Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ
INSTYTUT PODSTAWOWYCH PROBLEMOW TECHN1KIPOLSKIEJ AKADEMH NAUK
WITOLD NOWACKI
DYNAMICZNE ZAGADN1ENIATERMOSPR^ZYSTO^CI
WARSZAWA 1966
В. Новацкий
ДИНАМИЧЕСКИЕЗАДАЧИТЕРМОУПРУГОСТИ
Перевод с польского
Я. РЫХЛЕВСКОГО
Под редакциейГ. С. ШАПИРО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»Москва 1970
УДК 539.30 + 536.21
Это первая в мировой литературе монография по теории связанной термоупругости. Термоупругость — новая область механики, обобщающая в единое целое две независимые ранее дисциплины — теорию упругости и теорию теплопроводности. В книге дан вывод основных уравнений термоупругости, изложены методы их решения, а также сформулированы основные энергетические и вариационные теоремы. Приведен подробный анализ распространения гармонических и апериодических волн. В конце книги в качестве приложения помещен обзор новейших результатов, полученных в термоупругости после выхода в свет польского издания.
Книга представляет интерес для научных работников в области механики сплошных сред, а также для инженеров.
Редакция литературы по математическим наукам
Инд. 2-4-2
34-70
Предлагаемая вниманию читателей книга является сокращенным переводом первой в мировой литературе монографии по теории связанной термоупругости, написанной крупным польским ученым В. Новацким. Эта теория (называемая автором книги для краткости теорией термоупругости) учитывает взаимное влияние полей деформации и температуры. Учет такого взаимовлияния представляет интерес только в динамических задачах, где удается обнаружить качественно новый эффект — затухание упругих волн; количественный эффект оказывается незначительным.
Основные результаты связанной термоупругости получены за последние 10—15 лет; многие из них принадлежат В. Новац- кому и его школе. Нашему читателю имя автора книги уже известно по переводам двух его монографий: «Вопросы термоупругости», Изд. АН СССР, М., 1962 и «Динамика сооружений», Стройиздат, М., 1963. Его перу принадлежит также известная монография по теории температурных напряжений (Thermoelasticity, Pergamon Press, Oxford, 1962).
Характеристика содержания этой книги имеется в помещенных ниже предисловиях автора к польскому и русскому изданиям.
В приложении к книге, написанном В. А. Шачневым, дается представление о новейших результатах в рассматриваемой области, полученных после выхода в свет польского издания книги.
Г. С. Шапиро
Русское издание книги представляет собой сокращенный перевод польского оригинала. В издание не включены, например, две последние главы, в которых рассматривались задачи пьезотермоупругости и магнитотермоупругости. Эти разделы термоупругости развивались в последние годы настолько интенсивно, что потребовалась бы новая, более широкая их трактовка.
Книга содержит расширенный материал факультативного курса, который в течение нескольких лет читался автором в качестве дополнения к курсам теории упругости и пластичности на факультете математики и механики Варшавского университета.
Термоупругость является новой областью науки, в которой быстро возрастает число научных публикаций и результатов. Ряд достижений в области сопряженной термоупругости получен советскими учеными. Следует особо отметить монографию В. Д. Купрадзе, Т. Г. Гегелия, М. О. Башелишвили, Т. В. Бурчу- ладзе «Трехмерные задачи теории упругости», в которой даны доказательства теорем существования и единственности решений основных краевых задач для дифференциальных уравнений сопряженной термоупругости. Широко известен вклад в развитие термоупругости В. И. Даниловской, А. Д. Коваленко и Я- С. Подстригала. .
Я очень рад, что моя книга, будучи изданной в Советском Союзе, найдет новый круг читателей.
В. Новацкий
Термоупругость — новая область механики, развившаяся за последнее десятилетие. Она исследует взаимодействие поля деформаций и поля температуры и, таким образом, связывает на основе термодинамики необратимых процессов две отдельные ранее независимые дисциплины — теорию упругости и теорию теплопроводности. Напомним, что два основных раздела теории упругости — эластостатика и эластокинетика — основываются на различных термодинамических предположениях. Задачи эла- стостатики рассматриваются как изотермические, а задачи эластокинетики — как адиабатические. В свою очередь теория теплопроводности развивалась на основе предположения о независимости температурного поля от поля деформаций. Термоупругость синтезирует упомянуты-е дисциплины, объединяя их в одно гармоническое целое.
В настоящее время термопругость вполне оформилась как научная дисциплина. Четко сформулированы се исходные предположения, выведены основные соотношения и дифференциальные уравнения. Разработан .ряд методов решения дифференциальных уравнений термоупругости, получены основные энергетические и вариационные теоремы. Общие теоремы и методы термоупругости в качестве частных случаев содержат, естественно, теоремы и методы теории упругости и теории теплопроводности.
Следует оговориться, что решения, получаемые в рамках термоупругости, в количественном отношении не слишком сильно отличаются от решений теории упругости и теории теплопроводности. Однако принципиальными являются качественные отличия. Это видно хотя бы на примере упругих волн — в термоупругой трактовке, в отличие от упругой, они затухают и подвержены дисперсии. Термоупругая трактовка становится основной в тех задачах, в которых целью исследования является термоупругая диссипация. Итак, большое значение термоупругости состоит в ее познавательных и обобщающих аспектах.
Вопросам термоупругости посвящено довольно значительное число работ, о чем свидетельствует обширный список литературы, помещенный в конце книги. Эти работы опубликованы в различных научных журналах — в журналах по механике, прикладной физике, акустике и др. В настоящей книге впервые делается попытка изложить теорию термоупругости в виде отдельной монографии. Автор старался использовать все доступные материалы и представить результаты по возможности с единой точки зрения. В книгу включены также некоторые до сих пор нигде не опубликованные результаты автора.
В первой главе излагаются термодинамические основы термоупругости и выводятся основные соотношения и дифференциальные уравнения этой теории. Даны общие энергетические и вариационные теоремы, а также теорема взаимности с вытекающими из нее методами интегрирования уравнений.
Вторая глава посвящена распространению изменяющихся во времени гармонических волн. Детально рассмотрены цилиндрические, сферические и поверхностные термоупругие волны. Даны основные сингулярные решения уравнений термоупругости и описано их использование для решения краевых задач. Наконец приведены обобщения ряда задач, играющих существенную роль в эластокинетике.
В третьей главе обсуждаются основные задачи, связанные с распространением термоупругих апериодических волн. В связи с трудностью этих задач и осложнениями математического характера при выполнении обратного преобразования Лапласа, представлены приближенные решения, полученные по методу возмущений или по методу малых значений времени.
При работе над монографией предполагалось, что читатель хорошо знаком с теорией упругости и теорией теплопроводности и свободно владеет математическим аппаратом, используемым в этих теориях.
Считаю своим приятным долгом выразить сердечную признательность Ю. Игначаку за обсуждение ряда вопросов, Е. Мос- саковскому за внимательное ознакомление с рукописью и многочисленные ценные замечания, и наконец редактору Ю. Яни- чеку за постоянное внимание к редакционной обработке монографии.
В. Новацкий
Глава I
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И УРАВНЕНИЯТЕРМОУПРУГОСТИ
Соотношения между напряжениями, деформациями
и температурой
Деформация тела неразделимо связана с изменением содержащегося в нем тепла и, следовательно, с изменением распределения температуры в теле. Изменяющееся во времени поле деформаций вызывает изменение поля температуры, и наоборот. Внутренняя энергия тела зависит, таким образом, от деформаций и температуры. Область науки, рассматривающая эти взаимодействующие процессы, называется термоупругостъю.
Исследованиям в области термоупругости предшествовали обширные исследования в рамках так называемой теории температурных напряжений. Под этим названием мы понимаем теорию деформаций и напряжений, вызываемых нагревом тела, основанную на упрощенном представлении об отсутствии влияния деформации на поле температуры.
В теории температурных напряжений, которая восходит к истокам теории упругости и за последние годы интенсивно развивается ввиду ее растущего прикладного значения, исследуется классическое уравнение теплопроводности, не содержащее члена, связанного с деформацией тела. Задачи решаются здесь в следующем порядке: на основе уравнения теплопроводности находится распределение температуры в теле, а затем интегрируются уравнения теории упругости в перемещениях, содержащие уже найденные члены, зависящие от градиента температуры.
Параллельно теории температурных напряжений развивались эластокинетика, основанная в свою очередь на предположении о том, что теплообмен между частями тела, происходящий за счет теплопроводности, протекает настолько медленно, что процесс может рассматриваться как адиабатический.
В термоупругости изучается более широкий класс явлений. Она включает обобщенную теорию теплопроводности и обобщенную теорию температурных напряжений. В рамках термоупругости рассматривается распределение температуры, вызванное деформациями, а также дается описание явления упругого
рассеяния энергии, являющегося причиной внутреннего затухания в упругих телах. Несмотря на свою математическую сложность, термоупругость дает возможность более глубоко проникнуть в механизм деформационных и тепловых процессов, происходящих в упругих телах.
Термоупругость является новой областью науки. Она начала развиваться в последнем десятилетии, хотя уместно отметить, что сопряжение поля деформации и поля температуры постулировал еще Дюамель, а обобщенное уравнение теплопроводности было дано Фойгтом и Джеффрисом. Интенсивные исследования в области термоупругости связаны с выходом работы Био, в которой был дан обоснованный с использованием термодинамики необратимых процессов вывод основных соотношений и уравнений, а также сформулированы вариационные теоремы термоупругости.
В настоящей главе мы дадим подробный вывод основных соотношений и уравнений термоупругости, а также рассмотрим методы решения задач термоупругости. Будут обсуждены, в частности, энергетические теоремы и вытекающие из них методы интегрирования уравнений.
Мы начнем с вывода определяющих уравнений, т. с. уравнений, связывающих тензор напряжений с тензором деформаций и температурой. При этом мы ограничимся в основном рассмотрением изотропных и однородных упругих тел. Упругое деформированное состояние определяется тем условием, что после снятия сил, вызывающих деформацию, тело возвращается в исходное недеформированное состояние. Изотропность понимается как независимость упругих свойств от направления в теле, а однородность— как независимость упругих свойств от координат рассматриваемой частицы.
Пусть в недеформированном и ненапряженном состоянии (внешние силы отсутствуют) тело имеет температуру То. Указанное исходное состояние мы назовем естественным состоянием тела. Вследствие действия внешних нагрузок, т. е. массовых и поверхностных сил, а также вследствие действия внутренних тепловых источников и нагрева (или охлаждения) поверхности, тело будет деформироваться, а его температура изменяться. В теле возникнут перемещения и^ причем приращение температуры составит 0 = Т — То, где Т — абсолютная температура точки х тела. Изменению температуры сопутствует возникновение
деформаций е^ и напряжений оц. Перечисленные величины и^ 6, 8ij, Gtj являются функциями координат xt и времени t.
Будем считать, что изменение 6 температуры, сопутствующее деформированию, невелико, причем это возрастание температуры не приводит к существенным изменениям упругих и тепловых констант материала. Мы будем рассматривать эти константы как величины, не зависящие от Т.
Принятое предположение |0/7о1<^1 мы дополним предположением о малости деформаций. А именно будем считать, что квадраты и произведения компонент тензора деформаций пренебрежимо малы по сравнению с самими компонентами 8ij. Таким образом, мы будем рассматривать в дальнейшем геометрически линейную термоупругость. Соотношения между перемещениями и деформациями имеют поэтому линейный вид
$ij = (W/ + “/,/)' (1)
Как известно, компоненты тензора деформаций не могут быть произвольными функциями, а должны удовлетворять шести так называемым уравнениям геометрической совместности
г1Ь kl~V гкЬ ij jl, Ik г1к> jl = ^> ^ L k, l=\, 2, 3. (2)
Основной задачей является получение уравнений состояния, т. е. соотношений, связывающих компоненты тензора напряжений Oij с компонентами тензора деформаций Eij и температурой Т.
Механическое и тепловое состояния среды в данный момент полностью описываются распределением деформаций ец и температуры Т. Отсюда следует, что процесс изотермического изменения состояния является упруго и термодинамически обратимым. С другой стороны, в рассматриваемых явлениях, происходящих с изменением температуры, имеют место два взаимосвязанных процесса — обратимый упругий и необратимый термодинамический. Последний вызван самопроизвольным и, следовательно, необратимым процессом переноса тепла посредством теплопроводности. Поэтому термоупругие возмущения не могут быть описаны в рамках классической термодинамики, справедливой для равновесных состояний. Здесь необходимо использовать соотношения термодинамики необратимых процессов.
Для вывода уравнений состояния необходимо рассмотреть энергию системы. Мы будем исходить из дифференциального соотношения, выражающего второй закон термодинамики
du = зиd^.tj -j- Тds. (3)
Это соотношение гласит: малое изменение du внутренней энергии и равно сумме изменения работы деформации и изменения количества тепла, введенного в рассматриваемый бесконечно малый объем тела. Изменение количества тепла равно Ids, где s— энтропия системы; входящие в (3) величины отнесены к единице объема. Следует добавить, что приращение внутренней энергии представляет собой полный дифференциал. Независимые переменные в (3) суть деформации г^ и энтропия s, т. е. и^и^г^ s)« Вместо функции и удобно ввести свободную энергию Гельмгольца f=^— sT, являющуюся функцией независимых переменных е^ и Т; тогда имеем
df = oijde.ij — sdT. (4)
Соотношения (3) и (4) дают возможность определить напряжения оц как функцию от гц и s или как функцию от eij и Т.
Поскольку
,/ да \.। / да \/с\
du = I -5—) d^; j 4-1 —ч—’) ds,5)
\ )s u 1 \ OS /e ’x 7
сравнивая соотношения (3) и (5) с соотношениями (4) и (6), получаем ( ди \( df \/ df \( ди \
alj—\дEij)s, °Ч~ ( дги )т’Г— Cs )=•^
В дальнейших рассуждениях мы будем использовать второе из соотношений (7), так как нам нужно найти выражение Otj в зависимости от деформаций e^j и температуры Т.
Разложим функцию f^a, Т) в ряд по 8/j, Т в окрестности естественного состояния f (О, То). Имеем
^j, П = /(0, T'o)+^^ez; + ^41(7'-7'o) +
I 1 Г ^/ (0, Го) „ в . о дч (О, ТО) (Т_Тх^
+ 2 L дгмдгк1децдТ7о) +
-г дЧ^ (^~М + ••• • <8>
Удержим в этом выражении только линейные и квадратичные
члены, имея в виду лишь линейные соотношения между напряжениями Gi^ деформациями г^ и изменениями температуры 6= = Т — То.
Поскольку при 8^ — 0, Т = То тело находится в естественном состоянии, можно положить /(0, Го) =0. Кроме того, можно принять, что 5/(0, Го)/дГ=О. В самом деле, сравнивая (4) и (6), видим, что
и для естественного состояния имеем
-^J^-=-s(o, го)=о.
Используем теперь второе из соотношений (7)
, /, TX(df\_. д/ (0, Го) , дЧ (0, Т^ _,
+ ^arLtT <9)
Мы нашли линейную зависимость, справедливую для малых значений деформации и для |6/То1<^1. В (9) следует положить df(O, Ту/де^—О, так как в естественном состоянии (6^=0, Т= = То) должно быть <j,j=O.
Введем обозначения
<52/(0, Го) „52/(0, Го) _ о 52/(0, Го)
а£/у5еи ИМ’ дгидТVI j>дТ2 m
и запишем (8) и (9) в виде
/ <Чь Л = (V2) cUk№l - ^ + m9 */2,(10)
аи = самгм — М-(И)
Заметим далее, что
/j^\ _(^и\=_а.(12)
В соотношениях (11) мы узнаем закон Гука, обобщенный на случай термоупругости. Эти соотношения носят название закона Дюамеля—Неймана для анизотропного тела.
Постоянные Ctjki и Pij, соответствующие изотермическому состоянию, являются материальными константами. Величины сцм суть коэффициенты жесткости анизотропного материала, а величины pi;- связаны, как мы вскоре убедимся, с его механическими и тепловыми свойствами.
Для изотропной однородной среды свободная энергия выражается значительно более простой формулой
=(13)
Эта формула получается из следующих соображений. Поскольку свободная энергия является скаляром, то каждый член в правой части (13) должен быть скаляром. Но из составляющих тензора деформации можно образовать только два независимых квадратичных скаляра: квадрат объемного расширения ^2=(е^)2 и сумму квадратов e-ij£ij всех составляющих 8ij. Третий член в правой части соотношения (13) линеен по £ = 8^; это единственный линейный скаляр, который можно образовать из 8ij. Материальные константы ц и X являются постоянными Ламе. Величины у и m будут определены в дальнейшем.
Для изотропной среды соотношения (11) записываются
°H=^i)-VQ'ei, j=\, 2, 3.(14)
Свертывая обе стороны, получаем
akk = 3(Ke-^, к^Х + е/3)^.(15)
Решая уравнения (14) относительно 8гу и определяя виз (15), находим
^ = №)6 + Ы3/<).(17)
Для определения величины у рассмотрим свободное расширение объемного элемента при отсутствии напряжений на его поверхности. Из этого условия и из (16) и (17) получаем
(18)
Итак, изменение объема е° в рассматриваемом процессе пропорционально температуре. Коэффициент пропорциональности равен а=у!К> Обозначая через а^а/3 коэффициент линейного термического расширения, можно записать (18) следующим образом:
eZy=az68zy, е =3az9. (19)
Эти соотношения выражают следующее свойство свободного элемента изотропного тела: при возрастании температуры происходит изменение объема без изменения формы.
Мы определили смысл величины у = (ЗХ + 2ц)^ = ЗКос/, которая входит в формулу для свободной энергии и в соотношения
Дюамеля—Неймана. Заметим далее, что из (14) и (17) следуют такие соотношения
\ ОТТ ( дакк ЗК ’\ дТ
Необходимо подчеркнуть, что величины р, Z, К, входящие в формулы (13) — (17), соответствуют изотермическому процессу и измеряются в изотермических условиях.
Соотношения (13) и (14) можно записать также и в другой форме. Известно, что деформацию можно представить в виде суммы деформации чистого сдвига и всестороннего растяжения
^7 = ^ч - (V3) М + (Vs) V = еи + (V3) V- (2D
Первый член вгз в правой части, называемый девиатором деформаций, представляет собой чистый сдвиг; сумма екк его диагональных компонент равна нулю. Второй член (V2)6i;e называется шаровым тензором. Подставляя (21) в (13), получаем
r = W17 + №)e2-^9 + (V2)m92, 7< = X + (%) у. (22)
Величины ц и К носят названия модуля сдвига и модуля объемного расширения.
Производя аналогичное разложение тензора напряжений на девиаторную и шаровую части
=4 = Г»// - (Vs) + (Vs) ^кк su + (Vs) ^и=кк. (23) запишем соотношения (14) и (15) в виде
8и = ^ец, акк = ЗК (е — 3az9).(24)
Внутренняя энергия и энтропия системы
Для вывода обобщенного уравнения теплопроводности необходимо представить внутреннюю энергию и энтропию в виде функций от деформации и температуры. Отправной точкой наших рассуждений будет термодинамическое соотношение (4) предыдущего параграфа
du = azy dгu -\-Т ds.(1)
Приращение энтропии является здесь полным дифференциалом, т. е.
Подставляя (2) в (1), получаем
d“P7(PP + -0K+r(P-).‘"'- И
Поскольку du есть полный дифференциал, должно иметь место равенство
из которого следует, что
/ ds \/ daH\
Mz+hH”0-(5)
В предыдущем параграфе была получена формула
Подставляя ее в (5), находим
<б>
С учетом этого соотношения уравнения (2) и (3) запишутся следующим образом:
ds = 4dsL£irV^-§^EdT’ .
du = аи d^ + ТГ de + Т ^дТ^ dT.(8)
С другой стороны, сравнивая соотношение
dtt = L^-\ rfe +(^.\ dT(9)
\ O^iJ )т и \ дТ )е'
с (8), получаем
(-$-)= Т <10)
Далее имеем (du/d/)e=ce, где сЕ — удельная теплоемкость при постоянной деформации. Следовательно,
( d s \
\ дТ )s Т 1
(11)
Подставляя (11) в (7) и (8), находим
,д ।dT
ds = 4 de + сЕ,
(12)
du=^ijd^ij -j- уТ de -j— с Е dT.
(13)
Подставляя в (13) закон Дюамеля—Неймана 3;/ = 2р.£;, + (^ — f9) ^i}, находим
dll = ^^Lj ^ij Н” ^ ^^ “Ь Т^О ^^•
(14)
Интегрируя полученное соотношение и предполагая, что и —О в естественном состоянии (т. е. при ег;=0, Т = Т^, получаем
u^Wu + (х/2) е2 ++ ^6(15)
ИЛИ
и = Ш <^и + (Ч2) еТ (6 + 2^) + ^Д(16)
В правую часть этого выражения входят три члена: первый представляет собой работу деформации, последний равен количеству тепла в единице объема, а средний определяется взаимодействием поля деформации и поля температуры.
Проинтегрировав соотношение (12) для s = 0 при 8^=0, Т= = Tq, получим
s = T^ + ^In(l+m.(17)
Первый член в правой части этого уравнения соответствует сопряжению поля деформации с полем температуры, а второй равен энтропии, вызванной теплопроводностью. В уравнении нет чисто упругого члена, отсюда следует, что процесс деформирования является обратимым и нс приводит к увеличению энтропии.
Ввиду принятого предположения |0/То|<^1 можно разложить функцию In (1 +0/Т) в ряд, удерживая лишь первый член. Таким образом получим следующее выражение для энтропии:
s = T^ + ce Э/Го-(18)
По найденным функциям и и s можно определить свободную энергию f=u— sT. Разлагая опять функцию 1п(1+0/То) в ряд и сохраняя первые два члена, получаем
f = Wh + № б2 - Теб - с£02/(27’о).(19)
Итак, постоянная т =—с6,Т^ которая входит в формулу (13) предыдущего параграфа, определена.
Обобщенное уравнение теплопроводности
Нам осталось выявить связь энтропии с теплопроводностью. Перенос тепла в твердом теле происходит от мест с более высокой температурой к местам с более низкой температурой и называется теплопроводностью. Этот самопроизвольный необратимый процесс приводит к производству энтропии. Уравнение теплопроводности выводится из закона сохранения энергии, выраженного в виде уравнения переноса энтропии. Этот закон, являющийся локальной формулировкой второго закона термодинамики, имеет вид
Т (ds\dt) = -div q + U7.(1)
2 Заказ ,Ve 362
Здесь q— вектор потока энергии. В нашем случае он равен вектору потока тепла. Через W обозначено количество тепла, производимого в единице объема тела за единицу времени.
Уравнение (1) можно также записать в виде
Wt) = -№qiil-v<w\TYWt) = -№qiil-v<w\TY(2)(2)
Wt) = -№qiil-v<w\TY
Wt) = -№qiil-v<w\TY
(2)
(2)
Рассмотрим тело, занимающее объем В, ограниченный поверхностью Л. В этом случае интеграл
вввв
вв
вв
представляет собой скорость роста энтропии в объеме В из-за переноса тепла. Соотношение (3) можно представить в виде
= - J (f),. dV - J dV +dV.(4)
ввв
Применяя формулу Гаусса, находим
- ^-^LdV^^—dV.(5)
АВВ
Приращение энтропии во времени состоит здесь из двух основных членов. Первый записан в виде поверхностного интеграла, выражающего приращение (или убывание) энтропии, вызванное потоком тепла через поверхность А. Следовательно, этот член определяет обмен энтропией с окружающей средой. Объемные интегралы связаны с производством энтропии в объеме В. Первый из них равен энтропии, возникающей в 6 за счет теплообмена, а второй обусловлен действием тепловых источников.
Вернемся к соотношению (2) и представим его в виде
dsldt = - t - qtT, dr + WIT.(6)
Здесь записан локальный закон приращения энтропии, причем, как и выше, первый член описывает обмен энтропией с окружающей средой, а два другие равны скорости производства энтропии в элементарном объеме. Соотношение (6) можно представить в виде
ds\dt = —div (q/Г) + су,(7)
где q — вектор потока тепла, а
c=-qiT>ilTHWIT(8)
является источником энтропии.
Второй закон термодинамики для необратимых процессов в локальной формулировке сводится к следующему требованию:
dsjdt = dseldi~Y ds^di'^Q и dsJdl>0 (9)
для любого элементарного объема. Здесь dsejdt— скорость обмена энтропией с окружающей средой, a dsildt—скорость производства энтропии, т. е.
dsjd£= —div (q[T),(10)
dsi[dZ = a = -9iT,iIT+W>0.(И)
Источник энтропии связан с причинами, вызывающими необратимые процессы; они называются обычно термодинамическими силами. Эта связь имеет следующий вид:
= = qiFi-\-WlT,(12)
т. е. источник энтропии равен сумме произведений термодинамических сил Ft и связанных с ними потоков тепла qt. Сравнивая соотношения (11) и (12), имеем
F^-T.ar,(13)
Итак, термодинамической силой для теплопроводности является градиент температуры.
С другой стороны, между компонентами вектора теплового потока и термодинамическими силами существуют функциональные связи
qi = qAFi, f^, f3\(14)
В термодинамике необратимых процессов предполагается, что для ламинарных течений справедливы линейные соотношения
q^LtjFj.(15)
Эти соотношения имеют феноменологический характер. Величины L^ считаются постоянными, причем установлено, что они должны удовлетворять соотношениям взаимности Онзагера
Lu = Ln.(16)
Подставляя (13) в (15), находим
q^-L^^^.(17)
Это уравнение согласуется с законом Фурье для теплопроводно-
сти в анизотропном теле. Для рассматриваемого нами изотропного тела соотношение (17) записывается в виде
qi = -Vtb х^цг>о.(18)
Величину Xo = LIT2 будем считать постоянной; она называется коэффициентом теплопроводности. Подставляя (18) в (2), получаем конечную формулу для скорости изменения энтропии
T<ds\d^ = \^Tai-VW.(19)
Остается выразить ds[dt через деформацию и температуру тела. Соответствующее выражение можно получить на основе соотношения (18) предыдущего параграфа. Дифференцируя указанное соотношение по времени и умножая результат на 7, находим
Т {ds\dt} = ^Т + с, <Т\Т^ 6.(20)
Сравнивая (19) и (20), имеем
X^rVW = 4eT^c6(TIT0W(21)
Вместо Т здесь можно положить То, что связано с предположением lO/TolCl. Тогда правая часть уравнения (21) становится линейной. Учитывая, что Т=То + О, получаем конечный вид обобщенного уравнения теплопроводности в виде
(22) где
Q^Wo.
В это уравнение входит член, связывающий приращение температуры со скоростью изменения объема деформируемого тела.
Отметим еще, что постоянные Ламе, через которые выражена величина у, соответствуют изотермическому состоянию.
Основные дифференциальные уравнения термоупругости
Полная система уравнений термоупругости состоит из уравнений движения в перемещениях и сопряженного с ними уравнения теплопроводности.
Уравнение движения мы получим обычным путем, опираясь на закон сохранения импульса. Для произвольного объема В, ограниченного поверхностью Д, этот закон имеет вид
P^S^rdV = $^dV + $AdA- ^=1.2,3.(1)
ВВА
Здесь Xi — компоненты вектора массовых сил, pt — компоненты
усилий, приложенных к поверхности А. Учитывая, что pi связаны с составляющими тензора напряжений о-ц на поверхности А формулами
р1 = 3ипь(2)
где П) — направляющие косинусы нормали к Л, и используя формулу Гаусса—Остроградского
J аип} dA = J а<л / dV,(3)
АВ
приведем уравнение (1) к виду
У(%у+^--Р-^)^ = О.(4)
В
Поскольку оно справедливо для произвольного объема, из него следует локальное уравнение движения
(5)
Полученное уравнение связывает производные напряжений с массовыми и инерционными силами. Выразим компоненты напряженного состояния через компоненты деформированного состояния и температуру при помощи соотношений Дюамеля— Неймана
Зц = 2р®1;- + О^е - у9) ъи(6)
и используем формулы
(7)
Тогда уравнения движения запишутся в виде
a (^ + I1) иь И + ^z = I®, i + Put •(8)
Присоединим к этим трем уравнениям уравнение теплопроводности
V26 _ ^^ 0 _ ^ ,= _q^(9)
Здесь введены обозначения
TS(3X + 2;.)az,
^Z " " ^2 " ^t^i > в = г, jj = Uj} j .
Уравнения (8) и (9) составляют полную систему дифференциальных уравнений термоупругости. Следует помнить, что постоянные Ламе в уравнениях (8) соответствуют
изотермическому состоянию (ц = цт, %=%т). Заметим, что в уравнения движения входит, наряду с перемещениями, температура
6, а в уравнение теплопроводности помимо температуры входит
скорость е изменения объема.
Уравнения (8) и (9) можно представить в векторной форме fjuv2u + (Х+ Р-) graddivu + X = 7grad9 4- pu, (10)
V29 - (1/x) 9 — 7] divu= — Q/x.(11)
В выведенных уравнениях искомыми функциями являются перемещения at и температура 0. Они могут быть заменены другими функциями, например перемещениями и энтропией. Используя соотношение
е = (7Ж)(*-М(12)
следующее из формулы (26) § 1.2, приведем систему уравнений (8) и (9) к виду
в 4" (^ + Р- + $) ^г Г 4" ^i = T^s> i 4" P^z >(13)
s.jHW^^^^(14)
Здесь введены обозначения р = Т0/се, 6=у2р. Эта форма системы уравнений удобна при исследовании квазистатических задач, о которых пойдет речь ниже.
Деформация тела и сопряженная с ней температура вызваны действием массовых и поверхностных сил, а также действием тепловых источников и эффектами теплопроводности среды, окружающей рассматриваемое твердое тело. Поле деформации и поле температуры возникают под влиянием каждого из этих воздействий, приложенных отдельно.
Если мы создадим в теле градиент температуры, приводящий к необратимому процессу теплообмена, то с этим самопроизвольным процессом будет связана деформация тела. Процесс деформации является здесь вторичным, вынужденным процессом, происходящим за счет теплопроводности. Процесс теплопроводности связан с производством энтропии, а процесс деформации, противоположно направленный, идет за счет уменьшения энтропии. Однако разность этих составляющих энтропии положительна в каждой точке тела, что приводит к возникновению некомпенсированного тепла — энергии диссипации.
И наоборот, если при помощи внешних нагрузок или массовых сил вызвать деформацию тела, то деформирование вызовет вторичный, вынужденный процесс теплообмена.
В обоих случаях мы имеем дело с взаимосопряженными процессами; поля деформации и температуры сопряжены между собой. Описанную нами среду, в которой возможен обратимый упругий процесс и необратимый тепловой процесс, будем называть в дальнейшем термоупругой средой.
Следует получить еще краевые и начальные условия для системы уравнений (10) и (11).
Краевые условия могут быть различного типа. Тепловые краевые условия отражают воздействие окружающей среды на поверхность А тела и записываются в форме одного из следующих условий:
на поверхности А задана температура 0 как функция от пространственных координат и времени
9 = h(P,t)> Р^А, />0.(15)
на поверхности А задана нормальная компонента градиента температуры как функция координат и времени
д^\дп = кфЛ\ Р е A, t>0.(16)
на поверхности А задана функция
(^г + а)9<Р’ 0 = ЛР, О. Р^А, />0,(17)
где а— некоторая константа.
Условие 2) соответствует потоку тепла через поверхность А. Если 0,п = О, то поверхность тела изолирована. Условие 3) является условием свободного теплообмена на поверхности А. Могут, наконец, встретиться случаи, когда на А заданы смешанные краевые условия, т. е. на различных частях А заданы различные краевые условия.
Далее, на поверхности А могут быть заданы внешние нагрузки pi или перемещения Ui как функции координат и времени. В первом случае имеем
Pt (Л О = ^угу = ’1(^,; + аЛЛ^^^^Р £ A, t>0.
(18)
Во втором случае краевые условия выражаются формулой a^U^P, /), Р £ A, t>0.(19)
И здесь могут встретиться смешанные краевые условия, т. е. на части А могут быть заданы нагрузки, а на остальной части — перемещения.
Для решения дифференциальных уравнений термоупругости необходимы начальные условия. Начальное условие для
температуры состоит в задании в начальный момент / = 0 распределения температуры как функции координат
9(Л 0)=ЦР), РЕ В, / = 0.(20)
Деформацию тела в начальный момент определяют условия
чАР- 0)=^(Р), «ДР, 0) = /ДР), Р^в,
1 = 0, 1=1, 2, 3.(21)
Здесь gt, fi, I — заданные функции.
Волновые уравнения термоупругости
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений термоупругости в векторной форме
p-V2u -|- (X Д- у.) grad div u -j- X = f grad 9 -j- pd, (1)
V29-(l/x)9-^divu^-Q/z.(2)
Предположим сперва, что массовые силы и тепловые источники отсутствуют. Тогда уравнения (1) и (2) становятся однородными. Применяя к (1) операцию ротора, получаем волновое уравнение
[V2-(1/C2)^]Q = O>(3)
где
Q^rotu, с^гЕ^р.
Мы видим, что скорость распространения вектора О равна скорости поперечной волны с^. Элементы тела сохраняют свой объем, меняя форму, причем этот процесс не вызывает изменений температуры. Из формулы (18) § 1.2 следует, что ввиду 0 = 0, 1 = 0 энтропия равна нулю, s = 0. Поперечная волна не затухает и не подвержена дисперсии.
Применим теперь к однородному уравнению (1) операцию дивергенции. В результате получим
[?2-(1/Д)^] е = /ц?29,(4)
где
с2 = (Х4-2р.)/р, m s т/(Х-]-2р.), e = divu.
Это уравнение определяет волну расширения. Вид уравнения (4) показывает, что эта волна связана с температурой 9. Поэтому следует одновременно рассматривать однородное уравнение (2)
[V2~(im] 9-^ = 0.(5)
Из уравнений (4) и (5) следует, что распространение волны расширения связано с производством тепла. Механическая энергия волны расширения частично переходит в тепло, что и приводит к росту температуры.
[v2 — (1/х) ^][v2 — (1/х) ^]vp^V2 бм £ = 0.vp^V2 бм £ = 0.Исключая из уравнений (4) и (5) функцию 0, получаем следующее волновое уравнение, определяющее распространение волны расширения в термоупругой среде:
[v2 — (1/х) ^]
[v2 — (1/х) ^]
vp^V2 бм £ = 0.
vp^V2 бм £ = 0.
(6)
В дальнейшем мы убедимся, что волна расширения подвержена затуханию и дисперсии.
Вернемся к неоднородным уравнениям (1) и (2) и разложим вектор перемещения и вектор массовых сил на потенциальную и соленоидальную части
u = grad Ф 4- rot ф.(7)
Х = р (grad & + rot X).(8)
Этот способ используется в классической эластокинетике для разложения волн на продольные и поперечные. Потенциал Ф соответствует там продольным волнам, связанным с изменением объема тела; в этом случае направление движения частиц совпадает с направлением распространения волны. Вектор ф описывает распространение поперечных волн, вызывающих только изменение формы. Точно так же представления (7) и (8) приводят к выделению продольных и поперечных волн в термоупругой среде. В самом деле, подставляя (7) и (8) в (1) и (2), получаем
уравнения
[V -(1W ^] 9 - т^Ч) = -О/х,(9)
[72-(1/^)д?]Ф = т9-(1/с!)д,(10)
[v2-(l/4)^]i|)=-(l/4)Z.(П)
Введем следующие дифференциальные операторы:
□« = v2-(l/Ca) dV а = 1, 2,V2-(1/х)д,
и представим уравнения (9) — (11) в виде
□19-т;Т2Ф = -(Ж(12)
=(13)
32Ф=-(1М)Х.(14)
Исключая из этой системы температуру, получаем два волновых уравнения
(□ilJ3 — wdf V2) Ф = —т01-л — (ЦсТ) □ !&,(15)
n^=-(l/ci)x.(16)
Первое из этих уравнений определяет продольную волну — волну расширения, а второе — поперечную волну (см. (3) и (6)).
Рассмотрим сначала распространение волн в неограниченной термоупругой среде.
Предположим, что в неограниченной среде действуют тепловые источники и массовые силы потенциального типа, т. е. Х = = р grad д, х—0. В этом частном случае ф = 0 во всей среде, т. е. в неограниченном термоупругом теле возникнут только продольные волны — волны расширения, определяемые уравнением (5) и связанные с потенциалом Ф.
После определения частного интеграла уравнения (15) по формулам
=е=?2Ф(17)
определим перемещения и деформации. По известной функции Ф найдем из (10) температуру 0. Наконец, напряжения, на основе закона Дюамеля—Неймана, соотношений (17) и уравнения (10) определяются формулой
«и = 2^ (Ф, и - 8/уФ, »») + Р (Ф - а) §гу.(18)
Заметим, что в правую часть уравнения (15) входят источники, вызывающие возникновение продольных волн, а именно тепловые источники и потенциальная часть массовых сил. Легко видеть, чго действие сил Х=р grad'd приводит к такому же результату, как и действие тепловых источников. В дальнейшем, при более подробном анализе продольных волн, мы покажем, что они подвержены дисперсии и затуханию.
Рассмотрим случай, когда в неограниченной среде отсутствуют тепловые источники (Q = 0) и 1^ = 0, a X=protx- В этом случае возникнут только поперечные волны, определяемые уравнением (16) и распространяющиеся со скоростью с^. Эти волны не затухают и не вызывают изменения температуры. Поскольку Ф = 0, 0 = 0 и e=V26 = 0, энтропия s равна нулю. Перемещения, соответствующие поперечной волне, равны
^1 Фз, 2Ф2, 3 ’^г^^^ЬЗ Фз, Р ^З^^Фз»!?Ь2’(19)
а напряжения определяются формулой
аи = 2^и.(20)
В ограниченной среде возникнут, как правило, одновременно продольные и поперечные волны. Решение уравнений (12) — (14) составим из двух частей, а именно из частных интегралов 6о, Фо, фо неоднородных уравнений
z^o-^2ф0=-е/*«(21)
=(22)
^о=“(1/^)Х(23)
и из общих интегралов однородных уравнений
зб' — т)Г2Ф' = 0,(24)
2ф'—тб' = 0,(25)
Z2V = 0.(26)
В качестве функций 0О, Фо, фо можно взять частные решения для неограниченной среды или же некоторые решения, удовлетворяющие части краевых условий на поверхности тела Л. Функции 0', Ф', ф' подбирают таким образом, чтобы решения 0=0о+0', Ф^Фо + Ф', ф=ф0 + фх удовлетворяли всем краевым условиям.
Рассмотрим теперь те уравнения термоупругости, в которых неизвестными величинами являются перемещения и энтропия
^V2u 4- (Х+ + 8) grad div u Х = у^ grads + ри, (27) V2S-4s-Tv2(divu) = -4’8s^- <28)
Подставляя сюда соотношения (7) и (8), получаем следующую систему уравнений:
□ Ь-у?4Ф = -^И(29)
□(1/^)9,(30)
□22i|) = -(1/^)Z,(31)
где
т*=-$1^ц-\л-^, с? = ач^ч^ь,v2-№2H
Исключая из этих уравнений энтропию s, находим два волновых уравнения
( ЕлПз - m#YV4j Ф = - (m>4) Q - (1/^2) □ !&,(32)
□ ^=_(l/f2)Z.(33)
Рассмотрим распространение волн в неограниченной термоупругой среде. Если тепловые источники отсутствуют (Q = 0) и X = protx, 6' = 0, то получим Ф = 0 и 5 = 0. Из уравнения 0 = = P(s — yV^) следует, что и 6=0. В среде возникают только поперечные волны. Если х—0 и ^(^ 0)=0, а причиной возмущений являются тепловые источники и массовые силы Х = = pgradA, то ф = 0. В среде возникают в этом случае только продольные волны. Энтропию s найдем из уравнения (30); температура, перемещения и деформации равны
^=Ф,гг 9 = р(5-Т72Ф).(34)
Рассмотрим вновь однородную систему дифференциальных уравнений термоупругости (1) и (2)
(iV2u + (Х+р*) grad div u = ygrad 6 + pu,(35)
V26-(l/x)6 = T]divu.(36)
Уравнение теплопроводности мы записали здесь таким образом, что член, содержащий производную изменения объема по времени, находится в правой части. Рассмотрим неограниченную термоупругую среду. Функцию Tjdivu будем рассматривать как тепловой источник, а уравнение (36) как классическое уравнение теплопроводности. Решение этого уравнения при однородном начальном условии можно записать с использованием известной функции Грина в следующем виде:
t
HP.
X о В
Хехр(- ■■ ■ ,р2 — ^4-divu^(^)>(37)
г у 4х (^ — т) / охх 7х 7
р2 = (х;-— P=<xv хг, xa\
Интегрируя по частям и подставляя результат в уравнение (35), получаем следующее интегро-дифференциальное уравнение для и:
^V2u + (X + ^) grad div и = pii - — ^J-^- X /2х /2
t
Xgrad J^J divu-^[(Z-T)-3/=exp(4x /_т) )] dV (I). (38) OBV
В этом уравнении, полученном Зорским, можно использовать
представление вектора перемещения в виде (7). Используя обозначение
R (р, t — т) =— ^)~3/2 ехр (,v78т:/2х/г ^т L74% (/— т) )\’
вместо уравнения (37) получаем систему
-2ф_Д_ 44^(р> vodiz=o,б в
□ гф = 0.(39)
Мы вновь убеждаемся, что сопряжение с полем температуры относится только к продольной волне, описываемой уравнением (38). Путем интегрирования по частям это уравнение можно записать в виде
31Ф- 4-[ф?27?(р, t-^dV = Q. (40)
<ч? о в
Используя закон Дюамеля—Неймана, находим
°Н=^гИ + ^н + ^к^г X t
х J d^ J div U 4 [(^ - 4-3/2 exp (- 4х(Г_ J dV. (41)
Напряжение в точке определяется интегралом (по всему объему и полному времени действия возмущения) от изменения объема. Отсюда следует, что изменение температуры, которое распространяется с бесконечной скоростью, вызывает изменение объема во всей области. Этим и объясняется интегрирование по всей области и по всему временному интервалу действия возмущения.
В некоторых случаях (особенно в задачах с плоским напряженным или плоским деформированным состоянием) удобно использовать уравнения в напряжениях. В классической теории упругости такие уравнения известны как уравнения Бельтрами— Митчелла. Для несопряженной термоупругости соответствующие уравнения получил весьма простым путем Игначак1 и затем несколько иным путем Шоош 2.
Отправной точкой подхода, намеченного Игначаком, являются уравнения в перемещениях
р72и,+ (Х + р)е,; — ч9,1-тХ1= ри,.(42)
Перепишем эти уравнения, изменив индекс
р72Му-Нх+р)е,у — Т9,у + АГу==рИу.(43)
Дифференцируя первое уравнение по Ху, второе по xt и складывая результаты, находим
Р?2 («ь у + иь ;) + 2 (Х-ф р) е,ц — 2^9, гу +А';, у + Xj, ,=
= р(«г,у + «у,г).(44)
Используя соотношения
2е/у= ии / Н~ ^/, I >(45)
получаем уравнения
V2^zy -j- (Х + fO е, и — ?9, z;+ С/2) №, j + Xj, z) — ?^j •(46)
Теперь на основе закона Дюамеля—Неймана
2регу = ои — Х§,.у<5м /(ЗХ 4- 2р) + 2ра,98гу
в эти уравнения можно ввести напряжения. Таким образом получим
^ к 4- 2р.°кЬ И ЗХ + 2р. ^^^ ~ ^’15 +
+ [2p-az8Z;-V29 + 6 (X —|- р,) аД /;-] -|- Хи j-\- Xjti =
— с2 И ЗЛ + 2|Л М + 4,;'6’
сЫр/р-(47)
Эти уравнения можно записать значительно проще, если использовать соотношение
□+ m (4рV 29 - 3Р9) + ^^у- div X = 0,(48)
которое следует из (47) после свертки.
Подставляя (48) в (47), находим окончательный вид уравнений в напряжениях
, 2(Х + И) „, ( 11 ),
U2 Ч + ЗА + 2ц Ч + ^ с2 с2 ^ зл + 2ц к” +
+ 2№ (=■ и + 4ЙГ 8-А ’6) - 4т>+
+ х1.1 + х1а + тХ57«11х„, = й.(49)
Присоединим к этим уравнениям уравнение теплопроводности [V2-(l/x)5z]9-^^=-Q/x.(50)
Из закона Дюамеля—Неймана следует соотношение
^^/(ЗХ-^ + ЗаД(51)
Подставляя (51) в (50), получаем уравнение теплопроводности, в которое наряду с температурой входит сумма нормальных напряжений
(V2 - ?0 5J 9 - ^6/(ЗХ + 2-л) = —Q/x,
?o^(lW(l+3azV-)-(52)
Уравнения (49) и (52) составляют полную систему уравнений термоупругости в напряжениях. Из этой системы можно еще исключить температуру.
Вернемся теперь к уравнению (49) и применим к нему операцию Q2. Учитывая (48), находим следующее уравнение:
□?П^7 - /пП^ [2^ (9, и - 8zyV29) 4- рМ] +; + ^ /) +
+ |Ху (X + 2h)] DU,. r - [(2Х + 2^)/(Х + 214] Xr, rij = 0. (53) Если бы мы рассматривали несопряженную задачу, то температура 6 в уравнении (53) была бы известной функцией. Тогда уравнение (53) было бы биволновым уравнением для напряжений Огр Однако, поскольку мы изучаем сопряжение полей деформации и температуры, уравнение (53) надо рассматривать совместно с уравнением (52), которое можно записать в следующем операторном виде:
£>9-T1a66/(3X+2[.)=-Q/x, D^^-Vt.(54)
Из уравнений (53) и (54) можно исключить температуру. Соответствующие преобразования приводят к волновому уравнению для бц с первой, второй и третьей производными по времени от суммы нормальных напряжений о^.
Разделение системы дифференциальных уравнений термоупругости
В предыдущем параграфе мы провели разделение основной системы уравнений путем введения потенциальной функции Ф и векторной функции ф. В настоящем параграфе мы изложим общий метод разделения уравнений термоупругости посредством введения четырех разрешающих функций Хг G = l, 2, 3, 4). Под разделением системы мы понимаем действия, преобразующие ее в систему четырех уравнений высшего порядка, содержащих ПО ОДНОЙ ИСКОМОЙ функции Хг.
Излагаемое здесь решение было получено различными авторами с использованием разных подходов. Ионеску-Казимир1 определила разрешающие функции для квазистатических задач на основе метода Моисила2. Калиский3 получил соответствующий результат для динамических задач. Его результат был заново установлен другим путем Ю. С. Подстригачем4 и Рюдигером 5.
Представим дифференциальные уравнения термоупругости
(^ + Iх) ^j» ;z + Xt = p^z+(1)
—— QK(2)
в более удобном для дальнейших рассуждений операторном виде М«л) + 44(0) = -Л.(3)
Z4i(«z) + Z446=-Q/x, /, 7=1, 2, 3.(4)
Здесь введены следующие обозначения:
L[j = 0*2^1 j "V (ьд^д j, Ьц = То ^2»^42 — 4ldtdl> ^44= Оз ,
Fi ^Х^, то = ^1^, a ^ (X 4- p.)/^.
Уравнения (3) и (4) можно записать также в виде следующей таблицы, составленной из операторов и свободных членов:
«1
«2
^3
0
1
□ 2 + -2^1
адуд^
adxda
— 7o<?i
-Fl
II
□ 2 + ^2
ad2da
— To^2
III
S^3dl
яд3д2
□ 2 + ^3
-Vs
-F3
IV
- v^i
- Ws
b3
1 1 о nescu - С az imi г V., Asupra ecuatiilor echilibrului termoelastic, Comunicarile Acad. Rep. Pop. Romana, 1 (1951).
2 M 0 i s i 1 G. C., Matricele asociati sistemelor de ecuatii cu derivate partiale, Acad. Rep. Pop. Romana, Bucaresti, 1950.
3 Kali ski S., Pewne problemy brzegowe dynamicznej teorii apr^zystosci i cial niesprgzystvch, Warszawa, 1957.
4Подстригач Ю. С., Основное решение нестационарной термоупругой задачи, Прикладная механика, Киев, 6, № 2, (1960).
5 Rudiger D., Bemerkung zur Integration der thermo-elastischen Grund- gleichungen, Osterr. Ing. Arch.. 18, № 1—2 (1964).
Введем четыре функции ^ G^L 2, 3, 4), связанные с перемещениями и температурой следующим образом:
|Zi
и
1 Хз
Z4
Ь31
^41
Zi2ZI3LuLn/2Z13Lu
L^ L^ L2x_ L2X X2 7-23 T,24
7'327,33Z34L31ХзZ33Z34
7,42Z43Z44L4i7лЕдзЕдд
7,12ZiT,14LnLX2LX3xx(6)
7'22Z2T,240—7,217,22T,23Z2
7'32Z3T,34Z31Z32Z33Хз
7'42Z4T,44L4XL42ЕдзX4
Найдем эти определители, рассматривая операторы, как числа. Это даст следующие соотношения между функциями фг^П^^ /=1, 2, 3, 4:
их = (О ^Г) ^дхд<^^2 ^^з^рз "1” Т(А П 2^4 *
ZZ2— —дз^Гср!(2 — ^) ф2 АА^Тз + ТоАП2?4> (7)
И3 = —d3dir<pI - dtid2rcp2 + (2 - д2Г) % + To^Q^i-
9 = 7id/d]Q2<p] + tj^^O^ + "чд^а^.^ + (1 + a) UiJ^- Здесь
2 = (1 + а) П1Пз - То^У- Г = йП^ - -;М.
Введем обозначение 1|)=П2д)4 и запишем соотношения (7) в более компактном виде
u-i = ^ц - д^Г) ?у + То ^ф,(8)
9 = ^уП^у+(!+<?) П?ф, Z, у=1, 2, 3,
или в векторной форме
и = 2ф— grad div (Гф)-)-^ grad ф,(9)
9 = ^ div П2? + (i +«) ьЙ-
Функции и и 9 выражаются через векторную функцию ф и скалярную функцию ф, функцию ф можно рассматривать как обобщение на динамические задачи термоупругости векторной функции Галеркина. Подставим соотношения (7) и (8) (или (9)) в уравнения (3) и (4) (или (5)). После простых преобразований получим систему четырех уравнений
иЦпкЗз-т^Ъ^ХМр^О, z = l, 2, 3,(10)
[iZiZ2 — тт;^?2] ф + Qp./(xz?ip) = O.(11)
3 Заказ № 362
В каждом из этих уравнений фигурирует по одной неизвестной функции. Решение уравнений (10) будет состоять из трех членов: частного интеграла ф° неоднородного уравнения (10) и общих интегралов ф' и ф" уравнений
Z^ = o, (n?Z^- m-qd^^O. (12) Функция ф' удовлетворяет простому волновому уравнению, описывающему поперечную волну, а функция ф"— сложному волновому уравнению, соответствующему продольной волне. Решение уравнений (11) представим в виде суммы ф=ф0 + ф', где фо — частный интеграл неоднородного уравнения (11), а ф' — решение уравнения
(□?Пз-т^?2)ф' = 0. (13)
К уравнениям (10) и (11) следует добавить тепловые краевые условия, краевые условия для перемещений или напряжений и начальные условия. Однако краевые условия записываются, как мы знаем, через функции 0 и ut либо их производные, и поэтому благодаря соотношениям (8) эти условия можно всегда записать через функции фг- и ф.
Решение уравнений (10) и (11) существенно упрощается в случае неограниченной термоупругой среды. Здесь нет краевых условий в точном смысле этого слова; вместо них выдвигается постулат обращения в нуль напряжений и температуры на бесконечности, если массовые силы и тепловые источники действуют в ограниченной области.
Пусть в неограниченной среде действуют лишь тепловые источники. Ввиду отсутствия массовых сил имеем ф = 0, и дело сводится к решению уравнения (11). Из соотношений (7) следует, что
мг = 7(Л?> 9 = (1+а)П^, /=1,2,3. (14) Напряжения легко определяются на основе соотношений Дюамеля—Неймана
аи = 2^ + (Хе - т9) Ьц = 2р.т0 (ф, и - 8;Д ^ + рт0ф8/у. (15)
Сравнивая формулы (14) и (15) с формулами (17) и (18) предыдущего параграфа, мы убеждаемся, что функция уоф играет роль потенциала Ф.
В другом случае, когда в неограниченном термоупругом пространстве действуют массовые силы, а тепловые источники отсутствуют (Q = 0), ИСКОМЫМИ функциями будут фг (*=1, 2, 3). Перемещения и температура равны соответственно
и^^ц-Уд^р 0 = Wjd^h /, 7=1, 2,3. (16)
Если массовые силы направлены вдоль оси Хь т. е. ф2=фз=0, то имеем
«; = (28п-ГдД)^, б = 7]^^~:2?1.(17)
Представленный способ решения дифференциальных уравнений термоупругости удобен прежде всего для неограниченной среды. Для ограниченного тела значительно более удобен способ, описанный в § 1.5.
