Предисловие редактора перевода

В последние годы практика все чаще требует от инженеров и исследователей в области механики умения строить новые модели сплошных среде усложненными свойствами, ставить и решать задачи о поведении таких сред. В связи с этим все более важным становится глубокое понимание не только частных конкретных закономерностей, но — в первую очередь ——самого смысла основных концепций и законов механики континуума. Именно поэтому механика сплошной среды из набора отдельных специальных дисциплин (теория упругости, гидромеханика, теория пластичности и т. д.) превращается в единую науку. Это обстоятельство находит отражение и в учебной литературе; один из примеров — предлагаемая вниманию читателя книга Дж. Мейза.

Книга представляет собой своеобразное сочетание краткого учебника по курсу механики сплошной среды и справочника по этой дисциплине. В ее девяти главах очень сжато вводятся основные понятия и излагаются общие принципы механики континуума, а также описываются наиболее употребительные математические модели сплошных сред. Более половины объема занимают задачи, которые отчасти дополняют основной текст (в решения задач вынесены доказательства многих важных результатов), а отчасти являются обычными упражнениями. Таким образом, книгу можно использовать и как задачник (снабженный пояснительным текстом). Отбор и расположение материала в основном соответствуют тому, что должно входить в обязательный курс механики сплошных сред для студентов университетов и технических вузов. Однако некоторые важные разделы полностью остаются за рамками изложения. Так, вообще не рассматриваются условия на поверхностях сильного разрыва, взаимодействие сплошных сред с электромагнитным полем, подобие и моделирование механических явлений.

Предельную краткость авторского изложения можно считать достоинством книги: основные идеи и факты даются в легко обозримом, не загроможденном подробностями тексте. В то же время эта краткость приводит к тому, что многие существенные детали оказываются упущенными и некоторые вопросы освещаются недостаточно. Поэтому при работе с книгой неизбежно обращение к дополнительным источникам. Исходя из этого, мы снабдили настоящее издание списком литературы (в оригинале он отсутствует), охватывающим основные учебники на русском языке, в которых читатель может найти более полные сведения по интересующим его вопросам.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

В первую очередь можно рекомендовать весьма обстоятельный двухтомный учебник Л. И. Седова, отвечающий современному состоянию механики и новым направлениям в этой науке.

При переводе были исправлены замеченные опечатки и мелкие неточности текста; как правило» это не оговаривалось специально.

Пользуюсь случаем выразить свою благодарность автору, любезно представившему список замеченных в книге опечаток и краткое предисловие к русскому изданию.

М.乱 Эглит

Предисловие

Механика сплошной среды играет важную роль в современной технике благодаря тому, что она рассматривает основные понятия и принципы. В современные программы начального обучения инженеров и научных работников прочно входит ряд курсов, в которых используются понятие сплошной среды и основанные на нем теории, причем число таких курсов продолжает расти. Программы по механике и смежным дисциплинам на следующем этапе обучения предусматривают существенное углубление в этот предмет.

Настоящая книга представляет собой попытку помочь студентам средних и старших курсов усвоить основы теории сплошной среды. Каждая ее глава включает решенные задачи, что даег возможность читателю отточить свое мастерство в решении задач, относящихся к механикр континуума и ее приложениям.

Последовательность изложения материала и достаточно непрерывное его развитие позволяют использовать книгу как учебник по вводному курсу механики сплошной среды. В то же время она может оказаться весьма полезной в качестве дополнительного справочника по дисциплинам, базирующимся на методах теории континуума: курсы сопротивления материалов, гидромеханики, теории упругости, теории пластичности и, теории вязкоупругости тесно связаны с содержанием книги и могут быть построены на ее основе.

По всей книге важные уравнения и фундаментальные соотношения представлены как в индексной (тензорной), так и в классической символической (векторной) записи. Это дает возможность студентам сравнить эквивалентные выражения и привыкнуть к обозначениям обоих видов. Используются только декартовы тензоры, поскольку книга задумана как введение в предмет и поскольку существо многих теорий может быть описано с помощью таких тензоров.

Книга по сути дела состоит из двух частей: в первых пяти главах излагаются общие основы механики сплошной среды, а в последних четырех — некоторые конкретные ее приложения. За начальной главой, посвященной математическому аппарату, следуют главы, относящиеся к общим вопросам, а именно анализу напряженного состояния, теории деформаций, понятиям движения и течения, а также основным законам механики сплошной среды. Приложения, рассматриваемые в последних четырех главах, относятся к теории упругости, гидромеханике, теории пластичности и теории вязкоупругости, В конце каждой главы приводится набор решенных задач и

упражнений, служащих для иллюстрации и закрепления идей, приведенных в основном тексте.

Автор пользуется случаем выразить свою признательность всем, оказавшим ему помощь. Особую благодарность он приносит своим коллегам—профессорам У. Брэдли, 力. Малверну, Д. Иену, Дж. Фоссу и Г. Лапалму, прочитавшим различные главы и указавшим, как улучшить изложение, профессору Д. Монтгомери за его поддержку и помощь во всех отношениях, д-ру Ричарду Хартунгу из Исследовательской лаборатории компании «Локхид» (Пало-Альто, Калифорния), ознакомившемуся с первоначальньш вариантом рукописи и внесшему много полезных предложений, а также профессору М. Стиппсу из Иллинойсского университета за ценные замечания и предложения.

Джордж 3. Мейз Университет штата Мичиган

К русскому изданию

Механика сплошной среды, будучи фундаментальной наукой, служит хорошей основой для последующего изучения теории упругости, пластичности, вязкоупругости и гидромеханики. Поэтому для студентов важно, чтобы основные концепции и исходные принципы теории сплошной среды были изложены ясно и аккуратно. С такой целью и написана эта книга. Автор надеется, что она поможет читателям понять основы предмета и явится стимулом к дальнейшему изучению этой важной области механики.

Дж. Мейз

4 марта 1974Ист Лансинг, Мичиган

Глава 1

Математические основы

Тензоры и механика сплошной среды

Механика сплошной среды имеет дело с физическими величинами, которые не зависят от выбора системы координат, применяемой для их описания. Однако очень часто эти физические величины наиболее удобно изучать в некоторой надлежащим образом выбранной системе координат. Математически такие величины представляются тензорами.

Тензор как математический объект существует независимо от системы координат. В то же время в каждой системе координат его можно задать некоторой совокупностью величин, называемых компонентами тензора. Если компоненты тензора заданы в одной системе координат, то они определены и в любой другой системе, ибо определение тензора включает закон иреобразоваяия его компонент. Точные определения различных видов тензоров будут даваться далее в тех местах, где они впервые появятся в изложении.

Физические законы механики сплошной среды выражаются тензорными уравнениями. Вследствие линейности и однородности тензорных преобразований тензорные уравнения, верные в одной системе координат, верны и в любой другой. Такая инвариантность тензорных соотношений относительно преобразований координат является одной из основных причин того, что тензорное исчисление весьма полезно в изучении механики сплошной среды. 、

Тензоры. Декартовы тензоры. Ранг тензора

Если имеют дело с любым преобразованием одной произвольной системы криволинейных координат в другую, то тензоры называют обычными тензорами; если же ограничиваются преобразованиями однородных систем координат, то тензоры называют декартовыми. Так как большая часть механики сплошной среды может быть изучена при помощи декартовых тензоров, в этой книге термин «тензор» будет означать «декартов тензор», если особо не оговаривается, что рассматривается более общий случай.

Тензоры можно классифицировать по рангу, или порядку, в соответствии с частным видом законов преобразования, которым они подчиняются. Та же классификация отражается и в числе компонент тензора в п-мерном пространстве. В трехмерном евклидовом пространстве, таком как обычное физическое пространство»

число компонент тензора равно 3", где N—порядок тензора. Тензор нулевого ранга задается в любой системе координат в пространстве любого числа измерений одной компонентой; такие тензоры называются скалярами и выражают физические величины, характеризующиеся только численным значением. Тензоры первого ранга имеют три координатные компоненты в трехмерном пространстве, называются векторами и представляют величины, которые характеризуются как численным значением» так и направлением. Тензоры второго ранга называются диадиками и описывают некоторые характеристики, важные в механике сплошной среды. При математическом изучении механики сплошной среды также определяются и часто используются тензоры более высокого ранга, в частности третьего и четвертого (триадики 口 тетрадики).

Векторы и скаляры

Некоторые физические величины, такие, как сила и скорость, характеризующиеся и численным значением, и направлением, можно изображать в трехмерном пространстве направленными отрезками, которые подчиняются закону сложения по правилу параллелограмма. 1акие^дап да в ленные ртр^аки .являются геометр ическими представлениями тензоров первого ранга и называются векторами.

Рис. 1.1.

Графически вектор — просто соответствующим образом направленная стрелка, имеющая длину, пропорциональную величине (модулю) вектора. Векторы равны, если они одинаково направлены и имеют равные длтаы. Единичным вектором называется вектор, у которого длина равна едишад. Нулевой вектор имеет нулевую длину и неопределенное направление. Отрицательным по отношению к данному называется" вектор с тем же модулем, но противоположно направленный.

Такие физические величины, как, например, масса и энергия, которые характеризуются только величиной, относятся к тензорам нулевого ранга, т. е. к скалярам.

В символической, или гиббссвой, системе обозначений векторы изображаются жирными прямыми буквами, например а» b и т. д. Скаляры обозначаются светлыми курсивными буквами, например а, b и т. д. Единичные векторы, кроме того, отмечают крышечкой над жирной прямой буквой. На рис. 1.1 показаны произвольные векторы а и Ь. единичный вектор е н два равных вектора с и d.

Абсолютную величину произвольного вектора а обозначают просто а или, чтобы подчеркнуть векторную природу объекта, используют символ |а |.

Векторное сложение. Умножение вектора на скаляр

Сложение векторов подчиняется правилу параллелограмма, согласно которому сумма двух векторов изображается диагональю параллелограмма, смежными сторонами которого являются слагаемые векторы, отложенные из одной точки. Этот закон сложения эквивалентен правилу треугольника, по которому суммой двух век-

Рис. 1.2.

торов является вектор, идущий из начала первого вектора в конец цторого^сли суммируемые векторы построены таким образом, что начало второго совпадает с концом первого. Графическое построение, соответствующее сложению векторов а и b по правилу параллелограмма, показано на рис. 1.2, а. Алгебраически операция сложения выражается векторным равенством

а 十 b = b 十 а = с. (1.1)

Вычитание вектора выполняется путем прибавления отрицательного вектора, как сделано, например, на рис. 1.2, б, где использовано правило треугольника. Таким образом,

а—- Ь = —b 十 а = d. (1.2)

Рис. 1.2, s иллюстрирует свойство коммутативности и ассоциативности операций сложения и вычитания векторов в соответствии с равенствами

(а + b) + g = а + (b + g) = h. (1.3)

Умножение вектора на скаляр в общем случае дает новый вектор, имеющий то же направление, что и исходный, но другую длину. Исключение составляет умножение на нуль, которое дает в результате нулевой вектор, и умножение на единицу, которое не меняет вектора. При умножении вектора Ь на скаляр т в зависимости от численного значения т возможен один из трех случаев, представленных на рис. 1.3.

Операция умножения вектора на скаляр ассоциативна и дистрибутивна, т. е.

т (kb) = (тп) Ь = и 他Ь),(1.4)

(т + м) b =(九」zn) b = /nb + 〃b,(1.5)

Отметим еще, что в результате умножения вектора на величину, обратную его модулю, получается единичный вектор того же направления. Эта операция выражается равенством

(1-7)(1-7)b = b/匕.

(1-7)

(1-7)

Скалярное и векторное произведения векторов

Скалярным произведением двух векторов а и Ь называется скаляр K = a*b = ba = ab cos 0,(1.8)

где 6—наименьший угол между векторами, как показано на рис. 1.4, а. Скалярное произведение вектора а на единичный вектор е дает проекцию а на направление е.

Векторным произведением а на Ь называется вектор v, заданный формулой

V = а X b = Ь х а = (ab sin 0) е,(1.9)

где 6 — угол между векторами а и Ь, меньший чем 180°, а е —— единичный вектор, перпендикулярный к их плоскости и направленный так, что поворот по правилу правой руки вокруг е на угол 6 переводит а в Ь. Модуль V равен площади параллелограмма со смежными сторонами а и Ь, затененного на рис. 1.4, 6. Векторное произведение некоммутативно.

Смешанным произведением называется скалярное произведение двух векторов, один из которых сам является векторным произведением: - '

а * (b х с) = (а х Ь) • с = а • b х с = X. (1.10)

Из этой формулы видно, что скалярное и векторное умножение здесь можно менять местами. Так как векторное умножение должно выполняться первым, скобки не нужны и, как показано, их можно опустить. Это произведение иногда записывают как label. Величина X смешанного произведения равна объему параллелепипеда с ре^ралш а^Ь, с.

迎如竺纥举陋1。必理 произведение — это ^екторное произведение двух^в^кторов, один из которых сам является векторныК1 произведением. Для представления векторного произведения а на b х с часто бывает полезно следующее тождество：

а X (b X с) = (а • с) Ь — (а • Ь) с = w. (1.11)

Из формулы (1.11) видно, что w лежит в плоскости векторов b и с.

Диады и диадики

Диадой называется неопределенное произведение двух векторов а и Ь, которое по огтр^йЕжнию Задается написанием векторов один за другим, например ab. Неопределенное произведение в общем случае некоммутативно, т. е. ab 总 ра. Диадиком_О_ называется тензор второго ранга; он всегда может быть представлен'в^^ввде суммы ко- нйного'числТдйад:

D = a^b] + a2b2 十• • • + a^b^y. (1.12)

Однако это представление неединственно. В символических обозначениях тензоры второго ранга (диадики) изображаются заглавными жирными буквами, как это сделано выше.

^Е^ПкИ-^жю^ Диаде-фсрмульЦ]」？) первн^ и второй сомножители поменять местами, то полученный тензор называется сопряженным исходному и записывается так:

De = b 1al + b2aа 十 … + Ь^а^. (1.13)

Если каждую диаду в с\мме D в формуле (1.12) заменить скалярным произведением соответствующих векторов, то получится скаляр.

называемый скаляром диадика.D.и записываемый к виде

D, = а^ •瓦 + аа • % + • • • + а# • Ь“.(1-14)

Если каждую диаду в сумме D в формуле (1.12) заменить векторным произведением составляющих ее векторов, то результат будет на' зываться вектором диадика D и записываться так:

Dq = а】х 瓦 + @2 X 闻 + • • • + Эд, х b^.(】• 15)

Можно показать, что D*, Ds и & не зависят от выбора представления (1.12).

Неопределенное произведение векторов обладает свойством

дистрибутивности:

а (Ь + с) = ab + ас,(1.16)

(а + Ь) с = ас + Ьс,(1.17)

(а + Ь) (с + d) = зс + ad + be +bd,(LI 8)

и если Z и 卩一скаляры, то

仇 + р) ab =九 ab + pab,(1.19)

(Xa) b = a (Ab)=九ab.(1.20)

Если v — любой вектор, то скалярные произведения v ■ D и D • V тоже являются векторами, которые определяются соответственно формулами

V . D =(V • ajbi +(V • а2)Ь2 + • •• + (v • ajbw = u, (1.21)

D . v = a!(bx - v) + a2(b2 • v) + ••• + a~(b~ • v) = w. (1.22)

Два^дцадика D и E равны тогда и только тогда, когда для любого вектора v

V • D = V • Е или D ■ V = Е - V.(1.23)

Единичный-диадик\ ——это такой диадик, который представляется в виде

А- ЛС АА А

I = e^i + е2е2 + е3е3,(1.24)

где е!, е2, е3 — векторы любого ортонормированного базиса в трехмерном евклидовом пространстве (см. § 1.7). Единичный диадик I характеризуется следующим свойством:一

1 s V =^ V ■ I = V(1.25)

для всех векторов v.

Векторные произведения v х D и D х v являются диадиками, которые определяются соответственно формулами

V х D =(V х аО bx +(V X а2) Ь2 + •♦• + (v X aw) b^ = F,(1.26)

D x v = a! (bj x v) + a2 (b2 x v) + - • + a^ (b^ x v) = G.(1.27)

Скалярное про11зведение двух диад ab и cd по определению есть диада вида

ab • cd = (Ь • с) ad.(1.28)

Пользуясь формулой (1.28), легко усмотреть, что скалярное произведение любых двух диадиков D и Е тоже является диадиком:

D • Е =值也1 + a2b2 + … + а〃Ь») • ©di + c2d2 + • •• + %/)= =(bi • Cj) a@ + (b2 • c2) a2d2 + …+(£•%) aq = G.

(1-29)

Диадики D и E называются взаимно обратными, если

Е • D = D • Е = L(1.30)

Для обратных диадиков часто используются обозначения Е = D"1 и D = Е-1.

Дважды скалярное, смешанное и дважды векторное произведения диад ab и cd по аналогии можно определить следующим образом:

ab: cd = (а • с) (Ь • d) = Z

(скаляр),

(1.31)

ab ¥ cd = (а х с) (Ь • d) = h

(вектор),

(1.32)

ab х cd = (а • с) (Ь х d) = g

(вектор),

(1.33)

ab x cd = (a x c) (b x d) = uw

(диада).

(1.34)

Пользуясь этими формулами, легко получить дважды скалярное и векторное произведения тензоров второго ранга. Некоторые авторы двойное скалярное произведение диад определяют так:

ab ■ • cd = (Ь • с) (а • d) = X (скаляр).(1.35)

Диадик D называют самосопряженным или симметричным, если

D = Dc，(1,36)

и антисимметричным, если

D = —D。.(1.37)

Каждый диадик можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного ди а ди ков, причем это представление единственно. Действительно, для любого диадика D можно написать

D = % (D + DJ + % (D - DJ = G + Н, (1.38)

где

Gc = % 色 + ①儿)=% (De + D) = G (симметричный) (1.39) и

乩=% (” 一(DJJ = % (Dc — D) = — H (антисимметричный).

(L40)

Для того чтобы установить единственность такого разложения, предположим, что существует другое разложение D = G* + Н*; тогда

G* + Н* = G + Н.(1.41)

Равенство, сопряженное этому, будет

G* —H* = G —Н.(1.42)

Почленное сложение и вычитание (1.41) и (1.42) приводит соответственно к требуемым равенствам G* = G и Н* = Н.

Системы координат. Базисные векторы. Триэдр единичных векторов

Относительно выбранной системы координат вектор можно задавать его компонентами в этой системе. Выбор системы координат

Рис. 1・5・Рис. 1・5・произволен, но в некоторых ситуациях бывает выгоднее пользоваться специальной системой. Задать систему осей координат — это значит задать единицы измерения длин векторов н указать направления осей в пространстве, чтобы можно было определить ориентацию векторов.

Рис. 1・5・

Рис. 1・5・

Общеизвестную ортогональную декартову систему координат Охуг обычно представляют взаимно перпендикулярными осями, показанными на рис. 1.5. Любой вектор V в такой системе можно задать в

виде линейной комбинации трех произвольных некомпланарных векторов, которые называются базисными векторами. Через базисные векторы а, Ь, с и соответствующим образом выбранные скалярные коэффициенты Kt(i, v век

тор v выражается так:

(1-43)(1-43)V = Ха + ptb + vc.

(1-43)

(1-43)

Рис* 1.6Рис* 1.6

Рис* 1.6

Рис* 1.6

Базисные векторы по определению линейно независимы, т. е. уравнение

(1.44)(1.44)la + pib + vc = О

(1.44)

(1.44)

удовлетворяется только при 九=р, = * = 0. Говорят» что совокупность базисных векторов для данной системы координат образует

базис этой системы.

В ортогональной декартовой системе в качестве базиса обычно берут набор единичных векторов i, j, к, направленных вдоль осей координат, как показано на рис. 1.5. Эти базисные векторы образуют правый триэдр единичных векторов, для которых

С人СА八/\

i X j = k, j х к = i,

Ах； = ](1.45)

и

i • i = j・j = k・k=l, А ААСА А

i・j = j・k = k・i = O. (1.46)

Такой набор базисных векторов часто называют орпюнормированным базисом.

Вектор V, изображенный на рис. 1.6 стрелкой, можно представить в виде линейной комбинации единичных векторов j, k:

v = %； + %£+《，(1.47)

в которой декартовы компоненты

% = V • i = 〃 cos % 以=v ‘ j = 〃 cos p, yz = v • k = и cos у являются проекциями v на оси координат. Согласно формуле (1.7), единичный вектор направления v дается выражением

% = v/〃 = (coscz) i + (cos₽) j + (cosmic.(1.48)

Вектор v произволен, следовательно, для любого единичного вектора его направляющие косинусы являются его декартовыми компонентами.

В декартовых компонентах скалярное произведение векторов а и b записывается в форме

а • b = (a j+ а j + af) (bj + b j + 原)=axbx + а也 + а也.(1.49)

Для тех же двух векторов векторное произведение а х Ь имеет вид

а X Ь =仇％ —。也)i + &% — a»z) j + (。也—«Д)к. (1.50)

Рис. 1.7.a — цилиндрическая система координат; 6 — сферическая система координат.Рис. 1.7.a — цилиндрическая система координат; 6 — сферическая система координат.

Рис. 1.7.

a — цилиндрическая система координат; 6 — сферическая система координат.

Рис. 1.7.

a — цилиндрическая система координат; 6 — сферическая система координат.

Последнее выражение часто записывают в виде определителя

а х Ь =а х Ь =&&(1.51)(1.51)

а х Ь =

а х Ь =

&

&

(1.51)

(1.51)

с элементами которого оперируют, как с обычными числами.

Смешанное произведение векторов тоже можно представить через компоненты в виде определителя

[аЬс][аЬс](1-52)(1-52)

[аЬс]

[аЬс]

(1-52)

(1-52)

Диада аЬ через декартовы компоненты выражается так:

ab = (а/ + a«j + агк) (b J + %j + 纟不)=

=а也i i + a也;j + axbzi к +

人人A AA人

+ a/』i + Oy&Jj + 甸仁 к +

+ о^/ f + aj)^ j + агЬ^к. (1.53)

Из-за того, что выражение (1.53) состоит из девяти членов, оно называется девятичленной формой диады ab. Любой тензор второго ранга можно записать в девятичленной форме. Девятичленная форма единичного диадика представляется через единичные векторы i, j, к следующим образом: Л Л А 人 л л

1= ii +jj + kk.(1.54)

Кроме уже рассмотренной ортогональной декартовой системы, в дальнейшем широко используются системы криволинейных координат, такие, как цилиндрическая (7?, 6, г) и сферическая 亿 6, ip), изображенные на рис. 1.7. С этими системами связаны триэдры еди- 人 А АЛ Л Л

ничных базисных векторов (е^, ее, ег) и (еЛ, ее, е屮),показанные на рисунке. Однако в этих случаях базисные векторы не имеют постоянных направлений 口 поэтому, вообще говоря, являются функциями точки.

Линейные векторные функции.

Днадякн как линейные векторные операторы

Говорят, что вектор а является функцией другого вектора Ь, если а определен, как только задан Ь. Это функциональное соотношение выражается формулой

а = f (b).(1.55)

Функция f называется линейной, если для любых векторов b и с и любого скаляра 入 имеют место равенства

f(b + c) = f(b)4-f(c),(1.56)

f0b) = Af(b).(1.57)

При использовании декартовых компонент вектора b равенство (1.55) принимает форму

a = f(b/+%f+通(1.58)

в случае линейности f это можно переписать так:

a = Уф + %俏*犧)：(1-59)

Пусть в формуле (1.59) f (i) = u, f (j) = v, f (k) = w, так что

a = 口 (i • b) + v (j • b) + w (i • b) = (ui + vj + wk) ■ b. (1.60) Видно, что а представляет собой скалярное произведение диадика на вектор, т. е.

а = D • Ь,(1.61)

где D = ui + vj + wk. Это показывает, что любая линейная векторная функция f может быть выражена произведением диадика на

вектор. В формуле (1.61) диадик D служит линейным векторным оператором, который, действуя на векторный аргумент Ь, переводит его в еектор-функцию а.

Индексные обозначения. Интервал изменения индексов и соглашение о суммировании

Компоненты тензора любого ранга и сам тензор можно наглядно и кратко представить с помощью индексных обозначений. Эти обозначения состоят в том, что к характерной, или основной, букве, представляющей интересующую нас тензорную величину, добавляются верхние или нижние буквенные индексы. Типичными примерами, иллюстрирующими употребление индексов, являются тензорные символы

色，瓦T"，尸八%", RR

По правилам индексных обозначений буквенный индекс может встречаться в каждом члене один или два раза.Если индекс употреблен один раз, то подразумевается, что он принимает значения 1, 2, ..., JV, где N— заданное положительное целое число, которое определяет размерность индекса, т. е. интервал его изменения. Неповторяющиеся индексы называются свободными. Тензорный ранг данного члена равен числу свободных индексов в этом члене. Правильно написанные тензорные соотношения имеют одинаковые свободные индексы в каждом члене.

Если индекс употреблен дважды, то подразумевается, что этот индекс принимает все значения из своего интервала изменения и члены, соответствующие каждому значению индекса из этого набора, суммируются. В этом так называемом соглашении о суммировании повторяющиеся индексы часто называют немыми, так как их замена на любые другие буквы, не использованные в качестве свободных индексов, не меняет значения члена, в который они входят. Вообще говоря, в правильно написанном выражении ни один индекс не встречается более двух раз. Если для желаемого представления какой-либо величины совершенно необходимо использовать некоторый индекс более чем дважды, соглашение о суммировании употреблять не следует.

По числу и расположению свободных индексов непосредственно можно судить о тензорном характере величины, выраженной в индексных обозначениях. Тензоры первого ранга (векторы) обозначаются основными буквами с одним свободным индексом. Так, любой вектор а изображается символом с единственным верхним или нижним индексом, т. е. в одной из двух форм

В следующих выражениях, имеющих только один свободный индекс, тоже можно узнать тензоры первого ранга:

Gijbj,尸 ikhr R?qp, Efj忌2步左・

Тензоры второго ранга обозначаются символами с двумя свободными индексами. Так, произвольный тензор второго ранга D будет записываться в одной из трех возможных форм

Dj или Z/j, D®

В смешанной форме точка указывает, что / ——второй индекс. Тензорные величины второго ранга могут выглядеть по-разному, например

^ijcpt В，. /拓 bijU^k.

Логически продолжая вышеуказанную схему, тензор третьего ранга записывают символом с тремя свободными индексами. А символ, который не имеет связанного с ним индекса, такой, как, например» 九，изображает скаляр, или тензор нулевого ранга.

В обычном физическом пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов, и любой вектор в этом пространстве полностью задается своими тремя компонентами. Поэтому индексы у величин 〃口 представляющих вектор а в физическом трехмерном пространстве, принимают значения 1, 2, 3. Согласно этому, подразумевают, что символ 出 представляет сразу три компоненты %, %, 〃з・ Таким образом, иногда символ q можно толковать как i-ю компоненту вектора, а в других случаях —— как сам вектор. В трехмерном пространстве, где оба индекса i, j меняются от 1 до 3, символ 4/ представляет девять компонент тензора второго ранга А. Часто тензор Ац задают подробно, записывая все девять его компонент в виде квадратной таблицы, заключенной в большие скобки:

Таким же образом компоненты тензора первого ранга (вектора) в трехмерном пространстве можно наглядно изобразить упорядоченными строкой или столбцом из компонент в виде

(%,(%,илиили(1.63)(1.63)

(%,

(%,

или

или

(1.63)

(1.63)

В общем случае в А^-мерном пространстве тензор л-го ранга будет иметь компонент.

Удобство индексных обозначений для записи систем равенств в компактной форме мы проиллюстрируем двумя следующими типичными примерами. В трехмерном пространстве уравнение в индексной записи

X, = CijZj(1.64)

представляет в развернутой форме три уравнения:

% = Сц?! + с12г2 + с13г3,

x2 = ^21^1 + r222 + &3z3，(1.65)

x3 = c31г1 + R222 + R323，

Если z и / принимают значения 1 и 2, то равенство в индексной записи

(1.66)(1.66)/fj = BfpCjqDpq

(1.66)

(1.66)

в развернутой форме дает четыре соотношения:

力工工=Вц&Кц + BnC12D12 + B12CnD21 十 812cl2。22,

力12 = ^11^21^11 + 8工1°22°工2 + ^12^-21^21 十 ^12^22^22*' (1.67) 41=b21cliD]] + 821c'12°12 + B22en/)21 +区2&2°22，

^22 = 821c*2]011 + 821022。12 + ^22^,21^21 十 ^22^,22^22'

Если же i, / = 1, 2, 3, то формула (1.66) даст девять соотношений, каждое из которых имеет девять членов в правой части.

Соглашение о суммировании в символических обозначениях

Соглашением о суммировании часто пользуются в связи с представлением векторов и тензоров в символических обозначениях через базисные векторы, снабженные индексами. Так, если декартовы оси и единичные векторы базиса, изображенные на рис. 1.5, переобозначить, как показано на рис. 1.8, то произвольный вектор V можно записать в виде

V = 0丄5 + v2e2 + У3е3, (1.68) где % 〃2, v3 — декартовы компоненты вектора v. Применяя к этому равенству соглашение о суммировании, его можно переписать в сокращенной форме:

v=* (1.69)

где г — индекс суммирования. Здесь обозначения по существу символические и в то же время использовано соглашение о суммировании. При таком сочетании обозначений не действует правило свободных индексов, принятое в чисто индексном обозначении тензорных величин.

Тензоры второго ранга тоже могут быть представлены суммированием по базисным векторам, снабженным индексами. Так, диаду ab, заданную в девятичленнои форме (1.53), можно записать в виде

ab =(0网)(力电=afifi^.

(1-70)

В этом выражении важно сохранять порядок написания базисных векторов. Подобным же образом девятичленная форма любого тензора второго ранга D может быть представлена в компактных обозначениях так:

О = Di}^j. (1.71)

Рис. 1.8.Рис. 1.8.Преобразование координат. Общее понятие тензора

Рис. 1.8.

Рис. 1.8.

Пусть х — произвольная система координат 炉，х2, х3 в трехмерном евклидовом пространстве и 6г — любая другая система координат 01, 02, 03 в том же пространстве. Здесь цифры, написанные сверху, являются индексами, а не показателями степени, степени х можно записывать при помощи скобок, например так: (х)2 ИЛИ (尤)3.

Итак, цифры (или буквы), написанные сверху, как только что было указано, служат индексами. Формулы преобразования координат

⑶=炉("，務炉) (1.72) определяют для любой точки (х1, х2, х3) системы 犬 новый набор ее координат (61, 62, 63) в системе 61. Относительно функций б1, связывающих две совокупности переменных величин (координат), предполагается, что они однозначные, непрерывные и дифференцируемые. Определитель

沁

ае2

而

аез

加3 а炉加3 а炉甫

加3 а炉

加3 а炉

или в компактной форме

(1.74)

называется якобианом преобразования. Если якобиан не обращается в нуль, то уравнения (1.72) можно локально единственным образом разрешить относительно Р:

炉= к(а, е2, ез). (1.75)

Системы координат " и б\ использованные при написании (1.72) и (1.75),— самые общие: они могут быть любыми криволинейными или декартовыми.

Из (1.72) найдем компоненты диффеРенциала db:

(1-76)(1-76)曲』嗡":

(1-76)

(1-76)

Это равенство определяет класс тензоров, называемых контра- вариантными векторами, В общем случае величины 匕：связанные с точкой Р, представляют компоненты контравариантного тензора первого ранга, если при преобразовании координат эти величины преобразуются Но закону

Ь'« = -^-Ц (1.77) дх1

причем частные производные вычислены в точке Р. В (1.77) У являются компонентами тензора в системе координат М, а Ь1— его компонентами в системе 什.В общей теории тензоров для обозначения контравариантных тензоров используют верхние индексы. Это делается по той причине, что для координаты обозначение х предпочтительнее, чем 匕;однако нужно заметить, что тензорный характер имеют только дифференциалы 吗.но не сами координаты.

Естественное обобщение правила (1.77) приводит к определению контравариантного тензора второго ранга, компоненты которого подчиняются правилу преобразования

•8T (1.78) дхг дх5 ' /

Контравариантные тензоры третьего, четвертого и более высокого порядков определяются аналогичным образом.

Слово ^контравариантный» использовано выше, чтобы отличить эти тензоры от тензоров другого типа, называемых ковариантными. В общей теории для изображения ковариантных тензоров используются нижние индексы. Типичный ковариантный вектор образуют частные производные от скалярной функции по координатам.

(1.79)(1.79)Действительно, если 屮 = 屮(х* ха, х3) —— такая функция, то —

(1.79)

(1.79)

В общем случае величины & называются компонентами ковариантного тензора первого ранга, если они преобразуются по правилу

広=瑞切.(L80)

Здесь bi являются ковариантными компонентами вектора в системе 61, а 仇 一 компонентами в системе х\ Ковариантные тензоры второго ранга подчиняются закону преобразования

竊嗡(I.8D

Ковариантные тензоры более высокого порядка и смешанные тензоры, например

Т7s =更2 丝亜 Т%(1.82)

определяются очевидным образом.

L12. Метрический тензор. Декартовы тензоры

Пусть х представляют систему ортогональных декартовых координат в евклидовом трехмерном пространстве, а 6г — любую другую систему ортогональных прямолинейных или криволинейных координат (например, цилиндрических или сферических) в том же самом пространстве. Вектор х, имеющий декартовы компоненты х£, называется радиусом-вектором произвольной точки 尸(炉，炉，х3) в декартовой системе. Квадрат дифференциала расстояния между близкими точками 尸(х) н Q (х + 凉)дается формулой

(ds)2 = dx^dx1.(1.83)

Из преобразования координат

^ = %f(е\ е2, е3)(1.84)

получим связь меж^у их дифференциалами:

d/ = %d第.(1.85)

Тогда выражение (1.83) перейдет в следующее:

(ds)z = dew = gp/e%叱(1.86)

где тензор второго ранга gpq — (dxtdQP) (dx'/de°) называется метрическим или фундаментальным тензором пространства. Если 91

образуют тоже ортогональную декартову систему, скажем х\ то

(L87)

где 6加一дельта Кронекера (см. § 1.13), т. е. 6“ = 0, если р 丰 q、 и 6西=lf если р = q.

Система координат, для которой квадрат бесконечно малого элемента длины всюду имеет вид (1.83), называется системой однородных координат. Преобразования, переводящие одну систему однородных координат в другую, являются ортогональными, и если ограничиться только ортогональными преобразованиями, то тензоры, определенные таким образом, называются декартовыми тензорами. В частности, это верно для законов преобразования ортогональных декартовых систем координат с общим началом. Для декартовых тензоров нет различия между контравариантными и ковариантными компонентами, и поэтому в выражениях, представляющих декартовы тензоры, принято пользоваться исключительно нижними индексами. Как будет показано далее, в законах преобразования, определяющих декартовы тензоры, частные производные в общих тензорных определениях (1.80) и (1.81) заменяются константами.

Законы преобразования декартовых тензоров.

Дельта Кронекера. Условия ортогональности

Пусть 0хгх2х5 и 0xiX2 尤з — две ортогональные декартовы системы координат с общим началом в произвольной точке 0 (рис. 1.9). Можно считать, что система со штрихами получена из системы без штрихов поворотом осей около начала координат или отражением осей относительно одной из координатных плоскостей, или, может быть, комбинацией того и другого. Если символом а〃 обозначен косинус угла между t-й осью системы со штрихами и /-й осью системы без штрихов, т. е.砌=cos (х；,看)，то ориентацию какой-либо оси каждой системы относительно другой системы удобно" задавать таблицей

修

%2

Й11

%2

〃13

4

〃21

“22

〃23

〃31

&2

“33

или же тензором преобразования

“13、&з I •的丿“13、&з I •的丿

“13、

&з I •

的丿

“13、

&з I •

的丿

Рис. 1.9.Рис. 1.9.

Рис. 1.9.

Рис. 1.9.

Из такого определения а^ следует» что единичный вектор е； оси 无; в соответствии с формулой (1.48) и соглашением о суммировании

представляется выражением

= «115 十 о12е2 +

+ 0工3^3 = ^ij^j ■(1.88)

Ясно, что, обобщая это равенство, любой базисный вектор можно записать в виде

= cit^i- (1.89)

Произвольный вектор v, изображенный на рис. 1.9, можно выразить через его компоненты в системе без штрихов:

V = v^(1.90)

и в системе со штрихами:

V = v( еь(1.91)

Заменяя 爲 в сумме (1.91) эквивалентным выражением (1.89), получаем

V = Via^h(1.92)

Сравнивая формулы (1.92) и (1.90), обнаруживаем, что компоненты вектора в исходной и преобразованнол системах связаны соотношением

(1.93)(1.93)u=咽・

(1.93)

(1.93)

Это равенство дает закон преобразования декартовых тензоров пер* вого ранга. Как видно, он является частным случаем общих законов преобразования тензоров первого ранга, которые были представлены формулами (1.80) и (1.77). Меняя ролями в предыдущих рассуждениях базисные векторы со штрихами и без штрихов, получаем соотношение, обратное (1.93):

(1.94)

Нужно заметить, что в формуле (1.93) у 〃芹 свободным был второй индекс, а в выражении (1.94) свободный индекс является первым.

Выбрав надлежащим образом немые индексы и объединив (1.93) и (1.94), можно написать

V/ = aijaikV^(1.95)

Так как вектор v является произвольным, то это уравнение должно сводиться к тождеству v； = vP Поэтому коэффициент а“а»走, значение которого зависит от индексов / и /?, должен равняться либо 1, либо 0 в зависимости от того, одинаковые или различные численные значения принимают / и /?. Для представления величин такого типа, как а牙а/, можно пользоваться дельтой Кронекера, которая определяется следующим образом:

(1.96)(1.96)_ f 1, если t = /,l[o, если /=#/.

(1.96)

(1.96)

С помощью дельты Кронекера условия, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнения (1.95), можно записать следующим образом:

(1-97)(1-97)Uijatk = 6/fe.

(1-97)

(1-97)

В развернутом виде соотаошение (1-97) состоит_из девяти равенств, которые называются*условиями ортогональностиt или ортонормиро- eaHHoctfiu, Это условий, наложенные на направляющие косинусы а犷「Н6 соотношения (1.93) и (1.94) можно скомбинировать иначе и получить равенство 勿=«勺〃舒t^, что дает другую форму условий ортогональности:

^ij^kj == &耳・ (1.98)

Линейные преобразования типа (1.93) или (1.94), коэффициенты которых удовлетворяют условиям ортогональности (1.97) или (1.98), называются орто己онамнмми преобразованиями. Поворот осей координат и отражение их относительно какой-либо координатной плоскости являются ортогональными преобразованиями.

Дельту Кронекера иногда называют оператором замены, потому что она дает, например, следующие преобразования:

也力=自1ь1十 &2匕2 + &3匕3 = 4(1.99)

или

^ijPik = 61/^lA + ^2Jp2k + бз/^Зй =戶拉.(1.100)

Всилу^ этого свойства^ ясно, лтр_ дельта Кронекера является аналогом Цшдексйй^ обозначениях единичного тензора второго ранга I, определенного формулой (1.54).

В соответствии с правилом преобразования векторов (1.94) диада в системе координат со штрихами имеет компоненты

44 =(〃纾 ％) (〃％%) = агра^и^.(1.101)

Естественным обобщением формулы (1.101) будет правило преобразования любого декартова тензора второго ранга

TI/ :^a叮а勿丁TI/ :^a叮а勿丁(1.102)(1.102)

TI/ :^a叮а勿丁

TI/ :^a叮а勿丁

(1.102)

(1.102)

Используя условия ортогональности, легко найдем соотношение, обратное (1.102) и дающее правило перехода от компонент в системе со штрихами к компонентам в системе без штрихов. Оно выражается формулой

丁订=CLpSiTpq* (1.103)

Законы преобразования рангов обобщаются для Tak..Законы преобразования рангов обобщаются для Tak..декартовых тензоров первого и второго декартовых тензоров ранга М

Законы преобразования рангов обобщаются для Tak..

Законы преобразования рангов обобщаются для Tak..

=5(>%时41П1«…7 pqm(1-1。4)

Сложение декартовых тензоров. Умножение на скаляр

Декартовы тензоры одинакового ранга можно складывать (или вычитать)"пойомпонентно согласно следующему правилу:

Л；/л- - ± Bijk.= Tijk..(1.105)

Су 理 а тензоров «ел» тензор того же ранга, что и слагаемые. Заметим, что^иь^о^ёПйдексьГраспЪложнБг в одной- и-той -же последовательности в каждом члене.

У множен ие. всех компонент тензора на данный скаляр дает новый тензор тогоже ранга^При умножении~наа<аляр71 типичные примеры записи произведения в индексной и в символической форме имеют вид

b{ = ^a[tилиb = Аа,(1.106)

Bq = ^Aij, или В = АА.(1.107)

Умножение тензоров

Внещним^гроизве^ш/^м двух. тензоров произвольного ранга называется новый тензор, yjKoroporo компоненты, образованы умно- 券еннем^ждо^компонен缶 О而oFb тензора на_^ажхую компоненту другого? Ранг полученного _тещора равен сумме рангов сомножи- т^лей^ ^Типичными примерами внешних произведений являются следующие выражения:

3)〃也=丁仃； В)DijThm = ^ijkmi

嘈決=a“忘r)或用4"=Qijkm^

Как видно из этих примеров, внешние произведения получаются простым написанием перемножаемых тензоров друг за другом. (Заметим, что именно эта операция образует из двух векторов диаду.)

Свертыванием тензора по двум свободным индексам называется такая операция, когда два индекса обозначаются одной и той же буквой, вследствие чего они становятся индексами суммирования. В результате свертывания получается снова тензор (свертка), порядок которого на две единицы меньше, чем у исходного. Приведем несколько типичных примеров сверток.

Свертки тензора Ту и диады 〃田：

T" = T11 + 722 + T33,

%q = "传1 + "2办+ "3必・

Свертки тензора E^:

EtjCbj = Ь(,

^iflk = &.

EijFhk = P 办 EfjF }m = Qfg EijFhj = Rik.EijFhk = P 办 EfjF }m = Qfg EijFhj = Rik.Свертки тензора EtjFkm： EjjF 加=Gjm, EtjFki = Hjk9 E fFkm = Kkmj

EijFhk = P 办 EfjF }m = Qfg EijFhj = Rik.

EijFhk = P 办 EfjF }m = Qfg EijFhj = Rik.

Внутренним произведением двух тензоров называется результат операции свертывания, примененной к внешнему произведению данных тензоров, причем совпадающие индексы должны фигурировать по одному в каждом из сомножителей. Для справок приведем некоторые часто используемые в механике сплошной среды произведения тензоров, записанные в индексных и в символических обозначениях.

Внешнее

Внутреннее

произведение

произведение

индексные

символические

обозначения

обозначения

叫

Q也

a - b

а±Е jit

а 国=fk

a • E= f

a百产=hj

E - a = h

EijFhm

E“F阿—G『e

EF=G

ЕцЕкт

ЕцЕт = Bfm

E • E = (E)2.

Иногда пользуются свертками тензоров четвертого и более высокого рангов по нескольким парам индексов. Вот два таких

примера:

EijFkm свертывается в Е“尸“ или Е: F;

Е订Ek^Epq свертывается в Е^Е^Е^ или (Е)3,

Векторное произведение. Тензор Леви-Чивиты. Бивектор

Чтобы записать векторное произведение а X b в индексных обозначениях, удобно ввести тензор третьего ранга е^, известный как тензор Леви-Чивиты (альтернирующий тензор). Этот часто используемый тензор определяется следующим образом:

1, если значения индексов 厶 /,力 образуют четную

перестановку из 1, 2, 3;

—1, если значения индексов i, /,々 образуют нечетную Е"&=перестановку из 1, 2, 3;

О, если значения i, /, k не образуют перестановки из 1, 2, 3, т. е. если два или все три индекса принимают одинаковые значения

С помощью этого тензора векторное произведение а X b = с представляется в индексной записи так:

2订%0/b先=Ca(1-108)

Так же можно представить и смешанное произведение а X b • с =

入 * ^ijkGfifCk.(1.109)

Это же смешанное произведение формулой (1.52) задано в виде определителя, поэтому не удивительно, что тензор Леви-Чивиты часто используют и для выражения величины определителя третьего порядка.

Заслуживает внимания то обстоятельство, что ⑸汴 подчиняется правилу преобразования декартовых тензоров третьего ранга только в случае таких преобразований, у которых det 口厅=1 (например, при повороте осей). Если же преобразование таково, что det % = = —1 (например, преобразование отражения относительно одной из координатных плоскостей, в результате чего правая система координат превращается в левую), то формулу преобразования &沌 следует писать со знаком минус. Такие тензоры называются псевдогпензорам и.

Объект, определяемый равенством

q = “М 网(1-ПО)

называется бивектором произвольного декартова тензора второго ранга Ti； и является аналогом в индексных обозначениях вектора Tv диадика Т, который был определен формулой (1.15).

Матрицы Матричные представления декартовых тензоров

Прямоугольная таблица элементов, заключенная в квадратные скобки и подчиняющаяся определенным правилам обращения с ней, называется матрицей. (М X ^-матрицей называется матрица, которая имеет М (горизонтальных) строк и 7V (вертикальных) столбцов элементов. В символе 力小 которым изображают любой элемент матрицы, первый индекс означает номер строки, а второй ——номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент. Сама матрица обозначается символом своего типового элемента в квадратных скобках или той же заглавной рукописной буквой, что и элементы матрицы. Например, (М 义 TV)-матрица 4, или [力厅】， задается таблицей

4 =[/仃]=4 =[/仃]=(1.111)(1.111)4i '12 • • • 4川，21，22' • • ^2^

4 =[/仃]=

4 =[/仃]=

(1.111)

(1.111)

4Ml 4M2 -.. 4mn

Если M = N, то матрица называется квадратной матрицей порядка ^, Если М = 1, то получается (1 X ^-матрица; она обозначается [a\ki и называется матрицей-строкой. Соответственно (/И X 1)-матрица обозначается [〃必]и называется матрицей-столбцом. Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой. Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Если все диагональные элементы (от Ли до 4附附)такой матрицы равны единице, то матрица называется единичной. (N 义 М)- матрица 4。полученная путем перемены местами строк^стблйцов (M X /УУ-матрицы"^," называется^ п1ранспон1/рованной~матрш^ или транспозицией 4."*

Матрицы, имеющие одинаковое число строк и столбцов, можно складывать (или вычитать) поэлементно. Умножение матрицы [Aq ] на скаляр X дает матрицу [ХЛ1у ], Произведение двух матриц Л^ определено только в том случае, когда число столбцов в первом множителе Jl равно числу строк во втором множителе 毋.Произведением (М X Р)-матрицы на (Р X ^-матрицу будет (M X N)・ матрица. Умножение матриц обычно обозначается простым написанием их символов один за другим, например

4毋=G, или [Л^-] [Bjk] = [C(fe].(1.112)

Операция умножения матриц, вообще говоря, некоммутативна; 4毋=#毋4.

Квадратная матрица ^ называется вырожденной, если ее определитель I Aij I равен нулю. Алгебраическим_^ополнением /%

элемента 力方 квадратной матрицы 4 называется величина

^^{-^+> Мц,(1.113)

где Mij ——минор элемента А^, т. е. определитель квадратной матрицы, остающейся после вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится элемент Ац. Если каждый элемент матрицы 4 заменить его алгебраическим дополнением, а затем поменять местами строки и столбцы, то полученная таким образом матрица называется ирисоединенной (или взаимной) к матрице 4. Для любой невырожденной квадратной матрицы 4=［力订1 существует единственная обратная матрица 4一： которая по определению равна присоединенной к Л матрице, деленной на определитель матрицы 4, т. е.

(1-114)

Из определения обратной матрицы (1.114) следует, что

Л-1Л = &?т =及Л-1Л = &?т =及(1.115)(1.115)

Л-1Л = &?т =及

Л-1Л = &?т =及

(1.115)

(1.115)

где ?——единичная матрица, у которой по главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю. Она называется также тождественной матрицей, так как обладает свойством

(1-116)(1-116)?4 ~ 4? = 4.

(1-116)

(1-116)

Совершенно ясно, что ? является матричным представлением дельты Кронекера 6 叮 и единичного диадика I. Матрица Л, для которой Лг = =”， называется ортогональной. Для ортогональной матрицы 4 имеет место следующее равенство:

4T4=44Т=?. (1.117)

Так как в трехмерном пространстве можно любой тензор второго ранга выразить в девятичленной форме (1.53), а компоненты его записать в виде квадратной таблицы (1.62), оказывается крайне полезным представлять тензоры второго ранга (диадики) квадратными матрицами третьего порядка. Тензор первого ранга (вектор) можно записать либо в виде строки, т. е. (1 X 3)-матрицы, либо в виде столбца, т. е. (3 X 1)-матрицы. Хотя каждый декартов тензор, ранг которого не выше двух (диадик, вектор, скаляр), можно представить матрицей, не каждая матрица представляет тензор.

Если обе матрицы третьего порядка в произведении Л^ = С представляют тензоры второго ранга в трехмерном пространстве, то операция умножения матриц эквивалентна внутреннему произведению тензоров и в индексной записи выглядит так:

А“В/=С面 (1.118)

Дж. МеЙз

здесь индексы f, /, А принимают значения 1, 2, 3. Расшифровка формулы (1.118) дает правило умножения матриц по принципу «строка на столбец»: элементы z-й строки первой из перемножаемых матриц умножаются поочередно на элементы й-го столбца второй матрицы, эти произведения суммируются и дают элемент, стоящий на пересечении t-й строки и А-го столбца результирующей матрицы. Некоторые произведения такого рода, часто встречающиеся в механике сплошной среды, приведены здесь для справок и сравнения.

Скалярное произведение векторов:

а • b = b • а = X, [Gi/] [Ьп] = [К],(1119)

0也=瓦а» = '，[%，电，03]ь2 = m1Ь1 + 02b2 +a3Ь3】.

Скалярное произведение вектора на тензор второго ранга: а • Е = Ь, 〃昌=%,

£\1£12e13

[fll^ll + fl2^21 + &七31，

["]，a2,叫

^21e22 邑3

~ Q/l2 + a2e22 + a3e32,

七31E32 ЕзЗ-

Gi^i3 + &Е23 + ©з/з] •

в) Скалярное произведение тензора на вектор

Е ■ а = с, 舐=с.

(1.121)(1.121)й1^11 + &七]2 + 03e13 "1e21 + a2e22+a3e23 01e31 + ^2^32 +a3国3.й1^11 + &七]2 + 03e13 "1e21 + a2e22+a3e23 01e31 + ^2^32 +a3国3.Eiflj ~ С/, [Eij] [Gji] = [Q1],

(1.121)

(1.121)

й1^11 + &七]2 + 03e13 "1e21 + a2e22+a3e23 01e31 + ^2^32 +a3国3.

й1^11 + &七]2 + 03e13 "1e21 + a2e22+a3e23 01e31 + ^2^32 +a3国3.

Симметрия диадиков, матриц и тензоров

Согласно определению (1.36) (или (1.37)), диадик D называется симметричным (или антисимметричным), если он равен (или противоположен по знаку) сопряженному с ним диадику D,. Подобно этому тензор второго ранга D药 симметричен, если

Q“=D“，(1.122)

и антисимметричен, или кососимметричен, если

Dfj =—Dji.(1.123)

Поэтому аналогично (1.38) % можно разложить на два слагаемых:

Dq = % (。仃 + Dji) + % (% — Dji),(1,124)

или (в сокращенной записи)

(1.125)(1.125)5 = d ⑴)+ %订，

(1.125)

(1.125)

где индексами в круглых скобках обозначена симметричная часть DiSt а индексами в квадратных скобках ——антисимметричная часть.

Изменение порядка индексов у тензора второго ранга эквивалентно перемене местами строк и столбцов в соответствующей ему матрице; следовательно, квадратная матрица 4 симметрична, если она равна своей транспозиции 4‘. Таким образом, симметричная матрица 4 третьего порядка имеет только шесть независимых компонент и записывается в виде

「4]4 = 4 丁 =，i2「4]4 = 4 丁 =，i2”12 4 22 4 23”12 4 22 4 23(1.126)(1.126)

「4]

4 = 4 丁 =，i2

「4]

4 = 4 丁 =，i2

”12 4 22 4 23

”12 4 22 4 23

(1.126)

(1.126)

Антисимметричная матрица равна своей транспозиции с обратным знаком. Поэтому антисимметричная матрица 毋 третьего порядка имеет нули по главной диагонали и, следовательно, содержит только три независимые компоненты. Она выглядит так:

°当 2 &з

羽=—毋丁 = — В]? О В23 '(1.127)

_- % —&3°_

Свойства симметрии можно распространить на тензоры более высокого порядка (выше второго). В общем случае произвольный тензор называется симметричным относительно пары индексов, если значение каждой его компоненты не меняется при обмене местами этих индексов. Тензор антисимметричен по паре индексов, если замена их друг на друга ведет к изменению знака, но не абсолютной величины компоненты. Вот примеры свойств симметрии у тензоров более высокого ранга:

3)Rtjhm = Rihimб) &m = — &гitB)Gijkm — Gjthm = Gi/mk = Gjtmh ij ^ijk = ^ikj = ^kji = В世3)Rtjhm = Rihimб) &m = — &гitB)Gijkm — Gjthm = Gi/mk = Gjtmh ij ^ijk = ^ikj = ^kji = В世(симметричен по й и /), (антисимметричен по ft и i), (симметричен по i и /, А и 哨, (симметричен по всем индексам).(симметричен по й и /), (антисимметричен по ft и i), (симметричен по i и /, А и 哨, (симметричен по всем индексам).

3)Rtjhm = Rihim

б) &m = — &гit

B)Gijkm — Gjthm = Gi/mk = Gjtmh ij ^ijk = ^ikj = ^kji = В世

3)Rtjhm = Rihim

б) &m = — &гit

B)Gijkm — Gjthm = Gi/mk = Gjtmh ij ^ijk = ^ikj = ^kji = В世

(симметричен по й и /), (антисимметричен по ft и i), (симметричен по i и /, А и 哨, (симметричен по всем индексам).

(симметричен по й и /), (антисимметричен по ft и i), (симметричен по i и /, А и 哨, (симметричен по всем индексам).

Главные значения и главные направления симметричных тензоров второго ранга

В дальнейшем будут рассматриваться только симметричные тензоры с действительными компонентами. Это несколько проще в математическом отношении, а так как тензоры, важные для механики

сплошной среды, обычно симметричны, то мы не многим жертвуем, принимая такое ограничение.

Для каждого симметричного тензора 丁厅，заданного в некоторой точке пространства, и для каждого направления в этой точке (характеризуемого единичным вектором nJ существует вектор, определяемый внутренним произведением

“ =7\//・.(1.128)

Здесь Tij можно рассматривать как линейный векторный оператор, который ставит в соответствие направлению nL вектор 〃「 Если направление таково, что вектор vz параллелен и£, то указанное внутреннее произведение выражается скаляром, умноженным на 九厂 В этом случае丫个，

Tg = ^(1.129)

и направление & называется главным направлением или главной осью тензора Т,；. С помощью тождества и£ = 6勾〃/ соотношению (1.129) можно придать форму

(Л/ —九6疗)切=0, _(1.130)

которая представляет систему трех уравнений для четырех неизвестных / и А, соответствующих каждому главному направлению. В развернутой записи система, которую следует разрешить, имеет вид

(7\1 -入)九1 + A2k2 + T 13n3 = °,

721"1 + (T22 一%)九2+ T23/l3 = 0,(1.131)

T31^1 + T32^2 + (T33 一%)几3 = °。

Заметим прежде всего, что при любом 入 существует тривиальное решение щ = 0, однако нашей целью является получение нетривиального решения. Кроме того, вследствие однородности системы (1.131), не теряя общности, можно ограничиться только решениями, для которых %也 = 1. Начиная с этого момента мы будем требовать, чтобы это условие выполнялось.

Для того чтобы система (1.130)» или, что то же самое, система (1.131), имела нетривиальное решение, определитель из коэффициентов должен быть равен нулю, т. е.

|Т〃一入&/ = 0.(1.132)

В развернутом виде это кубическое уравнение относительно 入： 炉一k 九2+[[小一1% =o,(1.133)

которое называется характеристическим уравнением тензора Т；；, а его скалярные коэффициенты

1Т = Т〃 = tr Tq (след матрицы [Т“]),(1.134)

(1.135)(1.136)(1.135)(1.136)11т =丄％ (Т Q〃 一 т “办П1Т = I Tf/1 = det Гц

(1.135)

(1.136)

(1.135)

(1.136)

называются соответственно первым, вторым и третьим инвариантами тензора 7牙・ Три корня кубического уравнения (1.133), обозначенные 九⑴，入(2),入(з), называются главными значениями тензора 7^. У симметричного тензора с действительными компонентами главные значения действительны; если все они различны, то три главных направления взаимно ортогональны. В главных осях таблица из компонент тензора приводится к диагональной форме:

仆 I)00 \

Т = / 0 入⑵ О I-(1.137)

\о оh 丿

Если 入⑴=九(2), то диагональный вид тензора не зависит от выбора осей, соответствующих 入⑴ и 入⑵,и нужно установить только главную ось, соответствующую \з). Если все главные значения равны, то любое направление является главным. Если главные значения упорядочены, то принято обозначать их через 入⑴，入⑴)，％ih)и располагать в порядке убывания:入⑴ > А(ц)> Х(ш).

Преобразование от системы Ох^х^ к системе главных осей ОХ1Х2Х3 дается элементами таблицы

X；

ЙЦ = М1'

012 =危 D

013 = «311

X；

@I =常）

a22 -信"

&3 -忌）

031=〃I)

^32 =君

033 =也)

где 〃У — направляющие косинусы /-го главного направления.

Степени тензоров второго ранга. Соотношение Гамильтона — Кэли

Непосредственным матричным умножением квадрат тензора 才牙 получается как внутреннее произведение TikT^ куб ——как произведение TihTkmTmj и т. д. Таким образом, если 才厅 представлен в диагональной форме (1.137), то 〃-я степень этого тензора (и соот-

ветствующей матрицы) дается формулой

0

0 \

入G)

0

0 一

(Т)" =

%

0 I, или 夕也 =

0

喝

0

.(1.138)

\0

0

喝丿

_0

0

嗎一

Сравнение (1.138) и (1.137) показывает, что тензор Т叮 и все его целые степени имеют одни и те же главные оси.

Все главные значения удовлетворяют уравнению (1.133), а матрица имеет диагональный вид (1.138), поэтому сам тензор Т будет удовлетворять уравнению (1.133). Таким образом,

夕 з _ % 夕 2 + н實夕—и%? = 0,(1.139)

где J ——единичная матрица. Это соотношение называется соотношением Гамильтона ——Кэли. Умножим каждый член этого соотношения (1.139) на 夕 по правилу перемножения матриц и придем к равенству

夕 & = % 夕 з — II,夕 2 + hi,夕(1Д40)

Исключая 夕з Из (1.140) и (1.139), будем иметь

夕4 =偿—％)夕2 +(]& — ItIIt)夕 + ITIIIT7. (1.141)

Продолжая эту процедуру, можно получить все целые положительные степени 夕 в виде линейных комбинаций 彳厶夕 м ?・

Тензорные поля. Дифференцирование тензоров

Тензорное поле ставит в соответствие каждой точке пространства и каждому моменту времени (х, /) тензор Т (х, 0, где радиус- вектор х меняется в заданной области пространства, а / — в заданном интервале времени. Тензорное поле называется непрерывным (или дифференцируемым)» если компоненты Т (х, 0 являются непрерывными (или дифференцируемыми) функциями х и L Если компоненты тензора зависят только от х. то тензорное поле называется стационарным.

В ортогональной декартовой системе координат, где радиус- вектор любой точки имеет вид

х = х©,(1.142)

поля тензоров различного ранга можно записать в индексных и символических обозначениях, например

скалярное поле 屮=屮(хь f), или 屮=屮(х, f),(1Д43)

векторное поле у£ = f£ (х, /), или v = v (х, О, (1.144)

поле тензора второго ранга Тц = ^-(х, /),

или Т = Т (х, /)•(1.145)

Дифференцирование компонент тензора по координате 匕 обо* значается дифференциальным оператором д/дхь или сокращенно в индексной записи 0“ что указывает на то, что это тензорный оператор первого ранга. В символических обозначениях для записи этой операции употребляется общеизвестный символ V (набла), который расшифровывается так:

V =屮-Д- = еД(1-146)

Частное дифференцирование по переменной 々 иногда изображают нижним индексом после запятой, как показано в следующих примерах:

а)

卽 дх{

=Ф.ь

Г)

d2s dxjdxk

=3 g

б)

dvi дх(

=*

Д)

% d硃

=7%后

в)

dvi dx(

e)

叫 б%田 %m

=Т",Ьп・

Эти примеры показывают, что при дифференцировании оператор @ приводит к тензору на один порядок выше исходного, если i остается свободным индексом (случаи «а» и «в»), и к тензору на один порядок ниже исходного, если i становится индексом суммирования (случай «б»).

Здесь для справки приведены некоторые важные дифференциальные операторы, часто употребляемые в механике континуума:

grad(p = V<p=^e“

или

^Ф =中中

(1.147)

div v = V v,

или

4s =

(1.148)

rot v = V X v.

или

eijkdjVk = eqkVk.h

(1.149)

V2(p = V - V(p,

или

%屮=

(1.150)

Криволинейные интегралы. Теорема Стокса

Пусть в данной области пространства в каждой точке кусочно гладкой кривой С, изображенной на рис. 1.10, определена вектор- функция F = F (х). Если dx ——элементарный вектор касательной

к кривой в произвольной точке Р, то интеграл

хв

(1.151)(1.151)J F - dx = J F • dx,с«л

(1.151)

(1.151)

взятый вдоль кривой от Д до В, называют криволинейным интегралом от функции F по контуру С. В индексных обозначениях интеграл (1Л51) имеет вид

(1.152)(1.152)

(1.152)

(1.152)

Теорема Стокса утверждает, что криволинейный интеграл от функции F вдоль замкнутой стягивающейся в точку кривой С

(рис. 1.11) можно представить в виде интеграла по любой двусторонней поверхности S, границей которой служит контур С, т. е.

(1.153)(1.153),F • dx = §п • (V х F)dS,

(1.153)

(1.153)

где п —— единичный вектор нормали на положительной') стороне St a dS — элемент поверхности, показанный на рисунке. Формулу (1.153) можно записать и в индексных обозначениях:

$尸,d/y九步2用fkjdS.c s$尸,d/y九步2用fkjdS.c s(LF54)(LF54)

$尸,d/y九步2用fkjdS.

c s

$尸,d/y九步2用fkjdS.

c s

(LF54)

(LF54)

Выбор положительной стороны S однозначно определяется направлением обхода контура С по правилу правого винта.— Прим, перев.

Теорема Гаусса — Остроградского

Теорема Гаусса— Остроградского (теорема о дивергенции) дает преобразование интеграла по объему в интеграл по поверхности. В обычной формулировке теорема утверждает, что для векторного поля V = V (х)

(1.155)(1.155)j div vW = J n • vdS, Vs

(1.155)

(1.155)

где n -^единичный вектор внешней нормали к поверхности 5, ограничивающей объем У, внутри которого определен вектор v. В индексных обозначениях формула (1.155) принимает вид

vitidV = § v^dS.vitidV = § v^dS.(1.156)(1.156)

vitidV = § v^dS.

vitidV = § v^dS.

(1.156)

(1.156)

Рис. 1.12.Рис. 1.12.

Рис. 1.12.

Рис. 1.12.

Теорема Гаусса — Остроградского в форме (1.156) может быть обобщена на поля тензоров любого ранга. Так, для произвольного тензорного поля Г^... теорема утверждает, что

У Tt海…,pdV =，Tijk，. .MpdS. (1.167)

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

Алгебра векторов и диадиков (§ 1.1—1.8)

В ортогональной декартовой системе координат (рис. 1.12) определить: а) единичный вектор, параллельный вектору v = 2i +

+ 3j — 6k; б) единичный вектор прямой, соединяющей точки Р(1, 0, 3)mQ(0,2, 1).

(v| = о =

-”2)2+ (3)2+ (—6)2 二 7,

c == V/u = 2炉+%；一%£

Вектор, идущий из Р в Q, есть и^ (О — 1)Г+ (2 —0) J+ (1 —3)к = =—f+2f— 2k, |u)=h一1产 + ⑵2 + (-2)2 = 3. Таким образом,

илиилинаправлен от Р к Q направлен от Q к Р,направлен от Р к Q направлен от Q к Р,:=-%f+ 2冴一2底 7=啕1/3+喺

или

или

направлен от Р к Q направлен от Q к Р,

направлен от Р к Q направлен от Q к Р,

Доказать, что вектор v = ai + bj + ск перпендикулярен плоскости, заданной уравнением ах -}- by + cz = 7^ (рис. 1.13).

Пусть Р (ri,弘，4)и Q (%& 界，г2)— две любые точки этой плоскости. Тогда axi + by\ + czi = X и 〃尤2 + Ьу2 + с& = =X, а вектор, соединяющий эти точки, есть u = (^ —石)» + ®£ —弘)j + ⑵一 —zj к. Проекция вектора v на направление и равна

U ■ V 1ЛА

2 —— = — К& — 〃)i + 仇一也)1 +

+ (方一/)G •[点+价+而=

=—(〃尤2 + 勿 2 + % — "1 — by* —标1) = —-— = 0.

Так как u — любой вектор, лежащий в плоскости, вектор v пер пен дикул ярен этой плоскости.

Пусть г — xi 4- f/j + zk ——вектор,, идущий из начала в произвольную точку Р (尤,乡，г), a d = ai + 6j + ск — некоторый постоянный вектор. Показать, что (г — d) • г = 0 есть уравнение сферы.

Раскрывая скалярное произведение, будем иметь

(Г-d). r=[(z-fl)r+(z/-6)l+(2-c)k] . И +Л+^] =

Добавляя <Р/4 = (а2 + 匕纟十 с2)/4 к правой и левой частям этого уравнения, получаем

(х 一 力2)2 十® — 6/2)2 + (z _ #2)2 = (d/2)2,

т. e. уравнение сферы с центром в точке d/2 и радиусом d/2.

Доказать что [а • b X с]г = (а • г) b X с + (Ь • г) сХа 十 + (с • г)а X Ь.

Рассмотрим произведение а X [(b X с) X г]. Раскроем векторное произведение в скобках

а X [ф X с) X г] = а X ЦЬ * г) с — (с ■ г) Ь] = — (Ь • г) с х а — (с • г) а X Ь;

С другой стороны, полагая b X с == v, напишем

а X [(b X с) X г] = а X(V X г) = (а • г) b X с — (а - b х с)г.

Таким образом,

—(b-r)cxa — (c-r)axb=(a-r)bxc — (а*Ьхс)г

и, следовательно,

(а • b X с) г == (а • г) b X с + (Ь ■ г) с X а + (с ■ г) а X Ь.

Это тождество полезно, когда перемещение твердого тела определяется через перемещения трех произвольных его точек.

Показать, что а • b X с = 0, если векторы а, b и с линейно зависимы. Проверить линейную зависимость (или независимость) следующей тройки векторов:

u = 3i 十 j— 2k,

v = 4i — j—k,

w = j — 2j + k.

Векторы a, b и с линейно зависимы, если существуют коистаиты 1, pt и v, ие все равные нулю и такие, что Ха + цЬ + vc = 0. Это векторное уравнение дает в компонентах три скалярных

入& + 叫 + vc# = О,

匕/ + ^у 十 vcy = 0,A〃Z + 血 + "VQ = о.

Эта система имеет ненулевое решение для 入,卩 н v только в том случае, когда детерминант из коэффициентов обращается в нуль

0尤 % cк

ау % су =。，

0262 Q

а это эквивалентно равенству а ■ b X с = 0. Для предложенной тройки векторов и, V, w

1 —2

— 1 — 1 = 0.

1—21

Следовательно, эти векторы u, v, w линейно зависимы. В самом деле, v = и + + w.

Показать, что любой тензор второго ранга, заданный в виде суммы N диад, можно свести к сумме трех членов, если использовать базисные векторы е】，е2, е3 в качестве: а) первых сомножителей, б) вторых сомножителей в диадах.

Пусть D = aibi + а* + …а^Ьд； = а/b/ (с = 1, 2,…，N).

Запишем все первые сомножители диад а^ через базисные векторы: а/ = Л/\ЛЛАА人

=。1户 + “2^2 +。3产3 =勺©, тогда D =勺e/bt =旬(。户瓦)=е/с/, где / = =L 2, 3.

Аналогично, представляя 岳 в виде 瓦=6户ej, получаем D = а^у£е/ = =(勿叫"=g/е/, где / = 1,2, 3.

Показать, что для произвольных диадика D и вектора v справедливо равенство D ■ v = v ■ Dc.

Пусть D = аМ + a2b2 + . . + a^by Тогда

D • v = ал (bj • v) -]- a2 (bz “ ▼) + ■ ■ ■ + @n 8川 * v)=

=(v ■ к) ai + (v ■ b2) a2 + - - - + (v • b^) a^ =v ■ Dc.

Доказать, что (D© ■ D)c = Dr • D.

Согласно (1.71), D = &产咼 и Dtf = D,网纽.Поэтому

Pc • D = £)两已卢/ • DpqBpBg = DjQpq © • €p) &eq и

(Dc • D)c = DjQpq (勺 * ep) %舟=Dpq®q (вр • ej)齿。戸匸 Dpq^q^p ■ ^/ie/e£ =必• D.

Показать, что (D X v)r = ■—v X D「

D x v = а! (ЬЛ x v) + a2 (bj； x v) + …+aN(b^ X v),

(D X v)c =(瓦 X v) 3i + (b2 X v) a2 + …十(端 X v)aw ^

=一 (v x bj) аг 一 (v х b2) a2 一 ・•・一(v X b# a# =

=—v X Dc.

A 人Л ЛA A

Пусть D = ai i 十 bj j 十 ckk, а г— радиус-вектор, г= = %i + yj + zk. Показать, что уравнение г • D ■ г = 1 представляет эллипсоид ах2 + by2 + с^ = 1.

г . D . г = (Я 4- у] + zkj . (^?+6j j + ckk).(工+加 + 而二

n 优 + 用 十 zk) • (azi + bt^+ сгк) = ах2 + by 十 с№ == I.

Для тензоров D == 3t t + 2j j ■— jk + 5kk и F = 4ik + + 6j j *— 3kj + kk вычислить и сравнить двойные, скалярные произведения D : F и D • • F.

По определению ab ： cd = (а • с) • (Ь • d), следовательно, D : F = 12 + 5= =17. Аналогично ab- -cd = (Ь • с) (а • d) и, следовательно, D …F = 12 十 + 3 + 5 = 20.

Определить диадики G = D- FhH = F-D, если D и F — тензоры, указанные в задаче 1.11.

Воспользуемся правилом умножения диад ab • cd = (Ь ■ с) ad. Тогда

АА АА 人 ААА/ч/чАА А 人 /\А

G= (3i i + 2j J —J k + 6kk) - (4i k + 6J J —3kJ + kk)₽

=12i k + 12j J + 3j j —jk — i5kj + 5kk.

Подобным же образом

AA AA AA AA八八 AC A AAA

Hn (4ik + 6j j —3k j + kk) • (3i i + 2j j —j k + bkk) =

= 20i k+ 12J J —6j k —6k j +8kk.

Исходя из девятичленной формы записи тензора второго ранга D, показать, что его можно представить в виде D = (D • i)i + + (D・j)j+(D・k)k;показать также, что

；，D • i = D^ f • D • j = Dxy и т. д.

Напишем D в девятичленной форме и перегруппируем члены

D = (DXx i + Dyx j + Q* к) i 十(Pxy i + Oy# j + ^zy k) j 十

+ tP^+Dy^Dz^ =

= dJ + dsf+d3k = (D ■ § f+(D . j) j+ (D ■ £)%.

Следовательно,

i . dj = i • (D • i) = i • (pxx i + Dy* j + D^# k) = Dxxt

j •山=j • (D • i)=与#, j • d2~ J • (D ■ j) = Dyy и т. д.

Показать, что для антисимметричного тензора второго ранга А и любого вектора b выполняется формула 2Ь - А = Ао х Ь.

Из задачи 1.6,а имеем А = eici + е2С2 + е3с3; вследствие антисимметрии тензора А можно написать 2A = (А — А) или

八人八八入A

2A = (ejCj 十 e2c2 + e3c3 — с1е1 — C2e2 — сЗеЗ)=

с/Ч/\Сс/\

=05 — С1е1 + еаС2 — с2е2 + 已3匸3 — сзез) • Поэтому

2Ь ■ А= I(b・ ejg—(b・ С]) ej+ [ф ■ ej с2 — (Ь ■ cj е21 +

+ [Ф • е3) с3 —(Ь ■ с3) е3]=

=[(ei X q) X b + (е2 X 3 X b + (е3 X с3) X b] = (А。X Ь).

1J5. Пусть D = 6i i + 3i j + 4kk и u = 2t + k, v = 5j. Показать непосредственным вычислением, что D • (u X v) = (Dx u) - v.

Так как u X v = (21 + k) X 5j = 10k — 5i, to

D - (UX v) =(a?+3?f+4kk) ■ (—5；+ 10k) = —30?+40k.

С другой стороны,

Dxu = (6ii + 3ij + 4kk)X(2i + k) = — 6ik + 8kj — 6ij + 3ii

(Dx u) • v= (3 仃一6仃一 6?k+8kft . 5f = —30?+40 匸 1.16. Рассматривая диадик

D = 3ii —4ij*2ji +jj+kk как линейный векторный оператор, найти вектор 匕 который получается при действии оператора D на вектор г =4i + 2j+ 5匸(рис. 1.14).

У = D・ r = 12?+81—8^i + 2j + + 5k = 4?+ 10[+5k.

Определить диадик D, который служит линейным векторным оператором для вектор-функции а = f (b) = b + b X г, где 「=方 十 pj 十 z£ a b1— некоторый постоянный вектор.

При помощи формул (1.59) и (1.60) построим векторы

и=и G)=q+1x==?一疔+余

V = f (J) =1 + J X Г = z^ +1 — z k,w = f (6) = k + k x「= — у i + zf + k.

Тогда

АААССAA/V ZX/\ 人/\Л Л Л

D = ui + vj+wk=(i-zj + t/k)i+(zi + J —xk) j+(_yi + w + k)k

a = D • b = (b* + byZ ^― bQj i + (~~ 匕*z + % + 匕z%) j + 3#У — b/ + 尼)k.

Для проверки можно получить тот же результат, непосредственно раскрывая век- тор-фуикцию:

a = b + bxr = % i +%) + %£ + фух — bgy) i + 也尤—％乞)]十(匕火一％%)£,

Выразить единичные векторы еф, ее, ег через i, j, к и показать, что этот триэдр составляет правую систему, т. е. что еф X ее —

отсюдаотсюда=4・

отсюда

отсюда

Непосредственным проектированием (рис. 1.15) найдем

е屮=(cos <р cos 6) i + (cos 屮 sin 6) j —

-(sin 屮)k,

(—sin 6) i + (cos 6) J,

% = (sin 屮 cos 0) i 4- (sin 屮 sin 6) j 十+ (cos Ф)k;

f j k

cos 屮 cos 6 cos ф sin 6 — sin 屮

—sin 6cos 00

=(sin ф cos 0) i + (sin <p sin 6) j + [(cos2 6 + sin2 G) cos <p] k = еЛ.

Разложить тензор D = 3ii + 4i£ + 6j i 十 7j j+ lOki + + 2kj на симметричную и антисимметричную части.

Пусть D = Е + F, где Е = Ес и F = —Fc. Тогда

Е = % (D + DJ = % (6 汗+4 限+4 £『+б"+6仃+14 仃 +

人人人人人人/4A

+ 10ki+10ik+2kj + 2jk) =

= 3ii + 3ij + 7ik + 3Ji + 7JJ + Jk+7ki +

+&i=Ec,

Л Л人人A/\人人Л Л

F = % (D — DR = % (4 i к — 4 к i + 6 j i — 6 i j + 1 Ok i —

—10 i k + 2k j —2 jk)=

= —3ij —3ik + 3Ji—jk+3kl + kj = —Fc

Векторы а, а, а образуют взаимный базис для базисных векторов аъ а2, а3 (не обязательно единичных), если а» • а，= 6仃. Найти необходимые соотношения для построения взаимного базиса и выполнить эти вычисления для следующих базисных векторов:

Ь]=或 + 近 b2 = - i + 2j + 2k, b8 = i + j + k.

Согласно определению, ai ■ a1 = i, аг • a1 = 0, a3'- a1 = 0. Следовательно, а1 перпендикулярен векторам аг и a3 и поэтому параллелен аг X а3, т. е. а1 = =X (as X а я)- Так как ai ■ а1 = 1, то % • Хая X а3 = 1 и % = i/(ai ■ а? X а3)= ~ l/[aia2a3j. Таким образом, мы нашли общее правило получения взаимного базиса:

ai = а2 X @з , а2 a? х а】, fl3 = а】X % [а1а2а3]'【分代岂吗]*[аха2аз1

Для указанных базисных векторов bi, Ьз, Ь3 имеем i/X = bi ■ Ьг X b3 = 12 и, следовательно,'

Ы = (ЬгХЬ3)/12 = б-Ю/4,

Ь2 = (% X Ь])/12 = — 沦 + «4 + £"2,

b3 =(瓦 X %)/12 = 2i/3 —j/2 + 5k/6.

Индексные обозначения — декартовы тензоры (§ 1.9-1.16)

В трехмерном пространстве расшифровать следующие тензорные символы (тензоры декартовы): Ди, 瓦力 R〃 生7“，а【勿S^

Ац представляет одну сумму: 4〃 = Дц + Д22 + Д33;

6j万 представляет три суммы：

%7〃 представляет три суммы:

D2)aD2)a12 312 3а/й +0广2I +03731， 01t12 +02722 +03792， 。/W +。27 23 +。3北3；

D2)a

D2)a

12 3

12 3

сумму девяти членов. Первое суммирование по t дает QibiSti = dibjSij + azbiSzj + g36/S3/. Затем каждое из этих трех слагаемых суммируем по /:

am5计=a1匕1S11 +a1力2s12 + %%s13 +a2bls2i+a2力2s盟+

+ a^З*З +03 瓦 s31 +a3力 2s32 + а3^363з.

В трехмерном пространстве вычислить следующие выражения, содержащие дельту Кронекера 6^: а) 6拉，б) 6^6；；, в) 8ij^tk^jk, г) 6加加 д) ^ijAiii^

6屈=бц + ^22 + 633 = 3.

6*"=毎自,+ 62/62/ + 63/63/ = 3・

в)也向面孩=6我丄就我+ 62j%6/ + 63再32/П 3.

г) 6渺拒=6/i&左 + 6i262ft + "363也=Stfe.

Д)6"4女 =а/4也 + 6可&? + S3/^3fe = Л/fe.

Для тензора Леви-Чивиты е廿左 непосредственным расписыванием по индексам показать, что: а) &沛е^, =■ 6, б) &报а* = =0.

