ВОЛНОВЫЕ ЗАДАЧИ

ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

Перевод с польскогоПод редакцией

В. А. ШАЧНЕВАГ. С. ШАПИРО

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1978

УДК 539.5

Быстрый прогресс в решении волновых задач теории пластичности тесно связан с запросами современной техники, в том числе с применением импульсного нагружения, созданием полостей в грунтах, действием землетрясений на конструкции, сейсморазведкой. Книга известного польского специалиста содержит обзор и современное изложение методов решения волновых задач на основе различных вариантов теории пластичности. Рассматриваются основные уравнения динамики неупругих сред, математические основы теории распространения волн, сферические и цилиндрические волны в различных средах.

Подробно обсуждаются численные методы решения задач, приведены числовые примеры по распространению волн в пластических средах.

Книга заинтересует механиков, инженеров-исследователей, математиков-прикладников, студентов и аспирантов математических специальностей, желающих ознакомиться с этой областью механики деформируемого твердого тела.

Редакция литературы по математическим наукам

20304-040 ^ 7$ © 1974, Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa

041(01)-78© Перевод на русский язык, «Мир», 1978

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Взрывные и ударные воздействия находят все большее применение в таких технологических процессах, как обработка металлов давлением, формовка листов, сварка, упрочнение и резание металлических заготовок. Взрывная техника широко применяется при добыче полезных ископаемых, создании котлованов и полостей в грунтах, возведении земляных насыпей и плотин, уплотнении грунтов и проходке скважин. Многие возникающие здесь технические проблемы связаны с теорией распространения пластических волн, которая быстро развивается после опубликования классической работы X. А. Рахматулина [103]. Ряд достижений в этой области нашли отражение в предлагаемой книге польского ученого Войцеха Новацкого.

Чтобы сделать книгу доступной широкому кругу читателей, автор вначале излагает основные сведения о динамических свойствах металлов и грунтов, теориях пластичности (включая малоизвестную у нас билинейную теорию) и уравнениях динамики металлов и грунтов. Далее рассматриваются условия непрерывности на фронтах разрывов и анализируются , математические методы, которые затем применяются к задачам о распространении плоских, сферических и цилиндрических пластических волн в металлах и грунтах. Отдельно изучаются продольно-поперечные волны и волны температурных напряжений.

Небольшой объем книги не позволил автору дать исчерпывающее изложение всех аспектов проблемы распространения пластических волн. Естественно, что главное внимание в ней уделено кругу вопросов, наиболее близких автору и представляемой им польской школе. Многие из этих вопросов решены им или при его участии. Меньше или совсем незатронутыми оказались, например, такие проблемы, как учет конечных деформаций, распространение пластических волн, основанное на теории сред с внутренними параметрами, дислокационных представлениях и наследственных теориях пластичности. В известной мере эти недостатки компенсируются обширной библиографией, включающей более двухсот названий. Очень широко в ней представлены работы, выполненные в СССР, ПНР и США,

Специально для русского перевода автором сделано много дополнений и исправлений. Ряд исправлений внесен переводчиком. Книга В. К. Новацкого даст хорошее представление о современном уровне развития многих разделов теории распространения пластических волн. Для нашего читателя особый интерес представит знакомство с новейшими результатами польских исследователей. Эта книга будет, несомненно, полезна широкому кругу заинтересованных читателей — студентам, инженерам и исследователям.

В качестве дополнительной литературы можно рекомендовать следующие источники:

Ивлев Д. Д., Быковцев Г. И., Теория упрочняющегося пластического тела, «Наука», М., 1971.

Николаевский В. Н., Механические свойства грунтов и теория пластичности, Итоги науки, ВИНИТИ, т. 7, сер. «Механика деформируемого тела», 1972.

Зволинский Н. В., Рейтман М. И., Шапиро Г. С., Динамика деформируемых твердых тел, в сб. «Механика в СССР за 50 лет», «Наука», NV, 1972.

Определяющие законы механики грунтов, сб. ст., «Мир», М., 1975,

Г. С. Шапиро

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемая книга посвящена волновым задачам теории пластичности. Эти задачи связаны с интенсивными динамическими нагрузками, действующими на элементы конструкций, когда интенсивность нагрузок настолько велика, что в элементах конструкций могут возникнуть пластические деформации. В настоящее время .имеется довольно значительное число специальных работ и монографий, посвященных волновым задачам. Первые исследования, связанные с вышеупомянутой тематикой, появились уже в сороковых годах, но большинство работ приходится на шестидесятые годы. Много задач, главным образом одномерных, теперь уже изучено подробно.

Имеется несколько монографий, представляющих в общем виде теорию удара как для непрерывных, так и дискретных систем. Здесь прежде всего следует назвать монографии Кольского [61], Гольдсмита [33], X. А. Рахматулина и 10. А. Демьянова [108] и Кристеску [25], в которых в общем виде рассмотрена теория удара для континуальных пластических тел. С тех пор было решено много важных с точки зрения практики задач. Обзоры работ последних лет читатель может найти в сборнике [222], вышедшем недавно под редакцией Г. С. Шапиро.

Появилось много работ, связанных с динамикой неупругих конструкций. В последние годы достигнуты большие успехи в вычислительной технике. Разработан ряд методов численного интегрирования квазилинейных и почти линейных уравнений с частными производными. Численным исследованиям сопутствовали соответствующие разработки аналитических методов решения граничных задач для неупругих тел.

Это касается главным образом задач о распространении волн напряжений в случае сложного напряженного состояния, волн, вызванных многопараметрическими нагрузками, пространственных волн и, наконец, волн температурных напряжений.

В данной книге рассмотрены лишь волновые задачи, которые описываются гиперболической системой квазилинейных или почти линейных уравнений с частными производными первого порядка. Сделан обзор мировой литературы по проблеме

распространения волн напряжений в упруго/вязкопластических средах с подробным учетом исследований польских авторов, многие из которых являются первыми в данной области работами.

Книга состоит из следующих глав. Гл I посвящена основным уравнениям динамики неупругих сред, при этом вкратце описаны динамические свойства материалов (металлы, грунты) и дан обзор основных теорий пластичности и вязкопластичности. Гл. II посвящена определениям поверхностей разрыва и условиям, которые должны быть выполнены на этих поверхностях. Излагаются некоторые математические основы для систем квазилинейных и почти линейных уравнений с частными производными первого порядка; сформулированы граничные задачи для систем уравнений гиперболического типа. Последующие главы посвящены рассмотрению методов решения задач о распространении волн напряжений: одномерных плоских, сферических и цилиндрических, продольно-поперечных, плоских двумерных, а также волн в балках и плитах. Подробно решены задачи о распространении волн в упругопластических и упруго/вязкопластических средах, ударных волн в металлах и в грунтах. Последняя глава посвящена задаче о распространении волн температурных напряжений, вызванных тепловым ударом на границе рассматриваемой среды. В книге не обсуждаются задачи о распространении волн в стержнях и мембранах. Эти вопросы подробно рассмотрены в монографиях X. А. Рахматулина и Ю. А. Демьянова [108] и Кристеску [25], и кроме некоторых несущественных модификаций они до сих пор не претерпели изменений. Кроме того, нс рассматриваются (неволновые) задачи динамики пластин и нсупругих оболочек, обсуждение которых читатель найдет в гл. V книги П. Пэжины и др. [96]. Не рассмотрена также теория удара для дискретных механических систем, изложение которой можно найти в недавно опубликованной книге Р. Грыбоща [34] (гл. XV).

Автор признателен -своему коллеге доктору-инженеру Б. Ра- нецкому (Институт основных проблем техники Польской Академии наук) за ценные замечания и многочисленные дискуссии в процессе работы над книгой.

Глава I

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ НЕУПРУГИХ СРЕД

Т. Динамические свойства материалов

Остановимся вкратце на динамических свойствах материалов, основываясь на экспериментальных данных1).

Экспериментальные работы проводились в нескольких направлениях. Основным из них является определение динамических характеристик материалов. С этой целью были проведены многочисленные исследования, в которых определялось распределение остаточных напряжений вдоль исследуемого образца, а также исследовалось влияние поперечного движения при распространении продольных волн напряжений в образце, вызывающего эффект дисперсии волн. Были проведены также многочисленные исследования по определению влияния температуры и радиационного излучения йа динамическое поведение металлов.

В случае статических процессов механические свойства материалов характеризуются графиком напряжение — деформация. В случае же динамических нагрузок на зависимость напряжение— деформация существенное влияние оказывают скорости деформаций. Наблюдается также большое влияние ряда таких факторов, как температура, радиация и т. п.

Остановимся на основных динамических свойствах металлов и грунтов.

Динамические свойства металлов

Экспериментальные исследования [16, 17, 19, 38, 66, 67, 72], а также многие другие показывают, что для металлов достижение пластического состояния при внезапном нагружении требует более высоких напряжений, чем при медленном нагружении. Для ряда практически важных материалов (например, высокоуглеродистых сталей) в условиях динамических нагрузок можно пользоваться соотношением о = о(е), нс зависящим явно от скорости деформации [108], но полученным при

9 Более широкое обсуждение экспериментальных исследований читатель найдет в монографиях [61, 25, 92] и в работах [НО, 96, 210].

динамическом нагружении образца. Это соотношение существенным образом отличается от статического.

На рис. 1 представлены динамическая и статическая характеристики для образца, изготовленного из мягкой стали. Кривая 1 — является статической кривой, кривая 2 — динамической. Последняя вычерчена при помощи метода, предложенного X. А. Рахматулиным [108], на основе измерений остаточных деформаций начального сечения ударяемого образца в функции скорости удара. При динамическом нагружении образца происходит увеличение предела текучести материала. Характер

кривой определяется видом материала. В большом количестве экспериментальных работ установлено, что металлы, имеющие хорошо выраженный предел текучести, особенно чувствительны к скорости деформации.

Типичным примером металла, который по-разному веде! себя при статическом и динамическом деформировании и проявляет большую чувствительность к скорости деформации, является мягкая сталь, а также чистое железо. Влияние скорости деформации на изменение предела текучести мягкой стали ис-

Рис. 3. Кривые /, 2. 3, 4, 5 соответствуют следующим значениям ^//2: 1 - 103,3-101,4-10°,7 • 10-2,4 -10-3 с"1.Рис. 3. Кривые /, 2. 3, 4, 5 соответствуют следующим значениям ^//2: 1 - 103,3-101,4-10°,7 • 10-2,4 -10-3 с"1.

Рис. 3. Кривые /, 2. 3, 4, 5 соответствуют следующим значениям ^//2: 1 - 103,3-101,4-10°,7 • 10-2,

4 -10-3 с"1.

Рис. 3. Кривые /, 2. 3, 4, 5 соответствуют следующим значениям ^//2: 1 - 103,3-101,4-10°,7 • 10-2,

4 -10-3 с"1.

следовалось, например, в работах [19, 72, 67, 17, 18]. Так, Кларк и Дюве [19] в случае мягкой стали (0,22% углерода) установили, что вместе с ростом скорости деформации (рис. 2) предел текучести растет от значения около 2760 кГ/см2 (статический предел текучести) до значения около 5870 кГ/см2 при скорости деформации ё « 200 с-1. Предел текучести растет до того момента, пока нс достигнет кривой условного предела прочности

(пунктирная линия на рис. 2). Условный предел прочности возрастает в области скоростей деформаций от 0 до «200 с-1.

Многочисленные экспериментальные исследования показали, что предел текучести для мягкой стали в процессе динамического нагружения может достигать значения в 2—3 раза большего, чем при статическом нагружении. При этом наблюдается уменьшение эффекта упрочнения при динамических нагружениях по отношению к статическим.

Большинство исследований, связанных с определением динамической характеристики материала, осуществлялось в условиях одноосного растяжения или сжатия, либо чистого сдвига. Существует лишь небольшое количество экспериментов, целью которых было получение динамических ха-

рактеристик материала в ус

ловиях сложного нагружения. К основополагающим в этой области принадлежат работы Линдхолма [66, 67]. В них описаны результаты исследований алюминиевых и стальных об

разцов, подверженных совместно одноосному растяжению и сдвигу. На рис. 3 даны графики зависимостей вторых инвариантов тензоров напряжений и деформаций для различных скоростей деформаций алюминиевых образцов [67]. Исследования эти выполнены для области скоростей деформаций от 103 до 4-Ю*3 с-1. На графиках отчетливо видно, что с ростом скорости деформаций определенному значению интенсивности деформаций V^2 = const отвечают все большие значения интенсивности

напряжений V^2* Такие же исследования Линдхолм провел для стальных образцов [66] и получил аналогичные результаты.

В настоящий момент существует достаточно обширная литература, в которой рассмотрено влияние как скорости деформации, так и температуры на зависимость между напряжением и деформацией, причем влияние каждой из этих величин определялось отдельно. Экспериментальным путем установлено, что при низких температурах нижний предел текучести металлов не зависит от скорости деформации, зато при высоких температурах даже весьма малые изменения скорости деформации вызывают значительный рост или падение предела текучести [16, 18].

Исследовано также влияние радиации на свойства пластических материалов. Установлено, что, как правило, облучение образцов приводит к повышению предела текучести и предела прочности. Влияние скорости деформации в облученном металле проявляется иначе, нежели в необлученном. Облученный металл обладает значительно более сильной чувствительностью к изменению скорости деформации [146].

Динамические свойства грунтов

При медленных нагружениях водонасыщенного грунта его осадка происходит вследствие оттока жидкости из пор в скелете грунта. В этом случае скелет грунта полностью несет действующую на него нагрузку, а деформация грунта целиком зависит от перемещений зерен скелета. Когда на грунт действуют динамические нагрузки, грунт ведет себя как достаточно однородная среда; давление в жидкости и газе, заполняющих скелет грунта, близко к давлению, действующему на грунт, особенно в случае очень влажных грунтов.

Характерным свойством грунта является его сжимаемость. Только в случае малых нагрузок, порядка 1—5 кГ/см2, грунт можно рассматривать как несжимаемую среду. Сжимаемость грунта существенным образом отличается от сжимаемости металла, воды, воздуха и т. п. Объемная деформация грунта необратима. При возрастании напряжений, сжимающих образец грунта, плотность образца может существенно увеличиться вследствие перемещений зерен грунта, а также их разрушения. При снятии нагрузки, вследствие необратимости вышеупомянутых процессов перемещения и разрушения частиц, плотность уменьшается незначительно. Следует обратить внимание на тот факт, что при динамических нагрузках перемещения зерен грунта нс поспевают за ростом давления. Даже после того как давление достигнет максимального значения и начнется процесс разгрузки, имеют место перемещения зерен грунта и связанное с ними объемное сжатие грунта. На рис. 4 отражены

вышеупомянутые свойства для песка с различной начальной влажностью. Уменьшение необратимости объемного сжатия с увеличением влажности вызывается упругостью воды, заполняющей поры скелета.

Последние экспериментальные данные показали, что грунт обладает реологическими свойствами и чувствителен к изменению скорости деформации. Чувствительность к скорости деформации для разных видов грунта различна. Исследованию динамической характеристики грунта посвящены, например, работы [3, 35]. В работе [3] определены эффекты влияния скорости деформации на поведение грунтов.

Рис. 4. Кривые I, II, III соответствуют следующим значениям начальной влажности: 6%, 3%, 0 %.

2. Теории пластичности

Ниже будут представлены основные соотношения некоторых теорий пластичности: деформационной, билинейной и теории течения. Эти теории, в которых не учитывается влияние скорости деформации на соотношения между напряжениями и деформациями, часто применяются к динамическим задачам пластичности ввиду того, что они довольно подробно исследованы, а также ввиду хороших практических приближений, какие эти теории дают для определенного класса задач.

Деформационная теория пластичности

Определяющие уравнения теории малых упругопластических деформаций (уравнения Падай — Генки — Ильюшина) являются обобщением соотношений теории упругости. В этой теории

принимаются три следующих постулата, причем два первых такие же, как и в теории упругости ^i

Главные направления тензора напряжений совпадают с главными направлениями тензора деформаций.

Среднее нормальное напряжение пропорционально средней деформации; коэффициенты пропорциональности одинаковы как для упругого, так и для пластического состояний.

Интенсивность напряжений есть функция только интенсивности деформаций, причем эта функция должна быть определена для каждого материала экспериментальным путем, т. е. (2.1)з^^т^гь

здесь m(8i) есть функция только интенсивности деформаций, а а; и 8г означают соответственно интенсивности напряжений и деформаций, определенные в виде

/3 VA /з \v22x

Система уравнений деформационной теории имеет вид [131]

«г/= ёф Qkfc = 3Kekft, oz = 2m(ez)ez

(sz/ и ёц — тензоры направлений и подобия, К = (2ц + ЗА,)/3, %, ц — постоянные Ламе). Из системы (2.2) путем преобразований получаются определяющие соотношения вида

ом = 2m (sz) ez/ + j [3/< — 2m (ez)] efcfe6z/.

Функция т(8г) определяется экспериментальным путем. Она задастся соотношением (2.1). Зависимость Ог^Нсг) мало отличается от зависимости c = f^ (рис. 5), полученной при одноосном напряженном состоянии. Функцию f^ можно получить из функции f(e) путем неоднородного изменения масштабов осей координат (рис. 5). Характер графика остается тем же самым. При одноосном напряженном состоянии ог = о, 8г = = (1 + v)e,v — коэффициент поперечного сжатия.

Состояния, описываемые уравнениями (2.3), отвечают процессам нагрузки, т. с. процессам, при которых интенсивность деформаций 8г- есть возрастающая во времени функция: d^ildt > 0. Когда о^ достигнув некоторого значения, например о. = о* (рис. 5) в точке В, начинает уменьшаться, наступает процесс разгрузки. При этом dzddt < 0, и разгрузка будет происходить по прямой ВС, параллельной прямой Гука ОА.

См. Ильюшин А. А., Пластичность, ГТТИ, М. — Л., 1948; Качанов Л. М., Основы теории пластичности, Физматгиз, М., 1969. — Прим. ред.

) sa = °и - Т Mw еа = еи~Т М« - Приж ред-

Уравнения деформирования при разгрузке будут иметь вид (2.4) sM — s.. = 2ц (ez/ — etj^ скк — скк = 3^^гкк — екк^; звездочками обозначены напряженное и деформированное состояния, отвечающие началу разгрузки.

Рис. 6.Рис. 6.

Рис. 6.

Рис. 6.

В теории малых упругопластических деформаций при учете температурного поля принимается, что интенсивность напряжений есть функция интенсивности деформаций и температуры 7: (2.5) Oi = 2m (е/, 7) et

o„ = 3^^^a7.

Здесь a — коэффициент температурного расширения. Функция т(бг, 7) определяется экспериментальным путем из опыта на

простое растяжение цилиндрических образцов при разных температурах. Функция т^ 7) в пространстве о^ ^г» 7 представляет некоторую поверхность (рис. 6) [130]. В обла

сти упругих деформаций (oz^ <a$(T)(l/V3"), где as(n- предел текучести, зависящий от температуры) эта поверхность переходит в линейчатую поверхность, уравнение которой имеет вид

аг = 2ц(Пвг,

где |л(7)— модуль деформации формы, зависящий от температуры.

Процесс активного нагружения в произвольной точке среды представлен в пространстве о,, е/, Т кривой на поверхности (2.5). При разгрузке процесс деформации в случае одноосного напряженного состояния представлен в этом пространстве кривой, лежащей на поверхности, параллельной (2.7):

oz = 2p(n(ez-e^).

Такая геометрическая интерпретация процесса деформации позволяет установить, что активная нагрузка в каждом элементе тела в случае зависимости механических характеристик материала от температуры происходит при условии d&i/dt >• О, а разгрузка — при условии d^Jdt 0.

Определяющие уравнения деформационной теории для сложного напряженного состояния в случае малых деформаций имеют следующий вид:

в области активного пластического нагружения

оо = 2щ(8Ь Лez/+ у[ЗЛ" — 2m(&iy Т^г^] — ЗК«ТЬИ, в области разгрузки

(2.Ю) «;,-«„=2ц (п («;,-«„)+

+ к m Ш “ “’’) 6-i ~ к m (е«‘ - “П 6«-

где звездочкой обозначены значения соответствующих величин в момент начала процесса разгрузки (т. е. когда 6/£Z/d/ = 0), ^’~е//+[^(^1)/^^]^ пРичем индексами е и р обозначены упругие и пластические составляющие девиатора тензора деформаций etj = eeM-V ерц.

Предполагая независимость постоянных материала от температуры, получаем уравнения деформационной теории, учитывающей температурное поле:

в области активного пластического нагружения {d^dt > 0)

ац = 2m (е<) гИ + у [ЗА" — 2m (ez)] гкД, — ЗКаТб,h

в области разгрузки (dejdt<.$

s^ stJ = 2y.(etj — ег/), гкк = -^- + ЗаТ.

Билинейная теория

Здесь определяющие уравнения, предложенные в работе [6] и обобщенные в [1] на случай сложного напряженного состояния, учитывают пластическую сжимаемость материала таким

образом, чтобы соотношения между деформациями и напряжениями для пластического тела были билинейными. Эти соотношения для процесса активного пластического нагружения (dJ^dt > 0, где J2 = "^ 8ц8{1 — второй инвариант девиатора тензора напряжений) имеют вид

еИ = 2^SH^^--^(Slf-S<iL)’] / ] 1 к

6,4 = ЖГ °и к ЖГ — —

где о^ — тензор начальных напряжений, отвечающий точкам перехода материала в пластическое состояние; щ, /G— соответственно модули деформации формы и объема, ц2, К2— постоянные материала в пластическом состоянии:

(2-14> ^=2(гЬг ЗЛ'- = тЖ

Коэффициент v2 определяется из опыта на одноосное растяжение как отношение поперечной пластической деформации к продольной:

v2 = -eP/6P.

Таким образом, V2 в соотношениях (2.14) и соответственно ц2 играют роль коэффициента Пуассона и модуля сдвига в пластической области.

Уравнения билинейной теории в случае одноосного напряженного состояния переходят в соотношения деформационной теории. Применение билинейной теории в задачах сложного напряженного состояния имеет то преимущество по отношению к другим теориям пластичности, что ее уравнения одинаковым образом интегрируются как в упругой, так и в пластической областях (ввиду одинаковых линейных зависимостей между девиаторами деформаций и напряжений и шаровыми составляющими тензоров как в области упругих, так и в области пластических деформаций). В этом состоит удобство теории, так как возможны эффективные построения решений многих граничных задач, однако эта теория связана с некоторым упрощением их физической природы.

Теория пластического течения1)

В случаях идеально пластического материала и материала с упрочнением рассмотрим уравнения теории пластического

См. также Качанов Л. М., Основы теории пластичности. Физматгиз, М.т 1969. — Прим. ред.’

течения, условие текучести и условия, характеризующие состояние среды: процесс нагрузки, разгрузки, нейтральное состояние.

Идеально пластический материал. В сложном напряженном

состоянии текучесть материала определяется условием, представляющим в пространстве напряжений гладкую и выпуклую поверхность, называемую поверхностью текучести. Эта поверх

ность в каждой точке имеет однозначно определенную касательную плоскость.

Условие текучести можно записать в виде уравнения

F^ = 0s

где функция F есть четная функция относительно о^ и выбрана так, что условие F < 0 определяет упругое состояние, а равенство F = 0 — состоя

ние течения (рис. 7). Предполагается, что существует определенная в пространстве напряжений функция Ft = F^g^, выполняющая роль потенциала. Обычно функция F^ представляющая пластический потенциал, отождествляется с функцией F, представляющей условие текучести. Ввиду этого

(2.17)(2.17)•D a dFе?, = л —11 до,.

(2.17)

(2.17)

где е?. — пластическая часть скорости деформации, X— параметр (Z > 0).

Если F = 0, то материал находится в состоянии пластического течения; о наличии приращений пластических деформаций судят по условию, является ли данное состояние состоянием нагружения или разгрузки:

состояние нагружения для идеально пластического материала имеет место, когда

(2.18)(2.18)дрд°чдрд°чЬц = 0,Ьц = 0,

(2.18)

(2.18)

дрд°ч

дрд°ч

Ьц = 0,

Ьц = 0,

состояние разгрузки, когда

(2.19)(2.19)дР .^7^дР .^7^<0.<0.

(2.19)

(2.19)

дР .

^7^

дР .

^7^

<0.

<0.

Уравнения деформирования упруго-идеально пластических сред получаются путем добавления к (2.17) соотношений для скоростей упругих деформаций (ё^ = (1/2р) sz/, ЦА = (1/ЗЮ dfeft); кроме того, учитывается тот факт, что пластические деформа-

ции не влияют на изменение объема, 8^ = 0:

(2-20)ёц =, &кк= — бкк.

Принимая, в частности, условие текучести Губера — Мизеса

р^гЬ^^ЗцЗц-к^О,

где к — предел текучести при чистом сдвиге, получаем уравнения

ёц = -2™ + Xsih ^кк = "^"^кк»

называемые уравнениями Прандтля — Рейсса; при этом параметр X определяется как X = W^k2, где Wp — мощность пластической деформации в единице объема элемента тела.

Упрочнение материала. Пусть для одноосного напряженного состояния график а = а(е) имеет вид, показанный на рис. 8, а.

аа

а

а

В этом случае учитывается упрочнение материала. Чтобы перенести свойство упрочнения при нагружении на случай сложного напряженного состояния, вводится представление о существовании последовательности поверхностей нагружения в девятимерном пространстве напряжений (рис. 8,6). Последовательность поверхностей нагружения отвечает точкам Mi на оси е = 0. Эти поверхности могут быть симметричными и иметь ту же форму, что и начальная поверхность текучести. Тогда в процессе нагружения происходит изотропное расширение поверхности текучести, так называемое изотропное упрочнение. Изменениям напряженного состояния вдоль путей MiMi ' отвечают процессы разгрузки, тогда как изменениям вдоль путей

М[м" отвечают нейтральные состояния (когда не происходит никакого изменения пластических деформаций).

В общем случае условие текучести для материала, обладающего упрочнением, можно записать в виде

F(olp еРр и) = 0,

где х— параметр упрочнения, определяемый через работу пластических деформаций:

t

х = Wp = ^ otJ d&Pp.

о

Определенный таким образом параметр х не влияет на вид поверхности нагружения в процессе пластического деформирования. Увеличение его значения вызывает постепенное расширение поверхности нагружения. Для материала, который еще не обнаруживает пластических деформаций, очевидно, х = 0.

Процессы активного нагружения при переходе от одного пластического состояния к другому сопровождаются увеличением пластической деформации, тогда

^^/>0, ^ = 0

В процессе разгрузки нс происходит роста пластических деформаций; следовательно, х = 0, и условие разгрузки имеет вид

ё^И<0, F = 01

Нейтральное состояние характеризуется условием

=F-0.

Все эти условия справедливы только в случае устойчивых материалов.

В дальнейшем условие текучести для упрочняющихся материалов примем в виде

(2.23z)F^.p^^O.

Уравнения деформирования имеют следующий вид:

(2-28)‘»=Х^

(вытекают из предположения, что направление вектора скорости деформации е^ ортогонально к поверхности нагружения и не

зависит от направления вектора скорости изменения напряжения drf/-); здесь X— неотрицательная функция, определенная как dF . / dF dF .

доЦ 8akl dCkl ’

отсюда ввиду (2.25) следует, поскольку в процессе нагрузки числитель выражения (2.29) положителен, что

В общем случае соотношения, описывающие изотропное упрочнение материала, можно записать в виде [131]

e-ii = Atjktaki или a// = Bz^Z8^,

где

лt H4ki-VhF4Fkb если В = 0 и Fklakl > 0,

iikl( Hijkb если F < 0 или F = 0, но Fktokl ^ 0;

(2.3!)( _-i WuFkl.

НijklА/Ь4-9ир р ’ еСЛИ F 0 И В^/8^/ > 0,

Вц^ = \mnrmn

„ НТ^ы, если F < 0 или F = 0, но FklBkt ^ 0; здесь введено обозначение F^ = дР/да^. Тензор Нцы имеет вид (2.32)Hw = 1±^ Ь^ - £ ^к1.

Функция h в соотношениях (2.31) есть скалярная функция, которая может зависеть как от действующего напряженного состояния, так и от истории нагружения h = —^[(dB/defy)/7^].

Пластические среды, чувствительные к скорости деформации

Упруго/вязкопластическая среда

Как показали многочисленные экспериментальные исследования динамических свойств материалов, большинство материалов ведет себя неодинаково в случаях статического и динамического нагружений. Главной причиной этого, как было показано, является чувствительность материалов к скорости деформации.

Согласно [73], следует различать упруго-вязкопластические и упруго/вязкопластические среды. Упруго-вязкопластической средой назовем материал, который явно обнаруживает свойство вязкости и в упругой, и в пластической областях. Упруго!вязко- пластической средой назовем материал, который обнаруживает свойство вязкости только в пластической области; до пластического состояния такая среда является упругой. Модель

упруго/вязкопластической среды значительно упрощает рассуждения, касающиеся прежде всего определения критерия пластичности. Обе эти среды подробно обсуждены в монографии Пэжины [92].

Ограничимся рассмотрением определяющих уравнений для упруго/вязкопластических сред в случае малых деформаций. Исследования таких сред были начаты в 1932 г. Гогенемзером и Прагером [39]. Их идея была продолжена затем в работах Соколовского [124] и Малверна [70], исследовавших распространение волн при одноосном напряженном состоянии1). Теория Гогенемзера и Прагера для сред, чувствительных к скорости деформации, была обобщена Пэжиной [93, 94] на случай распространения волн при сложном напряженном состоянии.

Приведем определяющие уравнения, выведенные Пэжиной [93] для сред, чувствительных к скорости деформации.

Начальное условие пластичности (ввиду того, что в упругой области среда нс обладает вязкими свойствами) не отличается от известных критериев пластичности в классической теории пластичности (см. п. 2).

Принимается, что функция пластичности имеет вид

(3.1)(3.1)F(°ib ^F(°ib ^f(°ii» еЬ)f(°ii» еЬ)1,1,

(3.1)

(3.1)

F(°ib ^

F(°ib ^

f(°ii» еЬ)

f(°ii» еЬ)

1,

1,

где f^ip e^) зависит от напряженного состояния а.у и от состояния пластического деформирования е-^ (предполагается, что скорость деформации раскладывается на упругую и не- упругую составляющие: ez/ = 8^ + 8?., причем 8?. объединяет вязкие и пластические эффекты), х —параметр упрочнения, определенный как

(3.2)

W^— энергия пластической деформации материала. Предполагается, что поверхность нагружения, рассматриваемая в девятимерном пространстве нагружения, регулярна и выпукла.

При вышеупомянутых предположениях Пэжина [94] предложил следующие определяющие уравнения для материалов, чув-

*) Влияние скоростей деформаций наиболее полным образом может быть учтено путем построения теорий наследственности, использующих для определяющих соотношений интегральные представления. На основе такой теории рассмотрено распространение одномерных неупругих волн в стержнях (см., например, [224]). Обзор работ, учитывающих историю нагружения тел, содержится в [210]. — Прим. ред.

ствительных к скорости деформации:

^/ = ^- 6ц + ^ц + у <Ф Ю> ^,

где 8ij, st} — соответственно составляющие тензора деформаций и девиатора тензора напряжений, Е— модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона, у — коэффициент вязкости материала, Ф — в общем случае нелинейная функция аргумента F, символ (O(F)) определяется следующим образом:

( 0 при F^O, (3-4)(ФОТ при F > 0.

Функция O(F) определяется на основе результатов экспериментальных исследований по динамическим свойствам материала. Соответствующий выбор этой функции позволяет отразить влияние скорости деформации на предел текучести.

Определяющие уравнения (3.3) можно также представить в ином виде, а именно

t^ — "^^^ Y^Oёи=-^;От

где ец— составляющие девиатора тензора деформаций, К — модуль объемной деформации.

Приведенные уравнения свидетельствуют о том, что скорость неупругой деформации есть функция разности напряженных состояний между действительным состоянием и состоянием, отвечающим статическому условию текучести. Эта функция определяет скорость неупругой деформации согласно закону вязкости Максвелла. Упругие же составляющие тензора деформаций от скорости деформации не зависят. В определяющих уравнениях (3.3) или (3.5) учтено также упрочнение материала. С помощью функции F можно описать как изотропное, так и анизотропное упрочнение

В целях проведения более подробного анализа определяющих уравнений (3.3) или (3.5) рассмотрим только неупругую часть скорости деформации

^ = уФ(лДу-

Путем простых преобразований уравнения (3.6) получим соотношение, представляющее динамическое условие текучести для упруго/вязкопластического материала, обладающего изотропным и анизотропным упрочнением:

f(CTj., е?,) = х(117^1+ф-,[±ОТ1_(_7;_7—) jj.

где Ф-1 —функция, обратная к функции Ф, /2 — второй инвариант неупругого тензора скоростей деформаций, 7£ = 3/2 ё^ё^.

Уравнение (3.7) определяет изменение действительной поверхности нагружения во время динамического процесса неупругого деформирования. Изменение действительной поверхности нагружения вызвано изотропным и анизотропным упрочнением материала, а также влиянием реологических эффектов, проявляющихся через влияние скорости деформации.

Частным случаем упруго/вязкопластического материала является пластический материал, чувствительный к скорости деформации и обладающий изотропным упрочнением. Предположим, что функция F имеет вид

F =-1,

т. е. что функция f зависит только от напряженного состояния. Ограничиваясь рассмотрением условия текучести Губера — Мизеса, т. е. принимая, что

/Ы = ^>

где /г — второй инвариант девиатора напряжений, из (3.5) получаем_

ём = — stl-V y^f”—^лГГ’ ^и=="зкди*

Динамическое условие текучести примет вид

VА - х м [ 1 + ф-1 (^)].

Для одноосного напряженного состояния соотношения (3.10) переходят в известные соотношения, предложенные Малверном 170]:

+

где е — деформация, о —напряжение, постоянная вязкости определена как v* = v/V8> fi (ер) — статическая характеристика материала при простом растяжении. Характер зависимости (3.12) представлен на рис. 9, а. Для е = const соотношение (3.12) представлено кривыми, параллельными статической кривой.

Следует заметить, что при очень высоких скоростях изменений деформаций и напряжений нелинейный член в соотношении (3.12), а именно у*(Ф(а//(s?)—1)), будет пренебрежимо мал по отношению к членам е и д(Е. Тогда среда будет вести

себя как линейно упругое тело. При малых же скоростях изменений напряжений и деформаций из (3.12) следует, что а = = fi(8p), т. с. что движение среды будет определяться статической характеристикой материала.себя как линейно упругое тело. При малых же скоростях изменений напряжений и деформаций из (3.12) следует, что а = = fi(8p), т. с. что движение среды будет определяться статической характеристикой материала.Некоторую разновидность определяющих соотношений (3.10) для изотропного упрочнения представляют уравнения, предложенные С. Калисским [41]. Они имеют следующий вид:

себя как линейно упругое тело. При малых же скоростях изменений напряжений и деформаций из (3.12) следует, что а = = fi(8p), т. с. что движение среды будет определяться статической характеристикой материала.

себя как линейно упругое тело. При малых же скоростях изменений напряжений и деформаций из (3.12) следует, что а = = fi(8p), т. с. что движение среды будет определяться статической характеристикой материала.

ёч = 2^$// +

Функция fi (8г-) представляет статическое изменение интенсивности напряжения в функции интенсивности деформации для материала с упрочнением (рис. 10). Здесь принята гипотеза, что зависимость Ог = hk^ в случае сложного напряженного состояния идентична соотношению т = fi(y) для чистого сдвига.

Различие между соотношениями (3.10) и (3.13) состоит в определении параметра х. Определяющие соотношения (3.10) в предельном случае при у = оо приводят к теории пластического течения, как показано в [92]. Соотношения (3.13) в случае одноосного напряженного состояния переходят в соотношения Малверна (3.12). В случае когда процесс нагрузки протекает

|, соотношения|, соотношения(3.13) переходят в уравнения деформационной теории.

|, соотношения

|, соотношения

Представление в соотношениях (3.13) аргумента функции Ф в виде F = ог7/1(ег)—L соответствующем деформационной

теории, допускает более простой математический анализ, чем в случае задания параметра % по формуле (3.2). Способ определения функции Ф(Р^ фигурирующей в (3.10), (3.12) и (3.13), будет рассмотрен в п. 3.2.

Определяющие уравнения упруго/вязкопластических сред, приведенные выше, даны в прямоугольной системе координат. Сформулируем теперь определяющие соотношения (3.3) в криволинейной системе координат в контравариантных составляющих тензора напряжений и тензора скоростей деформаций.

Уравнения (3.3) примут вид

d.. = ^41^gi/ + vW^

где

S1^ = С1' — у G^g^,—

d) — тензор скоростей деформаций, определенный следующим образом:

d[~ — I—-4-|,

2 x dq1 dqk /

где t/ = Dq^dt — контравариантные составляющие вектора скорости, Dv'ldqi — ковариантные производные вектора скорости, которые определены как

+

dqL dq1 q* — координаты точки в криволинейной системе координат, g^— составляющие метрического тензора, Г// — символы Кристоффеля второго рода (см. п. 5).

В случае малых деформаций тензор деформаций в ортогональной криволинейной системе координат будет иметь следующий вид:

Г ди- , ди1 1•

6;/ = - ^п^г + ^ТТ п₽и 1^Ь

L - dq1 — dq J

г \

X 7ди* 1 ^^ц

8ц — —V + v—~“ft ПРИ i — i (по i не суммировать), dq- Z dqk

где u — вектор перемещения. Ковариантные составляющие тензора деформаций определим на основе соотношения

Физические составляющие тензора напряжений ог^, физические составляющие тензора деформации 8^) и физические со-

Пластические среды, чувствительные к скорости деформации 27 ставляющие вектора скорости и^ определим на основе соотношений

ом = G—hih^ ^th = г-hih^ u(l) = и-кц где hi = V?i7-

Упруго/вязко-идеально пластическая среда

Определяющие соотношения, описывающие упруго/вязко- идеально пластическую среду, получим в предположении, что функция F не зависит от деформаций, т. е.

/7 = 11^2^ _ 1,

где /3— третий инвариант девиатора напряжений, с — постоянная материала.

Определяющие соотношения в этом случае имеют вид

eu = -^stj + V (ф [ ^ с з) —6и = зк°и-

Динамическое условие текучести в случае функции вида (3.21) выражается как

f(J2, 73) = с{1) ]}.

х1 XI I L у X 2 dapq dGpq ) J )

Уравнения (3.22) были предложены Пэжиной [93].

Если принять, что функция F имеет вид

р=^--\,

где к — предел текучести при чистом сдвиге, то определяющие соотношения (3.22) примут вид

ём = —+1])-^, ец = — дц.

' 2ц " 1 2 \ L * J / V/2

Динамическое условие текучести имеет в этом случае вид

V^ = ^[1+Ф"‘(^)].

На рис. 11 представлена зависимость V^ от V^2, определенная формулой (3.26) для произвольной функции F.

В упруго/вязкопластической среде, ввиду того что 1^ есть функция скорости деформации, вязкопластические деформации

появляются в том случае, когда /2 > &2, независимо от знака производной по времени /2. Знак производной /2 существен при определении состояния среды (нагрузка, разгрузка, нейтральное состояние) в деформационной теории пластичности (см. п. 2.1).

В частном случае для линейной функции Ф^), именно ф^ = Р, из уравнений (3.25) следуют уравнения, предложенные Фрейденталем [31]. Предполагая, кроме того, что упругие деформации малы по сравнению с неупругими, получаем определяющие соотношения Гогенем- зера и Прагера [39].

Определяющие уравнения для

упруго/вязко-идеально пластиче- /ской среды (3.22) в криволиней

ной системе координат в контра- вариантных составляющих будут иметь вид

ООРис. И.Рис. И.(3.27)\ К k ) / V/2(3.27)\ К k ) / V/2

О

О

Рис. И.

Рис. И.

(3.27)

\ К k ) / V/2

(3.27)

\ К k ) / V/2

гдегдепричемпричемPtn > »s > 0.Ptn > »s > 0.

где

где

причем

причем

Ptn > »s > 0.

Ptn > »s > 0.

^2 =4 sUsil = т ^б* ° к = gfcm0^-

В случае одноосного напряженного состояния уравнения (3.25) принимают вид

в = 4- + у*(ф(^- l))^^

где crs — предел текучести при простом растяжении. Это модель, предложенная Соколовским [124]. Характер зависимости (3.28) представлен на рис. 9, б. Для е = const соотношение (3.28) описывает прямую, параллельную статической характеристике.

Чтобы лучше уяснить существо вышеприведенной модели, рассмотрим следующий пример [124]. Предположим, что а возрастает линейно в течение времени 0 ^ / ^ /0, достигая значения рт, а затем линейно убывает в течение времени /о ^ ^ ^ ^, т. е.

' Рт ^ ПРИ 0</</0, 0 = ) , t_t S *

, Pm(l-77^-J при ^</<Л,

Исключая из уравнения (3.28) время и интегрируя, получим

для процесса «нагрузки»

при 0 < а < as,

гдегдедля процесса «разгрузки»для процесса «разгрузки»приприприпри( Pm ( Pm tf s ^ ^ ^ Рт»О < а < as,tf s ^ ^ ^ Рт»О < а < as,= V^sh^Pm= V^sh^Pmпри о5 < а < рт;

где

где

для процесса «разгрузки»

для процесса «разгрузки»

при

при

при

при

( Pm

( Pm

tf s ^ ^ ^ Рт»

О < а < as,

tf s ^ ^ ^ Рт»

О < а < as,

= V^sh^Pm

= V^sh^Pm

Рис. 12.Рис. 12.

Рис. 12.

Рис. 12.

Эти соотношения представлены графически на рис. 12. Линия ОАВ отвечает процессу «нагрузки», линия BCD — процессу «разгрузки». Необходимо подчеркнуть, что процессами «на

грузки» и «разгрузки» управляет один и тот же закон (3.28), тем не менее имеет место необратимость процесса «нагрузка — разгрузка», что представлено на рис. 12.

Функция Ф(^) в определяющих уравнениях (3.10), (3.12), (3.25) и (3.28) подлежит определению из экспериментальных данных. При определении функции O(F) предполагается, что влияние упругой части деформации пренебрежимо мало по сравнению с вязкопластической частью деформации. Кроме того, принимается гипотеза, что кривая

V77(V7) при сложном на

пряженном состоянии совпадает с кривой а(6) при одноосном напряженном состоянии. Справедливость этой гипотезы в част

ном случае сложного напряженного состояния подтверждают экспериментальные исследования Линдхолма [66, 67], проведенные на алюминиевых и стальных образцах, подверженных комбинированному одноосному растяжению и кручению.

При этом использовались тонкие цилиндрические образцы, которые внезапно нагружались одноосным растяжением и

кручением. На рис. 13 кружками обозначены экспериментальные точки, отвечающие простому растяжению, треугольниками— чистому кручению, квадратиками — точки, отвечающие вычисленным значениям интенсивностей напряжения и деформации в образцах при сложном напряженном состоянии (одноосное растяжение и кручение). Кривые V^2 (д/ЛР) в случаях простого растяжения, чистого кручения и сложного напряженного

Рис. 13.

состояния совпадают. Следует полагать, что гипотеза подобия кривой V-^2 (л/Лр ) и кривой для одноосного напряженного состояния сг(е) справедлива в общем случае сложного напряженного состояния.

Опираясь на экспериментальные данные для металлов, Пэ- жина [93] определил функцию Ф^), задавая различные ее виды, например

N ' N

Ф Ю = 2 4 [exp F" - 1], Ф (Л = £ BaFa. а=1 а=1

Для определения коэффициентов в (3.29) использовались экспериментальные результаты, полученные Кларком и Дюве [19]. Они нашли изменение предела текучести в функции скорости деформации для мягкой стали в диапазоне изменения скорости деформации 0 ^ е ^ 200 с-1, в котором изменение предела текучести проявлялось значительно. Экспериментальная кривая представлена на рис. 14 сплошной линией. Пунктирными линиями обозначены аппроксимации экспериментальной кривой функциями (3.29) в случае N = 5. Получены следую-

щие значения постоянных Аа, Ва (а = 1, ..., 5) в случае функции F для одноосного напряженного состояния (F = |a|/os—1):

Д1 = 217,56, Д2 = -654,11, Д3 = 874,52,

Д4 = — 484,15, Д5 = 93,56,

В, = 337,53, В2 = — 1470,56, В3 = 3271,71,

В4 = - 3339,98, В5 = 1280,06.

На основе гипотезы соответствия кривых V к (VU ) И о (ё) вышеприведенные постоянные можно использовать для сложного напряженного состояния [92, 66].

Несколько иначе определяется функция O(F) в случае среды, описанной уравнениями (3.13), Рассмотрим сначала способ описания функции Ф(^) в случае одноосного напряженного состояния. Для построения полного изменения функции у*Ф(оД1(е)—1) необходимо знать полную зависимость о = = о(е, ё). В работе [46] предложен следующий способ определения функции релаксации Ф^). Зная из эксперимента поверхности (j = (j(8s, ё) и a = a(ew, ё) (ew— деформация, отвечающая пределу прочности, е8 — пределу текучести), можно определить функцию a = a(e, ё) путем экстраполяции между этими поверхностями. В целях упрощения числовых расчетов обе поверхности о(е5, ё) и a(ew, ё) можно аппроксимировать плоскостями. Тогда значения экстраполированной функции a = a(e, ё) будут лежать на плоскостях, соединяющих отрезки

прямых для 8 = es и е = ew. Функция у*Ф [o/f i (е) — 1] имеет размерность скорости деформации. Например, в предположении линейного упрочнения материала для n-го отрезка аппроксимации получим

Y*Ф(Л =

= [f 1 - -~6s ) (ёп2 _ ёп1)) Lx 6[У — 8s / Gsn2 — Osn\ ^W eS Own2 Gwn\ J

где индексами n2 и п\ обозначены значения параметров соответственно на левом и правом краях отрезка аппроксимации. Можно получить достаточно высокую точность вычислений при записи функции у*Ф(^) в вышеприведенном виде, задавая соответствующее количество аппроксимирующих плоскостей.

Чтобы определить функцию Ф(аг7Л(вг)—1) для трехмерного напряженного состояния, принимается гипотеза [46], что соотношения между интенсивностями напряжения о^ скорости деформации ё^ и деформации а идентичны соотношениям между о, е, е для одноосного напряженного состояния.

Упруго/вязкопластическая среда со свойствами, зависящими от температуры

Определяющие уравнения, описывающие поведение материалов, чувствительных к скорости деформации, рассматривались в [87]. Было принято, что в определяющих уравнениях для упру- го/вязкопластической среды (3.10) предел текучести, коэффициент вязкости у, а также функция релаксации Ф^) зависят от температуры. Эти уравнения принимают вид

(3 31) \ J/ i ёи = -^он + ЗаКТ.

В работе [97] на основе экспериментальных данных проведен анализ уравнений (3.31). Поскольку экспериментальные исследования были проведены в условиях простого растяжения или сжатия, уравнения (3.31) рассмотрены только для одноосного напряженного состояния. Ограничимся лишь случаем упру- го/вязко-идеально пластической среды, рассматривая при этом только неупругую часть скорости деформации. В [97] было показано, что наилучшее совпадение с экспериментальными результатами получается тогда, когда от температуры зависят только предел текучести и коэффициент вязкости, но не зависит функция релаксации Ф(Р). •

Аналогичные рассуждения можно провести и при формулировке определяющих уравнений для упруго/вязкопластических сред, учитывающих упрочнение материала, путем введения в аргумент функции Ф(Г) зависимости параметра упрочнения от температуры х(Г), либо в случае уравнений (3.12) — зависимости статической кривой упрочнения от температуры f^,?).

Уравнения динамики грунтов

Приведем уравнения, описывающие поведение грунтов в случае действия на них динамических нагрузок. В первую очередь будут представлены уравнения динамики грунтов, предложенные С. С. Григоряном [35]. На базе этих уравнений рассмотрен ряд квазистатических и динамических краевых задач, связанных с процессами распространения волн напряжений в грунтах, вызванных разного рода взрывами.

Приведем также определяющие уравнения для грунтов, чувствительных к скорости деформации. Эти уравнения были предложены Ольшаком и Пэжиной [86].

Наконец приведем некоторый способ описания механических свойств грунта, опираясь на деформационные теории и принимая так называемую модель жесткой разгрузки, т. с. предполагая, что в процессе разгрузки интенсивность деформации не изменяется. В случае одномерных задач это приводит к предположению, что при разгрузке тело ведет себя как идеально жесткое.

Уравнения С. С. Григоряна1)

Уравнения динамики грунтов, представленные в этом пункте, были предложены С. С. Григоряном [35] в 1960 г.

Если элемент среды испытывает необратимое изменение объема, то плотность среды р и давление р, действующее на среду, связаны соотношением

P = f\^Y

Необратимое изменение плотности проявляется только в процессе нагрузки (см. п. 1.2). Соотношение (4.1) справедливо лишь, когда dp/dt > 0.

Для процесса разгрузки это соотношение будет иметь вид

р = К (р, р*),

где р* — максимальное давление (рис. 15), до которого нагружен рассматриваемый элемент среды в процессе предшествующего необратимого изменения его объема. В силу (4.1), можно

9 Модель С. С. Григоряна использовалась при решении ряда задач, см. [226—232]. — Прим, ред,

2 Зах. CI7

(4.3)(4.3)ввести значение плотности р*, соответствующее давлению р*«

(4.3)

(4.3)

Р* = МР*\

Значения р* или р* можно трактовать как параметры, характеризующие граничную необратимую объемную деформацию.

p*=wp*=wp=f(p,p^p=f(p,p^^°=у(р°)^°=у(р°)Рис. 15.Рис. 15.В процессе разгрузки, начинающейся в точке р*, р* кривой (4.1), происходит необратимое изменение объема: точка, описывающая этот процесс, перемещается по кривой (4.2). Эта точка может достигнуть положения р°, р°, отвечающего такому состоянию рассматриваемого элемента, в котором он не сможет выдержать большего всесторонне растягивающего напряжения. Множество таких состояний образует кривую (4.4) р° = <^.

p*=w

p*=w

p=f(p,p^

p=f(p,p^

^°=у(р°)

^°=у(р°)

Рис. 15.

Рис. 15.

Соотношения (4.1) — (4.3) можно записать в виде

Р = Ир, pWp-^Htf-p),

P* = f^Q, Р*) = Ь(р*).

p° = f(p°, р1 = <р(р°).

Условие

где Н— функция Хевисайда, показывает, что необратимая деформация возникает только при увеличении р*.

Основное положение теории пластического течения заключается в том, что, когда деформации сдвига нс могут протекать чисто упруго, часть бесконечно малых деформаций протекает пластически необратимо и пропорционально девиатору напряжений.

В качестве условия текучести здесь принята зависимость второго инварианта девиатора напряжений от давления р:

l^^s.^^F^,

где $ц — ац — рЬц, a F — неубывающая функция своего ар* гумента.

Эта модель с условием текучести (4.7) отличается от модели теории пластичности для металлов, в которой /2 принимается или постоянным в процессе пластической деформации (идеальная пластичность), или зависящим от характеристики пластической деформации (упрочнение). Соотношение (4.7) является условием типа идеальной пластичности, в котором предел текучести зависит от первого инварианта тензора напряжений— давления р. Это условие есть условие типа Мизеса — Шлейхера.

Для определения упругой составляющей деформации сдвига используется понятие производной Яуманна по времени от девиатора напряжений. Это приводит к следующим соотношениям между составляющими девиатора напряжений и девиатора скоростей деформаций:

где символом ds^ldt обозначена производная Яуманна, определяемая по формуле

(4.9)(4.9)^Ц.dt^Ц.dtdsa—t Sik®ik — Sjfe^ik,dsa—t Sik®ik — Sjfe^ik,

(4.9)

(4.9)

^Ц.dt

^Ц.dt

dsa

—t Sik®ik — Sjfe^ik,

dsa

—t Sik®ik — Sjfe^ik,

где

Параметр X должен оставаться положительным в ходе пластической деформации. В случае малых перемещений и деформаций уравнения (4.8) при X = О преобразуются в обычный закон Гука.

Параметр X можно определить, используя условие пластичности (4.7). Умножая (4.8) на stj и суммируя, получаем

(1.dsii'

2s[уЦ (^t/"у d^^btjj = 2цзцёц = sM ^ |- Xs,jS^ = 2цЦ7,

где W — скорость изменения энергии формоизменения.

Используя соотношения

(4.11)(4.11)dsu dsn 1 dksiisih ^2

(4.11)

(4.11)

S4 dt S{l dt — T di di"

и учитывая также условие пластичности (4.7), получаем

(4.12)(4.12)W-F' (р) (dp/dQ

(4.12)

(4.12)

2F(p)

Формула (4.12) имеет место только тогда, когда J2~F(p) и X > 0, т. е. когда 2pl^ — F' (р) (dp/dt) > 0. В противном слу-

чае Л, = 0. Параметр Л можно представить в виде единой аналитической формулы, именно

X = W ~g ^ (dp!dt} H\J2-F (р)1 Н [2ИГ - F' (р) ^.

Итак, выражения (4.8), (4.9) и (4.13) дают полное описание деформаций сдвига.

Экспериментальные исследования песчаных грунтов [2] подтвердили справедливость принятого условия пластичности типа (4.7), а также позволили установить, что для песчаных грунтов в реальных условиях при р < 15 кГ/см2 функция F^ имеет следующий вид:

^(^^(ар + Р)2,

где а и р — постоянные. В работе [2] дано описание опытов, на основе которых определяется функция F(p^ а также функции (4.1) и (4.3).

Упруго/вязко-идеально пластические грунты

В работе Ольшака и Пэжины [86] предложены определяющие уравнения для грунтов, учитывающие их реологические свойства и чувствительность грунтов к изменению скорости деформации.

Для описания динамического поведения упруго/вязко-идеально пластического грунта в работе [86] принят частный случай статической функции пластического течения

F = W-1,

где Л— первый инвариант тензора напряжений, а — параметр, характеризующий скорость расширения грунта, к — постоянная, представляющая предел текучести грунта.

Определяющие уравнения (2.3) в случае упруго/вязко-идеально пластической среды и функции F, определенной формулой (4.15), будут иметь следующий вид:

8Z;=-2^-SZ/ + ~ £ V d6ftdz/ +

\ L кА! \ ч ')

Динамическое условие пластичности грунта имеет следующий вид:

+]}•

ражается как(4.18) еп =ражается как(4.18) еп =ои + Зау (ф- 1] Уои + Зау (ф- 1] УСкорость объемного расширения грунта, в силу (4.16), вы

ражается как

(4.18) еп =

ражается как

(4.18) еп =

ои + Зау (ф- 1] У

ои + Зау (ф- 1] У

Из этого уравнения следует, что неупругим деформациям сопутствует изменение объема, когда а =И= 0. Это свойство называется дилатансией грунта.

Можно показать, что в случае у—юо из (4.16) получаются уравнения теории течения. При у->оо из уравнения (4.17), согласно (4.15), получим

f (оz/) = a/' + ^2 или F = 0;

следовательно, из определения функции Ф(Р") вытекает, что в этом предельном случае величина yO(F) является неопределенным параметром или

•П a1IГ X I SH 1

8р = А= A I afi.. -]—г I = ———j—— I aSz / Нт=-1 •

11 дац V 1 ^л^Ц / УЗа2/2 + 74 [ 12 ^/2 J

Это — определяющие соотношения для случая упруго-идеально пластических грунтов.

Жесткая разгрузка

Для некоторых материалов, в частности для грунтов, нагруженных высокими давлениями, разгрузка на кривой «давление— объемная деформация» проходит практически перпендикулярно к оси деформаций. На рис. 4 представлены зависимости (р — Pq)Ipq от е для песков разной влажности. С уменьшением начальной влажности песка процесс разгрузки происходит со все меньшим изменением деформации. Малое изменение деформации при разгрузке тем более имеет место при больших давлениях, порядка нескольких сот атмосфер. На рис. 16 представлены характеристики для смеси песка с глиной с начальной влажностью около 15% [109]. Видно, что в процессе разгрузки среда деформируется весьма мало. Для практических целей можно положить, что при разгрузке деформация не испытывает изменений, поэтому

е = е* = const,

где е* — максимальное значение деформации, достигнутое в процессе деформирования (рис. 17). Среда, определенная уравнением (4.21), ведет себя при разгрузке как жесткое тело; се деформации во времени не меняются. Следовательно, движение

среды при разгрузке описывается обыкновенным дифференциальным уравнением.

Экспериментальные данные показывают, что характеристика Q = a(s) с жесткой разгрузкой хорошо аппроксимирует динамические свойства сухих песчаных грунтов.

Среда с повышенной влажностью была названа пластическим газом [108], т. е. газом, который при разгрузке несжимаем.

Понятие о жесткой разгрузке можно перенести и на случай сложного напряженного состояния. Полагая, например, что в области разгрузки среда описывается уравнениями деформа-

Рис. 16. 10% глины (No. 53); Ю% глины (No. 52); 20% глины (No. 50).Рис. 16. 10% глины (No. 53); Ю% глины (No. 52); 20% глины (No. 50).Рис. 17. 1 — динамическая характеристика (эксперимент); 2 — жесткая разгрузка.Рис. 17. 1 — динамическая характеристика (эксперимент); 2 — жесткая разгрузка.

Рис. 16. 10% глины (No. 53);

Ю% глины (No. 52);

20% глины (No. 50).

Рис. 16. 10% глины (No. 53);

Ю% глины (No. 52);

20% глины (No. 50).

Рис. 17. 1 — динамическая характеристика (эксперимент); 2 — жесткая разгрузка.

Рис. 17. 1 — динамическая характеристика (эксперимент); 2 — жесткая разгрузка.

ционной теории Генки — Ильюшина, примем, что при разгрузке имеет место постоянство интенсивности деформации, т. е.

е. = е* = const.

Это условие не означает, что среда является «жесткой» при сложном напряженном состоянии, как это имело место в случае одноосного состояния, ибо условие (4.22) допускает изменение во времени составляющих тензора деформации в процессе разгрузки.

Для принятой модели жесткой разгрузки уравнения с частными производными, описывающие движение среды в одномерных задачах, сводятся в случае разгрузки к обыкновенным уравнениям или к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода. На основе модели среды с жесткой разгрузкой решен ряд важных с точки зрения практики задач о распространении волн в грунтах. Эти решения будут подробно обсуждены в п. 14$ где

также будет дана оценка погрешности, возникающая вследствие допущения жесткой разгрузки вместо действительной характеристики (рис. 17).

Уравнения движения

и уравнения сплошности

Уравнения движения выводятся из принципа сохранения количества движения тела объема. V, ограниченного поверхностью S,.

-^ ^pvtdV = ^XtdV -V\MS,

VVs

где p — плотность среды, Vt = dUildt — составляющие вектора скорости частиц сплошной среды, Х^ — составляющие вектора внешних сил,

ti = Олп,

— составляющие вектора напряжений, приложенного к поверхности S, tij определяют направление нормали к поверхности в точке приложения вектора t^

Используя соотношение

, ti dS = Qjirii dS = Ojit j dV,

SSV

уравнение (5.1) для элемента с постоянной величиной pdV можно свести в прямоугольной системе координат к следующему виду:

_du.

р-^г = 6il( I-V Х:.

Используя определение материальной производной, вместо (5.4) имеем

(5.43(5.43do,

(5.43

(5.43

Р 1Г + ^yi> iyi ^ ° a- i + Xtl

Можно показать, что в случае малых градиентов перемещения уравнения движения имеют' следующий вид:

до.

р = о1Ч, j + Xie

Выведем теперь из уравнений движения в декартовых координатах уравнения движения в произвольной системе криволинейных координат.

Обозначим в пространстве £3 через М точку с декартовыми прямоугольными координатами х1, х2, х3 и криволинейными ко-

ординатами q\ q2, q3. Обозначим через h, i2, i3 единичные векторы осей х1, х2, х3. Они образуют неподвижный ортогональный базис. Рассмотрим в точке М векторы

(5.6)(5.6)дМ = дхк

(5.6)

(5.6)

dq^ dq1

Эти векторы касательны к линиям криволинейных координат. Они образуют естественный базис в точке М (в общем случае неортогональный), который изменяется при движении точки М.

Составляющие метрического (основного) тензора g-ц определяются следующим образом:

gti = gi-gI-™^T.

dq1 dq'

Определитель матрицы g^ равен

/гill Sxr I I dxr I

g | glk I — I dqs I I dqs I •

Символы Кристоффеля первого рода Г^д выражаются через координаты метрического тензора g^ в виде

,1 / dgu dglkdSjk\

Uh2 ( dqk + dqldq1 )'

Символы Кристоффеля второго рода Г/й определяются как

^6 = ^%»

с условием симметрии по отношению к нижним индексам Г;т = — 1 mZ-

В случае ортогональных криволинейных координат символы Кристоффеля второго рода определяются следующим образом:

Г/д = 0, если три индекса I, j, k равны,

И 2§И dql ’

1 dgH ,. , .

Г// = - -^, если I ф 1

^Н dql

(черточки под одинаковыми индексами означают, что по этим индексам нет суммирования).

Уравнения движения (5.5) запишем в криволинейных коор-» динатах в виде

Da^

— = pai — Xu

dq1

ИЛИ(5.13)ИЛИ(5.13)Dali i vi

ИЛИ

(5.13)

ИЛИ

(5.13)

-^г~еа-х-

где а — вектор ускорения, символом D/dq^ обозначена ковариантная производная.

Ковариантные составляющие вектора ускорения а, имеют вид

а,- = ^- (guv1) — vhvk,

at2 oq

контравариантные составляющие вектора ускорения а1 определяются следующим образом:

а‘ -" + 4•

п dt dqk S k dqr2 dqk )

где y; — контравариантные координаты вектора скорости: у* = = dq^dt.

Пользуясь определением символов Кристоффеля (5.9) и (5.10), можно представить выражение( 5.15) в более простом виде, а именно.

/к 1С\«I dvl I dot к I п< к к

а =— + —ГУ +Гл*у у .

dt dqR

системесистемеУравнения движения (5.12), (5.13) в произвольной

системе

системе

(5.17)(5.17)(5.18)(5.18)Da\ dq^ Do11Da\ dq^ Do11dqi Pdqi PГ du1 , dvlГ du1 , dvldqkdqk-L^ykykl^2 dql J 1 yk + rLyVl - xk-L^ykykl^2 dql J 1 yk + rLyVl - xkкриволинейных координат будут иметь соответственно вид

(5.17)

(5.17)

(5.18)

(5.18)

Da\ dq^ Do11

Da\ dq^ Do11

dqi P

dqi P

Г du1 , dvl

Г du1 , dvl

dqk

dqk

-L^ykykl^

2 dql J 1 yk + rLyVl - xk

-L^ykykl^

2 dql J 1 yk + rLyVl - xk

В случае ортогональных криволинейных координат, учитывая выражение (5.11), уравнения (5.18) можно представить в виде

Ц= -^ [Vg o^J - А Га^-^-1 = gu (ра1 — Х1\

У g dql■ ■2 L dq1 J -

где а1 выражены формулой (5.16).

Выведем теперь уравнения сплошности. Из принципа сохранения массы, утверждающего, что при произвольном движении сплошной среды масса, проходящая через элемент dS поверхности, ограничивающей объем V, эквивалентна изменению массы внутри этого объема, т. с.

^pyintdS-V-lr^pdV = Ox

5К

где га; — направляющие косинусы нормали к элементу поверхности dS, вытекают уравнения сплошности

^ + py<jZ = 0.

В случае криволинейных координат уравнения сплошности приобретают вид

(5.22)

Vs c/t + -^-(pa/W)=o.

Глава II

ВОЛНЫ, УСЛОВИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ, МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Б. Фронты разрывов, определения

Обозначим через 8*(/) поверхность, разделяющую в среде объема V две области с объемами Vi и V2 (рис. 18). Через и(хг, 0 обозначим функцию, непрерывную в области V, определяющую перемещения материальных точек среды. Предполагается, что при переходе через поверхность 8*(£) некоторые производные функции u(x^ /) по координатам х< и времени t испытывают внезапные (скачкообразные) изменения. Такая поверхность называется поверхностью разрыва n-го порядка, если все производные по х* и f до порядка п—1 включительно непрерывны и если некоторые производные по х’ или по t порядка п разрывны при переходе через эту поверхность.

Когда поверхность 8*(/) перемещается в пространстве, то говорят, что распространяется разрыв; поверхность S*(t) называется волной.

В случае разрыва 1-го порядка волна называется волной сильного разрыва; если разрыв порядка п ^ 2, то такая волна называется обыкновенной волной. Разрыв нулевого порядка не может распространяться, так как это означало бы разрыв среды. Таким образом, если на поверхности 8*(/) поля тензора напряжений оц или скорости Ot материальных частиц имеют разрывы, то эта поверхность является волной сильного разрыва. Если поле тензора напряжений ац и скорости частиц У{ на S*(0 — непрерывные функции, но какая-нибудь из их первых производных разрывна, то волна называется волной слабого разрыва или волной ускорения.

G — Нт -^7 д/-»о мG — Нт -^7 д/-»о мОбозначая через S*(t) положение поверхности волны в системе координат х’ в момент времени /, ее положение в момент t -|- А/ через S*(^ + AZ) и через As длину нормали к 8*(/) в точке Р(х9, заключенную между поверхностями 8*(/) и S*(/ +А/) (рис. 18), определим скорость распространения волны следующим образом:

G — Нт -^7 д/-»о м

G — Нт -^7 д/-»о м

(6.1)

Обозначим через S*^ поверхность, разделяющую в среде две области, которые обозначим соответственно через 1 и 2 (рис. 19). Нормаль к этой поверхности примем направленной со стороны области 1 к области 2. Уравнение поверхности в момент времени t примем в виде F^x\ f) = 0.

Определим типы волн в следующей последовательности: волну пластической нагрузки, пластическую волну, упругую волну, волну разгрузки и ударную волну.

Поверхность S*(f) (рис. 19), разделяющая в упругопластической или упруго/вязкопластической среде две области, такие, что материальные частицы в области 2 находятся в упругом состоянии или же в состоянии разгрузки, а в области 1— в пластическом состоянии, и перемещающаяся в направлении от области / к области 2, носит название волны пластической нагрузки. Если уравнение поверхности S*(/) в момент t есть F(x\ /) = 0, то вектор скорости волны пластической нагрузки будет

дР = _ дР grad F

| grad Г | dt П dt | grad F | *

разделяющая эти области, носит название пластической волны. Когда же эти области являются областями, в которых существует упругое состояние (или состояние упругой разгрузки), то поверхность S(t) носит название упругой волны.

Предположим, что в области 2 материальные частицы подвергаются процессам пластической нагрузки. В области 1 в материальных частицах совершается процесс разгрузки (частицы в этой области в прошлом были деформированы пластически). Если поверхность S*^ перемещается в направлении области 2, то она называется волной разгрузки. Вектор скорости волны разгрузки в точках этой поверхности есть

/А о\ Г — 1 dF « — dF grad F

Up— ]gradF| dt dt |gradF|2,

причем, как и прежде, вектор, нормальный к поверхности £*(/), направлен от области 1 к области 2.

В случае упруго/вязкопластической среды определение волны разгрузки то же, что и в случае упругопластической среды, однако другими являются условия для определения фронта этой волны, в чем читатель убедится в следующих пунктах.