Аналогичный способ разделения дифференциальных уравнений можно применить и к системе, в которой искомыми функциями являются перемещения и и энтропия s (см. уравнения (27) и (28) § 1.5). Однако это не вносит ничего существенно нового, так как, решая уравнения (10) и (11), мы по найденной температуре 9 немедленно определяем энтропию
S = (^е/Т') 6
Квазистатическая задача термоупругости
Если массовые силы, поверхностные усилия и тепловые источники медленно меняются во времени, то можно пренебречь инерционными членами в уравнениях движения и рассматривать задачу как квазистатическую. Тогда основные уравнения термоупругости запишутся в виде
W, л + (^ + Iх) uj, а + ^i = Т®, i ’(1)
0, п - (1W 0 — w j= —<Ж(2)
Решение этой системы уравнений будет состоять из частных интегралов (и°., 0°) неоднородных уравнений (1) и (2) и из общих интегралов (и^ 9Z) однородных уравнений
и + (^ + Iх) Р/, л = Т®, t >(3)
(Vх) б' - W7 = 0.(4)
Особенно просто обстоит дело с нахождением частного интеграла уравнений (1) и (2) для неограниченной термоупругой среды с тепловыми источниками и массовыми силами потенциального типа X=pgrad'&. В этом случае ищется решение уравнений
Р^°, а + (х + Iх) и\ а + р», z = Т®° и(5)
0° л — U/z) 0° “ ^j, j= -Qlz-(3)
Введем в уравнения (5) и (6) потенциал термоупругого перемещения Ф, связанный с и°. соотношением
^=Ф,Р uo = gradФ.(7)
В результате получим систему уравнений
^2ф = ш6° -^Ic2!,(8)
V29° — (1/х) 9° — т; v2i* = —Q/x,с2=(Х + 2-л)/р.(9)
Исключая из этих уравнений функцию Ф, получаем для функции 9° уравнение параболического типа
V26 — (l/^i) 0 = — Q/x — (^с^)», х1 = х/(]-|-х^).(10)
Это уравнение аналогично классическому уравнению теплопроводности. Отличие состоит в том, что вместо постоянной х, которая входит в классическое уравнение теплопроводности, мы имеем здесь постоянную xi<x. После определения температуры из (10) функция Ф находится как решение уравнения (8). Решение этого уравнения для неограниченного пространства имеет вид
Ф(х » =(11)
№ '4» J К(х, 6)'
в
где
После определения функции Ф все величины определяются по формулам
^ = Ф,Р ги=Ф,и)(12)
а-у = 2р-(Ф, и — kk) -Mtj.(13)
Для ограниченного тела частные интегралы н°, 6° можно определить таким образом, чтобы была удовлетворена часть краевых условий; впрочем, эти интегралы могут быть взяты и в виде частных интегралов уравнений (8) и (9) для бесконечной области. Функции и', 9' должны быть подобраны так, чтобы суммарное состояние удовлетворяло всем краевым условиям на поверхности тела.
Используя метод, описанный в предыдущем параграфе, можно провести разделение системы (1) и (2). Поскольку в этих уравнениях нет инерционных членов, то в соответствующих формулах предыдущего параграфа нужно вместо операторов D2, □2 брать лапласиан V2. Таким образом, перемещения щ и тем-
пературу 9 можно выразить через четыре функции фг (i=L 2, 3) и ф, т. е.
«г =- г W ^, + То дД,(14)
9 = т;^у7?у+(1 +о) V2i, 2 = (1 +а) V2 (Зз - w dt\
Г = йЗз —То7!^-(15)
Подставляя (14) и (15) в уравнения (1) и (2), получаем четыре независимых уравнения
V4(33 — ^^)?; + АДрС1) = О,(16)
72(3з — ш^д^ ф + Qp.KxpCi) = O.(17)
Частные интегралы этих уравнений для неограниченного пространства имеют весьма простой вид. Если в термоупругой среде действуют только тепловые источники, то ф = 0, а температура и перемещения равны
^z = To^ 6 = (1+^) V2^.(18)
Если тепловые источники отсутствуют, то ф=0; функции фг определяем из уравнений (16). Для случая Х2 = Хз=0, Xi^O единственной неизвестной функцией является фь
Для ограниченного тела решение уравнений (16) и (17) можно взять в виде
Ь = + +(19)
где ф°, ф° — частные интегралы неоднородных уравнений (16) и (17), а остальные функции — общие интегралы уравнений
Г'^О,( = 2=(20)
V2,y = 0,= о.(21)
Другой подход к решению системы уравнений (1) и (2) состоит в использовании потенциалов Папковича—Буссинеска Этот путь был указан Био2, который использовал систему уравнений относительно перемещений и энтропии
^и^ л — (X — ;i — о) Uj, j = ^s^ ,(22)
$.,v-(i/x)s-Tv2«y,y=o, ^т0!сг, o^^.(23)
Продифференцировав уравнения (22) по Хг и сложив результаты, получим соотношение
Г2иЛУ = $, „Т?/(/. + 2.л + г).(24)
Подставляя (24) в (23), получаем
s,n-W4Ys = 0, ^^.(^^/(i-^ + n (25)
Мы получили уравнение параболического типа. Любопытно то обстоятельство, что в квазистатических задачах энтропия удовлетворяет диффузионному уравнению. Выразим вектор перемещения и через потенциалы Папковича—Буссинеска
u= —grad (%4-г • ф) + 5ф, 5 = 2(2[j. + X + 6)/(X-)-p.4-8),
г = (Х], х2, х^.(26)
Здесь ф— гармоническая функция. Подставляя (26) в (22), получаем
grad [(X + 2*i + 8) ^ф0 + » = 0.(27)
Оператор градиента можно отбросить, если добавить к выражению б скобках 'квадратичную функцию координат. В противном случае надо, как это следует из структуры соотношений (26), добавить к функции ф линейную функцию координат. Положим, следовательно, выражение в квадратных скобках в (27) равным нулю и добавим к ф линейную функцию координат. Тогда из (27) следует, что
V2ф0 + ™^ = 0, п^ ее ^IQ- + 2*1 + 8).(28)
Исключим далее из уравнений (25) и (28) функцию s. Функция фо должна удовлетворять уравнению
V2[V2-(1/z2)^]^o = O.(29)
Легко видеть, что ф0=фа + Фь, где фа— гармоническая функция, а фь — решение уравнения диффузии.
Таким образом, для определения функций фо и ф имеем систему уравнений
Г2Ф = 0, V2^ = 0, Г2-(1/*2)<Ш = 0,(30)
После решений этой системы (при заданных краевых и начальных условиях) легко определить перемещения at (см. (26)) и температуру 9.
Стационарные задачи термоупругости
Изменение энтропии в необратимом процессе вызвано обменом энтропией с окружающей средой и производством энтропии (источник энтропии о>0). В стационарном состоянии приращение энтропии во времени равно нулю, dsidt = O. Из уравнения (6) § 1.3 следует, что в стационарном состоянии непрерывный процесс производства энтропии компенсируется процессом ее обмена с окружающей средой. Этот обмен отрицателен и по абсолютной величине равен мощности источника производства энтропии. Из уравнения (22) § 1.3 следует, что температура должна удовлетворять уравнению Пуассона
aoV29=-W(1)
или
V6=-Q/x, x^Xolc£> Q^W(c£.(2)
Для стационарного состояния уравнения в перемещениях не содержат производных по времени и имеют вид
+(Х + 1А)Л2, 3.(3)
Уравнения (2) и (3) взаимно независимы, т. е. отсутствует сопряжение деформационных и тепловых явлений. Температуру находим по уравнению (2) и затем подставляем ее как известную функцию координат в правую часть уравнения (3).
Решение уравнения (3) можно строить, исходя из следующей аналогии с массовыми силами: влияние температуры эквивалентно действию дополнительных объемных и поверхностных сил, т. е. вместо действительных массовых и поверхностных сил Xi. pt можно взять массовые силы Xi — ^вд и поверхностные нагрузки рг + бу^Д- В самом деле, из структуры уравнений (3) и краевых условий на поверхности тела А
Pi = °iplj = [2р.£2у + (ХЧк - Iе) 8//1 ^у(4)
имеем
р"=Pt + 9w = \>u + ^чАчА -fij •
В дальнейшем мы будем пренебрегать массовыми силами, ограничиваясь рассмотрением деформаций, вызванных только стационарным полем температуры.
Решение системы уравнений (1) можно записать в виде суммы частного интеграла иЛ=фд неоднородных уравнений и
общего интеграла и" однородной системы. Для потенциала и7.= =Фд получаем уравнение Пуассона
уФ = т9, m = д/(А4-2и).(о)
Решение этого уравнения позволяет сразу же определить соответствующие части деформаций и напряжений
г’а=ф,1Р(6)
Для неограниченного пространства эти части составляют конечные решения; здесь функция Ф(и' =ФД выражается интегралом Пуассона
/ хdV (В)
и
где /?(х, |) —расстояние между точками (х) и (g). Для ограниченного тела надо найти дополнительно перемещения и77.. удовлетворяющие системе уравнений
№, кк 4- (а 4- il) uki ki = 0,(8)
причем функции и", должны быть подобраны так, чтобы конечный результат и^ц/.-^-и77 удовлетворял всем краевым условиям. В частности, на свободном от нагрузки краю тела должны быть удовлетворены условия
причем напряжения о7. определяются функцией Ф, а напряжения о"— перемещениями и77..
Систему уравнений (8) можно решить с использованием трех функций Галеркина. Применяя подход, описанный в предыдущем параграфе, предположим, что
Ui = [(1 + #) ^;V2 — ад^ ^j, а = (Х + u)/;i,
L j=L 2, 3.(9)
Подставляя (9) в (8), убеждаемся, что каждая из функций ф; должна удовлетворять бигармоническому уравнению
V2V2c?z = 0, Z=l, 2, 3.(10)
Зная функции фг, можно определить перемещения и" по формуле (9) и напряжения по формулам
s//=2^v-LXe"31V(11)
ИЛИ
rii^v ’ KV^A2 ~ ^/) 4k, к + (1 — "О V2 (?z, j + ?/,z)L(12)
где v=a/2(a + ц) —коэффициент Пуассона.
Решение каждого из бигармоничеоких уравнений (10) можно представить через две гармонические функции. Две из шести гармонических функций являются зависимыми.
Во многих простых случаях, например для задач о тепловых напряжениях в полупространстве и упругом слое, полное решение можно построить с использованием лишь одной функции перемещений ф. Если задача обладает осевой симметрией, то функции Галеркина переходят в функции Лява.
Решение уравнения (8) можно представить в другом виде, используя функции Папковича—Нейбера
^ = 4(1/=1, 2, 3,(13)
где
Ф =+ Фо > V 2ф0 = 0,V 2ф, = 0.
В это решение входят четыре гармонические функции фд (/=1, 2, 3) и фо- Полное решение уравнений (3) получим, составляя сумму
^ = и;+и; = Ф,г + 4(1- Т;> ?2Ф = т9.(14)
Учитывая соотношение
^V-M(l -2v) V2T,
находим следующее выражение для напряжений:
^ = 2^[(Ф - П?>+ (W2»’ - ¥2Ф) 5z; + 2(l - v) №, v + ^, J].
(15) Для задач, в которых касательные напряжения равны нулю на плоскости %з=0, достаточно использовать только одну функцию Папковича—Нейбера
Фо = (12v) ?, Ф1 = ф2 = 0, Фз — ?>3.(16)
Здесь функция ф является гармонической. В этом случае перемещения выражаются формулами
^ = $,z441~2v)?,z + ^^/=1,2,3. (17)
Из уравнений (15), учитывая, что V2XF =—2ф$3з, получим следующие формулы для напряжений
°и = 2^ (Ф, и — Г2Ф + х^, 113 4* ?, п +2v(p, 22),
°22 = 2’1 (Ф, 22 — Г2Ф + Х^, 223 4“ ср, 22 4* 2vp, и),
°зз= 2’/ (Ф, зз V ~Ф 4~ -^з?, ззз ?, зз)’
°i2 = 2ti |Ф4-^з?,зт (1 —24?], 12’(18)
°2з = 2;i [ Ф, з 4" ^з?, зз 1,2 ’
^тз^ 2*1 [Ф, з 4™ х^, зз],].
Если иоле температуры 6 симметрично относительно плоскости Хз=0, то производная Ф,3 равна нулю. Из формул (18) следует, что для х3 = 0 и Ф,3=0 напряжения оцз и O23 равны нулю.
Следовательно, если в плоскости х3=0 заданы напряжения о33 (или перемещения ц3) и температура 6, то вопрос сводится к определению потенциальной функции ср с заданными по краю х3=0 значениями ф,3 (или <р,33) Ч
В случае осесимметричной задачи функции Галеркина сводятся к одной бигармонической функции %, известной под названием функции Лява. В цилиндрической системе координат (г, 6, г), вводя обозначение и= (и, 6, w\ имеем
и = дФ)дг — d2/jdrdz,(19)
w = 5Ф/дг4~ 2 (1 — v) V2/ — d2-^dz2.
Напряжения выражаются через функции Ф и % по формулам
- Мт - w+4 (- т-)] ■
(20)
о ( д2Фдк 2д2% "П
Т М^ ' I \ / бгМ ’
,„ _2,| *» 1(1- .,) г=7 - М-11 ■
TZ k V dr dz х dr Vdz2 /1
or9 = 0, О6$ = 0,
причем функция % удовлетворяет уравнению
г2Г2у =J —]2v = 0(21)
'[ r dr \ dr / 1 dz^ J
В случае осесимметричной задачи, в которой должно выполняться условие равенства нулю касательных напряжений в плоскости %з=0, удобнее использовать функции Папковича—Ней- бера. В самом деле, при таком дополнительном условии эти функции сводятся к одной гармонической функции ф (см. формулу (17)). Преобразовав соотношения (17) и (18) к цилиндрической системе координат, получим следующие формулы для перемещений:
(22)(22)zz = —ч— -4- (1 — 2v) —ч— Ч- ~ —,dr !J dr dr dz
(22)
(22)
^= 2(1 — v) -ч
dz v ' dz 1 dz2
и для напряжений:гг t ^2I dr2 dz 5 dr2и для напряжений:гг t ^2I dr2 dz 5 dr2$08$08O?z = 2p-O?z = 2p-°rz°rzr drrд2Ф 9d3?д2Ф , d^ \dr dz dr dz2 ) 'r drrд2Ф 9d3?д2Ф , d^ \dr dz dr dz2 ) 'д2Ф .1 d'^д2Ф .1 d'^dr dz * rdz2 /’dr dz * rdz2 /’drdrdr / ’dr^ rdr / ’dr^ r(23)(23)
и для напряжений:
гг t ^2I dr2 dz 5 dr2
и для напряжений:
гг t ^2I dr2 dz 5 dr2
$08
$08
O?z = 2p-
O?z = 2p-
°rz
°rz
r drr
д2Ф 9d3?
д2Ф , d^ \
dr dz dr dz2 ) '
r drr
д2Ф 9d3?
д2Ф , d^ \
dr dz dr dz2 ) '
д2Ф .1 d'^
д2Ф .1 d'^
dr dz * r
dz2 /’
dr dz * r
dz2 /’
dr
dr
dr / ’
dr^ r
dr / ’
dr^ r
(23)
(23)
Во многих стационарных задачах с краевыми условиями в напряжениях удобно использовать уравнения Бельтрами—Митчелла. Такие уравнения для термоупругой среды были нами выведены в § 1.5. Для рассматриваемого случая производные по времени равны нулю и, следовательно, уравнения (48) и (49) § 1.5 запишутся в виде
(24>
°ч. ^ + ™^2 ^, И + 2R/ (е, И + Чт5" ^9’ Ч = °-(25)
Уравнения в напряжениях имеют особенно простой вид для температурного поля без источников. В этом случае 0,^=0 и из (2) следует, что oss, м=0. Уравнение (25) записывается в виде
°ij, ьк + ТТ^ ^3kk + а^®^’ Ч = ^’ ^6)
где
v = X/2(X + a),£ = !л(За + 2!л)/(Х4-.л).
Основное энергетическое уравнение
Основное энергетическое уравнение, выражающее закон сохранения энергии, получим, используя уравнения движения и обобщенное уравнение теплопроводности,
J + Xi = рг\,-14 = 14, z, /=1,2,3,(1)
ё -^--Q/z.(2)
Умножим уравнение (1) на скорость перемещения ut и проинтегрируем по всей области тела
(^j, j + г\ dV = р fdV.(3)
вв
Это уравнение выражает закон сохранения энергии.
Преобразуем первый из интегралов левой части уравнения (3)
J aib ^ dV = J (^Д j dV - J 4,14, jdV.(4)
ВВв
Согласно формуле Гаусса, имеем
J ^Ац\ jdV=^ dA = ^ PiMA,
ВАА
где pt — нагрузка на поверхности. Далее, ввиду того что тензор
скорости вращения является антисимметричным, имеем <3г^гз = = 0 и
j Qi^i, jdV = ^ аи Гн + %) dV = J сиги dV.
ввв
Интеграл (4) приводится, таким образом, к виду
^и, /MV= Jp^tdA — ^ijZijdV.(5)
ВAB
Следовательно, закон сохранения энергии выражается следующим образом:
j X^idV + f pi-yidA = p\ -upotdV + f oU4jdV. (6)
BABB
Запишем теперь этот закон с учетом специфики термоупругой среды. Умножим выражение Дюамеля—Неймана
^/==2^е,у + (7^ — Тв) 8/у
на Eij и проинтегрируем по области В. Тогда получим
J =^ч dV = J (2^^ + We ) dV - т J бё dV.(7)
ВВв
Введем две функции: кинетическую энергию
K^^dV(8)
.в■
и изотермическую энергию деформации
W = ^№jSij^l-e^dV.(9)
В
Ясно, что для малых деформаций
^^p^dV, ^- = Stej^Xe^dV. (10) В
Подставляя (7) и (10) в (6), получаем следующее уравнение: ^ + Т = J X^dV+SР^А + т J 9edV, (11) BAB
выражающее закон сохранения энергии для термоупругой среды. Правая часть этого уравнения содержит источники, вызывающие движение, а именно: массовые силы Х^ нагрузки рг на поверхности и температуру 0. Температура связана в свою очередь с действием тепловых источников и нагревом тела. Для явного учета этих источников в энергетическом уравнении используем уравнение теплопроводности (2). Умножая обе части этого равенства на 6 и интегрируя по объему, получаем
xj9v29rfy = J(9 + '/1ze-Q)9d^.(12)
Вв
Используя теорему Гаусса
J 9 V 29 dV = J (99, J, г - f 9, ;9, г dV = J 99, А dA-^, Д; dV =
ВВВАВ
^^„dA-^J.idV,(13)
Лв
приведем соотношение (12) к виду
p9</l/ = -b-jQ9dy- -Lj99rfIZ +
Введем функцию тепловой энергии
05)
в
Дифференцируя (15) по времени,
( 99 dV,
atJ
j В
можно записать (11) с использованием (14) и (15) в следующем виде:
dK । dW । dP f vf।
"^г + т + 'ST ” J ^rfl/ + j PiMAt
ВA
+ ^jQW+vJ99-^A-Tt9’i9’^-<16>
В1 A1 В
Используя обозначения т]=уТоМо, х=Л0/с£, получаем
dK । dW . dP . Хо Сд л
= J Х^ dV + J р^dA + -^- J Q9 dV + -^ ) 99, ndA. (17) ВА0 В° А
Теперь правая часть содержит только источники, вызывающие поле деформаций и температуры. Введем обозначение
=(18)
Учитывая связь вектора теплового потока с градиентом температуры
q = -Xograd9, ^.= -X09,z,(19)
запишем (18) в следующем виде:
и V ви В
Функция %т была введена Био и носит название функции диссипации.
Принимая во внимание (20), получим конечную форму закона сохранения энергии для термоупругой среды
ВА
^^\Q9dVX^\99,ndA.(21)
Т° ВТ° А
Это уравнение мы будем использовать при выводе теоремы единственности решений динамических и квазистатических задач термоупругости.
Теорема единственности решений задач термоупругости
Покажем, что краевые задачи термоупругости имеют не более одного решения. Рассмотрим термоупругое тело, занимающее объем В, ограниченный поверхностью А. Пусть на тело действуют массовые силы Xt, поверхностные силы pt, тепловые источники Q внутри тела и нагрев на поверхности. Под их влиянием возникают перемещения щ и температура 9. Будем предполагать, что напряжения и деформации являются функциями класса С^, а температура и перемещения — функциями класса С(2). Эти функции удовлетворяют уравнениям движения
WP’ О + хлр, 0 = ?щШ, о, Рев, t>o (1) и уравнению теплопроводности
^jj^P, ^-(\^ЦР, ^-^(Р, 0=-Q(P, Oh;
рев, />о.(2)
Краевые и начальные условия для уравнений (1) имеют вид
рАр. 0=%(р. Мр ре a, t>e, (3)
и-АР, Щ=/АР\ щ{Р,^-ёАР\ р^в, t = o. (4)
Для уравнения (2) имеем краевое условие
ЦР, Р) = ЦР, t), Р £ А, />0(5)
и начальное условие-
0(Р, 0) = А(Р), Р^В, / = 0.(6)
Компоненты напряженного состояния, компоненты деформированного состояния и температура связаны законом Дюамеля— Неймана
^ДР, 0 = 2p.szy + (Хе - Т0) 8iy.,(7)
где
Ш, 0 = см(«г,j + иьа, Рев-ел, t>0.
Для доказательства теоремы единственности предположим, как обычно, что задача имеет два решения и', б' и и", 0"; через
а^ и а". обозначим соответствующие этим решениям поля напряжений. Оба решения удовлетворяют нашей системе, т. с.
a-V,/ + ^i = P«z> а//, 7 + ^= Р«;,(8)
9',и — (1/%) 6 — у' = —Qh-,
-тГ^-Qlx.(9)
Обозначим разность этих решений через
иг = Ui — и , 9 = 9' — 9"
и соответствующую разность напряжений через
Qlj ~ °И °ij*
Из (8) и (9) следует, что эти величины должны удовлетворять однородным уравнениям
P“i = 0,(1М6-Т^=0,
Р 6 В, />0(10)
и однородным краевым условиям
^ = 0 = ^., 9=^=0, Р^А, />0,(И)
U^P, 0) = 0, U^P, 0) = 0,9 (Л 0) = 0,
Р^ В, / = 0.(12)
Отсюда следует, что перемещения иг и температура 9 должны были бы существовать в теле, свободном от массовых и поверхностных сил, а также от воздействия тепловых источников и нагрева на поверхности, при нулевых начальных условиях. Покажем, что в описанном состоянии перемещения и температура равны нулю. С этой целью используем выведенную в § 1.9 энер
гетическую теорему. Для перемещений Ui и температуры 6 эта теорема имеет вид
и в
= Jxz^rfl7+J^^+^JQW + ^-J 6 9,^А. (13)
ВА0 ВЛ
Поскольку в рассматриваемом случае Xi = 0, Q = 0 внутри тела, и р? = 0, к = 0 на его поверхности, то правая часть этого уравнения равна нулю. Иначе говоря,
Ари^ + РЬ-^Кд.^о (14)
или
4 J (44,+44+4 ?=+4г 4^ -
(15)
В начальный момент интеграл в левой части равен нулю, так как -функции ut, Di, ^i^ 9 равны нулю. Выведенное неравенство показывает, с другой стороны, что этот интеграл либо уменьшается, либо остается постоянным и равным нулю. Поскольку подинтегральное выражение является суммой квадратов и равняется нулю в начальный момент /=0, то реализуется вторая из указанных возможностей. Следовательно,
^+1^ + Р = 0 для />0.(16)
Из (15) следует, что каждая из функций в отдельности равна нулю, т. е.
= 0, г^ = 0, 9 = 0 для / ^ 0.
Напряжения а^, выражающиеся линейно через г^ и 6, также равны нулю. Итак,
^^ = ^1, aij=c5lJ.) 9=9 для />0.(17)
Следовательно, если решение для температуры, напряжений и скоростей перемещений существует, то оно единственно. Поскольку
^=Ш(«м + “м) = 0’(18)
легко видеть, что перемещения определены однозначно с точностью до линейного члена, описывающего жесткое движение тела.
Теорема единственности, доказанная нами для краевых условий (3) и (5), может быть без труда доказана и для других случаев, когда на поверхности тела заданы перемещения и тепловой поток qn =—^о9,п. Здесь также справедливы соотношения
4 Заказ № 362
и (18), причем если на поверхности заданы перемещения, то в каждой точке тела имеем uz = u^.
Теорема единственности решений уравнений (1) и (2) для изотропного тела была доказана Уэйнером. Ионеску-Казимир расширила эту теорему, рассмотрев анизотропные тела, а также изотропное тело, в котором имеет место конечный разрыв на некоторой поверхности внутри замкнутой области, занимаемой телом.
Вариационные теоремы термоупругости
Общеизвестно то большое значение, которое имеют в эласто- статике и эластокинетике вариационные теоремы. Они позволяют не только получать простым путем дифференциальные уравнения, описывающие поведение таких систем, как мембраны, пластинки и оболочки, но и приводят к ряду методов решения рассматриваемых задач.
Вариационные теоремы термоупругости были установлены Био, который доказал эти теоремы’ и привел примеры их практического применения. Ниже мы дадим сжатое изложение вариационных теорем.
Рассмотрим следующий интеграл:
^=J(^y+4-e2)^(1)
и сравним его с аналогичным интегралом, соответствующим соседнему состоянию, для которого перемещения равны гц + бц^ а деформации равны г^ + бе^-. Таким образом, получим
8IV = J (2^у8е;у + W) dV.(2)
в
Поскольку
= 2|^iy + (Хе - От) 8zy,(3)
вариацию 6 W можно записать следующим образом:
8IV = [ о^ги dV + т J ^е dV.(4)
Вв
Преобразуем первый интеграл в правой части
j з^ ог^ dV = J очЪии jdV=^ ^ij^Ui), y dV - J з1Ь fa dV =
ВВВв
= j з^ ^ dA - j 3ljt . ^ dV.(5)
AВ
Принимая во внимание уравнение движения
(6)
и соответствующие краевые условия р1 = а1^,.Р)
приведем (5) к виду
j az/ fa. dV = J Xt fa dV + f pt fa dA-p^ fa dV. (8) ВВAВ
Сопоставляя (4) и (8), получаем следующую теорему о виртуальной работе:
j Xt Gut dV + J A ^ut dA — p ut oul dV = 8 W —- у J 9 og dV. (9) вавв
Левая часть этого уравнения содержит виртуальную работу массовых сил, поверхностных сил и сил инерции. Правая часть равна виртуальной работе внутренних усилий. Уравнение (9) является обобщением принципа виртуальных работ Лагранжа на задачи термоупругости. Этого уравнения было бы достаточно для рассмотрения несопряженных задач термоупругости, когда температура в последнем интеграле правой части является известной функцией. Однако при учете сопряжения поля деформации и поля температуры функция 6 нс может быть определена независимо. Поэтому необходимо установить добавочное соотношение, учитывающее явление теплопроводности. Основой наших рассуждений будет закон Фурье
q= — Xograd9, — divq = sro = re9+уГ^ (10) и соотношение для приращения энтропии во времени (см. формулы (18) и (20) § 1.3). Удобно будет использовать введенный Био вектор S, связанный с вектором q и энтропией следующими соотношениями:
q = 70S, s = — divS. (11)
Запишем (10) в компонентах вектора S
TqSl=Т^а^ eJi^Т^е.(12)
Умножим первое из уравнений (1) на 6St и проинтегрируем результат по области тела В. Тогда получим
+=(13)
в
причем мы предполагаем, что вариация 65г согласована с краевыми условиями. Займемся первым членом уравнения (13) f 9, z bS; dV = J (6 8SZ), i dV - J 9 bSu t dV = Ввв
= J 6nt bSt dA - J 9 85„ L dV. (14) AВ
Интегрируя (12) по времени и определяя постоянную интегрирования, находим
-SUi=<caT^ -^е, т. с.
^Sbl=-^Toy-^e.(15)
Подставляя (15) в (14), получаем
f 9, z 85z dV = f tint &SZ dA +J 9 89 dV + 7 [ 9 be dV. (16)
ВA0В
Таким образом, уравнение (13) принимает вид
^tintbSt t/A+^JgSgtZ^ + T J98e dV-Y AВВ
-Y^-^StbStdV^. (17) ° в
Введем «тепловой потенциал»
Р = f № dV, причем оР = —i- С 6 ВО dV,
и «функцию диссипации» D, такую, что
0 в
Теперь запишем уравнение (17) в виде
j9/Z,.85,.^A4-8P+8r) + T J9 8^^ = O.(18)
АВ
Мы получили, таким образом, второе вариационное уравнение, учитывающее процесс теплопроводности. Уравнения (9) и (18) сопряжены посредством члена JOSedV и должны рассма- в
триваться совместно. Они независимы только в том случае, когда, сопряжение поля деформаций и температуры не учитывается, т. е. когда во втором из уравнений (12) отбрасывается член
уТое и, следовательно, в уравнении (18) отбрасывается член yJ06edV. В этом случае уравнение (18) выражает вариацион- в
ную теорему для классического уравнения теплопроводности. Исключая из уравнений (9) и (18) общий член J06edV, мо- в
жно записать единое вариационное уравнение для сопряженной задачи термоупругости
Р (*ыМ^+4^ f S; 85; tZK + А (*9 89^ + в° в0 в
+ j (|^ ^7 + Хе М dV = f ^ 8«zdV +
Вв
-J- J Pt ^u-i dA — [ Qrti 85; dA (19)' AA
ИЛИ
W^P-V?>D = \(Xi-piii)buidV + В
+ Jp^dA- ^n^SidA. (19'). AA
Уравнение (19') гласит: вариация суммы функции диссипации, теплового потенциала и работы деформации равна виртуальной работе, обусловленной внешними силами, силами инерции и нагревом поверхности тела. Следуя Био, назовем выражение f / с 62/\7
PA-W=^^ J ^ + р_£ $ +^2 dV в \ ОJ/
термоупругим потенциалом. Тогда имеем
8Ф + 80 = J 0<i - ptt;) Ви, dV 4В
+ [ р, dA — J 9«; 85; dA. (20)' A
Из уравнения (20) можно вывести ряд важных частных задач термоупругости. Например, вквазистатических задачах, в которых влиянием сил инерции можно пренебречь, следует положить р JiitbUidV=O. Далее, если тело свободно от воздействия в
массовых и поверхностных сил, то первые два интеграла в правой части уравнения (20) равны нулю. Наконец, если на поверхности тела задано условие 0 = 0, то последний член в правой части равен нулю.
Из уравнения (20) легко получить непосредственно основную энергетическую теорему. Примем в качестве Ui и 0 действительное перемещение и действительную температуру в теле.
Тогда
dt u dt, 36 = dt = 9 dt,1 dtL ’dt’
oSl = -^-dt = Sldt =^-9adt и т. д. (21)
Подставляя (21) в (19), получаем
dK , dW . dP . dD _ dt + dt + dt + dt
= ^Xl4).tdV-V^pl4).ldA-V^^^adA, (22) ВA0 A
что согласуется с уравнением (21) § 1.9. Здесь К — кинетическая энергия
K^-L^dV.(23)
В
Легко видеть, что
T-4vJ6.A,^>0-(24)
и в
Производная функция диссипации D по времени равна интенсивности источника энтропии о, которая всегда положительна.
Теорема взаимности
Одной из наиболее интересных теорем теории упругости является теорема взаимности (теорема Бетти). Эта теорема имеет весьма общий характер и дает возможность построить методы интегрирования уравнений теории упругости, основанные на использовании функций Грина. Теорема взаимности была обоб-
щена на задачи термоупругости в ряде работ. Майзель установил обобщенную теорему взаимности для статических задач термоупругости и вывел из нее некоторые методы интегрирования основных уравнений. Эта теорема была доказана другим путем Новацким для неоднородных и анизотропных тел, причем рассматривался случай, когда квазистатическое поле температуры было задано независимо от поля деформаций (несопряженная задача). Обобщение теоремы взаимности на несопряженные динамические задачи термоупругости было дано Пределеану. Наконец, Ионеску-Казимир установила обобщенную теорему взаимности для термоупругих однородных и анизотропных тел. В настоящем параграфе мы ограничимся установлением теоремы взаимности изотропных однородных тел.
Рассмотрим тело, занимающее область 5, ограниченную поверхностью А. Внешние источники приводят к возникновению в этом теле перемещений цг-(х, /) и температуры 0(х, /), а также напряжений о^Дх, /) и деформаций е^(х, t).
Будем предполагать, что напряжения и деформации непрерывны вместе со своими первыми производными, а перемещения и температура непрерывны вместе с первыми и вторыми производными для х^В-\-А, t>0. Перечисленные функции должны удовлетворять уравнениям движения
°и,Х^В, t>°>(!)
краевым условиям
^(х, /) = azy(x, /)/гу, х е А,(2)
однородным начальным условиям
мДх, 0) = 0, tit (х, 0) = 0, х С В, / = О, (3)
а также уравнению теплопроводности
V29 — (1/х) 0 — v;^ = — Q/x(4)
с краевым условием
6(х, Z) = ^(x, /), х С A, t>0
и однородным начальным условием
6(х, 0) = 0, х 6 В, ^ = 0.
Перемещения и температуры в рассматриваемом ограниченном теле возникают под действием массовых сил Х^ поверхностных сил р^ тепловых источников Q и нагрева поверхности тела до температуры О’. Обозначим эти величины следующим образом:
/=к. a; Q- Ч(5)
а возникающие перемещения и температуры обозначим через
с=м.(6)
Пусть наряду с этой системой величин / и С на тело воздействует вторая система величин
1' = ^Х\,р\;и с' = {«:, 9'}.(7)
Теорема взаимности устанавливает соотношения между этими двумя системами величин.
Закон Дюамеля—Неймана справедлив для обеих систем, т. с.
+(8)
з,7=2^74- (^' - ^Ти-(9)
Применим к этим соотношениям интегральное преобразование -Лапласа, определяемое формулами
5^ (х, р) = ср р.у (х, /)] = J е-Р^ч (X, /) dt и т. д. и
Применяя преобразование Лапласа к (8) и (9), умножая преобразованное уравнение (8) на е' , а (9) на г^ и вычитая результаты, получаем
+ *^е - ^ри - тб О,(10)
так как
(2^/j -г Ги = ^Ч) 4j •
Интегрируя (10) по объему тела В, находим тождество
f (3zXz~ ^А/)«^==7 [ (s'e — 6e)dV,(И)
Вв
которое является уже некоторым соотношением взаимности.
Преобразуем первый интеграл левой части уравнения (И)
j s^dv = j зи (е.^_ l0:y) av = J оии'и jdV=
ВВв
= J №ijUi\ j - =и, ТГ\ dV =
В
= J ^ijitjUidA — j 3jb ^ц dV.(12)
AВ
Применим теперь преобразование Лапласа к уравнению движения (1) и используем краевые условия (2) и начальные условия (3). Таким образом, получим
=ij. j + ^ = Р \А - РП1 (х> °) -“/ (Х> °)] -XС5,(13)
рЛх, p)=Tj(x, р^Пр х С А(14)
z/z (х, 0) = О, zzz (х, 0) = О, х 6В, / = 0.(15)
Подставляя (15) в (13) и затем (13)и (14) в(12),получаем
J ^t^ijdV = J р-Д1 dA + J Х^ dV + Р J P^^t dV. (12') ВАВВ
Наконец, подставляя (12х) и аналогичный интеграл J o'. s^dV в
в (11), находим уравнение
У ^pi^tр^?^ dA —j— J (X[itiX ^) dV —
AВ
+ l j(6? -6'e)d^ = 0.(12")
В
Отмстим, что в этом соотношении уже нет инерционных членов, которые входили в преобразованные уравнения (13).
в сле-(16)(16')в сле-(16)(16')В уравнения (12") входят только величины механического характера: массовые силы и поверхностные нагрузки. Поэтому уравнение (12") следует рассматривать лишь как первую часть теоремы взаимности. Чтобы получить вторую часть этой теоремы, следует рассмотреть уравнения теплопроводности с обеими системами величин / и Г. Эти уравнения после преобразования и использования однородных краевых условий запишем дующем виде:
в сле-
(16)
(16')
в сле-
(16)
(16')
V20 — (р(х) 0 — рще= —Ql^>
V26' — (pl*) 0 — рч^ = —Q'l*’ х С В,9(х, 0) = 0, 6' (х, 0) = 0, х 6 В, / = 0.
Умножая (16) на 0', а (16х) на 6, вычитая результаты и интегрируя по объему, получаем следующее тождество:
В
= рА^' -e'^dV --T^Q6' -Q'9)dV.(17)
вв
Заметим, что
J 6' V 26 dV = J 6'6, и dV = [ [(6'6 Д г - 6, Д' J dV = j 6'6, А dA -
ВВВА ’
- J 9' Д; dV = J 5Д „ dA - J Д' Д z dV. (18) ВАВ
Здесь использовано краевое условие (4) и введено обозначение 0^ = 0^щ, т. е. 0, п— нормальная компонента градиента температуры на поверхности А. Подставляя (18) и аналогичное выражение для интеграла J 0V20zdV в (17), получаем следующее в
соотношение:
J(5'0 n-Xn^dA =
А
=-e'^dV-Y-T^Q'^-Q^dV.(19)
Вв
Это и есть вторая часть теоремы взаимности. В полученное уравнение входят тепловые источники и заданная температура поверхности. Исключая из уравнений (12) и (19) интегралы, содержащие произведения объемного расширения и температуры, получаем уравнение взаимности, в которое входят обе системы величин /, Си Г, С'.
v^p j кр*Д1 — Pt^i) dA + "^р (X^r — Xiiii)dV = лв
=4 f (5'6, „ - 56,'„) dA + т j (Q6' - Q'6") dV. (20) АВ
Теперь применим обратное преобразование Лапласа и используем теорему о свертке
tt
[У. (р) А (?)] == J /. М Л С - ^) ^=J А М fxU-^ ^.
Уравнение (20) принимает вид
^z (x, t) dt^z (x, t) dtXpi (x,Xpi (x,^py(X)j|\(X, /-т) ^’^-^(Х, /-^^li^^L-
^z (x, t) dt
^z (x, t) dt
Xpi (x,
Xpi (x,
f dA (х) j Pl (х, t - т)
Ao L
X Q' k^ t) 9 (x, t — t)] dt 4- x J dA (x) j [8-' (x, 4 9, n (x, t — t) — Aи
-&(x, 4 9,'„(x, t -4] dt. (21)
Уравнение (21) справедливо как для динамических сопряженных задач термоупругости, так и для квазистатических задач. Однако функции и^ 9 и и/. , О7 несколько отличаются для этих двух случаев. В динамических задачах функции щ, 6,... являются решениями уравнений движения, сопряженных с уравнением теплопроводности, а в квазистатических задачах — ре шениями основных уравнений термоупругости без инерционных членов.
Наши рассуждения относились к случаю, когда на поверхности А задана нагрузка pi и температура Ф. Однако легко видеть, что рассуждения будут верны и в том случае, когда на поверхности А заданы перемещения и тепловой поток, пропорциональный нормальной компоненте градиента температуры 6,п. Уравнение (20) (и (21)) справедливо также и для смешанных краевых условий.
Необходимо отметить, что выведенное уравнение взаимности справедливо для однородных начальных условий. Однако легко вывести соответствующую теорему для более общего случая с неоднородными механическими и тепловыми начальными условиями.
Особенно простой вид имеет теорема взаимности для неограниченной среды. В этом случае имеем
[ (Х^ - Х'^) dV = J (Q6' - Q'9) dV, (22)
* В в
пли, после применения обратного преобразования Лапласа,
ввиихдх, t-^хдх, t-^ди\ (х, т)5^ди\ (х, т)5^
в
в
и
и
хдх, t-^
хдх, t-^
ди\ (х, т)5^
ди\ (х, т)5^
Рассмотрим далее случай гармонического изменения величин I и Г во времени. Пусть
X^x, t> = XUxVtot. рАх, ^ = р-(х)е^
Q (х, t) = Q* (х) е^‘,&(х, 0=^(x)eitot и т. д.,(24)
где со — частота вынужденных колебаний. Тогда величины «Дх, t) = Ui(x, oj)^zoV, 9(х, /) = 9*(х, w) elwt и т. д. (25)
также будут гармоническими. Сравнивая уравнения термоупругости для гармонических колебаний с этими же уравнениями после применения преобразования Лапласа (при однородных начальных условиях!), мы видим, что в уравнениях (20) и (22) следует заменить величины П;, 0, Xi,... амплитудами колебаний и*. 6*, X*,..., а параметр р преобразования Лапласа — величиной ito. Таким образом, уравнение взаимности для вынужденных гармонических колебаний запишется в виде
j (Х^Г — dV 4- f (p*u* — рГи^ dA вa
= j' (QV - Q'V) dV + x J (»'V„ - ^Q dA.(26)
ВA
Для неограниченной термоупругой среды с массовыми силами и тепловыми источниками в ограниченной области в уравнении (26) нс будет поверхностных интегралов.
Из уравнений взаимности можно получить ряд интересных выводов, а также некоторые методы интегрирования основных дифференциальных уравнений термоупругости.
Рассмотрим сначала случай, когда движения неограниченной среды вызываются только массовыми силами, т. с.
1 = <ХР 0; 0, 0), f = <Х\, 0; 0, 0).
В этом случае уравнение (22) сводится к следующему:
tв оtв оди^ (х, t— т)ди^ (х, t— т)
t
в о
t
в о
ди^ (х, t— т)
ди^ (х, t— т)
-^(х, -)-^2У—— с/т = О.-^(х, -)-^2У—— с/т = О.(27)(27)
-^(х, -)-^2У—— с/т = О.
-^(х, -)-^2У—— с/т = О.
(27)
(27)
Предположим, что в точке (g) приложена мгновенная сосредоточенная сила, направленная по оси х^ а в точке (V) —сосредоточенная сила, направленная по оси Хк. Тогда имеем
х=8 (х - ?) §,/ а\ х\=о (х - о \к э avи^и^х, /), ЛиЛ ;', Д
8 (х - 5) = § (^i - Ei) 8 (х2 - $2) о (л3 - ?3).
В результате получим
ГГdll; (х, V, t ~
рГ(х)] 8(х-?)803(т)—д-
в о L“
-8 (х - г) ч8 мjd^=°;
отсюда следует
(28)
Это означает, что скорость перемещения и/. частицы (|) из-за действия в точке (V) сосредоточенной мгновенной силы, направленной по оси Хк, равна скорости перемещения Uk частицы (|z) из-за действия сосредоточенной мгновенной силы, приложенной в точке (|) и направленной по оси Xj.
Для случая
xt=§ (х - ?) ^н л х;=Цх- §') »ikH av
где Н^ —функция Хевисайда, из уравнения (27) находим соотношение
Г, 0 = «Д5'. §> 0-(29)
Рассмотрим далее случай, когда в неограниченной термоупругой среде действуют только тепловые источники,
/={0, 0; Q, 0}, /' = {0, 0; Q', 0}.
В этом случае уравнение (22) значительно упрощается и принимает вид
f dV (х) J [Q(x, т)9'(х, t-^-Q'(x, ^9(x, t-^d^ = O. в 0
(30)
Пусть в точках (£) и (V) находятся сосредоточенные мгновенные тепловые источники, т. с.
Q(x, /) = 8(х~?)§(/), ОЦх, t) = 4x-^W).
9 = 9(х, §, /), 9' = 9'(х, §', t\(31)
Подставляя (31) в (30), находим соотношение
9'(§, Г 0 = 0 (Г. 5. t\(32)
которое является соотношением взаимности для температур. Пусть в точке (£) приложена сосредоточенная мгновенная сила, направленная по оси х,-, а в точке (V) действует сосредоточенный мгновенный тепловой источник. В этом случае 1= = №,0; 0,0}, /z = {0, 0; Q',0} и
X^Hx-^tMj. О' = Цх-<)цо, Х=о,
Q = 0, 9 = 9(х, §, /),1114= и^х, §', /).(33)
Подставляя (33) в (23), получаем
-y-J^(x) ^Цх-§)8;/8(т)=
в б
= - \dV^ f§(x-§')8(T)9(x, ?, t-^dx, (34) Вб
откуда находим
9(§', §, /)=-^мХ§, §', /).(35)
Итак, температура в точке (£'), вызванная действием сосредоточенной мгновенной силы, приложенной в точке (|) и направленной по оси Хз, пропорциональна скорости перемещения и'з^ ^ ^ частицы (£) из-за действия сосредоточенного мгновенного теплового источника, действующего в точке (V)-
Если в точке (|) приложена изменяющаяся по гармоническому закону сосредоточенная сила Хг=6(х— ^)&neito\ а в точке (5') действует сосредоточенный тепловой источник Qz =
= 6 (х — Wito\ то соотношение (35) запишется в виде
9*0Г, е, ^=-^и’Ж ?', со). (36)
Рассмотрим некоторые другие эффекты сопряжения механических и тепловых явлений, связанные с движением сил и тепловых источников в неограниченной термоупругой среде. Отправной точкой рассуждений будет здесь уравнение (23)
X J dV (х) fX J dV (х) fди^ (х, t — т)
X J dV (х) f
X J dV (х) f
= J dV (х) J [Q (х, т) 6' (х, t - -) - Q' (х, т) 6 (х, t- т)] d^.(37)
Во
Предположим,что 1 = {0,0; Q,0}, где Q= 6 (xi) 6 (х2) 6 (хз—ut). Это означает, что в неограниченной среде движется с постоянной скоростью у в направлении оси хз тепловой источник Q. Рассмотрим одновременно вторую систему тепловых источников в виде Г =={0,0; Q',0}, Q' = 6(x— х') 6 (^), т. с. предположим, что в точке (х') действует мгновенный тепловой источник. Подставляя указанные величины в уравнение (37), получаем
t
J dV (х) j 8 (xj 8 (х2) 8 (х3 - от) X
В .0
X6' (х, х2, х3; ^i- ^2, Хз, / — т) d- = J dV (х) j 8(xj — Д) X в о
X Цх2 — Хг) 8(х3 — х3) 8 (^) 6 (хр х2, х3, t — ^dx, откуда
t
б(х1, х), хз, /) = J 6 (0, 0, от; xl, хг, Хз, i — -)dt.(38)
о
Полученная формула позволяет определить поле температуры, вызванное движущимся тепловым источником, если известно поле температуры, вызванное действием сосредоточенного мгновенного теплового источника.
Перейдем к определению перемещений неограниченной среды, вызванных действием движущегося теплового источника
Q = 6 (xi) 6 (хг) 6 (хз— ^0- Поле перемещений обозначим через. иДх, t). В качестве штрихованной системы величин примем силу Х'р сосредоточенную и мгновенную, приложенную в точке (|) и направленную по оси х^ т. е. X' = S(x— ^6(1)613, Q'= 0- Подставляя Q и Г в уравнение (37), получим соотношение
- -4L f dV (х) J 8 (X - I) 6 (T) 8;. ^-Ц^Ь = ' в0
= j dV (x) J 8 (x,) 8 (x2) 8 (x3 — от) 9(7) (x, §, / - t) d^„ в 0
откуда
-^Т^ = -^!0<^ °’(39)
Здесь 0<^(х, |, /)—температура в точке (х), вызванная действием сосредоточенной силы X'., приложенной в точке (|) и направленной по оси Хг.
Рассмотрим следующую задачу: требуется определить температуру и перемещения неограниченной термоупругой среды из-за действия сосредоточенной силы, направленной по оси х^ и движущейся в направлении оси хз. Для определения вызванной этим воздействием температуры используем следующую систему величин:
Q = 0,
Q'= 8 (х-§)§(/), Х'г-О.
Подставляя (40) в (23), получаем
- у f dV (х) J 8 (х - §) 8 (т) &(Л (х, 5, t-^d^ =
Во
t
= ^. J dV (х) I* 8 (X]) 8 (х2) 8 (х3 - от) 8.} ^ММ=12к d-c, Во
откуда следует соотношение
е0'’^,хх^идо, о. от, Si, ^2, ?з. t-^dx,
* о “
У = 1, 2, 3.(41)
Здесь U^x, £, /)—перемещение частицы (х), вызванное сосредоточенным мгновенным тепловым источником Q' =6 (х—£) 6 (/). Для определения перемещений, вызванных сосредоточенной силой, направленной по оси Xj и движущейся в направлении оси Хз, примем следующую систему величин:
^ = 8(^)8 (^2) 8 (*з - ут) 8/, >
Х = 8(х_?)8(/)8;а> Q = 0, Q'= 0.(42)
Подставляя (42) в (23), получаем
J dV (X) f а (X - §) 8 (т) 8,6 -^_Lz2L dz = в 6
= J dV (х) j 88 ^ 8 (л3 - от) 8;у- dx
Во
или
дик^А.Ла,П = J_^^)(0> 0(t_^d^
j, к=\, 2, 3.(43?
Здесь через №>(х, |, /) обозначена составляющая перемещения в направлении оси Xj, вызванная действием сосредоточенной силы X' = 6(х-5)б(0 6гк, приложенной в точке (|) и направленной по оси Хь
Формулы (38) — (43) справедливы как для динамических, так и для квазистатических задач термоупругости.
Мы рассматривали для простоты случай, когда тепловой источник или сосредоточенная сила движутся с постоянной скоростью, но можно найти соответствующие выражения и для случая, когда скорость движения переменна.
Обобщение теорем Сомилиано и Грина в термоупругости
В эластостатике устанавливаются формулы, связывающие перемещения щ внутри тела с перемещениями и нагрузками на его поверхности. Эти формулы носят название теорем Сомилиано и Грина^. В настоящем параграфе мы дадим, используя обобщенную теорему взаимности, аналогичные формулы для термоупругости. Эти формулы будут выражать перемещения иг
Треффц Е., Математическая теория упругости, ГТТИ, М., 1934.
5 Заказ № 362
и температуру 0 внутри тела через распределения перемещений иг, нагрузки pi, температуры 0 и производной от температуры 0, п на поверхности тела.
Применяя преобразование Лапласа к уравнению, выражающему теорему взаимности, получаем (см. (20) § 1.12)
W f V^tUi — Х-д^ dV + W J kPt^t — P^^ dA =
ВA
= T J (Q 6' - Q'0) dV + ч J (И „ - Ц' „) dA,(1)
ВA
где
u^x, p^ = 2'\ul^x, /)]=Jm;(x, t)e~ptdt и т. д.
о
В этом уравнении I=^Xt, pi, Q,^}—система величин, вызывающих движение тела, причем Xi — массовые силы, Q — интенсивность тепловых источников, pi — нагрузки на поверхности, Ф — температура поверхности. Величины C=^Ui, 0} суть перемещения и температура, возникшие под влиянием нагрузок и нагрева. Через Г = ^Х^, р'., Q', '&'} и С' = {и', 0'} мы обозначили вспомогательную систему величин. Далее напомним, что в этом уравнении: т]=уГоМо, То — абсолютная температура тела в естественном состоянии, Хо — коэффициент теплопроводности тела; у= = (3Z + 2ц)а/, X, ц— постоянные Ламе (замеренные в изотермических условиях), at — коэффициент линейного теплового расширения; x=Z0/ce, се — удельная теплоемкость при постоянной деформации.
Для определения функций пДх, t), 0 (х, 0, хеВ, t > 0 используем две системы штрихованных величин. В качестве первой возьмем мгновенную сосредоточенную силу Х' = 6 (х—|) 6 (/) Ь^, приложенную в точке (|) и направленную по оси Xj, причем будем считать, что она воздействует на неограниченную среду; вызванные этой силой перемещения и температуру обозначим через и'.=и^(х, |, £)и 0' = С^(х, |, 0- Эти функции определим путем решения системы, состоящей из уравнений движения и уравнения теплопроводности,
DikVU^(x, §, OHHx-WO^^/Ux, §, 0.(2)
□Wx,U)-<Hx,UM. хЛ^В, t>0(3)
с однородными начальными условиями
Г^х, §, 0) = 0, О^(х, £, 0) = 0, С^х, §, 0) = 0, хЛ£В, t = 0.(4)
В этих формулах введены следующие операторы
:^v2-№H, dt = didt.
Итак, будем предполагать, что функции №, № найдены; они являются функциями Грина для неограниченной среды. Подставляя Х' = 6(х— £,■) 6 (С) btj, u'. = Uti\ 6' = С^ в уравнение взаимности, получаем следующее выражение для функции «з^, Р)-
и,^, Р) = $Хг(х, р^ШЧх, §, p^dV (х) —
В
--Mq(x, р)С“Чх, §, pWUH
+ J [а (х> Р) w (X, §, р) - pV3 (х, ?, р) Ut (х, р)\ dA (х) - А
-■^S в"<х, р)С(Л(х, §, р^-
— 5(х, 1)С^(х, §, р)] <М(х).(6)
Здесь p^so^rik, где а^—напряжения на поверхности, вызванные действием сосредоточенной силы X'=6(x— |)б(^)бгд
В качестве второй штрихованной системы величин возьмем сосредоточенный мгновенный источник Q' = 6(x— |)6(/), действующий в точке (g) неограниченной термоупругой среды и вызывающий перемещения ^^^(х, £, /) и температуру 6/=7/(х, |, /). Последние функции являются, таким образом, решением системы уравнений
Dtj\W4x,^ 0\=-;Н,ЛхЛ. О, Л у = 1, 2,3,(7)
иХн^х, §, /)-*,6(х, §, 0 = -№Цх-^Ц0,
хЛСВ, ^>0,(8)
с однородными начальными условиями
Ws<x, 0) = 0, Wt(x, §, 0) = 0,
Н(х, §, 0) = 0, хЛСВ, t = 0.(9)
В дальнейших рассуждениях будем считать, что функции Грина Wt, Н известны. Подставляя Q'=6(x — |)6(Z), u'. = Wt, 0х =Н в уравнения (1), получаем следующее соотношение:
6(§, P) = SQ^x’ Р^х’ PWW~ В
-^^(х, pWAx. §, p)dVm
+ J^J[-(X) р^Ах, 5, р)-р^Чх, §, р^йАх, p)]dA(x)-
-xj[77(x, §, pf6,n(x, р)-Цх, р)Н,Ах, §, p)\dA(x\ (10) А
Здесь pW=^Q)nj, где о^ — напряжения в точке хеЛ, вызванные действием сосредоточенного мгновенного теплового источника Q'..