Просуммируем сначала по /I

Затем суммируем по /, записывая только отличные от нуля члены:

^ijk^ful = ^12keklt + ^lak^kis + Egl^E左21 4" ®23也£阮3 + SlkE 尼31 + е82ЙеЙ32

Наконец, суммируем по 电 опять оставляя только ненулевые члены:

et/feeW/ = е123е312 + е132е213 + е213е321 十 62 31£123 + е312£231 十 £321е132 =

=(1)(1) + (- 1) (一 I) + (- 1)(- I) + (1)(0 + (i)d) +

+ (-i)(-l) = 6・

Суммируем по /, потом no fe:

^ifk^iak = E以左01а在+ E纹k&a也+睨3々a3队 n

=&1201°11 + £"3°1°3 + 氏m口3al + E 仅 3°243 + £i3103°1 + &3203°2。

Из этого выражения получим:

при t

i

4旅因0也=

④03 -

^з^а

=0,

при t

=2

E2/fta/afe =

а1аз —

a3"1

==0,

при i

=3

^3fkafak =

0102 -

门№

=0.

Заметим, что £芍也勿《也 является индексной формой записи векторного произведения вектора а самого на себя и, следовательно, а X а = 0*

Определить компоненту f2 данных ниже векторов: а)介 口 =^ijkTjkr 6) /j =以/瓦 cj,^h в) Bi,j.

/2 = %/&7/ = 2213Tl3 + 2231T31 ^ — 丁13 + 丁31・

/а q %/瓦+3,2% + f2.3^3 - %2瓦亠e2,2瓦亠气2% =" =(c2,l — 6»2)瓦 +(c2.3 — %.2)%•

в)府==821fl + 832/2 + ^23^3 *

Написать в развернутой форме и по возможности упростить выражение 5咨西,если: a) Dq = D*, б) D^ = —О戸.

Имеем

& 产i 尤/ н Dxj^i^j + ОдуХяЛу 十 £)з/尤// —

=^1Л^1 + Di2〃*3 + D]3尤/з + Dzi尤#1 + D22z2z2 十

+ 53/& + D3/3 / + D3产3%2 +d33 元3 尤3，

Поэтому'

DgXiXj = L)11 (尤 1)2 + d22 (元2)2 + d33 (元3)" + 2D12元 1尤2 + 2l)23*2*3 + 2D13*1*3；

DqXiXj = 0, так как Dlt = — DX1, D12 == — D21 и т. д.

Показать, что ^ij^kpq = ^ip^jg— 6fg%p： а) при i = 1, j==g = 2, р = 3н6) при f = q = 1, / ^ p = 2. (В задаче 1.59 будет доказано, что это тождество справедливо при любом выборе индексов.)

Положим г = 1,/=2, р=3, д=2н заметим, что 々一индекс суммирования и, следовательно, пробегает значения 1, 2, 3. Тогда

Ef掖“pg и C12feefe32 н е121е132 十 е123еЕ32 + Е123£332 = °”

^ip^jq — ^iq^lP = Мз% — 九必=0.

Пусть i=l, /и 2, p = 2, <7 = i ■ Тогда ^ijk^kpq = ехаз€з21 匸—1 и 4p0g — ％)p = ^12^21 — 611d22 н — L

Показать, что тензор Bik q Et/^a/ антисимметричен.

В соответствии с определением %» перемена местами двух индексов ведет к изменению знака, так что

Bik = ^i^i u 一("严) = - (8品)=-Bki-

Пусть задан антисимметричный декартов тензор 5仔 и вектор 仄=х/8 ^ijkBjk- Показать, что Bpq = £同力「

Умножим данный вектор иа £夕炉 и воспользуемся тождеством, доказанным в задаче i.26:

£西也=% BpqFt/Bj1t H % ^pfiqk —"曲 ％)8掖= ”2(Bpq —弟口)= % (Bp。+ Bpj = Bpg.

Непосредственным вычислением найти компоненты метрического тензора в сферической системе координат, изображенной на рис. 1.7,6.

Формулу (1.87) запишем в виде gpq = (d符/ОВр) 0尤f/dBg). Нумерацию координат примем такую, как показано на рис. L16 (г = Bi,屮=Оэ, G = 08). Тогда

尤1 = Bi sin 62 cos G3t尤2 = ^i sin 02 sin 03,尤3 = 6】cos 62,

Следовательно,

。修。修sin 62 cos 63,sin 62 cos 63,ae20尤2ae20尤24 cos 62 cos 63,4 cos 62 cos 63,=4 cos 62 sin 63,=4 cos 62 sin 63,羽30尤2丽羽30尤2丽—4 sin 62 sin %,—4 sin 62 sin %,=仇 sin 62 cos G3,=仇 sin 62 cos G3,=sin 62 sin 63,=sin 62 sin 63,61 sin 62,61 sin 62,羽2羽2ae.ae.Отсюда найдемОтсюда найдем0630%0630%叫 次叫 次。& 取3。& 取3。修。修dx{ 0/ 0仇082dx{ 0/ 0仇082W = o-W = o-gu = "^ "^" = si" e2 coS^ e3 ++ sin2 62 sin2 03 + cos2 %=1，gu = "^ "^" = si" e2 coS^ e3 ++ sin2 62 sin2 03 + cos2 %=1，=0)cos2 62 cos2 63 +=0)cos2 62 cos2 63 ++e： с* e2 sin2 e3 + ef sw e2 =時+e： с* e2 sin2 e3 + ef sw e2 =時L = e； sin? e2 sin2 e3 + e； sin2 e2 cos2 e3 = e； sin2 e2.L = e； sin? e2 sin2 e3 + e； sin2 e2 cos2 e3 = e； sin2 e2.

。修

。修

sin 62 cos 63,

sin 62 cos 63,

ae2

0尤2

ae2

0尤2

4 cos 62 cos 63,

4 cos 62 cos 63,

=4 cos 62 sin 63,

=4 cos 62 sin 63,

羽3

0尤2丽

羽3

0尤2丽

—4 sin 62 sin %,

—4 sin 62 sin %,

=仇 sin 62 cos G3,

=仇 sin 62 cos G3,

=sin 62 sin 63,

=sin 62 sin 63,

61 sin 62,

61 sin 62,

羽2

羽2

ae.

ae.

Отсюда найдем

Отсюда найдем

0630%

0630%

叫 次

叫 次

。& 取3

。& 取3

。修

。修

dx{ 0/ 0仇082

dx{ 0/ 0仇082

W = o-

W = o-

gu = "^ "^" = si" e2 coS^ e3 ++ sin2 62 sin2 03 + cos2 %=1，

gu = "^ "^" = si" e2 coS^ e3 ++ sin2 62 sin2 03 + cos2 %=1，

=0)cos2 62 cos2 63 +

=0)cos2 62 cos2 63 +

+e： с* e2 sin2 e3 + ef sw e2 =時

+e： с* e2 sin2 e3 + ef sw e2 =時

L = e； sin? e2 sin2 e3 + e； sin2 e2 cos2 e3 = e； sin2 e2.

L = e； sin? e2 sin2 e3 + e； sin2 e2 cos2 e3 = e； sin2 e2.

Рис. 1.17.Рис. 1.17.

Рис. 1.17.

Рис. 1.17.

Кроме того,今g = 0 для р # д. Например,

gl2 =gl2 =0比0仇0比0仇(sin 62 cos 63) (6Х cos G2 cos 03)+

gl2 =

gl2 =

0比0仇

0比0仇

+ (sin 62 sin G3) (6X cos 02 sin 63) — (cos %)(瓦 sin 62) = 0.

Таким образом, в сферических координатах

илиили@)2 = (dR)2 + (&)2 (d&)2 + (& Sil! 6S)2 (d%)2,

или

или

(ds)2 = (dr)2 +「2 (d屮)2 + (r sin 屮)2 (dH)2.

Показать, что длина линейного элемента ds, соответствующего приращению криволинейной координаты d&, равна ds =丿纟口/^上 (не суммировать!). Применить полученный результат к сферической системе координат (за

дача 1.29).

Запишем формулу (i.86) в виде (ds)2 = gpg dBpd%. Тогда для линейного элемента (d&, 0, 0) получим выражение (ds)51 = gu (d4)2 н ds = J尸瓯曲3 Аналогично для (0, dBz, 0) получим ds = Г g22 d&, а для (0, 0, d63) получим dS=卜'g33曲3. b сферической

системе координат (рис.системе координат (рис.для (d4, 0, 0)для (0, d*, 0)для (0, 0, d%)для (d4, 0, 0)для (0, d*, 0)для (0, 0, d%)имеем следующие выражения!

системе координат (рис.

системе координат (рис.

для (d4, 0, 0)

для (0, d*, 0)

для (0, 0, d%)

для (d4, 0, 0)

для (0, d*, 0)

для (0, 0, d%)

ds = d4 = dr;

ds = 6屈％ = rdcp;

ds =也 sin 62d03 = r sin 屮d6.

Пусть P12— угол между линейными элементами (d0lf О, 0) и (0, d02, 0). Показать, что соз Р12 =

Пусть dsi = l^^udOi — длина линейного элемента (dBi, 0, 0), a ds2 n 匸 V&s ^2 — Длина линейного элемента (0, dB?, 0). Тогда квадрат длины (ds)2 линейного элемента (dR, d% 0) можно вычислить так: (ds)* = 2 cos piadsi^ + + (rfsj8 + (公2产・ С другой стороны,

(ds)2 = dxidxt = gud 餾 + g22d6| + 2gy&dd.

Отсюда, пользуясь результатом задачи 1.30, получаем

COS p12 H gi2COS p12 H gi2dd d%dd d%10；隔'10；隔'

COS p12 H gi2

COS p12 H gi2

dd d%

dd d%

10；隔'

10；隔'

修修尤зcos 6sin 60— sin 6COS00001修修尤зcos 6sin 60— sin 6COS00001нусов:нусов:Рис. 1.18.Рис. 1.18.

修

修

尤з

cos 6

sin 6

0

— sin 6

COS0

0

0

0

1

修

修

尤з

cos 6

sin 6

0

— sin 6

COS0

0

0

0

1

нусов:

нусов:

Рис. 1.18.

Рис. 1.18.

Оси декартовой системы координат Ох\Х2Х3 получены поворотом системы Охгх2х3 на угол 0 вокруг оси х3. Определить коэффициенты преобразования &叮 указанных осей и найти компоненты вектора v = ^е,十 v2e2 + и3е3 в системе со штрихами.

По определению (см. § i.13) о方=cos (勺，纟).Углы между соответствующими осями указаны на рис. LI8, что позволяет наити таблицу направляющих коси

Таким образом, тензор преобразования имеет вид

(cos 0 sin 0 0

—sin 6 cos 6 0

00

По правилу преобразования векторов (1.94) получаем

q = ayVf 匸 и】 cos В +。2 sin 8,

。2 = a/j == — q sin 6 十卩2 cos 6,

方=&/0/ = %•

1.33. В приЕеденной таблице частично заданы направляющие косинусы углов к:ежду ссями двух декартовых ортогональных систем координат. Определить элементы нижнего ряда таблицы так, чтобы система 0х\х^ была правой.

Л , А, Л,А，ЛА人/кА

равенство е3 = е,X е2>или е3= (3/Б q— 4/ь е2) Xе3= — 3/Б е2 — 4/5 е> Та

ким образом мы получим третью строку таблицы:

尤31 —%

0

Пусть углы между направлениями осей координат системы со штрихами и системы без штрихов даны в следующей таблице;

4

4

△

135°

60°

120°

90°

45°

45°

45°

60°

120°

Определить коэффициенты преобразования а叮 и показать, что выполнены условия ортогональности.

Коэффициенты с^ являются направляющими косинусами и могут быть сразу вычислены в соответствии с данной таблицей углов. Таким образом,

(

-⑺哼 1/2- 1/2 \

О 1//21//2 .

1/)^2 1/2— i/2 /

Условия ортогональности 。疗々在=6沛 требуют, чтобы выполнялись следующие условия:

при j = 论 = 1 должно быть аийц + a21a21 + с31с31 = 1; левая часть, очевидно, представляет собой сумму квадратов элементов первого столбца;

при / = 2,左=3 должно быть выполнено равенство а12а13 + a22a?з + +。32口33 = О» левая часть которого является суммой произведений соответствующих элементов второго и третьего столбцов;

сумма произведений соответствующих элементов любых двух столбцов

должна быть равна нулю; сумма квадратов элементов любого столбца должна быть равна единице.

Если условие ортогональности записано в форме a^aw = S^, то вместо столбцов перемножаются строки.

Указанное выше решение удовлетворяет всем этим требованиям.

Показать, что сумма ХД^ + 卩5叮 представляет компоненты тензора второго ранга, если известно, что 4叮 и В仃——тензоры второго ранга.

Согласно формуле (1.103) и условию задачи 4 厅=apiaq^PQ и 约；=ар1а^В^ Отсюда'

入4/ + uВa=入 @产川尸 + " &,•%/%j = %%/ 伙4/ + "叽)， а это значит, что указанная сумма преобразуется как декартов тензор второго ранга.

Показать, что (Pt伸 + Pjki + PjiC 尤西冲=3Pt泌尤冰网.

Так как все индексы являются немыми и, следовательно, порядок написания переменных jq не играет роли, все слагаемые эквивалентны друг другу. Это легко показать, введя другие немые индексы. Так, заменив i, /, k во втором и третьем членах на р, д, г, получим

PljkXiXjXk + PqrpXpX/r + Pw，XpX 产г.

Теперь вернемся в тех же членах к прежним индексам суммирования i, /, й и получим сумму

pijkxixixk + 片衣佈Q 巧 + pi^i^k = 3 修脩西/.

Пусть Bij——антисимметричный и 4芍一симметричный тензоры. Показать, что 4也“ = 0.

Так как 4“ = 4* и 纥『=—8户,т。4产tj =—"户％с или 4*“ + А^В^ = = 4jB“ + ApqBpq = 0. Поскольку все индексы являются немыми, 4pgBpg = =4,,8［尸 и поэтому 2А^В^ = 0, или А“В“ = 0.

Показать^ что квадратичная форма Diixixl не изменится» если вместо тензора Dr взять его симметричную часть D^^.

Разложим 口幫 на симметричную и антисимметричную части:

% = D(t,)+ D闻=% (D// 十 Dj〉+ % (D“ 一 D“)・ Тогда

D(")皎打=% (% + D户)符尤/ = % (4产切+%产产P)= Dijxixr

Используя индексные обозначения, доказать векторные тождества

а X (b х с) = (а • с) b — (а • Ь) с, 2) а X b • а = 0.

Пусть V = b X с. Тогда и(= 々山“，и если а X v = w, то

呻=Epqia^ijk^ick =

=(%bqh — SpASfl/) aQbjCk = (см. задачу 1.26) ==dqbpCq — GqbqCp = (%%) % ^ Wg%) cp*

В символических обозначениях это выражение имеет вид

w = а X (b х с) = (а ■ с) b — (а ■ Ь) с.

Пусть а X b = v, т. е.勿 = ^^ibk，и если X = v • а, то X = E^^aiaibf^. Но e^ft антисимметричен по индексам i и /, в то время как произведение (nga/b也) симметрично по этим индексам. Следовательно, 叨弘网玩 обращается в нуль, что можно показать, непосредственно расписывая это выражение по индексам:

九=£"]/a/瓦 + E//2afa力2 + Ef/3a》/% =

=(е321а3а2 + e231fl2a3)瓦十-■ •=

=(—°2°3 +。2。3)瓦十(°)坛 + (0)b3 =。。

40. Показать, что определитель

4工 ”12 4з

det 4/ = <2工 “22 4з

4工 “32”88

можно записать в виде е^&/н/2//з也.

По формулам (1.52) и (i. 109) смешанное произведение [abc] можно представить так:

010203

X -- a ， b X е — [abc]= 切/在&力拉也■- 瓦 b? 力3 •q & ^з

Если теперь положить а(=力红，灰= Д2£ н Q = Дзр то будем иметь

九=Eljka^iCk ^ Ej 两 4M2认3近

Этот же результат можно получить и непосредственным разложением определителя по строке. Определитель можно также записать в виде е^,也力£]4j24&3； очевидно, эти два выражения эквивалентны.

41. Вектор Uj задан в базисе а, Ь, с своими компонентами и；=

=аас + 卩瓦 + TQ・ Показать, что а =-£ аЬ с •

Мы имеем

以=а/ + В 瓦 + та,

% = аа2 + 映 + 74,

。3 = а& + 映 + т%・

По правилу Крамера

立瓦G

。262%

&b2e2

e3 b3 C3

и, пользуясь формулами (1.52) и (1.109), можно написать

Epqr%bqCr

Подобным же образом находим

^/fe0^/^%施0力拒也

Epqr%bqS，^ epqraP^Qcr

Матрицы и матричные методы (§ 1.17—1.20)

Для векторов а = 3i + 4k, b = 2j — 6k и диадика D = —3i I 4- 2i к — 4j j — 5kj путем перемножения матриц вычислить произведения а • D, D • Ь и а • D • b.

Пусть а • D = V ; тогда

-30 2-

仞，W，闯=3 0> 4] 0 —4 0 = [9, —20, 6].

-0—5 0.

Пусть D « b = w; тогда

гЗгЗg叫一g叫一00L。L。о—4—5о—4—51IJ]1IJ]—8—8.—10-.—10-

гЗ

гЗ

g

叫一

g

叫一

0

0

L。

L。

о

—4

—5

о

—4

—5

1IJ]

1IJ]

—8

—8

.—10-

.—10-

Пусть a*D'b=v-b = X; тогда

°]

固=[9, —20, 6]2 = [― 76].

1—6」

Найти главные направления и главные значения декартова тензора Т второго порядка, который представлен матрицей

Г 3Г 3[&][&]—1о—1о—13 о—13 оО' о1О' о1

Г 3

Г 3

[&]

[&]

—1

о

—1

о

—1

3 о

—1

3 о

О' о

1

О' о

1

Для определения главных значений А, согласно (1.132), имеем уравнение

3一九—10

—i 3i 0= (1—九)[(3 —№—1] = 0,

00 I —X

Это кубическое уравнение

入з _ 7入2 十 14入一 8 =(入一1)(九一2) (X- 4) = 0,

корни которого Хщ = 1，%2)= 2,入(3)= 4.

Пусть теперь 孔，)一компоненты единичного вектора главного направления, соответствующего %(1^ = 1- Тогда два первых уравнения системы (1.131) дают

2孔（『一孔§）= 0и —孔!）+ 2几$）= 0, откуда 孔?）= n^J = 0, а из условия п（П£= =1 получим 對）—±I.

Для 儿2 = 2 система уравнений （1.131） дает 孔，）一或）=0,—孔俨 + 礎）= =0 и —碎）=0. Таким образом,威）=0, а 冲—碍）=± 1/} 2, так как 孔泌=

Для 九⑶—4 из системы （l.i3i） получаем —廊）—孔贤）=о, —或）— 一成）=0 H 3碍）=0. Таким образом, 或）=0 и 廊）=一或）=干 1/了公

Ориентация главных осей 々 относительно исходной системы %, определяется направляющими косинусами, которые даны в следующей таблице:

修修*3尤；00士 i士 1//2± 1%0尤3干 1/Y1士 1/住0修修*3尤；00士 i士 1//2± 1%0尤3干 1/Y1士 1/住0преобразованияпреобразованияОтсюда видно, что матрица тензора一 0伏=± I//2于 i/F2Отсюда видно, что матрица тензора一 0伏=± I//2于 i/F2±士±士О1/У至1/口О1/У至1/口такова:± ГО ,Отакова:± ГО ,О

修

修

*3

尤；

0

0

士 i

士 1//2

± 1%

0

尤3

干 1/Y1

士 1/住

0

修

修

*3

尤；

0

0

士 i

士 1//2

± 1%

0

尤3

干 1/Y1

士 1/住

0

преобразования

преобразования

Отсюда видно, что матрица тензора

一 0

伏=± I//2

于 i/F2

Отсюда видно, что матрица тензора

一 0

伏=± I//2

于 i/F2

±

士

±

士

О

1/У至

1/口

О

1/У至

1/口

такова:

± Г

О ,

О

такова:

± Г

О ,

О

Рис. 1.19.Рис. 1.19.

Рис. 1.19.

Рис. 1.19.

Показать, что главные оси тензора, определенные в задаче 1.43, образуют правую систему ортогональных осей.

Для ортогональности требуется выполнение условий 网产熱=6,也.Так как при определении а^ уже были использованы соотношения п^ = i, условия ортогональности для / = k выполнены автоматически. Умножив элементы любой строки （столбца） на соответственные элементы любой другой строки （столбца） и

сложив эти произведения, убедимся, что для решения, полученного в задаче 1.43, условия ортогональности выполнены и для /咕瓦

Чтобы система к тому же была правой, необходимо, чтобы □'?）X X 力⑶=口⑴-Таким образом,

eiе2ез

1/1Л2 i/V^ 0 =

—i//2 i//2 0

=（% + %） е3 н е3*

Наличие знаков 士 у величин。订 в задаче 1.43 указывает на то, что существуют две системы главных осей х£ и zf . Как показывает рис. 1.19, главные направления xj образуют правую систему, а 看 —левую.

1.45. Показать, что матрица тензора Т(； задачи 1.43 может быть приведена к диагональной (главной) форме преобразованием Тц = atpa^pg (или в матричной записи 夕* = 4夕4丁).

■00 1ТГ 3—1О'] ГО 1//2 — i//2"

[%]=

1//"2i//2 0 1 — 13 00 i//2i/^2

=

一一】/R 1//2 0 IL 00 J00

' 0011Г0 i/yl — 1/Г1 0 O-

=

/2/2 ОНО 1//21//2 = I 0 2 0

2/2 2/2 OjLi 00 J LO 0 4_

1.46. Доказать, что если все три главных значения

入⑴

九(2),

入⑶ симметричного тензора второго ранга различны, то

главные

направления взаимно ортогональны.

Доказательство проведем для направлений, соответствующих X(2j и Л(3).Для каждого из них выполняется соотношение (1.129), так что %小?=〜2)"?)и7^^ =九(з)孔夕丄 Умножим первое из этих равенств на ^t а второе на n^2h5货)43)= %严夕岁，т^ = ^)п^.

Так как тензор Т“ симметричен, можно поменять местами немые индексы i и / в левой части второго уравнения и затем второе уравнение вычесть из первого. Получим

(入(2)1 -~ %з))龍伊孔伊и 0.

Поскольку 九(2)# 丁з), их разность отлична от руля. Следовательно, л^л^ = =0, а это и есть условие ортогональности данных двух направлений.

1.47. Вычислить главные значения тензора и убедиться, что его главные оси совпадают с1.47. Вычислить главные значения тензора и убедиться, что его главные оси совпадают стензора Т.тензора Т.3 —1 01「 33 —1 01「 3—1 От г io—1 От г io3 о3 о3 0 = — 63 0 = — 6о оо ооо0 iJ L 00 iJ L 0(Т)2 задачи 1.43 главными осями—601io 0 L0 1J(Т)2 задачи 1.43 главными осями—601io 0 L0 1J

1.47. Вычислить главные значения тензора и убедиться, что его главные оси совпадают с

1.47. Вычислить главные значения тензора и убедиться, что его главные оси совпадают с

тензора Т.

тензора Т.

3 —1 01「 3

3 —1 01「 3

—1 От г io

—1 От г io

3 о

3 о

3 0 = — 6

3 0 = — 6

о о

о о

о

о

0 iJ L 0

0 iJ L 0

(Т)2 задачи 1.43 главными осями

—601

io 0 L

0 1J

(Т)2 задачи 1.43 главными осями

—601

io 0 L

0 1J

Характеристическое уравнение для этой матрицы таково:

10 —九—60

—6 i。一& О = (1 — Х)[(10—X)2—361 = (1 — Л)(Л —4) (Л— 16) = 0, 001 —%

откуда %])= 1,九(2)~ 4, %з)= 16. Подставляя эти значения в (1,131) и учитывая условие л(П£ = i, получаем

для 入(])=1

9碎)一6或)= 0]八，

.или 咸)=或)3 0,或)=士1;

—6守+9码)=0

для〜幻=4

6科幻一6孔贤）=0-6疗）+6或）=0—电目=0ДЛЯ 九（3）— *6一6孔华一 6虚） = 0’-6几；3） - 6ng3） н 0■— 15fls3）= 06科幻一6孔贤）=0-6疗）+6或）=0—电目=0ДЛЯ 九（3）— *6一6孔华一 6虚） = 0’-6几；3） - 6ng3） н 0■— 15fls3）= 0илиилиИЛИИЛИ4?）=疋）=士 1/У 2,孔 £）= о；4?）=疋）=士 1/У 2,孔 £）= о；d3）=-或）=干1/停，宵）=0.d3）=-或）=干1/停，宵）=0.

6科幻一6孔贤）=0

-6疗）+6或）=0

—电目=0

ДЛЯ 九（3）— *6

一6孔华一 6虚） = 0’

-6几；3） - 6ng3） н 0

■— 15fls3）= 0

6科幻一6孔贤）=0

-6疗）+6或）=0

—电目=0

ДЛЯ 九（3）— *6

一6孔华一 6虚） = 0’

-6几；3） - 6ng3） н 0

■— 15fls3）= 0

или

или

ИЛИ

ИЛИ

4?）=疋）=士 1/У 2,孔 £）= о；

4?）=疋）=士 1/У 2,孔 £）= о；

d3）=-或）=干1/停，宵）=0.

d3）=-或）=干1/停，宵）=0.

Видно, что главные направления Т и (Т)2 одни и те же.

Воспользовавшись тем, что тензор (Т)2 и симметричный тензор Т имеют одни и те же главные направления, найти тензор 丿f^ если

/6—1 —1\

Т=(-140 .

\—104/

Прежде всего мы будем искать главные значения и главные направления тензора Т. Действуя так же, как в задаче L43, найдем диагональную форму Т:

/3 о о-

Т* = I О 4 0

\0 0 6,

причем матрица преобразования имеет вид

■ 1//31//31//3

3/1=01//1—1/唄

2//6 1//6I//6

Итак, ясно что

Тогда, зная матрицу [а^], вернемся к первоначальным осям при помощи преобразования > Т = А© УТ*А, что можно записать в матричной форме так*

V窃1 =V窃1 =工/yl О— 2//6Т Г/3 ОО -|Г1//31//3 1//3 ■

V窃1 =

V窃1 =

1//31//21//60 2001//2 — 1//2 =

J//3 — 1//2 1//6JL 0 0 l<6j L— 2//6 1//6 i/]/6 -

'/2 + 4/2 — 2С — 2'/2 + 4/2 — 2С — 2/2— 2偿+ /ё+1/2-/6+ 1/2— 2偿+ /ё+1/2-/6+ 1/2 — 2_

'/2 + 4

/2 — 2

С — 2

'/2 + 4

/2 — 2

С — 2

/2— 2偿+ /ё+1/2-/6+ 1

/2— 2偿+ /ё+1/2-/6+ 1

/2 — Кб + 1 Q

/2 + ^6+ i

-5,4i4 —0,586 —0,586- q 0,402 —0,5864,863 —0,035

一一0,586 - 0,0354,863一

Декартовы тензоры и операции над ними (§ 1.21 — 1.23)

Для функции % = AifX£x/t где Aq—постоянные, показать, что dKldxt 二(Aij + 力户)X/ и 。2厶/汝j。%, = Atj + Д/(. Упростить эти производные б случае 力仔=/戸.

风dxidxtдх(0九

Рассмотрим = Л//—— х.十 АцХ(—- . Так как 三“左，то =

dxkoxk Joxk。尤左d尤也

02九

= ＜々/*/+ ｛侵修=(力々/+4亦)尤戸 Дифференцируя второй раз, получаем — ^ = =(%• + 4%)鬻=% + % Если 4/ = ”2 т。金=2儿产/ н -~-= =2"曲，

Пользуясь индексными обозначениями, доказать векторные тождества: а) V X V(p = 0, 6) V - V X а = 0.

Согласно (1.147), Vcp записывается в виде 屮门 тогда v = V X Уф имеет компоненты и( = eijkPf^ 也 — e^fe(p ^. Но е“^ антисимметричен по индексам / и k, тогда как 屮"симметричен по этим индексам, следовательно произведение е^^ф обращается в нуль. К тому же результату можно прийти, вычисляя отдельно каждую компоненту v; например

立=*123屮,23 + е132^,32 =(屮,23 一 屮,32)= °，

V • V X а = л = (^/kak,/),i = ^ii^ktii = °，так как ak ij = ak ji и 立欣= =

Найти производную функции 入=(尤工产 + 2尤工石—(％з尸 口。 направлению, заданному единичным вектором n = % % — 8/7 e2 — /\ЛллЛ

—в/7е3, или п = (2% — Зе2 — 6е3)/7.

Искомая производная вычисляется по формуле дк/дп = V九• п = А ^日. Таким образом,

А 入2462

-^- = (2^1 + 2х2) 7(2尤О -^- + (2尤з) -^- = -у- (— #i + 2元2 + 6尤з)・

Пусть Ац ——декартов тензор второго ранга. Показать, что его производная по xk, т. е. 4疗諫,является декартовым тензором третьего ранга.

ция координат 九ция координат 九(X/)； ПО-(X/)； ПО-入 b/jdS入 b/jdS(см, (1,157))(см, (1,157))

ция координат 九

ция координат 九

(X/)； ПО-

(X/)； ПО-

入 b/jdS

入 b/jdS

(см, (1,157))

(см, (1,157))

Если Xf и xL ——декартовы системы координат, то х/ =今/； и dxi/dxj = 口戸. Тогда будем иметь

4/* = "^ =裔 &円dm) = %% "^ 籌=JpAqa1mApqg, а это и есть правило преобразования декартова тензора третьего ранга.

Пусть г? = XfXf и / (г)—I произвольная функция г. Показать, что: а) V(/ ⑺)=广(г) к" и б) V2 (/ (г)) = f"(r) + 2/7г, где штрихом обозначено дифференцирование по г.

Вектор V/ имеет компонентыпричем ^i = —~, атак как-^^ = =2г 备=26,产，，т。磊=子~ , Следовательно, f . = -g- -^- = f ^-.

V2/=f.“ = (f'手)=广普¥

1-54. Воспользовавшись теоремой Гаусса —— Остроградскогс, показать, что SxinjdS = Ибф где n^dS ——элемент поверхности S, §ограничивающей объем V

(рис. 1.20),看一радиус-вектор элемента 九『用 и nL — внешняя нормаль этого элемента.

По формуле (1.157) XitijdS^^x^dV

Пусть даны вектор b=V X V и скалярная функ-

казать, что J s

儿也dK

По условию b = V X V, т. е.勿=e,qkvk^ Тогда

卜仇&dS 0 ! в必％产dS = f Eijk (lvk J)tl dV и

=J (5//%/ + S传入%")W q J KtibidV,

так как ^е/状％卅=6

Смешанные задачи

1-56. Для произвольных векторов а и b показать, что

X — (а х Ь) • (а х Ь) 4- (а • Ь)2 =(加户.

Поменяем местами скалярное и векторное умножение в первом члене. Тогда

X = а ■ b х (а х b) -|- (а • Ь) (а • Ь)=

=а • [(Ь • Ь) а — (b • а) Ь] + (а • Ь) (а ■ Ь)=

=(а • а) (Ь • Ь) — (b • а) (а ■ b) 4- (а • b) (а • b) = (аб)2, так как второй и третий члены взаимно уничтожаются.

Пусть и = охи и V ^ ш X V； показать, что

(и х V)= ш X (и х V).

В символических обозначениях: d..

—-(uxv)=uxv + uxv = (d)xu)xv + ux(6)xv)==

=(V • s) и —(V • и) ш + (и • V)s — (и ： ш) V =г ^ (V • ш) и — (и • ш) V == ш х (u х V).

В индексных -обозначениях:

d

Пусть -^р (и х V)= w; тогда

d 、•

叫=一d『(eiikuiv^ = eijk 〃/隰十 ％終/%，

а так как и/ = £问5% н 吸=Хтп^т%, то

5j =玩执EjpqBpUqS 十 Ч^ГгтпЧ^тРп = (%h%mn ~~ RinkRkm/)u/wm^- Пользуясь результатом задачи 1.59, af получаем

耽П(斗科力_^im — "m6加 + 4/mJ 4^п =

=^ij^mn — ^irfijtr) ^mPn = ъ imk^k^i^mPnf

что в индексной форме представляет величину(о X (u X v).

Доказать тождество

8Qgs&mnr =

Рассмотрим определитель 4〃

det Л

Перестановка строк или столбцов ведет к изменению знака определителя, например

百21422423 II /12Alа3

41^12"13 I =I 力22力21”23= ~~'det At

41力32”33 II ^32414з

Если строки менять местами произвольное число раз, то

^ml "m2 АпЗ

力川 ^п2 4з = Кппг det Л, 41"г24з

а если менять местами столбцы, то

4° Ag 4s

^2р &д &s = %依 det 4

期 4q *3s

Следовательно, для произвольной последовательности перестановок строк и столбцов получим

ААА

^трс ms

4"4g4s = Emr%gs det 4 ・

^rp4s

Если положить Aii 三 6//, то det A = 1; тождество доказано.

Воспользовавшись результатами задачи 1.58, доказать, что:

fl) BpqsRsnr = 6口门6“ • 6卩「6如，6) Cp^s ^sqr =260r.

В тождестве, доказанном в задаче 1.58, разложим определитель по первой строке:

= J.也 А — ^rqi + ^иР 一 ^пр^ + 6ms (bnp\q^ 编％),

Положив m = s, получим

As%” =端(％% — %%)十 ％ &s“ 一 ％6,J + 6ss ^rg-^g^-

=%编一 %.% + %.% - 6磔6" 十 36/“ 一 36"观=

В полученном в «а» соотношении положим п равным д; тогда %gses“ = 6/6“ 一 6g科0 = 6“ 一 36“ = — 2%

Тензор второго ранга В косооимметричен, т. е・ В = —В「 Показать, что Вр X а = 2а • В.

Запишем В в виде В = b)ei + 及色 + b3e3 (см. задачу L6). Тогда

Вц =瓦 X ех + b2 X еа + b8 X е8

Ву X а = (Ь】х 心1) X а + (瓦 X 出)义 а + (b3 X eg) X a =

=(a • bO ei — (a ■ eA)瓦 + (a • b2) e2 — (a * e2) b2 + (a • b3) e3 — (a * e3)b3=

АССЛЛЛ

=a •(瓦 4 + b2e2 + b3e3) — a •似氏 + eab2 + e3b3)=

==a • В — a • В。= 2a • B.

Воспользовавшись соотношением Гамильтона — Кэли, найти (В)4 для тензора

/ 1。一、

в= о з о .

0—2/

Проверить результат непосредственным возведением в квадрат (В)2.

Характеристическое уравнение для тензора В имеет вид

1 —九 0— 1

О 3 —九 0=—(X3 — 2Х2 — 61 + 9) = 0.

—1 о —2—А

По теореме Гамильтона— Кэли тензор удовлетворяет своему собственному характеристическому уравнению. Следовательно, (В)3 — 2 (В)2 — 6В + 91 = 0. Умножив это равенство на В, получим (В)4 = 2 (В)3 十 6 (В)2 — 9В, или (В)4 = 10 (В)2 十 + ЗВ — 181. Отсюда найдем

/201\/ 30 — 3\/1800\/5U7\

(В)4=10|090)+| 090 1—1 01801=|081ОI4

\105/\—30—6/\ 0018/\7026/

Проверим этот результат, непосредственно умножая тензор (В)2 самого на себя

О 9О б)О 9О б)(В)4 = (о1,62. Доказать, что:(В)4 = (о1,62. Доказать, что:0 M 9 00О 5/ \1а) 4,0 M 9 00О 5/ \1а) 4,1507、

О 9

О б)

О 9

О б)

(В)4 = (о

1,62. Доказать, что:

(В)4 = (о

1,62. Доказать, что:

0 M 9 00

О 5/ \1а) 4,

0 M 9 00

О 5/ \1а) 4,

О081ol.

57026/

^ij^ijj В)&tjkBkjpAip ЯВЛЯЮТСЯ

инвариантами относительно преобразования координат (1.103), т. е. что 4i — 4〃 и т. д.

Согласно (1.103), А〃 = apia^p^ следовательно,

4i = apiaql^pq = ^pqApq = &Р '〃，

#产// = apiaql^ptPmianj^mn = 8pm%G&g4mM = ^pq^pq ~ ^l^If*

B)^IJk^kfp^ip = ^Ljl^klp^m^np^tnn n(W/p —"”⑦”力)amianp^mn =

(^mn — "тм"〃)'wz =(%/% j — "mn%/) Ann = ^mik^kin^mn'

Показать, что бивектор произвольного тензора Tq зависит только от Тщ однако произведение T^Sq тензора h^ на симметричный тензор S^ от Т^^ не зависит.

По определению (1.1 ГО) бивектор тензора Т^ имеет компоненты и( = £//由丁/及， нли 改=£冰(々肉 +『и加=々口［间，так как ^ikT{ik} = 0 ®拉 антисимметричен по / и ft, а Т(/同 симметричен по индексам / и k}.

Указанное произведение можно записать в виде T^S^ = 才(可丹,+ 丁旧科广 Здесь Т［切5疗=0 и, следовательно, T〃・S〃 = 丁的卢/.

Показать, что D : Е равно D- Е, если Е — симметричный тензор второго ранга.

Запишем тензоры в виде D = £)卄齿耳 и Е = Ep^^q. Согласно (1.31),

D : Е = D^Epq (е, • ег) (е/ - ej В силу (1.35) имеем

D • Е = %% (е/ ■ ер) ■(戈• ％) = % Eqp (е/ • ер)宿•七挿 так как Epq = Е@р. Если теперь в последнем выражении поменять местами немые индексы р н д, то получим D • Е = D^Epq (е/ • efl) (е； ■ ер).

Пользуясь индексными обозначениями, доказать векторное тождество V X (а х Ь) = (Ь • V) а -一 b (V • а) + а (V * Ь)— —(а ■ V)b.

Пусть V X (а X b) = V； тогда vp =即^声订/户融,или

Up =生0雨及(咖А)# = Epq^l|k(气热 + aibk,^ =

=(брДл — ^pk^qj) (a/.A + aibk.^ =

=ap，A — % 屈 + 牽,q — aQbp.Q-

А это означает, что v = (b - V) а — b (V - а) + а (V ■ Ь) — (а • V) Ь.

При помощи теоремы Гаусса — Остроградского показать, что § n X (а X х) dS = 2а V, где V — объем, заключенный внутри s

поверхности S, п — внешняя нормаль, х — радиус-вектор любой точки объема 廿，а —— произвольный постоянный вектор.

В индексных обозначениях данный интеграл по поверхности имеет компоненты ^ eqpinPEljkajxk^' 口° формуле (1.157) он переводится в интеграл по объему ^qpi^ijkajxi^ р "»• Учитывая, что а —— постоянный вектор, последнее выражение можно преобразовать следующим образом：

J %2/а产к dV = J ^Qj6Dk - 6亦％) a xk pdV = § (a,x - а/ ) dV =

и У (“Upp — ар%") dU =，(3旬一％) dV = 2%忆

Показать, что преобразование отражения осей координат (рис. 1.21) является ортогональным.

Из чертежа видно, что матрица преобразования такова:10 о-也订=0-10..00 1_Условия ортогональности al}aik = 6泳 или а^а^ = 8沌,очевидно, выполнены. В матричной форме это можно проверить, поль* зуясь формулой (1.117):-1 О ОО — 1 О.0 О IИз чертежа видно, что матрица преобразования такова:10 о-也订=0-10..00 1_Условия ортогональности al}aik = 6泳 или а^а^ = 8沌,очевидно, выполнены. В матричной форме это можно проверить, поль* зуясь формулой (1.117):-1 О ОО — 1 О.0 О IО —1О —1оооооо1J1JРис. 1.21.Рис. 1.21.VXD.VXD.Показать, что (I X v) • D =

Из чертежа видно, что матрица преобразования такова:

10 о-

也订=0-10.

.00 1_

Условия ортогональности al}aik = 6泳 или а^а^ = 8沌,очевидно, выполнены. В матричной форме это можно проверить, поль* зуясь формулой (1.117):

-1 О О

О — 1 О

.0 О I

Из чертежа видно, что матрица преобразования такова:

10 о-

也订=0-10.

.00 1_

Условия ортогональности al}aik = 6泳 или а^а^ = 8沌,очевидно, выполнены. В матричной форме это можно проверить, поль* зуясь формулой (1.117):

-1 О О

О — 1 О

.0 О I

О —1

О —1

о

о

о

о

о

о

1J

1J

Рис. 1.21.

Рис. 1.21.

VXD.

VXD.

ix v=(f?+j j-hkk)х е“点+威)=

=? (и/ — %。+1 (― %i + u2i) + k 他j — Vyi)=

=(v X I)*! + (v x]) j + (v ХЮ k = v 1

Отсюда следует, что (IXv)*D=vXI-D—vXD.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

ЛЛ Л八 А

Показать, что векторы ц = i + j — к и v = 1 — j взаимно перпендикулярны. Найти такой вектор w, чтобы u, v, w образовали правый триэдр.

Ответ; w = (—1/V 6) (i + ?+ 2k).

Найти матрицу преобразования, связывающего тройку векторов u, v, w задачи 1.69 и орты осей координат.

-1//з1//з — 1//Г

Ответ-, [а；；] =1/^2 — 1/^20•

1//6 — 1/у% -2/JE_

Используй индексные обозначения, доказать, что:

а) V • х = 3, 5) V х х = 0, в) а • V х == а, где х — радиус-вектор, а а — некоторый постоянный вектор.

Найги главные значения симметричной части тензора / 5 — 1

1 -6

、一3 - 18

Ответ: л(1) = — 15, Х(2) = 5, % = 10.

3—613—61Дж. Мейз■

3

—6

1

3

—6

1

6666гл i. Математические основы

66

66

3 0\3 0\Для симметричного тензора

3 0\

3 0\

Ко

определить главные значения и направления главных осей. Ответ:九⑴—2,九⑶=7,入⑶=12,

%2

%3

-3/(5/2)

1//2

一 4/(5 丨 2)

X；

4/5

0

—3/5

3/(5 /2)

1//2

4/(5 1 2)

Дан произвольный вектор v и любой единичный вектор е. Показать, что V можно разложить на две компоненты — параллельную и перпендикулярную Ал л лл

вектору е, т. е. что v = (v • е) е + е X (v х е).

Пусть V ■ V = 0, vXv=wnyXw = — v. Показать, что V2v = v.

Провести проверку решения задачи 1.48, показав непосредственным перемножением, что J Т J Т = Т.

Извлечь корень квадратный из тензора

/3 2 0

В = I 2 3 О

'/2(Г5-1) 0\%(М5+1) о -О 3/'/2(Г5-1) 0\%(М5+1) о -О 3/\0 0 9

'/2(Г5-1) 0\

%(М5+1) о -

О 3/

'/2(Г5-1) 0\

%(М5+1) о -

О 3/

?/2 (/5+1)

Ответ: Кв = i/2(^5 _ 1}

Воспользовавшись решением задачи 1.40, т. е. равенством det А = =片拉力 1М2/&依 показать, что det (АВ) = det A det В.

Удостовериться в том, что: а) 63рир =屯，б) /J户=4戸，в)少产(用= =°，r) ^i^j3^ij = &3*,

Преобразование, связывающее системы координаг Ох/% и Ох1хах3, задано таблицей

修

&

*3

6

3/(5 1 2)

1//2

.4/(5 1 2)

4/5

0

'—3/5

— 3/(5} 2)

"7/2

—4/(5 /2)

Показать, что выполнены условия ортогональности д-д^ = 6『& н apqasq = ^ps*

Определить в системе со штрихами координаты точки, имеющей радиус- вектор х — 2ej — е3.

Как выглядит в системе со штрихами уравнение плоскости %i — ха+ Зх8 = =1?

Ответ: б) (2/(5р2), 11/5, —2/(5 f/Sj), в) М5х；—芯一2y2%=1.

Показать, что объем V, заключенный внутри поверхности S, можно задать выражениемV(x • х)• ndS, где х — радиус-вектор, а п —

единичный вектор внешней нормали к поверхности.

Указание: записать V б виде V = 4-1(ад)./ п-dS и использовать формулу (1.157).S

片q片q££является анизотропным появляется анизотропным потериалтериал

片q

片q

£

£

является анизотропным по

является анизотропным по

териал

териал

Глава 2

Анализ напряженного состояния

Понятие сплошной среды

Хотя молекулярная природа строения материи точно установлена, во многих исследованиях поведения материалов важно поведение не отдельных молекул, а лишь материала как целого. В этих случаях при объяснении наблюдаемых макроскопических

процессов не учитывают молекулярную структур}7 вещества, а

предполагают, что оно непрерывно распределено по всему занимаемому им объему и целиком заполняет этот объем. Такая концеп

ция сплошности вещества является основным постулатом механики сплошной среды (континуума). В пределах ограничений, при которых гипотеза сплошности оправдана, эта концепция обеспечивает основу для единого изучения поведения твердых тел, жидкостей и газов.

Принятие гипотезы сплошности как основы для математического описания поведения материалов означает, что поля величин, таких.

как напряжения и перемещения, выражаются кусочно непрерывными функциями координат и времени.

2・2・ Однородность- Изотропия. Массовая плотность

Однородным называется материал, имеющий одинаковые свойства во всех точках. Материал будет изотропным по отношению к некоторому свойству, если это ево访ство в точке ока-

зывается одинаковым по в「зм направлениям. Ма- отно!пению к тем свойствам,

которые зависят от направления в точке.

Понятие плотности вводится для окрестности точки сплошной среды как отношение массы v юбъему. Обозначим массу малого

элемента объема АУ (рис. 2.1) через АЛ1・ Средняя плотность мате* риала внутри АУ равна-

(2.1)(2.1)_ДМРср = ~^Г •

(2.1)

(2.1)

Плотность в некоторой точке 尸 элемента объема ДУ в соответствии с понятием сплошной среды задается пределом

РРlimAVfOlimAVfO"ДИ"ДИdM肃.dM肃.(2.2)(2.2)

Р

Р

lim

AVfO

lim

AVfO

"ДИ

"ДИ

dM

肃.

dM

肃.

(2.2)

(2.2)

Массовая плотность р является скалярной величиной.

Массовые силы. Поверхностные силы

Силы — это векторные величины, которые интуитивно лучше всего представляются такими понятиями, как давление или тяга. Те силы, которые действуют на все элементы объема сплошной среды, называются массовыми силами. Примером таКтгх-сил могут служить силы гравитации и инерции. Эти силы мы будем обозначать через & (сила, отнесенная к единице массы) или 亿(сила, отнесенная к единице объема). Между собой они связаны включающим плотность соотношением

Р〃 = Рь или pb = р. (2.3)

Те силы, которые действуют на элемент поверхности, будь то часть граничной или любой внутренней поверхности, называются поверхностными силами. Они обозначаются через fz (сила, отнесенная к единице площади). Силы контактного взаимодействия между телами относятся к типу поверхностных сил.

Принцип напряжения Коши. Вектор напряжения

На рис. 2.2 изображена область R пространства, занятая материальным континуумом, на который действуют поверхностные силы % и массовые силы &• Из-за того, что действие сил передается от одной части среды другой» материал внутри произвольного объема V, ограниченного поверхностью S, взаимодействует с материалом вне этого объема. Возьмем п£ в качестве единичного вектора внешней нормали в точке Р к малой площадке AS поверхности S и обозначим через А% результирующую силу, действую' щую через площади； AS на материал внутри V со стороны внешней среды. Ясно, что элементарная сила М зависит от выбора AS и от щ. Следует также заме"гдть, что распределение силы на AS не обязательно однородно. В самим деле, в общем случае это распределение эквивалентно одной силе т моменту, приложенным в точке Р и представленным на рнс. 2.2 векторами М и АМ>

Средняя сила, отнесенная к единице площади площадки AS, задается величиной AfJAS. Принцип напряжения Коши утверждает, что это отношение АД/AS стремится к определенному пределу dfJdS、когда AS стягивается в точку Р, в то время как момент силы Afj относительно точки 尸 в пределе стремится к нулю. Результирующий вектор dfJdS (сила, отнесенная к единице площади) называется вектором напряжения 理)(рис. 2.3). Если бы момент в

Рис. 22Рис. 2.3.Рис. 22Рис. 2.3.

Рис. 22Рис. 2.3.

Рис. 22Рис. 2.3.

точке 尸 при предельном переходе не обращался в нуль, то в этой точке был бы также определен вектор момента (пары) напряжений, изображенный на рис. 2.3 стрелкой с двойным острием. Один из разделов теории упругости изучает такие поверхностные пары, но в этой книге они не рассматриваются.

Вектор напряжения определяется следующим образом:

如=2工普如=2工普dR ~dSdR ~dSИЛИИЛИ而=勲条=备•（2.4）而=勲条=备•（2.4）

如=2工普

如=2工普

dR ~dS

dR ~dS

ИЛИ

ИЛИ

而=勲条=备•（2.4）

而=勲条=备•（2.4）

Обознадение^^/или j(n)) используется для того, чтобы подчеркнуть тот факт, что вектор напряжения_в_данной точке Р сплошной среды, очевидно, зависит от"ор11ентацшГ№1бранного элемента поверхности AS, которая задается единичным вектором нормали % (или п). Если взять любой иначе ориентированный элемент поверхности с другой единичной нормалью, то связанный с ним вектор напряжения в точке 戶 тоже будет другим. Вектор напряжения, выражающий действие через площадку AS в точке А материала, расположенного внутри К на внешнюю среду, есть вектор —倉. Тогда по закону Ньютона о равенстве действия и протия^действия

—〃п)_ q-叫 или —№)= t(f). (2.5)

Вектор' напряжения иногда называют вектором натяжения.

Напряженное состояние в точке. Тензор напряжений

Принцип напряжения Коши ставит в соответствие в произвольной точке Р сплошной среды каждому единичному в-ктору нормали по определяющему ориентацию бесконечно малого элемента поверхности, содержащего точку Р, вектор напряжения //п) (рис. 2.3). Совокупность всех возможных пар таких векторов 廿砌 и % в точке

尸 определяет напряженное состояние в этой точке. К счастью, для того чтобы полностью описать напряженное состояние в данной точке, нет необходимости указывать все пары векторов напряжения и нормали. Это можно сделать, задавая векторы напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках в точке 尸.

Для определения напряженного состояния в точке выберем плоскости, перпендикулярные осям координат, и будем обозначать векторы нормали и наьояжения так, как это сделано на рис. 2.4.

Для удобства три отдельные схемы рис, 2.4 часто заменяют одним схематическим изображением, приведенным на рис. 2.5.

Каждый из трех векторов напряжения на площадках, параллельных координатным плоскостям, согласно (1.69), можно выразить через их декартовы компоненты:

t& = М)ег + & е2 + 辱)е3 =炉J *, 砌=® ех + /®)е2 + 承 е3 = ® £(2.6)

他3)= 瑜)+ 厚)专+ ® e3 = 个)第

Девять компонент векторов напряжений

являются компонентами декартова называемого тензора напряжений.являются компонентами декартова называемого тензора напряжений.璃)мВ/(2.7)璃)мВ/(2.7)тензора второго ранга 〉 так Этот тензор напряжений мытензора второго ранга 〉 так Этот тензор напряжений мыРис. 2.6.Рис. 2.6.

являются компонентами декартова называемого тензора напряжений.

являются компонентами декартова называемого тензора напряжений.

璃)мВ/(2.7)

璃)мВ/(2.7)

тензора второго ранга 〉 так Этот тензор напряжений мы

тензора второго ранга 〉 так Этот тензор напряжений мы

Рис. 2.6.

Рис. 2.6.

и мат-(2.8)и мат-(2.8)а11 ^12 °1за21 02 °23_а31。32 °33_а11 ^12 °1за21 02 °23_а31。32 °33_обозначим через S, так что развернутые (покомпонентное ричное) его представления будут иметь следующий вид:

и мат-

(2.8)

и мат-

(2.8)

а11 ^12 °1за21 02 °23_а31。32 °33_

а11 ^12 °1за21 02 °23_а31。32 °33_

/51012 0丄3)

2 = 1 Si022023 J，ЙЛИ [。"]-\。31 02 /3/

Напряжения, определяемые компонентами тензора напряжений в декартовой системе координат» и координатные плоскости изображены на рис. 2.6. Компоненты о21, %2, азз, соответствующие перпендикулярным к указанным'плотздкам силамгна^ываются нормальными напряжениямиГ^омпонеьггы а12> °工3，一021，а2з*。31,。32, действующие в касательных плоскостях, называются касательными напряжениями (или напряжениями сдвига). Компонента напряжения положи- тельнаГ^СЛй "на шющадке, внешняя нормаль к которой совпадает с положительным направлением одной из осей координат, сила действует вдоль положительного направления этой оси. Компонента а, задает силу, действующую в направлении /-Й оси координат на площадку с внешней нормалью, параллельной i-й оси координат. Все компоненты напряжений, изображенные га рис. 2.6, положительны.

Это обстоятельство можно доказать с помощью формулы (2.12); см. также задачу 2.11.— Прим. ред.

Связь между тензором напряжений и вектором напряжения

Связь между тензором напряжений о^- в точке Р и вектором напряжения ^} на произвольно сриентированной площадке в той ?кё тбчке^можно установить из условия равновесия сил, или уравнения количества лвижен и я для элементарного материального тетраэдра с вершиной в точке Р. Возьмем основание тетраэдра перпендикулярным к 〃八 а три боковые грани перпендикулярными к осям координат, как показано на 'рис. 2.7. Пусть dS — площадь основания ЛВС; тогда площади боковых граней как площади проекций основания на координатные плоскости будут равны dS】=dSn工 для грани.

dS? = dS% для грани ВРА, или

dSi = dS (п • *) = dS cos (n, ej = dS/.(2.Q)

На рисунке показаны векторы средних значений напряжений——”(叩 на боковых гранях и /；(")на основании, а также средней массовой силы Ь； (включая силы инерции, если они имеются), действующих на тетраэдр. Для равновесия тетраэдра под действием этих сил необходимо, чтобы выполнялось равенство

f：G)dS -炉力dS】—小^dS? — t^dS3 + pb.dV = 0. (2.10)

Если теперь линейные размеры тетраэдра будут пропорционально уменьшаться, то массовые силы, малость которых на порядок выше, будут стремиться к нулю быстрее поверхностных сил. В то же время векторы средних напряжений стремятся к характерным значениям, которые присущи указанным направлениям в точке 戶.Таким предельным переходом с учетом (2.9) равенство (2.10) приводится к виду

t^dS = t^rixdS + i^n2dS + t(^n3dS = l^Pn/dS, (2.11) После сокращения на общий множитель dS и использования тождества f『j)三。户 соотношение (2.11) будет выглядеть так:

唄=o..n.f или t(n) = п • 2,(2.12)

(2.13)(2.13)Соотношение (2.12) часто представляют в матричной записи

(2.13)

(2.13)

【4* = ln\k] [^kj].

которую можно развернуть следующим образом:

八八八％南，/$), /®] = [иь &,闯。21一u31八八八％南，/$), /®] = [иь &,闯。21一u31а12°22°32а12°22°32°13 %3 °33.°13 %3 °33.(2.14)(2.14)

八八八％

南，/$), /®] = [иь &,闯。21

一u31

八八八％

南，/$), /®] = [иь &,闯。21

一u31

а12

°22

°32

а12

°22

°32

°13 %3 °33.

°13 %3 °33.

(2.14)

(2.14)

(2.15)(2.15)

(2.15)

(2.15)

Матричное равенство (2.14) эквивалентно уравнениям в компонен

тах

аП)=也«n +九"以 + "3031, 货)=n1012 + &%2 + 儿3032, 4")=几1013 + 门 2°23 + 儿 3°33。

Равновесие сил и моментов.

Симметрия тензора напряжений

Для равновесия произвольного объема V сплошной среды под действием системы поверхностных сн』限 и массовых сил “ (вклю

чая силы инерции, если они существуют), изображенных на рис. 2.8, требуется, чтобы результирующие сила и момент, действующие на этот объем, были равны нулю.

Суммирование поверхностных и массовых сил приводит к интегральному соотношению

f t^dS + J pb.dV = О, SV

или(2.16)

j t^dS + J p bdV = 0. SV

Заменяя здесь ,")через о*% и переходя от интеграла по поверх

ности к интегралу по объему при помощи теоремы Гаусса — Остроградского (1.157), приводим уравнение (2.16) к виду

J 9户,/ + р4) dV = 0, или j (V • 2 + pb) dV = 0. (2.17)

Поскольку объем V произволен, подинтегральное выражение в формуле (2.17) должно обратиться в нуль, так что

о户J + Р% = °, или V • 2 -|- pb = 0.(2.18)

Эти уравнения называются уравнениями равновесия.

При отсутствии распределенных моментов (поверхностных и массовых пар) для равновесия моментов относительно начала отсчета требуется, чтобы

§ 炉dS + < ^ijkXjpbkdV = 0,

sV

или(2.19)

Jx x t(nMS + f x x pbdU= 0,

где Xf — радиус-вектор элемента поверхности или объема. Снова совершив подстановку 4n)=о户〃八 применив теорему Гаусса ——Остроградского и использовав результат, полученный в (2.18), объединим интегралы в (2.19) и придем к уравнению

§ ^iikOjkdV = 0, или § 4 dV = 0. (2.20)

В силу произвольности объема V из (2.20) следует, что

^ijk^jk =о, ИЛИ 4=0.(2.21)

Формула (2.21) содержит в себе равенства а12 = <т21> о23 =(т32, °13 = ^31» ИЛИ

с“ = и击(2.22)

которые показывают, что тензор напряжений симметричен. Учитывая (2.22), уравнения равновесия (2.18) часто пишут в виде

(2.23)(2.23)S/J + Р% = о,что в развернутой форме выглядит так:岁+事+察+ p济 = 0.

(2.23)

(2.23)

察" + 您 + 等+ P瓦=。，察" + 您 + 等+ P瓦=。，(2.24)(2.24).。u31 I 。&2 IOx】'dx2十.。u31 I 。&2 IOx】'dx2十+ P& = 0・+ P& = 0・

察" + 您 + 等+ P瓦=。，

察" + 您 + 等+ P瓦=。，

(2.24)

(2.24)

.。u31 I 。&2 I

Ox】'dx2十

.。u31 I 。&2 I

Ox】'dx2十

+ P& = 0・

+ P& = 0・

Законы преобразования напряжений

Пусть в точке 尸 две ортогональные декартовы системы координат Рх/Уз и Pxi%2*3 (рис. 2.9) связаны одна с другой таблицей направляющих косинусов

4*24X；^11^12^13〃21〃22«31〃32азз4*24X；^11^12^13〃21〃22«31〃32аззили ——что эквивалентно ——либо матрицей преобразования [aq ], либо тензором преобразования

4

*2

4

X；

^11

^12

^13

〃21

〃22

«31

〃32

азз

4

*2

4

X；

^11

^12

^13

〃21

〃22

«31

〃32

азз

Рис 2.9. А =内声网. (2.25)

Согласно правилу (1.93) преобразования декартовых тензоров первого ранга, компоненты вектора напряжения，叫 отнесенные к осям системы без штрихов, связаны с компонентами /-(п) в системе со штрихами формулой

f严=а(^\ или t'(”)= А • t(n).(2.26)

Подобным же образом по правилу преобразования (1.102) для декартовых тензоров второго ранга компоненты тензора напряжений в двух системах связаны соотношением 工)

5j== ^ip^jq^pQt или Е = А •工"Ас.(2.27)

В матричной форме преобразование вектора напряжения записывается в виде

匕仰=[同[例，(228)

а преобразование тензора напряжений — в виде

l^ij] ^ t^zp] I^pq] [^9/Ь(2.29)

В развернутой записи произведений матриц формулы (2.28) и (2.29) соответственно выглядят так:

^12

013

燎）

=

"21

022

a23

胞

(2.30)

一炉L

_&1

032

"33.

一承一

1) Смотри задачу 2.11.—Прим, ред

ии(2.31)(2.31)Поверхности напряжений Коши

и

и

(2.31)

(2.31)

Пусть в точке Р сплошной среды тензор напряжений имеет компоненты。小 отнесенные к направлениям, параллельным местным декартовым осям Р^^Сз (рис. 2.10). Уравнение и丛由=± 々2 伍一постоянная)

(2.32) представляет геометрически подобные поверхности второго порядка (квадрики), имеющие общий центр в точке Р. Выбор знака плюс или минус обеспечивает то, что поверхности будут действительные.

Рассмотрим вектор напряжения ，т на площадке с единичной нормалью Радиус-вектор г,

八Рис. 2-10.идущий в направлении п к произвольной точке поверхности (2.32), имеет компоненты G = т「 В точке Р нормальная составляющая。犬九^ вектора напряжения《⑴八Рис. 2-10.идущий в направлении п к произвольной точке поверхности (2.32), имеет компоненты G = т「 В точке Р нормальная составляющая。犬九^ вектора напряжения《⑴имеет величину

八Рис. 2-10.

идущий в направлении п к произвольной точке поверхности (2.32), имеет компоненты G = т「 В точке Р нормальная составляющая。犬九^ вектора напряжения《⑴

八Рис. 2-10.

идущий в направлении п к произвольной точке поверхности (2.32), имеет компоненты G = т「 В точке Р нормальная составляющая。犬九^ вектора напряжения《⑴

(2.33)(2.33)% = 〃п)% = t(n) . П = “几門.

(2.33)

(2.33)

5玄由=oNr2 = 土 k2.5玄由=oNr2 = 土 k2.(2.34)(2.34)Геометрическое место точек оМ = const = 土死 т. е. поверхность

5玄由=oNr2 = 土 k2.

5玄由=oNr2 = 土 k2.

(2.34)

(2.34)

называется поверхностью напряжений Коти (или квадрикой Kouat). Из этого определения следует, что величина。内 нормальной компоненты напряжения на площадке dS, перпендикулярной радиусу-вектору г в точке 匕 обратно пропорциональна квадрату расстояния вдоль г от точки Р до поверхности напряжений Коши, т. е.

В точке Р, где соотношение (2.12)В точке Р, где соотношение (2.12)компонентыкомпонентыРис. 2.11.Рис. 2.11.напряжением. Подставляя (2.35)напряжением. Подставляя (2.35)nz = 6订孔/ и。订・=о，, приходим к уравнениямnz = 6订孔/ и。订・=о，, приходим к уравнениям

В точке Р, где соотношение (2.12)

В точке Р, где соотношение (2.12)

компоненты

компоненты

Рис. 2.11.

Рис. 2.11.

напряжением. Подставляя (2.35)

напряжением. Подставляя (2.35)

nz = 6订孔/ и。订・=о，, приходим к уравнениям

nz = 6订孔/ и。订・=о，, приходим к уравнениям

On = 土 k2/r2. Кроме того, можно показать, что вектор напряжения /*п), действующий на такой площадке dS, параллелен нормали к плоскости, касательной к поверхности напряжений Коши в точке, радиус-вектор которой есть г.

2」0・ Главные напряжения. Инварианты тензора напряжений. Эллипсоид напряжений

тензора напряжений равны о£/| ставит в соответствие каждому

направлению щ вектор напряжения ^п). Направления, для которых f” и % коллинеарны (рис. 2.11), называются главными направлениями (или главными осям呜 тензора напряжений. Для главного направления имеет место равенство

俨=g” или t(n)= on,

(2.35)

где о ——величина вектора напряжения — называется главным в (2.12) и используя тождества

{^ii — &户)и； = 0, или (2 — I о) * n = 0.(2.36)

Три уравнения (2.36) содержат четыре неизвестных, а именно три направляющих косинуса п{ и величину главного напряжения о.

Для того чтобы система (2.36), кроме щ = 0, имела еще и нетривиальное решение, детерминант из коэффициентов |。疗 ——6耳。| должен обращаться в нуль, т. е.

°U — О 0^2°1з

I а『——б^о I = 0, илиI а『——б^о I = 0, или021022 -0%= °，(2-37)

I а『——б^о I = 0, или

I а『——б^о I = 0, или

^31°32 Озз — °

что после раскрытия определителя приводит к кубическому уравнению относительно о

炉_ 1工。2 + п£о— Шх = О,(2.38)

где

(2 39) (2.40) (2.41)(2 39) (2.40) (2.41)1工=di = tr Е,11工=%(6円j - SQj),

(2 39) (2.40) (2.41)

(2 39) (2.40) (2.41)

111工=I(т(у-1 = det 工

называются соответственно первым, вторым и третьим инвариантами тензора напряжений.

Три корня уравнения (2.38) o(i), о(2),(т(з)являются значениями трех главных напряжений. Каждому главному напряжению 例片) соответствует главная ось, для которой направляющие косинусы 诡 находятся как решения уравнений

0ц - o^ii)^ = 0, или (工-5切1).e*)= 0 他=1, 2, 3). (2.42) Здесь верхние или нижние буквы, заключенные в скобки, являются просто индексами и не участвуют ни в каком процессе суммирования. Например, развернутая форма (2.42) для второй главной оси такова: 9U -。(2)) h}2) + 62九贤 + 53 忌"-0>

5簿p + (022 - 0(2)) 几貝 +023%贤=0,(2.43)

^31^ + %2忌^ + (。33 -0(2))忌2)= 0.

Так как тензор напряжений симметричен и его элементы — действительные числа, главные напряжения тоже принимают действительные значения.

Матрица У，отнесенная к главным осям, имеет вид

5)о、О'

飞0 0 ~

[О“]=

0 0(2) 0

, или [а；/]=

0 Он 0

.(2.44)

0 0 (т(з)

0 0 Ош

Во второй форме в качестве индексов использованы римские цифры

для того, чтобы показать, что главные напряжения упорядочены.

т. е. 5 >51 >5“. Вследствие того что главные оси тензора напряжений совпадают с главными осями поверхности напряжений Коши, значения главных напряжений включают как максимальное, так и минимальное значения компонент нормального напряжения в точке.

В пространстве главных напряжений, т. е. в пространстве, где оси коорди-

Рпс. 2.13-Рпс. 2.13-компоненты 处компоненты 处

Рпс. 2.13-

Рпс. 2.13-

компоненты 处

компоненты 处

нат совпадают с главными осями тензора напряжений, а единицами измерения координат служат величины (公⑴，厶叫，装⑴), как показано на рис. 2.12, произвольный вектор напряжения ^п) в соответствии с формулой (2.12) имеет компоненты

4r*)= or(i)nb 般)=о(2)九 2, %界=5з#з・ (2.45)

Но поскольку (九 1)2 + (n2)2 + (九з)2 = 1 для каждого единичного вектора nit то вектор /!"' в пространстве главных напряжений удовлетворяет уравнению

(2.46)(2.46)（俨）2 ，（喫）2 ,（穹О产 _（。（1）产+ （。⑵）2十（0⑹产-

(2.46)

(2.46)

Это уравнение эллипсоида, известного под названием эллипсоида напряжений Ламе.

Максимальное и минимальное касательное напряжение

Разложим вектор напряжения /” на ортогональные компоненты ——нормальную и касательную к элементу поверхности dS, на

котором он действует. Величину нормальной компоненты можно определить по формуле (2.33), а квадрат величины касательной компоненты (напряжения сдвига) получается как разность

(4 =4岬：)一吟(2.47)

Эта операция продемонстрирована на рис. 2.13, где оси координат выбраны по главным осям тензора напряжений и главные напряжения упорядочены

следует, чтоследует, чтотак, что 5 > О" > бн・ Из (2.12)

следует, что

следует, что

равны

屮=6%,号)=6"% 呼=ош 几 з.

(2.48)

а из (2.33) получается величина нормальной компоненты

Sv = 6 居 + О"冠 + CFnini(2.49)

Подставляя (2.48) и (2.49) в формулу (2.47), вычислила квадрат величины касательного напряжения как функцию направляющих косинусов 九匚

孟=аЬ? + o；i忌 + 品病一(5九；+ огцП2 + опнПз)2. (2.50)

Максимальное и минимальное значения о$ можно получить из (2.50) методом множителей Лагранжа. Процедура состоит в построении функции

?=/ 一入电/,(2,51)

где скаляр X называется множителем Лагранжа. Равенство (2.51) представляет функцию направляющих косинусов 九“ так что условие экстремума (максимума или минимума) величины F имеет вид dF/dfij = 0. Приравнивая нулю эти частные производные, приходим к уравнениям:

& ［а| — 2s (s冠 + нцн| 十 огщп|) + 入］=Q(2.52а)

九2 ［品一2ou (о" + Hii^2 + 5н崗 + X］ = 0,(2.526)

九3【dii — 2oiii(5九;+ 5i九^ + 5口九之)+ 入］=0,(2.52b)

которые вместе с условием ntn； = 1 можно разрешить относительно 入 и направляющих косинусов пъ п2> п3> соответствующих площадкам экстремальных значений касательного напряжения.

小=± 1, п2 = 0, 九§ = 0, (Ts = 0. 九I = 0, 九2 = ± 1,九з = °, Gs = 0. 几1 = 0, n2 = 0, 九§ = ± 1, Os = 0-小=± 1, п2 = 0, 九§ = 0, (Ts = 0. 九I = 0, 九2 = ± 1,九з = °, Gs = 0. 几1 = 0, n2 = 0, 九§ = ± 1, Os = 0-Вот одно из решений системы (2.52) и соответствующее ему касательное напряжение, найденное по формуле (2.50):

小=± 1, п2 = 0, 九§ = 0, (Ts = 0. 九I = 0, 九2 = ± 1,九з = °, Gs = 0. 几1 = 0, n2 = 0, 九§ = ± 1, Os = 0-

小=± 1, п2 = 0, 九§ = 0, (Ts = 0. 九I = 0, 九2 = ± 1,九з = °, Gs = 0. 几1 = 0, n2 = 0, 九§ = ± 1, Os = 0-

(2.53а)

(2.536)

(2.53в)

Величины касательного напряжения в (2.53), очевидно, являются минимальными. Кроме того, так как (2.53) указывает на то, что эти величины обращаются в нуль на главных площадках, то направления, полученные в (2.53), совпадают с главными осями тензора напряжений.

Другие решения системы (2.52) имеют вид:

九 1 = о.

九 2 = ± 1/J 2,

九3 = ± 1"2,

Gs = (g — 6н)/2;

小= ±i/J2

九2=0,

九3 = ± I/K2,

(2.54а)

Os = (бн — 5)/2;

九1 = ± 1//2,

九2 H 土 1/1 2,

九3 " °,

(2.546) u$ =(6 — 6i)/2.

(2.54в)

Формулы (2.546) дают максимальное значение касательного напряжения, равное полуразности наибольшего и наименьшего главных напряжений. Таким образом, из (2.546) следует, что максимальная компонента касательного напряжения действует в плоскости, которая делит пополам прямой угол между направлениями максимального и минимального главных напряжений.

Круги Мора для напряжения

Удобное двумерное графическое представление трехмерного напряженного состояния в точке дают известные круги Мора. Для того чтобы разъяснить это понятие, снова возьмем в качестве

осей координат главные оси тензора напряжений в точке 尸，как показано на рис. 2.14. Предполагается, что все главные напряжения различны и упорядочены, так что

5>6i>6n・ (2.55)

При таких условиях вектор напряжения £'" имеет нормальную и касательную компоненты, величины которых удовлетворяют соотношениям

(2.56)(2.56)成 + 云=orin? + 0；/ +届II忌成 + 云=orin? + 0；/ +届II忌(2.57)(2.57)Gn — ОПП? + О“〃^ + Qinnf,

(2.56)

(2.56)

成 + 云=orin? + 0；/ +届II忌

成 + 云=orin? + 0；/ +届II忌

(2.57)

(2.57)

(2.58a)(2.586)(2.58b)(2.58a)(2.586)(2.58b)

(2.58a)

(2.586)

(2.58b)

(2.58a)

(2.586)

(2.58b)

Комбинируя эти два равенства с тождеством %% = 1 и разрешая относительно направляющих косинусов 九〃 получаем

, 卩=9n — %)(0川一Uni) + 9s)21(01 -011)(u1 -Ug)

仇)2 — 3n — 01H)9n — j) + 缶产

29u — Su) 9il 5)

/ 2 一(0n一01)9n - U") + 9s)2

“ (°iii — 5)(Sil — 5)

На этих равенствах основывается построение кругов Мора на плоскости напряжений, где ось 6y является осью абсцисс, а ось Os —— осью ординат (рис. 2.15).

Так как из (2.55) следует, что s—On > 0 и 6 — аш > О, а величина (пх)2 неотрицательна, то числитель в правой части (2.58а)

2.Г2. КРУГИ МОРА ДЛЯ НАПРЯЖЕНИЯ 83 удовлетворяет соотношению

9n — Si) 9n — Sii) + (Us)? > 0, (2.59) которое в плоскости напряжений (仃川，as) представляет точки, лежащие вне круга

[on —(5i + 6口)/2]2 + (os)?=【(6i — 6u)/2『(2.60)

Точно так же из (2.55) следует, что огц —ощ >0 н о” 一g V V°； кроме того, величина (п2)2 неотрицательна. Тогда в формуле (2.586) числитель в правой части удовлетворяет неравенству

9n — 6ii) 9n — 6)+ (os)?《0,(2.61)

которое представляет точки внутри круга

丽-(бн + 6)/2产 + 伝)2 - [(5п - б)/*,(2.62)

обозначенного на рис. 2.15 буквой С2> и на его границе. Наконец, из (2.55) видно, что ащ ——Oi V 0 и ащ — пц < 0, а величина (п3)2 неотрицательна, поэтому из формулы (2.58в) следует неравенство 9n — 6)9n — 5i) + (os)?》0,(2.63)

которое представляет точки вне круга

[on —(6 + 6i) /2F + (os)? = [(5 — Si)/2『，(2.64)

обозначенного на рис. 2.15 буквой С3, и на его границе.

Каждая «точка напряжения» (пара величин on и os) на плоскости напряжений (aNt as) соответствует вектору напряжения 4П), а напряженное состояние в точке R описанное формулами (2.58), можно представить на рис. 2.15 затененной областью, ограниченной кругами Мора для напряжения. Это построение подтверждает, что максимальное напряжение сдвига равно(6—бп)/2, как

было установлено анали и чески в § 2.11. Вследствие того что знак напряжения сдвига не имеет принципиального значения, часто изображают только верхнюю половину симметричной диаграммы.

Связь между диаграммой напряжений Мора и физическим напряженным состоянием может быть установлена при помощи рис. 2.16,

Dm х3

на котором изображен первый октант сферы с центром в точке Р сплошной среды. Нормаль 九丄 к сферической поверхности АВС в произвольной точке Q одновременно является нормалью к элементу поверхности dS в точке Р. Из-за симметрии тензора напряжения и из-за того, что на рис. 2.16 использованы главные оси тензора напряжений, напряженное состояние в точке Р полностью характеризуется совокупностью тех положений, которые может занимать точка Q на поверхности АВС. На рисунке круговые дуги KD, GE и FH указывают такие положения Q, где один направляющий косинус из 九/ имеет постоянную величину, а именно

九 1 = cos 屮 на KD, & = cos 0 на GE, n3 = cos 0 на FH,

а на граничных дугах ВС, СА и АВ

九 1 = cos л/2 = 0 на ВС, п2 = cos л/2 = 0 на СЛ,

% = cos л/2 = 0 на АВ.

В соответствии с первым из этих равенств и уравнением (2.58а) векторы напряжения для точек Q, лежащих на ВС, будут иметь

компоненты, определяемые точками напряжения на круге & (рис. 2.15), Подобным же образом СА на рис. 2.16 соответствует кругу С2 на рис. 2.15, а АВ — кругу С3. *

Компоненты вектора напряжения 仃川 и сг$ для произвольного положения Q можно определить при помощи построения, выполнен

ного на рис. 2.17, Так, положение точки е на С3 можно получить.

физическом пространстве (рис. 2.16) при переходе в пространство напряжений (рис. 2.17) удваиваются (дуга АВ на рис. 2.16 содержит 90°, а соответствующие точки напряжения п( и огц отстоят друг от друга на круге С3 на 180°). Аналогичным образом на рис. 2.17 получены точки g, hnf и соответствующие пары соединены круговыми дугами, имеющими центры на оси o^. Точка пересечения круговых дуг gc и hf дает компоненты cr^ и os вектора напряжения £") на площадке с нормалью 九】• в точке Q на рис. 2.16.

Плоское напряженно? состояние

В том случае, когда одно и только одно из главных напряжений равно нулю, говорят, что существует плоское напряженное состояние. Такая ситуация возникает в свободной от нагрузки точке на свободной поверхности, ограничивающей тело. Если главные напряжения упорядочены, то расположение кругов Мора будет иметь один из видов, представленных на рис. 2.18.

Если главные напряжения неупорядочены и в качестве направления нулевого главного напряжения взято направление х3, то плоское напряженное состояние имеет только компоненты в плоскостях, параллельных плоскости х^. При произвольном выборе ориентации ортогональных осей %! и х2 в этом случае матрица

напряжений имеет вид

lSj] = %

О

012 О&2°О о012 О&2°О о(2.65)(2.65)Поверхность напряжения для плоского напряженного состояния является цилиндром, основание которого лежит в плоскости хгх2 и описывается уравнением

012 О

&2°

О о

012 О

&2°

О о

(2.65)

(2.65)

S/； + 2012Х/2 + 02忌=士 胪. (2.66)

В элементарных курсах сопротивления напряженное состояние часто представляют

материалов плоскоематериалов плоскоеМора.Мора.одним кругомодним кругомтак как для полной характеристики напряженного состояния нуж・ ны все три круга, В частности, если этот единственный круг окажется одним из внутренних кругов на рис. 2.18, то величина максимального касательного напряжения в точке не будет определена. Диаграмма в виде одного круга Мора может, однако, указать точки напряжения для всех тех площадок в точке Р, которые содержат ось нулевого главного напряжения. Если оси координат выбраны в

материалов плоское

материалов плоское

Мора.

Мора.

одним кругом

одним кругом

то для таких площадок уравнение единственного круга Мора для плоских напряжений будет

Dn - 911 + 02)/2产 + 9s)2 = [(61 - %2)/2产 + (52户.(2.67)

На рис. 2.19 представлены характерные точки этого круга. Он имеет центр С в точке 6V = 9u + ог22)/2, и радиус его, согласно уравнению (2.67), равен R = /[(5i—ог22)/2]2 + (а12)2. Точка А на окружности представляет напряженное состояние на элементе поверхности с нормалью 九】(правой боковой грани прямоугольного параллелепипеда, изображенного на рис. 2.19). Точка В на окружности представляет напряженное состояние на верхней грани параллелепипеда с нормалью 九2・ Точки главных напряжений о^ и 仃叮 так и помечены этими буквами на диаграмме, а точки Е н Q на окружности являются точками максимального значения касательного напряжения.

Девиатор и шаровой тензор напряжений

Очень часто бывает полезно разложить тензор напряжений 仃订 на два тензора, один из которых (шаровой тензор или тензор гидростатических напряжений) имеет вид

(2.68)(2.68)(ом О

(2.68)

(2.68)

О ом

О О

где им = —р = okk/3 —среднее значение нормального напряжения, а второй (девиатор напряжений) — видгде им = —р = okk/3 —среднее значение нормального напряжения, а второй (девиатор напряжений) — видS12§13、S22 s23 I. (2.69)$32S33 /S12§13、S22 s23 I. (2.69)$32S33 /

где им = —р = okk/3 —среднее значение нормального напряжения, а второй (девиатор напряжений) — вид

где им = —р = okk/3 —среднее значение нормального напряжения, а второй (девиатор напряжений) — вид

S12§13、

S22 s23 I. (2.69)

$32S33 /

S12§13、

S22 s23 I. (2.69)

$32S33 /

Это разложение описывается формулами

Q4 — ^ipkk/3 + Sijt ИЛИ S = Од! I + So. (2.70)

Главные оси девиатора 6炉 совпадают с главными осями тензора б/. Таким образом, главные значения девиатора напряжений равны

(2.71)(2.71)s(fe)= о伏)一 gm-

(2.71)

(2.71)

Характеристическое уравнение для девиатора напряжений так же, как и характеристическое уравнение (2.38) для тензора напряжений, представляет собой кубическое уравнение вида

卡 十口尤口^ — Hl2D = 0, ИЛИ S3 + (SjSn + SjiSin 十 SniSj) S — SiSnSni = 0.