Особым случаем волны сильного разрыва является ударная волна. Ударную волну характеризует то, что на ее фронте возникает разрыв тензора напряжений, как и разрыв скорости (т. е. разрыв первых производных перемещения), даже в том случае, когда тензор напряжений изменяется во времени непрерывным образом в месте, от которого эта волна начинает распространяться. Другими словами, образование ударной волны не зависит от разрывности граничных условий; причиной се возникновения являются либо механические свойства (характеристика материала), либо1) геометрия среды. Ударные волны в случае малых деформаций могут возникнуть в упругопластических либо в нелинейно упругих средах. Ударные волны не могут возникнуть в упруго/вязкопластических средах, определяющие уравнения которых были приведены в гл. I.

Часто в американской, а иногда и в польской литературе говорят о волне сильного разрыва, употребляя термин «shock wave» (ударная волна). В настоящем изложении эти понятия будут четко различаться.

Определение волн Римана будет дано в гл. III, п. 10, а определение простых волн в случае плоскодсформированного состояния будет дано в гл. V, п. 22.

Условия динамической и кинематической непрерывности на фронтах разрывов

Условие динамической непрерывности

Определим условия динамической непрерывности на фронтах разрывов. Обозначим через £*(/) поверхность, разделяющую область V на две части Vi и V2 (рис. 19). Пусть Si и S2— части поверхности S, ограничивающие соответственно области Vi и V2. Через G обозначена нормальная скорость перемещения поверхности S*(t) в направлении объема V2. Так как изменение объема V связано только с движением частиц среды, то нормальная скорость vn точек поверхности S равна у^1- В частном же случае, когда деформация области V определена только жестким движением частиц, v^1 = G.

Для деформируемой среды справедливо следующее равенство [37] или [71]:

4 р (х, t) dV = J ^ dV + $ Gf dS’

VVs

где f(x,t)—непрерывная и дифференцируемая функция координат х1 и времени t, G— скорость движения поверхности S в направлении ее внешней нормали относительно принятой системы координат.

Используя формулу (7.1), для областей 1 и 2 (рис. 19) можно написать следующие соотношения [132]:

4i\Ux, tW=\%dV A-^n^-V^GdS, (7 2) V‘K'S1 S*

4Ь(х, t^dV = \%-dV -v\fvndS-[fGdS.

V2Vss2s*

Областью интегрирования S* является часть поверхности S, расположенная в области V.

Рассмотрим случай волн сильных разрывов, а именно случай, когда функция f(x, t) имеет разрыв на поверхности S*(t). Обозначая индексами 1 и 2 значения функции f (х, /) соответственно со стороны областей 1 и 2, из формул (7.2) получим следующее соотношение:

А\^х, MV = \%dVA-\b>ndS-Y^x-^GdS.

VVss*

Л(х, 0 = ?,^, О, /г(^ 0 = р2(^> оЛ(х, 0 = ?,^, О, /г(^ 0 = р2(^> оВозьмем в качестве функции f(x,t) плотность среды р(х,/), или (7.4)

Л(х, 0 = ?,^, О, /г(^ 0 = р2(^> о

Л(х, 0 = ?,^, О, /г(^ 0 = р2(^> о

Используя принцип сохранения массы (5.6) и предполагая, что масса в процессе деформации остается неизменной, т. е.

(7.5)(7.5)АС dt J vАС dt J vPdV = 0,PdV = 0,

(7.5)

(7.5)

АС dt J v

АС dt J v

PdV = 0,

PdV = 0,

получаем из (7.3) выражение

№dV -v\pyndS-v\pyttdS-V UP1-P2)GdS = 0.

Vs,s2s*

Совершим теперь в (7.6) предельный переход при V —>0 для фиксированного момента / так, чтобы объем V перешел в пределе в часть So поверхности S*. Тогда получим

° — $ Р101" dS + ^ Р2У2П dS + $ (Pi ~ P2)G ^S = 0,

s*

где Win и y2n— скорости частиц, нормальные к поверхности SJ, соответственно со стороны областей 1^2.

Таким образом, в силу произвольности размера области интегрирования Sg, из (7.7) получим следующее условие:

Р1(Ущ — С) = Р2(У2й — G\

В случае когда поверхность S*(t) перемещается в обратном направлении, т. е. в направлении области /, условие (7.8) примет вид

(7.8Z)pi (uirt + G) = р2 (v2u + G\

Положим теперь в формуле (7.3)

f, (х, /) = Р1уи, f2(x, Й = рйу1Ь 1=1,2, 3;

тогда получим выражение

4t\^yidV = \4г (pv;) dV + ( ру„уг dS +

VVSx

+ ^ рипУ( dS + ^ (P1yu — P2y2i) G dS.

s2s*

Пользуясь принципом сохранения количества движения (5.1) в случае отсутствия внешних массовых сил (т. е. когда Х^О):

-^ $ Ру,- dV = ^ti dS,

Vs

левую часть равенства (7.10) можно заменить интегралом по поверхности S от вектора напряжения /^ = о^из; следовательно..

приобретает вид

$ аИп’ dS = ^—^pv^dV + $ py^idS +

SVSx

+ 5 Pynyi dS + (Р1У“ ~ P2y2i) 0 dS. S23*

Выполняя аналогичный предельный переход при V ->0, как и прежде, получаем

^(o2ij — °u^ii'1dS = — ^PiVi^indS + $0so

+ 5 P2y2Zy2« dS + ^ (p^n — p2y2Z) G dS, Sosj

где ah-/, a2;/ — составляющие тензора напряжений соответственно со стороны 1 и 2 поверхности SJ. В силу произвольности размера области Sq соотношение (7.13) примет вид

(о2</ — Olij) п1 = Р1УН (УЩ — G) + P2y2i (у2п — G),

и с помощью (7.8) получаем

(a2Z/ — <ти/) ns = pi (yu — G) (y2Z — oH).

Вводя обозначения [ctz/], [yz] для величин скачка напряжения и скорости при переходе через поверхность S*^

faj =С2Ц — <?1Ц. M = V2i —уп,

из (7.15) получаем

№' = Pi(yu-G)[yz].

Это условие носит название условия динамической непрерывности. Если поверхность S*(/) будет перемещаться в сторону области 1, то условие динамической непрерывности примет вид

(7-17')[a//l = Pi (yu + G) [yz].

Ввиду того что скорость У1П мала по сравнению со скоростью фронта волны, условие динамической непрерывности приводится к виду

kz/] ^ = — PiG [уг].

Условие кинематической непрерывности

Перейдем теперь к определению условия кинематической непрерывности. Снова рассмотрим два положения поверхности разрыва: S*(Q и S*(/ + A/) (рис. 18). Предположим, что

ц(хг", Q— непрерывная и дифференцируемая функция переменных хг и t по обе стороны движущейся поверхности S*(t). Индексами 1 и 2 обозначим значения функции и(х®, <) соответственно на сторонах 1 и 2 поверхности S*(t). Через Д(ы2— «1) обозначим разность значений и^— Uj в точках Р' и Р (рис. 18), тогда

,71т Д(«2-“1) _ ДМ _ G4J251z^^^^“i~“i

д/ д/ •

где штрихами обозначены значения в точке Р'.

Выполняя в (7.19) предельный переход при Д/^0, получаем

7б [«] _ би2 их _ г би 1

v-2U)а/ — 6t ы ™Lдd,

где символом 6 обозначены производные по времени величин \и\, и2 и U\.

По обе стороны поверхности £*(/) имеют место два следующих приближенных равенства:

(7.21)(7.21)

(7.21)

(7.21)

Выполняя предельный переход при А/~>0 и учитывая при этом соотношение

dV v kxl р As i ~ i

= lim -тг = пт -ту- п = ип ,Ы->0 А/ Д/->0 А/

при получении которого использовалось определение (6.1) нормальной скорости G распространения поверхности S*(0, по

лучим(7.22)лучим(7.22)

лучим

(7.22)

лучим

(7.22)

Вычитая соответствующие части уравнений и используя (7.20), получаем условие

Г—l = -G/zz[-^-l + -4^,

х 'LdU LdxzJ

которое носит название условия кинематической непрерывности первого порядка для функции м(х’, t).

Если функция и непрерывна при переходе через поверхность S*(0, т0 М = 0 и условие (7.23) сводится к виду

(7.24)(7.24)

(7.24)

(7.24)

Если фронт S*(/) перемещается в направлении, противоположном направлению нормали, отвечающем направлению 2-^1, условие кинематической непрерывности (7.24) примет вид

(7.25)

В том случае, когда функция u(xi,t) означает перемещение точек среды, из (7.24) получим

[=,] = - С«' [„, ,] = - О»‘ [И(Л „ + «„, „].

ИЛИ

[и,] = — Gnl [е,, + со,/], где

Уi==-дi", еЧ = иХМУ

Если движение происходит без вращения, то coij = 0; следовательно, условие кинематической непрерывности примет вид

Пластические волны в трехмерной изотропной среде

Исследуем теперь движение поверхности разрыва в упругопластической изотропной среде, используя при этом условия непрерывности Адамара [37], см. п. 7.

Предположим, что среда не проявляет эффектов вязкости. В упругопластической’ среде в зависимости от ее состояния (упругое, пластическое) по обе стороны поверхности могут иметь место четыре типа перемещающихся относительно среды поверхностей разрыва. Это упругие волны, пластические волны, волны (фронты) пластической нагрузки и волны (фронты) разгрузки.

Следует заметить, что в случае пластической среды, проявляющей эффект вязкости, пропадает смысл определения пластических волн (вязкопластических волн). Соответствующий этим волнам разрыв заменяется в зависимости от степени вязкости среды более или менее быстрым переносом частиц. Разрыв в упруго/вязкопластической среде распространяется со скоростью упругих волн.

Рассмотрим упругопластическую изотропную среду. Соотношения, определяющие изотропное упрочнение материала, представлены формулами (2.30).

Пластические волны

Будем предполагать, что волна распространяется в пластической среде. Обозначим через д^ и д^ две различные скорости изменения напряжений перед и за фронтом волны соответственно (рис. 19). Предположим, что перед и за фронтом волны имеет место состояние пластической нагрузки, т. е. Fkl6$ > 0 и Рк1о^ > 0- Скачок скорости деформации и скорости изменения напряжения на волне определяется как

(8-1) toWg’-^, to,Л=^-<

На основании уравнений (2.30) имеем следующие соотношения:

(8.2) где

[®zj ^цм [оы]. [^i/] h-tikt [®Л>

(8.3)

^ijki = Hi}kl + hFijFkt, .-iУГцРм

ПчМ HliMMh^^FmnFtnn1

Напомним, что тензор hqkt обладает следующими свойствами:h-Hki — ^кщ, hiikt = hilkb hqkt = hqtk,

при этом тензоры hqki, hqki положительно определены.

Условие кинематической непрерывности (7.24) в случае, когда функция и^х\ t) представляет тензор напряжений oq, принимает вид

[a./l^-G^Ioz/.d;

в случае, когда и(х‘, /) = ог, имеем

И = —G^z./L

Подставляя соотношение (8.2)2 в (8.4), используя (8.5) и соотношение гц = у (Vij + vit z) и учитывая симметрию тензора Ьцы относительно индексов к и /, получим

(8-6)[стz/ J = -^г^lh..klnl [й^].

Согласно уравнению движения (5.5) при Х< = 0, на фронте пластической волны получаем соотношение

V^u. J = p[^J.

Учитывая (8.7), вместо (8.6) получаем

Р<? [»,] -Ч? [М.

причем

h^ = ^thijk^r

Следует заметить, что pG2 и [t)j] соответственно суть собственное значение и собственный вектор тензора И$. В силу свойств тензора hqki можно утверждать, что тензор Л/д симметричен и положительно определен.

Соотношение (8.8) позволяет сделать следующий вывод: для каждого направления гц существуют три скорости распространения пластических волн ускорения. Характеристические (собственные) векторы [vj], соответствующие этим скоростям, взаимно ортогональны. В случае когда направление разрыва [t)j] ортогонально поверхности разрыва, такие волны назовем продольными; когда же оно касательно к этой поверхности, волны назовем поперечными.

Следуя далее [147—149], определим область значений скорости пластических волн. Представим тензор h$U входящий в (8.8), в следующем виде:

h^ = Alk - ra}ak,

где

у = -^ + 2y.FrsFrS) ai = 2y.njF.p А1к = п.Н.}к1Пр

Величина г положительна, так как v-FTSFTS — плотность потенциальной упругой энергии, соответствующей деформациям

Ьгз — 1 13*

Выберем направления главных осей матрицы А так, чтобы три се главных значения удовлетворяли неравенствам Ах ^ ^ Аг ^ А3. Главные значения матрицы Ь(р) являются корнями уравнения для X:

F (X) = det (/?% - Х6М) = 0,

где Х = р62. Раскрывая определитель, имеем

F(X) = (A1-^)(A2-X)(A3-^)-

-гМ(А-^)(А-^) + ^(А-^)И1-^ +

+ a|(^-^(^-X)]-0. Так как г > 0, имеем

F^XO, F(A2)>0, F(A3)<0, F<-oo)>0.

Следовательно, существуют три вещественных корня уравнения (8.13). Отсюда можно сделать следующий вывод: для каждого направления нормали гц скорости пластических волн G(P)i ^ ^ G(P)2 ^ G(p)3 разделены соответствующими скоростями упругих волн Gi ^ G2 ^ G3 (в крайнем случае равны им), так что (8.15)G(p)3<G3<Gp(2) ^Go^G^n <0^

Может случиться, что некоторые из скоростей пластических волн равны одной из скоростей упругих волн. Если некоторое а,, например aN> равно нулю, то X = AN будет корнем уравнения (8.13) и тогда GmN = GN.

Раскроем систему уравнений (8.8). Получим

(А - rai - Р°2) IA] - га1а2 [А] ~ га1аз [А] = °’ (8.16) - га,^ [у,] + (Л2 - га2 - pG2) [у2] - га2а3 [у3] = О, - Га1“з [А] * ГО2аЗ [А] + (А * ГО3 ~ Рб2) [А] = °' Рассмотрим случай pG2 = Л2, т. е. случай, когда скорость распространения пластической волны G^ равна соответствующей скорости упругой волны G2. Из уравнения (8.16)2 получим (8.17)га/[й/]=0

при условии, что а2^0. Если а2 = 0, из уравнений (8.16) получим [у1] = [у2]=0 и соотношение (8.17) по-прежнему удовлетворяется.

Обозначим через Т скорость пластической нагрузки 4r=FliQtj. На основании (2.30) и (2.31) скачок Т на пластической волне можно представить в виде

ЧиРн/И, ^8-18)= 1/й + 2viFmnFmn ^‘^‘

Учитывая, что [ё,-,] = [у< j], и используя условие (8.5), а также соотношение (8.11)2, имеем

-(1+2ц1 Vm„)G[W]==aHA].

На основании (8.17) находим

№ = ,, , оТЧ^/мг- = 0,

''(1 + ^PmnPmnl^) О2

т. е. скачок скорости пластической нагрузки равен нулю. Иными словами, разрыв не изменяет скорости нагрузки, что объясняется тем, что он распространяется как упругая волна. Поэтому мы будем говорить, что имеем дело с «нейтральной волной». В случае упругопластической изотропной среды всегда

имеется одна нейтральная волна, поскольку два собственных значения матрицы совпадают (Л2 = Л3 = рО^з = ц).

Пластические волны, распространяющиеся с разными скоростями G^\ и G^ (С^)1 = (Я, + 2р,)/р, 0^2 = ц/р), называются соответственно быстрыми и медленными.

Предположим, что в некоторой точке поверхности волны нормаль к этой поверхности совпадает с направлением Охх (щ — Ьи), а ось Ох2 параллельна проекции вектора FiX на плоскость, касательную к поверхности волны. Тогда Рхг = 0.

Подставляя (8.11) в уравнения (8.16) и учитывая, что скорости продольных и поперечных волн определяются как Л1 = X + 2р, Л2 = Л3 = р, получаем

(X + 2Ц - Х^ - pG2) [6J - xF„F12 [V2] - о,

- xFHF22 [uj + (ц - xF^ - pG2) [»2] = °>

(ц — pG2) [y3] = 0, где

= Mh + 2^FrsFrs '

Легко видеть, что в (8.21) собственный вектор, отвечающий собственному значению pG(p)2 = p-, есть

[uj = [й2] = 0, [у3]0.

Следовательно, нейтральная волна является одновременно поперечной волной (за исключением случая, когда F12 = 0, который будет рассмотрен ниже). Остальные же две скорости распространения волн, т. е. скорости распространения быстрых и медленных волн [см. систему уравнений (8.21)], являются кор» нями уравнения

G (S) = (Л + 2.Ц - xFn -S)^- xF^2 - S) - x2FnF^ =

^(Х + 2ц-$)(ц-5)-

- X [Я1 (Ц - S) + E*^ (X + 2ц - S)] = 0.

Можно показать, что корни уравнения (8.24) удовлетворяют неравенствам [147, 148]:

рС^р)з Ц pG2P)i X + 2ц.

Умножая (8.21)1 на Fi2 и (8-21)2 на FH и вычитая второе из первого, получаем

F12 (X + 2ц - pG2) [бВ - Fn (ц - pG2) [v2] = 0.

Обозначим через ф угол между вектором [vj и нормалью к волне. Из уравнения (8.26) получаем

/о 27\ter m =

^‘2I’tg(p ^(p-pG)2

Учитывая неравенство (8.25), можно установить, что направление скачка [о,], определенное формулой (8.27), лежит между направлением нормали к волне и направлением оси Ох^. Имеем два случая: угол ф равен нулю (когда Fx2 = 0) или л/2 (когда F\\ = 0). Эти случаи необходимо рассмотреть отдельно.

Случай 1. р12 = 0. Подставляя это условие в уравнение (8.24), получаем выражение для скорости распространения волн. Уравнение (8.24) имеет следующие корни:

S = p и S = X4-2g-%FL

Корень S = р соответствует поперечной нейтральной волне, для которой [uz] имеет произвольное направление в касательной плоскости. Для другого корня S = X + 2p —х^п имеем [и2] = = Мз] = 0- Быстрые волны являются продольными волнами при Х^п < ^ + И или же поперечными нейтральными волнами при Х^п > ^ + Н- Медленные волны являются поперечными нейтральными волнами при х^нСА + ц или продольными при Х^н > ^ + р.

В случае одномерных продольных волн в полупространстве и одномерных сферических волн имеют место соотношения

Р^ = Рзз= 2~ ^и и ^з =^12=^2з= 0’ откуда

4p2F?,4р М

pG2 = ^ + 2p—=—,

IM + Зц^3 Л4+ 3р

где

/< = Х + ^-, М = —

3hF2u

Величина М является модулем упрочнения (это есть отношение приращения напряжения к приращению пластической деформации) в случае простого растяжения или сдвига. При М -> оо получим упругое тело. Имеем pG2 = К + 4ц/3, т. е. получим скорость распространения продольных упругих волн. Если же М = 0, то тело идеально пластическое. В этом случае получим скорость продольных волн в жидкости, равную С = -^К^.

Случай 2. Гц = 0. Из уравнения (8.24) при F\x = 0 получим выражение для скорости быстрых волн в виде:О(Р)1 = = V(^ + 2ц)/р , т. е. эти волны распространяются со скоростью упругих продольных волн. Собственный вектор, отвечающий этой скорости, на основании уравнений (8.21) имеет следующие значения: [vi] ^= 0, [62] = [бз] = 0. В этом случае быстрые волны являются продольными нейтральными волнами.

Аналогично для скорости медленных волн при Ри = 0 получим из (8.24) выражение

(8.31)(8.31)pG?P)3 — Ц — Х^п-

(8.31)

(8.31)

Собственный вектор, отвечающий собственному значению (8.31), на основании (8.21) имеет значения: [6i] = [63] = 0 и [бз] =/= 0. В этом случае медленные волны являются поперечными волнами.

Полагая Рц = Р^ = Рзз = 0 и Fti = Р2Э = 0, получаем

(8.32)где(8.33)(8.32)где(8.33)4НН ри2 = 11т-1/Л + 4р,Г^24НН ри2 = 11т-1/Л + 4р,Г^2м'Ц ц + М' ’м'Ц ц + М' ’М' = 1/(4/г^2)М' = 1/(4/г^2)

(8.32)

где

(8.33)

(8.32)

где

(8.33)

4НН ри2 = 11т-

1/Л + 4р,Г^2

4НН ри2 = 11т-

1/Л + 4р,Г^2

м'

Ц ц + М' ’

м'

Ц ц + М' ’

М' = 1/(4/г^2)

М' = 1/(4/г^2)

— модуль упрочнения в случае простого сдвига.

Анализируя (8.32), можно установить, что при М'->оо (это случай упругого тела) скорость поперечных упругих волн равна 0 = ^^)^, при ЛГ = 0 (случай идеально пластического тела) скорость распространения волн равна нулю, так же как и в случае жидкости, где поперечные разрывы не распространяются.

Волны пластической разгрузки

Рассмотрим теперь подробно задачу о распространении фронтов пластической разгрузки. Положим, что материальные частицы перед приходом фронта разгрузки находятся в пластическом состоянии (область 1 на рис. 19). После прохождения фронта (область 2 на рис. 19) материальные частицы подвергаются упругим деформациям. Из первого уравнения (2.31) получаем соответственно

для области 1 (пластическое состояние):

в™ = Hijk[d№ + hF^F^,

для области 2 (упругое состояние):

^ = н№"«-

На фронте волны разгрузки скачок тензора скоростей деформаций выражается в виде

[6„] =- е(П = Н№ [6,,] - №„6ЩЕМ.

Введем, как и раньше, обозначения для скорости нагружения на фронте волны разгрузки:

Можно показать, что на фронте разгрузки ТО ^ 0. Кроме того, обозначим через

W = Fkla®<0

неположительную скорость нагружения за фронтом разгрузки. Скачок скорости нагружения при переходе через фронт разгрузки равен:

[Т] = Ч^2> - ТО = Fkl [od-

Введем, кроме того, обозначение: Т2/Т* = V ^ 0. Уравнение (8.36) можно представить в виде

IM AW [dwL

причем теперь

кцы = Hijkl + ft у-А-г FijFki.

Сравнивая (8.41) с соотношением (8.3) ь можно установить, что тензоры hijhi отличаются только множителем 1/(1 — v') > 0. Учитывая эту аналогию, на основании зависимостей (8.8) и (8.10) можно утверждать, что pG?pa3rp) i (/=1,2,3) являются собственными значениями тензора

причем at определены так же, как раньше, а именно формулой (8.11)2=,

77 — -Цр- + 2p,FrsFrs, где 0 < / < г.

Тензоры /i/pa3rp) и й/^ имеют одинаковые свойства. Как и в случае пластических волн, можно сделать вывод, что для каждого направления нормали rtt существуют три скорости распространения ВОЛНЫ разгрузки, причем (7(разгр)1 ^ О(разгр)2 ^ С(РазгР)3‘ Эти скорости будут функциями отношения V. Кроме того, соб-* ственные векторы, отвечающие этим значениям, должны быть взаимно ортогональны.

Поступая точно так же, как и в случае пластических волн, напишем уравнения, аналогичные (8.13). Тогда

FW^-X^-XMA-X)-

-r'l^-Xy^-X^a^^

+ «XA-X)(A2-X)] = 0.

Отсюда получим следующие соотношения (помня, что г'^0):

F^XO, F'^>0, Р'ЖО.

Умножая уравнение (8.43) на г, (8.13) на г' и вычитая второе из первого, получаем

rF' (X) - r'F (X) - (г - г') (А, - X) (Л2 - X) (А3 - X).

Учитывая (8.15), видим, что Л< имеют нижнюю грань О^з, и так как г — г'^0, получаем следующие неравенства:

F (р^ри) = ^Л(А- рС(Р)1)(Л2 — рО^Х-Аз — pG(p)3)^0,

,, , .,, , .

7F (PG?p)2)<0, f4pG^>0.

Анализируя неравенства (8.46), можно сделать вывод, что скорости волн разгрузки G(pa3rp) должны удовлетворять следующим неравенствам:

G(p); 5$ Gpaarp ; ^ Gt (I — 1, 2, 3).

Следует заметить, что если v'-*oo, то /->0 и h%a3rp) -^- Ajb что означает, что волна разгрузки распространяется со скоростью упругой волны. Этот случай может иметь место, когда V® ^ 0 и VP) = 0. Когда же Тб) = Т^ = 0, определяющие уравнения совпадают с уравнениями упругости. Тогда волна разгрузки также распространяется со скоростью упругих волн. Если V = 0, волна разгрузки распространяется всегда со скоростью пластических волн.

Волны пластического нагружения

Перейдем теперь к определению скорости распространения фронта пластического нагружения. Полагаем, что перед приходом этого фронта материальные частицы находятся в упругом состоянии (область 1 на рис. 19), а после прохождения фронта они переходят в пластическое состояние (область 2 на рис. 19). Следовательно, имеем соотношения:

для области 1 (упругое состояние):

6)? - Н„„6»>-,

для области 2 (пластическое состояние):

^ = HllhM + hF„^F„.

Полагая, как раньше, V® = Fkta^, получаем выражение для скачка еИ на фронте волны пластического нагружения в виде

1Ч = НММЫ-НЧ^РИ.

Следует заметить, что теперь для скорости пластического нагружения перед и за фронтом волны пластического нагружения: ТС» > О, W 0 и V = W/W > о.

Выражение (8.49) можно представить в виде

где,

Собственные значения тензора

h^ = Дм - г"^

(где теперь l/r" = (v' — l)/(v7i) + 2[iFrsFrs) представляют собой скорости G(Harp)Z волны нагрузки. В рассматриваемом случае тензор h^k^ принципиально отличается от тензора h%a3rp\ определенного формулой (8.42). Для некоторых значений v'^0 тензор h^T^ не является положительно определенным. Это имеет место, когда

ve<v'<l, где va =-|/( j + 2gFrsFrS).

Если V > 1, то тензор hqkt положительно определен: следовательно. и тензор h^k^ будет положительно определенным. Определенность тензора Л/Ггр) для O^v' < va следует непосредственно из (8.52), так как для этих значений V значение г" неотрицательно.

Повторяя процедуру п. 8.2 для волны разгрузки, заменяя при этом тг на г", можно сделать четыре следующих вывода для скорости распространения волны пластического нагружения в изотропной упругопластической среде:

одна из возможных скоростей волны нагружения равна скорости поперечных упругих волн;

возможны скорости, находящиеся вне пределов скоростей пластических и упругих волн;

возможно, что одна из скоростей равна нулю;

возможен случай, когда одна из скоростей больше скорости наибыстрейшей упругой волны и даже может быть бесконечно большой; этот последний случай может иметь место, на-

пример, при отражении волн в стержне, когда пластическая волна, распространяющаяся вдоль стержня, отражается от жестко закрепленного конца (см. п. 12).

Общая теория распространения пластических волн в произвольной (анизотропной) среде дана в работах [147—149]. В этих работах учитывается также влияние температуры. В работе [147] исследован случай разрыва порядка, большего 2, и рассмотрен случай ударных волн.

9. Математические методы, применяемые в задачах о распространении пластических волн

Многие волновые задачи для упругопластических или упру- го/вязкопластических сред сводятся к решению граничных задач для системы уравнений с частными производными первого порядка гиперболического типа. Ввиду того что в большинстве задач, решаемых в этой книге, движение среды описывается с помощью одной пространственной переменной и переменной времени, ограничимся системами с двумя независимыми переменными [24].

Системы квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка с двумя независимыми переменными х и t

Уравнения с частными производными первого порядка для функций «1, ..., ии имеют следующий общий вид:

Fi (W}t X) • • •» ^п» х> ^1, b • • • > ^п, Ъ ^Ь • • • > ^ni ^> 09

(/=1, 2, ку

Эта система определённа при п = к. Введя векторные величины

U = \U\> . •., Un}> V х {^1, Xi • • • > ^п, x}> U,/{^1, h • • • > ^п, /},

систему уравнений (9.1) можно представить в виде

Ft(u,X) u, h и, х, /) = 0 (Z= 1, ..., п\

Функции и^ = и^х, t), обладающие непрерывными производными и удовлетворяющие системе уравнений (9.3), называются решениями этой системы.

В случае когда функции Ft линейны относительно величин и,х, и, ь система дифференциальных уравнений (9.3) называется системой квазилинейных уравнений. Когда функции Ft линейны относительно совокупности переменных и х, и/, и, эта система называется системой линейных уравнений.

Систему квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка можно записать в виде

L/[u] = £ (а^.я + ^и^ + с,^ (/=!,...,«),

где коэффициенты а^ Ьц, Cj — функции переменных х, /, и. Когда коэффициенты aij, Ь^ не зависят от и, система уравнений (9.4) называется почти линейной системой. Когда Cj зависят от и линейно, такая система называется линейной системой. Когда коэффициенты Cj равны нулю, система называется однородной.

Систему уравнений (9.4) можно представить также в матричной форме, вводя векторы, определенные в (9.2), вектор с = {сь ..., сп} и матрицы А и В, элементы которых суть коэффициенты а^ и bij соответственно:

[

^11 • • • ^1п 1Г ^11 • • • ^1п

, В=

^nl • • • ^пп^nl • • • ^пп

\ibi, чтобы не писать знак двусмысленности:\ibi, чтобы не писать знак двусмысленности:Для 2 atbi примем обозначение суммы в случаях, не приводящих

\ibi, чтобы не писать знак двусмысленности:

\ibi, чтобы не писать знак двусмысленности:

L [и] = Аи, х + Ви , + с = 0.

Характеристические кривые и уравнения характеристик

Систему уравнений (9.4) можно разрешить относительно производных Ui, х в некоторой точке координатной плоскости (х0, ^о) тогда и только тогда, когда в точке (х0, f0) матрица коэффициентов ata неособая. Если матрица А = [а^] в точке (х0, ^о) особая, то линия х = х0 называется характеристической в точке (х0, /о); в противном случае эта линия называется нехарактеристической [24].

Путем введения новых независимых переменных ^ и т] вместо переменных х и t задачу Коши с начальными данными на произвольной аналитической кривой С, представленной уравнением вида ^(х,/) = 0 и являющейся одной из кривых семейства £(х, /) = const, можно свести к случаю, когда начальное множество представляет собой ось координат. Система уравнений (9.4) в координатах § и т) будет иметь следующий вид:

(9-7) Lj [и] = ^ [(^/§,л + b^.t) Ui^ + (^jT)^ + bij^.^Ui^ 4-^ = 0.

Кривая С называется характеристической в точке (х0, fo), если прямая £ = &> является характеристической для преобразованной системы (9.7) в соответствующей точке (^, Ло)-

Определим теперь характеристики системы уравнений (9.4). Предположим, что в рассматриваемой области одна из матриц (9.5), например матрица В, неособая, т. е. что |&ij|¥=0. Кроме того, предполагается, что коэффициенты системы (9.4) дифференцируемы.

Рассмотрим уравнения (9.4) и поставим задачу Коши: на произвольной кривой С с уравнением ф(х, /)=0 (причем Ф^ + ф^ ^0) заданы начальные значения вектора и; определим первые производные их на С таким образом, чтобы в некоторой области удовлетворялось уравнение (9.4) Л [и] = 0.

Следует прежде всего заметить, что на кривой С известна внутренняя производная u^,x — их,Ф,/. На кривой С имеет место соотношение между и < и и х вида (9.8)u., = -au., + -§-.

где а = —ф,//ф,х-

Подставляя (9.8) в (9.4), получаем на кривой С

ЬДи1 = (аИ — аЬИ\и1>х + Ьмим(/ = 1,n),

т. е. систему уравнений относительно п производных.

Необходимым и достаточным условием однозначного определения всех первых производных на С есть условие

Q = | A~aB|#=0,

где Q называется характеристическим определителем системы уравнений (9.4).

Если Q ^ 0 на кривых ф(х,/) = const, то эти кривые нехарактеристические. Любую такую кривую можно дополнить до «полосы», в которой справедливы уравнения (9.4).

Если а(х, t) — вещественное решение алгебраического уравнения Q = 0 n-го порядка относительно а, то кривые С, определенные обыкновенным дифференциальным уравнением

являются характеристическими кривыми.

Если уравнение Q = 0 не имеет вещественных корней а, то все кривые нехарактеристические; следовательно, всегда возможно локальное продолжение в рассматриваемую область начальных данных. Система уравнений в этом случае называется эллиптической. Если уравнение Q = 0 имеет п вещественных корней, причем все корни различны, система уравнений называется вполне гиперболической.

Если а — вещественный корень уравнения Q = О, на кривой С можно решить следующую систему уравнений относительно вектора 1 = {/1, ..., /п}. Вектор I есть решение уравнения

1(А —аВ) = 0.

В этом случае линейную комбинацию уравнений (9.4) I5L5 [и] можно записать в виде

IjLi [и] = ЦЬц (U[t / “J“ ctu^ ^ 4" IjCj ^ 0,

или в матричной форме

IL [u] = IB (u, t + au J + Ic = 0.

Обозначим через

duildt = uut-V auit x

производную функции щ(х, t) по переменной t в направлении a = dx!dt\ отсюда видно, что уравнения (9.13) или (9.14) содержат линейные комбинации производных duddt.

Уравнение

a = dx[dt

в общем случае определяет для всех функций и^х,!) направление дифференцирования для уравнения (9.14), которое является характеристическим направлением системы уравнений (9.9).

Итак, вдоль характеристических направлений (9.16) системы уравнений (9.9) имеем следующие соотношения:

1L[u]=Ib(^-) + 1c = 0.

Эти уравнения представляют собой соотношения вдоль характеристик. Вектор 1 = {/i, ..., /п) определяется из уравнения (9.12). Таким образом, в случае системы гиперболического типа, т. е. когда существует п семейств характеристических кривых, систему уравнений (9.4) можно заменить эквивалентной системой уравнений (9.17), в которой каждое уравнение содержит дифференцирование только в направлении одной характеристики.

Все приведенные здесь рассуждения можно непосредственно распространить на случай уравнений первого порядка с п независимыми переменными (см. [24]).

Рассмотрим теперь случай системы двух уравнений с частными производными первого порядка относительно независимых переменных х и t. Рассмотрим, следовательно, систему уравнений

L [и] = Аи х + Ви , + с — 0,

где

и = (иь м2}, с — (с,, с2},

[

Пц ^21 1Г ^11 ^21 1

, В= ...

#12 #22 JL #12 #22 J

Характеристические направления, согласно (9.10), определяются из условия [А — аВ[ = 0. Получается алгебраическое уравнение второго порядка для определения а, корни которого суть__

/л ПЛ\„ ^12^21 + ^21^12 — ^11^22 — #11^22 + V^

аь 2 -2(6и6и-612621)’

где

А = (#12^21 + #21^12^11^22 — ^П^)24 (6ц&22 — ^12^21) (^11#22 — #12^21)

Система уравнений (9.18) является

системой гиперболического типа, если А > 0, системой параболического типа, если А = 0, системой эллиптического типа, если А < 0.

Дифференциальные уравнения характеристик имеют следующий вид:

йх = аХлй1.

Из (9.17) получим соотношения вдоль характеристических направлений а1>2 в виде

(9.2 2) (/16ц 4* /2^12) d#i 4* (/1621 4“ /2 6 22) ^2 4" (/i#i 4* /2^2) ^/ = 0,

причем вектор 1 = {/ц/2} определяется из уравнений (9.12).

В случае распространения упруго/вязкопластических волн (для определяющих уравнений типа (3.27)), когда движение рассматриваемой среды зависит только от одной пространственной переменной х, уравнения задачи имеют форму (9.6) и являются уравнениями почти линейного типа (т. е. компоненты матриц А и В являются функциями только х и /). Легко заметить, что вектор с (нелинейный относительно и) не влияет на скорость распространения волн. Отсюда можно сделать вывод, что скорости вязкопластических волн равны скоростям упругих волн.

9,3 Граничные задачи для квазилинейных гиперболических систем двух дифференциальных уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными

В общем случае для систем уравнений с частными произ

водными, описывающих волновые задачи для упругопластических и упруго/вязкопластических тел, нельзя определить решение в замкнутом виде. Ввиду этого для нахождения решения применяются приближенные методы [115]. Основой этих методов является аппроксимация производных в дифференциальных

решение полученных си-решение полученных си-Рис. 20.Рис. 20.уравнениях отношениями разностей и стем разностных уравнений вместо дифференциальных систем, и* Разностные методы должны гарантировать сходимость к точному решению дифференциальных уравнений. Необходимым условием сходимости является устойчивость этих методов.

решение полученных си-

решение полученных си-

Рис. 20.

Рис. 20.

(9.23)(9.23)Au, х -р Ви^ = 0.Au, х -р Ви^ = 0.Рассмотрим метод конечных разностей вдоль характеристик. Возьмем систему двух однородных квазилинейных уравнений первого порядка (9.18) при О (с = 0):

(9.23)

(9.23)

Au, х -р Ви^ = 0.

Au, х -р Ви^ = 0.

Предположим, что это гиперболическая система уравнений, т. е. имеется два различных характеристических направления ai,2, определенных формулой (9.20). Когда (9.18) является системой почти линейных уравнений, т. е. u = и(х, /), А = А(х, /), В = В(х,/), с = с(х, t, и), процедура действий будет аналогичной.

Решение конкретных краевых задач строится приближенным методом, который заключается в замене дифференциальных уравнений характеристик в плоскости годографа и на координатной плоскости уравнениями конечных приращений. Следует заметить, что в частных случаях, используя метод характеристик, можно построить точные решения краевых задач.

Рассмотрим решение задачи Коши для уравнения (9.23) в области D координатной плоскости (х, /) (рис. 20), ограниченной нехарактеристической кривой С: / = ф(х), ориентированной

3 Зак. 617

в пространстве, на которой заданы начальные1) условия Ui(x, ф(х)) и иДх.^^х^, и характеристиками, проведенными из точек До и Во- Из точек кривой С можно провести два семейства характеристик — положительных и отрицательных, покрывающих всю область D сеткой характеристик (рис. 20). Заменим дифференциальные уравнения характеристик (9.21) уравнениями в конечных приращениях

пхт = ^Х^Хт» ^2пг» • • Л V ^т) , х

(9-24).. .. (ах > а2),

х хп п2(и^, zz^, ...)(/ t^

а также уравнения (9.22) при ^ = с2 = 0 — уравнениями в ко

нечных приращениях

(9.25) где(9.25) где^1^1т Л (^1т> ^гп) • • •) (^2^2т)>

(9.25) где

(9.25) где

Ml UXn Т] ^UXni И2п, . . .) (zz2 Z^^),

Т) (zzb zz2, х, 0Т) (zzb zz2, х, 0/1^21 + hb22libu + /2^12

Т) (zzb zz2, х, 0

Т) (zzb zz2, х, 0

Если известны значения хт, хп, tm, tn и значения функций иХт, и2т, Щп9 и2п, т. е. значения функций иь и2 в точках тип (рис. 20), то, решая вышеприведенные системы уравнений, найдем значения х, t, Ui, и2 в точке ц соответствующей точке пересечения характеристик, выходящих из точек тип. Таким образом, строя решение в отдельных рядах (&= 1, 2, ...), начиная от кривой С, получим решение во всей области D.

Рассмотрим решение задачи Пикара для однородной системы квазилинейных уравнений (9.23) в области D (рис. 21), ограниченной на координатной плоскости (к, Г) характеристической кривой Ci: / = ф1(х), на которой заданы значения функций Ui(x, ф1(х)), ^2(х,ф1(х)), и кривой С2: х = ф2(^), ориентированной во времени, на которой задана функция и2(ф2 (/),/). Решение строится с помощью уравнений (9.24) и (9.25). Так как известны значениях^, 1Пх, иХПх, и2Пх и и2т, из вторых уравнений (9.24) и (9.25)

х — хПх = а2(иХПх) и2Пх) ...)У — ^), (9-26),w х

их — иХПх = т] (иХПх, и2Пх, ...) (м2 ~ и2пд

определяется положение точки т на кривой С5 (из первого уравнения (9.26)) и значение функции Mi в этой точке. Затем,

9 Начальные условия задаются на кривой, ориентированной в пространстве, краевые же условия задаются на кривой, ориентированной во времени. На плоскости (%, /) кривая С, уравнение которой / = Ф(х), ориен тирована во времени в точке (х0, уо) относительно уравнения (9.23), если выполнено условие |ф'(хо)|>« или ф/(х0)=Тоо; кривая С ориентирована в пространстве, если |ф'(х0)|<а.

зная значения xm, хп, tm, tn> щп, и^ и1т, и2т, так же как в случае задачи Коши, с помощью уравнений (9.24) и (9.25) находится решение для точки I. Аналогично находится решение в последующих точках ряда k = 1. В свою очередь, переходя к ряду к = 2, всю процедуру заново повторяют, затем переходят к ряду к = 3 и т. д.

Если кривая С2: t = ф2(х) (рис. 21) также является характеристической кривой, на которой заданы значения функций их (х, ф2(х)), иДх, ф2(х)), то в области D, ограниченной характеристиками Ci и С2, а также характеристиками, проведенными из точки Р, необходимо решать задачу Дарбу для уравнения (9.23). Если же кривая Сх: х = (рис. 21) являются нехарактеристическими кривыми, ориентированными во времени, и на кривой Ci известны значения функций М1(ф1(^)>0> МфгМД), а на кривой С2 — значения функции ^1(ф2(0>0> то в области D необходимо решать задачу Гурса для уравнения (9.23). Область D в этом случае ограничена характеристическими кривыми, проведенными из точки Р и нехарактеристическими кривыми Ci и С2. Решения задач Дарбу и Гурса строятся с помощью соотношений (9.24) и (9.25).

Ввиду того что в общем случае для систем квазилинейных уравнений (9.23) уравнения характеристик зависят от решения и, способ нахождения решения с помощью метода конечных разностей вдоль характеристик довольно сложен.

(9.27)(9.27)Au, х 4" Ви, / 4* с = ОAu, х 4" Ви, / 4* с = ОЧасто применяемым методом решения гиперболической системы двух квазилинейных и почти линейных уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными

(9.27)

(9.27)

Au, х 4" Ви, / 4* с = О

Au, х 4" Ви, / 4* с = О

является итерационный метод Куранта [24]. Этот метод основан на сведении рассматриваемой системы уравнений с частными производными к обыкновенным уравнениям. В этих уравнениях дифференцирование производится только в направлении характеристик. Отыскание решений обыкновенных уравнений проводится методом последовательных приближений. Обзор приближенных методов решения волновых задач для неупругих сред, в которых движение описывается гиперболической системой

уравнений с частными производными первого порядка (почти линейных и квазилинейных), можно найти в работах [115, 98].

В работе [98] сделаны оценки пяти различных методов решения краевых задач для неупругих сред и их эффективности при решении краевых задач. На примере проведенных вычислений для задачи распространения цилиндрической волны сдвига в упруго/вязкопластической среде показано, что результаты, полученные при использовании итерационного метода Куранта, метода непосредственного интегрирования и метода конечных разностей, близки. Максимальное отличие результатов, полученных этими методами, не превышает 3% в рассматриваемом отрезке времени.

В случае системы двух линейных уравнений с частными производными первого порядка с постоянными коэффициентами для двух независимых функций их и w2 эту систему можно свести к одному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами для функции их или w2. Тогда решения краевых задач можно определить в аналитическом виде [24, 62]. В этом случае можно также использовать интегральное преобразование Лапласа (см., например, п. 15). Этот метод, однако, непригоден в некоторых случаях, именно тогда, когда вместе с решением данной системы уравнений необходимо определить границу области, в которой ищется решение, например при определении волны разгрузки для упругопластической среды (с кусочно линейной характеристикой материала).

Численные методы непосредственного интегрирования системы почти линейных дифференциальных уравнений типа (9.18) будут показаны на примере задачи распространения волн в упруго/вязкопластическом стержне в п. 15 и для случая распространения трехмерных волн —в п. 27.

Обобщение представленного в этом пункте метода характеристик на случай системы уравнений с числом независимых переменных, большим двух, будет показано в п. 27 на примере задач распространения плоских двумерных волн напряжений.

Обзор численных методов читатель найдет в работах [209] и [212].

Глава III

ОДНОМЕРНЫЕ ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ

10. Распространение продольной плоской волны нагрузки в однородном полубесконечном упругопластическом стержне

Рассмотрим процесс распространения пластических деформаций в полубесконечном упругопластическом стержне, вызванных приложенной к концу стержня динамической нагруз-

кой р(0, неубывающей во времени решение в лагранжевой системе координат: за ось х возьмем ось стержня, начало координат х = 0 выберем на левом конце стержня. Предположим, что в процессе деформации не происходит бокового выпучивания стержня и что влияние поперечных деформаций стержня на процесс распространения продольных волн пренебрежимо мало. Рассмотрим малые деформации стержня и будем предполагать, что плотность стержня в процессе деформи-

(т. е. dpldt ^ 0). Проведем

О

в

В

5S

Рис. 22.

tga=7&

3 astga0=£T.

£

рования не изменяется. Единственной отличной от нуля составляющей тензора напряжений будет охх = а, отличными от нуля составляющие тензора деформаций будут 8^ = е и ^уу = ^.

В этом случае уравнение движения (5.5) без учета массовых внешних сил приобретает вид

(ЮЛ)

ду да dt ‘ дх *

Принимая определяющие соотношения деформационной теории пластичности в виде (5.5), для одноосного напряженного состояния имеем

(10.2) о = а^.

Примем сперва, что а(е) есть монотонно возрастающая по в функция (рис. 22) и что для всех е производная dofds есть монотонно убывающая функция (т. е. d2ofde? <.0). Если do/ds монотонно возрастает, d2aldz2 > 0, то в стержне возникают

ударные волны; этот случай будет рассмотрен в разд. 13. Для напряжений а ^ os (os — предел текучести) зависимость а(е), согласно закону Гука, линейна:

о = Ее при о^Од»

где Е — модуль упругости.

Из уравнений сплошности (5.21) в случае малых деформаций получим соотношение

дхде до

dt — дх *

Учитывая зависимость 0 = 0(8) при нагружении и вводя обозначение

a2W=L^,

где dalde — тангенс угла наклона касательной к кривой о (е), имеем

де de да1 до

dt ""da dt pa2 (a) dt e

Подставляя соотношение (10.4) в (10.6), получим систему двух уравнений с частными производными первого порядка

ухдо да ди 1 да

* 'Р dt dx ’ дх pa2 (a) dt

для двух функций о(х, 1), а(х, t).

Система уравнений (10.7) эквивалентна уравнению второго порядка для перемещения u(x,t); учитывая, что v — du/dt. е = = duldx, получим

•8)-о2(е)4^=0.

'dt2 х ’ dx2

В этом уравнении а^ есть скорость распространения продольных волн в стержне.

Так как скорость распространения волн в общем случае есть функция напряжения, система уравнений (10.7) является системой квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка гиперболического типа. Определим для нее характеристики и соотношения на характеристиках. Для системы уравнений (10.7) матрицы А и В уравнения (9.18) имеют вид

0 — 1/рП _Г10

1 о ]• В — [о — 1/(ра2(а))

В силу условия (см. гл. I)

характеристические направления выражаются в следующем виде:

а = Та(о).

Поскольку а = dx/dt, характеристики системы уравнений (10.7) определятся путем интегрирования дифференциальных уравнений характеристик:

dx = ^ a^dt.

Эти уравнения в общем случае не удается проинтегрировать в плоскости (х, £) до того, как решена задача, так как а есть функция напряжения о(х, 1).

На характеристиках должны выполняться соотношения (9.17), которым отвечает уравнение

. du,.1 du2 л

11 dt<2 pa2 (ff) di —

Из уравнения (9.12) получаем

/2== ~Р Ц (ст) 11*

Следовательно, вдоль характеристик dx = 4:a(a')dt выполняются соотношения

dv± —\-rda = 0.

v 7pa (a)

Эти соотношения носят название дифференциальных уравнений характеристик в плоскости годографа (о, у). После интегрирования получим

у ~ д^у + СЬ2 ПРИ dx = ^- a^dt. о

Таким образом, используя метод характеристик, можно заменить систему квазилинейных уравнений первого порядка с частными производными эквивалентной ей системой обыкновенных дифференциальных уравнений (10.11) вдоль характеристик.

Рассмотрим теперь простейший случай распространения волн нагружения в однородном полубесконечном стержне, находившемся в начальный момент в невозмущенном состоянии.

Определим решение уравнения (10.8) при заданных начальных условиях (условиях Коши):

и(х, 0) =| =0 при 1 = 0, х>0

и краевом условии

а(0, 0 = —Р(0 (р (0 > 0) ПРИ х = 0, t^0, причем, чтобы обеспечить процесс нагрузки, должно быть рЧП >о.

Начальные условия (10.13) означают, что в начальный момент стержень находится в недеформированном состоянии и состоянии покоя. Удовлетворение начальным условиям (10.13) связано с решением задачи Коши в области / (рис. 23), ограниченной осью х и положительной характеристикой ОА. Проведя из произвольной точки Р(х, t) области / положительную и отрица

тельную характеристики до пересечения с осью х, получим из уравнений (10.12)

бо

е(х, /) = + — (

о,о

где Ci = С2 = 0 в силу начальных условий (10.13). Из (10.15) вытекает, что в области / Цх, /) = о (%, t) = 0 и а = а(0) = aQ> где ад = л/E[v —- скорость распространения упругой продольной волны в стержне. Таким образом, область / ограничена сверху характеристикой ОА, уравнение которой x = a0L Определим теперь решение за фронтом волны х = a^t, за которым уже проявляется действие краевого условия. Вдоль отрицательных характеристик для t > х(а0 имеем соотношение

б

У =Ц ~тЧ + с2,

Р J а (О'])2’

О

а так как эти характеристики берут начало на характеристике х = aot, на которой у = о = 0, то С2 = 0. Далее, используя соотношения на положительных характеристиках, получим

Распространение продольной плоской волны нагрузки 73 вдоль этих характеристик для области 77 у = const, а = const и е = const. Таким образом, вдоль каждой положительной характеристики в области // напряжение а, скорость материальных частиц v и деформация е имеют те же самые значения, что и в начале стержня в момент времени, соответствующий данной характеристике. Ввиду того что скорость распространения волн есть функция напряжения (либо деформации), постоянного вдоль характеристик, положительные характеристики являются прямыми линиями. Их уравнение имеет вид

х = а (о) (/ — /0).

Если, например, сжимающее напряжение на конце стержня в момент /0 достигает значения —р0, то в точке, удаленной на расстояние х от конца стержня, напряжение достигает значения —р^ в момент

На фронте волны х = а^—ро) (^ — ^о) напряжение постоянно и равно —ро. Такие волны называются волнами Римана.

Напряжение на конце стержня, возрастая во времени (рис. 23), достигает в момент t—ts значения о = os, соответствующего пределу текучести. Разделим область // на координатной плоскости на две области IV и 1Г. В области IV имеет место упругое состояние; в ней распространяются волны Римана с постоянными скоростями, равными «о, так как в соответствии с принятой зависимостью сг = а(е) (рис. 22) а^ = л/Е1р при а ^ а8. В области II" скорость волн Римана переменна; она зависит от значения давления на конце стержня х = 0, т. е. от значения давления в момент / = /о, в который волна начинает распространяться. Благодаря принятой зависимости а = о(е) (d2o/ds2 < 0) скорость последующих во времени волн Римана будет убывать. По мере удаления возмущения от конца стержня начальная область напряжения (на конце х = 0) подвергается «размыванию» во времени. Зная значения напряжений, скоростей и деформаций вдоль положительных характеристик (ц = const, v = const, 8 = const вдоль х = a (a) t + const), можно легко определить напряжение, скорость и деформацию в произвольном сечении стержня х в момент L

Рассмотрим некоторые характерные случаи распространения волн нагружения в упругопластическом однородном полубеско- нечном стержне.

Рассмотрим сначала случай распространения волн в первоначально невозмущенном стержне, для которого зависимость о(е) представлена на рис. 22, причем as =£ 0. Пусть на конце х = 0 задано давление р^Г), монотонно возрастающее во вре-

мени 0 ^ t ^ I* до значения р^ (Ро > |as|), а затем при t > t* принимающее постоянное значение, равное р0 (рис. 24). В координатной плоскости решение будет следующим. В силу однородности начальных условий, область / остается невозмущенной. В области // распространяется упругая волна; напряжение в этой области равно сг = —p(t— х!а^. Характеристика х = = a^t— /5) ограничивает область ///, в которой имеет место пластическое состояние (в ней распространяются волны Римана). Наконец, область IV есть также область пластических деформаций; напряжение в ней в силу заданного краевого условия постоянно и равно о = —р0.

Выполняя предельный переход при /*—>0, получаем случай внезапного нагружения конца стержня постоянным давлением ро (Ро > |as|). Область решения представлена на рис. 25. Предельный переход выполним в два этапа, а именно сначала устремим время ts к нулю, что приведет к исчезновению области //; на характеристике х = aot (рис. 25) напряжение будет равно о = Os, т. е. эта волна будет теперь волной сильного разрыва. Затем выполним переход при t*~^ts, что в свою очередь приведет к сужению области /// на рис. 24 до треугольной области, заключенной между характеристиками х = a^t и х = — а{—p^t (рис. 25). Область IV остается, очевидно, без изменения.

Если принять, что в зависимости о (в) (рис. 22) отсутствует предел текучести, т. с. положить os = 0 (такой моделью можно аппроксимировать, например, сухой песчаный грунт), то в случае задачи, представленной на рис. 24, необходимо сделать предельный переход при os-*0. Тогда области II и III сольются в

единую область, в которой волны Римана будут распространяться с переменными скоростями (убывающими с ростом на

пряжения). В случае внезапного нагружения (рис. 25) после предельного перехода при os->0 получим такое же решение, как на рис. 26. В этом случае волна сильного разрыва не воз

никает. С наибольшей скоростью распространяется волна х = at, где а = Vdcfpds |о==0, на которой напряжение равно нулю. За нею распространяются волны с меньшими скоростями.

несущие на своих фронтах все большие напряжения — область //. Наконец, при t^x!a(—р^ распространяются волны с постоянным значением напряжений, равным р0 (область ///). В этом случае давление, внезапно приложенное к концу стержня, во всех остальных сечениях х = const нарастает плавно от нуля до максимального значения ро, причем градиент нарастания убывает по мере удаления от конца х = 0. Это изменение напряжения во времени в сечении х = х0 представлено на рис. 26.

Очень часто принимается некоторая аппроксимация действительного графика о (в), представленного на рис. 22. А именно, криволинейный участок АВ аппроксимируется отрезком прямой

(рис. 27,5). Для такой модели в процессе нагрузки возникает скачкообразное изменение скорости распространения волн при изменении нагрузки: при а ^о^, как и прежде, ^0 = V Е/р, при о *> as имеем а(о) = ai =V^i/p = const, Ex — модуль линейного упрочнения материала. Для стали Ех ^ (0,003—0,01)£, для сухих грунтов Ех (0,05—0,1)5.

Принятие билинейной функции о(в) приводит к изменению области волнового решения на координатной плоскости. Рассмотрим сначала случай, когда переход с упругого участка графика а (в) на участок упрочнения совершается плавно по дуге ЛАх (da Ids есть непрерывная функция для всех значений а) (рис. 27, а). В случае такой зависимости решение для монотонно возрастающего во времени давления представлено на рис. 28, я. Отличие по сравнению со случаем, представленным на рис. 23, заключается в том, что в области IV возмущение распространяется с постоянной скоростью ах. Если теперь точка Ах на графике сг (в) (рис. 27, а) стремится к точке А, т. е. когда Aos->0, то в области /// напряжение стремится к постоянному значению о = о8. Этот случай для билинейной зависимости а (в) (см. рис. 27,5) показан на рис. 28,6.

Плоская волна разгрузки

в однородной упругопластической среде

Положим теперь, что к концу х = 0 однородного упругопластического стержня приложено давление p(,t), монотонно возрастающее при 0 ^ / ^ /о и достигающее в момент 1 = 1^ макси-

мального значения р0, а t >Uмального значения р0, а t >U(11.1)(11.1)ст (о, о = <ст (о, о = <- Pi (О,— № (О,- Pi (О,— № (О,затем монотонно убывающее при р1(/)>0, ^>0, О««о, №Ю>0, ^<0, t>tQ,затем монотонно убывающее при р1(/)>0, ^>0, О««о, №Ю>0, ^<0, t>tQ,

мального значения р0, а t >U

мального значения р0, а t >U

(11.1)

(11.1)

ст (о, о = <

ст (о, о = <

- Pi (О,

— № (О,

- Pi (О,

— № (О,

затем монотонно убывающее при р1(/)>0, ^>0, О««о, №Ю>0, ^<0, t>tQ,

затем монотонно убывающее при р1(/)>0, ^>0, О««о, №Ю>0, ^<0, t>tQ,

и Р1(М = /М^о) = Ро.

Предположим, что характеристика материала а = а(е) (рис. 29) для процесса нагрузки представляет собой прямую линию при а ^ Оз (прямая ОА) и выпуклую кривую относительно оси а при о^Оз (кривая АВ; d2old&2 <0), процесс же разгрузки (прямая SC) происходит упруго, т. е. напряжение о kqи деформация 8 связаны линейной

зависимостью

о — о0 W = Е (8 — 80 (х)),

где оо(х) и 8о(х)— соответственно максимальные значения напряжения и деформации в процессе нагружения для определенного поперечного сечения стержня. Предположим, кроме того, что в процессе нагружения do]d& есть непрерывная функция 8.

В заданном сечении стержня х (рис. 30) деформация растет непре

рывно во времени согласно закону, отвечающему виду кривой п = а(8) и кривой давления p\(f), до некоторого значения е0(х), меньшего, однако, максимального значения деформации на конце стержня х = 0. Затем деформация в этом сечении бу

дет изменяться по закону, отвечающему характеру изменения давления р^^ на конце стержня и зависимости (11.2). Таким образом, в координатной плоскости данному х отвечает некоторое время / — начало процесса разгрузки в сечении. В плоскости (х, /) существует кривая, называемая волной разгрузки, уравнение которой обозначено на рис. 30 как t=f(x); ниже этой кривой имеет место процесс пластического нагружения, а выше нее — процесс разгрузки. Задача определения волны разгрузки впервые была поставлена X. А. Рахматулиным [103] в 1945 г.

Сформулируем задачу распространения плоской волны разгрузки в полубесконечном однородном стержне следующим образом.

Определить функции а(х, f), ц(х, /) и f(x) так, чтобы кривая, описываемая дифференцируемой функцией /(х), делила координатную плоскость (х, f) (для х ^ 0, / > 0) на две области

D\ и Z)2 (рис. 30), в каждой из которых функции о(х,/), ц(х, t) непрерывно дифференцируемы, причем в области х ^ 0 они непрерывны и удовлетворяют соответственно уравнениям:

в области D\ (область, в которой материальные частицы подвергаются процессам пластического нагружения) имеют место уравнения

ди да ди I даde А

О , — ~х , “д — 9При «1 Oj

7 v dt dx dx ра2 (ст) dt r dt ’

в области(10.1), (10.4)в области(10.1), (10.4)£>2 (область разгрузки) имеют место уравнения и (11.2), которые можно записать в виде

в области

(10.1), (10.4)

в области

(10.1), (10.4)

(И.4)

да _ 2 de | 1 do0 (х) _ о de0 (х)dt ао дх р dxdxd£,лпри—тт<0.ди деrdtдхdtда _ 2 de | 1 do0 (х) _ о de0 (х)dt ао дх р dxdxd£,лпри—тт<0.ди деrdtдхdtФорма волны разгрузки, а также функция 8о(х), неизвестные до решения задачи, находятся путем одновременного решенияФорма волны разгрузки, а также функция 8о(х), неизвестные до решения задачи, находятся путем одновременного решениясистем уравнений (11.3) и (11.4), описывающих процесс деформирования соответственно в областях нагружения и упругой разгрузки, при одновременном удовлетворении краевому условию (Н.1) и условиям непрерывности скорости, напряжения и деформации на волне разгрузки.

да _ 2 de | 1 do0 (х) _ о de0 (х)

dt ао дх р dxdxd£

,лпри—тт<0.

ди деrdt

дхdt

да _ 2 de | 1 do0 (х) _ о de0 (х)

dt ао дх р dxdxd£

,лпри—тт<0.

ди деrdt

дхdt

Форма волны разгрузки, а также функция 8о(х), неизвестные до решения задачи, находятся путем одновременного решения

Форма волны разгрузки, а также функция 8о(х), неизвестные до решения задачи, находятся путем одновременного решения

В случае краевого условия, заданного в виде (11.1), волна разгрузки начинает распространяться от конца стержня х = 0 в момент / = fо (рис. 30). Точка (0,/0) отвечает максимальному значению напряжения на конце стержня.

Решение в области Dx, т. е. до момента прихода волны разгрузки, аналогично случаю, рассмотренному в предыдущем раз-

деле и представленному на рис. 23 — области IF и II". В области Dx распространяются волны Римана, уравнения которых имеют вид х = а(о) (/— /0). Согласно (10.12) и (10.5), скорость материальных частиц в области Dx можно представить формулой (С2 = 0) : ов

(11-5)У — t\ d (в^ d8b

Р J Я (orj J v 17оо

На волне разгрузки f = f(x) должны быть выполнены условия ди , х

8= дТ^оМ

(11-6),ро(х) при t = f(x) =—г—7"ТГ»

ди / х С \ Ла (е0 (х)) ’

и= —= v0(x)= —a^ds,vox”

о

где 8о(х), Уо(х) вычисляются при помощи решения в области Dx при t = /(х).

Таким образом, приходится решать систему уравнений (11.4) при условиях типа Коши (11.6) на волне разгрузки и при заданных краевых условиях (11.1). Систему уравнений (11.4) можно свести к уравнению второго порядка для перемещения и(х,/), именно

(И.7)-S- — aV^- = F<x\

где

F^ = — ^°°W — «2 -^™.

х 7х ' р dx ° dx

Общее решение уравнения (11.7) имеет вид

и(х, 0 =Ф1 («о/ — х) + Ф2 (а0< + х)Г \ ^ \ ^(1)^1,

°о о о

а с учетом (11.8) —вид

и(х, 0 = Ф1 (а^ — х) + Фг W + х) —

X

О

Удовлетворение условиям (11.6) и краевому условию (11.1), которое можно представить в виде

(11П)

(причем в(0, <) однозначно определяется из графика о(е) через о (0, /)), позволяет однозначно определить функции Фь Ф2 и

ео(х); функцию ао(х) можно определить для данного е0(*) из зависимости (10.2).

Рассмотрим несколько более простой случай. А именно, предположим, что давление на конце стержня х = 0 приложено внезапно; его значение в начальный момент равно р0) а затем монотонно убывает (рис. 31), т. е. краевое условие (11.1) в напряжениях имеет вид

(11. Г) а(0,/) = —р(0, р(/)>0, "^^О при />0, или в деформациях

(11.1") 8(0,/) = е(0, е(/)<0,>0 при t>0.

В этом случае волна.разгрузки исходит из начала координат.

Подставляя (11.10) в краевое условие (11.1"), получим соотношение

-ФЦао/) + ФЦао/)--^ + 8о(О) = е(/).

Отсюда

Ф;(ао; + х) = Ф;(^ + х) + ^-8о(О) + е(-^

Подставляя (11.10) в начальные условия (11.6) на волне разгрузки t = Цх), получаем

ф; (aof (х) - х) + Ф' (aj (х) + х) =

а„(х)

- ф; (aj (х) - х) 4- ф' (aj (х) + х) -= 0.

Подставляя в эти уравнения соотношение из (11.6), учитывая, кроме того, что х = а(е0)/(х) и о0(х) = а [е0(х)], и исключая

с помощью (11.13) функцию Ф', получаем

= _'(а-*_2у«>_ео(О)_е[^(1+1)],

О

ф:Н1+г)]-ффСг-1)] =

=«+е,(0)_^_е[^(1+1)]. отсюда

^Ю+4)]=

(11.16)(11.16)

(11.16)

(11.16)

где а' = а^]а^ а = а(е0)/а0.

Из произвольной точки М оси х = 0 (рис. 31) проведем положительную и отрицательную упругие характеристики до пересечения с волной разгрузки t = ^x\ Эти характеристики пересекут волну разгрузки в точках Мх (хь /0 и М^хъ ?2)- С помощью уравнений упругих характеристик ММХ и ММ2 и характеристик ОМХ и ОЛ42 в области нагружения получим следующие зависимости: „

<|М7> '(^‘Н’ ^(ттда- О”-1-.

где t* — время, измеренное на конце стержня х = 0. Из системы уравнений (11.16) можно исключить Ф( (aj*), имея в виду соотношение (11.17). Для определения ео(х) получим функциональное уравнение в виде

во № (<»)1

80(0)--^-е(/*)+у ( ^С^--О^Ч-

0

е0[х2 (<*)]

+ 1 £WpW_+1U = Oi

2 J а0 \ Яо /

Если в полубесконечном упругопластическом стержне из эксперимента известно распределение остаточных деформаций

е&(х), связанных с деформациями е0(х) зависимостью

(11.19)(11.19)8fe(x) = e0(x) — -^^8fe(x) = e0(x) — -^^

(11.19)

(11.19)

8fe(x) = e0(x) — -^^

8fe(x) = e0(x) — -^^

(11.20)(11.20)1 > > 1а [е0 (х)] dx а^1 > > 1а [е0 (х)] dx а^монотонномонотонно(11.21)(11.21)

(11.20)

(11.20)

1 > > 1

а [е0 (х)] dx а^

1 > > 1

а [е0 (х)] dx а^

монотонно

монотонно

(11.21)

(11.21)

то при заданной динамической диаграмме о = о(е) на основе уравнений (11.18) можно определить характер изменения деформаций на конце стержня.

В работе [120] решена задача о распространении волны раз

грузки в случае внезапно приложенного и затем

убывающего давления на конце стержня (краевое условие (11.1')). Доказано существование и однозначность функции, определяющей волну разгрузки. Показано, что величина, обратная скорости волны разгрузки, df/dx, заключена в пределах

и что при / -> оо скорость распространения волны разгрузки асимп-

готически стремится к скорости распространения упругих волн.

В работе [120] получено уравнение (11.18) для частного случая полубесконечного стержня, поведение которого описывается при помощи модели Прандтля (рис. 32) и к концу которого внезапно приложено давление, убывающее затем во времени. Ввиду того что волна разгрузки может пересекаться только с волнами Римана со скоростями n1 = V^*i/p (упругие волны со скоростями п0 несут деформации е(х)^ es), в рассматриваемом случае волна разгрузки может быть только прямой, уравнение которой имеет вид

В этом случае волна разгрузки является волной сильного разрыва. Можно доказать [27], что в рассматриваемом случае за волной разгрузки всегда наступает разгрузка.

В частном случае, когда давление на конце прикладывается в момент t = 0 внезапно и затем линейно убывает со временем, т. е.

(11.22)

РМ = Ро(1 —£).

из формулы (11.18) при помощи (11.2) определяется деформация на волне разгрузки

еоМ = -^(1-4х1-__£?) + 8,(1-Л

где ц = йо/й] (для стали 10 ^ ц ^ 15, для сухих песчаных грунтов 2,5 ^ ц 4).