Применяя к равенствам (6) и (10) обратное преобразование
Лапласа, получаем
•С Г 'М^ (X, L Т)
му(?, /) = Р4^(Х> t-A l.^dJ_dVW- 0 В"
-лаЛЦ^ t-^Hx. е, д^(х) + ' о в
+w
0 A
Г . ,. duUAxA,^
[a(x, t ДdT
дрУ^ (х, |, т)
-u^x,dA<xW
+ J j [6,«(x> T) ^(x, t — A — 0 A
(11)(11)-^(X, AC(,nn(x, §, /-T)]M(x),
(11)
(11)
6 (§, A = f dz f Q (x, A H (x, t - t) dV (x) -
б в
_XP_\d^\xAx, t~AdWj- kxd^-dV^- ‘ о в
dWj (x. t)dWj (x. t)
dWj (x. t)
dWj (x. t)
др^ (х, т)
-^z(x,dA^-
t
о л
-»(х, 1-^Н1П^ 5, ^\dA^Y (12)
Формулы (11) и (12) являются обобщением формул Сомилиано на динамические задачи термоупругости. Они позволяют определить перемещения Ui и температуру 0 в точке |^В по заданным на поверхности функциям щ, pi, $, 0,п, когда известны функции Грина №, №, Wi, Н для неограниченной термоупругой среды.
Соотношения (11) и (12) можно несколько упростить, если принять во внимание, что функции № и Wj связаны зависимостью
ГД5, X, о = --^-сиЧх, I О, (13)
которая получается из формулы (35) предыдущего параграфа.
Соотношения (11) и (12) принимают значительно более простой вид, если функции №, №\ Wi, Н относятся нс к безграничной среде, а к телу 6, ограниченному поверхностью А. Итак, предположим, что в точке |еВ этого тела приложена сосредоточенная сила Х' = 6(х— £) 6(^)6ц, вызывающая перемещения № и температуру №. Эти функции должны удовлетворять дифференциальным уравнениям (2) pi (3) с начальными условиями (4) и со следующими краевыми условиями:
^(х, §, 0 = 0, С(Л(х, 0 = 0 на А,
х С А, е В, t>0.х С А, е В, t>0.(14)(14)
х С А, е В, t>0.
х С А, е В, t>0.
(14)
(14)
Функции Wt, Н, связанные с действием сосредоточенного теплового источника Q' = 6(x—|)6(0, должны удовлетворять дифференциальным уравнениям (7) и (8), начальным условиям (9) и краевым условиям
W^x, ?, 0 = 0, Н^х, ?, 0 = 0 на А,х^ A, 1ев, t>0.
Для вновь определенных таким образом функций №, №, Wi и Н соотношения (11) и (12) запишутся следующим образом:
•Г ГдСГ^ (х, |, т)
и, (§, о = I Л J х, (х,/-.)dV (х) -
о в
^^d^Q (х, т) С№ (х, i / - т) dV (х) -
1 v о в
р /1(х В
— j d* ) и, (х, / — т) —-—X-’—dA (х) + о л“
+ Л- f dx f & (X, 4 6Л (х, §, / - ^) dA (х),(16)
71 б А
0(§, O = J^Jq(x) т)Н(х. §> t-^dV^- о в
f f. dW-, (x, |, t)
- — J dx\ Xj (x, / - t)L1^^-^ dV (x) +
о в
TIL Г Г(X, L
+ ^_J^JM;(X> t_^ PlV % * dA(x) +
+ xJ<ZtJ&(x, т)Я,„(х, §, t-^dA^xy (17) 0 A
По формулам (16) и (17) можно определить перемещения ut и температуру 0 в точке |eS, если на поверхности А заданы перемещения и температура -О*. Формулы (16) и (17) являются обобщением теоремы Грина классической эластокинетики на динамические задачи термоупругости.
Когда на поверхности А заданы перемещения Ui и составляющая 0,п градиента температуры, функции №, № должны быть подобраны так, чтобы на поверхности А удовлетворялись краевые условия
^/^О, С*^ = 0.(18)
Аналогичным образом следует удовлетворить условиям
W—0, Н,п = 0 на поверхности А.(19)
Рассмотрим еще случай, когда внутри тела приложены массовые силы Xi и тепловой источник Q, а на поверхности А заданы нагрузки рг и температура А. Функции и'. , 0' следует
подобрать таким образом, чтобы на поверхности А были удовлетворены условия //=0, 0'—0.
Возьмем внутри области В (или на поверхности А) произвольную точку хх и потребуем, чтобы перемещения и вращение этой точки были равны нулю. Пусть теперь в точке ^^В приложена сосредоточенная мгновенная сила Х/ = б(х— I) 6(^)6^, направленная по оси xj. Эта сила вызывает перемещения №(х, g, t) и температуру С^(х, |, /). Функции № и С^ должны удовлетворять дифференциальным уравнениям (2) и (3), начальным условиям (4) и краевым условиям
==с(/) = о(20)
на поверхности А. Здесь
=Vk = 2^$^ + (Xs^ — уС(7)) bik , где
^, = (1/2)(^ + ^).
Пусть в свою очередь в точке |еВ действует сосредоточенный мгновенный тепловой источник Q/ = 6(x— |) 6 (/), вызывающий перемещения ^(х, |, /) и температуру Н(х, §, /). Эти функции мы получим путем решения системы уравнений (7) и (8) с начальными условиями (9) и краевыми условиями
Р1 = ^1кПк = 0, Н = 0 на Л,(21)
где
о1к = 2^чк^(^88 — ^H^ik, 4k=(?U) (^hk^r W клУ
Для определенных таким образом функций №, №, Wt, Н уравнения (11) и (12) запишутся в виде
•Г ' I-dl№ (X, 5, т)
и, (;. /) = ( йт J X, (X, / - .) —Ц-dV (X) -
6 в
-Л-^Аб(х, рсиЧх, §, t-^dV(xH
1 6 в
С ГduV'^ (X, т)
+ J ^ f А-(х, / -.-).^dA (х) 4-
0 А
-VxrVA^^' С^« <х’ ^ dA (х)’<22)
о л
6(§, т) = J dx J Q (X, ^Н(х, I, t - -с) dV (х) - О в
- j d-. J Xt (x,dV (x) -
+ zp-j4(x, t-^H.^x, 5, ^dA(xy (23) U A
Если функции №, С(Л Wi, H известны, то по формулам (22) и (23) получаем решение следующей задачи термоупругости: определить перемещения и температуру внутри тела по заданным массовым силам, тепловым источникам, поверхностной нагрузке и температуре на поверхности. Соотношения (22) и (23) можно рассматривать как обобщение второй теоремы Грина эластоки- нетики на динамические задачи термоупругости.
Обобщение метода Майзеля на задачи термоупругости
Рассмотрим ограниченное тело, подверженное действию массовых сил и тепловых источников. Пусть на поверхности А заданы смешанные краевые условия: на части поверхности заданы перемещения Ui и нормальная компонента градиента температуры к, а на остальной части — нагрузки pi и температура $. Следовательно, мы должны решить систему дифференциальных
уравнений
tw2^z + (a i1) с 1= p^z ~т т^> /,(1)
V29_(1/x)Q_^=_Q/x(2)
с краевыми условиями и^и^ в1П = к на Аи,
Pi = ^tjnp 6 = 9 на Аа, А = Аи-^Аа(3)
и однородными начальными условиями
^z (х, 0) = 0, и^х, 0) = 0, 6(х, 0) = 0.(4)
Вместо непосредственного решения этой системы мы используем теорему взаимности, подбирая соответствующим образом
штрихованную систему величин. Итак, определим для тела той же формы перемещения и' и температуру 6' из уравнений
;jbV2«i4^-r^C/==P«i-rT^i>(5)
V^ — (1/х) 6' -т^-аМЧх-^ЧО(6)
с краевыми условиями
иг = 0, 9, „ = 0 на Аи,
Pt = O, 9=0 на А,(7)
и однородными начальными условиями
zz; (х, 0) = 0, щ^х, 0) = 0, 9г (х, 0) = 0.(8)
Следовательно, штрихованная система величин описывает действие сосредоточенного мгновенного теплового источника Q'=6(x —1)6 (/) в точке (|), причем мы предполагаем, что массовые силы отсутствуют, ^(=0, а краевые условия на Аи и на Аооднородны.
Будем считать, что функции Грина и'.^ |, /) и 0х (х, |, /) определены из уравнений (4) и (5) и, следовательно, известны. Подставляя Q' = 6(x — |)6(/), Х'. = 0 и и', 0х в уравнение взаимности (21) § 1.12, получаем следующее соотношение:
9(§, O^J^Cx) J<?(x, т)9'(х, |, t-^d-.- Во
-^|^(х)]Х;(х, ^)-^^-d.-
‘ в б
-X ^dA(x) f$(x, -)9.'„(х, 5, /-т)^ +
Ааб
+ у. ^dA (х) 9' (х, §, t — т) к (х, т) d- —
-"Т J (х) J А (х,—— d^A-
А3б
+ ^ J <1А (х) j «г (х, .) -^^ d-..^
Аи0'
Это соотношение охватывает ряд частных случаев, поскольку в нем учтено влияние различных факторов, вызывающих
изменение температуры (содержащихся в правых частях уравнений (1) и (2) и в'Краевых условиях (3)). Итак, например, если Хг = 0, Qt = O, 6 = 0, ut = 0 на Ли и рг = О на АО1 то
9 (§, /) = — х J dA (х) J & (х, т) в' п (х, §, t — т) Д^.0
Для определения перемещений at возьмем иную вспомогательную штрихованную систему величин. Предположим, что при отсутствии тепловых источников Q' приложена в точке (g) мгновенная сосредоточенная сила Х' = 6(х— g)Stj6(/), направленная по оси Xj. Введем обозначения
Ui = l/? (хл> о. ^СмЧхЛЛ\
Функции и'. и 9' должны удовлетворять дифференциальным уравнениям
p-v W + (а + ц) U^.kt + 8 (X - ?) ^ 8 (/) = риУЧчСи1, (10)
Г2С(Л-(1/х)С(Л-^\ = 0,(11)
краевым условиям
0^ = 0, С^л = 0 на Аи,
р\п = <^Пк = о, ^ = 0 на Ао(12)
и однородным начальным условиям.
Будем предполагать, что функции №, № уже определены. Подставляя ^' = 6 (х —|) 6ij6 (/), Q' = 0 в уравнения взаимности (21) § 1.12, получаем соотношения
сгMh (х, 5, А
и, (§, 0 = j dV (х) j X, (x, t - x) —d-. -
Во
--^pytxjQtx, 1 в о
СсdUkA (X, т)
+ j dA (х) j pt (х, t - т)^dx -
A30
- J dA (x) f ^ (x, §, t - x)+
Au0
+ J(ZA(X)J&(X, T)C^(x, §, Z-T)^- A-0
t
(МДО^М, М^М^Л=1Д 3. (13)
Мы получили формулу, которая дает возможность определить величину Uj в точке (|). Подинтегральное выражение в правой части соотношения (13) содержит известные распределения Х^ Q, pi, и^ А, к и найденные из уравнений (10) и (11) функции Грина.
Уравнения (13) являются аналогом формул Майзеля для несопряженных задач, т. с. для упомянутой ранее теории тепловых напряжений. Аналогия состоит здесь лишь в использовании сходных функций Грина. Однако формула (13) значительно отличается от формул, данных Майзелем. В методе Майзеля нет формулы (9), поскольку температура определяется там на основе классического уравнения теплопроводности, не учитывающего влияния поля деформации на температуру. Поэтому данные Мей- зелем формулы для перемещений, соответствующие соотношению (13), отличаются большей простотой. Метод Майзеля будет изложен в § 1.18 применительно к стационарным задачам термоупругости.
L15. Задачи со смешанными краевыми условиями
В предыдущем параграфе был описан некоторый подход к решению задач термоупругости со смешанными краевыми условиями. Использованные там функции Грина для перемещений и температуры определялись в соответствии с этими краевыми условиями. Изложим теперь другой подход. Будем пользоваться новыми функциями Грина, построенными для тела той же формы, но с однородными краевыми условиями. Такие функции Грина определяются гораздо проще. Мы покажем далее, что решение задачи со смешанными краевыми условиями можно свести к решению системы интегральных уравнений.
Рассмотрим односвязную область В, ограниченную поверхностью А, причем на частях Аи и Аа этой поверхности заданы разные краевые условия. Для простоты будем предполагать, что на части А^ перемещения равны нулю, причем она считается теплоизолированной. Впрочем, можно было бы принять, что на поверхности Аи заданы ненулевые перемещения и тепловой поток.
Пусть на поверхности Ао заданы нагрузки pt и температура й, а внутри тела действуют массовые силы Хг и тепловой источник Q. Будем считать, что система {Х^, рг-; Q, $} начинает действовать в момент /=0+, т. е. начальные условия будем
считать однородными. Точку, расположенную внутри тела, будем обозначать через х, а точку на поверхности — через |.
Перемещения и температура должны удовлетворять системе уравнений
О.ДиДх, /)]+^,-(х, 0 = 19,Дх, 0,(1)
□з9(х, О — 'гДк,Ах, 0 = —O!OQ^. О- х Е В, />0, (2) где
DM =+ (X + a) д^, Z5 = V2 - 010 dt,
краевым условиям и-^, 0 = 0наА„,lEAu,t>0,
aij^> Oj = PiнаA=’SEAa,t>0,
9,Ж 0 = 0наA„,§ С Аи,t>0,
6(5, /) = ^ на А,, § 6 Ла, />0(3)
и начальным условиям
zzz (х, 0)=0, zz (х, 0) = 0, 6 (х, 0) = 0, х С В, / = 0.(4)
Для решения нашей задачи рассмотрим несколько простых вспомогательных задач с одинаковыми краевыми условиями на поверхностях Аи и Ла. В качестве основной системы рассмотрим тело В, свободное от нагрузок на поверхности Л, причем Ф=0 на Аи и Аа. Будем воздействовать на это тело сосредоточенными силами и тепловыми источниками. Для того чтобы тело было неподвижным, достаточно закрепить одну его точку. Итак, пусть на основную систему воздействует приложенная в точке (xz) мгновенная сосредоточенная сила, направленная по оси а. Эта сила вызывает в теле перемещения №(х, xz, t) и температуру С^(х, х\ t). Мы должны найти решение уравнений движения и уравнения теплопроводности
О^ИЧх, х, t^A-o^x-x'y^O^i^iC^Kx, х, t\ (5) ПзС№(х, х, О-^ДДх, х , 0 = 0, х, х ЕВ, />0(6)
с однородными краевыми условиями на поверхности А=Аи+А0У)^, X, Дп5 = о, ЕЕ A, t>0,
CW(|, х', /) = 0, | Е А, />0?
и однородными начальными условиями
М*Чх, х', 0) = 0, и^Чх, X, 0) = 0, Cw(x, х', 0) = 0,
х, х' 6 В, / = 0.(8)
В дальнейшем будем предполагать, что решение №\ С^ этой более простой задачи известно заранее.
Далее пусть на основную систему действует сосредоточенный мгновенный тепловой источник Qz = 6(x— x')S(/), помещенный в точке (xz). Перемещения Ж(х, xz, f) и температура Н(х, х', t), вызванные действием этого теплового источника, должны удовлетворять системе уравнений
D^W^x, х', П\ = ^На^ х', t\(9)
Пз/7 (х, х, /) — т^^Дх, х, /) = — (1/х) 8(х — х') 8 (О,
х, xr Е В, t>0,(10)
краевым условиям
^(S, х', ^)^у- = 0 на А, ^ Е А, />0,
Н^ хг, /) = 0 на А, 5 6 А, />0(И)
и начальным условиям
W^x, х’, 0) = 0, U7z(x, х\ 0) = 0,
Н (х, х', 0), х, х' 6 В, / = 0.(12)
Здесь о^—напряжения, вызванные действием сосредоточенного мгновенного источника. Условия (11) означают, что поверхность А нс нагревается и свободна от нагрузок. Предположим, что функции W^H для свободной системы определены, и будем считать их в дальнейшем известными. При решении задач со смешанными краевыми условиями весьма полезной является теорема взаимности
Л^ | ^XiUt — Xtit^dV 4- Tjx^ j (piUi — pi,u^ dA = вA
= T J(Q6' -Q^dv A-Ч J (R„ -^'n)dA.(13)
ВA
В качестве штрихованной возьмем здесь основную систему
с сосредоточенной силой ^'=-6 (х — х')6(06гй, вызывающей перемещения UW и температуру ОХ В результате получим
W J R (х, pWVx, х', /?)-§(x-x')§Z6ti;(x, p^dV (х) + В
+ w J "pAl. рЖ^Ж x', p)dA (§) =
Au^A=
= tJq(x, /?)Cw(x, x', p)dV(x) — В
-ч J »(?, Р^Ж x, pW (14)
Мы использовали здесь краевые условия (7). Обозначим через /?г(|, ^=рг^ /) неизвестные силы реакции на поверхности Аи, а через @(g, /) неизвестную температуру на Аи. Уравнение (14) приводит к следующему функциональному соотношению:
иЖ. рЖ^х, р) + S^i^’ ^^(^ х', p)dA(^H- Аи
-Y^- ^ё^, р)^(^, х, p)dA^, I, к=\, 2, 3.(15)
Здесь
UiW, />) = Ja'z(x, p^W4^ х', p^dVAA-V В
+ Ja(^ pW^, x', pw^-v
+ -^ J»^ Р^Ж, X, p)dA(^-
-A^SQ<x- P)^W^ x'- ^)^(x)(!6)
p в
известная величина, так как известны все подинтегральные функции. Вернемся к уравнению взаимности (13) и подставим в него функции u'. = Wt и О^Я, которые являются решением
системы уравнений (9) и (10) для сосредоточенного мгновенного источника. В результате имеем
Vjpjxz(x, р^Дх, х', p^dV^-Y в
+ W J А (5, р) Wi d, х, р^ dA (§) = Аи^А=
= Т HQ (х, />) н (х, х', р) - О (X - х') 9 (X, /?)] dV (х) — В
~Ч J »(§, р) Н,п^, X', pW^Y (17)
при получении которого были использованы краевые условия (11). Введем обозначения pi,=Rt, '&=© на поверхности Аи. Тогда из (17) следует, что
9(х', а) = 0о(х\ Р^-^ f^d- pW^, х', p^dA^-
Аи
-z fed, p)H.n^, х', pWKY (18) Аи
где
%(х', p) = ^Q(x, р) Н (х, х', р) dV (х) — В
-ЛУ^ХДх, р^Дх, X', 1 в
—^Vpi & Р^ ^ & х’> Р^ dA (I) -
— х J^(i Р^Н,п^, х, p)dA^\ (19)
Поскольку все подинтегральные функции известны, отсюда можно вычислить величину^.
В функциональные соотношения (15) и (18) входят две неизвестные функции, а именно: распределение на поверхности Аи сил реакции Ri(^,, 0 и температура 0(|, f). Для определения этих функций мы располагаем краевыми условиями (3) на поверхности Аи. Для точки (V) эти условия имеют вид
ик^', 0 = 0, <?©(§', t)ldnr = 0, §' е Д„, />0.(20)
Устремляя точку (xz) к (|'У на поверхности Аи, получаем следующую систему интегральных уравнений Фредгольма первого рода:
0 = «Ж> р)+ U(5> рМЧ^ Г p)dA® +
Аи
+ -Lj0(§, р)^^ С рМ), (21)
А и
[0(g, p^^^P^dA^, z, £=L 2, 3.(22)
Решая эту систему уравнений, мы получаем функции Ri, 6 на поверхности Аи. Подставляя Ri, 0 в функциональные равенства (15) и (18), находим величины и&(х', р), 0(х', pY Наконец, применяя к (15) и (18) обратное преобразование Лапласа, находим
й^х, tWa^x^ tH^ V^S '”и^ х, t-^dA^-V 0 Аи
+ 4-рт J0(§, т)^^, х , t-^dA®,(23)
0 Аи
Цх', /)=60(х', A-^\dx ^A^ALw.^, X't t_^dA^- 0 Аи
-x\dx^^, ^Н,п(£, х', t-^dA (§).(24)
0 Аи
Мы видим, что «центр тяжести» решения перенесен на систему интегральных уравнений Фредгольма (21) и (22). Простота использованных в настоящем подходе функций Грина достигнута ценой сложности интегральных уравнений.
Изложенный метод может быть использован прежде всего в теории пластин и оболочек со смешанными краевыми условиями. Функции Грина для однородных краевых условий находятся здесь сравнительно просто, особенно для гармонических колебаний.
Уравнения классической эластокинетики
В основе классической эластокинетики лежит предположение о весьма медленном теплообмене между отдельными частями тела. Если за промежутки времени порядка периода колебательного движения теплообмен практически не происходит, то каждая часть тела может рассматриваться как изолированная в тепловом отношении, а движение как адиабатическое.
Основные соотношения классической эластокинетики мы выведем из общих уравнений термоупругости
(х + :Ч ub = рмг -не, г, (Л
уу — (1/у) 6 —'^ = 0, [л = иг, Х = ХГ.(2)
Мы считаем, что тепловых источников нет, а поверхность тела теплоизолирована. Величины цт и Хт относятся к изотермическому состоянию тела. Вместо уравнения теплопроводности (2) можно в соответствии с рассуждениями § 1.3 рассматривать систему уравнений
Tos = Xo9,jp Tos = To^-V- с Л(3)
Для адиабатического процесса имеем s=0, s = const. Из уравнений (3) следует, что в этом случае
М,уу = 0, 6=-№Е<е.(4)
Интегрируя второе из уравнений (4) по времени и принимая во внимание, что е = 0 и 6 = 0 в момент Z=0, получаем
6=—-/;гхе, т1т = tTTol(c$x),(ЗХГ + 2y,r) а,.(5)
Мы видим, что в адиабатическом процессе температура пропорциональна объемному расширению. Уравнение (5) заменяет уравнение теплопроводности. Подставляя (5) в закон Дюамеля—Неймана
^ = 2р.г$/;+(Хте-Тг9)8гу,(6)
находим соотношение
где
^ = Р-г. ^ = ^t + It%*-(8)
Записывая закон Дюамеля—Неймана с использованием девиаторов
sij= ^i^ij > ^kb-SKr^ 3az9)(9)
6 Заказ № 362
и подставляя сюда (5), получаем следующие формулы:
Sij = ^е^, ом = ЗК^,(10)
где
K5s=Kt + w(t-
Мы получили, таким образом, соотношение между адиабатическим модулем сжимаемости и изотермическим модулем сжимаемости.
Наконец, подставляя (5) в уравнения в перемещениях (1) и исключая температуру, получаем
^тиь ц + (^г + Р-г + ^^тТт) ир jt += №>(11)
РЛ, jj + (Ps + ^s) Up Г + Xi = ^i-(1 1')
Как известно, уравнения (11) можно разделить на две системы, если использовать представление вектора перемещения и вектора массовых сил в виде суммы потенциальной и соленоидальной частей:
u = grad Ф + го1ф,Х= р (grad& +rot х).
Подставляя (12) и (13) в уравнение (11), получаем
где
№ = (Х5 + 2^)/р> (^2)5 = IS/P-
Через (ci)s и (с2)з здесь обозначены скорости распространения продольных и поперечных волн. Заметим, что между скоростями продольных волн для адиабатического и изотермического состояний имеются, согласно (8), следующие зависимости:
(<?1)» = (<?1)г + ^тТг/р’ (C2)s = (d)r.(16>
Мы не будем обсуждать методов решения системы уравнений (II) с соответствующими начальными и краевыми условиями. С этими методами читатель может ознакомиться по любому достаточно полному курсу теории упругости или по монографиям, специально посвященным эластокинетике. Однако представляется целесообразным дать несколько замечаний от-
носительно вариационных и энергетических методов. В § 1.11 ♦была изложена общая вариационная теорема с использованием вариаций напряженного и деформированного состояний. Первая часть этой теоремы описывается уравнением (9) § 1.11
8U7 = J (X, — pz^z) ^utdV + J p^dA — Tr j 9 ^e dV,(17)
вав
тде
wЦUIч^i-v±гeA Ду.
Здесь U7 — работа деформации, причем постоянные Ламе, входящие в функцию 117, соответствуют изотермическому состоянию.
На основе предположения об адиабатичности температура выражается формулой
6= — тл^е.(18)
Подставляя (18) в (17), получаем следующий вид вариационной теоремы:
8Г= ^Xi-pii^^dV-V- ^p-MdA, (19) ВА
тде
= J Us^f-ij-V^yeAdV, 1^ = 1^, ^ = ^ + Тт71г'- В'
Уравнение (19) выражает известный в эластокинетике принцип виртуальной работы (принцип Лагранжа).
Подставляя теперь в уравнение (19) действительные приращения перемещений и деформаций
^u^^da^dt) dt = ruldt, ozii = ^dziJldt) dt^z^dt и т. д.,
.находим соотношения
4 (W* + К) = J dV + J р^ dA,ВА
К = ^(20)
В
Мы получили основную энергетическую теорему эластокинетики. Это уравнение можно использовать, в частности, для доказательства теоремы единственности решения дифференциальных уравнений эластокинетики .
Теорема взаимности, полученная в § 1.12, также значительно упрощается для адиабатического процесса. Напомним, что утверждение теоремы состояло из двух уравнений. Первое из них после применения преобразования Лапласа (с однородными начальными условиями) принимает вид
j (Х^ — XiUi) dV + J (ptUt — piU?) dA 4
ВA
+ Trj(e?-^dV = 0,(21)
В
где
мг (x, p) = \ и, (x, /) e~pt di.и
Подставляя соотношения
6 = — ^qTe, 9' = — xr^e(22)
в (21), мы убеждаемся, что последний интеграл в уравнении (21) равен нулю. Применяя к (21) обратное преобразование Лапласа, имеем
t
j dV (х) j [Xz (x, т) a'i (x, / — t) — Xi (x, t) Ui (x, t — t)] d^ + в о
t
+ j dA (x) J \pi (x, T) Ui (x, t — t) — p'i (x, t) Ui (x, t — t)] d^ = 0. A0
(23)
Мы получили известную теорему взаимности классической эла- стокинетики. На основе уравнения (23) можно построить ряд методов интегрирования уравнений при различных краевых условиях1 с использованием функций Грина для перемещений. Добавим, наконец, что рассуждения, проведенные в § 1.2, приводят к следующим соотношениям для свободной энергии и энтропии в адиабатическом состоянии:
/ =s = 0.(24)
В дальнейшем мы неоднократно будем сопоставлять решения термоупругих задач с соответствующими решениями задач классической эластокинетики. Располагая точными решениями термоупругости для тел, подверженных воздействию массовых
и поверхностных сил (при отсутствии тепловых источников и тепловом изолировании поверхности тела), мы будем производить некоторые формальные предельные переходы и получать решения в приближении классической эластокинетики. Структура уравнений (1) термоупругости и уравнений (И) классической эластокинетики показывает, что такой переход состоит в принятии ут = 0 и замене постоянных Ламе цт и лт адиабатическими ПОСТОЯННЫМИ Ps И As.
Следует подчеркнуть, что этот переход имеет чисто формальный характер. В самом деле, допущение ут = За;/( = 0 соответствует лишь некоторой фиктивной среде с нулевым коэффициентом теплового расширения. Далее равенство ут = 0 приводит в соответствии с (5) к равенству 0 = 0. По этой причине переход уг = 0, pT = ps, Аг = ^, дает правильные результаты только для перемещений и^ деформаций е^- и напряжений о^ соответствующих задаче эластокинетики. Что же касается результата 0 = 0 для температуры, то он неверен и должен быть заменен правильным решением 0 = —кт\те.
Уравнения теории температурных напряжений
Рассмотрим случай, когда деформация тела вызвана изменяющимся во времени нагревом или охлаждением на поверхности тела, а также действием тепловых источников, в то время, как нагрузки и массовые силы отсутствуют. При этих предположениях основные уравнения термоупругости имеют вид
W, jj + (^ + Р-) Uj, ji = Pui + Т®, i >0)
^jj-(l^-^=-(QW.(2>
Эта система сильно упрощается, если пренебречь членом —це в уравнении теплопроводности. Такое пренебрежение оправдывается тем, что член —тщ представляет собой поправку порядка (cG — c^jc£ по сравнению со вторым членом уравнения (2) Таким образом, получаем более простую несопряженную систему уравнений
^Ui' а ~Т (^ + I) Uj, ji ^i + I®, i ’(3)
^j-(W=-Qk(4)
где p, = p,T, Z = at — постоянные Ламе для изотермических условий.
Уравнение (4) с краевым и начальным условием дает возможность определить независимо температуру 0, которая может рассматриваться далее в уравнениях (3) как известная функция. Член у05?- в уравнениях (3) вполне аналогичен массовым силам. Используя методы классической эластокинетики, можно определить из уравнений (3) перемещения, разумеется •с использованием краевых и начальных условий. Система уравнений (3) и (4) значительно проще по своей структуре, чем точные уравнения эластокинетики, и поэтому решение этой системы сопряжено с несравненно меньшими математическими трудностями.
В дальнейшем мы будем называть систему уравнений (3) и (4) несопряженными уравнениями термоупругости или, короче, уравнениями теории температурных напряжений.
Обсудим вкратце методы решения системы уравнений (3) и (4); читатель, желающий более детально ознакомиться с этими методами, может использовать монографии1-4.
Используя разложение вектора перемещений на потенциальную и вихревую части
и = grad Ф + rot ф,(5)
получаем из (3) следующую систему уравнений:
/ Vу- д2 Ф = пг^, m ее -[/(X2’1),(6)
fv2- =(7)
\С2
В неограниченной среде действие тепловых источников приводит к возникновению лишь продольных волн, так как в этом случае ф = 0. Выражение
Ф(х, /) = -^J -^^l-dV^,(8)
где R(x, §)—расстояние между точками (х) и (g), является частным интегралом уравнения (6). Область интегрирования есть сфера, центр которой расположен в точке (х), а радиус
равен R = cit. Формула (8) справедлива для тела, которое в начальный момент свободно от напряжений и неподвижно. По известной функции Ф легко рассчитать перемещения, деформации и напряжения, т. е.
«/ = фа> = е = фуу’ (9) в;у = 2а(Ф,/у-8гДм) + р8;уФ. (Ю)
В ограниченном теле возникнут как продольные так и поперечные волны. Перемещения щ составим из частного интеграла u<°) = gradO^ + rot ipW следующей системы:
fv2V ^) ф<0) = т6’(11)
\ С1 /
(тМЙф"-0(12)
и общего интеграла Ф^, ф^ системы
(13)
(vMllN*'"=0-(14)
Решение уравнений (6) и (7) для неограниченной среды также можно представить в виде суммы частного интеграла и^=ф(0) и общего интеграла и" однородной системы
у7НЛХ + |Л)мЛ Д ==Р«о(15)
Последнее уравнение можно записать также в операторном виде
=(16)
где
Ltj = 80ci ^ад^, а^ V2 - (1/^) dV
Выражая и" через три функции фг (i=l, 2, 3), u\=\z&4^a^-dtd^ i, j=\, 2,3(17)
и подставляя эту формулу в (15), получаем систему трех биволновых уравнений для определения функций фг,
□^z = 0,= V2-(l/ci)d2, /=1,2,3.(18)
Полученные уравнения являются однородными уравнениями
эластокинетики; функции фг- можно рассматривать как обобщение функций Галеркина на задачи эластокинетики.
Решение уравнений (3) можно представить также в другом виде, вводя обобщенные на динамические задачи функции Пап- ковича—Нейбера,
А = ф;°Н4(1z=l, 2, 3, Ф = хД + %.(19)
Эти функции должны удовлетворять уравнениям
G^o + xzD^=O, П^ = 0.(20)
Уравнения движения мы записывали в перемещениях, однако можно использовать и выведенные в § 1.4 уравнения в напряжениях. Такое представление уравнений движения удобно в тех случаях, когда краевые условия заданы в напряжениях. Если в уравнения (3) подставить деформации
= С/2) U^u j + ^;, i)’
то получатся уравнения
66 + (х + Р-) ®бб, ч — Т9, 4 = ^4-(21)
Выражая деформации через напряжения с использованием соотношений Дюамеля—Неймана, из (21) получаем уравнения .в напряжениях
,-)2„ I 2 (X + Ц), / 11,
+ зх + 2^ =кк, а “Г I 2с2 j зх + 2(Л "V
/д । ЗХ -1- 2р. 0\5Х -1- 4рч д уч /ло\
р а + х + 2ц 6) кк °‘Лх + 2р' а6 " °-
В случае, когда величины, вызывающие движение тела, изменяются весьма медленно, в уравнениях движения можно отбросить инерционные члены. Система уравнений принимает вид
W, jj + (X + р») и^ jL = т^,z,(23)
(24)
После определения 6 из уравнения (24) правая часть уравнений (23) будет известной функцией. Уравнения (23) отличаются от уравнений (3) § 1.8 (т. е. от уравнений для стационарных задач) лишь тем, что правая часть (23) зависит от координат Xi и времени /, причем время можно рассматривать как параметр. Поэтому к системе (23) применимы методы, изложенные в § 1.8.
Следует ответить еще на вопрос о возможности прямого перехода от дифференциальных уравнений термоупругости к уравнениям теории температурных напряжений. Сопоставляя системы уравнений (1), (2) и (3), (4), мы убеждаемся, что такой переход осуществим, причем в (2) надо положить т] —0. Отметим еще раз, что этот переход не имеет физического смысла (см. § 1.16) и должен рассматриваться как чисто формальный.
Энергетические теоремы теории температурных напряжений
В теории температурных напряжений предполагается отсутствие сопряжения между полем температуры и полем деформации. Это предположение меняет, разумеется, и вид вариационной теоремы, выведенной в § 1.11. Эта теорема распадается на две независимые части: уравнение
W= ^(Xi - ptt^iiidV-^ p-MdA^-^^oedV, (1) ВAB
в котором варьируются лишь перемещения и деформации при постоянной температуре и уравнение
8P4-8D-I-J985„M = O.(2)
А
Здесь использованы обозначения
w = f uij£ij + 4 ^ dV, р^-^- J 02 dv,в х0 в
о£> = Л1 Г 5.8S. dV,i.
в
Уравнение (2) получается из общего уравнения термоупругости (18) § 1.11 путем отбрасывания члена, соответствующего сопряжению поля температуры и поля деформаций. Следовательно, это уравнение является вариационной теоремой для классического уравнения теплопроводности.
Уравнение (1), которое мы будем исследовать, является обобщением принципа Лагранжа на несопряженные задачи термоупругости. Используя обозначение
= Hv-^ij^4e2-NdV(3)
в х
для упругого потенциала W*, можно записать уравнение (11) в виде
= ^u^dV,(4>
где 6L — виртуальная работа внешних усилий. Уравнение (4) гласит: работа внешних усилий, массовых сил и сил инерции на виртуальных перемещениях равна вариации работы деформации IF*.
Полагая в уравнении (1)
^U; = dt = 1D:dt, = и т. д.
и ограничиваясь рассмотрением действительных перемещений и деформаций, получаем энергетическое уравнение dL^^K^x^dV-V J^M + tJ‘6^1/, ^йь (5) ВАН
rjve
Используем это уравнение для доказательства единственности решений в теории температурных напряжений. Рассмотрим два поля перемещений и' и и" при фиксированной температуре 6. Введем разности
a^Ut—Ut, г51=ги — г1Ь 9*= б'— б" = 0 и т. д.
Первая из них щ должна удовлетворять системе однородных уравнений
jj + (х + р) Hj, ji = Р«/(6)
с однородными краевыми и начальными условиями.
Правая часть уравнения (5) будет равна нулю, так как
Xt=0, pt = 0 и 9 = 0.
Отсюда получаем
4^+^)-о-m
Из однородности начальных условий следует, что K + IF=0 для />0. Поскольку под знак интеграла в выражении для К + IF входит сумма квадратов величин 8^- и иг, то должно быть Etj—0, уг=0. Поскольку 8^ = 0, уг= 0, имеем 0^=0. В результате получим
^1 j ^^ ^l j t ^L j ^ij J ^i ==: ^l >(^)
т. e. перемещения и/ и и" равны между собой с точностью до линейной функции, соответствующей жесткому движению тела.
Из уравнения (1) можно вывести принцип Гамильтона.
Рассмотрим непрерывное изменение состояния тела от момента времени /=0 до t=tv Изменение величины щ обозначим через би^ причем будем предполагать, что б^г равно нулю для /=0 и для t = tv Интегрируя уравнение (1) по времени и используя обозначения (3) и (4), получаем
j oL dt — J p dt ^ 1Ц ouL dV = J 5117* dt.(9)
oohо
Преобразуем второй член, используя интегрирование по частям,
Р \ dt j* ut oui dV = ^яо^и^У — pj dt^v^vLdy. (10) ohв/=о о в
Принимая во внимание принятое предположение 6щ 1^о=О, получаем
h
р f dt J uiouldV= —p J dt J D^^dy = — J ^K dt,(11)
6 ВQB0
где
есть кинетическая энергия. Подставляя (11) в (9), находим
o^(W* -K)df = ^Ldt.(12)
оо
Если силы консервативны, то существует потенциал Ф, причем
ВА = -(d^ldu) ^=-оФ.(13)
Используя (13), придадим уравнению (12) следующий вид:
8 J(n-/C)^ = O, П = 1Г* + Ф.(14)
о
Уравнение (12) выражает принцип Гамильтона, обобщенный на теорию температурных напряжений. Используя этот принцип, можно вывести дифференциальные уравнения, описывающие поведение ряда систем при упругих колебаниях, вызванных действием поля температуры.
Перейдем к квазистатическим задачам. В этом случае в вариационной теореме (1) инерционные члены обращаются в нуль II оно записывается в виде
оЦ7 = j X^dV + J pallid А -{-у J ^oedV. (15) влв
Предположим, что при виртуальном перемещении массовые -силы, поверхностные нагрузки и температура не изменяются. Тогда можно вынести символ вариации в правой части (15) за знак интеграла. Полагая далее, что на поверхности AU) на которой заданы перемещения, должно быть 6 цг- = 0, приведем уравнение (15) к виду
5 ГГ - JdV - J ptUtdA-7 j9e^l = O. (16) _ в _
Здесь Ao— часть поверхности тела, на которой заданы нагрузки.
Обозначая через Г выражение в (16) в квадратной скобке, запишем (16) как
ВГ = О.(17)
Мы получили обобщенную на задачи теории температурных напряжений теорему о минимуме потенциальной энергии. Эта теорема гласит: среди всех геометрически возможных положений равновесия действительным положением является то, для которого функция Г минимальна.
Вернемся к уравнению (15) и преобразуем последний интеграл в его правой части
^QoedV = ^N.idV = ^ [(6bu^a-^M^dV —
ВВв
= j 6 Su^ dA — ^ ^)LwtdV. (18) лв
Подставляя (18) в (15) и группируя соответствующим образом члены, получаем
W = f №-T9J^.rfI/ + j (p/ + T9/z/)S^dA = O.(19)
вл
в эластокинетике теоремы Кастильяно о дополнительной работе. Для вывода этой теоремы воспользуемся соотношениями Дюамеля—Неймана, разрешенными относительно деформаций
4j = a.t^l.^r2v.’^^Vol/3kk, р' = 1/(4;Ч>
Х' = -Х/[2!л(2!л + ЗХ)].(20)
Поскольку
(X/2)e2 = u4^(21)
имеем
SU = ^(«U*).(22)
Умножая (22) на бог)- и интегрируя по объему В, получаем
f (%- -+ Я/М ^аУ = 0(23)
или
J гч Зам dV = J3az. dV + J az6 cakk dV.(23')
вв uв
Преобразовав интеграл в левой части (23'), получим
8U^ + J М ^kkd-V = J Sp^dA — J ЦНМУ. (24) ВAB
Виртуальные приращения напряжений бо-ц подбираются таким образом, чтобы удовлетворялись уравнения равновесия (60^,3 = = 0 и условия 8рг = 0 на поверхности Да с заданными нагрузками. Таким образом, находим
(25)(25)8 1Га + J at^kk dV — J р^ dA
(25)
(25)
Обозначая выражение в квадратных скобках через Г*, получаем минимальную теорему
оГ^ = 0,(26)
которая гласит: среди всех статически возможных напряженных состояний в действительности реализуется то состояние, для которого величина Г* минимальна. Минимальность функционала Г* следует из положительности его второй вариации.
Существенное значение в теории температурных напряжений имеет теорема взаимности. Эту теорему мы получим непосредственно из теоремы о взаимности, установленной в § 1.12, используя уравнения (12") и (19). Эти уравнения были выведены
там для динамических задач. Итак, предполагая начальные условия однородными, из (12') §1.12 получаем
) VXtUi — Xiti^dV + J (pi^i — pitted A +y J (бе' — e)dV = 0.
Напомним, что Xi, Ui и т. д. получены в результате применения преобразования Лапласа к функциям Х^ щ и т. д.
Уравнение (19) § 1.12 было выведено для сопряженных за- гач. В теории температурных напряжений следует пренебречь сопряжением, т. е. в уравнении (19) § 1.12 следует отбросить первый интеграл правой части. Предполагая, что начальные условия однородны, получаем следующее соотношение:
J (Q9' - Q'6) dV + г. J (9'9, „ - 99,' „) dА = 0.(28)
В-4
Это уравнение выражает теорему взаимности для классической теории теплопроводности. В дальнейшем нас будет интересовать уравнение (28) с известной функцией 9 (или О')- Применяя к (27) обратное преобразование Лапласа, находим
t
[ dV (х) J [А",- (х, t — ^n’i (х, т) — Xt (х, t — ^ut (х, т)] d^ + в о
t
+ J dA (х) ^ \p-t (х, t — tit (х, т) — pi (х, t — т) и. (х, т)] d^ + л б
t
+ у J dV (х) J [6 (х, / — т) е' (х, т) — 6' (х, t — ^e (х, т)] d^ = 0. в о
(27')
Рассмотрим, наконец, стационарную задачу термоупругости, В этом случае теорема взаимности принимает вид
J (Х^ — Х\и^ dV + J (р^ — piu^ dA +
ВA
+ т J(6e' -9'e)dV = 0(29)
В
или
J (xTi — X'tU^ dV + (VpiUi — Pv^ й^ +
ВA
+ az J (9a^ — б'а^ ^У=0.(29')
В
Предположим, что тело односвязно и свободно от нагрузок и массовых сил, АД = О. Вследствие действия тепловых источников или нагрева на поверхности в теле возникают поля температуры 9 и перемещений щ. В качестве штрихованной системы величин возьмем всестороннее растяжение и Х' = 0, 9'=0. Для
Х. = Х; = 0, б' = 0, Л = 0, р\ = \ . nt, ^ = 3 уравнение (29) сводится к простому виду
- JdA + За Д 6 dV = 0.(30)
АВ
Подинтегральное выражение первого члена равно проекции вектора перемещения на нормаль nt к поверхности Л, а интеграл равен приращению объема тела, вызванному действием температуры
ду=заДе^у.(31)
В
Итак, приращение объема зависит лишь от распределения температуры 9 в теле В.
Проинтегрируем теперь по объему тела соотношение
^За^ + ^З/О.(32)
Имеем
Д^у=ЗаДе^у4-_^ \okbdv.(33)
Ввв
Поскольку интеграл в левой части и второй интеграл в правой части равны приращению объема, то
^khdV = 0.(34)
В
Мы получили интересный результат: интеграл от первого инварианта тензора напряжений по объему тела равен нулю.
Из уравнения (29) или (29') можно вывести метод интегрирования уравнений стационарной задачи термоупругости, предложенный В. М. Майзелем.
Рассмотрим тело В, часть поверхности Аи которого закреплена, а остальная часть поверхности Ао свободна от нагрузок. Под влиянием нагрева в теле возникают перемещения at и
температура 6, распределение которой устанавливается по уравнению теплопроводности. Записывая уравнение (27) для Xl = Qk Рг = 0 на Ао и ut = 0 на Аи, получаем
— j Хд^ dV -р J p^i dA — J pkut dA + у J (^ — 9 e) dV = 0.
ВAaa3В
(35)
Для того чтобы найти перемещение ин точки (£) в направлении оси хк, следует подобрать соответствующую штрихованную систему.
Будем считать, как и выше, что на поверхности Аи тело закреплено (и' = 0), а на поверхности Ао свободно от нагрузок (// —0) и что температура равна нулю (0Z = O). Пусть в точке (|) приложена единичная сосредоточенная сила, направленная вдоль искомой компоненты вектора перемещения, т. е. по оси Хк- Эта сила вызывает перемещения u, = G^(x1 |), напряжения о^ и деформации е^. Перемещения и/. мы определим из системы уравнений
+ (X + G^i + 8 (х - §) 8/й = 0,
f, j, к=\, 2, 3(36)
с краевыми условиями
р^ = 0 на Аа, 0^ = 0 на Аи.(37)
Поскольку Х' = 6 (х — I) 6«, из уравнения (35) следует
J 8 (х - §) \but (х) dV (х) = т Je (х) eW (х, §) dV (х)(38)
ВВ
или
«t(§) = Tj6(x)^)(x, ^dVW =
В
= aj9(x)a^(x,(39)
В
В этом уравнении через e(ft) обозначено изменение объема, а через oW — первый инвариант напряженного состояния, вызван-
ного в теле В действием сосредоточенной единичной силы. Описанный способ определения перемещений удобен в тех случаях, когда поле температуры обладает симметрией относительно точки (сферическая толстостенная оболочка, шар) или относительно оси (толстостенный цилиндр, цилиндрический круглый брус, полупространство, слой).
Метод В. М. Майзеля особенно пригоден для изучения пластин и тонкостенных оболочек, так как для многих пластин и оболочек функции е^ или о^ известны.
7 Заказ Ку 362
Глава II
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В ТЕРМОУПРУГОЙ СРЕДЕ
2.L Плоские гармонические волны в неограниченной термоупругой среде
Пусть в неограниченной термоупругой среде в направлении оси х\ движется плоская волна, меняющаяся во времени по гармоническому закону. Эта волна может быть вызвана механическим воздействием (например, массовыми силами, равномерно распределенными на плоскости, ортогональной оси xi) пли тепловым воздействием (плоскими тепловыми источниками). Плоская волна определяется следующим образом: в данный момент времени на любой плоскости, ортогональной оси Xi перемещения и температура постоянны. Поэтому функции и^ 9 зависят только от пространственной переменной Xi и времени I. Уравнения термоупругости значительно упрощаются:
/ diу 5 их = тд^, f 511~ j dxdtux = О,
^5iу 5^2 = 0,( 5?L^\^3 = o. (1)
Поскольку мы предполагаем, что плоская волна возникает под действием величин, изменяющихся во времени по гармоническому закону, то перемещения и температура запишутся в виде
и5 = Re \uj (xn co)^—гсо^]л
9=Re [б*^, м)^^],7=1, 2,3.(2)
Подставляя (2) в (1), получаем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд перемещений и температуры:
(52 + о2) и* = тдх6*, (51 + <?)6* + W 5^ = 0,
(^+.2)^ = 0,^ + ^ = 0,(3)
где
С2 ~ О)2/^! , Т = «Г]С2 , q = Z*O)/y..
Исключая из двух первых уравнений температуру, находим систему трех волновых уравнений
[w+?)w+«2)+^] «;=».
(<?i + ^2)^2 = 0,(<?? +т2) ^з = 0, г^пг^.(4)
Первое из этих уравнений определяет продольную волну, а два следующих — поперечные волны. Для фиксированного со последние уравнения определяют по две волны
^2 = 5д_ехр [ — Zco (/ — xj^)] + В_ ехр [—/со (/ -]- xj£2)L
^3 = Сд_ехр [ —/со (/ — xj^)] 4" С_ exp [—/оз (/ -|-^i/^L (5) распространяющиеся с постоянной скоростью с2= (|Wp)1/2 в направлении осей %i и —лч соответственно. Эти волны нс вызывают изменения объема и нс приводят к возникновению поля температуры.
Перейдем к описанию продольной волны, соответствующей двум первым уравнениям системы (3). Рассмотрим сначала распространение продольной волны в гипотетической среде, для которой коэффициент теплового расширения а< равен нулю. Поскольку
7] = 3ro/Caz/Xo и m = 3K^tl(K-y2p^,
два первые уравнения системы (4) для czz = 0 примут вид
(й+^)«;=о. w+<,x=o.(6,
Подставляя сюда
Wi — не , и = и е ,)
получаем л 222/2 л 2• /
Л1 = О = 0D [Ci, Л2 = ^ =/оз/х.
Для фиксированной частоты решением системы (6) являются
следующие функции:
zzt = zz+exp [—zW + X^J+zzlexp [—zW — XjxJ, Хх = №5сх, (8)0 = 9-1- exp [ —zW 4- X^J + 9_ exp [—zW — XgxJ,
ox2=V ? = (1 + PV<^,(9)
zz^zz^exp [—/«>(/ — xr+J] +zzLexp [ — iw(t + ^i/^i)]> (10) 9 = 9_ exp [—is (t — xjy 2xm) — xxVto!(2х)] +
+ 91 exp [—zio (/ + х1/]/2хл) + х1 ylo/(2x)].(Ц)
Здесь ui(xi, t)—чисто упругая волна, распространяющаяся в направлениях xi и —Xi с постоянной скоростью
= (^i)r = [(^ + 2^)/?] /2.
Эта волна не подвержена дисперсии и нс затухает. Формула (11) представляет собой чисто тепловую волну, затухающую и испытывающую дисперсию. Затухание определяется здесь коэффициентом $2 = Im(^2) =У<о/(2х). Дисперсия имеет место, поскольку фазовая скорость y2=o)/Rc(X2) =f2xo) является функцией частоты со.
Вернемся теперь к термоупругой среде, в которой движется продольная волна, определяемая двумя первыми уравнениями системы (3). Подставляя в эти уравнения
u*x = u°elkX1,(12)
получаем соотношение
u°^° = mik\^ - £2), 6°lu°= —n^qi^^q - &2).(13)
Исключая и°1$\ находим алгебраическое уравнение
№ — А2 [о2 -)- q (1 + £) ] + ^ = 0, s = тртх, (14)
корни которого имеют вид
к", 1 = (1/2) [»Ч q (1 + е) ±j
Эти корни, как мы видим, зависят от параметра е. Отметим, что для 8 = 0
кх^ = \х=а, k2(^=\=Vq.
Поэтому по аналогии с формулами (8) и (9) запишем решение двух первых уравнений системы (4) в следующем виде:
их = «+ exp [—zW + 1кххх ] + и_ ехр [ —Ы — 1кххх ] +
-|- Ym.ik^a' — к!)] (7exp [ —itot4- 1к2хх\ — 9_ехр[— Ш — ik2xx^, " (15)
6 = 9+ ехр [—zW + 1к2хх\ + 91 ехр [ —Ы — 1к2хх\ +
4-[^xqikxl(k^—<7)] (zz+exp [— Ы-j-^iXj] — zz_exp [—zW — z^^j}.
(16)
Эти формулы мы будем называть выражениями для продольных термоупругих волн, распространяющихся при постоянной частоте в направлениях х4 и —хл.
Анализ корней ki и к^ показывает, что они являются комплексными величинами, причем их действительные и мнимые части положительны.
Обозначая через ур(₽ —1 2) фазовую скорость, а через ^р(Р = 1, 2)—коэффициент затухания, и учитывая связь этих величин с корнями уравнения (14) посредством известных соотношений
^ = o)/Re (А3), O3 = Im(^3), ?=Ь 2, придадим формулам (15) и (16) следующий вид: z/j = zzlexp [ —zo) (/ — x^v^ —+
+ и_ exp [ -Ь (t + xj^) + ^^j ] +
+ 2"“% ' !6^ exp [ -b (t - xj^) - VJ -
=— 91exp[ —/«>(/ +z,/^)-!-^]},(17)
6 = 91 exp [—zo) (/ — xj^) — ^xj +
+ 61 exp [ -zo) (/ 4- x>2) + Vi ] 4
4 [^zA^Ai — q)\ {zzlexp [ —zo) (/ — xj^) — O-^J —
— zzlexp [—zo) (^xj^) + 8-1XJ}.(18)
Сравнивая эти формулы с (10) и (11), мы видим, что они описывают модифицированную упругую волну и модифицированную тепловую волну соответственно. Первые члены формулы (17), а именно
zzlexp [ — до (/ xJ^J — ^xj,
zzl exp [—zo) (/ + ^1/^1) + &ix4(19)
мы будем называть квазиупругимн членами, а следующие члены формулы (18):
6+ exp [—zo) (/ — xj^) — ViL
9_ exp [ —zo) (/ 4x1^2) 4 $2xib(20)
— квазитепловыми членами. Физический смысл волн (17) и (18) становится ясным, если сравнить их с волнами (10) и (11), ко торые соответствуют гипотетической среде с «/ = 0.
Отметим прежде всего, что формулы (17) и (18) переходят в (10) и (11) для а^ = 0, т. е. для ц = 0 и т=0. В этом переходе используются соотношения
А1(О) = Х1 = »,^(0) = Х2=(1 + г)]/даУ,
(0) = оз/Re [^ (0)] = с{,9, (0) = Im [^ (0)] = 0,
-у2 (0) = <o/Re [^2 (0)] = У^, &2 (0) = Im\k2 (0)] = K^K^O-
Сравнивая формулы (17), (18) с (10), (11), мы видим, что корень ^i(e), как это и было принято в (19), определяет вид квазиупругой термоупругой волны, подобно тому как 6i(0)=Ai определяет чисто упругую волну. Таким же образом корень 62(е) определяет вид квазитепловой волны, а 62(0)=Х2— чисто тепловой волны в указанной гипотетической среде.