Легко показать, что первый инвариант девиатора напряжений I2d тождественно равен нулю, что и объясняет его отсутствие в уравнении (2.72).

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

Напряженное состояние в точке. Вектор напряжения.

Тензор напряжений (§ 2.1—2.6)

Векторы напряжений /У" и £") в точке Р действуют соответственно на элементы поверхности nzAS и 九iAS*. Показать, что компонента /烈 в направлении п* равна компоненте в направлении п£ (рис. 2.20).

Требуется показать, что4% =庐心

в силу⑵⑵旷)n.= =ояп*л/, а в силу (2.22) и力— =oj, так что

о”几;々=(и〃“)л* = 4rl%•

Тензор напряжений в точке Р задан так:

< 7

0

—2

s=l

0

5

0

1一2

0

4.

Определить вектор напряжения в точке Р на площадке с единичным вектором нормали п = 2/3ег — 2/3е2 + x/3e3.

Из (2.12) имеем t'^ = п • Е. Умножение лучше всего выполнить в матричной форме (2.13):

pf),叵 #)] = [%, -%.%]pf),叵 #)] = [%, -%.%]7 0—2

pf),叵 #)] = [%, -%.%]

pf),叵 #)] = [%, -%.%]

0 50 =

—2 04.

Гакнм образом, «")= 4ei — 111/Зеа.

Для вектора напряжения задачи 2.2 определить: а) компоненту, перпендикулярную площадке; б) модуль £"); в) угол между t[ и п.

а)伊.n =畐—1。/3:2). (2/髙-2/爲十 哪3) = %.

М户)1 = 1尸16工麻a52

Так как ijn) • n = |，⑴[cos 6, то cos0 q (44/9): 5,2 q 0,94 и 0 ^ 20°.

Даны векторы напряжения £叫 护)и 詹),действующие на три координатные площадки. Показать, что сумма квадратов модулей этих векторов не зависит от ориентации координатных плоскостей.

Пусть S — указанная сумма. Тогда

S =曲庐）+庐）庐）十庐）&）,

а из (2.7) следует, что S = и〔户打 + о2f。第 + Оз^з. = °九°疗—инвариант.

Напряженное состояние в некоторой точке задано тензором напряжений

(

о лог 6%

&о о со ), Ьа от о /

где a, ft, с ——константы, а о ——некоторое значение напряжения. Определить константы а9 b и с так, чтобы вектор напряжения на октаэдрической площадке (см. задачу 2.22.——Перее.) с единичной нормалью п = (1/V3)免 + (1/И 3) е2 + (l/丿 3) е3 был равен нулю.

Для данных тензора напряжений и вектора нормали величина t^ =。好孔j должна быть равна нулю. Запишем это в матричной форме:

а + b = — 1, откуда а + с = — 1,

6 + с = — 1.

Решая эти уравнения, получим а = b ~ с = —1/2- Итак, решение дается тензором

/ и —о/2 —а/2оц = I ——и/2 и — а/2\— ст/2о/2о

В точке Р задан тензор напряжений / 7—50\

工=I —5- 31 j.

\ о12/

Определить вектор напряжения на площадке, проходящей через точку Р параллельно плоскости АВС, изображенной на рис. 2.21.

Плоскость АВС определяется уравнением 3%1 + 6#2 + 2#з = 12, а вектор единичной нормали к ней (см. задачу 1.2)——уравнением j

П = 3/?2 + 6 磽2 + 2/穆 з

По формуле (2.14) вектор напряжения можно определить умножением матриц

—5 О

3 1 = % [—9, 5, 10].

1 2J1 2JТаким образом, №)= —9/7 ei + Б/7 ег + 10/7 е3.

1 2J

1 2J

Напряженное состояние в любой точке сплошной среды в декартовой системе координат задано тензором

Определить вектор напряжения в точке Р (2, 1, ]/3) на площадке, касательной в этой точке к цилиндрической поверхности xg + ^з = =4.

Компоненты напряжения в точке Р принимают значения

Единичный вектор нормали в точке 尸 определяется вектором grad <р = уф = = V 储 + л； — 4). Таким образом,

V(p = 2х2е2 + 2х£з

% следовательно, в точке 尸Рис. 2.22.

V(p = 2е2 + 2 /Зе3.

Тогда единичным вектор нормали в точке 尸 есть п =才 + е3 (это легко видеть и из рис. 2.22). Наконец, вектор напряжения на площадке, перпендикулярной

к п в точке Р, равенк п в точке Р, равенилиили-6 50 1Г 0 '-5/2"5 02/31/2=3,0 2/30 J山福一УХ-6 50 1Г 0 '-5/2"5 02/31/2=3,0 2/30 J山福一УХt("> =唸/2 + 3々2 + /Зе3.t("> =唸/2 + 3々2 + /Зе3.

к п в точке Р, равен

к п в точке Р, равен

или

или

-6 5

0 1

Г 0 '

-5/2"

5 0

2/3

1/2

=

3

,0 2/3

0 J

山福一

УХ

-6 5

0 1

Г 0 '

-5/2"

5 0

2/3

1/2

=

3

,0 2/3

0 J

山福一

УХ

t("> =唸/2 + 3々2 + /Зе3.

t("> =唸/2 + 3々2 + /Зе3.

Уравнения равновесия (§ 2.7)

Какой вид должны иметь компоненты массовой силы, если при распределении напряжений, указанном в задаче 2.7, всюду выполнены уравнения равновесия (2.24)?

Подставим в уравнения (2.24) значения, непосредственно вычисленные по заданному в задаче 2.7 тензору напряж ний £:

3*2 + IO/ + 0 + p^i — 0,

0 + ° 十 2 + р&2 = °,

0 + 0 + 0 + р% = 0.

Эти уравнения удовлетворяются при 历=—13хг/р, % = —2/р, b3 = 0.

Вывести уравнение (2,20) из уравнения (2.19).

Начнем с уравнения (2.19):

J 豌М附)dS + ,豌依jpbMV = 0.

V

Подставим fj" = и〃п/ в интеграл по поверхности и преобразуем результат к интегралу по объему по формуле (1.157):

§ (^ijk^j^pk)电dS = § {^ij^j^pi^ tp dV\

V

Выполним в этом интеграле по объему дифференцирование и объединим результат с другим интегралом по объему, входящим в формулу (2.19):

§ 叨％ [xi.p°pk + xi ^pk,p + P瓦)]川=°

Но вследствие уравнений равновесия opk 夕 + p瓦 = Qt a x-p = 6汕 и поэтому интеграл по объему приводится к виду (2.20):，电呪/攵川=0.

Преобразования тензора напряжений (§ 2.8)

2-10. Напряженное состояние в некоторой точке задано в декартовой системе координат Оххх2^з тензором

/2—20、

2 = (-2 /20 .

\ 00 -/2/

Определить тензор напряжений £' для повернутых осей Ох^хз^ которые связаны с осями без штрихов тензором преобразования

А = ( 1”％ -% .

1//2% -1/J

Формула (2.27) дает закон преобразования напряжений в виде о^= 色夕0勿0口办 или 工'=А •工• Ас・ Детальные вычисления лучше провести умножением матриц [и；] = [а/p] [ар^] [a^j], согласно формуле (2.29). Таким образом.

一 0

1/]/2

1//21Г

2 —2

0 ]

I °

1/修

一"

【%=

l〃j

1/2

一/2

-2便

1/2

1/2

1/2

- 1/2」1

0 0

-住」

L/毋

-1/2

— 1/2.

ГО 02

=0 1 —修 —1 I .

_2-11+同

Показать, что закон преобразования напряжений можно получить, воспользовавшись выражением (2,33) Gn = о力九i九j для величины нормального напряжения на произвольной площадке, имеющей единичный вектор нормали 九厂

Так как oN — тензор нулевого порядка, в любой системе осей координат (со штрихами или без штрихов) он записывается одинаково:

=== q 产卢 j== s но, согласно (1.94), п；=出呷 и поэтому

°ijninJ = %产屮叫也 н。№ = °pqnPnQ^

где в последнем члене использованы новые индексы суммирования. Таким образом,

Рис. 2-23-а поскольку направления осей без штрихов произвольны,5产印Q用=2.12. В системе осей без штрихов (рис. 2.23) тензор напряжений дан в виде/т 0 0\5了 = (。т ° ]・ \0 0 т/Рис. 2-23-а поскольку направления осей без штрихов произвольны,5产印Q用=2.12. В системе осей без штрихов (рис. 2.23) тензор напряжений дан в виде/т 0 0\5了 = (。т ° ]・ \0 0 т/*i产ip、q — %g)几j/lg*i产ip、q — %g)几j/lg

Рис. 2-23-

а поскольку направления осей без штрихов произвольны,

5产印Q用=

2.12. В системе осей без штрихов (рис. 2.23) тензор напряжений дан в виде

/т 0 0\

5了 = (。т ° ]・ \0 0 т/

Рис. 2-23-

а поскольку направления осей без штрихов произвольны,

5产印Q用=

2.12. В системе осей без штрихов (рис. 2.23) тензор напряжений дан в виде

/т 0 0\

5了 = (。т ° ]・ \0 0 т/

*i产ip、q — %g)几j/lg

*i产ip、q — %g)几j/lg

Определить тензор напряжений в осях со штрихами, направления которых указаны на рисунке.

Прежде всего необходимо полностью определить матрицу преобразования А. Ось 占 составляет одинаковые углы с осями 制,поэтому первая строка таблицы преобразования, а также а33 известны:

%2

*3

Х1

1/уЗ

[/КЗ

4

Недостающие элементы таблицы преобразования можно определить из условия ортогональности aja^ = 6很.Читателю предоставляется в качестве упражнения показать, что

[

1/]/3l^1//3-

-2//б1//61/)^6 .

О — 1/]/2 1//2.

Следовательно,

Полученный результат не покажется удивительным, если рассмотреть круги Мора для напряженного состояния с тремя равными значениями главных напряжений.

Поверхность напряжения Коши (§ 2.9)

Найти поверхности напряжения Коши в точке Р для следующих состояний напряжения:

всестороннее равномерное растяжение (сжатие)

51 =仇2 =电3 ~ 5 ”2 = °1з = 5з = °；

одноосное растяжение (сжатие)

51 = 5 02 D Озз = ^12 — 5з =仃23 =。；

простой сдвиг

012 = ^21 = G 51 =仃22 = &3 = 5з = 0*23 = °；

плоское напряженное состояние

51 ~ 02 ~ О, ”2 = ^21 = Т， O33 = 0з1 =仃23 = 0.

Согласно (2.32), уравнение поверхности напряжений в символической записи таково： g - X ■ g = ±йа. Используя матричную форму, получаем следующие

результаты.

'а 0 О'

a)[久，8, U

0 о 0

?2

=砲；十aЙ+ а£з = ±央，

О 0 и_

<3-

Отсюда видно, что поверхность напряжений для всестороннего равномерного растяжения является сферой 酬十废 + 废=±й2/а.

~G 0

О-

чг

6) [gl, ?2» ?з!

0 0

0

^2

=0齋=士依.

_0 0

0.

'0 т О'

в) &，?2，?з!

ТОО

工2

=2吨1g2 = ± 2.

_0 0 0_

_?3 .

Поверхность напряжений для простого сдвига есть гиперболический с образующей, параллельной оси ^3.

г) 1^1» ?а» Гз】

F 工 от ГМ 1行 0 1卜2 .0 0 о|£」

=0匕；+ 2呜姦+ 0^2 = 士科

Поверхность напряжений для одноосного растяжения представляет собой две плоскости, перпендикулярные линии действия напряжения.

цилиндр

Для плоского напряженного состояния поверхность напряжения представляет собой цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси нулевого напряжения, и направляющей в виде кривой второго порядка.

2.14. Показать, тензором2.14. Показать, тензоромчто для напряженного состояния, заданного

2.14. Показать, тензором

2.14. Показать, тензором

поверхность напряжения (квадрика) Коши будет эллипсоидом (эллипсоидом напряжения), если а,匕 н с имеют одинаковые знаки.

Уравнение поверхности напряжений имеет вид

W,姦,?з] о一0Это эллипсоидW,姦,?з] о一0Это эллипсоид6 0卜2 =若+甩+磁=土胪. 0

W,姦,?з] о

一0

Это эллипсоид

W,姦,?з] о

一0

Это эллипсоид

且 JL废士依

6сасababc

Главные напряжения (§ 2.10—2.11)

2.15. Тензор напряжений в точке имеет компоненты2.15. Тензор напряжений в точке имеет компонентыР в декартовых осях Охгх2х3Р в декартовых осях Охгх2х3102102

2.15. Тензор напряжений в точке имеет компоненты

2.15. Тензор напряжений в точке имеет компоненты

Р в декартовых осях Охгх2х3

Р в декартовых осях Охгх2х3

1

0

2

1

0

2

Определить главные напряжения и главные оси тензора напряжений, с которыми будет связана система осей координат Ох 1X2X3• Согласно (2.37), главные напряжения и определяются из уравнения

ЗЧ.а 飞、1

или в развернутом виде

(а+2) (а—4) (а— 1) = 0.

Главные напряжения являются корнями этого уравнения 。(口 = 一2, и(?)= °(з)= 4. Пусть ось “； совпадает с осью главного напряжения и([), и пусть nf‘ —— направляющие косинусы этой оси. Тогда, согласно (2.42),

(3+2)n俨+或)+或)= 0, np + 2碍)+ 2n$)= 0, 碎)+2或)+ 2或)=0.

Отсюда nj1' = 0,或)=—或)，а так как л；п( = 1, то (硬)？ = %. Поэтому п<° = 0,或)=1//2；壮D = — 1//Z

Пусть точно так же ось л^ соответствует главному напряжению и⑵.Тогда, согласно (2.42),

242)+巌)+喝2) = 0, 斗2)一 碎)+ 2 忌2) = 0, n『)+ 2 喏)一壮2)= 0, гак что 炉=1/$3,嚟=—1%3,穹=—1/КЗ.

Пусть, наконец, х； соответствует а(3). Тогда, согласно (2.42),

-"£)+ 碍)+ 碍)=0, 炉-4嚟+2碎)= 0, 炉 -(_ 2或)-4喈)=0, так что nf) = — 2/j/6,穹 -—1/) 6,礫=—1/]/6.

Показать, что тензор преобразования, состоящий из направляющих косинусов, определенных в задаче 2.15, приводит первоначальный тензор напряжения к диагональному виду, т. е. оси 尤;являются главными.

Согласно (2.29), [a*J = [aip] [op9J [aqj]f что для нашей задачи сразу дает

一 01//2 — 1/J/2 И 3[呻=I//3 -1/>Z3 -1/Кз1L—2//б — 1 Уб —一 01//2 — 1/J/2 И 3[呻=I//3 -1/>Z3 -1/Кз1L—2//б — 1 Уб —1О21О21/К2一 1//21/К2一 1//2屮厅—1/^3一 1/『?屮厅—1/^3一 1/『?'0—/2/2 '1//3 — 1/J3 — 1鹏8/1^6 — 4/ Кб — 4/Мё'0—/2/2 '1//3 — 1/J3 — 1鹏8/1^6 — 4/ Кб — 4/Мёо1//2о1//21/丁 g - 2力宁1/丁 g - 2力宁1/КЗ - 1/| 6 =1/КЗ - 1/| 6 =-1/12 -1/i 3—1/1 6-1/12 -1/i 3—1/1 6-2//ё -1/^6-1//6— 20(0 1 I0 0 ，-2//ё -1/^6-1//6— 20(0 1 I0 0 ，ОО4ОО4

一 01//2 — 1/J/2 И 3

[呻=I//3 -1/>Z3 -1/Кз1

L—2//б — 1 Уб —

一 01//2 — 1/J/2 И 3

[呻=I//3 -1/>Z3 -1/Кз1

L—2//б — 1 Уб —

1

О

2

1

О

2

1/К2

一 1//2

1/К2

一 1//2

屮厅

—1/^3

一 1/『?

屮厅

—1/^3

一 1/『?

'0—/2/2 '

1//3 — 1/J3 — 1鹏

8/1^6 — 4/ Кб — 4/Мё

'0—/2/2 '

1//3 — 1/J3 — 1鹏

8/1^6 — 4/ Кб — 4/Мё

о1//2

о1//2

1/丁 g - 2力宁

1/丁 g - 2力宁

1/КЗ - 1/| 6 =

1/КЗ - 1/| 6 =

-1/12 -1/i 3—1/1 6

-1/12 -1/i 3—1/1 6

-2//ё -1/^6

-1//6

— 20(

0 1 I

0 0 ，

-2//ё -1/^6

-1//6

— 20(

0 1 I

0 0 ，

О

О

4

О

О

4

Определить главные напряжения и главные оси тензора напряжений

Согласно (2.37), т — о т т

г т ——о т т т т — о

или (т — о) [— 2то + 炉]+ 2x2a — [Зт — о]炉=0. Отсюда о⑴=0, о⑵=0, и(з)~ Зт・ Для °(з)= Зт в силу уравнений (2.42)

-2*）+磅）+碎）=0.

斗3)_2喏)+ 成)=0,

43)+ 够)_2唠)=0

и, следовательно,守 =n£> = 忐=1/匕3.

Для о([)=и(2 = 0 уравнения (2.42) сводятся к виду

仆 + 〃2 + 门 3 = a

几1 +几2+％ = °，

Л1 + «2 + Л3 = °；

вместе с п^ = 1 этого недостаточно для однозначного определения первой и второй главных осей. Таким образом, любая пара взаимно перпендикулярных осей, перпендикулярных направлению л|3\ может служить главными осями. Рассмотрим, например, оси, определенные в задаче 2.12 матрицей преобразования

1//31/>6-1/J 21//31/>6-1/J 21//3 1//6 1/К2.1//3 1//6 1/К2."1/ГЗ[%71n _ 2/^z6О

1//3

1/>6

-1/J 2

1//3

1/>6

-1/J 2

1//3 1//6 1/К2.

1//3 1//6 1/К2.

По закону преобразования (2.29) матрица главных напряжений [и；[ имеет вид

i/Гз 8±1= —2/М8 _0-■/Зт м自= 0 о .00Показать,i/Гз 8±1= —2/М8 _0-■/Зт м自= 0 о .00Показать,1//3 1/限 1//6 1//6 -，У5 1//2.1//3 1/限 1//6 1//6 -，У5 1//2.т т т! J 1/]ЛЗТ 丁 Т U 1/jGТ т tJI J//3т т т! J 1/]ЛЗТ 丁 Т U 1/jGТ т tJI J//3— 2/61//61心— 2/61//61心О—1 //2 —1//2 一О—1 //2 —1//2 一что оси。尤；忌£ (где，％з и х； лежат в одной ичто оси。尤；忌£ (где，％з и х； лежат в одной итой же вертикальной плоскости, а х；, хг и х2 ——в одной горизонтальтой же вертикальной плоскости, а х；, хг и х2 ——в одной горизонтальной плоскости) тоже являются главными осями тензора напряжений задачи 2.17.Ясно, что некоторые элементы матрицы преобразования [а；；], связывающей две системы осей, известны:-0 .固1 =/2/ГЗ ;J//3 1//3 1//3 .ной плоскости) тоже являются главными осями тензора напряжений задачи 2.17.Ясно, что некоторые элементы матрицы преобразования [а；；], связывающей две системы осей, известны:-0 .固1 =/2/ГЗ ;J//3 1//3 1//3 .это хорошо видно на рис. 2.24. Остальные четыре элемента определяются из условий ортогональности dijaik = 6/々,так чтоэто хорошо видно на рис. 2.24. Остальные четыре элемента определяются из условий ортогональности dijaik = 6/々,так чтоРис.2.24.Рис.2.24.

i/Гз 8±1= —2/М8 _0-

■/Зт м自

= 0 о .00

Показать,

i/Гз 8±1= —2/М8 _0-

■/Зт м自

= 0 о .00

Показать,

1//3 1/限 1//6 1//6 -，У5 1//2.

1//3 1/限 1//6 1//6 -，У5 1//2.

т т т! J 1/]ЛЗ

Т 丁 Т U 1/jGТ т tJI J//3

т т т! J 1/]ЛЗ

Т 丁 Т U 1/jGТ т tJI J//3

— 2/61//6

1心

— 2/61//6

1心

О

—1 //2 —

1//2 一

О

—1 //2 —

1//2 一

что оси。尤；忌£ (где，％з и х； лежат в одной и

что оси。尤；忌£ (где，％з и х； лежат в одной и

той же вертикальной плоскости, а х；, хг и х2 ——в одной горизонталь

той же вертикальной плоскости, а х；, хг и х2 ——в одной горизонталь

ной плоскости) тоже являются главными осями тензора напряжений задачи 2.17.

Ясно, что некоторые элементы матрицы преобразования [а；；], связывающей две системы осей, известны:

-0 .

固1 =/2/ГЗ ;

J//3 1//3 1//3 .

ной плоскости) тоже являются главными осями тензора напряжений задачи 2.17.

Ясно, что некоторые элементы матрицы преобразования [а；；], связывающей две системы осей, известны:

-0 .

固1 =/2/ГЗ ;

J//3 1//3 1//3 .

это хорошо видно на рис. 2.24. Остальные четыре элемента определяются из условий ортогональности dijaik = 6/々,так что

это хорошо видно на рис. 2.24. Остальные четыре элемента определяются из условий ортогональности dijaik = 6/々,так что

Рис.2.24.

Рис.2.24.

Поступая как и прежде, находим

「一 1/J/21/^2

0 ]「Т t t]

Г - 1/К2

一 l/Гб

/К*

I叫=

—1//6 — 1//6

V2//3 т т т

1/^2

—1//6

/库

一 1/^1//3

1//3 J [т т т ]

L о

НЕН

i/Кз.

0 о о [

「一1/|/3 - 1//6

1叫

"о 0 о ~

=

000

1//2- 1/УЛ6

1//3 =

ООО

У2т /3t K5tJ

L 0/2//3

1//3J

_0 0 Зт

2.19. Показать, что главные напряжения 0(々)и компоненты напряжения ог〃 в произвольной системе координат, получающейся из главных осей преобразованием с коэффициентами 〃订,связаны со- з

отношением о^ = 2 &&瓦.

4 Дж. МеЙз

По правилу преобразования напряжения (2.27) oj = apiagjo^ но так как о* — главные напряжения, в правой части этого равенства остаются только три з

члена с р = д. Значит, правую часть можно записать в виде и行 = 》ар/ар/ор* р=1

Доказать, что oi}oikGkj ——инвариант тензора напряжений.

По правилу преобразования компонент тензора (2.27)

°if^ikOkj ~ aipaj^p^irak^r^kn^jr^mn =、=^ip^if) (ajqajti) (aksakmf ^p^r^mn =Q 5pr^qrfi0泅pq"r?mn ==^pr°p^ ^q^mt) ^SmOrs)==°rq°qmPrm =虫产卢走「

・ Непосредственным вычислением найти инварианты I” Их, Шх тензора напряжений

о)-8/о)-8//6—3сг“ — I —»36

о)-

8/

о)-

8/

\ оо

Найти главные -напряжения для этого напряженного состояния и показать, что диагональная форма приводит к тем же самым значениям инвариантов.

Согласно (2.39)

I工=и〃 = 6 十 6 + 8 = 20.

Согласно (2.40)

1Q = % (^ii^jj — aiyaq)=

=。11u22 + °22033 + °33011 - °12°12 — °23°23 —031u31 =

= 36+ 48 + 48 — 9 = 123.

Согласно (2.41)

IIIS = I u“ ］ = 6 (48) + 3(— 24) = 216.

Величины главных напряжений тензора справны и【=9, ои = 8, а1П = 3. Инварианты, подсчитанные через главные значения напряжений, равны

1工 п и】+ и】］+ и”］ == 9 + 8 + 3 = 20.

II£ = и】。］］+。［［。［“ + Тит = 72 + 24 + 27 = 123.

111月=01。］］01］1 = (72) 3 = 216.

Октаэдрической называется площадка, которая составляет равные углы с главными направлениями напряжений (рис. 2.25). Показать, что касательное напряжение на этой площадке, так

называемое октаэдрическое касательное напряжение, вычисляется по формуле

5жт = 〃з /(о?—5严 + 9u — 5н)2 +(5н — 5 产.

Нормаль к октаэдрической площадке а главных осях дается выражением

п = (VJ^)(6j + ^2 + е3)*

Тогда, согласно (2.12), вектор напряжения на такой площадке равен

产=(仍)6 + ^ +金■

* (а1е1е1 + аИе2е2 + аП1еЗеЗ)— ==(1/U3) (aI s +。][©2 + °п1ез)» а его нормальная компонента будет O# = n • 1 = % (01 + 0" +01")， Следовательно, для касательной компоненты имеем %кт =

Мt俞.t(")一 吟={1/з(涼 + 吟 + 吟I)— %(5 + ап + 5н)2}% =

=%〔3 (Qj + и* + и；”) 一 (о； + о^ + о；“ 十 2U[U]i + 2U[]U][] + ^Ощ^)}1^ =

=% {(о； — 2U]U]] + и；】)+ (a J J — ^OjjQjjj + и：”) + (и；” 一 2%]0[ + о；)}"=

=1/з 丿(5 — и”)？ + (°ц 一 аш)2 + (аш 一 ai)2-

В некоторой точке задан тензор напряжений

/500\

% = I ° '~ 6 ―■ 12 I.

\0 — 121/

Определить максимальное касательное напряжение в этой точке и показать, что оно действует в плоскости, которая делит пополам угол между площадками максимального и минимального нормальных напряжений.

Используя формулу (2.38), читатель убедится в том, что главные напряжения равны о】=10, и】]=5, и】]]=——15. Из (2.546) найдем величину максимального касательного напряжения as = (о】” 一a^/2 = — 12*5. Главные оси 0%；勾匕

勾忘*1/J 20I/K2х2010匕-1/唄01//2勾忘*1/J 20I/K2х2010匕-1/唄01//2

勾

忘

*

1/J 2

0

I/K2

х2

0

1

0

匕

-1/唄

0

1//2

勾

忘

*

1/J 2

0

I/K2

х2

0

1

0

匕

-1/唄

0

1//2

связаны с осями О#；х忠 максимального касательного напряжения приведенной ниже таблицей преобразования и расположены так, как показано на рис. 2.26.

Тензор напряжения, отнесенный к осям со штрихами, таков:

Рис. 2.27.

Эти результаты можно дополнительно пояснить, указав напряжения, действующие в данной точке на элементарные кубики, грани которых перпендикулярны осям координат (рис. 2.27).

Круги Мора (§ 2.12—2.13),

Построить круги Мора для напряженного состояния, описанного в задаче 2.23. Отметить важнейшие точки. Установить связь между системой осей координат 0х1х3х3 (соответствующей

компонентам。〃) и главными осями Ох；х；х； и нанести на диаграмму Мора точки, характеризующие напряженное состояние на координатных плоскостях системы Ox^Xq.

忘0・100九0з/в忘0・100九0з/вРис. 2.29.Рис. 2.29.

忘

0

・1

0

0

九

0

з/в

忘

0

・1

0

0

九

0

з/в

Рис. 2.29.

Рис. 2.29.

На верхней половине симметричной диаграммы кругов Мора (рис. 2.28) указана точка Р максимального касательного напряжения и отмечены главные напряжения. Таблица направляющих косинусов для преобразования координат

приводит к схеме взаимного расположения осей координат, показанной на рис. 2.29. Оси #1 и 尤2 совпадают. Оси ха и 尤з лежат в плоскости 尤;芯，как по

казано на рисунке. По указанным углам а = 36,8° и р = 53,2° находим положение точки Л (—6, 12), характеризующей напряжение на площадке, перпендикулярной оси 尤2，н точки 8 (1, 12), дающей напряженное состояние иа площадке, перпендикулярной оси х3. Точка С (5, 0) представляет напряженное состояние на площадке, пер пеидикул я рной оси Xi.

в системев системеНапряженное состояние в некоторой точке координат 0хгх2х3 задано компонентами

в системе

в системе

/—50О'

I 0 — 6 — 12\ 0—12 L

Определить аналитически компоненты вектора напряжения на площадке с единичной нормалью п =纟厶* + 1/8е2 + 2/3е3. Проверить результаты с помощью диаграммы Мора для этой задачи.

Воспользовавшись (2.13) и свойством симметрии тензора напряжений, получим вектор напряжения на площадке с нормалью п в виде произведения матриц

получаем и%получаем и%Таким образом,=Н11)■ п = — 70/9. Тогда из (2.47) следует, что о§ = 70,7/9.Таким образом,=Н11)■ п = — 70/9. Тогда из (2.47) следует, что о§ = 70,7/9.

получаем и%

получаем и%

Таким образом,

=Н11)■ п = — 70/9. Тогда из (2.47) следует, что о§ = 70,7/9.

Таким образом,

=Н11)■ п = — 70/9. Тогда из (2.47) следует, что о§ = 70,7/9.

Для данного тензора ①/ главные напряжения равны а( = 10, ап =——5, 0n I =——15, а главные оси связаны с осями 0хгхлх3 преобразованием, определяемым следующей таблицей:

尤1

修

X；

0

九

勾

0

0

芯

0

4/б

3/s

Таким образом, в главных осях п； = а^п^ или

В соответствии с этим углы, изображенные на рис. 2.16, имеют величины 0 = р = = arc cos 2/3 Q 48,2° и ср = arc cos J/3 q 70,5°, а диаграмма кругов Мора, соответствующая рис. 2.17, для данного случая построена на рис. 2.30.

Построить круги Мора для трех случаев плоского напряженного состояния, соответствующих напряжениям, действующим на элементарный куб, ребра которого параллельны осям ко

ординат, как показано на рис. 2.31. Определить максимальное касательное напряжение в каждом случае.

Круги Мора изображены на рис. 2.32.

Шаровой тензор и девиатор напряжений (§ 2.14)

Разложить тензор напряжений

на шаровую часть и девиатор и показать, что первый инвариант девиатора равен нулю.

Мы имеем о加=以〃3 = (12 + 9 + 3)/3 = 8; тогда

/8а// = °M^i/ + S" n I 0\0/8а// = °M^i/ + S" n I 0\0

/8

а// = °M^i/ + S" n I 0

\0

/8

а// = °M^i/ + S" n I 0

\0

причем 句j = 4 + 1 — 5=0.

Показать, что девиатор напряжений эквивалентен супер позиции пяти состояний простого сдвига.

Существует разложениеСуществует разложение

Существует разложение

Существует разложение

где два последних тензора, очевидно, эквивалентны состояниям простого сдвига по аналогии со случаями «а» и «6» задачи 2.26. Заметим также, что — sn — 533 = =522» ПОСКОЛЬКУ S[i = 0.

девиатора напряжений длядевиатора напряжений дляОпределить главные значения

девиатора напряжений для

девиатора напряжений для

/ 10 —6 0\о(7 == I — 6 10 О J.

\ о 0 1/

Девиатор напряжений для и,/ имеет вид

а его главные значения можно найти, приравняв нулю определитель

3— s —6 О

—6 3—s 0=(—6 —s)(s + 3)(s —9) =0.

О 0 —6 —s

Таким образом, s】=9, s“ = —3, s1n = —6. Тот же результат получится, если сначала вычислить главные значения тензора напряжений о”，а затем воспользоваться формулой (2.71). Для тензора а(/( как может убедиться сам читатель, главные значения равны о】=16, аи = 4, аш = 1, откуда s】=16 — 7=9, S[ I == 4 — 7 == — 3, S[ [ [ ^= 1 — 7 ■= — 6.

Показать, что второй инвариант девиатора напряжений выражается через главные значения девиатора следующим обра-

зом: Пед = (si&i + SnSni + sniSi), или (что то же самое) IISp = -1/a(sf +S?! + Sin).

Характеристическое уравнение для девиатора напряжений, записанное через главные значения девиатора, получается приравниванием нулю определителя

S[ — s00

0 б” — s0

=(«I — s) (sn —s) Ge — s) = 0 =

00Sjjj -s

I r J

=0 十(S]S“ + $и$1п + $шЕ)$ — sisiisjii-

Отсюда в соответствии с (2.72) имеем IIS£> =(S[SU 十 SjjSjjj 十 sinSj). Так как $[ + sii + 抄口 = 0, то

〔“D = % 冲优“ + 2S[[Si[i + 251nsi —(S[ + % + §1н)'】=—% (si + sn + siii)-

Смешанные задачи

Доказать, что любой симметричный тензор, например тензор напряжений е小 при переходе к любой другой системе преобразуется также в симметричный тензор а^.

По формуле (2.27) а^ = а^а^рд = ag歩qp =《广

Главные напряжения в точке Р таковы, что 2ац = Oi + + Ош，Определить единичный вектор нормали п, к площадке, на которой 6V = 口口 и as = (oi —am)/4-

Согласно (2.33), a^ = п汨十 n| 何 +。口卩发 + 咸jn =(5 + 0口1)仅 и> так как ^ + л| + nj = 1, из совместного решения этих двух уравнений можно получить Л1 = п3. Далее, из (2.47)

as = п冠 + п2(5 + 5н)2/4 + n3ani — (5 + аш)2/4 = (о】一 5口)2/16・

Подставляя в это уравнение п3= ni и л| — 1 = — п； — n； = — 2/ip а затем разрешая его относительно ni, находим направляющие косинусы лх = 1/(2 |‘2), п* = рЗ/2, п§ = 1/(2 У" 2). Читателю предлагается использовать эти результаты для тензора напряжений

(

400

обо

0 0 6

Показать, что разложить тензор напряжений 口订 на шаровую часть и девиатор можно только единственным образом.

Предположим, что существуют два разложения и” = 6力九 4-年/ = 6,九* 十 + s；〃 для которых s“ = 0 н $" = 0. Тогда о〃 = 3九=ЗХ* и, следовательно,九= —九*; а из 入6订十箱/ =紡〃 + s；/ следует, что sz/ = s；,.

Доказать, что если Е—симметричный тензор с действительными компонентами, то главные напряжения тоже действительны.

При действительных значениях компонент напряжения инварианты тензора напряжений действительны и, следовательно, все коэффициенты уравнения (2.38)— действительные величины. По теории таких уравнений хотя бы один корень (главное значение) должен быть действительным. Обозначим его через о(з) и рассмотрим совокупность осей со штрихами &, причем направление л3 соответствует о⑶.Относительно таких осей характеристическое уравнение имеет вид

О] ] — U U]20

砲 修一00=0,

°0%)—и

или 何з)— о) [(а；] — о) (о/ — а) — 9；2尸]=& Так как дискриминант квадратичной формы, стоящей в квадратных скобках, положителен:

0 = 9；1 + 质2产-4 e1$2 — (0；2产】=9；1 -仿2)2 + 4 (九产 > 0,

то и остальные корни должны быть действительными.

Используя метод множителей Лагранжа, показать, что экстремальные (максимальное и минимальное) значения нормального напряжения и% совпадают с главными напряжениями.

Из (2.33) о% = а^п/Л/, причем щщ = 1. По аналогии с (2.51) построим функцию Н = ^n —九&切，для которой дН/дп( = 0. Тогда

dн"

瓦=。严//• + aunini.p- 24,p«i =

=alfiipni + aijnfijp — 2X,6iprt/ =

=〜严/ 十 aipni — 2九6切& = 2 (Op,—九6Q П, = 0,

а это эквивалентно уравнению (2.36) для определения главных напряжений.

Предположим, что компоненты напряжения 口打 получены из симметричного тензорного поля 屮〃 при помощи соотношения G" ~ Jpq7mNqn,pm・ ПокаЗЗТЬ, ЧТО При ОТСУТСТВИИ МЗССОВЫХ СИЛ удовлетворяются уравнения равновесия (2.23).

Пользуясь результатами задачи 1.58, найдем компоненты напряжения

%• = 6“ (q>WiPp — q>"£ + 4pitPi + «Р/р,, — %р,ц — Ф/i.pp.

или в развернутой записи

a12 = а21 = — ЧРЗЗ.21»°23 = азв =—屮 11,23,°3J = °1з = — ^22,13*a12 = а21 = — ЧРЗЗ.21»°23 = азв =—屮 11,23,°3J = °1з = — ^22,13*П11 = ФЗЗ.22 + 中22,33,

a12 = а21 = — ЧРЗЗ.21»

°23 = азв =—屮 11,23,

°3J = °1з = — ^22,13*

a12 = а21 = — ЧРЗЗ.21»

°23 = азв =—屮 11,23,

°3J = °1з = — ^22,13*

。22 =屮11,33 + Фзз.н»

。33 =屮22 JI + 中II.22,

Подставляя эти значения в уравнение о(/ / = 0, получаем

51」+ П12,2 + °13,3 =屮33,221 + 屮22,331 —中33,212 —中22,133 = °，

a2I,I + °22.2 + °23,3 =—中3321 + Ф11,332 + ФзЗ,1]2 — Ф11,233 = °>

a3i,I + °32,2 + °33,3 =一屮22,⑶一中II,232 + 屮 22/13 + 屮11,223 = 0,

2・37・ Показать, что, как утверждается в § 2.9, нормаль к поверхности напряжений Коши в точке с радиусом-вектором г параллельна вектору напряжения £")•

Пусть поверхность напряжений задана уравнением 中=田爲К/ ± А2 — 0. Нормаль к ней в любой точке определяется как 丫中，или 己屮/己口 =中广 Следовательно, 9口 = GifiiAi 十 П//№р = 2opZ^. Но так как ^ = гп^ последнее выражение превращается в 2ар^гл/ или 2г &浊)= 2^J.

Тензор напряжений в точке Р, отнесенный к осям Охр^尤з, имеет вид

15

—10

0

—10

5

0

0

0

20

Пусть новые оси Ох^хз получены поворотом около начала отсчета, т. е. преобразованием с матрицей

-% 0

[ciij] =010・

-% 0%

Определить вектор напряжения на каждой из координатных площадок системы со штрихами путем проектирования вектора напряжения в первоначальных осях на направления осей со штрихами. Определить таким образом о,广 Проверить результат, используя формулу преобразования (2.27).

Из (2.6) и тождества /："=。炉(2.7) следует, что векторы напряжения на координатных площадках в системе без штрихов равны

t3)= &1 — 1&2, 向)=—欣1 十金2，检3)= 2%,

что соответствует строкам тензора напряжений. Проектируя эти векторы на оси системы со штрихами, при помощи соотношения (2.12) t(")= mt®) + &№力 + 十%我аполучаем

产"=3/Б (iSq — 10e2) — % (20e3) = 9ex — 6e2 — 16e3;

после преобразования единичных базисных векторов это равенство принимает вид 円)=9(3頂；+ 4頂3)-6^2-16(-4/点；+ %& = 91e；/5 - % f l%/5.

Аналогично

产2)=_ 関 + %_*

产з)= — 1騎/5 _ % + 84印5,

так что

С другой стороны, по формуле (2.27)

Из задачи 2.22 аокт « х/8 /(й^а^)НЧ^7^ но о】^。№ 干 $т，Si с= о"м + S[] и т. д.; поэтому

%КТ н % 丿(SI — $Н)2 + (Sn 一 电口尸 + (SIII 一 SI)2 =

=%»2 (sj + #[ + *1)- 2 (“Su + Wu + $1口£1)・

Атак как Sj + sn + sin = 0, то и (Sj + sn + 电口产■ “ или

si + sn + sni = 一 2 (sisii + siisiii + sin si)-

Отсюда

Покт = % /— 6 (SjSji + SiFiii + SnisI)= /— %〔％£)•

Напряженное состояние во всех точках тела задано тензором напряжений

где С — произвольная постоянная, а) Показать, что если массовые силы равны нулю, то уравнения равновесия удовлетворяются.

б) Вычислить вектор напряжения в точке Р (4, — 4, 7) на плоскости 2/ 十 2/ — %з = — 7 и на сфере (看户 + (х2)2 + (хэ)2 = (9)2. в) Определить главные напряжения, максимальное касательное напряжение и главные значения девиатора напряжений в точке Р.

г) Построить круги Мора для напряженного состояния в точке Р.

Подставляя непосредственно в (2.24) компоненты 6/, убеждаемся в том, что уравнения равновесия удовлетворяются тождественно.

Из задачи 1.2 следует, что единич

ный вектор нормали к плоскости 2xi +рис< 2.33.

+ 2& — #з = — 7 определяется выраже-'''

нием п в 2/3ei + 2/3е2 — МзСз- Тогда, согласно формуле (2.12), вектор напряжения на этой площадке в точке Р равен.

阿=(2/зех + %ejj — 1/3е3) ■ (7。％与 + 7Се2ех 一 4Се2е3 一 4Се3е2) ^

=С (14/3е2 十呷3©1 —%е3 十 4/3е2) = г/3С (14ех + 18е2— 8е3).

Нормаль к сфере jqjq = (9)2 в точке Р определяется выражением 勿=中(,где 屮=jqjq ——81; следовательно, n = 4/Bei ——4/ве2 + 7/8ез. Вектор напряжения в точке Р, согласно (2.14), в матричной записи имеет вид

'0 7С 0 '

*1=1%,—%,%】7С 0 —4С =[-28С/9, 0, 16С/9].

0 —4С 0

В силу (2.37) для главных напряжений и имеем уравнение

—о 70

7 — о — 4 = о (а2 — 65) = 0, 0 --4 —a

откуда Qj и ]'65, 0n =» 0, о1n «= — >'65. Величина максимального касательного напряжения по формуле(2.546) равна о$ =(。【口 一 aj)/2 = 士 J 65. Так как среднее нормальное напряжение в точке Р равно。乂 = (о】+ ап + а1П)/3 = 0, главные значения девиатора напряжений те же, что и у тензора напряжений.

Круги Мора изображены на рис. 2.33.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

41. В точке Р дай тензор напряжений

110110Рис. 2.34.Ответ: о% =» 63/5, % = 37,7/5.Рис. 2.34.Ответ: о% =» 63/5, % = 37,7/5.Определить вектор напряжения 8 точке Р на площадке, параллельной плоскости： a) BGE, б) BGFC в элементарном параллелепипеде» изображенном на рис. 2.34.Ответ: а)『叫=> llei + + 12^ + 脸；6)而 n (21q + 否 + 14^ + 12^)/J 百Определить нормальную и касательную компоненты напряжения на плоскости BGFC задачи 2.41.Определить вектор напряжения 8 точке Р на площадке, параллельной плоскости： a) BGE, б) BGFC в элементарном параллелепипеде» изображенном на рис. 2.34.Ответ: а)『叫=> llei + + 12^ + 脸；6)而 n (21q + 否 + 14^ + 12^)/J 百Определить нормальную и касательную компоненты напряжения на плоскости BGFC задачи 2.41.Главные напряжения в точке Р таковы: Qj =» 12, 0H =» 3. аП1 =—6. Определить вектор напряжения и его нормальную компоненту на октаэдрической площадке в точке Р.Ответ: t(n) => (12ei + Зе2 — без)/^ 3, о% = 3.Определить величины главных напряжений для тензоровГлавные напряжения в точке Р таковы: Qj =» 12, 0H =» 3. аП1 =—6. Определить вектор напряжения и его нормальную компоненту на октаэдрической площадке в точке Р.Ответ: t(n) => (12ei + Зе2 — без)/^ 3, о% = 3.Определить величины главных напряжений для тензоров

110

110

Рис. 2.34.

Ответ: о% =» 63/5, % = 37,7/5.

Рис. 2.34.

Ответ: о% =» 63/5, % = 37,7/5.

Определить вектор напряжения 8 точке Р на площадке, параллельной плоскости： a) BGE, б) BGFC в элементарном параллелепипеде» изображенном на рис. 2.34.

Ответ: а)『叫=> llei + + 12^ + 脸；6)而 n (21q + 否 + 14^ + 12^)/J 百

Определить нормальную и касательную компоненты напряжения на плоскости BGFC задачи 2.41.

Определить вектор напряжения 8 точке Р на площадке, параллельной плоскости： a) BGE, б) BGFC в элементарном параллелепипеде» изображенном на рис. 2.34.

Ответ: а)『叫=> llei + + 12^ + 脸；6)而 n (21q + 否 + 14^ + 12^)/J 百

Определить нормальную и касательную компоненты напряжения на плоскости BGFC задачи 2.41.

Главные напряжения в точке Р таковы: Qj =» 12, 0H =» 3. аП1 =—6. Определить вектор напряжения и его нормальную компоненту на октаэдрической площадке в точке Р.

Ответ: t(n) => (12ei + Зе2 — без)/^ 3, о% = 3.

Определить величины главных напряжений для тензоров

Главные напряжения в точке Р таковы: Qj =» 12, 0H =» 3. аП1 =—6. Определить вектор напряжения и его нормальную компоненту на октаэдрической площадке в точке Р.

Ответ: t(n) => (12ei + Зе2 — без)/^ 3, о% = 3.

Определить величины главных напряжений для тензоров

и показать, что главные оси этих тензоров совпадают. Ответ: а) а(。2,。口 = аш = — 1; 6)5 = 4, ап = а1П ==> 1. 2.45. Разложить тензор напряжений

(

3—100\

—100 30 I

030 — 27/

на шаровую часть и девиатор и найти главные значения девиатора напряжений. Om^em: * = 31, s^ — 8. S[“ = — 39.

.2.46. Показать, что нормальная компонента вектора напряжения на октаэдрической площадке равна одной трети первого инварианта тензора напряжений.

В некоторой точке задан тензор напряжений

причем величина а22 не указана. Определить а2з так, чтобы вектор напряжения на некоторой площадке в этой точке обращался в нуль. Найти единичную нормаль к этой свободной от напряжения площадке.

Ответ: а2г = 1. п _ (ei — 2^ + ез)/|'б.

2.48. Построить круги Мора и определить максимальное касательное на-

пряжение для следующих напряженных состояний:

0

0 '

Л

т

°\

Л

а) % = 1 т

т

0 ;

6) 5/ = 1 0

-Т

0

\о

0

0/

\0

0

—2т,

Ответ: а) % = т; б) % = Зт/2.

Используя результат задачи 1.58 и закон (2.27) преобразования напряжений, показать, что произведение &仃腸四田沙50］皿 является инвариантом-

Поле напряжении в сплошной среде задано тензором

(1 — х2)Х1

(竣3%2)/3о

Определить: а) распределение массовых сил, если уравнения равновесия удовлетворены повсюду; б) величины главных напряжений в точке Р (с, 0, 2?'仪)； в) максимальное касательное напряжение в точке Р; г) главные значения девиатора напряжений в точке Р.

Ответ: а)加=—4尤з； б) а, — а, 8а; в) ±4,5а; г) — 11а/3, — 5q/3, 16g/3・

Глава 3

Деформации

3.1. Частицы и точки

В кинематике сплошной среды смь/сл слова «точка» должен быть строго уяснен, так как оно может относиться либо к «точке» пространства, либо к «точке» сплошной среды. Во избежание недоразумений слово «точка» будет использоваться исключительно для обозначения места в неподвижном пространстве. Слово «частица» будет означать малый элемент объема (или «материальную точку») сплошной среды. Короче говоря, точка есть место в пространстве, а частица — малая часть материального континуума.

3・2・ Конфигурация сплошной среды.

Деформация и течение

В любой момент времени / объем V сплошной среды, ограниченный поверхностью S, занимает некоторую область R физического пространства. Если в определенной системе координат указано соответствие частиц некоторого объема сплошной среды и точек пространства, которые они занимают в момент времени f, то говорят, что в этот момент времени указана конфигурация сплошной среды.

Термин деформация относится к изменению формы континуума от некоторой начальной (недеформированной) конфигурации до последующей (деформированной) конфигурации. При изучении деформации учитываются только начальная и конечная конфигурации; промежуточным состояниям, или частной последовательности конфигураций, по которым происходит деформация, внимания не уделяется. В противоположность этому термин течение используется для обозначения непрерывного состояния движения континуума. В самом деле, изучение истории конфигурации является неотъемлемой частью исследования течения, для которого задано переменное во времени поле скоростей,

3.3, Радиус-вектор. Вектор перемещения

На рис. 3.1 изображены недеформированная конфигурация ма、 термального континуума в момент f = 0 и деформированная конфигурация того же самого континуума в более поздний момент времени » = £・ В проводимом нами исследовании целесообразно

отнести начальную и конечную конфигурации к различным осям координат, как это сделано на рисунке.

Тогда в начальном состоянии характерная частица среды занимает точку & пространства и имеет радиус-вектор

х = Х^ + X2i2 + X 工=хЛ(3.1)

относительно ортогональных декартовых координат OX^zX^ Здесь в качестве индексов суммирования использованы заглавные

буквы; они будут появляться также в некоторых равенствах и в дальнейшем, но их использование в качестве индексов суммирования ограничено этим параграфом. В остальной части книги заглавные буквы служат только различительными верхними или нижними индексами. Здесь они применяются для того, чтобы особо подчеркнуть связь некоторых выражений с системой координат пространства начального состояния (X】，Х2> <), которые называются материальными координатами. В деформированном состоянии частица, которая сначала была в точке Р。，займет положение Р и будет иметь относительно ортогональных декартовых координат охгх2х3 радиус-вектор

X =不比 + х2е2 + Х3е3 = X®. (3.2)

Здесь в качестве нижних индексов использованы строчные буквы, чтобы указать на связь с координатами 伝，&, л3), которые дают текущее положение частицы и часто называются пространственными -координатами.

Относительная ориентация материальных осей 0Х1Х2Х3 и пространственных осей ок//з характеризуется направляющими косинусами 仪为盟 и。盟々, которые определяются скалярными произведениями единичных векторов

еА • *К = Vc ' eft = «ЛК =窃必・ (3.3)

Суммирование по индексам в этих выражениях не подразумевается, так как 力 и К —— различные индексы. Ввиду того что дельта Кронекера определяется равенствами 1长• ip = 6盟「 и 'eft • ер = 5kp, условия ортогональности пространственных и материальных сюей принимают вид

a7</eaК口=^кк^рк ^= 6如， ^кр^мр == ^рк^рm =, 6用次. (3.4)

Вектор и, соединяющий точки Ро и Р на рис. 3.1 (соответственно начальное и конечное положения частицы), называется вектором перемещения. Этот вектор можно записать в виде

U = «Л(3.5)

или же в виде

U=u3k,(3.6)

где компоненты Ur и uk связаны через направляющие косинусы 2к・ Согласно (1.89), единичный вектор еА выражается через материальные базисные векторы 1长 следующим образом:

е走=а^кГк.(3.7)

Подставляя (3 7) в (3.5), получаем

= % (%麗焱)=Uk；k = U,(3.8)

откуда

以=4k"炉(3.9)

Так как направляющие косинусы ——величины постоянные, компоненты вектора перемещения, как видно из (3.9), подчиняются правилу преобразования декартовых тензоров первого ранга, что и следовало ожидать..

Вектор b на рис. 3.1 служит для определения положения начала координат о относительно точки О; очевидно»

и = b + х — X.(3.10)

В механике сплошной среды очень часто существует возможность совместить системы координат 0%尤爲 и охгх^х^ тогда b = 0, а (3.10) принимает вид

U = X— X.(ЗЛ1)

В декартовых компонентах это равенство в общем случае выглядит так:

4 =/ —%кХк・(3.12)

Однако для совмещенных осей триэдры единичных базисных векторов обеих систем одни и те же, а это ведет к тому, что направляющие косинусы бк превращаются в дельты Кронекера. Вследствие этого

.12) упрощается и сводится к равенству

以=4 — Х&, (3.13)

где в качестве нижних индексов используются только строчные буквы. В остальной части книги, если специально не оговорено противное, материальные и пространственные оси предполагаются совмещенными, и поэтому для индексов будут применяться только строчные буквы.

■ 3.4. Лагранжево и эйлерово описания движения

Если в некотором объеме сплошной среды происходит деформация (или течение), то его частицы двигаются вдоль различных путей в пространстве. Это движение можно описать уравнениями вида

々 = xJXi, Х2, Х§, 9=&(Х, /), или х =х(Х, f), (3.14) которые дают положение % в текущий момент частицы, занимавшей в момент f=0 точку (Хь Х2, XJ・ Таким образом» (3.14) можно толковать как установление соответствия между точками начальной конфигурации и их положением в текущем состоянии. Предполагается, что такое соответствие взаимно однозначно и непрерывно с непрерывными частными производными любого порядка, который потребуется. Такой способ описания движения или деформации, выраженный формулой (3.14), называется лагранжевым.

С другой стороны, если движение или деформация задаются уравнениями вида

х, = XJX1,小，Хз, /) = Х/(х, /), или X = Х(х, /), (3.15) в которых независимыми переменными являются координаты 看 и время f, способ описания называется эйлеровым. Это описание можно рассматривать как такое, которое позволяет проследить к начальному положению частицу, которая теперь занимает положение (хъ %2，%з). Если (3.15) дает непрерывное взаимно однозначное соответствие с непрерывными частными производными, как было допущено для (3.14), то эти два соответствия представлены единственной парой взаимно обратных функций. Необходимым и достаточным условием существования обратной функции является отличие от нуля якобиана

Например, лагранжево описание движения уравнениями

Xi = X] + Х2 Р — 1),

х2 = Хг (г^—1) + Х2,(3.17)

% = Xj

имеет взаимно обратную эйлерову формулировку

=一 “I + 修 d — I)

1 — 1 — J -U—

(3.18)(3.18)

(3.18)

(3.18)

3.5. Градиенты деформации. Градиенты перемещения

Дифференцирование (3.14) частным образом по X/ приводит к тензору GxJdX卜 который называется материальным градиентом деформации. В символических обозначениях ^/йХ7 представляется тензором второго ранга

диаде. Та-диаде. Та-F = xvx s -^- ех + -^- е2 + -^- е3, (3.19) где Vx ^ "g右 L = •我「* (материальные и пространственные оси предполагаются совмещенными). Матричная форма F служит для дальнейшего уяснения этого тензорного свойства оператора у*,

диаде. Та-

диаде. Та-

когда он выступает в качестве второго сомножителя в

ким образом,

环=修环=修дд~дхг1дХх=dxjOX 1 _dxJdXr~дхг1дХх=dxjOX 1 _dxJdXrдх'дХ? дх2/дХ2 dxjGX?дх'дХ? дх2/дХ2 dxjGX?дхг/дХ6-дх2/дХ3 = [dxJdXj\.дхг/дХ6-дх2/дХ3 = [dxJdXj\.(3.20)(3.20)

环=修

环=修

д

д

~дхг1дХх

=dxjOX 1 _dxJdXr

~дхг1дХх

=dxjOX 1 _dxJdXr

дх'дХ? дх2/дХ2 dxjGX?

дх'дХ? дх2/дХ2 dxjGX?

дхг/дХ6-

дх2/дХ3 = [dxJdXj\.

дхг/дХ6-

дх2/дХ3 = [dxJdXj\.

(3.20)

(3.20)

Частное дифференцирование (3.15) по 々 приводит к тензору aXJdXj, который называется пространственным градиентом деформации. Этот тензор представляется диадиком

(3.21)(3.21)

(3.21)

(3.21)

имеющим матричную формуимеющим матричную формуРХ]/。％ =dXjdx* _дХ3/дх1РХ]/。％ =dXjdx* _дХ3/дх1

имеющим матричную форму

имеющим матричную форму

РХ]/。％ =dXjdx* _дХ3/дх1

РХ]/。％ =dXjdx* _дХ3/дх1

дХ^дх2 дХ"дк£

(3.22)(3.22)дХ2/дх2 дХ2/дх3 = [dX^dXj].

(3.22)

(3.22)

ОХз/耻 GXjdx§_

Материальный и пространственный тензоры деформации связаны правилом частного дифферен ци рован и я

ax； dxk - dxi dXk 一 5尿

Частное дифференцирование вектора перемещения ut по координатам приводит либо к материальному градиенту перемещения dtiJdXj, либо к пространственному градиенту перемещения дис/дх(. При помощи формулы (3.13), которая представляет п£ через разность координат, эти тензоры выражаются через градиенты деформации в лагранжевых (материальных) переменных

дщах/дщах/dxi ах/dxi ах/или J = uV х = F — Iили J = uV х = F — I(3.24)(3.24)

дщах/

дщах/

dxi ах/

dxi ах/

или J = uV х = F — I

или J = uV х = F — I

(3.24)

(3.24)

и в эйлеровых (пространственных) переменных

嗡=6"--^, .ИЛИ K^uVx = I-H. (3.25)

Как обычно, матричные формы J и К имеют соответственно вид

dt111dx 工 ди2/дХг

диг/дХ2 ди2/дХ2

Ои^дХ； 也?/°Хз

= [^Ж/1

(3.26)

ди3/дХг

%泌2

dujax*一

и

訛:訛:

訛:

訛:

-0〃 '0厶 也 1/此0" 1/дx3

(3.27)(3.27)ди2/дхг ди2/дх2 ди2/дх3 = {dujdxj\.

(3.27)

(3.27)

ди31дхх ди^дх2 ди3/дх3_

3・6・ Тензоры деформаций. Тензоры конечных деформаций

На рис. 3.2 начальная (недеформированная) и конечная (деформированная) конфигурации отнесены к совмещенным ортогональным декартовым осям координат ОХ^^Х^ и охгх2х3. Соседние частицы, которые находились в точках Р° и Q。до деформации, перемещаются соответственно в точки Р и Q деформированной конфигурации.

Квадрат бесконечно малого расстояния между Р° и Qo есть (dX)2 = dX • dX = dX〃X, = ^dX^Xj. (3.28) Согласно (3.15), дифференциал расстояния dXi9 очевидно, равен

dX, = dxh или dX = Н ・ dx,《3.29)

* dxj /*

так что квадрат длины (dX)2 в формуле (3,28) можно написать в виде

0X)2 = ■^■dxQxj = CijdXidx/, или (dX)2 = dx • С • dx,

(3.30) где тензор второго ранга

С『啜墻,нпн C = fVH, (3.31) называется тензором деформаций Коши.

В деформированной конфигурации квадрат бесконечно малого расстояния между 尸 и Q равен

(dx)2 = dx • dx = dxidxi = bijdx^xi.(3.32)

В силу (3.14) этот дифференциал расстояния имеет вид

dxc = 靠:dX〃 или dx = F • dX,(3.33)

так что квадрат длины (d%)2 в формуле (3.32) может быть записан следующим образом:

(〃户=鶴 哉 dXpX] = Gt1dxidX”или (dx)? = dX • G . dX,

(3.34)

где тензор второго ранга

&/ =務務，или G = F「F,(3.35)

называется тензором деформаций Грина,

Разность (dx)2 ——(dX)2 для двух соседних частиц сплошной среды используется как мера деформации некоторой окрестности этих частиц между начальным и конечным состояниями. Если эта разность тождественно равна нулю для всех соседних частиц, то говорят, что имеет место абсолютно жесткое перемещение (перемещение сплошной среды как абсолютно твердого тела). Используя (3.34) и (3.28), эту разность можно представить в виде

(dx)2 - (dX)2 =(鴇器-%) dX/X尸 2LlidXidXh

ИЛИ

(dx)2 — (dX)2 = dX • (Fc • F — I) • dX = dX • 2LC • dX, (3.36) где тензор второго ранга

“ =3(競務— 6")， или Lg = 3(Fc・F — D,(3.3Z) называется лагранжевым тензором конечных деформаций (или тензором конечных деформаций Грина}.

Используя (3.32) и (3.30), ту же самую разность можно представить в виде

(dx)2 - @Х)2 =卜" 一*需)dxfiX| = 2瓦妙/巧，

ИЛИ

(dx)2 — @Х)2 = dx • (I — % • H) • dx = dx • 2Ел • dx, (3.38)

где тензор второго ранга

J = f 卜"一欝鴇)，или E4 = £(I — Hc・H),(3.39)

называется эйлеровым тензором конечных деформаций (или тензором конечных деформаций Альманси),

Особенно полезна такая форма( лагранжева и эйлерова тензоров конечных деформаций, когда эти тензоры представлены в виде функций градиентов перемещения. Тогда, если dxJdXj из (3.24) подставить в (3.37), то после некоторых простых алгебраических преобразований лагранжев тензор конечных деформаций примет вид

小貝需т小貝需тМ I M duk \'дХГ^~Зх~'~дХГ)М I M duk \'дХГ^~Зх~'~дХГ)илиили

小貝需т

小貝需т

М I M duk \'дХГ^~Зх~'~дХГ)

М I M duk \'дХГ^~Зх~'~дХГ)

или

или

Lg = ~^- (〕+ “ + “• J)・Lg = ~^- (〕+ “ + “• J)・(3.40)(3.40)

Lg = ~^- (〕+ “ + “• J)・

Lg = ~^- (〕+ “ + “• J)・

(3.40)

(3.40)

Таким же образом, если dXJdXj из (3.25) подставить в (3.39), в результате получим эйлеров тензор конечных деформаций в виде

尸 1 / d以丄 duf duk duk \

= T (丽+石Г一-阪'而丿，или

Е{ = 4~(К + Кс —К「К).(&41)

Матричные представления тензоров (3.40) и (3.41) можно написать, непосредственно используя формулы (3.26) и (3.27) соответственно.

.7. Теория малых деформаций.

Тензоры бесконечно малых деформаций

Так называемая теория малых деформаций в механике сплошных сред имеет своим основным условием требование малости градиентов перемещения по сравнению с единицей. Основной мерой деформации служит разность (dx)? — (dX)?, которую можно выразить через градиенты перемещения, подставляя (3.40) и (3.41) в (3.36) и (3.38) соответственно. Если градиенты перемещения малы, то тензоры конечных деформаций в (3.36) и (3.38) сводятся к тензорам бесконечно малых деформаций, а результирующие соотношения представляют малые деформации.

Если все компоненты градиента перемещения duJdX^ малы по сравнению с единицей, то произведения в формуле (3.40) пренебрежимо малы и их можно опустить. В результате получим лагранжев тензор бесконечно малых деформаций, который имеет вид

=等(調' + 禹扌)，или L = ； (liVx + vxu) = g(J + JJ

(3.42) Аналогично если ди'Н%《1, то в (3.41) произведением можно пренебречь и мы придем к эйлерову тензору бесконечно малых деформаций, который по определению равен

€"=}(器 +黑)，или E = }(uVx + VxU)=3(K + KJ.

(3.43)

Если как градиент перемещения, так и само перемещение малы, то разница между материальными и пространственными координатами частицы среды очень мала. Поэтому компоненты материального градиента duJdXj и компоненты пространственного градиента ди^дх^ почти равны и эйлеров и лагранжев тензоры бесконечно малых деформаций можно принять равными. Таким образом/ если и перемещения» и их градиенты достаточно малы, то

'"—&〃 н/н L = Е・(3.44)

3*8, Относительное перемещение.

Тензор линейного поворота. Вектор поворота

На рис. 3.3 перемещения двух соседних частиц изображены векторами 口%'а и 口;Q°) (см. также рис. 3.2). Вектор

成,=〃№ — 〃戶)，или du = u@ — uR (3.45)

называется вектором относительного перемещения частицы, расположенной первоначально в точке Q。，относительно частицы, занимавшей положение Ро. Предположим, что для поля перемещений выполнены условия непрерывности; тогда “}Q" можно разло

Рис. 3.3.Рис. 3.3.жить в ряд Тейлора в окрестности точки /%. Пренебрегая в этом разложении членами более высокого порядка, для вектора относительного перемещения получаем

Рис. 3.3.

Рис. 3.3.

d% = (дщ/дХ1)рос!Х^ или

du = (uVx)A・dX. (3.46)

Здесь скобки у частных производных поставлены, чтобы подчеркнуть, что производные вычислены в точке Ро. Эти про-

изводные на самом деле явля

ются компонентами материального градиента перемещения. Равенство (3.46) представляет лагранжеву форму вектора относи

тельного перемещения.

dui ди( dX/ дщ ,衣'=~ёХ7 ~dx~ = 1хГ »，dui ди( dX/ дщ ,衣'=~ёХ7 ~dx~ = 1хГ »，Полезно также определить вектор относительного перемещения, приходящийся на единицу длины рассматриваемого отрезка, duJdX, где dX —— модуль бесконечно малого вектора расстояния dX»・ Согласно этому, если w；——единичный вектор направления dXn так что dJQ = %dX, то

dui ди( dX/ дщ ,衣'=~ёХ7 ~dx~ = 1хГ »，

dui ди( dX/ дщ ,衣'=~ёХ7 ~dx~ = 1хГ »，

du V7 八 ■ A

ИЛИ -^ = UVx • V = J • V.

(3.47)

Так как материальный градиент перемещения duJdXj можно единственным образом разложить на симметричную и антисимметричную части, то вектор относительного перемещения dut можно

записать в виде

他=[4 (居+諾)十 4- (居 一"^)] "X),или(3.48)

du = [} (uV x + V xU) + J (uV x — V хи)] • dX・

В первом члене в квадратных скобках формулы (3.48) можно узнать лагранжев тензор линейной деформации %• Второй член называется лагранжевым тензором линейного поворота и обозначается

吃尸"И备--翳)，или W = 4(uVx-VxU). (3.49) Если тензор деформации 2疗 тождественно равен нулю в окрестности точки /%, то относительное перемещение окрестности этой точки будет бесконечно малым поворотом абсолютно твердого тела. Этот бесконечно малый поворот можно представить лагранжевым векгги- ром линейного поворота

叫=%&/吃八или w = %Vx X u; (3.50)

тогда соответствующее относительное перемещение запишется так: dui = EijkWjdXk, или du = w х dX.(3.51)

Рассуждения, проведенные при лагранжевом описании вектора относительного перемещения, тензора линейного поворота и вектора линейного поворота, полностью можно повторить для эйлеровых аналогов тех же величин. Так, при эйлеровом подходе имеем для вектора относительного перемещения

d〃f = _^ d,, или du = К • dx,(3.52)

а для вектора относительного перемещения, приходящегося на единицу длины.

d〃, ди( d同 дщd* — dxj d* — дх/ 固'd〃, ди( d同 дщd* — dxj d* — дх/ 固'илиили黑=uVx • 口 = К • &. (3.53)黑=uVx • 口 = К • &. (3.53)

d〃, ди( d同 дщ

d* — dxj d* — дх/ 固'

d〃, ди( d同 дщ

d* — dxj d* — дх/ 固'

или

или

黑=uVx • 口 = К • &. (3.53)

黑=uVx • 口 = К • &. (3.53)

Разложение эйлерова градиента перемещения dujdxf дает

(黑+符)+$(需-篇®

или(3.54)

du = [} (uVx + Vxu) + 扌(uVx — Vxu)j • dx.

Первый член в квадратных скобках в (3.54) является эйлеровым тензором линейной деформации в〃・ Второй член есть эйлеров тензор линейного поворота

з“=4■(鲁—"芻)，или ◎ = 4-М\ —Ju). (3.55) Формула (3.55) определяет эйлеров вектор линейного поворота g = %а拉©奶или (о = %Vx х и;(3.56)

тогда относительное перемещение выражается следующим образом： dut = е『用Sjdx^,или du = w X dx.(3.57)

изменение длины бесконечно единицу первоначальной дли-изменение длины бесконечно единицу первоначальной дли-

изменение длины бесконечно единицу первоначальной дли-

изменение длины бесконечно единицу первоначальной дли-

Геометрический смысл тензоров линейных деформаций

В теории малых деформаций лагранжев тензор конечных деформаций 厶力 в формуле (3.36) можно заменить лагранжевым тензором линейных деформаций /〃，и тогда эта формула примет вид

(dx)2 — (dXy 工(dx — dX) (dx + dX) = 25dxidX〃

или(3.58)

(dx)2 — (dX)2 = (dx — dX) (dx + dX) = dX ・ 2L • dX.

Для малых деформаций dx q dX、поэтому последнее равенство можно представить еще и так:

FT~ =/“FT 号 i 冲厶или •戒一 =v・L・v.(3.59)

Левая часть (3.59) характеризует малого элемента, приходящееся на ны, и называется коэффициентом относительного удлинения линейного элемента, первоначально имевшего направляющие косинусы dXJdX.

Применим формулу (3.59) к бесконечно малому линейному элементу 尸 о Qo, расположенному относительно местных осей в точке Ро так, как показано на рис. 3.4, и получим коэффициент относительного удлинения этого элемента. Так как в этом случае Ро Qo расположен вдоль оси Х2,

dXjdX = dX^/dX = О,dXjdX = 1,

и поэтому в силу (3.59)

(3.60)(3.60)dx — dX, О"?

(3.60)

(3.60)

~~ = ‘22 = -3x7 '

Итак, оказывается, что коэффициент относительного удлинения элемента, первоначально расположенного вдоль направления Х2, равен компоненте Z22. Точно так же для элементов, первоначально лежащих вдоль осей X】и Л3, по формуле (3.59) коэффициенты относительных удлинений равны /и и /33 соответственно. Таким образом, диагональные члены тензора линейных деформаций вообще представляют собой коэффициенты относительного удлинения вдоль осей координат.

Физическая интерпретация недиагональных членов /〃 основывается на рассмотрении линейных элементов, которые первоначально лежат вдоль двух осей координат. На рис. 3.5 линейные

Рис. 3.5.

элементы P0Q0 и P0MGt взятые первоначально на осях Х? и Х3, после деформации превращаются соответственно в линейные элементы Р@ и РМ в локальной системе координат с осями, параллельными исходным, и началом в точке Р. Первоначально прямой угол между линейными элементами превращается в угол 0. По формуле (3.46) в предположении теории малых деформаций в первом приближении единичный вектор, идущий из точки Р в точку Q, равен

+(3.61)

а единичный вектор, идущий из Р в М, равен

Пз = ^е】 + /_е2 + ез.(3.62)

Поэтому

0)50=^.^ = -^^-+-^ + -^-,(3.63)

или, пренебрегая членами более высокого порядка малости,

cos ° = "l^ + "1^ = %з・(3.64)

Кроме того, если рассмотреть изменение прямого угла между этими элементами ^23 = л/2 ——0 и вспомнит^, что в линейной теории %з мало, то можно написать

也3华 sin у% = sin (л/2 — 0) = cos 0 = 2/гз. (3,65)

Следовательно, недиагональные члены тензора линейных деформаций представляют собой половины изменения углов между двумя первоначально ортогональными линейными элементами. Такие компоненты деформации называются деформациями сдвига, а из-за множителя 2 в (3.65) эти компоненты "тензора' деформаций равны половине обычных «технических» деформаций сдвига.

Рассуждения, в основном аналогичные тем, которые только что были проведены для выяснения смысла компонент /疗,могут быть проведены и для эйлерова тензора линейных деформаций ег；. Основное различие заключено в выборе линейных элементов, которые при эйлеровом подходе должны быть направлены вдоль осей координат после деформации. Диагональные члены являются коэффициентами относительного удлинения, а недаагональные — деформациями сдвига. Для таких деформаций, для которых верно предположение 厶/ = е£；, разницы между эйлеровым и лагранжевым подходами нет.

Коэффициент длины.

Интерпретация конечных деформаций

Важной мерой деформации бесконечно малого линейного элемента является отношение dxIdX, известное под названием коэффициента длины. Эту величину можно определить как для точки Q。в недеформированном состоянии, так и для точки Р в деформированном состоянии. Так, в силу (3.34) квадрат коэффициента длины в точке 夕。для линейного элемента, взятого вдоль единичного вектора m = dX/dX, дается формулой

Y =А乙=G“终祭，или Л2. = 1?1 • G • m- (3.66)

\ dX 儿 (ш)/ dX dX，(m)'丿

Аналогично в силу (3.30) обратная величина квадрата коэффициента длины для линейного элемента в точке Р, взятого вдоль единичного вектора .n = dx/dxt дается формулой

(装)p=古=0受窮,или 6 = nC n. (3.67) (n)(n)

Для элемента, первоначально расположенного вдоль местной оси % (рис. 3.4), m = е2, и поэтому dXJdX = dX3/dX = 0, dXydX — 1, так что (3.66) для такого элемента дает

(3.68)(3.68)Ла)= G22 = 1 + 2L22.

(3.68)

(3.68)

Такие же результаты получаются для А：с)и А：、・

Для элемента, параллельного оси 尤2 после деформации, формула (3.67) дает

1/Х^ = 1 — 2Е22(3.69)

и аналогичные выражения для 1/入：八)и 1片亍 В общем случае А(с)не равно Л(л^ так как элемент, расположенный до деформации вдоль оси Х2，не обязательно будет после деформации направлен вдоль оси %2*

Понятие коэффициента длине дает основу для интерпретации тензоров конечных деформаций. Так, изменение длины, приходящееся на единицу первоначальной длины (относительнее удлинение), определяется отношением

(3.70)(3.70)dx •— dX d* 1A 1

(3.70)

(3.70)

= =A而一1，

а для элемента Ро Qo, расположенного вдоль оси X? (рис. 3.4), оно составляет•

(3.71)(3.71)L⑵=a八-1 =卜1 + 2L22 - L(ег)

(3.71)

(3.71)

Этот результат можно также получить непосредственно из (3.36). В теории малых деформаций формула (3 71) сводится к (3.60). Относительные удлинения 厶⑴ и 厶⑶ выражаются подобными равенствами через 丄口 и £33 соответственно.

Изменение угла между двумя малыми линейными элементами, изображенными на рис. 3.5, характеризуется величиной у?з = = л/2— 0 и выражается через А 八 и А 八 следующим образом:

•2L24Sin^3= ATfr(e2) (e8)•2L24Sin^3= ATfr(e2) (e8)2厶232厶23一 M1 + 2L22 y ГТ関3 *一 M1 + 2L22 y ГТ関3 *(3.72)(3.72)

•2L24

Sin^3= ATfr

(e2) (e8)

•2L24

Sin^3= ATfr

(e2) (e8)

2厶23

2厶23

一 M1 + 2L22 y ГТ関3 *

一 M1 + 2L22 y ГТ関3 *

(3.72)

(3.72)

Если деформации малы, то (3.72) сводится к (3.65).

Тензоры коэффициентов длины. Тензор поворота

IВ тензорном исчислении существует так называемое полярное разложение произвольного неособого тензора второго ранга. Оно состоит в том, что такой тензор можно представить произведением симметричного положительного (с положительными главными компонентами) тензора второго ранга на тензор второго ранга с ортогональной матрицей 丄).Если такое представление применить к градиенту деформации F, то в результате получится

尸订 w "^7 = RtkSkj = TikRkh или F = R • S = T • R, (3.73)

Смотри, например: Седов Л. И., Введение в механику сплошной среды, гл. 1, § 4, Физматгиз, М.. 1962.— Прим, перев.

где R — ортогональный тензор поворота, a S и Т — положительные симметричные тензоры, которые называются правым и левым тензорами коэффициентое длины соответственно.

Интерпретацию (3.73) легко получить, воспользовавшись соотношением (3.33) d% = {dxt/dXf) dXp Подставляя сюда скалярные произведения, взятые из формулы (3.73), получаем

(lx» = RthShjdXj = TikRkjdXjt или dx = R • S • rfX = T • R • dX.

(3.74)

При помощи этих выражений превращение элемента dX( в d/ (рис. 3.2) можно физически интерпретировать двояко. Согласно первой форме записи правой части (3.74), это преобразование состоит из растяжения (S) и затем поворота с последующим переносом как твердого тела в точку Р. При второй форме записи сначала происходит параллельный перенос как твердого тела в точку Р, затем поворот и, наконец, растяжение (Т). Параллельный перенос не меняет, конечно, компонент вектора относительно декартовых осей X, и хР

Свойства преобразований тензоров деформаций

Все тензоры деформаций Lf〃 Е^,方 и ef/, определенные соответственно формулами (3.37), (3.39), (3.42) н (3.43), являются декартовыми тензорами второго ранга. В соответствии с этим для со-

片片arccos6Иarccos6И

片

片

arccos6И

arccos6И

a

Рис. 3.6

вокупности повернутых осей X；, имеющих матрицу преобразования [Ьи\ .относительно совокупности локальных осей без штрихов X, в точке Ро (рис. 3.6, а), компоненты 丄仃 и 右 выражаются формулами

L“ = bipbigL,pqyилиLg 1=1 В • L(j • Bq(3*75)

幻=bipbjglpgtилиLz = В • L • Bc.(3.76)

Точно так же для повернутых осей %?, имеющих матрицу преобразования {ац \ относительно осей без штрихов (рис. 3.6» 6), компоненты и в% имеют вид

Е幫=G，ipdiqEpq4илиE# = А • E# • А^,(3.77)

и，

&7 = at/iqEpq,илиЕ = А • Е - Ас.(3.78)

По аналогии с поверхностью напряжений, описанной в § 2.9, можно ввести лагранжеву 〃 эйлерову поверхности линейных деформаций (квадрики деформаций) относительно локальных декартовых

Рис. 3.7.

координат 口 и 0 в точках Ро и Р соответственно (рис. 3.7). Так, уравнение лагранжевой поверхности деформаций имеет вид

/(ЛА* = 士 們 или т] • L - 1] = ± ft2,(3.79)

а уравнение эйлеровой поверхности деформаций —— вид

g心原=± g2,или J Е ・自=± g2.(3.80)

Существуют два следующих важных свойства лагранжевой {эйлеровой} поверхности линейных деформаций.

Коэффициент удлинения вдоль некоторого луча, отнесенный к начальной {конечной} длине линейного элемента, обратно пропорционален квадрату расстояния от центра поверхности деформаций Ро {Р} до точки на этой поверхности.

Относительное перемещение соседней частицы, расположенной в точке Qo {Q}, параллельно нормали к поверхности деформаций в точке ее пересечения с линией Ро Qo {PQ}・

Следующим шагом в изучении природы локальных деформаций в окрестности точки Ро является определение эллипсоида деформаций в этой точке. Для этого возьмем в недеформированной среде материальный объем, ограниченный поверхностью в виде бесконечно малой

сферы радиуса R. Уравнение этой поверхности в материальных координатах в соответствии с формулой (3.28) будет

(dX)% = &〃Х〃Х/ = RM или (dX)2 = dX ・ I "X = *・(3.81)

После деформации уравнение поверхности того же самого материального объема при использовании формулы (3.30) оказывается таким：

(dX)2 = Ci/dx^Xf = К* или (dX)? = dx • С ・ dx =必，(3.82) и определяет эллипсоид, известный как материальный эллипсоид деформаций. Сферический в недеформированном состоянии объем сплошной среды превращается при деформации в эллипсоид с центром в точке А). Подобным же образом заключаем, что бесконечно малый сферический объем в точке Р деформированной среды в не- деформированном начальном состоянии был эллипсоидальным. Уравнения этих поверхностей в локальных координатах получаются при помощи формулы (3.32) для сферы в виде

(dx)2 = 6нс1х@х；=叫 или (dx)2 = dx ・ I • dx =产，(3.83) и при помощи формулы (3.34) для эллипсоида в виде

(d»2 — GijdXflX/ =产， или (dx)2 = dX • G ・ dX =产.(3.84)

Эллипсоид (3.84) называется пространственным эллипсоидом деформаций. Такие эллипсоиды, как описаны здесь, часто называются эллипсоидами деформации Коши,

Главные деформации. Инварианты деформации.

