точек для поверхности 纟 обладающих свойством Р| a⑦)# 0, то в 頁>(6, у) существуют гиббсовы со-
'То есть гиперплоскость, проходящая через точку ро и имеющая g своей нормалью, не имеет других общих точек с поверхностью 歹
стояния. Число различных гиббсовых состояний не меньше числа различных множеств термостатически опорных точек для У с вышеуказанными свойствами.
Для любой термостатически опорной точки / €Ун для любого g € Э(р) рассмотрим множество
丿(A g)=【0"€g <Р - Д g〉=0},(4.2.23)
называемое g-сечением поверхности 纟 это — пересечение поверхности У с гиперплоскостью, проходящей через точку р и нормальной к g. Назовём множество J@» g) аффинно-независимьш, если нельзя указать конечного набора точекg) н чисел o^WR,从=1, 2,
m, не обращающихся одновременно в нуль, таких что
тт
Z %瓦=о, Z = о.
〃 =1/4=1
Следующие результаты касаются числа сосуществующих фаз в R. Фазовые точки, принадлежащие эффективной области хотя бы одного нормального гиббсова состояния, называются сосуществующими. Если / £ 命В, т) — нормальное гиббсово состояние, то существует другое гиббсово состояние 凤 W咨(8, у), являющееся ступенчатой функцией, у которой имеется не более трех эффективных значений, принадлежащих 万(0с)・ Ступенчатая функция, являющаяся нормальным гиббсовым состоянием, не может иметь более трёх эффективных значений (т. е. существует не более трёх сосуществующих фаз). Предположим, что поверхность У всюду идеально (”，£)-проектируема, каждое ее сечение аффинно-независимо и 织仇 у) содержит гиббсово состояние р. Тогда р является ступенчатой функцией, определённой однозначно с точностью до перестановки7 и имеющей не более трёх эффективных значений.'
4・2・2・ Задачи на минимум для гиббсовых состояний
Любое гиббсово состояние из ^ удовлетворяет помимо условия максимума (4.2.18) многим другим условиям экстремума. Некоторые из них будут сформулированы в данном пункте.
Пусть / W& — нормальное гиббсово состояние. Тогда существует единственный вектор g^ fR3, такой что (4.2.21) выполнено для любого
'Ступенчатая функция 尸i € 茹 называется перестановкой другой ступенчатой функции ро €^», если 尸 1(%) = Ро(%) и m(p『i⑸)=加(/?储(⑨)v§Wpo(Qo)・
XW&. В этом случае《g, PW) постоянно для XW&, т. е.
〈g,户(X')〉=〈g,户(Х〃)〉VX‘，X" W Ос. (4.2.24)
Все точки множества 方(5) имеют общую касательную плоскость, нормальную к g. Пусть р: U- R* U 諸—локальная ° ^паоаметпи- зация поверхности У в точке 户(X); если а(т) — кривая класса С1 в U, причём р(а(0)) = р(Х) н а' = б/а(т)Л/т|т=о, то, как легко проверить, справедливо следующее соотношение: для любого X € &
G 号聲 а) = О прн а = р Т(Л(初 (4.2.25)
Если положить g = (-1,又 2) (напомним, что 依 а> = -1, @q (О, 0, 1)), то (4.2.21) примет вид
似 6(Х) — 力 + 2(Е(Х) - Е) -(力(X) -衿《О
V® 贡，E)syvXwOc.(4.2.26)
Аналогично (4.2.24) и (4.2.25) можно переписать соответственно в виде
2(贡(X。一 /(X")) + 2(¥(Х) - Е(Х"))-(力(X，)-万(X")) = О
VX\ X" W0c・ (4.2.27)
禱 /(X) + 嗯 g(A3 = ^ 万(蜀 VX € Йе.(4.2.28)
В последней формуле (Н/На)贡(X) = (Н/На)沙(p-i(^(X))); аналогично и для других производных.
(4.2.29)(4.2.30)(4.2.29)(4.2.30)Введём термостаты ческую температуру 1/А, если 3 Н О, ±оо, если 2=0,
(4.2.29)
(4.2.30)
(4.2.29)
(4.2.30)
и термостатическое давление
2 НО,
i = 0 и i # О, и будем впредь считать, что t? > 0, или, что то же Тогда соотношения (4.2.26—28) перепишутся соответственно в виде -3仿-万(X)) + 次贡-贡(X)) + (Е - Е(Х))》О
Vp = % 贡，E)Wg (4.2.31)
—3(力(X，)—万(X")) + 0(/(X，)-贡(*")) + ^Xf) - E(X〃))= 0, (4.2.32)
0晶呐+备氏书=3告^ (4.2.33)
для всех % X', X" € 0с・ Далее, аналогично (4.2.17) будем использовать обозначения
笳Да)= {(力，/，g) €爲>| j *dm = a € R},
多(8) = {依/，0W吗力dm = 8WR},
^(a^ S) = {(力，P, E) €% j 咏加=a, j vdm =仇 а, 8 € R},
晶(а, у) = {•(力，贡，E) €^| j ijdm = a, j Sdm = у, а, у € IR).
До сих пор мы предполагали, что р — нормальное гиббсово состояние. Теперь примем более общее предположение, а именно что для всякого 户 W 给 найдётся хотя бы один вектор g€ 1R3, удовлетворяющий условию
g€a(p(x)) vxw&.g€a(p(x)) vxw&.(4.2.34)(4.2.34)
g€a(p(x)) vxw&.
g€a(p(x)) vxw&.
(4.2.34)
(4.2.34)
Такое состояние называется собственно-опорным. Из этого предположения следует, что 户(•) является гиббсовым состоянием в 咨(М j 0dm》.Для того чтобы выполнялось (4.2.34), достаточно, что
бы многообразие статических состояний было непрерывньгм. Как ранее для случая нормального гиббсова состояния, назовём » термостатической температурой, а р — термостаты ческим давлением собственно-опорного состояния /, если g = (-1, Я, 2) удовлетворяет (4.2.34). Каждому элементу множества 8侈(*)) соответствует пара {В, р), т. е. для собственно-опорного состояния мы имеем целый набор р н В.
Предложение 4.2.1. Любое нормальное гиббсово состояние 户 €% с В > 0 служит решением следующих задач минимизации:
(i) min(i) minminmin]g如户w多(% S)J, j (E -廿亓 + pv)dm\p^^]g如户w多(% S)J, j (E -廿亓 + pv)dm\p^^min { j (E — drj)dm\p €咨(8)],(iv) min { j (E + pv)dm\pe^(a)^.min { j (E — drj)dm\p €咨(8)],(iv) min { j (E + pv)dm\pe^(a)^.(4.2.35)(4.2.36)(4.2.37)(4.2.38)(4.2.35)(4.2.36)(4.2.37)(4.2.38)
(i) min
(i) min
min
min
]g如户w多(% S)J, j (E -廿亓 + pv)dm\p^^
]g如户w多(% S)J, j (E -廿亓 + pv)dm\p^^
min { j (E — drj)dm\p €咨(8)],(iv) min { j (E + pv)dm\pe^(a)^.
min { j (E — drj)dm\p €咨(8)],(iv) min { j (E + pv)dm\pe^(a)^.
(4.2.35)
(4.2.36)
(4.2.37)
(4.2.38)
(4.2.35)
(4.2.36)
(4.2.37)
(4.2.38)
а если р > 0, то и задачи
(V)min{j vdm\p^{a9))}(4.2.39)
Аналогичным_ образом, любое собственно^опорное состояние р W&, такое что ^ > 0 для некоторого g = ( - L 见 I), удовлетворяющего (4.2.34), удовлетворяет (4.2.35—39). Если р €^, — другое решение одной из задач (4.2.35—39), то
gw/(X) VXW&.(4.2.40)
Доказательство. В случае когда р — нормальное гиббсово состояние, (4.2.35—39) получаются из (4.2.31) интегрированием по области Л. В случае же когда р — собственно-опорное состояние, (4.2.35—39) следуют из (4.2.34). Соотношение (4.2.40) эквивалентно неравенству
《g,力(Х)-р〉《0VXW& 切€垓(4.2.41)
Предположим, что для некотррого XwQ неравенство (4.2.41) не выполнено. Тогда, в силу (4.2.34), в некоторой окрестности точки X
<& р(Х1) - >(%)> ^ О vXiWOc VXW ①，(4.2.42)
где
〈g,立(不)-/(%)> < 0 VXi € Ос.(4.2.43)
Из (4.2.43) следует, что
j (2 -靑)加一В J (力一行”m + 0 j (/ - i)dm < 0,(4.2.44)
□□□.
где 户=(万，八 Е) н / =(万，Р, £)• Но (4.2.44) противоречит предположению, что р является решением одной из задач (4.2.35——39). □
Очевидно, что р также гиббсово состояние в 咨(勿(|力加))・ Следует отметить, что поскольку Я и Я в (4.2.29, 30) — вещественные числа, из (4.2.26, 27) следует, что никакое нормальное гиббсово состояние не может соответствовать ни случаю й = 0, ни случаю р = ±℃ при В Н ±оо. Поэтому мы и приняли предположение, что 石 > 0. Следуя Данну и Фосдикку, интегралы в (4.2.36) и (4.2.37) называют полусвободной энергией Гиббса и полусвободной энергией Гельмгольца, а интеграл в (4.2.38) — полуэнтальпией, чтобы подчеркнуть их связь с соответствующими понятиями классической термостатики.
4・2・3・ Сравнение гиббсовых состояний.
Некоторые результаты для динамических задач
В этом пункте предполагается, что 历 н 无一два собственно-опорных состояния. Пусть Э(Р1)工 Э(р2). Предположим, что gi W 3(pi), gi f 8伪), g2 W 8(^2)или gi W 8(A), g2 W 3(p2), g2 "(А). Тогда можно записать следующие соотношения:
《gi, А(Х) - ЛОЭ> 4 ОVXW Яю VYW Яге,(4.2.45)
《g2,広(У)-历(X)〉《0vXWRic VYWR2c(4.2.46)
где flu (соотв.皿)一множество всех точек непрерывности функции pi (соотв. ра). Ясно, что найдётся либо 匕 W Ягс> для которого неравенство (4.2.45) является строгим, либо %€%, для которого будет строгим (4.2.46). Для pi =(勿，贡〃 &), g『=(—1» &, &), Pi = &/& (i = 1, 2) неравенства (4.2.45, 46)^ принимают при дополнительном предположении, что температура Л = 1/Е конечна и положительна, следующий вид:
J (& - &)dm + pi j (ih - v{)dm -瓦 j 保一后)dm》0,(4.2.47)
□□□
f (瓦一W*dm + p2 j (贡1 —贡2)由и — t?2 j (力i —力2)d/w》0,(4.2.48)
q□□
причём одно из неравенств является строгим. Из (4.2.47, 48) следуют неравенства
(Pi — Рг) ( j (贡1 —诊)力и) < (»i — tb) J 0ц —喻dm, (4.2.49)
位务-区m)(j (力1 - h)dm\ < (瓦-乱)](瓦-叁)加.(4.2.50)
Если, кроме того. Pi > 0 и Рг > 0, то справедливо неравенство g岳-4瓦)(!饰-後)加)< (Pi 一 рг) j (Si -紛dm. (4.2.51)
Аналогичным образом могут быть рассмотрены случаи
{й| > 0, Р/ < 0), {Л < 0, Pi < 0}, {Л < 0, Pi > 0}, i=l, 2,
{М > 0 или <0,岳=±оо, /€&(8)}・
Предположим сперва, что » Н ±оо, / = 1, 2. Тогда, если ^ > 0 (соотв. Л < 0), / = 1, 2, то
(31 -巫)!(方-H2)dm》(соотв.《)(р!-万2)](贡1 - v2)dm, (4.2.52)
(乱-济)[(& -及)dm》(соотв.《)(Pi% - Рг^1) j (贡1 -办)加.(4.2.53)
Если, кроме того,私乱 > 0,祈瓦 > 0 (соотв.石疝 < 0), z = 1, 2 (суммирование не производится!), то
(Pi% -员济)J Oh -初加 & (соотв.》)(pi - 员)J (& -変2)dm. (4.2.54)
Если вектор gi, отвечающий @i, pj, не является элементом 8伍) или вектор g2, отвечающий {济，〃}, не принадлежит 8@), то приведенные выше неравенства выполнены строго.
Далее, пусть 尸=(力°°,力°°,广)毛咨(⑴—собственно-опорное состояние, быть может, с бесконечной термостатической температурой, т. е. с » = ±оо. Тогда если Д и рг — два собственно-опорных состояния, таких что температура 3, отвечающая 无 конечна и отрицательна, а температура 丸 отвечающая Д, конечна и положительна и
Pi €茹(0), S = ! %dm, i = 1, 2, to
j (加一力°°)加 < 0, j (历一禮)加 < 0, f (й -片)dm > 0. (4255) □□□
Соотношения (4.2.47—55) имеют ряд важных следствий. Например, из (4.2.52) следует, что если 出 > 0,岳 > 0 и pi = 〃 или j (и — V2)dm = 0, то
(М - А) ( !僚-後)dm)》0.(4.2.56)
Из (4.2.52) следует, что если 葫=岳 > 0 или j (m -後)加=0, то
(Pi -瓦)(! ® -无)dm) W 0.(4.2.57)
Если неравенство (4.2.52) — строгое, то и (4.2.56, 57) являются строгими.
Неравенство (4.2.56) представляет собой интегральную форму хорошо известного принципа Вант Гоффа, а (4.2.57) — интегральную форму принципа Ле Шателъе1 (см., например, [321]). Вводя обозначе-
Обычно оба принципа записывают в дифференциальной форме, в которой онн применимы лишь локально. Эти принципы получаются из принципов в интегральной форме, выведенных выше, прн некоторых более сильных предположениях.
Рис. 4.2.3. (а) р Кдиаграмма для постоянного i^2>0; (b) 19Я-диаграмма для постоянного 彳(с) 19Е-диаграмма для постоянного К (Собственно-опорные состояния.)
См.[78].
ние 匕=j 5dm, i = 1, 2, для любых собственно-опорных состояний
Д,无 W咨 с ^1 = ^2 > 0, неравенство (4.2.57) можно записать в виде
(Pi -而(К -忆)4 0 (<0, если pi 工区).(4.2.58)
Из (4.2.52, 53) также следует, что если % = % н 击 > 0 (соотв. <0), / = 1, 2, то
(51 -葫乂厶-任)》0 (соотв.《0),(4.2.59)
@1 -岳)(Ei -七2)》0 (соотв.《0),(4.2.60)
где—_
Hi =(帝dm,Ei = j Sidm^ z = 1, 2.
На рис. 4.2.3(a) приведён график зависимости давления р (которое считается положительным) от полного объёма V для некоторого множества гиббсовых состояний с фиксированной температурой » > 0. На рис. 4.2.3(b), (с) представлены графики зависимости изменения полной энтропии Н и полной энергии Е в зависимости от 3 для некоторого множества гиббсовых состояний с фиксированным полным объёмом F (см. (4.2.55)).
Рассмотрим теперь неоклассический процесс П € П(0). Для этого процесса тройка (q, р, £)является функцией от X н I н, вообще говоря, не принадлежит 货 Будем предполагать, что для Г = Го тройка {力(・，而)，у(・，而)，£(•» 加)} принадлежит^ и являете гнбб- совым состоянием. В таком случае будем говорить, что процесс П проходит через гиббсово состояние.
Обозначим через 弔(О', р，)подмножество в П(0), состоящее из всех неоклассических процессов с внешней температурой О' и внешним давлением р'.
Предложение 4.2.2. Пусть П € 举(О',，)，где ВнОнрнО — заданные числа. Предположим, что для некоторого момента времени т € [0工 8)тройка & = (ч(-, т), "•, т), £(•, г)) является собственно-опорным состоянием с 5 = 0' и р = р\ Тогда
-^ (Я(0 - Я(т)) ^ j <s, - 5(> g')dm ^ 0 Vf》r,(4.2.61)
ViVidm — кинетическая энергия тела R в про-ViVidm — кинетическая энергия тела R в про-где& =(爪•，f),叭・，f), £(•, 0), ^(0 =
ViVidm — кинетическая энергия тела R в про-
ViVidm — кинетическая энергия тела R в про-
цессе П в момент времени t и
g，= (-1,心 £)
(4.2.62)
где Я/, V соответствуют Ъ (Ь) Если О' > 0, то
=О' н р = р'.
а если 0' V 0, то
船⑺ W ^(7) Vf > 7,
(4.2.63)
船⑺》訳力 Vf > 7.
(4.2.64)
(с) Если(V > 0 н *(т)=
0, то
и
ад -,о vf》т
(4.2.65)
〈&(К), g'〉= У(&(Г)), g'〉=
g'〉
v%€ Пге vre Orc,
(4.2.66)
где 0ге (соотв. В%) — множество всех точек непрерывности функции & (соотв. &). Далее, для всех f》7
*&(Г)) € {&)(•), g') VK€ Pg(4.2.67)
(d) Если, кроме того, р' > 0 и r(s)=(布，/, 5) €^ таково, что
q W 礼 у》/, £》£ Vs =(小 v. £)€ ^,(4.2.68)
то справедливы (4.2.66, 67) и
МГ) = r(st(Y)) VY € Qc(4.2.69)
для всех f》兀
Доказательство. (а) В силу (4.2.8, 9)
-Ч + 祭 у + 亲 jdm + J I 訳 f)) WO W》0,-Ч + 祭 у + 亲 jdm + J I 訳 f)) WO W》0,(4.2.70)(4.2.70)
-Ч + 祭 у + 亲 jdm + J I 訳 f)) WO W》0,
-Ч + 祭 у + 亲 jdm + J I 訳 f)) WO W》0,
(4.2.70)
(4.2.70)
или, что то же самое,
(4.2.71)(4.2.71)^( ] (s'' g)dm + 圭 *)) WO Vf》0.
(4.2.71)
(4.2.71)
Интегрируя (4.2.71) от т до，，получим первое нз неравенств (4.2.61). Теперь покажем, что
j G - S% g'〉dm WO S》т.
Предположим, что состояние * является собственно-опорным и пара (S, р) совпадает с парой (О', р'). Тогда
gf € a(sT(X)) VX € Птс,(4.2.72)
и так как &(У) € 幺 ф,(У)) € то
"(&(У)) - 飘У), g。s О УУ€ Р.(4.2.73)
Следовательно,
〈sT(X), g'〉w〈r(s,(D), g'〉W 3(У), g'〉vxe% vre «.(4.2.74)
чем неравенство (4.2.61) и доказано.
Это утверждение очевидным образом следует нз (4.2.61).
Пусть *(т) = 0. Так как О' > 0, то нз (4.2.61) следует равенство (4.2.65), а также равенство
[G - 5/, g'〉dm = О VF》т.(4.2.75)
о
Из (4.2.74, 75) вытекает (4.2.66). Поскольку г(5,(У)) € ^ VK € О, справедливо также (4.2.67).
Левую часть (4.2.66) можно записать в виде
(牙一冷 + К'З - Р) + К'低-5) = 0.(4.2.76)
Так как р' > 0 и выполнено (4.2.68), из (4.2.76) следует, что 叮=号，у =员，£ = & т.е. s = r(s), откуда и вытекает (4.2.69). □
Следует отметить, что, как следует из (4.2.64), если О' V 0 н *(т) Н 0, то тело R не придёт в состояние покоя в ходе процесса П ни при каком f > т, независимо от возможного развития механизма диссипации. Этим до некоторой степени оправдывается факт, что в механизме сплошных ере” не рассматривают отрицательные температуры..
В заключение сформулируем без доказательства (см. [78]) результат о числе сосуществующих фаз в динамическом случае:
Если множество《*, g') аффинно-независимо, то оно содержит самое большее трн точки, скажем точки r, / = 1, 2,…，л, где л ^ 3. Рост массы m(s['(pi» 口€丿 0т、g'), при £》т однозначно определяется суммарным нагревом 91(0-
§ 4・3・ НЕВЫПУКЛЫЕ СУПЕРПОТЕНЦИАЛЫ
Введение и краткий обзоросновных математических результатов
Понятие суперпотенциала было введено Ж.-Ж. Моро [211] для выпуклых, но, вообще говоря, недифференцируемых и неконечных функционалов энергии. Как было показано в гл. 3, рассмотрение суперпотенциалов приводит к вариационным неравенствам и соответствующим
выпуклым задачам минимизации. С точки зрения механики вариационные неравенства можно интерпретировать как выражение принципа виртуальной мощности (или перемещений). Из классических трудов по механике известно, однако (см., например, [6; 130]), что этот принцип носит общий характер и не связан с понятием выпуклости. Суб дифференциальные граничные условия, введенные в п. 3.3.1, задают некоторые неубывающие соотношения, как, например, соотношение (3.3.7) между Sn и Un в каждой граничной точке тела. В то же время существует обширный класс контактных задач, например задач о контакте между упругой конструкцией и гранулированной средой, в которых взаимодействие между двумя телами описывается немонотонной кривой Sn - w^, т. е. появляются невыпуклые функции энергии. В теории пластичности встречаются также случаи, когда поверхность текучести является невыпуклой; так бывает, когда существует взаимосвязь между упругими и пластическими деформациями, т. е. когда упругие свойства зависят от пластической деформации (см., например, [239; 151; 341; 240]). Экспериментально было установлено [341], что в таком случае поверхность текучести может быть вогнутой, на возможность чего ранее указывал Ильюшин (см. [239; 151]). Как показано у Грина и Нахди [123], допустимы звездообразные поверхности текучести7. Аналогичные звездообразные области допустимых напряжений недавно были рассмотрены в механике грунтов [298].
Подобные задачи подтверждают необходимость обобщения понятия суперпотенциала на невыпуклый случай [260]. Это обобщение требует распространения понятия субградиента 航х), используемого в выпуклом анализе, на случай невыпуклых функционалов. Такое распространение было осуществлено Кларком [45; 46], который обобщил понятие субдифференциала на произвольные п.н.сн. функционалы f: 1R71 -* (— оо, + оо]. Это новое понятие — обобщённый градиент (в настоящей книге мы используем для него обозначение ЭДх))——было с успехом применено во многих задачах оптимального управления, в вариационном исчислении и в невыпуклых задачах оптимизации [45— 51; 144; 145; 292; 293; 12; 14; 37; 175].
Определив 牙 для липшицевых функций, Кларк ввёл понятие конуса, нормального к замкнутому множеству. Применив это понятие к надграфикам п.н.сн. функций, он пришёл к понятию обобщённого градиента 力 для п.н.сн. функций. Непосредственное определение обо-
'Как объясняется в [123], выпуклость поверхности текучести можно считать дополнительным определяющим предположением.
бщённого градиента для произвольных функций в терминах соответствующим образом определённых производных по направлениям было совсем недавно дано Рокафелларом [292; 293], который ввёл понятия верхней субпроизводной7 и субстационарности. Ниже мы приводим краткий перечень основных математических понятий, которые понадобятся нам при дальнейшем изложении. Доказательства формулируемых результатов читатель может найти в [47; 293].
Пусть X — отделимое ЛВП, X’ 一 сопряжённое к нему, <•, •> — каноническая билинейная форма, приводящая X н X’ в двойственность, и S — некоторое топологическое пространство. Вначале введём некоторые новые понятия предела, используемые при определении верхнего субдифференциала. Пусть A: S-^ X — многозначный оператор. Тогда множество
lim inf Л(5)
состоит из всех точек х W X, таких что для любого У W Е найдётся U£Fs、обладающее тем свойством, что УАЛ(5)^ 0 для любого 6W U. Здесь Fx (соотв. Е)——фильтр окрестностей точки х (соотв. точки s). Если lim inf Л(5)= Л(5)для всех sW S, то многозначное отображение А называется полунепрерывным снизу. Аналогично можно дать определение HmsupZ(可.Для функции g: S х Х-* [- °о, +оо] определим теперь lim sup inf соотношением
Л(5, х) = lim sup inf g(6, x) = sup inf sup inf g(s,角. (4.3.1)
Для заданных множества С С % и точки х^Х определим касательный конус 7с(х) к С в точке х следующим образом:
7t(x) = lim inf 1 (С \ (х)).(4.3.2)
д-*0+
Здесь запись х -* сх означает, что х~^ х, причём х€ С. Эквивалентное определение касательного конуса таково:
7с(V)= {у\у W X; если 削0+ и хи сх, то найдётся последовательность уп у, такая что уп + iinxneC}.(4.3.3)
Очевидно, что 7Ь(х) = 7Ъ(х) для всех хе С. Можно показать, что 7с (х)——замкнутый выпуклый конус, содержащий нуль. Нормальный
'Для согласования с введённой ранее терминологией (см. п. 1.4.2) мы в дальне *i- шем будем употреблять термин верхний субдифференциал.
Рнс. 4.3.1. Касательный н нормальный конусы.
конус №(х) к множеству С в точке х определяется так (см. рис. 4.3.1):
№(х) = {х'ЬУ X*《Z, %'〉W 0 vz€ 7Ь(х)).(4.3.4)
Очевидно, что
7Ъ(х) = Bljex, b z'〉W о vz'£№(x)}/.(4.3.5)
В случае когда С выпукло, определение (4.3.4) совпадает с определением (2.3.11) нормального конуса к выпуклому множеству. Пусть на X задана функция / со значениями из (-<», + оо]. Верхним субдифференциалом /'(X, у) функции / в точке х (в которой значение Дх) конечно) при приращении у называется предел
户(％ У) = Пт sup inf 丝 土 砌———,(4.3.6)
где lim sup inf вычисляется при (x. 5) -► (x, Дх)), причём *£) W % 川 т0+ и 歹ту 乙 Если / п.н.сн. в точке х, то (4.3.6) упрощается, а именно lim sup inf вычисляется при х-* х, /V?) -► Дх), у^ у и 川一*0+. Функция g: у ~^Р(хЛ у) выпукла, п.н.сн. и положительно-однородна (т. е. g(ay) = ag&) для любых у €Х и а > 0). Далее,
epig =北р^(% /(%))•(4.3.7)
В случае когда функция / выпукла, 户(％ у) = lim inf产(х, f) vywX,(4.3.8)
『ту
'Это означает, что №“)= 一笈口).一 Прим.ред.
2 Это lim sup inf, определённый в (4.3.1),
.((f(x + 炉)-а)/д при д > 0,
где /' (х, у) — односторонний дифференциал Гато функции / в точке х при приращении у (см. п, 2.3.2). Если, кроме того, существуют а > О и 川，такие что Дх) W а для любого х из некоторой окрестности точки % + 沙，Tо
户(X, у)=/'(х, у). (4.3.9)
Аналогично верхнему суб дифференциалу нижний субдифференциал У т /*(х, у) определяется по той же формуле (4.3.6), только lim sup inf заменяется на lim inf sup, который вычисляется при (х,彷 т (х, Дх)), причём d W Дх),川一*0+ и/ ту. Если функция / липшицева в некоторой окрестности точки х, то
户(X,夕)=-/'(X, -у)=/>(х, у) ”€Х, (4.3.10) где у ~^Р(х, у) — дифференциал Кларка в точке х при приращении у, который задается соотношением
户(х, у)二 limsup *文 +“纱)———. (4.3.11) 川
Здесь lim sup вычисляется при (х, о) т (х, Дх)), причём а》Дх), и 川 т 0+・ Напомним, что функция / называется липшицевой в точке х, если у этой точки существует окрестность U, такая что / конечна на U и для некоторой непрерывной на X полунормы р справедливо неравенство
|/(Xi) - /(及)| W ср(х\ - Xi) Vxi, №€ U, (4.3.12) где с = c(U) > 0 — константа. Функция / липшицева в точке х, если она непрерывно дифференцируема в ней, или если она выпукла (вогнута) и конечна в х, или если она является линейной комбинацией функций, липшицевых в х.
Дадим два эквивалентных определения обобщенного градиента ЭДх) функции /: X т [- оо, + оо] в точке х, где значение Дх) конечно:
ЭДх) = {%[/€ X、/(х, Xi - х) > <х\ Xi - x〉vxi €Х}, (4.3.13) (ii)力(х) = Х|хУX、(Г, -1)€Мр1Лх, /(х))). (4.3.14)
Если 户(％ 0) = -8, то Э/(х) - 0; в противном случае df(x) # 0 и для любого у€Х
f\x, у) = sup {《у, х'〉|хУ 力(%)}• (4.3.15)
Отметим, что ЭДх) — выпуклое замкнутое подмножество пространства X’，наделённого Е(^\ ^-топологией. Если, кроме того, суб дифференциал р(х, у) конечен для любого у, то ЭДх) — непустое Е (次'， г?Э-компактное подмножество в X', и наоборот. В этом случае sup в
.15) можно заменить на max. Если 左一индикатор множества С, то, как легко проверить,
既(%) = №(х),(4.3.16)
^с(х, у) = 1тм(УУ(4.3.17)
Если функция / выпукла, то
牙(х)=航х)(4.3.18)
в любой точке х, где/конечна; если /вогнута, ограничена снизу в некоторой окрестности точки х и конечна в этой точке, то
力(х)= -Э(-Л(х).(4.3.19)
В случае когда градиент grad^-) непрерывен в точке х,
力(%) = {gmd/(x)}・(4.3.20)
Используя (4.3.6) н (4.3.13), легко проверить, что если / имеет в точке х локальный минимум, то
0 € af(x).(4.3.21)
Далее мы ограничимся рассмотрением липшицевых функций/и банахова пространства X. Пусть f, g:Xf|R — липшицевы функции. Тогда
Э(/ + g)(x) С 犷伊)+ 3g(х),(4.3.22)
Э(Х/)(х)=入牙(%) для Хе IR + .(4.3.23)
Аналоги равенства (2.4.8) для ЭДх) можно найти в [292].
Пусть X н У — банаховы пространства, такие что X С У, причём это вложение непрерывно и плотно и X рефлексивно. Если функция / задана на У н 力一её суждение на X, то
Э/1(х) С df(x) vx€ X.(4.3.24)
Если / выпукла, то (4.3.24) выполнено как равенство [37]. Заслуживает внимания случай, когда X = R”，а/липшицева на X; именно этот случай был впервые изучен Кларком. Тогда ЭДх) можно определить как выпуклую оболочку всех точек у вида
у = lim grad/(л^),(4.3.25)
где {^) — любая последовательность, сходящаяся к х и такая, что grad f(Xi) существует в каждой точке Xi [46].
Важную роль играет и понятие субстационарности [292]. Направление у^Х (где X — отделимое ЛВП) называется направлением при・
ближённо равномерного спуска (сокращённо, направлением п.р.с.) в точке х € X, если для некоторого q > 0 выполняется следующее условие: для любой окрестности U точки у существуют окрестность V точки х и положительные числа 6 и к, такие что для всех О V 川 V к 。戈 € Р, для которых Дх) - Дх) W 5, выполнено неравенство
inf /(х + 炉)W Дх)-川а(4.3.26)
Предполагается, что / п.н.сн. и конечна в точке х. Функция / называется субстационарной в точке х, если в этой точке не существует ни одного направления п.р.с.
Обозначим через G функцию, задаваемую равенством
О(х1)=Ях1)-<Х1-г/>, zYX\ мех. (4.3.27)
При помощи этой функции можно дать эквивалентное определение ЭДх) для конечной в х п.н.сн. функции /:
砍%) = {z'|G субстационарна в точке Xi = х).(4.3.28)
Будем говорить, что у является точкой субстационарности функции /относительно замкнутого множества^, если сумма/ + /^ субстационарна в точке х.
В заключение приведём ряд примеров. Пусть/ — функция максимума, т. е. Дх) = max {^i(x), ..., ^«(х)), гдех€ R", ^(х), / = 1, ..., т, — гладкие функции (рис. 4.3.2). Положим 2l(x) = {i € {1, ...» m}|g(x) = /(х)). Тогда
砍х) = со{grad 例(x)|i€ 31(%)}.(4.3.29а)
— Если (4.3.9) выполнено для любого у€Х, то функция / называется ^регулярной. Примерами таких фунющй служат выпуклые функции и функции максимума. Если /ng обе Э-регулярны, то (4.3.22) выпол-
Рнс. 4.3.2. Функция максимума.
нено как равенство. Приведём ещё один результат, важный для приложений. Пусть
С= {x€[Rn|/(x)^0J.
Если Длъ) = 0, / липшицева в окрестности точки ль и 0 4秋ль), то
№(ль) С {入 Г|хУ R”，入》0, хУ 力(向)}・(4.3.29b)
Если, кроме того, /является Э-регулярной в точке ль, то (4.3.29b) выполнено как равенство.
4・3・2・ Невыпуклые суперпотенциалььПолувариационные неравенства ипринципы субстационарности
Пусть механическая система £ описывается тройкой £={%〈“，£》 刃.Определяющие соотношения между обобщёнными силами £ и обобщёнными перемещениями и можно задать в виде (см. п. 3.1.2)
一代施⑷，(4.3.30)
где Ф ——функционал со значениями в расширенной вещественной прямой, определенный на %. Мы будем называть Ф невыпуклым суперпотенциалом или суперпотенциалом в смысле Кларка, Приведённое выше соотношение по определению эквивалентно неравенству
Ф^(и, U* — и) ^ ( — ^, и* — u〉 Vu* €%(4.3.31)
для всех “ € % а также включению
(—6 — 1) € А^р1Ф(и, Ф(и)).(4.3.32)
В дальнейшем будем называть неравенство (4.3.31) полувариационным неравенством. Очевидно, что если Ф ——выпуклый функционал, то(4.3.31) совпадает с (3.1.28). Для липшицевыхфункционалов Ф можно ①'в (4.3.31) заменить на Ф°.
Обобщения теории двойственности на невыпуклые функции пока не существует, тем не менее будем рассматривать также и определяющие соотношения вида
庆施 1(-0;(4.3.33)
при этом следует подчеркнуть, что (4.3.33) и (4.3.30), вообще говоря, не связаны друг с другом.
Включение (4.3.33) приводит к полувариационному неравенству
©(Т，-『 +《)》〈-“，广-纱 V"%代％ (4.3.34)
В случае когда Ф есть индикатор tнекоторого множества^ включение (4.3.30) означает, что
-代孤(“) = №(*(4.3.35)
т. е. - g является элементом нормального конуса к множеству胃в точке и. Аналогичные результаты получаются, если рассматривать обобщённые скорости.
Для иллюстрации включения (4.3.35) вернёмся к примеру (3.1.33). Будем теперь считать, что К = {х|/(х) W 0, i = 1,..., т} — замкнутое, но не выпуклое подмножество в R?； функции 力 предполагаются непрерывно дифференцируемыми.. Множество К можно записать 艺 виде К = {x|F(x) W 0},где 戶= max (/i, ...9fm). Функция/^липшицева и ^регулярна. Очевидно, что сила реакции R удовлетворяет (3.1.33) на любом гладком участке границы множества К. В каждой угловой точке границы вектор -R является линейной комбинацией с неотрицательными коэффициентами градиентов тех функций^, которые в этой угловой точке обращаются в нуль. Поэтому из (4.3.29а,Ь) следует, что если 0 @3戶(％), то выполнено включение
— RwNk(x).(4.3.36)
Отсюда видно, что для того, чтобы система находилась в состоянии равновесия, необходимо и достаточно, чтобы
片孤(%)・(4.3.37)
Включение (4.3.37) эквивалентно неравенству (см. (4.3.17))
1тк^(х^ - х)》力®*- X/) vx* W R3(4.3.38)
длях€ К?. Неравенство (4.3.38) сводится к (3.1.37), если (х* - х) W 7^(х). В «вогнутых» угловых точках границы Л>(х)(х* - х) может обратиться в если (х* - х) Тк(х).
Предположим теперь, что условие равновесия записано в форме, аналогичной (3.1.38), т. е.
л _m
0€ S ЭФ,(«) + Z а$и).(4.3.39)
Пусть Ф/ и Ф； липшицевы, очевидно, что если —лm
О € ЭФ0(«), Фо(«) = s 力G) + s 讨“)，(4.3.40)
то выполнено (4.3.39). Обратное верно не всегда. Точки и, удовлетворяющие условию (4.3.40), называются критическими точками функционала Фо- Для рассматриваемой механической системы критические
точки и функционала Фо будут её состояниями равновесия. Напомним, что если и является точкой локального минимума или максимума функционала Фо, то она будет его критической точкой.
Пусть теперь мы находимся в ситуации, описанной в § 3.3. Пусть /,力 и w, wi — функционалы со значениями в R，определённые соответственно на 1R3 и на TR6. На границе Г множества О рассмотрим поточечные граничные условия вида
-SW 守(〃)•(4.3.41)
Если / меняется на Г от точки к точке, то, разумеется, (4.4.41) следует заменить включением -S € Buj(x, и) (обобщённый градиент берётся по 〃)• Мы предполагаем, что в каждой точке Q выполнено определяющее соотношение
owaw(£).(4.3.42)
В некоторых задачах вместо (4.3.41, 42) могут возникать соотношения вида
〃€ 加-5),(4.3.43)
£ € 3wi(o).(4.3.44)
Все суб дифференциальные граничные условия и определяющие соотношения пп. 3.3.1 и 3.3.2 могут быть записаны и для невыпуклых функционалов энергии; надо просто заменить Э на Э. Так же как и в выпуклом случае, зти соотношения можно распространить на случай сепарабельного гильбертова пространства.
Справедлив следующий результат (по поводу используемых ниже обозначений см. п. 3.3.4.):
Предложение 4.3Л. Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство и функционал j: Е х Н -► R таков, что (i) функционал х -► j(x, и) измерим при любом 〃, (ii) функционал и j(x, и) локалъно-липшицев при любом х, (iii) функционал х — j(x, 0) интегрируем (с конечным интегралом). Пусть р = 2 и существует такое с》0, что для любых х» и и любого fwBuja，и) справедлива оценка
И W с(1 + М)・(4.3.45)
Тогда функционал Ф: L2(E9 Я) -► R, задаваемый формулой
Ф(и) = j J(x, 〃(%))咖，(4.3.46)
является липшицевым на каждом ограниченном подмножестве_про- странства Z?(£\ Я). Всякий элемент f eL2(E9 Н) множества ЭФ(и)
удовлетворяет соотношению
/(х) € Эк/(х, и(х)) д-п.в. на Е,(4.3.47)
а если狼伊，м, ”)= jJ(x, и, ”) д-п.в. на Е для любого 〃€Н (условие д-регулярности), то справедливо и обратное.
Доказательство этой теоремы читатель может найти в [14], где фактически рассмотрен более общий случай u € LP(E, Н), р^ \9 где Н — сепарабельное банахово пространство. В связи с этим см. также [37]. Сформулированное выше предложение можно записать в виде
ЭФ(и) С j duj(xf 〃(x))d/i(x),(4.3.48)
Е
причём в Э-регулярном случае (4.3.48) выполнено как равенство. Так будет, например, в случае, когда функционал j является непрерывно дифференцируемым или выпуклым.
Если Е =Q и Н = R, то (4.3.48) в сочетании с (4.3.24) позволяет вычислить ЭФ на ^(О).
Ниже мы «формально» получим некоторые вариационные неравенства. Как и в п. 4.1.3, считаем, что для деформируемого тела выполнены граничные условия (4.3.41), а (4.3.42) описывает поведение материала. Предполагая все функции достаточно гладкими, равенство (4.1.58) для и € t/цоп можно переписать в виде j <Jij(u)Eij(v - u)dO = j fi(Vi - Ui)d^
+ j S(〃i - Ui)dT V〃W Uon. (4.3.49) г
Здесь Uaon — множество достаточно гладких механически допустимых перемещений, а 〃 一 м ——кинематически допустимая вариация перемещений.
Рассмотрим неравенства
/т(〃，〃 一 〃)》-Si(Vi -弘) Vv € К?(4.3.50)
и
wT(£(u), £(〃)- £(〃))》。炉(&了(〃)- &丁®)▼£(〃)W 1R6. (4.3.51)
Из (4.3.49——51) следует, что для 〃W Uaon справедливо полувариацион- ное неравенство
j wT(£(〃)，£(〃 - M))dQ + j #(% ” 一 w)rfr RГ
》j 力(叨一M)daV〃W t/цоп (4.3.52)
при условии, что все записанные выше интегралы существуют и конечны. Если выполнены допущения, при которых справедливо (4.1.58), то мы приходим к следующей задаче (см. 4.1.61):
Задача 1. Найти и € [Я1 (О)]3, удовлетворяющее (4.3.52) для любого
[硏就З.
Очевидно, что любое решение исходной задачи является решением задачи 1, но не наоборот. Если вместо (4,3.41, 42) выполнены соотношения (4.3.43, 44), то можно аналогичным образом рассмотреть вариации напряжений. Возьмём вместо (4.3.49) соотношение
j 啾〃)(7炉-叩)dR + j 〃『(加丿一。以/)dR = j Ui(Tijnj - ауЛ；)4/Г.(4.3.53)
nor
Vr € Едоп- (4.3.54)Vr € Едоп- (4.3.54)Обозначим через Едоп множество всех достаточно гладких полей напряжений т = {ту), удовлетворяющих условию равновесия (такие поля будем называть статически допустимыми). Из (4.3.53) следует, что для а € Едоп справедливо полувариационное неравенство
Vr € Едоп- (4.3.54)
Vr € Едоп- (4.3.54)
j w}(a, г - o)dQ + j 力(Г, -T + S)cT》0
8г
Считая, что выполнены предположения, при которых справедливо неравенство (4.1.58), приходим к следующей задаче:
Задача Г・ Найти а€ Едоп = 5。€ [L2(Q)]6,句,」+力=0}, удовлетворяющее (4.3.54) для всех т € Едоп.
Для динамических задач в предположении малости деформаций следует добавить силы инерции Q(d2m/dt2) и учесть начальные условия для и и а〃/НЕ. Таким образом, движение тела описывается неравенством (см. (4.3.52)).
(Q -^- ® - Ui)dQ + ( wT(£(u), £(〃 - u))dO
+ I 户Q, 〃 一 〃)d。》I fi(Vi - Ui)dQ W€ Uami (4.3.55)
где
〃：[0, :n-q皿-^!_：[0, 71TL2(0)
Рассмотрим линейно-упругий материал. Тогда
w'(£(〃)，£(〃 - 〃))d。= j CijhkEu(u)Ehk(v - u)dO = a(% v - u)(4.3.56a)
и
J w[(% 7 - a)dO = j Cijhk<Jij(7u -吩必=Л (а, т - a), (4.3.56b)
где a(〃，v) и Л(а, г) обозначают билинейные формы из теории линейной упругости.
Далее, предполагая, что у,厶 п.н.сн., рассмотрим функционал потенциальной энергии
П(〃)= ^ а(ц ”)+ j J(〃)n - j fiVtdQ (4.3.57а) ГQ
и функционал дополнительной энергии
пс(т) =|л(т, т) + j h(-T)dr.(4.3.57b)
Г
Сформулируем следующие задачи:
Задача 2. Найти перемещение и € [Т/1^)]3, такое что функционал П на [Tf^Q)]3 является субстационарным
в точке и. (4.3.58а)
Задача 2'・ Найти напряжение a € Едоп» такое что функционал Пс на ЕДОп является субстационарным
в точке a. (4.3.58b)
Изучим связь между решениями задач 1 и 2 для линейно-упругого материала.
Задача 2 эквивалентна (см. (4.3.28)) утверждению, что
/€ Mi®, “ € [№(й)]3, /€ [£2(О)]3,(4.3.59)
где
П1(и) = ^。(〃，w) + j j(u)dT.
г
Предположим, что j j(u)dT удовлетворяет условию Липшица, г
Тогда, в силу (4.3.22),
/- ^grada(〃，“)€方 j /3)П，
г
и если для Ф(и) = j j(w)dT выполнено соотношение г
切(〃，u) = j #(〃，u)dr,(43.60)
г
то мы получаем задачу 1. Это легко проверить в случае, когда функционал j удовлетворяет условиям теоремы 4.3.1 и Э-регулярен. Обратно, пусть и € [Т/^О)]3 служит решением задачи 1 и 丿 является Э-регу- лярным. Тогда имеет место (4.3.60) и
j grad а(и, 〃)+ 3 j j(w)dT = dlli(u),г
откуда следует (4.3.59), т. е. w является решением задачи 2.
Аналогичные субстационарные задачи можно сформулировать, если на Г заданы классические граничные условия, а в О выполнено определяющее соотношение (4.3.42) (соотв. (4.3.44)). Тогда функционал
口3) = j w(u)dQ — j fiUidil(4361a)
на С/цоп стационарен в точке и, а функционал
Пс(т) = j Wi(T)dQ(4.3.61b)
на Едоп субстационарен в точке а.
Сделанные в п. 4.1.3 замечания также можно модифицировать, с тем чтобы охватить невыпуклый случай. Фактически полувариацион- ные неравенства можно рассматривать как выражение принципа виртуальных перемещений в виде неравенства, а задачу нахождения соответствующего полувариационного неравенства — как задачу вычисле ния невыпуклого суперпотенциала для заданного векторного поля.
В действительности исследования по теории обобщенных градиентов и её приложениям ещё далеко не завершены. До настоящего момента изучено лишь небольшое число краевых задач с оператором 力 (а именно, такие задачи приводят к полувариационным неравенствам); см., например, [37]. Пока здесь много открытых вопросов.
Приведём теперь несколько примеров, иллюстрирующих применение обобщённых градиентов.
Рассмотрим сперва одномерный элемент, у которого функция энергии деформаций имеет вид, изображенный на рис. 43.3(a). Функция / липшицева, и на рис. 4.3.3(b) представлен график 办 Он имеет вертикальные скачки и не является монотонно возрастающим, как бы-
Рис. 4.3.3. Суперпотенциал в смысле Кларка (одномерный случай).
ло бы в выпуклом случае (который изображен пунктиром). Зависимость между напряжением и деформацией, подобная приведенной на рис. 4.3.3(c), наблюдается в опытах с одноосным монотонным нагружением гранулированной среды (например, горных пород, грунта). Вид графика определяется эффектами локализации хрупкого разрушения и образования трещин.
С помощью (4.3.42) этот результат можно обобщить на случай трёхмерного тела. То же можно сказать о рис. 4.3.3(d), на котором представлен график зависимости между напряжением и деформацией при одноосном нагружении бетона [125]. Заметим также, что графики, приведённые на рис. 4.3.3(e),(f), описывают соответственно поведение железобетона при растяжении [346] и поведение связующего элемента между арматурой и бетоном [125; 310].
Пусть L ——замкнутое подмножество пространства напряжений и 厶一его индикатор, т. е.
(4.3.62)
I ОО при £ ".
Тогда соотношение
а ~ Се е 抓⑹=№(£)(4363)
является обобщением (3.3.71); это критерий старения, определённый замкнутой, но, вообще говоря, невыпуклой поверхностью в пространстве напряжений. Здесь С —— тензор упругих констант, а Се = {Cijhk^hk}- Действительно, если граница множества £ достаточно гладка, то справедливо соотношение типа (3.3.73)， что и подтверждает наше предположение. Определяющее соотношение вида
£ - са € 3%(。)，(4.3.64)
где К — замкнутое подмножество пространства напряжений, описывает в рамках голономной теории пластичности упруго-пластичный материал с невыпуклой функцией текучести. Если о w rel int К, то материал является упругим, в противном случае — пластичным. Включение (4.3.64) обобщает голономный упруго-идеально-пластический закон (3.3.83) на случай невыпуклого критерия текучести. Когда К = (a|F(a) ^ к2} и 戶一непрерывно дифференцируемая функция, из
(4.3.64) следует, что (см. (4.3.29b))
町-CijhkGhk = Х( f— I,
、8® 丿(4.3.65)
k?0,戶3) W 0,入尸(0)=0.
Последний пример представляет, пожалуй, чисто академический интерес, ибо в теории пластичности поверхность текучести почти всегда предполагается выпуклой. Однако, если упругие свойства меняются в зависимости от пластических деформаций, невыпуклые поверхности текучести исключить нельзя. И такие поверхности, действительно, возникают в теории течения.
Рнс. 4.3.4. ОбоснованиеРнс. 4.3.4. Обоснованиеопределяющего соотношения (4.3.66).
Рнс. 4.3.4. Обоснование
Рнс. 4.3.4. Обоснование
Введём определяющее соотношение вида
£ W 3w(ct).(4.3.66)
Опишем одну ситуацию, в которой может иметь место такой закон. Пусть К — подмножество пространства напряжений, определяемое критерием текучести 戶(о) W 左乙 такое что О W К. Слегка видоизменим «наглядное» доказательство, при помощи которого Друккер [77] обосновывал выпуклость поверхности течения. Рассмотрим напряжённое состояние ст* = (ст*) на или внутри поверхности текучести и некоторое внешнее воздействие, вызывающее изменение напряжений до тех пор, пока не будет достигнуто напряжённое состояние ст = ｛句｝, такое что F(a) = А2. Далее, предположим, что это воздействие порождает приращение пластической (соотв. упругой) деформации d^ (соотв. d^) и соответствующее приращение напряжений do (вектор ВС на рис. 4.3.4), направленное вовне К. Штриховой линией на рисунке показано новое положение поверхности текучести. Вернёмся в начальную точку О по произвольному пути CDO. Предположим, что вследствие пластической деформации упругие свойства претерпевают некоторые изменения, и обозначим через W часть невозвращённой упругой работы. Мы считаем, что W зависит от ст, ст* и выбранного пути и что для 0 =。* будет % = 0. Работа, произведённая при обходе замкнуто-
го пути OACDO предполагается положительной (см. [156, с. 99]):
(叨一若)d% + d^jdoij + W(o9 о*, путь OACDO) > 0. (4.3.67)
Это неравенство справедливо для любого о* € К и любого пути OACDO. Для а* = а выполнено также (4.3.67). Следовательно, d%do炉 > 0. Но это выражение можно сделать сколь угодно малым, и потому, в силу (4.3.67),
(ay -唠)d蜀 + %(ог, а*, путь OACDO)》0.(4.5.68)
Предположим теперь, что (i) W зависит только от о и о — о* и (ii) существует функция FKi: IR6 -► [ —оо, ч-оо], такая что
県，а* - а) = f 伙。'尸-°)' еСЛИ °*' "'К'(4.3.69)
)оо в противном случае.
Тогда из (4.3.68) следует, что для о€К справедливо включение
dep^Wx{a).(4.3.70)
Вместо приращения dW можно рассмотреть производную У. Тогда получим соотношение вида (4.3.66).
Предположим, что контакт между линейно-упругим телом и деформируемым полупространством описывается следующим условием одностороннего контакта, выполненным на Г5 С Г：
если 〃n < 0, то SN = 0;(4 3 71)
если u^ > 0, то Sn + к{и^ = 0.
График (Z(〃n), 〃n) аналогичен изображенному на рис. 4.3.3(c). Это граничное условие можно записать в виде 一
—Sn€ a/(〃N)； j(〃N)= j Ar(a)d(a),(4372)
о
где 〃n+ = sup (0, 〃n}・
/、 Г +61 при £ € АГ, g®= F ПРИ £,М/、 Г +61 при £ € АГ, g®= F ПРИ £,М(4373)(4373)ИИ加)=J g(e)de.加)=J g(e)de.(4.3.74)(4.3.74)Пусть M —— измеримое подмножество вещественной прямой R, такое что для любого открытого непустого подмножества / прямой R меры множеств IQM и /A(IR \ М) положительны. Положим (см. [292])
/、 Г +61 при £ € АГ, g®= F ПРИ £,М
/、 Г +61 при £ € АГ, g®= F ПРИ £,М
(4373)
(4373)
И
И
加)=J g(e)de.
加)=J g(e)de.
(4.3.74)
(4.3.74)
Рис. 4.3.5. График Э/(г) для функции / из примера (v).
Функция / липшицева, и, как легко проверить, используя (4.3.25), 力⑹=[f 也1(4375)
для любого £ W R, т. е. имеется бесконечное множество скачков (рис. 4.3.5). Объединяя (4.3.75) с каким-либо классическим определяющим соотношением, получаем «идеально пилообразную» диаграмму напряжение — деформация.
Как уже упоминалось выше, в теории обобщённых градиентов нет обобщения операции сопряжения, так что нельзя сформулировать двойственные результаты. Стоит заметить, что изучались функции, сопряжённые квазивыпуклым (см., например, [60]), и была построена теория двойственности для невыпуклых функций, которые могут быть представлены в виде разности выпуклых п.н.сн. собственных функционалов [317].
Обобщения гипотезы нормальной диссипации
В п. 3.2.1 рассматривались нелинейные соотношения между потоками V и силами С，представимые при помощи выпуклых суперпотенциалов в виде (3.2,7). Используя невыпуклые суперпотенциалы, можно сформулировать следующие более общие гипотезы [258; 261]:
(Н) Для любого реального термодинамического процесса существует п.н.сн. функционал 多：R" -►瓜 такой что поток。W@= R* отвечающий силе ^^- R", удовлетворяет соотношению
代秘(。).(4.3.76)
Этот функционал 历 будем называть обобщённым суперпотенциалом диссипации. Согласно второму началу термодинамики должно выполняться неравенство
^i^O(4.3.77)
(см, добавление III). Соотношение (4.3.76) по определению эквивалентно полувариационному неравенству
多У® J -。)》<<,V* 一 V> Vv* W R“，(4.3.78)
а также и включению
& -l)WAUg& 考(”))，(4.3.79)
означающему, что вектор (£, -1) нормален в смысле Кларка' к epi 乡 в точке (V,多(")• В частности, если 留® -"W0, то выполнено (4.3.77). Справедливы следующие два предложения.
Предложение 4.32 Для того чтобы любому потоку。отвечала по крайней мере одна сила £, необходимо и достаточно, чтобы нуль не был направлением п.р.с. для функционала 乡 в точке v.
Доказательство. Легко проверить, что S является направлением п.р.с. для 考 в точке у в том и только том случае, если 乡‘G, v) < 0. Если 0 не является направлением п.р.с. для 考 в точке v, то 留(％ 0)》0 и, следовательно, 3乡(。)Н 0. Если 羽⑹ N 0, то, в силу (4.3.13), y‘i(v，0)》0, т. е. 0 не является направлением п.р.с. для多 в точке v. □
Предложение 4.3.3. Обобщённая гипотеза нормальной диссипации эквивалентна следующим трём утверждениям:
при любой заданной силе £ вектор потока v служит точкой субстационарности для функционала
乳*)"(『)-<v* Q;(4.3.80)
0 W 秒G);(4,3.81)
(iii)歹G J)》0 Vv*e R".(4.3.82)
Доказательство. Равносильность обобщённойгипотезы нормальной
диссипации утверждению (i) следует из (4.3.28), утверждению (ii)— из (4.3.13) и определения верхнего субдифференциала, утверждению (iii) — из (4.3.13, 81). □
Для произвольно заданного множества Сможет оказаться, что №《х)Г1#Н 0.
Если механизм диссипации задается соотношением
乂務(0,(4.3.83)
то для любого заданного потока。отвечающая ему сила g является точкой субстационарности функционала
货£°)=風龄-〈。，"
Как было показано в п. 3.2.1, для выпуклого случая гипотеза нормальной диссипации в сочетании с некоторыми результатами из термодинамики для упруго-пластичных и упруго-вязко-пластичных материалов приводит к понятию обобщённого стандартного материала [128; 129]. К этому классу материалов принадлежат пластичные и вязко-пластичные материалы, описываемые с помощью выпуклых суперпотенциалов, С помощью невыпуклых суперпотенциалов можно описать материалы, имеющие невыпуклые функционалы энергии7. На этом пути получается класс материалов, которые мы будем называть обобщёнными стандартными материалами в смысле Кларка.
Используя обозначения, введённые в добавлении IV, определим обобщённый стандартный материал 6 смысле Кларка как упруговязко-пластичный материал, для которого выполнено (4.3.83) при …(@Fp/dt)F，\ -d{aj}/dt) и g = [/?, [Aj]], т. e.
(翼芍整("{4“(4-3.84)
В случае когда & — собственный п.н.сн. выпуклый функционал, (4.3.84) описывает обобщённый стандартный материал, как он определён в [128, 129]. Предположим, что 留=〃 где Лг — индикатор непустого выпуклого замкнутого содержащего нуль подмножества 多 в а 门— размерность вектора (К {4/}). Тогда (4.3.84) эквивалентно вариационному неравенству
tr ((等尸)% -К*)) -警(4 -吋)?о
V(/?* {夕})€龙(4385)
для (К, [Aj})C^ которое называется обобщённым принципом Хилла
1 Следует отметить, что понятие обобщённого градиента Кларка позволяет дать обобщение реологической гипотезы из п. 4.2.1. При этом некоторые нз задач на минимум, о которых идёт речь в предложении 4.2.1, превращаются в задачи субстационарности.
максимума пластической работы [14], (этот случай соответствует пластичному материалу).
Если 当=〃 где 方一непустое замкнутое содержащее 0 подмножество в R", то (4.3.84) можно переписать в виде
（等й，-好）U》（等й，-好）U》(4.3.86)(4.3.86)
（等й，-好）U》
（等й，-好）U》
(4.3.86)
(4.3.86)
т. е. вектор в левой части нормален в смысле Кларка к 方в точке (К, {Д/})・ В таком случае, в силу (4.3.17), справедливо неравенство
h^t[Aj])((R\h^t[Aj])((R\{%})-(/?, {A^^U^I^-F^kR*- /?)}
h^t[Aj])((R\
h^t[Aj])((R\
(4.3.87)(4.3.87)-票⑷-4)vg M；))€lRn.
(4.3.87)
(4.3.87)
Очевидно, что (4.3.87) совпадает с (4.3.85) в том и только том случае, если
(К*, (Л；))-(^ [Aj])eT^(R9 (ЛЛ).
Если исключить возможность вогнутых угловых точек, ТО МОЖНО утверждать справедливость принципа Хилла для невыпуклых поверхностей текучести. Из (4.3.28) следует, что (4.3.86) эквивалентно тому факту, что точка (К, (Лу)) является точкой субстационарности относительно 方 функционала .
尸(/?*, Л*)= -tr 五 + Л；丝.(4.3.88)
Предположим, далее, что 纟(К, А) = ®(К, Л), где Ф — непрерывно дифференцируемый на R" функционал. Тогда (4.3.84) можно перепи
сать в виде системы
1,1,(4.3.89)(4.3.90)(4.3.89)(4.3.90)3FP „-I _ ЭФ=前，
1,
1,
(4.3.89)
(4.3.90)
(4.3.89)
(4.3.90)
daj _ ЭФ . _一 ~dT = M；* 7 =
Уравнение (4.3.89) — обобщение уравнения из теории вязко-пластических потенциалов Райса, а уравнения описывают поведение внутренних параметров. Функция 留=® + 〃 соответствует упруго-вязкопластичному материалу с мгновенной пластической деформацией.
Пусть для определяющего соотношения (4.3.86)
%= [(/?, {Aj})\Fi{R, [Л7))<0, i= 1, .... т},
где Fi — непрерывно дифференцируемые функционалы на R". Тогда если 0«3戸(К, Л), где F = max(Fi, .», /}, то (4.3.86) эквивалентно соотношениям
=之、票,(4391)
i= 1
=£ % 專'丿=1'…'/'(4-3.92)
at л oAj
\iFi = 0, %》0,片 W 0, » = L 2,…，m.(4.3.93)
Предположим, что деформации достаточно малы и являются изотермическими. Тогда (4.3.84) можно записать в виде
Q, -{&})£ 秘(о, {Д；}).(4.3.94)
Это — обобщение закона пластичности (3394)'.
Выше мы обобщали понятие суперпотенциала Моро на случай невыпуклых функционалов энергии при помощи обобщённого градиента Кларка. Возможно иное обобщение понятия суперпотенциала, при котором используется понятие производного множества, предложенное Варгой (см., например, [327——332]). Определим это понятие. Пусть / —Липшицев функционал на некотором открытом подмножестве V в
Производным множеством2 функционала / в точке х € К называется всякое ограниченное семейство
(Л£/(х)|£ > О, ХЕР}(4,3.95)
непустых замкнутых подмножеств пространства J(R", R), обладающее следующими свойствами:
А£/(х) С Лг/(х) при £‘ > £；(4.3.96)
для любого компактного множества 0，U Р найдётся последовательность 保} непрерывно дифференцируемых функционалов, опре-
J В [196J была доказана выпуклость поверхности текучести, а также и выпуклость вязко-пластического потенциала вначале для некоторого монокристалла, затем для некоторых поликристаллов. Тем не менее мы можем допустить их невыпуклость, обобщая предположения из [196], как это было сделано в п. 4.3.2 в связи с друккеровым доказательством выпуклости поверхности текучести. С физической точки зрения невыпукл ость можно объяснить наличием примесей, упруго-пластическим взаимодействием илн гранулированной структурой материала [201]. Во всех этих случаях вязко-пластический потенциал перестает быть выпуклым.
В оригинале derivate container. — Прим. ped.
делённых на некоторой окрестности множества И\ обладающая тем свойством, что
方 т/ при i т оо(4.3.97)
равномерно на 0’ и для любого £ > 0 существуют i& 尸)и 3(£, V') > 0, такие что при i > i® 片)，修 € 片 и 阮 一 x| W 6(£,片) grad/(x) € A叭修).(4398)
Определим теперь ДДх) как пересечение всех производных множеств А叭г):
ЛЯх) € П ЛсДх).(4.3.99)
£>0
Тогда можно рассмотреть соотношения, связывающие поток v и силу g, вида [260]
代 А乡G),(4.3.100)
где 乡——некоторый функционал, определенный на множестве Хс IRn и называемый суперпотенциалом в смысле Варги. Соотношение (43.100) представляет собой другое обобщение гипотезы нормальной диссипации. В [331] показано, что если ^ является выпуклым либо вогнутым в точке。или если Д: IR -► IR, то
34(v) С А疼("，(4.3.101)
т. е. А^ — «наилучшее» производное множество. В общем случае это не так — может выполняться и обратное включение7.
§ 4.4. НЕРАВЕНСТВА И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ
Хорошо известно, что большинство задач механики, описываемых дифференциальными уравнениями, можно сформулировать в виде интегральных уравнений. Имеется обширная литература, посвященная этому вопросу (в частности, применительно к теории упругости), к которой и может обратиться читатель. В теории упругости существуют два основных метода вывода интегральных уравнений — прямой
'В [32] дано интересное обобщение понятия операции дифференцирования на случай функций, имеющих скачки. При этом производная уже не имеет локального характера. Вопрос о применимости этого понятия в нелокальных механических теориях остается пока открытым.
-(3/ - 1) Jnr-(3/ - 1) Jnr10l0 1」10l0 1」…P —[角角 № J 2 [о 1JJ [К…P —[角角 № J 2 [о 1JJ [К(4.4.4)(4.4.4)
-(3/ - 1) Jnr
-(3/ - 1) Jnr
10l
0 1」
10l
0 1」
…P —[角角 № J 2 [о 1JJ [К
…P —[角角 № J 2 [о 1JJ [К
(4.4.4)
(4.4.4)
и непрямой. В первом используются формула Грина или, что эквивалентно, уравнение Бетти — Максвелла; при этом подходе сначала получаются некоторые функциональные уравнения [167, 168, 160, 39], а затем после соответствующего предельного перехода — интегральные уравнения [283, 61, 62]. При втором подходе подыскивают сингулярные решения типа слоя уравнений эластостатики для бесконечной (в большинстве случаев) упругой среды так, чтобы удовлетворить граничным условиям рассматриваемой задачи7.
Подход, связанный с использованием интегральных уравнений, может быть применен и в задачах на неравенства. Однако здесь в силу многозначности операторов получаются не интегральные уравнения, а интегральные включения [262]. Кратко опишем этот метод.
Предположим, что рассматривается упругое тело с граничным условием
-Sedf(u) на Г. (4.4.1)
Если бы на границе Г должно было выполняться условие S = 0 или и = 0, то можно было бы выразить S и и как функции неизвестного вектора, скажем q:
S = 0s(4), w = 4(q), (4.4.2)
где ©s и ©u — соответствующим образом определённые операторы. Затем надо решать полученное интегральное или функциональное уравнение Ds(q) = 0 или D〃(q) = 0. Аналогично в случае (4.4.1) q является решением включения
-Ds(q)€ 力(4(G)). (4.4.3)
Проиллюстрируем описанный метод на примере. Пусть Q — подмножество в 諸，занимаемое данным двумерным линейно-упругим те
лом (рис. 4.4.1), на которое действуют силы 力(i = 1, 2). Выразим % и S как функции от /? = (R, &) — неизвестного силового слоя на
Г. Можно показать (см., например, [136]), что 〃 и S в точке (角，角), порождаемые R в точке (хь 角),задаются соответственно формулами
(ниже / = 1/叫
=附= ]
%21 8?rGr/
См.» например, [135, 136, 198, 238, 280, 334].
Рис. 4.4.1. Вывод интегрального включения для плоского случая.
+生尹不吗F+%JT)卜泪图•(445) 产 L-^Xi X2 JJ rU 0」J L/?2J
Если точки (ii, ii) и (石，元z) на Г отвечают значениям длины дуги s и 6 соответственно, то (4.4.4, 5) можно кратко записать в виде
/%)=以R(S,现冰)⑸，м 4 G
©)(S)=【S,/?(S> 少lijRj(^)・
В результате внешнего нагружения в точке (Xi,也)для %i(s) и S『(s) появляются дополнительные члены соответственно вида
銀⑸=(Ц/?(Х1, Х2, Xi, %2»办
丿==(4.4.7)
^4s) = (S,k(角，角，札 X2))而.
Интегрируя7 по Г и по О, получаем
*s) = j d)(s)ds + J i^\s)dO + 总)=(4(K))i,(4.4.8))
'Здесь интегрирование сочетается с надлежащим предельным переходом, почему ниже в (4.4.9) и появляется главное значение в смысле Коши (см., например» [134]).
§ 4.4. Неравенства и интегральные включения 195 где ^ —перемещение тела как твёрдого, и
S(s) = 1 R(s) + § «D(s)ds + j «S(s)d0 = (Qs(R))j, (4.4.9)
где §* обозначает главное значение интеграла в смысле Коши. Таким образом, если на Г выполнено гранитаое условие (4.4.1), то нужно решить включение (4.4.3) с q, заменённым на К, взяв в качестве ©и и ©s интегральные операторы, задаваемые формулами (4.4.8) и (4.4.9).
В качестве неизвестного слоя в рассматриваемой задаче можно также брать краевые дислокации или же одновременно силы и краевые дислокации на разных кусках границы. В каждом случае получаются свои операторы 4 и d и соответственно разные формы интегральных включений. В теории упругости существует много методов построения операторов ©« и ©s, и, вообще говоря, каждый из этих методов приводит к своему виду интегрального или функционального включения. Ещё один способ получать интегральные включения для односторонних задач теории упругости, а именно при помощи функции Грина, описан в [2521 •
Интегральные включения приводят к интересным математическим задачам. Например, для задачи Синьорины — Фикеры (см. п. 4.1.1) задача решения включения (4.4.3), очевидно, эквивалентна ещё не решённой задаче о линейной дополнительности (см. [352]') вида
◎s»(4)W 0, 4»(q) W 0, 0s»(4)4n(4)= 0, ©sr(<?) = 0. (4.4.10)
Здесь мы не касаемся задач, которые остаются пока не решёнными как в теоретическом аспекте, так и численно. Заметим также, что строгое математическое изучение многозначных интегральных уравнений, основанное на использовании теоремы о неподвижной точке для многозначных операторов, было начато лишь совсем недавно (см,, например, [4, 35, 38, 117, 311]).
А также п.П.1.1. — Прим. ред.
ГЛАВА 5
Задачи с трением в теории упругости
Данная глава посвящена рассмотрению двух типичных задач на неравенства——статической и динамической, в контексте линейной теории упругости. Это задачи с граничными условиями, учитывающими трение, которые впервые были изучены Дюво и Лионсом [84, 83]. Ввиду наличия граничных условий, учитывающих трение, вариационные неравенства возникают как в статическом, так и в динамическом случаях. После вывода этих вариационных неравенств мы изучаем вопрос о существовании и единственности решения в соответствующей функциональной постановке. Для статического случая получены результаты о минимизации потенциальной и дополнительной энергии и доказана их двойственность. В заключение рассматриваются некоторые другие типы краевых задач с учётом трения и выводятся соответствующие вариационные неравенства.
СТАТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
Классическая постановка
Рассмотрим упругое тело, которое в недеформированном состоянии занимает некоторую открытую связную ограниченную область й С IR 3. Граница Г множества О предполагается «регулярной», а координаты точек х€ О берутся в некоторой фиксированной декартовой системе координат ОХ1Х2Х3. Пусть граница Г разбита на три части Ги, F戶 и Г^. Точнее, пусть Гу, Г戶 и Гх попарно не пересекаются и Г = FuUFfUFs. Пусть на Ги заданы перемещения:
Ui Ui (U = М3)) на Ги,(5.1.1)
на !>——поверхностные силы:
S『=ayrij = Ft (Ft = Л(х)) на Г戶，(5.1.2)
(4у = 1,2, 3,), а на Г$ ——граничные условия, учитывающие трение.
В обозначениях §3.3 последние имеют такой вид:
если |5т| < д I Sn I, то иъ = 0»(5.1.3)
если I Sr| = д I Sn I, то существует 人》0, такое что
и^ ——人 Sj}(5.1.4)
и
Sn=Cm(5.1.5)
где д = “(г) > 0 — коэффициент трения, a Cn = Gv(x) — заданное распределение сил на границе. Можно считать, что Ги = 0 или Гг = 0 , или оба эти множества пусты. Но Г\ Н 0 . В предположении малости деформаций уравнения равновесия и сплошности имеют вид
仃齿丿 + / в Й,(5.1.6)
£行二-^- 3, J + 以 D В R,(5.1.7)
где /={£〕——вектор объемной силы. В предположении линейной упругости можно записать определяющее соотношение в виде
S了 二 Cijhk^hk В fi,(5.1.8)
где i, j, h9 к = 1,2, 3, a Ctjhk € £°°(й)——это компоненты тензора упругих 130 констант С Они удовлетворяют условиям симметричности (3.3.61а) и эллиптичности (3.3.61b). Предполагается, что все функции в соотношениях (5.1.1 — 8) обладают необходимыми свойствами гладкости2. Эти соотношения представляют собой классическую постановку краевой задачи. С помощью теоремы Грина — Гаусса из уравнений (5.1.1, 6—8) получаем соотношение
а(и, и - u) = j 力(s — 吟dR + j Si(vi - ui)dV +QrF
+ J [S^(u^ — Un) + S^Cu^ — uT^j\dV(5.1.9)
для всех и, таких что и( = LA на Гу. Здесь
а(弘 и) = j Cijhk£y(w)Ehk(y)dQ.(5.1.10)
Q
Из (5.1.3 — 5) следует неравенство
STt(yTl - ит) +(i\Cn\(\vt\ - |ur|) ^0 на fs ,(5.1.11)
В этом смысле мы будем далее использовать термин «регулярные функции».
которое с учётом (5.1.9) даёт вариационное неравенство
а(弘 и - и) + 6® - ◎(%) 2 a и - %) +
+ j Fi(vt — ut)dV + j Cn(vn — UN)dV (5.1.12)
для всех и, таких что и, = LA на Ги. Здесь
@6 = \fiVidO,(5.1.13)
Q
①е)= ! д|^| \vr\dr .(5.1.14)
Квадратичная форма а(и, и)/2 выражает упругую энергию, а ◎(%)— энергию трения на границе тела.
5・1・2・ Вариационная постановка
Приступая к строгому изучению задачи, будем считать, что и и и являются элементами из [^(й)]3. Далее, будем считать» что ft € Z2(fi), KedTQ, CnwDTs), “|Cn| eLTs), S€ai"(r办 Тогда Ф-вы- пуклый непрерывный (по теореме о следе), но не дифференцируемый функционал на [^(й)]3. Относительно множества граничных перемещений будем предполагать, что S € 力々「и), где 1Г/2(Уи) обозначает множество всех U = { LA], для которых существует w € [^(й)]3, такое что w I「и = &
Было бы естественным предположить, что U принадлежит множеству сужений на Гу элементов из /^1/2(Г). Обсудим это предположение.
Обозначим через Н1/2(Ги) сужение Н1/2(Г) на Га. Основной критерий при выборе пространства, которому должны принадлежать U,— применимость теоремы о следе. Чтобы пояснить возникающие здесь вопросы относительно надлежащей регулярности S, продолжим Hi"(Fu) нулем на всю границу. Такое продолжение должно бы быть элементом /^1/2(Г). Но это не так, поскольку продолжение может иметь скачки, например в граничных точках множества Гу. (Указанное продолжение будет элементом из /Л/2 - £(Г) для любого £ > 0.)
Рассмотрим для простоты случай й С IR 2 и на этом примере покажем, как строго определить пространство функций {。力・ Введем на Ги шкалу гильбертовых пространств (см. п. 1.2.4) с ЛЬ = ^2(Га) и Xi = Н1(Гц). Далее, рассмотрим пространство Хщ которое обозначим 犷"(Ри). Здесь /?(Гс7)— замыкание D(Tu) в "(「и) для s》0.
Тогда (см. [181]) 7?"2(Fu) С //1/2(Гс；) = //"2(Ги). Отметим, что если X = Н^Ти), то Xi/2 = Ну/2(Гц). Если функция Ui принадлежит Н1/2(Гц)9 то её продолжение нулем 5 принадлежит Т/1/2(Г), и соответствующие нормы эквивалентны (см. [335, лемма 1.1]). Поэтому можно применить теорему о следе к U. Значит, существует такое w€ [//|(а)Г, что WI г = L/* на Гу и w | г = 0 на Г \ Гу. Более подробно всё это обсуждается в [335; 263]. Мы не затрагиваем здесь ряд вопросов технического характера, касающихся граничных условий, многие из которых к тому же пока остаются открытыми. Например (см., скажем, [159]), на поверхностях раздела различных частей границы должны выполняться условия согласованности. Так, «между» Ги и Гх предписанные перемещения должны быть согласованы с условиями, учитывающими трение.
Рассмотрим случаи mes Гу > 0 и Гу = 0. Введем множество до-131 пустимых перемещений
СУдоп = { V I V € [ЯЧО)]3, V/ = Ui на Г^] .(5.1.15)
Задача 1. Найти такое и € 〃。口, что
〃(弘 и - и) + 6® - ◎(〃)》々 и - %) +
牛 J Fi(vi - 〃»dF + J Cn(dn - %N)dF V u € %on・ (5.1.16)
В более общем случае, когда F, € Н~ 1/2(Г^) и Cn€ ”一"2(1\), интегралы j Fi(vi - Ui)dr и J Cn®n - 〃N)dF следует заменить на rFrs
{Е v ~ и}Гр и (Cw vn - %n〉「$ соответственно (см. п. 1.4.3).
Обсудим, в каком смысле решение вариационного неравенства (5.1.16) (называемое также вариационным решением рассматриваемой краевой задачи) удовлетворяет граничным условиям и уравнению равновесия. Уравнения (5.1.7,8) дают £у и ау. Положив и — и = = ± 份 €[О((2)]3, из (5.1.16) получаем равенство (5.1.6) в смысле теории распределений. Применяя обобщенную формулу Грина ——Гаусса в выбранной функциональной постановке (см. (1.4.37)), выводим из (5.1.6) вариационное неравенство (5.1.9). Из (5.1.16) и (5.1.9) вытекает неравенство
J AI Cn I (I 卩丁 I — I ur I )rfr + (S» ur -"力r$ +
+〈Sn-C№ un - 〃n〉Fs + (S - E v - u)Гг ^ О V и € С7дОП .(5.1.17)
Полагая vt ~ щ = 士例 € H"2(F), с носителем в int Гг, из (5.1.17) получаем гпаничное условие (5.1.2) в смысле «следов», т. е. как равенство
в Н~1/2(У). Если и€*(0), то vnW Н”2(Г) и иг € Нт (см. (1.4.38)). Беря и^ = uTi и Si = Fi, для и〃 一 %* = ± ** € Н1/2(Г) с носителем в int Г5 получаем из (5.1.17) граничное условие (5.1.5) в смысле следов. Тогда (5.1.17) превращается в неравенство
J “ I С*| (I vr| - I ut \ )dV + (Sr, иг - ur)rs》。▼ и € С7д0П, (5.1.18) rs
являющееся слабой формой (5.1.3,4) на Нт X Н^, Соотношения (5.1.3,4) следуют из (5.1.18) (см. п. 3.3.4).
Чтобы преодолеть трудности, связанные с недифференцируемостью функционала Ф, возникающие, в частности, при численном решении задачи, рассмотрим регуляризованную задачу, которая получается при замене недифференцируемого члена Ф в (5.1.16) некоторым дифференцируемым функционалом Фс, зависящим от £ > 0. А именно, введем регуляризованный функционал Фс, заданный на [//1(а)Г формулой7
©е®) = S 処累卩 + е GT, £ > 0 .(5.1.19)
n Q + £)
Функционал Ф£ — дифференцируемый и выпуклый. Далее, как легкой проверить, при £ т 0
力/u) f ©е) Vu€ [Н1 (Й)]3,(5.1.20)
lim inf 力式％)》Ф(и) ,(5.1.21)
(5.1.22)(5.1.22)если % f 〃 * -слабо в Uaon. Положим, далее v = v - w, й = u - w, где w|r =。(см. (1.3.46)) на Ги и
(5.1.22)
(5.1.22)
玄 u€ К)= [v| v€ [Я1 (П)]3, и = 0 на Ги}.
Регуляризованная задача имеет такой вид:
Задача 1 е. Найти такое 〃^ € %, что
а(4，и - %) + Ф£(и + w) - ①式瞑 + w)》
》(Л 方 一 ％) + ! E® - &)dF +Гг
(5.1.23)(5.1.23)+ J Cn(% —见N)dF — a(w v — u£) V и € l*o .
(5.1.23)
(5.1.23)
Аналогично можно рассмотреть функционал
小/и) = ! A I Cv I {品 +『//Г, б > 0.
Полагая 6-4= ±Хщ и \читывая дифференцируемость Фе, заключаем, что (5.1.23) эквивалентно вариационному равенству (см. доказательство теоремы 2.2.2).
「 ~中式友+ w) . \
a(uc, ui) +, vi ) = (Л vi) +
\ dv/门
+ J FivndV + J CNVN(ir — a(w, ui) V 山 W % .(5.1.24)
Вариационное неравенство (5.1.16) выражает принцип виртуальных перемещений для рассматриваемой краевой задачи с трением. Поскольку граничные условия в нашей задаче носят односторонний характер, неудивительно, что этот принцип принимает форму неравенства (см., [130; 171]).
§5・2・ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
Эквивалентная задача на минимум.
Случай mes Ги > 0.
Решение рассматриваемой нами краевой задачи, если таковое существует, является решением некоторой задачи минимизации, как видно из следующего предложения:
Предложение 5.2Л. Задача решения вариационного неравенства (5.1.16) эквивалентна следующей минимизационной задаче:
П(«) = шт[П(и)|и€С4оп],(5.2.1)
где
П(и) = ~ а(и, и) + Ф(и) — (А у) — I FiVidr — j CNUNdF .(5.2.2)
2rFrs
Это верно как в случае mes Г*и > 0, так и в случае Г*и = 0. В последнем случае илоп =[犷命尸.
Доказательство. Применяем предложение 2.2.2, взяв в качестве 力133 функционал и т。(力 и)/2 — 房 и)-〈片 力卜一〈以 v^)гs» а в качестве Л — функционал и -* Ф(и). В силу (1.4.21)
(grad /；(〃)，V - и)=。(弘 и - u) - (^ и - u)
—j Fi(vi — и/)dV — j Cv(un — Un)dr •□ (5.2.3)
Отметим, что в этом доказательстве использовались лишь симметричность формы。(弘 и) и тот факт, что а(ц, и) > 0 vu € [Т/^й)]3.
Последнее свойство обеспечивает выпуклость П, а первое позволяет вывести равенство (5.2.3). Функционал П выражает потенциальную энергию тела и представляет собой сумму упругой энергии, энергии внешнего нагружения и недифференцируемой энергии трения. Предложение 5.2.1 можно рассматривать как обобщение теоремы о минимуме потенциальной энергии в классической теории упругости.
Перейдём к доказательству существования и единственности решения. Вначале разберём случай тевГу >0.
Предложение 5.2.2. Если mesTu > 0, то решение задачи (5.2.1) существует и единственно.
Доказательство. Так как функционал П является непрерывным и выпуклым на С7дОП, достаточно показать (см. предложение 2.2.1), что
П® т оо при I и 11 т 8, I； € ид0n.(5.2.4)
Ввиду наложенных на U условий существует такое w € [//^Й)]3, что % = U на Г и. Как и в (5.1.23), положим D = и — %£ %. Тогда П запишется в виде
п® = ~ Q(兀 у) + Q(0, W)+ g~ Q(场 W)+ Ф(у + W)- (^ J + W)-
-J Fi(v + w)/dr - J Cn® + w)dF ・(525)
Поскольку mes Г*и > 0, справедливо первое неравенство Корна, из которого следует (см. п. 4.1.1), что
q(D, J)》c|0|iV0€%,(526)
где с > 0 ——константа. Учитывая неотрицательность ①(0 + w) и непрерывность рассматриваемых линейных форм, из (5.2.5) и (5.2.6) получаем (5.2.4). Итак, существование по крайней мере одного решения гарантировано. Строгая выпуклость функционала П обеспечивает единственность решения.
Случай Гу = 0
В случае Ги = 0 доказательство существования решения усложняется, так как тело может перемещаться так твёрдое.
Для вывода необходимого условия существования решения нам понадобится следующий результат:
Предложение 5.2・3・ Если Гу = 0, то задача решения вариационного неравенства (5.1.16) эквивалентна следующей задаче: найти
〃Ё附(口)户，такое что
I 〃(必力一优力-J Evidr - j CNVNdr | ^ Ф(у) V у € [ЯЧй)]3, Гж
(5.2.7) причём для v = и должно иметь место равенство.
Доказательство, Подставляя в (5.1.16) у = 0 и у = 2 и, получим
〃(必 〃)+ ①(〃)=(/» + J FiUidV + J CNuNdT ,(5.2.8)
ГУr*S
t. e. (5.1.16) эквивалентно (5.2.8) и неравенству
a(", и) + ①(и)》伉 и) + j Evidr + j CNvNdr V и € 因十期户.(5.2.9) ГУГх
Заменяя в (5.2.9) и на -и, приходим к (5.2.7). □
Это предложение позволяет вывести одно необходимое условие существования решения. Действительно, если в (5.2.7) положить и = г £ 必 где 区 一пространство перемещений тела как твёрдого, и г не равно нулю, то (см. (1.4.27)) мы получаем
①(г) 2 I (/» + J Findr + J CNrNdr | V г € ^ г ^ 0; (5.2.10) это и есть интересующее нас необходимое условие существования положения равновесия. Неравенство (5.2.10) можно переписать в эквивалентном виде
Ф(г)》J findQ + I Findr + $ CNrNdr Vr€ 必 г X 0. (5.2.11) ОI>rs
Существование решения в случае Ги = 0 мы установим при более сильном условии, что
①&)>(/»+ J Findr j CNrNdr Vr£ 必 rX0・ (5.2.12) rs
Предложение 5.2.4. Если Гу = 0 и имеет место (5.2.12), то у вариационного неравенства (5.1.16) существует по крайней мере одно решение.
Доказательство• Задача решения неравенства (5.1.16) эквивалентна задаче минимизации (5.2.1), в которой минимум разыскивается на \Н1 (Й)]3. Поэтому применим предложение 2.2.1 в факторпространстве [№(Й)]5/ ^. Пусть Qf—ортогональный проектор [Н1 (Й)]3 на 例 в [//(РНПнорме, а 例"1ортогональное дополнение к 冬 Положим 尸'=/ - Q，(где I—тождественный оператор) и
и=и + /； г € 必 v = v — Qf v = Pf v ^ 例丄.(5.2.13)
С учётом (4.1.36) без труда устанавливаем соотношение135
。(力 и)》с|и|； VuC 必丄，(5.2.14)
где с > 0 — константа (см. п. 1.1.2). Из непрерывности рассматриваемых линейных форм, условия (5.2.14) и неравенства (5.2.12), записанного в виде
«г)+ j FindV + j CNrNdrK Ф0 - c|r|2
(с = const > 0) Vr€ % г К 0,(5.2.15)
следует, что
П(и) = 口3 + г) = -у。(力 и) + Ф(и + г) - (Л и + г)
-j Fi(vi + 々)dF - j Cn(un + 川)公
》4-。(工 V)+ Ф(и + г)-蛉)-(Л v) - J FiVidr 2rF
-[CNUNdF + с|г|2^С1(|и|1+ I г I 2)+ CI и 11 ,(5.2.16)
где ci > 0 — константа. При выводе (5.2.16) мы учли также, что функционал Ф ——выпуклый, конечный и непрерывный на [Н1 (Я)]3, и потому, согласно предложению 2.3.2, а①(“)К 0 для всех и ^ [/Л1 (О)]3. Итак,
Ф(и + г) - Ф(г) ^ (X 力1》-c|u|i,(5.2.17)
где с > 0 — константа. Но (| и | ； + | г| 2)1/2 — норма, эквивалентная стандартной норме |u|i на [/Л1 (О)]3. Действительно, норма |u]i эквивалентна норме(£® + I и 12)1/2, Далее, £® + | и 12j= £® + | и |г + + I г| j и(£® + I и 12)1/2_есть норма, эквивалентная | и | ь Значит, при I и 11 т 8 будет либо I и 11 — 8, либо I г 12 т 8, либо и то и другое одновременно. Поэтому из (5,2.16) следует, что П(и) -► ».
Следует отметить, что дело не исчерпывается разобранными выше двумя случаями те§Г*и > 0 и Ги = 0. Например, если заданы перемещения на некотором множестве точек границы, имеющем меру нуль, то Fu Н 0, но mesFu = 0. В этом случае необходимо уточнение функциональной постановки задачи.
В следующем предложении рассматривается вопрос о единственности решения.
Предложение 5・2・5・ Если Г*и = 0, то поля напряжений и деформаций определены однозначно, а поле перемещений — однозначно с точностью до перемещений тела как твёрдого.
Доказательство. Пусть 〃i и 收一два решения неравенства (5.1.16). Положим в (5.1.16) вначале и = и2, и = иь а затем и = иь и = и2. Получим
〃似 1 — 〃2, 〃1 — 〃” W 0 ,(5.2.18)
〃i — 〃2 £ 烫.(5.2.19)
Следовательно, наши два решения различаются лишь на перемещение тела как твёрдого, и потому
£(〃1) = £("2),о(〃1) = о(〃2),(5.2.20)
что и требовалось доказать. □
5・2・3. Некоторые дальнейшие результаты
Решение и неравенства (5.1.16) зависит от коэффициента трения д и от I Cv I • Обозначим через b член 儿 | Cv |, а через иь — соответствующее решение, в предположении что mes Гу > 0. Характер указанной зависимости проясняет следующее
Предложение 5.2.6. Если Ь £ 七8(「§), то функция Ь^иъ липшицева (см. п. 1.3.1).
Доказательство. Пусть b】，dz € L^fTs) и 〃济,иЬг — соответствующие решения неравенства (5.1.16). Полагая в (5.1.16) поочередно и = 〃庆， и = 〃岳 и складывая получающиеся неравенства, приходим к неравенству
〃(毎-% 〃岳一 〃儿)+、(岳-岳)(I uTb21 - I uTbl I )с?Г W 0,(5.2.21)
из которого, ввиду коэрцитивности 〃(力 и) на %, вытекает, что
с I 〃尻-〃历 I ； W I 历一岳 I г?(1\)I 〃尻-〃历 I [£2(rs)j3 •(5・2.22)
Поэтому, в силу (1.3.54),
I 〃岳-〃历 11 W с I dz - bi I l(r$A(5223)
где c > 0 — константа. □
Можно также показать, что если Ь имеет постоянное значение на Гх, то функция Ь \ \urb\dV является липшицевой и убывающей, а функция b т а(ць, 〃ь)——выпуклой убывающей (см. [120]). Регуляризованная задача (5.1.24) допускает единственное решение, если mesFu> 0 (предложение 5.2.2). Связь между и и и£ дается следующим предложением:
Предложение 5.2*7. Пусть mes Ги > 0. Тогда при £ — 0
/т 〃 в ЦдОП ・(5.2.24)
Доказательство. В силу монотонности d屯Jd и,
①\SNA
(才/-他 + 例，(% + w))rs)0.
