Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства 8
Предисловие' 9
Глава 1. Деформация сплошной среды 11
Материальные координаты. Координатыместа 11
Векторные базисы 13
Градиенты места 14
Меры деформацииКоши — Грина и Альманзи 16
Тензоры, обратныемерам Коши — Гринаи Альманзи 20
Ортогональные тензоры, со пр о во ждающи е деформацию. Левый и правый тензоры искажений. Мера деформации Генки21
Тензоры деформации 23
Объемное расширение. Ориентированная площадка 26
Дифференцирование мер Коши — Грина и Фингера 28
Варьирование деформированного состояния 30
Варьирование сопровождающего деформацию ортогонального тензора 33
Вторая вариация скалярной функции тензорногоаргумента35
Кинематические соотношения 37
Материальная производная интеграла. Закон сохранениямассы39
Жесткие движения. Индифферентные тензоры 42
Объективная производная тензора 45
Переменная отсчетная конфигурация. Тензоры Ривлина——Эриксена 47
Определение вектора места по заданиюмеры деформации . .49
Тензоры аффинной деформации 52
Глава 2. Напряжения в сплошной среде 57
Массовые и поверхностные силы 57
Тензор напряжений Коши G1
Уравнения движения сплошной среды 67
Тензор функций напряжений 70
О полярных средах 71
Другие определения тензоров напряжений 73
Элементарная работа 76
Глава 3. Уравнения состояния 80
Простое тело 80
Принцип материальной индифферентности 83
Упругий материал 86
Группа равноправности материала 89
Ортогональное преобразование. Изотропный материал . . . .93
Твердое тело 95
Изотропный твердый материал 99
Упругая жидкость 101
Глава 4. Уравнения и постановки задач нелинейной теории упругости юз
Удельная потенциальная энергия деформации ........ ЮЗ
Уравнения состояния ортотропного и трансверсально-изотропно го материалов 106
Уравнения состояния упругого изотропного материала . . . .107
Преобразование подобия отсчетной конфигурации 111
Варьирование напряженного состояния 112
Уравнения равновесия в варьированном напряженном состоянии 114
Тензор упругостей изотропной среды 116
Представление тензора упругостей в базисе собственных направлений тензора напряжений 118
Тензор упругостей 120
Уравнения движения и равновесия изотропного упругого тела 123
Эллиптичность уравнений равновесия 126
Акустический тензор упругой среды 129
О постановке краевых задач равновесия 131
Приемы рассмотрения задач о равновесии нелинейно упругого тела 133
Универсальное решение урашгений нелинейной теории упру
гости. Теорема Эриксена 136
Принцип стационарности потенциальной энергиисистемы..138
Принцип стационарности дополнительной работы 141
Смешанные принципы стационарности Рейсснера иХу—Вашицу145
Принцип Гамильтона — Остр о гр аде ко го 147
Глава 5. Уравнения состояния нелинейно упругого материала . . .150
О выборе уравнения состояния изотропного упругого тела . .150
Тело Сетха. Тело Сииьорини 151
Материал Мурнагана 154
Преобразование коэффициентов уравнений состояния Синьори- ни и Мурнагана 162
Полулинейный материал Джона 163
Материал Блейтца и Ко 168
Энергия изменения объема и измененияформы 172
Тригонометрическое представлениеуравнениясостояния . . .174
Критерий монотонности напряженного состояния Колемана —— Нолла 177
Критерий роста мощности 181
Эмпирический критерий 186
Выпуклость удельной потенциальной энергии деформации . .188
Дополнительные неравенства нелинейной теории 190
Глава 6. Задачи нелинейной теории сжимаемой упругой среды . . .194
Аффинное преобразование отсчетнойконфигурации' 194
Одноосное растяжение стержня 195
Одноосное растяжение в материале Синьорини, Блейтца и Ко, полулинейном материале 196
Простой сдвиг 199
Чистый сдвиг 202
Полулинейный материал. Задачи Ляме для цилиндра и сферы 205
Круглая мембрана 210
Плоская задача для полулинейногоматериала 215
Изгибание полосы в цилиндрическую панель. Деформирование полого цилиндра 222
Эффекты второго порядка. Исходные уравнения 227
Эффекты второго порядка. Построение решения 230
Изменение объема тела, подвергнутого дисторсии 235
Эффекты второго порядка в задаче о кручении и растяжении стержня 237
Эффекты второго порядка в плоской задаче для полулинейного материала 244
О «физически-нелинейной»теории упругости 249
Глава7. Несжимаемыйупругийматериал 253
Упругий материал с наложенными связями 253
Несжимаемый упругий материал . . . 257
Эффекты второго порядка в несжимаемом упругомтеле...261
Удельная потенциальная энергия деформациинесжимаемого
упругого тела 264
Плоская деформация несжимаемого материала 266
Эффекты второго порядка в задаче о плоской деформации несжимаемого материала 277
Аффинное преобразование отсчетной конфигурации в несжимаемом упругом теле 281
Универсальные деформации несжимаемого матери ала 283
Перечень универсальных решений 285
Кручение, растяжение, изменение диаметра круглого цилиндра 293
Задача Ляме для полого цилиндра 295
Цилиндр, вывернутый наизнанку 297
Задача Ляме для полого шара 299
Изгибание листа в цилиндрическую панель 300
Универсальные решения при наличии массовых сил . . . . .302
Универсальные решения уравнений движения 305
Дифференци а ль ные уравнения Лагранжа для параметров в универсальных решениях 308
Радиальныеколебания цилиндрической трубки 309
Радиальныеколебания полой сферы 311
«Антиплоская» деформация в несжимаемом материале . . . .313
Построениеуниверсальных решений Эриксена 317
Глава 8. Малая деформация первоначально нагруженного тела . . .327
Равновесие в варьированном напряженном состоянии ....327
Потенциальная энергия, определяющее уравнение в Т^Х-кон- фигурации 331
Принципы стационарности в 7/?х-конфигурации 335
Малая деформация гидростатического напряженного состояния 337
Наложение малой деформации на однородное напряженное состояние 341
Наложение деформации кручения на одноосное напряженное состояние 343
Плоские волны в однородно напряженной упругой среде . .345
Плоские волны в гидростатически напряженной упругой среде347
Главные волны 348
Нейтральное равновесие и устойчивость 350
Нейтральное равновесие полулинейного материала352
Приложение к задаче устойчивости сжатого стержня ....355
Безопасное нагружение. Оценки Холдена 358
Неравенство Корна 362
Неравенства Холдена и Битти 364
Сжатый с те ржень (эйлерова колонна). Материал Мурнагана368
Безопасное нагружение. Полулинейный материал 371
Несжимаемое упругое тело 374
Безопасное нагружение несжимаемого упругого тела . . . .377
Устойчивость неискаженного состояния несжимаемого материала378
Несжимаемый материал. Сжатый стержень 380
Выпуклость по градиенту. Условие Адамара 380
Условие Адамара и устойчивость 386
Сильная эллиптичность и устойчивость 388
Пример. Диск, деформируемый в жесткой обойме 390
Плоские волны в однородно напряженной, несжимаемой упругой среде 393
Критерий Адамара в однородно напряженной, несжимаемой упругой среде 399
Глава 9. Термодинамические соотношения. Уравнения термоупругости 406
Уравнение баланса энергии. Первый принцип термодинамики 406
Второй принцип термодинамики 408
Свободная энергия. Диссипативное неравенство 409
Термодинамические потенциалы. Определяющие величины . .411
Представления через удельную внутреннюю энергию ....414
Уравнение теплопроводности 415
Изотермический и адиабатический процессы
Уравнения термоупругости
Приложения. Тензорная алгебра и тензорный анализ
Приложение I. Тензорная алгебра
Векторные базисы
Символ Леви-Чивита
Представления вектора в. основном и взаимном базисах ...
Тензор второго ранга
Определитель тензора
Произведение тензоров. Обратный тензор
Преобразование компонент тензора. Инварианты тензора ...
Ортогональный тензор
Главные оси, главные значения тензора второго ранга ...
Симметричный тензор
Кососимметричный тензор. Ортогональный тензор
Полярное представление тензора
Представление тензора суммой шарового тензора и девиатора
О тензорах высших рангов
Изотропные тензоры
Приложение II. Тензорные функции
Линейная функция тензорного аргумента
Скалярная функция тензорного аргумента. Производная скаляра по тензору
Формулы дифференцирования скаляра
Производная тензора по тензорному аргументу
Изотропная скалярная функция тензора
Скалярная функция векторов
Тензорные функции тензорного аргумента
Обращение формулы связи между тензорами
Тригонометрическое преобразование В. В. Новожилова ... Приложение III. Сведения из тензорного анализа
Вектор-радиус. Единичный (метрический) тензор
Набла-оператор Гамильтона
Примеры применения набла-оператора
Производные базисных векторов. Символы Кристоффеля ...
Ковариантное дифференцирование
Вычисление дифференциальных операций над тензорами ...
Ортогональные криволинейные координаты
ПреобразованиеГаусса—Остроградского.Преобразование
Стокса .
Определение вектора по заданию линейного тензора деформации
Тензор Римана — Кристоффеля. ! Тензор Риччи
Сведения из теории поверхностей
Литература и библиографические указания
7 9 2 2245689О2489ОН2477112 22222223333 ⑶ 陞 444 444 4444444444444444447 9 2 2245689О2489ОН2477112 22222223333 ⑶ 陞 444 444 4444444444444444448913782466790247 15 6 0 6 94455556666667777 8 8 8 9 9 0444444 小 444444444 4444458913782466790247 15 6 0 6 94455556666667777 8 8 8 9 9 0444444 小 444444444 444445Предметный указатель
7 9 2 2245689О2489ОН2477
112 22222223333 ⑶ 陞 444 444 444444444444444444
7 9 2 2245689О2489ОН2477
112 22222223333 ⑶ 陞 444 444 444444444444444444
8913782466790247 15 6 0 6 9
4455556666667777 8 8 8 9 9 0
444444 小 444444444 444445
8913782466790247 15 6 0 6 9
4455556666667777 8 8 8 9 9 0
444444 小 444444444 444445
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Эта книга была сдана в печать, koi да пришла горестная весть о кончине ее автора, выдающегося учепого-механика, иро- 中ессорн Анатопнн Исаковича Лурье.
Работая над своим последним произведениех!, Анатолий Исакович поистине совер1иил человеческий и научный подвиг. Неизлечимо больной, преодолевая мучительные страдания, он спешил закончить рукопись. Ему не суждено было увидеть корректуру； она была просмотрена его хчениками и сотрхдииками.
Все, созданное ；\на гол нем Исаковичем - ученым н педагогом,— несет отпечаток его замечательной личности. Неутомимый н страстныff в исканиях, 6ecKOMnpoNfHccnbfi'i во нее#, он от」н- чзлея простотой и благородством, глубокой человеческой н профессиональной порядочностью.
Выходящая ныне книга - последнее свидетельство щедрого таланта се автора; издательство гордится тем, что н течение полувека представляло читателям 01c груды.
J,我ж然Нт /；\n#w т 7》H#h
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга посвящена теории упругости — одной из глав механики твердого деформируемого тела. Ревизия основных предпосылок и определений механики сплошной среды не входит в программу книги, на первое место ставится исследование процесса деформирования в принятой модели среды, упругом теле в данном случае.
Первые две главы содержат общие для всех сред представления о деформации и напряженном состоянии сплошной среды. Нет нужды передавать их содержание, об этом — в оглавлении и сопровождающих главы вводных замечаниях. Использован естественный для механики сплошной среды язык «прямого» тензорного исчисления без ссылок на компонентные представления, затрудняющие восприятие основных понятий и действий над ними.
Возвращение к компонентным записям, часто неизбежным в частных задачах, не может затруднить усвоившего этот язык читателя; требуются лишь навыки в элементарных алгебраических преобразованиях. В подтверждение автор может сослаться на многолетний опыт преподавания.
Цель третьей главы — определить место теории упругости в механике материалов, четвертой и пятой — описать поведение упругого тела: определяющие уравнения, получаемые по заданию удельной потенциальной энергии деформации, принципы стационарности; уделено место некоторым критериальным неравенствам, выводимым из требований монотонности и сильной эллиптичности. Вероятно не исключено, что в ближайшие годы эту «основную, неразрешенную задачу» ожидает решающее продвижение в связи с незатронутыми в книге вопросами существования решения краевых задач нелинейной теории упругости.
В шестой главе рассмотрены задачи равновесия сжимаемого упругого тела. Предполагается, что читатель этой книги отодвинет на второй план чисто математические вопросы и ограничится достаточно подробным изучением «эффектов второго порядка».
Наибольшим успехом нелинейной теории упругости признаются достижения в исследованиях несжимаемого (резиноподобного) материала; их очерк представлен в седьмой главе.
Убедительная постановка задачи устойчивости равновесия недостижима в линейной теории. Возможность продвижения со-
стоит в рассмотрении малой деформации, наложенной на предварительно напряженное тело. Этому посвящена восьмая глава.
В девятой, заключительной главе, излагаются применительно к упругой среде основные термодинамические соотношения. Спорно место, отведенное в книге этим исходным для механики сплошной среды физическим предпосылкам. В другом варианте вывод уравнения состояния базировался на принципах термодинамики. Но в следующих главах для уравнений термоупругости не осталось места.
Ознакомление с первым и третьим Приложениями рекомендуется даже подготовленному читателю, чтобы приучиться к языку книги. Во втором рассмотрены применяемые на всем ее протяжении правила дифференцирования по тензорному аргументу.
О стандартных обозначениях в нелинейной теории упругости пока нет речи. В частности, обозначения в книге не согласованы с применяемыми в зарубежной литературе; в последних также имеется существенный разнобой. Читатель найдет и записи 《с точностью до наоборот» одних и тех же соотношений в книге и в зарубежных публикациях.
Промежуточные выкладки проводятся с требующейся полнотой. Одно звено в цепи преобразований восстановимо, два —нет (Литлвуд).
С теплой благодарностью отмечаю помощь и критику моих дорогих друзей —Е. Л. Гурвича, В. В. Елисеева, П. А. Жилина, Л. М. Зубова, В. А. Пальмова, В. А. Пупырева, В. С. Черниной.
Отчетливо сознаю недостатки этого труда. Ни один автор не свободен от этого чувства. Сделал, что мог.
Автор
Глава 1
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Материальные координаты. Координаты места
В механике системы конечного числа или счетного множества материальных точек каждой точке приписывается сохраняемый ею в процессе движения номер. Эта возможность отпадает рри рассмотрении сплошной среды — континуального множества элементов, называемых частицами, материальными точками, «телами- точками». Различение достигается введением непрерывно изменяющихся переменных. Для этого, задавшись некоторой фиксированной конфигурацией трехмерной сплошной среды, приписываем каждой ее частице 成 тройку чисел g* f?2, q3~ee «номер», остающийся неизменным в процессе движения. Частицам окрестности о^ сообщаются бесконечно близкие номера д—Зд* 夕岂工対, дз + ^дз. Место частицы в этой фиксированной конфигурации, называемой далее отсчетной и-конфигурацией, задается вектор- радиусом г— непрерывной и требуемое число раз дифференцируемой вектор-функцией
r = r (gi, L 們 (1)
Тройку чисел (д' 們 q3) называют материальными координатами частицы 成.Например, qs могут быть декартовыми координатами (обозначаемыми а$) места частицы в отсчетной конфигурации среды в системе осей 0XYZ
Г = i］。】+ 八炉 +(2) Это необязательно, конечно. Ничто не препятствует принять за qs криволинейные координаты, например, цилиндрические (г，ф» %), сферические (JR, ", X). Существенно лишь то, что задается правило взаимно однозначного сопоставления троек qs и частиц 成.
Движением среды определяется место каждой ее частицы в любой момент времени t・ Оно задается вектор-радиусом
R 二 R(g* q\ q\ 力 (3) Зтим определяется актуальная %^|-конфигурация — ее гладкое сп'ображение в момент f на область в евклидовом пространстве ©а» определяемую заданием области изменения материальных координат.
Необязательно считать, что отсчетная ^-конфигурация является одной из актуальных при фиксированном / (например, / = 0); но часто это во многих отношениях удобно. Тогда
R(g\ «у2, дз； 0) -=r (71, 73).(4)
Во введенной выше единой для всех конфигураций декартовой системе 0XYZ
R 二 is『(gi, «у%2),r^iX^1- 72> V3)*)(5)
и, в частности, при q* -匸 а*
xs (а1, а?, а3; 0)—小 (s： 1, 2, 3).(6)
Требование однозначности отображений (1) и (3) предполагает разрешимость систем уравнений
а' =а$ (q\ q' q3),л-5 == ^ (q\ 7% qs; /)⑺
относительно qk. Известно, что необходимым и достаточным условием этого является необращение в нуль якобианов
1/ -纫(球，。工 炉) [7 ― I_ 纫(%L炉，炉) /Q\
'g -II 一密(J,户:河，， - II 一纫(外，产們 e в области задания д$; они положительны при надлежащем согласовании нумераций координат.
По известному свойству якобианов их отношение —|_纱("，吟炉)一 w
равно отношению элементарного объема dV частиц в актуальной конфигурации к объему dv тех же частиц в отсчетной конфигурации.
Функцию 屮(д* 72, 73; /) материальных координат и времени, будь то скаляр, вектор, тензор, вследствие однозначной разрешимости уравнений (7), можно рассматривать и как функцию или (。匕 /), или (х匕 /). Конечно, вместо проекций г, R на оси можно говорить об их компонентах в любом векторном базисе и принять обозначение
屮(qs； /)—屮仁 /),屮(у* /) = B(R; /).(10)
Эти функции определяют поля величины Т в у- и соответственно ^/-конфигурациях. Первое представление называют материальным, второе ——пространственным. Часто встречающиеся наименования «лагранжево» для Т (г; /) и «эйлерово» для 4r (R; /) не применяются далее. К. Трусделл указывает, что они не оправ-
Панн исторически—Эйлер применял и «лагранжево», а Далам- ^ер_«эйлерово»» описание.
Материальное описание — слежение за движением фиксированной частицы qs、при пространственном— 一наблюдается протекание во времени процесса в данном месте. «При движении жидкости, когда деформируемая масса приходит неизвестно откуда и уходит неизвестно куда, предпочтительно рассматривать, что происходит здесь и теперь. Но, будучи удобным кинематически, пространственное описание малопригодно при изучении принципов механики сплошной среды, так как не то, что происходит в пространстве, а явления в самой среде определяют законы ее поведения» (К. Трусделл).
В статических задачах отпадает зависимость R от времени 2; вместо 勿厶旷 здесь говорится об актуальной ^-конфигурации. Отчетливое различение конфигураций — необходимая предпосылка понимания всех построений механики сплошной среды.
Векторные базисы
Векторные базисы — исходный и взаимный (I, § 1), в отсчетной конфигурации задаются тройками векторов (у-базисы)
% 二爲 r』gF = JesMr/rf,(1)
а единичный (метрический) тензор и тензор Леви-Чивита их представлениями
Е = ё^!гк = gskrsrh - г,г" = r"rf, е = е*кг/：-=仆木广产# (2) через их компоненты
gskh%*，gs"_gK-s 證；
—rs.(HxN), e,ft/ = rr (rAxr().(丿
В актуальной конфигурации применяются соответствующие прописные буквы (Т^-базпсы)
Rs 嚼，R」Gs 恤 WeRxR,,
E : G^Rsr左厂 GBRsR左二 RsRs 二 R R/,
Компоненты вектора и тензора в у-базисах снабжаются нуликом сверху; в %^\-6азнсах следовало бы применить сверху 九 но зто не будет делаться, так как обычно нет нужды фпксиро- вать момент времени. Например,
о о
а —- " А 二 ％Rs 二二 GRs，/с
ооВ丿
Q = 9启时=严 г/“ = ^“RSR” =产 R〃R “
и т. д. Такая же система обозначений применяется для символов Кристоффеля, набла-операторов, ковариантного дифферени т. д. Такая же система обозначений применяется для символов Кристоффеля, набла-операторов, ковариантного дифференцированияцирования「『11 fdgrs dgts dgrt\ ( ° I §优J 1["，S]=万(犷十犷一^^丿，]“卜=8S加[〃，m],「『11 fdgrs dgts dgrt\ ( ° I §优J 1["，S]=万(犷十犷一^^丿，]“卜=8S加[〃，m],так чтотак чтоc，s]=X*+部_第)，{:} = Gs〃g,矶代乙"R*，va二RS 薪= RSR“左，c，s]=X*+部_第)，{:} = Gs〃g,矶代乙"R*，va二RS 薪= RSR“左，%00乔=匕g=屮，仆=Rs”a=V貯小貝%00乔=匕g=屮，仆=Rs”a=V貯小貝Применяются представления тензоров одновременно конфигурациях, отсчетной и актуальной, например,Применяются представления тензоров одновременно конфигурациях, отсчетной и актуальной, например,ввQ = qXaRm = qaYRm 二 ^小加产，Q = qXaRm = qaYRm 二 ^小加产，⑺(8)(9) двух(10)⑺(8)(9) двух(10)причем для отсчетной конфигурации использованы греческие индексы.Представления базисных векторов в декартовой системе осей определяются формуламипричем для отсчетной конфигурации использованы греческие индексы.Представления базисных векторов в декартовой системе осей определяются формулами、• датs mdqs *、• датs mdqs *ГЕ”綜 ^-^. ■ ^=^- (n)ГЕ”綜 ^-^. ■ ^=^- (n)
и т. д. Такая же система обозначений применяется для символов Кристоффеля, набла-операторов, ковариантного дифферен
и т. д. Такая же система обозначений применяется для символов Кристоффеля, набла-операторов, ковариантного дифферен
цирования
цирования
「『11 fdgrs dgts dgrt\ ( ° I §优J 1
["，S]=万(犷十犷一^^丿，]“卜=8S加[〃，m],
「『11 fdgrs dgts dgrt\ ( ° I §优J 1
["，S]=万(犷十犷一^^丿，]“卜=8S加[〃，m],
так что
так что
c，s]=X*+部_第)，{:} = Gs〃g,矶代乙
"R*，va二RS 薪= RSR“左，
c，s]=X*+部_第)，{:} = Gs〃g,矶代乙
"R*，va二RS 薪= RSR“左，
%00
乔=匕g=屮，仆=Rs”a=V貯小貝
%00
乔=匕g=屮，仆=Rs”a=V貯小貝
Применяются представления тензоров одновременно конфигурациях, отсчетной и актуальной, например,
Применяются представления тензоров одновременно конфигурациях, отсчетной и актуальной, например,
в
в
Q = qXaRm = qaYRm 二 ^小加产，
Q = qXaRm = qaYRm 二 ^小加产，
⑺
(8)
(9) двух
(10)
⑺
(8)
(9) двух
(10)
причем для отсчетной конфигурации использованы греческие индексы.
Представления базисных векторов в декартовой системе осей определяются формулами
причем для отсчетной конфигурации использованы греческие индексы.
Представления базисных векторов в декартовой системе осей определяются формулами
、• дат
s mdqs *
、• дат
s mdqs *
ГЕ”綜 ^-^. ■ ^=^- (n)
ГЕ”綜 ^-^. ■ ^=^- (n)
Вектор места R в актуальной конфигурации (г ——в отсчетной) иногда представляют в базисе отсчетной (актуальной) конфигурации:
R=口犬=n爲，r=R$pS=RSps (12)
и применительно к этим представлениям
(13)(13)о
(13)
(13)
Rf 工「sV以S, 「t = R'Vtps'
Градиенты места
В соответствии с определением базисных векторов и набла- операторов составляются тензоры-градиенты векторов места частицы в актуальной и отсчетной конфигурациях
*R = rs^=「Rs‘ vr = R嗡二к'%⑴
и транспонированные градиенты места
о
VRt = Rjs, VrT = r,R\⑵
Представления этих тензоров координатах имеют вид 心旺駕， 玩噹,
через компоненты в декартовых
VFA嚼
(3)
и ПО (1.9)_
detёR = 1蔚=/彖
det ” =関 I dxs
⑷
00
Тензор Vr —обратный VR, VR —обратный Vr /О \-1 о
Vr =(YR), VR=(Vr)T,
что сразу же следует из их определения (1) о
Vr ・ VR = Rsq MRR = RSRs - Е.
Из приведенных соотношений следуето о
dR = dr ・ YR 二 VR", dr = dR・Vr = 丫产 dR.
Например,
о
dr . VR=歯什旷产弋二而銀々二dK
Полезны также представления дифференциалов dqs dqs = Rs，dR =rs-dr.
(5)
⑹
Из соотношений
⑺
следуют формулы, о
ЛО
输F・v=R「v
.о
связывающие набла-операторы V, V
(8)
О
о
V( ) = VR.V( ), V( ) = Vr-V()
в применении к вектору а и к тензору второго ранга Q. В менении к вектору имеют место и соотношения
(9) при-
о
о
о
VaT = VaT VRT, VaT = VaT VrT.
Следствием (2.12) служат формулы
(10)
о
о
о
VR = r£Vt%s = drsVt%s Vr=RtRsVt%s=RtRs%%s・ Очевидны соотношения
(11)
о
VR = RSR$ = Е, Vr = r$r$ = Е.
(12)
Понятие градиента места постоянно используется во всем дальнейшем. Другое наименование, применяемое в зарубежной литературе,— градиент деформации ).
§ 4. Меры деформации Коши — Грина и Альманзи
Деформацию в сплошной среде принято характеризовать изменением длин и направлений векторов
о о
dr =^t\dr\ = tds, dR = е|dR I = edS(1)
в точке 历(g* q，g3), место которой в и- и %^-конфигурациях задается вектор-радиусами г и R. По (3.6)
о оо о
dR ・dR 二壮坟=办.Vr • Vrt ・dr = dr • G・dr = ds2e-G-e,(2)
dr ・ dr 二 ds2 = dR • Vr • W • dR = dR • g • dR = dS2e g e.(3)
Здесь введены в рассмотрение тензоры: мера деформации Коши — Грина G
о о
VR. VRt = G 二 WRs. R^M 二 G$“s*(4)
и мера деформации Альманзи g
Vr • 丫严=g 工 RR •「出左=ggRSR*・(5)
Мера Коши — Грина определена в и-базисе, мера Альманзи — в 吟-базисе; их ковариантные компоненты равны ковариантным компонентам метрического тензора Е в ^^ и соответственно в и- базисе. Было бы тяжелой ошибкой отождествлять G или g с Е. Так, переход к контравариантным компонентам этих тензоров осуществляется по общим правилам пересчета от ковариантных компонент в и- ^-базисах
G^ = gsmgg,,gsk 二 G書mG^gms(6)
и это отнюдь не контравариантные компоненты Е.
Определитель произведения тензоров равен произведению их определителей [см. (1.6.4)]; поэтому, основываясь на (3.4) и определениях (4) и (5), имеем
detG=^, det^ = -f,(7)
тогда как det Е — 1. Напомним, что через G и g обозначались определители ковариантных компонент Е [см. (1.1.9), (1.4.14), (2.5)].
Тензоры G и g определенно-положительны, это следует из определенной положительности квадратичных форм ^^|^ , (^|) — см. (2), (3). Поэтому положительны их главные значения Gb а • обозначив через ел, еА—главные направления этих тензоров, имеем по (1.9.14)
о о о о о о
G - Gi^U + G2e2e2 + G3e3e3,g = ^е】© + g2e2e2 + g3e3e3 (8)
/00\о 0
(конечно, ts -=ts, е$ = е$ 丿.Теперь, приняв в (2) и (3) е —еА и соответственно е = е左，получаем
传)二га = 1 + 以 倦)「/£=1+m=(1 + 6尸 (9)
——единичный в отсчетной конфигурации отрезок по главному о
направлению еА меры Коши приобретает длину 1+§左 в ^/-конфигурации, тогда как единичный в актуальной конфигурации отрезок на главном направлении еА меры Альманзи имел в отсчетной конфигурации длину 1 + 厶左；6А и А左 можно назвать главными относительными удлинениями
k _—_dsk - dS 用左二% — dSk ■
Далее используются также обозначения
G^ =唸и用=1 + 5左；g/二 GJ = uj.(10)
Очевидно, что ■—1 < 6A < oo, 0 < yA < oo ■—крайним значениям соответствуют исчезновение длины и бесконечная длина стержня.
Принимая теперь в (2) и (3)
一е = е尸g = y^，
иначе говоря, рассматривая единичные отрезки по направлению базисных векторов, приходим к формулам
(12)
содержащим геометрическое истолкование диагональных компонент мер деформации G и g.
С целью выяснить геометвическое значение недиагональных компонент, рассмотрим^^^^е；『泌、в у- и ^-конфигурациях
векторы dr', dr" и соответственно dR', dR". По (1), (2), (3)оо
dR' = dr'・VR = e'dS', dR"二 VRT・dr" = e"dS",
о оо о
dR'・dR" = е' • e"dS' dS" = dr' • VR • VRT •"' = dsr ds,r e' • G • e",
оо
причем, конечно, dr'=e'ds', dr" = e"ds". Получаем
—db dsn °, =dS' dS"'—db dsn °, =dS' dS"'о• G e"=о• G e"=о 0 00「1/2 00eJG・e'e〃・G・e"丿e' G e"о 0 00「1/2 00eJG・e'e〃・G・e"丿e' G e"и аналогичнои аналогичноО 0e'・e" = *e'・g・e" = (e'・g・e'e"・g・e")-%e'・g・e".О 0e'・e" = *e'・g・e" = (e'・g・e'e"・g・e")-%e'・g・e".(13)(И)(13)(И)
—db dsn °, =dS' dS"'
—db dsn °, =dS' dS"'
о
• G e"=
о
• G e"=
о 0 00「1/2 00
eJG・e'e〃・G・e"丿e' G e"
о 0 00「1/2 00
eJG・e'e〃・G・e"丿e' G e"
и аналогично
и аналогично
О 0
e'・e" = *e'・g・e" = (e'・g・e'e"・g・e")-%e'・g・e".
О 0
e'・e" = *e'・g・e" = (e'・g・e'e"・g・e")-%e'・g・e".
(13)
(И)
(13)
(И)
О о
Направив е', е" вдоль базисных векторов r$, rf v-конфигурации и назвав ср5/ угол, образуемый этими векторами в актуальной конфигурации, по (12) имеем
cos %=(15)
У Gsfitt Kg55 pg" PGssG"' '
По (14) аналогично получим
cos 屮 3 =(16)
r gssgtt
причем 屮以——угол в ^-конфигурации между базисными векторами Rs，Rf ^-конфигурации.
о
Формулы связи между единичными векторами е, е в точке 成 в f- и ^^конфигурациях. Имеем
е = е^А = УК・е 泅е = е^А = УК・е 泅： = e・Vr^= VrT・e 乳 as ■ as： = e・Vr^= VrT・e 乳 as ■ asо о о
е = е^А = УК・е 泅
е = е^А = УК・е 泅
： = e・Vr^= VrT・e 乳 as ■ as
： = e・Vr^= VrT・e 乳 as ■ as
dR = edS = d「Vr = eds・ VR,
и аналогично
о
dr = е ds = dR • Vr = е dS • Vr,
Приходим к соотношениям
о оо ое- vR— vR，eоо у А ~о 丫 ％e*G*e 丿 \e-G*e 丿о оо ое- vR— vR，eоо у А ~о 丫 ％e*G*e 丿 \e-G*e 丿0 — e・ V「 — V「T・e (e-g-e)1/2(e-g-e)1/;0 — e・ V「 — V「T・e (e-g-e)1/2(e-g-e)1/;(17)(17)
о оо о
е- vR— vR，e
оо у А ~о 丫 ％
e*G*e 丿 \e-G*e 丿
о оо о
е- vR— vR，e
оо у А ~о 丫 ％
e*G*e 丿 \e-G*e 丿
0 — e・ V「 — V「T・e (e-g-e)1/2(e-g-e)1/;
0 — e・ V「 — V「T・e (e-g-e)1/2(e-g-e)1/;
(17)
(17)
00В частности, если е —единичный по (11), (12) и (3.1)В частности, если е —единичный по (11), (12) и (3.1)вектор на направлении r$, товектор на направлении r$, тоо ое・vRо ое・vRО о、7О о、7e・G・ee・G・eVKVKо-VRо-VRRR不s不s
0
0
В частности, если е —единичный по (11), (12) и (3.1)
В частности, если е —единичный по (11), (12) и (3.1)
вектор на направлении r$, то
вектор на направлении r$, то
о о
е・vR
о о
е・vR
О о、7
О о、7
e・G・e
e・G・e
VK
VK
о
-VR
о
-VR
R
R
不s
不s
—Иначе говоря, вектор в левой части (17)! —единичный векторо
на направлении R$; конечно, е слева в (17)2 ——единичный веко
тОр на г$. В частности, для главных направлений е^, е左 мер G и g
(18)(18)
(18)
(18)
По (3.11), (4) и (5) выражениям мер деформации G и g можно
придать также вид
о оо оо о
G=VR・VRT = rSrq, %R竹，G$尸 WR#,(19)
g = Vr-VrT = RsR/VipftVfp*, §^=^^^.(20)
В частности, в декартовой системе осей
(21)(21)О = ад^, G〈s/> =罵醤,дат
(21)
(21)
•dak： dak
g = g〈s/>l,g〈s/> =而病
Через ^<mn> обозначаются компоненты Q в декартовой системе, если это неясно по тексту.
Перемещение сплошной среды называется жестким, если преобразование отсчетной конфигурации в актуальную задается законом перемещения абсолютно твердого тела
R = Ro + (『一「о) оR = Ro + (『一「о) о(22)(22)
R = Ro + (『一「о) о
R = Ro + (『一「о) о
(22)
(22)
Мера Коши в жестком тензором; этого следовалоМера Коши в жестком тензором; этого следовалое по (2)е по (2)
Мера Коши в жестком тензором; этого следовало
Мера Коши в жестком тензором; этого следовало
е по (2)
е по (2)
Здесь О —собственно ортогональный тензор, один и тот же для всех частиц среды, Ro, г0 —векторы места полюса б, u0 = Ro — г0— его перемещение.
По (22) имеем
0ПС
R$ = r$ О, У1? = г%・О = О, VR VRt = G = E. (23)
перемещении оказалась единичным ожидать: для любого направления
— расстояние между частицами среды остается неизменным. Надо Доказать обратное — условие G = E выполняется только для жест- %ог。перемещения. Сославшись на теорему Риччи (III.2.17), (IIL5.11), имеем
VG = VE = 0. VA( =(弘RJ • К + R, • %К = 0.
Записав еще два соотношения, получающихся из написанного при круговой перестановке индексов kst, вычтя из суммы двух третье, получим
(W-Rf = 0.
Теперь, приняв декартовы координаты отсчетпэй конфигурации за материальные, приходим к системе уравнений
с определителем (1.7), равным 1
-=]/己=]/両Ё = 1,(24)
да1
так как рассматривается собственно ортогональное преобразование.
Итак, следствием условия G = E является равенство нулю всех вторых производных декартовых координат актуальной конфигурации по координатам отсчетной
=0, ^7 =左"，=+ R=r-A + c. (25)
да да:дал
Такое линейное преобразование отсчетной конфигурации в актуальную (декартовых координат в декартовы) называется аффинным; А —постоянный тензор, осуществляющий это преобразование. Но
о
Vr = A, G — Е — А • Ат, Аг А1, А — О,
так как условие равенства транспонированного тензора обратному определяет ортогональный тензор. По (24) —это собственноортогональный тензор.
Формулу (25) теперь можно представить и в виде (22), как и требуется.
Тензоры, обратные мерам Коши—Грина и Альманзи
Эти тензоры вводятся соотношениями [см. (3.5)] о о
GT ； (VR・ YR11)- ？严・ Vr —qRs.R忏忏广左，(1)
о о
gT VgTLVRJVR ；Rjs・MRlMRs%. ⑵
Они определены —■ первый в и-, второй в ^-базисе, а их контравариантные компоненты равны контравариантным компонентам единичного тензора Е соответственно в 讶广 и и-базнсах.
Главные значения, значит и инварианты, тензоров G и g「 g и G~i друг другу равны, поскольку равны главные значения тензоров А-Ат и А1 ■ А. Вместе с тем главные значения G и G-1, g и g~i обратны друг другу, а их главные направления совпадают—см. (1.9.14), (1.9.15). Тензор g「далее постоянно применяемый, называется мерой Фингера и обозначается
о о
」VRt FR.(3)
Представлениям введенных четырех мер деформации теперь придается вид о о о о о о
G = Сек】 4-G2e2e2 + G3e.4e3,(4)
g = ±e]e1 +击5^十”?自1,(5)
1 0 01 0 01 о о
GT = *eCе©,(6)
F = g-1 = G^e1 + G2e2e2 + G3e3e3.(7)
Инварианты этих тензоров определяются формулами
/1 (G) = /1 (F) = Gi + G2 + G3
厶(G) = /2 (F) = GE? + G2Gз + G3G4 = ^g#} = /3 (G) gskG^,
/3 (G) = /3(F) = G1G2G3 = -|,(8)
A (g) = /1 (GT = +击十圭=号計柒g，
/2 (g) У /2 (GT) = j^^ = ^^ 十+ "^" = ■§• gS^Gsh， /3(g) = /3 рт)= ё^ё； = %
Были использованы соотношения (1.7.12), (1.9.8).
§ 6・ Ортогональные тензоры, сопровождающие деформацию. Левый и правый тензоры искажений.
Мера деформации Генки
о
Градиент места VR, как всякий неособенный тензор, можно представить его полярным разложением (I. § 12.1)
VR = U 0 = 0 V,(1)
в котором U, V — определенно-положительные симметричные тен- зорн, О ——ортогональный тензор, сопровождающий деформацию
По (1)По (1)
По (1)
По (1)
⑵⑵О
⑵
⑵
VRT = OT U-V От
и представлениям мер Коши—Грина и Фингера придается вид о оо о
G = VR VR』U О (Г U = IP, F = VR = VO О V = V2,
(3) так что
о о
U G1-, V=Fk o = g-Vr = vr・F72.(4)
Тензоры U и V называют левой и правой мерами искажений. Их главные значения по (4.10) равны ]fGk^vk, а главные нап- о
равления задаются ортонормированными триэдрами е9 и е§. Ортогональный тензор, осуществляющий совмещение первого триэдра со вторым, по (1.8.12) может быть представлен выражением
оо
О=е$е* О』％*(5)
преобразуемым по (4.18) к видам
/ о о о о о О к
0 = (++) VR = G-,/» VR=U-1-VR, (6)
От = (]/Gi%® + VG2e2e2 + VG3e3e3)-Vr= F% . Vr = V-Vr. (7)
Представление (6) непосредственно проверяется по (4). Следствием (1) и (3.5) являются соотношения
Vr =(VR)-1-OT-U-1= V-!-OT, VrT= U-1 O^O V-1. (8)
Из них также следует представление (7). Отметим еще применяемые далее формулы
V-OT U О, U = O V ()т； F-OT G О, G = O F От. (9)
Процесс деформирования, описываемый мерой Коши——Грина, можно характеризовать изменением длин единичных отрезков по главным направлениям до значений vk и последующим пово- о
ротом триэдра е§ в триэдр % главных направлений меры Фингера.
Ортогональные тензоры, сопровождающие деформации, которые здесь рассмотрены, обозначаются, если требуется их отличить от других ортогональных тензоров, 0х, Охт.
Тензоры G и g (или F) непосредственно вычисляются через производные векторов места R, г. Определение же тензоров U, V — извлечение квадратного корня из тензора — неизбежно
потребовало бы представления через эти данные главных значений и направлений G и F, возможного лишь при конкретном числовом задании компонент Gst, gs±.
Через правый тензор искажений выражается применяемая иногда мера деформации Генки、
H = lnV, V = exp 14 = %»)/61 + ^2/62 +即屮厶.(10) Главные значения и первый инвариант меры Генки равны
Hk^WGk = \nvk, Л (H) = ln]/GAG；=ln}/余(11)
о
Замечай ие. Собственные векторы q, q определены с точностью до знака, если собственные значения Uк тензора U некратные. Поэтому формула (5) определяет восемь различных ортогональных тензоров, когда все Uk различны, и континуум ортогональных тензоров при наличии кратных собственных значений % тензора U. В соотношении (5) предположено, что вы- о
браны какие-либо три собственных вектора efe; собственные векторы е左 тензора V определяются вслед за тем формулой (4.18).
Тензоры деформации
В рассмотрение вводится вектор перемещения из отсчетной конфигурации в актуальную
u = R—г(1)
—отсчетная и актуальная конфигурации неотличимы при и = 0. При этом условии меры деформации представляют единичный тензор Е, тогда как определяемые по ним тензоры деформации оказываются нулевыми тензорами. Это облегчает их линеаризацию при достаточно малых градиентах вектора перемещений.
го
В ^выражениях мер деформаций градиенты места VR, Vr заменяются их представлениями [см. (3.12)]
ОООо
VR = Vr4-Vu = E + Vu, Vr = VR —Vu = Е — Vu (2)
н это позволяет преобразовать вьгражения мер к виду
G=(E +Vu)・(E+Vut)=E + 2G=(E +Vu)・(E+Vut)=E + 20] 0 о 一
G=(E +Vu)・(E+Vut)=E + 2
G=(E +Vu)・(E+Vut)=E + 2
e(u) + y VuVuT =Е + 2С, (3)
G-1 = (E-Vut)-(E-Vu) = E-2F=(E4-VuT) •(E4-Vu) = E4-2G-1 = (E-Vut)-(E-Vu) = E-2F=(E4-VuT) •(E4-Vu) = E4-2g = (E—Vu)-(E—VuT) = E — 2 |e (u) — у Vu- VuT =E —2A,⑷
G-1 = (E-Vut)-(E-Vu) = E-2F=(E4-VuT) •(E4-Vu) = E4-2
G-1 = (E-Vut)-(E-Vu) = E-2F=(E4-VuT) •(E4-Vu) = E4-2
e(u)—у VuT-Vu =E-2C,⑸
0100 -1
£ (u) + 子 VuT • yu]=E + 2A\(6)
О
Здесь £(и) и е (и) — линейные тензоры деформации (III.2.11) в и- и 勿厶尸базисах
О 1/0 о \1
£ (и)=歹(Vu + VuT丿，8(u) = y (Vu + VuT). ⑺
Симметричные тензоры С, А, С', А' — тензоры деформации, С — тензор Коши—Грина, А —тензор Альманзи. Из определений (3)—(6) следуют соотношения
С = ^ (G — Е) = ^ &L g# rf, А = ^ (Е — g)=
= ^(Gs/,—gs.)RsR£,(8)
C=1(E-G-1)=1 (g" _ G^) r.rA, A，= ^ (F - E)=
= m(g'k —Gs牛 I?,%(9)
—ковариантные компоненты С и А, контравариантные С' и А' равны; но это конечно, различные тензоры, так как С, С' заданы в и-базисе, А, А' в —^-базисе. Например, контравариантные компоненты С и А равны
Cst = gsmgtncmn, /S' = GSSG'”4”“.
По (III. 2.4), (1.14.12), (1.11.4) тензоры вида Vu- VuT преобразуются к виду
Vu- VuT =(8 — Й) ■(8 Ц- Q) =824~8Q — Q-8 — S22 —
=£2 + £• Q +(£• Q)t — Q? =£? —(0X8 — (a)X£)T + Es・ g — gg. (10)
Здесь Q — кососимметричная часть VuT, (o — сопутствующий Q вектор. Это позволяет представить выражения тензоров деформации Коши—Грина и Альманзи в виде
О ]「000/00、0 О 0 0]
С = £ + 互 82 —(ОХЕ—(О)Х£ ) т ~h Е(1) • (О — (ОО) ,(11)
А = £ — [炉一sx£—®Х£)т + Ears —①①].(12)
Аналогично, имея в виду, что
VuT- Vu = 82 +(о хеЦ- (wx£)г + Е" о) — gg, (13) можно записать выражения С и А'. Например,
о1 「000/ 00\0 00 О']
А，=£ (и) + 彳 炉 +SX£ + ( g Х£『+ Eg. g —gg .(14)
В декартовых формуламиВ декартовых формуламикоординатах компоненты С и А представляются
В декартовых формулами
В декартовых формулами
1 duh duk 刀1 duk duk 八匚、
Представления в криволинейных координатах составляются по формулам ковариантного дифференцирования (III. § 5), а в ортогональных криволинейных координатах — (III. § 7).
Компоненты в декартовых координатах тензоров С\ А' имеют вид
1, о . 1 ди$
£&〉 芽 d%左 g冲，4爲=g4>I 2 6涵 6。用(16)
(в декартовых координатах нет нужды компоненты вектора и отмечать нуликом).
Инварианты тензоров деформации. Их несложно выразить через инварианты мер Ik (G) Ik (F), Ik (g); надо степени тензоров до третьей включительно выразить через степени мер
C = 3(G — E), C2 = ±(G2-2G+E),C3 = 1(G3 —3G2 + 3G —Е)
и вслед за этим использовать формулы, выражающие инварианты степеней тензора через его инварианты (1.7.9), (1.7.11). Получаем
Л (С) = I[Л (G) -3], /2 ⑹=1 [厶(G) — 2人(G) + 3],
Л(С) = |[/3 (G)-72 (G) + L (G)-l] и аналогично
乙(A) = ^ (3 —乙(g)), /? (A) = / (g) — 2/| (g) + 3],1(19)
Л(A)=|[-/:1(g) + /2(g)-/1 (g) 1].
Обратные соотношения имеют вид
Л (G) + 2/| ⑹ + 3, /2 (G)」4/2 (С) + 4/| (С) + 3,/з (G) = 1 + 2/| (С)十 4厶(С) + 8/3 (С),
A(g) =3 —2/|(А),/?(g) = 3 —4/|(A) + 4/z(A),
/з&) = 1—2/|(А) + 4/?(А) — 8/з(А).
Более сложны зависимости между инвариантами тензоров А и С. Можно их получить, используя формулы связи (5.9) между
инвариантами мер. Например,
厶(g) = 3 —2/|(А) =器，
так что по (20)
/ 伍、一 А(С)+ 4/〃С) + 12/з(С)1。— 1+2/^0 + 472 (С) +8Z；(C)
Громоздкость этих соотношений, как и предшествующих формул, заставляет предпочесть меры деформаций тензорам. «Вводя перемещения вместо координат *), ничего не выигрывают, а наоборот теряют в смысле краткости и обозримости формул» (Кирхгофф).
При жестком перемещении среды (4.22) тензоры деформации — нулевые. Это и само по себе понятно и, конечно, следует из (4.23), (8), (9).
Линейный тензор деформации при жестком перемещении —— отнюдь не нулевой.
Действительно, по (7) и (4.22)
е (и) = 1 (^ Vu + VuT) = ^-( VR + VR^ - 2Е ) = у (О + От - 2Е). (22)
Вместе с тем о о Vu Vut = (0-E) (0т-Е) = 2Е — (0 + 0т) и, как требуется, по (3)
2С-О + ОТ—2Е + 2Е-(О + От)-0.
Объемное расширение» Ориентированная площадка
Объемное расширение——это отношение разностей элементарных объемов dW и du в актуальной и отсчетной конфигурациях к объему du в отсчетной конфигурации. По (1.9) и (7.20)
= [1+2Л (С) + 4厶(С) + 873 (С)Р-1.(1)
Эту же величину можно представить выражениями
纫=1^爲一if 1 = (1+61)(1 + 62)0 + 63)-1 =
= [(1 +2CJ (1 + 2С2)(1 +2С3)]%— 1,(2)
причем Cft —главные значения тензора деформации Коши——Грина.
В обозначениях (4.1) векторы ориентированной площадки в отсчетной и актуальной конфигурациях определяются выражениями о о
П do = dr' х dr" = е‘ X е" ds'ds", N dO = dR‘ х dR" = е‘ х eZS'dS". (3) формулы (4.17) и (3.1) позволяют преобразовать Nd。к виду 0 0 о ооо
N dO = е' • VR х YRT • е" ds'ds" = е' г% х R“^• е" ds'ds". (4) По (1.2.4), (1.2.3) и (2.2), (2.3) имеем далее
RfxRft=€.fetR,= ]/j6,felR1 = 'j/-| e^Vr-rz = ]/ ^".(г$хг/ и подстановка в (4) приводит к соотношению
N dO= ]/-| Vr-(ez-广仆 х г%- 3')ds"s"= ]/у Vr-^e'xe^ ds'ds". Пришли к многократно применяемому далее соотношению между параметрами ориентированной площадки в актуальной конфигурации и ее прототипа в отсчетной конфигурации
NdO = |/^Vr.ndo = ]/^n・YrTdo.(5)
Обратное соотношение имеет по (3.5) вид
ndo=Y-J VR-N dO = ]/-|N-VRTdO. (6) Следствием этих формул и определений мер деформации (5.1), (5.2) являются соотношения
芻=/m(N・F.N»⑺
—меры G-i и F определяют отношения площадей ориентированных площадок в 勿“• и ^-конфигурациях, подобно тому как G, g—отношения длин отрезков.
Формулы связи между единичными векторами N и п имеют ВИД
о
N = (n・G-i・n)-% Vr・n, n = (N・F・N)-“ vr.n (8) нлн в компонентном представлении
%ns = (gktNkNt)-'^ Ns. (9)
§ 9. Дифференцирование мер Коши—Грина и Фингера
Дифференцирование инвариантов /々(G) по аргументу G осуществляется по формулам (II.3.2), а по градиенту места по (II.3.5)
о о
NG)。 2Е VR-2VR,
VR
О о
厶(G)。工2 (Е/1 (G) — G) VR「2VR ■ (E/】(G) — F),(1)
VR
Л (G)o =2/3(G)Vrl
Из последнего соотношения, учитывая, что
/Л (G)(i=4l//3 (G)G-1 получаем
/ТД^о77(G) Vrr.
VR
Дивергенция этой величины оказывается вительно, по (III.6.4) и (III.4.8)
V • /77(G) Vr^=-pU^l/ ТД© /?г$ ・ ％т =
Л {:Jr「步"
Пришли к тождеству Пиола 000
V.j//3 (G) Vr^VT/з (G)o
VR По (II.3.4)
\ VR,VRr
и по (1), учитывая равенство инвариантов чаем
00
/i(F)°=2VR\/NF)。二-2VRJ
VR「§rT
/3 (F)。— 2/3 (F) Vr.
¥R
,⑵
(3)
равной нулю. Дейст-
м)=о.
=0.(4)
/ft(G), /ft(F), полу-
(E/](F) —G),
(5)
О
Сложнее выражение производной по VR самого тензора G. По (П-4.15) ооо
Go - VR Cm+r^ VR^r^VR Cni+r^r.r^ R^- VR ооо
=VR ・Cw= VR.Cni+CirVR.
Сославшись еще на (1.15.9), получаем
о
G о = (Сн 十6口)• Vr, gVr (Сц + СШ) • Vr ⑹ VR
— второе соотношение получено аналогично первому. Формула обобщается на дифференцирование по градиенту места любого тензора. По (11.4.11) и (1.15.3)
'о
Qo — Qg • • Сц • • Go Qg • • (Сц + Сщ) • VR VRVR
и, обратившись к определению производной по симметричному тензору, получаем
о
Qc= 2Tmr„
(5 +ГК) • • (Сн+Сш)-- 2(3宀3), О
Qg* (Сц +Ciu) =%1\^^~(— +「,「§) =2Qg,о1F
Qo =2Qg VR, Qg = ^Q。Vr⑺
VRFR
В частности при Q - G, Gg = у (Сп+ СИ1) приходим к (6)广 По
(II.4.16) имеем также
F。 =(VR7R% =(¥1?，3宀г宀)"= VRVR
二(RZ%瓦)Г个(8)
玄 по (7) при условии соосности F и G
Fg = ^F° .Vr = -；-(R,Rs+RsR,)rn.(9)
VR
По (3) и (7) имеем также [/TT(G)Q]0 =/TT(G)(QVrT + 2QG-VR). (10) VR
В компонентном представлении по (3.11), определениям (11.4,7) и (6), имеем
Go = r喂『=次 Qr”&採"十 rtr„V,xn)
и поэтому
駐= ГРГ 71VBi •叩 Qr”机"十3工%").
Получаем
粤=醜久方十^т1?,盜^ = 3眼рР十漑.рР.(11)
Понадобится также знание производной VrJ . Имеем
Yr； =—VrT-rj厂 УгЧ^ = — rmRw • r^tiR/Jr"rf = — rw RnRmrn VRT и далее
о
%； =Vr； • -Сц • ■ VRJ = Vr： • -Cji • -Cm = Vrg • -Cn,
VR VRrVR VRTVRt
так что
VR = —%R 匕 R 忆(12)
Варьирование деформированного состояния
Частицам среды в ее актуальной ^^конфигурации сообщается в фиксированный момент времени % перемещение 伸(疗，^2, ^3); с точностью до линейных слагаемых относительно малого^, параметра 刀 разыскиваются вариации (приращения) величин, характеризующих деформацию. Иначе говоря, определяется конфигурация 产：,в которой место частицы задается теперь вектор-радиусом
Rx 二 R + ^w.(1)
Вектор-радиусы г и R, как и ранее, задают место частицы в отсчетной и- и актуальной Т^гконфигурациях. Вариацией вектора R, обозначаемой 6R = R$bgs, определяется его изменение при смещении частицы М (qk) в ее окрестность с4 (，々十“尼).Разность же RX —R определяет изменение места этой частицы, создаваемое налагаемым полем смещений qw. Ее будем обозначать
BXRmRX-Rm^W,(2)
а коэффициент при 刀 в этой и приводимых ниже формулах точкой в верхнем индексе варьируемой величины
R，=Hni Rx—R = w.(3)
Векторный базис в 7^^-конфигурации по (1) задается тройкой векторов
R? = R. + ^-^-Rr(E+T]Vw) = (E + T1Vw-).R,,⑷
Rj = R$・ Vw = VwT • R$.
Взаимный базис проще всего определять из соотношения, выражающего неизменность единичного тензора. Отбрасывая величины порядка т]\ получаем
Е = R^R^ - RxsRs + Rxsr]Rs• VwR^R^ + T]R^RrVw = =RxsR$ + T]Vw,
так что
(5)(5)RxsR§ = E — т]У w,Rxs = К — t]Vw RJ,
(5)
(5)
Rs* = — R$・ VwT = — Vw・ R$.
Это позволяет определить набла-оператор в ^^-конфигурации выражением
V* = R** = (Rs —t]Vw.Rs)^j, V = —Vw V. (6)
Градиенты места в #^. По (4) и (5) получаем
О XXо о/о \. оо
(7)(8)(7)(8)VR丿 _「sR^ = VR + t]Vr* Vw;( VR丿=VR. Vw = Vw,
(7)
(8)
(7)
(8)
(Vr)x = 1?$义1\ 工 Vr ——t]Vw-Vr; (▽「)• = — Vw-Vr,(VrT)*^ — VrT- VwT.
Меры деформации в 部｝. По (7) и (8), пользуясь легко про- 「еряемнм правилом
(①▽)• =(!)・▽ +①У,(9)
получаем
/о о \ • О■ о оо
G，= (VR・VRt 丿=VR・(Vw +Vwt)・VRt = 2VR・e(w)”Rt, (10)
F，=(VRT • VR)=F・Vw + VwT・F.(11)
Функция места частицы g< (qk) в Т^^-конфигурации представляется разложением
①(RX)=Q(R) + (RX — R)”①+・・・=0)(К) + фу“а)+・・・
и в соответствии с принятыми обозначениями
Ф* = lim — [Ф (Rx) — Ф (R)] w- ¥Ф и т. д. (12>
Например, в применении к вектору a (R) и тензору Q (R)
a (R)* = w Va = VaT-w,Q(R)「w・VQ.(13)
Величину Ф' следует назвать конвективной производной; ею определяется изменение отнесенной к частице о< (^А) величины <]), обусловленное переносом этой частицы векторным полем w из места R в RS
Конвективная производная функции тензорного аргумента Q, следуя определению производной по тензору, вводится соотношением
6ХФ = ФЧ. •6xQt-=Oq- -r]QT-;Ф(О)^Фц- -Qt-.(14)
Конвективные производные инвариантов “(G). По (4) и (1()) имеем
оо оо
乙(G)'= Е・・G，= 2E・ .VR・E(w)・VRr= 2VRt”R・・e(w)=2/](F・£),
(15)
厶(G)，二[E/. (G) 一 G] •・ G，= 2/] (G)厶(F ‘ e) — 2户•・ e =
= 2[/|(F)/】(F.£)— /|(F2•叨，(16)
00
/JG)' = /3(G)GT-G・ = 2/3 (G) VRt・GT・VR・・e =
-2/3 (G) E •• e = 2/3 (G) A ⑻ 口 2/3 (G)V.w.(17)
Были использованы правила свертывания (1,7.16) и формулы для производных от инвариантов (11,3.1), (11.3,3). По (17) получаем также
^MG)*=丿^二 /普 Y・w.(18)
Конвективная производная ориентированной площадки. По(8.5), (18), (8) имеем
(N dO)*= ( J^n・ Vddo(N dO)*= ( J^n・ Vddoгт V • w — п • VrT- VwT) doгт V • w — п • VrT- VwT) doN dO* (EV • w — Vw'1) (EV • w — Vw) • N dO.N dO* (EV • w — Vw'1) (EV • w — Vw) • N dO.(19)(19)
(N dO)*= ( J^n・ Vddo
(N dO)*= ( J^n・ Vddo
гт V • w — п • VrT- VwT) do
гт V • w — п • VrT- VwT) do
N dO* (EV • w — Vw'1) (EV • w — Vw) • N dO.
N dO* (EV • w — Vw'1) (EV • w — Vw) • N dO.
(19)
(19)
⑵(21)(22)⑵(21)(22)
⑵
(21)
(22)
⑵
(21)
(22)
Отметим также применяемые далее соотношения
[T(F)『 = Tf・ F = Tf・ ・(F・Vw + VwT・F),
[P(VR)]'=PO • •VR-=P(VR)..VwT,'
VR
(N・TdO)・ = (NdO)・.T+NdOT = NdO.(T + TV・w-VwT.T).
Конвективная производная отношения площадок. По (18), (8.7), (8) и (8.5) получаем
濁)•=[l/f(n.GT.n)，"・ = ^V.w +
+ } ]/^ (n・GT・n)-'/" (n・G-i・n；
(n-G_1-n)* = —n-[VrT-VwT-¥г-|-Угт-Vw Vr]-n =
=—2n-(VrT-8-Vr)-n^ 一 2 (黑 J告 N・e・N, так что
^ |/|-(n.GT.n) -,/2(n・GT.n)•二-器 N・e・N.
Итак,
(*)=黑(Y，w-N・e・N).(23)
Варьирование сопровождающего деформацию ортогонального тензора
Варьируя по правилу (10.9) соотношение, определяющее главные значения qs и главные направления е$ симметричного тензора Q, имеем
Q-ef = 27^,Q# • е^ + Q • es = S(7；е^ + qsQ(1)
ss
или после скалярного умножения на еА
龙s
При 々 = s, ts^ts^ l, %・е； = 0; при 々#s, е/「е$ = 0. Получаем
⑵⑵. n・%・Q・0' e^QLes
⑵
⑵
7 s $， s 左 qs—qk s 厶 qs—qh
(штрих указывает на пропуск слагаемого 々 = s). Таковы форму- "н для конвективных производных главных значений и главных направлений тензора. ■七嚟
В применении к мере деформации Коши —Грина по (10.10), (6・1), (6.2) имеем
-0 000 оо
Gs = 2erVR.8 VRT e^ = 2er U О с OT U
=2 / G^e,-0'8'0T-e^ / Gs,
2 А. и. Лурье
00 一
(3)(3)так как е5 • U = е^ |/ G^; по (6.5) находим 6； = 26§е$・Е・е$.
(3)
(3)
о
Представление вектора е； аналогичным образом преобразуется к виду
П/ о О 00-, Vп
e/rvR epRJe^ _Kg^a ：⑷
es — 忆 Gs~Gk乙 G G eA e es〃. (4)
Задавшись представлением (6.6) сопровождающего поворот ортогонального тензора, можно представить его конвективную производную в виде
。。=-£。。=-£GsGs2G>2G>0 0 L 1/0 000、] О- eq+ Zy^(ea + eseJ ・VR +0 0 L 1/0 000、] О- eq+ Zy^(ea + eseJ ・VR +
。。=-£
。。=-£
Gs
Gs
2G>
2G>
0 0 L 1/0 000、] О
- eq+ Zy^(ea + eseJ ・VR +
0 0 L 1/0 000、] О
- eq+ Zy^(ea + eseJ ・VR +
+ £爆6r) = 一£奥 e,еем +
+ 2 ££' G^Xe/「£• % (義 + :,eJ • VR + O-Vw.⑸ s 々.
Были использованы формулы (3), (4) и (10.7). Двойная сумма преобразуется к виду
и это позволяет объединить суммы в квадратных скобках в (5). Приходим к искомому представлению конвективной производной
=—2VL• ?у у^^^e^ + °-Vw-(6)
Здесь использованы формулы (4.18). Имеем также
О” = - 2 笠 7詳十為，竭Хе『Vr + Vwt • (Г.(7)
Приняв представление (6.5) тензора О, легко проверить выполнение условия
(8)(8)О* 0г4-0 От -0,
(8)
(8)
Отметим также соотношения о о
О・.VRT = VR. О =0.(9)
Действ ительно, о
О' .VRT-Oe От U = (Oe От) U = 0,
так как тензор О* От по (8) кососимметричен, a U симметричен.
Основываясь на формулах (6), (7), можно вычислить и конвективные производные тензоров искажений U, V
U =(VR О「丿-VR (Vw От + От),
V =(VRT-O)'=(Ю)
=Vwt . V + %т. (у 厂 Vwt • V + V • Vw —2 VV ；&：；：九乙 e&・ s Е
Сославшись на (9), имеем также о
/j(U)・ = /i(U・)= Vw・ ・O，VR= Yw・・V.(11)
§ 12. Вторая вариация скалярной функции тензорного аргумента
Мера деформации Gx в ^^-конфигурации представляется ее точным выражением 00 оо
Gx - VRX . VRTX = VR. (Е + т1VW)(Е + r)VwT) VIV =00 оо
=G + 2y|VR・e・ VRt -|- i]2VR• Vw• VwT• VRT.(1)
Поэтому следует иметь в виду при вычислении с учетом слагаемых второй степени относительно параметра малости 刀 необходимость внести в формулу (II.4.23) для второй вариации 屮(G^) оо
слагаемого T]2VR-Vw-VwT-VRr в выражение множителя 6GT при первой вариации. Формула (II.4.23) приводится к виду
/о о оо \
屮(Gx)—屮(G)工 @g (G) • • ^2t]VR-£- VRT + i]2VR- Vw VwT • VRT； +
1 о оо о
+ q2T]VR・E・ Vrt.・(Pgg (G)- -2r]VR'£- Vr「+ …=т]фс (G)・・G* +
+ t[2<Pg(G)- •VR-VwVwT-VRT + G，- • <pGG (G) • • G'] + . . .,(2)
причем G' задается no (10.10). Эта необходимость отпадает при о
разыскании второй вариации скалярной функции аргумента VR;
2*
тогда в (II.4.23)
о Vо VXR ov屮XR ov屮0
о V
о V
X
R ov
屮
X
R ov
屮
^VwT'VRT;
、/ ° 、0(3)
丿一屮(Vr)=刀屮0 • • VwT-vrt-|-
VR n2 00
+ ： VwLVRJ.Qj о . VwT-VRr+...
VRVR
Например, при <p(G)^/x (G), % = Е,(Pgg = 0 и no (2) о ооо
/1 (Gx)= /i (G)十 2TlE・.VRBVRT + rfE-VR・ Vw・ Yw「・ VR「= =/i (G) + 2”F・.£十刀噌・• Vw* VwT(4)
—конечно, это же выражение непосредственно следует и из (1). При
<p(g)=-|/7T(g), (pG(g)=1]/7T(g)g-\
屮GG (G) =}]/7T同 GTGт + "7；G^
и no (2)
r7T(G^-/MG)=/MG){|r1G-1--G4-
1 Г 10о
+ y T]2 I ^G' G1 G-1 G*4- G"1 - VR-Vw Vw1 VR + +|g---ge1--g-]}.
Вычисление входящих сюда выражений по (II.4.20) и правилам свертывания (1.7.16) дает 1000о
^G~i 2VR е VR = VR「GT VR е = Е е = V w, оо
G~i. • VR* Vw- VwT• VRr — Е ■ • Vw- VwT — Vw- • Vwr,
^G*- G^G1 G' =}(G，. ・GT)2= (V・w)2,
у U * ・Ug • • U = 00/о 0
=—VR-8-VRt- G'^r^r^ G'1 (— + —仆)・ Vr・e・Vrt =
ОО Г 0000]
8 VRr G-1^ G-X VR[VRT r,rrVR + VRT nrrVRj- E
=—g. . RtRs (R$Rf + R/R5) • • £ = — £• • (Cj]j 4~Cj[) • • 8 ~
=—2e • • E = —^/j(£2)*
к соотношениюк соотношениюПриходимПриходимVT^^~ /Л (G) =&=^恒｛Mi ⑻+等[/；(£)+ VwVwt — 2/iVT^^~ /Л (G) =&=^恒｛Mi ⑻+等[/；(£)+ VwVwt — 2/i5Ь1ли использованы также выражения градиентов места (3.1) и сверток (1.15.4) изотропных тензоров с тензором второго ранга.
к соотношению
к соотношению
Приходим
Приходим
VT^^~ /Л (G) =&
=^恒｛Mi ⑻+等[/；(£)+ VwVwt — 2/i
VT^^~ /Л (G) =&
=^恒｛Mi ⑻+等[/；(£)+ VwVwt — 2/i
Следствием ； служит формула, определяющая вычисленное с учетом слагаемых порядка ■)『приращение объема тела после наложения поля перемещений r)w
рх—Р = П jjj V* wdP + ^ г)® jj J [(V-w)2—Vw- • Vw]dV. *(6)
Кинематические соотношения
По уравнению движения (1.3) частицы o<(gi, g?, q3) определяется вектор ее скорости
v = ±R ⑷，qa, qf).(1)
После замены в этом представлении материальных координат координатами места в актуальной ^^конфигурации (см. § 1) выражению (1) придается вид
v = v(%l £,炉；Z) = v(R; %).(2)
Здесь совершен переход от материального («лагранжева») описания движения к пространственному («эйлерову»), как объяснялось в § 1. Соотношением (2) определяется поле скоростей в среде. В (1)^ прослеживается движение данной частицы, в (2) наблюдается движение «теперь, в этом месте».
Пусть в поле скоростей (2) задано скалярное поле
ф^ф(71, д* 7\ %) = w(R; 0-(3)
Дифференцируя это выражение и используя (3.7), получаем 女=需出 +諾對 s = ^d/ + dR，Rs^ = ^d/ + dR・V(p.(4)
Первое слагаемое определяет приращение ф в данном месте за промежуток времени dt—локальное изменение; наличие вто- 吧го объясняется тем, что за этот промежуток времени частица 眺(9*)， несущая значение скаляра ф, сместилась из места R в место R + dR = R + vdf, в котором скалярное поле приобретает
приращение v-^^dt. Иначе говоря, это——конвективный перенос, создаваемый полем скоростей. По обозначениям § 10 имеем
6хф = dt V* V(p, ф* = у-V(p(5)
——поле вектора w здесь заменено полем v, а параметр малости П через dt.
Соотношению (4) придается вид
屮(6 丿
Этим выражением определяется «материальная производная» (говорят «индивидуальная», «субстанциальная») ф по времени, равная сумме локальной и конвективной производной. Обозначение точкой над буквой просто, но не общепринято ^встречается
dt 1 Dt 广
Аналогично определяется материальная производная вектора а, тензора Q
a(R; /) = ^ + v・¥a = ^ + VaT・v, Q(R; 0=^ + v-VQ. (7.)
В частности, при a=v первое соотношение определяет поле ускорений b
b = -|^ + v-Vv = -|^4-VvT-v.(8)
Обозначение (10.3) вектора R’ повторяет определение (1) вектора скорости; поэтому остальные формулы в § 10, если речь идет о величинах, зависящих от R (но не от его производных по д') и не зависящих явно от 九 сохраняют свое значение при замене w на v, а точки в верхнем индексе точкой над буквой.
При a, Q, явно не зависящих от времени, формулы (7) повторяют определение (10.13) конвективной производной, когда говорится и о конвективном переносе, создаваемом полем w. Само собой разумеется, производные по времени величин, зависящих только от времени (но не от места) также можно обозначать точкой над буквой. В этой книге почти не отведено места нестационарным полям (явно зависящим от времени), поэтому теряется различие между материальной и конвективной производными.
Производная по времени градиента места, заданного его полярным представлением (6.1), определяется по (10.7)
(VR)'=VR-VV = (U-O)- = U-O+ U-6.
Поэтому
Vv = Vr (il O + U 6) = OT (U-1li O + 6).(9)
Линейный тензор деформации 8 (v) над вектором скорости («де- я)ормация скорости») традиционно обозначается через D, а тензор Тихря (спин над v) —через W. По (9) получаем
D =у (Vv + VvT) = yOT-(U-1-U + iJ-U-1)-O((10)
W = y (VvT—Vv) =0т.о + ^_от.(и.и-1—UT.U)・0.(И)
Выло использовано соотношение (11.8).
Материальная производная интеграла.
Закон сохранения массы
Рассматривается интеграл от величины, заданной в ^-конфигурации сплошной среды, включенной в объем V
屮=富\屮從 c=§»adK P = "，Q”・ О) VVV
В отсчетной конфигурации частицы, включенные в У, заполняли объем г; это позволяет, заменив dV по (1.1.9), представить выражения (1) интегралами по объему и
屮川T/4屮也c=UJ/!a血，P = JM/融也⑵
Вычисление материальной производной от величин (1) затруднено переменностью объема У; ограничивающая его поверхность О сама изменяется. Это затруднение отпадает, если обратиться к выражениям (2); теперь достаточно выразить материальные производные самих подынтегральных величин. По (10.18) и (13.6) получаем
у (<pV ф) dv =£f j' )/ у ((pV.v+v. v(p +需)du = PV *
=M (絹(3) и аналогично
c =fjj /4(aV.v + v.Va +患)du= ffj (翁+ ?”а"匕⑷ ' = f£fFT(QV・v + v・VQ +患)血=炉(需+V・vQ)M (5)
Действительно,
V.vQ = (V・v)Q + Rs・v^ = (V.v)Q + v.VQ.
В условиях допустимости преобразования Гаусса — Остроградского (III. § 8) эти формулы преобразуются к виду
中-^dV+^^d0' с = ffi'嘗W+ В N.vadO, VОVо
p4n^y+nN-vQd0- ⑹
Формула (3) применяется к выводу уравнения неразрывности, выражающего закон сохранения массы. Масса сплошной среды в объеме V актуальной ^-конфигурации"определяется интегра^ лом
川=仆％(用，q“，們 /)w =，Wp(r； f)w・ (7)
Через p обозначена масса в единице объема среды —ее плотность, положительная функция материальных координат и времени- Масса /п —сумма масс ее материальных частиц в объеме V; эти же частицы в отсчетной конфигурации образуют объем и с мае сой /п。，распределенной по нему с плотностью р0 (q1, g®, q3). По закону сохранения массы
/п = /п0>m = 0(8'i
и по (7) иТ(3)
卽 p(R；叫f (需+ V・pv)d』0.(9)
Объем V можно назначить произвольно. Приходим к уравно нию неразрывности
# + V-pv = 0.(Ю)
Это же соотношение можно получить, выразив неизменность массы элементарных объемов dv и dV
dmo = podv = dtn^ pdV, ^ =黑=|/^.⑴)
Действительно, дифференцируя по времени, имеем
一患Р = (/ТУ= />» P(R； f) = ^ + v・Vp,(12)
так что
—^(話+ v・Vp)=p/戶7,J + v-Vp + pV-v「0,
как и требуется. В стационарном движении р ；p(R), уравнение (10) приводится к виду
V-pv-0(13)
и при р = р()= const дивергенция скорости оказывается равной нулю
V-v-0(14)
一это уравнение несжимаемости несжимаемой среды. В несжимаемом движении сжимаемой среды
雾十v・Vp = 0.
Материальная производная циркуляции вектора по материальному контуру Г. По (3.6) и по определению (III. § 8) циркуляции вектора имеем
С =夕 dR • а = , d「VR ・а,
С — ^ drVС — ^ drV(vR-a)二 ^dr• VR• [Vv• а + а]
С — ^ dr
V
С — ^ dr
V
=，dR・[V(v・a) —(Va)・ v +a], г
причем 丫—— контур в отсчетной конфигурации, образуемый теми же частицами, что и Г. Вместе с тем по (III.2.3)
dR-V (v-a) = d (v-a), ，dR・ V (v・a) = 0г
в предположении, что скаляр v a однозначен. Итак,
С = f dR・[3 —(V〃)・v](15)
В частности при a=v по (III.3.2)
万=万？(v・v) =(Vv)・v,
f dR・(Vv)・v = f dR・ W = }f d№ =0. г2 г2 г
Приходим к теореме Кельвина:
С == ^ dR • V,С = § dR 7 = § dR • b(16)
1'гг
— производная по времени циркуляции вектора скорости по материальному контуру равна циркуляции вектора ускорения.
Жесткие движения. Индифферентные тензоры
Напряжения, возникающие в твердых телах, порождаются, в частности, деформациями этих тел. Поэтому, если на рассматриваемое движение тела накладывается жесткое движение, т. е. движение, не сопровождающееся деформацией, а все прочие параметры (например, температура) остаются неизменными, то мв ожидаем, что и напряжения при этом окажутся неизменными. Вместе с тем понятно, что при жестком повороте тела тензор напряжений поворачивается вместе с телом, т. е. поворачиваются его главные оси, а собственные значения не меняются. Иными словами, тензор напряжений оказывается как бы «вмороженным» в данное тело. Объекты, обладающие при жестких движениях аналогичными свойствами, будут в дальнейшем называться индифферентными.
Рассмотрим два движения деформируемого тела R (q1, ^2, 产 /) и R‘(q1, q2, 們 力 ни одно из которых, вообще говоря, не является жестким. Будем говорить, что эти два движения разлм чаются жестким движением, если в данный момент времени между ними существует связь вида
R'S1, q\，з； /)= c(/) + [R(q\ 矿，^. Z)_.Ro (/)].O (/). (1)
Здесь с (/) — место, занимаемое Ro при движении R* О (/) — собственно ортогональный тензор. Если между любыми двумя движениями тела можно установить соответствие (1), то такое тело называется абсолютно твердым.
Определение: тензорное поле Л-го ранга A (q* 广 广 R) называется индифферентным, если при наложении жесткого движения оно преобразуется по следующему закону:
A' (R‘)= 4…4 (R) %• О (/)...е,“-0(/).(?)
Здесь О (/) — тот же ортогональный тензор, что и в (1), *• — произвольный базис. В частности, скаляр является индифферентным, если выполнено условие
(p'(R') =(p(R)・
Типичным примером индифферентного скаляра является плотность. Последняя зависит от движения R, поскольку при этом
меняется объем. Однако объемы в движениях R н R' совпадают, поэтому и плотности совпадают. Примером неиндифферентного скаляра является кинетическая энергия, но внутренняя энергия индифферентна.
Вектор а индифферентен при условии
a' (R‘) = a (R)・ О (%) = (Г (/)・ a (R).(3)
Из (1) немедленно следует, что базисные векторы R§ индифферентны. Действительно, поскольку с (/) и 0(f) одинаковы для всех частиц тела, то
R； = RsO = 8Rs，(4)
т. е. базисные векторы «вморожены» в тело.
Найдем компоненты индифферентного вектора в движениях R и R'・ Легко убедиться, используя (3) и (4), в справедливости равенства
a'(R')・R； = a(R)・Rs・
Отсюда вытекает, что положение вектора а' относительно базиса R； точно такое же, как и положение вектора а относительно базиса R§・ Вполне аналогично из (2) и (4) следует, что компоненты индифферентного тензора относительно базиса R§ остаются неизменными при наложении жестких движений.
Согласно (2) индифферентный тензор Q второго ранга определяется соотношением
Qz (Rz)工严R$ 0% • О = От 严R$K • О, так что
Q'(R') = Ot・Q・O・(5)
Индифферентные величины «вморожены» в базис, сохраняются числовые величины их компонент, равно как и ориентация в векторных базисах & и R；・ Поля а и Q смещаются и поворачиваются вместе с базисом, «наблюдатель» за поведением индифферентных полей не знает, с каким базисом он связан.
Дифференцируя (1) по 厶 имеем
(/) + OT-v + d'r-(R-R0) -с + От v + 0T О (Rz—с), так что
—0T v =с + бт О (R —с).(6)
Вектор скорости неиндифферентен; это следует из (3), поскольку правая часть (6) не нуль. Это и понятно: так как частица Движется, вектор v не «вморожен» в среду.
Кососимметричный тензор
а =6т・0()т 6 工—QT(7)
представляет тензор угловой скорости (спин) штрихованной системы относительно нештрихованной; со ——сопутствующий ему век、 тор угловой скорости. Формула (6) преобразуется к виду
vz = с + От-v + Й- (Rz — с) = ОТ • v + «X (R' — с) +с.(8)
Дифференцируя (1) и (8) по д$, получаем
R； = RS О, O = RSR；, O R" = RsM=RB,R" = Ot.rs, RsR，s =()t,
8qs 8qs
W V，= R"誥• O 十 R"Q • R〔 = (Г . RS 急 O — R SR；. Q.
Итак,
▽v' = 0r Vv・o_Q, (Vzvz)T-0T VvT 0 + 2.(9)
Градиент скорости — неиндифферентный тензор. По (13.10) и (13.11) получаем
DZ-OTDO,W-0TW0 + Q(10)
——деформация скорости ——индифферентный тензор, тензор вихря скорости неиндифферентен. Формулы (10) составляют содержание теоремы Зоравского (Zorawski).
Формулы преобразования градиентов места, поскольку отсчетная конфигурация не преобразуется, представляются выражениями
оООО
VR' = rSR； = rSRs・O = VR・O, VRZT = OTVRT, (11) V，=RZrs = OT・RSrs = ()T・Vr 7尸=丫严・0(12)
и из них следуют преобразования мер деформации
о о оо оо
G，= VR，・VR'r 二 VR OO・VRT = VR・VRr = G, (13) о оо о
F' = VR't・VR=ot.vrt.vr・o =()jf・()・(14)
Мера Коши —Грина неиндифферентна, Фингера — индифферентна. Следствием из этого и формул (6.4) является неиндифферентность левого, индифферентность правого тензора искажений. К этому же можно прийти, основываясь на полярном представлении градиента места
оо
VR-U QX-VR -Ог - Uz О Ог, причем, как было условлено, крестиком обозначено ортогональное преобразование, сопровождающее деформацию (§ 6). Но полярное
о
представление VR единственно. Поэтому
U 二 U* ОХ=ОХО.(15)
Отсюда и из (11) следует
оО
VR=O*・V = VR ・()т = Ох V •Ot =()x・O・v' О\ V-0 V *ОГ
и этим подтверждается индифферентность V
V =OT V О.(16)
Из определений (2) индифферентного тензора и (II.7.1) изотропной тензорной функции следует, что значение всякой изотропной функции от любого "числа индифферентных тензоров есть индифферентный тензор. Конечно, изотропной может быть и функция неиыдифферентного тензора.
Объективная производная тензора
Пусть a, Q индифферентны. Их производные по времени, однако, неиндифферентны, например,
а，= (а・О)・ = £・()+ а・6.\1)
Соотношения, описывающие присущие сплошной среде свойства, должны единообразно формулироваться во всех базисах — ни один из них нельзя считать преимущественным. Это заставляет придать понятию производной по времени от индифферентной величины определение, сохраняющее индифферентность. Это достигается и не единственным способом.
Используя соотношения (15.7), (15.10) и (15.3), можно преобразовать (1) к виду.
а' = а • О—а • О • Q = а • О — а • О • (W‘ 一 От • W • О)=
_(a + a-W).O-a/-W/
и по (15.3) оказывается индифферентным вектор
& = 3 + a・W = (£+aKW>OT=a-W・a,(2)
называемый объективной (индифферентной) производной а по Яуманну — Ноллу.
Аналогично, хотя* более громоздко, вычисление для тензора второго ранга *
Q =(Ot Q.O)- =Or Q O + OT Q О + От Q 6 =
= 0T.Q.04-Q0T.Q0-0TQ0Q-0rQ0 + W/Q/-
—q'・W'-Ot.w ОO・Q O +()t・Q・O0・W・O =
= (T40 + W ・Q'—Q'W-0T・W・Q・0 +()t・Q・W О
ИЛИ
Q‘一w'・q' + q'・w' = ot(Q—w・q+q W)о,
откуда и следует объективность производной Яуманна — Нолла тензора второго ранга
0 = Q — W Q + Q W.(3)
Новые определения объективной производной можно получить, включив в выражение производной Яуманна — Нолла или отбросив в нем индифферентные слагаемые вида D-а, D Q или a-D, Q • D. Например, заменив W его выражением D — Vv, получим
a = a + a-D —a-Vv, 0 = Q — D Q 十 Vv・Q+ Q・ D — Q • Vv.
Отбросив индифферентные слагаемые, придем к производной Олдройда
а = а — а- Vv,Q = Q + Vv-Q — Q-Vv,(4)
или в другом виде, добавив слагаемые 2а - D, 2Q D,
Д .А .
а = а + а-VvT, Q = Q4-Vv-Q+ Q VvT.(5)
Определение, предложенное Трусделлом, основано на рассмотрении вектора N• TdO (NdO — ориентированная площадка, Т —индифферентный тензор второго ранга). По (4) и (10.2.2) получаем
(N・TdO「= (N・TdO)・一N・T・VvdO =
==N dO • (T+TV ■ v—VvT • T—T • Vv)(6)
и это позволяет определить объективную производную по Трусделлу выражением
Tv^T + TV V —VvT Т —Т Vv.(7)
В приведенных формулах точкой над буквой обозначены материальные производные
a = 4^+v・Va, Q = ^- + v VQ.(8)
Компонентное представление Q дается одной из формул
Q = R$Rt』RsRjQ = R$Rt』RsRj
Q = R$Rt
』RsRj
Q = R$Rt
』RsRj
вместе с тем
W• Q _ Q • W = rsrG喘一中券十小(储公_｛計伉)， W • Q + Q • Yv = RsR J g嚅 + 严芻十犷(｛； J g" + ｛計严，.
Приходим к таким, не содержащим символов Кристоффеля, представлениям производных Олдройда и Трусделла
Q=R‘Rt (等+。‘鴉+分'第一伐‘ ^)，(9)
3 = R风黑需-q嘴-q嘴"Q个器.(Ю)
Переменная отсчетная конфигурация.
Тензоры Ривлина — Эриксена
В предшествующем тексте отсчетная конфигурация была отнесена к началу отсчета времени /=0, на что указывалось в обозначении градиента места (3.1). Но ничто не препятствует принять за отсчетную актуальную конфигурацию ^т в момент т, указывая на это в обозначениях. Тогда формулам (3.1), (6.5) пришлось бы придать вид
о
VR = Rs(0)Rs(/), 0X = es@es(/)(1)
и соответствующие указания внести в обозначения мер деформации Коши — о о
Грина и Фингера, называя их G (/), F (/) вместо G, F. Нет нужды в реконструкции обозначений величин, определение которых не связано с отсчетной конфигурацией, каковы вектор скорости v, его градиент vv, деформация D, вихрь W.
При явном указании на отсчетную конфигурацию градиенты места представляются формулами
VR (/) = Rs (т) R§ (/), vR UK = % (0 2 (т)(2)
% если поменять т и / местами
VR ⑴=RS (0 Rs (т), ；R (Т)т = Rs ⑴ RS (/).
Заменяющим (3.5), (3.12) соотношениям придается вид
VR (/)• VR (т) = Е, vR(/) = E.(3)
Мера деформации Коши — Грина представляется выражением
G(/)=Rs(t)Rs(力 ％(/)М(т)⑷
и 叩н заменах
о о
Rs ⑺=Rs (O)-vR ⑺=[VR ⑴户Rs (0),
RS(T)1^0)=[版⑴]：Rs(0)R$(t) = [\r(t)t] 1
приводится к виду
т ГО ~|Т ГО -| -10 т О
G(f) = [vR(t)」 -G(O-LvR(t)tJ , G(f) = vR ⑴・G(f)・vR ⑴т. (5)
О
Здесь мы вернулись к обозначению G = G меры Коши —Грина.
Аналогичное вычисление для меры Фингера дает
f(o-vR(Ot-f(t)-vRW.(6)
В этих преобразованиях, конечно, R§(0) =『$, Rs(0) = ]*s. Далее рассматриваются тензоры вида
зависящие только от 九 значит, не связанные с отсчетной конфигурацией —— т О
«лишенные памяти»; в определение величии G (/), G (/) внесена «память» об отсчетной конфигурации.
Примерами лишенных памяти величин служат тензоры
У [舒欠⑴]Е = RS ⑴ Ц Rs ⑴]E = R^= VV'(7)
3 慎;R ⑴L = RS ⑴駡 Rs(T)L，=RS^=vb(8)
и т. д. К их числу относятся тензоры Ривлина——Эриксена
% =風G(T)]』.(9)
Получаем
d f fAv (т) /
9i= 3z VR (^)*VR (t)t = R$ О 力 $ • VR (t)' +
+ vR ⑴R4(ojt=z=w(/)-vR(/)+vR(/)vv (炉
и по (4)
3x=vv + vvT=2D.(10)
Аналогично получим
Э2 = yb -|- vbT + 2\zv• VvT.(11)
Возвращаясь к (10), имеем также
m)・居£⑴]Е十稿")]』• 6⑴=2 [鼾(吐"
и еще одним представлением тензора Деформации скорости служит
по⑺
"因R(吐=L剧⑴&⑴]1= D+[汐(，)]Ё=
=D + es (/) [^ es (т)]у, = D + е$ (/) е$ (/)
(напомним, что %—то же самое, что е5). Вместе с тем % (0 ^ (0 + £ (0 " (£) = [е$ (/) "(/)]，= 0.
Получаем
w= J (VVT —vv) = —ед/) &(/)= £(/) es (/)=—偿儿⑴]「=,,
так что
員(/)pW・％(/) = — e$ (/)・W・
Этим определяются производные по времени векторов ортогонального триэдра 0х； изменение во времени этих векторов обусловлено вихревым полем. Формулам (14) и (1.11.3) можно придать также вид
е$ =q ”Xv)Xe$ (/),
так как vXv —сопутствующий 2W вектор.
Компонентное представление индифферентного тензора в штрихованном базисе О” представляется выражением
Q' =qsteset
и для наблюдателя в этом базисе производная Q' в этом базисе по времени (обозначим ее 0) равна
® = qs&e；・
«Неподвижный» наблюдатель констатирует при наличии вихревого поля скоростей вращение базиса е] Определяемая им производная по времени равна
Q‘ = q5&亩+产(限"=川險；+ 产(W"&-e&・W)=
Отбросив ненужные теперь штрихи, получаем
Q=Q —W・Q+Q・W.
Зтнм показано, что производная Яуманна —Нолла (16.3) —не что иное, как производная тензора по времени во вращающейся системе осей. Ее определяет наблюдатель, следящий за поведением тензора в вихревом поле скоростей.
места по заданиюместа по заданиюОпределение вектора меры деформации
места по заданию
места по заданию
этому вектору строятся векторныеэтому вектору строятся векторныеПредполагается известной отсчетная конфигурация — вектор места в ней г (71, ^2, q3). По базисы 「s， г5, компоненты метрического тензора gskt g§总,символы Кристоффеля [s/, г], J ^1 . Задана положительная матрица
этому вектору строятся векторные
этому вектору строятся векторные
5050Деформация сплошной средыДеформация сплошной среды[гл. i[гл. i
50
50
Деформация сплошной среды
Деформация сплошной среды
[гл. i
[гл. i
ковариантных компонент меры деформации Коши —Грина
GsfHR$・K・(1)
По ней определяется обратная матрица G" (контравариантные компоненты метрического тензора в базисе ^^/-конфигурации) и символы Кристоффеля [st, г], {[} . Требуется определить базисный триэдр К, Re, R3 актуальной конфигурации, а по нему вектор места в ней R(g\ ^2, q：》Задача сводится к рассмотрению системы дифференциальных уравнений вида (III.4.2)
誉(UH/*)’⑵
интегрируемой, как было разъяснено в III, § 10, при тождественном обращении в нуль тензора кривизны Римана — Кристоффеля (или тензора Риччи) (III.10.14)
4R = R^「№RfRsR「， (3)
вычисляемого по заданию матрицы (1) по формулам (III. 10.15;; в них, конечно, теперь g$历 gsk заменены на G$左,G，泊；требуется, чтобы были равны нулю шесть компонент (111.10.21) тензора Риччи.
Поскольку, согласно (2),
因£ 一因s , ⑺ соотношение
dR = R$ dqs
интегрируемо; вектор места R (疗，牝 俨 определяется квадратурой, коль скоро базисные векторы R$ будут определены системой (2).
Постановка задачи остается неизменной при наложении на задание (1) меры Коши не создающего деформации тензора Е. Это позволяет принять G (耽)=Е в фиксированной частице е^0.
Следствием тождественного равенства нулю тензора кривизны (3) является существование единой декартовой системы осей 0XYZ, в которой векторы места определяются выражениями
1< =h炉(饅，炉，絞) (5)
и as можно рассматривать как материальные координаты qs частицы.
Системе (2) может быть теперь придан вид
дхт 团 况丁 j mдхт 团 况丁 j m(6)(6)
дхт 团 况丁 j m
дхт 团 况丁 j m
(6)
(6)
Эта система восемнадцати дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных распадается на три снстемн
п0 Шесть уравнений (优= 1,2,3)・ Она «вполне интегрируема» — условия интегрируемости ее по (4) выполнены тождественно.
」Доказывается, что существует трижды непрерывно дифференцируемое решение этих систем, принимающее наперед задаваемые значения )
齊=乂他при а尼=碎(7)
и в окрестности этих значений
工巾=入｝(废—啕+无化(8)
Иначе говоря, в окрестности 叫(啕 вектор места R представим в виде
R = i^m(^-^) + R0 = (r-r0)-A + R0) А = Х；屮i办(9)
где А ^постоянный тензор, Ro - вектор-радиус 咻.Поэтому оо
Rs = r$ A, VR=r¥s・A = A, VRt = A「， G = A• AT
в окрестности。％・ Но тензор G задан, поэтому А —не произвольный постоянный тензор, его девять компонент связаны шестью соотношениями. Принимая G 磔，唸 ％ = Е, можно этим соотношениям удовлетворить, полагая
Е = А・А\ А = О; R = (r —r/O + Ro (10)
—как предвиделось, преобразование отсчетной конфигурации в актуальную определено с точностью до аддитивного жесткого перемещения среды (§ 4). В решение входит шесть постоянных — три компоненты R0^R (&<0) и три независимых параметра, определяющих поворот среды в точке оД.