В выражение для модифицированной упругой волны (17) входят совместно квазиупругие и квазитепловые члены. Аналогичная ситуация имеет место и в модифицированной тепловой волне (18).
Отмстим, что в отличие от чисто упругого члена (10), ква- зиупругий член (19) затухает и подвержен дисперсии. Затухание и дисперсия имеют место и для квазитеплового члена (20) т причем фазовая скорость и2 и коэффициент затухания й2 зависят здесь более сложным образом от частоты о, чем в чисто тепловой волне (11).
Перейдем к обсуждению корней уравнения (14), приведя его сначала к виду
+^2 = 0
ИЛИ
^4-^[z2 + ^(i + $)l + a3=o,(21)
где
£ = (cjw^) х, и* = C^fx, y stojto*.
Корни уравнения (21) следующие:
1 = (/2Жх {[% + (1 + 0K2^Z + -t*(l + ^)],/2 + _
__ + [х - (1 + О /2/ + i (1 + е)],/2}>
е2=С/2) Vx {[х + (1 + О V 2/ + / (1 + юр -
-[х-О + ОКЗх + т + ЮГЧ (22)
Таким образом, эти корни зависят от параметров е и / = = со/со*. Величина е постоянна и определяется термическими и механическими свойствами материала, а % изменяется с частотой со. Величина со* является характеристикой данного материала.
Частота вынужденных колебаний ограничена величиной coc = 2TC(C1)J3p/(4^)]'\(23)
которая получается из дебаевского спектра для продольных волн1. В формулу (23) входит атомная масса материала М и скорость продольной волны в условиях адиабатичности (ci)s.
Для твердых тел величина сос оказывается значительно больше со*. Ниже приведена таблица характерных величин для четырех металлов.
В таблице указаны также значения коэффициента затухания ^ ДЛЯ Х=оо\
(24)
Таблица 1
Алюминий
Медь
Сталь
Свинец
(^ )5, см = сек
6,32 • 105
4,36 • 105
5,80 • 105
2,14 • 105
г
3,56 ■ Ю-2
1,68 • 10-2
2,97 • 10-4
7,33 • 10-2
со*, сек-1
4,66 • ЮН
1,73 • ЮН
1,75 ■ 1012
1,91 • Юн
^, см~х
1,31 • 104
3,29 • Ю-з
4,48 • 102
3,27 ■ 104
toCl см~х
9,80 •■ IO»
7,55 • ЮН
9,95 • 1013
3,69 ■ IO»
Заметим, что сос в несколько сот раз больше со *. В экспериментах с применением ультразвука было обнаружено, что
СО < 0)* < 0)^ ,
т. с. для реализуемых механических колебаний можно принять, что х = ю/(о* <С1.
На рис. 2.1 и 2.2 представлены величины ui/(ci)t и Oi/^ для меди (е = 1,68 • 10~2) в зависимости от параметра х^м/со^. Эти графики построены непосредственно на основе уравнения (22) с использованием соотношения
^i,2 = (^JHz/^i^-K i^x^^Y (25)
Из рис. 2.1 следует, что фазовая скорость vi больше (ci)T и стремится к этой величине при х-^°°. Коэффициент затухания Уч растет с х- в области малых частот пропорционален х2, а при
оо стремится к асимптотическому значению У^°.
В окрестности абсциссы х=1(о) = со*) величины гц и $1 резко меняют поведение. В практических приложениях мы имеем дело лишь с небольшой областью изменения величины ^=^]^.
Поэтому для х^1 можно разложить корни 51 и £2 в ряд по степеням х и, используя соотношение (25), получить приближенные
значения фазовых скоростей и коэффициентов затухания. Таким образом, имеем
Отсюда следует: что для x<J можно считать у^сг^Х + е величиной постоянной, несколько превышающей ci= (ci)t, и рассматривать квазиупругую волну как затухающую, но нс подверженную дисперсии.
Вернемся к уравнениям (6), справедливым для гипотетической среды с а; = 0, и рассмотрим колебания с фиксированной длиной 2л/Ке(Х). В этом случае решение имеет вид
их = zz+exp [zX (%j — с^)] + и_ exp [/X ^xx + £iOL (27)
O = e°exp[/Xx1-X4/].(28)
Чисто упругая волна аналогична волне (10), а чисто тепловая волна (28) является стоячей волной с экспоненциально убывающей амплитудой.
Перейдем к двум первым уравнениям системы (3) и предположим, что решение этих уравнений имеет вид (12) с постоянным к. Тогда в (21) величина g будет постоянна. Перепишем (21) в виде
Z3 +W ++^^№^к(29)
и определим корни
Xi7^ = ~ f -ig, 73=-ih.(30)
где
a g— действительный корень уравнения
8g3 - 8g2? + 2g? (? + 1 + е) - s? = 0.(31)
Решения двух первых уравнений системы (1) имеют вид
« = ^ (Ар-^ + A2e~w + A#"w\(32)
9 = е^ Вгв-и^ + B^-w + в^-wy(33)
Используя обозначения
А] = wl, А2 = U-, В3 s 6°
и зависимость между постоянными Аг и Bt, соотношения (32) и (33) можно записать в виде
°Г Л у |f у\1,
^ = «+ехр [-oAg/4-— ^ --Х_С]^] +
+ и_ ехр(л, 4- -Т")] -
"»° ехр [-«•«+444(34)
6 = 9° ехр [—ы*М 4- 4р х, ] —
- ^1 { 7 L(f(T —62) И+ еХР [-ю*^ + "^ (^1 - 4" C1Z)] + + /-+^^2) «°- ехр [-0)*^ + ^ (х, + 4- ^)]} •(35)
Заметим, что, подставляя 8=0, ц = 0, т = 0 в уравнения (34) и (35), т. е.
Х1(0)=е, Z2(O)=-t Z3(0) = —^ g=o, / = Е,Л = ^^(0) = Z,
мы находим уравнения (27) и (28), описывающие чисто упругую волну и чисто тепловую стоячую волну. Модифицированная упругая волна и модифицированная тепловая волна состоят из волны квазиупругой и квазитепловой, причем последняя является стоячей.
Из формул (34) и (35) видим, что амплитуда стоячей квазитепловой волны пропорциональна величине ^/Т, где r=(co*/i)-1
является временем затухания волны. Используя выражения для длины волны 6 и нового параметра р,
о = 2тг/Д = 2'л:С17(^о*), р = (^д)-1,=
получаем следующую формулу для времени затухания:
- = [(1 + Ш[№)12. (36)
Ю"6 10"“ Ю"г 1 ю юг фик р в зависимости от £ для Рис. 2.3.меди при 20° С. В окрестности|=1 кривая резко падает. Величине ^ = 1 соответствует длина волны порядка 10-1 сек, и время затухания порядка 10-12 сек. При тепловых возмущениях, имеющих практическое значение, имеем |С1. Используя разложение по степеням g, находимЮ"6 10"“ Ю"г 1 ю юг фик р в зависимости от £ для Рис. 2.3.меди при 20° С. В окрестности|=1 кривая резко падает. Величине ^ = 1 соответствует длина волны порядка 10-1 сек, и время затухания порядка 10-12 сек. При тепловых возмущениях, имеющих практическое значение, имеем |С1. Используя разложение по степеням g, находимНа рис. 2.3 представлен гра-
Ю"6 10"“ Ю"г 1 ю юг фик р в зависимости от £ для Рис. 2.3.меди при 20° С. В окрестности
|=1 кривая резко падает. Величине ^ = 1 соответствует длина волны порядка 10-1 сек, и время затухания порядка 10-12 сек. При тепловых возмущениях, имеющих практическое значение, имеем |С1. Используя разложение по степеням g, находим
Ю"6 10"“ Ю"г 1 ю юг фик р в зависимости от £ для Рис. 2.3.меди при 20° С. В окрестности
|=1 кривая резко падает. Величине ^ = 1 соответствует длина волны порядка 10-1 сек, и время затухания порядка 10-12 сек. При тепловых возмущениях, имеющих практическое значение, имеем |С1. Используя разложение по степеням g, находим
А = ^(1+е) + ^/(1+е4) + О(еб). Поскольку
1 +Р = е2/А, имеем
1 + р~(1 + £).
Время затухания для ^<^1 можно определить по формуле
T = [(l+s)/x]№)p.(37)
Рассмотрим простой пример действия плоского теплового источника интенсивности Qo, приложенного на плоскости xi=0 и изменяющегося во времени по гармоническому закону. Решение волновых уравнений в полупространстве %i>0 можно выпи-
сать сразу, используя те члены выражений (17) и (18), которые соответствуют волнам, распространяющимся в положительном направлении оси ли
их = и° ехр /из ^j — 8-^j +
+ A^z^9°exp~&2^(38)
6 = 8° exp ^—zVo ^/ —^-^ — &2х^ +
6ХР—•(39)
Для определения постоянных ио, 0° нужны два условия. Первое получим, используя антисимметрию функции ui^Xi, t) относительно плоскости xi = 0. Из условия иДО, /) =0 имеем
и + 6 mik^ (s2 — ^2) = 0.(40)
В качестве второго условия используем то обстоятельство, что разность потоков через две плоскости, с правой и с левой стороны сечения xi = 0, должна быть равна интенсивности источника W = Woe-itot, т. е.
->444+хо1^?Ч= Woe~itoi. (41)
Здесь л0 — коэффициент теплопроводности, Wo — количество теплоты, произведенное на плоскости Xi = 0 за единицу времени. Условие (41) можно записать также в виде
_ULA , ( ^М = j^UU = UULL uin \ дхх Д = о+ ' \ ^i 4 = 0“Ao**
Учитывая симметрию функции 0 относительно плоскости ля = 0, из условия (41Л) получаем
6=/^ -(42)
Определив постоянные «° и 6° из уравнений (40') и (42) и использовав соотношения
aqkX = ^ka — а2)(Л2 — q\ а = 1, 2,
получим следующие выражения для термоупругих волн:
{ехр Н" -
— exp J—м ^ — -^-) — &2х^| >^1>0,(43)
6 = ехР [ ~—1 —
2х(^-^) 1^2 PL \^'2 /2 Ч
1
4г~ ехР -/ю Z - V")-&1%1 ’ Л1>°- (44)
Соответствующие выражения для области xi<0 выписываются без труда, если учесть, что функция 9 симметрична, a щ антисимметрична относительно сечения Xi = 0.
Рассмотрим некоторые частные случаи. Если не учитывать сопряжения полей деформации и температуры, т. е. если отбро
сить в уравнении теплопроводности член т^е и, следовательно, подставить вместо &i(e), 62(e) величины к1^=б, 62(0)=]/д, то выражения (43), (44) будут решениями рассмотренной задачи в рамках теории температурных напряжений,
(45)(46)(45)(46)
(45)
(46)
(45)
(46)
Выражение для ui состоит из двух членов: незатухающей упругой волны, распространяющейся с постоянной скоростью ci, и диффузионной волны, подверженной дисперсии и затуханию.
Легко рассмотреть случай гипотетической среды с а^ = 0,
т. с. с m = 7] = 8 = 0, ^i(0)=o, 62(0)=У7. Подставляя эти значения в (43) и (44), получаем только тепловую волну
^i (хг, /) = 0,(47)
6 (х,, /) = [Qo<7(2x /9)] ехр [—iw (/ — ^jK2x'j)) — л1|Ао/(2х) ].
Рассмотрим теперь задачу о воздействии массовых сил p^e-itot. равномерно распределенных на плоскости %i = 0. Под действием этих сил, направленных по оси хь возникнет антисимметричное поле температуры 6 и симметричное поле перемещений uv Условие 9(0, /) =0 приводит здесь к соотношению
6 ^ и T^qikx^k\ — q^ = 0.(49)
Вторым условием будет равенство усилий, приложенных к бесконечно тонкому плоскому слою, содержащему плоскость лч = О,
=11 (о+, /)-=ц(0“ i) = -Poe-lmt.(50)
Поскольку Оц = (2ц + X) и^д— у9, условие (50) приводит к соотношению
^9°=-•<51 >
Определяя постоянные и° и 9° из (38) и (39), получаем соотношения
2(Х + 2ц)(^-^) ( ^i\ -ux) 1 4
eXP V “^1] J ’
6= Т^Уг27 leXP [—Zo)(^ —— ^2Xi] —
2(X + 2p) (^i-^) I L 'v2/2 ‘J
— exp [—Zw ^ — -^-^ — ^x^j.(53)
Переходя от сопряженной задачи к несопряженной, т. е. подставляя 8=0, ц = 0, &i(0) =cr, k2(0)=^q в (52) и (53), находим
= 2(Л^7а МР HW (* * 7Г)] ’<54)
6 = 0.(55)
Мы получили только упругую волну, распространяющуюся с постоянной скоростью ci= [(Лт + 2р,т)/р]1/2. Результат справедлив и для гипотетической среды.
Рассмотрим, наконец, переход к классической эластокине- тике в соотношениях (52) и (53). Как указывалось в § 1.16, такой переход возможен, причем следует положить kx = o, k^=^q.
ввести вместо тепловых постоянных ц, А адиабатические и записать температуру в виде 9 = цхе. Таким образом, в рамках классической эластокинетики имеем
«1(л,, 0 = {Р0/[2(^ + 2^)ЧПехР[—М^ —^/(ci)s)]>(56)
6 Ui. О = —чгхе = —qT% -'^’- ,
(^)$=[(^ + 2^)/p]V2,(57)
причем напряжения 0^, согласно (1), равны
ЗиМ^Н-2^"],! ~ ТА а22 = 333 = Х»«Ы — lA
а]2 = з23 = о31 = 0.(58)
Сферические волны в неограниченной термоупругой среде
Рассмотрим еще один частный вид волнового движения, в котором радиальное перемещение uR зависит только от радиуса R= (х* + х^ + х*)1/2 и времени, т. е. функция ur^R, t) при постоянном t постоянна на любой сфере радиуса R. Продольные волны такого вида возникают под влиянием ряда возмущений, например точечных сосредоточенных тепловых источников или «центров сжатия». Сферические волны возникают также в неограниченной среде со сферической полостью, на поверхности которой задано воздействие в виде равномерного нагрева, равномерной нагрузки или равномерной деформации.
При исследовании сферических волн будем исходить из уравнений (12) и (13) § 1.5,
□ 1б-т;?2Ф = 0>(1)
□ 1Ф = т6,(2)
где
D2= v2-(1/^)52, Оз= V2-(1/х)<А
V2 = (5W) + (2/7?)(W).
Потенциал термоупругого перемещения Ф связан с радиальным перемещением Ur следующей зависимостью:
uR = d^\dR.(3)
Для возмущений, меняющихся во времени по гармоническому закону, имеем
Ф(^, ^) = Re [е“^Ф* (7?, <о)1,
HR, 0 = Re[e-/“V(7?, «))].(4)
Подставляя эти формулы в (1) и (2), получаем систему уравнений
(72 + а2)ф*_^9* = 0,(5)
(V2 +?) 6* + ^tfV^* ==0>^ = Zoj/x, a = wjc. (6)
Исключая из этих уравнений функцию Ф*(9*), находим
^1-4-^1 = ^ (1£) 4~ ^2, k\k^ = G^q.(7)
Частные интегралы имеют вид'
eiklR\R1e-lM!R, e”^R\R.
В дальнейшем мы будем использовать только первые два интеграла. Дело в том, что решения
Re [е-^е1'^] =(e"MiRVos \to(t-R^V
Re [e-'^e^fR] = (e-^IR) cos [ш (/ - /?/у2)],ya = M/Re(^J, ^ = Im(^a), ^ = aa + f»a,««>0, &a>0 a=l, 2
описывают волну, расходящуюся от начала координат R=0 в бесконечность, в то время как решение
Re [(Г"0^^//?]^9^^а=1, 2
определяет волну, сходящуюся к центру координат из бесконечно удаленных точек тела. Физический смысл имеет только первый тип волны.
Итак, представим решение уравнений (7) в виде
Ф* = (1^)(Л/ад + Д2Уад),(8)
9* = (1//?) (5/^ + 5/^).(9)
В дальнейшем мы убедимся, что потенциал Ф и температура О удовлетворяют условию типа условия излучения, допускающему существование волны, расходящейся от источника возмущения в бесконечность. Это условие, данное для комплексных значений к В. Д. Купрадзе1 имеет вид
Ф:=e^0{R-\
^-гкХ-е^ОЦГ^, da>0, a=l, 2.(10)
Здесь x = O(^~a) обозначает такую величину, что x]Ra остается ограниченным при R-^oo.
Вернемся к уравнениям (8) и (9). Вводя обозначения Л1 = =Ф°, В2 = 0°, выражая Bi через Ф°, а Л2 через 0° и используя уравнения (5) и (6), представим функции Ф и 0 в виде Ф(^, /) = _^{ф°ехр[-/<^ + ад] +
Н—гЦ;гехР [—zW + <^]L(11)
aJ
6 (A?, 0 =^6° exp [—zW + Нг2к\ +
+ Л^фоехр[_/и)/+ад1 (12)
Эти функции описывают расходящиеся термоупругие волны; введя фазовые скорости #р(р = 1, 2) и коэффициент затухания ур(Р= 1, 2), определенные в § 2.1, получаем
ф (R, Оф (R, ОГ . LR
ф (R, О
ф (R, О
р — Zu) /
(13)(13)(14)(14)m поГ
(13)
(13)
(14)
(14)
^f9 expL
6 (/?, /) = _L 9° exp [—zw ^ —
*qxqk2xq-k\
Мы видим, что модифицированная тепловая волна (14) и модифицированная упругая волна (13) содержат по два члена: квазиупругий и квазитепловой. Обе волны затухают и подвержены дисперсии.
Полученный результат значительно упрощается для динамической задачи теории температурных напряжений. Подставляя т) = 0, ^± (О) = сг, &2(0)=]/д в (13) и (14), получаем формулы
1г/О \-1
Ф = 4- Ф° ехр -^Ч -— +
Я ( р L \ С] /J 1
(15)(15)
(15)
(15)
Для гипотетической среды с нулевым коэффициентом линейного теплового расширения, т. е. при ос/ = 0, т] = т = 0, находим
Фн4)ф°ехн-И/_^Г)|’
(17)(17)9 = (-^Д 0° exp Д_ ) — 7? Р^-п0-\ R ) И/2хю / I 2z
(17)
(17)
По известной функции Ф легко определить перемещения, деформации и напряжения. В декартовой системе координат имеем
«; = Ф,г, гн = ф.ц. e=V2P,
3И = ^ (ф, и - 5i/T>. м) + P^A
В сферической системе координат в силу симметрии задачи запишем
uR=d^ldR, °pR = — (MR) (d<X>jdR) + рФ,
(18)
Q / ^2ф1 (ЭФ \••
Поскольку Ф является комплекснозначной функцией, а перемещения и напряжения действительны, то на конечной стадии исследования следует, разумеется, взять действительные части правых сторон этих соотношений.
Рассмотрим несколько частных случаев термоупругих сферических волн. Пусть в начале координат приложен сосредоточенный тепловой источник интенсивности Woe-^. Тепловой поток через поверхность сферы радиуса R при /?->0 должен быть равен интенсивности источника, т. е.
<19>
Поскольку радиальное перемещение симметрично относительно начала координат, то оно должно быть равно нулю в этой точке. Запишем это в виде второго условия так:
(20)(20)lim (4^/?^) = 0.
(20)
(20)
8 Заказ № 362
Соотношения (19) и (20) послужат для определения постоянных Ф° и 0°. Подставляя сюда (13) и (14), находим
по(Ъо Го Со
(21)
Ф°^-v^° = 0.
^2 - =
Решая эту систему, получаем следующие выражения для термоупругих сферических волн, вызванных действием сосредоточенного теплового источника, приложенного в начале координат:
Ф =ТУ2? ( ехР ^ (^ — "7"') ~ $1^1
4T.T.R (^-*i)l1\ «г !1 J
(22)(22)(23)(23)— ехр Г—Zco U — —) — D^l 1 •
(22)
(22)
(23)
(23)
Р L \^2 /2 1 I
6=i^h7 ]« - -’) “р Н» (z - ^) - ад] -
— (^1 — а2) ехр [—Zw (z — ^ — д^] |.
Для 8 — 0, ^i(O) =а, ^2(0) =У^ эти формулы значительно упрощаются
ФФФ =д( ехр Г_/со_4тсх/? (^2 — q) \ н I \ ^i ЛФ =д( ехр Г_/со_4тсх/? (^2 — q) \ н I \ ^i ЛОтделяя действительные части в (24) и (25), получаем1Отделяя действительные части в (24) и (25), получаем1(24)(25)(24)(25)^I^*-/. (1 + X2)^I^*-/. (1 + X2)sinsin1 N о w а с k i W., A dynamical problem of thermoelasticitv, Arch. Meeh. Stos., 9, № 3 (1957).1 N о w а с k i W., A dynamical problem of thermoelasticitv, Arch. Meeh. Stos., 9, № 3 (1957).(26)(26)
Ф
Ф
Ф =д( ехр Г_/со_
4тсх/? (^2 — q) \ н I \ ^i Л
Ф =д( ехр Г_/со_
4тсх/? (^2 — q) \ н I \ ^i Л
Отделяя действительные части в (24) и (25), получаем1
Отделяя действительные части в (24) и (25), получаем1
(24)
(25)
(24)
(25)
^I^*-/. (1 + X2)
^I^*-/. (1 + X2)
sin
sin
1 N о w а с k i W., A dynamical problem of thermoelasticitv, Arch. Meeh. Stos., 9, № 3 (1957).
1 N о w а с k i W., A dynamical problem of thermoelasticitv, Arch. Meeh. Stos., 9, № 3 (1957).
(26)
(26)
6=^?ехр_6=^?ехр_■/рCOS 0) /——\)/ 2'Л СО■/рCOS 0) /——\)/ 2'Л СО
6=^?ехр_
6=^?ехр_
■/р
COS 0) /——
\)/ 2'Л СО
■/р
COS 0) /——
\)/ 2'Л СО
(27)
Перемещения и напряжения определяются по формулам (18).
ф (х, g, /)ф (х, g, /)Если в формулах (22) и (23) положить Qo=L а тепловой источник сместить в точку (|), то функции Ф(х, |, /) и 0(х, |, /) будут функциями Грина для потенциала Ф и температуры 0. Согласно этому замечанию, функция Грина Ф(х, g, /) имеет следующий вид:
ф (х, g, /)
ф (х, g, /)
^5Г~ (ехР I-^ + ikxR\ —
(28)(28)— exp [-t- ik2R\},
(28)
(28)
r = [(x, - a,)2 + (x2 - a2)2 + (X3 - e3)2]’/2•
Если задано распределение тепловых источников Q(x, /) = = Q*(x)e-<0)< в ограниченной области Bi, то потенциал упругих перемещений примет вид
Ф (х, 0 = J Q* (5) (Р (X, ?, о dV (§), (29)
а температура 0—вид
9(х, /) = J Q*£)Hx, i tW®.(30)
Ba
Ниже мы дадим другой простой способ определения частного интеграла неоднородной системы уравнений
з.б-ч^ф^-С/х,(31)
□2Ф = //ге.(32)
Для тепловых источников гармонического типа путем исключения температуры 0 из уравнений (31) и (32), получаем уравнение
(v2+^)(v2 + ^) Ф* = —mQ*/'-»(33)
которое можно записать также в операторном виде
ОХО1Ф* =—mQ*R>.(34)
Покажем, что частный интеграл уравнения (34) можно построить из частных интегралов более простых уравнений
DXF\ = -mQ"V^ D^fX = -mQ*lx.(35)
Решение уравнения(34) запишем в виде
=(36)
ИЛИ
Поскольку решениеуравнений(35)записывается как.
а =(37)
то решение (36х) можно представить в виде
(38)
Следовательно, задача сводится к решению простых волновых уравнений (35).
Для точечного теплового источника уравнения (35) имеют вид
(w-+4зй? +И=~ <"*»» 8 W)'
[^ + ^^+’],7«="('"(?"f,-)s№>.<39>
а их решения известны:
Fa = (mQ*l4^ei!iaR,Я = (х^х^ХзУ\ а = 1, 2. (40)
Подставляя (40) в уравнения (38), получаем1
(41)(41)Ф* =?^4е^_е^у
(41)
(41)
4лх/? (^ “ ^1)
Используя формулу
6* = (1//тг)(? + ^2)Ф^
получаем следующее уравнение для амплитуды температуры:
6*-4 „F А V^-^^-W-^^^.(4Г)
Применим теперь этот способ для решения задач с массовыми силами типа Х=р grad'd. В § 1.5 мы уже показали, что под действием массовых сил такого типа в неограниченном пространстве возникают лишь продольные волны.
И (13)(42>(43)-(42) и(44).(45)(46)-(47>(48>(49).(50).И (13)(42>(43)-(42) и(44).(45)(46)-(47>(48>(49).(50).
И (13)
(42>
(43)-
(42) и
(44).
(45)
(46)-
(47>
(48>
(49).
(50).
И (13)
(42>
(43)-
(42) и
(44).
(45)
(46)-
(47>
(48>
(49).
(50).
Для функции й, зависящей от R и t, система (12) § 1.5 принимает вид
Пз9 — ^Г2Ф = 0,
□ ?Ф — mS= — (Цс^) ft, где
V = d4dR^(^RWR. %=HR, t\
Для ^=^(J^ e-itot после исключения температуры из (43) получим
Используя обозначения
V2+^ = O„, a=l, 2, V-Vq = Da,
запишем уравнение (44) так:
dxd^=-Ur^d^.
Тогда
с!)* —1( 1 _ 1 ) Г) ft
Решениями вспомогательных уравнений
DXS*Y = -Uic^%, D^^-^ld^o будут функции
S:=-(\!^(%IDa), a = l, 2.
Подставляя (48) в (46), получаем частный интеграл
R2 — Rx
Для ^(R) =р6 (R) решения уравнений (48) имеют вид
S^-Ip^rV^ , a = l, 2.
Подставляя (50) в (49), получаем
Температуру, возникающую под действием рассматриваемых массовых сил, определим из (43). Для 7?>0 это уравнение становится однородным
9* = (l//n)(V2 + o2)O*.(52)
Применяя к функции Ф*, определяемой формулой (51), операцию V2 + о2 и используя
S^^ = (^а — #) (^а — ^),Я=1, 2,
получаем
9 = { грд] ^mR (^ - #)]} [^е,м - feV^.(53)
В § 2.5 будет показано, что принятый вид массовых сил d(/?, t) = р& (R)e~i(i)t соответствует центру сжатия.
Выражения для Ф и 0 значительно упрощаются в теории температурных напряжений, т. е. при 8 = 0, &i(0)=o, fe(0) = — Уд. В этом случае имеем
ф= [р/(4тс0/?)] ехр [—/«)(/—7?/^)], 8 = 0.(54)
Переходя к решению, справедливому в рамках классической эластокинетики, следует в (51) положить 8 = 0, 6i(0)=o, ^з(О) =У7 и заменить ит, ^т адиабатическими коэффициентами us, ls. Для упругой волны получим, таким образом, выражение
Ф = [^/(4т:/?(сД)]ехр [-^(/-/^Jj],(55)
Температура 0 здесь отлична от нуля
9 = —^тхе = т^тх (а)д72Ф.(56)
Рассмотрим еще распространение сферических волн в неограниченной термоупругой среде со сферической полостью. Пусть тело занимает область R^a. На границе R — a могут быть заданы либо перемещения uR) либо напряжения oRR=—р и температура 0, либо тепловой поток — Ао(50/57?).
Рассмотрим два простых примера. В первом возьмем краевые условия
8 (a,aRR(a, z-) = 0.(57)
Используя формулы (11), (12) и (13), получаем соотношения
q
Фе1к‘апх -4 S’ "^2 ^2 = 0,(58)
где
пх = 4р. (1 — ikxa^ — ра2оз2, zz2 = 4р (1 — ik^a) — pa2®2,
из которых определяются постоянные 0° и Ф°. Потенциал термоупругого перемещения Ф и температура 0 принимают вид
Ф = — (а&от//?Д) {//[ exp [z^2 (R — а)] —
— zz2exp\ikx ^R — «)]} е~1Ы<,(59)
6 = (a^/RA) ^(kj — a2)exptifc2(R — а)] —
-zz2(^-a2)exp [/^(^-a)]}^'’^,(60)
где
Д^^-а2)^(^-з2)^.
От этих формул легко перейти к соответствующим формулам теории тепловых напряжений (8 = 0, &i = o, й2 = У?). В этом случае
ф = Ате{-^. у- ^ _ ^^ _ ^ мр ^ ^ - 0)]},
Rnx(q — а2)
(61)
a%л• / , R a \/ px \ I f co-^-exp - z оз/ -—7=r - (R - a) / -^lx\ у 2xco /r zxa%л• / , R a \/ px \ I f co-^-exp - z оз/ -—7=r - (R - a) / -^lx\ у 2xco /r zx6 = ^0_ехр [—/ио/ 4~ z* (^ “ а) W] =
a%л• / , R a \/ px \ I f co
-^-exp - z оз/ -—7=r - (R - a) / -^
lx\ у 2xco /r zx
a%л• / , R a \/ px \ I f co
-^-exp - z оз/ -—7=r - (R - a) / -^
lx\ у 2xco /r zx
(62)
где
пх = 4^ (1 — /ад) — рА2, /z2 = 4[л (1 — iaУ#) — ра2с»А
Мы видим, что упругая волна, определяемая функцией Ф, состоит из двух частей: упругой и диффузионной, подверженной затуханию и дисперсии.
Во втором примере на границе R = a положим
О (а, /) = 0, ^RR^a, f) = —pe~ltot.(63)
Термоупругие волны имеют здесь вид
Ф = — ^ {(^2 — з2) exp \ikv (/? — ^)J —
-(^-a2)exp(zX(/?-a)]|A'w.(64)
X (exp [z^2 (/? — «)] — exp[z&! (R — a)]} e-№i.(65)
В рамках теории температурных напряжений получаем
Ф = — {pa3\Rnx) exp [ —/со (/ — (R — а)/^)], 0 = 0,(66)
т. е. мы имеем дело с незатухающей и не подверженной дисперсии упругой волной.
Решение, соответствующее классической эластокинетике, имеет также вид (66), где величины рт, ^т заменены на адиабатические значения ps, ^s. Добавим, что температура здесь не равна нулю, 0 = —г]Тхе =—т]тхУ2Ф.
2.3. Цилиндрические волны в неограниченной термоупругой среде
Рассмотрим третий частный вид волнового движения, а именно движение, в котором перемещения и температура зависят только от переменных г= (х* + х^У^2 и t. Такие волны называются цилиндрическими. Они могут возникнуть под действием линейного источника или же в неограниченной среде 'С цилиндрической полостью, на поверхности которой заданы равномерно распределенное давление, тепловой поток или деформация.
Потенциал термоупругого перемещения удовлетворяет уравнению
(□1П1 - т-^^2)ф = о,(1)
тде
31 = V2 —(1/с2) dt = V2-(1M<^
V2 = д^дг2 + (1 /г) d/dr, г = (х2 + х2Р.
В случае возмущений гармонического типа уравнение (1) становится обыкновенным дифференциальным уравнением
(v2 + £i)(v2 + £i)®* = 0, Ф(г, /)=Ке[ф*(г, t»)^']. (2)
Вспомогательная система имеет вид
(v2+ ^1) Ф1 = 0, (v2+ £2) Фз = 0,Ф* = Ф14-Ф2,(3)
а ее решениями являются функции
ф;=АЖШВ.нШ 2 = 1, 2,(4)
тде ЯФ(йаг), Н^(каТ) —функции Ханкеля комплексного аргу-
мента. Эти функции можно записать в виде линейных комбинаций функций Бесселя /о(&«г) и функций Неймана No(kary.
Н^ (Ааг) = /0 (М ~ ^0 Ц^.(5)
Здесь
=5!Г(14-5)(6)
5 = 0
И
оо25
No (г) = А /0 (г) In ^- - -|- ^ (-1 Г ^у^^' •(6")
Из уравнений (5), (6') и (6") следует, что для Аа^Ва выражение (4) является решением уравнения (3), причем вначале координат это решение имеет особенность типа 1п(1/г).
Для больших значений аргумента функцию
можно записать в виде
V«1)= |//"-^- cos {kj+ °(г-1)]>(7)
т. е. в виде волны, расходящейся от г = 0. Асимптотическое выражение для функции
Г=Век“«1Жг)]
имеет вид
= у cos (^г - ~Г + ю/) 11 + О
и определяет волну, сходящуюся из бесконечности к г = 0. Физический смысл имеет лишь расходящаяся волна (7). Поэтому решение уравнения (1) запишем в виде
Ф = [А,//^0 (Аг) + А^ (А2г) ] е~‘ы<.(8)
Выражение для температуры получим по формуле (13) § 1.5
9 = (е~^1т) [А, (з2 - А?) Н^ (Аг) + Д2 (з2 - А2) Н^} (А2г)].(9)
Частные интегралы, входящие в состав (8) и (9), удовлетворяют следующим условиям излучения:■
H^<kar> = el^rOV-'bY^^j^-ikj^^^(Ю)
^ = ^4"^, «а>0, &а > 0, 7. = 1,2.
После определения постоянных Ai, Аг по известным Ф, 0 найдем перемещения и напряжения
zzr = Re [^‘“^Ф*/^],
»rr = -2ц Re [e”ZoZ ((1 /г) d\dr + ^/2) Ф*],
(П)
а?¥ = —2ц Re [<T/mZ (d^dr" + т2/2) Ф*],
□33 = -2ц Re [ri644№4(l/r)^r-42) Ф*], т = а>42.
Рассмотрим цилиндрическую полость радиуса г = а в неограниченной термоупругой среде. Пусть на краю г = а приложены нагрузки или температура, вызывающие осесимметричную деформацию и температуру. Если в области г>а нет тепловых источников и массовых сил, то потенциал Ф и температура 6 выражаются формулами (8) и (9).
Возьмем краевые условия в виде
Ца, ^ = 9йе-'^, агДа, /) = 0.(12)
Напряжение на краю огг(а, /) =o*~(a)e-iQ* связано с Ф* фор-
з*г^ = — [(2ц/г) с1Ф*^г 4- p4V]r = ti.(13)
Учитывая краевые условия (13), получаем
А1 = т9(д21Х, Л2 = —mMiM>(14)
где
па = Ч^кД-^Г Даа) — арю2 Н'Г Д^а), а = 1, 2,
А = (о2 - ^) п^ (кха) - (о2 - ^) п^Г (k2a).(15)
Итак, имеем
Ф = (m90(A) ^Н^ (k,r) - П,НТ (М] е"м, (16) О = (90/Д) [«2 (а2 - к^ Н^ (М - пх Г2 - ^ Н^ (V)] e-lmt. (17)
Переход к «несопряженной» теории температурных напряжений не представляет труда. Положив 8 = 0, ^i = cr, ^ = ^9, получим
Ф = (т90/Д) \Я^ (or)-пхН^УУ^е-™\ (18')
6 = 60 (H^ (r Уд^Н^ (aA 'qi\e-itot,(18")
где
\ = (q -32) nxH0 УУд\
nx = 2узН^ (ozz) — арУнУ (за),
^г^УдН^ЧаУд') - арУ М^аУУ).(19)
Рассмотрим второй пример со следующими краевыми условиями:
9 (а, 0 = 0, згг(а, t) = —pe-‘tot.(20)
В этом случае
А, = (ра!Х)(У - ^) Н^(к2а),
А2 = (-ра!уУ-У)Н^(кха).(21)
Следовательно,
Ф = (paly [(о2 - ^2) W (Уа) Н>Р (kxr) -
- (о2 - ^) нУ (кха) НУ (М] е-‘ю*,(22)
О = (ра^шХ) (о2 — Ух) (о2 — ^1) X
х W (М Н^ (кхг) - Н^ (кха) НУ (V)](23)
Величины Д, na, входящие в эти формулы, определяются по формулам (15). В случае теории температурных напряжений имеем
Ф = -Уа\пйН^(зг)е"',,а1,(24)
9 = 0.(25)
Рассмотрим, наконец, цилиндрические волны, вызванные действием линейного теплового источника интенсивности Qo, расположенного на оси Хз. В этом случае имеем
Q(r, 0 = 00У (г)12^г)е~КУ
Для определения функции Ф* используем неоднородное уравнение (15) § 1.5
-qmd^^^^—mQjx(26)
ИЛИ
(v2 + ^i)(v2+ ^2) Ф*= —mQ08 (r)/(2-zr).(26')
Частным интегралом этого уравнения является функция
Ф* = _ (Fl - F^^ - k^,(27)
где F* (а=1, 2) суть решения волновых уравнений
/ ^2 ■ 1 ^ ! 1,2 \ р» _ mQ0 8 (г) \ dr2 * г dr ‘ 1) 1х 2иг *
( ^2 I 1। г2\ р* mQo ® (г)/поч
т. е.
F^=<mQol^H^4^r\ р=1, 2.(29)
Подставляя (29) в (27), получаем
ф="ргррр ^} ^ - н^ (Ml (зо)
Температуру определим по формуле (13) § 1.5
8 - ТТТ^Г \У - 4» HS’ №г) - (-’ - Й нР ^] е-“
(31)
Напряжения и радиальные перемещения даются формулами (11). Для несопряженной задачи теории тепловых напряжений имеем
ф = 4^W- Н^ (r V1I\ e-imt, (32)
Q = WMH^VV^e-i,s>t.(33)
Рассмотрим далее воздействие центров сжатия, равномерно распределенных по оси Хз. Воспользуемся уравнениями (12) и (13) § 1.5, рассматривая задачу как осесимметричную,
□ 29 — ^V2<b =0,(34)
□ 2Ф-m9=-(i/c2)», X = pgrad&.(35)
Положив ■&='&0^r>)e-itot и исключив температуру, получим уравнение
(V2 + ^ ) (V2 + ^) ф* = - (1 /С1) ( V2 + <?) МО•(36)
Частным интегралом этого уравнения является функция
= -r-TD3^-S^, Da=^4q (37) —
(см. аналогичное решение в § 2.3). Здесь S* (а=1, 2) суть решения уравнений Гельмгольца
ГМ^-О^ОМИ. D„=x2^k;, а=1, 2.(38)
В частном случае при ^(П =рб (г)/2яг функции 5* имеют вид
s: = (pi!4c^ Н^Чкаг).(39)
Подставляя (39) в (37) и применяя оператор Da к Н^\ приходим к следующему частному интегралу уравнения (36):
ф = ТчЛа К^ - ^) Н^ (М -(q- ^ Н^ (Л2г)] е-м.
(40)
Температура выражается формулой
№'ЧМ - М} (М](41)
В рамках теории температурных напряжений (ц = 0, ^i = cr, £2 = у^) формулы (40) и (41) значительно упрощаются:
Ф = (р114с2)Н(01)(ог)е-гта<, 6 = 0.(42)
В рамках классической эластокинетики (в предположении адиабатичности процесса) имеем
Ф = ^рЦ4<сх^Н^^з0е"1т‘,(43)
Следует помнить, что в этих выражениях постоянные р, X относятся к адиабатическим условиям.
Займемся теперь более подробным изучением поведения решений волновых уравнений на бесконечности и дадим теорему,
аналогичную теореме Гельмгольца классической эластокияетики. Рассмотрим уравнение продольной волны
(?2 + ^)(v2 + h^u =0.(44)<
Это уравнение можно заменить системой
(v2+^)«i = 0. (v2 + ^i)«; = 0, аЖгЖ (45)
Особую роль играют, как известно, те решения уравнения (44), которые имеют особенность в точке (|) и зависят от радиуса г, являющегося расстоянием точки (х) от точки (|). Эти решения, которые обозначим через ср* (г), удовлетворяют уравнению
(f^d? + [(/г — 1) /г ] d^dr + k^ = 0,а = 1, 2.(46)
Здесь /г = 3 для пространственного и п = 2 для плоского случая. Общее решение уравнения (46) имеет вид
<^ = (Мгт^АН^Ч^гНВН^ т = (/г-2)/2,(47)
где Н^ и Н^— функции Ханкеля m-го порядка и соответственно первого и второго рода.
Для п = 3 (т. е. для т=1/2) имеем
Н^ = -i УЖМ'Жг,
Н^г (КУ = i УЖУ ^Ж- a = 1. 2,
а решением уравнения (46) является функция
/ = 1,2,3.(48)
Из обсуждения, проведенного в § 2.3, следует, что для ф(г, /) = = cp*(r^e-ih,t физический смысл имеет только член Avenir, определяющий продольную расходящуюся волну.
Для цилиндрической волны (при п = 2 и т = 0) получим?« (г) = АН^ (kar) + ВН^ UvYг=[л.-^)2+ л2-т,/2.
Как указывалось ранее, физический смысл имеет только первый член Я^(£аг), определяющий расходящуюся волну.
Рассмотрим предел выражения
г [dldr(e'6°-r(r) — /^ае'*аГ/г]
при г, стремящемся к бесконечности. Имеем
lim г [^^(e'^/r) —/Ла^'*аГ/г] = lim ( —e'fer/r), (50)
т. е. предел равен нулю, если 1т(^а) =’9а^0. Следовательно, lim г [d/dr (etk'*rlr) — /^ае'АаГ/г] = lim (— е‘каГ1г) = 0,&а ^ 0.
Для /г=2 рассмотрим в свою очередь предел lim Vr \дНу\к/УРг — ikJPP (&аг)].(51)
Г -*- оо
Для больших аргументов имеем
н^ (М = /2МУexp V (V - (2m + 1) к/4)] [1 + О (г-1)].
Отсюда, используя формулы для производных от бесселевых функций,
dZjdx = — (т/л)Zm-\- Zm_x, dZJdx = — Z,,
приведем (51) к виду
Um Vг {—кг V^т.к1ге1каГ [(z*''2 -ф Р2) + О (г-1)] = 0, ^ »а>0,а=1, 2.
Полученные результаты запишем, используя символ О(г~а), в следующем виде:
п = 3; ^Цк'г1г)-1кук“г1г = е^^>0,
’(53)
п = 2: -^(^Z)J - 1^нР (kar) = е^О (г"3Д, Иа > 0.
Напомним, что х = О^г-а^ таково, что х]га остается ограниченным при г-^ ОО.
Формулы (53) описывают поведение фундаментальных решений в окрестности бесконечно удаленной точки.
Рассмотрим класс тех решений уравнения (44), которые ведут себя на бесконечности как фундаментальные решения
eik«rfr1 H^(kar). Для этих решений и* (сс=1, 2) по определению имеем
п = 3: —^- — ikaua = е^т о (г-2) = elhaJ о^г-х\ ^^0,
П = 2: -^- — ifeX^e'^o^”3^, йа>0.
Эти условия называются условиями излучения. Здесь х= = о(г~а) таково, что xlra стремится к нулю при r-^оо равномерно и независимо от направления радиуса-вектора.
Первое из условий (54) можно записать также в виде
lim г (duajdr — ikaua^ = 0.(55)
г ОО
К этому условию следует добавить еще условие
^а = о(1) при Г-^ОО,(56)
гдео(1) — бесконечно малая величина.
Для фа(^ t^ =^^eitot физический смысл имеют решения п = 3: фа (г) = Be~lka-r\г, п = 2\ ^а(г^ = ВН^\кат\
поскольку только они описывают расходящиеся волны. Условия излучения запишутся в виде
« = 2: Н^ М + ikj^ (М = е^ОУ"3^, Im ^ < 0,
« = 3: ^(е”г^) + ^-^г/г=^^1ш(^)<0.
(57')
Для функций и* имеем аналогичным образом
п = 2; dua\dr-Y ikaua = e7lhaT О V”3k\ Im (&J ^ 0,
/г = 3: dUajdr 4- ik^Ua = e~lkaJO (r-2),Im(^a)^0.(58)
Покажем теперь, что условия излучения достаточны для определения регулярного решения уравнения (44) во всем пространстве.
Рассмотрим область Bt, ограниченную замкнутой поверхностью S. Рассмотрим в этой области систему сопряженных уравнений термоупругости
(V24~ °2) ^* ~ пг^ = О, (V2 + <?) ^* + (Q^ni) ^^ = Qf (59)
(V2 Д- 02) ф* _ ^9* = о, (v2 + q) 9* + (q^jm) ^2Ф^ = 0. (60)
Умножим второе из уравнений (59) на Ф*, а первое из (60) —на и*. Вычитая результаты и интегрируя по области В^ получаем
^*W*-u*W*)dV-m ^-и*Ф* -9*u*)dV = 0.(61)
BtBi
Умножим первое из уравнений (59) на 6*, а второе из (60) — на у*. Аналогичным образом получим соотношения
j (9*?2у* -у*?^*)^!/^-
АЛ*} J(6*v2ti*(62) Bi
J (-у*?2Ф* — 6*v2M*)rfK + o2 J(<I>*-y*-«*6*)dy = O.(63)
Из уравнений (61) —(63) путем преобразований получим
J (9*v2y* — y*V29*) dV +
АЛ*пъА f (®*V2«* -u*\^^dV = 0.
Применяя к этому соотношению теорему Грина, находим
) ^ т- тИ +^ Иф> т - ти=°- <64>
Мы предполагали неявно, что первые и вторые производные функций и*, у* непрерывны в области Bt и на поверхности S. Соотношение (64) справедливо в том случае, когда особая точка функций Ф* и 0* расположена вне области Bt. Если особая точка (|) функций Ф* и 6* расположена в области В^ то способ рассуждения нужно изменить следующим образом. Из области Bt выделим содержащуюся в ней сферу радиуса р с центром в (|), ограниченную поверхностью о. Применяя формулу (64)
9 Заказ № 362
рре* =е* =1114лх (^2 " ^i14лх (^2 " ^iп^е1^ / ди* г \ дгп^е1^ / ди* г \ дгikju*ikju*
р
р
е* =
е* =
1
1
1
4лх (^2 " ^i
1
4лх (^2 " ^i
п^е1^ / ди* г \ дг
п^е1^ / ди* г \ дг
ikju*
ikju*
к области, содержащейся между поверхностями S и о, получаем
_„.»^s^^f(a). »)!_„. *Ы,
дп ) J \ дпдп )
' ы ди* д дб* \ ,. е^а С / д ди* д дФ* \ ,
(65)
Пусть особенность в § С 51 вызвана тепловым источником.
Тогда, согласно формулам (41) и (4Г) § 2.2, получим Ф* =—— (ei,!'rir - eik2rjr\
(66)
п^е^^ — пхе'п^е^^ — пхе'nxelk^r / ди*nxelk^r / ди*v* f- sin 9 d^ dy.v* f- sin 9 d^ dy.sqa^sqa^4^п? (&| ~ ^14^п? (&| ~ ^1limlim
п^е^^ — пхе'
п^е^^ — пхе'
nxelk^r / ди*
nxelk^r / ди*
v* f- sin 9 d^ dy.
v* f- sin 9 d^ dy.
sqa^
sqa^
4^п? (&| ~ ^1
4^п? (&| ~ ^1
lim
lim
г \ дг 1/ 'г
Переходя к пределу при г=р->0, получаем
2л л
"Т^Г^Т ^ (?) f ^ j sin 9 d6 = У* №•
Второй поверхностный интеграл в (65) принимает вид
^* r2sin ^d^d^= 0.^* r2sin ^d^d^= 0.у*у*556* Sr6* Sr_ д^* — ^у ——_ д^* — ^у ——
^* r2sin ^d^d^= 0.
^* r2sin ^d^d^= 0.
у*
у*
5
5
6* Sr
6* Sr
_ д^* — ^у ——
_ д^* — ^у ——
е1^г / ди* ., .X , е^г-е1^г
—5 1К.Г,и* Нг \ дг 2/ 1 г
Подставляя полученные предельные значения интегралов в (65), находим следующее уравнение для | С Вт
(65')
Рассмотрим теперь внешнюю область Ва. Предположим, что функции и*, и* имеют непрерывные первые и вторые производные в Ва и на S. Возьмем сферу с центром в | С Ва и подберем радиус сферы так, чтобы вся область Bt попала внутрь сферы. Напишем уравнения (65z) для области Vi, содержащейся между поверхностью Е указанной сферы и поверхностью S. Имеем
У*(§)=-х f (в* 41 - dS -
J \ дпдп )
S
" д/г pd + J V дг 43 Or f^‘
Ss
(67)
1 J \ дгдг )1 х 7
s
Отрицательный знак двух первых интегралов связан с дифференцированием по нормали на S, направленной внутрь области Ва. Первый поверхностный интеграл представляется следующим образом:
% С n2etk2T / ди* Typify" J L "г (ТдГ% С n2etk2T / ди* Typify" J L "г (ТдГnxeLk^T (ди*.1^ ) —-— ^^- -^ J +nxeLk^T (ди*.1^ ) —-— ^^- -^ J +
% С n2etk2T / ди* Typify" J L "г (ТдГ
% С n2etk2T / ди* Typify" J L "г (ТдГ
nxeLk^T (ди*.
1^ ) —-— ^^- -^ J +
nxeLk^T (ди*.
1^ ) —-— ^^- -^ J +
+ у* —--^ г2 sin 9 d9 dy?.
Перейдем к пределу при г->оо. Поскольку в выражении для элементов поверхности имеется множитель г2, а функция и* удовлетворяет условиям
ди*дгди*дг— ik^* = etk*r О {г 1),— ik^* = etk*r О {г 1),
ди*дг
ди*дг
— ik^* = etk*r О {г 1),
— ik^* = etk*r О {г 1),
^ = о(1), 1ш(^)>0, а = 1, 2,(68)
то при г-^оо рассматриваемый интеграл равномерно стремится к нулю. Аналогично этому и второй интеграл по поверхности сферы в (67) стремится к нулю. Таким образом, для области Ва получим при | С Ва следующую формулу:
т)* (§) = х f 9* -^—\dS (х) +
J \ дпдп ) V / ।
5'
ф ^(х)- (69)
m2 J \ дпдп )\\7
s
Уравнения (67) и (69) можно рассматривать как обобщение известной теоремы Гельмгольца на задачи теории теплопроводности. Если функция и*(|) известна, то функцию и* можно определить из первого уравнения (59),
=dV®- <70>
Перейдем к несопряженной задаче, когда 8 = 0, &i = o, &2 = = ^q. Формулы (66) принимают вид
^=-m[e'r -е^Х4™^ ~ <М - 6*=eirV7l^. (66')
В уравнении (69) остается только первый интеграл; используя (66х), находим
1 С д Гу \z>^ Гу а
^*(£) = —_— dS^xY (71)
4ти J дп \ г ) г дп v 7 v 7
Мы получили результат, хорошо известный в теории параболического уравнения теплопроводности.
Рассмотрим теперь систему уравнений
(V2 + о2) Ф* -т^ = - (1М2) 8 (х - §),
(72) 72ф* = 0.
Здесь имеются особенности вида
,м_1ш^1к1Г - mxelk'r
4^(^-N)
= -geк^^-к^^(73)
A^mc\ (&2 — &2)г
та = q — ^а, а = 1, 2.
Мы видим, что эти особенности соответствуют действию центра сжатия или единичной массовой потенциальной силы (см. формулы (51), (53) § 2.3).
Умножая первое уравнение (72) на и*, а первое уравнение (59) на Ф*, вычитая результаты и потом интегрируя по области Bt полученное выражение, находим
J (#*72Ф* — Ф* V2#*) dV + tn J (у*Ф* — 6*#*) dV =
= -(l/^) «’(§), (74)
откуда
«*(§)=^(ф*^_и*^)^(х) +
Л-тс^ ^(^Ф*-9*u*)dV (х),(74')
5/
причем Ф* и 6* определяются формулами (73).
Аналогичную формулу получим для внешней области Ва. От формулы (74) легко перейти к задаче классической эластокине- тики. Подставляя в (74х)
^* = —т^хе* = — t]7xV2^*, 6* = —т}гх72Ф*, получаем
^(l + vj^m^ ^*W*-u*^4)*WW = a*(£Y (75)
Здесь с2 = (% + 2ц)/р, а р и X являются изотермическими константами. Используя формулу (16) § 1.6, получаем
№)з = (^Dr “Ь T4mT*-= (^1)7 Н р ’
где (c)s — скорость продольной упругой волны (при адиабатических постоянных Ламе). Уравнение (75) запишем в виде
= (4), j (~(76)
Функция Ф* является здесь решением уравнения (72), в котором следует положить 6* = —TjrxV2®*,
у2ф*+з2ф»=_^/(^у8(х_§)) Qx = <c^si ^
Частным интегралом этого уравнения является функция Ф^^^-'^/г.(78)
Подставляя (78) в (76), получаем
1 f[VT’r ди* д ( е”1Г\ *1,0,, е о
Iчч— \и* dS(х), если § С В,,
* /е\ 4л J [ г дп дп \ гv ”’"
«*(§)= «
О, если Х^Вг.(79)
Формула (79) известна в эластокинетике под названием формулы Гельмгольца.
Дадим еще одну формулу, определяющую и* для х £ В через поверхностные интегралы. Будем исходить из следующего тождества для двух произвольных функций и* и Ф*:
J Vu* (?) DxDy* (?) - Ф* (?) DxD^* (§)] dV (§) = В
= J [«* (?) у4ф* (?) - Ф* (g) v4»* (§)] dV (?) + В
+ (^ + ^j^(§) 74ф*(§)-ф*(5) xV^dV^y В
Ва=Х + £, а = 1,2.(80)
Используя основную формулу для билапласианов
J (м*?4Ф* - Ф*хЧ*^ = J ^Х^и* ^--Ф*^^^А 4ЯД х
y\U*^51_-x4)*-^-\dA (81) 1 J \ дпдпх 7
А х'
и формулу Грина
^УУ^Ф*-Ф*ХЧ*^У = Ци*-^-Ф*-^^А, (82) vv \ ипип /
ВА х'
запишем уравнение (80) следующим образом:
J <u*DxDy* - Ф*ОхОги*> dV = В
Чу ^тО4’* п*и*ул-
-^У'У-'^УУ^ <83> А Х*
где
□2^ v2 + ^ + ^i.