Кубическое расширение

Лагранжев и эйлеров тензоры линейных деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга, и поэтому определение их главных направлений (главных осей) и главных значений (главных деформаций) ведется стандартным методом, изложенном в § 1.19. С физической точки урения главное направление тензора пеформаний — это такое, /тля кптсрпгп срн&вд^хщ# ^T^HeMgr в КАнЦо苴 точке не меняется прн сметой аесЬормапяи. Горное значение де巾ор"ацк玄 есть просто приходящееся на епннмну /yfSiibi Ъпюсительнбе %е0е^дение (鹤？巾山旦貝红里т〜^ун^сительног о удЛПнейизч) вдоль главного направления.

'"Дяя^тгагрттжев^тейзирн де^рман且立 /仃 вектор относительного перемещения на единицу длины дан формулой (3.47), которую можно представить еще и так：

^.^{llj + Wli)vi, или 备=(L + W)・G.(3.85)

В Дж. МеЙз

Обозначим через //п, величины duJdX для линейного элемента в направлении единичного вектора п£. Для чистой деформации {Wif^ 三 0) из (3.85) следует

/济=%々， или 1 面= L.n.(3.86)

Если направление nz главное, а / — соответствующее главное значение тензора J, то

倉)=// ~ /&/〃или1'п)= /п = /I • п.(3.87)

Приравнивая правые части (3.86) и (3.87), приходам к соотношению

(/(/ — &~) щ = 0, или (L — I/) • п = 0,(3.88)

которое вместе с условием щщ = 1 на единичные векторы nz дает необходимые уравнения для определения главного значения деформации / и направляющих косинусов пг соответствующего главного направления. Нетривиальные решения системы (3.88) существуют тогда и только тогда, когда определитель из коэффициентов обращается в нуль, т. е.

11ц — &川=0, или J L — I/1 — 0,(3.89)

что после раскрытия определителя приводит к характеристическому уравнению для тензора 2〃. Это кубическое уравнение

/3 — IJ2+ &/-【& = о,(3.90)

где

к = /〃 = tr L, IIl = % (介厶“一乙~力，I& = 11肾 I = det L (3.91) ——соответственно первый, второй и третий лагранжевы инварианты деформации. Корни уравнения (3.90) являются главными значениями деформации и обозначаются /(i), /(2)и /(3).

Первый инвариант лагранжева тензора деформаций является суммой главных деформаций

к = / 扭=Ao + /(2)+ /(з)(3.92)

и имеет важный физический смысл. Чтобы обнаружить это, рассмотрим элементарный прямоугольный параллелепипед, ребра которого параллельны главным направлениям деформации (рис. 3.8). Изменение объема на единицу первоначального объема этого элемента называется коэффициентом кубического расширения и по определению равно

n A% dX] (1 + /(1)) dX2 (1 + /(2)) ^Хз (1 + /(3)) 一 d%dX2dX?

°。= ТГ =dXidX/Xs'(3"3)

В теории малых деформаций это соотношение в первом приближении дает интересующую нас сумму

^о =庙 + 厶 2)+ /(з)= к-(3.94)

Что касается эйлерова тензора деформаций е-/ и соответствующего вектора относительного перемещения в!"* главные направления и главные деформации e(i), е(2), е(3) определяются точно

так 尔е, как их лагранжевы аналоги. Эйлеровы инварианты деформации выражаются через главные деформации следующим образом:

Ie = e(i)+ е ⑵ + £⑶》

Пе = e(i)e(2)+ е ⑵ £(з)+ е(з)е(1〃(3.95)

И1е = Е⑴ E(2)R(3)・

Для кубического расширения в эйлеровом описании при малых деформациях получается

△V/V = D = e(i)+ £(2)+ е(з).(3.96)

Шаровой тензор и девиатор деформаций

Лагранжев и эйлеров тензоры линейных деформаций можно разложить на шаровые тензоры и девиаторы тем же самым способом, как в гл. 2 было выполнено разложение тензора напряжений. Если компоненты лагранжева и эйлерова девиаторов обозначить через da и е^ соответственно, то нужные выражения имеют вид

Itj = di/ + &~血3, или L = Ld + I (tr L)/3, (3.97) и

₽х/ = ^ц + 6oW3, или E = Ed + I (tr E)/3. (3 98) Первые инварианты dit и eti девиаторов деформаций тождественно равны нулю. Поэтому девиаторы описывают деформацию сдвига, для которой кубическое расширение равно нулю.

Плоская деформация. Круги Мора для деформации

Когда одна и только одна из главных деформаций в точке сплошной среды равна нулю, говорят, что в этой точке существует состояние плоской деформации. Если в эйлеровом описании (лагранжево описание проводится точно по той же схеме) за ось %з принять направление нулевой главной деформации, то плоская деформация происходит в плоскостях, параллельных плоскости х^, и характеризуется тензором линейных деформаций

(

С11е12。、

厶2 е22 0 I.(3.99)

ООО/

Если #1 и х2 ——тоже главные направления, то тензор деформаций принимает вид

/е(о 00、

е0 = 0с(2) 0 •(3.100)

\ оо о/

Во многих книгах по сопротивлению материалов и теории упругости плоской деформацией называют состояние с плоским полем коэффициентов длины (тензоров Коши или Грина), когда это поле одно и то же во всех плоскостях, перпендикулярных к направлению нулевого главного удлинения. Для плоской деформации, перпендикулярной к оси х3, вектор перемещения является функцией только %i и 尤2・ Соответствующие компоненты перемещения для этого случая обозначим так:

〃工—〃1(#1,修)，〃2 = 〃2 (*工，修)，〃3 = C； (3.101) здесь С — постоянная, которую обычно считают равной нулю. Подстановка этих значений в формулу (3.43), определяющую е〃, дает тензор плоских деформаций того же вида, что (3.99).

Графически состояние плоской деформации в точке описывается кругами Мора для деформации точно таким же способом, что приведен в гл. 2 для кругов Мора для напряжения. При этом тензор деформаций часто представляют в виде

(

вu %Y 丄 2 %Y13、

%Y12 ^22 %丫23 ) • (3.102) ViTis %Y23 £33 /

Здесь 丫订(при t =4： /) — компоненты так называемых «технических» деформаций сдвига, которые равны удвоенным тензорным компонентам деформаций сдвига.

При экспериментальном исследовании, включающем измерение деформаций в тех точках поверхности тела, где деформиро-

ванное состояние можно считать локально плоским, три нормальных удлинения измеряются посредством «розетки деформаций» (т. е. набора радиально расположенных датчиков, измеряющих деформации в точке по разным направлениям), а диаграмма кругов Мора строится по этим удлинениям. По аналогии с кругами Мора для плоских напряжений типичная диаграмма для плоской деформации приведена на рис. 3.9. Глав

ные удлинения помечены теми

же буквами на диаграмме, а величинам максимальных деформаций сдвига соответствуют точки D к Е.

Уравнения совместности для линейных деформаций

Если компоненты деформации в〃 заданы в явном виде как функции координат, то шесть независимых уравнений (3.43)

用■=+爲+霜

можно рассматривать как систему шести уравнений в частных производных для определения трех компонент перемещения 以「 Система переопределена и в общем случае не имеет решения при произвольном выборе компонент деформации 七疗. Значит, чтобы существовали однозначные и непрерывные компоненты перемещения 〃广 на компоненты деформаций должны быть наложены некоторые условия. Необходимые и достаточные условия для существования такого поля перемещений выражаются уравнениями

dxkdxm 十 dxidxj dxjdxm dx(dxk —'

Всего в (3«103) содержится восемьдесят одно уравнение, но только шесть из них различны. Эти шесть уравнений, записанные в развернутой и символической форме, выглядят так:

^1 \

*23

! a%i 0*2

+ >)

6/8*3，

dxi

'°%3

&31

+需)

0証22

дх2

dxi

d%2

一 дх3дхх，

赤23

1赤31

^12 ]

@电33

°*з

己占

阳丿

dxvdx2，

ИЛИ

Vx x

E X W =

=0.

Уравнения совместности можно написать и для компонент лагранжева тензора линейных деформаций вследствие очевидной аналогии с эйлеровой интерпретацией, приведенной выше. Для плоской деформации, происходящей в плоскостях, параллельных 尤1尤2，шесть уравнений (3.104) сводятся к одному:

+ ^^ = 2 工；診-,или Vx X Е х W = 0, (3.105)

где Е определяется формулой (3.99).

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

Перемещение и деформация (§3.1—3.5)

Относительно совмещенных материальных осей X, и пространственных осей xt задано поле перемещений сплошной среды / = %, х2 = Х2 + АХ3, % = Хз + ДХ2, где Л — константа. Определить компоненты вектора перемещения в материальной и пространственной форме (в лагранжевых и эйлеровых переменных).

Компоненты перемещения в материальной форме находим непосредственно из (3.13): % = *1 — Xi = 0,出 н *2 — X?=力Хз, 〃з = Хз — Хз п /Х?. Разрешая относительно X/, получаем Xi =冷， Х2 * (修一4*з)/(1 — 力纟)，Хз = =(*з —力％2)/(1 — Л2), а пространственные компоненты вектора и будут равны "I = 0, "2 ={(*3 —4*2)/(1 -42)，и3 П а(*2 4*3)/(l -{2).

Из полученных результатов видно, что первоначально прямая линия в мате- рнальной частице, представленная уравнениями Xi = 0, Х2 十 Хз = 1/(1 + Д), займет после деформации положение 也 = 0,无？十 ％з = 1. А материальная линия Х[ = 0, Х2 = Хз станет после деформации xi = 0> х2 = хз- (Истолковать механический смысл этих результатов.)

Для поля перемещений задачи 3.1 определить смещенное положение материальных частиц, которые первоначально составляли: а) круг с границей Х^ + Х^ 亡 1/(1 — Л2) в плоскости X] = 0 ; 6) бесконечно малый куб, ребра которого лежат на осях координат и имеют длину dX『= dX. Нарисовать смещенные конфигурации для «а» и «б», если Л = x/gt

а) Замена координат Х2 = (х2 — Лхз)/(1 —兑刀 м X* = М — Лх2)/(1 — Л2) переводит круг в область, ограниченную эллипсом (1 + 的岩一44x^3 + + (1 + Л2)君=(1 —屋).При Л = 1/2 уравнение эллипса 5х^ — 8х2хз + 5х； п 口 3; в главных осях л^ (образующих углы 45° с ^, г => 2, 3) оно принимает вид х；2 十 9K2 n 3. На рис. 3.10 показано геометрическое место смещенных точек.

б) Из задачи 3.1 перемещения ребер кубика находятся без труда. На ребре Xi = Xi,犬2 = Аз = 0 компоненты перемещения и, = ы2 = «з = 0. На ребре Xi = 0 = Х2, Хз = Хз мы имеем % = “з = 0, иг = ЛХз, и частицы перемещаются в направлении Х? пропорционально их расстоянию от начала координат. Для ребра Xi = Хз == 0, Х2 = Х^, иг = 〃？ = 0, 〃з = ДХ2- Начальное и смещенное положения куба показаны на рис. 3.11.

Относительно совмещенных материальных и пространственных осей задан вектор перемещения u = 4Х 鼠 + хА + + Х^з^з- Определить смещенное положение частицы, первоначально находившейся в точке (1, 0, 2).

Радиус-вектор начального положения частицы равен X = е^ + 2е3. Ее смещение составляет и =» 4ех + 4е3, и, поскольку х = X 十 и, радиус-вектор конечного положения будет х ==> 5В［十 6е3.

3-4. В ортогональной декартовой материальной системе координат X, задано поле перемещений U工=——ДХ2Х3, U2 = ДХ^з, U3 = 0, где А — константа. Определить компоненты перемещения в цилиндрической пространственной системе координат 勺，если обе системы имеют общее начало.

В силу геометрии задачи (рис. 3.12) тензор преобразования осей ар^ = ер • 1д имеет вид

(

cos & sin 尤2 0

—sin 修 cos *2 0

0 0 1

Рис. 3-12-Рис. 3-12-а из обращенной записи формулы (3.9) 〃р = %盟以・ Так как декартовы и цилиндрические координаты связаны соотношениями X = jq cos %, Х2 = =厶 sin *2，Х3 = *3, формула (3.9) дает

Рис. 3-12-

Рис. 3-12-

% п (— COS *2) 4X2X3 + (sin *2) х

X 4Х]Хз u (— cos *2) 4*з*1 X

X sin *2 + (sin *2) Ax3xt cos *2=。，

"2 = (sin *2) 4X2X3 十(cos *2) x

X AX 1X3 = (sin2 x2) Axrx3 +

+(cos2 也)Axtx3 = А//,

“3 = 0.

Это смещения в круглом стержне при кручении-

Деформация задана в лагранжевой форме: 尤工=X】+ + Х3(е2 — 1), х2 = Х2 + Х3(е2 — с—), % = е2Х3, где е — константа. Доказать, что якобиан J отличен от нуля, и найти эйлеровы уравнения, описывающие эту деформацию.

Из(3」6)

0 那一1

j = 0 1 产一е-2 = в2 =# 0.

0 0 决

Обращенные уравнения будут таковы:

X] == *т 十 № (L‘ 一 1)> Х2 =® 修 + *з (尸4 — 1)，Х3 = е 2х3.

Дано поле перемещений и = Х/З + Х\Х^2 + XlX^3. Определить независимо материальный градиент деформации F и материальный градиент перемещения J и удостовериться в правильности формулы (3.24) J =» F — I.

По данному вектору перемещения и находим J:

/ Х§ 02XiXs

篇= 2Х^督о\ 02X2X3 х^

Так как х н и + X，поле перемещений можно также описывать соотношениями jq = X] (1 + Х|), х2 = 左(1 + X；), *3 =□ Х3 (1 + Х^), из которых легко находим F:

2XR0I”2XR0I”/1+Х 孑о

2XR0

I”

2XR0

I”

枭_= 2Х& 1+Х； 0八/ \.

\ О 2X2X3

Непосредственной подстановкой полученных тензоров F и J в (3.24) убеждаемся, что равенство выполнено.

Некоторый объем сплошной среды совершает перемещение и = (ЗХ2 — 4XJ ej + (2X1 — Х3) е2 + (4Х2 — X。е3. Определить смещенное положение вектора, соединяющего частицы Л (1, 0, 3) и В (3, 6, 6), считая, что материальные и пространственные оси совпадают.

Согласно (3.13), пространственные координаты прн таком перемещении равны *i ^ X] + ЗХ? — 4Хз，*2 ^31 2Х]十 X? — Х3, *з = -—X] + 4Х? + Х3. Таким образом, в смещеннол! положении частица 4 имеет координаты xi —11, ха = =—1, х3 = 2, а частица В — координаты % = — 3,犬2 = 6, % = 27. В смещенном положении вектор, соединяющий точки 4 н В, имеет вид V = 8ei + 7е2 十 2或，

Для поля перемещений задачи 3.7 определить смещенное положение радиуса-вектора частицы С (2, 6, 3), который параллелен вектору, соединяющему частицы А и В, Показать, что эти два вектора остаются параллельными и после деформации.

Теми же операциями, что и в задаче 3.7, получим радиус-вектор точки С после деформации： U = Be】 十 7е3 + 25е3. Ясно, что он параллелен вектору V. Это пример так называемой однородной деформации,

В общей формулировке деформация называется однородной, если она задана полем перемещений вида 〃》= Л^Х/, где 才疗 —— константы или, быть может, функции времени. Доказать, что при такой деформации: а) плоские сечения остаются плоскими, б) прямые линии остаются прямыми.

Из (3.13)

Xi^Xi + ui^Xi-^ AqXi «= (6〃• + 4f/) X/.

Согласно (3.16), обращенные соотношения X/ = (6炉+ Ву) *j существуют, если детерминант [ 6“ + 4“| не обращается в нуль. Если предположить это, то уравнение материальной плоскости Р/Х( + а = 0 перейдет в 也(6// + Н“)*j + а = О, что можно записать в виде стандартного уравнения плоскости Л/ху + а = О, где коэффициенты X/ =比(&/ + В//).

Прямую линию можно рассматривать как пересечение двух плоскостей. В деформированном состоянии, как доказано, плоскости остаются плоскостями и, следовательно, линия пересечения двух плоскостей остается прямой.

ЗЛО. Бесконечно малой одаородаой деформацией называется такая деформация, для которой коэффициенты /“ в формуле u£ п = А^Х； настолько малы, что их произведениями можно пренебречь по сравнению с самими коэффициентами. Доказать, что полную деформацию, полученную в результате двух последовательных бесконечно малых однородных деформаций, можно рассматривать как сумму двух отдельных деформаций и порядок, в котором происходят перемещения, не влияет на конечную конфигурацию.

Пусть & = (&/ + Л//) X/ м х( = (8" + Bf) х/ определяют последовательные бесконечно малые перемещения. Тогда н； = (6〃 + 5”)(6旅 十 A/) X/；=

==(^tk + Н/+ 力注+ BjjAjQ X” Пренебрегая произведениями Н炉力加 как малыми высшего порядка, получаем 々=(8蔬十 Н泳 + 力加 X^ u (6旅 + C加 X屉 что представляет бесконечно малую однородную деформацию

% = *； — Xf = CikXk = (Bik + 力加 X走=(力掠 + Bik) Xk = "£ + %

Тензоры деформаций (§ 3.6—3.9)

определяется поопределяется поНекоторый объем сплошной среды испытывает деформацию 不=X],马=欠2 + #Хз, х3 = Х3 + ЛХ2» где Л — константа. Вычислить тензор деформаций Грина G и использовать его для определения лагранжева тензора конечных деформаций Lg.

определяется по

определяется по

Из (3.35) имеем G = Fc • F, причем F в матричной форме формуле (3.20):

1 01 010 о -0 1 + Д2 2Л»0 2Л 1 +Я2^10 о -0 1 + Д2 2Л»0 2Л 1 +Я2^

1 0

1 0

10 о -

0 1 + Д2 2Л»

0 2Л 1 +Я2^

10 о -

0 1 + Д2 2Л»

0 2Л 1 +Я2^

Рис. 3.13.Рис. 3.13.Таким образом, из (3.37)Таким образом, из (3.37)3.12. В случае поля перемещений задачи 3.11 вычислить квадрат длины (dx)2 сторон ОА и ОВ и диагонали ОС малого прямоугольника, изображенного на рис. 3.13, после деформации.3.12. В случае поля перемещений задачи 3.11 вычислить квадрат длины (dx)2 сторон ОА и ОВ и диагонали ОС малого прямоугольника, изображенного на рис. 3.13, после деформации.Воспользовавшись тензором G, определенным в задаче 3.11, по формуле (3.34) найдем квадрат длины диагонали в матричной форме:Воспользовавшись тензором G, определенным в задаче 3.11, по формуле (3.34) найдем квадрат длины диагонали в матричной форме:

Рис. 3.13.

Рис. 3.13.

Таким образом, из (3.37)

Таким образом, из (3.37)

3.12. В случае поля перемещений задачи 3.11 вычислить квадрат длины (dx)2 сторон ОА и ОВ и диагонали ОС малого прямоугольника, изображенного на рис. 3.13, после деформации.

3.12. В случае поля перемещений задачи 3.11 вычислить квадрат длины (dx)2 сторон ОА и ОВ и диагонали ОС малого прямоугольника, изображенного на рис. 3.13, после деформации.

Воспользовавшись тензором G, определенным в задаче 3.11, по формуле (3.34) найдем квадрат длины диагонали в матричной форме:

Воспользовавшись тензором G, определенным в задаче 3.11, по формуле (3.34) найдем квадрат длины диагонали в матричной форме:

(〃产=[0, dX2, dXj(〃产=[0, dX2, dXj=(1 +42)(以2)2 + 44 dx2 我3 + (1 + 42) {dX^.=(1 +42)(以2)2 + 44 dx2 我3 + (1 + 42) {dX^.

(〃产=[0, dX2, dXj

(〃产=[0, dX2, dXj

=(1 +42)(以2)2 + 44 dx2 我3 + (1 + 42) {dX^.

=(1 +42)(以2)2 + 44 dx2 我3 + (1 + 42) {dX^.

Подобным же образом для ОА имеем (dx)2 = (1 十 4?) (dXj и для ОВ имеем (厶)2 =(1 + 徵 тх/.

Вычислить изменение квадрата длины линейного элемента задачи 3.12 и сверить результат с полученным по формуле (3.36), воспользовавшись тензором деформаций LG, найденным в задаче 3.11.

Непосредственно по результатам задачи 3.12 найдем изменения

для ОС: (d*)2 — (dX)? = (1 + 炉)(dX^ + dX^)十 44dx2dХз —

-®Х^ + dXf)=屎(dX^ + dXg) + 44dx2dX3；

для ОВ:(或)2 — (dX)2 = (1 4- Я2) d妳一dxf = A^dX^ в) для ОД: (d*)2 — 0X)2 = (1 + 肥)必^ — dX^ = A2dX^

Из уравнения (3.36) для ОС имеем

©尤)2—@Х)2= [О,©尤)2—@Х)2= [О,

©尤)2—@Х)2= [О,

©尤)2—@Х)2= [О,

■=屋(dx； + dX；) + 44dx2dХз.

Изменения ОД и ОВ можно установить тем же путем.

Для поля перемещений задачи 3.11 вычислить материальный градиент смещения J и использовать этот тензор для определения лагранжева тензора конечных деформаций LG. Сравнить с результатами задачи 3.11.

В силу условий задачи 3.11 компоненты вектора перемещения равны “^ =з О, и2 = АХ3, % и АХ2» так что

Тогда по формуле (3.40)

00А00А

0

0

А

0

0

А

что совпадает с результатами задачи 3.11.

3 J5・ Дано поле перемещений 石=X* + /%,尤2 = % + /Хз, 尤3 = Хз + АХЪ где Л ——константа. Вычислить лагранжев тензор линейной деформации L и эйлеров тензор линейной деформации Е. Сравнить L и Е в случае, когда константа Л очень мала.

Из (3.42)

(о Л

о о

А 0

Путем обращения получим формулы для перемещений

u^^ A (A2Xj + /一 4*3)/(1 + 灰)，"2={(-4%1 十4我2 + *з)/(1 + 4)"3 =/的一及2 + Л%)/(1 + 們，

откуда по формуле (3.43) найдем

(

Я2 1— {\/ Л2 — Л 1 \

-Л川1 +受I川i卜

1— Л Л2 /\— Л 1 Ла/

Если константа Л очень мала, то членами с Л2 и более высокими степенями А можно пренебречь. В результате Е сводится к L. •

Поле перемещений задано формулой и = ХлХ^+ + (Х2 — ^з) е2 + ХгХ3е3. Определить вектор относительного перемещения du в направлении оси —Х2 в точке Р (1, 2, —1). Определить относительные перемещения uq.——up для точек Qi(l, 1, —1), Q2 (L %, — 1), Q3 (1> %，—1) и Q4 (1, 1Б/8, — 1) и сравнить их направления с направлением du.

Для данного иДля данного иградиент перемещения J вградиент перемещения J вX；X；матричной формематричной формевыглядит так:выглядит так:[dUi/dXj]=[dUi/dXj]=2X2X3 х|2X2X3 х|в направлениив направлении2X^2 002X^2 00

Для данного и

Для данного и

градиент перемещения J в

градиент перемещения J в

X；

X；

матричной форме

матричной форме

выглядит так:

выглядит так:

[dUi/dXj]=

[dUi/dXj]=

2X2X3 х|

2X2X3 х|

в направлении

в направлении

2X^2 0

0

2X^2 0

0

Далее непосредственным вычислением из выражения для и найдем tip = 2ei + ЛЛЛЛ人А人

+ е2 — 4ез и 也=% — е3. Тогда % — up = —* — e2 + Зе3. Подобным же 人，4Л人Aа

обрязом %д — Up n (— e】—氏 + 3,5бз)/2> Uq? — Up = (— % — 3 + 3,75 eg)/4, 也—Up=(—ei 一 е2 + 3,875 е3)/8. Ясно, что, когда Q/ приближается к Р, направление относительного смещения двух частиц стремится к предельному направлению du.

Для поля перемещений задачи 3.16 определить относительное перемещение единичного вектора, идущего из точки Р (1, 2, — 1)в точку Q (4, 2, 3).

Единичный вектор в направлении из Р в Q есть v = 3?]/5+ 4ез/5, так что по формуле (3.47), используя матрицу J, вычисленную в задаче 3.16, получаем

Для поля перемещений и == (хг —х3)2е1 + % + х3)2 е2—

—*i%2 ез при ограничениях, принятых в теории малых деформаций (L = Е), определить тензор линейной деформации, тензор линей* ного поворота и вектор поворота в точке Р (0, 2, — 1).

В данном случае градиент перемещения имеет матричную форму

Idui/dxi]=Idui/dxi]=-2 (修一％)О-2 (修一％)ООО2 (#2 + %з)2 (#2 + %з)—2 al—%)2 (办 + x3)О—2 al—%)2 (办 + x3)Ои в точке Р принимает види в точке Р принимает вид^Uildxj\p=^Uildxj\p=22ОО-2口-2口ОО2222

Idui/dxi]=

Idui/dxi]=

-2 (修一％)О

-2 (修一％)О

О

О

2 (#2 + %з)

2 (#2 + %з)

—2 al—%)

2 (办 + x3)О

—2 al—%)

2 (办 + x3)О

и в точке Р принимает вид

и в точке Р принимает вид

^Uildxj\p=

^Uildxj\p=

2

2

О

О

-2口

-2口

О

О

2

2

2

2

2Разложим эту матрицу на симметричную2Разложим эту матрицу на симметричнуюООООи антисимметричную составляющие:и антисимметричную составляющие:

2

Разложим эту матрицу на симметричную

2

Разложим эту матрицу на симметричную

О

О

О

О

и антисимметричную составляющие:

и антисимметричную составляющие:

toi =—],toi =—],

toi =—],

toi =—],

Тогда, как СО 2 ==, Зз ^= 0.

Для поля перемещений задачи 3.18 найти изменение дли* ны, приходящееся на единицу начальной длины (относительное удлинение), в направлении v = (8ег — е2 + 4е3)/9 в точке р (0, 2, - 1).

Пользуясь формулой (3.59) и тензором деформаций в точке Р, вычисленным в задаче 3.18, получаем относительное удлинение в точке Рв направлении v как произведение матриц

'2 0 —2一

职=也,一%, %]0 2 1

—2 10

Доказать, что в теории малых деформаций изменение прямого угла между двумя ортогональными единичными векторами * н N недеформированной конфигурации дается формулой

Tvm = V • 2L ■ |и.

При предположении малости градиентов перемещения единичные векторы направлений, полученных при деформации из v и |Л, в силу (3.47) имеют соответственно вид v4-J-vh]li4-J']li- (Читателю предлагается проверить этим мето* дом правильность соотношений (3.61) и (3.62).) Запишем J ■ v в эквивалентной форме V ■ Jc и перемножим скалярно полученные при деформации векторы. Тогда

(как и в (3.63)) получим cos 6 = sin (л/2 — 0) = sin 丫1VM = yvg или vvg = [v + + v ■ Jc] - [p + J ■ ц] = v ■ ц + v - (J + Jc) • ц + v • Jc • J - ц. Здесь в случае малых градиентов перемещения Jc • J имеет более высокий порядок малости, чем другие члены. Кроме того, v 丄]и н, следовательно, * •卩=0. Таким образом, используя (3.42), окончательно получаем 汽儿=v • 2L - ц.

Используя результаты задачи 3.20, найти изменение пряЛЛЛЛZSЛ

мого угла между векторами v = (8ег —е2 + 4е3)/9 и 也=(4ег + + 4е2 ——7е3)/9 в точке Р (0, 2, — 1) для поля перемещений задачи 3.18.

Так как в теории малых деформаций L = Е, компоненты тензоров деформаций £打= 〃/ н, следовательно, в точке Р

Коэффициенты длины и поворот (§ 3.10—3.11)Коэффициенты длины и поворот (§ 3.10—3.11)3.22. Для деформации =Х3 + ЛХ2 задачи 3.113.22. Для деформации =Х3 + ЛХ2 задачи 3.11сдвига 修=Xi，х2= Х2 + ЛХ3, лг3 = показать, что коэффициент длины А(сдвига 修=Xi，х2= Х2 + ЛХ3, лг3 = показать, что коэффициент длины А(Рис. 3.14.Рис. 3.14.линейного элемента, параллельного оси Хн равен единице (относительное удлинение равно нулю). Найти Л Л для (щ) диагональных направлений ОС нОВ бесконечно малого квадрата OBCD (рис.3.14) и сравнить результаты с непосредственно вычисленными по полю перемещений.линейного элемента, параллельного оси Хн равен единице (относительное удлинение равно нулю). Найти Л Л для (щ) диагональных направлений ОС нОВ бесконечно малого квадрата OBCD (рис.3.14) и сравнить результаты с непосредственно вычисленными по полю перемещений.По формуле (3.66), пользуясь матрицей G, найденной в задаче 3.11, получим квадрат коэфПо формуле (3.66), пользуясь матрицей G, найденной в задаче 3.11, получим квадрат коэффициента длины для направления m = е】：фициента длины для направления m = е】：[1, 0, 0][1, 0, 0]

Коэффициенты длины и поворот (§ 3.10—3.11)

Коэффициенты длины и поворот (§ 3.10—3.11)

3.22. Для деформации =Х3 + ЛХ2 задачи 3.11

3.22. Для деформации =Х3 + ЛХ2 задачи 3.11

сдвига 修=Xi，х2= Х2 + ЛХ3, лг3 = показать, что коэффициент длины А(

сдвига 修=Xi，х2= Х2 + ЛХ3, лг3 = показать, что коэффициент длины А(

Рис. 3.14.

Рис. 3.14.

линейного элемента, параллельного оси Хн равен единице (относительное удлинение равно нулю). Найти Л Л для (щ) диагональных направлений ОС нОВ бесконечно малого квадрата OBCD (рис.3.14) и сравнить результаты с непосредственно вычисленными по полю перемещений.

линейного элемента, параллельного оси Хн равен единице (относительное удлинение равно нулю). Найти Л Л для (щ) диагональных направлений ОС нОВ бесконечно малого квадрата OBCD (рис.3.14) и сравнить результаты с непосредственно вычисленными по полю перемещений.

По формуле (3.66), пользуясь матрицей G, найденной в задаче 3.11, получим квадрат коэф

По формуле (3.66), пользуясь матрицей G, найденной в задаче 3.11, получим квадрат коэф

фициента длины для направления m = е】：

фициента длины для направления m = е】：

[1, 0, 0]

[1, 0, 0]

Для направления m = (еа + ез)/^2 вдоль ОС аналогично находимА2Л =[0, 1//2, 1//2] (Ш)Для направления m = (еа + ез)/^2 вдоль ОС аналогично находимА2Л =[0, 1//2, 1//2] (Ш)1 о0 1 + Д20 2Л1 о0 1 + Д20 2Л02Л1 + Л202Л1 + Л2

Для направления m = (еа + ез)/^2 вдоль ОС аналогично находим

А2Л =[0, 1//2, 1//2] (Ш)

Для направления m = (еа + ез)/^2 вдоль ОС аналогично находим

А2Л =[0, 1//2, 1//2] (Ш)

1 о

0 1 + Д2

0 2Л

1 о

0 1 + Д2

0 2Л

0

2Л

1 + Л2

0

2Л

1 + Л2

Согласно соотношениям, определяющим перемещения, положение точки С после деформации таково：修=0, х2= dL+ AdL, хз= dL+ AdL. Таким образом.

(厶尸==2 (1 + Л)2 (乙产，а так как dX = Y2dL, квадрат коэффициента длины (dx/dXp равен (1+ Л)2, как и было подсчитано по формуле (3.66).

Точно так же для направления DB т = (—е2 + Вз)/Н2 и, следовательно, Л2Л = (1 —仍

1Ш)

Коэффициенты длины Л Л н 入八 равны только в том (ш)(п)

случае, когда направление, характеризуемое вектором п, получено при деформации из направления вектора т. Для поля перемещений задачи 3.22 вычислить %}), если п = (е2 + е3)/] Л2, и показать, что оно совпадает с А2^ , вычисленным в задаче 3.22 для диагонали ОС (т)

Обращая соотношения задачи 3.22 для перемещений, получаем

Х]=41, % =(修一4%)/(1-?12), Х3 = (/一4出)/(1-p)，

откуда можно найти тензор деформации Коши С Затем, используя (3.67), вычисляем

与=[0, 1/J5, 1//2] (п)与=[0, 1/J5, 1//2] (п)ч оО (1 + Л2)/(1 — л2)2 一О —24/(1 — Л2)2ч оО (1 + Л2)/(1 — л2)2 一О —24/(1 — Л2)2О ' — 24(1—42)2 (1 十 #)/(1 一 衣)2О ' — 24(1—42)2 (1 十 #)/(1 一 衣)2■ 0 '1//2J//2■ 0 '1//2J//2

与=[0, 1/J5, 1//2] (п)

与=[0, 1/J5, 1//2] (п)

ч о

О (1 + Л2)/(1 — л2)2 一О —24/(1 — Л2)2

ч о

О (1 + Л2)/(1 — л2)2 一О —24/(1 — Л2)2

О ' — 24(1—42)2 (1 十 #)/(1 一 衣)2

О ' — 24(1—42)2 (1 十 #)/(1 一 衣)2

■ 0 '

1//2

J//2

■ 0 '

1//2

J//2

=(I 一 用2/0 - 42)2.

Таким образом,入工==(1 — Л2)2/(1 — Я)2 = (1 + 用匕 что совпадает с Л2Л , (n)g)

вычисленным для ОС. Диагональный элемент ОС не меняет своего направления при данной деформации сдвига.

Используя полярное разложение градиента деформации F при деформации сдвига 打 — Хъ х2 = Х2 + ЛХ3( х3 = Х3 + + ЛХ2, определить правый тензор коэффициентов длины S и тензор поворота R. Показать, что главные значения тензора S являются коэффициентами длины диагоналей ОС 近 DB задачи 3.22.

При полярном разложении F тензор коэффициентов длины S = >7; по формуле (3.73) имеем R ==环一丄 Согласно (3.35), G = F© • F, или в нашем случае

ТОО

[G〃]= О 1 + Л22/

_02 力 1 + Л2

Главные оси тензора G получаются поворотом на 45° вокруг оси X】，а сам тензор в главных осях имеет вид

1叫=О О1叫=О Ооо

1叫=О О

1叫=О О

(1 — 4)2О

О (1 + Л)2

поэтому

「1 0

В"] = М%]== о 1 — Л

_00

О 1 「100 'О 1 = 1。A(db)°1+4」[о0Л(ОС)_О 1 「100 'О 1 = 1。A(db)°1+4」[о0Л(ОС)_"1[尸М = [^ift] [5А/] = о О"1[尸М = [^ift] [5А/] = о ОВ системе координат X； это разложение записывается в виде

О 1 「100 '

О 1 = 1。A(db)°

1+4」[о0Л(ОС)_

О 1 「100 '

О 1 = 1。A(db)°

1+4」[о0Л(ОС)_

"1

[尸М = [^ift] [5А/] = о О

"1

[尸М = [^ift] [5А/] = о О

В этом примере градиент деформации F сам является тензором коэффициентов длины S, а тензор поворота R = I. Это результат совпадения главных осей тензоров L。и Ел для данной деформации сдвига.

Бесконечно малый поворот твердого тела задан форму* ламп % —СХ? + ВХз, 〃2 == CXi — /Хз，以§ — ВХ】+ /Х?, где Д, В, С — очень малые константы. Доказать, что растяжение отсутствует (S = I), если пренебречь членами, содержащими квадраты и произведения констант.

Для заданного поля перемещений

"1 + С2 + В2 —АВ —АС •

[С" = 一 4В 1+/2 + С2 ^ВС ・

一 —4С —ВС 1 十 Р + В2_

Пренебрегая малыми высшего порядка, получаем

Г1 О (Г

[Gj-J = 0 1 0 =[]/ G^ =岱疗]・

_о о L

Преобразования тензоров деформации и главные деформации (§ 3.12—3.14)

Доказать, что для деформации сдвига хх = Хъ х2 = Х2 + + V2X3, %з = Х3 + /2爲 главные направления тензоров L& и Ед совпадают, как было упомянуто в задаче 3.24.

Согласно (3.37),

'О 0 о -

[L“] =01/2.

作 1 .

Этот тензор в главных осях, определяемых матрицей преобразования

Г1 о 0 1

[а“]= 01//2 1//2

.0 - 1//2 1/了0

приводится к виду

'О ОО

【“]=о 1-/2О

_О О 1 + /2

Аналогично, согласно (3.39), "О 00「

[%]= 0-1 )г2 ,1о 從 一1一

и преобразованием с той же самой матрицей [ац\ этот тензор приводится к диагональному виду

го О о

[£*//] — 0 — 1 — 1 2 О

о о —1 +

Проверка этих вычислений предоставляется читателю.

Используя определение (3.37), доказать, что при преобразованиях координат xt = b^Xj н Xj = ЬцХ, лагранжев тензор конечных деформаций 厶疗 преобразуется как декартов тензор

второго ранга.

П° МРмУпе(3.3。①=£ 篇鶉—&",что при указанном преоб-

разовании координат дает

,1 / а(%х》дхт д(ь^ @х；

11 Г\ axm ~dXi^~ ~而

е（Л）叫 此 "Ме（Л）叫 此 "М

е（Л）叫 此 "М

е（Л）叫 此 "М

(так как Ь^ = 6西)

Некоторое поле однородной деформации приводит к тен зору конечных деформаций

_13— 2_

%] =31-2

2— 26_

Определить главные деформации и направления главных осей.

Мы имеем дело с симметричным декартовым тензором второго порядка по

этому главные деформации

являются корнями уравнения

1 —L 3

31 —

—2 —

—2

L 一 2

=£3 _ 8丄2 <— 4L + 32 = 0.

2

6—L

Отсюдэ 丄⑴=—2, L⑵ =， правлениям имеет вид

%)= 8

Г ”

Матрица преобразования к главным на-

2 — 1/К20 -

心"=

1//

31//3 1//3 .

6 — 1/У"ё 2//б_

Для однородной деформации % = У^ХЪ х2 = 2Х2> х3 = =1^3Хз ——Х2 определить материальный эллипсоид деформаций, получающийся при деформации сферической поверхности X? +Х^ + + Х^ = 1. Показать, что уравнение этого эллипсоида имеет вид Xj/Лц)+ Хг/Л^2)+ Х3/Л0)= 1-

Используя (3.82), или, что то же самое, обращая данные формулы для перемещений и подставляя результат в уравнение сферы Х/Х» = 1, получим уравнение материального эллипсоида деформации 君 + g + 岩 + 出尤3 = 3. Это уравнение приводится к каноническому виду в главных осях #；/3 十 х|/6 十 #*2 = 1 преобразованием с матрицей

-100 "

[。"1= 0I//2 1//2 .

[о 一 1//2 1//2_

Из соотношений теории деформаций найдем тензор деформации S = }^G (вычисления подобны тем, которые были проведены в задаче 3.24):

~/3

0

0 一

0

3)Л3 + 1

КЗ—з

岱厅］=

2)<2

2 Г 2

о

Гз —з

/3 + 3

2]/2

2/2 _

Преобразованием с матрицей

'I 0

0 1

а"=

0 J③2

— %

[о %

K3/2J

этот тензор приводится к главным осям (диагональной форме)

где главные значения коэффициентов длины равны А；)= 3, Л^ = 6, Л^ = 2. Заметим также, что эти главные коэффициенты длины можно вычислить непосредственно по формуле (3.66), используя приведенную выше матрицу [а^]・

Для деформации, заданной в задаче 3.29, определить пространственный эллипсоид деформации и показать, что его уравнение Л(1)Х? + А^)Х^ + Л^)Хз = 1.

Согласно (3.84), сфера x^i = 1 получена н результате деформации эллипсоида X • G

=ЗХ； + 5g + 3 抬—2/ЗХ2Х3 = 1.

Это уравнение эллипсоида приводится к каноническому виду (в главных осях) ЗХ, + 6Х^ 十 2Xg = 1 преобразованием с матрицей

-100 「

[旬 1= о /3/2%

Lo -% V3/2_

Непосредственным разложением проверить, что второй, инвариант Hl тензора деформаций можно представить в виде

Вычисление данных детерминантов приводит к выражению

I】L =厶 “22 + ^22^33 + ^33^11 — (Z；2 + ¥з + 皆卩，

С другой стороны, вторая формула (3.91) в развернутой записи дает то же самое:

& = % W11 + ^22 + /33) % —(厶/厶/ +，2/%/ + 4/4/)]=

=% 1(a1 +/22 + %3)(厶1 + %2 + %3)-(厶丿11 + 厶2h2 + 厶3厶3 +

+ 力2山1 十 ^22^22 + ^23^23 + ^31G1 + ^32^32 + 4з%3)]

=厶山2 + ^22^33 + W11 -(百2 + 或3 + 咼)，

Однородная конечная деформация характеризуется соотношениями % = AjjXj, где A if — константы. Найти выражение для относительного изменения объема (изменения, приходящегося на единицу начального объема). Доказать, что при очень малых 4〃 оно сводится к кубическому расширению.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с начальными размерами dXv dXa，dX3 вдоль осей координат. При данной деформации & = (Ац + 6订)X/. Согласно (3.33), этот начальный объем dVo превращается в скошенный параллелепипед с ребрами длины dxt = (Л；⑺ + 自価 j dX ⑺，n= 1, 2. 3. В силу формулы (1.109) этот деформированный элемент имеет объем

W = “/左(41 + di)(々2 + 勺2)("лз + 6面 dX]dX2dХ3.

ТогдаdV"dVoТогдаdV"dVo叫+ AV叫+ AV=1 + dV = £，泳(41 + Mi)(力/2 + 6/2)(4з + %)・=1 + dV = £，泳(41 + Mi)(力/2 + 6/2)(4з + %)・Если Ац очень малы и их степенями выше первой можно пренебречь, то

Тогда

dV

"dVo

Тогда

dV

"dVo

叫+ AV

叫+ AV

=1 + dV = £，泳(41 + Mi)(力/2 + 6/2)(4з + %)・

=1 + dV = £，泳(41 + Mi)(力/2 + 6/2)(4з + %)・

AV/dVo = £@ (4i斗2。走з + бдЛ^з + Мб’М^з 十 6〃乌J走з)— 1 n

=4i + 4z + 力 зз・

В линейной теории коэффициент кубического расширения равен 4f в duJdXi， что в случае 姒= А^Х/ дает 左= Ли + 力歸 + Лзз-

Линейная (малая) деформация задана соотношениями 〃i = 4*т ——*2 + 3%з, 〃2 = %i + 7*2, 〃з = ——8%т + 4*2 + 4%з・ Найти для такой деформации главные деформации (удлинения) е(п) и главные значения девиатора деформаций с⑺.

Так как &/ является для данного случаяТак как &/ является для данного случаясимметричной частью градиента перемещения du[/dxjt

Так как &/ является для данного случая

Так как &/ является для данного случая

или в главных осях

Итак, е*й/3 =1 5; находим девиатор деформаций

(

—1 ОО'

О 22

0 2-1, который в главных осях имеет вид

(

300

0 —10

0 0—2

Заметим, что 气小)=е(/п) — ейА/3.

Плоская деформация и уравнения совместности (§ 3.15—3.16)

Сорокапятиградусной розеткой деформаций измерены продольные деформации вдоль осей, изображенных на рис. 3.15. В точке Р найдены 8и = 5 - 10~4, 8п = 4 ■ 10~4, е22 = ^ • Ю~4. Определить деформацию сдвига 812 в этой точке.

Воспользуемся формулой (3.59). Учитывая, что 1V = (5 + е2)/К2 — единичный вектор направления хр составляем уравнение для е12:

5 ■ 10~45 ■ 10~4[1//2, 1/^2, 0][1//2, 1/^2, 0]ОтсюдаОтсюда12 • КГ4 + 2%12 • КГ4 + 2%22£120£1208127 ■ 10-408127 ■ 10-400]「1/頂01/^ 2oj L 0 ,0]「1/頂01/^ 2oj L 0 ,4 • 54, или €12 = — 2 • 10Т4 • 54, или €12 = — 2 • 10Т=4 • 10-4,=4 • 10-4,

5 ■ 10~4

5 ■ 10~4

[1//2, 1/^2, 0]

[1//2, 1/^2, 0]

Отсюда

Отсюда

12 • КГ4 + 2%

12 • КГ4 + 2%

2

2

£120

£120

812

7 ■ 10-40

812

7 ■ 10-40

0]「1/頂

01/^ 2

oj L 0 ,

0]「1/頂

01/^ 2

oj L 0 ,

4 • 54, или €12 = — 2 • 10Т

4 • 54, или €12 = — 2 • 10Т

=4 • 10-4,

=4 • 10-4,

Построить круги Мора для случая плоской деформации

еаз = КЗ) и D расположены на концах диаметра наибольшего из внутренних кругов (рйс. 3.16). Для плоской деформации величина главного напряжения £“)= О, поэтому другие круги Мора выглядят так, как показано на рисунке.

Поворотом на угол 30° (рис. 3.17) вокруг оси 占(что эквивалентно углу 60Q на диаграмме Мора) приведем тензор деформации к главным осям с главными значениями £,『

~1 0 0 1 ГОо /3/2 % I I °_0 -1/2 Н/2」L0~1 0 0 1 ГОо /3/2 % I I °_0 -1/2 Н/2」L0/3 3 J Lo/3 3 J Lo00 "1 го/3/2 — % = 07а /3/2 J [о00 "1 го/3/2 — % = 07а /3/2 J [о0 0"6 о0 2.0 0"6 о0 2.

~1 0 0 1 ГОо /3/2 % I I °_0 -1/2 Н/2」L0

~1 0 0 1 ГОо /3/2 % I I °_0 -1/2 Н/2」L0

/3 3 J Lo

/3 3 J Lo

00 "1 го

/3/2 — % = 0

7а /3/2 J [о

00 "1 го

/3/2 — % = 0

7а /3/2 J [о

0 0"

6 о

0 2.

0 0"

6 о

0 2.

Еще одним поворотом на 45° (рис.3.18) вокруг оси 芯(на 90° на диаграмме кругов Мора) придем к системе координат #；, в которой тензор деформаций имеет компоненты 心 представленные матрицей

Здесь первые две строки описывают деформированное состояние в точке 尸 (рис. 3.16). Заметим, что поворот на —45° около х3 соответствовал бы точке Е на рис. 3.16.

Деформированное состояние сплошной среды задано тензором

Удовлетворяются ли уравнения совместности?

Непосредственной подстановкой в (3.104) убеждаемся, что все уравнения удовлетворяются тождественно. Читателю предлагается проделать эту проверку детально.

Смешанные задачи

Вывести индексную форму лагранжева тензора конечных деформаций LG (3.40), воспользовавшись его определением (3.37).

В силу формулы (3.24) имеем дх^/дХ； = 6讶十 дщ /ОХ/. Тогда, пользуясь (3.37), можно получитьВ силу формулы (3.24) имеем дх^/дХ； = 6讶十 дщ /ОХ/. Тогда, пользуясь (3.37), можно получить1 dui д/ j 祖旧 班 а ]T [灰了十 W 十 3c "g石:j1 dui д/ j 祖旧 班 а ]T [灰了十 W 十 3c "g石:j

В силу формулы (3.24) имеем дх^/дХ； = 6讶十 дщ /ОХ/. Тогда, пользуясь (3.37), можно получить

В силу формулы (3.24) имеем дх^/дХ； = 6讶十 дщ /ОХ/. Тогда, пользуясь (3.37), можно получить

1 dui д/ j 祖旧 班 а ]

T [灰了十 W 十 3c "g石:j

1 dui д/ j 祖旧 班 а ]

T [灰了十 W 十 3c "g石:j

Дано поле перемещений 尤1 = X】一СХ2 + ВХ3, х2 = =СХт + Х2 — ^Х3> х3 = —ВХ] +ЛХ2 + Хз・ Показать, что эти перемещения соответствуют повороту абсолютно твердого тела, если константы А, В, С очень малы. Определить вектор поворота w для бесконечно малого поворота твердого тела.

Для данного поля перемещений и, согласно (3.37),

]/ В2 + С2 — 4В —4?、

%=万一AB "十0一5e .

\ — ЛС ~ВС衣+ В* 丿

Если пренебречь произведениями малых констант» то этот тензор деформаций равен нулю, а перемещение сводится к повороту абсолютно твердого тела. По формуле (3.50) вектор поворота равен

1е1е2е3л л Л

w = - e/exi а/ах2 а/ах3 =人外 + Ве2 + се3.

—СХ?十 ВХ3 ОХ】—АХз — ВХ] + АХ2

Поворот абсолютно твердого тела описывается полем перемещений % = 0,02Xg, и2 = — О,ОЗХ3, и3 = —0,02X1 + 0,03Х2. Определить перемещение точки Q (3, 0,1, 4) относительно точки Р(3,0, 4).с 八 八

Поле перемещений для точек Q н Р дает Uq = ОКве】一0Д2е2 — 0,057ез и Up = 0,08е1 — 0Д2е2 — 0,06е3. Отсюда du =飞—Up = 0,003еь. Тот же результат получим, пользуясь формулой (3.51), ivie w = 0,03ei + 0,02e2:

eie2езЛ

du = 0,03 0,02 0 = 0,003ез・

00,1 0

Для плоской деформации, происходящей в плоскостях, параллельных x2x3t определить выражение для относительного удлинения ё22 и деформации сдвига е2з, если оси со штрихами и без штрихов расположены так, как показано на рис. 3.19.

Рис- 3.20-Рис- 3.20-Рис. 3.19.Рис. 3.19.

Рис- 3.20-

Рис- 3.20-

Рис. 3.19.

Рис. 3.19.

Из формулы (3.59)

оооооое*2 = [О, cos 0, sinO] О е22 е23е*2 = [О, cos 0, sinO] О е22 е23ОО][][0 ' cos 0 sin 00 ' cos 0 sin 0

о

о

о

о

о

о

е*2 = [О, cos 0, sinO] О е22 е23

е*2 = [О, cos 0, sinO] О е22 е23

О

О

][

][

0 ' cos 0 sin 0

0 ' cos 0 sin 0

е22 cos 0 + 2е23 sin 0 cos 0 + езв sin2 6 =

£22 + g33 1 恥2 一 用3

cos 20 + е23 sin 20.

ККо一 sin 0cos 0о一 sin 0cos 0

К

К

о

一 sin 0cos 0

о

一 sin 0cos 0

Аналогично, используя (3.65) и результат задачи 3.20, находим

"0 00

[0, cos 0, sin 6] 0 е22 е2з

0 е23 €33

=—е22 sin 0 cos 0 + ^23 cos2 0 — е2з sin2 0 十 e33 sin 0 cos 0 =□

=&23 COS 26

.822 .-833 sin2e

Для однородной деформации дан тензор малых деформаций

叵jl =叵jl =0,01一 0,005о0,01一 0,005о—0,0050,020,01—0,0050,020,01о0,01一 0,03о0,01一 0,03

叵jl =

叵jl =

0,01

一 0,005о

0,01

一 0,005о

—0,0050,020,01

—0,0050,020,01

о

0,01

一 0,03

о

0,01

一 0,03

на грани элементарногона грани элементарногоКаково изменение прямого угла ADC

на грани элементарного

на грани элементарного

тетраэдра ОАВС (рис. 3.20), если ОА — ОВ ~ ОС, а точка D — середина ребра АВ?

Единичные векторы v н 卩，выходящие из точки D, можно записать в виде v = «= (ei — e2)/jz 2 н 出=(2е3 — е2 — ej/y 6. Тогда, используя результат задачи 3.20, получаем

Г 0,02Г 0,02— 0,01— 0,01ооVjiv =Vjiv =[1//Г -ШЛ2,0] -0,01 0,04[1//Г -ШЛ2,0] -0,01 0,04000,020,020,02— 0,060,02— 0,061/ГбЯ一ЩГ& =-0,01//34 2//б"_1/ГбЯ一ЩГ& =-0,01//34 2//б"_

Г 0,02

Г 0,02

— 0,01

— 0,01

о

о

Vjiv =

Vjiv =

[1//Г -ШЛ2,0] -0,01 0,04

[1//Г -ШЛ2,0] -0,01 0,04

0

0

0,02

0,02

0,02

— 0,06

0,02

— 0,06

1/ГбЯ一

ЩГ& =-0,01//34 2//б"_

1/ГбЯ一

ЩГ& =-0,01//34 2//б"_

3.42. В некоторой точке тензор3.42. В некоторой точке тензордеформаций имеет виддеформаций имеет вид

3.42. В некоторой точке тензор

3.42. В некоторой точке тензор

деформаций имеет вид

деформаций имеет вид

5—15—1у;у;4040

5—1

5—1

у;

у;

4

0

4

0

т. е. в главных осях

/6

0

0

е/у = 1 0

4

0

\0

0

3

из этих тензоров и показать,из этих тензоров и показать,Вычислить инварианты для каждого что они совпадают.

из этих тензоров и показать,

из этих тензоров и показать,

Применяя формулу (3.95) и результат задачи 3.31, находим 1已=5+ 4十4«=» ея 13,【е* = 6 + 4 + 3 =1 13- Подобным же обрззом 11g ==з 19 + 19 + 16 = 54» ПЕ, = 24 + 18 + 12 =1 54. Наконец, 1ПЕ = 5 • 16 — 4 — 4 = 72, I1IE« = ■= 6 • 4 ■ 3 = 72- Читатель может проверить эти вычисления.

ЗЛЗ- Для поля перемещений 打=X】+ ЛХ3, х2 = Х2 一 ДХ3, %з = Хз —Л %! + АХ2 определить тензор конечных деформаций Lg. Показать, что если константа Л очень мала, то перемещение представляет поворот абсолютно твердого тела.

Из условия задачи следует, что / = АХз> 〃2 = — ЛХз. 〃з = — AXt + АХ^ тогда по формуле (3.40)

/ 00Л \/00—Л\ / Л2—Л2о \

2LG = I 00—Л+( 00 Л +1 —л2 Л20 )=

\—л л 0 / \力一40/\ 00 2Л2/

/ л2 _ {2 о \

=—,42代 0 j .

\ 00 2/2 丿

Если Л мало, то Л2 можно пренебречь и LG = 0. Вектор поворота, согласно (3.60), равен w = Лег +

Показать, что поле перемещений иг = Ахг + 3%2， 〃纟 匸 =3为 ——3尤2，〃з = 5 дает состояние плоской деформации. Найти связь между А и В, при которой деформация будет изохорической (отсутствует объемное расширение).

По полю перемещений и формуле (3.43) найдем

工30

Eq в= 3 — в оо о о

что соответствует форме (3.99) для плоской деформации. Согласно (3.96), коэффициент объемного расширения равен D ^ гц = А — В. Он обращается в нуль, если Л = В.

Так называемая дельта-розетка для измерения продольных поверхностных деформаций имеет форму равностороннего треугольника и измеряет относительные удлинения ег1> ей, £二 в направлениях, показанных на рис. 3.21. Пусть £u = а, ей =瓦 ен = с; определить е12 и е22 в той же точке.

[%, /3/2, 0][%, /3/2, 0]В случае L = Е формула (3.59) для направления х\ дает

[%, /3/2, 0]

[%, /3/2, 0]

или 2 ]行812 十 зe22 = 4方一。.

Для направления х； так же получаем

а £12

[—%, 1'3 /2, 0] £工2 822 о о

Решая эту систему уравнений относительно е12 и е22, находим £伍= (b — с)/М§ и С22 = (— а + 26 + 2с)/3-

Вывести формулу (3.72), выражающую изменение угла между координатными направлениями Х2 и X? в случае конечной деформации. Доказать, что если градиенты перемещений малы, то эта формула сводится к (3.65).

Пусть Y23 =冗/2 — 0 ——интересующее нас изменение угла (рис. 3.5). Тогда sin 也3 = cos (冗/2 — 0) = na ■ П3, или в силу (3.33) и (3.34)

dx2dx^dX2 ■ Fc • F ■ dX3

Sin 族3 _ |认11小| - /dx2 • G • Jx^ /dX3 ■ G ■ dX3 “

Разделим числитель и знаменатель этого выражения на ( dX21 и | dX31. Учитывая (3.35) и (3.66), получаем

Далее, в силу (3.37) имеем е2 • G • е3 = е2 • (2LG + 1) • е3 «= е2 ■ 2LG * е3 十 е2 - I > е3 = 2L23, так как е2 * е3 = 0. Согласно (3.68), ЛЛ = Н + 2&2

и т. д.; следовательно,

sin %з = 叫； =~ =

0〃2/°Хз + du31dx° + (d〃"dXJ (d〃〃8XJ

yi + 23и2/ахг + (duk/dX^ (duk/dX^ fl + 2dU3/dX3 + (duk/dX^ (Si^Q *

Если diii/dXj《1,это равенство сводится к следующему виду: sin 也3 == ди2/дХз + + дИз/дХ^ = 2^2з*

Для перемещения простого сдвига хх = Х「х2 = Х2, %з = =Х3 + 2X2/1^ определить направление линейного элемента в плоскости Х2Х3, для которого относительное удлинение равно нулю.

Пусть m = m2e2 + 惻胃一единичный вектор нормали в направлении нулевого удлинения. Тогда из (3.66), учитывая, что A2c = 1, получаем

(гп)

или 7^4 + 4уЗт2тз + Зт| == 3. Кроме того,加^ + 加^ = 1- Решая совместно эти два уравнения, находим g = ± )^3/2, 侬 = 干 ％ или 恨= 0» /Пз = 士1. Таким образом, нулевое удлинение имеют элемент, расположенный вдоль оси Хз, и элемент, идущий под углом 60° к оси Х3.

• Читателю предлагается проверить этот результат, воспользовавшись соотношением m ■ 2Lg - m ей 0, которое получается из (3.36).

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

Для перемещения сдвига задачи 3.47 найти уравнение эллипса, в который переходит при деформации круг Х^+ Х^ = 1.

Ответ: л^ + 9岩=3.

Определить угол сдвига у2з для деформации задачи 3.47'(рис. 3.22).

Ответ: у2з = arcsin (2/К7).

Дано поле перемещений 勺=X〕+ 2Х3, х2 = Х2 — 2X3, х3 t= Х3 — —2Х] + 夕火2" Найти лагранжев и эйлеров тензоры конечных деформаций L6

н Ед-

/ 2 —2 0\

Ответ:LG = I—22 0 1 ,

\ 00 4/

1 / 2-20、

Ел =-9- ~22 0 .

\ 00 4/

Найти диагональную форму обоих тензоров задачи 3.50.

/400\/%00 \

Ответ:Ответ:L& =1000 I,Е& = [ 000 I .

Ответ:

Ответ:

\оо4/<о04/丿

Для поля перемещений задачи 3.50 найти градиент деформации F н, воспользовавшись полярным разложением F, определить тензор поворота R и правый тензор коэффициентов длины S.

Ответ:

Доказать, что первый инвариант тензора LG можно представить через главные значения коэффициентов длины следующим образом:

=【(А乙-1) + (A2c -1) + (A2c - 1)]/2,

° (eD(е2)(е3)

Указание: воспользоваться соотношением (3.68). 3.54. В некоторой точке задан тензор деформаций

/1-3I 竺、

\/2 -/24 /

Л Л人Л

Определить относительное удлинение в направлении v = е/2 — е2/2 + е3/у 2 人 人人ЛЛ_

и изменение угла между направлениями v и р. ■= 一 е丿2 + еа/2 + е3//2>

Ответ: е(^ и 6, 01Vll = 0.

Как выглядит в главных осях тензор £“ задачи 3.54? Учесть, что направления V и р, указанные в этой задаче, являются главными (следовательно, Yvji п °)*

Ответ:Ответ:'6ОО'6ООО 0\ 20 .

Ответ:

Ответ:

'6ОО

'6ОО

О -2/

Построить круги Мора для деформированного состояния задачи 3.54 и найти величину максимальной деформации сдвига. Проверить результат аналитически.

Ответ: утах = 4.*

3«57. Вычислить все три инварианта тензора е；/ задачи 3.54 и тензора g,, зада> чи 3.55 и сравнить результаты.

Ответ* 1g =з 6, I% ==I — 4,1I】e = — 24.

Для тензора £斤 задачи 3.54 определить девиатор &•/ и вычислить его главные значения.

/_1_ 3V2 \Л00\

Ответ:约/ = | — 3 — 1 — /2" 11 e*- = | 0 00 I.

6一1万 2 /\o0_丿

Дано поле перемещений【厶 = Зх^,工也 = 汲3尤ь 以з = 君一尤i#2・ ОпреДано поле перемещений【厶 = Зх^,工也 = 汲3尤ь 以з = 君一尤i#2・ Определить тензор в；/делить тензор в；/q『2・1()TРис. 3-23-q『2・1()TРис. 3-23-и проверить, удовлетворяются ли условия совместности.Ответ:и проверить, удовлетворяются ли условия совместности.Ответ:百寸行4百寸行4磔=1,5 • 10“【％]=磔=1,5 • 10“【％]=一3名3#/2 + #3_ -//2一3名3#/2 + #3_ -//23%芍+ #30//23%芍+ #30//2—xJ2々/22#з .—xJ2々/22#з .Для дельта-розеткиДля дельта-розеткидеформацийдеформацийнайдены относительные удлинения, величины которых указаны на рис. 3.23. Определить 厶2 и е22 в этой точке.Отзет: £疆=1 ■ Ю—", £】2 = — 0,2885 • 10—".найдены относительные удлинения, величины которых указаны на рис. 3.23. Определить 厶2 и е22 в этой точке.Отзет: £疆=1 ■ Ю—", £】2 = — 0,2885 • 10—".

Дано поле перемещений【厶 = Зх^,工也 = 汲3尤ь 以з = 君一尤i#2・ Опре

Дано поле перемещений【厶 = Зх^,工也 = 汲3尤ь 以з = 君一尤i#2・ Опре

делить тензор в；/

делить тензор в；/

q『2・1()T

Рис. 3-23-

q『2・1()T

Рис. 3-23-

и проверить, удовлетворяются ли условия совместности.

Ответ:

и проверить, удовлетворяются ли условия совместности.

Ответ:

百寸行4

百寸行4

磔=1,5 • 10“【％]=

磔=1,5 • 10“【％]=

一3名

3#/2 + #3

_ -//2

一3名

3#/2 + #3

_ -//2

3%芍+ #30//2

3%芍+ #30//2

—xJ2々/22#з .

—xJ2々/22#з .

Для дельта-розетки

Для дельта-розетки

деформаций

деформаций

найдены относительные удлинения, величины которых указаны на рис. 3.23. Определить 厶2 и е22 в этой точке.

Отзет: £疆=1 ■ Ю—", £】2 = — 0,2885 • 10—".

найдены относительные удлинения, величины которых указаны на рис. 3.23. Определить 厶2 и е22 в этой точке.

Отзет: £疆=1 ■ Ю—", £】2 = — 0,2885 • 10—".

Для поля перемещений 勺=X】十 ЛХ3, х2 = Х2» #з = Хз — AXt вычислить изменение объема и показать, что оно равно нулю, если константа 4 очень мала.

Глава 4

Движение и течение

Движение. Течение* Материальная производная

Термины движение и течение используются при описании мгновенного или непрерывного изменения конфигурации сплошной среды. Иногда словом течение называют движение, приводящее к остаточной деформации, как, например, в теории пластичности. Однако при изучении жидкостей это слово означает непрерывное движение. Как было указано в (3.14) и (3.15), движение некоторого объема сплошной среды можно выразить либо в материальных координатах (лагранжево представление):

々 = %(X1，Х2, Хз, /) = %(Х, 0. или х = х(Х, /), (4.1) либо, разрешая эти уравнения, в пространственных координатах (эйлерово представление):

Х{ = Х{ (хъ 也,尤3，9 = Xf(x, /), или X = X (х, /)・(4.2)

Для существования обратных функций (4.2) необходимо и достаточно, чтобы якобиан

J-=\dx{/dXj\(4.3)

был отличен от нуля. С физической точки зрения лагранжев способ описания фиксирует внимание на индивидуальных частицах континуума, в то время как при эйлеровом подходе интересуются определенной областью пространства, занятой сплошной средой.

Так как (4.1) и (4.2) взаимно, обратны, любое физическое свойство континуума, приписанное индивидуальной частице (в лагранжевом, или материальном, описании), может также быть выражено для определенного места в пространстве, занятого этой частицей (в эйлеровом, или пространственном, описании). Например, если в материальных переменных дана плотность р

р = р(х“ /), ИЛИ р = р (X, 0.(4.4)

то пространственное представление ее получается заменой X в этом соотношении функцией из (4.2). Таким образом, в пространственных координатах плотность равна

p = p(XJx, 0, /) = Р*(% 0, или р=р(Х(х, f), /)=р*(х, /),

(4-5)

где символ р* использован для того, чтобы подчеркнуть, что вид функции в эйлеровом представлении не обязательно тот же, что в лагранжевом.

Скорость изменения со временем любого свойства в индивидуальных частицах движущейся среды называется материальной (или индивидуальной) производной по времени от этой величины. Материальную производную (также называемую субстанциональной или полной производной) можно представить себе как скорость изменения рассматриваемой величины со временем, которая была бы измерена наблюдателем, движущимся вместе с индивидуальной частицей. Мгновенное положение частицы х£ само является свойством этой частицы. Материальная производная по времени от положения частицы есть ее мгновенная скорость. Поэтому, принимая символ d/dt или точку над буквой для обозначения операции материального диффер ен цирован и я (в некоторых книгах используют символ DID耳 получаем определение вектора скорости:

S = dxjdt = х0 или V = dx/df = х. (4.6)

Вообще, если 夕疗… 一 любое скалярное, векторное или тензорное свойство континуума, которое можно описать локальной функцией координат, и если в лагранжевом представлении

%・.・ = Р/...(Х, 0， (4.7)

то индивидуальная производная по времени от этой величины имеет вид

(4-8)(4-8)dPf了.「吗/•…(X,0dt — di

(4-8)

(4-8)

Правую часть (4.8) иногда записывают в форме ［已夕仃…(X, 0/5Их. чтобы подчеркнуть, что координаты X считаются постоянными, т. е. что при вычислении производной имеют дело с одними и теми же частицами. Если некоторое свойство задано функцией Р〃… в пространственных переменных

Р“•…=Р/…(％ 0. (4.9) то вычисление материальной производной приводит к выражениюР“•…=Р/…(％ 0. (4.9) то вычисление материальной производной приводит к выражению

Р“•…=Р/…(％ 0. (4.9) то вычисление материальной производной приводит к выражению

Р“•…=Р/…(％ 0. (4.9) то вычисление материальной производной приводит к выражению

где второй член в правой части появляется из-за того, что индивидуальные частицы меняют свое местоположение в пространстве. Первый член в правой части (4.10) характеризует скорость изменения данного свойства в фиксированной точке пространства и соответственно называется локальной (или местной) скоростью изменения. Этот член иногда записывают в виде ［。戸仃…(х, /)/5Нх, чтобы подчеркнуть, что х считается постоянным при этом дифферен -

цировании. Второй член в правой части равенства (4.10) называется конвективной скоростью изменения, так как он выражает вклад, обусловленный движением частиц в переменном поле данного свойства.

Принимая во внимание (4.6), для индивидуальной производной можно написать

(4.11)(4.11)dP/..(x，0 _苏小.(X，0 苏小.(X, ОdiГ/ % 血

(4.11)

(4.11)

что сразу наводит на мысль ввести оператор материального дифференцирования по времени

~ЗГ = В + % 石г，илн 右= h + v・Vx, (4.12)

который используется при вычислении индивидуальных производных от величин, записанных в пространственных координатах.

Скорость. Ускорение. Мгновенное поле скоростей

Определение поля скоростей дано формулой (4.6) в виде 办 = = dxjdt (или V = dx/dA・ Другое определение того же вектора можно получить из (3.11), согласно которому 尤『=〃,+ X； (или х = =u + X). Тогда скорость можно определить так:

dx{ d (以+血,

LPT =不=

или(4.13)

—dx _ d (u + X) _ duv = "ST = S = ~dT ‘

так как X не зависит от времени. Если в (4.13) перемещение выражено в лагранжевых переменных "上 工 / (X, f), то

・ du( (X, 0 ди{ (X, О

или(4.14)

v _ 曲(X, 0 一 du (X, Оu ~ dt — di — •

Если, с другой стороны, перемещение задано в эйлеровой форме / = и； (х, 0» то

(х, Л ди. (х, Лди. (х, /)

и,(х, /)м%(х, /)—%■ 一 = _.%— +%(X, /)菰),

или

(4； 16)

v(x, n^й(x, /)三加僚 9 =% 9. + v(x

:,/) • V\u(x, /).

Этой формулой скорость задается в неявном виде, так как она входит и как множитель во второй член правой части. Говорят, что

функцияфункция

функция

функция

力=以(х, /), или V == V (х, 0,(4.16)

npgjicTaBjigeT мо^е скорости尼一

Материальная производная от скорости по времени есть ускорение, Если скорость задана в лагранжевой форме (4.14), то

илиили•d%(x, f) dv.(X, о"У—з?~ = —^г-，•d%(x, f) dv.(X, о"У—з?~ = —^г-，a三v三a三v三dv(X, f) у dv(X, /)dv(X, f) у dv(X, /)(4.17)(4.17)由由didi

или

или

•d%(x, f) dv.(X, о

"У—з?~ = —^г-，

•d%(x, f) dv.(X, о

"У—з?~ = —^г-，

a三v三

a三v三

dv(X, f) у dv(X, /)

dv(X, f) у dv(X, /)

(4.17)

(4.17)

由

由

di

di

Если же скорость выражена в эйлеровой форме (4.15), то

dv (х, 0 dv (х, 0 , ~ , Л 叫(％ 0

生(х, О w ―^— в ―^— + vk (х, /) —^—,

или(4.18)

а (Х, /)= '再号а = -^Г^-十 V(X, о - V xV (х, /).

Траектории. Линии тока. Установившееся движение

Траектория ——это линия, по которой следует частица в процессе ее движения или течения. Линией тока для поля скоростей в некоторый момент времени называется кривая, касательная к которой в любой точке совпадает по направлению со скоростью в этой точке. Движение континуума называется установившимся (или стационарным), если поле скорости не зависит от времени, так что dvjdt = 0. Для установившегося движения линии тока и траектории совпадают.

4Л. Скорость деформации. Завихренность. Приращения деформации

Пространственный градиент мгновенного поля скорости дает тензор градиента скорости dvjdxj (или Y^. Этот тензор можно разложить на симметричную и антисимметричную части следующим образом:

К产需=4•圈十品)十；(岩-符)""+匕" или

Y = V2(WX + Vxv) + % (Wx — 弘丫)= D + V. (4.19) Симметричный тензор

%=Dl%咼 + 對,или D = %(vVx + VxV), (4.20)

называется тензором скоростей деформации. Антисимметричный тензор'

% = _%[=}(嗡——^), или V = %(vVx — VxV), (4.21)

называется тензором завихренности, или вихря.

Легко показать, что тензор скоростей деформации представляет собой материальную производимою по времени от эйлерова тензора линейных деформаций '). Так, если в выражении

dt — 2 dt \ dxj 十 dxi /*

или(4.22)

4г = 5 备 SV* + ku)

поменять местами операции дифференцирования по координатампоменять местами операции дифференцирования по координатами времени, т. е.и времени, т. е.

поменять местами операции дифференцирования по координатам

поменять местами операции дифференцирования по координатам

и времени, т. е.

и времени, т. е.

равенство примет вид

плипли崂=}(vVx + VxV)=D.崂=}(vVx + VxV)=D.(4.23)(4.23)

пли

пли

崂=}(vVx + VxV)=D.

崂=}(vVx + VxV)=D.

(4.23)

(4.23)

Таким же образом можно показать, что тензор вихря равен материальной производной по времени от эйлерова тензора линейного поворота. Этот результат выражается формулой

или (4.24) 吟= }(vV—*v)=V.

Довольно интересную интерпретацию можно придать равенству (4.23), если переписать его в форме

dEq = Dijdt, или dE = Dd 厶 (4.25) Левая часть (4,25) представляет собой компоненты тензора, которые широко используются в теории пластичности (см. гл. 8) и которые мы будем называть приращениями деформации.

Это утверждение верно только в том случае, когда е；； бесконечно малы (см. задачу 4.40). О связи между тензором скоростей деформации и производными по времени от тензоров конечных деформаций см., например: Седов Л. И., Введение в механику сплошной среды, гл. II, § 6, 7, Физматгиз, М・，1962.— Прим, ред.

В Дж. Мейэ

・ Физическая интерпретация тензоров скоростей деформации и завихренности

На рис. 4.1 скорости соседних частиц, находящихся в точках и Q движущегося объема сплошной среды, обозначены соответ-

Рис. 4.1.Рис. 4.1.Л\ = (Dii + 匕力 dx〃Л\ = (Dii + 匕力 dx〃ственно и, и “ + dq. Таким образом, скорость частицы Q относительно точки Р равна

Рис. 4.1.

Рис. 4.1.

Л\ = (Dii + 匕力 dx〃

Л\ = (Dii + 匕力 dx〃

dvi = -~- dxh

или(4.26)

dv = vVx ■ dx, где частные производные вычислены в точке Р. Это выражение можно записать через % и 匕，：

или dv = (D + V)・ dx. (4.27)

Если тензор скоростей деформации тождественно равен нулю (% 曰 =0), то

dvi = VijdXjt или rfv = V • dxr(4.28)

и движение в окрестности точки- Р будет вращением абсолютно твердого тела. По этой причине поле скоростей называют 《без- вращательным» (безвихревым), если тензор завихренности обращается в нуль во всех его точках.

Ассоциированный с тензором завихренности вектор определяется соотношением

(4.29)(4.29)qL 二 &『卢比〃или q = Vx X %

(4.29)

(4.29)

и называется вектором завихренности. Символическая форма записи (4.29) показывает, что вектор завихренности получается действием оператора ротор (rot пли curl) на поле скоростей. Вектор, равный половине вектора д,

% == $ 仇=扌 &/玖小 или O=-^-q = -^-VxXv, (4.30)

называется вектором вихря скорости. При вращении абсолютно твердого тела, как получено в (£28), относительная скорость частицы, соседней с Р и находящейся от нее на расстоянии d%” дается формулой

du】—&i*dXk, или dv = Q X dx, (4.31)

Компоненты тензора скоростей деформации имеют следующий физический смысл. Диагональные элементы D£；——это скорости относительного удлинения отрезков, расположенных вдоль осей координат. Так, для чистой деформации из (4.27) следует, что

dvL — 4亦八 или dv = D • dx,(4.32)

а так как скорость изменения длины линейного элемента dxh приходящаяся на единицу мгновенной длины, есть

d：= 厶• = Djj d# — Df/v；, или d(”)— D • v, (4.33) то скорость удлинения в направлении единичного вектора v£ равна

d = d} ‘％ = DijV^^ или = v • D • v. (4.34)

Если 匕一направление какой-либо осн координат, например е2, то, согласно (4.34),

d — °22, или d -е^ • D • е& 。22・(4.35)

Недиагональные элементы D^ характеризуют скорости сдвига и являются мерой скорости изменения прямых углов между направлениями отрезков, расположенных вдоль осей координат (см. задачу 4.18).

Вследствие того что Q" является симметричным тензором второго ранга, для него существуют такие понятия, как главные оси, главные значения, инварианты, поверхность скоростей деформации и девиатор скоростей деформации. Кроме того, для компонент тензора скоростей деформации можно написать уравнения совместности, аналогичные уравнениям, полученным в гл. 3 для тензора линейных деформаций.

. Материальные производные по времени от элемента объема, элемента поверхности и линейного элемента

В результате движения из некоторого начального состояния в момент / = 0 к рассматриваемому в момент f состоянию частицы сплошной среды, которые вначале занимали элементарный объем d%, займут элементарный объем dV. Если начальный элемент объема взят б виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 4.2), то, согласно (1.10),

d% = dX^e】х dX?%' dX3e3 = dXidX2dX3. (4.36)

При движении этот параллелепипед перемещается и искажается, но нз-за непрерывности движения не разрушается. Действительно,

вследствие связи (3.33) dxt = 0к'дХ) dXj между материальными и пространственными линейными элементами, «жидкий отрезок», который раньше был dX】，теперь образует бесконечно малый линейный отрезок dx「= (dx/dXJ dX*. Аналогично dX2 переходит в 厶俨=(дХ[/дХ# dX2, a d& превращается в d必* = ^xJdX^ dX3.

Поэтому бесконечно малый элементПоэтому бесконечно малый элемент“з/з“з/зобъема dV представляет собой скошенный параллелепипед с ребрами dx^. dx汽 dx” Величина его объема вычисляется как смешанное произведение

Поэтому бесконечно малый элемент

Поэтому бесконечно малый элемент

“з/з

“з/з

dV = d^ х dx⑵.dQ =dV = d^ х dx⑵.dQ =Теперь, используя (4.38), можноТеперь, используя (4.38), можно=3"必%£2%成).(4.37) Очевидно, этот объем равен

dV = d^ х dx⑵.dQ =

dV = d^ х dx⑵.dQ =

Теперь, используя (4.38), можно

Теперь, используя (4.38), можно

W = &拉兩""йхt 兩"*

X dXidX2dХз = JdV0, (4.38) где J = I dXi/dXj | —— якобиан ,определенный формулой (4・3).

получить материальную про-

изводиjto от dV по времени:

备(")=4-(」戏。)=-f-W。，(4.39)

поскольку d匕 от времени не зависит, так что -^-(d%) = 0. Можно показать (см. задачу 4.28), что материальная производная от якобиана J равна

% = J欝，или j = JVx・v,(4.40)

и, следовательно, (4.39) принимает вид

4-(川)=器 d匕или 齐(W) = Vx • vW. (4.41)

Бесконечно малый элемент поверхности, имеющий в начальном состоянии площадь dS°, можно задать (вместе с его ориентацией) при помощи единичного вектора его нормали nf выражением dS^n^ При движении среды частицы, вначале составлявшие площадку й80п^ в рассматриваемом состоянии заполняют элемент площади

dS% или dS,・ Можно показать, что

dSj=J-^dX/, или dS = JdX・XVx, (4.42)

откуда находим материальную производную элемента площади：

H(dS,・)H(dS,・)=4" (J 醫)d% =崙 dS, —證悔(4.43)

H(dS,・)

H(dS,・)

Материальную производную от квадрата длины бесконечно малого линейного элемента dxr можно вычислить аналогичным образом:

备(d^) = Л- (dXjdx,) = 2 ^- dx(.(4.44)

Но так как dx£ = (dxJdX^ dX〃 мы имеем

4~跳)二备為悴产瑞dX产普為dXl喂蚪

(4.45)

и тогда (4.44) примет вид

^(") = 2需此火，

или(4.46)

-^-①炉)=2dx • Vxv • dx・

Выражение в правой части в индексной форме (4.46) симметрично по индексам г и й, и, следовательно, можно написать

嗡• dx£xt + 塞-dXidxk =(嗡 + 崙收小 ,(4-47)

либо, принимая во внимание (4.20),

-^ (dx2) = 20械#抠‘，или -^- (d%2) = 2dx ・ D ・ dx. (4.48)

4・7・ Материальные производные по времени от интеграла по объему* интеграла по поверхности

и линейного интеграла

Не все свойства континуума можно задать для индивидуальной частицы функцией ее координат так, как это сделано в (4.7) и (4.9); некоторые свойства определяются интегралами по конечной части континуума. Пусть, например, какое-либо скалярное, векторное

или тензорное свойство представлено интегралом по объему

Pii...{t) ={^/...(х, t)dV,(4.49)

где V ——объем, который рассматриваемая часть сплошной среды занимает в момент f・ Материальная производная от Р^…(0 равна

方[p.7-(川=备 J 儿-(X，0 W， (4.50)

а так как интегрирование идет по определенной части континуума (т. е. индивидуализированной системе масс), операции дифференцирования и интегрирования можно менять местами. Таким образом,

»)dU= (^-仍二…(х, /)dY].(4.51)

После выполнения дифферен цирован и я с учетом (4.41) приходим к следующему равенству:

£]%. (х, /)★ = (「％『/)十％(X, t}^\dV. (4.52)

Оператор индивидуальной производной определен формулой (4.12) как d/dt = d/dt + vpd/dxp. Тогда равенству (4.52) можно придать вид

糸、Р；/...(х, /)〃 = ,["%：' " + 壷“％- (х, 0) dV. (4.53)

По теореме Гаусса—Остроградского (1.157) преобразуем второй член в правой части (4.53) в интеграл по поверхности; получим

$ [居…(х, /)dV= [ 了％： ". W 十]% [Р]. (x, 01 dSp. (4.54) VVs

Это соотношение утверждает, что скорость изменения некоторой величины 夕牙…(f) в части сплошной среды, занимающей в данный момент объем V, равна сумме изменений этой величины во всех точках внутри V плюс поток величины Р；储(х, Е) через поверхность S, ограничивающую К

Процедура определения материальных производных от интеграла по поверхности и линейного интеграла в общем та же, что только что проделанная для интеграла по объему. Так, для любого тензорного свойства сплошной среды, которое выражается интегралом

по поверхности

Q"...(f) =，Q；/ ..(x, t)dSp,(4.55)

s

где S —— поверхность, занятая в момент i рассматриваемой частью континуума, имеем, как и прежде,

齐 J Q；J(x, П dSp = \* @・...(X, C dS J (4.56)

Отсюда, учитывая (4.43), получаем правило дифференцирования интеграла по поверхности:

叫...и)—

7 产/广"+ 籌 Q；j...(X, o]dSp —j [q*/...證 ds“. (4.57)

Для величин, выраженных линейным интегралолг типа

®7-(/)=『R；/... (х, 0 dxp,(4.58)

С

материальная производная равна

与 J R；/... (х, t)dxp = ^ ~^-[/?*/...(х, /)dxp]. (4.59) Сс

Проводя указанное дифференцирование в правой части (4.59) и учитывая при этом (4.45), находим материальную производную линейного интеграла:

与阳/•••(/)】=J 巴因匕£' ” dxp + J 备-圜(x, /)] d*. (4.60)

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

Материальные производные. Скорость.