(11)(12)(11)(12)Аналогично решается задача об определении вектора места 「(д' ?2» 9，в отсчетной конфигурации по заданию в актуально济 конфигурации меры Альманзи
(11)
(12)
(11)
(12)
Векторный базис rs определяется системой уравнений о
Oqt j st (ГЧ'
интегрируемой при тождественном обращении в нуль шести независимых компонент (III. 10.21) тензора Риччи (конечно, в
О
(III.10.15) следует заменить [Rs, m] на [Rs, 础.Вектор места определяется квадратурой из соотношения
dr = r$dqs.(13)
Тензоры аффинной деформации
, При однозначном и дважды непрерывно дифференцируемом преобразовании материальных координат qs к новым координатам qr
qr = qr^, * 們(1)
символы Кристоффеля преобразуются по формулам (III.4.9). Записав эти формулы один раз в векторном базисе актуальной конфигурации, второй — в отсчетной, после почленного вычитания придем к соотношению
в котором c『,c2 определяются только преобразованием (1) и никак не зависят от выбора векторных базисов. Этим доказано, что разности символов Кристоффеля в актуальной и отсчетной конфигурациях оказываются связанными преобразованием вида (II 1.4.10) и поэтому представляют компоненты тензора третьего ранга
о
[st \ st(3)
Этот тензор можно определить как в актуальной, так и в отсчетной конфигурации представлениями
A = RSR，R“4?/, Ar-R’/KRS%,(4)
оо
А = г$гУ諸結Аг = Гд「гУ&,(5)
симметричными относительно нижних индексов s, t. Знаком «т» обозначена замена триады R RZR7 (или「'г'%) на RgRsR，(на ГдГ$г‘). Формулы (4) и (5) определяют различные тензоры, имеющие одинаковые компоненты (тензоры-«изомеры»).
Аффинным называется преобразование отсчетной конфигурации в актуальную, в котором декартовы координаты актуальной конфигурации — линейные функции декартовых координат отсчетной
В Аруго苜 записи
(6)(6)которого в депроизводная Лкоторого в депроизводная ЛR$ =「s，А，R$ =「s，А，гоOqt is/ g Oqttsd gгоOqt is/ g Oqttsd gо•A={"R,о•A={"R,R = (r—r0) • A 4- Ro, где A—постоянный тензор — тензор, компоненты картовых координатах постоянны. Ковариантная равна нулю (при любом выборе координат qs). Следствием (6) служат соотношения
(6)
(6)
которого в депроизводная Л
которого в депроизводная Л
R$ =「s，А，
R$ =「s，А，
го
Oqt is/ g Oqttsd g
го
Oqt is/ g Oqttsd g
о•A={"R,
о•A={"R,
так что
1鴇川3°，相"1鴇川3°，相"⑺⑺
1鴇川3°，相"
1鴇川3°，相"
⑺
⑺
Значит и тензоры (4), (5)——нулевые, если преобразование отсчетной конфигурации в актуальную не отличается от аффинного. Эти тензоры, характеризующие «неаффинность» преобразования, называются тензорами аффинной деформации (А. 1Д. Норден).
Формулы (3) можно представить через ковариантные производные мер Коши — Грина и Альманзи. Имеем
*}=”窑丄也*}=”窑丄也■s °G§t■s °G§tdqt dqrdqt dqr(8)(8)
*}=”窑丄也
*}=”窑丄也
■s °G§t
■s °G§t
dqt dqr
dqt dqr
(8)
(8)
Но в базисе отсчетной конфигурации
о00
V从 =筹一務G勿一阳Gtm
Отсюда и из двух аналогичных равенств, получаемых круговой перестановкой индексов str, находим
Теперь учитывая, что
gsgsо оis" i s"о оis" i s"
gs
gs
о о
is" i s"
о о
is" i s"
после подстановки в (8) приходим к искомому представлению о о \
忠L^G"〔VsG" + Vg“一VqJ.(9)
Аналогично получим
&£= - -J gqr sgtr + ^igsr一Vrgsj).(10)
Вспомним также, что по теореме Риччи (III.5.11) о
VG5/ — 0, ^gst — о*
можно представить (9) и (10) также через ковариантные производные компонент тензоров деформации (7.8)
/ ООО \
』& = G"—4点=g" (Vsatr + Vtars — Vr6z5/).
(H)
Применение тензоров аффинной деформации позволяет избежать введения символов Кристоффеля в представлениях дифференциальных операций над тензорами. Исходными соотношениями служат формулы дифференцирования градиентов места
ООо оо оHRs= 4?献织,=A^ts • VR н「方 А • VR.HRs= 4?献织,=A^ts • VR н「方 А • VR.
О
О
о о
о о
HRs= 4?献织,=A^ts • VR н「方 А • VR.
HRs= 4?献织,=A^ts • VR н「方 А • VR.
Итак,
詣 VRfAVR,詣 VRfAVR,о оо оVVR = A VR.о оо оVVR = A VR.(⑵(⑵Аналогично получаем а о о о 骄 vRt = vrt・af， ^Vr = —RA・A・Vr, dqRAVrT^-VrT.AT-R„ dqkАналогично получаем а о о о 骄 vRt = vrt・af， ^Vr = —RA・A・Vr, dqRAVrT^-VrT.AT-R„ dqkооооо оо оvvrjnvrlaf，vvrjnvrlaf，Wr = — Apr,Wr = — Apr,VVrT = —RWr^A^R*.VVrT = —RWr^A^R*.(13)(13)(Н)(Н)(15)(15)
詣 VRfAVR,
詣 VRfAVR,
о оо о
VVR = A VR.
о оо о
VVR = A VR.
(⑵
(⑵
Аналогично получаем а о о о 骄 vRt = vrt・af， ^Vr = —RA・A・Vr, dqR
AVrT^-VrT.AT-R„ dqk
Аналогично получаем а о о о 骄 vRt = vrt・af， ^Vr = —RA・A・Vr, dqR
AVrT^-VrT.AT-R„ dqk
о
о
о
о
о о
о о
vvrjnvrlaf，
vvrjnvrlaf，
Wr = — Apr,
Wr = — Apr,
VVrT = —RWr^A^R*.
VVrT = —RWr^A^R*.
(13)
(13)
(Н)
(Н)
(15)
(15)
Основываясь на этих формулах, получаем представления производных мер деформации Коши — Грина и Альманзи
dGdqkdGdqk0000=〃• A・G 4-6-Ат-Гд.,=〃• A・G 4-6-Ат-Гд.,爵一(R『A.g + g・ATR). (16)爵一(R『A.g + g・ATR). (16)
dG
dqk
dG
dqk
0
0
0
0
=〃• A・G 4-6-Ат-Гд.,
=〃• A・G 4-6-Ат-Гд.,
爵一(R『A.g + g・ATR). (16)
爵一(R『A.g + g・ATR). (16)
Свертки компонент тензоров аффинной деформации по верхнему и нижнему индексам приводят к выражениям
dlnpG д\п У g — ddlnpG д\п У g — ddq，dq，dqs 一 dqdqs 一 dq71п S У g71п S У g(17)(17)
dlnpG д\п У g — d
dlnpG д\п У g — d
dq，
dq，
dqs 一 dq
dqs 一 dq
71п S У g
71п S У g
(17)
(17)
При свертывании по нижним индексам тензоры аффинной деформации определяют векторы о о
С'」％”二 Е・・А = Аг・・Е.8$г/；$ = Е-А=А-Е. (18)
Дивергенция меры Фингера. По вышеприведённым формулам имеем
Л о о о / оо \ о
J_F =AVRT.VR = VRr^AT-rft + rft-A；-VR..
，dqk 0" оо
= VRt.储严 + 广%)"1<4呪=g3'(RgRm + RmRq)4厶，(19)
0己 <7Г О О
・F = ^Rs・F4K+gF4QVR=FR^ln]/ | + VRT-(Ат • • Е).
Получаем
-F = F-Vln j/y + (Е - -^-VR^F-Vln]/-^ +VRT • (Ат • • Е).
(20)
Понадобится еще знать V• F2. Имеем
F3=F V F + F VF, F-V.F-=F2-Vln|/"y +F-VR^.(Ar ■ • Е), F• • VF = (F • IVRgRs + F • RF • RR) 4觊二
=F RglVRy%. f + F--F-R^RK储説匸 F • • (At . F + F • A). Итак,
V F2-F2 V InlZ- +F.eRr・(A・ ・E) + F・ ・(At・F + F・At). (21)
Применение тензоров аффинной деформации позволяет связать дифференциальные операции над функциями градиента места или мер деформации с производными по этим мерам. Например, для скаляра
о ооо
5屮(VR) =▽屮，r々3々=屮0 •.5VRTr屮0 •.аT・r在bq匕
VRVR
так что оо оо оо
丫屮=业•・VRT・AT = Wo ・VRT・ ・АТ『2屮g・G・ ・АТ.(22)
VRVR
Аналогично для тензора второго ранга по (9.7)
00
*=Qo ・・vrt・af，
оо оо
V.Q-rA-(Q0 .VRT.-AT)T^2rfe-(QG-G--AT)-rft. (23)
VR
Дифференциальное уравнение (12) для градиента места, записываемое в форме системы уравнений первого порядка
оо о
VR Z, VZ = A Z,(24)
тотчас же преобразуется к виду (18.6) — достаточно принять декартовы координаты as отсчетной конфигурации в качестве материальных, представить Z в виде (3.3) и учесть, что символы Кристоффеля в отсчетной конфигурации при qs^as обращаются в нуль. Рассмотренная в § 18 задача сведена к разысканию по (24) тензора Z и к последующему определению вектора места R по его полному дифференциалу
(25)(25)dR 二dr・Z.
(25)
(25)
Г л а в a 2
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
Массовые и поверхностные силы
Тело (сплошная среда) в этой главе рассматривается преимущественно в актуальной конфигурации. Как и выше, объем тела и ограничивающая его поверхность в этой конфигурации обозначаются V, О, а в отсчетной —г, о. Сохраняются обозначения плотности р, р0 в актуальной и отсчетной конфигурациях. По закону сохранения массы
dm^pdV ~р0 dy, (1) так что
Внешние силы—воздействия на частицы тела 毋 окружающих его тел. Их подразделяют на массовые и поверхностные.
Массовые силы действуют на каждую частицу среды. Вектор массовых сил, отнесенный к единице массы, обозначается к; поэтому
kdm~ pkdV рок dv(3)
—сила, приложенная к элементарной массе в объеме V, а рк — сила, рассчитанная на единицу объема (объемная сила). Главный вектор массовых сил и их главный момент относительно начала векторов R равны
$JJpkdV= JJJpokdu, JJjRxpkdH= JJjRxPok^. (4) V V V D
Примером массовой силы является сила тяжести
i3gi3g(5)(5)
i3g
i3g
(5)
(5)
Здесь i3 ——единичный вектор восходящей вертикали, g—ускореНие силы тяжести. Другой пример——если частицы покоятся в системе осей, равномерно вращающихся вокруг неподвижной (в галилеевой системе) оси, то в число массовых включается «центробежная» сила
(6)(6)k = - 8х ® х R)=炉%.
(6)
(6)
Здесь со——постоянный вектор угловой скорости, R ——вектор места частицы во вращающейся с этой угловой скоростью системе осей, имеющей начало на оси вращения; через А обозначен радиус окружности, по которой вращается эта частица, е——единичный вектор из центра окружности по ее радиусу. Кориолисова сила не включена в (6), так как частицы среды покоятся во вращающихся осях; «касательная сила инерции» также отсутствует, поскольку G)——постоянный вектор.
Для потенциальных сил
кг — Vn.(7)
Здесь л ——потенциальная энергия поля массовых сил. В поле силы тяжести и в поле центробежных сил
冗二gis^R， я —— ~|coxR|2--yco-(RR —ER*R)-g).(8)
Из числа массовых сил исключены силы взаимодействий частиц среды самого рассматриваемого объема, например, силы ньютонова тяготения. Поля массовых сил в принятом определении создаются окружающими объем телами. Предполагается, что он достаточно мал, чтобы можно было пренебречь взаимными притяжениями его частиц в поле тяготения Земли.
Силы, распределенные по поверхности О объема V, — внешние поверхностные силы. Поверхностная сила, отнесенная к единице площади на О, обозначается f, главный вектор и главный момент поверхностных сил равны
N f d。川]/ g (n • G-1 • n)% f do,
J_(9)
f( RxfdO= ( ( ]/g(n.GT.n)%Rxfdo
—см. (1.8.9). Формулой
f-f«NN + (Nxf)xN,(10)
в которой N ——единичный вектор внешней нормали О, определяется разбиение поверхностной силы на нормальную и касательную к О составляющие.
Давление жидкости на погруженное в нее тело — пример поверхностной силы
f = —pN.(11)
Другой пример — распределенная по поверхности контакта реакция тел, на которых покоится рассматриваемое тело.
При «мертвом нагружении» поверхностная сила fdO сохра~ няет величину и направление в пространстве, будучи приложена в той же точке 必 тела *)
fdO = Fdo, f-fft)/ -| (п-G'i-n)-1^. (12)
Здесь Г —поверхностная сила в отсчетной конфигурации. Сила давления (11) — пример «следящего нагружения».
Элементарная работа равномерно-распределенного по всей поверхности тела давления (р = const) на виртуальном переме* щении 6R точек поверхности равна
—I f/?N・6RdO = — p [0 V.6Rd]/ = — p j|〔3 |/- dv =
二一рб fj j 1^~ 血=—6p У
—были использованы преобразования Гаусса — Остроградского и (1.10.18), (1.10.2). Получаем
—f ( pN-6RdO = —6П, П = рУ,(13)
П—определенная в объеме тела потенциальная энергия равномерно распределенного по всей его поверхности давления.
Давление жидкости на погруженное в нее тело изменяется по закону 〃 = ¥%, у — вес единицы объема жидкости, z —отсчитываемая от горизонтальной поверхности жидкости, по нисходящей вертикали координата точки на О.
Элементарная работа на виртуальном перемещении 6R теперь определяется выражением
*) Например, если в первом положении тела сила составляла с нормалью N * П?оСохности острый угол, то во втором положении, когда тело повернуто на 180°, угол станет тупым (вектор N стал — N).*) Например, если в первом положении тела сила составляла с нормалью N * П?оСохности острый угол, то во втором положении, когда тело повернуто на 180°, угол станет тупым (вектор N стал — N).у I f[v-z6RdV= —у JJJ )/-V-z6Rdu=у I f[v-z6RdV= —у JJJ )/-V-z6Rdu=一 Y)]zN・6RdO о
*) Например, если в первом положении тела сила составляла с нормалью N * П?оСохности острый угол, то во втором положении, когда тело повернуто на 180°, угол станет тупым (вектор N стал — N).
*) Например, если в первом положении тела сила составляла с нормалью N * П?оСохности острый угол, то во втором положении, когда тело повернуто на 180°, угол станет тупым (вектор N стал — N).
у I f[v-z6RdV= —у JJJ )/-V-z6Rdu=
у I f[v-z6RdV= —у JJJ )/-V-z6Rdu=
причем zc——центр тяжести погруженного объема тела V. Пришли к формулам
ЗП к 3?立匕П = yVzc.(14)
При «мертвом» нагружении по всей поверхности
P・R do = 3)f.RdO,ОP・R do = 3)f.RdO,О,,f・6RdO=§§f°・6Rdo=6*
P・R do = 3)f.RdO,О
P・R do = 3)f.RdO,О
0о0
(15)(16)(15)(16)П = — J J f-RdO.О
(15)
(16)
(15)
(16)
В = JJJpkRrfV + М fRdO.В = JJJpkRrfV + М fRdO.V’V’ооПонятие «силового тензора» вводится выражением
В = JJJpkRrfV + М fRdO.
В = JJJpkRrfV + М fRdO.
V’
V’
о
о
Удвоенная кососимметричная часть этого тензора выражается через главный момент т° внешних сил ——массовых и поверхностных. Действительно, по (1.14.19)
в —ВТ = М p(kR-Rk)dl/+^ (fR - Rf) dO -
= Ех(“§ pRxkdlZ+仃 RxfdO)= Exm。. (17)
Если массовое и поверхностное нагружения — «мертвые», то их потенциальная энергия представляется через первый инвариант силового тензора
/1(В)= — П= §§§pk・Rdl/ +，§ f.RdO.(18)
Сложнее представление элементарной работы равномерно распределенного давления по части Ох поверхности О. Через Гх обозначается ограничивающий Ох замкнутый контур на О. По теореме Стокса (III.9.11) и по (III.3.4), (1.10.19) имеем
$ dR.(RxbR)川 N-Vx(Rx6R) dO -
XX
=§) N [6R VR —6RV-R —R.V6R + RV 6R]dO =
=—3 $$ N-6RdO+JJ N-6RdO +JJ NdO.(EV・6R—V6RT)； 0x。X0*
3 §，N・6RdO +用 N’RdO.
Выражение элементарной работы приведено к виду
N-R dO + ypN-R dO + yp§ dR-(RxSR).4§ dR-(RxSR).4(19)(19)
N-R dO + yp
N-R dO + yp
§ dR-(RxSR).
4
§ dR-(RxSR).
4
(19)
(19)
_p«N・3RdO = ^p3“°хОх_p«N・3RdO = ^p3“°хОхНагружение равномерно распределенным по части поверхности давлением непотенциально. Исключением является случай жестко заделанного края. Тогда 3R = 0 и по (19)
_p«N・3RdO = ^p3“
°хОх
_p«N・3RdO = ^p3“
°хОх
N-RdO-^бП, П二
(20)
К этому результату приводит рассмотрение и случая жесткого контура, могущего смещаться в своей плоскости, не отрываясь от нее.
Тензор напряжений Коши
Тензор напряжений является одним из главнейших, и притом первичных, понятий в механике сплошных сред. Существует много способов введения тензора напряжений, однако все они содержат, по существу, следующие предположения.
Уравнения, выражающие баланс количества движения и момента количества движения, сформулированные для системы конечного числа материальных точек и абсолютно твердого тела, естественным образом обобщаются применительно к деформируемым телам. Это—эйлеровы законы динамики.
Если внутри тела выделить произвольный объем V посредством замкнутой поверхности О, то воздействие части тела вне V на объем V сводится к заданию на О некоторого векторного поля, называемого вектором напряжения tN и представляющего собой поверхностную плотность вектора силы. При этом вектор силы dP, действующий на бесконечно малый элемент dO, вычисляется по формуле dP 二tzdO. Выбор tN предполагается непрерывным по пространственным координатам.
Вторым предположением исключены из рассмотрения так называемые полярные среды, в которых помимо вектора напряжений на поверхности О действует вектор моментных напряже- ннй mn такой, что момент dM, приложенный к dO, находится по формуле dM=RNdO. Полярные среды в этой книге не рассматриваются. ■
Дальнейшее рассмотрение основывается на применении сформулированных предположений.
Выберем в качестве объема V цилиндр радиуса а и длины I. будем считать, что единичный вектор N направлен вдоль оси
цилиндра. Напишем для этого ства движенияцилиндра. Напишем для этого ства движениятела уравнение баланса количе-тела уравнение баланса количе-/ а 2л/ я 2л
цилиндра. Напишем для этого ства движения
цилиндра. Напишем для этого ства движения
тела уравнение баланса количе-
тела уравнение баланса количе-
4^П pvrdcpdrdz7Hpkw +
ООО000
а 2л
/ 2Ло о/ 2Ло оа 2ла 2ло оо о⑴
/ 2Л
о о
/ 2Л
о о
а 2л
а 2л
о о
о о
о о
Объемный интеграл в левой части этого равенства есть суммарное количество движения рассматриваемого цилиндра. Правая часть, являющаяся главным вектором действующих на цилиндр сил, представлена интегралом по объему от массовых сил, интегралом по боковой поверхности цилиндра (г=〃) и двумя интегралами по торцам z = 0 и % = /. Вектор N является внешней нормалью к торцу % = /, а вектор (——N)——внешней нормалью к торцу z = 0. Вектор напряжения, действующий на бесконечно малой площадке ds N, обозначен через tN. Устремляя в (1) длину / цилиндра к нулю, получаем, что левая часть и первые два интеграла в правой части обращаются в нуль, а последние два интеграла вычисляются по разным сторонам одной и той же площадки z = 0. Поэтому уравнение (1) принимает вид
а 2л
\，(t_N +tz) rd(pdr「=O. о о
Применяя к этому равенству первую теорему о среднем, получаем
t _ n I ri -|- t N I r= г2 = °，。W「1，「2 & 〃，。W 屮 1，屮2 W 2%
где произведено сокращение на множитель ла2. Устремляя теперь радиус цилиндра а к нулю, получаем первое искомое свойство вектора напряжений tN
tN = — t—N, (2)
где обе части вычислены в одной и той же точке. Поскольку направление оси цилиндра, а также точка г 0, z=0 совершенно произвольны, приходим к заключению, что соотношение (2) выполняется во всех точках, и на произвольных площадках рассматриваемого тела.
Применим теперь уравнение баланса количества движения к элементарному тетраэдру, построенному на векторах R】 dql. R2 dq2, R3 dq% Гранями этого тетраэдра являются площадки R】xR2 dqi 歯2, R2 x R3 dq2 dq% R3 x Rt dq3 dq1 и плоскость, проведенная через концы векторов Rt dq1. R2 dq2, R3 dq3. Интеграл no замкнутой (кусочно гладкой) поверхности от единичного вектора
Выбирая равенствоВыбирая равенствоN dS = R】N dS = R】R2 dq2><R3 dqзp2 R3 dq'^ X Ri dq1 , рз Rx dq1 X R2 ^Q2R2 dq2><R3 dqзp2 R3 dq'^ X Ri dq1 , рз Rx dq1 X R2 ^Q2(3)(3)
Выбирая равенство
Выбирая равенство
N dS = R】
N dS = R】
R2 dq2><R3 dqзp2 R3 dq'^ X Ri dq1 , рз Rx dq1 X R2 ^Q2
R2 dq2><R3 dqзp2 R3 dq'^ X Ri dq1 , рз Rx dq1 X R2 ^Q2
(3)
(3)
внешней нормали, очевидно, равен нулю. Действительно, используя теорему Гаусса — Остроградского, имеем
JJ NdO= JJ N-EdO= JJJ V-EdV=，0.
匕'
в качестве О поверхность тетраэдра, получаем
При получении этого равенства было учтено, что внешняя к тетраэдру нормаль к площадке, натянутой, например, на векторы R2dq2, R3dqз, равна (—R11 R11 -1). Из равенства (3) получаем следующие три соотношения:
\^mdqm х R„d<?n| = N-RjI,|R^|dS, т^п, п^р, т^р. (4)
Конечно, никакого суммирования по повторяющемуся индексу в (4) нет.
Обозначим через t(加 вектор напряжений, действующий по площадке с нормалью M|R勺工 Этот вектор действует по площадкам 9加=const и характеризует воздействие среды, находящейся со стороны возрастания qm. Запишем уравнение баланса количества движения элементарного тетраэдра
tNdS + t-jR? х R3 11dq2 dq3| + t_2 |К X 氐|| 對箱力十
+ t_3|R1xR2||d<?M(?2] = ^-^-pv—pk) (Rjd?1 x R2 dq2) ■ R3 dq3. (5)
В левой части последнего равенства стоит малая второго порядка, а в правой —малая третьего порядка. Поэтому с точностью до малых второго порядка включительно левую часть (5) можно считать нулем. Используя (2) и (4), уравнение (5) запишем в виде
з
tN= N・ £ R“t⑺丿声，|RS| = J/■河(6)
Векторы In и N не зависят от выбора системы координат. Следовательно, не зависит от этого выбора и сумма диад, стоящая в правой части (6), хотя, конечно, каждая диада в отдельности зависит от выбора системы координат. Это возможно в том н только в том случае, когда величина в правой части (6) представляет произведение вектора N на тензор второго ранга, причем объект t｛加)Мс^т является «контравариантным тензором С векторными компонентами»
Заметим, что векторы t(向 являются физическими векторами напряжений, однако, действуют они по площадкам, величина и ориентация которых зависят от выбора системы координат.
Итак, соотношением (6) введен в рассмотрение тензор второго ранга
T = R〃t〃，ta-t®/^；(7)
который называется тензором напряжений Коши. Он является функцией точек тела и не связан с выбором каких бы то ни было площадок в нем. Значение этого тензора состоит в том, что вектор напряжения In по площадке, определяемой нормалью N, находится с помощью формулы Коши
tN -N-T.(8)
Тензор Т, являющийся функцией места в актуальной конфигурации среды, описывает состояние среды в этом месте, ее напряженное состояние. Соотношение (8) — основное во всем построении механики сплошной среды,-— было сформулировано в мемуарах Коши 1823—1828 гг., Т — тензор напряжений Коши.
Тензор напряжений обычно задается его контравариантными или смешанными компонентами
T =分咏州々= %RsRR =熠R$%.(9)
В § 3 доказывается симметричность тензора напряжений
T = T\ 纱=濟* %=疗=/3 N.T-T-N. (10)
Нормальное напряжение на площадке NdO, обозначаемое on, равно
==(11)
—это квадратичная форма компонент N. Слагаемое tN в касательной плоскости к площадке, определяющее вектор касательного напряжения rN на этой площадке, равно
“ = tN —Non = N X (tN X N) = N・T・(E —NN). (12)
Квадрат модуля tN представляется квадратичной формой
tN-tN-N-T-T-N -N-T2-N,(13)
а квадрат полного касательного напряжения выражением
= twtN—o* = N・T2・N — N・T・NN・T・Nr
-N-Т- (Е —NN)-T-N.(14)
Представление тензора напряжений через его главные значения («главные напряжения») о$ и главные направления е^ — е
(главные оси напряжения) записывается в виде
t十(7件2e2 +(^7e支(15)
Написанные выше формулы теперь приводятся к виду
tN = ^тУув1 + g^Nj^ + а3Л^3е3,(16)
0…屈+%不"(^，(17)
方一沁+贤收+心鹏，(18)
* = 4(收“汨+ % 如渣+(19)
Здесь q, т2, т3 —модули полуразностей главных напряжений
T1=歹|仇一仇1，T2 =万 10r3 -% I， 0 =万101 -%l (20)
—-«главные касательные напряжения». Они реализуются, как видно из (19), на площадках, делящих пополам угол между главными плоскостями. Выражение Tn приобретает на них стационарные значения.
На площадке, нормаль которой Nx одинаково наклонена к главным осям напряжения Д^^^у —«октаэдрической площадке»
0rNx = g(• + % + %) =4"/i(T), (21) 方山=^(0: +0: + ^)=扌/](厂)， (22) т*х == ^ (т； + W + W) [/i(Т2) —^ /1 (Т)]
= ^[6(Т)_/2 (Т)] = -|/2 (devT),
так что
(23)
Этим дается механическое истолкование инвариантов тензора напряжений. Его первый инвариант пропорционален нормальному напряжению на октаэдрической площадке; второй инвариант его девиатора — квадрату полного касательного напряжения на ней.
Ниже будет показано, что в изотропном упругом материале главные оси напряжений сонаправлены главным осям меры деформации Альманзи (или меры Фингера F = g~i). Площадь грани единичного кубика do в отсчетной конфигурации с нормалью ei —главное направление меры Коши — Грина G (и меры G'1),
А. И. Лурье
в актуальной конфигурации приобретает значение dO. По (1.8.7), (1.5.1), (1.8.2)
dO = di ]/у (e«-G-1-e?)1/2= /^dO = di ]/у (e«-G-1-e?)1/2= /^11dodoMGMGdo = —J— do,1十6do = —J— do,1十6
dO = di ]/у (e«-G-1-e?)1/2= /^
dO = di ]/у (e«-G-1-e?)1/2= /^
1
1
do
do
MG
MG
do = —J— do,1十6
do = —J— do,1十6
причем 8k——главные относительные удлинения. Отнесенная к единице площади do в отсчетной конфигурации сила равна
友=о「学=飞◎仿=%%% = (1 + З2) (1 + 毎)о「 do1友=о「学=飞◎仿=%%% = (1 + З2) (1 + 毎)о「 do1ВеличиныВеличины九=о%九=о%УТЛ5rУТЛ5rk~i+^rk~i+^r(24)(25)(24)(25)
友=о「学=飞◎仿=%%% = (1 + З2) (1 + 毎)о「 do1
友=о「学=飞◎仿=%%% = (1 + З2) (1 + 毎)о「 do1
Величины
Величины
九=о%
九=о%
УТЛ5r
УТЛ5r
k~i+^r
k~i+^r
(24)
(25)
(24)
(25)
называются в отличие от главных напряжений «главными силами».
«Напряжениями» в общепринятом понимании этого термина являются «физические» компоненты тензора Т.
Единичные векторы нормалей к поверхностям q$ = const и векторы сил, отнесенных к единичной площади на них, обозна-
S S
чаются N, t (ниже qs ——ортогональная система координат)
и по (9)
з二备产RE =畐氐=二川制 *,
причем et —единичные векторы координатных линий д'. Физические компоненты Т, обозначаемые о~, равны проек-
S
циям t на эти направления
0sLi・et = /st 制0sLi・et = /st 制t/stV 邕，(26)t/stV 邕，(26)
0sLi・et = /st 制
0sLi・et = /st 制
t/stV 邕，(26)
t/stV 邕，(26)
Здесь G毋，G55 —диагональные компоненты мер деформации G и G'1. Конечно, 0$力 не являются компонентами тензора; очевидно, 网尸％“ поскольку G^=G$s,
Исключение представляют декартовы координаты; тогда 々=1 и отпадает отличие компонент тензора напряжений от его физи-
ческих компонент. Общеприняты обозначения %, %, / нормальных и %，％ касательных напряжений, так что
" =产=0屮竺=",产=工冲,产匸%z，屮=(27)
В цилиндрической системе координат R, Ф, Z
Gu = G】】=1, Gg3 = G33= 1,G22=R2, G22=RT
и по (26)
尸 If,”=Oz， /З—ZR,尸』患，
тт(28)
/_. R①/23 .①Z
12•
Уравнения движения сплошной среды
Рассматривается произвольно выделяемый в сплошной среде объем Vх, ограниченный поверхностью 0х. Как бы ни был он выделен из объема V (часть поверхности 0х может принадлежать границе О объема V), поверхностная сила на 0х определяется уравнением Коши (2.8)
f=N・T = tN・(1)
Законы динамики Эйлера, записанные для объема V, имеют вид уравнений баланса количеств движения и момента количеств движения
VхVхОХ
备酬 pRxvW = HRxpkW + NRxtNdO・ уХухОХ
Заменив в поверхностных интегралах tN его значением (1) и применив преобразование Гаусса — Остроградского, по (III.8.4) и (Ш.8.5) получим
，§ N-TdO = $$$ V-TdV, $$ RxN-TdO= JJJ (Rx V-T-2w) dV, 0 乂Vх°xyX
(3)
причем co — сопутствующий кососимметричной части T вектор, равный нулю, если Т — симметричный тензор. Подстановка в (2)
приводит к соотношениям
Ш (р 罂-pk — V・T)dlZ = O'
«Ш [Rx(p 罂-ркТ.Т)+ 2й]”0.(4)
Поскольку Vх ——произвольный объем, подынтегральные выражения должны быть равными нулю. Первое соотношение приводит к уравнению движения Коши
V・T + pk = p 雾；(5)
вторым устанавливается симметричность тензора напряжений со = О=>Т = Тт.(6)
Соотношение (1), отнесенное к поверхности О объема V, доставляет граничное условие на поверхности О. Если рассматриваются равновесные конфигурации объема V, то правая часть (5) обращается в нуль. В этом случае уравнения движения называются уравнениями статики.
Возвращаясь к выражению (1.16) силового тензора после замены в нем f по (1), получим
В=Н pkRdV+$$ N- RdO=S (pk + V-T) RdV+$ $ $ Td 匕 так как
VTR-(VT)R + R$・TRs = (V T) R + T.
Итак,
B = “,pkRW 十，，fRdO=，，STW = M»
T->=4ffiT^-⑺
Здесь T(m) —среднее по объему значение тензора напряжений. Симметричность тензора напряжений ——также непосредственное следствие (1.17) и (7)
В —ВТ二 Exm。* £ (Т—ТТ) W Т = Тт (8) (так как это соотношение применимо и к произвольно выделенному из V объему Vх).
Из этих соотношений следует также, что при равенстве нулю главного вектора сил рк и f и при отличном от нуля их главном моменте можно удовлетворить необходимым условиям равно-
весия, сообщив объему конечный поворот и сохранив неизменными направления сил (или повернуть силы при неизменной ориентации тела). Действительно после поворота, задаваемого ортогональным тензором, силовой тензор преобразуется к виду
B，= ,，\pkR，W+，，fR，dO = B・O,(9)
так как R'=R・O. Тензор О по (8) определится условием
в —В，Т-В О —От Вт-0.(10)
Вместе с тем, предположив, что В — неособенный тензор (det В 声0), и использовав его полярное представление
B = (B BT)'/2 б, Вт = бт (В Вт) А,(11)
можно удовлетворить условию (10), приняв
о = 8.
При таком повороте удовлетворяются все условия статики, поскольку остается равным нулю и главный вектор всех сил.
Замечание. Соотношения вида (7) обобщаются при замене диад kR, fR тензорами вида kV(R),理(R), причем W — тензор любого ранга. Имеем
，，理(R)dO=，\ N・PF (R) d0= \ $ V・PFW 二
= W，[(V・T)y (R)+T.叫 W(12)
и по (5).
JJJpk'FdV+JJ WdO^ JJjT-V'FdV.(13)
Например, приняв 4r 二 RR, приходим к соотношению
\ \ , pkRR W十 \，fRR dO = \ $ Т・(ER + R^RRJ d匕(14) УОУ
приводящему к системе восемнадцати уравнений, определяющей все моменты первого порядка декартовых компонент тензора напряжений
，\ \ (/<sq>xr + q) w = “，pkis>x<ixr dU + \，f<s>x4xrdO. (15)
Оно распадается на три легко решаемые системы. Приняв 4r = = RRr, получили бы 30 уравнений для 36 моментов второго порядка.
§ 4. Тензор функций напряжений
Известно, что тензор с равной нулю дивергенцией представим ротором другого тензора — это следует из того, что дивергенция ротора тензора равна нулю
V・L = 0, L = VxM, V・L = V・(VxM) = 0.(1)
Если L — симметричный тензор (L LT), то следует тензор М подчинить условию
(VxM)T-VxM-(2)
Ему можно удовлетворить по (Ш.6.23), (Ш.6.27), приняв
M：“xQ)t,VxM = Vx(VxQ)t,L = InkQ, Q-QT. (3)
Из сказанного следует, что уравнениям статики сплошной среды при отсутствии массовых сил удовлетворяет тензор «не- со вместимости» InkQ любого дважды дифференцируемого симметричного тензора
V-T-0, Т-Г, T=InkQ = Vx(VxQ)T, Q-QT. (4)
В декартовом базисе, принимая поочередно
Q - Qgi]i] + Q<22>l2i2 + Q<:t3>i3i3,
Q = QE〉(i J + i<) + Q〈2 (i2i3 + i3i2) + Q®〉(i j + i/),(5)
приходим к известным представлениям Максвелла и Морера компонент тензора напряжений через функции напряжений.
Выражение плоского тензора Т с равной нулю дивергенцией и не зависящего от координаты х3 может быть задано в виде
T = "6RaR6=Inki，U(q\ 沔q,卩=1, 2).(6)
В формуле (III.6.26) теперь
WQ = ijWU, V・Q = Ra.联 ％ = 0,/i(Q) = U
и поэтому
Т= InkQ - Ink i3\3U - — i3i^U + E^U — WU.
Пришли к известному представлению тензора напряжений через функцию напряжений Эри (Airy)
Т -Е2V2。一 VVU = RSRaWu 一 RaRev/eU.(7)
В частности, в декартовых координатах
d?U
dW^7
宀F =—謂苏•（8）
.(9)(10)(11).(9)(10)(11)Представления компонент тензора напряжений, выражающихся через остающиеся компоненты тензора функций напряжений Q", Q22, Q% Q23, Q^, приводятся к виду
.(9)
(10)
(11)
.(9)
(10)
(11)
0x3е '- 0%32*-0%3( 0к1 十0x2 0炉丿
3 02QU 丄 0Q12 , 0 (网丄 0Q「
.3102Q22 ,产Q12 , 。 /0Q230Q3"
02Q1102Q2202Q12
-十万戸a炉狼2.
Не зависящие от 炉 компоненты тензора напряжений ",产 представимы через функцию напряжений Прандтля ①(炉，炉) в задаче о кручении стержня
一 0"( dx1 0/ 丿一0不2， 一 0" \ 8炉 0炉)一 dx1
(12)
В задаче Сен-Венана имеет значение случай линейно завися- щих от 炉 компонент Q", Q12, Q22. Тогда
'乃j0,户=0, 产二0
и выражению тензора напряжений придается вид
Т - i3T + 叫 + i3i3 (V^ (Q) —% • % • Q)•
Здесь вектор т определяется формулой
Т =為(%厶(Q)+ K，Q) -SV。①，
причем Vo — набла-оператор по двум переменным х1, х2,
Q = i№】】 + i2i2Q22 + (iJ2 + i2iJ Q12-
§ 5. О полярных средах
Предполагалось, что действие окружающих рассматриваемый объем V тел описывается заданием внешних массовых к и но верхностных f сил. В более общих построениях допускаются также распределения внешних массовых g и поверхностных v моментов (пар). Описывая в этих условиях взаимодействия между мысленно определенными частями среды, приходится принять предположение, что распределение по ориентированной площадке Nd。' воздействий частиц в объеме У2 на прилегающие частицы в 匕 статически эквивалентны не только силе tN dOf
(главному вектору), но и моменту т^О' относительно некоторого центра на dOf. Оправдание для казалось бы парадоксального представления, что моменту приписывается тот же порядок малости dO‘，что н силе, можно почерпнуть в самом понятии «малости» в модели сплошной среды.
Сам по себе «бесконечно малый объем» представляется сложным собранием весьма большого числа элементарных частиц, а передаваемые через площадку усилия надо трактовать как некоторый интегральный эффект их воздействий.
Ограничиваемся рассмотрением равновесия (уравнениями статики).
Для описания напряженного состояния вводится не только тензор напряжений Т, но и тензор моментов напряжений М. Подобно (2.8) он определяется соотношением
N・M = itin,(1)
подтверждаемым, как и (2.8), рассмотрением равновесия моментов (пар), распределенных по граням элементарного тетраэдра.
Остается неизменным первое условие (3.2), выражающее теперь требование обращения в нуль главного вектора сил, действующих на произвольно выделяемый объем среды, а также следствие из него — уравнение статики в объеме. Второе условие (3.2) надо существенно дополнить, представив его в виде
SSS (Rxpk + рц) ^ + П (RxtN + mN) dO — O. (2)
После замен в поверхностном интеграле tN и niN по (3.1) и (1) и преобразования его в объемный интеграл теперь получим $$$[Rx(pk + V.T)-2(l)+ V.M+pn]dV = 0.(3)
MX
Уравнения статики в объеме для сил и моментов приводятся к виду
V-T + pk = O, V・M + pM = 2s,(4)
причем по (1.14.17)
8 = 2~ € • * Т = q /"Rs X R用.
Материалы, в поведении которых проявляются действия моментов напряжений, называются полярными. Их теория, разработанная в начале века братьями Коссера (Е. et F. Cosserat, 1909), продолжена в последние десятилетия в большом числе публикаций по «моментным теориям сплошной среды». Здесь им не уделено места. Во всем последующем тензор напряжений Коши симметричен.
Замечание 1. Уравнения (4) можно получить вариационным путем, если в выражение потенциальной энергии упругой среды включить вторые градиенты места (Тупин, 1964); это несовместимо с принимаемым далее ограничением, что упругая среда принадлежит к классу «простых материалов» (гл. 3, § 1). Доказано также (Гертин, 1965), что теория «непростых материалов второго порядка» требует во избежание противоречий с принципами термодинамики учета моментных напряжений.
. В мультиполярной теории сплошной среды (материалы порядка выше второго) для описания взаимодействий частиц среды через ориентированную площадку приходится вводить моменты выше первого порядка.
6. Другие определения тензоров напряжений
Описание напряженного состояния тензором Коши Т, определенным в актуальной конфигурации, естественно и физически наглядно. Трудность в том, что, как правило, сама эта конфигурация наперед неизвестна, тогда как отсчетная конфигурация входит в состав исходных данных.
Введение несложно выражаемого через тензор Коши Т тензора Пиола Р, определенного в отсчетной конфигурации, упрощает общие построения, а в некоторых случаях подходы к отдельным задачам.
В исходном соотношении (2.3) ориентированная площадка NdO заменяется ее представлением (1.8.4) через ndo в отсчетной конфигурации. Получаем
t^dO — N-TdO~ ^■— n-VrT-Tdo = n-Pdo. (1)
В рассмотрение введен тензор Пиола
Р= /^ VrT T, 产=/^ T Vr.(2)
Обратные соотношения имеют вид
Т = ]/告 Srt. Р = ]/暑 PT-VR'.(3)
Главный вектор внешних сил, действующих на произвольно выделенный объем Vх, представим через тензор Р равенством
§§S pkdV +tMO = §N pokd° +n・Pdo = §§，(p0^ + V• P)dv
Vхо*ox0乂Dx
и условие равенства его нулю (при произвольном Vх) приводит к уравнению статики в объеме, выраженному через тензор Пиола
о
V・P + p0k = 0.(4)
Здесь набла-оператор определен в отсчетной конфигурации. Соотношение (1) имеет вид
—это уравнение статики на поверхности. Оно значительно упрощается при «мертвых» поверхностных силах [см. (1.12)]
nP-f°.(6)
Тензор Пиола несимметричен, симметрично по (3) его произве- о
дение на VRT слева
VRT р= /у т =т(о).(7)
Тензор Т(0) использован рядом авторов (Гамель, Каппус, Треффтц).
Уравнение статики в объеме для тензоров Т и Р записываются по (III.6.4) в виде
^/G^Rf + po/ik = O,詣 Ki ps% + p° /? k = О, (8)
причем pst — контравариантные компоненты Р в отсчетном базисе. Для тензора Т(о) уравнения статики принимают вид; в объеме 誥/?/苏 Rt+p°/?k = O,(9)
а на поверхности
'黑=/告 МТ©黑к t(o)n, t(o)n ^n-VrT-T(0). (10)
Через t(o)n обозначен вектор силы на ориентированной площадке N dO, но отнесенной к единице площади в отсчетной конфигурации.
Рассматривается также тензор Т", определяемый формулами т^ =VrT-T-Vr, T = VRT T^ VR,丁 =|/等 P.^r,
Р= |/-|- T^-VR. (II;
Представляя Т" через его контравариантные компоненты, имеем
(12)(12)Т^ —二 VrT ^sfeR5Rfe Vr /求 1^1■尼
(12)
(12)
—контравариантные компоненты「в векторном базисе отсчетной конфигурации равны контравариантным компонентам тензора Коши Т в актуальной.
Заменив в (12) градиенты места их полярными представлениями, получим
Т = охт и「U OX,
т” 二 и-1 ox Т ОХТ U-^QX V-1 Т V-1 Охт. (13)
Тензору Т" далее присвоено наименование «энергетический» (гл. 2, § 8); его называют также приведенным (reduced).
Представив* тензоры Р и Т через смешанные их компоненты одновременно в базисах обеих конфигураций [см. (1.2.10)]
Р = /^Га№, T = ^RaR‘，(И)
получаем
閃％Rt= /^VrT-T= )/^reRB./WRaRj 丿^”缁R‘， 典=/4 得，(15)
Тензоры Р и「一удобные вспомогательные величины, непосредственно не определяющие напряженного состояния; разыскание последнего требует возвращения к тензору Коши Т, называемому иногда тензором истинных напряжений.
Уравнение статики, выраженное через энергетический тензор напряжений
V.P + pok = V ]/£f.VR + pok = O,(16)
по (1.19.12) преобразуется к виду
*( /好)・弘十「$ J2-T-(r5 J)+pok-Vr-O, (17)
а в компонентном представлении — к виду
V, |/ps?+)/j^ + po^ = O. (18) Тензор
ТХ = j/£ Т = Р- Vr = tstrsrt(19)
называют вторым тензором Пиола—Кирхгоффа.
§ 7. Элементарная работа
Элементарная работа внешних массовых и поверхностных сил на виртуальном перемещении 3R частиц среды в объеме V из состояния равновесия в ее актуальной конфигурации равна
6'4e)f pk・6RW + \\f.6RdO.(1)
Обозначение ^ А{е} (и далее &〃(“)напоминает, что речь идет о малой величине порядка 3R, но отнюдь не о вариации функции состояния среды; ^ А{в} — элементарная работа, а отнюдь не «вариация работы»—такой величины, вообще говоря, нет.
Преобразование формулы (1) проще всего осуществить, переходя к интегрированию по объему и отсчетной конфигурации и используя тензор Пиола
3'4е)=，,, pok・3R А+ ,, n・P・6Rdo = §], (pok + V- Р)-6Rdv +
произведенияи перестави-произведенияи перестави-+ §\§Р.・(*6R)'du =田 P・・6?RTd% (2)
произведенияи перестави-
произведенияи перестави-
было использовано преобразование дивергенции тензора на вектор (III.3.10), формулы (7.4), (7.5) о
мость операций V и 6
0a000
V6R = г$ 訪 3R =「靖冗=3「sRs 二 6VR, V6R - 6VR (3) (так как отсчетная конфигурация не варьируется, 6г5^0). Операции V и 6 не переставимы; по (1.3.10)
оо/ о \
V6R = Vr ・ V3R 工 Vr«6VR, (V6R)T =(3YRt/VrT. (4)
Возвращаясь к (2), имеем
^ A{e)^ § , 3'%e)du = § § , P…3VRTdu,3'〃(e)= P* *6VRT. (5)
Здесь 6z^(e)—элементарная работа внешних сил, отнесенных к единице объема отсчетной конфигурации (удельная элементарная работа). Ее можно представить и через тензор Т" по (7.11)
о оо о
3Qe)= J/ lr・VR・・3VRT= J/ 丄 T「・VR・3VRt=4 /(VR-6VRT +(6VR)-VRT),
что следует из правил свертывания (1.7.16), (1.7.17). Вспомнив определения (1.4.4), (1.7.8) меры и тензора деформации Коши—
Грина, получаем
iZ^T^-6G=(6)
Эта формула объясняет наименование Т^ энергетическим тензором напряжений. В линейной теории элементарная работа определяется сверткой тензора напряжений с линейным тензором деформации.
Представление через тензор напряжений Коши но (6.11) и (4) приводится к виду
З'а<е尸]/ J VrT-T-Vr-VR- -6VR^ ]/ -| Т • •(SVRT) • VrT =
= ]/"・(V6R)t.(7)
По определению меры деформации Фингера (1.5.2), (1.5.3) и по (4)
/ о \ о О О
6F = t6vRT)* VR + VRT 6VR - (V6R)T- F + F • V6R,
V6RT = (3F-F・VbR) F-i
и после подстановки в (7) приходим к выражению
6%尸丿^(Ft.T・.6F — Ft.T.F..V6R),
значительно упрощающемуся, если тензоры Т и F ереставимы (это осуществляется в изотропном упругом теле). Тогда по (7) бЧе)= 4 VjT-.F^-SF.(8)
Вспомнив также определение (1.6.10) меры Генк •, имеем по (8) (вывод формулы (9) приведен в конце этого параграфа)
6%е=/^Т・・6Н(9)
——это наиболее простое определение удельной элементарной работы “срез тензор напряжений Коши, пригодное, однако, лишь в изотропном упругом теле.
Переходя к движению, заменим виртуальное перемещение 6R действительным dR = vdf; следуя (1), теперь получаем 警= £Npk.vW+NtN・vdO = £N(pk + V・T)・vW +
VОV
寸 хр V • vdV 十 у f jj Т …(VvT + Vv) pV(10)
—использовано уравнение движения (3.5) и симметричность тензора Т. Первое слагаемое преобразуется к виду
Здесь 3f — кинетическая энергия частиц среды в рассматриваемом объеме
^=Tffip°v'vdw=^ffipv-vdV=HWv，vdm- (11)
VVV
Второе слагаемое в (10), в соответствии с обозначением (1.13.10) записываемое в виде
^ = lJJjT--(VvT + Vv)dV = JjjT--DdV, (12)
определяет величину, называемую мощностью. Пришли к уравнению работы
% =齋十n(13)
——сумма материальной производной по времени кинетической энергии и мощности равна работе внешних массовых и поверхностных сил за единицу времени.
Представление мощности через тензор Пиола приводится к виду
т- .VvTdV = JJJ /|v°RT.p..VvTdV =
=JJJ Р・• VyT. VRT*
и по (139)
評=SS$T・*DdP=gSSp・・ VyTdu’(14)
Замечание. Вывод формулы (9). Тензор exp М по определению равен
exp М = ^^= Е + М + 方 М2 + -др М3 + ...
и представление его вариации имеет вид
6expM=6M + g(M.6M+6M.M)+^(M2.6M+M.6M.M+
+ 6М-М2) +，..工疾Ms・6M・Mx-s.
А=1 ' s = О
Тензоры М и Q предполагаются симметричными и соосными. По правилам свертывания получаем
Q.・3expM = Q・・(3M + M・3M+^M2・3M+…)=
口Q・• 3M + £g/W・3M =Q・.(exp M)・3M = Q・expM・• 6M.
Возвращаясь к (8) и к представлению (1.6.10) меры Генки, имеем теперь
F-】 = exp (—2Н), 6F = 6ехр2Н,
Т・・F~i・3F = T・exp (—2Н) -exp 2Н• • 62Н - Т- -2 6Н,
что и требовалось.
Глава 3
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
Простое тело
Уравнения движения сплошной среды определяют в заданных полях массовых сил и скоростей дивергенцию тензора напряжений, но не напряженное состояние ее. Все процессы (движения и равновесия) происходят в соответствии с этими уравнениями; будучи необходимыми условиями осуществимости процессов, они недостаточны для их полного описания,, так как различные среды (материалы) по-разному реагируют на воздействие одной и той же системы сил (кусок глины, стальной стержень). Единые для всех сред общие теоремы механики ——количеств движения, моментов количеств движения, из которых выведены уравнения движения, должны быть дополнены физическими закономерностями, определяющими поведение материалов различных свойств. Ими формулируются уравнения состояния (называемые также определяющими уравнениями) — соотношения связи тензора напряжений с величинами, определяющими движение частиц среды, если ограничиться только механической постановкой задачи (тепловые воздействия рассматриваются в гл. 9). Эксперимент является решающим в установлении этих закономерностей, но только «в конечном счете». Неизбежно умозрительное рассмотрение с целью установить общие принципы построения уравнений состояния и классификации материалов. Лишь исходя из математической модели некоторого достаточно узкого класса материалов, можно извлечь сведения о нем экспериментальным путем — «чем позже, тем лучше» (Синь- орини).
Для уравнений состояния существенны понятия «теперь» и «раньше», исключение времени обеднило бы их содержание. Статическое рассмотрение следует отложить на более поздний этап.
Весьма общее описание напряженного состояния «здесь и теперь», иначе говоря, в данный момент / в частице, отмеченной в отсчетной конфигурации местом г ((71, q29(73), состояло бы в задании тензора напряжений Т, как функции г (q\ 广 們，/ и временного переменного
Tr/ —s 忘/, O^s <00,Tr/ —s 忘/, O^s <00,⑴⑴
Tr/ —s 忘/, O^s <00,
Tr/ —s 忘/, O^s <00,
⑴
⑴
⑵⑵входящего в задание предыстории движения каждой частицы тела /
⑵
⑵
R (г (疗，q2, q3)； т)
(3)(3)Тензор напряжений Т (г (^1, g2, ^3); /) представляется функционалом над предысторией (2), функцией материальных координат е* «Г с? данной частицы 战 и, возможно, явно входящего времени t
(3)
(3)
Т (R(Г； /))=贫(R (г(К 严,q3)； T)；gi,落 gif/) •
Внесение явной зависимости от t соответствует попытке учета изменяемости свойств материала» обусловленной происходившими в нем тепловыми, химическими и т. д. процессами (старение бетона, например). Это достигалось бы более полно внесением, вместо 力 величин, описывающих эти процессы и их предисто- рии. Довольствуясь только механическими постановками задач, мы исключим t из числа рассматриваемых аргументов.
В записи исходного определяющего уравнения (3) фактически можно считать участвующей и температуру н, возможно, другие параметры состояния (химического или иного происхождения). Однако во всем изложении главы температура как параметр состояния не фигурирует. Это объясняется тем, что существует широкий круг подлежащих изложению вопросов, не связанных с термодинамикой. Именно эти вопросы (группы равноправности, понятие твердого тела, типы анизотропии, понятие упругой жидкости и т. д.) составляют рсновное содержание главы. Введение дополнительных параметров только внесло бы в изложение лишние детали, тем более, что существует обширный класс явлений, для описания которых не требуется введения температуры. В частности, в отсутствие химических реакций приведенное описание справедливо для изотермического либо адиабатического процесса деформирования. Более общие задачи, исследование которых существенно опирается на термодинамические соображения, рассматриваются в гл. 9.
Еще более упрощая задачу, примем, что среда однородна, «материально однообразна» *). Это значит, что уравнение состояния одинаково формулируется для всех частиц тела 毋；при таком условии в (3) не войдут и аргументы места частицы д* * дз в 毋. •
⑷⑷При этих упрощающих предположениях
⑷
⑷
т (R (Г；切=贫(R (Me* q\ q^ t)).
Представление определяющего уравнения в этой форме основано на соображении причинности «материал не знает будущего, но сохраняет память о про влом».
Конечно, соотношение (3) и его упрощенная форма (4) —только отправные пункты для дальнейшей конкретизации. Следующий шаг ——принцип «соседства», близкодействия, локальности: напряженное состояние в месте г (7, ^, 7) определяется действием на частицу 历 в нем лишь расположенных в ее окрестности частиц
|г 0, 了,亍)—r(qi,們們I % (5)
где 8 достаточно мало. Вместо (4) приходим к записи
T(R(r;f))K5(R(r(Mq2,q3)；T)),.⑹
обозначением <№ указывается на соседство М с частицами, оказывающими воздействие на напряженное состояние в 。％. Аргумент функционала в (6) представляется в виде
R(r(qi;q2;q3)； T)= R(r(qi,q2, q*)；T)+AR=dr・VR(r(qi,q2,矿)；丁) +
Принцип материальной индифферентности
Следуя определению индифферентной величины гл. 1, § 15, примем, что индифферентен вектор силы tN на площадке, ориентируемой вектором N d。. Индифферентность N легко проверить, основываясь на формулах (1.8.8), (1.15.13), (1.15.12)
* = (n・G~i'・п)-% • VJ .n = (n・G~i • п)-%()т. v「. n = СР. N 二 N О.
⑴ Поэтому
t%，h N'T = N OT = Lv О, SN ОТ OT=N・T
и этим доказывается индифферентность тензора напряжений Коши Т, так как вектор N можно выбрать произвольно
Г (г; /) = О「・Т(г; /)-0.(2)
Соответствующее утверждение для тензора Пиола выражается равенством
Р'(г; /) ； J -| VrT，.T, - j/ -|vrrO От ТО = Р(г; О-О.(3)
Свойство материала, описываемое функционалом (1.10), не может зависеть от векторного базиса — функционал 夕 над аргуо
ментом VR' в штрихованном базисе полностью сохраняет форму о
своей зависимости от VR в нештрихованном
оо
T = P(VR'(「； т)), T = 5(VR(r; т)).(4)
Такова формулировка принципа материальной индифферентности.
Поясним это простейшим примером. В исходном базисе (неподвижной комнате) измеряется удлинение пружины, нагруженной подвешенной к ее концу гирей. «Штрихованный» наблюдатель в вертикально движущемся лифте обнаружит другое удлинение при той же гире, но скажет, что свойства пружины остались неизменными, а изменение ее удлинения свидетельствует об ускорении лифта, подсчитываемом по этому изменению. Точно так же, зная удлинение вертикально подвешенной пружины, можно по его изменению вычислить угловую скорость горизонтального вращающегося стола, на оси вращения которого закреплен конец зтой же пружины с той же гирей на другом конце. В дифференциальном уравнении движения сохраняются неизменными свойства материала пружины, задаваемые модулем Юнга и плотностью.
Следствием (1.15.11), (2) и (4) является соотношение ооо
歹(VR' (г; т))-歹(VR (г;т)- О ⑴)-От (0 歹(VR (г;т))-0 (力(5)
Воспользовавшись теперь полярным представлением градиента места (1.6.1)
о
VR(r, T)= U(r; т)-ОХ(т),(6)
в котором 0х — ортогональный тензор, сопровождающий деформацию, приходим к равенству
о
歹(U (г;т).О>< (т)-0 ⑴)二(Г (力歹(VR (г, т)).О (f),(7)
выполняющемуся для всех ортогональных тензоров О. Это позволяет принять для всех t
О«) = Охт«), От(0 = О><(0(8)
и преобразовать (7) к виду о
Т (г; t)=^ (VR (г,明=Охт ⑴•歹(U (r； t)).Qx (0-(9)
Этим доказывается фундаментальное свойство простых материалов——их поведение определяется только предысторией тензора искажений U, предыстория поворотов не оказывает влияния на тензор Т (г; t) «теперь».
Принцип материальной индифферентности дает средство распознавания пригодности априорного задания тензора напряжений через задающие движения среды величины. Приведем два примера.
Включив в состав функционала 歹 вектор места R (г; т) о
歹(г; f)=^(R(「")， VR (「"))，
получили бы по (1.15.1) и (5) оо
夕(R'(「，т), VRz(r; t))^Ot(0'^(R(f； т), VR(r；T)).O(0-
В частности, при поступательном движении штрихованной системы о о
О-ОТ = Е, VR' = VR, r，= c+R
и предшествующее равенство привело бы к соотношению оо
歹(R(r； т) + с(т), VR(r, T))=^(R(r, т), VR(r, т)),
которому нельзя удовлетворить при произвольном с (т). Уравнение состояния материала не может зависеть от места R ча-
стицы среды, как уже говорилось выше. Здесь этот очевидный факт представлен, как следствие принципа материальной индифферентности.
Более содержателен второй пример. Для описания движения жидкости предложено уравнение состояния
T = H(v, D, W, р)(10)
—тензор напряжений представлен функцией вектора скорости v, его тензора деформации D, тензора вихря W, плотности р. Принцип материальной индифферентности здесь представляется соотношением
T' = H(v', D\ W‘，р) = СГ НМ D, W, p)-0
и no (1.15.6), (1.15.10), (1.15.7)
H (c + Or v + OT R, OT D O, OT-W O + OT 0, p)-
=OT H(v, D, W, p)O (11)
При поступательном движении штрихованной системы получили бы
О-Е, 6 = 0, H(c + v, D, W, p) = H(v, D, W, р),
откуда следует, как можно было заранее предвидеть, что вектор скорости не может быть включен в представление (10). Приняв теперь
T = H(D, W, р), Т =Н (От D O, 0T.W 0 + G О, р)
и, рассматривая мгновенно-вращательное движение, имеем
О = Е, 6*0, H(D, W + OT, p) = H(D, W, p),
так что исключается возможность вхождения аргумента W в состав Н.
Принцип материальной индифферентности допускает представление
T = H(D, р), Т' = Н(0т D О, p)-OT H(D, р)-О.(12)
По (II.7.1) симметричная тензорная функция Т над симметричным тензором D изотропна и^по^(П.7.7) представима квадратичным трехчленом
T^cpoE + ^D+^D2(13)
с коэффициентами 屮，зависящими от инвариантов D и от р. Допуская, в^частности, только линейную зависимость^от D, сле- ауетпринять~
屮о== —р (р) + 九(р)厶(D) = — р (р) +九(р) V・ V,屮i = 2卩(р),屮2 = 0,
приходим к уравнению состояния классической жидкости Навье—— Стокса
Т = [-р (р) + 九(р) V• V] Е + 2卩(р) D・(14)
Для несжимаемой жидкости
P = Po = const, V・v = 0, Т = — 0E + 2)iD,(15)
но давление р отнюдь нельзя считать постоянным. Оно определяется из уравнения движения, рассматриваемого совместно с уравнением неразрывности
V・T + pok = pob, V・v = 0, или
—Vp4-|.iV2v + p0k =pob, Y・v = 0 (b = v),(16)
так как V. VvT = VV・v = 0, V- D = y V2v.
Упругий материал
Основываясь на принципах причинности, соседства (локальности взаимодействий)1 и материальной индифферентности, мы пришли в § 2 к уравнению состояния простого материала в форме (2.9) представления тензора напряжения функционалом над пред- историей тензора искажений. Для упрощения записей в этом соотношении далее опускается указание на само собой подразумевающуюся зависимость от материальных координат частиц
Т(/) = Охт ⑴夕(и(т))・()х(/).(1)
Фактически о предыстории можно делать лишь более или менее приемлемые предположения. Ближайшей задачей поэтому является исключение предыстории — замена функционала функцией величин, определенных «теперь» в момент 九 а не t~s. Первым шагом должно быть выделение из' U (т) слагаемого U (/) и представление остаточного члена Q (/, т)
UO и⑴+ Q亿力(2)
Обратившись к обозначениям гл. 1, § 17, заменим в тождестве
О/0f
VR (т) -「*§ ⑴二 nr§ «а vr ⑴=VR (/)・ VR (т)
градиенты места их полярными представлениями
U (т). Ох'(т) = U«) • 0х ⑺• 6 ⑴・ 6х (т),
U (T) - U：")，0Х(/)・ g⑴.杀:(1；).()хT ⑴.
По (1.12•⑵
'6х (т) = % (/) % ⑴，О'R,⑴口，
O^(x)-O^ (r)-R40r5 二0乂「(/), откуда находим
U ⑴=U ⑴-0х (/)也T) . 0" (方).(3)
Теперь разбиению U (т) на два слагаемых (2) придается вид
U(t) = U(f) + U(f).Ox(f).(L(t) — E).Oxr(f),
Q(九 T)= UQOx(f)・(6(t) —Е)・Охг ⑺，⑷
причем Q (九 ％) г 0, так как U (/) — Е. функционалу (1) придается вид
贫(U (т)) = 5 (U (%) + Q (九 т))=炉(U (%)) + 6 (%, т),(5)
причем
3(%, т)—旷(U(/)十 Q(九工))一炉(U(Z))・(6)
Уравнение состояния представляется соотношением
Т ⑴=0"歹(U(Z)) •。⑴+0,(力 &(/, d・Ox(Z), (7)
в котором первое слагаемое —функция (не функционал) тензора U (/) в актуальной конфигурации, второе — функционал над пред- дысторией движения (функционал памяти). Его структура определена выражениями (6) и (4).
Далее на всем протяжении книги постулируется существование материалов, подчиняющихся условию
V^-т^О3(九 т)-0,(8)
согласующемуся со следствием 3(%, /) = 0 из соотношений (4) И (6).
Этот постулат исключает из рассмотрения вязкие и упруговязкие материалы, поведение которых нельзя описать, не учитывая его связи с протеканием во времени предшествующего деформирования. Не требуется и знания последовательности, в которой материал подвергался деформированию,——исключено изучение пластичности. Речь идет только о материалах, полностью лишенных «памяти», не возникает вопроса об их предыстории. Такими свойствами наделяется упругий материал.
Далее рассматриваются две ситуации. Во-первых, речь может ндти о статических только процессах — нагруженное тело нахо-
дилось и продолжает оставаться в покое, так что определяющие деформацию величины вообще не зависят от времени, но зависят только от материальных координат
U=U©, qz,办
Определяющее уравнение простого' материала теперь принимает вид
Т = Ох“(и)・Ох. (9)
Во-вторых, можно ограничиться рассмотрением материалов с «мгновенно исчезающей памятью». Тензор U (f) остается зависящим от времени, но функционал памяти 3 (f, т), равный, напоминаем, нулю при / = т, пренебрежимо мал по сравнению с первым слагаемым в (5)・
Тогда по (7)
Т (0 = охт (力歹(U (f)).ox (f)・ (10)
Материалы с уравнением состояния (9), (10) называются упругими. Теория упругости——часть механики сплошной среды, изучающая поведение этих материалов. Речь идет о существенно различных материалах.
Результаты, основанные на рассмотрении уравнения состояния (9) сохраняются для всех простых материалов. В статических условиях «теории упругости» приписывается большая общность, чем указывается в наименовании этого предмета.
Совершенно иначе приходится трактовать содержание уравнения состояния (10). Здесь речь идет о весьма идеализированной модели материала, немедленно и независимо от предшествующего состояния реагирующей на деформирование в данный момент f. Изучение функционала памяти показывает, что такая идеализация приемлема, как «нулевое приближение», при достаточно медленно протекающих процессах деформирования; в следующем приближении в рассмотрение должны быть включены скорости этих процессов.
Итак, простой материал «упруг», если напряженное состояние в нем в момент t не зависит от предыстории деформирования, а определяется деформацией в этот момент. «Упругий материал немедленно забывает», как протекало деформирование.
Меры деформации определяются сравнением актуальной конфигурации с отсчетной. Это дает повод к высказыванию, что упругий материал наделен совершенной памятью об одной единственной конфигурации ~ отсчетной. С таким воззрением нельзя согласиться, так как эту конфигурацию можно назначить произвольно, ей, вообще говоря, нет нужды приписывать особые физические свойства. Произвол выбора ее позволяет во многих
случаях упростить уравнение состояния и это дает основание предпочесть некоторую специально выбираемую отсчетную конфигурацию.
В записях (9) и (10) уравнения состояния упругого материала заменим ортогональный тензор 0х его представлениями
оо
Ох 工 U-1 ■ VR, О* г 二 VR* U~L(11)
Придем к соотношению
оооо
Т 二 VRT.UT・5(U) UT・YR = VRT(U) ・VR. (12)
Здесь введено обозначение.
①(U) = U~】•夕(U)・U~】工G-/・5(G%)・G~% = <I>(G%). (13)
При новом обозначении
O(U)-O(G,/2)^4r(G)(14)
уравнение состояния записывается еще в виде
оо
Т = VRJ4r (G)・VR,(15)
а для тензора Пиола и энергетического тензора по (2.7.2) и
——
р= /\^①(U)$R = J/ ^W(G)$R,(16)
「二①(U) =，(G)・(17)
Напомним еще, что по (2.5) записи выражения принципа материальной индифферентности для упругого материала можно придать вид
§ 4. Группа равноправности материала
Ограничения на зависимость уравнения состояния от градиента деформации, выраженные функциональным уравнением (3.18), обусловлены соображениями инвариантности актуальной конфигурации сравниваемых движений в «нештрихованном и штрихованном» базисах. Отсчетная конфигурация оставалась неизменной. Рассмотрение вопросов, связанных с ее выбором, позволит дать некоторую классификацию простых упругих материалов (твердое тело, жидкость) и точно определить понятие изотропии. Актуальная конфигурация в этих рассмотрениях предполагается Неизменной.
1 2
Рассматриваются отсчетные конфигурации и, и; места частицы 12
&<(qi, q2, q3)в них задаются векторами г, г. Однооднозначная зависимость между ними представляется равенствами
22 / 1 \11 /222 / 1 \11 /2⑴⑴
22 / 1 \11 /2
22 / 1 \11 /2
⑴
⑴
1221
—первое определяет преобразование и~>и, второе v—^v. Набла- операторы, определенные в этих конфигурациях, обозначаются
⑵⑵
⑵
⑵
1221
и градиенты преобразований и —и, и —и равны
121212212121
v^v: Vr rsrs S; u — u; Vr — rsrs S-1.(3)
Градиенты места VR в актуальной конфигурации теперь представляются формулами
1119 о'>21
V 一吗:VR^rR, S VR; v-^^t\ VR^r^R^S-WR. (4)
Уравнение состояния записывается в одном из видов
Т = > (中R)=3(SR)二余(Sr)=</(S-i£r).(5)
12
Здесь 5, 5 — отличные друг от друга функциональные зависимости, описывающие одно и то же напряженное состояние. Подобно этому отличаются друг от друга уравнения одной и той же кривой, записанной в разных системах координат. Но не исключено, что они сохранят вид, например, когда координатные оси, являющиеся осями симметрии кривой, повернуты на 180°.
Возникает вопрос о разыскании таких преобразований отсчетной конфигурации, которые оставляли бы неизменной функциональную зависимость тензора, напряжений от градиента места, иначе говоря, запись уравнения состояния. Градиент такого 12
избранного преобразования и обозначается Н (вместо S), индексы над 歹 отбрасываются 歹= 5. Формулы (5) должно теперь записать в виде *)
VVR, ?R: 5(?R)Т (《R)=5(Н・《R)=凯(htSr) . (6)
Из них следует, что никаким опытом над напряженным состоянием нельзя обнаружить, был ли материал подвергнут в отсчетной конфигурации и (н/н и丿 Н-преобразованию v —v (нлн 21 \
Н"^преобразованию v—>vj или не был.
Изменение плотности обнаруживаемо, Н-преобразования должны оставлять плотность неизменной
det Н -± 1(7)
(не исключены преобразования, сопровождаемые инверсией).
Самый простой пример представляет мысленный опыт с нагружением кубика силами, сохраняющими величину и направление. Грани кубика, перпендикулярные осям XYZt назовем 1, 2, 3; нагружение осуществляется силами, параллельными оси Y.
В v-конфигурации нагружена грань 2, а преобразование и>и о суще ствляется поворотом кубика на 90° вокруг оси Z. Нагруженной окажется грань 1, причем деформация кубика, значит, и напряженное состояние в нем может измениться, может остаться неизменным. В первом случае поворот не является, во втором является Н-преобразованием. То же можно повторить о повороте на 90° вокруг оси X, когда нагруженной становится грань 3.
Н-преобразования образуют группу. Это значит, что если соотношениям (6) удовлетворяют Нх- и Н2-преобразования, то и преобразования Нх - Н2, H2 Hr являются Н-преобразованием. Н-1 ——также Н-преобразование； единичный тензор Е, конечно, Н-преобразование.
Доказательство очевидно, Достаточно в соотношениях
VVR: S^(VR)=^(H1-VR), 炉(％)=炉(儿晶)(8)
2222
сделать замены VR-^ Н2-VR в первом, VR—H「VR —в。втором; это допустимо, поскольку эти соотношения выполняются
ДЛЯ всех VR. Приходим к равенствам
夕(此・弘)=f(h「Hz$r), 炉(н「Jr) =^(h2-hx-vr)
и по (8), как и требуется,
^■(vr)=<^(h1.vr)=^(h2-vrJ=^(h1-h2-vr) =
/2 、
= F(H2，Hi・VR丿.
Группа Н-преобразований, обозначаемая g, называется группой равноправности материала; тензоры Н — элементы этой группы
Hug.(9)
Через 〃 обозначается группа всех унимодулярных преобразований ——преобразований, сохраняющих объем. По (7) группа равноправности — подгруппа унимодулярной группы
gu〃.(10)
Напомним, что Н-преобразование отнесено к некоторой отсчетной и-конфигурации; по ней с помощью Н-преобразования определяются отсчетные конфигурации, экспериментально от нее неотличимые.■
1
Рассмотрим материал, обладающий в и-конфигурации группой 122
равноправности g, а в и-конфигурации — группой g. По (5) и (4) 11/ 1\2 / 2\2 ,/1\
WR: T = F(VR丿 У (VR)=FSi・VR丿，(11)
а по (8)
VVR, %ug:歹(VR丿.(12)
Условие VVR допускает в (11) замену VR—H『VR, так что
и это соотношение по (11) и (12) можно записать в виде
к(VR)=<^(H1-VR)-=^ (s-^Vr) -«^(s-^H.Vr) . (13)
Заменив теперь по (4)
212
S-i VR = VR,VR=S VR,
по (13) получаем
22/2、2/2、2/2、
VVR, H2ag:夕(、VR)=F(H2・VR)=Tst・ ％SVR). (14)
Пришли к соотношению, называемому правилом Нолла
H2-S-x Нг S, H^S-H^S-1;(15)
в обозначениях теории групп оно записывается в виде
1
g-s^gs, g — SgS-L(16)
Этим установлена связь между группами равноправности, отне-
12
сенными к отсчетным конфигурациям и, и, связанным S-преобразованием (3). Соотношение (15) удовлетворяет условию (10): 12
если gu〃，то и gu〃. Действительно, по (15)
det Н3 — det S"1 • det H「det S = det % ； ± 1, %「S-%S. (17)
При преобразовании подобия (а — коэффициент подобия)
211 21 1
г = аг, S = Vr = a"s = aE, §т = аТЕ
и по (16) 211
g = a-iEgEa = g(18)
——группа равноправности остается неизменной. Как выяснится далее, это позволяет сказать, что преобразование подобия сохраняет присущие материалу симметрии. При тождественном преобразовании (S = E) и преобразовании инверсии (S = — Е) также 21
g = g ПО (16).
Триклинным называется материал, группа равноправности 1
которого состоит из двух элементов g={E, —Е}. Этот материал минимальной симметрии остается таковым во всех отсчетных конфигурациях
21
g = S-"E, —E}S = {E, -E} = g・(19)
Для материалов максимальной симметрии (таковыми являются 1
простые жидкости) группа равноправности д = 〃 —— полная уни- 1
модулярная группа для и-конфигурации, но и для всех конфигураций, что следует из (17),
21
g — S-1uS — и, — g.(20)
Ортогональное преобразование. Изотропный материал
Ортогональный тензор Оио унимодулярен ) (det 0 = ± 1), oug. Иначе говоря, во множество Н преобразований некоторой отсчетной и-конфигурации, необнаруживаемых опытом, могут входить и ортогональные преобразования. Для этих, представляющих наибольший интерес преобразований, соотношение (4.6) может быть записано в виде
VVR: Т = ^(¥К)=^(ОТ-¥И)(1)
О о и при замене VR на VR-0
vSr： T = g(?R・0)=歹(ot.Sr.o) .(2)
Но, согласно принципу материальной индифферентности, записанному в форме (3.18),
^(VR.O)= OT-<^(VR).O.(3)
Пришли к соотношению
VVR, Oug:炉(0t£r・0)= 0t.F(Sr).0,(4)
определяющему ортогональное преобразование, принадлежащее группе равноправности в некоторой отсчетной ^-конфигурации. Мы подошли к определению изотропного материала — «одной из великих идей Коши» (Трусделл): материал изотропен, если существует отсчетная ^-конфигурация, для которой группа равноправности содержит полную ортогональную группу о — уравнение (4) выполняется для всех преобразований этой группы
VVR, VOczo:炉(0J&R・0)=0t.歹(Sr)・O.(5)
Такая ^-конфигурация называется неискаженным состоянием материала. Любое ортогональное преобразование оставляет неискаженное состояние неискаженным. Уравнение (5) удовлетворяется в изотропном материале тождественно для всех О и о.
Тензор Н в (4.6) может быть любым ортогональным тензором. Приняв Н — 0х, где 0х — ортогональный тензор, сопровождающий деформацию, можно переписать (4.6) в виде
T(&R)= c^Rr) =^-(0xr-VR)=^(0xT-0x-V)= ^ (V) (6)
——здесь использовано определение правого тензора искажений (1.6.1).
о
Соотношением (6) доказывается допустимость замены VR на V в (5).
Получаем
YOuo: ^(ОТ*У-О)-ОТ.^(У).О(7)
и этим показано, что симметричная тензорная функция
T = Tt = ^(V)(8)
над симметричным тензором V удовлетворяет определению (II.7.1) изотропной тензорной функции. Поэтому она представима по (II.7.7) квадратичным трехчленом над V
(9)(9)т=加Е+石V+%y
(9)
(9)
со скалярными коэффициентами — функциями инвариантов 1 k (V) = = 〃(U)
%r=%r(/|(V), /„(V), /3(V)) (Г = 0, 1, 2).(10)
В неискаженной отсчетной конфигурации
V = E,人(V)j(V) = 3,厶“)=1
и по (9)
T =一徒，一〃=左(3, 3, 1) + 左(3, 3, 1) + %(3, 3, 1) (11)
—напряженное состояние в неискаженной конфигурации может быть лишь полем равномерного сжатия (р > 0) или растяжения (р < 0). При 0 = 0 неискаженное состояние называется натуральным (напряженное состояние отсутствует).
Следует особо подчеркнуть, что тогда как уравнения состояния упругого тела в формах (3.12), (3.15) сохраняют вид независимо от выбора отсчетной конфигурации, представление (9) пригодно тогда и только тогда, когда отсчетной конфигурацией служит неискаженное состояние материала.
В уравнении (8) исключены из рассмотрения сопровождающие деформацию повороты и это полностью соответствует идее изотропии. Понятно и то, что тензор напряжений Т выражается непосредственно через индифферентный тензор V (его, конечно, можно заменить тензором Фингера F ^ V2), естественно задаваемый, как и Т, в векторном базисе актуальной конфигурации.
По (3.12) и (9)
cD(U)-VrT.(XoE + Z1V + x2V2)-Vr
и по (3.16), (3.17) представлениям тензора Пиола и энергетического тензора придается вид
р= ]/у (XoU^ + z^ + x^)^^,Т" =x0U-2 + XiU-14-X3E.
§ 6・ Твердое тело
В твердом теле существуют преимущественные состояния; всякое изменение формы (деформирование) из этих состояний влияет на поведение материала при нагружении. На это поведение может влиять, но может и не влиять поворот испытуемого образца. Этому качественному описанию соответствует опреде- /енне: простой материал тверд, если можно указать такую отсчетную и-конфигурацию, что соответствующая ей группа равноправности g является подгруппой ортогональной группы.
В противоположность (5.4) для этой конфигурации, называемой неискаженной,
gu。.(1)
Термин «неискаженная конфигурация» здесь и в определении изотропии § 5 применен в различных значениях. В § 7 будет показано, что для изотропного твердого тела эти определения равнозначны.
Простое твердое тело анизотропно, если его группа равноправности g относительно неискаженного состояния представляет подгруппу ортогональной группы. Тип анизотропии определяется заданием g. Элементы этой группы удовлетворяют соотношению о
5.4) для всех VR. Ему, очевидно, удовлетворяет группа {Е,——Е} из двух элементов; это позволяет при задании анизотропии ограничиться рассмотрением собственно ортогональных преобразований.
Можно придумать, разумеется, сколько угодно групп поворотов g, но только двенадцать групп исчерпывают описание симметрий в реальных твердых телах.
Пусть и, и'—две неискаженных конфигурации, причем в обозначениях § 4
г' = Г О, r；H「s・O, S = r$r； = rS「s・° = O
и по правилу Нолла (4.16)
g' = OTgO・(2)
Здесь g —группа равноправности неискаженного состояния (и-кон- фигурация), ^ — группа равноправности и^-конфигурации, также неискаженной, поскольку ортогональное преобразование не сопровождается изменением формы. Группы g, g' — сопряженные внутри ортогональной группы. Термин «тип анизотропии» следует понимать в широком смысле, он определен группой равноправности g‘，а не группой специальных поворотов g, непосредственно связанных с характеристиками симметрий материала. Например, симметрии ортотропного материала определяются преобразованиями вида (II.5.3)
g=a，03 О露 0^,=2сЛ-Е,(3)
а его группу равноправности («тип анизотропии») предпочтительно задать по (2) соотношением
g，= 0T.{03 ot 0?а}.0 = {2с；с；-Е, 2c乜一Е, 2с；с； —Е} (4)
——в этой записи отражена возможность введения вместо орто- нормированного триэдра сп с2, с3 любого ортонормнрованногс триэдра <^ =(:片・0・ Запись (4) выражает свойство материала
в инвариантной форме, не связанной со специальным выбором триэдра направлений сп с2, с3.
Назовем, переходя к более общему рассмотрению, g и g группы равноправности твердого материала, соответствующие двум неискаженным конфигурациям и и и. Согласно правилу Нолла (4.15)
б- S-^O S, S 6-0 S,(5)
причем S = r$rs—градиент места, соответствующий преобразованию и—>и и-конфигурации в и. Как всякий неособенный тензор, тензор S представим его полярным разложениям
S-U OX-OX V, V^OXT-U-OX(6)
——сохранены обозначения тензоров искажений и сопровождающего деформацию и— и ортогонального тензора. Конечно, U, V, 0х имеют значения, отличающиеся от ранее так же обозначенных величин для деформации
Теперь по (5) и (6) имеем
и 0х0-0 иох- О 0х-(0Хт и 0х) =0 0х V (7) и по теореме о единственности полярного разложения
0 = 0х 0 = 0 0х, и 0 = 6 V, 0 = 0Хт 0 0х.(8)
Последнее равенство подобно (2) в терминах групп переписывается в виде
£=0><Tg0x,(9)
но при более общем предположении о преобразовании и--> и g и g—группы равноправности внутри ортогональной группы.
Теперь по (8) и (6)
и - б V бг - 6 О г и 0х бг -0 0х Ох г и 0х ох г ог.
Пришли к искомому соотношению
и = о и・(г, от и-и От, и・0 = 0 и. (10)
Оно выражает, что тензор Oug, задающий преобразование отсчетной неискаженной конфигурации и в отсчетную также неискаженную конфигурацию i переставим с тензором искажений U деформации v—^v. Доказывается обратное предложение: при условии (10) тензор б в (5) — ортогональный (б-0т = £). Иначе говоря, группа равноправности guo, если guo. Заменив для
А. И. Лурье
этого S в (5) его выражением (6), имеем
0== охт-и-1о и ох = 0Хт 0 0х, бт = охт 0г 0х,
6 ог^ 0хт О 0х ОХТ ОТ ОХ = Е, что и требуется.
Подставив теперь общее представление ортогонального тензора (1.11.10) в соотношения переставимости (10), имеем
U・0 = U cos3 + (1 —cos со) U-cc—Uxcsinco, 0・ U = U cos со + (1 —cos з) сс・ U — ex U sin со, так что
U 0 —О - U(U cc—сс- U) (1 — cosсо) + (ex U — Uxс) sins =()
или
U・cc —сс・ U + (ex U — Uxc) ctg у = 0.(И)
Далее, как и в II, § 5, рассматриваются моноклинная, ортотропная, кубическая и трансверсально-изотропная группы симметрии.
Тензор U представляется через его главные значения и главные направления
u = 41ё1ё1 + tl^^2 + 〃3e3e3(12)
и соотношение (11) преобразуется к виду
з
£ [ «/геА ■ с (елс — сеА) + ыА (с х efteft+eftc X eft) ctg -^-] = 0. (13)
Примем, что вектор еА имеет направление одного из векторов % ортонормированного триэдра j, с2, с3. Заменив в (13) с на % (т —фиксировано), имеем
/ 0,々声/n,
Первая группа слагаемых в (13) отпадает, приходим к соотношению
з
ctg^£ %^m一%)0*L0.(14)
Например, при m 1, q - ех
Mg(〃2 — 〃:J (©2% ~T ©3%)工。(15)
и при любом
〃2 〃з， U —2-1- 〃?Е(16)
-—трансверсально-изотропный материал, подвергнутый растяжению вдоль оси трансверсальной изотропии и преобразованию подобия с коэффициентом “？, остается трансверсально-изотропным в новой отсчетной конфигурации、Материал остается «неискаженным», сохраняет свои симметрии.
При
3 =冗，ctg£~ = O, 0 = 0^
условие (15) выполняется для моноклинного материала независимо от главных значений тензора искажений, если одна из его осей имеет направление оси моноклинной симметрии. Моноклинный материал остается таковым при любом растяжении вдоль этой оси и в перпендикулярных ей направлениях. Не теряя присущей ему симметрии, он не приобретает новых симметрий.
Сохранение группы равноправности ортотропного материала требует совпадения всех трех осей c]f с2, с3 ортотропии с главными направлениями тензора искажений (с^ = е加,加=1, 2, 3). Подвергнутый растяжениям по этим направлениям материал остается ортотропным.
При з 声 л; условие (14) принимает вид
(〃2 — ％) (©2©3 + e3e2)+ (“3 — %) (езе1 + е1ез) + 〜
十(%%) (eiG + e2ё1)=。
и выполняется только при преобразовании подобия
% 二二 〃2 = %,U = ссЕ.
В частности, только при таком преобразовании сохраняется группа равноправности кубической симметрии.
■ Теорема переставимости (10), конечно, выполняется при тривиальном условии U；aE независимо от типа анизотропии, в частности, для триклинного материала. Ни потеря, ни приобретение симметрий в этом материале невозможны.
Пусть со = л, “2声〃з・ Этим, как говорилось, определяется моноклинный материал. Но можно трактовать иначе: подвергнутый растяжениям 〃？，〃з в двух взаимно перпендикулярных направлениях, перпендикулярных оси трансверсальной изотропии 7 = 5， трансверсально-изотропный материал становится моноклинным, изменяется его группа симметрии. Точно так же материал с кубической симметрией становится ортотропным при сообщении ему растяжений вдоль трех осей кубической симметрии.
Изотропный твердый материал
По определению изотропного материала его группа равноправности 目外 в любой неискаженной и-конфигурации, являясь подгруппой группы и всех унимодулярных преобразований,
содержит группу всех ортогональных преобразований
0Ug"UlZ.(1
Твердый материал характеризуется наличием в нем неиска женных конфигураций и с группой равноправности — некоторой подгруппой ортогональных преобразований
g「uo.(2)
Иначе говоря, ни при каком неортогональном преобразовании неискаженное состояние не остается неискаженным.
Из (1) и (2) следует, что в твердом изотропном материале имеются конфигурации и (неискаженная по определению «изотропность») и и (неискаженная по определению «твердость»), такие что
^=>0.g-<=0-(3)
Следствием (1), как доказывается в теории групп, являются утверждения
или g& = 3 или 以(4)
Приняв второе g—tt и основываясь на (4.20), можно было бы найти преобразование и―^и, определяемое тензором S, такое что
= S^^^S = S7〃S = 〃(5)
в противоречие со вторым соотношением (3), так как ои〃. Из (6.9) следует также, что группы g& и g-——сопряженные внутри' группы ортогональных преобразований. Но g& = о по первому соотношению (4); поэтому g~ - о.
Итак, группа равноправности изотропного твердого тела в его неискаженной и-конфигурации ——полная ортогональная группа
gL。.(6)
Любое ортогональное преобразование переводит неискаженное состояние в неискаженное. Никакой опыт над призматическим образцом, изготовленным из твердого изотропного материала в неискаженном его состоянии, неспособен указать, как была направлена в теле ось образца до его изготовления.
Напомним, что осуществляемое тензором S = U 0x преобразование одной неискаженной и-конфигурации в другую и также неискаженную конфигурацию выполнимо при условии (6.10), соблюдающемся лишь для преобразования подобия S = aE. Изо.
тропное твердое тело остается таковым только при этом преобразовании. Например, твердый изотропный материал становится трансссрсалыю-изотропным при преобразовании (6.16).
Упругая жидкость
Простой материал представляет простую жидкость, если для некоторой отсчетной v-конфигурации его группа равноправности gv является унимодулярной группой
g& = "• ⑴
В этом определении уже содержится утверждение, что жидкость — изотропный материал. Сославшись же на (4.20), можно сказать большее: группа равноправности жидкости остается унимодулярной в любой конфигурации. Жидкость лишена предпочтительных конфигураций, все ее конфигурации — неискаженные. Ранее уже отмечалось, что изотропный материал — либо твердое тело, либо жидкость — см. (7.4).
Уравнение состояния упругой жидкости, как изотропного тела, представляется выражением (3.5.9), но в значительно упрощенном виде. Во-первых, любая конфигурация является отсчетной, так что V = E; во-вторых, обнаруживаемы только изменения плотности. Иначе говоря, в представление тензора напряжений может входить лишь третий инвариант тензора V
но не первый и не второй. В противном случае обнаружились бы свойства, которых жидкость лишена. Итак, уравнение состояния упругой жидкости должно иметь вид
Т = — р(р)Е. (3)
Из него следует, что в упругой жидкости не возникают касательные напряжения.
В § 3 из рассмотрения были исключены материалы, поведение которых зависит от предыстории движения. Но значительная часть содержания § 4 —§ 7 — группа равноправности, определение изотропии, твердое тело——переносится и на такие (неупругие) материалы. Ограничение упругими материалами обеднило -понятие жидкости, оказалась исключенной из рассмотрения даже классическая жидкость Навье —Стокса.
Здесь неприемлемо представление о лишенном памяти материале, в уравнении (3.3.7) должен быть сохранен в том или ином приближении функционал памяти S (^, т). Например, стоксова жидкость «обладает памятью» о состоянии, непосредственно предшествующем конфигурации в момент t. С другой стороны,
в гидростатике любая простая жидкость ведет себя в соответствии с уравнением состояния (3) упругой жидкости. Это целиком согласуется с определением упругого материала в статических условиях.
В гидродинамике модель упругой жидкости повторяет «идеальную», лишенную трения жидкость. Эта модель применима в тех же процессах, что и классическая «эйлерова» гидродинамика, в частности, и для несжимаемой жидкости р = const. Но было бы ошибкой принять, что в соответствии с (3) теперь и р const. Дело в том, что при р = const движение жидкости подчинено уравнению неразрывности (1.14.13)
V • V = 0
и это условие делает несжимаемую жидкость «материалом с наложенными связями». Теория таких материалов рассматривается в гл. 7.
Замечание. В число простых материалов, чтобы исчерпать их классификацию включаются «жидкие кристаллы». В отличие от твердого тела здесь нет места утверждению (7.6) — группа равноправности жидкого кристалла может включать и неортогональные преобразования. В этом отношении жидкий кристалл подобен жидкости, в которой необнаруживаемо любое унимоду- лярное преобразование. От жидкости жидкий кристалл отличается наличием некоторых обнаруживаемых, как в твердом теле, ортогональных преобразований. Жидкий кристалл — жидкость тогда и только тогда, когда он изотропен, когда в нем необнаруживаемо никакое ортогональное преобразование. Жидкий крис- галл —материал, не лишенный памяти.
Г л а в a 4
УРАВНЕНИЯ И ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Удельная потенциальная энергия деформации
Теория упругости излагается в этой книге, как чисто механическая дисциплина, оперирующая понятиями сила, напряженное состояние, деформация, уравнение состояния. Основные положения термоупругости изложены в заключительной гл. 9, при полном сознании того, насколько обогащает содержание механики сплошной среды включение термодинамических принципов. Оправдать это можно тем, что не хотелось, во-первых, отягощать и без того непростую задачу, во-вторых, что во многих приложениях тепловые эффекты отодвигаются на второй план.
Принятое в гл. 3, § 3 определение упругого материала, как простого материала, поведение которого не зависит от предыстории деформирования («лишенного памяти»), дополняется требованием существования потенциала напряжений -з-функнии гра- о
диента места VR или тех или иных мер деформации. Вариация этой величины равна элементарной работе внешних сил, отнесенной к единице объема в отсчетной v-конфигурации
Зз —3&е)・(1)
В соответствии с этим определением з представляет «меру запасенной энергии». Далее она называется удельной потенциальной энергией деформации (коротко п. э., там, где это не может вызвать сомнения).