Ввиду коэрцитивности а(и, и), из (5.1.24) вытекает, что | u£ 11 ^ с. Поэтому можно выбрать последовательность [ие], слабо сходящуюся в СТдоц к некоторому элементу и. Чтобы убедиться в том, что “ является решением неравенства (5.1.16), перейдём в (5.1.33) к пределу при £ т 0. Из (5.1.20, 21, 23) получим (5.1.16); поскольку lim а(иЕ, /)= 〃(必 и), то справедливо (5.2.24). □
До сих пор рассматривались лишь вариационные принципы, связанные с перемещениями. В следующем параграфе будут изучены вариационные принципы для напряжений и их связь с вариационными принципами для перемещений.
§5.3. ДВОЙСТВЕННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
Минимизация дополнительной энергии
Введём пространство
я = [т| 7 = [ту], nj = ту, T,y€L2(fl), i,j= 1,2,3](5.3.1)
и множество допустимых напряжений
2доп = {丁 I 7 £ “ ％ / + 力=О В 5 Tn = Cn,
I Тт\ < д I Cv| на Tj, Tt = Ft на Г>},(5.3.2.)
где 7； Tn, ТУ—векторы, соответствующие 5, SN и Sx Tn € Я"1/2(Г), Тт^НЦГ) (см. (1.4.39) и п. 1.4.3), а сужение ТУ на Гх представляет собой элемент пространства [L°°(rs)]3. Множество 2ДОП ——выпуклое замкнутое подмножество пространства S, снабженного нормой (1.4.35). Нам понадобится также соотношение, обратное к (5.1.8):
£(/ = CijhkOhk .(5.3.3)
Тензор с обладает теми же свойствами симметричности и эллиптичности, что и тензор С. Ясно, что Едоп непусто, если mes Г*и Н 0 или если Ги = 0 и выполнено (5.2.12). Тогда существует решение и нера-
венства (5.1.16) (или, что то же, задачи (5.2.1)), т. е. существует поле перемещений, из которого можно получить поле напряжений О(〃) € ^доп*
Предложение 5.3.1. Пусть неравенство (5.1.16) имеет решение 〃. Тогда поле напряжений о(〃) удовлетворяет вариационному неравенству
А(а9т - о)^ (ЦТ - 0fu V 丁 £ 2доп.(53.4)
где 力(6 7)= j С"hk Uij Th к d0.(5.3.5)
о
Доказательство. Обозначим через c(u) € [Z2(O)]6 отвечающее и поле деформаций, из которого с помощью (5.1.8) получается о(〃). Умножая (5.1.7) на Tij - ^, где г, оСЕдоп，и применяя теорему Грина — Гаусса (см. 1.4.45)), приходим к равенству
А(о9 т - а) = {ЦТ - 5)Гц + ^т. Tl S6fs v т^ 2ДОП. (5.3.6)
Но из граничного условия, учитывающего трение, вытекает (см. (3.3.177)), что на Нт х Нт выполнено соотношение
(мт, 7г — 5т)г$》0-(5.3.7)
Отсюда и из (5.3.6) получаем (5.3.4). □
С физической точки зрения вариационное неравенство (5.3.4) выражает принцип дополнительных виртуальных перемещений. Этот принцип принимает форму неравенства, грубо говоря, потому, что такую форму имеет вспомогательное условие |S「| W"|Cn|・
Предложение 5.3.2. Пусть 2д0П Н 0. Тогда вариационное неравенство (5.3.4) имеет единственное решение. Кроме того, (5.3.4) эквивалентно задаче минимизации
Пс(а) = min {1Г(т) I т€ ZoJ,(5.3.8)
где
1Г(7)= ^-Л(7, т)-ПТ}Ги.(5.3.9)
Доказательство. Билинейная форма Л(т, г) коэрцитивна на Н вследствие эллиптичности тензора [cijhk}> В силу непрерывности у (см. п. 1.4.3.) и того факта, что г € 2ДОП, имеем
IIе⑺= ^/(т,т)-〈〃 Т〉Ги
^ О I т|^г - Ci I т| 2 + С1( |/| 2 ~ |/| 2)=
=С(| "負 + j 历,kTij, kdQ) - 6 I " x + Q •(5.3.10)
Для завершения доказательства остается применить предложения 2.2Л и 2.2.2. □
Функционал ГГ выражает дополнительную энергию тела. Мы ищем её минимум на некотором выпуклом замкнутом множестве. Задачи минимизации (5.3.8) можно рассматривать как обобщение хорошо известного из классической теории упругости принципа минимума дополнительной энергии [236].
Двойственность
В этом пункте мы рассмотрим двойственность между задачами минимизации потащиальной энергии и минимизации дополнительной энергии в духе общей теории двойственности механических систем, развитой в п. 3.2.2.
Перепишем (5.2.1) в эквивалентной форме
П(и) = min [П(и) I u € (Я1 (fl)]3},(5.3.11)
где П(и) = П(и) + ®°n(“)• Напомним, что IUaon — индикатор множества идоц. В соотношении (3.2.47), определяющем исходную задачу, в качестве А возьмём
/(")=%(") + IUaon(u)
=Ф(и) - «и) - j FiUidV - j CNuNdV + /%°п(“)• (5.3.12) Гр
Покажем, что для uWH
力。(-А”)= /2доп(а) - (S； Uh，(5.3.13)
где Л' — оператор, транспонированный к оператору А-и -► Л(и)= =侬・(叨Ё%2(0肥 Дейс твительно,
力。(_八％)= sup [(-Afa9v) - A(v)]
=鵰[(-sAu)-/®]
=(-G Aw，+ (/； w) + 低 w)rf
+ (Cn, w)r$ + sup [( - ст, AD) + 0 »
+ 罟 ^)rf + Cm w)rs -小(方 + w)].(5.3.14)
Здесь мы воспользовались заменой v = v - щ где В W % и w |「？ = 0. Но ГоА[£>(Й)]3 плотно в % в ^f1-норме (см. доказательство теорем 1.1 и 1.3 в [312]). Поэтому в (5.3.14) супремум по % можно заменить супремумом по ГоА[£>(Й)]3, который, очевидно, не меньше супремума по [Z>(R)]3. Следовательно,
NY—А%)》汇跋)『[—ЗА^ + СЕ叨
+ ( - о, A w) + 0 w) +〈Н 叩左尸 +〈См w)r$ •(5.3.15)
Но для
-(ст, Л У ) + (^ у) = (сту, У + у}, у),(5.3.16)
так что супремум в (5.3.15) равен нулю, если 侬丿 +力宀)=0 в R, и бесконечности ——в противном случае. Из (5.3.16), прим^яя теорему Грина — Гаусса (см. (1.4.37)), получаем
(о, А и) = (5,必 + 优 и) V у € [^(Й)]3.(5.3.17)
Поэтому
74 c(-А”)=(-(т, Aw) + 0w)+ j Fi^idr j CNWNdr rFrs
+。概)[-3，g2+，产 n
+ j CNVNdr - Ф(у + w)]
=^ф} [ - [{S - E^rF + ^N- Cm w)rs
+ (〈Sr vt + wrh + ①(D + w))]} + (St; ^т)г$
+ (-o,Aw) + (/；w)+ j FiWidr + j CNWNdf. (5.3.18) rFrs
Но этот супремум не меньше, чем супремум по линейному подпространству
[у I у € % Г) Z>(fl), и = 0 на Гх].
который равен нулю, если Si = R на ГУ, и бесконечности в противном
случае. Аналогично получаем, что Sn = Cn на Г«. Далее (ср. с (3.3.176) — 8)),广
0, если \ST\ W "I Cn| , sup [ 一 ((Sy； vt + wt)r + ①(D + w))]=-
oo в противном случае.
(5.3.19)
Отсюда видно, что
(-ct,Aw) + (^w)+ J FiWidrГг
Ас( - А”)=《+ J CnWncIF +〈S* 光力г$, если ст€ S^,
оо в противном случае,оо в противном случае,(5.3.20)(5.3.20)
оо в противном случае,
оо в противном случае,
(5.3.20)
(5.3.20)
а это по теореме Грина — Гаусса эквивалентно (5.3.13).
Согласно закону Гука, В(Аи) в (3.2.47) имеет вид
6(А〃)= ~^ j Cyhkeu(u)Ehk(u)dQ9(5.3.21)
поэтому
炉3) = sup [3, Ai?) — В(Л у)] = ~ А (а, а), если % = С^л» e*jt« (5.3.22) V € (ЯЧП)]32
Таким образом, двойств^ная задача sup[ -Ас( - А”)- 炉(。)]экви-
валжтна задаче (538) на минимум дополнительной зн®гии.
Связь между исходной и двойственной задачами описывается следующими предложениями:
Предложение 5・3・3・ Решение и исходной задачи и решение ст двойственной задачи связаны соотношением
П(и) + Пс(а) = 0(5.3.23)
и удовлетворяют уоювшш % = CyhkChk(u),(5.3.24)
Sr^Ti + /*| Cn\ I ит\ = 0.(5.3.25)
Дсжазательство. Равенство (5.3.23) ншосредственно вытекает из предложения 3.2.7, и легко проверяется, что условия оптимальности (3.2.52, 51) принимают в рассматриваемом случае вид (5.3.24, 25). □
Итак, имеет место следующее соотношение:
n(v) > П(и) = 一口。(力》-Пс(7) V U € С7ДОП VT€Sflon. (5.3.26) Если Ги = 0 и выполенено (5.2.12), то в (5.3.26) можно заменить илоп на (№(О)]3. Соотношение (5.3.26) обобщает аналогичный результат классической линейной теории упругости.
Предложение 5.3.4. Следующие утверждения эквивалентны:
и минимизирует потенциальную энергию П на множестве 力咖， а минимизирует дополнительную энергию Пг на Едоп и выполнено (5.3.23);
и € идоп и а€ Едоп удовлетворяют условиям экстремума (5324, 25).
Доказательство. Это непосредственно вытекает из предложения 3.26 □
К рассматриваемой задаче можно применить и подход, основанный на понятии седловой точки. А именно, можно показать (см., например, (91]), что решение go) aamdt пары двойственных задач — это седловая точка некоторой подходшхей функции Лагранжа,
§54 ДИНАМИЧШЮт КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
54L Класанеская м иршциднтя постановки
Динамическое поведшие упругого тела при наличии трения ш «асти его границы описывается (в предполажешш малых перемещейй л деформаций) соотношениями
1-23 4 5 6 7 8(5.(5.(5.(5.<5.(5.(5-(5-1-23 4 5 6 7 8(5.(5.(5.(5.<5.(5.(5-(5-o^j^fi = q〃；'b Q X (0, 7),
1-23 4 5 6 7 8(5.(5.(5.(5.<5.(5.(5-(5-
1-23 4 5 6 7 8(5.(5.(5.(5.<5.(5.(5-(5-
£U@) = у (也丿 + "/,；) в О X (0, 7).
吋=Cijhk^hk В()X(0, Т)>
〃i = Ui на Ги X (0> 0,
方=冃◎ Df N《Q 7),
если I 5Г| < g I SvI, то u^ = 0 на Г« X (О, 7),
если I 5г| =川 I Sn| , то существует 入 N 0, такое что
Ur= - XSr на Г« х (0, 7),Sn = Cn на R х (0, 7).
Здесь время меняется на интервале [О, Г] и штрихи обозначают производную по времени 3/3 4 Плотность q = q(x), х€ О, предполагается положительной функцией из Z°°(fi) с ess inf r(x) > 0. Заданные силы и перемещения £ Е Cn к U зависят от х и 乙 На первых порах все функции в (5.4.1 — 8) предполагаются достаточно гладкими. К приведённым выше соотношениям добавляются еще начальные условия
и, = ио” и{ = uu для x^fi, / = 0.
Здесь uoi и Uy — заданные функции от х описывающие поля перемещений и скоростей при Z = 0. Разумеется, 〃。и 〃】должны быть согласованы с кинематическими граничными условиями на Ги. Появление 讶 вместо иг в (5.4.6, 7) приводит к необходимости рассмотрения вариационных соотношений для скоростей. Введём множество
С/доп = {и I и С [ЯЧад3,叨=и/ на Ги}・ (5.4.10)
Тогда нашу краевую задачу можно представить в следующей вариационной постановке: найти и;[0, Г] -► [У/1 (В)]3, удовлетворяющее вариационному неравенству
(@〃\ и - 〃，)+。(弘 и - 〃')+ Ф® -①(〃')》(Л и — 〃')
+ J Fj(vi — 〃/)б/Г + j Cn(vn — 〃S)dr V v € l/доп> (5.4.11)
начальным условиям (5.4.9) и такое, что uf(t)^ Uaon9 € [L2(O)]3 】・
Это вариационное неравенство получается из (5.4.1 — 8), если умножить (5.4.1) на у - м‘，проинтегрировать по Q и формально применить теорему Грина — Гаусса, а затем учесть граничные условия (как в статической задаче). Здесь стоит обратить внимание на то, что функциональная постановка задачи в её окончательном виде ещё не дана, поэтому вариационная постановка (5.4.11) носит «предварительный» характер. Далее, более точно учитывая зависимость данных задачи от времени, мы установим, в каком смысле решение вариационной задачи удовлетворяет соотношениям (5.4.1 — 9). Вариационное неравенство (5.4.11) физически выражает принцип виртуальной мощности в виде неравенства.
Для динамической задачи случаи mes Ги > 0 и Ги = 0 можно изучать одновременно при дополнительном предположении, что если Гу = 0 » то соотношение (5.2.11) выполняется для всех Г > 0. Это со-
Точнее было бы написать 〃'& • ) € %0n и т. д.
отношение гарантирует, что не появится «твёрдых» движений тела, несовместимых с граничными условиями. Введём подпространство
% = [и| и“"1(П)]3, и = о на Ги]. (5.4.12) Подставляя в (5.4.11) D=u-w и й = й ~ ^ где w;[0. Г] т -»[Я1 (В)]3 — функция, такая что 取川〜二 U(t) € [Я1/2(Ги)]3 (см. [181, т. 2, гл. 4, теоремы 2.1 и 5.3]), приходим к следующей формулировке задачи:
Задача 1. Найти функцию и.'[О, Т]-* % с /'«)€ %, ur,(t)^ [£2(fi)]3, такую что
(QU,f, й-и) + а(й,у-и/) + 小@ + W) — Ф(и7 + W)
》(w，0-倉‘)V*%(5.4.13)
и при / = 0 выполнены условия
и = йо = uo - w(0), uz = Ui = Ui - w'(0).(5.4.14)
Здесь
(^,y - u') = (A^- uz) + J Fi(yi - //)d「
+ J CN(VN-a^)dr - (ewz； v~uf)~ a^9v- uz). (5.4.15)
5.4・2. Существование решения
Чтобы установить существование решения, рассмотрим регуляризованную задачу — вариационное неравенство (5.4.13) в сглаженной форме. Она получится, если в (5.4.13) заменить Ф на Фе, где Фе задано формулой (5.1.19):
Задача 1€. Найти функцию Йе：[О, T]^Vo с 星'(f) € %,以「«) € [£2(fi)]3, которая удовлетворяет неравенству
(g£；J)+ 0(%, » +〈■^(tZ/+w'),“r$ =仲，» V4C% (5.4.16) и начальным условиям (5.4.14).
Сначала мы «построим» решение задачи (5.4.13, 14) как предел решений % задачи (5.4.14, 16) при € -► 0, в предположении что % существует. Затем докажем (в п. 5.4.3), что ие на самом деле существует.
Предложение 5.4.L Пусть
f.f'.f" ^L^T, [£2(n)]3),(5.4.17)
еm еД 伙ei8"[丄2仆理)，(5.4.18)
F, F',F" € 丄如北(£2(rF)]3),(5.4.19)
Mi w', w", w'", w"" ^17(^Т,Щ1(^),(5.4.20)
w(0) W [Я2(Й)]3,(5.4.21)
/411 не зависит от 厶(5.4.22)
i/о W [日2(口)『，必 w [^(fl)]3,(5.4.23)
"it + wRO) = 0 на Fs・(5.4.24)
Предположим, что линейный функционал
О т。(似0), » — Вт(о),亦〉R + J lCijhk£hk@M, jVidQ (5.4.25) непрерывен на % в [£2(й)]3-топологии* Тогда решение й£ регуляризованной задачи удовлетворяет следующим соотношениям:
й£ -► и ♦ -слабо в Z*(0 Т, %),(5.4.26)
魂 т 夕♦ -слабо в 七8(0北 ％),(5・4・27)
Ш'-^й" ♦-слабо в £*(07； [Z2(fl)]3,(5.4.28)
и и есть решение задачи (5.4.13, 14).
Доказательство. (а) Будем считать (см. предложение 5.4.2), что существует единственное решение йе € £°°(0 ^ Ро) задачи 1е, такое что
й/€£°°(0 7； %), w7€L°°(0T, [Z2(fl)]3).(5.4.29)
В силу монотонности d①Jdu, из уравнения (5.4.16), в которое вместо и поставлено и/ + wz, получим неравенство
g宏；宏+户)+ a(%,庭+户)《仲,谓+户).(5.4.30)
Из (5.4.30) вытекает, что
;虽(卜係)~0+叫4)) 0
W (收宏 + 紋)-(q "% w')一0(% w').(5.4.31)
Комбинируя (5.4.31) с (4.1.38) и интегрируя от 0 no 厶 приходим к неравенству7
\й^\г + Ci\Ue\l - с2\й£\1 ^ \йг\1 + с\йо\1
+ 2 f 蚀呢+紋)df-2(Q%户)
О
+ 2(Qt7bW'(0)) + 2 j(QU^wf,)dt-2 j a^w^dL (5.4.32) о0
Более точно, ниже следовало бы писать j (屮& • ), ("； + w') & • )dt и т. д.
Поскольку W, ^' € £2(0 7? К)), из (5.4.32) и неравенства
1% 住 W с j I 叫須 f + |«o|1% 住 W с j I 叫須 f + |«o|(5.4.33)(5.4.33)
1% 住 W с j I 叫須 f + |«o|
1% 住 W с j I 叫須 f + |«o|
(5.4.33)
(5.4.33)
следует, что1叫纟+ 141% e(1 + J (|й；I2+ |4| 汕)+2 j 停,%)必 W “1 + j (|%|^+ |4| 汕 f) + 2停,&)-2(W(0),友)+ 2 f \i'\vi\^\dt,0следует, что1叫纟+ 141% e(1 + J (|й；I2+ |4| 汕)+2 j 停,%)必 W “1 + j (|%|^+ |4| 汕 f) + 2停,&)-2(W(0),友)+ 2 f \i'\vi\^\dt,0(5.4.34)(5.4.34)а значит,а значит,
следует, что
1叫纟+ 141% e(1 + J (|й；I2+ |4| 汕)+2 j 停,%)必 W “1 + j (|%|^+ |4| 汕 f) + 2停,&)
-2(W(0),友)+ 2 f \i'\vi\^\dt,
0
следует, что
1叫纟+ 141% e(1 + J (|й；I2+ |4| 汕)+2 j 停,%)必 W “1 + j (|%|^+ |4| 汕 f) + 2停,&)
-2(W(0),友)+ 2 f \i'\vi\^\dt,
0
(5.4.34)
(5.4.34)
а значит,
а значит,
I叫抒 I4l《c(i+ J (\^\l +I叫抒 I4l《c(i+ J (\^\l +(5.4.35)(5.4.35)
I叫抒 I4l《c(i+ J (\^\l +
I叫抒 I4l《c(i+ J (\^\l +
(5.4.35)
(5.4.35)
Применяя неравенство Гронуолла 阳 2 W С,(с) Дифференцируя (5.4.16) по t (q 展7йе‘‘+ w") + а(йе9 &"+ w‘‘)Применяя неравенство Гронуолла 阳 2 W С,(с) Дифференцируя (5.4.16) по t (q 展7йе‘‘+ w") + а(йе9 &"+ w‘‘)[29; 326], заключаем, что[29; 326], заключаем, что(5.4.36)(5.4.36)и полагая D =夜'& + получаеми полагая D =夜'& + получаем
Применяя неравенство Гронуолла 阳 2 W С,
(с) Дифференцируя (5.4.16) по t (q 展7йе‘‘+ w") + а(йе9 &"+ w‘‘)
Применяя неравенство Гронуолла 阳 2 W С,
(с) Дифференцируя (5.4.16) по t (q 展7йе‘‘+ w") + а(йе9 &"+ w‘‘)
[29; 326], заключаем, что
[29; 326], заключаем, что
(5.4.36)
(5.4.36)
и полагая D =夜'& + получаем
и полагая D =夜'& + получаем
(4+w'))应''+w''〉rs = (W',&''+W〃).(5.4.37)
Отметим, что дифференцирование по времени проведено здесь формально. Проводимые ниже выкладки остаются справедливыми, если вместо производных по времени взять разностные отношения. Из (5.4.22) и монотонности аФ/^и следует неравенство
(5.4.38)(5.4.38)擊-m； + w’)、4‘‘+w〃)》о.dv £/, £ /rs
(5.4.38)
(5.4.38)
Это легко проверить, записав производные по времени как пределы соответствующих разностных отношений. Ввиду (5.4.38), равенство (5.4.38) даёт неравенство
^ / ( j е(й^П + а(й；,й；))
4 (W1 &"+ w〃)- (е 规＜ W")-。(眩 W‘‘)・ (5.4.39) Интегрируя (5.4.39) в пределах от 0 до ^ и учитывая (4.1.38) и неравенство
|Й；|^С J \йГ\1(а+ |Й1||, (5.4.40) о
получаем
丨位〃債+ |й；|^с(|й1|?+|й7(0)|^+ J
+ 2 j (少，爲〃)df - 2 J (e M'； w'^dt. (5.4.41) o6
Из (5.4.17—21) следует, что 屮‘飞厂①北咐，поэтому
j (少，京r)力=(少,呢)-(少(0),场)-j仲＜ 砲力
4c(|W」/届 |i + l)+ 3广|娼呢|1乙 (5.4.42)
В силу (5.4.41, 42) и соотношения.
j (r仪夕；w〃)力=(@以г, w〃)一(r位’'(0),w"(0)) - J (qu/； w…)dt,
о0
(5.4.43) имеем
|笳悟+ I呢1%a|济竹+ 1柒＜0)1"
+ c j (|u；|?+ \ ufi\^dt. (5.4.44)
Полагая в (5.4.16) f = 0 н используя (5.4.24), получаем
(е й7(0), й) + q(i№, й) = (W(0), О
=(ЯО),力 + J Fi(0)vidr + J “(О)加d「 r*F
-(R w‘‘(0), J) - @(w(0),办 (5.4.45)
Ho
@(勿0,办=，Cijhk£iJ(Uo)Ehk(V)SQ
二-I (Cijhk£hk(Uo))tjVidQ
+ J Fi(O)Vidr + J CN(0)vNdr + (5г(0), Jr)rsJ (5446) 区rs
поэтому
(R 〃'£ » -，C@hk£hk(fi&), j 叫d0 + (Sr(0), UT)rs
Ввиду (5.4.17, 21), из (5.4.25, 47) вытекает, что
I #2(0) 12 4 c.(5.4.48)
Неравенства (5.4.44) и (5.4.48) дают
|й；|1 + |Й7|^С(1 + 『(|近'/与+ I4l；)df).(5.4.49)
о
Используя неравенство Гронуолла, заключаем, что
I 硏 2 W С I uZ 11 ^ с.(5.4.50)
Из (5.4.36) и (5.4.50) следует, что последовательности ｛%], 附]и ｛%[ ограничены, первые две — в пространстве £°°(0北匕))，а последняя — в £°°(0 驾[Z?(p)]3)поэтому из них можно выбрать ♦ -слабо сходящиеся подпоследовательности, которые по-прежнему будем записывать как [й£], ｛夜Q, ｛现[• Соответствующие пределы обозначим 玄 й\ 京Ниже будет показано, что 玄 /' и 夜〃 удовлетворяют вариационному неравенству (5.4.13) и начальным условиям (5.4.14).
Вариационное неравенство (5.4.16) остаётся верным, если вместо V подставить v -万；・ Из полученного таким образом неравенства и неравенства
匕① + W') - ©е& + W')》〈《¥(｝： w ),.-殴〉％(5.4.51) вытекает, что
(r %巧-见)+@(％ 0 -呢)+①式0 +户)-匕网+ w‘)
》俏0一&) VDW%. (5.4.52)
Предположим, теперь, что v зависит от 厶 причём D w L2(0 7； %). Интегрируя (5.4.52) от 0 до 7； приходим к неравенству
G】£》G2g(5.4.53)
где
G] £ = ! К@ %： » + @(4, D) + ①式方 + w')-仲,方—й/)]Л,(5.4.54а)
G2£=卜(r %:弘)+@(%呢)+ 电(现 + w'))dL(5.4.54b)
Поскольку
G2e = 4"[! R &G)2 总 + %&⑺,4(D)]
R (必)2总 + 0(%, йо)1 + J ф£(й； + W')df, (5.4.55)
при £-*0 получаем, ввиду (5.1.21),
lim inf G2£ 吗[j r (u^dQ + @(S 值⑺)]
-刍~ [ j r (ui)2dO + а(й(ъ 〃o)] + j Ф(〃‘ + wf)dt
=S【(R 方 1 户丿 +。(归 wz) 4- Ф(/' + w')]d£(5.4.56)
о
С другой стороны,
lim Gi £ = f Kg", J) + @(% J) + Ф(и + w‘)一 “，仃一U^dt. (5.4.57) £-*0 о
С учётом того что
lim Gi £ = lim inf G〔 ^》lim inf G2 £,(5.4.58)
из (5.4.57) и (5.4.56) вытекает вариационное неравенство
[[(R〃〃，J-u') + a(u, D — 〃‘)+ Ф(й + w‘)- Ф(й# + w‘) о
-(ф,й - a')]dt^O 'iv^I^^T.V^,(5.4.59)
которое можно рассматривать как выражение принципа Гамильтона для настоящей задачи7. Далее, в силу (5.4.26 — 28), й и и' удовлетворяют начальным условиям (5.4.14).
(g) Теперь выведем из (5.4.59) поточечное неравенство (5.4.13). Для этого рассмотрим последовательность [0х] интервалов вида
Ок = (Го - 1/爲 /о + 1/К) С' [О, Т]
и возьмем в (5.4.59) й' при ^©к,
J V
5 при / €
Здесь 5 — произвольный фиксированный элемент из % . Тогда (5.4.59) сведётся к неравенству
-ri-Т J [(QUlr,v - й') + a(u,v - й')
+ Ф(3 + w‘)- Ф(й# + w‘)—(WK - 力)]df》0.(5.4.60)
‘ Рассуждения, с помощью которых было получено неравенство (5.4.59), весьма напоминают рассуждения, которые используются в аналитической механике или линейной эластодинамике при выводе классического принципа Гамильтона.
Устремляя К к бесконечности и применяя (1.4.10), заключаем, что найдутся множества нулевой меры 0\ 0Z/ С (0, Г), такие что
5 [(е》+ q(〃，》-(W，J)】df
T (ew/zao), 3) + a(w(/o), 3) - (№), V) (5.4.61) для любого h«e‘ и
J Kq 〃',“')+ 0(弘必)+ 奴〃'+ wr) + (^u')]dt
^(ew^aoXw' a。))+ a(w(/0),w/ao))+ $(w/ao)+w '(幻)+ “«。)，倉)
(5.4.62)
для любого fo蛉".Из (5.4.60—62) следует, что^для fo«e，U0" можно в (5.4.60) перейти к пределу при Кт 8. В результате получим (5.4.13). □
Кратко обсудим, в каком смысле вариационное решение задачи удовлетворяет соотношениям (5.4.1 ——8). Рассуждая, как и в статическом случае, легко убедиться, что вариационное решение удовлетворяет соотношению (5.4.1) в смысле теории распределений, а соотношениям (5.4.4 — 8) — в смысле следов. Учитывая, что и € £°°(0 7； Ц)) и w' € £°°(0 7? %) на основании теоремы о непрерывности (п. 1.4.1) заключаем, что й;[0, Т] т 7— непрерывная функция, и, следовательно, начальное условие w = йо при / = 0 имеет смысл. То же верно и в отношении других граничных условий.
5.4・3・ Регуляризованная задача
Чтобы завершить доказательство существования решения задачи (5.4.13), осталось установить существование w£.
Предложение 5.4.2. В предположениях предложения 5.4.1 существует решение йе € £°°(0 7? %) уравнения (5.4.16), удовлетворяющее начальным условиям (5.4.14) и такое, что
й； € 丄8(0 丁 ％), й 7 € 丄8(0 石[£2(й)]3).(5.4.63)
Доказательство. Воспользуемся методом Галбркииа. Пусть [ и； ут,...]— последовательность элементов нз %, таких что
(I)для любого m элюенты [力，…，以 j линейио-иезависимы; обозначим порождаемое нмн т*мерное векторное пространство через Vm ;
линейные комбинации S /% где м конечно н % € IR, / = 1, 2, ...» т, плотны (=1
в %.
Существование такой последовательности (называемой базисом Галёркина) вытекает из сепарабельности пространства % . Без ограничения общности можно считать, что 注о, "1 W %。для некоторого фиксированного то.
Теперь рассмотрим следующую задачу Коши: иайти такие функции gm. (f = 1,…，s m》％)), что
(5.4.64)(5.4.64)（"力,），Р（"力,），Р4 m①= E Smi(Ovi € Vm п. в. иа (0, T).
(5.4.64)
(5.4.64)
（"力,），Р
（"力,），Р
i = 1
(Q%J，如)+ 〃(％"小)+〈4^&m + W'), Up
(5.4.65)
ttcffl = Mo. Km =爲 при г = о.(5.4.66)
Из теории дифференциальных уравнений известно, что для любого m ^ то найдется fmo € [0, Т], такое что иа [0, tm ] существуют непрерывные функции gmjt / = 1, .„, s которые удовлетворяют уравнениям (5.4.65 , 66). В действительности би =幻 как это вытекает из приводимых ниже априорных оценок. А именно, из (5.4.65) вытекает вариационное уравнение
g 叫"" +。(厶"0+(_^-(呢 m + w)j) V5€ Vm. (5.4.67)
Дальнейшие рассуждения напоминают рассуждения из доказательства предложения 5.4.1. Полагая в (5.4.67) v = u^m + w', получим соотношение, аналогичное (5.4.30), из которого следуют неравенства
⑶"z&c, 141nh&с(5.4.68)
Дифференцируя (5.4.65) по 厶 получаем для 力石小 неравенство (5.4.44). Далее, легко проверить, что
|忆⑼|…，
(5.4.69)
откуда
l%|zwc I4JWC
(5.4.70)
и мы заключаем, что при
m т оо
4 m
т %* -слабо в 七8(о 幻 ％ %
(5.4.71)
%
т %* -слабо в /Л。幻 ％),
(5.4.72)
УМ
т 号， «-слабо в L(o 幻(£2(fl)]3).
(5.4.73)
Как следует из (5.4.66) и (5.4.71 — 73), йс удовлетворяет начальным условиям (5.4.14). Оо'элось показать, что % — решение уравнения (5.4.16). Из (5.4.67) видно, что последовательность {(d®/du)(4fft + w')} ограничена в пространстве £*(0 Т» %). Поэтому
при m т оо
-(%m + w') - К * -слабо в £8(0 工 ％).(5.4.74)
Фиксируя р и переходя в (5.4.65) к пределу при 加-> 叫 получаем
(6 "；'，以)+。(% 2 +(%，万)% = W，vp).(5.4.75)
Но линейные комбинации Z gmpvp плотны в %, поэтому
(e 4'，6) +。(％ » +〈％ о
Наконец, докажем, что
Л =3
dr
Для этого возьмём произвольную функцию : вытекает неравенство
4= J 借％+ w')
Используя (5.4.65), можно преобразовать Ат
h = “, /)VDW %.(5.4.76)
；[+w)(5.4.77)
乙 W L2(0 W %). Из монотонности d 力 Jd и
r力\
^-(z+ W'),^m- z}dt^o. (5.4.78)
следующим образом:
=Tq"”*M
3%+w)z〉r『—R譬(z+w，),匕-Z〉「严 ! + yl е1/2й11-卜(％ №), % m(T))
（4”％m）-（“&&）“，
Поскольку %m(T) т 叽⑺ И Й£т(Г)-
оо \ а и/ п
-J〈尝(Z +^.^т-^「у Г. (5.4.79)
* йР(7) слабо в %, легко поверить, что
也% mWt
lim sup (-у1е1/2й；т(т)Н
lim sup (-a(uem(T)taem(T))
Полагая /п — оо, получаем
。W lim sup 力用 W - j [(q /% %) +。(&, up -
00 \
；)w - 1/2却DI*(5.4.80)
)W -。(&(T), &(D)・(5.4.81)
9, %*或
-^ (z + w)，(久-z)〉? dt (5.4.82)
Но, в силу (5.4.76),
j ［(&%', "2 + 口(明，而；)一 “，4')】df = - j 仇，喲由.(5.4.83)
оо
Отсюда и из (5.4.82) вытекает, что
-^(Z+df》o(5.4.84)
о
для любой функции z € £2(0 7； %). Возьмем z = й^ - Xz, где X > 0, z € £2(0 7； %), и устремим X к 0. В результате получим
j〈匕-~- ("； + W) z)r 曲》О vz € 厶2(0 7； %),(5.4.85)
О
откуда и вытекает (5.4.77). □
Единственность решения
Предположим, что выполнены предположения предложшия 5.4.1 и что существует решаше и неравенства (5.4.13), удовлетворяющее начальным условиям (5.4.14).
1^>едложею1е 5.4.3. При указанных предположениях поле перемещешШ «, удовлетворяющее (5.4.13, 14), определяю однозначно.
Доказательство. Пусть 场 и 也一два решения (5.4.13, 14). Подставляя (в 5.4.13) сначала й ~ иу v - и^ л затем й = мг» v = «; и складывая получающиеся н^авеиства» заключаем, что
-(Q («〈 - «*2), «1 - «2)- а(«/ - 〃山 /' -〃0》&(5.4.86)
или
^^ ［，Q(“； ~ 〃力2dsi + а(«1 — “2, 〃i — 〃2)］《0.(5.4.87)
В силу начальных условий, при / = 0 имеем Ui - иг = 0 » и{ - U2 = 0. Отсюда и из (5.4.87) следует, что ю = “2. □
§5.5.0 НЕКОТОРЫХ ДРУГИХ ТИПАХ ЗАДАЧ С ТРЕНИЕМ
Математическая модель с кулоновским трением, которую мы изучали выше, описывает заведомо упрощенную ситуацию. В большинстве реальных задач нормальная сила S^ на Fs не известна, а должна быть вычислена. Допустим, что задано нормальное перемещение, скажем
м^ = 0 на rs. (5.5.1)
Положим
U£ = [v I и € [^(О)]3, и = U на Ги, mn = 0 на Гж ].
Тогда для и € %оп формально получаем вариационное неравенство
«(% V — и) + j д I 5^ I (I иг I - I Ur I )</Г rs
》G и - w) + !尸f® - 〃i)dF V U € С/доп- (5.5.2) г>
Заметим, что в (5.5.2) появляется 备,а зависимость S^ от и не задана. Как исследовать (5.5.2), остаётся пока открытым вопросом. Аналогичное (5.5.2) неравенство имеет место и для динамической задачи.
Если вместо (5.5.1) задано граничное условие - Sn€ Н/(〃“)(скажем, граничное условие одностороииего контакта), то, как летко показать, решение и удовлетворяет вариационному неравенству
а(Ц и - w) + ，* I Sv I (I vr I — I 〃r I )d Г + 卞(un) - Ф(м^ rs
^ (А и — w) + J Fi(vi — Ui)d Г V и € С/доп» (5.5.3) г4
где
и%п = [и| и€ [Я'(0)]3, v = и тги}
И.
"j j^N^dr. если /(«N)€ i1^),rs
、(5.5.4)
оо в противном случае.
Теперь предположим, что на Гх выполнено граничное условие Синьорюш для u^. В этом случае Ф(w^)=扭佝团(где 1к — индикаторная функция выпуклого 3aMlшутого множества 函| 队€ 川“仆)，их《0 j). Задача сводится к решению вариационного неравенства (5.5.3) без членов ^(vn) и 卞仙汕 причем в определении пространства U^g надо добавить условие iw & 0. Вопрос о существовании решения в этой задаче изучался в [90; 232]. В [23 2] было доказано с помощью теоремы о иеподаижиой точке, что решение существует для малых значений коэффициента треиия. Если Sn считать известным, то (5.5.3) сводится к вариационному неравенству вида (2.2.9), которое в случае, когда фо[жш 0 他 и) коэрцитивиа (mes Ги > 0), имеет едннствсяяое решстие. Полукоэрцитав* ный случай (Ги = 0) будет рассмотрен в § 6.2.
Выше мы т<ели дело лишь со случае изотротюго трения, определяемого условшм внда |*| < g I Gv|. Этот закон тр^шянапоминает голономные законы пластичности, и потому было предпринято много попыток обобщить этот закон в духе со^шейной теории пластичности (ассоциированные н неассоциированные законы трения, см., например [202]). Здесь мы кратко обсуДим случай ортотропного трения.
Обозначим через Ti и 7г главные оси ортотропии в касательной плоскости к поверхности rs и пусть Sr】,S厶 и 〃爲,иТ1 — компоненты векторов Sy и ит вдоль этих осей. Соответствующие коэффициенты трения обозначим gi и ** Введем статический закон
трения вида
если [(5Г1/дО2 + (5乃//« )2]1/2 < I Сх I , то Мт = 0;(5.5.5)
если [(5Г1/д1 )2 + (5Г2/д2 )2]//2 = I Сх I, то существует к》0,
такое что мГ1 = - —-—, uT1 .(5.5.6)
Соотношения (5.5.6) соответствуют голономному закону пластичности кучестиСоотношения (5.5.6) соответствуют голономному закону пластичности кучестис условием те-(5.5.7)с условием те-(5.5.7)
Соотношения (5.5.6) соответствуют голономному закону пластичности кучести
Соотношения (5.5.6) соответствуют голономному закону пластичности кучести
с условием те-
(5.5.7)
с условием те-
(5.5.7)
В динамической задаче 〃丁 надо заменить на 3 〃丁/3 /. Вариационные неравенства для обеих (статической и динамической) задач остаются теми же самыми, только функция Ф теперь имеет вид
6® = j I Gv I (3“r, )2 + 3“后)2产2d Г; (5.5.8) rs
функция диссипации Ф для динамической задачи получается аналогична Рассмотрения, проведенные в настоящей главе для законов трения (5.1.3 — 5) и (5.4.6 — 8), могут быть перенесены, с незначительными видоизменениями, на соответствующие ортотропные законы трения. Также и закон трения, отвечающий общему предельному условию вида /(5Г1, 5^, С0《0, может быть изучен методом, применённым в § 6.2. Таким путём можно исследовать любой случай анизотропного трения.
ГЛАВА 6
Субдифференциальные определяющиесоотношения и граничные условия
В настоящей главе изучаются следующие три задачи о деформируемом теле при малых деформациях:
Тело удовлетворяет определяющему соотношению вида a€3w(£), а на его границе выполнены классические граничные условия.
Тело является линейно-упругим, а на его границе выполнено граничное суб дифференциальное соотношение вида — S£#(〃)・
И определяющее соотношение, и граничные условия носят субдифференциальный характер.
Формулируются и соответствующие динамические задачи. Кроме того, обсуждаются немонотонные определяющие соотношения, описываемые суперпотенциалами. По поводу механического смысла рассматриваемых здесь краевых задач отсылаем читателя к гл. 3.
При написании данной главы были использованы среди других следующие работы: Дюво и Лионс [84], Фикера [99], Фремон [103], Хюн- лих и Науманн [150], Ленэ [177] и Шатцман [296].
Вариационные неравенства, обсуждаемые в этой главе» часто возникают в технике, например при статическом или динамическом анализе нелинейных упругих тел с односторонним контактом или с граничными условиями, учитывающими трение. Мостовые опоры, основания пластин и колонн, сдерживающие стенки — вот типичные примеры такого рода задач.
§ 6.1. СУБДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕСООТНОШЕНИЯ И КЛАССИЧЕСКИЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
6ЛЛ. Постановка задачи
Пусть в недеформированном состоянии рассматриваемое тело занимает открытую связную область В в IR3. В В вводится фиксированная декартова система координат Ол^хз. Предположим, что граница Г
множества R разбита на две непересекающиеся части Гц и Гк, точнее,Г = Ги и fF.
В обозначениях глав 3 и 4 рассмотрим следующую краевую задачу:
Gij、j + ^ = 0 в В,(6.1.1)
&>(〃)= 2*(W/ + Ч/, 0 в R,(6.1.2)
а £ Hw⑻ в О,(6.1.3)
^ = Щ на「и,(6.1.4)
Si ~ Fi на ГУ.(6.1.5)
Здесь Ui = М(х), х W「и,兄=R(x), х W !>• Включение (6.1.3) выполняется поточечно, w ——некоторый выпуклый п.н.сн. собственный функционал на fR6. Кроме того, предполагается, что для каждого £
0(£城力 W W(£)& Ci(£y£y),(6.1.6)
гду Ci н q ——положительные константы.
Считая все функции в (6.1.1—5) достаточно гладкими и применяя теорему Грина — Гаусса, получаем соотношение
j aij[£ij(v) - ey(u)]dQ = (/(у( - Ui)dQ + j Fi(Vi - Ui)dT9 (6.1.7)
справедливое для любой функции у, такой что а = СА на「и. Включение (6.1.3) эквивалентно вариационному неравенству
w(£®)) - w(£(〃))》aij[£ij(v) - £炉3)],(6.1.8)
выполняющемуся поточечно в R для всех £(沙)=〔£炉(沙)} W fR6. Дадим вариационную формулировку этой задачи в соответствующим образом определённом подпространстве пространства [Н】(В)]3. А именно, предположим, что / £ [Z2(B)]3, U W [Н1/2(Г(；)]3, F £ [£2(Гк)]3 (см. п.
5.1.2), и введём следующее множество допустимых перемещений:
t/цоп = {沙1沙e用1(口)]3, и = ина ги}.(6.1.9)
Далее, для £ W [Z2(B)]6 положим
%)=，卅)他 если w⑹ W 力(Q),(j]0)
k 8 в противном случае.
Согласно предложению 3.3.1, W — выпуклый п.н.сн. собственный функционал на [Z2(B)]6, позволяющий распространить поточечное соотношение (6.1.3) на а, £ € [Z2(B)]6.
Отправляясь от (6.1.7, 8) и используя (6.1.10), приходим к следующей задаче:
Задача 1. Найти поле перемещений и £ С/цОп, такое что
W(£(v))-力(£(〃))》(Л У - и) + j Fi(Vi - Ui)dT Vy € С/цоп. (6.1.11)
Здесь С/цоп — некоторое замкнутое выпуклое подмножество пространства [^(В)]3, a W как функция от и — выпуклый собственный п.н.сн. функционал. Его полунепрерывность снизу следует из непрерывности отображения £： [^(В)]3 -► [Л2(В)]6.
Вариационное неравенство (6.1.11) может рассматриваться как постановка краевой задачи; её решение удовлетворяет условиям (6.1.1— 5) в обобщённом смысле. Поясним это для случая, когда функционал w непрерывно дифференцируем. В этом случае (6.1.11) приводит к равенству
J 額(£(〃))(沙—u)dQ =伉 и — 〃)+ j Fi(i)i — Ui)dV vy € С/дОп* (6.1.12) оrF
Полагая v - и - ± p €。(口)，получаем, что (6.1.1) выполнено в смысле теории распределений, если а удовлетворяет соотношению (6.1.3). Применяя теорему Грина — Гаусса, заключаем (см. п. 5.1.2), что (6.1.5) выполняется как равенство в №1/2 (Г). В случае когда функционал w недифференцируем, (6.1.11) эквивалентно включению
-/ £ а(/£&)))(6.1.13)
для и £ С/цоп, где / —— непрерывная линейная форма на [^(В)]3, определенная соотношением
/® =伉 и) + ^FiVidT,(6.1.14)
Задача 1 приводит к следующей задаче минимизации:
Предложение 6.1.1. Каждое решение и £ Uaon неравенства (6.1.11) (если таковые существуют) служит решением задачи минимизации
П(м) = шт{П(у) I у £ С/доп},(6.1.15)
где П — функционал на [^(В)]3, определённый соотношением
П(у) = %(£®) - /®,(6.1.16)
и справедливо обратное утверждение.
Доказательство. Это немедленно следует из (6.1.11).
Функционал П выражает полную потенциальную энергию рассматриваемого тела, которая состоит из энергии деформахщи и потенциальной энергии внешних нагрузок. Ясно, что П — выпуклый п.н.сн. собственный функционал на 附(П)]?.
Предложение 6.1.2. Каждое решение 我£ С/цОп краевой задачи (6.1.1—5) (если таковые существуют) удовлетворяет вариационному неравенству (6.1.11) и является решением задачи минимизахщи (6.1.15).
Доказательство. Первое утверждение уже было доказано выше (см. (6.1.7—10)), а второе следует из предложения 6.1.1. □
Теперь перейдём к вопросу о существовании и единственности решения и задачи (6.1.11) или (6.1.15).
Существование и единственность решения
Предложение 6.1.3. Пусть mes「и > 0. Тогда векторы и £ С/цОп> минимизирующие функционал П на 弥口，образуют непустое замкнутое выпуклое множество. В случае когда функционал w строго выпуклый, решение этой задачи минимизахщи единственно.
Доказательство. Чтобы применить предложение 2.2.1, надо показать, что
П(у) т ОО при ||у|11 т 8,沙 £ С/цоп.(6.1.17)
В силу наложенных на U условий (см. п. 5.1.2) существует вектор Уо € [^(В)]3, такой что 沙о = U на Ги・ Используя замену
D = у - у0 € %=｛沙|沙£ [Н〔(П)]3, у = 0 на Ги),
неравенство Шварца и неравенство (1.4.28), заключаем, что j Eij(v)eij(v)dO > clloili + с
+ 2]£М»£以必)加》611圳彳 一 C2IIUII1 + е3,(6.1.18)
где q — неотрицательные константы, причём Ci > 0. Из (6.1.6), (6.1.18) и непрерывности формы /(у) следует, что
П(у)》с(11у111 - a\\v\\i - д),(6.1.19)
где а, Ь, с — константы, причём с > 0. Тем самым (6.1.17) установлено. Далее рассуждаем, как при доказательстве предложения 2.2.1. □
Теперь разберём случай Ги = 0. В этом случае возможно перемещение тела как твёрдого, иДОп = [И1 (В)]3 и Гк совпадает с Г. Конечно, данная система сил ｛力｝ и ｛用｝ должна быть статически эквивалентна нулю, т.е.f findQ + j Findr - 0 WE%(6.1.20)где^— пространство «твёрдых» перемещений. Условие (6.1.20) является необходимым условием существования решения; оно непосредственно следует из (6.1.11), если положить там у = и ± г, где и — решение задачи.Введём факторпространство [^(В)]3/^ и определим на нём линейную форму 〃•)формулой(6.1.21)Теперь разберём случай Ги = 0. В этом случае возможно перемещение тела как твёрдого, иДОп = [И1 (В)]3 и Гк совпадает с Г. Конечно, данная система сил ｛力｝ и ｛用｝ должна быть статически эквивалентна нулю, т.е.f findQ + j Findr - 0 WE%(6.1.20)где^— пространство «твёрдых» перемещений. Условие (6.1.20) является необходимым условием существования решения; оно непосредственно следует из (6.1.11), если положить там у = и ± г, где и — решение задачи.Введём факторпространство [^(В)]3/^ и определим на нём линейную форму 〃•)формулой(6.1.21)/([у]) = /® v〃 € [у] И билинейную форму j £y(-)£y(-)t/O — формулой/([у]) = /® v〃 € [у] И билинейную форму j £y(-)£y(-)t/O — формулойj %([〃])&/([“])加=j ea(v)eij(u)dQ v〃 € [〃], и € [и]j %([〃])&/([“])加=j ea(v)eij(u)dQ v〃 € [〃], и € [и](6.1.22)(6.1.22)Из (4.L36) вытекает, чтоj £(/([〃])勿(WD加》d[y]ll2.Из (4.L36) вытекает, чтоj £(/([〃])勿(WD加》d[y]ll2.(6.1.23)где О 0 — константа, IIМН ——норма в пространстве [“七口)]〃亥 Определим на этом пространстве функционал П, положивП([у]) = П(у).(6.1.24)Это определение корректно в силу соотношений (6.1.20—22).(6.1.23)где О 0 — константа, IIМН ——норма в пространстве [“七口)]〃亥 Определим на этом пространстве функционал П, положивП([у]) = П(у).(6.1.24)Это определение корректно в силу соотношений (6.1.20—22).Предложение 6.1.4. Пусть выполнено (6.1.20). Тогда у вариационного неравенства (6.1.11) существует решение [и] £ [H!(B)]3/^ Если, кроме того, w ——строго выпуклый функционал, то это решение единственно.Предложение 6.1.4. Пусть выполнено (6.1.20). Тогда у вариационного неравенства (6.1.11) существует решение [и] £ [H!(B)]3/^ Если, кроме того, w ——строго выпуклый функционал, то это решение единственно.Доказательство. Ясно, что П — выпуклый п.н.сн. функционал наДоказательство. Ясно, что П — выпуклый п.н.сн. функционал на[№(й)]3Ж[№(й)]3ЖПокажем,Покажем,чточтоП([У]) тП([У]) тоо при II [t;] IIоо при II [t;] II(6.1.25)(6.1.25)
Теперь разберём случай Ги = 0. В этом случае возможно перемещение тела как твёрдого, иДОп = [И1 (В)]3 и Гк совпадает с Г. Конечно, данная система сил ｛力｝ и ｛用｝ должна быть статически эквивалентна нулю, т.е.
f findQ + j Findr - 0 WE%(6.1.20)
где^— пространство «твёрдых» перемещений. Условие (6.1.20) является необходимым условием существования решения; оно непосредственно следует из (6.1.11), если положить там у = и ± г, где и — решение задачи.
Введём факторпространство [^(В)]3/^ и определим на нём линейную форму 〃•)формулой
(6.1.21)
Теперь разберём случай Ги = 0. В этом случае возможно перемещение тела как твёрдого, иДОп = [И1 (В)]3 и Гк совпадает с Г. Конечно, данная система сил ｛力｝ и ｛用｝ должна быть статически эквивалентна нулю, т.е.
f findQ + j Findr - 0 WE%(6.1.20)
где^— пространство «твёрдых» перемещений. Условие (6.1.20) является необходимым условием существования решения; оно непосредственно следует из (6.1.11), если положить там у = и ± г, где и — решение задачи.
Введём факторпространство [^(В)]3/^ и определим на нём линейную форму 〃•)формулой
(6.1.21)
/([у]) = /® v〃 € [у] И билинейную форму j £y(-)£y(-)t/O — формулой
/([у]) = /® v〃 € [у] И билинейную форму j £y(-)£y(-)t/O — формулой
j %([〃])&/([“])加=j ea(v)eij(u)dQ v〃 € [〃], и € [и]
j %([〃])&/([“])加=j ea(v)eij(u)dQ v〃 € [〃], и € [и]
(6.1.22)
(6.1.22)
Из (4.L36) вытекает, что
j £(/([〃])勿(WD加》d[y]ll2.
Из (4.L36) вытекает, что
j £(/([〃])勿(WD加》d[y]ll2.
(6.1.23)
где О 0 — константа, IIМН ——норма в пространстве [“七口)]〃亥 Определим на этом пространстве функционал П, положив
П([у]) = П(у).(6.1.24)
Это определение корректно в силу соотношений (6.1.20—22).
(6.1.23)
где О 0 — константа, IIМН ——норма в пространстве [“七口)]〃亥 Определим на этом пространстве функционал П, положив
П([у]) = П(у).(6.1.24)
Это определение корректно в силу соотношений (6.1.20—22).
Предложение 6.1.4. Пусть выполнено (6.1.20). Тогда у вариационного неравенства (6.1.11) существует решение [и] £ [H!(B)]3/^ Если, кроме того, w ——строго выпуклый функционал, то это решение единственно.
Предложение 6.1.4. Пусть выполнено (6.1.20). Тогда у вариационного неравенства (6.1.11) существует решение [и] £ [H!(B)]3/^ Если, кроме того, w ——строго выпуклый функционал, то это решение единственно.
Доказательство. Ясно, что П — выпуклый п.н.сн. функционал на
Доказательство. Ясно, что П — выпуклый п.н.сн. функционал на
[№(й)]3Ж
[№(й)]3Ж
Покажем,
Покажем,
что
что
П([У]) т
П([У]) т
оо при II [t;] II
оо при II [t;] II
(6.1.25)
(6.1.25)
Применяя (6.1.23), получаем
ЩМ)>с(НМН2- IIM1I),ЩМ)>с(НМН2- IIM1I),(6.1.26)(6.1.26)
ЩМ)>с(НМН2- IIM1I),
ЩМ)>с(НМН2- IIM1I),
(6.1.26)
(6.1.26)
где О 0 — константа, откуда и следует (6.1.25). Единственность решения [и] в случае, когда функционал w строго выпуклый, устанавливается так же, как и в предложении 2,2,1, □'
Приведенные выше результаты справедливы, в частности, для материалов, удовлетворяющих определяющему соотношению (3.3.86— 87), и для упруго-упрочняющихся материалов. Как отмечалось в п. 3.3.2, функционал w в этих случаях является непрерывно дифференцируемым и строго выпуклым и удовлетворяет первому из неравенств (6.1.6). Отметим, что пока мы только его и использовали. Таким образом, для тг(ких материалов обеспечено существование единственного поля перемещений и соответствующих полей напряжений и деформаций. Для упруго-идеальностареющих материалов функционал w обладает теми же свойствами, за исключением того, что он является лишь непрерывным. Для таких материалов тоже можно утверждать существование единственного поля перемещений. Отметим, что для них второе неравенство (6.1.6) не выполняется.
Двойственность
Сформулируем теперь вариационную задачу для напряжений. Для этого воспользуемся пространствами 7/и £ (см. 1.4.32, 33). Определим множество допустимых напряжений Едоп формулой
Едоп = {т\т ^ Н9 njj + /i = 0 в Q^Ti = Ft на Гк}* (6.1.27)
Оно является замкнутым выпуклым подмножеством £・ Соотношение (6.1.3) может быть переписано в обращённой форме (3.3.58). Далее, как легко проверить с помощью (2.5.3), из второго неравенства (6.1.6) вытекает, что
eg, 丁力 4 М⑺，(6.1.28)
где с > 0 — константа. Чтобы сформулировать вариационную задачу для напряжений, введём функционал
吸)! wP)dQ, если ”)“(Q),(6.1.29)
(8 в противном случае.
'В [176, 177] предложения 6.1.3 и 6.1.4 доказаны при более общем предположении, что
w(e) >р > 1.
Он является выпуклым п.н.сн. собственным функционалом на пространстве [加(口)]6 и позволяет распространить на это пространство соотношение (6.1.3) (см. предложение 3.3.1). Справедливо следующее
Предложение 6.1.5. Предположим, что всякому решению и £ С7дОп задачи (6.1.1——5) отвечает поле напряжений а £ ЕДоП1 удовлетворяющее определяющему соотношению (6.1.3). Это поле напряжений удовлет
воряет вариационному неравенству
吸)-吸)т-S〉IY УтеЕдоп, (6.1.30) задача решения которого эквивалентна задаче минимизации
ГГ(а) = min(nc(T)| т W Едоп},(6.1.31)
где Пс(т)=疗⑺一 « Div(6.1.32)
Доказательство. Умножая (6.1.2) на 丁炉一。办 丁, о W Едоп и применяя теорему Грина — Гаусса, получим
]£炉3)(用 ~ OijjdQ =《“ Т- S>rv Vr W £доп・ (6.1.33)
Это равенство в сочетании с вариационным неравенством
/⑺-/⑷》J啾m-0力加VT g [l2(q)]6(6.1.34)
даёт вариационное неравенство (6.1.30), задача решения которого очевидным образом эквивалентна задаче минимизации (6.1.31). □
Функционал Пс выражает дополнительную энергию тела, соотношение (6.1.31) — принцип минимума дополнительной энергии для рассматриваемого определяющего соотношения, а (6.1.30) — принцип дополнительных возможных (виртуальных) перемещений. Поскольку речь идёт о вариациях напряжений, можно, как обычно, говорить, что мы имеем дело с задачей, двойственной к (6.1.15). Остаётся исследовать связь между решениями задач (6.1.15) (прямая) и (6.1.31) (двойственная). Прежде всего установим существование решений задачи (6.1.31).
Предложение 6.1.6. Предположим, что Едоп Н 0. Тогда задача (6.1.31) имеет хотя бы одно решение а€ ЕДОп. В случае когда функционал — строго выпуклый, это решение единственно.
Доказательство, В силу (6.1.28)
где с > 0 — константа. Далее рассуждаем так же, как при доказательстве предложения 5.3.2. □
Для рассматриваемой в этом пункте задачи функционал /(•) из (3.2.47) имеет вид
力3) = - (А и) - J FiUidT + /Ugn(〃).
(6.1.36)
Как и в п. 5.3.2, можно проверить, что
Лс(-л^) = /ЕД0П(а) - <S, и〉Ги.
(6.1.37)
Далее, В(Ли) (см. (3.2.47)) имеет здесь вид
В（А〃）=歹（£（〃）），
(6.1.38)
и поэтому
加(0)=疗3).
(6.1.39)
Таким образом, двойственная задача
sup[-v4c(-A'o)-产⑷]
(6.1.40)
£
совпадает с (6.1.31). Общая теорема двойственности (см. п. 3.2,2) позволяет сформулировать следующие результаты:
Предложение 6.1.7. Пусть существует «о € 〃。口, такое что функционал W конечен и непрерывен в £他)・ Тогда любое решение и прямой задачи (6.1.15) и любое решение а двойственной задачи (6.1.31) связаны соотношениями
П(〃)+ Пс(а) = 0(6.1.41)
и %(£(〃))+ 疗(о) =(£(u), а)(6.1.42)
(условие экстремума). Доказательство. Это непосредственно вытекает из предложения 3.2.7. □
Отметим, что соотношение (6.1.42) является обобщением поточечного определяющего соотношения (6.1.3) (см. предложения 2.5.5 и З.ЗЛ). Для и € иЯОп и а€ £口0口 из (6.1.41) вытекают энергетические неравенства
П(У)> П(и) = - Пс(а) > - Пс(т) VI； € СТдоп Vr€^On (6.1.43)
Предложение 6.1.8. Следующие утверждения эквивалентны друг другу：
и минимизирует потенциальную энергию П на 〃。口，а минимизирует дополнительную энергию Пс на Едои, и имеет место (6.1.41);
и € 〃0口 и а€ Едоп удовлетворяют условию экстремума (6,1.42).
Доказательство. Это непосредственно вытекает нз предложения
3.2.6. □
Возникает также вопрос, есть ли связь между полями деформаций и перемещений, удовлетворяющими определяющему соотношению и кинематическим условиям (6.1.2) и (6.1.4), с одной стороны, н решением а двойственной задачи ——с другой. На этот вопрос даётся утвердительный ответ в [177] при условии, что функционал w° непрерывно дифференцируем. Для материалов, удовлетворяющих соотношению (3.3.83), вопросы существования решения исследовались в [313] и [5] с привлечением пространства функций ограниченной деформации. Такой функциональный подход принят и в настоящей книге в гл. 9 при изучении задач, возникающих в теории течения.
§ 6・2・ ЛИНЕЙНО-УПРУГОЕ ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЕ СООТНОШЕНИЕИ СУБДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
6.2.L Формулировка граничных условий
В этом пункте предполагается, что рассматриваемое тело линейноупруго, т.е. что
5(/ = Gjhk^hkt(6.2.1)
где тензор упругости С = {Q林}, С^к € £°°(0), 4 j, h, к = 1, 2, 3, удовлетворяет условиям симметричности и эллиптичности (3.3.61а) и (3.3.61 Ь). Пусть драница Г^множества 0 разбита на три части Ги9 !> и Г$, т.е. Г = fiz U fr U『$, причём множества IY, Гг и Г$ открыты в Г и попарно не пересекаются. Не исключается возможность, что Ги = 0 и/или Ff = 0, но Ts всегда предполагается непустым. На Ги заданы перемещения, а на Гг — поверхностные силы (см. (6.1.4) и (6.1.5)). На 1\ должно поточечно выполняться субдифференциальное граничное условие вида
-S€d/(u),(6.2.2)
где j ——выпуклый п.н.сн. собственный функционал на fR3. Итак, классическая постановка краевой задачи включает в себя соотношения
(6.1.1, 2), (6.2.1) и граничные условия (6.L4, 5), (6.2.2). Как было показано в п. 3.3.1, граничное условие (6.2.2) может отвечать различным классам задач на неравенства. В отличие от предыдущего параграфа здесь граничное условие «ответственно» за односторонний характер задачи и за получающиеся вариационные неравенства. Можно поставить ещё две аналогичные задачи. Во-первых, можно предположить, что на 1\ задано соотношение вида
-S； € S3), i = 1, 2, 3,-S； € S3), i = 1, 2, 3,(623)(623)
-S； € S3), i = 1, 2, 3,
-S； € S3), i = 1, 2, 3,
(623)
(623)
где ①：R т R — максимальные монотонные операторы. Во-вторых, можно рассмотреть случай, когда энергетический функционал j разложим (см. (3.3.155)) и выполнены включения
—Sv € a/M〃N), — Sr € 8jr(以力(6.2.4)
Метод, который ниже будет использован для случая граничных условий (622), применим также и в случаях (6.2.3) и (624).
Предполагая, что все интересующие нас функции достаточно гладки, можно, по теореме Грина — Гаусса, записать
]0"(£"® -啾r/))dfl =[力(3-Ui)dQ
+ J Fi(vt - м)бТ + J Si(Vi - uddT (6.2.5)
для каждого у, такого что 也=L4 на IV
Для того чтобы дать функциональную постановку задачи (как в предыдущем пар^рафе), определим на [Z2(r)]3 функционал Ф формулой
фМ =м j® W 丄"s)，(6.2.6)
(оо в противном случае.
и, как и в п. 3.3.4, рассмотрим его сужение на [/^"(Г)]', обозначая это сужение снова через Ф. Ясно, что Ф1： и -> ◎(〃 | г)——выпуклый п.н.сн. собственный функционал на [^(Я)]3. Отправляясь от (6.2.2), (6.2.5) и (6.2.6), мы можем теперь сформулировать следующую задачу (вместо Ф(и I г) будем писать просто Ф(и)):
Задача 1. Найти поле перемещений и € 〃。口, такое что
а(и, у - и) + Ф(у) - ◎(〃)
》(А У — u) + (Fi(Vt — Ui)dT Vy € L/доп,(6.2.7)
где а(и, у) задано соотношением (5.1.10).
Можно поставить ещё две задачи:
Задача 2. Найти и € иДОп, такое что
П(и) = min(n(0 I у € 〃。口｝,(628)
где
П(у) = ^ а®, у) + Ф(у) 一伉 ь) — ^FiVidT. (6.2.9)
Задача 3. Найти и € 〃。口 и а € ЕДОп, такие что выполнено (6.2.1) и
Ф(и) + Фс(-5) = 一〈S u>rs.(6.2.10)
Между этими задачами существует следующая связь:
Предложение 6.2.1. (а) Любое решение задачи 1 является также решением задачи 2, и наоборот.
Если поле перемещений и € Uj^ и поле напряжений а € Zou дают решение задачи 3, то и служит решением задач 1 и 2.
Если поле перемещений и € 〃。口 является решением задачи 1, то соответствующее поле напряжений “£(〃))принадлежит ЕДОп и [и, а) будет решением задачи 3.
Доказательство. Утверждение (а) непосредственно вытекает из предложения 2.2.2, Утверждение (Ь) следует из соотношения (6.2.5) (т.е. формулы Грина — Гаусса, записанной для принятой нами здесь функциональной постановки (ср. с (1.4,37)) и неравенства
Ф(у) - Ф(и) > - <S, у - u>rs Уу€[Я1/2(Г)]3,(6.2.11)
справедливого для и； € Я"1/2(Г). Напомним, что (6211) эквивалентно (6.2.10).
Докажем утверждение (с). Беря и € 〃(ш и подставляя v - и -
€ 留Л)]? в (6.2.7), заключаем, что равенство (6.1.1) выполнено в смысле [幺‘(fl)]', а поскольку 力 €1?(口)，то оно выполнено и в смысле (Z2(fl)]3. Из (1.4.37) и (6.2.7) вытекает, что
<S - F, у - и>гр + Ф(у) 一 Ф(и) +〈£ D - 〃〉п》0
Vy € L/доп. (6.2.12)
Если в (6.2.12) взять v( - Ui - ± <pi ^ Н1/2(Г), с носителем в intFr, то мы получим равенство (6.1,5), которое выполняется как равенство в 丄2(「尸)・ Учитывая сюръективность следового отображения, неравенство (6.2.12) можно записать для и；,叨 € /f"2(r). Отсюда вытекает (6.2.11), а значит, и (6.2.10). □
Функционал П выражает потенциальную энергию тела, а соотношение (6.2.8) — тот факт, что в положении равновесия потенциальная энергия достигает своего минимума. Вариационное неравенство (6.2.7) представляет собой принцип виртуальных перемещений в форме неравенства.
В следующем пункте мы приведём дальнейшие результаты о существовании и единственности решения рассматриваемой задачи.
6.2.2. Теоремы существования и единственности
Снова рассмотрим отдельно случаи mesFu > 0 и Ги = 0-
Предложение 6.2.2. Если mesFu > 0, то задача 1 имеет единственное решение.
Доказательство. Чтобы применить предложение 2.2.1, надо проверить выполнение условия (2.2.3). Рассуждаем, как при доказательстве предложения 5.2.2, Полагая V = v - w € %, где w = U на Ги, получаем
11® = П((? + w)
》。(吗？)+^ 々(％ ?) + ®® - G ь) - ^FiVidT. (6.2.13)
По теореме Хана — Банаха найдутся константы сь о > 0, такие что Ф(у)》-(eilly||1/2 + о) VI； € [Я1/2(г)]3.(6.2.14)
Замечая, что все рассматриваемые (см. предложение 2.3.3) линейные формы непрерывны, заключаем на основании (6.2.13), (6.2.14)、н неравенства Корна (1.4.28), что
П(у)》с(Ы1 + cillylli + 6),(6.2.15)
где с > 0, й ^ 0 — константы. Следовательно,
II® т оо при ||у|11 -> оо, у € СТдоп.(6.2.16)
Тем самым существование по крайней мере одного решения обеспечено. Докажем единственность решения. Пусть ui и »2 — два решения задачи 1. Полагая в (6.2.7) u = ui, у = иг и и = иг, у = ю, получим
a(ui -以2,以1 -也)W 0,(6.2.17)
откуда вытекает, что ui = иг. □
Рассмотрим теперь случай Ги = 0. Вначале докажем результат о единственности.
Предложение 6.2.3. Пусть Ги = 0. Предположим, что ui и »2 — два поля перемещений, являющиеся решениями задачи 1, a ai и аг ——соответствующие поля напряжений. Тогда
U1 - U2 € ^ £(U1) = £(U2),-。(以1) = a(U2).(6.2.18)
Доказательство. Как и в случае предложения 6.2.2, устанавливаем справедливость неравенства (6.2.17), откуда следует (см. (5.2.14)) включение (5.2.19). □
Предложение 6.2.4. Пусть Ги = 0. Предположим, что
(6.2.19)(6.2.19)Ф = Ф1 + ®2,
(6.2.19)
(6.2.19)
где Ф1 и Фг — собственные выпуклые п.н.сн. функционалы, такие что Р(Ф1) С Р(Фг) Н 0. Предположим также, что для некоторого а > 1
Ф1(0) = 0,到(他)w 尸對® vy € [№(0)]3(6.2.20)
при любом / > 0 и что
(6.2.21)(6.2.21)Ф1(г) > 0 必 г Н 0.
(6.2.21)
(6.2.21)
Тогда у неравенства (6.2.7) существует по крайней мере одно решение.
Доказательство. Ввиду предложения 2.2.1 нам надо доказать, что выполнено (2.2.3). Допустим противное. Тогда найдётся последовательность € [Я1 (О)]3, такая что \\vn\\i -> оо при л -> оо и
П(%) W с, (6.2.22)
где с > 0 —— константа. Поделив это неравенство на II %II； и обозначив через w„ отношение vn/\\vn^i9 получим, что (при достаточно больших л)
у 々(w〃，wQ + ：(；：? W с( J j IJ |仅)， (6.2.23) 2 1ки111 II Ун Hi/
где с > 0 — константа. Так как Ф1 и Фг удовлетворяют (6.2.14), из
следует, что
呵5高+焉）,呵5高+焉）,(6.2.24)(6.2.24)
呵5高+焉）,
呵5高+焉）,
(6.2.24)
(6.2.24)
где с' > 0 — константа. Так как llwnlli = 1, у последовательности [wn] найдётся подпоследовательность (wn J, слабо в [//"〔(口)]' и сильно в [Z2(fl)]3 сходящаяся к некоторому элементу w. Из (4.1.23) и (6.2.24) вытекает, что
0 > lim inf a(w紋，w紋)》。(叱 w). (6.2.25)
Значит, w € 発.Но (см. (1.4.29))
(6.2.26)(6.2.26)a(w紋,％，) + Cl I %，I 扌》Q,
(6.2.26)
(6.2.26)
где a, Q — положительные константы. Переходя к lim inf, получаем I w I 2》с,(6-2.27)
где с > 0 — константа. Поскольку для Фг (см. (6.2.19)) выполнено (6.2.14), из (6.2.23) и
следует, что
如(w“) W i'(6-2.28)
l|ynlll 1 \ Wnlll /
откуда
◎i(w) W Hm inf Ф1(м^л) W 0.(6.2.29)
Но это противоречит (6.2.21), так как w€ 発 nwXO. □
Предложение 6・2・5・ Пусть Ги= 0. Предположим, что
Ф(у) = Фо(у) - <Л,办，(6.2.30)
где Л € [№1/2(О)]3 задано, а Фо — собственный выпуклый п.н.сн. функционал, такой что
Фо(О) = 0, Ф0(/у) = /Фо(у) V/>0 Vt?€ [ЯЧО)]3.(6.2.31)
Тогда:
выполнение неравенства
Фо(г) > (4 И + j ffidT + <Л, г> "€ 発 (6.2.32)
является необходимым условием, а
выполнение неравенства
(6.2.33) t-л(6.2.33) t-л[CTflh (6.2.7).[CTflh (6.2.7).◎о(г) > (4 г) + j Eridr + <й, r> " € % г X 0
(6.2.33) t-л
(6.2.33) t-л
[CTflh (6.2.7).
[CTflh (6.2.7).
——достаточным условием существования решения неравен*
Доказательство. Утверждение (а) доказывается так же, как (5.2.10) (см. также (5.2.8, 9)). Утверждение (Ь) доказывается, как и в случае предложения 6.2.4, рассужд田нем от противного. Вначале мы показьша- ем, что w w 0H что имеет место (6.2.27). Затем с помощью (6.2.31) устанавливаем, что
◎о(%，)W (4 wO + [Fi^n idT +〈й, wQ + - - ° , (6.2.34)
где с > 0 — константа. Перейдя к lim inf, получим
①o(w) W (A w) + ^FiWidr + <Л, w>,w€% w X 0, (6.2.35)
что противоречит (6.2.33). □
Ясно, что этот результат применим к исследованию задач с тангенциальными или нормальными граничными условиями с трением (см. предложение 524), с граничными условиями Синьорини — Фикеры и т.д.
С помощью теоремы 4.1.6. можно получить необходимые и достаточные условия существования решения для общего случая. Пусть / задано соотношением (6.1.14), а Ф1 определено, как в п. 6.2.1.
Предложение 6.2.6. Пусть Ги = 0. Для того чтобы у вариационного неравенства (6.2.7) существовало решение, необходимо, чтобы выполнялось условие
/1 纟€ &(a®iuo)VM0 € Р(Ф1).(6.2.36)
Если, кроме того, найдётся такое «о € Р(Ф1), что
"屏€rel int &(旌5)，(6.2.37)
то по крайней мере одно решение неравенства (6.2.7) заведомо существует.
Доказательство. Положим р(ь) = а(у, ьр" и введём линейный непрерывный монотонный оператор Л:[Н1 (О)]3([Н1 (О)]3)' (см. (1.2.25)), такой что•
《力弘w> = а(弘у) Ум, V €阳气出亡(6.2.38)
Тогда, как нетрудно проверить, выполнены условия ⑴一(vi) предложения 4.1.6, откуда и следуют сделанные утверждения. □
Применяя доказанное 6.2.6 к задаче с трением (п. 5.1.1), получаем необходимые и достаточные условия (5.2.10) и (5.2.12). Аналогично и предложение 6.2.5 — частный случай предложение 6.2.6.
6・2・3・ Двойственность
Чтобы получить принцип минимума дополнительной потенциальной энергии, введём (как и в п. 6.1.3) функционал
◎°(—7)= sup «7； у>п - Ф(у)),(6.2.39)
который является выпуклым п.н.сн. собственным функционалом на [НТ/2(Г)]3.
Предложение 6.2.7. Пусть поле перемещений и и поле напряжений а дают решение задачи 3. Тогда о € Едои является решением вариационного неравенства
Л (а, т- а) + Фс(-7) - Фс(-5) > <Т- S U〉iy Ут€ЕДОп, (6.2.40) где Л задано соотношением (5.3.5). Неравенство (6.2.40) эквивалентно задаче минимизации
1Г(а) = тш(ГГ(т) | т€ Едоп},(6.2.41)
где
ГГ(т) = I Л(т, т) + Фс(-7) 一〈7； и〉*(6.2.42)
Доказательство. Умножая (6.1.2) на 例 一о廿 н применяя (1.4.37), получаем для а € Едои вариационное уравнение
[&>®(т" - 5『)d0 =〈Т- £ w>rl/urs VtW Едои. (6.2.43)
Но в силу (6.2.39)
Фс( — 7} — ¥( —S)》一《Т — £ и)гх Vr € Едои. (6.2.44)
Поэтому (6240) вытекает из (6.2.43, 44) и (6.2.1). Наконец, из предложения 2.2.2 следует (6.2.41), и обратно, из (6.2.41) следует (6.2.40). □
Вариационное неравенство (6.2.40) выражает принцип дополнительных виртуальных перемещений, а (6.2.41) — принцип минимума дополнительной энергии в положении равновесия.
Предложение 6・2・8・ Если ЕДОп Н 0, то существует единственное поле напряжений а € Едои, удовлетворяющее (6.2.41).
Доказательство* Для того чтобы применить теорему 2.2.1, надо проверить выполнение соотношения (2.23) для случая, когда П задаётся формулой (6.2.42). По теореме Хана — Банаха существуют неотрицательные константы Q》0, такие что
Фс(-7)》一 qllTII-i/2 - Q・(6.2.45)
Используя (6.2.45) и непрерывность следового отображения у (п. 1.4.3), заключаем, как в доказательстве предложения 5.3.2, что
Пс(т)》СзНтН! - allWf - С5,(6.2.46)
где Сз, Q, С5 — неотрицательные константы, причём Сз > 0. Таким образом, (2.3.3) выполнено. Единственность решения обеспечивается строгой выпуклостью Л (т, т)
В дальнейшем будем называть задачу (6.2.41) задачей 4 Из теоремы 6.2.1 следует, что ЕДОп X 0, если у задачи 1 существует решение. Покажем теперь, что задача минимизации потенциальной энергии и задача минимизации дополнительной энергии двойственны друг другу в смысле математической теории двойственности.
Функционал Л(-) (см. (3.2.47)) для первой из этих задач имеет вид
Л (у) = Ф(у) - (А 0 - j FiVidT + 以具以)・ (6.2.47) rf
Отсюда следует, что
力с( — А”)= /»(。)+ Фс(-Л -《S U}Yu. (6.2.48)
Кроме того, выполнены соотношения (5.3.21) и (5.3.22) и, таким образом, (6.2.41) представляет собой задачу, двойственную к (6.2.8). Из предложений 3.2.6 и 3.2.7 вытекают следующие результаты:
Предложение 6.2.9. Предположим, что D/6) Х0. Тогда каждое решение и исходной задачи (6.2.8) и каждое решение о двойственной задачи (6.2.41) связаны соотношением
П(и) + Пс(а) = 0(6.2.49)
и удовлетворяют условиям экстремума (6.2.10) и
^V = Cijhk^hk(u)*(6.2.50)
Предложение 6.2.10. Следующие утверждения эквивалентны:
и минимизирует П на СТдои, а минимизирует Пс на ЕДОп, и выполнено (6.2.49);
г/€ %0口 и а€ Едои удовлетворяют условиям экстремума (6.2.10) и (6.2.50).
Очевидно, что для рассматриваемой краевой задачи справедливы также и неравенства (6.1.43), что позволяет получить глобальные оценки погрешности.
§ 6・3・ СУБДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕСООТНОШЕНИЯ И СУБДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ.
НЕМОНОТОННЫЕ ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
. Постановка и исследование задачи
Изучаемая в этом параграфе задача описывается соотношениями (6.1.1—3) и граничными условиями (6.1.4), (6.1.5) и (6.2.2), которые должны выполняться на Fu, Ff и F$ соответственно. Если, кроме то-
го, имеет место (6.1.6), то можно дать функциональную постановку задачи, представленную в § 6.1. Определяя функционалы W и Ф соотношениями (6.1.10) и (6.2.6) и используя теорему Грина — Гаусса, приходим к следующей вариационной постановке:
Задача 1. Найти поле перемещений u W 厶口口, такое что
%(£&))-取(£(〃))+ ①3) - ф(и)
(^ V - и) + J Fi(vt - Ui)dT Vv€ СТдоп.(6.3.1)
Гг
Можно считать, что это вариационное неравенство выражает принцип виртуальных перемещений.
Как видно из следующего предложения, задача 1 эквивалентна некоторой задаче минимизации.
Предложение 6・3・1・ Любое решение u W С7дОп неравенства (6.3.1) (если таковые существуют) является решением задачи минимизации
П(и) = min{II(v) I DW С/дои},(6.3.2)
где П — функционал на 附出)]* определённый соотношением
Г1® =取(£®) + ①⑼ 一 5 S - \FiVidT. (6.3.3)
Справедливо и обратное утверждение.
Доказательство. Подставляем П(ь) в (6.3.1). □
Задачу (6.3.2) будем называть задачей 2. Рассматриваемую краевую задачу можно записать и в следующем виде:
Задача 3. Найти u € U^ и а€ Едоп> для которых выполнены (6.1.42) и (6.2.10).
Предложение 6.3.2. Если поле перемещений u W СТдоп и поле напряжений а € Едоп дают решение задачи 3, то и является решением задач 1 и 2.
Доказательство. Соотношения (6.1.42) и (6.2.10) эквивалентны, в силу предложения 2.5.5, двум субдифференциальным соотношениям, из которых, по определению, вытекают два соответствующих вариационных неравенства, откуда с учётом неравенства (1.4.37) и следует утверждение теоремы.
Существование решения задачи (6.3.1) или (6.3.2) мы можем доказать лишь для случая mesFu > 0. Для случая「и = 0 вопрос о существовании решения остаётся открытым.
Предложения 6.3.3. Пусть mesFu > 0. Тогда множество решений неравенства (6.3.1) непусто, выпукло и замкнуто. В случае когда w — строго выпуклый функционал, это множество состоит из одного элемента.
Доказательство. Из (6.1.6) следует оценка (6.1.18). Справедливо также неравенство (6.2.14), и легко проверить, что
ПЗ)》Cillvlli - c2\\v\\i - сз,(6.3.4)
где ci, Q, Сз — неотрицательные константы, причём ci > 0. Поэтому применимо предложение 2.2.1. □
Как и выше, задача о напряжениях также допускает вариационную постановку, которая выражает принцип минимума дополнительной энергии. Эта задача минимизации является двойственной к задаче 2, выражающей принцип минимума потенциальной энергии в положении равновесия.
Пусть функционалы 疗 и ①° заданы соотношениями (6.1.29) и (6.2.39). Справедлив следующий результат:
Предложение 6・3・4・ Пусть и€ С/дои и а € Едоп дают решение задачи 3. Тогда о служит решением вариационного неравенства
ТГ(т) - IT(ff) + Фс(-Т) - Фс(-5) > <Т- S, Sr。УтСЕдоп. (6.3.5)
Задача решения неравенства (6.3.5) эквивалентна задаче минимизации
IF(о) = тй1{1Г(т) I т€ Едоп},(6.3.6)
где
ГГ(т)= 疗⑺ + Фс(-7) - <Т С/Х»(6.3.7)
Доказательство. Из (6243), (6.2.44) и неравенства
疗(т)—疗9)》(£(u), Т - о) YTSH(6.3.8)
следует неравенство (6.3.5), эквивалентное (6.3.6). □
Предложение 6・3・5・ Если Едоп Н 0, то неравенство (6.3.5) имеет по крайней мере одно решение.
Доказательство. Достаточно показать, что функционал IF, заданный формулой (6.3.7), удовлетворяет условию (2.2.3). Но в силу (6.1.28), (6.2.45) и предложений 6.1.6 и 6.2.8 справедлива оценка (6.2.46). □
Чтобы установить указанную выше двойственность между задачами минимизации потенциальной энергии и дополнительной энергии,
предположим, что Л (и) и В(Ли) в (3.3.47) заданы соотношениями (6.2.47) и (6.1.38) соответственно. Как и в предыдущих параграфах, можно проверить, что задача (6.3.6) является двойственной к задаче (6.3.2). Непосредственно применяя общую теорию, развитую в п. 3.2.2, получаем следующие результаты:
Предложение 6.3.6. Пусть существует такое Uo W £>(Ф), что функционал W конечен и непрерывен в точке £(uo). Тогда для любого решения и исходной задачи 6.3.2 и любого решения ст двойственной задачи 6.3.6 справедливо равенство
П(и) + 1Г(о) = 0,(6.3.9)
а также выполнены условия экстремума (6.1.42) и (6.2.10).
Предложение 6.3.7. Следующие утверждения эквивалентны:
Q) и минимизирует П на СТдоп.。минимизирует Пс на ЕДОп, и выполняется (6.3.9);
(ii) и W СТдоп и о€ Едоп удовлетворяют условиям экстремума (6.1.42) и (6.2.10).
Сформулированные в этом пункте результаты имеют многочисленные и важные приложения в технике. Упомянем, например, задачи с трением и односторонним контактом для стареющих материалов или упруго-пластичных материалов (в теории деформаций).
* Немонотонные определяющие соотношения
Все возможные комбинации определяющих соотношений и граничных условий, схематически изображенные на рис. 6.3.1, допускают формулировку в виде задачи минимизации [257]. В каждом из случаев могут быть выведены соответствующие выражения для потенциальной и дополнительной энергий. Учитывая вариационные неравенства, которые по определению имеют место для суперпотенциальных определяющих соотношений, в случаях (1а)——(2b) (см. рис. 6.3.1) мы получаем для потенциальной энергии П выражение
И(и)=歹(±е(и)) + 力(士и) - (/ V)- jFiVidT, (6.3.10)
а в случаях (3c)—(4d) — выражение
П(г)=歹(±£(и)) + Ф(±v) + (/ и) + jFiVidT. (6.3.11) Г/г
Соответствующие выражения для дополнительной энергии имеют вид пс(т)=歹с(士丁)+ 力с(干п 一 а и〉「и(6.3.12)
(1a)畋〃切-w®u)) + ①С) - ФГч» 》
(1b)败*")-叨+①公以-ФГ，以2
(2a) Hfv(叨-Wf-cfuj； + ①®-①® 2'
(2b)用u.») - "f-“叨+①g切-①厶川2
(3c) W(c(v)) - W(z(u)) + ①® -①®》
(3d)败Х切-畋*叨 + ①3 - Ф(-и) 2
(4c) W«(u)) - W(y(u)) + ①® -①®》'
(4d) Wf・〃叨-W(-c(u)) +①厶切-①♦以2
Рис. 6.3.1. Возможные комбинации определяющих соотношений и граничных условий и соответствующие вариационные неравенства.
И
пс(т)=疗(干т) + фС(±Т) + <7； 1/>Ги・(6.3.13)
Знак при т в 仍 в случаях (1а)—(2b) совпадает со знаком при £ в 忆 а в случаях (Зс)—(4d) — противоположен ему. С другой стороны, знак при Т в ①с в случаях (1а)—(2b) противоположен знаку при v в Ф, а в случаях (Зс)—(4d) — совпадает с ним. Если потенциальная или дополнительная энергия строго выпукла, то решение соответствующей задачи (если оно существует) единственно (ср. с доказательством единственности в предложении 2.2.1).
Наконец, что касается существования решения сформулированных задач минимизации, то отметим следующее. Чтобы было применимо предложение 2.2.1, надо, чтобы функционал П был выпукл и п.н.сн. на [//^й)]3. Помимо случая неубывающих определяющих соотношений, эти два условия могут выполняться для любых комбинаций определяющих соотношений и граничных условий. Однако проверка предположений предложения 2.2.1 требует более детальной информации о виде функционалов 网 Ф и т.д. и в каждом отдельном случае проводится с учётом характера изучаемой задачи.
§ 6・4・ СООТВЕТСТВУЮЩАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
В предположении малых перемещений можно сформулировать динамическую задачу, соответствующую статической краевой задаче (6.1.1—5). Для этого надо заменить (6.1.1) на (5.4.1) и ввести начальные условия (5.4.9). Величины Д Е, 5 зависят от времени, и Ui должны быть согласованы с начальными условиями задачи. Приводимые ниже вариационные постановки получены для достаточно гладких функций. Вопрос о существовании решений для сформулированных динамических задач остается открытым, за исключением одного случая, в котором существование решения установлено. Отметим также, что многие из этих задач относятся к классу некорректно поставленных задач (см. [295]).
Умножая (5.4.1) на У/ - w, и интегрируя по П, получаем
j。炉(啾и)-啾〃))d(l = j (/i - QU^i -场)dt) + j Si(vj - uijdT (6.4.1) 00rF
для каждого у, для которого s = Ui на Гу. Это равенство выражает принцип Даламбера. Соотношения (6.4.1) и (6.1.8, 10) приводят к вариационному неравенству
j QUf(Vi -场)Л1 + П(у) - П(у)》0,(6.4.2)
Q
где П задано соотношением (6.1.16). Неравенство (6.4.2) имеет место для всех у, таких что s = U на Гу. Должны быть также выполнены начальные условия (5.4.9).
Аналогично можно показать, что динамическая краевая задача, соответствующая статической задаче, изученной в § 6.2 (соотв. в § 6.3), приводит к вариационному иера-
венству вида (6.4.2), с той лишь разницей, что функционал П задан равенством (6.2.9) (соотв. (6.3.3)). Для этих задач справедливы следующие неравенства:
j - Ui)dQ + а(〃，у - w) + Ф(и) - Ф(у) - (X у - w) Q
-j Ft^i - uijdT》0,(6.4.3)
rF
j q 场"(S - “川口 + FF(e(y))-伙式〃))+ Ф(у) - @(〃)- (/ v - и) Q
-j E9i - Ui)dr》0(6.4.4)
для каждого у, такого что 叨=S иа Гу. Эти неравенства выводятся формально. Они выражают принцип Даламбера в форме неравенства.