Предположим, что функция и* не имеет особенностей в области В и удовлетворяет однородному уравнению
DXD^ = 0.(84)
Температура у*, связанная с и^, дается формулой у* = (1//^) (V2 + з2) и^.(85)
Пусть функция Ф* является решением сингулярного уравнения
DXD^ = ~М*) 3 (х - £),(86)
справедливым в неограниченном пространстве. Такое решение, согласно (66), нам известно. Подставляя (86) в (83) и учитывая (84), получаем
«*(х) = -^-Пф*(^. x^TW®-
-«*(§) ^П2Ф*(§, х)]гМ(§)-^П?^(§)Аф*^ х)- А
-у2Ф*(§> ^АНН]^), х £ В, (87)
^*(х)=0 для x£S — В,(87')
где через S обозначено все пространство.
Соотношение (87) можно преобразовать, используя соотношение (85) для и* и у*. В результате имеем
и* (X) = х J[ф* ® X) ^L - у* (?) -А Ф* (?, х) ] dA (§) - А
^^"fe^U*® х)-П^® х^^Ч^ dA®,
х^ В, (88)
м*(х) = 0 для xfS- В,(88')
где
г—12 — 2 । *2 । #22
Формула (88) выражает функцию и* внутри области В через функции и*, ди*/дп, v*, dv*)dn на поверхности А. Она аналогична формуле (74х).
Применяя к (88) операцию (V2 + o2)/m и используя (60) и (85), получаем
У*(х) = А(724-а2)й* =
= х J [6* ® X) Аун _ ^ (§)6* (?> х)] dA ® -
--^J^^^rnHv2^^^)®*^ X)- А
-^Н^и2кФ*^, x^u*®\dA®.(89)
Поскольку
( v2 + а2) ( v2 + ^ + ^2 — о2) Ф* = Dx О2Ф* + а2^гф*,
а на поверхности А имеем /)цР2Ф* = 0, из (89) находим соотношение
(х) = -Л J [0* (§, X)- чз* (?) ^ 0* (§, X)] dA (?) -
А
-^^а*^4гф*^, х)-ФЧ§, Х)^Ц4А®. (90)
Это соотношение идентично формуле (67), полученной ранее другим путем.
Соотношения (88) и (90) послужат нам для приближенного решения следующей задачи. Предположим, что на границе тела А задана нормальная производная потенциала термоупругого перемещения du*Jdn=f(^ и температура v*=g(§). Используя (88) и (90) для х С § —В, мы придем к следующим функциональным уравнениям:
о = J [ф* (§, х)^!--^^)-^^-]^^)-^
А
+ ^П/(§) П^^ х)-м*(§)-АП2Ф*(§, x)]rfA(5), (91) o = j [0*(i x)^l-g(§)^-0*(§, х)]^(§) +
+ ^ПФ*^ хШ^-^4гФ*^, X^dA^, « =
(92)
Неизвестными функциями здесь являются dv*ldn и н* на поверхности А. Определив эти функции, мы получим по формулам (88) и (90) функции и* и и* для х С В. Уравнения (91), (92), в которых функции dv*ldn, и* содержатся только под знаком интеграла, а области изменения точек х и | не совпадают, мы будем называть каноническими функциональными уравнениями. Можно показать, что уравнения (91) и (92) для дс*1дп и и*, где | € А, имеют единственное решение.
Введем обозначения
(§) = Х(§), иЧ^ = ¥^(93)
и будем решать канонические уравнения приближенным мето-
дом путем сведения к системе линейных алгебраических уравнений с использованием квадратурных формул.
Выберем N точек х;- (/=1, 2, ..., N) на некоторой поверхности Л\ содержащей всю область В (рис. 2.4). Точки Xj могут быть точками пересечения с поверхностью А' нормалей к поверхности А. Указанные нормали разместим на поверхности А достаточно равномерно. Тогда ядра подинтегральных выражений в (91) и (92) будут ограничены для Xj С А' и lj С А и можно будет применить квадратурные формулы. Таким образом, имеем
2х^Х(^-
N
...1УЛ^(3^, ))х пгдп — х 1
Х¥^ = ар(94)
Л'
2 д^*а;, х^х^-
-52 <'5гф‘№,. ^ПМ-Ь,. (95) 1 = 1
гдеРис. 2.4.
J dA (?)\g^4r ф* (§- х^ -^f^ Л^(^ x^ ],
j dA (?) [ g (?) 4- 9* (?, xy) -ЦЧ^ ф* (§, X) ],
A
а л^ — коэффициенты соответствующей квадратурной формулы.
Мы получили систему уравнений (94) и (95) для 2N неизвестных X^t), Yfa) (t=l, 2, ..., N). Основной детерминант системы можно сделать, вообще говоря, отличным от нуля путем соответствующего подбора точек Xj на поверхности Аг.
Приближенные формулы для потенциалов и* и и* в точках, расположенных внутри области В, имеют вид
N
и^^ = хх)Х(^) —
X))r(; )].-xj[g( = )jL®-(E. X)
А
~^f^AVb4l, х)1/А(§),(96)
-^Н46*в х^-УМ^Ч^х^А^. (97)
2.4. Неограниченная термоупругая среда под действием точечной сосредоточенной силы
Поставим задачу определения функции Грина для перемещений и температуры в неограниченной термоупругой среде, возникающих под действием приложенной в точке (g) сосредоточенной силы, меняющейся во времени по гармоническому закону Ч Обозначим через U^ (k = 1, 2, 3) векторное поле перемещений, вызванное действием сосредоточенной силы, приложенной в точке (g) и направленной по оси %ь
Наша цель состоит в определении функций U^ и связанных с ними полей температуры 0^. Эти функции будут функциями Грина для неограниченной термоупругой среды. Отправной точкой наших рассуждений являются волновые уравнения (15) и (16) § 1.5
(□?Пз- W^V2)O = -(!)
□ ^=-(1/^)Х.(2)
Напомним, что функции ^ и х были введены путем следующего представления массовой силы:
X = p(grad& + rotZ).(3)
Если массовые силы изменяются во времени по гармоническому закону
S(x, ^ = ^^e-iu,t, Х(Х, /) = Х*(х)<ТгюГ(4)
то функции Ф, ф, 6 также изменяются по гармоническому закону
Ф (х, /)=Ф*(х,, ф(х, /) = ф*(х, ш)£-'ю<>
9(х, /) = 9*(х, ^е-™,(5)
Подставляя (4) и (5) в (1) и (2), получаем систему уравнений
(V 4') (V* -г Щ <»' = - 0/rf)(v!+ ?) »",(6)
(тЧ^-Ч^Х-,(7)
Функции У* и /* выразим через составляющие массовых сил при помощи следующих формул1:
э*(Х) = --4- С f f pd(x')-^lH-nl +v 7 4г,р 1 J7 дхх I /?(х, х') / ~
(В) L
1' дх2 ^ R (х, х') j 1 v ' дх3 у R (х, х') ) х • ’ х '1' дх2 ^ R (х, х') j 1 v ' дх3 у R (х, х') ) х • ’ х 'г,(8)
1' дх2 ^ R (х, х') j 1 v ' дх3 у R (х, х') ) х • ’ х '
1' дх2 ^ R (х, х') j 1 v ' дх3 у R (х, х') ) х • ’ х '
^ (х) =^ (х) =Предположим, что сосредоточенная сила приложена в начале координат и направлена по оси Xi, т. е. X*(x') = = 6 (х') 6 (х') 6 (х') би, /=1, 2, 3. Тогда
^ (х) =
^ (х) =
J—п 4г,р дх^ { R j ' ^1’
1д4гр д^21д4гр д^2/ 1 \ИЛ/ 1 \ИЛ* / \1 д / 1 \* / \
1д
4гр д^2
1д
4гр д^2
/ 1 \
ИЛ
/ 1 \
ИЛ
X-z(x) = T^l^yR)’ 'Хз№= —
R-U + xU4r.(Ю)
Следовательно, мы должны решить систему уравнений
(Т4«(7г+в®'-—^(Г^^^-Ш.
(V+o ф:=о,
44,4 дхДкрVO
Рассмотрим первое уравнение (11), так как решение остальных уравнений известно:
ф* = 0, ф* = -г-Д- Fo (R, о)),
Ф* = -1 „ / FAR, со),(12)
т3 4тсрС1>2 0X2Х
где
F^R, ^e^fR-VR.
Используем два свойства функции Ф*. Волновые функции и перемещения, возникающие под действием сосредоточенной силы, направленной по оси %i, будут симметричны по отношению к этой оси. Поскольку перемещения ил симметричны относительно плоскости (%2, %з), функция Ф* относительно нее антисимметрична. Рассматривая Ф* как функцию Xi и радиуса г = = (х|+х )1/2, применим к волновому уравнению сперва преобразование Ханкеля, а затем синус-преобразование Фурье. Итак, если
Ф(а, p) = ]/2/u J J Ф*(хр r)rJQ(^r) sin^ drdxx,(13)
о о
то волновое уравнение сводится к следующему:
Ф (а, 3) = —Ц- |/2^ Г Аг-
получаем следующее замкнутое решение:
Ф* (^ г) = _1 - д... р ^, м),(16)
х'4т:ро)2vк /
где ^/ 1 ^2^2 4 >
I^WRWM 7=1,2, /0^1№
Заметим, что, переходя к несопряженной задаче, т]=0, ^2 = ^> Д2_а2, мы получаем известное решение волнового уравнения классической эластокинетики:
ф^.И=--4^(=м«-1№).(17)
Вернемся к выражению (16) и изменим точку приложения силы на (I). Функции Ф* и гр* мы будем снабжать верхним индексом, указывающим, что они связаны с силой, направленной по оси Хь Тогда имеем
ф*(1)(х, ^--LI-f^, <о),
v4rcpw2 дхг v 7
'fl'V £) = 0.(18)
где
R = [(^1 - tm - у2+(Л3 - и2]1/2.
Налагая поле перемещений по формуле UW=gradФ(1> + rot ф№, получаем
^(1 ---^"^l^W ^-fq<R- «)] +
_J_^e. (19)
4^pC2
Полученному полю перемещений сопутствует поле температуры, которое можно определить по уравнению (13) § 1.5.
Амплитуда температурного поля равна
6*- (l/m) (V8 + ,ф Ф' "> + (1I А=)»‘ ™
-Н^Ш)!. (20)
После простых преобразований с использованием равенств
,q« = ^ - ,ЧЙ - »’). чЙ-№ - q№ - »’) получим
(21) ^пгсх \kx —) ОХх
Мы видим, что функция 0*W имеет особенность в точке (х=£). Воздействие сосредоточенной силы приводит, таким образом, к возникновению теплового источника в точке приложения силы.
Направим теперь силу, приложенную в точке (|), сначала по оси Xi, затем по оси х^ и, наконец, по оси хз. Это даст составляющие перемещений U*^, U*^, U^ и амплитуды температур 0*(i), 0*<2\ 0*<3\ Множество всех составляющих вектора перемещений является фундаментальным симметричным тензором перемещений Грина U*^ (j, ^ = 1, 2, 3), причем
иПх, §, ^) = -^ Re^w(*. ^
==^(l/4^;2)Rek^ю)-^^, ш)]-
~^exp[-z\o(Z —/?/<?2)]} .(22)
Поле температуры 6^) выражается формулой
6w(x, §, /) = Re[e-''to<6*w(x, §, «)] =
^-^Re!-^-^-^, ^W^R- «)]}> ^=L 2, 3, ^тсх [ кх —j
(23) По известным функциям №>, 6W легко найти напряжения и деформации
^=2^ + (Xew -^>пт,
^ = (72) №Чп + и^п),. п, т, к = 1, 2, 3.(24)
Формулы (22) и (23) взаимно связаны. Каждой тройке составляющих перемещения U^ (/=1, 2, 3) сопутствует поле температуры 6^\
Переход к функции перемещений Грина классической эластокинетики не составляет труда. Положив ^i = a, &2—У^ и, следовательно, Л1 = 0, Л2 = 0, так что
F^R, ^ = eURm- W F0 = eUR\R-\\R,
получим известную формулу
ОТ = - (1 /4тра>2) Re \e~ltot ds dfe (e"R IR - el""R^ -
-^jke"itoV-Rlc^. (25)
Здесь постоянные p и л соответствуют адиабатическому процессу. Температура №\ согласно § 1.16, выражается формулой
9W = -T]7ze(6) = -VU$.(26)
Ниже мы опишем другой, более непосредственный способ построения функции Грина, основанный на системе разделенных уравнений
□ЖП|~ W^V2h,+^j(pc2)==0, /=1, 2, 3(27)
(см. уравнения (10) § 1.6). Напомним, что перемещение и и температура 9 выражаются через <р по формулам
и = 2ф — grad div (Гф)' 6 = т; dt div (Пг?),(28)
где
2 = (1 + а)Шз - То7! ^V2, Г = аП2 - W dt,а = (Х + р.)/р., То = т/^-
Рассмотрим сначала действие на неограниченную среду массовой силы Х= (Xi, 0, 0), направленной по оси Xi. В этом случае фа=фз=0. Система (27) сводится к одному уравнению
□ДП^-/пт)^72)?1 + Х1/(р^) = 0-(29)
Предположим, что массовая сила Xi(x, /) меняется во времени по гармоническому закону. Подставляя в (29)
X, (х, /) = X (X) e~iMt, ?1 (х, 0 = фГ (X, «>) e"itol, получаем
(v2+«(v2+»=) (v1. ос)
Уравнение (30) представим в операторном виде
d^d^^-x^Y(31)
^^v2-^^2, а—1,2, Z)3=V2+t2 .
Частный интеграл уравнения (31) запишем в виде
где функции F* (а=1, 2) суть решения простых волновых уравнений
DX=-XXvc^, а =1,2,3.(33)
Предположим, что в начале координат приложена сосредоточенная сила, направленная по оси Xi, т. е. Х* = 6 (xi) 6 (хг) 6 (хз).
Тогда частным интегралом уравнений (31) будут функции '
К = (1/4^/?)^, а=1, 2; ^ = (1/4^?/?)^.(34)
Подставляя (34) в (32), находим для <р* следующее выражение:
?14npc2/? ^ - h^?14npc2/? ^ - h^gik.RЙ-Йgik.RЙ-Йе 2 v~е 2 v~
?14npc2/? ^ - h^
?14npc2/? ^ - h^
gik.R
Й-Й
gik.R
Й-Й
е 2 v~
е 2 v~
(35)
Функции U*W и 0*W определены по формулам (28) ^(,)=2V-^rv. uv^-AdA*, u*3w=-6.6^4,
(36)(36)6*(1) = _7)/U)(v2 + t2) ^cp^
(36)
(36)
где
2 = (1 -|-a) (V2 + ^i) (V2 + kf), Г = <z(v2 +^)+ (1+й)£<7-
Подставляя (35) в (32) и учитывая соотношения (&2 — ^)(^а — a2) = ^s, а =1,2, ^ - т2) Цй - ^ = =2 [a (q - т2) - (1 + a) q.],
после простых преобразований получаем формулы для амплитуд перемещений и температуры
t/J (1)= -(1 /4ТСР<»2) дх dj [F(R, «>) - Fo (R, «))] + (1 /4тср^) §1Уег^ (R,
^w==-T^i^-^d^^R’ ^-W- “)]’(3?)
совпадающие с (19) и (20).
Пусть в точке (gi + Agi/2, g2, £з) приложена сосредоточенная сила интенсивности (Р/А£1)е~^, направленная по оси Xi, а в точке (gi— Agi/2, g2, gs) приложена сила той же интенсивности, но противоположного направления. Перемещения, вызванные этими силами, равны
;= д^'Е^Р^р х^ -^3’ ^i ^1/2, ^’ ^з)
-U^xvxvx^ ^ + ^/2,^^)].(38)
Переходя к пределу при Agi->0, получаем перемещения W, вызванные так называемой двойной силой без момента,
V^\x, §, ^=-Р-^иУЧх, §, 0 =
= dv\d.d,.(F - F.V-^МЛ.
dv = djd^, L = eUR!R. (39)
Обозначим температуру, связанную с этим полем перемещений через 0W. Проводя те же рассуждения, что и при выводе формулы для W (39), получаем выражение для 0W
0<» (х, §. /)=-/3^-0О)(х, §, /),(40)
где функция 0W(x, g, f) задана формулой (21).
В общем случае, когда двойная сила без момента действует в точке (|) и направлена по оси х^ соответствующие особенности даются формулой
V^4x, §, t^-P-^U^x, §, /),(41)
0<ft)(x, 5, /) = —Р-^-9(ft) (х, §, 0 (не суммировать по к\\ (42) Рассмотрим теперь три двойные силы интенсивностью Pe-itot, направленные соответственно по осям xi, х2, хз. Легко показать, что такое воздействие создает на поверхности бесконечно малого шара с центром в точке (g) равномерно распределенное давление. Поэтому система трех двойных сил равной интенсивности называется «центром сжатия». Обозначим через Wj составляющие поля перемещений, а через 0 — температуру, Ю Заказ № 362
вызванную действием «центра сжатия». Используя результаты, полученные для сил, находим
Wj=- Aj- и^ + 4- иГ + 4- и^ =
7^ ^!71^27^3/
= -1^ dJ ^"^ - АМ) е~1й*, 7 = b 2, 3, (43) e=- fJL 6(1)+4- + -J- 0(3)) =
Qs^4г p a? (^ — ^) mQs^4г p a? (^ — ^) mU£lx-1^e"ltot •U£lx-1^e"ltot •(44)(44)
Qs^
4г p a? (^ — ^) m
Qs^
4г p a? (^ — ^) m
U£lx-1^e"ltot •
U£lx-1^e"ltot •
(44)
(44)
Покажем, что центр сжатия вызывает возникновение только продольных волн. В самом деле, обозначая через Фиф волновые функции для центра сжатия, получаем
ф = -4^ (Л^*Л “ А^ ’ Ф1 = ^2 = Фз = 0.(45)
Вектор ф, описывающий поперечную волну, равен нулю.
Рассмотрим, наконец, перемещения, вызванные сосредоточенными моментами. Пусть в точке (gi + Agi/2, g2, §3) приложена сила (Al/Agi)e“i0)#, направленная по оси х2, а в другой точке (gi — A^i/2, |2, g3)—сила той же величины, но противоположного направления. Тогда
^; = "д^- [^/ ^ (^Р *^2» *^3» ^1А^/2, £2» У
- иТ (^ > х2, х3; ^ + Д^/2, ^2, у] . (46)
(47)(47)Переходя к пределу при Agi —^ 0, получаем перемещения, вызванные действием сосредоточенного момента М,
(47)
(47)
Пусть теперь в точке (gi, £2 + А^/2, ^з) действует сила Me-itotI\^з„ направленная по оси xi, а в точке (^1, ^2 — А|г/2, gs) действует сила противоположного направления. Тогда имеем
(48)(48)“i-* 4ги''-
(48)
(48)
Сумма указанных двух сосредоточенных моментов вызовет перемещения
г. е.г. е.дЫр \ $12 /дЫр \ $12 /(49)(49)up = -Мup = -МdU^5;idU^5;i
г. е.
г. е.
дЫр \ $12 /
дЫр \ $12 /
(49)
(49)
up = -М
up = -М
dU^
5;i
dU^
5;i
^=^-> J = L 2- 3- (5°)
Изменение объема, вызванное действием этих сосредоточенных моментов, равно нулю. Поэтому имеем QM = 0. Выражение (50) идентично результату, известному в классической эластокине- тике.
Неограниченная термоупругая среда под действием линейной сосредоточенной силы
Рассмотрим неограниченную термоупругую среду, находящуюся под действием массовых сил Х* = 6 (xi) 6 (х2) б^е”^, на
правленных по оси Xi и равномерно распределенных вдоль оси х3. В этом случае перемещения, напряжения и температура не зависят от переменной хз, и мы имеем дело с двумерной задачей. Решение этой задачи можно получить, используя соответствующие формулы предыдущего параграфа и принцип наложения. Исходя из функции Грина для перемещений и температуры, возникающих от точечной силы, приложенной в точке (0, 0, £з) и направленной по оси Xi, и интегрируя эти функции по х3 от —оо до +оо, получаем требуемые результаты.
Поскольку
2_^^3 = 27СоМ> г^(^ + </2,(1) Кг +*з
где Ко(^) —модифицированная функция Бесселя третьего рода, можно записать
exp [ik l/~г2 + Й
1/ r^3 = 2^(-ZV). » = 1, 2.(2)
V г2 + е32
С другой стороны, имеем
2K0(-iM = rdHP^ar>). « = Ь 2.
Если теперь проинтегрируем перемещение U*w и температуру 6*№, определяемые формулами (19) и (21) §2.4 по %з, то, согласно (2), получаем
^(1) = - Т^ fа-д- ^i^’ ^ - А,Н^ W - Н^ (тг)] -
(3)
9*(1) = 7&"^ ^ ^ - Н^ ^ •^
4 -г ртсЦ^ —
Обобщая эти формулы на случай линейной силы, проходящей через точку (|) и действующей в направлении оси а, находим UT = - -^ {a a 1ахн^ (М - АМ1' И - Н^ (тг)] -
_-^А^И\, (5)
9'*’~ А#-#-, д‘и°<м-н™<М1'
/=1,2.(6)
Постоянные Д1 и Д2 в формулах (3) — (6) определяются согласно (14z) § 2.3.
Зная функции №> и №, легко находим деформации и напря
жения
^1пг — ( /2)Um, l)t ^lm —p) 0^ ,
k, I, m=\, 2, 3.(7)
Функции Грина можно определить также и другим путем, используя разделенные уравнения (10) § 1.6,
(v!+«(v2+®(v’ + 7t:=-^(/4). ^-dU*. (8)
Мы предположили здесь, что сосредоточенная сила приложена в начале координат и направлена по оси Хь Частный интеграл запишем в виде
фф^2 _ Л2 ^2 _ т2^2 _ Л2 ^2 _ т2(9)(9)
ф
ф
^2 _ Л2 ^2 _ т2
^2 _ Л2 ^2 _ т2
(9)
(9)
где функции F* (а=1, 2, 3) суть частные интегралы уравнений
(^+^+A.2)f:=-A-;i(Pcj), «=i. 2,(Ю)
M + ^ + 7/r3»-^/(prf).(И)
Для сосредоточенной силы X* = 6 (%i) 6 (%г), действующей в направлении положительной оси Xi, находим
F^y^M ^- = 1. 2; F^J-^H^F).(12)
Подставляя (12) в (9), получаем функцию ср*. Используя фор-
сХ w - 5?rV, их(1) =,
(13)
6* d) = — ^Zod (V2 + т2) дх<х,
где
2*^(1 +a)(v2 + ^(V2 + ^ r^^(v2+9) + (l + ф?,
определяем выражения для перемещения и температуры, которые аналогичны выражениям (3) и (4).
Используя подход, примененный в предыдущем параграфе, можно построить особые решения высшего порядка. Например, для двойной силы, приложенной в (^i, §2) и направленной по оси Xi, получим
^(х, §, ^--^-U^ §, t\
е(1)(х, §, /)=-^-6W(x, 6, t\ (14)
Для линии центров сжатия имеем
= ^dj МН^ М - A.kW (М , (15) е(х, §,- (.-^-6<i) + ^-6^)==
= л ^^н^} (^1Г) - ^ ^ e"lu>t •(]6>
Легко проверить, что под действием линии центров сжатия возникают лишь продольные цилиндрические волны.
Переходя к теории температурных напряжений (несопряженная задача), т. е. полагая 8 = 0, 61 = 0, k^=^q в (5) и (6), получаем
иГ = -! дА И1’ (аг) - //^ (.г)] - AjkH^ W, (5')
0№ = О.(6')
Для линии центров сжатия имеем
Vj=-^H^4=r)e-itot, 9 = 0.(15')
Осесимметричная задача Ламба для термоупругого полупространства
Задача ставится следующим образом. На полупространство г^О действует осесимметричная нагрузка p(r, t), направленная по оси 2. Требуется найти поле перемещений и температуру. Частным случаем представленного ниже решения является соответствующий результат классической эластокинетики. Будем предполагать, что в рассматриваемой области 2^0 нет тепловых источников и массовых сил. В этом случае исходные уравнения задачи однородны. В цилиндрических координатах (г, 2) эти уравнения имеют вид
[?2^(1/х)^]0-^?2Ф = О,(1)
[v2 — (1/^] Ф —/и6 = 0,(2)
[v2-(l/d)^]'^ = 0, V2 = dW + (l/r)d/dr + dW. (3) Радиальные ит и вертикальные w перемещения выражаются через функции Фиф следующим образом
иг = дгФ дгд2^> ту = д2Ф — [^ + (1/П^г Ф = ^Ф +
+ [^-(1/^Ик (4) а напряжения соответственно равны
огг = —2р. / 6>1 + А дг - Щ ^ \ Ф 4- 2^ £ дА
к2с2/(5)
=,, = -2р ^г2 + д2 - к Ф + ^
аг2 = 2р. дг д2Ф + Р оАз#2V ^ ) '^- \/
Е w i n g W. М., J а г d е t z к у W. S., Р г е s s F., Elastic waves in layered media, New York, 1957, p. 9—10.
Предположим, что нагрузка изменяется по гармоническому закону p(r, t) =f(r)e~i(dt. Вводя обозначения
Ф(г, г, /) = Ф*(г, г)е-1Ш1, & (г, г, ^) = ^(r, г)е~1Ш( и т. д.,
(6) приведем систему (1) — (3) к виду
(V2+^)(v2 + ^K = 0,(7)
(?2^т)ф* = 0>(8)
(Т2 + а2)Ф*-т6* = 0,(9)
где
к\ -|- ^2 ^ 9 (1 “К £) Н- 5 ’ ^1^2 === 9^ 1
22/222,2
(5 = to (Cl , Т = 0) [с^, е = 7y/2X.
Соотношения между перемещениями и функциями Ф* и ф* примут вид
и* = <?ГФ* -L дт дД*, w = dz^ + (д2 + т2) Ф*.
Амплитуды напряжений выражаются следующим образом:
i - -2- (^ + (Ж -I- 4) ф" + 22
°*Г = -2;^ (dl + (1/г) дг + т2/2) ф’ + 2[1 д^д^,
= - 2|Л (<?2 + ^ + ?/2) Ф* + (2|х/г) дг ^/,
=rz == 2р. дг дгФ* + р dr ^d^z + Т2) Ф*.
Применяя к уравнениям (7) — (9) интегральное преобразование Ханкеля
ф (а, г) = j Ф * (г, г) rJ0 (ar) dr,
о
Ф*(г, 2:)=J Ф(а, г) aJ^(ar)da,
получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений
[^-(а2-^)]^-(а2-^)]Ф=0,(И>
[^_(а2_~2)] ф=0,(12)
[dl — (а2 — а2)] Ф =/и6.(13)
Отсюда легко определить функции Ф(аг) и гр (аг) и, наконец, соответствующие им функции <р* (г, г) и гр* (г, г),
Ф*(г, ^) = j ^Ае-Х'г-\-Ве-^ aJ^r^da,, (14) о
ф*(г, г) = j C^“^aJ0(ar)rfa,(15)
о
где
Х^(а2-</2, ?=1, 2, v = (a2-.T\
В (14) входят только две постоянные, а в (15)—одна, поскольку мы требуем, чтобы при г-^оо удовлетворялись условия Ф*->0, гр*-^О. Амплитуду температуры определяем по уравнению (9)
6*(г, ^^—J [A (о2 — А2) е~Ххг^В^<52 — к^е”х^г\т1^^ 1 о
(16)
Величины А, В и С находим из краевых условий
б\г, 0) = 0, ^(г, 0) = 0, 4(г, 0) = -/(г).(17)
Мы предполагаем, следовательно, что в плоскости 2 = 0 температура равна нулю, а перемещения и температура возникают только под действием вертикальной нагрузки p^r, t) =f(r)e~itot. Используя формулы (10), (14), (15) и (16), находим систему трех уравнений
Л(32-^) + 5(а2_^) = о,
2^ + 5^)-(a2 + v2)C = 0,(17')
(А + 5) (a2 + v2) - 2va2C = -/ (a)/y.
Отсюда находим ’
А = — / (a) (а2 -|- v2) /г2/(р.Д), В= — Ап11п2,
(18)
С = 2 A (Xtn2 — X^,)!^ (а2 -|- v2)], где
NsWQ^nx-X^^-^-^)(а2 + ^2)2, П^га2-k},
Э=1, 2, 7(а)= J /(г)г/0(аг)</г.
О
Зная постоянные Л, В и С, можно по формулам (14) и (15) определить функции Ф* и ф*, а затем по формулам (10) —напряжения.
Рассмотрим теперь случай нагружения плоскости 2=0 только касательными усилиями g(r)e-itot при нулевых нормальных усилиях и температуре, т. е.
^(r, 0)=-g(r\ ^(г, 0) = 0, 9* (г, 0) = 0.(19)
Определяя постоянные Л, В и С, находим
А = — (2va2«2/A) g (а), В = (г^а^/Д) g (а),
С = - [(^ - <) (а2 + ,2)/д] g (а),(20)
где
g(a) = J gU-Vo^rydr.о
Легко видеть, что краевое условие для температуры можно без труда заменить более общим, например условием dz9— — 6(9 — 90) = 0 при 2=0 (условие теплообмена через плоскость 2=0) или dz9 = 0 (условие теплоизолирования плоскости 2=0).
Полученные решения дают возможность определить поля перемещения и температуры, вызванные действием тепловых источников или массовых сил в термоупругом полупространстве.
Рассмотрим частный случай действия точечного теплового источника в точке (0, £) термоупругого полупространства, т. с.
Q(r, z, =
Предположим, что плоскость 2=0 свободна от напряжений и 9(г, 0, I) =0, т. с.
o^r, 0) = 0, оЦг, 0) = 0, 9* (г, 0) = 0.(21)
Напряжения и температуру получим в виде сумм а* =а*' + + о*", 9*=9*/ + 9*//, решая задачу в два этапа. Сперва рассмотрим действие на неограниченное термоупругое пространство двух тепловых источников: положительного в точке (0, + £) и отрицательного в точке (0, —£). В этом случае в пространстве возникнут только продольные волны, описываемые потенциалом Ф*'. Используя полученное ранее решение (см. (22) и (23) из § 2.2), для случая двух источников находим
Ф" - 4 Z?0 ^ [Ж) (eik'R' - eiklR1) - (1/Т?2) ^eik'R2 - ^)],
4г.-л (^2-^)
(22)
- (1//?2) [(^ - о2) elklR1 - (# - с2) elk'RA}, (23) где
V-V^^^V1* г = 1хНх^и.
По известной функции Ф*' можно определить перемещения, деформации и напряжения на первом этапе решения. Легко видеть, что для 2=0 имеем Ф*/=0, 9*/=0, о*'=0, но о*/=#0. Функцию Ф*' можно представить в виде интеграла Ханкеля— Фурье,
'^^^-^^nT^TTrl^^^^y-cos^^ + girfa^, (24) где
Поскольку а*'=2цдгд2Ф*', имеем
fj ^'^«У^.(25)
После интегрирования по у находим
(г, 0) =/^^х J a2y 1 (ar) (e-'V" - e"1^) da = g (r\
^(^-^2) 0
На втором этапе решения рассмотрим полупространство, свободное от тепловых источников и массовых сил и нагруженное на краю 2=0. Краевые условия таковы:
^22 (г, 0) = 0, «^(г, 0) + ^2(г, 0) = 0, 9* (г, 0) = 0. (26)
pmQ0^pmQ0^?(«)?(«)В этих формулах функция а*' =—^(г) известна. Функции Ф*" и Ф*" выразим в виде (14) и (15), а постоянные Д, В и С в этих формулах определим из краевых условий (26) или из формулы (20), в которых
pmQ0^
pmQ0^
?(«)
?(«)
Представленные решения носят формальный характер, поскольку до сих пор ни одной частной задачи не удалось решить в замкнутом виде или в виде, пригодном для обсуждения.
Проследим еще переход от сопряженной задачи к задаче классической эластокинетики. Как мы помним, для этого следует положить 8 — 0, ^1 = о, &2 = Уд, заменить изотермические постоянные К Н на адиабатические, а температуру взять в виде 9——х\тхе. В рамках классической эластокинетики будут справедливы формулы (1) — (5) и (10). Интегралы Ханкеля (14) примут вид
Ф* (г, г) = ^ {А ехр [ —г ]/ а2 — с? ] 4~ о
+ 5 ехр [—г]/а2 — <7 ] J аЛ)(аг)^а>(14х)
ф*(г, z) = j Сехр [—г ]/а2 — т2] а/0(аг)б/а.(15')
о
Для краевых условий частного вида
G^r, 0) = 0, ^(г, 0)=-/(г)(17")
получим из (17') соотношения
5 = 0, А=-(а2 + ^)/(а>Д0), С = _27(а)Г^^/(^ где
До = (а2 -[- м2)2 — 4а2 (а2 — т2)1/2 (а? — а2)1/2.
Второй член под знаком интеграла в (14х) обращается в нуль, поскольку 5 = 0.
По функциям Ф* и Ф* легко определить перемещения и деформации. Следует добавить, что и в рамках классической эла- стокинетики точное решение задачи Ламба до сих пор нс получено. Имеется лишь приближенное решение для точек, удаленных от граничной плоскости.
Неравномерный поверхностный нагрев упругого полупространства
Пусть поверхность 2=0 упругого полупространства свободна от нагрузок и подвергается неравномерному нагреву, зависящему от переменных г и t. Поставленная задача может быть решена таким же способом, как осесимметричная задача Ламба, рассмотренная в § 2.6.
Функции Ф*, гр* и 9*, определяющие напряжения и пере щения, представим в виде интегралов
Ф = ^ (Ае~чг 4- Ве-^ aJ0 (ar) da,
6
ф* = [ Се'га1^(аг) da,
о
(Г = j (Апхе-чг + Вп^е ~liZ) aJ0 (ar) da, о
где
Х3 = (а —^)1/2, п^а2-^, 3=1, 2, ^(а2-<У/2.
Величины А, В и С определяются из краевых условий
0(г, 0, O^oW^, o„f, 0, 0 = 0, огг(г, 0, 0 = 0.
Выражая два последних краевых условия через функции и гр*, получаем по формулам (10) § 2.9
-2ц [^ + (1/г) дг + т2/2] Ф* + ^ дМ+ т2) ф* = О,
—2р<4дгФ* + р<^(2д14-1:2) ф* = 0, г = 0.
В результате краевые условия (4) приводят к следующей стеме уравнений:
Апх + Вп,^ = /п0о (а),(а2 + v2) (Д + 5) - WC = О,
Пренебрегая сопряжением поля температуры с полем деформации, т. е. полагая е = 0, ^=а2 ^—q^ находим
А = —(а) [(а2 4- v2) — 4va2 (а2 — qyA /До ,
В = m90 (а) [(а2 + v2)2 — 4маг (а - — а2)'Л] /До,
C = (a2 + v2)(A + S)/(2va2), где
До = (°2 “ 9) [(а2 "Ь ^2)2 — 4а2 (а2 — т2//2 (а2 — а2)1 2] .
Поскольку /21 = 0, формулы (1) — (3) запишутся в виде
Ф* = ^ (А ехр [—2 ]/а2 — а2 ] 4- о
+ В ехр [—г V^ — q\ rJ^1*^ da, (1
ф* = j Сехр [—г ]/a2 — т2] a/0(ar)da,(2')
о
6*=j 60(а)ехр [ —г ]/а2 — ^] a/0(ar)da.(3')
о
Полученные решения как для сопряженной, так и для несопряженной задач имеют формальный характер.
Рассмотрим теперь весьма интересную задачу о стационарном тепловом потоке. В качестве исходных возьмем уравнения
V20 = O, ?2Ф = /п9.(8)
Решение уравнения теплопроводности имеет вид
6 (г, г) = j В0(а) e azaJ0(ctr) da, 6 (г, О) = 6о(г).(9)
6"
Функцию Ф подберем так, чтобы на краю 2=0 было удовлетворено условие Ф(г, 0)=0. Тогда решение второго уравнения (8) запишется следующим образом:
Ф (г, г) =^J О0(а)в~аг/0 (ar) da,(10)
о
а напряжения соответственно равны
= —2ц ^г + ф, °гг = —2|л<?4 ф>
Г У\)(П)
о,^ = —2;л (dr + dl) Ф, -згг = 2'ji дт d2Ф.
Легко видеть, что сг^—0 для 2=0, однако ^=^0. Следовательно, для получения решения о^. задачи следует найти дополнительное поле напряжений о". Это поле должно удовлетворять однородным уравнениям
+ (Х-Ь ^r, / = 0(12)
и краевым условиям
0*22 = 0, ^ + ^rz = 0 для 2 = 0.(13)
Напряжения о" мы выразим через функцию Лява, удовлетворяющую, как известно, бигармоническому уравнению
V2V2(P = O1(И)
Функцию ср выберем в виде интеграла Ханкеля
cp = J (С + a2Z))e-aV0(ar)6/a.(15)
о
Напряжения выражаются через функцию Лява следующим образом:
д> k - ^v2 -^ v. (16>
1 — 2v ^ к1 - v) V2 - д^ <р.
Постоянные С и D определяются из краевых условий (13). Отмстим в этой связи, что величина о' (г, 0), входящая в краевые условия (13), определяется соотношением
аГ2(г, 0) = 2р» дг дгФ (г, O) = p/nj 60 (a) a/j (ar) da. (17) о
Таким образом, имеем
C(a)= — (1 — ^ D^Y D(a) = (l — 2^) % (a) m/(2a2).
По формулам (16) находим
Hl Г О^У^ег"2 [(2 - аг) J0(ar) +■
+ (2v - 2 аг) А-^-] da,
аи = T=1 J D ^ a4e”r“ [2v/o ^ - (2v ~2 + az) ^A] da,
.00(1
a22 = -уIz^" J ^ (a) а4^~агЛ (ar) ^a>
5rz =1 ^^ j ^ (°0 (aH (1 " a-) dCL.
Суммируя поля напряжений о^.и о".., получаем действительное поле напряжений о^:
arr = —2(1 — v)[л J 0o(a)ае-м Ц ■ da,О
—2(1 — v)p- J ^0(a)ae-“ р0 (ar) — -^^-] da, (19)
3f2 = о, (37г = 0.
Мы получили любопытный результат: напряженное состояние является квазиплоским, т. с. компоненты отг и ozz равны нулю в каждой точке упругого полупространства.
Предположим теперь, что 9(г, 0)=6 (г)/(2лг). Тогда 90(а) = = 1/(2л). По формулам (19) найдем
5,5,(20)(20)Eat 1 Ectt /1z \
5,
5,
(20)
(20)
a« = o, ozz = 0,= (г2 + Г2)1/2.
Перенеся точку приложения температурного пика из начала координат в точку (gi, £2, 0) и переходя к декартовым координатам, получаем
— г2 | 1 R "^^2^2)1^3/?(/? + х3)]Р
Х^7^Х^7^2/?(/?-(- л3)2/?(/?-(- л3)
Х^
7^
Х^
7^
2
/?(/?-(- л3)
2
/?(/?-(- л3)
312 — г2 | /?з R^R-Yx^ j^1 ^^Л2 W>
а1з — °2з — азз — 0> Р — Edfl^^.(21)
Эти напряжения соответствуют полю температуры, удовлетворяющему бигармоническому уравнению и краевому условию 9(a:i, Xa, 0) = 6(xi— gi) 6 (%2 — ъз) • Если в области Г плоскости х3—0 задано распределение температуры 9°(xi, Ха, 0) = f(xi, Ха), то температуру внутри полупространства находим по формуле 9 (х^ л?2, -^з) = J J У (^i, ^a)^U4> -^2 > ^3; ^1» £2» ^^\d^,(22)
(Г)
а вызванные этим воздействием напряжения — по формулам au(-^l, ^2, Х3) — J J f (11, ^Qij^\> ^2 > ’^3’ £1 ’ ^2 > 0)^1^2> (23) (Г)
где Oij определяются соотношениями (21).
Для частного случая нагрева прямоугольника — tti<xi<^i, —aa<.Xa<Laa в плоскости х3=0 до температуры 6=1 находим после вычисления интегралов следующие соотношения:
°3 Гаге,
+ rC g (^2 + ^2)r4 arC g (^2-^2)a^-X^
-arctg-5r^-arct^-arctg-5r^-arct^^2 H- "^2^2 H- "^2
-arctg-5r^-arct^
-arctg-5r^-arct^
^2 H- "^2
^2 H- "^2
,(2o -7- Xo1 CI9 -j- Xo
— arctg — ■ — -— arctg2
to at -y X]b at — xt
°12 = ?10g°12 = ?10g6°6°12т.12т.— arccos— arccos(Д1 +^1) (а2 — *2)[(й1 + Х1)2 + Хз] '/2 [(й2 - *2)2 + Хз] V2(Д1 +^1) (а2 — *2)[(й1 + Х1)2 + Хз] '/2 [(й2 - *2)2 + Хз] V2— arccos— arccos— arccos— arccos(<^1 + -^1) (#2 4" -К2) [(«1 + Х1)2 + х!]’/2 [(а2 + *2)2 + <2(<^1 + -^1) (#2 4" -К2) [(«1 + Х1)2 + х!]’/2 [(а2 + *2)2 + <2(«1 — ^1) («2 — ^2)(«1 — ^1) («2 — ^2)(«1 — ^1) («2 + ^2) [(ai -^i)2 + 4'/2 [(a2 + x2)2 + -^F2(«1 — ^1) («2 + ^2) [(ai -^i)2 + 4'/2 [(a2 + x2)2 + -^F2— arccos— arccos(24)(24)
°12 = ?10g
°12 = ?10g
6°
6°
1
2т.
1
2т.
— arccos
— arccos
(Д1 +^1) (а2 — *2)[(й1 + Х1)2 + Хз] '/2 [(й2 - *2)2 + Хз] V2
(Д1 +^1) (а2 — *2)[(й1 + Х1)2 + Хз] '/2 [(й2 - *2)2 + Хз] V2
— arccos
— arccos
— arccos
— arccos
(<^1 + -^1) (#2 4" -К2) [(«1 + Х1)2 + х!]’/2 [(а2 + *2)2 + <2
(<^1 + -^1) (#2 4" -К2) [(«1 + Х1)2 + х!]’/2 [(а2 + *2)2 + <2
(«1 — ^1) («2 — ^2)
(«1 — ^1) («2 — ^2)
(«1 — ^1) («2 + ^2) [(ai -^i)2 + 4'/2 [(a2 + x2)2 + -^F2
(«1 — ^1) («2 + ^2) [(ai -^i)2 + 4'/2 [(a2 + x2)2 + -^F2
— arccos
— arccos
(24)
(24)
(•^з + п) (*з + гз)(^З + г2) (^З + г4)
где
ГЬ 2 = [(*1 + «1)2 + (^2 — ^ + Д'" *r3, 4 = [(-^l ± ^F + (Л2 + °г)2 + Лз] 72 •
Отмеченный выше вывод о равенстве нулю напряжений о°. (i=l, 2, 3) в упругом полупространстве, находящемся под действием поверхностного нагрева, справедлив и для упругого слоя, подверженного поверхностному нагреву. Он теряет силу если внутри полупространства или слоя расположены тепловые источники, а также в случае, когда поверхность Хз=0 полностью закреплена. В этих случаях o°;=^=0 (i=l, 2, 3).
Вернемся к динамической задаче об упругом полупространстве, нагреваемом на поверхности таким образом, что при этом 6(Х1, х2, t) | х =о=Оо (х^е-^1, где Xi=z, а ось х2 расположена в плоскости *1=0.
Функции Ф*, гр* и 9* можно записать в виде следующих интегралов Фурье:
Ф* = -^=- J (Ae-^-VBe^e-^da,,,(25)
^ = -7^- J Ce-'-^d^,(26)
9* = —f (Afi^ + fifi^-^e-^da;,,(27)
тУ2т.
где
4 = (а2 — А?) /з, 1Ц=о‘ — ^; ?=1, 2, v=(a|— t)‘/2. Используя краевые условия
9(0, х2, /) = 90(л2)е-,ю<, он(0, х2, /) = 0, о12(0, х2, /) = 0
(28) и формулы, связывающие функции Ф*, ф* и 6* с напряжениями, получаем следующую систему уравнений:
Апх + Вп^ = m80 (а2),-2Zva2C + (а2 + v2) (Д + 5) = 0,
2га2 (ДХ, 4-SX2) (а2 4-v2) С = 0, % (а2) = J Q^x^e^dx^.
Решая эту систему, определяем
А = —пг% (а2) [(аг -f- v2)2 — 4vaiX2] /А,
(29)
В = т% (а2) [(а2 + ^У — ^afxj /А, где
А = (а -[- v ) (^i — ^2) ~h 4va2 (^1^2 — ^2^1)»
Эти формулы значительно упрощаются для несопряженной задачи, т. с. для 8 = 0, &2 = с£ ^2 _ q^ т = 0.
Переходя к случаю стационарного нагрева1, мы видим, что под действием поверхностного нагрева 0(0, Х2) =60(^2) в полупространстве Xi^O нс возникают напряжения оц, О22ИО12. Единственной отличной от нуля компонентой напряжений является Озз=—2цт0.
Волны Рэлея в термоупругой среде
Задача о распространении поверхностных волн Рэлея в термоупругой среде рассматривалась в нескольких работах. Впервые се исследовал Локетт2, а впоследствии ею занимался Чедвик, весьма тщательно изучивший корни уравнения, служащего для определения фазовой скорости волн Рэлея.
Пусть в упругом полупространстве Xi^O движется параллельно поверхности %i = 0 в направлении оси %2 плоская гармоническая термоупругая волна. Будем считать, что возмущение, вызванное этой волной, не зависит от переменной %з. Рассмотрим случай, когда плоскость xi=0 не нагружена, причем на ней происходит свободный теплообмен, т. с.
оп(0, х2, 0 = 0, а12(0, х2, /) = 0, |^9 + /z0]x^o=O. (1)
Мы имеем здесь дело с плоским деформированным состоянием. Волновое движение описывается при помощи двух функций Ф и ф, причем
их = с^Ф — д^, и2 = 52Ф + М (2)
Напряжения связаны с функциями Фиф следующим образом:
°п = —2р. р2 —^|- д} ) Ф — 2р. д, 52ф,
(3)(3)(4)(5)(4)(5)°22 = —2р. f51 — —^- ^ Ф + 2р.дхд2^,\/
(3)
(3)
(4)
(5)
(4)
(5)
а]2 = 2р. дх 52Ф — р (5г — 5?) ф.
Волновые функции должны удовлетворять уравнениям
□^ = 0,
где
й= V1 -(1М«) ди а = 1, 2, D^Vi-OM. Vi = 5i + <?2.
(6)(6)Решения уравнений (4) и (5) возьмем в следующем виде: Ф^р х2, г!) = Ф°(х1)ехр [/(а2х2 — ш/)], Ф^!, х2, /) = ф°(atj)ехр [г (а2А72 — <0/)].
(6)
(6)
Эти соотношения описывают волну, меняющуюся во времени по гармоническому закону и движущуюся в направлении оси Х2.
Подставляя (6) в (4) и (5), получаем дифференциальные уравнения
И-ХПИ-ХЙФ'М-О,(7)
(8)
где,
Х^^-к^\ ^^2-^, р=1, 2. 11*
Потребовав, чтобы в пределе при (^ + ^)-^оо напряжения, а следовательно, и функции Фиф обращались в нуль, мы получим следующее решение уравнений (4) и (5):
Ф = (ДбГ^1 + Ве”^ exp [I (а2х2 - ю/)],(9)
'Ь = Се~‘х' exp [i(a2x2 — ш/)].(10)
Согласно уравнению
□?Ф = т9,(11)
определяем температуру
6= -^- [А (а2 — ^i) е~х,х’ 4- В (о2 — й2) е-^’] exp [i(a2x2 — со/)].
(12)
Постоянные А, 5 и С, входящие в формулы (9) — (11), определяем из условий (1). Имеем
(2а! - 4) (А + В) + 2ZCa2v = 0,2/а2 (АХ, 4- ВХ2) + (2а! - т2) С = 0,
А/г,(А-Х1)4-5/г2(А-Х2) = 0, /г? = а2-^, р=1, 2. (13)
Приравнивая нулю определитель этой системы, получаем уравнение
(2a! - т2)2 = 4a2v.(14)
Это уравнение значительно упрощается для случая Л = 0, что соответствует теплоизолированной поверхности, и для h = oo, что соответствует краевому условию 6(0, %г, f) = 0.
Введем обозначения
р2=1—^!/а!, / = 1, 2, р!=1-т2/а!(15)
и выразим величины Xi, Х2, v, Пл и и2 через Pi, р2 и Рз. Тогда уравнение (14) примет вид
(2 - ад2 (р! + р,р2 + р! - 1 + ЭД - 4р,р2р3 (Р, + р2) =
= А [(2-^!)2(р1 + р2)-4рз(р1р2 + 1 - ад] . (16)
Здесь у=со/а2 — независимая переменная, l/Re(l/v)—фазовая скорость, ®1т(1/у) —мера затухания волны.
Заметим, что, согласно рассуждениям § 2.1, комплексные корни kv и ка удовлетворяют биквадратному уравнению
^-^[=2 + ?(1 + £)1+^=0,(17)
причем
^1^2 =3 + ?(1 Н-s)> P\k>=,3“q.(18)
Учитывая (15) и (18), получаем
?1 + ?2 = 2 - У2/^ - №/сТ) (1 + г),
?1?2= 1 — ^Ici — (/^//.^(l + г — «)> z = xa>/cf. (19)
Подставляя (19) в (16) и разлагая величины Pi и Рг в ряд по степеням приведенной частоты %, получаем уравнение
!^-(1+=>[! +о (,:'■)] +Xе 1!^-(1+=>[! +о (,:'■)] +Xе 1
!^-(1+=>[! +о (,:'■)] +
Xе 1
!^-(1+=>[! +о (,:'■)] +
Xе 1
Пренебрегая членами порядка %1/2, мы придем к выводу, что скорость и не зависит от частоты со и от тепловой постоянной h. Уравнение (20) запишется в виде
(2-t)2/c2)2 = 4[(l - A'Xl-^^ (21)
Мы должны определить из этого уравнения величину и/сг. Сначала рассмотрим, однако, волны Рэлея при дополнительном предположении, что движение происходит в адиабатических условиях. Для этой задачи эластокинетики волновые уравнения имеют вид
(vMl/W.W-O, *-(1**) = 0. (22)
Заметим, что величина (ci)s в первом уравнении определена в адиабатических условиях и, следовательно, отлична от величины Ci в уравнении (21). Решая уравнение (22) с учетом (6) и используя два первых краевых условия (1), получаем некоторую систему уравнений; приравнивая определитель этой системы нулю, находим
(2 - *02-4 |(1 - *)(1 - AcW'- (23)
Сравнивая (21) и (23), замечаем отличие в последнем члене: в сопряженной задаче у нас был делитель (1 + е) (с^т, а в рамках классической эластокинетики делитель равен (cj)s. Введем в (21) следующие обозначения:
■v ]с2 = c^Ci (1 -|- =)) = 8
и запишем (21) в виде
71з_ 87)2 + (24_ 16»)^-16(1-д) = 0.(24)
Для частного случая ф—Vs, т. е. 2«=ц(1 —2е)/(1 + е), имеем
^з _ 8у2 + (56/3) ^ _ з2/з = о.
Отсюда находим
= 4, 7|2 = 2+ 2//3", -/1з = 2-2/Кз' = О,8453.
Условиям задачи удовлетворяет только последнее значение. Следовательно,
^ = ^1/^ =0,9194с2.
Это значение скорости распространения волн Рэлея соответствует частному значению $ = Чз. Мы видим, что u = cR<Lc2.. Данное решение является первым приближением для волн Рэлея в термоупругой среде. Для ознакомления с более полным обсуждением вопроса, включающим дальнейшие приближения и более широкий диапазон приведенной частоты (мы предполагали, что х^О» рекомендуем читателю обратиться к цитированной работе Чедвика и Уайндля.
Распространение волны в термоупругом слое 1
Рассмотрим задачу о распространении плоской волны в неограниченном упругом слое толщиной 2а. Волна движется в положительном направлении оси %2 и является гармонической по времени. Задача двумерна и описывается следующими уравнениями:
(v? -(1/х)^)9 - ^^7?ф = о, (V? — (1/^1) д() Ф — ш8 = о, (??-(1^)<Ш = 0,(1)
Предполагая, что
6(x1, х2, 1) = 9*(х1, х2)е1Ю<, Ф(Хр х2, /?) = Ф*(хр x2)e'“z, х2, 1) = ^(х1, х2)е,ю<,(2)
N о w а с k i W., Sokolowski М., Propagation of thermoelastic waves in plates, Arch. Meeh. Stos., 11, № 6 (1959).
приведем систему (1) к виду
(V1 — 9) 9* — WV^* = о, (?? + з2)Ф* — т9* = О,
(v? + ^2)^=o, (3) где
q = foj/z, а == ю/^, т = ^1с2.