Потенциальная энергия деформации тела в объеме V определяется, разумеется, выражением
血.⑵
Существование функции з естественно связывается с приписываемой упругой среде способностью аккумулировать работу внешних сил при нагружении и возвращать «запасенную энергию» при разгружении. Представление о п. э. можно связать с термодинамическими потенциалами — свободной энергией (в изотермическом процессе) или внутренней энергией (в адиабатическом). По существу, соотношение (1) выражает первое начало
термодинамики применительно к этим процессам. Более общая ситуация рассмотрена в гл. 9.
Различают упругость по Коши, когда постулат о существовании потенциальной энергии не выдвигается, и упругость по Грину, когда этот постулат принят ). Упругий по Грину материал по предложению Трусделла называют «гиперупругим», но многие авторы не видят необходимости в этом разделении. Следуя им, мы принимаем, что упругий материал «гиперупруг».
Возвращаясь к (1) и вспомнив определение элементарной работы (2.7.5), имеем
о
33 = P・・3VRt.(3)
Поэтому, принимая, что з ——скалярная функция тензорного о
аргумента VR, по определению (II.2.7) производной приходим к фундаментальному соотношению для тензора Пиола
РТ = з° .(4)
Воспроизводя снова один из выводов гл. 3, § 2, представим индифферентный скаляр 3(VR) в штрихованном базисе выражением
3 (%) = 3 (%，)= 3 (&R. о) = з (U • ох • О) = з (U) = з (G1/*) (5)
(было использовано соотношение (3.2.6)). Это позволяет далее о
принимать п. э. функцией VR, U и V, но только для изотропного материала. Во всех случаях для нее сохраняется обозна-, чение з
3 = 3 (?R)=3(U) = 3(G).(6)
По (II.3.5) получаем также
о
Р = 3о =23g*VR(7)
VR
и далее по (2.6.3), (2.6.11)
Т = 2 ]/等 &犬.3G・？R,丁 =2]/告 3G.(8)
Представления тензоров Р и Т в изотропном материале при неискаженной отсчетной конфигурации через э приобретают со
гласно правилу дифференцирования (II.3.6) вид
Р = з° -2VR.3f, Т- |/VR-P-2 У -| F-3F.(9)
VR
Перечисленные здесь формулы, исключая (9), применимы ко всем упругим, а в статике ко всем простым материалам. Конкретному заданию функциональной зависимости п. э. от ее аргументов соответствует некоторая группа материалов. Пригодность принятой зависимости должна проверяться сравнением результатов решенных на ее основе простейших задач (растяжение, простой сдвиг и т. д.) с данными измерений. Предложены также критерии, основанные на априорных представлениях о поведении упругого тела при нагружении — см. гл. 5, §§ 913.
Отметим, что переход от исходного соотношения (3) к представлению (4) тензора Пиола и следствия из него (6)——(9) зао конны в предположении, что вариация градиента места 3VRT — независимая величина. Об этом см. гл. 7.
Векторные базисы двух отсчетных неискаженных конфигураций V и и задаются тройками векторов г$ и г$, совмещаемыми ортогональным преобразованием 0хсох, определяющим группу равноправности g материала (гл. 3, §§ 4, 6). Связь между гради- 0 宀
ентами места в этих базисах VR и VR задается соотношениями
VR = ?R, = OXTr"R, = OXTVR,Vrt=&Rt.ox (Ю)
—не следует смешивать их с формулами (1.15.11) преобразования актуальной конфигурации при переходе к штрихованному базису.
Меры деформации Коши —Грина и Фингера преобразуются в противоположность (1.15.13), (1.15.14) по формулам
G-VR VRT-OXT G 0х, F-VRr VR=F. (11)
Естественно, что тензор F, задаваемый в базисе актуальной конфигурации, нечувствителен к замене отсчетного базиса. Компоненты Gsk повернутого тензора G в базисе г$ равны компонентам Gsk тензора G в базисе % [(1.8.11)] и по (II.5.2) функция 3(G) компонент G изотропна в подгруппе 0х сох ортогональных преобразований
3(G) = 3(G“，G3i)^5(Gn,--以1)^3(6)・(12)
Этим подтверждается сохранение группы равноправности мате- рнала ——необнаруживаемость, в какой из отсчетных конфигура- ннй (и или V)задана мера G.
Во всем последующем рассматривается твердый упругий ма- тернал по определениям гл. 3, §§ 6, 7.
Уравнения состояния ортотропного и трансверсально-изотропного материалов
Формы зависимости скалярной функции гр от ее аргументов, инвариантные для некоторых подгрупп ортогональных преобразований, рассмотрены в I, § 5. Основываясь на этих представлениях и отождествив здесь 屮 с удельной потенциальной энергией деформации з, по (1.8) приходим к уравнениям состояния. Ограничимся случаями ортотропного и трансверсально-изотропного материалов.
Для ортотропного материала по (II.5.10)
"3(Gj G22, G33, 5?, G^, Gfn /3(G)),(1)
причем Gsk—компоненты G в ортонормированном базисе с】，с2, с3 осей симметрии материала.
По определению производной скалярной функции по симметричному тензору (1128) имеем
з з
3G =8g$ 穴 Qc 也 + c*J =
3
u ^^ 訖~ e$e$ +公g2~ g12 (eg + QCl) + _ „2 g23 ©C3 +e3C2)+
普 O」SS0G120G23
+ 鳥 G3i(qcdc&)十券 MJ— ⑵
Теперь учитывая, что оооо
VRT5 VR RR, V G~i・VR = E, так как в декартовом базисе с$ = С$ оо
VRT.Cs=Rq"CshRs, Cr.VRmRr, по (1.8) приходим к уравнению состояния
Т = 2 yz 肯]/з-詣 Е +昌誤^RsRs +設 G^RR + RzRJ 十
+ 务 G23(RzR3 + KRJ+嘉 51(%к 十 KK) . (З) . 庚г3@G3ij
Вектор места г в отсчетной конфигурации здесь определен декартовыми координатами as в базисе сп с2, с3 представляющими здесь материальные координаты частицы
Г = С$0, rs = Cs, Rs = "^r・(4)
В трансверсально-изотропном материале по (II.5.28)
э = э(1г (G), A(G), /3 (G), L, М), A =^c-G-c, Л! = c-G2-c, (5)
причем с—ось трансверсальной изотропии. По (II.3.3) и (1138), (II.3.9) имеем
3G=(許+厶詛Е—許G”3許G、
+靄8十詣(cc・G + G・cc) (6)
и уравнение состояния (1.8) приводится к виду
T = 2 /f !Л品E十（需+乙誥）F 一居F2十
⑺⑺卜 ~cSchRsRk + 爵抬(RR F + F R.R,)
⑺
⑺
0
Здесь cs — контравариантные компоненты с в векторном базисе % отсчетной конфигурации.
В качестве материальных координат qs выбраны декартовы координаты с базисом сп с2, с3.
Уравнения состояния упругого изотропного материала
Разнообразие имеющихся в литературе форм уравнений состояния объясняется возможностью выбора различных мер деформаций и использования отличающихся друг от друга определений тензора напряжений.
Потенциальная энергия деформации представляется функцией инвариантов (относительно полной ортогональной группы) выбранной меры деформации. Отсчетной конфигурацией является неискаженное состояние; по (3.5.11) напряженное состояние в ней представляется шаровым тензором, описывающим равномерное во всех направлениях сжатие или растяжение; в частности оно может отсутствовать, если отсчетная конфигурация — натуральная. Преобразование подобия натуральной конфигурации приводит к новой отсчетной неискаженной конфигурации, но уже не являющейся натуральной.
Далее з задается, как функция инвариантов меры деформации Коши —Грина или, что то же самое, меры Фингера, определяемых формулами (1.5.8)
3 = 3(厶(G), /?(G), 4(G)),厶(G) = 4(F). (1)
В другом представлении используются инварианты меры Аль- манзи g (или G'1)
3 = 3(/|(g), /・2(g), /3(g)),/；(g) = /MG-}(2)
Они связаны с инвариантами /比(G) формулами (1.5.8).
Потенциальная энергия деформации определена с точностью до аддитивной постоянной и может быть принята равной нулю в отсчетной конфигурации
3 = 3 (4(E), /?(Е), 4(E)) =3(3, 3, 1)=0.(3)
Уравнение состояния изотропного упругого тела в форме Фингера следует из (1), (1.8) и формул дифференцирования инвариантов (II.3.3)
Т = 2 ]/-J (也Е + /+必1) = 2 |/f F・祭.(4)
Здесь введены обозначения функций от инвариантов Ik (F) . г дэ , т дэ , дэ .
电＞ = /3丽，5 = /1万77+万77， 也⑸
Это представление следует предпочесть (3.5.9), так как выражение тензора V через вектор места R весьма сложно. Напомним, что формула (3.5.8) была получена вне всякой связи с потенциальной энергией деформации, для «упругого», не обязательно «гиперупругого» материала. Конечно, повторив ход вывода уравнения (3.5.8), можно прийти и к формуле (4) для «упругого» материала. Но в гиперупругом материале функции 屮р связаны дифференциальными соотношениями •
許(屯+ /仲J =一器，/3е(哈+ /年?)-許.
получаемыми исключением потенциала э из формул (5), аналогично (II.7.18).
Представление уравнения состояния через меру Альманзи можно, конечно, получить по (II.3.7), (1.9), (2)
T=2|/^F・3f = — 2 ^ -у зв-g-
Получаем
T=2 /母燄E + W；g +屮皆)⑺
и в соответствии с (5)
屮;=—券，= —(鳥+ 弄)，； 〃 =，(g)・
О/з\ 0/10/2 /d/2
(8)
Конечно, 'фр связаны дифференциальными соотношениями вида (6).
Главные направления тензоров Т и F совпадают, как это следует из уравнения состояния (4). Их главные значения связаны соотношениями
。产2 y管停。+也或+也喲=-У； vr小
「二0(紡
伍=1, 2, 3).
Здесь ал——главные напряжения и по (1.4.10), (1.5.7)
确= Gk = & 二(1 十 6/2(10)
—главные значения меры деформации Фингера и Коши一一Грина. Коэффициенты 肌 также выражаются через 唸 唸 и； при посредстве инвариантов
A(F) = u； + t1 +唸 /2 (Г) = и^ + ф| + и|и?, /s(F)=*W唸(11)
Главные силы, определяемые по (2.2.25), задаются формулами
fj =%%О1，fj =%%О1，加丁 .О'.0后0后加丁 .О'.0后0后f 2 =03"~2,f 2 =03"~2,%；f3 =。1%%%；f3 =。1%%(12)(12)
fj =%%О1，
fj =%%О1，
加丁 .
О'.0后0后
加丁 .
О'.0后0后
f 2 =03"~2,
f 2 =03"~2,
%；
f3 =。1%%
%；
f3 =。1%%
(12)
(12)
и по (9)f 1 = 2%/ 2 = 2^2/3 = 203и по (9)f 1 = 2%/ 2 = 2^2/3 = 203泰+®"喲 許+ (№+哨 器+(。:+喲泰+®"喲 許+ (№+哨 器+(。:+喲为上洛户办］-Оц+^-оЦ°? I „2, ,2 °?百Г十uт斫］为上洛户办］-Оц+^-оЦ°? I „2, ,2 °?百Г十uт斫］—f ®1，已2，%),= f(%, %,马),=f ®3，D］,办)—f ®1，已2，%),= f(%, %,马),=f ®3，D］,办)(13)(13)
и по (9)
f 1 = 2%
/ 2 = 2^2
/3 = 203
и по (9)
f 1 = 2%
/ 2 = 2^2
/3 = 203
泰+®"喲 許+ (№+哨 器+(。:+喲
泰+®"喲 許+ (№+哨 器+(。:+喲
为上洛户办］
-Оц+^-оЦ
°? I „2, ,2 °?
百Г十uт斫］
为上洛户办］
-Оц+^-оЦ
°? I „2, ,2 °?
百Г十uт斫］
—f ®1，已2，%),
= f(%, %,马),
=f ®3，D］,办)
—f ®1，已2，%),
= f(%, %,马),
=f ®3，D］,办)
(13)
(13)
(14)имеем(15)(14)имеем(15)
(14)
имеем
(15)
(14)
имеем
(15)
или в другой записи
九=2虱券十(LT)金+ /支尸券］.
Рассматривая теперь з, как функцию переменных %,徃= 2%,也=2% (/］一瑰)， 壯• = 2%与，
так что
嶽工击粉=2%底十(『啕訝+言財
S = 1L」
(16)(16)Сравнение с (14) приводит к формулам d дэ дэ
(16)
(16)
Можно было предвидеть этот простой результат; действительно, элементарная работа &%= 6з сил /々，распределенных по граням кубика с ребрами vk 1 -|- 6Й, параллельным главным направлениям меры Фингера, на виртуальном перемещении 6иА ~ = 3(1 + 3也)граней из актуальной конфигурации равна
зз
63 = £ 薪6% = £ tk&vk,
откуда сразу же следует (16).
Представление тензора Пиола в изотропном упругом теле по его определению (2.6.2) и определению мер деформации (1.4.4), (1.5.3) приводится к виду о о
P-2VrT.(i|)0E + i|)1F + i|)2F2)-2(ip0VrT + ip1VrT-VRT.VR +
О 0,0 ооо
+ 叭 VN ・ VRT ・ v R〔 VRT • VR) = 2 (屮° V^ 十屮工 VR + 屮?GVR),
или о
P = 2"°G-i + 5E + ^G)・VR.(17)
Заменив здесь G"1 с помощью тождества Гамильтона ——Кэли (1.9.22), приходим к еще одному представлению о
P = 2(%E + %G +屮 2GAYR(18)
с коэффициентами‘
дэ . г дэ , г дэf дэ , , дэ \дэ
(19)
Представлениям энергетического тензора по (2.6.11) придается вид 丁 = 2 丿告 也G-」SE + RG] = 2 ]/f 回E-“G + %G2]. (20) В отсчетной конфигурации тензор напряжений ——шаровой
Т = 2£(5 + 5 + *)о = 2Е (誹+2許 + 柒)° = —0Е, (21)
Р = -2(訴十 2許 +金)。(22)
——нуликом указано, что после дифференцирования инвариантам придаются значения I±^ 12^ 3( /台二=1,
Отметим еще, что по (11) и (16)
так чтотак что/年% 费 =/ 等肃7 = e-/（н）前工,/年% 费 =/ 等肃7 = e-/（н）前工,(23)(23)T=「 八叫史_Г G d In I/ "0H 'T=「 八叫史_Г G d In I/ "0H '(24)(24)где Н ——логарифмическая мера деформации (1.3.10) (мера Генки).По (1.8) и определению (2.6.19) второго тензора Пиола — Кирхгоффа имеем такжегде Н ——логарифмическая мера деформации (1.3.10) (мера Генки).По (1.8) и определению (2.6.19) второго тензора Пиола — Кирхгоффа имеем также°?°?吃 「^7,°?°?吃 「^7,(25)(25)§ 4. Преобразование подобия отсчетной конфигурации§ 4. Преобразование подобия отсчетной конфигурацииРассматриваются две отсчетные, неискаженные конфигурации, связанные преобразованием подобияРассматриваются две отсчетные, неискаженные конфигурации, связанные преобразованием подобияf(qi, * q3)=ar(qi, q\ 們，己=%.(1)f(qi, * q3)=ar(qi, q\ 們，己=%.(1)Элементарные объемы вини конфигурациях равныЭлементарные объемы вини конфигурациях равныdu = % • (% X г3)歯 1 dq2 dqКdu = h • (「2乂「3)歯1歯2 dq3,dv^=a3dv, (2)Поэтомуdu = % • (% X г3)歯 1 dq2 dqКdu = h • (「2乂「3)歯1歯2 dq3,dv^=a3dv, (2)Поэтому「2 义「3_丄 「2x「3ri• (г2 Xr2) a rx- (r2Xr3)「2 义「3_丄 「2x「3ri• (г2 Xr2) a rx- (r2Xr3)=at户,=at户,r2 二—a"1r2,r2 二—a"1r2,r3 = a-i「3(3)r3 = a-i「3(3)
так что
так что
/年% 费 =/ 等肃7 = e-/（н）前工,
/年% 费 =/ 等肃7 = e-/（н）前工,
(23)
(23)
T=「 八叫史_
Г G d In I/ "0H '
T=「 八叫史_
Г G d In I/ "0H '
(24)
(24)
где Н ——логарифмическая мера деформации (1.3.10) (мера Генки).
По (1.8) и определению (2.6.19) второго тензора Пиола — Кирхгоффа имеем также
где Н ——логарифмическая мера деформации (1.3.10) (мера Генки).
По (1.8) и определению (2.6.19) второго тензора Пиола — Кирхгоффа имеем также
°?°?
吃 「^7,
°?°?
吃 「^7,
(25)
(25)
§ 4. Преобразование подобия отсчетной конфигурации
§ 4. Преобразование подобия отсчетной конфигурации
Рассматриваются две отсчетные, неискаженные конфигурации, связанные преобразованием подобия
Рассматриваются две отсчетные, неискаженные конфигурации, связанные преобразованием подобия
f(qi, * q3)=ar(qi, q\ 們，己=%.(1)
f(qi, * q3)=ar(qi, q\ 們，己=%.(1)
Элементарные объемы вини конфигурациях равны
Элементарные объемы вини конфигурациях равны
du = % • (% X г3)歯 1 dq2 dqК
du = h • (「2乂「3)歯1歯2 dq3,dv^=a3dv, (2)
Поэтому
du = % • (% X г3)歯 1 dq2 dqК
du = h • (「2乂「3)歯1歯2 dq3,dv^=a3dv, (2)
Поэтому
「2 义「3_丄 「2x「3
ri• (г2 Xr2) a rx- (r2Xr3)
「2 义「3_丄 「2x「3
ri• (г2 Xr2) a rx- (r2Xr3)
=at户,
=at户,
r2 二—a"1r2,
r2 二—a"1r2,
r3 = a-i「3(3)
r3 = a-i「3(3)
Вектор места в актуальной конфигурации R, конечно, один и тот же. Поэтому
▽R = fsRs = aTVR, G =a-2G, F -=a"2F(4)
и связи между инвариантами определяются формулами 北(户)不々-2/1下)，72(F)-a-4/2(F),73(F) - a-6/3(F). (5)
Потенциальная энергия деформации в актуальной кон巾нгу” рации одна и та же в преобразованиях и―и—%3
3 = \\，3(人，厶，人)厶Н，\\3(九北，/3)d6 =
=乂▽@7/],a-6/3) a*du
и, поскольку объем v — произвольный, 3(人，厶，/3)= aW(a7/i，a-4厶，а-б/з)■(6)
Поэтому
дэ 、 дэ дэ дэ , дэ дэ 、дэ
и по (3.5)
屮0=a3必，屮尸*"屮2"一吨.⑺
Теперь уравнение состояния (3.4) в отсчетной S-конфигурации, записываемое в виде
Т = 2/”2 他Е+屯F+屯F), преобразуется к виду
Т 二 2炉/「厶(а~%反Е + a~Wia~2F + czi|)2cz*4F2)
и как следовало ожидать
亍=2/「厶仲°E + ^F+也F) = T.(8)
Тензор напряжений в актуальной конфигурации независим от выбора отсчетной неискаженной конфигурации.
Варьирование напряженного состояния
Предполагается, что на актуальную конфигурацию среды наложено поле виртуальных перемещений nw(q\ q2t q5), Г|―■ малый параметр. Тензор напряжений Коши, если ограничиться линейными по г] слагаемыми, станет равным
Тх = Т + п 夕，t - Пш 丄(Тх—Т). (1) о
По определению в гл. 1, § 10 тензор t представляет конвективную производную Т, не отличающуюся от его материальной производной, поскольку Т явно не зависит от времени (г] отождествляется с 5f).
Основываясь на представлении (3.4) и формулах в гл. 1, § 10 имеем
/号/寻Y，w，
T=, — TV・w + 2 ]/告仲j + 5(F，+ ?.F) + (E必+ FS + F2也)]
и по (1.10.11)
2 ]/ f [屯户 + 也(F・F +户・F)]=2 ]/ f №(F”w + Vwt.F) +
+ W?F • (F • Vw-卜 Vw，F) + 必(F • Vw + VwT- F) -F]二二
=2 /告[(RF +ip2F2)-Vw + VwT-(ip1F +ip2F2) +
+ RF • (Vw + VwT) • F].
Это выражение по (3.4), если ввести в рассмотрение линейный тензор деформации e(w), приводится к виду
Т-Vw +VwT-T — 4 j/ 普仲声(w)—也F •£ (w) • F] (3)
Переходим к вычислению dr (F =0, 1, 2). По (П.3.3) и (1.10.15)—(1.10.17) получаем -
屮Г - 人 + ~дЦ 厶 + 丽 /3 ~
=2 [券F+赛吁票词…(w),
ИЛИ
2
心=2(餘 гЕ-卜储卄十也 rF2)・・e(w) 丁 2 £ ^jVr^v- -e(w)(4)
(суммирование по значениям 2V = 0, 1, 2, F°；E). Коэффициенты определяются *по формулам
备 rr/з^,^1Г =^77 + Л-^-.必 —丽(5)
и структура зависимости 存川？ от 屮？ та же, что 弋「от з; по формулам (3.5)存ат выражаются через вторые производные э по инвариантам. При этом обнаруживается симметричность этих коэффициентов по индексам М Г
存=存г%,М Г -0, 1, 2.(6)
После подстановки в ⑵ приходим к представлению Т
+ S2^OTFrF^..e(w).⑺ Г
Очевидно, что тензор f симметричен. Окажется далее целесообразным ввести в рассмотрение тензор
®〕Т ■ Vw + 4 ]/ у [— Фое (w) + 屮F ■ £ (w) • F] + +22WFrF^..e(w),(8)
Г
так что
f ^--TV-w + Vwt'T + 0.(9)
Конвективная производная тензора Пиола вычисляется теперь по (2.6.2) и (1.10.8)
Оказалось, что Р связан с тензором 0 тем же соотношением, что и Р с Т.
Уравнения равновесия в варьированном напряженном состоянии
Основываясь на уравнении статики (2.6.4) для тензора Пиола, мы избегнем затруднений, связанных с варьированием базиса актуальной конфигурации. Имеем
о.оо .
V・(P + nP)+Pok + nP()kx =0, V・P + Pok + n(V・P + P(ikx) = O.
Через kx обозначена вариация массовой силы. Считая актуальную конфигурацию равновесной, приходим к уравнению равновесия в варьированном состоянии
о .
V・P + p°kx = 0(1)
в векторном базисе отсчетной конфигурации. По (5.10) оно преобразуется в базис актуальной конфигурации на основании (III.3.11) и тождества Пиола
V- ]/ у VrT-0-0T. V. ]/ ^ VrT+ ]/ 费 V「・V® ==鵠=
Уравнение равновесия в варьированном состоянии, если учесть также (2.1.2), приводится к виду .
V.0 + pkx^O.(2)
На поверхности варьированного объема по (2.6.5)
n・(P + n"=f [黑黑У]十窜X 黑，(3)
причем fx —вариация поверхностной силы. По (1.10.23) получаем п • Р =黑' [f (V • w — N • £ (w) • N) + fx]
и по (5.10)
N・® = f (V・ w — N・e (w) • N) + “•(4)
Роль тензора напряжений T в варьированном состоянии отходит к тензору 0. Через этот тензор выражаются уравнения статики в объеме и на поверхности. Конечно, напряженное состояние в актуальной конфигурации должно быть наперед известно. Краевая задача (2), (4) линейна относительно вектора w. Ее ко эффи^иенты постоянны, если преобразование отсчетной конфигурации в актуальную аффинно, тогда Т——постоянный тензор.
При нагружении поверхностным давлением, сохраняющим величину р и остающимся направленным по нормали к поверхности, поверхностная сила в варьированном состоянии по (2.1.11) и (1.10.19) определится из выражения
—— pN dO — Rp (N dOy =——pN dO —— r)pN dO-(EV-w —VwT) (5)
и уравнения равновесия на поверхности (4) и (3) приобретают вид
(6)(6)N= — pN • (EV-w — VwT),
(6)
(6)
n- P = — 1/" — n • VrT • (E V • w — VwT).
При мертвом поверхностном нагружении поверхностная сила на площадке dO сохраняет в варьированном состоянии ту же величину и направление, что в актуальной конфигурации, так что по (1.10.22) и (5.9)
("O)・ = (N・TdO)・ =NdO・(T + TV・w—VwT) = N・®dO = 0・(7)
Как следовало ожидать, уравнения равновесия на поверхности для тензоров 0 и Р оказываются однородными
Тензор упругостей изотропной среды
Тензор упругостей — тензор четвертого ранга, равный производной тензора напряжений по мере деформации, через которую он представлен. Например, для линейно-упругого изотропного тела тензор напряжений — линейная функция линейного тензора деформации
T = *(£)E + 2z(u)(1)
и по (II.3.1), (II.4.13)
Те 二 АЕЕ + 卩(Сц + сш) T/^^r^r^ri，⑵
и компоненты тензора упругостей представляются выражениями 卄= мд屮….[ЕЕА + (Сп + Сш)卩]二
=gpqg「5 + (grpgtq + grqgtp) №(3)
Тензор Те сохраняет значение при перестановке индексов в каждой паре (pq), (г/).
Переходим к определению тензора упругостей по представлению Фингера (3.4) тензора напряжений Коши. По (1.10.2) конвективная производная Т определяется сверткой
T-TF F(4)
и теперь требуется к этому виду преобразовать выражение ⑸2) тензора Т.
Выражение дивергенции вектора w можно представить в виде
}ft・¥=^FT・・(F・Vw + Vwt.F) =
=^~Е…Vw + ~^ F• F'1- • Vw = E・・£(w) = V・w (5) и первое слагаемое в (5.2) заменяется выражением
—TVw = — ^TFT *
Далее по (1.15.4), (1.15.7) записываются формулы
(屯 Е + RF) •户=^ (%Е + 必 F) • (С】】+ Сш) -F, ..1.(6)
F.Fxx=Cir -F-F =уСц - '[F-(Cn + Cin)]' -F.
Остается еще, обратившись к (II.3.3) и (5.5) записать формулы
.2
Фг= (Фг)г- -F ^[^0rF-1 + ^irE + ^2rF]' *F — £ 3&[F*t. •户.(7)
Получаем
t = j -y TF-1 + |/ 告[(屮е + w占)《1] + a[]) +
+ ^зСц • * {F • (Сп Сш)|-] + 2 / 耳 £+ ^зСц • * {F • (Сп Сш)|-] + 2 / 耳 £Г = О Л7 = оГ = О Л7 = о21e跟产…"21e跟产…"FF(8)(8)
+ ^зСц • * {F • (Сп Сш)|-] + 2 / 耳 £
+ ^зСц • * {F • (Сп Сш)|-] + 2 / 耳 £
Г = О Л7 = о
Г = О Л7 = о
21
e跟产…"
21
e跟产…"
F
F
(8)
(8)
⑷и⑷ияв-яв-Тензор четвертого ранга в волнистых скобках по
⑷и
⑷и
яв-
яв-
ляется тензором упругостей. По (5.6) его развернутое представление имеет вид
Tf =-1tF-4- ]/f[(^1E + 4)2F)-(CII + Cni) +
+ jC[「{F.(Cu+Cm)}] + 2 ]/f 回EFT + 3/E+熊』叩 +
+ 端I (ЕЕ + FF-i) + %2 (EF + PF-i) +法2 (FF 十 F2E)].(9)
В отсчетной конфигурации, если она натуральна (Т — 0)
(TF)„ = (^ + 2ip2r (Си + Сш) +
+ 2ЕЕ 他。+ % + 必 + 23” + 2端2 + 2%)。.(10)
После замены 今心 их значениями по (5.5) имеем
(端 О + 31 + 也 2 + 23“ + 2储2 + 2^l2y =
_/ OWo . d^ 0W10屮2 丄 20690+Q \o
》G一 方•
Обратившись теперь к представлениям (3.5) коэффициентов 屮？ через удельную потенциальную энергию деформации а, можно это выражение записать в виде
訟+舟叶（詣+ 2/ +訖）寸=
=［（备十2誥+他+5+屯）］、
так как
箫+备y+［（++ 2誥+备）可箫+备y+［（++ 2誥+备）可
箫+备y+［（++ 2誥+备）可
箫+备y+［（++ 2誥+备）可
Итак,
(TF)» = (^+2^)» (€„ + €,„) +
+ 2ee [(/+2*+备)(丸+哈+也)Y.(11)
Сравнение с (2), если учесть, что в линейном приближении
F = E+2e(u),
позволяет выразить коэффициенты Ляме уравнения состояния линейно упругого тела через коэффициенты 屮？ и значения их производных в отсчетной натуральной конфигурации. Учитывая еще, что по (3.22)
(Фо + ^1 + ^2)°= [(а?г + 2 а?г+а7Г)5] =°，
приходим к формулам
卩=2 (5 + 2з2)。= 2 (w2 -5)° =
=2[(备+含同。一[(詣+訖)丁，m) 九=4 [(/ + 2 系-+詣)(屮o + 2i + 5)y = 4 [(^/ +詣)3у十 + 4[(許+2詣+备(13)
Следствием (12) и (13) является также соотношение
[(/+ 2/+备)%了.(14)
Представление тензора упругостей в базисе собственных направлений тензора напряжений
В (7.9) тензор напряжений, мера Фингера и мера Альмапзи заменяются их компонентными представлениями
Т 工 £№%%, F - ggRs%,F-】「g 丁 ggR£R4(1)
Компонентному представлению TF придается вид
так что
По (7.9) получаем
тЕ = -4 川&々G，+ 2 у'鲁 M°G“G，"gg〃“ +
+ %g"G" + %gqmg"PG““gs/ 十端(GMG，“ 十gMg,““G〃"Gs〃) +十端2 ®qgst + gq“gmpGm£tGlSgG + &12 (g^gSt + g^g^'Gm,fitsy\ +
+ J 告 № (G3G" + G〃GH) +
+ R (g*G" +g"GH + gWG* 十 g^G吟］.(4)
Тензор упругостей сохраняет значение при перестановке индексов в каждой паре (qp), (sZ). По (II. 1.6) число его компонент равно 21. Это следует из (7.9), (4), а также из определений производной (II.4.5) тензора по цензору
Tf = RpRgRsR，券=WR?RgRsR，.
Представление (4) доступно сравнительно простой интерпретации в ортонормированном базисе собственных направлений е1( е2, е3 тензоров (1). Их главные значения в этом базисе, напоминаем, равны %, % и产
JO, 加千明JO, 加千明Имеем
JO, 加千明
JO, 加千明
Gmn = GmnGmn = Gmn°，…，g*J°，т^п,
Gmn = Gmn
Gmn = Gmn
1,优=%［%，m=*
и отличными от нуля оказываются: а) .три компоненты
б) шесть компонентб) шесть компонентT5s论也T5s论也+ 2端2娱+ 2分12*+屮1 + 2屮2區+ 2端2娱+ 2分12*+屮1 + 2屮2區1 % [22虚 力内订1 % [22虚 力内订嗔碇+4 \嗔碇+4 \+ ^01( 1 + -T ) + ^02 ［碇 4r )+"12 ®就 +嗯)+ ^01( 1 + -T ) + ^02 ［碇 4r )+"12 ®就 +嗯)（t55用用声T用用55）（t55用用声T用用55）в) три компонентыв) три компоненты%sksk =［屮］+ 也(議 + 磷)］,#用5用=t用Ms — %kssk.%sksk =［屮］+ 也(議 + 磷)］,#用5用=t用Ms — %kssk.(6)⑺(8)(6)⑺(8)
б) шесть компонент
б) шесть компонент
T5s论也
T5s论也
+ 2端2娱+ 2分12*+屮1 + 2屮2區
+ 2端2娱+ 2分12*+屮1 + 2屮2區
1 % [2
2虚 力内订
1 % [2
2虚 力内订
嗔碇+
4 \
嗔碇+
4 \
+ ^01( 1 + -T ) + ^02 ［碇 4r )+"12 ®就 +嗯)
+ ^01( 1 + -T ) + ^02 ［碇 4r )+"12 ®就 +嗯)
（t55用用声T用用55）
（t55用用声T用用55）
в) три компоненты
в) три компоненты
%sksk =［屮］+ 也(議 + 磷)］,#用5用=t用Ms — %kssk.
%sksk =［屮］+ 也(議 + 磷)］,#用5用=t用Ms — %kssk.
(6)
⑺
(8)
(6)
⑺
(8)
ком-ком-
ком-
ком-
Всего в рассматриваемом базисе имеется 12 различных понент.
120120Постановки задач нелинейной упругостиПостановки задач нелинейной упругости1ГЛ. ■!1ГЛ. ■!
120
120
Постановки задач нелинейной упругости
Постановки задач нелинейной упругости
1ГЛ. ■!
1ГЛ. ■!
Эти соотношения можно значительно упростить и придать им отчетливое содержание, основываясь на представлении (3.9) главных напряжений о§ через главные значения vj меры деформации Фингера (или Коши —Грина).
Сославшись на формулы (3.15), (5.5), получаем
1 口 2 у2。屮г1 口 2 у2。屮г仲I+ 2%,左=s] + [0, k^s\仲I+ 2%,左=s] + [0, k^s\и эти выражения воспроизводят соотношения (6) и (7).，工так,и эти выражения воспроизводят соотношения (6) и (7).，工так,^ssss^ssssdos粛'dos粛'°% д 2 OVk°% д 2 OVk(9)(9)
1 口 2 у2。屮г
1 口 2 у2。屮г
仲I+ 2%,左=s] + [0, k^s\
仲I+ 2%,左=s] + [0, k^s\
и эти выражения воспроизводят соотношения (6) и (7).，工так,
и эти выражения воспроизводят соотношения (6) и (7).，工так,
^ssss
^ssss
dos
粛'
dos
粛'
°% д 2 OVk
°% д 2 OVk
(9)
(9)
Эти компоненты тензора упругостей можно назвать касательными модулями продольного и поперечного растяжения, так как -^-——тангенс угла касательной кривой as (и；,董，Гз) на плоско
СТИ (脸 ％).
Формулу (8), имея в виду (3.9), легко представить в виде
(10)(10)rsksk =% — Gb
(10)
(10)
一 2候一成)
и эту величину следует интерпретировать в терминах «главных напряжений сдвига» и «главных деформаций сдвига».
Тензор упругостей
По (1.4) тензор упругостей Ро представляется второй производной удельной потенциальной энергии деформации по градиенту места
Р о = = з о о ・ ⑴ vr ovROvR vRvR
Использовав водной тензораИспользовав водной тензорапредставление градиента места (1.3.11) и произ- по тензорному аргументу (II.4.4), приходим
Использовав водной тензора
Использовав водной тензора
к компонентному представлению
a q2 9
Р = 3о мг/а-^—, Ро =「小什/4^,(2)
VR0 Vm 犷VR°v 排沥
а в декартовом базисе
°而0丽°而0丽⑶⑶
°而0丽
°而0丽
⑶
⑶
ооооДругие представления следуют из правил вычисления производной произведения тензоров и замены аргумента при дифференцировании по тензору (II.4.10), (II.4.12)
о
о
о
о
P=2jg・VR, Ро = 23g<ii + 2(-ц—仇…Зе 卜VRN「s =
VrVVR /
=P • Vr • Cn + 2 { [5gg • • (C„ + Cin) • VR] • • r,rf} -VRr^
—были использованы также правила (II.4.13), табличка (1.15.3), формула (1.9.6). Приходим к соотношению, не предполагающему изотропии среды
о
ро = PVr-Сц + 2 Bgg • •(曰耳 +「尸)]・ VRNRg. (4) VR
Для изотропного упругого тела
aG = q)0E +(p1G+(p2G2>(5)
причем (рг определяются формулами (3.19). Повторив ход вы* числения в § 7, имеем
22
3gg 二 £ £ Cat GN}。+ у(Ф1Е +(р2^) • (Сп +СШ) + ^=o г =о
+ 万屮2cli …{G・(Cn+C[u)},(6)
причем коэффициенты 白川尸 выражаются через 屮「формулами (3.19), определяющими фг через э
⑺⑺/ д д 0 \
⑺
⑺
Cir = —(17r + /i£)屮Г'久 г =謂
После подстановки (6) в (4) получаем
О 220■
Ро -P Vr Cn + 4VR. 2 £ KrF^VR 曰 +
Vrn=o г^о
+ 2 (Ф1Е + ф2О). [с„- ■ {VR-. (Сц + Сщ)}] ■ VR +
(8)(8)+ 2%С"••代RT.G.(C”+Cm)] $R
(8)
(8)
—оказалось возможным подобно (7.9) представить Ро в несо- VR держащей базисных векторов (инвариантной) форме.
В натуральной отсчетной конфигурации, повторив вычисление § 7, получаем
p& = 4ee [(許+ 2思+設卜仇+仏+ ф)]。 一
—2&u+W詛 з『(9)
и сравнение с (4.7.2) приводит к соотношениям
(Ю)(Ю)*Н4 [[^77+2^77 + ^77)(g + 屮1 + 屮2)]，
(Ю)
(Ю)
L\ 0/2 о/з / 」
повторяющим (4712), (4.7.13).
Формулу, выражающую Ро через TF, можно получить, обра-
VR
тившись снова к правилам (II.4.10), (II.4.12)
ро =(]/A严.力二/齐严工+
VR \ g 7 VRg VR
L ' ' g / VR 」
Обратившись к формулам гл. 1, § 9, приходим к выражению
Ро = рVrг — м"Prtr• VI + Vrг• Tf • • (Rtr, + %№)",.⑴)
VR&
приводимому также к виду
Ро =PVr「一％PTRS+ ]/^V「「・Tf・・(Ch+G/・VR「＜h•(⑵
Уравнения движения и равновесия изотропного упругого тела
Здесь рассматриваются аналоги уравнений линейной теории упругости в «перемещениях», получаемых после замены тензора напряжений его представлением через линейный тензор деформации, а последнего — выражением через вектор перемещения. В нелинейной теории дело осложняется возможностями определения напряженного состояния несколькими тензорами (Коши, Пиола) и множественностью их представлений через меры деформации (Коши— 一Грина, Фингера, Альманзи) или градиент места. Вектор перемещения предпочтительно заменить вектором места в актуальной конфигурации.
Дивергенция тензора Пиола представляется выражением (1.19.23)
оо о
V P = rA Ро ・・VRt・At•口，(1)
VR
преобразуемым по (1.19.13) к виду
оо оа о
V・P = M・Po . Г/г VVRT^rA Ро — VRT. (2) VrVr 明"
Заменив теперь градиент места его координатным представлением, придем к трем уравнениям движения
о оо
• Р о • • 4「'匕匕犬宀 р°& = рд,(3)
VR
линейным относительно вторых производных компонент в отсчетном базисе вектора места актуальной конфигурации. Эта система, разумеется, имеет очень сложную структуру: первые ковариантные производные %$ в нее входят нелинейно, как через тензор упругостей Ро , так и в развернутых записях вторых ковариант-
VR ных производных.
Заменив в (3) тензор упругостей его представлением (9.2), придем к уравнениям движения анизотропной упругой среды
02» о оо
б一v*v(Xs + Po^7=Po^g = l, 2, 3).(4) dVk %s°V扰0
Заменим теперь в (1) тензор упругостей Р 0 его представле- 'VR
Нием (9.11) qepe3 Tf・ Слагаемые, содержащие Р, при этом
о оо ооовыпадают. Действительно, сославшись на (1.19.17), получаем
о о
о о
о
о
卄.PVrT VRT Ат rA=Pr rAVrT VRT A^^ =
= Pr-rM^-=PT-Vln )/-|
00
rA rsrf Prtr5-VrT- ^RT AT rk= рт，г'1\М・・％「$%?/ =
= ртг^5 = рт“1п J/ у ,
что и требуется. Теперь, используя также (1.19.12), (1.19.13) и (9.11), имеем
О о
М・Р° ・・VRT・AT・r产］/^ MTF・・(K「s+「sRt)"・・R浦咽汾―
VR*
=J ^r^.Tf • .(VRr.r«Rm + Rmr«-VR)Л^ = =/尹5・・(乱需+廳&)・
Уравнению движения изотропного упругого тела теперь придается вид
RF+ pk = pb.(5)
dqR
К этому же уравнению можно было прийти, основываясь на уравнениях движения, составляемых по тензору Коши Т. Дсйст^ вительно, по (1.19.19), (1.19.12) и (1.9.8)
qT=2隸="・(飞」。乱・储A产
VR
как и требуется.
Заменив теперь тензор упругостей компонентным представлением
TF=t2"%R“RsRt(6)
OF и используя только что приведенное представление —— ,получим
уравнение движения в компонентной записи
(鑑”+击”)g"燄十р^=рм(n=l, 2, 3).(7)
Выражение через вектор перемещения можно получить, выполнив преобразования
о
R+ RNW，筹=｛力｝= + &%%也
позволяющие представить 4标 в видепозволяющие представить 4标 в видеПосле подстановки в (7) приходим к уравнениямПосле подстановки в (7) приходим к уравнениям
позволяющие представить 4标 в виде
позволяющие представить 4标 в виде
После подстановки в (7) приходим к уравнениям
После подстановки в (7) приходим к уравнениям
(禮“+理”)g。‘ %弘〃，一(1+p加』pb".(8)
L、kq )」
Еще одну форму уравнений движения изотропной упругой среды получим, заменив в них тензор напряжений Коши представлением (3.4) через меру деформации Фингера
V-T + pk = V-2 ]Z告(屮出 + 屮汙+5F2)+pk = pb
Т-V InТ-V Inили в развернутой форме
Т-V In
Т-V In
Fr • Vif)r + 屮]V・ F + 屮2V • F? I + pk = pb.
По (1.19.22) и (1.3.10)
0 工00
-2Vr• (^irG + ^2rG + Э огЕ) - • Ат- 2 ± ^л^"1-VRT-. AT.
№0
Использовав еще формулы (1.19.20), (1.19.21) и исключив Т по
приходим к уравнению
Эллиптичность уравнений равновесия
Здесь и далее рассматриваются уравнения равновесия — в уравнениях § 10 отсутствует вектор ускорения Ь.
Следуя III, § 11, рассмотрим в отсчетной неискаженной ^-конфигурации упругой среды произвольно выбираемую гладкую поверхность 步. Гауссовы координаты на ней обозначаются 卫" (а=1, 2), а отсчитываемая по нормали и к поверхности координата—через С； qs — материальные координаты частицы в объеме v.
Предполагается, что заданная в и функция 屮(q ^2,夕⑶)дважды непрерывно дифференцируема по координатам 卫“ на поверхности 步,а определенная на ней нормальная производная также непрерывно дифференцируема по 卫^ —— в обозначениях (III.11.21)
=0-[0〃а恥」w二0
По (II1.11.26) разрыв на 步 второй производной по 工 определяется при этих условиях выражением
[需k。=n」VvJ=o・n.
В другой записи
审 J=。 = l•中… пп(1)
и в компонентном представлении
причем nk~ковариантные компоненты п в базисе rk. Формула (2) определяет «слабые» разрывы 屮 на ^~ разрывы ее вторых производных.
В применении к функциям %$ в уравнениях равновесия (10.3) соотношение (2) позволяет со ставить три однородных линейных уравнения
г产一р0・・3з紹(q=l,2,3) ⑶
для неизвестных разрывов вторых производных %$ по ；.
Следуя Ноулсу и Стернбергу *) (J. К- Knowles, Е. Sternberg, 1975) назовем систему уравнений равновесия (10.3) эллиптической, если в отсчетной ^-конфигурации не существует поверхно-
стей слабого разрыва функций /^ — уравнения (3) допускают только тривиальные (нулевые) решения, детерминант матрицы их коэффициентов отличен от нуля
det什戸・・Ро ・・мВ0・⑷
VR
Этой 3x3 матрице, как всякой другой, может быть сопоставлена квадратичная форма трех переменных т^ —компонент единичного вектора m в %-6азнсе
mq%n・ Po • -msr5n = nin- -Ро • mn.(5)
VRVR
Система уравнений равновесия называется сильно эллиптической, если эта квадратичная форма положительно определенная
mn- -Ро • - mn > 0(6)
VR
для любой диады mn единичных векторов. Для сильно эллиптической системы детерминант (4) не только отличен от нуля, но и должен удовлетворять всем условиям теоремы Сильвестра. Разумеется, сильно эллиптическая система — заведомо эллиптическая.
В применении к уравнениям равновесия, записанным в форме (10.4), требование сильной эллиптичности равнозначно условиям «сильвестровости» при любых nk матрицы
д2ЭG
эквивалентным неравенству
———^— nkntmsm« > 0.(8)
Отсутствие эллиптичности подразумевало бы возможность разрывов на некоторых поверхностях гладкости решений уравнений равновесия упругого тела. Это трудно примирить с представлениями о приписываемых упругому материалу физических свойствах. Но нет и бесспорных оснований исключать такую возможность, например, при достаточно больших деформациях. Сильная эллиптичность —дополнительное, более ограничивающее требование. Далее мы увидим, что оно соответствует некоторым априорно предполагаемым свойствам упругой среды, непосредственно не следующим из ее определения как простого материала, лишенного памяти и наделенного свойством аккумулировать работу внешних сил. Сильная эллиптичность — свойство материала, определяемое заданием удельной потенциальной энергии деформации,
При заданной энергии сильная эллиптичность может иметь место о
для определенных множеств значений VR и отсутствовать для других множеств этих значений.
Матрица детерминанта (4) далее преобразуется в случае изотропного материала заменой в ней Ро тензором упругостей TF
VR
по формуле (9.12). При этой подстановке два первых слагаемых в (9.12) выпадают
3 • • Р • Vr г」г戸• • PRS • rg”，
r„n • -rmPTRm • • qn = nmrfl • Pl nR'" • % = r?n • • PR'" • r,nm> как и требуется. Приходим к рассмотрению матрицы У Л г„п- -Угг-Тр- ■(R^ + r^R,)^- r.n- °о
-/7^г7п-Vrr- TF • • (VR「・nrs + rJRr.n), преобразуемой к виду
n-VrT-(TF+TF- -С„)-VRr- n]-r^ -r7 Q-r5>(9)
причем TF • -Сп — тензор TF, в котором третий и четвертый индексы переставлены местами
(Ю)
Итак, система уравнений равновесия эллиптична при условии
detQ*O, Q = /73n-VrT-(TF + TF- Cn)-VRT-n (11) ——должен быть отличен от нуля детерминант ковариантных компонент Q (его знак по (1.5.1) не отличается от знака det Q). Предпочтительно заменить вектор нормали п к поверхности в отсчетной конфигурации вектором N ——в актуальной. По (1.8.8) о
n-VrT-(n-G"1-n),/2N, VRJn 二F・N. (12)
Отбросив несущественную для знака Q положительную квадратичную форму К/3 (n-G*1-!!)1^, придем к представлению в актуальной конфигурации
Q = N・(Tf + Tf・・Ch)・F・N.(13)
Заменив в (13) Tf его выражением (7.9), придем к развернутому представлению тензора Q
Q = ^oo-4^o)NN+^1N.FF.N+^22N-F2F2-N +
+a01(NF-NPNN-FN)+^02(N-F3N + NF2.N) +
+ &12(N<FF2.N + N-F2F.N) +
十；伸iE +电F) N・F・N + ；屯(N・FF・N + EN・F2F・N).(14)
Тензор Q, как видно из этого представления, симметричен. Его собственные числа пропорциональны квадратам скоростей распространения в предварительно напряженной упругой среде плоских волн в направлении N (когда преобразование отсчетной конфигурации в актуальную аффинно). Это дает основание назвать Q акустическим тензором [см. гл. 8, § 7]. Скорости вещественны, если система ——сильно эллиптическая.
Акустический тензор упругой среды
Для линейно упругой среды по (7.2), (7.11)——(7.13)
(Tf)° - |[н(Сп + СП1) + ^ЕЕ] = |те,(Tf + Tf-CQ。二 Те
и F = E в формуле (11.13). Представление акустического тензора приводится к виду
Q = N・Tg・N ；(入+(x)NN + wEN・N = 3 + 2w) NN 卜卩(t】h +12t?),
⑴ так как
N • & • N 匸 &R.Rs№ - NN, N ＜山・ N 二 NSENS-EN-N,
а единичный тензор E представим в ортонор мированном триэдре N, t1? t2 выражением
E=NN + hL + t2t2・
Матрица тензора Q диагональна и ее детерминант равен
det Q =炉(入 + 2卩).(2)
Уравнения равновесия линейной теории эллиптичны при условиях
[1^0, 九一卜2卩声0.(3)
Они строго эллиптичны при соблюдении критериев Сильвестра, сводящихся в этом случае к неравенствам
卩〉0, 入+ 2卩= 2(1^5^〉Of — 8 ＜ V ＜ ^.(4)
Собственные числа тензора Q равны 財=入 + 2卩， 网=自 二卩 и условиями строгой эллиптичности (4) гарантируется существование волн растяжения и волн сдвига (со скоростями ]/(А 卜2卩)/р, /丽в линейно упругой среде.
Известно, что необходимыми и достаточными условиями положительности удельной потенциальной энергии деформации линейно упругого тела являются неравенства
Н〉0,3 九+ 2(1 = 2卩^〉Of—1 ＜、，＜■!•(5)
5 А. И. Лурье
Выполнение этих требований гарантирует сильную эллиптичность, обратное утверждение не имеет места; например, при Z <—2闻3, 3Z + 2p, < 0, но 入+ 2卩〉0.
Рассмотрение нелинейно упругой среды, разумеется, значительно сложнее. Представив тензор упругостей его компонентным выражением (8.2), имеем по (11.13)
Q - NsNkg^ 3"戸g + 七式明 к R尸(6)
и в базисе собственных направлений меры Фингера
Q = N$N◎* C’Pq + W‘QP) е^,Q^ =： NSN^ ^p^ тл/^).(7)
В формирование этих величин из 12 компонент тензора упругих модулей войдет только 4 различных
曾口，tз2, T1212(Q313.(8)
Получаем
Qu=2 (乂汽1⑴比+ 乂訂^嘲+ 乂証3面喲，
Q12 у 2MM (v^1122 + ^h1212), Q21 = 2MM (c'iT2211 + ^2121),
причем учтено правило переставимости индексов (8.8). Обратившись к (8.9), (8.10), приходим к выражениям
Qu =内翳М +需号焉М十嗯旨受Nl, (9)
QI2 = N№ e鬻+贺K5)，Qn = NM (内需+需号分)
(10)
и несложно проверить, что Q12 = Q21 — акустический тензор симметричен. Действительно, по (3.12), (3.16)
@6 — 1 @力@о?1 д2э
% 0"2 一内况2加1 "401加1 - 5 @办@如 "2
и как требуется
Q12一Q2丄 = M"2[一明十6 + 5一喲 ^F^一 =0.
Конечно, остальные компоненты Q получаются круговой перестановкой индексов в (9) и (10).
Структура det Q, как видно из полученных выражений компонент Qmj достаточно сложна и получить из его рассмотрения отчетливые суждения о сильно эллиптическом материале вряд ли возможно.
Ограничимся рассмотрением случая вектора нормали, направленного по одной из главных осей меры Фингера. Пусть, например, N 二 q, Л\ = 1, N?二 N3 二 О. Тензор Q становится диаго-
нальнымQ…需，目，Q:*нальнымQ…需，目，Q:*(11)(11)Условия Сильвестра, выражающие сильную эллиптичность, водятся к требованиямУсловия Сильвестра, выражающие сильную эллиптичность, водятся к требованиям翳＞。，翳＞。，01 — 02*— У201 — 02*— У25—* v\ — vl5—* v\ — vl>0.>0.при-(12)при-(12)
нальным
Q…需，目，Q:*
нальным
Q…需，目，Q:*
(11)
(11)
Условия Сильвестра, выражающие сильную эллиптичность, водятся к требованиям
Условия Сильвестра, выражающие сильную эллиптичность, водятся к требованиям
翳＞。，
翳＞。，
01 — 02
*— У2
01 — 02
*— У2
5—* v\ — vl
5—* v\ — vl
>0.
>0.
при-
(12)
при-
(12)
Повторив это рассуждение, во-первых, приходим к требованиям монотонного возрастания главных напряжений вместе с соответствующей главной деформацией
翁〉О, s= 1,2,3.(13)
Во-вторых, к равенствам знаков разностей главных напряжений и главных деформаций ——«S^-критериям» (Бейкера — Эриксена)
Sgn(0s—%) = sgn (%-%);s, k= 1, 2, 3, s^k. (14)
Как говорилось в § 11, понятие о сильной эллиптичности согласуется с представлениями о том, как «должен себя вести материал». Более подробные сведения могут быть йолучены при рассмотрении конкретных материалов по явному заданию з (乙，/2, /3).
О постановке краевых задач равновесия
Предполагается известной неискаженная отсчетная v-конфигурация. Первая краевая задача, как и в линейной теории, состоит в разыскании актуальной ^-конфигурации ——вектора места RSI * 73) любой частицы тела 必(д】，^2,們 По заданию его или вектора перемещения u = R —— r на поверхности О в этой конфигурации
на 0: R = R (71, 72, 73) = t•(嗯，矿，9З)+ u (寸，矿，9)(1)
Искомое решение должно удовлетворять уравнениям равновесия в одном из перечисленных в § 10 видов (при Ь = 0).
Сложнее формулировка второй краевой задачи. Бесперспективно было бы требование удовлетворить уравнениям статики на поверхности О, не ограничивая класса рассматриваемых поверхностных нагружений — наперед неизвестна не только эта поверхность, но и какие направления примут заданные на ней силы. Поэтому ограничиваются рассмотрениями «мертвого» и «следящего» нагружений.
При мертвом нагружении по (2,1.12) и (1.8.7)
на О： №丁 = £ =俨芻=]/告 f° (n-G-i-n)-,/2； на о: n・P = f。，(2)
причем поверхностная сила f° задана на поверхности о тела в отсчетной конфигурации. Решение должно удовлетворять уравнениям равновесия в объеме V актуальной конфигурации, следовательно, требованиям равенства нулю главного вектора и главного момента внешних сил
JJJpk dV+^tdO = Q, JJJ RxpkdV+JJ RxfdO=0. (3)
Равновесной должна быть и отсчетная конфигурация
§§, Рок 血十 §, t°do-^0,§§“ х p()kdu +，§ rxf°do= 0.(4)
Первое условие (3) немедленно преобразуется в первое условие (4)—это следует из закона сохранения массы pdV = p()du и определения (2) «мертвого» нагружения. Иначе говоря, обращение в нуль главного вектора внешних сил в отсчетной конфигурации гарантирует равенство его нулю в актуальной конфигурации. Того же нельзя сказать о главном ^моменте внешних сил. Он будет в актуальной конфигурации нулем при выполнении условия совместимости (Синьорини)
§§，(R —r)Xp()k du + §§ (R —r)xf。do=0 или
JJJ Rxpokdr+J$ RxfMo = 0,(5)
непосредственно следующего нз (3) и (4).
По заданию внешних сил вектор места R в актуальной конфигурации, как и в линейной теории, определяется с точностью до жесткого перемещения [см. (1.4.22)]. Этот произвол можно использовать, чтобы удовлетворить условию (5) в предположении, что силовой тензор (2.1.16)——неособенный; это доказывалось в гл. 3, § 3. Осложнение может возникнуть, если силовой тензор В —особенный (detB = U). Об этом см. гл. 6, § 11.
Реальным примером следящего нагружения служит остающееся направленным по нормалп к деформированной поверхности тела гидростатическое давление. Уравнение равновесия на поверхности в этом предположении записывается в виде
на О: —pN = N・T; на о: — |/ ~ pn・W = n・P. (6)
Ошибочно было бы ожидать единственности решения краевых задач нелинейной теории упругости. Об этом свидетельствуют простые примеры.
Пусть внутренняя поверхность полого цилиндра закреплена неподвижно, а наружной с помощью цилиндрической обоймы, в
которую она заключена, сообщен поворот в первом опыте на угол ф0, во втором — на <р0 + 2л. Напряженные состояния в этих опытах резко различны, тогда как записи краевых условий (1) в них неразличимы — точкам наружной поверхности приписан один и тот же вектор места R.
Неединственность решения второй краевой задачи иллюст(эи- руется примером «выворачивания наизнанку» полусферического купола, когда наружная й внутренняя его поверхности в отсчетной конфигурации становится внутренней и наружной в актуальной; внешние силы отсутствуют в той и другой конфигурациях, но в актуальной конфиг;, рации возникает напряженное состояние, хотя отсчетная могла быть п натуральной. Аналогична задача о выворачивании наизнанку полого цилиндра [см. гл. 7, § 12].
К верхнему и нижнему 0工 и 02 торцам призматического стержня приложены параллельные его образующим «мертвые>- силы, направленные на 0工 вверх, на 02 —вниз — стержень растянут. Во втором мысленном опыте образец повернут на 180°, торец О】 становится нижним, О2 —верхним, но силы сохраняют направления, так как они «мертвые». Образец сжат. Это —пример неединственности решения второй краевой задачи при «мертвом» поверхностном нагружении. Здесь, конечно, не идет речь об образце в нагрузочном устройстве； создаваемое устройством нагружение не «мертвое»: оно сохраняет направление независимо от ориентированного образца, последний или сжат, или растянут.
Приемы рассмотрения задач о равновесии нелинейно упругого тела
«Лобовая атака» краевых задач, нелинейной теории упругости, описанных в § 13, как правило, безнадежна. Для малых, но 1о о
конечных значений градиента вектора перемещения Vu 二 VR —— E из натуральной отсчетной конфигурации возможно построение о
решений второй краевой задачи в рядах по степеням | Vu |, когда исходным приближением служит решение линейной теории. Процедура построена外 этих рядов разработана Снньорнни (1940). а исследование их сходимости и единственности (при некоторых ограничительных предположениях} иредстаЕЛ5；емого ими решения проведено Стопелли (Stopelli, 1954)и ван Бюреном (W. vaii Buren, 1968). На каждом этапе процесса требуется разыскание решения уравнений линейной теории при «массовых и поверхностных силах», определяемых по предшествующим приближениям, которые считаются известными. На всех этапах приближений главный вектор этих《сил》оказывается нулем, затруднения возникают при рассмотрении 《условия совместности» (13.5),
поскольку не исключено, что «силовой» тензор В может ока- затьсх особенным.
Эффективное определение слагаемых уже второй степени по Vu, «эффектов второго порядка», достаточно сложно, попытка идти дальше приводит к труднообозримым выражениям «сил» в правых частях линейных уравнений. ■
Следует вспомнить, что для пространственных задач линейной теории упругости (исключая случаи полупространства и шара) неизвестен способ эффективного представления решения второй краевой задачи при произвольном задании массовых и поверхностных сил. Это исключает возможность разыскания напряженного состояния уже для эффектов второго порядка, определимы лишь некоторые его интегральные характеристики. Доступнее плоские задачи, так как применимость приемов решения задачи линейной теории упругости методами теории функций комплексного переменного не ограничена спецификой задания массовых и поверхностных сил для обширного класса областей. Это позволило получить решения нелинейных задач не только для эффектов второго порядка, но довести их для ряда примеров до величин четвертого порядка (в многочисленных работах Ю. И. Койфмана и др.). Здесь же следует отметить исследование в рамках нелинейной плоской задачи поведения материала в окрестности конца прямолинейной трещины (J. К. Knowles, Е. Sternberg, 1975).
Накопление опыта решения нелинейных задач при больших деформациях обязано применению «полуобратного метода» —— метода, которым были достигнуты первые выдающиеся успехи и в линейной теории. На первом этапе процесса задаются предполагаемой формой осуществляемого преобразования R (г (q1, ^2, д')) отсчетной неискаженной конфигурации в актуальную, содержащей подлежащие определению функции материальных координат, на втором — по этому заданию составляется выражение меры деформации, а по ней (из уравнения состояния материала) тензор напряжений (Коши Т или Пиола Р). Третий этап ——по уравнениям равновесия в объеме и на поверхности находят распределения массовых и поверхностных сил, допускаемые предположенным заданием вектора места R. Требуется, чтобы так определяемые массовые силы соответствовали их заданиям, например, были постоянны (сила веса) или пропорциональны расстоянию от некоторой оси (центробежная сила). Чаще всего принимают к = 0, наперед предполагая, что напряженное состояние создается поверхностными силами, а влияние массовых несущественно.
о
Тогда выбор R подчинен условию V・T = 0 (или V.Р= 0), Остается потребовать от «произволов» в представлении R, созданных внесением в него пока неопределенных величин (функций материальных координат, постоянных параметров), чтобы определенные
в этой процедуре поверхностные силы соответствовали условиям задачи. Успех этого последнего шага, конечно, связан с назначением вектора места R, согласуемым с интуитивно предвиден- нъ».ли свойствами напряженного состояния, с его симметриями и т. д. Можно ожидать часто удачи в определении сил не на всей поверхности 0 в актуальной конфигурации, а на значительной его части; на остающейся части тогда довольствуются требованием равенства главного вектора и главного момента получаемых распределений поверхностных сил их известным значениям. Пример — боковая поверхность призматического достаточно длинного тела, на которой поверхностные силы имеют заданное распределение, и его торцы; на них добиваются выполнения указанных интегральных условий. Классическим примером такого построения может служить теория кручения.
В линейной теории упругости, напомним, распространен вариант полуобратного метода, в котором исходным этапом служит задание статически возможного, иначе говоря, удовлетворяющего уравнениям статики в объеме и на поверхности, напряженного состояния. Далее проверяется, что это состояние согласуется с уравнениями Бельтрами ——Мичелла; этим гарантируется, что линейный тензор деформации, вычисляемый по принятому тензору напряжений, допускает определение вектора перемещения и. Перенесение этого приема в нелинейную теорию затруднено тем, что обращение уравнения состояния ——разыскание меры деформации по тензору напряжений из нелинейного уравнения состояния практически неосуществимо (II, § 8) и неоднозначно. Аналог уравнений Бельтрами ——Мичелла в нелинейной теории может быть использован лишь в исключительных случаях (§ 17). Поэтому вторым вариантом полуобратного метода здесь может служить исходное задание меры деформации, удовлетворяющее условиям обращения в нуль тензора Риччи (III. 10.21). По этой мере и по уравнению состояния составляется тензор напряжений. Он должен быть статически возможным: его дивергенция должна быть нулем, если не учитываются массовые силы, а по его произведению на вектор нормали определяются поверхностные силы. Конечно, нет оснований ожидать, что такая процедура не потребует при выполнении уравнений статики в объеме конкретизации задания коэффициентов определяющего уравнения, как функций инвариантов меры деформаций (скажем, коэффициентов 5(/1, /2> 厶)в (4.3.4)). Значит и формы представления поверхностных сил зависят от выражений этих коэффициентов, иначе говоря, их нельзя представить в единой записи, независящей от того, какой принят закон зависимости удельной потенциальной энергии з(/], /2, /3) от ее аргументов.
Формулы для поверхностных сил различны для различных материалов; для одних уравнения статики в объеме выполняются
по исходному заданию меры деформации, для других потребуется другое ее задание.
Но не исключено, что эти затруднения могут и отсутствовать. «Универсальными» называются такие деформации, задание которых обеспечивает в описанной процедуре вычисления выполнение уравнений статики при любом материале, т. е. независимо от конкретного задания э (/15 /2, /3) или, что то же самое, ▽『(/”/2，/з)・ Тогда и формулы, определяющие поверхностные силы» обеспечивающие реализацию такой «универсальной» деформации, окажутся представленными только через э. Они универсальны в том смысле, что по ним производится расчет сил для любого материала. Конечно, численные величины этих сил будут различны для различных материалов. Универсальным назовем и решение R (q\ q?, q*) уравнений теории упругости, определяемое по универсальной деформации. Напомним, что в этих определениях предполагалось отсутствие массовых сил.
Универсальное решение уравнений нелинейной
теории упругости. Теорема Эриксена
Совершенно очевидно, что универсальным является решение, определяющее аффинное преобразование отсчетной конфигурации в актуальную
R г • А；炉(1) где А — постоянный тензор, det A=^= 0. Меры деформации также постоянны
ОО•
VR = A,G-A At, F = A」・A,(2)
значит и их инварианты, в том числе /3 = (det А)2. Тензор напряжений Т по (4.3.4) представляется квадратичным трехчленом с постоянными коэффициентами
T = 2(detA)-M許e +(需+ /,/尸_設户卜 (3)
Прн отсутствии массовых сил уравнение статики в объеме V-T= 0 удовлетворяется, а уравнение статики на поверхности дает распределение поверхностных сил
J N Т= 2 (det А尸［/3證N +(券十厶器)N • F—設N •円，
(4) oc\гцествляющих рассматриваемое преобразование.
Теорема Эриксена (J. L. E『ickscr, 1955) утверждает, что универсальных решений задачи о равновесии изотропного упругого
тела, отличных от реализуемых при аффинном преобразовании (1), не существует. Приводимое далее доказательство принадлежит Шилду (R. Т. Shield, 1971).
Сначала устанавливаются два вспомогательных предложения: а) при з(/[, /2, dL уравнение статики удовлетворяется, если R ——гармонический вектор. Действительно, по (II.3.5)
о о оо с
р = з°2VR, V・P=2V・VR = V2R=0.(5)
▽ R VR
б) Пусть теперь з(/〕, /2, /3) - /3уравнения статики удовлетворяются при /;1 const. Обратившись к (1.9.1), (1.9.4丿，имеем
(М%)。-/ЛVr\ v-K7；vr^-o, (/,)0 „2/7；(/7；)о ⑹ VRVR『R
и поэтому (используя правило V•屮Q = tpV• Q+Ф• V(p)
Р 二二 з о = (/Jo '
VR VR
V-P = 2V.//3 (j//3)o =
VR _o —_0___
= WT^-VTZ VrT4 2V7；Vr.Vj/7；^2/7；VlZ7； = V/3 = 0, (7)
откуда и следует, что /3 — const (градиент этого скаляра равен нулю).
Пусть теперь э^У 13э (/1? /2, /3) и вычисляемые гю з и з тензоры напряжений удовлетворяют уравнению статики. Имеем
Р=з° =/7；；0 +(/л) 0 Э, VP = J/7；V.；O -Ито + VRVRVRVR VR
+Nu工)。+(/7；)т0 齿.
VRVR
Первое слагаемое равно нулю по условию, второе по (7), третье по (6). Приходим к уравнению
V・P = //3 Vr・ Va = J//3 Va = 0, э^ const.(8)
Значит и все инварианты 1 k постоянны. Поэтому
о
V2/—0.(9)
Вместе с тем
22о оо о 3
2
2
G = VR VRt, /](G) = VR VR』» 工
s = 1 k = 1
332汇£s = 1 Л — 1332汇£s = 1 Л — 1dxk д оdxk д о薪市W炉+2薪市W炉+23(券)2"Г = 1 s = 1 〃二 13(券)2"Г = 1 s = 1 〃二 1
33
2汇£
s = 1 Л — 1
33
2汇£
s = 1 Л — 1
dxk д о
dxk д о
薪市W炉+2
薪市W炉+2
3(券)2"
Г = 1 s = 1 〃二 1
3(券)2"
Г = 1 s = 1 〃二 1
Но первое слагаемое равно нулю по (5). Получаем
d2/даг dasd2/даг das左=1, 2, 3.左=1, 2, 3.(10)(10)
d2/
даг das
d2/
даг das
左=1, 2, 3.
左=1, 2, 3.
(10)
(10)
Итак, xk ——линейные функции % преобразование отсчетной конфигурации в актуальную аффинно, что и требовалось.
I Конечно, линейное преобразование остается универсальным решением и в случае несжимаемой среды (/31), но теорема Эриксена в вышеприведенной формулировке в этом случае не имеет места; оказывается, что линейное преобразование ——не единственное универсальное решение (см. гл. 7, §§ 8, 9).
Принцип стационарности потенциальной энергии системы
Здесь и в § 17, § 18 формулируются вариационные принципы нелинейной теории упругости. Доказывается, что уравнения равновесия и краевые условия на поверхности О тела в его актуальной конфигурации могут быть получены, как следствие этих формулировок. Вместе с тем ими подсказываются возможности применения прямых методов типа Ритца, Бубнова ——Галер- кина и их видоизменения, предложенного Л. В. Канторовичем, к приближенному решению задач нелинейной теории упругости.
Исходным пунктом вывода принципа стационарности потенциальной Э!1Сргип системы служит соотношение
⑴⑴6з=6'а(с,
⑴
⑴
выражающее равенство вариации удельной потенциальной энергии деформации элементарной работе внешних массовых и поверхностных сил на виртуальном перемещении 6R частиц тела из состояния равновесия в актуальной конфигурации.
Запись в интегральной форме имеет вид
\，\ 6adu-JJJ pk・6RdU — ,,f、・6RdO = 0.(2)
Массовые состоянии ПоэтомуМассовые состоянии Поэтомусилы не варьируются, они те же в рассматриваемом равновесия, что 丁 в сравниваемых с ним состояниях.
Массовые состоянии Поэтому
Массовые состоянии Поэтому
，㈠ pk・6R W = §§§ Pok・6Rdu=6§§，p°k・Rdu = 6 \ Rpk.R W.
уVDV
(3)
Знак вариации был вынесен за знак интеграла, так как отсчетная конфигурация, конечно, также неизменна при варьировании.
Принимается, что о2 = о―% — та часть поверхности тела в отсчетной конфигурации, на которой задается вектор переме щения и, на части 内 задано «мертвое» поверхностное нагружение f°. Тогда по сказанному
на о2: 5R = 0; на %: 3。= 0.(4)
Итак,
JJf-6RdO = $$f-6RdO+$$f'6RdO = $$f°-6Rdo- 00.。2。1
(5)(5)=6 §\f°・Rd。01
(5)
(5)
и соотношение (2) приводится к виду
б[Ш(9-p0k-R)dr-$Jf».Rdoj =0(6)
или после перехода к интегрированиям в актуальной конфигурации
б\Ш(/盟— pk.R)W—Uf。先 Rdo]=0,⑺
причем ^ следует заменить его значением (1.8.7), Величина в квадратных скобках
吃=<Ш（3 —Pok.R）曲一巾0.R 而= №（］/ |3-pk.R）dl/- 一巾嚼'Rd。，（8）
называемая потенциальной энергией системы («тело + внешние силы») представляет функционал над вектором места R частицы в актуальной конфигурации. Соотношение (6) (или 7) выражает теорему (принцип) стационарности этого функционала: из всех допустимых полей векторов места (иначе говоря, принимающих на 02 наперед заданное значение) в состоянии равновесия
осуществляется поле того вектора, в котором функционал Wх сохраняет стационарное значение (谷出\」0),
Напомним, что стационарным называется значение функционала, приобретающее при сообщении взктору места R вариации 6R приращение А取]более высокого порядка малости, чем | 6R |. В линейной теории доказывается, что \Wt > 0 (при з > 0), т. е. что стационарное значение функционала является его минимумом. В нелинейной теории для такого утверждения нет основания.
Дифференциальные уравнения и натуральные краевые условия вариационной задачи о стационарности - функционала WA представляют уравнения равновесия в объеме и на поверхности одного из видов, представленных в § 10.
Действительно, вспомнив (4.1,3), (2.6.2), (II.2.7), (1.3.10) и (III.3.10), имеем
ии VRи
=В /1-VrT-T- ■V6Rrdy= «§Т・ YbRT. VrW；
=\ J$T- ■ V6RTrfI/ = JJJ[V.(T.6R)-(V.T)-6R]dV =
=$J N-T-6RdO-JJJ 6R.(V-T)dV (9)
и это позволяет представить (2) в виде
+ » (N・T —f)・6R4O = 0.(10)
Согласно лемме вариационного исчисления, вследствие произвольности 5R в объеме V, отсюда следует
V-T + pk-0.(11)
Поверхностный интеграл по О2 отпадает, так как на О2 вектор R задан, 8R = 0. На Ог вектор 6R произволен и поэтому
N-T-P.(12)
Заметим, что в этих преобразованиях только для сокращения записи и чтобы не повторять ранее нродэлашюго в § 10 применены обозначения Р или Т. Удельная потенциальная энергии задана через меры деформации и, приняв принцип стационарности потенциальной энергии системы, как исходное пред”
ложение механики упругого тела, можьш вообще не упоминать о напряженном состоянии, «не знать о его существовании».
Если массовые силы имеют потенциал, а поверхностные силы — «мертвые», то функционалу Wj придается вид
吃=H(3 + p/)du—§，fo.Rdo, .(13)
так как k*6R — —Vn*6R = — Bn по (1.1.7) и по определению (III.2.1) градиента скаляра.
Если еще в число внешних сил, распределенных по всей поверхности 「тела, включено и равномерное давление на ней р, то по (2.1.13)
%=酬6+р。"+"^) dv~~^t° R do. (14)
Принцип стационарности дополнительной работы
Этот принцип противопоставляется принципу стационарности потенциальной энергии системы. Здесь речь идет об отборе из множества ^статически возможных напряженных соостояний состояния/фактически реализуемого в упругом теле, тогда как принцип стационарности потенциальной энергии не содержит упоминаний о напряжениях, а выражает свойство истинного поля перемещений.
Функционал, стационарность которого рассматривается, должен быть выражен через тензор напряжений или его инварианты, если среда изотропна; геометрические величины не должны в него входить. В линейной теории упругости это не сопряжено с трудностями, так как выражение линейного тензора деформации через тензор напряжений Т известно и это позволяет сразу же получить представление удельной потенциальной энергии через напряжения. В нелинейной теории эта процедура требует обращения уравнения состояния материала; о практической неосуществимости такой операции в общем случае (для любого материала) говорилось в § 14 и II, § 8. Но ход вывода принципа стационарности ■ дополнительной работы требует предположения, что обращение осуществлено; принимается, что соотношение
Р = 3° =P(VR)(1)
VR
О разрешено относительно VR
о о/о \
VR= VR (Р),八VR丿=з(р).(2)
Производящая функция преобразования Лежандра обратного (1), как известно, определяется выражением
9X(P) = P--VR-(P)_3(VR(P)).(3)
Действительно, по (1)
О00
бах (Р)=冲•・ VRT (Р) + Р 6VR (Р) ―А 6 VRT - dyR оо
=6Р・・ VRt (Р) = VR (Р) • • 6РТ,(4)
так что по определению производной скаляра по тензорному аргументу о
VR(P) = (»x)p,(5)
что и требуется; 5Х (Р) называется удельной дополнительной работой. Это соотношение — аналог теоремы Кастильяно линейной теории упругости.
Далее рассматривается статически возможное напряженное состо5кние; в нем тензор Пиола Р удовлетворяет уравнениям статики в объеме и н на той части поверхности %, на которой задано мертвое поверхностное нагружение
о
в V： V-P4-pok = O; на %: n-P = f°.(6)
Для статически возможных состояний, сравниваемых с реализуемым состоянием равновесия, выполнены условия о
в и: ▽ (Р +6Р) + рок = О; на о】： n-(P + 6P) = f°,
так как массовые и поверхностные силы на о1 остаются неизменными. Итак,
о
в V： V- 6Р = 0; на。里：п・6р = 0・⑺
Рассматривается функционал W2 над статически возможными тензорами Р, называемый дополнительной работой
W2= J$$3X (P)dv—^ R-f°do(8)
—здесь f° следует трактовать как реакции приспособлений» обеспечивающих выполнение требуемого на о2 задания вектора места R.
Теперь, сославшись на определение (4) и учитывая, что на о вектор R не варьируется, имеем по (1)
6% = S&RT・"Pdu—，，R・6Pdo =
= $JJ [V.(6P.R)-(V.6P)-R]dv-$J R・6f<>do =
JJJ(V-6P)-Rdv +JJ n-6P-Rdo + $J (n-6P-6f°).Rdo. ⑼
D01°2
н, сославшись на (7), приходим к принципу стационарности дополнительной работы
6% = 0, ”2= $，[р••成т—3(£r(P))]a —，§ nPRdo (11)
0о 2
—функционал W2 сохраняет стационарное значение на всех статически возможных (удовлетворяющих условиям (6)) заданиях тензора Пиола.
Известно, что ротор градиента вектора — нулевой тензор. Поэтому, из соотношения (5) имеем
о о о
V х VR = V 乂 (》х)р = 0.(12)
Это—аналог уравнения совместности напряжений линейной теории ——уравнений Бельтрами — Мичелла. Известно, что принцип минимума дополнительной работы в этой теории выделяет из множества статически возможных напряженных состояний реализуемое состояние, допускающее определение вектора перемещения. Естественно ожидать, что принципу стационарности дополнительной работы в нелинейной теории отводится та же роль ).
Чтобы убедиться в этом, составим уравнение Эйлера для связанной задачи вариационного исчисления о стационарности Функционала (11) при наличии связей (7).
Введя в рассмотрение лагранжев множитель (вектор)儿 имеем
VRJ 卅血一心 R・3Fdo + ]，\ A・V・ 3Pdy 0.
Повторяя знакомое преобразование (Ш.3.10), имеем
Ф ?V-V.SPtto「,“ [v.(6p.x)-(v^)r-.6p]di>-
=\, A・n・3Pdo + §§ AnBPdo — §§§ У7/. 6P dv =
так как по (7) интеграл по о, отпадает. Сославшись на (10), получаем
6»2 = ,\,(VRT —Пт)- -SPdr + JJ (^-R)-n-Pdo-0.(13)
Можно считать за счет выбора трех компонент 九 независимыми все девять компонент 6Р, связанных тремя условиями (7) в объеме и. Приходим к требуемнм результатам
о о
в и: VR = VA； на о】：九【R.(14)
о
Доказано, что тензор VR, определяемый по (5), представляст градиент вектора — соотношение (5) интегрируемо
V 毆二「％=從，R「f.后，R^. j dr.-^+R«) (2
——интегрирование проводится по любой кривой, соединяющей 加(<А死 d c e< (砒，補，啕.
Предположение об обратимости соотношения (1), на котором основывался вывод принципа стационарности дополнительной работа, вызвало сомнения в публикациях, последовавших за работой Л. М. Зубова. Койтер (W. Т. Koiler) в двух статьях (1978, 1975), посвященных принципу Зубова, указал на приемлемость предположения об обратимости, однако неоднозначной. JI. А'【 Зубов, основываясь на полярном разложении тензора Пиола, доказал, что представление (2) меры деформации через тензор Пиола имеет, вообще говоря, четыре ветви, однако, ес.'Ш деформации не чрезмерно велики (угол поворота триэдра главных направлений меры деформации K()iuh не превосходит 7(丿丿， реализуется только одна ветвь (1976).
§ 18. Смешанные принципы стационарности Рейсснера и Ху— Вашицу
1950) тензо-1950) тензо-В принципе стационарности Рейсснера (Е. Reissner, рассматривается функционал W3 над вектором места R и ром Пиола Р
1950) тензо-
1950) тензо-
%=旧[p--VRt-3X (Р) —p°k・R]du —，，fo.Rd。—
—，，n.p. (R —Rx)do. (1)
。2
Здесь эх (Р) — удельная дополнительная работа; Rx — заданный на о? вектор места. В другой записи в соответствии с (17.3) функционал Рейсснера имеет вид
，У [3(P) — p°k.R]A—『。*曲一“ n・P・(R —Rx)do. (2)
Варьируя функционал W3i получаем
—ро k * 3R J dv —■—ро k * 3R J dv —■оо
—ро k * 3R J dv —■
—ро k * 3R J dv —■
6Р. -VRr + P. .6VRT-(3X)P. -6РТ
—J$ f°-6R Jo-JJ n-6P- (R- Rx)d。一，，n・P・6Rdo.
0101°2°2。2
01
01
°2
°2
Заменив поверхностный интеграл по % объемным, имеем
Wn・P.6Rdo = §S n・P・6Rdo—§, n・P・6Rdo =
%О01
=[(V-P)-6R+P- -6VRT]^-JJ n-P-6Rdo
и это позволяет представить 6W3 в виде
'% = -“£ [(^-^R)--6PT + ^-P+Pok)-6RjdU +
+ ,S (n・P—f》6Rdo—V n・6p.(R —Rx)do = 0. (3) 0102
Отсюда вследствие произвольности задания 6R и 6Р в объеме следуют соотношения
VP + Pok^O, 詣「VR.(4)
На части поверхности ог произвольна вариация 6R, на части <92 —вариация 6Р. Итак,
на о】： n・P = f°；на(%： R 二二 Rx・(5)
Используя функционал Рейсснера, не надо заботиться о выборе тензора Р из множества статически возможных тензоров, в этом преимущество принципа Рейсснера перед принципом стационарности дополнительной работы. Как и в последнем выполняется соотношение (17.5)—— тензор Пиола, определяемый из принципа Рейсснера, удовлетворяет уравнению состояния материала.
Задавшись выражениями вектора места R в актуальной конфигурации и тензора Р, содержащими некоторое число описывающих их функций материальных координат и постоянных параметров, следует составить по ним выражение функционала W3. Эти функции и параметры далее разыскиваются из уравнений Эйлера вариационной задачи и диктуемых ею краевых условий. Этот прием «двух аппроксимаций» (R и Р) с успехом применяется в задачах линейной теории. Конечно, в нелинейной теории уравнения Эйлера для аппроксимирующих функций нелинейны. Трудности, связанные с представлением удельной дополнительной работы Зх (Р), конечно, сохраняются и при составлении функционала 忆.
Эта трудность избегнута в принципе стационарности Ху — Ва- шицу (К. Washizu, 1955).
Функционал задается выражением
^4=，У [з(с)-рт..(с-%т)-р°к*]^-
(6)(6)—JJf°-6Rdo-JJ n-6P-(R-Rx)do.
(6)
(6)
01
Здесь С — некоторый тензор второго ранга, э (С) — выражение о
удельной потенциальной энергии, в котором VR заменен тензором С. W^ — функционал над тремя независимыми величинами Р, о
С, R; по R составляется выражение VRr.
Вычисление вариации 6IF4 в значительной части повторяет (3). Получаем
Уравнения Эйлера и краевые условия в силу независимости вариаций бР, 6С, 6R приводятся к виду
Р = / C=VR，VP + pok = O,(8)
на 仇：n-P = f°; на о?： R = Rx・(9)
В записи (8) представлены как уравнения статики, так и определяющее уравнение.
§ 19. Принцип Гамильтона — Остроградского
Действием по Гамильтону называется функционал над вектором места R(g* 广 吟 /)при движении системы
=dt.(1)
Здесь ЭС — кинетическая энергия
7皿v-vd7 = -^JJJ pov-vdv,⑵
UZ — потенциальная энергия системы, определяемая по (16.8) 取=— p()k • R) du —，，f。• R do =
=^{Vl9-^dv~^^d0-⑶
Осуществляемое движение R (g* g* 們 ％)подлежит сравнению с движением R + 6R, в котором 6R -— виртуальное перемещение, сообщаемое мысленно частице из ее мгновенного положения в бесконечно близкое (синхронное варьирование), 6R — непрерывная и дифференцируемая функция материальных координат н времени. Операции варьирования и дифференцирования по времени принимаются переставимыми
(6R)-6R.⑷
На концах промежутка времени [/0,匕]вариации 6R принимаются равными нулю — сравниваемые движения совпадают в начальный и конечный моменты этого промежутка
3R ◎，*产幻_ 0, 6R (广广论幻二0(5)
каждой частицы среды.
Свойство движения, заключенное в вариационном принципе амильтона — Остроградского, формулируется так: от всех
мыслимых (допускаемых связями) движений в промежутке времени [；0, f], совпадающих в начале и конце этого промежутка, осуществляющееся движение отличается тем, что для него действие 步 стационарно, его вариация равна нулю
(6)(6)3夕=0.
(6)
(6)
Надо доказать, что в этом требовании заключаются уравнения движения, приведенные в § 10, включающие не только уравнения (гл. 2, § 6), но и уравнения состояния среды.
Используя свойство вариации (4) и (5), имеем
厶厶6%=46%=46V• vdf; J『6V• vdf6V• vdf; J『6V• vdfз vdf = 6R・uз vdf = 6R・uf оf оb・6R〃,b・6R〃,‘0%‘0%九 3九 3
厶
厶
6%=4
6%=4
6V• vdf; J『6V• vdf
6V• vdf; J『6V• vdf
з vdf = 6R・u
з vdf = 6R・u
f о
f о
b・6R〃,
b・6R〃,
‘0%
‘0%
九 3
九 3
так что
6』％d/ = — § dt,, p0b-6R dv.6』％d/ = — § dt,, p0b-6R dv.⑺⑺
6』％d/ = — § dt,, p0b-6R dv.
6』％d/ = — § dt,, p0b-6R dv.
⑺
⑺
Вычисление вариации функционала W сводится к преобразованиям, проведенным уже в § 16.
Поскольку на ох задана сила f°, а на о2 —вектор места R, получаем
V • Р + рок) • 6R dv + j j (f。一 п • Р) • 6R do, (8)
причем в ходе вывода использовалось уравнение состояния Р=(з)о •(9)
VR
Условию (6) теперь придается вид
5步=jd%[,f (—Pob + VP + pok).6Rdu+〈,(F —n・P)・ BRdo - 力 L' J%
и хорошо "известное рассуждение приводит к ожидаемым уравнениям движения и краевым условиям
о
в V： Vpq-pyk = р0Ь;на ®: n-P = f°,(11)
причем, подчеркиваем, тензор Пиола Р определен здесь по (9).
Выполнение кинематического краевого условия на о2 пре
дусмотрено в самом задании функционала 岳，входящий в него
вектор R должен удовлетворять этому условию. Это предусмот- еН0 в словесной формулировке принципа (говорится о допускае- *х связями движениях).
Обратив ход вывода, несложно от уравнений (11) прийти К принципу стационарности действия. Формальное преобразование позволяет представить уравнения (11) в форме
в V： V-T + pk = pb; на О1： N-T = f°^ = f.(12)
Известно, что разность 觉一IF называется лагранжианом системы 2, так что
2 =吁2dt(13)
£ о
и запись (10) можно представить в виде
6留=\ 69 dt = \ d^ JJJ (—pb4-V.T + pk)川十
+ §§(f-№T)・6RdO=0・ (14)
Замечание. В записи потенциальной энергии W предполагалось, что поверхностные силы «мертвые», значит потенциальные. Можно отказаться от этого предположения, задав выражение их элементарной работы в виде
6М(е,= JJ f-6Rdo(15)
отдельно и исключив соответствующее слагаемое из представления (3). Определив 6步乂，как и ранее 6夕 по (10), но с так измененным 眩，получим
3步х =，也 |~，§\[ — Pob + VP 一卜 p°k) • BRdu—，§ n・ P・ 6R do , так что
Монпю назвать это соотношение принципом Гамильтона — Остро- 2趾1《。「。，но без эпитета вариационный, так как здесь нет Функционала, стационарность которого рассматривается.
Г л а в a 5
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНО УПРУГОГО МАТЕРИАЛА
О выборе уравнения состояния изотропного упругого тела
Квадратичный закон состояния (4,3.4) упругого, изотропного, однородного материала конкретизируется априорным заданием явного выражения удельной потенциальной энергии деформации з, как функции инвариантов меры деформации, либо представлением через них самих коэффициентов 屮「(厶，/2, /3) этого закона, совместимым с существованием а (для гиперупругого тела). Рассмотрение простейших деформаций (всестороннее сжатие, растяжение, кручение), допускающих сравнение с опытом, дает основание для суждения о пригодности или непригодности предложенных представлений а (или 屮「)для рассматриваемого материала.
Выбор варианта оправдывается степенью его близости к уравнению состояния линейно упругого тела. Например, заданию 5 в линейной теории квадратичной формой компонент градиента перемещения Vu с постоянными коэффициентами сопоставляется задание, приводящее к учету в уравнении состояния хотя бы квадратичных по Vu слагаемых. Другой прием основан на удержании величин этого порядка в самих уравнениях состояния, сохраняющих при этом свою инвариантную запись. Еще один критерий состоит в сравнительной доступности последующего математического рассмотрения. Наконец, в отступление от подходов механики сплошной среды привлекают к построению определяющих уравнений статистические представления; предложенные соотношения корректируют и дополняют экспериментальной проверкой.
Нет недостатка в критических высказываниях, относящихся к описанным приемам. Например, «природа не отдает предпочтения представлениям функциональных соотношений степенными рядами» (Трусделл); «там где не хватает идей, им на смену приходят слова — простота, доступность» (Ривлин).
Успеха в рассмотрении этой «главной неразрешенной задачи механики сплошной среды» (Трусделл) надеются достигну ть, постулируя достаточно общие требования к математической стр、｝- туре задания определяющего уравнения, которые позволили бы отбраковывать или признавать приемлемым предложенный вариант. Об этом см. §§ 9一13.
Тело Сетха. Тело Синьорини
Казалось бы, что очевидной и простейшей попыткой описать поведение материала при больших деформациях может служить едЛОженная Сетхом (€eth, 1935) замена в законе Гука линей- н^京 теории линейного тензора деформации е тензором конечной реформации, например, тензором (1.7.8) Альманзи А или соответствующей ему мерой g
Т =入Е/1 (А) +2卩А -二-у (3入+ 2卩)Е —^ (V】(g) Е + 卩g)・⑴
Сравнение с (4.3.7) дает
收=一｝ ]/^[3儿+ 2卩_財|(四，^ = ! )/ ^卩，电=0.⑵
Условия интегрируемости (4.3.6) не выполняются, «квазилинейный» закон (1) непригоден для описания поведения гиперупругого тела. Однако, как показал Сетх, он позволяет учесть некоторые особенности нелинейной теории, например, конечность силы, создающей разрыв образца (бесконечное возрастание одного из главных удлинений), необходршость приложения нормальных усилий для осуществления деформации простого сдвига. При малых градиентах вектора перемещения количественные результаты не могут значительно отличаться от предсказаний линейной теории, но квазилинейный закон не налагает ограничений на перемещения и повороты, поэтому допускает рассмотрение недоступных линейной теории явлений.
Синьорини (Signorini, 1943—48) предложил закон квадратичной зависимости тензора напряжений Т от меры деформации Альманзи, согласованный со структурой определяющего уравнения (4.3.7)
Т =(恤厶 + 恤/广 +恤/； + mJ E — (mJ； + 加6)g + m7g. (3) Здесь /2=/々(g). Постоянные mk определяются требованием существования потенциала з, иначе говоря, их выбор подчинен условиям (4.3.8). Они приводят к уравнениям
Выражение удельной потенннальной энергии приобретает вид
з = (/；)т% ("Л + 加2/广+ 〃％/； +，％) 4-const.
В отсчетной конфигурации (g「「E, /；—「/$ 二 3, /；「二1)
Т—• рЕ,— р l —— 3/и2 + /И3 + ш^(о j
и формулы (4), (5) заменяются представлениями
Т = [—• Р十团工(/〔十 1) •+加2 (/； + 3) + т.л (/； — 1)] Е —
—[(2% 4- 4他)/； + 2码]g + 2mg2, (6)
?h (/广% [皿(厶 + 1) +恤(/г + 3) 4-m^Il-^-p].(7)
Число постоянных снижается до трех, если неискаженное отсчетное состояние — натуральное (р ・0).