Если вместо (6.1.3) и (6.2.2) выполнены соотношения (3.3.93) и (3.3.11) (в которых в соответствии с используемыми нами сейчас обозначениями надо заменить 6 н 8〃/加 на £' н 〃')，то применимы те же рассуждения, что и ранее, надо только вместо вариаций перемещений рассмотреть вариации скоростей и — 〃'. Таким способом мы формально получаем вариационное неравенство
j @〃J(S - u/)dQ + П(у) - 口(〃，)》0(6.4.5)
Q
для каждого у, такого что у = С7Х на Ги. Здесь П(у) задано формулой (6.1.16) или (6.3.3) в зависимости от типа рассматриваемой задачи. Если тело подчиняется линейно-упругому определяющему соотношению с субдифференциальиыми граничными условиями, то вариационное неравенство, описывающее динамическое поведение тела, имеет вид j Qti久vt - 〃/)dQ + 0他 v - 〃')+ Ф(у)-孰〃')》(/ и — 〃') Q
+ j Fi(vi - 〃/>/Г(6.4.6)
для каждого у, для которого у/ = Ui на Гу. Исследуем вопрос о единственности решения неравенства (6.4.5) (в предположении что таковые существуют). Пусть wi и w2 — два решения неравенства (6.4.5). Подставляя в него vt = 〃伍 w/= 〃抬 и 叨= % w/= 〃f〃 получим
j е(ий -呜ХМ,•-叫)Л) V о,(6.4.7)
Q
илн
g M j &("f - и疗g w o.(6.4.8)
о
Из (6.4.8) и (5.4.9) вытекает, что 〃i = 1/2.
Для доказательства единствеииостн решения неравенства (6.4.6) рассуждаем, как в случае предложения 5.4.3. Решение “ этого неравенства мы ищем среди элементов множества
Uaon = [у| у € 附tn)]?, u = U' на Ги).(6.4.9)
Вводим подпространство % (см. (5.4.12)) и, полагая V=v-^u = u-wt где w определено, как в § 5.4, получаем из неравенства (6.4.6) следующую задачу:
Задача 1. Найти w： (О, Т] ~* И)с "'(£) € % н w*(0 € (L2(O)]3, которое удовлетворяет вариационному неравенству(q@“，0 -百')+ a(ut ?-"') + Ф(С + w') - Ф(йЛ + w')》(〃？一"') *0 €%(6.4.10)и начальным условиям (5.4.14).Снова определим функционал 屮 по формуле (5.4.15), но теперь с Gv = 0. Чтобы поставить соответствующую регуляризованную задачу, предположим, что существует семейство дифференцируоиых функционалов Фс, е > 0, удовлетворяющее следующим условиям:丁丁"(6.4.11)Задача 1. Найти w： (О, Т] ~* И)с "'(£) € % н w*(0 € (L2(O)]3, которое удовлетворяет вариационному неравенству(q@“，0 -百')+ a(ut ?-"') + Ф(С + w') - Ф(йЛ + w')》(〃？一"') *0 €%(6.4.10)и начальным условиям (5.4.14).Снова определим функционал 屮 по формуле (5.4.15), но теперь с Gv = 0. Чтобы поставить соответствующую регуляризованную задачу, предположим, что существует семейство дифференцируоиых функционалов Фс, е > 0, удовлетворяющее следующим условиям:丁丁"(6.4.11)(6.4.12)(6.4.12)(6.4.13)(6.4.13)Пусть(6.4.14)(6.4.15)Пусть(6.4.14)(6.4.15)
Задача 1. Найти w： (О, Т] ~* И)с "'(£) € % н w*(0 € (L2(O)]3, которое удовлетворяет вариационному неравенству
(q@“，0 -百')+ a(ut ?-"') + Ф(С + w') - Ф(йЛ + w')
》(〃？一"') *0 €%(6.4.10)
и начальным условиям (5.4.14).
Снова определим функционал 屮 по формуле (5.4.15), но теперь с Gv = 0. Чтобы поставить соответствующую регуляризованную задачу, предположим, что существует семейство дифференцируоиых функционалов Фс, е > 0, удовлетворяющее следующим условиям:丁丁
"(6.4.11)
Задача 1. Найти w： (О, Т] ~* И)с "'(£) € % н w*(0 € (L2(O)]3, которое удовлетворяет вариационному неравенству
(q@“，0 -百')+ a(ut ?-"') + Ф(С + w') - Ф(йЛ + w')
》(〃？一"') *0 €%(6.4.10)
и начальным условиям (5.4.14).
Снова определим функционал 屮 по формуле (5.4.15), но теперь с Gv = 0. Чтобы поставить соответствующую регуляризованную задачу, предположим, что существует семейство дифференцируоиых функционалов Фс, е > 0, удовлетворяющее следующим условиям:丁丁
"(6.4.11)
(6.4.12)
(6.4.12)
(6.4.13)
(6.4.13)
Пусть
(6.4.14)
(6.4.15)
Пусть
(6.4.14)
(6.4.15)
O Фе(0 + wf}dt —►Ф(С + ^ydt VC € L2(pi；匕)；
J£-*0 J
0o
существует ограниченная последовательность {&} в %, такая что
= 0
для каждого £；
если ус -+ у и и£-+и' •-слабо в Л°°(0 Г, %) и значения интегралов г
j Фе(^е + W')df
О
ограничены в совокупности, то гг
lim inf j 丸侬 + W)dt 扌 j Ф(С + w')d，.оо
Тогда регуляризованная задача имеет вид (5.4.16).
Предложение 6.4.1. Предположим, что выполнены (6.4.17, 19, 20, 21, 23).
@("i + w'(0)) < со,
и пусть
и т А(йо, и) +(Й1 + 优(0)), и)
——непрерывный линейный функционал на % в [Л2(0)]3-топологии. Тогда если «е — решение регуляризованной задачи, то при е-+0
lim ие = й-слабов£*(07；%),(6.4.16)
lim Wg = w'* -слабов£*(07；%),(6.4.17)
lim 壮二炉*-слабов£*(07,(Л2(ОД3),(6.4.18)
и функция й служит раиением вариационного неравенства (6.4.10).
Доказательство мы опустим, поскольку оио аналогично доказательству пр^дложе* ний 5.4.1 и 8.2.3, где рассматривается более сложное вариационное неравенство, возникающее в теории термоупругости.
Предположения (6.4.11—13) приняты здесь для того, чтобы упростить доказательство. Рассуждая в духе работы [28], можно дать доказательство, в котором зти предположения не используются. Динамические вариационные неравенства можно получить н при более сложных связях между о (соотв. S) к £ или £' (соотв. “ или 〃'), а именно для комбинаций, указанных на рис. 6.3.1. Для каждой из комбинаций получается свое вариационное иеравенство, имеющее, по существу, тот же вид, что и ранее, т.е. (6.4.2) или (6.4.5), только теперь функционал П задаётся формулой (6.3.10) для комбинаций (1а)——(2b) и формулой (6.3.11) —— для комбинаций (Зс) и (4d). В последних случаях перед инерциальными членами появляется знак минус.
ГЛАВА 7
Неравенствав теории тонких упругих пластин
Эта глава посвящена изучению некоторых классов статических и динамических задач на неравенства, встречающихся в теории тонких упругих пластин. Мы рассмотрим модель, предложенную Карманом для случая, когда прогибы пластин велики по сравнению с их толщиной. Теория Кирхгофа, относящаяся к случаю малых прогибов, является частным случаем теории Кармана. Однако для исследования задачи об устойчивости пластин в духе рациональной механики нужна полная теория Кармана, поэтому в данной главе ей отдано предпочтение.
Первый параграф, в котором формулируются и изучаются некоторые статические односторонние задачи, написан на основе работ Дюво и Лионса [8刀，Франчу [102], Хесса [140], Йона [154], Науманна [225], Потье-Ферри [268; 269] и др. Во втором параграфе при изучении задачи об изгибе рассматривается соответствующая задача на собственные значения. В связи с этой задачей формулируются некоторые общие теоремы о собственных значениях для вариационных неравенств. Эта новая область, которой начали заниматься лишь недавно, и многие вопросы здесь остаются неясными. Мы опирались в своём изложении на следующие работы: Абеасис, Диас и Лопес-Пинто [1], Бергер [22], Бергер и Файф [23], Симетьер [43; 44], Доу [71—74], Кучера, Нечас и Соучек [165], Мирземанн [203], Науманн и Венк [226], Потье-Ферри [270; 271]. Третий параграф посвящен динамическим односторонним задачам Кармана и основан на работах [88; 248].
. СТАТИЧЕСКИЕ ОДНОСТОРОННИЕ ЗАДАЧИ КАРМАНА
Предварительные сведения
Пусть точки пластины отнесены к некоторой заданной правой декартовой системе координат 0 Xi х： Хз. Предпслагается, что недеформи- рованная пластина имеет постоянную толщину и её средшшая
плоскость совпадает с плоскостью 0 改 制(см. рис. 3.3.7). Материальные точки х = (Xi, 0) недеформированной пластины образуют открытое ограниченное связное подмножество 0 С IR с регулярной2 границей Г. Обозначим через u = (»i, 圾)一 горизонтальное, а через £ — вертикальное перемещения точки х€ 0. Теория Кармана (см. [172]) приводит к следующей системе дифференциальных уравнений
строгое обоснование дано в
[142]):
КДД^ —力(<Таб£б),а =力
в а
(7Л Л)
5x8,а 鼻 °
в а
(7.1.2)
Оаб = Са37б(£*у5(М)+ q ?，7?Л)
в 0,
(7.1.3)
£а6® =扣 а,6 + Ц8,а)
в а
(7・1・4)
где а, 6,), 3 = 1, 2;无一толщина пластины2： АА — бигармонический оператор; К = Е"/12(1 — 吟 一 изгибная жёсткость пластины с модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона 八 Пластина нагружена распределённой нагрузкой / = (0, 0,力)，где 力=К(х) (на единицу площади средшшой поверхности). Далее, о = ｛。郎｝ (соотв. £ = ｛£郎｝)— это тензор напряжения (соотв. тензор деформации). С = ｛Са^)— тензор упругих констант. Предполагается, что компоненты тензора С, во-первых, являются элементами из £*(0) и, во-вторых, удовлетворяют условиям симметричности и эллиптичности. При нашем обычном предположении о достаточной гладкости функций, умножая (7.1.1) на z - f, интегрируя по 0 и используя теорему Грина—Гаусса, получаем
z - f) + j hffa^tU(z - f),8 dO
=j hoa^,an^z - OdT + j Q(f)(z - OdT гг
-!”(渔號口Г + 俨(z - №(7.1.5)
где к =(矶 也2)— орт внешней нормали к Г,
a(f, z) = К f [(1 - P)f,«3 Z,a8 + 必gz]d0, 0 < p < j, (7.1.6)
Достаточно липшицевостн.
Af(f) = - К［必扌 + (1 - Р)(2Л1П2Г,12 + Wif.ll + 九玄,22)］,(7.1.7)
= - К ［喏 +(1 - 成^； М〃2(<22 - Г,11) + (〃彳一磅”2“ . (7.1.8) Здесь через г обозначен касательный орт к Г, такой что тройка векторов 九，丁 и Охз образует правую систему. Аналогично, если умножить два уравнения (7.1.2) соответственно на Vi - Ui и i?2 - иг, сложить их и затем проинтегрировать по R, то, используя теорему Грина— Гаусса, получим
j а«з£аз(У - u)dQ = j 0aB 九в(% - ua)dT, a, 3 = 12 (7.1.9) qг
Соотношения (7.1.5) и (7.1.9) выражают принцип виртуальной работы соответственно для изгиба и_растяжения свободной пластины; М —— это изгибающий момент, a Q ——обобщённая перерезывающая сила на границе пластины Г (см. п. 3.3.1). В следующем пункте мы сначала сформулируем одностороннюю коэрцитивную граничную задачу, а затем ——общую одностороннюю полукоэрцитивную краевую задачу.
Граничные условия и соответствующиевариационные постановки
Предположим, что на Г должны выполняться (поточечно) следующие граничные условия:
「= 0,(7.1.10)
(7.1.11)(7.1.12)(7.1.11)(7.1.12)
(7.1.11)
(7.1.12)
(7.1.11)
(7.1.12)
где 8 задаётся формулой (3.3.46). Соотношения (7.1.1—4) и (7.1.10—12) определяют краевую задачу (в классической постановке), изучением которой мы займёмся в первую очередь и которую будем в этом параграфе называть первой краевой задачей. (Можно сформулировать аналогичную краевую_задачу, предполагая, что выполнены сходные соотношения между Q и 扌 на всей границе Г или на какой-нибудь её части.)
Граничные условия
м2^=д^一杀伪⑴=勿2")м2^=д^一杀伪⑴=勿2")0 Ma = O2o/la = 00 Ma = O2o/la = 0на Г,на Г, на Гна Г,на Г, на Г(7.1.13)(7.1.14)(7.1.15)(7.1.13)(7.1.14)(7.1.15)
м2^=д^
一杀伪⑴=勿2")
м2^=д^
一杀伪⑴=勿2")
0 Ma = O2o/la = 0
0 Ma = O2o/la = 0
на Г,
на Г, на Г
на Г,
на Г, на Г
(7.1.13)
(7.1.14)
(7.1.15)
(7.1.13)
(7.1.14)
(7.1.15)
определяют другую (более общую) краевую задачу, которую будем изучать в этом параграфе и которую будем называть второй.
Предположим, более, что 力 можно представить в виде
_力=五+亢(7.1.16)
где 刃 € 厂(口)，а 力 удовлетворяет условиям
-Л € Зз(Г)=沥⑺ в (Г,« 1 17)
刃=0в Q\Q\
где О' С Q таково, что Q* ПГ = 0」Здесь 母：R 一 R — максимальные монотонные операторы, a ji — выпуклые собственные п.н.сн. функционалы на R (см. предложение 2.6.4). Соотношения (7.1.1—4) и (7.1.13——17) задают классическую постановку нашей второй краевой задачи. Соотношения (7.1.13 —— 17)_допуасают обобщение, например, можно предположить, что Г = TiUTi и М€ 3/(ЗГ/Эп) на Гь Me 32(Э^/Эл) на Гг. Это относится и к Q. Для решения задачи в такой постановке требуются незначительные видоизменения в последующих рассуждениях.
Вводя обозначения
R(h,七)=j Ca^ha^kyocKl, a,仇)，6 = 1, 2,(7.1.18)
PG z) = 9a Z,g}, P(r, r)= P(r),(7.1.19)
где Л = {/lag} u 七={%?", можно представить (7.1.5) и (7.1.9) соответственно в виде
。6, z -狞 + hR(e(u) + y>(j), P(j, z - r))
=(ha^^n^z - jMT + j Q( j)(z - ГИ1 Гг
-j ”("(*； i)n + j力(z 一 r)dD (7.1.20) ГX
и
K(£(〃)+ ^氐狞，£(〃 一 〃))= j Oa/зиМ% - u^dr. a, 3 = Ъ 2.(7.1.21)
г
В случае первой краевой задачи предположим, что
〃w旧i(R)f, zw序(0m方1((2).(7.1.22)
Контрпример, показывающий, что это не всегда возможно, приведён в [269].
Напомним (см. (1.3.52)), что тогда zW C°(Q), а значит, z = 0 во всех точках Г. Далее, введём следующее выпуклое замкнутое подмножество пространства //2(0):
K={z I z52(0)n序(0),森》0 на 门， (7.1.23) и предположим, что 力 € Z2(fi). Неравенство в (7.1.23) имеет смысл почти везде на Г, так как dz/dn € //1/2(Г). Легко показать, что &(九 к) является непрерывной симметричной коэрцитивной билинейной формой на [£2(й)]4. По теореме вложения Соболева вложение /f2(fi) С И4*®) компактно (см. (1.3.51)). Используя неравенство Гёль- дера, можно доказать, что оператор Р: [//2(й)]2 -► [£2(й)]4 вполне непрерывен (см. п. 1.4.3). Учитывая (7.1.20, 21), вариационное неравенство
М"僞-票)W。，(7」3
которое выполняется на Г для достаточно регулярных функций, и остальные граничные условия, приходим к следующей вариационной формулировке задачи:
Задача 1. Найти и € [^(й)]2 и f € X, удовлетворяющие соотношениям а(С Z - j) + w?(e(〃))+ |р(Г),Р(Г, Z - j))》5, Z — j) VZWK(7.1.25) И
R(e® + ^P(j), £(〃 - и)) = 0 V” W [*(0)]2.(7.1.26)
Интересно выяснить, в каком смысле вариационное решение u, f задачи (7.1.25—26) удовлетворяет уравнениям (7.1.1—4) и условиям (7.1.10—12). Полагая z =扌 ± ©€《 8€0((2), заключаем на основании (7.1.25), что (7.1.1) выполняется как равенство в 2，(Л). То же относится и к уравнению (7.1.2). Теперь дополнительно предположим, что 9м二必 €厂(口)・ В этом случае AAf € ^2(й), и поэтому (см. [181]) для М и Q справедливы включения
М(Г) € Я- 1/2(Г),衣亍卜石-“^),(7.1.27)
а для Г € H2(Q) выполняется равенство a(j, z) = К 卜2cz曲 +〈教“，z〉3/2 -
Это соотношение выражает теорему Грина—Гаусса для задачи о пластине. Комбинируя (7.1.28) с (7.1.1, 25), приходим к неравенству
«9,需-寨｝К。vzwK,«9,需-寨｝К。vzwK,(7.1.29)(7.1.29)
«9,需-寨｝К。vzwK,
«9,需-寨｝К。vzwK,
(7.1.29)
(7.1.29)
которое представляет собой ослабленную формулировку граничного условия (7.1.12). Легко показать, что в случае №「)€ £?(「)из неравенства (7.1.29) вытекает, что равенство (7.1.12) выполняется п.в. на Г.
Чтобы дать вариационную формулировку нашей второй краевой задачи, определим на пространстве 772(0) функционал Ф формулой
①(z)=①(z)=если 力если 力+ J2(z) dT + I j3(z)dn,+ J2(z) dT + I j3(z)dn,,力(幻 е 少(Г),力亿)€ 丄 1(0),(7.1.30),力(幻 е 少(Г),力亿)€ 丄 1(0),(7.1.30)
①(z)=
①(z)=
если 力
если 力
+ J2(z) dT + I j3(z)dn,
+ J2(z) dT + I j3(z)dn,
,力(幻 е 少(Г),力亿)€ 丄 1(0),(7.1.30)
,力(幻 е 少(Г),力亿)€ 丄 1(0),(7.1.30)
8 в противном случае.
Этот функционал является выпуклым, п.н.сн. и собственным (см. предложение 3.3.1). Предположим, далее, что множество。(①)непусто. Как и в гл. 6, использование вариационных неравенств, эквивалентных (7.1.13, 14, 17), приводит к следующей вариационной формулировке рассматриваемой краевой задачи:
Задача 2. Найти и € [Т/^О)]2 и f € H2(Q)9 удовлетворяющие вариационному неравенству
a(j, z- Г) + hR(e(u) + |р(Г), Р(Г, z - 9) + 6(z) - Ф(Г)
》(£, Z-j) Vz € Я2(0)(7.1.31)
и вариационному уравнению
R(e(〃)+ |Р(Г), с(у - и)) = 0 VUW [*(0)产. (7.1.32)
Существование решения
Рассмотрим вопрос о существовании решения (u, f) вариационной системы (7.1.31, 32). Очевидно, что задача 1 является частным случаем задачи 2.
Предложение 7.1.1. Каждому прогибу 十左“飞① отвечает согласно уравнению (7.1.32) некоторое плоское перемещение 〃(「)€ [Т/^О)]2. Тензор деформации £(〃(「))： H2(Q) -> [Z2(fi)]4 является однозначно определённой и вполне непрерывной квадратичной функцией.
Доказательство. Из неравенства Корна (1.4.28) следует, что &(£(〃), £(〃)) является билинейной коэрцитивной формой на факторпростран- стве [*((2)产/必 где 必 обозначает пространство плоских «твёрдых» перемещений, т. е.
{r|r€[^W> £® = 0}
={г \ Г€ [ЯЧО)]2* Й = Л1 + Ь%2,办=02 - Ьхь Q1, & W IR}・ (7.1.33)
Используя этот факт, легко показать, что уравнение (7.1.32) для каждого Г имеет решение 〃(扌)(см. теорему Лакса—Милгрэма в п. 1.2.4), ибо отображение 〃-► R Qr「)' £(〃)) линейно и непрерывно на 也 1((2)产・ Перемещение u(f) определено с точностью до элемента из 宏 поэтому деформация £(〃(「))определена однозначно. Из (7.1.32) следует также, что £(〃({*)) является непрерывной линейной функцией от P(f), а значит, вполне непрерывной квадратичной функцией от f. □
Введём теперь функцию G: 772(0) -► [Z2(fi)]4 по формуле
G(f) = £(м(Г)) + |Р(Г)-(7.1.34)
Очевидно, что это вполне непрерывная квадратичная функция, удовлетворяющая уравнению
W £(〃《)) = 0.(7.1.35)
Таким образом, задачу 2 можно сформулировать следующим образом:
Задача 2‘. Найти поле перемещений f €^/2(0), такое что
МА z-^ + 力 R/G6), PG z - 9) + ①(z) - Ф(Г)》(£z - Г)
VzWH2(0).(7.1.36)
Введём конечномерное пространство
纟={4修w居(0), a(g,g) = 0};(7.1.37)
это ——пространство всех полиномов степени <1. В силу (1.3.30) норма НГНг на Я2(0) эквивалентна норме р(「)+ | f 12, где р(扌)一полунорма на Н2(О)9 определяемая формулой
Если qw 纟 то p(q) = 0, и обратно. Пусть (7/2(0))，——пространство, сопряжённое к Н2(О), и <-, •> ——каноническая билинейная форма.
Пусть, далее,纟,——сопряжённое к 纟 Тогда для всякого /€(7/2(0))， ограничение /| 攵 будет элементом из 纟'и
</ Q〉=〈/|& q〉 yfe(H2(Q))f VqwZ. (7.1.39)
Условия существования хотя бы одного решения для задачи 2’ даются следующим предложением:
Предложение 7.1.2. (а) Для существования решения неравенства (7.1.36) необходимо, чтобы
用纟W^¥^УГ€£>(Ф).(7-1.40)
(b) Если существует такое Го €。(力)，что
£| 少Wrel int RS力 J(7.1.41)
то (7.1.36) имеет решение.
Доказательство. Покажем, что применимо предложение 4.1.6. Прежде всего докажем, что для каждого 扌 € Н2(О) выполняется условие
inf I j - g I 2 W 3(9，(7.1.42)
или, эквивалентно,
I Г - ПГ 12 ср(^(7.1.43)
где с > 0 ——константа, П — ортогональный проектор 772(0) на 纟 относительно £г-нормы. Заменяя 扌 на 扌 | 扌-П「|-1/2, видим, что достаточно доказать существование константы с > 0, такой что р(^) > с для I f - П「I 2 = 1. Предположим, что такой константы не существует. Тогда найдётся последовательность {〃} в 772(0), для которой
I Гн - ПГЛ I 2 = 1 И р(〃)т 0.(7.1.44)
Очевидно, что 手修=扌门-口扌门左纠,где 纠—ортогональное дополнение к 旦 в £2-норме. Из (7.1.44) следует, что
I ?л I 2 = 1 и /?(?„) -> 0.(7.1.45)
Поэтому последовательность {fn} ограничена в 772(0) и, значит, у неё существует подпоследовательность, которую по-прежнему будем^обозначать {fn), слабо сходящаяся в Т/2(0) к некоторому элементу f. Из компактности вложения 772(Q) С Z2(fi) вытекает, что
fn -> f сильно в Z2(fi),(7.1.46)
и потому I f I 2 = 1. Поскольку Ь1T 手 слабо в Я2(0), то
р(?)《Um inf р(£) = 0.(7.1.47)
Следовательно, p(f) = 0, т. е. f €^. С другой стороны, f с 纟丄 и поэтому f = 0, что противоречит сделанному предположению.
Рассмотрим теперь линейный непрерывный монотонный оператор Л и вполне непрерывный оператор С, такие что (см. (1.2.25))
MB z) = <ЛГ, z〉(7.1.48)
и 力R(G«),尸(С z)) = <С(Г, z)〉・(7.1.49)
Легко проверить, что оператор Т = А ^ С является псевдомонотон- ным. Предоставим читателю самостоятельно убедиться в этом в качестве упражнения.
Покажем, далее, что для любых f с 庁⑺ ь qW 父
<Г(Г), q〉= 0.(7.1.50)
Достаточно доказать, что это справедливо для оператора С. Нетрудно проверить, что
Rt + Q)= Р(Г) + 尸⑷ + 尸(匕 Q) + 尸(Q,办 (7.1.51) По 尸(狞，P(q) и P(f + q) можно определить соответственно G(狞，G(q) и G(「+ q) с помощью соотношений
R(e(〃6)) + |ЛГ), £(0) = 0 ¥у€[№(0)]2,(7-1.52)
R(e(〃(g)) + ^P(g), е®) = 0 Vy € [№(fi)]2,(7.1.53)
R(e(〃( j + g)) + |ЛГ + g), £(〃))= 0 V” W ["i(0)产.(7.1.54) Последнее из них совместно с (7.1.51—7.1.53) даёт
К(е(й) + #P(j, g) + P(g,切，£(у)) = 0 v〃 w [^(Й)]2, (7.1.55) где £(й) = £(〃(q + Г)- 〃(扌)一 〃(q))・ Положим
G(j, g) = е(й) + |(P(j, g) + P(% Г)).(7.1.56)
Тогда
G(f + Q) = G(9 + G(q) + G(f, q) .(7.1.57)
Как и в предложении 7.1.1 уравнение (7.1.55) имеет единственное решение в 纟1 丄=["1((2)产 6 伪・ Поэтому для q = piXi + 広冷 + рз вектор w = (-Р1Г + кхг + kf,-必扌 一 hi + 之)W 例丄， (7.1.58)
где 01, pi, рз, к,左'и 左'——произвольные вещественные числа, удовлетворяет уравнению
G(f, q) = 0(7.1.59)
и, следовательно, уравнению (7.1.55). Таким образом, (7.1.59) выполняется для любых Г € Н2(О) и q w 纟 Аналогично для каждого q W 纟
G(q) = 0.(7.1.60)
Отсюда следует, что для каждого 扌 € 772(Q) и каждого q W 纟
|<C(r, ?)> = R(G(j), P(r, g)) = R(G(j)),
e® + N欢t, g) + 尸(％ Г)) = R(G(j), G(j, g)) = 0.
Остается показать, что для всех f, для которых полунорма р(Г) достаточно велика,
<Г(Г),「〉》с(р(9)\(7.1.62)
где с > 0 и а > 1 — константы. Но, действительно,
<т(г),沙=Mi, г) + hR(G^), 2G(9)》с(р(9y.(7.1.63)
Итак, выполнены все условия предложения 4.1.6, и его применение завершает доказательство. □
Рассмотрим два приложения предложения 7.1.2.
Предположим, что Q = 0 и ом 九м = 0 (а, /3 = 1, 2) на Г и выполнено граничное условие (7.1.13) с функцией /31, заданной формулой (3.3.45). Далее, пусть 力=^ € Z2(fi). Тогда
Ф(Г) = ]м)•寨 сТ.(7.1.64)
Г
Чтобы получить необходимое условие и достаточное условие существования решения, воспользуемся предложением 2.4.6, позволяющим описать rel int 7?(ЭФ(Го + •)) (см. также [296]). Для q = % + qi%i + + Q2X2 € 纟
嘉=矶"1 +嗓" 2.(7.1.65)
Введём подпространства 纟1 = {q | q = qo W R} и 马={q | q = qi%i +
+ ^2X2, qi, gCR}・ Функция 力 удовлетворяет соотношениям
(Л, q) = 0 囤€ 乌，(7.1.66)
так как ①(q) = 0Vqc 纟i, и (см. (2.4.27))
①(q) - (Л. Q)》dlqlh Pq3(7.1.67)
Поэтому достаточное условие (7.1.41) принимает вид
(Л, д)< ^Мо ^ dr У 纷{0} и (Л, 1) = о, (7.1.68) Г
а необходимое условие (7.1.40) записывается в виде
(£, g) W)М)芻 П у 乌 и (Я, 1) = 0. .(7.1.69)
Г
Предположим, что М - Мо € £2(Г1) на Г1 С Г, М = 0 на Г\Г1 и_на всей границе工 выполнены соотношения а^з па = 0 (а, 3 = Ь 2), Q(f)》0,扌》0,扌0(扌)=0. В этом случае выполняется вариационное неравенство (7.1.36) с
Ф(П= СТ + МП,
где 1к — индикатор множества К = {f | f € 772(Q),扌》0 на Г}. Функционал Ф равен 0 на 纟1 = {О}. Поэтому из (2.4.27) следует, что
広 q)- j 必芻 rfT W 仃 一 с3HqiI2VqWKC 氢 (7.1.70)
где ci и о — постоянные, причём сз > 0. Таким образом, приходим к следующему достаточному условию существования решения (см. также [154])：
(Л, 9)- (М</Г < 0 vge(KC少)\{0},(7.1.71)
и к необходимому условию
(Л, 9)- f М</Г ^ О VgeKC。.(7.1.72)
Ввиду геометрической нелинейности физической модели формулировка односторонних задач для пластин Кармана в виде вариационных неравенств не эквивалентна какой-либо задаче минимизации. Тем не менее справедлив следующий результат:
Предложение 7.1.3. Решение 扌左川出)задачи минимизации
П(Г) = inf {H(Z)I zW 序(叨，(7.1.73)
где
П(г)= |а(4 Z) + 笋(G© G(「))+ Ф(Г)—(力，z), (7.1.74)
удовлетворяет вариационному неравенству (7.1.36).
Доказательство. Применяя (1.4.18) и (7.1.32), можно показать, что &(G(f), P(f, z)) является дифференциалом Гато функционала &(G(「)， G(f))/2 в точке f. Дальше рассуждаем^ как при доказательстве предложения 2.2.2 □
Вообще говоря, решения рассматриваемых задач определены не однозначно. Так обстоит дело и в случае классических (двусторонних) граничных условий [22]. Вопрос о единственности решения будет обсуждаться в § 7.2. Вариационное неравенство (7.1.36) является весьма общим, и его изучение включает в себя рассмотрение коэрцитивного случая. Заметим также, что если, например, пластина защемлена на части границы Г1 С Г, т. е. там f = д^/дп = 0, то либо это условие должно быть учтено в Ф, либо Гиг должны рассматриваться как элементы пространства
Z= {г I г € Н2^, j = 0n 寫= 0на Г1).
Выше считалось, что Л W 丄々0)・ Немного видоизменив рассуждения, можно принять, что /€ [С(0)]\ поэтому имеется возможность рассмотреть также случай нагрузки, сосредоточенной на некоторой кривой или в некоторой точке в Q (см. [227]).
Другое полезное замечание касается случая пластин с угловыми точками. В этом случае появляется дополнительная реакция в каждой угловой точке [116; 236]. Чтобы не учитывать соответствующий дополнительный прогиб пластины, мы предполагаем, что эти реакции равны нулю. Если пластина лежит на жёстком основании, то можно сформулировать задачу Синьорини——Фикеры для вышеуказанных реакций [154]. Напомним, что эти реакции возникают из-за того, что крутящие моменты, действующие вдоль Г, дают вклад в перерезывающие силы^1 приводят к появлению соответствующей перерезывающей силы Q [116].
Случай односторонних граничных условий,заданных в плоскости пластины
В этом пункте мы дадим вариационную формулировку задачи, которая возникает при замене условия (7.1.15) поточечным условием вида
-S€d/4(w) на Г,(7.1.75)
где S =〔0“® 〃в} (а, 3 = 1, 2) и /4 — выпуклый п.н.сн. собственный функционал на IR2. Условие (7.1.75) описывает односторонний контакт в плоскости пластины („по 〃“)， трещину на границе или силы трения, действующие в плоскости пластины, и т. п. Для простоты будем считать, что f = 0 на Г. В соответствии с (7.1.20, 21) мы приходим к следующей вариационной постановке:
Задача 3. Найти “ € [^(О)]2 и Г € Я^ПЯЧй), удовлетворяющие неравенству (7.1.31) с А = ° в (7.1.30) для каждого z € Я2^)^//1^) и вариационному неравенству
RQQ) + ^R。，《и - "))+ *и)-虱")》0, vu W [*9)『，(7.1.76)
где
"j 亦(1?)П, если &((;) € /?(Г),
_г
Ф(р) = '(7.1.77)
8 в противном случае.
Результаты настоящего параграфа можно также применить к изучению задач на неравенства, возникающих в теории пластин Кирхгофа, т. е. для случая малых перемещений. В этом случае изгиб и растяжение пластины независимы и поэтому /?(£(«)+ Р(^)/2, P(f，z)) = °・ Решение коэрцитивных задач определено однозначно, а для полукоэрци- тивных справедлив лишь следующий общий результат: если А н 广2 — два решения, то Г1 - f 2 € ^ (см. [84]).
§ 7.2. ЗАДАЧА НА ОДНОСТОРОННИЙ ИЗГИБ.
ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ
Постановка задачи
На практике встречается много ситуаций, когда необходимо изучать продольный изгиб пластин, на которые наложены односторонние связи, как, например, в контактных задачах для панельных конструкций, туннелей и некоторых конструкций фундаментов. Теория, основанная на малых перемещениях, не годится для адекватного описания явления выпучивания, здесь надо использовать теорию Кармана. Продольный изгиб возникает в результате приложения на границе сил, действующих в плоскости пластины и описываемых граничным условием вида
0аб П0 = X ga (а - 1, 2) на Г,(7.2.1)
где g = g(x) (х W Г1) — самоуравновешивающаяся сжимающая нагрузка, распределённая на Г, т. е.
j g/г = 0 н j (gi*2 - g2Xi)" = о,(7.2.2)
Гг
а X — вещественное число, характеризующее амплитуду этой распределенной нагрузки.
Рассмотрим, например, пластину с заделанными краями, лежащую без трения на жёстком основании 0х ^ 0. Если значение 入 превосходит некоторую величину, называемую критической, то пластина теряет устойчивость —— выпучивается.
В соответствии с результатами § 7.1, для случая g €/?(「) получается следующая вариационная формулировка задачи, определяемой соотношениями (7.1.1—4, 13, 14, 16, 17) с 力=0 и (7.2.1, 2):
Задача 1. Найти f € Я2(0), и € [Я1^)]2 и 入 € R, удовлетворяющие неравенству
МА Z - Q + ©(Z)- ©«) + j haa^M - Q.adO
》入 j hg^Az - f)dT Vze Я2(о)(7.2.3)
г
и уравнению
j 0аб£а8®血=x j gavadr Yu W [酬(口)产，(7.2.4)
пг
где а = {<м} и £ = {£册} заданы формулами (7.1.3, 4).
При этом тройка (f, м, иг) называется вариационным решением^ отвечающим значению X. Из механического смысла задачи ясно, что f = 0 будет решением для любого значения X, поэтому можно считать, что в (7.1.13, 14, 17) О W 城(0) (» = 1, 2, 3). Для упрощения формулировки задачи введём вспомогательные величины ст0 = {/}, £° = {£^8} и w° = (и®), удовлетворяющие уравнениям (7.1.2, 4), определяющему соотношению между напряжениями и деформациями
癌=Сама% (и0)(7.2.5)
и граничным условиям (7.2.1) при X = 1. Ввиду (7.2.2), для этой плоской задачи теории упругости существует (см. [98] и п. 4.1.1) единственное решение и0 [Я!(0)]2 G % такое что
[。纟“аВ®血=j gaUadTYl； W [庁(口)产・(7.2.6)
Любое другое решение можно представить в виде и0 + г, где 尸W 乡. Кроме того,感8(〃°) принадлежат Z2(0) и определены однозначно.
Рассмотрим, далее, тензоры напряжения и деформации а= ｛瓦日｝ и £ = (ёаз) и вектор перемещения й = (йа), удовлетворяющие (7.1.2—4) и граничным условиям (7.1.15). Согласно предложению 7.1.1, ё = £(｛*) является однозначно определённой и вполне непрерывной функцией из Я2(0) в [Z?(q)]4, и аналогичное утверждение верно для функции а = 亍(f). Таким образом, можно сформулировать следующую вариационную задачу:
Задача 2. Найти f € Я2(0) и u € [H^^^Q^ такие что
МА z - f) + 6(z) — ф(0 + j h^a^,a(z - Q,m
》-入 j h^,a(Z - §),仙 + 入 j Agaf ,a(Z - f)"
DГ
vzeH2(a)、(7.2.7)
,a開ae®曲=0VI/€ [№(O)]20^(7.2.8)
где 瓦в и ёа0(м) удовлетворяют соотношениям (7.1.3, 4).
Следуя [226], будем называть решение (Г, йь йг) задачи 2 приведённым вариационным решением. Легко показать, что для всякого заданного 入 тройка G Ui, иг) будет решением задачи 1 тогда и только тогда, когда является приведённым вариационным решением тройка (f,豆1, Й2), где и и г/ связаны соотношениями
〃а = "а + Хи«(О£ = 1, 2),(7.2.9)
Оаб =万аб + 入虑8 (% 6=1, 2).(7.2.10)
Следует заметить, что для каждого 入 тройка (0, 0, 0) служит решением задачи 2. Нетривиальное приведённое вариационное решение вида (0, "ь иг) невозможно ни для какого X, так как если f = 0, то и й = 0, в силу (7.2.8).
Мы видим, что любое нетривиальное (т. е・ с f н 0) решение нашей задачи на продольный изгиб может быть записано в виде суммы нетривиального приведённого вариационного решения (f, йь йг) и плоского перемещения Х(0, и? + и, 〃2 + 方)(см. (7.1.33)).
Соотношения (7.2.3, 4) или (7.2.7, 8) определяют некоторую задачу на собственные значения для вариационных неравенств. Здесь мы рассмотрим лишь случай коэрцитивной задачи на собственные значения. Будем считать, что заданы граничные условия (7.1.10). Введём про-
странство
Z= {z\z^H2(^, z = 0 на Г).(7.2.11)
Функционал a(f, f) коэрцитивен на Z (см., например, [225]). Из неравенства @||"|纟 & a(f, f) & Qllf 晦 Si, Q — положительные константы), которое выполняется для каждого f W Z, следует, что (a(f, f))1/2 является нормой в Z, эквивалентной норме llflk. Введём в Z скалярное произведение a(z, f), которое будем обозначать (z, f)z・ Соответствующую норму обозначим ll・llz・
Далее, определим (см. п. 1.2.4) нелинейный вполне непрерывный оператор С; Z f Z соотношением
С«), Z)z = &(£(“《)) + 护夕，ЛГ, z)) vr, z€Z (7.2.12) и линейный оператор 8: Z -► Z ——соотношением
(Bf, Z)Z = - j h^,a z,0 曲 Vf, Z€Z. (7.2.13)
Тройка (f, Wi, «2)^ Z x (旧1(口)产㊀劣 является приведённым вариационным решением, если w = 〃(f) (см. предложение 7.1.1) и
((/ + Q (f), z - f)z + ①(z) - ①《)》入网，z - f)z
▼ZWZ,(7.2.14)
где I ——тождественный оператор в Z. Здесь функция Ф определена соотношением (7.1.30) с 及=0..
Один общий результат о существовании решения
Рассмотрения предыдущего пункта приводят к следующей общей задаче на собственные значения:
Задача Г. Найти X w R н f W Z (где Z — некоторое гильбертово пространство), удовлетворяющие неравенству (7.2.14).
Примем следующие предположения:
оператор T=Z+^h3ZbZ является псевдомонотонным;
для каждого z W Z Z # 0,
(П, С > о；(7.2.15)
существуют два функционала 尸:Z т R и E:Z т R с 尸(0) = Е(0) = 0, такие что для любого & w Z нх графики касаются при z =玄(см. п. 1.4.2) соответственно графиков функционалов
瓦Z)=网&) + (北&), z - &)z(7.2.16)
И_
E(Z)= Е(&) + (8玄，z - &)z；(7.2.17)
F слабо п.н.сн.;
(v)尸(%) — 8 при llzllzT8；(7.2.18)
В ——компактный линейный оператор в Z;
Ф является выпуклым п.н.сн. собственным функционалом на Z, обладает тем свойством, что для каждого д > 1 найдётся вещественное число а(д) > 0, такое что
Ф(дг) W а(д)力(z)Vz € Z,
(7.2.19)
и, кроме того.
удовлетворяет условиям
0 € аФ(о)
(7.2.20)
и
Ф(0) = 0.
(7.2.21)
Далее, введём
4 = {«1 $€Z,尸⑹ + Ф«) = 8},
(7.2.22)
也={flsz,尸⑹+ <>«)《G,
(7.2.23)
где В W R 0 > 0.
Справедлив следующий результат [226]:
Предложение 7・2.1. Пусть выполнены условия (i) — (vii) и, кроме того, существует fo € Л2, такое что
E(fo) > 0.(7.2.24)
Тогда найдётся по крайней мере одна пара (f, X) с X》0, которая является решением неравенства (7.2.14). Далее, для f W/2
Е«) = max{E(z)|ze』2).(7.2.25)
Доказательство. Воспользуемся хорошо известной процедурой регуляризации. Введём регуляризованный функционал Фе на Z, определённый для £ > 0 соотношением
Ф£(Г) = min{$(z) + ^llz- fill I z € Z}.(7.2.26)
Этот функционал выпукл, дифференцируем по Фреше и удовлетворяет неравенству Фе(^)《4(f) Vf € Z. Производная Фреше d力Jdf, являющаяся монотонной и липшицевой, совпадает с приближением Иосиды (ЭФ)е для ЭФ:
第=(敝7 (/-/),(7.2.27)
где / обозначает отображение (/ + еЭФ)-1. Выполняется также соотношение
公⑹=©(/(分)+ 金 依-/("修・(7228)
Обозначим через Л1£ и множества, определяемые соотношениями (7.1.22, 23) с Ф, заменённым на Фе. Ясно, что для любого € > 0 множество 力次 непусто. Если функционал F слабо п.н.сн., то множество 工次 слабо замкнуто, и поэтому, в силу (7.2.18), для любого € > О
lldz《с YzWZ況，(7.2.29)
где с > 0 ——константа. Далее, для всякого £ > 0 найдётся f^ W 工況, такое что
E(fJ = max{E(z) I zWZj(7.2.30)
Из условия (7.2.24) и вложения Лг С Л^ вытекает, что
E(Q》max{E(z) I zW4} = с > 0 V£ > 0.(7.2.31)
Легко проверить, что для любого подмножества Zo С Z, на котором значения E(z) ограничены снизу положительной константой, существует некоторая другая положительная константа с, такая что (历 z)z》с для всех zW Zo・ Беря Zo = { = | £ > 0}, заключаем, что
% U > с > 0V£>0.(7.2.32)
Все фигурировавшие выше постоянные не зависели от £. Из неравенства (7.2.32) и непрерывности функционала F + Ф£ следует, что %W"ie и 叁 N 0 для любого € > 0. Поэтому
ДЦ = maxl^z) I Z€ Л^} = max{E(z) | z€/]J.(7.2.33)
Поскольку, кроме того, (c^/df) = 0 для всех € > 0, имеем, в силу (7215),
(т+ 翁)(=)К。V£>0.(7.2.34)
Применяя теорему Браудера7, заключаем, что существует % w R, такое что
ли + 嘗(3 =入品 V£ > 0,(7.2.35)
См., например, [30, теор. 4].
или, эквивалентно,
(北С) Z - 5 + ◎⑵-®@)》Z(B£, Z - 4)z〃 € z. (7.2.36)
Умножая (7.2.35) на 立,получаем
Xfi >0 V€>o.(7.2,37)
Для всех >v € Z и д > 1
ф£(/и) & ^眨-wllz + а(д)ф(>^) & supGi2, a(从))〔^1以-刈修 + ◎(”)}• Поэтому
①еЗ) & supGi2, а(д))фе(г).(7.2.38)
Полагая в (7.2.36) z = 2% и принимая во внимание условия (7.2.29, 32) и тот факт, что оператор Т ограничен, приходим к неравенствам
久 &(HU，Uz + sup(4, а(2)}Ф£(Ге) & c， V£> 0,(7.2.39)
где с н с' не зависят от с. Из оценки
с > £©)= *%- 4%)修 + 執/(3)，(7.2.40)
где с > 0 — константа, следует, что при £ -► 0
立 一 /3)— 0 сильно в Z.(7.2.41)
На основании (7.2.29, 37, 39) заключаем, что существуют последовательности и {%}, такие что
㊀ т f слабо в Z,(7.2.42)
Х£ - X.(7.2.43)
Тогда
X(U - f слабо в Z(7.2.44)
и, следовательно,
尸")+ ①⑴ 《 Hm inf ［尸(立)+ Ф(Л(и)1 《 仇 (7・2.45)
а значит, fW%. Далее, из (7.2.31) следует, что
Е(Г) = max{E(z) | z € 4}・(7.2.46)
Остаётся доказать, что f и X удовлетворяют вариационному неравенству (7.2.14), Для этого воспользуемся псевдомонотонностью оператора Т. Полагая z = f в (7.2.36), получаем
(貢％)，立-Oz & ①(f)-①(/&)) + %(5=, % - f)z・ (7.2.47)
Из (7.2.42 — 44) и компактности оператора В следует, что
lim sup (寸(柒，{ - f)z W 0.(7.2.48)
Так как Т псевдомонотонен, мы заключаем, что
(Т«), С - z)z W lim inf (賞二),立一z)z
W Ф&) - Ф«) + 入(3«), z - Qz vz € Z. 口 (7.2.49)
Это предложение гарантирует существование по крайней мере одного «выпученного» решения {f, X). Если, кроме того, оператор Т непрерывен на Z и для любого f W Z отображение 从-► ◎(从f) является непрерывным и неубывающим при 从》0, то решение f задачи (7.2.25) принадлежит 4・
В следующем предложении, которое формулируется здесь без доказательства, речь идёт о существовании бесконечной последовательности собственных значений. Примем дополнительные предположения относительно 7, В и ①：
(У) существует вещественнозначная функция b = д(у, 6) на [0, +оо) х [0, + оо), ограниченная на ограниченных множествах, такая что
IIЙГ) - f(^z ^ b(\\z\\z, llfllz)llz - rilz vz, Vez； ■(7.2.50)
(山)(ЛГ). Dz > cllflli Vj-tZ,(7.2.51)
где c > 0 — константа (эта оценка заменяет оценку (7.2.15));
(iii')Т(-П=- ЛГ) Vf €Z;(7.2.52)
(iv‘)(ВГ, f)z>0 Vf € Z, Г # 0;(7.2.53)
(v‘)0 € int Р(Ф), Ф непрерывен в точке f = 0,(7.2.54)
Ф(дП》Ф(П Уд > 1, Vf€ Z,(7.2.55)
ф(-^) = ф(0 vf €Z.(7.2.56)
Предложение 7.2.2. Пусть Г, ^ н Ф удовлетворяют предположениям (i), (iii), (vi), (vii) и (i*) — (vz). Тогда существует бесконечная последовательность {〃，Хп} (л = 1, 2,...,) решений неравенства (7.2.14), таких что
Гл € 力2, fn Н 0, Х«》0. (7.2.57)
Если {f“, Хл} — решение рассматриваемой задачи на собственные значения, то н ( - *〃, к} тоже будет решением.
Ввиду дополнительных по сравнению с предложением 7.2.1 предположений приложения данного результата в механике довольно ограничены. Доказательство предложения 7.2.2» основанное на использовании теории Пюстерника—Шиирельмана, читатель может найти в [226]. Следует заметить, что это предложение не позволяет сделать заключение о существовании бесконечной последовательности различных решений, т. е. таких, что ип，н “л для п' # л.
Приложение к задаче о выпучивании
Чтобы проиллюстрировать возможные приложения приведённых выше результатов, рассмотрим пластину с граничными условиями
Г = о и Л/(П € 800 на Г,(7.2.58)
Где 6 задаётся соотношением (3.3.45). Для некоторого 0z С 0 (О' АГ ^ 0) реакция 刃 удовлетворяет соотношению вида (7.1.17): 宕=0 в 0\0\ а в 0х
_血 + 川 при f = О,
-Л W 6(f) ={ %при Г > 0,(7.2.59)
/ -亦 при f < 0.
Эффекты трения описываются вторым условием (7.2,58) и условием (7.2.59), учитывающими соответственно вращение границы и изгиб пластины.
Как и для случая (7.1.73), можно доказать, что W(f) равняется производной Гато функционала
戶《)=扔(式"6)+犷©, p(9)
в точке f. Фактически, как мы сейчас покажем, С(-) является непрерывной функцией от f, и потому W(・)будет и производной в смысле Фреше. Действительно, справедлива следующая оценка:
10с)- W«2)llz w c(llhl修 + НМ1|)11Г1 - Ml 1,4
Vh, G € z, (7.2.60)
где c > 0 — константа. Здесь мы только наметим доказательство неравенства (7.2.60) (см. [226]). Применяя неравенство Корна (п. 1.4.3) к (7.1.32) и используя вложение Я2(0) С 川*(口)，заключаем, что 〃i(f) и 〃2(f) удовлетворяют оценке
Hw(fl) - 〃({*2)111 & C(llflllz + Ilf2llz)llfl - {*2111,4
不 GWZ, (7.2.61)
где с > 0 — константа. Поэтому
I &(£(“«1)) + *(С), P(h, z)) - R(e(u(^) + ^P«2), P«2, z)) I &c(llhl及 + 代2吟抬1 — fzlli’/lzllz Vh, £2 W Z (7.2.62)
(где c > 0 — константа), откуда и следует (7.2.60). Таким образом, f = I + С является производной Фреше функционала
戸(Z) = Jlzl 修 + 尸 1(Z).(7.2.63)
Легко проверяется, что выполнены и все остальные условия на Т, фигурирующие в предложениях 7.2.1 и 7.2.2.
Примем следующее дополнительное предположение относительно напряжений а0: усилия, приложенные к границе Г1 каждой подобласти 01 С П пластины, являются сжимающими, т. е. почти везде на Г1 удовлетворяется неравенство
0各无% 《 0,(7.2.64)
где п =(无 1,无2)— орт нормали к Гь направленный наружу от 0ь Ясно, что все предположения относительно 3 удовлетворены. Поэтому предложения 7.2.1 и 7.2.2 гарантируют существование бесконечной последовательности вариационных решений {Хп, 〃, ип} с Хп ^ 0 и Гл N 0.
Легко показать, что f = 0 является единственным решением, если X ^ X*, где X* — наименьшее положительное собственное значение оператора 3. С этой целью положим в (7.2.14) z = f/2 (f N 0). Принимая во внимание (7.2.53), неравенство Cf, f)z》0 VfWZ и вид функционала Ф, получаем
ЧВ^, r)z>lirill, Г#о,(7.2.65)
откуда следует, что X > 0 и
X < Т 心1 修•(7266)
Далее, 3 является линейным самосопряжетным компактным оператором в Z, поэтому, согласно классическому результату о таких операторах, у него существуют собстветные значения X € IR, удовлетворяющие соотношению z = \В“ z Н 0. Наименьшее положительное собственное значение X* оператора В задаётся правилом Рэлея
(7.2.67)(7.2.67)1(3石 z)z
(7.2.67)
(7.2.67)
戸'罗FT"
Поэтому, если f # 0, то X* < X, и значит, если 入& 入*, то единственным решением служит f = 0.
Приведем без доказательства некоторые результаты из работы [72], касающиеся бифуркации ненулевых решений из тривиального решения « = 0. Обозначим через (〃，Аз) нетривиальное решение, отвечающее j3 > 0 (см. (7.2.25)). При 0 -» 8 имеем 11^Hz f ℃ н 猫 т оо; при 6 т 0 имеем ^ -*• 0. Далее, пусть Zo — замкнутое линейное подпространство в Z, определяемое условием: Ф(^) = 0 тогда и только тогда, когда z € Zo. Возможны два случая:
Zo = {0). Пусть {km, Гт) — последовательность нетривиальных решений, такая что т 0. Тогда
Xrn -*• СО.(7.2.68)
Zo Н 0. Тогда при j3 -> 0 выполняются соотношения fз -> 0 и
•\з->Х*,(7.2.69)
где X* — первое положительное собственное значение оператора В.
В качестве приложения рассмотрим защемлённую пластину с граничными условиями типа (7.1.17) на О' С Q. Предположим, чтоЛ(Г) = 0 тогда н только тогда, когда « = 0, так что Zo = {0). В этом случае тривиальное решение не допускает бифуркаций, и единственным бифуркационным значением является X = ». В качестве другого примера возьмём пластину с граничными условиями (7.1.10, 13), гдеуг(д^/дл) = 0 тогда и только тогда, когда df/Эл = 0. Если вместо условия (7.1.13) наложить условие df/дл = 0 на Г, т. е. рассмотреть защемлённую пластину, то существует значение Хо> для которого тривиальное решение 扌=0 допускает бифуркации [22]. Это Хо определяет критическую нагрузку для защемленной пластины. Покажем, что Хо будет бифуркационным значением и для односторонней задачи. Действительно, так как Zo = //2(0), то при 0 -► 0 мы имеем ^ -> 0 и Хр -► X* = Хо. Мы заключаем, что рассмотренные выше субдифференциальные граничные условия, связывающие изгибающие моменты с поворотами, с точки зрения бифуркаций обнаруживают сходство с защемлением пластины.
Обобщение правила Рэлея на односторонние задачи
Хорошо известно, что для линейных самосопряженных компактных операторов в гильбертовом пространстве собственные значения можно вычислять по правилу Рэлея. Для общего вариационного неравенства (7.2.14) аналогичный результат пока не установлен. Он доказан лишь для частного случая пластины, опирающейся на жёсткое основание. Предполагается, что пластина защемлена по контуру Г1 С Г, а по контуру Гг = Г\Г1 свободно опёрта. Поэтому
Z= (z I Z € Я2(0), z = 0 на Г, — = 0 п.в. на Г1),(7.2,70)
Эл
а Ф в неравенстве (7.2.14) является индикатором 厶 выпуклого замкнутого множества
АГ= (z|zez, Z >0 на 0).(7.2.71)
Следовательно, задачу 1 п. 7.2.2 можно сформулировать следующим образом: найтн
f € К, X € IR, такие что
((/ + 0(f). z - f)z - М砒 z - f)z > 0 Vz € К.(7.2.72)
Для этой задачи на собственные значения справедлив следующий результат (см. [43]):
Предложение 7.2.3. Определим числа Xi и X/ формулами
(7.2.73)(7.2.73)1(% z)z 1. f (В^ z)z
(7.2.73)
(7.2.73)
——=sup 'Q = mf '4
Xi / llzl 修К к llzlli
Если 入；W \ W 入1, то вариационное неравенство (7.2.72) допускает лишь тривиальное решение « = 0, и обратно; если X > Xi и X < Х(, то (7.2.72) имеет по крайней мере одно ненулевое решение 〃，такое что
lim IIMlz = 0, lim IIM1Z = 0.(7.2.74)
X^XjХ~*Х1
Доказательство. Ограничимся тем, что н&метим основные идеи доказательства. Фиксируется некоторый базис Галёркина, и конус К аппроксимируется последовательностью конечномерных выпуклых замкнутых конусов Кт с вершинами в нуле пространства Z, которые при /и т со стремятся к К. Пусть JmE Кщ — решение вариационного неравенства
((/ + ё)6т), Z - Mz - М* Z - Гт)г》о vze Km. (7.2.75)
Последовательность решений J*m ограничена, и поэтому из неё можно выбрать подпоследовательность, сильно стремящуюся к некоторому решению 扌 неравенства (7.2.72). Полагая z = 0uz = 2«b (7.2.72), получим
(7.2.76)(7.2.76)((/ + ©(С，9z — M8f, f)z = 0.
(7.2.76)
(7.2.76)
Из граничных условий ня Г следует, что 扌=0, если (C(f), f)z = 0 [270]. Если 扌 Н О, то (C(f), J*)z > 0, и потому из (7.2.76) с учётом определения Xi и 入;(см. (7.2.73)) следует справедливость первого утверждения теоремы. Чтобы доказать (7.2.74), убеждаемся, что для каждого решения «к неравенства (7.2.72) и для каждого X, удовлетворяющего условию Xi ^ X ^ 2X1, существует постоянная с > 0, такая что
llfxllz《сllfxllz《с(7.2.77)(7.2.77)
llfxllz《с
llfxllz《с
(7.2.77)
(7.2.77)
и аналогично для Х[. □
Из предложения 7.2.3 очевидно, что величины Xi и X/ являются соответственно положительной и отрицательной критическими нагрузками. Решающим моментом приведённого выше доказательства является тот факт, что (<?(f), «)z = 0 влечёт J* = 0. Этот вопрос обсуждается в работе [270], где указан класс граничных условий, для которых отмеченный факт справедлив.
Предположим, далее, что пластина лежит на линейном упругом основании 必 W fR3, отнесённом к координатной системе Ckixy^ пластины [44]. Будем считать, что вектор перемещений U основания 必 принадлежит [H^Oi)]3. Пусть S = 0 (i = 1, 2, 3) на некоторой части Г； границы Г1 множества Qi. Выпуклое множество К допустимых перемещений имеет следующий вид (см. (3.3.26)):
& = {⑵ V)\zeZt И€ 出|(%)]3,七-%》о п.в. в 口，Р = 0 на Г； }• (7.2.78)
Поэтому для (Г, U) € & выполняется вариационное неравенство
((/ + 6(f), Z -，)z + MB，,
z - r)z + 臥 и, У - U)》0
V(z, И)£К,
(7.2.79)
где a(Ut И) — билинейная В этом случае критическая
форма энергии деформации для области Qi (см. (5.1.10)). нагрузка задается формулой
丄=sun （应，z）z
Xi 一片ЙИ不Т而万В '
(7.2.80)
Если 0 < X < Xi, то f = t/i
5=5 = 0 является единственным решением иеравен-
ства (7.2.79). Если 入 > Хь то существует решение с 扌 н 0.
Слабым местом теории Кармана является предположение о лин^ноЙ зависимости между напряжениями и деформациями. Нетрудно дать формальное обобщение изложенной выше теории иа случай голонсжшых субдифференциальиых определяющих соотношений между тензором иапряжший Б пло^ости пластины н тензором деформаций, а также сформулировать соответствующую задачу на собственные значения. Заметим в этой связи, что уже получены некоторые результаты, касающиеся устойчивости пластин Кармана для случая материалв, подчиняющегося хорошо известному закону (3.3.83), при условии растяжения пластины (см. [74; 205]).
ДИНАМИЧЕСКИЕ ОДНОСТОРОННИЕ ЗАДАЧИДЛЯ ПЛАСТИН КАРМАНА
Граничные условия и вариационные неравенства
В обозначениях п. 7.1.1 динамическое поведение пластин Кармана описывается следующей системой дифференциальных уравнений (а, 6=1, 2):
w + кддг 一 DAL -无Ом£б),а =% в 口 х (0, 7), (7.3.1)
QUa - Оаб, 6 =启
в П х (0, 7), (7.3.2)
Оаб = Са附6(%М〃)+ ^*，К，6)В fl X (0, Г)，(7.3.3)
£абЗ) = ^ (〃а,6 + 〃6,а)£абЗ) = ^ (〃а,6 + 〃6,а)в П х (0» Т).(7.3.4)в П х (0» Т).(7.3.4)
£абЗ) = ^ (〃а,6 + 〃6,а)
£абЗ) = ^ (〃а,6 + 〃6,а)
в П х (0» Т).(7.3.4)
в П х (0» Т).(7.3.4)
Эта система формально получается из (7.1.1―4) при добавлении инерциальных членов (членами, выражающими инерцию вращения, связанную с перемещениями м,物，мы здесь пренебрегаем). В уравнениях (7.3Л—4) использованы обозначения: / — время, [0, Т]——временной интервал, q — плотность пластины (р € Х°°(Я), ess inf q(x)>0), / = СЛ,力,方),fi =力® 0 — вектор нагрузки, D = еЛ3/12 — произведение плотности пластины на момент инерции элемента пластины с основанием единичной площади. При f = 0 заданы начальные условия
-^ Л^ л ^ в 3 3 в ^ ^ ^ ^х
где «о, ui, fo и fi — функции х. Прежде всего выпишем аналоги соотношений (7.1.20—21), в предположении достаточной регулярности рассматриваемых функций:
j W(z - IWO + &(L, z - 1) + a", Z - 1)
+ j 力。аб£а(% - 1),WQ
=f haa^,an^z - 1)dr + f @C(z - 1)dr - f Af(Q 北-1)dT JJ* dn
(7.3.9)(7.3.9)+ j 力 & - 1)启 + D
(7.3.9)
(7.3.9)
где a (f, z), M(f) и 以扌)определяются по формулам (7.1.6—8) и &(1, Z) = D “,％Ж (а = 1, 2).(7.3.10)
Q
Аналогично из (7.3.2) следует соотношение
j Q〃"(U - 〃')Л) + j 0аЗ€а6(и - 〃')Л)
=j启％ - 〃，)dO + j aafin^(va - u«)dr. (7.3.11) QГ
Предполагается, что для каждого / € [0, Г] на Г поточечно выполняются следующие граничные условия:
竺仇儒)=班儒)，(7312)
-He 02(1) =勿2(1),(7.3.13)
Ola% =。2册6 = 0.(7.3.14)
Разобьем 力 на 刃 и 云 где £ считается заданным, а 另 удовлетворяет условиям
-月 €бз(1)=舫(1)в а,
(7.3.15)
Л = ов
где Oz С О, »СГ = 0. Операторы 伪 и функционалы / — такие же, как в п. 7.1.2. Дадим вариационную формулировку краевой задачи, определённой уравнениями (7.3.1 ——8) и граничными условиями (7.3.12—15). Будем считать, что q W Z°°(Q), z W 7/2(Q), v € [T/^Q)]2, /1(/) CZ2(0) (/ = 1, 2, 3) V/ € [О, Г]. Определим функционал Ф на Т/2(0) формулой (7.1.30). Принимая во внимание (7.1.18, 19) и вариационные неравенства, вытекающие из (7.3.12, 13, 15), приходим к следующей вариационной задаче:
Задача 1. Найти и: [0, Т] [Т/^О)]2 и f: [0, Т] Т/2(О) с /《)ё附1((2)产，ГЧ/)eЯ2(0), u"{1)^[1}^,寸"(1)£l2(0), удовпетво- ряющие соотношениям
SL, z-n + 叫 z-П^ &(L，z - 1)
+ W?(£® + ^P(f), P(f, Z - 1)) + G(Z)- 6(1)》(否 Z - 1)
+ D j 需(z - 1)" VZ e 日2(0),(7.3.16)
(Q〃"，v-u') + /?(£(«) + ^P(f), e(u - 〃'))= (Л, и — 〃')
WHi(0)]2(7.3.17)
и начальным условиям (7.3.5—8). Здесь
左=5,无).(7.3.18)
Можно также рассмотреть односторонние граничные условия относительно S = {&} = {оа解в) и 〃'； например, можно предположить, что на Г выполнены условие (7.3.12) и условия
-Ее勿2(1) на п, f = Она Г\Г1,(7.3.19)
5 = 0 на Гь -Sedj4(W) на Г\ГЬ(7.3.20)
Кроме того, предположим, что выполнено ещё и условие (7.3.15). При этом 厶 снова будет выпуклым п.н.сн. собственным функционалом на М. Введём пространства
z= {z|z€772(o), z = о на Г\Г1), V= {v | v € [^(О)]2)
и определим функционалы Ф и Ф соотношением (33.125) (см. (7.1.30)). Пара (u, f) является вариационным решением этой краевой задачи тогда и только тогда, когда она является решением следующей задачи:
Задача 2. Найти и: [0, 71Tp н J■: [0, 71Tze 〃'⑺ € 匕 1(f) WZ н 〃"⑺ €[厂((2)产，f*(r) €£2(D), удовлетворяющие системе неравенств
(W z - 1) + 呐 z - 1) + G(L, z - 1)
+ hR(e(u) + ^P(f),尸(f, z - 1))
+ G(z)-G(1)》S,z-r)+ Dj^(z-r)dr VzWZ, (7.3.21) Г
(Q“，V ~U') + R(£(IZ)+ у P(f), £(U -〃'))+ Ф(У)- ©(“')
》(Л, u-〃') VUW0(7.3.22)
и начальным условиям (7.3.5—8).
Существование решения
Существование и единственность решения сформулированной выше общей односторонней краевой задачи до сих пор не доказаны. В этом пункте мы рассмотрим систему (7.3.16, 17) с граничным условием (7.3.13), заменённым условием f = 0 на Г. Вначале сформулируем некоторую абстрактную задачу, для которой будут доказаны существование и единственность решения. Эта задача охватывает широкий класс односторонних краевых задач динамической теории пластин Кармана.
Пусть 匕 Vo, Z, Zi и Zo - £2(D) таковы, что вложения
ИС К)= FS С Г(7.3.23)
и
ZcZiCZo = Z(5 CZ； CZ'(7.3.24)
являются плотными. Далее, предположим, что вложение Z U Zo компактно, а формы a(z, z) и &(z, z) симметричны, непрерывны и коэр- цитивны соответственно на Z и Zi. Определим К(九 ％), как в н. 7.1.2, и допустим, что отображения е^ Р и R обладают следующими свойствами:
£： V-► [£2(Q)]4 линейно и непрерывно;(7.3.25)
Р: Z х Z — [L2(Q)Y билинейно и вполне непрерывно; (7.3.26) (ш)ИЛГ, 011^(0)] ^ cllj-llzliril^ VfWZ;(7.3.27)
(iv) если {■/-♦{■ *・5а6с в 丄气霞 Z，и J7 一 Г *-слабо в £°°(0Г, Zo), то
R(P(^ ЛГь z))-R(P(^ 尸“，z)) в 乡，(⑺
Y2€£2(0T. Z)・(7.3.28)
Предположим также, что существует последовательность выпуклых дифференцируемых функционалов Фс(е > 0) на Z, удовлетворяющая условиям:
гг
j %(z)dt ^> j®(z)df Vz€£2(O7； Z);(7.3.29)
оо
существует ограниченная последовательность {fj в Z, такая что
需(%) = 0V£>0;(7.3.30)
если qf z и z；-*z' «-слабо в £°°(0^ Z) и | ^^z^dt ^ с, to о
rr
lim inf j ^^z^dt > ^^)dt.(7.3.31)
оо
Сформулируем теперь упомянутую «абстрактную» задачу:
Задача 3. Найти и: [0, Т] -► К и f: [0, Т\^ Z с 优(f) W 匕〃"⑺ W % и 1(f) WZ, {•"(f)wZi, удовлетворяющие соотношениям
SL, Z - 1) + a(c z-n + &6”，z-n + 力 K(£(〃)+
+ |лг). P(f, Z - 1))
+ ①(z)-孰 1)》S, z-1) vzez,(7.3.32)
(q“，v- u') + R(e(u) + #(f), e(& - 〃'))= (Л. & 一 〃')
W€ V(7.3.33)
и начальным условиям (7.3.5—8).
Соответствующая регуляризованная задача формулируется так:
Задача Зс. Найти 勺[0, Г] — 0 н 立：[0, Г] — Z с %«) W 匕嚟⑴ W % и f；(f) WZ,寸:⑴ w Zl удовлетворяющие уравнениям (рг； Z) + а(=, z) + &(У z) + 力/?(£(%) + #(=), P(=, Z))
+ 偿《；)，=5, Z) Vzez,(7.3.34)
94 и) + /?(*) + |p(Q, e®) = & и) VU" (7.3.35) и начальным условиям
we = «о» % = Mi, = = fo» 詳=h・(7.3.36)
Принятые нами предположения выполняются для весьма широкого класса задач из теории пластин Кармана. Рассмотрим, например» граничные условия f = 0 и (7.3.12, 14) и предположим, что условие (7.3.15) выполнено в Q. В этом случае
Z =日2(6介直 1(0),Zi=Qi(0), Zo = L2(0),(7.3.37)
V = [*(0)]2,% = [П®)]2(7.3.38)
Яс1Го, что предположения о пространствах Z, Zi, Zo, К и Fb и билинейных формах a(z, z), &(z, z) и R(h, %) выполняются равно, как и свойства (7.3.25, 26). Проверим, что выполнено (7.3.27). Применяя (1.2.24) с ai = 0, аг = 1/2, а3 = 1 к f,a, найдём, что
НГ.а111/2 С I £а I 巧VJlYV* € №(0).(7.3.39)
С учетом вложения (1.3,50) (для 〃 = 2) это неравенство дает
I f,a I 4 & СПГ,а1|Г2 I Г.а | 产 V% € *((2),(7.3.40)
где о 0 — константа. Поэтому, в силу неравенства Гёльдера,
I Г,аГ»3 I 2《С I Г,а I 4 | Г,3 | 4
& clirJlPlir^lll721 £а I 产 I £б I 产 & clirilzlirh
VfCZ, (7341)
где О 0 — константа. Тем самым свойство (7.3.27) установлено. Для доказательства свойства (7.3.28) надо показать, что
Г
f ! jc哈"4£",落6内力VzwDm Z),(7.3.42)
если % т f *-слабо в 广(07^ Z) и f/ -♦ fz *-слабо в L°°(GT, 2i>). Но при этих предположениях 几仪 一 f,a ( соотв, f/a 一 £J) *чшабо в £°°(0Г, 7/i(fl)) (сиитв. в L*(GT, 7/-1(О))). Вложение 日上口) в "(О) является компактным для 1 & 尸 V 8 (см. (1.3.51)). Применяя одну теорему Лионса
о компактности7, заключаем, что
=а Т 士а СИЛЬНО В 1/((2 X (ОТ))
для каждого конечного 尸 > 1,(7.3.43)
чем (7.3.42) и доказано.
Справедлив следующий результат:
Предложение 7.3.1. Пусть
Л. Л € Ь2(аг, К)), (Л(0, г) = 0 "е 备 VZ€(O, Г)> (7.3.44)
Л, Л €£2(аг, Zo),(7.3.45)
Wo, U1 е К,(7.3.46)'
Го, hez,(7.3.47)
Ф(ГО < 8,(7.3.48)
линейная форма
z Т 居(z) = — а(《о, z) — hR(e(u0)
+ 掀G，P«o, z))-〈祭(G z〉z(£ > 0)(7.3.49)
непрерывна на Z в топологии Zi, а линейная форма
и т 用® = - R(e(〃0)+ уР(Го), fi(v))(7.3.50)
непрерывна на И в топологии %• Тогда у задачи Зе существует решение (% 立).Далее, существуют f € £°°(07； Z) и и € £°°(0Т, %), такие ЧТО при £ т О
%т 匕 匕т1♦-слабов£°°(or,Z),(7.3.51)
广 1-слабов广皿Zi),(7.3.52)
/т% %т〃*н：тн"“слабов£°°(0Т,%)(7353)
и
£(%)-►£(〃)，£(〃Jfе(Н)-слабов£°°(аг,[丄2(0)]4).(7.3.54)
Доказательство, (а) Применяя метод Галёркина, как и при доказательстве предложения 5.4.2, можно показать, что регуляризованная задача допускает решение (% %), такое что 立，匕《"(叮，Z), f*€ £°°(ar, Zi) и % % u/€ £°°(0r, %). _
G>) Подставим z = f；, z =豆 в (7.3.34) и u = u^ в (7.3.35). Используя (7.3.30), получим
См. [182, р. 58, theor. 5.1].
(QfJ Г； - L)+ а(% 匕)+ &(У Г； - %) + «?(£(%)
+ р(и. рз 匕))+(需(儈-礬(%)，詳一手＞
=(力，匕-и + 6 立，％) + hR(e(u^ + 評(％),妆二，％))(7.3.55)
и
(q吗 ％) + R(e(/) + ^P(j), £(〃；))= 5 吟. (7.3.56)
Ввиду тождества
R(e(/)) + 了(%), P(J ⑵=1 兼3(%) + p(Q, e(u£)
+|P(=)) - R(e(/) + IP(=), £(〃粉，(7.3.57)
интегрирование уравнения (7.3.55) от 0 до Z даёт
у (life - ffillio + С%1 修 + cllf； - fj修1
+ hR(KQ + 了(％), £(/) + |P(f£)) + 川叱吼)
《卜5, Г； - %) + АСА, u^dt + j c[%llzl厅Jlz 00
+ 在(%) + 了(立)应伽1收4, fJRaM
+ у (llfl - fglllo + cllfollz + cllfi - f£llzi
+ R(e(wo) + ^P(fo), e(wo)十 ^P«o)) + 川也ill%). (7.3.58) При выводе этого неравенства были использованы монотонность d®Jdz и тот факт, что все рассматриваемые здесь билинейные формы непрерывны и коэрцитивны, а все линейные непрерывны. Из (7.3.58) следует неравенство
*1修+*-手)修I +m嗡+ He(u£) + 了(立)*2(0)г
(7.3.59)(7.3.59)《а [](""度 + 比‘-"啥 + "“；"％+ ll£(Ufi) + у P(f£)ll^(0)r)^J +0,
(7.3.59)
(7.3.59)
где ci, с^ — положительные константы. Используя неравенство Гро- нуолла, заключаем, что
(7.3.60)(7.3.60)心丿修 &С, "01%《С, 11%11%《с,II*) + p(QIII£W W &
(7.3.60)
(7.3.60)
Таким образом, последовательности |fj, |fj, {叫，{叫 и {£(/)} ограничены соответственно в пространствах £°°(0Т, Z),工"(GT, Zi), 丄8(ог, %), £«(0Т, %) и L^OT, [£2(0)]4).
Дифференцируя (7.3.34, 35) (см. предложение 5.4.1) по t9 получим систему вариационных уравнений
3/ Z) + MJ 幻 + &(У Z)+ 厶К®%)
(7.3.61)(7.3.61)+ 尸(立，立)，尸(立，z)) + ЙЛ(«(«) + р(Г£),尸(f：, z))+〈像(吟,Z〉z = 5* Z) VZWZ,
(7.3.61)
(7.3.61)
(Q〃± u) + /?(£(%) + 尸(立，立)，£(〃))= s, u) vve К (7.3.62)
Вследствие монотонности dФ€/dz имеем
（僚（力,小
=lim -& Т о=lim -& Т о(7.3.63)(7.3.63)（f銀 + 次）一學（?；（0）,7銀 + 管一 f；（f»z -.^->0.
=lim -
& Т о
=lim -
& Т о
(7.3.63)
(7.3.63)
（出产
Подставляя z = f； и и = 〃j в (7.3.61—62), приходим к неравенству
^М尸«)《5, Q + 2；, “2 + йл(е(%)+ 尸(％ г；),尸(匕))
-hR(e(u} + I P(Q, ^ ^ 尸«；)),(7.3.64)
где
ло= k(埼如+ a(=,匕)+ a(幫 爲
+ hR^ + 尸(立，％),£(%) + 尸(立，匕))+ Й j q(“226ra.(7.3.65)
Интегрируя (7.3.65) от 0 до Г и используя (7.3.27, 60), получаем
ЛО & 2F(0) + с j F(t)dt + c j (峭 II 窃 + 啖'II ^00
& 2F(0) + c J F(t)dt + c.(7.3.66)
о
Из непрерывности линейных форм (7.3.49) и (7.3.50) вытекает, что существуют z】£ Z{ и 也 £ %, такие что
E(Z)=《Zi, Z》Zi VZWZ,(7.3.67)
月GO =(打，D% Vv С И(7.3.68)
Ввиду (7.3.67) вариационное уравнение (7.3.34) даёт
(m久0), Z) + a(厅(0), Z) = -a(fo, z) - A/?(e(Uo) + ^尸(3,尸(Й>, Z))
-後(h), Z〉z + (力(0), Z) = 5(0) + Z1, Z〉z (7.3.69) при f = 0, и, следовательно,
11Г；(0)11г, < с.(7.3.70)
Аналогично, при ^ = 0 из (7.3.68, 35) получаем неравенство
\\иЖг0^^(7.3.71)
Следовательно,
尸(0) & с,(7.3.72)
и потому к (7.3.66) применимо неравенство Гронуолла. Отсюда следует, что F(t) & с, или, что то же,
U枷 &с,抬；11%《с, llu；||n < с,
"£("訓(i2(0》4 《 e.(7.3.73)
Таким образом, последовательности |f；j, {f/), (и*) и |£(〃；)} ограничены соответственно в пространствах L°°(0T, Z), £°°(0Т, Zi), £°°(07； %) и /.«(ОТ, [£2(0)]4).
Используя (7.3.60, 84) и переходя, если надо, к подпоследовательностям, заключаем, что
寸宀И匕f
/Т〃，〃；-*〃'，U^ И*
•-слабо в £°°(07； Z),
•-слабо в £°°(0Т, Zi),
♦-слабо в £*(07； %)
И
£(/)-*£(〃)，£(〃；)-*£(〃，)•-слабо В £°°(0Т,[Ь2(0)]4).
Наконец, нетрудно проверить, что начальные условия (7.3.5—8) также выполнены. □
Следующее предложение завершает доказательство существования решения.
Предложение 7.3.2. Функции u, f, удовлетворяющие условиям (7.3.51 — 54), служат решением задачи 3.
Доказательство. Переходя к пределу при £ т 0, покажем, что u, f удовлетворяют как соотношениям (7.3.32, 33), так и начальным условиям (7.3.5—8). Заменяя в (7.3.34) z на z - J где z С £2(0Т, Z), находим, что
Л1》/2,(7.3.74)
где т
4 = JKq* z) + MJ z) + &(W z) + hR^ О
+|p(U，尸(立，Z)) + 公(Z) —(力，Z — Г；)]Л,(7.3.75)
也=J!^ [ J Q(/m + m叁，叁)+ a(二，
0 L Q
+ j hR(e(Ug)+ ^尸(叁)，尸(叁，Г；)Л + j 公(彳)山.(7.3.76) оо
т
Пусть zi С £2(0Т, Z) таково, что J Ф(г1)Л < 8. Подставив в (7.3.74)о
z = Zi, получим J 电(f；)力 & с. Принимая во внимание (7.3.31), о
заключаем, что при £ т О
lim inf 4》j KqL, Г) + MA 1) + WL, 1) 0
+ W?(e(〃)+ р(Г),尸6, 1)) + 孰厂)】附(7.3.77)
lim Ai = j KqL, z) + a(f, z) + G(L, Z) 0
+ W?(£(") + |р(Г), ЛГ, Z)) + ®(Z)-(力，Z — 1)】力.(7.3.78)
Из (7.3.74, 77, 78) следует, что
j ["L, z - 1) + а(Г, z -厂)+ а(Г, Z -厂) 0
+ W?(£(")+ ^尸(广)，尸(f, Z - 1))
+ ®(z)-救 1) 一(力，Z - 1)】力》0 VZ«2(OT, Z). (7.3.79)
Рассуждая, как при доказательстве предложения 5.4.1, из (7.3.79) получаем поточечное неравенство (7.3.72).
Дав вариационную постановку нашей краевой задачи с помощью предложений 7.3.1 и 7.3.2, мы видим, в каком смысле решение задачи в вариационной постановке удовлетворяет дифференциальным уравнениям (7.3.1, 2) и граничным условиям краевой задачи. Например, пусть граничные условия имеют вид f = 0, (7.3.12) и (7.3.14), а реакция ^ равна нулю на Оь Тогда легко проверить, как и в п. 5.4.2, что уравнения (7.3.1) и (7.3.2) удовлетворяются в смысле теории распределений, а граничные условия (7.3.12, 14) — в смысле следов. Кроме того, ввиду (7.3.51—53), выполняются и начальные условия (7.3.5—8).
Отметим, что при замене вариационного уравнения (7.3.33) вариационным неравенством (7.3.22) предложение 7.3.1 остаётся в силе, с незначительными видоизменениями. Однако доказать, что пределы и, f удовлетворяют системе начальных вариационных неравенств, уже не удается [248].
7・3・3・ Единственность решения
Предложение 7.3.3. В предположениях предложения 7.3.1 вариационная система (7.3.32, 33) с начальными условиями (7.3.5—8) допускает единственное решение.
Доказательство. Пусть Ui и fi — два решения задачи 3. Положим Wi - Ui = w,仃 一 f2 =小 Из (7.3.32, 33) следует, что
-(”"，7')-а(% 4Z) - а^я, 4Z) > ЙЛ(«(М1)+|р(П), Р(Гь 7’)) -hR(E(u2) + ^Р{^ 尸(6,才))，(7.3.80)
(QW", V)+ R(e(w) + #尸(仃)-尸(G)), £(〃))= О W€ К (7.3.81)
Ввиду равенства
P(h,步)= P(h, С) — Р«2,觉)一РОь f分(7-3.82)
и соответствующего равенства для P(fz,才)，из неравенства (7.3.80) вытекает, что
(7.3.83)(7.3.83)^部|世才汽И +й(小办+ a("'T')] +力5 W"
(7.3.83)
(7.3.83)
где
8 t 糸卜图w) + I (Ah)-尸(露)，e(w)
+1 (p(h)-尸(G))) + Л(«(«2)+ ^尸(公)，Л4))]
-R(e(w) + ^(P(h)-尸(代))，£(W'))
-R(e(w) + ^(尸(仃)一尸(G)), Р(Ч, ГП)
-R(e(“2‘)+|pz(G), #(”))•(7.3.84)
Полагая v = w‘，из (7.3.81) получаем
(QW", w') + R(e(w) + ^(尸(h) - P«2)), £(W')) = 0.(7.3.85)
Соотношения (7.3.85) и (7.3.84) дают
8 = ^ 畠 p?(e(w) + ^(尸(h)-P62), e(w) + 1(p(Г1)-尸(代)))
+ Л(«(«2) + ^尸(行)，p00) + j Q(W')2doi
-R(£(w) + у(ЛГ1)-尸«2)), Лч.笈))
-Л(«(«2)+ ^尸'(代)，^Р5))■(7.3.86)
Далее воспользуемся оценками
I r(e(以)+ ^P62),尸("))I W Clle(«2)
+ J-P(f2)И[£г(0)]«IIP(1J)II(£2(о)]< & dl”llzll"llzi
《qM% 4)+ chllii W 亍a(”，”)+ cj&(if, ”，)df,(7.3.87)
j R(£(W)+ 夕尸(门)-尸(旧)，尸(% Г2))Л
& j/?(£(W)+ ^(НА)-尸(公))，£(W)
+ I (尸(仃)-P{^dt + cj 11,11111 n ^dt, (7.3.88)
j /?(£(〃£) + ^P(G), ^尸(力)力《c j 旧|修力.(7.3.89)
Из (7.3.86—89) с учетом (7.3.83) вытекает, что
5(0《с j S(t)dt,(7.3.90)
О где
S(0 = j &(才)2do + Of(小力 + d(if, q') + hR(£(w)
+ ^(尸住1)-尸(上2)), £(w) + |(p(ГО -尸传2))) + Й j e(w')2dQ.(7.3.91)
В силу (7.3.90, 91), ri = ri' = w = wf = 0, чем единственность решения и доказана. □
В заключение отметим, что динамический анализ односторонних задач для модели Кармана применим, в частности, к динамическим односторонним задачам для модели Кирхгофа. В этом случае опускаются члены, учитывающие влияние растяжения пластины на изгиб, и вариационная формулировка задачи сводится к одному вариационному неравенству. Можно конкретизировать предложения 7.3.1—7.3.3 для этого случая. Если пренебречь ещё и инерциальным членом 必Af", учитывающим вращение, то мы получим вариационное неравенство вида
(&L, z - 1) + 賦農 z - 1) + ①(z)-孰 1)》5, z - 1)
vzez. (7.3.92)
К этому неравенству непосредственно применимы многие результаты, полученные в работе [28].
ГЛАВА 8
Вариационные и полувариационные неравенствав теории линейной термоупругости
В настоящей главе изучаются некоторые односторонние краевые задачи линейной теории термоупругости. Предполагается, что на границе рассматриваемого тела выполняются субдифференциальные соотношения, во-первых, между температурой и вектором теплового потока и, во-вторых, между скоростью и вектором напряжения. Выводятся соответствующие вариационные неравенства» и затем доказываются некоторые теоремы о существовании и единственности решения; эти задачи впервые изучались Дюво и Лионсом [85]. Далее с помощью метода п. 4.1.3 формулируются некоторые общие вариационные неравенства. Они возникают при замене закона линейной упругости и закона теплопроводности Фурье на соответствующие нелинейные законы, описываемые суперпотенциалами. В конце главы изучается одно полувариационное неравенство.
РАССМАТРИВАЕМЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИИ ИХ ВАРИАЦИОННЫЕ ПОСТАНОВКИ
Классические постановки
Область, занятая термоупругой средой, считается вложенной в эвклидово пространство ₽3. Общая точка этого пространства обозначается через X, а её координаты относительно фиксированной декартовой системы координат 0修及不一через &, i = 1, 2, 3. Время t меняется в интервале [О, Т]. Через u = и（х, Z） обозначается перемещение материальной точки х в момент времени t по отношению к естественному состоянию тела, которое характеризуется нулевыми напряжениями и некоторым постоянным значением абсолютной температуры 仇）＞ 0. Плотность тела в точке х в естественном состоянии обозначается Q 二 2（х）. Открытое ограниченное связное подмножество в IR3, занима-
емое телом, обозначается через 0. Граница Г области П считается регулярной. Поведение линейно-термоупругого тела задаётся следующими определяющими соотношениями для тензора напряжений а = {о炉} (X j = 1, 2, 3) и отклонения 刀一初 удельной энтропии q от удельной энтропии 7；о естественного состояния тела:
。炉=tij - mij(0 - 6о) = Cijhk^hk - «1у(б - Во),(8.1.1)
(8.1.2)(8.1.2)7 —初="^ CQ(6 — 6о) + — «1у£у,
(8.1.2)
(8.1.2)
где 6 = 吃 0 — абсолютная температура, £ = {切} — тензор деформаций для случая малых деформаций, связанный с перемещениями со-
отношениями
£(/(〃)=^(W/J + Чм)・(8.1.3)
Здесь С = \Cijhk} (4 Л Л, Аг = 1, 2, 3) — тензор упругих констант,- удовлетворяющий условиям симметричности и эллиптичности (3.3.61а, Ь), m = (m(/} — симметричный тензор (коэффициентов) теплового расширения, а со = coW > 0 — удельная теплоёмкость тела при нулевых деформациях. Значения С(х), Мх) и ср = з(х) берутся для естественного состояния тела. Уравнения движения в предположении малых деформаций и закон сохранения энергии записываются соответственно в виде
QH；= Oijj 4- fi(8.1»4)
и
Q&g‘ = - q»,i + 纟(8.1.5)
где /= (/), fi =方(石 0 — вектор объёмных сил, q =①戸，孙=0a 0 — вектор теплового потока и 纟=纟(石 0 — количество теплоты на единицу объёма. Запись системы уравнений линейной термоупругости завершает закон теплопроводности Фурье
0 = — Kyflj, (8.1.6)
где к = (^у), ку = ку(х) — симметричный тензор теплопроводности. Его коэффициенты вычисляются для естественного состояния тела и удовлетворяют условиям
良/Q词》cam Va € (а,) € К* (8.1.7)
где с > 0 — константа. Предполагая, что все функции, входящие в уравнения (8.1.1——6), достаточно гладкие, мы приходим к следующей системе дифференциальных уравнений (см. [65]):
Q〃i"= fi + (C(jhk£hk),j - (т(/(б - &O))J В 0 X (0, 7), (8.1.8) Qco6-(^ij6,j)ti + «4/&0£炉=。 В 0 X (0, 7). (8.1.9)
Эти два дифференциальных уравнения описывают поведение линейнотермоупругого тела, в общем случае неоднородного и неизотропного.
Далее предполагается, что при t = 0 выполнены следующие начальные условия:
и； = ио;в0,(8.1.10)
и/ = _иив0,(8.1.11)
6 = ёв0,(8.1.12)
где % = иь(х), 〃i = 〃i(x) и 3 = 8(х) — заданные функции на 0.