Из формулы (11.23) следует, что во(х) есть убывающая функция х, следовательно, в некотором сечении х = xh она уменьшится до значения es. Точка (х^, ^) (рис. 33) обозначает

конец волны разгрузки. Таким образом, длину участка стержня Хн, деформированного пластически, получим из (11.23), полагая eo(xft) = es. При х>'хй в стержне будут распространяться только упругие волны.

Напряжение на волне разгрузки однозначно определяется соотношением сто (х) = о [во (х) ], вытекающим из принятой модели среды; таким образом,

Я,« = -Ро(1-^—^).

Волна разгрузки x = axt представляет собой волну сильного разрыва. Чтобы определить массовую скорость частиц на фронте этой волны, следует использовать условие динамической непрерывности.

Для случая продольных волн в стержне условие динамической непрерывности (7.18) имеет вид

для прямых волн (dx = -Va^dty.

[о] = — рп[у],

для обратных волн (dx = — а^ dt\.

И = + р«М-

Используя формулу (11.25) на волне разгрузки х = ad, получим выражение для скорости

v0W =— <rs(l-н) + —[1 -^-^-^1.

v 1 и v 7 ра0 sрЯ1 L 2ц aoto J

Решение в области // строится методом характеристик с использованием соотношения (10.12), причем Cij2 определяются из краевого условия (11.22) и при помощи значений а и и на волне разгрузки (формулы (11.24) и (11.27)). Решение в области II после определения постоянных Cj>2 будет иметь вид

^ О = -Ро(1 -77) +

(11.28)(11.28)Ч-^1 ~ ^[^(«iti — Оо(у^^1)]> °^/)=-^Ро(1-^) +

(11.28)

(11.28)

+ *2^7 ^ “ ^ [ °0^ + °0 ("Г+^ ^i) ] +

P«i \ Ц / ' где приняты обозначения

t2=lLtH2LY

а0 21 + ц V 1 6ZO /

напряжения cr0(^i^) и о^рл^Д! + ц)) определяются на волне разгрузки х = ах1 формулой (11.24).

В области /// решение получим непосредственно из (11.28), полагая р(/) = 0:

о (я, /) =у(1 — н) ро (<Ш — ао (7777 «1Л)].

।-..-

° ^’ ^ = 2777 ^ — ^ Р0 (^ + ^ 1т+7 01/1Л +

Р«1 \ Ц / s

В областях IV, VI, VIII (рис. 33) решение можно определить при помощи формул (11.28), а в областях ///, V, VII, IX — при помощи формул (11.29).

Рассмотрим теперь способ определения волны разгрузки методом последовательных приближений [15]. Определим волну разгрузки для случая, рассмотренного ранее; зададимся краевым условием (11.1") (нагрузка приложена к концу стержня внезапно, а затем монотонно убывает) и соотношением о = о(е) (см. рис. 29). Вернемся к решению уравнения (11.7) в области 1>2 (рис. 31) при краевом условии (11.1") и условиях на волне разгрузки t = f(x) в виде (11.6); рассмотрим, следовательно, систему уравнений (11.16).

Введя обозначение г = х!^ представим (11.16) в виде

ф; [2(1 + а)] = 8о(О) - ^-- е[^-(1 + а)] +

[

во1

_ С de ,

Е J а0 I о J

[

®оI

t+S^-^L

О °

Из уравнений (11.30) получаем

<11.31) Ф1 [2 (1 + а)] - Ф^ [2 (1 - а)] =

Л /л\ о*о (0)/1 ।(®о)

= ео(О)— -^—(1+0)] + -^-.

Ограничиваясь рассмотрением случаев, когда а(е)<^йо, т. е. ограничиваясь решениями для материалов, для которых а(е) мало (материалов, не проявляющих значительных эффектов упрочнения), приведем уравнение (11.31) к виду

о [е0 (х)] = сто (0) - Ее0 (0) + Ее ( а ,

где х]а = t. Решая (11.32), находим одновременно ео(х) и уравнение волны разгрузки t = х/а(ео) в нулевом приближении.

Затем волна разгрузки определяется методом последовательных приближений.-А именно, подставив в правую часть первого уравнения (11.16) нулевое приближение е^(х), определенное из (11.32):

Ф[[2(1+ао)] = /о(г;а°),

(Ы'33)Ф[[2(1-а)] = -1[-ф^+J ^-del,

L 00 J

где

8о

LоJ

сделав в (11.33) замену переменных

zi(l — а0)

21 + а» ’

получим

Ф1 к (1 - а0)] = fo ( ^j1^ ’ а°)'

(11.34)

Согласно принятому предположению а(е) С а^ т. е. что а мало,, и принимая а « а0 или 2 = 2Ь можно приравнять левые части уравнений (11.34); в итоге получим

е0

^М + $ ^1 de = - 2f0 (^t0^ ; а0) . о

Из этого уравнения определяется первое приближение е^х). Рекуррентная формула для определения n-го приближения

(11.36)(11.36)ЕЕd& =d& =zd-g^"1))1 Ч-а^-^zd-g^"1))1 Ч-а^-^имеет вид

(11.36)

(11.36)

Е

Е

d& =

d& =

zd-g^"1))

1 Ч-а^-^

zd-g^"1))

1 Ч-а^-^

а^-D I ►

Сходимость этого метода исследовалась для конкретных примеров. В случае модели Прандтля при краевом условии (11.22) рекуррентная формула (11.36) для a = V2 дает хорошее совпадение с точным решением (11.24) уже в третьем приближении [15].

Задачу для волны разгрузки можно решать также обратным методом. Априори предполагается форма волны разгрузки t = = f(x). Тогда в области Z)2 можно решать задачу Коши. Примем модель среды так же, как на рис. 29, ограничиваясь случаем, когда волна разгрузки есть волна слабого разрыва.

В произвольной точке М области D^ (рис. 30) можно определить решение, проведя из этой точки положительную и отрицательную упругие характеристики до пересечения их с волной разгрузки соответственно в точках Ali(xi,d), M^x^t^Y Уравнения этих характеристик имеют вид

х —х, = —а0[/—/(%,)], х —x2 = ao[^ —ffe)], причем использовано уравнение волны разгрузки.

Из соотношений на характеристиках (10.12) получим следующие соотношения:

у + irо=и [Хь f ^1+i ° ^ f М].

*7Pi°

У - тт; ст = V k2, t k2)l - — о [х2, / к2)], l*QC*Q

из которых можно последовательно исключить напряжение а и скорость у. В точке М(х, t) решение имеет следующий вид:

о (X, 0 = 4 ра0 {у ki, f MJ — О кг, f (х2)]} +

+ у {ст кь / ki)] + о кг, f k2)]}, (11.39),

у (х, 0=у {»ki, f kJ] + v k2, f k2)]} +

+ -^ №i J kJ] - ст k2, f kJ]},

где xx и x2 определены соотношениями (11.37). Полагая x = 0, получим решение на конце стержня, т. е. получим такое распределение напряжений на конце, которое соответствует предположенной форме волны разгрузки / = /(х). Предполагая поочередно различные формы волны разгрузки, можно получить методом последовательных проб такое распределение напряжений на конце, которое было бы близким к заданному.

Рассмотрим еще метод локальной линеаризации волны разгрузки. Определим волну разгрузки (при соотношении сг = = сг(е), таком, как на рис. 29) методом характеристик. Рассмотрим случай изменения давления на конце стержня х = 0, показанный на рис. 34, при краевом условии вида (11.1). Волна разгрузки начнет распространяться из точки Л10, соответствующей максимальному значению ртах приложенного давления p(,t). Предположим (рис. 34), что за время dt* волна разгрузки переместится в точку М с абсциссой dx*. Из этой точки проведем положительную пластическую характеристику в области £)], а в области разгрузки D2 — положительную и отрицательную упругие характеристики до пересечения с осью х = 0 соответственно в точках А, В и С. Предположим, что давление на конце в момент t = to имеет разрывную производную. Вводя обозначения kx = dpx ^fdt |/=/о, к2 = dp2^(dt \t=t^ можно положить, что в окрестности точки (0, /0)

О0== Ртах ^1 (^^о) ПрИ t <С t^

(11-40),.

7О0 = — Ртах — ^2 (^ — ^о) При t > /0-

Благодаря близости точек В и С к точке Мо, для скоростей точек оси х = О можно принять при / ^ /о

УВ — Утах = / У В — /0) = / (Л* — -^-) ,

4а°/

VC ~ Утах = / Ус - /о) = У ^ + ^ '

где Утах — максимальная скорость на конце х = О и введена обозначение / = dvldt. Разделив уравнения почленно, получим

у о —*“ dx*^ 1 — с,аА

G

iВ max 1 0 1 О

;и гdi* + dx*(an1 + с К ’

С max'О1 ' О

где с = dx*[dt* — начальная скорость волны разгрузки.

с =с =«l^O^l-M«l^O^l-Ma^j - a^2 ’a^j - a^2 ’Используя соотношения на характеристиках (10.12), можно определить напряжение и скорость в точках В, С и М через соответствующие значения в точке А40. Таким образом, в (11.42) можно определить скорости ув, х)с и итах- Получим в результате

с =

с =

«l^O^l-M

«l^O^l-M

a^j - a^2 ’

a^j - a^2 ’

(11.43)

где tii — скорость распространения пластических деформаций для напряжения a = —ртах-

В частном случае, когда кх = 0, &2 =И= 0 или когда кх =/= 0, к2 ¥= оо, из (11.43) следует, что с = ао; это означает, что направление начального отрезка волны разгрузки М0М совпадает с направлением упругой волны. Если же кх Ф 0, к2 = 0 или если к2 =# 0, кх = оо, то с = ах и начальная скорость распространения волны разгрузки совпадает со скоростью пластической волны. Когда же кх = к2 = 0, т. е. когда производная напряжения на конце стержня непрерывна при t = /0, формулой (11.43) пользоваться нельзя. В этом случае в разложениях напряжения и скорости по времени в окрестности точки, в которой о = —Ртах, следует учесть члены, содержащие вторые степени dx*. Поступая далее так же, как и в приведенном выше случае, получим формулу для начальной скорости волны разгрузки в виде

c = „,[^y+3-y.

Зададим начальный отрезок М0М волны разгрузки в виде отрезка прямой. Угол наклона этого отрезка определяется начальной скоростью, выражаемой формулой (11.43) либо (11.44), в зависимости от того, непрерывна или разрывна производная ^2о/^2|ж==0. На этом отрезке известны значения напряжений и скоростей из решения в пластической области Dx. На отрицательных упругих характеристиках в треугольнике М0МС области разгрузки D2 имеем соотношение

0 =

где tx — время, при котором данная отрицательная характеристика начинается на волне разгрузки х = ф(/):

'1а0а0а0 + с *

и функция Ф(/):

Ф (0 = v [ф $, И + -т^- О [ф (0, fl,

которая известна на волне х = ф(/) из решения в области Dx. Используя краевое условие (11.1), из (11.45) можем определить скорость у на конце х = 0 для /о ^ ^ ^ tc:

„(0,,) = ^ + ф(Л£+у1).

На положительных характеристиках в области D2, берущих свое начало на конце х = 0 для tB ^ t ^ tC) определяя постоянную

интегрирования С^ из условия а(0, t) =—р^^ и условия (11.47), получим соотношение

хм лд\ уi У — х[а^ । ф / а0/ — л: + ct0 X

* 7ря0 ‘ ра0 * X а0 + с ) *

В рассматриваемом случае волна разгрузки представляет собой волну слабого разрыва. На фронте этой волны должны выполняться условия непрерывности

»2[ф(0, ^1 = "1 [ф(0, ^], ^г[ф(0, Я = °1 [<₽Ю, d>

где индексами 1 и 2 обозначены решения соответственно со стороны областей D\ и D2. Таким образом, из (11.48) получим уравнение

- U, [ф (0, /] + ^М^А 4. ^^-фМ/оо) +

ра0р oto

I ф f ^0^ ф (0 + ^0 \ 0

X а^ + с )*

из которого можно определить следующий отрезок ММ\ волны разгрузки х = ф(/) (оьсгьФ определяются из решения в области Z)i). Процесс определения следующих отрезков волны разгрузки повторяется.

Кроме аналитических приближенных методов часто применяются графические методы определения волны разгрузки и распределения напряжений и деформаций вдоль волны разгрузки. Эти методы подробно представлены в монографиях [28} и [25, 108]. Они основаны на одновременном графическом построении решения в координатной плоскости (х, #) и в плоскости годографа (сг, и). Используются уравнения характеристик (10.10) и соотношения на характеристиках (10.11). Кроме того, когда волна разгрузки есть волна слабого разрыва (в случае краевого условия (11.1)), начальная скорость волны разгрузки с определяется по формуле (11.43) или (11.44). В случае когда на конце стержня внезапно приложено давление и затем оно убывает (краевое условие (11.Г)), уравнение волны разгрузки известно и эта волна есть волна сильного разрыва. На ее фронте используется условие динамической непрерывности (11.25). Определяются графически конец волны разгрузки и распределение деформаций на волне разгрузки.

В области задач о распространении плоских волн напряжения существует довольно много исследований. Отметим некоторые из этих исследований. Прежде всего укажем на работы X. А. Рахматулина [104, 105], в которых исследовано влияние изменения предела текучести на распространение волн нагружения и разгрузки. Такого рода неоднородность встречается, например, в стержнях, изготовленных из упрочняющегося материала, предварительно нагруженных пластической волной.

В работах [36, 89, 95] исследована задача о распространении волн нагружения и разгрузки в среде с произвольной неоднородностью как в упругой, так и в пластической областях. Задача сведена к интегро-дифференциальным уравнениям, которые решаются методом последовательных приближений. Рассмотрен, кроме того, ряд задач о распространении волн в стержнях с переменным поперечным сечением (например, [129]).

Отражение от преграды плоской волны разгрузки в упругопластической среде

Рассмотрим теперь задачу о распространении плоских волн напряжений в ограниченном упругопластическом стержне. Задача отражения волны разгрузки от конца стержня является

Рис. 35.

довольно сложной, особенно в случае отражения волны разгрузки слабого разрыва, так как волны нагружения, распространяющиеся быстрее волн разгрузки, раньше достигают конца стержня х = Z, который, например, закреплен, отражаются от него и при обратном распространении встречают волну разгрузки, которую они могут остановить. Обычно через некоторое время от закрепленного конца стержня начинает распространяться новая волна разгрузки, перемещающаяся в направлении к другому концу стержня х = 0. Задача отражения волны сильного разрыва в случае, когда фронт волны сильного разрыва является одновременно волной разгрузки, несколько проще. В этом случае волна разгрузки первой достигнет конца стержня и отразится от него.

Рассмотрим задачу об отражении волны сильного разрыва (произвольной волны сильного разрыва, не обязательно волны разгрузки) от конца стержня х = /, который закреплен жестко, упруго или свободен. В общем случае примем, что на конце х = / (рис. 35) закреплена недеформируемая масса М с амортизатором постоянной вязкости с и пружиной с коэффициентом жесткости L После отражения волны сильного разрыва от конца х = Z в стержне появляется новая волна сильного разрыва (отраженная). Обозначая через y(Z) перемещение массы

М в направлении оси х, через R реакцию системы (состоящую из массы М, пружины к и амортизатора с), измеренную в единицах напряжения, получаем

R = сг0Тр, -~ = уотр

(контакт массы М со стержнем предполагается постоянным). Так как отраженная волна есть волна сильного разрыва, на ее фронте должно выполняться условие динамической непрерывности (11.26):

^отр ^пад “Ь Р^отр (^отр ^пад)>

где индексами «пад» и «отр» обозначены значения напряжений и скорости соответственно на падающей и отраженной волнах; Яотр — скорость распространения отраженной волны. Из (12.1) получим

R =О'пад “Ь Р^отр^падР^отр”^“ •

С другой стороны, движение массы М можно трактовать как колебание системы с одной степенью свободы, возмущаемой силой R(T); уравнение ее колебаний имеет вид

Му (0 + сху (/) + ку ^ = 7? (t\

Начало колебаний отсчитывается от момента достижения падающей волной конца х = Z. Таким образом, для t = 0 из (12.4) с учетом (12.3) имеем

Му (0) + (сх + раотр) у (0) + ку (0) = раотриПад — <тпад.

Если падающая волна распространяется в невозмущенной среде, то из условия динамической непрерывности (11.25) получим

^пад Р^пад^пад,

где лПад — скорость падающей волны. Таким образом, из (12.5) найдем

Му (0) + (С! + раотр) У (0) + ку (0) = — (1 + х) опад,

ГДе X = йотрМпад-

Если для уравнения (12.7) начальные условия примем однородными, т. е. положим z/(0) = у(0) = 0, то

^(0) = -(1+х)<г„ад = ^(0).

В момент отражения волны сильного разрыва напряжение на ее фронте равно оотр = (1 +х)оПад. Когда скорость распространения отраженной волны совпадает со скоростью падаю-

щей волны, т. е. х = 1, в момент отражения волны от системы, состоящей из элементов М + k + С\, на фронте отраженной волны напряжение равно 2опад.

Если положить УИ = 0, то можно взять только одно начальное условие, а именно у(0) = 0, и реакция R в момент t = Сбудет равна

R (0) = - (1 + х) . г^— апад.

"Г Р^отр

Если Принять, ЧТО И С; = 0, то

/?(0) = 0.

Положив Л1 = 0, к->оо и у(0)—>0, у(0)->0, получим величину реакции R в случае жесткого закрепления конца стержня х = /:

R (0)(1 -J- х) <^пад> ИЛИ Цотр : ' (1 Н” %) ^пад,

и в случае свободного конца х — 1 получим

Я(0) = 0.

Рассмотрим для упругопластической среды случай отражения волны пластического нагружения слабого разрыва от же-

р№р№Рис. 36.Рис. 36.

р№

р№

Рис. 36.

Рис. 36.

стко закрепленного конца стержня. Нетрудно доказать, что отраженная от жесткой преграды волна пластического нагружения начинает распространяться с бесконечной начальной скоростью. Действительно, на волне нагружения должно быть выполнено условие о(х, 0 = as. Дифференцируя это условие по времени, получаем '

до , до па —h= 0,

дх 1 dt ’

где а = dxjdt — скорость распространения этой волны. Учитывая краевое условие и(/,/) = 0 на закрепленном конце стержня, из уравнения движения (10.7) получаем до/дх = 0, а следовательно, а = оо, если только do(dt 0.

Сделаем теперь несколько замечаний, связанных с распространением плоских волн напряжений в слоистых средах. Допустим, что в полубесконечном стержне на расстоянии х = I от конца находится жесткая масса М (рис. 36); кроме того, положим, что плотность массы равна pi при х < I и р2 при х > L

Предположим также, что в процессе колебаний не происходит отрыва стержней от массы М.

В сечении х = I должны быть выполнены следующие условия:

условие непрерывности массовых скоростей

(12.13)(12.13)Vx<dL i) = vx>i(lt t),Vx<dL i) = vx>i(lt t),

(12.13)

(12.13)

Vx<dL i) = vx>i(lt t),

Vx<dL i) = vx>i(lt t),

Рис. 37Рис. 37(12.15)(12.15)Ох>1 (/, i) = ox<i(U i)-Ох>1 (/, i) = ox<i(U i)-

Рис. 37

Рис. 37

(12.15)

(12.15)

Ох>1 (/, i) = ox<i(U i)-

Ох>1 (/, i) = ox<i(U i)-

условие равновесия сил, приложенных к сосредоточенной массе М,

м ^M- + <7x>z(Z, Ъ-Ох<1^ 0=0,

время i отсчитывается от момента достижения падающей волной сечения х = I. Падающая волна отражается от массы М и

переходит во второй стержень.

Решение этой задачи несколько упрощается в случае волн сильного разрыва. Необходимо обратить внимание на тот факт, что когда на массу М падает волна сильного разрыва, то отраженная волна также будет волной сильного разрыва, а в области х > I будут распространяться только волны

слабого разрыва. Это результат инертности массы М. Начальное условие для уравнения (12.14) имеет вид у(/, 0) = 0. При М — 0 условие (12.14) упрощается и принимает вид

Если на границу, разделяющую среду, падает волна сильного разрыва, то волна, отраженная от границы х = /, а также преломленная волна в другом стержне являются волнами сильного

разрыва. Из-за сложностей вычислительного характера мы не будем приводить здесь решений в отдельных областях координатной плоскости.

Существует ряд решений задач этого типа как в случае однородных сред, так и неоднородных, например для среды с переменным пределом текучести. В п. 14 в случае модели упругопластического тела с жесткой разгрузкой будет рассмотрено решение задачи о распространении волны разгрузки в полубес- конечном стержне, в сечении х = / которого находится жесткая масса М, т. е. для х = 1 заданы условия (12.13) и (12.14).

В заключение рассмотрим частный случай отражения волн в упругопластическом стержне, конец которого х = Z закреплен (рис. 37). Положим, что давление на конце стержня изменяется периодически, частота изменений зависит от характеристики материала и длины стержня. Амплитуда нагрузки принимается постоянной и равной пределу упругости, период изменения давления Т = 2/(1/яо+ Ма\У Эта задача была решена в работе [56] аналитическим и графическим методами. Была принята модель Прандтля без учета эффекта Баушингера и в предположении, что пределы текучести при растяжении и сжатии равны (рис. 38). Строя решение в отдельных областях координатной плоскости (рис. 37), получим следующие рекуррентные формулы:

для областей с номером 2п + 1

(12.16)(12.16)O2n+l(X, t) = (—l)n(Js,O2n+l(X, t) = (—l)n(Js,

(12.16)

(12.16)

O2n+l(X, t) = (—l)n(Js,

O2n+l(X, t) = (—l)n(Js,

81 (х, /) = 8S, е2п+з (Х, 0 = [1 + (-l)ra+I j^l^—l] е$> где n = 0, 1, 2, 3, ...;.

для областей с номером 2га

<т2„ (х, О = (-1)"+11 (1 + Ц-") + 2 У -^ | os,LА

о2„(х, 0 = 0,

е2„(х, 0 - (-1Г ’ [-^ + 2 £ ^-1 е5, где п = 1, 2, 3, ....

При п->оо получим следующие значения для предельного цикла:

omax = lim | a2n I = (1 + -^77-) os,

отах = Пт | v2n+i 1 = 2—ytus,

П->ооИ 1

бтах == Нт [ $2n I:== Н ( 1 "Ь ч. i ^s*

п->оо' И 1 7

Коэффициент увеличения амплитуды напряжения а = атах/а8 определяется как

а=1+_^_, и=^.

Следует заметить, что для малых значений ц имеет место значительное увеличение амплитуды напряжения, для больших же значений ц (существенно пластические среды) увеличение амплитуды мало. При ц -> 1 получается переход к теории упругости, следовательно, к классическому случаю гармонического резонанса (период изменения нагрузки в этом случае будет Т = = А^Ца^. При ц—> оо возможны два случая: идеальной пластичности или жесткой разгрузки. Показано также, что явление «пластического резонанса» существует тогда, когда период возмущения задается как

Тп = ^п-НУГ,

где Т— начальный период, п = 1, 2, 3, ... . Этот результат важен с практической точки зрения, так как в эксперименте трудно получить возмущение с начальным периодом Т, который очень мал из-за больших скоростей распространения волн в стержне и из-за малых длин стержней, используемых в лабораториях.

Распространение плоских ударных волн

До сих пор исследовались задачи о распространении плоских волн напряжений в упругопластических средах в случае, когда d2a/de2 < 0. Рассмотренные волны сильного разрыва были вызваны исключительно разрывами в краевых условиях (внезапное приложение давления к концу стержня, удар стержня о преграду и т. д.). Изучим теперь задачу о распространении плоских ударных волн, характеризующихся тем, что на фронте волны возникает разрыв напряжений, скоростей, деформаций (первых производных перемещения) независимо от вида краевого условия. В случае плоских волн ударные волны возникают

тогда, когда в процессе нагружения d’Mds2 > 0 или когда о = = о(е) представляет кривую, выпуклую относительно оси г (рис. 39). В случае характеристики материала, для которой <у"(8) >0 (где (/'(е) = dMds2), большие напряжения распространяются с большими скоростями. Когда, например, на конце стержня действует давление, монотонно возрастающее от нуля, волны в среде будут распространяться следующим образом: чем5 больше напряжение, тем быстрее бе- h жит волна, а следовательно, она бутогда, когда в процессе нагружения d’Mds2 > 0 или когда о = = о(е) представляет кривую, выпуклую относительно оси г (рис. 39). В случае характеристики материала, для которой <у"(8) >0 (где (/'(е) = dMds2), большие напряжения распространяются с большими скоростями. Когда, например, на конце стержня действует давление, монотонно возрастающее от нуля, волны в среде будут распространяться следующим образом: чем5 больше напряжение, тем быстрее бе- h жит волна, а следовательно, она буРис. 39.ление ро, монотонноРис. 39.ление ро, монотоннодет догонять медленные волны, вызванные меньшими напряжениями. В результате такого наложения напряжений возникает фронт волны разрыва, названной ударной волной. В общем случае определение ударной волны весьма сложно.Рассмотрим случай распространения ударной волны в упругопла-дет догонять медленные волны, вызванные меньшими напряжениями. В результате такого наложения напряжений возникает фронт волны разрыва, названной ударной волной. В общем случае определение ударной волны весьма сложно.Рассмотрим случай распространения ударной волны в упругопла-стическом стержне, к концу кото- рогох = 0 внезапно приложено дав- убывающее затем во времени; краевоестическом стержне, к концу кото- рогох = 0 внезапно приложено дав- убывающее затем во времени; краевоеусловие имеет видусловие имеет вид(13.1)(13.1)а (0, 0 = — р (/), р (0 > 0,а (0, 0 = — р (/), р (0 > 0,dp didp diо,о,или для деформаций (13.1')или для деформаций (13.1')е(0, t^ = e^tYе(0, t^ = e^tYе(Г) однозначно определяется из графика о=а(е) через p^t). Для процесса нагружения примем криволинейную характеристику материала (рис. 39), причем выполняется условие о'Де) >01). Предположим, что процесс разгрузки совершается упруго.В области нагружения имеет место уравнение (10.8):е(Г) однозначно определяется из графика о=а(е) через p^t). Для процесса нагружения примем криволинейную характеристику материала (рис. 39), причем выполняется условие о'Де) >01). Предположим, что процесс разгрузки совершается упруго.В области нагружения имеет место уравнение (10.8):д2и о / \ д2и лде А(13.2)-^-^(8)^ = 0 при ^->0,д2и о / \ д2и лде А(13.2)-^-^(8)^ = 0 при ^->0,а в области разгрузки — уравнение (11.7):а в области разгрузки — уравнение (11.7):(13.3)(13.3)д2и 9 д2и „ , х дг _ А-№-ao^2=F^ при -^<0,д2и 9 д2и „ , х дг _ А-№-ao^2=F^ при -^<0,гдегде1_ dc0 (х) 2 deo Wр dx 0 dx1_ dc0 (х) 2 deo Wр dx 0 dxа (е) = а/— ^-х ' V Р deа (е) = а/— ^-х ' V Р de

тогда, когда в процессе нагружения d’Mds2 > 0 или когда о = = о(е) представляет кривую, выпуклую относительно оси г (рис. 39). В случае характеристики материала, для которой <у"(8) >0 (где (/'(е) = dMds2), большие напряжения распространяются с большими скоростями. Когда, например, на конце стержня действует давление, монотонно возрастающее от нуля, волны в среде будут распространяться следующим образом: чем

5 больше напряжение, тем быстрее бе- h жит волна, а следовательно, она бу

тогда, когда в процессе нагружения d’Mds2 > 0 или когда о = = о(е) представляет кривую, выпуклую относительно оси г (рис. 39). В случае характеристики материала, для которой <у"(8) >0 (где (/'(е) = dMds2), большие напряжения распространяются с большими скоростями. Когда, например, на конце стержня действует давление, монотонно возрастающее от нуля, волны в среде будут распространяться следующим образом: чем

5 больше напряжение, тем быстрее бе- h жит волна, а следовательно, она бу

Рис. 39.

ление ро, монотонно

Рис. 39.

ление ро, монотонно

дет догонять медленные волны, вызванные меньшими напряжениями. В результате такого наложения напряжений возникает фронт волны разрыва, названной ударной волной. В общем случае определение ударной волны весьма сложно.

Рассмотрим случай распространения ударной волны в упругопла-

дет догонять медленные волны, вызванные меньшими напряжениями. В результате такого наложения напряжений возникает фронт волны разрыва, названной ударной волной. В общем случае определение ударной волны весьма сложно.

Рассмотрим случай распространения ударной волны в упругопла-

стическом стержне, к концу кото- рогох = 0 внезапно приложено дав- убывающее затем во времени; краевое

стическом стержне, к концу кото- рогох = 0 внезапно приложено дав- убывающее затем во времени; краевое

условие имеет вид

условие имеет вид

(13.1)

(13.1)

а (0, 0 = — р (/), р (0 > 0,

а (0, 0 = — р (/), р (0 > 0,

dp di

dp di

о,

о,

или для деформаций (13.1')

или для деформаций (13.1')

е(0, t^ = e^tY

е(0, t^ = e^tY

е(Г) однозначно определяется из графика о=а(е) через p^t). Для процесса нагружения примем криволинейную характеристику материала (рис. 39), причем выполняется условие о'Де) >01). Предположим, что процесс разгрузки совершается упруго.

В области нагружения имеет место уравнение (10.8):

е(Г) однозначно определяется из графика о=а(е) через p^t). Для процесса нагружения примем криволинейную характеристику материала (рис. 39), причем выполняется условие о'Де) >01). Предположим, что процесс разгрузки совершается упруго.

В области нагружения имеет место уравнение (10.8):

д2и о / \ д2и лде А

(13.2)-^-^(8)^ = 0 при ^->0,

д2и о / \ д2и лде А

(13.2)-^-^(8)^ = 0 при ^->0,

а в области разгрузки — уравнение (11.7):

а в области разгрузки — уравнение (11.7):

(13.3)

(13.3)

д2и 9 д2и „ , х дг _ А

-№-ao^2=F^ при -^<0,

д2и 9 д2и „ , х дг _ А

-№-ao^2=F^ при -^<0,

где

где

1_ dc0 (х) 2 deo Wр dx 0 dx

1_ dc0 (х) 2 deo Wр dx 0 dx

а (е) = а/— ^-х ' V Р de

а (е) = а/— ^-х ' V Р de

*) Случай, когда кривая о = о(е) имеет точку перегиба, здесь рассматриваться не будет. В этом случае метод решения значительно усложняется.

В случае заданного нагружения конца стержня (условие (13.1)) из начала системы координат на координатной плоскости (х, /) (рис. 40) начинает распространяться ударная волна; в этом случае она является волной разгрузки. Эту волну

Рис. 40.Рис. 40.обозначим через t = ср (х). Форма ее заранее неизвестна.

Рис. 40.

Рис. 40.

Общее решение уравнения (13.3) имеет вид (11.10) или

и^х, t) = Ф1 (aQt — х) +

+ Ф2 W + $ —

х

-i$ ko(i)-^o®K о

На ударной волне должны быть выполнены условия

= е2 (х),— у2(х),

условие непрерывности (7.8) и условие динамической непрерывности (7.17), которые в случае плоских волн имеют вид

р! (У! — G) = р2 (у2 — G), а2 — (У1 = р! (У! — G) (у2 — yj,

где индексами 1 и 2 обозначены значения соответственно перед и за фронтом ударной волны, G — скорость ударной волны, G = l/q)z(x). Если ударная волна распространяется в невозмущенной среде, то, очевидно, oi = У1 = 0.

Используя граничное условие на ударной волне (13.5), условие непрерывности (13.6) и краевое условие (13.1), можно определить неизвестные функции Фь Ф2, 82 (х), у2(х) и форму ударной волны. Удовлетворяя краевому условию (13.1х), получаем

-ФПаоО + Ф2(ао/)-^- + е2(О) = е(<).

где <г0 (х) = о2 (х), во(х) = е2(х).

Удовлетворяя условиям (13.5) на ударной волне / = ф(х), имеем

ФI (аоф (х) — х) + Ф2 («оф И + я) = ^^~.

а,(х)

— Ф[ (аоф (х) — х) + Ф2 (аоф W + *)^ = °-

Используя (13.7) и равенство ст2 (х) = а [82 (х)] ’), получаем следующую систему двух уравнений:

Ф' (ад W — х) + Ф1 (ад (х) + х) +— е2 (0) +

+ ₽(ф(х) + ^) = -^.

а

— Ф1 (ад (х) — х) + Ф( (ад (х) + х) Н£

Вводя обозначения а = х/ад(х), z = xla, находим

Ф1 [z(1 + а)] =4- 2+ 2е2(0)1 -

_е[^(1+а)],

Ф{ [z (1 - а)] = 4- а ^р^1].

Решая совместно уравнения (13.10), получим

Ф[ [г (1 + «)] = Ф1 к (1 - а)] + JLIeHx)^^ +

+ е2(0)-е[^(1+а)].

Если ограничиться случаем, когда скорость ударной волны есть малая низшего порядка по отношению к скорости упругих волн в среде, т. е. когда а С 1 [15], из (13.11) получаем следующее соотношение:

о [е2 (х)] = о2 (0) - Ее2 (0) + Ее [Ф(х)].

Из (13.12) можно определить ег(х) и уравнение ударной волны t = <р(х) в нулевом приближении. Затем методом последовательных приближений можно найти волну разгрузки, при этом за нулевое приближение принимается значение е° (х), определенное из (13.12), и связанные с ним параметры решения <т°, о®, a0, G0. Подставляя полученные нулевые приближения в правую часть уравнения (13.10)1 и исключая в уравнении (13.10)2 02 и и2 при помощи условий непрерывности (13.6), получаем систему уравнений

Ф( [z (1 + «)] = f0 (z; а0),

' ^ а -л - И^21 - ^+^+№ 'Т ~ П

!) Здесь а — напряжение за фронтом волны. — Прим, перев.

гдегде- _ 1 Г v2 . фгМ]'' — 2 [ а0- _ 1 Г v2 . фгМ]'' — 2 [ а0о "2(0)Z Ео "2(0)Z Е^2е2(0)]-^2е2(0)]-

где

где

- _ 1 Г v2 . фгМ]

'' — 2 [ а0

- _ 1 Г v2 . фгМ]

'' — 2 [ а0

о "2(0)

Z Е

о "2(0)

Z Е

^2е2(0)]-

^2е2(0)]-

- е[^(1+»•)];

здесь использован тот факт, что е = 1 — Pi/p2.

Производя в уравнении (13.13)! замену переменной

21(l~a°)

21 +a°

и полагая, что для малых а0 (а0 С 1) z = zi, из системы (13.13) [в которой G представим как G = 1Др'(х)] в первом приближении получим дифференциальное уравнение первого порядка для определения фронта ударной волны / = ф(х). Рекуррентная формула для определения n-го приближения будет иметь вид

(13.14)(13.14)Jr 2 IJr 2 IG42 (0я)#0G42 (0я)#0J^ i J^ , £i£H£211^^Е * Яор2 ‘ЕJ^ i J^ , £i£H£211^^Е * Яор2 ‘Е

(13.14)

(13.14)

Jr 2 I

Jr 2 I

G42 (0я)

#0

G42 (0я)

#0

J^ i J^ , £i£H£211^^

Е * Яор2 ‘Е

J^ i J^ , £i£H£211^^

Е * Яор2 ‘Е

а^п"*й I еа^п"*й I еГ z (1 — а^-Й)'""’Ч 1+«<"-’> ’

а^п"*й I е

а^п"*й I е

Сходимость полученных этим способом решений исследовалась только в конкретных случаях [115].

Рассмотрим теперь один простой и эффективный метод определения ударной волны [139] для приведенного выше случая. Положим, что известной является форма первого отрезка ОА ударной волны в пределах времени 0 ^ t ^ tA (см. рис. 40). Уравнение кривой О А обозначим через х = ф1(^). В области /, ограниченной границами х = 0 и х = ф1(^), можно поставить задачу Гурса.

Функцию, описывающую ударную волну на отрезке ОА, разложим в ряд Маклорена в окрестности ее начальной точки

Ф1 (0——[]—^42!+ •••♦

здесь коэффициенты разложения вычисляются при помощи уравнений, описывающих задачу, и условий динамической и кинематической непрерывности на фронте ударной волны (7.18) и (7.27), которые в случае плоских волн имеют вид

М = —рф'(0М. [у] = — ф^ОМ-

(13.17)(13.17)Если ударная волна х = ф(/) распространяется в невозмущенной среде, то перед фронтом волны a = и = в = О и соотношения (13.16) принимают вид

(13.17)

(13.17)

»о = — Рф' (0 Уо> «о = — ф' (О ®о>

где индексом нуль обозначены значения на ударной волне со стороны области разгрузки.

Из условий непрерывности (13.17) и условия е0 = е(оо) получим (для 1 -> 0)

Дифференцируя а0(/) и v0W на ударной волне х = ф1(/), имеем

dc6 (/) _ до I, / А , до I

dx L=q>, (О 1 dt |X„V1 (<)

d«p W _ I m' //1 -I- — Idt dxW dt

'X—\U)lX— Ф1 \l)

Запишем (13.17) в виде a0(/) = (ф, (Z))2pe[cr0(/)]; дифференцируя это равенство по времени, находим

,,А _ 2рФ|(0 Ф" (/) в [a0(/)J

ff° 1 - р (ф'1 (О)2 8 [а0 (0] '

Используя уравнение движения в области разгрузки (11.4) и последнее равенство и переходя к пределу при х -> 0, t -* 0, получаем выражение для второго коэффициента разложения:

Г! [*Р1 W] 1 _ Р (ф, (0))2 / (_ Ртах)] ф; (0) р, (0) 4Р (Ф; (о))2 е (- ртах) + Ртах [1 - р (Ф; (о))2 в' (- Ртах)] •

Учитывая (13.18), имеем

фГ(О) =

h+—1Г1 + ртах ^Lril р- (0) аГ^^1 =8 Ртах) J V Р8 (~ Ртах)

8' Ртах)*

р'тахJ

где аъ = ^Е1р — скорость упругих волн в области разгрузки.

Аналогичным способом можно определить последующие коэффициенты разложения в формуле (13.15). Радиус сходимости ряда (13.15) зависит от характеристики среды о = о(е) и от характера изменения давления на конце х = 0. Ошибку вычислений, вытекающую из принятия конечного числа членов разложения (13.15), можно оценить следующим способом. Принимая форму ударной волны в виде, например, двух членов разложения (13.15), вычислим обратным путем (подобно тому, как это сделано в п. 11 для случая волны разгрузки, когда о'Ч^ < 0) изменение давления на конце стержня, отвечающее заданной

форме ударной волны. Разница между вычисленным таким образом давлением и действительным является ошибкой расчета. Из соотношений на характеристиках в области разгрузки (11.38) и условий динамической и кинематической непрерывности на фронте ударной волны (13.17) получим решение в области / (рис. 40):

а (х, 0 = 11 — р (^) — paovo (^ + ст0 (/2) Г1^—] ),

ио от21LФТУ1'

Р (Л) + Р^о^о (Л) + ^о (^2) Г17“"

L ч>1 (У

где

»о(О= — (р(О + ^о«ОГ1^т])- ст0 <z> ^ р C^i (Z>12 е (сто)» Рао IL Ф1 (гз) J )

kа0а^'а^

Приступим теперь к построению следующего отрезка ударной волны х = ф2(0 (рис. 40). Вдоль положительных характеристик, проведенных на конце стержня, 0^/^/в, в силу соотношения (11.38)! имеем

Исключая из этого уравнения скорость у при помощи (13.17), получаем на ударной волне ^ = ф2Ю следующее соотношение: (13.21) 1в01,Ы = [^+„,((_Л>) +

где tx = t — ф2(О/ао. Это неявное уравнение служит для определения функции 8о.

Если функция о(ео) такова, что уравнение (13.21) можно разрешить относительно ео, то можно записать

е0 = Ф[ф2(/), ^

В силу условий непрерывности (13.17), имеем

I13-23)РФ(ф2(/)л) ’

что после интегрирования при начальном условии ф2(<д) = = Ф1(^д) приводит к интегральному уравнению

»(!) = (/,) + 5 ^"^^ dT.

1А

которое решается методом последовательных приближений с из-

вестными оценками. Когда же вид функции о(ео) не позволяет разрешить уравнение (13.21) относительно ео, то в формуле (13.21) вместо функции ф2(/) следует взять ее первое приближение, например ф^ (/) = ф1 (/л) + ф' (/л) (/ — /л). Тогда из (13.21) определим ео в нулевом приближении, а из (13.24) получим первое приближение фронта ударной волны ф^ (/). Повторяя эту операцию, получим последовательность приближений фронта волны ф^ (/). В работе [139] на конкретных примерах показано, что процесс последовательных приближений быстро сходится. Решение в области // строится так же, как и в области/, при помощи соотношений вдоль характеристик. Подставив в формулы (13.20) вместо ф](/) функцию ф2(/), получим решение в области //. Построение последующих отрезков ударной волны (рис. 40), а также решений в последующих областях координатной плоскости проходит так же, как и в областях / и//.

14. Распространение плоских волн напряжений в упругопластической среде с жесткой разгрузкой

Рассмотрим однородный полубесконечный стержень с постоянным поперечным сечением, для которого зависимость о(е) представлена на рис. 41, при этом первоначально примем, что

на участке нагружения ОА (Pold^ ^ 0, т. е. исключаем возможность возникновения ударной волны; разгрузка же происходит при постоянной деформации. На конце х = 0 предположим условие вида (11.1) (рис. 42). При этом краевом условии и в случае зависимости о(е), показанной на рис. 41, в координатной плоскости (х, /) распространяется только волна слабого разрыва. Волна разгрузки х = ф(/) (рис. 42) делит координат-

ную плоскость (х, /) на две области: область нагружения Dx и область разгрузки D^. Аналогично случаю упругой разгрузки (разд. 11) задача сводится к определению формы волны х = ф(/) и определению на ней напряжения и скорости. В области Dx происходит процесс нагружения, рассмотренный подробно в разд. 10. В этой области распространяются волны Римана. Прямые, уравнения которых имеют вид

x = a^Ht — 0, а2 = 74г’

где ? — время, отсчитываемое по оси х = 0, являются положительными характеристиками, вдоль которых напряжение о и скорость у постоянны.

В этой области имеем (см. (10.11))

dy—^dc.

Выведем теперь соотношения, описывающие процесс разгрузки. Уравнения равновесия (10.1) и условие сплошности (10.4):

/1Лди до до де

действительны для произвольной зависимости о(е), а следовательно, и для жесткой разгрузки. Так как в области разгрузки О2 деформации постоянны в каждом сечении х (т. е. е(х) = е), то из условия сплошности (14.3)2 получаем

y = o^ = t)^iY

Таким образом, в зоне разгрузки участок стержня Л40Л1 (рис. 42) является идеально жестким телом; в нем скорость частиц не зависит от х и в поперечном сечении стержня в данный момент постоянна [52, 145].

После интегрирования по переменной х и использования краевого условия (11.1) уравнение равновесия примет вид

о (х, t) = р ^_ % _ р2 щ

Предполагая непрерывность скорости и напряжений на волне разгрузки, можем написать

dt)x = dv2 вдоль х = ф(/),

где индексами 1 и 2 обозначены величины соответственно со стороны области Dx и О2. Имея в виду, что ди^/дх = 0, из (14.6) получим

04.7)> = ^ + ><т

Обозначим напряжение и скорость на волне разгрузки как Сто = Ст] [ф (/), Л, »о = »1[ф(О, /], тогда

П4о\а°21 rfg°

,dt pa (а0) dt

Подставляя (14.8) в (14.5) и учитывая, что ст2 [ф (0, ^ = — <Ti [ф (0, Л = <т0, получаем

где (х*, /*) — координаты точки М. Используя уравнение характеристики (14.1), проходящей через точку М (x*,t*), и заменяя t* на /, получаем из (14.9) дифференциальное уравнение для а0 = оо(0:

=„ри 1>1„

dt t ~~ t (а0)

с начальным условием

<Т0 (/0) = ~ Ртах-

Уравнение (14.10) можно свести к виду

d V <т0) + Pi (0 dt = / (о0) ^<То-

Интегрируя это уравнение в пределах от 1й до t, получаем

t

o0t — <т0 (/0) t0 + ^ р2 (т) dr =

Gqto

= ^ t (a) da = i(a0) a0 — 1йай(/0) — j Px^dt,

Go Wt (Go)

ИЛИ

tto

a0 [/ — t (a0)] = — j p2 W dx — ^px(jf)dt.

tai (a,)

Вводя обозначение

tt»

P (/) = —• ^ p2 (t) dx — ^ px (t) dt,

to0

получим

i (a0)

p_/(a0)]a0 = PW+ J Px^dt.

о

Так как 0 < i (о0) < /0, 0 ^ pt (/) ^ — ст0 (/0) и функция p^f) возрастает монотонно, то to

$ pi (t) dl > — [/0 — t (ст0)] ст0

i ((To)

и из (14.14) и (14.16) получим оценки

(14.18)(14.18)7^^ р2(т)</т < ~ сто(()7^^ р2(т)</т < ~ сто(()t — t0 *t — t0 *

(14.18)

(14.18)

7^^ р2(т)</т < ~ сто(()

7^^ р2(т)</т < ~ сто(()

t — t0 *

t — t0 *

В силу первого из этих неравенств, можно записать

р2 (О + <у0 (О < р^ (t) + у^ j р2 (т) dx.

Так как /?2 (0 — монотонно убывающая функция времени, то р^ + ао(О < 0, следовательно, в силу (14.10), ао(О монотонно убывает во времени и стремится к нулю, если Р(оо)<4-оо. На основе (14.16) и с учетом (14.13) имеем

а0 (0 = -^- + ^Щ£»1 +

? (а0)(То

+ 7- 5 PilMt =-^- + у^?(a)dff, оо

отсюда

В работе [145] определены также асимптота волны разгрузки и начальная скорость волны разгрузки. Распределение давления р^Й в окрестности точки (0, /0) предполагается в виде

P2^ = pmax-M — t^-V

((^о) = (о — ^2 (а0 + Ртах) 4"

Oq == Ртах 4” ^3 (t (0) 4~ • • • >

где й| > 0, ^2 > 0 известны, Р3 — неизвестный коэффициент. Подставляя эти представления в (14.10) и совершая предельный переход при t -» /0, предполагая при этом, что йз ^ 0, полу

чаем(14.23)чаем(14.23)h\h\^31+ V1 + *1*2 '^31+ V1 + *1*2 '

чаем

(14.23)

чаем

(14.23)

h\

h\

^31+ V1 + *1*2 '

^31+ V1 + *1*2 '

Уравнение касательной к волне в точке (0, /0) имеет вид

x = aHA,\-VkMl-tttV

Для некоторых видов нагрузки р\^ и упрощенной зависимости о(в) в области разгрузки решение задачи о распространении волны разгрузки можно найти в замкнутом виде; в ином случае, разрешив уравнение относительно производной ф'(/)>

уравнения задачи можно свести к интегральным уравнениям. Путем последовательных итераций определится волна разгрузки, а затем напряжение, скорость и деформация в каждой из областей координатной плоскости.

Рассмотрим случай, когда среда описывается в процессе на

гружения моделью Прандтля, а при разгрузке будет е = ео(х) (рис. 43); положйм, что нагрузка р\^ изменяется по линейному закону: Р\^ = = Ртах Wo)- В области Dx распространяются сначала упругие волны, за ними следуют пластические волны Римана также с постоянными скоростями (ах = д/Ех/р\ на которых напряжение определится как

_t — xU\

° — Ртах / ‘0

(14.25)(14.25)ffo(O = -^(/-^-' to х,ffo(O = -^(/-^-' to х,На волне разгрузки х = ф(/) должны быть выполнены условия непрерывности для напряжения и скорости, следовательно,

(14.25)

(14.25)

ffo(O = -^(/-^-' to х,

ffo(O = -^(/-^-' to х,

Вычисляя производную у'(/) и подставляя уравнение (14.25)t в (14.5), при х = ф(/) получаем

ф(0ф (0 = aip—10-^—1 = Ф(0 при ^С/^/р

0 Ртах J°1

' Ф (/) <р' (/) = a^tпри t^tv

После интегрирования и определения постоянных интегрирования из условия ф(/0) = 0 и условия непрерывности на волне разгрузки при t = ti получаем уравнение волны разгрузки в виде

ф(/) = 12 ^ Ф(/) dt —■ 2 ( Ф (/) dt I V2 при /0^г^/ь

1 J\ р

фЮ^Л t2-^-^7 $ pz^t ( при t>tv

Задавая конкретный вид изменения нагрузки p^ty из формул (14.27) определим волну разгрузки х = ф(/). В области £>2 разгрузки скорость у равна скорости на волне разгрузки, у(^) = ио(О» и> следовательно, ее можно найти из формулы (14.25)2. Напряжение же определим из уравнения (14.5). Для времени t ^ tx в формуле (14.5), очевидно, следует принять р2^ = 0. Деформация на волне разгрузки определится непосредственно из соотношения а = а (в), в рассматриваемом случае моделью Прандтля (рис. 43).

Полагая, например, что давление p2^t) изменяется также линейно, р2^ = PmaxGi — 0/(^i — М, из (14.27) получаем (14.28)^^'Vl^t-^ ПРИ ^^^^

ф(0 = й1Л^2”^1При t*^t\.

В предположении линейного изменения давлений р\^ и р2^ и в случае модели Прандтля первый отрезок волны разгрузки будет прямой линией (при /о ^ ^ ^ ^i).

Зная форму волны разгрузки, можно определить напряжение и скорость на фронте волны разгрузки из формул (14.25):

при /0</<^;

S - VS' - '->]

при f>tx.

Напряжение в области D^ находится из уравнения движения (14.5), в котором о'(0 исключается дифференцированием по времени скорости ко(О> определенной согласно (14.29) и (14.30):

°(я, ^ = -ур-(1 — л]"ГХТ)х — Р™И t'-t Оро х V Ч — Ч) /Ч — Ч)

при /0</</ь (14.31)

о (х,/) =-^^ f 1... 1. -Sxпри f>tx.

а^ \V/2 - txt» )г/ 1

Деформацию е (х, /) = е (х) в области разгрузки О2 определим при помощи модели Прандтля (рис. 43):Деформацию е (х, /) = е (х) в области разгрузки О2 определим при помощи модели Прандтля (рис. 43):Рассмотрим теперь случай, ние которого описывается моделью грузка приложена внезапно и затем монотонноРассмотрим теперь случай, ние которого описывается моделью грузка приложена внезапно и затем монотоннокогда к концу стержня, поведе- Прандтля (рис. 43), на- убывает во времени (рис. 44). Аналогично случаю волны разгрузки для модели Прандтля с упругой разгрузкой, можно показать, что волна разгрузки совпадает с характеристикой, уравнение которой х = axt (формула (11.21)), и является волной сильного разрыва. Решение в координатной плоскости представлено на рис. 45.

Деформацию е (х, /) = е (х) в области разгрузки О2 определим при помощи модели Прандтля (рис. 43):

Деформацию е (х, /) = е (х) в области разгрузки О2 определим при помощи модели Прандтля (рис. 43):

Рассмотрим теперь случай, ние которого описывается моделью грузка приложена внезапно и затем монотонно

Рассмотрим теперь случай, ние которого описывается моделью грузка приложена внезапно и затем монотонно

В невозмущенной среде

Рис. 44.сначала распространяется уп

ругая волна, она совпадает с характеристикой х = a^t, на которой напряжение равно а = os; за этой волной следует фронт волны сильного разрыва — волны разгрузки х = ait. В области Dx имеем а = aS) у — — (1/рй0)о5. На волне разгрузки должно быть выполнено условие динамической непрерывности (11.25) в следующем виде:

(14.33)(14.33)Go — Gs= — Pal (°0 — Os),

(14.33)

(14.33)

где индексом нуль обозначены значения на волне разгрузки.

Используя (14.33), из уравнения движения (14.5) на волне разгрузки х = axt получим

OQ^ = t^L-p2^.

Интегрируя это уравнение при начальном условии о0(0) = — №(0),

получим напряжение на волне разгрузки в виде

t

»0 (0 = ~ у ^ № W </т При /</ь (14.35)

^0 (0 = — у 5 Р2 (О ^ ПРИ t > Л1 о

здесь принято, что р2(/) = 0 при t > tx.

Скорость у0 на волне разгрузки получим непосредственно из (14.33) в виде

Уо(О = -(1 ~Р)уу + уУГ\р2^йт при l<tb (14.36)0

М0 = — (1 — P) уу + yy? ^Р2^^ при t>tx.

Напряжение в области разгрузки определяется из уравнения (14.25) с учетом того, что х)(^ = х)^\ следовательно,

ff(x, 0 = -(l-^r)p2(/)--^-^p2(T)dT при /<у (14.37)^0

ст (х, о = — -уу 5 Pt (t) dtпри / > tx.

1 о

Деформация в области разгрузки в случае модели Прандтля равна

Х/Охе(х) = (1 — ц2)-^-— ( р2(т)^т при f^b

Р^о Palx 0J

txе (х) = (1 — р,2)!— ( р2 (/) dt при / > tb

Р^О Ра1Х

Легко видеть, что на волне разгрузки, согласно (14.35) и

напряжение и деформация убывают вдоль волны. Конец волны разгрузки определяется из условия

О kXk) = os.

Таким образом, на отрезке (0, х^) стержень деформируется пластически. Для х > xk в полубесконечном стержне распространяются только упругие волны.

Приведенные выше решения для волны сильного разрыва получаются также из ранее полученных решений для волны слабого разрыва (рис. 42), если в них сделать предельный переход при tQ -> 0. При to -> 0 волна разгрузки, согласно формулам (14.28), станет прямой с уравнением х = a^t, а из решений на волне разгрузки и решений в области разгрузки [формулы (14.29) — (14.32)] получим решения (14.35) — (14.38).

Сравнивая значения напряжений (14.35) на волне разгрузки для случая модели Прандтля с жесткой разгрузкой при линейном изменении давления на конце стержня p(f) = pmax(l— — /Д1) со значениями напряжений (11.24), полученными для подобной задачи только для случая упругой разгрузки (рис. 32), можно убедиться [28], что разница между ними незначительна. На рис. 44 представлены значения напряжений на волне разгрузки, подсчитанные в обоих случаях для коэффициента ц = = 3. Разница между двумя результатами не превышает 10%. Расходимость результатов заметно уменьшается с ростом коэффициента р, и, например, при р = 10 нс превышает 1%.

До сих пор в разд. 14 рассматривались только задачи о распространении волн в полубесконечном стержне. Перейдем теперь к решению задач о распространении волн в ограниченном стержне. По-прежнему будем полагать, что стержень изготовлен из упругопластического материала с жесткой разгрузкой. Здесь задача об отражении волн слабого разрыва от конца стержня также является довольно сложной; ограничимся только случаями волн сильного разрыва. Дальнейшее упрощение задачи отражения имеет место в случае, когда фронт волны сильного разрыва является одновременно волной разгрузки. В этом случае к концу стержня первой приходит волна разгрузки и она

испытывает отражение. Такой случай имеет место тогда, когда предполагается, что для данного материала os =5 0.

Рассмотрим случай распространения плоской волны разгрузки сильного разрыва в слоистой среде, причем на границе

Рис. 46.Рис. 46.

Рис. 46.

Рис. 46.

сред находится недеформирующаяся масса М (рис. 46). Волна разгрузки, падая на массу М, подвергается отражению от нее; одновременно волны начинают распространяться в другой среде. Предположим, что первая среда находится в пластическом состоянии; соотношение о(е) примем согласно рис. 47, процесс нагружения совершается по прямой ОС, а разгрузка происходит при постоянной деформации. Вторая среда предполагается идеально упругой. Обе среды имеют разные плотности. Положим, кроме того, что давление p(t) на конце х = 0 прикладывается внезапно и затем монотонно убывает во времени, т. е. примем краевое условие вида (11.Г). Эта задача была решена в работе [53]. Решение на координатной плоскости (х, t) представлено на

рис. 46. В области / решение получается из ранее рассмотренной задачи (формулы (14.35)1—(14.38)1), если принять os = 0:

tх/а

<г0(/) = — у ^ р (т) dx или а0(х) = — у ^ p^dxt

0JQ

tt

у0 ^ = "^Г $ р (т)dT’ °> Iх' ^ = “ С1 — "5") Р^ — "^" $ р W dT>

1 xira

61(л:) = ——— j p^dv,

О

здесь индекс 1 означает, что решение относится к области I (рис. 46), и а = ^Е[р.

В момент отражения фронта падающей волны от массы М происходит повышение напряжений. Из условия (12.8) вытекает1), что если напряжение на фронте падающей волны равно По, то в момент /0 = Ца отражения волны от массы напряжение на фронте отраженной волны равно ос = 2о0. Отраженная волна с уравнением х = 2/ — at также будет волной сильного разрыва, которая распространяется в среде, деформированной падающей волной. В фиксированном сечении х (0 ^ х ^ /) среда была деформирована по пути О АВ (рис. 47). Увеличение напряжения может произойти сначала по линии ВА до значения о0 (при постоянной деформации), т. е. до значения, которое было в среде до разгрузки, лишь затем происходит рост напряжения по линии АС с одновременным ростом деформации. Следовательно, напряжение перед фронтом отраженной волны в фиксированном сечении х должно возрасти до значения Оо(^), затем на фронте волны возрастет до значения ос(^) и будет убывать за фронтом волны. Можно показать, что отраженная волна с уравнением х = 21— at есть волна разгрузки.

Займемся решением в области //. Для фиксированного момента t (.to 5^ t ^ tk) среда является идеально жесткой, процесс изменения напряжения совершается по прямой АВ без изменения деформации; скорость у2 есть функция только времени. Уравнение равновесия имеет вид (14.5), т. е.

о2 (х, У) = ри' (/) х — р (tY

Так как в фиксированном сечении х перед фронтом отраженной волны

x = 2l — at

напряжение достигает значения Oo(t), то на основании (14.39) имеем

еда-t

о^ = — "£Г-а1 $ P^d-t.

о

0 Предполагая, что упругую среду II можно рассматривать как пружину с соответствующим коэффициентом упругости (модель представлена на рис. 35),

Из уравнения (14.40) с учетом (14.42) при х = 21— at получимИз уравнения (14.40) с учетом (14.42) при х = 21— at получим2l/a-t2l/a-t(14.43)(14.43)2^г^ $ р ^ dT = Ру2 ^ ^1 — а^ — р W2^г^ $ р ^ dT = Ру2 ^ ^1 — а^ — р Wа после интегрированияа после интегрирования211а-т\211а-т\(14.44) у2 (0 ” "М m"T^ dr — — Ip^dx dx\-VC,v 72X7 p J 2/ — ат p J (2/ — «4) J(14.44) у2 (0 ” "М m"T^ dr — — Ip^dx dx\-VC,v 72X7 p J 2/ — ат p J (2/ — «4) Jгде постоянная интегрирования С определяется из начального условия при / = /0:где постоянная интегрирования С определяется из начального условия при / = /0:У2 (^о) = »j М = ^- 5 р (0 ^’У2 (^о) = »j М = ^- 5 р (0 ^’илиили(14.45)(14.45)/оt/оtПа—т\Па—т\(2Z - ач)2(2Z - ач)2р (т) d% dv^ 4р (т) d% dv^ 4

Из уравнения (14.40) с учетом (14.42) при х = 21— at получим

Из уравнения (14.40) с учетом (14.42) при х = 21— at получим

2l/a-t

2l/a-t

(14.43)

(14.43)

2^г^ $ р ^ dT = Ру2 ^ ^1 — а^ — р W

2^г^ $ р ^ dT = Ру2 ^ ^1 — а^ — р W

а после интегрирования

а после интегрирования

211а-т\

211а-т\

(14.44) у2 (0 ” "М m"T^ dr — — Ip^dx dx\-VC,

v 72X7 p J 2/ — ат p J (2/ — «4) J

(14.44) у2 (0 ” "М m"T^ dr — — Ip^dx dx\-VC,

v 72X7 p J 2/ — ат p J (2/ — «4) J

где постоянная интегрирования С определяется из начального условия при / = /0:

где постоянная интегрирования С определяется из начального условия при / = /0:

У2 (^о) = »j М = ^- 5 р (0 ^’

У2 (^о) = »j М = ^- 5 р (0 ^’

или

или

(14.45)

(14.45)

/оt

/оt

Па—т\

Па—т\

(2Z - ач)2

(2Z - ач)2

р (т) d% dv^ 4

р (т) d% dv^ 4

Распределение напряжений в области // определяется из уравнения (14.40) путем исключения в нем и'(^) при помощи уравнения (14.43):

^Ha—t

(14.46) а2 (х, /) = - р (/) (1 - зст) - ^atf 5 р ^ dx'

о

Деформация будет такой же, как и в области /, т. е.

(14.47)(14.47)82 (х) = 8! (х).

(14.47)

(14.47)

Перейдем теперь к решению в области ///. Полагая, что среда II является упругой и что скорость распространения волн в этой среде равна as, уравнение движения (10.8) в этой области можно представить в виде

где х = х —/, t — t — lla. Общее решение (14.48) имеет вид (14.49)и (х, 0 = дч (х — а^ + Фг (^ + ^s0-

Функции ф] и ф2 определяются из краевых условий для х = 0 и из условия на характеристике х = а^ эквивалентного началь-

ному условию при / — 0:

»3 (°, О =(°, ‘^ = P1«S "S’ L= 0 =

(14 50)= Р>^ [ф' (- аЛ + Фг («/)] = - »Р $»

= Pi«s [ф? (°) + Ф> (2а ?)] = °3 (°’ °) = °>

где ар(?) — напряжение, действующее на массу М со стороны упругой среды. Условие оз(0, 0) =0 вытекает из того факта, что масса М не может быть внезапно приведена в движение силой конечной величины. Волна, уравнение которой х — а81, представляет собой волну слабого разрыва. Из условия (14.50)2 получим, чтоср'(2aJ) = — ф'(0) Далее, из условия (14.50)1 имеем

(14.51)(14.51)-(?)Ф1 (— й^ = ф (°)~-(?)Ф1 (— й^ = ф (°)~

(14.51)

(14.51)

-(?)

Ф1 (— й^ = ф (°)~

-(?)

Ф1 (— й^ = ф (°)~

Исходя из начального условия у3(0, 0) = 0, определим постоянную ф; (0):

^= - а^ (0) + asq>'2 (0) = 0 -> Ф; (0) = 0.

i =0

Полагая z = — ast, из (14.51) получаем

Полагая затем г = х — ast, имеем orp(?-x/as)

Ф; (х - а/) =.

Скорость у (х, 0 в области III можно определить следующим соотношением:

v. = — as^^ — a^=-^—<5pU — ^-'\\

Plug ' X CLs /

напряжение ор на контакте сред I и II найдем из условия (12.19) согласованности движения обеих сред.

Можно доказать, что в области IV происходит процесс разгрузки. Из уравнения (14.3)1, учитывая, что при разгрузке 8(/) = const, в области IV получим уравнение динамического равновесия

о4 (х» 0 = Ру4 (0 ^ + С (/),

где постоянная интегрирования определяется из условия, что на отраженной волне х = 2/—at напряжение о равно ос (рис. 47), так что

о4 (х, /) = ро' (0 (х — 2/ + а/) + ас.

Отсюда при х = / получим

а (/, 0 = ру' (0 (а/ — 0 + ас = — ос (0,

где О/ — реакция массы М со стороны области /. Учитывая, что I = t — Ца, имеем

а (/, 0 = рай' (?) ? + ас (?) = — а, (0.

Используя условие (12.14) и условие непрерывности скоростей (12.13), получаем следующее уравнение:

(М + ра0 и' (?) + р,а$и4 (?) = — »с (0.

Из условия динамической непрерывности (12.2) на фронте отраженной волны х = 21 — at получим

(14.58)(14.58)о с = ращ + а0 — раа2,о с = ращ + а0 — раа2,

(14.58)

(14.58)

о с = ращ + а0 — раа2,

о с = ращ + а0 — раа2,

где По и и2 — известные функции времени, определенные формулами (14.42) и (14.45). Подставляя (14.58) в уравнение (14.57) и вводя обозначения

£ Л\ _ P# + Pl^s £ /1\ _ — ^0 (?) + рд^2 (?)

1 М + pat ’2М + pat *

получаем для функции и4(?) следующее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка:

(14.59)^(tHt.^^^M^

t«4 (?) = 5 ?2 (п) ехр оt«4 (?) = 5 ?2 (п) ехр оdr),dr),Решение этого уравнения имеет вид

t

«4 (?) = 5 ?2 (п) ехр о

t

«4 (?) = 5 ?2 (п) ехр о

dr),

dr),

(14.60)

где постоянная интегрирования определена из условия у4(0) = 0. На основании (14.53) и (14.55) напряжения щ(7) и аР(0

примут вид ?г ?

(14.61)(14.61)di],di],az(0 =Mf2(0 + [pias —Mf,(0] ^ f2(n)exp — ^ A(T)dr

(14.61)

(14.61)

di],

di],

?Гi

Op (?) = РА 5 ?2 ^^ехр — $ ?> ^ dx йг1' оL о J

(14.62)(14.62)Формулы (14.61) справедливы при Z </д— /о (предполагается, что /о < 4), где th — время, при котором отраженная волна разгрузки исчезнет, т. е. при котором будет выполняться условие

(14.62)

(14.62)

uAt^ = Viklk\

В области V уравнение динамического равновесия (14.5) имеет вид

(14.63)а5 (х, ?) = рху' (Z) — р (/).

Отсюда при х = 1

(14.64)р/у'^-р^^-оДД.

Используя условие равновесия сил, приложенных к массе М (см. 12.14):

МуДО + оД/, ^-оД!, /) = 0,

и уравнение (14.53) (у3 = у5):

получаем из (14.63) следующее дифференциальное уравнение для скорости у5(/):

(14.65)пД() + ^5 (0 = ^(0,

где■

f - PlaS f _1

,3 M + pl ’/4 M + p

Решение уравнения (14.65) имеет вид

(14.66)(14.66)у5(0=е^И) f4у5(0=е^И) f4$ Р (л) exp [f3 (ц — /Д)] dn + у2 М$ Р (л) exp [f3 (ц — /Д)] dn + у2 М

(14.66)

(14.66)

у5(0=е^И) f4

у5(0=е^И) f4

$ Р (л) exp [f3 (ц — /Д)] dn + у2 М

$ Р (л) exp [f3 (ц — /Д)] dn + у2 М

где постоянная интегрирования определена из условия У5(/Д = = у2(^) при t = "tk. Наконец, напряжения Oi9Y Ор9) примут

следующий вид:

а, (0 = (1 — p/f4 exp [— f3 (t — /fe)]} p (t) +

+ p/f3exp[—f3(/ —t6)]X

X Л $Р(ч)ехр[М1)-/6)Ып + у2(?б) .

(14.67)

Op (?) = Pi«s 1 hp (?) —

— fs Л J P (П) exp [f3 (n - /6)J dx\ + v2 (^)

Xexp [-f3 (?-?*)]•

Решение в области VI получим, полагая р(?) = 0 в уравнении (14.65).