После перехода от меры к тензору деформации Альманзи А и его инвариантам, обозначаемым 〃「//А), н введения с целью приблизиться к обозначениям линейной теории новых постоянных
4/zii = — % 彳加乞匸 万(入 + 卩—^) , ^tn^ 12m2 十 2/7?3 ；卩 + q(8'
получаем по (1.7.21)
T=[*+e%+^ (入十卩一卷)/广] E+2 [卩一
-(九 +卩 +不)"Ja + 2cA2, (9)
3= /^ [明十卜+卩一卷)/广+
Отсчетная конфигурация (в ней А-- 0)—натуральная, а аддитивная постоянная в (10) выбрана так, что в ней з — 0.
Закон Синьорини — общее и единственно правильное представление соотношения, определяющего квадратичную завнснмость компонент тензора напряжений от компонент деформации в гиперупругом изотропном теле. В «упрощенном квазилинейном законе» Синьорини с-0
T=回一斗…)&[ e+2[卩一(餐包用A. (Ill
Вхождение подчеркнутых слагаемых, отличающих его от закона Сетха (1), обеспечивает существование потенциала э. Его вьлра， жение, если вернуться к инвариантам //. (g) меры Альманзи,
р упрощенном законе записывается в виде
8? J告=9九+5卩一2 (3九十卩)/；+3 +n)/「一 8卩J/丁一=
=4^ ［(/； + 3) /； — 18 /%］十(9 九 + 5И)(|/1-1)2. (12)
Далее находятся достаточные условия положительности э. Величина в квадратных скобках положительна. Действительно, можно усилить неравенство
那(gi +也 + g3)3 一叁， отбросив в его правой части
отрицательное слагаемое. Поэтому
/у 用/广(/"3)2,(Л+3) Л-18/Л>0(13)
и по (12) искомые условия приводятся к виду
卩〉0, 9入+5卩〉0 (九〉一_!■卩).(14)
Необходимость первого условия следует из (12) для деформации, в которой /； = 3.
Область допустимых параметров 九，卩 в линейно упругом теле 卩〉0,3a + 2卩 >0(15)
шире, чем в теле Синьорини. Это следует объяснить тем, что неравенства (15) должны обеспечивать положительность з лишь при малых деформациях. Введя в рассмотрение величину
1 入
называемую в линейной теории коэффициентом Пуассона, можно неравенства (14) и (15) для тела Синьорини и для линейно упругого тела записать еще в виде
卩>0, 一豆 < W < 万；卩〉°，一l<v< 万. (16)
За меч а и не. В работах Н. В. Зволинского и П. М. Риза (1939) предложен квадратичный закон состояния, включающий пять констант
т = 口％ 十(8 +)/；2-(С + 3九')/；］ Е +
十」2М十(e十九'一2卩')司A十(0十5卩')*.
Его можно согласовать с законом Синьорини (9), определив 5, С, D через 儿 卩，с равенствами
5 = ^■(卩—^)，c = — e—3"， D = 2c — 5同
入，=入， 卩，=卩.
§ 3・ Материал Мурнагана
Представление удельной потенциальной энергии деформации полиномом по степеням компонент тензора деформации Коши Грина с постоянными коэффициентами, подлежащими экспериментальному определению, было использовано в многочисленных исследованиях Мурнагана (F. D. Murnaghan), содержание которых воспроизведено в его монографии 1954 г.
Отправным является задание удельной потенциальной энергии деформации з, обеспечивающее включение в уравнение состояния всех слагаемых второй степени относительно градиента перемещения Vu. Если ограничиться изотропными материалами, то выражение з следует задать скалярными структурами (1.15.16), (1.15.14) второй и третьей степени. Присоединив к ним слагаемое первой степени, придем к шестиконстантному выражению з = — р/| (С) +1 [VI (С) + 2卩/| (G)] +1 [%/； (С) +
+ 6%/i (С) /[ (G) + 8V3/1 (Сз)]二 一 〃/С) + } 3 + 2卩)/式С) —
-2 卩厶(С)+|(/+ 2加)/： (С)- 2тЛ (С) /2 (С)十九厶(С). (1)
Здесь 入,卩一постоянные Ляме второго, vn v2J v3 — третьего порядка, через /, m, п обозначены постоянные Мурнагана, связанные с v2, v3 формулами (1.15.15).
В экспериментальных исследованиях, связанных с задачами нелинейной акустики, накоплено значительное число данных о постоянных Ляме третьего порядка для ряда материалов. Некоторые сведения о них были получены по результатам статических испытаний Бриджмена при весьма высоких давлениях (Р. W. Bridgman, 1948).
После замены Ik (С) через инварианты /饱(G)占/々 меры деформации Коши — Грина формула (1) преобразуется к виду (если начальное состояние натурально, р = 0)
? = ； [( - 3入—2卩+ 丁/ + ?) 人(5 +2("+2卩一3/ - 2/几)/J (G) 4 + ( — 2卩 + 3加一^)厶⑼mh (G)厶⑼ + ^ (/ + 2m) /? (G)十
+ |(/3 (G)-l)]. (2)
口0 (4.3.5) имеем
屮О =屮О =也=4"0"十加（/1—3）十^j.也=4"0"十加（/1—3）十^j.(3)(3)
屮О =
屮О =
也=4"0"十加（/1—3）十^j.
也=4"0"十加（/1—3）十^j.
(3)
(3)
Нетрудно проверить выполнение равенств (3.7.12), (3.7.13).
В приводимых далее формулах ограничимся удержанием слагаемых второй степени относительно производных вектора перемещения. Имеем
о о о
F = Е + 2е (и)十 VM • Vu,о ооо(幻
F? = Е + 4е (и) +4迎(u) 4-2VuT-Vu,
/i(F)=3 + 2^ + %,
/2(F)=3 + 43 + 2% + 2%(5)
/3(F)^1+2O + x+2x
при обозначениях
ооооо оо о3 = /i (е (и)丿工 V・u, %「/[ (VtT・ Vu丿3 = /i (е (и)丿工 V・u, %「/[ (VtT・ Vu丿ооооx = 2/2(e丿=32 一 /1(e(11)2丿， /「/’(F) = l-3 — ^%-" 十 ^W,x = 2/2(e丿=32 一 /1(e(11)2丿， /「/’(F) = l-3 — ^%-" 十 ^W,(6)(6)
о
о
о
о
о о
о о
3 = /i (е (и)丿工 V・u, %「/[ (VtT・ Vu丿
3 = /i (е (и)丿工 V・u, %「/[ (VtT・ Vu丿
о
о
о
о
x = 2/2(e丿=32 一 /1(e(11)2丿， /「/’(F) = l-3 — ^%-" 十 ^W,
x = 2/2(e丿=32 一 /1(e(11)2丿， /「/’(F) = l-3 — ^%-" 十 ^W,
(6)
(6)
E(u) =2(Vu + VtT，,
оо
w (и) —сопутствующий кососимметричной части Vu вектор. В этом приближении
^Q = ~n+^n(2^
4也=-2[i -几+23 (九一m一^)十/九一加一^) - 2mx + 2/02,(7)
4 屮2 = 2卩 + 2m3 + mx + 4n
и выражение тензора напряжений может быть записано в виде
T = (1一3)1。十2e.「十г.(8)
Здесь Т°—тензор напряжений линейной теории о
Т。二 W}E + 2[1e(u),(9)
а через Т' обозначена совокупность слагаемых
r =}[入%+ 用2一—"3)%] e + 2 f 响十
ООО
+ /i82 + ^VuT • Vu, (10)
о о
причем VuT-Vu определяется по (1,7,13). Естественно, что коэффициенты Мурнагана входят лишь в представление Т‘. Вместе с тем, ограничившись в задании удельной потенциальной энергии (1) только квадратичными по компонентам С слагаемыми, иначе говоря, приняв /, m, п равными нулю, пришли бы к представлению Т, отличному от выражения линейной теории с заменой о
8 на С, как в «теле Сетха».
Коэффициенты Мурнагана второго (儿卩)и третьего (vn % %) порядков
/ =+/九=%+2%,九=4%
указаны для различных материалов в табл. 1 —3. Данные сообщил автору С. С. Секоян.
Следующие далее в этом параграфе рассмотрения преследуют цель разъяснить связь коэффициентов закона Мурнагана с изменением модулей 入 н 卩 линейного закона при сообщении малого возмущения в натуральной отсчетной конфигурации.
Примем для этого, что частицам находящейся в равновесии среды в актуальной конфигурации сообщено поле виртуальных перемещений r|w (^1, ^2,矿).
Тогда по (8)
...0. о .
T = (l -^) Т° ++ V + 2s^T°(11)
и вычисление, выполняемое по формулам гл. 1, § 10, дает
. оО , О 00
丁。= ^V・W + 2e(W),8' -= 8 (vv),
.0000/00\
% = Vu"1. ・Vw +VwL •(Vu・ VwT 丿,
(&2)・ = 23V.w,[/i(g2)] =2/i(e・e@))
00о0
и t. д., причем здесь e = e(u), 3=V，u в отличие от e(w), о/ о A
V.w =厶(Vw丿.
Таблица 1. СТАЛИ
Сталь Rex 535
1
Сталь Rex 535
2
Сталь Hecla 37
2
Сталь Hecla 17
2
Сталь Hecla I38A
2
Сталь Hecla ATV
2
Сталь 3
3
Сталь 35ХГСА
4
Сталь 50ХГСМ2Ф
4
Материал Ссылка
ность г/СМ3
В единицах 1012 дин/см2
v3
Примечание
А
出
%
v2
—
0,909
0,780
3,58
—2,65
—1,82
Никелесодержащая
7,065
1,09± 土 0,01
0,818土 ±0,005
-1,75 ± ±0,50
-2,40± 土 0,50
— 1,69 土 ±0,15
—
7,823
1,11 土 土 0,01
0,821土 土0,005
—3,58士 ±0,70
-2,82 土 ±0,30
-1,77 土 ±0,08
0,4% С; 0,3% Si; 0,8% Мп
7,825
1,10 土 土 0,01
0,820土 土0,005
-1,34 ± ±0,20
一2,61± ±0,20
— 1,67士 土 0,06
0,6% С; 0,2% Si; 0,8% Мп
7,843
1,09i ±0,01
0,8191 土0,005
一3,23土 土 0,50
—2,65 土 ±0,30
一1," 土 土 0,10
0,4% С; 0,4% Ст; 35% Мо; 2,5% Ni
8,065
0,87士 土 0,02
0,716! 土 0,03
0,34 土 土 0,20
-5.52 土 ±0,80
— 1,00
3,6% Ni; 10% Сг; 1% Мп
—
—
—
一1,6
一2,8
—2,05
Отожженный образец
7,748
1,10土 ±0,002
0,804 土 W0,002
-1.9± ±0,15
-2,3 土 土 0,1
一2,01 土 土 0,04
Закалка 880° С; отпуск 350° С.
Твердость HRC = 46
7,785
1,129土 土0,002
0,803土 土0,002
-2,8土 ±0,2
一2,7 土 土 0,1
— 1,87土 土 0,04
Закалка 1020° С; отпуск 350—400℃; 1 час, HRC = 50
Обозначения: 50 — 0,5% углерода, X — 1% хрома, Г — 1% марганца, С—1% кремния, М — 1% мЬлибдена, 2Ф——2% ванадия; А ——улучшаемая сталь (подвергается всякой обработке), HRC——твердость по Роквеллу.
МАТЕРИАЛ МУРНАГАНА
УРАВНЕН531оопно^кх^ хиьхкт^доз МАТЕРИАЛА
Материал
Ссылка
Плотность
В единицах 1013 дин/см2
Примечание
А
乩
V1
V2
v3
В 53 S
2
2,677
0,580土 土0,002
0,260土 ±0,001
—2,49 土 ±0,60
—0,99 土 ±0,10
—0,60土 ±0,05
2,8% Mg; 0,8 Мп; 0,1% Сг
D 54 S
2
2,719
0,491土 ±0,002
0,260± ±0,001
-3,79土 ±0,025
— 1,98士 ±0,09
—0,80 土 土 0,03
4,5% Mg; 0,8% Мп; 1% Сг
D 16
3
—
—
—
-1,3
—2,1
—0,92
Латунь Л-62
3
—
—
—
—3,0
—2,1
— 1,25
Отожженный образец
Латунь ЛС-59-1
3
—
—
—
4,8
1"
— 1,22
Отожженный образец
Бронза фосфористая БрОФ
3
—
—
12,6
—1,5
一0,60
Бронза фосфористая
3
—
—
—
12,1
—2,4
—0,42
Отожженный образец
БрОФ
БрОФ 65-0,15
4
8,921
1,133士 ±0,002
0,417土 土0,002
一4,9 土 土 0,4
— 1,67土 ±0,08
—0,500 上 ±0,010
Отжиг при 350° С, 1 час
Бронза бериллиевая
4
8,317
1Q42 土 ±0,002
0,490土 ±0,002
-4,0 土 ±0,3
-1,7士 ±0,08
—0,600 土 ±0,010
Закалка с 770—780° С, отпуск при 350° С, 1час.Твердость
НРС = 36
Бр Б2
Таблиц а 2. СПЛАВЫ А1 и Си
МАТЕРИАЛ МУРНАГАНА
Материал
Ссылка
Плотность
A
В единицах 10” днн/см2
v3
Примечание
乩
Vi
v2
Медь
5
—
1,07
0,477
-5,6 ± 土 1,4
1,72士 ±0,14
—3,98土 士 0,05
Магний
2
1,716
0,259士 ±0,002
0,166± ±0,03
—0,654 土 ±0,01
—0,574 士 ±0。
—0,421土 ±0,04
96% Mg, 3% Al, 1% Zn
Железо Армко
8
——
1,100士 ±0,004
0,820土 ±0,010
2,6 士 ±13,7
-4,8 土 士 6,2
一2,8 土 士2,8
Молибден
2
9,71
1,57土 ±0,02
1,10士 土 0,01
一0,51 土 士 0,50
一2,83 士 士 0,30
-0,93士 土 0,04
Спеченный из порошка
99,99% чистоты
10,2
1,78
1,24
1,94
—3,98
—2,27
Рекристаллизованный
Вольфрам
2
14,16
0,750士 0,005
0,730士 土 0,01
-2,15 士 ±0,30
一1,43土 ±0,15
-1,24士 ±0,02
Спеченный из порошка
99,99% чистоты
17,8
1,63
1,37
—4,29
-2,58
—2,67
Рекристаллизованный
Оргстекло
6
1,160
0,390
0,186
—0,078
-0,070
0,047
Плавленый кварц
7
2,203
0,15872
0,31261
0,54士 ±0,13
0,93士 ±0,08
一0,11 土 ±0,03
Стекло (пирекс)
8
—
0,1353土 ±0,0003
0,275士 ±0,003
2,6 士 土 3,7
一1,68 土 士 1,38
1,05士 ±0,88
Т а б л и ц а 3. РАЗНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
После подстановок в (8) и (10) получаем .. о оо .
T = (1-“TD-T0V・w + 2e (w)-T° + 28-T° +
+ Е ｛入厶(vu- Vw) + 2/8V・w — (2m —/2)[sV・w — /х(£•£ (w))]｝十
ГО о0-1 /О О О 0、
+ (2m — n) [eV・ w + 8е (w) ] + м (w) +е (w)・e丿 + / о о о о \
+ 卩(Vir・ Vw + Vw「・Vu丿.(12)
Ограничимся простейшим случаем — актуальная конфигурация представляет преобразование подобия натуральной отсчетной конфигурации. Тогда по (6) и (9).
о
R-r(l + 6), и - гб, Vu ---Еб,u=(3九+2卩)E6,% _3讲， Y =6#
и по (8), (10)
Т = (3九十2计)6Е - б2 [^- (3Z + 2^1)- (9/ + /г)^ Е.(13)
При наложении на это равновесное состояние пол;т перемещений r|w конвективная производная Т по (12) представится выражением
.. о
Т = Т° — E6V-w (3 入+ 2卩一6/ + 2/П — n) +
+ 2；(w)6(3九+2时+3加一^) . (14)
Далее рассматриваются два частных случая.
а) Примем
1о 1
w = ^r(l+6),8(w)==y (1 4-6) Е,
0.
v-w= 1+6, т。二々(1 + 6)Е,
2
причем 々=入 + 可 卩—— модуль объемного сжатия линейной теории- Результату подстановки (15) в (14) придается вид
Т = -рЕ, р = - [(1-б2)^ + 6б(1 + б) (/ +|)^_ЛХ (б). (16)
Здесь через р обозначено давление, прилагаемое, чтобы сообщить первоначально сжатому (б < 0) или растянутому (б > 0) материалу перемещение w. Получаем
做(0)=左，做(0) = 6«十部. (17)
Это соотношение указывает на принципиальную возможность определения /十几/9 по наклону касательной к кривой 々х (3) в отсчетной конфигурации (при 3 = 0). Большинство экспериментальных данных свидетельствует, что ^х (0) < 0 —сопротивляемость материала изменению плотности растет вместе с последней.
Например, обработка результатов опытов Бриджмена с натрием, в которых давление доводилось до 100 000 атм, приводит (Мурнаган) к численным значениям
k 0,628-104 атм,и + 9/ — ■—406,2-104 атм.
Как видно I 几+ 9/|》尼一прн таких нагружениях учет нелинейных слагаемых необходим.
曠 6) Принимается, что предварительно сжатая среда (6 < 0) подвергается простому сдвигу в плоскости OXY параллельно оси ОХ. Обозначая через s параметр сдвига, имеем
оо
w = h (1 +3) s废，Vw = i?ii (1 +3) s, V・ w = 0,
E (w) = (ij2+ i2h) (1 + 6) s, 丁。=卩(ij, + i2i,) (1 + 6) s. (18)
По (14) получаем
T = (i1i2 + i2l1)T12,
т12 = [(l + 5)H + (l + 6)6(3^ + 3m-y)]s-HX(6)S,(19)
так что
Их (0)=卩，心(0) = 3 (入 + 声)+ 3m — -у •(20)
Здесь т12 —касательное напряжение, сообщаемое предварительно сжатому материалу, чтобы осуществить сдвиг.
Величины 々[(0), "工(0), определяющие изменения модулей объемного сжатия и сдвига из натуральной отсчетной конфигурации, отнесены в формулах (17) и (20) к значениям относительных удлинений 6. Отнеся их к объемному расширению
々х (3)=々хх (33), "х (3) = "хх (36), получаем
做 х(0)=2“+^),以⑼=入 + "+ 加一3(21)
Соотношения (17), (20), (21) указаны Вангом (Wang, 1965).
6 А. И. Лурье
Преобразование коэффициентов уравнений
состояния Синьорини и Мурнагана
Представления удельной потенциальной энергии деформации тела Синьорини по (2.7) при отсчетных конфигурациях и, с, связанных преобразованием подобия (4.4.3), имеют вид
з 二(/；) 7屮％5 + 1) + /% ( /Г + 3) +恤(/； 一 1! 一 川，(1) 仅)["伉十1)+就(m + 3)+向з(7:) 一к(2)
Здесь Ц = Ik (g) и инварианты /%, /^ связываются в отличие от формул преобразования (4.4.5) инвариантов /丸(F) соотношениями /「к%,北一к%,裔=К*(3)
(обозначение коэффициента подобия а в (4.4) здесь заменено на К).
По (4.4.6), (1) и (2) получаем
з =К% т^Г^ l)+m2 (^i2 + 3) + m3 (Гу — ^ — р^
-"(К 明 +l) + m2 (КП； 4- 3) + В (К% — 1) 一 白(4)
и этому соотношению удовлетворяют значения mk и р, определяемые по формулам
Р^Р + ^^[(М + 3m?) (1 +№) — т3№].
При обозначениях (2.8) они приводятся к виду
"：К-4%_^К7 (з…_；)(1 —К)]
6=%*[(1+个)(^ + 3%+3卜1)+个(6% + 2"一。)].(6)
Принято р 二二 0, ^-конфигурация натуральна; р ——всестороннее растяжение (сжатие при р < 0), обеспечивающее преобразование V в v-конфигурацию.
Для материала Мурнагана аналогичное рассмотрение, проводимое по формулам (3.2) и (4.4.5), приводит к формулам Брил- луэна (L. Brillouin, 1938)
几=&з几，^ = к^т, ?匸 К%
2口二k[2计+ (1一々)传一3例)],
Х + 2^К[^ + ^ + (\-К2) (2m +3/)],(7)
方丁中[一^44(1一С(" +叫 ("大+ 乳).(8)
формула (8) определяет напряженное состояние всестороннего растяжения (сжатия при р < 0) в ^-конфигурации; она согласуется с (3.13), если пренебречь в ней степенями 3 匸 К—1 выше второй. Обозначив через 0 относительное объемное сжатие
0 = -^,(9)
имеем по (8)
—3 二(1_®)」/《[1 — (1—6)%]^/е—^[1 — (1_®)%](м + 9/)} =
* + Т'и， (Ю)
если отбросить степени выше второй. В металлических материалах при всесторонних давлениях, не превышающих 104 атм, не обнаруживается отклонений от линейной зависимости
— p^kQ.(11)
Коэффициент линейного температурного расширения а (В) определяется уравнением ■dl - fa (0) de
и при преобразовании подобия, осуществляемом в переходе от изотермического состояния и к изотермическому и
1==К1,曲I dK =晔，-у = у = а(0)а,0, так что '
К = exp j а (0) d®,(12)
о
причем 0 — разность температур изотермических состояний и и и. Этой формулой совместно с (5) и (7) определяется зависимость коэффициентов тел Синьорини и Мурыагана от температуры.
При слабой зависимости от температуры и в небольшом диапазоне температур
К 十 aS.(13)
Полулинейный материал Джона
В линейной теории упругости удельная потенциальная энергия деформации з выражается, как известно, квадратичной формой главных значений линейного тензора деформации
3 = ^ [入/式£)+ 2h/1 (e2)] y [入(g +е2 + е3)2 + 2卩(当十w+喲].(1)
Основываясь на аналогичном представлении з, но через главные относительные удлинения 3府,определяемые формулами (1.4.10) теории конечных деформаций,
3 = ^ [九(，+ 3 +备尸+ 2科传:+编+喲],(2)
Джон рассмотрел несколько задач о распространении колебаний в нелинейно упругой среде. Но по (1.6.4) и (1.4.10) 6^ —главные значения тензора U — Е, поэтому
6i + 6z + 63 = Si = /i(U —Е),戋十圾+璃= Sz = /i((U —Е)2)(3)
и выражение (2) представляется в виде
з - I м + ^ -1 V? (и -Е) + И/т ((U - Е)2).(4)
Джон назвал такой материал «гармоническим», так как решение плоской задачи при этом задании з сводится к нелинейной краевой задаче теории гармонических функций (или функций комплексного переменного). Подходящим наименованием, используемым далее, может служить «полулинейный материал».
Обратившись к формулам (II.3.10), (II.4.11), (1.9.6), (1.6.1), имеем
1оо
厶(U-Е)。=/】(U)g・・Go 不 ^UT・・(C[i+Cm)・VR=UT・VR = ()x,
VRVR
0
^((U — E)% =/i(G)° — 2/i(U)° =2VR—2Ox
VRVrVr
и уравнениям состояния для тензоров Пиола и Коши придается вид о，о
Р = 3。 =(麓I —2")0义+2亦R-[(熊1 —2")LJT+2"E]，VR, VR
T = l/券 VGP= J-f [(4-2h)V + 2hF]^
Удельная потенциальная энергия деформации з полулинейного материала представима через инварианты симметричного тензора (р.рту/2. Действительно,
Р • рт =[(解1 -2н)Ох + 2^Vr] •[ 0弓-2н)ОХт + 2^VRT]二
=3sl — 2m2 E + 2科個—2^)(0x-VRr + VR-0XT) + 4^2U2 =
r (入S] —2")?E 十4声(入Si — 2ц.) U + 4MLp
ИЛИ
P.рт =[(入山—2")e + 2"U了，(p♦Рт)/-(入玩—2")e +2"U.(6)
Первые инварианты этих тензоров оказываются равными
/1 ((Р” рт)%) — /j (А&Е + 2卩(LI Е)丿-—-(3入 + 2卩)S], /1 (Р・рт)— 3入崎+ 4"As/ (U —Е) +4*/1 ((и —Е产)= =入(3入+4")s? + 4^2s2.(7)
Отсюда получаем
“ = /《；：；『)，5壶[/】。4)—^В^/；((РРХ)](8)
и далее по (4)
”壶[人(РР) - 占 ”((Р・ Р»)]，V = *5 • (9)
.По (5) имеем также оо о
p.-VR^t^ —2|x)U'1 + 2^E].VR..VRT = /1((Xs] —2^)1)+
+ 2"U2) = /](涼1 + 2声)(U —E) + 2"(U-E)2 + A^E),
так что по (4) и (8) о
p.. Vrt (九51 +2")Si + 2"% + 3 Asi = Xsi4-2!is2 + (3入+2")玩^
= 2з + /1((Р・Рт)%).(10)
Теперь по (4.17.3) удельная дополнительная работа эх также оказывается выраженной через инварианты тензора (Р*Рг)1/а
Зх = 3 + /1 ((Р・ рт»)=靑[Л(Р-рт) 一 ^ /； ((Р . рт)%) ] +
「+/1((Р・Рт*). (11)
Соотношение (4.17,5) позволяет определить градиент места
VR. Имеем
3/1(р・рт) = 3(р・.рт) = р.・3рт + 3р・ .рт = 2Р. ・3рт,
5/1 ((РР产)=
=^_ (Р . рт) - ％ . . 6Р . рт = ； (Р . рт) - % . (Р . брг + (6Р) . рт)
=^ { (Р • рт) - % • Р • • 6РГ + [(Р-рт)-力]т . Р. . 6Р г } = (Р . рт) - % . Р . . брт
—-использовано правило дифференцирования (II.3.10) и симметричность (РР)-%.
Сославшись на определение производной (1127) по тензорному аргументу, получаем теперь
九(Р*Р% = 2Р, 厶((Р・Рт)%)р = (Р・рт)-%・Р(12;
и по (4.17.5)
尿』(Зх)р=^{е + [2|х —原/|((РР)%)] (РР)-%}・Р.(13)
В полулинейном материале оказалась осуществимой операция обращения уравнения состояния (5).
При деформации, не сопровождающейся поворотом главных осей меры деформации о оо
Ох-Е, U = VR = Vu + E, Si = V・u(14)
и в полулинейном материале по (5) оо
P^XV-uE + 2"Vu.(15)
Уравнения равновесия в объеме и на поверхности (2.7.4). (2.7.5) приобретают вид оо0 ял
(入十2卩)V2u + Po^ г 0,入nV・u 十2卩n・ Vu -=f 石.(16)
Это —частный случай уравнений равновесия линейно упругого оо/ о 、
тела при yu = VuT (нлн Vxu = 0丿. Нелинейность задачи обусловлена правой частью краевого условия при «немертвых» поверхностных силах..
К уравнениям (16) сводятся задачи о растяжении стержня, об осесимметричной деформации цилиндра, о центрально-симметричной деформации сферы.
Акустический тензор в полулинейном материале. Главные напряжения, определяемые формулой (5), равны
S = *[&l2")+2|wJ и т. д.
Отсюда получаем
4爵=+(入+ 2")S，力誓=-* [(^-2")+ 2皿一4]>
^=^=丄(^=^ + 2e=丄h+ 2"+呪3(3大+2")]
Ul-U2 010203\01+02/外02内L几十02 」
и подстановки в формулы (4.12.9), (4.12.10) определяют компоненты акустического тензора в ортонормированном триэдре глав-
§ 5]ПОЛУЛИНЕЙНЫЙ МАТЕРИАЛ ДЖОНА167
ннх направлений еп е2> е3 тензора напряжений Т (или меры Фингера *) F)
Q11 =[仏 + 2w)期w + vlNl + 谪鹏)+ '"个%2") vlNl +
您小您小丄Xu2 — (3九+ 2卩) ' 办 + ?3
您小
您小
Q12 =一叩2 鹏三？當2") MM = QX И T. Д.
При обозначениях
九% 一 (3九+2卩)一/九?2 -(3九，2卩)一аХD3 — (3入+2卩)
?2+？3?3「%%+?2
U]N 1, %N 2 У)U3W з = Z
акустический тензор Q представляется выражением
Q =(入十 2卩)仰 + 歹 + 炉)Е + eRi (Су + fe2) + е2е2(Лг2 + С№) +
+ e3e3 (Bx2 + Ay2) —(6^2 + e^J Cxy — (e2e3 + e3e2) Ayz —
—(eje^e^j) Bzx. (17)
Для параллельного ег вектора N имеем Д\=1, 乂2 = 乂3 =。
и тензор Q приобретает диагональный вид
。=(入 + 2卩)%照 + ^^^ [(X + 2卩[®I + %) + 入以 一(3入 + 2卩)]e2e2 +
+ у т у-[(入 + 2")(力 + ^3) + 入5 - (3入 + 2卩)]c3е3.
Условиями его положительности являются неравенства
入+ 2卩>0,(九+ 2卩)(t\+%) +入内〉3入+ 2卩，
(入+ 2卩)(t\ +内)+入与〉3入+ 2卩.(18)
Конечно, приняв в (17) Д\=1, & = М = °，получили бы еще одно неравенство
(入+ 2卩)他+ %) +入力> 3入+ 2".(19)
Неравенства (18), (19) преобразуются к виду
(1一29)(内 + %)+ 农3〉1,(1- 2q) (%+g) +"1>1,
(1—2д)®з + 5)+浓2〉1,(20)
причем q = v/(l +v), — 8 < q < 1/3.
Когда лишь одна компонента N обращается в нуль, например
% = 0, тензор Q становится равным
Q = [(X + 2n)(炉 + у2) + су2] e^i + [(入 + 2卩)(炉 + 歹)+ eх, е2е2 +
_+[(% + 2")(炉 + 歹)+ (лу2 + fix2)] e3e3 —(e^^e^J Cxy.
*) Как и в представлениях (4.12.9) (4.12.10) отброшен не изменяющий
Знака Q множитель 匕?.
Условия положительности компоненты Q33
入 + 2" + 8〉0,入 + 2卩 + 4〉О
уже заключено в (18) и (19). Точно так же в силу этих условий оказывается положительным и диагональный минор
[(入+ 2m (炉+歹)+ су2] [(X + 2m (炉+歹)+0叫一 0女2歹_
=(入+2卩)(炉十歹)2(入+2" +0)
равно как и два других диагональных минора.
Без труда проверяется, что условия (20) гарантируют положительность диагональных членов и диагональных миноров матрицы компонент акустического тензора (17) при любых N (отличны от нуля х, у, z). Этим гарантируется и положительность; как можно проверить,
det Q > 0.
Итак, доказано, что неравенства (20) — не только необходимые, но и достаточные условия положительности акустического тензора, значит и сильной эллиптичности полулинейного материала.
Материал Блейтца и Ко
Опытные данные, полученные Блейтцем и Ко при измерении деформаций одного из специальных сортов резины в широком диапазоне нагружений, оказалось возможным аппроксимировать представлением удельной потенциальной энергии трехконстантным выражением
3 = ^"0[/1 + ^(/^" - 1) - 3卜卜-^"(1-0)口2/l +
(" -1)- з]， (1)
a二(G).(2)
Упрощенный вариант этой зависимости, признаваемый этими авторами приемлемым, использован в одной из работ Ноулса и Стернберга (J. К- Knowles, Е. Sternberg, 1975) при значениях постоянных
Выражение э в этом предположении принимает вид
з = "^~卩(£ + 2^/3 — 5)(3)
и уравнения состояния для тензоров Пиола и Коши представляются формулами
Р = з& = £ [Е/1 — G + (/；/，一 /J G-1]. VR, Т = М「/[Е (/В —/) + // — F2].
В линейном приближении, используя (3.4), (3.5), получаем
Т =(х(ЕЗ 十 2е)
—это линейно упругий материал при 入=卩(v = 0,25).
Главное напряжение о1 оказывается равным
丄Ql = 1 + /「人[—(0滋+瞳彳+ 0紡；)+0式賛+负十啕一哽=
так что
Получаем
/小 ICT)0-制 t ⑹ так что по (5)
Ю-^)(5(T)「(1-旷(s=l，2,3). (7)
Закон состояния (4) оказался обратимым. При обозначении
D 厶 5、外 厶1/1(Т)丄/?(Т)/3(Т)
党=0/，(1一^广(8)
получаем
/NG) = f(3—炉 +喇，
/,(G)e% 陪，
/з(5 =。".
По (3) выражение з теперь представляется через инварианты тензора напряжений Коши
3 =昇[5(*4—1)—г/铝].(9)
Имеем также
о _
Р・・VRT = /厶乙⑴DU、(Т)
и выражение удельной дополнительной работы (4.17.3) приводится к виду
Зх = ^М5 (1+ 3。-，/% (Т)].(10)
Здесь оказывается возможным обратить уравнение состояния (4)— выразить F через Т
ззз
з
з
『屮4"峪当丁
=D-" »© (1 弋)(I_* + е2е2 (1-^)(1^^) ++q/T)(f ]…回1_铝吋大 ⑴l]
или
F = ""E(1_铝+铝)+广(1F = ""E(1_铝+铝)+广(1=—5卩（£）'/&）「=—5卩（£）'/&）「(И)(И)
F = ""E(1_铝+铝)+广(1
F = ""E(1_铝+铝)+广(1
=—5卩（£）'/&）「
=—5卩（£）'/&）「
(И)
(И)
Последнее равенство — следствие соотношения (8) и формул дифференцирования II, § 3
-5=e (-芈+ 芈)+ 打("叫+J； = F吟(12)
Формула обращения оказалась достаточно сложной — в ней D следует заменить по (8).
Обратимся еще к построению акустического тензора Q для материала Блейтца и Ко. Используется формула (4.11.16). По (4.3.5), (4.5.5), отбросив положительный множитель 卩,имеем
储1 =金储1 =金71-/3l 一 21-2 - 屯ко71-/3l 一 21-2 - 屯ко/з，2Q§22 = 912 工 °/з，2Q§22 = 912 工 °
储1 =金
储1 =金
71-/3l 一 2
1-2 - 屯ко
71-/3l 一 2
1-2 - 屯ко
/з，2Q
§22 = 912 工 °
/з，2Q
§22 = 912 工 °
и подстановка в (4.11.16) дает
4/3Q = З/gNN -2/1 (NF• N + N • FN) + 2 (N叫 N + N • F2N) + + N・FF・N + (/iE-F) N・F・N-EN・F・N. (13)
Через главные значения и главные направления F тензору Q придается вид з
Q = » (2N； + N2)* + (е1е2 + 备еJ (^+А)^2 +
+ (е2е3 + %/) (3 + J) 乂2乂3 + (езе1 + '1‘3)(§ + ^) Nз%「 (14)
При обозначении е$ = %е； приходим к представлению, полученному Ноулсом и Стернбергом
з
Q = £ (2М + №) е；е； + (e；d + е；е；)+
S= 1' j
•+ (e為+ e©) (^ + ^ 丿+ (e；e； + e；喲信 +⑶.(15)
В работе Ноулса и Стернберга доказано, что матрица тензора Q удовлетворяет всем условиям теоремы Сильвестра при всех N для деформированных состояний, в которых
2一r文广2+r之(16)
В этой области деформирований материал — сильно эллиптический.
Не лишено интереса рассмотрение другого варианта материала Блейтца и Ко, соответствующего заданию р = 1 в (1)
3 = ^ 卩[厶 + ^(/不一1)一3] •(17)
Тензоры Пиола и Коши для этого «гипотетического» материала представляются выражениями
Р = з° =fx(VR-^aVrT), T = fx/r，/2(F-E^«)(18)
VR
и в линейном приближении приводят к уравнениям состояния линейной теории
九§ + 2 卩％,s= 1,2,3.(19)
По (4.3.5) и (4.5.5) неравными нулю оказываются лишь
屮q =^"卩/3", 屮1=攵卩，§。。=至卩а/3 a
н по (4.11.16) представлению акустического тензора придается вид
Q=^fx[EN-F-N + (2«+l)№NN].(20)
При —1/2 < сс < оо, что соответствует —оо < v < 1/2, det Q удовлетворяет всем условиям теоремы Сильвестра для всех N и всех положительных тензоров F —при любых деформациях; система уравнений для «гипотетического» материала — сильно эллиптическая.
Энергия изменения объема и изменения формы
В. А. Пальмову (1976) принадлежит обобщение известного в линейной теории представления удельной потенциальной энергии суммой двух слагаемых, определяющих энергию изменения объема и «формоизменения».
Исходной предпосылкой, определившей успех этого предложе- ння, послужила замена мер деформации Коши —Грина и Фин- гера мерами
G+ = /「/& F+ = /「/"F(/3 = /3 (G) = /3(F)).(1)
Главные значения этих тензоров в соответствии с этим определением равны-
G^ = F^= lJ*G『 iJ'Fk (G&二尸& =娱，々=1, 2, 3) ⑵ и поэтому их третий инвариант оказывается равным 1 — они «нечувствительны» к изменению объема
/з (G+) = /3 (F+) = GfGkG} = (/「/少 G1G2G3=1.(-；)
Аналогичные соотношения для меры Альманзи g и меры G-1 представляются выражениями
g+ = /『g,(G-i)+ = /；/“G-i = (/J-%G-i,/； = /3(g) = /六⑷
Удельная потенциальная энергия деформации з далее представляется суммой энергии изменения объема % и энергии формоизменения %
3 =力 + *[,?l31(М/3), 3Н = 力1 (/1 (F+),厶Т十)). (5) Тензор напряжений определяется по (4.3.2)
т = 2/£%3f • F 二 2/「厶(*)F • F + 2/二厶(3[[)F • F = Tj + Тц.(6)
По правилам дифференцирования в II, §§ 2. 3 имеем
网(/а=島
° Y / з2
и первое слагаемое в (6) оказывается равным
Тг = ^(/Л)Е.(7)
§7］ЭНЕРГИЯ ИЗМЕНЕНИЯ ОБЪЕМА И ИЗМЕНЕНИЯ ФОРМЫ［73
Более громоздко вычисление Тп. Имеем
(%)F = ｛［方露+ /】(F+)君卧］Е—爲F + ｝・.F$
—использовано правило (II.4.12). По (II.4.9), (II.4.18) имеем также
(F+)f = (F/；，a)f = - j /r^FF-1 + /：7'31 (Сп + Cni)
и теперь
или по (1)
%=2/；%｛［^ + /］下+)俞］(F+_gE/］(F+))_
-卅［f+Ye/|(f+2)］｝.
При аналогичных (4.3.5) обозначениях
屮t= a/：#+)+ 乙 卜+) a/：：F*)'呦=-a黑+j佔)
и вспомнив определение девиатора тензора в I, § 13, получаем Тц=2/「/2dev"，tF++i^F+2).(9)
Тензор напряжений Коши оказался представленным суммой шарового и девиаторного слагаемых
^ = эГ(/7；)Е + 2 )/告dev(眠F++屮抨+ 2).(10)
Аналогично представление через измененную меру Альманзи
Т = э1 (/71) Е+2 /母 dev 他+g+ +収+g+)(11)
причем подобно (4.3.8)
/一Wfe + /|(g+)為］，吟=為，(開)
Для задания “】может быть использовано выражение, линейное относительно A(F+), /?(F+)
3u = CJi(F+) + CJ2(F+)(&〉0, &〉0),(13)
подобное потенциалу Муни для несжимаемой среды [см. гл. 7, § 2]. Тогда
Т“ = 2 ]/^dev{© + C/(F+)]F + —C2F + %(14)
Приемлемой аппроксимацией 力 может служить выражение
5! (/7；)--Л(1пГ/；-|/'7；+О.(15)
так что
T1=一々(/「厶一1)е,/，.⑴二一3g(/「/"- 1).
(T) 一普，
где q — среднее нормальное напряжение.
Тригонометрическое представление уравнения состояния
Следуя I, § 13 представим тензор напряжений Коши Т его разбиением на шаровую и девиаторную части
з
T = ^/i(T)E + devT = g/|(T)E + £o0es(1)
s= 1
—через о； обозначены главные значения devT. Деформированное состояние задается соосным с Т тензором логарифмической меры деформации Н. Аналогично (1) имеем
з
Н =扌 /1 (Н) Е + dev Н=|л (Н) + £ 從 es%. (2) s= I
Здесь Лз —главные значения dev Н. По (1.13.10) можно представить их формулами
厄=/ 争 sinip, 瓦=/ -Уsin (w +等)， 居=J/警 sin “4%；HK J,(3)
причем по (1.13.4), (1.13.5)
出 = 一 4厶(dev H)=![电一初讨他一%产 十 他一h^}=
T(呜)4(喻嘴丹(4)
§8]ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ175
,—использованы формулы (1.6.11). По определению девиатора
S _ } (Н) = In % _ } In VjV.Vg;
/InW, 瓦昆，瓜=善后」^.(5)
13 内办3 y3yi3 比 3/
Следствием (3) и (5) являются соотношения
sin 屮= 丁In ™ , cos 屮一二 In —(6)
К 2g2工如3丿
一второе получено по выражению h^ после замены
Sin (W + ~y ) = — -о S1IB|)+ cos ip.
Формулами (6) определиетс51 屮.Другое определение следует из (1.13.5), (1.13.9)
g3 = —(瞽广 Sin3屮=4/3 (devH).(7)
В применении к dev Т записи формул в I, § 13 приводятся к виду_—
u；=]/^sin%, &= /等 sE(X+学)，
02= ]/ 与 sin(X 十寸)，I X I < ^"»(8)
9
G2 = - 4厶(dev T)=可[付]一%户 + 92 - %)2 + (% — <4再，(9)
0；=豆(201 - % —03)? 02 = 口(2% - %一力)，
U； = ^ (2%一力—02)，(1。)
а аналогом формул (6) и (7) являются соотношения
sin %(2с, — п2—п3), cosx--p^ (% -“)，(Н)
G3 = -(^psin3% = 4/3(devT).(12)
По (6) и (11) имеем теперь
Vg2G2 cos G)=(%一03)1口^+ ^_ (201-力一%) 1 口 7^r(13)
/ 3g2G3 sin 3 = (201 - 02-%) 1 口号- (02一03)1 口"•(14)
Здесь
з = % —屮
——введенная соотношением (II.9.6) фаза подобия девиаторов тен^ зора напряжений Коти и меры деформации Генки.
Возвращаясь к соотношениям (4.3.16), (4.3.12), имеем теперь
зз
6з = £= еЗН) £ % 瞽=
3
= М，(Н) £ Ogblntv-eNH) £
а после выделения шаровых и девиаторных слагаемых тензоров Т и Н
з
бэ = е/1(н)£ ^+1 /1(т)] [б^ + 1бЛ(Н)]=
3
=^ (Н) £。沁城 + ^环(Н) /| (Т) 3/| (Н),
так как ,
По (3) и аналогичному представлению о% имеем
3,
二0沁旗=-^-{m或[sin%cosW+ sin (% +")cos (屮+ 号)+
4-sin卜 +号)COS (屮+ *]6屮十[sin % sin屮十
+ sin(%+号)sin (屮 + 含+sin (% + *)sin (屮 +学)]6/'忌}
и после очевидных упрощений
3
£ 0期纟=京"或 sins6w+cossb J以).(15)
Вариации удельной потенциальной энергии, рассматриваемой здесь как функция задающих меру Генки величин, теперь придается вид
6з =畐亿(Н),屮，卜区)=еА (Н)卄 /| (Т) 6/1 (Н) +
+ 4- /& (Г處 Sin зб屮 + cos зб Г爲)I . (16)
Приходим к соотношению связи инвариантных величин, определяющих тензоры Т и Н
譎1y =4 L (Т) е,н),备川 /女 е/,(Н)^п
(H)coso).(17)
По (1194) и (II.9.12) определяющему уравнению devT и его обращению придается вид
dev Т =)/晉卜os (з 十 34) devH -
_2/^[(devH)2-4EgJ_2/^[(devH)2-4EgJsins} ,(18)
_2/^[(devH)2-4EgJ
_2/^[(devH)2-4EgJ
devH：石丿3% / 患卜 °s (—® + 3%) devT +
+ 2]/^[(devT)2-|EG2] sinco} .(19)
Они тождественно удовлетворяются вышеприведенными соотношениями.
§ 9. Критерий монотонности напряженного состояния Колемана — Нолла
Непрерывная функция / (尤)называется монотонно возрастающей, если для любых двух значений 尤，х0 переменной 无 в области ее определения
[,(%)-,(/)](%-/)〉°,尤，(О
Это определение обобщается на тензорные функции тензорного аргумента: Q (А) — монотонно возрастающая функция А, если условие
⑵⑵(3)(3)[Q (АХ) — Q (А)]・• (Ахт—Ат) > О
⑵
⑵
(3)
(3)
Выполнено для всех тензоров Ах вида
AX--A*S, S*E.
Было предложено считать монотонность тензора Пиола Р ( VR) критерием пригодности задания определяющего уравнения
[p(VRx)_p(yR)]. ,(vRXr_vRT) >0
/ О о\
(VRx = VR・S, S*E丿.(4)
Покажем, однако, что при S О, О — ортогональный тензор, принцип материальной индифферентности (гл. 3, § 2) ограничивает применимость критерия (4) узким классом напряженных состояний. Действительно, согласно этому принципу при ортогональном преобразовании по (3.2.3) и (2.7.2)
рх = Р О, рх —Р= У |-Vrr-T-(O-E).
Критерий (4) представляется теперь неравенством
о
VrT-T.(O —Е). *(ОТ—E)-VRr-T- .(2Е~О-ОТ)-
=2 [л (Т)--1т-.(О + От)] >0 и по (1.11.10)
~ (O-f-OT) = Е cos о)+ (1 — cos со) ее,
/1(Т) — ^Т・ .(O + Or)= (l—cos3)(//Т)—Т. ・ее).
Заменив здесь Т его представлением через главные напряжения и обозначив через 丫$ углы оси поворота е с главными направлениями Т, приходим к неравенству
о^+о^+^з > о, сс5-у sin2 у5(5)
для всех
0《&《^ ,%+&+%= 1・
Это неравенство выполняется конечно при
mino§〉0 или 仇〉0, а2 > 0, а3 > 0. S
Пусть далее
mino§ = %<0,% —%〉о, 仇―％〉о.
S
Тогда (5) после исключения а3 приводится к виду
伝一%)% +(02 -%)% -1% I〉0,f(电, %)Н
На плоскости а” а2 прямая /(а。сс2) — 0 отсекает на осях а「а? отрезки
а?=」“3」,,ао,
(Jj — (У3
н область ，(а。а?)〉0 расположена выше этой прямой, но обязательно в треугольнике
0w。,5,0&。,5,
ограниченном положительными осями ссп сс2 и прямой cct -|-сс2^0,5. Поэтому
-^-<0,5, I Оз 丨 <0,5。厶 +0,5 I о」 Оа + %〉° 伍= 1,2). 0府一
Здесь показано, что определяемый неравенством (4) критерий применим лишь для таких материалов, напряженное состояние в которых характеризуется положительностью суммы любых двух главных напряжений
S + %〉0,%+03〉0, 03+%〉0
о независимо от характера деформации VR.
Это заставляет ограничить класс допускаемых неравенством (4) тензоров: в предложенном Колеманом и Ноллом критерии предлагается выбирать в качестве тензора S только чистую деформацию, иначе говоря, требуется, чтобы S был симметричным положительным тензором
S = S\ a-Sa>0(6)
для любого вектора а#=0.
К (6) далее добавляется условие, что сопровождающий деформацию ортогональный тензор тот же в актуальном и сравниваемом с ним состоянии. Тогда
о-г
VRx-UxO = OVx, Vrx-VX-1OT, Vrx 工 О Vх"1,рх = j/"_^х O VX"1TX
и критерий (4) записывается в виде
Входящие в это неравенство тензоры соосны: Vх и V по условию, Т и V, поскольку среда изотропна. Вспомнив определение главных сил (4.3.12), имеем
/^V-】・T = rT；£ е卢言=玄eg"
и предшествующее неравенство приводится к виду
з
R (倉一")(心一%) 一二价一力)e； - U[) + (存一为)(時一办)+
E+(籽一厶)(時一5)〉。，⑺
включающему рассматриваемые ниже критерии (§ 13), подтверждающие привычные представления об изотропном упругом материале. Не следует думать, что описание поведения материала с помощью критерия Колемана — Нолла исчерпывается неравенством (7), так как при выводе этого неравенства использовалось предположение о совпадении главных осей актуальной и сравниваемой с ней деформации.
Из неравенства (7) следует, что если 播=% хотя бы для одного 々,то 烧声乙 хотя бы для одного п. Иначе говоря, разным vk соответствуют разные 方汽：0月(方1, t2) Z3) — однозначные функции; уравнения (5.3.13), определяющие tk (va, v2, v3), однозначно обратимы при выполнении критерия Колемана — Нолла.
В дифференциальной записи неравенства (7) учитываются лишь первые степени разностей 時一％ = А%. Тогда
зз з
£e霊А%А%20.(8)
k=\&S=1 归=1&
При переходе от строгого неравенства (>) к его дифференциальной форме следует иметь в виду, что приращение 存一厶, вычисленное с точностью до линейных относительно ДгА слагаемых может оказаться равным нулю. Поэтому в (8) знак «>» заменен на《》》.
Рассматривается также усиленный критерий монотонности, исключающий в (8) знак равенства, — тогда матрица
положительна; ее детерминант — Сильвестров
з з
Е£ 畫厶％А%〉。(9)
или, сославшись на (4.3.16), з з
—симметричный тензор Wa положителен (положительны его собственные значения).
В линейно упругом теле напряженное состояние сравнивается с натуральным (когда оно отсутствует)
о/ о \о
VR = E, P(VR)= P(E) = 0, VRx = E+e=ES, S = E + e,
причем e —линейный тензор деформации, S = ST при малом е —положительный тензор. Тензор Пиола в линейной теории неотличим от тензора напряжений Т. Неравенство (4) по (4.7.2) приводится к виду
Р (Е -]-Е)• - с — Т (Е-]-е)- -Ts' —
=e•.PvEE + F(Cif + C1nH.入/:(e)+2財1(e2)=
=(九+ 2计)(後+廟+喲+2入他%+ %% + £3%)〉0(11)
и выражает положительность (удвоенной) удельной потенциальной энергии а линейно упругого тела. Определитель матрицы коэффициентов этой квадратичной формы и его диагональные миноры равны
4心(3九+ 2"),九+2"，4"(九+卩)
и условия теоремы Сильвестра удовлетворяются неравенствами ц > 0,九 + 卩〉0,九+ 2卩〉0, 3九+ 2"〉0.
Второе и третье неравенства — следствия первого и четвертого, так как 3九+ 2"+"f3 (九+"),3九+ 2"+ 4卩=3 (九+ 2卩).Два неравенства
P, > 0,3九+ 2"〉0(12)
—не только достаточные, но и необходимые условия выполнения критерия (4) в линейно упругом теле. Конечно, критерий (10) приводит к этим же условиям.
10. Критерий роста мощности
При более общем, чем в § 9, задании сравниваемой с актуальной конфигурации следует ожидать обнаружения свойств материала, не содержащихся в критерии (9.7).
Примем
ООО
S = E+rD,D = D「， VRX = VR + tVR D,
о оо
VRx「一VRT = tD VRt.(1)
Здесь т —параметр настолько малый, что S остается положительным тензором. Критерию (9.4) придается вид
ТУ (t)-/(O)] = tD-VR^.[p(VR+tVR-D)-P(VR)]〉0. (2)
Величина
/(0) = D-VRT- -P(VR)^ ]/^d£rt. • VrT・T= J^D.・Т (3) пропорциональна мощности напряжений в актуальной конфигурации, / (т) — в сравниваемой с ней. В линейном по т приближении
P(VR+tVR-D)= P(VR)+tP(VR)0 •• D VRT. (4) VR
Неравенство (2) после деления на т2 и перехода к пределу т—>0 принимает вид квадратичной формы шести переменных Dmn=Dnm 00.
厂(0)= DZRt-P。. D VRT>0.(5)
VR
Заменив здесь Ро его представлением (4.9.11) и выразив в нем Р VR•
через Т, получим
]/善产(0)uD・.(TE + RsTRs).・D +
+ D • • [Tf • • (К% + %К) (rW • • D &RT )].
После преобразования о
(Rtrs + rsK)rtrs.・DVRT =
=(К% + %К) g”"R/s • • D = (F • МЕ% + rsFr$) • • D неравенство (5) оказывается возможным записать в виде
У ^f (0) = D- -В- -D>0,(6)
причем тензор четвертого ранга В оказывается равным
B = TE + RsTRs + Tf ・ •(F・RsERm + rsFrs).(7)
Имеем
D..TE・・D=/i(D.T)/i (D),D・・RsTRs・ Г = 4$С'°МУ ・Т=А (к・Т).
Далее, Тр заменяется компонентным представлением, так что D・.T"“RgRpRsRt. .(FRERm + rsFrs).・D =
=%尸 Pst g/ •• KR〃 + %F • • &片)=
= 2DpqDsmxP4^..^
—использовано правило переставимости t"s'=t戸亦 и симметричность D. Неравенство (6) приведено к виду
11'(0) ='(0) =
1
1
'(0) =
'(0) =
= ^[/i (D) A (D. Т) - Л (D< Т)] + х^ DpqDsmg^Gnt > 0
с заменой 》на 〉 для усиленного критерия.
В ортонормированном базисе главных направлений тензоров Т и F
3工(确1，т=几，
Т=Х%е$е$, F=£Weses；。m „
s = ls = lI u,他卢几，
I 1, n = t, q⑼
八 „ _ / /D=22 DSrnQsQm
I U,几 M1 万，s = 1 勿= 1
и поэтому
3333
/i(D)/](D・T) —/i(DMT)= S Dkk 2£ J £ 以=
尼=1s= 1s= 1尼=1
=(01 +%)(。11。22 —0；2)+ (% +%) (022。33 - ^23)+
+ (% +01) (43。11-0幻。
Во вторую группу в (7) войдут слагаемые, соответствующие неравным нулю 12-компонентам (4.8.9), (4.8.10) тензора упругостей TF
沁嗯+mЧ*翁+啼）+
+D^ （呜需+**）+（呜翁+甯景）+ +M沿期+嘲+叁^3®"喲+我1^3期+竇）.
Квадратичная форма (6) шести переменных
O$$ = %S，$=1,2,3；%4 =。12， 招Н。23， *6 =。31
теперь может быть записана в виде
-^- D • * В ■ • D =
з
=£ х弼寮+/x?[*需+% 条 + ^付1 + 0 J 4-
+ I(力+%)+
L加2况，32
_ 况3况1N_
+瑞 ^^期+啕^亿+厶)+
+緒+緒м一5м一5（循+优）一工伍+5）、（9）（循+优）一工伍+5）、（9）+ •^5_-"^(力+仇)+
+緒
+緒
м一5
м一5
（循+优）一工伍+5）、（9）
（循+优）一工伍+5）、（9）
1 дЪ т/Е产 31 дЪ т/Е产 3^з d^i dv2 — г G °i°2 du】 du?'^з d^i dv2 — г G °i°2 du】 du?'
1 дЪ т/Е产 3
1 дЪ т/Е产 3
^з d^i dv2 — г G °i°2 du】 du?'
^з d^i dv2 — г G °i°2 du】 du?'
В этой записи главные напряжения заменим далее главными силами
002 — 10/2 _ 1 / 1 d/2
d朮一 2 °1加丄方⑦一 2 [蔦丽
%；= р^ 告％/(s= 1,2,3),%；= р^ 告％/(s= 1,2,3),(10)(10)
%；= р^ 告％/(s= 1,2,3),
%；= р^ 告％/(s= 1,2,3),
(10)
(10)
1 d建一 2 1次1肉方
и т. д. При обозначениях
приходим к рассмотрению квадратичной формы
ф=4ЕЕ ^ ^А 匕爲 + 4* + 4淄+4#.(11)
дЪ
加；
加1加2
加1加3
02?
0%
蹈
0
加2 0%
3 2
加2加3
尹3
дЪ
产3
dv3 加 1
dv3dv2
相
0
4
Образующая ее матрица имеет структуру
(12)
и условие положительной знакоопределенности формы (10), т. е. усиленный критерий монотонности, соблюдается при выполнении условий
(13)(13)(14)(14)(15)(15)蔬>°，1^^~\д^) >0 и т. д.
(13)
(13)
(14)
(14)
(15)
(15)
повторяющих (9.10), и условий
Лг>0, Г = 1,2, 3.
В другой записи неравенствам (14) придается вид
4ab = ^ba~"Г"(嗚 + 喲一у Ga +。匕)〉°，
Ua—UbZ
причем a, b = 1, 2, 3 и a丰b.
После тождественных преобразований, в которых отбрасываются некоторые положительные множители, (15) заменяется ему эквивалентным неравенством
(% -%)(%一分)〉2%^^^(% + %) (a声Ь)，(16)
причем его левая часть положительна при выполнении ВЕ-кри- териев (4.12.12), а в правой а& заменимо по (15) на aa. Достаточным условием выполнимости этого равенства является наличие в паре (Oq, (7匕)хотя бы одной неположительной величины.
Все три неравенства (14) выполняются поэтому при наличии в каждой из пар (仇，/)，(5，%)，Сз，S)хотя бы одной неположительной величины, иначе говоря, все неравенства заведомо выполняются, если при выполнении S^-критериев два из трех главных напряжений неположительны.
Подобное же рассмотрение для главных сил приводит к неравенствам
В гл. 5, § 13 выводится неравенство упорядоченных сил (0尹 «ordered forces»)
(% —%)(乙一〃)〉о^b).(18)
При соблюдении этого критерия достаточным условием выполнимости неравенства (17) является наличие в паре (力,厶)хотя бы одной отрицательной величины —из трех главных сил по крайней мере две неотрицательны.
Знаки главных напряжений и главных сил одинаковы, и поэтому всегда реализуется или неположительность, или неотрицательность двух из трех главных напряжений.
Итак, одновременное выполнение ^S- и б^-критериев характеризует выполнение всех неравенств (14). Обратное заключение не имеет, конечно, места. .
§ 1L Эмпирический критерий
Основываясь на уравнении состояния
Т『2)/^[Е(/提+ /*柒)+F器Т器 F-斗(1) непосредственно получаемом после замены F2 (424) с помощью тождества Гамильтона — Кейли (1.9.22), можно неравенствам (10.14) придать вид
侬+嚙(杀+ 3嗚器)一(厶器+厶器)> 0 нt.人.⑵
Выполнение всех трех равенств гарантируется соблюдением условий
嘉》0, 界厶專+厶0,(3)
:1 *д/22 д/23 d/з' /
называемых «эмпирическими критериями». Конечно, это только достаточные, но не необходимые условия выполнимости неравенств (10.14).
Для упрощенного (две постоянных) материала Синьорини по (2.12)
величина в квадратных скобках, равная 声 в натуральном состоянии, остается положительной при р, > 0 и при любых /2//3. Это следует из неравенств (2.14) и условия знакоопределенности
(9a + 5卩)(九 + ") - (3九 + 卩)2 = 4卩(2九 +卩)> 0, 2Al+ " > 0,
так как при 2^ + ^ < 0 имели бы одновременно 3Z + И < 0, а 九 + 卩〉。для значений v в интервале (2.16); корни /2//3 величины в скобках оказались бы отрицательными.
Первое из условий (3) выполняется со знаком равенства. Имеем вместе с тем по сказанному
=4"但 + ")〉。(5)
в противоречие с третьим неравенством. Это делает сомнительным пригодность эмпирического критерия (3), но не материала Синьорини.
Для материала Блейтца и Ко в упрощенном варианте (6.3)
器〉0， /摄="£〉0，厶設+厶需=前m乙〉。
——третий критерий (3) также не соблюден. Вместе с тем по (10.10) и (6.5) условия (10.14) приводятся к неравенствам
1,121,1^21I 1 、2心、
-+> -T ^1^3»~ + ~ > "t^х^з»_?+ _r>？01%。3，(6)
S U2 JU2 03 J“么J
очевидно, соблюдающимся в кубе vs ^ 31/й^1,25.
Малонадежны и противоречивы суждения о пригодности или непригодности эмпирических критериев для материала Мур- нагана. По (3.2)
и критерии (3) в натуральной конфигурации приводят к неравенствам
4计+刍〉0,4卩+儿<0,6计十儿〉0,
или (при 代>0)
< —办< 1，5.
Для двух сортов стали «Hecla» по акустическим измерениям (R・ Т, Smith, R* Stern, R. W. Stephens, 1966) были получены Данные (в 1012 дин/см2)
Hecla 37 九=1,11±0,01,声= 0,821±0,005, /-—4,61+0,65,т 不—6,36±0,46,仆=—7,08土0,32,
Hecla 17 九二 1,10±0,01,卩=0,820 土 0,005, / = —3,28土0,30,tn = —5,95 土 0,32,n = —6,68 土 0,24.
По ним трудно высказать суждение о выполнении или невьь полнении критериев (3).
Выпуклость удельной потенциальной энергии деформации
Критерий монотонности Колемана — Нолла можно связать со свойством выпуклости удельной потенциальной энергии деформации % как функции инвариантов Ik (G) меры деформации Коши —Грина или Фингера.•
Для разъяснения понятия выпуклости нам достаточно ограничиться рассмотрением дважды непрерывно дифференцируемой функции # (%); она выпукла (книзу), если ее первая производная—монотонно возрастающая функция / (х), Введя параметр ти[0, 1] и приняв
%(т) = / + т(%1 —/),(1)
по (9.1) имеем
行(х.(т)) — f (/)] [х ⑴一-%] = t(Х1 — X。)行(X ⑴)Т (х。)]〉0， 萝第？ = d%：『)(/_%/(X ⑺)(/_X。).(2)
Из этих равенств следует
梦£, Т) т (%)(X] — X。) = J [/ (х (明—〃％)] (х (т) — %)(3,)
и интегрирование по т позволяет представить выпуклую функцию через монотонно возрастающую производную
1
/(xj —况(X。) 一f(Хо) (% — X。) = j胃[f (x (初一f(X。)] (x ⑴一Xo). (4) о
Для функции тензорного аргумента этому определению сопоставляется соотношение
3(VRX)-3(VR)-P(VR). .(VRT><-VRT)
(5)(5)= J^[P(VR (r))-P(VR)]-[vRT (t)-Vr]>0,
(5)
(5)
0
причем здесь по (1)
о о / о
VR (Т)^ VR + t<VRx
VR),
(6)
а условию / —/〉0, входившему в определение монотонно возрастающей функции, сопоставляется требование VRX = VR-S, S = ST — положительный тензор.
о о
Поменяв в (5) VR н VRX местами, по (5) получим
3(?R)—3(VRX)〉P(?Rx). .(?rt_?rtx)(7)
н сложение неравенств (5) и (7) приводит к первоначальной формулировке (9.4) критерия монотонности.
Если отсчетная конфигурация натуральна (VR = E, VR* = S), то по (5)
a(S)〉3(E)(8)
—в натуральном состоянии удельная потенциальная энергия минимальна. Это уже было выражено неравенством (10.13), определяющим выпуклость дважды дифференцируемой функции.
Еще одно представление критерия монотонности можно получить, заменив в (9.4) тензор Пиола его выражением через удельную потенциальную энергию деформации 3(VR).
Следуя (10」)，полагаем ООО*
VRX VR S - VR (E + i]D).
причем г| — малый параметр. Сославшись теперь на разложение
3(VR + y|VR，D)(VR)+^о …哂”犬 +
VR
I 0о/о X
+ 子iVD.VRT..% ° ..d・VRt+…=a(VR丿 +
VR VR
0J оо
+ nVRT Р D + y n2D VRT Po D VRr+ ..(9)
VR
Получим ранее известное соотношение (10.3)
^Xvr + A.d)]^^?^. /£vr-T-.D = = jA|/i(t・d).(10)
Вместе с тем
/°、/ о о \о
P(VRx) = p(VR + nVR.D)= P<VR)+ iiD.VRT・.Po 十…，
VR
так что по (9)
传[p(±Rx)传[p(±Rx)p(vr)]-(vrxt_vrOp(vr)]-(vrxt_vrO= JM?R+^R・d)_L= JM?R+^R・d)_L
传[p(±Rx)
传[p(±Rx)
p(vr)]-(vrxt_vrO
p(vr)]-(vrxt_vrO
= JM?R+^R・d)_L
= JM?R+^R・d)_L
Критерий монотонности (9.4) представляется неравенством
加(VR + NR.D 儿=°〉0.(И)
Дополнительные неравенства нелинейной теории
Выводы, получаемые из рассмотрения условий эллиптичности уравнений равновесия (гл. 4 § 12) и монотонности напряженного состояния, позволяют сформулировать некоторые частные критерии («дополнительные неравенства»), согласуемые с ожидаемыми свойствами напряженного состояния в упругой изотропной среде.
乒登，苏乒-неравенства (tension-extension, extension-tension). Пусть два из трех главных удлинений сохраняют в сравниваемом состоянию значения, которые они имели в актуальном состоянии. По (9.7) приходим к 乒^-неравенствам для главных сил
倖一3(6 —О,.)〉О(С 1, 2, 3, и尸％ Ю.(1)
Такие же неравенства выполняются для главных напряжений
^ — G：) ^―fz) > 0(i - 1, 2, 3, 。/ =片，(/¥=()•⑵
Действительно,
/1 =0科01，杼=時時of = 0*30"
(W一01) (H-01)=言(仔—幻(u不一力)，
так как в сравниваемом состоянии v$ 二厶，u^yg.
В неравенствах (1) и ⑵
G = G(q，内，％)， J (力，力，&) (S - 1,2, 3).(3)
Первая система уравнений однозначно разрешима относительно % %т(%, & 4),⑷
так как по (5.9.10) отличен от нуля ее якобиан
II 。力？ II|| dvk dvs H /
Это позволяет заменить (1) ^炉-неравенствами
(存一切(Ь-u,)〉0, 』1,2,3;挙=〃 /声九 ⑸ Но нет оснований утверждать, что вторая система уравнений (3) также разрешима относительно %. Например, уравнение состояния упругой жидкости (3.8.3)
может быть разрешено относительно произведения V]V2v3, но не каждого из vk по отдельности. Иначе — с главными силами
片=” 9^МК7；), (/"/)/"= I3f (Кл).
Из последнего уравнения ]//3 определяется через произведение /也"，это позволяет определить и： формулами вида
S1,2,3.(6)
Уже упомянутое в § 10 6^-неравенство упорядоченных сил 侑一〃 )(s —%)〉。，S*%；力 к 1,2,3,(7)
выражает привычное представление, что большей силе соответствует большая деформация. Его вывод основан на рассмотрении сравниваемого состояния, в котором
時二内, 時二%, 磅=%(8)
и на соотношениях (4.3.13), согласно которым
tx — t (Vj, и&, v3), 挣=/ (и?, g,已1) = f2・Теперь неравенствам (5) может быть придан вид(力一公(办一uj > 0, 0抬办
н аналогично получаются два других 6^-неравенства. Остается проверить, что преобразование перестановки индексов (8) не нарушает условия (9.6) вывода неравенства (9.7). Действительно, оо
VRx-0 VX = VR S-0 V S, V-i Vx = S, но здесь
Vх - e^^ + e^ + egeg^,
S = е© 餐 + е2е2 賞 + е3е3 ? = V>< •= St
43
H S = Sr — положительный тензор, что и требуется.
В параллель с 6F-неравенствами приводятся ^^-неравен- ства (4.12.12)
("一%)(力一%) > 0,，* 6;，，6= 1,2, 3,(9)
следующие из условий сильной эллиптичности уравнений теории упругости. Их представления в виде
^=^〉о, ^1〉0，(10)
S-02^2-。3力一力
можно выразить, основываясь на уравнениях состояния (4.3.9), также в форме
万+%码>° или т+疑济〉" s'" (11) z, 6 = 1,2, 3.
Аналогичное вычисление по (4.3.13) для неравенств (7) прн” водит их к видам
(匕一 ")力)=2 ®L旷[贵+期一叩2)/ -★A/]= =2 ®[ 一。2户[/+ 7^ (。： + 若 +。网)設-
-4 (厶券+人券)]>0-(12)
Очевидно, что неравенства (11) и (12) подтверждаются эмпирическими критериями (11.3); обратное, конечно, не имеет места- критерии (11.3) отнюдь не следуют из J9^- и 6(F-неравенств. Напомним (гл. 5, § 10), что одновременное выполнение этих неравенств гарантирует справедливость неравенств (10.14).
Как пример 夕^-неравенств рассмотрим случай всестороннего растяжения или сжатия: uf = и^ 二 и^-= 口乂. Если неискаженная конфигурация — натуральная (р —0, / ；0, и=1), то по (1) и⑵
рх§х >0, /х§х > 0(§х = иХ—1)
—растягивающие напряжения (силы) увеличивают, сжимающие — уменьшают линейные размеры.
Но если искаженное состояние ненатуральное, то неравенства
伪乂一切 ®х — и) >0, (户一/) (vx-0 >0
неэквивалентны. Действительно,
（佯一/） ®х _ u）=（户-u）仍 pх 一吗）=（рХ—р） + р （* — №）］ =（佯一/） ®х _ u）=（户-u）仍 pх 一吗）=（рХ—р） + р （* — №）］ ==（Vх —V）=（Vх —V）ии,х,х
（佯一/） ®х _ u）=（户-u）仍 pх 一吗）=
（рХ—р） + р （* — №）］ =
（佯一/） ®х _ u）=（户-u）仍 pх 一吗）=
（рХ—р） + р （* — №）］ =
=（Vх —V）
=（Vх —V）
и
и
,х
,х
7K—7, （рХ—р） 仍一昨一^r7K—7, （рХ—р） 仍一昨一^r（OU?— tV^2）二（OU?— tV^2）二（13）（13）= дх—и） （рх —р） *+ @Лр户（рХ —р）（Vх—V）（Vх + и）
7K—7, （рХ—р） 仍一昨一^r
7K—7, （рХ—р） 仍一昨一^r
（OU?— tV^2）二
（OU?— tV^2）二
（13）
（13）
L_ ®X — и） ［（/X ~t）v2 — t（Vх2—V2）］=
=3 （逐 一。）（/х - /） к-7pЛ^（^Х 一 /）（m一。）（/+。） /X"一）
При растяжении （р > 0） второе равенство （13） — следствие первого, в состоянии сжатия первое — следствие второго.
7
А. И. Лурье
Г л а в a 6
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ
Аффинное преобразование отсчетной конфигурации
В гл. 4, § 15 было приведено доказательство теоремы Эриксена о несуществовании универсальных, иначе говоря, сохраняющих форму при любом задании удельной потенциальной энергии деформации э (/п /2, /3) решений задач нелинейной теории упругости для сжимаемой среды при преобразовании отсчетной конфигурации в актуальную, отличном от аффинного.
В этой главе повсюду, если не оговорено противное, предполагается отсутствие массовых сил; напряженное состояние создается поверхностными силами. Постоянный тензор напряжений Т при этом условии определяется уравнением состояния (4.3.4), главные силы и главные напряжения равны
(1)⑵(1)⑵厶="^^g1%(s= 1,2,3),
(1)
⑵
(1)
⑵
(S= 1,2,3).
Простейшее аффинное преобразование — преобразование подобия. Для него
0
R = Kh VR = КН% - /<Е, F「^Е, % = и = К (s — 1,2,3)(3)
и, приняв
a®i,内，5)」/®),(4)
получаем
^=『е)=/|+“+/з=з/, Т『®).(5)
Согласно (2), в состоянии всестороннего сжатия зависимость давления (р =——о§, 1,2, 3) от плотности определяется соотношением
Примерами аффинного преобразования служат задачи об одноосном растяжении (гл. 6, §§ 2——3), простом (§ 4) и чистом (§ 5)
сдвиге.
Одноосное растяжение стержня
Ось растягиваемого призматического стержня совмещается е осью ОХ; тогда а2 = а3 = 0. Главные значения меры Фингера обозначаются v2, a2v2, aW; ее инвариантны равны
人=(1 +2a2)絞，厶=(2 + 若)a2吟 /з=а4*(1)
По (1.2) имеем
=+(2)
%=2。[^券+(1+a2)為 + u2樽!^] =2叫32, u2)=0. (3)
В отсчетной натуральной конфигурации F = E, о = 1, cc2= 1; в ее окрестности
w吟=[g_ 1)g +1)黑]…(4)
По (3), сославшись на (4.7.12), (4.7.13), имеем
做ё=｛瑞"器+2除做ё=｛瑞"器+2除尹3尹3卜 и8a2卜 и8a2产3产3e/；e/；+ 2。2(1*)磊/ дэ . дэ+ 2。2(1*)磊/ дэ . дэ+2a2 (1+a2)唄為 + 2萨力。兔2M 0/2°/30/3*I v= 1а= 1『+ 2](小一2 / +訖)丁了=4仙十2+2a2 (1+a2)唄為 + 2萨力。兔2M 0/2°/30/3*I v= 1а= 1『+ 2](小一2 / +訖)丁了=4仙十2⑸⑸
做ё=｛瑞"器+2除
做ё=｛瑞"器+2除
尹3
尹3
卜 и8a2
卜 и8a2
产3
产3
e/；
e/；
+ 2。2(1*)磊
/ дэ . дэ
+ 2。2(1*)磊
/ дэ . дэ
+2a2 (1+a2)唄為 + 2萨力。兔2M 0/2°/30/3*I v= 1
а= 1
『+ 2](小一2 / +訖)丁了=4仙十2
+2a2 (1+a2)唄為 + 2萨力。兔2M 0/2°/30/3*I v= 1
а= 1
『+ 2](小一2 / +訖)丁了=4仙十2
⑸
⑸
и аналогичное вычисление дает
第)-=4網+2卩).(6)
По (4) получаем теперь
w(d,。2)=；[(3九 + 2卩)”一1)十2伍十卩)3一1)]+...(7)
В линейном приближении, обозначив 3〕， 62 продольное и поперечное относительные удлинения, имеем
№= 1 + 23],1 +262
и По (7).
(3大+2")a + 2(九十")(6「晳)+...=0,亲= _^^ = _ v (8)
~~" этим определяется коэффициент Пуассона в линейной теории. 7*
Поскольку (隸)f—е*° можно, сославшись на теорему о неявных функциях, утверждать, что по крайней мере в окрестности натурального состояния уравнение (3) однозначно разре-
шимо относительно а; подстановка этого значения a2 (v2) в (2) приводит к выражению ах (v) — диаграмме растяжения образца. Применение критерия монотонности (5.10.13) приводит к более общему заключению. Полагая v2 = v3 =v, имеем
^ (%，。2, %)=^ (%，。2, %)=(дэ (vx, y2, v3)\\ dv2 Jv2=V3=V(дэ (vx, y2, v3)\\ dv2 Jv2=V3=Vдэ (vx> v2, v3)\加3 Jv2 = v3 = vдэ (vx> v2, v3)\加3 Jv2 = v3 = v(9)(9)
^ (%，。2, %)=
^ (%，。2, %)=
(дэ (vx, y2, v3)\
\ dv2 Jv2=V3=V
(дэ (vx, y2, v3)\
\ dv2 Jv2=V3=V
дэ (vx> v2, v3)\
加3 Jv2 = v3 = v
дэ (vx> v2, v3)\
加3 Jv2 = v3 = v
(9)
(9)
强=["О% ®]，^2, ^з) [。2丑 ®l и?, ^з)而一Lг加3加2-强=["О% ®]，^2, ^з) [。2丑 ®l и?, ^з)而一Lг加3加2-¥=0.¥=0.?2 =d3 =d?2 =d3 =dПо теореме Сильвестра в применении к детерминанту матрицыПо теореме Сильвестра в применении к детерминанту матрицыд2э况”加3д2э况”加3>0,>0,
强=["О% ®]，^2, ^з) [。2丑 ®l и?, ^з)
而一Lг加3加2-
强=["О% ®]，^2, ^з) [。2丑 ®l и?, ^з)
而一Lг加3加2-
¥=0.
¥=0.
?2 =d3 =d
?2 =d3 =d
По теореме Сильвестра в применении к детерминанту матрицы
По теореме Сильвестра в применении к детерминанту матрицы
д2э
况”加3
д2э
况”加3
>0,
>0,
Это уравнение разрешимо относительно и при условии
(10)
откуда следует, что при любом знаке смешанной производной
>0
и по (10) уравнение (9) имеет решение v = vlt что и требуется.
Одноосное растяжение в материале Синьорини, Блейтца и Ко, полулинейном материале
причем 4 = 0 в натуральном состоянии, а границам интервала ( — оо, 1/2) соответствуют бесконечное сжатие и бесконечное растяжение стержня.
В одноосном напряженном состоянии 4「儿，，；=4 + 2儿 %；v % = & (1 — v) —-|- & — A±A2 4- 2vA2 + 个， (3) 1 2 j %=^4 +^ 4；+ 4 - ^2 —0.(4)
Корень квадратного уравнения (4), меньший 1/2, определяется формулой
4 =负1—А1/2), A = & + 4v + l
и Д для допустимых в теории Синьорини значений v (5.2.16) неотрицательно. Главная сила
力 1 — и紡 1 = (1 — 2Д2)"1(у1 =卜7? и、 по (3) представляется выражением
方 1=告[4-一1一2V + A1/2 (1+2V + 4 一寸)].(5)
Соответствующая бесконечному удлинению 4 = 1/2 разрывающая образец сила Q 二力丄S。 оказывается конечной (So —площадь сечения в натуральном состоянии) и равной
Q = T^”E-1-4v)
и при всех допустимых v:
—^v < у , у 卩Sq < Q < |iS0.(6)
Сжимающее усилие, доводящее длину стержня до нуля (41 — оо), бесконечно.
Для материала Блейтца и Ко при одноосном растяжении (% = Оз = 0) по (5.6.5)
]/元=0需=扳2, 5= U”，|/% = |/值， ^=l_U「5/2, (7) о】一монотонно возрастающая функция, отрицательная при сжатии (0 < и】V 1) и положительная при растяжении Q > 1). Иначе ведет себя главная сила 九
"=?01 =。产一不，；翁=一^0产(1_6匠5”(8)
Монотонно растущая от —оо до 0 при сжатиях, а при растяжениях имеющая весьма пологий максимум 左。0,58卩 при
Ui = uF^2,L Любому значению /х = /? < /? соответствуют два Ui〉l: одно Ui<uf, другое и】> и%・ Этим иллюстрируется действенность критериев монотонности (5.10.13) не во всей области значений у, а в окрестности (в этом случае, однако, достаточно далекой) натуральной конфигурации.
Для полулинейного материала при одноосном растяжении по (5.5.5)
0^Л[^ + 2^6х + 2М，% = ^"61 + 2(九 + 卩)6/ = 0 9
3s = % — 1)
и как следовало ожидать
…击吨，(10)
так что
一卩3九+2卩8_ 1 pa / - F(S卩(3九+ 2卩)
как в линейной теории. При одноосном растяжении призматического стержня направления главных осей меры деформации сохраняются, поэтому
о о
как можно было предвидеть, /1~-(Н)-компонента тензора Пиола. По (5.5.1) имеем
3 = ^ 九色 + 26J2 + [X (6；十 2喲=6； [^ 九(1 — 2v)2 + 卩(1 + 2V2)]=
Далее по (5.5.11), (5.5.13) находим
3x=3 + ^/|((PP产)=爲+3 VR^^p-iJ.^y+Z,)
и, как ожидалось,
篇=彳 +1,%1=(%+1卜=0+1)a-=你1.
Это вычисление приведено с целью показать применение принципа стационарности дополнительной работы в простейшем случае.
Простой сдвиг
Задаче о сдвиге принадлежит в нелинейной теории особое место —ею дается неосуществимое в линейной теории объяснение предсказанных и экспериментально обнаруженных явлений в изотропном упругом материале (эффекты Кельвина — Вертгейма, Пойнтинга).
Простой сдвиг задается линейным преобразованием, осуществляющим превращение прямоугольного поперечного сечения ABCD параллелепипеда в параллелограмм AB'^D1} разыскиваются поверхностные силы, осуществляющие эту деформацию.
Преобразование координат as отсчетной, натуральной конфигурации в координаты к$ актуальной и обратное преобразование задаются соотношениями
R 二 i$%$ = гLsd, г = isCls r — &sx2, s = tg Y =爲=const
(оси X и У имеют направление сторон AD и АВ прямоугольника, ось Z нормальна к плоскости сдвига). Как говорилось, поперечное сечение а3 = const параллелепипеда — прямоугольник ABCD — становится параллелограммом с острым углом при вершине л/2 —у. Получаем
о
VR-E + iJiS, Vr二Е —izhs,0)
VRT ^E + ii^s, V「t = E —Li2s.
Меры Фингера и Альманзи оказываются равными о о
F = VRT・VR = E + (i3+ij)s + i]iS,(2)
g = Vr・Vrr = E —(i^ + MJs + i/G,
，3(F) = 1,/JF) = 3 + s2 = /2(g),A(g) = /2(F) = 3 + s2(3)
и no (4.3.4) уравнение состояния приводится к виду
T=2[e^ + ^F + /6E—F).f] = 2[(^ + 2^ + /)E + + (i£+ izh)協 + 粉 s + ij (齐卜削)s?+ isis/sz]. (4) Полагая
3(/1，厶，/з) = з(3 + §2, 3 + s2, l)-3(s2), имеем
2(齐喻卜2嘉田S).(5)
При обозначениях
* = 2(誥-2為 + 談)(6)
компоненты тензора напряжения в декартовых осях (его физические компоненты) представляются выражениями
" = / + 2s嚏，宀叩俘=/ + 2齐％⑺
户=口(炉)5,产二 /31 = 0.
Выражение t12 делает естественным наименование р, (s2) модулем сдвига; по (4.7.12) р, (0) р, — модуль сдвига линейной теории. Заметим, что / (s2) — четная функция, равная по (4.3.22) нулю при s = 0・ Отметим также универсальное (не изменяющее формы записи для всех материалов) соотношение
产=2$2 糸=$2卩(S)(8)
При s，0 необходимым и достаточным условием равенства 'Z11 = Z22 является 尸2 = 0.
В упругой жидкости /12 = 0 и равенство соблюдается, но в твердом упругом теле наличие сдвига неизбежно создает касательное напряжение 尸乞 и сопровождается неравенством t11^ t22 — явление, необъяснимое линейной теорией (эффект пропорционален s2). Осуществление простого сдвига требует приложения нормальных напряжений по всем граням параллелепипеда, в их числе напряжения /33, нормального плоскости сдвига. Эти напряжения, пропорциональные s2, непредсказуемы линейной теорией; не учитываемые этой теорией слагаемые Z12 имеют порядок не ниже s3. Универсальное свойство деформируемого твердого тела, выраженное соотношением (8), представляет отмеченное Пойнтин- гом явление, необъяснимое в линейной теории.
Среднее нормальное напряжение также пропорционально по крайней мере s2
В (^ + 坤十 /зз)= / d) +扌 G F) + 2 盜%.(9)
Кельвин предвидел, что оно должно быть отлично от нуля.
Вектор нормали в актуальной конфигурации N по (1.8.8) представляется формулой
N = (n・GT・n)T/2 Vr・n = (1 — 2s〃i& + /г；§2)т/2 (n —i2nas), (10) так как
G7 = VrT・Vr=E—(iiiz + kiJs + iiiRZ,прт』=1 — 2s%% + 〃；s2.
Вычисляемое по (2.2.6) нормальное напряжение на любой площадке оказывается равным
On = N-T* N =
=/ 十 2 (1 — 2snin2 + 礒2) Т (2〃]〃2S爲一磕2 祭 + 碌2 盡)• (11)
В частности, на гранях п「干 i】(иначе говоря, ДВ\ ОС')
и, конечно, при n=^i2, Пк1з нормальные напряжения равны Z22, ；33. Вектор касательного напряжения tn определяется по (2.2.7)
tn = N・T — Non = 2 (1 — 2sn1n2 + s2n?)-3/'2《(1 — 2sn1n2 ++ §2喲(n1i2 + n2i1)s—[«iij + (n2 — WjS) i2 + n3i3] ^n^stn = N・T — Non = 2 (1 — 2sn1n2 + s2n?)-3/'2《(1 — 2sn1n2 ++ §2喲(n1i2 + n2i1)s—[«iij + (n2 — WjS) i2 + n3i3] ^n^s〈-婚"'〈-婚"'33
tn = N・T — Non = 2 (1 — 2sn1n2 + s2n?)-3/'2《(1 — 2sn1n2 +
+ §2喲(n1i2 + n2i1)s
—[«iij + (n2 — WjS) i2 + n3i3] ^n^s
tn = N・T — Non = 2 (1 — 2sn1n2 + s2n?)-3/'2《(1 — 2sn1n2 +
+ §2喲(n1i2 + n2i1)s
—[«iij + (n2 — WjS) i2 + n3i3] ^n^s
〈-婚"'
〈-婚"'
3
3
а Конечно, обнаруживается отсутствие касательных напряжений на площадках n = i3. При п = 1，n — iz получаем
q=(l+s2)-3/2(i2 + iiS)sG(S2), |矶| = ^5，(14)
Ti2 = iiSji (s2).
Одному из главных направлений е3 = i3 тензора Т соответствует главное напряжение /33 = ^3； два других направления получаем, приравняв нулю правую часть (13) (при п3 = 6, Tn * ii = 0,(N • i?= =0). Приходим к двум уравнениям
〔匚£： .% + 〃i (〃i + &s) О1# —2&) = 0,1+〃2 Sis — ?%) = 0,(15)
в которых /г】，п2 —проекции на оси i。i2 одного из главных направлений % или е2 тензора напряжений Т
7： 〃i = cosa, п2 — sin а; е2: пх — — sina, % = со$а.
По второму уравнению (15) находим
]2е
ctg2a— — s или二
&2八2十4
cos 2a =…一厂 1= (e = ± 1),
причем, конечно, удовлетворено и первое. Можно принять 冗/4 < < а < 冗/2 при £ = 1 и Зл/4 < а < л при £ =——1. Получаем .
.1М> + 4 —s2
е = 1. п = е,: е, = cos а =———I , 1 1\ 2 К«2 + 4 /
'\sina=(上戛(16)
1\ 2 "二 4 /
12
g = —1, ne2: & = —since, e2 = coscc.
Главные напряжения j, a2 находим подстановкой этих выражений в (11).
Чистый сдвиг
В задаче о «чистом сдвиге» осуществляется напряженное состояние
Т= (i2i3 + i3i2) т, t = const〉0,(1)
а разыскивается преобразование отсчетной конфигурации в актуальную, иначе говоря, главные значения 吟 唸 呜 меры Фингера F. Конечно, эта задача, связанная с обращением уравнения состояния материала, значительно сложнее, чем «простой сдвиг».
£В актуальной конфигурации рассматривается кубик, нормали к граням которого образуют ортонормированный триэдр направлений еп е2, е3; напряженное состояние в нем задается тензором
Т=т(е2е2-е3е3)(2)
■—растягивающие напряжения т，—по направлениям е&, сжимающие этой же абсолютной величины —по е3, В системе осей
h = J, i2 = y=-(e2 + e3), i3 = y^ (е2~е3)(3)
(i2, i3 направлены по диагоналям поперечного сечения кубика) напряженное состояние представляет как раз чистый сдвиг (1).
Главные напряжения и инварианты Т равны
j = 0, о2 = т, п3 — —т;
人⑴=0,厶⑴=一爲 /з(т)=0.
Тензор Т равен своему девиатору и по (1.13.5), (5.8.9), (5.8.1 Г»
G2 = 4т2,% = 0, Сз = 0.(4)
В отсчетной натуральной конфигурации кубик представлял параллелепипед с ребрами uf* og* о「. В плоскости сдвига е?.
е3 его поперечное сечение — прямоугольник с ребрами и^】, и；'; угол между его диагоналями 2a определяется формулами
卩2F^W'卩2F^W'卩2卩2
卩2
F^W'
卩2
F^W'
cos 2a = 2 cos2 a— 1 — —~. 吗十吗
Мерой сдвига по гл. 1, § 4 следует считать разность косинусов углов 2a в отсчетной и 冗/2 в актуальной конфигурациях
『… 1+Y⑸
В рассмотрение вводится логарифмическая мера деформации Н и ее девиатор. По формулам (гл. 5, § 8)
⑴2 sin з =sin —In, ,3yg2。仙(6)
COS (0 = COS lb = -7— In ,
Pg2 "3
причем g2 определяется по (5.8.4).
Предполагая выполнимость для рассматриваемого материала %6・критерия (5.13.9) и учитывая, что знак разности положительных чисел совпадает со знаком логарифма их отношения, имеем
(a! —a2)ln-~- — — t ln~^〉0，(a2 — ag) In — 2т1п -~- > 0,
9з — oj In ^ = — t ln^ > 0, так что для такого материала
%>%>：•0 < у < 1.(7)
Угол а не может превосхот»т^ 45°, что впрочем следует и из определения сдвига.
По (5.8.17) имеем теперь
37瑞" = 0,万霁= = t“(h)cos2,箒=—те小H)|/£sin2, (8)
откуда следует
力X ] /、| , 03x03*力хe
sin гЬ 4- cos ib 0 или —r = ° (9)
dpg2^d In /^2 d 1口 cos 屮 —
и общее решение этого уравнения в частных производных первого порядка представляется функцией
Вместе с тем по (8) и (6)
da* = те』】(Н) (cos ^d V^ — Mg? sin2 d屮)=(。九(H) d/g2 cos 屮=
禽禽xe^（H） d In &■二如，（H）巫 d 臣
禽
禽
так что
⑴)⑴)t = e-аg丝屮，
⑴)
⑴)
Отношение %/% можно выразить через меру сдвига. Получаем
Н 方(Т)*“吾)•’(12)
Использование этого соотношения предполагает знание з какИспользование этого соотношения предполагает знание з как
Использование этого соотношения предполагает знание з как
Использование этого соотношения предполагает знание з как
функции /1(Н), Vg；, 2, тогда инварианты тензора F или через
По определению главных сил жений
как з обычно задается через его главные значения.
и по заданию главных напря-
%
*'1 = °'/ + °3 =高(
% 一03
(U2,2 +u3厶)=。，
J ~ у厂 ®2,2 -u3,3)~ 2T
(13)
И ПО
dа _
Ei -
(4.3.16)
с дэ . дэ
0,%1^ + °з 丽
О,
2疗
дэ
2 dv2
(14)
Из первого и второго соотношений снова получаем (10) …J)(15)
и из третьего (11) и (12)
偿施(/吾)•(⑹
При задании э через инварианты /无(F) уравнения (14) приводятся к виду
(需+循一2唠許+ [2馮循一 。； (% +喲]舒=0,(17)
厶嘉+ 2厶舒+ 3厶/ = 0, 2(18)
"=聂(需一喲(許+甯矣｝ В)
Вычисления, диктуемые этими формулами, — представления и〔, j； / через т,——доводимы до конечных соотношений лишь при
особо «удачных» заданиях зависимостей э от инвариантов. В общем случае возможно лишь построение формул, описывающих «эффекты второго порядка» для достаточно малых т. Они исчерпывающим образом представлены Трусделлом и Муном (С. Truesdell, Н. Moon, 1974).