Ускорение (§ 4.1—4.3)

・ Дано пространственное (эйлерово) описание движения континуума 修=Xid + Х3 (d — 1),修=X3 (d — e-7) + X2, % = =丈з・ Доказать, что якобиан J для такого движения отличен от нуля, и найти материальное (лагранжево) представление этого движения, обращая уравнения для перемещений.

Согласно (4.3), якобиан равен

е‘ О

J = I OxifdXf [в о j О О

Обращая уравнения движения, получаем Хг ®= лг^^ + х3 (е—/一 I), Х2 = ^ х2 ——％ (е‘——е~‘)，Х3 = х3. Заметим, что ири обоих способах описания & = Х» при f = 0.

Дан закон движения континуума 尤^ = Xlf 工纟=е‘ (X。 + + Х>2 + с- (Ха — XJ/2,心=d (Х3 + XJ/2 — е^ (Х3 一 Х3)/2. Определить компоненты скорости в эйлеровой и лагранжевой форме.

Из второго и третьего уравнений получаем X? + Х3 = L (/ + #з) н 居一 —Хэ = ^ (х2 一 х3). Разрешая их, находим обращенные уравнения Хх = xlf % = ©т(Х2 + 巧)/2 + /(修一％з)/2, % = e-‘ (*2 + %)/2 — е* (& — #з)/2・ Тогда компоненты перемещения i“ = Х[—Xj можно записать либо в лагранжевой форме: % = 0, 〃2 = е‘(Х2 + Хз)/2 + е—^ (Х2 — Х3)/2 — X?, 〃？ = е‘ (Х2 + Х3)/2 一 —「' (Х2 — Х?)/2 — Х3, либо в эйлеровой форме: 〃】=0, i/2 =修一6一’ (x2 十 + %)/2 - d (马一马)2 〃3 = / -「* (/ + *3)/2 + J 出一心)/2.

Согласно (4.14), 5 = dii^Gt = 3%側,и компоненты скорости в лагранжевом представлении будут равны 内=0, и2 = / (Х? + Х3)/2 — е~‘ (Хг — Хз), 2, % = d (Х2 + Хз)/2 + ©т (Х2 — Хз)/2. С учетом соотношений Х2 + Л3 = =е~* (修 + %) и Ха — Х§ = е‘ (#2 一 #з)» эти выражения для компонент сводятся к их = 0,己2 =尤з，и?= 尤2・ С другой стороны, если движение задано в эйлеровых переменных, то из формулы (4.15) находим

dujdt = & = е—(马 + 看)/2 - / (& -吃)/2 + и2 (2 - е~{ - е')/2 +

+ 内(_L + /)/2,

du3/dt = t>3 = e~* 的 + 圖/2 + e‘ (& —闯/2 + u2 (— e_, + /)/2 +

+ %(2fT—/)/2.

Разрешая эти уравнения относительно и3 и и3, получаем, как и прежде, и2 =尤з, % =阳"

Дано поле скоростей иг = //(1 + t), р2 — 2х2/(1 + /), v3 = Зх3/(1 + /). Найти компоненты ускорения.

Пользуясь формулой (4.18), находим

d&dt = % =—修/(1 十炉 + 片/(1 + О2 = а 曲2/力=& = 一 2%2/(1 + 炉 + 4//(1 十炉=2刘(1 + * dv3/dt = а3 = — 3//(1 + О2 + 9&/(1 +。2 = 6//(1 + О3.

Проинтегрировать выражения для скорости, данные в задаче 4.3, и получить уравнения для перемещений xf = х£ (X, /) (закон движения); по ним найти компоненты ускорения в лагранжевой форме.

По определению (4.13) vi = dxjdi = хЦ(\ + /)； разделяем переменные 厶i/xi = d〃 (1 + 0 и интегрируем: In xi = Jn (1 + /) + In С, где С — постоянная интегрирования. Так как %i — Xi при f = 0, то С = Xi, и, следовательно, xi = Xi (1 + 0- Точно так же находим № = Лз (1 + О2 н %з =爲(1 + /)3.

Затем, используя (4.14) и (4.17), получаем s = Xi, s = 2Xz (1 +。，％ = =ЗХ3 (1 + 炉 н 厶=0,。2 = 2Хг, а3 = 6X3 (I + f).

Задан закон движения сплошной среды хх — Л + + (е-跳/入)sin Х(Л + з/), *2 = —3 —心-从爪)cos А (Л + <2),右= =X3. Показать, что траектории — окружности, а величина скорости постоянна. Определить также связь между Х^ н X2 H константами Л и В.

Перепишем закон движения в виде хг — Я = (е~вк/К) sin Л (Л + о/), / + + 8 = (— е~В^Д) cos А (力 + со/). Возведя эти равенства в квадрат и сложив результаты, исключим t и получим траектории 一окружности &—Д)2 + (х2 + + В)? = б-"?队爪С По формуле (4.6) найдем скорости 心=必一跳 cos X (Л + w/), v?=锌一臥 sin 1 (Л + s°, v3 = 0, следовательно, * = и； + 吗+岔=游厂?从. Наконец,修=Xf при 力=0, откуда X】=力 + (е~耿/入)sin ХЛ, Ха = — В — 一厂к IN cos ХЛ.

Поле скоростей задано вектором v =尤,已工 + %2尸е^ + + %1尤3他3・'Определить скорость и ускорение частицы, находящейся в момент / = 1 в точке Р (I, 3, 2).

Прямой подстановкой найдем vp = ej + Зе2 + 2^. Пользуясь векторной формой формулы (4.18), получим поле ускорений

а = х| et + 2&修 + 占鹏嘖3 +

十(百宿+ /广山+修个餐)• (2修括3 +/髙/ + f2盛2 + x^e3e3)f или

а =赭 + 2庠2) ^i + (2&f + //) e2 + (看鹏 + 2%纭更)e3.

Таким образом, 冲= Зе】+ 9е2 屮 6е3.

Для поля скоростей задачи 4.3 найти линии тока и траектории и доказать, что они совпадают.

Касательная к линии тока в каждой точке направлена по вектору скорости. Следовательно, для бесконечно малого вектора dx касательной к линии тока можно написать v X dx = 0 и получить таким образом дифференциальные уравнения линий тока dxi/vi = dx2/v2 ~ ^з/^з- Для указанного течения эти уравнения имеют вид dxjx^dxz/^xz = dz3/3x3. Интегрируя их с учетом начальных условий К[ ~ Х[ при f = 0, находим уравнения линий тока: (xi/Xi)2 = Х2/Х2, (xi/Xi)3 = =//居，(x2/%2)3 = (%4)2.

Интегрирование выражений для скорости dxildt = 4 было выполнено в задаче 4.4 и дало закон движения 尤i = X】(1 + f), #2 = Х2 (1 + О2» 汇3 = Х3 (1 + + О3- Исключая из этих уравнений время 厶 получаем траектории, которые в точности совпадают с найденными выше линиями тока.

В электромагнитном континууме напряженность магнитного поля равна 入 =e~Ailrt где г?= 尤;+ л^ + 忌 н А — константа, и движение задано" полем скоростей 勿 = Bx^t, v2 = Bxh2» 己8 = 8尤3尤2・ Определить скорость изменения напряженности магнитного поля для частицы, расположенной в момент f = 1 в точке 尸(2, -L 2).

Так как д(г^)/дх[ = —xjr3t формула (4.11) дает

入П—Ae~At/r - e-Ai 同%t + B^ + 反制)/儿

Таким образом, в точке 尸 в момент i = I

入р = _「©力+ в)/9

Дано поле скоростей 勿工=4尤§ — 3x2, v2 = 3xlf d3 — ——^. Определить компоненты ускорения в точках Р (Ь, 0» 0) и Q (0, 4Ь, ЗЬ) и обратить внимание на то, что поле скоростей соответствует вращению абсолютно твердого тела с угловой скоростью, равной 5, вокруг оси, направленной вдоль вектора е ^ (4е2 + Зе3)/5.

По формуле (4.18) % = — 25占，& = — 9ха 十 12尤帛,％ = 12& — 16х3. Тог

да в точке Р (b, 0, 0) а =—25&ех и ускорение имеет только осестремительную компоненту, а в точке Q (0, 4b, ЗЬ), расположенной на оси вращения, а =

ЛА八АА

=0, Можно заметить, что v = о X х = (4е3 + Зе3) X (看立 十 х2е2 + *屈)= и (4#з — 3/) e】+ 3#问一4%1办 и, следовательно, ® = 5е.

Скорости деформации, завихренность (§ 4.4—4.5)

V в точке Р (1, 0, 3) в момент f = 0 Согласно (4.19),/ 00dv^/dx} = [ &*i\一/ 2%Этот тензор можно вычислить в точке Р в подсчитать соответственно по формулам (4./ 000 \Y = D + V= 0А —64 =\-34 0 一力丿/ 00—1,54\=| 0力 —зд )-\— 1,54 —34—力，0 、—2х3 Ае-а.1 — %丿момент / = 0, а его составные части20) и (4.21):/00 1,бД\+ 100 4 g力 1 ,Jl,5j ЗЛ 0 /V в точке Р (1, 0, 3) в момент f = 0 Согласно (4.19),/ 00dv^/dx} = [ &*i\一/ 2%Этот тензор можно вычислить в точке Р в подсчитать соответственно по формулам (4./ 000 \Y = D + V= 0А —64 =\-34 0 一力丿/ 00—1,54\=| 0力 —зд )-\— 1,54 —34—力，0 、—2х3 Ае-а.1 — %丿момент / = 0, а его составные части20) и (4.21):/00 1,бД\+ 100 4 g力 1 ,Jl,5j ЗЛ 0 /Некоторое течение задано полем скоростей % = 0,屯= =А (不犬2 —忌)е~'1。3 = A (x2 —尤/з) e—в\ где 4HB — константы. Найти градиент скорости dvjdxf для этого движения и вычислить тензор скоростей деформации D и тензор завихренности

V в точке Р (1, 0, 3) в момент f = 0 Согласно (4.19),

/ 00

dv^/dx} = [ &*i

\一/ 2%

Этот тензор можно вычислить в точке Р в подсчитать соответственно по формулам (4.

/ 000 \

Y = D + V= 0А —64 =

\-34 0 一力丿

/ 00—1,54\

=| 0力 —зд )-

\— 1,54 —34—力，

0 、

—2х3 Ае-а.

1 — %丿

момент / = 0, а его составные части

20) и (4.21):

/00 1,бД\

+ 100 4 g力 1 ,

Jl,5j ЗЛ 0 /

V в точке Р (1, 0, 3) в момент f = 0 Согласно (4.19),

/ 00

dv^/dx} = [ &*i

\一/ 2%

Этот тензор можно вычислить в точке Р в подсчитать соответственно по формулам (4.

/ 000 \

Y = D + V= 0А —64 =

\-34 0 一力丿

/ 00—1,54\

=| 0力 —зд )-

\— 1,54 —34—力，

0 、

—2х3 Ае-а.

1 — %丿

момент / = 0, а его составные части

20) и (4.21):

/00 1,бД\

+ 100 4 g力 1 ,

Jl,5j ЗЛ 0 /

Для 'движения 石=Х19 融=% + Х^ （е—2f — 1）, х3 = =Xj + Xi （е-з‘ 一 1） вычислить тензор скоростей деформации D п тензор завихренности V. Сравнить компоненты D с tfe〃/df — скоростями изменения компонент эйлерова тензора малых деформаций Е.

В данном случае компоненты перемещения равны ui = 0,也=xi （「"В данном случае компоненты перемещения равны ui = 0,也=xi （「"〃з = #1 （「S' — 1）, и по （4.14） компоненты скорости будут s = 0, fa = —2整炉〃з = #1 （「S' — 1）, и по （4.14） компоненты скорости будут s = 0, fa = —2整炉-I）.-I）.）—2,）—2,。3=—3xie—3/. Разложение градиента скорости dvi/dxj дает dvjldxj = D^ + 十匕力т. e.。3=—3xie—3/. Разложение градиента скорости dvi/dxj дает dvjldxj = D^ + 十匕力т. e./ 0dvjjdxj — I — 2e~2f\ —3eT2/ 0dvjjdxj — I — 2e~2f\ —3eT2ООооооО'О'ооии—Lоо—LооАналогично получаем разложениеАналогично получаем разложение—Зе~3</2\/00+f-&0/ 产/2! градиента перемещения—Зе~3</2\/00+f-&0/ 产/2! градиента перемещения产оо产оо3戸/2ОО ,3戸/2ОО ,Oui/dxj = £疗 +（о（/.Oui/dxj = £疗 +（о（/.чточто—е-мОО ,—е-мОО ,Сравнивая D с dE，df, видим,Сравнивая D с dE，df, видим,

В данном случае компоненты перемещения равны ui = 0,也=xi （「"

В данном случае компоненты перемещения равны ui = 0,也=xi （「"

〃з = #1 （「S' — 1）, и по （4.14） компоненты скорости будут s = 0, fa = —2整炉

〃з = #1 （「S' — 1）, и по （4.14） компоненты скорости будут s = 0, fa = —2整炉

-I）.

-I）.

）—2,

）—2,

。3=—3xie—3/. Разложение градиента скорости dvi/dxj дает dvjldxj = D^ + 十匕力т. e.

。3=—3xie—3/. Разложение градиента скорости dvi/dxj дает dvjldxj = D^ + 十匕力т. e.

/ 0

dvjjdxj — I — 2e~2f

\ —3eT2

/ 0

dvjjdxj — I — 2e~2f

\ —3eT2

О

О

о

о

о

о

О'

О'

о

о

и

и

—Lоо

—Lоо

Аналогично получаем разложение

Аналогично получаем разложение

—Зе~3</2\/0

0+f-&

0/ 产/2

! градиента перемещения

—Зе~3</2\/0

0+f-&

0/ 产/2

! градиента перемещения

产

оо

产

оо

3戸/2

О

О ,

3戸/2

О

О ,

Oui/dxj = £疗 +（о（/.

Oui/dxj = £疗 +（о（/.

что

что

—е-м

О

О ,

—е-м

О

О ,

Сравнивая D с dE，df, видим,

Сравнивая D с dE，df, видим,

dEjj!dt вdEjj!dt в丿о -L-i o3e-3, 20丿о -L-i o3e-3, 20—3 尸/2、о 丿=%•—3 尸/2、о 丿=%•

dEjj!dt в

dEjj!dt в

丿о -L

-i o

3e-3, 20

丿о -L

-i o

3e-3, 20

—3 尸/2、

о 丿=%•

—3 尸/2、

о 丿=%•

Читателю предоставляется самому показать, что d^ldi = V^.

Вихревой линией называется такая линия, касательная к которой в каждой точке движущейся среды направлена по вектору вихря 0 = 1/2q. Доказать, что уравнения вихревых линий имеют вид dxl/ql = dx2/q2 = dxjq3.

Пусть dx — бесконечно малый вектор в направлении q. Тогда q X dx 三 О, или

д2dХ3 -族d不）" + （g3d勺一0便餐） e2 + （g抠^ -兆dxj e3三0, откуда получаем уравнение вихревой линии dxi/qi =加/仇=%/%

Доказать, что для поля скоростей v = （Дх3 ——Вх^ег + + （В%】一Сх3） е2 + （以2 — ^Xj） е3 вихревые линии являются прямыми. Написать их уравнения.

По определению (4.29) q =~vx X v = 2 (Cq + Лег + Ве3), а, согласно результату задачи 4.12, дифференциальные уравнения вихревых линий будут Adxs = Bdxz, Bdxi = Cdx3t Cdx2 — Adxi. Интегрируя их, найдем уравнения вихревых линии в конечной форме *з = BxJA + Kl 尤i = CxjB + Лг, xz == =AxJC + Кз，где Ki —постоянные интегрирования.

Доказать, что поле скоростей задачи 4.13 представляет вращение абсолютно твердого тела, так как для него D = 0.

Вычислим градиент скорости 己色/己工尸 Он оказывается антисимметричным тензором, а это значит, что

/ 0 —8 4、dvi/dxj = В 0 —С)=Р〃\—Д С 0 /

и D(f 三 0.

Для вращения абсолютно твердого тела со скоростью V = Зхз©1 — 4xge2 + (4尤2 — 3尤丄)ез определить вектор вихря скорости S2 и показать, что v = 0 х х.

По определению (4.30) 20 = q или Q = 4ei + 3斑・ Этот вектор направлен вдоль оси вращения. Можно проверить, что

(4е)+ Зе2) X (/S + 4% + 也龟=队募-4X爲 + (仇一3网)^ = v.

Дано стационарное поле скоростей v=〃；一尤】忌)е】+ + (^2 + -^2)е2. Найти скорости относительно точки Р (I, 1, 3) частиц в точках Q】(1, 0, 3), Q2 (L %, 3), Q3 (1,7/fi, 3), отнесенные к расстоянию от этих точек до точки Р, и показать, что их величины стремятся к относительной скорости, определенной формулой (4.26).

Непосредственное вычисление дает vp — v^^ = —ei 十 2e2, 4 (vp — VqJ = =—7ei/4 + 2ea и 8 (?卩一VqJ = —15ei/8 + 2e& Матрица градиента скорости имеет вид

3%； 一 x| — 2%%20

[dvi/dxf] =2%/2 宕+」0，

—000_

и в точке Р (1, 1, 3) градиент скорости в отрицательном направлении оси 殴 равен

(dvdd 卦 а(dvdd 卦 а一2 —2 0 ]「220.0 0 о"一2 —2 0 ]「220.0 0 о"01 = о01 = о2—2 02—2 0

(dvdd 卦 а

(dvdd 卦 а

一2 —2 0 ]「

220

.0 0 о"

一2 —2 0 ]「

220

.0 0 о"

0

1 = о

0

1 = о

2

—2 0

2

—2 0

Таким образом, (dv/dx)^ = ——2ei + 2еа, и это величина, к которой стремятся от・ носительные скорости Vp —Vq_, отнесенные к расстоянию до точки Р.

Для стационарного поля скоростей v = З%；** + + 2^2^зе2 + Х1Х2^зе3 определить скорость удлинения материального отрезка в точке Р (1, 1, 1) в направлении v =(3ех —4eJ/5・

В нашем'случае градиент скорости равен

2小*n32小*n3О 1О 1■ 6XjX2[dvi/dxj] = О君

2小*n3

2小*n3

О 1

О 1

и его симметричная часть в точке Р принимает значения

_ 6 1,5 05

[О“Р= 1,541,5s

[0,5 1,5 2 _

По формуле (4.34) для направления v = (3ei ——4е3)/5 получаем

61,5 0,5] Г з/「

d = 13/в, 0, 一 ％] 1,5 4 1.50= 74/25.

.0,5 1,5 2 JL-4

Для движения, предложенного в задаче 4.17, определить в точке Р скорость изменения угла между ортогональными направ-

АЛЛА>_ 人Л

лениями V = (Зег —4е3)/5 и ц = (4еА + Зе3)/5.

Пользуясь результатами задачи 3.20, скорость сдвига y^v можно найти по формуле Vgv = |х * 2D ■ V, или в матричной форме

Г12 3 1]「3/в ■

%v = [%，°，з/$] з 8 80= 89/25・

U 3 4]|_ —%」

Дано стационарное поле скорости иА = 2х3, v2 = 2х3, и3 = 0. Найти главные направления и главные значения тензора скоростей деформации.

В данном случае「О 0\dvi!dxj\ = 0 0 о оВ данном случае「О 0\dvi!dxj\ = 0 0 о о21212 =2 =ООООООо 「О I 1 оо 「О I 1 о++о оо ооооо

В данном случае

「О 0

\dvi!dxj\ = 0 0 о о

В данном случае

「О 0

\dvi!dxj\ = 0 0 о о

21

21

2 =

2 =

О

О

О

О

О

О

о 「

О I 1 о

о 「

О I 1 о

+

+

о о

о о

оо

оо

и главные значения 入 тензора D〃 находятся из уравнения

-А-АОО

-А

-А

О

О

0 一入1=0=3 -入3+2儿

11 —X

откуда % = + MZ 九н = 0,入“I =—]‘公

Преобразование тензора к главным осям дается матрицей

一一% -%1//2"

【甸1 = 1//2 - 1/^2 О

_ %%"/Г

и приводит тензор скоростей деформации к виду

ПТ оо--

【％] =000,

_ 0 0 —/2 J

Определить максимальную скорость сдвига утах для движения, заданного в задаче 4.19.

По аналогии с нахождением главных деформаций сдвига в гл. 3 найдем максимальную скорость сдвига утах= (% —九口卩/2 = = /2：

+ е2)/ИГ(рис. 4.3).+ е2)/ИГ(рис. 4.3).Поэтому, как и прежде,Поэтому, как и прежде,Этот же результат получится, если заметить, что указанное движение представляет собой простой сдвиг, параллельный плоскости xixz в направлении вектора v = (ei +

+ е2)/ИГ(рис. 4.3).

+ е2)/ИГ(рис. 4.3).

Поэтому, как и прежде,

Поэтому, как и прежде,

Следует также заметить, что максимальная скорость удлинения для данного движения имеет место в направлении n = (ei + еа + J 2е3)/2, как было найдено в задаче 4.19. Таким образом.

d(m =d(m =ГТ,ГТ,■о о ■

d(m =

d(m =

ГТ,

ГТ,

1%, %, 丁5/2] 0 0 1%

J 1 Ojll^/2

Материальные производные от объемов, площадей, интегралов и т. д. (§ 4.6—4.7)

Вычислить вторую материальную производную по времени от скалярного произведения двух линейных элементов, т. е. найти da (*) /d”

По формуле (4.45)―访 L = dx&, но равенство (4.48) показывает, что ，%)” = 2DR>7dx八 Поэтому

担疑=2d$dXj + D,y -^ dxkdxj + D“dXi -^- d/].

После простой операции по переименованию индексов суммирования = 2除+ %需+以厶画.

4・22・ Найти материальную производную -^-f p〔dS工 от некоторой векторной величины р, через поверхность S.

ПОЛ}чимПОЛ}чимпотокапотокаПо формуле (4.57)

ПОЛ}чим

ПОЛ}чим

потока

потока

备“呢=J[t + Pi 岩]dS,・-j Pi 普 dS& =

Доказать, что формулу для производной от потока, полученную в задаче 4.22, в символических обозначениях можно записать следующим образом:

等 j р •而S =，[嗚 + V (V • р) + V х (р X v)] • ndS.

Переписывая непосредственно в символических обозначениях результат задачи 4.22, получаем

丁、р ・ ndS =丁、р ・ ndS =ss+ р (V -V)— (р • V) V j ■ ndS

丁、р ・ ndS =

丁、р ・ ndS =

s

s

=f [书 +(V * V)P + P。• V)—(P • V) v] • ndS.

Теперь (см. задачу 1.65) воспользуемся векторным тождеством

р • ndS =р • ndS =+ v (V • р) + V X (р X v) ■ ndS.+ v (V • р) + V X (р X v) ■ ndS.V X (р X v) ==i р (V • v) — v (V • р) + (v ■ V) р — (р • V) v; тогда d

р • ndS =

р • ndS =

+ v (V • р) + V X (р X v) ■ ndS.

+ v (V • р) + V X (р X v) ■ ndS.

4・24・ Представить теорему Рейнольдса о переносе, выраженную формулами (4.53) и (4.54), в символических обозначениях.

Пусть Р* (х( 0 ——любая тензорная функция эйлеровых координат и времени. Тогда (4.53) записывается так:

$]p*(xf П = 口嘗+V・(P*v)辰

По теореме Гаусса — Остроградского этому выражению придадим вид, соответствующий (4.54):

备,产(х, /) W = j ~- dV + J P*v • ndS. VVs

Если функция Р* (х, 0 в задаче 4.24 есть скалярная величина, равная 1, то интеграл в левой части есть просто мгновенный объем некоторой части континуума. Найти материальную производную от этого объема.

Используя векторную форму равенства (4.53) в том виде, в котором она при. ведена в задаче 4*24, получаем -^- J W = j v • vdV. Здесь v • ydP пред-

см. задачу 4.43.см. задачу 4.43.ференцированием (4.38);ференцированием (4.38);ставляет скорость изменения dV, и поэтому v ■ v называют скоростью кубического расширения. Это соотношение можно также установить непосредственным диф-

см. задачу 4.43.

см. задачу 4.43.

ференцированием (4.38);

ференцированием (4.38);

Смешанные задачи

Используя определение вектора завихренности (4.29) q = rot v, доказать, что 仇=eiikVki и что 2匕,=е£М(?й.

Представим выражение для q (4.29) в виде суммы 〃 = ^jk°k,i = £iik(气左；j + + и伏j))・ А так как £“々％丸力=0 (см., например, задачу 1.50), то 依=山次什瓦〃 口 =£『/%• Отсюда окончательно получим

々г】㈠=^ir^iiiyki ^ri^sk — %%) /『=2Pm

Доказать, что ускорение а можно записать в виде

a = £ + qxv + + V№.

* + 2“@+：， UI4* + 2“@+：， UI4Согласно (4.18), 〃尸一^——卜。左。丿 • Отсюда получаем

* + 2“@+：， UI4

* + 2“@+：， UI4

^, „.. f 1d(力以)

~дГ + i呻 к + ~2 дхГ~

Читатель может сам убедиться в том, что это индексная форма доказываемого равенства.

Доказать, что d (In J)/df = div v.

Запишем дХ[/дХр в виде & 卩,так что J = Epqr^i р^ Q^ R и 丿 будет представлено суммой трех определителей:

J н EpQR(*I,/2,Q*3,R + X\,PX2,QX3,R + 尤"*2及%£)・足冗氏，修产=V\,SXS.P и т. д.» поэтому

J = EpQR(V1,SXS,PX2,QX3,R + X\,PV2,SXS,QXA,R + X\.PX2,QV3,SXS^'

Из девяти определителей третьего порядка, получающихся при суммировании этого выражения по S, только три отличны от нуля. Таким образом, 7 = v, j«7 + + и2 2«^+ % з」=и$ SJ, или j = J(V • v) и, следовательно, d (In J)/dt = div v.

Доказать, что при установившемся движении среды (dvjdt = 0) линии тока и траектории совпадают.

Как было показано в задаче 4.7, линии тока в данным момент времени f являются решениями дифференциальных уравнений dxi/vi = dx^V2 = dxjv2t а траектории — решениями дифференциальных уравнений dxi/dt =屯(х, 6- Если Vi = Vi (х), то уравнения траекторий принимают вид dt = dxi/vi = =dt2/【‘2 = dx3/u3 и, следовательно, совпадают с уравнениями линий тока.

2宕+名)0\оо ]•оо/2宕+名)0\оо ]•оо/Для стационарного поля скоростей иг = ^х2 + 如,и& = =—%； — %]总 и3 = 0 найти главные значения тензора скоростей деформации D в произвольной точке Р (хп х2, х3).

2宕+名)0\

оо ]•

оо/

2宕+名)0\

оо ]•

оо/

По формуле (4.19)加〃3х『=D(/ + 匕〃 или

/2х/2

*； + 3^2

/ 2х/2

—х； + 岩

I - 3х:—名

-2打&

0 =

н ( — X； + 岩

-2石&

0)+

\0

0

о/

\ о

0

0/

+ 卜 2(3

Главные значения d^ являются решениями уравнения

2х/2 - d ■-君 + 嗝 0

_天；+^ — 2x/» — d 0= 0 = — d [― 4^2 + ^2 — (x2 — ^i)2]'

00—d

Отсюда % = 0, % = —(*；+ х|), %)= * + g. Эти значения можно упорядочить по мере их убывания d】=х； + ^» ^ц 匸。，^щ = — (х； + х^-

Доказать равенство (4.43), вычислив материальную производную от площади 岖,записанной в виде векторного произведения dSj = £订丸 dxf)dx£)・

Используя формулу (3.33), получим dS( = з我(dxJdXq d看(OxMaxa(1Хз и 爵 d& = 6通患爵翳 dX2dХз = JdX2dX3.

Таким образом, -

鬻备 dS,・=bipdSt = dSp=鬻 JdX2dXa,

dSp1ГdSp1Ги, учитывая результат задачи 4.28, находим

dSp1Г

dSp1Г

(鬻丿爵-J為爸网dX产

(6/ 晶 dX? 幾 dX, 需-卜加需 dXz調 dX, 欝

=(黑)dj—(制 ds,・

Используя результаты задач 4.27 и 4.23, доказать, что материальная скорость изменения потока завихренности, т. е. производная ~т f q ■ n dS, равна потоку вектора rot от ускорения а.

Применим операцию rot к выражению ускорения, полученному в задаче 4.27,

Vx а = V X 禹厂 + V X (q X V)+ V X V (吗2)

и учтем при этом, что q = V X v и V X V 俨/2) = 0; тогда V X а = dq/dt + + V X (q X v) = dq/df +，q (V • v) — (q • V) v. Если в формулу задачи 4.23 вместо р подставить q, то получим требуемый результат

-^- f q • ndS — J + q (V ■ v) — (q ■ V) vl ■ ndS = f(V X a) • ndS.

Доказать, что для вектора завихренности q имеет место

равенство 备 f 夕浦卩=([©^匆 十 qjvi — q^j] dS「

Тождество задачи 4.32 V X a =* dq'dt + V X (fl X v) можно переписать в индексной форме dq^dt = ^^^ ™ e/sp(epmr^r),s； тогда

，~^- W = f iEijkaktj —(eispcpmr^^),sJ W・

Воспользовавшись теоремой Гаусса — Остроградского (1.167), получим

^im^sr ~ 6》％) S"i4)dS§R

小+竹也一0词dSj.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

Дан закон движения среды хх — Х〃 + Х§ (е‘ 一 1), х2 = Х2 + ^з (^— —е~'), *з = Хз・ Показать, что J # 0, н найти компоненты скорости.

ОтветI 山=(X】+ Xg)/, va = Х3 (е^ Ц- е—^, % = 0, или 虫 и 修一马， 巾■=&(/ +「‘)，%^0"

Поле скоростей задано в переменных Лагранжа v* = — Х?^^', и2 = =—Хз，v3 = 2f. Найти компоненты ускорения в эйлеровой форме.

Ответ: ах —「' (х2 + tx3 —夕)，匆=°，〃з = 2.

Доказать, что поле скоростей f/ = е(/ЛхА + R，где Ь[ и ⑦一постоянные векторы, представляет вращение абсолютно твердого тела, и определить вектор вихря скорости R, для этого движения.

Ответ: 2Q = 〃 =灰q 丁 一加=2垣

Доказать, что для течения V/ = х(/(1 + /) линии тока и траектории совпадают.

Напряженность электрического поля в области, занятой движущейся жидкостью, равна X — (Д cos 3/)", где г2 « х( + х| и Л — константа. Скорость жидкости задана своими компонентами s = ^х2 + 名 и2 = — * —尤£, % = 0. Найти dh/df в точке Р (々，х?, х3).

Ответ: dA/df = (— 34 sin 3Z)k-

Доказать, что для поля скоростей vx = xjz2 十君,и?=—斗一х^1 и§ = 0 линии тока будут окружностями.

Дан закон движения сплошной среды 修=X】，х2 = е^ (Х2 + Х3)/2 -|- + е-^ (Х2 —Х3)/2,尤8 = $(% + %)/2—「'(Х? —%)⑵ Доказать, что Dx/ = =d%j[dt при f = 0. Сравнить эти же тензоры при t = 0.5.

По данному полю скоростей v* = *沁 + х|, и? = — (%； Т- *1^^), и& = 0 найти главные оси и главные значения тензора D в точке Р (1, 2, 3).

/6 0 о\/з/j 'То 1/УТёо\

Ответ: D； = ( 0 00 I ； а^ =1001 I.

\0 0 —Б/\1/К1б —3/1 ТО 0/

Для поля скоростей задачи 4.41 определить скорость удлинения мате

риального отрезка в направлении *v 二(％—2既+ 2е3)/3 в точке Р (1, 2, 3). Какова максимальная скорость сдвига в точке Р?

Ответ: d(”)= —24/9, *^=5.

Доказать, что d (d&/dXj)/df =仃/左户 и, используя это равенство, получить формулу (4.41) непосредственно из (4.38).

Доказать тождество ^^pqr {ysvr^ q = Q^q q + v9Qp ? - Q9vp 9，где S — скорость, a Qj—вектор вихря скореетн. Показать также, что “力= =D^ Q( j — 2皤储.

45. Доказать, что материальная производная от суммарной завихренности вычисляется по формуле

+ § qidV = j [%*а& + qjVt] dSj.

Глава 5

Основные законы механики сплошной среды

Сохранение массы. Уравнение неразрывности

Всякий материальный континуум обладает свойством, называемым массой. Суммарная масса некоторой части сплошной среды, занимающей в момент / объем пространства V, выражается интегралом

m = J р (х, /) dV,(5.1)

где р (х» 力一непрерывная функция координат, называемая плотностью. Закон сохранения массы утверждает, что масса выделенной части среды остается постоянной и, следовательно, материальная производная от (5.1) равна нулю. Если в формуле (4.52) положить Р^…(х, f) = р (х, /), то получим выражение для скорости изменения массы гп

等=$"便, f)W = ［借十 p聂］dU = 0.(5.2)

VV

Поскольку это равенство верно для произвольного объема V, подинтегральное выражение само должно обращаться в нуль, т. е.

併+ ри^ = 0, или 备+ p(V・v) = 0.(5.3)

Это уравнение называется уравнением неразрывности (или непрерывности). Раскрывая оператор материальной производной, его можно написать в другой равнозначной форме

籌 + (р%)田=。или -J- + V • (pv) = 0.(5.4)

В несжимаемой среде плотность массы каждой частицы не зависит от времени, т. е. dp/dt = 0, п уравнение (5.3) принимает вид

Vk,k = 0, или div V = 0.(5.5)

Поле скорости v (х, /) в несжимаемой среде можно /юэтому представить выражением

q・=^ijkSkj. или у = V х s,(5.6)

где функция s (х, 0 называется векторным потенциалом v.

Уравнение неразрывности можно записывать в лагранжевой, или материальной, форме. Для сохранения массы требуется, чтобы

выполнялось уравнение

[ро (X, 0) d% = f р (х, /) dK(5.7)

v0v

Здесь оба интеграла взяты по одним и тем же частицам, т. е. V — это объем, который теперь занимает среда, заполнявшая в момент / = 0 объем %. Используя (4.1) и (4.38), интеграл в правой части (5.7) можно преобразовать следующим образом:

『Ро(X, 0)d% = f р(х(X, о, о JdV0 = j р(Х, 0 JdV0. (5.8) 认voVo

Соотношение (5.8) должно иметь силу для произвольно выбранного объема Уо» и поэтому

ро н Р，•(5.9)

Это означает, что произведение pJ не зависит от времени, так как объем V произволен, т. е. что

与(р»=о.(5.10)

Уравнение (5.10) является лагранжевой дифференциальной формой уравнения неразрывности.

5・2・ Теорема об изменении количества движения. Уравнения движения. Уравнения равновесия

(б.П)(б.П)На рис. 5.1 изображен движущийся объем сплошной среды У в момент 厶 На него действуют массовые силы с плотностью распределения 仇.На каждом бесконечно малом элементе dS поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем, действует вектор напряжения 41n. Во всей области, занятой средой, определено поле скоростей % = d%・!dt. Общее количество движения системы масс, заполняющих объем V, определяется интегралом '

(б.П)

(б.П)

Pi (/) = f P%d(z.V

Основываясь на втором законе Ньютона, теорема об изменении количества движения утверждает, что скорость изменения со

временем количества движения некоторой части континуума равна результирующей сил, действующих на рассматриваемую область '). Если внутренние силы, действующие между частицами данного объема (рис. 5.1), подчиняются третьему закону Ньютона о действии и противодействии, то теорема об изменении количества движения для этой системы масс выражается уравнением

"Nds+§p”v = £§pqdK, Sку

или(5.12)

『t侖dS + J pbdV =等 §pvd， SVV

После подстановки 6r° =华问 в первый интеграл и преобразования интеграла по поверхности в интеграл по объему (согласно теореме Гаусса —Остроградского) это уравнение примет вид

f W j + Р&) dV = -^г\ pqdy, VV

или(5.13)

f(vx • S + pb)dV = -^-JpvdV.

Vv

Распишем материальную производную правой части (5.13) и воспользуемся уравнением неразрывности в форме (5.10). Это даст / J pqdU =嘗 J PvtJdV0 =

-I卜，幣 + Р/鲁卜匕=［鲁PW. (5.14)

Подстановка этого вырам<ения в правую часть (5.13) и объединение членов приводят к интегральной форме теоремы об изменении количества движения:

f (%/ + Р“ 一 Р%・)dV == 0,

или(5.15)

f (Vx • S + pb — pv) dV = 0.

Теоремы об изменении количества движения и об изменении момента количества движения (см. стр. 183) фактически уже были использованы в гл. 2.— Прим, перев.

Так как объем V произволен, само подпнтегральное выражение (5.15) должно обращаться в нуль. Полученные таким образом уравнения

о*,/+р& = ра， ИЛИ Vx • 2 + рь = pv (5.16) называются уравнениями движения.

Для важного случая равновесия, когда отсутствуют ускорения, из (5.16) сразу получаются уравнения

%： ； + Р〃 е °， плп Vx • S + pb = 0.(5(17)

Оки называются уравнениями равновесия и широко используются в механике твердого тела.

Теорема об изменении момента количества движения

Будем предполагать, что момент количества движения для сплошной среды равен моменту вектора количества движения относительно какой-либо точки. Так, для части континуума, изображенной на рис. 5.1, полный момент количества движения относительно начала координат по определению равен интегралу

忆•(%) = f &2終館匕или N = f (х X pv) dU, (5.18)

где Xj — радиус-вектор элемента объема dV. Теорема об изменении момента количества движения утверждает, что скорость изменения момента количества движения произвольно выбранной части континуума относительно любой точки равна главному моменту (относительно той же точки) массовых и поверхностных сил, действующих на рассматриваемую область среды (более общая формулировка этой теоремы дапа в задаче 5.35). Для объема V сплошной среды можно написать уравнение момента количества движения в интегральной форме:

илиили，EijkXjt^dS +，eijkXjpbkdV = SV，EijkXjt^dS +，eijkXjpbkdV = SV备4“叫",备4“叫",У (х X t(n)) dS + § (x X pb) dV =备 f (x x pv) dv. sVVУ (х X t(n)) dS + § (x X pb) dV =备 f (x x pv) dv. sVV(Б.19)(Б.19)

или

или

，EijkXjt^dS +，eijkXjpbkdV = SV

，EijkXjt^dS +，eijkXjpbkdV = SV

备4“叫",

备4“叫",

У (х X t(n)) dS + § (x X pb) dV =备 f (x x pv) dv. sVV

У (х X t(n)) dS + § (x X pb) dV =备 f (x x pv) dv. sVV

(Б.19)

(Б.19)

Уравнение (5.19) справедливо для таких сред, в которых силы взаимодействия частиц равны по величине, коллинеарны и противоположны по направлению, а распределенные моменты отсутствуют.

Уравнение момента количества движения не всегда представляет собой новое дифференциальное уравнение. Если в (5.19) подставить 方尸)=ИрлПр и предположить симметрию тензора напряжений, то уравнение будет удовлетворено тождественно при учете только

соотношения (5.16). Если же симметрия тензора напряжений не предполагается заранее, то она получается как прямое следствие уравнения (5.19), которое после подстановки 禮=。〃片孔"сводится к виду

f ^ijk^jkdV = 0,илиf E°dP = 0.(5.20)

В силу произвольности объема V это ведет к равенствам

RijhGjh == °,ИЛИ工口 = 0,(5.21)

откуда видно, что и仇 =仃且广

Сохранение энергии. Первый закон термодинамики.

Уравнение энергии

Если изучаются только механические величины, то закон сохранения механической энергии для объема сплошной среды можно вывести непосредственно из уравнения движения (5.16). Чтобы сделать это, нужно сначала (5.16) скалярно умножить на вектор скорости q, а затем результат проинтегрировать по объему V. Таким образом,

f pv^^V = f v^jijdV + f pvfiidV.(5.22)

vvv

Интеграл

“0总w=伞，p"^W =备,^-w=-^~ (6.23) УVУ

представляет скорость изменения со временем кинетической энергии К объема V сплошной среды. Заметим, что qcr户,/ =(力。〃),/ — — SQi и, согласно (4.19), %/ = Dit + 匕『；если еще учесть, что V订и” = 0, то уравнение (5.22) можно записать в виде

醬 + J 0户户dU = f (v^)J dv + f pvfi.dV. (5.24) vуV

Наконец, преобразуя (по теореме Гаусса —Остроградского) первый интеграл в правой части (5.24) в интеграл по поверхности и используя тождество 《# = o/zn/, получаем уравнение механической энергии для сплошной среды

4г + f о,•何视=f v^dS +，pbiVidV. (5.25) VSV

Оно устанавливает связь между скоростью изменения полной механической энергии континуума, стоящей слева, и мощностью

(работой за единицу времени) поверхностных и массовых сил, которая стоит в правой части уравнения. Интеграл в левой части называется скоростью изменения внутренней механической энергии (эта величина со знаком минус называется также работой внутренних поверхностных сил в единицу времени). Тогда (5.25)

(5.26)(5.26)можно записать короче:

(5.26)

(5.26)

7r 十 k = -ST，

где —8P/dt и 6 Wldt — соответственно мощность внутренних и внешних сил, а символ 6 указывает, что соответствующее приращение в общем случае не является точным дифференциалом какой-либо функции.

Если, кроме механической, следует учитывать и другие виды энергии, то закон сохранения энергии должен использоваться в самой общей своей форме. В такой форме этот закон утверждает, что скорость изменения со временем кинетической плюс внутренней энергии равна сумме механической работы внешних сил, совершаемой s единицу времени, и притока прочих видов энергии за единицу времени. Приток энергии может включать в себя тепловую, химическую, электромагнитную энергию н т. д. В дальнейшем будем рассматривать только механическую и тепловую энергии, а уравнением энергии будет знаменитый первый закон термодинамики.

Для термомеханического континуума скорость изменения внутренней энергии U обычно представляют интегралом

署尸募m"川=卜如，(5.27)

где и называют удельной внутренней энергией. (Символ и для удельной внутренней энергии столь прочно установился в литературе, что и мы будем пользоваться им в уравнении энергии этой главы; вероятность же того, что он будет спутан с символом абсолютной величины вектора перемещения 修，очень мала.) Пусть вектор & характеризует поток тепла через единицу площади в единицу времени за счет теплопроводности, и пусть z — постоянная теплового излучения на единицу массы в единицу времени. Тогда скорость притока тепла к среде выражается суммой

专_ = _ § Cini(iS + , pzd 匕(5.28)

Закон изменения энергии термомеханического континуума записывается уравнением

■^十等=普十导，(5・29)

или (при представлении всех величин интегралами)

=J 個％±dS + J ри也“ + f pzdV — / c^dS. (5.30)

Преобразуя здесь интегралы по поверхности в интегралы по объему (теорема Гаусса—Остроградского) и снова используя произвольность объема V, приходим к локальной форме уравнения энергии: '

Внутри произвольного малого элемента объема, для которого справедливо локальное уравнение энергии (5.31), должно также быть выполнено п уравнение количества движения (5.16). Возьмем скалярное произведение уравнения (5.16) и вектора скорости: p〃s = 5《必 +Р4也,проделаем с ним некоторые простые преобразования, а затем вычтем его из (5.31). В результате получим более короткую, но крайне полезною форму записи локального уравнения энергии

号"=十 atQii^~ 3工 + 2，(5.32)

Это уравнение утверждает, что скорость изменения внутренней энергии равна сумме 'мощности напряжений плюс приток тепла к среде.

Уравнения состояния. Энтропия.

Второй закон термодинамики

Задать состояние термодинамической системы (в нашем случае континуума) это значит полностью охарактеризовать систему. Это описание в общем случае определяется несколькими термодинамическими it кинематическими величинами, которые называются параметрами состояния. Если параметры состояния изменяются со временем, то происходит термодинамический процесс. Параметры состояния, используемые для характеристики дайной системы, обычно не все независимы: между ними существуют функциональные связи, которые выражаются так называемыми уравнениями состояния. Любой параметр состояния, который можно представить однозначной функцией других параметров состояния, называется функцией состояния.

Как было установлено в предыдущем параграфе, первый закон термодинамичи постулирует взаимный переход механической и тепловой энергии одной в другую. Соотношение, выражающее переход тепла и работы в кинетическую и внутреннюю энергии во время термодинамического процесса, заключено в уравнении энергии. Однако первый закон оставляет без ответа вопрос, является ли этот переход обратимым или необратимым. Все реальные процессы необратимы, но обратимые процессы представляют очень полезную идеализацию, так как во многих ситуациях диссипацию энергии можно считать пренебрежимо малой. Основной критерий необратимости содержится во втором законе термодинамики, который устанавливает некоторые ограничения на производство энтропии.

Второй закон термодинамики постулирует существование двух различных функций состояния ——абсолютной температуры Т и энтропии S, свойства которых будут указаны ниже. Абсолютная температура Т — положительная величина, которая является функцией только эмпирической температуры 0. Считаем, что энтропия обладает свойством аддитивности, т. е. что полная энтропия системы равна сумме энтропий ее частей. В механике сплошной среды вводят удельную энтропию (на единицу массы), или плотность энтропии s, так что полная энтропия S равна интегралу У psdK Энтропия системы может меняться либо из-за взаимодействия с окружающей средой, либо за счет изменений, которые происходят внутри самой системы; поэтому можно написать

由一加0十由、 (5.33) где ds ——приращение удельной энтропии, ds® ——приращение, вызванное взаимодействием с внешней средой, a ds'"——внутреннее изменение. Приращение d^ никогда не бывает отрицательным. Оно равно нулю при обратимых процессах и положительно при необратимых. Таким образом,

ds^ > 0 (при необратимых процессах), (5.34)

虑⑵=0 (при обратимых процессах). (5.35) Если при обратимом процессе обозначить приток тепла на единицу массы системы через dq{^ то изменение ds⑻ выразится формулой

ds“)= dq^/T (при обратимых процессах). (5.36)

Неравенство Клаузиуса — Дюгема.

Диссипативная функция

Согласно второму закону термодинамики, скорость изменения полной энтропии S сплошной среды, занимающей объем V, никогда не может быть меньше, чем сумма притока энтропии через границу

объема и энтропии, производимой внутри объема внешними источниками. Математически этот закон изменения энтропии выражается в интегральной форме в виде неравенства Клаузиуса —— Дюгема

dd等~dS,等~dS,(5.37)(5.37)УУvvSS

d

d

等~dS,

等~dS,

(5.37)

(5.37)

У

У

v

v

S

S

где е — мощность локальных внешних источников энтропии, отнесенная к единице массы. Равенство в формуле (5.37) осуществляется для обратимых процессов; неравенство относится к процессам необратимым.

Неравенство Клаузиуса—Дюгема верно при произвольном выборе объема V, так что, преобразуя в формуле (5.37) интеграл по поверхности в интеграл по объему, прежним методом приходим к локальной форме соотношения для скорости внутреннего производства энтропии у; отнесенной к единице массы:

十(制产0. (5.38)

Это неравенство должно удовлетворяться при каждом процессе и при любом выборе параметров состояния. По этой причине оно играет важную роль, накладывая известные ограничения на так называемые определяющие уравнения, которые будут обсуждаться в следующем параграфе.

В механике сплошной среды часто предполагают (основываясь на статистической механике необратимых процессов), что тензор напряжений можно разложить на две части:

切=d？+0伊， (5.39)

где а^——тензор консервативных напряжений, а 喈，——тензор диссипативных напряжений. При этом предположении уравнение энергии (5.32) можно переписать с учетом (4.25) в виде

今"=—-附应/+ +昭白,+嚼"• (5.40)

В этом уравнении (1/р)。岸%仃 представляет собой скорость диссипации энергии в единице массы напряжениями } a dq/dt—скорость притока тепла к среде на единицу массы. Если в среде проис-

Так поступают, например, при изучении движения вязкой жидкости, когда напряжения представляют в виде суммы давления и вязких напряжений. В теории пластичности, наоборот, раскладывают деформации на «обратимые» упругие 啮)и «необратимые» пластические 唠)и скорость диссипации энергии представляют в виде (l/p)s声伊；см., например: Седов Л. И., Механика сплошной среды, т. II, гл. X, § 3, «Наука», пзд. 2, М・，1973.— Прим* ped.

ходит обратимый процесс, то диссипации энергии не будет; к тому же dqldt = d%R)/df, так что, комбинируя (5 40) и (5.36), получаем

黑=十/%十 Т备黑=十/%十 Т备(5.41)(5.41)

黑=十/%十 Т备

黑=十/%十 Т备

(5.41)

(5.41)

Для необратимых процессов, которые описываются уравнением (5.40), скорость производства энтропии можно найти из уравнения (5.41)1J. Таким образом,

备=4•备十讶。四. (5.42)

Скаляр ст岸％行 называется диссипативной функцией. Для необратимых адиабатических процессов (dg = 0), согласно второму закону термодинамики, ds/df >0. Тогда из (5.42) следует, что диссипативная функция является положительно определенной, так как и р, it Т всегда положительны.

Определяющие уравнения.

Термомеханический и механический континуумы

В предыдущих параграфах этой главы было выведено несколько уравнений, которые должны выполняться для Ьсех процессов или движений, какие могут происходить в сплошной среде. Для термомеханической среды, где механические и тепловые явления взаимо- связанц, основными уравнениями будут следующие:

уравнение неразрывности (5.4)

备 + (Р。山=°，или* 十 V • (pv) = 0;(5.43)

уравнения движения (5.16)

5t.i + р& = рЬ0 илиVx •工 + pb = pv;(5.44)

уравнение энергии (5.32)

■jP = ~ diDij— G,I + 2, или -^- = — 2：D-^-pV • c + z.

(5.45)

При предположении, что массовые силы 仇 и распределенные источники тепла z заданы, уравнения (5.43), (5.44) и (5.45) составляют систему пяти независимых уравнений, содержащих четырнадцать неизвестных функций координат и времени. Неизвестными являются: плотность р, три компоненты скорости и【(или, что равно-

При этом делается существенное предположение, что (5.41) выполняется также и при необратимых процессах. В термодинамике (5.41) иосит название тождества Гиббса.— Прим. ред.

сильно, компоненты перемещения и£), шесть независимых компонент напряжения ст”, три компоненты вектора потока тепла с£ и плотность внутренней энергии и, В дополнение к этому должно быть выполнено неравенство Клаузиуса — Дюгема (5.38)

备 一е 一己中)/》。, (5.46)

предписывающее положительноегь производства энтропии. Оно добавляет еще две неизвестные ——плотность энтропии s и абсолютную температуру Т. Значит, чтобы сделать систему замкнутой, нужно' изыскать дополнительно еще одиннадцать уравнений. Шесть из них известны как определяющие уравнения, которые характеризуют частные физические свойства изучаемой среды. Из остальных пяти три будут соотношениями для задания закона теплопроводности, а два ——термодинамическим и уравнениями состояния; например, калорическое уравнение состояния и уравнение для энтропии. Характерная формулировка задачи для термомеханического континуума будет дана в следующей главе.

Следует отметить, что назначение определяющих уравнений состоит в том, чтобы установить математические соотношения ыежду статическими, кинематическими и термодинамическими параметрами, описывающими поведение материала при наличии механических и термодинамических воздействий. Так как реальные среды реагируют на различные нагрузки крайне сложным образом, определяющие уравнения не пытаются отразить все наблюдаемые явления, связанные с конкретным материалом, а скорее служат для того, чтобы ввести некоторые идеализированные среды, такие, например, как идеально упругое тело или идеальная жидкость. Такне идеализации, или, как они иногда называются, модели сред, очень полезны тем, что они разумно отражают поведение реальных сред в определенном интервале нагрузок и температур.

Во многих ситуациях взаимодействием механических и термодинамических процессов можно пренебречь; исследованием такого типа является, например, теория несвязанной термоу пр у гост и. В этом случае чисто механические процессы описываются уравнениями (5.43) и (5.44). Система уравнений, образованная (5.43) и (5.44), состоит из четырех уравнений с десятью неизвестными. Нужны еще шесть определяющих уравнений, чтобы сделать систему замкнутой. В несвязанной теории, где не учитывается взаимодействие механических и тепловых процессов, определяющие уравнения содержат только динамические (напряжения) и кинематические (скорости, перемещения, деформации) параметры и часто представляют собой соотношения между напряжениями и деформациями. Кроме того, в такой теории поле температур обычно считается известным или, быть может, задача теплопроводности решается отдельно н незавп-

симо от механической задачи. При изотерм и ческих процессах температура предполагается постоянной и задача является чисто механической.

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

Уравнение неразрывности (§ 5.1)

5.1. В гл. 4 описано безвихревое движение, для которого вектор вихря скорости тождественно равен нулю. Найти вид уравнения неразрывности для такого движения.

Согласно (4.29), rot v = 0, если q = О, и, следовательно, v становится градиентом скалярного поля ф (#〃 £); см. задачу 1.50. Таким образом, v( =(р,( и уравнение неразрывности (5.3) имеет вид dp/df + р(р& = 0, или dp/df + pv2<p ~。・

5・2・ Пусть функция Р：；…(х, /) представляет любую скалярную, векторную или тензорную величину, отнесенную к единице массы сплошной среды, так что Р；/…(х, /) = рР^„ (х, 0- Показать, что

dtdt%-. (х, £) dU = ) р

dt

dt

VV

По формуле (4.52)

dV = уТ1PdV = уТ1P竽+%.竽+%.+ Р+ Р*[р 学i*[р 学i

dV = у

Т1P

dV = у

Т1P

竽+%.

竽+%.

+ Р

+ Р

*[р 学i

*[р 学i

так как, согласно (5.3), dp/df 十 р% 尼=0.

5・3・ Доказать, что лагранжева форма d(pJ)/dt = 0 уравнения неразрывности и эйлерова его форма dp/df + р办$ = 0 эквивалентны.

Выполним дифференцирование d (pJ)/dt = (dp/df) J + pdJ/df = 0 и воспользуемся результатом задачи 4.28 d〃df =/%片 Это дает d (^J)ldt =^ J (dp/dt + + P% 田)=°-

Показать, что поле скоростей ⑺ = Дх£/г3, где xzx( = га и Л —произвольная константа, удовлетворяет уравнению неразрывности несжимаемой жидкости.

Согласно (5.5),гДля несжимаемой жидкости vk^ = 0. В нашем случае vi,k ^4(也"Г3 - 3看修/产)=a (5爲"3 - 3制//門； счедовательно, vk k = (3 — 3) /г3 = 0 и уравнение неразрывности несжимаемой жидкости удовлетворяется.

Для поля скоростей vt = xt/(l 十 /) показать, что рхгх2х3 = =РоХ^.Хз.

В этом случае 玖 尼=3；(1十/) и-, проинтегрировав (5.3), получаем In р = =——In (1 + О3 + In С, где С ——постоянная интегрирования. Так как р = р0' при f = 0, это равенство принимает вид р = р0/(1 + i)3. Далее, интегрируя уравнения d%f/& = df/(l + £) (суммирование по i не проводится), находим jq = =Х"(1 + 0» откуда р/%2%з = Ро^1^2^3-

Количество движения и момент количества движения. Уравнения движения (§ 5.2—5.3)

Непосредственным расписыванием обеих частей доказать справедливость тождества &用％g =儿 использованного в формулах (5.20) и (5.21).

Согласно (1.15) и (2.8), л лА 八л л人 ^

4 =。“5 二 G + 525 Хе2 + 013仃 X е3+ •一 + о33е3 X е3 =

(023 -032)ё1 + (°31 -013)ea + 912 -021)e3-

Раскрывая £叮舟* приходим к тем же выражениям: о?? —а32 при i = 1, о31 — —5з ПР" г = 2, 62 — 021 при / = 3.

5・7・ Пусть на континуум действуют распределенные массовые моменты (nij на единицу объема). Доказать» что уравнения (5.16) остаются в силе, но тензор напряжений нельзя больше считать симметричным.

Уравнения (5.16) получены из условия равновесия сил, поэтому наличие моментов на них не влияет. Однако в (5.19) появляются дополнительные члены, так что

糸 j 4jkKi^kdV = j e^Xjt^dS + § (e4kxjPbk + m?) dV.

Это можно свести к равенствуЭто можно свести к равенствуl^ii^jk+m^dv =l^ii^jk+m^dv =0 (см.задачу 2.9),0 (см.задачу 2.9),произвольности объема V в данном случае будет выполняться 岗户用+助=0.произвольности объема V в данном случае будет выполняться 岗户用+助=0.и вследствиесоотношениеи вследствиесоотношение

Это можно свести к равенству

Это можно свести к равенству

l^ii^jk+m^dv =

l^ii^jk+m^dv =

0 (см.задачу 2.9),

0 (см.задачу 2.9),

произвольности объема V в данном случае будет выполняться 岗户用+助=0.

произвольности объема V в данном случае будет выполняться 岗户用+助=0.

и вследствие

соотношение

и вследствие

соотношение

Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме (так называемой локальной форме, или «в малом») выражается уравнением д (pv)/dt = р" + (сг〃 ——ps%"・ Доказать, что уравнения движения (5.16) следуют из этого уравнения.

Выполняя указанное дифференцирование и перегруппировывая члены, получаем

S (Op/df + p/Dj + ри" + р (dvi/dt + VjVif^ = р瓦 + o£Af.

Первый член в левой части равен нулю, согласно (5.4), а второй член равен ра〃 Таким образом, ра^ = р% + %」，что совпадает с (5,16).

Показать, каким образом уравнение (5.19) сводится к форме (5.20).

Подставим в (5.19) для 贵)выражение ^р^р и применим теорему Гаусса — Остроградского (1.157) к получившемуся интегралу по поверхности:

j %% l^pk^.p + 巧・Р垣]dl/ =备 J е泳р (巧“)dV.

Используя результат задачи 5.2 и выполняя дифференцирование, приводим это уравнение к виду

§ eijk {与加泌 + xi ^pk,p + p玩-而&] - P。/”} dv = °- V

Сумма членов в квадратных скобках равна нулю в силу (5.16); кроме того, лу炉— =6/卩 н ^qkVjVk = 0, так что окончательно получаем J %拉°/ dV = 0.

При движении абсолютно твердого тела с неподвижной точкой поле скоростей имеет вид g = ^^^. Доказать, что для такого движения уравнение (5.19) сводится к известному уравнению моментов динамики твердого тела.

Слева в уравнении (5.19) стоит полный момент 他 всех поверхностных и массовых сил относительно начала отсчета. При & =因駆科艮 это уравнение преобразуется следующим образом:

的=胃-§ %・//p“0严口局diz = + § ЗрР (6,力6府—I&Q XjXqdV =

W®心W®心=-4-, P ©ipX/q — XpXi) dV =

W®心

W®心

гдегдеIip — J p 包pXqXq — xpX()dV — тензор моментов инерции.

где

где

Энергия. Энтропия. Диссипативная функция (§ 5.4—5.6)

5*11. Доказать, что для движения абсолютно твердого тела с полем скоростей vc = £订殷^乂冗 интеграл кинетической энергии (5.23) сводится к аналогичному выражению из динамики твердого тела.

=W j р8卩е, (6,о6^д - 6科3 冲X科=

=J р ^j(fXqXQ _ x/力 dv = ―^- или в символической записи К = (з • I • з)/2.

7 Дж Ме*з

В некоторой точке сплошной среды даны тензоры скоростей деформации и напряжений

164、/40—1

% = (632 )и % =(0—27

\425/\—178

Определить в этой точке величину 厶 мощности напряжений D^《屮

Умножая каждый элемент Q^ на соответствующий элемент тензора 。仃 и складывая, получаем 九=4十0 — 4 + 0 — 6 + 14 — 4十 14 + 40 = 58.

Пусть。〃 = —р6〃； показать, что мощность напряжений можно представить выражением D^^ = ———~t

По (4.19) Оц = %/——V(/, а так как 匕尸“ =0, то Dgj = v^ L р&»= =—吗九 Из уравнения неразрывности (5.3) мы имеем 〃> ^ =—(1/р) (dp/d/)e Таким образом, окончательно получаем Dgj = (р/р) (dp/d£) при。讶=——夕6炉.

Найти вид уравнения энергии при условии, что в^ = =(—р + 2DQ 6£；十 2卩*/)订、а теплопроводность подчиняется закону Фурье ①=—kT4.

Из (5.32)

р号-=(一p+人*D城)6ud订+ 2r*D订D订+kT u + г =

=-^ 华 + 仇* + 2n*)(ь)? - '1*4 + "，" + г,

где ID и 1ID — соответственно первый и второй инварианты тензора скоростей деформации.

Пусть 。疗 = ——рб订•• Написать уравнение для скорости изменения удельной энтропии при обратимом термодинамическом

процессе.

В этом случае иц = о^} и уравнение (5.41) с учетом результата задачи

Р dp斎万Р dp斎万一 ° 丁 ds d〃

Р dp斎万

Р dp斎万

напряжений 喈)= выразить ее черезнапряжений 喈)= выразить ее через5.13 дает f = F

напряжений 喈)= выразить ее через

напряжений 喈)= выразить ее через

Задана диссипативная часть тензора =0£)/О% Найти диссипативную функцию и инварианты тензора скоростей деформации D.

По формуле (4.25) a^FZy = pDikDklDip что является следом матрицы D3 (см. § 1.15) и может быть записано через главные значения D⑴,。⑵，°(з】・ Согласно (1.138), след матрицы равен

DijDikDkj = Q；i)+ Q；2)十。^)=(°⑴十。⑵十 Аз))'—

—3 (D⑴十Q⑵十Q⑶)(Q⑴。⑵十Q(2)Q《3)+。⑶Q"))+ 3。⑴Qq)Q《3)・ Отсюда пол^ чпм 0?%" ~ Р По — 3IDIID + 3IHD|.

Определяющие уравнения （§ 5.7）

Пусть определяющие уравнения имеют вид 口计= = KtipqDpq。Доказать, что из-за симметрии тензоров напряжений и скоростей деформации тензор четвертого ранга КцРЯ имеет не более 36 независимых компонент. Записать эти компоненты в виде матрицы шестого порядка.

^1111К1122《1133K1123^1131^1112К2211“2222《2233《2223K223I^2212Ktipq =К3311К2311К3322人2322К3333К2333《3323^2323К3331 к2331K33I2 ^2312К3111К3122《3133《3123^3131K3112—К1211К1222Kl233К1223К1231^1111К1122《1133K1123^1131^1112К2211“2222《2233《2223K223I^2212Ktipq =К3311К2311К3322人2322К3333К2333《3323^2323К3331 к2331K33I2 ^2312К3111К3122《3133《3123^3131K3112—К1211К1222Kl233К1223К1231Так как oz/ = ад, то 长步夕=КцР^ кроме того, Ktjpq = Kt* поскольку Dij—Dji. Подобно внешнему произведению двух симметричных тензоров 力订 и Вф имеющих по шесть независимых компонент, тензор Kijpq будет иметь не более 36 различных компонент.Обычно принято располагать компоненты КцРд следующим образом:Так как oz/ = ад, то 长步夕=КцР^ кроме того, Ktjpq = Kt* поскольку Dij—Dji. Подобно внешнему произведению двух симметричных тензоров 力订 и Вф имеющих по шесть независимых компонент, тензор Kijpq будет иметь не более 36 различных компонент.Обычно принято располагать компоненты КцРд следующим образом:что среда,что среда,5.18. Если предположить,5.18. Если предположить,уравнения 。丐=KijpqDpq задачи 5.17,уравнения 。丐=KijpqDpq задачи 5.17,имеющая определяющиеимеющая определяющиеявляется изотропной^ так что тензор Км имеет одинаковые компоненты в любой орто-является изотропной^ так что тензор Км имеет одинаковые компоненты в любой орто-гональнои декартовой системе коорди -гональнои декартовой системе коорди -нат, то циклическим переименованием осей координат 36 независимых компонент тензора Ktg можно сократить до двух. Показать это.Координатные направления можно переобозначить шестью различными способами （рис. 5.2）. Для изотропии требуется, чтобы К1122 = К1133 = =К2233 ~ К2211 = К3311 ~ К3322 И К1212 — =K13I3 二 Кг32з = К2121 = K3131 — Кз232・ Зто ведет к тому, что от 36 компонент остается 26. Соответствующими отражениями и поворотами осей координат эти 26 компонент в случае изотропии могут быть сведены к двум.нат, то циклическим переименованием осей координат 36 независимых компонент тензора Ktg можно сократить до двух. Показать это.Координатные направления можно переобозначить шестью различными способами （рис. 5.2）. Для изотропии требуется, чтобы К1122 = К1133 = =К2233 ~ К2211 = К3311 ~ К3322 И К1212 — =K13I3 二 Кг32з = К2121 = K3131 — Кз232・ Зто ведет к тому, что от 36 компонент остается 26. Соответствующими отражениями и поворотами осей координат эти 26 компонент в случае изотропии могут быть сведены к двум.х3 или %2 ^ %и & х2 UKU ^х3 или %2 ^ %и & х2 UKU ^х2 или gх3 или 叫 или &х2 или gх3 или 叫 или &

^1111

К1122

《1133

K1123

^1131

^1112

К2211

“2222

《2233

《2223

K223I

^2212

Ktipq =

К3311

К2311

К3322

人2322

К3333

К2333

《3323

^2323

К3331 к2331

K33I2 ^2312

К3111

К3122

《3133

《3123

^3131

K3112

—К1211

К1222

Kl233

К1223

К1231

^1111

К1122

《1133

K1123

^1131

^1112

К2211

“2222

《2233

《2223

K223I

^2212

Ktipq =

К3311

К2311

К3322

人2322

К3333

К2333

《3323

^2323

К3331 к2331

K33I2 ^2312

К3111

К3122

《3133

《3123

^3131

K3112

—К1211

К1222

Kl233

К1223

К1231

Так как oz/ = ад, то 长步夕=КцР^ кроме того, Ktjpq = Kt* поскольку Dij—Dji. Подобно внешнему произведению двух симметричных тензоров 力订 и Вф имеющих по шесть независимых компонент, тензор Kijpq будет иметь не более 36 различных компонент.

Обычно принято располагать компоненты КцРд следующим образом:

Так как oz/ = ад, то 长步夕=КцР^ кроме того, Ktjpq = Kt* поскольку Dij—Dji. Подобно внешнему произведению двух симметричных тензоров 力订 и Вф имеющих по шесть независимых компонент, тензор Kijpq будет иметь не более 36 различных компонент.

Обычно принято располагать компоненты КцРд следующим образом:

что среда,

что среда,

5.18. Если предположить,

5.18. Если предположить,

уравнения 。丐=KijpqDpq задачи 5.17,

уравнения 。丐=KijpqDpq задачи 5.17,

имеющая определяющие

имеющая определяющие

является изотропной^ так что тензор Км имеет одинаковые компоненты в любой орто-

является изотропной^ так что тензор Км имеет одинаковые компоненты в любой орто-

гональнои декартовой системе коорди -

гональнои декартовой системе коорди -

нат, то циклическим переименованием осей координат 36 независимых компонент тензора Ktg можно сократить до двух. Показать это.

Координатные направления можно переобозначить шестью различными способами （рис. 5.2）. Для изотропии требуется, чтобы К1122 = К1133 = =К2233 ~ К2211 = К3311 ~ К3322 И К1212 — =K13I3 二 Кг32з = К2121 = K3131 — Кз232・ Зто ведет к тому, что от 36 компонент остается 26. Соответствующими отражениями и поворотами осей координат эти 26 компонент в случае изотропии могут быть сведены к двум.

нат, то циклическим переименованием осей координат 36 независимых компонент тензора Ktg можно сократить до двух. Показать это.

Координатные направления можно переобозначить шестью различными способами （рис. 5.2）. Для изотропии требуется, чтобы К1122 = К1133 = =К2233 ~ К2211 = К3311 ~ К3322 И К1212 — =K13I3 二 Кг32з = К2121 = K3131 — Кз232・ Зто ведет к тому, что от 36 компонент остается 26. Соответствующими отражениями и поворотами осей координат эти 26 компонент в случае изотропии могут быть сведены к двум.

х3 или %2 ^ %и & х2 UKU ^

х3 или %2 ^ %и & х2 UKU ^

х2 или g

х3 или 叫 или &

х2 или g

х3 или 叫 или &

Для изотропной среды компоненты тензора Kfjg могут быть представлейы в виде KifPq =厶*G也0 + 卩* （心勘夕 + 6t-96/p）. Использовать это выражение и записать определяющие уравнения ст“ = = KigDpq через 厶* и

5•/ =九喩倉尹財 + м*©/% + %%） DpQ =

=九*M・D配+卩* （Q订十Q&）=紡加jDpp + 2^Dih

Доказать, что определяющие уравнения задачи 5.19 можно разбить на две группы ait = （3V + 2卩*）。仪 и &/ = 2卩*£）；〃

где S/ и Иц ——девиаторы тензоров напряжений и скоростей дефор - мации соответственно.

Подставим и” = s行十 也户总"3 и Оц = О^ + ^цО^/^ в выражение 氏/ = =入*6行。在也 + 2卩*Qi/ задачи 5.19. Получим следующее равенство: Sf；十 &户尼在/§ == =九*6ьQ在在+ 2卩* (Q：j + 6"7)在点/3). Из него видно, что если t # j, то s行 = 2n*Q力 и, следовательно, “在=(ЗА* 十 2卩*) Q^.

Смешанные задачи

Доказать, Что 备(号)=(电"爆j+分也力/p，где Р - плотность, & — ускорение и 仇 一 вектор завихренности.

Непосредственным дифференцированием найдем

Но 仇=立/。也/十 ％0,『一qiv.J (см. задачу 4.32), а из уравнения неразрывности

следует, что р = —р%. Окончательно получаем

Дано плоское течение несжимаемой жидкости г\ = =/(总一廟"* S = A^x^lr^, v3 = 0, где r2 = %? + xi Доказать, что такое поле скоростей удовлетворяет уравнению неразрывности.

Для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности имеет ввд (5.5) v^ (-= =0. В данном случае 口【」= Л [— 4zi (z! 一息)，+ 2*/4] и и22 ={整修//4 - --8%1%^/Г6]. Складывая, получаем е七 1 + v2(2 = 0.

Доказать, что поле скоростей задачи 5.22 является безвихревым.

Для безвихревого течения в соответствии с (4.29) необходимо выполнение условия rot V = 0. Проверяем и видим, что в данном случае

е1е2е3

rot V = d/d修 д/дх2 д/дх3 =

Л (х:-磅//4 24/工2”0

=Л [2z2/r4 - 8xfz2/r6 + 2%2/尸 + % 赭一卷/門 G = °，

Имеется плоский поток несжимаемой жидкости, в котором и】=—Ах2/г2, где /*2 =尤;+ xt Найти во всем потоке компоненту и?，если 己2 = ° при xL = 0 для всех значений х2- Показать, что движение безвихревое, а линии тока — окружности.

Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости (5.5) v{ i = 0 в данном случае дает %【=——v2 2 = 2Ax工xzl. Интегрируя его по za и налагая упомянутые условия на 跑，находим s =力xi/戸.一

Для безвихревого движения нужно, чтобы rot v = 0. У нас

rot V = Л [(zf -名)/戸+(-尤;十彩)們爲=0.

В задаче 4.7 выведены уравнения линий тока dxi/vi = dxzlv2. Для данного поля скоростей они имеют вид xidzi 十 Xadxa = 0, что после интегрирования дает уравнения окружностей 域 + *^ = const.

Определяющие уравнения для некоторой среды имеют вид 5/ = (— р + 入*DQ 6i, + 2^Diiy где X* и ji* — постоянные. Написать уравнения движения, выраженные через вектор скорости %

Уравнения движения (5.16) Р& = Р仇十 c^/j в этом случае имеют форму р 成=р 勿一Q 6ц 十 2D處戸и + 2卩* 口叮① По определению 2Q“ = % 十 + d〃/ак q芯Q^ = %由，力牙)=也方+ %炉поэтому ’

р 济=р% — pj + (A* + /*)%•/ + 卩*%户

Это уравнение можно записать в символических обозначениях pv = pb — Vp + (Л* + 卩*) V (V ■ v) + 卩*V2V

Вычислить материальную скорость изменения кинетической энергии среды, занимающей объем V, и объяснить физический смысл полученных интегралов.

поверхностных сил (вповерхностных сил (вСогласно (5.23), dK/或=]卩口此&匕 Работа внешних

поверхностных сил (в

поверхностных сил (в

единицу времени) равна j v^dS, что можно записать иначе: j vetjrijdS. При- SS

меним к этому интегралу теорему Гаусса—Остроградского (1.157) и воспользу

емся уравнением движения (5.16) Тогда f 切6产/fS =，叨％产卜 + J р (〃血一

dKdK—&iVf) dV. Отсюда получим

dK

dK

=f р瓦Sdiz — f SjSjdP + У V[t^dS.

у

Интегралы этой суммы представляют мощность массовых сил, внутренних поверхностных сил и внешних поверхностных сил соответственно.

В несжимаемой среде, для которой 喈 =厶*£\步〃 + + 2P^£)i〃 происходит безвихревое движение с потенциалом скоростей ф, так что V = grad ф. Найти диссипативную функцию

Так как для несжимаемой жидкости D^ = vft ft = 0, то в данном случае 吧务=嘴)％ =(炉D在肉+ 2卩*%) % = 2卩*%%. Кроме того,з=①必и, следовательно, скаляр %D“ =山/中,中 а поэтому 喈)% = 2卩绚 旷屮 炉

Из-за того что среда несжимаемая, а движение безвихревое, выполняются соотношения(р,“-0 и 2(р内①内=(中/中工)山=V2 (V(p)2.

Интересно отметить также, что

V& (0) = (<₽<₽).“•" = 2 (%勿屮 + 4<Р.切山 + «₽.,•£<₽,/,• + 2<p,0<p,f/).

Это выражение при ф ц = 0 сводится к 《①叮中^广 Тогда окончательно находим о,，”, = p,*V2 (V(p)2 = |i*V4 (ф2)/2.

Для среды, в которой и“ =——рб,/, вводится понятие удельной энтальпии h — и + р/р. Доказать, что, используя это понятие, можно записать уравнение энергии в виде А = р/р + Ts.

Уравнение энергии (5.41) при данном законе напряжений имеет вид 〃 = =—рд^О^/р + Ts. Воспользуемся результатом задачи 5.13 и определением 厶. Тогда й — А — р/р —卩р/р2 = 一 рр/р? + Ts. Сокращая одинаковые члены, находим Л = р/р + Ts.

5・29・ Пусть среда задачи 5.25' движется как несжимаемая. Написать уравнения движения, выраженные через вектор завихренности q при условии отсутствия массовых сил и постоянства плотности.

В случае несжимаемости у • v = 0* При b = 0 уравнение движения задачи 5.25 примет форму р^ = —Pj 十卩*气犷 Умножая векторно оператор ? на это уравнение, при р = const получаем 生鹏；“=—生拙总加 + _(ц*/р) %炉 vl jjq. Но 生0歩附=0, поэтому, учитывая (4.29), можно написать 为=(卩*/р) 9力，или в символических обозначениях dq/df =(卩*/р) Wq.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

d~p 丿_d~p 丿_Доказать, что для вектора вихря скорости Q верна формула

d~p 丿_

d~p 丿_

Q (V • V), 1 dC

0 -p—+丁 丁.

Доказать, что течение с полем скоростей vx =——2z1z2^3/r4,卩之=(尤;一 —名)尤3〃3 内 n 尤2/产，где 产=尤；十名 удовлетворяет условию несжимаемости. Будет ли это течение безвихревым?

Уравнение неразрывности в декартовых координатах %, у, 2 выглядит так?

dp/df + d (p%)/dx + d (p®/dg 十 d (p%)/dz = 0.

Доказать, что в цилиндрических координатах г, 0, 2 оно примет вид

г (dp/df) + d (rp〃r)/dr + d (pue)/dO 十 r (d (puj/dz) = 0.

Доказать, что течение с полем скоростей t> = (1 —г2) cos 0/г2, % = =(1 + 产)sin®"% 以=° удовлетворяет уравнению неразрывности в цилиндрических координатах, если плотность р —— константа.

Доказать, что для любой скалярной, векторной или тензорной величины Р^ (х, 0 имеет место равенство

，Р".・.％产。dS = §十 рР〃・...位,-bp)l dv-

Если в среде, кроме массовых сил Ь, действуют еще массовые моменты h (на единицу массы), а, кроме напряжелнй t(n\ еще пары напряжений g(n), то уравнение моментов количества движения может быть записано в виде

-A. j р (т +-х X V)dV = j (h + х X b) dl/ + j (g侖 + х X t&)) dS, V V s

где m ——распределенный момент количества движения на единицу массы. Доказать, что если n -G = g(? то локальная форма этого уравнения такова: pdm/df = =h 十？ • G + 4・

Среда задана своими определяющими уравнениями и〃 = — p6t/ 十 十 P^i/ + aDtkDkj. Показать, что。〃 = 3 (—р — 2a IID /3). Допустить при этом несжимаемость Qq = 0.

Доказать, что для среды, в которой。仃=—卩&” соотношение (5.41) принимает вид d〃 ~ Тds — pdv. (В этой задаче использовано обозначение v = =1/р — удельный объем.)