Деформации в каждой из областей выражаются в следующем виде:

е2 (х) = 8! (х), 8g (х) = е6 (х) |ж<ч =гх (х), (14.68) 84(х) = 4-асю|._ь_^, e5(x) = 86(x)|x>Xft = 84(x),

83(х, 0='—Opt™— t\

р(^ р\а )

На рис. 48 представлен график напряжения о/(?) — реакции, действующей на массу М со стороны области / [53], в случае линейного изменения давления р^ на конце стержня ^р^ = — РтахО— ^Д1))—кривая /. В случае отсутствия на границе сред массы (среда // является упругой), полагая в (14.57) М = 0, находим решение для слоистой среды, являющееся частным случаем решения, полученного в работе С. Калисского [42]. Решения в областях /, // останутся теми же, изменятся решения в областях IV, V и VI, где следует положить М = 0;

I (/) . _££2b_P12s.^ . ”^(0 + 9аи2 (t)

patpat *

£ Pi^s £ 1

В свою очередь совершая в этих решениях предельный переход при М —► оо, получаем решения для случая отражения плоской волны разгрузки от жесткой преграды. При этом имеем

h = f2 = Ь = f4 = 0, а следовательно, на основании (14.60)

(14.69)(14.69)у4(х, /) = 0.

(14.69)

(14.69)

Из уравнений динамического равновесия (14.54) следует, что напряжение есть функция только времени Оа(х,Ц = oc(ty Используя условие динамической непрерывности (14.58), получаем следующее решение:

2l/a—tt

а4(t) = ос(0 = -^^ J P^di-^^^p^dt-V

0t0

21/0-4

р (т) duо

Легко убедиться, что напряжение о4(0 есть убывающая функция времени; следовательно, область IV действительно бу*

Рис. 48.Рис. 48.

Рис. 48.

Рис. 48.

дет областью разгрузки. На фронте отраженной волны разрыв напряжения исчезает с ростом времени t; из формулы (14.58) имеем [о] = ос — По =—р^МО» гДе скорость Уг(0> определенная формулой (14.45), есть убывающая функция времени. В этом случае условием определения конца отраженной волны разгрузки (14.62) является условие и2(^) = 0. С этого момента устанавливается движение стержня как жесткого тела (и5=0). Из (14.63) вытекает равенство o^^h) ^—pih) при 1=К; следовательно, происходит скачкообразное выравнивание напряжений до значения —p(JhY В области V на основании (14.67) имеем щ(£) = —q5(?) = р^у В области VI, очевидно, о6 = у6 = О,

На рис. 48 кривая 2 представляет изменение напряжения при х = I со стороны области / в случае, когда М—>оо, т. е. в случае отражения волны разгрузки от жесткой преграды [53]. Время tn соответствует времени, при котором исчезает отраженная волна разгрузки сильного разрыва. В начальный момент величина напряжения оД/, 0) совпадает с напряжением для случая отражения волны разгрузки как от жесткой, так и от упругой преград. Это следует также из сравнения формул (12.8) и (12.11). В обоих случаях эти напряжения затем убывают (однако значительно быстрее в случае упругого закрепления). Градиент убывания напряжений оД/, £) тем больше, чем меньше масса М и чем более податлива среда // за массой М.

Рассмотрим в заключение два случая распространения плоских ударных волн в полубесконечном стержне при жесткой

Динамическую характеристику грунтов для больших значений давления (см. разд. 4, рис. 16) приближенно можно аппроксимировать моделью, представленной на рис. 49, б, в. В случае больших давлений можно принять, что предел текучести грунта равен нулю. Действительную кривую OBAD на рис. 49, а можно заменить кривой О А (рис. 49,6) или же прямой О А (рис. 49, в). При значениях напряжения о, больших о*, процесс нагрузки происходит при постоянной деформации 8 = е*, а в процессе разгрузки е = е(х) при 0 о о*.

. Считаем, что давление на конце стержня приложено внезапно, затем убывает во времени монотонно и что р(0)=ртах> о*. Случай ртах < о* для линейного изменения а=о(е) (рис. 49, в) был рассмотрен ранее. В полубесконечном стержне распространяется волна сильного разрыва (ее уравнение х = at), которая одновременно является волной разгрузки. Решение для этого случая представлено формулами (14.39). Для данного случая рассмотрен также волновой процесс в слоистой среде с жесткой массой на границе сред.

Согласно принятому выше предположению относительно нагрузки, от конца полубесконечного стержня начнет распростра-

няться ударная волна, уравнение которой представлено на рис. 50. Эта волна одновременно будет волной разгрузки. Ее форму определим, исходя из уравнений динамического равновесия (14.5) и условий динамической и кинематической непрерывности (13.17), в которых примем е0 = е*:

о(х, О = ро'(0* — р(0, о0 = — Рф'(О Уо. Оо = — ф'(0 е*.

Учитывая, что о (х, /) |(/) = а0 и у(/) = у0(/), из системы

уравнений (14.71) получим обыкновенное дифференциальное

уравнение второго порядка для х —<р(/):

Ф(0ф"« + [ф'< = Ж

где f (0 = — р (0/(Р8*)- Это уравнение можно преобразовать к виду

-^£ШГ] + (ф,(0)2 = f(z))

из которого после двукратного интегрирования с учетом начальных условий

Ф(0) = 0, ф'(0)=д/^^

получим искомое уравнение ударной волны

(14.75)(14.75)

(14.75)

(14.75)

После простых преобразований из формул (14.71) получим решение в области разгрузки в виде

о (х, t^ = pe*f (/) —- ре*х X

Напряжение на волне разгрузки, определенное из (14.76), убывает во времени. В момент t = t* (рис. 50) оно достигнет значения о = о*. При t > t* в случае зависимости а = о(е),

показанной на рис. 49, в, решение получается в замкнутом виде, а в случае зависимости, представленной на рис. 49,6, решение приходится строить численно.

Решение, представленное выше, можно легко распространить на случай отражения волн в ограниченном стержне при произвольных краевых условиях на конце х = Z. В случае отражения ударной волны от жесткой преграды, в силу условия v = 0 на

закрепленном конце стержня х — I, решение отвечает стабилизации перемещений и скачкообразному выравниванию напряжений.

Рассмотрим теперь аналогичным образом задачу о распространении плоской ударной волны для более общего случая [119]. Примем, что зависимость о = о(е) для грунтов в области средних давлений (пунктирная линия на рис. 51, а) аппроксимируется прямыми линиями, как это показано на том же рисунке (сплошная линия). Кроме того, рассмотрим случай, когда на конце х = 0 давление монотонно возрастает от нуля при 0 ^ ^ ^ ^ /о, а затем монотонно убывает до нуля.

Решение на плоскости (х, <) будет иметь следующий вид (рис. 52). При t^ty стержень будет упругим, следовательно, о = —p(f) ^ оу, v = € = 0. В области / установится такое состояние: oi = Оу, Ui = 81 = 0. В области //, ограниченной характеристикой x = a(t— ty) и осью t, распространяются волны Римана со скоростью а=^Е^. В этой области имеем

а2 (х,—

и2(х,

е2(х, 0 = yv2U tY

Когда в момент t = I* давление на конце х = 0 достигнет значения о = а*, из точки (0, /*) начнет распространяться удар-

ная волна х = <р(/). На ее фронте деформация постоянна и равна е = е* = const. В областях Ш, IV, V деформация 8 = е*. Форма ударной волны определится аналогично рассмотренному ранее случаю из уравнений (14.71); однако в условиях динамической и кинематической непрерывности (14.71)2,3 необходимо учесть тот факт, что волна разгрузки будет распространяться в возмущенной среде. Следовательно, уравнения задачи для области /// имеют вид

о3 (х, ^ = ру^х — р^, <г3—а2 = —рф,(0(о3—о2),

при Г</</и

оз — «2 = — ф' (О (е* — е2)

Учитывая (14.77), из (14.78) получим для х = <р^ обыкновенное дифференциальное уравнение для определения первого отрезка фронта ударной волны:

- р (1 -) + р М + til (1 _ lU«y р- (, _ Ф1й) +

++о

Т 2 Р ( 6 "Т"рд2J 1ф w] = О

с начальными условиями

Ф(Л = 0, ^ЧЛ = а.

Так как в общем случае (14.79) является нелинейным уравнением, его приходится решать численно. Зная форму ударной волны х = ф(£) при /*^ t ^ t\, в области III можно определить а(х, t), v(t). В области IV деформация е = е*. Ударную волну х = <р(0 при t\ ^ t ^ t0 определим при помощи уравнений

о4 (х> 0 = Р^ (0 х — р (t), а4 — ои = — р<р' (0 у4,

(14.81)(14.81)у4 = — ф' (0 е*у4 = — ф' (0 е*при /1</</0,при /1</</0,

(14.81)

(14.81)

у4 = — ф' (0 е*

у4 = — ф' (0 е*

при /1</</0,

при /1</</0,

учитывая при этом начальные условия и непрерывность функции <р(0 и ее первой производной при t = ti.

Вводя функции

t X

F (0 = — 5$ [р (л) + og] <h d^,

(14.82)(14.82)tv tv

(14.82)

(14.82)

t

G {t) = F' (t) = — J [p (n) + Oy] dt\,

получаем

ф(/) =

[^- + 2^(/-0) + Ф2м]‘/2,

(14.83)

v4 (/) =

G (0 4- рее* РФ (0

о4 (^, Is) =

X Г

— Р (А77Г

v 7 Ф (0 L

ру4 (0

8*

Н Р (0 + Су

где

С = ф' (^) ф' (/1) = const.

Решение в области V проводится так же, как в области IV. Краевое условие требует, чтобы в этой области на фронте ударной волны напряжение было убывающей функцией времени. Время /2 определяется из условия п5 (х, /2) |х=(р (0 = ау. Предположим для простоты, ЧТО /2 < ^4-

Используя условие непрерывности на фронте ударной волны, в области VII получим

о7 — оу = р (ф' (Z))2 е7.

Так как о7— ау — Ее7, то

ф'(/) = а при /2</</3.

Следовательно,

ф (/) = a (t — Q + ф (/2) при /2<f</3.

Далее, так как е = е (х), то

Уб(/) = у7(/).

Из уравнения динамического равновесия

ос (х, О = о7 (х, /) = рху^ (/) — р (О,

используя (14.84) и (14.87), получим дифференциальное уравнение

р [a (t — /2) 4- ф (/2)] у7 (/) — рао7 (О = — р (/) — оу.

из которого при начальном условии у7 (/2) = у3 (У находим

(14.901 где(14.901 где,А _ [G, (/) + G (/о) + ре^с]7^ р [а 0 — 0) + ф (О)] ’

(14.901 где

(14.901 где

/о

С, (0 = — ^ IP (п) + сту1 ^1].t

Напряжения в областях VI и VII выражаются в виде

(14.91) а6(х, /) = о7(х, 1) = -р^А

х [— р (0 — су — ар«1 (01

ф(0

а деформации — в виде

(14.92) 86 = е\ 87 (х) =

Gy W + G И + осг

р ах

х-ф(^) * а

Точка (х = ф(/3), / = /3) точке А на рис. 51,а. ПриТочка (х = ф(/3), / = /3) точке А на рис. 51,а. Прина ударной волне соответствует / > /3 (области Vil!, IX) X) имеем

Точка (х = ф(/3), / = /3) точке А на рис. 51,а. При

Точка (х = ф(/3), / = /3) точке А на рис. 51,а. При

^8 = ^9 = ^10 = О,

о8 (0 = о9 (/) = а10 (/) = — р (/),

88 = 8*, 8g (х) = 87(х), 810 = 0.

На прямой / = /з происходит скачкообразное выравнивание напряжения до значения, заданного на конце х = 0.

В работе [118] рассмотрена задача о распространении плоских ударных волн нагружения в случае криволинейной диаграммы деформирования материала. Принято следующее соотношение для процесса нагружения:

o, = f(e) при о^оу,

где f(e)— функция класса С2 относительно 8, удовлетворяющая следующим условиям: /"^^О, f'(e) = К(&) > 0. Функция Цг^ = о + (о* — о) ((е — 8^)/(8* — 8^))п (п ^ 1) представлена на рис. 51, б.

Для процесса разгрузки, как и прежде, принято е(х,/) = = 8т(х) при о(х,/) ^ от^ и всех 8>0, где 8т(х) и ст(х) — максимальные деформация и напряжение, достигаемые в сечении х в процессе нагружения.

При названных предположениях рассмотрена задача о внезапно приложенном к концу полубесконечного стержня давлении, которое затем монотонно убывает во времени. Решение получено в замкнутой форме.

Распространение плоских продольных волн в упруго/вязкопластической среде

Вопросам распространения продольных плоских волн напряжений в упруго/вязкопластической среде было посвящено много работ, среди них [54, 63, 65, 77, 91, 124, 140, 221]. Эти работы были начаты уже в 1948 г., но их расцвет приходится на 60-е годы. Рассмотрено много задач, связанных с распространением волн в однородных и неоднородных средах, задач об отражении волн от недеформирующихся и деформирующихся преград, о распространении волн в стержнях с переменным сечением и т. д.

Определяющие уравнения для упруго/вязкопластических сред (3.5) при одноосном напряженном состоянии имеют вид [см. (3.12)]

е = ^ + \ЧФ^Иёпо,

где F = a/f(8P)— 1, f(8p) — статическая характеристика материала при одноосном растяжении, у* = 2у/д/3 .

Уравнение упругой разгрузки имеет вид

о = о0 (х) + £ [е —- 80 W] при О^/(8Р), где ао(я), ео(х)—соответственно значения напряжений и деформаций на волне разгрузки, Е— модуль упругости.

Уравнения движения (10.1) и уравнение (10.4):

/1 сди до дг ди

р—= —— _ = —_

v 7r dt дх dt dx

вместе с определяющими уравнениями (15.1) или (15.2) образуют замкнутую систему уравнений задачи. Эта система имеет следующие характеристики:

х = ± ^ + const, х = const,

где а = л/Е1р.

Вдоль характеристик имеют место соотношения

do ^ pa do ± pay* (Ф (F)) dx = 0 при х = + at + const, ^5-5) do — pa2 de + paV (Ф (F)) Л = 0 при х = const.

В областях упругих деформаций и областях разгрузки (о ^ ^f(8p)) в (15.5) надо положить (®(F))=0. Необходимо обратить внимание на тот факт, что как в зоне упругих деформаций и в областях разгрузки, так и в областях вязкопластических деформаций возмущения распространяются с одинаковыми скоростями, постоянными в случае однородной среды.

В случае распространения в полубесконечном стержне плоских волн напряжений, отвечающих краевому условию

о(0, 0 = — p(t), p(t)^O, p(O) = po>as,

решение в координатной плоскости будет иметь следующий вид (рис. 53). При краевом условии (15.6) в стержне будет распространяться волна сильного разрыва, которая совпадает с характеристикой х = at. На фронте этой волны должны быть выполнены условия динамической (7.18) и кинематической (7.27) непрерывности, которые в случае плоских волн имеют вид

[а] = “Р^М, М = -й[е].

При нулевых начальных условиях волна х = at распространяется в невозмущенной среде; следовательно, перед фронтом волны о = у = е = 0, и условия (15.7) приводятся к виду (15.8)о = — рот, v = —от.

Решение на фронте волны х = at строится при помощи зависимости (15.5)2 вдоль положительной характеристики и условия (15.8); тогда

-^ = -^-рау*(Ф(П).

Это равенство можно свести к интегральному уравнению

X

<?(*) =-Ро~ $ Ш * (ЮЖ

о

Рис. 53.

где использовано краевое условие (15.6):

ф[х, о(х)] = |рау*(Ф(Г)>.

Если задать функцию у* (Ф (F)) в виде (3.22), то подынтегральная функция ф[х, а(х)] имеет следующий вид:

ф [х, а (х)] = [(1 - ра2 ("W-^) 21±^»l +

1Лво — 8S / Gsn2 Gsn\

I ~^2 ^ (x)— °S О (x) ownx 1 /Л . \ + pa 8w-6s

Легко показать, что подынтегральная функция в (15.10), представленная в виде (15.12), ограничена и удовлетворяет условию Липшица; отсюда вытекает сходимость последовательных приближений. Проводя оценку, получим

loKpo + ^-^-l),

где через М обозначена верхняя грань подынтегральной функции (15.12), через R— значение производной |дф/до[ для пара-

метров, определяющих верхнюю грань подынтегральной функции; h равно наименьшему из двух чисел:

I ~ I2 * I Ш р

где х*— координата, при которой напряжение а(х*) на фронте волны сильного разрыва х = at достигает статического предела текучести os.

Рис. 54.

Область Dx (рис. 53) определена как область вязкопластических деформаций. В общем случае ввиду того, что уравнения задачи почти линейные, их нельзя решить в замкнутой форме1). Решение в области Dx строится численно, методом сеток, образованных характеристиками (рис. 54).

На основании соотношений (15.5) рекуррентные формулы для определения дискретных значений параметров решений на сетке характеристик примут следующий вид:

Р«Ф (F\t m_u „_0 Ал: — ра [у (/, т, п) —

—у (/, m — 1, №—1)] + [о (/, т, п) — о(/, tn — 1, п—1)] = 0, (15.14) P^^-i.m+i.m^-P^^^ т.п)-

—у (/—1, tn + 1, и)] + [o(Z, tn, п) — а(1— 1, т + 1, и)] = 0, ра2Ф <F\l-Xi т> „_п At + [и (I, т, п) — а (I — 1, т, п — 1)] —

— ра2 [е (Z, ггц п) — 8 (Z — 1, m, п — 1)] = 0.

Это система уравнений относительно трех искомых функций о, у, е, которая однозначным образом определяет решение в об

’) Замкнутое решение рассматриваемой задачи дано в [64], где получен корректный вид волны разгрузки 1 = Г^хЦ отличный от показанного на рис. 53. — Прим. ред.

ласти Dx при заданном краевом условии (15.6) и условиях на характеристике х = at*, напряжение о(х) определяется из (15.10), скорость у(х) = — (1/ра))а(х) и деформация е(х) = = (1/(РЙ2))О(х).

Кривая / = Г(х) (рис. 53), ограничивающая область определения написанных выше уравнений, является волной разгрузки, она определяется из условия

а [х, Г (х)] = f [ер (х, Г (х))].

Кривая / = Г(х) определяется численно; при этом в области разгрузки О2 используются соотношения на характеристиках (15.5) при (Ф(^)) = 0.

В работе [77] решена задача о распространении плоских волн в стержне конечной длины; исследовано отражение волн от жестко закрепленного конца стержня, от упруго заделанного конца и распространение волн в слоистой среде с недеформи- рующейся массой на границе сред. Функция F в определяющем уравнении принята в виде (см. (3.13))

F—nS"X ”

При конкретных числовых данных для стержня из мягкой стали решено несколько числовых примеров. Приняты следующие значения постоянных материала: модуля упругости Е = = 2,1 • 106 кГ/см2, модуля упрочнения Ех = 1,82-104 кГ/см2, os = = 2800 кГ/см2, ow = 4600 кГ/см2, es = 1,33-10"3, ew = 0,1, у = = 7,8-10-3 кГ/см3. Давление на конце стержня было задано в виде р^ = р0(1 —Z/т), Ро = 5600 кГ/см2, т = 2,335-104 с.

Для этих числовых данных на рис. 55 представлено изменение напряжения на фронте волны х = at. На рис. 56 дано изменение деформаций на конце стержня х = 0 для случаев: (а) упрочнения материала ЕХ)Е = 8,88-10~3 и (б) отсутствия упрочнения. Различие в остаточных деформациях для обоих случаев достигает 9%. Это различие растет заметно с уменьшением градиента давления р^—кривые (в) и (а) отвечают решениям с вдвое меньшим градиентом падения давления.

На рис. 57 приведено распределение напряжений при отражении волн напряжений в сечении х = / = 60 см для разных вариантов опор:

отражение волны напряжения сильного разрыва от жесткой опоры;

для слоистой среды, где asi/osii = 0,825; рп^п/р1^1=2,13;

для слоистой среды, где asi/osn = 1,4; Рт^т/рцЛц = 1,35;

для стержня, в котором на расстоянии х = 60 см помещена недеформирующаяся масса М = 0,1р/, приведен график напряжений перед массой;

Рис. 56.

(д) для деформирующейся опоры: Л1 = 0,1 pZ, постоянная пружины ^ = 0,05£Л/, f = 0 (рис. 35), где Л— поперечное сечение стержня, I — его длина.

На основе приведенных выше примеров можно утверждать, что при рассмотрении динамических задач для малых скоростей деформаций (е^ЗООс^1) нельзя пренебрегать эффектом упрочнения материала. Этот эффект уменьшается для больших скоростей деформаций.20

Определяющие уравнения -у упруго/вязкопластических сред ' (3.5) для одноосного деформи- 16 рованного состояния имеют следующий вид:14

12

е-^ц-^+УЗ yW)),8

Оц + 26^2— ЗКе,g

где4

е = ец, 0’33 = 0'22,2

$12 = е13 = е23 = е33 = 0.

хпД1\ \ \\ 2I / =1,16 7*10"5О .* \\ 5 \ак5\0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 б/р^Рис. 57.хпД1\ \ \\ 2I / =1,16 7*10"5О .* \\ 5 \ак5\0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 б/р^Рис. 57.Система уравнений (15.17) вместе с уравнениями (15.3) является замкнутой системой уравнений, характеристики которой суть прямые

хпД1

\ \ \\ 2I / =1,16 7*10"5О .

* \\ 5 \а

к5\

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 б/р^

Рис. 57.

хпД1

\ \ \\ 2I / =1,16 7*10"5О .

* \\ 5 \а

к5\

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 б/р^

Рис. 57.

(15Л8)х = ± at + const, х = const,

где a = V(3/< + 4|i)/(3p).

Соотношения вдоль характеристик на основании (9.17) имеют вид

dan Т pado ±-^^-p,Y(Ф(7:,))dx = 0 при х = ±a/+const, (15.19)4V3

do] 1 — pa2 de 3$— р,у (Ф (F^) dt = O при х = const.

При одноосном деформированном состоянии задача о распространении волн решается аналогично задаче для одноосного напряженного состояния.

Рассмотрим теперь некоторые замкнутые решения задачи о распространении и отражении волн напряжений в упруго/вяз- копластической среде [54] для модели Соколовского (3.10).

Определяющие уравнения (3.28) можно написать в ином виде, а именно

Ее = а + %к (Ф (| а | - а.)),

где к — коэффициент вязкости,

( Ф (F) при F > 0,(Ф^))^]x = signa.

4"(0 при F^O, ь

Учитывая второе соотношение (15.3) и полагая, что Ф есть линейная функция своего аргумента, Ф(|о| —о5) = |о| —os, получим

Ео, х = о, t + кк (| о | — as).

Полные значения параметров задачи можно представить в виде следующих сумм:

ос ^, /) = хо5 + ор (х, 0, (15.22)ес (х, 0 = xes + ер (х, t\

v^x, t) = vs+vp(x, t\

где индекс с соответствует полным значениям параметров задачи, s — значениям на пределе текучести, р— значениям выше этого состояния.

Согласно (15.22), уравнения задачи в области вязкопластических деформаций при линейной функции Ф имеют вид

Ег)р.х = орЛ + kap) рирЛ = ор,Х9

отсюда

aH — a2a xx + коЛ = », а = А^^-\ для скорости получим уравнение аналогичного вида (15.24')vttt — c?vt хх + кх)Л = 0,

где индекс р опущен.

Применяя к уравнению (15.24) одностороннее преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, получим

=

где s — параметр преобразования.

Общее решение уравнения (15.25) имеет вид

a (х, s) = A exp £— Vs (s + ^) ] + йехр[7 УЦ^+^Г].

В случае распространения волн в полубесконечном стержне из условия затухания напряжений при х-*оо получим В = 0. Постоянная А определяется из краевого условия при х = 0.

Краевое условие (15.6) (рис. 58) с учетом первого соотношения (15.22) примет вид

а<^ t^ = -\p^-a^ = -^pЧY

Преобразуя условие (15.27), из (15.26) при В = 0 получим

(15.28)(15.28)д(х, з)= — Ар (s)exp[—-^Vs(s + ^)].

(15.28)

(15.28)

После обратного преобразования, используя при этом теорему о свертке, получим решение уравнения (15.24) для опре

деленных выше граничных условий:

ст(х,/) = -Ар(;--^)е 2а

где 1Х — функция Бесселя первого рода первого порядка.

Интегрируя определяющее уравнение (15.20) с учетом первого соотношения (15.22) и того, что Ф^Р) = F, деформации в

области вязкопластических деформаций можно получить в виде

[

t а (х, /) + к ^ о (х, т) dx . xla

Скорость и(хД), так же как напряжение, определяется путем решения уравнения (15.24х). Для аналогичных граничных условий получим

у(х, t) = -L^pQ-^e~4

+ $ W-T){e"4WT2~(7)2]-b xla

4-6 JdT>

xla' , т

где /о — функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

На волне сильного разрыва х = at (рис. 58) на основании (15.22), (15.29) — (15.31) параметры решения задачи будут иметь вид

ос to = xos — (р0 — os) exp ^—"^хУ

ес (х) = ze3 — -^^ exp ( — ^ х),

«с to = os + -^^'ехр ( - ^х^ .

На произвольной положительной характеристике х = a (t — /0) (О < t ^Q в области вязкопластических деформаций напряжение определяется формулой-

0С (х) = - [р (/0) - а,] е"^ * -

<о+*/ак /| Г4- А А2 — f —Y

к С Г G । х X 1 —7ТL2 W 1«/ J ,

) 1р('-+ «- 9-"'1в 7T=mF_

V* U

В случае кинематического ограничения при краевом условии для х = 0

у (0, /) = Aw (/), w (0, 0) = ш0)

где w (О — заданная функция, решение в области вязкопластических деформаций имеет вид [54]где w (О — заданная функция, решение в области вязкопластических деформаций имеет вид [54](15.35)(15.35)dr,dr,t■о (х, О + к а (х, т) dx х/а■t■о (х, О + к а (х, т) dx х/а■е(х, 0 = 4

где w (О — заданная функция, решение в области вязкопластических деформаций имеет вид [54]

где w (О — заданная функция, решение в области вязкопластических деформаций имеет вид [54]

(15.35)

(15.35)

dr,

dr,

t■

о (х, О + к а (х, т) dx х/а■

t■

о (х, О + к а (х, т) dx х/а■

На волне сильного разрыва x = at в этом случае получим ос И = иа$ — pa (w0 — v5) е 2а \ k

йс (х) = №s - --° ~ Р* е~2а х,

Vc to = Os + too — Vs) в 20 \

На положительной характеристике x — a(t — /0) напряжение определяется формулой

ас^ = — pal [ay(/0) — vs] е 2a * +

Анализируя формулы (15.33) и (15.37), можно заметить, что изменение напряжений вдоль характеристик зависит прежде всего от коэффициента вязкости к.

В случае краевого условия (15.6) напряжение вдоль положительных характеристик будет убывающей функцией х. Отсюда можно сделать заключение, что скорость волны упругой разгрузки для монотонно убывающего давления на конце х=0 меньше а. Этот факт был установлен в работе [64].

Начальную скорость волны разгрузки можно определить следующим образом. Продифференцируем напряжение вдоль ха-

рактеристики x = a(t— ts) и вдоль волны разгрузки х = ф(/): (15.38) о' (/) = ас х + а р q/ (/) а х + с t = 0.

Здесь ас(/)—начальное напряжение вдоль характеристики х= = a(t— tsy Это напряжение определяется из (15.33):

ae(/)«-4(Z-/s)X

>* /- Г|Ут2-(<-М2'

Х$ [р(/ —т) —oje 2 ^dr,

где опущен член, содержащий множитель ехр (—&т/2), который является малой величиной низшего порядка (для металлов коэффициент вязкости порядка 106 с-1). Из уравнений (15.38) и (15.39) при х = 0 и / = ts получим

IР' (0 Ь-г

<15-4°)^(^«т^ж^тг-

где

_ат/-(4т)

А = 4) ГР^-^-^е 2 - ^ -A dx. о

Так как к принимает большие значения и в рассматриваемых процессах время очень мало, то А ~ 0 и ф'(0 ^ а. Таким образом, характеристику с уравнением х = a(t— /s) можно практически трактовать как волну разгрузки.

Определение решения в области упругих деформаций D^ не представляет большого труда. В случае внезапного нагружения (краевое условие (15.6)) имеем в области D^ решение в виде (волна Римана)

а(х, f) = -p(t -4).

1 Г Г хх 1

V» (х, 0 = vc ^^ + —[р (/ - -) - as],

где ус(^) —скорость на конце х = 0 для времени t = ts. В случае кинематического ограничения (условие (15.34)) имеем

а(х, 0 = — ра[щ> (/ — 4) — ®W]. vc(x, t) = w (/ — 4).

Перейдем теперь к задаче об отражении плоских волн от закрепленного конца стержня х — I (рис. 59), на конце х = 0 которого задано давление согласно условию (15.6). Решение этой задачи следует разделить на два этапа: отражение волн

напряжений, вызванных постоянным давлением Р\^ =—os, а затем отражение волн, вызванных избытком давления Др(/) = =pW — os.

Решение в области / координатной плоскости (х, /) аналогично рассмотренному выше случаю распространения волн в полубесконечном стержне.

Волна х = at, падающая на закрепленный конец х = I, подвергается отражению. На фронте отраженной волны должны быть выполнены условия: (15.5) i на отрицательной характери

стике и условие динамической непрерывности

(15.43)(15.43)dc2 + pa dv2 —- (а2 — as) dx = О, о2 — о$ = ра (и2 — Us).

(15.43)

(15.43)

Решая эту систему уравнений, получим

(15.44)(15.44)= -ог$[1+ехр(-^ (/-!))],= -ог$[1+ехр(-^ (/-!))],

(15.44)

(15.44)

= -ог$[1+ехр(-^ (/-!))],

= -ог$[1+ехр(-^ (/-!))],

Реакцию на конце стержня х = 1 обозначим через

(15.45)(15.45)^(/J^as + A/?^), tx = t--^,

(15.45)

(15.45)

считая временно, что она известна. Используя затем решение задачи о распространении волн в полубесконечном стержне

(15.29), находим

(15.46) <y2s (х„ t) = -Os-^R (/ - ^-) е" *' -

(15.49)(15.49)

(15.49)

(15.49)

Скорость v2(x, /) определяется из уравнения (15.21):

(15.47)(15.47)У2$. х = ^- [^2$. t + к (а2$ + as)]

(15.47)

(15.47)

путем интегрирования:

(15.48) «2s(x,0=i $ ^л+^(2<т2$+а5)]^+5-[1-30"«)]- 21—at

где постоянная интегрирования определена на характеристике х = 2/— at при помощи соотношения (15.32) 3.

Из уравнений (15.46) и (15.48), используя условие на закрепленном конце стержня

y2s (h 0 = О,

получаем интегральное уравнение типа Вольтерра второго рода для определения реакции А/?(/):

Д/? (/-£)-

2Z-atъ /_t

-Т" ^ (1+4-^^)e"~A/?(/—-^1) dg-

2a J \ 4 a /\ a a 7 b

В общем случае уравнение (15.50) следует решать методом последовательных приближений. Для больших значений к можно

Пренебречь членом, содержащим множитель ехр[—Ат/2], тогда равенство (15.50) сведется к виду

LR<txH^\ (1

о

Применяя к уравнению (15.51) одностороннее преобразование Лапласа, получим

(16'52)^= "177*7-"°V*—г—ур

.s L + 2 L S + А/2 + 4 (s + kl^1 JJ

После обратного преобразования найдем

(15.53)(15.53)А/? (Л) = с8А/? (Л) = с8I1 ~ V^ e~3W2shI1 ~ V^ e~3W2sh

(15.53)

(15.53)

А/? (Л) = с8

А/? (Л) = с8

I1 ~ V^ e~3W2sh

I1 ~ V^ e~3W2sh

- т V?к Se-3W2 sh (V4к^^] • о

Подставляя (15.53) в формулы (15.46), (15.48), получим решение для напряжения aS2 и скорости uS2 в области //.

Остается найти решение для избытка давления Ар(/) над уровнем os. Аналогично (15.26) определяется

^(^>5) =

= — Кр^ exp [— 4 Vs(s + ^)] + В exp [^ Vs(s+^) ].

Благодаря краевому условию п(/, /) = 0, из соотношения (15.23)2 получим.

б2р, х = 0 при х = 1,

отсюда

В = — kp (s) exp [— ^ Vs (s + ^)] или

о2р(х, s) =

Vs(s + ^)]}.Vs(s + ^)]}.= — Ар (s)|exp[— ^ Vs(s + fe)] + exp[— ^-^

Vs(s + ^)]}.

Vs(s + ^)]}.

После обратного преобразования находим

(15.57) а2р(х,/) = -Др(/-^)е"^-^ $ Др (/- т) Xх/а(15.57) а2р(х,/) = -Др(/-^)е"^-^ $ Др (/- т) Xх/а

(15.57) а2р(х,/) = -Др(/-^)е"^-^ $ Др (/- т) X

х/а

(15.57) а2р(х,/) = -Др(/-^)е"^-^ $ Др (/- т) X

х/а

Окончательно полные напряжения в области // выражаются в виде

а^ (х, /) = <т2$ (х, /) + а2р (х, /).

Скорость U2p(^,0 определяется аналогично тому, как и ^2s(^, 0 из уравнения (15.47), записанного для вязкопластической части.

Чтобы устранить на конце х — 0 в области /// часть пластических напряжений (вызванных приращением реакции А/?(/)), переносимых к свободному концу стержня на отраженных волнах и выражаемых формулой (15.46) (при х = /), необходимо к концу х — 0 приложить напряжение

(15.59)

при t^^lfa.

В области /// получим

(15.60) o3s(x,-

t—Ua^

$ ЛЛ(/-4-г)е- "

I — X

Аналогичным образом получается решение для Ар(/):

(15.61) о3р (х, /) = - Ар (/ - -^) е 2а ^ — ^ $ Ар (/ - т) е~ 2 X

х[а

Полные напряжения в области /// представляют собой сумму а3Дх. t) = a3s(x, /) + а3р(х, ty

Решения в следующих областях координатной плоскости строятся так же, как в области III; при этом используются условия на концах стержня. Представленные выше решения найдены в предположении, что абсолютные значения напряжений в этих областях превышают предел текучести.

Если давление на конце стержня х = 0 будет монотонно убывать, плавно переходя через состояние о = os, то в общем случае волна разгрузки не будет совпадать с характеристикой. Эта задача ввиду ее сложности (влияние отраженных волн) полностью не решена. Она значительно упрощается, если давление на конце p(/)^os исчезает внезапно. В этом случае волна упругой разгрузки совпадает с характеристикой. Такой случай рассмотрен в работе [29].

При помощи приведенного выше метода решения задачи об отражении волн в ограниченном стержне в работе [55] решена задача о так называемом пластическом резонансе для упру- го/вязкопластической среды без упрочнения (для модели среды Соколовского).

Рассмотрим теперь задачу о распространении волн в произвольном неоднородном стержне со слабо изменяющимся поперечным сечением в случае модели Соколовского, которая была решена в работе [140].

Определяющее уравнение (15.20) в случае зависимости модуля упругости, плотности среды, коэффициента вязкости и предела текучести материала от переменной х имеет вид

Е (х) е = о + ху (х) [| и | — as (х)].

жается в виде (15.63)жается в виде (15.63)Уравнение динамического равновесия элемента (10.1) для стержня со слабо изменяющимся поперечным сечением F(x) выра

жается в виде (15.63)

жается в виде (15.63)

а.а.1, F' (х)y-t р (х) а-х+ p(x)F(x)

а.

а.

(15.64)(15.64)Используя уравнение непрерывности массы (10.4), запишем уравнение (15.62) для малых деформаций в виде

(15.64)

(15.64)

у- * — Е (х) 6 + Е (х) ^ с । а$ Ml-

Исключая из (15.63) и (15.64) скорость и, получим уравнение для напряжения о:

£ (я). Е (х) Г р' (х) F' (х) 1

Citt-—O>xx + — ^^ _ -^Д-j а х + ху (х) a, t -

- ТЧ^^Г ^"(х) Р W F (х) - [Р W F ^ F' <x)} G = °-

Это уравнение можно свести к уравнению типа Эйлера — Дар- бу. Следуя работе [140], введем канонические переменные g, ц:

(15.66)^ = t-Fxkx\ т|=/ + Л(4где(15.66)^ = t-Fxkx\ т|=/ + Л(4где

(15.66)^ = t-Fxkx\ т|=/ + Л(4

где

(15.66)^ = t-Fxkx\ т|=/ + Л(4

где

В канонических переменных ^, т) уравнение (15.66) записывается в видеВ канонических переменных ^, т) уравнение (15.66) записывается в виде(15.67)If 1 Г F" (х)F' (х)р' (х) 1а е „ ч— S — —7I + ху (х)л” 4 4 ( ^(х) L F\^F^Р(х) J V(15.67)If 1 Г F" (х)F' (х)р' (х) 1а е „ ч— S — —7I + ху (х)л” 4 4 ( ^(х) L F\^F^Р(х) J V°.6 -6. п°.6 -6. п

В канонических переменных ^, т) уравнение (15.66) записывается в виде

В канонических переменных ^, т) уравнение (15.66) записывается в виде

(15.67)

If 1 Г F" (х)F' (х)р' (х) 1

а е „ ч— S — —7I + ху (х)

л” 4 4 ( ^(х) L F\^F^Р(х) J V

(15.67)

If 1 Г F" (х)F' (х)р' (х) 1

а е „ ч— S — —7I + ху (х)

л” 4 4 ( ^(х) L F\^F^Р(х) J V

°.6 -

6. п

°.6 -

6. п

If 1 Г F" (x) 4 I f; (x) L F\ (x)If 1 Г F" (x) 4 I f; (x) L F\ (x)F' (X) F(x)F' (X) F(x)5.115.11-я-я

If 1 Г F" (x) 4 I f; (x) L F\ (x)

If 1 Г F" (x) 4 I f; (x) L F\ (x)

F' (X) F(x)

F' (X) F(x)

5.11

5.11

-я

-я

- vw2^ {F"^F^pw“[f wp№'('v)}^^CT^°-

Это уравнение будет уравнением типа Эйлера — Дарбу, если

V" ^ F (х) р (х) - [F (х) р (х)]' F' (х)} |5,. = О,

1/ 1 Г^ (х),f'U)p'tol,/х)Р

h,n S-n

if 1f^' (x)f (x)p' (x)1)a

4 ( ^ (x) L (x)F^p(x)JJtn

где аир — произвольные постоянные параметры. При выполнении (15.68) вместо (15.67) имеем уравнение Эйлера —Дарбу

a^.-i-ag+^-a^O,

решение которого известно. В области упругих деформаций это уравнение примет вид (у(х) = 0):

(15.69')’Лч-р^^Л-с^О.

где & = (а + р)/2.

Из первого соотношения (15.68) после интегрирования получим

F^ = Foexp^Cj ^ р (х) dx + С2].

Для стержня с постоянным сечением соотношение (15.68)1, очевидно, удовлетворяется тождественно. Из остальных соотношений (15.68) после их интегрирования получаются следующие два равенства:

Е (х) = р (х) ™ ( [1 - (а + р)] Г-^ + С41 I '^(х) С V ^НЛЬ(хЛ 4])а + ₽-Г

(10.71)

причем должно быть выполнено условие а =# 0. Постоянные интегрирования определяются, исходя из аппроксимированных механических характеристик исследуемой среды. Изменение предела текучести os(x) и плотности среды может быть произвольным. Остальные величины Е^х), у(х) и F^x) вычисляются по формулам (15.70), (15.71). Из-за достаточно большого количества произвольных постоянных Ct (i = 1, 2, 3, 4), которые входят в (15.71), практически можно аппроксимировать любую неоднородность среды.

Для приведенного выше случая неоднородной среды в работе [140] решена задача о распространении вязкопластических волн слабого и сильного разрыва. В случае волн слабого разрыва возникают принципиальные трудности при определении границ областей вязкопластических деформаций, т. е. при опре-

делении фронта пластической волны нагружения и волны разгрузки. В зависимости от характера изменения механических свойств среды Е(х^ у(х), as(x) и изменения поперечного сечения стержня F^x") получаются различные положения пластической волны нагружения и волны разгрузки в координатной плоскости по отношению к характеристикам уравнений задачи. Это приводит к необходимости рассматривать ряд частных случаев.

Решение задачи о распространении волн в представленной выше неоднородной среде значительно упрощается в случае нагрузок, приложенных внезапно на конце стержня. Тогда фронт пластической волны будет волной сильного разрыва !) и совпадет с положительной характеристикой t = Fx^— F^ исходящей из начала системы координат. Положение волны разгрузки в этом случае также будет зависеть от неоднородности среды. Приведенный выше метод построения решения задачи о распространении волн напряжений в неоднородных упру- го/вязкопластических средах, приводящий к замкнутым формулам, может быть распространен на случаи отражения волн от преграды, распространения волн в слоистых средах и т. п. Эти задачи имеют большое практическое значение.

Изложим вкратце некоторые численные методы непосредственного интегрирования системы уравнений задачи о распространении волн в упруго/вязкопластическом стержне. Рассмотрим систему уравнений (15.1) и (15.3). Численно решим эту систему при начальных условиях

о (х, 0) = о0 (Д (^, 0) = уо (Д 8 (, 0) = 8о (Д

где OqW, ^о(Д 8oW заданы, и при краевых условиях, например, вида

о (0, /) = о^ (0, v (/, t) = 0 при / > 0 и (0) > 0, где oi(Z) задано. Введем

h = -^, Xj = ih, 0<j<N+\,

где N — число точек дискретизации вдоль стержня, h— шаг интегрирования в направлении оси стержня. Пусть Ы— шаг интегрирования по времени. Предположим, что а" — аппроксимация величины о (/А, пМ)э v” — аппроксимация величины v^jh, пМ).

Для дискретизации производных djdt, д]дх (при численном интегрировании системы уравнений (15.1), (15.3)) существует неограниченное число возможностей (см., например, [152]). Вы

берем, например, (рис. 60): „П — г/1 у/+у2 у/-’/2(15.75)+11a/-i hберем, например, (рис. 60): „П — г/1 у/+у2 у/-’/2(15.75)+11a/-i h(15.76)(15.76)следующие две схемы дискретизации

берем, например, (рис. 60): „П — г/1 у/+у2 у/-’/2

(15.75)+11

a/-i h

берем, например, (рис. 60): „П — г/1 у/+у2 у/-’/2

(15.75)+11

a/-i h

(15.76)

(15.76)

= Т^“дГ^ + V*<ф[F <°г гТ ")]) sien°р

_ у"-у2 “ у/-у2 .

р м *

°i -а/-1 +ст/~а/-1 . п у/-У=-у/-У= 2Лр М°i -а/-1 +ст/~а/-1 . п у/-У=-у/-У= 2Лр МРис. 60.Рис. 60.+ у‘<ф[Г(°7’ 8<р> ")]) sign а",

°i -а/-1 +ст/~а/-1 . п у/-У=-у/-У= 2Лр М

°i -а/-1 +ст/~а/-1 . п у/-У=-у/-У= 2Лр М

Рис. 60.

Рис. 60.

Добавим к этим уравнениям начальные условия (15.72): (15.77) бй{ = аД1К\ и^ида, ^ = 6^

и краевые условия (15.73):

ag = <т1 (п М), 0^ = 0 при п^О.

ЫhЫhСхема (15.75) с условиями (15.77) и (15.78) позволяет определить значения а"+1 и и”^ в явном виде. Это — явная схема, она устойчива только тогда, когда

Ыh

Ыh

(15.79)

где а = -^Е(р. Схема же (15.76) позволяет определить а"+1 и улм/2 путем решения системы линейных уравнений. Это — неявная схема. Она всегда устойчива, каковы бы ни были М и h [152].

На примере задачи о распространении волн в упруго/вязко- пластическом стержне рассмотрим интересный метод непосредственного приближенного интегрирования системы уравнений,

предложенный Треанором [150]. Он предназначен для решения обыкновенных дифференциальных уравнений типа У^ = = fVyW — Уо(/о)]> когда f принимает большие значения, функция же y(f) —медленно изменяющаяся функция аргумента I. Этот метод был обобщен в работах [151, 162, 163] на случай системы дифференциальных уравнений и на случай переменного шага интегрирования по времени.

Рассмотрим систему уравнений (15.1), (15.3) с начальными условиями (15.72) и краевыми условиями (15.73). Заменим приближенно эту систему следующей системой уравнений:

^. = ^(/>и) (/=1,2),

где

f^P^-y^O^signa),

fи = {ц, и}.

IZ р dxt >

Положим, что h^t, U) аппроксимирована на отрезке времени [/„, tn + А/] в произвольной точке дискретизации на оси стержня Xj = jh, 0</<N+l, h = V(W + 1) следующим образом:

« - р- (У, _ и,,) + „; + »<(<- у + С!(1 - /„)=,

где Ulx = Ut М играют роль начальных условий при t—tn. При /„ = 0 имеем U® = <т0 (хД (721 (0) = и0 (Ху). Кроме того, на концах стержня при /„+1=/п +А/ должны удовлетворяться краевые условия (15.73), которые принимают вид Uv (/n+i) = <Ti (/n+i) при / = 0 и (72(/„+1) = 0 при / = ^+ 1.

Решая уравнение (15.81), получим выражение для Ut в виде

(15.82) Ut^UuM(15.82) Ut^UuM1 / bl с1 \7? V"-^+2 у?7)ехР[-р»('-'Л+1 / bl с1 \7? V"-^+2 у?7)ехР[-р»('-'Л+

(15.82) Ut^UuM

(15.82) Ut^UuM

1 / bl с1 \

7? V"-^+2 у?7)ехР[-р»('-'Л+

1 / bl с1 \

7? V"-^+2 у?7)ехР[-р»('-'Л+

Это решение зависит от постоянных Р^, aln, Ь1п, сгп, которые будут определены на заданных плоскостях t = const на отрезке времени [/„, tn + А/]. Как и прежде, рассмотрим следующее разложение:

^ - /, (/, U)« - Р'„ (U, - U„) + 4 < (/ - /,);

тогда получим

Ut(О~ Un (/„) _ -L (^ - -^-) ехр [- ^ (/ - /„)] +

+тг{(-1:-5')+‘';('-у}.

где решение зависит от постоянных Р1п, а^ и d^. Эти постоянные определяются на плоскостях t = tn, t — 1п+ч2 = tn +'j2^t и t = tn+x = tn + M. В плоскости t = tn обозначим Ui^ = UiX и fn = U'u, тогда в плоскости / = /„+l/i получим Ui2 = U^ + '/2Mfn при t = tn-V 'ЬЛ1- Затем, положив fl2 = U'i2 на плоскости tnW получим Ut3 = Ulx + ^/2^tfi2 при /=/„ + Д/ на плоскости /„+1. Далее имеем !13 = и'Й на плоскости <п+1. Подставляя это выражение в (15.83), получим

ап~ FIV

Р^-^Цк, и 12 — U13

d‘n—H V« + р‘. У к + и») + f а + У " 2 (f „ + РУ.»

При помощи (15.85)2 определим последовательно постоянные Рп и в дальнейшем выберем из них наибольшее:

Рп = < sup {?')).

1=1,6

Далее будем пользоваться обозначениями

р _1-ехр(-Р„А0 p_1-Fx п_ 72-^2

(15 87)1 р"м ’2 р»м ’3 рпм *

VX = 4F3 — F2, V2 = 2(F2-2F3), V3 = 4F3-3F2.

Задавая аппроксимацию в виде (15.83), на основании (15.84) в плоскости /„+] = /„ +А/ получим

Uu = Uи + А/ VZhA + ti2PnF2 А/ + hx (Fx - 2^)].

Затем определим аП) а также Ьп и сп, подставляя в (15.81) последовательно пары величин (/„, U^, ..., 7„+b Ui4Y

В результате из формул (15.82) получим выражения для Ui на плоскости / = /„+1 в виде

»,„и=1',(1.+«1)=1'„+41[У,+М,,ВД,+?„) +

+ NVAF.Uk + fB) + Д<^2 ХР»иЮ + fa) + AH', XP„V„ + f„)].

Следует заметить, что в случае, когда коэффициент Рп коррекции метода равен нулю, для числовых расчетов необходимо взять выражение (15.87) в следующем виде:

^ = 1, F2 = l, F3 = ^, если Рп = 0.

В этом случае, если в уравнениях (15.89) принять Рп-*0, получим выражения, аналогичные выражениям метода Рунге — Кутта четвертого порядка [164].

До сих пор шаг интегрирования М предполагался постоянным. Предположим теперь, что ошибка, совершенная при определении решения в произвольной точке Xj (0 ^ / ^ N + 1) на плоскости Zn+i = tn + AZ, равна

Ег (ху) = sup (Ер; (ху)} =

— sun I1El<!1±1lMz£‘11^ I если п (х * О

Ошибку, совершенную при определении решения для всей дли^ ни стержня на плоскости /п+ь положим равной

Ег =2Ег(х,).

/=0, .... ^+l

Предполагая, что Erd — ошибка, допускаемая методом (принимая ее, например, порядка 10~2), можно определить закон изменения шага интегрирования в зависимости от отношения

B = Er/Erd.

Закон изменения шага интегрирования по времени можно определить так же, как это указано в работе [162].

Чтобы перейти к приложению этого метода к решению волновых задач теории вязкопластичности, рассмотрим простой случай распространения пластических волн в стержне. Рассмотрим стержень конечной длины Z, конец которого х = 0 нагружен переменным во времени давлением, монотонно возрастающим за короткий промежуток времени AZ* от нуля до постоянного значения, превышающего предел текучести на растяжение. Конец стержня х = / закреплен.

Проанализируем сначала решение на волне сильного разрыва х = at (в случае, когда AZ* = O). Воспользуемся линейной функцией (Ф) = | o\]k — 1. Введем обозначения т] = = 0,5 p^zy*signa, S = |a|/6—1, т = k-^t. Тогда из (15.9) получим уравнение вдоль волны сильного разрыва:

^. + (5) = 0.

Подчиним его начальному условию

S(O) = So= 1 при т = 0.

Тогда решением уравнения (15.94) будет

(15.95)(15.95)S(t) = S0^\

(15.95)

(15.95)

Для сравнения решим уравнение (15.94) численно, методами Эйлера, Рунге — Кутта четвертого порядка и Треанора с постоянным шагом интегрирования. Эти решения и точное решение

представлены на рис. 61 в предположении, что plk = 2. Значками • обозначено решение методом Треанора с шагом Дт = 2; значками ©— решение методом Рунге — Кутта с тем же шагом Ат = 2; значками О — решение методом Эйлера с шагом Дт = 0,5, обусловленным сходимостью метода, т. е. необходимостью выполнения условия Дт ^ 2.

Метод Треанора дает решение, совпадающее с точным решением на всем промежутке времени (точное решение обозначено сплошной линией). Кроме того, выбранный шаг интегрирования Дт в этом методе значительно больше, чем в методе Эйлера.

В ряде других задач о распространении вязкопластических волн сильного разрыва на фронтах этих волн изменение напряжений задается уравнениями, подобными (15.94). Из приведенного примера видно, что метод Треанора пригоден для решения

задач на фронтах волн сильного разрыва. Ошибка вычислений, совершенная при определении параметров решения на фронте волны, переносится в область за волну, где потом накапливается.

В работе [165] в качестве примера решена задача о распространении вязкопластических волн в стержне конечной длины при краевых условиях (15.73). Эта задача решена несколькими численными методами; проводится сравнение полученных разными методами результатов.

Решение строится следующими методами: 1) методом сеток характеристик; 2) методом конечных разностей (явная схема (15.75)), удовлетворяющим условию устойчивости решения (15.79); 3) методом конечных разностей (неявная схема (15.76)), причем полученная система обыкновенных уравнений (система 2п алгебраических уравнений, где п — число отрезков дискретизации, на которое был поделен участок стержня), решена релаксационным методом Гаусса — Зайделя с так называемым параметром релаксации [152]; 4) методом конечных разностей Треанора; при этом задавался поочередно постоянный и переменный шаг интегрирования по времени.

Численные решения проведены для всех четырех случаев на цифровой машине при одинаковых исходных числовых данных. Кроме того, принято одинаковое число отрезков дискретизации по оси стержня. Решение искалось в координатной плоскости (х, /) для одной и той же области. Для фиксированного момента времени t = 4//а этими методами получены идентичные решения с точностью порядка 10-4. Сравнивались также времена вычислений для каждого метода (при оптимизации каждой из

программ вычислений):

методхарактеристик12,Л 221;

методконечныхразностей, явная схема27,Л 012;

методконечныхразностей, неявнаясхема52" 814;

методконечныхразностей Треанора16Л/386.

На этот раз оказалось, что второй и третий методы наименее эффективны. Времена вычислений для двух других методов приблизительно равны.

Вопрос о применимости рассматриваемого метода для квази- статических задач вязкопластичности обсуждался в работе [151].

Глава IV

СФЕРИЧЕСКИЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ

Формулировка задач

Эта глава посвящена задачам динамического деформирования сред, геометрия которых и краевые условия обладают сферической или цилиндрической симметрией. Рассмотрим последовательно задачи для случая сферических волн, цилиндрических радиальных волн и цилиндрических волн сдвига на основе различных определяющих уравнений сред, представленных в гл. I. Благодаря предположению симметрии в этих задачах все параметры, определяющие состояние исследуемой среды, являются функциями только одной пространственной переменной и времени. В отличие от задач, представленных в предыдущей главе, здесь мы будем иметь дело со сложным напряженным и деформированным состоянием. Ограничим наши рассмотрения случаем малых деформаций среды.

Сформулируем геометрические условия и уравнения движения последовательно для задач о распространении волн сферических, цилиндрических радиальных и цилиндрических волн сдвига.

Сферические волны

Рассмотрим бесконечную среду со сферической полостью радиуса го, к которой приложено давление р {t), переменное во времени и равномерно распределенное по поверхности полости. В сферических координатах (г, ф, 0) при сформулированных выше предположениях будем иметь

(16.1)(16.1)иг = и(г, /), «ф = «6 = 0,

(16.1)

(16.1)

где ит, и^, ид — сферические составляющие вектора перемещения.

При сферической симметрии отличными от нуля будут составляющие тензора деформации

ди .. и

6гг — "дг" *6(р(рг

и составляющие тензора напряжений

arr = arr (г, t), aw = афф (г, t), п99 = а99(г, f).

Если через и = du]dt обозначить скорость перемещения, то уравнение движения (5.4') в сферических координатах при отсутствии массовых сил будет иметь вид

(16.4)(16.4)дСгг . п Стгг-сг<р<р д»—+ 2= р^-.

(16.4)

(16.4)

Цилиндрические радиальные волны

В неограниченной среде рассмотрим бесконечно длинную полость радиуса г0, к границе которой приложено равномерно распределенное давление /?(/), переменное во времени. В цилиндрических координатах (г, ф, г) при сформулированных выше предположениях имеем

ur = u (г, t), u($ = uz = О,

где ur, и^, uz— цилиндрические составляющие вектора перемещения. Напряженное и деформированное состояние среды определяется соответственно составляющими

6гг = ^, ефф = -^, е22 = 0,

агг = агДг, t\ aw = ow(r,0, o„ = ozz<r, t\

Если обозначить через и = du/dt скорость перемещения, уравнение движения (5.4х) в цилиндрических координатах будет иметь вид (при Хг = 0);

(16.8)(16.8)darr j агг — аф(рди

(16.8)

(16.8)

dr‘ гdt *

Уравнения движения (16.4) и (16.8) можно представить при помощи одного уравнения в форме

дг + ц0 г — р dt ,

где в случае сферических волн ц0 = 2, а в случае цилиндрических радиальных волн n0 = 1.

Цилиндрические волны сдвига

На поверхности бесконечно длинной цилиндрической полости в неограниченной среде радиуса г0 приложены поверхностные касательные напряжения p(t), переменные во времени и

равномерно распределенные по поверхности полости. В этом случае в цилиндрических координатах (г, ф, г) имеем

иф = ц(г, /), иг = и2 = ^

(16.11)(16.11)где ип и^ иг — цилиндрические составляющие вектора перемещения. Единственной отличной от нуля составляющей тензора напряжений будет составляющая

(16.11)

(16.11)

ТГф ^(г, ^’

ляющая (16.12)ляющая (16.12)а единственной составляющей тензора деформаций — состав

ляющая (16.12)

ляющая (16.12)

ди и

гг^— дг ”7

дтгф । ztГфдиdr ' г Р dt *дтгф । ztГфдиdr ' г Р dt *(16.13)(16.13)Если обозначить у = du/dt, то уравнение движения (5.4х) в цилиндрических координатах (при отсутствии массовых сил) будет иметь вид

дтгф । ztГфди

dr ' г Р dt *

дтгф । ztГфди

dr ' г Р dt *

(16.13)

(16.13)

Рассмотрим последовательно задачи о распространении сферических волн в средах, воспользовавшись сперва деформационной теорией пластичности в предположении упругой, а также «жесткой» разгрузки и затем — определяющими уравнениями теории вязкопластичности. Ввиду того что процедуры построения решения задач в случаях радиальных цилиндрических волн аналогичны задачам для сферических волн, ограничимся кратким обсуждением этих задач только для случая определяющих уравнений вязкопластичности. Что касается задач о распространении цилиндрических волн в средах, не чувствительных к скорости деформации, то для них мы только сошлемся на литературу, например на работы [43, 45, 59, 107]. Последний пункт этой главы будет посвящен задачам о распространении цилиндрических волн сдвига в упруго/вязкопластической среде.

Сферические волны в упругопластической среде с упругой разгрузкой

^гг^й. 0 = — pV'h^гг^й. 0 = — pV'hПредположим, что в упругопластической среде, внутри сферической полости радиуса г0 в момент t = 0 внезапно возникло давление, равномерно распределенное по поверхности полости с начальным значением р(О) = ро; это давление затем изменяется монотонно во времени. Краевое условие при г = rQ имеет вид (17.1)

^гг^й. 0 = — pV'h

^гг^й. 0 = — pV'h

где p(t)> 0, р(О) = р0) po>Qis, Ois — давление, соответствующее переходу тела в пластическое состояние.

Начальные условия примем однородными — нулевыми:

(17.2)и (г, t) = ™U^^ = 0 при t = 0.

Поставленная выше задача в случае уравнений деформационной теории пластичности Надаи — Генки—Ильюшина была решена Я. Л. Лунцем [69].

Учитывая (16.2) и (16.3), определяющие уравнения деформационной теории пластичности (2.3) в случае сферической симметрии можно свести к следующему виду:

(17.3)(17.3)a,r-V2ow=3K (77 + 27),a,r-V2ow=3K (77 + 27),

(17.3)

(17.3)

a,r-V2ow=3K (77 + 27),

a,r-V2ow=3K (77 + 27),

где афф = о0е. Система уравнений (17.3) вместе с уравнением движения (16.4) представляет собой полную систему уравнений

рассматриваемой задачи, которую мы решим при граничных условиях (17.1) и (17.2).

В работе [69] в целях упрощения вычислений вместо функции 2m введена новая функция /, определенная как

где_

л V3 иди

U = —тг— 8; =,

21 гдг

График функции /(6) (рис. 62) имеет ту же форму, что и график функции 2m (ег) (рис. 4). Необходимо, однако, в зоне разгрузки наложить ограничение f(0)^(^p)0, так как в противном случае функция 2m (ег) примет отрицательные значения.

Введя таким образом функцию f(0), из определяющих уравнений (17.3) определим составляющие тензора напряжений:

(17.5)(17.5)arr = -pf(6) + 37<^,^ = 4[p^(6) + 3^(-^+у)].

(17.5)

(17.5)

Исключая в уравнениях движения (16.4) составляющие тензора напряжений с помощью формул (17.5), учитывая также,

чт0 у = du/dt, получим следующее дифференциальное уравне

ние второго порядка:

(17.6)(17.6)d2u _ df (6) о f (0)

(17.6)

(17.6)

dt2 — dr 0 г 1

Дифференциальные уравнения характеристик (см. п. 9.2) системы уравнений (17.5) и (16.4) или эквивалентного им уравнения (17.6) имеют следующий вид:

dr = ±a(0)d/,

где а (0) = Vf'(6) •

Ограничимся случаем, когда /"(0)^0, т. е. исключим пока возможность возникновения ударных волн. Рассмотрим сначала случай, когда давление p(t) (краевое условие (17.1))—монотонно возрастающая функция времени, dp!dt>§ (рис. 63).

этойэтойВ невозмущенную область г > г0 распространяется волна сильного разрыва, уравнение которой г = г0 4- aot (где а^ = = f (0)/0 = const при 0^0О). За этой волной располагается об-

этой

этой

ласть упругих деформаций — область /; движение среды в области определяется уравнением

(17.8)(17.8)1 d2Ui д2«| ■ 2 dui 2ut

(17.8)

(17.8)

<Zg dt2dr2 г dr г2 '

В общем случае задачу о распространении сферических воли в упругопластической среде для криволинейной функции /(0) (на участке АВ — рис. 62) следует решать численным путем. В работе [69] предполагалось, что участок АВ — прямолинейный (пунктирная линия на рис. 62); тогда

f(0) = ^0 + (^-^)Oo при 0>0О,

где #i—скорость распространения пластической волны. Для этой кусочно линейной функции f(6) в область г > г0 распространяется пластическая волна со скоростью ах, совпадающая с характеристикой, уравнение которой г = r0 + axt. Таким образом, область упругих деформаций / ограничена характеристиками г = г0 + а0^ и г — r^-Vart. В этой области для уравнения (17.8) следует решать задачу Пикара с данными на характеристиках:

их (г, /) = 0 при г = г0 + a^t,

и\ ди\ Q,

Т" — 77 = 6о при г = г0 + axt.

Решение уравнения (17.8) для этих граничных условий можно искать в виде

(17.1!)„^^rt^

Подставляя это решение в граничные условия (17.10), получимф; (0) = Vj (о) = о,

ф" (х) Зф](х) Зф^х) _

1 +Хх (1 + Лх)2 + (1 + Лх)3 ~°0’

здесь радиус сферической полости принят равным единице, т. е. r0= 1, и обозначено

х = г —- 1 — сц#» X = —~.

Решая дифференциальное уравнение второго порядка (17.12)2 при граничных условиях (17.12)1, находим вид функции фДх). Подставляя в свою очередь эту функцию в (17.11), получим выражение для поля перемещений в области упругих деформаций /:

<17-13>= 3 0-Щ1-ЗД { 7 к'' (Зс“ (’'"У +

+Sin (v In I)) - 3£2] -

— 7" [^ (cos (v ln ^ + ^V^ sin (v ln Ю — ^]} •

где

3 + XV12 - (3 + A)2„a . .

P-^^7"' v =2X• ^ = ^(r—1 — «оО+1-

Область //, как уже сказано, есть область пластических деформаций. Учитывая (17.9), из (17.6) получим уравнение дви-

жения в этой области

(17.14)(17.14)1 д^и^ д2и21 д^и^ д2и22 ди22и2_г orг2 ди22и2_г orг1"^) А1"^) А

(17.14)

(17.14)

1 д^и^ д2и2

1 д^и^ д2и2

2 ди22и2

_

г orг

2 ди22и2

_

г orг

1"^) А

1"^) А

Это уравнение следует решать при краевом условии (17.1) при r = r0 = 1, которое при помощи (17.5) и (17.9) можно преобразовать к виду

a2vp^^K-paXV4-Ma"-^ при г = 1,

(17.16)(17.16)и при граничном условии на характеристике г = 1 + «if

(17.16)

(17.16)

«2 (Г, /) = «] (Г, /).

Функцию t/i(r, /) получим из решения в области I (17.13), полагая в нем г = 1 + a\t. Таким образом, граничное условие (17.16) приобретает вид

(17.16') «2(г, 0= з(Г=щга) {<! “ЭДг+гИ-2[^ ”3^cos(v 1пг)+ + ^ЦтХ7^^ при r = 1 + «i^

Решение уравнения (17.14) при условиях (17.15) и (17.16') будем искать в виде суммы

^(r, t) = U2(r, 0 + hr In г,

где /? = [(«■; —а])/а2]60, а функция (/2(г, /) удовлетворяет уравнению

(17.18)(17.18)1 d4J2 d2U2 . 2 dU2о U2

(17.18)

(17.18)

a2 dt2dr2 г dr г2

при граничных условиях

Р«1+ (ЗЯ-р<^2 = -/>(/) при г = 1.

U2(r, t) = g(r) — hr In г при г = 1+а!Л

Уравнение (17.18) будет удовлетворяться тождественно, если положить

(17.20)(17.20)и*. 0-£[и*. 0-£[ф2 (Г — 1 + Д|0 + 4)2 (Г — 1 — Д10 ] .ф2 (Г — 1 + Д|0 + 4)2 (Г — 1 — Д10 ] .

(17.20)

(17.20)

и*. 0-£[

и*. 0-£[

ф2 (Г — 1 + Д|0 + 4)2 (Г — 1 — Д10 ] .

ф2 (Г — 1 + Д|0 + 4)2 (Г — 1 — Д10 ] .

здесь функции ф2 и ф2 определяются из граничных условий (17.19), при этом используется тот факт, чтом2(г0, 0 1Г , = 0, от- ?-0

куда получается

(17.21)

Ф2 (°) = ^2 (°) = ^2 (°) = °*

Подставляя решение (17.20) в граничные условия (17.19) и учитывая (17.21), после некоторых преобразований для ф2 и гр2 получим

ф2 W =

о

2

—VS^X

С ( Г 1(2 /• Г (^ “ т) V4% — X2 1

X U2Р1)-Х2ф2(—г) Sin Р^-

J ( [ pa, V °JJ L 2 J

/12/\Г(х — т) V4% — х21 )Гх(х— т)1 ,

— х V 4х—х2 ср2 (— т) cos I —^J | ехр —^—■ ат,

где х = 3 (ра; — К^/ра^.

Решение в области // для поля перемещений ua^r.t) можно теперь легко получить, подставляя выражение (17.22) в (17.20), а затем используя (17.17). Анализируя это решение, можно установить, что 0 = (и^г) — {ди^дг) есть убывающая функция радиуса г. Вдоль пластической волны г = г0 + a\t функция 0 убывает, достигая в некоторой точке с координатами (и, /1) (рис. 63) значения 0О. При г > п прямолинейная пластическая волна переходит в криволинейную г = Ф(/). Точка (гь ^) определяется из условия

0=^--^ = 0о при г = гйА-ах1.

Отсюда получим следующее трансцендентное уравнение для определения значения и на волне г = 1 -|- axt;

П7 ОуП 10Я3 — 22Я2 4-15Я — 3] 2Я2-6Я + 3 _

VZ-2v 2(1 - Я)2 (2Я2 - 6Я + 3) + 2(1—Я)2 Г‘

„_2 Г 6Я2 — 8Я + 3, , х .

Г1 [2(1 — Я)2 (2Я2 — 6Я + 3) C0S(V *пг1) +

,6Я= + 2Я2-9Я + 3. , . О _ _£2_

4v (2Я2 - 6Я + 3) (1 - Я)2 51П 1П rUJ — als ’

Легко показать, что чем больше давление ро, тем больше прямолинейный участок пластической волны.