Материал Синьорини. Удельная потенциальная энергия, задаваемая выражением (5.11.4), не зависит ст 厶 и по (17) в задаче о чистом сдвиге
Л = 3^1,厶=与(20)
Соотношение (18) приводится к виду
(Х + И)(А)2+2(ЗХ + и)^-3(9Х + 5И) = 0.
Это уравнение имеет корень /2//3 二 3, второй ——отрицательный должен быть отброшен. По (20) получаем
力=。，4 + 4 = 2,(21)
v2 из
так что f2 > 1, f3 < 1 по (7). По (19), (20) и (21) получаем теперь
%=(1一目"，g=(1+寻"(22)%=(1一目"，g=(1+寻"(22)
%=(1一目"，g=(1+寻"(22)
%=(1一目"，g=(1+寻"(22)
и формула связи касательного напряженного т со сдвигом в упрощенном варианте (с = 0) тела Синьорини повторяет соотношение линейной теории
卩 ％(23)
но, конечно, у отнюдь не должно быть малым.
Эта же зависимость имеет место в материале Блейтца и Ко. Для него по (5.6.5)
货=；」Т"，1-^ = *，1+三==， t=卩『 (24)
У /3И V2И ^3
В задаче о простом сдвиге по (5.11.4), (4.3) и (4.5) для материала Синьорини
3 = qMs2 + ^(A + M)s4,m(s2) = m + e(A+m)s2 (25)
н по (4.7) напряжения определяются по формулам 尸1=尸3=一[4a_8+m心2]^ ,
伊=_ [4 仇+2卩)+ 3 仇+卩)sH 4",户=R (s2) s.
Полулинейный материал. Задачи Ляме
для цилиндра и сферы
При аффинном преобразовании отсчетной конфигурации в актуальную тензор напряжений постоянен и представим в единой для всех материалов форме записи уравнения состояния. Явное задание его коэффициентов или представление удельной потенциальной энергии через инварианты деформации требовалось на этапе количественного разыскания связей между деформациями и напряжениями в конкретном материале.
При преобразованиях, отличных от аффинного, уравнении статики уже неотделимы от задания материала его определяющим уравнением. Единый доступный прием — построение peuse- ний, близких к решениям линейной теории и обращающихся в них при удержании лишь слагаемых первой степени относительно компонент градиента вектора перемещения. Это не исключает возможности для некоторых материалов и частных предположений о характере деформации продвижения вперед, когда уравнения равновесия в перемещениях или применение вариационных принципов допускают сведение" задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
К числу таких «доступных» материалов принадлежит «полулинейный» (гл. 5, § 5); особенно ценным оказывается свойство обратимости его уравнения состояния с помощью принципа стационарности дополнительной работы. Задачи, относящиеся к полулинейному материалу, рассмотрены в §§ 6—8.
Осесимметричная деформация круглого полого цилиндра. Поверхностное нагружение^осуществляется равномерно распределенными по внутренней*'и наружной поверхностям цилиндра (г =「о, r = G)давлениями "°, %. Материальными координатами служат цилиндрические г, <р, z в отсчетной конфигурации. Для принятых условий нагружения следует принять1 радиальное перемещение зависящим только от г, а осевое ——линейной функцией г. Место точки в актуальной конфигурации определяется выражением
R = e/ (r) + kaz.(1)
По формулам III, § 7, в частности, (III.7.17), имеем
К = е/(г), R2 = e"(r), R3-ak;
ri = ri = er， Г2 = ге@,产=号，r3-r3 = k, ° так что по гл. 1, § 4
оIо
YR = NR, = е,е/ (г) + ；f (г) е^е® 十 kka = YR*
G = F = ererf2(r) Т-е©-^^+kka2.
Тензоры G и F соосны, и для полулинеинс го материала уравнения равновесия в объеме и на поверхнссти по (5.5.16) приводятся к видуТензоры G и F соосны, и для полулинеинс го материала уравнения равновесия в объеме и на поверхнссти по (5.5.16) приводятся к видуоV2u ^= О,оV2u ^= О,оооо/ dO \/ dO \入e「V ■ и 十 2|ier-Vu 工入e「V ■ и 十 2|ier-Vu 工⑷⑷11так кактак какп= е「， t = e^Pq при r = r(j；n = e「， f = 一力卩1 при r = r「
Тензоры G и F соосны, и для полулинеинс го материала уравнения равновесия в объеме и на поверхнссти по (5.5.16) приводятся к виду
Тензоры G и F соосны, и для полулинеинс го материала уравнения равновесия в объеме и на поверхнссти по (5.5.16) приводятся к виду
о
V2u ^= О,
о
V2u ^= О,
о
о
о
о
/ dO \
/ dO \
入e「V ■ и 十 2|ier-Vu 工
入e「V ■ и 十 2|ier-Vu 工
⑷
⑷
1
1
так как
так как
Понадобятся представления физических компонент тензора напряжения Т через его контравариантные компоненты, а также формулы связи последних с компонентами тензора Пиола при преобразовании (1). Имеем
т= R1R1" + КК产十 R3R3/33 = е,е/2” +
+ е^е^尸尸2 + kkdf зз о煦煦灭+ о①е①①+ %%%
(недиагональные элементы в рассматриваемых здесь задачах, согласно (3), отсутствуют). Но направления единичных векторов при преобразованиях (2) сохраняются: eR = er, е①工％, k = е2. Поэтому
⑸⑸0R=j'2户，0ф = /2/22, J = a2/33.
⑸
⑸
Теперь по (2.7.3) и (5.5.5)
/A VRt.[X(V-R-3)E+2h (VR-E)] =
万差｛[九(广十^+ a) - (3九十2m)](f气体,+Jе学е^十акк) + 十2世(/'%& +4 е^ + ^кк^
ОО。①。①『а『а°z = 77о°z = 77о入 yfr +7 + a)+2h7—(3入+ 2叫, 九(广 + ^ + aj + 2(ш - (3入 + 2卩)].入 yfr +7 + a)+2h7—(3入+ 2叫, 九(广 + ^ + aj + 2(ш - (3入 + 2卩)].(6)(6)Но Vr — Е,衿工▽・％==0 и поэтомуООО/ f \，V2u - V2R = V2(еJ (г) + kaz) - ег (厂 +/) -0,『+ = 2Ci， f =+ 我Но Vr — Е,衿工▽・％==0 и поэтомуООО/ f \，V2u - V2R = V2(еJ (г) + kaz) - ег (厂 +/) -0,『+ = 2Ci， f =+ 我⑺⑺так что
О
О
。①
。①
『а
『а
°z = 77о
°z = 77о
入 yfr +7 + a)+2h7—(3入+ 2叫, 九(广 + ^ + aj + 2(ш - (3入 + 2卩)].
入 yfr +7 + a)+2h7—(3入+ 2叫, 九(广 + ^ + aj + 2(ш - (3入 + 2卩)].
(6)
(6)
Но Vr — Е,衿工▽・％==0 и поэтому
ООО/ f \，
V2u - V2R = V2(еJ (г) + kaz) - ег (厂 +/) -0,『+ = 2Ci， f =+ 我
Но Vr — Е,衿工▽・％==0 и поэтому
ООО/ f \，
V2u - V2R = V2(еJ (г) + kaz) - ег (厂 +/) -0,『+ = 2Ci， f =+ 我
⑺
⑺
и выражения компонент тензора напряжений приводятся к виду 叮=（&十全碣3九（2a +a）+2卩（а 一誓（3"+2卩）」
°①=（以_d^7厂2）忆 入（2a + a）+2"（a + ^） - （3' + 2似,（8）
o>2 = 了厅［'（2C*i + a） + 2|ia— （3九十 2卩）］.
Из последнего выражения находим выражение продольной силы Q, которую следует приложить к торцам стержня, чтобы осуществлялось рассматриваемое равновесное состояние
Q = 2jt § g^R dR = 2jt § od （尸）『（尸）dr =
R。г。
=n（外一嗡［九（2& +a）+2卩a—（3九+2卩）］.
（9）（9）Это ——одно из уравнений для трех констант Сх, С2, a 大（2С" a） + 2卩a = ^号方+3九+2卩.
（9）
（9）
Два других следуют из краевых условий （4） на цилиндри- сdO ，（г）
ческих поверхностях. Они, если учесть, что 而=a J ； J , приводятся к виду
入（2e\ + a）+2卩（g\ -崇）=-, ро （С1十§）a + 3九+ 2卩，（10） 九（2& +a）+2卩一小 （& +年）a+ 3九+ 2氏（11）
Краевое условие на торце удовлетворено интегрально, в «смысле Сен-Венана». Этим приходится ограничиваться и в линейной теории.
Для цилиндра, расположенного между двумя неподвижными гладкими плитами, а=1 （длина неизменна）. Приняв, что внутреннее давление отсутствует （% = 0, р、= р）, получим
R —С Г +邑=—一2"）广°—k — v —L — （「））
飞一十p 1." 一2*，看，2（九十"）. （丿
（13）（13）Таково выражение внутреннего радиуса сжатого наружным давлением цилиндра. Сохранив лишь первую степень малой ве/ш- чпны 卩'（2肘），придем к выражению классической задачи Ляме
（13）
（13）
Радиально симметричная деформация полой сферы. Нагружение осуществляется равномерно распределенными давлениями Ро，Pi по внутренней г = г0 и наружной r=^rY поверхностям сферы. Материальными служат сферические координаты г, §, X частицы в отсчетной натуральной конфигурации; сферические координаты при радиально симметричной деформации в актуальной конфигурации обозначаются R = f ⑺,® = 3, А=九.Векторные базисы в отсчетной и актуальной конфигурациях определяются формулами
г = гег: 1\ =办， r£ — re^. r3 = re^ sin {);
厂厂sin心
R = /(r) е/ Ri = f'(r)力，R2 = /(r) e^, R3 = /(r) exsin^;
RT(r)e「* =尚，М = 7^，
так что
VR = e^f' (г) + (e^etj +exex) -^- = ererr ^^ +Е J=VRt,G=F = eA(r2-^+E^-.
О о о о о о о
Вспомнив, что здесь VR = VRT, V?R= V・ VRt= VV・ R, имеем
V'R = f + 2^, V^R=eДr + 2^)，'
и из уравнения равновесия (5.5.16) в объеме получаем
f (尸)= CJ +号.(14)
На поверхностях г = const
标力• (R - r) + 2吟 e (R 一 г)=[継+ 2卩)g 一 1) 一 4n *] e「
do 广 2 у 1 1/
Постоянные с2 определяются краевыми условиями
г七г0： (3入+ 2卩)(j - 1) - 4"乌二二一乌)Pu，
/* = q: (3九+2卩)(q - 1) - 4m - (r + 号)"Pi — уравнения для с^ q нелинейны.
Рассмотрим случай шаровой полости в неограниченной упругой среде； одна из постоянных в (14) определяется условием равенства нулю радиального перемещения при г —+ оо
(R — г)「- в = [(& — 1) /* +"^"]г f 8 = °， R = 1.
(16)(17)(15)(18)(16)(17)(15)(18)Постоянная q теперь представляется корнями квадратного уравнения
(16)
(17)
(15)
(18)
(16)
(17)
(15)
(18)
вещественными при р0 < 卩；они оказываются равными
Давление, распределенное по поверхности /* = const, по определяется выражением (力=爲，尸)
?二=4卩鸟力(1 +鲁力) 一二р0 ^"，
^0\ Ao /沙
D 1 期—1) (1 ± ]/匸千今他一1)2.
二；Сохранив верхний знак перед радикалом, в линейном приближении ('о/卩=0) получили бы неприемлемый результат (р 二二 = Ро ； взяв нижний знак, придем к известному в линейной
з
теории закону убывания давления р = р° 聿.Радиальное смеще- щение частицы среды следует определить поэтому выражением
——первое слагаемое справа представляет решение линейной теории-
Круглая мембрана
Уравнения статики для тензора Пиола, представленного через физические компоненты в цилиндрических координатах
✓\人z\z\**ч
p = 044r+0fpe屮2屮+ %кк +t厂屮2r2零+“2屮2r+
+云雜屮k + 氤ke屮+ xzrker + £霜水，(丨)
по (Ш.7.28) приводятся к виду (%=1, Н2 = г> 〃з=1)
彳го「一О屮+十厂丁+『Ро瓦=0,
^^г(р + ^^г + г ^^ + 9焉=0,(2)
Обозначения сл> ..., тгг применены, чтобы отличить эти величины от физических компонент тензора напряжений Коши Т; конечно, в (1) и (2) % 片元「и т. д.
На поверхностях г = const и z = const
er - Р — g г* + Tr(pe(p + тггк н f ⑺，к • Р = т2гел + 马認屮 + “к = f"L
Койтер (W. Т. Koiter, 1975) рассмотрел, как пример применения принципа стационарности дополнительной работы, задачу о заделанной по краю г = а круглой мембране пренебрежимо малой толщины. Статически возможное напряженное состояние задается тензором Пиола, его компонентами о「, 0屮,тг2, зависящими лишь от г. По (1) и (2), учитывая собственный вес мембраны (р(Лм=у), приходим к соотношениям
原=(г£г)'， 力z = ^"， &z = 0.(3)
Конечно, более содержательной была бы постановка задачи с пренебрежением весом мембраны, но с учетом распределенного давления по ее поверхности.
Имеем теперь
Р二 crerer + (向飞認① +^ yrerk, рт=応力力+而力‘ ^% Y水力， так что
р. рт =}步2)erer + (冠)"е^е®,
、*/,'(4)
(Р・ рт)% = (f； + ； yi) " е，е, + (гоJ ej.
По (5.5.11) выражение удельной дополнительной работы приобретает вид
exu^d^+KKL+^Yi—Zv (&)，/祕+^Y2d +
+ е[/ ^ + ；уВ 十(г。/]},(5)
причем Е = 2|л (1 + V)— «модуль Юнга».
h("屮 +h("屮 +По (5.5.12) теперь определяется градиент места о1егаг + укуг
h("屮 +
h("屮 +
舒+ } Y2Г
+ e网(1]-工 j/^ /+；Y2r2). (6)
«Аналог уравнения Бельтрами» (4.17.12) приводит теперь к дифференциальному уравнению для напряжения о「
VxVR=(erA + le,A)x^R = o.
Проделав это довольно громоздкое вычисление, получаем
\]/力+彳Y2八/]/ ”+彳Y2m
Введя, следуя Койтеру, безразмерные величины,
а 二(丫乎，), о「= fas, р — ~ » Oq)= Еа (ps), # = ^" 72P汨2 =』e”或p?(8)
можно записать (7) в виде
1——尸т i =. +a (pk + 3ps' _ ^ — JP* 0. (9)
Штрихами здесь обозначены производные по р. Поскольку а«1, можно довольствоваться полученным Койтером (другим путем) упрощенным уравнением
P*s〃 + 3ps'+^ = 0, (Ю) не содержащим ни геометрических (а), ни материальных (Е, v) параметров.
Переходим к определению вектора места. По (6) о о
dR = dr • VR = (er dr + геф dtp + k dz) • VR =
1一专（向，1一专（向，dr +dr +
1一专（向，
1一专（向，
dr +
dr +
5r dr + re® [嗜"+ 1 —
—Т V^ + jY2^ dtp. (11)
Через w обозначается вертикальная компонента R — прогиб мембраны, равный нулю -при г^а
(12)(12)Теперь выражению вектора места придается видТеперь выражению вектора места придается вид(13)(13)
(12)
(12)
Теперь выражению вектора места придается вид
Теперь выражению вектора места придается вид
(13)
(13)
и должно выполняться условие интегрируемости, записываемое в виде
11
1
1
Конечно, оно представляет лишь другую форму записи уравнения (7); (13) приводится теперь к виду
R = ks + j {[^%^+1— 善联碎+ Ri г} е^dr +
Го
Или
R =施 + f d { е/ 土^- + 1R =施 + f d { е/ 土^- + 1V~EV~E
R =施 + f d { е/ 土^- + 1
R =施 + f d { е/ 土^- + 1
V
~E
V
~E
ЗдесьЗдесь=to + r 4-erur. (14)
Здесь
Здесь
wr —радиальное перемещение частиц мембраны
[维1T /詆斤^] I .(15)
илиилиПри 厂=а отсюда получаем одно из краевых условий для урав. нения (7)■При 厂=а отсюда получаем одно из краевых условий для урав. нения (7)■р - 1: s' + s — v у s2 +；・а — 0.р - 1: s' + s — v у s2 +；・а — 0.(16)(16)
или
или
При 厂=а отсюда получаем одно из краевых условий для урав. нения (7)■
При 厂=а отсюда получаем одно из краевых условий для урав. нения (7)■
р - 1: s' + s — v у s2 +；・а — 0.
р - 1: s' + s — v у s2 +；・а — 0.
(16)
(16)
Возвращаясь к (15), естественно потребовать обращения в пуль (по условию симметрии) перемещения иг в центре плиты. Это приводит к условию конечности при г = 0 величины (15) в квадратных скобках
(гагУ ~var или ps，+ (l—v) s конечно. (17,
Но аг в центре плиты также конечно, так что (17) можно свести к условию конечности (гагуг=0. Возвращаясь теперь к (7), умножая на г и интегрируя по г, приходим к соотношению
12万产12万产1 「1 亓（b1 「1 亓（b「3 dr「3 drОО
12
万产
12
万产
1 「1 亓（
b
1 「1 亓（
b
「3 dr
「3 dr
О
О
так как (川⑺』；。при конечном го；. При малом г, поскольку о「声 0, оно приводится к виду
/1 I 1 » 2「12「戸 dr 1=J 万冲^v 丫Lоо/1 I 1 » 2「12「戸 dr 1=J 万冲^v 丫Lоо66「5 drOr「5 drOrf оf о
/1 I 1 » 2「12「戸 dr 1
=J 万冲^v 丫
Lоо
/1 I 1 » 2「12「戸 dr 1
=J 万冲^v 丫
Lоо
6
6
「5 dr
Or
「5 dr
Or
f о
f о
так как выражение в скобках имеет порядок не ниже г4. Условие (17) выражает поэтому краевое условие
『 = 0： о； = 0 или р = 0: s' = 0.
выражениемвыражениемПрогиб в центре плиты по (12) определяется
выражением
выражением
|口一va(ps)[— PR …J .(19)
Малость параметра а допускает замену (19) приводимой К。於 тером формулой
После замены краевого условия (16) его приближенным выражением
p=L s' + (l—u)s = 0(21)
задача приводится к дифференциальному уравнению (10) при условиях (21) и (18). В работе Койтера приведены результаты численного решения этой краевой задачи для нескольких значений v.
Плоская задача для полулинейного материала
Геометрические соотношения. Преобразование отсчетной конфигурации в актуальную задается соотношениями (греческим индексам сообщаются значения 1, 2)
x口=%口(废，废)，躱=仅3,‘⑴
определяющими плоскую деформацию призматического тела; с— 1, если предотвращено смещение его торцов в продольном направлении. Материальными координатами служат декартовы координаты 废，废，〃з отсчетной конфигурации; градиент места равен
VR = iai0^ + i3i3&(2)
да
Мера деформации Коши G и ее компоненты определяются формулами
022 r1而)十[研u12 =初衣十友請，
G23 = G31 = 0,G33 = С?・
Компоненты тензора искажений U = G1/e определяются системой Уравнений
lb U = IP = U&yUув 】小=Gapiaip + i3i3c2,
Uh + Ul^G^ Ul + Ul^G^(4)
U12 (Uli + U22)= G12，^33 = C» ^Sa ~ 0*
Инварианты меры Коши оказываются равными
Л (g)= Gu + G2 十合＜g】+G2 十*
/2&)=6«2+。2(回+62)Г5《22-52 +。2(g】+a2),(5)
4(G) = detG = c2 (G】】G22 — Gh,
OK d炉 у да2 да1 /OK d炉 у да2 да1 /(6)(6)причем Gi，G2, с2 — главные значения G. Принимается обозначение
OK d炉 у да2 да1 /
OK d炉 у да2 да1 /
(6)
(6)
G = G1G2 = GuG23 — G% =(寫~
yv— 6tl a尤 2 О" дх2
—да1 班？ —' да2 да1 '
сУ G — определитель преобразования (1). Теперь имеем
(U「卜62)2=(]/爲+1/系)2=61+62+2]/丽=
一、 8。丄十8逑丿十I @ql a絞丿， При обозначении
，-[(8m + 8。2 ) + ( 8。1 да2 丿」'()
возвращаясь к уравнениям (4), получаем
г г I rZ _ jj _ 1 [ дх1 дх1 дх2 дх2 \ 22=9，I丿，
u；i—% = q 仏1 — и 22)= Оц — g22,
力1=右911一伉2+們=^ [粉(需+|^)+薪(^一联)],(8)
г а尤2 / @尤1 @尤2 \ @尤1 / dx1 дх2 \ ]
022 =7■十乔丿十辰■一期J]•
Эти формулы подсказывают целесообразность ввести в рассмотрение подстановки
COSX = y (^г +Jr),COSX = y (^г +Jr),S1 口％ — 7(^i@q2 丿，S1 口％ — 7(^i@q2 丿，(9)(9)
COSX = y (^г +Jr),
COSX = y (^г +Jr),
S1 口％ — 7(^i@q2 丿，
S1 口％ — 7(^i@q2 丿，
(9)
(9)
позволяющие представить формулы (8) и выражение тензора U в виде
^11 =初侬%+而711%
^22 =—而"Sm% 十請■cos%, ,, дх1 . . d№ .дх1 .. дх2
^2-^-cosx + ^sinx^-^sinx+^-cosx，
u - Uaeia% +ci3i3 =(环 cos/ —i3 x iaip sin %)可十％13・
Угол % естественно связывается с ортогональным тензором поворота 0х, сопровождающим деформацию. По (1.6.8) и (1.3,3)
мм^м
0 义=U • VrT —
=(ij₽ cos % - i3 X ijp sin %) -^ + ci3i3] • (ivi6-^- + ^ i3i3)=
=(Ue cos z-i3Xiaifi sin %)啓芸 + i3i3 =
=(ije cos % — i；, X ijfi sin %)督 + i3i3, так что
0х = E2 cos x - i3 X E2 sin x + i3i3(E2 = hij + isi2). (11)
Дальнейшее рассмотрение можно упростить введением комплексных обозначений (черточкой над буквой обозначается пе- реход二к сопряженным величинам)
у =废 + j废，z =光1 + i%*
так что
旦=金+ 金,丄= “2一旦)；
За1 苑‘ ag"\^ ag /
2 — =i,2 -1.
ag да1adад да1ad
Получаем
по (9), (6)
c dz дх1 . дх2 . / дх2 дх1 、改
2就=而1К卜7 a。1ad广"'，
(12)(13)(12)(13)2. Представление тензора Пиола для полулинейного материала. Уравнения равновесия. По (5.5.5), учитывая (8), имеем2. Представление тензора Пиола для полулинейного материала. Уравнения равновесия. По (5.5.5), учитывая (8), имеем
(12)
(13)
(12)
(13)
2. Представление тензора Пиола для полулинейного материала. Уравнения равновесия. По (5.5.5), учитывая (8), имеем
2. Представление тензора Пиола для полулинейного материала. Уравнения равновесия. По (5.5.5), учитывая (8), имеем
p=РФ + e-3) —2 卩]0X+2 卩 VR =
=В(9 + c — 3) — 2ji] (E2 cos % —i3x E2 sin %) +
+ 2 卩 iai6 瑞十 口3产；(14) oa
03з =入 g +c _3) +2卩(c_ 1),p3a=0a3= 0.
В рассмотрение вводятся представления компонент 卩口匕 подоб- HRe формулам Колосова — Мусхелишвили линейной теории
严+ 1产=屮g)溯+ 2同.名，
p2i-iptl = ^{q)e -2卩祭，(15)
причем
（g）=（人 + 2卩）（g - 2） + 2卩 + 入（С - 1）-
Уравнения статики при отсутствии массовых сил
др^ . др^ — П°户2 丄 ^22 _ n0炉З — n
теперь преобразуются к виду
爲（严+，•畔）+，急（卢一卢）=（爲+，爲"（9）" +
20% d2z
十4h （аа18。2 —萨万｝/， так что
"^■2（g）e.* = 0,p33 =炉3（废，废）.（17）
Первое соотношение содержит основной результат —выражение 屮（（7）或，представляет функцию комплексного переменного ；, обозначаемую далее
2（д）е‘х = Ф'（9， и%「湍鬪.（18）
Это и дало основание назвать «полулинейный» материал «гармоническим» （John, I960）.
3. Краевая задача. Связь между функциями z （& 《）и ⑴’（0 устанавливается соотношением
° 8z _ ФК） I j（c—・1）①飞）I*
~甚一九十2"十1-vI①'日）1 ‘
следующим из формул （12）, （16）.
Уравнения равновесия на боковой поверхности призматического тела записываются в виде
idO = n-Pdo,g器=%尸1+％戸1,3黑="歩М+ &p2t
Здесь &, ^2 — проекции поверхностной силы на оси 饅，废；к» нечно, в плоской задаче 厶=0 на боковой поверхности. Введя комплексные векторы
где ds — элемент дуги контура / поперечного сечения в отсчетной конфигурации, и обратившись к （15）, （18）, получим
计黑=昉亲=卷①'0 - 2凜.3
qepe3 dS обозначается элемент дуги контура 厶，в который обращается в актуальной конфигурации контур /; очевидно, что
dO 二 dS с da3,do — ds da，.
Главный вектор V поверхностных сил на дуге 历。必 теперь определяется равенством
涉二％ \fdS= \ ①'化)d《一2M J dz =
= CD@—Ф 餘)一2財2 信 W) —z&, Co)]. (21)
При действии равномерно распределенного по боковой поверхности давления р на /
(22)(22)f = — pN^pi~, icV = —ср (z — z^,cD(g) = (2|i —cp)z(g, □ +const.
(22)
(22)
Тензор напряжений Коши Т по (2.7.3), учитывая обозначение
(6), представляется выражением
т = | /1 VRT-P = 1 I/訐小礬河+i/用.(23)
Нормальное напряжение в поперечном сечении 废=const определяется выражением
%J G 二炉3, % 壮。=рзз 曲=[入(g —2) + (入+ 2卩)(с — 1)] do, (24)
так как определитель У G преобразования плоской области а^ = =const в плоскую область г3 ~ const равен отношению элементарных площадок dO/do. Продольная сила в рассматриваемом теле оказывается равной
JJa3 d0= JJp8Mo = xJJ(7-2) do + (X + 2n) (C1-1)QO, (25)
причем Qo —площадь поперечного сечения в отсчетной конфигурации.
Возвращаясь к (23), имеем
% 十 02 ~% 十 02 ~18产18产aa
% 十 02 ~
% 十 02 ~
18产
18产
a
a
н После вычисления, в котором используются формулы (15), (6), ПолуЧаем
С(% + g + 4|iС(% + g + 4|i河（9）河（9）(26)(26)
С(% + g + 4|i
С(% + g + 4|i
河（9）
河（9）
(26)
(26)
Это — первая формула Колосова —Мусхелишвили. Второй опре， деляется выражение
仇一°\~ 2/т12 — i2-T-i2 —ij*Т*ix — / (h'T*i2 + <2*T• ix)—
cy G \_daY daY\dav dav /J
и после вычисления, в котором используются формулы (15)} получаем
С(—%)=一焉屮(m*+嗚•"
V G q 买式 ' '
Возвращаясь к представлению (20) силы f, составим выражения ее нормальной fN и касательной fs компонент на дуге L. Обозначив N, S единичные векторы нормали и касательной этой дуги, имеем
fN = N・f, fs=Sd; N 二一力^, s = ^・(28)
Скалярное произведение двух векторов выражается через их комплексные представления формулой
a-b = y (而 + 而).
Заменив теперь в (28) силу f ее выражением (20), придем к формулам
-dzds-dzds-dzds-dzds•I -2 1 -2-一一•I -2 1 -2-一一t^)=击№к)衾^ +而杳亲一4小(29) +7>)=-4[^(^)#<-^1 0• 0О)
-dzds-dzds
-dzds-dzds
•I -2 1 -2
-一一
•I -2 1 -2
-一一
Напомним, что \dz\ — dS, 值| =由.
Замечания. 1. В задаче о плоском напряженном состоянии рассматривается деформирование тонкой пластинки (толщины 2h^ нагруженной по ее боковой поверхности силами, параллельными ее средней плоскости rz3 = 0 и симметрично распределенными относительно нее. Торцевые поверхности & = 土九()не нагружены. Такое состояние приближенно осуществляется при преобразовании отсчетной конфигурации в актуальную, определяемом формулами
废)，炉=0(废，废)废 (1/1&%)(31)
при пренебрежении слагаемыми порядка /^, если довольствоваться рассмотрением средних по толщине пластинки компонент 产
тензора Пиола; средние значения раз, /^竄 оказываются равными нулю, а функция c(〃i, а2) определяется условием обращения в нуль 叫
Действительно, по (31)
ОVR = ijОVR = ij0м _ das0м _ dasi/в果十ij 舞炉十isisC，дадаi/в果十ij 舞炉十isisC，дада
О
VR = ij
О
VR = ij
0м _ das
0м _ das
i/в果十ij 舞炉十isisC，дада
i/в果十ij 舞炉十isisC，дада
так что
八 Г7П Snr * *, ч2 дс дс \
g=yr•vr=^(俞訥十"請諺)十
+"（м+*а）с崇十品合
и среднее по толщине пластинки значение меры Коши оказывается равными среднее по толщине пластинки значение меры Коши оказывается равнымк 1 V =2九。к 1 V =2九。,Gda』小（景萼十^,Gda』小（景萼十^дс дсдс дс-ho-hoдаа ОаВдаа ОаВ4-13*зС2>4-13*зС2>
и среднее по толщине пластинки значение меры Коши оказывается равным
и среднее по толщине пластинки значение меры Коши оказывается равным
к 1 V =
2九。
к 1 V =
2九。
,Gda』小（景萼十^
,Gda』小（景萼十^
дс дс
дс дс
-ho
-ho
даа ОаВ
даа ОаВ
4-13*зС2>
4-13*зС2>
так как § 〃⑶壮炉二。.Пренебрегая слагаемым с множителем Ао» 一仇
приходим к выражению G, повторяющему (3), и для средних значений всех величин сохраняются найденные выше соотношения (отбрасываем знак 〜над их обозначениями). В частности, р“з = рза = 0, а требование р33 = 0 приводит по (14) к определению с
-隹小-2).(32)
Теперь выражению “(g) по (16) придается вид
"(9)= 6十2卩)(9-2)一為(9一2)十2卩=%賞3-翁奇).
(33)
В задаче о плоской деформации призматического тела, к°гда предотвращено смещение его торцов (с= 1), представлению P(g) придается вид
2(9)=(九十2卩)(9-芈辞) (34)
Н нетрудно проверить, что уравнения состояния для рар в задаче 0 плоском напряженном состоянии приобретают тот же вид (15), Что и в плоской деформации, если заменить X величиной
(35)(35)2R九
(35)
(35)
入工2口・
Действительно, по (33) и (34) требуется, чтобы
("十2卩)(9("十2卩)(93九+2"\2 (Z + Р)/3九+2"\2 (Z + Р)/_2 （储 + n）、=4w（入十"）/ a九'+ 2卩丿九十2卩\
("十2卩)(9
("十2卩)(9
3九+2"\
2 (Z + Р)/
3九+2"\
2 (Z + Р)/
иначе говоря,А/ + 2 卩иначе говоря,А/ + 2 卩_4卩（九+卩）— 九+2卩_4卩（九+卩）— 九+2卩入-j-卩—：卩入-j-卩—：卩3九十2卩 九十2卩,3九十2卩 九十2卩,
иначе говоря,
А/ + 2 卩
иначе говоря,
А/ + 2 卩
_4卩（九+卩）
— 九+2卩
_4卩（九+卩）
— 九+2卩
入-j-卩—：卩
入-j-卩—：卩
3九十2卩 九十2卩,
3九十2卩 九十2卩,
Оба эти соотношения удовлетворяются, если определить 九'по (35) (или при замене v на v/(l + v)). Известно, что такая же связь между постоянными в законе упругости соблюдается в линейных плоских задачах.
При преобразовании поворота 2 =守°, 0 = const по (12)
■| = о, 2^ = »% = 2е?
д = 2, % =仇 Ко = 1
и 屮(д) = 2卩 по (16) при с=1. Формулы (26), (27), как следовало ожидать, дают а1 = а2 = т12 = 0.
При 屮(g) = 0, д = (1—&)т из тех же формул находим о】 =。2 = — 2卩,т12 = 0 —среда находится в состоянии гидростатического сжатия интенсивности 2卩.
9. Изгибание полосы в цилиндрическую панель. Деформирование полого цилиндра
Рассматривается деформирование параллелепипеда
一九0"10九，—b^ a2^bt - /w炉总/
в цилиндрическую панель
% W W - a V 屮аa, I 0 6 0 l
——ее внутренний и наружный радиусы равны r0, rn центральный угол 2а; предполагается, что предотвращено смещение торцов 〃з二干/ в продольном направлении. Изгибание в панель осуществляется распределением изгибающих моментов по краям панели ф 匸土 а (в отсчетной конфигурации по краям 。？ = 士 力)， Цилиндрические поверхности г — г0,厂=q (в отсчетной конфигурации грани 〃1=干九)свободны от нагружения.
Преобразование описывается формулами
г = %1 Ц-(%2С (а1) е1 ь ° = rei{^, х3 = а3,(О
так что r = |z| = C(〃i),屮=々万一-значениям 〃2 = 土匕 соответствует азимутальный угол ф = ±а. По (8.12)
о dz dz . dz2比拜о dz dz . dz2比拜[о (叫[о (叫а с2 таа с2 та=де%=де%
о dz dz . dz
2比拜
о dz dz . dz
2比拜
[о (叫
[о (叫
а с2 та
а с2 та
=де%
=де%
откуда по (8.16), (8.18) имеем
и (С)二 3 + 2卩)[с(* +1 С@) — (1 —v)-J| е 吟
и дифференциальное уравнение, определяющее С (а1), получается из условия
2贊=*+，嘗*。"⑺тее)一^еге
⑵
Его решение при краевых условиях
с （一力）=，о, с（т；厶с （一力）=，о, с（т；厶(3)(3)
с （一力）=，о, с（т；厶
с （一力）=，о, с（т；厶
(3)
(3)
записывается в виде
с(а1) = 4 L^i+r^с(а1) = 4 L^i+r^,аа1ch у,аа1ch уsh — 卜(и м匸 / dh\ Y=方•sh — 卜(и м匸 / dh\ Y=方•⑷⑷
с(а1) = 4 L^i+r^
с(а1) = 4 L^i+r^
,аа1
ch у
,аа1
ch у
sh — 卜(и м匸 / dh\ Y=方•
sh — 卜(и м匸 / dh\ Y=方•
⑷
⑷
Неизвестные радиусы панели определяются условиями отсутствия нагружений на поверхностях = 土力. По (5.20) при f = 0, 曲=土加 получаем
2唯=①'⑵需2咤с (±力)=Q+2卩)[0 (±力)+m(± /i)]
и по (4)
Г1 + = 2 橙，Г1 — г。= 2 ^ th у.(5)
Теперь С(〃1), С (a1), g, “(g) представляются выражениями
(6)(6)С@)=2*士с%e'(叫=击(。号一曲曲第,(? = 1^(^,6^^ + 2^ + 2h)>
(6)
(6)
Компоненты /N, fs напряжения на площадках 〃2 = ±力 определяются по формулам (8.29), (8.30); на этих площадках
ds =干 d* ^М = С'(а】)е-%①'&) = 2(q)也
1制="'(w
Получаем
加^ =屮(9)一2卩0 (叫=誥(exp 管一ch^ + ±sh 早)=
-丄sh理
一1 —V2 ch ?1 b ,
fs = O(e = 2 卩(+，))(7)
——касательные силы на краях 〃2=±力 отсутствуют, главный вектор нормальных напряжений, как ожидалось, равен нулю
~fsh 学 dai-O.
J /(1—v2 ch Y J b
m°m°hh-h-hИх главный момент относительно оси панели в любом сечении а2 — const, отнесенный к единице длины по оси а3, оказывается равным
m°
m°
h
h
-h
-h
(1一V2)小2?豆)口 1 ~TZ^sh万ch方--
-h
一-(8)
1 —v2 72 \ r ch2 7 /、
Из этого уравнения по заданию момента rm° ^определяется центральный угол панели a = b、]h.
Разлагая правую часть (8) в степенной ряд по у, имеем
т°т°2 ЕА22 ЕА2(Y一打 +(Y一打 +
т°
т°
2 ЕА2
2 ЕА2
(Y一打 +
(Y一打 +
—первое слагаемое определяет решение линейной задачи об изгибе тонкой плиты толщины 2力 и длины 2/ (в направлении М) моментами, распределенными по краям 〃2 = ± 力).
Продольная сила (отнесенная” к единице длины по оси ^2) вычисляется по (8.25)
(9)(9)Q = %j(q _2)加1 = 一警(1_苧).
(9)
(9)
Деформирование полого цилиндра. Преобразование, осуществляющее плоскую деформацию полого достаточно длинного
цилиндра, задается соотношениями
R = f(r),①=屮+6(Г)， Z = z.(10)
Здесь r,屮，г — цилиндрические натуральной конфигурации (ее ①，Z—в актуальной. Функции условиямf (「0)=「0， f (「1) =Здесь r,屮，г — цилиндрические натуральной конфигурации (ее ①，Z—в актуальной. Функции условиямf (「0)=「0， f (「1) =координаты частицы в отсчетнойматериальные координаты), R,R(「)，6(『)подчинены краевымe(rj = o, e(「j=a, (И)координаты частицы в отсчетнойматериальные координаты), R,R(「)，6(『)подчинены краевымe(rj = o, e(「j=a, (И)
Здесь r,屮，г — цилиндрические натуральной конфигурации (ее ①，Z—в актуальной. Функции условиям
f (「0)=「0， f (「1) =
Здесь r,屮，г — цилиндрические натуральной конфигурации (ее ①，Z—в актуальной. Функции условиям
f (「0)=「0， f (「1) =
координаты частицы в отсчетнойматериальные координаты), R,R(「)，6(『)подчинены краевым
e(rj = o, e(「j=a, (И)
координаты частицы в отсчетнойматериальные координаты), R,R(「)，6(『)подчинены краевым
e(rj = o, e(「j=a, (И)
причем г0, гх — внутренний и наружный радиусы цилиндра.
Об этой постановке задачи говорилось в гл. 4, § 13. Внутренняя поверхность цилиндра заделана. Наружная заключена в жесткую обойму, с которой она скреплена по всей длине /.
Рассматривается деформированное состояние, обусловленное поворотом обоймы вокруг оси цилиндра на угол а.
Вектор места частицы в актуальной конфигурации может быть определен комплексной координатой
z = f (г) е«，+е⑺)=f (г)濟⑺ 1/^X.(12)
Через С обозначается, как в § 8, комплексная координата в отсчетной конфигурации; имеем
^=^yL=l,.(13)
По (12) и (13) находимПо (12) и (13) находимЗдесь функции от г (но не от 屮)определены выражениямиЗдесь функции от г (но не от 屮)определены выражениями
По (12) и (13) находим
По (12) и (13) находим
Здесь функции от г (но не от 屮)определены выражениями
Здесь функции от г (но не от 屮)определены выражениями
9= [0‘⑺十屮У 十尸(г) °" (「)]"，
cos 丫 = ｝卜(г)十單],Siny=-^ f (г) 0Z (г).(15)
По (8.13) и (8.16) имеем
% = 8十% w(q) = (九十2m) [q 一 %贵]
(было уже принято в (10), что с=1). Введенная соотношением
(8.18) функция ①，(С) представляется теперь выражением
Ф，(С) = 3+2м) [д—^^)]е“е+У).(16)
88А. И. ЛурьеА. И. Лурье
8
8
А. И. Лурье
А. И. Лурье
Итак, эта разыскиваемая в кольце r0 ^ r ^ G и представляемая в нем рядом Лорана функция комплексного переменного оказалась зависящей только от г. Поэтому она постоянна. Принимается обозначение
①，@ = 3+2卩)[D - ""；〔 ”, D = const, p = x = const. (17)
Задача сведена к рассмотрению системы дифференциальных уравнений
(『+4)" +尸旷= £)2 ИЛИ ^уг + г2^'г = г2О\(18)
cos y — 口 г = cos ф —0), sin у = ^ = sin (В — 6).(19)
Из последней получаем
rfsin(B —8) = C,(20)
"sin (p—0)
где С — новая постоянная, причем, обратившись к (11), имеем
片 sinp = C, &sin(B —а) = С, 4~ =吗『.(21)
Исключив теперь rf с помощью (20) из выражения (18), после замены С значением (21) и очевидного вычисления придем к дифференциальному уравнению
旷D2r2曲 — Dr/2?)
sin*(P—0)— r* sin2p *siM(B—”一 ^|sin §| '(丿
Его решение после определения постоянных по условиям (11) приводится к виду
ctg (В — 8) = 4rzz4 Ctg (В — а)十'；—'：ctg В.(23)
n — ГоГ1—г о
Это уравнение совместно с соотношением
fr sin (В — 6) = ro sin §(24)
и формулой для определения постоянной [3
г； , sin (В—а)(25)
дает решение задачи.
Заметим, что определенная выше постоянная D оказалась равной
В = 2 /° 2 [ctg(p —a)-ctgp]|sinp|.(26)
" 一г о
Напряжения определяются по формулам (8.26), (8.27) ).
Эффекты второго порядка. Исходные уравнения
Уравнение состояния линейно упругого изотропного тела
Т = АЗЕ+2|ле(3=/1(Е), £ = у(Vu +Vut)(1)
выводится в предположении о малости компонент градиента век- о
тора перемещения Vu при последовательных пренебрежениях второй и более высокими степенями относительно этих величин. В гл. 6, § 6 уже говорилось, что учет количественных отклонений от предсказаний линейной теории естественно связывается с сохранением слагаемых второй степени по этим величинам — с рассмотрением «эффектов второго порядка».
В § 14 уже говорилось, что учет более высоких степеней связан, как правило, с необозримо громоздкими вычислениями. В этой книге не отведено также места построениям рядов по о
степеням Vu и исследованию их сходимости.
. В определяющем уравнении изотропного упругого тела (4.3.4) мера деформации F должна быть заменена ее представлением о
через Vu
О 0/0、/0、0 о о
F = VRt.Vr= (E + Vip).(E + Vu) = E4-2e(u)4-VuT Vu. (2)
Тогда в принимаемом приближении
о о о о
= Е4-4е + 4£2Ц-2¥ит-Vu,
A (F) = 3 + 23 + 2o)・c)+ /i (e2),(3)
Z2(F) = 3 + 4^ + 292 + 4w-w, 4(F) = 1 + 23 十 2产十 2(0・3 - 厶(%)
—была использована формула (1.7.13). Определяющее уравнение приводится к виду
! = 2/；t/2[Б仲。十办十必)十2 (必+ 25)£ +
О ОО "1
+ (必 + 21р2) VuT-Vu + 地守」・(4)
Здесь по (4.3.5)
f = 2о + 21 + 屮2 =九 + (厶一1) % + /3%，
屮=ipi + 2屮2 = % + (/[ — 2) %,包 ~ %,(5)
причем эк = дэ/dlk. Далее эти величины определяются с требуемой точностью: f —— c учетом квадратичных, ф —линейных слагаемых; значения в натуральной отсчетной конфигурации обозначаются н.улнком справа сверху. Используются формулы (4.3.22), (4.7.12) и (4.7.13)
」°=(力十2%十33)。= 0,(р° = (э, + э2)° = — (э2 + э3)° = 4 И-
；入=[(^十2^;十品)f了=
=[%1 + 2%2 + ^33 + 2 (2%2 + 2%3 + %3)+ % + 5з]°-(6)
Рассматриваемые величины разлагаются в ряды по степеням /1 ——3, /2 —3, /3 — 1. С требуемой точностью получаем, использовав формулу для X,
¥ = ^卩十23(券十2器十案)。=
=彳卩 + 2' (% 1 + 3% 2 + 2%2 + % 1 + %2 + %) ° =
=^~ 卩 +— 2' (%2 + % +%3 + 3%з+ %3)'
На этом этапе тензор напряжений Т можно представить выражением
Т = 2/； /2Ef + 2卩(1 一 3) £ + 2瓶3 — 0000
-8Eз(%2 + 53 +%3 + 3323 +九)。一 8%82+ 闷心Vll =
-о оООО
= 2/^ “Ef+ 2(1 -^)£ + 2e-T°+8^£2 + ^Vut-Vu- 0
—8 (э12 + 5з + 51з + З523 + 533)°
причем использовано представление (1) тензора напряжений в отсчетной конфигурации и формула (6) для 卩； Ц^2 заменено на 1—3 и 1 при умножении на линейное и соответственно квад-
ратичное слагаемые. Остается дать представление / рядом с точностью до квадратичных слагаемых
十2魄計嗚+4晟噺+ 4鬪一十2魄計嗚+4晟噺+ 4鬪一2謠2謠+人(£" [(訖-^；)fy+2w[(就+設)(t ++ 4 (/1-3)2(5г)° + • • • +2(Л-1) (Л-3) (^7；)°]==^(3工0).0))+^/1 (%)+2 ("-/"%))[(就+就)f了+
十2魄計嗚+4晟噺+ 4鬪一
十2魄計嗚+4晟噺+ 4鬪一
2謠
2謠
貝十弘8.8 + ^/1（ё2）） + 2（乎一/1（炉））［僚十 备）f『+ + 2叫（訖+2就+訖川。.
Искомому представлению тензора напряжений Коши придается теперь вид
о
Т=(1-д) Т° + 28.Т° + Г,
т = е{к^+±1^)Ы^~1АЩ(^+^ /]° +
10000
+ Д-&2> + 85з£2+ Bed + |xVuT-Vu, (7)
причем
"=4 [(訖+ ?/ +訟)f]， В = — 8(512 +^3 +^13 4-3523 +^33)°.
23(8)
Например, для материала Мур нагана при задании / по (5.3.8) и удельной потенциальной энергии а по (5.3.2) получаем
4 =4 4[(显+ ^)f]m + B = - n 4-2m, 83；=办
，и тензор напряжений представляется выражением
Т = (1^-д) Т° + 28-Т° + Г,
T' = E 卜(8.8+^/1(%))一(加一^)(乎一/1(%))+即]+ 0000
+ne24- (2m—и) 8^ + |лУит-Vu. (9)
При переходе к тзнзору Пиола в формуле (2.7.2) достаточно принять
/з/*=1+3, YrT = Y(R—u)T = E—YUT,
оо
так как Т° в (8) линейно выражается через Vu, a VuT ^ VuT, /;/』1+3 в линейном приближении. Получаем
p = ；72VrT.T=(l+^)(E-VuT)-T=T° + Vu-T° + T,. (10)
Только в линейном приближении тензоры Пиола и Коти совпадают. Учет слагаемых второго порядка требует их различения. Уравнения равновесия в объеме и на поверхности должны быть записаны в виде
V.P + pok = O, П・Р =喘，(11)
причем, учитывая слагаемые первого порядка, по (1.8.7) имеем
宾=J/-^-(n-Vr^Vr-n)^^(1 +§)[n-(E + VuT)-
•(Е+十 и 丿・nj = (1+§) [ 1+2n・£(ii)・nJ ' так что
о _=l+^ + n.e(u)-n.(12)
Эффекты второго порядка. Построение решения
Исходим из уравнений равновесия (10.11) в объеме и на поверхности через тензор Пиола, определяемый выражением (10.10). Поверхностные силы предполагаются «мертвыми».
Вектор перемещения представляется суммой двух векторов
u= v + w,(1)
в которой V — предполагаемое известным решение линейной задачи
о
V.T° + pok = O, n.T°-f°,(2)
а корректирующий вектор w вносится, чтобы компенсировать о
слагаемое второй степени относительно компонент Vv, которые войдут в (10.11). Тензор Т° —линейный оператор над и
Т° (и) = Т° (v)+T° (w)
и поэтому
О/0 о \о
Vu・Т° (u) = (Vv + Vw) • (Т°(V)+ Т° (w))Vv-T°(v),(3)
Г (и) ^ Г(V)
—неучтенные слагаемые имеют по крайней мере третий порядок малости. Имея в виду (2), теперь можно преобразовать уравнения равновесия (10.11) в объеме и на поверхности к виду
о
V• Т° (w) + р°кх = 0, п.Т° (w) = fx,⑷
в котором играющие роль массовых и поверхностных сил векторы кх и fx представляют операторы над v второй степени
о относительно Vv
kx = V.(Vv-T° (v) + Tz(V)), fx = —n.(Vv-T° (v) + Tz(V)).(5)
Известно, что необходимым условием существования решения краевой задачи (4) является статическая эквивалентность нулю этой системы сил. Непосредственно повторяется равенство нулю ее главного вектора. Действительно,
$$$pokxdv = $JJv.(Vv.T« (v) +「(v))do =
= JJn-(Vv-T° (v)tT，(v))do= —，，fxdo,00
что и требуется. По (2.3.8) остается выразить условие симметричности силового тензора. По (2.1.16) и теореме Гаусса — Остроградского
В = ,/，Pokx『du — n・(VvT (v) + r(V)) rdo = fо
= $$$pokxrdv-$$$[v-(Vv-T« (v) + r(v))]rdo-
—NS 宀(VV・T。(¥)+ ?'(V)) %血=
=—，S, [vvTg + r (v)] dv.
Использовано представление дивергенций тензора третьего ранга
V.Qr=(V.Q)r + r^Qr, = (V-Q)r + QT,
Итак,
(6)(6)В = —SSS [vv.T« (v) + r(v)『du,вт= —JJJ [vv-T« (v) + T,(v)]^.
(6)
(6)
О о о о
После замены Vv = £(v) — й (v) (с (v)—линейный тензор дефор- 0
мации над v, й (v) —тензор вихря этого вектора) силовой тензор преобразуется к виду
В = — S S S 口（V）• Т。（V）+ т。（V）• &（V）+ Г（V）］ dv,В = — S S S 口（V）• Т。（V）+ т。（V）• &（V）+ Г（V）］ dv,ВтВтS S S 以V)• Т。(v)-Q(v). Т。(V)十 Г(V)] dv,S S S 以V)• Т。(v)-Q(v). Т。(V)十 Г(V)] dv,⑺⑺
В = — S S S 口（V）• Т。（V）+ т。（V）• &（V）+ Г（V）］ dv,
В = — S S S 口（V）• Т。（V）+ т。（V）• &（V）+ Г（V）］ dv,
Вт
Вт
S S S 以V)• Т。(v)-Q(v). Т。(V)十 Г(V)] dv,
S S S 以V)• Т。(v)-Q(v). Т。(V)十 Г(V)] dv,
⑺
⑺
о
так как тензоры e(v), Т° (v), Tf (v) симметричны по их определениям (10.1), (10.7). Условию симметричности силового тензора теперь придается вид
ВТ=В: -SSS(Т°-Й + Й.Т«)^ = —JJJ(T0xo)+ o)xT0)^=0,
VVV
V
V
(8) о о
причем о — сопутствующий й вектор. Сопутствующий же кососимметричному тензору под знаком интеграла вектор по (1.14.17) равен
—^e-tjoxs + sxT。丿=—彳€・・乃加啥(г/“ xr,-r„x г $%)=
=/о诡绮г诡х (г„XГ,)- tQmn^s (r„rm• % — 3诡rJ =
о о
-Т°-о —w/i (Т°),
так как w・・ab = bxa, tmnrm^rn — 1г (Т). Условию (8) придается вид
JJJ [т° (v)-o)(v)-w(v)ct]^ = 0, o = /i(T0(v))(9)
для вектора vдля вектора v—таково необходимое условие существования решения задачи (2). Ему можно удовлетворить, вспомнив, что линейная задача (2)
для вектора v
для вектора v
решается с точностью до аддитивного слагаемого, о
выражающего 0 I вектора (о —увыражающего 0 I вектора (о —уперемещение твердого тела v — vo4-<»oXr, а для оо
выражающего 0 I вектора (о —у
выражающего 0 I вектора (о —у
Vxv—с точностью до постоянного слагаемого(оо・
о
Поэтому, фиксируя значение (о‘ в некоторой точке тела, можно
принятьпринятьОООs(v) = s'(V)+%ОООs(v) = s'(V)+%
принять
принять
ОООs(v) = s'(V)+%
ОООs(v) = s'(V)+%
и представить (9) в виде
dv = c.(10)dv = c.(10)®о-$П(Т°(V)-Е。)加=—Н [%(V)• Г (v)-^(v) а]
dv = c.
(10)
dv = c.
(10)
VVV
V
V
Вектор с вычисляется по предполагаемо известному решению задачи (2). Тензор в левой части (умножаемый на (о。) может быть определен непосредственно по заданным силам pok, f°. Действительно, по (2.3.7)
В = S S S ро кг 曲 +，S Нг 曲=，S S Т。(V)dv,
°。°(11)
厶(В) = SSS /1 (T° (V))曲=，S，p°k・r d°+ SS F>・r dv.
Af0
(12)(13)(12)(13)Уравнению '(10) придается вид о
(12)
(13)
(12)
(13)
5・[В — Е/】(В)] = с
и оно разрешимо, если тензор В—ЕЦ (В) — неособенный det (В —ЕЛ (В))#=0.
Проверка этого критерия, как сказано, осуществляется по заданию внешних сил pok, f° и не требует решения линейной задачи.
При невыполнении условия (12) краевая задача (2) не имеет, вообще говоря, решения.
Осью равновесия а тела в отсчетной конфигурации назовем постоянный вектор, определяемый условием
SSS (axr)xpokdu+ S, (ахг)хf°do = 0(14)
Vо
при неизменных по величине и направлению внешних силах с равным нулю главным вектором. Оно выражает статическую эквивалентность нулю этой системы сил, приобретаемую при повороте тела вокруг а на 90°. Уравнение (14) преобразуется к виду
а •，，，Ро (kr — Ek • г) du + а •，，(f°r — Ef° • г) do = 0 V0
(15)(15)"ли по (11) к виду системы однородных уравнений а.[В-Е/х(В)]-0
(15)
(15)
и может иметь отличные от нуля решения при условии
det(B — E，i(B)) = 0.(16)
Представив симметричный тензор В в главных осях
В = £ %%%,，i (В) = "+% + %，
s= 1
можно придать уравнениям (15) вид
& 仇+ &з) = 0， &(& + ") = 0， а3 (b1 + b2)=o.(17丿
Вектор а остается произвольным при 力？+ 力з = 0,力з +瓦 工。， 仇 + % = 0 или, что то же самое, В = 0. Если 力2 + 力з = 0, & 声——％, 力1 声—力2, то a = j; при а*0 = 0 вектор а расположен в плоскости (еп е2). Конечно, возможны расположения оси равновесия по осям е2, е3 и в плоскостях (е2, е3), (е3, ej. Во всех этих случаях
det [В 一 ЕА (В)]=伍 + %) (% + 力з) (% + 仇)=。・(18)
При условии же (13) ни один из этих множителей не нуль и а — 0 по (16) — оси равновесия не существует.
Система неоднородных уравнений (12) может при условии (16) не иметь решений вовсе или иметь больше чем одно решение; иначе говоря, когда (12) несовместна, не исключена возможность специальных ситуаций, в которых она станет совместной. При существовании оси равновесия нагружение не определяет единственного равновесия, так как повороты вокруг этой оси переводят тело из одной ориентации в неотличимую от нее другую (при тех же силах).
Доказано, что при В — 0, когда ось равновесия — любой вектор, система уравнений (12) может оказаться несовместной при любой ориентации тела. Учет нелинейности в этом случае не достигается внесением предложенным приемом поправки к решению линейной задачи.
Решение краевой задачи (4) для вектора w мало доступно, как правило, вследствие сложности выражений сил рокх» к・ Но их специальная структура облегчает вычисление некоторых осредненных величин. Этим можно довольствоваться, когда нужда в учете деталей распределения напряженного состояния отодвинута на второй план.
ИЗМЕНЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА, ПОДВЕРГНУТОГО ДИСТОРСИИИЗМЕНЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА, ПОДВЕРГНУТОГО ДИСТОРСИИ235235§12]
ИЗМЕНЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА, ПОДВЕРГНУТОГО ДИСТОРСИИ
ИЗМЕНЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА, ПОДВЕРГНУТОГО ДИСТОРСИИ
235
235
Начнем с определения среднего значения Т° (w). По (2.3.7) и (5)
т*(w)= t№ Т°(W)А =
= ^В = !{На.[%・Т。(v) + P (v)]rA-
—^У n • [Vv ■ Т° (v) + Tz (v)] r do j> =«
=—! «Ш T (v) dv—r (v)]曲(19)
—было использовано преобразование Гаусса — Остроградского и правило вычисления дивергенции произведения тензора на вектор г. Средние значения первого инварианта тензора напряжения и определенного по нему объемного расширения оказываются равными
<ти ^）= -|Ш ［厶Т（V）：（V））+ Л （Г（V））］曲,V
(20)(20)必（w）= S^，
(20)
(20)
так как первый инвариант произведения симметричного тензора на кососимметричный равен нулю:
о
Л (Т° (v).fi(v)) = 0.
По (19) составляется также среднее значение линейного тензора деформации
2 眸 „I(w) = lm(w)-Egr^o;n(w).(21)
Эти же соотношения можно получить, применяя теорему взаимности в линейной задаче определения w по силам pokx, fx-
§ 12. Изменение объема тела, подвергнутого дисторсии
При отсутствии внешних сил (к = 0, f = 0) среднее значение Сп (uj тензора напряжения, как это следует из (2.3.7), равно нулю. Конечно, сам тензор Т (и) при этом может быть отличным
от нуля. Например, напряжения возникают при наличии дисторсии Вольтерра или дислокаций более общей природы ).
В приближении эффектов второго порядка, основанном на выражении (10.7) тензора Т (и), условие равенства нулю среднего значения этого тензора представляется выражением ，，，T(u)dl/ = H(l+3)T(u)du = VV
=Н [т«(и) + 2е(ц)-Т« (и) +Г (и)]^= о. (1)
Среднее значение его первого инварианта о加(и) для материала Мурнагана по (10.9) выражаются формулой
0,"(u)= ^§『g卜3大+2卩)3(u)+(2大+3?一他十 ^)y+ v L
+(4И + 3m -1)Л (e (u)2) + (ЗХ + 2И) (ш - ш + 4 /j (e2)) ^ = 0.
(2)
Этим определяется среднее значение первого инварианта линей- о
ного тензора деформации е (и) через величины второго порядка малости. Но эта же величина может быть выражена через относительное изменение объема тела. По (10.3) получаем
上=4 и /я上=4 и /я=V УУУ [^ (и) + ю-ю + у^2—4；1 (£2)] du.=V УУУ [^ (и) + ю-ю + у^2—4；1 (£2)] du.(3)(3)
上=4 и /я
上=4 и /я
=V УУУ [^ (и) + ю-ю + у^2—4；1 (£2)] du.
=V УУУ [^ (и) + ю-ю + у^2—4；1 (£2)] du.
(3)
(3)
Исключив 3 из этих уравнений, приходим к представлению D«= ~зХГ2йЩ (^ 大一卩+ 3?一他+^)w +
+(3九+6卩+3九—?) /1 (炉)]曲. (4)
Входящие в него постоянные Мурнагана оказывается возможным выразить через величины (5.3.21) 一一изменения второго порядка модулей объемного сжатия и сдвига. Приходим к формуле, полученной Ценером (Zener, 1942) из других соображений
% =—高ЙПИХ + 疆⑼一IИхх (0)] У +
+ [h + nхх(。)]人(炉)｝血. ⑸
Входящие в нее инварианты 3 = /】(£), /, (е2) определяются решением задачи о напряженном состоянии подвергнутого дисторсии линейно упругого тела.
в задаче о кручениив задаче о крученииБолее общие результаты для анизотропных упругих сред приведены в работе Тупина и Ривлина (Toupin R. A., Rivlin R. S., I960).
в задаче о кручении
в задаче о кручении
Эффекты второго порядка и растяжении стержня
стержня. Ось Оа3 направлена оси Оа1, 0出一по главнымстержня. Ось Оа3 направлена оси Оа1, 0出一по главнымЛинейная задача о кручении по оси призматического стержня,
стержня. Ось Оа3 направлена оси Оа1, 0出一по главным
стержня. Ось Оа3 направлена оси Оа1, 0出一по главным
центральным осям поперечного сечения а3 = const; длина стержнй обозначается А, площадь поперечного сечения S, полярный момент инерции /尸;р обозначает вектор-радиус точки в поперечном сечении, так что
(1)
⑵⑵Решение линейной задачи задается вектором перемещения v = a[a3i3xp + i3q>(a1, а2)]
⑵
⑵
—отброшены слагаемые, определяющие твердое перемещение. Через а обозначен угол кручения, отнесенный к единице длины. «Депланация» 屮(а* а2) — гармоническая в S функция, определяемая по значению' ее нормальной производной на контуре Г поперечного сечения
Определяемый по (2) тензор Vv равенVv = а [a3 (ijia —i2i,) + i3 (i3 X p) + V(pi3] (V<P = L 瑞+ i樵)•(4)Определяемый по (2) тензор Vv равенVv = а [a3 (ijia —i2i,) + i3 (i3 X p) + V(pi3] (V<P = L 瑞+ i樵)•(4)
Определяемый по (2) тензор Vv равен
Vv = а [a3 (ijia —i2i,) + i3 (i3 X p) + V(pi3] (V<P = L 瑞+ i樵)•
(4)
Определяемый по (2) тензор Vv равен
Vv = а [a3 (ijia —i2i,) + i3 (i3 X p) + V(pi3] (V<P = L 瑞+ i樵)•
(4)
Отсюда находим выражения линейного тензора деформации оо
е(у), его первого инварианта 8 и вектора малого поворота о e(v) = 4(W + VvT) = ~ a[i3 (i3 Xp) + (i3 Xp)i3 + V(pi3 + i3V<p], (5)
(o(v) = -^ Vx v = ^-a(2a3i3—p + V(pxi3) ,9 = 0.(6)
Тензор напряжений T° (v) оказывается равным
0Г00]
т°(V)-九ЗЕ 十2“(V)=卩a 匕伉 xp) + (i3 Xp) i3 + V叫 + i3V(pJ -
~ T31 (印3 + UD +T2302i3 + 13i2)，
% ~卩a% ~卩a03『a熹+出03『a熹+出⑺⑺
% ~卩a
% ~卩a
03『a熹+出
03『a熹+出
⑺
⑺
Постоянная а выражается через крутящий момент mz и жесткость при кручении С
加2=卩а0,加n= ,,(a看23-@%31)厶(8)
и по (7) и (1)
С-=/^ + П ^ra"S) do^IB + ^^^-^do.(9)
выраже-выраже-(Ю)(Ю)Другое представление жесткости при кручении дается нием
выраже-
выраже-
(Ю)
(Ю)
「「о о
С = /р—\) V(p-V(pdo.
Имеют место соотношения
§, V(pdo = 0,§, V(pdo = 0,,,p・V(pdo = 0 s,,p・V(pdo = 0 s(11)(11)
§, V(pdo = 0,
§, V(pdo = 0,
,,p・V(pdo = 0 s
,,p・V(pdo = 0 s
(11)
(11)
—первое по (7) выражает, конечно, равенство нулю главного вектора напряжений т23, т31; оно легко следует и из краевого условия (3). Несколько сложнее подтвердить второе. Имеем
§§p・V(pdo=§f協出屮+鳥炉屮)do —2 j『(pdo二sss
фр-nds —2 S, q)do = 0,
гs
так как из преобразования Грина в применении к ср (а1, а2) следует
УУ (p-pV2cp-(pV2p.p) do = f “• р需一＜p^p.p)ds,
Sг
4 ^^^ = 2 ^ц)()'ndsSг
—здесь было учтено, что ср — гармоническая функция, а линей
ный интеграл над р・р需 по (3) оказывается равным нулю:
，① Р 需由=，("2 十产)(〃％i — a%?) ds = , , 2 (出仪2 — aV) = 0. ггs
Эффекты второго порядка. Необходимое условие существования корректирующего вектора w (11.9), поскольку 1± (Т°)— =0, приводится к виду
Оно выполняется по (11) и (1). Изменение AL длины стержня выражается через среднее относительное удлинение
о
AL = Li3-Em(v)-i3
и по (11.20), (11.21) представляется выражением
М =击 * У 曲{壶必(т。-山)+Л(г)]- -i3.(r.VvT+r)-i3}(13)
—достаточно знания первых инвариантов и (ЗЗ)-компонент тено
зоров Т°*VvT, Г.
Вычисление дает
/ О \. 0Г0 ООП
厶(Т*・ VvT丿=Т°* • VvT = |ла2 Lp-p+2 (i3xp)-V(p+V(p- V(pj ,
i3-T°.VvT-i3 = ^a2 [p-p + (i3Xp)-V(p],
а обратившись к представлению (10.9) тензора Т\ приходим к выражениям厶(Г) = d [(3Z+2(x)(a32+4p-p+yV(p.V(p) +а обратившись к представлению (10.9) тензора Т\ приходим к выражениям厶(Г) = d [(3Z+2(x)(a32+4p-p+yV(p.V(p) +000000+ 4"(3m—^ (р・р + 2 (i3Xp)-Vq)4-Vq)-Vq>),+ 4"(3m—^ (р・р + 2 (i3Xp)-Vq)4-Vq)-Vq>),
а обратившись к представлению (10.9) тензора Т\ приходим к выражениям
厶(Г) = d [(3Z+2(x)(a32+4p-p+yV(p.V(p) +
а обратившись к представлению (10.9) тензора Т\ приходим к выражениям
厶(Г) = d [(3Z+2(x)(a32+4p-p+yV(p.V(p) +
0
0
0
0
0
0
+ 4"(3m—^ (р・р + 2 (i3Xp)-Vq)4-Vq)-Vq>),
+ 4"(3m—^ (р・р + 2 (i3Xp)-Vq)4-Vq)-Vq>),
i3.T'-i3-a2 仆з‘i3.T'-i3-a2 仆з‘yp-p +yV<p-V(p) +
i3.T'-i3-a2 仆з‘
i3.T'-i3-a2 仆з‘
I /000 \00-
Ч-у ^lp-p+2 (i3X p) • V屮 + V(p-V(p丿 + 卩旷屮.Vcp .
После подстановок в (13) и упрощений получаем
2|xS J J J入十2卩1 23九十2卩2 /
о s
/000 \/000、]
X (p・p+2 (i3Xp) -V(p+Vq)-V(pJ—p,(4p-p+(i3Xp)-Vq)+VfP，v,pJj do.
По (9) и (10)
Р Ро о о \
В (p・p + 2(i3Xp)・Vq)+ V「VqJdo=/p + 2(C — /p) + /p_C = C, s
У У G)-p + (i3Xp)-Vcp) do=IpT-C—Ip=C, УУ V(p・VTdo = /p — C ss
и искомое представление относительного удлинения выражается формулой )
AL d/p仪2c1/ пЛ \
=一樂十况箒百卜一科一(I 一2V脸］.(14)
Укорачивается ли стержень при кручении или удлиняется, наперед сказать нельзя: это зависит от постоянных материала; напомним, ато для многих материалов п < 0, m < 0.
Растяжение стержня. При действии продольной силы R вектор перемещения точек призматического стержня и тензор
напряжений в нем определяются общеизвестными формулами
V = — v/P + i3^3^3,Т。= 2卩(1 + v) ^3i3i3;
32 (1 + v) |xS — 2 (14-v) |x *
так что
О00о
Vv = & (— vE2 + >з»з) = VvT = 8 (v), V-v = ^-(l —2v)e3,
0
s = 0,(15)
причем E2 = iiij +i2h- Требуемые для вычисления эффектов второго порядка величины оказываются равными
оо
r.VvT = 2tx(l+v)e|i3i3,/】(g2) = (l+2v2)臨
о о"° 丿
VvT-Vv-ef (v2E2 + i3i3).
Корректирующий тензор напряжений Т‘ по (10.9) представляется выражением
Т' = е； {Ez [^ X (1 + 2W) +1 (l-2v)2+(2m-n) v (1 十 v) + (九十卩^] + + i3i3 [4^(1+ 2v2) + Z (1 -2v)^ + (2m-n) (1 - v2) +« + И] }.
Необходимое условие (11.9) существования корректирующего ■ о
вектора w соблюдено, конечно, так как (d = 0. По (11.21) среднее относительное удлинение, налагаемое на ^3, оказывается пропорциональным е； и зависящим только от упругих постоянных материала
•f=_^e?_*|7(l_2v)2 + 2〃2(l_v)(l+v)2 + 3〃v2](胃)
(e = 2卩(1+\，)).
«Характеристику» материала (диаграмму %, % растяжения образца) называют мягкой при AL/工 < 0, жесткой — при AL/L >0.
Кручение растянутого стержня. Далее величины, относящиеся к кручению, снабжаются индексом 1, а растяжению — .о о
индексом 2. В частности,①二①小存=也.
Необходимое условие существования (11.9) вектора w остается выполненным, так как
JU [tNs-s/ ⑴)]曲=(1 + v)(xe3a jjj (p-V(rxi3) dv -0.
ОООVv = VV[+V% = aОООVv = VV[+V% = aДалее по (4) и (5)
ООО
Vv = VV[+V% = a
ООО
Vv = VV[+V% = a
[a3 Oik —«ah) + >з>» X Р +Vq)i3] +е3 (—vE2+i3i3)
и поэтому
00000
T°.Vvr-T?.Vvj + T«.VvI + TJ-Vv? + T«.Vv{ =
00го ~1
=т； • Vvl + Т^ VvT + |ЛТО3 L — v>3 (>з X р) + >3 (>з X р) +?叫_1 +
/。•%),/。•%),Отсюда следует, что на формирование средних значений оОтсюда следует, что на формирование средних значений о+ 2卩叫(1 + V)L 03 X р) + i3V(p].
/。•%),
/。•%),
Отсюда следует, что на формирование средних значений о
Отсюда следует, что на формирование средних значений о
i3-T°- Vvr- i3 взаимодействие деформаций кручения и растяжения не влияет; их действия аддитивны. Слагаемые взаимодействий, входящих в представление (10.9) корректирующего тензора, образуют тензор
Т' = Е (扌厶 + 加一%«•) /](81.82 + 82-81)+«(81-82 + 82-81) +
0/ 0000、
+ (2m — n) EQ +|i(4VvI-Vv2 + Vv^Vv1/
и легко обнаруживается, что первый инвариант этого тензора и его (ЗЗ)-компонента равны нулю. Средние величины эффектов второго порядка в задаче о совместном кручении и растяжении равны сумме этих величин в каждой из деформаций по отдельности. Конечно, здесь речь идет об исключении из общего правила —в нелинейных задачах эффекты действия отдельных факторов не аддитивны.
Кручение сжатого по боковой поверхности стержня. Боковая поверхность стержня нагружена давлением, пропорциональным осевой координате f =—疗门.Непосредственно проверяется, что уравнениям статики в объеме и на поверхности
о
V-T0 — 0, п-Т° = — qa$n
можно удовлетворить, приняв
(18)(18)Т』一да3Е2.
(18)
(18)
Уравнения Бельтрами также выполнены, поскольку Т° лишь линейно зависит от координат.
Линейный тензор деформации, вычисляемый по известной формуле, оказывается равным
；击[т。_小 ЕЛ (Г)]=—粵(旨 Е 一也倉)•(19)
По нему интегрированием (например, по формуле Чезаро) находим вектор перемещения
2P. 卩十 2p.〈l+v 2 卩卩2P. 卩十 2p.〈l+v 2 卩卩
2P. 卩十 2p.〈l+v 2 卩卩
2P. 卩十 2p.〈l+v 2 卩卩
и далее вектор малого поворота
о(0о(0g 1 —V ?、，乐 Пр^зХр・g 1 —V ?、，乐 Пр^зХр・(20)(20)
о
(0
о
(0
g 1 —V ?、，
乐 Пр^зХр・
g 1 —V ?、，
乐 Пр^зХр・
(20)
(20)
Необходимое условие (6.11.9) существования вектора w выполнено, так как здесь
№^[т。.* —К1(Г>)] =
金昂 £ flW J do tE2• ('зXp) -2i3xp] = 0. (21)
-Z/2 S
Начало координат выбрано в центре инерции стержня
| "3血3 = 0,，/pdo = 0.(22)
—L/2S
；Переходим теперь к рассмотрению совместной деформации кручения и сжатия по боковой поверхности. Тензор в левой части уравнения (11.10) теперь записывается в виде (величины, относящиеся к сжатию, обозначаются индексом 3, к кручению — индексам 1).
U \ [т。(％ + %) — Е/1 (Т。(％ + v3))]血=
L/2
=，da3 v do (T° (vx) — ^a3E2 + 2^a3E) = 0, -L/2 S
как следует из (22) и ⑺.Надо рассмотреть теперь правую часть
о оо о= Н〔Т。(vJ.^ + T。V0= Н〔Т。(vJ.^ + T。V0-(S1 + S3) А (Т° (vt + v3))]dy =000 о(V3) • <о3 + Т°(VJ • % + Т (vj • 31 —-(S1 + S3) А (Т° (vt + v3))]dy =000 о(V3) • <о3 + Т°(VJ • % + Т (vj • 31 —оо— %/1 Т М)) — sj 1— %/1 Т М)) — sj 1(Tи))]曲=(Tи))]曲=
о о
о о
= Н〔Т。(vJ.^ + T。
V
0
= Н〔Т。(vJ.^ + T。
V
0
-(S1 + S3) А (Т° (vt + v3))]dy =
000 о
(V3) • <о3 + Т°(VJ • % + Т (vj • 31 —
-(S1 + S3) А (Т° (vt + v3))]dy =
000 о
(V3) • <о3 + Т°(VJ • % + Т (vj • 31 —
о
о
— %/1 Т М)) — sj 1
— %/1 Т М)) — sj 1
(Tи))]曲=
(Tи))]曲=
так как остальные слагаемые по (21) и (12) отпадают, остались лишь величины, обусловленные взаимным влиянием деформаций. Обратившись к формулам (6), (7), (18), (20), после вычисления получим 力 1/ /21—V О \
Эта величина отлична от нуля. Критерию существования корректирующего вектора w нельзя удовлетворить, хотя для каждой из деформаций по отдельности (а#0, q = 0), (а = 0, q=#0) он выполняется. Любое направление служит осью равновесия, так как левая часть уравнения (11.10) — тождественный нуль.
Этот пример невозможности построения эффектов второго порядка приведен в монографии Гриоли (Grioli, 1962).
Эффекты второго порядка в плоской задаче для полулинейного материала
Задача рассматривается в предположении с=1 в исходных определениях (8.1); вводится, вместо (8.18), обозначение
屮(q)應=W(D = 2 卩 М2©.⑴
Далее предполагается, что q〉2 (厶 +卩)/(厶+ 2卩)，так что ^(q) > 0; при $(q) = 0, q = 2 (九 +卩)〃厶十2卩)по (8.16) и по (8.26), (8.27) получили бы ^ = а2 = — 4卩一среда находится в состоянии гидростатического сжатия интенсивности 4卩.При принятом условии М2 (С) —функция, не имеющая нулей в рассматриваемой плоской области 33. Напомним также, что при' q = 2t 屮(q) = 2卩, M2 (^) = exp fy, напряженное состояние отсутствует.
Основное соотношение (8.19) связи искомых функций z(g, I) и М2 (g) в ^-области переписывается в виде
Из него получаем
z = vfejM2®^+^［砌т j M(OdC-W)］, (3) так что
专=闺j m (味［е］弱一项.(4)
Выражение производной г по дуге контура I в области b
(в отсчетной конфигурации) приобретает вид
dz _ 咗生丄 _^L = 石=配ds十"^№一dz _ 咗生丄 _^L = 石=配ds十"^№一й^й щп]й^й щп]
dz _ 咗生丄 _^L = 石=配ds十"^№一
dz _ 咗生丄 _^L = 石=配ds十"^№一
й^й щп]
й^й щп]
и условие (8.20) представляется соотношением
入+2р,手 dS = 厢仇+")/右―入+2р,手 dS = 厢仇+")/右―MU)MU)м(4)там(4)та
入+2р,手 dS = 厢仇+")/右―
入+2р,手 dS = 厢仇+")/右―
MU)
MU)
м(4)та
м(4)та
Такова нелинейная краевая задача разыскания двух аналитических в b функций М (С), ^ ($).
do,do,do, (7)do, (7)^) n ds = 2^) n ds = 2Непосредственно проверяется, что правая часть (6) удовлетворяет условиям статической эквивалентности нулю распределенной по контуру I области системы сил /. Используются соотношения
do,
do,
do, (7)
do, (7)
^) n ds = 2
^) n ds = 2
f(P隽，^) nds = 2
представляющие форму записи преобразования Гаусса —Остроградского, например,
f<P(F0〃ds = f (% + %)$(* 8ds =
="(爲+‘爲)屮储电由=2仆^曲.
По (5) выражение главного вектора V сил f представляется функцией
Х-}-2р, [/ 一 九+ 2|iХ-}-2р, [/ 一 九+ 2|i货dS =L货dS =Lyyc*)yyc*)d赤d赤霜+导器一轡］而"霜+导器一轡］而"
Х-}-2р, [/ 一 九+ 2|i
Х-}-2р, [/ 一 九+ 2|i
货dS =
L
货dS =
L
yyc*)
yyc*)
d赤
d赤
霜+导器一轡］而"
霜+导器一轡］而"
Выражение момента силы записывается в виде
xfv-yfx = ^(zf-zf)
и по (6) имеем
^^ 他。= 3g(zJ 分)ds =
=Й{- 需］w9-耦］}由+
+十，M『据恋-"(/一小［靑器典一^(院.
Этому выражению, если исключить из него по (2) и (4)
財(4) j匕м@W)' J 石 та財(4) j匕м@W)' J 石 таdu — N' ©du — N' ©
財(4) j匕м@
W)' J 石 та
財(4) j匕м@
W)' J 石 та
du — N' ©
du — N' ©
и использовать преобразование (7), придается вид
т。=讪§ \znM2 (g) — znM2 (g)] ds
=2用 j'慳碎J—奈 М2 (C)] do.
По (1) и (8.19) выражение под знаком интеграла равно нулю, как и требовалось.
Переходим к рассмотрению эффектов второго порядка. Не имеющая нулей в ^-области функция экспоненциально представима в ней, так что
M2© = expQ(0， ^=exp^[Q© —晒],
『^^а = — у(G) J exp у [Q © —Q (g)]dg・
В рассмотрение вводятся потенциалы Мусхелишвили Ф (0, 屮(g), дающие решение линейной задачи
諡瑞/° = «[ф(с)+ Ф70]- «也齐而+亚而] (8) (предполагается здесь и далее, что нагружение «мертвое», иначе говоря, = f°— сила остается при деформировании неизмсн ной).
Соотношение (8) позволяет теперь заменить краевое условие (6) записью
п (ф (0 十碉)一7 (СФЧО + 崎=
==2n [exp Q (С) — ехр у (Q (《)一Q 也))]一
Модули функций ①(С),屮(С), решающих линейную задачу, имеют порядок линейных деформаций. Чтобы учесть эффект второго порядка, следует принять
Q © 二①⑷ + ①】也)，N' (?二屮(？ + Е (С)(10)
—корректирующие слагаемые ①】也)，屮\也)должны быть по крайней мере второго порядка. Отбрасывая слагаемые выше второго порядка, получаем
expQ (С) = 1 +①(С) + Q (0 +|Ф2 ©, exp j (Q (：)-ЗД)=
=1 * 4■(① © —碉)+4 (Фх (О-ФЙО) +^ (①(С)-硒)"，
2 [exp Q (0- exp | (Q ©- 碉)]=(Ф (0 + 価)+
^уехР1(й(с)-й(с))^ = [ФЧи+ФЖ]с +
После подстановки этих выражений в (9) линейные относительно ①(С),屮(С) слагаемые сокращаются; это служит проверкой того, что первые слагаемые в (10) действительно дают решение линейной задачи. Для определения ①Ю, % (С) получаем краевое условие
也(①;(c)+Фr©-«cW)一囤@ =
= 4»(-4фЧС) + |фчО-ф©ф(О)+
+ ln(o4Ujo(C)^-^ФЧ^),(11)
соответствующее линейной задаче с «поверхностными силами» 貝(_""©+J杀©—①@斫可+^
T碉旷②)丁九尸@；)+讽(£ ；), (12) известными по решению задачи (8). Без труда проверяются соотношения
空 + 岑=0,4 + < = о.
Из них и формул (8) следует, что главный вектор «сил» (12) равен нулю.
Выражению главного момента их придается вид
雇=W 夕［С(пР + 硕)Т 0Р + 几④］ds =
= _',, (P-P)do = 2i^^ @—^4^)dobb
и условие обращения его в нуль приводит к соотношению
，，［①2@_碗J］do = 0.(13)
b
Но：решение линейной задачи определяет функцию Ф (С) с точностью до аддитивной чисто мнимой постоянной 1С. Приняв
①(9 =①X (С) + iC, Ф2 隽)=吗 © + 2/СФх (0-С2,①2隽)一而=殷也)一豉巧+ 2心(①也)+硒)，
можно теперь переписать (13) в виде
2c，，［①也)+顶］而=t，，殴隽)—фЩ］ do. bb
Постоянная С может быть определена отсюда при условии
2* ［①9+硒］而片0.b
В задаче о плоской деформации
2(Ф +画=6十仇=}%, Jf(0 + 0)do = |Q
一здесь Q — продольная сила, создаваемая приспособлениями, предотвращающими продольное смещение торцов цилиндра (было принято, напомним, е=1)»
О «физически-нелинейной» теории упругости
Известно, что в некоторых материалах (горные породы, чугун) уже при весьма малых деформациях обнаруживаются нарушения линейной зависимости тензора напряжений от линейного тензора деформации е. В «физически-нелинейной» теории предлагается компенсировать этот недостаток, сохраняя в уравнении состояния вторую и иногда более высокие степени е.
Такой прием учета, предложенный Каудерером (Н. Kauderer, 1958), получил распространение в ряде публикаций. Здесь он сопоставляется с построениями «эффектов второго порядка», в которых сохраняются все слагаемые, квадратичные по градиенту деформации вектора перемещения Vu.
Ограничиваясь рассмотрением изотропного упругого материала, будем исходить из соотношений (2.7.6), (4.1.8)
6з=/告 3c・・6" = T；6CT,(1)
в которых С —тензор деформации Коши —Грина (1.7.9), а Т*— энергетический тензор напряжений (2.6.11)
C = e(u) + ^Vu.euT,т"=/告 Зс・⑵
Тензор напряжений Коши по (4.3.26) связан с Т* соотношением
ОО / о \/ о \
T = VRT-T".VR= (чE + Vuт^T"ЛE + Vu；- o00о
-T" + VuT Т"+Т" Vu + VuT Tv Vu. (3)
Задавшись удельной потенциальной энергией а в форме Мур- нагана
3 = 4"з+2卩)/；(С)一2財2 (С) +|(Z + 2m)/? (С)—
-2тЛ(С) /2 (С) + п/3(С),(4)
口。(11.3.3) получаем
Т =|/7^+/NC)^^+/2(C)^^]e—
=7 (С) + [〃式С)-(2m^п) /г (С)] E + (2m-n)/l(C)C + пС2, (5)
о
причем Т (С)——линейный оператор закона Гука над С
О0 01 О / 00\
Т (CJ =厶А ⑹ E+2hC-T(8)+^T^Vu-VutJ-
/0、01/00、 о о
Vj ；8) + 2р-8 + у Z/i ^Vu* VuTJ +jxVu-VuT. (6)
0
Конечно, T ^8/ — тензор напряжений линейной теории упругости. Сохранив теперь в (5) лишь слагаемые не выше второй о
степени относительно Vu, получаем
0/0\ I /о о \ о о
「⑹=Т ⑴ + 子厶/1 皿• Vk J E + hVu-Vut +
о 0
+ [〃；(£)— (2m — n) /2(8)] E + (2m — n)厶(g丿 ^ + 几啰，⑺
По (5.3.6) и (3) приближенному представлению тензора напряжений Коши Т придается вид
о /0、о 1/00、 о о
Т =亍(£丿一А(£)Т ⑻ + 攵厶/1 (^Vu-VuTy +jxVu-Vur + о о о 0
+ VM・T⑻+ T⑻・Vu + [/G⑻一(2m —几)厶(叨E +
+ (2m — n) /1 (g丿 g + ；i£2. (8)
Его, конечно, можно преобразовать и к знакомому виду0/0、/0\0/0\ о 0/0\
т = т 储丿一А ^jT^J+28-T^J+r,
T, = lT(VuT.Vu)+[//?(8)-(2m-n)/2(8)]E +
+ (2m — п) А(£ 丿 & + ns? (9)
—обозначения несколько изменены с целью сопоставить (8) пли (9) с представлением Т в «физически-нелинейной» теории.
В последней удельная потенциальная энергия деформации предполагается зависящей только от линейного тензора деформации: 5 (С) заменено на 5(8). Например, для материала Мурна- гана принимается, во-первых, вместо (4)
3 =彳(厶+ 2卩)/； (8) - 2卩/1 (8) + y (^ + 2m) /?(8)-
—2他人(g)厶(g)+ 〃з (g).(1。)
Во-вторых, верные в линейной теории соотношения о
心=Т・・bgT, Т = з()(11)
считают применимыми вместо (1) и при учете слагаемых второй о
степени по £. В-третьих, вычисляемый по (11) тензор Т не представляет ни тензора напряжений Коши, ни энергетического тензора напряжений.
При сделанных упрощениях тензор напряжений «физически- нелинейной» теории, обозначаемый далее f по (10) и (11) представляется выражением
Т = з° 二 Т+ [//1(e) —(2m —п) /2(£)] Е + (2m—п) /х (е) 8-|-n82.
6(12)
Оказались утерянными слагаемые той же второй степени по градиенту вектора перемещения, что и учитываемые зто访 теорне访
Т-Т= у 母VRT.%・VR-3o =
/0\ 0 /0\0 0 /0\1 О / о о \
= — /](£)T(£)+2jT(£)+ ^T(VuT・Vii)・ (13)
В приводимом далее и л л юстрати в ном примере простого сдвига компоненты тензора напряжений Коши, определяемые формулами (4.7) по заданию (5.3.2) удельной потенциальной энергии, представляются формулами
и при учете лишь слагаемых не выше второй степени по s Р = у (Z + 4p，+ m) s3,产=^ (九 + 2卩 + 俏)s*
Имеем также оо
Уцт = iJaS,Vu =i2ixs,
01оо
2-(iii2 + i2ii) s, Vu^Vu-iiiiS2, /0、оо о
厶(£丿=0,T-HS(i1i2+i2ii),2£・Т =卩 s2(i£ + ij),
yT(VuT-Vu)=4 Zs3E + hi屮$2
и по (13) приходим (равенствам
*一分1 =子3 + 4")S2,产一产=_^3+ 2卩)炉，产一产=子讶
Из них при s—>0 следует, что
岁=1+土！^=1+^ 望=i+上.(14)
/12' m » 产2加 ，/331 m—几/2、丿
Для стали Hecla 17 по приведенным в гл. 5, § 11 данным
= 0,54,= 0,54,= 0,58.= 0,58.
= 0,54,
= 0,54,
= 0,58.
= 0,58.
В опытах Зеегера (A. Seeger, I960) было получено для одного из сортов стали
— =1,39, — = — 1,6,— = — 10,1,
и по (14) оказывается
= 0,47,= 0,47,=0,66,=0,66,= 2,11.= 2,11.
= 0,47,
= 0,47,
=0,66,
=0,66,
= 2,11.
= 2,11.
Неприемлемость 《фнзнческн-нелнне访ной》 теории ——следствие как этих экспериментально обнаруживаемых результатов, так и перечисленных выше ошибочных предпосылок самой теории. Можно также добавить, что процедура вычислений физически- нелинейной теории не имеет и преимущества простоты по сравнению с описанными в §§ 6—10 правилами расчета «эффектов второго порядка».
Глава 7
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
Упругий материал с наложенными связями
Во всем предшествующем предполагалась способность материала как угодно деформироваться под действием надлежащим о
образом выбранных сил. Градиент места VR и определяемые по нему меры деформации считались произвольными достаточно гладкими функциями материальных координат. Но оказывается целесообразным рассмотрение моделей материалов, наделенных способностью не допускать некоторых деформаций, каковы бы ни были приложенные к телу силы — материалы с наложенными связями. Несжимаемая жидкость — классический пример этих материалов.
Связь задается условием, налагаемым на градиент места
о
Y(VR) = 0.(1)
Это свойство материала должно удовлетворять принципу мате- рнально访 индифферентности (гл. 3, § 2); иначе говоря, скалярная функция 丫 должна сохранять вид при любом ортогональном преобразовании о о
YOuo: y(VR) = y(VR・O) = 0.(2)
оо
Заменив VR его полярным представлением VR = U *ОХ и принимая О = Ох\ придем к соотношению
о
丫 (VR) = 丫 (U-Ox.OXT) = 丫 (U) = 0,(3)
являющемуся решением функционального уравнения (2). Итак, сохранив обозначение уравнения связи буквой у, имеем
о
Y (VR) = 丫 (U) = 丫 (G%) = 丫 (G)(4)
пРи всех VR. Отсюда, вспомнив определение (11.2.7) производной скаляра по тензору и сославшись на (11.3.5), имеем
_ооооо о
6丫 = Y (VR + 6VR) 一 丫 (VR) = % • • 6VRT = 2yG-VR--6VRT = 0.
VR
По (2.7.5) удельная элементарная работа 6'% внешних сил, равная вариации удельной потенциальной энергии а, представлялась сверткой
ооо о
书匕⑺=ба =询…6VRT = Р- 6VRT = 2% • VR …6VRT(6)
VR
и из этого соотношения, как условие произвольности вариаций о
6VRT, следовало представление тензора Пиола в форме произ/ 0 \ о
водной 八VR丿 по VR. Теперь же следует учесть связанность о
вариаций 6VRT условием (5). Хорошо известный прием введения лагранжева множителя 九 позволяет записать (6) в виде
о оо
心=2 阮 + Wg) vr 6VRT = P …6VRT(7)
о
и вновь считать за счет выбора 九 вариации 6VRT независимыми. Это позволяет представить тензор Пиола в материале с наложенными связями в виде
о
Р = 2 (JG + Wg) • VR = Ре + Ps，(8)
причем в задании з должно быть учтено уравнение связи (4). Подобно известной в общей механике классификации^ сил на задаваемые (активные) и реакции связей (реактивные силы), тензор представлен здесь суммой слагаемых: «определяемого» по а напряжения Р^ и реактивного Р$
оо
Pe = 2?g*VR = J(), Р5 —22iyG • VR = 2iy 0 .(9)
VRVR
Аналогично разбиение тензора напряжения Коши на «определяемое» напряжение Т? и «напряжение связи» Ts
T = T?+Ts， “= /•§ 弘丁鼻=2 |Aj W.5g-VR,
Ts = 22i У-J VRt-?g-VR.(10)
Сказанное обобщается без труда на случай нескольких связей
Yi (G) = 0 (i = l,2, .. ., s).(11)
Введя лагранжевы множители Z1(九？，九s， получим
Аоо ®о
Ps=2?%%(G)g・VR,Ts=2]/^ VRt・2%%(G)g・VR. (12)
В число подлежащих рассмотрению уравнений включаются уравнения связей (И), чем компенсируется вхождение такого числа неизвестных 儿，入入“
Удельная мощность напряжений связи, определяемая сверткой тензора напряжений с тензором скорости деформации D по (2.7.12), (1.10.10), (1.13.10), равна
T「D = 2/* 6rt・Yg・Sr・，D =
—2 j/ 帯九tg …VR • D • VRt = j/ 告 A?g …&
И так,
TS-.D= ]/f AVg.-G= |/| AV(G) = O, (13)
так как у (G) = 0 —уравнение связи должно выполняться при всех t. Удельная мощность напряжений связи оказалась равной нулю. Этим на механику сплошной среды распространено понятие идеальных связей общей механики. Доказывается обратное предложение: если соотношение (13) выполняется во всех допускаемых связями движениях (для всех D), то тензору Ts должна быть придана структура (10). Действительно
. о о.