Первая краевая задача, которую мы будем рассматривать, возникает в предположении о следующей зависимости между температурой на границе и вектором теплового потока:
4泌二-儿沛j修 W 0(0) на Г x (0, Г)；(8.1.13)
для перемещений примем следующие простые условия:
и, = 0 на Г х (0, Т)・(8.1.14)
Здесь п = {修} обозначает, как обычно, орт нормали к Г, направленный вовне области П, а 0 ——некоторый максимальный монотонный оператор. Граничные условия (8.1.13) описывают широкий класс задач о полупроницаемости (см. п.3.3.1).
Другая граничная задача, которой мы будем заниматься, возникает при замене условий (8.1.13, 14) на следующие граничные условия:
в = вонаГ х (0, 7),(8.1.15)
〃i = 5наГи х (0 Т),(8.1.16)
-S= {-&}=[-аут]W"(〃')наГ5 X (0, Г)；(8.1.17)
здесь Г = Ги U『$, где Ги иГ^ — непустыенепересекающиеся откры
тые в Г множества; Ui - U& f) — заданный на Ги вектор перемещений, удовлетворяющий условиям (8.1.10, 11); U —— выпуклый п.н.сн. собственный функционал на ₽3. Заменяя условие (8.1.15) на (8.1.13), получим более общую краевую задачу, в которой учитываются как односторонние кинематические, так и односторонние термические эффекты.
Для упрощения записи введём следующие обозначения:
。(弘 и)=j Cyhk£u(u)^hk(v)dQ,(8.1.18)
3 и)=j UiVidQ9(8.1.19)
№(仇 0=j (m^jVidQ,(8.1.20)
(8.1.21)(8.1.22)(8.1.23)(8.1.21)(8.1.22)(8.1.23)必3 © 二,m屮仃8a
(8.1.21)
(8.1.22)
(8.1.23)
(8.1.21)
(8.1.22)
(8.1.23)
к(6, 8)= j叔風屮力0О
(仇8)=f 8(pdQ.
Предполагается, что разности и - 〃' и 夕一6 достаточно гладки. Умножая (8.1.8) и (8.1.9) соответственно на v - и' и 夕一仇 интегрируя по области 0 и используя теорему Грина — Гаусса, приходим к следующим вариационным уравнениям:
g", V - ип) + a(u, V - иг) + М(6 - 6о, v - uf)
=5 и - 〃')+ J 加切(4一 Ui)dT в Q x (0, 7),(8.1.24)
г
(Q50',夕 一 8) + К(6,夕一6) + Л^(бо w7,夕—6)
=(纟 ?一办+ [际4/心 - 6)dT в о X (0, П- (8.1.25)
8・1・2・ Варшцфюнные постановки
Предположим, что Q麻,加,鹏，Q н ср являются элементами из В) /, до ё в2(顧3 и 纟⑴ € £2(0). Возьмём пространства [^(Q)]3 для у, и' и /^(О) для 外 仇 Так кшс 8 ——максимальный монотонный оп^атор на R, то однозначно с точностью до аддитивной постоянной определен выпуклый п.н.в. собствшный функционал г, такой что 0 = 3夕(см. предложение 2.6.4). Далее, определим выпуклый п.н.сн. собственный функционал Ф на £2(Г) формулой (см. предложение 3.3.1) м 俨班，…(… g(8126)
(оо в противном случае.
Как и в п. 3.2.1, сужение Ф на //"'(Г) снова обозначим через Ф. Рассматривая вариационные равенства (8.1.24, 25) совместно с граничными условиями (8.1.13, 14), для 电修，6, принадлежащих £2(Г) (или более регулярных), получим вакационное неравенство
Ф(*) - Ф(б)》(-^т(<Р - 0)С V。€ 丄2(г),(8.1.27)
Причем ess inf % > 0, ess inf @(х) > 0.
которое вместе с (8.1.24, 25) позволяет сформулировать следующую вариационную задачу:
Задача 1・ Найти функции и: [О, Т] -* [^(й)]3 и 6:[0, Г] -* Я!(й) с 以'(f) W [^(й)]3, u*(/) W [//((I)]* Of(t)eL2(^), удовлетворяющие вариационному уравнению>
(@“，и - W) + q(弘 v - uf) + Mi(0 - 0o, 〃 一 W)
=5 〃 一 出) V〃W 旧i(R)R (8.1.28) вариационному неравенству
(qcd。'，夕一0) + К(0, w — 0) + Мг(вои \ w — 0)
+ 孰W)-®(0)》(纟 夕 一0) VwwaYR)(8.L29)
и начальным условиям (8.1.10—12).
В § 8.2 мы установим один результат о существовании и единственности решения этой задачи при более точных предположениях относительно зависимости данных задачи от времени. Кроме того, мы обсудим там, в каком смысле решение задачи 1 удовлетворяет (8.1.8——14). А сейчас продолжим рассмотрение краевой задачи, определённой соотношениями (8.1.8—12, 15——17).
Пусть 弘 мУ [а】(0)Г таковы, что v - uf = Uf(t) на, Ги и v?> 6 € Т/^й) таковы, что ^ = 0 = 0О на Г. Определим выпуклый п.н.сн. собственный функционал 屮 на [£2(Г)]3 формулой
J W(〃)dr, если 屮(〃)€/?(「)，
屮® =占(8.1.30)
、оо в противном случае.
Сужение 屮 на [у/1/2(г)]3 снова обозначим через 屮.Рассуждая, как выше, и используя заданные граничные условия, из (8.1.24, 25) получим
(@“，〃 一 М‘)+ Q(弘 〃 一 W‘)+ M\^ - 0o, 〃 一 W') + 屮(〃)一屮(优)
》(Z V- uf) v〃w [川((1)]3 C 〃 = 0(f) на「5(8.1.31)
(qcqO ',夕—0) + K(0, w — 0) + M2(9qu z ,少―。)
=(纟 w — 0)v^> € H^ffi) с (p = Oo на Г. (8.1.32)
Рассмотрим функцию w: [0, Т} -* [Я1 (Я)]3, такую что w(f) = U(f) на 「и и 14(f) w Н1/2(Гц) (см. п.5.1.2), и сделаем подстановку гГ = м' — w‘, 0 = v - wf (соотв.伊=0-00, 0 =夕一^0). Для простоты волну далее опустим. В результате из (8.1.31, 32) получим вариационную систему
(3"，" 一 м') + q(弘 у - u9 + м(4 "一打)+ +("+户)一屮也，+ W)
〃一 优)(8.1.33)
{qcd09 w — 6) + К(仇 w — 6) + Л^(^о» wf, w — 6)
=(Д W - 6) VwW直 1(0),(8.1.34)
где % = {〃 I 〃W [Т/^й)]3, у = 0 на「и} и/ ^определяются следующим образом:—
©〃)= (/ ”)一 Q(叱 ”)-(qw", ”)，(8.1.35)
(戛 ⑴=(且 ⑴-肠6)m，/(8.1.36)
Начальные условия (8.1.10—12) принимают вид
Ui = uoi -川(0),u/= Un - w^O),6 = 0 - do. (8.1.37)
Поэтому можно поставить следующую вариационную задачу:
Задача 2. Найти функции и: [О, Г] -> К)и 6: [О, Г] -* *((!) с，«) W %, u*(Z) € [Ь2(й)]3,步(f)wZ?(R), удовлетворяющие (8.1.33, 34) и начальным условиям (8.1.37).
Далее будет рассматриваться краевая задача, определённая соотношениями (8.1.8—13, 16——17). Рассуждая, как выше, и используя обозначения задачи 2, придём к следующей вариационной постановке задачи (мы по-прежнему пишем 4 ” вместо ц U):
Задача 3. Найти и: [О, Г]-* % м 6: [О, Г]->*((!) с 优(£)€%, и “ (О W [£2(й)]3, 6，(f) W £2(й), удовлетворяющие вариационным неравенствам
(QW”，〃 一 力)+ q(必 v - uf) + Mi(0 - do, v - ur) + 屮(” + w‘)一屮(优 + 户)》G v - uf) + jm(/(0 - 6o)(s - Ui)njdT V〃W %,(8.1.38)
Vs
(qcd®，，w — 0) + K(4 w — 0) + Mzlfi^u7, w — 0)®(w) — ①®)
》(豆 w - 6) VW W 1/1(0),(8.1.39)
первым двум из начальных условий (8.1.37) и начальному условию (8.1.12).
РЕЗУЛЬТАТЫ О СУЩЕСТВОВАНИИИ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ
8・2・1・ Исследование задачи 1
Для того чтобы доказать существование решения у задачи 1, предположим, что имеется семейство дифференхшруемых функционалов Ф£,
такое чтотакое что(i) jd(⑴力О(i) jd(⑴力О—> f ®(w)力—> f ®(w)力V^加陋川®））；V^加陋川®））；(8.2.1)(8.2.1)
такое что
такое что
(i) jd(⑴力
О
(i) jd(⑴力
О
—> f ®(w)力
—> f ®(w)力
V^加陋川®））；
V^加陋川®））；
(8.2.1)
(8.2.1)
существует ограниченная последовательность {&} в Т/^Я), такая что для каждого с > О
(8.2.2)
если 中亀 f 中> 中七 f 中‘ слабо в £2(0Г, Я4®)) при £ ->0 и значе
ния интеграловния интеграловJ①式wJdf оJ①式wJdf оограничены сверху, то ггограничены сверху, то ггlim inf j 4(w/Й》j 孰w)d£lim inf j 4(w/Й》j 孰w)d£(8.2.3)(8.2.3)оооо
ния интегралов
ния интегралов
J①式wJdf о
J①式wJdf о
ограничены сверху, то гг
ограничены сверху, то гг
lim inf j 4(w/Й》j 孰w)d£
lim inf j 4(w/Й》j 孰w)d£
(8.2.3)
(8.2.3)
о
о
о
о
С помощью семейства {Фе) можно сформулировать регуляризованную задачу (см. п. 5.4.3):
Задача 1£. Найти ие: [О, Г]-旧依旷 с 呢(f) W [^(Й)]3,成(f) W [£2(Й)]3 и %: [0, 71 -► Т/ЧЯ), с 0/(0 € £2(Я), удовлетворяющие вариационной системе
(Q* г) + а(иБ, г) + М1(0Б -任，沙)=伉沙)WW 旧Yd)]*(8.2.4)
(QcdOe, w) + K(0e, w) +
Мг(еои'Е, ^) + {端(％), г》=(且⑴V0€M(«) (8.2.5)
с начальными условиями
Ue = Uo, Ug = Ui, % =仇(8.2.6)
Для точной вариационной постановки краевой задачи предполо
жим, что 工广①皿l2(砌，(8.2.7)
且纟飞加(0r,山2(砌3,(8.2.8)
ио €[/72(Я)П Л1 (fl)]3,(8.2.9)
Wi € [Я1 (fl)]3,(8.2.10)
万€h1(0),①@) < <ю.(8.2.11)
Справедлив следующий результат:
Теорема 8.2.1. Пусть выполнены (8.2.1—3, 7—11) и 恤工iWr°(R)& 7 = 1,2, 3).(8.2.12)
Допустим также, что
尸3) = К(瓦⑴ + /^^- , Л + №(8о“1,内 (8.2.13)
является непрерывным линейным функционалом на Н】(0) в топологии Z?(R). Тогда при с О
иБ-^ и
•-слабо в £и(0Т, [Л1 (Я)]3),
(8.2.14)
u^uf
•-слабо в 丄897；[泛i(n)]3),
(8.2.15)
广"
♦-слабо в £°°(0Т, [Ь2(Й)]3)
(8.2.16)
&Т仇他
тб' слабо в £2(0Т, Я1 (Я))
н *-слабо в 丄 °°(07, £2(о)).
(8.2.17)
Полученная таким образом пара {弘 6} является решением задачи 1.
Доказательство. Ввиду принятых предположений регуляризованная задача допускает решение (и£, %}, такое что
Ue, U^I^tPT, [ЯЧЯ)]3),м^6£2(0Т, [L2(fl)]3),&, ^6l2(0Г,川(砌028(0£ 厶出))
тельстве предложения 5.4.2. Полагая v = и (8.2.5), получим(Q吟 底)+ a(U£, Ue) + Mi(仇-&(q嚟 "，% 一 a)+ ^" %%, % 一 06)+ /+貝噜(以(Складывая эти равенства и используя (8.2<1 d ГС/ f\2jn .ч , Г QCD 〃1g В (8.2.4) М 夕=仇 一 0е В),値=5 喲，(8.2.18)质34 ое -死)W，仇 一&).(8.2.19).2), приходим к равенствутельстве предложения 5.4.2. Полагая v = и (8.2.5), получим(Q吟 底)+ a(U£, Ue) + Mi(仇-&(q嚟 "，% 一 a)+ ^" %%, % 一 06)+ /+貝噜(以(Складывая эти равенства и используя (8.2<1 d ГС/ f\2jn .ч , Г QCD 〃1g В (8.2.4) М 夕=仇 一 0е В),値=5 喲，(8.2.18)质34 ое -死)W，仇 一&).(8.2.19).2), приходим к равенствуЭто можно доказать с помощью метода Галёркина, как при доказа-Это можно доказать с помощью метода Галёркина, как при доказа-2 "Л [)qm丿3十" Ln+ Mi(0e 一 0o, u/)1-+长(%,%-4Так как Ug(0 = 0 на Г,М(% — 6о, Ue) + Л^(&и6；十 ]?6丿 awj+ л^зк 仇—w&)由+击(噜(仇)- 嗡(°；%- 0)r(Л 心 + (等，%一。)(8.2.20).то применение теоремы Грина — Гаусса даётК % — з) = 一 "1(6。，u/) — A^QZ, ^£). (8.2.21)2 "Л [)qm丿3十" Ln+ Mi(0e 一 0o, u/)1-+长(%,%-4Так как Ug(0 = 0 на Г,М(% — 6о, Ue) + Л^(&и6；十 ]?6丿 awj+ л^зк 仇—w&)由+击(噜(仇)- 嗡(°；%- 0)r(Л 心 + (等，%一。)(8.2.20).то применение теоремы Грина — Гаусса даётК % — з) = 一 "1(6。，u/) — A^QZ, ^£). (8.2.21)
тельстве предложения 5.4.2. Полагая v = и (8.2.5), получим
(Q吟 底)+ a(U£, Ue) + Mi(仇-&
(q嚟 "，% 一 a)+ ^" %%, % 一 06)+ /
+貝噜(以(
Складывая эти равенства и используя (8.2<
1 d ГС/ f\2jn .ч , Г QCD 〃
1g В (8.2.4) М 夕=仇 一 0е В
),値=5 喲，(8.2.18)
质34 ое -死)
W，仇 一&).(8.2.19)
.2), приходим к равенству
тельстве предложения 5.4.2. Полагая v = и (8.2.5), получим
(Q吟 底)+ a(U£, Ue) + Mi(仇-&
(q嚟 "，% 一 a)+ ^" %%, % 一 06)+ /
+貝噜(以(
Складывая эти равенства и используя (8.2<
1 d ГС/ f\2jn .ч , Г QCD 〃
1g В (8.2.4) М 夕=仇 一 0е В
),値=5 喲，(8.2.18)
质34 ое -死)
W，仇 一&).(8.2.19)
.2), приходим к равенству
Это можно доказать с помощью метода Галёркина, как при доказа-
Это можно доказать с помощью метода Галёркина, как при доказа-
2 "Л [)qm丿3十" Ln
+ Mi(0e 一 0o, u/)
1-
+长(%,%-4
Так как Ug(0 = 0 на Г,
М(% — 6о, Ue) + Л^(&
и6；十 ]?6丿 awj
+ л^зк 仇—w&)
由+击(噜(仇)- 嗡(°；%- 0)r
(Л 心 + (等，%一。)(8.2.20).
то применение теоремы Грина — Гаусса даёт
К % — з) = 一 "1(6。，u/) — A^QZ, ^£). (8.2.21)
2 "Л [)qm丿3十" Ln
+ Mi(0e 一 0o, u/)
1-
+长(%,%-4
Так как Ug(0 = 0 на Г,
М(% — 6о, Ue) + Л^(&
и6；十 ]?6丿 awj
+ л^зк 仇—w&)
由+击(噜(仇)- 嗡(°；%- 0)r
(Л 心 + (等，%一。)(8.2.20).
то применение теоремы Грина — Гаусса даёт
К % — з) = 一 "1(6。，u/) — A^QZ, ^£). (8.2.21)
Используя условие монотонности
М %母）小或）0,М %母）小或）0,(8.2.22)(8.2.22)коэрцитивность форм q(〃, 〃) и К® w) + I ^> 12 и непрерывность рассматриваемых линейных форм, из (8.2.20, 21) получаем[I 1 + HuJI? + 佈 一&岗 +c\Mdt^ Cl J ( I Ug I 2 + llUglli + I 0e — ^e I 2)dt + Q, (8.2.23)r 0коэрцитивность форм q(〃, 〃) и К® w) + I ^> 12 и непрерывность рассматриваемых линейных форм, из (8.2.20, 21) получаем[I 1 + HuJI? + 佈 一&岗 +c\Mdt^ Cl J ( I Ug I 2 + llUglli + I 0e — ^e I 2)dt + Q, (8.2.23)r 0где g Ci, q — различные положительные константы, зависящие от данных задачи (do, ess infpQ, ess suppQ и т.д.)； символ ll-lli в этом параграфе обозначает норму и в 旧】(R)R и в //〔(Я). Применяя к (8.2.23) неравенство Гронуолла, заключаем, чтоI Ug I 2 С HuJIi ^ с |&一瓦|2崑<\(8.2.24)поэтому, полагая Z = Т, имеем]II仇II；由 W с(8.2.25)оБеря Z = 0 в (8.2.4,5), получаем(@м?(0), ”)+ а(иь, ”)+ Mi(0 - So, ”)=(/(0), £) Vy€ [ЯЧЯ)]3,(8.2.26)где g Ci, q — различные положительные константы, зависящие от данных задачи (do, ess infpQ, ess suppQ и т.д.)； символ ll-lli в этом параграфе обозначает норму и в 旧】(R)R и в //〔(Я). Применяя к (8.2.23) неравенство Гронуолла, заключаем, чтоI Ug I 2 С HuJIi ^ с |&一瓦|2崑<\(8.2.24)поэтому, полагая Z = Т, имеем]II仇II；由 W с(8.2.25)оБеря Z = 0 в (8.2.4,5), получаем(@м?(0), ”)+ а(иь, ”)+ Mi(0 - So, ”)=(/(0), £) Vy€ [ЯЧЯ)]3,(8.2.26)откудаI 咽0) I 2 W С.Аналогично, в силу (8.2.5)откудаI 咽0) I 2 W С.Аналогично, в силу (8.2.5)(8.2.27)(8.2.27)(qcd0e(O)9 w) + К(0,⑴ + М(Ро, Ui,(qcd0e(O)9 w) + К(0,⑴ + М(Ро, Ui,=(纟(0),⑴=(纟(0),⑴\/ г▼w w т/ЧЯ).\/ г▼w w т/ЧЯ).(8.2.28)(8.2.28)Ввиду (8.2.13) существует такое т € 厂(R),Ввиду (8.2.13) существует такое т € 厂(R),что для всех w W Я4 (Л)что для всех w W Я4 (Л)尸(⑴=(т, ф),(8.2.29)и легко показать, чтоI 寃(0) 12 W с(8.2.30)Дифференцируя (8.2.4, 5) по Z (см. доказательство предложения 5.4.1), получим尸(⑴=(т, ф),(8.2.29)и легко показать, чтоI 寃(0) 12 W с(8.2.30)Дифференцируя (8.2.4, 5) по Z (см. доказательство предложения 5.4.1), получим
М %母）小或）0,
М %母）小或）0,
(8.2.22)
(8.2.22)
коэрцитивность форм q(〃, 〃) и К® w) + I ^> 12 и непрерывность рассматриваемых линейных форм, из (8.2.20, 21) получаем
[I 1 + HuJI? + 佈 一&岗 +c\Mdt
^ Cl J ( I Ug I 2 + llUglli + I 0e — ^e I 2)dt + Q, (8.2.23)r 0
коэрцитивность форм q(〃, 〃) и К® w) + I ^> 12 и непрерывность рассматриваемых линейных форм, из (8.2.20, 21) получаем
[I 1 + HuJI? + 佈 一&岗 +c\Mdt
^ Cl J ( I Ug I 2 + llUglli + I 0e — ^e I 2)dt + Q, (8.2.23)r 0
где g Ci, q — различные положительные константы, зависящие от данных задачи (do, ess infpQ, ess suppQ и т.д.)； символ ll-lli в этом параграфе обозначает норму и в 旧】(R)R и в //〔(Я). Применяя к (8.2.23) неравенство Гронуолла, заключаем, что
I Ug I 2 С HuJIi ^ с |&一瓦|2崑<\(8.2.24)
поэтому, полагая Z = Т, имеем
]II仇II；由 W с(8.2.25)
о
Беря Z = 0 в (8.2.4,5), получаем
(@м?(0), ”)+ а(иь, ”)+ Mi(0 - So, ”)
=(/(0), £) Vy€ [ЯЧЯ)]3,(8.2.26)
где g Ci, q — различные положительные константы, зависящие от данных задачи (do, ess infpQ, ess suppQ и т.д.)； символ ll-lli в этом параграфе обозначает норму и в 旧】(R)R и в //〔(Я). Применяя к (8.2.23) неравенство Гронуолла, заключаем, что
I Ug I 2 С HuJIi ^ с |&一瓦|2崑<\(8.2.24)
поэтому, полагая Z = Т, имеем
]II仇II；由 W с(8.2.25)
о
Беря Z = 0 в (8.2.4,5), получаем
(@м?(0), ”)+ а(иь, ”)+ Mi(0 - So, ”)
=(/(0), £) Vy€ [ЯЧЯ)]3,(8.2.26)
откуда
I 咽0) I 2 W С.
Аналогично, в силу (8.2.5)
откуда
I 咽0) I 2 W С.
Аналогично, в силу (8.2.5)
(8.2.27)
(8.2.27)
(qcd0e(O)9 w) + К(0,⑴ + М(Ро, Ui,
(qcd0e(O)9 w) + К(0,⑴ + М(Ро, Ui,
=(纟(0),⑴
=(纟(0),⑴
\/ г
▼w w т/ЧЯ).
\/ г
▼w w т/ЧЯ).
(8.2.28)
(8.2.28)
Ввиду (8.2.13) существует такое т € 厂(R),
Ввиду (8.2.13) существует такое т € 厂(R),
что для всех w W Я4 (Л)
что для всех w W Я4 (Л)
尸(⑴=(т, ф),(8.2.29)
и легко показать, что
I 寃(0) 12 W с(8.2.30)
Дифференцируя (8.2.4, 5) по Z (см. доказательство предложения 5.4.1), получим
尸(⑴=(т, ф),(8.2.29)
и легко показать, что
I 寃(0) 12 W с(8.2.30)
Дифференцируя (8.2.4, 5) по Z (см. доказательство предложения 5.4.1), получим
(8.2.31)(8.2.31)(8.2.32)(8.2.32)“о“о嗡(仇(f+M)-囁(%⑴)，仇"+")-&")嗡(仇(f+M)-囁(%⑴)，仇"+")-&")>0. (8.2.33)>0. (8.2.33)Поэтому из (8.2.31, 32) вытекает, чтоПоэтому из (8.2.31, 32) вытекает, что1 d2 ~dt1 d2 ~dtГ J Q("厅do + a(We, w/) + JL QQГ J Q("厅do + a(We, w/) + JL QQ+ M®, u# + 恥(咽，Q + * К(他,+ M®, u# + 恥(咽，Q + * К(他,w, +w, +(8.2.34)(8.2.34)
(8.2.31)
(8.2.31)
(8.2.32)
(8.2.32)
“о
“о
嗡(仇(f+M)-囁(%⑴)，仇"+")-&")
嗡(仇(f+M)-囁(%⑴)，仇"+")-&")
>0. (8.2.33)
>0. (8.2.33)
Поэтому из (8.2.31, 32) вытекает, что
Поэтому из (8.2.31, 32) вытекает, что
1 d
2 ~dt
1 d
2 ~dt
Г J Q("厅do + a(We, w/) + J
L QQ
Г J Q("厅do + a(We, w/) + J
L QQ
+ M®, u# + 恥(咽，Q + * К(他,
+ M®, u# + 恥(咽，Q + * К(他,
w, +
w, +
(8.2.34)
(8.2.34)
(Q増 у) + a(w/, V)+ 必(戏，〃)= (/■', v) Vv € [方YR)]*
^^ ®) +靑К侬,⑴+必(時⑴
+ 4_((將(仇))0 =(普，。)…7m
Сделаем замену у = и^в (8.2.31) м w = 6/ в (8.2.32). Вследствие монотонности d^e/d9, как нетрудно проверить, имеет место неравенство
Отсюда, применяя теорему Грина — Гаусса к 必(6工 м力 + №QJ； 6/) и интегрируя от 0 до 厶 получаем
Ci[ I “？| ； + I心II； + I 戏 I 引 + j 靑 к(戏，8Qdt ^ftplr hl«/zh + -^-丨纟T2I靠Id力
(8.2.35)(8.2.35)+ C1( I мДО) I i + IlMill? + I 戏(0)1 弘
(8.2.35)
(8.2.35)
где q — положительные константы. Используя (8.2.27, 30), неравенство Гронуолла и положительную полуопределенность К® * заключаем на основании (8.2.35), что
I U ff£ I 2 С, \\UeWl < С, I I 2 ^ С.(8.2.36)
Подстановка в (8.2.35) t = Т даёт
JII 妳 II；力 w С.(8.2.37)
о •
Принимая во внимание (8.2.24, 25, 36, 37), можно извлечь из последовательностей и£, и/, и^ 仇，從 подпоследовательности (которые будем обозначать теми же символами), такие что при с -► О
ие^и, и^и' *-слабо в £°°(0Т, [Я1 (Я)]3),(8.2.38)
и" »-слабо в £°°(0Т, [2?(а)3]),
%т&,羸-б' слабо в £2(07； №(Й))
и *-слабо в 丄8(07, L2(fl)).(8.2.39)
Остаётся доказать, что полученные функции 弘 6 удовлетворяют вариационным неравенствам (8.1.28, 29) и рассматриваемым начальным условиям. Из (8.2.4, 5) следует, что
(е«Л V - Wfi) + a(u£, V - и/) + М1^е - 00» V - Й£)
=a U -成)yveH1^),(8.2.40)
(qcq0J,夕一％) + К(仇，w — %) + A^(0o成，少—%)
+ 4(w) ~ 6(%)—(纟，w — %)
=必(内-g(&) -〈^> (&), 3 - ％〉「》0 V^ € №(fl). (8.2.41)
Пусть т = 31€/?(0Т, *(R)) таково, что j ®M)df V oo. Полагая в о
(8.2.41) w = ⑦ н учитывая (8.2.1), а также установленные ранее оценки, получим
ооооW J [(@5與，⑦-%) + k(0Е9 ⑦-%)
оо
оо
+ M2(0qUe9 們—%)—(纟，wi —仇)+ ①e(wi)I力 W с.(8.2.42)
Поэтому, в силу (8.2.3),
Um inf f ①式％)df》(孰6)力.(8.2.43)
оо
Возьмём теперь в (8.2.40, 41) у = v(t) н 少=少(£), где u(f) и p(t) — произвольные функции из L2(0T, [^(Я)]3) И £2(0Т, Н1^)) соответственно. В силу (8.2.40)
j [(eu^ й)+0仅，v) + M1(% - 00, S - 5 V -呢)]dr
т
=I [(Q必 u；) + q(〃，u；) + Ml(仇-Go, ul^dt 0
=!另("紋))加一 J 号(M^cKl
+ j [a(u£, Ue) + Mi(0E - 0o, Ue)]dt.(8.2.44)
о
Учитывая, что u и 0 удовлетворяют начальным условиям, при е -> О получим
г
j Kq“^ ” — W) + @3 ” — uz)+ a/i(0 — е(), ” — uf) 0
一5 〃 一 力)]力=0Vy€£2(0T,直 1(R))・(8.2.45)
Аналогично из (8.2.41) вытекает, что
j [(qcdOej w) + к(仇，w) + M2(6qU[^ w) + ①式夕)—(纟 w — 0e)]dt 0
》j [(бс^£» 仇)+ К(仇，仇)+ A^(0oWe,仇)+ 6(%)]df
=j f Cd(%(D)加一 j号①(笳启
+ j [K(%, %) + M2(6ou^, %) + ①式仇)]“(8.2.46)
0
Обозначим правую часть (8.2.46) через Ge. Используя (8.2.43), легко доказать, что
lim inf Ge》[Kqc^', 6') + K(4 6) + “(6oW, 6) + 孰6)]力.(8247)
Поэтому, переходя в (8.2.46) к lim inf, получим вариационное неравенство
J [(@с/>е* w — 6) + К(仇 w — 6) + Mz(6qU z , w — 6) о
+ Ф(^) 一 ①(6) —(纟 w — 6)]力》0 Vw W £2(07； н1^.(8.2.48)
Из (8245, 48) можно вывести поточечные вариационные неравенства (8.1.28, 29), рассуждая, как и при доказательстве предложения 5.4.1. □
Осталось рассмотреть вопрос, в каком смысле найденные функции и, 6 являются решением исходной краевой задачи. Принимая во внимание (8.1.3) и беря в (8.1.28) 〃 一，W [D(fl)]3, видим, что уравнение (8.1.8) удовлетворяется в смысле распределений на R. Аналогично на
основании (8.1.29) заключаем, что при w - 6wO(R) имеет место (8.1.9) в смысле распределений на R. Так как A^j и (儿次,」)」принадлежат 丄2(口)，то i^j% можно однозначно определить как элемент из №1/2(Г). Поэтому применима теорема Грина — Гаусса (см. (1.4.37)). Как и в предыдущих главах, мы получаем соотношение
-^т^дФ(0)9 (8.2.49)
которое выполняется на Н1/2(Г) х Н~ 1/2(Г). Это ——слабая форма граничного условия (8.1.13). Поскольку wWL^ot;[力】((])『)и uf ^^(ОГ, [Т/1^)]3), заключаем (см. п. 1.4.1), что м€С(0Т, [Т/1^)]3) и потому начальное условие (8.1.10) имеет смысл. Аналогичные заключения справедливы и для других начальных условий (8.1.11, 12).
Докажем теперь единственность решения задачи 1.
Теорема 8*2.2. Решение ｛弘 0｝ задачи 1 является единственным.
Доказательство. Пусть ｛丸 3｝ и (и,才｝_— дв^решения задачи 1. Полагая в (8.1.28, 29) 〃 =豆、м = % 少=瓦 0 = 0 и V = ufи = й,少=瓦 0 = 0 и складывая получающиеся соотношения, заключаем, что
-（@伍"-й"）,（『一倉））-а（й - 口了，二豆‘）一
(8.2.50)(8.2.50)® —公），京一® —公），京一Mi④-В, йг -力'）=о,
(8.2.50)
(8.2.50)
® —公），京一
® —公），京一
4 一*k彼 —瓦京一3）-
肠（初，一五、京一3）》0.
2 ~dt2 ~dt[j Q (五‘-倉)2小1 + Q(五一方，Й - U)+1—=+号K("仇[j Q (五‘-倉)2小1 + Q(五一方，Й - U)+1—=+号K("仇Отсюда
2 ~dt
2 ~dt
[j Q (五‘-倉)2小1 + Q(五一方，Й - U)+
1—=
+号K("仇
[j Q (五‘-倉)2小1 + Q(五一方，Й - U)+
1—=
+号K("仇
!醫饭一讨働
ё - 0) 0,(8.2.51)
и поэтому
с(\й' - и' \1+\\й-回R + I 京一矶》+ £_ ]к® —瓦京—視“ & °,о
(8.2.52)
Из последнего соотношения следует, что 近=力，@ = 瓦 □
8・2・2・ Исследование задачи 2* Некоторые замечания о родственных задачах Предположим, что существует семейство ｛屮е｝, обладающее теми же свойствами, что и семейство ｛①力(см. (8.2.1——3)): тг
(i‘)fW£(〃+w)力 — [屮(〃+紋)4 Vy€L2(0T, %);(8.2.53)
0"О о
(ii') существует ограниченная последовательность ｛及｝ в %, такая что для всех £ > 0
号卜 Qe) = 0;(8.2.54)
(iii‘)если %->〃，v「v‘ *-слабо в L°°(07J %) и значения интеграловт
J 屮式％ + w')df(8.2.55)
* о
ограничены сверху, то
lim inf ｛丸(以+“)力》I 屮(〃' + w')“(8.2.56)
「О 00
С помощью такого семейства сформулируем регуляризованную задачу, отвечающую задаче 2:
Задача 2&・ Найти и£: [О, Г]-*% и %: [О, Т｝^ Нх (0) с w£«)W%, 〃買f) € [L2(O)13 и 0£(t) W L2(0), удовлетворяющие вариационной системе (е«Л ”)+ а(/, ”)+ М(&, V)
+ ｛醬(叁 + W)”)г = С 〃)V〃W %，(8.2.57)
(Q9%,⑴ + K(%,⑴ + 恥(00m，内=(亘⑴V0 € 方 1((1)(8.2.58)
и такие, что при / = О
u£ = иь - w(0), Ue - Ui - W(0),& =京一夕о.(8.2.59)
Предполагается, что
工 f, г €L2(0T, [L2(O)]3),(8.2.60)
纟纟'€厂(07： //1((1)),(8.2.61)
叱 w', w", w", w^ €丄2(0r, [н1(0)]3),(8.2.62)
(8263)(8.2.64)(8.2.65)(8263)(8.2.64)(8.2.65)w(0)€[7Z2(8)]3,
(8263)
(8.2.64)
(8.2.65)
(8263)
(8.2.64)
(8.2.65)
Wb € [Т/2(Й)]3,万ЕН】®),Mi w 附(r汜欢〃1) V 0о.
Справедлив следующий результат:
Предложение 8.2.3. Пусть выполнены (8.2.53—56, 12, 60—65) и
尸i(u) = а(м - w(0), и) + 必(瓦 и) +〈^* («О, и% (8.2.66) является непрерывным линейным функционалом на % в топологии L2(口). Тогда при £ Т 0
〃€ т 〃 ♦-слабо в £*(0Г, %), (8.2.67) 〃Jt〃‘ *-слабо в £*(07, %), (8.2.68) uLu" *-слабо в /ЛОГ, (£2(Й)]3), (8.2.69) &t0 и 久tQ слабо в е2(07,月YR))
и «-слабо в L*(0T, Z?(R)) (8.2.70)
(где пара 也，&} — решение задачи 2е). Полученная таким образом пара {必 6} служит решением задачи 2.
Доказательство. Задача 2£ соответствует некоторой системе нелинейных дифференциальных уравнений. С помощью метода Галёркина можно, как и в предложении 5.4.2, показать, что существует решоше [и£, &} задачи 2g, такое что
«е, u^Lx(OI； %), и^ £°°(0Т,也2(о)р),
&, ^€£2(0Г, /?&)) П £8(07, £2(й))_
Теперь подставим и = “J + 切，一仇 в (8.2.57) (где, в силу (8.2.54), ((№/dv)(vs) = 0) н 夕=& в (8.2.58). Рассуждая, как в случае (8.2.19), получим следующие оценки:
|«；|2<С, Н«Л1 < с, I 仇 |2«с,卩1仇1佟必《，(8.2.71)
О
Теперь положим в регуляризованной задаче Г = 0. Принимая во внимание сделанные выше предположения, и в частности (8.2.66), заключаем на основании (8.2.57, 58), что
(8.2.72)(8273)(8.2.72)(8273)I 〃式0) I 2 W С,I 6；(0) I 2 W С.
(8.2.72)
(8273)
(8.2.72)
(8273)
Дифференцируя (8.2.57, 58) по 厶 используя монотонность tf^Jd% коэрцитивность а(〃，”)и К® р) + I 夕 I 2, оценки (8.2.71—73) и интегрируя от 0 до 厶 получаем
I 〃； 12g С, II吗11 «с, I 靠 I 2 W С, j HMlRdf W С. (8.2.74) О
В силу (8.2.71, 74), из последовательностей {%}, («Л» («Л» {&}, {6J} можно выбрать подпоследовательности (для которых мы сохра
ним те же обозначения), такие что м£ и,庵 т 〃' *-слабо и：т и" * слабо& т 仇靠 т 6' слабо и *-слабоним те же обозначения), такие что м£ и,庵 т 〃' *-слабо и：т и" * слабо& т 仇靠 т 6' слабо и *-слабов 厂皿 ％),(8.2.75)в 丄8(ОГ,也2(翩3),в £2(0Г, ^(Й))в 丄Nor,乙2(出)(8.2.76)в 厂皿 ％),(8.2.75)в 丄8(ОГ,也2(翩3),в £2(0Г, ^(Й))в 丄Nor,乙2(出)(8.2.76)
ним те же обозначения), такие что м£ и,庵 т 〃' *-слабо и：т и" * слабо
& т 仇靠 т 6' слабо и *-слабо
ним те же обозначения), такие что м£ и,庵 т 〃' *-слабо и：т и" * слабо
& т 仇靠 т 6' слабо и *-слабо
в 厂皿 ％),(8.2.75)
в 丄8(ОГ,也2(翩3),
в £2(0Г, ^(Й))
в 丄Nor,乙2(出)(8.2.76)
в 厂皿 ％),(8.2.75)
в 丄8(ОГ,也2(翩3),
в £2(0Г, ^(Й))
в 丄Nor,乙2(出)(8.2.76)
Аналогично тому как это было сделано при доказательстве предложения 8.2.1, можно проверить, что пара (^ 0] является решением задачи 2. □
Как и в случае задачи 1, легко доказать, что полученные функции и и 0 удовлетворяют (8.1.8,9) в смысле распределений на Q. Далее, с помощью стандартных рассуждений, многократно использовавшихся ранее в аналогичных ситуациях, получаем вариационное неравенство
屮(” + w') — 屮(〃‘ + w')》-《。川力 V - uf)r V〃 W %, (8.2.77) которое может быть переписано так:
-S = - {aijnj} W 8屮(〃') (8.2.78) на [Т/1/2(Г)]3 х [№1/2(Г)]3. Это — слабая форма граничного условия (8.1.17). Наконец, рассуждая, как и в случае задачи 1, приходим к выводу, что и начальные условия имеют смысл и выполшпотся.
Предложение 8.2.4. Решение {弘 0] задачи 2 единственно.
Доказательство этого предложения аналогично доказательству предложения 8.2.2.
Используя тот же метод, можно рассмотреть термоупругое тело, для которого на некоторой части Г$ границы задана нормальная (соотв .тангенциальная) компонента Sn (соотв. Sr) вектора напряж亜ия, a St (соотв. S») и тангенциальная (соотв.нормальная) компонента Ут (соотв. Fv) скорости связаны между собой субдифференциальным граничным условием, как, например» в случае граничных условий с тре-
нием. Наконец, что касается общего случая задачи 3, в которой фигурируют два вариационных неравенства (8.1.38, 39), то, по имеющимся у автора сведениям, вопрос о существовании решения остаётся пока открытым. Можно, конечно, и здесь сформулировать регуляризованную задачу, однако не удаётся получить результаты, аналогичные (8.2.14—17).
Другой класс вариационных неравенств, представляющий известный методический интерес, получается, если (8.1.13) заменить соотношением
qg = - ®£j修 €0(6') иа Г x (0, 7). (8.2.79)
Следует заметить, что в рамках теории линейной термоупругостиг предположение (8.2.79) не может быть обосновано. Очевидно, что соответствующую вариационную формулировку можно получить, заменив в неравенствах (8.1.29) или (8.1.30)夕-6 на 夕-6', а 孰6) на ®(6‘). Вопрос о существовании решения тоже остаётся открытым.
§ 8・3・ НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ
И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА
В заключите настоящей главы выведем некоторые общие ва｛жационные ий>авенства в предположении, что лин&ный закон утфугости и/или закон теплопроводности Фурье заменяются некоторым нелин^(ным законом, формулируемым с помощью суперпотенциалов. Таким образом, вместо (8.1.1) рассматривается закон
а = f — «(& —如)，где t = ｛勿｝ € Hw⑹'(8.3.1)
а вместо (8.1,6) — соотношение
彳€-必(grad 8),(8.3.2)
где w w R — выпуклые п.н.сн. собственные функционалы соответственно иа IR6 и IR3.
Сомнительно, чтобы соотношения (8.3.1) или (8.3.2) были приемлемы в рамках какой-либо содержательной физической те(фии. Например, соотношение (8.3.2) несовместимо с лин^ными связями между потоками и силами в термодинамике. Однако оба соотношения (8.3.1) и (8.3.2) могут быть использованы в ряде случае» при описании сильных физических нелин國Hocrdi типа скачков, которые часто возникают в технических задачах и которыми нельзя пренебречь после линеаризации.
Рассмотрим краевую задачу, определявшую соотношениями (8.1.2—5), (831—2), граничными условиями (8.1,14, 15) и начальными условиями (8.1.10—12). Предполагая, что все рассматриваемые функции являются достаточно гладкими, умножая (8.1.4) на и - где V = 0 иа Г, и используя теорему Грииа — Гаусса, получаем (формально) соотношшие
(&〃"，и - 〃)+ j 吨［砌⑻-句(〃)］加 一 G v - м) = j a^A^i -切)^ = 0.(8.3.3)
ог
Аналогично, умножая (8.1.5) на 夕一0 (где 夕=佣 на Г), принимая во внимание (8.1.2)
и используя снова теорему Грина — Гаусса, получим
(qcd0 ',夕—8) + Mz@w',夕—8) — J q心—8"加—(纟 W - 8) о
=—j Qit*p — P)MdT. (8.3.4) г.
Пусть/(0 € [七2(口)]3,幺⑺ € £2(0), V £ [加(0)『，夕 Е / =年 | w € H^fl), ^> = 0O иа Г). Тогда можно определить функционалы Н и 石 на [^(О)]3 и на HQ) соответственно, такие что { f w(£(y))dO, если w(£(u)) е £*(0),
К® = ] о(8.3.5)
/ оо в противном случае,
(J K(gradw)加，если /?(grad^>) € l^O), 石(w) = < о(8.3.6)
/ оо в противном случае.
Из соотношений (8.3.3,4), используя субдиффереициальные неравенства
Н(и) - Н")》j t^v) - eij(u))dQ vu € [^'(fl)]3,(8.3.7)
ПЗ - В®)扌-J qiiv.i - 9,i)dQ Vp € 硏П),(8.3.8)
0
получаем следующие вариационные неравенства:
(&〃"，V - м) + У】® - У1(м) + Mi(0 -佩 и - 〃)一 G и - 〃)》О
Vu 6 [Н1^)]3,(8.3.9)
{qcdQ1 , w 一8)+h(w)一修(夕)+恥仇*',3一8) -(gw 一伊)》0
V^€ H^.(8.3.10)
Таким образом, вариационная задача состоит в отыскании решения и: [0刀—[А1 (О)]3, 8: £0, Г] f % системы (8.3.9—10) с uf(t) W [А1 (О)]3, "(f) € [£2(О)]3 и 旷(г) € £2(0), удовлетворяющего начальным условиям (8.1.10—12). Если для линейного термоупругого тела условие (8.1.17) заменить голономным граничным условием на Fs
-S€d^(w),(8.3.11)
то краевая задача, определяемая соотношениями (8.1.8—13,16) и (8.3.11), приводит к следующ腼 вариационной задаче: найти и: 2, П-* "on = {" и€ 阳|(口)『，叨=Ui на Ги) и ^ € Н*(0) с и*(t) € [Я^О)]3, 〃》«) € fZ?(q)j3 и /«)g L2(0), удовлетворяющие вариационным неравенствам
(&*", V - и) + д(и, у - м) + Afi® - 0о, V - и) + 屮(и)-屮(〃)
》(4 u — м) + J м(夕一Но)® — Ui)njdT Vu € t/доп, (8.3.12) rs
(@cd^I w —夕)+ К(仇夕—夕)+ M2(8qU ',夕—夕)+ Ф(^) — Ф(^)
》(且夕一夕) V^€ Я1 (fl) (8.3.13)
и начальным условиям (8.1.10—12).
Предположим, далее, что вместо закона линейной упругости и закона Фурье выполняются соотиошгаия (8.3.1, 2). В этом случае неравенства (8.3.12, 13) заменяются неравенствами
(Q〃J V - м) + У1(у) - У1(〃)+ Mi(6 - 0о, V - й) + 干® -干(〃)
^ й V - и) + j m(/(d - &Q)(叨一Ui)njdT vy € t/доп» (8.3.14)
(Qc!)8',9一夕)+上2(3)一石(伊)+ A^(Pq"'，夕一夕)+孰3)一委(?)
》(且3一研\^々廿⑵.(8.3.15)
Если рассмотреть определяющее соотиошеине (8.3.1), но с
tedw(£f)(8.3.16)
и, кроме того, считать, что удовлетворяется граничное условие (8.1.7), то надо перейти к вариациям и - 〃', и соответствующие вариационные формулировки получаются из (8.3.9, 12, 14) просто заменой и иа
ПОЛУВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВАВ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ
Формулировка некоторых общих задач
В § 4.3, используя понятие обобщённого градиента, мы ввели невыпуклые суперпотенциалы и использовали их для изучения некоторых определяющих соотношений и граничных условий. В данном пункте будем считать, что граничные условия заданы с помощью невыпуклых суперпотенциалов, и сформулируем соответствующие полувариа- ционные неравенства. Прежде всего рассмотрим случай, когда (8.1.13) заменяется условием
qg = - lyOjni € дф(6) на Г х (0, Г],(8.4.1)
где $ — функционал на R со значениями на расширенной вещественной прямой R. Как и в примерах (ix) и (х) из п. 3.3.1, условие (8.4.1) может возникнуть, скажем, в задачах, связанных с явлением полупроницаемости, или задачах управления температурой с заданной немонотонной диаграммой [фл,, 6}. Далее, можно рассмотреть следующее условие во внутренних точках тела: предполагается, что
纟=纟1 + 0b(8.4.2)
где 例 является заданной величиной, а 2\ связано с 6 соотношением
-^€^/(0) в Ох [0, Л.(8.4.3)
где j — функционал на R со значениями в R Как и в случае (8.4.1), соотношение (8.4.3) может описывать условия полупроницаемости
или условия управления температурой во внутрешшх точках тела, имеющие немонотонный характер. Функции ф и Ji вообще говоря, не выпуклы и не дифференцируемы. Если они выпуклы, то соотношения (8.4.1, 3) становятся субдифференциальными и соответствуют монотонной зависимости между ⑦修 и 8 или между -乡 н 8 (см. [84]).
Граничное условие (8.1.17) также может быть заменено более общим условием
-Sw3±(优)на Г х [0, 7],(8.4.4)
где 土 一 функционал на IR3 со значениями в R.
Рассмотрим теперь краевую задачу, определяемую уравнениями (8.1.8—12) и граничными условиями (8.1.14) и (8.4.1). Заметим, что для кон&шого функционала 3(8) по определению выполняется неравенство
ф^(0,夕一8)》@修(夕 一 8)V夕 € R(8.4.5)
(см. (4.3.13)). Комбинируя (8.4.5) с (8.1.24, 25), придём к задаче, аналогичной задаче 1 п. 8.1.2, с той лишь разницей, что вариационное неравенство (8.1.29) заменяется на полувариационное неравенство вида
(Q5&',夕一6) + К(6,夕一6) + Aft(&o〃'，夕一6) + j 3'(仇夕 一 &Х/Г г
》(纟 夕一8) Vp W 7/i(R),(8.4.6)
в предположении, что интегралв предположении, что интеграл夕-8)rfT существует и коне-夕-8)rfT существует и коне-
в предположении, что интеграл
в предположении, что интеграл
夕-8)rfT существует и коне-
夕-8)rfT существует и коне-
гралгралчен. Можно поступить таким же образом и тогда, когда на Г выполняются классические граничные условия (8.1.14, 15), а в 8 х (0, 7) должны быть выполнены условия (8.4.2, 3). В этом случае, если инте-
грал
грал
夕-6)dR существует и кончен, может быть поставлена
следующая задача: найти и: [0, Г] 一 [/^(口建 и 8: [0, Т] т % с 〃'(/) W旧 1(0)]* u"(f)w [Z2(0)]3, 8'(/)€工2亩)，удовлетворяющие уравнению (8.1.28), неравенству
(qcd&‘，夕一8) + К(仇夕一8) + A^(0oMz,夕一6) + jj'(&,夕一9)dO
》(⑨，8一 0) Vp W %》(⑨，8一 0) Vp W %(8.4.7)(8.4.7)
》(⑨，8一 0) Vp W %
》(⑨，8一 0) Vp W %
(8.4.7)
(8.4.7)
и начальным условиям (8.1.10—12).
Пусть на Г выполняются граничные условия (8.4.1, 4) и интегралы 夕一6)Л\ [位(м‘，у - uf)dT существуют и конечны. Тогда
можно рассмотреть следующую задачу: найти и: [0, Т] -* (Н^й)]3 и 6: [0, T}^Hx(^cuf (Г) W [Т/1^)]3, 〃 " «) W 加((])и 6 В) w 丄々Ii), удовлетворяющие неравенствам
д〃"，〃一〃')+ q(必 〃一〃')+ №(6 - 0о, и — 〃')+ ]庐(〃‘，”-〃')” > (А у - и) + j f (6 - 6o)(〃i 一 Ui)rijdr V〃 € [T/^O)]3,(8.4.8)
г
(0“)6',夕一6)+ K(e,夕一6)+ A^(&)〃'，夕一6)+ j 3'(e,夕一емг г
》(且 夕-6) V^ W T/^O)(8.4.9)
и начальным условиям (8.1.10—12).
— Если во всех этих задачах функционалы $, / и ± липшицевы и d-регулярны, то можно определить функции Ф J и ^ по формулам
市®)= [3(8炉，/м=[丸8川优¥(")= [土3班.(8.4.10) гаг
В этом случае (см. предложение 4.3.1) члены, ответственные за односторонний характер вариационных соотношений (8.4.6—9), т. е. j $т(6,夕一G)M, [/(» 夕-6)dQ 0 т・ &, могут быть заменены на ГQ
Фт(0, р - 0),力(8,夕 一 8) и т. д. Легко доказать, что из (8.4.6) следует выполнение равенства (8.1.9) в смысле распределений на 0 и граничных условий (8.4.1) в следующей ослабленной форме:
承(6, W - 6)》(-SLyejni, w - 6〉r Vw € 川(0).(8.4.11)
Нетрудно дать и соответствующие вариационные формулировки задач для случая, когда в (8.3.1) и/или (8.3.2) w и К являются невыпуклыми суперпотенциалами._
В выпуклом случае каждой максимальной монотонной функции р: Rt 乡(R) отвечает выпуклый суперпотенциал f9 для которого имеет место (2.6.6). Аналогичный результат справедлив также и в невыпук* лом случае.
Пусть функция 8： R~* R такова, что для каждого ограниченного интервала I её сужение 8 | / принадлежит £°°(/). Для любых е > 0 и HR положим
瓦&) = ess inf 8(&),瓦⑸=ess sup /3(&),(8.4.12)
|8T|<eIb-fl <e
6(9 = lim 跳&), 8(6 = lim 瓦&).(8.4.13)
Существование последних пределов следует нз свойств монотонности 6@ и /Зе как функций от q; функции 6 и 3 являются соответственно п.н.сн. н п.н.св.
Теперь введём [347] многозначную функцию 8
伙9 =広(9, /301.(8.4.14)
Например, если 8 имеет в точке 与 конечный скачок н 8(与+) > 8(与一) (соотв. 8(与+) V 8(与一))，то
伙9 =也/一)，8(e+)] (соотв.刃收+), 8(与一)]),(8.4.15)
так как &收)=sup{/3&+), /3(^-)) н 灰9 = inf{/3(E+), 8收一)}・ Определим локально-липшицеву функцию J соотношением (см. (4.3.11))
^ + h + nz
7°(& z) =lim sup-f8(a)da.(8.4.16)
}0+出J
й-*0и»
Тогда 頭9 С /3(Э [37]. Если, кроме того, 8依士)существуют для каждого "К, то_
守也)=6(9.(8.4.17)
В следующем пункте мы опишем метод доказательства существования решения для полуварнационных неравенств, основанный на некоторой процедуре регуляризации. Этот метод иллюстрируется на примере простого статического полувариационного неравенства, получающегося нз (8.4.7) в предположении о независимости упругих деформаций н термических эффектов. Кроме того, мы примем для простоты, что 0о = 0 на Г.
Один результат о существовании решениядля полувариационного неравенства (модельная задача)
Рассмотрим следующую задачу:
Задача 1. Для 例 w £2(й) найтн 6 € 方七口), удовлетворяющее неравенству
К(仇夕一6)+ ^7(0, 9 T)d£l〉®, 8-6) VpW 犷(I2)・(8.4.18)
Здесь j удовлетворяет (8.4.17), а & задается соотношением (8.4.14).
К неравенству (8.4.18) применяется следующий метод регуляризации. Пусть функция pw必(一1, +1) неотрицательна н такова, что
j p(RdE = 1. Положим для £ > 0
и введём свёртку
仇=ре*В・(8.4.19)
Функции 仇 € C°°(R) — это регуляризации функции 仇 Регуляризованная задача формулируется так:
Задача 1е. Для ^ € £2(Й) найти 0£ € ^(Й), такое что
к(%, 8)+ ©£(%)，⑴=(图，⑴ VpW 加(口)・(8.4.20)
Справедлив следующий результат:
Предложение 8.4.1. Пусть для некоторого 与
ess sup 8(6 W Q W ess inf 6(9・(8.4.21)
(-8, T)«о
Тогда задача 1 имеет по крайней мере одно решение.
Доказательство. Рассмотрим какой-нибудь базис Галёркина, и пусть Vn —— соответствующие л-мерные подпространства. Можно считать, что 匕 U 加(口)介工8(口)(нбо ^(й) А£°°(й) плотно в 加(口))・ Рассмотрим задачу: найти %〃 € %, такое что
К(&п, з) + (0£(?£п)> з)=(纟ь 夕)Vp W Kt- (8.4.22)
Эта конечномерная задача имеет решение, в чём легко убедиться, применив теорему Брауэра о неподвижной точке 1. Для этого захшшем (8.4.22) в виде
(Т(&〃，з) = 0 ▼夕 W %(8.4.23)
где Г: %-* Vn- Можно подобрать такие положительные числа qi и 02, что (см. (8.4.21))
'Эта теорема утверждает, что если Л — ограниченное выпуклое открытое подмио* жество в 胃 и функция Т: А А непрерывна, то Т имеет по крайней мере одну неподвижную точку в Л [153]. С помощью этой теоремы можно показать, что если функция Г: R" f 胃 непрерывна и такова, что для некоторого г > 0
(TG))内》0vx€ IR", \х\ = г,
то существует точка ль с |лъ| W г, такая что №0 = 0 (см., например, [182]).
2 wk仇仇仇2 wk仇仇仇(8.4.24)(8.4.24)
2 wk
仇仇仇
2 wk
仇仇仇
(8.4.24)
(8.4.24)
Отсюда следует, что
(仇(6融)，&Q = j &(6融)&几4。 jBa也n)^£Ttdq
IM-*)l>ei|^^)l^ei
》—QiQ2 1al.(8.4.25)
Используя тот факт, что форма К® 夕)коэрцитивна на Я1 (8), можно показать, что
(Т(&П), бел)》С1Н0€Л111 — QII&/1 — Сз,(8.4.26)
где о, С2, сз — положительные константы. Поэтому найдётся такое г > 0, что (Г(优 J беп) > 0 при Н0£ЛН1 = г. Следовательно, найдётся 0ел： ll^enlli W Л для которого Т(6ЕП) = 0, т. е. уравнение (8.4.22) имеет решение. Поскольку последовательность [веп] ограничена в У/1 (8), из неё можно выделить подпоследовательность, которую снова обозначим {6切}, такую что при е 0,打
&пт& слабо в 庁(R)(8.4.27)
и (см. (1.3.53))
&几 т 6 сильно в 工2(口)，(8.4.28)
а значит,
%几 т 6 п.в. в 8.(8.4.29)
Покажем теперь, что последовательность {&(&“)} относительно слабо ^компактна в Z^O). Это эквивалентно утверждению: для каждого g > 0 существует 6 > 0, такое что если w С й и | з | V & то j I /?£(беп) I tZfi ^ g (см. [91]). Для доказательства воспользуемся сле- датощей оценкой для j | 0еп0е(0еп) I dQ [347]:
J I 筛仇(&”)I С® = j 似氏(6e”)d0 + j I 6“仇”)I dQ
О|««(x)[>eiWMxhs
W (员也切)，仇“)+2j I 9еп0е(9еп) I dfi
|%(X)|《S
=(①,%n) - K(&n, бел)+ 2j I 6切&(6切)I dll
IM^Kei
W c + 2qiQ2 I 口 I •(8.4.30)
Выберем а, такое что с + 2qiQ2 | ^ | < а^/2 для всех % с, а затем 6, такое что
ess sup I %) Y 笹•(8.4.31)
Тогда при I з I < 3
j I 仇(仇Ar) I dP《^ j I 仇〃仇(仇〃)I d^ +j sup I 仇(仇〃)I d°
33з|%〃(х)| 炙 a
《丄［I 仇撒(仇力 I dii + b ess sup I 6&) |W “.(8.4.32)
a J|?|<a+l
Тем самым установлена относительная слабая компактность последовательности {^£(0£л)} в 1?(Р). Поэтому у неё найдётся подпоследовательность, для которой мы сохраним то же обозначение, такая что при 2To и л т 8
仇(仇〃)тх слабо в Z?(R).(8.4.33)
Учитывая, что 匕 U L°°(R)C 直〔(R), мы можем перейти к пределу и, используя свойство плотности галёркинских аппроксимаций, получить ^, 8)+(X, 8)=(乡，8)Vg£ 足出)，(8.4.34)
где xWL*R)C“t(R)・ Ддд завершения доказательства надо показать, что—
犬£淑。)п.в. в R.(8.4.35)
Из (8.4.29) следует, что для любого у > 0 можно выбрать ы С О с I з I V * такое что
仇〃 т0 равномерно в О\ы,(8.4.36)
ess inf 8(E) W &(%〃)*)) W ess sup 8(E).住一仇£х)|<£|€-0сл(аг)|<£ess inf 8(E) W &(%〃)*)) W ess sup 8(E).住一仇£х)|<£|€-0сл(аг)|<£причём 6 £ £8((2 \з). Поэтому для любого @ > 0 можно указать такие по > 2/@ и £о < @/2, что при л > /^)и с < £о для любого х £ Р \ з выполняется неравенство
ess inf 8(E) W &(%〃)*)) W ess sup 8(E).
住一仇£х)|<£|€-0сл(аг)|<£
ess inf 8(E) W &(%〃)*)) W ess sup 8(E).
住一仇£х)|<£|€-0сл(аг)|<£
1 &"(х) - 6(х) 1 < е/2.
(8.4.37)
Поскольку
仇心）=
f 6(Е - f)n(f)力 w ess sup 8(E - о
-£W<e
(8.4.38)
и аналогично
ess inf 8(E - f) W 6e(e, ki<£
(8.4.39)
то
(8.4.40)
Из (8.4.37) и (8.4.40) следует, что при £ < £о и л > /1о
瓦(仇х)) = ess inf 8(F)《仇(仇〃(X))|Kx)|Vq
《ess sup 8(F)=瓦(6仇))・(8.4.41)
Для любой п.в. неотрицательной функции е££8(а\з)
J 瓦(6)任加《J 仇(仇QedO《j 鳥(6)есЮ.(8.4.42)
fl\wfl\wfl\w
Переходя к пределу при 2 T 0, л -► со, получим
j 瓦(6)edO《j xedO《j 机(6)edfi. (8.4.43) 0\з(1\зС\з
В силу произвольности е, переходя в (8.4.43) к пределу при g -► 0, по теореме Лебега получим
6®) 4х《G(&) п.в. в 0\ы.(8.4.44)
Поскольку 7 может быть выбрано сколь угодно малым, отсюда и из (8.4.14, 17) вытекает (8.4.35). □
Решающий момент доказательства —— установление относительной слабой компактности последовательности {8£(&б〃)}. Подчеркнём отличие проведённого доказательства от аналогичных доказательств для случая вариационных неравенств, где, ввиду имеющейся выпуклости, можно использовать соображения монотонности.
ГЛАВА 9
Вариационные неравенства в теориипластичности и вязкопластичности
В этой главе изучаются краевые задачи, возникающие во-первых, в геометрически линейной теории упруго-вязко-пластичных и упруго- идеально-пластичных тел и, во-вторых, в теории жестко-вязкопластических течений. Мы формулируем эти задачи с помощью вариационных неравенств, а затем обсуждаем вопросы существования и единственности их решений.
При написании главы были использованы, в частности, следующие работы: Джонсон [155], Мэттиз, Стренг и Кристиансен [200], Темам и Стренг [313], Сюке [305—307], Дюво [89], Дюво и Лионс [82; 84; 86], Анцеллотти и Джаквинта [5], Мосолов и Мясников [217].
УПРУГО-ВЯЗКОПЛАСТИЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Постановка динамической задачи.Существование и единственность решения
В этом пункте изучается динамическое поведение упруго-вязкопластичного тела. Предполагается, что в недеформированном состоянии тело занимает открытое ограниченное связное подмножество О пространства IR3 с регулярной границей Г. Как обычно, точки х = (>5)€ О отнесены к фиксированной системе декартовых координат. В предположении о малости перемещений и их градиентов поведение упруго-вязко-пластичного тела постоянной плотности q определяется следующими уравнениями:
QUi = ffyj + 方В
а х(о, л.
(9.1.1)
£" = ^ Зв + 睇)в
П X (0, Г),
(9.1.2)
/，Е , tVP
£U = £(/ + 切в
П х (0, Г),
(9.1.3)
где (см. (3.3.113))
£‘" = со', с = ｛Cijhk｝>(9.1.4)
£/ГР(х, t)^dJ^. с(х, 0)» 代 > 0, х = ｛х,) € П, ^ [0, 7]. (9.1.5)
В этих соотношениях штрих обозначает частную производную по времени, а = ｛哂(соотв. с = ｛喇一тензор напряжений (соотв. деформаций), 〃 =i〃i) — вектор перемещений, /= ｛方｝，方=方(乂 0> — вектор объёмных сил. Тензор Гука с = (c^h c^hk € Z°°(0) (/, j, h, к = 1, 2, 3), связывающий скорость упругих деформаций z,E со скоростью изменения напряженийудовлетворяет условиям симметричности и эллиптичности (3.3.61а, Ь). Суперпотенциальное соотношение (9.1.5) для тензора скоростей вязко-пластической деформации £‘" является обобщением соотношения (3.3.113). Действительно, по предположению суперпотенциал 4 является функцией от х, что позволяет рассматривать неоднородные материалы. Для каждого х суперпотенциал 4 является выпуклой дифференцируемой функцией от о. Предположим, что Г состоит из двух непустых частей Г*и и Гг, на которых обращаются в нуль соответственно перемещения и силы:
场=0 наГи х(0,Т),(9.1.6)
Si =叩 可=0 наГУ х(0,Т).(9.1.7)
При f = 0 выполняются начальные условия
〃i = ио; вR,(9.1.8)
〃/ = 〃н вО,(9.1.9)
叩=g廿 вО,(9.1.10)
где Uo, 〃i, оо зависят только от х и на Г удовлетворяют граничным условиям (9.1.6, 7). Далее, пусть оо удовлетворяет уравнению равновесия
оо 山=0(9.1.11)
(мы считаем, что 方(0) = 0 при t = 0). Пусть при f = 0 тело деформируется упруго и в нём могут иметься начальные деформации, т. е. возможно, что
сао М £(№))•(9.1.12)
Будем считать, что тензоры напряжений принадлежат пространству Н (см. (1.4.32)), и пусть
(ст,力=J 叩TijdQ и Пай2 二 j ffyffydO(9.1.13)
——скалярное произведение и норма в Н. Далее, введем множества % = {т\т^.Н9 Tjjj € L2(0), Tij/ij = 0 на Гг, i, J = 1, 2, 3), (9.1.14) Uo = [u\ue[L2(Q)y9£ij(u)£H,^ = 0 на Ги9 力丿=L 2, 3}.(9.1.15)
Для каждого 〃 W %, где
% = {и\и W 附(R)]3,〃 = 0 на F。},
и для каждого т€ Ео справедлива формула Грина ——Гаусса
J 自£"(〃)dR + j UiT^jdQ = 0.(9.1.16)
Динамическая задача для упруго-вязко-пластичных тел ставится так: Задача 1. Найти с： [0, 7]-► Ео и и: [0, 7]-► “, удовлетворяющие уравнениям (9.1.1—5) и начальным условиям (9.1.8—10). Предполагается, что /€ Wlt2(0T, [£2(О)]3), Uq, Ui^Vo и аоеН.
Докажем следующий результат:
Предложение 9.1.1. Задача 1 имеет единственное решение (а, и), обла
дающее следующими свойствами:
aeAC^fOT, Н),(9.1.17)
о'€ 丄ед% 切，(9.1.18)
и^АС2^Т, [£2(Й)]3),(9.1.19)
и'^AClx(QT, [£2(О)]3),(9.1.20)
u"^Ln^T, [£2(Й)]3).(9.1.21)
Доказательство, (а). Дискретизуем задачу 1 по Л Разобьём временной интервал [0, 7] на ^ подынтервалов точками t^ = пка л = 0, 1, N, к — T/N、и введём обозначения
v = u\ "5)= "(№)),*)Н次产)，
。g=。("))，厂二加⑺)，亚出={cUhko^}9
Da(n) = [ff^)j, Dt=(7v,j}, (DW), w) = j a^WjdQ.
Определим W+ ° € Eo и v(n + ° € ГЪ с помощью рекуррентных соотношений
c( J” + ° - W)) + к 尊(山 + °) = ke(vin + °),(9.1.22)
”(” +1) - qvw = kDdn + D + V<" + °,(9.1.23)
『°)= сто, #)= i/i.(9.1.24)
Для т? > 0 рассмотрим ^-регуляризацию задачи 1 ——вариационную систему
(с(/” + 1)- 4°) + 左薔 G” + D), 7)+ 沢。源+办，07)
=k(e(v^ + \ г) v“Co, (9.1.25) (e(t^n+1) - e^n)) - ^n+1) - a/"+d, w)
+ 沢£(吟"+ °), £(w)) = 0 vw€ % (9.1.26) (ojn + 1) € Eo, u，+ "wK)). Для каждого 刀 >0 она имеет решение в & х
Положив т = 4" + D в (9.1.25) и w =咅"+ ° в (9.1.26), получим (喈+D, 4”+D)+ 2产叱 + 左(若諸+。)，。产)+el^n+1)li
+ 4ll£(^n + 1))ll = (qv^ + A/” + D,霄+ D) + (coT，of + D). (9.1.27)
Принимая во внимание монотонность отображения о, +" -» (弘/询(。产) и неравенство
j【4(客 + °) - 4(0)]<^>(若間”)，。/")，(9L28)
заключаем, что
ll《” + D|Yc, I霄+。|2 Wc, j J^ + l))dQ C c, (9.1.29)
где с > 0 ——константа. Отсюда следует, что
I严0客+师Г(и + 1)Поэтому существуют опри 刀 т ОI严0客+师Г(и + 1)Поэтому существуют опри 刀 т О强（“。）卜С，(9.1.30)WC, 1 严£〃” + D)|Wc.(9.1.31)wh, и(п+1)е[£2(й)]3 и фен,такие чтоf <х(я + 1) слабо в Н,(9.1.32)т v(n + 1) слабо в [£2(Й)]3,(9.1.33)т Wслабо в Н.(9.1.34)强（“。）卜С，(9.1.30)WC, 1 严£〃” + D)|Wc.(9.1.31)wh, и(п+1)е[£2(й)]3 и фен,такие чтоf <х(я + 1) слабо в Н,(9.1.32)т v(n + 1) слабо в [£2(Й)]3,(9.1.33)т Wслабо в Н.(9.1.34)
I严0客+师
Г(и + 1)
Поэтому существуют о
при 刀 т О
I严0客+师
Г(и + 1)
Поэтому существуют о
при 刀 т О
强（“。）卜С，
(9.1.30)
WC, 1 严£〃” + D)|Wc.
(9.1.31)
wh, и(п+1)е[£2(й)]3 и фен,
такие что
f <х(я + 1) слабо в Н,
(9.1.32)
т v(n + 1) слабо в [£2(Й)]3,
(9.1.33)
т Wслабо в Н.
(9.1.34)
强（“。）卜С，
(9.1.30)
WC, 1 严£〃” + D)|Wc.
(9.1.31)
wh, и(п+1)е[£2(й)]3 и фен,
такие что
f <х(я + 1) слабо в Н,
(9.1.32)
т v(n + 1) слабо в [£2(Й)]3,
(9.1.33)
т Wслабо в Н.
(9.1.34)
Теперь перейдем в (9.1.25, 26) к пределу при q т 0・ Заметим, что
Иш 同严+ ") = 0 в Н.(9.1.35)
Действительно,
(9.1.36)(9.1.36)м€(雪+ "))=产(雪+ ")(产住储+ D"),
(9.1.36)
(9.1.36)
5 一 I® 谭+")11 *
Следовательно, последовательность {響 *"} ограничена. Поэтому (9.1.36) совместно со вторым из неравенств (9.1.31) даёт (9.1.35). Из (9.1.25, 26) следует (устремляем 刀 к 0), что а(п + 1), у(л + 1> и 屮 удовлетворяют уравнениям
c(W + D - о⑺)+ kW = ke(v{n + i\(9.1.37)
@(^5+1)— t/“)一 ££>(/"+ D - y(" + D = 0(9.1.38)
в смысле 0(0). Значит,
£(#+】))wH, 0小 + 1)€ 忆2®)]3.
Применяя теорему Грина — Гаусса, получаем равенство
(i^n + 1), Dr) + (е(^п+1)), т) = 0 VrCEo, (9.1.39) из которого вытекает (при 刀 т 0), что
(声+ D, 0力 +(£(# + 1)), r) = 0 VrCEo， (9.1.40)
Таким образом, и(п + 1) = 0 п.в. на Ги и потому # + ° € %. С помощью аналогичных рассуждений устанавливается, что а(п +1} € Ео.
Наконец, стандартное рассуждение с использованием свойства монотонности (см. доказательство формулы (5.4.77)) показывает, что
”4L(W + i)).(9.1.41)
Тем самым доказано существование решения дискретизованной задачи.
Чтобы исследовать поведение решения (g(" + d» &s + d)дискретизованной задачи при ^-> ℃ (где N ——число подынтервалов, на которые разбивается интервал [0, 7]), рассмотрим соответствующие кусочно-линейные функции £8(от, //) и VNeL^iOT, [L2(O)]3), которые линейно зависят от времени внутри каждого из подынтервалов разбиения
МО =产 + « -/^ (W+ 1)-产)Vf € [tM, Л" + 珏，(9.1.42)
МО = vw + « -J” (v(n + 1) - №) Vf € F"), /(" +1)].(9.1.43)
Как уже было доказано, </" + “ и г/" + » удовлетворяют вариационным неравенствам
(с(『” + 1)-。⑺)+ 左孕(山 + °), 7)= k(e(v^n + °), 7) VreEo, (9.1.44) CIO
(q(W + D -開)-切山 + D - к严，w) = 0 2W %・(9.1.45)
Полагая т = а(п + °, w = t?S+D и суммируя по л € {1, …，w - 1), получим
У (缈(叫。的)+ 1 q\v^ с С,(9.1.46)
откуда следует, что
IIqnII С с, |関2 С с.(9.1.47)
Теперь запишем (9.1.44) для t = пк и t = (п + 1)к и вычтем друг из друга полученные вариационные равенства. Проделав аналогичную процедуру и для (9.1.45), придём к равенствам
(С(О(” + 2)- 2о("+ I)+ J” + 化(驚(W + 2))-筝(W + D))
-在(i/” + 2)— v<" +1)), 7)= 0 Vr € Ео, (9.1.48)
(e(v(" + 2)_ 2# + 1)+ Vм)-左(£></” + 2)+f” + 2)
-Dff(n + 1)-/n + 1)), w) = 0Vw€%.(9.1.49)
Далее, положим 丁 =。” + “ - </" +】)и w = v(n + 2) - v(n + n и воспользуемся соотношениями
(C『" + 2)- 2cW+D + cJ?山 + 2) _ а(и + 1>)
=1 (cge + 2)— а<" +1)), 9(” + 2)—。(” + 1)))
-I(c(J” + D -收)，g(” + i)-。⑺))
+ ； (c(W + 2) - 2。(" + 1)+『"))，(。(" + 2)- 2J” T)+。(%)，(9.1.50)
(或(" + 2) _ 2qi/" + d + "⑺，u(" + 2)_ 扒” + 1))
=具|# + 2)_ # +叱一具1*+D _ 。(叱
+ I 山# + 2)_ 2v(n + 1) + #号.(9.1.51) Разделив (9.1.50—51) на к1 и просуммировав по к W {0, 1, ..., т - 1} получающиеся уравнения, найдём, что
W …(9.1.52) n = 0""
Применяя известную лемму Гронуолла в дискретной форме, заключаем, что
llogll С с, |阕2 С с.(9.1.53)
Таким образом, последовательность {心} ограничена в L°°(07\ Я), а последовательность {明一в L°°(0T, [L2(O)]3). В силу полученных оценок и уравнений (9.1.44, 45), последовательность
(9Л.54)
ограничена в L°°(0T). Из непрерывности dJJdu следует, что последовательность
(9.1.55)
ограничена в L^iQT, Я). Поэтому из последовательностей {wj и {и*} можно выбрать подпоследовательности, которые мы будем обозначать теми же символами, такие что
г?№> v, v&t v‘*-слабовL°°(0T,[L2(D)]3),(9.1.56)
ont。，％т/•-слабов丄8(0厶Н),(9.1.57)
-^- 9n) т W-слабовГ°(07；Я).(9.1.58)
Таким образом, существуюта € И4产(ОТ, Н), uw И4产(0厶[L2(O)]3) и
V W 丄8(0厶 Н), удовлетворяющие соотношениям
djhkOhk + 土炉=£у(у)>(9.1.59)
QS‘- Gg =扭(9.L60)
Из (9.1.42—45) вытекают неравенства
IIe®n)II С с, \Don\z С с.(9.1.61)
Далее, можно проверить, что о» и 加 удовлетворяют граничным условиям на Г^ и Ги соответственно. Значит, а € £°°(07^ Ео) и f WL^OZ %) (см. доказательство того факта, что г/" + 】)w % и </" + 】)W Ео). Легко установить, что о и и также удовлетворяют начальным условиям. Остается показать, что
V =學(а). (9.1.62)
Справедливость этого соотношения можно доказать, используя свойство монотонности. Для этого достаточно установить неравенство
i (备7i (备7г — о)由》0г — о)由》0Vr€L°°(0T, Я).Vr€L°°(0T, Я).(9.1.63)(9.1.63)
i (备7
i (备7
г — о)由》0
г — о)由》0
Vr€L°°(0T, Я).
Vr€L°°(0T, Я).
(9.1.63)
(9.1.63)
Сделать это нетрудно: следует начать с соответствующего дискретного неравенства и затем перейти к пределу при N— 8. Из (9.1.56, 57) и теоремы о непрерывности, приведённой в конце п. 1.4.1, получаем (9.1.19—21).
Наконец, докажем единственность решения. Пусть (s, 〃i) и (火, W2)— два решения задачи 1. Из (9.1.59, 60, 62) следует, что для лю-
3)一曾⑺,7)3)一曾⑺,7)бых т W Ео и w W %
3)一曾⑺,7)
3)一曾⑺,7)
(СО； - с) 7)+(Q(川-吩，w) +
+ (fi - V2, Dt) + (s -。2, £(w)) = 0.(9.1.64)
Подставляя в (9.1.64) т = s - &, w = s - 艺 и используя (9.1.16) и монотонность @JJdu)9), получим
(с(о； - £), 01 - %) +(Q(久-и) V1 - V2)с 0.(9.1.65)
При f = 0 имеем
(9.1.66)(9.1.66)内(0) -02(0) = 0, vi (0) - Vz(O) = 0.
(9.1.66)
(9.1.66)
Из (9.1.65, 66) следует, что аг- аг = 0, Vi - Vz = 0, а это и означает единственность решения. □
Предложение 9.1.1 справедливо и при более общих предположениях.
Во-первых, можно считать, что граничные условия на Г*и и на ГУ неоднородны,
〃i = U на IY х (О, Т),(9.1.67)
S = Oijnj = Ft на Ff х (О, Т).(9.1.68)
В этом случае введём новые неизвестные функции v-v~i^na = a-a09 где у0 и а° удовлетворяют граничным условиям (9.1.67, 68) и начальным условиям (9.1.8——10). Функции у и а удовлетворяют однородным граничным и начальным условиям, а также полевым уравнениям
CijhkOhk + ^^ (ff + ff°) I - £炉旧)=g(/ в 0 x (О, Т),(9.1.69)
L da J у
q%- ffyj = Л,в 0 x (О, Т),(9.1.70)
где
gij =切(#) - CijhkOhk, Л/ = / - Q(u?)' + 码j・(9.1.71)
Что касается регулярности функций g и Л, то можно предположить, например, что g, g，W L2(07；切，Л, Л7 € 1?(0元[L2(O)]3). Разумно рассматривать пару (v°, J) как решение соответствующей чисто упругой задачи (достаточно регулярной).
Можно также считать, что вместо (9.1.5) выполнено включение
£，%(#, f) W HJ(x,厶(т(х /)),(9.1.72)
где J — выпуклая неотрицательная конечная функция от。для любых фиксированных ^ € [О, Т], х € О, и измеримая функция от х и / для каждого фиксированного о. Таким образом, J удовлетворяет стандартным условиям теории интервалов от выпуклых функций (см. п. 3.3.4. и [287]). Пусть соотношение (4.3.48) выполняется для пары [Ф, J] как равенство, а функционал Ф, заданный для 丁 W Н, формулой
/亿 7) = j "X■，力伞，?)開，(9.1.73)
является выпуклым, п.н. сн. и конечным при почти всех /. Обозначим область определения Ф в Н через Н; Ф служит продолжением J на Н. Очевидно, что для J = 4 мьг имеем Й = Н. Предположим, что Н, снабжённое нормой 11-11^, является рефлексивным банаховым пространством, вложенным в Н. Кроме того, пусть 25 = {т]т = (ту), 用-%, 7(/ € D(R)} плотно в 后 в сильной топологии, и пусть Еч С Н (вложение), q W 3, где £，= (т|т € (/у), тН L°(R), ту = Tji}. Обозначим через Й' пространство, сопряжён* ное к //, а через (% т) — соответствующую каноническую билинейную форму (см. (9.1.13)). Введем теперь множества
Едоп = {т|т € At Tijj € Z<3(0), 丁廿引=&на Ff),(9.1.74)
%<» = |u|u w [L3/2(O)]3,瞋后‘，m = Ui на IM,(9.1.75)
匕on = {y|y€[L3/2(n)]3, e0 €^\ S = и/ на Г^),(9.1.76)
Оо = {u\u W 也*2(n)]3,印 w 卢,，M/ = о на Ги).(9.1.77)
Очевидно, что соотношение (9.1.16) удовлетворяется для каждого v ^ Uo и каждого т € £о, где
Ёо = {т|т € Й, Tijj € £3(П),冲芍=0 на Ff),
и так как La С Я С Я, то граничные условия определены корректно7. Примем следующие предположения относительно 6：
каждая последовательность {阪)€ Й, ограниченная в // и такая, что Ф(厶 ％) < с, тоже ограничена в Й;
d^/da является непрерывным оператором нз А в &' в том смысле, что существует функция г € C°(R, R) г(0) = 0, такая что
I
d® ,、 d® II
—-(и) -(гг) W Г(Е - п Лй)；(9.1.78)
d©(h, т)d©(h, т)для т£ Н операторы 6(厶 т) и d6", т)Л/т удовлетворяют условию
d©(h, т)
d©(h, т)
不——卓+庠"'力-重"' "
4 С1|Л -力|停(d т) + ex). (9.1.79)
Наконец, можно считать, что тензор упругих констант зависит от времени:
су** 6 М"(0Т, L~(n)) (/, Л Л, Л = 1, 2, 3)(9.1.80)
ИИИИи удовлетворяет, помимо условий симметричности и эллиптичности, неравенству
ИИ
ИИ
< сЫ Ут€Я,(9.1.81)
где с > 0 — константа, а = 0, 1, 2.
Введение зависимости тензора упругих констант с и/или суперпотенциала диссипации J от / позволяет рассмотреть и более сложные эффекты, например зависимость с и J от температуры, при условии что последняя считается известной функцией времени. Предположения (i)—(iii) относительно Ф не являются ограничительными; например, если имеет место (3.3.110), a g и 从 являются липшицевыми функциями от 力 то неравенства (9.1.78) и (9.1.79) выполняются. При постановке краевой задачи могут быть использованы любые комбинации условий (А)——(С). Обсудим кратко самый общий случай, когда сочетаются все три условия. Мы приходим тогда к следующей краевой задаче:
Задача 2. Найти а: [0, Т] т ЕдОП и 〃 ； [0, Т] т 4оп, удовлетворяющие уравнению (9.1.1) (с) /€ 仍2(0 Tt [Г3(П)]3))> соотношению
(cy^t^Y + (史泊L)_ =句(“，)(9.1.82)
и начальным условиям (9.1.8—10), где «о € UaOnt 以i € /<ж и оо € Едоп.
Скажем, можно считать, что Fi € Г2(0Г, 1(Г»)；仆咖 С |Г,,3/2(О), поскольку X =[叫询 € £Р(П), £"Q) € "(П)V/, J€ 1, 2, 3) = %1中(口)，р > 1 [306]. Теорема о следе
для %1，з/2(п) позволяет описать возможное пространство функций (Л.
Эта задача может быть изучена тем же методом, что и задача 1, и справедлив следующий результат:
Предложение 9.1.2. Задача 2 имеет единственное решение, обладающее свойствами а € ЛС1 "(ОТ, Н)П£~(ОТ, Й),(9.1.83)
а' е£~(0Т, Н),(9.1.84)
и е ЛС2 "(ОТ, [D(O)]3),(9.1.85)
V е АС'-°°(()Т, [£2(а)]3),(9.1.86)
vz €L~(OT, [Ь2(О)]3).(9.1.87)
Доказательство аналогично доказательству предложения 9.1.1 (см. также [307]). Здесь мы лишь наметим основные различия; в качестве упражнения читатель может сам провести полное доказательство. Вводя функции а° и м°, сводим задачу к однородной. Определяем новый функционал Ф, полагая ◎(力 а) = ◎(力 а + а0). Регуляризованная форма дискретизованной по времени задачи незначительно отличается от (9.1.26): теперь вместо членов 刀(£(《" + “)，c(w)) используются члены ч<^(^л + °), c(w)>. Здесь Й，т Й — оператор, удовлетворяющий условиям
Ой, £> = КсК^ = lUfeU%(9.1.88)
{^(ас) = а^(£) Va € IR(9.1.89)
для всех £ €*'. Он называется отображением двойственности для пространств Н и Н'. Далее, мы определяем выпуклый функционал ®м」опагая на каждом временном подынтервале, скажем для / € [/(л\ /(л + °], ®М『，力=Ф(/л, т).
Квазистатическая задача
В этом пункте изучается квазистатическая задача, соответствующая задаче 1. Она формулируется следующим образом:
Задача 3. Найти w: [0, Т\^ Uq и。： [0, Т]Со, удовлетворяющие уравнениям
<Ш啖 + (案 9)) и = £心'),(9.1.90)
Oijj +力=0(9.1.91)
и начальным условиям (9.1.8, 10).
Вначале мы докажем существование и единственность решения, а затем исследуем поведение решения динамической задачи при @ -> 0. Будет показано» что в случае отсутствия начальных деформаций при ^ = 0 (т.е. в случае, когда выполняется соотношение (9.1.12) со знаком равенства) решение задачи 1 стремится при g -► 0 к решению задачи 3. Имеет место следующий результат:
Предложение 9.1.3. Квазистатическая задача имеет единственное решение (а, м), обладающее свойствами
о = /ЛОТ, Н),(9.1.92)
оУГ°(07； 77),(9.1.93)
V € 丄8(07,[丄2(0)]3)(9.1.94)
Доказательство. Используем процедурудискретизации по времени,
примененную при доказательстве предложения 9.1.1. Введём множества
£«) = {т|т€Ео,力方 + £ = 0 в 0},(9.1.95)
£о = {т\т € Ео, Tyj = 0 в □).(9.1.96)
Дискретизованная задача формулируется так: для заданных (。(叱 и^} найти с/"*%% и w(n + ° € Uo, такие что
с(а(л+1)-户)+ к (</” + °) = е(м(л + °) - e(w(n)),(9.1.97)
。鹏+D + у(…=0.(9.1.98)
Существует единственное о(“+» (см. предложение 2.2.1), минимизирующее на E(f(“ + D)функционал
尸(7)= ^(С7, 7)- (СО00, 7)+ 左％(7)+ (仪“⑺)，7).(9.1.99)
Легко видеть, что (см. предложение 2.2.2)
е(” + D = cJ” + D - со(")+ к ++ £(м(л))(9.1.100)
удовлетворяет вариационному неравенству
(e(” + i), 7 _ J” + i))》о V7eE(f("+D),(9.1.101)
и поэтому
(e(〃+D, 丁)= о ут€Ёо.(9ЛЛ02)
Следовательно,
е("1)е(Ёо)丄.(9.1.103)
Положим
% = {е\е = {ву},电=今，ву€A2(Q),
существует 〃€ 5, такое что 旬=&>(%)}(9.1.104)
и покажем, что—
(Ёо)丄=(9.1.105)
Очевидао, %U(Eo)丄.Докажем, что (Ео)丄 U %, или, что то же, Н^С Ео. Пусть т^Н^ Тогда
(£(〃)，т) = 0 VU € Uq.(9.1.106)
С учётом (9.1.106) теорема Грина — Гаусса даёт
j TijjUidQ = <у(т), у(〃)〉 kuwUq,(9.1.107)
и поэтому для ueUo = {〃|〃€ Вь и = 0 на Г}
j TijjUidQ = 0 v«€U =曲'(О)]3.(9.1.108)
Снова используя теорему Грина ——Гаусса, получаем
<у(т), у®)〉= 0 VW€ U.(9.1.109)
Из (9.1.108, 109) вытекает, что т€ Ео. Тем самым равенство (9.1.105) доказано.
Таким образом, e(“ + D является тензором деформаций, отвечающим полю перемещений 〃(“ + »€ U&. Далее доказательство проводится буквально так же, как в случае предложения 9.1.1□
Предложение 9.1.4. Предположим, что выполнено условие (9.1.12) со знаком равенства. Обозначим через (%, 〃&) решение динамической задачи (задачи 1) для заданного @. Тогда при @->0
% T0
сильно
в
С°(0Т,
切，
(9.1.110)
06 T 0，
*-слабо
в
£°°(0Т,
切，
(9.1.111)
UQ^ U
*-слабо
в
1Л(0 Т,
[丄 2(О)]3),
(9.1.112)
Uq = Vq -^ V = Uf
*-слабо
в
Г°(0Т,
[丄 2(0)]3,
(9.1.113)
Доказательство проводится так же, как во всех случаях использования процедуры регуляризации для динамических вариационных неравенств, поэтому мы лишь наметим основные этапы доказательства и результаты каждого этапа. В вариационной постановке задача 1 имеет такой вид: найти о： [0, Т]т Ео и 〃 ： [0, Т]^ Uo, удовлетворяющие начальным условиям (9.1.8—10) и вариационным равенствам
(с。' + 籌(а) - £(и), 丁) = 0Vt€Eo,(9.1.114)
(Qvf - Da - f9 w) = 0Vw€ U.(9.1.115)
Запишем уравнения (9.1.114—115) для функций % и %. Интегрируя от О до Г и используя лемму Гронуолла, получим
llaell W c, |e1/2ve|2 W c, j j 4(%)dRdf W c.