Эту систему заменим следующей:-
(v? + ^)^=o, s = w/-;
(4) а решение возьмем в виде
Ф* (^, х2) = /, (ха e-ia^, ^х,, х2) = Д (ха .(5)
Подставляя (5) в (4), получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения
/!v — (2у/ + q — з2 + q^ /1 + [(а2 + q) (а2 — °2) + <7^] /1 = О, :/2-(а2-т2)/2 = 0.(6)
Решение этих уравнений приводит к следующим функциям Ф, ф и функции 6, определяемой вторым из уравнений (3),
Ф = [Л! ch Х^ + Л2сН Х2хг + Л3 sh Х^ 4- Д4 §h X^J е1 ^1"ах^ , ф= [АзсН^Ч-ЛвзЬтхае1
6 = — [Л^ (Х2 а2 — а ) ch /-[X] 4~ Л2 (^2 4~ 3 — а ) sh X2Xj 4"
Л3 (X? + а2 - а2) sh Х^ 4- Л4 (Х^ 4- а2 - а2) sh Х2х,] в1(7)
Здесь введено обозначение у= (а2 — т2)1/г. Величины М и Z2 являются корнями следующего биквадратного уравнения:
X4 - [2а2 + q - з2 + Чг\ X2 + [(а2 + q^ (а2 - а2) + ?а2г] = 0. (8) Заметим, что для 8 = 0 имеем
Х2(0) = а24-^, Х^(0) = а2-о2.
Поскольку 8 мало по сравнению с единицей (е<С1), определим корни Xi и Х2 в виде линейных функций от 8
X2 = а2 + q Х2 = а2 — 4~ £^2-(9)
Приближенные значения Zi и Z2 получим путем подстановки (9) в (8), пренебрегая членами порядка е2. Таким образом, имеем /ч [а2 -[- ^ (1 + qai(°2 + <?))] /2,
(9')
Из четырех корней Xt рассмотрим лишь те два корня, которые удовлетворяют условию Re (2.1,2) >0
Заметим, что значению 8 = 0 соответствует упругая волна, т. е. рассматриваемая задача является в этом случае задачей классической эластодинамики о распространении волн Ламба.
Неизвестной величиной остается коэффициент а, содержащий фазовую скорость волны. Для его определения воспользуемся краевыми условиями, рассмотрев два случая:
поверхность слоя свободна от напряжений, причем на ней поддерживается постоянная температура,
ои = 0, о12 = 0, 6 = 0 для хг= ±а,(10)
поверхность слоя свободна от напряжений и теплоизолирована
^ц = 0, а12 = 0, <2^ = 0 для хх= ±а.(11)
Рассмотрим два типа колебаний: симметричные и антисимметричные относительно срединной плоскости слоя (второму случаю соответствует изгиб слоя). В первом случае величины Лз, Л4 и Л5, а во втором случае величины Л1, Л2 и Ле должны быть равны нулю.
Амплитуды напряжений определяются формулами:
0;1 = -2а (аИ^'^ + Зр^а/,
022= —2р (а2+ т2/2) Ф* —гра^^*, о*2=2р dv а2Ф* + р (а2 — а2) </, ^j = ^ф ^ф, и2 = д2Ф — ^ф.
Используя краевые условия (10) и (11) и учитывая соотношения (7) и (12), находим систему трех уравнений. Приравнивание нулю определителя этой системы даст следующие трансцендентные уравнения:
для краевых условий а) при симметричной форме колебаний
(2а2 — т2) (Х2 — X2)(а2 + X2 — а2) Х2 th Х^а — (а2 4- X2 — а2) Х] th Х^а
4а2уth 4а’
(13)
для краевых условий а) при антисимметричной форме колебаний
(2а2 — т) (Х2 — Х|)(s2 + X2 — а2) Х2 cth Х^ — (а2 Д- X2 — а2) Xj cth Х^а
cthyS*
(14)
для краевых условий б) при симметричной форме колебаний
(2а2 - т2)2 = УзОч-Ьг) cth^ п гх
4а27(о2 + X2 — а2) Х] cth Х^а — (а2 Д- X2 — а2) Х2 cth Хха
для краевых условий б) при антисимметричной форме колебаний
(2а2 - т2)2уЛ^фНо
4а2Т(а2 + Х2-а2)уЬу-(а2+4^^'
Положив 8 = 0, получим вместо (13) — (16) уравнения классической эластокинетики; в этом случае температура в слое равна 0=—Цтхе.
Рассмотрим краевые условия а), т. е. трансцендентные уравнения (13) и (14). Введем безразмерные величины
h^qWq-V^ = W%-i^Y (17)
где с0=Ухо). Величина с=со/а является здесь фазовой скоростью лишь для действительного значения а. Для комплексного значения a=aK— fa* экспоненциальный член в формулах (7) запишется следующим образом:
ei ^-^ = ехр ( . И _ ^^ е-агх2 ,
Фазовая скорость равна c = co/Re(a), а 0=Im(a) —член, подверженный затуханию. Используя обозначение (17), приведем уравнение (13) к виду
(1 - (Ш)2 [^ + i% - As^ - ШЩ/уу = cth УТ^да X
X I [?1 + i% + ^о] V1 - 3,: + АгЗ^ th «а Щ - ?Л + Ж -
— АУ V1 + С\У + As/30C th аа К1 + i^ + hsi% } .(18)
Обсуждение этого трансцендентного уравнения в общем слу- чае представляется весьма сложным. Поэтому мы ограничимся рассмотрением двух крайних случаев а^>1 и аа<С1. В первом случае гиперболический тангенс в (18) можно положить равным единице (если £<1), во втором случае его можно заменить
значением аргумента. Для ла^>1 пренебрежем в (18) членами, содержащими е2. В результате получим приближенное уравнение
(1 - 0.5Q2- кг (^ - /?0)]/ГГ^ =
= №. + ^о) + ^?ol VO-^-vH^ - Нг Ю+^
или, после простых преобразований,
(1 — 0,5С)2_= у ^ _ Z3o г (1-0,5Q2
/1 - z /1 - ?,:I 3i+ *3о [/1-? yi-^с
+ ТаТТЩГ^Г [1 - 0.5?,-,+о.5/№ - г 1 - м г 1 + 1зД}.
(19)
Отметим, что для е = 0 правая часть уравнения (19) равна нулю;Отметим, что для е = 0 правая часть уравнения (19) равна нулю;отсюда получаемотсюда получаемЛОЛО(1 -0,5С)2(1 -0,5С)21=0,1=0,(20)(20)
Отметим, что для е = 0 правая часть уравнения (19) равна нулю;
Отметим, что для е = 0 правая часть уравнения (19) равна нулю;
отсюда получаем
отсюда получаем
ЛО
ЛО
(1 -0,5С)2
(1 -0,5С)2
1=0,
1=0,
(20)
(20)
ЛОгН^ -^^ «ЬгР^УЛОгН^ -^^ «ЬгР^У(22)(23)(22)(23)(24)(24)
ЛОгН^ -^^ «ЬгР^У
ЛОгН^ -^^ «ЬгР^У
(22)
(23)
(22)
(23)
(24)
(24)
т. с. трансцендентное уравнение для поверхностных волн Рэлея в классической эластокинетике. В дальнейшем величину £, полученную из (20), будем обозначать через ^R=c2Rjc2.
Величину £, соответствующую е^0, получим следующим путем. Обозначим через hsFa^ правую часть уравнения (19), а через 6—приращение величины £, вызванное сопряжением поля температуры и поля деформации. Запишем уравнение (19) в виде
F^R-H^heF^V^. (21)
Предположение о малости 6(6^^д) позволяет разложить обе части уравнения в ряд в окрестности значения £=£д. Сохраняя
два члена разложения, получаем
Поскольку Fi(Lr)=O1 имеем
8^/?sF2cJ|^ I
и, следовательно,
а - гРоР1 (fo + *31) 2. X/
~ (й + зОо-^)
1 - 0,53,^ + 0,5^ - /1 - ^ Г1 + *¥/?
0,5^ (1 - ^)-1 + 0,5 (1 - С^)-1 - (1 - О.бС,,)-1 '
Определяемое этой формулой значение 6 зависит только от безразмерных величин е, Ро, Pi и ^д. Две из них (Pi и £д) зависят только от механических свойств среды, а две остальные — от тепловых и механических свойств.
Более подробного обсуждения заслуживает зависимость 6 от параметра ро=с|/хсо, связанного с частотой вынужденных ко-
Р и с. 2.5.
лебаний со. Эта зависимость представлена на рис. 2.5 в виде графиков Re(6) и Im(6) для алюминиевого слоя при следующих условиях:
Е = 7 . Ю5 кГ • ся~\ ^ = 0,34, р = 2,75 г • с^"3, е = 0,035,с?! = 6,17 • 105 см • сек~х,
Pi = 0,242,^ = 0,870,
х = 0,61 см2 * сек-х,. f2 = 3,04 • 105 см • сек' х,Го = 293°К = 2О°С.
На основе формулы (24) и рис. 2.5 можно раличить три характерных диапазона изменения переменной р0.
При малых величинах (Ро->О) модуль | 6 | стремится к нулю, а само 6 имеет чисто мнимое значение, определяемое приближенной зависимостью 6 ^4,5 • 1О"Чро. Максимальное влияние сопряжения имеет место для Кр0<10, причем 6 достигает значения 6,4 • 10—4(1 + /).
При больших значениях р0 мнимая часть 1ш(б) стремится к нулю, a Re(6) стремится к асимптотическому значению, Re(doo) 0,0021. Применимость полученного графика в этой области ограничена, разумеется, условием
a.a = ^\^m%^a\cR^ т. е. to>cRja,
которое использовалось при выводе формулы (19). Однако из неравенства р0 = с2/х(о^> 1 три этом имеем ю<СЙ,рл.
Правая часть графика сохраняет свое значение только для величины $о=ас291хсн, равной в нашем случае значению 5,3-105.
Переходя к непосредственному определению изменения фазовой скорости с, отмстим, что для малых значений 6 можно положить
8 = (^ + И1с" - (cRic,f 1CR Xcld(25)
Отсюда получаем относительное приращение скорости
Д^^8/(2^) = 3/1,74.(26)
Вернемся к формулам (6) и (7). Имея в виду, что
-^ = ^(1+8/(2^)). 8 = 8' + Й",(27)
мы можем представить функцию Ф(хч, Хг, Г) в виде
Ф=/1(х1)ехр[^(1-I lr \Ф=/1(х1)ехр[^(1-I lr \
Ф=/1(х1)ехр[^(1-
I lr \
Ф=/1(х1)ехр[^(1-
I lr \
Хехр|- 2<—х2 .(28)
Мы видим, что множитель Re(6) = 6' увеличивает фазовую скорость в (1 + б7(2£н)) раз, а величина 1т(б) = 6,/ является множителем коэффициента затухания. Величина, обратная коэффициенту затухания,
d = 21^/М") = 2:^х?0/О28") , (29) для алюминия равна d = 3,74- IO-6 Ро/6".
На рис. 2.6 в логарифмическом масштабе представлена зависимость относительного приращения скорости Ac/cR и коэффициента d от частоты со для рассматриваемого алюминиевого слоя.
Перейдем теперь ко второму крайнему случаю aad. Используя первый член разложения thx=x+---, запишем условие (18) в виде
<1 - 0,5^ - [р, + /р„ - кг (р, - /ро)] =
= №1 + ^ + Ае/ро] [(1 - р£) + Лерл] - Mi (1 + ад, (30)1 причем здесь уже отброшены члены, содержащие е во второй и- более высоких степенях. Уравнение (30) можно преобразовать, к ваду
.[(1 - 0,5С)2/( 1 - РЛ) - 1 ] [ 1 - кг (Р, - zp,.)/^ + ZPJ1 = 0. (31 у
Отсюда следует, что в первом приближении величина z нс зависит от е и равна соответствующему значению для несопряженной задачи.
Полученный результат можно объяснить следующим образом. Предположение аа^1 означает, что толщина слоя значительно меньше длины волны, причем 0 = 0 на поверхности слоя. Поэтому влияние температуры на деформацию будет здесь значительно меньше, чем в предыдущем случае (а<2 5>1). Иначе обстоит дело при обычной тепловой изоляции, когда поле температуры может достигать больших значений. Здесь влияние поля температуры на поле деформаций значительно возрастает.
Переходя ко второму типу волн, т. е. к антисимметричным волнам (14) или, иначе говоря, к изгибным колебаниям пластины, отметим, что в первом крайнем случае (а&5>1) останется справедливым условие (19), поскольку для больших значений аргумента к имеем thx^cthx^l. В связи с этим проведенное выше обсуждение зависимости £ от е, включая графики на рис. 2.5 и 2.6, сохраняет силу и для изгибных колебаний.
Так же просто и обсуждение второго крайнего случая, т. с. случая антисимметричной волны в пластинке, толщина которой мала по сравнению с длиной волны. Здесь надо, однако, в разложении функции cthx сохранить два члена, согласно формуле
cth х= -^- + -j- ^3 + • • • •
Учитывая эту зависимость и соотношение (17), уравнение (14) можно привести к следующему виду:
(1 0,5С)2^ 2^ 3^W2+y(l-C)(1 0,5С)2^ 2^ 3^W2+y(l-C)31 ~ z3o3i + z'3o31 ~ z3o3i + z'3o= 0.= 0.(32)(32)
(1 0,5С)2^ 2^ 3^
W2+y(l-C)
(1 0,5С)2^ 2^ 3^
W2+y(l-C)
31 ~ z3o
3i + z'3o
31 ~ z3o
3i + z'3o
= 0.
= 0.
(32)
(32)
Отсюда следует, что фазовая скорость нс зависит от е и приближенно равна
Отмстим, наконец, что полученные соотношения (31) и (32) отличаются от соответствующих соотношений для несопряженной задачи, поскольку входящие в эти формулы величины р и X являются изотермическими, а не адиабатическими, как это имеет .место в классической эластокинетике.
2.10. Сингулярные интегральные уравнения термоупругости
Рассмотрим ограниченное тело, подверженное воздействию источников, изменяющихся во времени по гармоническому закону. Будем считать, что источники, вызывающие движение тела, влияют лишь на краевые условия. Прежде чем строить соответствующие интегральные уравнения, мы рассмотрим две вспомогательные задачи.
Представим вектор перемещения и и температуру во внутренней точке тела В при помощи интегралов по поверхности Л, ограничивающей В. Для простоты обозначений мы будем рассматривать бц, и^ 0 и т. д. как амплитуды, опуская применяемую в предыдущих параграфах звездочку.
Построим решения следующих уравнений для амплитуд:
V8 + /$ + (M,t = O, x£S, i, j, £ = 1, 2, 3,(2)
где
а =/пу/(гЛз), ha = I Цлй\хЬ\ oij = oij(x'), 11^ = tt^x), 9 = 9(х).
Уравнения (1) и (2) дополним определяющими уравнениями
°а = ^цА-кхи.Ь11г-^и.(3)
Рассмотрим теперь вторую систему уравнений, соответствующую термоупругой среде, в которой находится сосредоточенный тепловой источник интенсивности х, изменяющийся во времени по гармоническому закону. Амплитуды всех функций, входящих в эти уравнения, будем обозначать крышкой над соответствующей буквой. Итак, имеем
° а, j = — ^Ич,(4)
729 + А!9+(7/а)йй,й=-8(х-§),(5)
j = 2р.е;j + (хмй, й —•(6)
Комбинируя соответствующим образом уравнения (1) — (3) и уравнения (4) — (6), интегрируя результат по области В и
используя преобразование Грина, получаем следующее уравнение:
8(х)= f 19 (U) ^ 6® - 8(§)4 9 (§, х)Ьл ® +
A LJ
+ 4 Ж< x^MuA^pAS, x)]m(§), x^B. (7) A
Здесь
А(5) = ^(5)М?)> MS, x^^A^, x)nAl),
а операции дифференцирования под знаком поверхностного интеграла проводятся по переменным ^. Уравнение (7) выражает температуру 0 в точке х $ 6 через функции 0, дВ/дщ ut и pt на поверхности А. Оно совпадает с формулой Сомилиано, обобщенной на случай термоупругости и детально рассмотренной в § 1.13.
Добавим, что функции 0 и Ui мы рассматриваем как заданные, так как они были получены в § 2.2.
Для того чтобы получить интегральное представление вектора и(х), х С В, следует вновь рассмотреть две системы соотношений, а именно соотношения (1) — (3) и систему
ou,j^-^P«i-4x-^is,(8)
^+^ + (т/а)^6 = 0)(9)
»u = VirVkM, к-^И, i, j, s=l, 2, 3.(10)
Последняя система определяет воздействие сосредоточенной силы, изменяющейся во времени по гармоническому закону, приложенной в точке | и направленной по оси х8.
Комбинируя соответствующим образом (1) — (3) и (8) — (10), получаем следующее уравнение:
Z^(x)= J[4& x^pASMuAS^MS, х)]М(§) +
+ «j>(§, х)^--9(§) ^^^М^)- (11)
А '•
где
4(х, §) = ^(Х, §) = 4(§, X), М, x^^AS, x^ASY
Уравнение (11) является обобщенной формулой Сомилиано для перемещений. Его можно получить и сразу из рассуждений, проведенных в § 1.13 при дополнительном предположении, что движение является гармоническим, а массовые силы и тепловые
источники отсутствуют. Функции usk и 0s известны — они получены в § 2.3.
Введем теперь, так же как это делается в эластокинетике1, термоупругие поверхностные потенциалы. Итак, термоупругим потенциалом одинарного слоя будем называть систему
VAx) = 2 J?6£Vs£, х^А^нЦШ^, x^dA®,
AA(12)
У (x) = 2 ^ (?) 9 (?, x) dA (?) + 4 J ^k ^ ^k (?> X) dA ^.
AA
где
?Й = ?Л^ Ф = Ф(&)
•суть неизвестные поверхностные плотности соответствующей гладкости. Функции Uh, 0, иЛ и 0s суть функции Грина для бесконечной среды, определяемые формулами (4), (5) и (8), (9).
Термоупругим потенциалом двойного слоя будем называть систему
^(х) = С ^)М, x)dA£H^ J ^-^^-dA®, АА
(13)
W (х) = 2 Ь (?) 4т 6 (?. X) dA (?) + 4 j '^ (?) 4 (?> X) dA (?),
Рк (5, х) = [2р4, + (Xttp, р — 79s) 8ft/] п;,г1(14)
Ри (?> х) = [2;^ + \Хир, р — уд) М n,j.
Определим еще некоторый термоупругий потенциал, являющийся линейной комбинацией потенциалов одинарного и двойного слоев
(15)(15)МДх) = 2 KAs)M, x)dA^) + 2a^^)ds(l x)dA®, АА
(15)
(15)
М (хН 2 4 (?) 9 (?, X) dA (?) + 4 J '^к (?) 4 (?> X) dA (?). АА
Kupradze V. D., Dynamical problems in elasticity, Progress in Mechanics of Solids, v. 3, Amsterdam, 1963.
12 Заказ № 362
Для исследования поведения потенциалов (12), (13) и (15) при переходе через поверхность Л введем следующие обозначения:
^(?о) предел вектора 1^(5;) при £-^0 ЕД § С Л,
WV4^ предел вектора ITi°(5) при £-^0 С Л, ^В,
W^ (£0) предел вектора U^CD при £-^0 ^ А § С § — В, где через Ь обозначено все пространство. Можно показать, что потенциалы У5(х) и У(х) являются непрерывными функциями точки хС Л. Покажем, что потенциалы двойного слоя №s(x) и й^(х) терпят разрыв на поверхности Л. В самом деле
w^ (§0) =(§о) + Ws (§0), Ww^ = -Ф (§0) + W (§0),
Vf (?0) = (50) + Ws (50), Ww (§0) = ф (§0) + W (§0). (16)
Эти соотношения аналогичны соотношениям для скачка гармонического потенциала двойного слоя в эластокинетике. Покажем, что первый поверхностный интеграл в (13) является разрывной, а второй — непрерывной функцией. Действительно, из первого уравнения системы (8) следует соотношение
^oski,Av ®=-Ц*-^А®-^^ 1УШ- (17)
Учитывая, что
р( 1 для ^ £ В,
rfV(x)S(x-5) = A(?)= Ч2 Для £€А(18)
в0 для Е, £ В — 6,
интегрируя (17) по хеВ и меняя переменные, получаем
J dA (§)%(§) psk (§, x)==-2A(x)?i(x) + ^(x),(19)
А
где
gs(x>2 S*^^)^,/^)^/^, х)-2Рэ? ^dV^uUx, ®п®. вв
Можно показать, что функция gs(x), как комбинация объемных интегралов, непрерывна для х^А. Аналогично этому с использованием уравнения (9) проверяется непрерывность второго слагаемого потенциала IFS.
Формулы (19) и (13) приводят к первой группе формул (16). Разрыв функции IF=IF(x) можно обнаружить аналогичным образом посредством интегрирования уравнений (4) и (5). Вто-
рое слагаемое в формуле для 1Г(х) непрерывно на поверхности А. Введем обозначения
Pi (х) = [2^1/(z, п + (А^, 6 - ТУ) 8(V] п; (х),
(20)
9 (x) = l/,^(x), Vu,n = VM-VVbl) где функции Vs и V заданы формулами (12). Можно показать, что
71° (So) = ?* (So) + Л (So),0(0 (So) = »(So) + 9 (So),
(21) ^о)=-Ы§о) +7^0), б^оН-Ш + ^о).
Термоупругие потенциалы (12) — (15) и полученные соотношения для скачков этих потенциалов дают возможность свести основные краевые задачи термоупругости к решению сингулярных интегральных уравнений. Мы ограничимся здесь рассмотрением лишь некоторых типичных задач.
Рассмотрим случай, когда на границе тела заданы перемещения и либо температура, либо тепловой поток. Итак, пусть us(|o)=Os(|) и 6(lo)=g"(|o) на поверхности А. Решение разыскивается в виде потенциала двойного слоя (13)
иS(X) = WAX), Цх) = №(х).(22)
Легко проверить, что функции US(X) и 9(х) удовлетворяют уравнениям
=□,H№)W = 0> х £ В, (23)
где
Lsu = (^ др др + со2р) 85й + (^ + рО д8 дк.
Используя соотношения (16) для функций ф^(|) и ф(|), получаем следующую сопряженную систему уравнений:
% (So) - 2 J % (S) & (S, So) ^ (§) - 2а J ^ (§) 4- 05 (?■ So) dA ($) =
АА=-Л(1о)> (24)
»(§0)-2 J^(§) Аб(§, §0)^А(§)-Л $<?,(=) рАЧ, ^)dA^) = АА
= -g do)- Эти уравнения являются сингулярными интегральными уравнениями Фредгольма второго рода; интегралы следует понимать в смысле главных значений.
12*
Для несопряженной задачи вместо (22) и (24) получим следующие соотношения:
^|6=0 = 2 J?Д5) ^ (5, 5о)].=о^(5) + А
+ 2 ЙМ^г^, 50Й <W),А \/Е = °
0|„»=2.f »®^[" ®(25>
А
где функции фк и ф суть решения несопряженных интегральных уравнений
<Р,(5о)-2 U№=0^ = -/^0) + 2 J J-f^ dA,
№-2Ы^ dA=-g^.(26)
A \/£-°
Рассмотрим случай, когда на поверхности Л заданы перемещения us^ =fs(io) и тепловой поток d9Jdn=S (|о). Решение будем разыскивать в виде
&Дх) = <(х), 9(х) = 714(х), х^В,(27)
где функции Ms и М определены формулами (15). Легко проверить, что внутри области 5 выполняются уравнения (23), а неизвестные плотности q)s(§) и ф(|) удовлетворяют следующей системе сингулярных интегральных уравнений:
тЛ?о)-2 J ?И5)/И5, §0W(£)-2a(§) 045. 5о)^(§) =
АА
= -Л(5о).
Ф (5о) + 2 ^ (5) 4- 9 (5- 5о) dA (?) +(28)
Л 0
+4 J^(5)4-a(§. wa^=s^,А°
где
9(5, 5o)=lim4-9(5, х), х^Л.
Для несопряженной задачи уравнения (28) значительно упрощаются
(?0) - 2 j ?6(?) Щ (?, ?0)]е=0 dA (?) -
А
- 2 j <? (?) [us (?0, ?)]е=о dA (?) = - Д (?0),
(29>
№) + 2 (б(?)Д-[б(?, ?0)]6=0^А(?) = 5(?0).
Мы нс будем выписывать интегральные уравнения для краевой задачи с заданными нагрузками. Отметим лишь, что для заданных на границе А нагрузок pi = pi(^ и потока S=S(|0) решение следует разыскивать в виде потенциалов 1Л(х) и И(х) одинарного слоя. Используя соотношения (20) и (27), можно- явно выписать соответствующие сингулярные интегральные уравнения.
Исследование существования и однородности решений полученных уравнений можно выполнить тем же путем, как это- было сделано для упругих потенциалов.
Глава III
ТЕРМОУПРУГИЕ ВОЛНЫ,ВЫЗВАННЫЕ АПЕРИОДИЧЕСКИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ
%
3.1. Общая постановка задачи
Вопрос о распространении термоупругих волн, вызванных действием апериодических возмущений, является значительно более сложным по сравнению с теми задачами, которые были рассмотрены во второй главе, где предполагалось, что воздействия изменяются во времени по гармоническому закону.
В дальнейших рассуждениях мы будем поступать в основном следующим образом. К основным уравнениям термоупругости
Iх V #/4~ (^ 4~ рО £, z 4* ^z= P^z 4~ I®, z, /=1, 2, 3,(1)
V29 — (1/х) 9 —— Q/x(2)
будем применять преобразование Лапласа
2 [zzz, 9] = (щ, 6) = J (щ, 9) e-pt dt,(3)
О
где р — комплексное число, действительная и мнимая части которого подобраны так, чтобы интеграл сходился. Таким образом, получим преобразованные уравнения
Iх V~uL -4 (^ + р^) е, z 4- Xt = р \p~uL — put (х, 0) — uL (х, 0)] 4- у9", ь „_(4)
V29-(1/х)[^6-9(х, 0)]-т; [^-е(х, 0)] = -Q/z,(5)
в которые время не входит. Далее будем решать уравнения (4) л (5) с использованием тех методов, которые были изложены в первой главе. И наконец, применяя к найденным функциям Ui и 9 обратное преобразование Лапласа, найдем искомое решение Ui. 9.
В дальнейших рассуждениях будем полагать, что возмущение приложено в момент /=0+, причем все начальные условия однородны. Это значительно упрощает уравнения (4) и (5). В случае неоднородных начальных условий соответствующие (величины можно рассматривать, как это следует из уравнений
и (5), в качестве известных функций, вызывающих движение.
Рассмотрим, в частности, волновое уравнение, определяющее апериодическое движение. Согласно § 1.5, систему (1) и (2) можно записать в виде уравнений для продольных и для поперечных волн. Применяя к этим уравнениям преобразование Лапласа, в случае однородных начальных условий получаем
[(v2 - pH (v2 - pVv) - (2#) v2] ф = -W) Q -
pH», (6)
(V2-^2/С1)Ф= -г = т1?пх.(7)
Функции д и х определены равенством
X = p(graO + rotX).(8)
Температура связана с функцией Ф следующей зависимостью:
6 = 0!т)(У-рУ1)Ф.(9)
Рассмотрим однородное уравнение, соответствующее уравнению (6), записав его в виде
(г2 —X?)(v2 —Х^Ф^,(10)
где М и Л2— корни биквадратного уравнения
х4 _ }?р (р/^ + (1 /х) (1 + е)) += О,
(11)
+ Х2 =(1 S)•
Поскольку эти корни,
± [(№)d + .)+А;)2-4Л«<4 являются весьма сложными функциями параметра р, то выполнение обратного преобразования сопряжено, разумеется,, с очень большими трудностями. Эти трудности могут быть существенно уменьшены за счет введения приближенных решений.
Одним из методов приближенного решения поставленной задачи является метод возмущений. Поскольку 8— величина, весьма малая (е<^1), воспользуемся разложением
Ф = фо 4- еф, 4- е2ф2 + ... .(12)
Подставляя (12) в (6), находим систему уравнений
(13) где
9Х = V2 - p^cL ®2=^- pjz.
Величина Фо совпадает с решением несопряженной задачи. Практически можно ограничиться двумя членами ряда (12). Температуру, согласно (9), представим в виде ряда
9 = (®1/т)(Фо + зФ1 + ^Ф2 + .-.)-(14)
Второй метод приближенного решения уравнений (4), (5) или же (6), (7) применим для малых значений времени. Этот метод особенно полезен в динамических задачах, так как различие между динамической задачей и соответствующей квазистати- ческой задачей с течением времени уменьшается. Для малых значений t можно использовать теорему Абеля
lim/(/)= lim р^ [/(/)].(15)
Отметим, что малым значениям времени соответствуют большие значения параметра р.
Описываемый метод заключается в том, что корни Ai и 7г разлагаются в ряды по параметру \(р с удержанием нескольких первых членов. В некоторых случаях одновременно применяется метод возмущений, состоящий в том, что Ф и 9 разлагаются в ряды по степеням е.
Можно использовать еще один метод решения уравнений (6) и (7). К этим уравнениям применяется тройное преобразование Фурье по переменным Хг, что приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению третьего порядка по времени. К решению этого уравнения последовательно применяется обратное преобразование Фурье. Этот метод детально обсуждается ъ § 3.5.
Весьма общий метод решения, основанный на применении четырехкратного преобразования Фурье, представлен в следующем параграфе.
Полученные до настоящего времени решения сопряженных динамических задач термоупругости являются приближенными. С другой стороны, в теории температурных напряжений имеется
ряд решений несопряженных задач. Ниже мы представим некоторые из этих решений, имея в виду сравнение результатов с приближенными решениями сопряженных задач.
3.2. Применение интегральных преобразований
Интегральные преобразования Фурье и Ханкеля использовались для решения ряда динамических задач термоупругости Ч Были получены замкнутые решения для различных частных за
дач, в первую очередь для задач с тепловыми источниками в неограниченной термоупругой среде, изменяющимися во времени
по гармоническому закону.
Запишем уравнения для перемещений й уравнение теплопро
водности
/^^2
I dx\дх^
ТУ + (А + ’1) -77757— "Г —
ОХ^ихк
'd2ut(50
Р dt2dxL
(1)
Z= 1, 2, 3,
4’ (2)
f d2 . d2 ,<?2 \ л 1 (50d2uk _
dxx дх^ дх^ у ъ dt ^ dt dxk
а также соотношение Дюамеля—Неймана
(3)
Введем новые независимые переменные
Тогда систему (1) — (3) можно записать в виде
(Г)
(2')
(3')
1 Eason G., Sneddon I. N., The dynamic stresses produced in elastic body by uneven heating, Proc. Roy. Soc. Edin., A65 (1959). Lockett F. J., Sneddon I. N., Propagation of thermal stresses in a infinite medium, Proc. Edin. Math. Soc., 11, part 4 (1959). Снеддон И. H., Берри Д. С., Классическая теория упругости, Физматгиз, М., 1961.
где
З2 =(X-j-2^)/w, а = ^[02, b = чК^с1)»^£ = (х2;с^)Х£, 5 =
0 = (х/с2) Q, ^ = Щ^) аи.
Дифференцируя первое уравнение из уравнений (!') по £i, второе по t.2 и третье по 4 и складывая результаты, получаем следующее соотношение:
|9 I 81 , 81 , 81 \ 8ie , dFt
д^' д^ Т Й^ а дт? + д'ч ~
(4)(4)= z,/JL + ^L + ^6.
(4)
(4)
Теперь воспользуемся четырехкратным преобразованием Фурье, определяемым как
/Щ, а2, а3, а>) = ^ J J J J/(4, С?, С3, т)ехр [/(а£у + шт)] dV,
(5)(5)dV^d^d^d^dt.
(5)
(5)
Умножив уравнения (1') —(3') и (4) на exp [i(а,-^ + сот) ], проинтегрировав результаты по всей области и использовав формулу
4к2 „ J J * дт2 ) ехР '
= — Щ;, ш2)/(а], а2, а3, ш),(6)
получим следующую систему алгебраических уравнений:
— a.ka.kUj ~ га/ (F — 1)е + Fj = — Iba.^ — ay^Uj,(7)
—aftafc6 + г'ш9 -|- iwge = — 0,(8)
t,v = — i ^jtii 4- а.д^ + [(p2 - 2) e - M ] ^4,(9)
—^ka-ke-\- bakakB — hkFk = —a^e.(10)
(И)(И)(12)(12)Исключая из уравнений (8) и (10) сперва е, а затем 9, получаем
(И)
(И)
(12)
(12)
D («I, «2. “3. ю)
D («1, «2, “3- “)
где
D («1, а2, а3, го) = ^Чка.к — аш2) (а.ка.к — zw) — itobga.kak,
аА = а1 + а2 + аз»
Применяя к (11) и (12) обратное преобразование Фурье
Ж, :2, :3, 4=-^ИП/^’ а2, «3, «ж
X ехр [—/(ау-^у + оэт)] dax d^d^d^, (13)
находим
4^2 J J J4^2 J J JD (Я1 , a2, аз» to) —ooD (Я1 , a2, аз» to) —oo
4^2 J J J
4^2 J J J
D (Я1 , a2, аз» to) —oo
D (Я1 , a2, аз» to) —oo
X exp [ —i ^^j 4*C0T)] daxda2da%d&, (14)
D (аь a2, a3, to)D (аь a2, a3, to)XX
D (аь a2, a3, to)
D (аь a2, a3, to)
X
X
X exp [ — i (a fa + w”)l da.x d^ da,3 d^.(15)
В правых частях под знаком интеграла стоят величины, вызывающие движение тела: массовые силы и тепловые источники.
Подставляя (11) и (12) в (7), получаем
— _^7№ — 1) (^ — ^) - ^^] Ук^к ,
1 а.ка.к — аь£(aj^fc —^2)Z)(2b a2, a3, to) "4“
4- ———'.(16)
D^x, a2f a3l to) v 7
Применение обратного преобразования Фурье дает
Ui” 4г,2Ui” 4г,2Fjl(₽2— l)(afe^ — <to) — i^bg)^jihFk
Ui” 4г,2
Ui” 4г,2
Vk — au>" (айОй^^Ч^Ч^ГГ^зГ^зТ")
(17)(17)гТГ7; I ехр [—/(a^^0^)! daxda2d^d^t
(17)
(17)
D (aj, а2, «з, to) J r L \ J х-5
Формулы (14), (15) и (17) имеют весьма общий характер; под знаком интеграла находятся преобразования величин, вызывающих движение термоупругого полупространства. Трудность состоит в фактическом вычислении выписанных четырехкратных интегралов.
Преобразования величин 0 и F^ определим по формуле (5). Дадим соответствующие выражения для некоторых наиболее важных случаев. Пусть в начале координат приложен сосредоточенный мгновенный тепловой источник
0=:0о6(^)6(^)6(^)6(т).
По формуле (5) получим
= ПИ8 888 (Ие ^ + d^ d^d^d^=^.
(18) Если тепловой источник меняется во времени по гармоническому закону
0 = 0О8(^)8(У8(У^\
ТО
0=-^ J=+(19)
так как
Если тепловой источник движется в направлении оси £з с постоянной скоростью у, то
= -& П 8 (’>)8 (У ехР lz ^ + а^ d^ d^ X
X J J 8 fe — w) exP lZ (аз^з + “’)] ^3 ^ =
= i J^ = ^ 8 (« + азО- (20)
От решений, выписанных для трехмерного напряженного состояния, легко перейти к решению для плоского деформированного состояния. В этом случае все величины будут функциями переменных £i, ^2 и t.
Рассмотрим теперь осесимметричную задачу, в которой перемещения их и температура зависят от переменных x^=z, г= = (^ + •^2)1/2 и t. Введем обозначения
С = (cJx) Р = (cjx) Г, т = tc^x
и запишем основную систему в виде
( д2и ।1 ди и ) । д2и . /по 1 \
, дб д2и-ь^=а"д^-’<21)
d2w ,1 дм , д2м , /Q9 д ( ди . и \ ,
(22)
дт2 х }
д26.1дб.д29дв д ( дии.dw \п
др21рдр'д;2дг^ дт \ дрр*д( J *
(23)
Здесь и — радиальная, a w— осевая составляющие вектора перемещений.
Для решения уравнений (21) — (23) используем смешанное интегральное преобразование, а именно преобразование Хан- келя—Фурье
(и, 4 = 41 ^eiM^dt.d^ ^Jx^<u, F^dp, (24) —ooО
(ту, 6, 0, ^’с) = -^" J $е‘ (ч+ют)^^т J р/0(8р)(1У, 9, 0, F^dp.—ооО
(25)
Применяя это преобразование к уравнениям (21) — (23), получаем систему алгебраических уравнений
(р282 4- а2 - №2) и — i (Р2 - 1) Saw - Fp = b^,
I (₽2 - 1) W + (82 + p2a2 - a^) w -Fz = ib^} (26) (S2 4 a2 — i^ 6 — i^g (s^ — /aoj) = 0.
Отсюда имеем
ииЬЬвD (а, 6, со) ’ЬЬвD (а, 6, со) ’(27)(27)Г(Ь2 + ^2а2 — ДЮ2) (§2 + а2 _ [^ — i^bg^\ F ^(§2 _|_ а2 — zzw2) D (а, S, со)
и
и
ЬЬв
D (а, 6, со) ’
ЬЬв
D (а, 6, со) ’
(27)
(27)
Z [(?2 - 1) (а2 -^ 52 - 1^ — /аОД a^F^.(§2 -J- а2 — aw2) D (а, Ь, со)
-z4(32- 1) (a2 + S2-z\o) -zo^aS/^ , (§2 + я2 — аоэ2) D (а, 6, со)1
[(Э282 4-а2 —Л<й2) (а2§2 _ z'to) _/ш^г] /^^^
(52 -|- а2 — асо2) D (а, 6, со)* D (cl. 6, со)
(29)(29)gw (i^Fp + a-F4- o2^2 — асо2) 0
(29)
(29)
6 =D (а, 8, и)
где
D (а, 8, ш) = [р2 (а2 4- 82) - йо)2| (а2 + 82 - i^ - Mg (а2 + 82).
Применяя обратное преобразование, находим
ы(р, С, ':) = -^- J \е ' (а' + ют) da dw J и (а, 8, in) Мх (8р) d^,(30)
(ту, 6) = ■^7 f J б-1 (ч+“т) da dw J (ту, 9) 8/о (8р) £/8.(31)
— оо0
Значительное число частных результатов, полученных при использовании преобразований Фурье и Ханкеля—Фурье, читатель найдет в статьях, цитированных в начале настоящего параграфа, особенно в статье Исона и Снеддона. Однако несмотря на несомненную общность представленного метода интегральных преобразований, предпочтительнее использовать метод волновых функций, изложенный в § 1.5.
Волны в неограниченном термоупругом пространстве под действием сосредоточенного теплового источника
Пусть в начале координат находится сосредоточенный мгновенный тепловой источник Q^R, /) =Qo6 (/?) 6 (/). Это воздействие приведет к распространению в неограниченной среде продольной сферической волны. Соответствующее этому случаю
волновое уравнение после применения преобразования Лапласа запишется в виде
[( V 2 - Ж» ( V 2 - р^сТ) - (е/х) рv 2] Ф (R, р) =
= —(m/%) Q0^(R),
где
V2 = d2;dR2 + (2/7?) d^dR, г = Запишем это уравнение иначе
(V2 - X?) (V2 - X2) Ф = - (m/x) Qo8 (R). Решением является функция
ф _^0
4г.х/? ( л/— X2)
(О
(2)
(3)
Преобразование температуры 9 запишется на основе (9)
в следующем виде:
Со4х/?(Х2-Х2)
X?
§ 3.1
(4)
Прежде чем перейти к определению приближенного решения, рассмотрим решение соответствующей несопряженной задачи. Положив 8 = 0 в формулах (3) и (4), т. е. Xv = ^pl^ )^ = = р!с^ получим
W^Rp ^р — с\^
/ R_ р
уе * — е
(5)
0о
Оо4тсх/?
(6)
Применяя обратное преобразование Лапласа и используя новые переменные
Rc^x, т = Zcjx, находим1
ф^ -) = -^[^(^-W^-^.(7)
9 (С, т) =9 (С, т) =c1Qq№ехрc1Qq№ехрС2_\4т ) 1С2_\4т ) 1(8)(8)
9 (С, т) =
9 (С, т) =
c1Qq
№ехр
c1Qq
№ехр
С2_\4т ) 1
С2_\4т ) 1
(8)
(8)
ТД£
Ех k"-- т) = erfc (—^=г^4— IV erfc ( —^ + V^ 1 +
1 v 7\ 2 К- У 2 [2 ]/т* / 1
+ е cerfc А—^ \2^+ е cerfc А—^ \2^
+ е cerfc А—^ \2^
+ е cerfc А—^ \2^
e^, g=^-i.
По известной функции Ф находим напряжения
4ц ^Ф । Ж
а.^^ = а66 =2 ц ^-р -^р -]д^2")P®-
Используя обозначения
=RR = °RrH (RR, — 0 + OrrH (t — RR,),c^^ = a^H (RR, — ^) + aYfH R — RRR
и введенные новые переменные ^ и т, получаем
,4ри?/< (/ С \
apR(L, т) =_
(1-( + 8(2)^erfc(^y7 + l^) +
+ (l+C + 8:2)^erfc -у^-]/т --у^е 4',
\ 2 у т/2 у тстJ )
ORR^, ^ = =rr^, ^H-^I^KW-^2)^"4-!] ’(П>
2^с3гКхз;з2^с3гКхз;зerfcerfc2^7/2^7/-С + С2(1 -28))^ erfc(--С + С2(1 -28))^ erfc(-+ VT) ++ VT) +
2^с3гКхз;з
2^с3гКхз;з
erfc
erfc
2^7/
2^7/
-С + С2(1 -28))^ erfc(-
-С + С2(1 -28))^ erfc(-
+ VT) +
+ VT) +
+ [1 +',+ f (1 ~ 28)] ="‘ =rfc (^ - 1Л)] + yg= / *■
-;,(v^-^S^IIl+c + c’tl-Si:)]
К = mQol(4n), 8 = рс?/(4-л).
Функция Ф является непрерывной, однако перемещение и — = дФ/дЯ терпит разрыв в момент t=Rlc^ причем величина разрыва равна —ctKJ(xR). В этот момент разрывны и напряжения Orr, сГфф, причем величины соответствующих разрывов таковы:
4цс^К 1-вС ^Кс\ /1 — 26 X 1
хз у ’~ хз р I•
С ростом £ величина разрывов уменьшается. Следует заметить, что для. t^R/ci напряжения очень быстро стремятся к своим квазистатическим значениям. Для t^>R/ci получаем
^ — егк^-У-ехр(т), £2^ехр(т)-1,
Ф = _ erf
< t 2 Гт )
Вернемся к уравнению (2), описывающему сопряженную задачу. Дифференциальные операторы будем трактовать как числа. Тогда
mQp HR)% L^L^ — eL^mQp HR)% L^L^ — eL^mQo 1 /i\ о /1 9\ % иц i-s^/^);
mQp HR)
% L^L^ — eL^
mQp HR)
% L^L^ — eL^
где
La=^ — ha, a = l, 2, ЙН'А A2 = pl*.L3 = h^.
Разлагая выражение в скобках в ряд по степеням е, получаем
ф = -д2 /у^-Н^Ш A^mQW. (13)
Используя решение задачи Гельмгольца для неограниченного пространства
(v2 — A2) e^jR = -4к8 (/?), (V2 - %) e^R--^ <R\
WLXL^ [—4^8 (^)] - (e"h'R - e"hlRXR (А2 - а!)) •(14)
Заменяя теперь №, № величинами сой^ <о А2, где (Oi, ®2 — не- которые параметры, получаем
exp ^—hxR уТо7) — exp ^—h^R Г «2 )(“^i - ^2) ^
Заметим, что
дп; 2\ —1. / , 2\п / _ 2, 2\—п-1
—= „1 №У (V2 - »,ЙГ "1
Подставляя величины (V2 — coi/zP”1-n и (V2 — сог^)”1”71 в (13) и полагая о)1 = оз2= 1, получаем
\Ч е«(?2)п^,^о (^Щу до>"д^\Ч е«(?2)п^,^о (^Щу до>"д^11( V ^ — (О^) ( V 2 — w2^2)( V ^ — (О^) ( V 2 — w2^2)
\Ч е«(?2)п^
,^о (^Щу до>"д^
\Ч е«(?2)п^
,^о (^Щу до>"д^
1
1
( V ^ — (О^) ( V 2 — w2^2)
( V ^ — (О^) ( V 2 — w2^2)
X [ -4^8(7?))X [ -4^8(7?))СО] = 1 *о)2 = 1СО] = 1 *о)2 = 1(16)(16)
X [ -4^8(7?))
X [ -4^8(7?))
СО] = 1 *
о)2 = 1
СО] = 1 *
о)2 = 1
(16)
(16)
Подставляя наконец (14) в (16), получаем следующее выра
жение:
XXexp (—hxR Уwi) — exp (—h^R У^)exp (—hxR Уwi) — exp (—h^R У^)Далее, используя соотношениеДалее, используя соотношение(01 = 1(о2 = 1(01 = 1(о2 = 1(17)(17)
X
X
exp (—hxR Уwi) — exp (—h^R У^)
exp (—hxR Уwi) — exp (—h^R У^)
Далее, используя соотношение
Далее, используя соотношение
(01 = 1
(о2 = 1
(01 = 1
(о2 = 1
(17)
(17)
а=1,2 (по а нс суммировать!),
применим к (17) обратное преобразование Лапласа. В результате находим ф = д| У
|«^о l”1)2^ dto"dto^
• (18)(01= 1• (18)(01= 1_1 tojh"exp (— htR"^tot ) — <0^2 exp (— h^R ]/“2)
• (18)
(01= 1
• (18)
(01= 1
Применяя к выражению в квадратных скобках обратное преобразование Лапласа, получаем следующий результат:
гдегдеп /2 \ s/п /2 \ s/+ У 4/^1 Z2$erfc |2L]/^2_)'\ CDi X /\ 2 V ^t /
где
где
п /2 \ s/
п /2 \ s/
s=0 X 1/х'
Для проверки можно непосредственной подстановкой убедиться, что (19) удовлетворяет исходному уравнению (1). В дальнейших рассуждениях воспользуемся тем, что 8<Д и удержим в ряде (19) только два первых члена.
Введем безразмерные величины
t = 7./^2, р = Ща, <р = Ф/а2,(20)
где величина a^xfci имеет размерность длины (напомним, что х имеет размерность см2!сек). Запишем уравнение продольной волны в виде
[(V2 — ^)(v2 — Ут) — ^TV2] «?= —q^^^y q = (QoM ma2.
(21)
Два первых члена ряда (18) запишутся в виде
_ 9 / ехР(-№) -ехр(-р Р»е Г р
Р) — 4л I РР(Р- 1)Р(Р-I)2 1 Т
+ -^ту exp (-^р) + ^ _ ^ly) exp (—р yj)]}.(22)
Первый член здесь совпадает с (5), если в (5) ввести новые переменные. Функция ср послужит для определения напряжений. Введем обозначения
Имеем
(24)(24)?РР = 2(-^^- +«Л). /^(1 + <1-2,),
(24)
(24)
—— п Г / dS .1 df \ ,2~]
— 2 I) + пр ?] ,
& = v2? — р2^.
(23)(23)13*
(23)
(23)
Рассмотрим приведенное напряжение трр. Подставляя (22) в (24) и применяя обратное преобразование Лапласа, находим следующее соотношение:Рассмотрим приведенное напряжение трр. Подставляя (22) в (24) и применяя обратное преобразование Лапласа, находим следующее соотношение:W=e"^H(^-?YW=e"^H(^-?Y(26)(26)
Рассмотрим приведенное напряжение трр. Подставляя (22) в (24) и применяя обратное преобразование Лапласа, находим следующее соотношение:
Рассмотрим приведенное напряжение трр. Подставляя (22) в (24) и применяя обратное преобразование Лапласа, находим следующее соотношение:
W=e"^H(^-?Y
W=e"^H(^-?Y
(26)
(26)
Полученное соотношение позволяет сделать ряд выводов. Прежде всего имеем
трр-*оо при р-*0, трр-* ОО при т-*0, трр-*0 при р-*оо, трр-*0 при т-*оо.
Рассмотрим теперь сечение р=т. Подставляя в (25) т=р+ и т=р“, получаем в этом сечении скачок напряжений
ТРР (р+. р) —^рр(р.
р) = №) (]/р)(4/р + 2/г)-2е
(1 +п)Р
+ «)]•
Для несопряженной задачи этот скачок при р->оо стремится к нулю. Для сопряженной задачи имеем
plim° [трр(р + , р) —трр(р-, р)] = — (q^ns.plim° [трр(р + , р) —трр(р-, р)] = — (q^ns.На рис. 3.1 представлены графики функции трр(р, т) для постоянных значений приведенного времени: т=1, 2, 3, 4. ПолНа рис. 3.1 представлены графики функции трр(р, т) для постоянных значений приведенного времени: т=1, 2, 3, 4. Пол
plim° [трр(р + , р) —трр(р-, р)] = — (q^ns.
plim° [трр(р + , р) —трр(р-, р)] = — (q^ns.
На рис. 3.1 представлены графики функции трр(р, т) для постоянных значений приведенного времени: т=1, 2, 3, 4. Пол
На рис. 3.1 представлены графики функции трр(р, т) для постоянных значений приведенного времени: т=1, 2, 3, 4. Пол
ностью график дан лишь для т=1. В остальных случаях нанесены только правые части кривых.
Аналогичным образом можно построить функцию т^ф, если ограничиться линейным приближением для Ф, Ф=Фо + еФ1. Соответствующие рассуждения приводят к следующей величине скачка:
То?(р^", р) ^^^(р , р) •^
(27)(27)Ц-еМ—^ _ 2(лг— 1) .\ Р/J
(27)
(27)
При р-^оо величина скачка стремится к —дг^п—1)/(2л). На рис. 3.2 представлены графики Тфф — Тфф (р) для т=2 и т=3.
Наконец, приведенная температура Ф равна
» =—Ц-ехр (^-U е Ц- (Т - р + 1) W -
4,1 ( 2 у лз^ \ ч- / L *
Исследование этого уравнения показывает, что
Пт 9 = -Д- Г—Г=- + $ f —т= — ет erfc V т 'll, р^о 4л [2/тттЗ \2Г^-Л
Нт 9 = О, Пт 9=0, Пт 9 = 0,
Т->0Р -> ООТ -*■ ос
В сечении т = р приведенная температура терпит разрыв, причем величина скачка равна 8^/(4лр).
Рассмотрим воздействие на неограниченное термоупругое пространство теплового источника типа Q = Qod (R)H(t). Решение этой задачи будем разыскивать, используя другой метод, а именно метод малых величин времени1. Уравнение упругого потенциала (21) запишется в рассматриваемом случае в виде
[(V - d.) (V2 - ^) - S с»т V2] =Р = —q^ (р) н Щ, q = ma2Qolv..
(29)
Применяя преобразование Лапласа, получаем
[(V2 - /?) (V2 - рЗ -- =-Р V2] ? = -q» (р) (1 (р\
ИЛИ
(v2-^)(v2-^)?=-73(p)(l//+(30)
где
4M(a/2){p+1+s+[/ + 2(s-1)^1+42]’/2^
4 = [(^/2) {р + 1 + ~ V + 2 ($ - 1) р + (1 + 42]72IP- (31)
Решением уравнения (30) является функция
В связи со сложностью зависимостей Xi, Х2 от р обращение преобразования Лапласа является здесь весьма трудной задачей и до сих пор нс выполнено.
Запишем корни Zi, Л2 в следующем виде:
[/Д^Р ^^^ [/2(</2. 5= iiP, (33) где
/>(5)МЧ2){1+(1+^+[1+2(е-1 + + (1+$)2^^
/2(sW/2){l+(l+^-[l+2(S-l)s + (l+s)2^^
Используя теорему Абеля
lim к (/) = Нт рк (р)(34)
/ -> 0р-*оо
(большим значениям р, т. е. малым значениям s, соответствуют малые значения времени /), разложим функции fa(s), а=1, 2 в ряд Маклорена и удержим первые четыре члена разложения. Имеем
Л(*)-/«(0) + Л(0)5 + (1/2!)Л(0)?^^а = 1, 2.
Подставляя значения производных, получаем
/^5)= 1 4-es + eS2 — s (s — l)s3, /2(s) = 1 — ss2 + e(e— l)s3.
Используя эти формулы в (33), разлагая %а (а=1, 2) в ряды Маклорена с удержанием трех членов и пренебрегая величинами е2, малыми по сравнению с е, получаем
= р + №) (1 + 1 !р), \ = Ур- е/(2 Ур) ,
11^ -^»(1 Ip2) [ 1 + (1 - s)(11р) + (] - 4з)(1 /У)] .(35)
Подставляя (35) в (32), получаем выражение ср для малых значений времени. Используем это выражение в первой формуле (24), учитывая соотношение
ехр [ер/(2 ]/р)] ^1 "V^P^p 1/2.
Пренебрегая членами, содержащими р”^ р~\ оказывающими
малое влияние на решение, получаем
П^ . Г (1 -е)и29Р + [ РП^ . Г (1 -е)и29Р + [ Р
П^ . Г (1 -е)и2
9Р + [ Р
П^ . Г (1 -е)и2
9Р + [ Р
' (1 -4е) п^ , 2 (2-е).411.