G = 2VR D VRr, 2D-Vr G VrT,
Ts D = ^TS- Vr G VrT = ^VrT Ts Vr G.
Вместе с тем по уравнению связи
сплошной среды соотношения (13) позволяет прийти к представлению тензора напряжений связи, не используя понятия об удельной потенциальной энергии деформации. Допустимо, иначе говоря, рассматривать «упругий», а не «гиперупругий» материл.
Одним из примеров наложения связей может служить материал с вмонтированными в него в одном направлении и с достаточной плотностью нерастяжимыми нитями. Уравнению связи (4) по (1.4.2) может быть придан вид
о о
Y(G) = e6e — l = 0, (14)
О
где е —единичный вектор, задающий направления нитей в отсчетной конфигурации. Сам материал («матрица») изотропен. Нетрудно о
понять, что вектором е определяется одно из главных направлений тензора меры деформации G, а соответствующее этому направлению собственное значение равно 1. Это следует из определения главных направлений (1.9.1) тензора
G・e =九е,е- G • е= К
о
и этому соотношению по (14) удовлетворяет е = е, 1^= 1. По (1.9.7), (1.9.8)
p3(1) = 一 1+/]9) 一 厶9) + 厶9) = 0,厶(3=/](3 + 厶(G) - l
(15)
и удельную потенциальную энергию з можно считать функцией, скажем, /о /3
3(/1,厶，/з) = 3(/1，人 + (一 1，八).
Определяющее напряжение по (4.3.4) оказывается равным
Т? н 2 |/^告他Е + 屮iF -|- Ф2^2)/2=/i+/3-i *
причем 屮р находится по формулам (4.3.5), в которых /2 следует заменить его значением (15).
По (II.3.8) и (10) тензор напряжений связи представляется выражением
о ог~ о ооо一
?G = ee, Ts = 2 у g XVRT • ее • VR — 2X у 石 ее,
причем е —единичный вектор направления нитей в актуальной конфигурации — см. (1.4.17) и (14).
Уравнению состояния придается вид
Т =2 /等(Jiee + WoE + WiF +ip2F2)/2=/1+/j_1,
а уравнение связи можно записать также в виде о о
e-Ge^e-VrG-VrT • е = е • е = 1,G $£小=1.
Здесь еА — контравариантные компоненты е в векторном базисе актуальной конфигурации.
Конечно, здесь имелось в виду, что связь (14) — удерживающая, иначе говоря, приведенные соотношения неприменимы, если о
материал матрицы сжат в направлении е,
В нерастяжимом в трех взаимно ортогональных направлениях еп е2, е3 материале все три собственных значения G равны 1, G = E, деформация отсутствует, «материал» по (1.4.23) представляет абсолютно твердое тело. Тензор напряжений связи есть
Ts = А%% 十九z%% + ^3^3^3>
al потому тензор напряжений остается полностью неопределенным.‘
Несжимаемый упругий материал
Этот «материал с наложенными связями» представляет наибольший интерес. Несжимаемой с достаточным приближением можно считать резину ——важнейший объект исследований нелинейной теории упругости —этот «наиболее упругий из упругих материалов, не поддающийся исследованию средствами линейной теории упругости» (Трусделл).
Любой элементарный объем несжимаемого материала остается неизменным при деформировании. По (1.8.1) и (1.4) уравнение связи имеет вид
Y(G) = /3(G)-l = 0(1)
и по (П.3.2), (1.12)
Yg = /NG)G-i = Gt,丁5 = 2|/^ 居Rt.Gt.SrqZ/鲁 ZE.
(2)
В представлении удельной потенциальной энергии несжимаемого материала /3 =1 и для изотропного материала
3(人，а，/3)=3(/1，人).(3)
Обозначив еще 2 ~^告 九=—р, приходим к уравнению состояния
T = Ts + £ = — pE + 2%F + 2№F2,(4)
причем, согласно (4.3.5),
办=(备+ /】訛)3(//),必=一訖3(/丄).(5)
Конечно, р — неизвестная наперед функция материальных координат (и времени в динамических задачах), определяемая из уравнений равновесия (движения), при условии несжимаемости. Аналогична ситуация в гидродинамике несжимаемой ^жидкости; в ней, как и в несжимаемой упругой среде р-сдавление. Роль уравнения связи отходит к уравнению неразрывности (1.14.13).
9 А. И. Лурье
При обозначении главных удлинений и” v2, и? инварианты мер деформации Коши G и Фингера F представляются формулами
/1 =脅 + 若 + 廟，/2 = Ф1 +1-2^5 + Ф1 = ИГ2 + иг2 + Уз~2,⑹ так как в несжимаемом материале
/3=呜喙胃=1.(7)
Представление тензора напряжений (4) может быть записано и в виде
T=fE + 2 券 F —2 證 FT(8)
—были использованы преобразование Гамильтона — Кэли
формулы (1.9.22), а 夕 + 厶也 снова обозначено р.
Из уравнения связи, записанного в виде ^2(73 = 1, следует соотношение
М [配 2 &з兀"十02十03
Используя его и вспомнив определение главных сил tki имеем 33
"=e1"蚪=上1 (爲
Главные силы и главные напряжения о月 представляются теперь формулами
/月=^k~ 一 P + 0后黑'。(10)
Уравнениям равновесия в объеме и на поверхности придается вид
V・T = V・Ts + V・TE + pk = —V/7 + V・T£ + pk = 0,
f= — pN + NF・(11)
Вариации 6R вектора места ненезависимы; по (1.5) и (2) они связываются соотношением
00оо
6/3^2G-1-VR- -6VRT-2VrT^ • 6VRT - 2VrT • • (V6R)T • VRT-
= 2E・ ・V6Rt = 0(12)
— были использованы преобразования (2.8.4) и правило свертывания.
Вывод принципа стационарности потенциальной энергии системы никак не связан со свойствами материала. Поэтому и для
несжимаемой среды этот принцип сохранит вид (4.16.8); когда Р = Ро，Jg/G=l, он представляется соотношением
6^! - 6(3-p„k-R)dl/—JJf-RdO =0.(13)
Но теперь при варьировании должно быть учтено наличие связи (1). Варьируемому функционалу придается вид
步：=%一["^〃(/3一1)加，(14)
причем вариации 6R связаны соотношением (12) и по (III.3.10) 6§З^Р(/з—1)〃 = §Х pE-.N8^dV = ^ [V-(/7E-6R)~
-Np-8R]dV=^ NpbRdO —田 V/7.6RW(15)
(6R = 0 на части поверхности О2, на которой заданы перемещения). Поэтому
6吟=W 63亦一爪(p°k —V办 6R仃(Np + f).6RdO = 0.
(16)
Вместе с тем по (II.3.6), (4.3.4)
ООО00
七=3。. . 6VRr-2VR.5F- V6Rr VRr - 2VRT-VR 5F • V6RT-
VK
-2F-5F- .VSR^T^- -V6RT-V.^-fi^-^-T^.SR, JJJ 6з^У = J$ N-Tf-6RdO-J\$ V-Tzr6RdV
и подстановка в (16) приводит к соотношению
-5П(y-TE+pok~NP)).^dv+
+ $ (NF-Np —〉3RdO = 0.(17)
6
Из него, как ожидалось, следуют уравнения равновесия (11). В базисе отсчетной копфигурапии, продолжив (15), имеем
6 jf/(厶—1)曲 и J〈 pn・ Vr工 6Rdo — У^ (Vr ■ Vp; ■ 6R dv
01
и вместе с тем
，，§ 6зА = Е 九■ -6VRT dv =^ Р£- -6VRTdv = уи VRи
)• 6R〕曲工)• 6R〕曲工FW・(Pe・6R) — (S・Pe
)• 6R〕曲工
)• 6R〕曲工
J n-Pt..6R(/0-J$$ (SpJbRdu.
Поэтому при «мертвом» нагружении (f dO = f° do)
ии
и
и
+ §，(n -P^. —/7п -VrT — f°) • 6R do = 0(18)
и уравнения равновесия в объеме и на поверхности отсчетной конфигурации приводятся к виду
о о
V・P?—Vp+pok = O, Г^пРЕ—рп^г^(19)
Конечно, можно получить их и непосредственным преобразованием уравнений (11). Действительно, по (2.6.2) тензор Пиола в несжимаемой среде представляется выражением
р= 5・Т = Ре—Wp(20)
и, сославшись на тождество Пиола (1.9.4), получаем с о оо. о о
V• Р = V• Pf — V • Vrт/7 V • Pf — r^ -Vrr ~ VP£ —V/7-VrT, что и требуется.
Выражение принципа Гамильтона — Остроградского (гл. 4. § 19) для несжимаемой среды следует дополнить слагаемым
преобразуемым далее согласно (15). Повторив вывод в (гл. 4. § 19) приходим к представлению принципа выражением
$Л Гб^-JJJ V/7.6Rdl/+SS/7N.6RdO + 6&/ =0. (21)
Здесь 纟——лагранжиан, равный разности кинетической и потенциальной энергий системы
口= §，，[з(/1，厶)一Pok・R]du —，，F・Rdo. (22)
V01
Отдельным слагаемым в (21) представлена элементарная работа SMtg) непотенциальных поверхностных сил
& 4е)f.6RdO.(23)
Следуя (15), можно записать (21) также в виде
J Гб^ + JJJ рЕ- ■'V^dV+d'A^^Q.(24)
§ 3. Эффекты второго порядка в несжимаемом упругом теле
При учете только квадратичных по | Vu | слагаемых уравнение связи (2.1) по (6.10.3) выражается соотношением
扌 + 炉+ /S—У /х (e?) = 0(1)
и поэтому
/i(F)-3 = /z(F)-3 = 2/|(%)+202.(2)
Инварианты /】，/2, значит и коэффициенты 屮「уравнения состояния, отличаются от их значений в отсчетной конфигурации членами второго порядка.
Уравнение состояния (2.4) после замены мер деформации по формулам (гл. 6, § 10) приводятся к виду
О00о
т = — рЕ + 4 (屮1 + 2屮J g (u) + 4 (叫 + 2屮?) VuT Vu + 8i|)2e2 (u)=
О00о
=—pе + 4 (屮1+2屮2)°£(u) + 4 件1+2屮2)。 Vu，Vu + 8中跆2 (u),
так как при принятой точности нет нужды учитывать отличие коэффициентов 屮「 от их значений в отсчетной конфигурации. Обратившись теперь к (6.10.6), имеем
仲1 + 2电)。=(許卜嘉)"=^卩，咽=一器 (3)
и уравнение состояния с учетом всех слагаемых второго порядка приводятся к виду
Т = — рЕ+2卩£ (и)+2卩十(ViP —8 (审)e2 (u).(4)
В линейном приближении (р0 — давление в этом приближении) о
Т = Т° (и) = — р0Е + 2р,е (и)(5)
и это соотношение должно рассматриваться совместно с уравнением связи
0
§ =人(£丿=¥• и 二 0.(6)
Уравнения равновесия в объеме и на поверхности по (2.11) записываются в виде
ооо
卩屮(1 + pok - Vp, n-T° (u) = — пр。+ 2цп-е(и) = f, (7)
так как
о о 1 о / о о \о о 、1 о
V-8-y V-^Vu + Vu^ = у(,V2u + VV - uj V2(u).
Уравнение движения в объеме и уравнение связи повторяют линеаризированные уравнения медленных стационарных движений вязкой несжимаемой жидкости Навье —Стокса; отличие заключается в краевых условных.
Введя, подобно (6.11.1), в рассмотрение корректирующий вектор w, можно представить с требуемой точностью тензор напряжений в виде
Т-Т° (v) + T° (w) + V (v),
Г (v) = 2rVvt・Vv—8(設)炉⑺，(8)
причем здесь
о
Т。(w) = — pF + 2眸(w),р 小 + Л-(9)
Требуется еще заметить, что
N dO = n - VrTdo — n- (Е — VuT) do n-(Е —VuT) do ,
о
так как VuT отлниается от VuT слагаемым второго порядка но (1.3.9)，
ооо
VuT VuT-VrT^- Vur- (Е —VuT) у VuT.
Уравнение равновесия на поверхности может быть записано теперь в виде
N・TdO= (п—n-VvT) -Т°(V)do + п• Т° (w)曲 + nT (v) do =
о
=[п・Т。(v) + n*T° (w) + n ・Т‘(v) — n-VvT T° (v)]do = tdO
и краевое условие для корректирующего вектора w представ, ляется по (7) уравнением
о
(Ю)(Ю)n-T°(w) = — П凸十2卩П・Е (w) = fx,fx = —П.(—%т.Тр) + Т，(V)).
(Ю)
(Ю)
Поэтому
JJ(n.T«(w)-fx)d0 = JSj[v.T°(w)+V.(—VvT ・ T°(v)+T‘ (v)) ]du=0
и уравнение равновесия в объеме приводится к виду
оV-T (w) + kx = 0,оV-T (w) + kx = 0,ОГО 0-|
о
V-T (w) + kx = 0,
о
V-T (w) + kx = 0,
(11)(11)(12)(12)кх = ▽• |_— VvT T(V)+Т'(V)J.
(11)
(11)
(12)
(12)
Уравнение связи (1) в этом приближении будет 1 оо о
§ (w) = V・ w = ｝厶(炉(V)) —(o(v)-(o(v), так как 3(v) = 0 по (6). Поэтому
о о 1 0 /00\)/ 00 0\
▽ •Е (w)=万▽• ( Vw + VwT丿=y vV2w +VV-W；
о о оо о о1 01 0
о о о
о о о
V2W + yV у /t(82 (v))—O)(V)-O)(V)
и уравнению равновесия в объеме (11) придается вид
000 Г i ОО 0一
—V^ + fiV^ + fiV у Л(82(V)) —(o(v)-(o(v) +kx = 0・(13)
Корректирующие вектор w и скаляр р】определяются этим уравнением, условием (12) и краевым условием (10). Главный вектор массовых кх и поверхностных fx сил равен нулю и необходимым условием существования вектора w является симметричность силового тензора
В = \\§ Ьг曲 +\U><rdo = \ \§ СТА/, Q = —Vvt-T°(v)+T/ (v).
°°°(14)
О
Заметив, что Г = Т'\ а тензоры Т° и 8 сонаправлены, приходим к соотношению
в — Вт=$, ,(Зт+Т。. 6)厶二 $ $ $[ю(V)хT°(v)+T°(v) Xtt>(v)]=0,
приводимому, подобно (6.11.9), к виду
Н [t°(v) • ®(V)- ®(V)Ц(T°(v)) ] dv = 0.(15)
Используя равенство ооо о
T°(v) • (О(V)=—历(0(V)+ 2时(V)• (О(V),厶(T°(v)) = 一 3% + 2M(8 (v))=- 3阮，можно придать этому условию также вид
$ П [^(V)• W(V)+ р0(о(V)] dv = 0.(16)
Удельная потенциальная энергия деформации несжимаемого упругого тела
Наиболее распространено задание з в форме двухконстантного потенциала Муни
3 = а(人 9)一3)+02(厶9)一3)=
=&期+碇 + 凋一3)+e2(g2+。胃+u寸一3), (1) представляемого также в соответствии с (3.3) в виде 19 = 4"卩[(1 +卩)(人一3) + (1 - Р) (/2 - 3)]( a + 以 = ^-n)• (2)
Здесь |i —модуль сдвига при малых деформациях, (^ — подлежащая определению постоянная. Упрощенной формой потенциала Муни
з = &(/| — 3)(0=1)(3)
является «неогуков» потенциал, иначе называемый потенциалом Трелоара по имени автора, получившего это представление из рассмотрения конструктивной модели резины, как системы связанных друг с другом длинных молекулярных цепочек.
Необходимыми и достаточными условиями положительности а являются неравенства
&》0, &》0 (卩〉0, -l^P^l).(4)
Действительно, сумма трех положительных чисел и；, и?, с$ произведение которых равно 1, имеет минимум, когда эти числа равны и значит, каждое из них равно 1. Итак,
後 + 廟 + 區一3》0, vf2 4~^Г2 4~ ^з~2 —3》0,
откуда следует, что (4) — достаточные условия положительности з, но они и необходимы. Действительно, по крайней мере одна из постоянных, пусть С\, положительна. Приняв, что С2 < О, всегда можно было бы подобрать три положительных числа 吟 唸 и； с произведением равным единице, чтобы выполнялось неравенство
值尸厶-3— vl+vl+vl ，、
Определяемые по потенциалу Муни тензоры напряжений Коши и Пиола равны
Т =— рЕ+ 2 [(& + /£) F — CF],
О
P^Vr.T^{-pG-1+2[(C1 + /1C2)E-C2G]}.VR.(5)
Конечно, механические свойства многочисленных резиноподобных материалов, весьма чувствительные к химическому составу и процессам их изготовления, не могут быть описаны единственным потенциалом Муни. Существует большое число других описаний, претендующих на лучшее совпадение с экспериментальными данными в пределах тех или иных эксплуатационных деформирований и температур.
Примером может служить потенциал Ривлина и Сондерса (Rivlin R. S., Saunders D. W., 1951), обнаруживших тщатель- дэ / дэу с
ными опытами зависимость отношения 广 ；от /2. Зто дало основание корректировать формулу Муни более общим соотношением
3 = а(厶一3) + 〃厶一3)(/>0).(6)
Основываясь на статистическом рассмотрении поведения молекулярных цепочек с учетом ориентирующего влияния поля напряжений, Г. М. Бартенев и Т. Н. Хазанович (I960) предложили потенциал
у = 2卩(и】+ % + g — 3) = 2“/] (U),U = G%.(7)
Его экспериментально подтвержденное по широкой программе исследований обобщение К. Ф. Черных и И. М. Шубиной (1976) представляется выражением
з=м( 1 + е)8+力+%—з)十(1—卩)(吋】+工歹+。飞一з)]=
="[(1 +0) A (U) + (1 -0)九(UN] -6卩.(8)
Следует заметить, что более простой, чем для потенциалов Трелоара и Муни, вид этой формулы даже усложняет применение этих потенциалов к решению задач. Сославшись на (II.3.5), (П.3.10), (7) имеем
оо
Р^ = а。= 23g -VR 4卩人(U)g NR =
VR
= 2"UT・YR = 2“Ox (VR= U-Ox), так что о
Те = 2tlV% • Ре - 2“V - 2“ F%,T = — pE + 2“F%,(9)
тогда как для потенциала Трелоара Te = “F по (5); это упрощает его использование, пока неизвестно представление F в главных осях.
§ 5. Плоская деформация несжимаемого материала
Векторы места г, R в отсчетной и актуальной конфигурация^ задаются в соответствии с (6.8.1)
г Ы~ i3a3, Ь = а"1 + *2， R = B + i3c^3,'
В = i/i + i2x2,炉=с*(1)
причем с постоянно. Вводятся материальные координаты: q1, g?, пока не специализируемые, итак что
/ = /①1,們， 严^产小，g2)； x3 =死 a3 = 十 (2)
и как всегда греческим индексам придаются значения 1, 2.
Векторные поля b и В на плоскости определяют базисы
Ьа=Л 鼠，Ba = i0 務，ba^ea₽b3Xi3> Ва = £аВВвХ%.⑶
Здесь % € —плоский тензор Леви-Чивита с контра- и ковариантными компонентами
€^ =力尹6, еар==у^еа₽; еа₽ = /йеа₽> €ар-/Веа₽, (4) 0, а = 0,
еар = еа^ = ■1, а — 1, § = 2,
—1, а=2, 0= 1,
(5)(5)причем /Ь, }^5 —якобианы преобразований
(5)
(5)
Г》= ^т=^МЕ =(в»В2)』・
Определяются мацииоVB = УВа，ООпределяются мацииоVB = УВа，Оградиенты места и по ним плоские меры дефор-градиенты места и по ним плоские меры дефор-ОVB- Baba, GxоОVB- Baba, GxоFZ^VBT VB^^BaBp, gxFZ^VBT VB^^BaBp, gxо оVB VBT-=5apbabP, (6)= F-1 = feapB«BP.о оVB VBT-=5apbabP, (6)= F-1 = feapB«BP.
Определяются мации
о
VB = УВа，
О
Определяются мации
о
VB = УВа，
О
градиенты места и по ним плоские меры дефор-
градиенты места и по ним плоские меры дефор-
О
VB- Baba, Gx
о
О
VB- Baba, Gx
о
FZ^VBT VB^^BaBp, gx
FZ^VBT VB^^BaBp, gx
о о
VB VBT-=5apbabP, (6)
= F-1 = feapB«BP.
о о
VB VBT-=5apbabP, (6)
= F-1 = feapB«BP.
Здесь b叫 Вар — контравариантные, 也廿，В«р — ковариантные компоненты плоского метрического тензора Е2. Инварианты плоских мер деформации определяются формулами
D/О
+^=4 = g?g«, A(gx)=夕.(7)
"/2
В последующем преобразовании уравнений плоской задачи к комплексным переменным в качестве материальных координат оказывается плодотворным выбор комплексных координат q1 = г, q2 = z, в актуальной конфигурации.
Условившись сопоставлять вектору с^^ц +^2i2 комплексное число (вектор) c = c】 + ic2, можно скалярное произведение двух векторов представить в виде c・d = Recd. Это приводит к соотношениям
b尸誥，A=急=伐+ ±)e, b尸黑，h=爲=i偿一君e,
так чтотак чтоПерейдя к переменным г, г, получим используемые ниже формулыПерейдя к переменным г, г, получим используемые ниже формулы
так что
так что
Перейдя к переменным г, г, получим используемые ниже формулы
Перейдя к переменным г, г, получим используемые ниже формулы
Потребуется еще представление определителя преобразования
(z, Е)т (* а2)一
0(* а2)吏比 徒 0；а
Переходим к рассмотрению поля преобразования (1) — на плоское векторное поле налагается перпендикулярное ему поле. Материальными координатами служат q',牝 产=炉.Векторные базисы задаются выражениями
「1 = bi，г2 = b2> J — ^ ； R】=В» R? = В?’ R3 = i3j g=|gsM = 3 G^\Gsk\ = B.(10)
Тензоры градиенты места и мер деформации равны
О000
VR = [SRs=baBa+「3R3 = VB+ci九，VRT VBT + d3i3,⑴) G^GX+C'^is， F^FX+C2i3i3.
Компоненты (аЗ) этих тензоров обращаются в нуль — это и является существенным свойством плоской задачи. Инварианты мер деформации оказываются равными
/2=/0 + с2/0% = * = %(12)
Следствием этих формул является соотношение между инвариантами /尼(G)
/2.京 +e"]一e4(13)
и удельную потенциальную энергию деформации можно рассматривать как функцию инвариантов /3
(14)(15)(14)(15)3(厶，c2/i_d+S，/'=/(人，/J,
(14)
(15)
(14)
(15)
так что
О/ _。3 丄 2 °з О/ 一 -2 °з 丄 °»
Уравнение состояния, основываясь на (11), можно записать в виде
Т= 2/L { Е/з 許+ (計 + О FX _ 許 FX」
+ [(許备卜-崇叩』}•(16)
Отсюда следуют соотношения
产=0, a= 1,2; 昨 2/「{/3 * + 。[許+(厶一炉)許]}
(17)
и определяется тензор на плоскости
ТХ = ^ RaRp = -РВаВр = 2/з - % ｛ Е/ 祭 +
Заменив здесь плоский тензор Fx его представлением по теореме Гамильтона — Кэли
fx2 = /;fx — ej?, получим
По (12) и (15) это выражение приводится к виду
Тензор напряжений представляется формулой
T = D + isij^ =2/「｛е/ 器 + 翳户 +
+ 也［/3* +。2 备+ d(/|T)蟲］｝• (19)
В несжимаемом упругом теле э~э (/п /2). Соотношения (12), (14), (15) приобретают вид
/】 = /； + */；=С-2,/2 = С~2+с2/］-с4=с-2+с2 此 (20)
3(/” /J = 3(/i，。2人 + 「2一門=/(/3 幫=奥 + 炉崇，(21)
а второе уравнение (11) отпадает, так как /3 не входит в исходное задание а; слагаемые, содержащие дэ/дЦ, дэх/дЦ, должно отбросить из выражения (19). «Определяемое» напряжение Т^ представляется формулой
2 ｛器 FX + 八 W ［亳 + (/「N 贵］｝(22)
и выражению тензора напряжений Т придается вид
т = 一 "Е + Те = — "Ez — "isis + Те = Tx + i/斗. (23)
В этой формуле
Tx = i-PRaRp = -^E2 + 2 需F3
P+2c［* + (/| —乃%］ (24)
— тензор напряжений в плоской задаче для несжимаемого материала представлен суммой плоского тензора Тх и тензора i3i3/33.
Эти тензоры не зависят от третьей материальной координаты = х3.
Уравнение статики при отсутствии массовых сил преобразуется к виду
v・T = ” + i』為)・т=
=(В“ 蒜 + is й) • (ТХ 十 isis") = V* • тх = 0,(25)
так как производные по № равны нулю, a Ba*i3 = 0. Компонента 加з тензора напряжений определяется формулой (24); входящие в нее инварианты /п /2 и множитель связи р (давление) станут известными функциями материальных координат ^1, ^2 и с из решения задачи равновесия для тензора Тх; на последнем этапе постоянная с определяется по заданию продольной силы Q
Q н f33 do = j , #з ；；：, %：血 1 da2 = j f 等加3 d” d* (26)
По (2.4.9) уравнению статики удовлетворяет представление Тх через функцию напряжений U (q* q?). Обратившись также к формулам (3), получим
D =尸©ВаВв = — ％ X VVU х is = В，х i3B6 х i3V?V6(7 -
=£加(в.x i3)x i3e6p (Bpx i3)x i3vvv6f/=e^e63BaBpvvv6f/.(27)
Обозначив
VVU = M= BaBpmap, Tx = — i3xMxi3 = Baxi3B₽xi3mafi, легко обратить это соотношение, умножив его векторно справа и слева на i3. Получим
i3 X ТХ X i3 = i3 х (Ba X 】з) (Вв х i3)х i3〃产』一 ВаВ朋a J_ м= VVS
Итак,
Wt/- —i3xT^xi3.(28)
Через t, N обозначим единичные векторы касательной и нормали кривой Г в плоскости %з二 const; предполагая, что N, t, i3 ориентированы как оси XYZ и dS—элемент дуги этой кривой, имеем
『黑，N = tx】з,
N・r< = -(tx“・(i3xVVUxi8)= t・(VVUxiJ
и главный вектор Р сил, распределенных на дуге кривой Г, оказывается равным
Р= , tds (VVt/xi3) = , dB-VVt/xi3= $ dVt/x i3-Vt/x i3 | ,
Q^oo^oo^o謊 Q
так как dBNYU = dNU. Главный момент этого распределения сил определяется теперь выражением
tn°= $ Bx(dVt/xi3) = —i3 $ B・dVU協Q0威0
и главный момент m^ относительно оси 0Z оказывается равным
о^曲е^о^
加％=一 J B・dVU = — J d(B・VU)十 J dBNU = (U -BNU) | .
o^oMLqe^oo^o
Итак, с точностью до аддитивных слагаемых
Р = VUxis，眦=。一B・VU.(29)
Для любого плоского тензора Мх имеем /i(i3XMXxi3)= — /](Mx)・
Обратившись теперь к (28) и (24), получим для несжимаемой среды
WU = I]g = — 2p + 2嶽& р = —^(「и 一2/：舞).(30)
Тензор Тх теперь можно представить выражением
TxjEz «и — 2/；記十 2 鶴 F.(31)
Отметив еще, что i3 х Е2х i3 = — Е2, можно придать формуле (28) вид
VVU = -|е2 ( WU 一 2 亳 /；) 一 2 許 i3 х FX 义 ％.(32)
В компонентном представлении
Wt/ = BaBeVaVs[/, E2-BaB^aS, Fx = ^eB?B6)-i3XFXxi3 = "в?xi3B6Xi3 = ^sevae6sBaB •
В последнем выражении по (3)
匕健=bv. № = d%6V(ь“ x i3) • (bv x i3) = e^ 济玩丫，
так что
и теперь
一 i3 х fx х is = ^«е7ае6рвав₽ = -f-厩 *"；
наконец, по (12) в несжимаемой среде Bjb = cf Компонентному представлению соотношения (32) придается вид
%мu =4 (屮u-2/?需)B^^b^e^ = 川修一2/嗡)即+ 2厂典^-(33)
За независимые переменные в системе трех дифференциальных уравнений (33) принимаются х1^^1, ^ —(^, Искомыми функциями в ней являются U и координаты частицы в отсчетной конфигурации а” (炉,炉).Имеем здесь
。 J 1, a = Р，0疗 0М 2 b "
Вав = [о, & 声 в,九 B =° =万=匕
—были использованы соотношения (10), В = 1 и условие несжимаемости. По (7)
/?=炉I+产=^ (忆+%J й e-2电1 +%)•(34)
Уравнения (33) приводятся к виду
d2U e 一2 曲Х 厶@%1@%2d/]1“d2U e 一2 曲Х 厶@%1@%2d/]1“(35)(35)1 //и даu\ _2/人 厶、曲X
d2U e 一2 曲Х 厶
@%1@%2d/]1“
d2U e 一2 曲Х 厶
@%1@%2d/]1“
(35)
(35)
несжимаемости,несжимаемости,万（前一寿）"（忆-%2）万，
несжимаемости,
несжимаемости,
Еще одно уравнение, выражающее условие представляется получаемым по (5) соотношением
(36)(36)"=[S [工 ％] =%我22一餐2 = С2.
(36)
(36)
Из выражения (27) тензора напряжений следуют хорошо известные формулы для его компонент
d2Ud2U/и…市，…病，…=一衣豆，d2Ud2U/и…市，…病，…=一衣豆，(37)(37)
d2Ud2U/и
…市，…病，…=一衣豆，
d2Ud2U/и
…市，…病，…=一衣豆，
(37)
(37)
позволяющие вместо (35) придать «комплексным напряжениям» Колосова —Мусхелишвили вид
Gxi + Gx^U^^^2P + 4c-^i + ^,(38)
о炉—О" + 2lTxi^2о炉—О" + 2lTxi^2吧一吵一2—%=4吧=8…虻理题吧一吵一2—%=4吧=8…虻理题
о炉—О" + 2lTxi^2
о炉—О" + 2lTxi^2
吧一吵一2—%=4吧=8…虻理题
吧一吵一2—%=4吧=8…虻理题
причем использованы формулы (8). Входящий в эти соотношения множитель, определяемый заданием материала, представляет по (21) функцию инварианта /「По (9) формуле (36) может быть придан еще вид
(40)(40)匹区一吨匹=
(40)
(40)
d2壶 石d2一 *
позволяющий представить /； формулой
/『3 (需+績)=2/『3 (需+績)=2(41)(41)
/『3 (需+績)=2
/『3 (需+績)=2
(41)
(41)
Следствием (39) служит дифференциальное уравнение
(42)(42)上史:买匹一祖玺匹西京五近五一豆■万Г jj諄，
(42)
(42)
которому должна удовлетворять любая возможная в данном материале плоская деформация 《 =《(％, г, с) при наличии продольного растяжения с (и при отсутствии массовых сил).
Представление (29) главного вектора сил, распределенных на дуге контура Г, ограничивающего рассматриваемую область, приводится к виду
Р = 2 + е = —2冬 (43)
——это краевое условие при задании поверхностных сил.
За независимые переменные могут быть приняты координаты а* а? отсчетной конфигурации, иначе говоря 第《.Из соотношений
厉=1=讶石+友石，云=0=碣詆+丞云
н условия несжимаемости (40) получаем
dz I dg
dz <
一一0云， 艰— _
丄迓
c dz *
近 1照
так что по (21)
/1（2 藍+ ；）
(44)
Предположив теперь, что известно решение уравнения (42)
^ = / (г, г, с),(45)
рассмотрим преобразование
Z二 f©£。,(46)
причем / —— та же самая функция, что и в (45). Тогда по (44) инвариант /J, значит для того же материала и 歹, окажется представленным теми же функциями от J, J, с, какими он был представлен через г, г, с в исходной деформации (45). Неизменность формы выражения 疗 позволяет проверить непосредственным (хотя и громоздким) вычислением, что преобразование (46) удовлетворяет соотношению (42), если ему удовлетворяет (45). Это —«обратная теорема» Адкинса (J. Е. Adkins, 1958), позволяющая находить по плоской деформации, сопровождаемой продольным растяжением с, другую плоскую деформацию при том же % также совместимую с условием (42).
Двойственность полей деформации и напряжения в плоской задаче. Соотношения, аналогичные теореме Адкинса, выполняются при плоской деформации сжимаемого материала
炉(o' с?), х2 — х2 (а1, а2),尤"二仅з.(47)
В выражениях меры деформации Фингера и тензора напряжений плоские тензоры отделяются от (ЗЗ)-компонент
F=FX + i3i3c2, Т = Тх+^з/»з (产з = 0,严з=о).(48)
Здесь по (6)
Были использованы выражения
十d, /2=/卜卜№儿
в которых /«— инварианты Fx. Теперь, основываясь на соотношении з(/1, 4, /з) = "/¥ + * &「/», /з=/胱)，
получаем
дэ — дэ . 2 дэ Оз _ 0а , 2 @з
电丄竺竺 包 包
"2 2coe 12 5/3'
Это позволяет представить ТХ и /зз в виде
так чтотак что/о 史 Е 史 fx %叫匸2十吗Г/о 史 Е 史 fx %叫匸2十吗Г1 дэ■у/1 дэ■у/⑴ий（嚼+绡說⑴ий（嚼+绡說-1 дэ-1 дэ(50)(51)(50)(51)
так что
так что
/о 史 Е 史 fx %叫匸2十吗Г
/о 史 Е 史 fx %叫匸2十吗Г
1 дэ
■у/
1 дэ
■у/
⑴ий（嚼+绡說
⑴ий（嚼+绡說
-1 дэ
-1 дэ
(50)
(51)
(50)
(51)
Удельная дополнительная работа з в соответствии с гл. 4, деляется выражением； = P..；RT —з = ]/7з^гТ・Т.・^1и—з = с|/7!/1 ⑴一зУдельная дополнительная работа з в соответствии с гл. 4, деляется выражением； = P..；RT —з = ]/7з^гТ・Т.・^1и—з = с|/7!/1 ⑴一з§ 17 опре-§ 17 опре-
Удельная дополнительная работа з в соответствии с гл. 4, деляется выражением
； = P..；RT —з = ]/7з^гТ・Т.・^1и—з = с|/7!/1 ⑴一з
Удельная дополнительная работа з в соответствии с гл. 4, деляется выражением
； = P..；RT —з = ]/7з^гТ・Т.・^1и—з = с|/7!/1 ⑴一з
§ 17 опре-
§ 17 опре-
и по (51)и по (51)\ 0/1\ 0/1-э.-э.(52)(52)
и по (51)
и по (51)
\ 0/1
\ 0/1
-э.
-э.
(52)
(52)
Из выражения тензора Пиола также выделяется его плоская часть
Р = с /7»vrT.T = Px+i3i.iP'.i3 = c|<7o(vbT + li3i3'j . (Tx+i3i3/33)==
= 2VW 伸/瀛+/喘 FX)+ %i探, так что
/ 已9Л Q 0 、Л4
РХ = 2(/?品 VbT+/；鳥 VB).产=累.(53)
\ 0/20/1/。。
Обратившись теперь к представлениям тензора Пиола и градиента места (4.17.1), (4,17.5), имеем
о , .~
Рьз。，vR^iaip^+i3»3^=5p(54)
VR
и по определению (П.2.7) производной скаляра по тензорному аргументу
P = PX+iK33 = iai6 品+ i爲^ = % +i3i3g,
VR = VB-|ci3i3-=iai₽ —，
2噌將
(55)(55)так что плоские тензоры РХ и уВ оказались представимыми выражениями о ~
(55)
(55)
рх=%， ¥В = ЗрХ・
У равнение статики при отсутствии массовых сил и условие существования вектора В (условие интегрируемости) приводят к соотношениям
О 000 о
у.рх —у.^о =0, уХуВ = vX»p>< = 0・(56)
VB
Условия (56) удовлетворяются, если ввести в рассмотрение «тензор функций напряжений Пиола»
Ф = 1з1рфр (а\ а2)(|3 = 1, 2)(57)
и принять
рх = э0 =2pvx® = 2jietzviai13
VBО"'
(причем е22—^21 —1, ^11 — ^220). Итак,
A =, рх = 2卩产丫 iaiB ^ .(58)
Возвращаясь
теперь к (55)2, имеем
VB-i^iR—^ = 1境匕 г = Г(59)
1 даа13 др%Z哪
и по (56)2
Система двух
уравнений
е?аЛЛ = ° (В = 1,2)(60)
оау др.^
при обозначении
QXuiaiBg^uisXiaie 為二isXiaip 费(61)
представляет уравнения статики для «тензора Пцола» QX
y.QX_ev ip0.(62)
da dp. В
Приведенные формулы обнаруживают двойственность полей деформации и напряжения. Плоское поле перемещений в материале с удельной потенциальной энергией деформации э определяется формулами (47), а напряженное состояние в нем формулами
6=6（歩，J2）,q2=6（01，0力（63）
Если теперь ввести в рассмотрение «поле перемещений» (63) в материале с удельной потенциальной энергией «деформации» з, то по (59) поле напряжений в нем определится формулами (47).
Соответствие полей перемещений и напряжений оказалось возможным представить таблицей
Материал з
Материал з
Поле перемещений Поле напряжений
* X2
中1，中2
哈，中2
X1, X2
По (51) и (58) имеем также
рх..?вт=2 卩 if 产рх..?вт=2 卩 if 产鹏 даУ鹏 даУ9嗒=2/9嗒=2/西60j西60j
рх..?вт=2 卩 if 产
рх..?вт=2 卩 if 产
鹏 даУ
鹏 даУ
9嗒=2/
9嗒=2/
西60j
西60j
откуда следуют симметричные представления
-。 "V西60炉3 = 2“款赤Г-。 "V西60炉3 = 2“款赤Г3 = 2m喟^3 = 2m喟^(64)(64)
-。 "V西60炉
3 = 2“款赤Г
-。 "V西60炉
3 = 2“款赤Г
3 = 2m喟^
3 = 2m喟^
(64)
(64)
中2 =屮(办)sin %+"dф2 d①1—d炉j中2да1 да2^да1 да2中2 =屮(办)sin %+"dф2 d①1—d炉j中2да1 да2^да1 да2причемпричем屮（М）=屮（М）=ь^~ьь^~ьаа?аа?а ch уа ch уch у =ch у =Ла加.Ла加.
中2 =屮(办)sin %+"
dф2 d①1—d炉j中2
да1 да2^да1 да2
中2 =屮(办)sin %+"
dф2 d①1—d炉j中2
да1 да2^да1 да2
причем
причем
屮（М）=
屮（М）=
ь^~ь
ь^~ь
аа?
аа?
а ch у
а ch у
ch у =
ch у =
Ла
加.
Ла
加.
Простейшей иллюстрацией может служить задача в гл. 6, § 9 об изгибании полосы в цилиндрическую панель. По (58) и формулам (6.9.6), (6.8.14) в этом случае имеют место представления
中i = W(ai)cos % —炉, и выполняются соотношения
§ 6. Эффекты второго порядка в задаче о плоской деформации несжимаемого материала
Комплексное представление вектора перемещения D дается выражением
。亿 K = z —C(z,办(1)
и в формулах (5.39), (5.40) следует провести замены 院 1 汕电 dD 宠 万 産 dD
Далее предполагается, что с~ 1 —торцы деформируемого цилиндрического тела не смещаются в продольном направлении (/ = &)• Тогда
02u n公义(dD 1、0万 dD , dD /да dD ODd方、 八 小
а инвариант /； представляется по (5.41) выражением
"2+4(3)
Прн разыскании эффектов второго порядка полагаем
U = Uq + U], D = Dq + Di，(4)
удерживая в последующих соотношениях квадратичные по Do и линейные по £\ слагаемые. Получаем по (3) и (5.21) в требуемом приближении
曲 х дэ , дэ 1 , dR)d瓦 о fdhx\
и по (2) уравнения первого и к виду• 江一—卩及，H=一卩而卜卩毎и по (2) уравнения первого и к виду• 江一—卩及，H=一卩而卜卩毎второго приближения приводятсявторого приближения приводятся也丄咆_也画_也巫也丄咆_也画_也巫⑸(6)⑸(6)
и по (2) уравнения первого и к виду
• 江一—卩及，
H=一卩而卜卩毎
и по (2) уравнения первого и к виду
• 江一—卩及，
H=一卩而卜卩毎
второго приближения приводятся
второго приближения приводятся
也丄咆_也画_也巫
也丄咆_也画_也巫
⑸
(6)
⑸
(6)
Эти уравнения имеют единый вид для всех несжимаемых материалов—знание постоянной 乂 не требуется для определения U“ D「
Уравнение (5)——уравнение плоской задачи линейной теории несжимаемого материала (с коэффициентом Пуассона v—1/2). В ней Uq и Do представляются через две аналитические функции-потенциалы Мусхелишвили
2^0== фо ⑶—Z喘(Z) -HMz),2^0== фо ⑶—Z喘(Z) -HMz),
2^0== фо ⑶—Z喘(Z) -HMz),
2^0== фо ⑶—Z喘(Z) -HMz),
причем “% (z) = %； (z)・ Эти выражения, как легко проверить, согласуются с (5). Потенциалы 'ф0 (г),屮。(z) определяются решением линейной краевой задачи.
Уравнение (6% интегрируется
符十卩瓦=卩i峑嘿dz +欣五(8)
Далее имеем, используя также (5)2,
也+ dz dz也+ dz dzdD0 д dz dzdD0 д dz dzdz +叫(z)=dz +叫(z)=
也+ dz dz
也+ dz dz
dD0 д dz dz
dD0 д dz dz
dz +叫(z)=
dz +叫(z)=
Далее по (6)2 и (5卜，поскольку = вещественно
” dz dz
2也=_仄｛也画dzj也当石]一
дгдг茄2 az *0z2 方!
一加［（將у+（喲」+喝⑶十鹏一尝察一加［（將у+（喲」+喝⑶十鹏一尝察+卩+卩电2=电2=石d2石d2I C^odDo , t 一叩市毎龙+I C^odDo , t 一叩市毎龙++卩+卩込巫dz dz込巫dz dz卜 *(z)+*(z).卜 *(z)+*(z).
一加［（將у+（喲」+喝⑶十鹏一尝察
一加［（將у+（喲」+喝⑶十鹏一尝察
+卩
+卩
电2=
电2=
石d2
石d2
I C^odDo , t 一叩市毎龙+
I C^odDo , t 一叩市毎龙+
+卩
+卩
込巫dz dz
込巫dz dz
卜 *(z)+*(z).
卜 *(z)+*(z).
После интегрирований с использованием (5)2 и учитывая» что по (7)2
里二0些=0
dz dz2dz ^г2
получаем
]而。dzdz]而。dzdz(9)(9)為=貝Г:⑵+ 3⑶]十^"吃"。
]而。
dzdz
]而。
dzdz
(9)
(9)
и еще одно интегрирование по г приводит к искомым представлениям
譽=^ m (z)十 zcp；(Z)+ 屯(z)] + $ 卩「(z, K， (10)
卩01 = Т [仏 ⑵ 一 z叫(z)-加(г)] + H J ^^ ^2 厶 一 "^ F (z, z), (11)
Г (z, 5) ；^。几十翁 0。十 j (誉)％z.(12)
Потенциалы cpx (г), ^ (г) определяются решением линейной краевой,задачи для второго приближения. Осуществление этой программы достаточно хорошо разработано; требующееся вычисление кропотливо.
В исходном приближении и в эффектах второго порядка напряжения определяются по (5.38), (5.39) выражениями
(0x1 + <1x0° = 2 —-= ф；(Z)+ ф； (г),
貝⑪一。Х，十2%*)。= 2静 =_2卩黎=誦由)十5(2),(13)
7亿d尸=2黑=d (z)十科а +罂7+ /dz dz\dzdz dzdz
(14)
q(0*2 — о#1 + 2zT*乜2)1 = 2 r = zcp； (?) 4-屮；⑶ + 卩一击」'
По (5.38) или (5.30) получаем также
р=р。" =2吗+科)十22("十乂)吗阴.(15)
\ dzdz 产,[dzdz “ 丁 / dz 及」''
состоянии в может бытьсостоянии в может бытьИзвестно, что краевая задача о напряженном области при задании нагружения по ее границе
состоянии в может быть
состоянии в может быть
сведена к функциональному уравнению
5 [(000 + О炉)孔—(о* — Ох】—2lTxi%2)/1]—
二二[①⑶(16丿
Здесь Ф (г)—屮‘(z), 4r (z)=屮'(г) — «вторые» потенциалы Мусхе- лишвили, /г —внешняя нормаль к контуру области, f — распределенная статически эквивалентно нулю поверхностная сила. Представив входящие в (16) величины суммами вида (3) величин, отнесенных к линейной задаче и к эффекту второго порядка, примем, что решение линейной задачи определено краевым условием
[Фо (г) + Фо (г)] п - [гФо (г) + Wo (г)] n = -f. (17)
Эффекты второго порядка теперь разыскиваются по краевому условию
(0尸+0炉尸九-2(°尢2 - 0/ + 2tT娟炉)1 n - Oj(18)
в котором напряжения о%】и т. д. определены формулами (14). Приходим к функциональному уравнению вида
21 (z) +可⑵]/г -[zR(2)+屮1 ⑵/=aP + ^Q,(19)
в котором Р и Q, согласно (14), определены формулами
@辽)0元 dz dz °@辽)0元 dz dz °淵万。 dz dz淵万。 dz dzР =一卩Р =一卩DoDo+甞。。+2察学+ 2j將部dz)+甞。。+2察学+ 2j將部dz)(20丿(20丿
@辽)0元 dz dz °
@辽)0元 dz dz °
淵万。 dz dz
淵万。 dz dz
Р =一卩
Р =一卩
Do
Do
+甞。。+2察学+ 2j將部dz)
+甞。。+2察学+ 2j將部dz)
(20丿
(20丿
——была использована формула (10).
Система «сил» в правой части (19) должна быть статически эквивалентна нулю. Как уже говорилось в (гл. 6, § 14), достаточным условием обращения в нуль ее главного вектора служит одно из равенств
0戸I及_一0戸I及_一(21)(21)
0戸I及_
一
0戸I及_
一
(21)
(21)
Если оно соблюдено, то будет выполнено и требование равенства нулю главного момента
p一戸=0,(22)
так как Р вещественно по (20).
Проверка критерия (21) громоздка. После подстановок, дифференцирований и упрощений с использованием (5)2 приходим к
условию
aw о 尹瓦 n
которое выполняется по (7)2. Необходимое условие разрешимости краевой задачи (19) соблюдается-
Аффинное преобразование отсчетной конфигурации в несжимаемом упругом теле
Линейное напряженное состояние при одноосном растяжении. Главные значения меры деформации Фингера и ее инварианты равны
u； н e)2, %=廟=0-1, /]=02 + 2"1, /2 =2v + v-2,厶=1 (1) и по (2.8) выражениям главных напряжений о§ придается вид
。2 = % = 一0 + 2 (器L -。患)=0,
j = 一(需。2—誤厂2).⑵
Исключение из них давления р приводит к «закону растяжения» 01 = 01®) и представлению главной силы 友二友®) формулами
6 = 2 [器®-L) 一設(l一吓
友= 2® —厂)(訝+(3)
Из (2) следует, что при лю5ом задании и можно подчинить выбор р условиям а2 = а3 ^= 0; это приводит к заключению, что любому наперед заданному и соответствует единственное значение напряжения
В соответствии с ^(^-критерием (4.12.12)
5-0 5 -03 5、> 0
но Уv— 1 > О при удлинении, Vv~l <0 при укорочении стержня; иначе говоря, при растяжении стержня (at > 0) его Алина увеличивается, при сжатии (аг < 0) уменьшается. Осно- вЬ1ваясь только на Й(^-критерии, нельзя было бы утверждать, 口吗 это «тривиальное» утверждение распространимо на изотроп- ны必 сжимаемый материал.
Простой сдвиг. Осуществление этой деформации (гл. 6, § 4) в сжимаемом материале требует приложения нормальных напряжений по всем граням деформируемого параллелепипеда, в их числе напряжения /33, перпендикулярного плоскости сдвига. В несжимаемом материале простой сдвиг осуществим при отсутствии нагружения этих граней. Действительно, принимая
(4)
получим
и в соответствии с (6.4.7) формулы, определяющие нормальные напряжения в несжимаемом материале, приобретают вид
——не требуется нормального нагружения в плоскостях а^ = const. Из этих же формул и эмпирических критериев (5.11.3), приемлемых для резин, следует, что напряжение Z22 < 0 (сжатие) на сдвигающихся (по оси ОХ) плоскостях = const; Z11 > 0 (растяжение) на'плоскостях й1 const.
Аналогично можно убедиться в осуществимости простого сдвига, когда не нагружены нормальными к ним силами грани а1 = const или 載=const.
/] = *十呜+®卫JT/] = *十呜+®卫JT2 = 0”！寸十若唸2 = 0”！寸十若唸Плоское напряженное состояние. Плоскости, нормальные главному направлению е3 тензора напряжений, не нагружены; тогда
/] = *十呜+®卫JT
/] = *十呜+®卫JT
2 = 0”！寸十若唸
2 = 0”！寸十若唸
Эти формулы подсказывают возможность определения з"〉/?) в последовательности экспериментов, проводимых в плоском напряженном состояниии.
В опытах Ривлина и Сондерса (R. S. Rivlin, D, W. Souiv ders, 1951) над пластинками из сортов рез^шы, не обнаруживавших явлений гистерезиса даже при четырехкратном увеличении линейных размеров (vn 025c 4), :измерению подвергались напряжения при деформациях, когда один из главных инвари-
§ 8] УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА 283 антов сохранялся постоянным, а другой подвергался изменению в достаточно широком диапазоне. Программа испытаний предусматривала значения /п /2 в пределах 5 ^ /х ^ 11, 5 /2 ^ 30. Было обнаружено, что напряжения мало чувствительны к изменению /] и значительно зависят от /2; наблюдения проводились при деформациях растяжения, сжатия, чистого сдвига, чистого сдвига с наложенным растяжением. Основываясь на этих опытах, Ривлин и Сондерс рекомендовали корректировать потенциал Муни (4.1) выражением (4.6).
Универсальные деформации несжимаемого материала
В основополагающих работах Ривлина 1948——54 гг. были найдены строгие «универсальные», иначе говоря, не требующие специализации ^задания удельной потенциальной энергии э (/п /2) решения^некоторых задач механики несжимаемой сплошной среды.
В гл. 4 § 15 приводилось доказательство Шилда теоремы Эриксена (1955) о несуществовании универсальных решений уравнений равновесия нелинейной теории для сжимаемой упругой среды при преобразованиях отсчетной конфигурации в актуальную, отличных от аффинного. Несколько ранее (1954) в тщательном и трудном исследовании Эриксена было обнаружено четыре класса (нелинейных) преобразований, допускающих универсальные строгие решения для несжимаемого упругого тела (они включают, конечно, рассмотренные Ривлиным задачи). Еще один класс преобразований был обнаружен позже Шилдом и Клингбейлом (W. W. KHngbeil, R・ Т. Shield, 1966丿.По-види- мому, этим исчерпаны возможности построения универсальных решений уравнений равновесия несжимаемого упругого тела.
Речь идет здесь о решениях уравнений равновесия несжимаемого упругого тела при отсутствии массовых сил
V • Т = —Vp + V・ 丁石=
= Tp + 2(F・V許— F-・V品+ /V・F—蟲 V・FT)= 0, (1) сохраняющих вид при любом задании э (/п /2) и, конечно, удовлетворяющих условиям существования вектора места R (71, q?, 70) в актуальной конфигурации — соблюдено требование обращения в нуль тензора Риччи для меры деформации Фингера (или Аль- манзи). Поверхностные силы, осуществляющие найденное равновесное состояние, определяются по этому состоянию, когда оно получено. Нет речи о решении наперед заданной краевой задачи.
В более подробной записи уравнения (1) имеют вид
=0.=0.⑵⑵
=0.
=0.
⑵
⑵
С целью исключить из рассмотрения неизвестный скаляр р составляется уравнение
(3)(3)VxV-T-0.
(3)
(3)
При этом, конечно, VxVp = 0, а вычисление остальных слагаемых, представляющих произведения скаляра на вектор, основывается на правиле
Vx (pa — (V(p) х a +(pVxa.
Например,
Vx空V/「F+ / Vx(V/「F) =
dlla/1dll \ 1 /
=(謂 W +為+爲 VX(V/「F).
Уравнение (3) представляется теперь выражением
器 V/| x (V/「F)—器 V/, x ” • F-1) +
+^[v/2x(v/1-f)+ v/1x(v/2.f)-v/1x(v/1.f-1)]+
+ 為[V/2 X (V/2-F)-V/2x(V/1.F-1)-V/1x (V/2 ■ F-1)] +
+ S"(Vx(V/「F) + V/|XV・F) —
一言(Vx(V/2-F-1)+V/2xV.F-1) +
4 ~ /2 (Vx(V/2.F) + V/2xV.F-Vx(V/1.F-1)-V/1xV-F-1) +
+ -^VxV.F-^-VxV-F-1-0. (4)
Для универсальных решений, не зависящих, как говорится выше, от формы задания удельной потенциальной энергии от инвариантов, это соотношение будет выполнено лишь при равенстве нулю всех коэффициентов при производных а; приходим к
системе уравнений
V/1x(V/1-F) = O, V/2x(V/2 ■₽-!) = О,(5)
V/2X V (/] • F) + V/iX (V/2 • F) — V/ix(V/1.F-1) = O,
V/x X (V/2 ■ F -1) + V/2 X V ■ F -1 - V/2 x (V/2 • F) = 0,〈丿
Vx(V/1-F) + V/1xVF = O, Vx^/.-F-^ + V^xV-F-^O, (7)
Vx(V/2.F) + V/2xV.F-Vx(V/1.F-1)-V/^V-F-^O, (8)
VxV・F = O, VxV-F-J = O.(9)
К ним присоединяется условие несжимаемости
A(F)=1
и шесть условий равенства нулю компонент тензора Риччи (III.10.21), выражающихся через компоненты g$色,g^^ искомых тензоров F и F-1 = g. Существенным условием является также выполнение неравенств, характеризующих положительность тензора F — его собственных значений а—и^, связанных равенством
Сильно переопределенной системе 9x3+1 + 6 = 34 уравнений удовлетворяет постоянный в объеме тела тензор F, определяющий, как следовало ожидать, линейное преобразование отсчетной конфигурации в актуальную. Но оказывается, что этим не исчерпывается множество всех преобразований — тензоров F, удовлетворяющих всем перечисленным требованиям.
Перечень универсальных решений
Исследование систем уравнений § 8 и вывод из них представлений искомого тензора F отнесено к § 21 этой главы. Здесь перечисляются результаты этого исследования.
Используются обозначения а】，а?, а^ и х\ х2, х3 декартовых координат в отсчетной и актуальной конфигурациях; г, ср, г и А, Ф, Z —в цилиндрических системах этих конфигураций; г, 0, 入 н R €), А— в сферических. Правила дифференцирования единичных векторов цилиндрической (е「， еф, к и е^, е①，к) и сферической (ег, ее, е九 и е^, е0, ел) систем координат приведены в Ш, § 7-формулы (111.7.18)-(111.7.20).
Материальными координатами служат координаты (декартовы, Цилиндрические» сферические) в отсчетной конфигурации. Семейства Эриксена представляют задания координат места в актуальной конфигурации, как функций материальных координат, иначе говоря — преобразования R _ R (г), удовлетворяющие усло- о"
вню несжимаемости detVR= 1.
Изгибание плиты в цилиндрическую панель. Семейством преобразований
R = ]/ 2厶* Ф = Ba2 + Cd\ Z Da2 + Е*
⑴⑴R = е^ У 24 al + k (Da? + E或)
⑴
⑴
A(BE-CD)^=L актуального состоянияA(BE-CD)^=L актуального состояния⑵ представляются⑵ представляютсяплоской плите (说 &出＜徜 + 九，—b总炉 &仇 一/w废w/) сопоставляетсЯ цилиндрическая панель. Постоянные связаны условием несжимаемости
A(BE-CD)^=L актуального состояния
A(BE-CD)^=L актуального состояния
⑵ представляются
⑵ представляются
Векторные базисы формулами
凡一苏一R%，
R __ °R — Г)决穴 I № 一函2 一 代 da2 -tR __ °R — Г)决穴 I № 一函2 一 代 da2 -t0Z0Zk=Rk=R改出RD0⑴ да2改出RD0⑴ да2k£) — Rb ① В + k£),k£) — Rb ① В + k£),
R __ °R — Г)决穴 I № 一函2 一 代 da2 -t
R __ °R — Г)决穴 I № 一函2 一 代 da2 -t
0Z
0Z
k=R
k=R
改出RD0⑴ да2
改出RD0⑴ да2
k£) — Rb ① В + k£),
k£) — Rb ① В + k£),
R3 = Re① C + kf;
忆=与抬，R2=4(*g — kC),
R』4 (T&d十kB)・
Выражения градиентов деформации и мер деформации Фингера и Альманзи приводятся к виду
ол
VR = /К = 4 脑灭 + R (Bi? + Ci3) еФ+ (Di2 十 £i3) k, R 4.(4)
V『=玄 ©Mi + 灭 e①(“2 —少3)+ ^k (—Ci24-Bi3),
F = VRt . VR =备 e^e^ 十 g (牙十 G еФеФ 十(D2 十 £2) kk 十
+ R (BZ) + EC) (e①k + ke①)，(5)
D2力2
g = F=Vr • V『t =畑 e^ + 备(尸 + D2) еФеФ +
+ A2 (C2 + 炉)kk—备(BD + AC) (e①k +ke①).(6)
Компоненты этих тензоров, значит и их инварианты, зависят от одной лишь координаты R актуальной конфигурации (от координаты а】 отсчетной конфигурации). Это — общее свойство универсальных решений. Оно предопределяет простоту уравнений статики, их решение сводится лишь к разысканию^ функции р, после чего выражения компонент тензора напряжений составляются но уравнению состояния.
Инварианты /〔(F), /?(F)=/i(g) и дивергенции V- F, V-g равны
力2
D2⑺
1A^^^^ + D^ + A^ (С2 + 力),
y.F = 一 [^ + R2(82 + C2)*R,v.g=[祭一^(? +02)卜P(8)
Конечно, э (7П /2) — функция только от R* Это позволяет записать уравнение статики в виде
yp = 2V・T「2V.卜詩 F —宗 Ff =yp = 2V・T「2V.卜詩 F —宗 Ff =A2 d дэ R2 d дэ \ 十炉派济一炉派济jA2 d дэ R2 d дэ \ 十炉派济一炉派济j
yp = 2V・T「2V.卜詩 F —宗 Ff =
yp = 2V・T「2V.卜詩 F —宗 Ff =
A2 d дэ R2 d дэ \ 十炉派济一炉派济j
A2 d дэ R2 d дэ \ 十炉派济一炉派济j
Складывая его с равенством
у3 = %（齐需+显含）=
=2｛翕[—^ + R（B2 + g]+設修一薪尸 + D 叫 eR，
приходим к соотношению
V(p十3)=2ё研
Этим определено с точностью до адаптивной постоянной р
I С / 若2 力 R2 дэ、p=历+ 2 （芽斫-帀証J一热
Выражение тензора напряжений Т записывается по уравнению состояния
Т=—рЕ + 2Т=—рЕ + 2F 一也F 一也(9)(9)
Т=—рЕ + 2
Т=—рЕ + 2
F 一也
F 一也
(9)
(9)
По (5) и (6) приходим к представлениям его компонент
0R = 3 -0■①=3 -氏 + R爲=^ RGr,
tz①=2 (BD + EC) (/ R +"^ £),工及①=0, tzr =。・
Решение «универсально» — представлено в единой записи через задание удельной потенциальной энергии.
Остается выяснить, каким распределением поверхностных сил реализуется это напряженное состояние. На «основных» цилиндрических поверхностях панели R=Ro = ]/24風，R=Ri = J/24o； допускается лишь равномерное распределение нормальных сил
[з(/1 (R。)，厶(Ro))-Po]eR=%eR, [з (厶(RJ,厶(®))— 厶卜口二卜？
Этим на постоянные в решении (I) налагается условие
3(/1(凡)，厶(凡))一3 亿(&), /?(&)) = %—"
и определяется р0. Поверхностные силы, которые должны быть распределены по остающимся поверхностям панели —в них преобразуются прямоугольные границы плиты а2= ±Ь,仪^二丄八 зависят лишь от R. Они (эти силы) определяются самим решением, а задания главного вектора их и главного момента на каждой из этих поверхностей приводят к системе уравнений для тех же постоянных 4,…，£
Разгибание цилиндрической панели. Семейством преобразований
R =4 *г"1 + (Rp + Сг) i2 + (Dtp + Ez) is
卜=@工吟少，＜p = arctg^)(II)
определяется разгибание цилиндрической панели
——屮()&屮&屮0，——2&z&/ в плоскую плиту. Условие несжимаемости сохраняет вид (2).
Повторяется с некоторым изменением последовательность вычислений п. 1, Векторные базисы актуальной конфигурации и градиенты деформации равны
Ri = 4rin R2 H Bi2 + Di3, % = Ci?十 E%,
Ri=^h, R2=4(Eiz — Ci3),R^=4(-Di2 + Bi3),
VR = NR,二 А©』+ 乎(Big + Di?) + k (Ci2 + Eis)，
Vr = R$ = ^ i玲十 4 (Ei? — Cijrey + 4 (-Oi2 + 居)k,
так что
F = 24%НЗ+ (言力 +О)i2i2+(^。卄 尸)i3i3 +
+ (2^1 ^ + ^^ (12>з+>з'2)> g =嘉 i3 + (2Ax^E^+ A^} i2i2 + (2Ax^ + 肥中)i3i3 +
+ (一24户EC - A^BD) (i2i3 + i3i2),
/2 (F) = 2^f + 2Д%1 (£2 + С2) + Д2 (D2 + B2),(12)
V-F = 24ix> V-g = -2±ri1.
Далее получаем
и по уравнению состояния находим
= 一 Pq,
o2 = —p0 + 2-^-^—2Ax1 + ^iB2 + C2'j +
g = f+ 2 券(-24炉券+ ^9 + 户)+
+ 2煮(备一240炉一£中)，(13)
03 = 2 專3。十 EC)十 2 (2Ax^EC + A^BD).
На поверхности плиты х1 = const допускается равномерное распределение давления о〔二р0. Постоянные Л, ..., Е определяются заданием сил и моментов на ее боковых поверхностях. U』3. Преобразование цилиндрической панели. Панель ограничена соосными цилиндрическими поверхностями. Преобразование задается соотношениями
^2 = 4尸 + 5(D = C4p+Qz, Z = E^^-Fz,R = Rea + Zk (14)
при условии несжимаемости
4(" — QE)= L(15)
1° А. И. Лурье
Вычисление дает следующие представления тензоров F, g, их инвариантов и дивергенций:
F^ Л2^ е^ед+ 々（^； + D）ефеф +ЯJ кк +
+ R （炉"+ °'丿（е①к +k&D）,
g Н 备e内a+备（尸尸+尸）eФеФн л2 （c2 +产D）кк 一
—（Q尸产+ЕС） （е中к + кеф）,
Л （F） = Л23 + +C2 + 个Q2+ 尸，
八（F） = %+芸产+亲E^ + 42c2 +尸4叨2,R，； + gkR，
v.gT」4^十磊一亲（m十（16）
Давление р, определяемое ураЕненпем〕 статики, оказывается равным
p = рО + 2（4-炉立]—頁/泾）+
一患[第。一吋乐_4审»（⑺
Компоненты тензора напряжений определяются формулами
oz = OR — 2 [^ （序祭一—产 у^^^с^АЮ^ Tz8 = 2 [<• R （筈+0尸）+ ^；;备（。"2 + EG] •
3工есз так*з на анутреннз牙 R 二 R。 н наружной R = & цилиндрических ноззрхносгях получгно равномерное распределение повэрхносгных нормальных сил.
Постоянную 8 в (14) можно выразить через внутреныип и наружный радиусы r0, j отсчетной конфигурации
В .-R^Arl 二 R：—乃，Rl-Rl-A(rl^rl). (19)
Для полого цилиндра по условию однозначности перемещений следует принять
。1, Е -0.(20)
Уравнению неразрывности (15) теперь придается вид
AF - 1.(21)
4. Радиально-симметричное преобразование полой сферы. Оно задается соотношениями
R*r£尸十人(4 -6, А —九 (е-±1).(22)
В этом преобразовании
戸用一一F戸用一一FRе=FRе=F-р-р証dd7?d丽g戶一 - L - 」2証dd7?d丽g戶一 - L - 」22 -R 2 -R ++ 八炉里г42 -R 2 -R ++ 八炉里г4(F(FR71R71--一一--一一-R 2-R 2-2，一R+-2，一R+
戸用一一
F
戸用一一
F
Rе
=
F
Rе
=
F
-р
-р
証dd7?d丽g戶一 - L - 」2
証dd7?d丽g戶一 - L - 」2
2 -R 2 -R ++ 八炉里г4
2 -R 2 -R ++ 八炉里г4
(F
(F
R71
R71
--一一
--一一
-R 2
-R 2
-2，一R+
-2，一R+
Давление р и компоненты тензора напряжении равны
,о / г4 дэP=%十2 (声仄,о / г4 дэP=%十2 (声仄RR«。«。X上广 飞0一X上广 飞0一厂6 —R6LR4k厂6 —R6LR4k（电丄夕（电丄夕、、。八十八0/J、、。八十八0/JdR 页，dR 页，(23)(23)dR页，dR页，(24)(24)
,о / г4 дэ
P=%十2 (声仄
,о / г4 дэ
P=%十2 (声仄
R
R
«。
«。
X上广 飞0一
X上广 飞0一
厂6 —R6
LR4k
厂6 —R6
LR4k
（电丄夕
（电丄夕
、、。八十八0/J
、、。八十八0/J
dR 页，
dR 页，
(23)
(23)
dR
页，
dR
页，
(24)
(24)
Равномерно распределенные по внутренней (R - RJ и наружной (R = R〕) поверхностям нормальные к ним силы представляются выражениями
fг г , . fG d3\dR
小二一代，3 九丁 4 )^ + ^^；-^-
Постоянную А мсжно определить формулой
4 个一 £疋=出一由之
■ 5. Преобразование цилиндрической панели (Шилд, Клинг- бейль, 1966) в цилиндрическую панель другой кривизны 1э*
задается выражениями■
R = Аг, Ф В In г+ Сср, Z = Qz, R = ReR + kZ; A2CD- 1.（26）
Здесь
R「— А （ек + 5е①）：R2 丁 7?Сеф, R;J =Qk;
R'=y‘ R』矗（ез —灰自，R」3 О
VR = Aer （抬 + 灰①）十 ЛСефСф + ^кк,
Vr = ^ е；?ег + ^- （e①—灰玄）e（p + ^
и представления мер деформации приводятся к виду
F — А2 [е^е^■ |~（й2 + С?） e<t）e<t>-|- В （е^еф + ©水自]+ D2kk,
g =击 ^照卩（1 + |^j + / e<i©D — В （е^е① + ©①％） ] + ^ • ^^
Инварианты и физические компоненты этих тензоров постоянны
/】（F）「肥（1 +序十 С2） + /Р,/ Jg）=忐（歹 + g + 点，
но, конечно, сами тензоры F и F-1 — не постоянные тензоры. Постоянна удельная потенциальная энергия, значит — коэффициенты определяющего уравнения. Дивергенции V- F, V-g равны
V-F^g[（l-S2~C2） ей + 2йеФ], V-g = -^V-F
и определяемый уравнением статики градиент давления р представляется выражением
VP一 （匿誤 + 忐器）W "」g ей + 25еФ] =
др , 1 дрF'r + r 用 е<>
Получаем
Р = 2 （肥晶+山期[（l—炉 —С»嗤+ 2Ж）]+р°,
Or= 一Р。十2 [肥券一卷 0十「）/]'
。6 = 一Р + 2[42（5_е2）誤一卷打，
。2 = _Р+ 2 （02券_^設j ,“8"（42 券誥）.
（28）
В отличие от преобразований 1——4 реализация преобразований (26) требует распределения на поверхностях R = R(j, R = R】 нормальных сил, зависящих от Ф, и постоянных касательных сил.
В исследовании Эриксена не рассматривались тензоры F с постоянными инвариантами. ■
Замечание. «Произволы» в решениях 1——4 соответствуют входящим в пих постоянным; поэтому ограничено число краевых задач, доступных рассмотрению с помощью этих решений. Допускается выполнение требования отсутствия нагружения на «основных поверхностях» или наличия на них только равномерно распределенных нормальных напряжений. На остальных границах приходится довольствоваться интегральным выполнением краевых условий («в смысле Сен-Венана»).
Значение этих решений состоит не только в их «универсальности», иначе говоря, в представлениях общих для всех изотропных несжимаемых материалов и поэтому пригодных для любого материала, если известна зависимость удельной потенциальной энергии его от инвариантов меры деформации. Они подкупают простотой, наглядностью и неожиданностью результатов, заставляют отказаться от некоторых привычных представлений линейной теории, сделать ненужными построения необъяснимых этой теорией явлений, оставаясь в ее рамках.
Решения рассматриваемых ниже задач, как говорилось выше, впервые даны в основополагающих работах Ривлина; значение выдающегося исследования Эриксена скорее «отрицательно» —■ показана бесперспективность поиска новых «универсальных» решений, не включенных в перечень 1——4, дополненный решением 5.
В последующих параграфах рассмотрены применения решений перечня 1—4 к частным задачам.
Кручение, растяжение, изменение диаметра круглого цилиндра
В формулах преобразования (9.14) принимается
8 = 0, С = 1, Е г 0; AF ~ 1;
R^VAr. ①=中+02, Z=Fz.(1)
Гк^тоянная F определяет изменение длины цилиндра (丄=尸/); 丿 Aq = R。—— радиус цилиндра в актуальной, а ——в отсчетной конфигурации; через а= D/F обозначается угол кручения на еди- нмцу длины (La^Dl).
При ненагруженной поверхности цилиндра (р0 =^0) формулы (9.17) для компонент напряжения преобразуются к виду
。p = -2必户，證r荻，。8=為Ror,oz^oR-2a FR J7； + ^pj^. Tze =忆痕，
так как в рассматриваемом случае
ЛdRЛdR= 2Ra叩篇尸+詣）= 2Ra叩篇尸+詣）
Л
dR
Л
dR
= 2Ra叩篇尸+詣）
= 2Ra叩篇尸+詣）
Постоянные а и F определяются по заданию крутящего момента mz и продольной силы Q
mz = 2n, R“dR=^,鳥 R%R00
2л а2л а必3(R°T RsdR ,о必3(R°T RsdR ,о(3)(3)
2л а
2л а
必3(R°T RsdR ,о
必3(R°T RsdR ,о
(3)
(3)
Q =2n§ OzRdRL2n^[3(R°) — 3(0)]_ О
00(4)
0
0
Здесь двойной интеграл был преобразован в одинарный; через 3(凡)，з(。)обозначены значения 3(几 /2) на поверхности и на оси цилиндра.
Если длина цилиндра остается неизменной, то 尸：二1 и
Q = —2m川RЗ(訝+2粉荻2П叫大普+2設)dr. (5) Оо
Цилиндр в соответствии с эмпирическим критерием (5.11.3) сжат.
При отсутствии продольной силы (торцы цилиндра свободны)
'2」[з (R。) — з (0)] — £-2；^ f 鳥 dR =
о
=2屮t ["抬Rd…N 篇再用R"R, (6) Оо
откуда следует, что 尸一1 имеет порядок сс2. Учитывая величины лишь этого порядка, имеем, сославшись на (3.3),
2 勺4 爲+ ；/)RdR=3(尸—1)儲 + 設)％ =
L0'」F=1
=3(尸一1)4«2
—нуликом указывается на замену /】,/2 их значениями /】= =厶=3 в отсчетной конфигурации. С этой степенью точности по (6)
⑺⑺
⑺
⑺
Это соотношение соответствует наблюденному Пойтингом эффекту изменения длины проволоки при кручении, необъяснимому линейной теорией ——в формулу (7) входит не учитываемая этой теорией величина.
戸—1 с*金乃 （а。）？ 户 С\+2С2/尸戸—1 с*金乃 （а。）？ 户 С\+2С2/尸Для материала Муни формулы (4.1), (3), (4) при свободных торцах приводят к соотношениям
戸—1 с*金乃 （а。）？ 户 С\+2С2/尸
戸—1 с*金乃 （а。）？ 户 С\+2С2/尸
加z = 2/戸(& +/) a,
Задача Ляме для полого цилиндра
Применяется то же решение (9.14), в нем теперь
С=1, 0 = 0, Е = 0, 8 = 4 产+ в, ф =(р> z =尸 2； 4 尸=1.
⑴
Постоянная В выражается через радиусы (r0, rj и (R。, R】)в отсчетной и актуальной конфигурациях цилиндра (г0 —внутренний, гх —наружный радиус;片=启(1+3), 6 > 0)
В = R2 - Ar2 = RI- Arl = RI- Art必一必= 4g<*) = 4鹏.(2)
При А > 0 R?〉R。и /?! —наружный, /?0 —внутренний радиусы в актуальной конфигурации: рассматриваемый в § 12 случай 4<0 представляет задачу о «вывернутом наизнанку цилиндре».
|По (9.17) и (1) касательное напряжение Tz① отсутствует, нормальные напряжения равны
Здесь
厶(F) = /2系+ ^ + а『/?(F) =悪+糸十4
и имея в виду, что RdR = Ar dr, получаем
戸 R2、( RA А^\_АВ 2 / г2
dl2 _ д _2^Л da В 2 / л2 R2 \ / .2 дэ , дэ \
Это позволяет представить gr также в виде
dR f г2 R' \ (八需 8з дз \总广 2 曲/力
°R = _2)耳(f一3^)(4 讯十 57；)_P。=_方)Г 丽 dR 一 Р",
(4)
причем 卩0 =——ctr (RJ——давление на внутренней поверхности цилиндра. Его значение на наружной поверхности обозначается Pi = — Gr(R3 так что
Qr(心一0r(R) = —^\ 产 ^dR =
ЛМЛМ4啜+矣）・4啜+矣）・(5)(5)
ЛМ
ЛМ
4啜+矣）・
4啜+矣）・
(5)
(5)
Продольная сила определяется выражением
Q — 2л J R()zdR =
=2逾卜m办+2 —4f)僚詣)rdr],
преобразуемым по (4) и (5) после замены Gr его выражением и замены двойного интеграла одинарным к виду
Q = 2 л ЛQ = 2 л Л4■[小a (凡)一Г®(RJ] +言,^rMr +
Q = 2 л Л
Q = 2 л Л
+ 2*L一不養)篇+ ^訝)，"}.(6)
формула (5) после замены R2 его выражением по (2) переписывается еще в виде
0R(凡)-0；?(R)=2累，(42券 + 誥)(1 + в^аг2)$ ■(7)
Уравнениями (6) и (7) определяются неизвестные постоянные
А, В.
При неподвижных торцах, когда цилиндр помещен между двумя твердыми гладкими плитами,尸= 4=1 и уравнению (7) придается вид
Or(R。)-<М&)=可(1 +$"/],厶僞，
口 = 2(誥+(8)
причем 卩(3, 3) =fx — модуль сдвига в отсчетной конфигурации. При свободных торцах Q — 0.
Цилиндр, вывернутый наизнанку
Принимается, что в этом состоянии отсутствуют нормальные напряжения на поверхностях цилиндра (о^ (R。) = Or (Ri)二 0), отсутствует и продольная сила (Q = 0). Обозначив ——4=0〉。, по (11.5) имеем
С dR f G \ &2 дэ . дэ\
Условие Q —0 после замены da/dr в (11.6) по (11.3) приводится к виду
严信-釣（鳴+严信-釣（鳴+dR耳=dR耳=
严信-釣（鳴+
严信-釣（鳴+
dR
耳=
dR
耳=
⑵(3)⑵(3)卓0+力dR= 16 處卓0+力dR= 16 處
⑵
(3)
⑵
(3)
卓0+力dR= 16 處
卓0+力dR= 16 處
奇/(尸一优焉爲制R械
После введения переменной интегрирования
Имеем
万 介=戸dR 一声 勿
R d R 一 1 尸 2 卩 dW
Уравнению (1) придается вид
i小齐粉(…虐" (4)
Здесь 芻二 R"。，修二 Ri"i и по (И .2)
心+昵П心+口外，焉+ 0 = (1十3)(后+份，
尤:=(1+6)后十园，(5)
причем 1+3 = ^储，6 > 0, так что 鹿〉(1+3)珞 尤〉赤 Уравнение (2) при этих обозначениях приобретает вид
С伍2包亠匹)些=三("丄&包]匹 (6)
Задача приведена к определению трех неизвестных %± 后，|3 из системы уравнений (4), (5), (6). Исследовать эту систему, не специализируя задания э (/1т /?)， вряд ли возможно. Остановимся на случае потенциала Муни (4.1). Тогда, отбросив в (4) постоянный множитель, после интегрирования придем к уравнению
4-1п4=4-1п4,М乌)"(乌)•⑺
%о%0 修％1\ Хо /\ Х1 /
Определенная при положительных 九 функция f (九)=А —— In 入, оставаясь оложительной, монотонно убывает (от 8 до 1) при 0《入《1,а при 1《九《8 монотонно возрастает (от 1 до 8). Поэтому каждому значению 九尸8/用 < 1 уравнение (7) сопоставляет единственное значение %=§/%；〉1.
Для неогукова материала (4,3) условие (6) приводит к уравнению
(1 +4)(! +4) = 2(1+р-3).(8)
Уравнениями (7), (8) совместно с (5) определяются неизвестные В， %о> X? —наружный и внутренний радиусы вывернутого цилиндра.
(&俨十&),(&俨十&),Ог+с2)Ог+с2),、2(О①)R 二 R。~■ К(ОФ)К二％ =у,、2(О①)R 二 R。~■ К(ОФ)К二％ =уОстановимся еще на формулах для напряжения о•① при R = R。и R = R八 Or = 0 на этих поверхностях и по (9.18), (11.4)
(&俨十&),
(&俨十&),
Ог+с2)
Ог+с2)
,、2
(О①)R 二 R。~■ К
(ОФ)К二％ =у
,、2
(О①)R 二 R。~■ К
(ОФ)К二％ =у
(9)
для материала Муни. Как следовало ожидать, напряжения о①——растягивающие на наружной и сжимающие на внутренней поверхности.
Задача Ляме для полого шара
Преобразование отсчетной конфигурации в актуальную определяется формулой (9.22). По (9.25)
3
妳一8 = (1+6)(胃一唸1+6 =号，6>0,(1)
Г о
при r0> rj — внутренний и наружный радиусы сферы в отсчетной конфигурации. В задаче Ляме е=1, %, % —внутреннее и наружное давления. Здесь
个一弋一党〉0,&〉&(2)
и в актуальной конфигурации Rj — наружный, 7?0 —внутренний радиусы. При £ = —1
Rl-Rl^rl-rt RYRJ；(3)
—это задача о сфере, вывернутой наизнанку.
Задача Ляме. По (9.24)
〃竺竺
分处RB ]ё厶十戸ё厶)r •
Введя переменную интегрирования
丄一也竺(4)
"，3 自(1—g) -，⑴
приходим к уравнению
%一力="自+ 1)自-% (普+ 中誥)龙， (5)
определяющему совместно с (1) при е=1 неизвестные 唸 轟 Легко проверить, основываясь на выражениях инвариантов
厶=自一%+2f3厶=〃；+ 21%,
что формулу (5) можно записать также в виде
% — 91% — 91曲 d自曲 d自d箕一「d箕一「⑹⑹
% — 91
% — 91
曲 d自
曲 d自
d箕一「
d箕一「
⑹
⑹
«Выворачивание наизнанку». Теперь /?0 — наружный, Rx — внутренний радиус; q0 0, qt 0. Неизвестные х^, х；, связанные соотношением (1) при £ = —— 1, определяются уравнением
ло（北恋一ло（北恋一0.0.⑺⑺
ло
（北恋一
ло
（北恋一
0.
0.
⑺
⑺
Процесс выворачивания можно представить осуществимым с помощью протягивания материала через малое отверстие в стенке, вслед за этим заделываемое.
Изгибание листа в цилиндрическую панель
Приняв в формулах (9.1) С = 0, D = 0 и по (9.2) Е = (45)т, имеем
/?2 = 24仆，0 = 3* Z = ^ = Ea3.(1)
Поверхности панели RQ~]^2Aa^1 Ri =，24砒 не нагружены и по (9.10)
外人(&),厶(凡)) = 3(厶(RJ厶(a))，
/1(凡)=/1(凡)，厶(凡)=厶(%)■(2)
Выражения инвариантов (9.7) приобретают вид
厶=篇+ RW+ (询7,厶=掌+露+ 4咽2(3)
и соотношения (2) уд о в летво р я ются при
屋= ^ = ^[叫(硫+ ^]Т・(4)
Здесь 2а —центральный угол панели (2а — Ф при 02 f Главный вектор напряжений о① определяется выражением
/ЕR*丛
j dZ j ^RGRdR=2lERGR =0.
WE%Q仆
Их главный момент относительно оси панели в соответствии с (2) и (9.10) можно представить выражением
mz = 2El j [R(3_p°) + R2^]dR =
= 22/ -4 Po (^i-^o)+J R~aRdR
IRi&■
= 22/ —^代(必一心)+ Rb J 一\ RadR =LRq Ro■
= 2E/ ^(心一懲)3(/](凡)，/2(&))一，r3次
Заменив здесь R。 R。их значениями и учитывая (4), приходим к выражению момента
mz = 2”硒平而 加(人(凡)，厶(&))一 J 3(л，I^da^ .(5)
Другим его представлением служит равенство
^CJ^^CJ^of - ——一of - ——一
^CJ^
^CJ^
of - ——一
of - ——一
= —2/E Rg"R.(6)
Оно позволяет представить выражение продольной силы в виде [см. (9.10)]
Q = 2tz j RgzdR = —^r tnz
и условие обращения ее в нуль представляется уравнением, определяющим Е2. Получаем
标 д9标 д9da1 (8)da1 (8)3（/]（凡），人（以））一，3（/"/JM
标 д9
标 д9
da1 (8)
da1 (8)
4[
п при вычислении /“ /2 следует выразить через переменную а〔
I 1/00 (a0一卜力)д("]f2
1=一一eГ十(9)
2一]/品g)L T '
Выбор постоянной а： связывается с шириной полосы 2b п центральным углом панели 2a
a =/5=4 [a； (^ + ^)]-1/2,编=^( /1 十募一1). (1°)
По*приведенным формулам по заданию материала, размеров листа й, 2Ь, 2/ и требуемого угла панели определяются напряжения в ней, наружный и внутренний радиусы R” R。н длина 21Е.
Универсальные решения при наличии массовых сил
При потенциальных массовых силах уравнение статики имеет： вид
V*T = Vn, pk - Vn(1)
и его решение представляется суммой частного решения Ел и «общего» решения Т однородного уравнения. Для несжимаемой среды
Т = Е"Те, Vj = —vRv.Tq灰十 2(F 券—g联'
1(2'
и поэтому
T = Em —万)+2〔F 許一g誥).(3)
Первым шагом построения универсальных рептений было исключение р из уравнения статики —см. (7.8.3). Поэтому определяемое
в этих решениях преобразование отсчетной конфигурации в актуальную, иначе говоря, вектор места R, зависящий от материальных координат и некоторых постоянных, не зависит от р. Эти решения поэтому применимы для тензора напряжений (3). Различие возникает на этапе определения поверхностных сил, реализующих рассматриваемое состояние
f — №Т —Nn —N"2N・(F 矣—g受).(4)
В универсальных решениях р, F, g зависят лишь от одной из координат (пусть q】)，а на «основных» поверхностях q1 - const принимают постоянные значения. Поэтому во избежание трудно осуществимых поверхностных сил (которые зависели бы от 八 們 требуется, чтобы потенциал л также зависел бы лишь от q1. Этим существенно ограничивается применимость универсальных решений к задачам, в которых требуется учет массовых сил.
Вращающийся цилиндр. Цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью з вокруг своей оси. В системе осей, связанных с вращающимся цилиндром, уравнению движения придается вид уравнения статики, в которое включены «центробежные силы» с потенциалом
n一一；山2r2.(5)
В универсальном решении (9.14) полагаем 8 = 0, С I, D 0, Е = 0,尸= 4-1. По (9.16)
F-^[E + (/l-3-l)kk],gy4T[E + (43_i)kk],
/「一二 24 + %т, 厶一二 24-1 + Л2,(6)
так что 3(人，/2) э (А) const. По (9.17) и (3)
f湍)，
T = 一^5p炉产十 %)Е十2(4-3-1)/(計十4誥)kk.
Поверхность цилиндра R ：二 R^ (ее радиус в отсчетной конфигурации обозначается /\) свободна от нагружения. Поэтому
Oz = ^4pdG-r2H-2(L—1)4(亳十4^£).⑺
Постоянная Л определяется условием отсутствия продольной силы. Учитывая R 旅=Ar dr, имеем
Q^2nA^ozrdr专 ps%-； (1 — %-з)(許十 4 誥).⑻
Здесь > 0,> 0 в соответствии с эмпирическим крите
рием (5.11.3). Поэтому Л > 1 — цилиндр утолщается и укорачивается.
Вращающийся полый цилиндр. Задача существенно усложняется. Как и в задаче Ляме (§ 11) разыскивается двухпараметрическое решение (11.1). Повторив вычисление §11, приходим к формулам для нормальных напряжений
а
OR=^p(M(g_R2)—^ J 汴称 dR,
。8 =篇 RUR 十 PSW，(9)
так что(1欠【0 на внутренней поверхности цилиндра. В этих формулах
舞=-PS8沙詣,*鳥幫小鑫（川齐詣）
Постоянные Л и В определяются условиями отсутствия нормального напряжения на наружной поверхности цилиндра R = R〕 и продольной силы Q. Приходим к двум уравнениям
^叫RJRA2 j匿(备一若Т)1屮务+ *) , (10)
j。週荻十2 j RdR (k 一吃6)(券+手設)=0.⑴)
После введения переменной интегрирования (12.3) эти уравнения преобразуются к виду
丸炉喲=j("4)(爲十l設)警，
Y2 ； Rd产 这 + 45/1
扌Pd*扌Pd*2 +82 +8
扌Pd*
扌Pd*
2 +8
2 +8
Согласно эмпирическому критерию правая часть уравнения (12) положительна, так что %〉# По (12) отсюда следуют неравенства
x弘1+6)〉襦 + 46, Хо> a, х?〉4
Следует ожидать, что при вращении полого цилиндра, как и сплошного, его диаметры (внутренний и наружный) увеличиваются ,а длина укорачивается, иначе говоря, что 4〉1.
Универсальные решения уравнений движения
Рассматривается уравнение движения несжимаемой упругой среды при отсутствии массовых сил
一Vp + V・T£=pb.(1)
Ему сопоставляется «квазиуравновешенное движение»; оно определяется уравнением равновесия в поле давления р (R, /)
一巾+ат石=0.⑵
В параметры определяемого им вектора места R (ограничиваемся универсальными решениями)方 входит, как фиксированный параметр.
Следствием (1) и (2) является соотношение
V(0 —p)r pb,
которому можно удовлетворить, предположив наличие потенциала ускорений С
b = V&рс = р —р.(3)
Здесь С — однозначная функция координат, существующая согласно теореме Томсона (1.14.16) в движениях с постоянной во времени циркуляцией вектора скорости
，R・dR = const.(4)
г
Квазиуравновешенное движение динамически возможно тогда и только тогда, когда по определяемому в нем вектору места может быть найден однозначный потенциал ускорений — выполнено условие (4). При этом условии тензор напряжений определяется уравнением
Т=рСЕ + Т,(5)
причем Т — общее представление тензора напряжений, соответствующего равновесию в момент t.
О потенциале ускорений. Равенство (4) — необходимое и достаточное условие существования потенциала ускорений. Достаточным является равенство нулю циркуляции скорости, тогда движение безвихревое и потенциальное
Vxv =。， v =х, V・ v = О, V2% 0.
dqs
Здесь % —потенциал скоростей и по нему вычисляется потенциал ускорений С
b = Vg = v =(Rs卷)• = *隸+犬祭=
二噜—Vv・Rs^ = V* —Vv・v = V(第.
Была использована формула (1.10.5). Итак, при существовании потенциала скоростей потенциал ускорений с точностью до аддитивной функции времени представляется выражением
Примеры, а) Аффинное преобразование. В этом случае R = c«) +「A(£), detA^O.
v = с + г• Л (/) ^ с4- (R — с) Л-^Л
и далее, обозначив <о ——сопутствующий тензору Л'1 • Л вектор, имеем (1.11.1)
V х v = V х R・A~1・A 工 RS x R$・(AT. A)切尺R「
=(M x Rn) (A-】• Л)5П = —2(o и достаточным условием существования потенциала С является симметричность тензора Л"1 • Л*
3 = 0: Л-1-Л = (Л-1-Л)т, Л^Л-^Л-ЛЛ (7) Например, при деформации простого сдвига это условие не выполнено
А = Е 十 i2ixs, Ат — Е — LJ^,• А = (Е — i2iiS)• i2iiS — i2iiS, 2(d = %s 声 0.
Необходимое и достаточное условие определяется равенствами b = c + r-A(0 = c + (R-c)A-1-A(/)>AT = A-!-A-AT (8)
и потенциал ускорения представляется выражением 甘= ^R.At.X.R + (2 — c・At，A)・R.