(9.1.116)
о 8
Далее, рассмотрим вариационные уравнения2
(со" + ^-^^ (о)) - W), т) = 0 Vt€ Ео,
(9.1.117)
(W - Dof 一广，w) = 0 Vw€ Uo,
(9.1.118)
в которых положим г = ffp и w = i/g. Интегрируя, учитывая ность dJJdu, лемму Гронуолла и оценки
монотон-
B/(O)D < с, q|i/(0)|2 W с,
(9Л.119)
получим
II (Гр II W С, М"2 嘲2 W С
(9.1.120)
Из этих оценок следует, что
||^^ (%)|| W с,匠(必)11 W с, \Dae\2 W с
(9.1.121)
Переходя при необходимости к подпоследовательностям, заключаем, что существуют
о^1Г^Т9 Ео),
«€ £°°(0Г, U) и &е£8(от 町，
такие что при @ -► 0
% — 0
*-слабо в £8(от.
Я).
(9.1.122)
0々 _ 0，
*-слабо в L°°(0T,
Я).
(9.1.123)
叱—〃，％ — и
*-слабо в //Хот,
储(0)]3),
(9.1.124)
*-слабо в L°°(0T,
Я).
(9.1.125)
Чтобы установить сильную сходимость % к о в L°°(0Tt Z0, применим следующее рассуждение. Используя свойство монотонности dJJdcf, из (9.1.114) и (9.1.115) получаем неравенство
(e021^^e2> %1 - %2)+ Q1(%1，%1 - %2)
一 @(唯；％ - 必2)》0.(9.1.126)
'Как уже отмечалось в п. 5.4.2, более корректным было бы использовать вместо производных по времени 户 и / разностные отношения [况$ + 应)-1<0]/5/ и [a(Z + &) - а«)]"力
Интегрируя (9.1.126) от 0 до f и применяя лемму Гронуолла, устанавливаем неравенство
1%«) - %«)■ W ciVfei - зМ，(9.1.127)
где Ci > О, С2 > 0 — константы. Это неравенство показывает, что {%} является последовательностью Коши в L^^T, Н], и поэтому в (9.1.110) имеет место сильная сходимость. Переходя к пределу в (9.1.114, 115) при @ т 0 и замечая, что по соображениям монотонное- ти ± = dJ^/da заключаем, что (a, w) является решением квазистатиче- ской задачи. □
Если выполняются неоднородные граничные условия (9.1.67, 68) и общее соотношение (9.1.72) и, кроме того, тензор упругости зависит от времени, то последние два предложения будут по-прежнему справедливы» с некоторыми видоизменениями. Точнее, в предположении, что выполнены условия (А)—(С) п. 9.1.1, справедлив следующий результат для квазистатической задачи (называемой здесь задачей 4), соответствующей задаче 2:
Предложение 9.1.5. Задача 4 имеет единственное решение (о, w), такое что
оЕС^ОТ, Н)С「8(от,电，(9.1.128)
о'"*。?，“j,(9.1.129)
V € L°°(07； [Z?(r)]3)(9.1.130)
Далее, если (%, we) есть решение задачи 2 для заданного @ и выполнено (9.1.12) со знаком равенства, то при @ ->0
%т。сильно в С°(0Т, Н) и *-слабо в /^(ОТ, Д),(9.1.131)
и справедливы соотношения (9.1.111—113).
Доказательство. Вначале сводим дело к случаю однородных граничных условий, а затем рассуждаем по существу так же, как при доказательстве предложений 9.1.3 и 9.1.4. □
УПРУГО-ИДЕАЛЬНОПЛАСТИЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Постановка квазистатической задачи
В этом параграфе мы рассмотрим упруго-пластичные тела, подчиняющиеся закону Прандтля — Рейсса, и изучим соответствующую краевую задачу. При этом предполагается, что мы имеем дело с квазиста- тическим поведением тела, что соответствует процессу медленного
нагружения. Вариационные принципы для упруго-идеальнопластичных тел были сформулированы Хиллом, Ходжем, Прагером и др. По этому вопросу рекомендуем читателю статью Койтера [163]. Для упрочняющихся и разупрочняющихся материалов вариационные постановки рассматривались Майером и итальянской школой2. Дюво и Лионс [84] исследовали некоторые математические аспекты задачи; при изучении свойств поля напряжений они применяли процедуру регуляризации. В связи с той же проблемой Моро [214] развил некоторую геометрическую теорию, касающуюся динамических задач с движущимся выпуклым множеством. Свойства поля скоростей изучались Джонсоном [155], который использовал процедуру дискретизации по времени, аналогичную примененной нами в предыдущем параграфе.
Основные затруднения при исследовании среды Прандтля——Рейсса связаны с нерегулярностью тензора скоростей деформации £(и), поскольку, согласно экспериментальным данным, поле скоростей имеет разрывы. Поэтому, следуя Сюке [306; 307], будем считать, что поля скоростей представляют собой элементы пространства 5Z)(R) (см. п. 1.3.5). Это пространство рассматривалось в работах [200; 304; 305; 306; 314] и является подходящим инструментом для изучения материалов Прандтля — Рейсса.
Решение квазистатической краевой задачи для упруго-идеальнопластичного тела с граничными условиями (9.1.6, 7) будет аппроксимироваться с помощью решений краевой задачи, рассмотренной в предложении 9.1.5. С этой целью мы аппроксимируем суперпотенциальное соотношение (см. (3.3.98))
£«х, 0 € д!к(х, о(х, 0), (9.2.1)
где К — выпуклое замкнутое множество (зависящее от х и f), определяющими соотношениями вида (9.1.5) (или, более общо, вида (9.1.72)), которые зависят от параметра £, стремящегося к нулю. Предположим, далее, что тензор упругости не зависит от t. Введём множество
尸(?)= (т|т€ Н, 丁 (г)€К(% 0 п.в. в R}. (9.2.2)
Сформулируем следующую задачу, в которой множество Ео задано формулой (9.1.14), но с Dt£ [L3(fl)]3.
Задача 5. Пусть /€ 犷尸(ОТ, [£3(Й)]3) и ао€Р(О)ПЕо, причём DaQ = -/(0) = 0 при f = 0. Найти о ： [0, Т] т 尸(f) С Е° и и: [0, Т] -> BZ)(fl), такие
См. также [33, 57, 76, 186—189, 192—194].
что
((са)', т - а) + j Vi(Tij,j - aij,j)dQ ^ 0 ”еР(/)СЕо, (9.2.3)
6jj + / = о,(9.2.4)
а = ао при 7 = 0.(9.2.5)
Эта квазистатическая задача для упруго-пластичного тела в ослабленной формулировке, получаемой формальным применением теоремы Грина — Гаусса. Для изучения задачи 5 примем следующие предположения в дополнение к тем, что использовались при доказательстве предложения 9.1.3:
(предположение о допустимой нагрузке) существует поле напряжений а = ｛В炉｝, такое что BWEo, а(0) = оо,
g£ %】尸(ОТ, L°°(fl)), Dd + f = 0 п.в. на [0, 7](9.2.6)
и для каждого т = ｛т^) € L°° = ｛巾=｛巧｝, 丁廿=%, ту € £°°(fl)｝ с ИтИг" < q
3+ г € P(Z) п.в. на [0, 7];(9.2.7)
0 € int P(Z)V^ € [0, 7], и Q P(Z) содержит некоторую окрестность нуля;
существует последовательность конечных суперпотенциалов Ф£(6 т) на Н, удовлетворяющих условию (В) п. 9.1.1, а также условию
Ф£(Л т) = 0 п.в. на [0, 7]V丁 €尸(力，(9.2.8)
такая что г
если j 衣(厶 Te)dt < а для некоторого a и о
笈-►丁 *-слабо в L°°(0T, /7), то т€ Р(0 п.в. на [0, Г];(929)
тензор упругости удовлетворяет условиям (3.3.61а, Ь) и обычным условиям симметричности и эллиптичности.
Например, в качестве Ф£ можно взять j J^dQ, и в этом случае
£ = 〃• Решение соответствующей квазистатической задачи обозначим через (戋，％).
Существование и единственность решения
В этом пункте мы рассмотрим вопрос о существовании и единственности решения задачи 5.
Предложение 9.2.1. Пусть выполнены предложения (i)—(iv) предыдущего пункта. Тогда задача 5 допускает решение (а, и), такое что
о €Г°(0Т, Я),(9.2.10)
<тУ /Дот,切，(9.2.11)
uEZ^OT, BD(S)).(9.2.12)
Далее, это решение (о, и) можно аппроксимировать решениями (ае, 生)так, чтобы
氏 т о*-слабо в L°°(0T, Н),(9.2.13)
呢т/слабо в 七2(0丁，я),(9.2.14)
*-слабо в Z^(0T, 5Z)(R)).(9.2.15)
Доказательство. Пусть (ае,圾)—решение задачи
©jhk现h» + [ ^；(厶 °£) .. = &丁(%),(9.2.16)
。呕/ + / = 0,(9217)
ае(0) = а0；(9.2.18)
(У，М) +(У，М) +(厶 о) &)=(厶 о) &)=существующее и единственное согласно предложению 9.1.5’. Рассмотрим вариационное уравнение, отвечающее (9.2.16) (см. (9.1.114)), и введём функцию ае = ае - а. Подставляя в это вариационное уравнение 丁 = 忌，получим 2g = [0j,
(У，М) +
(У，М) +
(厶 о) &)=
(厶 о) &)=
(£(%), ае) + (必，D&). (9.2.19)
Используя соотношение
(£(%), &) + (电 D&) = 0(£(%), &) + (电 D&) = 0(9220)(9220)
(£(%), &) + (电 D&) = 0
(£(%), &) + (电 D&) = 0
(9220)
(9220)
'В задаче 5 начальное условие на у задавать ие нужно. Решение (ае, Уе) берётся в предположении, что на Ги и Гг заданы однородные граничные условия, а условие (9.1.8) выполняется для произвольного «о* Следует отметить разницу между (9.2.16) и (9.1.22, 9.1.90) н т.д. (см. также п. 334). Вопрос об оптимальных предположениях относительно зависимости К от Е остаётся пока открытым. Доказательство предложения 9.2.1, с небольшими видоизменениями, остаётся в силе н для случая, когда (с勿七｝ зависит от / н выполнены (9.1.80, 81).
и интегрируя (9.2.16) от 0 до 厶 придём к неравенству
t*
ооооc\\ae(t)i2 + j (~^^(厶 °)&)力 W c j Dc3」ll&D* (9.2.21)
о
о
о
о
Применяя лемму Гронуолла и учитывая предположения относительно Фе, находим, что
IlaJI W &(9.2.22)
",魂)，区)df W c.(9.2.23)
о
Принимая во внимание неравенства Фе(/,戋)》0 м
我(厶a) - Фе(/,吟》 получаем我(厶a) - Фе(/,吟》 получаем(厶戋),3 -0£(厶戋),3 -0£(厶。)a£ I,(9.2.24)(厶。)a£ I,(9.2.24)
我(厶a) - Фе(/,吟》 получаем
我(厶a) - Фе(/,吟》 получаем
(厶戋),3 -0£
(厶戋),3 -0£
(厶。)a£ I,(9.2.24)
(厶。)a£ I,(9.2.24)
Г
(9.2.25)(9.2.25)j①式厶00力W C. 0
(9.2.25)
(9.2.25)
1爲 о1爲 оЕсли г = (ту 1, ту = Tji € L°°(0T, L°°(fl)) и llrllr* < q п.в. на [О, Т], то т + а € Р(0 п.в. на [О, Т]. Используя неравенство
1爲 о
1爲 о
(Л ае), г - &)力《j (Ф£(а + т)-①£(魂))阳 (9.2.26) о
приходим к заключению, что для каждой функции 丁€ L°°(0T, £°°), для которой IIrdf* < q п.в. на [0, 7], выполняется оценка
j (^~ ",魂)，т)成 W С Оj (^~ ",魂)，т)成 W С О(9.2.27)(9.2.27)
j (^~ ",魂)，т)成 W С О
j (^~ ",魂)，т)成 W С О
(9.2.27)
(9.2.27)
｛魂｝ ограничена в L°°(0T, Я), а последова- ограничена в L^OT, L1).2｛魂｝ ограничена в L°°(0T, Я), а последова- ограничена в L^OT, L1).2что последовательностьчто последовательность(При её выводе используются неравенства (9.2.23, 24) и предположения (i) и (iii).) На основании полученных оценок можно заключить.
｛魂｝ ограничена в L°°(0T, Я), а последова- ограничена в L^OT, L1).2
｛魂｝ ограничена в L°°(0T, Я), а последова- ограничена в L^OT, L1).2
что последовательность
что последовательность
'Мы используем (для случая р = 8)следующую теорему (см., например, [2]). Пусть 1 W р W 00 и р* — сопряжённый показатель. Для каждого g€£P'(a)можно определить gw [L₽(fl)]* по формуле
ТогдаТогдаg(/) = j g(x｝f(x)da, /е Lp(a).
Тогда
Тогда
犢什丄中寸=3立"位）.
Возьмём а/ в качестве пробной функции. Получим
（（с&）‘，瓦）+（（с&）‘，瓦）+0,戋)，页)=(£(%)，a/) - ((ест)7,0,戋)，页)=(£(%)，a/) - ((ест)7,а/). (9.2.28)а/). (9.2.28)
（（с&）‘，瓦）+
（（с&）‘，瓦）+
0,戋)，页)=(£(%)，a/) - ((ест)7,
0,戋)，页)=(£(%)，a/) - ((ест)7,
а/). (9.2.28)
а/). (9.2.28)
Используя соотношения
県厶県厶(£(大)，a/) = 0, ЭФе 戋)=_^/ (厶0£)+(£(大)，a/) = 0, ЭФе 戋)=_^/ (厶0£)+(9.2.29)(9.2.29)（厶矶。）（厶矶。）(9.2.30)(9.2.30)
県厶
県厶
(£(大)，a/) = 0, ЭФе 戋)=_^/ (厶0£)+
(£(大)，a/) = 0, ЭФе 戋)=_^/ (厶0£)+
(9.2.29)
(9.2.29)
（厶矶。）
（厶矶。）
(9.2.30)
(9.2.30)
и интегрируя от 0cj 1麻俨必+ ои интегрируя от 0cj 1麻俨必+ одо Г, найдём, чтодо Г, найдём, что①£(Т,戋(7))-①£(0, gб)①£(Т,戋(7))-①£(0, gб)гW J Ilea'II 115/(0ПЛ огW J Ilea'II 115/(0ПЛ о
и интегрируя от 0
cj 1麻俨必+ о
и интегрируя от 0
cj 1麻俨必+ о
до Г, найдём, что
до Г, найдём, что
①£(Т,戋(7))-①£(0, gб)
①£(Т,戋(7))-①£(0, gб)
г
W J Ilea'II 115/(0ПЛ о
г
W J Ilea'II 115/(0ПЛ о
оо
о
о
（1,魂）力+ j （甯（/，魂），亍）力.（9.2.31） 0
Ввиду (9.2.27) и (9.1.79), из (9.2.31) вытекает, что
j На/И2Л W с,(9.2.32)
О
т. е. последовательность [а/1, а значит, и последовательность {о/} ограничены в Л2(0Т, Н). Для доказательства ограниченности {((d①£血。)(力 魂)，瓦)} в 厶2(0, 7) возьмём в качестве пробной функции &. Тогда (9.2.19) даёт
(醬(/,魂)，&)= -依3', &),(9.2.33)
откуда, в силу ограниченности (а/) в 1?(0厶 Я) и {历} в Л°°(07^ Я), и следует требуемое. Рассуждая, как и выше (см. доказательство ограниченности [dФe/dff] в /?(0/ Г1)), можно показать, что последовательность {(d衣血о)(厶 oj} ограничена в Z?(0T, L1). Из (9.2.16) вытекает, что последовательность {£(%)} ограничена в L2(0T, L1). Полагая 〃(〃) = j |w|cT (часть Fu границы Г должна быть такова, Ги
чтобы 〃(〃) было нормой на 身)и используя (1.4.49), получаем, что для каждой функции & € BD(Q), равной нулю на Ги, выполняется неравенство 3
llulM⑺ W С X в啾u)L^(q)・(9.2.34)
Если последовательность {£(”)} ограничена в Z2(07； L1), то она ограничена и в £2(07； R，)(где /' определяется аналогично Z1). Поэтому из (9.2.34) следует, что
последовательность {必} ограничена в £2(07； В£)(Й)). (9.2.35)
Рассматривая подпоследовательности, из (9.2.22) и (9.2.32) получаем % т о*-слабовL°°(0T,77),(9.2.36)
呢 т/слабов£2(0ТлН)9(9.2.37)
必 т и*-слабовLw(QT,BD(Q)).(9.2.38)
Остается доказать, что (а, и) является решением нашей краевой задачи. Из (9.2.36, 37) непосредственно вытекает, что (9.2.4, 5) выполнены. Далее, на основании (9.2.36) заключаем, с учётом (9.2.9, 25), что о(Е) W Р(/) при почти всех 九 Для доказательства неравенства (9.2.3) умножим (9.2.16) на г - 0g, где т(/) € Р(0 А Ео, и проинтегрируем от 0
ае), 丁 -哈dtае), 丁 -哈dt(Л(Лоодо Г. В результате получим
ае), 丁 -哈dt
ае), 丁 -哈dt
(Л
(Л
о
о
(((сое)', 丁 -戋)力 +
о
(9.2.39)(9.2.39)+ j (必，Dr - Doejdt = 0.0
(9.2.39)
(9.2.39)
ТакТаккак BD(Q) С [£3/2(й)]3, легкокак BD(Q) С [£3/2(й)]3, легкопроверить, чтопроверить, что
Так
Так
как BD(Q) С [£3/2(й)]3, легко
как BD(Q) С [£3/2(й)]3, легко
проверить, что
проверить, что
(9.2.40)(9.2.40)(9.2.41)(9.2.41)亿 ае), т - ае I W Фе (Л 丁)一亀亿①)W 0.亿 ае), т - ае I W Фе (Л 丁)一亀亿①)W 0.(9.2.42)(9.2.42)
(9.2.40)
(9.2.40)
(9.2.41)
(9.2.41)
亿 ае), т - ае I W Фе (Л 丁)一亀亿①)W 0.
亿 ае), т - ае I W Фе (Л 丁)一亀亿①)W 0.
(9.2.42)
(9.2.42)
l[l^-^^
lim sup ( ((с%)', г - &)df = [ ((c。)'，丁 - a)dttiо
Из (9.2.38—42) следует (9.2.3). □
Предложение 9・2・2・ Поле напряжений а, служащее решением задачи 5» определено однозначно.
Доказательство* Пусть (s,也)и (况，⑵一два решения задачи 5. Тогда, в силу (9.2.3),
(с(а/ — аг), 6 — &) W 0.(9.2.43)
Интегрируя это неравенство от 0 до / и принимая во внимание (3.3.61а, Ь), получим
IIcti(O - СТ2(0»2 W clla(O)-兔(0)俨・(9.2.44)
Отсюда и из того факта, что а)(0) = аг(0), вытекает утверждаемая единственность. □
Использование пространства BD(R) для полей скоростей позволяет рассматривать разрывы непрерывности у этих полей на поверхностях S, лежащих в R. Среди этих разрывов различаются касательные, отвечающие явлениям скольжения, и нормальные. Если, однако, критерий текучести зависит лишь от девиатора напряжений, как, например, в случае металлов, то разрывы возникают только вследствие скольжения. Для доказательства этого утверждения используем свойства поверхностей S в R с нормалью л = (nJ, описанные в п. 1.4.3. Если поверхность S разделяет область Q на Q+ и Й-, то, в силу (1.4.47) и (1.4.48), выполняется соотношение
j(7+ V - 7- v)iTijnjds = j Tijd€ij(u) Vt£ 力(R),(9.2.45)
которое даёт математическое объяснение того, как появляется скачок скорости 7+ и - 7- и вдоль S. Поскольку критерий текучести зависит лишь от девиатора напряжений, то в (9.2.3) можно положить 丁廿= а(/ + 夕％, где р € /^1(й). Из теоремы Грина — Гаусса следует, что для всех 夕 е//1®)
((с。)'，т - a) + j Vi(Tij,j - ^uj)dQ
=j (cuhk(yhk)fpdQ + j ViP.tdQ = 0.(9.2.46)
Следовательно,
div и =戈/ = (cohkOhkY в Z?(R),(9.2.47)
и поэтому множество тех точек, где и =乩 имеет нулевую меру на S. Подставляя в (9.2.45)巧=рд炉，заключаем, что
(7+У)/Л/ =(7- v)ini в L【(S),(9.2.48)
т. е. возможны только разрывы, вызванные скольжением. Этот результат согласуется с экспериментальными данными, свидетельствующими о появлении концентраций деформации в тонких полосках. Такие полоски могут рассматриваться как поверхности разрыва.
Нормальные разрывы возникают в том случае, когда критерий текучести зависит от полного тензора напряжений. Подобная картина
имеет место, например, для некоторых типов грунтов. Существуют различные теории, объясняющие природу таких разрывов. Более подробную информацию читатель может найти в соответствующей литературе (см., скажем, [306]).
Вследствие возможных разрывов, поля скоростей приходится ограничиться «слабой» постановкой краевой задачи для упруго-пластичных тел. Более «сильная» постановка, например как для вязко-упругого случая, связана с допущением о непрерывности поля скоростей. Из вышеизложенного ясно, что и сама граница Г тела может быть поверхностью скольжения, и поэтому граничное условие на Ги налагается на «внешний след» поля скоростей. Таким образом, в теории пластичности краевую задачу следует формулировать, строго говоря, не для области Q, как обычно» а по крайней мере для Q.
Итак, допустимые поля скоростей можно определить, вводя пространство МИНЗ) и считая 必 эквивалентным Уг, если
vi|q =財口 в [£?(R)]3, £y(vi)|jf = £炉(办)£ в e^(R).(9.2.49)
Следовательно, 7+ vi = y+V2 на Г. Теперь можно ввести соответ- ствующее_отношение эквивалентности Р и получить фактор-пространство BD(S) = BD(^3)/P Таким образом, множество кинематически допустимых полей скоростей задаётся следующим образом:
В1)доп(0) = (v|v€ BD(Q)t 7+v = 0 на Гу). (9.2.50)
Можнс^ показать, что решение задачи 5 является элементом из 30ДШ1® [307].
Как было отмечено в [314], с точки зрения функциональной постановки рассматриваемая здесь задача в некотором смысле обнаруживает известное сходство с задачей о минимальных поверхностях, где используется пространство функций ограниченной вариации 3P(R). Методы, разработанные при решении этой последней задачи, в частности подход к вопросу о выполнении граничных условий, были в некотором смысле «перенесены» на краевую задачу теории пластичности.
ЗАДАЧИ О ЖЕСТКО-ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКОМ ТЕЧЕНИИ
Классическая постановка общей динамическойзадачи
В этом параграфе изучаются неравенства, возникающие в теории жестко-вязко-пластических течений. При этом температурные эффекты не учитываются и рассматриваются только поля скоростей и на-
пряжений. Для простоты будем считать, что плотность жидкости & постоянна, т.е.
@Х 0 = go = const.(9.3.1)
Пусть R — открытое ограниченное7 связное подмножество в R’ к Г — его граница. Мы ищем поле скоростей v = (v,) и поле напряж^ий о = ｛叩｝ (i，/ = 1,2,3), удовлетворяющие в й х (0^ 7") уравнениям движмия
2¥ = %j + fh(9,3,2)
где 7/ = dvi/dt + vyVj и fi =f(x, /), уравнению несжимаемости divv = 0(9,3,3)
и определяющему соотношению (3.3.10). На Г задаётся граяичное условие
5 = 0 для каждого /€ (0, Т),(9.3*4)
а при / = 0 — начальное условие
班住，0)=如，где ио,=如(х)・(9J.5)
Предполагается, что коэффициент вязкости д и предел текучести g, входящие в (3.3.10), являются положительными константами. (Можно рассмотреть и общий случай 川=川(工，/) и g = g(x, 0.) Введем обозначения
Ai(〃)=^SW)/%«).(9,3.6)
① Q) = 2 j g(5iQ)y/2必，(9,3.7)
a(u, w) = 2 j 叱%(b)D〃(wKfR, (/；卩)=j fiVt dfi.(9.3,8)
Если u — достаточно гладкое решение задачи (9.3.1—5), (33110), то при каждом / € (0, Г) оно удовлетворяет вариационному неравенству
。(％ V - w) + Ф(и) - ©(〃)》(/-&*?-〃) W€ 小， 0,3・9)
уравнению несжимаемости и граничному и начальному условиям, Поля скоростей и, удовлетворяющие этим трём условиям, образуют яюд-
'Предположение об ограниченности R снимается, когда изучают задачу об обтекании заданного препятствия. Здесь предполагают, что f(x, /) -* (с, 0, 0｝ при 囂—8, где с — некоторая константа. Для этого случая можно доказать результат, анвлргичный приводимому ниже 9.3.1 (см. [84»
множество ИдОП в пространстве полей скоростей; остаётся только выбрать это пространство. Неравенство (9.3.9) получается непосредственно из уравнения (9.3.2), если умножить его на 班一u(, просуммировать по i и формально применить теорему Грина — Гаусса. Это даст равенство
j CTi/(u) [Dij(v) - Dij(u)]dQ = (/ - 67，v - u) Vv € 県口， (9.3.10)
из которого, используя неравенство Шварца и соотношения (3.3.112), мы и выводим (9.3.9). Обратно, если функционал Ф дифференцируем в точке 〃 и Ai(w) Н 0, то формально можно показать, что в случае 〃 £ Июп неравенство (9.3.9) эквивалентно исходной задаче. Действительно, вычисляя градиент от Ф(и), из (9.3.9) получаем соотношение ](G (胤#/2 + 2gu(u))“ + 方 一 67.) w 曲=0 V” € Рдоп, (9.3.11)
а так как div и = 0, мы заключаем, что существует скалярная функция Р，такая что член в скобках в (9.3.11) равен grad р. Это завершает доказательство нашего утверждения.
Выбор подходящих функциональных пространстви результаты о существовании решения
Рассмотрим более общий случай О С R". Обозначим через 於 пространство
夕={^|^€(Р(Й)]\ divw = 0 в Q) 5》2).(9.3.12)
Замыкание 夕 в [№((2)]" представляет собой гильбертово пространство 爲.Обозначим через [ •, • ]а и | • |а соответственно скалярное произведение и норму в W^ Очевидно,
[и, w]n/2 = ((V/, w。)犷勺2”(9.3.13)
[v, Mo =((也物))加(口)=(S，间，1时。=1矶2.
Заметим, что если и € 园々 то
VijeLn(Q) (/, ；= 1, 2, 3).(9.3.14)
Действительно, для и£ Wn/z имеем з)и потому выполнено (9.3.14) (см. (1.3.50)). Если Wn/i — пространство, сопряжённое к Wn/ъ то, как легко проверить, пространства {%, %}, а > 1, образуют шкалу гильбертовых пространств с центральным элементом Ио = Иа Далее, вложение 匕 в % является компактным, так как компактно
вложение 名 U % Введем теперь обозначение
Е(и, и, w) - j QUjVj.iWjdQ.(9.3.15)
Для функционала Е выполняется равенство
Е®, и, w) + Е(〃，吗 и) = 0 Vu, и, w£ %(9.3.16)
которое можно соответствующим образом распространить по непрерывности. Применяя неравенство Гёльдера, из (9.3.14) и (9.3.15) получаем неравенство '
|Е(“，〃，w)| ^ с\и\р |w|pS \Vij\nи 2 1
^ c\u\p\w\p |v|n/2 для — + — = 1.(9.3.17)
Отсюда видно, что отображение (и, и, w) т Е(〃，и, w) непрерывно на Lp X WVz X LP(LP = [//(Я)]"). Переходя к скоростям и используя соотношения
£(м, м, м) = О, Е(〃，и, и) = -Е(〃，и, м),(9.3.18)
запишем неравенство (9.3.9) в виде
(q〃* и - и) + 〃(〃，и - и) - £(и, и, и) + ®(и) - Ф(и)
> (Л V - и) V〃e Ид0П. (9.3.19)
Мы будем различать задачу о плоском течении (打=2) и задачу об объёмном течении (п = 3). В последнем случае изучается более слабая вариационная формулировка задачи. Интегрируя (9.3.19) от 0 до Г и предполагая, что и является функцией 厶 получаем неравенство т
j ((qu \ u - w) + а(и, и - 〃)- Е(〃，и, и) о
+ Ф(и) - Ф(и) - (А и - 〃))力
+ ||u(0) - u(0)|2 > 0 vu€ ^ (9.3.20) его решение будем искать на множестве 殄 которое вводится ниже. Предложение 9.3.1.(а) Пусть й С IR3 (или IR" с 打》3),
/€L2(07；歹d(9.3.21)
“)£%>(9.3.22)
'Если м € Wn/2 С % то, в силу (1.3.8),场 € П(П), 1 ^ ^ ^ 2л/(л - 2) при л > 2, 1 W С V 8 при л = 2.
Обозначим через 殄 множество
^ = (v|v€L2(07； И^/2), V €£2(07； %), v(0) = зд}. (9.3.23)
Существует и, такое что '
м€£2(07； Wi)C}Lx(0T, %),(9.3.24)
«z 6£2(О7；財〃)，(9.3.25)
удовлетворяющее вариационному неравенству т
j Kqu', u - 〃)+ a(u, v - u) + £"(〃，u, v - u) о
+ ®® - Ф(и) 一(Л 〃 - 〃)]或》0W€ 殄(9.3.26)
и начальным условиям (9.3.5).
(Ь) Пусть й С IR2. Предположим, что выполняются (9.3.21, 22). Тогда существует единственное и, такое что
〃££2(о驾 ^i)nC(0 7；济)，и1 €L2(07；伙％(9.3.27)
удовлетворяющее п.в. на [0, Tj вариационному неравенству
(g〃\ и — 〃)+ 〃(〃，V - и) + Е(и9 и, V ~ и)
+ Ф(у) - ©(〃)> (Л V - и) Vv€ W\ (9.3.28)
и начальным условиям (9.3.5).
Доказательство, (а) Для простоты будем считать, что ио = 0. (Если Vo W 0, то можно сделать замену v - v - Vo, u = u - u0.) Применим метод конечных разностей, который был использован при доказательстве предложения 9.1.1. Пусть к = T/N, где N> 0 — целое, f® = vk, ” =0/，…，N, 0® =0(产)，屮=〃("))，宓® =以以(户))/叫=/(n))• Регуляризуем функционал Ф. А именно, положим
①е(и)=f (^^ГУ+ '曲・(9.3.29)
Тогда
(号2,。= g j e^^y - iD№)D№)dQ, (9.3.30)
'При выполнении приводимых ниже включений справедливо также (см., например, 口82]) включение и € £4(07；[£₽(0)1Я), где \/р + 1/2门=1/2. Из теории интерполяционных пространств [181] следует, что тогда и является п.в. непрерывным как отображение [О刀-吟т〃・
и можно показать, что для Фс выполняются соотношения, аналогичные (5.1.20, 21).
Поставим теперь следующую задачу: найти u^p+ n € Wn/^ такое что《°)= 0 и для р = ОД,...»^
Для решения этой задачи проведём ещё одну регуляризацию, вводя «вязкий» член ^[u^0, v]n/29 刀 > 0, где 小 равно как и £, стремится к нулю. Таким образом, мы рассматриваем вариационное уравнение
G(wj 嘴),”)+机噴+匕 y]n/2
+ a{u^l\ v) + E(^l\ 噜+D, и)
+ C筹 "'〃)-⑦〃)=° V〃€ %〃. (9.3.32)
Доказательство проведём в два этапа. Вначале докажем существование решения 〃"^/)£ Wn/i уравнения (9.3.32) и перейдём к пределу при 七 т 0. Далее покажем, что если £ и стремятся к нулю, то иеч стремится к решению уравнения (9.3.26).
Пусть Wi,吻，...一базис в Wn/ъ определённый следующим образом [182]:
[吆 v]n/2 = Xj(Wj, 〃) W€ Wn/2, \Wj\2 = 1.(9.3.33)
Функции Wj являются собственными функциями оператора 3 канонической изометрии между Wn/i и 附々 Из свойств компактности вложений пространств Wn/2 следует, что данная задача на собственные значения имеет последовательность ненулевых решений (Wj}, соответствующих последовательности собственных значений Х> > 0 (см. п.7.2.4). Пусть 仍勿 обозначает конечномерное подпространство, натянутое на 股 1 Wj W m・ Обозначим через ит = и^1} € решение системы
/ / wm - wS 、
(Q(切)+ ^\иm,也]"/2 + a("m, Wj) + E(um, "m,也)
+也)-⑦"+"' ^) = 0 (1 ^j^my(9-3-34)
Используя МОНОТОННОСТЬ dФe/du И КОЭРЦИТИВНОСТЬ aQm, 〃m) на W\ (последняя имеет место ввиду (9.3.4)), заключаем, что
|wm|i ^ С, |um|2 ^ С, Т^^и^пП. ^ С,(9.3.35)
где константа с не зависит от т, £,小 к. Покажем, что и т т Е(ит, ит, и)——непрерывный линейный функционал на 伙々 Воспользуемся неравенством
\v\p^c\v\Y2 llullY vu£方i(R),(9.3.36)
которое выполняется для 1/р + 1/2打=1/2. Действительно, полагая в неравенстве (1.2.24) а\ = 0,收=1/2, аз = 1 и используя вложение №/2(й) в £₽(й) (см. п. 1.3.4), приходим к (9.3.36). Ввиду (9.3.36), из (9.3.17) вытекает, что
|Е® 弘 w)| ^c|u|}/2 |и|Г2 |w|}/2 \w\22 |v|«/2-(9.3.37)
Так как Eg, к, u)二-E(um, и, um), из (9.3.37) с учётом (9.3.35) следует, что V -> Е(ит9 〃т, и)——непрерывный линейный функционал на Wn/ъ Поэтому найдётся такое- Л (um) € Wh/ъ что
E®m, 〃m, V)= (Л(Um), V) W € Wn/Ъ(9.3.38)
I力(〃m)|典a W c\um\p.
Функция v -> a(u, и) непрерывна на % поэтому, используя (1.2.25), можно написать
а(и, и) = (Ли, и),(9.3.39)
где отображение A: W\ -> W{ является линейным и непрерывным. Таким образом, (9.3.34) принимает вид
—^― + цВит + Аит + h(um) + -^- (Um) 一 /^十"，切)=О
(1 WjWm). (9.3.40) Существование решения ит € 歹㈱ уравнения (9.3.40) легко доказать, применяя теорему Брауэра о неподвижной точке '・ Из (9.3.35) и
'См. п. 8.4.2. В нашем случае берём
(ПЬ = (q 乎 + riBum + Aum + *；У - 0»+ D - Лт + e —^-^ , Wi где hm = h{u^.
рассматривая соответствующие подпоследовательности, выводим, что при 加 т 00
〃мт〃“/слабов%(9.3.41)
〃加〃喇-"+ °слабовLp；1^\(9.3.42)
—Л (Wm) ^+ °слабовWI(9.3.43)
(Соотношение (9,3.42) получается применением неравенства Гёльдера к |〃加 umj\p/2. с учетом (9.3.36, 35).) Поэтому
|um/ umj\p/2 w С.(9.3.44)
Из компактности вложения % в % вытекает, что
〃/л —啕сильно в 咻(9.3.45)
Значит, согласно известной теореме анализа (см., например, [302]), у последовательности {ит} существует подпоследовательность, сходящаяся п.в. в 0. Следовательно,
umi umj - 〃噹J) W蒜D в 0，(④，(9.3.46)
и, таким образом,融=и^^ 〃％". Поэтому
E(“m,〃)tE(W紹，小尹，и) vu€//z (9.3.47)
В силу полноты базиса {也} в %@ из (9.3.34) следует неравенство @ 产"-喀),"+壮成+1),%〃 +a(唱+Z 。)
+風唱+1),唱+D, u)+ (内+厶u)
-(/"D, и) = 0 vuc Wn/2. (9.3.48)
Ввиду монотонности dФE(v)/dv9
警(瑞О34分
Тем самым доказано существование решения u^+ °. Переходя теперь к пределу при Аг -> 0 и полагая в (9332) и = и^+ °, получим (0 .(階；-喀,啕+} +矶階*2 + C哨+呼
«с，'"ММ”％・ (9-3.50)
(Здесь мы учли монотонность d£(u)/dq коэрцитивность 〃(и, и) на 弘 а также тот факт, что Е(и, и, 〃)= 0・)Заметим, что
S(%+“-喲，啕+D)
》Q|u『悽-呉啕Z +； Q|u『-礎良(9.3.51)
Суммируя неравенства (9.3.50) по v и используя (9.3.51) при V = ОД ..., М - 1 и а > 0, приходим к неравенству
Мт Г[
呉墻怯+ Z 呉嘴+"-嘿修
+咏照+叫〃+或畸+1)用
M- 1.
Wc 2 3用唱+呼 + 4# + 1)1亂，(9.3.52) у = оа
из которого следует, что существует независящая от & 小 к константа с, такая что
嚟哨仿W e,
(9353)
Л/ — 1
4 ^唱+作/2 W e,
(9.3.54)
M~ 1
巨川曙01hc.
(9.3.55)
Далее, в силу (9.3.30)
в = оdvWi
(9.3.56)
а в силу (9.3.55, 38)
与％1力(吸+1))1亂〃 Wc.(9.3.57)
Из (9.3.32) и полученных оценок вытекает, что м-\W#D_〃®2
Z к *匀- Wc(9.3.58)
Продолжим решение и^+1) на весь интервал [0,Г]. Проведя линейную интерполяцию между точками 津,получим
С(0 =曙 +(' _ '；*%：[:曙)при t£ [产，f"+1)]. (9.3.59)
Приведённые выше оценки позволяют заключить, что при изменении
£,小к
必，пробегает ограниченное множество
в £°°(07； Иг)А£2(07；名)，(9.3.60)
刀”包隆 пробегает ограниченное множество
в 1(07；伙/2), (9.3.61)
巡(喈)к
— пробегает ограниченное множество
в 厶2(07；閲〃)，(9.3.62)
(必,)，пробегает ограниченное множество
в //(оу; %).(9.3.63)
Поэтому существуют
% «{ОТ； %)CD(07；階)，产2% "2(о工 ％用，
^?l2(07；典/2), u^€L2(0T, %"2),
такие что при Л 0
噌Т %
*-слабо
в
/ЛО/;
%)
и слабо
в
厶 2(07；
%i),
(9.3.64)
слабо
в
/ЛОТ；
%/2),
(9.3.65)
d^Au^>)/dv f U
слабо
в
Z?(07；
^/2),
(9.3.66)
(噌У Т %
слабо
в
Z?(07；
附/2).
(9.3.67)
Используя монотонность
dФ/dv, можно показать, что
二鹏(％) dv *
Таким образом, % удовлетворяет вариационному уравнению
(QU&, V)+ 〃["〃，叨”/2 + 〃(/” U) + E(U内，/炉 и)
Viz € %/2 (9.3.69)(9.3.70)Viz € %/2 (9.3.69)(9.3.70)+ ("^(%)' и) - (A U) = 0 и начальному условию
Viz € %/2 (9.3.69)
(9.3.70)
Viz € %/2 (9.3.69)
(9.3.70)
%(°) = °-
Переходя ко второму этапу, устремим £ и “ к нулю и покажем, что lim % (обозначим его через и) обладает свойствами (9.3.24, 25)
и удовлетворяет вариационному неравенству (9326). Для фиксированного и из 殄 рассмотрим выражение
А, = j Ke'，D - "“ + 4(%, V -"勿) О
+ E(l1glp "s，U - "/) + 4【"打，U — ^е^]л/2
+ Ф£(0 -由式/卩一G и — u^}dt. (9.3.71)
Ввиду (9.3.69),
А, = j(0(и' - %), и - %)力 + j [а® - ①式"勿) °0
Из (9.3.71) следует, что г
j【(。加，и - /J + a("e”，V)+ £(%，％, и) о
+ 九％, v]n/2 + Ф£(«) - (f, V - uj]dtr
》j [a("e”，/”)+ ①式"勿)]力.(9.3.73)
О
В силу (9.3.60—63), найдётся подпоследовательность {%}, такая что при £ т 0 и т/ т 0
и£п и*-слабо в //"(ОТ；的)(9.3.74)
и слабо в Z?(07； %),
"&->〃' слабо в //(о* 阳а).(9.3.75)
В силу (9.3.73), г
j К@ J, V - и) + 〃(弘 V)+ Ф(у) + Е(〃，и, и) - (Д V - u)]dt о
г
》liminf j [。("勿，/J + Ф£(и£,)]Л. (9.3.76) о
К Е(〃£“, 〃s，и) снова применимы рассуждения, приведенные при доказательстве соотношения (9.3.47). Имеет место неравенство
гг
lim inf j [а(и£п, и^ + £(%)]df》j [a(и, u) + Ф(и)]Л, (9.3.77) Оо
поскольку отображение и-* j 〃(q u)df п.н.сн. на L2(07^ Wi) и
о
liminf牍£(〃切)力》j①⑺dt・(9.3.78)
оо
Действительно [84],
j Ф(и)Л W 2 оj Ф(и)Л W 2 о[j Q(gm^)F)qf 口 (产)由『…，
j Ф(и)Л W 2 о
j Ф(и)Л W 2 о
° °°(9379)
откуда
(1 + e)(2g)[①式％)由》(17|mesa)T [俨(飞)由『У (9.3.80) Поэтому
lim inf j 由式〃打)力》lim inf j Ф(и£,)Л》j Ф(и)Л, (9.3.81) ооо
г
так как отображение v -> j Ф(у)Л непрерывно и выпукло на о г
1?(0工 ％), Следовательно, функционал j Ф(у)Л п.н.сн. в слабой о
ТОПОЛОГИИ L 2 (0 工 巾J ).
Из (9.3.72—75, 77) вытекает, что и является решением неравенства (9.3.26) и удовлетворяет начальному условию (9.3.5).
(Ь) Для случая О С fR2 вводить вязкий член т/[и,办 необязательно, так как 恥〃=叼 и коэрцитивности билинейной формы 〃(q и) на W\ достаточно для доказательства существования решения. С помощью метода, примененного в части (а) доказательства, можно установить существование %, удовлетворяющего вариационному уравнению
(@〃& и — ％) + а(иЕ, и - %) + Е(ие, /, и)
VUW 硏(9.3.82)VUW 硏(9.3.82)
VUW 硏(9.3.82)
VUW 硏(9.3.82)
и начальному условию (9.3*5). Далее, можно показать (см. 9.3.74), что
ие^ ислабо
в £2(07；
名），
и *-слабо
в /Ло*
%),
(9.3.83)
叫т и'слабо
в 厶2 (07；
%力
(9.3.84)
"式t)t "⑺ слабо
b眼
(9.3.85)
Тот факт, что пространства /Л(ОМ %) и L2(07J W{) являются сопряжёнными друг к другу, позволяет доказать, что и удовлетворяет вариационному неравенству (9.3.28). Рассмотрим для у € £2(07； %) величину г
А = j КМ，и - /) + а("е，и - %) о
+ Е(/, %, U — /) + ①£(叨一①式％) —(A U — /)]dL (9.3.86)
Ввиду (9.3.82),
(9.3.87)(9.3.87)2 = j 卜c(D)-蚕式/)-(绥纥 v-u^dt^ 0.
(9.3.87)
(9.3.87)
Поэтому г
[Ко"；, и) +。(/，и) + Е(/，%，и) + ^Е(0 - ^ V - u£)]dt О
г
?j [(0以，/) +。(/，/) + ①6(%)]力
О
г
=I el«E(nii - j ol%修 + j [。(％, /) + £(/)]&(9.3.88)
Взяв lim inf от обеих частей неравенства (9.3.88), получим (см. доказательство соотношения (5.4.59)) т
j [(&〃'，и - 〃)+ 〃(〃，У - и) 4- F(u, U, у) о
+ Ф(у)-①® - (Л и — u^\dt》0 Vy € £2(07；名).(9.3.89)
Из (9.3.89) следует поточечное неравенство (9.3.28) (см. 5.4.60—62)). Далее, в силу (9.3.83, 84) решение и удовлетворяет начальному условию (9.3.5).
Доказательство единственности решения “ проведём от противного. Предположим, что 以 и 酸 一 две функции, удовлетворяющие
(9.3.27,28). Полагая в (9.3.28) и = 〃i, 〃 = 也 и и = 眩，"="i и складывая получающиеся неравенства, находим, что
-(@z‘，z) - q(z,幻一E("h 〃1, z) + E("2, "2, z) 2 0,(9.3.90)
где z = "i - 〃2・ Отсюда вытекает, что
^与 ©к核 +a'"’’忘"z，爲")(9.3.91)
где a > 0 — константа. Можно указать положительные константы п, 3, такие что (см. (9.3.37))
\E(Z, Z, U1)| ^ Cl Izl 1 • |z|2 • lui 11 с alz 11 + С2 lui I i|z|i. (9392) Из (9.3.91, 92) следует, что
^1012核w01"11山悽，(9.3.93)
а так как I ui I i € L2(0T), то, интегрируя (9.3.93) от 0 до /, получаем Z = "1 — 〃2 = 0. □
Для задачи об объёмном течении единственность решения остается пока недоказанной. Легко показать, что при п - 2 решение неравенства (9.3.26) удовлетворяет (9.3.28) и потому является единственным. Действительно, (9.3.26) справедливо для каждого и€ 凿,где
Л = {у|у€£2(07；名)，иУХ?(07；歹0, и(0) = 0}, поскольку все функционалы, фигурирующие в (9.3.26), непрерывны на 方(при условии что 殄 снабжено топологией, индуцированной из М) и 殄 плотно в М. Замечая, что 〃€% подставим в (9.3.26) и = (1 - 入)"+ 入 t?i, где 0<Х<1иУ1€М. Деля на X и переходя к пределу при X -* 0+, убеждаемся (см. доказательство предложения 2.2.2) в справедливости вариационного неравенства (9389) для каждого и€ 窘.Так как ^ плотно в £2(07；名)，то и удовлетворяет (9.3,89), а следовательно, и (9.3.28) (см. [84]).
В работе [84] дано доказательство предложения 931, в котором дискретизация по времени не привлекается. Сравнение доказательства предложения 9.3,1 с доказательством существования решения для динамического вариационного неравенства в п. 5.4.2 показывает, что здесь мы не использовали оценку для производной по времени от скорости 〃‘ при Z = 0 и поэтому в предложении 9.3.1 не фигурирует Однако, предполагая в задаче о плоском течении, что 工 /' W € £2(07； %；), /(0) € И^ Vo € И^1 А[//2(0)]2, и используя оценку для "'(0), вытекающую из того факта, что Н1^) вложено в £°°(0), можно показать, что и € £2(07；名)и и' € £2(07；名)八七^①北 ％)[84].
9・3・3. Связь между полями скоростей и напряжений
В п. 9.3.1 была установлена формальная эквивалентность вариационного неравенства (9.3.9) и исходной задачи. Для задачи о плоском течении подобную эквивалентность можно доказать строго, установив вдобавок ещё связь между полями скоростей и напряжений.
Предложение 9.3.2. Пусть 〃 = 2 и /€Л2(07； Wi), voeW^(9.3.94)
Пусть, далее, 〃 = {也},屮={的} и р таковы, что
u€L2(07；%i),и' €Z2(Q7；W{),(9.3.95)
u(0) = ио,(9.3.96)
刊=w・，駆=0,^€AО0(0X (aT)),(打=1,2,3),(9.3.97)
^ 而屮/《g? п.в. в 0 X (0/),(9.3.98)
Ми®) = V2 g(Dij(u)Dij(u))1/2 п.в. в fi X (0,7),(9.3.99)
f €^z (Q X (0Л).(9.3.100)
QUt- n^Ui + QUijUj - w = fi - pj в 必'(0 x (QT)).(9.3.101)
Тогда u является решением задачи (9.3.28, 5). Справедливо и обратное: если и удовлетворяет (9.3.28, 5), то существует % = {叫 и р, которые удовлетворяют соотношениям (9.3.97—101).
Доказательство. Прямое утверждение очевидно. Для обратного дадим два доказательства, одно с использованием теоремы Хана — Банаха и другое — с использованием теории двойственности. Рассмотрим пространство
£ = {«|«= {&/}, &/ = &•,•, «убЛ1^ X (07))}(9.3.102)
с нормой
1Mb = j J (&满力1/2而必(9.3.103)
0 口
и сопряжённое к нему пространство £'• Обозначим через Л линейное отображение и->14®} из Л2(07；名)в £• Поскольку функция
и т ] Ф(0Л непрерывна на L2(07； 悠)，из равенства
[Ф(0Л 二 W^IA(u)IIe(9.3.104)
о
следует, что отображение Л тоже непрерывно. Обозначим, далее, через В функционал на £, заданный формулой
В(Л(0) = gV2 IIA(v)IIe.(9.3.105)
Вариационное неравенство (9.3.28) можно перевисать в виде
т
j [(Л(и), V - и) + Ф(у) - Ф(и)]Л ^ о Vv€L2(07； IF1),(9.3.106)
О
где (см. (9.3.38, 39))
R(u) = ви' - дДи + Л(и) -/€£2(07； W{).(9.3.107)
При первом способе доказательства воспользуемся тем, что задача решения неравенства (9.3.106) эквивалентна следующей задаче: найти и€£2(07； %) такое что
тг
j (&(u), v)dt W j ①(u)df Vv^L2(0T, Wi) (9.3.108) 00
и
TT
j (R(u), u)dt + j Ф(и)Л = 0.(9.3.109)
00
Это утверждение легко доказать, используя специальный вид Ф и рассуждая, как при доказательстве предложения 5.2.3. Из (9.3.104, 108) следует неравенство
(9.3.110)(9.3.110)](&(〃)，u)df wW^IA(u)IIe. о
(9.3.110)
(9.3.110)
Поэтому, согласно теореме Хана— Банаха (см. п. 1.2.1), существует %€£，(т. е. % для которого ^ij^L°°(Q X (0,Т))), такое что
j (К(〃)，v)dt = - j j 2«v)dQdt(9.3.111)
00 Q
И
』^|，W 1.(9.3.112)
Принимая во внимание условие несжимаемости 2>„(0 = 0, можно в (9.3.111) считать 寧『=0. Из (9.3.109, 111) следует равенство гг
j j ^jDij(u)(Kldt = j j WI(〃u(u)n"u))"2足力.(9.3.113)
0 口о о
Применяя теорему Грина — Гаусса, из (9.3.111) получаем соотношения (9.3.100, 101)', а оставшиеся соотношения (9.3.98, 99) следуют из (9.3.112, 113). Этим завершается первое из двух обещанных доказательств, впервые приведённое в работе [84].
Переходя ко второму доказательству, заметим, что вариационное неравенство (9.3.106) не эквивалентно какой-либо задаче минимизации, однако если считать R заданным, то (9.3.106) уже эквивалентно некоторой задаче оптимизации, и можно воспользоваться результатами теории двойственности. Как легко проверить, эта задача имеет вид г
inf (В(Аи) + /(и)), /® = ( (R®, и)由，(9.3.114)
Л2(ОТ；恥)0
и и является её решением. В силу (3.2.48) двойственная задача запишется в виде
sup [-加⑷ 一 ”С(-А%)] = inf 微⑷ +，A(q)],(93115)
где м == 0, a и % — индикаторы множеств
呷匕 1呷匕 1(9.3.116)(9.3.116)h =卜|中€ и
呷匕 1
呷匕 1
(9.3.116)
(9.3.116)
5 = ｛吁|吁€?‘，％ удовлетворяет (9.3.101)｝(9.3.117)
соответственно. Это легко доказать прямым вычислением сопряжённых функционалов. Предложение 3.2.7 утверждает, что при заданном R решение двойственной задачи существует н выполняются соотношения (3.2.43, 45). В силу (9.3.109) инфимум в (9.3,114) и супремум в (9.3.115) равны нулю, поэтому условия (9.3.97—101) выполнены. Одним из условий экстремума является условие (9.3.113), из которого следует (9.3.99). □
С физической точки зрения % == ｛妆｝ представляет собой некоторый тензор напряжений, а р ——давление жидкости, поэтому
0〃=一产6" + 2展u(")+ w(9.3.118)
——тензор напряжений для рассматриваемой жидкости. Ясно, что (9.3.97—99) эквивалентны определяющему соотношению (3.3.110), а (9.3.101) соответствует уравнению движения (9.3.2).
'Здесь используется следующий результат: если Sw [0，(R х (0, Т))]п и (S, /) = 0 в [2‘(0, Т)『 Vp€ % то S = -gradp, где Р € ^ z(О х (0, Т)).
При g т 0 + жидкость Еингахф «превращается» в ньютонову жидкость. Обозначим через ug поле скоростей, отвечающее данному значению g, Для задачи о плоском течении можно показать (см. [84]), что (в условиях предложения 9.3.1) при g-*0 +
слабо в £2(07； /),(9.3.119)
и；- и' слабо в £z(07； %).(9.3.120)
Здесь и — решение уравнений Навье — Стокса, т. е. решение вариационной задачи: найти и € £2(07^ %i) с и' € L2(0T, И7), 〃(0) = ко, такое что
(&〃'«), и)+ 〃(〃«), V)+ Е(и(t). и(0, и) = (/«), и) vuW/i. (9*3.121)
В заключение этого пункта приведём один результат, касающийся задачи о стационарном течении жестко-вязко-пластичного материала. В этом случае ищется решение и € М удовлетворяющее вариационному неравенству
〃(/ и - 〃)+ Е(〃，〃，и) + Ф(у) - Ф(и)》(А и - 〃)vv€ W\ (9.3.122)
(как для задачи о плоском течении, так и для объёмной задачи).
Предложение 9・3.3・ Если /€ % то у неравенства (9.3.122) существует решение u W %
Доказательство этого предложения аналогично доказательству первого утверждения предложения 9.3.1, и мы его опустим.
ДРУГИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЖИДКОСТЕЙ БИНГАМА
Ламинарное течение в цилиндрической трубе
Рассмотрим цилиндрическую трубу с направляющими, параллельными оси Охз декартовой системы координат ОХ1Х2Х3. Обозначим поперечное сечение цилиндра через £ и положим 0 = Е х [0, /], где / — некоторая заданная длина. Будем изучать течение при перепаде давлений:
р = 0 при х = 0, р = -д>/ при х =厶(9・4.1)
где R》0 — падение давления на единицу длины. Предположим, что
V = 0 на Г х [0, /]>(9.4.2)
где Г — граница £・ Далее, пусть выполняются условия (9・3・1—3, 5) и (3.3.110). Ограничимся здесь случаем ламинарного течения. Тогда скорость имеет лишь одну компоненту, параллельную оси Олз, которая
зависит только от %〔 н &, а именно ? = (0, 0, из (Л хь &))• Легко показать, что единственными ненулевыми компонентами тензора D будет Ai = Аз =也」/2 и 厶з = Рз2 = ?з,2/2. То же самое верно и в отношении компонент девиатора напряжений. В предположении что /= О, уравнение движения (9.3.2) запишется в виде
Рл = 0, р,2 = 0, ”4 - 2 (ая,1 4-。纟,2)= Аз •(9.4.3)
Так как правая часть уравнения (9.4.3) зависит от х3, а левая — от xi и №, производная р,з является постоянной. Поэтому из (9.4.1) следует, что
夕(хз) = -р&Хз・.(9.4.4)
Будем искать решение данной задачи в пространстве Т/^Е). Таким образом, ставится следующая задача: найти и: [U Г] ->7/1(Е), удовлетворяющее вариационному неравенству
(е«\ V - W)+ 必(〃，V - и) + g®(u) - g①®)》(po, V - u) Vu"(£) (9.4.5)
и начальному условию
Уз(0, Хь Х2)= «0(Х1, Х2)・(9.4.6)
Мы ввели здесь обозначения
а(и, у) = j utivtidLf 3), u) = J r)ucE,(9.4.7)
Ф(у) = j |grad v|cE.(9.4.8)
Соответствующая стационарная задача формируется так: найти и € ^(Е), такое что
必(弘 у - u) + ^Ф(у) - ^Ф(м) ^ G%, у - u) vu € Я1 (Е).(9.4.9)
Следующий результат справедлив даже при нереалистичном предположении, что функция ро не является постоянной.
Предложение 9.4.1. (а) Пусть
rSq)(9.4.10)
Тогда (9.4.9) имеет единственное решение, которое минимизирует функционал
на 审(£)•на 审(£)•П(у) = ^ 必(и, u) + g①® - 3), у)П(у) = ^ 必(и, u) + g①® - 3), у)(9.4.11)(9.4.11)
на 审(£)•
на 审(£)•
П(у) = ^ 必(и, u) + g①® - 3), у)
П(у) = ^ 必(и, u) + g①® - 3), у)
(9.4.11)
(9.4.11)
(Ь) Если
Д)е 丄 2((0, 7) х Е), “оС 丄 2(2),(9.4.12)
то существует единственное и, удовлетворяющее (9.4.5, 6), такое что и€£2(07； /1(£))ПС°(07； !?(?))(9.4.13)
И
иЛ €£2(07； НТ(Е))・(9.4.14)
Доказательство. Так как форма q(么 и) коэрцитивна на 直】(£), из (2.2.3) следует, что функционал И® имеет единственный минимум на 加(Е) в точке и. В силу предложения 2.2.2 выполнено вариационное неравенство (9.4.9).
(Ь) Это утверждение ——частный случай предложения 9.3.1'. □
Так как рассматриваемый материал является вязким, то для того, чтобы началось течение, необходим перепад давлений. В работе [119] показано, что если 内 一 положительная константа, то для случая стационарного течения выполняются следующие утверждения:
(i)u = 0, если g》ро/А,(9.4.15)
(ii) и 0, если g < ро/А,(9.4.16)
где
4 =inf {各9)|ие 庁'(£), Wln(E)=l}・(9.4.17)
Доказательство этих утверждений аналогично доказательству предложения 7.2.1 (см. также (7.2.65——67)) и предоставляется читателю в качестве упражнения. Аналогичный результат можно получить и для случая нестационарного течения. Пусть ро н и。являются элементами из £?(£)・ Обозначим норму | • ”⑴ через | •历.Если
|П〔2 Wg4', где 4, = inf 体(и)|ие方i(£), |u|2 = 1),(9.4.18)
Ход I Wo 125‘g -陶2Ход I Wo 125‘g -陶2(9.4.19)(9.4.19)TO
Ход I Wo 125‘g -陶2
Ход I Wo 125‘g -陶2
(9.4.19)
(9.4.19)
u(t)二 0 при t ^ Тс = -Я— In 1 +入0〃_
где u(Z) — решение неравенства (9.4.5), а Хо — наименьшее собственное значение оператора - Д в 直〔(Е).
Для доказательства соотношения (9.4.19) положим в (9.4.5) и = 0
и у = 2〃. Используя (9.4.18), получим, что п.в. на [0, Г]
Этот результат можно получить и непосредственно, используя регуляризацию.
~^~ ~^14《)悽 + 人呼|"")В + (Е ' - 1内〔2)|〃《)12 W 0.(9.4.20)
Если u(Z) ^ 0 для почти всех Е》0, то интегрирование неравенства (9.4.20) даёт
|〃(顼2 + 才，W (|wo|2 + 7')е整V/》0,
где
彳，=g« 瓜A.(9.4.21)
Для достаточно больших значений 厶 а именно для t》Тс, где Тс определяется формулой (9.4.19), соотношение (9.4.21) не может выполняться. Поэтому для таких / мы имеем 〃«) = 0, т. е. течение прекращается. Этот результат физически вполне понятен, поскольку мы рассматриваем материал, обладающий свойством вязкости.
9・4・2・ Теплопередача при жестко-вязко-пластическом течении
Рассмотрим термомеханические задачи для жидкости Бингама. Будем считать, что вязкость 从 зависит от температуры £ = 8(х, /). (Естественное состояние жидкости, к которому отнесена температура, характеризуется нулевыми напряжениями и нулевой температурой.) Более точно, предположим, что функция 8从(8) является непрерывно
дифференцируемой и 0 < до ^ 止(6)《/и V 8 для всех 0 € IR. Помимо соотношений (9.3.1—5) и определяющего соотношения (3.3.1 ЮХ поля скоростей и температуры удовлетворяют уравнению сохранения энергии (см. (Д Ш.1)), а вектор теплового потока q =(0} и температура 8 подчиняются закону Фурье (8.1.6), где 囱 ^，〜(口) Предположим, далее, что внутренняя энергия £ и температура 8 связаны линейной зависимостью
£ =向(9.4.22)
где 7 > 0 — константа. Для температуры введём граничное условие
8 = 0 на Г X (0, Т)(9.4.23)
и начальное условие
6(х, 0) = 0о(х) при Г = 0.(9.4.24)
Положим
Х(е, и) = 2“(e)Dn(u) + g^v))172,(9.4.25)
& =际/y, 纟= 攵/у. Тогда уравнение сохранения энергии запишется в виде
禺=^ Х(6, и) + (M)J + 或(9426)
Введем ещё обозначение
。(仇 и, D = 2j /1(6)5(4)5®)Л1(9.4.27)
Заметим, чтоЗаметим, что
Заметим, что
Заметим, что
(9.4.28)(9.4.28)。(仇 и, и) + Ф(и) = 2 j Х(8, и)Л).
(9.4.28)
(9.4.28)
Рассмотрим случай плоского течения. Как и в п. 9.3.1, будем искать поле скоростей 〃 W % которое п.в. на [О, Т] удовлетворяет условию (9.3.5) и вариационному нера* венству
(qm‘，и - м) + а(仇 ы, и - м) + Е(ы, и, и - м) + 力(и) - Ф(ы)
>(/； г - ы) Vu W %i・(9.4.29) Пусть 1/а + 1/а* = 1. Введём пространство
У = “1б 3/, 3而，€2X(0 х (О, Т)), з(х, Т) = 0, з = 0 иа Г х (0, Т))・ (9.4.30)
Умножая (9.4.26) на <р € У и интегрируя, получим соотношение
(9.4.31)(9.4.31)
(9.4.31)
(9.4.31)
Для того чтобы не создавать излишних математических затруднений, предположим, что GjUj ж 0 и поэтому d8/dt = &'・ Интегрируя по частям, из (9.4.31) получим вариационное уравнение
死小”£ + 依，з(Х, 0))死小”£ + 依，з(Х, 0))▼夕 W Г (9.4.32)▼夕 W Г (9.4.32)
死小”£ + 依，з(Х, 0))
死小”£ + 依，з(Х, 0))
▼夕 W Г (9.4.32)
▼夕 W Г (9.4.32)
Поставим теперь следующую вариационную задачу: найти ы € ^ и 0 € Za(9 X (0, Т)), удовлетворяющее вариационному неравенству (9.4.29), начальному условию (9.3.5) и ва* риационному уравнению (9.4.32).
Существование решения этой задачи гарантируется следующим предложением:
Предложение 9.4.2・ Пусть 1 < а < 3/2 и /€l2(07；恥)，少 wL(Rx(0, T)), m。€外 阮€少(口).(9.4.33)
Тогда существуют м н 仇 удовлетворяющие (9.4.29, 32) и (9.3.5), такие что
ы€£2(07； %/ ы' €£2(07； ^), в € £e(9 X (0, Т))*(9.4.34)
Доказательство. Дадим лишь схему доказательства. Заменим в неравенстве (9.4.29) аргумент 8 в функции а(6, u, v - ы) на ^ € £в(0 х (0, Г)). Если считать у заданным, то, согласно предложению 9.3.1, вариационное неравенство (9.4.29) допускает единственное решение w(j) € 2/(07；名).Еслн в вариационном уравнении (9.4.32) вместо Х(仇 и) взять Х(у, "(у))，то из этого уравнения можно определить 6 как функцию от у. С помощью теоремы Шаудера о неподвижной точке можно показать, что отображение у -> в(у) имеет неподвижную точку 0о> которая и является решением нашей задачи. (Полное доказательство см. в [86].) □
Вопрос о едниственности решения для случая плоского течения, равно как и вопрос о существовании и единственности решения объёмной задачи, остаётся открытым. В то же время может быть доказан результат, аналогичный предложению 9.3.2:
Предложение 9.4.3. Пусть выполнено (9.4.33) и ы = {也)，8, & = (”)и р удовлетворяют (9.3.96—100) и (9.4.24, 32, 34), а также соотношению
Quf- 3(8)琢j),j +- wj =方-p,j(i = 1,2).(9.4.35)
Тогда (ы, 8) является решением рассматриваемой задачи. Обратно, если (и, 8) является решением задачи (9.4.29, 32), (9.3.5), то существуют 也={^) и р, удовлетворяющие (9.3.97—100) и (9.4.35).
Доказательство этого предложения аналогично доказательству предложения 9.3.2 и потому здесь не приводится.
9・4・3・ Вариационные неравенствав случае общего закона на а€ Э^(2>)
В этом пункте обсуждаются задачи, возникающие при рассмотрении общего закона (3.3.90), где функция w является неотрицательной и удовлетворяет условию w(0) = 0. Этот закон является обобщением закона Бингама для жидкостей. Из (9.3.10) и (3.3.90) следует неравенство
犷⑺-仆)》(/ 一 Q7,u - u) Vu € /on，(9.4.36)
где
Л j w(D(u))g, если w(P(v)) € 1} (0),
W{v) = , °(9.4.37)
/ оо в противном случае.
Мы изучим эту задачу, предполагая, что
%(и) =^口(？，и) + 力(?)，(9.4.38)
где a(v, и) — билинейная непрерывная коэрцитивная форма на % а 力——выпуклый п.н.сн. собственный функционал на W\. В этом случае мы приходим к вариационным неравенствам вида (9.3.26, 28). Предположение (9.4.38) выполняется, например, когда w(P) представимо в виде суммы w(P) и w(P), где w(P) — квадратичная положительно-определённая форма на IR6, a w — выпуклый п.н.сн. собственный функционал иа IR6. Далее, предполагается, что функционал Ф можно аппроксимировать на W\ с помощью последовательности выпуклых дифференцируемых по Фреше функционалов Фс, таких что
тг
j %(и)Л f j Ф(г)Л VU е 2/(07；仍)；(9.4.39)
Оо
d力£(O)/du = 0Ve > 0;(9.4.40)
для любой последовательности {%}, для которой % f и слабо в £2(07^ 必)при
£ т 0, а значения интегралов j Фе(ис)Л ограничены, в совокупности справедливо неравенство0
гт
lim inf f 力式％)或》f Ф(и)Л.(9.4.41)
Имеет место следующий результат:
Предложение 9.4.4. Если выполнены предположения (i) — (iii), то предложение 9.3.1 справедливо также для общего закона (3.3.90), где W задаётся формулой (9.4.38).
Доказательство то же, что н для предложения 9.3.1 (см. также доказательство предложения 821), н поэтому мы его опустим.
Если представить %® в виде (9.4.38) нельзя, то по-прежнему можно получать вариационные неравенства (9.3.26, 28), но с @(〃，v — и) + Ф(р) - Ф(ы), заменённым на W(v) - %(〃). Однако вопросы существования н единственности решения в этом случае остаются открытыми.
Соответствующие стационарные задачи очень напоминают задачи, изученные в § 6.1. Рассмотрим здесь стационарную задачу ламинарного течения жидкости в цилиндрической трубе прн заданном градиенте давления. Предполагается, что
wW》c(D(/D"),(9.4.42)
где с.> 0 — константа. Будем искать решение и € 力(£), такое что
%® - %(〃)》3, и - 〃) VUW 廿(Е),(9443)
где W определяется формулой (9.4.37), в котором интеграл берётся по области Е. Это вариационное неравенство имеет ту же природу, что и (6.1.11), н эквивалентно следующей задаче минимизации:
П(“)= min(n®|ue 沙(£)),(9.4.44)
где П® = W{v) - (ро,办(9.4.45)
Справедлив следующий результат: Предложение 9.4.5. У вариационного неравенства (9.4.43) существует хотя бы одно решение 〃W/?i(E). Если функция w является строго выпуклой, то это решение единственно.
Доказательство совпадает с доказательством предложения 6.1.3 н потому здесь не приводится.
Для рассматриваемой задачи можно установить результаты, аналогичные результатам § 6.1. Если вместо (9.4.42) выполняется соотношение вида
w(Z>)扌 с(р^п,(9.4.46)
где с > 0 — константа, 1 < р < оо, то можно поставить задачу решения неравенства (9.4.43) для ut v^ »i/(E). В этом случае удаётся доказать существование решения, а также некоторые двойственные утверждения. В этой связи отсылаем читателя к работе (177], где задача § 6.1 изучается в пространствах I/.
ЧАСТЬ 3Численные приложения
ГЛАВА 10
Численное исследованиестатических задач на неравенства
Цель последних двух глав — описать некоторые конкретные примеры приложения развитой выше теории. В настоящей главе обсуждаются вычислительные аспекты статических задач на неравенства.
Вначале рассматриваются задачи об одностороннем контакте и задачи с трением для материала, подчиняющегося как закону Г\каг так и общему суб дифференциальному голономному соотношению (3.3.57). Далее для последнего случая изучается задача о кручении циллиндри- ческих или призматических стержней. В заключительном параграфе главы обсуждается применение линейной теории к некоторым классам неравенств.
Во всех приложениях необходимо решать квадратичную или, в общем случае, произвольную нелинейную задачу оптимизации. В этой связи заметим, что, начиная с работы Фикеры [97], посвящённой математическому исследованию односторонней контактной задачи для линейно-упругого тела с жёсткой опорой, многие авторы применяли алгоритмы квадратичного программирования для численного решения задач на неравенства, возникающих в прикладной механике и при анализе конструкций, в то самое время как авторы, упоминавшиеся в предыдущих главах, разрабатывали математические аспекты решения этих задач.
Здесь следует подчеркнуть, что уже давно Майер [184; 185; 190; 191], Дюпюи и Пробст [80], Нитсиотас [235], Конри и Сейрег [56], Калькер и ван Ранден [157], Сэйех [299] и Фишер [100] и ряд других авторов пришли к пониманию необходимости нового численного подхода, а именно подхода, основанного на использовании алгоритмов оптимизации, при исследовании задач на неравенства. Действительно,
статические односторонние задачи формулируются как вариационные неравенства или как задачи минимизации с ограничениями, а также задачи не эквивалентны системе дифференциальных уравнений, как это имеет место в случае статических двусторонних задач. В последнем случае после дискретизации мы получаем систему алгебраических уравнений, в первом же случае ——задачу квадратичного или нелинейного программирования (в зависимости от степени нелинейности соответствующих функций энергии). При этом в некоторых задачах приходится применять алгоритмы нелинейного программирования, не использующие производных (если подлежащая минимизации функция энергии является недифференцируемой) • *
Конечно, наивно ожидать, что все односторонние задачи можно решить с помощью одного и того же алгоритма оптимизации. Выбор алгоритма существенно зависит от природы задачи, т. е. от минимизируемой функции и дополнительных условий. Этот факт и вычислительные трудности, связанные с применением алгоритмов оптимизации, объясняют, почему и сейчас исследованиям в области численного решения задач на неравенства уделяется большое внимание. В наши цели не входит подробное описание всех применяемых алгоритмов оптимизации. Интересующийся читатель может обратиться к многочисленным руководствам по квадратичному и нелинейному программированию (см., например, [143; 166]). Для проведения численных расчётов непрерывные задачи дискретизуются с помощью метода конечных элементов, и чтение настоящей главы предполагает некоторое знакомство с этим методом (см., например, [101, 67, 345]).
Всё сказанное выше относится к выпуклым функциям энергии. Невыпуклые функции энергии приводят к полувариационным неравенствам, которые после регуляризации и дискретизации приводят в свою очередь к нелинейным дифференциальным (соотв. алгебраическим) уравнениям для динамических (соотв. статических) задач [348].
При. использовании любого метода аппроксимации фундаментальной проблемой является доказательство сходимости и вывод оценок погрешности для приближённого решения. Однако эти вопросы (равно как и многие другие вопросы, связанные с процессом дискретизации) выходят за рамки настоящей монографии. К тому же строгая математическая теория аппроксимации развита пока лишь для некоторых узких классов вариационных неравенств, имеющих ограниченное практическое применение и заведомо не охватывающих все рассмотренные в предыдущих главах задачи. По этому вопросу отсылаем читателя к работам [120; 121; 131; 354; 355] и приведённой там литературе.
ЗАДАЧИ ОБ ОДНОСТОРОННЕМ КОНТАКТЕИ ЗАДАЧИ С ТРЕНИЕМ
Дискретные формы задач на минимум потенциальнойи дополнительной энергий
В различных областях техники часто используются конструкции, которые находятся в контакте с опорой, но не прикреплены к ней. При эксплуатации конструкции не исключена возможность того, что нарушится её контакт с опорой и/или конструкция начнет скользить по опоре; соответственно мы будем говорить об одностороннем контакте или о контакте с трением между конструкцией и опорой. Краевая задача с трением для линейно-упругого тела обсуждалась в гл. 5, а задача об одностороннем контакте представляет собой частный случай задачи, рассмотренной в § 6.2. В данном параграфе проводится численное исследование смешанной задачи об одностороннем контакте с трением, вначале для линейно-упругого тела, а затем для тела, удовлетворяющего соотношению (3.3.57).
В этой задаче области нагрузок, при которых конструкция сохраняет контакт с опорой, и области, где возможно скольжение, заранее не известны и, следовательно, подлежат определению.
Вначале мы обсудим отдельно задачу об одностороннем контакте и задачу с трением. Как и в п. 6.2.1, на некоторой части Гх границы конструкции рассмотрим граничное условие (3.3.7) (соотв. (3.3.10)), где jn (соотв. /г) задаётся формулой (3.3.20) (соотв. (3.3.32)). Условие (3.3.7) вместе с условием
St = Ст на Г\(10.1.1)
(где Ст задано) образует полный набор граничных условий для задачи об одностороннем контакте, а (3.3.10) вместе с условием
Sn = Cn на Г5(10.1.2)
(где C^ задано)——полный набор граничных условий для задачи с трением. Вместо (10.1.1) (соотв. (10.1.2)) можно было бы наложить на Ur, Sr (соотв. iin, Sn) и другие граничные условия, например иг = 0 (соотв. u^ = 0). Далее, разобьём тело на т элементов. Соответствующие векторы напряжения и векторы деформации обозначим §i и е, (/ = 1, ..., w). Чтобы единообразно формулировать дискретные вариационные принципы, будем описывать напряжения и деформации каждого элемента в терминах естественных обобщенных компонент напряжений и деформаций [7——9]. Обобщённые деформации не зависят от «твёрдых» движений, а обобщённые напряжения самоуравновеши-
ваются в каждом элементе.7 Этот подход оказался плодотворным при выводе дискретных вариационных принципов в теории пластичности (см. [190]).
Конфигурация конструкции описывается вектором перемещений в узлах и (в фиксированной декартовой системе координат). На части Г и (соотв. Г» границы вектор заданных перемещений в узлах (соотв. сил) обозначается через U (соотв. F). Компоненты U интерпретируются как начальные деформации в дополнительных жёстких стержнях, расположенных в узлах Ги в соответствующих направлениях. Вектор U входит как составная часть в вектор начальной деформации ео, а F ——в вектор нагрузки р, который состоит из вектора р внешних нагрузок и вектора S реакций в узлах Г^, т. е. р = [рг, Sr]r.
В геометрически линейной теории предполагается, что дискретизованная задача об одностороннем контакте описывается следующими соотношениями:
Gs = р,(10.1.3)
е = Gru,(10.1.4)
е = ео + FoS,(10.1.5)
—SnWAn(un)на Гх,(10.1.6)
Sr = Сг наГ$.(10.1.7)
Здесь G ——матрица равновесия, Gr——транспонированная к ней матрица, Fo — естественная матрица гибкости,
S^ = [S^, ..., S与J Un = tuM» • • •» unJ， где n ——число узлов на и
An(un) = [(а/м(им))‘，.. .，(а/м(им))Г]Г.
Для задачи с трением соотношения (10.1.6—7) следует заменить соотношениями (З.ЗЛО) и (10.1.2), записанными для дискретизованной конструкции в виде
—Sr € Ar(ur), Sn = C^,(10.1.8)
где
Аг(ит) = [@X(urJ)r, (a/r„(u^))r]r.
В качестве дополнительных условий следует взять уравнения, связыва-
'См. также [276], где указаны векторы м, е(- для шарнирно соединённых стержней, балок, треугольных и четырёхугольных элементов (силы действуют в плоскости элементов), пластин, тетраэдров (сплошных) н т. д.
ющие Un, иг и Sn, Sr с и и S соответственно. Запишем эти уравнения в виде
Sn = Q§, Sr = Rs, un = Nu, Ur = lu,(10.1.9)
где Q, R, N и T — соответствующие матрицы. Как и выше, можно проверить7, что для дискретной задачи об одностороннем контакте условие минимума потенциальной энергии (см. (6.2.8)) записывается в виде
П1(и) = тш{П1(¥)17^(¥№) < оо V/ € Гх, ▼% = Nv, vr = Tv). (10.1.10)
Здесь
IIi(v) = j vrKv + ①(▼# - frv - Crvr,(10.1.11)
где К = GFqGt—матрица жёсткости конструкции,①(vn) — потенциальная энергия опоры, определяемая по формуле
①"n) = Z /м(，м)，(10.1.12)
а
f = fl + fo = [g] + fo, fo = GF6&.(10.1.13)
Отметим, что условие (10.1.10) выполняется для всех моделей перемещений (скажем, для модели с обобщёнными координатами для интерполяционной модели). Значения К и fo, соответствующие данной модели (см., например, [67; 345]), будут учтены в (10.1.11). Условие минимума дополнительной энергии (см. (6.2.41)) принимает вид H；(s) = min{nf(t)lGt = р, Тг= Ст,丿就(一丁修)< оо
V/CTs, Tn = Qt, Тг = Rt), (10.1.14) где G = [GrlGr]r и
П?(1) = I trFot + $c(-Tn) + ejt.(10.1.15)
Здесь Фс есть часть дополнительной энергии, связанная с граничными условиями на Гх и задаваемая формулой
① с( —Tn)=玄乐(—Тм)・(Ю.1.16)
Дополнительные условия /n(un) V 8 и j尿-Tn〉＜ 8 эквивалентны условиям им《0 и 现《0 соответственно, если на Гх выполнены условия Синьорини — Фикеры (т. е. если опора жёсткая). В этом случае в (10.1.10) и (10.1.14) не появляются соответственно члены ①(u# и ①с( —Tn)・ Для краевой задачи с трением условие минимума потенциальной энергии (см. (5.2.1)) для дискретизованной конструкции имеет вид
П2(и) = min{Il2(v)l v^ = Nv, vr = TV),(10.1.17)
где
n2(v) = 1 vrKv + S д1С№1 Ьт；.1 - frv - C^VN. (10.1.18) .2( = 1
Аналогично условие минимума дополнительной энергии (см. (5.3.8)) записывается в виде
ni(s) = min{ni(t)IGt = р, Tn=Cn,丨 丁野丨《付9巾
ViWFs, Tn= QL Tr= Ri}, (10.1.19) где
項⑴=I trFot + eji.(10.1.20)
Если для каждого элемента вместо закона Гука выполняется некоторое субдифференциальное соотношение, т. е. если
& W - eoi),(10.1.21)
где w ——выпуклый п.н.сн. собственный функционал, то утверждения о минимуме потенциальной и дополнительной энергий по-прежнему справедливы (см. §6.3). Потенциальная и дополнительная энергии П1 и fl： для задачи об одностороннем контакте равны соответственно
fli(v)=力(V)+ $(VN)- f" - Crvr(10.1.22)
И
居⑴=疗⑴ + фс(-1\) + 隙，(Ю.1.23)
где
犷(▼) = Z Wj®(¥)- eOi)(10.1.24)
疗⑴=S w*ti)・(10.1.25)
Решение u (соотв. s) задачи минимизации ищется на тех же допустимых множествах, что и в задаче (10.1.10) (соотв. (10.1.14)), но должно ещё удовлетворять соотношению
w『(e『(v) - ео/) < о© (соотв. wf(t/) < 8), / = 1, т.
Для граничных условий с трением потенциальная энергия равна
Пг(V)= %(v) + Z д IС^ I I иг； I — f" — С耳▼№(10.1.26)
1
Решение задачи минимизации должно удовлетворять дополнительным условиям из (10.1.17), а также неравенствам w,(ei(v) - еш) < 8, i = L …，m. Дополнительная энергия имеет вид
Ш(0 =疗⑴ + ejt.(10.1.27)
В точке её минимума должны быть выполнены дополнительные условия из (10.1.19), а также неравенства wf(t/) < оо, / = 1, ..., т. Граничные условия, учитывающие одновременно оба фактора — односторонний контакт и трение,——имеют следующий вид (см. п. 3.3.1):
если u^ < 0, то S% = 0 и St = 0,(10.1.28)
если u^ > 0, то -SnWSM^n)；
если ISrl < дISnL то Иг = 0,(10.1.29)
если ISrl = дlS^I, то существует такое X》0, что 以г = -XSr.
Эти условия означают, что в тех точках, где контакта между телом и опорой нет, нет и силы реакции, а в точках контакта имеются нормальная реакция S^€ -Si(〃n) и сила трения, действующая в касательном к опоре направлении. Для этой задачи сформулировать вариационное неравенство относительно перемещений или напряжений нельзя, поскольку Sn в (10.1.29) не задано. В [241; 249] предложен эвристический алгоритм для численных расчётов. На первом шаге мы предполагаем, что S$)= 0 на Гх, и, решая задачу об одностороннем контакте, получаем нормальную реакцию Sn на 1\・ На втором шаге мы решаем задачу с трением для Cn = S$)и получаем соответствующее значение Sr, которое обозначим через S兇 Теперь снова решаем задачу об одностороннем контакте для Сг = S^\ и т. д., пока разности S华今"-S华) и S贸+ D _ s*) не станут достаточно малыми. В этой связи см. также [90; 232].
Приложения
В качестве первого приложения рассмотрим задачу о контакте для линейно-упругой пластины, изображенной на рис. 10.1.1. Пластина покоится на жёсткой опоре, так что должны быть выполнены граничные условия Синьорини ——Фикеры. Задача минимизации потенциальной
Рис. 10.1.1. Задача Синьориии — Фикеры для квадратной пластины (£ = 4,5 • 103 кН/см2, у = 0.20, Ст = 0).Рис. 10.1.1. Задача Синьориии — Фикеры для квадратной пластины (£ = 4,5 • 103 кН/см2, у = 0.20, Ст = 0).
Рис. 10.1.1. Задача Синьориии — Фикеры для квадратной пластины (£ = 4,5 • 103 кН/см2, у = 0.20, Ст = 0).
Рис. 10.1.1. Задача Синьориии — Фикеры для квадратной пластины (£ = 4,5 • 103 кН/см2, у = 0.20, Ст = 0).
энергии приводит к квадратичной задаче оптимизации» которая решается с помощью алгоритма Хильдрета и д'Зсопо (см. [166]). Этот алгоритм пригоден для нахождения минимума строго выпуклых квадратичных функций при дополнительных условиях вида равенств и неравенств и представляет собой итеративный метод, являющийся по существу модификацией классического алгоритма Гаусса ——Зайделя для решения систем линейных уравнений. Результат применения алгоритма представлен на рис. 10.1.2.
Рис. 10.1.2. Диаграмма контактных напряжений.
8.0м8.0м6.0м6.0м
8.0м
8.0м
6.0м
6.0м
Ь)
(АЕ) \ (CD) — область контакта
(АВ) —трение скольжения
(ВС) и (DE) — статическое трение
Рис. 10.1.3. Односторонняя контактная задача с трением для вертикальной рамы(р2 = 2pi = 2 • 104 Н/м; Е = 2.05 • 103 кН/см2 прн £ & 5%о； Е = 1.80 • 103 кН/см2прн с > 5%о； для перекладин и стоек 尸=0.40 • 0,45 м2, для опорной перекладины/ = 10-2 м* 尸=2 м\ д = 0.50).
В качестве второго приложения рассмотрим задачу о контакте с трением для нелинейно-упругой рамы, изображённой на рис. 10.1.3(a) [249]. Балочные элементы рамы имеют кусочно-линейную диаграмму деформация — напряжение, а балка, лежащая в основании, находится в одностороннем контакте с грунтом, воздействие которого на раму описывается 5^илгдиаграммой, приведённой на рис. 10.1.4. Численные расчёты были проведены с помощью алгоритма гибкого допуска Па- виани и Химмельблау [143]. Необходимость применения алгоритма минимизации, в котором не используются производные, связана с на-
Балочный элемент (см. рис. 10.1.3)
КГ'М [кНм!
(1)
(2).
(3)
1 - 17
-83.38 -37.28
-70.63 -20.60
-50.03 -31.39
17 - 18
-48.070.00
-39.240.00
-44.14 - 1.96
18 - 19
81.42 90.25
74.56 93.20
78.48 93.20
6-16
-69.65 -68.67
-70.65 -63.76
-73.58 -68.67
10 - 11
-48.07 - 8.83
-44.14 -17.66
-34.34 -19.62
Рис. 10.1.4. График зависимости Sn от un и сравнительная таблица значений М для некоторых балочных элементов рамы, изображенной на рис. 10.1.3, при различных предположениях о контакте: (1) односторонний контакт с треиием; (2) односторонний контакт без трения; (3) классический метод.
личием недифференцируемых членов в выражении для потенциальной энергии. Главная особенность указанного алгоритма состоит в том, что улучшение значения целевой функции проводится как с помощью допустимых, так и с помощью почти-допустимых точек (точек, не принадлежащих области допустимых значений). Одно из достоинств этого метода состоит в том, что мы не тратим машинное время на то, чтобы следить,не вышли ли мы из области допустимых значений. На рис. 10.1.3(b) изображены получающиеся диаграммы нормальных и касательных перемещений.
Здесь рассматривались только выпуклые потенциалы (см. §4.3.)・ Обширная литература посвящена исследованию различных классов задач о контакте с помощью метода конечных элементов. В этом случае вначале с помощью связующих элементов приближённо моделируются условия контакта, а затем применяется метод приращений или метод проб и ошибок. Более подробную информацию по этому вопросу читатель может найти, например, в [139; 114].
КРУЧЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХИЛИ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙС ВЫПУКЛОЙ ЗАВИСИМОСТЬЮ ПЛОТНОСТИПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ОТ ДЕФОРМАЦИИ
Постановка задачи
В этом параграфе изучается задача о кручении цилиндрических или призматических стержней, удовлетворяющих общему суперпотенциальному определяющему соотношению (3.3.57). Проводимые ниже рассуждения представляют собой конкретизацию рассуждений § 6.1 применительно к задаче о кручении. Классы материалов, описываемые рассматриваемым здесь суперпотенциальным соотношением, обсуждались в п. 3.3.2.
Пусть R — открытая ограниченная односвязная область в fR3, занимаемая стержнем в недеформированном состоянии. Стержень отнесён к фиксированной декартовой системе координат ОХ1Х2Х3. Обозначим через Е поперечное сечение стержня, параллельное плоскости 0xiX2, а через Г?——его границу, которая предполагается регулярной. Пусть Г/ — боковая поверхность стержня, а Го и Г* — поперечные сечения, отвечающие хз = 0 и Хз =力,где й ——длина стержня (рис. 10.2.1).
Стержень скручивается под действием момента М приложенного к верхнему концу Гй стержня; нижний конец стержня закреплён. Чтобы упростить задачу, предположим, что возможно свободное искрив-
Рис. 10.2.1. Задача о кручении цилиндра.Рис. 10.2.1. Задача о кручении цилиндра.
Рис. 10.2.1. Задача о кручении цилиндра.
Рис. 10.2.1. Задача о кручении цилиндра.