Пусть Tds/dt =— = -^-. Удельной свободной энергией по"Ъпре*

делению называется величина 屮=и — Ts. Доказать, что уравнение энергии можно записать в виде pd^/dt + psdT/dt = ^ijD[j.

Имеется термомеханический континуум с определяющими уравнениями

0// =九 j/Д了十 2n%.一(3九十 2Р.) a0" (7 - TJ

где Го — температура начального состояния. Доказать, что 班女=За (Т — То), если 办走=0.-

Глава 6

Линейная теория упругости

Обобщенный закон Гука. Функция энергии деформации

В классической линейной теории упругости предполагается, что сами смещения и их градиенты настолько малы, что можно не делать различия между их лагранжевым и эйлеровым представлениями. В соответствии с этим выражение тензора линейных деформаций через вектор перемещения 〃( может быть записано в следующих эквивалентных формах:

力工旳=4-(需+需)=4"(器+符)=4-他j+"")，

(6.1) или

L = Е = $ (uV x + V xU) = -^- (uV x + V xu)=扌(uV + V u).

В дальнейшем будем, кроме того, пренебрегать тепловыми эффектами, сопровождающими деформирование, если специально не оговаривается противное.

Для линейного упругого тела определяющие уравнения связывают тензор напряжений и тензор деформаций соотношением

5/ = G"m%m, или 工匸 6 ： Е,(6.2)

которое называется обобщенным законом Гука. Коэффициенты этого соотношения образуют тензор упругих констант С“^п, который имеет 81 компоненту. Однако вследствие симметрии обоих тензоров ——и напряжений и деформаций — различных упругих констант имеется не более 36. При записи закона Гука через эта 36 коэффициентов двойные индексы у компонент тензоров напряжений и деформаций часто заменяют одинарными индексами, которые меняются от 1 до 6. В таких обозначениях

61 ~ °工，023 = °32 = °4,

°13 ^ Si = %°13 ^ Si = %02,02,°12 =。2工=°6°12 =。2工=°62^13 — 2e3i — /,2^13 — 2e3i — /,2^212^21(6.3)(6.4)(6.3)(6.4)2^232^23%・%・

°13 ^ Si = %

°13 ^ Si = %

02,

02,

°12 =。2工=°6

°12 =。2工=°6

2^13 — 2e3i — /,

2^13 — 2e3i — /,

2^21

2^21

(6.3)

(6.4)

(6.3)

(6.4)

2^23

2^23

%・

%・

Закон Гука можно записать в виде

(6.5)(6.5)Ок = Скм^м (К, Л! = I, 2, 3, 4, 5, 6),

(6.5)

(6.5)

где 36 упругих констант обозначены теперь Скм, а заглавные латинские буквы использованы в качестве индексов для того, чтобы подчеркнуть, что эти индексы меняются от 1 до 6.

Если пренебречь тепловыми эффектами, то уравнение (5.32) примет вид

警=-у mQu = + °"总/•(6.6)

Внутренняя энергия в этом случае оказывается чисто механической величиной, которая называется энергией деформации (на единицу массы). Из уравнения (6.6) следует, что

du =5jd&『.(6.7)

Если и считать функцией девяти компонент деформации и = и (&〃), то дифференциал ее равен

d〃 =詩 de”.(6.8)

(6.9)/6」0)(6.9)/6」0)Сравнивая (6.7) и (6.8), замечаем, что ')

(6.9)

/6」0)

(6.9)

/6」0)

Введем функцию и*, такую, что и* = ри;

она называется плотностью энергии деформации (на единицу объема). В теории малых деформаций р в (6.10) можно считать постоянной, поэтому функция «* обладает следующим свойством:

Состояние, в котором энергия деформации равна нулю, можно выбрать произвольно. И так как напряжения должны обращаться

Формулы (6.9) для упругого тела верны также и при учете тепловых эффектов. При этом вместо (6.6) имеем

du = -^- o“d£jj + dg, dq = Tds,

и поэтому

p 0 决仃p 0 决仃ди ^ljt s)ди ^ljt s)dsds

p 0 决仃

p 0 决仃

ди ^ljt s)

ди ^ljt s)

ds

ds

см. также задачу 6.24, в которой показано, что в термоупругом теле всегда о订= ==р df/de-tp s=—- df/dTt где f (е订,7)——свободная энергия.——Прим. ped.

в нуль одновременно с деформациями, простейшим видом выражения энергии деформации, обеспечивающим линейную связь между напряжениями и деформациями, является квадратичная форма

И* = '/2 Cjj&m&声/гт・(6.12)

Принимая во внимание закон Гука (6.2), это выражение можно записать так:

и* = % %£“， или и* = % Е: Е.(6.13)

В обозначениях с одним индексом квадратичная форма (6.12) имеет вид

I 产=% С^м^к^м9(6.14)

причем Скм = Смк* Если ф нкция энергии деформации существует, то вследствие симметрии Скм число независимых упругих констант будет не более 21.

Изотропные и анизотропные среды.

Симметрия упругих свойств

Если упругие свойства среды не зависят от выбора системы координат, использованной для их описания, то такую упругую среду называют изотропной. Среда, которая не является изотропной, называется анизотропной. Упругие свойств.а твердого тела, подчиняющегося закону Гука, выражены коэффициентами Скм, поэтому в общем случае анизотропное тело имеет следующую матрицу упругих констант:

&1&2 &з С14&5 &б

e21 022 e23 e2] e25 C26

。31 Сзз С33 С?4 С35 Сзб

&I C42 C43C41 C45 &6

.(6.15)

С51。52C53C54C55&0

—Ccl CG2 CG3 C64 C65 C*66 —

Если существует функция энергии деформации, то

Скм ~ См к

п 36 констант матрицы (6.15) сводятся к 21.

Пусть в некоторой точке существует плоскость симметрии упругих свойств, т. е. упругие константы имеют одинаковые значения для любой пары систем координат, которые получены одна из другой отражением относительно указанной плоскости. Оси таких систем координат называются «направлениями эквивалентных упругих СВОЙСТВ». Если ПЛОСКОСТЬ X]尤2—плоскость симметрии упругих свойств (короче ——плоскость упругой симметрии), то константы Скм инвариантны относительно преобразования координат

a；—Xi, х； = х2, 芯Хз， (6.16)

Рис. 6.1.Рис. 6.1.которое показано на рис. 6.1. Это преобразование описывается матрицей

Рис. 6.1.

Рис. 6.1.

~1 0О'

汝“]=0 10 . (6.17)

Lo 0 —к

Подставляя компоненты матрицы (6.17) в формулы (2.27) и (3.78) преобразования тензоров напряжений и деформаций, находим, что матрица упругих констант для среды,

&1&2&3°°&б

c21e22С23。0026

°31°32 е3З °。ез0

[Скм]=

000c44&50

.(6.18)

000c54 &5 0

_Сб1 Сб2 СбЗ °°&б_

имеет вид

обладающей симметрией относительно плоскости х^,

Если существует функция энергии деформации, то из 20 ненулевых членов этой матрицы независимы только 13.

Если среда обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии, то она называется ортотропной, а матрица уп

ругих констант (в системе координат, в которой координатными

плоскостями являются плоскости симметрии) имеет с

эорму

一&] С12 С13 000 _

С21 С22 С23 000

°31 С32 сзз 000

[Скм]=

000С44 00

•(6.19)

0000С55 0

_0 0 0 0 0 с6б_

Здесь независимых постоянных 12 (или 9, если С км 匚

Guk)・

Говорят, что в некоторой точке существует ось симметрии упругих свойств порядка Л\ если существует набор направлений эквивалентных упругих свойств, которые могут быть совмещены поворотом около осн на угол 2n/N. Некоторые случаи осевой и плоской -симметрии эквивалентны.

Изотропные среды. Упругие постоянные

Тела, у которых упругие свойства одинаковы по всем направлениям, обладают полной симметрией и называются изотропными. В этом случае любая плоскость и любая ось являются плоскостью и осью симметрии. Для изотропных сред число независимых упру

гих постоянных сводится к двум, и их матрица симметрична независимо от с\ ществования функции энергии деформации. Выбирая в качестве двух независимых констант известные постоянные Ламе

入 и 卩，напишем

матрицу (6.19) для изотропной упругой среды:

~ Л + 2(.1 九X 0 0 о-

入 九十2口 X 000

九九九十2卩0 0 0

[СкМ =

000 |х 0 0

・(6.20)

0000 Mo

_0000 0

Закон Гука (6.2) для изотропного тела через коэффициенты 厶

и 卩 записывается равенством

ст；/ =厶自卢总攵十 2“％、 или 工=入Ie + 2“Е,(6.21)

где £ = €索总 =1е・ Это соотношение нетрудно обратить и выразить деформации через напряжения:

时/ =丽5r砌7&?6次+ 帀а〃 или e =阻(3х + 2卩)电十耳" 2

(6.22) где ❷=办左 =k -— обозначение, по традиции используемое в теории упругости для первого инварианта тензора напряжений.

При простом одноосном растяжении в направлении оси хх можно ввести технические упругие модули Ей*，которые служат коэффициентами в соотношениях 忆=Е% и е22 = е33 = —ven. Постоянная Е называется модулем Юнга, a v — коэффициентом Пуассона. Через эти упругие постоянные закон Гука для изотропного тела записывается следующим образом:

^/ = Т^Т (е*/ + та? 60-eftft), или 工二隹你十^^+叽

(6.23) или, в обращенной форме,

е＞； = —^ v- Oil —六 6〃“自 или Е =，豈 工-' * I® (6.24)

При изучении состояния равномерного гидростатического сжатия вводят модуль объемного сжатия

К = &ХР 皿"中，(6.25)

который связывает давление с величиной кубического расширения при нагрузке такого типа. В случае так называемого состояния чистого сдвига модуль сдвига G связывает касательные компоненты напряжения и деформации. Коэффициент G фактически равен 卩; легко установить его связь с другими модулями:

"=G = 2 (1 + vj '(6.26)

Постановка статических и динамических задач теории упругости

При постановке статических задач для упругой однородной изотропной среды используются следующие уравнения, которые должны выполняться всюду внутри тела:

уравнения равновесия

%/ + Р〃 = 0, или V • S + pb = 0,(6.27)

закон Гука

5/ = KbijEkk + 2圈小 или S = Xie + 2“Е,(6.28)

соотношения, связывающие деформации с перемещениями, % =}(№./ + 〃“)， ИЛИ Е = X(uV + Vu). (6.29) Кроме того, на поверхности, ограничивающей тело, должны быть удовлетворены заданные условия, наложенные на напряжения и/или перемещения.

Краевые задачи теории упругости обычно классифицируют по типу этих условий. Их разделяют на группы, для которых:

на всей границе заданы перемещения,

на всей границе заданы напряжения (поверхностные силы),

на части границы заданы перемещения, а на остальной поверхности —напряжения.

Во всех трех случаях предполагается, что всюду в теле массовые силы известны.

Для тех задач, в которых на всей границе даны компоненты перемещения в виде функции

% = gi (X), или u = g (X),(6.30)

выражение деформаций через перемещения (6.29) можно подставить в закон Гука (6.28), а результат в свою очередь подставить в (6.27).

Так получаются основные уравнения для перемещений 卜1以山 + 仇 + a uhjl + р" = О,

или(6.31)

jxVu + (% + “)▽▽ * u + pb = 0,

которые называются уравнениями Навье— Кош^. Решение задач этого типа состоит в отыскании вектора перемещения 传，удовлетворяющего уравнению (6.31) всюду внутри тела и условиям (6 30) на его границе.

Для тех задач, в которых на всей границе известны поверхностные силы

£)= 5幽〃 или t“" = S • n,(6.32)

комбинацией уравнений совместности (3.104), закона Гука (6.24) и уравнений равновесия (6.27) получим основные уравнения для напряжений

s小々+ 1 _LV小瓦"+ p (加j+b川)+ 1 _1V &jP历田=0,или(6.33)

V2S + -пргvv0 + р(Vb +bV)+ ~i~r^ ・ь = °， которые называются уравнениями совместности Бельтрами — Ми- челла. Решение задач этого типа состоит в нахождении тензора напряжений, который удовлетворяет уравнениям (6.27) и (6.33) всюду внутри тела и условиям (6.32) на границе.

Для задач, имеющих смешанные граничные условия, должна решаться система уравнений (6.27), (6.28) и (6.29). Решение дает поле напряжений и перемещений для всех точек тела. На некоторой части граничной поверхности компоненты напряжений должны удовлетворять условиям (6.32), а на оставшейся ее части перемещения должны удовлетворять условиям (6.30).

При постановке динамических задач уравнения равновесия (6.27) нужно заменить уравнениями движения (5.16):

S" + Р瓦=PS, или V * 2 + pb = pv, (6.34) и наряду с граничными условиями нужно задать еще начальные условия. Основные уравнения для поля перемещений в этом случае аналогичны уравнениям (6.31) статики

卩%,〃 + (入+卩)勿爲+ p历=p%, или

HV2u + (X + |x)VV • u + pb = pii.(6 35)

6.5・ Теорема о суперпозиции. Принцип Сен-Венана6.5・ Теорема о суперпозиции. Принцип Сен-ВенанаРешение уравнений (6.35) ищем в виде 心 = 心(х, /). Оно должно удовлетворять не только начальным условиям, которые обычно записываются в виде равенств

6.5・ Теорема о суперпозиции. Принцип Сен-Венана

6.5・ Теорема о суперпозиции. Принцип Сен-Венана

以=gi(X, 0> ИЛИ

U = g(X, 0.

(6.37)

либо на напряжения

俨二 4" (х, 0， или

t侖=t俞(x, f).

(6.38)

也=ui (х, 0) и 以=«£ (х, 0), (6.36) но и граничным условиям, наложенным либо на перемещения

Единственность решений.

Вследствие того что б линейной теории упругости уравнения и граничные условия линейны, можно использовать принцип суперпозиции для получения новых решений из ранее найденных. Если, например, и$), 〃£> — решение системы (6.27), (6.28) и (6.29) при массовых силах, равных 小"，а 需)，〃尸) 一 решение при массовых силах bQ, то а£/ =咽十喈， щ = 〃屮 + 卢 будет решением той же системы при массовых силах 〃 = 尻"十 bf)・

Единственность решения общей статической задачи теории упругости может быть установлена при помощи принципа суперпозиции и закона сохранения энергии. Доказательство единственности включено в задачи к этой главе.

Принцип Сен-Венана касается разностей между напряжениями и деформациями в некоторой области внутри упругого тела, вызванными двумя различными, но статически эквивалентными системами поверхностных сил, приложенных к определенной части границы. Принцип утверждает, что в областях, достаточно далеких от места приложения нагрузки, эти разности пренебрежимо малы. Это допущение часто оказывает большую помощь при решении практических задач.

Плоские задачи теории упругости.

Плоское напряженное состояние и плоская деформация

Во многих задачах теории упругости можно вполне удовлетворительно обойтись двумя измерениями, или так называемой плоской теорией упругости. Имеется два общих типа задач такого рода. Хотя эти два типа можно выделить, принимая определенные ограничения и допущения для полей напряжений и перемещений, часто их вводят описательно при помощи типичных примеров. Для реализации плоского напряженного состояния тело должно представлять

собой пластину, у которой один размер много меньше, чем другие. Нагрузка распределена равномерно по толщине пластины и действует в ее плоскости, как показано стрелками на рис. 6.2,а. Для реализации плоской деформации тело должно иметь форму цилиндра, когда один размер много больше, чем другие. Нагрузка равномерно распределена вдоль оси наибольшего размера и действует перпендикулярно ей, как показано стрелками на рис. 6.2,6.

Рис. 62

В задачах с плоским напряженным состоянием (рис. 6.2, 〃) компоненты напряжения а33, а13, а23 принимаются равными нулю всюду, а остальные компоненты считаются функциями только 修 и х2,

- 0aB 的，*2)似，0 = 1, 2). (6.39)

В соответствии с этим постановка задач для плоского поля напряжений содержит следующие уравнения:

GaM + р^а = 0, или ▽ • Е + pb = О,(6.40)

%0 = 丄^、仇В--^-%阻у打 ИЛи e = 1吉"E一专吩,

В)£ар = V2 («а.Р + 〃仇се), Н/НВ)£ар = V2 («а.Р + 〃仇се), Н/НVЕ = % (uV + Vu),VЕ = % (uV + Vu),(6.41)(6.42)(6.41)(6.42)г* ▽三R-e—г* ▽三R-e—d尤2d尤2°\1 012 °、。12。22 0 卜 ООО/°\1 012 °、。12。22 0 卜 ООО/е11 е12е11 е12ОО£12 %2。О 0£33,£12 %2。О 0£33,(6.43)(6.43)

В)£ар = V2 («а.Р + 〃仇се), Н/Н

В)£ар = V2 («а.Р + 〃仇се), Н/Н

V

Е = % (uV + Vu),

V

Е = % (uV + Vu),

(6.41)

(6.42)

(6.41)

(6.42)

г* ▽三R-e—

г* ▽三R-e—

d尤2

d尤2

°\1 012 °、

。12。22 0 卜 ООО/

°\1 012 °、

。12。22 0 卜 ООО/

е11 е12

е11 е12

О

О

£12 %2。

О 0£33,

£12 %2。

О 0£33,

(6.43)

(6.43)

Из-за специальной формы тензора деформации в случае плоского напряженного состояния шесть уравнений совместности (3.104)

для очень тонких пластин с достаточной точностью сводятся к одному уравнению

ец.22 + £22.11 = 2ei2,i2-(6.44)

Выписанную систему уравнений можно преобразовав и получить основное уравнение для компонент перемещения иа:

ЕЕ

2 (1 十 у) 歹2 "а ^ ^-(「_Гу) 〃位ба + Р”а = °，

или(6.45)

尸F

2(1 +v)+ 2(l—v) ▽▽ • U + pb = 0,

где

Для задач о плоской деформации (рис. 6.2,6) компонента перемещения 〃з принимается равной нулю, а остальные компоненты считаются функциями только хг и х2：

"a = 〃a(Xi, X?).(6.46)

В этом случае система уравнений, дающая постановку задачи, имеет вид:

Осф.в + pba = 0, или▽ • Е + pb = О,(6.47)

Осф =入％战卩？ + 2“％6，или S = Xie + 2“Е,(6.48)

Озз = waa = 2 (九 + к)唳

%6 = 7г («а,6 + 〃自а), ИЛИ Е = % (口歹 + V U),(6.49)

причем

/Сц°12。、/еие12。\

£ == I О]_2仃22° )° ЕI 厶2&22° ) *(6.50)

\00gJ\00о/

Из уравнений (6.47), (6.48), (6.49) в случае плоской деформации г.случается соответствующая форма уравнений Навье:

N ▽ 2"а + (入 + ")冲做 + Р生=0,

или(6.51)

jx V2 и + (^ + Н) W ■ u + pb = 0.

Так же как при плоском напряженном состоянии, уравнения совместности для плоских деформаций сводятся к одному уравнению (6.44).

Если силы, приложенные к ребру пластины на рис. 6.2,а, распределены по толщине не равномерно, а симметрично относительно средней плоскости пластины, то пап/ яженное состояние называют обобщенным плоским напряженным состоянием. При постановке задач в этом случае переменные поля истинных величин оар, “в и 〃а нужно заменить напряжениями, деформациями и перемещениями, осредненными по толщине пластины. Для таких осредненных переменных формулировка задач в случае обобщенного плоского напряжения в сущности такая же, как при плоской деформации, если 入 заменить на величину

九•(652)

В курсах теории упругости иногда упоминается понятие обобщенной плоской деформации, когда е33 в (6.50) будет постоянной, отличной от нуля.

Функция напряжений Эри

Если массовые силы отсутствуют или постоянны, то при решении плоских статических задач теории упругости (задач о плсюкой деформации или обобщенном плоском напряженном состоянии) часто пользуются функцией напряжений Эри (если массовые силы отличны от нуля, то их вклад в решение может быть учтен дополнительно при помощи принципа суперпозиции путем нахождения частных интегралов системы линейных дифференциальных уравнений).

Для плоских статических задач при отсутствии массовых сил уравнения равновесия сводятся к следующим:

Оар.р = о, или ▽ • X = 0.(6.53)

Уравнения совместности, выраженные через компоненты напряжений (уравнения Бельтрами — Мичелла), дают

V2 (%1 + 022)= О, V2 ©1 = 0-(6.54)

Из уравнений (6.53) видно, что компоненты напряжений можно представить частными производными функции напряжений Зри 屮=屮的，尤2)：

Si =屮,22, 012 =一屮，⑵ 022 =屮/1.(6.55)

При этом уравнения равновесия (6.53) удовлетворяются тождественно, а условие совместности (6.54) превращается в бигармоническое уравнение

V2 (V2 <Р)= ▽"▽ = ф.1111 + 2(р,1122 + 屮,2222 = 0.(6.56)

Функции, удовлетворяющие этому уравнению, называются бигар- моническими. Пользуясь бигармоническими функциями с однозначными вторыми производными, можно строить многочисленные

решения плоских задач теории упругости, которые автоматически удовлетворяют и уравнениям равновесия, и условиям совместности. Конечно, эти решения нужно еще «подогнать» к заданным граничным условиям.

Двумерные статические задачи теории упругости в полярных координатах

По геометрическим соображениям некоторые двумерные статические задачи теории упругости удобно формулировать в полярных координатах г и 0. После преобразования координат

хт = г cos 0, х2 = г sin 0 (6.57) компоненты напряжения, изображенные на рис. 6.3, будут удовлетворять уравнениям равновесия в полярных координатах

等十；当也也声jR = a 俗-58)

；~^+^?- +芈+Q = °， (6-59) где R н Q — отнесенные к единице объема компоненты массовых сил в соответствviomiiх направлениях.

Возьмем ф)7нкцию напряжений Эри в виде ①=①(г, 0) зим через нее компоненты напряжений1 аФ , 1 ^ф5ёв)=09/力2,Возьмем ф)7нкцию напряжений Эри в виде ①=①(г, 0) зим через нее компоненты напряжений1 аФ , 1 ^ф5ёв)=09/力2,0（也）=0（也）=дГ 丁 \~de~ 丿дГ 丁 \~de~ 丿и выра-(6.60)(6.61)(6.62)и выра-(6.60)(6.61)(6.62)

Возьмем ф)7нкцию напряжений Эри в виде ①=①(г, 0) зим через нее компоненты напряжений

1 аФ , 1 ^ф

5ёв)=09/力2,

Возьмем ф)7нкцию напряжений Эри в виде ①=①(г, 0) зим через нее компоненты напряжений

1 аФ , 1 ^ф

5ёв)=09/力2,

0（也）=

0（也）=

дГ 丁 \~de~ 丿

дГ 丁 \~de~ 丿

и выра-

(6.60)

(6.61)

(6.62)

и выра-

(6.60)

(6.61)

(6.62)

Условия совместности снова приводят к бигармоннческому уравнению

V2 (V2 Ф) = ^4Ф = 0,(6.63)

причем в полярных координатах V2 =+ — -^- + 了 -^.

Гикерупругость. Гипоупругость

В современной механике сплошной среды иногда используются определяющие уравнения для сред, которые являются упругими в специальном смысле. Материал называют гиперупругим, если для него существует функция энергии деформации 〃，такая, что материальная производная от нее равна мощности напряжений в единице объема. Таким образом, определяющее уравнение такой среды имеет вид

署=-y°4Dii = -у 5 卢"，(6.64)

где。打•— тензор скоростей деформации. С другой стороны, материал называют гипоупругам, если скорости напряжений являются однородными линейными функциями скоростей деформации. В этом случае в качестве определяющего берется уравнение

О》=KijkmDkm,(6.65)

причем тензор скоростей напряжения а^ определяется выражением

。》=Пй-(°")— dqYq/ — SWgf,(6.66)

где 匕方=—тензор завихренности.

Линейная термоупругость

Если учитывать тепловые эффекты, то компоненты тензора линейных деформаций можно представить суммой

日/ =増+ 留，(6.67)

в которой 总；)——деформации, вызванные полем напряжений, а А? — полем температур. Компоненты деформации элементарного объема изотропного тела, вызванные изменением температуры от некоторого начального значения 7。до Г, при отсутствии внешних сил определяются формулой■

留=а(7-П)&/,(6.68)

где а •— коэффициент линейного теплового расширения. Подставляя (6.68) и (6.22) в равенства (6.67), находим выражения

%’ = "^Г (°"3入；2卩 “&，+ ° (7 — ’о) &/,(6.69)

которые называются соотношениями Дюгамеля—Неймана. Равенства (6.69) можно обратить и написать определяющие уравнения термоупругости в виде

п(у —九5“е履 + 2 卩 Е? / — (3 入 + 2卩)а® (7 — 7J(6.70)

Теплопроводность в изотропном упругом теле подчиняется известному закону теплопроводности Фурье

Ci^-kT,lt(6.71)

где скаляр k — коэффициент теплопроводности среды, который должен быть положительным, чтобы обеспечить положительную скорость производства энтропии. Если ввести удельную теплоемкость при постоянной деформации N равенством

_% = рс 呻(6.72)

и предположить, что внутренняя энергия является функцией компонент деформации е£/ и температуры 7, то уравнение энергии (5.45) запишется в виде (см. задачу 6.24)

КГ,и = рс(咛 + (3 九 + 2卩)аТ/;(6.73)

называется уравнением притока тепла связанной термоупругости.

Система уравнений общей задачи термоупругости дл丿 ной среды состоит нз:

уравнения движения

S/j + Р瓦=涼， или V • £ + pb = и,

определяющего уравнения термоупругой модели Sj =入自产/+ 2即寸一(3入十 2") a&j (7 - 7\)), или

X = Me + 2rE - (3入 + 2") a! (Г — 70)；

выражения деформаций через перемещения % = % 仅讶十〃厶D,или Е = % (uV + V u);

уравнения притока тепла

左7,〃 = р*)7 + (3 入 + 2 卩)aT 鼠，ИЛИ西 2? = рс ⑺力 + (ЗА + 2ц) аТ2.

изотроп-(6-74)(6.75)(6.76)(6.77)изотроп-(6-74)(6.75)(6.76)(6.77)Из этой системы нужно найти поля напряжений, деформаций и температур, удовлетворив указанным начальным и граничным условиям. Условия совместности будут выполнены автоматически в силу (6.76).

изотроп-

(6-74)

(6.75)

(6.76)

(6.77)

изотроп-

(6-74)

(6.75)

(6.76)

(6.77)

Существует широкий круг задач, в которых эффектами инерции и взаимосвязи тепловых и механических процессов можно

пренебречь. В таких случаях общая задача термоупругсюти распадается на две отдельные задачи, которые решаются последовательно, но независимо. Так, для квазистатической задачи несвязанной термоупругсюти (без учета теплообразования при деформации) основные уравнения будут следующие:

уравнение теплопроводности

kT.it = рс(и)Т, или 々V2T = pc®7;(6.78)

уравнения равновесия

+ рЬ( = 0, или V •工 + pb = 0;(6.79)

уравнения, связывающие тензоры напряжений и деформаций, 6/ = ^ifikk + 2|xeQ — (3九 + 2a аб” (7 — 70),

”S = 7,Ie + 2цЕ — (ЗХ + 2ц) <zl (Г — Т^;俗'°)

выражение деформаций через перемещения

&j = 1/2(〃tj + 〃词，или Е = %(Vu + uV). (6.81)

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

Закон Гука. Энергия деформации. Изотропия (§ 6.1—6.3)

Доказать, что плотность энергии деформации и* для изотропной гуковой среды можно выразить через тензор деформаций в виде 〃* =入(tr Е)2/2 + “Е?: Е и через тензор напряжений в виде н* = 1(1 + V)S : S — V (tr2)2I /2£

Подставляя (6.21) в (6.13), находим

"* = РA产^ + 2開") e"2 =入汨b"2 + 卩Ef产5

или в символических обозначениях 〃* = X (tr Е)2/2 + 卩Е : Е.

Подставляя (6.24) в (6.13), аналогично получаем

и* = % [(1 + V)% — 2产加/2Е = [(1 + V)%%• — *%%・]/2Е, или в символических обозначениях н* = [(1 + 丫)工：工一v (tr S)2]/2E.

Разложив каждый из тензоров напряжений и деформаций на шаровые части и девиаторы, представить плотность энергии деформации 〃* в виде суммы плотности энергии расширения 味)и плотности энергии искажения формы (энергии дисторсии) 〃(少).

Подставив (3.98) и (2.70) в формулу (6.13), получим

и* == % (si/+。々禽f/З) (е“ + %р6"3)=

0 %(sijeii + ciieH^ + Sf产"/3 + О近£"/3).

Вследствие того что % = ^ = 0, выражение для “* сводится к сумме “* = =”；s)+ U(D)= %产〃・/6 + s“％/2

Имеется состояние всестороннего равномерного сжатия с тензором напряжений % =—畸八 Получить формулы (6.25) для модуля объемного сжатия (отношения давления к изменению объема).

Для тензора напряжений %/=——卩6炉 соотношение (6.24) принимает вид £〃 = [(1 + V)(— р6£/) + *v% (Зр)]/£, откуда получаем % = [— 3〃 (1 + v)十 + 9pv]/E. Тогда К = —pl%( = E/3 (1 — 2v). Аналогично из закона Гука (6.21) для данного случая имеем о扭=(ЗА + 2卩)е〃 = —Зр, так что К = (ЗХ + + 2 卩)/3. '

Выразить 〃；s)и 〃总)задачи 6.2 через технические упругие модули К н G н компоненты деформаций.

В задаче 6.3 получено о比=ЗКе», и, следовательно,

〃(s)= S/® 戸/6 = Ке/“/2 = К 0е)2/2.

Представим компоненты напряжения по закону Гука (6.21) и по формуле (2.70): % =厶鸟产^ + 2卩Е” = S订 + о品%/3. А так как % = (ЗХ + 2卩)包，то 巾= 0 2卩(67 一 £融6仔/3). Таким образом,

〃(D)н 2卩(е“ 一 ££"3) (%•—生/“3)/2 = "(%•£“ — E/jj/3).

Заметим, что плотность энергии расширения u(g оказывается функцией только К, а плотность энергии искажения формы 心)выражается через модуль сдвига 卩(или G).

В общем случае 以* можно представить квадратичной формой и* = С^Л1екедр коэффициенты С^м которой не обязательно симметричны. Доказать, что это выражение можно записать в виде (6.14) и ЧТО0〃*/0ЁК=оК.

Преобразуем квадратичную форму следующим образом:

=1/Е(скм + емк)%ёm=%。Кm%Еm

где Скм = Смк.

Теперь вычислим производную ди*/дц^

ди*К% п % Crm (Er rEm + %Em,r)= % СКЛ1 (^kr^m + ek^mr^ = =% (Crm^m + Ckr% = Crm%i = Or.

Доказать, что для ортотропной упругой среды (с тремя ортогональными плсюкостями упругой симметрии) матрица упругих констант имеет вид (6.19).

Пусть плоскость 尤1尤2 (или, что то же самое,尤]々)является плоскостью упругой симметрии (рис. 6.4). Тогда % =。跃向儿 и одновременно 県 = Скм%

Рис. 64Рис. 64Матрица преобразования будетг! ОМатрица преобразования будетг! О[%] =。1Lo о[%] =。1Lo оосей 尤,в оси 尤jо-0・осей 尤,в оси 尤jо-0・Из (2.27) и (3.78) 県=%,盛=% ^= 1,2, 3, 6, в то время как % «=»Из (2.27) и (3.78) 県=%,盛=% ^= 1,2, 3, 6, в то время как % «=»приприе^ = —% при К = 4, 5. Так, например, ДЛЯ0； =c1м£工 получиме^ = —% при К = 4, 5. Так, например, ДЛЯ0； =c1м£工 получим

Рис. 64

Рис. 64

Матрица преобразования будет

г! О

Матрица преобразования будет

г! О

[%] =。1

Lo о

[%] =。1

Lo о

осей 尤,в оси 尤j

о-

0・

осей 尤,в оси 尤j

о-

0・

Из (2.27) и (3.78) 県=%,盛=% ^= 1,2, 3, 6, в то время как % «=»

Из (2.27) и (3.78) 県=%,盛=% ^= 1,2, 3, 6, в то время как % «=»

при

при

е^ = —% при К = 4, 5. Так, например, ДЛЯ0； =c1м£工 получим

е^ = —% при К = 4, 5. Так, например, ДЛЯ0； =c1м£工 получим

О[ = О] Н &卢1 +。12% + С13& — &我4 — &卢5 + ^16e6*

Но, с другой стороны, 6 =儲川£儿” т. е.

S = &15 + &2e2 + &3旳 + а發事+ &“5 4~ &6%"

Эти два выражения для ох = о/ совпадают только в том случае, когда С14 ^ =С15 = 0. Точно так же из равенств а2 = %，°з = Оз，％ = —力，& = —о5, °б = °б следует, что С24 = С25 ~ С34 = С35 =。6《=。65 = Gi = С42 = С43 = =c51 n C52 HC53 =c66 = 0" " "

Если плоскость 尤2尤з (или 尤/3) является второй плоскостью упругой симметрии, так что % = С^Л1еЛ1 и матрица преобразования к осям 々 имеет вид

-—1 0 о-

⑷]=0 1 о t

L 0 0 L

то из (2.27) и (3.78) получаем о^ = ок, е^ = — е^ при К = 1, 2, 3, 4, тогда как 味=—%, е^ = — % при К = 5, 6. Отсюда следует, что С16 = С26 = С36 = С* = С54 — С61 = С62 = С63 = 0 и матрица упругих констант принимает вид (6.19). Читателю предлагается проверить, что упругая симметрия относительно (третьей) плоскости xxx3 при такой матрице получается автоматически.

6・7・ Подробно провести операцию по сведению матрицы упругих констант (6.19) для ортотропного материала к матрице для изотропной среды (6.20).

В случае изотропии упругие свойства среды одинаковы во всех декартовых системах координат. В частности, для осей, повернутых так, как изображено на рис. 6.5, тот же способ, что в задаче 6.6, приводит к дальнейшему упрощению матрицы (6.19) за счет равенств Си = С22 = С33, С44 = С65 = С^ и Ci2= С21 = =С13 = С31 = С23 = С32. Наконец, для системы $, полученной поворотом на угол 45° вокруг оси 尤3 (рис. 6.6), матрица преобразования будет

1]% О]1〃 至 opО 111]% О]1〃 至 opО 11-1/2

1]% О]

1〃 至 op

О 11

1]% О]

1〃 至 op

О 11

回d= - 1/『e

_ 0

так что Og =(S — 5)/2 = (Cu — C12) (e2 — 4)/2 и e^ =e2 — e1. Ho Og == C44eg, поэтому 2C44 = Си — C12. Вводя обозначения ^ =■ C44 и 入= &?，приходим к матрице (6.夂))

Проделать операцию обращения закона Гука (6.21), чтобы получить соотношение (6.22).

Равенство (6.21) при i = / дает ап = (ЗЛ + 2р,) ей; следовательно, 2卩е« = =%-%4产加(3% + 2n)，или %・=а疗/(2从)一九，7a加即(3九十2n)].

Выразить технические константы v и £ через постоянные Ламе А и jx.

Из равенств (6.25) видно, что Е/(1 — 2y) = ЗХ + 2卩，а из (6.26) Е/(1 + v)— —2卩.Таким образом, (ЗЛ + 2卩)(1 — 2v) =2卩(1 +、), откуда 小=X/ [2 (入十卩)]. Теперь опять воспользуемся (6.26) и найдем 户=2卩(i + v)=卩(3入 + 2卩)/ (入十6.10. Написать матрицу упругих констант для среды, имеющей ось упругой симметрий порядка N = 4. Считать при этом Скм =Из равенств (6.25) видно, что Е/(1 — 2y) = ЗХ + 2卩，а из (6.26) Е/(1 + v)— —2卩.Таким образом, (ЗЛ + 2卩)(1 — 2v) =2卩(1 +、), откуда 小=X/ [2 (入十卩)]. Теперь опять воспользуемся (6.26) и найдем 户=2卩(i + v)=卩(3入 + 2卩)/ (入十6.10. Написать матрицу упругих констант для среды, имеющей ось упругой симметрий порядка N = 4. Считать при этом Скм ==Смк・Пусть осью упругой симметрии будет ось 克з・ Поворотом других осей на угол 0 = =2л/4 = л/2 относительно 尤з (рис. 6.7) получим направления эквивалентных упругих свойств при N = 4. Матрица такого преобразования=Смк・Пусть осью упругой симметрии будет ось 克з・ Поворотом других осей на угол 0 = =2л/4 = л/2 относительно 尤з (рис. 6.7) получим направления эквивалентных упругих свойств при N = 4. Матрица такого преобразования[%1 =[%1 =О 1 о10 0, 0 0kО 1 о10 0, 0 0kи формулы (2.27) и (3.78) приводят к груп-и формулы (2.27) и (3.78) приводят к груп-пе равенств % 一一5，%=&2 === Е], Е3 ；пе равенств % 一一5，%=&2 === Е], Е3 ；02，02 =01，03=03，0402，02 =01，03=03，04Рис. 6.7.Рис. 6.7.е6. Они накладывают условия иае6. Они накладывают условия иа

Из равенств (6.25) видно, что Е/(1 — 2y) = ЗХ + 2卩，а из (6.26) Е/(1 + v)— —2卩.Таким образом, (ЗЛ + 2卩)(1 — 2v) =2卩(1 +、), откуда 小=X/ [2 (入十卩)]. Теперь опять воспользуемся (6.26) и найдем 户=2卩(i + v)=卩(3入 + 2卩)/ (入十

6.10. Написать матрицу упругих констант для среды, имеющей ось упругой симметрий порядка N = 4. Считать при этом Скм =

Из равенств (6.25) видно, что Е/(1 — 2y) = ЗХ + 2卩，а из (6.26) Е/(1 + v)— —2卩.Таким образом, (ЗЛ + 2卩)(1 — 2v) =2卩(1 +、), откуда 小=X/ [2 (入十卩)]. Теперь опять воспользуемся (6.26) и найдем 户=2卩(i + v)=卩(3入 + 2卩)/ (入十

6.10. Написать матрицу упругих констант для среды, имеющей ось упругой симметрий порядка N = 4. Считать при этом Скм =

=Смк・

Пусть осью упругой симметрии будет ось 克з・ Поворотом других осей на угол 0 = =2л/4 = л/2 относительно 尤з (рис. 6.7) получим направления эквивалентных упругих свойств при N = 4. Матрица такого преобразования

=Смк・

Пусть осью упругой симметрии будет ось 克з・ Поворотом других осей на угол 0 = =2л/4 = л/2 относительно 尤з (рис. 6.7) получим направления эквивалентных упругих свойств при N = 4. Матрица такого преобразования

[%1 =

[%1 =

О 1 о10 0, 0 0k

О 1 о10 0, 0 0k

и формулы (2.27) и (3.78) приводят к груп-

и формулы (2.27) и (3.78) приводят к груп-

пе равенств % 一一5，%=

&2 === Е], Е3 ；

пе равенств % 一一5，%=

&2 === Е], Е3 ；

02，02 =01，03=03，04

02，02 =01，03=03，04

Рис. 6.7.

Рис. 6.7.

е6. Они накладывают условия иа

е6. Они накладывают условия иа

о3 следуют равенствао3 следуют равенствакоэффициенты。艮也；так, например, из равенства 色

о3 следуют равенства

о3 следуют равенства

С34 = С35 = °36 = °，С31 = °32・ шений для напряжений, запишемС34 = С35 = °36 = °，С31 = °32・ шений для напряжений, запишем

С34 = С35 = °36 = °，С31 = °32・ шений для напряжений, запишем

С34 = С35 = °36 = °，С31 = °32・ шений для напряжений, запишем

_с„

&2

&з

0

0

&6

&2

&1

&з

0

0

-&6

С1з

°13

С33

0

0

0

队"~

0

0

0

0

0

0

0

0

0

С"

0

_ &б

一&6

0

0

0

°66_

Аналогично, используя остальные пять соотно- матрицу упругих констант так:

（с семью независимыми константами）.

Статические и динамические задачи теории упругости （§ 6.4一6.5）

Вывести уравнения Навье （6.31）.

Заменим компоненты деформации в （6.28） эквивалентными выражениями через перемещения: о^ =入6订〃片 ft -卜卩（〃（у + «у £）- Таким образом, о厅,=入以工 ki -卜 十卩（々斤 + 〃力亦 Подставив это выражение в уравнения равновесия （6.27） и перегруппировав члены, получим нужное уравнение:卩〃才疗一卜（Л -卜卩）〃厶户一卜 р6»=0.

Доказать, что если V4Ff = 0, то компоненты перемещения % = （A j 2“）R,"加仇 + “）一 6丿介 являются решением уравнений Навье （6.31） при отсутствии массовых сил.

Дифференцируя предполагаемое решение, найдем члены 叫山=（厶 + 2н） Fi,kkijl^ + 卩）一Fk.kijj

（九+ 11）号户=（Х + 2卩）Fj hhjdii — G +n）厶用户小，

Подставим их в уравнение （6.31）, что дает

（入+ 2卩）尸以为"/（入+卩）-["二（入+ 2卩）+ （^ +卩）]Fj jhht = 0.

Это уравнение удовлетворяется, если 尸；砌）— 丫叩, = 0.

Доказать, что при отсутствии массовых сил функции и£ == =ср/ + Eifi^kj удовлетворяют уравнению движения （6.35）, если каждая из функций 屮 н 屮,является решением трехмерного волнового уравнения.

Подставим функции % в уравнение （6.35）:

"^.ikk + ^k.l^ + （А + 似（％ 户 + % 為,Pit） = p （＜₽,f 十 ％•兩,/）■

Но %р評q,pit = 0，поэтому уравнение

（0 + 2ц）屮用—рЗ） j + е“ 1t @必,“ 一Й*）./ = 0 удовлетворяется, если V2（p ^ pq）/（X -|- 2|.i） и V2ipfe — р^^.

Доказать, что полученное в задаче 6.13 волновое уравнение с2V 2屮=<р, где 合=(九 + 2^х)/р, имеет решение

„ g (Г + 曲 + 〃 (г —曲

где g и й —' произвольные функции своих аргументов, аг2 —左尤「

В данном случае удобно воспользоваться выражением оператора Лапласа в сферических координатах V2 三-^--^-(产-^—j , так как ф = ф (rt Z). Имеем г2 (д^/дг) — г (g' +hr)—fe + Л), где штрих означает дифференцирование функций g н 〃 по их аргументам. После повторного дифференцирования находим V2(p = 3' + КУ г. Аналогично 応=(g'c —h^lr и ф = с2 (，+《)〃• Теперь видно, что функция 屮 удовлетворяет уравнению c2V2q)= ср.

Вывести уравнения Бельтрами — Мичелла (6.33) и указать ту форму, которую они принимают в случае потенциальных массовых сил, т. е. при р“ = 屮小

Подставим соотношения (6.24) в условия совместности деформаций (3.103). Получим

(1 + W)(%м + %щ用一%jm —円也浦=v ^ifi,km + ^m"“一一%"加一 6沖"加，

где 0 = I2 = 0〃. Только шесть уравнений из написанных здесь 81 независимы. Полагая m = А и используя уравнения равновесия (6.27), можем написать

%,Иг + ®Jj + Р(% 十 bjtd = v ◎戶М + 8同)/(1 + 丫)，

откуда находим 8小也=—(1 + v) Р^^/(1 —v). Подстановка выражения для 6 kk в предыдущее уравнение приводит к требуемому результату (6.33).

Если р仇=屮户 то р (勿j ―卜 6”)= 2屮 “ и pb財々=屮力攵=V2q), так что уравнение (6.33) принимает вид

Р%・=ед7/(1 + V)+ 2 屮“ 4- *“尸2屮/(1 — V)=0,

Двумерные задачи теории упругости (§ 6.6—6.8)

Для плоских напряжений, действующих параллельно плоскости X］尤2，написать соотношение между напряжениями и деформациями, используя коэффициенты 入 н “・ Показать, что эти формулы совпадают с (6.41).

В данном случае о33 == о13 = о23 = 0, а учитывая еще (6.21), имеем е13 = =е23 = 0 и е33 — —к(£21е22)/(Л + 2|,1). Закон Гука (6.21) записывается тог

да в виде 0aB = 2印％6%丿仇-卜2卩)十2卩е^в，где % 0, 丫= 1, 2. Отсюда находим oaa = 2|.i (ЗЛ + 2(.i) evv/(X + 2(.1). Теперь формулу для 0^0 можно обратить и найти

%В = 一 入％6%丿2卩(ЗХ + 2卩)+ %“2卩=—v6apOYY/£ + (1 + v) %"£

В частности, отсюда следует, что

Езз = — М“(厶 + 2卩)=—ХПу/м (ЗХ + 2卩)=—vaTV/E-

Для плоской деформации, параллельной плоскости х^, написать соотношение между напряжениями и деформациями, используя коэффициенты v и £. Показать, что эти формулы совпадают с (6.48).

В этом случае и3 ^ 0 и, следовательно, е33 = 0, а из (6.24) а33 = v (。口 十 а22) = Хааа/2 (X -f- pi). Теперь формула (6.24) принимает вид

еар = (1 + V)%в/Е — V (1 + V)6ав%/Е,

откуда еаа = (1 + v) (1 — 2電)%«'七・ Обращая, окончательно находим

%В = уЕбавВу/О + у) (1 — 2電)十 ^^/(l 十 v) = ^evv 十 2цеар.

Вывести уравнения Навье для плоского напряженного состояния (6.45) и показать, что они эквивалентны соответствующим уравнениям для плоской деформации (6.51), если X заменить на X = 2九n/仇+ 2n).

Обращение равенства (6.41) при учете (6.42) дает

%В = Е(〃а用 + %а)/2 (1 + v) + 2旷£°仪8%力/区(1 — v2)].

Продифференцируем это по 和 и подставим результат в уравнения равновесия (6.40); получим

Е%币矶2 О + V)1 十 &0,0о/【2 О —V)1 十 P% =

=N日2 %+N(3г+ 2n)%8"а + 2n)+p% = 0.

Если провеегн замену pi (зЛ + 2卩)/(九十 2n)=2入n/(九十 2n)十n=m 十卩，то уравнения (6.45) совпадут с (6.51).

Найти связь между константами Л и В, при которой функция ф = Лх?Х2 + Вл! будет функцией напряжений Эри.

Согласно (6.56), функция 屮 должна быть бигармонической, т. е. 屮 山]十 + 2(р “22 + 屮,2222 =。+ 24Лл：2 十 1205x2 = 0. Это верно, если 4 = —5A

Доказать, что функцией напряжений Эри может служить

Найти компоненты напряжения в области х± > 0, ——с V х? V с

Рис. 6.8.

Вследствие того что ^4<р тождественно равно нулю, функция (р может служить функцией напряжения. Компоненты напряжения, вычисленные по формуле (6.55), равны

61 = ф,22 = — ЗГх^Х^С3 十 Р/2с, О]2 =—屮,12 — 一 3尸(с2 一 ％|)/4。3,

。22 =г Ф и === О*

Такие напряжения возникают в консольной балке под действием продольной нагрузки Р и поперечной нагрузки 尸 иа конце балки (рис. 6.8).

В задаче 2.36 было показано, что при отсутствии массовых сил уравнениям равновесия удовлетворяют функции о^ = =^ip^imn%n.ptn- Доказать, что функцией напряжений Эри в этом случае служит(р33 =屮(xu х2)» в то время как <р1Х = <р22 = <р12 = =<Р13 =屮23 三 0.

ММРис. 6.9.Рис. 6.9.Компонеита(р33 является единственной отличной от нуля, и поэтому равен етво忆=麻咼з屮m加: превращается в % =£高学必933,рт， или %B = =%73£优3中33界f в силу тогО что ф33 = ф, %8 =(生旷嗔—%Rk)中力g = =%B屮кY 一比邱・

М

М

Рис. 6.9.

Рис. 6.9.

Поэтому компоненты напряжений выражаются через функцию <р так:

Ф,11 + Ф.22 J 屮,22 = ФДЬФ,11 + Ф.22 J 屮,22 = ФДЬа11 = Ф.Ц 十屮,22 —屮JI = Ф.22, ”2 = — 屮」2，

Ф,11 + Ф.22 J 屮,22 = ФДЬ

Ф,11 + Ф.22 J 屮,22 = ФДЬ

При решении задачи о диске радиуса а, находящемся под действием вращающего момента Л4, используется функция напряжений Эри ①=В® в полярных коор-

динатах г, 0 (рис. 6.9). Найти компоненты напряжения и величину константы В.

Вычислим компоненты напряжения. По формулам (6.60) н (6.61) о(〃)= =。侬)=0, а из (6.62) g(电=В/产. Для равновесия моментов относительно 2л2л

центра диска требуется, чтобы М =，。(用产2dB = j BdB = 2лВ, Таким обра- оо

зом, В = М/2п.

Линейная термоупругость (§ 6.10)

Обратив (6.69), получить определяющие уравнения термоупругости (6.70).

При I = / из (6.69) имеем % = (ЗХ + 2pi) (е^ — За (Т — То)). Разрешая (6.69) относительно Oyt находим

。"=2%/+ ^ijGkk^^ + 2")-2口a6订(T - TJ =

=2晔"+九6可(£々々一за (T - TJ) - 2口a6订(T - 7\))=

=2即“十入6〃%々-(凯十2口)а6订(т - 7\)).

Вывести уравнение энергии (6.73) для термоупругости, используя при этом функцию свободной энергии f = 〃—— Ts.

Предположим, что свободная энергия является функцией деформаций и температуры f = f(£fp Г). Подставим ее в уравнение (5.41), т. е. в уравнение р〃 = »〃£“+ рТ& где точками обозначено дифференцироваине по времени. Тогда 何/ —pd//。％) Е" — Р (s+ df/dT)力=0. Так как члены в скобках не зависят от скоростей изменения деформаций и температуры, то из последнего равенства следует, что % = Р。"决订 и s = — df/dT.

Уравнение второго закона термодинамики для термоупругой среды имеет вид Tds= dg, т. е.

рг' = рг (嗡■哈十篇•可=一%.

Отсюда, в частности, видно, что T(ds/0T) = c⑺，где 巫)一теплоемкость при постоянных деформациях, когда е£у = О. Воспользовавшись полученными выше выражениями для s и о〃 через 九 получаем ds/dT =—。罕。。，т. е. с® = =—Т (@2/7次2) и ds；d%j =—。用况*Т q — (1/p) (да^/дТ)\ поэтому

Из (6.70) видно, что до^/дТ = —а (3入十 2卩)，•广 поэтому

.仃為= рс(”厅十(3入十2ц)аТ%

а это совпадает с (6.73).

Используя соотношения (6.13) и (6.70), получить плотность энергии деформации для термоупругой среды.

Непосредственной подстановкой (6.70) в формулу (6.13) находим

"* =入8仃“庐#2+%产订一(3入+ 2口)叫了 (丁 一 TJ £牙2 =

Смешанные задачи

Доказать, что плотность энергии искажения формы 〃(%) для линейного упругого материала можно выразить через главные значения напряжений следующим образом:

«(D) = [91 — 0)2 +(0 — 5)2 + (。3 — СГ1)21/1 2G.

Как видно из результатов задачи 6.2, 〃%)= s^e^/2 = %$疗/46, что можно записать через компоненты напряжений так:

心严 ^ij —电产月"3) (%/ — f>i产рр, 3)/4G = (tr『ij —。吗//3)/4G.

В главных напряжениях это выражение примет вид

"(Q) = [of + (>2 + 03 ■- 91 +02 +03)91 +02 +03)‘3]:4G 0

=【2 (oj + o! + o! - од -02。3 -03。1)/3] 4G =

=[91 -甸2 十(02 -。3产 + (03 -。1再/12g

Используя выводы задачи 6.1, доказать, что для упругого материала。〃*，0&力=行^ и ди*/даи = е^.

В зацаче 6.1 было получено и* =入£/“2 十吟产炉 поэтому

阪*/施W=(浦2)同((鸣*陶+В"伊口川生洞+ 2%/俠依pj =

=(”2)【q%% 十 ей?>1р^ 十 2m%%%=(入/2)【%%0 + e"%|十2肥西=

=入36"十2%园=0m.

Аналогично, из равенства и* = [(1 + v) ^^ц — v%o〃]/(2E), полученного в задаче 6.1, имеем

du*/dopQ = [2 (1 + V)。〃❷自“ 一V (%科“ + о〃6“)]/(2Е)=

=[(1 + V) cpq - хЬр^^1Е =е“.

Представить плотность энергии деформации и* в виде функции инвариантов деформации.

В задаче 6.1 установлено, что 〃* =入％声疗/2 十卩以円广 Но, согласно (3.91), k = eu и 1% =(£以В"一也产")/2, и поэтому

〃* =入(1е)2/2 + Н[- 2Пе + (1Е)2]=(储2 十 н) (1е)2 一 2ИПе.

Рис. 6.10.Рис. 6.10.Цилиндрический вал длины L и кругового сечения радиуса а находится под действием пары сил в торцевом сечении, как показано на рис. 6.10. При этом отличными от нуля будут компоненты напряжения 。13 = — Gax2t и?? = Ga%i, где a — угол закручивания на единицу длины вала. Найти выражение для плотности энергии деформации и полную энергию деформации вала.

Рис. 6.10.

Рис. 6.10.

В силу результата задачи 6.1 и* = [(1 + v) S: 2 — v(tr S)2]Z(2E). В данном случае tr S — 0 и S:2 = 2G2a2r2, где г =片十 х|. Поэтому и* = Gd产⑵ Полная энергия деформации находится в виде интеграла

Ga2Ga2U =『u*dVU =『u*dVа 2л Л

Ga2

Ga2

U =『u*dV

U =『u*dV

22f f J NdrdBd/ = GaE43TL/4. ООО

2

2

2n a

Заметим, что так как 丁 = f J Ga (x；十岩)rdrdB = Gaa4n/2, to U =TaL/2, t. e. б о

U равна работе внешнего момента.

Доказать, что упругие свойства (закон Гука и плотность энергии деформации) среды, имеющей ось упругой симметрии порядка ^ = 2, и среды с одной плоскостью упругой симметрии совпадают.

Поворот осей на угол 0 = 2n/N = 2л/2 = л приводит к направлениям эквивалентных упругих свойств. Но в точности к тому же положению мы приходим при отражении относительно плоскости упругой симметрии.

Доказать, что матрицу (6.19), в которой Сп = С22 = С33, = С23, можно свести к виду (6.20) поворотом осей на произвольный угол 0 вокруг оси % (рис. 6.11).

Х[ в оси 々 даетсяХ[ в оси 々 даетсяsin О О- cos 0 0 ,О 1.sin О О- cos 0 0 ,О 1.Преобразование осейматрицей

Х[ в оси 々 дается

Х[ в оси 々 дается

sin О О- cos 0 0 ,

О 1.

sin О О- cos 0 0 ,

О 1.

-cos 0

&jl = —sin 8

а согласно (2.27), имеема согласно (2.27), имеем0

а согласно (2.27), имеем

а согласно (2.27), имеем

о；2 = (— sin 0 cos 0)。口 + (cos2 0 — sin2 0) Ci2 + (sin 0 cos 0) o22

или в обозначениях с одним индексом

< =(—sin 0 cos 0)。工 + (cos2 6 — sin2 0) п8 十(sin 0 cos 0) n2.

Точно так же, используя формулу (3.78) и учитывая (6.4), получаем

е^ = (— 2 sin 8 cos 6) 5 + (cos2 0 — sin2 0) % + (2 sin 0 cos 0) e2.

Но для изотропного тела о； = С^^в；, и, следовательно, в данном случае а2 —— 一 п± 2С44 (е2 ——ex). Наконец, в соответствии с видом матрицы (6.19) при указанных выше условиях будем иметь д =。“电 + С12 (е2 $ S)н % = Сие2 + 十。12(力 + 崂，и, значит, 02 — п^ (Сц—С12) (е2 — в) Таким образом, Си — —С12 = 2С44. Полагая С44 = pi, С12 =儿。口 =九十 2卩，приходим к форме (6.20).

Упругое тело, подчиняющееся закону Гука, находится в равновесии под действием массовых сил & и поверхностных сил /^п). Доказать, что полная энергия деформации равна половине работы внешних сил на перемещениях 〃「

Требуется доказать, что ^*^bjUidV + dS = 2]〃*d匕 Рассмотрим сна- VsV

чала интеграл по поверхности, в котором проведем замену £”)— о^Лу, и преобразуем его по теореме Гаусса — Остроградского:

£ 虫产叫dS = f ^dt{ d^^=^ ^ij^i + S产％)金匕

SvУ

Ho 虫产£j = S/(e〃 + to”)=虫产订，а из уравнения равновесия 0〃炉=—pb- Таким образом,

(t^UidS = -J pbiUidV 十 2 j (。，产 ”/2)dy

SVV

и теорема доказана.

Воспользоваться результатом задачи 6.32, чтобы установить единственность решения статических задач линейной теории упругости, допустив существование двух решений аП\ 限)и 喟)，〃？).

В линейной теории упругости законно применение метода суперпозиции решений, т. е. о〃. = о，?——о，，，〃£ = 〃?)一〃，)тоже будет решением при 历= =0. Для этого нового решения, как установлено в задаче 6.32, J ^u(dS = s

=2『以*d!Z. Так как оба исходных решения удовлетворяют граничным условиям, интеграл в левой части равен нулю, потому что на границе，")=《')——《勾 в соответствии с (6.32) и и( = и^ —и^ в соответствии с (6.30). Таким образом, У u*dV = 0, но, поскольку и* — положительно определенная функция, это возможно только тогда, когда 阳=喈—喈三 0, или 圖)=唠)・ Если деформации для двух допущенных решений равны, то по закону Гука равны и напряжения. Равны также перемещения с точностью до перемещений абсолютно твердого тела. Таким образом, единственность установлена.

Уравнения Навье (6.31) можно представить в форме V %，" + 7^7 ULH + Р& = 0,

которая в случае несжимаемости (v = 1/2) становится неопределенной. Для такого случая, используя уравнения равновесия, доказать, что 卩红工打 + 6//3 + pb, = 0.

Из уравнения (6.24) следует, что е„ = (1—2v) иц/Е, а при v = :/2 это даст £就壬 “ = 0. Таким образом, соотношение (6.24) имеет вид

2е0-./ = %,〃 十"м/ = 2 (1 十 V)%j/E - 2V①产&沙工

Но 〃/户=0 н Е = 3G, когда v = :/2； поэтому % 〃 == — pbi/G — %&/3G, или p.V2«t + 0^/3 + pbf = 0.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

Доказать, что для однородной изотропной упругой среды главные оси тензоров напряжений и деформаций совпадают.

Получить выражение плотности энергии деформации и* для ортотропной упругой среды. Использовать при этом формулы (6.14) и (6.19).

Ответ: и* = (Си® 十 2С12е2 + 2С13Вз)玩/2 十(С^а + 2c23%)网/2 +

+e33岂 + a 證 +055 京 +e66 够

Определить вид функции плотности энергии деформации для случаев: а) плоского напряженного состояния, б) плоской деформации.

Ответ: а) и* = [Оц 十 п|2 — 2vana22 + 2 (1 十 v) 0^/2E\

=(n+九，2) (В；[ +嗡)+^бне22十2n喩.

8 Дж. Мейз

Отт

Найти с (= const), при котором функции их = Л sin —у— (х± ± cQ, Ц! — ыз = 0 служат решением уравнения (6.35) при отсутствии массовых сил.

Ответ: с = У (入十 2ц)/р.

Доказать, что для изотропной линейно упругой среды плотность энергии искажения формы равна 以认)= ^1^ц —。£[ °7j/3)/4G, а плотность энергии расширения равна 〃($)= %。疗/18长.

Доказать, что 1/(1 十期)=2 (九 + 卩)"3入十 2卩)и v/(l —電)=Z/(Z + 2ц).

Доказать, что для плоской деформации, параллельной плоскости Х1Х2» компонента массовой силы Ь§ м 0, а компоненты Ь* и bz являются функциями ТОЛЬКО XI и х2.

Используя правило преобразования напряжений и деформаций, доказать, что упругие константы 5抉^ являются компонентами декартова тензора четвертого ранга, так что C'ijkm = а^а^а^С^.

Доказать, что функция напряжений Эри 屮=2斗十 12л:冠一6х| удовлетворяет бигармоническому уравнению V4(p = 0, и найти компоненты напряжений, считая деформацию плоской.

(

名—Зх^ —2х^х20、

-2xjX2力；十播 0 I，

о 02v(xf-^) /

Найти деформации, вызванные напряжениями задачи 6.43, и доказать, что уравнение совместности (6.44) удовлетворяется.

Ответ:

/%，- 3л^ — 2v (*；-君)—SXi^ 0\

% = 24 ('甘)I_ 2/力9^1 + X2 - 2v (M 一 啰 0 I,

\00 о/

Для упругого тела, имеющего ось симметрии порядка М= 6, доказать, что С22 = Сц» СББ = С* Свв = 2 (Сц ——Ci2), а из остальных упругих констант отличны от нуля только С13 и С33.

Доказать, что в упругой среде при потенциальных массовых силах р%=日屮=屮支 уравнение совместности (6.44) имеет вид 日％0ct = 日绅/(1 —v) в случае плоской деформации или 日乜以=(1 + ”)日* в случае плоского напряженного состояния.

Пусть V4Fj — 0. Доказать, что функции 血=2 (1 — v) MFjG — F/j〃G будут решением уравнений Навье (6.31), если 仇 № (см. задачу 6.12). Найти компоненты напряжений, когда F = В (x^i — ^е^/г, где г2 = х^.

Oirteem:。11== 022 ^5 6QGx工Xj卢,03з _^。，012== 3QG (^^ ^^)/r°,。13 (™

■—。23 = 3QGa^2*3/開，где Q = 4B (1 — *)/G.

Функция напряжений Эри задана в полярных координатах: Ф = ==Сг2 (cos 20—cos 2а), где С и а — постоянные. Найти величину С, если 呱= =0, о，е = т при 0 = а и о®® = 0, о，® = — т при 0 = — а.

Ответ: С = т/ (2 sin 2а).

Доказать что в задачах термоупругости при плоской деформации °зз = V(0ц + %2)— аЕ (Т — К) н

%0 =确ф* + 2卩%8 一 %6 (3 入 + 2n)a (Т-t0), а при плоском напряженном состоянии е33 = v (ou + cQ]E 十 a (T — Т^ и

%в =(1 + V)%0./Е - v%0%v/E + Sap (Г _ П)а.

Доказать, что в термоупругости уравнение совместности (6.44) можно записать через функцию напряжений Эри 屮=屮(xi, хз) в случае плоской деформации в виде 守屮=—aE^2 (Т — То)/(1 —v), а в случае плоского напряженного состояния — в виде 日鼻屮=—аЕ^2 (Т — То).

Глава 7

Жидкости

7・1・ Давление жидкости. Тензор вязких напряжений» Баротропное течение

В любой жидкости 1) в состоянии покоя вектор напряжения 靈 на произвольном элементе поверхности коллинеарен нормали п к поверхности и одинаков по величине для всех направлений в данной точке. Таким образом,

力'=az/П/ = —%几订 или f '=工・ n = —pon. (7.1)

Здесь ро ——величина напряжения, или гидростатическое давление. Отрицательный знак указывает на сжимающее действие напряжения при положительном значении давления. Каждое направление является главным, и из (7.1) следует, что

О"=—例6小 или Е —%L (7.2)

Это сферическое напряженное состояние, часто называемое гидростатическим сжатием. Из (7.2) видно, что касательные компоненты напряжения равны нулю в покоящейся жидкости.

При движении компоненты касательных напряжений в общем случае не равны нулю, и обычно в этом случае тензор напряжений представляют суммой двух слагаемых

о£/ = — рЪч + /〃 или Е = —р! + Г, (7.3) при этом Т/； называют тензором вязких напряжений, а р — давлением.

Все реальные жидкости — сжимаемые и вязкие. Однако эти свойства очень различны у разных жидкостей, и часто бывает возможно пренебречь этими эффектами в некоторых ситуациях без существенной потери точности в расчетах, основанных на таких предположениях. Согласно этому, невязкая, или так называемая идеальная, жидкость ——это такая жидкость, в которой хц тождественно равны нулю, даже если происходит движение. Напротив, вязкие жидкости — это такие, для которых нужно учитывать т“・ Для сжимаемых жидкостей давление р по существу то же самое, что и в классической термодинамике. Согласно (7.3), среднее

Понятие «жидкость» в этом тексте включает в себя как истинные жидкости, так и газы.— Прим, перев.

нормальное напряжение дается формулой

1/зП = —Р + %S, ИЛИ %® = —р + %Г. (7.4) Для покоящихся жидкостей 丁疗 обращается в нуль, а р сводится к р0, которое в этом случае равно взятому с обратным знаком среднему нормальному напряжению. Для несжимаемых жидкостей термодинамическое давление независимо от механических условий не определяется, и для таких жидкостей р нужно рассматривать как самостоятельную неизвестную механической природы.

В сжимаемых жидкостях давление р, плотность р и абсолютная температура Т связаны уравнением состояния

Р = Р (р, Т). (7.5) Примером такого уравнения состояния может служить известный закон совершенного газа

р = pRT, (7.6)

где R — газовая постоянная. Процессы в жидкости, подчиняющиеся уравнению состояния, которое не содержит температуры, т. е. имеет вид р = р (р), называются баротропными. Изотер ми веский процесс в совершенном газе— пример частного случая, в котором выполняется предположение баротропии.

7.2. Определяющие уравнения. Стоксовы жидкости.

Ньютоновы жидкости

Наличие в жидкости вязких напряжений связано с диссипацией энергии. При установлении определяющих соотношений для жидкостей в общем случае считают, что тензор вязких напряжений 工〃 является функцией тензора скоростей деформации О(/. Если эта функциональная связь нелинейна, что символически можно выразить формулой

Т" = fij (DP9), или Г = f (D), (7.7) то жидкость называется стоксовой. Если эта функция линейна, т. е. имеет вид

Т" = KtjpqDpq, или Г = К: D, (7.8) где константы K“pq называются коэффициентами вязкости, то жидкость называется ньютоновой. Некоторые авторы классифицируют жидкости просто как ньютоновы и неньютоновы.

Определяющие уравнения для изотропной однородной ньютоновой жидкости можно получить из (7.7) и (7.3), следуя точно такой же процедуре, которая была проделана с обобщенным законом Гука для упругих сред в гл. 6. Окончательная их форма такова:

илиили= — рб" + ^ijDkk + 2"*%,

или

или

Е = — pl + %*I (tr D) + 2(x*D,

где X* и ц* — коэффициенты вязкости жидкости. Из (7.9) можно найти среднее нормальное напряжение

%% = — 〃 + % (3¥ + 2*) Da = -P + £Dij

или(7.10)

% (tr £) = — р + % (3公 + 2們也 D) = — р + x* (tr D),

где x* = 1/3 (3V + 2|г*) называется коэффициентом объемной вяз- кости. Условие

х* = X* + 2/3Ц* = 0,(7.11)

известное как условие Стокса, утверждает, что давление 〃 определяется как среднее нормальное напряжение в покоящейся сжимаемой жидкости. В таком случае термодинамическое давление определено через механические напряжения.

Используя компоненты девиаторов 5〃 = оц — 5千加3 и。订 = = Dij —— SijDkk/З, приведенные выше уравнения (7.9) можно переписать следующим образом:

$订+%步曲々=一脸/ + 6" (X* + %ц*) Da + 2n切；厶

или(7.12)

S + %1 也 £) = 一 pl + I 夕十 2/зИ*) (tr D) + 2仪D'・

Учитывая соотношения (7.10), уравнения (7.12) можно записать в виде двух Групп уравнений:

s“ = 2 卩 *。"，или S = 2n*D[(7.13)

и〃 = — Зр + Зх*/)£ь или tr2 = — Зр + Зх* (tr D); (7.14) первая из них относится к эффектам сдвига, а вторая дает соотношение для изменения объема.

7・3. Основные уравнения ньютоновой жидкости.

Уравнения Навье — Стокса — Дюгема

При постановке задач о движении ньютоновой жидкости (или газа) основными уравнениями в эйлеровой форме будут следующие:

уравнение неразрывности (5.3)

Р + P^/.i = 0, или p + p(Vx • V)= 0;(7.15)

уравнения движения (5.16)

GiU + р仇=pbo или Vx • 2 + pb = pv; (7.16) в) уравнение энергии (5.32)

"=-^0/〃——^-ем 十马или g =十工:d——^Vx，c + z;

определяющие уравнения (7.9)

5/ = — Р&/ + ^bijDkk 4- 2[^Dlh

или(7.18)

工=—pl + АЛ (tr D) + 2MD;

уравнение состояния (7.5)

р = р(р, П(7」9)

Если учитываются тепловые эффекты, что очень часто бывает необходимо в задачах о движении жидкости, то требуются дополнительные уравнения, а именно:

закон теплопроводности Фурье (6.71)

q= — kTtli или с = —AVT;(7.20)

калорическое уравнение состояния

红= 〃(р, Т).一(7.21)

Система уравнений (7.15)——(7.21) содержит шестнадцать уравнений с шестнадцатью неизвестными и поэтому является замкнутой.

Если определяющие соотношения (7.18) подставить в уравнения движения (7.16) и воспользоваться определением 20订 =(已tj + + u/工)，то получатся так называемые уравнения движения Навье — Стокса — Дюгема:

pit = Р& —内 + 仇* + "*)%" + ^1,п,или(7.22)

pv = pb — Vp + (V + 炉丿 V (V • v) + n*V 2v.

Для несжимаемой жидкости (u；j = 0) уравнения (7.22) сводятся к уравнениям Навье—Стокса:

PS = Р& — P,f + N乜・〃，или pv = pb — Vp + p-*V2v. (7.23) Если выполнено условие Стокса (А,* = — 2/3pi*), то для такой сжимаемой среды из (7.22) получаются уравнения Навье — Стокса в форме

р& = р" —Рл +11^!41 + 卩乜川，

или(7.24)

pv = pb — Vp + ZQV(V v) + |a*V 2v.

Уравнения Навье — Стокса (7.23) вместе с уравнением нер з- рывности (7.15) образуют полную систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными: давлением р и тремя компонентами скорости иг. В каждой конкретной задаче решение этой системы должно еще удовлетворять граничным и начальным условиям, наложенным на напряжения и компоненты скорости. В вязкой жидкости в качестве граничных условий на неподвижной непроницаемой

поверхности принимается требование обращения в нуль нормальной и касательной компонент скорости. Это условие вытекает из экспериментально установленного факта прилипания, в результате которого жидкость приобретает скорость границы. Для невязкой жидкости на неподвижной непроницаемой поверхности требуется обращение в нуль только нормальной компоненты скорости.

Если уравнения Навье — Стокса записаны в безразмерной форме, то появляются некоторые коэффициенты в виде комбинаций из характерных значений параметров. Одним из наиболее важных и чаще всего используемых таких коэффициентов является число Рейнольдса N(r), которое выражает соотношение между силами инерции и силами вязкости. Так, если поток имеет следующие характерные параметры: линейный размер L, скорость V и плотность р, то числом Рейнольдса является отношение

N(r 尸VL2,(7.25)

где V = м*/р называется кинематическим коэффициентом вязкости. Для очень больших значений числа Рейнольдса влиянием вязкости на напряжения в уравнениях количества движения можно пренебрегать. В турбулентном потоке кажущиеся (турбулентные) напряжения действуют в осредненном по времени потоке таким же образом, как вязкие напряжения в ламинарном потоке. При отсутствии турбулентности при больших %向 силы инерции превосходят силы вязкости и жидкость ведет себя так, как будто она невязкая. Способность потока поддерживать турбулентные движения устанавливается по числу Рейнольдса. Определяющие уравнения (7.18) применяются для описания реальных жидкостей только в случае ламинарного течения.

Установившееся течение. Гидростатика.

Безвихревое течение

Движение жидкости будет установившимся, если компоненты скорости не зависят от времени. При этом производные dvjdt равны нулю, а материальная производная по времени от скорости

寸三0,=帚 + "%/・，или k = v = k + VxV, (7.26) уцрощается и принимает вид

v£ = Uj5小 или v = v • Vxv.(7.27)

Если скорость всюду равна нулю, то уравнения Навье — Стокса сводятся к равенству

р& = р,й или pb = V хр,(7.28)

и описывают состояние гидростатического равновесия. При наличии баротропии, когда р == р (р), можно ввести по определению

функцию давления

尸(Р)= .［普.(7.29)

Ро

Если к тому же массовые силы потенциальны, т. е.

d = — Qt, или b = — V а,(7.30)

то уравнение (7.28) принимает вид

仰 + Р)л = 0, или V (◎ + Р) = 0.(7.31)

Течение, в котором тензор завихренности (4.21)

匕尸等(需一需)，師 V=V2(v.V-V .v), (7.32) всюду равен нулю, называется безвихревым. Вектор завихренности % связан с тензором завихренности соотношением

?£ = &拉％/, или q = V“；(7.33)

поэтому этот вектор также обращается в нуль в безвихревом потоке. Кроме того,

qt = £泌玖加 или q = V х v.(7.34)

Но равенство V х v = 0 выражает необходимое и достаточное условие существования потенциала скорости 屮,значит, вектор скорости в безвихревом течении можно представить следующим образом: q=—屮& или V = — v(p.(7.35)

Идеальная жидкость. Уравнение Бернулли. Циркуляция

Если коэффициенты вязкости 九* и |i* равны нулю, то жндкссть называется невязкой или идеальной (без трения) и уравнения Навье— Стокса — Дюгема (7.22) превращаются в уравнения

(7.36)(7.36)PS = pbg—内， или pv = pb — Vp,

(7.36)

(7.36)

которые называются уравнениями движения Эйлера. Для баротропной жидкости при потенциальных массовых силах условия (7.29) и (7.30) можно ввести в уравнение (7.36), в результате чего получится

礼=—(◎ +「)&, или V = — V (£2 + Р).(7.37)

При установившемся движении (7.37) имеет следующую форму: "%/ = —(° + 尸)小 или у • Vv = — V (й + Р).(7,38)

Если уравнения Эйлера (7.37) проинтегрировать вдоль линии тока, то получится известное уравнение Бернулли (см. задачу 7.17):

а + Р + №/2 + § (加附/) dxt = С (/).(7.39)

При установившемся движении dvjdt = 0 и С (/) становится постоянной Бернулли С, которая, вообще говоря, различна для разных линий тока. Но если течение является к тому же и безвихревым, то постоянная С будет одной и той же во всем поле течения.

Когда из массовых сил действует только сила тяжести, то ее можно представить потенциалом ◎ = gh, где^ — постоянное ускорение силы тяжести, а Л — высота, отсчитываемая от некоторого уровня. Величина hp = P/g характеризует так называемый напор давления, a d 12g = к© ——скоростной напор. Уравнение Бернулли требует постоянства полного напора вдоль линии тока. Для несжимаемой жидкости это уравнение записывается следующим образом:

九 + 九"+ % =为 + p/pg + W2g = const. (7.40)

По определению циркуляцией скорости по замкнутой жидкой линии называют линейный интеграл

「с = § "0/, или 匸=§ V • dx.(7.41)

По теореме Стокса (1.153) или (1.154) линейный интеграл (7.41) можно преобразовать в интеграл по поверхности:

I\ = f 孔声订庐々jdS,или 匸=J n • (V x v) dS, (7.42)

ss

где n —— единичный вектор нормали к поверхности S, натянутой на данную линию. Если течение безвихревое, то V х v = 0 и циркуляция равна нулю. В этом случае подинтегральное выражение в (7.41) оказывается полным дифференциалом некоторой функции d(p =—v • dx, а эта функция ср представляет собой потенциал скорости.

Материальную производную dFJdf от циркуляции по времени можно найти, воспользовавшись формулой (4.60). В приложении к циркуляции (7.41) эта формула дает

二=§ (已〃々 + 已两3 или Г^, = ^ (v ■ dx + v • dv). (7.43)

Можно показать, что в баротропной невязкой жидкости при потенциальных массовых силах циркуляция постоянна. Это известная теорема Кельвина (Томсона) о постоянстве циркуляции.

Потенциальное течение.

Плоское потенциальное течение

Термин потенциальное течение часто используют для обозначения безвихревого движения, так как условие отсутствия вихрей V х V = 0 является одновременно необходимым и достаточным

для существования потенциала скорости 屮，через который компоненты скорости определяются по формулам (7.35). Для безвихревого течения сжимаемой жидкости уравнения Эйлера и уравнение неразрывности в некоторых случаях могут быть линеаризованы и совместно преобразованы, как это делается в акустике, к волновому уравнению

而=炉屮м илие=c2V 2中，(7,44)

где с — скорость звука в среде. В случае установившегося безвихревого течения сжимаемой баротропной жидкости уравнения Эйлера и уравнение неразрывности можно совместно преобразовать к следующему виду:

(с26г/ —已的)и戸=0,илис2V • V — v • (v • V v) = 0. (7.45)

Это так называемые уравнения газовой динамики.

Для потенциального течения несжимаемой жидкости уравнение неразрывности сводится к уравнению Лапласа

屮斯=0, или V2q)= 0,(7.46)

и решение его обеспечит нахождение компонент скорости по формулам (7.35). При этом должны также удовлетворяться граничные условия для скорости, например, на неподвижной непроницаемой границе 。中/От = 0. Вследствие линейности уравнения Лапласа существенной чертой этой постановки задачи является возможность использования метода суперпозиции решений.

В двумерном течении несжимаемой жидкости, параллельном плоскости 修修，^з = 0 и уравнение неразрывности имеет вид

= 0, или ▽ • V = 0,(7.47)

где, как принято в этой книге, греческие индексы принимают значения 1 и 2. В соответствии с (7.47) независимо от того, будет ли течение безвихревым, можно ввести функцию тока 屮=屮(хх, х2), такую, что

% = — Мз^э-(7.48)

Если плоское течение является к тому же еще и безвихревым, т. е.

% =-屮,必 или V = 一 ▽▽,(7.49)

то из равенств (7.48) и (7.49) видно, что функция тока и потенциал скоростей удовлетворяют условиям Коши ——Римана:

屮 J =电 2 и 屮,2 =—电 I.(7.50)

Исключая 屮玄屮 поочередно из уравнений (7.50), легко показать, что

ф,аа = 0,ИЛИу2 屮=о,(7.51)

电 аа = 0,ИЛИ守2 屮=о(7.52)

Таким образом, если течение безвихревое, то обе функции 屮 н， являются гармоническими. В силу этого можно ввести комплексный потенциал

①(z)=屮(хь *2)+ 方屮("1, *2),(7.53)

который будет аналитической функцией комплексного переменного 2 = %х + /х2> а его производная d①/dz определяет комплексную скорость

d①也=—s +切2・(7.54)

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

Основные свойства жидкостей.

Ньютоновы жидкости (§ 7.1—7.3)

Доказать, что девиатор s“ тензора напряжений сг〃, удовлетворяющего соотношению (7.3), равен f“ 一 девиатору тензора 工订,определенного тем же соотношением-

Из указанной формулы (7.3) найдем с” ^ ——3"十 qj следовательно,

sq = % —心产血3 = 一 pBfj + % — %• (— 3"十 тйй)/3 = % — %t在“3 —心.

7・2・ Определить среднее нормальное напряжение о〃/3 в несжимаемой стоксовой (нелинейной) жидкости, для которой 工订= =aDty + ffDikDkjt причем а и Р — постоянные.