Преобразование полого цилиндра в полый цилиндр, сохраняющее осевой размер. В формулах (11.4)
欠2 =尸十 ％,① г % Z = z, R ел j/"r2 + Л + kz
н, учитывая, что е^ - ефФ 0, имеем
V = ^-е^ =~^ NV In R, ^ = ~ А\п R, ^ ~^ ^^п^ "I'T^-
и по (4)
S.(Ю)
Вместе с тем
4RI-限 Л=2凡А。， Л : 2 (凡儿+此)
и поэтому
V=經。е~, х = 1т?Л1п7?2, S = | (RA 十居 lnR2)+尊此.
(Н)
Преобразование полого цилиндра в полый, когда осевой размер не сохраняется. По (11.1) теперь
R2 = Ar2 + В,R2 = Ar2 + В,①= (p,①= (p,Z в 1-2 .А -А + 一一 IT .A-AZ в 1-2 .А -А + 一一 IT .A-A一才 Zk,一才 Zk,
R2 = Ar2 + В,
R2 = Ar2 + В,
①= (p,
①= (p,
Z в 1-2 .А -А + 一一 IT .A-A
Z в 1-2 .А -А + 一一 IT .A-A
一才 Zk,
一才 Zk,
потенциал ускорений, определяемый по (4), оказывается равным
N\17Л-AN\17Л-A•A -A + + •4 力 一 .в .в я-А 4 - 1 n :8 /|\. ;+ х\|7 - .А в.А -А•A -A + + •4 力 一 .в .в я-А 4 - 1 n :8 /|\. ;+ х\|7 - .А в.А -А
N\17Л-A
N\17Л-A
•A -A + + •4 力 一 .в .в я-А 4 - 1 n :
8 /|\. ;+ х\|7 - .А в
.А -А
•A -A + + •4 力 一 .в .в я-А 4 - 1 n :
8 /|\. ;+ х\|7 - .А в
.А -А
Центрально-симметричное преобразование полой сферы. По (9.22)
r3 =戸+ 40 = 8, а=尢
R = ReR, v = KeR=-^yeR, % = —丽(⑶
И ПО (4)
§ 17. Дифференциальные уравнения Лагранжа для параметров в универсальных решениях
Уравнения (16.2) определяют тензор напряжений через мате- риальные^координаты и входящие в представление вектора места R параметры А, В, С а т. д., далее здесь обозначаемые 卩"，и их первые и вторые производные по времени. Дифференциальные уравнения, их определяющие, диктуются краевыми условиями подобно тому, как получались конечные соотношения между ними в*§§ Ю——15. Но представляется, что проще ведет к цели прием составления этих! уравнений, использующий принцип Гамильтона —Остроградского.
Задание
определяет нетической
вектора места
R = R(qL广产卩a)
представления его вариации, вектора скорости энергии
⑴
и ки-
%dV .
Вспомнив также выражение вариации лагранжиана 正一乱(纟)6心 6。日т 器一羚
⑵
(3)
и следуя (2.24), можно теперь записать выражение принципа Гамильтона в виде
/1
q氏（纟）一/fj>•景/一中•券叫6h=0.
⑷
У
。1
В несжимаемой среде, сославшись на 八=厶卩V=口V=卩呼.崇 =0,
и слагаемое в (4)
(1.10.18), имеемv・粤=0
(5)
Нет нужды включать его в выражение принципа, когда ^ — независимые параметры; отпадает необходимость вводить множитель связи. Выражению (4) придается вид
0101器 d0]ga = 0.器 d0]ga = 0.(6)(6)
01
01
器 d0]ga = 0.
器 d0]ga = 0.
(6)
(6)
Заметим еще, что вектор ускорения и условие существова- нмя потенциала ускорения можно представить выражениями
bb0R0RRR电06 3或RR电06 3或卩"评,卩"评,⑺⑺
b
b
0R
0R
RR
电06 3或
RR
电06 3或
卩"评,
卩"评,
⑺
⑺
Радиальные колебания цилиндрической трубки
Предполагается, что трубка помещена между двумя гладкими плитами, не допускающими осевых перемещений, но не препятствующими радиальным смещениям стенки на торцах.
В обозначениях § 11 при А — 1
8 =个一，2.=必一外=r一况 R = ReR = /^T^eR + kz. (1)
Параметр fi — искомая функция времени; 3〉—— /^ при любом /, в отсчетной конфиг^фации 5=0. 'Вектор скорости и кинетическая энергия трубки равны
% nlpB2In ^ = у л/рВ21п ：；$ .(2)
Потенциальная энергия деформации трубки определяется выражением )
n (8) = 2叫3(/1, /J ， 力，/1 =厶=^ +京十 1 = 3十(产/戸,
(3)
так что П(0) = 0・ Производная ГТ (В) оказывается равной
IT ⑹=加小5, Q^^r｝，日 = 2(券 + 農)，(4)
причем [л (3, 3) = [л — модуль сдвига в отсчетной конфигурации. Очевидно,
П'(0) = 0;
n" (b) < о при 一^<5<0;(5)
ГГ (В) > О, 0<в<оо,
так что положительная функция П (В) монотонно убывает от оо до 0 при отрицательных и монотонно возрастает от 0 до оо при положительных значениях аргумента.
Используемое универсальное решение допускает приложение поверхностных сил давления, распределенных по внутренней и наружной поверхности трубки. В (17.4) теперь
f0九一一方⑴线；
"5У疝(% 一力)
и уравнение движения Лагранжа для «обобщенной координаты» В приводится к виду
炉(京一青)1十
十足新寿口 /J J。-(6)
Его первый интеграл — интеграл энергии, представляется выражением
冗+ П 工 п/§ [% (0 —71 (0] Bdt-\-2h.(7)
о
Постоянная энергии /i = 0, если начальные значения В и В равны нулю. При постоянных q°, q^ н h = G уравнение (7) определяет движение находившейся в покое в отсчетной конфигурации и внезапно нагруженной в момент / = 0 постоянным давлением трубки.
Далее рассматривается пример свободных колебаний(7o=7i = O) весьма тонкой трубки из материала^с потенциалом Муни (4.1)
4=1+6,6«1； R = 2(& + C2).
Вычисление, в котором удерживается лишь первая степень 6, позволяет записать интеграл энергии в виде
1 + X十 V "%1 + X十 V "%2/i, U =弋;2/i, U =弋;88
1 + X十 V "%
1 + X十 V "%
2/i, U =弋;
2/i, U =弋;
8
8
В колебательном движении х заключено между корнями х° и Xj уравнения
2V2 h2V2 h-v42 + 2hx + 2/i 0,%0 = /(1-/1 +
2V2 h
2V2 h
Независящий от начальных условий период колебаний равен
2л р р
T =--=—
V叭I
Соотношения (16.5), (16.10) и формулы § 11 позволяют составить выражения напряжений.
Задача о колебаниях цилиндрической трубки впервые рассматривалась Ноулсом (Knowles, I960); решение воспроизведено и дополнено в книге Трусделла и Ванга (1974). Исходным соотношением в этих работах служило представление напряжения。玄. Его, следуя формулам (16.5), (16.10) и (11.4), можно записать в виде
5 = (в 1П不 十 ^^)+В,卩(人,/'1m^^一仇.(8)
Напряжения or на внутренней и наружной поверхностях трубки г = г^ г = гг обозначались —70, —q*. Уравнение (8) приводит поэтому к соотношению
тРр1п^1-+Р2(^-^)] +
+ 8 )卩(/〔，'а) (§+ 厂2)2 у = 9o — 91 »
повторяющему, конечно, (6). Представляется, что вычисление, использующее уравнение Лагранжа, быстрее привело к цели.
Радиальные колебания полой сферы
Преобразование отсчетной конфигурации в актуальную задается формулами (16.13). С подлежащей определению функцией Л (/) внутренний 凡(%) и наружный R〔(%) радиусы сферы в актуальной конфигурации связаны соотношениями
4 = R3 —『3 =欠^ —疗=R；—空—Г J < л < ОО.(1)
Выражение кинетической энергии имеет вид
Инварианты /1(F), /2 (F) по § 9 определяются формулами
人=佘十2笛厶=手+ 2為. (3)
Далее R н 戸 следует заменить их выражениями
R = G"X，弱=力(4)
и потенциальная энергия деформации представляется выражением
Л (4) = 4п，з (人，/2) г2 dr.
Это ——положительная функция, равная нулю в отсчетной конфигурации 4 = 0; при 4—>—ri и Л —> оо, П (Л) —> оо. Выражение ее производной приводится к виду
1Г(4) = 4п，(舞醬十/岩=Го
= ^/Т (許+ 冬翁)(《")*,(5)
откуда, предположив выполнимость эмпирических критериев (5.11.3), заключаем, что П (Л) монотонно убывает при отрицательных и монотонно возрастает при положительных А, имея единственный равный нулю минимум при 4 = 0.
Уравнение движения представляется выражением
p I?需T屜卷割+ 124 j备(审")(料岑/)=
=30一力)(6)
и, конечно, его можно получить по уравнению аналогичному (18.8), в котором теперь согласно (9.24)
Or = —РЗ + 4/ 卜(厶，72) г2 dr = 6 5 [?о (0 — 91 (^)] Adt-yh,.⑺ QО
а С определено формулой (16.10).
Интеграл энергии приводится здесь к виду
Р矛(* —靑)+ 18 j* з (厶，72) r2 dr = 6 j* 回(/) 一力(/)] Л dt+h.
Задача была рассмотрена Гуо Шонг-Хен и Солецким [7.14], решение воспроизведено в книге Трусделла и Ванга. Исходным
соотношением служило уравнение (19.7). Для сферической обо 〃очкн весьма малой толщины 片=疗(1 + 6), 6«1； сохранив в (8) лищь линейные по 6 слагаемые, имеем
门3
J-一扌= ^(%+l)F，W(/1，/Mdr = *3(/y,/2), % =冬，
Ao "1J「0JJГо
причем
/? = 白+2胃=(1+%)-% + 2(1+%)%,
/2 二"十2金=(1+%)‘/叶2(1+%)-%.
「0АО
Уравнение (8), если ограничиться рассмотрением свободных колебаний, приводится к виду
рф? (1 +尤)~%+ 18з (/?, /?)=当=七=const,
причем —1 < х < оо и отмеченные выше свойства функции П (Л) позволяют утверждать, что при любом £ > 0 уравнение
£ -18外此 /?) =0
имеет два и только два вещественных корня х0 < 0, х2 > 0. Движение представляет колебание в этих границах 尤°《尤&%i с периодом
,广dx
' = ")/Q(1+x)%/e7(此员广 (9)
Например, для неогукова материала
T =冷* j 传(1 +沙/一口+2(1 +%再｝"Qx.(10)
§ 20. «Антиплоская» деформация в несжимаемом материале
Деформацию цилиндрического тела называют «антиплоской», е^ли перемещения его частиц параллельны образующей и не зависят от аксиальной координаты.
Декартовы координаты а$ отсчетной конфигурации служат ее материальными координатами. Предполагается, что антипло- ская деформация осуществлена в предварительно растянутом цилиндре, так что в актуальной конфигурации декартовы
координаты %$ определяются формулами
%1=九一*厶a1, %2 =九-% 炉，л-з =九废 + 〃(a1,。2),(1)
причем 九——постоянная, а а (а\ tz2) — подлежащая определению, дважды непрерывно дифференцируемая в открытой области поперечного сечения цилиндра функция.
о
Градиент места VR, мера деформации G и ее инварианты равны оо
VR^(i1i1 + i2i2)^-，/M i3i3^ + V«i3>.⑵
О О/00 \00
G = VR -VRT - (hh + i2i2)九一】+ 九打3% +九 ~& + i3^ / 十 V〃 Va,
' ■'(3)
о о
人(G)亠2九-1 +抬+ ▼a.▽a,о о
厶(G) —二九т + 2九 + ^tVe • Va,/3 (G) у 1,(4)
а представление Vr имеет вид
Vr-(VR):(5 +u2)九％+讨3九7一ь"也%.(5)
По (2.4), (2.5) тензор напряжений Коши Т и определяемый по нему тензор Пиола Р равны
Т=2 協 F +爲(/jE—F)・F] +"Е,
P = VL・T = 2 [亳+ 券(/[Е —G)]£r—"VL⑹
В три уравнения статики
о
V・P = O(7)
входят две неизвестные функции р и а(* tz2); поэтому «анти- плоская» деформация осуществима не при любом, а только при удовлетворяющем некоторому условию задании удельной потенциальной энергии деформации з(/“ /2). В частности, как будет видно из дальнейшего, она осуществима в материале Муни — Ривлина (4.1). Общий случай рассмотрен Ноулсом (J. К. Knowles, 1976).
Для материала Муни ——Ривлина тензор Пиола (6) по (2) — (5) приобретает вид о оо
p =-九一% (gE + 2c£ V4 V〃)+2 (C\ +九-92)Va i3 +
0
十(一2大-% c2 十九-% p) i, V裁 + (2A& + 4a 一…")i山，(8)
причем здесь
q =九.——2c1——2 (九2 +九-1+Va，Va) C2.(9)
На поверхности цилиндра
/о 0 \о
f = п・Р二一九(gn + 2c2n• V" ▽〃丿十2 £ +^-1C2) n-Vw i3 (10)
и из (9) следует, что р — р (а1, 叫，если поверхностная сила f не зависит от 。叫 При этом условии уравнения статики (7) приводятся к виду о о/о о \
V7 + 2C2V- (Ve Ve丿=0,(11)
о
V2w-0.(12)
Но по (11)
0/0 О \0000 000 0
V・Vi/丿=V2w= Vw-VVw
и уравнениям (11) придается вид
О00 0
Vg + 2c2 V/z-VVw — 0.(13)
Система уравнений (12), (13) совместна, так как
о /о о о \ /оо \ о ооо оо
V хNVa 丿=(V х 乙丿一Nu x V-vvw「
/ 0 0 \ о ооо о
у (V х V"丿，—Va x「о,
о ооо 0
поскольку Vx Vw 0, VW = 0. Итак, VxVg = O, как и требовалось.
Пример. Трубка из несжимаемого материала Муни — Ривлина, ограниченная соосными цилиндрическими поверхностями радиусов 入，々(厶〉％)， помещена между жесткими обоймами. Наружной обойме (ее внутренний радиус равен %) сообщено продольное перемещение с； внутренняя (с наружным радиусом г2) остается неподвижной ——речь идет о резиновой втулке между металлическими цилиндрами.
Продольное смещение частиц материала трубки по (12) является осесимметричной гармонической функцией, принимающей значения с при г = гх и равной нулю при 厂=%• Ее выражение имеет вид
и(г) = с 1п—丿 In — .(14)
，厂2
Отсюда получаем
оос егс его о с
о
о
с ег
с ег
Wa =— (— е「е「+ ефеф)
*7 ~ *7о — °2*7 ~ *7о — °2и по (13) о Vq=2Cz
*7 ~ *7о — °2
*7 ~ *7о — °2
причем 70 — постоянная интегрирования.
Далее ограничимся случаем отсутствия предварительного натяга (Х^ 1). Тогда по (9) и (8)
'о о
р = g + 2 (& 十 2c2)+ 2С^и • V〃，(15)
%Е2十Cz%Е2十CzС2In —Г2丿С2In —Г2丿ез-е1Pез) +ез-е1Pез) ++ 2(& + С2)(е/з-Тзег)+ 2(& + С2)(е/з-Тзег)亠-丄十尸2亠-丄十尸2+ (%+e2+ (%+e2■2('n7；/AHn7；■2('n7；/AHn7；(16)(16)
%Е2十Cz
%Е2十Cz
С2
In —
Г2丿
С2
In —
Г2丿
ез-е1Pез) +
ез-е1Pез) +
+ 2(& + С2)(е/з-Тзег)
+ 2(& + С2)(е/з-Тзег)
亠-丄十
尸2
亠-丄十
尸2
+ (%+e2
+ (%+e2
■2('n7；/AHn7；
■2('n7；/AHn7；
(16)
(16)
Поверхностная сила на ориентированной площадке NdO = = V「T・ndo представима выражениями
fdO= N・TdO = n・Pd。
и на цилиндрических поверхностях трубки (п = 土 е「)равна
「idqd*「idqd*fd0 =士/ —9о + ^2'—/ С ~\2% +
「idqd*
「idqd*
+ 2(a +02)—l丁
厂2
причем i=l, 2 и верхний знак (+) отнесен к наружной, нижний (——)—— к внутренней поверхности.
Главные векторы этих распределений поверхностных сил, отнесенные к единице длины в продольном направлении, определяются теперь выражениями
(j j f dO)|г=г. = ± 4л (Cr + Q -^- i3>(17)
尸2
причем верхним знаком задается прилагаемая к наружной обойме сила, сообщающая смещение с; нижним знаком определяется реакция внутренней обоймы. Здесь и ниже при вычислении учтено, что 2л2л
,емеР=$ 厶①=0.
оо
На торцах n =^ ± i3 трубки dO「r dr dq, так что
m0=±(「2£ +С2)-+
Il
++и продольные силы определяются формулами
+
+
In a
L」
г dr dq>г dr dq>(18)(18)%； —2c2%； —2c2（着一嵐心 Г 2（着一嵐心 Г 2(19)(19)Постоянная qQ определяется условием отсутствия этих сил
г dr dq>
г dr dq>
(18)
(18)
%； —2c2
%； —2c2
（着一嵐心 Г 2
（着一嵐心 Г 2
(19)
(19)
Тензор напряжений Коши представляется теперь выражением
T = 7о (一 e2 + i./M [С2 аe(р - erer) - (23 +02)езез]T = 7о (一 e2 + i./M [С2 аe(р - erer) - (23 +02)езез]小噴）小噴）2 +2 +
T = 7о (一 e2 + i./M [С2 аe(р - erer) - (23 +02)езез]
T = 7о (一 e2 + i./M [С2 аe(р - erer) - (23 +02)езез]
小噴）
小噴）
2 +
2 +
+ 2(3 +02)化鳥 + %子)+ 2(3 +02)化鳥 + %子)Г (2°)
+ 2(3 +02)化鳥 + %子)
+ 2(3 +02)化鳥 + %子)
r In —「2
Задача об «антиплоской» деформации области, ограниченной извне и изнутри двумя гладкими контурами, конформно преобразуемыми в круговое кольцо, сводится аналогичным образом к краевой задаче теории аналитических функций.
§ 21. Построение универсальных решений Эриксена
Структуры тензоров F и F-1 ( удовлетворяющих уравнекиям (8.5)—(8.9).
Уравнения (8.5) позволяют установить соотношения
⑴два⑴дваF-V/i = ^V^i> FT・v/i = t4Tv/i； Ft ・丫/2 = 57¥厶.F-v/^ ^V^2- в которых 4, В ——некоторые скаляры. Подстановка этих выражений в Уравнения (8.6) приводит к одному лишь соотношению
⑴
два
⑴
два
(8—-Л) у/^ X v^a= О(8—-Л) у/^ X v^a= Оилиилиб-%) "'“/к。，б-%) "'“/к。，⑵⑵
(8—-Л) у/^ X v^a= О
(8—-Л) у/^ X v^a= О
или
или
б-%) "'“/к。，
б-%) "'“/к。，
⑵
⑵
⑶⑶(4)(4)
⑶
⑶
(4)
(4)
Если оба инварианта 厶，/2 не постоянны, то 丫厶 # 0, у/2 # 0 и следствием (2) является параллельность векторов у/】, у/?
V^l V^2
1 V/11 ~|V/2|
причем или A * В, или 4=5. Предположив первое, получили бы F-ei = Ле!, F・ei = 8e]
—направлению ег соответствуют два отличных друг от друга собственных числа. Поэтому А~В =cY — собственное значение тензора F; е】一соответствующее ему собственное направление. Как показывает (3), векторы могут быть параллельны (соблюдено условие (4)), но могут и не быть таковыми. В последнем случае q — кратное собственное число (ему соответствуют отличные друг от друга собственные направления 丫/]/| 丫/]| и v^l V^a I)- Теперь, обратившись к представлениям инвариантов
с2-|- сз» 厶 г %「2 +。2的+ RS, /з —■ CjCo^a 二 1， (5)
следует заключить, что с「с?, с, функционально связаны. При параллельных V/ь V^2 — это следует из (3), а при наличии кратного собственного числа — из равенства нулю якобиана
纫с^Л^-cD е；1 = о.
(С], С2， Сз丿
Это позволяет считать /ь /2 функциями одной скалярной величины U)
厶=/1(①)，/2 -/2 (Ф)； V/i = /；V①，V厶=/2Y①(6)
—штрихами обозначены производные по Ф. Корни определяющего уравнения—функции его инвариантов; поэтому с^ (Ф), k— 1, 2, 3, Уравнениям (1) и (3) теперь придается вид
F-уФ —^уФ,F-уФ —^уФ,I V①I (V①.V①)/I V①I (V①.V①)/⑺⑺
F-уФ —^уФ,
F-уФ —^уФ,
I V①I (V①.V①)/
I V①I (V①.V①)/
⑺
⑺
Первое слагаемое в (8.7) поэтому оказывается нулем; действительно,
VX(Wi・F) = vx/；v①・F = vx/；qv①=у (/iCj)XуФЧ- /К]v X V^
=(/缶)'V① Х\7ф-|- /it'iVXV^ 三。
и уравнения (8.7) приводятся к виду
/；V ① XV・F-0,/；V(DXV‘F7： = O,(8)
так что удовлетворяются и уравнения (8.8). Из (8) следует параллельность векторов V①，V • F
V・F=a + v(D,v・F-i=a-iy ①，(9)
Чтобы удовлетворить остающимся уравнениям (8,9), достаточно принять, что а+=а+(①)，仪一=仪一(①)，Действительно, тогда, скажем,
VYV・F = vXa+v①=v^+ (①)/V①「a+‘(Ф) 丫①Ху①=0.
Итак, все условия (8.5)—(8.Р) выполнены.
Представление через Ф дгад собственьых векторов тензоров F и Ff Из этих представлений
F = с^^ + с2е2е2 с3е3е3, F —】=£?[%便厂| С21е2е2-^ Сз1е^з
F = (q — &)白齿 + (& — Q)e2e2сзЕ>F = (q — &)白齿 + (& — Q)e2e2сзЕ>исключается диада е3е3 — Е — eleL — е2е2. Получаем
F = (q — &)白齿 + (& — Q)e2e2сзЕ>
F = (q — &)白齿 + (& — Q)e2e2сзЕ>
е2е2 Е‘(Ю/
причем по (7,7)
По (10) имеем
V・F = a+ (Ф) уФ = УФ-[(С1 —сз) е1е1^-(с2—сз) е2е2Ц-СзЕ] +
十(q — Сз) V*eleld~ (С2 —。3)V * е2е2 = V ①勺+ (% —。3)v*ele14~ (。2 — Q)V*e2e2*
так как V①・”” = ▽(!)по (И), а \?Ф*е2 = 0 по (7).
Для определения неизвестных дивергенций ди ад получили систему двух уравнений
(а ■&) V *®1С1-)- (са — с3) V • ^2^2 = (а+ —Ci) V①，
(% 1 一 鱼 1) V*eiet + (с21— Сз i) V *е2е2 =(仪- —[丁) ) V① с определителем
А = Q — с?) (с?—与)(& —з).
Из нее при отсутствии кратных корней определяющего уравнения находим V ■ 2F1 х 01 叫：1 (ф),V ， e2е2 = V①心(①)，(⑵
где Wi(①)，“2 (①)——рациональные функции q, c2, c:J, с；, a+, a^. При q = ез/з， V金4 =心(①)v6； a = 5胃例 v-e2e2^il：2 (Ф) ^Ф. (13) причем в первом случае отпадает возможность определения Vge?, во втором уд*.
По (7), вспомнив представление (III.3.5) дивер1енции диады векторов, можно представить теперь (12) в виде
[v-ei —(уФ-уФ)'/2^1 (®)]ei-| e「vei = 0.(14)
Но векторы е( и erve( взаимно перпендикулярны, так как по (III.3.2)
(ei • Vex)• ei - er (уех• e() = er v(U•£]) = ()
и соотношение (14) осуществимо лишь при условиях ^-ег^^Ф^Ф)1^ 屮 1 (Ф),力7由=0.(15)
по⑺
(v①.v①)‘筛(V①7® /z (V①.V①)'/
так как у (丫①・丫①)=2丫丫①，丫①.Второе соотношение (15) оказывается эквивалентным равенству
V① “у①=~^ V (va)・vcD)j(vcD・vcD)T(vcD.VvDviD) 丫①，(16)
иначе говоря, векторы v(v(】)，v(D) и V① параллельны
V(V①・v①)XV①=0.(17)
Остается вспомнить предложение теории неявных функций, что необходимыми и достаточными условиями существования функциональной связи 7 (Д, %)=0 между двумя функциями трех переменных 片(q】，q?, ^з)и %(“，尸，^з)яв. /яется обращение в нуль их якобианов по каждой паре переменных
⑦仇，办)一П 纫(九/2)П 纱(fl“)n
В других терминах это обозначает, что градиенты этих функций Vfi，V%— параллельные векторы. Вернувшись к (17), приходим к основному для последующего построения утверждению; величина V①・v①一функция от Ф. Иначе говоря, представление дивергенции диады v*eiei в форме (12) возможно лишь для функций ①(д' 9汽 g*), удовлетворяющих этому утверждению. По (15) приходим к соотношению
V£ =屮(①)屮1 (①)，v①.v(D =中(①).(18}
Второе соотношение (12) переписывается теперь в виде
V • е2е2 = (V* е2) е2 + е2 • 丫出=屮(Ф)小(Ф) q.
Но е2*е] =0,e2-Ve2*e2 = -^-e2V (е2*е2)~0 и поэтому
屮3 = 0 (分 工 C3):(⑼
это равенство отпадает при с2 = с3. Далее окажется необходимым также представление свертки V^r • Vei- Вычисляется дивергенция вектора er v^i, по (15) равного нулю. По (Ш.3.9) имеем
V*(ei* Vei) = V*(Vei*ej) —(V VeT)-ei +Vei* ^е1 = ^*Vei* * Vei = Vei * * Vei= —(V * VeT) -er.
Правая часть этого равенства далее представляется с помощью вышеприведенных соотношений через 巾ункиню Ф; использовав (18), а также (III.6.16), имеем
V7e：=VVq=VS (①)中(6))Н№((1))中"))Г V①，(wel)-el = (1p1cp), ф(Ф).
Этим доказывается соотношение
Vex. -vei = —ср (①)№ (①)屮(①)]'(20)
—существенно, что эта свертка также функция от Ф.
Поверхности Ф = const. Было показано, что вектор нормали n = ei к поверхностям Ф = const характеризуется свойствами (18), (20) — его дивергенция V*п и двукратная свертка его градиента Vn* • Vn постоянны на этих поверхностях.
Требуемые формулы теории поверхностей собраны в (Ш, § 11). П*1 (Ш.11.11) и (III.11.12)
Vn == —Р%#2‘V f 二—唠=—2"'
Vn--Vn =p"p載 一 P"pK =力2畸=K，⑵)
где // — средняя, К —гауссова кривизны поверхности. Итак, на поверхности ф = const постоянны и средняя и гауссова кривизна. Такими поверхностями могут быть лишь сферы, круговые цилиндры, плоскости. Перемещаясь вдозь нормали п, т. е. полагая dn匚二dR, имеем
dn= dR 。 V"= dR,V" 一一 E,
иначе говоря, при таком смещении n = ej——постоянный вектор и поверхностями Ф = const являются концентрические сферы, коаксильные круговые цилиндры, параллельные плоскости. Уравнения семейств этих поверхностей, если через R обозначить вектор места па них. при принятых в § 9 обозначениях задаются выражениями
卜 R = R2r,Rl二Аек + kZ,n• R = const.(22)
Приведенное исследование выясняет структуры мер деформации F ФинГера и Альманзи F~i = g. Собственные числа с月(①)тензора F (с^'—тензор/
Альманзи) принимают постоянные значения на перечисленных поверхностях (21). Собственное направление ег представляет единичный вектор нормали к ним； направление е2 в касательной плоскости при г2 = с3 удовлетворяет условию (19). Конечно, c&QhI； тензоры F и g положительные.
Для разыскиваемых по этим условиям тензоров F (или g) должны выполняться условия интегрируемости —обращения в нуль шести компонент тензора Риччи.
Подлежат рассмотрению случаи
а.q户3户外， F = (q -С3)%e"(频一Q)^ez + QE,e产他禽尸，(23)
%=C2，С2 = Сз 2.доказал, что%=C2，С2 = Сз 2.доказал, что(24)(24)3 = R 产 q,F = (q ■ ~Q)e [Cj. ■ qE ,
%=C2，
С2 = Сз 2.
доказал, что
%=C2，
С2 = Сз 2.
доказал, что
(24)
(24)
G=Q±Q,F = (& —q) зз + сзЕ,
COOT-COOT-Последний случай далее не рассматривается; Эриксен
COOT-
COOT-
ветствует или постоянный тензор F (линейное преобразование), или некоторые тензоры, не удовлетворяющие условиям интегрируемости. Напомним еще, что случай, когда оба инварианта 厶(F), /2 (F) постоянны (Шилд и Клингбейль), был исключен здесь из рассмотрения.
Для трех перечисленных семейств поверхностей векторные базисы Rs, R$ актуальной конфигурации и отличные от нуля компоненты единичного тензора Е в ней определяются формулами:
а) Плоскости: Rs = i§ = R$ (s=l,2,3);
Си = G22 = G33 = Gii = G22 一 G：'3 = 1,(25а)
причем i$ ——единичные векторы осей декартовой системы; ii = ei. р) Цилиндры:
Ri = Ri = eR = *,R2= Re0, R3=R3 = k. R2=%%)；
G11 = G11 = 1,G33 = G'33=1,G22 = R2,G22：rt,(258)
у) Сферы:
Ri = Ri = eR=y, R2 = Re®, R3 = R sin 0ел, R2 = ^-ie0>
R3 =(R sm ®)~i eA;(25y)
G「Gii = l, 622 = *,G33 = /?2sin20,G22 = R~2, G*(Rsin®)T
Векторы e2> ea. Обозначив e$, c§ ——ко- и контравариаитныс компоненты единичного вектора е2 (чтобы избежать обозначений вида 4)» имеем
呪=Rs。'= Rts, Gsi：esek = 05^е^е^ — 1
и поэтому в трех перечисленных случаях можно, учитывая, что е2*ег^ О, 61=出=6, принять
а)е2~е2 =cos ч|\ е3=ел — sin ф;
Р)02 = RcosW, е3 —e3 = sin ip, e2~R^r cos i|:;
у) с? = R cos 屮，G = R sin 0 sin i|), e2 =R~1 cos 屮，e3 — (R sin 0)~l s:n ip
ч представления векторов e2, ез — е.Хез приводятся к виду
(26a)(26B)(26a)(26B)a) e2 = i2 cos 屮十 ％ sin 屮， e3 = —i2 sin 屮 + % cos 屮，
(26a)
(26B)
(26a)
(26B)
P) e2-- R2R cos 2+ R3 sin 屮=R2RT cos 屮 + R3 sin 寸，
& = —R2R sin 屮+ R3 cos 屮=—R2RT sin 屮+ R3 cos y)既=R2R cos 屮+ R3R sin 0 sin 屮=R2R -1 cos 屮+ 个 ^器卜,
3 = —R2R sin 屮+ R：，R sin 0 cos 屮=—RzR-i sin W+R3 隸『g*
” А. И. Лурье
Далее вплоть до п. 10 рассматривается случай простых корней сг ^： с2 ^ с3. Вектор е2 подчинен условию (19), кроме того это—единичный вектор. Поэтому
V-e2 —0,
Ve2-e2 —e2V-e2 = e2X(VXe2) = ел'К5Х(ИтХКА) 丫巾绯=R加威(丫欣”一V比^巾)=(),
Этим дифференциальным соотношениям подчинен выбор 屮 в представлениях (26). Приходим к системам уравнений
a) 少=炉，(?2 =炉，g3 = х3： cos屮嘉+ 5e中需=0,
-sE屮嘉+e。5屮嘉=0，
откуда следует
₽) qi = R,₽) qi = R,生一氈_ 0 放2一3x3 -u，生一氈_ 0 放2一3x3 -u，g2 — ф,g2 — ф,w=屮（"）.w=屮（"）.(27a)(27a)q* = Z： cos 屮q* = Z： cos 屮-sin 屮-sin 屮sm屮誌=0, cos屮諺=0,sm屮誌=0, cos屮諺=0,嘉=a霊=a屮=屮（r）,嘉=a霊=a屮=屮（r）,(27⑴(27⑴
₽) qi = R,
₽) qi = R,
生一氈_ 0 放2一3x3 -u，
生一氈_ 0 放2一3x3 -u，
g2 — ф,
g2 — ф,
w=屮（"）.
w=屮（"）.
(27a)
(27a)
q* = Z： cos 屮
q* = Z： cos 屮
-sin 屮
-sin 屮
sm屮誌=0, cos屮諺=0,
sm屮誌=0, cos屮諺=0,
嘉=a霊=a屮=屮（r）,
嘉=a霊=a屮=屮（r）,
(27⑴
(27⑴
Y)gi = R, g2 = & ^3 — A : cos i|)sin 0Y)gi = R, g2 = & ^3 — A : cos i|)sin 0sin 2 f cos ® + 眾) = 0,sin 2 f cos ® + 眾) = 0,
Y)gi = R, g2 = & ^3 — A : cos i|)sin 0
Y)gi = R, g2 = & ^3 — A : cos i|)sin 0
sin 2 f cos ® + 眾) = 0,
sin 2 f cos ® + 眾) = 0,
—sin 屮 s：n 0 -^ +cos 屮(cos 0—sin 屮 s：n 0 -^ +cos 屮(cos 0=0,=0,sin 0sin 0黒=°， i = - cos黒=°， i = - cos0;0;/屮 eе2屮ала©=0, а@ал/屮 eе2屮ала©=0, а@ал
—sin 屮 s：n 0 -^ +cos 屮(cos 0
—sin 屮 s：n 0 -^ +cos 屮(cos 0
=0,
=0,
sin 0
sin 0
黒=°， i = - cos
黒=°， i = - cos
0;
0;
/屮 eе2屮
ала©=0, а@ал
/屮 eе2屮
ала©=0, а@ал
—эта система не имеет решения. Иначе говоря, условия q W q 卢 q исключают возможность существования ^Универсальных решений для семейства концентрических сфер. Далее поэтому рассматриваются случаи а, р. Тогда 屮 зависит лишь от координаты q1 (# и соответственно R), постоянной на поверхности Ф = const (плоскости, цилиндра).
Мера Альманзи. Ее представление записывается так
g = Q ^^х + с-^зез + с-зезез—^R^R*,g# = r§・r眇
Отсюда находим
毒比=不&・R$R比0 + "&山水叠。e2+嗝&・1<5%g
или подробнее
gll =6 *g「2 = (), gi3 々 о； g・2W —^2 1 (₽2' Кг)2 +禽‘(已3“ R?)2；
g33 =。2 (e2 1 R3)2 H- C3 (已3小3)2；g23 =，2 %2 • R2^2 • R、3 + Сз 63- R2C3' R3,
так что
映）映）g二Igs比 I Jgll(g22gзз —g；3)；a)： g=l， ₽)： g」G・
映）
映）
По (26) приходим к таким представлениям матриц ковариантных компонент меры Альманзи (или, что то же самое, ковариантных компонент Е в отсчетио!!
конфигурации)
gii = c［【а) О Оgii=c/₽) О! Оgii = c［【а) О Оgii=c/₽) О! Ооо
gii = c［【
а) О О
gii=c/
₽) О
! О
gii = c［【
а) О О
gii=c/
₽) О
! О
^г22=С2 1 COS2 1|)+ ^3 1 sin2 4 g-23 —(С2 1 — Сз г) sini|)COS l|)，
g23= (cL—cl') sin 屮 cos i|)g33 = c? sin? ^Ц-сз^1 cos2 屮
(29а)
ОО
g22=R2(C?1COS2 1|)+сз 1 sin2 屮)g23 = R (c『一c「)sinipcosW •
g23=R (cj —c「)sin ip cos 屮 g33=c『s” ip + c^1 cos2 屮 1
(2那)
Элементы этих матриц —функции одного аргумента gi (a): qi = ；q； р)： g【= R), определяемые условиями интегрируемости систем уравнений для координат в отсчетной конфигурации по координатам ее меета в актуальной конфигурации.
Уравнения Риччи. Выражения компонент тензора Риччи (III.10.15), (III.10.21) значительно упрощаются. Два из них /?1223, 7? 2з зх — тождестве иные нули. Требование равенства нулю R2323 Дает условие (штрих —дифференцирование по0
g22gзз — ^23 = 0.
Пользуясь им, остающиеся три условия можно привести к виду
R1212 = 0： gQ—^~g；2S = 0；
Кз1з1 = °： g33 —qg33s = 0;
R123I =0： g23^- g23s = 0,
S =gUg；i +g22g；2 + g33g£+ 2g23g&.
После замены в S элементов g$左 обратной матрицы их значениями, получаем S = (lnglJ+口口 (g22g33 —g銹了 =(lng)\g = gll (g22g33 —g3)，
причем здесь: a) g=l, f) g= R?. Условия интегрируемости приводятся к виду
=0,=0,=0,=0,=0,^22^33—^23 = 0- (30)=0,^22^33—^23 = 0- (30)
=0,
=0,
=0,
=0,
=0,^22^33—^23 = 0- (30)
=0,^22^33—^23 = 0- (30)
Из них находим
a) g22 = 24£2,^зз = 2/1С2,g£ = —2/1CE;(g；ds—g；；) =。，
g2 2^2AE2^-yAW2t g33 = 2 4C2B + /12 8 2,g^_^ACE^ + A2BD) (31a)
—обозначения постоянных интегрирования согласованы с (9.12). По (28)
gii (g2喏зз—g鑑=2%з (ЕВ —CD)2 Bgu= 1
(32a)(32a)н，подчинив постоянные условию (9.2), получаем I
(32a)
(32a)
Остается проверить, что выбор постоянных обеспечивает положительность g. Требуется
gii〉0,£22〉。，g22gзз — g^3〉0*(33竄)
Эти условия выполняются при Л > 0 и неотрицательных %1. Знаки постоянных В, С, D, £, входящих квадратачно и в форме квадрата Е8 ——CD, не определены. Они назначаются так, чтобы эта разность была положительна.
Р) По (30) и Mg=R имеем
g22=%R2 十出，g23 =a3R汩 %833 Ea5R2+。6；a1莪=<4・(310)
Условия положительной определенности g приводятся к виду
g22 =a次2一卜a2〉0,g22g33-gk=g1a6 +a2& - 2a3a4)R 2+电q6-a^ >0。 阳口)
01) В первом варианте знбора коэффициентов а片，согласующемся с (9.6) и с требованием (33а)
> 0.(33®так что фор-(32₽0удовлетворяю-> 0.(33®так что фор-(32₽0удовлетворяю-% =q3=a5= °， q2 =g22 =力2(上2 -卜 D2)〉0,
> 0.(33®
так что фор-
(32₽0
удовлетворяю-
> 0.(33®
так что фор-
(32₽0
удовлетворяю-
% = g23 = -%2 仍D + EC)，46 Mg33 = %2(О+ 炉)
Напомним, что gsk определены в базисе R§; в нем Re^=Rs， мулы (31pi) полностью согласуются с (9,6).
Компонента gu находится по выражению определителя
g = R2 =gll (g22g33—g^3)=gll 川(BE — CD)2 и no (9.2)
R2gi]=声，
02)Сложнее второй вариант назначения коэффициентов 。々， щих неравенству (330) и условию 生拆不馮
ё^A\ае^уf^ (次 2 一;?)],g33=力 mC2十02依2一方)],
g23=—< [力EC + FD(R2 — 〃)]・
Здесь, учитывая условие нормирования (9.16), получаем
g^R^gu^^-BjiFC-EDr^-g^A (К?—" так что
>。① <不).
Исследование не обнаруживает других соотношений, удовлетворяющих условиям положительной знакоопределенности (330).
Вектор места г в отсчетной конфигурации. Векторный базис г§ отсчетной конфигурации разыскивается по известным уже значениям ковариантных компонент 8$々=「尸「左 метричсского тснаора Е этой конфигурации из интегрируемой системы уравнений (1,18.12). Вектор места г определяется вслед за этим квадратурой по (1.18.13). Получающиеся формулы должны, конечно, предста вл ять решения систем уравнений (9.1), (9.11) и (9.14) относительно координат в отсчетной конфигурации, соответствующие случаям а,街，02・
Подлежащая рассмотрению система шести уравнений
肃="回，，爲=
о / о0\/0^ о \
= gllR[s/, l]+「2(g22 岡，2]+g2"sf, 3]丿十「3(g2“s/, 2]+g^ [st, 3]^
коэффициенты которой зависят лишь от одной координаты q1 (а) д】 = * 0)qi = R), в подробной записи приводится к виду
■^^=款"=丁 胃［(g22g33 — g23g23)「2 + (—g22g23+ g23g23)「з］，
J》=^^ = 0 豎［(—g33g23+ g23g23)" + (g33g22 — g23g?з)「/，
呼=一万山疥=冲=一万山7口'^ = -2-gu Г1-(34)
Интегрирование этой системы в каждом из случаев а, р1( 0? сопряжено с преодолением некоторых технических трудностей; оно заняло бы слишком много места и не может быть здесь помещено. Конечно, оно приводит к предвиденным формулам.
Концентрические сферы (решения четвертого класса). Здесь с2 — с3, С］=с? и мера Альманзи представляется выражением
g=(禽 2—&) eg + С3Е =gs/；RSR瓦(35)
В сферической системе
R = R%， R1 = e^ = e1> R2 = Re®, R3= ReA sin 0
и ковариантные компоненты тензора Альманзи по (1.4.10) оказываются равными
g$^= Rs*g*R用= (с1—С3) %•%%• ” + &%•&;
gll = C；2,g22=/R2,g33~C3R2 sin2 0, gl2 = g23=g3「； S
Мера Альманзи — диагональный тензор g=C^RlRl+QR2R2R2 + %R2sin2 ®R2R2.(36)
Функция Сз (R) должна удовлетворять шести условиям равенства нулю компонент тензора Риччи. Его компоненты /?122з» &231, R2331 — тождественные нули. Вычисление компонент R1212，R1313 приводит к одному и тому же дифференциальному уравнению (г —с3/?2)
Его несложно находимый первый интеграл имеет вид
=2%з= OR2.(37)
Условию /?2323 = 0 теперь придается вид
4R4 = zz'2 или 4^2 =с3г/2
и оказалось возможным удовлетворить всем требованиям интегрируемости, приняв в (37) постоянную С = 4. Это уравнение, если ввести новое независимое переменное %=R3, преобразуется к виду
Интегрируя его, получаем
公=(%— <)2 или % (R) = R -2 便3- Д)2/з.(38)
[ГЛ. 7[ГЛ. 7НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
[ГЛ. 7
В предположении, что деформация радиально-симметрична, имеем
Г (R)%,「1 =」(R)匕，「2 =f"，r3 = rexsin9,
так что по (38)
g11 = 1*1.1*1 =ь2 (R)=r)依3 一力厂4厶， g2广г2・г2 =严=(R3 一%)%,且33=「3・「3 =厂2 sin20^(/?3 —Л)а/з5'п2 0, gl2 = g・23 = g3「0.
Из первого соотношения следует, что
L=土（R3一用%,L=土（R3一用%,
L=土（R3一用%,
L=土（R3一用%,
причем удовлетворяются второе и третье (при 0 = ±0) — преобразование отсчетной конфигурации в актуальную задается формулами (9.22). Принятое предположение о радиальной симметричности деформации оправдано тем, что любое решение подлежащей рассмотрению системы уравнений (1.18.12) можег отличаться от найденного лишь жестким перемещением.
Глава 8
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПЕРВОНАЧАЛЬНО НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
Равновесие в варьированном напряженном состоянии
Задача о варьировании напряженного состояния, напомним, рассматривалась в гл. 4, § 5. Как всегда, речь шла об отсчетной V- й актуальной ^-конфигурациях. Напряженное состояние задавалось йлй тензором Пйола Р, йлй тензором напряжений Коши Т. Уравнения статики в объеме й на поверхности тела представлялись соотношениями
о
в и: V-P + pok = O, на о:=,(1)
в 讶：V・T + pk = 0, на О： N・T = f.(2)
Частицам среды, находившимся в равновесии под действием сил, массовых к и поверхностных f, сообщаются в актуальной ^-конфигурации виртуальные перемещения r)w (q* q% q'), n —— малый параметр. Величины в новой 1^/эх-конфйгурацйй снабжаются крестиком ( )х справа сверху, в частности Rx = R + r)w ——вектор места. Виртуальные перемещения, по их определению согласующиеся со связями, должны быть подчинены наперед заданным ограничениям. Например, в несжимаемой среде согласно (1.10.18)
V-w = 0.(3)
На той части поверхности О2 тела, на которой заданы перемещения (6R = 0), требуется
w = 0.(4)
При задании на всей поверхности О тела поверхностных сил f назначение вектора w подчинено условию равенства нулю главного момента сил в ^х-конфигурации, если последняя равновесна. Формулировка этого условия приводится ниже (см. (21)). Наконец, иногда довольствуются рассмотрением полей виртуальных перемещений специального вида.
Величина Ф в %^-конфигурацйй, как условлено выше, в 讶义- конфигурации обозначаемая Фх, определяется по гл. 1, § 10 выражением
(5)(5)①乂 =① + г|СЬ.
(5)
(5)
Включение слагаемого т)Ф обусловлено изменением геометрии Т^-конфйгурацйй, сопровождающимся наложением на поле вектора перемещения u = R ——г из и- в ^-конфигурации поля виртуальных перемещений. Но не исключается возможность внесения в состав Фх величин порядка 1% не связанных с ^-конфигурацией.
Массовая сила к dm в элементарном объеме ^-конфигурации по (5) в Тэх-конфигурации принимается равной
kx dm" = (к + т)к) d/n = к d/n 十 qk dm, kx = k + т)к, (6) так как dmx dm по закону сохранения массы. Например, в поле силы тяжести к 士 ——i3g, к = 0, а в поле центробежных сил (2.1.6) при неизменившейся угловой скорости к =——(ox((oxw). Далее кх определяется выражеьшем (6), но не обязательно к —— конвективная производная к, так как не исключено проявление массовых сил, отсутствовавших в ^-конфигурации.
Аналогично рассматриваются поверхностные силы (fdO)x = fdO + n(fdO)・=N・TdO + n(N・TdO)' =
=f d0+ t)N d0・(T' + TV・w — VwT• T) = fdO + t)N • 0dO
—использовано соотношение (1.10.22) и определение (4.5.8) тензора 0. Приходим к представлению
(f dO)х = f dO + nN • ® dO + 九fх dO(7)
—слагаемым T]fx учитываются поверхностные силы, отсутствовавшие в ^-конфигурации.'
В дальнейшем преимущественно рассматривается «мертвое» нагружение массовыми й поверхностными силами (см. (4.6.8))
.0
k = 0： kx = k; (fdO)^^tdO = fdo, fx = 0, N・® = 0・(8)
Будет рассмотрен й случай поверхностного нагружения силами равномерно распределенного давления f = — pN. По (1.10.19)
(f dO)x = f dO — т)р (N dO)x 二二 f dO — T)pN dO - (EV*w —VwT)
й при fx = 0
N・® = —pN・(EV・w — VwT).(9)
Тензор 0, введенный соотношениями (4.5.9), (4.5.8) j
0 = r + TVw —VwT-T,(10)
связан с конвективной производной тензора Пиола Р формулой Р= l/^VrT.®,®= ]/岩 Srt.D(И)
§11РАВНОВЕСИЕ В ВАРЬИРОВАННОМ СОСТОЯНИЙ§29
й согласно (5)
рх — р 二 p(Srx) —P(Wr) P(VR + r|Vw)-P(VR)- 工 т]Р(V\v).
Поэтому, вспомнив определение производной по тензорному аргументу
Р(VW)Ро • • VwT(12)
VR
и представление (4.1.4) тензора Пиола через удельную потенциальную энергию деформации, получаем
ро =3。о б-Г户门…кi屮打展(13)
VR VRVR% 如OV 心
В этой формуле %m —ковариантные компоненты R в v-базисе, оо
R = r'%, VR = riVp%»,(14)
a Kpmqn — компоненты тензора упругостей Ро , симметричные
VR
по парам индексов (р/л), (qn). Следствием этой симметрии является свойство взаимности
./ о \ о . / о \ о
Р (VwJ * • VW2 = Р (VW?) * • Vwb(15)
Действительно,
./ о \ о (о оо о
Р (VwJ ' * Vw's = Ро ■ • Vwl' -VW2 = KPmqnR 萨、* 豊 2n 二
о оо о . / о \ о
=К^рт Vg%,N 戸吗 =%吗= Р ^VwJ- -Vwi，
Заменив в (15) Р его представлением (11) через 0, получаем также по (1.3.9)
Р (vwj) ■ • VW2 =，/ -2- VrT • 0 (VwJ • * VW2 =
=J/^~ 0 (VwJ* • VwT • VrT 二 |/ ~- 0 (VwJ* • Vw5
и это позволяет распространить свойство взаимности на тензор 0
0 (Vwj)- ■ VW2 = 0 (Vw2)- • Vw；.(16)
По (4.6.1), (4.6.2) уравнения статики в объеме 7/ЭХ-конфигу- раций имеют вид
о ...
V・P + p°k = 0,V-0 + pk-O.(17)
На поверхности 0х по (11) й (1.8.9)
N.0dO= у n-VrT-0do-n.Pdo(18)
й при «мертвых» поверхностных силах по (7)
№® = — fx, n・D = — fx 黑.(19)
В этой записи не исключены силы, отсутствовавшие в ^-конфигураций.
Силовой тензор (2.1.16) в ^х-конфигурации по (6), (7), (8) представляется при «мертвых» массовых й поверхностных силах выражением
Вх = В + т)Ь= ,,, pk (R + r)w)dV + ,, f (R + r)w)dO =
=В十n=В十n,,,p kw dV 十，，fw d。.,,,p kw dV 十，，fw d。.
=В十n
=В十n
,,,p kw dV 十，，fw d。.
,,,p kw dV 十，，fw d。.
Здесь поЗдесь пооо(231), (235)
Здесь по
Здесь по
о
о
= UN.TwdO = §N(V・T)wW + ®RS・T^" =
ОV
—,,,pkwdl/ + ,,,TNw 仅
так что
В = JJjT-VwdV, Вт = JjJ VwT-TdV,
В-Вт = jjj (T-Vw-VwT-T)dV(20)
и в равновесной ^-конфигурации
JJJ (T-Vw-VwT-T)dV = 0.(21)
Отсюда следует, что при задании «мертвых» поверхностных сил по всей поверхности Отела налагаемое поле виртуальных перемещений “w должно удовлетворять этому соотношению.
При «мертвых» силах й нагружении по всей поверхности еще и равномерно распределенным давлением (f =——pN)
B=JJJpkwdV + JJfwdO-pJJ N-(EV-w-Vwr)RdO =
Уоо
=，，，р kwdU +，，N・TwdO — р，，V-(EV-w —VwT) RdO.
V0
Учитывая, что
V・(EV・w —Vw’r) R = (VV-w —V-VwT) R + EV・w —Vw,
VV .w—V-VwT = 0,
，，N・TwdO = JJJ (V-T)wdV+ JJJ T・Vwd匕
приходим к представлению
8 = §，，[" + pE)-Vw —EV-w] dV,
В — BT = ^ ^ [(T* Vw —VwT-T) + p (Vw — VwT)]d7. (厶) у
При только поверхностном давлении Т ^ —рЕ и как следовало ожидать
В-Вт = о(23)
——требование равновесия в Тах-конфигурации не налагает ограничений на задание поля виртуальных перемещений.
§ 2. Потенциальная энергия, определяющее уравнение в ^х-конфигурацииУдельная потенциальная энергия деформации э〈VR (IL4.23) и (1.S2) представляется отрезком ее разложения Маклорена, включающим слагаемые второй степени по п§ 2. Потенциальная энергия, определяющее уравнение в ^х-конфигурацииУдельная потенциальная энергия деформации э〈VR (IL4.23) и (1.S2) представляется отрезком ее разложения Маклорена, включающим слагаемые второй степени по пх^/ вх^/ впряпряо до д
§ 2. Потенциальная энергия, определяющее уравнение в ^х-конфигурации
Удельная потенциальная энергия деформации э〈VR (IL4.23) и (1.S2) представляется отрезком ее разложения Маклорена, включающим слагаемые второй степени по п
§ 2. Потенциальная энергия, определяющее уравнение в ^х-конфигурации
Удельная потенциальная энергия деформации э〈VR (IL4.23) и (1.S2) представляется отрезком ее разложения Маклорена, включающим слагаемые второй степени по п
х^/ в
х^/ в
пря
пря
о д
о д
a(VRX) =з(VR + i]Vw) =а(VR)+ 刀九• • VwT +
VR
0/О \
+ "Г r)2Vwr- ^о 0 • • VwT = a(VR 丿 + г)Р・・ 丫\¥丁 + 彳 *q2VwT- • Р. (1) VRVR
Потенциальная энергия системы в ^-конфигурации при «мертвых» массовых и поверхностных силах, назовем ее здесь 取(R), была определена формулой (4.16.8)
取(R) =，，，adu —，，§ pohRdu —，，卩・Rdo. ⑵ VV01
В 7/эх-конфигурации этому выражению придается вид
F(R + nw)^r (R) +1]% (R) + ^W2 (R).(3)
Здесь по (1)
W± = ,，，Р，・ VwTdu — §§§ Pohwdu — §§ f°・wdo,(4)
F2 = y ^^ VwT- -Зо о • • VwT dv у J JJ VwT • • P о • • VwTdvиVRVR•ьVR
=уИ$р--^т^-4Ш J ^…® ..続血=
TU®..VwTW. (5)
Очевидно, что Wr представляет вариацию потенциальной энергии системы (2), равную согласно принципу стационарности (§ 16) нулю, если ^-конфигурация равновесна
(6)(6)(7)(7)吃=0.
(6)
(6)
(7)
(7)
В другой записи формулам (5) придается вид
r2= JJJ O(Vw)dy, Г2 = JJJ V(Vw)dV. VV
О
Здесь Ф — квадратичная форма переменных Vw, Y —переменных Vw
Ф = -^- Р- • VwT = — VwT- -Зо о • • VwT, Чг = — 0- • VwT, (8)
VRVR
Р и 0 линейно зависят от этих переменных. Поэтому
i> ( Vw + 6Vw) = Р ( Vw) + Р (6Vw),0 (Vw + 6Vw) = 0 (Vw) + 0 (6Vw).
Операции 6V, SV/переставимы при варьировании в Тэх-конфи- гурации. Получаем
§ф = -1б(р. • VwT) =у [р(VW)• • V6wT + Р(V6w) • • VwT],
6Т = у 6 (0 • • VwT) = у [0 (Vw) - -V6wT + 0 (V6w)- • VwT].
По сво访ству взаимности (1.15), (1.16), приняв W]=w, w2 = 6w, получаем отсюда.
. о
§ф^р. .6VwT, §V^ 0(Vw)- -6Vw.(9)
Остается вспомнить определение производной скаляра по тензорному аргументу (II.2.7). Приходим к соотношениям
Р = ф° ,0 = ¥Vw,(Ю)
Vw
п редстав л я ющи м аналог уравнений состояния изотропного упругого материала в задаче о наложении малой деформации на конечную деформацию нелинейно упругого изотропного тела. Впрочем, формулы (10) следуют и из известных свойств квадратичных форм —теоремы Эйлера о производной однородной функции.
Явное выражение квадратичной формы V (Vw) сразу же следует из представления (4.5.8) тензора 0. Учитывая равенство нулю первого инварианта произведения симметричного тензора на кососимметричный, имеем соотношения
е- • VwT = £•・(& + Qt) = £..£=/] (g2),
F*s-F• • VwT = F・e・F…£ = L (F-e F-e) = i± ((F*с)?)
и т. д.; получаем
屮=^ ®. .VwT = J т・・Vw・ VwT + 2 /等{一屮。/1(Ea) +
+ 也厶((F•联)+ 也。言⑻ + %б(F• 2)+ 也J：(F") +
+2储厶⑻乙(F-e)+ 2端/ ⑻ /](曰е) + 23/ (F-8)/] (F2-e)]}.(11)
Величину If7? можно назвать потенциальной энергией в Тэх-кон- фигурации при «мертвых» в ^-конфигурации силах. Напомним, что е в (11) — линейный тензор деформации над вектором w в Rj-базисе
£ = ~^ (Vw + VwT).(12)
В представление W2 может быть включено слагаемое
—，，，pkwd，一 S, fx-wdO,(13)
где k, fx — массовая и поверхностная силы, отсутствовавшие в ^-конфигурации.
В векторном базисе главных направлений с§ тензоров F и Т инварианты /2 (F^^-e) представляются через диагональные компоненты тензора е в этом базисе
з
/i(F"e) = X噌&е$・・％&義=2 嚟Ч(%s = %)・
smhs= 1
Квадратичной форме в квадратных скобках (11) придается вид
223"1<(叫ё)厶呼ё)= S 玄 3"越"僧分% =
NJ?М Г=0 s, /г=1
33
=£ £ &庐
s= 1 А= 1
Имеем 122 Q
a5Ь=%S= 2 W 3"2記靖= 3。。+3底濃+ %頂破+ N=0 Г=0
i +^01 (渡 + 或)+端2 04+或)+ 312 (脸4+暝囁)，(14)
Вспомнив определение-величин
*。=^/з+訴|厶,*。=^/з+訴|厶,% =品+显+ 2厶% =品+显+ 2厶d/曲2d/曲2!八/3+ /期!八/3+ /期3(11 Н 厶3(11 Н 厶①2»[ J 『「@2зТЦдТ^ lll^dTjr3y①2»[ J 『「@2зТЦдТ^ lll^dTjr3y/з款,/з款,Q _ _ / '俨S 卩。2 一1зд!^13 *Q _ _ / '俨S 卩。2 一1зд!^13 *
*。=^/з+訴|厶,
*。=^/з+訴|厶,
% =品+显+ 2厶
% =品+显+ 2厶
d/曲2
d/曲2
!八/3
+ /期
!八/3
+ /期
3(11 Н 厶
3(11 Н 厶
①2»[ J 『「@2з
ТЦдТ^ lll^dTjr3y
①2»[ J 『「@2з
ТЦдТ^ lll^dTjr3y
/з
款,
/з
款,
Q _ _ / '俨S 卩。2 一1зд!^13 *
Q _ _ / '俨S 卩。2 一1зд!^13 *
получаем
叫=/撩+應礁器+渡瑰係+麻［（厶一喲+（小-喲］+
+ ^仏一喲"1-哨+热2 ［2仏一喲+告（厶-叫+ 十厘;_十获丿十部_莢够L （
Продолжая преобразование, введем в рассмотрение производные з по переменным и；
亲=加（「啕需+2部
д дэ _ /а况？ dvl (呢)2д дэ _ /а况？ dvl (呢)2Они явно зависят от инвариантов и от и? для t^s. Поэтому
д дэ _ /а况？ dvl (呢)2
д дэ _ /а况？ dvl (呢)2
爲+ 2(/i)嬴+ (厶f嗡+
+ 2Ui中贏+ 2?為+⑶器,
так что
7 дэ . д дэ . 4 d办&$=/3矶 + %^ + 4醐.
При вычислении смешанных вторых производных следует учесть, что
и поэтому
a产喇万砒 (s#M(17)
быть теперь представленабыть теперь представленаКвадратичная форма (11) может в виде
быть теперь представлена
быть теперь представлена
(18)(18)V = j {т・・Vw・VwT —4 /-f [/3 患/乖2)+器乙((F.g)e)] + + 4 /方鼻/ & 庐 s& J，
(18)
(18)
(17).(17).причем ask определяются по формулам (14), (15) или (16), Еще одно их представление — следствие соотношения
(17).
(17).
о$ = 2о$ = 2Из него получаемИз него получаем結^居+ GY）盡結^居+ GY）盡(19)(20)(19)(20)
о$ = 2
о$ = 2
Из него получаем
Из него получаем
結^居+ GY）盡
結^居+ GY）盡
(19)
(20)
(19)
(20)
Тождественность представлений (19) легко проверяется. В (20) принято обозначение
人(*，唸 喲=歹方砖(而十人而一2應而)・⑵)
В натуральной конфигурации 口(1, 1, 1)=卩 по (4,7.12).
Принципы стационарности в Тах-конфигурации
Представим в соответствии с (2.7), (2.13) вторую вариацию потенциальной энергии функционалом над w вида
吃=§§，屮§§§ркЕ^ —，§ 卜• wdO.(1)
Его вариация (варьируется w) по (2.9) определяется выражением
5吃=§，，0- ■6VwTdlz —，§, pk• 6wdy— j，fx，5wd0
и no (III.3.10) преобразуется к видуи no (III.3.10) преобразуется к виду
и no (III.3.10) преобразуется к виду
и no (III.3.10) преобразуется к виду
—§ \ f х * 5w dO = —，，，С * ® 十 pk) ■ 6w dV +
十 JJ (N-0-fx)-6wdO 4- J$ N・®・ 6wd0.(2)
На части поверхности 02 в Т^-конфигурации задавалось перемещение w и на 02 по (1.4) в Тэх-конфигурации 6w0. По (1.17) приходим к принципу стационарности потенциальной энергии W2 в Тах-конфигурации
5% - 0.(3)
Конечно, верно обратное —в (2) заключены уравнения (1.17) в 7 и на 0х и требование равенства w его значению (1.4) на 03.
Однородная краевая задача для системы линейных дифференциальных уравнений (1.17) может иметь нетривиальные (отличные от нуля) решения для w при некоторых значениях параметров нагружения в ^-конфигурации, входящих в представление 0. Равновесие в Т^-конфигурации в этом случае называется нейтральным, а параметры нагружения критическими (или бифуркационными). Сказанное здесь связывается с задачей устойчивости равновесия; разъяснению ее содержания уделено место в §§ 10—25 этой главы.
о
В системах уравнений (2.10), линейных относительно Vw, Vw, квадратичные формы (D и 屮 представляют производящие о .
функции преобразований Vw 〜Р, Vw 0.
. о
Обратные преобразования > Vw, 0 > Vw осуществляются квадратичными формами от Р и 0
①X (Р)二二 Р- • VwT (Р) — Ф ( V (w (Р)),⑷
Тх(0) -0--VwT (O)-V(Vw(O)).
В них Vw (Р), Vw (0) — решения систем линейных уравнений (2.10). По свойству преобразования Лежандра они представимы в виде
о .
Vw(P) = (6)x)D,Vw(®) = (4f х)®・(5)
Следствием этих соотношений является принцип стационарности дополнительной работы — равенство нулю вариации функционала
吃х = В$ 屮x^W-Ww/xdO(6)
VO2
для всех напряженных состояний, удовлетвориющих уравнениям (1.17) в объеме и на части поверхности 0п на которой заданы силы. Для этих состояний
в V: V- 60^ 0; на О/ N ■ 60 - 6f х; на &; 6fx N-60^ 0.(7)
Действительно, по (4) и (2.10)
3吟х W(5®…VwT(®) + ®…6VwT—0- ■ 6VwT)dV—,\w・ &xdO =
= §"['，(5® • w) — (V■ 60) • w] dV— j ^ w - 6fx dO
V。2
=—U\ (V・ 5®)・ wdU + \ g(N • 5® — 5fx)・ wdO+ , ,N ・ 5®・ wdO=0,
V02O|
как следует из определений (7) статически возможных состояний.
Малая деформация гидростатического напряженного состояния
Напряженное состояние в ^-конфигурации создается равномерно распределенным по всей поверхности тела давлением р, так что
k = 0, f = —〃N.(1)
Уравнениям статики в объеме и на поверхности в этой конфигурации
V* Т = 0,№Т = —pN
удовлетворяет шаровой тензор напряжений
Т = —〃Е.(2)
Мера деформации Фингера F — также шаровой тензор с инвариантами
F = u?E, /i(F)』3* 厶(F)=3*,，3(F)=u6
и уравнение состояния (4.3.13) приводится к виду
-Р =2L他十2卫2+也04)= 2厂1 (計+ 202/十小忘)=
=2。一居+。啜十*稿十。2齣](3)
или в другой записи
(4)
Здесь “(1) = “ модуль сдвига в отсчетной неискаженной конфигурации. По 毋/-критерию в форме (5.13.11) R (и) > 0 для сильно эллиптического материала.
Потенциальная энергия в Т^-конфиг^фации представляется по (4.16.14) выражением
取(R) =J“ G + P /I")曲=Jg 3厶+" “,報=^3dv+pV.
Ее представлению в ^х-конфигурации по (2.3), (2.7) и (1.12.6) придается вид
Г (R + nw) = r (R) + T]^1 + Па^2^ 取(R) + 4Г (R + nw) = r (R) + T]^1 + Па^2^ 取(R) + 4T ■ ■VwTd7 +T ■ ■VwTd7 +V • w d/ + ^ 瞰,£§,FdU 十"§/『[(V • w)2—Vw …Vw]dU ]. (5)V • w d/ + ^ 瞰,£§,FdU 十"§/『[(V • w)2—Vw …Vw]dU ]. (5)
Г (R + nw) = r (R) + T]^1 + Па^2^ 取(R) + 4
Г (R + nw) = r (R) + T]^1 + Па^2^ 取(R) + 4
T ■ ■VwTd7 +
T ■ ■VwTd7 +
V • w d/ + ^ 瞰,£§,FdU 十"§/『[(V • w)2—Vw …Vw]dU ]. (5)
V • w d/ + ^ 瞰,£§,FdU 十"§/『[(V • w)2—Vw …Vw]dU ]. (5)
При составлении по (2.11) выражения 屮 используются формулы4(F，g)=u% ⑻，A(F2.g)=u% (明 厶(户，£2) = */](£2),[一屮/睇)+ M (产■吩]=一。4彼十0嗡)人(82)==万03历+"(叫人修)，
3。。=。"言十产^，31=^十^十6桟3。。=。"言十产^，31=^十^十6桟出8出8d/i dl2d/i dl2十%场,十%场,斗_°2 匕=瀛'斗_°2 匕=瀛'济П 3济П 3/з/зd/Ed/E+ Зи&+ Зи&，犷3 л № d/2d厶，V°2 "一3陪.dll，犷3 л № d/2d厶，V°2 "一3陪.dlld/M'd/M'Получаем屮 -=—^ pVw- ■ VwT + [ц (и) + 川厶(炉)+ 2иПолучаем屮 -=—^ pVw- ■ VwT + [ц (и) + 川厶(炉)+ 2и+ 4噜+ d/2+ 4噜+ d/2+ *W%4u2」dh+ *W%4u2」dh@2j@2j0/1%0/1%W為一W為一@2 J@2 Jdl^dl}dl^dl}+*з訂/眼).(6)+*з訂/眼).(6)
3。。=。"言十产^，31=^十^十6桟
3。。=。"言十产^，31=^十^十6桟
出8
出8
d/i dl2
d/i dl2
十%场,
十%场,
斗_°2 匕=瀛'
斗_°2 匕=瀛'
济П 3
济П 3
/з
/з
d/E
d/E
+ Зи&
+ Зи&
，犷3 л № d/2d厶，V°2 "
一3陪.dll
，犷3 л № d/2d厶，V°2 "
一3陪.dll
d/M'
d/M'
Получаем
屮 -=—^ pVw- ■ VwT + [ц (и) + 川厶(炉)+ 2и
Получаем
屮 -=—^ pVw- ■ VwT + [ц (и) + 川厶(炉)+ 2и
+ 4噜+ d/2
+ 4噜+ d/2
+ *W%4u2
」dh
+ *W%4u2
」dh
@2j
@2j
0/1%
0/1%
W為一
W為一
@2 J
@2 J
dl^dl}
dl^dl}
+*з訂/眼).(6)
+*з訂/眼).(6)
Рассматривая удельную потенциальную энергию деформации»
как функцию и?
з(/[,厶，/3) =3(3o* 3d, и6)^э(и2),
имеем
9「色+ 404x+08*4-402 2%唄 _方.，+ 204口I 依2)2E厂4 M十^十十1。 0厶。/3十以3。/」+
и это позволяет заменить (6) выражением
v = — ypVw- -VwT + [tx ®)+ 川 /1 (合)十
+ ^(爲+ 3瑞十?啜)]/岂明⑶
Учитывая также соотношения
—у pVw- -VwT + y p (V-w)2—-i-pVw- -Vw = y pll(8)—
—У Vw • (Vw+Vw'r) = у pll(8)一 pVw • • £ = ^ p/；⑻一p/i(82),
(9)(9)можно придать теперь выражению второй вариации потенциальной энергии вид
(9)
(9)
屮=口(?)人(叨+^卜+笳爲+呉(誅+?啜)| /*).
Величина V приобретает значение удельной потенциальной энергии в Тэх-конфигурации (относимой к единице объема ^-конфигурации). Сравнение с известным выражением удельной потенциальной энергии деформации линейного упругого тела
4 vi⑻+м(吟
делает естественным теперь ввести в рассмотрение ^приведенный коэффициент Ляме» 入(и), наряду с выше определенным “(и)
ПолучаемПолучаем丸爲十"哦)=%~4 口®)+3(為•(10)丸爲十"哦)=%~4 口®)+3(為•(10)
Получаем
Получаем
丸爲十"哦)=%~4 口®)+3(為•
(10)
丸爲十"哦)=%~4 口®)+3(為•
(10)
⑴)⑴)屮=J % ®) /；⑻ +口 (у)厶(е2).
⑴)
⑴)
«Приведенный модуль объемного сжатия» представляется формулой
0(0)=入9)+ ^口9)=扌p + ^0^^.(12)
Введя в рассмотрение переменную х^УI3 = v3, равную отношению объемов при гидростатическом сжатии и в натуральной отсчетной конфигурации, имеем по (3)
(£ 曲 2 у дэ d/] дэ d/纟.。彳 d/з —
=2L 居+ 2,喘+小釣=一〃
Поэтому d254 у 个曰 1 da — 4 и d25. 1
而=3彳(而》一^石=3k(加2)2十京。
Выражение k ®) приведено к виду
⑥⑺=曰・(13)
Представлению удельной потенциальной энергии линейно упругой среды
^仏+ 2") 外(6) — 2叫(e) = 1砧⑻+ 2" (}”⑻一厶⑻)=
=^々/式£)- 2tx/2(dev8)
соответствует в гидростатически сжатой среде по (И) выражение 屮=^0®)雇⑻—2口 (0) /2 (dev 8).(14)
Но /2 (dev 8)< 0 по (1.9.23) или (1.13.3) и V > 0 во всяком случае для и, удовлетворяющих естественному условию
⑥(。)=噂 >0，嘉〉0，(15)
выражающему, что темп роста а увеличивается вместе с ростом деформации.
Форма 屮 по (8), (10), (И) приводится к виду
▽=一万 PVw一一Vwr + "i(82)-攵 〃；(8)+2 А®) 6⑻ +"/1(喲
и по (2.10)
0 = 4fVw = ^9) А(8)Е +2“ ⑺ &—р (EV-w — VwT).(16)
Здесь были использованы формулы
Zj (e2)Vw = 2е-= Vw +VwT, ”(£)vw 二二 EL (e), (Vw- ■ VwT)vw = 2Vw.
Уравнения статики в объеме и на поверхности в "Х-кон^и- гурации (1.17) и (1.9)
V-0-O,N-0- —pN-(EV-w —Vwr)
приводятся к виду
V -[X (и)厶(е) Е + 2卩(и) е — 〃 (EV ■ w 一 VwT)] (X + [i) VV-w 十 piV2w,
с .(17)
N-0= N • jE/i(8)+ 2肥)一pN ・(EV・w—VwT) — —pN (EV-w—VwT).
(18)
Учтено, что V-(EV-w — VwT) = 0; приходим к уравнениям равновесия линейной теории упругости в перемещениях, в которых 入,卩 заменены приведенными модулями X,卩,а вектор перемещения и заменен на w
(X + ^i) VV-w + 卩v2w = o,N-(2EV-w+ 2吃)=0.
'Массовые и поверхностные силы отсутствуют, и по теореме Кирхгоффа о единственности состояния равновесия в линейной теории уравнения (17) не имеют решений для w, отличающихся от жесткого перемещения тела, при условиях
欠+ "!■卩=/〉0,卩〉0,
согласующихся со сказанным выше. При этих условиях нейтральные равновесия в гидростатически сжатой среде не существуют.
Наложение малой деформации на однородное напряженное состояние
В аффинном преобразовании отсчетной неискаженной и-кон- фигурации в актуальную 疥 по (4.15.1), (4.15.2)
R =「A, F 二 А「・ А, Т = 2 (det А)-1 (ф0Е + фхЛт-Л + ф2 (Лт-Л)2)
(1)
® = Т・ Vw+4® = Т・ Vw+4и коэффициенты линейного преобразования над вектором w в формуле (4.4.8) постоянны,
® = Т・ Vw+4
® = Т・ Vw+4
—丸е (w) + 屯F • е (w) • F +
2 2г
⑵⑵+ЕЕ8n卄吓n…8 (w).
⑵
⑵
Г=o^ = o一
Ограничимся далее рассмотрением одноосного растяжении стержня гл. 6, § 2. Ось стержня совмещается с осью OZ, и выражению меры Фингера и ее квадрата придается вид
F 二(ij + i2i2)心矿 + i3i3y2 = Ec^U 十 ^ (1 — tz2) ij,
F2 二 Еа%4 + и4(1—а4"]з・(3)
Главные напряжения ап а2 равны нулю,
ipo+ccVipi+aV^ =2и 快計+ (1 +а?)訪十02a2関=°,⑷
а напряжение а3 представляется выражением
% = 2и (鳥券+ 2 ^ + и2a嚼)，(5)
представимым по (4) еще в двух видах'
。产学产(I +矿必精=-嚏(1 -硝係+ a吁.⑹
По (2) тензор 0 оказывается равным
® 二皿。3嘉一^卜居+ 0喘"訥)+
+ 誅(1—a?) (1 — a2) i3i3e33 +«2 ^ (i3i5 + isi3) e53 +
+ a^u’F2 [a&V • w + (1 — d) %,j + a^UE [a2V. w + (1 —壮)％/ 丄
+ 3oFV• w + 储2*E [a4V• w + (1 — a&) e33] + -&20F2V■ w +
+ 3i2*F [cz4V-w+ (1 —a4) e33] + 021z?2F2 [cz2V-w + (1 — a?) e33]l •⑺
Основываясь на ^З^-критерии (5,13.11), имеем по (6) a「1 при с?катин (а3 < 0) и a < 1 при растяжении (а3 > 0).
§61§61НАЛОЖЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ К.РУЧЕНИЯНАЛОЖЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ К.РУЧЕНИЯ343343
§61
§61
НАЛОЖЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ К.РУЧЕНИЯ
НАЛОЖЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ К.РУЧЕНИЯ
343
343
Наложение деформации кручения на одноосное напряженное состояние
Вектор перемещения w задается его проекциями
侬 1 = —、yz,- угх, 吗-二 丫屮(％, у)(1)
на главные центральные оси инерции поперечного сечения призматического стержня в отсчетной ^-конфигурации. Эти оси сохраняют свои направления в Т^-конфигурации, так как преобразование в нее ^-конфигурации осуществляется преобразованием подобия
% = аи* у 二次废(2)
(а1, а2 —координаты в ”，芻 у —в ^-конфигурации точки поперечного сечения.) Площадь поперечного сечения, полярный момент инерции и жесткость при кручении в Т^-конфигурации выражаются через эти величины в отсчетной конфигурации по формулам
Smc^zASo，1р = а生v"}С 二二 a%4co.(3)
Имеют место соотношения
,，х d。= 0,，，//dO = 0,ху АО — 0,(4)
ООО
выражающие, что OX, OY — главные центральные оси.
Только компоненты е23, е31 линейного тензора деформации над w отличны от нуля и равны
嗡e^=i(^~y) •(5)
В формулах § 5
Л (е) — 0»%3 =。， Е = 02〔3 + 】3】2)%3 + 0з1 + i/з) %1⑹
и после вычисления по (5.7)
8=Y矶(一h什也)一4。(齐田啜)[(i3i1+i1i.3)e3l + (i2i3 + i3i2K] и по (5.6)
® = 7%{з(Т/Ж2Х)+&[(5 + М)(^Т)+
+ (hh+ kk) (1^ + % )] } *⑺
Уравнения равновесия в объеме и на боковой поверхности стержня
V-0 = O, N.0 = (^1i1+^2i2).0 = O
сводятся к известным уравнениям линейной теории кручения Сен-Венана
屮屮=。，寫*—%М・(8)
Вектор напряжения в поперечном сечении определяется выражением
f = i3・® = ¥0з{(—hg + i/)+ 廿◎ [i?爲十 к)十 i| (黑一у) I } (9)
и нетрудно проверить, что главный вектор этих сил равен нулю. Действительно, например, по (8)
=夕无務一РМ+хМ由=。
и по (4), (9), как требуется,
\，fdO = 0.(10)
Главный момент напряжений равен ，，(i1x+<2t/ + <3Z)XfrfO =
Второе слагаемое по (10) отпадает, а сославшись на (3) и (6.13.9), получаем
他=w35。4(^0+/\).(И)
Крутящий момент может оказаться равным нулю при а > 1, когда в ^-конфигурации согласно (5.6) стержень сжат. Тогда по (1 1)
3 T •(12)
1 р
Известно, что С°《/；, причем равенство имеет место только для круглого поперечного сечения и концентрического кольца. Поэтому неравенство
。<营=1一^<1(⑶
позволяет определять геометрические характеристики стержня с поперечным сечением отличным от круга (или кольца), когда при надлежащем задании напряжения сжатия |сг31 одноосное напряженное состояние нейтрально ——не исключается деформация скручивания при отсутствии крутящего момента на торце стержня.
Критическое (бифуркационное) значение сжимающей силы определяется по (5.6) и (3)
(2Кaa畋=25。0佇一1)停+ аu/),(14)
причем и и а определяются по (12) и (5.4). Последнее условие отпадает, если материал несжимаем, и заменяется условием
-
]/ /3 工炉№ — 1,№ ==1q
и критическая сжимающая сила представляется выражением
п_ 2SQ) « — /о—С。п_ 2SQ) « — /о—С。(15)(15)
п_ 2SQ) « — /о—С。
п_ 2SQ) « — /о—С。
(15)
(15)
В несжимаемой среде
/1 = 02+2厂1,八二厂2+24 э(/n /2)-э(у),* = 2(1-L)係。+ 謨)
и это позволяет представить Q формулой
（16）（16）Q=s° 善
（16）
（16）
Вектор перемещения из 讶-в (7/эх-конфигурацию в рассмотренной задаче был наперед задан формулами (1). Поэтому нельзя отвергать существования других нейтральных равновесий (изгиб- ных форм, например) при меньшем, чем определяемое формулой (14), значении сжимающей силы.
Плоские волны в однородно напряженной упругой среде
Плоская волна в направлении, задаваемом вектором N, определяется вектором перемещения
w (0 -二 w0 (/) exp /N • R, w(j (f) = woeZw^.(1)
Здесь 々——волновое число, з ——частота, с = s/々——скорость распространения волны. Уравнение движения частиц первоначально напряженной неограниченной упругой среды записывается в форме (1.17), причем отсутствовавшая в ^-конфигурации мае-
совая сила в Тэх-конфигурации трактуется, как 《сила инерции» (этой терминологии, конечно, можно и избежать)
рк = — pw (/)= — pw0 (/) exp /N • R = pw2 w (/).(2)
Уравнение движения приобретает вид
V- 0 + p(t)2w (/)二 0.(3)
В представлении (5.2) тензора 0 градиент w заменяется его выражением
Vw 二 R^Wq (/) exp i^N • R / 誥 N • R — /R” (/) N ■ R5 t^Nw (/) (4)
——набла-оператор заменен вектором i^N. Поэтому
8 у t^ (Nw +wN), F^-e^ у ik [F"・ Nw + F"，wN],/i(FN・g)二/N・FN・w
и т. д. Получаем
® = /{「Nw + 2 J得 J—^Po (Nw + wN) +ip2F-(Nw +wN)- F +
22
(5)(5)+ 2，，^rFrN-FA，-N
(5)
(5)
r=o ^ = 0
и далее
V.0 -= —Jn-T-NE +2 j/-J —k(E + NN) + MN・F・NF +
+ N-FF-N) + 2 S 虫 »A-rN-FA"Fr-N ) w. ^€=0 Г=о. I
Заменив здесь T его выражением (4.3.4), придем к представлению
V・® = —4 依]/ 管[^(SN・F.N+必NF・N)E +
+ ^iMN・F・NF + N・FF・N) +(6。。一^恥)NN+6“N・FF・N +
+ »22N-F2F2-N + {}01 (NF・N + F• NN) + й02 (N-F2N + NF2-N) +
+ %(N・FF2・N + N・F2F・N)]・w (6)
в виде произведения
v・® = —4勿]/告Q・w(7)
справа на w тензора, отличающегося только множителем от акустического тензора (4.11.16). Уравнение движения (3) приво-
дится теперь к виду
(Q—急]/ jpco2Ey w-=0, (Q—} Р№、2 Е)• W = 0 (8) характеристического уравненепия акустического тензора, причем 74р0(?2 — его собственные числа.
Как будет показано в § 11, они положительны, значит и скорости N по любому направлению вещественны для деформированных состояний в ^-конфигурации, пока материал остается сильно эллиптическим.
Плоские волны в гидростатически напряженной упругой среде
Проще всего, не прибегая к общему представлению (7.6), преобразовать по (7.4) выражение (4.17)
V・®=(% + jl) VV• w + fiV2w --—々[(入 +。) NN + 证]・ w. (1)
Уравнение (7.3) приводится к виду
[依 +卩)NN + ^iE — p(?2E]• w = 0, E = NN + LL 十 t2t2,⑵
причем L, t2f N — ортонормированный триэдр, векторы t〔， t2 расположены в плоскости, перпендикулярной N. Уравнение (2) переписывается в виде
[(Х + 2^ —pc2) NN + (|i —pc2) (t1t1 + t2t2)]-w = 0.
Для продольных волн t$・w = 0 и скорость их распространения сн оказывается равной
Для поляризованных перпендикулярно направлению распространения волн, поперечных волн, N-w = 0. Их скорость сх равна
В ненапряженной линейно упругой среде v— 1,入=入，卩=卩・ Приходим к хорошо известным выражениям продольной и поперечной скоростей
Главные волны
Собственные значения акустического тензора в общем случае зависят от направления волны N, и вычисление скоростей связано с решением кубического уравнения с зависящими от N коэффициентами. Задача значительно упрощается при рассмотрении волн, названных Трусделлом главными; они имеют направления главных осей тензора напряжений (или меры Фигнера) еп е2, е3 в ^-конфигурации.
Для первой главной волны * = N
F к v；NN + vie2e2 + L^e3e3,
M = N・％ = 1, M；N・e2 = 0, М = №ез = 0.(1)
Выражение акустического тензора (4.11.16) приводится к виду
Q = [(3加一4"屮。)+^i (aii+^W?) +^i^2a+2&01Vi+2^02Vi+Q = [(3加一4"屮。)+^i (aii+^W?) +^i^2a+2&01Vi+2^02Vi+Скорости волн, поляризованных в направлениях е2, е3, опреСкорости волн, поляризованных в направлениях е2, е3, определяются по (7.8) формулами廟p62=屯+也 G+啮，По (4.3.4)屯+也(甯+喲=В ]/^春三I，и представлениям (3) придаетсяделяются по (7.8) формулами廟p62=屯+也 G+啮，По (4.3.4)屯+也(甯+喲=В ]/^春三I，и представлениям (3) придается1五/。编=21 +屮2收+喲.(3)21 + 屮2 ®:+ 说)]/| Мт‘видре1з 5 —031五/。编=21 +屮2收+喲.(3)21 + 屮2 ®:+ 说)]/| Мт‘видре1з 5 —03
Q = [(3加一4"屮。)+^i (aii+^W?) +^i^2a+2&01Vi+2^02Vi+
Q = [(3加一4"屮。)+^i (aii+^W?) +^i^2a+2&01Vi+2^02Vi+
Скорости волн, поляризованных в направлениях е2, е3, опре
Скорости волн, поляризованных в направлениях е2, е3, опре
деляются по (7.8) формулами
廟p62=屯+也 G+啮，
По (4.3.4)
屯+也(甯+喲=В ]/^春三I，
и представлениям (3) придается
деляются по (7.8) формулами
廟p62=屯+也 G+啮，
По (4.3.4)
屯+也(甯+喲=В ]/^春三I，
и представлениям (3) придается
1
五/。编=21 +屮2收+喲.(3)
21 + 屮2 ®:+ 说)]/| Мт‘
вид
ре1з 5 —03
1
五/。编=21 +屮2收+喲.(3)
21 + 屮2 ®:+ 说)]/| Мт‘
вид
ре1з 5 —03
Квадрат скорости продольных волн представляется по (2) выражением
4 р0^1=^ОО -4%+^(^11+4^2) + %322 + 23tH建 + 2802调十
+ 2312。：■董(屮1 + 2 屮J*(5)
Оно также представляется через главное напряжение ах
(6丿(6丿9
(6丿
(6丿
6 = -^=(屮 0 + 屮 R2 + w 2*)
и несложно проверить, вспомнив определение (4.5.4), цто правая часть (3) представима в виде
Приходим к выражению
⑺⑺рСк。芻'
⑺
⑺
Можно было бы избежать этих вычислений, вспомнив представления компонент акустического тензора (4.12.11), когда вектор нормали N определен по (1).
Полученные выражения скоростей вещественны для сильно эллиптического материала согласно неравенствам (4.12.12), (4.12.13).
Для материала Мурнагана по гл. 5, § 3, если довольствоваться приближениями
А = 3 + 23, А = 3 + 43,/3 = 1 + 23,
應=1+26$(s= 1,2,3),
формулы для скоростей поперечных волн приводятся к виду
^4а=1+261 + (6「"а)(2+言)+^30 + m-4) (а = 2,3).
(8)
Отличными от нуля оказываются коэффициенты
В。。工 孔/3， 31 = у [入+( (/1—3) +加(1—/J—у^ , Si? m
(9)
и скорость продольных волн в том же приближении определяется формулой
^ch =|+2 + (^ + ^+10)61 + (А+21^.(10)
Для полулинейного материала акустический тензор был определен формулой (4.12.17); сравнение с (4.12.11) приводит при N = et к соотношениям
q争=(入+ 2科)唸 £^ = ^^[(l—2q)®|+uJ+e3—l]・(ID
ОУ,и2—力и】十 t»2
Скорость главной продольной волны (N=eJ по (7) определяется формулой
тогда как скорости волн, поляризованных в направлениях е2 и е3, оказываются по (4) равными
*2 =力 1/[(1-2(?) (ut + и.,) -Lqv^ - 1 ]'/2 ；
竺二(12)
G3 -力一学±2弋[(1 一 29)(% 十%)十华2 - 1.
уp(内十方)
Нейтральное равновесие и устойчивость
Мы ограничиваемся рассмотрением однопараметрического семейства 牙卩 состояний равновесия в ^-конфигурации; р — параметр, характеризующий нагружение, осуществляющее преобразование неискаженной натуральной v- в ^-конфигурацию.
На поле перемещений u= R —г в ^-состоянии налагается, напоминаем, поле виртуальных перемещений i]w (71, 72, 73), обращающихся по (1.4) в нуль на части поверхности О2 рассматриваемого объема V. Вторая вариация t]2W7^> потенциальной энергии системы по (2.5), (2.7) представляет функционал над Vw
^yyjT(vw)dv, (1)^yyjT(vw)dv, (1)吆=可"0 VWT dv
^yyjT(vw)dv, (1)
^yyjT(vw)dv, (1)
где ¥ — квадратичная форма от Vw, и по (2.4) ®=%・⑵
Представление (1), учитывая соотношение
0 ■ ■ VwT = V ■ (0 ■ w) — (V • 0) ■ w,(3)
может быть преобразовано к виду
呼—^NJ(V・®)・wd]Z + ^U N・®・wdO. (4)
Определения. 1. Положение равновесия 牙卩 назовем устойчивым, если
呼产> 0(5)
для всех w, не равных тождественно нулю и удовлетвориющих условию (1.4). Оно неустойчиво при невыполнении этого условия
W^ < 0(6)
для некоторого w, удовлетворяющего (1.4).
Положение равновесия 步卩。назовем нейтральным, если для некоторого w = w0, не равного тождественно нулю (w° 壬 0丿 и удовлетворяющего условию (1.4), при р = р0 соблюдены урав-
нения нейтрального равновесия )
в V: V・®(Wq) = 0; на R: N • 0 0; на О2： w0 — 0. (7)
Из определений следует, что «нейтральное равновесие» неустойчиво. Действительно,取?。= 0 по (4).
Уравнения нейтрального равновесия (7), как следует из принципа стационарности § 3, выражают формально существование форм равновесия 孑内，близких к рассматриваемому.
Пусть 孑卩，р ^ р0 — семейство положений равновесия и пусть р0 > 0 таково, что для некоторого е > 0 равновесия 孑卩, р€ €(% —% А))，устойчивы, а 孑卩 pWg, Ро + е).— неустойчивы. Естественно предположить, что в этом случае
步5。侬)?0(8)
для всех допустимых w, но для некоторого w0 ^ 0
WT(w°) = 0・(9)
Тогда <УРо — нейтральное положение равновесия. Действительно, приняв
W = wo + r)V, имеем по (4)
К£。(w)=眩。(w0) + J n ( — J" [V • ® (w。)] • v W +
+ j『N・®(Wo).vdO + o(T])) ,(10)
причем 丁1。⑺ 111foi 0; отсюда и следует, что коэффициент при т] равен нулю при любом v — в противном случае согласно (9) при надлежащем выборе “ пришли бы к противоречию с неравенством (8).
Этим подтверждается, что значение р = р0 параметра нагружения является бифуркационным (критическим)——однородная краевая задача (7) имеет нетривиальное решение w0; им определяется нейтральное, по принятому определению неустойчивое, равновесие 玄卩。тела в Т^-конфигурации.
Замечание. Шринятое определение (5) упрощает, но и обедняет понятие устойчивости, Можно привести следующую аналогию:^пользуясь им, можно сказать, что равновесие тяжелого шарика в вершине (0, 0) параболы у ах2 устойчиво при ^ > 0 и неустойчиво, если а < 0. Но его применение не дает сведений о реальной устойчивости или неустойчивости в вершине параболы у - ах4.
§ 11. Нейтральное равновесие полулинейного материала
Уравнение состояния полулинейного материала представляется через тензор Пиола в форме (5.5.5)
Р= (Zsj — 2ц) 0х +2^VR.(1)
Обратившись к формулам (1.10.7), (1.11.5) и (1.11.11), получаем выражение его конвективной производной
Р二 40х + (入S】一2卩)0х + 2|tVR - Vw =[(入5工 一 2卩)Оx + 2“VR] • Vw-
33
+ A_()xv・ ・Vw-2 3sl -2卩)YrT.££ ^^-e^e^-s-e,,(2)
причем первое слагаемое можно записать и в внде Р- Vw.