Несмотря на аппроксимацию функции /(0) прямой линией (17.4), решения в областях ///, IV координатной плоскости в замкнутой форме найти нельзя. Решения в этих областях строятся численно, при помощи метода конечных разностей; при

этом используются соотношения вдоль характеристик (см. п. 9, формула (9.17)):

dy = ±a(0)^. + [^(£-^.)_XW]d/

при dr = Al а (6) dt причем в области /// упругих деформаций а(9) = а0, а в области IV пластических деформаций а(9) = аь Поля перемещений ^з(^, О, u^r^ ^ в областях III и IV определяются соответственно из решений уравнения движения (17.8) с граничным условием ^(r, ^) = §-3(/) на характеристике г = гх+а01 и решения уравнения (17.14) с условием иДг, t) = g4(t) на отрицательной пластической характеристике, проведенной из точки (гь /1), с одновременным удовлетворением условию непрерывности для перемещений иг = и4 на криволинейной пластической волне г=ф^у, функции ga(ty g^W соответственно определяются из решений в областях / и //. Метод построения решений с помощью дифференциальных соотношений вдоль характеристик для квазилинейных уравнений второго порядка был дан в п. 9. В области V поле перемещений определяется из решения уравнения (17.14); при этом используется краевое условие (17.15) при г=1 и условие и5(г, t) = g5(t) на положительной характеристике, проведенной из точки (го, ^2), где g^W—функция, найденная из приближенного решения в области IV. Это решение проводится аналогично тому, как это было сделано в области //.

Перейдем теперь к обсуждению процесса разгрузки. Полагая краевое условие вида (17.1), примем, что p^t)—функция, монотонно убывающая во времени, dpldt< 0 (сохраняя по-прежнему условие f'(9) ^ 0).

Определяющие уравнения (2.4) в процессе упругой разгрузки с учетом (16.2) и (16.3), записанные для функции f(9), будут иметь вид (см. рис. 62)

Ц0) = ^0-Ца2-аЗ)[0Чг)-6о],

где 9* (г) — значение 0 (г) на волне разгрузки.

Уравнение движения среды (16.4) при разгрузке имеет вид д2й .2 65 2й д2« . . (. 3(6*-1)\ (17.27)^4-- — -^ = ^ + ^^ +-),

где введены следующие обозначения:

и -°е*«1-ао х

и=—. 9==Т' 6 =Т’ ^“е^ Ло= 3—• Р^=-т-

% Оо60а0“о

В работах [69, 144] доказано, что в рассматриваемом случае волна разгрузки будет пластической волной, совпадающей с ха-

рактеристикой г = r0-Va\t (рис. 64). Решение в области / упругих деформаций аналогично решению в ранее рассмотренном случае (формула (17.13)). В области // разгрузки для уравнения (17.27) следует решать задачу Гурса (см. п. 9). Если решение будет известно в произвольно малом треугольнике 012 области разгрузки // (на рис. 64 область Л), то решение уравнения (17.27) можно найти во всей области II. В области 012 не удалось построить решение в замкнутом виде. Заметим, что в работе [69] дан приближенный способ определения поля перемещений в этой области, который мы здесь приводить не будем.

Решение уравнения (17.27) в области разгрузки ПВ можно представить в виде суммы

u = UB<r,%HVBW,

(17.29)(17.29)d2VB ""dr2"d2VB ""dr2"где функции Uв и VB удовлетворяют соответственно уравнениям

(17.29)

(17.29)

d2VB ""dr2"

d2VB ""dr2"

2 dVR 2VR , rd6* 3(6*-1) r dr г2 0 L dr r d2UB , 2 dUR2Urd2UR

dr2 r drг2дт2 ’

Найдем граничные условия для уравнений (17.29). Предполагая, что функция VbV)i определенная уравнением

dV V -

-/^ = М9*-1), ^(го)|Го=1=О,

является частным решением уравнения (17.29)1, условие непрерывности перемещений на волне разгрузки г= 1 + (Я1/а0)т для функции UB(r, /) запишем в виде

UB^r, /)1г=1+«,г = ^-VB^

а» и

§ = ё*(г),

где функция g(r') определена формулой (17.16z). Из условия непрерывности перемещений на волне разгрузки имеем

ивдив , VBdVn к.

гdr ' гdr ‘

Отсюда, используя (17.30), получим

(17.33)(17.33)ивив

(17.33)

(17.33)

ив

ив

В этом соотношении функцию Кв (И определим из формулы (17.31), где g(r) исключено с помощью формулы (17.16'). Тогда получим граничное условие для уравнения (17.29) 2 на характеристике г = 1 +(й1/йо)т:

див I а1 див ..ив _ дг ' а0 дт г

= Ао { 1 + у^. г^ [cos (v In г) + Й^,) sin (v In г)]}.

В отличие от условия (17.19)1 краевое условие (17.1) для процесса разгрузки будет иметь вид

pa2^ + (3/<-pa2)(7B = -p(J-) при г0=1,

где К(1) = 0 (см. (17.30)).

Решение в области ПВ сводится к решению уравнения (17.29)г с граничными условиями (17.34) и (17.35). Общее решение этого уравнения можно представить в виде

UB(r, 0 =

Фв К — 1 + т) + i|)B (г — 1 + т) Фд К — 1 + т) + i|)B (г — 1 — т) =г?•

где фВ и фв— функции класса С3, которые определяются на основании условий (17.34), (17.35) в виде

(17.37)(17.37)Фв И = — Фв (— *) —Фв И = — Фв (— *) —«о (х + Ti)2«о (х + Ti)22Z70 (1)д/4Хд — Кд2Z70 (1)д/4Хд — КдXX-^ ^О-^О Ф2 (~Т) C0S [^Т^] } еХР Р% "] ^-^ ^О-^О Ф2 (~Т) C0S [^Т^] } еХР Р% "] ^

(17.37)

(17.37)

Фв И = — Фв (— *) —

Фв И = — Фв (— *) —

«о (х + Ti)

2

«о (х + Ti)

2

2Z70 (1)

д/4Хд — Кд

2Z70 (1)

д/4Хд — Кд

X

X

-^ ^О-^О Ф2 (~Т) C0S [^Т^] } еХР Р% "] ^

-^ ^О-^О Ф2 (~Т) C0S [^Т^] } еХР Р% "] ^

Здесь через Uo обозначено решение в произвольно малой области ПА в окрестности точки (г0, 0) на положительной характеристике 1—2 (рис. 64), уравнение которой т = г—1+ть где ti — время в точке 1 на границе г0 = 1, х0 = 3[1 — КДра^)].

Подставляя (17.37) в выражение (17.36), получаем поле перемещений UbVi t) в области ПВ. Построение решений в остальных подобластях области // выполняется аналогично построению, описанному для подобласти ПВ.

Пластическая волна г = r^A" a\t исчезает в точке KVh, th} (рис. 64). Координаты этой точки определяются из условия (17.38)е = (^-.^)|= 60.

\ г or / |г=Го+а1<

При г > rh в среде распространяются только упругие волны. Решение в области /// находится путем решения в ней задачи Дарбу для уравнения (17.27); при этом

, ( dQ*3(0’-1) \ Л

Н"ТггW при г>г^

с заданными перемещениями на упругих характеристиках (положительной и отрицательной), исходящих из точки К^ъл М и определенных из решений в областях I и II. В области IV следует решать задачу Гурса для уравнения (17.27).

Для представленного выше случая волны разгрузки численным путем исследовано влияние упрочнения материала на распределение напряжений [144]. Предполагалось, что давление на границе сферической полости возникает внезапно и затем уменьшается линейно до нуля. Параметр упрочнения опреде-

лялся как отношение К = p-р/цо. Коэффициент Пуассона v был принят равным 0,25.

Для широкого диапазона изменения параметра упрочнения на основании числовых расчетов можно сделать следующие выводы:

максимальная деформация сдвига 0* и скачок 60* на фронте пластической волны уменьшаются с ростом упрочнения материала;

протяженность области пластических деформаций возрастает плавно с ростом параметра упрочнения;

с ростом параметра упрочнения остаточные деформации сдвига значительно уменьшаются;

расстояние между фронтами упругой и пластической волн уменьшается с ростом параметра упрочнения; влияние этого эффекта на поле напряжений несущественно.

Ударные сферические волны в упругопластической однородной среде

Рассмотрим задачу о распространении сферических волн в упругопластической среде, аналогичную рассмотренной в предыдущем пункте, с той лишь разницей, что принята характеристика f(0) с положительной кривиз-

ной, т. e. /"(0)> 0. Приведем решения, представленные в работе [139] Функцию f(0) выберем согласно рис. 65, предполагая одновременно для простоты, что fs = 0. Рассмотрим случай давления,внезапно приложенного к границе полости и затем монотонно убывающего до нуля. Это предположение упрощает решение, так как в этом случае фронт ударной волны является одновременно волной разгрузки. Когда Г(6)>0, независимо от характера

краевого условия в области г *> го будет распространяться фронт ударной волны с переменной скоростью. С целью дальнейших упрощений примем аппроксимацию кривой /(0) отрезками прямых.

Функцию f(0) можно представить в следующем виде:

f (0) = fn + а2п (0 — 0п) = а$ + Ап в процессе нагружения,

^^ _ р _ ^2 (Q* _ Q)в процессе разгрузки,

где 0П — значения переменной 0, соответствующие точкам излома (рис. 65) между отрезками п — 1 и п, 0* — значение пере-

менной 6 на фронте волны со стороны области разгрузки;

е^, ^ — соответственно окружные и радиальные остаточные деформации.

Метод построения решения поставленной задачи остается тем же, что и в рассмотренном в п. 13 случае плоских ударных

волн. Вид решения в координатной плоскости (г, t) представлен на рис. 66. В невозмущенной области (начальное условие

Благодаря принятому краевому условию эта волна одновременно является волной разгрузки. Решение строится следующим образом. Зададим достаточно малую область /, ограниченную ударной волной г = фо(О и положительной упругой характеристикой 7—Г. Приближенным способом определяем начальный отрезок ударной волны г = ф0(0> предполагая при этом, что он совпадает с касательной к действительной волне ф(/) в точке г = го, t = 0, т. е. что

Фо (0 = ф'(0)/•

Начальную скорость ударной волны ф'(0) определяем из условий динамической и кинематической непрерывности на фронте ударной волны и из краевого условия при t = 0.

Условия динамической (7.18) и кинематической (7.27) непрерывности на фронте ударной волны в случае сферической симметрии имеют вид

огг = — pq/ (/) и, и = — ф' (/) £гг.

Из этих условий при 1 = 0 и <тгг(г0, 0) = — ру получим

ф'ОТ-дДйН

(18.5)(18.5)здесь 0* определяется из уравнения

(18.5)

(18.5)

Начальный отрезок ударной волны можно определить точно путем разложения функции <р(/) в ряд Маклорена в окрестности ее начальной точки аналогично тому, как это было сделано в п. 13 для случая плоской ударной волны.

В области / решение следует строить численно методом конечных разностей, исходя из соотношений на характеристиках (17.25) (где вместо функции f(6) необходимо принять соотношение (18.1)г).

Уравнение движения, описывающее процесс разгрузки в областях //, ///, IV, ..., получим из уравнения (17.6), представив в нем функцию f(0) по формуле (18.1)г=

/ю а\д2и . 2 ди2и

ттлзг =

V /gr2 I r grг2

ац dt \а^dr r \ сгп — A

Так же как в ранее рассмотренном случае распространения упругопластических сферических волн, представим решение этого уравнения в виде суммы двух функций

(18.7)(18.7)и (г, f) = U^r, O + ^W,и (г, f) = U^r, O + ^W,

(18.7)

(18.7)

и (г, f) = U^r, O + ^W,

и (г, f) = U^r, O + ^W,

которые удовлетворяют следующим уравнениям:

1 d2Ud2U2 dU2U

(18.8)(18.8)d2V "d?d2V "d?ад dt2dr2г drг2 ’

(18.8)

(18.8)

d2V "d?

d2V "d?

= ЛМ* I 3 6* . Л" ^1

г dr г2 I ал ) L dr г I а2 — <2п/J

Решение в области // проводится затем так же, как в области IIВ, для случая, рассмотренного в п. 17.

Несколько иначе строится решение задачи о разгрузке в области ///, так как при этом необходимо определить следующий отрезок волны разгрузки г = фХ(^), заключенный между точками V, 2' (рис. 66). Для определения волны разгрузки г = =q>i(Z) используются условия динамической и кинематической непрерывности (18.3); в предположении, что ударная волна рас-

пространяется в невозмущенной среде, получим дополнительное условие, а именно

и = U-VV = 0, откуда U = — V при г = qpj (Z).

Условия (18.3) необходимо представить в перемещениях U(г, t). Исключая затем в них Ф1(/), получим соотношение, которому должна удовлетворять функция U (г, /) на фронте ударной волны. Способ определения волны разгрузки гзззгф!^) и решения задачи в области III подробно рассмотрен в работе [139]. Решения в последующих областях координатной плоскости строятся так же, как в областях // и III.

Распространение сферической волны разгрузки в упругопластической среде с жесткой характеристикой разгрузки

Рассмотрим задачу о распространении сферической волны разгрузки в упругопластической однородной среде, полагая, что разгрузка происходит при постоянной интенсивности деформаций, т. е. что 8г- = const для данного радиуса г (см. (4.22)). Это условие в рассматриваемом случае не означает, что среда является «жесткой», как это было в случае одноосного напряженного или деформированного состояния (см. п. 14), так как возможно изменение во времени составляющих тензора деформации 8уу, 8фф, 800.

Зададим краевое условие для г = го в виде

Огг (го, О = — Р W Р^>0,

dp п

at < °* р ^ = Р°’ Рй > °«

и примем в качестве начального условие (17.2).

Определяющие уравнения и уравнения движения идентичны уравнениям в рассмотренном ранее ряде задач для сферических упругопластических волн (уравнения (17.3) и (16.4)). Так же как и ранее, с целью упрощения вычислений вводится функция f(0). В процессе пластического нагружения принимается линейная аппроксимация функции f (6), заданная формулой (17.9): она представлена на рис. 67, а. В процессе разгрузки примем, что 0 есть функция только радиуса г:

e ==

Уравнение движения (16.4) с учетом (17.9) имеет вид (16.6).

В большинстве случаев, касающихся распространения сферических волн в материале с жесткой разгрузкой (например,

[44, 57, 58]), в целях дальнейшего упрощения вычислений принимается аппроксимация функции f(0), представленная на рис. 67,6. Такая аппроксимация дает существенное упрощение решений в случае задач об отражении волн сильного разрыва.

Вид решения задачи о распространении волн представлен на рис. 68 [44]. В области / перемещения и деформации равны нулю. Это следует из того, что на отрезке ОА принято жесткое нагружение (рис. 67,6). Напряжение атт в этой области

определяется из (17.5)ь если принять, что Ui = 0 и f(0) = f$ (рис. 67,6). Отсюда

Orr = ~pfs*

Область II есть область разгрузки. Это вытекает из вида принятого краевого условия и из модели среды. Эта область ограничена волной сильного разрыва, которая вместе с тем является волной разгрузки. Эта волна совпадает с характеристи-

кой г = го + at, где а = ^(37< + 4р)/(3р), ц — модуль линейного упрочнения материала. Благодаря принятому допущению о «жесткой» разгрузке, в области // выполняется условие (19.2). Интегрируя это условие, получим выражение для перемещения и (г, t) в виде

u(r, O = -r[J -^-dr-C^.

Для скорости и (г, f) = dujdt имеем

и (г, t) = rC4tY

Допустим пока, что на границе сферической полости радиуса г0 скорость частиц известна; обозначим се индексом нуль, т. е. u(r0, t) = Уо(О- Тогда на основании (19.5) имеем

»(г, О-у-МО-

Перемещение н(г, £) определим из (19.6) путем интегрирования этого соотношения по времени в пределах от (г — г^/а до V.

u(r, 0 = 7- VoW^.

'0 J

(г-г0)/а

Подставляя (19.7) в уравнение движения (17.6), после интегрирования этого уравнения по переменной г получим

Произвольная функция ф(/) определяется из краевого условия (19.1). После преобразований получим

Г11

УоМ^т ,

L0 0 J

следовательно,

Г11

f = -.£y^) + ±L(O + p->y^) + ^^

L0 0 J

На фронте волны сильного разрыва должно быть выполнено условие динамической непрерывности (7.18), которое в случае сферической симметрии приобретает вид

Grr = — ран.

При помощи этого условия, а также учитывая выражения (17.5)1, (19.7) и (19.10), после некоторых преобразований для

определения неизвестной функции ио(О получим следующее интегральное уравнение Вольтерра второго рода:

15Кгп с г

v0 (0 = Ф (0 + - jz—- ■ |—§^ \ \ v0 (т) dx di,,

p[(ro + «O -r0] jj

где

5^ \ p (т) dr + —зI

Ф (0 =2Fz=.

P [(r0 + Q0 - Я

Применяя метод последовательных приближений, общее решение уравнения (19.12) получим в виде

ооt

о0ф = Ф(0 + У ^- - /■■V-AV^’ W^^, (ro + «9-^JJ

где

115 f^ IC

Km(i> т) = , . ,,5 "s" ^ ^т—1(?> т)^С^, Кг=1, X = ~ • (г0 +«') — го о т -р

Как показано в [44], каждый член резольвенты в формуле (19.13) ограничен. Для предложенного приближенного решения даны оценки погрешностей. В некоторых частных случаях решение уравнения (19.12) можно найти в замкнутом виде.

Зная функцию v0(/), теперь легко найти решение в области // координатной плоскости. На основании формулы (19.8) определяется функция f, далее из формул (17.5), учитывая (19.7), получим выражение для напряжений агДг, t) и а^г» t); скорость подсчитаем по формуле (19.6). Остаточные деформации определяются по формуле

0 = А^_,

где /о — значение функции / на волне разгрузки г = г0 + ^

Рассмотрим теперь задачу об отражении волны разгрузки от недеформирующейся сферической преграды, концентричной сферической полости радиуса г0> расположенной на расстоянии г = гп. Предположим, что давление р^ на поверхности сферической полости г = г0 столь велико, что на волне г = = 2(гп— г0) + г0 — at, отраженной от преграды, интенсивность напряжений для г = гп превышает значение Gts (на графике f —0, рис. 67, значение f = fs). Отраженная волна будет распространяться в неоднородной среде с переменным пределом текучести.

В рассматриваемом случае область определения решения в области // ограничена временем / = то. В области /// (при to ^ t ^ (г0— г + 2(гц— г0)) /а) решение строится так же, как в области II. Согласно принятой модели среды с жесткой разгрузкой, в области III должно удовлетворяться условие (19.2): (19.15) ^_^-=5(г),

где индекс 3 означает, что перемещение относится к области III. Как и прежде, интегрируя это условие, получим

ы3(г, O = -r[J-^dr-C(/)].

Затем находится выражение для скорости и3 (г, 0 = г(У (t).

Предполагая вновь, что функция иоЦ) известна, получим в области III соотношения, аналогичные (19.6) — (19.8). Функции Уо(<) и ф(/) определяются из граничных условий: краевого условия при г = /о и условия непрерывности функции f(0) на фронте отраженной волны г = 2 (гп — Го) + г0 — at;

Orr (r0, t) = — pf3 (r0, /) + ЗК -3 (;°— = - р (О при г = г0, (19-17),.

/з(г. t) = f2(r, 2^^-^ — t) при г = 2(гп — г0) + г0 — at.

Подставляя в эти условия выражения (19.16), (19.8), (19.5) и полагая г = ср(^) = 2(гп — г0) + г0 — at, получаем систему уравнений

Гаф (ЛГ g (г)

р_1 С^^-р-^ + ЗКС^-ЗКХ — dr= -pUY

5г°r г=г«

ф2 (О ZVZ (А I Ф (О f Г (А 9 Гп — Го ,1

Отсюда после исключения функции ф(/) находим

гдеФ«)гдеФ«)С"(/)4-а(/)С(/) = Ф(/),

где

Ф«)

где

Ф«)

бф3«) f rg

[ф5 (/) - rg] Р I ф3 (О Р

16К[ф3(/)-г=]pb5W-rg] 1

В [581 уравнение (19.19) сведено к интегральному уравнению Вольтерра второго рода путем подстановок

■ i

С" (/) = X (7), С' (0 = $ X (т) dT + А,

То t

С(7) = $ (7 — т) Х(т)dr-f- At-V В.

Te

Получается интегральное уравнение вида t

X (7) + а (7) $ (7 - т) X (т) dr — Ф (7) — а (7) (Л/ + В);

-То

постоянные Л и В определяются из начальных условий при 7 = т0:

^ = C4T0) = -£1J^ri!Ll^, г п

В = С(то)-С,(то)то=(-^-^|-т0^’^.

J г \Г=ГоГП

Зная функцию С (7), из решения уравнения (19.19) на основании формул (19.16), (19.5), (17.5) легко определить параметры решения в области ///; остаточные деформации при данном г будут такими же, как в области //; они определяются формулой (19.14).

Область IV координатной плоскости (г, 7) (рис. 68) будет областью разгрузки. При г = гп, т. е. на недеформирующейся границе, должно быть выполнено условие для перемещения: U4(rn, 7) = 0 или же условие для скорости: У4(гп, 7) = 0. Из уравнения (19.4) при этом условии следует, что С(7) = 0, а отсюда на основании (19.5)

у4(г, 7)=0.

Теперь уравнение движения (17.6) значительно упрощается и принимает вид

-^р- +3-^ = 0.

Интегрируя это уравнение, получим

/(9) = ^ф(7).

Функция гр(/) определяется из условия динамической непрерывности на фронте отраженной волны:

orr4 — orr3 = pa (у4 — у3) = — ра«3.

Используя (17.5)1 и тот факт, что на отраженной волне г = rQ +2(гп — Го)—at имеет место равенство м4 = ы3, из (19.24) получим соотношение

— pf + ЗК ^ = огг3 — рау3.

Из него можно определить функцию f:

f [ф (О, Я = | {з/<^М _ Огг3 [ф ^, /] + рЙУз [ф (0, /]}, где ф(/) = 2(гп — Го) + Го — at. В свою очередь из (19.23) можно найти функцию ф(0:

ф (/) = | ф3 (0 { ЗК ^М- - огг3 [ф (О, t] + раи3 [ф(О, Л } •

Напряжения агг, аФФ определяются из формул (17.5), а остаточные деформации — из (19.14). Через fo обозначено значение функции f на отраженной волне разгрузки.

Отраженная волна разгрузки г = 2(гп — го) + го— at исчезает в момент t = t*, a t* определяется из условия

по (0 = 0.

Время t* ограничивает область определения решений в области IV.

Нахождение решения в остальных областях координатной плоскости не представляет трудности. Согласно краевому условию у(гп, /) = 0 при г = гп, имеем у7(г,/) = у3(г, ^) = у3(г,/) = = y6(r, t) = 0. Следовательно, мы имеем дело со статической задачей. В различных областях перемещения и деформации будут иметь следующий вид:

«7 (г> О = «5 (г, 0 = и3<Г, Г), «8(г, 0 = и6(г, О = И4(г, /) = М3 (г, ф (г)), егг7 (г, /) = егг5 (г, /) = егг3 (г, /*), егг8 (г, /) = ег,6 (г, О = err4 (г, t\

Аналогичные соотношения получаются для составляющих ефф. Для напряжений находим

От (г, О = агг5 (г, t) = - (^)3 р (/) - ЗК и3 (г0, П + ЗК , Огг^т, Й = ^6(г, 0 = - (^-)3 ркй - ЗК^и^Го, fH^”^}^. Офф7 (г» 0 = ®фф5 (г> 0 ="2"°гг5 + ~2"+ ^ ~) »

„/- А — гг А— ±ГГ I ЗК Г д«3 (г, Ф (г)) , п «з (г, ф (г)) 1

Оффв(г> Й — *7ффб(г> ‘)—2СГ,т6'*' 2 L dr "Т" ^ г J"

Для областей VII и VIII в формулах для составляющих напряжений следует принять р^ = 0.

В работе [57] для модели упругопластической среды с жесткой разгрузкой решена задача о распространении сферических волн в слоистой среде. Приведенное здесь решение задачи об отражении волны разгрузки от жесткой преграды следует из приведенных там решений как частный случай.

Сферические и цилиндрические радиальные волны в упруго/вязкопластической однородной среде

Так как для среды, чувствительной к скорости деформаций, решения задач о распространении сферических и цилиндрических радиальных волн аналогичны, в настоящем пункте оба эти решения представлены одновременно.

Рассмотрим неограниченную упруго/вязкопластическую среду со сферической или цилиндрической полостью с начальным радиусом го- К поверхности этой полости приложено равномерно распределенное переменное во времени давление p^ty Примем краевое условие в виде (17.1). Если в случае сферической или цилиндрической симметрии учесть условия, заданные согласно (16.1) и (16.2), то определяющие уравнения (3.5) для сред, чувствительных к скорости деформации, приобретают вид

до о1 ,.• \ ।

дг г — 2ц

\ L X J /V12

— «1 (-^ + 7) = «1-^(2^ — Огг — 0^) +

./ _ Г V/2 J \ ^°2Z ^rr ^фф

+вд\ф1—-’J?—л•

h Мд ~ = ^ (б*гг + Мо^фф 4" ^А^ггУ»

здесь использованы соотношения для малых деформаций деггдодг^ о_

dtdr 1 dtг

и введены обозначения м0, ^i, где п0 = 2, пх = 0 в случае сферических волн, Mg = 1, Mi = 1 в случае цилиндрических радиальных волн.

Второй инвариант девиатора напряжений, входящий в функцию релаксации, имеет следующий вид:

2a=|[(^ + »,^ + »W-

- ("o»„»W + nV°W°~ + Wrr)].

Эти уравнения вместе с уравнением движения (16.9) составляют полную систему уравнений задачи. Она относится к системе уравнений первого порядка гиперболического типа относительно скорости и, составляющих тензора напряжений и тензора деформаций. Характеристиками этой системы (на основании (9.10)) являются прямые, уравнения которых имеют вид

г = const, г = r0Т at + const, где а = а/4^ф—■.

На основании (9.17) вдоль характеристик должны быть выполнены следующие соотношения:

/ ^а ,\ I Л /. 1 \ (1 + П^ ^г ^фф ^1^22 .

п0 < ± — (цгг - Офф) + 2цу ( Ф1 )7=Н

\ L X J /V /2

+ у (2ц - 3/С) } dr - (4ц 4- ЗК) dv ± За darr = 0 при г = Го ± at + const,

( Orr ~/ Г V /21 \У )

зк " ффу(ф —-1 ) + (1 +„0)-к/ +

( V /2\ L хJ /г )

+0 ^Стгг —+ га0 ^Стфф — rtl ^^

de^q,= ~ dt,

2ц derr — darr +

V /2\ L х J / J

d^rrgд' ^Д^гг Ч~ ^о ^^фф “Ь ^i do2^ -| ~ dt ==: 0

при г = const.

Для уравнений (3.5) в общем случае не найдено решение задачи о распространении сферических и цилиндрических радиальных волн в замкнутом виде. Решение на фронтах волн сильного разрыва приводит к интегральным уравнениям, в области же вязкопластических деформаций решения строятся численно при помощи метода сеток характеристик или метода последовательных приближений (см. п. 9).

Для краевого условия вида (17.1) (при нулевых начальных условиях) в невозмущенной области г > г0 будет распространяться волна сильного разрыва, совпадающая с характеристикой г = г0+ at. На фронте этой волны должны быть выполнены условия динамической (7.18) и кинематической (7.27) непрерывности. Эти условия имеют вид

сгг = —рот, у = — аггг.

Исходя из того, что на волне сильного разрыва скорость деформации бесконечна, а также из (20.1) и (20.5), получим соотношения между составляющими тензора напряжений на фронте волны г = г0 + at*.

aw = arr(l--^-)

в случае сферической волны и

^zz = °фф

в случае цилиндрической радиальной волны.

Для получения решения на фронте волны сильного разрыва г = го + at будем исходить из соотношения на положительной характеристике (20.4) i, учитывая (20.5) и (20.6). После преобразований и представления всех величин через агг получим уравнение

^- = —^ уФ

dr2r 3xfn°a

причем принято, что функция текучести имеет вид (3.1). При решении уравнения (20.7) заметим, что параметр упрочнения х, определенный формулой (3.1) на фронте волны г = Tq-Y at, может зависеть только от переменных отт и г. На основании (3.1) в случае сферической или цилиндрической симметрии имеем ttt

def СГС

Wp = J Оц d^, = $ arr de?r + 2 J О^.

00о

Второй член в правой части (20.8) равен нулю ввиду того, что

[8Фф] = [у]= 0.

Выделяя в составляющих тензора деформаций упругую е^ и пластическую е^. части и используя условия (20.5), получаем

Из закона Гука и соотношения (20.6) для е^. получим выражение

^г pa2 °гг*

Отсюда непосредственно следует, что W^ = 0.

Так как на фронте волны сильного разрыва энергия деформации равна нулю, задача для среды с упрочнением сводится к задаче для идеально пластической среды. Параметр упрочнения х равен пределу текучести на сдвиг к.

Интегрируя обе части уравнения (20.7) и используя начальное условие

сгг (г0, 0) = — р0,

получаем нелинейное уравнение Вольтерра второго рода:

Огг = Ро- ^К, агг(£М,

Го

где функция ^[г, <тгг (г)] имеет вид

V [г, агг (г)] =-^- + Ф Г-- 111

2n0r 3^п°а LV3 рА J

Уравнение (20.10) можно решать методом последовательных приближений. Можно показать, что подынтегральная функция V[г, Огг(г)] ограничена и удовлетворяет условию Липшица; следовательно, процесс последовательных приближений сходится.

Рекуррентные формулы для решения уравнения (20.10) имеют вид

arr= Иш qW,

п-»оо

где

г

^ = р0- ^[g, а<?(£)]^,

Го

qW =L^W e(n)—_l_a(n) g =Qра rr' °rr pa2 гг’ <рф и>

а^ = <Г0е)==(1 —^)агг для сферических волн,

аИ = ow — {j _ -^-) а'"1 для цилиндрических радиальных волн.

Эти решения в случае сферических волн справедливы при г < г* (рис. 69), где г* определяется из условия /г(г*) = ^2.

При г^г* решение на волне сильного разрыва r = r0-Vat получается в замкнутом виде (в случае сферических волн):

Уз pa2k г*

°гг— 2|Л г ’

/пл ю'1/.2р. \ Уз ра2^ г*

Сфф —<Тее— (1 ра1) 2р г’

Уз ак г*Уз к г*п

V — —7 » егг —Т ’ еот — °-

В случае цилиндрических радиальных волн решение уравнения (20.10) действительно в пределах [г0, +°°). В связи с этим некоторому изменению подвергается вид решения на координат

ной плоскости (гД) (рис. 69). Так как точка М на характеристике г = го + at стремится к бесконечности, область вязкопластических деформаций / получит вид, подобный случаю плоских волн (см. п. 15, рис. 53). Напряжение а„ на волне r = r04-at монотонно убывает, достигая на бесконечности значения ®гг = = а*г = — V 3 pa2k/2p.

В случае определяющих уравнений (3.13), когда функция yO(at7fi(ei)—1) имеет вид (3.30) или ему эквивалентный

уФ = а„ (ez)- 1) + ₽„ fo),

где ап(е,), рп(ег)— функции е,, определяемые на основании экспериментальных данных, можно дать следующие оценки для уравнения (20.10) в случае сферических волн. Полагая

,9|°п(в<)I aon> K(eJI<«on- |Pn(8z)| Рол»

где e, = (2/V3)(arr/(pa2)), можно записать [46]

^ [г, <тгг (г)] ^ ^+

2цV3 а2цV3 аkk

2цV3 а

2цV3 а

k

k

<2"-15> ш=

.1 , 2ц ( 21, Г (2/V3) (ц/(ра2)) ро /

го Уз а I Уз ра2 °” L 6.

°"[Уз ра2^: Уз (ра2)2 Р°° к2

Тогда

|(Угг|<ро + ^.(е^_1),

Уз ра2к — 2цр0Уз ра2к — 2цр0г*-гр2г*-гр2где h равно наименьшему из двух значений

Уз ра2к — 2цр0

Уз ра2к — 2цр0

г*-гр

2

г*-гр

2

4ц М

В области вязкопластических деформаций (область /) решение строится численно методом сеток характеристик с использованием соотношения вдоль характеристик (20.4). Дифференциалы, входящие в эти формулы, заменяются конечными разностями. Рекуррентные формулы для приближенных значений параметров решения в точке РЦ, т, и.) (рис. 69) имеют следующий вид [10, 46]:

3k{v(®[—-ll)^= + d +»»)-} Ы +

ч \ L х 3/ УЛг )ц-\,т-\,п>

+ (-^ — 9 (агг(Л т, п) — огД1— 1, т— 1, п)] —

— (4^" + «о) ^фф V> т, п) — aw (I — 1, т — X, п^ —

-«1 [сггг(/, т, п) — azz(l — X, т—Х, п)] = 0,

(За//пГ^.]\(1+И1)<гГг-0Гфф-п1агг

«о { — (Огг - ®фф) + 2цу ( Ф I—- -11)-=+

+ -(2[г-ЗК)|, Аг-

ГJ (Z, т-1, п-1)

(4р -f- ЗК) [у G, т, п) — у (I, т — 1, п — 1)] +

+ За [<тгг (/, т, гг) — агг (/, т — 1, п — 1)] = 0,

(2.17) «о | — -у- (агг — <тфф) +

/ Г Ул1\

+ 2цу(Ф —- 1 )

\ L хJ /

+ 2(2|i-3/<)

(1 + Л1) ^ГГ ^фф — ^1^22

-Vj2

U — l, т, п+1)

— (4ц + 3/0 [у (Z, т, п) — v (I — 1, т, п + 1)] —

2ц [егг (Z, т, п) — err (I — 1, т — 1, п)] —— [агг(/, т, п) — orr (Z—1, т — 1, и)] 4- + [<тфф(/,тл) — стфф(/ — 1, т — 1, а)] —2ц [егг (Z, т, п) — err (I — 1, т — 1, п)] —— [агг(/, т, п) — orr (Z—1, т — 1, и)] 4- + [<тфф(/,тл) — стфф(/ — 1, т — 1, а)] —f у / Г У/2-2ц]-4-у(ф I r \ L хf у / Г У/2-2ц]-4-у(ф I r \ L х— За [агг (/, т, п) — огг (/ — 1, т, п 4-1)] = О, ефф(/, т, п^ — е^^— 1, т — 1, ») —yy(Z — 1, т — 1, и)А/ =0,

2ц [егг (Z, т, п) — err (I — 1, т — 1, п)] —

— [агг(/, т, п) — orr (Z—1, т — 1, и)] 4- + [<тфф(/,тл) — стфф(/ — 1, т — 1, а)] —

2ц [егг (Z, т, п) — err (I — 1, т — 1, п)] —

— [агг(/, т, п) — orr (Z—1, т — 1, и)] 4- + [<тфф(/,тл) — стфф(/ — 1, т — 1, а)] —

f у / Г У/2

-2ц]-4-у(ф I r \ L х

f у / Г У/2

-2ц]-4-у(ф I r \ L х

^7=^- А/ = 0,

УЛ ) (/—1, т-1, п)

[err (Z, т, а) — err (Z — 1, /и — 1, а)] —

-^- {[а„ (Z, т, п) — огг (Z — 1, т — 1, п)] +

+ «о [сГфф (Z, т, п) — афф (Z — 1, т — 1, а)] 4-

4- «1 lozz(i, т, n) — ozz(Z — 1, т — 1, а)]} 4-

у v (Z — 1, т — 1, /г) А/ = 0.

Символы Z, т, п означают положение точки РЦ, т, п), в которой пересекаются характеристики: Z-я положительная, т-я отрицательная и п-я, уравнение которой г = const.

Из этой системы разностных уравнений определяются приближенные дискретные значения искомых составляющих тензора напряжений, тензора деформаций и скоростей частиц у. Если пренебречь упрочнением материала (для определяющих уравнений (3.15)), эта система сводится к системе трех (в случае сферических волн) и четырех (в случае цилиндрических радиальных волн) уравнений, в которые нс входят составляющие тензора деформаций еГг, ефф.

Область вязкопластических деформаций / ограничена кривой / = Г(г), являющейся «волной разгрузки». Эта кривая ограничивает область определения решения системы уравнений (20.17). Условием определения кривой Г(г) служит уравнение F = 0, где F — функция текучести материала, определяемая в общем случае формулой (3.1). Например, в случае определяющих уравнений (3.13) условие для определения кривой Г (г) имеет вид

(Tz[r)r(r)]=f1{ez[r, Г(г)]}.

Здесь одновременно предполагается, что отрицательная характеристика, исходящая из точки М (рис. 69), не пересекает кривой Г (г).

В области //, ограниченной кривой Г (г) и характеристиками: положительной, исходящей из точки L, и отрицательной, исходящей из точки М (рис. 69) (в случае цилиндрических радиальных волн, ввиду того что точка М находится в бесконечности, область // неограниченна, она соединяется с областью ///), движение среды определяется следующей системой уравнений:

догг . п0 ,хди

ar + г ^ггафф) —Р at •

ez = -^- (аг — ai0) + е;о,

ЗК (бгг Н™ ^0®фф) ^гг “Ь ^О^фф "Ь ^l^zzi

где Ого и *о— соответственно интенсивность напряжения и интенсивность деформации на кривой Г (г). В случае сферических волн эта система уравнений может быть сведена к уравнению второго порядка для перемещения и (г, /):

SL-ti4S + ”"?—2-) = ¥(г),

\\ дг2 1 г дг г ) х п

где_

шлаL Г^ д ( GioX। 2 Уз/ OtoXI

v ) —о МQ eio I •

Р L dl \ 2ц/ г\ 2ц/ J

Наконец, в области IV следует решать задачу Пикара для системы уравнений (20.19) с заданными граничными условиями: краевым условием при г = го и значениями перемещений точек на положительной характеристике, исходящей из точки L (эти перемещения известны из решения в области //). В случае сферических волн решение в области IV можно найти в замкнутом виде. Решения для случая сферических волн были подробно рассмотрены в работах [46] и [10, 153]. Там же проведен подробный анализ численных решений поставленной задачи. Исследовано влияние упрочнения материала на поля напряжений и поля деформаций. Установлено (для числовых данных, относящихся к мягкой стали), что различие напряжений оТг и офф в случаях учета упрочнения материала и исключения упрочнения невелико (порядка 15—20%); оно значительно (порядка 40%) для деформаций 8Гг И 8фф.

В работе [46] рассмотрена также задача об отражении сферической волны напряжения от жесткой преграды, концентричной сферической полости. Давление на границе полости радиуса г = г0 подобрано так, чтобы волна отражения от жесткой преграды была также пластической волной. Решение на отраженной волне строится аналогично решению для падающей волны. Решения в остальных областях также не вносят новых качественных элементов. Установлено, однако, что влияние упрочнения материала в окрестности жесткой преграды более существенно, нежели в окрестности границы полости радиуса г0.

Задача о распространении сферических волн в неоднородной упруго/вязкопластической среде была решена в работе [88]. В ней за исходный пункт приняты уравнения Фрейденталя; эти уравнения получаются как частный случай определяющих уравнений (3.25), если положить ф(Г^ = Р. В них принято, что постоянные материала изменяются как функции радиуса г. Рассмотрена задача о возникновении волны слабого разрыва, а также волны сильного разрыва. Решение в областях вязкопластических деформаций построено численно с использованием метода сеток характеристик. На фронте волны сильного разрыва решение сводится к решению интегрального уравнения. Проводя дальнейшие упрощения и принимая в качестве отправных определяющие уравнения Гогенемзера и Прагера (уравнения (3.25) ), в которых опущены упругие деформации как малые по отношению к неупругим деформациям и принята линейная форма функции релаксации, в [141] получено решение задачи о распространении волн напряжения сильного разрыва в замкнутом виде. Определена также форма волны упругой разгрузки для некоторого частного случая.

Задача о распространении цилиндрических волн в упру- го/вязко-идеально пластической толстостенной трубе, вызван-

ных равномерно распределенными на обеих поверхностях нагрузками, была решена в работе [76]. Ограничимся рассмотрением волн сильного разрыва. Итак, краевые условия на обеих поверхностях трубы имеют вид

аГг = -р^ р^>0,

или

и = и (0.

Если на одной из поверхностей трубы давление р(/) = 0, то имеет место случай отражения волн от свободной поверхности; если же и(<) = 0— случай отражения волн от закрепленной поверхности. Чтобы волны были волнами сильного разрыва, очевидно, должно быть р(0)=/=0 в случае условия типа (20.21) или ц(0)^= 0 в случае условия типа (20.22).

2L Цилиндрические волны сдвига

Рассмотрим теперь случай, когда на поверхности цилиндрической полости радиуса г0 в неограниченном упруго/вязкопла- стическом пространстве действует равномерно распределенное касательное напряжение p(t). Учитывая (16.10) — (16.12), определяющие уравнения в этом случае записываем в виде

-^=—-^ + 2у(ф( —-1))'

х 7дг г р дт 1 г \ \ х //

где V = dujdt.

Определяющие уравнения (21.1) вместе с уравнением движения (16.13) и соотношением для малых деформаций

(21.2-д= 2—^

х 7dr г dt

составляют полную систему уравнений для рассматриваемой задачи. Это система уравнений гиперболического типа, имеющая следующие семейства характеристик:

г — rQ =F at + const, г = const,

где а = V Р/Р •

Вдоль характеристик (21.3) выполняются следующие соотношения:

dy т ^ «тгф dr - [2Y (ф (^ - 1)) + у] dr ЯР ^ dTrv = 0, (21.4)

V d^ - ^гф + [; + 2Y (ф (^ - 1))] dt = 0.

Если напряжение р^ в момент f = 0 было приложено внезапно, то на фронте г = r0 + at волны сильного разрыва получим уравнение вида г

тГ(р = Pq У (£, тг(р (£)] d^,

Го где

Ч^г, тГф(г)] = ^т,ф + р^(ф(^ —1))-

Это уравнение получено при помощи соотношения (21.4)1 на положительной характеристике и условий динамической и кинематической непрерывности на фронте волны сильного разрыва

тгф=— рац, и = —аггф

(в предположении однородных, нулевых начальных условий).

Уравнение (21.5), аналогичное случаю сферических и цилиндрических радиальных волн, решается методом последовательных приближений. Оно определено только при г ^ г*, где г* находится из условия тГф (г*) = к. При г ^ г* на фонте волны сильного разрыва г = r^ + at решение получается в замкнутом виде:

^ = к^у.

Остальные параметры решения на волне г = г0 + at определяются при помощи соотношений (21.7).

Решение в области вязкопластических деформаций строится методом сеток характеристик. При этом используются соотношения (21.4), записанные для конечных приращений.

Решение задачи об отражении волн от концентричной преграды не представляет больших трудностей. Его можно получить по примеру аналогичных решений об отражении плоских волн в полупространстве или сферических волн в упруго/вязко- пластической среде.

Глава V

ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ

В настоящей главе сначала рассматриваются решения задач о распространении простых волн !). Дается анализ случаев двухпараметрического нагружения границы исследуемой среды. Последовательно рассматриваются тела, свойства которых определяются соответственно уравнениями теории пластического течения, уравнениями динамики грунтов С. С. Григоряна и уравнениями билинейной теории пластичности. Затем излагаются решения задач о распространении продольно-поперечных волн в упруго/вязкопластических однородных средах (плоские и радиальные цилиндрические волны).

В литературе опубликовано уже много решений задач о распространении волн в случае сложного напряженного состояния (для одной пространственной переменной и двухпараметрической нагрузки). Первые работы в этой области ограничивались решением автомодельных задач [4, 12—14, 21, 26, 30, 106, 121 — 123, 215, 216]. В них рассматривался класс краевых условий, для которых напряженное состояние, деформированное состояние и массовые скорости частиц можно представить зависящими только от одной независимой переменной. Это позволило свести систему уравнений с частными производными, описывающих движение среды, к системе обыкновенных уравнений. Ввиду принятого в названных работах характера внешних нагрузок не имели смысла задачи об образовании фронтов пластических волн, которые возникают в результате взаимодействия продольных и поперечных волн. Не ставились также задачи об образовании волны разгрузки. На задачи этих двух типов сделан упор в работах [48—51, 142, 143], в которых рассмотрены более общие задачи о распространении продольно-поперечных волн в упру- го/вязкопластической среде для произвольных изменений во времени внешних нагрузок.

*) Определение простых волн дается на стр. 191. — Прим. ред.

Простые волны в упругопластическом полупространстве

Исследуем движение упруго/вязкопластической среды, заполняющей полупространство Xi > О, к поверхности которого приложены постоянные во времени нормальные и касательные напряжения (рис. 70)

(22.1)(22.1)^Н — — Ро, O12 — — ?0,^Н — — Ро, O12 — — ?0,

(22.1)

(22.1)

^Н — — Ро, O12 — — ?0,

^Н — — Ро, O12 — — ?0,

возникающие в момент t = 0. Эту задачу решим для малых деформаций, исходя из определяющих уравнений (2.30) [13, 30,

Рис. 70.Рис. 70.135, 136, 5, 32, 223].

Рис. 70.

Рис. 70.

Уравнения динамического равновесия (5.5) в случае малых деформаций и отсутствия массовых сил имеют вид

ди,

p~^~=O;/f/.

В рассматриваемой плоской задаче отсутствуют касательные напряжения спз, о2з и составляющая перемещения в направлении оси Хз. Остальные составляющие тензора напряжений и со

ставляющие перемещения не зависят от координаты х2. Так как нагрузка на границе полупространства (22.1) не зависит от х2, остальные величины суть функции только Xi и А В результате

получим

8ц = Щд = 8,812 = ^2,1 “ 2у,822 = 833 = 813 = 823 = 0,

О23 — 013 = 0, 012 — Т> а11— °Ъ О22— О33— а2,

ZZ1 Uj, U^ — U2>^3 == W3 == ^*

С учетом условий (22.3) уравнения динамического равновесия сводятся к виду (в дальнейшем примем Xi = х)

(22.4)(22.4)dvi d£i dv2 дтdtдх ’ dtдх*

(22.4)

(22.4)

При малых деформациях имеем

дУ1 де ди2 р дудхdZ ’ дх dt

В рассматриваемом случае условие текучести принимает вид

р = ^О1- <$^ + т2 = кт,

где к — предел текучести.

Учитывая (22.3), (22.5) и (22.6), из определяющих уравнений (2.30) получаем следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка:

dth 1 dax 2у da2 . дЛ.

dxЕ dtЕ dt ’ 5 dt ’

, 2(1—у) до2„дК

Е dt Еdts dt

dx ц dt ' X dt 9 при этом введены обозначения (22.8)s = |(ai-a2),

Входящая в уравнения (22.7) величина dA/dt может быть выражена через функцию F в виде

дЛ 3/(ч дР даЬ1

@2,9)~дГ = ~^Ёа^>'д^~дТ’

где а(&) характеризует упрочнение материала. Эту функцию можно определить из характеристики материала для одноосного напряженного состояния. Если через Ер(о) обозначить угол наклона кривой <г (е) как функцию напряжения о, то получим

(22.Ю)

В предельных случаях, если Ер = Е (область упругих деформаций), то а = 0; если Ер = 0 (в случае идеальной пластичности), то а = оо. Если положить, что Ер — монотонно убывающая функция k, то а(&) будет монотонно возрастающей функцией к.

Система уравнений (22.4), (22.7) и (22.9) является полной системой уравнений для рассматриваемой задачи. Ее можно представить в матричной форме

Au, х + Ви, < = 0,

где вектор и определен как

«2<71с2«2<71с2fi

«2

<71

с2

«2

<71

с2

(22.12)

а матрицы А и В имеют вид

■ 00 -1 00 0'

000 0 —1 0

-100 00 0

А =,

000 00 0*

0 -10 00 0

000 00 0

V7~р 00000

0 р 0000

0 01/Е— 2v/E 0s

В = 0 0 — 2v/E 2(1 -^,Е 0—s

0 0001/ц2т

0 0s— s 2т 4k2Ej3a^_

Матрицы А и В являются симметрическими.

Характеристические кривые уравнения (22.11) являются решениями уравнения |А — 6zB | = 0 (см. п. 9.2). Раскрыв определитель |А — аВ| и приравняв его нулю, получим следующее уравнение:

А)(а) = 0,

где(22.15)где(22.15)12&2/ а?\/ а2д2\"^ За (6) ф + 1) \ а2/ \ а^а2 /12&2/ а?\/ а2д2\"^ За (6) ф + 1) \ а2/ \ а^а2 /

где

(22.15)

где

(22.15)

12&2/ а?\/ а2д2\

"^ За (6) ф + 1) \ а2/ \ а^а2 /

12&2/ а?\/ а2д2\

"^ За (6) ф + 1) \ а2/ \ а^а2 /

где б? 1 — скорость продольной упругой волны, ^2 — скорость поперечной упругой волны, р — параметр, р = 2(1 +v)/(l—2v). Так как коэффициент Пуассона изменяется в пределах (О, V2), параметр р изменяется в пределах (2, оо).

Тривиальное решение уравнения (22.14) есть а = 0. Анализируя уравнение (22.15), можно установить, что Z)(0)^0, O(^i)^0 и D^a^^O. Уравнение (22.15) представляет собой уравнение четвертого порядка относительно а. Если обозначить его корни через ±aw, ±#s, то можно установить, что

0 < aw < as < ах.

Величины aw, as являются соответственно скоростями медленных и быстрых волн. В предельных случаях, когда а=0

(область упругих деформаций или упругой разгрузки), из уравнения £>(«) = О получим а = ах и а = а2; когда а—*оо (для упруго-идеально пластического тела), получим характеристическое уравнение для определения скоростей волн, аналогичное выведенному в работе [13]:

Кроме того, в предельных случаях из уравнения (22.15) получимКроме того, в предельных случаях из уравнения (22.15) получимеслиеслиs = 0, то as = ax, O^a^^o^s = 0, то as = ax, O^a^^o^еслиеслит = 0 и Р>3, то Aj^-a^^as^a^ сц^а^,т = 0 и р<3, то а^^а^а^ аш = а2 при s^s*,т = 0 и Р>3, то Aj^-a^^as^a^ сц^а^,т = 0 и р<3, то а^^а^а^ аш = а2 при s^s*,Здесь s* отвечает значению, для которого скорость распространения продольной плоской пластической волны имеет то же значение, что и скорость упругой волны сдвига а2; это значение определяется из уравненияЗдесь s* отвечает значению, для которого скорость распространения продольной плоской пластической волны имеет то же значение, что и скорость упругой волны сдвига а2; это значение определяется из уравнения(22.19)(22.19)Соотношения вдоль характеристик на основании (9.14) получим в видеСоотношения вдоль характеристик на основании (9.14) получим в виде(22.20)(22.20)гв(4г) = ».гв(4г) = ».где duldt — производная вдоль характеристики: du)dt = u,xa + + и,г; 1Т — транспонированный левый собственный вектор 1, который определяется из уравнения (9.12):где duldt — производная вдоль характеристики: du)dt = u,xa + + и,г; 1Т — транспонированный левый собственный вектор 1, который определяется из уравнения (9.12):(22.21),(22.21),1г(А-пВ) = 0.1г(А-пВ) = 0.Ввиду того что в рассматриваемом случае матрицы А и В симметричны, эти уравнения можно представить в видеВвиду того что в рассматриваемом случае матрицы А и В симметричны, эти уравнения можно представить в виде(22.21)2(22.21)2(А - аВ) 1 = 0.(А - аВ) 1 = 0.Следовательно, левый и правый собственные векторы совпадают. При а = ±as или а = ±«и> левый собственный векторСледовательно, левый и правый собственные векторы совпадают. При а = ±as или а = ±«и> левый собственный вектор

Кроме того, в предельных случаях из уравнения (22.15) получим

Кроме того, в предельных случаях из уравнения (22.15) получим

если

если

s = 0, то as = ax, O^a^^o^

s = 0, то as = ax, O^a^^o^

если

если

т = 0 и Р>3, то Aj^-a^^as^a^ сц^а^,т = 0 и р<3, то а^^а^а^ аш = а2 при s^s*,

т = 0 и Р>3, то Aj^-a^^as^a^ сц^а^,т = 0 и р<3, то а^^а^а^ аш = а2 при s^s*,

Здесь s* отвечает значению, для которого скорость распространения продольной плоской пластической волны имеет то же значение, что и скорость упругой волны сдвига а2; это значение определяется из уравнения

Здесь s* отвечает значению, для которого скорость распространения продольной плоской пластической волны имеет то же значение, что и скорость упругой волны сдвига а2; это значение определяется из уравнения

(22.19)

(22.19)

Соотношения вдоль характеристик на основании (9.14) получим в виде

Соотношения вдоль характеристик на основании (9.14) получим в виде

(22.20)

(22.20)

гв(4г) = ».

гв(4г) = ».

где duldt — производная вдоль характеристики: du)dt = u,xa + + и,г; 1Т — транспонированный левый собственный вектор 1, который определяется из уравнения (9.12):

где duldt — производная вдоль характеристики: du)dt = u,xa + + и,г; 1Т — транспонированный левый собственный вектор 1, который определяется из уравнения (9.12):

(22.21),

(22.21),

1г(А-пВ) = 0.

1г(А-пВ) = 0.

Ввиду того что в рассматриваемом случае матрицы А и В симметричны, эти уравнения можно представить в виде

Ввиду того что в рассматриваемом случае матрицы А и В симметричны, эти уравнения можно представить в виде

(22.21)2

(22.21)2

(А - аВ) 1 = 0.

(А - аВ) 1 = 0.

Следовательно, левый и правый собственные векторы совпадают. При а = ±as или а = ±«и> левый собственный вектор

Следовательно, левый и правый собственные векторы совпадают. При а = ±as или а = ±«и> левый собственный вектор

уравнения (22.21) 2 имеет видуравнения (22.21) 2 имеет вид(22.22)(22.22)1-раТФ— ра01-раТФ— ра0

уравнения (22.21) 2 имеет вид

уравнения (22.21) 2 имеет вид

(22.22)

(22.22)

1

-раТФ

— ра0

1

-раТФ

— ра0

где

(22.23)(22.23)ФФ00ps (а2 - а^) (а1 - р^)2та (а2 — а2)1 / а2j\2та у а2 )ps (а2 - а^) (а1 - р^)2та (а2 — а2)1 / а2j\2та у а2 )

(22.23)

(22.23)

Ф

Ф

0

0

ps (а2 - а^) (а1 - р^)2та (а2 — а2)

1 / а2j\

2та у а2 )

ps (а2 - а^) (а1 - р^)2та (а2 — а2)

1 / а2j\

2та у а2 )

Частными решениями уравнения (22.11) являются так называемые простые волны. Это такие решения, для которых вектор и имеет постоянное значение вдоль характеристик. Если вектор и имеет постоянное значение вдоль волн, распространяющихся со скоростью as, то такие волны мы назовем быстрыми волнами. Если этот вектор имеет постоянное значение вдоль волн, распространяющихся со скоростью ата, то эти волны мы назовем медленными волнами.

Так как характеристические направления являются функциями только s и т, то характеристики уравнения (22.11) суть прямые линии для решений в виде простых волн. Следовательно, u = const вдоль линии с наклоном dx/dt = а, отсюда

(22.24)(22.24)и-ха + ut< =0.

(22.24)

(22.24)

Исключая из уравнений (22.24) и (22.11) и(, получаем

(22.25)(22.25)(А — аВ) и, х = 0.

(22.25)

(22.25)

С другой стороны, исключая из этих уравнений и,ж, получаем

(22.26)(22.26)(А —аВ)и,( = 0.

(22.26)

(22.26)

Так как du = пи,ж + mu.t есть полный дифференциал вдоль каждого направления dxldt = n[m (пит произвольны), из уравнений (22.25) и (22.26) получим

(22.27)(22.27)(А — аВ) du = 0.

(22.27)

(22.27)

Из равенств (22.21) 2 и (22.27) видно, что du пропорционален левому собственному вектору 1. Исходя из этого факта, пользуясь (22.22), получим

/оо oq\ dvi dv2 dO\ do2 dx dJX.

Уравнение (22.28) эквивалентно пяти обыкновенным дифференциальным уравнениям первого порядка. Так как Ф и 0 суть функции напряжений ths, все эти уравнения связаны. В частном случае, так как

(22.29)(22.29)do\ — da2 dxpaW + Фpa ’

(22.29)

(22.29)

используя соотношения (22.8) и (22.29), получим

(22.30)(22.30)ds s (а2 — а2) (За2 — ра2) dxЗха2 (а2 — а2)

(22.30)

(22.30)

Чтобы описать изменение составляющих тензора напряжений на плоскости (оь о2, т) в случае простых волн, к равенству (22.30) следует присоединить равенство

(22.31)(22.31)da^s а2 — а2

(22.31)

(22.31)

dxха2 — а2

которое получается из (22.28) и (22.23).

Интегрируя уравнения (22.30) и (22.31), для каждого as и aw получим двухпараметрическое семейство пространственных кривых в трехмерном пространстве напряжений (аь а2, т). Эти пространственные кривые можно построить, если будут известны их проекции на каждую из двух плоскостей (ai, т) и (о2, т), которые не параллельны. Учитывая вид уравнений (22.30) и (22.31), для этой цели можно использовать плоскости (s, т) и (оь т). Интегрируя соотношение (22.30), получим однопараметрическое семейство кривых на плоскости (s, т). Для определения проекций кривых на плоскости (oi, т) достаточно только одного параметрического семейства кривых. Другое параметрическое семейство можно получить путем поворота первого параметрического семейства кривых в направлении оь Это можно установить, анализируя уравнения (22.30) и (22.31). Линии напряжений для быстрых и медленных простых волн ортогональны друг другу на плоскости (oi, т). Следует, однако, заметить, что они ортогональны на плоскости (oi, т), если они пересекаются в пространстве (oi, 02, т). Если же линии напряжений для быстрых и медленных волн не пересекаются в пространстве (пь о2, т), то их проекции на плоскость (аь т) не должны быть взаимно ортогональны. В работе [136] подробно исследованы линии напряжений в плоскостях (сгь т), (s, т).

На рис. 71 представлен характер линий напряжений соответственно на плоскостях (т, Oi), (т, s) для частного вида функции а(й) = 3(&/&0—I)4, где йо соответствует начальной поверхности текучести, и для параметра 0 = 2,25 [136]. Сплошными линиями показаны линии напряжений для медленных простых волн, а пунктирными линиями — для быстрых простых волн. Кривые на рис. 71 представлены для области пластических деформаций. В областях упругих деформаций линии напряжений для быстрых простых волн, распространяющихся со скоростью а = аь будут прямыми, параллельными осям <л и s; линии

напряжений, соответствующие медленным простым волнам со скоростями а = а^, параллельны оси т. Линии напряжений в областях упругих деформаций не ориентированы, иначе говоря, напряженное состояние в этих областях может изменяться в обоих направлениях.

На рис. 72 представлено решение, соответствующее краевым условиям (22.1), т. е. для случая внезапно приложенных на границе полупространства нормальных и касательных нагрузок, постоянных во времени. Это решение отвечает линии напряжения, проходящей на рис. 71 по пути О АВ. При этом предполагается, что начальное напряженное состояние равно нулю, т. е. О1(0, х) = т(0, х) = 0. Точка Р на рис. 71, а и б отвечает задан-

7 Зак, 617

ным на границе полупространства напряжениям 04 = —р^ т = —qQ.

Так как характеристические направления а являются функциями напряжений аь о2, т и для. простых волн напряжения постоянны вдоль характеристик, то эти характеристики являются прямыми линиями. Каждая точка на линии напряжений О АР отвечает характеристике на координатной плоскости (х, ty Положение точки на линии напряжений ОАР определяет напряжение вдоль характеристики, а также характеристическое направление а. Напряжения ^ит можно определить из рис. 71, а, напряжение <у2 — из рис. 71,6.

В случае упруго-идеально пластического тела приведенные выше уравнения значительно упрощаются. Характеристическое

уравнение D(a) = O принимает вид (22.17). Характеристические направления а не зависят от составляющей напряжения о1е Условие текучести тогда имеет вид

'/з (ст, — о2)2 + т2 = А2,

где &о — постоянная. Напряжение 62 не является независимой переменной, оно выражается через составляющие тензора напряжений Qi и т. Задача о распространении простых волн в упруго-идеально пластическом пространстве, нагруженном по границе напряжениями <ri, т согласно краевому условию (22.1), подробно исследовалась Блейхом и Нельсоном [13].

Изложенный в настоящем пункте метод нельзя непосредственно применять при произвольных краевых условиях. Он справедлив только в случае постоянных на границе полупространства напряжений. Его можно, однако, обобщить на случай давлений, произвольно возрастающих во времени от нуля до

постоянного значения, как это было сделано в работе [136]. В случае произвольного изменения напряжений на границе полупространства решение задачи о распространении волн напряжений можно получить численным путем, используя с этой целью соотношения вдоль характеристик, которые следуют из уравнения (22.20).

* Задача об определении волны разгрузки в случае двухпараметрического нагружения упруго-пластической среды рассматривалась Клифтоном [22] применительно к распространению волн в полубесконечном цилиндре, нагруженном по краю нормальным давлением Ие скручивающим моментом. Клифтон и Липкин [23, 68] установили экспериментальным путем существование быстрых и медленных простых волн. В работе [23] проведено сравнение экспериментальных и теоретических результатов.

Рассмотрим теперь задачу о двухпараметрическом нагружении границы упругопластического полупространства, исходя из уравнений динамики грунтов, предложенных С. С. Григоряном [35]. На границе полупространства %i ^ 0 (рис. 70), заполненного средой, определяемой уравнениями С. С. Григоряна (см. п. 4.1), заданы краевые условия вида (22.1).

Так же, как и в ранее рассмотренной плоской задаче, в данном случае отсутствуют касательные напряжения ai3, <У2з и составляющая перемещения в направлении оси х2. Остальные составляющие тензора напряжений и составляющие перемещения нс зависят от координат х2 и хз. Следовательно,

Q13 = О23 = 0, Цз = Й3 = 0,

*^1 Л Я 1<^2 ,

—^1 — ^12 —у

^3 = ^22^23 = ^31 = ^32 = ^330,

(0ц = ©22 = °33 ^ «13 ^ «31 = «32 " «23 = 0>

1 ди2

«12 —" «21 —

Теперь уравнения (4.8) примут вид

4 М dsu । „ до2 , । , „■3^ = — + ^^; + ^,

(22.34)(22.34)2 dpi2 dPi~ 3 ^ дх.2 dpi2 dPi~ 3 ^ дх.ds22 dv2 । g „

(22.34)

(22.34)

2 dpi

2 dPi

~ 3 ^ дх.

2 dpi

2 dPi

~ 3 ^ дх.

йз№ -Lie — + AS33,

до2 ds12 . 1 /„ х ди2 . .

^"^r^-sr+T (S22-s,i)i^r+XS|2-

у*

Можно видеть, что уравнения (22.34)! — (22.34)3 линейно зависимы. Учитывая, что

djdt = djdt + Vidjdxt и sZ/ = Сц + p6z/ и что введено обозначение у = а22 — сгзз» вместо уравнений (22.34) получим

4 d^ = д «г,,-НО д (а„ +р) +^(}

3 ^ dxxdt 11 dxi 112 дхх 1' “ 1 г/’

(22.35)(22.35)^._ai2^ + t)1 5r + xY = o,dt 12 dxx 1 dxx г

(22.35)

(22.35)

^ = ^+^ + 1 [3(dt-2..^

дхх dt 11 dxx 4 Lr \

где 3p = — (an + a22 + a33).

Условие текучести (4.7) запишется как

| (an + p)2 + ^ Y2 + a?2 = f ^.

Уравнения движения и уравнение сохранения массы (5.21) приобретают вид

„ dyi I ... ^°1 ^ир^г + р^й^^Г’

(22.37)(22.37)„ д°2 I д01 да12

(22.37)

(22.37)

5L + p^l = 0. dt 1 dxi

Входящий в (22.35) параметр X определяется формулой

Р Г(ап + р)^ + а12-^-]-^^-.

'' F (.р) Vх г'дхх 112 dxi J 2F (р)

Система уравнений (22.35)—(22.38) вместе с уравнением (4.1) для случая dpldt > 0 или вместе с уравнением (4.2) для случая dpldt < 0 является замкнутой системой уравнений для рассматриваемой задачи (при конечных деформациях).

Учитывая малость градиентов деформации, эту систему уравнений сведем к виду

4<^.^,.+/0(}=

3 dxxdt I \ I^Xj ^ I 12>

дУ1 дОГцdu2 5(712

Р° dtdxx ' ^ dtdxx *

f(an + p)2+a22 = P(p), у = 0,

4r = -FxlTv при %>Q и P = P*(X1) ПРИ %<Q*

an 4-P дог ,1 do2F'(p) dp

F(p) dxi "T"^12 P(p) dxY2F(p) dt '

Так как в области упругих деформаций Х = 0, для нее уравнения (22.39) значительно упрощаются. Систему уравнений (22.39) можно заменить эквивалентной ей системой вдоль характеристик

dan + РсА ^у1 = 0 при х = Т a^t + const, (22.40)___^^ _ q ПрИ х — =р ^ ^_ соп§^

где а2х = (ЗК + 4ц)/р0, а2 = ц/р0. Следовательно, мы имеем дело с двумя невзаимодействующими волнами Римана — продольными и поперечными.

В области пластических деформаций (X > 0) поперечные волны связаны с продольными.

Приведем частное решение этой задачи, относящееся к распространению продольно-поперечных волн при краевых условиях [121]:

о'п — 0'i, ^12 = ^1 ПРИ ^1 = 0, />0.

Предполагается, что напряжения ол и ti постоянны и возникают на границе полупространства внезапно. Начальные условия примем в виде

ап = а0, а12 = т0, ^ = v2 = 0 при / = 0, х^О.

В случае краевых условий вида (22.41) задача значительно упрощается и становится автомодельной.

Приравняв нулю характеристический определитель системы (22.39), получим характеристическое уравнение

а4 - {(1 + ks) К + ^^ и} а2 + ^Ks (s + А) = О, где■

a2 = onf—Y $2= 1g|2 к = -£Жг

Уравнение (22.43) получено без ограничений на величины К, ц и к. В [121] предполагалось, что эти величины постоянны и что р. <(!+&)/<. Рассмотрены также случаи движения, в которых s постоянно вдоль каждой характеристики. Так как а зависит только от s, то характеристики являются прямыми линиями.

При краевых условиях (22.41) все величины будут зависеть от одной безразмерной переменной

и = хЦ = а] л/ Ро-

Так как а зависит только от s, то и все величины, входящие в уравнения (22.39), также будут зависеть только от s. Используя (22.44), систему дифференциальных уравнений с частными

производными (22.34) можно заменить системой обыкновенных дифференциальных уравнений. После некоторых преобразований

получим(22.45)получим(22.45)d^F _ kK л/f

получим

(22.45)

получим

(22.45)

ds а2 — (1 + ^s) К *

Интегрируя это выражение, находим

/ s

(22.46)

\$0

где ро и So соответствуют значениям р и s перед первой волной; они определяются из начальных условий задачи.

Зная F(p), можно определить все искомые величины. Исключая в (22.46) корни уравнения (22.43), получим семейство решений системы уравнений задачи (22.39). Уравнение (22.43) имеет четыре корня: два положительных afx 2, отвечающих прямым волнам — продольным и поперечным ^afx > я7), и два отрицательных а1^, отвечающих обратным волнам — продольным и поперечным (а77 > а^7).