р1р2 "■ рЗ р2
Применяя обратное преобразование Лапласа, находим следующую приближенную формулу для приведенного напряжения трр:
~ (1 - е) п^ р~ (1 - е) п^ р
~ (1 - е) п^ р
~ (1 - е) п^ р
+ р^+3^+±1№(„) +
г 4(1з.>^(1-^1 ,| - ( ^erf8 +
+ "Т W721 erfc 8 + -^-7^—(4т)р Grfc 8 + (^“ + “^) X
X (4т)3/2 г3 erf с 8 + ^—4^+21. _]_ ^ (4^)2 /4 erfc 8 +
е ! 4(12 "Т" р2е ! 4(12 "Т" р2— (^/^z^erfc 8-]-— (^/^z^erfc 8-]-
е ! 4(1
2 "Т" р2
е ! 4(1
2 "Т" р2
— (^/^z^erfc 8-]-
— (^/^z^erfc 8-]-
X [^ + 4(1рз £) ] (4^)3г‘6 erfc 8 }}.(37)
Здесь /о, Л, ks к— функции Бесселя первого рода и 22
erfco = y^j е”“2 du,
ОД ОООО ОО
z"erfc8 = J j "4 J erfc^d^d^d^. . .dCn-\,
8 = p/2y^, ^ = 2(t —p)/ps, o) = [2pey — p)]‘/2. Преобразование температуры получим на основе последней формулы (24). Используя (32), получаем
» = *4^~“ Р^•(38)
Подставляя (35) в (38), находим
& = -3— [(е/р2 + 2s/p3 4- 2s/p4) exp (—ре/2 - ?р - ps/2^) -
- (-1 ip - (Р®/2) p"U + V + (1 - 2^1 Р3 + (ps/2) р-1'2 +
+ 0-6е)///)ехр(-Р///2)] . (39) Осталось выполнить обратное преобразование Лапласа. Имеем 6 <Р> Т) = 4^ { Н ^ - Р) в" 4 W’A W + 2еЛ («) + 2^2 А Н +
-+ erfc о 4- -у- (^У^ i erfc 8 — е (4т) р erfc В — (1 — 2е)(4т)2/4 erfc 8 — — -~ (4т)5/2/5 erfc 8 -j- (1 — бе) (4т)3 Z6 erfc 8
Эта функция непрерывна по р, так как имеем Л(о)) =/2(0)) = = 73(о)) = 0 для р=т. На рис. 3.3 представлен график приведенной температуры ^(р, т) для сопряженной (сплошная линия) и несопряженной (штриховая линия) задач при 8 = 0,0168 (медь) и т=0,25. Видно, что влияние сопряжения на температуру весьма мало.
Рассмотренная задача родственна задаче об определении поля деформации и температуры в неограниченной среде со сферической полостью. Если граница полости будет подвержена дей- ствию нагрузки или температуры, зависящих только от времени,
то в окружающем пространстве возникнут сферические термоуп
ругие волны.
Первая задача, а именно задача о внезапном нагружении границы полости, была рассмотрена в двух работах. В первой из них Лессен использовал метод возмущений, в котором в качестве малого параметра была взята величина е. Во второй работе Чедвик применил асимптотический метод малых значений времени.
Задачу о внезапном нагреве границы сферической полости рассмотрел Нариболи, применяя как метод возмущений, так
00.5 Г.Э 1500.5 Г.Э 15Рис. 3.3.Рис. 3.3.и метод малых времен.
00.5 Г.Э 15
00.5 Г.Э 15
Рис. 3.3.
Рис. 3.3.
Упомянутые решения показывают, что термоупругие волны подвержены дисперсии и затуханию, причем значения скачков напряжений несколько уменьшены за счет сопряжения по сравнению с соответствующими значениями в теории температурных напряжений. Влияние сопряжения температуры и деформации является незначительным.
Для случая воздейст
вия тепловых источников
влияние сопряжения на поле температуры также незначительно. Однако для задачи о внезапном нагреве границы сферической полости поле температуры в сопряженной задаче значительно отличается от поля 0=—туке, соответствующего решению в рамках теории температурных напряжений.
Описанные методы дают возможность найти приближенные функции Грина для сосредоточенной апериодической силы. Решение динамической задачи для малых значений времен было дано Шоошем, а для квазистатической задачи получено автором .
Плоская волна в термоупругом полупространстве
В настоящем параграфе рассмотрено действие теплового импульса на термоупругое полупространство. Внезапный нагрев края полупространства вызывает плоскую термоупругую волну, распространяющуюся от этого края в глубину. Такая задача была рассмотрена в рамках теории температурных напряжений В. И. Даниловской и вызвала большой интерес. Этой теме был посвящен ряд работ. Хетнарский рассмотрел задачу В. И. Даниловской для малых значений времени, а в другой работе он дал общий метод решения с использованием малого параметра. Отметим далее работы Боли и Толинса и работу Муки и Броера.
Ниже мы сначала представим решение несопряженной задачи, а затем дадим на основе работ Хетнарского решение задачи сопряженной.
Предположим, что плоскость xi=0, ограничивающая упругое полупространство, внезапно нагревается в момент /=0+, т. е.
6(0, t> = ^h\(1)
Далее предположим, что эта плоскость свободна от нагрузок, а начальные условия однородны,
зи(о, /) = о, е^, о) = о, ^д^, о) = о, ^д^, о) = о. (2)
Задача сводится к решению дифференциального уравнения
(^-(1/х)^)б = 0(3)
с краевым условием (1) и начальным условием 6 (xi, 0) =0 и уравнения движения
— (1/^) ^Ui=md{9.(4)
В дальнейшем используем выражение для напряжений
^i^^ + S^^Mi-lS.(5)
Решая уравнения (3) и (4), получаем для величин 9 и оц преобразованные выражения
7 = .р°от ^-р^с _ е-Х1 v^.(6)
Применяя обратное преобразование Лапласа и используя обозначения
С = C^Jx, т = tc^jx, приходим к следующим результатам:
6 (С, т) = (б0/2У^)ехрМ2/4т),
°и(С,[AG, AG, ЧЬ (7)
где
Л, G, т) г (*/2) ет ^ erfc (С/2 /т + У?) +
+ e-t- erfc (С/2 ]А — ]А)] + (1 /2т yVc) ехр (—^д.^ AG, х) = ех-сЯ(т-у + 8(т-С).
Положим теперь 90=1 в формулах (7) и введем для значений полученных выше функций при t— t' обозначения 9(£, т—т'), Оц(£, т—т'). Функции 9, Оц можно рассматривать как функции Грина. Следовательно, для краевых условий
6(0, /)-/(/), ап(0, /) = 0,(8)
температура 9 и напряжения соответственно равны
t
ty= J /(^) 0(^1, t — t’^dt1,
t(9)
ац(л:1, /)=J /(/Эбц^!, t —
0
Для частного случая, когда плоскость a:i=0 внезапно нагревается до температуры 90, причем в дальнейшем температура поддерживается на этом уровне, т. е. для 9(0, /)=9оЯ(О, получим, согласно формулам (9),
6 (С, т) = 60 erfc (С/2 к^),(10)
=и^ Ч^-Тбо^С., г^-В^, ^Н^-^],(11)
где
Вх (С, Т) = (ет/2) [ес erfc (С/2 /т + К?Х+ e^erfc (С/2 V^ - К^)],
На рис. 3.4 представлены графики функции QiJK, где К= =у0о, в зависимости от расстояния ^=%iCi/x (согласно работе Мура). Член, содержащий Вь имеет диффузионный характер, а член, содержащий BzH(%—£),— характер упругой волны. Рассмотрим произвольную точку внутри упругой среды. В этой точке сразу возникнут напряжения, определяемые членом —Y0oSi (£, т). В момент т=£ (т. е. t=xJcC) в эту точку приходит упругая волна и напряжение претерпевает разрыв величины у9о. После ухода упругой волны напряжение в рассматриваемой точке уменьшается, стремясь к квазистатическому значению. Графики для т=1 ит—100 показывают, что фронт волны
находится в точке £=т, а величина скачка равна /С=у6о и не зависит от расстояния до свободной поверхности. Это значение является максимальным и для напряжения на достаточно большом расстоянии от границы.
Остальные главные напряжения равны
а22 = °33 = Х ^1/^1 —'1(12) Поскольку
сти=(х+2р.) а,— ^9,(13)
исключая di^i, получаем
°22 = °33 = "X + 2р °П ~
Для %1=0 имеем
о22(0, 0 = азз(®, ^) = —2и.пг^0Н (t),(15)
т. е. эти значения постоянны, причем оц(0, /) =0.
Перейдем к сопряженной задаче и сопоставим ее решение с решением В. И. Даниловской. Будем исходить из обобщенного уравнения теплопроводности
(di — (1/х)^)9 — т^ 6^ = 0(16)
и уравнения движения
(^-(l/^^zz^m^O.(17)
Вводя термоупругий потенциал и исключая температуру, получаем уравнение продольной волны
[(^ - (1 /х) д^ (tf - (1 /^) д?) - (е/х)Ф = 0(18)
и уравнение
е = (1Н(^-(1/^)^)Ф-(19)
Переходя к переменным
С = C^Jx, т = С^х
и применяя преобразование Лапласа по переменной т, получаем обыкновенные дифференциальные уравнения
[^ —/,^(^+1+е) + />3] Ф(С, р) = 0,(20)
"6 =(1/т0)(^2 —/?2)Ф, ап = рорФ,(21)
где
2/24/2
т^ = тх (Ci, р0 : - рС^х .
В этих уравнениях уже использовано свойство однородности начальных условий.
Учитывая краевые условия 9(0, т)=90//(т), Оц(0, т)=0, находим следующие уравнения:
” - 77?Ъг ^ - ^ С"Л “ № - "’) ^’’Ч • ' > 0 <22> /’(^l - А2)
Здесь Х^ и Хг — действительные положительные корни уравнения
X4-^^+1+s]+/23 = 0,(24)
т. е.
>ч > Ч (р, Ю = ^ Vp + 1 + е ± (р2 + 2 (г - 1) р + (1 + е^)1/^ |‘/2.
(25)
Применяя метод возмущений, детально описанный в § 3.3, находим следующее решение для Ф в виде ряда по степеням параметра е:
Ф = т060Ф = т060Е«^2«Е«^2«
Ф = т060
Ф = т060
Е«^2«
Е«^2«
(26)(26)(О} := 1(О2 = 1(О} := 1(О2 = 1Урп ехр (—/>С ]/“]) — “г ехР (—^ УPtoiр"^ (а^р — <02)
(26)
(26)
(О} := 1
(О2 = 1
(О} := 1
(О2 = 1
Согласно формуле (23), имеем
(27)(27)toyexp^-pqAJ-^£^^ 1
(27)
(27)
рп^р — “2)/ L, = i
to2 — 1
Удерживая в (27) только два первых члена и применяя обратное преобразование Лапласа, получаем
«иМ) = W - и - е {[(t - Q2+(С/2) е - с +1) + Ь - Q] W -
- (С2/2 + т2 4- т) и + (С/2) (Зт + 1) V + С /^ ехр (—^2/4т)},(28)
где
и = (<?72) [e“cerfc (С/2 /т - /7) 4- ес erfc (С/2 У^ + /7)] , V = (ет/2) [е"4 erfc (С/2 ]А — Ут ) — е^ erfc (С/2 Ут + Кт )] > Vpse^H(T-Q.(29)
Легко видеть, что
liman = 0, liman = 0, liman = 0, lima11 = 0.
^->►0т->0C->ooт-^оо
Напряжение он терпит разрыв при т=£, т. е. на фронте волны, причем величина скачка равна
Ч^ е) = °и(^, С; е)-^", С; е)^Т90(1-(С/2)е).
Можно убедиться, что величина скачка, выведенная на основе полного ряда (27), а не только с учетом двух его первых членов, равна
s(C, е) = 90Техр(—-еф).
На рис. 3.5 представлены эпюры напряжений для меди при т=
= 1, 2, 3. Сплошными линиями даны результаты для сопряженной задачи, штрихованными — для несопряженной.
Используя формулы (21) и (26), получаем следующее выражение для температуры (учитываются лишь два первых члена разложения):
- ^pi(P-if^vTplW-^^(30)
Применяя обратное преобразование Лапласа, находим
9(С, т)/90 = егк(С/2К^) + Н(^-У^-^ + ^]. (31)
Для 8=0 получаем распределение температуры для несопряженной задачи. Легко видеть, что
lim6 = 60, lim6 = 0, lim6 = 0, Нт6 = 60.(32)
С->0-->0"-> ост —> оо
На рис. 3.6 представлены эпюры 0/0о для меди при т=1, 2, 3.
Мы не будем описывать здесь второго приближенного метода решения этой задачи — метода малых значений времени, поскольку он используется здесь таким же образом, как и в задаче
о волновом движении под действием сосредоточенного теплового источника (см. § 3.3).
Приведение волнового уравнения к обыкновенному дифференциальному уравнению по времени
Возьмем основные уравнения термоупругости в том виде, в каком они были даны в § 3.2, т. е.
WlW_ 1)«..« + Л = ?Ч + м и i,k = Y2,3,(1)
V29 — 9 — guk k = — 0, i, ^=1, 2, 3,(2)
где
uit j = du^d^j, u^duildt, p2 = Ci/(?2, b = xf jyc,, Р^(^у)^, g^^, GM^)Q.(3)
Здесь Xi — составляющие массовой силы, Q — интенсивность теплового источника.
14 Заказ № 362
Подставляя соотношения
^ = grad Ф + rot ф, Х = р (grad ft 4-ro tX)(4)
в (1) и (2) и исключая температуру 0, находим следующие волновые уравнения:
(□!□!-е^ У2)Ф = -(^2)0 -(р/р2)П^,(5)
(6)(6)□^=-рХ.
(6)
(6)
Здесь использованы обозначения
□i = V — о-, П2 = V — ^ д-., Пз = V — от, s = тупи.
Рассмотрим сперва одномерную задачу для неограниченного пространства. Возьмем 0 = 0, 0 = 0 и начальные условия
их^х, о)=о, йхСчх, О)=о, е^, О) = бо(у. (7)
Уравнение продольной волны запишется в виде ^д\_^^х_д^-£(?х^]ф=0.(8)
Предположив, что перемещения и температура обращаются в нуль на бесконечности, запишем последнее начальное условие (7) в виде интеграла
(9)
О
Отсюда видно, что функцию в0 (^±) можно рассматривать как результат применения преобразования Лапласа к функции л (а). Формула (9) справедлива, таким образом, для функций, к которым применимо преобразование Лапласа.
Возьмем функцию Ф=Ф(£Ь т) в виде интеграла
Ф^, t) = J Ф(а, T)/|t,ltZa(10)
О
и сведем уравнение (8) к обыкновенному дифференциальному уравнению третьего порядка с производными по времени
[^-а2^-^! +е)(?т+а4]ф(а,(Ц)
Предположив, что
Ф(а, т) = ехр [р.(а)т],
получим для (11) следующее характеристическое уравнение третьей степени:
р3 —Зр2р0 —3(1+s)pu.o + 9pg = O, Ро = (*/з)а2-(12)
Выполняя подстановку г] = ц—Цо, приведем это уравнение к виду
ч3 + p-q + я = о,(13)
где
р/3 = -р0[р0 + (1Ч-< ^2=-рЬ^о-3(1-е/2)]. (14)
Уравнение (13) имеет различные действительные корни, если
(7/2)2 + (р/3)3<0.(15)
Это условие выполнено, поскольку
(9/2)2 + да = -pg [(1 - Зр0)2 + (3/4) pQs (е + 20) +
+ s(£2 + 3$ + 3)j <0.(16)
По теореме Виета
(a) pip2p3 = —9ро, (б) Pi + р2 + Рз Зр0.(17)
Из соотношения (а) следует, что случай двух отрицательных и одного положительного корня невозможен: либо один корень отрицателен и два положительны, либо все три корня отрицательны. Второй вариант противоречит, однако, условию (б). Следовательно, мы имеем один отрицательный и два положительных корня.
Корни определяем по формуле
Pft = Po + 2y/7coslC/3)(<p + 2M. £=1,2,3,(18)
где
V г = Ро[Ро + (1 + £)1 , ? = arccos—. L] J ■.
„1^0 (Го + (1 + е)) 1 /2
Обозначим отрицательный корень через ц=—mg (а> 8) <;о, а два остальных через mg (а, е)>0, т23(а, е) >0. Тогда получим
Ф(м, 4 = 1 ^“'Щ^^, 8)в 1 +С2(а, s)5 2 + о
+ с^а, г)ет^]^- (19)
Величины Ci, С2, Сз определим по краевым условиям (7), которые записываются с использованием функции Ф следующим об
разом:
«!^1,0)= ^-1 = 0,0)=|^=0,
^1 |т = 0| Ус т_0
0^, О) = 6о(С1) = |№(^-^)Ф(С1, 4к=о.(20)
Определяя из этой системы постоянные С^(а, е), получаем выражение для Ф и далее перемещения и напряжения.
Рассмотрим теперь упругое полупространство 0^£1< + оо, поверхность которого, £1 = 0, свободна от напряжений, а температура на ней равна нулю, и возьмем начальные условия в следующем виде:
их^> 0) = 0, и^х, 0) = 0, 6^, О) = 6о(у.(21)
На бесконечности температура и напряжения должны быть равны нулю.
Краевые и начальные условия будут удовлетворены, если мы возьмем функции 0o(?i) и Ф(?1, т) в следующем виде:
®о (^1) = j* тс (a) sina^ da, Ф^, T)=J Ф(а, ^sina^da. (22) оо
Подставляя Ф(£1, т) в уравнение (8), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
[d? + a2d?+a2(l+е)ат+а4] Ф(а, т) = 0.(23)
Положив Ф(а, t)=ivt, найдем характеристическое уравнение
4 + ЗЛ0 + 3vv0(1 + е) + 94 = 0(24)
или
%3 + а% + ^1 = 0,
где
X = v + vo- a2 = 3v0, /),/3=-v0[v0 —(1+$)],^/2^4[v0 + 3(l-e/2)b
Поскольку для е<С1 выполняется неравенство
(7i/2)2 + W? = (4/4) [4a4 - а2 (е2 + 20е - 8) + 4 (1 + ®)3] > 0,
(25)
мы имеем здесь дело с одним действительным отрицательным корнем vi = —ri^ и двумя комплексными.
Запишем функцию Ф в виде
Ф (а, ^ = Схе-Пг + С2е-(а -п^т/2cos м3т С3е (а u/2sin/z3T,
(26) Здесь Из является мнимой частью комплексного корня уравнения (24)
Постоянные Ci, С2 и С3 определяются по начальным условиям (21).
Боли и Уэйнер рассмотрели частный случай воздействия теплового источника Q(%i, Z)=QO(1 —е~№) cos л// при нулевых начальных условиях. Полное обсуждение приближенного решения этой задачи показывает, что влияние сопряжения на величину напряжений весьма мало. Сопряжение должно учитываться только тогда, когда главная цель состоит в определении термоупругой диссипации.
Представленный способ решения можно обобщить без труда на трехмерную задачу для неограниченного пространства. В самом деле, применяя к уравнению (5) тройное преобразование Фурье по переменным ^, получаем алгебраическое уравнение (для Ch=O)
[^ + аА d2 + aftafc (1 + е) + (аЛ)2] Ф = - «) 0, (27) где
Ф^, а2, а3, т) = (г^2 j J J Ф (^ , С2, Cg, ^expUa/^d^d^d^.
Решая уравнение (27) с соответствующими начальными условиями, определим функцию Ф. Применяя обратное преобразование Фурье, получаем
= (2^)-3/2 f J С Ф(ан а2, а3, т) exp [ — Ш^Д dax ^Zа2 da3.(28)
Глава IV
ТЕРМОУПРУГОСТЬ АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ
Основные соотношения и уравнения термоупругости анизотропных тел
Начнем с вывода уравнения состояния. Соотношение между напряжениями Ог^ деформациями г^ и приращением температуры 9 получим на основе уравнения
Свободная энергия f^tb Т) определяется здесь формулой (10) § 1.1
/ Л = Ск) си^^н - ?zyS/y6 + m№.(2)
Подставляя (2) в (1), получаем следующие соотношения Дюамеля—Неймана для анизотропного тела:
°ij = Ok) ^ijkl + ^klib &kl ^И® ~ ^1]к1гк1 Р/.Д к j, к, 1=\, 2, 3.
(3)
Здесь Cijki — декартовы компоненты постоянного тензора упругой жесткости для анизотропного тела. В теории упругости анизотропного тела доказаны следующие свойства симметрии этого тензора:
^Ukl ^jtkl> ^ijkl ^ljlk> ^Ukl ^klij*CO
Первое из этих свойств отражает симметрию тензора напряжений, а второе получается как следствие разделения тензора Cijki на симметричную и антисимметричную части по индексам к и I. Наконец, третье свойство следует из (1). Соотношения (4) показывают, что имеется 21 независимых постоянных, описывающих общую анизотропность упругого тела. Следует добавить, что жесткости сцм относятся к изотермическому состоянию pi определяются в естественном состоянии, т. е. c^ki= ^сцк^т- Разрешая систему уравнений (3) относительно деформаций, получаем
еи = sUhiaM + W1-(5)
Величины Stjhi называются модулями упругой податливости. Они удовлетворяют тем же условиям симметрии
Sljkl = S jikU Sijkl = Sijlk> Sijkl~SkUj-(6)
Рассмотрим теперь объемный элемент анизотропного тела, свободный от напряжений. Согласно (5), имеем
гц=а^.(7)
Это соотношение описывает хорошо известное физическое свойство пропорциональности деформаций приращению температуры. Величины схгз являются коэффициентами теплового расширения. Поскольку 8^ = 8^, тензор агз = а-зг является симметричным.
Из соотношений (3) и (5) следуют формулы .
/ дзц \/ дз$: \/ дгц \
( дгы У^Сим’ V дт /8 = ~'^= ~akicW > у §7 )а=аи- (8)
Перейдем к определению внутренней энергии и и энтропии s (в расчете на единицу объема). Приращения этих величин равны
du = сц de.^ + Т ds,(9)
ds = । -ч—I d^.i -J- ।I dT.(Ю)
\ дгч /Т\дТ К
Подставляя (10) в (9), получаем
[_\/ Т\
Величина du является полным дифференциалом. Записывая необходимое и достаточное условие того, чтобы правая часть (11) была полным дифференциалом,Величина du является полным дифференциалом. Записывая необходимое и достаточное условие того, чтобы правая часть (11) была полным дифференциалом,
Величина du является полным дифференциалом. Записывая необходимое и достаточное условие того, чтобы правая часть (11) была полным дифференциалом,
Величина du является полным дифференциалом. Записывая необходимое и достаточное условие того, чтобы правая часть (11) была полным дифференциалом,
(14)(14)ПосколькуПосколькуУчитывая вторую формулу (8), получаем— 3 .
(14)
(14)
Поскольку
Поскольку
ds \ / du \
"дТ^)= ~“ Сг’
где с8— удельная теплоемкость при постоянной деформации, имеем
ds = ^jdetj-^(c.JT)dT,(15)
du = otj deu + T^j daLi + c6 dT.(16)
Подставляя соотношение (3) в уравнение (16), получаем
^ = сИк1гк1 ^ jA-Topzj dгlj-\- c6 dT.(17)
Проинтегрируем полные дифференциалы ds и du при условии, что в естественном состоянии (т. е. при е^=0, Т=То) имеем s = 0 и и = 0. Тогда находим
s = ^<y + cEln(14-9/ro),(18)
и = (V 2) cUkizipki + Т^цгИ + сЕ6.(19)
Первый член выражения для энтропии описывает сопряжение полей температуры и деформации, а второй — энтропию, вызванную теплопроводностью. В формуле (19) первый член имеет чисто упругий характер, последний — чисто тепловой, а средний член выражает сопряжение деформаций и температуры. Для |9/То!^1 формулу (18) можно записать следующим образом:
(20)
Подставляя (18) и (19) в выражение для свободной энергии f = u—sT и разлагая In (1 + 9/То) в степенной ряд с удержанием двух членов, получаем
/ = С/2) сИк№ - ^р + ^9(1 - ЛЛ) + (^^/2^) 92 (21) ИЛИ
/ ~ Ш cUfc№l -.9 - (G/2?o) 92.(22)
Таким образом, мы определили величину пг=—cJ^T^ в выражении для свободной энергии (2).
Перейдем к выводу обобщенного уравнения теплопроводности, отправляясь от формулы
Tdsldt=-qul-VW>(23)
где q — вектор теплового потока, a W — количество теплоты, производимое в единице объема за единицу времени. Из рассуждений § 1.3 следует, что составляющие вектора q связаны с температурой следующей зависимостью:
(24)
где Ьц— постоянные величины, удовлетворяющие соотношениям взаимности Онзагера Lij = Lyt. Обозначая через
кИ=Ьи\Р>0
коэффициенты теплопроводности, получаем закон Фурье для анизотропной среды
qi = -kijT.j.(25)
Подставляя (25) в (23), находим
Tds^dt = feljT,u-\-W.(26}
С другой стороны, из формулы (20) следует, что
Tris^t-T^^JI?^.(27)
Исключая Ts из уравнений (26) и (27), получаем
^Т, , + W = Т^и + (cJT^ T9.(28)
Проведем линеаризацию этого уравнения, положив Т~ТХ Таким образом, обобщенное уравнение теплопроводности имеет следующий вид:
kHTaj-c^-T.vu=-w^
или
М. и - ^6 - Т^п = - W.(29')
Входящий в это уравнение член —pi,8ijTo определяет сопряжение поля температуры и поля деформации. Сопряжение исчезает только для стационарного теплового потока. В этом случае
(30)
Уравнение (29х) следует рассматривать совместно с уравнением движения
Qih j “b ^i ” p^i •(31)
Подставляя (3) в (31), находим
cijkiuk,u*V — ^ut -|- ^/},р(32)
Уравнения (29х) и (32) образуют полную систему дифференциальных уравнений термоупругости анизотропных тел. Краевые и начальные условия не отличаются от тех, которые мы описали в § 1.4.
Решение системы (29х), (32) связано с большими математическими трудностями. Эти трудности значительно уменьшаются для плоской задачи (особенно в случае ортотропного тела) и для одномерных задач.
В общем случае для трехмерных задач систему (29х) и (32) можно свести к системе несопряженных уравнений при помощи метода, описанного в § 1.6 для изотропной однородной среды.
От полученных сопряженных уравнений легко перейти к уравнениям классической эластокинетики. Последние выводятся, как известно, в предположении адиабатичности теплового процесса.
Подставляя s = 0 в (27), получаем
(33)(33)T^i^ij-V с^— 0.
(33)
(33)
Интегрируя это, уравнение по времени и полагая е^ = 0, 0 — 0 для /=0, определим температуру
Ч = -ТЛЫ!сг)гы.(34)
Подставляя (34) в уравнения для перемещений (32), находим
гдегде^ijklYs^k» lj "A" P^t >(35)
где
где
(Cijkl)s = ^ijkl)? 4" ^i$klTolCe •(36)
Величины (ctjkih являются коэффициентами жесткости для анизотропного тела, справедливыми в адиабатических условиях.
Дадим теперь формулы остальных механических коэффициентов анизотропного тела для адиабатических и изотермических процессов. Выражение для энтропии можно представить как функцию температуры и напряжений, подставляя (5) в (20),
5 = ^ijSijkl°kl + ^ij^ij + C^jT^ 9.(37)
Учитывая вторую формулу (8), получаем
s = w + (^a^(38)
С другой стороны, так как s = s((5tj, 9), имеем
й'5 = /'^_) ^ +/_gL\ ^д(39)
у dc^j )т 1 у ОТх 7
где
(40)(40)/ ds \ /\
(40)
(40)
\д^7)т"\^Т~к — а
Величина T^dsjdT)0 есть мера количества тепла, выделяемого с изменением температуры при постоянных напряжениях. Эта величина определяет теплоемкость с0 на единицу объема. Сравнивая формулы (38) и (39), находим
I =с3!Т0 = ^и^с5ГГ0.(41)
Отсюда
СО = С г + а1^цТо
Итак, мы получили соотношение между теплоемкостями при постоянной деформации и постоянном напряжении.
Из уравнения (5) следует
-^)/^ + (-^-)/9,(42)
где
/ ^4j~д^ГН s4kb/ ^4j~д^ГН s4kb(43)(43)
/ ^4j
~д^ГН s4kb
/ ^4j
~д^ГН s4kb
(43)
(43)
Для адиабатических процессов ds = 0. Подставляя ds=O в уравнение (39) и исключая из (39) и (42) приращение dQ, получаем соотношение
Н22- - ЬгМ KdsldT\ d^..(44)
\ ^Й/ 1т\ дТ дзк1 /Т 1 7Н klv 7
Поскольку левая часть этой формулы есть полный дифференциал, причем формула (44) выведена при s = const, выражение в скобках можно записать так:
' $41 \\ ^kl /з' $41 \\ ^kl /зд^и /Т \ дТ )Д дак1д^и /Т \ дТ )Д дак1-)т №,.-)т №,.(45)(45)
' $41 \
\ ^kl /з
' $41 \
\ ^kl /з
д^и /Т \ дТ )Д дак1
д^и /Т \ дТ )Д дак1
-)т №,.
-)т №,.
(45)
(45)
(46)(46)Учитывая (40), (41) и (43), находим
(46)
(46)
(Sijkl)s = (Sijkl)T — (aOakllCa) ^0-
Поскольку с0 является, как правило, положительной величиной, а коэффициенты теплового расширения положительны по определению, отсюда заключаем, что адиабатические коэффициенты упругости меньше изотермических. Это связано с тем, что в адиабатическом процессе растяжение элемента вызывает падение температуры (см. (34)), а это в свою очередь вызывает изменение деформации. Полная деформация будет поэтому меньше деформации, полученной в изотермическом процессе.
Рассмотрим еще коэффициенты податливости. Исходя из уравнений
d^j = ti) d4t + ЬН ^ = ^И^т d^i - (Ч^Т dB, (47)
dS = (^г) ^ + ( Дк d6 = ^т d£« + ^С№ d0’ (48)
полагая ds^O для адиабатического процесса и исключая d9, получаем следующее соотношение:
(49)(49)'\ / ^i j \/ ^ij \ / ds \ Г/ ds \1
(49)
(49)
. d^ki /s\ дгк1 Д\ дТ \ дгк1 / [\ дТ
или
kCljk^s = ^ijkl)? 4~ (М? ^kl)?^olCs •
Формулы, полученные нами для анизотропного тела, содержат в качестве частного случая соответствующие формулы для изотропного тела. В этом случае имеем
Cljkl = Р1 [^i^ji 4" §Л*] 4“ ^Z/^Z>
Sijkl = Р-' [WjZ 4" ^Z^] 4- ^Zj^Z *(50)
^U = ^ir aU=^Uat>
где
^'=1/4^ X' — — X/ (2р. (3X -j- 2р.)), y = 3K &t = (3X -]- 2р.) at.
Здесь p,, X — постоянные Ламе, К — модуль сжатия, at— коэффициент линейного теплового расширения изотропного тела.
Основные энергетические уравнения для анизотропного тела
В настоящем параграфе мы дадим обобщение основной энергетической теоремы на случай анизотропных сред. Будем исходить при этом из соотношения (6) § 1.9
j Х^-^У + J ^;^Д = р J -u^dY -у j Qij4jdV. (1) ВАВВ
Здесь Хг — составляющие массовых сил, pt — составляющие внешней нагрузки на границе Л, ^— составляющие скорости перемещения, оц — напряжения, 8^- — скорости деформаций. Соотношение (1) справедливо как для изотропного, так и для анизотропного упругого тела. Подставляя в (1) обобщенное соотношение Дюамеля—Неймана
=(2)
приведем уравнение (1) к следующему виду:
j Х^ dV + J p^ dA =■
ВA
= p f T)^ dV + J сингыги dV - J ^1^ dV.(3)
Ввв
Введем обозначения
К = (р/2) f D^dV, W = (42) f cUfe№jdV(4)
Вв
для кинетической энергии и работы деформаций. Тогда (3) запишется в виде
-^Г + ^ = J rfl/ + ? Р^ dV + f ^ ^ dV-(5)
ВАВ
Используем далее уравнение теплопроводности
(6)
Умножая это уравнение на 0 и интегрируя по области В, получаем
J к^,и9 dV = Тй J V^ dV + с J 69 dV - J W6 dV.(7)
Вввв
Исключая из уравнений (5) и (7) интеграл J ^i^ijQdV, находим в
t +р^ -^ + tU м. „« IV -
ВАи В
f 96 dV +^6 dV.(8)
Т° вТ° Й
Учитывая формулу
С ku9,u9dV = j* ^,.(66 J, ,dV- f ku9 & tdV = ввв
= J ки66, iti} dA - J k^, y6, z dV (9) AВ
и вводя функцию тепловой энергии Р и функцию диссипации хт по формулам
^АА^ zt-AAm./MV. (Ю) 0 в° в
запишем основную энергетическую теорему в следующем виде: dK , dW , dp , f vf .,.
~dT + ~dT "dF + ^T — ' ^/<У/ ^^ + ’ Pi^i ^^ + ВA
+ J WQ dV + -^- J ku99, ^j dA. (11)
Заметим, что в правой части этого уравнения находятся величины, вызывающие движение, а именно массовые силы Хг, поверхностные нагрузки рг, тепловые источники Q и значения температуры на поверхности. Отмстим, что подинтегральное
выражение к^^д в интеграле для хт является положительно определенной квадратичной формой
Выведенная энергетическая теорема послужит нам для проведения доказательства теоремы единственности решения основных уравнений термоупругости
сИк1иы1"¥ ^t‘= 9ui"V Ур(12)
(13)
Возьмем следующие краевые условия:
р-Лх, П = ои^х> pip х С А, />0,
9(х, П = кр, П, х С А, />0,(14)
и начальные условия
и^х, 0) = /,(х), й^х, 0) = £,:(х), 9 (х, 0) = А(х), х € В. (15)
Предположим, что имеются два решения и', О', и", 9" системы (12), (13), удовлетворяющие краевым условиям (14) и начальным условиям (15). Обозначая через щ, 0 разности этих решений, мы видим, что они удовлетворяют системе
CijkiU'b lj P^i ■ Pt А ; =
М,ц-4-Т^и = ^(16)
краевым условиям на поверхности
А(х> П = аип] = 0> | х £ A, t > 0(17)
9(х, /) = 0, J
и начальным однородным условиям
И.(х, 0) = 0, яДх, 0) = 0, 9(х, 0) = 0, х € В. (18)
Поскольку внутри .тела Л\=0, Q^O, а на поверхности р<=0, 0=0, энергетическое уравнение (И) запишется в виде
A,^pwpP^ = -xT(19)
ИЛИ
4 / [(Vo.) си4?« + (р/2) ^ + (C.JST^ ^] dV = В
= ~<Ж4м4^<й.(20)
В
Введем обозначения
- szдля 1 = ь
гЦ = ‘
(Чг)^—у—z Для Жь
^ik
ДЛЯ
j = 1, k — l.
CH9-k — l
для
j = i, k^=l.
Cijkl
С9- i-b к
для
j =^= i, к = I,
/4-1-b 9- k-l
ДЛЯ
j i> к =^= I,
и представим первое подинтегральное выражение из уравнения (20) W= (l/2)c^8ij8^ В ВИДО
^ = (1/2)^^1= h 2, ... , 6.(21)
Работа деформации на единицу объема является положительно определенной квадратичной формой, а определители
(22)(22)^и • • • с\к
(22)
(22)
Ск\ • • • Ckk
положительны.Используя метод Якоби, форму (21) к сумме квадратовW = (V2) (^Л- ll^k) ^Ь’положительны.Используя метод Якоби, форму (21) к сумме квадратовW = (V2) (^Л- ll^k) ^Ь’можно привести квадратичнуюможно привести квадратичную^=1, 2,..., 6, До=1,^=1, 2,..., 6, До=1,(23)(23)
положительны.
Используя метод Якоби, форму (21) к сумме квадратов
W = (V2) (^Л- ll^k) ^Ь’
положительны.
Используя метод Якоби, форму (21) к сумме квадратов
W = (V2) (^Л- ll^k) ^Ь’
можно привести квадратичную
можно привести квадратичную
^=1, 2,..., 6, До=1,
^=1, 2,..., 6, До=1,
(23)
(23)
причем матрица-столбец Ф=причем матрица-столбец Ф=. - выражается через матрицу-. - выражается через матрицу-
причем матрица-столбец Ф=
причем матрица-столбец Ф=
. - выражается через матрицу-
. - выражается через матрицу-
^6
столбец & = -( . • следующим образом:
ф —Г §, где Г — треугольная матрица
(24)(24)7и Т12 Т1з • • • TieО 722 723 • * • 726О о 733 . . . у36
(24)
(24)
_О О Q • • • 766
Используя эти обозначения, запишем соотношение (20) в виде
4f I [(V2) ^к-W + Ш ^ + W Ч dV < 0. (25) в
Это неравенство показывает, что интеграл не возрастает при />0. Так как начальные условия однородны, этот интеграл в начальный момент равен нулю. Поскольку подинтегральное выражение является суммой квадратов с положительными коэффициентами (р>0, се>0, То>О), интеграл (25) не может быть отрицательным. Поэтому он должен быть равен нулю для всех /^0, т. е. в (25) имеет место в действительности знак равенства. Отсюда следуют равенства
<?к = 0, 9 = 0, 0 для Q0 в области В. (26)
Поскольку матрица Г является треугольной, то из ф^=0 следует 8г = 0. Нулевым значениям функций 8г и 0 соответствуют нулевые значения напряжений, т. е. o^ = 0, 8^ = 0. В результате имеем
~ij~ip aijaij > 66~ij~ip aijaij > 66(27)(27)
~ij~ip aijaij > 66
~ij~ip aijaij > 66
(27)
(27)
для /^0 в области В.
Итак, мы убедились, что решение термоупругой задачи дает единственные значения деформации, напряжения и температуры. Для перемещений имеем
(28)(28)wz = u't + линейный член.
(28)
(28)
Линейный член соответствует жесткому повороту и перемещению.
Представленное доказательство единственности можно обобщить на случай других краевых условий, когда на части поверхности Ла заданы нагрузки рг, а на части Аи заданы перемещения Ut. В этом случае получим и'.=и". Можно также учесть различные тепловые условия на частях Аа и Аи. С детальным обсуждением этого случая, а также случая, когда на некоторой поверхности Ат внутри тела разрывны напряжения, читатель может ознакомиться по цитированной статье Ионеску-Казимир.
Вариационная теорема термоупругости
для анизотропных тел
Вариационную теорему термоупругости для анизотропных тел можно получить таким же образом, как и для тел изотропных.
Рассмотрим вариацию выражения
(1) в
т. е.
W^c^jdV.(2)
В
Поскольку
Cljkl~kl $ij^>($)
имеем
5 W = J а^ги dV + JdV.(4)
Вв
Преобразуя первый интеграл в уравнении (4), получаем
J си^и dV = ^ [(^уМ), j - oib /«J dV =
Вв
= f p^Ut dA + [ (^ — p«z) a«; dV.(5)
AВ
Подставляя (5) в (4), получаем первую часть теоремы
W= ^(Х; — ptt^tiidV-V ^ pMdA-V ^ij^ijdV. (6) ВАВ
В это уравнение входят только вариации перемещений и деформаций. К уравнению (6) следует добавить одно уравнение, содержащее тепловой поток; в этом уравнении появятся вариации температуры. Связующим звеном для обоих уравнений будет последний член уравнения (6).
Переходя ко второй части теоремы, введем вектор Н, связанный с вектором теплового потока q соотношением
q = 70H.(7)
Поскольку
qi = T0H— fe^ti, j,(8)
имеем
9,1=-Т^Н).(9)
15 Заказ № 362
Здесь ^ — обратная матрица для кц, т. е. ki^ [^ij]-1. Умножая (9) на 6Hi и интегрируя результат по объему тела, получаем
^^т^н^н^у-о.(10)
в
Поскольку
J 9, ^Н L dV = J [(98ЯД i - №НЬ J dV =
Вв
= J ^n^H^HtdA - J №Ht,dV, AВ
уравнение (10) принимает вид
f 98//„ dA - \^НЬ idV+\ T^uH^Ht dV = 0,
ABB(11)
Используя теперь уравнение для скорости роста энтропии
Т^=- - divq = c$9 + piy70sz/,(12)
находим
ТqHis j — се6 -j- ^jTo^ij.
Интегрируя это выражение по времени, получаем для 6Ягд формулу
(13)
Подставляя последнее соотношение в (11), получаем
J 9 8Я„ dA + IcJTg) J 8 89 dV +
AВ
+ ^^dV + T^jHj^MV-O. (14) Вв
Наконец, исключая из (6) и (14) интеграл J PijOSEijdV и вводя в
обозначения
Р = (cJ2T0)$ 92 dV, ^О = Т0^ ХиН, Wi dV,Вв
находим следующее вариационное соотношение:
8U7 + 8P + 8Z) = 8Z - ^^HndA, л(15)
82,= ^ (Xt — ptt^ ^U; dV + f Pi ^Ut dA.
ВA
Мы получили обобщенный принцип виртуальных перемещений, включающий вариации перемещений и температуры, для термоупругого анизотропного тела.
Для действительных приращений перемещений at и вектора
Н уравнение (15) переходит в выведенное ранее энергетическое уравнение. Поскольку в этом случае
o^z = ut dt, М^ = Н^1=- (М?^ 9, j dt,
&D = Ddt = T0^ \jHjHidV dt = (l/^) J k^, £, t dV dt,(16)
вв
перепишем (15) следующим образом:
ВA
Wrr^ M^jdA, (17)
A
Xi = №) Ji9- =dV’ К = (p/2) J ^idV.
Вв
Рассмотрим еще частные случаи этого вариационного уравнения. Мы показали раньше, что
9=-№)рйггы(18)
для адиабатического процесса (5 = 0). Температура здесь определена и тем самым уравнение (14) не понадобится. Подставляя (18) в (6), получаем
W* = ^Xl-pii^uldVJr\p^uidA,(19)
ВА
где
w* = (1 /2) Цик,)№[, 1син\ = (си^т + (Т01се) ^ (Мт.
Пренебрегая сопряжением деформаций и температуры, т. е. чле
ном pijToBij в уравнении энергии (12), получаем соответствующие теоремы теории температурных напряжений:
8 W = J (X, - ри,) Зи, dV 4- J Pi ^iti dA-Ц М Ъ^ dV,(20)
ВАВ
lP^D-^\nHndA = ^.(21)
А
Уравнение (21) выражает вариационную теорему классической теории теплопроводности. Температура в уравнении (20) рассматривается как известная функция, полученная из решения классического уравнения теплопроводности.
Теорема взаимности для анизотропных тел 1
Рассмотрим две системы величин. В первую входят массовые силы Xt, поверхностные нагрузки р^ тепловые источники Q и поверхностный нагрев Л, которые вызывают возникновение в анизотропном теле перемещений at и температуры 6. Вторую систему соответствующих величин будем отмечать штрихами.
Применяя к соотношениям Дюамеля—Неймана интегральное преобразование Лапласа, получаем
^= сЦк1гк1> ^"VW =СЦк1гЬЬ(1)
Умножая первое уравнение на е' , а второе на г^ находим соотношение
(^ + О)^=(^ + М'К-(2)
Интегрируя это тождество по области В и используя соотношение
°</и = °и (еЬ- + юи) = oijHi, /• получаем
f (®zS- i ~ ^A, /)dv + J ^i №j -dV = °-(3)
вв
Поскольку
j=(.alSi\j-aij,Si и т. д.,
J SSY jdV = J OijtiSi dA = ^ p^dA и. т. д.,
ВAA
отсюда, учитывая уравнения движения
Ау + ^z = PM. =и. 1 + Х\ = pp2Ui, приведем уравнение (3) к виду
J QcS — X'ni^ dV + j (a«z — Piu^ dA +
ВA
+(4)
в
I о n e s c u - C a z i m i г V.; см. примечание на стр. 55
Мы предполагали здесь, что начальные условия однородны. Полученное уравнение является первой частью теоремы взаимности. Вторую часть мы получим, рассмотрев уравнение теплопроводности. Используя преобразование Лапласа, запишем
и = т^ага + с.Р^ ~(5)
М\а=Тйр^'ц + сгр9' -~W'.
Здесь также использовались однородные начальные условия.
Умножим первое уравнение на 9', второе на 9, вычтем результаты и проинтегрируем по объему. Тогда получим
J кИ (9,^ -9,'^) dV =
В
= Тор ^j fay - ё^) dV - J (W —"WT9^ dV = 0.(6)
Вв
Учитывая соотношение
f kty '9' dV = f кИ [(6, У), j - 9, Д у] dV = вв
= J k^^'njdA — J k^^^dV, и т. д„ (7) АВ
приведем уравнение (6) к виду
рТ0 J ^ fay - ^ dV - J (W - Г'9) dV -
Вв
- J (к'кХ t - hkty^itj dA = 0.(8)
А
Здесь были использованы краевые условия для температуры
6(х, Г) = Цх, t\ 6f(x, ^) = Ar(xf t\ x C A, />0.(9)
Уравнение (8) выражает вторую часть теоремы взаимности. Исключая из уравнений (4) и (8) интеграл JpijtejiQ7 — е'Л)й7, в получаем уравнение, содержащее все штрихованные и нештрихованные величины,
рТ0 j (Pitti — piu^dA + рТ0 [ ^Хд\ —X'iU^dV =
АВ
= j (W - W'9)dV4- J ki/k'g.i-X^dA. (10) ВA
Применяя к этому уравнению обратное преобразование Лапласа, находим
Т Г г 1 / \ f / J. \(Х’ Т) ' //\ ди-; (х, т)
^oj^(x)j Pikx.t-^^рЛх, t-т) t^-t
А0 L°“
+ то J4ZIZ(X)J в о+ то J4ZIZ(X)J в о№№, ч <^ (X, ~)Z~05Г~, ч <^ (X, ~)Z~05Г~— ХАх> t-^)^Jl— ХАх> t-^)^Jld^ = J dV (x) J в оd^ = J dV (x) J в оW^x, Z-t)0'(x, t) -W^x, Z-t)0'(x, t) -
+ то J4ZIZ(X)J в о
+ то J4ZIZ(X)J в о
№
№
, ч <^ (X, ~)
Z~05Г~
, ч <^ (X, ~)
Z~05Г~
— ХАх> t-^)^Jl
— ХАх> t-^)^Jl
d^ = J dV (x) J в о
d^ = J dV (x) J в о
W^x, Z-t)0'(x, t) -
W^x, Z-t)0'(x, t) -
-UZ^x, Z-t)9(x, t) 6/t + Jm(x)J h’(x, t-
A0
— A(x, t — t)6iZ(x, t) d^.(11)
Заметим, что полученное уравнение справедливо как для динамических, так и для квазистатических задач, хотя значения функций at, и'. и 0, 0' в этих случаях будут различными.
Рассмотрим частные случаи этой теоремы. Предположим, что тепловой источник отсутствует, а при деформации обмена тепла между частицами тела нс происходит. Для такого адиабатического процесса имеем
0 = -№Ю^р ^ЧМ4,(12)
а уравнения (1) принимают вид
°и = (сцм^м - °<v = (син)$гы ’кСlifers = (Cljfel)T + (Р/у)г (hd/Col^e •
Отправной точкой при выводе теоремы взаимности является тождество
^Ги-»1Г^=о,(13)
в
приводящее к уравнению
J ^Pitti — ptUi} dA -j- J ^XLut — Xiii^ dV = 0.(14)
AВ
Отсюда имеем
^Д(х)| [д(х, t-^u'Ax, ^-р'Ах, i-t)^, ^)]^ +
А0
+ j dV(х) ( [Xz (х, t — и\ (х, т) — X- (х, / — т) ^ (х, т)] d^ =0.
в о
Поскольку в адиабатическом процессе при отсутствии тепловых источников уравнения (5) приводят к соотношению (12), уравнение (6) отпадает и уравнение (14) является конечной формой теоремы взаимности.
Рассматривая нестационарную задачу термоупругости в рамках теории температурных напряжений, т. е. пренебрегая сопряжением, следует отбросить в (5) члены, содержащие деформацию. Тогда мы получим уравнения
J ^Ut — p-u^dA-V J (Х^ — X\u^dV +
AВ
^^u^-^dV = 0,(15)
В
J (W -^'9)^+ [ кцк"^- X ^п,dA=0.(16)
ВA
Уравнение (16) выражает теорему взаимности для классического уравнения теплопроводности и не зависит от (15). Уравнение (15) следует рассматривать как теорему Бетти, обобщенную на задачи теории температурных напряжений, причем функции 0 и 0х здесь известны и являются решениями классического уравнения теплопроводности.
Применяя к уравнениям (15) и (16) обратное преобразование Лапласа, получаем
t
J dA (х) [ \pt (х, t — ^u^x, tf-p^x, t — ^u^x, 4]^ +
A 6
t
^ dV (x) J [Xz (x, х)и;(х, t — t) — X't(x, t — ^u^x, 4]^ +
B0
t
+ J dV (x) J PM [s^ (x, / — T) 9 (X, t) — еи (X, t — t) 9' (x, T)] d^ = 0, в 0
J dV (х) J [Г (х, / - т) 0' (х, т) - W (х, t - т) 9 (х, т)] dx + Во
+ [ ktj dA (х) j ^h' (х, t — т) 9, z (х, т) — h (х, I — т) 9' z(x, т)] dx = 0. АО
(18)
Для статической задачи со стационарным температурным полем теорема взаимности весьма проста:
J (Pi^i — Pd^ dA 4 J ^X^ — Х\и^ dV +
AB
(19)
В
J(W - W'^dV4-^ feijU'^i-h9'i')njdA = 0.(20)
ВA
Для анизотропной среды можно, так же как и для изотропной, получить далее формулы Сомилиано и формулы Майзеля.
Рассмотрим наконец частный случай уравнения (19), когда
Xz = X=0, pt = 0, p^ln^
Возьмем односвязное однородное тело, которое свободно от воздействия массовых сил и поверхностных нагрузок, и деформация которого вызвана действием поверхностного нагрева и тепловых источников. В качестве штрихованной системы возьмем изотермическое состояние всестороннего растяжения. Уравнение (19) значительно упрощается
J п^^А^ J ^^ijBdV = ^ ^i^t^dV.(21)
авв
Значение первого интеграла равно приращению объема тела
Д1/ = d^^ijdV.в
Поскольку для всестороннего растяжения р^ = l^z, в теле возникает однородное напряженное состояние о' =1б?>
Следовательно,
W^a^dV.(22)
В
Итак, приращение объема равно интегралу от поля температуры по области В, умноженному на первый инвариант тензора теплового линейного расширения а^. Для изотропного тела
БИБЛИОГРАФИЯ
Bernstein F., Doetsch G., Fine nene Methode zur Integration partieller Differentialgleichungen. Der lineare Warmeleiter mit verschwindender Anfangstemperatur, Math. Zeitschr., 22 (1925).
Biot M. A., [1] Thermoelasticity and irreversible thermodynamics, J. Appl. Phys., 27 (1956). Имеется русский перевод: сб. Механика, № 3 (43), 1957.
— [2] Variational principles in irreversible thermodynamics with applications to viscoelasticity, Phys. Reo., 97 (1955).
— [3] Linear thermodynamics and the mechanics of solids, Proc. Third U. S. Nat. Congr. Appl. Meeh,. ASME, New York, 1958.
— [4] New methods in heat flow analysis with applications to flight structure, J. Aero. Sciences, 24, № 12 (1957).
— [5] Futher developments of new methods in heat-flow analysis, J. Aero/ Space Sciences, 26, № 6 (1957).
— [6] New thermoelastical reciprocity relations with application to thermal stresses, J. AerofSpace Sciences, 26, № 7 (1957).
Боли Б., Уэйнер Дж., Теория температурных напряжений, ИЛ, М., 1964.
Boley В. А., То li ns J. S., Transient coupled thermoelastic boundary value problems in the halfspace, J. Appl. Meeh., 29 (1962).
Chad wick P., [1] Thermal damping of a vibrating elastic body, Mathematical 9 (1926).
— [2] Thermoelasticity. The dynamical theory. Раздел в монографии: Progress of solid mechanics, Amsterdam, 1960.
Chadwick P., Sneddon I. N., Plane waves in an elastic solid conducting heat, J. Meeh. Phys, of Solids, 6 (1958).
Chadwick P., Windle D. W., Propagation of Rayleigh waves along isothermal insulated boundaries, Proc. Roy. Soc., 280, № 1380, Ser. A (1964).
Deresiewicz H., [1] Plane wave in a thermoelastic solid, J. Acount. Soc. Amer., 29 (1957).
— [2] Solution of the equation of thermoelasticity, Proc. Third. U. S. Nat. Congr. Appl. Meeh., 1958.
Doetsch G., [1] Der lineare Warmeleiter mit verschwindender Anfangstemperatur. Die allgemeinste Losung und die Frage der Eindeutigkeit, Math. Zeitschr., 22 (1925).
— [2] Probleme aus der Warmeleitung, Math. Zeitschr., 23 (1926).
Duhamel J. M. C., Second memoire sur les phenomenes thermomecaniques, J. de VEcole Polytechn., 15 (1837), 1—15."
Eason G., Sneddon I. N., The dynamic stresses produced in elastic bodies, by uneven heating, Proc. Roy. Soc. Edinburgh, ser. A, 65 (1959).
Grioli G., Mathematical theory of elastic equilibrium, J. Springer Verlag, Berlin, 1962.
Гроот де С., Термодинамика необратимых процессов, Физматгиз, М., 1968.
Н etna г ski R. В., [1] Coupled one-dimensional thermal shock problem for small times, Arch. Meeh. Stos., 13 (1961).
— [2] Solution of the coupled thermoelastic problem in the form of series of functions, Arch. Meeh. Stos., 16, № 4 (1964).