ление поперечного сечения в Хз-направлении. Краевая задача о кручении ставится так: найти для данного угла кручения а поле напряжений 。=<^у), поле деформаций £ = {£(/} и поле перемещений u = {uj} (/, 丿=1, 2, 3), удовлетворяющие соотношениям (6.1.2, 3) и
OiJJ = °
(10.2.1)
в Q и граничным
условиям
^|1Л1 + s2 k2
=0 (z = 1, 2, 3)
на
Г/,
(10.2.2)
033 = 0
на
ГоОГл,
(10.2.3)
Ui = U2 = 0
на
Го,
(10.2.4)
W1 = -OV2,
以 2 = avi
на
Гл,
(10.2.5)
где л = {/и, пг}——орт внешней нормали к Г/. Эта краевая задача является частным случаем задачи, рассмотренной в п. 6.1.1, и потому применимы предложения 6.1.4 и 6.1.5 о минимуме потенциальной и дополнительной энергий7. Отсюда следует, что поле перемещений 以 минимизирует потенциальную энергию
口(〃)= j w(£(〃))dfi(10.2.6)
на множестве идоп всех кинематически допустимых полей перемещений (см. (6.1.9)), а поле напряжений о минимизирует дополнительную энергию
1Г((0 = j M((r)dD - a j (Х22з - Х2бз)〃1 必2(10.2,7)
огА
на множестве Едоп всех статически допустимых полей напряжений (см. (6.1.27)). Множество 仆^口 (соотв. Едоп) определяется дополнительными условиями (10.2.4, 5) (Соотв. (10.2.1—3)), а также неравенством w(c(u)) < оо (соотв. М(с) < 8)(обратите внимание на различие между (10.2.6, 7) и (6.1.10, 29)). Случай упруго-идеально-пластичного материала (см. (3.3.83)) подробно изучен в [118; 170; 316]. Для однородного и изотропного материала, подчиняющегося критерию текучести Мизеса, поле напряжений о, минимизирующее ГТ, удовлетворяет (см. [170]) соотношениям
все оу (/,丿=1, 2, 3), кроме ств и 欠3, равны 0 в й, (10.2.8)
ВАЗ = 0 в(10.2.9)
/ В нашем случае FuUFfH 0, но этот факт не использовался при доказательстве указанных предложений.
Этот факт позволяет ввести функцию напряжений феН1^), что приводит к простой вариационной постановке задачи. Для общего определяющего соотношения (6.1.3) такой результат пока не установлен, и потому для того, чтобы ввести функцию напряжений, мы предположим, что выполнены соотношения (10.2.8). В большинстве технических приложений такое предположение оправдано. Из (10.2.1, 8) получаем (10.2.9) и
013,1 +023,2 = 0,(10.2.10)
и, значит, можно ввести функцию напряжений W = W(M, Xi), такую что
牲=оз 牲=-欠3 в Е.(10.2.11)
Поскольку вектор напряжений касателен к Ге, то rf^ = 0 на Ге, и из (10.2.11) следует, что можно считать ^ = 0 на Ге. Далее, определим функционал 饱с , положив 饱。(屮)=叩°(。(屮))・ Задача минимизации дополнительной энергии записывается так:
пс(^) = тт{Пс(^°)1^°€Ёдоп),(Ю.2.12)
где
Пс(^) = J wc(^)d« - 2a j 屮亦，(10.2.13)
ед。П= {仪1 仪 W*(?),概(川)<8}.(10.2.14)
В частном случае упруго-идеально-пластичного материала, подчиняющегося критерию текучести Мизеса, задача (10.2.12) принимает вид
五渺)= min{fl 泡 °)1 仪 W 加(£), Igrad 川丨 <g},(10.2.15)
где
五:(屮)=л j (grad w)2亦-淨丁 j 阿Е.(10.2.16)
Для этой задачи между областями упругости (Igrad 屮1 < g) и пластичности (Igrad 山1 = g) в поперечном сечении образуется свободная граница. Если 山 получено для данного а как решение задачи минимизации (10.2.12), то соответствующий крутящий момент М выражается
формулой
М = 2 j WdE・(10.2.17)
Обобщение полученных выше вариационных принципов на случай многосвязных поперечных сечений требует лишь незначительной модификации проведённых выше рассуждений (см. [169]).
Дискретизация и численные примеры
Численные расчёты проводятся путём применения того или иного алгоритма минимизации к функционалам энергии после дискретизации непрерывной задачи с использованием метода конечных элементов. Поперечное сечение Е разбивается на Q элементов £9, 1《g《Q. Пусть N—общее число узлов Pn, 1《寿《N, из которых N' лежат внутри сечения Е, а остальные ^ - ^/—на его границе Ге (рис. 10.2.2).
В разбираемых ниже примерах выбраны треугольные элементы, и в каждом из них функция напряжений аппроксимируется линейным полиномом. Пусть ^ (X = 1, 2, 3) — значения 屮 в вершинах элемента 品. Тогда имеет место соотношение
з
W(X1, Х2)= Z 力(Х1, Х2)肪，(10.2.18)
X — 1
где 力 =1 в Х-м узле и /^ = 0 в остальных узлах элемента Eq и вне него. Надо найти значения 必,которые минимизируют Пс. Подставим в (10.2.12) функцию 炉 из (10.2.18) и рассмотрим векторы
土 =就，№]т и W=[Wi,^Nf]T, которые связаны соотношением
Здесь S — матрица размера 3Qx N' из нулей и единиц, учитывающая связи между элементами и граничные условия. Если записать (10.2.18) для всех элементов в виде
^(xi, Х2)= f^V,(10.2.19)
где f = [/Км, Х2), • • •,九(х“ X2)L то дискретизованная форма (10.2.12) выглядит так:
丽)=min｛丽 °) I % £ E^oj,(Ю.2.20)
где
fl§(^) = fFfsw),(10.2.21)
а Ёд0П — дискретизованный вариант множества Ёдоп. Дополнительное условие й>с(^) < оо в Е в дискретизованной задаче может выполняться в определённых точках элемента Eq, или в его центре тяжести, или в какой-нибудь интегральной форме, например:
(j I wc(^d(xi, X2))ldXidx2)l£j 7 V 8,
где \Eq\ —площадь элемента %
Вопрос о сходимости решения полученной конечномерной задачи обсуждался [120] лишь для случая голономного упруго-идеальнопластического закона. Численное решение задачи (10.2.20) получено с помощью алгоритма нелинейной оптимизации. Как и в § 10.1, применялся метод гибкого допуска Павиани и Химмельблау.
Рис. 10.2.3. Данные для двух разбираемых в тексте примеров: Sf 42/50, а = 12 см, А = 1 м, G = Е/2(1 + у) = 83.36 кН/мм2, g = 23.78 кН/см2.
В качестве численных примеров рассмотрим стальные стержни, у которых поперечное сечение представляет собой соответственно равносторонний треугольник и квадрат (рис. 10.2.3). Пусть материал стержня является упруго-идеально-пластичным и удовлетворяет критерию текучести Мизеса (голономная теория).
Итак, мы имеем дело с задачей минимизации (10.2.15). После дискретизации применяем метод гибкого допуска. Условие Igrad ^1 Wq выполнено для каждого элемента. Для данного угла кручения а вычисляем функции напряжений 屮 и крут5пций момент М. На рис. 10.2.4 представлены графики зависимости крутящего момента М от угла кручения на единицу длины D = а/力 для обоих случаев. Момент МЕ (соотв. Мр), для которого в некоторых точках поперечного сечения достигается предел текучести (соотв. всё сечение становится пластическим), в случае треугольного сечения равен 20.80 кНм (соотв. 33.75 кНм). Эти моменты отвечают углам кручения на единицу длины De = 0.06 рад/м и Dp = 0.20 рад/м. В случае квадратного сечения МЕ = 88.25 кНм для DE = 0.04 рад/м и Мр = 136.30 кНм для Dp = =0.22 рад/м.
Для проверки полученных численных результатов вычислим значения МЕ и Мр по формулам прикладной теории упруго-пластичности [278]. В случае треугольника получаем МЕ = ga3/20 = 20.54 кНм,
00.2 0.4 0.6 0 8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2103 Z)[рад/см]
№
D
м
0.0002
7.20
0.0004
13.90
0.0006
20.80
0.0008
25.70
0.0010
28.95
0.0012
30.51
0.0014
31.23
0.0016
31.90
0.0018
32.50
0.0020
33.75
2 °
4
6 °
°'
2.0
2
2
103 D [рад/см]
Рис. 10.2.4. Графики зависимости Л/ от D (а) длятреугольного, (Ь) для квадратного сечения.
D
м
0.0002
47.55
0.0004
88.25
0.0006
118.95
0.0008
126.35
0.0010
129.52
0.0012
131.05
0.0014
132.10
0.0016
133.55
0.0018
134.80
0.0020
135.40
().0022
136.30
M 二 7.20
。二 0.0002
М = 20.80
D = 0.0006
М = 25.70
D = 0.0008
М = 28.95
。=0.0010
А А А А
М 二 30.51М = 31.90М - 32.50М = 33.75
。二 0.0012О = 0.0016О = 0.0018勿=0-0020
Рис. 10.2.5. Области пластичности и упругости.Рис. 10.2.5. Области пластичности и упругости.Sk 4Sk 4418，"7418，"7
Рис. 10.2.5. Области пластичности и упругости.
Рис. 10.2.5. Области пластичности и упругости.
Sk 4
Sk 4
418，
"7
418，
"7
М = 88.25Р 二 0.0004М = 88.25Р 二 0.0004М = 118.95О = 0.0006М = 118.95О = 0.0006М 二 12635Р = 0.0008М 二 12635Р = 0.0008М 二 129.52О = 0.0010М 二 129.52О = 0.0010
М = 88.25
Р 二 0.0004
М = 88.25
Р 二 0.0004
М = 118.95
О = 0.0006
М = 118.95
О = 0.0006
М 二 12635
Р = 0.0008
М 二 12635
Р = 0.0008
М 二 129.52
О = 0.0010
М 二 129.52
О = 0.0010
Як /%WX /"му”^«SkW NЯк /%WX /"му”^«SkW NR、 ■R、 ■
Як /%
WX /"му”
^«Sk
W N
Як /%
WX /"му”
^«Sk
W N
R、 ■
R、 ■
M 二 132.10D = 0.0014M 二 132.10D = 0.0014M 二 133.55P = 0.0016M 二 133.55P = 0.0016M = 134.80Z) = 0.0018M = 134.80Z) = 0.0018M 二 136.30Z)二 0.0022M 二 136.30Z)二 0.0022
M 二 132.10
D = 0.0014
M 二 132.10
D = 0.0014
M 二 133.55
P = 0.0016
M 二 133.55
P = 0.0016
M = 134.80
Z) = 0.0018
M = 134.80
Z) = 0.0018
M 二 136.30
Z)二 0.0022
M 二 136.30
Z)二 0.0022
Рис. 10.2.6. Области пластичности и упругости.
МР = ga3/12 = 34.24 кНм, а в случае квадрата МЕ = (1/1.585) ga3/3 = =86.42 кНм, Мр = gM/з = 136.98 кНм.
На рис. 10.2.5 и 10.2.6 показан рост областей пластичности при возрастании Z> и М, а на рис. 10.2.7—10.2.10 представлены значения
33.75
0.0020
厶
W
^теор
Е,
t7灯
«23
А
Ша]
1
40.10'
40.02
7
19.90
-41.36
2
32.61
33.84
2
47.95
-41.36
3
Зв.70
37.96
5
47.95
-55.82
4
19.65
19.91
4
73.86
-26.42
5
28.16
28.45
5
75.30
-55.82
6
31.80
31.20
6
123.10
-26.42
7
5.43
5.98
7
75.30
-50.85
8
13.15
13.24
8
123.10
-28.25
9
17.20
17.46
9
152.48
-9.48
10
18.96
18.93
10
65.14
-50.85
11
0.00
0.00
11
152.68
-28.25
12
0.00
0.00
72
201.80
9.48
13
0.00
0.00
13
65.14
0.00
14
0.00
0.00
14
152.68
0.00
15
0.00
0.00
15
201.80
0-00
/6
233.48
0.00
& 二 20.80
De 二 0.0006
сечения. Значения 屮,^геор, ств и бз для М = М£.
匕
W
Eq
^ 131°23
[МПа]
1
69.35
/
94.08
-39.26
2
55.30
2
167.36
-39.26
3
61.20
3
167,36
-39.26
4
34.85
4
235.46
0.00
5
40.80
5
167.75
-39.26
6
40.80
6
235.46
0.00
7
14.62
7
167.75
-39.26
8
20.38
8
235.46
0.00
9
20.38
0
235.46
0.00
10
20.38
/0
167.75
-39.26
11
0.00
11
235.46
0.00
12
0.00
12
235.46
0.00
13
0.00
/3
167.75
0.00
14
0.00
/4
235.46
0.00
15
0.00
/5
235.46
0.00
/б
235.46
• 0.00
Рис. 10.2.8, Случай треугольного сечения. Значения 屮,ств и о^з для М = Мр. Теоретиче-ское значение получается при 0P -* ℃.)
mw
/= 88.25
/)Е= 0.0004
рп
Ед
023
[МПа]
1
72.31
/
36.00
-24.78
2
63.15
2
73.75
-24.78
3
66.80
3
73.75
-59.45
4
43.05
4
79.17
-19.40
5
52.00
5
10.01
-59.45
6
55.05
6
135.35
-19.40
7
17.25
7
108.11
-64.28
8
26.70
8
135.35
-32.27
9
31.62
9
144.01
-10.62
10
33.21
10
115.41
-64.28
11
0.00
11
179.72
-31.27
12
0.00
12
212.19
-10.62
13
0.00
13
115.41
0.00
14
0.00
14
179.72
0.00
15
0.00
/5
212.19
0.00
/6
222.69
0.00
Рис. 10.2.9. Случай квадратного сечения. Значения U, бз и бз для М 二 ME
/= 136.30
Рр = 0.0022
Рп
W
G
° 13
〃3
[МПа]
1
130.90
/
166.87
0.00
2
105.98
2
235.40
0.00
3
105.98
235.40
0.00
'4
70.78
4
235.40
0.00
5
70.78
5
235.40
0.00
6
70.78
6
235.40
0.00
7
35.62
7
235.40
0.00
8
35.62
8
235.40
0.00
9
35.62
9
235.40
0.00
10
35.62
10
235.40
0.00
11
0.00
Н
235.40
0.00
12
0.00
12
235.40
0.00
13
0.00
13
235.40
0.00
14
0.00
/4
235.40
0.00
15
0.00
/5
235.40
0.00
/6
235.40
0.00
Рнс. 10.2.10. Случай квадратного сечения. Значения U, ап и а2з для М = Мр. (Теоретиче-ское значение получается при Dp т 8.)
屮(в некоторых случаях для сравнения приведены значения ^теор，полученные методами теории упругости) и значения о^з, &з для М£ и
Отметим, что применение алгоритмов оптимизации для решения
задачи об упруго-пластическом кручении позволяет непосредственно определить свободную границу между упругой и пластической областями для данного угла кручения. В классической теории упругопластического кручения это можно сделать, за исключением небольшого числа случаев (сечений определённой формы) лишь с помощью метода проб и ошибок или метода «аналогии с кучей песка» [275]. В [250] эта задача решена в предположении, что геометрические и физические параметры стержня являются случайными величинами. Для решения получающегося при этом стохастического неравенства применяется комбинация детерминированного алгоритма оптимизации с методом Монте-Карло (см. [222; 247; 92], а также [223], где обсуждается идеология такого подхода). В приведённых выше примерах использовались голономные величины. Аналогичные варйационные соотношения можно получить также для случая, когда (6.1.3) заменяется на (3.3.98) (см. [170]).
ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИК НЕКОТОРЫМ КЛАССАМ НЕРАВЕНСТВ
Описание метода
Во многих практических приложениях возникают односторонние задачи с большим числом неизвестных, скажем в случае конструкций, покоящихся на ненапряженных упругих основаниях, цилиндрических труб, уложенных в грунт, нитевых конструкций и т. д. Все эти задачи являются нелинейными даже в случае линейной упругости и небольших деформаций, поэтому методы классической линейной теории здесь неприменимы. Предпринимались многочисленные попытки модифицировать эти методы так, чтобы они стали пригодны и для решения односторонних задач. Например, многие авторы, занимавшиеся статическим анализом контактных задач, предполагали, что зона контакта задана, или решали задачу, используя итеративные методы, скажем метод проб и ошибок (см. [336; 294; 23 7; 149; 264]). Однако при этом сходимость итерационной процедуры к правильному решению не всегда обеспечена, поскольку зона контакта заранее неизвестна (соответствующий пример можно найти в [299]).
С другой стороны, метод приращений для решения односторонних задач требует чрезмерных вычислительных затрат и к тому же даёт весьма неточные решения, если приращения нагрузки не соответствуют изменениям статического состояния конструкции.
Применение метода конечных элементов к решению односторонних задач приводит, как мы уже видели, к задачам дискретной оптимиза-
ции с многими неизвестными, для численного решения которых нужны эффективные алгоритмы оптимизации. Однако большинство этих алгоритмов эффективны только для задач с небольшим числом неизвестных. Кроме того, существенным недостатком является и то, что нельзя использовать программное обеспечение общего назначения, разработанное для решения задач линейной теории упругости.
Ниже предлагается метод, позволяющий для некоторых типов односторонних задач получать численное решение без использования алгоритмов оптимизации. Этот метод пригоден лишь для односторонних задач, приводящих к задаче квадратичного программирования с дополнительными условиями в виде линейных неравенств [256]. Отметим, что с точки зрения практических приложений этот класс односторонних задач является наиболее важным (см. § 10.1). Метод основан на результатах Тейля и ван де Панне (см. [166]) и состоит в замене односторонней задачи на ряд классических двусторонних задач. Упомянутые выше результаты Тейля и ван де Панне позволяют построить итерационный процесс так, чтобы была обеспечена сходимость к решению исходной односторонней задачи. Таким образом, существующее программное обеспечение для решения задач линейной теории упругости может быть использовано без каких-либо изменений, и для исследования односторонних задач с многими тысячами неизвестных можно применять стандартные программы для решения линейных уравнений, что для большинства алгоритмов оптимизации невозможно.
Рассмотрим следующую задачу квадратичной оптимизации7: найти
min｛尸(q) = ^ q^Aq + q'pla为《％, j€ 60), (Ю.3.1)
где 6o обозначает множество индексов 1, 2, ..., т, А — положительно-определённая матрица (в [256] рассмотрен случай положительно- полуопределённой матрицы А), например матрица жесткости или гибкости, р — вектор нагрузки или начальной деформации, q — вектор неизвестных переменных. Неравенства, фигурирующие в (10.3.1), будем называть односторонними ограничениями. В случае если должно выполняться не неравенство, а равенство, соответствующее ограничение называется ограничением-равенством (или ограничением типа равен-
/ Мы выбрали здесь обозначения q, А, р и т. д., так как q может быть либо вектором перемещений (например, в задаче Синьорини — Фнкеры для линейно-упругого тела, когда минимизируется потенциальная энергия), либо вектором напряжений (например, в задаче с трением из п. 5.1.1, когда минимизируется дополнительная энергия).
ства). Если условие a/q《bj заменяется условием a/q g 勿，то говорят, что одностороннее ограничение заменено соответствующим двусторонним ограничением. Решение задачи (10.3.1) обозначим q. Пусть $ — множество индексов, соответствующих ограничениям, которые выполняются для q в виде равенства, т. е. таких, что 确=勿.Далее, обозначим через q° и q6 решения задач
min(P(q))(10.3.2)
и
min( P(q)l a/q = bj, j W3 U 80}(10.3.3)
соответственно. Задача (10.3.3) получается из задачи (10.3.1), если 丨3丨 односторонних ограничений выполняются в форме равенств, а 16о \ 51 односторонних ограничений заменены двусторонними7. Наконец, пусть P(q) — множество индексов, соответствующих ограничениям, которые не выполнены для вектора q, т. е. таких, что a/q > 勿.
Приведём следующие результаты Тейля и ван де Панне (для краткости без доказательств):
Предложение 10.3.1. Имеет место равенство
q = q,(10.3.4)
Предложение 10.3.2. Если q = q^ и 6 5^ 0, то для всякого подмножества 3 U $ (в том числе и для 3=0)
力 £ P(q‘)по крайней мере для одного й € 6 \ 6.(10.3.5)
Предложение 10.3.3. Если p(q§) = 0 и /z£P(q"W) V/z £ 3, то q….
Из этих теорем следует, что если для решения q° задачи без ограничений (10.3.2) не выполнены некоторые ограничения, то по крайней мере одно из этих ограничений выполняется в виде равенства для решения q задачи (10.3.1).
Если для решения q6 задачи (10.3.3) не выполнены некоторые ограничения, то по крайней мере одно из этих ограничений выполняется в виде равенства для решения q.
Решение q5 задачи (10.3.3), удовлетворяющее всем ограничениям исходной задачи (10.3.1), является искомым решением q тогда и только тогда, когда для каждого 力£3 вектор #、〔川 не удовлетворяет «опущенному» ограничению.
Здесь 131 обозначает число элементов множества 3.
Эти результаты дают первое приближение (а именно, решение задачи без ограничений), правило получения следующих приближений и, наконец, критерий для проверки на оптимальность различных решений q6. Отметим, что вектор q6, для которого P(q') = 0 (т. е. вектор, для которого выполнены все ограничения), не обязательно является решением односторонней задачи. Это последнее замечание демонстрирует различие между предлагаемым методом и обычным методом проб и ошибок.
Замена исходной односторонней задачи конечной последовательностью классических двусторонних задач (которые в свою очередь сводятся к задачам минимизации (10.3.2, 3) без ограничений или с ограничениями типа равенства) позволяет использовать стандартное программное обеспечение, поскольку задачи вида (10.3.2, 3) приводят к системам линейных уравнений. Односторонняя конструкция ведёт себя так же, как и двусторонняя. Чтобы применить описанный метод, надо в каждой задаче определить односторонние ограничения, двусторонние ограничения и ограничения типа равенства. Пусть, например, речь идет о линейно-упругой конструкции, содержащей нитевые элементы (см. (3.3.65) и § 11.1), которые не работают на сжатие (т. е. £》0). Одностороннее ограничение превращается в двустороннее заменой соответствующего нитевого элемента стержневым элементом того же сечения. Ограничение типа равенства осуществляется путём «отсечения» соответствующего нитевого элемента. В задаче о контакте деформируемого тела с жёсткой опорой должно быть выполнено одностороннее ограничение 〃川《0 (см. (3.3.22)). Ограничение типа равенства означает приведение в соприкосновение (〃“ = 0), а двустороннее ограничение — удаление опоры (〃“ 建 0).
С вычислительной точки зрения для исследования двусторонних конструкций можно использовать любую программу, реализующую метод конечных элементов. Введение ограничений типа равенства в задачу без ограничений (10.3.2) приводит к несимметричности матриц, от которой можно избавиться с помощью некоторых операций, предложенных в [64].
Приложения
В качестве первого примера рассмотрим задачу об одностороннем контакте для круглой линейно-упругой пластины, покоящейся на жестком основании. Пластина нагружена равномерно распределённой нагрузкой q и изгибающими моментами М вдоль края (рис. 10.3.1). Такие условия имеют место, скажем, для края днища цилиндрического
10X0.03 м10X0.03 м50X0.06 м50X0.06 м30X0.08 м30X0.08 м5X0.06 м5X0.06 мРис. 10.3.1. Односторонняя контактная задача для круглой плстины «= 0.06 м, г~ 6 м, р = 0, £" = 2.1 • 108 кН/м2, q = 0.6 кН/м2, К = Е й/12 (1 — у2)).Рис. 10.3.1. Односторонняя контактная задача для круглой плстины «= 0.06 м, г~ 6 м, р = 0, £" = 2.1 • 108 кН/м2, q = 0.6 кН/м2, К = Е й/12 (1 — у2)).
10X0.03 м
10X0.03 м
50X0.06 м
50X0.06 м
30X0.08 м
30X0.08 м
5X0.06 м
5X0.06 м
Рис. 10.3.1. Односторонняя контактная задача для круглой плстины «= 0.06 м, г~ 6 м, р = 0, £" = 2.1 • 108 кН/м2, q = 0.6 кН/м2, К = Е й/12 (1 — у2)).
Рис. 10.3.1. Односторонняя контактная задача для круглой плстины «= 0.06 м, г~ 6 м, р = 0, £" = 2.1 • 108 кН/м2, q = 0.6 кН/м2, К = Е й/12 (1 — у2)).
резервуара. Пластина дискретизуется с помощью осесимметричных двумерных элементов, а по толщине делится на два слоя. Для того чтобы сравнить результаты вычислений с аналитическим решением, полученным в [315], рассмотрим случай малого отношения толщины Г к радиусу г и достаточно мелкое, особенно около центра пластины, разбиение на элементы (рис. 10.3.1). Первым шагом является вычисление для случая а = 1 решения задачи о свободно опёртой круглой пластине. Здесь сняты все ограничения. На следующем шаге рассматриваются ограничения-равенства одновременно во всех точках между х = 0.0м и х = 3.3м. Поскольку соответствующее решение не удовлетворяет критерию оптимальности, повторяем эту процедуру, пока для х = 3.7 не получим решение, которое удовлетворяет критерию оптимальности и поэтому служит решением односторонней задачи. Далее выполняем эту процедуру для а = 2, 3, 4, 5; получающийся график зависимости угла поворота края пластины от изгибающего момента представлен на рис. 10.3.2. При а = 5 пластина теряет контакт с плоскостью. Зависимость угла поворота от момента является линейной лишь при а》5・ Для таких а контакт пластины с опорой потерян, и задача становится линейной. Вычисления удаётся значительно сократить, если условия оптимальности проверять только там, где это оправдано физическими соображениями. Полученные численные результаты вполне согласуются с аналитическим решением, данным в [315].
Рнс. 10,3.2. График завнснмостн угла поворота з от изгибающего момента М на краепластины (см. рнс. 10.3.1); число элементов 190, число ограничений 95, максимальноечисло неизвестных 571.
На рис. 10.3.3 показано, как деформируется пластина для а = 1, 2, 3, 4, 5, 5.1. Хорошо видны особенности деформации приподнятой части пластины. На рис. 10.3.4 приведена табличка, позволяющая сравнить численные результаты с аналитическими.
Далее, рассмотрим контактную задачу для цилиндрической трубы (рис. 10.3.5). Труба замурована в бетон (который считается жёстким). Эффекты трения и геометрические нелинейности не учитываются.
При дискретизации цилиндра используем криволинейные оболочен- ные элементы (смешанная модель в терминах напряжений и перемещений [308]). Предлагаемый метод сводит дело к решению соответствующего числа двусторонних задач .
На радиальные перемещения наложено ограничение: движение наружу невозможно, а для касательных перемещений никаких ограничений нет. На рис. 10.$ .6 изображены форма деформированной оболочки, область контакта и распределение изгибающих моментов.
口 = 5.1
Рис. 10.3.3. Подробности деформации пластины, изображенной на рис. 10.3.1.
Q
М [кНм/м]
1° т 夕[рад]
6
Область контакта [м]
числ.
анал.
числ.
анал.
1
0.675
7.290
7.5
0.0680
3.70
3.70/3.78
2
1.35
22.236
23.0
0.2075
2.58
2.58/2.64
3
2.025
43.8
43.9
0.4088
1.56
1.56/1.62
4
2.7
72.379
71.5
0.6755
0.54
0.54/0.60
5
3.375
107.176
~107.14
1.0003
0.0
0.0
5.1
3.44
126.117
726.5
1.1770
Контакта нет
Рис. 10.3.4. Сравнение численных результатов с известными аналитическими результатами: для w полученными с помощью рис. 155 из книги [315], для области контакта —с помощью аналитического метода из той же книги.
Рис. 10.3.5. Контактная задача для цилиндрической трубы (hw = 1.18 м, f = 4 см, £ - 60 кН/см2, у = 0.3, г = 1.315 м, /ах =仅刘 + 2г) 5.8 • 10-2 кН/м2).
радиальные
смещения иг[см]
Рнс. 10.3.6. Область контакта, форма деформированной оболочки н изгибающие момен-ты для трубы на рнс. 10.3.5.
Резюмируя, подчеркнём ещё раз: предложенный здесь метод сочетает основное преимущество подхода к решению односторонних задач, построенного на базе алгоритмов оптимизации (а именно, возможность эффективного определения свободных, границ), с основным преимуществом, которое даёт использование программного обеспечения для решения задач линейной теории упругости,——способностью справиться с большим числом неизвестных.
ГЛАВА 11
Задачи на неравенства, возникающиепри применении метода приращений,и динамические задачи на неравенства
Настоящая глава посвящена численному исследованию задач на неравенства, возникающих при применении метода приращений, и динамических задач на неравенства. В первом параграфе проводится упругопластический анализ нитевых систем, в предположении что нити могут стать ненатянутыми. На примере этой задачи мы иллюстрируем применение метода многоуровневой декомпозиции к задачам на неравенства с многими переменными. Во втором параграфе рассматривается применение метода приращений для упруго-пластического анализа конструкций с геометрическими нелинейностями и физическими дестабилизирующими эффектами. Для каждого приращения нагрузки формулируется вариационное неравенство, приводящее к соответствующей задаче минимизации. В последнем параграфе изучается динамическая односторонняя контактная задача. Полученное вариационное неравенство дискретизуется по времени, и возникающая на каждом временнбм интервале задача минимизации решается с помощью подходящего алгоритма оптимизации.
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЙ РАСЧЁТ НИТЕВЫХКОНСТРУКЦИЙ
Постановка задачи как задачи о линейной дополнительностии соответствующие формулы
В этом параграфе мы рассмотрим упруго-пластический расчёт нитевых конструкций в предположении геометрической нелинейности и одностороннего поведения нитей. Термин односторонний означает здесь, что нити не выдерживают сжимающих, т. е. отрицательных, напряжений и в процессе нагружения могут «провисать». Такого рода
одностороннее поведение называют иногда односторонним по напряжению [243]. Геометрическая нелинейность, вызванная большими перемещениями7, и физическая нелинейность, вызванная упругопластическим поведением нитей, исследуются методом приращений^ т. е. нагрузки и начальные деформации заменяются последовательностью достаточно малых приращений. Это позволяет провести линеаризацию задачи в отношении 定 геометрической и физической нелинейностей. Но в отношении феноменологической нелинейности, вызванной односторонним поведением нитей, сделать то же не удаётся. Поскольку эта нелинейность приводит к неравенствам, нам приходится на каждом шаге решать задачи на неравенства.
Пусть конструкция состоит из л элементов, трактуемых как шарнирносоединённые стержни, т из которых являются нитями. Состояния деформации и напряжения каждого элемента описываются векторами обобщённых напряжений и деформаций (см. п, 10.1.1). Приращение величины обозначается точкой над соответствующим символом. Для /-й нити связь между приращениями деформации и напряжения
имеет вид (см. рис. 11.1.1)
& = Fq^Si + ёо( - и/,(1Ы.1)
6 = Si + а»》0,(11.1,2)
V» = i + 左》0,(11.1.3)
oiji = 0.(11.1.4)
Здесь 5/, еь &〃 向》——напряжение» деформация, начальное напряжение и начальная деформация соответственно; 7^」一тангенциальная гиб-Здесь 5/, еь &〃 向》——напряжение» деформация, начальное напряжение и начальная деформация соответственно; 7^」一тангенциальная гиб-Рис. 11.1.1. Связь между напряжением и деформацией для нитевого элемента.Рис. 11.1.1. Связь между напряжением и деформацией для нитевого элемента.
Здесь 5/, еь &〃 向》——напряжение» деформация, начальное напряжение и начальная деформация соответственно; 7^」一тангенциальная гиб-
Здесь 5/, еь &〃 向》——напряжение» деформация, начальное напряжение и начальная деформация соответственно; 7^」一тангенциальная гиб-
Рис. 11.1.1. Связь между напряжением и деформацией для нитевого элемента.
Рис. 11.1.1. Связь между напряжением и деформацией для нитевого элемента.
'Деформации предполагаются малыми.
кость для рассматриваемого шага;—图一ненатянутостъ («слабина»); di (соотв. — bi) — полное напряжение (соотв. полная ненатянутостъ) в начале шага; наконец, а, (соотв, — %) — полное напряжение (соотв. полная ненатянутостъ) в конце шага. Соотношения (11.1.2—4) выражают тот факт, что в конце каждого шага нить,либо находится в напряжённом состоянии, либо ненатянута. При и, = 0 соотношение (11.1.1) описывает связь между приращениями напряжения и деформации для каждого из остальных n - m элементов конструкции. Соотношения (11.1.1——4) для всех элементов имеют вид
ё - F6s + ё0 - V, (11.1.5)
万=s + 诃》0, (11.1.6) > = Т+Ь》О, (11.1.7) аг7 = 0, (11.1.8)
где
е = [еь е«]г, s = [sT, s^r,万=E,м匕V = [ui, • • • j Ут» 0, • • •, 0]丁 = [▼'丨 0] Т.
Аналогично определяются у,亘,b. Матрица F6 ——это матрица тангенциальной гибкости отдельных элементов. Часть матрицы или вектора, относящаяся только к нитевым элементам, в дальнейшем помечается чертой сверху.
На каждом шаге вычислений конфигурация конструкции описывается вектором и узловых перемещений относительно фиксированной декартовой системы координат^ На каждом шаге уравнение равновесия линеаризуется с помощью матрицы геометрической жёсткости Kg [9]. Линеаризованное уравнение имеет вид
Gs + Kgu = р. (11.1.9)
Здесь G ——матрица равновесия. Kg ——матрица геометрической жёсткости, зависящая от геометрии конструкции и напряжений в конце предыдущего шага, а р — приращение вектора нагрузки. На каждом шаге мы предполагаем, что конструкция геометрически линейна, и потому в пределах данного шага зависимость между деформациями и перемещениями может быть записана в виде
е = Grii. (11.1.10)
Все величины приращений в (11.1.9, 10) относятся к конфигурации конструкции в конце предыдущего шага. Отношения (11.1.5—10) определяют дискретную одностороннюю задачу. В терминах и и v получаем соотношения
Ku + GKov = р + GKoeo, _ (11.1.11) 万=§ + 額=KoG% — Ко Co + Kov + 額》0, (11.1.12) 斤= F+5》0, (11.1.13) аг7 = 0. (11.1.14)
ствами
Кй + GKov - р - GKoeo > 0,(11.1.15)
—Ku — GKqv + p + GKoCo》0.(11.1.16)
Здесь К = Ке + % = GKoGr + Kg, где Ко = F6-1, — общая жёсткость конструкции. Уравнение (11.1.11) можно заменить двумя неравен-
Представим w в виде 场=м,+ - м,_, где
щ + liij _-iii + l«il л
场+ =——2—?0，% =2》0'
Пусть U+ I
I й- —векторы с компонентами 山+ и iii~ соответственно.
Положим
U = [й^ I йГ I >г]г, 〃=[沪0], аг = [аг I 0], ЬГ=[ЬГЮ],
(11.1.17)
尸=[(-GKob - р - GKoe) ： (GKob + р
+ GKo^o)r I (— Kob — KqC + a)']'.(11.1.18)
Вводя симметричную матрицу
R =
К GKo
К -GKo
можем записать (11.1.11—14) в виде
RU +尸》0,
и》о,
Ur(RU + д) = 0.
(11.1.19)
(11.1.20)
(11.1.21)
(11.1.22)
Задача отыскания U, удовлетворяющего соотношениям (11.1.20—22), называется задачей о линейной дополнительности (з.л.д.). Обсудим подробнее эту интересную математическую задачу.
Вначале предположим, что матрица R является положительноопределённой. Тогда з.л.д. (11.1.20——22) эквивалентна вариационным неравенствам
y7(U*-U)》0 VU*》O, и》О, y = RU + “，(11.1.23)
UT(y*-y)》0Vy*》0, y = RU + “》0.(11.1.24)
Действительно, соотношения (11.1.20——22) эквивалентны включениям
-уса 我(U), где К= {UIU^O}, у = RU + /I,(11.1.25)
-Uwa&(y), где M={yly》0}, y = RU + M(11.1.26)
Это следует из геометрического смысла Э?к и 8《(см. п. 2.3.1). При
меняя предложение 2.2.1 к (11.1.23), заключаем, что у рассматриваемой задачи существует единственное решение. Заметим, что соотношения (11.1.2—4) эквивалентны «локальным» вариационным неравенствам
内6；-¥)》0V7； ^ 0, %》。，(11.1.27)
7，(а* - а,) ^ 0Va* ^ 0,内》0,(11.1.28)
из которых вытекают «глобальные» вариационные неравенства (11.1.23, 24).
В силу предложения 2.2.2, неравенство (11.1.23) эквивалентно задаче минимизации
П(и)= min{n(U*)lU* €^},(11.1.29)
где.
П(и*) =|u*rRU* + /1ги*, K={U*IU*》0}.(11.1.30)
Единственность решения означает, что (11.1.24) эквивалентно задаче минимизации
nc(U) = min{nc(U*)IU* eF),(11.1.31)
где
Пс(и*) =|u*rRU\ 产={U* IRU* + “》0}.(11.1.32)
Из теории двойственности для выпуклых функционалов (см. п. 3.22) следует, что задачи минимизации (11.1.31) и (11.1.29) являются двойственными друг другу. Используя специальный вид функционалов П и Пс, можно обойтись и без привлечения общих результатов теории двойственности. В самом деле, (11.1.29) (или, эквивалентно (11.1.25)) можно записать в виде (см. предложение 2.5.5)
UwaTl(-y), у = RU + 仆(11.1.33)
Но, как легко проверить, это включение эквивалентно (11.1.26) и (11.1.31).
Очевидно, что решение U нашей задачи удовлетворяет равенству
П(Ц) + Пс(и)= 0,(11.1.34)
и потому
min{U(U*)IU* €К} + min{IT(U*)IU* €%°} = 0.(11.1.35)
Если матрица R — симметричная и положительно-полуопределён- ная (так будет, например, если матрица Kg — положительно- полуопределённая), то тем же методом можно установить эквивалентность рассматриваемой з.л.д. каждому из соотношений (11.1.23, 25, 26, 29).
Множество решений задачи (11.1.29) выпукло7 (см. п. 2.2.1). Покажем, что общее решение задачи (11.1.29) имеет вид U0 + г, где U0 — частное решение этой задачи, а г удовлетворяет соотношениям
и° + г》О, Rr = 0, “「г = 0.
Действительно, пусть Ui и U2 ——два решения задачи (11.1.29). Тогда они будут и решениями задачи (11.1.23). Полагая в (11.1.23) вначале U* = Ui, U = U2, а затем U* = U2, U = Ui, и складывая получающиеся неравенства, находим, что
(U1 - U2)7R(U1 - U2) W о,
откуда R(Ui - U2) = 0. Поэтому из (11.1.23) следует, что
Mr(Ui - U2)》0 и “「(и? - Ui)》0, т. е.『(U2 - Ui) = 0.
чем и завершается доказательство отмеченного факта.
Рассуждая аналогично, можно показать, что общее решение двойственной задачи (11.1.31) имеет вид U0 + г, где Uo ——её частное решение, а г удовлетворяет равенству Rr = 0. Далее с помощью предложения 2.2.2 можно проверить, что справедливость соотношения (11.1.31) эквивалентна выполнению вариационных неравенств (11.1.23, 24) для каждого U*, для которого у* = RU* + 川》0. С другой стороны, (11.1.31) эквивалентно (см. (2.4.22)) включению
-RU€34C(U),(11.1.36)
которое, в свою очередь, эквивалентно следующей з.л.д.：
R(U - V) = 0,V》0, Vr(RU + м) = 0, RU + “》0; (11.1.37)
это непосредственно вытекает из того факта, что a&(U) есть конус
'Этот вопрос обсуждается в [256].
внешних нормалей к 产 в U. Полагая V - U = г, получаем
Rr = 0, U + г > О, (U + r)r(RU + /*) = 0, RU + /* > 0. (11.1.38)
Аналогично решение з.л.д. (11.1.20—22) (т. е. решение исходной задачи (11.1.29)) будет решением двойственной задачи, но обратное неверно, за исключением случая, когда матрица R является положительноопределённой. Из сказанного выше вытекает также, что исходная задача разрешима тогда и только тогда, когда разрешима двойственная. Если Ui ——решение исходной задачи, a Uz ——решение двойственной, то Ui будет и решением двойственной задачи, а потому Uz - Ui = г. Аналогично IT(U2)= nc(Ui), и, значит
n(Ui) + rr(U2)= и 賈RU1 + “)= 0;(11.1.39)
следовательно, снова выполнено (11.1.35). Если U — допустимый вектор и для исходной, и для двойственной задачи, т. е. U》0 н RU + + /1^0, и если имеет место (11.1.34), или, что эквивалентно, (11.1.22), то U является решением обеих задач.
Следует отметить, что ввиду дискретного характера задачи для вывода (11.1.29) и (11.1.31) можно было бы применить теорему Куна—Таккера и теорему двойственности для квадратичного программирования [166]. В терминах й и v задачи (11.1.29) и (11.1.31) можно записать соответственно в виде
min{II(u, V)= у йгКй + j vrKov + iirGKov
-ur(GKoeo + p) + vr(a - Ково)1 v + b》0}(11.1.40)
и
min{IIc(u, v) = j urKu + iirGKov + iirGKob + j vrKov
+ vrKoblu, v удовлетворяют (11.1.11, 12)}.(11.L41)
Функции П и Пс выражают соответственно потенциальную и дополнительную энергии конструкции на рассматриваемом шаге. В изложенной выше теории принимается во внимание возможность того, что нить может стать ненатянутой, и потому в выражениях для П и Пс появляется член v. При v = 0 выражения для П и Пс превращаются в классические выражения для потенциальной и дополнительной энергий линейно-упругой конструкции.
При выполнении численных расчётов решаются задачи минимизации (11.1.29, 31), сформулированные либо для вектора U, либо для других неизвестных. Вычисления проводятся с использованием алгоритмов квадратичного программирования.
Метод многоуровневой декомпозиции
В большинстве нитевых конструкций число нитей и узлов велико, так что приходится решать задачи оптимизации с большим числом неизвестных и ограничений. Ниже предлагается метод многоуровневой декомпозиции^ позволяющий эффективно решать такого рода задачи. Исходная задача оптимизации «разлагается» на ряд подзадач. На «первом уровне» вычислений каждая подзадача решается самостоятельно, а на «втором уровне» полученные решения подзадач комбинируются таким образом, чтобы обеспечить оптимум в исходной задаче.
Интересно отметить, что некоторые из этих подзадач представляют собой задачи минимизации без ограничений типа неравенств7. Они соответствуют классическим двусторонним конструкциям, и поэтому их можно численно решать, используя программное обеспечение для линейного анализа конструкций.
В рассматриваемом случае нитевых конструкций исходная задача разбивается на две подзадачи. В первой фигурируют только члены с перемещениями. Эта подзадача соответствует конструкции, которая получается из данной, если рассматривать все нити как стержни (способные работать и в условиях сжатия). Во второй подзадаче фигурируют только члены с ненатянутостями. Эта подзадача соответствует некоторой гипотетической конструкции. Чтобы провести декомпозицию, запишем (11.1.40) в виде
П(й, V)= ПЛЙ) + П1"Н) + iirGKov,(11.1.42)
где
П/(и) = ^ urKu - ur(GKofio + Р),
n^v) = I vrKovr + “(a - Koeo).
Вводя ещё одну переменную w, можно переписать задачу минимизации (11.1.42) в виде
min{II(u, V, w) = П；(и) + Hf(G) + 而『GKowlV = w, v + b > 0).
(11.1.43) Функция Лагранжа для этой задачи равна
П1(й, V, w) = П(и, V, w) + pr(v - w),(11.1.44)
где р — вектор множителей Лагранжа.
'В этой связи заметим, что предложенный в § 10.3 метод тоже можно рассматривать как метод декомпозиции.
Рис. 11.12 Метод недопустимого градиентного спуска.
Декомпозиция может быть выполнена двумя методами (см. [19]). Этот метод недопустимого градиентного спуска (метод Лэсдона — Шёффлера) и метод допустимого градиентного спуска (метод Броси- лова — Лэсдона — Пирсона) [19]. В методе недопустимого градиентного спуска на первом уровне выбирается какое-нибудь фиксированное значение р, скажем pi, и задача минимизации разлагается на две подзадачи (рис. 11.1.2):
min (П/(й) +『GKow -晶严｝ (11.1.45) 仇w
И
min(nf(v) + pq)vI v + b > 0). (11.1.46)
Решив эти задачи, получаем соответствующие значения й, v, w, скажем u(i), v(i), w(i). Ясно, что v(i)Н w(i). На втором уровне наша цель — получить новое значение р, скажем「⑵，с помощью уравнения
Р(2)= p(i)+ Ar(v(i)+ w(i)), (11.L47)
где к > 0 — надлежащим образом выбранная константа (см. например, [19]), и передать это новое значение на первый уровень. Снова проводится оптимизация, получаются новые значения ii(2), v(2), w(2), и т. д. пока разности v(o - w(()не станут достаточно малыми. Если минимум существует, то алгоритм сходится за конечное число шагов (см. [19]).
В методе допустимого градиентного спуска на первом уровне выбирается какое-то фиксированное значение w, скажем w(i), и исходная задача разбивается на две подзадачи (см. рис. 11.1.3):
Рис. П.1.3. Метод допустимого градиентного спуска.Рис. П.1.3. Метод допустимого градиентного спуска.
Рис. П.1.3. Метод допустимого градиентного спуска.
Рис. П.1.3. Метод допустимого градиентного спуска.
min (П1(й) + urGKow(i)J(11.1.48)
й и min [n^v) +『« - w(i))lv + b > 0).(11.1.49)
После решения этих задач оптимизации получаем соответствующие значения ii, v, р скажем ii(i), v(i), p(i). На втором уровне получаем новое значение для w, скажем w(2), по формуле
где к > 0 — выбранная надлежащим образом константа (см. [19]). Эта оценка передается на первый уровень. Решая снова задачи первого уровня, получаем новое множество значений u(2), v(2), р(2), и так продолжаем до тех пор, пока разность между последовательными значениями вектора не станет достаточно малой.
Приложение
С помощью изложенного выше метода была рассчитана нитевая конструкция, изображенная на рис. 11.1.4. Верхняя и нижняя нити параболические и обе предварительно растянуты с одинаковой силой 80 кН.
Рассмотрим два вартанта нагружения:
симметричное нагружение (рис. 11,1.5), при котором нагрузка на единицу длины горизонтальной оси последовательно возрастает от 0.1 кН/м до 1 кН/м;
несимметричное нагружение (рис. 11.1.6), при котором нагрузка на единицу длины горизонтальной оси последовательно возрастает от 0.1 кН/м до 1 кН/м.
На каждом шаге нагрузка увеличивается на 0.1 кН/м. При расчёте учитывались лишь вертикальные перемещения узлов. На каждом шаге вычислений решается задача минимизахши (11.1.31). Был использован алгоритм Дзвидона ——Флетчера — Пауэлла, модифицированной с помощью приёма создания искусственной реакции поверхности [143], с тем чтобы учесть ограничишя. Это комбинация градигатного метода с большим шагом и обобщённого метода проекции для учёта ограничений.
На рис. 11.1.5—11.1.8 приведены некоторые результаты вы
числений.
5 м♦5 м5 м♦5 м5 м5 м60 м60 м
5 м
♦
5 м
5 м
♦
5 м
5 м
5 м
60 м
60 м
Рис. 11.1.4. Нитевая конструкция. Размеры и диаграмма деформация — напряжение для нитей (поперечные сечения верхней, нижней и вертикальной нитей 4.00 см2, 1.40 см2 и 1.20 см2 соответственно).
Рис. 11.1.5. Вертикальные перемещения узлов 1 и 7.
[см]
12 3 4 5*^-0
Рнс. 11.1.6. Вертикальные перемещения узлов 2, 8, 3,9 (в случае последних двух узлов считаем, что нуль (соотв. единица) горизонтальной осн находится в точке 1 (соотв.
Теория с односторонними напряжениями для нитевых конструкций позволяет рассчитывать поведение таких конструкций и в случае, когда некоторые нити становятся ненатянутыми. Поэтому удается избежать использования больших сил предварительного натяжения, обеспечивающих положительные напряжения в нитях (как это в большинстве своём делается на практике). Расчёт поля напряжений по предлагаемому методу приводит к более экономичным вариантам нитевых конструкций, ввиду уменьшения сил предварительного натяжения.
§ 11.2. АНАЛИЗ УПРУГО-ПЛАСГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМПРИРАЩЕНИЙ. ЗАДАЧИ О ЛИНЕЙНОЙ
ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТИ, ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВАИ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
Одна из наиболее важных областей применения вариационных неравенств и соответствующих методов оптимизации к анализу конструкций—это упруго-пластические задачи. С начала 50-х годов, когда линейное программирование было впервые применено для анализа и
проектирования конструкций, методы оптимизации систематически используются при исследовании упруго-пластических конструкций (см. [190; 191; 52; 40]).
В этом параграфе мы изучим одну типичную общую задачу, связанную с применением метода приращений для анализа упругопластического поведения дискретизованной сплошной среды, в предположении больших перемещений и при наличии физических дестабилизирующих эффектов (см. (3.3.120)).
Условия минимума, которые будут выведены здесь с помощью вариационных неравенств, ранее были получены с помощью теории з.л.д. Майером [190], впервые применившим методы квадратичного программирования в теории пластичности.
Пусть рассматриваемая конструкция разбита на п конечных элементов. Поля напряжений и деформаций внутри каждого элемента будем описывать в терминах обобщённых напряжений и деформаций (см. п. 11.1.1). Нагрузки приложены в узловых точках, и состояние конструкции описывается вектором узловых перемещений и относительно фиксированной декартовой системы координат и заданной исходной конфигурации.
В обозначениях предыдущего параграфа и в более общей принятой здесь постановке линеаризованные уравнения равновесия и согласованности для каждого приращения нагрузки имеют вид (11.1.9) и (11.1.10) соответственно. Для z-го элемента принимается линейный закон упруго-пластического течения в приращениях (3.3.118, 119). Мы лишь предполагаем, что векторы № и V/ линейно-независимы и что 寸№ > 0 для j = L т.
Чтобы записать (3.3.118, 119) для всей конструкции, обозначим через q число элементов, которые находятся на пределе текучести в начале данного шага нагрузки, и построим векторы
入=М『，…，入JT, F = [Fr, ....吗]7
и матрицы
Н — diag(Hi, ..., Н^), Fo — diag(Fo, i, . • •, Fo,q),
N = diag(Nb .... Nq)7：07)7, V = (diag(Vb .... V,)7'!07')7'.
Тогда (3.3.118, 119) принимает вид
ё = ё0 + Fos + VX,(11.2.1)
F = Nrs - HX,(11.2.2)
X > 0, F < 0,产入=0,(11.2.3)
если имеются ещё и начальные деформации ео* Соотношения линейной дополнительности (11.2.3) эквивалентны (см» п. 11.1.1) вариационным неравенствам
-Fr(X* - X) >0 VX* > 0, Х>0,(11.2.4)
-Xr(F* - F)> 0VF* ^0, F < 0.(11.2.5)
Вводя обозначения
Ко = Fo- \ В = Н + NKV,
GKoGr 二 К& GKoV = C% GKoN = CN,
изДП.1.9, 10) и (11.2.1, 2) получаем соотношения (точки обозначают производные по времени)
Кй - СГХ - (р + GKoeo) = 0,(11.2.6)
t = C^~HX- NKSo,(11.2.7)
которые вместе с (11.2.3) (или 11.2.4, 5) полностью описывают задачу.
Выражение в правой части (11.2.6) обозначим через А. Очевидно, что для u € IRy и X 0 соотношения (11.2.3, 6) эквивалентны вариахш- онному неравенству
Аг(й* - й)-户丁(入* -Х)>0 Vii*€ R，X*》0.(11.2.8)
Здесь р — размерность вектора и. Неравенство (11.2.8) можно записать в виде
(Mx + q)r(x* -х)>0 Vx* € К. х£К,(11.2.9)
где
К =К =к国к国X* > оX* > о「и¥1 М吧曲^「и¥1 М吧曲^(11.2.10)(11.2.11)(11.2.10)(11.2.11)
К =
К =
к国
к国
X* > о
X* > о
「и¥1 М吧曲^
「и¥1 М吧曲^
(11.2.10)
(11.2.11)
(11.2.10)
(11.2.11)
Предположим, что матрица М — симметричная и положительно- полуопределённая. Первое из этих предположений равносильно тому, что V = N (условие нормальности) и Нг = Н (принцип взаимности состояний текучести). Положительная полуопределённость матрицы упрочнения Н (неразмягчающийся материал) и матрицы геометрической жёсткости Ко обеспечивает положительную полуопределённость матрицы М. В этом случае функция хгМх выпуклая, и потому можно применить предложение 2.2.2, из которого вытекает, что неравенство
(11.2.8) эквивалентно задаче минимизации (исходная задача П(х) = min{II(x*)lx* €/Г),
)
(11.2.12)
где
П(х*) = ^х*гМх* + qrx*.
(11.2.13)
Предыдущая задача может быть переписана в терминах й
и X так:
min {п(山 X) =1 质丁疝-iirGKoNX +1 入гц£
+ 1 XrNrKoNA + ejKo(NA - G%) -priilX>oJ.
(11.2.14)
Как и п. 11.1.1, рассмотрим двойственную задачу
Пс(х) = min{nc(x*)lx*€^L
(11.2.15)
где
Пс(х*) =1х*гМх*,
(11.2.16)
К = {х*1Мх*+ q=[告J，
А* = Кй* 一 СиХ* - (р + GKoeo) = 0,] F* = С^й* - ВА* - №匕而 WO J.
(11.2.17)
Согласно предложению 2.2.2, для xWK задача (11.2.15) эквивалентна вариационному неравенству
хТ(Мх* -Мх)>0 vx* € Xе.(11.2.18)
В терминах и и X задача (11.2.15) запишется так:
min frroiQ = I йгКй - iirGKoNA +1ХГНА
+ I XrNrKoNX I Ku - GKoNA - (p + GKoeo) = 0,
NrKoGrii - (H + NrKoN)X - NrKoeo W o} •(11.2.19)
Вариационные неравенства (11.2.9, 18) эквивалентны включениям
-(Mx + q)w8%(x)(11.2.20)
и
(11.2.21)(11.2.21)-Mx W 8&(x)
(11.2.21)
(11.2.21)
соответственно. Отметим, что (11.2.9, 20) эквивалентны (11.2.3, 6, 7) и в случае произвольной матрицы М (без предположения о симметричности и положительной определённости). В этом случае каждое решение исходной задачи удовлетворяет (11.2.18, 21), но обратное неверно. Действительно, при Р<0иА = 0из (11.2.5, 6) получаем нера
венство
(11.2.22)(11.2.22)йг(А* - А)-入т值* -F)>0 VF* <0, А* = 0
(11.2.22)
(11.2.22)
из которого и следует (11.2.18, 21). Обратное верно, лишь если М — положительно-определённая матрица.
Что касается соотношения между прямой и двойственной задачами, то для симметричных и положительно-определённых матриц М справедливы результаты, совершенно аналогичные тем, которые были установлены в п. 11.1.1 для задач минимизации (11 Л.29г 31)'. В случае положительно-определённых и симметричных матриц М имеет место полная эквивалентность между прямой и двойственной задачами, соответственно между их эквивалентными формами (см. п. 11.1.1).
Задачи минимизации (11.2.12, 15) были сформулированы Майером в [190]. Разлагая вектор скорости перемещений ii на положительную
и отрицательную части и+ и и-, можно поставить з.л.д. вида (11.1.20—22), и для её решения можно применить метод из предыдущего пункта, положив
и =и =+ р + GKoCo—р — GKoCo NrKoeo+ р + GKoCo—р — GKoCo NrKoeo,R =,R =-к +к-к +к+ Ср+ СрУВУВ(11.2.23)(11.2.23)
и =
и =
+ р + GKoCo
—р — GKoCo NrKoeo
+ р + GKoCo
—р — GKoCo NrKoeo
,R =
,R =
-к +к
-к +к
+ Ср
+ Ср
У
В
У
В
(11.2.23)
(11.2.23)
Заметим, что з.л.д. можно сформулировать также и для случая несимметричной матрицы М.
Ниже устанавливаются свойства решения неравенства (11.2.9) при условии, что матрица М — симметричная и положительно- полуопределённая. Мы используем предложение 4.1.2. Обозначим через кегМ ядро матрицы М:
ker М = [х1х€ fRp, Мх = 0). (11.2.24)
Это — линейное подпространство пространства №. Пусть Q — ортогональный проектор R。на ker М. Ядро матрицы М совпадает с ядром квадратичной формы хгМх. Если I ——единичная матрица и Р = I - Q,
'Несколько иной вид множеств К н К не сказывается на рассуждениях.
то имеет место соотношение полукоэрцитивности
х「Мх》cllPxl|2 VXWR0(11.2.25)
(здесь с — положительная константа). Положим
Г* = {х1х€кегМАЛГ влечёт -х € кегМ АЛТ),
кег q = {xlg% = 0};(11.2.26)
Г* ——линейное подпространство в R*.
Справедлив следующий результат:
Предложение 11.2.1. Если для каждого XoWkerMClK
qrxo ^ 0,(11.2.27)
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда Хо € Г*, то у задачи (11.2.9) (или (11.2.12)) существует решение х и всякое другое её решение Xi представимо в виде х + хо, где хо € кег М А кег q и х + Хо W К.
Доказательство. Это немедленно следует из предложений 4.1.2 и 4.1.4. □
Из предложения 11.2Л ясно, что если М — положительноопределённая матрица, то решение задачи (11.2.9) единственно. Если 6х — разность двух решений, то из соотношения М5х = 0 (см. п. 11.1.1) вытекает, что
Kg(5u) + G(5s) = 0,(11.2.28)
Nr(Ss) - Н(6Х) = ^ = 0.(11.2.29)
Таким образом разность скоростей напряжений, отвечающих двум решениям, «гасится» разностью скоростей напряжений, вызванных геометрическим изменением конструкции, и производные от функции текучести F равны для всех решений. В случае геометрически линейной теории % = 0 и поэтому 3s = 0, т, е. скорости напряжений определяются однозначно.
Перейдём к выводу другого класса вариахщонных принципов, формулируемых в терминах производных от вектора множителей пла-
стичности X, в предположении что матрица К невырожденна. Из (11.2.6, 7) получаем
F = -(Н - Nr(KoGrK-1GKo - Ko)V)X
+ NrKoGrK " Jp + N^KoG^-^Ko - Ко)ёо- (11.2.30)
Следуя [190], введём обозначения
Z = KoG^^GKo - Ко,(11.2.31)
产=KoG^^p + Zeo.(11.2.32)
Матрица Z преобразует «реальный» вектор скорости напряжений в вектор скорости напряжений, отвечающий случаю, когда имеют место лишь упругие деформации. Аналогично s£ — это отвечающий чисто упругим деформациям вектор скоростей напряжений, вызванных одновременно р и ёо. В результате получаем соотношение
F = Nrs£ - (Н - NrZV)X,(11.2.33)
которое вместе с (11.2.3) задаёт з.л.д., эквивалентную, в силу (11.2.4), вариационному неравенству
ХГ(Н 一 NrZV)r(X* - X) - (Nrs£)r(K* - X) > 0
VX* > 0,入》0.(11.2.34)
Предположим теперь, что матрица Н - NrZV — симметричная (так будет, например» если N = V и Н = Нг) и положительно- полуопределённая. Тогда (11.2.34) эквивалентно задаче минимизации
П(Х) = min(n(X*)lX*》0),(11.2.35)
где
П(Х) = I ХГ(Н - N^ZN)入-(N?产)D.(11.2.36)
Двойственная к (11.2.35) задача имеет вид
Цс(Х) = min(nc(X*)lNrs£ - (Н - NrZN)X* Е 0),(11.2.37)
где.
衣(入)=1 ХГ(Н - NrZN)X.(11.2.38)
По поводу численного решения этих задач и связи между решениями прямой и двойственной задач см. п. 11.1.1 и работу [190] (а также [158]).
Отметим, что задачи минимизации, аналогичные рассмотренным здесь, могут быть сформулированы и в случае неассоциированных законов трения [202].
§ 113. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОДНОСТОРОННЕМКОНТАКТЕ
Типичным классом динамических задач на неравенства служит класс динамических односторонних контактных задач, который мы и изучим в данном параграфе с вычислительной точки зрения. Эти задачи ——частный случай задач, сформулированных в § 6.4. Если на Fs выполнены граничные условия (3.3.7) и (10.1.1), то для линейно-упругого тела решение рассматриваемой краевой задачи удовлетворяет вариационному неравенству (6.4.3), где Ф задано формулой (6.2.6), только с у, заменённым на 加・ Для тела, подчиняющегося определяющему соотношению (6.1.3), имеет место вариационное неравенство (6.4.4).
Предположим теперь, что линейно-упругое тело дискретизовано (см. п. 10.1.1). Тогда (6.4.3) принимает вид
urK(v - и) + ①(vn) - Ф(и) - С?(Ут - Ur)
》(f-Mu" - Cuz)r(v - u) W€%*,(11.3.1)
где К — матрица жёсткости конструкции (см. (10.1.11)), Ф задано формулой (10.1.12), %* — множество кинематически допустимых перемещений, т. е.
X* = {5/м«м) < 8 viW「s, v^ = Nv, vr = Tv), (11.3.2)
M — матрица масс, С — матрица затухания. Для конструкции с выпуклой плотностью энергии деформации вместо (11.3.1) имеет место вариационное неравенство (дискретный вариант неравенства (644))
%(v) - %(u) + a(v) - Ф(и) - C?(vr - Ur)
》(f - Mu" - Cu，)T(v - u) W€%*,(11.3.3)
где
X* = (vl w；(ei(v) - eoi) < oo vig Q,
/м«м) < 8 VigTs, vN= Nv, vr= TV) (11.3.4)
—кинематически допустимое множество, a W задано равенством (10.1.24). Для обоих динамических вариационных неравенств рассматриваются начальные условия
u = uo, uz = Ui при / = 0.(11.3.5)
Численное исследование динамической задачи на неравенства проводится путйм дискретизации по времени соответствующего вариационного неравенства (см. [120; 251; 309]). Для каждого временного ин-
тервала ЗЕ мы решаем некоторое статическое вариахщонное неравенство. Это приводит к соответствующей задаче оптимизации, которая решается подходящим численным методом [120; 251; 309]. Отметим, что из множества существующих методов интегрирования по времени для случая динамических задач на неравенства применимы лишь прямые схемы интегрирования. Вычисление реакций с помощью метода суперпозиции состояний требует вычисления собственных значений и собственных векторов системы, которые здесь не существуют в классическом смысле, поскольку мы имеем дело с вариационным неравенством (см. п. 3-1.4). Подробный численный анализ некоторых других видов динамических вариационных неравенств читатель может найти в [120]. Для дискретизации задачи по времени применяются ?и-шаго- вые операторы в линейных разностях (см., например, [94]). Мы предполагаем, что в момент времени
g= К g(11.3.6)
г = 0г = 0
И
2 №%sr)= “(》)2 2 畔)睜"，р》g, р > 1;(11.3.7)
г = 0г = 0
коэффициенты а(", В⑦,7”) и д зависят от выбранной конечноразностной схемы. Будем считать, что длина шага ЗЕ остаётся постоянной. Далее, чтобы получить некоторую неявную схему интегрирования, выберем 0(°) ненулевым. Из (11.3.6, 7) следуют тогда соотношения
а(о%5 一 з第⑦的〉=-Ua + StUP(11.3.8)
и
从(次)26(°後3 ="°)口5 + U)-从(")2u0 = /°%⑺ + U, (11.3.9) где
a=汝⑴，a⑷/0 = W⑴0⑷е
Подставляя (11.3.8, 9) в вариационное неравенство (11.3.3), получаем при Е = 2),
%(£«))-歹(£(US))) 4- ©(VN)- Ф(Ц^) - CS"(VT - U弗)
》(fS) - qS))T(v - u^)-》(fS) - qS))T(v - u^)-7(o)u<₽)r“(6/)28©7(o)u<₽)r“(6/)28©Mr(v - 2)Mr(v - 2)-W^r c (v - u > “",*№,-W^r c (v - u > “",*№,(11.3.10)(11.3.10)
》(fS) - qS))T(v - u^)-
》(fS) - qS))T(v - u^)-
7(o)u<₽)r“(6/)28©
7(o)u<₽)r“(6/)28©
Mr(v - 2)
Mr(v - 2)
-W^r c (v - u > “",*№,
-W^r c (v - u > “",*№,
(11.3.10)
(11.3.10)
где
(11.3.11)(11.3.11)S)= 疝 _ C[6fiJ8 二 UM
(11.3.11)
(11.3.11)
4 = “(6f)20©^5
Как нетрудно видеть, для любой симметричной положительно- полуопределённой матрицы А имеет место неравенство
(11.3.12)(11.3.12)i vrAv - j urAu》urAr(v - u).
(11.3.12)
(11.3.12)
Применяя его к квадратичным формам vrMv и vrCv (где С тоже предполагается симметричной положительно-полуопределённой матрицей), можно показать, что решение неравенства (11.3.10) является также решением задачи минимизации
口⑺⑴⑪)=min[%(v)lvw 价 гз},(11.3.13)
где (а© = 丫© = 1)
n(rt(v) = %(£«)) + ©(vn) - vfC^
+ ^通+^瀛-*吋〃+ ^通+^瀛-*吋〃(113.14)(113.14)
+ ^通+^瀛-*吋〃
+ ^通+^瀛-*吋〃
(113.14)
(113.14)
Теперь рассмотрим динамическую одностороннюю контактную задачу для линейно-упругого тела. В этом случае на каждом временндм интервале надо решить задачу минимизации вида (11.3.13)
гг /、- 1 * 丄 1 vrMrv 1 vrCrv n<₽)(V)= 2V KV + 2^8W + 21^T
-vfC^ + ©(vn) - (f°° - q®)%.(11.3Л5)
Проиллюстрируем предложенный метод на следующем численном примере.
Пусть линейно-упругая квадратная пластина PQRS, имеющая плотность q и толщину А (см. рис. 11.3.1), лежит на упругом полупространстве. Для наших целей можно считать, что это полупространство моделируется дискретными односторонними пружинами Винкле-
Рис. 11.3.1. Динамическая односторонняя контактная задача для квадратной пластины (£ = 4 • 105 кН/м2, у = 0.16, Л = 5 см, q = 2.5 кН(?/м4,左=3 ТО4 кН/м3).
ра с коэффициентом упругости к. Предполагается, что пружины прикреплены к пластине верхними концами, а нижние их концы находятся в контакте с жёсткой опорой. Таким образом, для дискретизованной конструкции надо решить задачу Синьорини ——Фикеры. По краям PQ, QS, RS, RP пластина свободно опёрта. Для простоты предположим, что касательных сил взаимодействия между пластиной и опорой не возникает, т. е. в (11.3.15) Сг = 0. В начальный момент пластина находится в состоянии покоя, затем по краям пластины и в её центре мгновенно приложены постоянные нагрузки 上 Кроме того, в узле Е (см. рисунок) приложена ещё одна нагрузка Я В соответствии с этими условиями различаются три части пластины, ведущие себя по- разному: часть I — свободная часть пластины, лежащая вне квадрата PQRS, на которую условия контакта не оказывают влияния; часть II — область вблизи центра пластины А, которая ввиду нагрузки, приложенной в А, находится в контакте с упругим полупространством;
Рис. П.3.2. Прогиб пластины f прн х = у = 5 м.
часть III ——оставшаяся часть внутри квадрата PQRS, в которой односторонние пружины перешлй от активного состояния к неактквному.
Интегрирование по времени проводится методом Хоуболта7 (см., например, [18]). На каждом временнбм интервале возникает задача квадратичной оптимизации, поскольку член Ф(и^ в (11.3.15) можно объединить с членом упругой энергии urKu/2. При численных расчётах использовался метод, предложенный в п. 10.3.1. После небольшого числа итераций для каждого приращения была определена зона контакта.
'В (П.3.6, 7) полагаем q = 3, а© = 11/6,仪⑴=-3,屮二 3/2, а°) = _“з, q© = i, 30)=严)=8°)= 0, ?®)= 1,)】)=-2.5, у^ = 2,乎⑴=-0.5. д = 05
Чтобы изучить зависимость решения от длины временнбго интервала, было просчитано поведение пластины для
М = 1.2510-3с, S/г = 0.5&1, 储=025М
(рис. 11.3.2—11.3.5). Из рисунков видно, что длина временнбго интервала незначительно влияет на результаты для точек пластины, расположенных в частях I и II. Более подробно этот вопрос обсуждается в [309].
Упомянутые выше расчёты проводились в предположении, что удар является абсолютно пластическим. Описанный метод можно обобщить так, чтобы при желании учесть и другие более реалистические предположения о характере удара. Один из способов сделать это — рассмотреть частичное или полное обращение (по направлению) вектора скорости в точке удара [207].
Явление удара может быть учтено в вариационной постановке задачи, если ввести соответствующие функциональные пространства. При численных расчётах, однако, удар должен рассматриваться в про-
Рис. П.3.5. Прогиб пластины при х = 2.5 м, у = L0 м.
цессе интегрирования по времени отдельно. Заметим, что в динамических односторонних контактных задачах уже нельзя, как это было в статических задачах, для данного значения внешних сил определить зоны, где контакт есть и где его нет (например, с помощью прямого алгоритма оптимизации). Помимо описанного выше метода, в котором мы вначале проводим дискретизацию по времени, а затем на каждом временнбм интервале решаем соответствующие задачи минимизации, можно предложить ещё следующий метод. С помощью регуляризации исходное вариационное неравенство «заменяется» некоторой последовательностью нелинейных дифференциальных уравнений, зависящих от параметра регуляризации, а затем решаем эти дифференциальные уравнения.
В случае полувариационных неравенств можно использовать оба указанных метода (с естественными модификациями). Метод регуляризации приводит к нелинейным дифференциальным «уравнениям, а метод дискретизации по времени — к Статическим полувариационным неравенствам. Последние после регуляризации дают последовательность нелинейных алгебраических уравнений. Во многих случаях эти уравнения являются полулинейными и содержат лишь «малые» нелинейные члены, зависящие от параметра регуляризации. Отметим также, что в пределах каждого временнбго интервала любая точка локального минимума невыпуклой функции потенциальной энергии дискретизованной задачи (например, функции (11.3.14) с невыпуклыми W и Ф) будет субстационарной точкой (т. е. точкой, в которой выполнено необходимое условие минимума) и что, если выполнено (4.3.22), то любая точка локального минимума удовлетворяет статическому полу- вариационному неравенству. Что касается численного решения полувариационных неравенств, то здесь пока накоплено мало опыта (см., скажем, [348]).
Заключение
В этой книге мы ввели и изучили некоторые классы задач на неравенства в механике, используя в качестве основного инструмента исследования понятие субградиента в выпуклом случае и понятие обобщённого градиента — в невыпуклом.
Задачи на неравенства в механике — область, тесно связанная с такими развившимися за последнее время разделами математики, как выпуклый анализ, теория оптимального управления и оптимизации, теория многозначных операторов. Изученные нами задачи являются достаточно представительными, но не исчерпывают всех возможных приложений; так, например, ограниченный объём монографии заставил нас отказаться от рассмотрения задач со свободной границей в механике жидкостей (отсылаем читателя к [161] и указанным там работам).
Исследования в области задач на неравенства ещё далеки от завершения. Дальнейшего изучения требуют, скажем, такие вопросы, как регулярность решений односторонних краевых задач, задачи на собственные значения для вариационных неравенств, полувариационные неравенства. Кроме того, остаются открытыми многие вопросы, относящиеся к численному анализу односторонних краевых задач. Наконец, имеются богатые возможности для приложений в различных разделах механики. Наример, в аналитической механике можно изучить дополнительные условия с неравенствами (голономной или неголо- номной природы) и посмотреть, в какой мере влияет их введение на справедливость основных положений классической аналитической механики (см., скажем, [303]). Упомянем в этой связи об уравнениях Гамильтона, записанных в терминах субдифференциалов [349; 350]. В качестве другого примера отметим новую область в теории упругости, связанную с применением многозначных интегральных уравнений в теории односторонних краевых задач. По этим вопросам см. [348—361].
В этой книге рассматривались вариационные и полувариационные неравенства, возникающие в различных разделах механики сплошных сред. Однако задачи на неравенства могут быть поставлены также и в других областях физики, как релятивистской, так и нерелятивистской, ——по существу везде, где обобщённые силы получаются с помощью выпуклых или невыпуклых суперпотенциалов. Как мы видели, с помощью суперпотенциалов можно изучать 6」пее сложные явления, чем с помощью методов классической, «гладкой» механики. Представляется также, что понятия субградиента, обобщённого градиента и производного множества призваны сыграть существенную роль в решении одной из наиболее важных проблем физики — проблемы сосуществования фаз.
Очевидно, что каждое такое обобщение понятия классической производной приводит к новому типу вариационных задач и позволяет формулировать вариационные принципы механики, которые нельзя получить, оставаясь в рамках классического вариационного исчисления. Таким образом, появление всё новых и новых обобщений понятия классической производной расширяет границы «негладкой» механики. Возникающие при этом вариационные задачи, вообще говоря, допускают конкретную физическую интерпретацию — они выражают принцип виртуальных перемещений (или мощности), как это уже отмечалось в предыдущих главах для случая вариационных и полувариацион- ных неравенств. «Веера» Иоффе [359] доставляют другой пример, подтверждающий это высказывание. Таким образом, принцип виртуальных перемещений (или мощности) может служить тем оселком, на котором проверяются новые обобщения понятия классической производной.
Сделаем ещё один шаг в развитие этой идеи. Вместо того чтобы получать новые обобщения понятия классической производной, строя новые понятия типа дифференциала Кларка по направлениям или верхнего субдифференциала [293], можно определять выражения — пусть даже нелокального характера,——обладающие свойствами виртуальной работы. Тогда, используя принцип виртуальной работы в форме неравенства, можно получить новое обобщение понятия классической производной. Возникающий при этом объект представлял бы собой множество всех удовлетворяющих неравенству типа (2.3.1) или (4.3.13), но содержащему теперь в своей левой части упомянутое выше выражение («виртуальную работу»).
С изученными здесь краевыми задачами тесно связана теория оптимального управления и параметрической идентификации в системах, описываемых вариационными неравенствами. Поскольку изуче-
ние таких задач не входило в наши намерения, ограничимся тем, что отошлём читателя к существующей литературе по данному вопросу (см. [339; 204; 255; 246; 193; 242; 173; 254; 195; 259; 16]).
В заключение следует ещё раз указать на разнообразие возможности применения теории задач на неравенства в технике, в частности в космонавтике, строительстве, машиностроении. Последние две главы настоящей монографии позволяют составить некоторое представление о таких возможностях.
Автор надеется, что эта книга будет способствовать дальнейшим исследованиям, как теоретического, так и прикладного плана, в области задач на неравенства в механике.
Добавления
Цель первых четырёх добавлений — напомнить некоторые понятия и результаты механики и представить их в том виде, в каком они используются в этой книге.
ДОБАВЛЕНИЕ 1・ НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
(См. [20; 112; 321; 322].)
Пусть открытое ограниченное подмножество ЙС IR3c границей Г представляет собой область； занимаемую данным деформируемым телом, и пусть (I отнесено к фиксированной ортогональной системе координат 0Х\ХгХз, с помощью которой устанавливается взаимно-однозначное соответствие между материальными частицами X тела и тройками (Xi, Е, К) (материальными координатами частиц).
Далее мы будем обозначать деформируемое тело просто через 0. Если ОХ1Х2Х3 — другая система координат, то можно записать соответствующие уравнения
玖=хМЕ；泾，Е) (% = 1, 2, 3). (ДЫ)
Пусть ОХ1Х2Х3 — декартова ортогональная система. Любой процесс деформации, вообще говоря, может быть описан с помощью уравнений траектории движения каждой материальной частицы X:
М = *(Xt, 0 (i, Z = 1, 2, 3), (Д1.2)
где Г € [0, 7]——время. Точка х = х(Х, 0 — это место, которое занимает X в момент 九 Пусть х・ X при / = 0. Координаты Xk(k = 1, 2, 3) называются пространственными координатами частицы X. Отображение х = {*}： Q х [0, 7] т 5 U К’ называют движением тела Q. Множество Dr представляет собой область, занимаемую телом (I в мо-
мент t. Будем предполагать, что функции х, X 一' принадлежат классу Ст, где /и € N достаточно велико. Пусть
g = g(K 0(Д1・3)
(Д1・4)(Д1・4)—функция класса С1, описывающая изменение некоторой величины g. Будем говорить, что (Д1.3) — это материальное описание величины g, а
(Д1・4)
(Д1・4)
g = g(x, 0
——её пространственное описание. Как принято в классической механике сплошных сред,описание движения, использующее м (соотв.名)как независимые переменные, будем называть эйлеровым (соотв. лагранжевым). Введём локальную (или пространственную) производную ag(x, t)/dt функции g и её материальную производную dg(X, /)/Э/, которую будем обозначать просто dg/dt. Материальная и локальная производные связаны соотношением
(Д1.5)(Д1.5)dg = ag(x, Г)亚 а%(х, Г) dr ar dxi Э/
(Д1.5)
(Д1.5)
Дифференцирование (Д1.2) по / (при фиксированном X) даёт скорость V = v(%, /) частицы X:
(Д1.6)(Д1.6)(Д1.7)(Д1.7)也(k 0 =——^—
(Д1.6)
(Д1.6)
(Д1.7)
(Д1.7)
Ускорение у = у(Х /) частицы X задается соотношением
dvi(X, /) di)i Эи/(х, /) dvi
Обращая (Д1.2), получаем и = и(х, 0- В случае эйлерова описания рассмотрим градиент скорости L = ｛丄炉｝ = ｛切j｝. Его симметричная и антисимметричная части
D = ｝r(L + LT) = sym(grad и),
2(Д1.8)
W - — (L - Lr) = asym(grad u).
называются скоростями деформации и поворота.
Для материальной частицы её положение х в данный момент связано с начальным положением X при помощи вектора перемещения и, а именно х - X + и. Назовём F = ｛与｝ = ｛dXi/dXj｝ градиентом деформации. Тензор FTF (где Т обозначает транспонирование) называет-
ся правым тензором Коши — П)ина, а
Е =門-/(Д1-9)
——тензором деформации Г^ина. Здесь и далее для всякого вектора 修 производную dai/dXj мы обозначаем 0 j. Скорость градиента деформации записывается так:
dFik(X, /) 一 dF
gj——=и、”, или 布=LE(Д1Л0)
Следовательно, скорость Ё тензора деформации Грина имеет вид
=1FUF + FTLF) = FTDE (Д1.Ц)
Таким образом,
A = ^ ("ij + Uj,i + uk,lukj}(Д1.12)
и
普=蔓(qj + U" + UkjUkj + 以,Mt))•(ДЫЗ)
В случае пространственного описания используется тензор напряжений Коши а = а(х, /); (второй) тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа £ = £(Х, /) выражается через о по формуле
£ = (det F)F т о (尸7) т.(Д1.14)
В случае когда градиенты перемещений достаточно малы,
Еи ==修j = 2 (〃ij + 〃j,i)・(Д1.15)
Тензор £ = [sy] называют тензором (малых) деформаций, а процедуру замены Е на £ — геометрической (или кинематической) линеаризацией.
ДОБАВЛЕНИЕ II. ЖЁСТКИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ.
ОБЪЕКТИВНОСТЬ
(См. [112; 197； 322].)
Пусть открытое ограниченное множество 5 С 戸 есть область, занимаемая телом ° в момент Г. Будем описывать 俱 с помощью декартовой ортогональной системы координат, связанной с телом. Пусть Р ——
произвольная точка 7, имеющая координаты (Хр\^ X* Лрз)- Всякое поле скоростей, представимое в виде
у(}Ср9 f) = Vo (0 + <*>(Z) Л Хр YXpW0t,(Д1Ы)
где Хр = {Xpi] (z = 1, 2, 3), называется жёстким полем скоростей. Через vo обозначается скорость начала координат. Нетрудно видеть, что такое поле скоростей получается в результате движения, описываемого уравнением
х = Q(t)X + хо(О,(ДП.2)
где。丁。= QQT = I и det Q = 1. Пусть % и Q — достаточно гладкие функции f. Из (ДП.1, 2) вытекает соотношение
ЗД = 2" ^kij^jh(ДП.З)
где Р ——кососимметричный тензор, задаваемый формулой Р = =(dQ/df)Q^ а £ — тензор, определяемый так: £城=0, если какие- нибудь два из трёх индексов совпадают между собой; £圾=£123 = 1, если (i, j. Аг) — чётная перестановка набора (1, 2, 3); £挑=-1, если (/, /, к) — нечётная перестановка.
Пусть Xi и X/ (z = 1, 2, 3)——координаты данной материальной точки в двух ортогональных декартовых системах координат. Если эти системы произвольным образом вращаются и поступательно перемещаются одна относительно другой, то имеет место соотношение вида
х 二 Q(t)x + 角()(ДП.4)
где Q ——матрица с теми же свойствами, что и Q, а 角 ——произвольный вектор.
Тензорное поле называется независимым от системы отсчёта или объективным, если оно преобразуется хорошо известным тензорным образом при преобразованиях координат (ДП.4). Аналогично зависимость между тензорными полями называется объективной^ если зависимые и независимые переменные преобразуются при заменах координат указанным выше образом.
ДОБАВЛЕНИЕ III. ДИССИПАЦИЯ
(См. [112].)
Пусть Р — тело, имеющее в рассматриваемой конфигурации плотность q. Пусть £,?/,W = £-6?/ — удельные (т. е. приходящиеся на единицу массы) внутренняя энергия, энтропия и свободная энергия соответственно; 6 — абсолютная температура; q{Qi}—вектор теплового потока;
Q — приток тепла на единицу объема，внутри 0 (через излучение или в результате химических реакций). Первый и второй принципы термодинамики (в локальной форме) гласят:
9 石=6jDij + Q - div q.9 石=6jDij + Q - div q.(Д1П.1)(Д1П.1)о>Vla+也力о>Vla+也力(ДН1.2)(ДН1.2)
9 石=6jDij + Q - div q.
9 石=6jDij + Q - div q.
(Д1П.1)
(Д1П.1)
о
>
Vla+也力
о
>
Vla+也力
(ДН1.2)
(ДН1.2)
Полагая Q = 0, получаем из (ДШ.2) (с учётом ДШ.1) и определения W неравенство
。网一。傍+嚼一牛?0.(ДН1.3)
Его можно переписать в виде
森=е^-о，(ДШ.4)
(7
где
噜一備 + 啕(ДШ.5)
Величина ^называется внутренней удельной диссипацией, а величина 4出丿/6 ——тепловой диссипацией. В предположении что тепловая и внутренняя диссипации между собой не связаны, получаем неравенства
.吟 0 н -贈》0.(ДШ.6)
Выражая 屮 как функцию от переменных состояния, заключаем, что «^ можно представить в виде
〃=飙.(ДШ.7)
Члены v( обозначают потоки, а члены g — силы, зависящие от переменных состояния.
;Отметим, что в п. 4.2.1 буква & обозначает приток тепла на единицу массы.
ДОБАВЛЕНИЕ IV. ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИИ ТЕРМОДИНАМИКА
(См. [75; 196].)
Термодинамическое состояние в данный момент времени Г = } материального элемента, обнаруживающего пластическое и/или вязкопластическое поведение, нельзя полностью описать, взяв в качестве переменных состояния тензор напряжения Пиолы — Кирхгофа С = = С(Х, 0 и абсолютную температуру © = ®(Х, 0, как это было в случае упругого материала. Здесь надо либо задать «предысторию» этих переменных при V Г W Го, либо ввести некоторые дополнительные переменные состояния (называемые скрытыми» т. е. ненаблюдаемыми, переменными). Первый метод не годится для классических упругопластичных тел, поскольку материал ведёт себя по-разному в процессе нагружения и разгрузки. Скрытые переменные (например, распределение дислокаций в кристалле, остаточные напряжения между микроэлементами в поликристалле или в гранулированной среде, некоторые физические и химические свойства) не обязательно являются внутренними переменными (которые всегда имеют тензорную природу) — они могут зависеть от ориентации.
Обозначим через (I) начальную конфигурацию тела, и будем счи-, тать, что в начальный момент все напряжения равны нулю, а абсолютная температура имеет некоторое фиксированное значение во. Далее, обозначим через (III) конфигурацию в момент / с полем напряжений о и температурным полем 仇 а через (II) — конфигурацию, называемую освобождённой и получаемую из (III), когда происходит мгновенная упругая разгрузка, а температура возвращается к исходному значению ©о. Если F— градиент деформации «преобразования» (I) т (III), a1 Fe и Fp — градиенты деформации «преобразований» (II) т (III) и (I) т (II) соответственно, то имеет место соотношение
F = RFp、(Д1У,1)
Для конфигурации (III) скорость тензора деформаций имеет вид
D = g(uij + чм)} = sym(grad и) = sym 備尸,
=sym 偿広 О + sym(冗 VPF~ 】).(Д1У.2)
'Ниже индексы е и р — от elastic (упругий) и plastic (пластический). — Прим. ред.
Здесь Vp = @Fp/dt)F,1 есть скорость пластического преобразования для конфигурации (II) 0/dt обозначает производную по времени, вычисленную для движения, отнесённого к направляющей тройке конфигурации (II). Каждый из двух членов в правой части (Д1У.2) зависит от того, как с течением времени меняется ориентация свободной конфигурации. Поэтому удобно использовать такие свободные конфигурации, для которых выбранная направляющая тройка всегда одинаково ориентирована по отношению к некоторой фиксированной системе координат. Получающиеся конфигурации (II) называются изоклинны- ми свободными конфигурациями.
Возьмём в качестве переменных состояния тензор деформации П)и- на 巳 упругого преобразования (II) -* (III), абсолютную температуру © и некоторый набор неявных переменных aj9 j = 19 ..., /, имеющих тензорную природу. Удельная мощность напряжений равна
*=S偽吗""偽等)+ t時吗/)，屮3)
где tr(/4) обозначает след тензора A, d/dt — производная по времени движущегося тензора относительно направляющей тройки конфигурации (II), a Qu — плотность в «отсчётной» конфигурации (II). Если W =屮伍，①，в), то первое неравенство (ДШ.6) принимает вид …(得一塞時)-("鬻
+ tr偌侬g -器穹》°-3IV.4)
(Д1У5)(niv.6)3IV.7)(Д1У5)(niv.6)3IV.7)Предположим, далее, что 万巳/ dt и Зв/dt могут принимать произвольные значения, а остаточные деформации, равно как и производные 3aj/dt ограничены (как, например, в случае вязко-пластичного материала). Из (Д1У.4) следует, что
(Д1У5)
(niv.6)
3IV.7)
(Д1У5)
(niv.6)
3IV.7)
откудаоткудаtr得磔g -器穿?0-tr得磔g -器穿?0-RH 3 Ее
откуда
откуда
tr得磔g -器穿?0-
tr得磔g -器穿?0-
Однако, если имеют место мгновенные пластические деформации (скажем, в случае идеальной пластичности), то производные 万Е«/& 曲“,
daj/dt и т. д. взаимозависимы, и проведённое выше рассуждение не проходит. Тем не менее можно предположить, что и в этом случае соотношения (Д1У.5, 6) остаются справедливыми, поскольку идеальная пластичность есть предельный случай вязко-пластичности.
На основании (Д1У.7) мы соотносим потоку -3aj/dt силу 4 =
=дф/да), / = L 2,...,厶 а потоку Vp — силу
(AIV.8)WIV.9)(AIV.8)WIV.9)R = F三 Fe里,eu
(AIV.8)
WIV.9)
(AIV.8)
WIV.9)
так что можно згшисать в виде 以=tr (RTVP) - Aj 繁
ДОБАВЛЕНИЕ V. ПОНЯТИЕ КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИИ ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В МЕХАНИКЕ
Цель настоящего добавления ——указать на возможности применения в механике понятия квазидифференцируемости.