Система уравнений (22.39) определяет пластические деформации сдвига, когда К > 0. Используя (22.43) и преобразование д ад

dtVpo дхх 1

вытекающее из определения безразмерной переменной (22.44), из системы уравнений (22.39) получим следующее выражение

для параметра к _

Л = ;^^Га2-О< + -ц)] —. 2s VF L V 3 J дх.

Условие X > 0 приводит к неравенствам

(22.48)(22.48)«2<К + ^ при -^-<0,а2>/< + |н при gb>0.

(22.48)

(22.48)

Если, например, в процессе нагрузки выполнено условие 4/зц > kK, а в процессе разгрузки кК > 4/з [1 + (4 + 6)/4(1 + + ^)], то волновое решение на координатной плоскости будет иметь вид, показанный на рис. 73. Области /, 7/7, V суть области постоянных напряжений. В области // распространяется быстрая простая волна, а в области IV— медленная простая волна. В области /, в силу начального условия, имеем оц = oq, П12 = То, У1 = у2 = 0. В области V при краевых условиях (22.9) имеем оц = оь о22 = ть Для определения решения в областях

II, III, IV следует воспользоваться уравнением (22.46), условием tr]2 = V1 — s2 F (р) и условием текучести (22.39)4. Анализ решений проводится в плоскости (спа, г), где z = V-F(p) (уравнение (22.39) 4 однозначно описывает связь между оп, о12 и 012, z). Для исследования изменения напряженного состояния во времени при фиксированном х используется уравнение (22.46), в котором в случае перехода через быстрые простые волны следует принять а? = а2, а при переходе через медленные простые волны принимается а2 = а|. В зависимости от положения точки (zo, то) (начальные условия задачи) получаются различные решения.

До сих пор не существует полного решения задачи о распространении продольно-поперечных волн в среде, описываемой уравнениями динамики грунтов С. С. Григоряна Для нагрузок, произвольно изменяющихся во времени. Построение волны пластической нагрузки в случае монотонно возрастающих от нуля нагрузок оц и oi2 на границе полупространства не представляет трудности. Эта волна строится аналогично случаю упруго/вяз- копластической среды (см. п. 23), причем для ее определения используется условие (4.7). Локальная скорость распространения пластической волны нагрузки при выборе функции F^ в виде (4.14) определяется формулой

с* (х*. /*)-

7^Оц+р)(^1|42>)^^^-a‘‘

где оц, 012, р — известные величины, определенные на волне пластической нагрузки со стороны упругой области. Можно

также доказать, что скорость распространения волны пластической нагрузки заключена в пределах

Таким образом, в координатной плоскости (х,/) волна пластической нагрузки лежит между характеристиками, соответствующими продольным и поперечным упругим волнам или же в пределе совпадает с одной из них. В области пластических деформаций решение можно построить так же, как это сделано в большинстве работ, посвященных задачам о распространении упругопластических волн, вызванных двухпараметрическими нагрузками [74, 133—137].

В заключение сделаем несколько замечаний, касающихся задачи о распространении продольно-поперечных волн в среде, описываемой уравнениями билинейной теории пластичности.

В работе [82] подробно исследовано решение в области активного нагружения для полупространства, нагруженного по границе напряжениями р(^) и (?(/), растущими во времени произвольным образом. Проведен подробный анализ возникновения фронтов волн нагрузки как волн слабого и сильного разрыва (для разных отношений скоростей aXp(a2s; aXs, a2s— скорости продольных и поперечных упругих волн, аХть а2р— скорости пластических волн). В [82] показано, что при a2s > аХр локальная скорость пластической волны нагрузки с* ограничена неравенствами

Я1р ^ С* ^ ^2s» Или с* ^ dis* или с* ^ &2р>

а в случае аХр > ^s

С* = ^Ip, ИЛИ С* ^ a\s> ИЛИ С* ^ а2Р>

причем с* = аХр может быть только тогда, когда ниже волны пластической нагрузки располагается область, в которой нормальные напряжения оц постоянны.

В [82] сделаны также некоторые замечания относительно волны нагрузки в случае классического допущения об упругой разгрузке. На основе анализа нагружения границы полупространства напряжениями p^t) и q(t), монотонно возрастающими от нуля, а затем монотонно убывающими с момента t = /0, показано, что могут существовать два различных случая однозначного определения волны разгрузки. В первом случае начальная скорость волны разгрузки ограничена в пределах (когда ci2s ^ip) ^2s ^^ Со ^^ aXs или в пределах а2р ^^ eg ^^ с^р, во втором случае (когда аХр > a2s) в пределах а2р ^ с0 ^ a2s или аХр ^ <?о ^ aXs. Первый случай имеет место тогда, когда изменяется знак градиента нормальной нагрузки на границе dp(t)!dt при неизменном знаке градиента касательной нагрузки

dq^ldt или же при их одновременном изменении. Таким образом, в этом случае возникновение волны разгрузки определяется только изменением знака градиента нормальной нагрузки dp^t^ldt. Второй случай имеет место тогда, когда при монотонном возрастании нормальной нагрузки или се постоянстве меняет знак градиент касательной нагрузки dq^tdt. Условия, ограничивающие скорость волны разгрузки, сходны с рассмотренными Клифтоном [21] для быстрых и медленных простых пластических волн в тонкостенном упругопластическом цилиндре. Подобные результаты получены также в работе [214].

В работе [81], так же как и в [82], решена задача о распространении продольно-поперечных волн в полупространстве с той лишь разницей, что в процессе нагрузки движение среды описывалось уравнениями (2.13), а в процессе разгрузки была принята характеристика жесткой разгрузки (интенсивность деформации в процессе разгрузки не зависела от времени). С помощью такой модели можно приближенно рассчитать деформирование песчаных грунтов с малой влажностью в пределах средних давлений. При этом можно считать, что объемная деформация необратима и практически не меняется в процессе разгрузки. Введение понятия о жесткой разгрузке (так же как и в случае однопараметрического нагружения границы) позволило решить в замкнутом виде задачу о распространении продольно-поперечных волн.

Продольно-поперечные плоские волны в упруго/вязкопластическом изотропном пространстве

Рассмотрим движение упруго/вязкопластической среды, заполняющей полупространство %i > 0 (рис. 70), на поверхности которого заданы касательные и нормальные напряжения

ап = —р(/), а12 = — q(f),

произвольно изменяющиеся во времени. Такого типа краевые условия, а также геометрия задачи приводят к соотношениям, аналогичным зависимостям (22.3), рассматриваемым в предыдущем пункте. Уравнения динамического равновесия, а также соотношения, вытекающие из допущения о малости деформаций, имеют соответственно вид (22.4) и (22.5).

Определяющие уравнения (3.10) или (3.25) после подстановки в них (22.3) и (22.5) принимают вид

где

(Ф|)=|<Ф(Л)^,

(Ф2> = ^(ФО-^,

/2 =

Уравнения (22.4) и (23.2) составляют замкнутую систему уравнений поставленной задачи. Они справедливы как в областях упругих деформаций и областях разгрузки (тогда Ф = 0), так и в областях вязкопластических деформаций.

Вещественными характеристиками системы уравнений (22.4), (23.2) будут прямые, уравнения которых имеют вид

х ± я^ = const, х ± ajt = const,

где

Соотношения вдоль характеристик имеют вид

dax Т pfli dy + 4/з И (®i) dt = 0 при х Т axt = const,

^ _р ^ ду^_ Q ПрИ хЧ1 ajt = const.

Таким образом, система почти линейных дифференциальных уравнений с частными производными (22.4) и (23.2) заменена эквивалентной ей системой уравнений (23.5) вдоль характеристик (23.4). В области упругих деформаций (и разгрузки), так как Ф = 0, система уравнений (22.4) и (23.2) распадается, и ее решение состоит из двух не взаимодействующих между собой семейств волн Римана: продольных, распространяющихся со скоростью «ь и поперечных, распространяющихся со скоростью а2.

В зависимости от характера изменений во времени напряжений p(t) и q^ на-границе полупространства хх = 0 в среде %1 > 0 могут распространяться волны слабого или сильного разрывов. Ввиду того что принята модель упруго/вязкопласти- ческой среды, не допускающая возникновения ударных волн, волны сильного разрыва могут быть вызваны только скачкообразными изменениями функций р(Г) или </(/).

Рассмотрим последовательно случаи возникновения волн слабого и сильного разрывов.

Волны слабого разрыва

В этом случае p(t) и q(f) суть непрерывные функции, причем р^)= 9(0) = 0. Волновая картина в координатной плоско-

сти (х, /) будет следующей. По мере возрастания напряжений р^ и q(t) в глубь полупространства в областях / и // будут распространяться две не взаимодействующие между собой системы волн Римана со скоростями «1 и а2 (рис. 74).

Рис. 74.

В области I распространяются продольные упругие волны Римана:

В области // на продольные упругие волны Римана накладываются поперечные волны. Решение в этой области имеет следующий вид:

= -vp(<-у, т = -»(<-У.

yv = -^—p(tУг = —^~ Я 0~1»

pai ^ УЯ) /’2р«2 V X«2 /

где

v — гк + 4ц •

Основные трудности при построении решения рассматриваемой задачи состоят в определении скорости распространения волны пластической нагрузки, отделяющей зону упругих деформаций (расположенную перед фронтом пластической волны) от области вязкопластических деформаций (расположенных за фронтом пластической волны). Такая задача не возникает в случае одноосного напряженного или деформированного состояния, где фронт пластической волны нагрузки, независимо от краевого условия, всегда совпадает (в однородной среде) с положительной характеристикой уравнений, определяющих данную задачу.

Найдем локальную скорость распространения пластической волны нагрузки1). Продифференцируем составляющие тензора напряжений вдоль характеристики х = х* + 6Zi (/ — I*) и вдоль фронта пластической волны х = ф(0-

^1^1,1 + ^1,^ = 0, ахс^ 1 + (^2, t = 0,

}^1? 1 + т t = т*' (0, а,, 1Ф' (/) + out = 0,

где т* (/) = т [х* + ах (/ — f), /].

На пластической волне нагрузки должно быть выполнено условие /2 = Уз [(oi — О2)2 + Зт2] = й2 и условие непрерывности напряжений, так как волна х = ф(/) представляет собой волну слабого разрыва. Кроме того, так как область / является областью упругих деформаций, из определяющих уравнений (3.10) или (3.25) получим о2 = vai. Учитывая упомянутые выше условия, из системы уравнений (23.8) получим выражение для локальной скорости пластической волны в виде

_, X(1 — v)2 СГ1СТ! t + Зтт t

с = ф (/) 1^* = lirn сц (1 _ v)2 a(7i t + Зтт. t _ Зтт„ ^ .

•x-^x*

Переходя в этом выражении к пределу при /->/*, х->х*, получим искомую формулу для локальной скорости волны пластической нагрузки:

/Г1П 1 ЛХ(1—v)2 о} № t*) Oj t kx*, (X^ t^ T (t*)

C*=ax (1_v)2 O1 (^^ t*x a^ t ^ /*)+зт (x*, /*) т t (x*, /*)-зт (X*, /*), t*' a*) •

В предельных случаях

если т (х, /) = — q (/) = 0, то с* = ах\

если Qx^X)^ = — р^ = 0, то с*т ! 4-т ^ = 0=^^* = ^.

9 Аналогичным образом определяется локальная скорость волны разгрузки в случае упруго/вязкопластической среды без упрочнения.

В частном случае, когда t = /s, получим выражение для начальной скорости пластической волны. Скорость распространения пластической волны х = ср(/) зависит только от значений напряжений и их производных по времени на се фронте. В работе [48] доказано, что скорость с* заключена в пределах

(23.12)(23.12)а2 С с*а2 С с*ах\ах\

(23.12)

(23.12)

а2 С с*

а2 С с*

ах\

ах\

это означает, что пластическая волна лежит между характеристиками х = ах (t — ts) и x-a^t — ts) или в предельном случае совпадает с одной из них.

Форму пластической волны нагрузки следует строить одновременно с решениями в областях /// и V, используя на ее фронте условия непрерывности напряжений и скоростей. За волной ^ = ф(0 располагается область вязкопластических деформаций. Продольные волны сопрягаются с поперечными волнами и взаимодействуют между собой.

Решение в областях III и V и одновременное определение фронта волны х = ф(0 проводились в [49] численным путем при помощи метода конечных разностей на сетке характеристик; с этой целью использовались соотношения на характеристиках (23.5).

Введем безразмерные величины

с, XUyt п O*i /р Т

ъ Хо ’ 1 Хо ’Як

V=^vs, S.-ax„=^^v,

Е-^-еГ—^-у

В областях /// и IV соотношения на характеристиках (23.5) имеют вид

dS Т dU = 0 при g Т л = const,

dT^V dV = 0 при £ Т аот] = const.

В области V эти соотношения имеют следующий вид:

dS =F dU + ^ dr) = 0 при ^ + т] = const,

di т dV -VAV2dt\ = 0 при £ Т <вд = const, где_

^(1 - -7=^==) (S - У),

X V(S —У)2 + ЗГ2 /

= xn Г1 —Т

^ V V(S — Г)2 + ЗГ2 / "

Запишем эти соотношения в конечных разностях вдоль характеристик, дополненные определяющими уравнениями (3.10) или (3.25), в которые подставим условия (22.3). Это дает возможность получить рекуррентные формулы для дискретных значений параметров в точке i элементарной ячейки сетки характеристик (рис. 75).

Для области ///:

s (0 = 7г [S (m) + 8 (/)] - 72 VU М - и (Z)],

K(Z) = K (n) + v[S(Z) —8(п)],

Т (Z) = 7г [Г (г) + Т (з)] + 7г [Г (з) - V (г)],

и (i) = 72 VU И + и (Z)] + 72 [s (Z) - 8 (щ)], v W = 7г [V (г) + v (8)] + 72 [Г (8) - т (г)].

Для области V:

S (0 = 72 [S (т) + S (Z)] - 72 vu м - и (Z)] -

-72№(т) + ^(;)]Ап,

Y (i) = Y(n) + v[S (Z) - 8 (п)] 4- д^Г Т] (п) Ат], (23.17) Т (Z) = 72 [Г (г) + Т (8)] + 72 [У (s) - V (г)] -

-72№(r) + 'F2(s)]ATh,

и^ = 72 [С/ (rn) + и (Z)] + 7г [S (Z) - 8 (т)] +

v (Z) = 72 [V И + V (8)] + 72 \Т (8) - Т (г)] +

+ 72№(Г)-ЧГ2(8)]АП1.

В точках, лежащих на границе областей /// и V:

8 (Z) = */2 [8 (т) + 8 (Z)] - 72 \U ^ - U (Z)] - 72 4f1 (w) Aq.

y(Z) = K(n) + v[S(Z)-S(n)],

Т (Z) = -/2 VT (г) + T (s)] + ‘/2 [V (s) - V (г)],

и ^ = 72 \U М + и (Z)l + 72 [S (Z) - 8 (m)J + 72 V, (/и) Ап, V (^ = 72 [И (г) + v (8)] 4- 72 [Г (8) - т (г)].

В точках, лежащих на границе полупространства ^ = 0, заданы значения S (/), Г (/) (краевые условия (25.1)). Остальные значения определяются формулами

Y ^ = Y(n) + v[p (п) - р (Z)] - Чг, (и) АЧ,

U ^ = Z7 (0 + Р $ + S (0 - ^i (/) Ап,

V (?) = V (s) + q (?) + q (s) - V2 (s) Ащ.

Последовательность решения состоит в следующем. Исходя из данных на характеристике ОИь уравнение которой х = = ai(t — ts) (рис. 74) (в безразмерных переменных £ = п — П$)> вычисляют дискретные значения параметров вдоль характеристики х = t?i(t + 2AZ — <s) (^ = П + 2Ап — ns) • На границе £ = 0 решение определяется по формулам (23.19), а в следующих точках — по формулам (23.17). Начиная с момента, когда в некоторой точке характеристики £ = п + 2Ап— п® интенсивность напряжений St (?) = (1 /д/3 ) [(S (?) — Y {i))2 + ЗГ2 (?)]‘/2 уменьшится до единицы, необходимо вместо формул (23.17) брать формулы (23.16). Вычисления проводятся до того момента, когда характеристика £ = п + 2Ац — ns пересечется с характеристикой | = = «оП Vе — а^ ■

Затем нужно перейти к следующей полосе g = n+4An— п$- В точках на границе £ = 0 параметры подсчитываются, как и прежде, по формулам (23.17). Когда интенсивность напряжений в ?-й точке характеристики £ = п + 4Ап—Пз достигнет значения 5г(?")^1, в этой точке вычисления следует повторить по формулам (23.18); в следующих точках используются уже формулы (23.16). Так же, как и раньше, вычисления заканчиваются на характеристике £ = «оП- В последующих полосах расчет проводится аналогично тому, как это сделано для второй полосы. Кривая, разделяющая области /// и V, является волной пластической нагрузки £ = <р(п), на которой S, = 1.

Если, начиная с некоторого момента, интенсивность напряжений на границе начнет уменьшаться и, например, в момент П = Пг (^ = М (рис. 74) достигнет значения Si ^ 1 (в случае определяющих уравнений (3.25), т. е. для материала без упрочнения), то в среде начнет распространяться волна разгрузки, уравнение которой £ = ф(п) (* = Ф(0)- За волной разгрузки будет следовать область разгрузки, в которой справедливы уравнения (23.16). Волна разгрузки определится вместе с решением в областях V и VII. Вдоль характеристики В = П — Пг (х = «,(/ — Ц) алгоритм вычислений не меняется. На характеристике g = п + 2Ап — Пг в точке, расположенной на границе 6 = 0, параметры можно подсчитать по формулам (23.19), полагая в них хо = 0, т. е. Vi = Ч^ = 0. В следующих точках

этой характеристики используются формулы (23.16) до того момента, когда интенсивность напряжений на этой характеристике достигнет значения 8^1)5; 1, тогда в этой точке вычисления проводятся по формулам

S (Z) = 72 [S (т) + S (/)] - 7г Р И) - и (/)] - 72 Vi (О Ап, Y $ = Y(n) + v[S(Z) - S (га)] + -^L Wx (п) Ап,

Т (Z) = 72 [Г (г) + Т (s)] + 72 [V (s) - V (г)] -

-^[^W + ^^jAm и (Z) = 7г [^ О») + и (01 + 72 [S (Z) - S (га)] + 7^, (Z) Ап, v (Z) = 72 [V (г) + v (s)] + 72 [Г (s) - т (г)] +

+ 72№(r)-4r2(s)]Am а в следующих точках этой характеристики — по формулам (23.17). В последующих точках повторяется алгоритм вычислений, примененный для характеристики g = г| + 2Аг|— т)г. Геометрическое место точек координатной плоскости, в которых S{ = 1, является волной разгрузки.

В случае упрочнения материала, т. с. в случае применения определяющих уравнений (3.10) или (3.13), ход решения аналогичен изложенному выше; изменяется лишь условие, определяющее фронт волны разгрузки. Условие S(i)=l, использованное для определения волны разгрузки в случае среды без упрочнения, следует заменить условием

5г[ф(п), п]=у( $ Оы^Л \о /

в случае определяющих уравнений (3.10) или условием

5ДФ(п),п]=-^

в случае определяющих уравнений (3.13). Упрочнение материала приводит не к качественным, а лишь к количественным изменениям в решениях.

Из решения в области III известны параметры на характеристике £ — схоЛ (х = <22/). Область IV есть область упругих деформаций; в ней распространяются волны Римана. Обозначая через So (л) напряжение вдоль характеристики g = coot], определенное в области ///, запишем решение в области IV в виде

S6,n) = S0(^-n), K(g,n) = vS0(g-n), ( } t/(l,Tl) = -S(^,4), TW-VI^M.

В области VI распространяются только продольные вязкопластические волны. Решение в этой области строится при помощи формулы (23.17), причем Т = V = 0 (в функциях Vi, ^2 также следует принять Т = V = 0). Область VIII есть область разгрузки; в ней распространяются только продольные упругие волны. Решение в этой области получается путем применения формулы (23.16). На границе областей VI и VIII следует использовать формулы (23.20), полагая в них T=V = 0 и Ф2=0.

Волны сильного разрыва

В работе [49] рассмотрено несколько случаев распространения волн сильного разрыва в зависимости от характера изменения нагрузок рЦ^ и q^ на границе полупространства

%! = 0. Приведем только один из них, а именно случай, когда обе нагрузки возникают на границе в момент t = 0 внезапно, а затем они произвольно изменяются во времени (см., например, рис. 76). Предполагается, что начальные значения нагрузок р0 и q0 достаточно велики, чтобы вызвать вязкопластические деформации среды. Приняты нулевые начальные условия.

На координатной плоскости (х, /) из начала координат распространяются две волны сильного разрыва со скоростями а.\ и (22, фронты которых совпадают с характеристиками х = a^t и х = а2/. На фронте волны х = щ1 напряжения S, У, деформация Е и скорость U испытывают скачкообразные изменения.

Соотношения динамической (7.18) и кинематической (7.27) непрерывности в случае малых деформаций имеют вид

S = -U, U = -E,

где G = ах и используется тот факт, что волна х = а^ распространяется в невозмущенной среде.

Используя эти условия и закон объемного сжатия (3.10)2:

5 + 2У = Д-£,

р<ч

а также условие на положительной характеристике (23.5):

dS-dU+ ^^ = 0,

получим интегральное уравнение

(23.27)

о

которое в общем случае решается методом последовательных приближений с известными оценками. В случае определяющих уравнений (3.25), не учитывающих упрочнение материала, и при линейной функции Ф (ф(^)= F), причем

W' = 2la%0(S-Y-V3),

получается замкнутое решение уравнения (23.27):

8^ = -^- е-м + ~(1 -е^,

где

Остальные параметры решения на волне сильного разрыва выражаются следующим образом:

V P«i 7 2

’29'Т = У = Г = 0.

В работе [49] доказано, что на волне х = a2t скачкообразное приращение испытывают только величины Т, Г и У; величины же S, У, U и Е изменяются на ее фронте непрерывным образом. Условия непрерывности (23.24) на волне х = a2t примут вид (23.30)T=-V, У =

Решение в отдельных областях координатной плоскости (рис. 76) строится численно, при помощи метода конечных раз-

ностей на сетке характеристик. При этом используется решение (23.27) на волне х = а^ и условие (23.30) на волне х = a2t.

Фронт волны упругой разгрузки х = ф(/) строится так же, как и в случае волн слабого разрыва.

Численный анализ

На основании проведенных числовых расчетов рассмотрим некоторые особенности распространения волн слабого и сильного разрывов [50]. На рис. 77 представлены решения для четы

рех последовательных вариантов изменений поверхностного напряжения q^ при скачкообразном приложении напряжения p^t^ = os, начинающего изменяться с момента t = ts (напряжение ро < Os вызывает появление только продольной упругой

волны сильного разрыва; оно не влияет на конфигурацию пластических волн). Из рисунка видно, что пластическая волна нагрузки при непрерывном изменении q^ при 0 ^ t ^ ts имеет характер криволинейной волны слабого разрыва. С ростом градиента q^ пластическая волна испытывает излом. В предельном случае для нагрузки q^^==qQ криволинейная волна нагрузки переходит в характеристику продольной волны. Этот эффект нс типичен и нс встречается в других задачах такого рода.

Исследование влияния начального градиента нарастания давления р^ для t > ts на расположение верхней точки излома

пластической волны (рис. 78) показало, что чем больше градиент, тем короче отрезок излома волны. На рис. 78 представлены также положения волн разгрузки для трех видов изменения давления р^ на-границе полупространства. Эти вычисления были проведены на основе определяющих уравнений для среды без упрочнения и для определенного значения коэффициента вязкости. Кроме того, были проведены вычисления для других значений коэффициента вязкости. Установлено, что по мере возрастания коэффициента вязкости среды область вязкопластических деформаций сужается.

На рис. 79, а, б, в представлены изменения касательных напряжений Т в зависимости от g и времени г] для трех изменений нагрузки, приведенных на рис. 78. На рис. 79, г показано влияние вязкости на изменения касательных напряжений Т. Можно видеть, что в области вязкопластических деформаций влияние градиента напряжения p(t) такое же, как влияние вязкости.

’6Z W

Для этих графиков характерно, что напряжения Т в функции координаты сначала уменьшаются, а затем растут, несмотря на постоянство касательных напряжений на границе полупространства, которые равны q0. Максимальные значения касательных напряжений внутри полупространства превышают значение q0.

На основании числовых расчетов, выполненных в работе [50], установлено, что:

1. Имеется заметное влияние градиентов нагрузок на конфигурацию волн.

Рис. 80.

Существует зависимость касательных составляющих тензора напряжений от напряжения на поверхности р^Г) и его градиента.

Влияние вязкости аналогично влиянию градиента давления.

При постоянном q^ и возрастающем, а затем убывающем р^ на границе получается обратная картина для Т в области вязкопластических деформаций.

Нормальные составляющие напряжений S и У слабо зависят от касательной составляющей напряжения Т. Влияние

составляющей Т на составляющие S и У затухает в зависимости от расстояния от границы полупространства. Следовательно, в инженерных расчетах можно пренебречь влиянием касательной составляющей на распределение нормальных напряжений [83].

Проведены также расчеты для упруго/вязкопластического материала с упрочнением (3.13). Учет упрочнения качественно не меняет характер решения. На рис. 80 дано изменение интенсивности напряжений St в зависимости от интенсивности деформаций Ei*. 1) для случая линейного упрочнения материала, 2) для разных значений параметра упрочнения (0 ^ X ^ 0,6; X = 0 отвечает среде без упрочнения). Можно заметить, что с ростом параметра упрочнения сужается петля вязкопластического гистерезиса. Это очевидно, так как возрастание упрочнения уменьшает величину остаточных деформаций.

Продольно-поперечные волны

в неоднородной упруго/вязкопластической среде

Плоские волны

Задача о распространении продольно-поперечных плоских волн в случае неоднородной упруго/вязкопластической среды была решена в работе [142]. За основу были приняты определяющие уравнения деформации грунтов (4.16) и (4.18) для общего случая неоднородной среды с физическими характеристиками: модули формоизменения ц и объема К, коэффициенты вязкости у и расширения а, предел текучести к и плотность р являются функциями пространственной переменной Хь В случае такой неоднородности уравнения (4.16) и (4.18) приобретают вид

гн — 2у (xj Sii + 3/< (xj +

+

Для малых деформаций такой среды, заполняющей полупространство Xi > 0 (рис. 70), на границе которого заданы

краевые условия (22.1), учитывая условия (22.3) и уравнение движения

(24.2)(24.2)от/.^рМ «I. й

(24.2)

(24.2)

задачу можно свести к решению следующей системы уравнений (x = xj:

(24.3)

«2.1 —7^7т,< = тМ(Ф2>, 0.1 — р(х)«м = 0, т, 1 — p(x)v2-< = 0,

9 ^ (х)/ х . "! — °2 ]77Т ® vO 47-— I •4 н(х) х 7 1 2д/Л J9 ^ (х)/ х . "! — °2 ]77Т ® vO 47-— I •4 н(х) х 7 1 2д/Л Jгде_

9 ^ (х)/ х . "! — °2 ]

77Т ® vO 47-— I •

4 н(х) х 7 1 2д/Л J

9 ^ (х)/ х . "! — °2 ]

77Т ® vO 47-— I •

4 н(х) х 7 1 2д/Л J

7 \ L их)

./_ Г « (х) + VZ2

Система (24.3) решалась при нулевых начальных условиях щ = = w2 = у1 = «2 = 0 ПРИ t = 0.

Дифференциальные уравнения характеристик этой системы имеют вид

dx= + ах (х)dt, dx—±a2(х)di.

Вдоль характеристик имеют место соотношения

dox =F р (х)«! (х) dvx + у ц (х) у (х) (Ф^ dt = 0

при dx = ± ах (х) dt,

dx + p (х) а2 (х) dv2 + Р (х) у (х) (Ф2) dt = 0 при dx = ± а2 (х) dt.

Дополнительное соотношение получается из определяющих уравнений (24.1) при х = 0:

d(72 = жЬЬмМхТ ^У1 + 6ц М Y ^ ЗК (х) + 4ц (х) ^ dt °’ (24.6)

где_

(Ф3>^Ф[2М±У^_ фг з0(,)_Ы.

\ L k (х)J/ L2-уД J

Формы фронтов волн нагрузки и разгрузки определяются в этом случае не только краевыми условиями, но также характером неоднородности среды.

В случае волны нагрузки (разгрузки) слабого разрыва, подобно тому как это было сделано для однородной среды (п. 23.1), можно определить локальную скорость фронта волны.

Из полных дифференциалов интенсивности напряжений бгк^^ определенных в направлении касательной к фронту волны нагрузки (разгрузки) и в направлении характеристики продольной или поперечной волны, получаются следующие формулы для локальной скорости распространения фронта волны нагрузки (разгрузки):

<₽'(/) = «1WТ^4Т? -——,

°i, t - °i (*) L«a (*) - й (*)J х=ф (/)

либо

(24.7')»z(0 = a2(x)

- a2 (^) 1^2 W ~ k х=ф(0

где сц^х^ a^^— соответственно скорости распространения продольных и поперечных волн; cr^W, с^х)— интенсивности напряжений вдоль направлений, определенных соответственно через 6Zi (х) и я2(х) в координатной плоскости (х, ^). Из анализа формул (24.7) следует, что фронт волны нагрузки (разгрузки) может принимать всевозможные положения относительно характеристик продольных и поперечных волн в отличие от случая однородной среды, где скорость пластической волны нагрузки (разгрузки) была ограничена в пределах ^2 ^ с* ^ ах (см. (23.12)). Если он (х) > й'(х), то ф'(^) > сц [ф(01, т. с. фронт пластической волны нагрузки располагается ниже характеристики продольной волны. Положение этого фронта определяется условием ни (x)^^z (х)^о'2(х), где Gt — интенсивность напряжения в области упругих деформаций перед фронтом пластической волны. Если о/1 (х) ^ &'(х) ^ 0/2 (х), то Мх)^ф'(О^£ ^^i(x), т. с. фронт пластической волны нагрузки находится между характеристиками продольных и поперечных волн или же в предельном случае совпадает с одной из них.

Исследован также случай, когда о/2(х) < &' (х); тогда ф'(^) < <^[ф(01; это означает, что фронт пластической волны нагрузки располагается выше характеристики поперечной волны.

Систему уравнений (24.3) в общем случае можно решить численно методом разностных уравнений, определенных на сетке характеристик, используя при этом соотношения на характеристиках (24.5) и равенство (24.6), или же путем сведения уравнений (24.3) к интегро-дифференциальным уравнениям и решению их методом последовательных приближений. Вычисления в этом случае значительно более сложны, чем в случае однородной среды. Можно определить некоторый класс неоднородных сред, для которых в областях упругих деформаций решения получаются в замкнутом виде.

Если принять изменение модулей К(х), ц(х) и плотности среды р(х) по показательному закону, то система уравнений

при Ф1 = Ф2 = 0 сведется к телеграфному уравнению. В работе [142] представлен также другой способ решения задач в областях упругих деформаций, а именно способ сведения уравнений (24.3) (при Ф1 = Ф2 = 0) к уравнениям Эйлера — Дарбу; при этом исследован довольно широкий класс неоднородностей. Приведено построение решения задачи для случая волны слабого разрыва (аналогично тому, как это сделано в п. 23.1) и даны некоторые замечания о решении для случая волны сильного разрыва. Во второй части цитированной работы

численным путем исследовано влияние неоднородности среды общего вида и отдельно коэффициента объемного расширения на дисперсию продольно-поперечных плоских волн. Результаты анализа сводятся к следующему:

Установлено, что по сравнению с результатами для однородной среды исследованная неоднородность среды вводит существенное изменение в распределение напряжений как в качественном, так и в количественном отношении. С ростом (уменьшением) модулей ц и Л и плотности среды происходит рост (уменьшение) составляющих тензора напряжений. Это является результатом увеличения (уменьшения) коэффициента непре

рывного отражения падающих волн при неоднородности

среды.

С ростом коэффициента объемного расширения составляющие тензора напряжений уменьшаются; этот эффект возрастает с увеличением коэффициента вязкости среды.

С ростом коэффициента объемного расширения и вязкости среды увеличивается петля вязкопластического гистерезиса.

Цилиндрические радиальные волны

Задача о распространении осесимметричных продольно-поперечных волн нагрузки и разгрузки в неоднородной упруго/вяз^ копластической среде общего вида с учетом остаточных напряжений является развитием задачи, представленной в п. 24.1, на

случай цилиндрической симметрии. Волны такого типа вызываются радиальными и касательными напряжениями, равномерно распределенными по цилиндрической поверхности с начальным радиусом г0.

Исследуем движение неограниченной среды (физические параметры являются функциями радиуса г) упруго/вязкопласти- ческой среды с цилиндрической полостью радиуса г0, на поверхности которой заданы произвольно меняющиеся во времени нормальные радиальные и касательные в окружном и осевом направлениях напряжения (рис. 81):

(24.8)(24.8)О г Оо, /) = — | О (О I,

(24.8)

(24.8)

Тф (г0, /) = — | Т! (О I,

тг(г0, 0 = — I т2 (О I-

Приняты нулевые начальные условия.

Анализ основывается на определяющих уравнениях (24.1), которые в случае малых деформаций, выраженных в цилиндрических координатах, вместе с уравнениями движения и условием непрерывности составляют систему уравнений [143]:

__ н И + ^ И х । 2н и ~ ^ И (^ । л \ ।

— 9KW^18К(г)и(Н ^фТ^Т

+ Y(rm),

1 ^-А-ЗКИ । 2иИ-ЗК(г), ,. ,

7“f— Ж (г) И (г) аФ+ 18К (г) ц О') Фг + ^2) +

+ у(г)(Ф2>,

(24.9)(24.9)М + ЗКИЭК (г) И (г)М + ЗКИЭК (г) И (г)2ц (г) - ЗК (г)18К (г) U (г)2ц (г) - ЗК (г)18К (г) U (г)+ Y (г) <Фз>,+ Y (г) <Фз>,

(24.9)

(24.9)

М + ЗКИ

ЭК (г) И (г)

М + ЗКИ

ЭК (г) И (г)

2ц (г) - ЗК (г)18К (г) U (г)

2ц (г) - ЗК (г)18К (г) U (г)

+ Y (г) <Фз>,

+ Y (г) <Фз>,

V \1"Т”) = 2ц (г) ^Ф "*" ^ ^ ^^’V \1"Т”) = 2ц (г) ^Ф "*" ^ ^ ^^’

V \1

"Т”) = 2ц (г) ^Ф "*" ^ ^ ^^’

V \1

"Т”) = 2ц (г) ^Ф "*" ^ ^ ^^’

у®, г/у®, г/

у®, г/

у®, г/

аг — атn Tr<PTrz

Р^, it ^г,т— р » Ру#// ^гф, г 2 r > PW.tt ^гг.г г 1

где

« t (°, А1

W, ri— ®r. ii т —®ф, #12 \^’^ г / Yrф,/•2 ^> г^ Yrz.ii

<Ф^ = <Ф (F)> [а (г) + ^7=^].

(ф2) = (ф (F)> L (г) +.

[

2а_ —1

а(г)+ "У^-^- , 6 Л/ J 2J

/Ф\ (л=/ф Г_ 11\

Система уравнений (24.9) решалась методом сеток характеристик; дифференциальные соотношения вдоль характеристических направлений заменялись разностными уравнениями. При помощи рекуррентных формул для ячейки сетки характеристик при заданных граничных условиях определено дискретное поле напряжений, скоростей и деформаций как в упругих, так и в вязкопластических областях. Числовые расчеты проводились с помощью ЭВМ. Решения имеют локальный характер и дают хорошие результаты в достаточно малой окрестности цилиндрической поверхности и для малых времен. Для больших значений г и времени / погрешность, связанная с применением метода конечных разностей вдоль характеристик, становится значительной.

Можно определить некоторый класс неоднородных сред, для которых в областях упругих деформаций можно построить решения в замкнутом виде, сведя уравнения задачи (24.9) к уравнениям типа Эйлера — Дарбу, подобно тому как это было сделано в случае плоских волн (п. 24.1).

Во второй части работы [143] проведено обсуждение результатов, полученных численным путем. Анализировалось влияние физических параметров и неоднородности среды на распределение поля напряжений и скоростей и размеры области вязкопластических деформаций. Оказывалось, что:

грунта; это вызывает необратимые объемные деформации среды.

С ростом коэффициента вязкости у глубина вязкопластической области увеличивается, причем время протекания активных вязкопластических деформаций при фиксированном радиусе уменьшается. Наибольшие изменения имеют место в начальной фазе возрастания коэффициента вязкости.

С ростом коэффициента Пуассона уменьшается глубина проникания вязкопластических волн и одновременно удлиняется время протекания процесса вязкопластических деформаций среды в окрестности цилиндрической полости.

Малое увеличение радиального напряжения а(/) вызывает значительное увеличение глубины проникания вязкопластических волн.

С ростом предела текучести к^ область вязкопластических деформаций уменьшается и наоборот.

Получен также ряд других выводов, касающихся поля напряжений и скоростей в области вязкопластических деформаций. На основании полученных результатов и эксперименталь-

Рис. 82.

ных данных можно установить, что определяющие уравнения (24.1) хорошо описывают физические свойства грунтов.

Задача о распространении продольно-поперечных цилиндрических радиальных волн в однородной упруго/вязкопластиче- ской среде, например в тонкостенном полубесконечном цилиндре с краевыми условиями условиями (рис. 82)

(24.11) oz (r0, t) = р (/), тгф (г0, /) = q V) при 2 = 0,

где p(t) и q^— произвольные функции времени, с математической точки зрения аналогична задаче о распространении продольно-поперечных волн в полупространстве, вызванных краевыми условиями (22.1). В этом случае отличными от нуля являются составляющие тензора напряжений о2 и тгф и составляющие тензора деформаций е2 и угср. Построение решения этой задачи аналогично изложенному в п. 23.

25. Волны напряжений в балках

Задача о распространении поперечных и изгибных волн в упруго/вязкопластических балках разработана значительно лучше, чем для случая упругопластических балок. Из-за вязкости среды поперечные и изгибные пластические волны распространяются с теми же скоростями, что и соответствующие упругие волны. Это дает возможность значительно проще определить области распространения волн. В настоящем пункте мы ограничимся рассмотрением задач о распространении поперечных и изгибных волн в балках, материал которых проявляет реологические эффекты, используя при этом результаты работ [6, 75].

За основу примем теорию балок Тимошенко, в которой учитывается влияние поперечных сил и сил инерции вращения сечений балки на поперечные колебания.

Рассмотрим сначала консольную балку. Примем, что на ее конце действуют изгибающий момент 7И°(/) и переменная во времени поперечная сила УУ°(/). Для общности поперечное сечение балки примем произвольным, но постоянным вдоль ее оси. Предположим, что балка однородна. Возьмем систему декартовых координат (х, у, 2), причем ось х направим по оси балки, а оси у, 2 — по осям симметрии поперечного сечения. Будем считать, что изгиб балки происходит относительно оси у. В выбранной таким образом системе координат напряженное состояние изгибаемой балки определяется нормальным напряжением охх и касательным напряжением тхг, а деформированное состояние— продольной деформацией гхх и сдвигом yxz.

Нормальные охх и касательные ххг напряжения образуют в каждом сечении балки изгибающий момент М и поперечную силу N. Эти величины определяются следующим образом:

(25.1)(25.1)М = ^ ^ oxxz dA,АМ = ^ ^ oxxz dA,Адг = ^т,2мАдг = ^т,2мА

(25.1)

(25.1)

М = ^ ^ oxxz dA,А

М = ^ ^ oxxz dA,А

дг = ^т,2м

А

дг = ^т,2м

А

где А— площадь поперечного сечения балки.

Определим теперь перемещения и деформации в балке. Обозначим через и и w составляющие вектора перемещения произвольной точки балки соответственно в направлении осей х и 2. Для произвольной точки, лежащей в сечении х на расстоянии 2 (—й/2 ^ 2 ^ й/2, где h — высота балки) от оси балки, эти составляющие определяются следующими формулами:

w = w (х, 0, и = — -^- 2 + у (х, 0 2,

где у(х, 0 — некоторая функция, смысл которой будет вскоре выяснен. На основании (25.2) составляющие тензора деформа-

ций в балке имеют вид

/,хдиd2w, dv

хх х 1 ’ 'dxдх21 дх ’

л ди , dw ,Yxz (*, 2, t) == V ^, О-

Таким образом, у (%, 0 означает некоторое среднее значение деформаций сдвига ^(х, z, t), отнесенное к срединной плоскости балки.

Учитывая (25.2), для угла поворота а(х,/) элемента, лежащего в начальный момент на нормали к оси балки, имеем (25.4)а(х, О^-^’-^ -Y(x, ty

В предположении малых прогибов и малых углов поворота балки перемещение w, угол наклона оси балки dwjdx, средний угол поворота элемента а, деформация гХХ1 средняя деформация сдвига у(х, /) и угловая скорость со связаны следующими уравнениями, называемыми соотношениями сплошности:

dw .дюдада

^-a + v. = =т, «>=-37. «>. = -2-57.

=

х 'dtdx dt дх

Уравнения поступательного и вращательного движений произвольного сечения балки имеют вид

дМ < dt) dM I т до «г

-5—=Н 10-^7- = N,

х 'дх dt ' dx х dt ’

где / — момент инерции сечения относительно оси у, р— плотность материала.

Для полной формулировки уравнений колебаний балки нам остается записать определяющие уравнения и краевые и начальные условия.

Рассмотрим колебания балки из упруго/вязкопластического материала. Определяющие уравнения примем в виде (3.10). Эти уравнения в рассматриваемом случае записываются в виде

здесь принято, что ехх = е, охх = о, тхг = т: второй инвариант девиатора напряжений определяется как

Z2 = 73o2 + t2.

Через у обозначен коэффициент вязкости материала.

Уравнения (25.1) и (25.6) — (25.8) составляют полную систему уравнений задачи. Эта система из восьми уравнений относительно первых производных восьми неизвестных функций М, N, о, т, v, со, 8 и у. Если считать, что материал балки упру- го/вязко-идеально пластический, т. е. положить х = к (к— статический предел текучести при чистом сдвиге), то получим задачу для системы из шести величин: М, N, о, т, у, со. Подставляя в определяющие уравнения (25.8) соотношения сплошности (25.5) и используя (25.9), получим

_г^ = ±^+£у/фку27^Е^_ Л\ ?.

дх Е dt 3 \ L к^M^-Vt2

дхц dt Y\ L кJ/ УУз^ + т2

Таким образом, в случае упруго/вязко-идеально пластической балки получим систему из шести уравнений (25.1), (25.7), (25.10) относительно первых производных шести неизвестных функций М, N, о, т, у, со.

В дальнейшем мы ограничимся использованием модели упруго/вязко-идеально пластического тела. Систему уравнений (25.10) представим в ином виде, умножив обе части первого из этих уравнений на zdA, а второго — на dA. Затем произведем интегрирование по сечению А. Используя определение (25.1), получим

, дю 1 дМ .

дхЕ dt ’

А1 dN , - ® I =ТТ- +А1 dN , - ® I =ТТ- +1]\-7=^=гб/Л, 3/ V'/a» + т2 ’

А

1 dN , - ® I =ТТ- +

А

1 dN , - ® I =ТТ- +

11\ Г -^dA,

3/ ^ч^2 + ^2

где / — как и прежде, момент инерции сечения, Л5— эффективная площадь сдвига:■

Л.-^^у^у^.г.^Д.

Площадь сдвига А3 отличается от полной площади поперечного сечения балки, так как действительный угол сдвига у (%, 2, 0 изменяется по ее высоте. В сопротивлении материалов эффективная площадь сдвига As определяется при помощи числового коэффициента кг;

Л =£4Л =£4

Л =£4

Л =£4

где

д

где S — статический момент сечения балки, h— ее высота. В случае прямоугольной балки с высотой К, шириной b имеем = Ш.

Преобразуем теперь условие пластичности

J2 — -^ <J2 + т2 = к2,

заменив в нем напряжения о, т изгибающим моментом М и поперечной силой N. Условие текучести (в случае упруго/вязко- идеально пластического тела) получится в виде

где Мо и No — соответственно постоянные:

M0 = ^3"^kzdA, N0=^kdA.

АА

Второй инвариант девиатора напряжений /2 будет иметь, очевидно, вид

(25-16)^ = ^[(^У + (^-

Учитывая определение (25.1), запишем систему уравнений (25.11) в виде

, <Эа> 1 дМ . дхЕ dt '

. 2 _ /^ Г // М V , / АГ у 1\м

^ №.) (J

/диX1 dN .

As -3<о I =sr +6 \ дх/ц dt 1

В результате получаем систему четырех уравнений (25.7) и (25.17) относительно первых производных четырех искомых функций М, N, to, v. Нелинейную функцию Ф, входящую в уравнения (25.17), можно определить аналогично случаю одноосного растяжения на основе экспериментальных данных (см. п. 3.2).

8 Зак. 617

Для процессов упругой нагрузки и разгрузки в уравнениях (25.17) следует положить Ф = 0.

Система уравнений (25.7) и (25.17) есть система уравнений первого порядка гиперболического типа относительно функций М, N, v, со. Вещественными характеристиками этой системы являются четыре семейства прямых, уравнения которых имеют вид

х = ± axt + cost, x — ±a2t + const,

где характеристические направления определяются величинами

(25.19)(25.19)

(25.19)

(25.19)

представляющими собой соответственно скорости распространения продольных изгибных и поперечных волн.

Соотношения вдоль характеристик на основании (9.17) имеют вид

при х = ± axt + const:

при х = ± a2t + const:

Asdu^-dN- s иAsdu^-dN- s и

Asdu^-dN- s и

Asdu^-dN- s и

Решая систему уравнений (25.20) при заданных краевых и начальных условиях, можно изучить распространение волн напряжений в балке. В случае волн сильного разрыва систему уравнений (25.20) следует дополнить соотношениями непрерывности на фронтах разрывов. Волны сильного разрыва могут возникнуть в балке только тогда, когда внешняя нагрузка балки определяется разрывными функциями. Очевидно, на фронтах волн сильного разрыва должны выполняться условия непрерыв-

ности нулевого порядка, т. е. условия непрерывности перемещения и угла поворота элемента балки:

И = 0, [а]=0.

Условия динамической непрерывности на волнах сильного разрыва имеют вид

[Л4] = ± й^/р [о] при dx = ± ах dt, (25.22)при dx = a2dt.

Эти условия легко получить из общих условий динамической непрерывности (7.18), используя определение (25.1).

Исходя из того, что на фронте волн сильного разрыва упру- го/вязкопластический материал ведет себя как упругий материал, из соотношений (25.8) можно получить выражения для скачков напряжений и деформаций на фронте волны, а именно: (25.23)Н=-^г[сг], М=у[т].

Интегрируя эти соотношения по высоте балки, получим

[M] = -E/[-g], [^ = нЛМ-

Анализируя выражения (25.21) — (25.24), можно установить, что на фронтах волн сильного разрыва х = zb ^i^ +const функции М, со, о и да/дх испытывают скачкообразные изменения. Функции же N, и, т и у будут непрерывны, скачки испытывают их производные. С другой стороны, на фронтах волн сильного разрыва х = zb ^t + const разрывными являются функции N, и, т и у, функции же М, со, о и да)дх будут непрерывны, разрывны только их производные.

Рассмотрим теперь простейший случай распространения из- гибных и поперечных волн в консольной балке. Положим, что нагружение конца балки поперечной силой jV°(/) и изгибающим моментом Af°(^) в начальный момент времени произошло внезапно (значения этих величин столь велики, что в начальный момент приводят балку в пластическое состояние), а затем они произвольно убывают во времени (рис. 83). Начальные условия предположим однородными, нулевыми.

При таких граничных условиях в невозмущенной балке от ее конца х = 0 будет распространяться сначала волна сильного разрыва, уравнение которой х = axt\ на ней испытывают скачок величины М и о, функции же /V и и непрерывны. Ввиду того что перед фронтом волны сильного разрыва среда не возмущена, на фронте волны N = и = 0 и [Af] = М, [со] = со. При этих условиях, исходя, кроме того, из условия непрерывности

(25.22)ь можно проинтегрировать уравнение (25.20)1 на фронте волны сильного разрыва х = ait. Тогда

— 4^-(ф(^--ОУ

'7dx 3oi& \ к Мо /7

Это уравнение можно привести к интегральному уравнению Вольтерра:

X

М = М° (0) - В $ Ф (-^ - 1) dx,

о

где В = EM0y/(3axk).

Принимая определенный вид функции Ф, например степенной, т. е. Ф (F) = Fn, можно получить решение уравнения

M°(0)Nй№ 0$

Рис. 83.

.25) в явном виде [6]. Анализируя решение на волне х = axt, можно установить, что значения момента М на всем пролете балки больше Мо. При х-*оо они асимптотически стремятся к Мо, если в сечении х = 0 в момент t = 0 был приложен изгибающий момент М°(О)>Мо. Значение Af0 представляет собой статический момент, приводящий в пластическое состояние сечение балки при чистом изгибе.

За волной изгиба х = axt следует со скоростью а^ более медленная поперечная волна. Это волна сильного разрыва, на фронте которой скачкообразные изменения испытывают поперечная сила N и скорость частиц у. Вид решения на координатной плоскости представлен на рис. 83. Области / и /// являются областями вязкопластических деформаций. Они ограничены соответственно «волнами разгрузки» с уравнениями /=Г1(х), t = Гг(х). Области // и IV суть области разгрузки.

Решения в областях вязкопластических деформаций строятся численно, например методом сеток характеристик, при этом используются соотношения вдоль характеристик (25.20). Записывая их в конечных разностях, получим рекуррентные формулы для определения дискретных значений параметров решения в произвольной точке элементарной ячейки сетки характеристик так, как это сделано в п. 23.

В рассматриваемом случае, несмотря на большое сходство волновой картины с таковой для задачи о распространении продольно-поперечных волн сильного разрыва в полупространстве (см. п. 23.2) существует принципиальная разница в построении решения в области пластических деформаций /. Казалось бы, что поскольку поперечная волна, несущая возмущение от поперечной силы, распространяется медленней, чем волна изгиба, то в области / при нулевых начальных условиях поперечная сила и скорость частиц и тождественно равны нулю. Однако в результате сопряжения изгибающих моментов и поперечных сил в уравнениях (25.20) это не так. Наличие в области / изгибающего момента вызывает проявление также поперечной силы. С математической точки зрения предположение N = и = 0 в области / влечет за собой отбрасывание этих величин в уравнениях (25.7) и (25.17). Последние сводятся к уравнениям параболического типа технической теории балок, в которой всякие возмущения распространяются с бесконечными скоростями.

Построение решения в остальных областях координатной плоскости и способ определения волн разгрузки не отличаются от ранее представленных в п. 23.2. В целях единообразия решения и применения к его вычислению ЭВМ в областях упругих деформаций или разгрузки используют ту же сетку характеристик, что и в областях вязкопластических деформаций, полагая при этом (Ф) = 0. Это имеет большое значение главным образом в случае конечных балок, где мы имеем дело с отражением волн от концов балки и взаимным прониканием падающих и отраженных от края волн.

Волны напряжений в плитах

В этом пункте рассматривается задача о распространении поперечных осесимметричных волн в неограниченных плитах. Примем, что материал плиты чувствителен к скорости деформации и его свойства описываются уравнениями вязкопластичности (3.10).

Свяжем с плитой толщины 2h систему цилиндрических координат г, ф, 2, причем ось 2 направим по нормали к плите; г и Ф — полярные координаты в срединной плоскости плиты. В условиях осевой симметрии напряженное состояние плиты опре-

деляется составляющими тензора напряжений ат офф и тГ2, а деформированное состояние — составляющими ет ефф и уГ2. Остальные составляющие тензоров напряжений и деформаций равны нулю. Определяющие уравнения (3.10) сводятся к следующим трем уравнениям:

ёгг = у (^гг — ^дФФ) + у (ф [F] >,

£1иV J 2

8фф = У (офф — vdrr^ + Y (ф И ) ^»I^LL,

Угг = -Тг2 + у(ФЮ>-^,

где интенсивность девиатора напряжений выражается через составляющие тензора напряжений в виде

/^■уЕ^-^ + а^ + гМ и F-^jx-X.

Введем в рассмотрение обобщенные величины — поперечную силу N и радиальный и окружной изгибающие моменты Мг и Мф, отнесенные к единице длины линий г = const и ф = const срединной поверхности. Эти величины определяются следующим образом: hhh

Mr = 2 ^ orrz dz, M4) = 2^awzdz1 N = 2^xr2dz.

000

Чтобы получить уравнения гиперболического типа, следует (аналогично тому, как это было сделано в предыдущем пункте для балки типа Тимошенко) учесть влияние деформаций сдвига и инерцию вращения. С этой целью примем, что проекции w и и на оси z и х полного перемещения произвольной точки плиты, лежащей в сечении г на расстоянии z от срединной плоскости плиты, определяются формулами

w = w (г, /), и = — ^-2 + у (г, /) 2.

Деформации плиты выражаются в виде

du dzw . ov

(26.5)(26.5)6rr = "л- =TT 2 + "а" 2>

(26.5)

(26.5)

ди . dw , А

YrZ= d7 + -^- = Y(r, /),

где y(r, t) — средняя деформация сдвига. Вводя аналогично случаю балки угол поворота а, на который поворачивается эле-

мент, первоначально поверхности плиты:(26.6)мент, первоначально поверхности плиты:(26.6)dwа = —у,dwа = —у,расположенный на нормали к срединной

мент, первоначально поверхности плиты:

(26.6)

мент, первоначально поверхности плиты:

(26.6)

dwа = —у,

dwа = —у,

можно написать соотношения, связывающие перемещение w, угол а, составляющие нормальной и и угловой со скорости элемента и деформации егг, ефф, у в случае малых прогибов и малых углов поворота, в виде

dw ।dwda

—- = а + у,У =® =

(26.7)(26.7)drdtdt '

(26.7)

(26.7)

daa

r,^fффr ,

(26.8)(26.8)derrde»~3F= — 2 17derrde»~3F= — 2 17дбффto" dt —~z~дбффto" dt —~z~d^dv—~ = —(0.dtdrd^dv—~ = —(0.dtdr

(26.8)

(26.8)

derrde»

~3F= — 2 17

derrde»

~3F= — 2 17

дбффto

" dt —~z~

дбффto

" dt —~z~

d^dv

—~ = —(0.

dtdr

d^dv

—~ = —(0.

dtdr

Подставляя в определяющие уравнения (26.1) уравнения сплошности (26.8), получим следующую систему уравнений:

да> 112»-- — Grom

(26.9) -г — = y(6w-vo„) + ^i>(®(f|>-~n=^

Г Соу J 2

drцл/J.

Преобразуем теперь условие текучести (26.2) 2, заменяя в нем напряжения Off, (Уфф изгибающими моментами Мг, Мф и напряжение тгг поперечной силой N аналогично тому, как это сделано в случае изгиба балок. Для простоты примем, что х = k (тело не обнаруживает эффекта упрочнения материала). Получим следующее условие текучести:

ЛМ1ф ^6ЛМ1ф ^6

ЛМ1ф ^6

ЛМ1ф ^6

где Мо и No определены интегралами

hh

М0 = 2^ kz dz; No = 2 ^ к dz.оо

Второй инвариант девиатора напряжений имеет вид

(26.11)(26.11)гг^-¥ -+Г—Y+(—Y1

(26.11)

(26.11)

LV м0) лЦ + ( мй) ~Ч ЛГ0 / J

Подставляя (26.10) и (26.11) в уравнения (26.9), умножая затем первые два из полученных уравнений на zdz, а третье — на dz, проинтегрируем полученные равенства по высоте плиты от 0 до h. Тогда, используя определение (26.3), получим следующую систему уравнений:

dco 1..1, г 2М.-М»

-I— = -(М,^Мф) + -у№) — О Г С. ОV •/ 2

со 1.1 ,2МФ — Мг

-/- = -(Мф-УЮ + ТУ<ФИ)- ^- -,

Тс,Оу J 2

\ dr / рV /г

где I = 2й3/3, As = 2/1, a F и формулами (26.10) и (26.11).Уравнения поступательного мента плиты имеют видгде I = 2й3/3, As = 2/1, a F и формулами (26.10) и (26.11).Уравнения поступательного мента плиты имеют вид/2 определяются соответственно и вращательного движений эле-/2 определяются соответственно и вращательного движений эле-

где I = 2й3/3, As = 2/1, a F и формулами (26.10) и (26.11).

Уравнения поступательного мента плиты имеют вид

где I = 2й3/3, As = 2/1, a F и формулами (26.10) и (26.11).

Уравнения поступательного мента плиты имеют вид

/2 определяются соответственно и вращательного движений эле-

/2 определяются соответственно и вращательного движений эле-

(26.13)(26.13)dNdrdNdr2p/i-^- = 0,1 ot2p/i-^- = 0,1 otдМгdrдМгdr

(26.13)

(26.13)

dNdr

dNdr

2p/i-^- = 0,

1 ot

2p/i-^- = 0,

1 ot

дМгdr

дМгdr

Система уравнений (26.12) и (26.13) представляет собой полную систему уравнений движения упруго/вязко-идеально пластической плиты. Это система гиперболического типа пяти уравнений относительно пяти искомых функций Мг, Мф, N, со, и. Она имеет следующие семейства вещественных характеристик:

г = ± ad + const,

(26.14)(26.14)г = ± ad + const,

(26.14)

(26.14)

г = const,

где at = д/^/Ер (1 —-v2)], cz2 = д/р./р-—скорости распространения волн в упругой среде.

Вдоль характеристик (26.14) выполняются соответственно соотношения

м, -I

dMr Н-—— dr — N dr ± — dm +

{

cd 1, 2Mr —)

v/ +u=o

г О)

при г = + axt + const, (26Л5) dN + — dr-V (y<O[F])-^ + A®T —dv\dt =0

r l-УЛa2 J

при r = ± 0^ + const,

V dMr-dM„- |1 у (Ф [F]) —^^ +(1 -v2) / ^-J dt=O при r = const. При заданных начальных и краевых условиях, например вида (26.16) МТ = МД1\ N = N$ при г = г0, исходя из соотношений на характеристиках (26.15), можно построить решение начально-краевой задачи. Если, однако, нагрузки, приложенные к плите, имеют разрыв (например, возникают скачкообразно), то в плите возникают волны сильного разрыва. На фронтах волн сильного разрыва должны выполняться следующие условия:

условия непрерывности перемещений и углов поворота: (26.17)М=0,[а]=0;

условия динамической непрерывности [их можно получить из (7.18), используя определение (26.3)]:

[Afr] ^ — X-[<о] rfr = 0, [#] dt-V Л$рЫ^г = 0;

условия, вытекающие из того, что среда на фронте волны сильного разрыва ведет себя как упругая [эти условия следуют из определяющих уравнений (26.12)]:

Пусть в сечении г = г0 в момент t = 0 внезапно возникают нагрузки Мт и N. Тогда в плите начнут распространяться волны сильного разрыва с уравнениями г = r0 ± ad и г = r0 ± a2t. На фронтах волн r = r0 + ait возникают скачки величин Мг, М^, ю, dajdr, q„, офф, а функции N, и, у, т„ являются непрерывными. Наоборот, на фронтах волн г = Го ± ad разрывны величины IV, у> у, тга, а величины МТ) М^, со, dajdr, orr, gw непрерывны.

Построение решения задачи о распространении изгибных и поперечных волн в неограниченной плите производится аналогично случаю балки (см. п. 25). На фронтах волн сильного разрыва решение можно свести к решению интегрального уравнения. В частном случае степенной или линейной функции релаксации решение можно получить в замкнутом виде. Решения в областях вязкопластических деформаций, как и в областях разгрузки, можно построить численно, используя соотношения (26.15) вдоль характеристик.

Распространение плоских двумерных волн напряжений

Большинство решений задач, связанных с распространением волн напряжений в неупругих средах, основывается на предположении о симметрии тел и симметрии краевых условий, например сферической или цилиндрической симметрии (см. гл. IV), или же на предположении, что поверхностные силы распределены на границе равномерно, изменяясь только во времени (см. задачи, представленные в предыдущих пунктах настоящей главы). В действительности, однако, равномерное распределение напряжений на границе среды реализуется редко. Обычно при взрыве, произведенном на границе среды, возникает концентрация давления на малой площади, за которой давление убывает. Решение задач такого типа сложно, и в литературе существует очень мало работ, посвященных этим важным с точки зрения практики задачам. Помимо теоретических исследований они требуют очень сложных и трудоемких числовых расчетов. Достаточно хорошо разработана лишь теория двумерных волн напряжений в упруго/вязкопластических средах [5, 7—9, 163, 165, 192, 217]. Этот пункт посвящен главным образом двумерным волнам в таких средах.

Рассмотрим плоскую деформацию сжимаемой упруго/вязко- пластической среды. Предположим, что среда изотропна и однородна. Будем пренебрегать внешними массовыми силами, ограничимся случаем малых деформаций среды. Выберем систему ортогональных декартовых координат Хг. Рассмотрим плоскость (хь х2). В случае плоского напряженного состояния составляющими вектора перемещения и будут

их = их (хь /), ^2 «2 (хь *2» Й, и3 = 0.

Составляющие тензора деформации в рассматриваемом случае имеют вид *

6ц = uXi ь е22 — ^2,2, ¥12 = у (иь 2 + ^2, i)> езз = Vis = ¥23 = 0»

Обозначая составляющие вектора скорости через Ui = dujdt, составляющие тензора скорости деформации можно записать как

ёи = o,.h ё22 = и22, ¥12 ='/2(^1. ? + v2-1), ё33 = Y13 = ¥23 = 0.

Напряженное состояние удовлетворяет условию Т1з=Т2з=0. Остальные составляющие тензора напряжений, так же как и составляющие тензора деформаций, вектора перемещения и скорости являются функциями только %i, х2 и t, следовательно, аи = аи(хь х2,/), о22 = a22(xb х2, f), o^ = <т33 (хь х2, /), (27.4),п

Ti2 = T12(Xh Х2, /), ГВ = Т23ЭО.

Уравнения движения имеют вид । дт12 ^i до22 । дт]2 ~ ди2

<27-5)~ + "^ = Р^Г’"д^^^-дГ*

Определяющие уравнения, описывающие динамическое поведение упруго/вязко-идеально пластической среды, примем в виде (3.20). Эти уравнения для деформированного (27.3) и напряженного (27.4) состояний имеют следующий вид:

^И = 2j7 $П + W slb

^22 = "2^ $22 + ^^ S22,

ё33= 2^5зз + (£))ззз = 0,

¥12 = “■ ^12 + 2 (D) т12,г*

ёц + ё22=д^-(огп 4* <j22 4" <j33)>

где_

( D При V^2 > &>

( 0 при д/^2 ^ к,

(27 7)^2 — ^^ "^" ^22 + азз ^^П^^^^ЗЗ ^^Н^ЗЗ + Т12»

S11 = 7з (20*11 — (У22^зз).

s22 = 7з (2о*22 — ОцОзз),

S33 ^ 7з (20*33ОцО22)«

Рассуждения этого пункта легко обобщить на случай определяющих уравнений, учитывающих влияние упрочнения мате-

риала, если принять функцию F в виде (3.8) с условием пластичности Губера — Мизеса

/Ы = УЛ,

а также на случай динамических деформаций упруго/вязко- идеально пластических грунтов, описываемых уравнениями (4.16), где

F =- 1, f (а;/) = а/' + д/Л •

Введем, следуя Клифтону [20], следующие безразмерные величины для скоростей Vi, V2, времени I, декартовых координат хь х2, предела текучести при чистом сдвиге к и коэффициента

вязкости у:У}У2(27.10)гР<4вязкости у:У}У2(27.10)гР<4, _ taxI — bb _ Y =—У>, _ taxI — bb _ Y =—У>Xt ^Т’Xt ^Т’«1а2«1а2Х2 =Х2 =Х2 b ’Х2 b ’

вязкости у:

У}У2

(27.10)г

Р<4

вязкости у:

У}У2

(27.10)г

Р<4

, _ tax

I — b

b _ Y =—У>

, _ tax

I — b

b _ Y =—У>

Xt ^Т’

Xt ^Т’

«1

а2

«1

а2

Х2 =

Х2 =

Х2 b ’

Х2 b ’

где чертой над соответствующими символами обозначены размерные величины, «1 и а2 — соответственно скорости распространения продольных и поперечных упругих волн:

ГЗ^ + ^ЦЧ^

(27Л).

b— характерная величина рассматриваемой задачи. Введем, кроме , того, безразмерные, напряжения р, q, т, определяемые следующими формулами:

(27.12) „=1^, ,(27.12) „=1^, ,1 Си — с222 ра21 Си — с222 ра2_ Tl2 „ СГзз=2’Г==2*Р«1Р«1_ Tl2 „ СГзз=2’Г==2*Р«1Р«1

(27.12) „=1^, ,

(27.12) „=1^, ,

1 Си — с22

2 ра2

1 Си — с22

2 ра2

_ Tl2 „ СГзз

=2’Г==2*

Р«1Р«1

_ Tl2 „ СГзз

=2’Г==2*

Р«1Р«1

Заменяя первые два уравнения (27.6) их суммой и разностью, используя, кроме того, соотношения (27.3), принимая обозначения (27.10) и (27.12), получим следующую систему четырех определяющих уравнений:

, Г2 . Г2 (2-Г2)2,

—«1,1—«2,2 + 3f2 ~ 4 Р, t + ~згПГ4- r, t = — у W (р—г),

,071_~ Ci, i + о2,2 + Г2^, < = — 2<? (£>),

(2/.ld) Г2 (2-Г2), Г2-12/nw .

ЗГ2 _ 4 Р, t Т др _ 4 Г, t з (О) V р)>

У1,2 — ^2,1 + Г2Т, (= — 2т (D), где_

(D) = у (ф(^Ф1)) -т=, V-f2 = ^Vкр — г)2 + 3 (^2 — т2).

\ X к Л Nil

С учетом (27.10) и (27.12) уравнения движения (27.5) примут вид

vM — р, I — q,v — т2 = 0,у2, / — Р,2 + 9,2 — т i = 0.

Система уравнений (27.13), (27.14) составляет полную систему уравнений задачи, которую можно представить в матричной форме:

L [w] = Azw, * + A‘w,, + A2w. 2 - В = 0,

где векторы w и В имеют вид

■ с

У1

с

1

«2

р

-уф>(р-

г)

(27.16)w =

q

, в =

-2(D) <?

г

4Mr-i

р)

_ т _

_-2(D)'

т

—

а матрицы А*, А*

А

выражаются как

"1

ООО

0 0 ""

0

1 0 0

0 0

0

0 М 0

Q 0

А( =

0

0 0 г2

0 0

>

0

0 Q 0

N 0

.0

ООО

0 г2_

■ 0

0 -

1-11

0<

3"

0

0

00 1

3 -

1

-1

0

00 1

0(

3

(27.17)А'=

-1

0

00 I

3<

3 ’

0

0

00 I

3(

3

_ 0

-1

00 1

3(

3_

' 0

0

ООО

-1"

0

0 -

1 1 0

0

0

-1

ООО

0

А2 =

0

11

ООО

0

»

0

0

ООО

0

_-1

0

ООО

0.