— [3] The fundamental solution of the coupled thermoelastic problem for small times, Arch, Meeh,. Stos., 16, № 1 (1964).
— [4] Coupled thermoelastic problem for the half-space, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Techn., 12, № 1 (1964).
Hermann G., [1] On a complementary energy principle in linear thermoelasticity, J. Aero[Space Sciences, 25 (1958).
— [2] On variational principles in thermoelacticity and heat conduction, Quart. Appl. Meeh., 21, № 2 (1963).
Ignaczak J., [1] Direct determination of stress from the stress equations of motion in elasticity, Arch. Meeh. Stos., 11, № 5 (1959).
— [2] Note on the propagation of thermal stresses in a long metallic rod, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Techn., 7, № 5 (1959).
Ignaczak J., N о w а с к i W., [1] The plane dynamic problem of thermoelasticity, Probl. Vibr., 2, № 4 (1961).
— [2] The Sommerfeld conditions for coupled problems of thermoelasticity. Examples of coupled stresses and temperature concentration at cylindrical and spherical cavities, Arch. Meeh. Stos., 14, № 1 (1962).
Ionescu-Cazimir V., [1] Asupra ecuatiilor echilibrului termoelastic, II. Relatiile intre tensiuni si temperatur, Com. Acad. R. P. R., 1, № 2 (1951). — [2] Asupra ecuat iilor echilibrului termoelastic, III. Relatiile intre tensiuni, Com. Acad. R. P. R., 1, № 5 (1951).
— [3] Asupra equat iilor echilibrului termoelastic, V. О teorema de unicitate pentru problema echilibrului termoelastic, Com. Acad. R. P. R., 9, № 11 (1959).
— [4] Problem of linear coupled thermoelasticity. Theorems on reciprocity for the dynamic problem of coupled thermoelasticity (I), Bull. Acad. Polon. Sci., Serie dci. Techn., 12, № 9 (1964).
— [5] Problem of linear coupled thermoelasticity. Some applications of the theorems of reciprocity for the dynamic problem of coupled thermoelasticity (II), Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Techn., 12, № 9 (1964).
— [6] Problem of linear thermoelasticity. Uniqueness theorems (I), (II), Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Techn., 12, № 12 (1964).
Jeffreys H., The thermodynamics of an elastic solid, Proc. Camb. Phil. Soc., 26 (1930).
Kali ski S., Pewne problemy brzegowe dynamieznej teorii sprgzystosci i cial niespr^zystych, Warszawa, 1957.
Kaliski S., Nowacki W., Twierdzenie о wzajemnosci w magneto-termo- sprezystosci (1), Biul. WAT, 13, № 11 (1964).
Krzenziessa R., Thermoelastische Randwertaufgaben, Math. Zeitschr., 25 (1926).
Lessen M., [1] Thermoelasticity and thermal shock, J. Meeh. Phys. Solids, 5 (1956).
— [2] The motion of a thermoelastic solid, Quart. Appl. Math., 15 (1957).
— [3] Thermoelastic damping at the boundary between dissimilar solids, J. Appl. Phys., 28 (1957).
Lockett F. J.. [1] Effect of thermal properties of a solid on the velocity of Rayleigh waves, J. Meeh. Phys. Solids., 7 (1958).
— [2] Propagation of thermal stresses in a semi-infinite medium, AFOSR TN 59-448 (Duke Univ. ASTIA AD 215 923), Apr. 1959.
— [3] Longitudinal elastic waves in cylinders and tubes including thermoelastic effects, Proc. Edinbourgh Math. Soc., 11, part 3 (1959).
Lockett F. J., Sneddon I. N., Propagation of thermal stresses in an infinite medium, Proc. Edinbourght Math. Soc., 11, part 4 (1959).
N a r i b о 1 i G. A., Spherically symmetric thermal shock in a medium with thermal and clastic deformation coupled, Quart. J. Meeh. Appl. Math., 14, № 1 (1961). т
N a r i b о 1 i G. A., N у a у a d h i s h V. B., One dimensional thermoelastic wave, Quart, J. Meeh, Appl. Math., 16, № 4 (1963).
Ney J. F., Wlasnosci fizyezne krysztalow, Warszawa, 1962.
N о wa cki W., [1] Thermoelasticity, Pergamon Press, Oxford, 1962.
— [2] Some dynamic problems in thermoelasticity, Arch. Meeh. Stos., 11, № 1 (1959).
— [3] On the treatement of the two-dimensional coupled thermoelastic problems in therms of stresses, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Techn., 9, № 3 (1961).
— [4] Sur certain problemes dynamiques de la thermoelasticite, Acad. Polon. Sci., Centre Scient, a Paris, Fasc. 37, Paris 1962.
— [5] Nouveaux courants dans les recherches portant sur la thermoelasticite, Accad. Pollaca di Science e Lettere, Biblioteca di Roma, Fasc. 21, 1963.
— [6] Green functions for an thermoelastic medium (I), Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Techn., 12, № 6 (1964).
— [7] Green functions for the thermoelastic medium (II), Bull. Acad. Polon. Sci., Serie, Sci. Techn., 12, № 9 (1964).
— [8] Green functions for the thermoelastic medium (III), Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Techn., 13, № 4 (1964).
— [9] Mixed boundary value problems of thermoelasticy, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Techn., 12, № 11 (1964).
N о w а с к i W., Sokolowski M., Propagation of thermoelastic waves in plates, Arch. Meeh. Stos., 11, № 6 (1959).
Pa ri a G., Coupling of elastic and thermal deformations, Appl. Sci. Res., (A), 7 (1958).
Parkus H., [1] Uber eine Erweiterung des Hamiltonschen Prinziples auf thermo-elastische Vorgange, Federhofer-Girkmann Festschrift, Wien, 1950. — [2] Instationare Warmespannungen, Wien, 1959.
— [3] Methods of solution of thermoelastic boundary value problems, Proc. Third Symp. on Naval Struct. Mechanics, Pergamon Press, New York, 1963.
Подстригач Я. С., Прикладная механика, Киев, 6, № 2 (1960).
Rosenblatt A., Uber das allgemeine thermoelastische Problem, Rend. Circ. Mat. di Palermo, 29 (1910).
Rudiger D., Bemerkung zur Integration der thermo-elastischen Grundglei- chungen, Osterr. Ing. Archiu., 18, № 1—2 (1964).
Sneddon I. N., The propagation of thermal stresses in thin metallic rods, Proc. Roy. Soc. Edin., Sec. A, 65, № 9 (1959).
Снеддон И., Берри Д., Классическая теория упругости, Физматгиз, М., 1968.
Soos Е., Galerkin’s representation, Beltrami-Michell’s conditions and Green’s functions (for short time) in the linear theory of coupled thermoelasticity, Arch. Meeh. Stos., 17 (1965).
Weiner J. FL, A uniqueness theorem for the coupled thermoelastic problem, Quart. Appl. Math., 15 (1957).
Z о r s к i FL, [1] Singular solutions for thermoelastic media, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Techn., 6, № 6 (1958).
— [2] On a certain property of thermoelastic media, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Techn., 6, № 6 (1958).
Приложение
О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХВ ТЕОРИИ СОПРЯЖЕННОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ
В. Л. Шачнев
В настоящем приложении отражены новые результаты, полученные в теории сопряженной термоупругости после выхода в свет польского издания книги. Эти результаты относятся к следующим направлениям.
Получение фундаментальных решений некоторых задач термоупругости и различных представлений решений задач с помощью функций Грина; различные случаи представления общих решений с помощью функций напряжений.
Исследование вопросов существования и единственности решений общих и специальных задач термоупругости.
Формулировка общих и частных форм вариационных принципов термоупругости.
Изучение специальных задач термоупругости с учетом влияния взаимодействия полей деформации и температуры на характер динамического поведения нагруженных тел.
Обобщение некоторых положений термоупругости, а также построение теорий, в которых теория термоупругости является элементом более общего случая сопряжения физических полей.
Обобщение основных результатов термоупругости для различных сред со сложной внутренней структурой.
Рассмотрим некоторые результаты, относящиеся к указанным направлениям.
1. Функция Грина и общие представления решений. Построению функций Грина для уравнений термоупругости посвящены работы (16b—с, 35а, 39Ь]. В случае квазистационарной задачи [35а] для неограниченной среды определены функции Грина и получены формулы для перемещений и температуры. В работе [16b] функции Грина строятся с помощью решений уравнений температурных напряжений, использованных в теореме взаимности в качестве штрихованной системы величин. При этом задавались или сосредоточенная сила или сосредоточенный тепловой источник, произвольно изменяющиеся во времени. В этой и последующей работе [16с], в частности, рассматрива-
лась плоская задача термоупругости, и в этом случае обратное преобразование Лапласа для решения было получено путем разложения изображения функции Грина по степеням параметра сопряжения е. В работе [39b] обратное преобразование для функции Грина в случае пространственной задачи определено при малых значениях времени и параметра 8. В работе [36b] обсуждается задача, в которой построение функции Грина путем разложения по параметру сопряжения приводит к значительным погрешностям.
В работе [35с] получена формула Кирхгофа для потенциала перемещений Ф, выраженного через значения потенциала и его нормальной производной на поверхности тела. Для Ф найдено разложение по малому параметру сопряжения 8 путем разложения по 8 функций Грина. Для гармонических колебаний в работе [35d] получены формула Грина для температуры 6 и формула Гельмгольца для потенциала перемещений Ф. В случае плоских гармонических колебаний [44а] получена формула Вебера для Ф и 6, выраженных через значения Ф, Ф)П, 6, 6>п, на границе области. Оригинальным путем получены в работе [7] аналоги формулы Клапейрона для сопряженной термоупругости, из которых следует единственность классического решения задачи Коши для уравнений термоупругости.
В работах [39b, 40а] решения задач термоупругости строятся с помощью функций напряжений Галёркина. Функции напряжений в случае плоской задачи рассмотрены в работе [39а], где было показано, что для уравнений термоупругости, выраженных в напряжениях, напряжения оц, о22 и температура 0 могут быть определены через три функции напряжений Фг, £= 1, 2, 3, для которых получены раздельные уравнения. В случае общей задачи сопряженной термоупругости проблеме разделения уравнений посвящена работа [31], где для переменной Q, введенной по формуле 0 = Q— b'okh, bz = const, получено отдельное уравнение вида
VQ — a/i,i=3dQ!dC
Проблеме общности решения, представленного в виде разложения Стокса и с помощью функций напряжений Галёркина, посвящена работа [35Ь].
женной термоупругости, отличающей ее от классических систем уравнений математической физики, является то, что она состоит из системы уравнений гиперболического типа и параболического уравнения.
В работе [10] проблема существования решения системы уравнений термоупругости рассматривается для анизотропного неоднородного тела. Задача определяется заданием смешанных однородных граничных условий для перемещений, напряжений, температуры и теплового потока и начальных данных для перемещений, скорости перемещений и температуры. Условия, при которых рассматривается существование единственного решения, следующие: 1) существенные нижние границы для плотности и удельной теплоемкости больше нуля, 2) выполняется неравенство Клаузиуса—Дюгема о положительности произведения теплового потока на градиент температуры, 3) оператор теории упругости является положительно определенным для принятых граничных условий. Существование единственного обобщенного решения на конечном промежутке времени доказано в пространстве функций с конечной энергией, в котором перемещения суммируемы с квадратом и имеют суммируемые с квадратом первые производные, температура суммируема с квадратом и суммируем интеграл по времени от квадратов производных температуры по координатам. Вместе с тем показано, при каких условиях решение существует как классическое, т. е. имеет нужное количество непрерывных производных по координатам и времени.
Полученные результаты используются для исследования проблемы устойчивости решения уравнений термоупругости. Доказано, что при отсутствии тепловых источников и массовых сил и при указанных выше условиях решение при t-^oo обладает устойчивостью в следующем смысле: энтропия и градиент температуры стремятся к нулю, температура и перемещения или стремятся к нулю, или отвечают в пределе периодическим колебаниям. Последний случай определяется специальным видом граничных условий и может иметь место, например, для теплоизолированного тела.
В работе [46] доказана единственность решения задачи Коши в случае, когда и,^-, ^к^1Д—оо, оо), к, j=0, 1, 2; начальные данные f при этом удовлетворяют условиям fe С1, (1 + r2)fe eL(—оо, оо), г — полярный радиус.
Первая краевая задача для полупространства рассмотрена в работе [47], где была доказана единственность решения в классе функций, для которых модули производных по времени t растут по t не быстрее, чем экспонента, и для которых существуют двойные интегралы от вторых производных по соответствующим
определению интеграла координатам. При доказательстве применялось двукратное преобразование Фурье по двум координатам и преобразование Лапласа по времени.
Единственность решения задач термоупругости для тонких оболочек исследовалась в работе [58а] и в более ранней работе [54].
Методом сингулярных уравнений в работе [50] для гармонических колебаний среды исследуются следующие четыре основных граничных задачи термоупругости: на границе тела заданы 1) перемещения и температура, 2) напряжения и поток тепла, 3) перемещения и поток тепла, 4) напряжения и температура. С помощью построенных в работе фундаментальных решений получены сингулярные интегральные уравнения соответствующих задач, и для этих уравнений доказаны альтернативы Фредгольма. Для внутренних задач термоупругости определен спектр собственных частот оператора задачи и установлены теоремы единственности. Для внешних задач доказана их разрешимость, когда перемещения, температура и их первые производные имеют заданный порядок убывания на бесконечости.
Вариационные принципы. Большое значение для приближенных решений конкретных задач имеет вариационная трактовка проблемы сопряженной термоупругости. Определению вариационных принципов теории посвящены работы [4, 17а, 18, 34, 37]. В работе [4Ь] для квазистатической задачи сформулирован вариационный принцип, аналогичный принципу Вашизу в классической теории упругости, из которого для данного случая следуют все соотношения термоупругости и смешанные граничные условия. Вместе с тем сформулированы некоторые частные вариационные принципы, вытекающие из общего принципа. В работе [4а] общий вариационный принцип применяется к расчету оболочек. '
Аналог теоремы Кастильяно для квазистатической задачи получен в работе [18].
В самой общей постановке вариационная задача сопряженной термоупругости для неоднородного и анизотропного тела сформулирована в работе [17а]. Начальные условия заданы для перемещений, скоростей перемещений и температуры, граничные условия носят смешанный характер и заданы на различных частях поверхности тела для перемещений, напряжений, температуры и теплового потока. При помощи операции свертки со специальными функциями в уравнениях сопряженной термоупругости исключены производные по времени, и вариационные принципы сформулированы для произвольного момента времени. Сформулированы общий вариационный принцип, эквивалентный
проблеме сопряженной термоупругости, и несколько частных принципов, следующих из общего принципа.
Аналогичный подход к вариационной формулировке проблемы термоупругости для несколько другого представления системы уравнений был проведен в работах [34а, Ь]. Были получены вариационные принципы, аналогичные принципам Ху—Ва- шизу, Хеллингера—Рейсснера, минимум потенциальной энергии и другие. В работе [34b] показано приложение одного частного вариационного принципа к приближенным вычислениям решения задачи о нагреве полупространства.
В работах [37а—с] развивается метод Био введения обобщенных координат. Путем варьирования по этим координатам вариационное уравнение приводится к системе уравнений Эйлера—Лагранжа. Задача сформулирована для температуры, объемного расширения и роторной части вектора перемещений. Начальные условия заданы для температуры, перемещений и скоростей перемещений. Граничные условия могут быть заданы произвольным образом; путем введения дополнительных параметров они удовлетворяются приближенно.
В качестве приближенного метода решения задач термоупругости, являющегося по существу вариационным, в работе [41] предлагается метод подобластей, в котором решение рассматривается как функция, ортогональная в некотором смысле системе функций, определенных в различных подобластях области определения решения.
Частные задачи. Наряду с результатами общего характера ряд работ относится к исследованию конкретных проблем сопряженной термоупругости. В основном они посвящены исследованию особенностей взаимодействия полей деформации и температуры. В рассматриваемых уравнениях термоупругости коэффициент сопряжения является малой величиной, и это обстоятельство, как правило, используется при построении приближенных решений путем разложения решения по малому параметру. Так как начальное приближение, соответствующее значению 8 = 0, является решением задачи о температурных напряжениях, при быстрой сходимости приближенного решения влияние взаимодействия полей должно быть незначительным. Однако наличие такого взаимодействия может влиять на характер решения, что, в частности, хорошо проявляется в задачах о распространении разрывных волн в термоупругих телах.
Метод решения задач термоупругости, основанный на представлении решения в виде рядов по степеням малого параметра рассмотрен, например, в работе [6]. Случай, когда параметр сопряжения равен единице и метод разложения по параметру 16 Заказ № 362
не применим, рассмотрен в [11], где приведенные решения конкретной задачи сравниваются с решениями в случае малого параметра.
В работе [42а] для решения задач термоупругости предлагается метод последовательных приближений, в котором начальным приближением является чисто упругое решение. С помощью упругого решения определяется температура тела, а затем полученное решение для температуры используется для определения поля деформаций и т. д. Таким образом, процесс основан на определении последовательного влияния поля температуры и поля деформаций.
Задача о распространении термоупругих волн в прямоугольном стержне, на боковых поверхностях которого напряжения и температура равны нулю, изучалась в работе [48]. Решение разлагалось по степеням толщины слоя (г) и, таким образом, была получена последовательность систем уравнений. Для основной системы уравнений определены три типа волн, фазовые скорости которых зависят от частоты колебаний. Задача о колебаниях в термоупругом слое, на поверхностях которого задается конвективный теплообмен со средой, рассматривалась в работах [49а—с]. Было показано, что колебания затухают и диспергируют, фазовые скорости зависят от упругости и теплофизических свойств слоя, а также от условий теплообмена на поверхностях слоя. Значения фазовых скоростей при продольных колебаниях ниже, чем при поперечных, и меньше зависят от условий теплообмена на поверхностях слоя. Показано также, что фазовые скорости термоупругих волн меньше, чем упругих, например, для малых значений частот.
В работе [55] рассматривается квазистатическая постановка задач термоупругости и на примере задачи о сплошном цилиндре исследуется влияние коэффициента Био на характер рассеяния энергии. Показано, например, что при Bi^O кривая зависимости рассеяния энергии от частоты колебаний имеет максимум, положение которого зависит от значения Bi.
Влияние сопряженности полей деформаций и температуры на характер распространения ударных волн в однородном изотропном теле исследовалось в работах [5, 8, 14, 16а, 28, 32, 39b, 52]. В работе [8] показано, что слабые разрывы и разрывы первого порядка (разрывны первые производные от перемещений) распространяются по характеристикам и могут быть представлены как волны расширения и вращения. При этом волны расширения диспергируют и затухают. В работе [39b] показано, что величина скачка, распространяющегося в пространстве, затухает, а порядок затухания определяется множителем ехр(—е/?/2). В работе [5] рассмотрены различные случаи обра-
зования разрывных волн и показано, что они имеют лишь две характеристики разрывов следующего типа: /Сехр(—гх]^ /(л-^ехр (—ех/2) lim (/ — %) ~1/2.
Асимптотические значения величин скачков при малых и больших значениях времени / приведены соответственно в работах [52] и [14], где рассматривалась задача о распространении волн в полупространстве, вызванных скачкообразным во времени изменением температуры на границе полупространства. Случай скачкообразного изменения во времени силового нагружения границы полупространства рассмотрен в работе [42b], где показано, что на фронте упругой волны температура непрерывна; порядок значения скачка температуры на фронте тепловой волны для больших t равен 8/(3/?.
Исследованию явления термоупругости в стержнях, пластинах и оболочках посвящены работы [2, 19, 23, 26, 27, 30, 51, 586, в]. В термоупругости (в отличие от классической теории упругости) поперечные и продольные колебания осесимметричной оболочки [586] связаны и сдвиг фаз этих колебаний равен (л/2) 4-6, где 0 — величина, пропорциональная параметру сопряжения. Отмечаются два типа колебаний. В случае первого типа преобладают радиальные перемещения, когда значения собственных частот со >0,7; если же со <0,7, то преобладают осевые перемещения. Отношение осевого перемещения к радиальному по абсолютной величине меньше, чем в теории упругости, и поэтому собственные частоты меньше чисто упругих собственных частот.
Было показано [586], что при наличии сопряжения полей деформаций и температуры резонанс, наблюдавшийся в упругой пластинке, отсутствует для значения собственной частоты, равной 0,198.
В работе [38] определяются вероятностные характеристики решения задачи о полупространстве, когда случайными являются тепловые нагрузки на границе полупространства или распределение неровностей на границе.
Обобщенные теории. Другим направлением развития термоупругости являются различные обобщения теории, изложенной в данной монографии В. Новацкого. Например, в работе [20а] путем введения в принцип Онзагера характеристики скорости изменения потока (тепловой инерции) получено более общее уравнение теплопроводности вида
где то —время релаксации. В работе [25] рассматривалась воз- 16*
можность определения то в экспериментах на удар для различных диапазонов температур. Характерным для такого обобщения термоупругости является то, что тепло распространяется в теле с конечной скоростью, за исключением частного случая то = О, когда уравнение теплопроводности приводится к обычному уравнению Фурье. С позиций общей теории в работе [57] рассмотрена задача о скачкообразном во времени нагружении полупространства и было показано, что существуют две волны: быстрая и медленная. При малых и средних (/е~1) значениях времени максимум напряжения достигается на фронте быстрой волны и затухает по экспоненциальному закону. При больших значениях времени (/е^>1) появляется второй максимум, скорость распространения и величина которого затухает со скоростью порядка /~1/2. Аналогичная задача рассматривалась в работе [1], в которой на границе полупространства задавалось скачкообразное во времени изменение напряжения. Было показано, что разрыв на обеих волнах затухает по экспоненциальному закону. В работе [12] рассматривалась задача о распространении волн в растяжимых нитях.
Некоторым обобщением сопряженной термоупругости, изложенной в монографии, является теория, в которой учитывается начальное распределение деформаций в ненапряженной среде. Основные результаты этой теории получены в работе [35т].
Обобщению различных теорий термомеханических сред посвящена работа [15]. Предложенная в работе аксиоматика среды, подверженной действию термодинамических и механических сил, позволяет получить известные подходы к описанию термоупругих сред и определить новые. Вместе с тем доказывается, что некоторые известные теории несостоятельны с позиций введенной аксиоматики.
В последнее время появились работы, в которых рассматривается сопряжение нескольких физических полей. В работах [9, 13, 20b—d, 21, 22, 24, 29, 33, 35е—f, 36, 45, 58а] рассмотрено совместное влияние температурного, магнитного и электрического полей и поля деформаций. В этом направлении получено много общих результатов: определены основные уравнения магнитотермоупругости, сформулированы энергетические принципы, получены вариационное уравнение и теорема взаимности, рассмотрены вопросы единственности решения уравнений, в некоторых задачах исследованы волновые процессы.
В недавно вышедшей работе [56] исследуется задача о взаимодействии полей деформаций, температуры и химического потенциала, вызывающего процесс диффузии вещества. Сформулирован общий вариационный принцип, из которого следуют уравнения задачи и граничные условия смешанного типа.
Сложные среды. Новое направление развития сопряженной термоупругости связано с рассмотрением сложных сред, таких, как среда Коссера и ее обобщения. Например, в работах В. Новацкого рассматривается среда, в которой кинематика точки характеризуется независимыми друг от друга вектором перемещения и и вектором вращения со (в случае среды Коссера (о= (V2) rot и). Этим характеристикам соответствуют два вида взаимодействия точки со средой, определяемых тензором силовых напряжений и тензором моментных напряжений. Вместе с тем среда находится в поле массовых сил и моментов. Сложная среда может быть представлена как предельная, если под точкой понимать сколь угодно малую частииу, обладающую внутренней структурой.
Основные результаты моментной теории термоупругости изложены в работах [3, 17b—с, 35g—1, 40b, 43а—b, 44b, 53Ь]. Выведены уравнения движения и сформулирован принцип сохранения энергии, из которого получены определяющие уравнения для среды с центральной симметрией при условии, что внутренняя энергия есть квадратичная функция от температуры и компонентов тензоров деформаций и кручения. С помощью определяющих уравнений уравнения движения записываются для температуры и векторов перемещения и вращения. Векторы перемещения и вращения представлены в форме Стокса; для потенциальных и соленоидальных функций выписаны соответствующие уравнения. Решения последних определяют в пространстве волны расширения, вращения и искажения. Здесь также волны расширения затухают и диспергируют, остальные волны не взаимодействуют с температурным полем. Методом ассоциированных матриц решения уравнений движения для перемещений, вращений и температуры представлены с помощью функций напряжений, для которых получены раздельные уравнения.
Вариационная теорема моментной термоупругости непосредственно выводится из принципа виртуальной работы. Из вариационной формулы получается энергетическая теорема, с помощью которой доказывается теорема единственности. Доказана теорема о взаимности работ, а с помощью функции Грина получены интегральные представления для температуры и векторов перемещения и вращения.
Ряд работ посвящен рассмотрению более общих сред. Так, в микрополярной теории [3] учитывается изменение плотности материала. В работах [43а, Ь] строится теория среды, в которой точка характеризуется произвольным числом степеней свободы и различными свойствами.
ЛИТЕРАТУРА К ПРИЛОЖЕНИЮ
Achenbach J. D., The influence of heat conduction on propagating stress jumps, I. Meeh, and Phys. Solids, 16 № 4 (1968), 273—282.
Anderson G. L, Mowbray D. F., Free vibrations of infinite plate based on the linear coupled theory of thermoelasticity, J Acoust. Soc. Amer., 45, № 3 (1969), 646—653.
A r i m a n T., С 1 a u s W. D., T a u c h e r t T. R., The linear theory of micropolar thermoelasticity, Intern. J. Engng. Sei., 6, № 1 (1968), 37—47.
Ben-Amoz M., a) A new variational theorem in coupled thermoelasticity and its apllications. Doct. diss. Univ. Pa, 1965, Dissert. Abstrs, 1965, 26, № 6, 3220.
b) On a variational theorem in coupled thermoelasticity, Trans. ASME, E32, № 4 (1965), 243—245. (Имеется русский перевод: Труды Американского общества инженеров-механиков, серия Е, т. 32, № 4, изд. «Мир», 1965.)
Boley В. A., Hetnarski R. В., Propagation of Discontinuities in Coupled Thermoelastic Problems, Trans. ASME, E35, № 3 (1968), 489—494. (Имеется русский перевод: Труды Американского общества инженеров- механиков, серия Е, т. 35, № 3, изд. «Мир», 1968.)
Bru 11 М. A., Soler A. I., On the solution to transient coupled thermoelastic problems by perturbation techniques, Trans. ASME, E32, № 2 (1965), 389—399. (Имеется русский перевод: Труды Американского общества инженеров-механиков, серия Е, т. 32, № 2, изд. «Мир», 1965.)
В г u n L, Sur Tunicite en thermoelasticite dynamique et diverses expressions analogues a formule de Clapeyron, C. r. Acad, sci., 261, № 14 (1965), 2584—2587.
C h a d w i k P., P о w d r i 1 1 B., Singular surfaces in linear thermoelasticity, I nt. J. Engng. Sci., 3, № 6 (1965), 561—595.
Chander S., Phase velocity and energy loss in magneto-thermoelastic plane waves., I nt. J. Engng. Sci., 6, № 7 (1968), 409—424.
Dafermos С. M., Existence and asimptotic stability of solutions of the equations of linear thermoelasticity, Arch. Ration. Meeh, and Analysis. 29, № 4 (1968), 241—271.
Dillon O. W., Thermoelasticity when the material coupling parameter equals unity, Trans. ASME, E32, № 2 (1965), 378—382. (Имеется русский перевод: Труды Американского общества инженеров-механиков, серия Е, т. 32, № 2, изд. «Мир», 1965.)
Di пса G., Influenta temperaturii asupra propagarii undelor in fire exten- sibile (problema cuplata), Studiisi cereetari mat. Acad. RSR, 19, № 5 (1967), 659—680.
Dragos L, Sur equations de la magneto-thermoelasticite, Z. angew. Math, und Phys., 17, № 2 (1966), 249—259.
Dunn H. S., Transient solution of a one-dimensional thermoelastic wave propagation problem, Quart. J. Meeh, and Appt. Math., XIX, № 2 (1966), 157—165.
Erin gen A. C., A unified theory of thermoelasticity materials, Int. J. Engng. Sci., 4, № 2 (1966), 179—202.
Galka A., a) Singular solutions of thermoelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci.. Ser sci. techn., 13, № 10 (1965), 887—893. b) Green’s functions for the coupled problem of thermoelasticity obtained from the solutions of the theory of thermal stresses. Bull. Acad. Pol. Sci.. Ser. sci. techn., 13, N« 7 (1965), 617—624. c) Green functions for plane thermoelasticity, Bull. Acad. Pol. Sci., Ser. sci. techn., 14, № 2 (1966).
Ies an D., a) Principes variationnelles dans la theorie de la thermoelasticite couple, An. Stiint. Univ. Iasi., Seca, 12, № 2 (1966), 439—456.
Sur la theorie, de la thermoelasticite micropolaire couplee, C r. Acad* set., 265, № 9 (1967), A271—A274.
On plane problem of the coupled micropolar thermoelasticity, Bull* Acad. Polon. Sci., Ser. sci. techn., 16, № 8 (1968), 653—664.
Ionescu V., О teorema variationala pentru problema thermoelasticita|ii cuplate, An. Univ. Bucuresti. Ser. ^tiinf, natur., Mat.—mecan., 15, № 2 (1966), 33—40.
Jones J. P., Thermoelastic vibrations of a beam, J. Acoust. Soc. Amer., 39, № 3 (1966), 542—548.
К a 1 i s к i S. a) Wave equations of thermoelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. techn., 13, № 5 (1965), 409—416.
Wave equations of thermo-elektromagnetoelasticity, Proc. Vibrat. Probl* Polish. Acad. Sci., 6, № 3 (1965), 231—265.
The reciprocity theorem for the wave equations of thermo-magnetoelasticity, Proc. Vibrat. Probl. Polish. Acad. Sci., 7, № 1 (1966), 85—91. d) Thermo-magneto-microelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. techn., 16, № 1 (1968).
Kali ski S., Nowacki W., a) Excitation of mechanical-electro magnetic waves induced bv a thermal shock, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. techn., 10, (1962), 25.
b, c) The reciprocity theorem of magneto-thermo-elasticity, I, II, Bulk Acad. Pol. Sci., Ser. sci. techn., 13, № 2 (1965), 93—99, № 7, 624—632. d) The theorem on reciprocity for real anisotropic conductors in thermomagneto-elasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. techn., 14, № 3 (1966), 229—234.
Kali ski S., Petykiewicz J., Dynamical equations of motion coupled with the field of temperatures and resolving functions for elastic and inelastic anisotropic bodies in the magnetic field., Proc. Vibrat. Probl., 1, № 3 (1960).
К о w a 1 e w s к i J., Berechnung warmebeanspruchter Tragwerke als Auf- gabe der irreverciblen Thermodinamik, Stahblan, 37, № 5, (1968), 129—138.
L e v о n i S., a) Su un theorema di unicita per le equazioni della magneto- termoelasticita, Atti. Semin, mat. e fis. Univ. Moderna, 14 (1965), 146—156.
Ancora su una questione di reciprocita in magneto-termo-elasticita, Atti. Semin, mat. e fis. Univ. Moderna, 16 (1967), 171—186.
Sull propagazione di onde piane in magneto-termo-elasticitita, Ann. mat. pura ed. appl., 78 (1968), 105—129.
Lord H. W., Shulman Y., A generalised dynamical theory of thermoelasticity, J. Meeh, and Phys. Solids, 15, № 5 (1967), 299—309.
Z о r s к i H.. Lyons W. C., Dynamics of thermoelastic plates, Arch. mech. Stosowanej, 17, № 3 (1965), 497—515.
Lyons W. C., Higher approximations in the theory of transverse vibrations of thermoelastic plates, Doct. diss., 1965, Dissert. Abstrs., 26, Xs 7 (1966), 3838—3839.
M a h a 1 a n a b i s R. K., On temperature changes due to application of impulsive pressure on the surface of a spherical cavity, Rev. roumaine sci. techn., Ser. mec. appl., 13, № 1 (1968), 121 —125.
McCarthy M. F., Wave propagation in nonlinear magnetothermoelasti- citv. Propagation of acceleration waves, Proc. Vibrat. Probl. Polish. Acad. Sci., 8, № 4 (1967), 337—349.
M c Q u i 11 e n E. J., Dynamic fully-coupled thermoelastic response of cylindrical shells, Doct. diss. Univ. Pa, 1968, Dissert, Abstrs, B29, № 7 (1969), 2474.
M о u n t f о r t M. V., A transformation in coupled thermoelasticity problems.. Trans. ASME, E33, M? 1 (1966). (Имеется русский перевод: Труды Аме-
риканского общества инженеров-механиков, серия Е, т. 33, № 1, изд. «Мир», 1966.)
Muller Н., Stork К., Zum Problem der Ausbreitung thermoelastischer Wellen, Ann. der Physik, 18, № 5—6 (1966), 214—218.
Murthy S. N., Effect of magneto-thermo-elastic interactions on the colling process in a semi-infinite solid, Proc. Nat. Acad. Sci. India, A36, Ab 2 (1966), 361—368.
Nickell R. E.. Sackman J. L., a) Variational pirnciples for linear coupled thermoelasticity, Quart. Appt. Math., 26, № 1 (1968), 11—26.
b) Approximate solutions in linear coupled thermoelasticity, Trans. ASME, E35, № 2 (1968), 255—266. (Имеется русский перевод: Труды Американского общества инженеров-механиков, серия Е, т. 35, АЬ 2, изд. «Мир», 1968.)
Nowacki W., a) Green's functions for a thermoelastic medium (quasistatic problem), Bull. Inst, politehn. Iasi, 12, Ab 3—4 (1966), 83—92.
On the completeness of stress functions in thermoelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. techn., 15, Ab 9 (1967), 785—793.
Thermoelastic wave-motions in an infinite body, Proc. Vibrat. Probl. Polish. Acad. Sci., 9, Ab 3 (1968), 207—220.
Quelques theoremes de la thermoelasticity, Reo. roumaine. sci. techn., Ser. mec. appl., 11, № 5 (1968).
Problem of linear coupled magnetothermoelasticity: I Energetic theorem and unigueness theorem of solutions, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. techn., 13, № 4 (1965), 377—382. II Variational formulation for magnetothermoelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci, Ser. sci. techn., 13, № 6 (1965), 509—514.
III Two-dimensional problem of magnetothermoelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. techn., 13, № 5 (1965), 461—468;
ibid, II, 11, № 1 (1963), 1—8;
ibid, I, 10 (1962), 485.
Couple-stresses in the theory of thermoelasticity, ibid, I, 14, № 2 (1966), 129—138; ibid, II, 14, Ab 3 (1966), 263—272; ibid, III, 14, № 8 (1966), 801—809.
Some theorems of asymmetric thermoelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. techn., 15, Ab 5 (1967).
Green functions for micropolar thermoelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. techn., 16, № 11—12 (1968), 919—928.
On the completeness of stress functions in asymmetric elasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. techn., 16, Ab 7 (1968), 549—555.
Napr§zenia momentowe w thermospr§zystosci, Rozpr. inz., 16, № 4 (1968), 441—471.
On the completeness of potentials in micropolar elasticity, Arch. Meeh. Stosow., 21, № 2 (1969).
Thermoelastic distorsion problems, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser., sci. techn., 14, № 3 (1966).
Purushothama С. M., a) Magneto-thermo-elastic plane waves, Proc. Cambridge Phylos. Soc., 61, Ab 4 (1965), 939—944.
b) Integral transform methods applied to a dynamic problem in thermoelasticity, Pure and Appl. Geophys., 69, Ab 1 (1968), 60—74.
R a f a 1 s k i P. a) Lagrangian formulation of dynamic thermoelastic problem, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. techn., 16, Ab 1 (1968), 25—30.
The lagrangian formulation of the dynamic thermoelastic problem for mixed boundary conditions, Proc. Vibrat. Probl. Polish. Acad. Sci., 9, № 1 (1968), 17—35.
A variational principle for the coupled thermoelastic problem, Internal. J. Engng. Sci., 6, Ab 8 (1968), 465—471.
S о b с z у к К., Thermoelastic field in semi space bounded by a rough surface, Proc. Vibrat. Probl. Polish. Acad. Sci., 9, № 2 (1968), 169—181.
Soos E., a) Functii de tensiune in problema cuplata a thermoelasticita|ii An. Univ. Ser. stiint. natur. Math-mecan, 14, № 1 (1965), 133—141.
b) The Green’s function (for short time) in the linear theory of the coupled thermoelasticity, Arch. mech. stosowanej, 18, № 1 (1966), 101—109. c) Reciprocity theorems for elastic and thermo-elastic material with micro-structure, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. techn., 6, № 11—12 (1968), 895—907.
S t e f a n i a к J., a) Naprgzenia, przemieszczenia i temperatura w organi- czonym osrodku sprgzystym przy uwzglednienin sprz^zenia termomecha- nicznego, Rozpr. inz., 16, № 1 (1958), 115—129.
b) A generalisation of Galerkin’s functions for asymmetric thermoelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. techn., 16, № 8 (1968).
Th run Z., The method of subregions in coupled thermoelasticity, Ingr- Arch., 37, № 6 (1969), 369—373.
W i 1 m s E. V., a) On coupling effects in transient thermoelastic problems, Trans. ASME, E31, № 4 (1964), 719—722. (Имеется русский перевод: Труды Американского общества инженеров-механиков, серия Е, т. 31, № 4, изд. «Мир», 1964.)
b) Temperature induced in a medium due to suddenly applied pressure inside a spherical cavity, Trans. ASME, E33, № 4 (1966), 941—943. (Имеется русский перевод: Труды Американского общества инженеров- механиков, серия Е., т. 33, № 4, 1966.)
Wozniak С., a) Hyperstresses in linear thermoelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. techn., 14, № 11—12 (1966), 1079—1084.
b) Thermoelasticity of bodies with micro-structure, Arch. mech. stosowanej^ 19, № 3 (1967), 335—365.
W у r w i n s k i J., a) A generalisation of Weber’s theorem for problems of the coupled thermoelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. techn., 14, № 7 (1966).
b) Green functions for thermoelastic Cosserat medium, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. techn., 14, № 2 (1966), 145—154.
Бурак Я. И., Дифференциальные уравнения термодинамических процессов в деформируемом теплоэлектропроводном твердом теле, Физ.-хим. механика материалов, 2, № 4 (1966).
Загорский Т. Я., Иваненко Г. С., О задаче Коши для системы уравнений теории термоупругости, BicuuK JIbeie, пол1т. институту, № 16 (1967), 32—36.
Иваненко Г. С., Первая краевая задача для системы уравнений термоупругости в полупространстве, Виник Льв1в. пол1т. институту, № 31 (1969) 23—28.
К и л ь ч и н с к а я Г. А., Петренко М. П., Распространение продольных термоупругих волн в стержне, сб. «Тепловые напряжения в элементах конструкций», АН УССР, вып. 5, 1965.
К и л ь ч и н с к а я Г. А. а) Исследование волновых процессов с обратным термоупругим эффектом в нагретых упругих телах, Прикл. механика, 2, № 10 (1966), 16—21." "
Распространение термоупругих волн в упругом слое при конвективном теплообмене на его поверхностях, сб. «Тепловые напряжения в элементах конструкций», АН УССР, вып. 6, 1966.
Распространение термоупругих волн в теплопроводящем слое постоянной толщины, Прикл. механика, 3, № 12 (1967), 78—83.
Купрадзе В. Д., Бурчуладзе Т. В., Граничные задачи термоупругости, Дифф, уравнения, 5, № 1 (1969).
Лобанов А. И., Сидляр М. М., Связанные задачи термоупругости для тонких пластинок, сб. «Тепловые напряжения в элементах конструкций», АН УССР, вып. 7, 1967, стр. 243—252.
Мышкина В. В., Совместная динамическая задача термоупругости для слоя в случае малых значений времени, Инженерный журнал. Механика твердого тела, № 2 (1968), 111—115.
Новацкий В., а) Плоская задача магнитотермоупругости, Прикл. механика, 1, № 6 (1965), 1—7.
Моментные напряжения в термоупругости, Прикл. механика, 3, № 1 (1967), 3—17.
Подстригач Я. С., Некоторые общие вопросы теории термоупругости и теплопроводности тонких оболочек, сб. «Теория пластин и оболочек», Изд-во АН УССР, 1962.
Подстригач Я. С., Швец Р. Н., Квазистатическая задача взаимосвязанной термоупругости, Прикл, механика, 5, № 1 (1969), 43—45.
Подстригач Я. С., Шевчук П. Р., Вариационная форма уравнений теории термодиффузионных процессов в деформируемом твердом теле, ПММ, 33, № 4 (1969), 774—776.
Попов Е. Б., Динамическая связанная задача термоупругости для полупространства с учетом конечности скорости распространения тепла, ПММ, 31, № 2 (1967), 328—334.
Швец Р. Н., а) О единственности решения динамической задачи термоупругих тонких оболочек, Прикл. механика, 1, № 4 (1965), 25—29.
Динамические напряжения в тонкой термоупругой пластинке, ослабленной круговым отверстием, сб. «Концентрация напряжений», вып. 1, Киев, 1965.
Осесимметричные колебания цилиндрической оболочки, Прикл. механика, 5, № 3 (1969), 23—30.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Андерсон (Anderson G. L.) 246
Ариман (Ariman Т.) 246
Аченбах (Achenbach J. D.) 246
Башелишвили М. О. 6
Бен-Амоз (Ben-Amoz М.) 246
Бернштейн (Bernstein F.) 234
Берри (Berry D. S.) 185
Био (Biot М. А.) 10, 37, 50, 214, 234
Боли (Boley В. А.) 86, 203, 213, 234, 246
Бриллюэн (Brillouin L.) 102
Броер (Breuer S.) 203
Брул (Brull М. А.) 246
Брун (Brun L.) 246
Бурак Я. И. 249
Бурчуладзе Т. В. 6, 249
Буссинеск (Boussinesq J.) 37
Вожняк (Wozniak С.) 249
Вырвиньский (Wyrwinski J.) 249
Галка (Galka А.) 246
Гегелия Т. Г. 6
Герман (Herrmann G.) 235
Гриоли (Grioli G.) 234
Гроот де (Groot S. R. de) 11, 19, 234
Гудьер (Goodier J. N.) 40
Дан (Dunn M. S.) 246
Даниловская В. И. 6, 203
Дересевич (Deresiewicz Н.) 234
Джеффрис (Jeffreys Н.) 10, 235
Джонс (Jones J. Р.) 247
Диллон (Dillon О. W.) 246
Динка (Dinca G.) 246
Дойч (Doetsch G.) 234
Драгое (Dragos L.) 246
Дюамель (Duhamel J. М. С.) 9, 234
Егер (Jager J.) 222
Ердетский (Jardetzky W. S.) 150
Загорский Т. Я. 249
Зобшик (Sobczyk К.) 249
Зорский (Zorski Н.) 28, 236, 247
Иваненко Г. С. 249
Игначак (Ignaczak J.) 8, 29, 134, 175, 210, 235
Иесан (lesan D.) 246
Ионеску-Казимир (Ionescu-Cazi- mir V.) 32, 50, 55, 222, 224, 228, 235, 247.
Исон (Eason G.) 185, 190, 234
Калиский (Kaliski S.) 32, 235, 247
Карслоу (Carslaw H. S.) 222
Кильчинская Г. A. 249
Клаус (Claus W. D.) 246
Ковалевский (Kowalewski J.) 247
Коваленко А. Д. 6
Купрадзе В. Д. 6, 111, 126, 139, 143, 177, 181, 249
Лайонс (Lyons W. C.) 247
Ландау Л. Д. 85
Левони (Levoni S.) 247
Лейбензон Л. C. 158
Лессен (Lessen M.) 202, 235
Лифшиц E. M. 85
Лобанов А. И. 249
Локкет (Lockett F. J.) 162, 185, 235, 236
Лорд (Lord H. W.) 247
Лурье А. И. 159
Мазур (Mazur P.) 19
Майзель В. M. 55, 75, 95, 97
Макдауэл (Mac Dowell E. L.) 42
Маккарти (Me Carthy M. F.) 247
Макквилен (Me Quillen E. J.)
Марти (Marthy S. N.) 248
Маунтфорт (Mountfort М. V.) 247
Махаланобис (Mahalanobis R. К) 247
Моисил (Moisil G.) 32
Моссаковский (Mossakowski J.) 8
Муки (Muki R). 203
Мур (Mur Т.) 205
Мышкина В. В. 250
Мюллер (Muller Н.) 248
Нариболи (Nariboli G. А.) 202, 236
Ней (Ney J. F.) 236
Никсл (Nickell R. Е.) 248
Новацкий (Nowacki W.) 5, 6, 8, 25, 55, 76, 84, 86, 95, 114, 116, 123, 134, 138, 162, 166, 175, 191, 202, 235, 236, 243, 245, 247, 248, 250
Папкович П. Ф. 37
Парна (Paria G.) 236
Паркус Г. 51, 86, 236
Паудрил (Powdrill В.) 246
Петыкевич (Petykiewitz J.) 247
Петренко М. П. 249
Подстригач Я. С. 6, 32, 236, 250
Попов Е. Б. 250
Пределеану (Predeleanu Р. М.) 55
Пресс (Press F.) 150
Пурушотама (Purushothama С. М.) 248
Рафальский (Rafalski Р.) 248
Розенблатт (Rosenblatt А.) 236
Рюдигер (Rudiger D.) 32, 236
Сакман (Sackman J. L.) 248
Сидляр М. М. 250
Снеддон (Sneddon I. N.) 98, 161, 185, 234, 236
Соколовский (Sokolowski М.) 166, 236
Сокольников (Sokolnikoff J. S.) 11, 39.
Соулер (Soler А. I.) 246
Стернберг (Sternberg Е.) 42, 88
Стефаняк (Stefaniak J.) 249
Толине (Tolins I. S.) 203, 234
Точер (Tauchert Т. R.) 246
Тран (Thrun Z.) 249
Треффц (Trefftz Е.) 65, 83
Уайндль (Windle D. W.) 162, 166, 234
Уилмс (Wilms Е. V.) 249
Уэйнер (Weiner J. Н.) 50, 86, 213, 234, 236
Фойгт (Voight W.) 10
Хубер (Huber М. Т.) 158
Хетнарский (Hetnarski R. В.) 193, 198, 202, 203, 207, 235, 246
Чедвик (Chadwik Р.) 98, 162, 166,
202, 234, 246
Шапиро Г. С. 5
Шачнев В. А. 5, 237
Швец Р. Н. 250
Шевчук П. Р. 250
Шоош (Sods Е.) 29, 202, 236, 249
Шторк (Stork К.) 248
Шулман (Shulman У.) 247
Эринген (Eringen А. С.) 246
Юинг (Ewing W. М.) 150
Яничек (Janiczek J.) 8
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Апериодические возмущения 182
Вариационные принципы 240
Волна плоская 98, 203
— поперечная 99
— продольная 99
— сферическая ПО
— цилиндрическая 120
Волны Рэлея 162
Девиатор деформаций 15
Естественное состояние тела 10
Задача Ламба осесимметричная 150
— термоупругости квазистатиче- ская 35
стационарная 39
Закон Дюамеля—Неймана 13
— Фурье для анизотропных тел 217
Коэффициент теплопроводности 20
Метод Майзеля 95
Модуль объемного расширения 15
— сдвига 15
— упругой податливости 215
Нагрев поверхности неравномерный
155
Обобщение метода Майзеля 72
— теорем Грина и Сомилиано 65
Постоянные Ламе 14
Потенциал термоупругий 53
Применение интегральных преобразований 185
Распространение волны в слое 166
Сила сосредоточенная линейная 147 точечная 138
СоотношенияДюамеля—Неймана
для анизотропных тел 214
Существование и единственность решений 238
Тензор упругой жесткости 214
— шаровой 15
Теорема вариационная для анизотропных тел 215 — взаимности 54, 228 — Грина 65
— единственности 47
— Кастильяно 93
— минимальная 93
— Сомилиано 65
Теоремы теории температурных напряжений 89 — термоупругости вариационные 50
Теория связанной термоупругости 5 — температурных напряжений 9, 86
Тепловой источник сосредоточенный 190
Теплопроводность 17
Термодинамические силы 19
Термоупругая среда 23
Термоупругость 9
— анизотропных тел 214
Уравнение основное энергетическое 44
— теплопроводности обобщенное 17
Уравнения Бельтрами—Мигчелла 29 — геометрической совместности 11 — канонические функциональные 136
Уравнения классической эластокине- тики 81
— теории температурных напряжений 85
— термоупругости волновые 24
дифференциальные 20
сингулярные 175
— энергетические для анизотропного тела 220
Условия излучения 128
Формула Гельмгольца 133
— Сомилиано обобщенная 176
Функция Грина 237
— диссипации 46
— Лява 42
Эластокинетика 9
Энергия внутренняя 15
— свободная 12
Энтропия системы 15
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора русского издания 5
Предисловие к русскому изданию 6
Предисловие 7
Глава I. Основные соотношения и уравнения термоупругости . . .9
Соотношения между напряжениями, деформациями и температурой 9
Внутренняя энергия и энтропия системы 15
Обобщенное уравнение теплопроводности 17
Основные дефференциальные уравнения термоупругости.20
Волновые уравнения термоупругости 24
Разделение системы дифференциальных уравнений термоупругости 31
Квазистатическая задача термоупругости 35
Стационарные задачи термоупругости 39
Основное энергетическое уравнение 44
Теорема единственности решений задач термоупругости.47
Вариационные теоремы термоупругости 50
Теорема взаимности 54
Обобщение теорем Сомилиано и Грина в термоупругости65
Обобщение метода Майзеля на задачи термоупругости.72
Задачи со смешанными краевыми условиями 75
Уравнения классической эластокинетики 81
Уравнения теории температурных напряжений 85
Энергетические теоремы теории температурных напряжений89
Глава II. Гармонические волны в термоупругой среде 98
Плоские гармонические волны в неограниченной термоупругой среде 98
Сферические волны в неограниченной термоупругой средеПО
Цилиндрические волны в неограниченной термоупругой среде120
Неограниченная термоупругая среда под действием точечной сосредоточенной силы 138
Неограниченная термоупругая среда под действием линейной сосредоточенной силы 147
Осесимметричная задача Ламба для термоупругого полупространства 150
Неравномерный поверхностный нагрев упругого полупространства 155
Волны Рэлеяв термоупругой среде 162
Распространение волны втермоупругомслое 166
Сингулярныеинтегральныеуравнениятермоупругости . .175
Глава III. Термоупругие волны, вызванные апериодическими возмущениями 182
Общая постановка задачи 182
Применение интегральных преобразований 185
Волны в неограниченном термоупругом пространстве под действием сосредоточенного теплового источника....190
Плоская волна в термоупругом полупространстве...203
Приведение волнового уравнения к обыкновенному дифференциальному уравнению по времени 209
Глава IV. Термоупругость анизотропных тел 214
Основные соотношения и уравнения термоупругости анизотропных тел 214
Основные энергетические уравнениядляанизотропного тела 220
Вариационная теорема термоупругости для анизотропных тел 225
Теорема взаимностидляанизотропныхтел 228
Библиография 234
Приложение. О новых результатах в теории сопряженной термоупру
гости, В. Д. Шачнев 237
Литература к приложению 246
Именной указатель 251
Предметный указатель 253
В. Новацкий
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ
Редактор А. С. Попов
Художник Л. Д. СмеляковХудожественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Г. Б. АлюлинаКорректор Е. Г. Литвак
Сдано в производство 8/1 1970 г. Подписано к печати 6 X1 1970 г. Бумага № 1 60x90716=8 бум. л. 16 пе,ч. л. Уч.-изд. л. 12,21. Изд. № 1/544 7. Цена 1 р. 40 к. Заказ 362 ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР», Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 8 Главполиграфпрома Комитета по печатипри Совете Министров СССР. Ленинград, Прачечный пер., д. 6
1 Ignaczak J., Direct determination of stress equations of motion in elasticity, Arch. Meeh. Stos., 11, № 5 (1959).
'Папкович П. Ф., Compt. Rend., 195 (1932), 513—515, 754—756. Boussinesq J., Application des potentiels a letude de 1’equilibre et des mouvements des solides elastiques, Paris, 1885.
1 См. например: Sokolnikoff J. S.-, Mathematical theory of elasticity,
1 G о о d i е г J. X., On the integration of the thermoelastic equations, PhiL
(1959).
Monescu-Cazimir V., Problem of linear coupled thermoelasticity.
Reciprocal theorems for the dynamic problem of thermoelasticity, Bull. Acad.
Polon. ScL, Serie Sci. Techn., 12, № 9 (1964).
1 П а р к у с Г., Неустановившиеся температурные напряжения, Физматгиз, М., 1963.
3 Боли Б., Дж. Уэйнер, Теория температурных напряжений, «Мир», М., 1964.
4 Nowacki W., Thermoelasticity, Pergamon Press, Oxford, 1962.
netics and the integration of the repeated wave equation, Quart. Appt. Math.,
15 (1957).
The dynamical theory, Progress in Solid Mechanics, v. 1, Amsterdam, 1960.
где
л--1<м)
Применяя к (14) обратное преобразование Ханкеля—Фурье
Ф*(хн ^ = 1/2/^ J J Ф (а, ^) а/0 (аг) Sin p%! dad^, (15)
1 N о w а с k i W., Thermoelasticity, London, 1962, р. 329.
1 Carslaw Н. S., Jager J. С., Conduction of heat in solids, Oxford, 1959.