До сих пор мы в этой книге имели дело с недифференцируемыми потенциалами, обладающими субдифференциалами в выпуклом случае и обобщенными градиентами — в невыпуклом, что давало возможность получить соответствующие вариационные или полувариацион- ные неравенства. Кроме того, мы рассмотрели возможности применения в механике понятия производного множества, которое является (равно как и понятия суб дифференциала и обобщённого градиента) обобщением понятия дифференциала на случай негладких функций. Очевидно, что тем, кто занимается «негладкой механикой» следует тщательно исследовать любое обобщение понятия классической производной на предмет возможности использовать его для формулировки и изучения задач механики с негладкими функционалами энергии. Но это не единственная причина того, почему понятие квазидифференцируемости представляет интерес при изучении негладких задач механики. Обсудим этот вопрос более подробно. С точки зрения механики такое понятие выпуклого анализа как субдифференциал является вполне обоснованным, и его применение не приводит ни к каким логиче-
ским противоречиям. Поэтому в отаошении применения выпуклых суперпотенциалов не может быть никаких возражений. Иначе дело обстоит в невыпуклом случае. Действительно, сравнение обобщённого градиента с производным множеством [331] и с квазидифференциалом [362——364] даёт основания утверждать, что обобщённый градиент Кларка не содержит полной информации о поведении функции «по различным направлениям» вранной точке. Дело в том, что определение обобщённого градиента df основано на понятиях дифференциалов по направлению /^(-,-) и /°(-,-) (см. (4.3.6, 11)) Рокафеллара [293] и Кларка [46], которые являются в некотором смысле «аппроксимациями» дифференциала Гато по направлениям /' (•, •) (см. (2.3.13)). С другой стороны, обобщённый градиент Кларка, описывающий поведение функции «суммарно», «совокупно», позволяет сформулировать в механике широкий класс вариационных принципов в форме вариационных и полувариационных неравенств ——всякий раз, когда определяющее соотношение представляется в виде (4.3.30). Так будет, например, в случае одномерных граничных условий типа (8.4.3, 17). Обобщённый градиент 力 приводит к полувариационным неравенствам, так как его определение (см. например, (4.3.13)) основано на определениях /\-,-) и/или /°(-,')» основная цель введения которых — получить аналог соотношения (2.3.20) для случая невыпуклых негладких функций. (Фактически, аналогичное соотношение выполняется для производных по направлению для случая функций максимума (см. например [364]).) Следовательно, если 力(х) # 0, то для любого у WX справедливо соотношение (4.3.15), которое можно записать в виде
7T(х, j) = max{<j, х,}\х, edf(x)]. (ДУ.1)
если дифференциал 歹(х, у) конечен для любого j. Квазидифференци- альное исчисление позволяет хорошо описывать свойства функций «по направлениям» в данной точке. Формулы квазидифференциального исчисления являются точными равенствами в отличие от формул исчисления обобщённых градиентов, имеющих вид включений. По этой причине класс квазидифференцируемых функций представляет собой линейное пространство, замкнутое относительно всех алгебраических операций. Кроме того, для любой функции из этого класса можно построить исчерпывающие семейства верхних выпуклых и нижних вогнутых аппроксимаций [365]. Более подробную информацию по этому вопросу читатель может найти в [362—366].
Указанные черты квазидифференциального исчисления делают его чрезвычайно привлекательным для теории оптимизации, особенно при изучении «свойств первого порядка функций». Но почему это исчисле-
ние важно для механики? По двум причинам. Предположим, что в рамках некоторой механической теории сформулирована задача на минимум, в которой фигурируют не обязательно гладкие функции выпуклые или невыпуклые. Рассмотрим, например, задачи (6.3.2, 6) для упруго-идеально-упругопластичного тела (или упруго-идеально-старе- ющего тела), находящегося в одностороннем контакте с жёстким основанием, или задачу о минимуме веса. В этом случае с алгоритмической точки зрения важно как можно точнее найти направления спуска минимизируемой функции в заданных точках, а как раз такую возможность даёт применение квазидифференциального исчисления (см. [363]). Получаемые при этом необходимые и достаточные условия оптимальности, будучи истолкованы механически, позволяют дать более глубокое описание поведения рассматриваемой механической системы.
Другая, и более глубокая причина, состоит в следующем. Грубо говоря, изучая механическую систему, мы фактически стараемся найти соотношения между вариациями (соответствующих порядков) по направлениям величин, фигурирующих в задаче. Эта общая идея уже проникла в скрытом виде в литературу по механике гладких процессов. Здесь имеются в виду наиболее простые случаи градиентных теорий нулевого, первого, второго и т. д. порядков в механике (см. п. 3.1.1). Хотя изучение этого аспекта связи квазидифференциального исчисления с механикой ещё только начато, автор полагает, что эта сторона дела является наиболее важной с точки зрения механики, и именно здесь в будущем полностью раскроются преимущества квазидифференциального исчисления.
Прежде чем приступить к основной части настоящего дополнения, отметим ещё, что в прикладной мшанике принято считать, что любую негладкую задачу можно аппроксимировать гладкими. Такой подход бывает очень полезен при доказательстве теорем существования, но численные результаты, полученные с помощью гладких аппроксимаций, могут оказаться ошибочными, ибо многие свойства исходной негладкой задачи могут быть утеряны в процессе сглаживания. В связи с этим мы отсылаем читателя к весьма поучительному примеру, приведенному в [365, р. 7].
Прежде всего дадим определение квазидифференциала. Это понятие было введено в 1979 г. В. Ф. Демьяновым, Л. Н. Поляковой и А. М. Рубиновым [367; 368]. Функционал fi А где А —открытое подмножество в R", называется квазидифферёнцируемым в точке х€/, если он дифференцируем в этой точке по любому направлению
(т. е.户(％,力)существует для всех 也W IR* см (2.3.13)) и найдутся два выпуклых компакта а‘/(х) С R" и 3 z/(x) С R", такие что
7х(х, Л) = max{<xi, й> Ixi ^.^fi^}
Xi
+ min{ <X2,力》I%2 £ 3'/(%)} ▼力 € R"・(ДУ.2)
Это соотношение можно записать в следующей эквивалентной форме: 产(％ Л) = min max{ <Xi + Хг, Л> Ixi € Э '/(x), № € 3 '/(x)}.(ДУ.2а)
X2 Xl
Здесь <•»•>—скалярное произведение в R". Пара множеств
〃а)=伍’/a), a v(x))(4V.3)
называется квазидифференциалом функции / в точке х. Множества 3'/(х) и 3，/(х) будем называть соответственно дf-субдифференциалом и 3，一 супердифференциалом функции / в точке х. Штрих использован здесь для того, чтобы подчеркнуть отличие от субдифференциала ЭДх), определенного, как это принято в выпуклом анализе (см. (2.3.2))7. Из (ДУ.2, 3) ясно, что квазидифференциал 勿(％) в точке х определён неоднозначно. Данное выше определение можно обобщить, заменив R" произвольным отделимым локально-выпуклым пространством X* В этом случае а‘/(х) и 百'/(х) являются Е (勿',^-компактными подмножествами сопряжённого пространства X’ (см. гл. 1), а <•, -> — каноническое спаривание между Хи X'. В [362] дано другое обобщение — на случай отображений банахова пространства X в банахово пространство К представляющее собой условно полную векторную решётку, снабжённую монотонной нормой.
Если функция / непрерывно дифференцируема на А, то она квази- дифференцируема в любой точке х^А и
ДЛ» = {grad/(x), 0) или {0, grad/(%)}.(4V.4)
Таким образом, / является как д '-субдифференцируемой, так и 3z-су- пердифференцируемой в каждой точке х.
Если /— выпуклая функция, определённая на выпуклом множестве 4 то (ДМ2) можно записать в виде (2.3.20). Поэтому
Df(x)= m/(x), 0),(ДУ.5)
где df(x) — субдифференциал из выпуклого анализа (см. (2.3.1)). Ана-
'В работах [363——368] штрих не ставится. Кроме того, в названиях д "-субднфферен- циала н д '-супердиффереициала символа &' там тоже иет.
логично если /—вогнутая функция на выпуклом множестве Л, то 力 = -/ будет выпуклой функцией, и
Df(x) = {0, "(%)},(Д¥.6)
где
力(х) = {xz €%z l/(xi)-/(х) С @‘，Xi 一幻 VxiWX} (ДУ.7)
——супердифференциал вогнутой функции / в точке х [288]. Далее, оказывается, что для всякой Э-регулярной функции (см. п. 4.3.1), тканей что ^(х,力)Н ±8 wh, выполняется соотношение (ср. с (4.3.15))
『'(X,力)=尸(乂 й) = тах{<хь й> Ixi € VW)(ДМ8)
и, значит,
勿а)= {&а), 0},(ДУ.9)
где о/(х)——обобщённый градиент. Например, если / ——функция максимума, скажем / = max(^i,...,伊切}, где 例=例(х), i = 1, 2, ..., /и, 无 WR"——гладкие функции, то, как известно (см. п. 4.3.1), / является Э-регулярной и, следовательно (см. 4.3.29а),
Д/(х) = {colgrad 陋(х), grad ^(х)}5 0}(ДУЛО)
для хw (Х1例=，…，屮k =/h
Эту формулу можно вывести, не привлекая теорию обобщённого градиента (см., например, [364]).
Рассмотрим, теперь пары множеств Г, = {/〃 3", / = 1, 2, где Ai С X", Bi С X', и определим для них операцию сложения:
Г1 + Г2 = {4 + 4, Bi + &}(ДУ.И)
и операцию умножения на число 入 W R:
XBJ при 入》0
皿心,ХЛ} при Х<0.3V.12)
Используя эти определения, можно показать, что если 力,i = 1,... ...,л, — квазидифференцируемая в точке х функция, то и функция g = =^aifi (冉 € IR) тоже квазидифференцируема в точке х и Dg - 2^ДА-
Далее, можно показать, что если 力。力 квазидифференцируемы в точке х, то и g =力♦力 обладает тем же свойством и
DgQ) = /i(x)Z%(x) + 无 3)%(х);(ДУЛЗ)
если кроме того Л(^) Н 0, то функция g =力齿 квазидифференцируема
в точке X И
Dg(x) = [Л(х)2У1(х)-力(x)%(x)]〃f(x).(AV.14)
Очень важным является следующее свойства: если функции 們, / = 1, ..., л. квазидифференцируемы в точке х, и функция / = maxg
тоже квазидифференцируема в х, причём
a v(x)= соZ 3'伊(%)I 左 w /(%)],(Дv・i5)
(*€/(Х)丿
i^k
牙(%)= S аых),3V.16)
Jt€/(x)
где Z(x) = (zl^f(x) = /(x)}・ Аналогичная формула справедлива и для функций минимума. В этом случае 3'/(х) (соотв. 3 У(х)) задается формулой (ДУ.15) (соотв. (ДУ.16)) с заменой в правой части @' на Э\ а 3，на В'・ Если / =力 + 方，где функция 力(соотв.力)выпукла (соотв. вогнута) и 力(х),力(х) конечны, то / квазидифференцируема и в качестве Df(x) можно взять [369]
Df(x)= 1М“)，独х)}・(ДУ.17)
Заметим, что из (ДУ.2а) следует, что для любых XzwG'fg и Xi £ 3 '〃х) функции
max (<^b->l^i €х2 + 3'/(%)}=厶《)
и
min {〈02, • > I ^2 € Xi + 3 z/(x)}=厶《)
служат соответственно верхней выпуклой (и нижней вогнутой) аппроксимациями функции / вблизи точки х, а семейства функций
{rX1(^x2^dff(x)} и 6《)1м£3'/а)}
являются исчерпывающими семействами соответственно верхних выпуклых и нижних вогнутых аппроксимаций функции / вблизи точки х [365].
Легко показать [364], что если / квазидифференцируема на X, то для того, чтобы задача
/(%) = min{/(x) 1х€ %),(ДУ. 18а)
соответствеьно
/(鳥)=max (/(х) I х £ X},(ДУ.18Ь)
имела решение, необходимо, чтобы
-а7(Ло) С 3W),(Д¥.19а)
соответственно
-3‘(角)e3'/(我).(ДУ.19Ь)
Соотношение (ДУ. 19а) (соотв. (Д¥.19Ь)) вытекает из необходимого условия минимума (соотв. максимума):«/'(%, У)》0 (соотв.《0) для любого " X.
Всякая точка хо (соотв х), удовлетворяющая условию (ДУ.19а) (соотв. Д¥.19Ь)), называется хп{~стационарной (соотв. ^^-стационарной) точкой функции / на X. Можно показать, что в случае X = R", если точка % не удовлетворяет (Д¥.19а), направление
$ =-」° 十 叱[,max minfllu + wll I w € Э '/(xo), v £ 3'(xo)}
+ WoU w и
=llvo + Wo В 3V.20a)
будет направлением наискорейшего спуска функции / в точке хь (такое направление не единственно), а если % не удовлетворяет (Д¥.19Ь), то направление
f = ；Т + 叱,max min{ Nu + wll I w e 3，/(%), и € 3'/(%)}
II Vo + 的0 IIу w
=II 瓦 + Woll (ДУ.20Ь)
будет направлением наискорейшего подъёма функции / в точке % (таких тоже может быть не одно).
Перейдем к приложениям понятия квазидифференцируемости в механике.
Для любой механической системы £, описываемой тройкой Е = ={% <и, р,身,любой закон вида (4.3.30), где функция Ф является Э-регулярной, можно записать в квазидифференциальной форме
X 0}⑺①⑷={施(“)，0).(ДУ.21)
Это справедливо для всех теорий с невыпуклыми Э-регулярными потенциалами. Данное замечание дает возможность использовать в случае Э-регулярных потенциалов методы квазидифференциального исчисления, позволяющие получать более тонкие условия оптимальности, чем те, которые могут быть получены с помощью исчисления обобщённых градиентов [370].
Для этой же механической системы можно рассмотреть более общий закон вида
{-《-?}WD6(u)=④①⑷，3’①(“)},3V.22)
где g, ?€ 汽 а Ф — квазидифференцируемая функция. Чтобы пояснить соотношение (ДУ.22), предположим для простоты, что %= R" и 夕=R"・ Для всякого ограниченного подмножества / и 夕 определим его опорную функцию sa формулой
5^(и) = sup{<u, @1代川.€UV.23)
Опорные функции сублинейны (т. е. субаддитивны (以 如 + 崂《 g 對(<и) + 對(u2)) и положительно-однородны), и обратно, любая сублинейная функция Л является опорной функцией единственного выпуклого компактного множества, которое задается формулой
/ =圍〈％ Р ЕЮ VuW0}・WV.24)
Следовательно, (22) можно записать в виде (см. (ДУ.2))
»(% V)= 5е‘ф(и)(9)- £-3 $(u)G)力€@・(ДУ.25)
Очевидно, что
if^= {giq, Q《s@，$(“)G)ww@}・(ДМ26)
Аналогичное неравенство справедливо также и для 39(“). Таким образом, в правой части равенства (ДУ.25) стоит разность двух сублинейных функционалов. Обозначим через Q класс всех выпуклых компактных Подмножеств множества ВТ Как видно из предыдущего обсуждения, любой функции з, представимой в виде разности двух сублинейных функций, можно сопоставить множества Л € Q и В € Q, такие что
^(u) = max(<u, QlgwZ} + min{<u, g> 1<€В}
=對(“)-£-Z(u).(Д¥.27)
Введём на Q х Q отношение. следующее эквивалентности К: {4, Bi]R{Ai, &} тогда и только тогда, когда А\ - Вг = Аг - 3，Далее обозначим через Q факторпространство (Q X Q)/K: класс эквивалентности с представителем {/, 3} будем записывать как [Л, В]. Зададим на Q структуру векторного пространства с помощью (ДУ.И, 12). Если ещё задать на Q норму как хаусдорфово расстояние d(A, -В,) то Q превращается в нормированное пространство [371]. Векторное пространство 0 функций, представимых в виде разности сублинейных функций, является нормированным пространством с нормой 111^111 =
二 sup{ 1夕(&)1 lu€% tut = 1}, и в (367] показано, что соответствие [Л, В] т 以(•) - 5-в(>) является изометрией. Сказанное выше проясняет смысл соотношения (ДУ.22). Можно сложить несколько соотношений вида (ДУ.22) и получить
卜典一 Z屮 §g（"）= *%（”）=卜/（"）,訳/（“）｝
''''*'（ДУ28）
Если некоторые из Ф/ в (ДУ.28) являются функциями максимума или минимума, как например в случае обобщённого закона старения, то формулы (ДУ.15, 16) дают возможность записать рассматриваемый закон в некоторой полезной форме с множителей, поскольку в этих формулах фигурируют выпуклые оболочки (ср., например, с (4.3.29) для d-регулярных функций).
Если в (ДУ.28) S^W = 81(4 + ^2(u), где функция pi (соотв.級)
выпукла (соотв. вогнута), то ввиду (ДУ.17, 28) для случая конечных ^>i (и),級(и) мы имеем
W1G0 - Wi(u)》〈-g&, ° — ) W €%,(ДУ.29а)
級(g) — ^(«)》(—Z%，° — ) Vs€%(ДУ.29Ь)
Если положение равновесия характеризуется условием g (& + &) = О, то, решив относительно и систему, состоящую из последнего уравнения и вариационных неравенств (Д¥.29а, Ь), получим все возможные положения равновесия. Аналогично можно действовать и в общем случае (ДУ.28), если положение равновесия описывается соотношением (или соотношениями) вида gQ否 + 匕而=0,你 历€ R.
Наконец, как и в (4.3.33) можно рассмотреть вместо (ДУ.22) законы вида
{«, «)€РФ1(-р.(ДМЗО)
Как и в п. 4.1.3, рассмотрим деформируемое тело с фиксированной границей Г. Тогда (4.3.49) принимает вид
j ffy(u)£y(u - u)dQ 一 j fi(vi - ut)dQ = 0 Vu€ l^On €UV.31)
(поскольку Ui = О на Г, z = 1, 2, 3). Здесь 1^оп — множество кинематически допустимых перемещений. Рассмотрим определяющее соотношение вида
叫£方=而'(邑 £*) ▼£*=(喇 £藉.(ДУ.32)
Как и в п. 4.3.2, для 力 wZ?(R) приходим к следующей задаче:
Задача 1. Найти u € (/f1^)]3, удовлетворяющее вариационному уравнению
j (w'(£(Ы), е(и - и))-力з - ％)加=0Vu£ 内 1(Q)]3.(ДУ.ЗЗ)
Очевидно, что в случае, когда функционал w выпукл^ из (ДУ.ЗЗ) можно получить вариационное неравенство7, применив (2.3.15) к 而'(・,•)・ Определяющее соотношение (ДУ.32) описывает гиперупругие материалы. Можно было бы рассмотреть более общий закон (см. §3.3)
叩司 &W'(e, е*) ve* € IR6,(ДУ.34)
где неравенство означает, что действуют некоторые механизмы диссипации. В этом случае (ДУ.ЗЗ) также превращается в неравенство. Для d-регулярной плотности энергии деформации имеем 而，(邑 £*) = w，(£, £*)> и (ДУ.ЗЗ) выполнено как полувариационное неравенство. Предположим теперь, что функционал w является квазидифферощируемым, т. е. существуют выпуклые компактные множества Л = й' w(c) и 5 = =》”(£), такие что
科(£, £*) = max(五/而再=(无/}w工}
+ min{r</£yIt = {而} €5} = %(£*) — $一鼠£*)V£*€ IR6. (ДУ.35)
Вводя обозначения 而司=(г, £*) и т. д., можем записать
W(£, £*)》(7, £*) + min {(7, £*)1т€ д'W(£)J
Утей'w(£)V£* € R6 (ДУ.36)
Далее, существует тбд'w(c), такое что
歹(邑 £*)》(？ +云 £*)V£* € IR6,疗€@”⑹.(ДУ.37)
Таким образом задача 1 принимает вид:
Задача 2. Найти 〃修右十。)]?, удовлетворяющее условию 行еЗ”(£&)) и такое что
'То же самое можно сделать локально, если функционал w является выпуклым в некоторой окрестности точки £.
j 方(也 一 〃i)dR》j(7 + 7, £(u - 〃))dR оо
疗 € 丈 似£(〃) Vu € [Я1 (О)]3.(ДУ38)
Эта задача эквивалентна следующей:
Задача 2〈 Найти и € [^(П)]3, удовлетворяющее соотношению
j [ min max (г + г, £(и)) - fivi\d^l = 0 Vu € [Нх (Q)].(ДУ.39)
D т€В г € Л
Если выполнено (ДУ.34), то ставится та же задача с заменой «= О» в (Д V.39) на «》О».
Многие реальные материалы подчиняются указанным определяющим соотношениям. Например, материалы, у которых плотность энергии деформации w представляет собой конечную функцию, являющуюся суммой конечных^ выпуклой и вогнутой частей: w = w〔 + W2. Тогда %w(£)= 8wi(£)и B'w(£)= 3w2(£)・ Аналогично обстоит дело и в случае, когда энергия деформации выпукла по некоторым компонентам £i тензора деформации и вогнута по остальным его компонентам £г- Пусть, например, функция £ -+ w(£)= w(£i, £2) конечна на £i х 瓦 С R* где Ei С R",瓦 U R* q + 6 = 6, —выпуклые открытые множества. Тогда функция w(・,£2) (соотв. w(£i・) выпукла (соотв. вогнута), и множества %1似・，£2) (субдифференциал) и J£2w(£i, •) (супердиффе- решщал) являются непустыми выпуклыми компактами. Можно показать (см. [364, с. 232]), что отображение £ -+ w(£i, £2) квазидифференци- руемо на Ei х £2 и
С，w(61, £2) = (3£l w(£i, £2), 0) CIRa x 曾，
3’w(£i, £2) = (0, S&w®, £2)) CfRa x №・(ДУ.40)
Ряд одномерных и двумерных реализаций вышеописанных определяющих соотношений легко получить, комбинируя соответствующим образом диаграммы из §3.3.
Заметим, что аналогичные результаты справедливы для упругого тела, удовлетворяющего граничным условиям
-Siщ = (или《)尸(〃，и) Vv € IR3(ДУ.41)
с квазидифференцируемой функцией у.
Для того чтобы привести более конкретный пример, рассмотрим закон трения вида
—SriVTi — Snvn = Jz (wr, 〃n； 5 un),(ДУ.42)
где функция un~^j(ut, 〃n) вогнута или, более общим образом Э-регу- пярна, а функция 〃丁-+/(〃г, 〃») выпукла и конечна. Мы можем, напри-
мер, взять j@T, un) = clurl ——классический потенциал трения, а в качестве 〃丁 т/(〃г, 〃n) взять любую d-регулярную функцию, например функцию, получающуюся из закона расслоений (скажем, берём диаграмму на рис. 4.3.3 для растяжения и линейно продолжаем её для сжатия). Слегка видоизменив доказательство из [364, с. 232], можно показать, что отображение (〃r,馥户)-+ j(ur9 uQ квазидифференцируемо и выполнено условие, аналогичное [Д¥.4О], с заменой д на -д.
Аналогично тому, как в с) были получены выражения, отвечающие потенциальной энергии, можно получить выражения для дополнительной энергии, например взяв вместо (ДУ.32)
齿加=例'3, 7) VT*「喇 е IR6. 3V.43)
Грубо говоря, «слабость» обобщённого градиента проистекает из того, что он «плохо различает» выпуклую и вогнутую «части» рассматриваемой функции w. Влияние выпуклой (соотв. вогнутой) части на вариации w по направлениям более точно описывается при помощи квазидифференциального исчисления.
У всех рассматриваемых в этой книге задач минимизации в которых фигурируют невыпуклые функционалы энергии, имеется одно общее свойство — любой локальный минимум соответствует некоторому положению равновесия, но не наоборот (см. в этой связи п. 4.3.2). Действительно, каждый локальный минимум является точкой субстационарности и, следовательно, соответствует положению равновесия. Аналогично обстоит дело в теории больших упругих деформаций [372—374] (см. также п. 7.1.3). Возникающие задачи минимизации, как правило, ЯВЛ5ПОТСЯ невыпуклыми и негладкими и локальные минимумы могут быть найдены при помощи тонких критериев, найденных Демьяновым (см., например, [375]), которые мы здесь не будем приводить. Предоставляем читателю в качестве упражнения дать «словесную» формулировку этих критериев для задач дискретной теории пластичности в приращениях с разупрочняющимся поведением материала (в этом случае матрица М из § 11.2 не является положительно- полуопределённой). Получающиеся необходимые и достаточные условия открывают новые возможности применения квазидифференциального исчисления в теории пластичности.
Следуя идеям пп. 3.2.1 и 4.3.3, можно рассмотреть соотношения между силами {&,伊} € Sf х 先=歹=IR" и потоками 編 € % = IR" для реального термодинамического процесса, имеющие вид
佈，^}^D^. (ДУ.44) где 纟一квазидифференцируемая функция.
Используя обозначения из добавления IV, можно по аналогии с (4.3.84) рассмотреть законы вида
修巧1, 一专耳"&(R, {4}).3V.45)
В случае когда функция 笈 представляет собой максимум некоторого конечного числа квазидифференцируемых функций, формулы [ДУ.45, 15, 16] доставляют обобщение (4.3.91—93).
Справедливо следующее утверждение: любому замкнутому конусу С можно сопоставить функцию 仍 представимую в виде разности двух сублинейных функций, и такую, что С = {х€ IR" I ^(х)《0) [366]. В силу (ДУ.27) можно записать
С = {х€ R"丨夕⑴=sA(x) - s-B(x)《0}・(4V.46)
Поэтому множество всех функций 屮、удовлетвор$пощих (ДУ.46), есть замкнутый выпуклый конус л[С] в пространстве 0, а множество соответствующих элементов [Л, В] пространства Q образует выпуклый замкнутый конус N[C] в пространстве @. Рассмотрим теперь произвольное замкнутое множество Т и IR" и точку % € 資 Говорят, что вектор у является касательным к множеству Г в точке ль, если найдутся последовательность (хл € Т} и последовательность &}, tn > 0, 61To+ , такие что lim (хл - xo)/t = у. Все возможные касательные л -*<ю
векторы к множеству Т в точке % образуют касательный конус 3f(xo)f который является замкнутым. Предположим теперь, что [Л, В] € € МС]7- Далее, обозначим через Лт(хь) множество всех квазинормалей к Тв точке ль- Пусть Т= {хIр(х)《0}, где р — некоторая квазидаффе- ренцируемая функция, и пусть точка ль такова, что 夕出)=0. Обозначим через「(•) функцию (%”出 -6_冃力仙))(*), и пусть выполнено условие невырожденности -
®«х) V 0} = {х1т(х)<0).(ДУ.47)
Тогда_
2(%)=仅少(％), а勿倘)}3V.48)
есть квазинормаль, соответствующая 牙(％). Теперь, после данного выше математического введения, рассмотрим законы пластичности вида
/ = {/ 政} 6 {XPp(ff)IX》0).(ДУ.49)
'Здесь [Л, В] € 0. Будем говорить, что [Л, В] является квазинормалью к Г в точке хь, если существует замкнутый конус С такой что С С ^(^、
Этот общий закон включает в себя как частный случай неассоциированные законы пластичности для выпуклых поверхностей текучести. Соотношение (ДУ.49) можно рассматривать xaiC обобщение таких законов.
Рубинов и Ягубов [376] показали, что если дифференциал /z(x, А) непрерывен по А, то найдётся пара звёздных множеств {“ К), таких что
产@, А) = max(X < 01А € -ХК} + min(X > OlAeXtZ). (ДУ.50)
Напомним, что замкнутое множество U U R" называется звёздным (или звездообразным)у если Ow U 区 все лучи вида (XxlX > 0, x^U} пересекают границу множества U не более чем в одной точке.
Как известно [123] (см. также [298]), звездообразные поверхности образуют весьма общий класс поверхностей текучести, рассматриваемых в теории пластичности. Вопрос о связи соотношения (ДУ.50) и исчисления, развитого в [376], с теорией пластичности остаётся пока открытым.
Список обозначений
Ниже приводятся сокращения и основные обозначения, использованные в книге. Там, где необходимо, мы отсылаем читателя к параграфу или пункту, где даётся определение. Если не оговорено противное, то действует обычное соглашение о суммировании, согласно которому по повторяющемуся индексу производится суммирование, т. е. мы пишем просто X/Jv вместо S^Jv- Жирными буквами обозначены векторы и
матрицы, отвечающие дискретизованной сплошной среда Ввиду характера используемых пространств функций, большинство соотношений у нас имеет место почти везде (относительно м^ры Лебега или иной рассматриваемой меры 〃) и поэтому соответствующие сокращения («п.в.» или «д-п.в.») приводятся только тогда, когда для большей ясности стоит напомнить читателю, что соотношение выполняется именно в таком смысле.
пустое множество
каково бы ни было, для всех
множество натуральных чисел (включая нуль!)
множество вещественных чисел
множество положительных вещественных чисел
расширенная вещественная прямая (с добавленными точками ±оо) эвклидово л-мерное пространство
символ Кронекера
точка х € IR"точка х € IR"х = Qi,…，хл)
точка х € IR"
точка х € IR"
二{-Xj), z = 1, ..., л
(X, j) = S XJi(X, j) = S XJi=XiJj ХЛ J 0Г{«!, «2,…}ЛОВ, ЛАД Л \ В夕⑷ Ах В=XiJj ХЛ J 0Г{«!, «2,…}ЛОВ, ЛАД Л \ В夕⑷ Ах В[а] = а/К=(01 (а, 6)5}A/R = (同 |"e工}int Л[а] = а/К=(01 (а, 6)5}A/R = (同 |"e工}int Лrel int ЛВП ТВП ЛВПrel int ЛВП ТВП ЛВПдлина вектора хе^п
(X, j) = S XJi
(X, j) = S XJi
=XiJj ХЛ J 0
Г
{«!, «2,…}
ЛОВ, ЛАД Л \ В
夕⑷ Ах В
=XiJj ХЛ J 0
Г
{«!, «2,…}
ЛОВ, ЛАД Л \ В
夕⑷ Ах В
[а] = а/К
=(01 (а, 6)5}
A/R = (同 |"e工}
int Л
[а] = а/К
=(01 (а, 6)5}
A/R = (同 |"e工}
int Л
rel int Л
ВП ТВП ЛВП
rel int Л
ВП ТВП ЛВП
скалярное произведение в fRn
векторное произведение в R71
открытое, обычно ограниченное и связное подмножество в R71
граница множества 0
множество, состоящее из элементов cq, a2 K т. д.; одноточечное множество (aj записывается иногда просто как ai
объединение, пересечение и разность множеств А и В
множество всех подмножеств множества Л произведение множеств Л, В, т. е. множество всех упорядоченных пар (а, /3), таких что а€Л, /3€ А Подмножество R в А х А называется отношением эквивалентности, если (i) (а, а) € 灭，(ii) (а, 6) € R =(仇 а) € 灭, (ui) (а, 6) € К, 0,)) € К = (а, )) € К Уа, 6, 7€Л
класс эквивалентности по модулю R
результат факторизации (фактормножество, факторпространство) Л по 2?
множество всех внутренних точек множества Л (внутренность Л)
замыкание множества Л
относительная внутренность множества Л (см. п. 2.1.1)
векторное пространство
топологическое векторное пространство
локально-выпуклое пространство
олвп
отделимое (или хаусдорфово) локальновыпуклое пространство
/： /т 瓦
/(•)：工 т5
а т /(а)： А^ В
функция (или отображение из Л в В. Если Л и В уже оговорены, то пишем просто Л /(•) или а -*Да). Чтобы явно указать независимую переменную, пишем также / = /(а). Функция / называется инъективной (или вза- имно~однозначной)9 если /(ai) = /(аг) = си = =аг； сюръективной, если ДЛ) = В. Функция, которая одновременно инъективна и сюръективна, называется биективной. Если 5 = R, то / обычно называют функционалом. •
1\ А -^ А
тождественное отображение; отображение /: Л -+ В, Л С Я, задаваемое правилом 1а = а, называется естественной (или канонической) инъекцией (или просто инъекцией, если не может возникнуть недоразумений) А в В
лл
П Ха а€Г
график функции / (см. п. 1.4.2)
декартово произведение множеств 為 (а принадлежит некоторому заданному множеству Г). В случае Г = (1, 2, ..., п} пишут 口 Ха = Х1 X *2 х …х Хп а€Г
/3
сужение (или ограничение)力：741T 5 функции f: А -> В на множество Л1 С Л
sup /(а) или
sup /(а) л
inf /(а) или
inf /(о)
dx = dxi ... dxn
m л1
п.в.
д-п.в.
mes R = 1R1,
mes Г = 1Г1
супремум (точная верхняя грань) функции /:
инфимум (точная нижняя грань) функции /: 工Т R
лебегова мера в fRn
лебегова мера в Q и на Г соответственно
почти везде
почти везде относительно меры д
мера множества R (объём) и его границы Г (площадь)
CRQ), Ь@), С™*)
ОД, Р(й), 0@), d(a), 7Л(а) 必，(а), ^i(a) 力w(a), т/(й), 力(Q), №(T)
cm n. 1.3.1
cm. n. 1.3.1
cm. n. 1.3.2
см. nn. 1.3.3 и 1.3.4
ВР(Й)
см. n. 1.3.5
положительные константы, если не оговорено противное (фигурируют в неравенствах с нормами вроде 1-1 < cll-ll или II • II < с)
(',')> 1 “2
скалярное произведение и норма в 丄？(О), а также и в [£2(й)]л = "(0) х ... х Z2(Q). Отметим, что если и = ｛叨｝, i = 1, ..., л, то
1 叫厶2(аг =联а)
l・lp
норма в 丄尸(0) или в [£р(й)]л
скалярное произведение и норма в //(й) или
u&w
〈♦,・〉xxx
или <-,->x.
в 附(а)Г
норма в 卄'“О) или в [什‘°(О)]71 каноническая билинейная форма, приводящая в двойственность (спаривающая) X и
спаривание М« и (WPt9)f
спаривание № и (№)‘ (или ["т и (["丁)')，
S€ R
U(0T, X), &'(0T, X), 俨"(0T, X), d(0T, X)
спаривание 《•,•〉$ при s= 1/2 см. п. 1.4.1
df/dt dF/dx F'
сильная производная (см. п. 1.4.1) производная Фреше (см. п. 1.4.2) производная Гато (см. п. 1.4.2). В динамических краевых задачах штрих обозначает также частную производную по времени
Daf
=DaiDai ... Da"f = dMf/d^ ... ax；", lai = Z 8
i= 1
f.i Oijj
A = £胖/睛 i = 1
△△ ker T epi/ 8 K
D(f)
=df/dXi =dotj/dxj
оператор Лапласа
бигармонический оператор
ядро оператора Т
надграфик функционала /
выпуклая оболочка множества К
эффективная область определения функционала /
Ik
индикаторная функция (индикатор) множества К
Pk
оператор проектирования (проектор) на выпуклое множество К
П.Н.СН., П.Н.СВ.
полунепрерывный снизу, соответственно сверху
a/(x) 力(X) V(x)
субградиент функции / в точке к обобщённый градиент функции / в точке к производное множество функции / в точке X
D(df) R@f) 产 r0W
область определения субградиента Э/ образ субградиента df сопряжённый функционал
множество всех выпуклых п.н.сн. собственных функционалов на X (см. п. 2.5.1)
н.п.рх.
№(X), 7cW
направление почти-равномерного спуска нормальный и касательный конусы к множеству С в точке х
Fu
часть границы Г, на которой заданы перемещения (или скорости)
rF
часть границы Г, на которой заданы силы F часть границы Г, на которой задано субдифференциальное граничное условие
время, /€ [0, 7]
Е
модуль упругости
коэффициент Пуассона
вектор ускорения
пространство обобщённых перемещений (или скоростей)'
夕
пространство обобщённых сил
①，G, J,加，Jr, 4, w, w
суперпотенциалы
①：GM /,而，A,
сопряжённые суперпотенциалы
t，w。，勿
A Bn,伙
максимальные монотонные операторы из R в 彳(R)
電
регуляризованный суперпотенциал
0={Dy}
тензор скоростей деформации
тензор напряжений Коши
/= {fu}
вектор объёмной (массовой) силы (в §4.2)
орт внешней нормали к Г
S= {£}
вектор напряжений на Г
e
плотность
q = {?}
вектор теплового потока
6
температура (абсолютная или нет)
£
удельная внутренняя энергия
удельная внутренняя энтропия
d/dt
материальная производная (пп. 3.1.1, 3.3.3 и
4.2.1, добавления I и Ш)
S^, Sr
нормальная и касательная (относительно Г) составляющие вектора S
Mn, Ur
нормальная и касательная (относительно Г) составляющие вектора и
M Q
изгибаюихий момент, перерезывающая сила
f, z
прогиб пластины
d^/dn, dz/dn
поворот пластины
к
коэффициент Винклера
儿—(崗_/}
тензор теплопроводности
做={wu}
тензор теплового расширения
С = {Cijhk} с = {Cijhk] 3
тензор ГУка
тензор, обратный к тензору ГУка удельная теплоёмкость при нулевых деформациях
Е
£ = {£»}
£ = {叫
Ё = dE/dt
тензор деформации Грина
тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа
тензор деформации
производная по времени от тензора деформации Вина
£ = d£/dt
тензор скоростей деформации (кинематическая линеаризация)
а
=ba/bi
девиаторы напряжений и деформаций
皿
£п
=与続
Ai
=j DijDij
g
П q
предел текучести
процесс
радиационный нагрев или приток тепла за счёт химических реакций
X
F
P'J'
R P
движение
характерный объём (только в § 4.2) внешняя температура, внешнее давление термостатическая температура, термостатическое давление
a&) n rr
см. (4.2.13, 14) потенциальная энергия дополнительная энергия
A，%3t, AS
d/dt
{aj}
коэффициенты трения
производная по времени (см. добавление IV) скалярные или тензорные скрытые переменные
{Aj}
обобщённые силы, ассоциированные с {-3aj/dt}
当(соотв. сД)
суперпотенциал диссипации в смысле Кларка (соотв. Варги)
0,4
色(соотв. ё,)
интегральные операторы
вектор деформации (соотв. вектор приращения деформации или вектор скорости деформации) /-го элемента
班(СООТВ. S/)
вектор напряжений (соотв. вектор приращений напряжений или вектор скоростей напряжений) /-го элемента
Fo, G
F6
матрица гибкости и матрица равновесия матрица тангенциальной жёсткости
К£, KG, К
3
матрицы упругой, геометрической и полной жёсткости
вектор производных от коэффициентов пластичности
Е
Vz, Hi, Ni
V/
вектор производных от функции текучести см. п. 3.3.3
ненатянутость (слабина) Z-го нитевого элемента
ео
р (соотв р)
вектор начальных деформаций
вектор нагрузки (соотв. вектор приращения нагрузки или вектор скорости изменения нагрузки)
и (соотв. <i)
вектор перемещений (соотв. вектор приращений перемещений или вектор скоростей перемещений)
4 I
единичный тензор и единичная матрица
Литература7
A. F. Abeasis, J. Р. Dias and A. Lopes-Pinto, Sur les valeurs-propres du sous-diflerentiel d' une fonotion convexe avec un noyau non borne. C. R Acad. S& Paris. 278 A (1974) 1197-1199.
R. A. Adams, Sobolev Spaces. Academic Press, New York 1975.
* [3] D' Alembert, J. Le Rond, Traite de Dynamique, Paris 1743.
R. Ansorge and K. Taubert, Set-valued Collectively Compact Operators and Applications to Set-valued Differential Equations. Computing 23 (1979) 333343.
G. Anzellotti and M. Giaquinta, Existence of the Displacements Field for an Elasto-plastic Body Subject to Hencky's Law and von Mises Yield Condition. Manuscripta Mathematica 32 (1980) 101-136.
寓[6] P. Appell, Traite de Mecanique rationelle^ Tome /: Statique-Dynamique du Point. Gauthier-Villars. Paris 1893.
J. H. Argyris, Continua and Discontinua. Proc. 1st Conf. Matrix Meth. Struct. Meeh. Wright Patterson Air Force Base, Dayton, Ohio 1965, AFFDL TR 66-80, 1966.
J. H. Argyris, Three-Dimensional Anisotropic and Inhomogeneous Elastic Media. Matrix Analysis for Small and Large Displacements. /闻.Archiv 34 (1965) 33-55.
J. H. Argyris and D. W. Scharpf, Some General Considerations on the Natural Mode Technique. Aeron. J. Royal Aeron. Soc. 73 (1969) 218-226 and 361-368.
等[10] Aristoteles, Metaphysica.
* [11] J. P. Aubin, Approximation of Elliptic Boundary Value Problems. Wiley- Interscience, New York 1972.
'Звёздочкой помечены работы, переведённые на русский или представляющие собой перевод с русского; см. приводимый ниже список работ, имеющихся на русском языке.— Прим. ред.
J. Р. Aubin and F. H. Clarke, Multiplicateurs de Lagrange en optimization non-convexe et applications. C. R Acad. Sc. Paris 285 A (1977) 451-454.
J. P. Aubin, Applied Functional Analysis. J. Wiley and Sons, New York 1979.
J. P. Aubin and F. H. Clarke, Shadow Prices and Duality for a Class of Optimal Control Problems. SIAM J. Control Optimization 17 (1979) 567-586.
A. Auslender, Problemes de Minimax via Г Analyse Convexe et les Inegalites Variationnelles: Theorie et Algorithmes. Springer-Verlag, Berlin 1972.
V. Barbu, Necessary Conditions for Non-Convex Distributed Control Problems Governed by Elliptic Variational Inequalities. J. Math. Anal. A ppi. 80(1981) 566-597.
V. Barbu and Th. Precupanu, Convexity and Optimization in Banach Spaces. Editura Academiei, Bucuresti, Sijthoff and Noordhoff 1978.
K. J. Bathe and E. L. Wilson, Stability and Accuracy Analysis of Direct Integration Methods. Int. J. Earthq. E闻.Struct. Dyn. 1 (1973) 28 3-291.
E. J. Bauman, Multilevel Optimization Techniques and Application to Trajectory Decomposition. In: Advances in Control Systems (ed. by С. T. Leondes). Academic Press, New York 1968 (vol. 6).
E. Becker and W. Burger, Kontinuumsmechanik, B. G. Teubner Stuttgart 1975.
J. F. Bell, The Experimental Foundations of Solid Mechanics. In: Encyclopedia of Physics Vol. VI a/1 (ed. by S. Fliigge) Springer-Verlag, Berlin 1973.
M. S. Berger, On Von Karman's Equations and the Buckling of a Thin Elastic Plate, I. The Clamped Plate. Comm. Pure Appl. Math. XX (1967) 687-719.
M. S. Berger and P. C. Fife, Von Karman's Equations and the Buckling of a Thin Elastic Plate, II. Plate with General Edge Conditions. Comm. Pure Appl. Math. XXI (1968) 227-241.
* [24] N. Bourbaki, Elements de Mathematique, Livre V. Espaces vectoriels topolo- giques. Hermann, Paris 1953.
彝[25] N. Bourbaki, Elements de Mathematique, Livre HL Topologie generale. Hermann, Paris 1958.
4f [26] N. Bourbaki, Elements de Mathematique, Livre VI. Integration. Hermann, Paris 1965 (2nd edition).
H. Brezis, Equations et inequations non lineaires dans les espaces vectoriels en dualite. Ann. Inst. Fourier 18 (1968) 115—175.
H. Brezis, Problemes unilateraux. J. Math, pures et appl. 51 (1972) 1-168.
H. Brezis, Operateurs maximaux monotones et semigroupes de contractions dans les espaces de Hilbert. North-Holland Publ. Co., Amsterdam and American Elsevier Publ. Co., New York 1973.
F. Browder, Variational methods for nonlinear elliptic eigenvalue problems. Bull. Amer. Math. Soc. 7 (1965) 176-183.
F. Browder, On the Unification of the Calculus of Variations and the Theory of Monotone Non-linear Operators in Banach Spaces. Proc. Naf. Acad. Sci. С/.Х.Л. 56 (1966) 419-425.
P. L. Butzer and H. J. Wagner, On Duadic Analysis Based in the Pointwise Derivative. Analysis Mathematica 1 (1975) 171-196.
M. Cap urso and G. Maier, Incremental Elastoplastic Analysis and Quadratic Optimization. Meccanica 5 (1970) 1-10.
C. Castaign, Integrales convexes duales. In: New Variational Techniques in Mathematical Physics, C.I.M.E., Edizioni Cremonese, Roma 1974.
C. Castaign and M. Valadier, Convex Analysis and Measurable Multifunctions. Springer-Verlag, Berlin 1977.
C.E.T.I.M., Proc. Int. Symposium on Innovative Numerical Analysis in Applied Engineering Science, Versailles 1977.
К. C. Chang, Variational Methods for Non<iifferentiable Functionals and their Applications to Partial Differential Equations. J. Math. Anal. AppL 80 (1981) 102-129.
Phan van Chuong, Solutions continues a droite d' une equation integrale multivoque. Seminaire d* Analyse Convexe, Expose No 3, Montpellier 1979.
S. Christiansen, On Kupradze's Functional Equations for Plane Harmonic Problems. In: Function Theoretic Methods 加 Differential Equations (ed. by R. P. Gilbert and R. J. Weinacht). Pitman, London 1976.
胃[40] A. A. Chyras, Linear Programming Methods in the Analysis of Elastic-Plastic Systems. Strojizdat, Leningrad 1969. (in Russian).
% [41] P. G. Ciarlet, The Finite Element Method for Elliptic Problems. North-Holland Pub- Co., Amsterdam 1978.
P. G. Ciarlet, A Justification of the von Karman equations. Arch. Raf. Meeh. Anal. 73(1980) 349-389.
A. Cimetiere, Un probleme de flambement unilateral en theorie des plaques. J. Mecanique 19 (1980) 183-202.
A. Cimetiere, Flambement unilateral d' une plaque reposante sans frottement sur un support elastique tridimensionel. C. R. Acad. • 5c. Paris 290 B(198O) 337-340.
F. H. Clarke, Necessary Conditions for Nonsmooth Problems in Optimal Control and the Calculus of Variations. Ph. D. Thesis, University of Washington, Seattle 1973.
F. H. Clarke, Generalized Gradients and Applications. Trans. A.M.S. 205 (1975) 247-262.
F. H. Clarke, Generalized Gradients of Lipschitz Functionals. Advances in Math. 40 (1981) 52-67 (Tech. Report 1687, Math. Res. Center. Univ, of Wisconsin, Madison 1976).
F. Н. Clarke, On the Inverse Function Theorem. Pacific J. Math 64 (1976) 97-102.
F. H. Clarke, A New Approach to Lagrange Multipliers. Math of Op. Research 1(1976) 165-174.
F. H. Clarke, Inequality Constraints in the Calculus of Variations. Can. J. A/ath. 39(1977) 528-540.
F. H. Clarke, Multiple Integrals of Lipschitz Functions in the Calculus of Variations. Proc. A.M.S. 64 (1977) 260-264.
M. Z. Cohn and G. Maier, Engineering Plasticity by Mathematical Programming, Proc. NATO Advanced Study Inst,, Waterloo Canada 1977. Pergamon Press, New York 1979.
B. D. Coleman, Thermodynamics of Materials with Memory. Arch. Rat. Meeh. Anal. 17(1964)1-46.
B. D. Coleman and J. M. Greenberg, Thermodynamics and the Stability of Fluid Motion, Arch. Raf. Meeh. Anal. 25 (1967) 321-341.
B. D. Coleman, On the Stability of Equilibrium States of General Fluids. Arch. Raf. Meeh. Anal. 36(1970) 1-32.
T. F. Conry and A. Seireg, A Mathematical Programming Method for Design of Elastic Bodies in Contact. J. A ppi. Meeh. 52 (1971) 387-392.
R. Contro, G. Maier and A. Zavelani, Inelastic Analysis of Suspension Structures by Nonlinear Programming. Comp. Meth. App. Meeh. Eng. 5 (1975) 127-143.
R. W. Cottle, F. Giannessi and J. L. Lions (eds). Variational Inequalities and Complementarity Problems, Theory and Applications. J. Wiley and Sons, New York 1980.
N. Cristescu, Dynamic Plasticity. North-Holland Pub. Co., Amsterdam 1967.
J. P. Crouzeix, Conjugacy in Quasiconvex Analysis. In: Convex Analysis and its Applications (ed. by A. Auslender). Springer-Verlag, Berlin 1977.
T. A. Cruse, Numerical Solutions in Three-dimensional Elastostatics. Int.丿. Solids Struct. 5 (1969) 12597 274.
T. A. Cruse, An Improved Boundary-Integral Equation Method for Three Dimensional Elastic Stress Analysis. Comp. Struct. 4 (1974) 741-754.
T. A. Cruse and F. J. Rizzo, (eds.) Boundary-Integral Equation Method : Computational Applications in Applied Mechanics. ASME, Applied Mechanics Division Vol. 11, 1975.
J. I. Curiskis and S. Valliappan, A Solution Algorithm for Linear Constraint Equations in Finite Element Analysis. Comp. Struct. 8 (1978) 117.
C. Dafermos, On the Existence and the Asymptotic Stability of Solutions to the Equations of Linear Thermoelasticity. Arch. Raf. Meeh. Anal. 29 (1968) 241-271.
J. W. Daniel, The Approximate Minimization of Functionals. Prentice-Hall, Englewood Cliffs 1971.
C. S. Desai and J. F. Abel, Introduction to the Finite Ё1етеШ Method. Van Nostrand Reinhold Co., New York 1972.
J. P. Dias, Variational Inequalities and Eigenvalue Problem for Nonlinear Maximal Monotone Operators in Hilbert Spaces. Am. J. Math. 97 (1976) 905914.
U. Dieter, Optimierungsaufgaben in topologischen Vektorraumen. Zeitschr. fur Wahrscheinlidikeitstheorie 5 (1966) 89-117.
# [70] J. Dieudonne, Elements d' Analyse, Tome /, // Fondements de Г Analyse mod- erne. Gauthier-Villars, Paris 1969.
C. Do, The Buckling of a Thin Elastic Plate Subjected to Unilateral Conditions. In: Applications of Methods of Functional Analysis to Problem of Mechanics (ed. by P. Germain and B. Nayroles) Springer-Verlag, Berlin 1976.
C. Do, Bifurcation Theory of Thin Elastic Plates Subjected to Unilateral Conditions. J. Math. Anal. Appl. 60 (1977) 435-448.
C. Do, Nonlinear Bifurcation Problem and Buckling of an Elastic Plate Subjected to Unilateral Conditions in its Plane. In: Contemporary Developments in Continuum Mechanics and Partial Differential Equations (ed. by G. M. de la Penha and L. A. J. Medeiros). North-Holland Pub. Co., 1978.
C. Do, Flambement elastoplastique d' une plaque mince. C. R. Acad. Sc. Paris 290 В (1980) 143-146.
D. Domingon, M. N. R. Nina and J. H. Whitelaw (edsj, Foundation of Continuum Thermodynamics. McMillan, London 1974.
O. De Donato and G. Maier, Local Unloading in Piecewise-Linear Plasticity. ASCE, EM3,102 (1976) 383-393.
D. C. Drucker, A more Fundamental Approach to Plastic Stress-Strain Relations. Proc. First U.S. Nat. Congr. on Appl. Meeh. Chicago 1951.
J. E. Dunn and R. L. Fosdick, The Morphology and Stability of Material Phases. Arch. Rat. Meeh. Anal. 74 (1980) 1-99.
* [79] N. Dunford and J. T. Schwartz, Linear Operators Part /: General Theory. Interscience Publishers, New York 1966.
G. Dupuis and A. Probst, Etude d'une structure elastique soumise a. des conditions unilaterales. J. de Mecanique 6 (1967) 1-41.
A. Duschek and A. Hochrainer, Tensorrechnung in analytischer Darstellung^ HL Springer-Verlag, Wien 1965.
G. Duvaut and J. L. Lions, Ecoulement d'un fluide rigide viscoplastique incompressible. C. R Acad. Sc Paris 270 A (1970) 58-61..
G. Duvaut and J. L. Lions, Un probldme d'elasticite avec frottement. J. de Mecanique 10 (1971) 409-420.
軀[84] G. Duvaut and J. L. Lions, Les inequations en Mecanique et en Physique. Dunod, Paris 1972.
G. Duvaut and J. L. Lions, Inequations en Thermoelasticite et Magnetohydrodynamique. Arch. Raf. Meeh. Anal. 46 (1972) 241-279.
G. Duvaut and J. L. Lions, Transfert de chaleur dans un fluide de Bingham dont la viscosite depend de la temperature. J. of Fund. Anal. 11 (1972) 93—110.
G. Duvaut and J. L. Lions, Problemes unilateraux dans la theorie de la flexion forte des plaques (I). Le cas stationnaire. J. de Mecanique 13 (1974) 51—74.
G. Duvaut and J. L. Lions, Problemes unilateraux dans la theorie de la flexion forte des plaques (II). Le cas d'evolution. J. de Mecanique 13 (1974) 245-266.
G. Duvaut, Problemes dynamiques en elasto-viscoplasticite et plasticite par- faite avec conditions de frottement a la frontiere. In: New Variational Techniques in Mathematical Physics. C.I.M.E, Ed. Cremonese, Roma 1974.
G. Duvaut, Equilibre d'un solideelastique avec contact unilateral et frottement de Coulomb. C. R. Acad. Sc. Paris 290 A (1980) 263-265.
節[91] I. Ekeland and R. Temam, Convex Analysis and Variational Problems. North- Holland, Amsterdam and American Elsevier, New York 1976.
# [92] S. M. Ermakov, Die Monte-Carlo-Methode und verwandte Fragen, Oldenburg Verlag, Munchen 1975.
R. S. Falk, Error Estimates for the Approximation of a Class of Variational Inequalities. Math, of Computation 28 (1974) 963-971.
C. A. Felippa and К. C. Park, Direct Time Integration Methods in Nonlinear Structural Dynamics. Comp. Meth. AppL Meeh. Eng. 17/18 (1979) 277-313.
W. Fenchel, On Conjugate Convex Functions. Canad. J. Math, 1 (1949) 73-77.
G. Fichera, The Signorini Elastostatics Problem with Ambiguous Boundary Conditions. Proc. Int. Conf. Application of the Theory of Functions in Continuum Mechanics Vol. I, Tbilisi 1963.
G. Fichera, Problemi elastostatici con vincoli unilaterali: il problema di Signorini con ambigue condizioni al contorno. Mem. Accad. Naz. Lincei, VIII 7 (1964)91-140.
% [98] G. Fichera, Existence Theorems in Elasticity. In: Encyclopedia of Physics (ed. by S. Fliigge) Vol. VI a/2. Springer-Verlag, Berlin 1972.
G. Fichera, Boundary Value Problems tn Elasticity with Unilateral Constraints. In: Encyclopedia of Physics (ed. by S. Fliigge) Vol. VI a/2. Springer-Verlag, Berlin 1972.
F. D. Fischer, Zur Losung des Kontak(problems elastischer Korper mit aus- gedehnter Kontaktflache durch quadratische Programmierung. Computing 13 (1974)353-384.
* [101] G. Fix and G. J. Strang, An Analysis of the Finite Element Method. Prentice Hall. Englewood Cliffs 1973.
J. Frandu, On Signorini Problem for von Karman Equations. The Case of Angular Domain. Api. Matematiky^ 24 (1979) 355-371.
M. Fremond, Etude de structures viscoelastiques stratifiees soumises a des charges harmoniques et de solides elastiques reposant sur ces structures. These de doctoral d'Etat, Univ. Paris VI, 1971.
M. Fremond and M. Mucci, Comportement des chaussees rigides. Application a leur dimensionnement. Bull. Liaison Labo. P. et Ch. 65 (1973) 125-140.
M. Fremond and A. Friaa, Analyse Limite. Comparaison des Methodes Statique et Cinematique. C. R. Acad. Sc. Paris 286A (1978) 107-110.
A. M. Freudenthal, The Mathematical Theories of the Inelastic Continuum. In: Encyclopedia of Physics. Vol. VI (ed. by S. Fliigge). Springer-Verlag, Berlin 1958.
A. Friaa, La loi de Norton-Hoff generalisee en plasticite et viscoplasticite. These de Doctorat d'Etat, Univ. Paris VI, 1979.
E. Gagliardo, Carattcrizzazioni delle tracce sulla frontiera relative ad alcune classi di funzioni in n variabili. Rend. Semin. Mat. Padova 27 (1957) 284-305.
安[109] I. M. Gelfand and G. E. Schilow, Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen) Vol. I. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1967.
P. Germain, La methode de puissances virtuelles en mecanique des milieux continus, lere partie. Theorie du second gradient. J. de Mecanique 12 (1973) 235-274.
P. Germain, The Method of Virtual Power in Continuum Mechanics. Part 2: Microstructure. SIAM J. AppL Math. 25(1973) 5 56-575.
改[112] P. Germain, Cours de Mecanique des milieux continus /. Masson, Paris 1973,
[ИЗ] P. Germain, The Role of Thermodynamics in Continuum Mechanics. In: Foundations of Continuum Thermodynamics (ed. by D. Domingon, M. N. R. Nina and J. H. Whitelaw). McMillan, London 1974.
J. Ghaboussi, E. L. Wilson and J. Isenberg, Finite Element for Rock Joints and Interfaces. 4SCE, SM 10,99(1973) 833-848.
J. W. Gibbs, On the Equilibrium of Heterogeneous Substances (Trans. Conn. Acad. 1875-1878) The Scientific Papers I (1907) 55-353. (Yale Univ. Press, New Haven).
K. Girkmann, Flachentragwerke. Springer-Verlag, Wien 1963.
刀 К. Glashoff and J. Sprekels, An Application of Glicksberg's Theorem to Set-Valued Integral Equations Arising in the Theory of Thermostats. SIAM J. Math. Лпа/. 12(1981)447-486.
R. Glowinski and H. Lanchon, Torsion elastoplastique d'une barre cylin- drique de section multiconnexe. J. de Mecanique 12 (1973) 151-171.
R. Glowinski, Sur Fecoulement d'un fluide de Bingham dans une conduite cylindrique. J. de Mecanique 13(1974) 601-621.
改[120] R. Glowinski, J. L. Lions and R. Tr6molieres, Analyse numerique des inequations variationnelles. Dunod, Paris 1976.
R. Glowinski, Finite Elements and Variational Inequalities. In: The Mathematics of Finite Elements and Applications III 1978 (ed. by J. R. Whiteman) Academic Press, New York 1979.
A. Gopfert, Mathematische Optimierung in allgemeinen Vektorraumen. B. G. Teubner, Leipzig 1973.
A. E. Green and P. M. Naghdi, A General Theory of an Elastic-Plastic Continuum. Arch. Raf. Meeh. Anal. 18 (1965) 251-281.
柒[124] S. R. De Groot, Thermodynamik irreversibler Prozesse. Bibliographisches In- stitut, Mannheim 1960.
H. J. Grootenboer, S. F. С. H. Leijten and J. Blauuwendraad, Numerical Models for Reinforced Concrete Structures in Plane Stress. Heron 26 (1981) 1-83.
M. Grun-Rehomme, Сагас1ёп&а1юп du Sous^jifferentiel d'ir^grandes con- vexes dans les espaces de Sobolev. J. Math. Pures et AppL 56 (1977) 149-156.
D. W. Haines and W. D. Wilson, Strain-energy Density Function for Rubberlike Materials. J. Meeh. Phys. Solids 27 (1979) 345-360.
B. Halphen and N. Q. Son, Plastic and Viscoplastic Materials with Generalized Potential. Meeh. Res. Comm. 1 (1974) 43-47.
B. Halphen and N. Q. Son, Sur les Materiaux Standards Generalises. J. de Mecanique 14 (1975) 39-63.
G. Hamel, Theoretische Mechanik. Springer-Veriag, Berlin 1967.
J. Haslinger, Dual Finite Element Analysis for an Inequality of the 2nd Order. Api. Matematiky24(1919) 118-132.
J. Haslinger and J. Hlavacek, Approximation of the Signorini Problem with Friction by a Mixed Finite Element Method. J. Math. Anal, Appl. 86 (1982) 99-122.
C. Heinz, Das d*Alembertsche Prinzip in der Kontinuumsmechanik. Acta Mechanica 10(1970) 110-129.
U. Heise, The Calculation of Cauchy Principal Values in Integral Equations for Boundary Value Problems of the Plane and Three-Dimensional Theory of Elasticity. J. of Elasticity 5 (1975) 99-110.
U. Heise, Formulierung und Ordnung einiger Integralverfahren fur Probleme der ebenen und raumlichen Elastostatik unter besonderer Berucksichtigung me- chanischer Gesichtspunkte, Habilitation thesis, Aachen 1975.
U. Heise, Application of the Singularity Method for the Formulation of Plane Elastostatical Boundary Value Problems as Integral Equations. Acta Mechanica 31 (1978), 33-69.
U. Heise, Systematic Compilation of Integral Equations of the Rizzo Type and of Kupradze^ Functional Equations for Boundary Value Problems of Plane Elastostatics. J. of Elasticity 10 (1980) 23-56.
H. Hencky, Zur Theorie plastischer Deformationen und der hierdurch im Material hervorgerufenen Nachspannungen. ZAMM4(1924) 323—334.
L. Herrmann, Finite Element Analysis of Contact Problems. 4SCE, EM 5, 104(1978) 1043-1057.
P. Hess, On Semi-coercive Nonlinear Problems. Ind. Univ. Math. J. 23(1974) 645-654.
R. Hill, A Variational Principle of Maximum Plastic Work in Classical Plasticity. Quar. J. Meeh. Appl. Math. 1(1948) 18-28.
R. Hill, Mathematical Theory of Plasticity. Univ. Press, Oxford 1950.
先[143] D. M. Himmelblau, Applied Nonlinear Programming. McGraw-Hill Book Co., New York 1972.
J. B. Hiriart-Urruty, Conditions necessaires d'Optimalit© en Programmation non differentiable. C. R. Acad. Sc. Paris 238A(1976) 843-845.
J. B. Hiriart-Urruty, Contributions a la Programmation Mathematique: Cas Deterministe et Stochastique, These, Universite de Clermont-Ferrand II, 1977.
I. Hlavacek and J. Necas, On Inequalities of Kom's Type I, II. Arch. Rat. Meeh. Anal. 36(1969) 305-311 and 312—334.
I. Hlavacek and J. Naumann, Inhomogeneous Boundary Value Problems for the v. Karman Equations I. Api. Matematiky 19(1974) 253-269.
P. G. Hodge Jr., Numerical Applications of Minimum Principles in Plasticity. In: Engineering Plasticity (ed. by J. Heyman and F. A. Leckie). Cambridge Univ. Press, Cambridge 1968.
T. J. R. Hughes, R. L. Taylor and W. Kanoknukulchai, A Finite Element Method for Large Displacement Contact and Impact Problems. In: Formulations and Computational Algorithms in Finite Element Analysis (ed. by K. F. Bathe, F. T. Oden and W. Wunderlich). MIT Press, Cambridge 1977.
R. Hiinlich and J. Naumann, On General Boundary Value Problems and Duality in Linear Elasticity, I, II. ApL Matematiky 23(1978) 208-229 and 25(1980)11-32.
# [151] A. A. Ilyushin, On the Increment of Plastic Deformation and Yield Function. Prikl. Math. Meeh. 24(1960) 663-666. (in Russian).
« [152] A. D. Ioffe and V. M. Tikhomirov, Theory of Extremal Problems, North Holland. Pub. Co., Amsterdam 1975.
H. Jeggle, Nichtlineare Funktionalanalysis. B. G. Teubner, Stuttgart 1979.
O. John, On Signorini Problem for von Karman Equations. Api. Matematiky 22(1977) 52-68.
С. Johnson, Existence Theorems for Plasticity Problems. J. Math, pures et app/. 55(1976) 431-444.
* [156] L. M. Kachanov, Fundamentals of the Theory of Plasticity. MIR Publishers, Moscow 1974 (Engl, translation).
J, J. Kalker and Y. Van Randen, A Minimum Principle for Frictionless Elastic Contact with Application to Non-Hertzian Half-Space Contact Problems. J. Eng. Math, 6(1972) 193-206.
I. Kaneko, Complete solutions for a Class of Elastic-plastic Structures. Comp. Meth. Appl. Meeh. Eng. 21(1980) 193—209.
B. Kawohl, Uber nichtlineare gemischte Randwertprobleme fur elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung auf Gebieten mit Ecken, Doct. thesis, Techn. Universitat Darmstadt 1978.
Th. Kermanidis, Kupradze's Functional Equation for the Torsion Problem of Prismatic Bars Part 1, 2. Comp. Meth, 4pp/. Meeh. Eng. 7(1976) 39-46 and 249-259.
* [161] D. Kinderlehrer and G. Stampacchia, An Introduction to Variational Inequalities and their Applications, Academic Press, New York 1980.
G. H. Knightly and D. Sather, On Nonuniqueness of Solutions of the von Kannan Equations. Arch. Rat. Meeh. Anal. 36(1970) 65-78.
W. T. Koiter, General Theorems for Elas tic-Plas tic Solids. In: Progress in Solid Mechanics /. North Holland Pub. Co. Amsterdam 1960.
G. K6the, Topologische lineare Raume, Vol. I. Springer-Verlag, Berlin 1960.
M. Kudera, J. Nedas and J. Soutek, The Eigenvalue Problem for Variational Inequalities and a New Version of the Ljusternik-Schnirelmann Theory. In: Nonlinear Analysis (ed. by L. Cesari, R. Kannan and H. F. Weinberger). Academic Press, New York 1978.
[166] H. Kunzi and W. Krelle, Nichtlineare Programmierung. Springer-Verlag, Berlin 1962.
[167] V. D. Kupradze, Potential Methods in the Theory of Elasticity. Oldbourne Press, London 1965.
袭[168] V. D. Kupradze, T. G. Gegelia, M. O. Baschelejschwili and T. V. Burtschu- ladze, Three-dimensional Problems of the Mathematical Theory of Elasticity and Thermoelasticity. Nauka, Moscow 1976 (in Russian).
H. Lanchon, Sur la solution du probleme de torsion elastoplastique d'une barre cylindrique de section multiconnexe. C. R. Acad. Sc. Paris 271A(1970) 1137-1140.
fl7O]H. Lanchon, Torsion elastoplastique d'un arbre cylindrique de section sim- plement ou multiplement connexe. J. de Mecanique 13(1974) 267-320.
先 口71] C. Lanczos, The Variational Principles of Mechanics. University of Toronto Press, Toronto 1966.
嶂[172] L. D. Landau and E. M. Lifischitz, Lehrbuch der theoretischen Physik Vol, Vil Elastizitdtstheorie. Akademie Verlag, Berlin 1966.
H. H. E. Leipholz (ed), Proc. IVTAM Conference on Structural Control, Waterloo 1979. Univ, of Waterloo Press and Noordhoff-Sijthoff Pub. Co. 1980.
H. H. E. Leipholz and M. A. Rohman, General Approach to Active Structural Control. ASCE, EM 6,105(1979) 1007-1023.
C. Lemarechal, Bundle Methods in Nonsmooth Optimization (ed. by C. Lerna rechal and R. Mifflin). Pergamon Press, Oxford 1978.
F. Lene, Sur les materiaux elastique^ a energie de deformation non quadra- tique. These de 3*me cycle, Uhiversit6 Paris VI, 1973.
F. Lene, Sur les materiaux elastiques a energie de deformation non quadra- tique. J. de Mecanique 13(1974) 499-534.
J. B. McLeod and R. E. L. Turner, Bifurcation of Non<iifferentiable Operators with an Application to Elasticity. Arch. Rat. Meeh. Anal. 63(1977) 1-45.
看[179] J. L. Lions, Problemes aux limites dans les equations aux derwees partielles. Seminaire de Mathematiques sup^rieures. Presses de FUniversite de Montreal, Montreal 1962.
J. L. Lions and G. Stampacchia, Variational Inequalities. Comm, pure and applied Math. XX (1967) 493-519.
# [181] J. L. Lions and E. Magenes, Problemes aux limites non homogenes et applications, Vol. 1, 2, 3. Dunod, Paris 1968.
墙[182] J. L. Lions, Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non Uneaires. Dunod/Gauthier-Villars, Paris 1969.
J. L. Lions, Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin 1971.
G. Maier, A Quadratic Programming Approach for Certain Classes of Nonlinear Structural Problems. Meccanica 3(1968) 121-130.
G. Maier, Some Theorems for Plastic Strain Rates and Plastic Strains. J. de Мёсатдие 9(1969) 5-19.
G. Maier, A Method for Approximate Solutions of Stationary Creep Problems. Meccanica 4(1969) 36-47.
G. Maier, Complementary Plastic Work Theorems in Piecewise Linear Elastoplasticity. Int. J. Solids Struct. 5(1969) 261-270.
G. Maier, Linear Flow Laws of Elastoplasticity. A Unified General Approach. Rend. Acc. Naz. Lincei VIII, XLVIII (1969) 1-11.
G. Maier, A Matrix Structural Theory of Piecewise Linear Elastoplasticity with Interacting Yield Planes. Meccanica 8(1970) 54-66.
G. Maier, Incremental Plastic Analysis in the Presence of Large Displacements and Physical Instabilizing Effects. Int. J. Solids Struct. 7(1971) 345 -372.
G. Maier, Mathematical Programming Methods in Structural Analysis. In: Variational Methods in Engineering (ed. by C. A. Brebbia and H. Tottenham) Vol. II Southampton Univ. Press, Southampton 1973.
G. Maier, Upper Bounds on Deformations of Elastic-Workhardening Structures in the Presence of Dynamic and Second-Order Geometric Effects. J. Struct. Meeh. 2(197 3) 265-280.
G. Maier, Future Directions in Engineering Plasticity. In: Engineering Plasticity by Mathematical Programming (ed. by M. Z. Cohn, G. Maier and D. E. Grierson) Pergamon Press, New York 1978.
G. Maier, F. Andreuzzi, F. Giannessi, L. Jurina and F. Taddei, Unilateral Contact, Elastoplasticity and Complementarity with Reference to Offshore Pipeline Design. Comp. Meth. App. Meeh. Eng. 17/18(1979) 469-495.
G. Maier, F. Giannessi and A. Nappi, Indirect Identification of Yield Limits by Mathematical Programming. Eng. Structures 4(1982) 86-98.
J. Mandel, Plasticite classique et viscoplasticite. CISM Course No. 97, Udine 1971. Springer-Verlag Wien 1972.
G. A. Maugin, The Method of Virtual Power in Continuum Mechanics. Application to Coupled Fields. Acta Meccanica 35 (1980) 1-70.
Ch. Massonnet, Resolution graphomecanique de problemes generaux de Fdlasticite plane. Bull. CERES4(1949) 3—183.
Ch. Massonnet, Numerical Use of Integral Procedures. In: Stress Analysis^ (ed. by О. C. Zienkiewicz and G. S.. Holister) J. Wiley and Sons, London 1965.
H. Matthies, G. Strang and E. Christiansen, The Saddle-point of a Differential Program. In: Energy Methods in Finite Element Analysis, (ed. by R. Glowinski, E. Y. Rodin, О. C. Zienkiewicz). John Wiley and Sons, New York 1979.
H. Mecking, Deformation of Single Crystal. Proc. 5卅 Int. Conf, on Textures of Materials (ed. by E. Gottstein and G. Liicke) Springer-Verlag, Berlin 1978.
R. Michalowski and Z. Mroz, Associated and Non-associated Sliding Rules in Contact Friction Problems. Arch, of Meeh, (Arch. Meeh. Stosowanej) 30(1978) 259-276.
E. Miersemann, Verzweigungsprobleme fur Variationsungleichungen. Math. Nachr. 65(1975) 187-209.
F. Migndt, Contrdle dans les inequations variationnelles elliptiques. J. Funct. Anal 22(1976) 130-18 5.
F. Mignot and J. P. Puel, Sur un modele de flambage pour une plaque mince elastoplastique. C. R. Acad. Sc. Parw290A(1980) 519-521.
警[206] S. G. Mikhlin, The Numerical Performance of Variational Methods. Wolters- NoordhofT Pub., Groningen 1971.
E. Mitsopoulou, Unilateral Contact, Dynamic Analysis of Beams by a Timestepping, Quadratic Programming Procedure. Meccanica 18(1983) 254-265.
Е. Mitsopoulou and Р. D. Panagiotopoulos, On the Elastoplastic Torsion: Mathematical Theory of the Approximation of the Solution and Numerical Calculation. Technica Chronica 46(1976) 29-37 (in Greek).
J. J. Moreau, Fonctionnelles sous<iifTerentiables. C. R Acad. Sc. Paris 257A(1963) 4117-4119.
J. J. Moreau, Fonctionnelles Con vexes. Seminaire sur les equations aux derivees partielles. College de France 1967.
J. J. Moreau, La notion de sur-potentiel et les liaisons unilaterales en elastostatique. C. R Acad. Sc. Paris 267A(1968) 954-957.
J. J. Moreau, Sur les lois de frottement, de plasticite et de viscosite. C. R Acad. Sc .尸a"5 271A(1970) 608-611.
J. J. Moreau, On Unilateral Constraints, Friction and Plasticity. In: New Variational Techniques in Mathematical Physics, C.I.M.E. Edizioni Cremonese, Roma 1974.
J. J. Moreau, Evolution Problem Associated with a Moving Convex Set in a Hilbert Space. J. D办 Eqs. 26(1977) 347-374.
U. Mosco, Approximation of the Solutions of Some Variational Inequalities. Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa 21(1967) 37 3-394.
U. Mosco, On the Continuity of the Young-Fenchel Transform. J. Math. Anal. Appl. 35(1972) 518-535.
[217] P. P. Mosolov and V. P. Miasnikov, Variational Methods in the Theory of the Fluidity of a Viscousplastic Medium. P.M.M. 29(1965) 545-577.
W. Moszynski, Frottement des corps solides dans le cas de Г anisotropie naturelle et artificielle. Bull. Acad. Polon. Sci. Lettres Serie 7 (1951) 447-450.
Z. Mroz, Mathematical Models of Inelastic Material Behaviour. Univ, of Waterloo Press, Waterloo 1973.
M. Muller and J. Naumann, On Evolution Inequalities of a Modified Navier- Stokes type, I. Api. Matemat iky 23(1978) 174-184.
* [221] N. I. Muskhelishvili, Some Basic Problems of the Mathematical Theory of Elasticity. Noordhoff Int. Pub. Leyden 1975.
M. A. Muspratt, Stochastic Plastic Analysis. Arch, of Meeh. (Arch. Meeh. Stosowanej) 2&1973) Г65-177.
H. Mutschmann, Die Stufen der Wahrscheinlichkeit by Carneades. Rheinishes Museum 66(1911) 79-85.
袈[224] A. Nadai, Theory of Flow and Fracture of Solids^ Vol. II. McGraw-Hill, New York 1963..
J. Naumann, On Some Unilateral Boundary Value Problems for the von Karman Equations Part 1. The coercive case. ApL Matematiky 20(1975) 96-125.
J. Naumann and H. U. Wenk, On Eigenvalue Problems for Variational Inequalities. Rend. Di Matematicay Univ. Roma 9 VI(1976) 439-463.
J. Naumann and I. Hlavacek, Inhomogeneous Boundary Value Problem for the von Karman Equations IL Api. Matematiky 20(1975) 280-297.
B. Nayroles, Operations algebriques en Mecanique de structures. C. R Acad. Sc. Pans 273A(1971) 107 5-1078.
B. Nayroles, Point de vue algebrique. Convexite et integrandes convexes en Mecanique des solides. In: New Variational Techniques in Mathematical Physics. C.I.M.E. Edizioni Cremonese, Roma 1974.
B. Nayroles, J. J. Moreau's approach to a fundamental problem: the quasistatic evolution of a perfectly elastoplastic body. Arch, of Meeh. (Arch. Meeh. Stosowne/) 28(1976) 115-132.
J. Nedas, Les methodes directes en theorie des equations elliptiques, Masson, Paris and Academia Prague 1967.
J. Nedas, J. JaruSek and J. Haslinger, On the Solution of the Variational 'Inequality to the Signorini Problem with Small Friction. Bulletino U.M.L 17B(1980) 796-811.
Nguyen Quoc Son, Methodes energetiques en Mecanique de la rupture. J. de Mecanique 19(1980) 363-386.
G. Nitsiotas, Zur Bildung und Berechnung statisch bestimmter Tragwerke mit Verbindungen aus Seilen. Bauingenieur 42(1967) 412-414.
G. Nitsiotas, Die Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke mit einseiti- gen Bindungen. Ing. Archiv 41(1971) 46-60.
G. Nitsiotas, Elastostatics. Linear Theory Vol. I, II Thessaloniki 1978 (in Greek).
N. Okamoto and M. Nakazawa, Finite Element Incremental Contact Analysis with Various Frictional Conditions. Int. J. Num. Meth. Eng. 14(1979) 337-349.
E. R. Oliveira, Plane Stress Analysis by a General Integral Method. ASCE, EM 1,94(1968) 79-101.
W. Olszak, Z. Mroz and P. Perzyna, Recent Trends in the Developments of the Theory of Plasticity. Pergamon Press Oxford and PWN-Polish Sci. Publ. Warszawa 1963.
A. C. Palmer, G. Maier and D. C. Drucker, Normality Relations and Convexity of Yield Surfaces for Unstable Materials or Structural Elements. Trans. 4SA/E 24( 1967) 46Ф470.
P. D. Panagiotopoulos, A Nonlinear Programming Approach to the Unilateral Contact- and Friction-Boundary Value Problem in the Theory of Elasticity. Ing. Archiv 44(\915) 421-432.
P. D. Panagiotopoulos, SubdiHerentials and Optimal Control in Unilateral Elasticity. Meeh. Res. Comm. 3(1976) 91-96.
Р. D. Panagiotopoulos, A Variational Inequality Approach to the Inelastic Stress-Unilateral Analysis of Cable-Structures. Comp, and Struct. 6(1976) 133139.
P. D. Panagiotopoulos, Convex Analysis and Unilateral Static Problems. Ing. Archiv 45(1976) 55-68.
P. D. Panagiotopoulos, A Systematic Approach to the Search for Variational Principles of Bilateral and Unilateral Problems. ZAMM 57(1977) Т246^Т247.
P. D. Panagiotopoulos, Optimal Control in the Unilateral Thin Plate Theory. Arch, of Meeh. (Arch. Meeh. Stosowanej) 29(1977) 25-39.
P. D. Panagiotopoulos, Analysis of the Stochastic “Unilateral Contact^ Problem. Comp, and Struct. 7(1977) 581-586.
P. D. Panagiotopoulos, Ungleichungsprobleme in der Mechanik, Habilitation thesis, Aachen 1977.
P. D. Panagiotopoulos, A Variational Inequality Approach to the Friction Problem of Structures with Convex Strain Energy Density and Application to the Frictional Unilateral Contact Problem. J. Struct. Meeh. 6(1978) 303-318.
P. D. Panagiotopoulos, Stochastische holonome elastoplastische Torsion von zylindrischen oder prismatischen Staben. Ing. Archiv 47(1978) 421-431.
P. D. Panagiotopoulos, A Variational Inequality Approach to the Dynamic Unilateral Contact Problem of Elastoplastic Foundations. Proc. 3rd Int. Conf. Num. Meth, in Geomechanics 1979 Aachen, Vol. I. A. A. Balkema, Rotterdam 1979..
P. D. Panagiotopoulos and U. Zastrow, An Integral Equation Approach to the Unilateral Contact B.V.P. ZAMM 54(1979) 392-393.
P. D. Panagiotopoulos, Time-Space Unilateral Variations arid Variational Inequalities in Relativistic Mechanics. ZAMM 60(1980) T264-T265.
P. D. Panagiotopoulos, Optimal Control of Unilateral Structural Analysis Problems. Proc. IUTAM Conf. 1979 on Struct. Control^ Waterloo. Univ, of Waterloo Press and Noordhoff-SijthofT Pub. Co. 1980.
P. D. Panagiotopoulos, Optimal Control in the Theory of the Unilateral von-Karman Plates. Proc. IUTAM Conf. 1978 on Variational Methods in Mechanics of Solids, Evanston. Pergamon Press, London 1980.
P. D. Panagiotopoulos and D. Talaslidis, A Linear Analysis Approach to the Solution of Certain Classes of Variational Inequality Problems in Structural Analysis. Int. J. Solids Struct. 16(1980) 991-1005.
P. D. Panagiotopoulos, Dynamic and Incremental Variational Inequality Principles, Differential Inclusions arid their Applications to Co-Existent Phases Problems. Acta Mechanica 40( 1981) 85-107.
P. D. Panagiotopoulos, Non-convex Superpotentials in the Sence of F. H. Clarke and Applications. Meeh. Res. Comm. 8(1981) 335-340.
Р. D. Panagiotopoulos, Optimal Control and Parameter Identification of Structures with Convex and Non-Convex Strain Energy Density. Applications to Elastoplasticity and to Contact Problems. S M. Archives 8(1983) 363-411.
P. D. Panagiotopoulos, Nonconvex Energy Functions. Hemivariational Inequalities and Substationarity Principles. Acta Mechanica 48(1983) 160-183.
P. D. Panagiotopoulos, Non-convex Energy Functionals. Application to Nonconvex Elastoplasticity. Meeh. Res. Comm. 9(1982) 23-29.
P. D. Panagiotopoulos, A Boundary Integral Inclusion Approach to Unilateral B.V.Ps.in Elastostatics. Meeh. Res. Comm. 10(1983) 91-96.
J. Peetre, Mixed Problems for higher order Elliptic Equations in two variables, I, II. Ann. Sc Norm. Sup. Pisa 15(1961) 337—353 and 17(1963) 1-12.
H. Peterson, Application of the Finite Element Method in the Analysis of Contact Problems. In: Finite Elements 加 Nonlinear Mechanics (Ed. by P. Bergan et aL), Vol. 2, Tapir, New York 1978.
A. Phillips, A Theory of ideal Locking Materials. Trans. Soc. Rheol, 3(1959) 13-26.
A. Phillips and M. Eisenberg, Observations on certain Inequality Conditions in Plasticity. Int, J. Nonlinear Meeh. 1(1966) 247-256.
E. Pflaumann and H. Unger, Funktionalanalysis Vol. /, H. Bibliographisches Institut, Mannheim 1974,
M. Potier-Ferry, Problemes semi-coercifs. Applications aux plaques ch von Karman. J. Math, pures ef appl. 5&1974) 331-346.
M. Potier-Ferry, Problemes unilateraux en theorie des plaques non lineaires. These de 3im* cycle, Uni versite Paris VI, 1974.
M. Potier-Ferry, Sur un systeme d' equations rencontre en theorie des plaques. C R. Acad. S& Раш 280A (1975) 1385-1387.
M. Potier-Ferry, Charges limites et theoreme d' existence en theorie des plaques elastiques. C R, Acad. Sc. Paris 280A (1975) 1317-1319.
W. Prager, On Ideal-locking Materials. Trans. Soc. RheoL 1(1957) 169-175.
W. Prager, Elastic Solids of Limited Compressibility. Proc. 9th Int. Congress Appl. Meeh. Brussels 1958, Vol. 5.
# [274] W. Prager, Einfuhrung in die Kontinuumsmechanik. Birkhauser Verlag, Basel 1961.
* [275] W. Prager and P. G. Hodge, Theory of Perfectly Plastic Solids. Dover Publ., New York 1968.
J. S. Przemieniecki, Theory of Matrix Structural Analysis. McGraw-Hill Book Co., New York 1968.
В. V. Querenburg, Mengentheoretische Гopologie. Springer-Verlag, Berlin 1973.
К. A. Reckling, Plastizitatstheorie und ihre Anwendung auf Festigkeitspro- bleme. Springer-Verlag, Berlin 1967.
G. Rieder, Iterationsverfahren und Operatorgleichungen in der Elastizitatstheorie. Abh. Braunschw. Wiss. Ges. 14(1962) 109-343.
G. Rieder, Mechanische Deutung und KlassiRzierung einiger Integralverfah- ren der ebenen Elastizitatstheorie I, II. Bull. Acad. PoL Sci. Ser. Sci. Techn. 16(1968) 101-114.
G. Rieder, On the Physical Interpretation of Certain Inner Products as a Guide to the Application of Functional Analysis. In: Applications of Methods of Functional Analysis to Problems in Mechanics, (ed. by P. Germain and B. Nay- roles) Springer-Verlag, Berlin 1976.
G. Rieder, U. Heise, U. Pahnke, H. Antes, H. Glahn and V. KompiS, Berech- nung von elastischen Spannungen in beliebig krummlinig berandeten Scheiben und Flatten. Westdeutscher Verlag, Opladen 1976.
F. J. Rizzo, An Integral Equation Approach to Boundary Value Problems of Classical Elastostatics. Quar. Appl. Math. 25(1967) 8 3-95.
譽[284] A. P. Robertson and W. Robertson, Topologische Vektorraume. Bibli- ographisches Institut, Mannheim 1967.
R. T. Rockafellar, Extension of Fenchel's Duality Theorem for Convex Functions. Duke Math. J. 33(1960) 81-90.
R. T. Rockafellar, Monotone Processes of Convex and Concave Type, Memoirs of the A.M.S. No. 77. A.M.S. Providence 1967.
R. T. Rockafellar, Integrals which are Convex Functionals. Pacific J. Math. 24(1968) 525-539.
[288] R. T. Rockafellar, Convex Analysis. Princeton Univ. Press, Princeton 1970.
R. T. Rockafellar, On the Maximal Monotonicity of SubdiHerential Mappings. Pacific J. Math. 33(1970) 209-216.
R. T. Rockafellar, Integrals which are Convex Functionals П. Pacific J. Math. 39(1971)439-469.
R. T. Rockafellar, Convex Integral Functionals and Duality. In: Contribution S Nonlinear Functional Analysis, (ed. by E. H. Zarantonello). Academic Press, New York 1971.
R. T. Rockafellar. La theorie des sous-gradients et ses applications a /' optimization. Fonctions convexes et non-convexes. Les Presses de Г Universite de Montreal, Montreal 1979.
R. T. Rockafellar, Generalized Directional Derivatives and Subgradients of Non-convex Functions. Can. J. Math. XXXII (1980) 257-280.
S. K. Shan and I. S. Tuba, A Finite Element Method of Contact Problems of Solid Bodies-Part I: Theory and Validation. Int. J. Meeh. Sci. 13(1971) 615-627.
Part 11: Application to Turbine Blade Fastening. Int. / Meeh. Sei. 13(1971) 627-638.
M. Schatzman, Le Systeme DiHerentiel d2u/dt2 + дф(и) = f avec conditions initiates. C /?. Acad. Sc. Paris. 284A(1972) 603-606.
M. Schatzman, Problemes aux limites non-Hneaires noncoercives. Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa XXVII, 111(19 73) 641-686.
L. Schwartz, Theorie des distributions. Hermann, Paris 1973.
J. Salenqon and A. Tristan-Lopez, Analyse de la stabilite des talus en sols coherents anisotropes. C. /?. Acad. Sc. Paris^ 290B(1980) 493-496.
A. F. Sayegh, Elastic Analysis with Indeterminate Boundary Conditions. A.S.C.E., EM1,100(1974)49-62.
M. Sibony, Sur Г approximation d* equations et inequations aux derivees partielles non lineaires de type monotone. J. Math. Anal. Appl. 34(1971) 502564..
A. Signorini, Sopra alcune questioni di elastostatica. Atti Soc. Itai, per i! progesso delle Scienze 1933.
# [302] W. I. Smirnow, Lehrgang der hoheren Mathematik^ Teil V. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1973.
議[303] N. E. Stavrakova, The Principle of Hamilton-Ostrogradskii for Systems with One-sided Constraints. PMM 29(1965) 738-741.