гдегдег4М =m ЗГ2 - 4г4М =m ЗГ2 - 4Г2(Г2-ВЗГ2 - 4Г2(Г2-ВЗГ2 - 4Г2 (2 —« Г2)4 ЗГ2 - 4Г2 (2 —« Г2)4 ЗГ2 - 4

где

где

г4

М =

m ЗГ2 - 4

г4

М =

m ЗГ2 - 4

Г2(Г2-В

ЗГ2 - 4

Г2(Г2-В

ЗГ2 - 4

Г2 (2 —« Г2)

4 ЗГ2 - 4

Г2 (2 —« Г2)

4 ЗГ2 - 4

Матрицы А*, А1, А2 — симметрические, матрица А*— симметрическая положительно определенная. Легко видеть, что уравнения (27.15) представляют почти линейную симметрическую гиперболическую систему дифференциальных уравнений с частными производными с постоянными коэффициентами при производных.

При упрощающем предположении Саузвелла и Аллена, принятом в работе [7], получается более простой вид векторов (27.17) и матриц (27.17). Предположение Саузвелла и Аллена основывается на том, что упругая и вязкопластическая части скорости деформации ё33 полагаются одновременно равными нулю.

Представляя тензор скоростей полных деформаций е^ как сумму упругой и пластической частей:

^ = 8^ + ^,

где

е^ = -^- stj + -^ sd;/, e^J = (D')sl},

и приравнивая отдельно обе части скорости деформации нулю, получим

(27.20)(27.20)ЗК + ц ,. , . х . 2ц — ЗК . _п■ зкц ((Т11 ++” °’

(27.20)

(27.20)

(£)) (2а33 Цца 22) = 0*

Отсюда в области упругих деформаций имеем

(27.21)(27.21)033 —v (0Ц + 022),033 —v (0Ц + 022),

(27.21)

(27.21)

033 —v (0Ц + 022),

033 —v (0Ц + 022),

где v — коэффициент Пуассона. В области вязкопластических деформаций

(27.22)(27.22)0зз — 7г (011 + 022)*0зз — 7г (011 + 022)*

(27.22)

(27.22)

0зз — 7г (011 + 022)*

0зз — 7г (011 + 022)*

Таким образом, составляющая тензора напряжений а33 определена неоднозначно. Она будет определена однозначно только

'«г

«2

W =

Р

q

_т _

В =00В =00ООв случае несжимаемой среды. Тогда д//2 = £0^ р2, — q' и

В =

0

0

В =

0

0

О

О

”1

0

0

0

0 "

' 0

0

-1

-1

0'

0

1

0

0

0

0

0

0

0

-1

Az =

0

0

г2

Г2 - 1

■ 0

0

, А* =

-1

0

0

0

0

0

0

0

г2

0

-1

0

0

0

0

_0

0

0

0

г-_

_ 0

-1

0

0

0_

-2(О)9

-2(0)т

" 0

0

0

0

-1"

0

0

-1

1

0

А’ =

0

-1

0

0

0

0

1

0

0

0

_-1

0

0

0

0_

Система уравнений (27.15) есть система шести почти линейных уравнений с частными производными первого порядка гиперболического типа с тремя независимыми переменными Хь'Хг, t с постоянными коэффициентами при производных. Теория этих уравнений изложена, например, в монографии Куранта и Гильберта [24]; она является обобщением представленных кратко в п. 9 систем уравнений с большим числом независимых переменных, чем две. Соответствующий метод был применен в пространственных задачах динамики газов в работах [159, 160, 196, 198]. Этот метод был также применен в динамических задачах теории упругости в работах [161, 20, 195, 199, 182, 206—208]. В динамических задачах теории пластичности этот метод применялся в работах [29, 173, 169, 116]. В волновых задачах теории вязкопластичности метод был использован в работах [5, 167, 181, 8, 9, 154—157, 217, 158].

Перейдем теперь к исследованию характеристических свойств системы уравнений рассматриваемой задачи. В первую очередь займемся анализом геометрии характеристических поверхностей, связанных с уравнениями (27.15).

Условие, при котором поверхность Ф(хь х2, ^) = const будет характеристической поверхностью уравнения (27.15), есть ра-

венство нулю определителя характеристической матрицы А:

det А = О,

где

А = А'Ф , + А'Ф,, + А2Ф 2.

Уравнение (27.23) эквивалентно уравнению

{(ф, а? - [(ф. о2+(ф, 2)2d { (ф, «у - 4? «ф. о2+(ф. 2)2]} ф. t=о.

Из (27.25) можно вывести ряд следствий. Ясно, что

(Ф.,)!-О?[(Ф. ,)! + (Ф.;Л = 0

есть волновое уравнение поверхности, распространяющейся со скоростью продольных волн Т аь а

(Ф. ,)=-«И(Ф, .y + W,)2]-0

есть волновое уравнение поверхности, распространяющейся со скоростью + аг- Оставшийся же в (27.25) член Ф t можно интерпретировать как определяющий вырожденные характеристические конусы,, сводящиеся к оси / (их уравнения: Xi = const, х2 = const). Это так, как если бы характеристическая поверхность распространялась с нулевой скоростью.

Проходящие через точку (х°, х®, /0) характеристические конусы, которые являются огибающими всех решений уравнения (27.25), имеют вид

(х, — х®)2 + (х2 — х®)2 = a2 (t — /0)2,

где а = 1 или а = 1/Г.

Вводя сферические координаты, эти уравнения характеристических конусов можно представить в параметрической форме:

X] — х® = а(/—/0) cos а, х, — х® = а (/—/0) sin а,

где параметр а есть угол в плоскости t0 = const.

Соотношения (27.27) суть искомые уравнения бихарактеристик; они являются образующими характеристических конусов (рис. 84). Характеристическая полоса связана с бихарактеристиками (27.27), проходящими через точку (х®, х®, /0), следующим образом:

Ф, t = а,

Ф, 1 = — cos а, а=1, а=1/Г,

Ф, 2 = —Sina,

Если Ф — характеристическая поверхность уравнения (27.15), то существует такой собственный вектор 1 (см. [24]), что

1А = 0,1А = 0,(27.29)

1А = 0,

1А = 0,

где А — характеристическая матрица, определяемая формулой (27.24). Вектор 1, связанный с характеристической полосой,где А — характеристическая матрица, определяемая формулой (27.24). Вектор 1, связанный с характеристической полосой,

где А — характеристическая матрица, определяемая формулой (27.24). Вектор 1, связанный с характеристической полосой,

где А — характеристическая матрица, определяемая формулой (27.24). Вектор 1, связанный с характеристической полосой,

определяемой формулами (27.27) и (27.28), имеет следующий вид:

— Г2cos а

Г sina

— Г2 sina

— Г cos а

(27.30) 1 =

Г2-1

при а=1, 1 =

0

при а=1/Г.

cos 2а

— sin 2а

_ sin 2а _

_ — cos 2а _

Если 1 — собственный вектор для характеристической поверхности Ф, то дифференциальное уравнение на поверхности Ф получим из условия

(27.31)(27.31)l-L[w] = 0,

(27.31)

(27.31)

где точка означает внутреннее произведение. В это уравнение не входит производная по направлению нормали к поверхности Ф, следовательно, в каждой точке оно может быть выражено через производные в двух направлениях на поверхности Ф. Можно, например, выбрать бихарактеристические направления и направление, вдоль которого время / постоянно. Производную

функции / в бихарактеристическом направлении можно пред

ставить как

^Mt^H^,

где dxx!dt, dx^dt вдоль бихарактеристик определяются путем дифференцирования уравнений (27.27). Используя выражения (27.15) и (27.30) и заменяя для простоты углы а на а — л, уравнение (27.31) можно представить в следующем виде:

cos a dvx + sin а du2 + dp + cos 2а dq + sin 2а dx =

= — Sx^dt при а = 1,

— г sin a dx)x + Г cos a d-o^ — Г2 sin 2а dq + Г2 cos 2а dx =

= — Sc^dt при 6z= 1/Г, где

Si (а) = [— sin2а + у(1 — cos 2а)] гу t +

+ (у sin 2а — р" sin 2а) о^ 2 + (1 + cos 2а) q ! cos а +

+ (1 + cos 2а) qt 2 sin а + (у — -^) и2>} sin 2а +

+ [— cos2 а + -—- (1 + cos 2а)] ц2> 2 +

+ (sin 2а cos а — sin а) т ] + (sin 2а sin а — cos а) т, 2 +

2D г 1 ,. .• и - о 1

+ уг [у (р — О + т sin 2а + q cos 2аJ,

S2(a) = у sin $a (vi, i — v2,2) "” cos2ay12 +

+ Г sin ар ! + Г (sin a — sin 2a cos a) q j +

+ Г sin a (1 + cos 2a) т 2 + sin2 au2> j — у sin 2au2> 2 —

— Г cos ap^ 2 + (1 — 2 sin 2a) q^ 2 —

— Г cos a (1 — cos 2a) x j — 2D (sin 2aq — cos 2ar).

Пространственные производные в (27.34) отвечают производным в направлении, касательном к характеристическому конусу.

В работе [20] представлено решение уравнения (27.15) при В = 0 (т. е. для случая уравнений теории упругости) методом конечных разностей. Затем в работах [7, 8] этот метод был распространен на почти линейные уравнения, т. е. на уравнения вида (27.15). Метод конечных разностей в случае трех независимых переменных хь х2> t (а также в случае большего числа

независимых переменных) принципиально отличается от метода сеток характеристик, описанного в предыдущих главах. Этот метод в случае двух переменных основан на сведении системы дифференциальных уравнений с частными производными к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль выбранных характеристических кривых. Затем полные дифференциалы вдоль характеристик заменяются их конечными разностями.

Метод сеток характеристик нельзя непосредственно перенести на случай большего, чем два, числа переменных, т. е. на пространственные задачи. Причиной этого является тот факт, что дифференциальные уравнения вдоль бихарактеристик содержат дифференцирование в больше чем одном направлении. В выражения (27.34) для Si (a), S2(a) входит дифференцирование по пространственным переменным ^ и х2. В цитированных работах [7, 8, 20] применение разностного метода для смешанных краевых задач газодинамики перенесено на уравнения теории упругости и теории вязкопластичности. Этот метод основан на исключении всех производных искомых функций иь и2, р, q, г, т в точке (х®, х^, /0) (рис. 84), в которой ищется дискретное решение задачи.

В работах [7, 8, 20] рассмотрены исключительно задачи распространения волн слабого разрыва. Предполагалось, что нагружение границы полупространства, увеличиваясь монотонно во времени от нуля до некоторого определенного значения, затем монотонно убывает. На плоскости х2 = 0 можно задать краевые условия для напряжения или же для скорости либо для обеих этих величин одновременно. Случай разрывных во времени нагрузок требует сложного анализа распространения волн сильного разрыва. Довольно большую трудность представляет также определение фронта волны пластической нагрузки, а также волны разгрузки. Фронты этих волн удалось определить лишь приближенным способом.

На точность метода влияет величина выбранного шага интегрирования. Клифтон [20] на примере упругих волн показал, сколь значительно влияние на погрешность решения имеет выбор шага интегрирования. Если шаг интегрирования выбрать так, чтобы выполнялось условие устойчивости решения, ошибка растет линейно. В случае нарушения этого условия ошибка растет чрезвычайно быстро. Для случая системы почти линейных уравнений вопросы сходимости решения и вопросы устойчивости метода не исследовались.

Представляется более целесообразным решать системы уравнений (27.13), (27.14) непосредственно, например методом конечных элементов [195] либо методом конечных разностей по неявной схеме. Тогда решение системы разностных уравнений

будет устойчивым независимо от выбранного шага интегрирования. Этот способ решения позволяет избежать многочисленных преобразований в соотношениях (27.34) и многих численных осложнений, особенно в случае сложных краевых условий.

Рис. 85.Рис. 85.Анализом распространения волн слабого разрыва в упругопластическом полупространстве занимался М. И. Эстрин [29]. Он дал представление для скорости волн в упругопластической среде и описал две кривые, отвечающие двум типам волн. Характерной чертой этих кривых является то, что они зависят от направления распространения возмущений и от направления ф главного нормального напряжения. При ф— а = 0 (а — угол между направлением нормали к проекции характеристической поверхности Ф = const на пло- а СКОСТЬ t = const И ОСЬЮ Х1) эти волны распространяются соответственно со скоростями ах = лМ волн расширения и (4 = aJviIp "а^ волн сдвига.

Рис. 85.

Рис. 85.

На рис. 85 на плоскости оц, 022 даны диаграммы скоростей распространения волн расширения и волн сдвига. На этом рисунке легко заметить, что скорости волн расширения почти не зависят от направления возмущений (кривая а). Эта кривая

мало отличается от окружности. Скорости волн сдвига (кривая б) существенно зависят от угла ф— а. В направлении главного касательного напряжения они равны нулю. Кривая в представляет упругие волны сдвига; это есть окружность радиуса а2 = V И/p.

В упруго/вязкопластической среде скоростям продольных волн и волн сдвига отвечают окружности соответственно радиусов ах = V(3^C + 4ц)/3р, tZ2 = л/tVP Р, 8]. Они отвечают случаю упругой среды. Это вытекает из характера определяющих уравнений упруго/вязкопластических сред, приведенных в гл. I.

Следует также обратить внимание на интересную работу Сауервайна [116], в которой исследуется скорость распространения волн в анизотропной упругопластической среде, описываемой уравнениями динамики грунтов С. С. Григоряна. Путем широкого использования техники числовых расчетов в [116] исследовано влияние неоднородности среды на скорость распространения волн расширения и волн сдвига в зависимости от анизотропии среды.

Рассмотрим теперь решение задачи о распространении волн в упруго/вязкопластическом полупространстве, содержащем цилиндрическую полость, для переменной во времени и в пространстве нагрузки на границе в предположении плоского деформированного состояния и малых деформаций среды.

Введя систему биполярных координат [179, 186, 189], решим задачу о распространении волн, интегрируя уравнения задачи по времени и используя метод Треанора [150] с переменным шагом интегрирования.

Исследуем движение упруго/вязкопластической среды, заполняющей полупространство х1 > 0, на поверхности которого приложено переменное во времени и в функции х2 нормальное напряжение (рис. 86):

аи = -Ро(^ ty

Предполагается, что это напряжение является непрерывной функцией времени, возрастающей от нуля в момент / = 0, и что интенсивность его в некотором промежутке х2 превосходит предел текучести материала при чистом сдвиге. На границе полупространства можно также задать касательное напряжение о12, переменное как во времени, так и в функции х2.

Внутри полупространства х1 ^ 0 на расстоянии h от границы полупространства находится цилиндрическая полость радиуса Г = Го-

В случае плоского деформированного состояния отсутствуют составляющие тензора деформаций:

е33 _ gI3 _ е23 __ Q

и составляющие тензора напряжений:

Q13 = а2з = Q

В плоскости (х1, х2) выбрана система биполярных криволинейных координат (а, р). На рис. 87 [179, 189, 186] х1 и х2 обозначают координаты точки М внутри полупространства, г^—радиус цилиндрической полости, X и Y— приведенные координаты точки М:

Х = —, Y = —,

v 7Го ’Го

hr — глубина расположения цилиндрической полости внутри полупространства:

hr=~.

' о

В системе биполярных координат (а, Р) точки О\ и О2 (рис. 87), расположенные на оси ОХ с абсциссами ±a = ^h2r—\. являются полюсами преобразования в декартовой системе координат X, Y.

Введем обозначения

0=10^1, г2 = |О2М|,

6i = (^r, o^i), е2 = (оу, с^м),

где Г! и г2 — соответственно расстояния точки М до полюсов преобразования Oi и О2 на плоскости (X, У); 01 и 02— соответственно углы, которые образуют эти радиусы (расстояния) с осью Y. Имеем

a = ln^-, p = e!-e2

и обратные соотношения

vsh asin Вх3

Х = а—гY = a~r—«-, 2 =— . '7ch а — cos рch а — cos Рг0

Кривые а = const представляют семейство окружностей радиуса я ch а с центрами (0, —а) и (0, +#). Ось х2 отвечает кривой а = 0; значению а = czi (положительному), где ai=Arsha, отвечает окружность, совпадающая с контуром цилиндрической полости. Кривые р = const представляют дуги окружностей,

Распространение плоских двумерных волн напряжений 247 проходящих через центры (0, ±а), причем р —угол, образованный радиусами гх и г2. Кривые р = const имеют разрыв величиной 2л между центрами Ох и О2 на оси к1.

Полуплоскость х1 > 0, расположенная вне цилиндрической полости, преобразуется на плоскости (а, р) в прямоугольник ОО'А'А (рис. 88). Если дополнительно принять, что нагружение

границы полупространства симметрично относительно оси ОХ, то, рассматривая движение среды в биполярных координатах (а, р), достаточно ограничиться, например, областью O'A'C'D', т. е. зоной р ^ 0 (рис. 88).

Так как динамические уравнения задачи будут записаны в системе биполярных координат, введем сначала метрику пространства. На основании (5.7) метрический тензор g^ в биполярных координатах (а, р) имеет составляющие

£ц (ch а — cos р)2 ’ ^22 (ch а —cos р)2 ’ ^33

и следующие составляющие обратной матрицы: (27.42), g^ = g", ^ = L

Определитель g матрицы gi} равен

g — gixg^gsi — lgn)2.

Определим теперь символы Кристоффеля второго рода. Выразим их через координаты метрического тензора gt,. В случаеОпределим теперь символы Кристоффеля второго рода. Выразим их через координаты метрического тензора gt,. В случае

Определим теперь символы Кристоффеля второго рода. Выразим их через координаты метрического тензора gt,. В случае

Определим теперь символы Кристоффеля второго рода. Выразим их через координаты метрического тензора gt,. В случае

ортогональных криволинейных координат символы Кристоффеля определим на основании формул (5.11), причем q1— биполярные координаты (а, 0, z). В рассматриваемом случае символы Кристоффеля второго рода имеют вид

(27.44)(27.44)11ch a —cos рr^-rh, Г22= — Гц,11ch a —cos рr^-rh, Г22= — Гц,г2 = —sin Р11 ch а — cos Р *Г?2 = Г}Ьтт2 р21 22 = — 1 1Ь^1 = ^.г2 = —sin Р11 ch а — cos Р *Г?2 = Г}Ьтт2 р21 22 = — 1 1Ь^1 = ^.

(27.44)

(27.44)

11ch a —cos р

r^-rh, Г22= — Гц,

11ch a —cos р

r^-rh, Г22= — Гц,

г2 = —sin Р

11 ch а — cos Р *

Г?2 = Г}Ь

тт2 р2

1 22 = — 1 1Ь

^1 = ^.

г2 = —sin Р

11 ch а — cos Р *

Г?2 = Г}Ь

тт2 р2

1 22 = — 1 1Ь

^1 = ^.

Остальные символы Кристоффеля второго рода равны нулю.

Отметим, что в биполярных координатах (а, р) можно решить и другие динамические задачи в случае плоского деформированного состояния. К ним относятся, например, следующие задачи; .

Л. Полупространство, нагруженное по границе переменными нагрузками.

Полагая Я достаточно большим по сравнению с радиусом цилиндрической полости г^, можно в системе биполярных координат (а, р) построить решение задачи о распространении волн в полупространстве, на границе которого заданы напряжения а11 и о12, переменные во времени и в функции координаты х2.

В предельном случае можно решить динамическую задачу Дамба, задавая на границе полупространства х1 = О нагрузку а11, распределенную по оси х3, в виде

а"Ь=о = 1Л(х2)Я(О,

где 1—сила, сосредоточенная на единице длины, Д(х)— функция Дирака, H(f) — функция Хевисайда. Эту задачу ввиду симметрии нагрузки также можно решать на плоскости (а, р), ограничиваясь вычислениями, например, в области OACD, т. е. зоной Р 0 (рис. 88).

Взрыв внутри цилиндрической полости в полупростран; стве.

На границе а = он, где ai=Arsha, цилиндрической полости, расположенной на расстоянии h от границы полупространства (рис. 87), задано переменное во времени давление

о^ = — ро (О g\ при а = аь

В биполярных координатах удобно исследовать задачу о распространении цилиндрических волн и дифракции их на границе полупространства а = 0. Ввиду симметрии нагрузки (27.45) можно также ограничиться рассмотрением области, например OACD, т. е. при р ^ 0 (рис. 88).

Дифракция цилиндрических волн на границе цилиндрической полости, расположенной в неограниченном пространстве.

Пусть внутри пространства находятся две цилиндрические полости с разными радиусами, равными гх и г2 (рис. 89), оси которых параллельны. Обозначим расстояние между осями цилиндрических полостей через d. Пусть внутри полости радиуса fi приложено давление р^ (см. краевое условие (27.45)). Будем считать, что полость радиуса г^ свободна от напряжений либо внутри нее приложено постоянное давление р0.

Введем систему биполярных координат (а, р) на плоскости (х1, х2) исходной системы координат х1 так, чтобы окружности радиусов, отвечающих а = czi и а = а2, причем оы > 0, а2 -< 0, совпадали с границами цилиндрических полостей.

В пространстве х^ неограниченная область, содержащая цилиндрические полости, преобразуется в биполярных координа-

Рис. 90.Рис. 90.I ♦ f иI ♦ f и

Рис. 90.

Рис. 90.

I ♦ f и

I ♦ f и

тах (а, Р) в ограниченную область AA'G'G (рис. 90). Ввиду того что задача симметрична относительно х1, достаточно ограничиться в плоскости (а, Р) областью ACHG, в которой р ^ 0 (рис. 90).

Г. Цилиндр с эксцентричным отверстием, подвергнутый радиальной или касательной динамической нагрузке.

Пусть цилиндр, поперечное сечение которого ограничено двумя эксцентричными окружностями (рис. 91), подвергается

действию равномерно распределенного по внутренней поверхности нормального давления pi(Q и переменного по внешней поверхности давления р2 (а', Р, Ру Одновременно можно задать касательные напряжения оаР на обеих поверхностях, переменные во времени и в функции точек границы, или предположить, что одна из цилиндрических поверхностей свободна от нормальных напряжений.

Определим на плоскости (а, р) внешнюю границу как а = а2, а внутреннюю границу как а = аР Примем «! и «2 положительными и «1 > «2 (рис. 91).

В биполярных координатах задача сводится к определению решения в прямоугольнике AA'F'F (рис. 90). Предполагается, что на внутренней границе а = ой (на краю АА^ задано давление р\ЦУ а на внешней границе а = «2 (на краю FF') — давление р2(а2, Р, 0- Если р2(а2, Р, 0 симметрично относительно р, т. е. давление симметрично относительно оси х1, можно ограничиться решением задачи в области АСЕР (рис. 90).

Введем теперь несколько иную систему биполярных координат (а, р, ф), для которой подобно тому, как это сделано в случае цилиндрической полости, сформулируем динамическую

задачу применительно к полупространству, ослабленному сферической полостью.

Пусть в полупространстве х1 > О (рис. 86) на расстоянии h от границы расположена сферическая полость радиуса г = г0. Внутри этой полости приложено переменное во времени давление Ро(О- Граница полупространства х1 = О свободна от напряжений. Следовательно, мы имеем дело с осесимметричной относительно оси х1 задачей.

Введем систему биполярных координат (а, р, ф), где ф— угол, который вектор ОМ образует с положительной осью Ох2. Соотношения (27.36) и (27.39) принимают вид

V 1у 2у 3

Х = ^-, Y = ^-, 2 = 4”

Г0ГоГо

и

а = 1п-^, р = б1-е2, ф = (оК ОМ^

Соотношения, обратные к (27.47), имеют вид

J =Z==a sin р sin ф

7ch a — cos pch a — cos pch a — cos p

Метрический тензор g^ в биполярных координатах (a, р, ф) имеет следующие составляющие;

а2а2^n (ch a — cos р)2 ’^22 (ch a — cos P)2 ’

(27-49)a2 sjn2 p

5^33 = (ch a _ cos P)2

Так как мы имеем дело с системой ортогональных координат, то символы Кристоффеля второго рода определяются на основании формул (5.11). Тогда

ch a —cos р ’ch а — cos р ’

•pl р2 . р2 pl 1 12 — — 1 12 — 1 21 = 1 11>

1919/9 \

Гзз = — sin ₽Гп, Гзз = — sin р (cos 0 — sin 0Гп),

Так же, как и в случае цилиндрической полости в упруго/вяз- копластическом полупространстве, можно сформулировать ряд других краевых задач, которые можно описать в системе биполярных координат (а, р, ф). К ним относятся:

дифракция плоских волн на поверхности сферы;

дифракция сферических волн на другой сферической поверхности;

распространение волн в сфере с эксцентричной сферической полостью, вызванных динамическим нагружением внешней или внутренней поверхности.

Вернемся теперь к решению задачи динамики упруго/вязко- пластического полупространства х1 ^ 0, ослабленного цилиндрической полостью (рис. 86). Динамические уравнения задачи запишем в контравариантных составляющих тензора напряжений oij в естественном базисе, тензора скоростей деформаций d^ и в контравариантных составляющих вектора скорости Щ. Определяющие уравнения для упруго/вязкопластической среды возьмем в виде (3.14), ограничившись при этом условием Губера— Мизеса (3.8), при котором эти уравнения приобретают вид

d” = -1- siJ + -^ ^gu + V (Ф (— - 1)) 4^,

2р.ЗЕ\ \ %«, 2

где

k ="- V^u = хк8м^16м8ц.

В биполярных координатах (а, Р) тензор напряжений о^ имеет следующие ненулевые составляющие:

Оаа — ааа (а> р, /^а03 = а33 (а> р, /),

ааВ = ааВ (а> р, ^ 0« = ozz ^ ^ t^

а тензор деформации имеет ненулевые составляющие:

еаа = ваа (а, Р, t), в88 = в88 (а, р,/), 8а8 = еа8(а, р, t\

Определим контравариантные составляющие тензора скоростей деформаций dt!. На основании (3.17) ковариантные производные вектора скоростей уа = уа (а, р, /), о8 = у8 (а, р, /) с учетом значений символов Кристоффеля (27.44) имеют вид

Риа да

диа1

даch а —- cos р

(уа sha + у8 sin р).

(27.54)

Do6 ар

—

dv^1

dpch а — cos р

(yash а + у8 sinp),

DvQ ар

=

дуа1

dpch а — cos р

(уа sin р — y₽sha),

Do6 да

=

до81

даch а — cos р

(уа sin р — у8 sh а).

На основании формулы (3.16) составляющие тензора скоростей деформаций d,^ выражаются в виде

sh« +у6 sin О £п.

(27.55)^“sha + ^shW,

,a@ _ 1 / даа . ЭуВ\ и

2 к др да Уу ’

/“ = d“P, da* = dsa = 0, ^г = ^Р=0, d”=0.

Определяющие уравнения (27.51) (с учетом ненулевых значений тензора скоростей деформаций (27.55) и ненулевых составляющих тензора напряжений (27.52), а также выражений (27.42)) сводятся к виду

^““ = 4? (о““—4 Gg“)+4 ё^'+^ФЮ^а"0—JG£n)’

й№ = 4 (gPP-| ^")+W ^"+Y <ф (f »(О₽3-Т ^п)’

'0 = 4(^-4ё) + 4-ё + у<Ф(^^

^ = ±^ + ^5(^0»», zp,

где

о = gn (aaa + q№) + a”.

/2 =4 { gh l(oaa)2 + (<rP₽)2 + 2 (a“P)2] + W -

- 4 [o““ + a№ 4- a^>f [2gn (3 _ ^^ — 1]}.

Для простоты ограничимся упруго/вязко-идеально пластической средой. Примем, что функция F имеет вид (3.24). Выражение (27.57) примет вид

<Ф^ = (:T■~1)47•

Выведем уравнения движения среды в биполярных координатах (а, 0, г). Из уравнений движения в случае ортогональных криволинейных координат (5.19), опуская вектор массовых сил (Х = 0), учитывая (27.52), а также (27.41) и (27.43), получим систему двух уравнений:

— I — ^2 О00') + — Г т2 ffap\ 1 J,

Н—г——д- (ааа + а88) = раа,

ch а — cos р v 1/ г >

Контравариантные составляющие вектора ускорения а, входящие в уравнения движения (27.59), определим на основании (5.16), учитывая значения символов Кристоффеля (27.30). Тогда получим

(27.60)(27.60)диа . диа о__уа + _у3_диа . диа о__уа + _у3_ch a — cos pch a — cos p{sh а (vava — v^p) + 2 sin0 vav0},{sh а (vava — v^p) + 2 sin0 vav0},eft =eft =do^do^dx>^dx>^dt даdt да_уа+__у@ +-r—J 5- {sin В (vaya — p5y0) — 2 sha yay8).ch a — cos p 1 x77_уа+__у@ +-r—J 5- {sin В (vaya — p5y0) — 2 sha yay8).ch a — cos p 1 x77

(27.60)

(27.60)

диа . диа о

__уа + _у3_

диа . диа о

__уа + _у3_

ch a — cos p

ch a — cos p

{sh а (vava — v^p) + 2 sin0 vav0},

{sh а (vava — v^p) + 2 sin0 vav0},

eft =

eft =

do^

do^

dx>^

dx>^

dt да

dt да

_уа+__у@ +

-r—J 5- {sin В (vaya — p5y0) — 2 sha yay8).

ch a — cos p 1 x77

_уа+__у@ +

-r—J 5- {sin В (vaya — p5y0) — 2 sha yay8).

ch a — cos p 1 x77

Окончательно получим систему шести уравнений — уравнения (27.55) и (27.60) с учетом (27.56) и (27.59). Это система шести дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка относительно шести искомых величин: четырех составляющих тензора напряжений oaa(a, 0, /), oaP(a, 0, /), app(a, 0, f), azz(a, 0, 0 и двух составляющих вектора перемещения oa(a, 0, /) и ур(а, 0, t).

Эту систему уравнений решим при нулевых начальных условиях при / = 0:

aaa (a, 0, 0) = app (a, 0, 0) = о22 (a, 0, 0) = oa0 (a, 0, 0) = 0, ^27161)ya (a, P, 0) = у 8 (a, ₽, 0) ^ 0

и следующих краевых условиях:

1. На границе а == 0 (граница полупространства) задано

(27.62)

о«“ (0, р, /) = (1 — cos р)2 а““ (р, О, а«₽ (0, р, /) = О,

где о“«(Р, Й = — р0(Р, О (1/а2) — заданная нормальная к поверхности полупространства составляющая тензора напряжений, выраженная через физические составляющие.

На границе а = «ь причем ai = Arsha (граница цилиндрической полости), задано

(27.63)

oaa(ab р, 0 = 0, oaP(ab р, 0 = 0.

2. На задано (27.64)

границе a = ai (граница цилиндрической полости)

oaa (ab р, 0 = (А, — cos Р)2 р0 (0, ст“0 (ab Р, 0 = 0.

На границе a = 0 (граница полупространства) задано

(27.65)

оаа (0, р, 0 = 0, оаВ (0, р, 0 = 0.

Введем теперь

следующие безразмерные величины:

и=—,

а1

(27.66) р

7 = -^, P«i

„6

V = —

ai

pi Оа

*а2

’pa2 '

, W = -Ь-,

ра^

„Вб

Р«1

го

S

Р«1 ’

• — Ро 02 ’

Р«1

где ai — скорость распространения продольных волн, а^ — скорость распространения поперечных волн:

й0— предел текучести при чистом сдвиге.

Система уравнений задачи — определяющие уравнения (27.56), уравнения движения (27.59) с учетом (27.55) и (27.60) в безразмерных величинах (27.66)—после алгебраических пре-

образований может быть представлена в следующей форме:

и.ч=-и>аи-и1$у +

+ Та L - V^ sh а + 21^ sin й +

+ т ГтW) + т №r)l + -h—-°-. № + 9), L ^^ 4 Z др 4 J ch а ~ cos р

V„ = -V.aU-V.^V-

- dT^p- Ж - И2) sin 0 - 2UV sh а] +

+4- Гт W) + 4 №Q)1 + т^т(р+Q)’ gr, Ida х у хch a —cos р

11

р.. = И.р - сЬ- ™р (^“ + ^ sinР) &21]g" +

+ у <^> M К^ + Q) с? + gnc8S] - 3 \Pc, - Q^]}, Q.т = [^, p-c5l/.a - cha2c^pWsha + V sin0) 621]g‘4 + Y W {е5Сб [(^ + Q) c7 + gnc8S] + 3 [Pc5 - Q^]},

s^-M^t + Q-Jgu-^v^WH^ + Q)^ где

a 7^2 Г2 - 1. _ Г2 2 - r2 a _ бз

62 —Г ЗГ2_45п> 6з-2зг1-4' 67^2*

pa?1с.

С1 = -т-, с2 = (1-Ь7)Ь3> с4 = 2с1с2-7, С6 = —, (27.68) 2иа°2

С = —jEk+f2— с = С2 с = 1 — h

3 С1 (с, + 2с2) ’5 Cl (Ci + 2с2) ’77’

с8 = 1 + 267, Ь21 = с3 с5) y = "з^*»

и

W = (®(^-_1))_^.,

J2=^g2JPHQ2-V2T2HS2-

- I VP + Q + SgHl [2gn (3 - gu) - 1]}.

Начальные условия (27.61) имеют вид

PV«, 0, 0) = Q(a, 0, 0) = 7(a, 0, 0) = S(a, 0, 0)^0, ( 7-71) UVx, 0, 0) = V(a, 0, 0)^0.

Краевые условия (27.62) — (27.65) выражаются в следующем виде:

при а = 0

Р(0, р, т) = (1 — cosp)2P0(p, т),

7(0, р, т) = 0;

при a = aj

Р(аь р, т) = 0, Т^а.х, р, т) = 0;

при а = 0

Р(0, р, т) = 0, 7(0, р, т) = 0;

при а = О]

Р(аь р, т) = (/гг— cosP)2P0(t), 7 (аь р, т) = 0.

Составляющие тензора деформаций e,j можно определить на основании формул (3.18). Поскольку вектор перемещения и имеет ненулевые составляющие иа и и^, получим следующие выражения для составляющих тензора деформаций:

8“а=о" [^г (ch a ~cos $ ~ “р sin р] '

врр = 1 [-^ (ch a — cos р) — иа sh a],

1 Г/диа dUaX1

eop = 27 [^-yp- +(ch a - cos p) + «a sin P + u^ sh a].

На основании (3.19) получаем контравариантные составляющие тензора деформаций в11 в виде

'eaa = gngi,eaa,

eB^g^gHepy,

- eaP = gngnsap.

Физические составляющие тензора напряжений qW\ тензора деформаций в^ и вектора скорости и<‘) определим на основании (3.20) и (27.41) в виде

a(aa) — g^ga^ a(6B) = ^иа₽₽,q(«) = o*zt a(aB) _ gnaapf

e<a0) = gus0», 8<РР> = guB^, e^ = gne°8,

yWz=^/gu o“, y№ = ^gn t)B.

Обозначим физические составляющие тензора напряжений и физические составляющие вектора скорости в безразмерных

координатах (27.66) волной сверху. Тогда

P = gnP. Q = guQ, S=s, T = guT,

’u=^xu, v=^v.

Систему уравнений задачи (27.56) и (27.59) с учетом выражений (27.55) и (27.60) можно представить в компактной матричной записи:

L[u]=Au,/ + Bu. a + Cu, @ + D = 0.

где и — вектор, А, В и С — симметрические матрицы размера 6 X 6; матрица А положительно определена, D — нелинейный вектор:

цг = [{/, у, т, р, Q, S],

"р00000 "

0р000О

о о gxxhi ООО

А~ оОО b2— b3gn-b3 ’

О 00— bagu ь2 -ь3

.000-Ьз-Ьзb2gn_

- pU 00-10 О’

Ор[/-1000

0-1О ООО

В=-1ООООО'

О000 0 0

_ о О 00 0 0..

■ рУ 0 —1 О О О"

О pV 0 0-10

— 100000

с

000000’

0-10000

_ О00000.

—Ф1 '

— Ф2

®44

-Фц ’

— Ф22

Фзз_

где

Ф1 = cha —cosB [sha(Р + Q - С72 + К2) + 2sin0UV\,

ф2 = ch a — cos 0 [sinP <P + Q -1/2 + П + 2 Sha UVA,

Ф- = "chcT^cosJ [^ sh a + И sin 0] + у W (p -12g-)

Ф22 = ch^cos ^ ^ sh a + И sin 0] + Y Ф (<? - | 2g-) 5п,

Фзз = fe")2 Y W (5 - у 2 g"), Ф44 = 2y <Ф> Tglb

2 = gn(P + Q) + S.

Элементы матриц А, В, С и вектора D являются функциями а, 0 и и. Система уравнений (27.78) есть система квазилинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа.

Ввиду нелинейности задачи решение граничной задачи будем искать численным путем. Систему уравнений (27.78) можно решать методом конечных разностей вдоль бихарактеристик.

Решим, однако, сформулированную выше краевую задачу методом непосредственного интегрирования уравнений задачи (27.78) [192, 163]. Для интегрирования уравнений по времени используем метод Треанора [150], обобщив его на случай системы дифференциальных уравнений.

Рассмотрим в трехмерном пространстве (а, 0, т) семейство плоскостей т = п*Н, где п* — целое число, Н — положительное число, равное отрезку дискретизации по времени.

Для определения численного решения системы уравнений (27.79) найдем такой разностный оператор L, чтобы в произвольной точке области определения на (п-|-1)-й плоскости дискретизации т = const решение аппроксимировалось с заданной точностью через операцию L А4/А = 0, причем вектор 41 задан на n-й плоскости т=const (схема явной дискретизации). Во внутренних точках области задача сводится к решению задачи Коши. В точках, лежащих на границе области, для данной смешанной начально-краевой задачи вектор 41 должен удовлетворять дополнительно краевым условиям.

Для упрощения числовых расчетов предположим, что нагрузка на границе полупространства х1 = 0 (рис. 86) симметрична относительно оси Ох1. Это не ограничивает предложенный метод, но ограничивает лишь область определения функции, например до области 0^0 (рис. 88), что приводит к двукратному уменьшению времени вычислений.

Область Ф (0 ^ а ^ «1 —л < 0 < 0) разделим прямоугольной сеткой прямых a = const и 0 = const (рис. 92) со значе-

ниями шагов Мга и А/ip, где kha = ai/nb A/ip = л/п2 и где «1 и п2— числа отрезков деления области D в направлении а и р. Кроме того, примем па = гц + 1, /гр = /г2 + 1.

В узловых точках сетки определим геометрию задачи, т. е. определим в этих точках составляющие метрического тензора g11 (и Sfn) и его производные в направлениях а = const и р = const.

Предположим, что на n-й плоскости дискретизации по времени известны значения вектора °И в точках пересечения сетки (7, 7), J = 1, ..., па, I = 1, ..., ng. Матрицы А, В, С и вектор D

Рис. 92.Рис. 92.

Рис. 92.

Рис. 92.

в уравнении (27.78) также определены на пЛ плоскости.

В (п+ 1)-й плоскости найдем оператор L: ЦЧД = 0.

Во внутренних точках области D (рис. 92) частные производные составляющих вектора ^ в направлениях аир заменим соответственно центральными разностями (для фиксированного времени т = const):

Z = l, ..., 6,Z = l, ..., 6,-^ =, -1- [^ (7 + 1, 7) - <Ut (J, 7)]

Z = l, ..., 6,

Z = l, ..., 6,

up

В точках, лежащих на границе области 5), для а = 0 и а = cci частные производные составляющих вектора °11 в направлении а (для определенного времени т = const) заменим

соответственно разностями вперед и назад:

/

Составляющие вектора 4Z в (п4-1)-й плоскости, т. е. при т = («+ 1)Я, должны удовлетворять краевым условиям (27.72) при а = 0 (граница полупространства) и при а = а; (граница цилиндрической полости). Дополнительно составляющие вектора <21 должны удовлетворять условиям, вытекающим из симметрии задачи (поскольку предполагается, что нагрузка на границе х1 = 0 симметрична относительно оси Ох1). Следовательно, должны быть выполнены условия

(27.81)(27.81)Г (а, 0, т) = 0К(а, 0, т) = 07 (а, — л, т) = 0V (а, — л, т) = 0Г (а, 0, т) = 0К(а, 0, т) = 07 (а, — л, т) = 0V (а, — л, т) = 0при Р = 0;при Р = 0;при р= —л.при р= —л.

(27.81)

(27.81)

Г (а, 0, т) = 0

К(а, 0, т) = 0

7 (а, — л, т) = 0

V (а, — л, т) = 0

Г (а, 0, т) = 0

К(а, 0, т) = 0

7 (а, — л, т) = 0

V (а, — л, т) = 0

при Р = 0;

при Р = 0;

при р= —л.

при р= —л.

Кроме того, ввиду того что следующие составляющие вектора QZ: Р, Q, S и U симметричны относительно оси Ох1, а составляющие К и 7 антисимметричны относительно этой оси, получим следующие условия:

(27.82)

Р (а, л — АЛр, т) = Р (а, — л + Мг^ т), Q (а, л — Мг^ т) = Q (а, — л + ААр, т), S (а, л — Мг^ т) = S (а, — л + А/z^, т), U (а, л —• Ыг^ т) = t/ (а, — л + АЛ^, т), V (а, л — АЛр, т) = — У (а, —- л + Айр, т),

и

Т (а, л — АЛр, т) = — Т (а, — л + Айр, т)

Р (а, А/2р, т) = Р (а, — A/zp> т),

(27.83)

Q (а,A/zp>т) = Q (а,—Айр, т),

S (а,АА^,т) = S (а,—A/z^, т),

U (а,ААр,т) = U (а,—A/z^, т),

V (а, Айр, т) = — У (а, — A/zp, т), Т (а, ААр, т) = — Г (а, — А/z^, т).

В точке О, которая является особой точкой на плоскости (а, 0) и отвечает на плоскости (х1, х2) бесконечно удаленной от начала координат области, положим, что °11 = 0. Это означает, что к точкам пространства х1’, бесконечно удаленным от начала координат, возмущения, вызванные внешней нагрузкой, не приходят за время исследования движения среды. Поэтому примем условие

% = (0, 0, т) = 0.

Заменяя в системе уравнений (27.78) частные производные по а и 0 соответственно разностями в этих направлениях, эту систему уравнений можно представить в следующем виде:

t = l, 6,

с начальным условием для т = тп: ^i =^п(хп)•

Используя алгоритм Треанора [150], который был подробно рассмотрен в п. 15 для случая распространения волн в стержне, проинтегрируем систему уравнений (27.85).

Примем, что функция ft(T, °1Д аппроксимирована в интервале [тп, Тп + ^] (77 = Ат) в произвольной точке (7, /) области Ф так же, как раньше, формулой (15.81). Для определения вектора °И на плоскости т = тп-н используется формула (15.89). Изменяя шаг интегрирования по времени Н^т), предположим, что относительная ошибка при определении решения в точке (/, 7) области Ф (рис. 92) на плоскости тп+1 = тп + Н равна

Ег(/, 7) = sup {Erz(J,/)} =

i=l, ..., 6

_ е11П7) I

"",-15.6 WI ’

если £2/I (n+i)(7, 7)0.

Примем затем, что ошибка при определении решения на плоскости Tn+i в целой области Ф равна

Ег= £ Ег(7, 7).

Подобно тому, как это было сделано в п. 15 (см. формулу (15.93)), можно задать изменение шага интегрирования по времени в зависимости от отношения В = Er/Er<j.

Предположим, что нагрузка на границе полупространства монотонно возрастает от нуля до постоянного значения за время

порядка 10~6 с. Такое изменение нагрузки во времени можно рассматривать как приближение к скачкообразной нагрузке. Одновременно исключается случай волн сильного разрыва, поскольку принятая модель среды (27.51) не допускает возникновения волн сильного разрыва при непрерывных краевых условиях.

Рассмотрим несколько интересных результатов числовых расчетов [165] в предположении, что функция Ф(£) определена формулой (27.58) и при выборе следующих числовых значений для физических постоянных (для алюминия):

■ £ = 7,2 • 105 кГ/см2, р = 2,7 • 10~3 кг/см3,

^о = 5ОО кГ/см2, v = 0,3, у = 500 с~*.

Примем краевые условия типа (27.72), предполагая нагрузку полупространства Р0(Р, т) в виде

Ро(Р, т) = [1 — exp( — ( - ^Jfe ) )] ро(1 — е^ при 0<т<ть

Ро (М) = [ 1 ~ ехр ( - (-Ц^) )] Ро (1 - е^) при т > тй;

здесь приняты следующие числовые значения:

06 = у, 4 = 4,485, аю=10, ро = О,О2 и ро = О,2.

На рис. 93 на плоскости (X, У) для У ^ 0 показано распространение пластического фронта во времени для значения р0 = 0,02 и для глубины расположения полости в полупространстве, равной hr = 10. В окрестности цилиндрической полости ясно видна область наименьшей интенсивности напряжений. Для времени т > Зои в полупространстве начинает исчезать влияние цилиндрической полости.

На рис. 94, а, б последовательно представлены распределения напряжений Q и S на границе цилиндрической полости для рассматриваемого случая. Величины Q и S представляют собой безразмерные контравариантные составляющие в естественном базисе орР, о“ тензора напряжений. Графики приведены для времен п = 2ai, Т2 = 2,25ai и т3 = 2,5аь Изменения обеих составляющих напряжения на контуре и во времени подобны. Видно, что эти напряжения достигают максимальных значений в боковых точках цилиндрической полости и убывают в направлении оси ОХ, меняя знак на положительный в окрестности оси ОХ.

На рис. 94, в для этого случая представлены графики интенсивности напряжений на контуре цилиндрической полости для

разных времен от т = 1,5 ai до т = 2,75 аь Эти графики указывают, в каких местах контура полости возникает концентрация напряжений в случае, когда полость свободна от нормальных напряжений, согласно краевым условиям (27.72).

Задавая десятикратное увеличение напряжения на границе полупространства, т. е. полагая ро = 0,2, получим на плоскости

(X, У) картину распространяющихся фронтов пластических волн, показанную на рис. 95. В окрестности цилиндрической полости отчетливей, чем в предыдущем случае, видны области с меньшей интенсивностью напряжений. Для времени t>2ai

можно заметить, что на контуре полости пропадают деформации (см. кривые для т = 4А). В окрестности цилиндрической полости получены формы распределения напряжений Q и S во времени, подобные случаю нагрузки ро = 0,02 (см. рис. 94, а, б). Распределение интенсивности напряжений на контуре цилиндрической полости также имеет форму, подобную показанной на рис. 94,в.

Глава VI

ВОЛНЫ ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Решение дифференциальных уравнений теории температурных напряжений

Рассмотрим сначала способ получения частного решения основных уравнений термоупругости для некоторого достаточно широкого класса задач [84]. Допустим, что отсутствуют массовые силы, источники тепла, и предположим начальные условия однородными для поля температуры и для величин, характеризующих деформированное состояние.

Воспользуемся операторным методом отыскания частного решения для упругой среды [84]. Получающееся решение отличается простотой, ввиду того что выражается через интегралы от поля температуры и его градиентов. Таким образом, некоторые динамические задачи можно свести к соответствующим задачам теории упругости. Применяемые методы требуют многократного интегрирования и знания элементарного решения. Последнее, однако, возможно лишь для немногих конфигураций тела.

Решение основных уравнений динамической термоупругости без учета массовых сил

V2u + grad div и = — u ++ 2^- a grad Т

можно искать в виде суммы двух функций

и = и1 + и11,

где функция и1 удовлетворяет только неоднородному уравнению (28.1) безотносительно к заданным краевым и начальным условиям, функция же и11 удовлетворяет однородному уравнению

V2un + и grad div u11 = -~ u11

и соответствующим преобразованным краевым и начальным условиям.

Если поле температуры Т удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности Фурье, которое запишем в виде

а?

4 D\T -d^T = О,

где к — коэффициент диффузии тепла, ах = V(^ + 2н)/р — скорость распространения продольных волн и Dx = д/д/, то частное решение и1 (при ниже приведенных условиях) можно получить путем непосредственного интегрирования.

Решение и1 уравнения (28.1) будем искать в виде

(28.5)(28.5)u1 = gradФ.

(28.5)

(28.5)

Подставляя (28.5) в (28.1), получим

(28.6)(28.6)2ц -|- Xаа^ (ЗА 4- 2g)2ц -|- Xаа^ (ЗА 4- 2g)(О2-а2?2)Ф + Т = 0,(О2-а2?2)Ф + Т = 0,

(28.6)

(28.6)

2ц -|- Xаа^ (ЗА 4- 2g)

2ц -|- Xаа^ (ЗА 4- 2g)

(О2-а2?2)Ф + Т = 0,

(О2-а2?2)Ф + Т = 0,

где О2 = дг1д?.

Применяя последовательно к обеим частям уравнения (28.6) операторы — (а2/&) D, и £>2 и складывая полученные уравнения, используя при этом (28.4), получим

Г а?ЗА + 2g 1

(D, - а^ [Р2Ф- -^Ф + «^ ?J = 0.

Тогда частное решение последнего уравнения можно получить, полагая

а2Ф а2 <ЗФЗА + 2g , ч

£- -^- = — аау 2g +А Т ^’ ^’

отсюда

Ф = 4б( (1-е°*<<-,,)/6)7’<(т]+Ф2.

«I2ц + X J

Чтобы (28.9) было частным интегралом уравнения (28.6), путем непосредственной подстановки функции (29.9) в уравнение (28.6) находим, что функции Ф1 и Ф2 должны удовлетворять уравнениям

а ЗА + 2ц aa? х о 1 (28.10) v"®,-^®, = -^^^-7(6,0), УФ2 = ТФ„

В случае однородных начальных условий для Т можно положить Ф, = Ф2 = 0, тогда

ЗА 4-2g гТ fa?(<-n)M.

<28Л|) «--^tt-^SL'-^I » "JJmnW

О

Следовательно, при однородных начальных условиях для и и принятых предположениях относительно Т имеем следующее общее решение начальной задачи для уравнений динамической теории температурных напряжений;

для вектора перемещения

ЗХ + 2и г Г—я)\1

u = grad Ф = -^£ ай Ц1 -ехр^-^у-^) J grad Г ^; о

для деформаций

ef/=-^±^ «Й $ [1 -ехр (“1(^ ^^ Т. ц (хт. Ч) йх\=е»ц,

О

где символ «;» обозначает ковариантную производную. Используя закон Дюамеля — Неймана

Оц — ^gifi + 2pez/ — (ЗА + 2р) gipT, где 6 = g’</ez/, ^ — метрический тензор, получим следующее решение в напряжениях:

ЗЛ + 2а ей г ( а^ (/ — т)) \

o^of^-A зц + Х""” §И ) ехРкГ^)7^’ ^ + о

+ 2Р 2ц+Т «Ц [1 — ехР (^ПГ"^)] Т:-

— (ЗА + 2ц) gtl аТ.

Относительное изменение объема в данной точке тела равно „ЗА + 2ц аа; г f a! (t — я) Л .

6 = g !еи = — 2|г + я — J ехр (^^) Т (Q, т]) dt],

о

Это уравнение получено с учетом уравнения теплопроводности (28.4) и T(Q, 0) = 0.

Интегрирование по времени в вышеприведенном решении легко выполнимо, если учесть, что общее решение уравнения (28.4) при условиях

M(P)^ + N (РИТ-1^ = 0, т0) = 0

(где Р — точка поверхности тела) можно представить в виде

”-ka\t

Т (Q, 0 = Го - £ ап<р„ (Q) е " ,

п-1

То ^п (Q)dV(Q)

а„ -= —^,

^Ф* (Q) dV (Q) D

где Фп (Q) и а^ —- собственные функции и собственные значения соответствующей задачи на собственные значения.

Ниже приведем два замечания, касающихся решения общих уравнений при сделанных ранее предположениях и предположении однородности начальных условий. Эти замечания будут относиться к интервалу времени 0 < / ^ /*, где /* = rQ]ax — время появления в заданной точке тела Q первой волны, несущей влияние границы, rQ — расстояние между точкой Q и ближайшей точкой поверхности тела.

Из высказанных рассуждений следует, что

поле вектора перемещения является потенциальным полем; следовательно, каждая точка тела испытывает чистую деформацию;

если температура в каждой точке поверхности тела Т(Р, 0^0, то в каждой точке внутри тела в интервале времени 0 < t < I* относительное изменение объема 9 будет всегда меньше нуля. Это, несомненно, является следствием эффекта теплового расширения тела.

Используя приведенный выше способ, решение многих одномерных динамических задач теории температурных напряжений можно свести к вычислению конечного числа интегралов от температуры и ее производных.

Изложенный метод обобщен на случай динамических задач термовязкоупругости с помощью упруго-вязкоупругой аналогии [85]. Этот метод можно также применить к динамическим задачам термопластичности, когда упрочнение материала является кусочно линейным или имеется идеально вязкопластический материал.

Тепловой удар на границе упруго/вязкопластического полупространства

Рассмотрим решение задачи о распространении волн в полупространстве, вызванных тепловым ударом на его границе [78, 79, 112]. Первыми попытками решения динамических задач термопластичности были работы Ю. П. Суворова [126, 127]. Предполагалась зависимость коэффициента теплопроводности от температуры. Следствием этого предположения явилась конечность скорости распространения температурных волн, что было бы близко к действительности только в том случае, если бы описывало свойства широкого класса материалов. Принятие нелинейного уравнения теплопроводности приводит к значительному упрощению вида уравнений, дающих, однако, искусственное бездисперсионное с волной слабого разрыва решение

уравнения теплопроводности. Задача о распространении плоских термопластических волн подробно рассмотрена в работе Ранец- кого [112]. В предположении независимости физических постоянных от температуры он решил задачу о тепловом ударе на границе полупространства, заполненного упругопластической средой. Решение проведено при помощи метода характеристик, применяемого при решении задач об ударах чисто механического типа. Задача о тепловом ударе была затем обобщена на случай упруго/вязкопластической среды [78, 79]. Мы приводим лишь решение в случае деформации упруго/вязкопластической среды, определяемой уравнениями (3.31).

Используем классическое уравнение теплопроводности, которое решается независимо от уравнений движения. Предполагаем, кроме того, независимость физических постоянных от температуры, полагая, что эти решения относятся к температурам, меньшим, скажем, 300 °C. Как известно, при умеренно высоких

температурах изменение предела текучести, модуля упругости, параметра упрочнения и коэффициента вязкости для довольно широкого класса металлов незначительно. Вместе с тем для

этих температур при тепловом ударе могут возникнуть пластические деформации.

Решение проведем в координатной плоскости при помощи

метода характеристик, примененного к решению задач о распро

странении волн, вызванных механическими нагрузками.

при /^0, при 0 < / ^0, при /^допри /^0, при 0 < / ^0, при /^до' 07(0,0 = j тмt Го' 07(0,0 = j тмt Го(29.1)(29.1)Рассмотрим в системе декартовых координат Xt упруго/вяз- копластическую среду, занимающую полупространство Xi ^ 0. Среда, занимающая область Xi < 0, находящаяся первоначально при температуре Т = 0, в момент / = 0 была подвергнута воздействию температуры, линейно возрастающей от нуля и затем постоянной:

при /^0, при 0 < / ^0, при /^до

при /^0, при 0 < / ^0, при /^до

' 0

7(0,0 = j тмt Го

' 0

7(0,0 = j тмt Го

(29.1)

(29.1)

определяющие уравнения (3.31) в случае одноосного деформированного состояния в полупространстве сводятся к уравнениям_

(29 2) ^^'"^^(Н^"1])-

дц + 2а22= ЗК (бц ЗаГ),

где принято, что f (о;/, e?z) = V^2> гДе V^^Afan — °зЛ- Уравнение теплопроводности (28.4) для полупространства

Тп-ф = о.Тп-ф = о.имеет вид

Тп-ф = о.

Тп-ф = о.

Решение уравнения теплопроводности при краевом условии (29.1), начальном условии

Т 1-0 = ОТ 1-0 = О(29.4)

Т 1-0 = О

Т 1-0 = О

и условии ограниченности решения на бесконечности имеет вид: при 0 ^/ </0

Т(хь0 =

=— | / Нlerfcl —т=-) — %] а — ехр(I = Ф1(хь /), /о L\ 2А/\2V^7 V Ал 4Z/J х Л

при Iпри I^to^toТ (хь /) = ф, (хь 0 — ф] (xb / — t0\Т (хь /) = ф, (хь 0 — ф] (xb / — t0\

при I

при I

^to

^to

Т (хь /) = ф, (хь 0 — ф] (xb / — t0\

Т (хь /) = ф, (хь 0 — ф] (xb / — t0\

Система уравнений (29.2) вместе с уравнением движения (5.5) (при Xi = 0) и уравнением (5.7), которые в случае одноосного полупространства имеют вид

пхдан ди дЕи ди

* 'd%i^ dt ' dtдх\ 1

составляет полную систему уравнений поставленной задачи. Для однозначности решения зададим начальные условия

ы|#_о = у|#_о = О

и краевое условие

^н|Х1=о = О.

Система уравнений (29.2) и (29.6) относится к гиперболическому типу. Она имеет следующие семейства характеристик: (29.9)| = ± л + const, £ = const,

где введены безразмерные переменные:

Вдоль характеристик (29.9) в случае решения уравнения теплопроводности в форме (29.5) имеют место следующие соотношения '):

вдоль £ = ± л + const:

donTpadvi

I 11о\2Vn/ За“ \ I и

9 Ниже е означает 6ц.

вдоль £ = const:

^^erfcПо^^erfcПо^v№За2 \ L к^v№За2 \ L кdaхх ~” Р^2 de +

^^erfc

По

^^erfc

По

^v№

За2 \ L к

^v№

За2 \ L к

ф|^=о

при 0 < т] ^ рэ' при т] ^ г]о подвергается изменению аргумент функции erfc, входящей в (29.11). При ц > т]0 в (29.11 ^необходимо подставить — erf с (V2 V1! — Ло) вместо erfc(V2Vn)-

Рассмотрим теперь решения в отдельных областях координатной плоскости (g, Т1) (рис. 96).

Область I. Это область упругих деформаций. Ввиду двойной записи решения уравнения теплопроводности (29.5) она разбита на две подобласти а и б. Систему уравнений (29.2) и (29.6) в области упругих деформаций (т. е. при уф = 0) можно свести к уравнению в перемещениях (28.1). Пользуясь методом, предложенным в предыдущем пункте, из формул (28.13), (28.15) и (28.12), продифференцировав последнюю, получим решения для полей деформаций, напряжений и скоростей в области /. При этом использовались решение уравнения теплопроводности (29.5) и граничные условия (29.7), (29.8).

В области 1а:

(29.12)— -1- ^-^ erf с (“2 утГ ~" ^^) +

е^ erf с (-^=- + V?)] } = Ф2 (g, Ч), о=2о^{теМег[с(7?;г-^)-

-±«№=,[=(^+3/^)+

+ g erf с (7^) exp f - -p)l = -фз (I, n) U V V v 4я / J

при 0 < n <По-

В области 16;

в = Ф1& П) — -Ф1 (В, П - По),

<Тц=Ф2б, П) — Ф2& П — По),

У = Фз (I, П) — Фз (6, П — По)

при п^По, где Ф = ЗЛаТо^ра2.

Введем безразмерную величину es, определенную как es = pc?6lsl^, aJ ЗКаТ0, зависящую от физических свойств среды и температуры То. Исследуем, при каких значениях параметра es и безразмерного значения цо в полупространстве, нагретом на границе согласно (29.1), возникают остаточные деформации. Иными словами, для каких значений es и г]о в среде х, ^ О начнут распространяться пластические волны.

Исследуя изменение во времени деформации е в определенном сечении, на основании (29.12) можно утверждать, что g является монотонно возрастающей функцией; она достигает максимального значения на характеристике £ = ц и монотонно возрастает вдоль характеристики | = я- В некоторой точке (£*, И*) (рис. 96) она достигает значения

в&п)^.^.--^,.

Из этого условия определяются координаты точки появления пластической волны т) = Г1 (g) (рис. 96). При £ > £* (при ^^Л) среда будет деформироваться пластически.

Условие возникновения пластической волны т) = Г1 (^) записывается в виде_

Пт 8^4)1 <-^_ez$;

здесь е (g, т]) определяется по формуле (29.13)ь т. е. при Ч^Чо:

е (g, р) = ^ {(2 + 2g + g2) erf с (1V?) -

— erf с (— у V0 — 6-21 erf с (у VI) — 2g’/zn-'/= ехр (—у) —

- (2 + 2g - 2По + I2) erf с (у;,^) + ^erfcf-^L) + \2Vg-По/\2V£ —По/

+ erfc ( ^.Z^L ) + g а /ехр(—)| \2Vg- До/ ’ л X 4 (g — i)o)/J '

Подставляя (29.16) в (29.15) и совершая предельный переход, получим_

lim е (g, г)) |= ^{- 1 + е-^} < - ^-eis.

£-»ооъ 1

Отсюда условие появления пластической волны л = Г1 (£) окончательно выражается в виде

е5<(1~е^о)/ло.

На рис. 97 представлена кривая es = (1 — е—^^/ло- Для произвольных значений координат е8, т]0 точек, лежащих в области R, в полупространстве, нагретом на границе согласно (29.1), возникают пластические деформации. При по^О получим условие появления пластических деформаций при тепловом ударе: е8 = 1 [78, 112], т. е. тогда, когда на поверхности полупространства в момент / = 0 внезапно возникает температура 70. Краевое условие типа Т| 0 = Т0 при / > 0 означает соприкосновение поверхности с большим количеством протекающей жидкости с постоянной температурой То при идеальных условиях теплообмена. Такой случай имеет место на практике, например при нагреве поверхности насыщенным водяным паром.

Возникает вопрос, достаточно ли условие (29.18) для появления на границе полупространства пластической волны п = г2(^) (рис. 96).

Из определяющих уравнений (20.2) при у(Ф) = 0 (процесс упругого нагружения) и из краевого условия (29.8) следует,

ЧТО(29.19)ЧТО(29.19)8 (0, 7)) = 26'—.

ЧТО

(29.19)

ЧТО

(29.19)

в виде (29.20)

/л \ Уз 8(0, n)= —8is,

Условие появления пластической волны т] = Г2(|) записывается

отсюда

(29.21)

Ч _ У3е1$ _Ио 4»Ч _ У3е1$ _Ио 4»Но es ^ 1 в силу (29.18), следовательно, т] ^ т)о. При выполнении условия (29.18), т. е. условия, при котором в среде появ

Ч _ У3е1$ _

Ио 4»

Ч _ У3е1$ _

Ио 4»

ляются пластические деформации сжатия — область //, в результате влияния границы появляются также пластические деформации растяжения — область ///. Пластическая волна слабого разрыва т] = Га(^) берет начало на границе полупространства £ = 0 и появляется в момент т] = ц** ^ г|о. Предельный случай (т] = ц** = г|о) имеет место при условии es = 1, что отвечает, в силу (29.18), значению г|о = 0 (тепловой удар с постоянной температурой Го).

Займемся теперь определением пластической волны т]=Г1(§) и ее асимптоты. Условием определения волны т] = Г1(|) является равенство (29.14):

e(g,r1(g)) = -^-e/s.

Используя решение в деформациях в области / (формула (29.12)1), на основании (29.22) получим уравнение для опреде-

ления в неявном виде формы волны г) = Г1(5):

F К, П®] = { [1 + Г, ® + -^-] erfc ^-А= -

-1 Гег.®-ierfc(6-2Л^)) + еГ1 e)+5erfc /Х±2Г^л _

2 LV 2 Vr, ® )к 2 УГ1 (?) )

= Ф1 6> Г1 (I)] + е$По = 0 при 0 < п < По

И

^,^(^1 =

=-Ф1 [^, Г, (^)] —-ф, Й, Г! (^ — no)] + esT)0 == О при п>По-

Исследуем производную волны п = Г1 (|):

zoqoRAdr- - dF^(2У.20)^ — gpfgTizoqoRAdr- - dF^(2У.20)^ — gpfgTiФ. II, Г. (?)], 6 1>i 16, Г. (?)]. г,Ф. II, Г. (?)], 6 1>i 16, Г. (?)]. г,при 0 < ипри 0 < и<По<ПоИ(29.26)И(29.26)</Г> _ ф! [?, Г1 (?)]. 5 - ф, [?, Г, (? - ло)1. $dl Ф> [?, Г, (?)], Г| - ф, [?, Г( (? - по)], г,</Г> _ ф! [?, Г1 (?)]. 5 - ф, [?, Г, (? - ло)1. $dl Ф> [?, Г, (?)], Г| - ф, [?, Г( (? - по)], г,при Т)>По-при Т)>По-

zoqoRAdr- - dF^

(2У.20)^ — gpfgTi

zoqoRAdr- - dF^

(2У.20)^ — gpfgTi

Ф. II, Г. (?)], 6 1>i 16, Г. (?)]. г,

Ф. II, Г. (?)], 6 1>i 16, Г. (?)]. г,

при 0 < и

при 0 < и

<По

<По

И

(29.26)

И

(29.26)

</Г> _ ф! [?, Г1 (?)]. 5 - ф, [?, Г, (? - ло)1. $dl Ф> [?, Г, (?)], Г| - ф, [?, Г( (? - по)], г,

</Г> _ ф! [?, Г1 (?)]. 5 - ф, [?, Г, (? - ло)1. $dl Ф> [?, Г, (?)], Г| - ф, [?, Г( (? - по)], г,

при Т)>По-

при Т)>По-

Сравнивая (29.25) и (29.26) с решением в области / (формулы (29.12)), можно установить, что

(29 27)=по ° ^’ ^‘^

Р стц(?, Г.) •

Анализируя формулы (29.12), можно видеть, что для произвольных значений §^п

у(§, п)>0, оц(^, п)<0 при ^>П-

Так как соотношения (29.12) справедливы только при ^^и> то

5 > °,

причем равенство <ти (£, ГО = 0 в (29.27) следует исключить из физических соображений. Кроме того, можно установить, что

ап (^, ГО > - pay (g, n)

для произвольных | и 1] при £^ч- Отсюда

^<L

Следовательно, производная пластической волны слабого разрыва ограничена в пределах

0<-^-<1.

Запишем (29.27) в несколько ином виде, а именно

/90 qq\dr« — 1 Рау (^’ г1) + СТИ (!• П)

•

При Т1^т]о исследуем предел этой производной при |->оо;

Пт -^ = 1 - lim P££1LJj) + ^LIl1 .

v '^=о ^15ч>00 стц^га

Исходя из формул (29.12) и уравнения пластической волны (29.24), из (29.34) получим

lim-^ = l.

6->00«6

Таким образом, асимптотой пластической волны 11 = Г1Й) является прямая с уравнением

п = £ + р, р = const.

Подставляя уравнение асимптоты (29.36) в уравнение волны (29.24) и переходя к пределу при £->оо, получим

lim F&l + PH-^ + e-'b+M е5т]0==0, £->00

отсюда

Р = —In—-^—.

Следовательно, уравнением асимптоты пластической волны т^Г^) является прямая

| = п + 1п-4^—.

Если т)0 —> 0, асимптота волны г] = Г1(£) для случая теплового удара с постоянной температурой То [78, 112] запишется в виде

£ = п + In ljes.