Из (7.3) следует, что о〃 = — р6“ 十 а£)“・十 00沛1)同，и поэтому 。訐= =—3" + 境。门十 BDikD^. Ho Dik =。版 и 瓦上=勿 ^ = 0 для несжимаемой жидкости. Таким образом,

%/3 = — Р 十 BDjjDjj/3 = — р — 20 11口/3, где IID ——второй инвариант тензора скоростей деформации.

Ад и а батическое (или изэнтропическое) течение идеального (без трения) совершенного (подчиняющегося уравнению Клапейрона) газа представляет собой баротропное течение и описывается уравнением р = Ср", где С и ^ — постоянные, причем 々 =с")/с® — отношение теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме. Найти зависимости между температурой и плотностью, а также между температурой и давлением для данного процесса.

Подставляя р = Cpfe в уравнение состояния (7.6), находим соотношение между температурой и плотностью: р矗一【/Т = R/C = const. Кроме того, из уравнения Р = (р/с* и опять из уравнения (7.6) получим зависимость между температурой и давлением:卩仅一"凡/Т = &/d传=const.

7・4・ Написать определяющие уравнения для ньютоновой жидкости с нулевой объемной вязкостью х* = 0.

При м* 三 0, согласно (7.11),入* = —2ц*/3 и из (7.9) следует, что 行“= =—р^ц ——(2卩*/3) ^ijDkk + 2p*P^. Это выражение можно записать через девиатор тензора скоростей деформации

% = - "% + 2" * (% - 6中加3)=-"心7 + 2n*% .

Если ввести еще девиатор напряжений » то определяющие уравнения можно представить двумя соотношениями s“ = 2卩*0廿 н。証=—Зр.

Найти выражение для мощности напряжений cr〃Q疗 в ньютоновой жидкости с определяющими уравнениями (7.9).

При определяющих уравнениях (7.9) мощность напряжений по определению равна

%% =一叫/%"+九*鸟产々卢订十2"*%% = - pDu +入*%Q〃+2n*%%.

В символических обозначениях это равенство имеет вид

X:D = —p(trD) + Z* (tr D)2 十 2^*D : D.

Можно записать его через девиатор 口尸

〜% = - p分 + 入*0声， + 2H* (0可 + b^Dkkl^ (D£ + ％D"/3)=

=-区% + 工*BQ" + 2h*d/中 или в символических обозначениях

2 : D = — р (tr D) + к* (tr D)2 + 2fD< D〈

Написать условия, при которых среднее нормальное давление р(т)= — Ou/З равно термодинамическому давлению р в ньютоновой жидкости.

Второе из определяющих уравнений (7.14) дает 卩(巾)——р = y*Q". Таким образом, pg = р в следующих случаях: когда х* = 0 (т. е., как видно из (7.11), при Л* = — 2/3 pi*) и когда Dti = 0.

Проверить правильность написания уравнений движения Навье — Стокса — Дюгема ньютоновой жидкости (7.22) и найти, какой вид принимает уравнение энергии (7.17) для этой жидкости, если теплопроводность подчиняется закону Фурье (7.20).

Учитывая, что D££ = 忆，соотношения (7.18) можно написать в виде % = =—"%• + 乂巾产融 + R* % + %); тогда

%/ ^ — Pj^ij + ^*^ijvkrkj + н*(%〃 + q同)=—勺 + (入* + H*)巧毋 + н*%"・ Подставляя это выражение в (7.16), непосредственно проверяем выполнение (7.22).

Подставим вышеупомянутые формулы для % и закон Фурье (7.20) в уравнение энергии (7.17) и найдем

Р〃 = [— P^ij + 入*6产依 + R* (%/ 十 ％f)l(%j 十，/)/2 — &T,近 + P，

После некоторых преобразований получим

р" = - P%t + ^i^j.i + м*(%/ 十 +」)(％• +。戸)/2 —肛再十 pz.

Рис. 7.1.Рис. 7.1.Найти суммарную поверхностную силу Ть действующую на замкнутую поверхность S, содержащую объем V ньютоновой жидкости (рис. 7.1) с нулевым коэффициентом объемной вязкости.

Рис. 7.1.

Рис. 7.1.

Элементарная поверхностная сила равна dTf =吋)dS, а полная сила определяется интегралом 辞=，华)dS, который, используя свойства напряжений, можно представить в виде 冗= =，>卢，dS. При учете результата зада-

чи 7.4 в случае нулевого коэффициента объемной вязкости получаем

Tf = f (— Р^ц 4* 2卩*。寸)njdS.

Применив теорему Гаусса—Остроградского, это выражение можно записать так:7T ^Dij,j-P^dV-

В осесимметричном потоке в направлении оси х3 скорость является функцией х3 и г, где 产 = х? + л^. Найти, какой вид принимает при этом уравнение неразрывности, если вектор скорости представлен в форме v =鸥 + t/3e3, где ег — единичный вектор радиального направления.

VV3)=；耍十中.， UF(/Ад3)=；耍十中.， UF(/АдУравнение неразрывности в символических обозначениях имеет вид 5р/<5/+ + V • (pv) = 0 (уравнение (5.4)). В данном случае используем оператор V в цилиндрических координатах

V

V

3)=；耍十中.

， UF(/Ад

3)=；耍十中.

， UF(/Ад

Подставив его в (5.4) и проведя некоторые упрощения, получим искомый вид уравнения неразрывности:

г (Ор/。/) +。(rpg)/力 + 己(rpuj/。％ = 0.

7-10. В двумерном течении, параллельном плоскости х^, компонента скорости и3 и д/дх3 равны нулю. Написать для такого случая уравнения Навье — Стокса и уравнение неразрывности несжимаемой жидкости.

Уравнение (7.23) при i = 3 дает р&з == р3, а при(=1,2 дает 向《 = Р%— 一 P.a + 口*%,附 Уравнение неразрывности (7Л5) принимает вид %© = °・

Если массовые силы равны нулю н и〔 == и^ (xn x2l /), и? =。，р = р (xt, х2, /), то указанные уравнения принимают вид ри± — — др[дх* + ^* ©и*1 端 + d^vjdx^) н dvjdxx = 0.

Установившееся течение. Гидростатика. Безвихревое течение (§ 7.4)

7-11. Будем считать атмосферный воздух совершенным газом, температура которого меняется линейно с высотой Т = То — ах3, где TQ — температура на уровне Земли, а координата х3 отсчитывается от уровня Земли вверх. Определить атмосферное давление как функцию % в условиях гидростатики.

В этом случае из уравнения состояния (7.6) следует, что р~ pR (То — ах3). Так как из массовых сил действует только постоянная сила тяжести Ь3 =——g, уравнение (7.28) дает dp/dx3 = — pg = — pg/R (To — axj. Разделяем переменные и интегрируем: In р = jg/Ra) In (То— ах3)十 In С, где С— постоянная интегрирования, Таким образом, р = С (То — ax^Rat и если р = Ро при х3 = 0, то С= =%丁丁#Ra, и, следовательно, р == р0 (1 — ах^Т^^.

7-12. Баротропная жидкость описывается уравнением состояния р = Ар* где 入 и 右—— постоянные. Жидкость остается в покое в поле силы тяжести, действующей в направлении оси х3. Найти распределение давления в жидкости в зависимости от х3, если при / = 0 оно равно %.

Из уравнения равновесия (7.28) др/дх3 = — р&, др/дхг = др/дх2 = 0. Заметим, что при отсутствии у массовых сил компонент 匕工 и Ь? давление в направлениях л：! и х2 постоянно. При р = (р/九)1 传 уравнение равновесия дает 卩一信dp = =—g入—倡d&・ Интегрируя его, находим (k/(k—1)“依一"/" = —gL“勺з+ С・ Но р = ро при х3 = 0, откуда С=(比/候一1)) pff ・ Таким образом, х3 = =(加丿伊一1) gpj (1 — (P/Po)(D 信).где р0 亍(pGl^lk.

Широкий сосуд, наполненный несжимаемой жидкостью, движется с постоянным ускорением а = с2е2 + 〃3已3 в поле силы тяжести, направленном вдоль оси х3 (рис. 7.2). Найти наклон свободной поверхности жидкости в сосуде.

Из уравнений равновесия (7.28) dpfdxY — 0> dpfdx2 = р〃2 и др/дх3 = — р (g — a3). Ннтегрн- руем: р = ра2х2 + / (х3) к Р = — р (g — %) / 十 + h (х2), где / и Л — произвольные функции своих аргументов. Объединяя, получаем общую формулу для давления р = разха — р (g — &) х3 + + ро, где ро — давление в начале координат на свободной поверхности. Так как всюду на свободной поверхности "=网，то уравнение иско

мой свободной границы будет xdx3 = (g ——a3)/a2.Рис. 7.2.

7-14. Если течение жидкости происходит очень медленно, так что членами порядка квадрата скорости и выше можно пренебречь, то получается предельный случай, который известен под названием

ползущего движения. Доказать, что в таком случае в установившемся движении несжимаемой жидкости при нулевых массовых силах давление является гармонической функцией, т. е. V2P = 0.

Уравнения Навье — Стокса (7.23) для несжимаемой жидкости имеют вид

р (加"Of + 力％/) = р瓦一pti + №4" а для ползущих движений их можно линеаризовать, что дает

Р (加i例=Р%— Рд + ^*vijr

Отсюда видно, что при установившемся движении с нулевыми массовыми силами р .— р,* vf у.. Возьмем дивергенцию от обеих частей этого равенства: р,〃 = =N*&j(//• Считывая уравнение неразрывности vi £ = 0, получаем Р^ = V2P = =0. ''

Записать уравнение неразрывности и уравнения Навье — Стокса — Дюгема для безвихревого движения через потенциал скорости <р.

Согласно (7.35),虫=—(р р вследствие чего уравнение неразрывности принимает видр ——pV2(p = 0. Уравнения (7.22) при 虫=—屮工 запишутся следующим образом:

—р。/ = Pd・—Pi — (М + “*)屮j“ — “*%〃，

ИЛИ

-P (即，幽 + 中或，加=pbi - p,i -(九* + 2n*) Q*

Эти уравнения можно представить и в символических обозначениях:

—pV (d^jdt + (V(p)2/2) = pb — Vp — (A* + 2卩*) V (V2(p).

Найти функцию давления P (p) при баротропном течении жидкости с уравнением состояния р = 入р", где X и й— постоянные.

По определению (7.29)

Р S)= f勺=h呐f dP =昌I /7%=击信-管)• PoPo

Так как dp =入婚一】dp, этот же результат можно получить и иным путем:

Р (p)=卜卄2dp =名［pl b 占传 一 ^) •

Идеальная жидкость. Уравнение Бернулли.

Циркуляция (§7.5)

Интегрированием уравнений Эйлера (7.37) вдоль линий тока получить уравнение (7.39).

Пусть dxt — элементарное перемещение вдоль линии тока. Возьмем скалярное произведение этого перемещения на (7.37) и проинтегрируем:

J -^- *М + J vivitfixi + J ◎/尤工・ + J P/左=C (/).

Так как Q ^х( = dQ и Pjdj^ = dP, последние два интеграла сразу находятся. Кроме того, вдоль линии тока djQ = (vjb) ds, где ds — элемент расстояния. Таким образом, во втором интеграле

VjVc 3注=и产；/ (и〃0)ds =吵 j (叨и) ds =卩必 jdxj = v^dv^

=%叩^ = %№ н (7.39) получено.=%叩^ = %№ н (7.39) получено.Поэтому У VjVj р* = у v^dvi

=%叩^ = %№ н (7.39) получено.

=%叩^ = %№ н (7.39) получено.

Жидкость с уравнением состояния задачи 7.16 вытекает из большого закрытого резервуара через гладкую тонкую трубку; течение баротропное. Давление в резервуаре равно ^ атмосферам. Определить скорость истечения газа, считая давление в струе на выходе из резервуара равным атмосферному.

Применим интеграл Бернулли к установившемуся течению в двух точках: Л —— в жидкости, покоящейся внутри резервуара, н 8 —— на свободной поверхности вытекающей струи. Уравнение (7.39) дает ◎/+ 乙 + i/a^K = °в + + Рв + х/2^. Но vA — 0, и если пренебречь силой тяжести, то это уравнение примет вид (см. задачу 7.16)

Так как рв/рл =(匆历力厂""=N~"走，то окончательноТак как рв/рл =(匆历力厂""=N~"走，то окончательно编=编=2在2在рв（N也-、）便—1） Рврв（N也-、）便—1） Рв

Так как рв/рл =(匆历力厂""=N~"走，то окончательно

Так как рв/рл =(匆历力厂""=N~"走，то окончательно

编=

编=

2在

2在

рв（N也-、）便—1） Рв

рв（N也-、）便—1） Рв

Доказать, что в невязкой баротропной жидкости при потенциальных массовых силах скорость изменения циркуляции равна нулю (теорема Кельвина).

По формуле (7.43) Г© = $ (v^dx^ + v(dvi). Но для данного случая уравнения (7.37) сразу дают 虫=—(Q + Р) £, и поэтому

«с = § (— С Qxj — Р £dx£ + v£dv£)=

=—§ (dC + dP — d (*/2)) = — § d (C 十 P—也2) = 0

вследствие того» что подынтегральное выражение оказалось полным дифференциалом.

Найти циркуляцию скорости по контуру квадрата 尤】= = ±1,尤2 = ±1,尤3 = 0 (см. рис. 7.3) в двумерном течении с полем скоростей V = (хх + л:?) ei + (%； — xj еа

Рис- 7.3.Рис- 7.3.(2/ — 1) dxrdx2 = — 4.(2/ — 1) dxrdx2 = — 4.Воспользуемся символической записью формулы (7.42) прн п == е3 и VX v= (2^ — —1) е3:

Рис- 7.3.

Рис- 7.3.

(2/ — 1) dxrdx2 = — 4.

(2/ — 1) dxrdx2 = — 4.

К тому же результату можно прийти и из формулы (7.41):

(1 — #2)d尤2 +| (#1 + 1) d#i + f (1 一 #2)d#2 +(1 — #2)d尤2 +| (#1 + 1) d#i + f (1 一 #2)d#2 +Гс = ^ V • dx =

(1 — #2)d尤2 +| (#1 + 1) d#i + f (1 一 #2)d#2 +

(1 — #2)d尤2 +| (#1 + 1) d#i + f (1 一 #2)d#2 +

Здесь интегрирование начинается в точке Л н ведется против движения часовой стрелки.

Потенциальное течение.

Плоское потенциальное течение (§ 7.6)

Вывести уравнения газовой динамики (7.45) и записать эти уравнения через потенциал скорости <р.

Уравнение неразрывности (5.4) для установившегося течения будет р £vf + + р% / — 0, а уравнения Эйлера (7.36) дадут 叫必；+ pj = 0, если пренебречь массовыми силами. Из условия баротропии р = р (р) следует dp = (dp/dp) dp, или pj = (d〃/dp) р f = c2p p где c — местная скорость звука. Подставляя это выражение в уравнения Эйлера и умножая результат на 山,находим р&&/卄/ + + c^Vip £ =0. Из уравнения неразрывности c2Vjp £ =—с?%=—我产尸 н тогда для уравнений движения окончательно получаем (с26^— 也切)％/ = 6. Через потенциал скорости (р『 = — 我 эти уравнения записываются следующим образом: (с?% —(pz(p у)①同=0.

Доказать, что функция 屮=力(一xf—君 + 2圖)удовлетворяет уравнению Лапласа. Найти компоненты скорости и описать движение..

Подстановкой ф в уравнение (7.46) убеждаемся, что ——2Л——2Л + 4Л 三 0. По формулам (7.35) q = 2力玄，虫 = 24*2, S = —4Лх3. Используя результаты задачи 4.7, видим, что линии тока в плоскости xt имеют уравнение х^хз = const, а в плоскости / уравнение // = const. Таким образом, поток направлен вдоль оси х3 навстречу плоскости 修尤纟(натекание на твердую стенку).

Доказать, что функция тока 屮(хь х2) постоянна вдоль линии тока.

Из соотношений (7.48) и дифференциального уравнения линии тока dx^v^ = = dxjv2 (см. задачу 4.7) получаем — djq伸鼻= d/伸」，нлн ipjdjq 十 巾/费 = =dip = 0. Таким образом, вдоль каждой линии тока 屮=cpnst.

Рис- 7.4.Рис- 7.4.Проверить, что функция ф = Л (х?—嗡 может служить потенциалом скорости несжимаемой жидкости, и описать заданное ею течение.

Рис- 7.4.

Рис- 7.4.

Данная функция ① удовлетворяет уравнению (7.46) тождественно, так как 2Л — 2Д = 0. Компоненты скорости определяются формулами (7.49): S = —2ЛХ1, и? = 2Аха. Линии тока получаются интегрированием уравнения dxjxi = — dxz/xz и представляют собой гиперболы XiX2 = С с взаимно перпендикулярными асимптотами (рис. 7.4). Эквипотенциальные линии Л (х； — %о) = & образуют семейство таких же гипербол, ортогональных линиям тока. Наконец, из (7.50) най

дем функцию тока ф = — 2Лх1Х2 + Со, которая оказывается постоянной вдоль линий тока, как и утверждалось в задаче 7.23.

Дан потенциал скорости 屮=Ахг + BxJ产,где г2 = =х； + 君.Найти функцию тока 屮 для этого течения.

Согласно (7.50),屮[н—<р,2 = 2Вх/2“3 откуда интегрированием находим ■ф = —В/"* +『(尤2)，&е f (х2) — произвольная функция от ^2- Продифференцируем функцию тока:电？= 一月(君一啰"“ + 尸(/)• Но из (7.50) известно, что 屮 2 = ф 1 = Л + В (— Х[ + %》俨.Таким образом, ff (足)—А и f (х2) = Лх2 + С. Окончательно получаем 屮=Лх2 — В尤纟/产 +。・

Дифференцированием комплексного потенциала Ф (z)— =A/z получить компоненты скорости.

В данном случае d①/dz = — Д/г2= — 4(勺 + 配纟产，что после некоторых алгебраических преобразований можно записать следующим образом: dO/dz = — Л (х(— —^/r^ + i2Axvx2lr^. Таким образом,

% = 4 (蜡一^lr^и и? = 2Axixjd

Заметим еще, что если Ф = А/г =力(修一ix2)/r2, то ①=力融俨，а 屮=—Ах?吟 и мы снова получаем

5 = — ф J « Л(Х[ — ^1г^ и 立=一屮,2 = 2Ах/亦久

Смешанные задачи

Вывести уравнение неразрывности для одномерного течения несжимаемой жидкости в трубке тока (боковая поверхность трубки тока образована линиями тока).

Пусть V —— объем, заключенный между двумя произвольными сечениями Л и В трубки тока (рис. 7.5). Уравнение сохранения массы (5.2) в интегральной форме для этого объема при постоянной плотности р записывается в виде У V • vdV = 0. Преобразуем этот интеграл по теореме Гаусса — Остроградского;

Рис- 7.5.Рис- 7.5.это даст J п • vdS = 0, где п — единичный вектор внешней нормали к поверхности S, ограничивающей объем V. Из-за того что на боковой поверхности n J_ v, от интеграла остаются только члены [пл • 〃dS + j W • VgdS = 0.

Рис- 7.5.

Рис- 7.5.

s^ -Sb

Будем предполагать, что скорость распределена равномерно по сечению и перпендикулярна плоскостям сечений 5Л и S^. Вследствие того что vfi = —vBnBt получим ил j dS — vB j dS = 0 или v^S^ = vBSB = const.

SASB

7・28. В некоторой точке ньютоновой жидкости с нулевым коэффициентом объемной вязкости задан тензор напряжений

/-6

2

—1

2

—9

4

1

4

—3

Найти тензор т^.

Для такой жидкости, согласно (7.14), р = —о-/3 = 6. Тогда из соотношения (7.3) получаем

工订=叫+66订，илитf/= 2

Доказать, что тензоры а^- и т£/ в формуле (7.3) имеют одни и те же главные оси.

Напишем полностью все соотношения (7.3): ои = —р + %, о22 = —р + + 工22，^33 = Р + ^33» ^12 =工12，°23 = 丁23，5з =工13* В ГЛЭВНЫХ ОСЯХ 尤j ТСН30- ра Оц должны быть выполнены равенства о12 = и；§ — о13 = 0. Но последние трн уравнения из (7.3) при этом дают и*. —— О, если t ^ /. А это значит, что

оси xj оказываются главными и для тензора т^ тоже.

Для ньютоновой жидкости часто вводят диссипативный потенциал Ф0, определяемый формулой ①D=(乂/2)%D"+炉D；/)力. Доказать, что。①q/OD” = т^.

Пользуясь определением, находим

0①Dl^Dpq = (х/2)屮仃(ODj/ODp, + (dDu/dDp^ %] + 2p,* \Dq (OD^/dD^].

Ho 吗困％产 “p%=% и dD^dD^ = bipbjq — b£jdpq/3. Поэтому

。①D?0Dpq = 乂％% + 2p,* (Q“ — %Q加3) (“p6jg - 6订％：3)=

=HDii^pq + 2H*(4g - %卢*/3).

Наконец, вследствие того, что х = X* + 2р,*/3, получаем

0叫『”名#口 + 2H"。=%q.

Найти зависимость между давлением и плотностью в совершенном газе при условиях задачи 7.11.

При х3 = 0 имеем р = р0 и р = р0. Уравнение состояния совершенного газа в нашем случае будет иметь вид р = р/? (70 — а/) % следовательно, pa = p^RTj Из зависимости давления от высоты, определенной в задаче 7.11 как р = р0 (1—сс尤з/Tjg/Aa, можно получить р/ро = (丁/丁疝侬曲一". Равенство р = р0 (1 — ^х3/Т^е^а представим в форме р1рв = (Т1Т#'"\ откуда 77Tg = =(p/Ри)"01/” н окончательно находим р/р0= (р 'р^1^^^-

7・32. Доказать, что в баротропной невязкой жидкости при потенциальных силах материальная производная от полной завихренности выражается формулой 伞,q»dV = j v^jdSj.

По формуле (4.54), используя результат задачи 4.33, находим -^- j ^dV =

=f (先/绿 + ,/也)dS/・ Но в нашем случае^ согласно (7.37), 磔=一 (Q + Р)^, s

Тогда по теореме Гаусса — Остроградского (1.157) можно написать

J е泌仰 + D/dS/ = f %* (fi + P),&尹=О SV

вследствие того, что подинтегральное выражение равно нулю (как произведение симметричного и антисимметричного тензоров). Отсюда следует

f q^idSj.

VS

Несжимаемая ньютонова жидкость движется внутри закрытого покоящегося сосуда с твердыми стенками. Доказать, что если массовые силы отсутствуют, то скорость изменения со временем кинетической энергии жидкости будет равна —卩*，qzdV (q здесь означает модуль вектора завихренности).

Как было установлено в задаче 5.27, скорость изменения со временем кинетической энергии среды равна

普=j pb^dV — J UijVjjdV + < v^} dS.Vvs

В нашей задаче первый и третий интегралы обращаются в нуль, н для ньютоновой жидкости, используя (7.18), получаем

烁=Т GifijdV = -，(一 P%j 十 ^ijDkk 十 2ц*%) vlddV.VV

Но вследствие несжимаемости % = Di( = 0; поэтому

dKdK-2р f A产%dV = 一 炉 j (气/ 十D")vitfdV =—H* J ^kji^ ^，/^ =—炉 仇倒"勺力 W = — N* j qkQkdV--2р f A产%dV = 一 炉 j (气/ 十D")vitfdV =—H* J ^kji^ ^，/^ =—炉 仇倒"勺力 W = — N* j qkQkdV-УУУУУУ

dK

dK

-2р f A产%dV = 一 炉 j (气/ 十D")vitfdV =

—H* J ^kji^ ^，/^ =—炉 仇倒"勺力 W = — N* j qkQkdV-

-2р f A产%dV = 一 炉 j (气/ 十D")vitfdV =

—H* J ^kji^ ^，/^ =—炉 仇倒"勺力 W = — N* j qkQkdV-

У

У

У

У

У

У

Доказать, что в идеальной жидкости при отсутствии массовых сил скорость изменения циркуляции Гс выражается интегралом

—J £订走(l/P)j%dS「

По формуле (7.43)悪 = § V[dx( + ^ v(dv[. Но второй из интегралов обращается в нуль, так как § d (〔/纟球)=0. Из уравнения (7.36) при &£ = 0 имеем & = ——р |/р; следовательно,

Гс =—夕(Р,"Р) 5 =—『先/ (p,〃p).*dS.

Здесь использована формула (7.42) для преобразования линейного интеграла в интеграл по поверхности. Выполняя указанное дифференцирование» находим

& = - J %抉 К1/Р),产$ + P,fe//Pl dSz = - j" %抉(1/р),严川S,.

S

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

Даны определяющие уравнения изотропной жидкости 。可=—рб^ + + KjjpqDpq, где Kijpq ——постоянные, не зависящие от координат. Доказать, что главные оси тензора напряжений и тензора скоростей деформации совпадают.

место равенствоместо равенствожидкости с нуле- двумя группамижидкости с нуле- двумя группамиДоказать следующее утверждение: если имеет dp/d/ = 0, то в ньютоновой жидкости —о^/З = р.

место равенство

место равенство

жидкости с нуле- двумя группами

жидкости с нуле- двумя группами

Доказать, что определяющие уравнения ньютоновой вым коэффициентом объемной вязкости можно представить уравнений: 5订=2p,*D- и —0式=Зр.

Доказать, что, используя вектор завихренности q, уравнения Навье — Стокса для несжимаемой жидкости можно записать следующим образом: v = b — — Vp/p — v*V X q, где v* = p,*/p — кинематический коэффициент вязкости. Показать, что для безвихревого движения эти уравнения приводятся к виду (7.36).

Движение жидкости происходит по радиусам со скоростью v = v 亿 fl, где г? = x/Xf. Доказать, что уравнение неразрывности имеет вид

Of 丨 dr г2 dr

Жидкость вращается как твердое тело с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси х3. Из массовых сил действует только сила тяжести. Доказать, что р/р — N产/2 + g#3 = const.

Имеем совершенный газ в поле силы тяжести в условиях изотермии (при постоянной температуре То). Доказать, что р/р0 = р/р0 = ©Tg/RT/G, где Ро н Ро — плотность и давление при 冷 п 0.

Массовые силы потенциальны, т. е.瓦=——Q ., и процесс баротропный. Доказать, что для безвихревого движения можно проинтегрировать уравнения Навье — Стокса — Дюгема и получить соотношение

-р (即*f + (V 嘅/2) + pQ 4- Р + (X* + 2ц*)守屮=/(О (см. задачу 7.15).

Показать, что в невязкой жидкости при потенциальных массовых силах и постоянной плотности векторы скорости и завихренности связаны соотношением Of ——%№ / = 0. Доказать, что для стационарного потока той же жидкости %q&,=>

Доказать, что для баротропного процесса, в котором р = р (р) и функция Р (р) определена формулой (7.29), выполняется равенство grad 户=grad р/р.

Доказать, что уравнение Бернулли (7.39) при установившемся движении совершенного газа записывается в виде:

Q + р 1п (р/р) + №/2 = const при изотермическом течении;

О + ［也/ 伍一D1 (р/р) + 闾2 = const при изэнтропическом течении-

Доказать, что поле скоростей 齿=—2心修/俨，v2 = (x| — x^i x3/r4, 屯=x^r2. где 产 =x； + 君 + 宮，возможно при движении несжимаемой жидкости-

Будет ли это движение безвихревым? Ответ: да.

+ lip является аналитической функцией ге1^. Показать, что в полярных коорди- 。巾+ lip является аналитической функцией ге1^. Показать, что в полярных коорди- 。巾1 5чЬ 1 5ф7до" и 丁而1 5чЬ 1 5ф7до" и 丁而Потенциал скорости d)⑵=① комплексного переменного г — xr + ix2 =

+ lip является аналитической функцией ге1^. Показать, что в полярных коорди- 。巾

+ lip является аналитической функцией ге1^. Показать, что в полярных коорди- 。巾

1 5чЬ 1 5ф

7до" и 丁而

1 5чЬ 1 5ф

7до" и 丁而

dip натах -^ дг

Глава 8

Теория пластичности

Основные положения и определения

Упругие деформации, которые изучались в гл. 6, обладают свойством полного восстановления недеформированного состояния после снятия приложенных нагрузок. Кроме того, упругие деформации зависят только от величины напряжений и не зависят от истории деформирования или нагружения. Любая деформация, возникающая как ответная реакция материала на приложенные нагрузки или изменения в окружающей среде и не подчиняющаяся определяющим законам классической теории упругости, может рассматриваться как неупругая деформация. В частности, необратимые смещения, которые получаются в результате скольжения или дислокаций на атомном уровне и как следствие ведут к остаточным изменениям размеров, называются пластическими деформациями. Такие деформации имеют место только при интенсивности напряжения выше некоторого порога, известного как предел упругости или предел текучести. Будем обозначать этот предел оу.

Основные проблемы теории пластичности состоят в математической формулировке соотношений между напряжениями и деформациями, соответствующих феноменологическому описанию пластических деформаций, и в установлении правил определения количественных критериев для указания начала наступления пластичности. С другой стороны, изучение пластических деформаций с микроскопической точки зрения относится к области физики твердого тела.

Термин пластическое течение широко используется в теории пластичности для обозначения процесса пластического деформирования. Однако в отличие от течения жидкости, при котором предполагается движение частиц среды» понятие пластического течения относится к непрерывному изменению суммарной деформации, а скорость представляет собой скорость деформации. В самом деле, твердое тело в состоянии пластичности может испытывать касательные напряжения, оставаясь в покое.

Многие основные понятия теории пластичности можно ввести непосредственно, рассматривая диаграммы зависимости напряжений от деформаций при испытании некоторого гипотетического материала на простое одноосное растяжение (или сжатие). Такая диаграмма представлена на рис, 8.1. На этой схеме ст — условное напря-

жение (сила, деленная на начальную площадь сечения), тогда как в качестве е можно взять либо обычную (техническую) относительную деформацию, определяемую формулой

(8.1)(8.1)е = (L — L^/Lq,

(8.1)

(8.1)

где L — текущая длина образца, а 及——его начальная длина, либо натуральную (логарифмическую) относительную деформацию, определяемую формулой

e = ln (L/L0) = ln(l +е) = е— е2/2 + О (е3).(8.2)

Для малых деформаций эти две их меры почти равны, как видно из (8.2), и часто допустимо пренебрегать разницей между ними.

г, соответствующая предельному на- кривую напряжение — дефорь4ацияг, соответствующая предельному на- кривую напряжение — дефорь4ацияПредел текучести то " пряжению оу, раздел на рис. 8.1 на упругую область и пластическую область. К сожалению, предел упругости разные авторы определяют по- разному. Иногда он берется как предел пропорциональности и лежит в верхнем конце линейной части кривой. Иногда за него принимают точку которая называется пределом текучести Джонсона и поРис- 8」.

г, соответствующая предельному на- кривую напряжение — дефорь4ация

г, соответствующая предельному на- кривую напряжение — дефорь4ация

определению представляет собой точку, где наклон кривой достигает 50% от своего первоначального значения. Есть и другие способы определения предела текучести. Так, один из них принимает за предел текучести такое значение напряжения, которое дает 0,2% остаточной деформации.

В начальной упругой области, которая может быть как линейной, так и нелинейной, увеличение нагрузки заставляет точку, изображающую напряженно-деформированное состояние, двигаться вверх по кривой, а уменьшение нагрузки (разгрузка) ведет к движению точки вниз по тому же самому пути. Таким образом, в упругой области существует взаимно однозначное соответствие между напряжением и деформацией.

В пластической области дело обстоит иначе. При разгрузке от некоторого состояния, например В на рис. 8.1, точка, изображающая состояние, следует по пути ВС, практически параллельному линейной упругой части кривой. В точке С, где напряжение достигает нуля, обнаруживается остаточная пластическая деформация ер.

На рис. 8.1 символом е обозначена восстановленная упругая деформация, соответствующая точке В. При повторной нагрузке точка, изображающая состояние, движется из С обратно к В по пути, очень близкому к ВС, но не попадает точно в В !), и из-за потери энергии в цикле разгрузка — нагрузка образуется небольшая петля гистерезиса. После возвращения к точке В требуется увеличение нагрузки, чтобы вызвать дальнейшую деформацию. Это явление связано с так называемым свойством упрочнения материала. Итак, ясно, что в пластической области напряжение зависит от всей истории нагружения или деформирования среды.

Хотя известно, что температура оказывает существенное влияние на пластическое поведение реального материала, в теории пластичности часто принимают условие изотермии и считают температуру просто параметром. Точно так же на практике в общепринятой теории пластичности обычно пренебрегают влиянием скорости нагружения на диаграмму напряжение—-деформация. В соответствии с этим пластические деформации считаются не зависящими от времени и изучаются отдельно от таких явлений, как ползучесть и релаксация.

Идеализироваиные диаграммы пластического поведения

Многие из трехмерных теорий, изучающих пластическое поведение, можно рассматривать как некоторое обобщение ряда идеализированных одномерных диаграмм зависимости напряжения от деформации. Четыре из наиболее часто употребляемых диаграмм такого рода представлены на рис. 8.2 вместе с простыми механическими схемами осуществления каждой из них. В этих схемах перемещение массы М имитирует пластическую деформацию, а сила F играет роль напряжения. ・

На рис. 8.2, а упругая область и явление упрочнения полностью отсутствуют, тогда как на рис. 82 б существует упругая зона, предшествующая пределу текучести, а упрочнения нет. При отсутствии упрочнения деформация называется идеально пластической. Представления а н 6 наиболее полезны при изучении ограниченных пластических деформаций, когда большие деформации запрещены. На рис. 8.2, 6 упругая зона отсутствует, а упрочнение предполагается линейным. Эта модель, так же как и модель, представленная на рис. 8.2, г, широко используется при изучении не ограниченного внешними условиями пластического течения.

Диаграммы напряжение—деформация, изображенные на рис. 8.2, именуются в тексте кривыми растяжения. Кривая сжатия для неде- формированного предварительно образна (при отсутствии истерии

»/%"〃，//"〃〃/〃/〃/

—£

M g—W/Щ A 广

m T

力力〃"力""""，""〃勿互

^—WM~

а — жестко-идеально-пластический материал； 6 — упруго^идеально-пластический материал; в ——жесткопластический материал с линейным упрочнением; г — упругопластический материал с линейным упрочнением. Во всех механических моделях существенно трение между массой М и горизонтальной плоскостью, пластического деформирования) обычно представляет собой отражение кривой растяжения относительно начала координат. Однако если изменение напряжения на обратное (растяжения на сжатие или наоборот) производится для материала, уже находящегося в пластическом состоянии, то наблюдается определенное уменьшение напряжения предела текучести при втором типе нагрузки. Это явление называется эффектом Баушингера и в этой книге рассматри- раться не будет.

Условия пластичности. Критерии Треска и Мизеса

Условие (или критерий} пластичности является важным обобщен нем на трехмерное напряженное состояние понятия предела текучести для одноосного растяжения. С математической точки зрения условие пластичности представляет собой соотношение между компонентами напряжений в точке, которое должно быть выполнено, когда в этой точке начинается пластическое поведение *). В общем случае условие пластичности можно записать уравнением f ®『)=Су,(8.3)

где Су — постоянная текучести. Иногда это условие задают уравнением

&(0力=0,(8.4)

в котором fi(0*1；) называется функцией текучести^

Для изотропного материала условие пластичности не должно зависеть от направлений и поэтому может быть выражено в виде функции инвариантов напряжения, или, что все равно, в виде симметричной функции главных напряжений. Тогда равенство (8.3) можно представить следующим образом:

%(5, ^п» 5н) = Су.(8.5)

Кроме того, эксперименты показывают, что для многих сред (в частности, дла металлов) напряжение всестороннего сжатия не вызывает пластических деформаций. Поэтому обычно считают, что в условии пластичности фигурирует функция инвариантов девиатора напряжений

%(%1%) = 0.(8.6)

Из многочисленных условий пластичности, которые были предложены, два приемлемо просты математически и в то же время достаточно точны, чтобы быть весьма полезными при изучении начальной стадии пластичности изотропных материалов. Это условия (критерии) Треска и Мизеса.

Критерий текучести Треска (теория максимального касательного напряжения).

Согласно этому критерию, пластическое поведение начинается тогда, когда максимальное касательное напряжение достигает заданной величины Су. Проще всего критерий Треска записывается в главных напряжениях. Так, при 5 > ац > ащ критерий Треска в соответствии с формулой (2.546) выглядит так:

%(S —chi) = Су == const.(8.7)

Иногда (обычно для сред без упрочнения) это условие называют условием (критерием) текучести. В дальнейшем будут использоваться оба эти термина.— Прим, pel

Чтобы установить связь между постоянной текучести Су и пределом текучести при простом растяжении ау, найдем максимальное каса

тельное напряжение при простом растяжении в условиях пластич-

а — простое растяжение; 6 — чистый сдвиг.

оказывается равным(Гу/2. Поэтому критерий Треска выражается через предел текучести при простом растяжении следующим образом: di — о"ш = о*у.(8.8)

С той же целью установления величины постоянной Су можно использовать предел текучести в процессе, который называют чистым сдвигом. Так, если предел текучести при чистом сдвиге равен 財 то величина постоянной Су равна k (этот результат опять сразу получается из кругов Мора на рис, 8.3, 6) и критерий Треска записывается равенством

0*1 — 6 н = 2 財(8.9)

Критерий текучести Мизеса (теория энергии искажения формы)

Согласно этому критерию, пластическое поведение начинается тогда, когда второй инвариант девиатора напряжений достигает некоторого критического значения. Математически критерий Мизеса записывается так:

-1&° = Су,(8.10)

или через главные напряжения так:

(5 — стц)2 + ®i — uni)* +(6n —б)? = 6Cy. (8.11) Рассматривая простое растяжение, легко показать, что (8.11) можно записать в виде

(6 — стн)2 +(5i — 6н)2 +(6n — 6户=2oy .(8.12)

Критерий Мизеса (8.11) также можно записать и через величину k — предел текучести при чистом сдвиге:

(S —ац)2 +(5i — 6п)а + (Sii — 5)2 = 6旣 (8.13)

Существует несколько вариантов представления соотношений (8.12) и (8.13), когда используются другие компоненты напряжения, отличные от главных.

Пространство напряжений. П-плоскость. Поверхность текучести

Пространство напряжений определяется тем, что в качестве меры расстояний вдоль осей координат берутся величины напряжений. В пространстве главных напряжений (пространстве Хея——Вестергарда), изображенном на рис. 8.4, по осям координат откладываются главные значения тензора напряжений. Каждая точка такого пространства соответствует некоторому напряженному состоянию. Радиус-вектор ОР любой точки Р (g (Гц, би) может быть разложен на две компоненты: ОА — вдоль прямой 0Z, которая составляет равные углы с осями координат, и ОВ — в плоскос

ти, перпендикулярной 0Z и проходящей через начало координат (эта плоскость известна под названием П-плоскости). Компонента вдоль 0Zt для которой Ci = si =5ii, представляет гидростатическое давление, а компонента в П-плоскости — девиаторную часть напряжения. Легко показать, что П-плоскость имеет уравнение

6 + 5i + Сш = 0- (8.14)

В пространстве напряжений условие (8.5) f2 (s, 5i, 6н) = Су определяет некоторую поверхность; эта поверхность называется поверхностью текучести. Если принять, что условие пластичности не зависит от гидростатического напряжения всестороннего сжатия, то соответствующие поверхности текучести являются цилиндрами с образующими, параллельными 0Z. Точки пространства напряжений, которые лежат внутри цилиндрической поверхности текучести, соответствуют упругому напряженному состоянию, а точки, лежащие на поверхности текучести, представляют начальное пластическое напряженное состояние. Пересечение поверхности текучести С П-плоскостью называется кривой текучести.

Если посмотреть вдоль прямой OZ в направлении к началу координат — точке О, то станет ясно, что проекции осей координат на П-плоскость оказываются расположенными симметрично под углом 120° одна к другой, как показано на рис. 8.5, а. Кривые текучести, соответствующие критериям Треска и Мизеса, изображены на П-плоскости на рис. 8.5, б и 8.5, 6. Кривые на рис. 8.5, б соответствуют уравнениям (8.7) и (8.11), и за основу (точку, через которую должна проходить кривая) принято пластическое напря-

Рис. 8-5.

женное состояние при простом растяжении. В такой ситуации окружность Мизеса радиуса К2/3 оу оказывается описанной около правильного шестиугольника Треска. На рис. 8.5, 6 обе эти кривые текучести имеют в качестве базиса предельное напряжение текучести k при чистом сдвиге. В этом случае окружность Мизеса вписана в шестиугольник Треска.

Положение на П-плоскости проекции произвольной точки напряжения Р(5, Пц, ащ) находится непосредственным проектированием, так как каждая из осей координат пространства напряжений составляет с П-плоскостью угол, косинус которога равен /2/3. Таким образом, компоненты девиаторной проекции равны (]/2/Заь К2/3 ац, /2/3 аш). Решение обратной задачи ——определение компонент напряжения для какой-либо точки П-плоскости — оказывается не единственным, так как гидростатическая компонента напряжения может принимать какое угодно значение.

8・5・ Поведение материала за пределом текучести.

Изотропное и кинематическое упрочнение

Продолжение нагружения после достижения начального предела текучести приводит к пластическим деформациям, которые могут сопровождаться изменениями первоначальной поверхности текучести. Если материал предполагается идеально пластическим, то поверхность текучести не изменяется в процессе пластического деформирования и начальное условие пластичности остается в силе. Этому соответствуют одномерные диаграммы напряжение—.деформация,

изображенные на рис. 8.2,а и 8.2,6. Однако для материала с упрочнением пластическое деформирование в общем случае сопровождается изменениями поверхности текучести. Для учета таких изменений необходимо обобщить функцию текучести & (仇力 в формуле (8.4), чтобы она могла задавать изменения поверхности текучести при деформировании (при этом поверхность текучести часто называют поверхностью нагружения). Такое обобщение достигается введением функции нагружения

fi (Sj, eG> К) = 0, (8.15) которая зависит не только от напряжений, но также и от пластических деформаций е^ и характеристик упрочнения, представленных параметром К・ Уравнение (8.15) дает поверхность нагружения, что означает следующее: fi^=0 определяет границу упругой зоны, 力 V。соответствует упругой зоне внутри поверхности напружения, a fi > 0 соответствует области вне^поверхности нагружения и смысла не имеет.

Найдем полный дифференциал функции (8.15):

* 哂 р

"1 = TS^而"+ "&7 十"К. (8.16)

Если f； = 0 и (df；/d喻 d^ij V 0, то говорят, что имеет место процесс разгрузки; если /；工 0 н (df；/doij) do；/= 0, то мы имеем ней- тральное нагружение; если fi = 0 и (dfl/doij) dGij>0, то происходит процесс активного нагружения. Тот способ, каким пластические деформации е^ входят в функцию (8.15) в процессе нагружения, определяется законом упрочнения. Здесь описываются два наиболее простых из этих законов.

Рис. 8.6.

о — окружности Мизеса; 6 — правильные шестиугольники Треска.

Гипотеза изотропного упрочнения при нагружении постулирует, что поверхность текучести просто увеличивается в размерах, со-

храняя при этом свою начальную форму. Кривые текучести в П-плоскости для критериев Мизеса и Треска будут концентрическими окружностями и правильными шестиугольниками соответственно (рис. 8.6).

При кинематическом упрочне- 广^、^厂" \.

нии начальная поверхность теку- /。./ 卜

чести поступательно перемещается L /\ ° ]

в новое положение в пространстве напряжений без изменений разме-Рнс. &7.

ров и формы. Тогда формулу (8.4), задающую начальную поверхность текучести, нужно заменить следующей:

8 (% — а“)= 0,(8.17)

где се” ——координаты центра новой поверхности текучести. Если упрочнение предполагается линейным, то

“у = с“，(8.18)

причем с—постоянная. В одномерном случае кривая текучести Треска переносилась бы так, как показано на рис. 8.7.

Соотношения между напряжениями и деформациями в пластическом состоянии. Теория пластического потенциала

Как только возникают пластические деформации, определяющие уравнения теории упругости перестают быть верными. В силу того что пластические деформации зависят от всей истории нагружения материала» в теории пластичности соотношения между напряжением и деформацией очень часто формулируют через приращения деформации. Это так называемые инкрементальные теории, или теории течения. Например, уравнения Леви — Мизеса, при записи которых пренебрегают упругой частью деформации и предполагают, что главные оси тензоров приращений деформации и напряжений совпадают, связывают приращения полной деформации с компонентами девиатора напряжений следующим образом:

方阳=SijdK(8.19)

Здесь коэффициент пропорциональности d入 дается в дифференциальной форме, чтобы подчеркнуть, что приращения деформации связаны с конечными компонентами напряжений. Множитель dX может меняться в процессе нагружения и является поэтому скалярной функцией, а не фиксированной постоянной. Соотношения (8.19) представляют закон течения для жестко-идеально-пластического материала.

Разложив приращения деформации на упругую и пластическую части:

deij = d禹 +(8.20)

9 Дж. Мсй>

и связав приращения пластической деформации с компонентами девиатора напряжений:

d崂=8招A，(8.21)

мы приходим к уравнениям Прандтля—Рейсса. Формулы (8.21) представляют закон течения упруго-идеально-пластического материала. Они устанавливают связь между приращениями пластической деформации и девиатором текущих напряжений, но не дают самих величин приращений деформации.

Функцию компонент напряжения g (&歹),которая обладает следующим свойством:

由多 ~ ~^7 dA,(8.22)

называют пластическим потенциалом. Для так называемого устойчиво пластического материала такая функция существует и тождественно совпадает с функцией текучести. Если к тому же функция текучести взята в виде f^ij)= "工小 то равенства (8.22) превращаются в уравнения Прандгля — Рейсса.

Эквивалентное напряжение.

Эквивалентное приращение пластической деформации

Для математической формулировки закона упрочнения полезно определить эквивалентное, или эффективное, напряжение Gkb формулой

备kB == -р=- [1(^11 -。22户 + (022 - 0f33)2 + (0"33' all)3] +

+ 6 (ст 12 + <?23 + 0*31)} ^1 •(8.23)

Кратко это выражение можно записать так:

бкв = }r3sijSii/2 = Y— 311 工q .(8.24)

Подобным же образом вводится эквивалентное, или эффективное, приращение пластической деформации

血，=(% [(det — d 或)2 + (de 叁 一 d 或产 + (d 成一d/)，+

+ %【(必宙2 + (dea)2 + 磔或)2]}% .(8.25)

Его компактная форма имеет вид

如，工 I'/dEfdef(8.26)

Используя эквивалентные напряжения и приращения пластической деформации, определенные соответственно формулами (8.24)

и (8.26), получим выражение для коэффициента d入 из соотношения (8.21):

М =(8.27)

N °ЭКВ

Работа на пластических деформациях.

Гипотезы упрочнения

Скорость, с которой напряжения совершают работу на деформациях, или так называемая мощность напряжений, была определена для единицы объема формулой (5.32) как о“0〃-. Согласно (4.25), d&j = Dijdt, поэтому можно ввести приращение работы в единице объема:

dW = s/d%,(8.28)

Применяя разложение (8.20), эту величину тоже можно представить суммой

dW = б, (d需• + de£) = dWE 十 dWp .(8.29)

Для пластически несжимаемого материала приращение работы на пластических деформациях буд^т равно

dWP = и”嗡—Sijd“.(8.30)

Если к тому же этот материал подчиняется уравнениям Прандтля — Рейсса (8.21), то приращение работы на пластических деформациях представляется выражением

dWP =吗“£，,(8.31)

а (8.21) принимает вид

皤=-|■绊±S".(8.32)

°экв

Из всех гипотез, предложенных для расчета мгновенных пластических напряжений при пластическом деформировании материала с изотропным упрочнением, наибольшее распространение получили две: энергетическая и деформационная. Энергетическая гипотеза упрочнения заключается в том, что мгновенная поверхность текучести зависит только от полной работы на пластических деформациях. Итак, через полную работу на пластических деформациях, которая дается интегралом

WP = У OifdEQ ,(8.33)

критерий пластичности выражается в символических обозначениях равенством

(8.34)(8.34)&W) = F”P),

(8.34)

(8.34)

в котором точный вид функциональной зависимости должен быть определен экспериментально. Деформационная гипотеза упрочнения состоит в том, что упрочнение определяется величиной пластических деформаций. Через полную эквивалентную деформацию

] d^KB(8.35)

закон упрочнения в символических обозначениях представляется соотношением

&(%) = "(£，)，(8.36)

в котором вид функциональной связи находится из экспериментальной зависимости напряжение — деформация при одноосном испытании материала. Можно показать, что для критерия Мизеса законы упрочнения (8.34) и (8.36) эквивалентны.

Деформационная теория пластичности

При изучении пластических деформаций наряду с теорией течения, которая основывается на уравнениях (8.19) и (8.21) и связывает приращения деформаций с напряжениями, существует так называемая деформационная теория пластичности Генки, в которой предполагается зависимость между напряжениями и полными деформациями. Эти соотношения имеют вид

&/=№ + 1/(2G)”“，(8.37)

е» = (1 — 2v) о〃/Е.(8.38)

Параметр Генки 屮 можно выразить через эквивалентные напряжения и деформацию

屮争'；(8・39)

здесь嗫^ = V 2е^-е^-/3 и, таким образом,

^i = ~|~ 费旦 &/•(8.40)

/ иэкв

Задачи упругопластичности

Ситуации, в которых и упругие, и пластические деформации, возникающие в теле при нагружении, имеют примерно одинаковый порядок, обычно относят к задачам упругопластичности. Много широко известных задач такого типа встречается в теории балок и теории кручения валов, а также в исследовании толстостенных труб и оболочек, находящихся под давлением. В общем случае постановка задач в упругой зоне, пластической зоне и на границе между ними включает следующие соотношения.

Упругая область:

уравнения равновесия (2.23),

связь между напряжениями и деформациями (6.23) или (6.24),

граничные условия, наложенные на напряжения или перемещения,

условия совместности.

Пластическая область:

уравнения равновесия (2.23),

связи между напряжениями и приращениями деформации, определяемые формулами (8.20), (8.21) и (6.24),

условие совместности полных деформаций,

условие пластичности (8.8) или (8.11),

граничные условия на границе пластической области, если таковая граница существует.

Граница между упругой и пластической областями: условия непрерывности напряжений и перемещений.

Элементарная теория линий скольжения при плоской пластической деформации

В неограниченном пластическом течении, например при прокатке металла, часто допустимо пренебрегать- упругими деформа

циями и рассматривать материал как жестко-идеально-пластическую среду. Если течение в дальнейшем можно предполагать

таким, как в случае плоской деформации, то получающееся поле

скоростей можно изучать, пользуясь теорией линий скольжения.

Пусть 尤1%2 — плоскость течения; тогда

/ 51^12。、

О// = I ^12 °22 0 I >(8.41)

\。0а33/

и, так как упругими деформациями мы пренебрегаем, тензор скоростей пластической деформации будет равен

(8.42)

Неизвестные в выражениях (8.41) и (8.42) являются функциями только 尤丄 и 尤2・ Кроме того, известно； что

函=% (%/ +。川，(8.43)

где 力一компоненты скорости.

При предполагаемых условиях плоской деформации имеем de33 = 0. Тогда из уравнений Прандтля —— Рейсса (8.21) для напряжения а33 получим формулу

"зз = %(51 + 仇2)・ (8.44)

Используя обычные обозначения теории лини^ скольжения (7зз=——р и 「9и ——％2)2/4 + (от* = 比 находим главные значения тензора напряжений (8.41):

51)= — Р + &,о(2)= — Р — А, 5з)= — р. (8.45)

Положение главных направлений тензора напряжений относительно осей 尤I% показано на рис. 8.8, где tg 26 = 2oi2/'(ou — о22)-

Направления площадок максимальных касательных напряжений (см. § 2.11) образуют углы в 45° с главными осями тензора напряжений. На рис. 8.8 соответствующие направления помечены буквами а и ₽. Из этого построения видно, что 6 二九'4 + 屮 и, следовательно,

tg 2屮=—ctg 26. (8.46) Для данного поля на- □ряисенн访 при пласти- ческом течении можно ввести в рассмотрение

Два семейства кривых, в каждой точке идущих вдоль направлений максимальных касательных напряжений. Эти кривые называются линиями сдвига или линиями скольжения (в дальнейшем мы будем называть их также a-линиями и Р-линиями).

(8.47)(8.47)Рассматривая малый элемент, ограниченный двумя парами ли- нн访 скольжения и изображенный на рис. 8.9, получим Оц = — р — k sin 2(р, 国2 =——Р + & sin 2(р, % = & cos 2屮.

(8.47)

(8.47)

(8.48)(8.48)Используя уравнения равновесия, можно показать, что р + 2feq)= Сг постоянно вдоль а-линии, р ——2&屮=С2 постоянно вдоль Р-линии.

(8.48)

(8.48)

Что касается компонент скорости, то рис. 8.10 показывает, как они связаны с положением а- и р-линий:

5 = %8s<p—q；sin(p,(8 4

% — 0a Sin 屮 + ?В COS ф.'

Для изотропной среды в теориях течения главные оси тензоров напряжений и скоростей пластической деформации совпадают. Поэтому если х± и х2 — направления линий скольжения, то еп и е22

равны нулю вдоль этих линий, так что

(% cos 中一0(3 sin 中)]=0,

Jq>—0

(8.50)

{-^- (% Sin <р + Ов cos(p)k=o = 0.

Отсюда получаются соотношения dt\ — 02dtp = 0 на

他+ 0抠中=0 на

а-линпи, Р-линии.

(8.51)

(8.52)

(8.53)

Итак, для статически определимых задач поле линий скольжения находится из (8.48); затем, используя это поле и соотношения (8.52) и (8.53), можно построить поле скоростей.

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

Основные понятия. Явление текучести (§ 8.1—8.4)

Используя определения (8.1) и (8.2), получить соотношение между логарифмической и технической деформацией. Как связаны приращения этих величин?

Согласно (8.1), LZ。= е + 1; тогда (8.2) дает е =： In (е + 1), Дифференцируя это равенство, находим de/de = 1/(е + 1) = LJL вследствие того, что dL = ■—■ Lds — L(^e -

При нагрузке Р в одномерном испытании образца истинное напряжение о = P/А, в то время как техническое принимается в виде S = РМ0, где Ло —— начальная площадь сечения, а А — текущая ее величина. Найти условие максимума нагрузки при пластическом деформировании с сохранением объема ①也=AL),

В нашем случае S = Р/Ло = (Р/Л) (Л/Ло) = о (Lo/L) = о/ (1 + е) п участок максимальной нагрузки на 5-е диаграмме находится там, где наклон ее равен нулю (dS/de = 0). Дифференцирование дает dS/de = (do/de — o)/(l + е)й. Это выражение равно нулю, если do/de = о. Используя результат задачи 8.1, последнее условие можно записать в виде do/de = о/ (1 + е).

8・3・ В качестве меры влияния промежуточного главного напряжения на пластическое состояние часто используют параметр Лоде р = (2。" 一 5 — б”)/(б — стщ). Доказать, что параметр Лоде можно выразить через главные значения девиатора напряжений формулой 卩=3$н/ (Si — Sin).

Согласно (2-71), от = s( + oM и т. д., причем。乂 = ozz/3. Тогда

N = (2 6н + ^м) —(М + Ом)— ("и + aM)l/[(si + Ом)— 6ш +。川)1 =

[3s“ 一Gi + s” 十 $1п)1/(" — siii)-

Ho Sj + sn 十 S[“ = 1工口 曰 0, и» следовательно,卩 = 3sH/ (s】一$ш).

Для напряженного состояния и” = о, а22 = сг33 = 0,。迎 = =т, %з = % = 0, которое возникает при испытании на растяжение —кручение тонкостенной трубы, получить кривые текучести в плоскости в соответст-

оq/% “ОРис. 8.12.оq/% “ОРис. 8.12.0,57

оq/% “О

Рис. 8.12.

оq/% “О

Рис. 8.12.

&5

вии с критериями Треска и Мизеса, если предел текучести при простом растяжении равен 叩

В данном напряженном состоянии главные значения напряжений равны 5 = 9+，4т2 + о?)/2, Оц = О, О]” = (о — U4t2 + о2)/2, как показывает диаграмма Мора на рис. 8.11. Таким образом, по формуле (8.8) найдем кривую текучести Треска J尸4T2 + о2 = о^, или о2 十 4т2 = Оу. Это эллипс в о-т плоскости- Аналогично формула (8-12) дает кривую текучести Мизеса в виде эллипса о2 十 + Зт2 = Оу- Эллипсы текучести Мизеса и Треска для этого случая сравниваются на рис. 8.12.

Преобразовать условие пластичности Мизеса (8.10) к форме (8.11), т. е. записать его через главные напряжения*

По формуле (2.72) —11^,^ = —(SjSjj + snsni + $1пМ)，а, согласно (2-71), S[ = о】—0从 и т. д. > причем 0乂 = (о】+ о“ + Ощ)/3. Отсюда

—"工口 = — (а оп +апап1 十 ％п5)十(S +ац + 色“产戶—

=2(°i + °?1 + °ш - °1ап 一 °п °П1 -5и5)/6.

Таким образом, (Oj—он)а + (ап—онj)a + (о1П—Oj)2 = 6Су.

Пусть ортогональная система координат OXYZ ориентирована так, что плоскость ХУ совпадает с П-плоскостью, а осьащ лежит в плоскости YOZ (см. рис. 8.13 и 8.4). Доказать, что поверхность текучести Мизеса пересекает П-плоскость по окружности Мизеса (рис. 8.5, 6).

Таблица коэффициентов преобразования одной системы осей в другую находится без труда и имеет следующий вид:

55iашX-1 ]至1/1 20У—1#-iy 62/6Z1//3г KI1匸55iашX-1 ]至1/1 20У—1#-iy 62/6Z1//3г KI1匸Отсюда следует, чтоОтсюда следует, что5i = X/U 至-У//6 + Z/，35i = X/U 至-У//6 + Z/，35 = _ X//至—YlVl, + zyi.5 = _ X//至—YlVl, + zyi.

5

5i

аш

X

-1 ]至

1/1 2

0

У

—1#

-iy 6

2/6

Z

1//3

г KI

1匸

5

5i

аш

X

-1 ]至

1/1 2

0

У

—1#

-iy 6

2/6

Z

1//3

г KI

1匸

Отсюда следует, что

Отсюда следует, что

5i = X/U 至-У//6 + Z/，3

5i = X/U 至-У//6 + Z/，3

5 = _ X//至—YlVl, + zyi.

5 = _ X//至—YlVl, + zyi.

о1И = 2К//6 + 2УЗ.

Тогда формула (8.12) сводится к уравнению

(—/ 2Х)а + (Х//1 — ЗУ” ⑥ 2 + (Х/У受 + ЗУ %⑥ 2 = 2%,

которое после упрощения приводит к окружности Мизеса ЗХ^ + ЗУ? = 2о^, изображенной на рис. 8.5, 6.

Используя преобразование координат задачи 8.6, доказать, что уравнение (8.14) ui + ац + Зи = 0 является уравнением П-плоскости.

Подставляя в уравнение (8.14) выражения для ор о”,仃“卜 найденные в задаче 86 получаем о；十 о“ +5口 = М 3Z = 0, или Z = 0, а это и есть плоскость ХУ (П-плоскость).

Для двуосного напряженного состояния, когда 5i = О, найти поверхности текучести Мизеса и Треска и сравнить их,, пользуясь диаграммой в плоскости gi/gy, Оц/иу.

При и” = 0 критерий Мизеса (8.12) записывается уравнением of - 0^ш 十％1 =呢， которое представляет эллипс 0(0“02 - (OjOjn/Oy) +

+ (Ощ/Оу)? = 1с осями под углом 45° к указаннымкоординатным направлениям(О[/Оу,^Ш^у)- Аналогично критерий Трес-

равенствами ош — оп = оу, о” 一 о】=равенствами ош — оп = оу, о” 一 о】=ка, т. е~ формула (8.8), вместе с Оу приводит к шестиугольнику Треска, образованному (рис. 8.14) отрезками АВ и ED с уравнениями (Oj/Oy) —

равенствами ош — оп = оу, о” 一 о】=

равенствами ош — оп = оу, о” 一 о】=

—(°in'°y)= 士 1, DC и FA с уравнениями Ощ/Оу = ± 1 и ВС и EF с урав

нениями О[/Оу = 士 1 соответственно.

8・9・ В § 8.3 критерий Мизеса назван теорией энергии искажения формы. Доказать, что если энергию искажения формы на единицу объема 〃:□) положить равной постоянной текучести CF> то в результате получится критерий Мизеса в форме (8.12).

В задаче 6-26 было найдено выражение 〃^р)^ерез главные напряжения：

«(D)=【91 — °2)2 + (“ 一 Оз)? + 9з — 6)2]/12G.

При одноосном растяжении или сжатии, когда о, = Оу, о2 = сгз => 0, из этой формулы следует, что 〃:口)= oj /60- Тогда Су = oj /6G и, как и прежде, критерий Мизеса выражается равенством (8-12).

Пластические деформации.

Упрочнение (§ 8.4—8.8)

Доказать, что уравнения Прандтля — Рейсса (8.21) содержат в себе утверждение, что главные оси тензора приращений njiacTHqecKO访 деформации совпадают с главными осями тензора напряжений. Записать эти уравнения через главные напряжения.

Из формулы (8.21) видно, что в системе координат, в которой равны нулю касательные напряжения, отсутствуют также и приращения пластической деформации сдвига. В системе главных осей уравнение (8.21) принимает вид 血[7sl = =d啸聞]=^Eni 'siii = d九.Таким образом, dE； = (a( — оЛ1) d九，d嗡=(о^ — —0乂)d入 и т. д. Последовательным вычитанием находим

d£, —dE^d党一 d党]公济一d£:

°! — °11 О" — %H O【U — 5

Доказать, что в случае плоской пластической деформации, когда е33 = 0, d% — 0 н и22 =，0, уравнения Леви — Мизеса (8.19) приводят к тождественному совпадению критериев текучести Треска н Мизеса (записанных через предел текучести при чистом сдвиге &).

В нашем случае уравнения (8.19) записываются так：

de]](2011 。33)dA/3, dE22 --("11 +。33)d?"3, 0 — 2033 0u -

При отсутствии касательных напряжений о】=ои, о^ = о^ = ou/2, о1(1 =0 = ==о22- Тогда из формулы (8.9) находим критерий Треска в виде о】一仃山= =оп = 2瓦 а из (8.13) получаем для данного случая критерий Мизеса(0ц 2)2 十 + (— Оц/2)2 + (— Si)? = 6论2, или Оц = 4左2, т. е. Оц = 2尼.

Доказать, что из уравнений Прандтля——Рейсса следует равенство параметра Лоде 科(см. задачу 8.3) и величины

V = (2d 啸—def — d 嗡 i)/(de『—d 喘).

Из соотношения (8.21) получаем

v = (2s“ 一 Sj —力口)d九/(S] — Su, d厶=

=(2 9Н - 0加-(5 -0財)一(Su - 0m))/((5 - 0m)—9山-0m))-

=(2o“ 一 5 —生田個—5н)= %

Доказать, что для второго инварианта девиатора напряжений 11工口 = £打$打/2 выполняется равенство dU^^du^ = sz；.

Пользуясь выражением для П^. находим

mTDldQpq (dsii^p^ sir me dsi^pq = 6 (% - G/W3)/。％ = %% —

—4/%J3・ Таким образом,次左口切仃困=(储曾加一%%J3) % = “夕 поскольку

Пусть пластический потенциал имеет вид g (а//) = IIzD; доказать, что соотношения (8.22) для пластического потенциала превращаются в уравнения Прандтля ——Рейсса.

Доказательство сразу следует из результата задачи 8.13, так как в этом случае ig/OOfj = 5订 и, следовательно, (8.22) сводятся к (8.21).

Записать в развернутом виде выражение (8.24) и доказать, что эквивалентное напряжение аЭкв можно записать в форме (8.23).

Из равенства (8.24) имеем

喙В = 3s〃・％・/2 = 3 (%— “7% ‘3) (% — 47ag/3)/2 = (3%% —。垃％)/2.

Записывая его в развернутом виде, получаем

R (ап + а22 + а33)4" 6 (呢 + а23 + °31)— 911 + а22 + "зз)2】/2 =

-[2 (0ц + 或 + 嗡一51022 一 D22D33 - a33all)+ 6 (呢 + 哓 + 咸1 )1=

=[(^11 -022产 + (%2 - 03у + (033 - К)2 + 6 (才2 + 吸 + 風)]/2, что и утверждается формулой (8.23).

В теории пластического потенциала вектор приращения пластической деформации перпендикулярен поверхности нагружения (текучести) в любой регулярной точке; доказать, что если удовлетворяется критерий Мизеса, то выполняются уравнения def /е = dcn/sn = deni/sni-

Пусть числа N】，N?, W3 задают направление нормали к поверхности текучести & (о“)，т. е. эту нормаль можно характеризовать величиной N =gradfi, а для этого требуется, чтобы NJ(df{do0 = NJ(d&沁％' ="з/(%加iu)$ причем, согласно критерию Мизеса, & = (5一0"产 + ("Н-%11产 + (%11-%产—20^= 匸 0. Тогда 。“/00] = 2 (2О[—仃口 一仃“卩=6电 и т. д., а так как вектор приращения пластической деформации направлен по нормали к &, отсюда следует, что dE：/“ = d"/$u = d唱仆[[[.

Найти отношения приращений пластических деформаций: а) для простого растяжения, когда 0n = оу； б) для двуосного напряженного СОСТОЯНИЯ, при котором и” = — оу/j/3,。22 = O〃/3, G33 ^。迎=行23 =。13 = °； в) для чистого сдвига при。强="y/丿3・

При данных условиях оц = 5 = оу> о“ =仃山=0 н 近=2(?〃3, sn = s= sIH =—Оу/3. Используя результат задачи 8.16, находим def/2 = — de(J/l = =—d€%/l・

В данном случае Oj = o〃M 3, o“ = 0, 0山=—o'M 3 н 圻=Оу/М3, sn = 0, sni = —Ор/М 3. Таким образом, def/l = — de^j/L а третий член опускается, поскольку обычно предполагается» что при обращении в нуль знаменателя и числитель тоже обращается в нуль.

В этом случае о】=с,，3,仃口 = 0, оП1 = —Оу//"3 и снова получаем de"l = —de^/1.

Найти приращение работы на пластических деформациях dWp и приращение эквивалентной пластической деформации de， для двуосного напряженного состояния ап= —Оу/丿3, п22=Ог/1 % % —力2 = % = % = 0，если пластическая деформация происходит так, что def = С, где С —некоторая постоянная.

Выражение для приращения работы (8.30) в главных осях имеет вид dW「== = Ojdef* + ац^ец + оп14ещ. Для указанного напряженного состояния результат задачи 8.17 показывает, что def = — d*“ d吟=0. Отсюда следует, что

d»P 4 — Оу。]'+ (0у > ③(一°) = — 2Cav/F 3.

Используя формулу (8.25), находим

de，= {2 [(def - de診 + (d* -加备产 + (d唱一血》]}%/3 =

=(2 [С2 + C2 + 4c2]}%/3 = 2C//3.

Проверить правильность соотношения (8.32), доказав, что приращение работы на пластических деформациях для материала Прандтля — Рейсса равно dWp = аЭкв^^в» как утверждает формула (8.31).

Для материала Прандтля ——Рейсса, удовлетворяющего уравнениям (8.21), формула (8.30) дает dWp = s^s^d厶.Но, согласно (8.27), для такого материала d厶=3^/£^в/2%кн，и, следовательно, d^p = ^i^ijl^ (^8^в^аэкв)» а если учесть определение (8.24), то последнее выражение упростится: dWp = o3KBde^B. Таким образом, в данном случае de^B = ^Р/°ЭКЁ- Соотношение (8.32) теперь сразу следует из формулы (8.21).

8・20・ Для материала, удовлетворяющего критерию текучести Мизеса, в качестве функции текучести в законах упрочнения (8.34) и (8.36) можно взять эквивалентное напряжение оЭКв. Доказать, что в этом случае выполняется равенство 力"'= "', где F и Нг — производные характеризующих упрочнение функций по их аргументам.

Закон упрочнения (8.34) в указанном случае принимает вид оэкв =尸(步「), и, значит, do^KB n FfdWp^ Аналогично закон упрочнения (8.36) записывается следующим образом: оэкв == Я (е，)，и тогда da3KB = H'tfe，・ Таким образом, F'd呼'=H'de，・ А так как из формулы (8.31) (или задачи 8.19) известно, что d駿=°3KBde^B> сразу получаем %"'=出'・

Деформационная теория пластичности (§ 8.9)

Основу деформационной теории пластичности Генки составляют следующие соотношения: е£； == е^ + % причем 药= =齋十 а卢蕊/з = s〃(2 G) +Sy (1 — 2v)o加(ЗЕ) и £立=(р$〃. Доказать, что эти равенства эквивалентны формулам (8.37) и (8.38).

Среди уравнений е^ = tps^ содержится и такое: е£ = 0, а это означает, что 喏=е/ =吟广 Из равенства % =晞十唠 следует, что тогда е〃 =嗥 Из того же самого равенства получается еще соотношение е^, + 3产風3 = £另 + + ^kk^ + eip которое сводится к виду е“ =崂十喏=[中+1/(2G)同，а это и есть (8.37). Кроме того, из равенства % ==硝 получаем еп = (1—2fv) о疯Е, что представляет собой (8.38).

8・22・ Проверить тот факт, что параметр Генки <р можно представить формулой (8,39),

Возводя в квадрат н складывая компоненты тензоров в уравнении E^=(ps^ задачи 8.21, приходим к следующему равенству: 崂吟=炉学卢. или q> =/Зе^Е^/2/оэкв. Умножая обе части последнего равенства на 2/3, получаем

中=3 ]八唠嗡3/?%кв =怨】/2%кв・

Задачи упругопластичности (§ 8.10)

Балка прямоугольного сечения из уп р у го- идеально-пластического материала находится под нагрузкой на чистый изгиб*

Рис. 8.15.

Пользуясь элементарной теорией балок, найти величину изгибающего момента .7И, действующего на конце балки, при которой упругое ядро балки простирается от —а до а, как показано на рис. 8.15.

В данной задаче единственным отличным от нуля напряжением будет изгибающее напряжение Он. В упругом ядре внутри балки (——а < х2< а) имеет место равенство ох1 = Еец = ExJR, где R ——радиус кривизны изогнутой оси балки, а £ — модуль Юнга. В пластической зоне он = Оу. Таким образом, ас

М = 2 J —^ (х2)2 bdx2 + 2 J x2oYbdx2 = &оу (с2 — а2/3), 0а

где оу = Ea/R, т. е. использовано условие непрерывности напряжения на границе между упругой и пластической зонами. Из полученной формулы видно, что М= 2bczGy/3t когда пластическая зона только появляется (при а = с), я М = = Ьс’Оу, когда вся балка оказывается в пластическом состоянии (при а = 0).

Найти изгибающий момент для балки из материала с кусочно-линейным упрочнением (так что за пределом текучести ап = оу + / (еп ——Оу/Е)), на которую действует такая же нагрузка, как в задаче 8.23.

Распределение напряжений в такой балке показано на рис. 8.16. Снова ец «=■ •= x2IR, н, следовательно,

М = 2 j —fb也+ 2 j[oy +《^——碧卜皿= 0а

二”2田T-十屮斗

Воспользовавшись. как н в задаче 8.23, условием(ту = Еа/R» найдем

М = c2fcoy(l — 4Е) + 2c3b〃3R + 匕磚必 ^E __ i)/3£2.

8・25・ Круглый вал радиуса с из упруго-идеально-пластического материала закручивается на концах 'рментом Т, как показа-

но на рис. 8.17. Найти величину крутящего момента, при котором внутри вала остается упругое ядро радиуса а.

Рис. 8.16-

Упругое ядро

Рис. 8.17.

В данном с刀yqae касательное напряжение а12 распределено следующим образом： о】？ = kr/a при 0《г《анО[2= 尼 при а 芸 г《 с, где k — предел текучести материала при чистом сдвиге. Тогда

ас

Т = 2л f (&，з/а) dr + 2л j kr^dr = -^- (с3 —齡/4). 6а

Таким образом, крутящий момент, характеризующий самое начало появления пластической зоны (а = с), равен Тг = ^^/2. Вал полностью находится в пластическом состоянии (а = 0) при Т2 = 2冗婷/3 = =47УЗ.

8.26. Толстая сферическая оболочка； размеры которой указаны на рис. 8.18, находится под действием растущего давления р0. Используя критерий Ми-

зеса, • найти то давление, при впервые появится пластическое ние.

Из-за симметрии действующей

котором состоя-

нагрузки

главные напряжения являются компонентами в

сферических координатах о^ее)= о呼==% = o(rr)=Oiir Тогда критерий Мизеса (8.12)

51，вы-

Рис. 8.18.

глядит так： о(ее)—о(гг) = ov. Можно показать, что компоненты напряжения в упругом состоянии представляются выражениями

°g = - % (勿俨-1)他3/03 - 1),

0(0” = a(q?q?)= % (匕3/2「3 4- 1)仰3/аЗ — 1).

Поэтому Uy =■ 363P"[2叫б3/。® — 1)]> откуда р。q 20y (1 — «3/63)/3. Это то давление, при котором впервые появляется пластическое состояние на внутренней границе оболочки (при г и а).

Теория линий скольжения (§ 8.11)

Проверить, что формула (8.45) действительно дает главные значения тензора напряжений (8.41), если принято условие Озз = (On + 仇2)/2 (формула (8.44)).

Главные значения тензора напряжений находятся из векового уравнения

(2.37), которое в нашем случае имеет вид

Оц — О О]20

S.2О?2 — О0

=0.

00— 0 — 0

Раскладывая определитель по третьему столбцу, получаем

(—р — о) [(оп — о) (о22 — °)—呢 1 = (— Р — 仃)[о? — (% + о?2)о —呢1 = 0- Очевидно, корнями этого уравнения будут о = —р и

О = % 911 + °22)士 V1% (°11 + О?2)2 + а12 ~ — Р 士 尼*

Воспользовавшись условием постоянства предела текучести при чистом сдвиге А*, подставить выражения (8.47) в уравнения равновесия и, проинтегрировав, доказать справедливость со- отношений (8.48).

Уравнения равновесия до11/дх1 + Эа12/^х2 = 0 я З^рОх* + 加22/。/ = О после подстановки в них выражений (8.47) превращаются в следующие:

-др/дхl 一左(2 cos 20)(0中/0/)+尼(-2 sin 2(p) (йф/dx2) = 0,

——尼(2 sin 2(p) (д^/дху) — др/дх2 +尼(2 cos 2q>)(。屮/0芍)=0.

Если 占一координата вдоль a-линии, а х2 ——вдоль 0-刀нннм, то 屮=0 и уравнения равновесия дают ——dp/dxt—— 2尼 0&/dxJ = 0 вдоль a-линии и — dp/dx2+ + 2左 0中/。工2)= 0 вдоль p-линии- Эти уравнения сразу интегрируются, в результате чего получаем р + 2^q)= Cj на a-линии и р ——2耿р = С2 на р-линии.

При штамповке с вытяжкой без трения через квадратную матрицу, приводящей к уменьшению сечения на пятьдесят процентов, линии скольжения заполняют веерообразную область, которая состоит из радиальных прямых —— P-линий и дуг окружностей —— a-линий (рис. 8.19). На访тн компоненты скорости вдоль этих линий

Рис. 8.19.

скольжения, выраженные через скорость подачи материала U и полярные координаты гиб.

Вдоль прямых p-линий dtp == 0, и по формуле (8.63) находим dv2 = 0 или 。2 = const. Поскольку нормальная компонента скорости вдоль ВС непрерывна, в данной задаче эта константа должна быть равна U cos В, т. е. и? ■= Ucos 0- Вдоль круговых a-линий dtp = dB, и по формуле (8-52) получаем

е

5 = ，U cos0 dB = U (sin В + "]'⑵.

—л/4

Смешанные задачи

Доказать, что условие пластичности Мизеса можно записать через октаэдрическое касательное напряжение стОкт (см, задачу 2.22) следующим образом: стОкт = 丿2оу/3.

Октаэдрическое касательное напряжение через главные напряжения представляется формулой (см. задачу 2.22)

3%кт =丿(5 -5i)2 + 9u — 5н)" +(5u -S产

Следовательно, согласно (8.12),

9°окт = (°1- °п)2 + (°п - °ш)2 +(°ш 一 5)2 = 2%.

Доказать, что уравнение (8.13), выражающее критерий Мизеса, можно записать в виде s； + s?i + s储=2fe2.

Согласно (2.71), % = s【十仃乂 и т. д.; тогда уравнение (8.13) сразу принимает форму

(S[ — S“)2 +(Sn — 51n)2 +(S]U — Sj)2 = 6k2.

Раскрывая скобки и перегруппировывая члены, это можно записать так： $；十 + sii + s?n —(si + sn + sih)2/3 = ^' Ho S1 + sil + S1H = J2D 0 н требуемое уравнение получено.

При каком значении р, = (2ац — 5 — 5п) /(6 — Su) (卩一параметр Лоде) критерии Треска и Мизеса совпадают?

Из формулы, определяющей величину % имеем и” = (о】+ о1П)/2 + 卩(5 — —а1П)/2- Если подставить это выражение в критерий Мизеса (8.12), то после некоторых алгебраических преобразований (см. задачу 8.42) получим о〔 一 0m = =з 2oy/pr3 + ц2. Критерий Треска записывается уравнением (8.8): о(——оП1 == =Оу. Очевидно, если 卩=1, оба критерия совпадают. Когда о” =5，то 卩= 1; этот случай иногда называют цилиндрическим (осесимметрияным) напряженным состоянием.

Для напряженного состояния

/оt0、

Gij = I ТООI.

\00а/

где о и т ―• постоянные, найти условия пластичности, соответствующие критериям Треска и Мизеса.

JleiKO показать, что главными значениями данного тегвора напряжений будут о】=о + т, О]】=о, о1Н = о — т Тогда критерий Треска (8.8)① 一仃川 =ау приводит к уравнению 2т = aF, критерий же Мизеса (8.12) дает т = ау/| 3. Снова убеждаемся в том, что в обоих критериях фигурирует т и не фигурирует и, т. е. что гидростатическое давление никоим образом не влияет ни на характеристики пластического состояния, ни на само наличие такого состояния.

Доказать, что если уравнения Прандтля — Рейсса выполняются, то выполняется и условие несжимаемости материала при пластической деформации. Записать эти уравнения через мгновенные напряжения.

Из (8.21) видно, что de£ =牝@厶=0, так как su == 12^ ^ 0, и, следовательно, 5словие несжимаемости d£± = 0 выполняется.

Запишем уравнения Прандтля ——Рейсса через компоненты тензора напряжений: 峭=(% — “7%J3) dA. Таким образом,曲匕=2/3 口口 — (о22 + %)閏 dA и т. д. для нормальных компонент и de^ = o12dX и т* д. для касательных.

Используя критерий Мизеса, доказать, что в П-плоскости компоненты девиатора напряжений на кривой текучести равны

si = [—2s cos (6 —n/6)]/3, Su =[2ау cos (6 + л/6)]/3,sin = (2оу sin 6)/3,

где 0 = arctgV/X (определение X и У дано в задаче 8.6).