P. M. Suquet, Un espace fbnctionnel pour les equations de la plasticite. C. R. Acad. Su Р«ш286А(1978) 1129-1132.
P. M. Suquet, Un espace fbnctionnel pour les equations de la plasticite. Ann. Fac. Sc. Toulouse 1(1979) 77-87.
P. M. Suquet, Plasticite et Homogeneisation. These de doctoral d' Etat, Univ. Paris Vi, 1982.
[30刀 P. M. Suquet, Evolution Problems for a Class of Dissipative Materials. Quart. Appl. Math. 8(1981)391-414.
D. Talaslidis and W. Wunderlich, Static and Dynamic Analysis of Kirchhoff Shells Based on a Mixed Finite Element Formulation. Comp, and Struct. 10(1979) 239-251.
D. Talaslidis and P. D. Panagiotopoulos, Linear Finite Element Approach to Unilateral Contact Problem in Structural Dynamics. Int. J. Num. Meth, in £ng. 18(1982) 1505-1520.
T. P. Tassios and P. J. Yannopoulos, Analytical Studies of Reinforced Concrete Members Under Cyclic Loading Based on Bond Stress-Slip Relationships, ACI J. 78(1981)206-216.
K. Taubert, Uber die Existenz und Approximation von Losungen von Volterra Funktional-DifTerentialgleichungen mit schwacher rechten Seite. Habilitation thesis, Hamburg 1977.
# [312] R. Temam, Navier-Stokes Equations. North Holland Pub. Co., Amsterdam 1972.
R. Temam and G. Strang, Duality and Relaxation in the Variational Problems of Plasticity. J. de Mecanique 19(1980) 493-527.
R. Temam and G. Strang, Functions of Bounded Deformation. Arch. Rof. Meeh. Anal. 75(1980) 7-21.
* [315] S. Timoshenko and S. Woinowsky-Krieger, Theory of Plates and Shells. McGraw-Hill, New York 1969.
T. W. Ting, Elastic-plastic Torsion of Simply Connected Cylindrical Bars. Ind. Univ. Math. J. 20(1971) 1047-1076.
J. F. Toland, A Duality Principle for Non-convex Optimization and the Calculus of Variations. Arch. Rat. Meeh. Anal. 71(1979) 41-61.
E. Tonti, A Systematic Approach to the Search for Variational Principles. In: Variational Methods in Engineering (ed. by C. A. Brebbia and H. Tottenham) Vol. I. Southampton Univ. Press, Southampton 1973.
E. Tonti, The Reason for Analogies between Physical Theories. Appl, Math. Modelling 1(1976) 37-50.
F. Treves, Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Academic Press, New York 1967.
C. Truesdell and R. A. Tupin, The Classical Field Theories. In: Encyclopedia of Physics. Vol. III/l (ed. by S. Fliigge) Springer-Verlag, Berlin 1960.
C. Truesdell and W. Noll, The Non-linear Field Theories of Mechanics. In: Encyclopedia of Physics. Vol. III/3 (ed. by S. Fliigge) Springer-Verlag, Berlin 1965.
C. Truesdell, Six Lectures on Modern Natural Philosophy, Springer-Verlag, Berlin 1966.
* [324] M. M. Vainberg, Variational Method and Method 炉 Monotone Operators in the Theory of Nonlinear Equations. John Wiley and Sons, New York and Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem 1973.
莠[325] N. Ya. Vilenkin eta al., Functional Analysis. Wolters-NoordhofT Pub., Groningen 1972.
W. Walter, Differential- und Integral-Ungleichungen. Springer-Verlag, Berlin 1964.
J. Warga, Necessary Conditions without Diflerentiability Assumptions in Optimal Control. J. Dif. Equations 18(1975) 41-62.
J. Warga, Necessary Conditions without Differentiability Assumptions in Unilateral Control Problems. J. Dif. Equations 21(1976) 25—38.
J. Warga, Controlability and Necessary Conditions in Unilateral Problems without Differentiability Assumptions. SIAM J. Control and Optimization 14(1976) 546-573.
< [330] J. Warga, Optimal Control of Differential and Functional Equations, Nauka, Moskow 1978 (in Russian).
J. Warga, Derivate Containers, Inverse Functions and Controllability. In: Calculus of Variations and Control Theory (ed. by D. L. Russell) Acad. Press New York 1976.
J. Warga, On Bounding, Interior and Covering Functions (to appear).
* [333] K. Washizu, Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Press, Oxford 1968.
E. Weinel, Die Integralgleichung des ebenen Spannungszustandes und der Plattentheorie. ZAMM 11(1931) 349-3 60.
W. L. Wendland, E. Stephan and G. C. Hsiao, Integral Equations for Plane Mixed Boundary Value Problems. Math. Meth, in the A ppi. Sciences 1(1979) 265-321.
E. A. Wilson and B. Parsons, Finite Element Analysis of Elastic Contact Problems Using Differential Displacements. Int. J. Num. Meth. Eng. 2(1970) 387-395.
[33刀 К. Yosida, Functional Analysis. Springer-Verlag, Berlin 1966.
[338] L. C. Young, Lectures on the Calculus of Variations and Optimal Control Theory. W. B. Saunders Co., Philadelphia 1969.
J. P. Yvon, Etude des quelques problemes de controle pour des systemes distribues. These de Doctoral d Etat, Universite Paris VI 1973.
M. W. Zemansky and R. H. Dittman, Heat and Thermodynamics. McGraw- Hill, New York 1980 (6th Edition).
Р. D, Panagiopoulos and A. Avdelas, A Hemivariational Inequality Approach to the Unilateral Contact Problem and Substationarity Principles (to appear in Ing. Archiv. 54,1984).
H. O. May, Das Hamiltonsche Prinzip fiir einseitige Probleme in einer Raum- Zeit-invarianten Analytischen Mechanik, Doct. thesis, RWTH Aachen 1983.
P. D. Panagiotopoulos, Ungleichungsprobleme und DifTerentialinklusionen in der Analytischen Mechanik. Annual PubL School of Tech. Aristotle Univ. Thessaloniki^ (1982) 1-30.—
p. D. Panagiotopoulos, Une generalization non-convexe de la notion du sur- potentiel et ses applications. C. R. Acad. Sc. P«r/5 296II (1983) 1105-1108.
J. Haslinger and P・ D. Panagiotopoulos, The reciprocal variational approach to the Signorini problem with friction. Approximation results. Proc. Royal Soc. of Edinburgh 98 (1984) 250-265.
E. Delassus, Memoire sur la theorie des liaisons finies unilat^rales. Ann. A. Norm (3), XXXIV (1917) 95-179.
# [354] I. Hlavacek, J. Haslinger, J. Nedas and J. Lovisek, Riesenie variacnych nerovnosti d mechanike. ALFA, Bratislava 1982.
R. Glowinki, Numerical Methods for Nonlinear Variational Problems. Springer- Verlag, New York-Berlin 1984.
F. H- Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis. Wiley, New York 1983.
V. Barbu, Optimal Control of Variational Inequalities. Pitman, Research Notes in Math Vol. 100, Boston-London 1984.
H. O. May, Generalized Variational Principles and Nondifferentiable Potential^ in Analytical Mechanics (to appear in J. Math. Phys. 25,1984).
A. D. Ioffe, Nonsmooth Analysis: Differential Calculus of Nondifferentiable Mappings. Trans. Л.Л/.5.,266(1981) 1-56.
N. Papageorgiou, Stochastic Nonsmooth Analysis and Optimization 1 (to appear in Trans. A.M.S.).
P. D. Panagiotopoulos, Hemivariational Inequalities and Substationarity in the Static Theory of v. Karman plates (to appear in ZAMM 65,1985).
Добавление к списку литературы1
V.F. D职y^nov and A. M. Rubinov, On Quasidifferentiable Mappin酸,Muth. Opera-
tionsforsh. m. Statist. Ser. Optimization 14 (1983) 3—21.
V. F. Demyanov and L. C. W. Dixon (eds), Quasidifferential Calculus, Math. Progr, Study 29 (1986).
* [364】 у F. Demyanov and L. V. V^siTev, Nondifferentiable Optimization, Optimization Software Inc., N. Ybrk 1985.
[365] V. E Demyanov, L. N. Polyakova and A. M. Rubinov, Nonsmoothness and Quasidifferentiability, Math. Progr. Study 29 (1986) 1—19.
[366]
A. Shapiro, On optimality conditions in quasidifferentiable optimization, SIAM 工 Control Opt, 22 (1984) 610—617.
•[367]
V. F. Demyanov and A. M. Rubinov, On quasidifferentiable functionals, Soviet Math. Doklady 21 (1980) 14—17.
•[368]
V. F. Demyanov, L. N. Polyakova and A. M. Rubinov, On one generalization of the concept of subdifferential. In: All Union Co班 on Dynamic Control: Abstracts and Reports. (Sverdlovsk 1979) 79—84.
[369]
L. N. Polyakova, On minimizing the sum of a convex function and a concave function, Math. Progn Study 29 (1986) 69—73.
[370]
К. C. Kiwiel, A Knearization method for minimizing certain quasidifferentiable functions, Math. Progr. Study 29 (1986) 85—94.
[371]
H. RAdstrom, An embedding theorem for spaces of convex sets. Proc. AMS 3 (1952) 165—169.
[372]
J. M. Ball, Convexity Conditions and existence theorems in Nonlinear elasticity, Arch.
Rat. Meeh. Anal. 63 (1977) 337—403.&
[373]
P. G. Ciarlet and J. Nedas, Unilateral problems in nonlinear three dimensional elasticity, Arch. Rat. Meeh, Anal 87 (1985) 319—338./
[374]
P. G. Ciarlet and J. Nedas, Injectivity and self-contact in nonlinear elasticity Arch. Rat. Meeh Anal. 97 (1987) 171—188.
[375]
V. F. Demyanov, Quasidifferentiable functions: Necessary conditions and descent directions. Math, Progr. Study 29 (1986) 20•»«43.、
[376]
A. M. Rubinov and A. A. %gubov. The space of star-shaped sets and its applications in nonsmooth optimization, Math. Progr. Study 29 (1986) 176—202.
Работы из авторского списка^ имеющиеся на русском языке
[3]
[6]
Д'Аламбер Ж. Л・ Динамика. — М. — Л.: Гостехиздат., 1950.
Аппель П. Теоретическая механика, т. 1. —М.: Физматгиз, 1960.
[10]
[И]
Аристотель, Метафизика. — Собр. соч. в 4-х томах, т. 1. — М.: Мысль, 1975. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. — М.: Мир, 1977.
[24]
[25]
[26]
[40]
Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. — М.: ИЛ, 1959.
Бурбаки Н. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
Бурбаки Н. Интегрированна — М.: Наука, 1970.
Чнрас А. А. Методы линейного программирования в анатазе упругопластических систем. — Л.: Стройиздат, 1969.
[41]
Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. — М.: Мир, 1980.
[70]
[79]
[84]
[91]
Дьёдонне Ж. Основы современного анализа. — М.: Мир, 1964.
Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. — М.: ИЛ, 1964.
Дюво Ж., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. — М.: Наука, 1986. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ н вариационные проблемы. — М.: Мир, 1979.
[92]
[98]
[101]
[109]
Ермаков С. М. Метод Моите-Карло и смежные вопросы. — М.: Наука* 1975.
Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. — М.: Мнр, 1974.
Стренг Г., Фикс. Дж. Теория метода конечных элементов. — М.: Мир, 1977. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщённые функции и действия над ними.— М.: Фнзматгиз, 1959.
[H2]
Жермеи П. Курс механики сплошных сред. — М.: Высш, школа, 1983.
12011201143114311561161115611611166116711661167112 9 1 2 6 7 1 4 4 5 4 823 2 5 4 5 о7 7 7 8 8 仆 1 2 2 д 7 8 8 0 0 1 1 2 2 3111 口 1 N 2 2 R ,2 2 2 233 33 3 3312 9 1 2 6 7 1 4 4 5 4 823 2 5 4 5 о7 7 7 8 8 仆 1 2 2 д 7 8 8 0 0 1 1 2 2 3111 口 1 N 2 2 R ,2 2 2 233 33 3 33Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. — М.: Мир, 1979.
1201
1201
1431
1431
15611611
15611611
16611671
16611671
12 9 1 2 6 7 1 4 4 5 4 823 2 5 4 5 о
7 7 7 8 8 仆 1 2 2 д 7 8 8 0 0 1 1 2 2 3
111 口 1 N 2 2 R ,2 2 2 233 33 3 33
12 9 1 2 6 7 1 4 4 5 4 823 2 5 4 5 о
7 7 7 8 8 仆 1 2 2 д 7 8 8 0 0 1 1 2 2 3
111 口 1 N 2 2 R ,2 2 2 233 33 3 33
Де Гроот С. Термодинамика необратимых процессов. — М.: Гостехиздат, 1956.
Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование； — М.: Мир, 1975.
Ильюшин А. А. О приращении пластической деформации и поверхности текучести. —ПММ, I960, т. 24, с. 663—666.
Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. — М.: Наука, 1974.
Качанов Л. М. Основы теории пластичности. — М.: Наука, 1965.
Киндерл莓）ер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения.—М.: Мир, 1983.
Кюнци Г.» Крелле В. Нелинейное программирование； — М.: Сов. радио, 1965. Купрадзе В. Д. Методы потенциала в теории упругости. — М.: Физмагтиз, 1963.
Купрадзе В. Д., Гегелия Т. Г., Башейлешвили М. О., Бурчуладзе Т. В. Трёхмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. — М.: Наука, 1976.
Ланцош К. Вариационные принципы механики. — М.: Mg 1965.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости.—М.: Наука, 1965.
Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М.: Мир, 1972.
Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения.—М.: Мир, 1971.
Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М.: Мир, 1972.
Михлин С. Г. Численная реализация вариационных методов. — М.: Наука, 1966.
Мосолов П. П.» Мясников В. П. Вариационные методы в теории течения вязко-пластических сред. — ПММ, 1965, т. 29, с. 468—492.
Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1966.
Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. В 2-х томах: т. 1 — М.: ИЛ, 1954; т. 2 —М.: Мир, 1969.
Прагер В. Введение в механику сплошных сред. — М.: ИЛ, 1963.
Прагер В., Ходж Ф. Теория идеально пластических тел. — М.: ИЛ, 1956.
Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. — М.: Мир, 1967.
Рокафеллар Р. Т. Выпуклый анализ. — М.: Мир, 1973.
Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. 5. — М.: Физматгиз, 1959.
Ставракова Н. Е. Принцип Гамильтона — Остроградского для систем с односторонними связями. — ПММ, 1965, т. 29, с. 738—741.
Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. — М.: Мир, 1981.
Ъшошопсо С. П., Войновский*Кригер С. Пластинки и оболочки. — М.: Наука, 1966.
Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. — М.: Наука, 1972.
Виленкин Н. Я. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1964.
Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и интегральными уравнениями. — М.: Наука, 1977.
[333]
Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. — М.: Мир, 1987. [пер. 3-го изд. (1982)].
[337]
[338]
Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967.
Янг Л. Лощии по вариационному исчислению и теории оптимального управления. —М.: Мнр, 1974.
[341]
Жуков А. М. О пластических деформациях изотропного металла при сложном нагружении.—ИАН СССР ОТН, 1956, т. 12, с. 72—87.
[345]
[354]
Зенкевич О. Метод конечных элементов в техника — М.: Мир, 1975.
Главачек И.» ГЬстлингер Я., Нечас И., Ловишек Я. Решение вариационных неравенств в механике. — М.: Мкр, 1986.
[364]
Демьянов В. Ф., Васильев. Л. В. Недифференцируемая оптимизация. — М.: Наука, 1981.
[367]
Демышов В. Ф., Рубинов А. М. О квазидифференцируемых функционалах.— ДАН СССР, 1980, т. 21, с. 14—17.
[368]
Демьянов В. Ф., Полякова Л. Н., Рубинов А. М. Об одном обобщении понятия субднфференциала. — В сб.: Всесоюзн. конференция «Динамическое управление». Тез. докл., Свердловск, 1979, с. 79—84.
Литература, добавленная переводчиками
Арутюнян Р. А. Теория пластичности для среды со старением. — Проблемы прочности, 1987, № 4, с. 71—90.
Арутюнян Р. А.» Вакуленко А. А. О многократном нагружении упругопластической среды. —ИАН СССР, Мех., 1985, №4, с. 53—61.
Бенсусан А., Лионс Ж.-Л. Импульсное управление и квазивариационные неравенства.— М.: Наука, 1987.
Гйббс Дж. В. Термодинамические работы. — М. — Л.: ГЪстехиздат, 1950.
Гиббс Дж. В. Термодинамика. Статистическая механика. — М.: Наука, 1982.
Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности.—М.: Наука, 1966.
Ивлев Д. Д., Быковцев Г. И. Теория упрочняющегося пластического тела. — М.: Наука, 1971.
Ильюшин А. А. Пластичность. Основы общей математической теории пластичности. —М.: изд-во АН СССР, 1963.
Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. — М.: изд-во МГУ, 1971.
Ильюшин А. А., Победря Б. Е. Основы математической теории термовязкоупругости. —М.: Наука, 1970.
Ишлинский А. Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением. — Укр. мат. ж., 1984, т. 6, № 3, с. 314—325.
Кадашевич Ю. И.» Новожилов В. В. Теория пластичности, учитывающая остаточные микронапряжения. — ПММ, 1968, т. 22, с* 78—89.
Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977.
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элемоггы теории функций и функционального анализа. —М.: Наука, 1972,
Кристенсен Р. Введение в механику композитов. — М.: Mud 1982.
Круз Т., Риццо Ф. (ред.) Метод граничных интегральных уравнений. Вычислительные аспекты и приложения в механике. — М.: Мир, 1978.
Курант Р.» Гйльберт Д. Методы математической физики, т. 1. — М. — Л.: Гостехиздат, 1951.
Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. — М.: Мир, 1975.
Мейз Д. Дж. Теория и задачи механики сплошных сред — М.: Мир, 1974.
Полак Э. Численные методы оптимизации. — М.: Мир, 1974.
Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. — М,: Наука, 1980.
Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. — М.: Наука, 1966.
Рейнер М. Реология. — М.: ИЛ, 1965.
Седов Л. И. Введение в механику сплошных сред. — М.: Физматгиз, 1962.
Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. —Л.: изд-во ЛГУ, 1950.
Сьярле Ф., Рабье П. Уравнения Кармана. — М.: Мир, 1983.
Фрейденталь А., Гейрингер X. Математические теории и механика сплошной среды.— М.: Физматгиз, 1962.
Хилл Р. Математическая теория пластичности. — М.: Гостехиздат, 1956.
Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. — М.: Мир, 1971.
Черноусько Ф. Л., Баничук Н. В. Вариационные задачи механики и управления. — М.: Наука, 1973.
Абеасис (A. F. Abeasis) 250
Адамс (R. A. Adams 13
Аицеллотти (G. Anzellotti) 314
Аристотель 83
Ауслеидер (A. Auslender) 52
Барбу (V. Barbu) 52
Бергер (М. S. Berger) 250
Бисбос (С. Bisbos) 7
Брезис (Н. Brezis) 52
Бросилов (Brosilow) 397
Бурбаки (N. Bourbaki) 13
Вайнберг М. М. 13
Варга (J. Waiga) 6,10, 191
Васидзу (К. Washizu) 12
Венк (Н. U. Wenk) 250
Вернер (В. Werner) 7
Виленкин Н- Я. 13
Гальярдо (Е. Gagliardo) 40
Гейтли (J. Gateley) 7
Гельфанд И. М. 13
П166с (J. W. Gibbs) 154
П)ии (А. Е. Green) 170
Гринберг (J. М. Greenberg) 155
Д*Аламбер (J. L. R. dAlembert) 83
Данн (J. Е. Dunn) 154, 164
Данфорд (N. Dunford) 13
Демьянов В. Ф. 6,426, 428,437
Джаквинта (М. Giaquinta) 314
Джонсон (С. Johnson) 314, 329
Диас (J. R Dias) 250
Дитер (U. Dieter) 52
Доу (С. Do) 250
Друккер (D. С. Drucker) 185
Дьёдонне (J. Dieudonne) 13
Дюво (G. Duvaut) 196, 225, 250, 288, 314,
329
Дюпюи (G. Dupuis) 360
Жермен (Р. Germain) 96
Ильюшин А. А. 170
Иосида (К. Yssida) 13, 82
Иоффе (A. D. Ioffe) 417
Йон (О. John) 250
Каволь (В. Kawohl) 7
Калькер (J. J. Kalker) 360
Карман (Th. von Кагшйп) 250
Квереибург, фон (В. von Querenburg) 13
Кёте(С. Kdthe) 13
Кириакопулос (G. Kyriakopoulos) 7
Кирхгоф (G. R. Kirchhof0 250
Кларк (F. H. Clarke) 6, 10, 170, 174, 427
Койтер (W. T. Koiter) 329
Колеман (В. D. Coleman) 155
Конри (T. F. Conry) 360
Кристиансен (E. Christiansen) 314
Кучера (M. KuCera) 250
Ленэ (F. Ьепё) 225
Лионс (J.-L. Lions) 7, 9, 13, 196, 225, 250,
314, 329
Лопес-Пинто (A. Lopes-Pinto) 250
Лэсдои (L. S. Lasdon) 397
Люстерник JI. A. 269
Мадженес (E. Magenes) 13
Майер (G. Maier) 7, 9, 129, 329, 360, 402
Мандопулу (T. Mandopoulon) 7
Мизес (R. von Mises) 127, 372
Мнрземанн (E. Miersemann) 250
Mopo (J.-J. Moreau) 6, 7, 9, 52, 90, %, 169,
191,329
Моско (U. Mosco) 52
Мосолов П. П. 314
Мэй (Н. О. Мау) 7
Мэттиз (Н. Matthies) 7, 314
Мясников В. П. 314
Науманн (J. Naumann) 225, 250
Нахди (Р. М. Naghdi) 170
Нечас (J. Ne6as) 13, 250
Нитсиотас (G. Nitsiotas) 360
Обей < = Обэи> (J.-P. Aubin) 5
Онзагер (L. Onsager) 95, 96
Павиани (Paviani) 368, 374
Панагиотопулос (Р. D. Panagiotopoulos) 5, 7
Пание, ван де (van de Panne) 381, 382
Пирсон (Pearson) 397
Полякова Л. Н. 428
Потье-Ферри (М. Potier-Ferry) 150, 250
Прагер (W. Prager) 329
Прекупаиу (工 Precupanu) 52
Пробст (A. Probst) 360
Ранден, ваи (Y. van Randen) 360
Робертсон А. (А. Р. Robertson) 13
Робертсон В. (W. Robertson) 13
Рокафеллар (R. Т. Rockafellar) 6, 52, 94, 97,
171,427
Рубинов А. М. 428, 439
Сейрег (A. Seireg) 360
Симетьер (A. CimetiOre) 250
Смирнов В. И. 13
Соучек (J. SouCek) 250
Стампаккья (G. Stampacchia) 9
Стреиг (G. Strang) 314
Сьярле (P.-G. Ciarlet) 13
Сэйех (A. Sayegh) 360
Сюке (Р.-М. Suquet) 314, 329
Таласлидис (D. Thlaslidis) 7
Тейль (Theil)381,382
Темам (R. Ifemam) 52, 97, 314
Тоити (Е. Tbnti) 152
П>ев (F. TYeves) 13
Файф (Р. Fife) 250
Фенхель (W. Fenchel) 52, 97
Фикера (G. Fichera) 7, 9, 13, 142, 149, 225,
360,406
Финнеган (Т. Finnegan) 7
Фишер (F. D. Fischer) 360
Фосдикк (R. L. Fosdick) 154, 164
Франчу (J. FranCu) 250
Фремон (М. Frdmond) 225
Фурье (J. В. J. Fourier) 9, 152
Хаслингер (J. Haslinger) 7
Хесс (Р. Hess) 250
Хилл (R. Hill) 329
Химмельблау (D. М. Himmelblau) 368, 374
Ходж (Ph. Hodge) 329
Хюнлих (R. Hiinlich) 225
Циглер (Н. Ziegler) 96
Шатцман (М. Schatzman) 150, 225
Шварц Дж. (J. Т. Schwartz) 13
Шварц Л. (L. Schwartz) 13
Шёффлер (Schoeffler) 397
Шилов Г. Е. 13
Шиирельман Л. Г. 269
Экланд (I. Ekeland) 52, 97
Ягубов А. А. 439
Янг (L. С. young) 52
'При повторении дювй иногда заменяются иа тире, даже если они имеют другие окончания. На возможность изменения окончания указывает курсивный шрифт (иапри* мер, вариационный). — Прим. изд. ред.'При повторении дювй иногда заменяются иа тире, даже если они имеют другие окончания. На возможность изменения окончания указывает курсивный шрифт (иапри* мер, вариационный). — Прим. изд. ред.
'При повторении дювй иногда заменяются иа тире, даже если они имеют другие окончания. На возможность изменения окончания указывает курсивный шрифт (иапри* мер, вариационный). — Прим. изд. ред.
'При повторении дювй иногда заменяются иа тире, даже если они имеют другие окончания. На возможность изменения окончания указывает курсивный шрифт (иапри* мер, вариационный). — Прим. изд. ред.
абсолютно непрерывная функция (absolutely continuous function) 42
алгебраическое сопряжённое < algebraic
dual) 21
алгоритм <algorithm)
—гибкого доступа < flexible tolerance ~ > 368
—Хильдрета—д*Эсопо < — of Hildreth— d'Esopo) 367
аффинная оболочка < affine hull> 53
аффинио-иезависимое множество < affinely independent set> )61
базис <base> 18
—Пшёркина <Galerkin basis) 220
—Гамеля <Hamel basis) 18
—окрестностей <base of neighborhoods) 15
банахово пространство < Banach space > 20
Бингама жидкость < Bingham's fluid) 125, 127
бифуркации точка <bifurcation point) 47
Браудера теорема (Browder's theorem) 267
Брауэра теорема о неподвижной точке 《Brouwer's fixed point theorem> 310
Вант ГЪффа принцип < principle of Van't
Hoff> 166
вариационный <variational)
—неравенство < — inequality) 151
—принцип < - principle) 151
—решение < ~ solution) 263
веер <fan> Иоффе
вектор <vector)
—касательный < tangent ~ > 438
—ортогональный < orthogonal * > 27
—собственный《eigen ~ > 47, 94
векторное подпространство < vector sub
space) 17
—пространство < ~ space) 17
—распределение < * valued (или — ial) distribution > 43
верхний субдифференциал < upper subdifferential) 171, 172
взаимно-непрерывное отображение <bicon- tinuous mapping) 16
Винклера закон <Winkler law> 107
—опора < ~ support) 114
—пружина < - spring) 107
виртуальный <virtual)
—мощность < 〜power) 84
—перемещение < ~ displacement) 84
—работа < 〜 work) 84
—скорость < ~ velocity) 84
вложение <imbedding) 20
—компактное < compact * > 20
—плотное < dense ~〉20
внешнее давление (ambient pressure) 156
—нормальный конус (outward normal
cone> 62
—след <external trace) 51
—температура < ambient temperature) 156
внутренний след (internal trace> 51
—точка <interior point) 14
—удельная диссипация < intrinsic specific dissipation) 95, 423
внутренность <interior) 14
—относительная < relative ~》53
вогнутый <concave) функционал 53
—строго < strictly - > функционал 53 возмущенная форма <perturbed form) зада
чи 98
ВП 13, 17
вполне непрерывный оператор < completely continuous operator > 47
всюду плотное множество < everywhere den
se set> 14'
второе сопряжённое < bidual > 25
выпуклый < convex)
—множество < ~ set> 17, 52
—оболочка < ~ hull) 53
—функционал < ~ functional) 53, 54
вязкости коэффициент < viscosity coeffici
ent) 127
Галёркина базис <Galerkin basis) 220
—метод <method of ~'s approximation)
219
Гамеля базис < Hamel basis) 18
Гамильтона принцип < Hamilton's principle) 218
Гато дифференциал < GSteaux-differential > 46
односторонний < one-sided ~》62
—производная <GSteaux-derivative> 46
Гёлъмгольца полусвободная энергия
Helmholtz semifree energy) 164
геометрическая линеаризация < geometric
linearization) 421
Гёльдера неравенство <H61der inequality)
32
—условие < ~ condition) 31
Гиббса полусвободная энергия < Gibbs semi
free energy) 164
гиббсово состояние《Tan state) 159 гибкого доступа алгоритм < flexible toleran
ce algorithm) 368
гильбертова норма <Hilbert norm) 27
—пространство < ~ space) 26
поворотное (центральное) < pivot ~
~〉27
гиперплоскость < hyperplane > 21
—опорная < supporting ~〉60 гипотеза <hypothesis)
—Койтера <Koiter*s ~》129
—Манделя《Mandel's ~》129
—нормальной диссипации《~ of normal dissipation> 96
— реологическая (constitutive ~〉156, 157 гомеоморфизм < homeomorphism) 16
градиент <gradient) 46
—деформации < deformation - > 420
—обобщённый < generalized ~》170 градиентная теория hro порядка < border
gradient theory) 86
граница <boundary) 14
——липшицева < Lipschitz ~》30 граничные условия < boundary conditions > Синьорины—Фикеры《~ ~ of Signo
rini—Fichera> 108,137
график <graph) 45, 77
Грина тензор деформации < Green strain tensor) 421
Грина—Гаусса формула < Green—Gauss formula) 49, 50
Гронуолла неравенство《Gronwall's inequality) 215
Гука закон < Hookers law> 117
—тензор < ~ tensor) 315
давление <pressure)
—внешнее < ambient ~》156
—термостатическое <thermostatic ~ > 162, 163
Д^Аламбера принцип <dAlembert*s principle) 247
двойственность < duality) 22, 24, 74
двойственная задача <dual problem) 98, 210 двусторонний <bilateral)
—задача < ~ problem) 152
—контакт < ~ contact) 108
девиатор деформации <strain deviator) 120 дельта-функция см. Дирака распределение деформации градиент < deformation gradi
ent) 420
—девиатор < strain deviator) 120
—ограниченной функция < function of bounded deformation) 41
—скорость <rate of deformation) 420
—тензор < strain tensor) 421
Грина < Green ~ ~》421
динамически реализуемая триада < dynamically realizable triad) 157
Дирака распределение < Dirac distribution > 33
диссипативное определяющее соотношение <dissipative mechanical law> 94
диссипации нормальной гипотеза < hypothesis of normal dissipation) 96
—суперпотенциал < superpotential of — > 96
обобщённый 188
диссипация <dissipation)
—внутренняя удельная < intrinsic specific
7 95,423
—тепловая < thermal — > 423
дифференциал <differential)
—Гато <GSteaux- ~》46
односторонний < one-sided > 62
—Кларка《~ of Clarke) 173
——Фреше <Fr6chet- ~》45
дифференцируемость < differentiability)
—по Гато <GSteaux-*> 46
односторонняя по направлениям
one-sided directional Gateux- * > 62
—no Фреше <Fr6chet- ~》45
допустимые напряжения < admissible stres
ses) 180,206
—перемещения < * displacement) 199
Друккера постулат устойчивости <Dru-
cker*s stability postulate) 126
дуальная пара <dual pair) 22
жёсткое поле скоростей <rigidifying velocity field) 422
жидкость < fluid >
—Бингама <Bingham*s ~ > 125, 127
—Райнера—Ривлина < Reiner—Rivlin ~ > 130
—Ривлина—Эриксена < Rivlin—Ericksen
~)130
задана < problem)
—двойственная <dual ~ > 98, 210
—двусторонняя <bilateral ~》152
—исходная < primal ~ > 97, 208
—краевая < boundary value ~ >
—на неравенства <inequality ~ > 152
— о линейной дополнительности (linear
complementarity ~ > 392
—односторонняя < unilateral ~》152
—оптимизации < optimization ~》57
—прямая < primal — > 97
закон <law> (см. также определяющее со- отнотение)
—Винклера (Winkler ~ > 107
—ГУка < Hookas * > 117
—Нортона—Хоффа <Nortoib—Hoff ~ > 128
—ортотропного трения < — of orthotropic friction) 112
—Прандтля—Рейсса (Prandtl—Reuss relation) 125, 328
—теплопроводности Фурье《Fourier law of heat conduction) 289
—трения Кулона <Coulomb*s law of fric
tion > 111
замкнутое множество <closed set> 14
—шар < ~ ball> 16
замыкание <closure) 14
звёздное (звездообразное) множество < starshaped set> 439
з.л.д. 392
значение <value)
—критическое < critical ~ > 263
—собственное《eigen ~ > 47, 94
—эффективное < effective — > 158
ццеальная односторонняя связь < ideal uni
lateral constraint) 89
идеального старения эффект < ~ -locking
effect) 120
идеально-проектируемая (perfectly projec
table) поверхность 159
изоклинная свободная конфигурация
< iso clinic released configuration) 425
изометрия <isometry) 20
индикатор (индикаторная функция)〈indica・
tor> 54
индуцированная топология (induced topo
logy > 15
Иосиды приближение <Ybsida-approxima- tion> для ЭФ 266
Иоффе веер <fan of Ioffe > 417
исходная задача <primal problem) 97, 208
Казимира—Онзагера соотношения симметрии < symmetry relations of Casimir—
Onsager> 95
каноническая билинейная форма см. спаривание
касательный вектор <tangent vector > 438
—коиус < ~ сопе> 171, 438
—разрыв《~ial discontinuity〉335
касаются <are *ial> (о графиках) 45
квазидиффереициал < quasidifferential > 429
квазидифференцируемость < quasidifferentiability) 428
квазинормаль <quasinonnal> 438
кинематическая линеаризация < kinematic linearization > 421
Кларка дифференциал (differential of Clarke> 173
Клаузиуса—Дюгема неравенство < Clausius—Duhem inequality> 155
Койтера гипотеза <Koiter*s hypothesis) 129 компактный < compact >
—вложение < ~ imbedding > 20
—множество < — set> 20
—оператор < ~ operator > 47
коиус <сопе>
—внешний нормальный < outward normal ~〉62
—касательный < tangent — > 171, 438
—нормальный < normal — > 171—172
конфигурация <conHguration>
—изоклинная свободная <isoclinic released ~〉425
—освобождённая < released 〜> 424
координаты < coordinates >
—материальные < material ~〉419
—пространственные < spatial ~〉419
Корна неравенство (первое» второе) <Korn*s inequalide (first, second)) 48
Коши последовательность < Cauchy sequence> 16
—тензор напряжений < 〜stress tensor > 88
Коши—Грина правый тензор (right Cauchy
—Green tensor > 421
коэрцитивный < coercive > 29,142
коэффициент вязкости (viscosity coeffici
ent > 127
краевая задача < boundary value problem >
вторая (second ~ ~ ~〉253
первая < first ~ ~ ~〉253
Синьорини—Фикеры < Signorini—
Fichera ~ ~ ~〉147
кривая полная неубывающая (complete nondecreasing curve> 78
критическое значение < critical value> 263
—точка < — point > 177
Кулона закон трения《Coulomb's law of
friction> 111
лагранжево описание < Lagrangian description > 420
Лакса—Милгрзма теорема <Lax—Milgram theorem) 29
ЛВП 19
Ле Шателье принцип < principle of Le Cha- telier> 166
эффект《~ ~ effect> 119
Лебега теорема < Lebesgue's theorem > 44
Лежандра—Фенхеля преобразование < Legendre—Fenchel transformation > 74
линеаризация < linearization >
—геометрическая < geometric ~ > 421
—кинематическая < kinematic ~〉421
линейно-иезависимое множество <linearly independent set> 17■
линейный < linear >
— дополнительность < — complementarity > 392
— отображение < ~ mapping > 18
—пространство < ~ space > 17
—форма < ~ fbrm> 21
— функционал < 〜functional 21
Лионса теорема о компактности《Lions's compactness theorem > 279—280
Липшица условие < Lipschitz condition> 31
липшицева граница < * boundary) 30
—функция < ~ function > 173
ЛП17
локально-выпуклое пространство < locally convex space > 19
локально-интегрируемая функция < locally int^rable function > 33
локальный < local >
—производная < * derivative) 420
—суперпотеициал < 〜superpotendal> 105
Макки топология < Mackey topology > 24
Макки-Аренса теорема <Mackey-^Arens theorem > 24
максимальный строго монотонный оператор (maximal strictly monotone operator> 77
максимума функция < maximum-type function > 175
Манделя гипотеза《Mandel's hypothesis)
129
Массона—Савара эффект < Masson—Savart effect > 119
материал <material)
—вязкоупруго-пластичиый < viscoelastic plastic ~〉128
—жёстко-вязкопластичный < rigid viscoplastic ~〉125, 127
—жёстко-идеальиопластичиый < ~ perfectly plastic ~〉125
—идеально-пластичный <perfectly plastic 125
—обобщённый стандартный в смысле Кларка < generalized standard * in the sense of Clarke > 189
—ограниченной сжимаемости《~ of limited compressibility > 120
—упруговязко-вязкопластичиый < elastic viscous viscoplastic ~〉128
——упруго-вязко-пластичный《~ ~ plastic ~〉128
—упруго-вязкопластичиый < ~ viscoplastic ~〉128
——упруго-идеальиопластичиый < ~ perfectly plastic ~〉125
—упруго-идеальиостареющий < 〜ideally ■ locking ~〉119
——упруго-пластично-вязкопластичиый
< elastic plastic viscoplastic ~〉128
—Хенки <Henckey ~ > 123
материальный < material>
— координаты < ~ coordinates > 419
—описание < ~ description) 420
—производная < ~ derivative) 420
—фаза < ~ phase) 154
матрица геометрической жёсткости <geometric stiffness matrix) 391
медленного роста см. умеренное распреде- лаше
мера <measure> 34
метод <method)
—Галёркина < * of Galerkin's approximation > 219
—градиентного спуска < gradient controller ~〉397
допустимого < feasible) 397
недопустимого <nonfeasible> 397
——многоуровневой декомпозиции < multilevel technique) 396
—приращений < incremental procedure) 390
—Хоуболта <НоиЬокЧ method) 412
метрика <metric(s)> 16
механический элемент <mechanical element> 84
Минковского неравенство < Minkowski inequality) 32
миноранта < minorant > 71
многозначное отображение <multivalued mapping) 76
многообразие статических состояний < static site manifold) 158
множество <set>
—аффинно-иезависимое < affinely independent ~ > 161
— всюду плотное < everywhere dense ~ > 14
—выпуклое <convex ~ > 17, 52
—замкнутое < closed ~〉14
—звёздное (звездообразное) <stapshaped ~〉439
—компактное < compact ~〉20
—лииейио-иезависимое < linearly independent ~〉17
— ограниченное (bounded ~〉16, 18
—открытое <open ~〉14
—относительно-компактное < relatively compact ~〉20
—плотное < dense ~〉14
—производное <derivate container > 191
—собственное < eigen ~〉94
монотонный оператор < monotone operator) 76
мощность <power) 84
—виртуальная < virtual * > 84
нагрев суммарный (total heating> 156
иадграфик < epigraph > 54
направление иаискорейшего подъёма < direction of steepest ascent) 432
спуска《~ ~ ~ descent) 432
—приближенно равномерного спуска < ~ of approximately uniform descent) 174— 175
направления ортотропные < orthotropic
~s〉111
напряжений тензор <stress tensor)
Коши < Cauchy ~ ~〉88
Пиблы—Кирхгофа <Piola—Kirchhoff ~ ~》421
напряжения допустимые (admissible stresses) 206
статически (statically ~ ~〉180
невыпуклый суперпотенциал < nonconvex superpotential > 176
недилатирующий элемент < nondilatant joint element) 121
независимость от системы отсчета < frameindifference) 422
неиатяиутость (slackness) 391
неоклассический процесс < neoclassical pro
cess) 156
неотрицательное решение < nonnegative solution) 34
неотрицательно-определённая форма <попг negative (definite) form) 26—27
иепрерывиость < continuity) 16
неравенство《inequality〉
—вариационное <variational * > 151
—Гёлъдера (Holder ~〉32
—Гронуолла (Gronwalfs ~ > 215
—Клаузиуса—Дюгема < Clausius—Duhem ~〉155
—Корна второе <КогпЧ second ~〉48
первое < ~ first * > 48
—Минковского < Minkowski ~〉32
—полувариациоииое < hemivariational ~ > 176
—типа Фикеры < * of the Fichera type) 142
—Фенхеля < Fenchel ~〉74
иижний субдиффереициал (lower subdifferential) 173
нить <cable) 390
норма <norm> 19
—гильбертова (Hilbert ~〉27
—эквивалентная < equivalent ~ > 19 нормальный < normal)
—в смысле Кларка < * in the sence of Clarke) 188
—конус < ~ cone> 171—172
внешний (outward ~ ~〉62
—разрыв < ~ discontinuity) 335
—состояние < ~ state) 160
нормированное пространство < normed
space) 19
Нортона—Хоффа закон < Norton—Hoff law> 128
носитель < support > 30
область значений < range) 76
связи 89
эффективная (effective ~〉158
— определения <domain> 60, 76
связи 89
эффективная < effective ~〉54
обобщённая функция (generalized function> 33
оболочка <hull>
—аффинная < affine ~〉53
—выпуклая < convex ~〉53
образ < range) 76
объективный (objective) 422
—виртуальная скорость < ~ virtual velocity) 85
ограничение <constraint) 89
—двустороииее (bilateral ~ > 382
—одиостороииее < unilateral ~〉381
—типа равенства (equality-* > 381—382
ограничение-равенство (equality-* > 381
ограниченный <bounded)
— в существенном функция (essentially ~ function) 32
—мера < ~ measure) 34
—множество < ~ set> 16, 18
— оператор < ~ operator) 20, 46
односторонний < one-sided >
—дифференциал Гато < ~ GSteaux-diffe- rential> 62
—дифференцируемость по Гато по направлениям < * directional Gfiteaux-diffe- rentiability> 62
одиостороииий < unilateral)
——задача < ~ problem) 152
—контакт < ~ contact) 108
—ограничение < ~ constraint) 381
—по напряжению поведение < stress-— behavior) 390
—поведение < ~ behavior) 389
—связь идеальная (ideal * constraint) 90
окрестность <neighborhood) 14
ОЛВП 19
оператор (operator)
—вполне непрерывный (completely continuous ~〉47
—компактный < compact ~〉47
—максимальный строго монотонный (maximal strictly monotone — > 77
—многозначный < multivalued ~》76
—монотонный (monotone ~》76
—ограниченный < bounded ~》20, 46
——полунепрерывный снизу < lower semicon* tinuous * > 171
—потенциальный < potential ~》46
—псевдомоиотонный < pseudomonotone
~》47
——регуляризованный (regularized ~》80
—сопряжённый < adjoint ~》28
— строго монотонный < strictly monotone
~》76
—транспонированный (transpose ~》28 описание < description)
—лагранжево < Lagrangian ~ > 420
—материальное (material ~ > 419
—пространственное (spatial ~ > 420
—эйлерово < Eulerian ~ > 420
опора Винклера (Winkler support) 114
опорная гиперплоскость < supporting hyperplane) 60
—функция < support function) 75, 433
определяющее соотношение (mechanical law> 88
диссипативное (dissipative ~ ~》94
потенциальное (potential ~ ~》89
ортогоиальиь<й (orthogonal)
—вектор < ~ vector) 27
—дополнение < ~ complement) 27
ортотропного трения закон <law of ortho
tropic friction) 112
ортотропные направления < orthotropic di* rections> 111
освобождённая конфигурация (released configuration) 424
отделимое пространство < separated space)
15, 19
открытое множество <open set> 14
—шар < ~ ball》16
ОТВП 19
относительная внутренность < relative inte
rior) 53
относительио-виутреиняя точка《~ ly interior point) 53
относительно-компактное множество《~ ly compact set> 20
отображение < mapping) (см. также функ* ция)
—взаимнонепрерывное <bicontinuous> 16
—двойственности < duality ~ > 27, 324
—дифференцируемое по fbmo《GAteaux- differentiable ~》46
по Фреше < Frechet-differentiable 〜> 45
—линейное < linear ~》18
—многозначное < multivalued ~》76
—покоя <rest ~ > 158
—следовое (trace ~》49
—субдифференцируемое < subdifferentiable ~》60
ОТП 15
перемещение <displacement)
—виртуальное <virtual ~》84
— допустимое < admissible ~》199
Пиолы—Кирхгофа тензор напряжений (второй) < (second) Piola—Kirchhoff stress tensor) 421
плотное вложение <dense imbedding) 20
—множество < ~ set> 14
п.и.св. <u.sx.> 16, 55
п.и.си. <l.s.c.> 16, 55
п.и.си.-регуляризация <l.s.a-regularization> 73
поведение < behavior)
—одностороннее < unilateral ~ > 389 •
по напряжению < stress-unilateral — > 390
поворотное < pivot > гильбертово пространство 27
полиол неубывающая кривая < complete nondecreasing curve) 78
—пространство < 〜space) 16
положительная часть < positive pait> 108 положительно-определённая форма (posi
tive (definite) form) 26
полувариациоиное <hemivariational) неравенство 176
полукоэрцитивность < semicoercivity> 148, 406
полунепрерывный сверху < upper semiconti* nuous> функционал 16, 55
—снизу < lower semicontinuous> оператор (многозначный) 171'
функционал 16, 55
полунорма <seminorm> 19
полусвободная знегия < semifree energy) 164
полусвободная энергия Гельмгольца < Helmholtz semifree energy) 164
Гйббса < Gibbs ~ ~》164
полуэнталышя < semi-enthalpy > 164
поляра < polar set> 23
поляризации преобразование <polarity
transformation) 74
пополнение < completion > 20
последовательность Коши (сходящаяся в себе, фундаментальная) < Cauchy sequence) 16
постулат ограниченной устойчивости в целом < restricted stability postulate in the large) 126
—устойчивости Друккера《Drucker*s stability ~〉126
потенциал < potential) 46, 89
потенциальный оператор < potential operator) 46
—определяющее соотношение < ~ mechanical law> 88
почти-допустимая <near-feasible) точка 369
правило Рэлея《Rayldgh quotient) 271
Прандтля—Рейсса закон <Prandtl——Reuss
relation) 125, 328
предгильбертов о пространство <pre-Hilbert space > 26
предел <limit) 14
предельная точка < ~ point) 14
преобразование <transformation)
—Лежандра—Фенхеля < Legendre—Fenchel ~》74
—поляризации < polarity — > 74
—Фенхеля < Fenchel ~》74
—Фенхеля—Юнга <Fenchel^Ybung ~》74
—Фурье < Fburier transform> 35
приближение Иосиды <Ybsida-approxima- tion> для 86 266
принцип <principle)
—Вант Гоффа < * of %ift Hoff> 166
— вариационный < variational ~〉151
в форме неравенства < ~ inequality
~》151
—Пшильтона < Hamilton's ~》218
—Д'Аламбера《dAlembert's 〜> 247
—Ле Шателъе《~ of Le Chatelier> 166
—максимума пластической работы Хилла 《Hill's * of maximum plastic work> 126t 189—190
—термсщннамики второй < second ~ of the thermodinamics> 423
первый《first — — — — ) 423
приращений метод <incremental procedure) 390
пробная функция < test function) 33
проектор (projection operator) 95
произведение <product)
—распределения и функции 35
— скалярное < inner ~》26
производная < derivative) 42
—Vamo < Gateaux- * > 46
—локальная < local ~ > 420
—материальная < material ~ > 420
—пространственная < spatial 〜> 420
——Фреше <Frechet- ~》45
производное множество < derivate contai
ner) 191
пространственньш < spatial >
—координаты < ~ coordinates) 419
—описание < ~ description) 420
—производная < ~ derivative> 420
пространство < space)
—банахово < Banach * > 20
—векторное < vector ~》17
—гильбертово <Hilbert ~》26
——линейное < linear ~》17
—локально-выпуклое < locally convex — >
19
—метризуемое <metrizable ~》16
—метрическое < metric ~〉16
—нормированное <normed ~》19
— нормируемое < normable ~》19
— отделимое <separated ~〉15, 19
—поворотное < pivot ~》27
—полное < complete ~》16
—предгильбертово <pre-Hilbert ~》26
—рефлексивное < reflexive ~》25
—сепарабельное《separable ~》14
—Соболева <Sobolev ~ > 36, 38
—сопряжённое <dual — > 21
—топологическое < topological ~》14
векторное < ~ vector ~ > 13, 18
—хаусдорфово <Hausdorff ~》15, 19
—центральное см. поворотное гильбертово пространство
процесс <process) 155
—неоклассический < neoclassical ~〉156
—проходит через (passes through) состояние 167
п.р.с. 175
псеодомонотонный <pseudomonotone> оператор 47
пружина Винклера《Winkler spring) 107
прямая задача (primal problem) 97
работа <work> 84,156
—виртуальная (virtual ~ > 84
разделяет (separates) 21
—строго < — strictly) 21
разложимый < decomposable) функционал 135
разрыв (discontinuity)
— касательный (tangential 〜> 335
—нормальный < normal ~ > 335
Райнера—Ривлина жидкость < Reiner—Rivlin fluid) 130
Райса теория вязко-пластических потенциалов < viscoplastic-potential theory of Rice> 190
распределение (distribution) 33
—векторное (vectorial (или vector-valued)
->43
—Дирака < Dirac - > 33
—неотрицательное < nonnegative - > 34
—регулярное (regular — > 34
—сиигуляриое (singular - > 34
—умеренное (tempered - > 36
расстояние (distance) 16
реакция связи (reaction of the constraint) 89
регуляризация (regularization) 73, 317 регуляризованный (regularized) оператор
80
регулярное распределение (regular distribution) 34
Реллиха—Кондрашова теорема <Rellich—
Kondrachov theorem) 41
реологическая гипотеза (constitutive hypothesis) 156,157
рефлексивное (reflexive) ЛВП 25 решение (solution)
—вариациоииое (variational - > 263
—приведённое (reduced 〜> 264
Ривлина—Эриксена жидкость < Rivlin-
Ericksen fluid) 130
Pucca теорема <Riesz theorem) 27
Рэлея правило (Rayleigh quotient) 271
свободная изоклинная конфигурация (isoclinic released configuration) 425
связь (constraint) 89
—идеальная односторонняя (ideal unilateral *>90
сепарабельное пространство < separable space) 14
сила < force) 84
—обобщённая (generalized - > 84 сильный < strong)
—сопряжённое < - dual> 25
—топология < ~ topology) 23
сиигуляриое распределение < singular distribution) 34
Синьорины—Фикеры граничные условия (boundary conditions of Signorini—Fiche- ra> 108, 137
краевая задача < Signorini—Fichera boundary value problem) 147
скалярное произведение (inner product) 26
скачка эффект <jump effect) 119
скорость (velocity)
—виртуальная (virtual ~〉84
—деформация <rate of deformation) 420
—обобщенная (generalized velocity) 87
—объективная виртуальная < objective vir
tual -> 85
— поворота <rate of spin> 420
скрытые переменные (hidden variables) 424
слабый <weak>
—сопряжённое < - dual> 23
— сходимость < - convergence) 25
—топология < ~ topology) 23, 25
след < trace)
—внешний (external * > 51
—анутренний (internal - > 51
следовое отображение (trace mapping) 49
Соболева пространства (Sobolev spaces) 36, 38
собствеиио-опориое состояние < properly supported state) 163
собствеиио-проектируемая < ~ projectable) поверхность 159
собственный вектор (eigenvector) 47, 94
—значение < eigenvalue > 47
относительно <with respect to> оператора 94
—множество <eigenset> 94
— функционал (proper functional) 55 совместности условие (compatibility condition) 101
согласуется с двойственностью <is compatible with the duality) 24
сопряжённое <dual>
—алгебраическое (algebraic ~》21
—второе《bi ~》25
—сильное《strong ~〉25
—слабое《weak ~〉23
—топологическое (continuous (мли topological) ~) 21
сопряжённый оператор (adjoint operator> 28
—показатель (conjugate exponent> 32
——суперпотенциал (conjugate superpotential) 105
сопряжённый функционал (conjugate functional) 71
состояние (state) 158
—гиббсово (Gibbsian ~》159
—нормальное (normal ~》160
—почтн-допустимое (near-feasible ~ > 369
—собственно-опорное (properly supported ~〉163
сосуществующие фазы (coexistent phases)
154,161
спаривание (duality pairing> 22
спектр < spectrum > 47
стандартный обобщенный материал в смысле Кларка (generalized standard ma
terial in the sense of Clarke> 189
старения эффект (locking effect> 119
— идеального эффект (ideal・~ ~》120
статически допустимое (statically admissible) поле напряжений 180
статических состояний многообразие (static site manifold > 158
строго < strictly>
—монотонный оператор < ~ monotone operator) 76
——разделяет < ~ separates > 21
субаддитивная < subadditive > функция 433
субградиент < subgradient > 60
субдифференциал < sub differential) 60
—верхний (upper ~ > 171,172
—нижний (lower ~〉173
субднфференцируемость (subdifferentiability) 60
сублинейная < sublinear> функция 433
субстационарная <substationary> функция 175
субстационарности точка < substationarity point > 175
суперпотенциал < superpotential > 90
—в смысле Варги《~ in the sense of
^rga> 192
Кларка《~ ~ ~ ~ ~ Clarke) 176
——диссипации《~ of dissipation) 96
обобщённый 188
—локальный (local ~ > 105
—невыпуклый <nonconvex ~》176
—сопряжённый (conjugate ~〉105
сходимость (convergence) 14
—слабая <weak ~》25
—*<лабая《weak* ~〉26
ТВП 13, 18
текучести функция (yield function) 125
температура < temperature >
—внешняя (ambient ~〉156
—термостатическая (thermostatic ~ > 162, 163
тензор <tensor)
——внутренних напряжений (intrinsic stress ~》86
—ТУка < Hookers > 315
—деформации Грина (Green strain ~ > 421
—Коши——Грина правый (right Cauchy-
Green -> 421
—напряжений Коши (Cauchy stress ~〉88
Пиолы—Кирхгофа (второй) ((se
cond) Piola—Kirchoff stress ~ )421
—скоростей деформации <rate of deformation ~ мли stretching ~》87
теорема < theorem >
—Браудера <Browder*s ~ > 267
——Брауэра о неподвижной точке《Brou-
wer's fixed point ~ > 310
—вложения Соболева《Sobolev's imbedding ~〉40
—ГЪлмрдо о следе (Gagliardo's trace ~ > 40
—Лакса—Милгрэма <Lax—Milgram 〜〉29
—Лебега (Lebesgues 〜》44
—Лионса о компактности《Lions's com
pactness ~ > 279—280
—Макки—Аренса < Mackey—Arens ~ > 24
—о дифференцируемости (differentiability ~》42
—о непрерывности (continuity ~》44
—о следе (trace ~ > 39, 40, 42
—Реллиха—Кондрашова <Rellich—Коп-
drachov ~》41
—Рисса《Riesz ~》27
—Хана—Банаха <Hahn—Banach ~〉21
—Эберлейна—Шмулъяна <Eberlein—
Shmulyan ~〉26
тепловая диссипация (thermal dissipation) 423
термостатически опорная точка (thermostatic support point) 158
термостатическое давление < 〜pressure> 162
—температура《~ temperature) 162, 163
термостатической фазы точка < 〜phase
point) 158
топологическое векторное пространство
(topological vector space) 13,18
—пространство < ~ space) 14
—сопряжённое < ~ (или continuous) dual>
21
топология <topology) 14
—индуцированная (induced ~〉15
—Макки < Mackey ~ > 24
— метрическая (metric ~》16
—ограниченной сходимости《~ of boun
ded convergence) 23
—произведения (product ~〉15
—сильная (strong ~〉23
—слабая <weak ~ > 23, 25
—согласованная (compatible) с линейной структурой 18
— «-слабая《weak* ~》25
точка < point >
—бифуркации (bifurcation ~〉47
—внутренняя (interior ~〉14
—критическая (critical ~ > 177
—относительио-внутр^няя (relatively in
terior ~〉53
—почти-допустимая (near-feasible ~ > 369
—предельная (limit ~〉14
—прикосновения (closure ~〉14
—субстационариости < substationarity ~ > 175
—термостатически опорная (thermostatic support ~〉158
—термостатической фазы < ~ phase ~ > 158
—фазовая (phase ~ > 161
—inf-стациоиарная <inf-stationary ~ > 432
■— sup-стациоиариая (sup-stationary ~ > 432
ТП13
транспонированный оператор < transpose operator) 28
умеренное распределение (tempered distribution) 36
условие (condition)
—Гальдера (Holder 〜〉31
—двустороннего контакта《~ of bilateral contact) 108
—Липшица (Lipschitz ~〉31
—одностороннего контакта《~ of unilateral contact) 108
—совместности (compatibility 〜> 101
—устойчивости (stability 〜> 101
—экстремума <extremality ~ > 101
фаза <phase) 154, 159
—материальная (material ~ > 154
факторпространство (quotient space) 18, 20
Фенхеля иеравеиство <Fenchel inequality) 74
——преобразование < ~ transformation) 74
Фенхеля—Юнга преобразование (Fenchel—
¥)ung ~〉74
форма <form>
—каноническая билинейная см. спаривание
—неотрицательно-определённая < nonnegative (definite) ~ > 26—27
—положительно-определённая (positive (definite) ~〉26
——полукоэрцитивная <semicoercive ~> 148, 406
формула Грина—Пхусса < Green—Gauss formula > 49, 50
Фреше дифференциал < Frdchet-differential > 45
—производная < ~-derivative) 45
Фридрихса лемма (Friedrichs lemma> 37
Фурье закон теплопроводности《Fourier's law of heat conduction) 289
—преобразование (Fourier transform) 35
функционал (functional)
—вогнутый (concave ~〉53
—выпуклый (convex ~ > 53, 54
——двойственный (dual ~〉74
—квазидифференцируемый <quasidifferen- tiable ~ > 428
——линейный (linear ~〉21
— односторонне дифференцируемый по Птю по направлениям < one-sided directional GSteaux-di fferentiable ~〉62
—полунепрерывный сверху (upper semi- continuous ~〉16, 55
снизу (lower ~ ~〉16, 55
—разложимый (decomposable — > 135
—собственный < proper — > 55
——сопряжённый (conjugate ~〉71
—строго вогнутый (strictly concave ~〉53
выпуклый《~ convex ~〉53
функция < function >
— абсолютно непрерывная (absolutely continuous ~〉42
—индикаторная (indicator) 54
—лнпшицева (Lipschitz ~〉173
— локально-интегрируемая (locally integrable ~〉33
—максимума < maximum-type ~ > 175
—непрерывная (continuous ~〉16
—обобщённая (generalized ~〉33
—ограниченная в существенном (essentially bounded ~〉32
——ограниченной деформации < - of bounded deformation) 41
—опорная (support ~ > 75, 433
—пробная (test ~〉33
—слабо измеримая《weakly measurable 〜〉 43
—субаддитивная (subadditive - > 433
—сублинейная (sublinear ~ > 433
—субстационарная < substationary ~〉175
—текучести (yield ~〉125
——Э-регулярная (Э-regular ~〉175
Хана—Банаха теорема < Hahn—Banach theorem) 21
хаусдорфово пространство (Hausdorff space) 15, 19
Хенки материал <Hencky-material> 123
Хилла принцип максимума пластической работы《Hill's principle of maximum plastic work> 126, 189—190
Хильдрепш—д^Эсопо алгоритм (algorithm of Hildreth—dTsopo > 367
Хоуболта метод《Houbolt's method) 412
центральное пространство см. поворотное гильбертово пространство
шкала (scale) гильбертовых пространств 29
Эберлейна—Шмульяна теорема (Eberlein —Shmulyan theorem) 26
эйлерово описание (Eulerian description) 420
экстремума условие (extremality condition) 101
элемент неднлатирующий (nondilatant element) 121
—механический (mechanical 〜〉84
эллиптичность <ellipticity) 117
энергия <energy)
——полусвободная < semifree ~ > 164
Гельмгольца (Helmholtz> 164
Гйббса (Gibbs - - > 164
эффект (effect)
—идеального старения (ideal-locking - > 120
——Ле Шателье <Le Chatelier ~ > 119
—Массона—Савара (Masson—Savart 〜〉 119
—скачка <jump - > 119
— старения (locking ~〉119
эффективный (effective)
— значение < — value) 158
——множество (область) значений《〜range) 158
— область (определения)《- domain) 54
ядро (kernel) 18
В-пространство《В-space〉20
С0,^граница <С0,^boundary) 31
(^'"-граница <Cm,"-boundary) 31
Э-регулярность <3-regularity> 175, 179
3z -субднфференциал《Э' -subdifferential > 429
д '-супердифференциал <Э'-superdifferential > 429
g-сечение《g-th planar slice) 161
^-топология《У-topology) 23
//-пространство < //-space > 26
inf-стационарная точка < inf-stationary
point) 432
sup-стацйонарная точка (sup-sfafionaiy — 5
432
j^-фаза <p-phase> 159
Г-регуляризация < Г-regularization > 73
^-регуляризация (^-regularized form> 317
♦-слабая сходимость《weak* convergence)
26'
—топология < ~ topology) 25
Оглавление
От редактора перевода 5
Предисловие 7
Введение 9
Указания для читателя 12
Часть 1. Предварительныесведения 13
Глава 1. Основные понятия и результаты функционального анализа 13
Топологические векторныепространства и смежные вопросы 13
Апологические пространства и непрерывные отображения 13
Локально-выпуклые топологические векторные простран. ства, нормированные пространства и линейные отображе
ния 17
Двойствеииость в топологических векторных пространствах 21
Двойственность. Слабая и сильная топологии 21
Топологически дуальные пары векторных пространств 24
Двойствеииость в нормированных и гильбертовых пространствах 25
Транспонирование непрерывного линейного отображения.
Шкалы гильбертовых пространств. Теорема Лакса — Мил- грэма 28
Некоторые функциональные пространства и нх свойства 29
ПространстваСт(Й), Ст(Й), D(R),Р(Й)и£尸(口) 29
. Пространствараспределений 33
ПространстваСоболева 36
Теорема о следе. Вложения пространств Соболева 39
Пространствофункций ограниченнойдеформации 41
Некоторые дополнительные сведения 42
Элементы теории векторнозначиых функций и распределений 42
Элементы дифференциального исчисления 45
Некоторые дополнительные понятия и результаты 46
Глава 2. Элементы выпуклого анализа 52
Выпуклые множества и функционалы 52
Определения 52
Полунепрерывные снизу выпуклые функционалы 55
Минимизация выпуклых функционалов
Существование минимума
Вариационные неравенства
Субдифференцируемость :
« Определения и основные результаты
Односторонний дифференциал Гато по направлениям
Субднфференциальное исчисление
Субдифференциал суммы и композиции
Относительная внутреииость множества R(df)
Сопряжённые к выпуклым функционалам
Классы Г (Л) н Го (Л)
Операция сопряжения
Максимальные монотонные операторы
Определения н основные результаты
Максимальные монотонные графики в JR2
Часть 2. Задачи на неравенства
Глава 3. Вариационные неравенства и суперпотенциалы
§3.1.Законы механики н связи Обобщённые силы и принцип виртуальной мощности Многозначные определяющие соотношения н связи в механик姧3.2.33Задачи минимизации и вариационные неравенства, характеризующие положение равновесия Диссипативные законы. Замечания о задаче на собственные значения для суперпотенциальных законов Суперпотенциалы и двойственность Гипотеза нормальной диссипации Двойственность вариационных принципов Субдифференциальные граничные условия и определяющие соотно-3.3.1.332.Субдифференциальные граничные условия Субдифференциальные определяющие соотношения. I Субднфференциальные определяющие соотношения. II Распространение субдифференциальных соотношений на фун-§3.1.Законы механики н связи Обобщённые силы и принцип виртуальной мощности Многозначные определяющие соотношения н связи в механик姧3.2.33Задачи минимизации и вариационные неравенства, характеризующие положение равновесия Диссипативные законы. Замечания о задаче на собственные значения для суперпотенциальных законов Суперпотенциалы и двойственность Гипотеза нормальной диссипации Двойственность вариационных принципов Субдифференциальные граничные условия и определяющие соотно-3.3.1.332.Субдифференциальные граничные условия Субдифференциальные определяющие соотношения. I Субднфференциальные определяющие соотношения. II Распространение субдифференциальных соотношений на фун-кциональные пространства кциональные пространства Глава 4. Вариационные неравенства и многозначные выпуклые и невыпуклые задачи в механике
§
3.1.
Законы механики н связи
Обобщённые силы и принцип виртуальной мощности Многозначные определяющие соотношения н связи в механике
§
§
3.2.
33
Задачи минимизации и вариационные неравенства, характеризующие положение равновесия
Диссипативные законы. Замечания о задаче на собственные значения для суперпотенциальных законов
Суперпотенциалы и двойственность
Гипотеза нормальной диссипации
Двойственность вариационных принципов Субдифференциальные граничные условия и определяющие соотно-
3.3.1.
332.
Субдифференциальные граничные условия
Субдифференциальные определяющие соотношения. I
Субднфференциальные определяющие соотношения. II
Распространение субдифференциальных соотношений на фун-
§
3.1.
Законы механики н связи
Обобщённые силы и принцип виртуальной мощности Многозначные определяющие соотношения н связи в механике
§
§
3.2.
33
Задачи минимизации и вариационные неравенства, характеризующие положение равновесия
Диссипативные законы. Замечания о задаче на собственные значения для суперпотенциальных законов
Суперпотенциалы и двойственность
Гипотеза нормальной диссипации
Двойственность вариационных принципов Субдифференциальные граничные условия и определяющие соотно-
3.3.1.
332.
Субдифференциальные граничные условия
Субдифференциальные определяющие соотношения. I
Субднфференциальные определяющие соотношения. II
Распространение субдифференциальных соотношений на фун-
кциональные пространства
кциональные пространства
Два общих типа вариационных неравенств и вывод вариационных принципов механики в форме неравенств
Вариационные неравенства типа Фнкеры
Вариационные неравенства других типов
Вывод вариационных принципов механики в форме неравенств
Сосуществующие фазы. Морфология материальных фаз
Неоклассические процессы и гнббсовы состояния. Сосуществующие фазы
575758606062676770717174767678^ ^ WW ^ ^ ^^^^°404162430^ ^^^ h« m^ 1111 1 1 111 1 1 1 1575758606062676770717174767678^ ^ WW ^ ^ ^^^^°404162430^ ^^^ h« m^ 1111 1 1 111 1 1 1 1Задачи на минимум для гиббсовых состояний
575758606062676770717174767678^ ^ WW ^ ^ ^^^^°404162430^ ^^^ h« m^ 1111 1 1 111 1 1 1 1
575758606062676770717174767678^ ^ WW ^ ^ ^^^^°404162430^ ^^^ h« m^ 1111 1 1 111 1 1 1 1
Сравнение гиббсовых состояний. Некоторые результаты для динамических задач
Невыпуклые суперпотенциалы
Введение и краткий обзор основных математических результатов
Невыпуклые суперпотенциалы. Полувариационные неравенства и принципы субстационариости
Обобщения гипотезы нормальной диссипации
Неравенства н интегральные включения
Глава 5. Задачи с трением в теории упругости
Статическая краевая задача
Классическая постановка :
Вариационная постановка
Теоремы существования и единственности
Эквивалентная задача иа минимум. Случай mes Г[/ > 0 ....
Случай Г[/ = 0
Некоторые дальнейшие результаты
Двойственная постановка задачи. Дополнительная энергия
Минимизация дополнительной энергии
Двойственность
Динамическая краевая задача
Классическая н вариационная постановки
Существование решения
Регуляризованная задача
Единственность решения
О некоторых других типах задач с трением
Глава 6. Субдиффереициальные определяющие соотношения н граничные условия
Субдифференциальные определяющие соотношения и классические граничные условия
Постановка задачи
Существование и единственность решения
Двойствеииость
Линейно-упругое определяющее соотношение и субдифференциальные граничные условия
Формулировка граничных условий
Теоремы существования и едииственностн
Двойственность
Суб дифференциальные определяющие соотношения н субдифференциальные граничные условия. Немонотонные определяющие соотношения
Постановка н исследование задачи
Немонотонные определяющие соотношения
Соответствующая динамическая задача
Глава 7. Неравенства в теории тонких упругих пластин
Статические односторонние задачи Кармана
165169IS9176187192196196196198201201202205206206208211211213219222222225225225228230233233236239241241244246250165169IS9176187192196196196198201201202205206206208211211213219222222225225225228230233233236239241241244246250Предварительные сведения
165169IS9176187192196196196198201201202205206206208211211213219222222225225225228230233233236239241241244246250
165169IS9176187192196196196198201201202205206206208211211213219222222225225225228230233233236239241241244246250
Граничные условия и соответствующие вариационные постановки
Существование решения
Случай односторонних граничных условий, заданных в плоскости пластины
Задача иа односторонний изгиб. Задачи иа собственные зиачеиня для вариационных неравенств
Постановка задачи
Одни общий результат о существовании решения
Приложение к задаче о выпучивании
Обобщение правила Рэлея иа односторонние задачи
§ 73 Динамические одиосторонине задачи для пластин Кармана
Граничные условия и варнацноииые неравенства
Существование решения
Едииствеиность решения
Глава 8. Вариационные и полувариациоииые неравенства в теории линейной термоупругости
Рассматриваемые краевые задачи н их вариационные постановки...
Классические постановки
Вариационные постановки
Результаты о существовании и едииствеииости решения
Исследование задачи 1
Исследование задачи 2. Некоторые замечания о родствеишлх задачах
Некоторые обобщения и соответствующие вариационные неравенства § 8.4. Полуварнациояные неравенства в теории линейной термоупругостн
Формулировка некоторых общих задач
Одни результат о существовании решения для полувариаци- оииого неравенства (модельная задача)
2 5 2 2250244755 5 6 6 6 6 7 7 7 7 7 82 2 2 2222222222 5 2 2250244755 5 6 6 6 6 7 7 7 7 7 82 2 2 22222222213 3^ ^ W13 3^ ^ W^ м ^ ^°93 3 3 3 3^ м ^ ^°93 3 3 3 34 4 44881661 1 12223333 3 33333334 4 44881661 1 12223333 3 33333330 3 3 6 85 5 5 5 5— 333 30 3 3 6 85 5 5 5 5— 333 39.1.Упруго-вязкопластичиые материалы Постановка динамической задачи. Существование и единственность решения Квазистатическая задача 9.2.Упруго-идеальиопластичиые материалы 9.2.1.Постановка квазнстатической задачи 9.2.2.Существование и едииствеиность решения 9.3.Задачио жёстко-вязко-пластическом течении 9.3.1.Классическая постановка общей динамической задачи 9.3.2.Выбор подходящих функциональных пространств и результаты о существовании решения 9.3.3.Связь между полями скоростей и напряжений 9.4.Другиезадачи- для жидкостей Биигама 9.4.1.Ламинарное течение в цилиндрической трубе 9.4.2.Теплопередача при жёстко-вязко-пластнческом течении 9.4.3.Вариационные неравенства в случае общего закона на с €3w(D)9.1.Упруго-вязкопластичиые материалы Постановка динамической задачи. Существование и единственность решения Квазистатическая задача 9.2.Упруго-идеальиопластичиые материалы 9.2.1.Постановка квазнстатической задачи 9.2.2.Существование и едииствеиность решения 9.3.Задачио жёстко-вязко-пластическом течении 9.3.1.Классическая постановка общей динамической задачи 9.3.2.Выбор подходящих функциональных пространств и результаты о существовании решения 9.3.3.Связь между полями скоростей и напряжений 9.4.Другиезадачи- для жидкостей Биигама 9.4.1.Ламинарное течение в цилиндрической трубе 9.4.2.Теплопередача при жёстко-вязко-пластнческом течении 9.4.3.Вариационные неравенства в случае общего закона на с €3w(D)Глава 9. Вариационные неравенства в теории пластичности н вязкопластичности
2 5 2 225024475
5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8
2 2 2 222222222
2 5 2 225024475
5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8
2 2 2 222222222
13 3^ ^ W
13 3^ ^ W
^ м ^ ^°9
3 3 3 3 3
^ м ^ ^°9
3 3 3 3 3
4 4 4488166
1 1 1222333
3 3 3333333
4 4 4488166
1 1 1222333
3 3 3333333
0 3 3 6 8
5 5 5 5 5— 333 3
0 3 3 6 8
5 5 5 5 5— 333 3
9.1.
Упруго-вязкопластичиые материалы
Постановка динамической задачи. Существование и единственность решения Квазистатическая задача
9.2.
Упруго-идеальиопластичиые материалы
9.2.1.
Постановка квазнстатической задачи
9.2.2.
Существование и едииствеиность решения
9.3.
Задачи
о жёстко-вязко-пластическом течении
9.3.1.
Классическая постановка общей динамической задачи
9.3.2.
Выбор подходящих функциональных пространств и результаты о существовании решения
9.3.3.
Связь между полями скоростей и напряжений
9.4.
Другие
задачи- для жидкостей Биигама
9.4.1.
Ламинарное течение в цилиндрической трубе
9.4.2.
Теплопередача при жёстко-вязко-пластнческом течении
9.4.3.
Вариационные неравенства в случае общего закона на с €
3w(D)
9.1.
Упруго-вязкопластичиые материалы
Постановка динамической задачи. Существование и единственность решения Квазистатическая задача
9.2.
Упруго-идеальиопластичиые материалы
9.2.1.
Постановка квазнстатической задачи
9.2.2.
Существование и едииствеиность решения
9.3.
Задачи
о жёстко-вязко-пластическом течении
9.3.1.
Классическая постановка общей динамической задачи
9.3.2.
Выбор подходящих функциональных пространств и результаты о существовании решения
9.3.3.
Связь между полями скоростей и напряжений
9.4.
Другие
задачи- для жидкостей Биигама
9.4.1.
Ламинарное течение в цилиндрической трубе
9.4.2.
Теплопередача при жёстко-вязко-пластнческом течении
9.4.3.
Вариационные неравенства в случае общего закона на с €
3w(D)
Часть 3. Численные приложения 360
Глава 10. Численное исследование статических задач иа неравенства 360
Задачи об одностороннем контакте и задачи с трением 362
Дискретные формы задач на минимум потенциальной и дополнительной энергий 362
Приложения 367
Кручение ццлиндрических или призматических стержней с выпуклой зависимостью плотности потенциальной энергии от деформации ..370
Постановка задачи 370
Дискретизация ичисленные примеры 373
Применение линейной теории к некоторым классам неравенств ....380
Описание метода 380
Приложения 383
Глава 11. Задачи на неравенства, возникающие при применении метода приращений, и динамические задачи на неравенства 389
Упруго-пластический расчёт нитевых конструкций 389
Постановка задачи как задачи о линейной дополнительности и соответствующие формулы 389
Метод многоуровневой декомпозиции 396
Приложение 398
Анализ упруго-пластических задач методом приращений. Задачи о линейной дополнительности, вариационные неравенства и условия минимума 401
Динамические задачи об одностороннем контакте 408
Заключение 416
Добавления 419
Добавление I.Некоторые основныепонятия 419
Добавление II.Жесткие поля скоростей. Объективность 421
Добавление III.Диссипация 422
Добавление IVТеория пластичностии термодинамика 424
Добавление Y Понятие квазидифференцируемости и его применение в механике 426
Список обозначений 440
Литература ' 448
Именной указатель 473
Предметный указатель 475
Уважаемый читатель?
Ваши замечания о содержании книги, её оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по
адресу: 129820, пер.»
Москва, И-110, ГСП, 14 д. 2, издательство «Мир».
л^^°сао0<ЮА1омппо,«а« оооиюдамооаяжх!^^
Убедительная просьба 飞 Ко всёмъ члтающииъ н разяиатриваю | щимь книги, эстампы 巾mrp*而н и т д. 3
НикакИхъ гвдрисовойъ. раккрашм- ван!Я и отм+тонь не делать;
при перелистываши страница 口前七-
чы отнюдь не «рчйТь：>
перелистывать медленно н аккуратно, j чтобы нечгяипо углы «грани цъ м пакле-； енныхъ рисунков ь пе загнуть и не смять.; а т&кме проклапку пав папиросной бума- к гн меи<ду рисункапи не испортить,б
4} при раэсматривад!и s<Tai4iiOBbj фо- Я То rpatfijfi и ри<ун ЧОЬъ въ к» игах-ь не »урц?ъ 1 и ■сабачинмъ днмомгь ихъ не。&цавать; I
яередъ наняло吊七 pascMarp*Bania и 3 чтенвт руии тщательно мыть: потными 8 руками такие отнюдь не брать:g
6】нъ Самому рмсунку на зстатййсъ фо | тп;р圖中统网已 и т- д. пальцами не лрикосаться; §
Обложку или лереглетъ книги пе- | ргд*ь чтеЗемЕ абертнзать въ бумагу; §
листы книги Для лгмягм не загибать, g
9» въ карманахъ ннигъ п€ носить ннн | же употребляв при этояъ особою гредосто- | рожнисть, чтобы пн*「м не iicnaynncb н я l.не измялись.
^^Deieow^ewwooooaooaowocoaiKMMotMwcceoeac^^
Панагиотис Панагиотопулос
Неравенства в механике и их приложения
Выпуклые и невыпуклые функции энергии
Заведующий редакцией чл.-корр. АН СССР В. И. АрнольдЗам. зав. редакцией А. С. ПоповСт. научн. редактор В. И. АвербухМл. научн. редактор Р. И. ПяткинаХудожник О. С. Василькова
Художественный редактор В. И. ШаповаловТехнические редакторы Т. К. Такташова, Л. С. ТимофееваКорректоры Л. Д. Панова, Р. Л. Вибке
ИБ № 6465
Подписано к печати 29.03.89. Формат 60 х 90Иб.
Бумага офсетная № 1. Гарнитура тайме. Печать офсетная.Объем 15,50 бум.л. Усл. печ.л. 31,00. Усл. кр.-отт. 31,00.
Уч.-изд.л. 27,94. Изд. № 1/5469. Тираж 2800 экз. Зак. 217,Цена 3 р. 20 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
В/О «Совэкспорткиига» Государственного комитета СССРпо делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Набрано в Межиздательском фотонаборном центре издательства «Мир»129820, ГСП, Москва, И-110,1-й Рижский пер., 2.
Тульская типография Союзполиграфпромапри Государственном комитете СССР по делам издательств,полиграфии и книжной торговли
300600, Тула, проспект им. В. И. Ленина, 109.
ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕКНИГИ ИЗДАТЕЛЬСТВА «МИР» ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ИПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ
АЙГНЕР М. Комбинаторная теория. 1982, 2 р. 60 к. (О) АЛЕФЕЛЬД Г. Введение в интервальные вычисления. 1987,
3 р. 40 к. (О)
БАННАИ Э., ИТО Т. Алгебраическая комбинаторика, 1987,
3 р. (X)
БРУС Дж., ДЖИБЛИН П. Кривые и особенности. 1988,
1 р. 20 к. (X)
БИЛЗ М. и др. Строго псевдовыпукпые области в С〈 1987,
2 р. 30 к. (О)
БУРБАКИ Н. Группы и алгебры Ли. Гл. 9. 1986, 1 р. (О)
ГЛОВИНСКИ Р. и др. Численное исследование неравенств. 1979, 2 р. 50 к. (О)
ГОДЕН М. Волновая функция Бёте. 1987, 3 р. 10 к. (О)
ГРЕГОРИ Р., КРИШНАМУРТИ Е. Безошибочные вычисления. 1988, 1 р. 60 к. (X)
ГРЕНАНДЕР У. Лекции по теории образов. Т. 2. Анализ образов, 1981, 2 р. 30 к.; т. 3. Регулярные структуры. 1983, 2 р. 90 к. (X)
ДЕККЕР К. Устойчивость методов Рунге—Кутты. 1988,
3 р. 80 к. (X)
ДЕВРОЙ Л. Непараметрическое оценивание плотности. 1988,
3 р. 20 к. (ХО)
ДОНЧЕВ А. Системы оптимального управления. 1987,
р. 10 к. (О)
КАДИЧ А. Калибровочная теория дислокаций. 1987,
р. 40 к. (О)
Квантовые случайные процессы и открытые системы:
Сб. статей 1984—1986 гг. 1988, 2 р. 60 к. (X)
КЕСТЕН X. Теория просачивания для математиков. 1986, 3 р. (X) Кибернетический сборник. Вып. 25. 1988, 2 р. 50 к. (X)
КОЭН Дж. Граничные задачи в теории обслуживания. 1987,
р. 70 к. (ХО)
КРАФТ X. Геометрические методы в теории инвариантов. 1987, 2 р.
ЛАКС П., ФИЛЛИПС Р. Теория рассеяния для автоморфных функций. 1979, 1 р. 80 к. (О)
МАРТИН Н. Математическая теория энтропии. 1988, 3 р. 70 к. (X)
ОБЕН Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения, 1988, 2 р. 90 к. (ХО)
ОБЕН Ж.-П. Прикладной нелинейный анализ. 1988> 3 р. 90 к. (О)
ПИРС Р. Ассоциативные алгебры. 1986, 3 р. 80 к. (X)
ПИЧ А. Операторные идеалы. 1982, 3 р. 80 к. (О)
РИД М., САЙМОН R Методы современной математической фи
зики. Т. 4. 1982, 2 р. 20 к. (О)
САЛОМАА А. Жемчужины теории формальных языков. 1986,
70 к. (О)
СЕНДОВ Б., ПОПОВ В. Усредненные модули гладкости. 1988,
2 р. 20 к. (ХО)
СНЭЙТ В. Алгебраический кобордизм и К・теория. 1983,
р. 70 к. (О)
ТРАУБ Дж. и др. Информация, неопределённость, сложность.
1988,1 р. 50 к. (X)
ТРИБЕЛЬ X. Теория интерполяции, функциональные пространства. 1980, 3 р. 50 к. (ХО)
ХЕЛГАСОН С. Группы и геометрический анализ. 1987,
4 р. 60 к. (ХО)
ХЕЙЕР X. Вероятностные меры на локально-компактных группах. 1987, 4 р. 20 к. (X)
Ходжевы циклы и мотивы. Сб. статей. 1982—1983 гг. 1985,
2 р. (X)
ХОКНИ Р. Численное моделирование методом частиц. 1987,
4 р. 10 к. (X)
ЧАНГ X., ХАУЭС Ф. Нелинейные сингулярно-возмущённые краевые задачи: Теория и приложения. 1988, 1 р. 50 к. (ХО) ЧЭПМЕН Т. Лекции о ^-многообразиях. 1981, 1 р. (X) ШОУ А. Логическое проектирование операционных систем. 1981, 1 р. 70 к. (X)
Заказы на приобретение этих книг направляйте в «Московский дом книги» по адресу: 121019, Москва, просп. Калинина, 26, фирменная секция издательства «Мир» (книги отмечены знаком X) или в магазин № 5 «Техническая книга» ——опорный пункт издательства «Мир» по адресу: 191040, Ленинград, Пушкинская, 2 (книги отмечены знаком О). Заказы высылаются наложенным платежом.
1 Согласованная со структурой векторного пространства. — Прим, ред.
летворяет условию конуса, а утверждения (iii) н (iii') — если R удовлетворяет сильному
локальному условию Липшица (см. [2]).
N UI ^i/2(r)]3 = E] I Ui I З^цу н аналогично для I 尸 I 旷丿⑺产
Ввиду приводимого ниже соотношения мы вместо)и часто будем писать просто
*ення 2.2.1 следует, что Р^х существует и единствен. Нелинейный оператор Р^назы* вается проектором на Ж
/ Соотношения между потоками н силами рассматриваются здесь как феноменологическое, возможно грубое описание некоторых физических процессов. Во всяком случае, автор книги не собирается вступать в дискуссию между сторонвииками Онзагера и его противниками.
2 Для проверки (4.1.36) достаточно показать (см. (4.1.6)), что
£(〃)= j £ij(u)£ij(u)dQ》с"” - Q'u^ vw € [H@)]3,(1.1.35a)
где с】> 0 ——константа, Q' — ортогональный проектор [£2(0)]3 на ^в £? норме. Действительно, в силу (1.4.29) можно принять
(]£ij(u)Sij(u)dn + |〃|；)
за эквивалентную норму в 附(明乙 Таким образом, (4.1.36) эквивалентно неравенству£(〃)》c[inf |〃 一 г|| + £(〃)],
где с > 0 — константа. Из (4.1.35а) с учётом того, что inf|u -朮=|Р”出 Р' ^r-Q',
следует (4.1.36) (см. (1.1.6)).
Если бы (4.1.35а) не было выполнено, то можно было бы построить последовательность [%} = [ип / % - Q'"/}, такую что £(йм)0 н |йя - Qfun)2 = 1. Положим
йл — Q& =尸％ = Un € [Я1 (О)]3.
Из (4.1.29) следует, что последовательность норм II初JL ограничена. Ввиду (1.3.53), из {Рп} можно извлечь подпоследовательность, также обозначаемую {加}, такую что V» V слабо в [Z/^fl)]3 и сильно в [£2(Я)]3 (см. п. 1.2.3). Легко проверить (см. (4.1.23)), что если 方〃 т 方 слабо в [Я1^)]3, то
lim inf j 啾加)e仃@!)或)》j 电⑼啾》)dR.(4.1.35b)
(1(1
Поэтому £(Г) = 0. Отсюда заключаем, что D W 必 Но 4 = йп - Q'& = P*Mn, а это элемент ортогонального дополнения 必丄 к пространству 必(в £2-норме). Следовательно, V J切八“丄,откуда 方=0. С другой стороны, сильная сходимость 办 к и в [£2(0)]3 влечёт 同 =1, и мы приходим к противоречию» из которого и следует справедливость (4.1.35а).
-| c|w|2 + ((興⑹ + 炉"。)，W) + - |Dz|i - i/k(w)l2 на £o x %, где Ф(т) = j 4(х, т(х))</0, U・U обозначает норму в Я, а |-|г — норму в [£2(Й)]3. Согласно одной теореме о седловых точках (см. [91], гл. VI, теор. 2.2]), £ имеет седловую точку (</"“，i/"D)w£o х %, которая удовлетворяет (9.1.25, 26).
Неравенства в механикеи их приложения
Inequality Problems inMechanics and Applications
Convex and NonconvexEnergy Functions
B^NAGIOTIS D. PANAGIOTOPOULOS
Aristotle University Department of Civil Engineering Thessaloniki, GreeceAristotle University Department of Civil Engineering Thessaloniki, GreeceRWTH Aachen
Aristotle University Department of Civil Engineering Thessaloniki, Greece
Aristotle University Department of Civil Engineering Thessaloniki, Greece
Lehrstuhl und Institut fur lechnische Mathematik
Aachen, F.R.G.
1985BirkhauserBoston • Basel • Stuttgart
П. Панагиотопулос
Неравенствав механикеи их приложения
Выпуклые и невыпуклыефункции энергии
Перевод с английского
И. Р. Шаблинской и Р. А. Арутюновапод редакцией
В. Ф. Демьянова
ВИВЛИО^ЖА
КОЛОХЗА
ОСКОРКА
Москва «Мир» 1989
ББК 22.2+22.16
П16
УДК 531 + 517
Панагиотопулос И.
П16 Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии: Пер. с англ.— М.: Мир, 1989.— 494 с., ил.
ISBN 5-03-000498-Х
Монография греческого ученого, в которой отражены современные нсследованяя вариационных задач механики для случая негладких функций. Используемый автором подход позволяет изучить новые задачи теории упругости н пластичности, а также получить новые результаты в классических задачах. Книга написана на высоком математическом уровне, причем необходимый математический ал- аарат изложен во вступительных главах.
Для математнков-арнкладников, инженеров-исследователей, аспирантов и студентов вузов.
ББК 22.2+22.16ББК 22.2+22.16，п 1703040000—021 52—89 041(01)—89
ББК 22.2+22.16
ББК 22.2+22.16
Редакция литературы по математическим наукам
ISBN 5-03-000498-Х (русск.) ISBN 3-8176-3094-5 (англ.)ISBN 5-03-000498-Х (русск.) ISBN 3-8176-3094-5 (англ.)© 1985 Birkhauser Boston Inc.
ISBN 5-03-000498-Х (русск.) ISBN 3-8176-3094-5 (англ.)
ISBN 5-03-000498-Х (русск.) ISBN 3-8176-3094-5 (англ.)
© период на русский язык, с добавлениями,
«Мнр», 1989