Для числовых данных t]0 = 1 и es = 0,5 на рис. 98 представлена форма пластической волны нагрузки г] = Г1(£). Асимптотой этой волны, согласно (29.39), является прямая т] = g— 0,23. Как видно из рис. 98, пластическая волна быстро приближается к своей асимптоте,

Перейдем теперь к решению задачи в остальных областях координатной плоскости.

Область Па. В этой области необходимо решать задачу Коши для системы уравнений (29.2) и (29.6). Так как нельзя проинтегрировать соотношения вдоль характеристик (29.11), решение системы уравнений (29.2) и (29.6) в области Па следует строить численным путем. С этой целью используется метод сеток характеристик. Начальные данные на кривой q = Г) (£) для случая задачи Коши определяются из решений в области /.

Области III, IV и Пб. Решение в этих областях проводится одновременно. Из точки (0, q**) (рис. 96) начинает распространяться пластическая волна слабого разрыва л = Гг(&), ограничивающая область III пластических деформаций растяжения.

Условием определения волны т) = Гг(^) является равенство

е ^(1, = + ^еи при 0<£<|*

И_

eln-rH^+'T" [26zs + его ®] при 6>Г,

где 8,о (?)—интенсивность деформаций на волне разгрузки Т| = Гз(^) (рис. 96). При помощи проведенных вычислений показано существование волны разгрузки г) = Гз(§). Эта волна

(29.42)(29.42)начинает распространяться из точки g = £*; условие ее определения имеет вид

(29.42)

(29.42)

V^2 — И 1ч=Гз (у

(29.43) Отсюда (29.44)(29.43) Отсюда (29.44)В случае определяющих уравнений (3.13) деформационной теории имеем

(29.43) Отсюда (29.44)

(29.43) Отсюда (29.44)

° if (е<) 1т|= Г3 (У

ч=г8 ©ч=г8 ©(^п^^„Гз (^ — V3/^ ^_ е()

ч=г8 ©

ч=г8 ©

Как и ранее, решение в областях III, IV и //б (область IV при В ^ £* есть область упругой нагрузки, при g ^ £*— область разгрузки) и определение волн т] = Г2(?) и т] = Г3(£) из условий

— (29.44) проводится одновременно методом характеристик с помощью соотношений (29.11).

На рис. 98 представлено решение в координатной плоскости при выбранных значениях rjo = 1, е5 = 0,5. На рис. 99 представлены графики изменения деформаций во времени в сечениях 5= 1,0; 2,0; 3,0.

Для заданного в виде (29.1) распределения температуры на границе полупространства решим теперь квазистатическую задачу. Кривую 1] = Гд$<(£) (рис. 98), ограничивающую область

ю Зак. 617

вязкопластических деформаций ///, определим из соотношения на вертикальной характеристике g = const (29.11) 2:

(29.45)(29.45)dou — pa2 de + ^aTS erfc (—^=Л йц = 0 при 0 < л ^Ло» По х 2 V ц /

(29.45)

(29.45)

^„-^^ И^ [erf^^-edc^^X^)]^=0

при л^Ло-

Здесь принято (Ф) = 0, так как волну л = Гдз/(5) найдем со стороны упругой области.

Для квазистатического решения следует положить dan = 0, что вытекает непосредственно из уравнения движения (29.6)ь Следовательно, из (29.45) получим

pa2 de = 2^Za erf с f —|=гЛ йл при 0 < л ^ Ло,

(29.46)110 \2Vtj/

pa2 de = ®^2h Г erf с (—^7=-^ — erf c (—-A. -^1 ^л

Ho L x 2 -у и / x 2 Vn — no / J

при л^Ло- Интегрируя эти уравнения и используя начальное условие в (|, 0) = 0, найдем

,t x З^аТо Г Г , |2\ t / £ \

8(1, л) = —;— (Л + v lerfcl—^)-

pa2T)o L\ 2 / \2Vti/

(29.47)(29.47)— I a/— expf - ^1 = ^Д ф(|, л) при 0 < л <Ло, V л \4т) / J ра2по

(29.47)

(29.47)

е(£>Ч) = ^^[ф&п)~ ф(£, Л~-Ло)] при л>Ло-

Кривая л = rgst® определяется из формул (29.47), если положить в них 8(|, л) = + (Уз/2)ег5. Для определения кривой

Л = Г9$<(У получим неявное уравнение

ФЙ, Г4$#)-е$Ло =

I Vasl 4I erf С I 7=- — 1A expl7= I —

(29.48)(29.48)— е5Ло = о при— е5Ло = о приО<Л<Ло,О<Л<Ло,\<lst^l) \2^Vqst) N П PX ^Yqst)

(29.48)

(29.48)

— е5Ло = о при

— е5Ло = о при

О<Л<Ло,

О<Л<Ло,

ФЙ, rgsf) — ФЙ, rqst — Ло) — е5Ло = О при л>Ло-

Кривая л = rgst(g) при es = 0,5, ло = 1 также представлена на рис. 98. Видно, что уже при очень малых значениях времени пластическая волна слабого разрыва л = Гг(1) стремится к ква- зистатическому решению л = Гдз<(^).

Наконец, на основании приведенных решений можно устано-

вить, что при ц0 —* 0 пластическая волна слабого разрыва т] = = Гг(^) переходит в пластическую волну сильного разрыва для 0^^^° (рис. 100). Далее при §° ^ ^ Г (если V > g°) будет распространяться упругая волна сильного разрыва, совпадающая с характеристикой £ = т]. Решение на фронте волны сильного разрыва g = т), так же, как это сделано в п. 15, можно свести к решению интегрального уравнения типа Вольтерра второго рода. При этом используются условие динамической непрерывности, соотношение на положительной характеристике

и тот факт, что на фронте волны сильного разрыва скорость деформаций неограниченно велика. В результате для деформаций получим интегральное уравнение вида

е = 2^ + «[1 -3erf(| Vr)-^erfc(yVl)]-

- У ( уФ Г Д1 -2v)ра2е(-^ _ - 11 4 при V Зра4 J v lV3(l-v)x[e(g),S] J р

Постоянная интегрирования определяется из краевого условия ац|^=о = О. В [78] доказано, что подынтегральная функция ограничена и удовлетворяет условию Липшица (см. также п. 15 для аналогичной подынтегральной функции).

Из анализа уравнения (29.49) следует, что деформация на волне со стороны области /// (рис. 100) на границе £ = 0 равна 20', и затем она уменьшается с ростом g. Точка окончания пластической волны сильного разрыва g° определяется из условия (29.50) eU« = + ^e^

При £ > £° пластическая волна сильного разрыва переходит в волну слабого разрыва с уравнением т) = Г2(£) (рис. 100). На волне сильного разрыва £ = т] при £° ^ £ ^ £* решение получается из (29.49), если положить (Ф) = 0; следовательно, (29.51) е = -феДс(1у&)-^ег1с(|У|)] при £°<£<Г, И

e = ^[3-erf(4Vr)-2etf(4Vf)-

— е2&*ег!с(уУГ)] + ^[У2 + ае2] при £>£*.

При § ^ £* функция [^г + ^ег] не может быть определена из формул (29.12). Ее следует определять из дискретных решений в области IL Решение в областях /// и IV строится, так же как и раньше, численным путем. На основании числовых расчетов можно установить, что пластическая волна слабого разрыва, уравнение которой т) = Г2(£), уже по истечении малого отрезка времени сближается с кривой r) = rgst(^)> ограничивающей область пластических деформаций для квазистатической задачи (рис. 100):

| = 2 Vnerf-1[l-ej,

где erf-1 — функция, обратная функции ошибок.

На границе полупространства можно получить решение в замкнутом виде, которое совпадает с квазистатическим. Деформация на границе полупространства возрастает от значения е(0,0) = 26’, достигая в пределе значения

lim е(0, т]) = 2,22 при £ = 0,

Т]->оо

если принять линейное упрочнение материала pVp, = 0,009. Без учета упрочнения материала получим

lim е (0, т]) = 2,27 при g = 0.

Т)->оо

Разница в деформациях на границе полупространства в обоих случаях имеет порядок 6%, и в глубь области она убывает. По истечению достаточно большого времени динамический эффект исчезает. Можно заметить, что асимптотические результаты для упруго/вязкопластической среды очень близки к решениям Ранецкого [112], основанным на модели деформационной теории пластичности.

Выше была рассмотрена задача о тепловом ударе на границе полупространства. Эта задача значительно усложняется, если тепловой удар сопровождает действие механических динамических нагрузок. Картина решения на координатной плоско-

£85

сти для этой задачи довольно сложна. Механическое возмущение с конечной скоростью, равной скорости продольных волн, распространяется в уже деформированной среде в результате изменения температуры на границе. При t < х/а картина решения, очевидно, будет такой же, как в случае только теплового удара. Но уже на волне сильного разрыва х = at, несущей воздействие границы, в решение будет входить краевое условие для механической нагрузки.

Если принять краевое условие для давления в виде оц = = —р^, причем р(/)^0, то механическая нагрузка будет вызывать внутри полупространства только сжимающие деформации. Тепловая же нагрузка будет способствовать появлению внутри полупространства растягивающих деформаций для времени t ^ xfa. Величина давления, приложенного к границе в начальный момент, и изменение во времени давления и температуры на границе полупространства будут определять решение на волне х = at и конфигурации областей пластических деформаций на координатной плоскости для t > xfa. Определение решения в областях координатной плоскости, лежащих выше характеристики х = at, представляет значительную трудность прежде всего ввиду необходимости рассматривать ряд вариантов решения (в зависимости от значений и изменений во времени нагрузок на границе). Кроме того, осложняется применение метода сеток характеристик. Это следует из трудности выбора соответствующего размера элементарной ячейки сетки характеристик: температурные эффекты убывают вглубь очень быстро, а возмущения, вызванные механической нагрузкой, убывают очень медленно. При х-^оо напряжения стремятся к значениям, отвечающим пределу гекучести. Приходится поэтому строить решение при t > xfa иным путем, например при помощи метода итераций Куранта.

Тепловой удар на границе сферической полости в упруго/вязкопластическом пространстве

Рассмотрим неограниченную среду со сферической полостью радиуса г0, поверхность которой в момент t = 0 подвергнута внезапному равномерно распределенному нагреву до температуры То, и эта температура затем поддерживается неизменной. Определяющие уравнения (3.31) в случае сферической симметрии (см. п. 16) и в предположении f(o'i/,ef/)=V/2 имеют вид [80] (30.1) 8rr ~ ^w^^^rr — Офф) + У3у(ф [^- — 1]),

дгг + 2афф = ЗК (егг + 2ёфф — За/),

где

"V^ == "д' k^rr ^фф)*

Уравнение теплопроводности (28.4) при краевых условиях

т\г=г=тй, Нш Т = 0

--»оо и начальном условии

Г|<-0 = 0

имеет решение в виде

Т (г, 0 = 7-0- erf с (^-).

т \V4Af /

Система уравнений (30.1) и (30.4) вместе с уравнением движения (5.5) и условием непрерывности (5.21):

2

ffrr,r + -(<Trr — СТфф) = рУ,<> «,г = 8ггЛ

дает возможность однозначно определить решение при данных граничных условиях

оггг (г0 J) = 0, м (г, 0) = и (г, 0) = 0.

Введя безразмерные переменные

| = ^, ^о = ^. П = ^.

можно показать, что система уравнений (30.1), (30.5) имеет следующие характеристики:

£ = £0 ± Т1 + const, § = const.

Вдоль характеристик (30.8), принимая решение уравнения теплопроводности в виде (30.4), получим следующие соотношения [80]:

± 3adarr - (4ц + 3/Q dy + { 4 V3 У (ф [^ - 1]) +

+ (4ц -6К)»+ Л _ Иехр Г «^.1 ± £2 Vлт) \^ / L 4Т) J

± -у- (огг — офф) j d^ = 0 при £ = £0 ± n + const,

(V + 2) “°« - (V~1)4,1"И V (ф [^ - Ф + +37-^0-t)^[-^]}‘<^" -" ^-‘-

Перейдем теперь к решению на координатной плоскости (^л) (Рис- Ю1). Область / определена как область упругих деформаций. Ввиду того что соотношения вдоль характеристик (30.9) даже в области упругих деформаций (при у(Ф) = 0) проинтегрировать нельзя, решение в области / приходится определять иным путем, используя метод, приведенный в п. 28. Учитывая, что ефф = ujr, етг = dujdr, у = dujdt, систему уравнений

(30.1) и (30.5) в области упругих деформаций можно свести к виду

L[u] = -^7’.r,

где

г _ д2 2 ( д2 . 2 д 2 \

L dt1 а \дг2 ^ г dr г2 )’

или к виду (28.1).

Частным интегралом уравнения (30.10) (см. п. 28) при нулевых начальных условиях для поля температуры будет функция

и(г,1)=^±а.а^'[|_еХр(^2^)]7-.г<.

о

В силу начального условия (30.6) 2, функция (30.11) является решением начальной задачи в области /. Вычисляя градиент поля температуры, определенной формулой (30.4), подставляя его значение затем в формулу (30.11), окончательно получим

выражение для перемещений в области 1, которое в безразмерных переменных (30.7) принимает вид

«(Е, Ч) - » f { № - (2л + ES + 2)J erk (У^) -

-2 Vi в + ы«р[-Лт^] +

+ (1 — У erfc (g^0' + Vn) exp (n 4- g — go) 4-

+ (1 + %) erfc ( 62~ 1°- — Vn) ехр (я - ^ + go)} •

Выражения для полей деформаций и скорости получим непосредственно из (30.12):

еФФ (g, П) = »-р- { [g2 - (2п 4- go 4- 2)] erfc (^М) -

-2VT (е+ы«р[--Ц^]+

4-(1 — §) erfc (-^Ь 4-д/п ) ехр (л 4-g — go) 4-

4-(1 4-g)erfc(-^^- —VT) exp (т] — g 4~ go) I, ef,6,Tl) = 2»-k{(2ii4-go4-2)erfc(,-l=>)4-

+ 2д/?6 + Мехр(—(tyi) +

4-(g-jg2— l)exp(n4-g-go)erfc(-^b4-VT) —

— (1 4- g 4- -j g2) exp (n - g 4- go) erfc (^=- - V^T) }.

o(g, п) = ,&у{(1 -g)exp(n4-g-go)erfc(-^-^4- Vn)4-

+ (l+»=xP(4-S + aert=(^-V4)~2eri=(^

Составляющие тензора напряжений определим из закона Дюамеля — Неймана (28.14). В области / имеем

Orr (i> П) = Рй2егг (5, т]) + 2 (ра2 — 2р.) ефф (5, я) —

(30.14)(30.14)- З/Са^о -^- erf с (, g \ 2VT1 /

(30.14)

(30.14)

Офф 6> п) = (ра2 — 2ц) err (I, т]) + 2 (ра2 — ц) ефф (5, г]) —

-ЗКатЛегЦ^М g V 2 Vn /

Когда значенияКогда значенияинтенсивность деформаций ег- в области / достигает 8iS, в среде появляется волна пластической нагрузки

Когда значения

Когда значения

слабого разрыва. На рис. 101 она представлена кривой т) = = Г1 (g) и определяется из условия

2

В; = (бгг 6фф) |^_Г| (I)=

Подставляя (30.13)i,2 в (30.15), получим уравнение, определяющее форму волны т] = Г i (5) в неявном виде. Этим способом волна т) = Г1 (^) определяется только до некоторого сечения 5 = Вь в котором дГ,/^)^^ = 1- В результате геометрической дисперсии интенсивность деформации вдоль характеристик убывает до нуля при 5~юо. Следовательно, чтобы на волне т] = Г1(5) выполнялось условие (30.15), должно быть drVd5>l при 5 > 11 (рис. 101). При 5 > 51 волна т, = Г1(5) определяется численно совместно с решением в областях // и Ша методом сеток характеристик; при этом используются соотношения вдоль характеристик (30.9) и условие (30.15) на границе областей.

В области Ш упругих деформаций движение среды описывается уравнением (30.10). В этой области следует поставить задачу Дарбу с заданными условиями на характеристиках 5 = = 5з ± (П — Пз):

"Р^-Ь-<1-ч=).

и = и0 При 5 = 5з + (т]-Т]з).

Используя метод, разобранный в п. 28, решение уравнения (30.10) представим в виде суммы

и = и1+и“,

где их—частный интеграл уравнения (30.10), и11— решение однородного уравнения

Ц«"1 = 0

с граничными условиями

(30.19)(30.19)““ = “i - <о = “20 при £ = £3 - (t] - т}3),и" = и0 - «;0 = и^ при £ = £3 + (П - Л3).

(30.19)

(30.19)

Функции И|0 и м"0 определены из частного решения (30.11) уравнения (30.10) соответственно на характеристиках £ = £3 + + (л— цз). Так как частный интеграл (30.11) для начальной задачи (задачи Коши в области 7) одновременно является общим интегралом уравнения (30.10), справедливым также вдоль характеристики ( = Ь + (л— Лз), то второе условие (30.19) упрощается:

(30201 “П = ^-ию = “й пРи а = ^3-(л-Л3), uII = 0 при £ = £з +(Л — Пз).

Функция и(0 определяется из решения (30.12) при Л = Лз — £ + £3:

т)»—В+Вз

СО-2» “» = -тйт([1 - «Р (ч - 01 т, do о

Значение и'о определяется из решения в области III а при £ = = £з - Л + Лз-

Таким образом, решение в области II сводится к решению однородного уравнения (30.18) с граничными условиями (30.20). Решение уравнения (30.18) можно представить в виде

..п^ v\ -ф'^-л-^о)ф(£ —л-£о) । Ф' (S + n-So)

.

Подставляя этот результат в граничные условия, получим

Ф^ + л—^о)—0,

<р(|-Л-^о) =

= (So + Ss) fe +1 — Л — Лз] [1 — ^t^o+^g)113] “20 +

+ у Из +1 - л - Лз] $ 7+17Д-+17 dz.

51-41

Окончательно решение в области /// в перемещениях будет иметь вид (в безразмерных координатах g, ц):

-п

и & г)) =4 $ [1 - ехр (Я - «] Т, ^d £ +

о

I ф' (g - Ч ~ Io) Ф (g - Ч - go) gg2 *

Остальные параметры решения теперь легко определяются.

Перейдем поочередно к решению в следующих областях /V и V. В результате влияния границы g = go в среде g > go начнет распространяться волна сильного разрыва с уравнением Г| = g — go. По аналогии со случаем полупространства можно показать, что при выполнении условия (30.15) на некотором отрезке (0, g°) волна ц = g — go будет пластической волной.

Решение на волне g = ц + go получим из равенства (30.9) i на положительной характеристике. При этом нужно учесть соотношения (30.14), которые справедливы на фронте волны сильного разрыва для упруго/вязкопластической среды, а также условие кинематической непрерывности

[у] = —Фгг]

и условие непрерывности перемещений, из которого вытекает условие непрерывности составляющей деформации еФФ.

Используя эти соотношения, получим следующее частное интегральное уравнение для составляющей деформации err(g) на фронте волны g = go + ц:

(30.26)(30.26)8гг (У = f 6) + ^ [б/т (I) ЛИ I ПрИ Т] = £ - |6,

(30.26)

(30.26)

где

(30.27)(30.27)2рра22рра2

(30.27)

(30.27)

2р

ра2

2р

ра2

. 2 рgo( g ~

+ $ФФ1 О ^/= eXp I ^

Фкг ^ |] = - ^ - -М_ Y /ф Г

I V 3 pa4 \ L У 3 ais

В (30.27) постоянная интегрирования определена из краевого условия (30.6) ь С = й, следующего из принятых нулевых

начальных условий. Входящие в (30.27) функции иь еггь еФФ1 определены формулами (30.13) для ц = £ — g0. Интегралы от этих функций не являются элементарными, поэтому некоторые из них следует вычислять, используя разложения в ряды и беря несколько первых членов разложения.

Для исследования сходимости решения можно установить, что

| 8rr |<| F (^ + J ф [err (I), |] di |<| F l+l J Ф [err (I) Л14 k

Так как функция F ^ ограничена, т. e. | F (g) | К 2 O', to

5

(30.29)(30.29)|8гг|<20 + |$Ф[8Гг(1),М|.

(30.29)

(30.29)

Дальнейшие оценки решения проводятся аналогично тому, как это было сделано для уравнения (20.9). Конечная точка пластической волны сильного разрыва определяется из условия

(30.30)(30.30)/— ^гг еФФ1) — 4" Bis*Л/ з

(30.30)

(30.30)

В точке 6 = |° (рис. 101) пластическая волна сильного разрыва переходит в волну слабого разрыва т] = Г2(£), подобно тому как это было в случае плоских волн. Решение на волне сильного разрыва т] = £— £0 при 5 > £* получим также из (30.26), полагая у(ф) = 0. Функции 8rrb еффЬ иь входящие в (30.27), следует одновременно определить из решений в областях II и ///.

Область IV представляет собой область вязкопластических деформаций, ограниченную волной, уравнение которой т^ = Г2(^) (рис. 101). Область V для £° ^ £ ^ £* и g > ^ является областью разгрузки. Решение в областях IV и V проводится одновременно с определением кривой т] = Гг(^) методом сеток характеристик. Волна л = Гг(§) определяется из условия

V з

(err®фф) ^«Гг(^)=== 42e^s при ^<^<6 и §^2>

(вгг8фф) l^„r2 (£) == 42 ^ ^is + 8;02 ®1 При £ ^ ^ ^ ^2>

где 8i02(^) — интенсивность деформаций на характеристике т] = = 1 — §о со стороны области //.

Для тех же числовых данных, что и ранее, но с дополнительно заданным радиусом сферической полости £0 = Ю7 сделан

числовой пример. При расчетах в соотношениях (30.13), (30.14) и (30.27) отброшены малые величины низшего порядка, что позволило значительно упростить вычисления (опущены члены порядка gj-1). Результаты вычислений представлены на рис. 102.

Можно заметить, что пластическая волна -q —Г2(^), ограничивающая область вязкопластических деформаций, уже для очень малых значений времени приближается к кривой т] = = rgSi(g), ограничивающей область пластических деформаций

при квазистатическом подходе к задаче. Решение квазистатиче- ской задачи для случая сферической симметрии было дано Ра- нецким [111].

Задача о тепловом ударе на границе сферической полости в упругопластическом неограниченном пространстве была решена в [113].

Следует заметить, что и в случае сферических волн, вызванных тепловым ударом, распределение остаточных напряжений и деформаций в среде почти одинаково при определяющих уравнениях как теории вязкопластичности, так и деформационной теории Генки — Ильюшина.

В заключение настоящей главы заметим, что влияние температуры на поле деформаций следует учитывать лишь тогда, когда тело нагрето извне. В случае теплового удара прирост температуры на границе тела порядка 150 °C вызывает в теле пластические деформации порядка 2%. Когда же тепло не подводится к телу извне, а учитывается сопряжение с полем тем-

ператур в определяющих соотношениях и уравнение теплопроводности сопрягается с полем деформаций, можно установить лишь незначительное изменение температуры в теле и пренебрежимо малое изменение поля деформаций, вызванное температурными эффектами. В случае связанных уравнений термовязкопластичности [166] для адиабатического процесса на примере алюминиевого стержня, ударяющегося со скоростью «53 м/с о недеформирующуюся преграду, установлено, что средняя температура стержня возрастает приблизительно на 6 °C, изменения же в деформациях, вызванные приростом температуры, не были замечены. Подобные явления наблюдались также для процессов квазистатических нагружений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Aggarwal Н. R., Soldate А. М., Hook J. F., Miklovitz J., Bilinear theory in plasticity and an application to two-dimensional wave propagation, J. Appl. Meeh., June (1964); русский перевод: Прикл. механ., «Мир», №2, 25 (1964).

Алексеенко В. Д., Григорян С. С., Новгородов А. Ф., Рыков Г. В., Некоторые экспериментальные исследования по динамике мягких грунтов, ДАН СССР, 133, 6 (1960).

Алексеев Н. А., Рахматулин X. А., Сагомонян А. Я., Об основных уравнениях динамики грунта, ЖПМТФ, 2 (1963).

Анциферов В. С., Рахматулин X. А., Распространение сжимающе-сдви- гающих возмущений в нелинейно-упругой среде, ПММ, 28, 3 (1964).

Baltow A., The plane problem for elastic/viscoplastic bodies, Arch. Meeh. Stos., 18, 2 (1966).

Bejda J., A solution of the wave problem for elastic/viscoplastic beams, Journal de Mecanique, 6, 2 (1967).

Bejda J., Rozwi^zanie problemu propagaeji plaskich dwuwymiarowych fal napr^zenia, Prace IPPT, 34 (1968).

Bejda J., Propagation of two-dimensional stress waves in an elastic/viscoplastic material, Appl. Meeh. Proc, of the Twelfth Int. Congress of Appl. Meeh., Stanford University, August 1968.

Bejda J., Przestrzenne zagadnienia dynamiezne osrodkow niesprezystych, Rozpr. Inzyn., 17, 4 (1969).

Bejda J., Perzyna P., The propagation of stress waves in a rate sensitive and work-hardening plastic medium, Arch. Meeh. Stos., 16, 5 (1964).

Бидерман В. Л., Расчеты на ударную нагрузку, «Основы современных методов расчета на прочность в машиностроении», Сб. под ред. С. Д. Пономарева, Машгиз, 1952.

Bleich Н. Н. Mathews А. Т., Wrigh J. Р., Moving step load on the surface of a half-space of granular material, Int. J. Solids and Struct., 4, 2 (1968).

Bleich H. H., Nelson I., Plane waves in an elastic-plastic half-space due to combined surface pressure and shear, J. Appl. Meeh., March (1966); русский перевод: Прикл. механ., «Мир», № 1, 145 (1966).

Bleich Н. Н., Mathews А. Т., Step load moving with superseismic velocity on the surface of an elastic-plastic half-space, Int. I. Solids and Struct., 3, 5 (1967); русский перевод: сб. Механика, № 1(107), 123—135 (1968).

Буравцев А. Н., Аналитический способ построения волны разгрузки, Вестник Ленинградского университета, 1 (1970).

Campbell J. D., Ferguson W. G., The temperature and strain rate dependence of the shear strength of mild steel, Philos. Mag., 21, 169 (1970).

Campbell J. D., March K. J., The effect of strain rate on the post-yield flow of mild steel, J. Meeh, and Phys. Solids, 11, 1 (1963).

Chiddister J. L., Malvern L. E., Compression impact testing of aluminium at elevated temperature, Experimental Mechanics, 3 (1963).

Clark D. S., Duwez P. E., The influence of strain rate on some tensile properties of steel, Proc. Amer. Soc. Testing Materials, 50 (1950).

Clifton R. J., A difference method for plane problems in dynamic elasticity, Quart. Appl. Math,., 25, 1 (1967).

Clifton R. J., An analysis of combined longitudinal and torsional waves in a thin-walled tube, Report No. 5, Brown University, Providence, May, 1960.

Clifton R. J., Unloading waves for combined longitudinal and torsional plastic waves, Techn. Rep. No. E50, Brown University, Providence, Sept. 1967; J. App\. Meeh., 35, 4 (1968); русский перевод: Прикл. механ., «Мир», № 4,174 (1968).

Clifton R. J., Lipkin J., Plastic waves of combined stresses due to longitudinal impact of a pretorqued tube, Part I and II, Trans. ASME, Dec. (1970).

Курант P., Уравнения с частными производными, «Мир», M., 1964.

Cristescu N., Dynamic plasticity, North Holland Publ., 1967.

Кристеску H., О распространении упруго-пластических волн при сложном нагружении, ПММ, 23, 6 (1959).

Чебан В. Г., О распространении продольных упруго-пластических волн, Ученые записки Киишневск. гос. ун-та, 5 (1952).

Dzygadlo Z., Kaliski S., Solarz L., Wlodarczyk E., Drgania i fale, PWN, Warszawa, 1966.

Эстрин M. И., Об уравнениях динамики сжимаемой пластической среды, ДАН СССР, 135, 1 (1960).

Fong J. Т., Elastic-plastic wave in a half-space of a linearly work-hardening material for coupled loadings, Report No. 161, Stanford University, May 1966.

Фрейденталь А., Гейрингер X., Математические теории неупругой сплошной среды, Физматгиз, М., 1962.

Goel R. Р., Malvern L. Е., Biaxial plastic simple waves with combined kinematic and isotropic hardening, /. Appl. Meeh., Dec. (1970); русский перевод: Прикл. механ., «Мир», № 4, 196 (1970).

Гольдсмит В., Удар. Теория удара и физические свойства соударяемых тел, Стройиздат, М., 1965.

Grybos R., Teoria uderzenia w »dyskretnych ukladach mechanicznych, PWN, Warszawa, 1969.

Григорян С. С., Об основных представлениях динамики грунтов, ПММ, 24, 6 (1960).

Gutowski R., Kaliski S., Osiecki J., Rozprzestrzenianie sie plaskiej fali odciqzenia w niejednorodnym gruncie, Biul. WAT, 2(85) (1959).

Hadamard J., Cours d’Analyse, Paris, 1927.

Hauser F. E., Simmons J. A., Dorn J. E., Strain rate effects in plastic wave propagation. Response of metals to high velocity deformation, Interscience, New York, 1961.

Hohenemser K., Prager W., Uber die Ansatze der Mechanik isotroper Kon- tinua, ZAMM, 12 (1932).

Kacprzynski J., Falowe rozwiqzanie dynamieznego problemu spr^zysto- plastycznej belki, Biul. WAT, XL, 1958.

Kaliski S., On certain equations of dynamics of an elastic/viscoplastic body. The strain hardening properties and the influence of strain rate, Bull. Acad. Polon. ScL, Serie Sci. Techn., 11, 7 (1963).

Kaliski S., The unloading wave for a body with rigid unloading characteristic in layered media, Proc. Vibr. Probl., 3 (1961).

Kaliski S., Propagation of plastic cylindrical unloading waves in bodies with rigid unloading characteristics, Arch. Meeh. Stos., 4 (1961).

Kaliski S., Propagation of plastic spherical unloading wave in a body with rigid unloading characteristics, Proc. Vibr. РгоЬЦ 4 (1961).

Kaliski S., The propagation of torsional, cylindrical unloading wave for body with rigid unloading characteristic, Proc. Vibr. Probl., 2, 4 (1961).

Kaliski S., Nowacki W. K., Wlodarczyk E., Propagation and reflection of a spherical wave in an elastic/viscoplastic strain hardening body, Proc. Vibr. Probl., 5, 1 (1964).

Kaliski S., Nowacki W. K., Wlodarczyk E., On certain closed form solution for the shock-wave with rigid inloading, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Techn., 15, 4 (1967).

Kaliski S., Nowacki W. K-, Wlodarczyk E., Plane biwaves in an elastic/viscoplastic semi-space, Proc. Vibr. Probl., 8, 2 (1967).

Kaliski S., Nowacki W. K., Wlodarczyk E., Propagation of plane loading and unloading biwaves in an elastic/viscoplastic semi-infinite body, Part I, Theory, Proc. Vibr. Problm., 8, 3 (1967).

Kaliski S., Nowacki W. K., Wlodarczyk E., Propagation of plane loading and unloading biwaves in an elastic/viscoplastic semi-infinite body, Part II, Numerical Analysis, Proc. Vibr. Probl., 8, 3 (1967).

Kaliski S., Nowacki W. K., Wllodarczyk E., The influence of strain hardening in the problem of propagation of plane loading and unloading biwaves in an elastic/viscoplastic semi-infinite body, Proc. Vibr. Probl., 8, 4 (1967).

Kaliski S., Osiecki J., Unloading wave for a body with rigid unloading characteristic, Proc. Vibr. Probl., 1, 1 (1959).

Kaliski S., Osieski J., The problem of reflection by a rigid or elastic wall of an unloading wave in a body with rigid unloading characteristic, Proc. Vibr. Probl., 1 (1959).

Kaliski S., Wlodarczyk E., On certain closed-form solutions of the propagation and reflection problem of an elastic/viscoplastic wave in a bar, Arch. Meeh. Stos., 19, 3 (1967).

Kaliski S., Wlodarczyk E., Resonance of a longitudinal elastic/viscoplastic wave in a finite bar, Proc. Vibr. Probl., 8, 2 (1967).

Kaliski S., Wlodarczyk E., The problem of resonance for longitudinal elastic-plastic waves in a finite bar, Proc. Vibr. Probl., 8, 1 (1967).

Kaliski S., Wlodarczyk E., Propagation of spherical unloading wave in layered medium with rigid unloading characteristic, Proc, of the Symp. of Nonlinear Vibrations, Warszawa, 1962.

Kaliski S., Wlodarczyk E., Reflection of spherical unloading wave from a rigid wall and a free surface in a body with rigid unloading characteristic, Arch. Meeh. Stos., 14, 2 (1962).

Kaliski S., Wlodarczyk E., Rebounding of cylindrical unloading wave from rigid wall for a body with rigid unloading characteristic, Proc. Vibr. Probl., 2 (1962).

Koehler J. S., Seitz F., On the propagation of the plastic deformation produced by an expanding cylinder, NDRC-AOR, Report No. A-139.

Кольский Г., Волны напряжений в твердых телах, ИЛ, М., 1955.

Krzyzanski М., Rownania rozniezkowe cz^stkowe rz^du drugiego, tom II, PWN, Warszawa, 1962.

Кукуджанов В. H., Распространение волн в упруго/вязкопластической среде, Изв. ВУЗов, сер, машиностроение, 2 (1958).

Кукуджанов В. Н., Распространение волны упругой разгрузки в стержнях из упруго/вязкопластического материала, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Techn., 31, 3 (1965).

Кукуджанов В. H., Никитин Л. В., Распространение волн в стержнях из неоднородного упруго/вязкопластического материала, Изв. АН СССР, 4 (1960).

Lindholm U. S., Dynamic deformation of metals, in «Behavior of Materials Under Dynamic Loading», New York, 1965.

Lindholm U. S., Some experiments in dynamic plasticity under combined stress, Symp. on the Mechanical Behavior of Materials under Dynamic Loads, San Antonio, Texas, 6—8 Sept 1967.

Lipkin J., Clifton R. J., An experimental study of combined longitudinal and torsional plastic waves in a thin-walled tube, Twelth Intern. Congress of Appl. Meeh., Stanford University, August 1968.

Лунц Я. Л., Распространение сферических упруго-пластических волн, ПММ, 13, 1 (1949).

Malvern L. Е., The propagation of longitudinal waves of plastic deformations in a bar of material exhibiting a strain-rate effect, J. Appl. Meeh., 18 (1951); русский перевод: сб. Механика, № 1 (И), 153—161 (1952).

Mandel J., Cours de mecanique des milieux continus, Paris, Gautier-Villars, 1966.

Manjoine M., Influence of rate of strain and temperature on yield stresses of mild steel, I. Appl. Meeh., 11 (1944).

Naghdi P. M., Murch S. A., On the mechanical behavior of viscoelastic/pla- stic solids, Techn. Report, University of California, 1963.

Ning Nan, Elastic-plastic waves for combined stresses, Praca doktorska, Stanford University, 1968.

Никитин Л. В., Распространение поперечных упруго/вязкопластических волн в балках и пластинах, Инженерный сборник, 30 (1960).

Никитин Л. В., Распространение упруго/вязкопластических волн в толстостенной трубе, Изв. вузов СССР, сер. Машиностроение, 3-4 (1958).

Nowacki W. К., Propagation and reflection of a plane stress wave from a deformable support in an elastic/viscoplastic strain hardening body, Proc. Vibr. Probl, 5, 4 (1964).

Nowacki W. K., Thermal shock on the boundary of an elastic/viscoplastic semi-infinite body, Part I, Bull. Acad. Polon. Set., Serie Set. Techn., 13, 2 (1965).

Nowacki W. K., Thermal shock on the boundary of an elastic/viscoplastic semi-infinite body, Part II, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Techn., 13, 7 (1965).

Nowacki W. K., The problem of a thermal shock on the boundary of a spherical cavity in an elastic/viscoplastic space, Proc. Vibr. Probl, 6, 3 (1965).

Nowacki W. K., The unloading wave in an elastic-plastic semi-space with a rigid unloading in the case of two-parameter loads, Arch. Meeh. Stos., 21, 4 (1969).

Nowacki W. K., On certain closed form solution for the plane shear-pressure wave in elastic-plastic half-space, Arch. Meeh. Stos., 20, 5 (1968).

Nowacki W. K., Elastic-viscoplastic plane waves with combined compressive and two shear stresses in a half space, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sei. Techn., 22, 3 (1974).

Nowacki W. K., Raniecki B., Note on the propagation of thermoelastic (non coupled) waves, Proc. Vibr. Probl, 8, 2 (1967).

Nowacki W. K., Raniecki B., Remarks on the solutions for some dynamic problems of thermo-viscoelasticity, Arch. Meeh. Stos., 20, 3 (1958).

Olszak W., Perzyna P., On elastic/viscoplastic soil, Proc. Symp. on Rheology and Meeh, of Soils held at Grenoble, April, 1964.

Olszak W., Perzyna P., The constitutive equations of the flow theory for a non-stationary yield condition, Int. Congress of Appl. Meeh., Miinich, Proc. Springer Verlag, West Berlin, 1966.

Olszak W., Perzyna P., Propagation of spherical waves in a nonhomoge- neous elastic/viscoplastic medium, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Tech., 9, 9 (1961).

Osiescki J., Propagation of plane stress waves in a non-homogeneous medium, Proc. Vibr. Probl, 2, 2 (1961).

Osiecki J., Reflection of a plane stress wave in a non-homogeneous solid medium, Proc. Vibr. Probl., 2, 2 (1961).

Perzyna P., Propagation of shock waves in non-homogeneous elastic/visco- plastic bodies, Arch Meeh. Stos., 13, 6 (1961).

Perzyna P., Teoria lepkoplastycznosci, PWN, Warszawa, 1966.

Perzyna P., The constitutive equations for rate sensitive plastic materials, Quart. Appt. Math., 20 (1963).

Perzyna P., The constitutive equations for work-hardening and rate sensitive plastic materials, Proc. Vibr. Probl., 4, 4 (1963).

Perzyna P., Propagation of elastic-plastic waves in a non-homogeneous medium, Arch. Meeh. Stos., 11, 5 (1959).

Perzyna P., Klepaczko J., Bejda J., Nowacki W. K., Wierzbicki T., Zasto- sowania lepkoplastycznosci, Ossolineum, 1971.

Perzyna P., Wierzbicki T., Temperature dependent and strain rate sensitive plastic materials, Arch. Meeh. Stos., 16 (1964).

Pielorz A., О metodach przyblizonego rozwi^zywania problemdw falowych w osrodkach niespr^zystych, Rozpr. Inzyn., 17, 3 (1969).

Plass H. J., Jr., Theory of plastic bending waves in a bar of strain rate material. Proc. 2nd Conf, of Solid Meeh., 1955.

Podolak K., Propagation of plane stress waves produced by a moving load in an elastic-plastic medium, Proc. Vibr Probl., 8, 3 (1967).

Podolak K., Propagation of one-dimensional stress waves in an elasticplastic medium subject to moving heat sources, Proc. Vibr. Probl., 10, 3 (1968).

Podolak K., Odbicie si§ plaskiej fali naprgzenia w osrodku spr§zysto-pla- styeznym о zmiennej granicy plastycznosci, Meeh. Teoret. i Stos., 10, 3 (1972).

Рахматулин X. А., О распространении волн разгрузки, ПММ, 9, 1 (1945).

Рахматулин X. А., О рапространении волны разгрузки вдоль стержня переменного предела упругости, ПММ, 10, 3 (1946).

Рахматулин X. А., Исследование законов распространения плоских упруго-пластических волн в среде с переменным пределом упругости, ПММ, 14, 1 (1950).

Рахматулин X. А.. О распространении упруго-пластических волн при сложной нагрузке, ПММ, 22, 6 (1958)

Рахматулин X. А., О распространении цилиндрических волн при пластических деформациях — скручивающий удар. ПММ, 12, 1 (1948).

Рахматулин X. А., Демьянов Ю. А.. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. М.. 1961.

Рахматулин X. А., Сагомонян А. Я. Алексеев Н. А., Вопросы динамики грунтов, МГУ, М., 1964.

НО. Рахматулин X. А., Шапиро Г. С., Распространение возмущений в нелинейно-упругой и неупругой среде, Изв. АН СССР, 2 (1955).

Raniecki В., A quasi-static spherically symmetric problem of thermo-plasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Set Techn., 13, 2 (1965).

Raniecki B., Thermal shock on the boundary of an elastic-plastic semi-infinite body, Proc. Vibr. Probl., 5, 4 (1964).

Raniecki B., Spherical thermoplastic stress waves, Proc. Vibr. Probl., 6, 4 (1965).

Raniecki В., О zderzeniu zimnej plyty z gorges plyt^ spr§zysto-plastyczn$, Proc. Vibr. Probl., 13, 2 (1972).

Рихтмайер P.. Мортон К., Разностные методы решения краевых задач, «Мир», М., 1972.

Sauerwein Н., Anisotropic waves in elastoplastic soils, Int. J. Eng. Sci., 5, 5 (1967).

Schreiner К. E., Bending waves in impulsively loaded elastic-plastic plates. Int. J. Solids and Structures, 5, 4 (1969).

Shieh R. С., On certain closed-form solutions to problems of wave propagation in a strain-hardening rod, Quart. Appl. Math,., 27, 4 (1970).

Shieh R. C., Hegemier G. A., Prager W., Closed-form solutions to problems of wave propagations in a rigid, workhardening, locking rod, Int. J. Solids and Structures, 5 (1969).

Скобеев A. M., К теории волны разгрузки, ПММ, 26, 6 (1962).

Скобеев А. М., О плоской упруго-пластической волне, ПММ, 29, 3 (1965).

Скобеев А. М., О некоторых задачах динамики грунтов, Инженерный журнал, 1 (1966).

Скобеев А. М., Флитман Л. М., Подвижная нагрузка на неупругой полуплоскости, ПММ, 34, 1 (1970).

Соколовский В. В., Распространение упруго-вязкопластических волн в стержнях, Докл. АН СССР, 60 (1948); ПММ, 12, 3 (1948).

Соколовский В. В., Распространение цилиндрических волн сдвига в упруго-вязкопластической среде, Докл. АН СССР, 60 (1948).

Суворов Ю. П., Распространение температурных напряжений в упругопластическом стержне, ПММ, 27, 2 (1963).

Суворов Ю. П., О распространении упруго-пластических волн при нагреве полубесконечного стержня, ПММ, 28, 1 (1964).

Шапиро Г. С., Продольные колебания стержней, ПММ, 10, 5 (1946).

Шапиро Г. С., Распространение упруго-пластических волн в стержнях переменного сечения, ПММ, 16, 3 (1952).

Шевченко Ю. Н., Теоремы о разгрузке в теории малых упруго-пластических деформаций при неравномерном нагреве, Прикладная механика (Киев), 2, вып. 7 (1966).

Teoria plastycznosci, под ред. W. Olszaka, Р. Perzyny, A. Sawczuka, PWN, Warszawa, 1965.

Томас Т., Пластическое течение и разрушение в твердых телах, «Мир», М., 1964.

Ting Т. С. Т., On the initial slope of elastic-plastic boundaries in combined longitudinal and torsional wave propagation, /. Appl. Meeh., June (1969); русский перевод: Прикл. механ., «Мир», 63, 2 (1969).

Ting Т. С. Т., Interaction of shock waves due to combined loading, Int. J. Solids and Structures, 5, 5 (1969).

Ting T. С. T., Elastic-plastic boundaries in the propagation of plane and cylindrical waves of combined stress, Quart. Appl. Math., 27, 4 (1970).

Ting T. С. T., Ning Nan, Plane waves due to combined compressive and shear stresses in a half space, J. Appl. Meeh., June (1969); русский перевод; Прикл. механ., «Мир», М., 49, 2 (1969).

Ting Т. С. Т., Ning Nan, Plane waves due to combined compressive and shear stresses in half space, Paper Amer. Soc. Meeh. Eng. No. АРМ-12, 1969.

Wierzbicki T., Dynamika sztywno-lepkoplastycznych plyt kolowych, Praca doktorska, IPPT PAN, Warszawa, 1965.

Wlodarczyk E., Propagation and reflection of a plane and spherical shockwave in an elastic-plastic body and a barotropic liquid, Proc. Vibr. Probl., 5, 4 (1964).

Wlodarczyk E., On certain class of closed-form solutions of the propagation problems of an elastic-viscoplastic wave in a nonhomogeneous rod, Proc. Vibr. Probl., 7 4 (1966).

Wlodarczyk E., On certain closed-form solution of the propagation problem of a spherical wave in an elastic/viscoplastic medium, Proc. Vibr. Probl., 9, 3 (1968).

Wlodarczyk E., Propagation of longitudinal-transverse loading and unloading waves in a nonhomogeneous elastic/viscoplastic medium, Proc, Vibr. Probl., 9, 2 (1968).

Wlodarczyk Е., Propagation of longitudinal-transverse radial cylindrical wave in a nonhomogeneous elastic/viscoplastic medium, Proc. Vibr. Probl., 9, 3 (1968).

Yang C. Y., Strain hardening effects on unloading spherical waves in an elastic-plastic medium, Int. L Solids and Structures, 6, 6 (1970).

Зволинский H. В., Шхинек К. H., Об определении волны разгрузки в одном частном случае, ПММ, 31, 1 (1967).

Perzyna Р., Description of thermo-mechanical behavior of irradiated materials, Sympozjum Francusko-Polskie w Nicei, Nicea, 1974.

Mandel J., Ondes plastiques dans un milieu indefini a trois dimensions, /. Mecanique, 1, 1 (1962).

Raniecki B., Ordinary waves in inviscid plastic media, in «Mechanical waves in solids», Springer-Verlag, Wien, 1976.

Ting T. С. T., Shock waves and weak discontinuities in anisotropic elasticplastic media Propagation of shock wave in solids, The Amer. Soc. of Meeh. Eng., New York, 1976.

Treanor Ch. E., A method for the numerical integration of coupled first order differential equations with greatly different time constants, Math. Com., 20 (1966).

Zarka J., Frelat J., Applications de I’algorythme de Treanor pour les pro- blemes en viscoplasticite, Colloque: Methodes Num£riques en Calcul Scien- tifique et Technique, Paris, Novembre 1974.

Lions J. L., Cours d’analyse numerique, Ecole Polytechnique, Paris, 1974.

Perzyna P., On the rate propagation of stress waves in a rate sensitive plastic medium, ZAMP, 14 (1963).

Bejda J., A difference method for plane problems in dynamic viscoelasticity, Partial Differential Equations and Waves, ed. Froissart, Springer-Verlag, 1969.

Bejda J., Dynamic response of elastic/viscoplastic and visco-elastic-plastic elements, 3rd European Symposium on Earthquake Engng., Sofia, 1970.

Bejda J., Propagation of plane and axially symmetric two-dimensional elastic/viscoplastic waves, Reu. Roum. Sci. Techn., Ser. Appl. Meeh., 15, 2 (1970).

Bejda J., Propagation of two-dimensional strong discontinuity waves in elastic/viscoplastic material, Arch. Meeh., 24, 3 (1972).

Murakami S., Bejda J., Two-dimensional cylindrical problem of elastic/viscoplastic wave propagation, Arch. Meeh. Stos., 23, 2 (1971).

Butler D. S., The numerical solution of hyperbolic systems of partial differential equations in three independent variables, Proc. Roy. Soc., London (1962).

Burnat M., Kielbasinski A., Wakulicz A., The method of characteristics for a multidimensional gas flow, Arch. Meeh. Stos., 16, 3 (1964).

Chou P. C., Karp R. R., Two-dimensional dynamic elasticity problems by the numerical method of characteristics, Proc. Army Symp. on Solid Mechanics, Septembre 1968.

Frelat J., Son Q. S., Zarka J., Some remarks about classical problems in plasticity and viscoplasticity, Lecture presented at the University of Wales Swansea, May 1974.

Nowacki W. K-, Sur le comportement dynamique d’une cavite dans un massif semi-infini elasto/viscoplastique, Symp. Francusko-Polskie w Nicei, Nicea, 1974.

Ceschino F., Kuntzmann J., Problemes differenciels de conditions initiales, Dunod, Paris, 1963.

Nowacki W. K., Trdjwymiarowe zagadnienia rozprzestrzeniania sig fal w osrodkach sprgzysto/lepkoplastycznych, IFTR Reports, Warszawa, 74, 1974.

Nowacki W. K., Zarka J., Sur le champ des temperatures obtenue en ther- rnoviscoplasticite, Arch. Meeh. Stos., 21, 4 (1974).

Baltow A., Praca Doktorska, IFTR Reports, Warszawa, 1567.

Baltow A., Tuong Vinh, C. R. Acad. Set., Paris, 275, Ser. A 291 (1972).

Berthole L. D., Numerical solution for two-dimensional elastic wave propagation in finite bars, /. Appl. Meeh., 34 (1967); русский перевод: Прикл. механ., «Мир», № 3, 289 (1967).

Bui Н. D., Dissipation d’energie dans une deformation plastique, Cahiers de Rheologie, 1, 1 (1965).

Burke J. J., Weiss V. (eds.), Shock waves and the mechanical properties of solids, Syracuse University Press, 1971.

Campbell J. D., Cooper R. H., Yield and flow low carbon steel at medium strain rates, Proc. Phys. Conf. Basil Yield Fracture, 1967.

Clifton R. J., Analysis of dynamic deformation of elastic-plastic solids under condition of plane strain, Phil. D. Thesis, Institute of Technology, Pittsburg, 1963.

Colloques I RIA, Methodes de calcul scientifique et technique, Rocquencourt, 17—21 Decembre 1973.

Ferguson W. G., Kumar A., Dorn J. E., Dislocation damping in aluminium at high strain rate, J. Appl. Phys., 38 (1967).

Germain P., Cours de mecanique des milieux continus, t. 1, Theorie Generale, Masson, Paris, 1973.

Germain P., Lee E. H., International Symposium, Foundations of Plasticity (ed. A. Sawczuk), Warszawa, 1972.

Hsu J. С. C., Clifton R. J., Plastic waves in a rate sensitive material, II, Waves of combined stress, J. Meeh, and Phys. Solids, 22 (1974).

Jeffery G. B., Plane stress and plane strain in bipolar co-ordinates, Philos. Trans. Roy. Soc., Ser. A (1921).

Klepaczko J., Doswiadczalne badania spr§zysto-plastycznych procesow fa- lowych w metalach, Prace IPPT PAN, 61 (1970).

Коларов Д., Балтов А., Динамические проблемы вязкопластических сред в температурном поле, Revue Roumaine des Sciences Techniques, Serie de Mecanique Appliquee, 15, 6, 1239—1253 (1970).

Кукуджанов В. H., О численном решении задач распространения упругопластических волн, Материалы V Всесоюзного CHMnosnvMa «Распространение упругих и упруго-пластических волн», Алма-Ата, 1973.

Kumar A., Hauser F. Е., Dorn J. Е., Viscous drag on dislocations in aluminium at high strain rates, Act. Metallurgies, 16 (1968).

Lindholm U. S., Yeakley L. M., Dynamic deformation of simple and poly- cristalline aluminium, J. Meeh, and Phys. Solids, 13 (1965).

Lions J. L., Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non lineaires, Dunod, Gauthier Villars, 1969.

Mandel J., et al., Etude des cavites souterraines, Rapport CEA, Saclay, 1973.

Mandel J., Introduction a la mecanique des milieux continus deformables, PWN, Warszawa, 1974.

Marsh K. J., Campbell J. D., The effect of strain rate on the post-yield flow of mild steel, J. Meeh, and Phys. Solids, 11, 1 (1963).

Mindlin D., Stress distribution around a tunel, American Society of Civil Engineers, April 1939.

Nowacki W. K., Zarka J., Etude de la frontiere 61astique des monocristaux d’aluminium, Int. J. Solids and Structures, 7, 1277—1287 (1971).

Nowacki W. K., Fale naprgzenia w cialach plastycznych, Wydawnictwa Politechniki Poznanskiej, Poznan, 1974.

Nowacki W. K., Comportement dynamique d’une cavite dans le semi-espace, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Techn., 23 (1975).

Rafa J., Wlodarczyk E., Przenikanie poruszajqcego si§ frontu cisnienia w polprzestrzen wypelnion^ spr§zysto/lepkoplastycznym osrodkiem, Biul. WAT, 18, 10 (1969).

Raniecki В., On the coupled equations for isotropic rate-sensitive elasticplastic materials, Problemes de la Rheologie, PWN, Warszawa, 1973.

Recker W. W., A numerical solution of three-dimensional problems in dynamic elasticity, J. Appl. Meeh., 37, 1 (1970), русский перевод: Прикл. ме- хан., «Мир», № 1, 121 (1970).

Richardson D. J., The solution of two-dimensional hydrodynamic equations by the method of characteristics, Methods in Computational Physics, Academic Press, 1964.

Rubine E. (ed.), Mathematics applied to Physics, Springer-Verlag, 1970.

Rusanow W. W., Difference method of constant direction, Arch. Meeh. Stos., 20, 6 (1968).

Сабодаш П. Ф., Чередниченко P. А., Численное решение задачи дифракции и распространения волн методом пространственных характеристик, V Всесоюзный симпозиум по дифракции волн, Изд-во ЛГУ, 1970.

Verner Е. A., Becker Е. В., Finite element stress formation for wave propagation, Int. J. Numerical Meth. Eng., 7 (1973).

Wilkins M. L., Calculation of elastic-plastic flow, Methods in Computational Physics, Academic Press, 1964.

Wlodarczyk E., Rozprzestrzenianie si§ i odbicie jedno i dwuwymiarowych fal naprezenia w osrodkach plastycznych, Praca habilitacyjna, WAT, Warszawa, 1969.

Zarka J., Sur la viscoplasticite des metaux, Art. Fr. 2eme fascicule, 223, 1970.

Zarka J., Etude du comportement des monocristaux metalliques, Application a la traction du monocristal CFC, Cahier Special Rheologie, 1, 1973.

Zarka J., Modele phenomenologique unidimensionnel pour Fetude du comportement viscoplastique du polycristal en grandes deformations, J. Meca- nique, 12, 2 (1973) .

Ziv M., Two-spatial dimensional wave propagation by the theory of characteristics, Int. J. Solids and Structures, 5 (1969).

Ziv M., Generalised characteristics method for elastic wave propagations problems, Israel J. Techn., 8, 1-2 (1970).

Ziv M., The decay of loading elastic waves by the theory characteristics, Int. J. Engng. Sei., 8 (1970).

Кукуджанов В. H., Кондауров В. И., Численное решение неодномерных задач динамики твердого деформируемого тела, сб. «Проблемы динамики упруго-пластических сред», сер. «Механика. Новое в зарубежной науке», под ред. Г. С. Шапиро, «Мир», М., 1975.

Васин Р. А., «Ленский В. С., Ленский Э. В., Динамические зависимости между напряжениями и деформациями, сб. «Проблемы динамики упруго-пластических сред», сер. «Механика. Новое в зарубежной науке», под ред. Г. С. Шапиро, «Мир», М., 1975.

Kukudjanov V. N., Dynamika osrodkow niespr^zystych, Wroclaw — Warszawa— Krakow, 1974, p. 255—273.

Кукуджанов В. H., Численное решение неодномерных задач распространения волн в твердых телах, ВЦАН СССР, 1976.

Kukudjanov V., On the waves propagation in a coupled thermo-elastic plastic medium, Arch. Appl. Meeh., 29, 2 (1977).

Амандосов А. А., Нуржумаев О., О волне разгрузки в упруго-пластическом полупространстве, Труды Института Математики и Механики АН КазССР, т. 2, Алма-Ата, 1971.

Амандосов А. А., Нуржумаев О., Сабодаш П. Ф., Поведение полупространства, на границе которого действуют подвижные нагрузки, Труды Института математики и механики АН КазССР, т. 2, Алма-Ата, 1971.

Быковцев Г. И., Вервейко Н. Д., Зиновьев Н. М., Применение метода характеристик к решению задачи о движении ступенчатой нагрузки, Ма-

териалы V Всесоюзного симпозиума «Распространение упругих и упругопластических волн», Алма-Ата, 1973.

Бейда Ю., Двумерные упруго-вязкопластические волны, Материалы V Всесоюзного симпозиума «Распространение упругих и упруго-пластических волн», Алма-Ата, 1973.

Зукова А. Н., Рыков Г. В., Распространение одномерных волн напряжений в вязкопластической среде, Материалы V Всесоюзного симпозиума «Распространение упругих и упруго-пластических волн», Алма-Ата, 1973.

Керимов К. А., Мамедов Г. А., Распространение упруго-вязкопластических волн в нити при поперечном ударе, Материалы V Всесоюзного симпозиума «Распространение упругих и упруго-пластических волн», Алма- Ата, 1973.

Комиссарова Г. А., Ключникова В. Г., Шпанова С. Г., Динамика вязкопластической плиты, находящейся под действием распределенного давления, Материалы V Всесоюзного симпозиума «Распространение упругих и упруго-пластических волн», Алма-Ата, 1973.

Беклемишев Н. Н., Шапиро Г. С., Шачнев В. А., О распространении упруго-вязко-пластических волн в стержне с учетом зависимости предела текучести от скорости деформации, Сб. «Механика деформируемого твердого тела», Куйбышевский государственный университет, 1975.

Проблемы динамики упруго-пластических сред, сер. «Механика, Новое в зарубежной науке», под ред. Г. С. Шапиро, «Мир», М., 1975.

Синицын А. П., Распространение упруго-пластических волн при сложном напряженном состоянии, Материалы V Всесоюзного симпозиума «Распространение упругих и упруго-пластических волн», Алма-Ата, 1973.

Работнов Ю. Н., Суворова Ю. В., О законе деформирования металлов при одноосном нагружении, Изв. АН СССР, МТТ, № 4 (1972).

Суворова Ю. В., О применении интегральных преобразований в одномерных волновых задачах наследственной вязкоупругости, сб. «Механика деформируемых тел и конструкций», М., Машгиз, 1975.

Григорян С. С., Черноусько Ф. Л., Задача о поршне для уравнений динамики грунтов, ПММ, 25, вып. 1 (1961).

Григорян С. С., О приближенном решении некоторых задач динамики грунтов, ПММ, 26, вып. 5 (1962).

Григорян С. С., О некоторых упрощениях в описании движения мягких грунтов, ПММ, 27, вып. 2 (1963).

Григорян С. С., К решению задачи о подземном взрыве в мягких грунтах, ПММ, 28, вып. 6 (1964).

Григорян С. С., Об ударном уплотнении лёссовых грунтов, Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, № 6 (1964).

Григорян С. С., Пачепский Я. А., О действии сильного подземного взрыва в плотной горной породе, ДАН СССР, 212, № 2 (1973).

Brode Н. L., Review of nuclear weapons effects, Annual Review of Nuclear Science, 18 (1968); русский перевод: Броуд Г. Л., Действие ядерного взрыва, сб. «Действие ядерного взрыва», сер. «Механика, Новое в зарубежной науке», «Мир», М., 1971.

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редактора перевода 5

Введение 7

Глава 1. Основные уравнениядинамики неупругих сред9

Динамические свойства материалов 9

Динамические свойства металлов9

Динамические свойства грунтов 12

Теории пластичности13

Деформационная теория пластичности13

Билинейная теория16

Теория пластического течения17

Пластические среды, чувствительные к скорости деформации . . 21

Упруго/вязкопластическая среда21

Упруго/вязко-идеально пластическая среда27

Упруго/вязкопластическая среда со свойствами, зависящими от температуры32

Уравнения динамики грунтов33

Уравнения С. С. Григоряна33

Упруго/вязко-идеально пластические грунты36

Жесткая разгрузка37

Уравнения движения и уравнения сплошности39

Глава II. Волны, условия непрерывности, математические основы . ... 43

Фронты разрывов, определения43

Условия динамической и кинематической непрерывности на фронтах разрывов46

Условие динамической непрерывности46

Условие кинематической непрерывности48

Пластические волны в трехмерной изотропной среде50

Пластические волны51

Волны пластической разгрузки56

Волны пластического нагружения58

Математические методы, применяемые в задачах о распространении пластических волн60

Системы квазилинейных уравнений с частными производными

первого порядка с двумя независимыми переменными х и t 60

Характеристические кривые и уравнения характеристик . . . 61

Граничные задачи для квазилинейных гиперболических систем двух дифференциальных уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными65

ГлаваIII. Одномерные плоские волны69

Распространение продольной плоской волны нагрузки в однородном полубесконечном упругопластическомстержне69

Плоская волна разгрузки в однородной упругопластической среде 77

Отражение от преграды плоской волны разгрузки в упругопластической среде92

Распространение плоских ударных волн97

Распространение плоских волн напряжений в упругопластической среде с жесткойразгрузкой104

Распространение плоских продольных волн в упруго/вязкопласти- ческой среде 127

Глава IV. Сферические ицилиндрические волны152

Формулировка задач152

Сферические волны152

Цилиндрические радиальные волны154

Цилиндрические волны сдвига154

Сферические волны в упругопластической среде с упругой разгрузкой 155

Ударные сферические волны в упругопластической однородной среде165

Распространение сферической волны разгрузки в упругопластической среде с жесткой характеристикойразгрузки168

Сферические и цилиндрические радиальные волны в упруго/вязко- пластической однородной среде175

Цилиндрические волны сдвига184

Глава V. Продольно-поперечные пластические волны186

Простые волны в упругопластическом полупространстве . . . .187

Продольно-поперечные плоские волны в упруго/вязкопластическом изотропном пространстве201

Волны слабого разрыва202

Волны сильного разрыва209

Численный анализ211

Продольно-поперечные волны в неоднородной упруго/вязкоиласти-

ческой среде 215

Плоские волны215

Цилиндрическиерадиальныеволны218

Волны напряжений вбалках222

Волны напряжений вплитах229

Распространение плоских двумерныхволн напряжений234

Глава VI. Волны температурных напряжений260

Решение дифференциальных уравнений теории температурных напряжений 260

Тепловой удар на границе упруго/вязкопластического полупространства 271

Тепловой удар на границе сферической полости в упруго/вязко- пластическомпространстве285

Список литературы295

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!

Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2, издательство «Мир».

ИВ № 949

В. К. Новацкий

ВОЛНОВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

Редактор П. Я. Корсоюцкая

Художник Н. Г. Блинов

Художественный редактор В. И. Шаповалов

Технический редактор Н. И. Манохина

Корректор Л. Д. Панова

Сдано в набор 20/IV 1977 г. Подписано к печати 20/XII 1977 г. Бумага № 1 60X 90 716 = 9,75 бум. л. 19,50 печ. л. Уч.-изд. л 18,05» Изд. № 1/9329. Заказ № 617. Цена 2 р. 10 к»

Издательство «Мир»Москва, 1-й Рижский пер., 2

Ордена Трудового Красного ЗнамениЛенинградская типография № 2 имени Евгении

Соколовой Союзполиграфпрома приГосударственном комитете СоветаМинистров СССР по делам издательств,полиграфии и книжной торговли.

198052, Ленинград, Л-52,Измайловский проспект, 29.

ИМЕЕТСЯ В ПРОДАЖЕ

Беллман Р., Энджел Э. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ. Пер. с англ., «Мир», 1974, цена 76 к.

Книга известных американских математиков Р. Беллмана и Э. Энджела посвящена одной из важнейших задач современной вычислительной математики — созданию устойчивых численных методов решения уравнений в частных производных. Авторы убедительно показывают, что известные методы динамического программирования и инвариантного погружения приводят к эффектным и эффективным методам решения уравнений эллиптического и параболического типов. Удачно подобранные примеры и упражнения увеличивают педагогическую ценность книги.

Изложенные результаты представляют большой интерес для специалистов в области численных методов и открывают заманчивые перспективы для дальнейших исследований. Книга интересна и для широкого круга лиц, работающих в области прикладной математики, которые, кроме четких и ясных методов, найдут в ней и программы некоторых алгоритмов на языке ФОРТРАН. Книга вполне доступна аспирантам и студентам старших курсов соответствующих специальностей.

Уважаемый читатель!

Заказ на книгу направляйте по адресу:

191049, Ленинград, Пушкинская ул., 2, магазин № 5 «Техническая книга». Книга будет выслана наложенным платежом.

ИМЕЕТСЯ В ПРОДАЖЕ

Броуд Г. РАСЧЕТЫ ВЗРЫВОВ НА ЭВМ. ГАЗОДИНАМИКА ВЗРЫВОВ. Сб. ст. Пер. с англ., «Мир», 1976, 272 стр., цена 1 р. 50 к.

Книга входит в серию «Механика. Новое в зарубежной науке», выпуск которой начинается издательством «Мир». В предлагаемый сборник включены работы по газодинамике ядерных взрывов. Сюда относятся расчеты внутренней баллистики, атмосферных взрывов, гиперзвуковой пушки, взрывов в каверне, заполненной газом. Результаты расчетов богато иллюстрируются графиками. Настоящий сборник служит естественным дополнением к книге Г. Броуда «Расчеты взрывов на ЭВМ. Подземные взрывы».

Книга предназначена для научных сотрудников, инженеров, аспирантов и студентов, интересующихся проблемами физики взрывных движений и применением ЭВМ для расчета взрыва.

Уважаемый читатель!

Требуйте эту книгу в книжных магазинах, распространяющих научно-техническую литературу. В случае ее отсутствия, заказ можно направить по адресу: 103050. Москва, ул. Медведева, 1. Отдел «Книга — почтой» магазина № 8 «Техническая книга» .

Книга будет выслана наложенным платежом.

ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙПЕРЕВОДНОЙ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫИЗДАТЕЛЬСТВА «МИР»

Литературу издательства «Мир» можно приобрести или оформить предварительный заказ в магазинах — опорных пунктах по изучению спроса на литературу издательства «Мир»:

Москва, Г-19, просп. Калинина, 26, п/я № 42, магазин №200 «Дом книги».

Ленинград, Пушкинская ул., 2, магазин № 5 «Техническая книга». .

Алма-Ата, Казахская ССР, ул. Гоголя, 109, магазин «Прогресс».

Вильнюс, Литовская ССР, ул. Университета, 7, магазин № 13.

Горький, РСФСР, просп. Ленина, 11, магазин № 24.

Киев, УССР, Крещатик, 44, магазин № 12.

Новосибирск, РСФСР, Красный просп., 60, магазин № 7.

Свердловск, РСФСР, ул. Малышева, 31а, магазин № 8 «Техническая книга».

Томск, РСФСР, пер. Батенькова, 5, магазин № 2.

В магазинах представлены книги по естественным наукам и новой технике, выпущенные издательством «Мир». Для предварительного заказа на книгу, готовящуюся к выпуску, достаточно оставить открытку-заказ и указать свой адрес.

Книги высылаются наложенным платежом.

в кноваикий

ТЕОРИИ ПЛА* .ичнл

POLSKA AKADEMIA NAUK

INSTYTUT PODSTAWOWYCH PROBLEMOV TECHNIKI

Biblioteka Mechaniki Stosowanej

Komitet Redakcyjny

Witold Nowacki—przewodnicz^cy

J6sef Janiczek • Waclaw Olszak

Piotr Perzyra * Antoni Sawczuk • Henryk Zorski

Wojciech Krzystof Nowacki

Zagadnienia falowe w teorii plastycznosci

Panstwowe Wydawnictwo Naukowe Warszawa 1974

В. К. Новацний