Радиус окружности текучести Мизеса равен ]尸2'3。匕 так что по определению X = У^Т^Оу cos В, У = |'2/ЗОу sin 0 на кривой текучести. Таблица коэффициентов преобразования осей координат, приведенная в задаче 8.6, вместе с равенствами о】=S[十 Ом и т- Д- позволяет получить уравнения s】一$口 = =—V 2X — — (2/У 3) Oy cos 0 и ‘I + s“ 一 2s[h = •—}/~^У = — 20y sin 0. Известно также и уравнение П-плоскости Sj + sn +-sin = 0. Решая совместно %эти три уравнения, приходим к требуе

Рис. 8.20.Рис. 8.20.мым формулам, как может убедиться сам читатель.

Рис. 8.20.

Рис. 8.20.

Упруго-идеально-пластический несжимаемый материал находится под нагрузкой в усло- 马 виях плоской деформации между двумя жесткими пластинами, так что а22 = 0 и е33 — 0 (рис. 8.20). Используя критерий Мизеса, определить напряжение ап в момент появления пластичности и соответствующую деформацию 为，

Соотношение, связывающее напряжение с деформацией в упругом состоянии Е©33 = ОЗЗ — V (°11 十 °22)»

в данном случае сводится к уравнению о33 = van. Тогда главные напряжения будут равны % = 0, ап = — vau,生“=—仃口. По формуле (8.12) мы имеем

(vaи)2 + (Ou (1 — I»)? + (— Ou)? = 2%,

отсюда находим ou = —ay/V 1 — v — v2 (сжатие) на пределе текучести. Аналогично из соотношения £еи = оп — v (о22 + а33) мы видим, что на пределе текучести еХ1 =——Оу (1 — №)/£ V1 ——v — v2.

-♦cl^icl^-♦cl^icl^возрастает х значения 卜 весь мате- \полностьювозрастает х значения 卜 весь мате- \полностьюБалка прямоугольного сечения из упруго-идеальнопластического материала подвергается нагрузке, приводящей к чистому изгибу (рис. 8.21).

-♦cl^icl^

-♦cl^icl^

возрастает х значения 卜 весь мате- \

полностью

возрастает х значения 卜 весь мате- \

полностью

мм66Нагрузка до такого момента, что риал балки переходит в

м

м

6

6

ское состояние. Найти остаточное напряжение в балке после того, как изгибающий момент М снят.

Все сечение балки полностью оказывается в пластическом состоянии, когда момент достигает значения Л4 = be20y (см. задачу 8.23). При таком моменте упругое напряжение в крайних волокнах было бы равно о = Мс/1 = ЗОу/2, где / = 2&с3/3 —— момент инерции сечения балки относительно оси х3/ Последующее снятие момента М эквивалентно приложению соответственно распределенных

о66

Рис. 8.22.

。一пластическое напряжение; б — отрицательное упругое напряже-ние; в — остаточное напряжение.

отрицательных упругих напряжений, что дает в результате остаточное напряжение, представленное на рис. 8.22.

Толстостенная цилиндрическая труба, размеры которой указаны на рис. 8.23, находится под действием внутреннего давления р0; труба закрыта с концов. Найти значение р0, при котором впервые достигается предел теку чести. Принять критерии текучести: а) Мизеса, б) Треска.

Рис. 8.23.Рис. 8.23.

Рис. 8.23.

Рис. 8.23.

Компоненты напряжения в цилиндрических координатах (рис, 8.24) будут главными напряжениями. Анализ упругого состояния позволяет показать, что О(〃)= — % (毋/产—D/Q, о(ее)= % 俨/产 + 1)/Q,。(切=%/Q> где Q = =(炉/02 - 1).

В данном случае критерий Мизеса имеет вид

9(”)— а(еер2 + 9(ее)— %炉 +(%z)一。(切尸=2谨’

или

礙 4/d = Q%j/3・

Предел текучести впервые достигается при г ~ а и р0 =(Оу/М 3) (1 — a^/b2).

Критерий Треска сводится к равенству о(ее)— q“)= оу, так как о应)一 промежуточное по величине из главных напряжений. Таким образом, 2pJ^lr2 = =Qoy, и теперь предел текучести впервые достигается при г = а и % = = 9y/2)(1-02期).

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

Дан закон одномерной зависимости напряжение — деформация с «=■ «= К8rг, причем Кип — постоянные, а е — истинная деформация. Доказать, что максимальная нагрузка имеет место при е == п.

Решить еще раз задачу 8.4, записав критерии Мизеса и Треска через предел текучести при чистом сдвиге 阮 а не через ау.

Ответ: Мизес: (о/(р Зй))2 + (т/田纟=1；

Треска: (о/(2А))2 + (т/尼产=1.

Приняв условия задачи 8.6, удостовериться в правильности геометрического построения на рис. 8.5, в.

Используя определение параметра Лоде ц (см. задачу 8.3) и критерий Мизеса, доказать, что 5 — %n = 2Оу%3 十 *

Доказать, что в П-плоскости, где 0 = arc tg У/Х (X я F определены в задаче 8.6), выполняется формула 卩 = —— ]'3 tg 0・

Доказать, что инварианты девиатора напряжений П2^ = *产$,/2 и 皿£口 = s/庐舐/3 можно представить соответственно в виде 1&口 = ($；-|-* 十 + sih)/2 н "1冲=(s； + s；[ + 品卩/З.

8-45. Доказать, что критерий Мизеса можно записать в форме

(а11 — а22)2 + (а22 J Озз)2 + 9зз — 011)2 + 6 (呢 + 域3 + 嗡)=6也?.

Используя метод решения задачи 8.17, найти отношения приращений пластической деформации: а) для двуосного растяжения, когда 0n = о22 = оу. б) для растяжения с кручением, когда 0H = Оу/2, о1а = оу/2.

Ответ: a)吗:=血刍=-de^/2;

d吟/2 = — d喊=—曲刍=de$/3.

Проверить следующие эквивалентные выражения для приращения эффективной пластической деформации d£^B：

de^B =/2?3 [(d吟产 + (de焱+ (d嗡2 + 2 (d啕2 +2 (d喝产+2 (d吸产]%，

de^B= (/2/3) [(def；-de焱 + (d唯一 d嗡2 十(d啜一 de^)2 + 6 (de£)叶 + 6(de£)2 + 6(de^)2]%.

Обратите внимание на то, что в обоих случаях de^B = d吟 при одноосном растяжении напряжением оп.

Тонкостенная труба из упруго-идеально-пластического материала подвергается нагрузке на растяжение и кручение. Первым прикладывается напряжение вдоль оси трубы о = Оу/2, которое остается постоянным, в то время как касательное напряжение т равномерно нарастает начиная от нуля. Основываясь на критерии Мизеса, найти, при каком значении т начинается переход к пластическому состоянию.

Ответ: т = оу/2.

Балка треугольного поперечного сечения, изображенная на рис. 8.25, подвергается нагрузке на чистый изгиб. Найти положение нейтральной оси бал-

Рис. 8.25.Рис. 8.26-

кн NA (ее расстояние Ь от вершины треугольника) в условиях» когда сечение целиком находится в пластическом состоянии.

Ответ: 6 = А/厂審

Показать, что тензор напряжений (8-41) имеет вид

в системе координат, повернутой вокруг & на угол В (рис. 8.8)«

Линии скольжения образуют веерообразную область с углом раствора 30°; а-лииии——дуги окружностей, p-линии ——радиусы (рис. 8.26). Давление на линии 4В равно 瓦 Найти давление на линии А0・

Ответ: * =在(1 + л/3).

Глава 9

Линейная вязкоупругость

Вязкоупругое поведение материала

Упругие тела и вязкие жидкости существенно различаются своими свойствами прй деформировании. Упругие деформируемые тела после снятия приложенных нагрузок возвращаются к своему естественному, или недеформированному, состоянию. В отличие от них несжимаемые вязкие жидкости совсем не имеют тенденции возвращаться после снятия нагрузки в исходное состояние. Кроме того, напряжения в упругом теле связаны^непосредственно с деформациями, в то время как напряжения в вязкой жидкости зависят (за исключением гидростатической составляющей) от скоростей деформации.

Поведение материала, которое объединяет в себе оба эти свойства— и упругости, н вязкости,— называют вязкоупругим. Упругое тело и вязкая жидкость занимают крайние противоположные точки в широком спектре вязкоупругих сред. Хотя вязкоупругие материалы чувствительны к температуре, последующее изложение ограничивается условиями изотермии М температура входит в уравнения только как параметр.

Простейшие механические модели вязкоупругого поведения

Линейную вязкоупругость для одномерного состояния удобно трактовать при помощи механических моделей, которые наглядно демонстрируют поведение различных вязкоупругих материалов. Эти модели строятся из таких механических элементов, как линейноупругая пружина с модулем упругости G (массой этой пружины пренебрегают) и вязкий элемент (демпфер! с коэффициентом вязкости 刀(вязкий элемент представляет собой поршень, двнн<ущн访ся в цилиндре с вязкой жидкостью). Как показано на рис. 9.1, сила а, растягивающая пружину, связана с ее удлинением е формулой

а = Ge.(9.1)

Подобное же соотношение существует и для демпфера

о = т]ё,(9.2)

где е = de/d/. Можно придать большую общность этим моделям и устранить размерные эффекты, если в качестве о рассматривать напряжение, а в качестве е —— относительную деформацию.

Модель Максвелла вязкоупругого тела является комбинацией

пружины и вязкого элемента (демпфера), соединенных последовательно (рис. 9.2,〃). Модель Келвина или Фойхта представляет

Рис. 9-1.

& — линейный упругий элемент; б — вязкий элемент.

ношение между напряжением и деформацией (фактически содержащее также и их скорости) для модели Максвелла дается формулой

■^ + f = e'(S3)

а для модели Кельвина формулой

о = Ge + #・(9.4)

Эта уравнения являются по существу определяющими уравнениями вязкоупругости в одномерном случае. Полезно написать их в опе-

G

G * о ■•]] ОО ^~"о о—> О

|jf

Рис. 9.2.

& — модель Максвелла; б — модель Кельвина.

раторной форме, используя линейный оператор дифференцирования по времени dt = d/dt. Тогда уравнение (9.3) будет иметь вид

{&/G + 1/叫。={&} е,(9.5)

В дальнейшем, когда на основе моделей Максвелла и Кельвина будут строиться более сложные модели, для обозначения соответствующих «узлов» таких многопараметрических моделей будут употребляться термины «узел Максвеллах Н «узел Кельвина».— При^. рсО.

а уравнение (9.4) примет форму

с= {G + f\dt} е,(9.6)

где соответствующие операторы выделены скобками.

Простые модели Максвелла и Кельвина не дают точного полного описания поведения реальных сред. Усложненные модели обладают большей гибкостью в отражении процессов в фактических материа-

Рис. 9.3.Рис. 9.3.& — стандартное линейное твердое тело; б ——трехпараметрическая модель вязкой жидкости.& — стандартное линейное твердое тело; б ——трехпараметрическая модель вязкой жидкости.

Рис. 9.3.

Рис. 9.3.

& — стандартное линейное твердое тело; б ——трехпараметрическая модель вязкой жидкости.

& — стандартное линейное твердое тело; б ——трехпараметрическая модель вязкой жидкости.

лах. Так, существует трехпараметрическая модель, состоящая из двух упругих и одного вязкого элементов (рис. 9.3,。)； она называется стандартным линейным твердым телом. Трехпараметрическая модель вязкой жидкости, состоящая из двух вязких и одного упругого элементов, представлена на рис. 9.3, б. Полезно заметить, что с точки зрения формы записи определяющих уравнений аналогом стандартного линейного твердого тела, соответствующего рис. 9.3, а, является узел Максвелла, параллельно соединенный с упругим элементом, а аналогом модели вязкой жидкости, изображенной на рис. 9.3, б, узел Максвелла, параллельно соединенный с вязким элементом.

Четырехпараметрическая модель, состоящая из двух упругих и двух вязких элементов, может рассматриваться как последовательно соединенные узел Максвелла и узел Кельвина (рис. 9.4).

——

—

—

Рис. 9.4.

Существует несколько эквивалентных форм этой модели. Четырехпараметрическая модель способна описать все три основных типа поведения вязкоупругой среды. Так, она объединяет в себе мгновенную упругую реакцию (за счет свободного упругого элемента GJ, вязкое течение (за счет свободного вязкого элемента "J и, наконец, запаздывающую упругую реакцию (за счет узла Кельвина).

(9.7)(9.7)Соотношение между напряжением и деформацией для любой из трех- или четырехпараметрическнх моделей дается общей формулой

(9.7)

(9.7)

Р2b + PR + РВ =内£ + 9F + 9(А

где величины pf и qi представляют собой комбинации коэффициентов G и т] и зависят от способа соединения элементов в модели. В операторной форме соотношение (9.7) записывается так:

{Pidt + pQ + Р。} с = У?学 + qR + %} е. (9.8)

9・3・ Обобщенные модели.

Линейное дифференциальное операторное уравнение

Обобщенная модель Кельвина состоит из совокупности ряда узлов Кельвина, соединенных последовательно, как показано на рис. 9.5. Полная деформация в такой модели равна сумме дефор-

Рис. 9.5.Рис. 9.5.—WWW-—WWW-

Рис. 9.5.

Рис. 9.5.

—WWW-

—WWW-

мапий в отдельных узлах. Тогда в операторной форме определяющее уравнение в соответствии с (9.6) можно написать следующим образом:

8 =~~1~~Н + 方р.(9.9)

{Gi + nB} {d + %出}{电 十外n生}

Аналогично, набор узлов Максвелла, соединенных параллельно, как изображено на рис. 9.6, называется обобщенной моделью Макс

велла. В этом случае полное напряжение равно сумме напряжений в каждом узле, т. е. в соответствии с (9.5) можно написать

0 = {叩Gi+l/%} + {&必 + 1,小} +…+ (&%+ 1,喇'(9Л0)

Для обобщенных моделей соотношения (9.9) и (9.10) можно записать так:

Р2 + Р2 + Р" + ''' = %£ + %£ + 92^ + •，•，(9.11)

или более компактно так:

т.п

(9.12)(9.12)*dhV丸

(9.12)

(9.12)

『0"『0或

Это линейное дифференциальное операторное уравнение можно записать символически

(9.13)(9.13)(9.14)(9.14){P}^={Q} £,

(9.13)

(9.13)

(9.14)

(9.14)

где операторы {Р} и {Q} определены формулами

仍} = £化务，Q = E%备"f=o ℃

Ползучесть и релаксация

Двумя основными экспериментами вязкоупругости являются испытания на ползучесть и релаксацию. Их можно выполнить как испытания на одномерное растяжение (сжатие) или на простой сдвиг.

Эксперимент на ползучесть состоит в мгновенном приложении к образцу из вязкоупругого матер нала напряжения с 山 которое 木'® затем остается постоянным, и измерении деформации как функции 1— 一 二 -

времени (проявление ползучести).

В экспериментах на релаксацию образен подвергается мгновенной*

деформации е0, которая затем оста-〔

ется постоянной, в то время какРис, 口‘

проводятся измерения напряжения

как функции времени (эффект релаксации). Математически процесс нагружения при ползучести и релаксации выражается единичной ступенчатой функцией [U (£—友)], определенной следующим образом:

[0[U(f_幻]=| ][0[U(f_幻]=| ]при припри приУКУК(9.15)(9.15)

[0

[U(f_幻]=| ]

[0

[U(f_幻]=| ]

при при

при при

УК

УК

(9.15)

(9.15)

представляетсяпредставляетсяфункцией(9.16)функцией(9.16)

представляется

представляется

функцией

(9.16)

функцией

(9.16)

и изображенной на рис. 9.7.

Нагружение в опыте на ползучесть

。=仇[U (/)],

причем IU (/)]——единичная ступенчатая функция со скачком в момент f] = 0. Деформация ползучести для модели Кельвина определяется решением дифференциального уравнения

；+ * =叫吗 (9.17)

которое получается при подстановке функции (9.16) в уравнение (9.4). Введенная здесь величина т = ”/G называется временем запаздывания, Можно показать, что для любой непрерывной функции времени / (/) верно интегральное соотношение

，〃，)[и (/' — 幻1 出'= ◊(/_&)],(/，)卅， (9.18)

где f — переменная интегрирования. С помощью этого соотношения можно проинтегрировать уравнение (9.17) н найти изменение деформации со временем при ползучести для модели Кельвина

е ⑴=鲁(1 — eTT)[U (/) J. (9.19)

Закон нагружения в опытах на ползучесть вместе с соответствующей деформацией ползучести для моделей (материалов) Кельвина и Максвелла представлены на рис. 9.8.

а — закон нагружения в опыте на ползучесть； б — деформация ползучести.

Релаксация напряжения, имеющая место в материале Максвелла после приложения деформации, меняющейся по закону

е = Е0[^(0],(9.20)

дается решением дифференциального уравнения

6十 о/т = Geo [б (0L(9.21)

которое получено подстановкой производной по времени от функции (9.20) в уравнение (9.3). Здесь [6(/)] = d [17(/)] /dt — функция, называемая единичной импульсной функцией или дельта-функцией

Дирака. По определению это такая функция, для которой

[6(/ —幻]=0,/¥=儿(9.22а)

§ 俗 U — 幻]或=1.(9.226)

Она равна нулю всюду, кроме / = /^ где, как видно из определения, она должна иметь бесконечно большой пик. Можно показать, что для любой непрерывной функции / (/) при £> & выполняется равенство

§ /(f')[6(/' — 幻 1" = /(幻[U (/-幻],(9.23)

с помощью которого можно проинтегрировать уравнение (9.21) и найти релаксацию напряжения для материала Максвелла

00) = Gqi [□(/)].(9.24)

Релаксация напряжения для материала Кельвина получается непосредственной подстановкой е = е0 [6 (/)] в уравнение (9.4), откуда

o(t) = G^[U (/)] + ^0 [б (0L(9.25)

Наличие дельта-функции в уравнении (9.25) указывает "на то, что потребовалось бы бесконечное напряжение, чтобы вызвать мгновенную конечную деформацию в материале Кельвина.

Функция ползучести. Функция релаксации.

Интегралы на след ст ве н н ост и

Деформация ползучести любого материала (модели), вызванная нагрузкой специального вида о = c0[U (/)}, может быть записана в виде

е (/) = ^ (/) %.(9.26)

Введенная таким образом функция тр (/) называется функцией ползучести. Например, для обобщенной модели Кельвина (рис. 9.5) функция ползучести определяется в соответствии с (9.19) формулой

^ (0 = Z 厶(1 - е—〃%) [U (/)],(9.27)

£=1

где Jf = 1/Gf называется податливостью материала. Если число узлов Кельвина неограниченно растет, так что 启一> 8 H конечную совокупность постоянных «£, JJ можно заменить непрерывной функцией податливости J (т), то функция ползучести для модели

Кельвина принимает вид

屮(Z) =，J (t) (1 — e-依) dr.(9.28)

о

Функция J (т) называется функцией распределения времен запаздывания или спектром запаздывания.

По аналогии с ползучестью релаксация напряжения для любой модели, подвергающейся' деформации вида в =无[U (/)], может быть записана так:

(т(0 = ср (0 е0;(9.29)

屮(/) называется функцией релаксации. Для обобщенной модели Максвелла (рис. 9.6) функция релаксации в соответствии с (9.24) определяется как

屮(/)= £ G*t%IU (/)].(9.30)

В этом случае прн N-> 8 дискретный набор постоянных (Gz, т£) заменяется функцией G (т) и функция релаксации определяется выражением

屮=j G (т) e-^dr.(9.31)

о

Функция G (т) называется функцией распределения времен релаксации или спектром релаксации.

В линейной вязкоупругости имеет место принцип суперпозиции, т. е. полный «эффект» от суммы «причин» равен сумме «эффектов» от каждой из «причин». В силу этого если к материалу, для

которого функция ползучести равна р (/), прикладывается напряжение со ступенчатым изменением во времени, как показано на рис. 9.9, а, то деформация ползучести будет вычисляться

по формуле

e (0 = W 2(0 +0a(f - /J +02 2(/ -幻 +0井 V - 4)=

3

=』。仲(/-/,).(9.32)

Тогда произвольный закон изменения напряжения ст = ст (/), представленный на рис. 9.9, б, можно рассматривать как функцию, состоящую из бесконечного числа ступенек, величина каждой из которых равна dcr. Соответствующая деформация ползучести по принципу суперпозиции дается интегралом

е(0 = J(9.33)

Такие интегралы часто называют интегралами наследственности, так как деформация в любой момент времени оказывается зависящей от всей истории изменения напряжений.

Для материала первоначально «мертвого», т. е. полностью свободного от напряжений и деформаций в нулевой момент времени, в формуле (9.33) можно заменить нулем нижний предел интеграла и представить деформаиию ползучести в следующем виде:

£(/)= /聲上屮(' — ')"•(9-34)

О

Если закон нагружения, кроме того» содержит в себе еще разрыв в виде ступеньки величины о^ в момент / = 0, то выражение (9.34) обычно записывают следующим образом:

е ⑴=。冲(0 + J ^Р* 屮(/ 一 /')必'.(9.35)

О

Проводя рассуждения, аналогичные тем, что были выше, по принципу суперпозиции можно представить напряжение как функцию времени интегралом, содержащим указанную историю деформации е (0 и функцию релаксации 屮(/). Подобно (9.33), напряжение дается выражением

О (/) к J 制2 屮(/ — /') dt'.(9.36)

—8

Для материала, у которого в момент Е = 0 отсутствуют напряжения и деформации, интегралы, аналогичные тем, что были в (9.34) и

(9.35),(9.35),соответственно будут равны

(9.35),

(9.35),

ии。（/）=年屮（/）+ J ^ур-屮（/ 一 /'）".。（/）=年屮（/）+ J ^ур-屮（/ 一 /'）".(9.37)(9.38)(9.37)(9.38)

и

и

。（/）=年屮（/）+ J ^ур-屮（/ 一 /'）".

。（/）=年屮（/）+ J ^ур-屮（/ 一 /'）".

(9.37)

(9.38)

(9.37)

(9.38)

Поскольку для описания характерных вязкоупругих свойств данного материала могут быть использованы в равной мере как интеграл ползучести (9.34), так и интеграл релаксации (9.37), должно существовать некоторое соотношение между функцией ползучести 屮(£) и функцией релаксации 屮(/). Такое соотношение в общем случае получить непросто, но, воспользовавшись преобразованием Лапласа, которое по определению дается интегралом

f(s) =「(/)е-S%/,(9.39)

можно показать, что указанные преобразования 屮(s) и 屮(s) функций 屮(£) н 屮(0 связаны равенством

U (9 而(s) = 1/s2,(9.40)

где s—параметр преобразования.

Комплексные модули и податливости

Если образец из линейного вязкоупругого материала подвергается одномерному (растяжение или сдвиг) нагружению по закону o = %sinsf, то в результате устанавливается деформированное со-

Рис. 9.10.Рис. 9.10.

Рис. 9.10.

Рис. 9.10.

стояние е = е0 sin (st — 6), т. е. деформация будет синусоидальной с той же частотой(о, что и напряжение, но по фазе отстанет от напряжения на угол запаздывания 6. В таком случае напряжение и деформацию можно графически представить вертикальными

проекциями векторов, имеющих постоянную длину и вращающихся с постоянной угловой скоростью со, как показано на рис 9.10.Отношение амплитуд напряжения и деформации определяет абсолютный динамический модуль(г0/е0 и абсолютную динамическую податливость е0/а0. Кроме того, совпадающие и не совпадающие по фазе компоненты вращающихся векторов напряжения и деформации на рис. 9.10,。используются для определения следующих коэффициентов:модуль накоплениямодуль потерьподатливость накопленияподатливость потерьпроекциями векторов, имеющих постоянную длину и вращающихся с постоянной угловой скоростью со, как показано на рис 9.10.Отношение амплитуд напряжения и деформации определяет абсолютный динамический модуль(г0/е0 и абсолютную динамическую податливость е0/а0. Кроме того, совпадающие и не совпадающие по фазе компоненты вращающихся векторов напряжения и деформации на рис. 9.10,。используются для определения следующих коэффициентов:модуль накоплениямодуль потерьподатливость накопленияподатливость потерьG]=G]=—% sin б—% sin бА =А =电电Ео COS бЕо COS б」—е0 sin б」—е0 sin б

проекциями векторов, имеющих постоянную длину и вращающихся с постоянной угловой скоростью со, как показано на рис 9.10.

Отношение амплитуд напряжения и деформации определяет абсолютный динамический модуль(г0/е0 и абсолютную динамическую податливость е0/а0. Кроме того, совпадающие и не совпадающие по фазе компоненты вращающихся векторов напряжения и деформации на рис. 9.10,。используются для определения следующих коэффициентов:

модуль накопления

модуль потерь

податливость накопления

податливость потерь

проекциями векторов, имеющих постоянную длину и вращающихся с постоянной угловой скоростью со, как показано на рис 9.10.

Отношение амплитуд напряжения и деформации определяет абсолютный динамический модуль(г0/е0 и абсолютную динамическую податливость е0/а0. Кроме того, совпадающие и не совпадающие по фазе компоненты вращающихся векторов напряжения и деформации на рис. 9.10,。используются для определения следующих коэффициентов:

модуль накопления

модуль потерь

податливость накопления

податливость потерь

G]=

G]=

—% sin б

—% sin б

А =

А =

电

电

Ео COS б

Ео COS б

」—е0 sin б

」—е0 sin б

Обобщение приведенного выше описания поведения вязкоупругого материала достигается представлением в комплексной форме как напряжения

0* = %6必｛ (9.41)

так и деформации

(9.42)(9.42)е* =电 с，® J6).

(9.42)

(9.42)

При использовании представлений (9.41) и (9.42) вводится комплексный модуль G*(i(o), по определению равный величине

а*/е* = G* (zto) = (cr0/e0) d。= G】+ iG2,(9.43)

действительная часть которой равна модулю накопления, а мнимая часть — модулю потерь. Аналогично комплексная податливость

определяется формулой 8*/0* = J* (is) = (&"仇)6-"-

=厶一储， (9.44) где действительная часть равна податливости накопления, а мнимая часть — взятой с

обратным знаком податли-Рнс. 9」I.

вости потерь. На рис. 9.11

приведены векторные диаграммы G* и J* (заметим, что по определению 6* = LJ*).

1Q Дж. Мейз

9・7. Трехмерная теория

При создании трехмерной теории линейной вязкоупругости обычно принято рассматривать отдельно вязкоупругое поведение в условиях так называемого чистого сдвига и чистого расширения. Таким образом, эффекты искажения формы и изменения величины объема изучаются независимо и затем их описания комбинируются, чтобы построить общую теорию. Математически это обеспечивается разложением тензоров напряжений и деформаций на их девиаторную и шаровую части, для каждой из которых затем пишутся определяющие соотношения вязкоупругости. Разложение тензора напряжений дано формулой (2.70)

S/ = Si/ + MjO/г/г/З,(9.45)

а разложение тензора малых деформаций — формулой (3.98)

%" 十 bifikk/3.(9.46)

Принимая обозначения, использованные в этих равенствах, запишем в операторной форме трехмерное обобщение определяющих уравнений вязкоупругости (9.13):

{P}&/ = 2{Q}旬(9.47а)

и

{陷旳=3{n)£小(9.476)

где {Р}, {Q}, {714} и {^} —дифференциальные операторы, определенные в соответствии с (9.14), а числовые множители введены для удобства. Так как практически все материалы упруго реагируют на умеренные гидростатические нагрузки, в качестве операторов {М} и {7V}, связанных с расширением, обычно берут постоянные и преобразуют соотношения (9.47) к виду

{Р}叨=2 {Q} е”，(9.48а)

di = ЗК&н,(9.486)

где К — объемный модуль упругости.

Следуя тому же общему правилу разделения эффектов искажения формы и изменения величины объема, напишем трехмерные определяющие соотношения вязкоупругости в форме интегралов ползучести

е” = f 屯(£ — ') "5*"成*(9.49a)

b

&i = f 也(f — f) df(9.490)

6

(9.50а)(9.506)(9.50а)(9.506)Задача изотропномЗадача изотропномисследования напряженного состояния вязкоупругом теле, которое занимаетисследования напряженного состояния вязкоупругом теле, которое занимаетв некотором объем V ив некотором объем V иРис. 9-12.Рис. 9-12.(9 52)(9 52)

(9.50а)

(9.506)

(9.50а)

(9.506)

Задача изотропном

Задача изотропном

исследования напряженного состояния вязкоупругом теле, которое занимает

исследования напряженного состояния вязкоупругом теле, которое занимает

в некотором объем V и

в некотором объем V и

Рис. 9-12.

Рис. 9-12.

(9 52)

(9 52)

и интегралов релаксации

= j %('—")吃/ ",о

5T %(/一/)售".

Для того чтобы распространить на трехмерный случай описание вязкоупругого процесса при помощи комплексного модуля, требуется ввести комплексный объемный модуль К*. Уравнения, раздельно написанные для чистого сдвига и для чистого расширения^ таковы:

s*y = 2G* (г(о) е；/ = 2 (Gi + iG2) e*h(9.51а)

& = ЗК* (i(o) е*( = 3 (Ki +е«.(9.516)

Анализ вязкоупругого напряженного состояния. Принцип соответствия

ограничено поверхностью S (рис. 9.12), ставится следующим образом. Пусть заданы массовые силы 瓦，действующие внутри V, и пусть на части S】границы тела известны внешние поверхностные силы £“)(/, f), а на части S2 поверхности тела — смещен и я повер хности gf (xfe, f). Тогда система, дающая постановку задачи, состоит из следующих соотношений:

уравнения движения (или равновесия)

5" +瓦=Р%；

соотношения, выражающие деформации через перемещения

(9.53)(9.53)2 跋/ = (u(j + и^

(9.53)

(9.53)

3)

4)

или скорости деформации через скорости 2% = (%, + 你)；

граничные условия

5/(/, 0 ^i (-^й) = »!'(/, 0 на S],% (/") = gJ/，f) на S2；

начальные условия

以(/，。)~ 〃о，

% % °) = %；

(9.54)

(9.55)

(9.56)

(9.57)

(9.58)

определяющие уравнения, записанные в одном из следующих видов:

а) через линейные дифференциальные операторы, т. е. в форме (9.48),

через интеграл наследственности, т. е. в форме (9.49) или (9.50);

через комплексный модуль, т. е. в форме (9.51).

Если форма тела и условия нагружения достаточно просты и если поведение материала может быть представлено одной из простейших моделей, то приведенную выше систему уравнений можно проинтегрировать непосредственно (см. задачу 9.22). Однако для более общих условий обычно принято искать решение, пользуясь принципом соответствия упругой и вязкоупругой задач. Этот принцип основывается на том, что система основных уравнений теории упругости и преобразования Лапласа по времени вышеприведенной системы основных уравнений теории вязкоупругости запи-

сываются одинаково. Соответствующие уравнения для тических изотермических задач, в которых черточки преобразования Лапласа по времени, например

f(/，s) = ff(4, f)e-s‘力，

квазиста- означают

(9.59)

осопоставлены в следующей таблице:Уравнения теорииупругости

2% = (〃fj + uiti)

Oijtif = t^ на S]

⑷=g/ на S?

防П2G匂

о” ==

Преобразования

уравнений

теории вязкоупругости % + ^ = 0

灰」=位/ + Z?

5泌=紀Ha S]

勿=Si на S2

Р (s) &/ = 2Q ⑸ ец

电=ЗК&〃

Из этой таблицы видно, что если G в уравнениях теории упругости заменить на Q/Р, то обе группы уравнений будут иметь одинаковую форму. В силу этого, если в решении соответствующей задачи теории упругости G заменить на Q/P для вязкоупругого материала, то полученный результат будет преобразованием Лапласа решения задачи теории вязкоупругости. Обратным преобразованием найдем само решение для вязкоупругого материала.

Этот принцип соответствия может быть установлен и для задач, отличных от квазистатических. Более того, определяющие уравнения не обязательно записывать через линейные дифференциальные операторы, а можно брать в виде (9.49), (9.50) или (9.51). В предлагаемых далее конкретных задачах каждый раз будет указываться форма, в которой следует использовать этот принцип.

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

Простейшие механические модели вязкоупругого поведения (§9.1—9.3)

Проверить правильность соотношений между напряжениями и деформациями, данных формулами (9.3) и (9.4) для моделей Максвелла н Кельвина соответственно.

В модели Максвелла (рис. 9.2, а) полная деформация равна сумме деформации пружины и перемещения поршня в вязком элементе. Таким образом, е = es + + eD, а также е = es + eD- Так как напряжение в каждом элементе равно а» формулы (9.1) и (9.2) позволяют иайти е == a/G+ оЛ]・

В модели Кельвина (рис. 9.2, б) а = as + 0о и непосредственно из формул (9.1) и (9.2) получаем и ==刀工+ Ge.

9・2・ Использовать операторную форму соотношения между напряжением и деформацией для модели Кельвина и получить закон, связывающий напряжение и деформацию в стандартном линейном твердом теле (рис. 9.3,а).

В указанной модели полная деформация равна сумме деформаций упругого элемента и элемента Кельвина, т. е. е = es + 版，или в операторной форме е = =о/& + и/{ & + 小。小 Отсюда находим

Gi {С2 + 加&} е = {G2 + 刀2也} и + 齿0 и, следовательно,

Gfi2e + G^e = (Gj + GJ о + 小0・

Написать соотношение, связывающее напряжения и деформации в четырехпараметрической модели (рис. 9,4). При rj】-> -> оо сравнить с результатом задачи 92

Для указанной модели полная деформация вычисляется как сумма е « е^ + + ем* или в операторной форме как

£ = o/{G2 + 小齿} + {齿 4- 1%) u/G* {&}.

Распишем оператора и сгруппируем члены：

и + (G]'% + (Gi + G?)/%) и + G1G2o/(i]1T]2)= G1e + G1Gae/i]2.

При m f 8 это соотношение принимает вид о + (Gi+ G" d/巾=&е+ 4- G]G；e/n2, чт0 эквивалентно результату, полученному в задаче 9.2.

Рассматривая модель, изображенную на рис. 9.13, как частный случай обобщенной модели Максвелла, найти для нее со-

Рис. 9.13.Рис. 9.13.отношение между напряжениями и деформациями.

Рис. 9.13.

Рис. 9.13.

Равенство (9.10) при % =□ =2 дает

{也+1%}十

十】必} 1/%} •

Выполняя указанные действия, получаем

{齿 + 1/%} 9 + Bq) = Gi {力 + 1/т2} e + G2 {叱 + 1/Tj} e. Раскроем операторы и перегруппируем члены; это дает

展 +(G + 工г) и%% + u/qq = & + d) e + (GJq + 伉占)e.

9・5・ Модель, изображенную на рис. 9.14, можно считать вырожденным случаем обобщенной модели Максвелла (N = 3) при G] = ”2 = 8. Используя такие значенияасг

коэффициентов в уравнении (9.10), напи-二

сать соотношение между напряжениями и деформациями для этой модели.

0 = %€ + -^-+ WG3+I/%}，0 = %€ + -^-+ WG3+I/%}，В данном случае уравнение (9.10) принимает вид

0 = %€ + -^-+ WG3+I/%}，

0 = %€ + -^-+ WG3+I/%}，

или|0

{^/G3 + 1/%} & = IWGs + 1 加3} (%£”+ G2e) + ё.Рис- 9.14.

Выполняя действия, указанные операторами, получаем

o/G3 + Вт = ^G3 + (1+ Ga/G3 + 小加3)& + 5/%纟 что после интегрирования можно записать в форме

电。+ 仇0 = %%е + (GzQ + 634 + G3%) е + G2G3e.

Ползучесть и релаксация (§ 9.4)

Найти выражения для характеристик ползучести в моделях Кельвина и Максвелла непосредственным интегрированием уравнений (9.17) и (9.21) соответственно.

Пользуясь интегрирующим множителем d? из уравнения (9.17) находим

е//т =乌_ f /小[U (f)] “，П о

а применяя формулу (9.18), имеем

ее"。= & [U ⑼/n) [Ter/T^ = (a0/G)(ez/t - 1) [U ⑼，

или e= (a0/G) (1 —厂屮)[U ⑼.

Возьмем * в качестве интегрирующего множителя в (9.21); тогда

о//т = G %，/7' [6 (Г)] Л',О

и по формуле (9.23) получим

ae^ = Ge0 [U «)], или о =» 仃那厘‘九[и ⑼.

9・7・ Найти деформацию ползучести для стандартного линейного твердого тела (рис. 9.3,а).

В силу того что е = es + 映，деформация ползучести для данной модели» согласно (9.1) и (9.19), вычисляется по формуле

е(0 = U/Gi + (1/G2) (1 - e-'/Q)]。。\U ⑼.

Тот же результат можно получить, положив 刀？ =■ 8 в обобщенной модели Кель- 2

вина (при^ = 2), где деформация равна 8 == £ 厶(1 — ё~^)а0[и(f)]t или непосредственным интегрированием закона, связывающего напряжения и деформации для стандартного твердого тела. Читателю предлагается провести соответствующие выкладки.

9・8・ Эксперимент по исследован и ю обратной ползучести состоит из нагружения, как в опыте на ползучесть: о =仇 сохраняется некоторый период времени, а затем о мгновенно снимается. Найти кривую деформации обратной ползучести для стандартного твердого тела %-,

(рис. 9 3,а) при законе нагружения,|

изображенном на рис. 9.15.।

Пока приложена нагрузка (т. е при t <2&”

V 2T2)，как найдено в задаче 9.7, деформацияРис. 9.15.

f еияется по закону

e = a0[l/G1 + (l/G2)(l-e-^)l.

В момент t = 2T2 нагрузка снимается, и обращается в нуль и одновременно вос- етаиавливается упругая деформация Gq/G^ При f > 2т2 изменение деформации

е = С = а0 (1 — 2)/G2(е = С = а0 (1 — 2)/G2(описывается уравнением е 十 е/т2 = 0, которое отражает закон связи между напряжением и деформацией для указанной модели прн а = 0 (см. задачу 9.2). Решение этого дифференциального уравнения есть е = Сё~т^2, где С — по

е = С = а0 (1 — 2)/G2(

е = С = а0 (1 — 2)/G2(

стоянная, а Т = f —2т2. При Т = 0 мы имеем следовательно,

при f > 2т2.при f > 2т2.е = а0(1 -е-2)厂切-色=а0(е2 - 1) 6一小悠

при f > 2т2.

при f > 2т2.

Рис. 9.17.Рис. 9.17.9・9・ Модель, изображенная на рис. 9.16, растягивается с постоянной скоростью е = е0//г, как

Рис. 9.17.

Рис. 9.17.

напряжение в такой модели при указанном процессе деформирования.

По результатам задачи 9.5 зависимость между напряжением и деформацией в такой модели будет описываться уравнением а + и/т =乎 + 3Ge + Ge/t( а для нашего случая уравнением и + и/т = 36е()〃1 + G&田О» Проннтегрируем его и найдем а = е0 (2т] + ^О/G + Се~^т, где С — постоянная интегрирования. При f = 0 и = П%〃1 и, следовательно, С =—叫仆 Таким образом, и = =% (2期 + а — п®—”')/厶・ Заметим, что тот же результат получается при интегрировании уравнения другим способом:

oJ/т =學 j 3GJ'/%t' + 碧]~Г~ d/' + 乎.о - о

Непосредственным интегрированием найти закон, связывающий напряжение и деформацию для стандартного линейного твердого тела в процессе релаксации напряжения, если деформация задана законом в = % [U (f)L

Запишем соотношение мевду напряжением и деформацией (см. задачу 9.2) для данного случая в виде

0+(Gi+ GJo/小=e0G 他(3 + G&[U ⑼/%).

Если воспользоваться интегрирующим множителем 萨$十6力"％ то /£

“&+а)的=%GJ [6 &)]№+"&)尸/”成'+ 乌 &.]財(Г)] е&+а)尸/т12dи о%0

Вычисляя интегралы с помощью формул (9.18) и (9.23), находим

0=eoGj (Ga + G金@+G)〃m) [U (3/(a 十 02).

Функции ползучести и релаксации.

Интегралы наследственности (§ 9.5)

Найти функцию релаксации 屮(0 для трехпараметрической модели, изображенной на рис. 9.18.

Соотношение между напряжением и деформацией для указанной модели таково:

% + и/т2 =伤+仇)百+ a6/例2"

Тогда при е = е0 [С/ (0] и ё = е0 [6 (f)] с помощью интегрирующего множителя е"“ можем написать@Тогда при е = е0 [С/ (0] и ё = е0 [6 (f)] с помощью интегрирующего множителя е"“ можем написать@ое"& = е0 (Gi + G„) f J'/”6 (Г)] d/' + оо+ &器2 • У d'/s [U (f)J df.ое"& = е0 (Gi + G„) f J'/”6 (Г)] d/' + оо+ &器2 • У d'/s [U (f)J df.rWVWW1rWVWW1ооРис. 9.18.Рис. 9.18.

Тогда при е = е0 [С/ (0] и ё = е0 [6 (f)] с помощью интегрирующего множителя е"“ можем написать@

Тогда при е = е0 [С/ (0] и ё = е0 [6 (f)] с помощью интегрирующего множителя е"“ можем написать@

ое"& = е0 (Gi + G„) f J'/”6 (Г)] d/' + оо

+ &器2 • У d'/s [U (f)J df.

ое"& = е0 (Gi + G„) f J'/”6 (Г)] d/' + оо

+ &器2 • У d'/s [U (f)J df.

rWVWW1

rWVWW1

о

о

Рис. 9.18.

Рис. 9.18.

Затем, пользуясь формулами (9.18) и (9.23), находим о = % (d + 仇厂”力)= =eoq)(/). Заметим, что этот результат можно получить также, положив 勿 -> оо в формуле (9.30) для обобщенной модели Максвелла.

Используя фундцию релаксации 屮(£) для модели, предложенной в задаче 9.11, найти функцию ползучести по формуле 9.40.

Преобразованием Лапласа функции ср (/) = Gi 4- &「"％ будет <р (s) >= в Gi/s + G^(s + 1/т2) (см. любую таблицу преобразований Лапласа). Тогда по формуле 9.40 находим

樓(s) =(5 + Uq)/[GiS (s + 1/Q 4- G^]=

=1/(G/) — [G^ & + G"]/(s + GJ® + Q t2).

Пользуясь таблицей преобразований Лапласа, легко обратить это выражение и получить

巾=1/& -[仇/Gi (出 + Оа)] е-@〃(а+&)т*.

Данный результат можно проверить интегрированием соотношения между напряжением и деформацией для указанной модели при законе нагружения, таком, как в опытах на ползучесть.

К материалу Кельвина приложено напряжение, которое

линейно растет со временем, а затем долгое время сохраняет по

стоянную величину сг! (рис. 9.19). Вычислить вызванную им деформацию, полагая при этом сг1//1=Х.

Закон изменения напряжения можно записать так:

Рис. 9.19.G = lt\U (/)]—入"一幻[U (£ — 31・

Подставляя его в уравнение (9.4), получаем

廿九廿九А , f'J‘/T 出(f)] ar-pr -g /'/'[и(尸 一 g]力'}.

廿九

廿九

Интегрируя с помощью (9.18)» находим

е Н (入/G)他 + T (e-"t - 1)) [U (/)] 一 ((/ 一幻 + T 伍屯-"T 一 少因(f _ 幻]}.

При f -> 8 это выражение сводится к виду е == g/G = 01/ G.

Воспользовавшись интегралом ползучести (9.34) и функцией ползучести для модели Кельвина, проверить результат задачи 9.13.

Для модели Кельвина 屮(f) = (1 — e—^T)/GH формула (9.34) приводит к вы ражению

е(° = ) Е〔【и С” + П°('” 一【и & - *)1 一

-(，匚幻[6 (〃 一 GD (1 —「J')/。) di'.

которое с помощью (9.18) и (9.23) сводится к следующему: ft

е =与{〔"閒 J adt'-iutt-t^] !(1 —e- D/T)廿卜

Непосредственное вычисление этих интегралов подтверждает результат, полученный в задаче 9.13.

Применяя принцип суперпозиции, - найти реакцию материала Кельвина на закон нагружения, изображенный на рис. 9.20.

Указанное изменение нагрузки можно представить в виде последовательности нагружений» заданных наклонными прямыми в плоскости о" как показано

иа рис- 9-21- В задаче 9.13 было найдено, что для нагружения такого типа деформация вычисляется по формуле е = (*G) "+ т (©一“‘ 一 1)] [U (/)]； поэтому в нашем случае она будет равна ，

е (/) = (Z/G) {(/ + т (е-〃т 一 1)) [U (/)] - ((/ - &) +

+ т (е-^-^ - I)) [U (f - G)1 -停-2幻 +

+ т (е~ Л% - 1)) [U (/ - 2幻]+ (« — 3幻 +

+ T (e- @-%)/Т - 1))因(/ _ 3幻]},

Заметим, что в -> 0 при f -» 8.

Комплексные модули и податливости (§ 9.6)

Найти комплексный модуль G* и угол запаздывания 6 для модели Максвелла (рис. 9.2).

Запишем формулу (9.3) в виде а + а/т = Ge и подставим в нее выражения (9.41) и (9.42). Получим /состое1й)^ + ^ое£й)</т = G/coe^(^―e)t откуда ^求结/环工 =G* = GicoT/(l + йот), или в стандартной форме

宀 G (сЛ2 + 心т)=~1 + 32T2 — •

Из чертежа на рис. 9.11 находим tg 6 =仇/Gi = Са)т1С^^ — 1/сот.

9-17. Показать, что результат задачи 9.16 можно получить также непосредственно из определения а/е = G* простой заменой оператора dt на 而 в уравнении (9.5).

После предложенной замены уравнение (9.5) примет вид (im/G + 1Л]) о = о 而£, откуда находим

, GfcoGZcdt

о/е =；— ,

is + Lt I + йот

как и прежде.

На частном примере уравнения (9.10) для обобщенной модели Максвелла показать справедливость правила, утверждающего, что при параллельном соединении моделей их комплексные модули складываются.

В задаче 9.17 для комплексного модуля модели Максвелла получено выражение G* = а/е = Gi(dt/(1 + /сот). Уравнение (9.10) можно записать в виде

Gi {&} е ,& {心} е% {&} е

{@+l/q}十一{&+1/词 十 …十{&+1/Т储.

ТогдаТогдакомплексный модуль обобщенной модели Максвелла будет равен

Тогда

Тогда

r+to, +-1^2-+ …+ IT可-%++G"

Проверить соотношение 厶=1/ [& (1 + tg26)] между модулем накопления и податливостью накопления.

Согласно формулам (9.43) и (9.44), имеем J* = 1/G*, следовательно,厶一 —込=l/(Gi + »旬=(Gi - iG^/(G~ + G乳 т. e.

厶=厶=G?+GiG?+Gi11

厶=

厶=

G?+Gi

G?+Gi

@(1 + (d/仇)2)-=d(l~Ptg2»

Для циклического нагружения (рис. 9.10) вычислением интеграла y(rtfe по одному циклу показать, что диссипация энергии за один цикл прямо пропорциональна податливости потерь J&.

Для векторов напряжения и деформации, изображенных иа рис. 9.10, вычисление интеграла，od£ за цикл дает

2л/(0d 2冗/8

J о -^-由=,(<т0 sin coQ £o(o cos (co/ — 6) df = о0

2Л/О)

и Oo%s I sin sf (cos cof cos 6 + sin cof sin 6) dt =

002Л/Ш2Л/Шsin 2血—2—出 + J2sin 2血—2—出 + J22Mo

0

0

2Л/Ш

2Л/Ш

sin 2血

—2—出 + J2

sin 2血

—2—出 + J2

J (sin2 coQ d^ = СТоЛ/2. о

Трехмерная теория вязкоупругости.

Анализ напряженного состояния (§ 9.7—9.8)

Комбинируя соотношения (9.48а) и (9.486), получить определяющее уравнение о“ = &/ {R} £版 + {S} е(/ и найти вид операторов {/?} и (S|.■

Запишем (9.48а) в форьте {Р} (% — ^ijGkk^ = 2 {Q} (е£у —饼产加3) и заменим Gkk в этом выражении правой частью равенства (9.486). После некоторых простых операций получим

旳=3 {(ЗКР — 2Q)/3P} Eftft + {2Q/P} %•

9・22・ Брус из материала Кельвина находится в состоянии одноосного растяжения, так что 0n = 仇 [U (f)l, a22 = og3 = a12 = =0*23 = п31 = 0, причем % постоянно. Найти деформацию еп при таком законе нагружения.

Из равенства (9.486) для данного случая имеем 3£〃 = % [U (f)]/K, а уравнение (9.48а) при i = / = 1 дает {Р} (ои —ou/3) = {2Q} (вп — е^/3). Но соотношение (9.6) показывает, что для материала Кельвина {Р} = 1 и {Q}= ={G+喻}； поэтому в нашей задаче

2% [U (0]/3 = 2{G + ^dt} (С11 一 ％ [U (切/9К), или

▲u + %片=%【и (/)] (3^ + G)/9т1^ + 备[6 (3/9К・

Решая это дифференциальное уравнение, получаем

еи = a0(3^+G)(l-е-〃т)[U (3/9KG + ”「"丁[U ⑴]/9К；

при / -> оо имеем е1Х -> (ЗК 4- G) o0/9/CG = о0/Е.

Материал Кельвина заполняет форму с жесткими стенками, так что е2г = ^зз = °, когда прикладывается напряжение по закону аи == — а0 W (/)]; см. рис. 9.22. Найти £工工 и возникающие за счет наличия стенок компоненты напряжения о2з = п33.

В нашем случае е“ = е1Х и о22 = %§, поэтому для материала Кельвина равенство (9.486) имеет вид он + 2% = З/feu, а из (9.48а) следует 2 (он — о22)/3 = =2G {1 + т“} (2еп/3). Комбинируя эти соотношения, получаем дифференци-

альиое уравнение

△и + (4G + ЗК) %/46т = — Зо。[U (/)]/4Gt, которое после интегрирования дает

/1 = — Зст0 [U ⑴](1 —「&G+3K)"4勺/(4G 土 ЗК).

Подставляя это выражение в равенство (9.48а) при f = / = 2, получаем

^22 — \+8d46K丿 © '，

Радиальная компонента напряжения в упругом полупространстве при действии концентрированной нагрузки Р, приложенной в начале координат (рис. 9.23), выражается формулой

о(〃)=(尸/2冗)[(1 — 2v) а (г, г) —р (г, г)],

где а и Р — известные функции. Пусть закон нагружения задан функцией Р = Г。[U (/)]. Найти радиальную компоненту напряжения в полупространстве из вязкоупругого материала Кельвина, пользуясь принципом соответствия.

Рис. 9.22.Рис. 9.23.

Члену 1—2v в вязкоупругой среде соответствует оператор {3Q}/{3KP + + Q}； следовательно, для кельвиновского тела преобразование решения вязко- упругой задачи будет

*=器[аК2%а匕 Z)T (分 z" •

Это выражение можно обратить, представив его в виде суммы дробей и воспользовавшись таблицами преобразований. В результате получим напряжение в вязкоупругой среде

0(")= ~^~ [( 3/(4-G + 飞*j G е-М+О 的卜(г, г) + ₽ (г, г)j .

Принцип соответствия можно использовать для получения не только напряжений, но и перемещений. Перемещение поверхности упругого полупространства, рассмотренного в задаче 9.24, по направлению оси г задано формулой 5(z=o)=尸(1 —— —^)1Епг. Найти перемещение поверхности полупространства из вязкоупругого материала в условиях упомянутой задачи.

Оператор теории вязкоупругости, соответствующий члену (1——v2)/£ упругого решения, будет {ЗК+4Q}/4Q (ЗК+ Q)・ Тогда для материала Кельвина преобразование Лапласа перемещения дается выражением

- _ P°(3K+4(G+iis)) 一 n石тек +用■

После довольно длительных преобразований и обращения получаем'

^о (3^ + 4G)「1 Зе-СЗК+О^ 3^+G 一浦

%=0)= 4"2 (3k 下⑥"L ? 咏干而 6и3к+4»「

Заметим, что 吗％=0)== ° при f = 0 и что а^(г=0) стремится к Ро (1 — у2)/£лг, т. е. к упругому смещению, при t -> 8.

Предполагается, что равномерно нагруженная свободно опертая балка изготовлена из материала Максвелла (рис. 9.24).

F Найти изгибающее напряжение II 丨 I I 丨 I 门 丨 I ° 二 т ou и величину прогиба w (хь /), I 旳 если нагрузка задана б виде р =

*2厶П =% [U ⑴】•

Рис. 9.24.Изгибающее напряжение для сво

бодно опертой балки не зависит от свойств материала, поэтому изгибающее напряжение и для упругого, и для вязкоупругого материала будет одним и тем же. Прогиб упругой балки определяется формулой w (хх) = роа (х^)/24ЕЦ где а (хх)—известная функция, а / ——момент инерции поперечного сечения балки. Для материала Максвелла {尸} ={。,十 1/т} и {Q} = {G&}, так что преобразование Лапласа величины прогиба будет

-%а(〃)/ 3K/t+(3K+G)s、

①=-24Z 一(咏3?丿

После обращения этого выражения получим

八 %a(修)/ t 3K+G 、 3 (%,/)=24/ (百 +

Прогиб w (*i，0) = %a (x1)/(24£/) при f = 0 равен прогибу упругой балки.

9-27. Показать, что если материал считается несжимаемым (V = ^2), то при £ -> 8 напряжение о22» найденное в задаче 9.23, стремится к о0 (среда ведет себя как жидкость).

В задаче 9.23 получено

% 1修8 = -0。(9К 一 (4G + 3Ю)/2 (4G + 3K)=-智^;打•

Это выражение можно записать через v в вцде о22 |^те = — vct0/(1—v). Таким образом,必2 8 = — По「PH v = l/2.

Смешанные задачи

9・28・ Написать определяющее соотношение для комбинированной модели Кельвина—Максвелла, представленной на рис. 9.25. Вывести из него определяющие соотношения для модели Кельвина и модели Максвелла,

Для предложенной модели

° = °м + %= -(^^^7^ +

+ {& + т)0} &

Выполняя указанное операторами дифференцирование по времени» имеем

о + 5 r = т)2ё + (б】+ G? ++ 期2几1)£+ (&/Ti)E

Если в этом уравнении положить т]2 = 0 (соединить параллельно с узлом Максвелла упругий элемент), то уравнение будет о + о/тх = (& + GJ е 十(d/q) е. Если к тому же и G2 = 0, то получаем определяющее соотношение для модели Максвелла 6 + о/тх = &е・ Аналогично если сначала положить G = 0 (соединить параллельно с узлом Максвелла вязкий элемент)-, то уравнение будет иметь вид 6十 сг/т1 =刀宏£ + (& + nJq)& а когда и т]2 = 0» оно опять сводится к определяющему соотношению для модели Максвелла.

Если определяющее соотношение для этой четырехпараметрической модели записать в виде

%d = Gp = %也2 + (G]% + G2Th + G]%) % + &G戒

и положить 刀1 равным нулю, то в результате получается определяющее уравнение для модели Кельвина о = т)2е + G2e. Точно так же если Gx = 0, то уравнение сводится к виду о ==□ т)2е + G2e и опять представляет модель Кельвина-

Воспользоваться принципом суперпозиции и получить деформацию обратной ползучести для стандартного линейного твер・

додого тела (рис. 9.3, а). Сравнить

о0 результат с тем, что получено в

При законе нагружения"=% [U (01 一 ％ [U « — 2q)](рис. 9.26), деформацию сразу можно записать» воспользовавшись выражением, найденным в задаче 9.7:При законе нагружения"=% [U (01 一 ％ [U « — 2q)](рис. 9.26), деформацию сразу можно записать» воспользовавшись выражением, найденным в задаче 9.7:задаче 9.8.

При законе нагружения

"=% [U (01 一 ％ [U « — 2q)]

(рис. 9.26), деформацию сразу можно записать» воспользовавшись выражением, найденным в задаче 9.7:

При законе нагружения

"=% [U (01 一 ％ [U « — 2q)]

(рис. 9.26), деформацию сразу можно записать» воспользовавшись выражением, найденным в задаче 9.7:

е = % (1/01 + (1 —e-"q)/G2 [U (01 -

一 ％ (1/& + (1 - e-(心宀伤)[6/ (/ — 2т„)].

В момент t > 2т2 обе ступенчатые функции равны единице, следовательно, е = % (— e-'/Q + е~ ”2&)/Q)/G2 = а0 (е2 - 1) 0一'％/伉，

что согласуется с результатом задачи 9.8.

Найти напряжение в модели, предложенной в задаче 9.9, при деформации по закону, изображенному на рис. 9.27. Показать, что в конце концов все напряжение будет приходиться на «свободный» упругий элемент.

Решение задачи 9-9 и принцип суперпозиции позволяют найти напряжение в виде

О = Во (П (2 — е-〃Р) + Gf) [U ⑼& 一 ％ (n (2 —「"Г)т} +

+ G(/-^)) [Uft-t^

Для моментов времени 力 > & напряжение равно о = еот] ©代—1) е~〃°心 4-Ge0> а при f 今8 оно сводится к величине о = Ge0.

«Логарифмический спектр запаздывания» L определяется через обычный спектр запаздывания J формулой 厶(Inx) = tJ (т). Пользуясь этим определением, найти функцию ползучести 巾(0 как функцию от L (1пт).

Пусть In т =入，т. е. 0* = т; тогда dt/d入 =е" = т, или dr ^ Td (In т). Теперь формула (9.28) для функции 屮(f) позволяет написать

ф (Z) = J Z. (1п т) (1 — е-"т)d(1П т).

о

Аналогично если функция Н (1п т) ^ tG (т) определяет логарифмический спектр репаксацни, то функцию <р (/), введенную формулой (9-31), можно представить в виде

中(В = ]н(1пт)еТ/%(1пт).

О

Для модели Максвелла (рис. 9.2,а) найти модули накопления и потерь Gi и G2 как функции 1п сот и построить графики этих функций.

В задаче 9.16 установлено,что для материала Максвелла

G®2T2 + i%).

—~~，

таким образом,

1 = 「+= "翕，

где X = In сот. При 九=0 имеем Gx = G/2, при X = do имеем G】=G и при X = —оо имеем @ = 0. Таким же образом находим G? = Ge%Q + 圆^ и при X = 0 имеем G2 = G/2, при 儿=士 оо имеем G2 = 0. Графики этих функций приведены на рис. 9.28.

Найти вид оператора в определяющих соотношениях вязкоупругости (9:48), соответствующего упругой постоянной v (коэффициенту Пуассона).

При одноосном растяжении ои = оп. Формула (9.486) в этом случае имеет вид %/3 = о0/9К( а формула (9.48а) при подстановке i = / = 1 дает

eu = {ЗКР + Q} col[^KQ}' Точно так же из (9.48а) при i = j = 2 получаем е22 = {2Q— ЗРК} %/{18KQ}・ Таким образом, в операторном форме можно написать

V = - %2/£u о {3PK-2Q}〃6KP +2Q}.

Цилиндр из вязкоупругого материала помещен в плотно пригнанную форму с жесткими стенками (рис. 9.29), так что &切= = 0 (радиальные деформации отсутствуют). При расширении материал ведет себя как упругий; функция ползучести равна 巾 = =Л + BZ + Се"', где А, В, С,九 一 постоянные. Найти о33 (/), если е33 = е0 [U (/)].

Для данной среды ст(£ = 3欢&〃 и в силу симметрии задачи это равенство имеет вид 2оХ1 4- о33 = 3/<е33. Согласно формуле (9.50а), при i = j = 1 имеем

С de

61 — %з = — ] •田* q> (f — У) df‘. Разрешая эту систему двух уравнений относительно Ogg, находим

%з = Кезз + ~|~ f *£ 屮 С —产)廿•

Функцию релаксации ф можно найти, пользуясь формулой (9.40). В результате получим

Ф = G1 -儿)" -(?2 一儿)/1‘13 -，2)，

где Aj 2 = [Л^ — В ± У (Ак + В)2 + ^ВСЩ2 (Л + С). Таким образом, окончательно имеем

и после интегрирования приходим к выражению

5з = (№о^ + 2е0 [—(々一X) (1 — d J)/3r 1 +

+S 一儿)(1 一 ")/3%]伍一小))[U (川.

Продольный изгиб стержня из вязкоупругого материала в условиях ползучести в рамках линейной теории можно исследовать при помощи принципа соответствия. Найти этим методом величину прогиба w (%!,0 шарнирно закрепленного на концах стержня из материала Кельвина (рис. 9.30).

Прогиб упругого стержня описывается уравнением О?^/诚+ Pqw/E1 = 0. Для материала Кельвина £ следует заменить оператором {七+斗方}, значит, для стержня из вязкоупругого материала должно выполняться уравнение

Рис- 9.30.

{Е + 研}岁血禺)+ Pbw/1 га 0. Будем искать величину прогиба в виде произведения w (Xi,/) « W (хх)0 (/). Тогда упомянутый оператор приведет к дифференциальному уравнению

(£6 + 喻 dBZ/dx；) + P^Q// = 0,

откуда

ё + П + P0W/EI (d^idx^] е/т = о,

где т = п/Е・ Но нагрузка при продольном изгибе упругого стержня равна Рв = =—EI (d2W/dx^)/W f поэтому можно записать последнее уравнение в виде 台+(1 + Р()/Рб)В/t = 0, проинтегрировать и получить решение 0 =

■= е. Окончательно прогиб при продольном изгибе в условиях ползу-

го7 (РVРв一依 чести определяется выражением w = we.

9・36. Сформулировать задачу о стационарных колебаниях балки из вязкоупругого материала, считая, что определяющие уравнения этой среды заданы формулами (9.48).

Свободные колебания балки из упругого материала описываются уравнением EI (d^wjdx^ + рЛ (dzw/dt2) = 0. Согласно (9.48), соответствующий Е оператор уравнений теории вязкоупругости будет {9KQ//3KP + Q)}. Если прогиб искать в виде 切(*i，f) = W (*i) 0 (0, то дифференциальное уравнение колебаний вязкоупругой балки можно расщепить на два уравнения ——одно с производными по пространственным координатам d^ldx^ —々W = 0, а другое—с производными по времени {3/fP + Q} (d20/d/2) + (必〃р<) {9KQ} (В) = 0. Решение W\ пространственного уравнения дает форму Л го главного колебания, а временное уравнение при k = k( имеет решение 比=£ А^е “，где N зависит от порядка опе

ратора. Общее решение представляется, таким образом, суммой 侬(％, 〃 = ■=2 2 ^i(х^ ^е 订 * в которой 儿V ——комплексные величины.

f=l j=*i

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

Написать определяющее уравнение для четырехпараметрической модели, представленной на рис. 9.31.

Ответ： о + (©/小 + G/% + 5/тц) о + (&6丿(％%)) с = ©е + (GiGJn" ё.

Непосредственным интегрированием уравнения

ё + е/т2 = % [U (/)](& + GJ/GiTJa + % [6 ")]/& найти деформацию ползучести для стандартного линейного твердого тела (см. зддачу 9.7).

Вывести определяющие соотношения для модели Кельвина и для модели Максвелла из соотношения, установленного в задаче 9-5 для предложенной в этой задаче четырехпараметрической модели.

Указание: положить &з = 0 и т. д.

Воспользоваться уравнением (9.40) для нахождения функции 屮(0, если ф (/) = a (b/f严 и /п < 1.

Указание: положить m = 1 —kt так что 屮(f)=而"卢т.

с一八 sin/

Ответ:屮(.

*'' amn I b /

Найти функцию ползучести и функцию релаксации для модели, изображенной на рис. 9.32.

Ответ:屮(/) = 1/G2 - G^-0^1^ 5心(g 十 g)，屮⑴=G? + g而一"0.

Найти б* для модели, представленной на рис. 9.33.

_ 宀 Gi (1 + ф2) + G^t^ . со (G2T2 +% а + ^б?))

Ответ: G* 5k 4

1 4-炉专1 4- 0)2$

В модели, предложенной в задаче 9.42, положить Gj =« G2 = G и т)2 == т]з = П и определить закон изменения напряжения при деформировании по закону, представленному на рис. 9.34.

Ответ: о=(%/&) [G (2/ —幻 + n (4 — (1 + /*勺「"力 при 友 V f V 2G

Рис. 9.35.Рис. 9.35.

Рис. 9.35.

Рис. 9.35.

Вязкоупругий материал с определяющим уравнением о + ао = ре -J- 十 ув, где а, В， у — постоянные, подвергается нагружению в следующих условиях: 51 = —5 jU (川，％2 = °，egg = 0 (рис. 9.35). Считая, что % = ЗКе在， найти %з(/), о33 (0) и Озз(оо).

八Г ЗаК —2丫 , / 3^ —2Р

••如=-" 卜万(3狄+%)大 + (-WT₽T -

__ ЗаК — 2?\ f £

—^(3aK + Y)%)「

где X=(Зa^+т)/(3^+₽).

Шарнирно закрепленный на концах стержень сделан из материала Максвелла, для которого о + о/т = Ее. Начальная форма стержня задана ве』н・ чиной прогиба и; = ce/osin (лх/Z); приложенная сила равна PO(U (t)] (рис. 9.36). Найти величину прогиба w (х, f) в следующие моменты времени как функцию от Рв — нагрузки при продольном изгибе упругого стержня.

Ответ: w (х, f) == sm (лх/Z) е.

Список литературы

Бленд Д.( Теория линейной вязкоупругости, «Мир», М., 1965.

Бэтчелор Дж.» Введение в динамику жидкости, «Мир», М・，1973.

Жермен П.» Механика сплошных сред, «Мир», 1965.

Зоммерфельд А., Механика деформируемых сред, ИЛ, М・，1954.

Зоммерфельд А-, Термодинамика и статистическая физика» ИЛ, М., 1955.

Ильюшин А. А.» Механика сплошной среды. Изд-во МГУ» М・，1971.

Ильюшин А. А., Ленский В. С.( Сопротивление материалов. Физматгиз, М., 1959.

Ильюшин А. А-» Ломакин В. А.» Шмаков А. П., Задачи и упражнения по механике сплошной среды» Изд-во МГУ, М., 1973.

Качанов Л- М., Теория ползучести, Физматгиз, М., 1960.

Кочин Н. Е.» Кибель И. А., Розе Н. В., Теоретическая гидромеханика, ч. I и II, Физматгиз, М., 1963.

Кристенсен Р., Введение в теорию вязкоупругости, «Мир», М., 1974.

Куликовский А. Г., Любимов Г. А., Магнитная гидродинамика, Физматгиз, 1962.

Ландау Л. 〃.，Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, изд. 2, ГИТТЛ» М.» 1954.

Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, изд. 4, «Наука», М.» 1973.

Ляв А., Maтe^fэтическая теория упругости, ОНТИ, М., 1935.

Мак-Коннел А. Дж.» Введение в тензорный анализ, Физматгиз, М・，1963.

Милн-Томсон Л. М・，Теоретическая гидродинамика, «Мир», М., 1964.

Новожилов В. В., Теория упругости, Судпромгиз, Л-, 1958.

Прагер В., Введение в механику сплошных сред, ИЛ, М・，1963.

Прагер В., Ходж Ф. Г.» Теория идеально-пластических тел» ИЛ, М・,1956.

Прандтль Л-, Гидроаэромеханика, ИЛ, М・，1949.

Седов Л. И.» Введение в механику сплошной среды. Физматгиз, М., 1962.

Седов Л. И.» Методы подобия и размерности в механике, изд. 7, «Наука», 1972.

Седов Л- И., Механика сплошной среды, т. 1—2, изд. 2, «Наука», М., 1973.

Сокольников И. С, Тензорный анализ, «Наука», М., 1971.

Соколовский В. В.» Теория пластичности, ГИТТЛ» М.— Л.» 1950.

Тимошенко С. П.» Сопротивление материалов, т. I—IL «Наука». М.. 1965.

Тимошенко С. П.» Теория упругости, ОНТИ, М-, 1934.

Хн力』Р., Математическая теория пластичности, Гостехиздат, М., 1956.

Предметный указатель

Абсолютная температура 187

Абсолютно жесткое перемещение 119

Адиабатическое течение 236

Алгебраическое дополнение элемента матрицы 32—33

Альтернирующий тензор 31

Базнс 17

—ортонормированный 17

Бивектор 17

Вектор 10

—вихря скорости 162

—единичный 10

— завихренности 162

—линейного поворота 122

—момента напряжений 70

—напряжения 70

—натяжения 70

—нулевой 10

—перемещения 114

относительного 121

на единицу длины 121

Векторы базисные 16

—,вычитание их 16

—ковариантные 24

—контравариантные 24

—,произведение нх векторное 12

двойное 13

неопределенное 13

скалярное 12

смешанное 13

—равные 10

—,сложение их 11

Вихревая линия 171

Время запаздывания 284

Гидростатическое сжатие 222

Гипотеза упрочнения деформаипон иая 259, 260

энергетическая 259

Гистерезис 250

Давление 228

—гидростатическое 228

Давление термодинамическое 229

Движение 157

—безвихревое 191

— ползущее 240

一 установившееся 160

Девиатор деформаций 131

—напряжений 87

,главные значения его 87

—скоростей деформации 163

Дельта Кронекера 26, 28

Дельта-функция Дирака 284——285

Деформации сдвига 125

технические 125

Деформация 112

— бесконечно малая 120

—,градиент ее 116

—идеально пластическая 250

一 изохорическая 153

一 логарифмическая 249

—,мера ее 119

—натуральная 249

— неупругая 248

—однородная 137

—пластическая 248

—плоская 132

—полная 248

—техническая 249

一 упругая 248

—чистая 130

Диада 13

Диад произведение векторное 15

———■ дважды 15

скалярное 15

дважды 15

смешанное 15

Диадик 10, 13

—антисимметричный 15

—,вектор его 14

一 единичный 14

—самосопряженный 15

—симметричный 15

—,скаляр его 14

Диадики взаимно обратные 15

—равные 14

Дислокации 248

Жидкость вязкая 228

—идеальная 228

一 ньютонова 229

—неньютонова 229

— стоксова 229

Закон Гука обобщенный 200

—-сохранения массы 180

энергии 185

—теплопроводности Фурье 194, 213

механической 184

—термодинамики первый 185

второй 187

—течения 257

一 упрочнения 256

Инвариантность тензорных соотношений 9

Инварианты тензора 37

Индекс немой 20

—,размерность его 20

—свободный 20

Интегралы наследственности 287

— ползучести 290

— релаксации 290

Квадрика деформаций 128

—Коши 128

Количество движения 181

Конфигурация сплошной среды 112

Концепция сплошности 68

Координаты материальные 113

—п ростра нственные 113

Коэффициент вязкости 229

кинематический 232

объемной 250

—длины 125

— относительного удлинения линейного элемента 123

—Пуассона 204

—расширения кубического 130

линейного теплового 212

——теплопроводности 213

Кривая растяжения (сжатия) 250

—текучести 254

Критерии пластичности Мизеса 253

Треска 252

Круги Мора для деформации 132

напряжения 82

Лагранжев способ описания движения 115

Линия сдвига 262

—скольжения 262

—тока 160

Масса 180

Материал, см. также Среда

—анизотропный 68

— вязкоупругий 279

—гиперупругий 212

—гипоупругий 212

—жестко-идеально-пластическнй 251

——жесткопластический 251

—идеально пластический 250, 255

—изотропный 68

—— однородный 68

—— пластический 248

— с упрочнением 256

—— упруго-идеально-пластический 251

—упругопластический 251

Матрица 32

—вырожденная 32

—диагональная 32

—единичная 32

—квадратная 32

—обратная 33 .

—ортогональная 33

—присоединенная 33

—тождественная 33

—транспонированная 32

—упругих констант 202

Матрица-столбец 32

Матрица-строка 32

Минор 33

Модель вязкоупругого тела Кельвина (Фойхта) 280 обобщенная 282 Максвелла 280 обобщенная 282 трехпараметрическая 281 четырехпараметрическая 281

Модуль абсолютный динамический

289

—комплексный 289

--накопления 289

—объемного сжатия 205

—потерь 289

―счвига 205

—Юнга 204

Момент количества движения 183

распределенный 199

Моменты поверхностных и массовых

пар распределенные 75

Мощность напряжений 259

Нагружение активное 257

—нейтральное 256

Направления эквивалентных упругих свойств 202

Напряжение касательное 72

октаэдрическое 99

一 нормальное 72

Напряжения главные 78

Напряженное состояние 71

плоское 85, 94

сферическое 228

цилиндрическое 273

Неравенство Клаузиуса — Дюгема 188

Обозначения индексные 20

—символические 10

Объем удельный 199

Октаэдрическая площадка 89, 98

Оператор замены 28

—материального дифференцирования по времени 159

Ось симметрии упругих свойств 203

Относительное удлинение 126

Параметр Генки 260

—Л оде 264

Параметры состояния 186

П-плоскость 254

Плоская деформация 208

—.—обобщенная 210

Плоское напряженное состояние 207

обобщенное 210

Плоскость симметрии упругих свойств 202

Плотность 69, 180

—средняя 69

Поверхность линейных деформаций 128

— нагружения 256

—напряжений Коши 77

—скоростей деформации 163

—текучести 254

Податливость (материала) 285

—абсолютная динамическая 289

—комплексная 289

—накопления 289

—потерь 289

Поле скоростей 160

безвихревое 162

—тензорное 38

стационарное 38

Ползучесть 283

Полярное разложение тензора 126

Постоянная текучести 252

Постоянные Ламе 204

Потенциал векторный 180

—диссипативный 244

—комплексный 236

——пластический 258

—скорости 233

Поток тепла 185

Предел текучести 248

Джонсона 249

Предел упругости 248

Преобразование координат ортого

нальное 26, 28

Принцип напряжения Коши 70

—Сен-Венана 207

— соответствия упругой и вязкоупругой задач 292

Приращения деформации 257

Произведение вектора на тензор 34

—векторов, см. Векторы

一 диад, см. Диад произведение

--тензоров внешнее 29

внутреннее 30

Производная по времени индивидуальная 158

материальная 158

полная 158

субстанциональная 158

Пространство напряжений 254

главных 79, 254

— Хея—Вестергарда 254

Процесс баротропный 229

—изотермический 191

—термодинамический 186

обратимый 187

——необратимый 187

—чистого сдвига 253

Работа внешних сил 185

—внутренних поверхностных сил 185

—на пластических деформациях 259

,приращение ее 259

Равновесие гидростатическое 232

Радиус-вектор 25

Разгрузка 256

Растяжение всестороннее равномерное

93

—одноосное 93

Реакция упругая запаздывающая 281

мгновенная 281

Релаксация 283

Сдвиг простой 93

Силы массовые 69

—поверхностные 69

Система координат декартсва 16

однородная 26

——обозначений символическая (гиб- бсова) 10

Скаляр 10

Скольжение 248

Скорость внутреннего производства энтропии 188

—изменения свойства локальная (местная) 158

конвективная 158

Скорость кубического расширения 176

—комплексная 236

— мгновенная частицы 158

—сдвига 163

—удлинения 163

относительного 163

Соглашение о суммировании 20

Соотношение Гамильтона — Кэли 38

Соотношение Дюгамеля ——Неймана 213

—между напряжениями и деформациями 190

Состояния параметры 186

—уравнения 186

— функция 186

Спектр запаздывания 286

логарифмический 304

—релаксации 286

Способ описания движения лагранжев 115

эйлеров 185

Среда, см. также Материал

—анизотропная 202

идеализированная 190

— изотропная 202

—,модель ее 190

—несжимаемая 180

— ортотропная 203

Стандартное линейное твердое тело 281

Тензор 9

—альтернирующий 31

— антисимметричный 34

—вихря 161

—,главные значения его 37

направления его 36

оси его 36

—градиента скорости 160

一 декартов 9, 26

—деформаций бесконечно малых лагранжев 120

эйлеров 120

Грина 119

конечных Альманси 119

Грина 119

лагранжев 119

эйлеров 119

Коши 118

шаровой 131

—завихренности 161

—,инварианты его 37

—ковариантный 24, 25

—,компоненты его 9

,закон их преобразования 9

—кососимметричный 34

—коэффициентов длины 127

Тензор Левн-Чнвиты 31

—метрический 25

—моментов, инерции 193

—напряжений 72

вязких 228

— — гидростатических 87

,главные направления его 78

диссипативных 188

,инварианты его 79

консервативных 188

,симметричность его 75

шаровой 87

—обычный 9

—ортогональный 127

——поворота линейного лагранжев 122

эйлеров 122

—,полярное разложение его )26

—,порядок его 9

—приращений деформации 257

—,ранг его 9

—ранга нулевого 10

первого 10, 20

второго 10, 21

—,свертка его 30

—,свертывание его 30

—симметричный 34

—скоростей деформации 161

———,главные значения его 163

направления его 163

,инварианты его 163

—смешанный 25

—упругих констант 200

—— фундаментальный пространства 25

—,характеристическое уравнение его 36

Тензоры сопряженные 13

Теорема Гаусса — Остроградского 41

—-об изменении количества движения 181—182

момента количества движения 183

—Кельвина (Томсона) 234

—Рейнольдса о переносе 175

—Стокса 40

Теория инкрементальная 257

—линий скольжения 261

——малых деформаций 120

несвязанной термоупругости 190

—пластичности деформационная

(Генки) 260

—течения 257

Теплоемкость удельная 213

Тетрадик 10

Течение 112, 157

—адиабатическое 236

—безвихревое 233

—вязкое 281

— пластическое 248

Течение потенциальное 234—235

Тождество Гиббса 189

Точка 112

Траектория 160

Транспозиция матрицы 32

Триадик 10

Триэдр единичных векторов 17

Трубка тока 243

релаксации 286

Функция релаксации 286

— состояния 186

—текучести 252

—тока 235

—Эри 210

Угол запаздывания 288

Узел Кельвина 280

—Максвелла 280

Упрочнение 250, 256

—изотропное 256, 259

—кинематическое 257

——линейное 257

Уравнение Бернулли 234

—бигармоническое 210

— волновое 218

—калорическое 190

—Лапласа 235

一 неразрывности 180, 189

—хар актеристическое 36

—энергии 190

—для энтропии 190

Уравнения газовой динамики 235

—движения 183, 189

—^Ламе 206

—'Левн — Мизеса 257

—Навье — Коши 206

—Навье — Стокса 231

— Навье — Стокса — Дюгема 231

——определяющие 190

— Прандтля — Рейсса 258

—равновесия 75, 183

——связанной термоупругости 213

一 совместности Бельтрами — Мичел- ла 206

для линейных деформаций 133—134

скоростей деформации 163

—состояния 186

—Эйлера 233

Ускорение 160

Условие Стокса 230

Условия Коши — Римана 235

Функция бпгармоническая 2；0

—давления 232— 233

—диссипативная 189

—единичная импульсная 284- 285

ступенчатая 283

—нагружения 256

ползучести 28F

一 распределения времен запаздырг/- ния 286

Цилиндрическое напряженное состояние 273

Циркуляция скороеги 234

Частица 112

Число Рейнольдса 232

Эйлеров способ описания движения 115

Эквивалентное напряжение 258

— приращение пластической деформации 258

Эксперимент на ползучесть 283

обратную 295

релаксацию 283

Элемент вязкий 280

—упругий 280

Эллипсоид деформаций 128

Коши 129

материальный 129

пространственный 129

—напряжений Ламе 80

Энергия внутренняя механическая 185

удельная 185

—деформации 201

——,плотность ее 201

— искажения формы (дисторсии) 214

—кинетическая 184

—расширения 214

—свободная 222

— — удельная 199

—тепловая 185

—химическая 185

—электромагнитная 185

Энтальпия удельная 198

Энтропия 187

—,плотность ее 187

—производство ее 185

—удельная 1*7

Эффект Баушингера 251

Эффективное напряжение 258