Далее мы ограничимся случаем линейного преобразования отсчетной неискаженной конфигурации в актуальную, сохраняющего главные направления
зо о
炉匸厶或，RrgE* R「=is%, VRkVRt=V, (з)
VrT = V-1, j 二 d= i$, 0х — E.
При этом преобразовании тензор Пиола симметричен, триэдр i§ определяет его главные направления
з
Р= 2 isisPs = 3s1 - 2r)e + 2rV,& =九s1一2卩+2卩% (4)
S= 1
и имеют место соотношения
九" 一2卩一丄05+ 0片_
% + % 一万%十力;山
Теперь, использовав также преобразования ооо
VR-Vw = Vw, Vw — У1-Vw,оо
2eJ,-e-ei = iJ,-Vw-ii + irVwT-i;f-yft1Vw- • i5ij, + y^Vw7- ч^,.,
О
VrT-efe^ v^U»V Vw = Vw,
можно переписать (2) в виде
.ООО
Р =(入S] — 2卩)V-1 • Vw 4- 2卩Vw + 入EV • w —
3 3-ЕЕ5 = 1 々=13 3-ЕЕ5 = 1 々=1署券山（gw・W公•」/）•署券山（gw・W公•」/）•
3 3
-ЕЕ
5 = 1 々=1
3 3
-ЕЕ
5 = 1 々=1
署券山（gw・W公•」/）•
署券山（gw・W公•」/）•
Заметив еще, что
v-1-vw = ££^^,v-1-vw = ££^^,
v-1-vw = ££^^,
v-1-vw = ££^^,
и обратившись к (5), получаем
. о о
Р = 2 卩 Vw + 入EV • w +
33
+二二产一如）［仙-爲一^露吊尸
Оо= 2“Vw + AEV・wОо= 2“Vw + AEV・w3333
Оо
= 2“Vw + AEV・w
Оо
= 2“Vw + AEV・w
33
33
2R% +欣.w + ^£ £MsTi )-/w +/WT == ZEV-w + 2卩8 (w) +4 [^J^ (& —察)(iJz—izii) +
3 + 力да3 У ■ 2 332,1 爲十次 \дал、3 ]1
Введя в рассмотрение теперь диагональный тензор А с компонентами
44工 А「2 + Рз 一" 02 +。3工 А「2 + Рз 一" 02 +。3д _ 1 Рз + Р12 一不出 +%д _ 1 Рз + Р12 一不出 +%44二 1 pi+办二 1 pi+办(6)(6)
4
4
工 А「2 + Рз 一" 02 +。3
工 А「2 + Рз 一" 02 +。3
д _ 1 Рз + Р1
2 一不出 +%
д _ 1 Рз + Р1
2 一不出 +%
4
4
二 1 pi+办
二 1 pi+办
(6)
(6)
и вектор вихря вектора w
о I，阪з dg '\① I =彳(002 一 003 )，о I，阪з dg '\① I =彳(002 一 003 )，О [ о
о I，阪з dg '\
① I =彳(002 一 003 )，
о I，阪з dg '\
① I =彳(002 一 003 )，
⑺⑺①=万Vxw,
⑺
⑺
можно придать представлению Р вид
. оо
Р =入Е V ■ w 丄 2吃(w) +
Г о001
+ 卩 LЛ1®1(i2iз —i3i2)+ Л2ю2 (i3ix - ij3) + Л3ю3 (ixi2 — i^ijJ (8)
или же в независящем от координатной системы (инвариантном) виде
, о оо
Р = XEV ■ w + 2肥(w)—卩Е х А ・①.(9)
‘2 А, И, Лурье
Квадратичная форма Ф по (2.8) теперь представляется выражением
①工 gp.・VwT =专从V・w丿 + И/1 (v83 J + |X (x Л ^ + A2^+A3^l)
I /0\2/°、0 0
=у Z^V-w) +Mi (炉丿十卩A —ss(10)
поверх-поверх-Уравнения нейтрального равновесия в объеме и на ности записываются в виде -
поверх-
поверх-
о .о о о о о \V・D =(入+ 卩)VV・ w + rV^w —卩丫乂(A・(o丿二 0, ооо入nV• w + 2Mme (w) — jxnx A-o)^0.о .о о о о о \V・D =(入+ 卩)VV・ w + rV^w —卩丫乂(A・(o丿二 0, ооо入nV• w + 2Mme (w) — jxnx A-o)^0.Уравнения (И) в формеУравнения (И) в формео 0"l)^+gd儿篇-儿際=0о 0"l)^+gd儿篇-儿際=0и т. д.и т. д.(Ill(12)(13)(Ill(12)(13)
о .о о о о о \
V・D =(入+ 卩)VV・ w + rV^w —卩丫乂(A・(o丿二 0, ооо
入nV• w + 2Mme (w) — jxnx A-o)^0.
о .о о о о о \
V・D =(入+ 卩)VV・ w + rV^w —卩丫乂(A・(o丿二 0, ооо
入nV• w + 2Mme (w) — jxnx A-o)^0.
Уравнения (И) в форме
Уравнения (И) в форме
о 0
"l)^+gd儿篇-儿際=0
о 0
"l)^+gd儿篇-儿際=0
и т. д.
и т. д.
(Ill
(12)
(13)
(Ill
(12)
(13)
были из других соображений нолхчены Саусвеллом (Southwell R. V., 1913). Их обобщение на неоднородное напряженное состояние в ^-конфигурации предложено в работах Бицено н Генки (С. В. Biezeno, Н. Непску 1928—1929) и воспроизведено в книге Бицено К， Б., Граммеля Р. Техническая динамика, т. I. — М. — Л.: Гостехиздат, 1950.
Заметим, что выражения (8) и (9) тензора Р отличаются от представления тензора напряжений Т лине访ной теории упругости только наличием слагаемых, определяемых ротором вектора w. Слагаемыми подобного же происхождения отличается квадратичная фор мп (I) от удельной потенциальной энергии деформации линейно упругого тела; точно так же уравнение нейтрального равновесия (И), (12) переходят в однородные урав- о
нения равновесия линейной теории при Vx w - 0.
Отсюда согласно теореме Кирхгоффа о единственности решений уравнений равновесия линейной теории упругости можно заключить, что равновесное состояние в ^-конфигурации устойчиво по отношению к безвихревым виртуальным перемещениям; о
лишь при условии Vxw=7^= 0 возможно существование нетривиальных решений уравнений нейтрального равновесия (для значений коэффициентов Ляме линейной теории).
После заменыо о о /о \ оVV • w — V х (х V х w J — V2w
уравнениям (11) можно придать вид
VV.w-VxBAVxw?-0,В=4厂 E+g А . (14)
人+半\2/
Общее решение этой система】 уравнений может быть представлено суммой векторов）
w—：w，+w".（15）
Здесь w представим через градиент бигармонического скаляра ср
/0 0о о \ о о о о
w' = （、B・・VV 十 8]&&*7・・VV丿 V屮一BNV2 明v4（p-0, （16）
a w" —через соленоидальный вектор q
о о / о \оООО
w" = B・V2q —V [BW 丿・q, V-q -0,В"1- .VVV2q-0. （17）
Выражения компонент этих векторов в декартовых осях даются формулами
圖=[（В + &&）a? +（& + &田）亮 +（旦 + B^di-в^0用
о
+3“2内一“（3&内+ &%72 + 5з@з%） и т. д.
§ 12. Приложение к задаче устойчивости сжатого стержня
Напряженное состояние в ^-конфигурации задав!ся здесь тензором Пиола
Р= т/ £ VrT■ Т = у^3V-1 ■ \3\3g. -^o-3i3i3,%=丛厂0,凡=甯仇
Y g
и по （11.4） компоненты 1\ =已2,已3 тензора V определяются из уравнений
2 （入+卩）"]+入% 一，3九+ 2林，2入4+（入+ 2卩）j -= 3入+ 2卩+ p3 ■
Из них находим
。尸%=1一噢二1-险，。户」十夕-1+5, （V=师X， e = 2R（1 十 V））,
примем
Зз=；負，Q^o-3S-=o-3yfS0 = p3S0.（1）
Здесь Q —продольная сила, 63 — относительное удлинение в 方- конфигурации, S и So —площадь поперечного сечения стержня в этой и отсчетной конфигурациях.
По (11.6) получаем
Выражению (11.10) квадратичной формы (D придается теперь
вид
①=員/； (； (w)) + М (w)) +(篇 + 备)■
N\/2 TV1 - V丿。3
Задача об устойчивости сжатого круглого цилиндра была рассмотрена Сенсенигом (С. В. Sensenig, 1964) на основе точных уравнений (11.14). Решение, конечно, очень громоздко, бифуркационное значение параметра определяется трансцендентным уравнением сложной структуры, представленным через бесселевы функции *).
Для оценки критического нагружения естественно использовать априорное задание вектора w, соединенное с условием стационарности второй вариации функционала (10.1)
%(w) =；H®..VwTdl/ = 3№ ]/|VRf.P- -VwrdV-
P- ■ iw「du= ([ \ (Ddu.P- ■ iw「du= ([ \ (Ddu.(4)(4)
P- ■ iw「du= ([ \ (Ddu.
P- ■ iw「du= ([ \ (Ddu.
(4)
(4)
Следует предвидеть, что так определяемый критический параметр нагружения превышает его точное значение, поскольку априорное задание вектора w эквивалентно наложению связей, ограничивающих деформативность стержня. Это заставляет относиться с осторожностью к так находимым параметрам.
Примем, например,
叫=0, 吗=/（或）， 叫=一~废尸（废）.
Это соответствует заданию бокового смещения (по оси ОУ) осп стержня и повороту его остающегося неизменным поперечного сечения вокруг оси X. Здесь '
о%? = 0,о%? = 0,о吗о吗1 / dw31 / dw3%3 = 一仪罕（废），%3 = 一仪罕（废），万I丽一丽万I丽一丽=一广（废）,=一广（废）,ООО&12 ~ %3 — &31 о о(о2 =(о3 — 0ООО&12 ~ %3 — &31 о о(о2 =(о3 — 0
о
%? = 0,
о
%? = 0,
о
吗
о
吗
1 / dw3
1 / dw3
%3 = 一仪罕（废），
%3 = 一仪罕（废），
万I丽一丽
万I丽一丽
=一广（废）,
=一广（废）,
ООО
&12 ~ %3 — &31 о о
(о2 =(о3 — 0
ООО
&12 ~ %3 — &31 о о
(о2 =(о3 — 0
§
И по （11-Ю）, （4）, （3）
呼2=^（九+2m）g，£ ［广（废）a乎曲+ |^4^£，『广（废）曲=
=j［万（入+ 2卩）厶4 + 5十不!:V）m^2］"⑹
Здесь
广(优)g (废)，Jx=^(吟2 加 dd,Q = 2卩(1 + V)S 也
Условие стационарности функционала (6) приводится к виду j [ 一 з 十 2|Л)lxg" + 2 +(1驾瓦 g] 6g 曲3 十 g，(/) 6g (/) —
— g'(0) 6g (0) = 0 и для консольного стержня (на нижнем конце 6g (0)=0, на верхнем 6g(/) произвольно) однородная краевая задача приведена к дифференциальному уравнению и краевым условиям
g"+&豐 g =。，g&）=。，g'（/）=。，⑺
причем в знаменателе выражения Дг отброшено малое слагаемое (1 —V)63 = (1 —V)Q/(£S0), Находимая отсюда критическая сжимающая сила определяется выражением
因 I(1—2v) (14-v)
等(8)
и превышает эйлерово значение для всех v и (——1, 1/2), исключая р = 0. Эту же формулу приводит Пирсон [8.11].
Следуя Пирсону, зададим поле вектора w соотношениями
⑺]=—va%2厂(废)，吗=_^. р ^ _а^ 广+ 3% = — м广(9)
--это формулы для перемещений в задаче Сен-Венана об изгибе парой тх, в которых постоянная тх/(Е1х) заменена кривизной оси，"(废)изогнутого стержня.
Теперь
оезз = —«2Г.о 1оезз = —«2Г.о 1оо
о
езз = —«2Г.
о 1
о
езз = —«2Г.
о 1
%1 = 一…球厂(废)，822- - Dа2片
0о [
% = 0,%3=7V(”2 一产)广'，
吗=-4V（小一广）广‘一厂,
01о
(о2 — —у »炉出со3 = 0
и выражение (3) квадратичной формы Ф приобретает вид
①=m ( 1 + V)a今"+ Ii<! + |v2n (1+4^1)(疗 + d> 广"+
+ ^№4(m一次)广广，.(10)
Сохранив здесь лишь первое и второе слагаемые и заменив, как выше, А его приближенным значением (1+у"з，придем к эйлерову значению критической продольной силы.
Естественно пренебрежение третьим слагаемым в (10) — оно внесло бы в представление функционала W2 член с множителем 『『(al2 a22)2 da1 da2,
малым для тонкого стержня. Менее приемлемо пренебрежение последним слагаемым в (10). Сохранив его, получим для функционала W\ выражение, пропорциональное
причем, поскольку задание (9) вектора w предполагает изгибание в плоскости YZ, следует принять 1у!1 х > 1. Соответствующая краевая задача для консольного стержня
g〔l+^v 噜3+豐g = 0,g(0) = 0, g，(/) = o
приводит к критической сжимающей силе, превосходящей эйлерово ее значение
Q=|1+齐早(AM Q，
§ 13. Безопасное нагружение. Оценки Холдена
Задача состоит в определении нагружений, гарантирующих положительность подынтегральной квадратичной формы W, значит и интеграла (10.1) от нее. По определению (10.5), при этом
условии невозможна потеря устойчивости равновесного состоя- ння ^-конфигурации.
Предполагается, что по всей поверхности тела задано «мертвое» нагружение и выполнено условие (1.21), иначе говоря, что н после наложения поля виртуальных перемещений главный момент внешних сил остается равным нулю. Эта постановка задачи принадлежит Холдену (J. Т. Holden, 1964), она была развита в публикациях Битти (М. F. Beatty, 1967一1971).
Следуя Холдену, представим вектор w суммой
w = w，+ w",(1)
в которой первое слагаемое подчинено условию равенства нулю среднего по объему значения его вихря
KJ " " = 0 H』H j, (Vw，一 Vw…)dV = 0.KJ " " = 0 H』H j, (Vw，一 Vw…)dV = 0.打…，心
KJ " " = 0 H』H j, (Vw，一 Vw…)dV = 0.
KJ " " = 0 H』H j, (Vw，一 Vw…)dV = 0.
⑵
Слагаемое w" представляет наложение малого жесткого поворота 1"0叫
е (w")(Vw" + Vw г) = 0 или 一一- =.(3)
2* dxs
При таком разбиении
T・Vw-VwT・T = £2 es* (% 嘉崇)= s=l'/
s /
причем e5 —триэдр главных осей тензора напряжений, wt ——компоненты w в этом триэдре, as——главные напряжения.
Во всем последующем рассматриваются равновесные ^-конфигурации в однородном поле напряжений ——тензор Т, значит и F постоянны в объеме. Условию (1.21) придается вид Щ (T-Vw-VwT-T)dy =
=21工必伍一浦旧爲•川+ 了仙+⑺訂=。，(4) S /L-
так как по (2) и (3)
dV (s, /-1,2,3),dV (s, /-1,2,3),艺^ =丄空二^艺^ =丄空二^При Os + at^^ получаем формулы Холдена
dV (s, /-1,2,3),
dV (s, /-1,2,3),
艺^ =丄空二^
艺^ =丄空二^
⑹
(7)(7)а в случае о$ +j = 0
(7)
(7)
УУСледствием равенства (1.21) служит соотношение jjj (T-Vw-Vw^-T)- -Vw,，T W = jjf (T・.Vw・Vw〃t_
У
У
—T. .Vw〃t.Vwt)W = 2，U (T • ■ Vwz • Vw,，T + T• • Vwz,• Vw"r) dV0
(8)
Были использованы условия (2) и (3). Обратимся теперь к преобразованию первого слагаемого квадратичной формы (2.11). Учитывая (8), имеем
JJjT- -Vw-VwTdV = l JJJ т- -Vwz-Vw，TdV +
+ JJf T-.Vw^Vw^dVH-^-J^Jt- .\w".\w"4V =
=g T..Vw、Vw，tW + U『T..Vw，.Vw〃tW). (9)
Далее проводятся оценки этих слагаемых. Обратившись к (6), получаем
田 Т • • Vw“w〃T 心 ££ % 符巾 >^ =
Vt sV
=(6-s)苏.I U 賦W + 02—凉w +
+ (03一01)而 — dV = -F+ (03一01)而 — dV = -F(10)(10)
+ (03一01)而 — dV = -F
+ (03一01)而 — dV = -F
(10)
(10)
Через а обозначим неотрицательную величину
。《…X ｛將*，等等-磊等,。
⑴)
и воспользуемся неравенством Буняковского — Шварца
По (10) и (11) приходим к неравенству
С ^ Т • • Vwz • Vwz/ г dV ^ — аС ^ Т • • Vwz • Vwz/ г dV ^ — аdV.(12)dV.(12)
С ^ Т • • Vwz • Vwz/ г dV ^ — а
С ^ Т • • Vwz • Vwz/ г dV ^ — а
dV.
(12)
dV.
(12)
В ходе вывода, основанного на повсюду заменитьВ ходе вывода, основанного на повсюду заменитьравенстве (6), можно было быравенстве (6), можно было бы
В ходе вывода, основанного на повсюду заменить
В ходе вывода, основанного на повсюду заменить
равенстве (6), можно было бы
равенстве (6), можно было бы
VV
V
V
и это позволяет придать неравенству (12) вид
屮…w咤―川］（箱+（詛；
dV.dV.(13)(13)
dV.
dV.
(13)
(13)
Обратимся к оценке первого слагаемого в (9). Пусть j ^
>о2>а3, тогда
з
q
и по ранее сказанному
М Т • • Vw，• Vw" g ^ % 3 [(貓2 + (爵У + (爵)+
+（祭门（割飞嘉丹w
Основываясь на непосредственно выводимом по (1.7.10) тождестве
Vw …VwT = /](炉)+ 2(0 • co,
имеем
_LL Г 3 /阪八21 dwa .I/1(^) + ®-w = Vw--Vw^®-w = ££=_LL Г 3 /阪八21 dwa .I/1(^) + ®-w = Vw--Vw^®-w = ££==е11 + 唸 + e33 + е12 + e23 + e31 +=е11 + 唸 + e33 + е12 + e23 + e31 +и поэтомуи поэтому§ 14. Неравенство Корна§ 14. Неравенство Корна
_LL Г 3 /阪八21 dwa .I
/1(^) + ®-w = Vw--Vw^®-w = ££=
_LL Г 3 /阪八21 dwa .I
/1(^) + ®-w = Vw--Vw^®-w = ££=
=е11 + 唸 + e33 + е12 + e23 + e31 +
=е11 + 唸 + e33 + е12 + e23 + e31 +
и поэтому
и поэтому
§ 14. Неравенство Корна
§ 14. Неравенство Корна
При рассмотрении задачи о ний линейной теории упругости вал неравенствоПри рассмотрении задачи о ний линейной теории упругости вал неравенствосуществовании решения уравне- Корн (A. Corn, 1908) использо-существовании решения уравне- Корн (A. Corn, 1908) использо-
При рассмотрении задачи о ний линейной теории упругости вал неравенство
При рассмотрении задачи о ний линейной теории упругости вал неравенство
существовании решения уравне- Корн (A. Corn, 1908) использо-
существовании решения уравне- Корн (A. Corn, 1908) использо-
^ jJjA ®)即可”.3w^ jJjA ®)即可”.3wCD =у Vx W, £ = ^~ (Vw—卜 Vw)),(1)CD =у Vx W, £ = ^~ (Vw—卜 Vw)),(1)
^ jJjA ®)即可”.3w
^ jJjA ®)即可”.3w
CD =у Vx W, £ = ^~ (Vw—卜 Vw)),
(1)
CD =у Vx W, £ = ^~ (Vw—卜 Vw)),
(1)
соблюдающееся при равенстве нулю среднего значения вихря вектора перемещения
(2)(2)“① W = 0.
(2)
(2)
Константа Корна К зависит только от геометрии объема У, его поверхность не обязательно гладкая, может содержать углы и ребра. Точное значение К известно только для сферы [8.14]. Бернстейн и Тупин [8.13] предложили нижнюю оценку К, задав вектор w в виде
w = е- Rex R, (3)
причем е —постоянный единичный вектор. При этом задании
Vw = еех R — е - REхе,VwT = ex Re + e RExe,
Vw- • Vw = VwT- Vwr = (e-R)2Exe - -Exe ———2 (e- R)2, Vw- • VwT— VwT- • Vw = I ex R|2 — (e- R)2Exe- -Exe =
-|exR|2 + 2(e-R)2-/?2 + (e.R)2
и далее
(Vw + Vw)・• (Vw + Vw「) = 2 [К? — (e- R)2],
(VwT 一 Vw)…(Vw — VwT) = 2 [к + 3 © 咁 _ = 2[R2 —(e・R)2] + 8(e・R 产
Задание (3) удовлетворяет также условию (2); действительно,
VwT — Vw = 2Е X ее • R, у jjj (VwT — Vw) dV =
-Exe jjje-Rdy=O,
если начало координат поместить в центре тяжести объема. Теперь, представив неравенство Корна в виде
К jgg (Vw 4-VwT) • • (Vw +VwT) dV
》jfg(Vw‘ — Vw) • • (Vw —VwT) dV,
приходим к соотношению
1 +7Ж^ • (4)1 +7Ж^ • (4)4 H, (e・R)2dV
1 +7Ж^ • (4)
1 +7Ж^ • (4)
К Hк「а
"3—Wei
Здесь 0 —тензор центральных моментов инерции объема относительно плоскостей координат*
s ZV
Отношение квадратичных форм в правой части (4) имеет максимум одновременно с максимумом формы в числителе. Последний же достигается для направления е, соответствующего наибольшему собственному значению 03 тензора 0. Итак,
(7 (0) = 01 + 02 + ©з).(5)
5十
Знаменатель имеет наибольшее значение при 0Х = 02, так что
и минимум этой величины достигается при 03 = 0^ Итак,
К 2 3.(6)
Этим определяется нижняя граница константы Корна.
Для круглого цилиндра радиуса г и длины / центральные моменты инерции относительно продольной и поперечной осей равны так что
(：У〉3,” =哥屮，©1 + ©2 = |/г1；
(；у<3,露=3尸，3+吼=》尸+悶з
И по (6)
прИ(я>з, к^к+Зг吓叩н什)(7)
Отметим, что для круглого диска (/ ―> 0) эта формула дает значение К^5 и это по Пейну и Вейнбергеру — наилучшая возможная оценка для плоской круговой области.
Достоинство задания w в форме (3) состоит еще в том, что входящие в неравенство (5) величины непосредственно выражены через геометрические характеристики объема.
Заметим еще, что неравенству Корна (1) можно придать также вид
(К + 1) (喲 W^ \，，® 3 + А ◎)]dV. (8) V •V
(13.9)(13.9)§ 15. Неравенства Холдена и Битти
(13.9)
(13.9)
Сложение неравенств (13.13) и (13.14) приводит по к неравенству
jjy Т- • Vw-VwTdl/^ (% —6 4jjy Т- • Vw-VwTdl/^ (% —6 4
jjy Т- • Vw-VwTdl/^ (% —6 4
jjy Т- • Vw-VwTdl/^ (% —6 4
Вместе с тем, использовав (14.8), можно усилить неравенство (13.15), записав его в виде
(К + 1)，，，人(82)w^4⑵
При естественном условии (напомним, что а3 —меньшее из трех главных напряжений)
(3)
из сопоставления неравенств (1) и (2) следует усиленное неравенство (Холден)
JJjT-.VwVwTdI/>(a,-a)(K+l) JJ I^)dV (4)
—действительно, здесь правая часть (1) заменена меньшей (при условии (3)) величиной.
Переходим к оценке^второй*группы слагаемых в формуле (2.18). Имеем
/1 ((F • *)= £ W。鼠声储 ^^ ^ts=Y4^, s /s f
причем
H = Max (唸嗚喻(5)
Приходим к неравенству
/з 泰厶(喲十計厶((F • £)2)& ( /з / + Н 許 I)厶(d)•(6)
При обозначении
С (%, %，%) ~ 4 /«ЕЕа&%%(7)
s k
имеем теперь по (2.18), (4), (6)
2屮=t.• Vw• Vwt - 4 /帯[厶*人(吩+誥人((F •哨]+
+ C (61> 621 %) ^ [(К+ 1) (03 -。)—
-4)/倒/3訪 + 叫誥1)]/№)十с电，%，%)= '=ВЛ(е2)4-С (еп e2, e3). (8)
Через В здесь обозначена постоянная Битти
8=代十1)(。3 一。)_4]/ 鲁,з 訪+h 許 |)=
= (Kf 1)(5з — 6： + 2 (jiy — Gy) +4 了^鲁 а (詁—[誥｝(9)
причем использована формула (2.20) и подстрочный индекс У соответствует номеру переменной, определяемой условием (5).
Достаточное условие устойчивости равновесного состояния
В/1 (g2) + C(j, %, %)〉О(Ю)
Битти заменяет двумя порознь рассматриваемыми условиями
В^г 0, С (%, %, %)〉0.(И)
Очевидно, что этим гарантируется выполнение и неравенства (10). Безопасное нагружение далее определяется условием
В -0,(12)
а с целью упростить вычисление, связанное с установлением знака квадратичной формы (7), предлагается ограничиться проверкой ее положительности при выполнении условия (12) в рассматриваемом материале, иначе говоря, при принятом задании удельной потенциальной энергии деформации з(/「/?, /3). Как видно из определений (2.15) коэффициентов ask формы С (力，％, %), ее знак зависит только от этого задания: положительный для одного материала, он может оказаться отрицательным для другого. В последнем случае становится неприемлемой замена одного неравенства (10) двумя (11).
За меча ние. По (2.22), (2.23) квадратичная форма (7) преобразуема к видам
С (%，%，%) = /з券九(£?) +券工唄偿+32 s二]
(13)(13)33
(13)
(13)
3
c(J, % , %) = /з方^ /1 (喲+券£U盟3上
I 1 V V ^251 У 产3 2 2
$= 1 内=1 S "s = 1。心
33 3
=厶許/|(喲+患е呢+^е£
s= 1s= 1 k= \ ' 八
(14)
это позволяет придать выражению (8) одну из(|)орм
2m .Vw.Vw — 4 у £喲一/i((F・e)2).
+ 4 }/I ЕЕ部幾曉分"，(15)
s=l А=1°一s
- Г 3
2VF = T・.Vw・VwT + 4 J 善當?。禦一/i((F£2)-
-£ J峻+联等£ £ 豈%%。网；(16) S=1s= 1 /е=1 s к
в этих представлениях
зз。 з
2 [%一/1(下，ё尸)]工m。皤一e Y #stEts - s = 1s = ls==l/ = l
匸-2 (0；贺唸+球循唸4- u:说唸)< 0.(17)
В предположении, что материал удовлетворяет критерию монотонности (5.10.13), выполняется неравенство
33
e£爲5庐(18)
Достаточное условие устойчивости выражается одним из неравенств 厂一33
"ЕЕ
s= 1 k— 1
一2詣(脅若唸1+甯甯嗚，+唸承脸.)]> 0,(19)
(K+l)(/ 一0)人(£2) 一
一8]/等設(也说唸+调呜唸+需喙5幻一二a间〉0，(20)
причем в записи (20) учтено неравенство (18).
При дэ/дЦ > 0 оба неравенства (19), (20) нарушаются — достаточно принять £s = ° для всех s— 1, 2, 3 и е5й ^ 0 хотя бы для одного £§用(5,左).Это и заставило отказаться от непосредственной оценки неравенства (10), заменив ее сначала требованием неотрицательности В и последующей проверкой положительности 0ормьг С (%, е2, е3).
§ 16. Сжатый стержень (эйлерова колонна).
Материал Мурнагана
Главные напряжения в сжатом продольной силой Q стержне равны
су「О,％ = —^(1)
и по (13.11)
=(2)
При принятых в гл. 6, § 2 обозначениях по (15.5) и (2.21)
5 = % =如，0з = и, ее > 1, у = 4；/厶二二炉叫5 = % =如，0з = и, ее > 1, у = 4；/厶二二炉叫(3)(4)(3)(4)
5 = % =如，0з = и, ее > 1, у = 4；/厶二二炉叫
5 = % =如，0з = и, ее > 1, у = 4；/厶二二炉叫
(3)
(4)
(3)
(4)
Отсюда и из представления (5.6) напряжения а3 определяются а, и и далее 卩「
Предполагается, что в рассматриваемом материале
品>。(5)
и критерий Битти по (15.9) и (15.11) приводит к неравенству
Q&^・(6)
Если ^-конфигурация — натуральная, a S。 обозначает площадь поперечного сечения в этой конфигурации, то
卩i =卩，s =⑺
Для стержня круглого поперечного сечения при //г〉/3 по (4.7) оказывается безопасным нагружение силой
Q=—(8)
Представляет интерес сравнить это выражение с эйлеровой критической силой
Q 户 ^^(9)
для стержня, края которого лишены возможности поворачиваться при наложении поля виртуальных перемещений w («заделанные» концы) — в такой конструкции выполняется условие (1.21), существенно использованное в ходе вывода неравенства
Холдена (15.4). По (8) и (9) получаем
Qg n2(I+v)№ 丿
н это отношение составляет приблизительно 0,6 —0,4 при 0<v< 1/2.
Материал Мурнагана. По (5.3.2) имеем
+ «(Л-2Л-/2) + |] ,(11)+ «(Л-2Л-/2) + |] ,(11)
+ «(Л-2Л-/2) + |] ,(11)
+ «(Л-2Л-/2) + |] ,(11)
и отличны от нуля вторые производные
(12)(12)訪=十快 + 2科 + / (/「3) + 2m(/】一1)],
(12)
(12)
Ограничимся в предстоящем вычислении удержанием слагаемых, линейных по относительным удлинениям — продольному (—6) и поперечному (，)(，> 0, 6 > 0) в сжатом стержне. В этом приближении
Ui = %= 1 + 自，и = 1 — 3; и； = и；= 1 + 2工，絞=1 — 2"/i(F) = /i-3 = 2(2，—3),厶_3 = 4(2自一3), /3-1-2(261-6),
(13)
Из условия
и формул (11) —(13) следует, что
(2-)%+ 2 哈=0,(14)
причем v —коэффициент Пуассона линейной теории. В этом приближении
S = —2 卩(1 +”)&(15)
Обратившись к (4), получаем в этом же приближении
=卩(1 +工)，T = l + 2v —(1 - 2")^ +赤. (16)
Постоянная т может оказаться и отрицательной; в этом случае оценка безопасного нагружения по формуле (6), имеющая
смысл лишь при 卩I > 0, сохраняет значение для относительных сжатий 6 < ]т|т.
По (6), (15), (16) «безопасное» относительное сжатие 6 и безопасная продольная сила Q определяются выражениями
[(/<+l)(l+v)-T]6<l, Q = SG| = — 2g(17)
В последней формуле
S = S扒=S。( 1 十 23 J = S° (1 + 2V6 =
^S0{l+2v[(K+l)(l+v)-r]-i},
но внесение такой поправки, по-видимому, лишено практического смысла; можно принять S 二 S().
Переходим к рассмотрению знака квадратичной формы (15.11)2.
Вычисление, проводимое по формулам (2.15) и (13), дает
с (%，7, %)=^ [/3/； (e)—/；(F • £)]+； [%/；(F.eHJ (人一3) /式 F •£)] +
+ ^[/1(F.8)/1(F«.e)-l(/1-l)/?(F-e)| .(18)
Для большинства материалов
/<о, т<0, п<0,入=答〉。(0<v< Л
и вместе с тем
2 / /l(F-E). 2/1(F2-E)
По (13), (14)
/з — 1=2(251 — 5)-=—2(1—2и)5<0, /^3 = 2(26^6)-
=—2(1—2и)5 <0
и, возвращаясь к (18), имеем
Cmin =告 /： F)小十 (Л- 3) / 式 е)。4 +
++4
+
+
=} k)*；(e) { 1 —搭[2/ (1 — 2v) — 2m (5十4v) — /г (1 十2v)]} . (19)
Оценка (17) безопасного нагружения оказывается приемлемой при продольном относительном сжатии 6, определяемом неравенством
(20)(20)6 ^ X[ [2/ (1 — 2v) — 2m (5 + 4v)—九(1 +2v)] |.
(20)
(20)
По данным для сталей (см., например, гл. 5, § 11) t/(1+v)^;1, и для достаточно длинных стержней при (//г)2 ^ 90, К+1-—62
поправка в (17) к «инженерной» формуле (7) теряет смысл. По этим же данным
Т〉2 — 2т(1—2屮)5,(21)
чем подтверждается при достаточно малых 6 приемлемость предположения (5).
Сжимаемый материал Муни— -Ривлина. Удельная потенциальная энергия деформации в этом материале, называемом еще материалом Адамара, задается выражением
(22)(23)(24)(22)(23)(24)Т(/з) + С/+С/, С\ > О, С2>0.
(22)
(23)
(24)
(22)
(23)
(24)
В формуле (6) теперь по (2.21)
По (2.15)
c (%, %, %)=////(/3)]'/式8)+ g/；田.吟
c^UAhfy + с.^]1иг)
и опенка (23) критического сжимающего напряжения приемлема При УСЛОВИИ Ст®?。：
/з[//(/з)]'2—CQ,(25)
причем V, s определяются из уравнений
%=о, л/з(л)+贫[а+& &+唄)]=&
I % I =—专 &% (Л) + 絞(& + 2c2 哨],
так что наряду с (25) задание удельной потенциальной энергии стержня должно удовлетворять неравенству
/з『(/зУ—М(& + 2&喲.(26)
Безопасное нагружение. Полулинейный материал
Предполагается, что удельная потенциальная энергия дефор- мании задана, как функция инвариантов Ik (V) тензора V =： F1/a, 区алее обозначаемых /% (々=1,2, 3)
3 = 3(/；,〃/)(1)
Имеют место соотношения
/ 广一2/；=/]，一/〃； + 2厅=厶，厅=厶，(2)
из которых легко получить таблицу производных
2D
2
2
0/; _
а7Г~
”3
/2,
1,
4
/；，
2。需=厶
* k 0/； 刃2
9工 刃3
=0,
2。専
刃2
”3
= /；,
_ 11
/3，
=0,
1
/3，
(3)
причем
。=/；/—/*
(4)
Обратившись к формулам (4.2,5), получаем
3金（/г-/0（鼎+ /e）T券，（5）
%=_^（号+厶言）
и представлению (4.2.4) тензора напряжений Коши придается
вид
т = ^ 展等[/#；E + (/”/；)F —円(詣+ /；訪)+
(6)⑺⑻(6)⑺⑻+ JM^e】^f).
(6)
⑺
⑻
(6)
⑺
⑻
Заменив здесь F2 по формуле Гамильтона — Кэли
F2= V4 = (/广-/；) V2-DV + /；/；Е,
после подстановки в (6) получим
T=啕喘е + 0；扑片：=
=Mf 儆E+W；V + W；W).
Выражения 屮' повторяют формулы (4.2.5)
Iг_ дэ . дэ., дэ
屮。=/3 » ,屮1 = ▽ +厶犷，5 =一歹，
но в представлении (7), аналогичном (4.2.4), отсутствует множитель 2.
Для полулинейного материала по (5.5.4)
з = |(Х + 2И) /；2-(ЗХ + 2卩)/； — 2И/； + у(9Х + 6И)(9)
и ПО (8) и (7)
叱М0,曲二九(/；一3) —2卩；訪=一2卩;
(10)(10)
(10)
(10)
причем представление Т, конечно, согласуется с (5.5.5).
Повторив вычисление (4.5.2) в применении к представлению (7) тензора Т, имеем
i = -TV W+ ]/等州，+ 限户)+ J I■(嗝E + 0；V + *V2) =
=—TV. w+ ]/告卜(VwT • v+V • Vw —2?§咨義-е.еЛе^+
+ W；(VwT.V2 + V2・Vw)] + 2 ]/等 £ £ ^vrVrVM.g(w).
一r=0 N = 0
Были использованы выражения (1.11.10) и (1.10.11) тензоров
V,户=(V2)*; S*r выражаются через 屮卞 по формулам (4.5.5). Полученное выражение преобразуется теперь к виду
Т = — TV*w + VwT*T + T*Vw —2 j/ -|- (^poe(w) +
+屮；e士奇3(w))+2]/备士 士^rW^* *e(w) s k 5/r=0 N = 0
и no (4.5.8) приходим к представлению тензора 0
® = T・Vw —2 ]/-J [^e(w) + ^；XILijp^efe• e(w)• е^ейе4 +
+ 2/克士%rVrvM・e(w). (11)
r=0 *=0
Квадратичная форма 0- • Vwr, положительность которой гарантирует безопасное нагружение, приобретает вид
0 **VwT=-TVw VwT—20 **VwT=-TVw VwT—2/告k人(迎)+屮;Е£造济…冉：/告k人(迎)+屮;Е£造济…冉：++
0 **VwT=-TVw VwT—2
0 **VwT=-TVw VwT—2
/告k人(迎)+屮;Е£造济…冉：
/告k人(迎)+屮;Е£造济…冉：
+
+
+2 / f Е Е ^N-e) 71(vr•е)- и?) ^=o г=о
Первое слагаемое оценивается формулой (15.4) и применение критерия (15.11) приводит к неравенству
H^I^dV>2 ]/制 5 川H^I^dV>2 ]/制 5 川
H^I^dV>2 ]/制 5 川
H^I^dV>2 ]/制 5 川
+ WC£^H(e"・es)”“. S3) s kV，
Введя здесь, вместо (15.4), обозначение v для максимального из трех главных значений тензора V, имеем
詳g(…)小
(14)(14)33
(14)
(14)
S=1 左二1 6丁 々
и, усиливая неравенство (13), получаем
(К+1)(о —Оз)W у/~等(|W；|0 —WZ)・(15)
Для полулинейного материала по (10) эта оценка приводится к виду
(K+D(o —。3)& ]/ 等 2| 九(/； —3) —2世|(16)
и, конечно, сохраняется задача проверки знака квадратичной формы
С (玩，е2> %) = 2 )/ 告俄/；“•£)+ 8； JKF® 十
,+2%/1(V-8)/1(F.8)](17)
(так как 5ог^О, F =。，1, 2).
Для стержня, сжимаемого продольной силой, в обозначениях гл. 8, § 13 имеем
屮；=大 gb] — 5) - 2出|51 = 2 卩(1 + v6),
(18) энер-(18) энер-У ^ = (1+就)2(1—6), й= 1 +v6 и безопасное нагружение представляется выражением
(18) энер-
(18) энер-
0 一.一g 々 2卩(1 +*5)2 So%&(1—ВКК+D '
Несжимаемое упругое тело
В несжимаемом упругом теле удельная 'потенциальная гия —функция инвариантов /2
(1)(1)3= Э (/j^j /2)
(1)
(1)
и формулами (2.3) задаются «определяемые величины» (обозначаемые индексом £).
Представление потенциальной энергии записывается в виде
取E(R + nw) —取E(R) = n取】е+頂取2Е・(2)
Здесьс
吃е=，，，％• ・VwTdl/ —，，, pok.wdl/—，j F・wd。， (3) vv3
弘Е = n屮ёw-4№也• • Vw®⑷
и по (2.11)
屮Е=^-員一 • Vw • Vw「+ 2 [屮2/1 ((F ・е)2) + &1丿；(F • £)+
+也2/:(f♦2)+232/1"・2)/1(卩.2)].(5)
Здесь Т^ — определяемое напряжение
几=2(屮产+屮尸2),(6)
а 屮р и Злт (N, Г = 1, 2) задаются формулами (4.3.5), (4.5.5). Тензор ❷е，определяемый по (2.10), линейно выражается через Vw
% = CPe)Vw = Te・Vw + 4{W2F・£・FT &i/(F・e) F +
+ W1(F2-8)F2 + 512[/1(F2.8)F + /JF.8)F2]}.⑺
Уравнение связи
l/Z(R + nw) —/5 = 0
при учете квадратичных по q слагаемых по (1.12.5) представляется формулой
^1 (е) + 4 п2 [/1 (s) - VwT • • VwT] = 0(8)
и после умножения на p + *hRP‘ и интегрирования по объему, преобразуется к виду
УУЯ JJJ p^-wdY + ^ "2 JJJ (p'V-w —pVwT- - VwT)dV =
У
У
pN・wdO — j『『w・VpW)+ ^n2|J『dN・wd0_
v/ L о
0.(9)0.(9)—JJJ (w-Vp' +pVwT- * VwT)dO
0.(9)
0.(9)
Слагаемое
SS，P^(E)^ ^ $ $ S V・(0wV・ w)d『一§ W w・ V (pV- w) dV =
VVVVV
V
V
V
V
=，，pN • wV・ wd。一 S,S w・ V (p* Vw)dV
ууо
у
у
не включено в (9), так как V-w^O с точностью до членов порядка “2—— оно не внесло бы вклада ни в уравнение статики, ни в краевые условия.
Вычитая (9) из (3), (4), приходим к представлениям
Гх = г1£-JJJ pV-wdy =
=§ § § (Т£- • VwT — pV • w — p°k • w) d『一g，F • w dO =
=§§§ (T?・ VwT+w・Vp —pok・w)dl/—，，(f° + pN)・wdO, (10)
2吃=2吃£ — § S，("V • w + p()VwT ■ • VwT)dV二
=SSS [—p/V-w + (0Zf + /?VwT)- -VwT]d]/.(11)
В соответствии с принципом стационарности потенциальной энергии 吃=0. Это непосредственно следует и из преобразования выражения (10)
$JJt£- -VwTdV= $$$ [V-(T£-w)-(V.T£)-w]dy = VV
=§§ N-TywdO—", (V・T£)・wdlZ 01и
и в соответствии с уравнениями равновесия (7.2.11) в ^-конфигурации
呼1 = 一 S W(V ♦ Те - V。+ 琳)diz + Е [N • (Те - Ер) — f。] • w do
По определению, принятому в § 10, это равновесие устойчиво, если вторая вариация потенциальной энергии 步名 положительна. По (11) получаем
$JJ(0£ + pVwT)- -VwTdy > 0,(12)
так как включение в подынтегральное выражение равного нулю слагаемого //V・w, конечно, не влияет на знак.
При составлении уравнений нейтрального равновесия это слагаемое следует сохранить. Имеем
§S S {—p'V-w + ^ + pVw7)- • VwT} d『=，§ S {—V• //w + w・ V// 十
+ V • [(% + pVwD • w] — [V •(戈 + pw* • w} d『=
=—S \ S [V・(％ + pVwT) — V"]・ wd『+
+ SS N・[(% + ”wT) — E//]・wd0.
Вхождение лагранжева множителя р позволяет записать уравнения равновесия в объеме и на поверхности
в У: V0£ + V./?VwT-V/ = O,(13)
на О] N •(❷e + /?Vwt) — N//= 0,(14)
к которым присоединяется уравнение связи
V・w = 0.(15)
В этих уравнениях р считается найденным по уравнениям равновесия в ^-конфигурации, дополненным уравнением связи 厶一1"
§ 19. Безопасное нагружение несжимаемого упругого тела
Как и ранее в § 13, «мертвое» нагружение предполагается заданным на всей поверхности тела, а поле виртуальных перемещений удовлетворяющим условию (1.21) и, конечно, условию несжимаемости (18.15). Входящий в критерий (18.12) тензор преобразуется по (18.7) к виду
% + pVwT = Т^• Vw + /?VwT + 4ip2F F +
■+4 i 玄 &Nr/i(Fr.£)FN. (1)
1Г=1
После замены Т^ его значением Т + /?Е, имеем
Те • Vw + pVwT = (Т + рЕ) • Vw + pVwT = Т-Vw + 2/?е(2)
и далее
(Т£-Vw + /?VwT)-. VwT-= Т - • Vw VwT + 2/?/1 (s2),
так как &• • VwT^ £• •&. Имеем также, сославшись на (15.5), (15.6),
F •&• F• • VwT F •£• F • = /г ((F・е)2),
屮 2/i((F®2)》一|^W%®),(3)
2222
X 2 &vr/i(Fr.£)F・.VwT= £ S ^rA(Fr-8)/1(F^.8)=
N=1 Г=1Лг = 1 Г= 1
33
=』＞ &庐(4)
причем подобно （2.14）
22
ask =名谡Jzr暝气訂=3卫概+ %0就（暝+喲+
+打抬理=喙;"券+^+贏M 一喲+（乙一喲］+
+翁一區）（厶一若）卜（5）
или
e^:党啖溫矿 при S声々；
Критерий Битти подобно (15.9) представляется выражениями
8="+2p-4阂副，8="+2 [制-%十2片(為一協)], (7)
причем здесь подобно (2.21)
к”％ + р-2艘許=2 [(嘉+ /1к”％ + р-2艘許=2 [(嘉+ /1(8)(8)
к”％ + р-2艘許=2 [(嘉+ /1
к”％ + р-2艘許=2 [(嘉+ /1
(8)
(8)
Сохраняются записи условий безопасного нагружения в форме неравенства (15.11) или в более полном виде (15.10).
Устойчивость неискаженного состояния несжимаемого материала
В неискаженной ^-конфигурации материал подвергнут всестороннему растяжению или сжатию. В этом состоянии тензоры Т и F — шаровые
T = gE, F=u2E = E,
так как для несжимаемого материала /3 ^ v6 -^ 1. Уравнение состояния задается соотношением
0=一叶豆,%=2(券+/i*一鼠)=2 (許+2鳥)=中病
Здесь по (19.8)
■2(詳 +鼎)，(1)
так что
尸=一0+ " + 2 許.(2)
В выражении (18.1) отпадает рассмотрение двойной суммы, так как теперь по (18.5)厶(F" • £)二厶 ® = V • w = 0.В выражении (18.1) отпадает рассмотрение двойной суммы, так как теперь по (18.5)厶(F" • £)二厶 ® = V • w = 0.Получаем% + pVw』(卩+ 2^~) (Vw + Vwr)~crVwT ~ 4 -—- e = 2|Л£ — aVwT, так чтоПолучаем% + pVw』(卩+ 2^~) (Vw + Vwr)~crVwT ~ 4 -—- e = 2|Л£ — aVwT, так чтоДля дествоДля дество(❷七 + /?VwT) • • VwT = 2|л/х (е2) — oVwT- • VwT.преобразования второго слагаемого используется тож-(❷七 + /?VwT) • • VwT = 2|л/х (е2) — oVwT- • VwT.преобразования второго слагаемого используется тож-VwT • • VwT =(£ + Q)…(£ + Q) = /1 (e2) + 厶(Q2)= =A(£2) —• 2(o • s (/] (Q • 8)= 0)VwT • • VwT =(£ + Q)…(£ + Q) = /1 (e2) + 厶(Q2)= =A(£2) —• 2(o • s (/] (Q • 8)= 0)и условию устойчивости (18.12) придается вид(2)л — а) , , , А(£2) dV + 2а ^ , , ”《"丿〉0,и условию устойчивости (18.12) придается вид(2)л — а) , , , А(£2) dV + 2а ^ , , ”《"丿〉0,УУУУтак что устойчивость при условиитак что устойчивость при условиирастяжении (а > 0) имеет место прирастяжении (а > 0) имеет место при2)л > а.2)л > а.⑶⑶Оценка Холдена (15.4)Оценка Холдена (15.4)неприменима при а > 0, так как ненеприменима при а > 0, так как неудовлетворяется условие (15.3).При сжатии а < 0 и по (19.7), (1) и (2)в^н+2р^\-^-\[=(к+\^-^+^-^удовлетворяется условие (15.3).При сжатии а < 0 и по (19.7), (1) и (2)в^н+2р^\-^-\[=(к+\^-^+^-^дэ I дэдэ I дэ1、"1、"= (К- 1)0+2m一4 (|^|= (К- 1)0+2m一4 (|^|2 I 0/2 дэ \2 I 0/2 дэ \0/20/2и достаточное условие безопасного нагружения равенствоми достаточное условие безопасного нагружения равенствомвыражается не-выражается не-в〉0： 2м〉一（К -1）。+4（協卜/）в〉0： 2м〉一（К -1）。+4（協卜/）~ (К— О Iа I + •~ (К— О Iа I + •ооприприприпри互> о生<0互> о生<0
В выражении (18.1) отпадает рассмотрение двойной суммы, так как теперь по (18.5)
厶(F" • £)二厶 ® = V • w = 0.
В выражении (18.1) отпадает рассмотрение двойной суммы, так как теперь по (18.5)
厶(F" • £)二厶 ® = V • w = 0.
Получаем
% + pVw』(卩+ 2^~) (Vw + Vwr)~crVwT ~ 4 -—- e = 2|Л£ — aVwT, так что
Получаем
% + pVw』(卩+ 2^~) (Vw + Vwr)~crVwT ~ 4 -—- e = 2|Л£ — aVwT, так что
Для дество
Для дество
(❷七 + /?VwT) • • VwT = 2|л/х (е2) — oVwT- • VwT.
преобразования второго слагаемого используется тож-
(❷七 + /?VwT) • • VwT = 2|л/х (е2) — oVwT- • VwT.
преобразования второго слагаемого используется тож-
VwT • • VwT =(£ + Q)…(£ + Q) = /1 (e2) + 厶(Q2)= =A(£2) —• 2(o • s (/] (Q • 8)= 0)
VwT • • VwT =(£ + Q)…(£ + Q) = /1 (e2) + 厶(Q2)= =A(£2) —• 2(o • s (/] (Q • 8)= 0)
и условию устойчивости (18.12) придается вид
(2)л — а) , , , А(£2) dV + 2а ^ , , ”《"丿〉0,
и условию устойчивости (18.12) придается вид
(2)л — а) , , , А(£2) dV + 2а ^ , , ”《"丿〉0,
У
У
У
У
так что устойчивость при условии
так что устойчивость при условии
растяжении (а > 0) имеет место при
растяжении (а > 0) имеет место при
2)л > а.
2)л > а.
⑶
⑶
Оценка Холдена (15.4)
Оценка Холдена (15.4)
неприменима при а > 0, так как не
неприменима при а > 0, так как не
удовлетворяется условие (15.3).
При сжатии а < 0 и по (19.7), (1) и (2)
в^н+2р^\-^-\[=(к+\^-^+^-^
удовлетворяется условие (15.3).
При сжатии а < 0 и по (19.7), (1) и (2)
в^н+2р^\-^-\[=(к+\^-^+^-^
дэ I дэ
дэ I дэ
1、"
1、"
= (К- 1)0+2m一4 (|^|
= (К- 1)0+2m一4 (|^|
2 I 0/2 дэ \
2 I 0/2 дэ \
0/2
0/2
и достаточное условие безопасного нагружения равенством
и достаточное условие безопасного нагружения равенством
выражается не-
выражается не-
в〉0： 2м〉一（К -1）。+4（協卜/）
в〉0： 2м〉一（К -1）。+4（協卜/）
~ (К— О Iа I + •
~ (К— О Iа I + •
о
о
при
при
при
при
互> о
生<0
互> о
生<0
В частности, для двухконстантного материала Муни по (7.4.1) и (7.4.4)
(5)(5)2 卩〉（к—1）т，
(5)
(5)
Несжимаемый материал. Сжатый стержень
Сжимающее (продольное) напряжение обозначается а3 < 0; 仇=02 = 0 и о = 0 по (13.11). Собственные значения тензора Фингера обозначаются, как и ранее,必 二毋 и в
соответствии с ^^-неравенством (5.13.10)
—1<0,(1)
По (7.2.4), (7.2.5) напряжения определяются формулами
S =-叶孔察+ ®…島]=0，2
-+ 2*(器+ 需)=2®一”(。黑十磊)⑵
и постоянной Битти (19.7) придается вид
8 = 2(К+1)(。一о-)®島 + 翁)+4°т [患+ ”十о—為]—
—4厂2院Н 券[(К+1)* — (К —1)L] +
+ 2 訪[(K + 3)u—(K+l)u-2]—4旷・2 (協許)•
Для двухконстантного материала Муни критерий безопасного нагружения приводится к виду
(Cr + CJ [(К + 1)唄一(К— 1)] + 2С?(唄—1)〉о.
При С2 = 0 приходим к неравенствам
»一母(3)
и по (1) и (7.4.9)
%=2C"i ®з—1)〉—4簪：,а у 斡；,
Q = S|o/<響『，⑷
причем SD ——площадь поперечного сечения в натуральной конфигурации (S = SoU；=SoUT).
Пришли при v^\ к той же «инженерной» формуле вида (16.7).
Выпуклость по градиенту. Условие Адамара
Дифференцируемая функция 3(VR) «выпукла по градиенту»
VR в некоторой области ее изменения, если для любого тензора Q выполнено неравенство
-*(SR・(E + nQ))k 户。.⑴
Аргумент
о
VRx = vr.(e + 7]Q)в этом неравенстве можно заменить, согласно принципу мате-риальной индифферентности (гл. 3, § 2), аргументомоо
VRX・O = VR (ETnQ) O,
где О——ортогональный тензор. Для изотропного материала до- оо
пустима также замена VR* на О-VRX.
В частности, ортогональный гензор О можно принять равным ехр {—i]Q), где Q — кососимметричный тензор. Это позволит придать неравенству (1) вид
斎3 (Sr.(e + 11Q)• ехр (一咽))]…^ 0.⑵
Тензор Q далее представляется его разбиением на симметричное и кососимметричное слагаемые
Q = S + Q, S = ^(Q +(r), Q = ^(Q—(Г),
а выражение удельной потенциальной энергии приобретает вид
з (Sr • (Е 十哂))=з (Sr • (Е + T]S + nfi) • exp (—1]Q))匸
=3^-(e + ^ + ^)-^-^ + -^^+
+ з0 . .rnS-li]2(«2 + 2S-fi)].VRr +
VR LJ
1 u0 ./ 0、
+ 万"2s' VRr' *5o о ■' S - VRr 5 VR • (E + i]S)/ — VRVR
—哈о • .(Q2—2Q.S).&RT+ . . . =3(?R.(E + iiS)) _
VR
—у I]2 )/^T・・(Q2—2S・Q).
Здесь была выделена совокупность слагаемых
/0\/0 \ о
3(VR・(E + i]S)丿=3(VR丿+ 旧0 ・・S.VRt +
VR
100
+ 4n2S-VRT--^0 0 S VRT+...,
VRVR
проведена замена
% •・(Q2—2S・Q)・VRT=VRrp .(ip —2Q・S)= /9т・ ・(Q2—2Q・S) VR，g
и не выписаны слагаемые степени 唄 и выше.
Приходим к соотношению
論 3«R，(E + nQ))k = ]糸歸¥+啕)仁一
]/ уТ - -(Й2—2Q-S),(3)
позволяющему выделить в определении выпуклой по градиенту функции часть, соответствующую симметричной составляющей S тензора Q.
В частном случае симметричного тензора Q, когда Q 二 О, свойство выпуклости по градиенту оказывается равнозначным критерию монотонности Колемана—Нолла (5,9.4).
При SmO, Q = Q критерий выпуклости (I) приводит согласно (3) и (1,11.4) к неравенству
Т• • Й2 = /t (Т• Й2) = 6)• Т•(о一 /х (Т)(о-(о ^ 0.(4)
Приняв, что « — единичный вектор & одного из главных направлений тензора напряжений, имеем.
办一91 + % + U3)&0，%+
—пришли к уже известным неравенствам из гл. 5, § 9.
Проводимое далее преобразование имеет целью исключить из представления (3) кососимметричный тензор Q. Имеем
T・QQt = T(S + Q)(S — Q) = TS2—TSQ + TQS —
—Т・・Q2 = T・ ・S2 —Т・・(Q2 — 2Q・S), Возвратившись к (3), получаем
备3&R・(E + nQ))]僅二 /^(T..Q.QT—T.S)十
+ ^r(VR.(E + nS))]ii=o. (5) Это равенство позволяет дать еще одно представление удельного значения второй вариации удельной потенциальной энергии Ф. Действительно, -приняв
Q — Vw, S = £
и вспоминая (2.8), имеем
蓊3(VR・(E + nVw)) = VwJVRT・3o ° • • VwT-VRT,
1VRVR
2(D= j/^. (T.. Vw • VwT ^T • • 82) + [^ Д VR • (E + ns)) ] л=0 • (6)
Выражению удвоенной второй вариации* удельной потенциальной энергии теперь придается вид
2吃=§ У § ①А= § J § Т- -VwVwTdy —J § J Т- -еМУ +
К爲3(?R.(E +哨)a ,⑺
причем согласно критерию монотонности
-^-3(VR-(E + r|e))du〉0.-^-3(VR-(E + r|e))du〉0.(8)(8)
-^-3(VR-(E + r|e))du〉0.
-^-3(VR-(E + r|e))du〉0.
(8)
(8)
Определение выпуклости по градиенту при замене в нем Q диадой векторов ab принимает вид неравенства Адамара (J. На- damard, 1903)
4(а, Ь)=]矗3(SR.(E + nab))L=o^O. (9)
В другой записи, имея в виду представление
3(VR・(E + nab)) = з(VR)十炉。• -ba-VRT +
VR
1 co
+ y i]2ba-VRT- -50 ° baVRr,
VRVR
этому неравенству придается вид
оо
(10)(10)ba・VRT・・3o °・・baVRT》0・
(10)
(10)
VRVR
По (4.11.5) оно оказывается связанным с определением эллиптичности системы уравнений равновесия и сильной эллиптичности ее, когда неравенство (9) строго выполняется.
В компонентном представлении
% о ^''sfSpr^~„—=刖”3，(11)
VRVR°Vs%0v 户及
и неравенство Адамара записывается в виде
4(а, Ь)=/$3心的勿/；^о(% = a・R$,坡匸b・「,・(12)
По (4.9.12)
% 0 =Ро ^PVrT-r,PrR^+ 1/ ~Vr-.TF. .(Ch + C^.-VR^Ch， vrvr vr' g
(13)
причем, повторив .вычисление в гл. 4, § 10, можно убедиться, что слагаемые PVrT, r5PTRJ в этом выражении взаимно уничтожаются. Получаем
/уг ооо
А (а, Ь)- |/ -ba-VRT- -VrT-TF • -(Сп + Сш). • VRT-Cn- - ba-VRT-
о о
у ba- -TF- -(Сц + Сщ). -VRT- .VR-ab =
=]/у b.[a.(TF+TF - -C^-F-al-b- ]/jb-Q-b. (14>
Здесь no (4.11.13) в paceмотрение введен акустический тензор
Q = а・(Tf + Tf •《□)• F • а,(15)
и критерием эллиптичности материала оказывается выполнение неравенства Адамара (10) или (12), а сильной эллиптичности — усиленного неравенства
Л (а, Ь) > 0. •(16)
В сильно эллиптическом материале все собственные значения акустического тензора положительны при любом выборе а声 0.
Если f (%) —выпуклая функция для всех % > 0 и материал с удельной потенциальной энергией э сильно эллиптичен, то таковым же будет материал с удельной потенциальной энергией ，(з). Действительно, при обозначении
о о
屮(11) н 3 (VR + 11VR • ab),尸(刀)=f (屮⑺) имеем
尸'(n)= ^ 中'(n)，F" (n)二亲[屮'5)f+ 弟 с?"(9), так что
严⑺h=。=品(3& •»•%) +
+ 黒(ba»RT..3o о0,(17)
"VRVR/
так как по on редел ению выпуклой функции % > 0,灰〉0.
Приводимый в заключение пример ) иллюстрирует, насколько неравенство Адамара менее ограничительно по сравнению с критериями выпуклости вида (1). Рассматривается материал с удельной потенциальной энергией деформации (5.6.17)
3 =万卩[/i + ^UU — 1) —"З],(18)
сильно эллиптический при любых деформациях.
По (1.9.1), (1.9.12) имеем здесь
% =m(弘一/严产)， VR
% о 二卩丁(/Kn+2aWV「T + %R力IT), VRVR
и по определению (1) выпуклости требуется рассмотреть нера- .венство
自(3(%十病R•Q))]0 VRT QT =
LQ"」n=uVrVr
г о 0 d管Q JVRT-VR・Q+2aQT・・EE-QT +
+ QT-RmR/Qr-R/Rm] =
二叫/弘 1 (F・Q • (Г) + 2a/；(Q) + //(Г)]》0.
Задача сведена к определению знака квадратичной формы девяти переменных
S (Q) = /〃】(F• Q• (Г) + 2a/；(Q) + Ir (Q) представимой в собственном базисе меры Фингера суммой квадратичных форм
6 (Q) = <й\ (%1，g22，g33)+^2(%3，g32)十^3(g31，，13)+^4(%2，%l)，
囤Т";囤Т";При обозначениях九1二ё竺或時户，九2 =(比吟、"吟户，入3=(e冷巽产产 матрицы коэффициентов этих форм записываются в виде /%1 +2a+1 2а2а
囤Т";
囤Т";
]|^ J=2a%2+2a+12a
2a2a入3 + 2a +1
и т. д. Матрица формы <^(Q) оказывается диагональной матрицей матриц
II Ai h000I
。II 乱2 )|00I
00II <^зз II0
：0оО||^44|||
Если ограничиться значением 仪=入/2卩^0, что составляет 0 ^v^0,5» то ||(^! К будет положительной («сильвестровой») матрицей, матрицы II 爲2% ||<^з I!» !l<^4 II положительны при условиях 入2%〉0, 入з%〉0, 入1%〉。，приводимых к неравенству
/з>и；з1), % = min®],内，内)， (19) тогда как условие сильной эллиптичности не налагает никаких ограничений на собственные числа меры Фингера F.
Условие Адамара и устойчивость
Ограничиваемся, как и ранее, рассмотрением аффинных преобразований натуральной отсчетной ^-конфигурации в актуальную равновесную ^-конфигурацию. Эта конфигурация, напомним, устойчива, если потенциальная энергия в ней имеет минимум—ее вторая вариация положительна для всех w 展 0 при w = 0 на части границы О2, на которой задаются перемещения.
По (2.5) и (10.5) этому условию придается вид
ft л л 00
(1)(1)Ю VW1 — о • • VwT du〉0иVRVR
(1)
(1)
для всех w, удовлетворяющих перечисленным требованиям.
Доказывается, что следствием устойчивости является выполнение неравенства Адамара (22.12)
Ьа*-50 ° •*Ьа>0
VRVR
для всех векторов а, Ь. Иначе говоря, если это условие не выполняется, то ^-конфигурация неустойчива. Приступая к исследованию устойчивости некоторой равновесной конфигурации, следует убедиться, что в рассматриваемой области удлинений и” у2, % выполнено условие Адамара.
Введя в рассмотрение скаляр 屮(д\ 君 73), примем
w (pb, Vw=(Vcp)b, (Vw丿—bVcp,(3)
причем наложенные на выбор w ограничения будут выполнены, если 屮声0 и ср = 0 на всей границе О — это обеспечивает условие на О2; на остающейся части границы О】 вектор w——любой, в частности, также может быть принят равным нулю.
Неравенству (1) придается вид
§§, V屮*S・Vcpdu〉0,§§, V屮*S・Vcpdu〉0,о о
§§, V屮*S・Vcpdu〉0,
§§, V屮*S・Vcpdu〉0,
S = Aqrtsbrbsvjrt = M%「f.
В другой записи выражений (4) и (2) имеем s%>0
и необходимо убедиться, что выполнение первого (интегрального) неравенства требует неотрицательности матрицы ||s"||・ Эю «неочевидно», так как положительность интеграла не обеспечивает того, что таковой будет и подынтегральная функция. Требуется так выбрать удовлетворяющую наложенным на нее услз
виям функцию ср (71, L д"), чтобы подтвердить это предположение.
Постоянный (не зависящий от координат 71, ^2, ^3) тензор S = St может быть приведен к главным осям
S = X1i1i1 + X2i2i2 + X3i3i3.(6)
Здесь Xfe——главные значения тензора, ife—его главные направления, одни и те же во всех точках тела. Их можно принять за оси декартовой системы 炉，炉，炉
33\。
Vф s Vф = sc瑞需=^/〃ф .中片Vф=工底(詳了 .⑺
Неравенства (5) приобретают вид
自 “§" (祭)"Х"炉厶3>0, 二」笈" /=зa) (8)
и остается убедиться, что первое требует неотрицательности 九力
Примем точку 唸 喘 鹿 за вершину параллелепипеда К& с ребрами hlt /ц， %，целиком расположенного внутри тела. Координаты точек в нем удовлетворяют неравенствам
X^xk^x^ + hk;(9)
положим
вне k修，
* (1°) внутри ЛЛ. \
Здесь функция /(/) определена при 0&/&1 и вместе со своими производными до достаточно высокого порядка обращается в нуль при / = 0 и / = 1. Теперь интегралы (8) преобразуются к виду
.12О*0.12О*0
.12
О*0
.12
О*0
При обозначениях
“'*(力山=а,§ 尸⑴必=|3 (а > 0, ₽ > 0)
оо
получим теперь
После подстановки в (8) приходим к неравенству
£儿中(需賞"炉限储力也(登+書+浦〉。，
откуда и следует, что
Ч>0 但=1,2,3), причем одновременное выполнение трех равенств исключается. Этим завершено доказательство теоремы:
устойчивость равновесия 今 условие Адамара.
Сильная эллиптичность и устойчивость
Обратное предложение:
сильная эллиптичность 今 устойчивость аффинной
равновесной конфигурации
может быть доказано для первой краевой задачи — перемещение задано на всей поверхности тела — налагаемое поле возможных перемещений подчинено требованию
(1)(1)на О: w = 0.
(1)
(1)
Его можно мыслить осуществимым, предполагая, что в натуральной конфигурации тело заключено в абсолютно твердую обойму и предотвращены смещения прилегающих к ее внутренней поверхности частиц среды. Предполагается наличие приспособления, допускающего изменение размеров аффинно преобразуемой обоймы.
В рассмотрение вводится вектор
wmwmw(gL дм g3), О,w(gL дм g3), О,д', 93) € у> (个，92,93)忑0,д', 93) € у> (个，92,93)忑0,⑵⑵
wm
wm
w(gL дм g3), О,
w(gL дм g3), О,
д', 93) € у> (个，92,93)忑0,
д', 93) € у> (个，92,93)忑0,
⑵
⑵
непрерывный по (1) и кусочно дифференцируемый в (^旷 Это позволяет заменить (23.1) выражением
№
00оо
VwT-.5o ° ・・VwTdu = & VW，*% ° ・・VWt 而，(3) fVRVR/зVRVR
в котором, напоминаем, а。 ° — не зависящий от координат VRVR
тензор четвертого ранга.
Определенный в (^3 вектор W представим преобразованием Фурье
W(gi,炉，夕3) = (2汨-%，，，ехр(г・з)С®1, и2, и3)dcojdco2d®3,⑷
причем С — трансформанта Фурье вектора W
С^ (2л)~3/г ^ ^ ехр (— /г-(о) W(91, «2, q'3)dv.(5)
Обозначая чертой над буквой переход к сопряженным величинам и переходя к декартовым координатам аЯ、имеем
=£ Ачг1^ ^ ^ (— j%) Cr (—心)(is, С$ (心)dg d①2 d①3, (6) "fs- 8
причем последнее равенство — следствие теоремы Планшереля и теоремы о дифференцировании — трансформанта производной функции по ат равна произведению /①切 на трансформанту функции.
Равенство (3) теперь переписывается в виде
^^■■ЭО 0 ..^dv^^XCrC^^(o^to^ t/w1 t/w2 d(o3 —
6зVRVR-8 rs af
= &?C|邑吟AM$ ①2 e臼 de% dw2 dw3, (7)
причем введены векторы с, о)
Для сильно эллиптического материала квадратичная форма компонент единичного вектора е
HA^eqet
определенно положительна. Пусть 九尸$ —ее наименьшее собственное значение.
Через 8 > 0 обозначим наименьшее из 九尸尸 и заменим 九“ при r，s нулями. Имеем
不4Mse科〉 83Гg,
£ £ ^'s £ А"''e臼〉e £ X ^rscrcs = ^^ cscs = e
r s q, tr ss
и, возвратившись к (3) и (7), получаем
f f f VwT • -50 о • • VwTdy〉& I I I £响 & Edg d①2dg =
」來 VR VRJ，P /, k
=』庄(紀%f工(礬)®
Этим доказано, что равновесная аффинная деформация сильно эллиптического материала в условиях первой краевой задачи устойчива.
Сильная эллиптичность ——свойство материала в некоторой области деформирования. Например, для полулинейного материала эта область определяется неравенствами (5.5.20), для материала Блейтца и Ко — неравенствами (5.6.16); гипотетический материал (5.6.17) сильно эллиптичен при любых деформациях.
Когда в описываемом здесь «мысленном эксперименте» определяющие аффинную деформацию параметры выходят из области сильной эллиптичности, ранее устойчивая ^-конфигурация перестает быть устойчивой. Сменяющая ее новая равновесная (沥)- конфигурация, если она существует, не аффинна, потенциальная энергия в ней меньше, чем в %< Процесс перехода из ” в 必 должен сопровождаться перемещениями частиц тела в занимаемом им фиксированном объеме. «Материалу некуда деваться» — следует ожидать появления в устойчивой ^-конфигурации (с минимумом энергии) появления складок, точек и линий разрыва производных.
Пример. Диск, деформируемый в жесткой обойме
Диск единичного радиуса в отсчетной натуральной конфигурации заключен в цилиндрическую обойму, снабженную приспособлением, допускающим изменение ее внутреннего радиуса. Материал обоймы (полого цилиндра и покрывающих его плит)— абсолютно твердый. Предполагается отсутствие перемещений частиц материала диска относительно покрывающих его поверхностей обоймы. В частности, компонента тензора удлинений по направлению, перпендикулярному плоскости диска, у3 = 1.
Материал диска — полулинейный. По (5.5.20) он остается сильно эллиптическим при выполнении неравенств
(1)(1)点=Uj. +u2 - ] _y >。，
(1)
(1)
Лг = (1 — v) + vy2 — 2v > 0,Lo ~ vyx + (1 — v) y2 — 2v > 0.
Область сильной эллиптичности ——устойчивой аффинной дефор-Область сильной эллиптичности ——устойчивой аффинной дефор-мации—в квадранте 内〉0,内 > Оотрезками с координатами концов[⑼ 2),(£[(2； 0), (1;мации—в квадранте 内〉0,内 > Оотрезками с координатами концов[⑼ 2),(£[(2； 0), (1;плоскости 力，％ ограниченаплоскости 力，％ ограниченананананананапрямойпрямойпрямойпрямойпрямойпрямойL1 = 0,L1 = 0,厶 2 = °，厶 2 = °，L0 =0L0 =0⑵⑵
Область сильной эллиптичности ——устойчивой аффинной дефор-
Область сильной эллиптичности ——устойчивой аффинной дефор-
мации—в квадранте 内〉0,内 > Оотрезками с координатами концов[⑼ 2),(£[(2； 0), (1;
мации—в квадранте 内〉0,内 > Оотрезками с координатами концов[⑼ 2),(£[(2； 0), (1;
плоскости 力，％ ограничена
плоскости 力，％ ограничена
на
на
на
на
на
на
прямой
прямой
прямой
прямой
прямой
прямой
L1 = 0,
L1 = 0,
厶 2 = °，
厶 2 = °，
L0 =0
L0 =0
⑵
⑵
и расположена над ними. На биссектрисе угла между осями О], и? расположена ближайшая к началу координат точка
% =力=2(1—v) '.(3)
и при
与 W 24 —V)(s=l,2)(4)
материал теряет свойство сильной эллиптичности.
Материальными являются полярные координаты г, ср в отсчетной конфигурации. Преобразование
R = hr, Ф = ср, Z= г, R = ^rer + i32(5)
определяет некоторую аффинную деформацию.
При
左〉自=2(丄) (прн v = 0:瓦=^; прн v = ^: %= 1) (6)
материал сильно эллиптический, аффинная деформация устойчива, при ^ < ^0 неустойчива.
Неаффинная деформация при наложенных связях может быть осуществлена, в частности, наложением на деформацию (5) поворота на угол 2 (г), равный нулю на окружности диска
2 ⑴=0.(7)
Вместо (5) имеем
R = hr, <D = q)+ 2(r), Z=z или R~^re^4-i32,(8)
Причем
% = er cos 屮 + e(p sin 屮，寫=ез = ^ = —efSin 屮+ eM0s5
*M(r)e8・(9)
Базисные векторы R§ в этой конфигурации и градиент места определяются формулами
Ri ~ Rr = ^ (е^ +『屮 е©),R? = R(p =々re©, R§ — R? — I3»
о
YR 二々[er(eR + 厂屮圖 + ефеф] + i3i3.
Мера деформации Коши и ее инварианты оказываются равными о о
G = VR-VRT = ^2[erer(l + r24i, ) + (ere(p + e(per)np, +e(pe(p] + i3i3)
A (G)=炉(2 + г^'г) + 1 =齊 + 呜 + 1, 厶(G)=抬+ P (2 + Г2屮'')=*w+ ^ +唸 /з(6) = о泌
Отсюда получаем
甯+ 呜=融(2 +尸屮') u©2 =依，Ui+g = A4 4 = (4 + 产屮г)% (10)
и инварианты /月(G^2)= /3 определяются формулами /；=01+%+1=々?4 + 1,/； = 0卫2 + l\ +% =々2 + 々4 /3 — ^2.
Удельная потенциальная энергия полулинейного материала (17.9) после очевидных преобразований приводится к виду
3(4) = ^(九+ 2")[依屋一告左4]+2九-2"(1 -依).(11)
Здесь Я определяется по (10), а при аффинной деформации 4 = 2. Минимум энергии в рассматриваемом случае равнозначен с минимумом потенциальной энергии
3 = 2л，rdrэ(А),(12)
о
так как работа поверхностных сил на виртуальном перемещении из равновесной конфигурации (8) равна нулю.
По (11) з(4) имеет минимум при
(13)
Если аффинная деформация неустойчива, т. е.
'< А = 2 (1—V)'
то существует неаффинная деформация вида (8), для которой имеет место соотношение (13), и по (10)
尸1一"2(1 一")2
г 屮—й2(1—v)2•
По (7) находим
屮'屮'Hl—4炉(1—v)2 1 й (1 — v) /Hl—4炉(1—v)2 1 й (1 — v) /к 1—4庐(1 —урк 1—4庐(1 —урk (1—v)k (1—v)InrInr(14)(14)
屮'
屮'
Hl—4炉(1—v)2 1 й (1 — v) /
Hl—4炉(1—v)2 1 й (1 — v) /
к 1—4庐(1 —ур
к 1—4庐(1 —ур
k (1—v)
k (1—v)
In
r
In
r
(14)
(14)
Угол 屮 неограниченно возрастает при приближении к центру диска.
Центр — особая точка поля напряжений, реальный материал не сохранит в его окрестности сплошности, следует ожидать образования трещины.
Плоские волны в однородно напряженной, несжимаемой упругой среде
Здесь мы возвращаемся к рассмотрениям §§ 7 — 9 в предположении о несжимаемости упругой среды. Уравнениям движения (18.13) в Тэх-конфигурации придается вид
V-05 +V- pVwT —Vp' + p(o2w 0,(1)
причем поле виртуальных перемещений удовлетворяет уравнению неразрывности
V-w-0.(2)
Напряженное состояние в ^-конфигурации предполагается однородным — тензоры Т и F постоянны
Т = 一 рЕ + 2 [(% + /[%) F — %F2],
F = ^l^l^l + ^2^2^2 + ^З^З^З'
Здесь е5 —главные направления меры Фингера, ug —ее постоянные главные значения, причем
/зК) = ^^=1.(4)
Давление р также постоянно и поэтому
V- pVwT = pV・VwT = pVV-w = 0.(5)
Поскольку теперь з = з(А，/2), акустический тензор Q в уравнении движения (7.7)
V・®e = —4^Q・w(6)
определяется выражением
Q=^(GN・F・N+aN・F2.N)E + ^iMN・F・NF + N・FF・N) +
+ ^11N-FF-N+^12(N-FF2-N + N-F2F-N) + ^22N-F2F2-N. (7)
Задавая плоскую волну формулой (7.1) и пользуясь соотношением (7.4), по (2) получим
Vw = /N・w, N・w = 0(8)
——в несжимаемой среде, как и следовало ожидать, продольные волны отсутствуют. По (1) и (5) имеем
N・Vp' = —4必 N・Q・w,NN・V“ = —4QNN・Q・w.
Вместе с тем
N • V“ =泓 N • Np' = ikpf,N N ・ Vp' = / N/ = Vp
и поэтому
Vp' = — 4々2 NN -Q-w.(9)
Уравнение движения (1) приведено к виду
QX . W=_lp^2Wj QX = Q — NN・Q (炉=“/々2).(Ю)
Здесь Qx следует назвать акустическим тензором несжимаемой упругой среды. Его представление по (7) приводится к виду qx =}(屮]№F*N +5N・F2.N)(E — NN) +
+ 11|)2[N-F-NF + N-FF-N-2N-F-NNN-F] +
+ ^11(N-FF-N-N-F-NNN-F) +
+^i2 [(N-F—NN•F.N)F2•N + (N•F2-NN•F^•N)F•N] + +a22(N•F2-NN•F2•N)F2•N. (11)
После замен 屮「，8川「их значениями
屮1 = % + /1^2Т"2 = - %， ^11 ~ %1 + 2/1%2 + ”322 + ^2»
312 = —312-/1%,*22 = %； 力=斫，3孤=斫丽伍=1,2)
приходим к выражению
Qx=ya1N-F-N(E-NN) +
+ ya2[(/1N-F-N-N-F2-N)(E-NN)-N-F-NF + N-FF-N] +
+ 3u(N-FF-N-N-F-NNN-F) + 322[N-F2F2-N-N-F2-NN-F2 ++ /HN-FF-N-N-F-NNF- N) —/1(N-F2F2-NNF-N)] +
+ %J2/i (N-FF.N-N-F-NNF-N)-(N-FF2-N-N-F.NNF2-N)—
-(N-F2F-N-N-F2-NNN-F)]. (12)
Конечно, Qx. N = N ・Qx = 0, так как все слагаемые Qx имеют это свойство. Поэтому в ортонормированном триедре N, t1? t2
тензор Qx оказывается плоским тензором
(F =儿也卜 + ^12 (М2 +1工)+ x22t2t2,(13)
причем здесь
犧= ^IaN・F・N+%(/iN・F.N-N・F2.N)]% +
+ 3%(N・F.tsN・FF —N・F・Nts・F 心) + %iN.F.tsN・F・L +
-71(N-F2-t5N-F-tft+N-F.t5N-F2-tft)i +
+ 312[2小下七N下七—N.F.tsNFF—NF也NFts];(14)
k=l, 2, a 5$月一символ Кронекера.
Переходим к рассмотрению частных случаев.
Главные волны. Нормаль N совмещается с главным направлением С] меры Фингера; можно принять 11 = ^?, t2 = e3, так как векторы h, t2 определены с точностью до поворота вокруг N. Получаем
儿 1 = ^*(%+%0；)，九 22=^脅(%+%0力儿 2=0,
так что
Qx = у ^ [(3j + Э2и|) е2е2 + (эх + 32v^ е3е3],(15)
и квадраты скоростей главных поперечных волн, распространяющихся в направлении ех и поляризованных в плоскостях (ех, е2), (еп е3), представляются формулами
；p粤=% + %吸；p ^!" = % + %馮・(16)
2 力2 s
Аналогично получаем, совмещая N с е2 и е3,
~ Р 5i + 52и1» ；Р^Ь = % + %吸(17)
2V22U2
Р 萼=% + %唸! Р 粤=% + %呼(18)
2из2西
Сославшись на уравнение состояния (3), имеем
丄5丄5]02 -032 v| — и；]02 -032 v| — и；%+3找,%+3找,103 一汽5彊一朮103 一汽5彊一朮力+з找力+з找
丄
5
丄
5
]02 -03
2 v| — и；
]02 -03
2 v| — и；
%+3找,
%+3找,
103 一汽
5彊一朮
103 一汽
5彊一朮
力+з找
力+з找
и это позволяет придать выражениям квадратов скоростей главных волн вид
”12”122PG12PG1О] — &и； —и；О] — &и； —и；02-0302-03л2Р®л2Р®рс；з — Оз—01рс；з — Оз—01(19)(19)
”12
”12
2
PG1
2
PG1
О] — &
и； —и；
О] — &
и； —и；
02-03
02-03
л2
Р®
л2
Р®
рс；з — Оз—01
рс；з — Оз—01
(19)
(19)
При выполнении 免赍критериев, иначе говоря, пока материал остается сильно эллиптическим, скорости вещественны —по главным направлениям меры Фингера распространяются плоские волны. Это ——необходимые условия устойчивости среды, но они неполны, так как не исключена возможность, что по направлениям, не совпадающим с главными, скорости не вещественны.
При невыполнении одного из毋护критериев несжимаемая среда в однородном напряженном состоянии неустойчива.
Плоская задача. Следуя Ривлину и Сэйрсу (1973), рассмотрим волны в плоскости (еп е2), линейно поляризованные в этой плоскости, так что
w N — 0, w • е3 — О, N • е3 = О, N — e1^1 -|- e2^2, (20) причем, как и выше, е5 —главные направления меры Фингера. Здесь в соответствии с принятыми обозначениями
ез ~ Ч»ез ~ Ч»t? = N х G = Ni% + ^2% ‘t? = N х G = Ni% + ^2% ‘(21)(21)
ез ~ Ч»
ез ~ Ч»
t? = N х G = Ni% + ^2% ‘
t? = N х G = Ni% + ^2% ‘
(21)
(21)
и уравнение (10) приобретает вид
[^11езе3 + 入 12 (qtz + е2t3)+ 入22t2t2] * 侬2tg =
~ (九 12е3 + 九22t2)侬2 =彳 PC:2 侬2t2，(22)
причем с12 — скорость волны в плоскости (%, е2). При 侬2=/=0 получаем
入12 = °，九22="^РС；2(23)
и по (14)
%2 = _^_%N・F・N +
+ 452[/1N-F-N-N-F2-N + (N-F-t2)2-N-F-Nt2.N-t2] +
+%i (N • F • t2)2+^22(/1N- F.t2-N-F2.t2)2+2a12(/iN-F. t2-N- F2-t2).
Заменив здесь N и t2 их значениями (20), (21), имеемN，F.N = N/ + M唸 N在工=储储(说一喲，t2・F£ = MW + N弼
и т. д. Приходим к формулам
•|рс% = (% +唸)Nlvl + Nfvl +
+2N；0(优一喲2"1十生2叱3叫,@4)
иным путем полученным в упомянутой работе Ривлина и Сэйрса.
Принимается, что 91 + vj32 > 0 —в противном случае однородное напряженное состояние было бы неустойчивым при распространении главных волн. Необходимым условием устойчивости его для волн рассматриваемого здесь типа служит поэтому положительность величины
Ф3 - N/ + ^^^ + 2N泌弘* —喲2 鸟，
8 一电1 + 2312圖 + ?22?3(25)
3%+财^
Знак Ф3 обнаруживается из рассмотрения волн, для которых
55(26)(26)
5
5
(26)
(26)
удовлетворяют требуемым условиям N； + N^q 1, OW N； W 1， 0&M&L Получаем
①3 =力%口+2(力-犷旦］,(27)
так что
RW0 при & = Н+竺結 2±322 唱 V；(力一。尸2.(28)
Аналогично для волн в плоскостях (е2Т е3), (е3, ej
R分0 при筑=H+"如2士北竝分一 ?网一03尸,
"32" 4(29)
①{0 при 邑 = 3фф^三一；依一力尸.
51 + ^22
Необходимым условием устойчивости является соблюдение этих трех неравенств с верхним знаком (>). Неустойчивость имеет место, если хотя бы одно из них выполняется с нижним знаком (<).
Материал Муни — Ривлина. Для него
з = & (/1 — 3) +。2 (厶一3), 3i == &〉0, а? = С?》0. (30)
Здесь зп = 322 = 312 = 0 и，опустив громоздкие элементарные преобразования, приходим по (14) к формулам
(31)(32)(33)(31)(32)(33)2M = %N・F・N + 3j(^) +伶)+售)
(31)
(32)
(33)
(31)
(32)
(33)
2…NF.N + %［闱+(打+ (打 2戮計
причем здесь
# = t「〃，废=匕•齿 优=1,2,3)
—компоненты векторов tn t2 по главным направлениям меры деформации F.
Главные значения акустического тензора определяются корнями квадратного уравнения
о® —(入 11 + 入22)о + 入и入22 —入;2 = 0(34)
и, поскольку 入口〉0,入2〉°，по (30) приходим к неравенству
入 12入22 —入;2〉0-(35)
Оно же по (31) —(33) преобразуется к виду
契(N・F・N)2 + 3总N・F・N ［1=^1 + ±^ + ±2^1］ +
+ % ｛壶［(/関)2 + (/鵠)2 - 2/"#凿］+
+』［①缈2 + (出护一 2/豺睛置+ v2v3
+表［(賞/护+ (也犷」2件傢:因｝,
и выражение в фигурных скобках оказывается преобразуемым по (4) к виду
* 抬抬一绍犷+* (/猾一 /也)"+工(/鵠一 /掳)=
虫窗方均V3V1
= ^M + u；H + WN；=N・F・N・
Приходим к неравенству
儿口22 — %=N・F・N |a；N・F・N +
+ 3例(学+1^ + 中)+用〉0 (36) \^1^2内 /」
и этим устанавливается устойчивость материала Муни — Ривлина.
Иным способом при отличающейся от (10) и (11) форме записи уравнения распространения плоских волн задача рассматривалась Ривлином и Сэйрсом (1977). В их работе устанавливались критерии устойчивости не только материала Муни — Ривлина, но и материалов с потенциальной энергией a = a(/J, 5(/2); случай любого несжимаемого материала остался до конца неизученным— не были получены алгебраические критерии устойчивости, выраженные через 力，aik при любом N. Безуспешной оказалась попытка прийти к более определенным результатам и в публикациях этих авторов 1978 г.
Критерий Адамара в однородно напряженной, несжимаемой упругой среде
В записи алгебраических критериев положительности квадратов собственных чисел акустического тензора
入">0,入门入22-■驚2〉0
входят не только исходные задания описывающих деформацию величин 力，屯，и3 и функций от них 力，力月，определяемых выбором материала, но и компоненты №「"？，"з вектора нормали N к волне и перпендикулярных к нему векторов tn t2. Исключение этих величин., связанных шестью условиями
N・N = 1, ta-t3-6aP, №、= 0 似，卩=1,2),
из вышеприведенных неравенств, иначе говоря, разыскание критериев, определяемых только исходными данными, связывается, по-видимому, с непреодолимыми трудностями: чтобы их оценить, достаточно взглянуть на формулы (26.14). Столь же громоздки иначе записываемые, но также содержащие ^1, ^2, N§ неравенства, приведенные в работах Ривлина и Сэйрса (1977, 1978).
Здесь задача будет рассматриваться другим путем. Через з月，з瓦，в отличие от § 26 обозначаются производные э по ип и?, v3 _ дз _ д2а
” 一 dvk *%@и§，
а компоненты акустического тензора в ортонормированном базисе R, е2, е3 собственных направлений меры деформации Фингера определяются по формулам (4.12.9), (4.12.20). В них главные напряжения о月 заменяются их выражениями через эк по (4.3.12), (4.3.16)
SOoi S д2э
裁=总^力=證и т. Д.
Получаем
VT^=3泅:+学中呜用+礬二粤2。加•(1)
⑴
Выражение Q12 преобразуется к виду
Q』мм(。篇+资堂амм (叩加一向+匿营)
и после упрощений
/W = 4。2MM (%•(2)
\a /
При обозначениях
а12 = а21 =а12 = а21 =43 =42 =43 =42 =О?»? — и§3з^2—УЗО?»? — и§3з^2—УЗU]3[^2^2 vl—vlU]3[^2^2 vl—vl_31。2 -32仃 U； —U；_31。2 -32仃 U； —U；北方一U131北方一U131&2 н 52l&2 н 52lВ?з = &2 二В?з = &2 二方巧一33。'2方巧一33。'2^31 — ^13 —^31 — ^13 —33力一叩3办一力33力一叩3办一力(3)(4)(3)(4)
а12 = а21 =
а12 = а21 =
43 =42 =
43 =42 =
О?»? — и§3з^2—УЗ
О?»? — и§3з^2—УЗ
U]3[^2^2 vl—vl
U]3[^2^2 vl—vl
_31。2 -32仃 U； —U；
_31。2 -32仃 U； —U；
北方一U131
北方一U131
&2 н 52l
&2 н 52l
В?з = &2 二
В?з = &2 二
方巧一33。'2
方巧一33。'2
^31 — ^13 —
^31 — ^13 —
33力一叩3办一力
33力一叩3办一力
(3)
(4)
(3)
(4)
акустический тензор представляется теперь выражением 一 33
MZQh W £ 9ikNiNkPivk^i4 + (At^Nl+ Ai3vlNlj ejej +
+ (A23vlNl+ А21иЖ) e2e3 + (4i 蕾 N； + 儿2贫N? e3e3 +
+ B12N^^2 (史电 + e2ei) + B23N2N3v2v3 (e2e3 + e3e2) +
+ B31N3N1U3U1 (qR + 史已 J (5)
Отметим еще соотношения
42+報=^， 4з + 以3 =合，4l+%=^，(6)
л d _л ал а —%
412 — ^12—^"^，&3 —甘23 ；^zp^，&1—41 —彳百•(/)
Неравенство Адамара (22.12) в соответствии с (22.14) и при обозначении
.Ма = %(，= 1,2, 3)(8)
теперь может быть записано в виде
33
4 (а, Ь) = £ £ э^а^Ь^ + А12 (а^? + а^ + 4з (。弼 + а^ +
1 = 1 I
+ ^31 (albl+albl)+2B12a1b2a2b1+2B23a2b3a3b2 + 283^^3 > 0. (9)
В частности, приняв ^ =а3^0, а§ = 1, 已=1, % = % =。， придем к неравенству
4i >0.
(Ю)(Ю)Это условие и два аналогичных
(Ю)
(Ю)
представляют знакомые 毋^-критерии (5.13.10), выражающие необходимые условия эллиптичности системы уравнений равновесия рассматриваемого материала.
Теперь, введя в рассмотрение величины
Q也=召 " = 1,2, 3),(11)
можно заменить (9) неравенством
33
А (а, Ь) = £ £ ^ik^i^k + 2В12х1х2 Ц- 2В23х2х3 Ц- 2В31х3х1
+ 41 [^ (青了 + х:借)»。，(12)
в силу (10) выполняющимся при замене величины 淄(統+爲(紡=*+%〃)z=(部2
и ей аналогичной их минимумами (при фиксированных xj. Но f(z) достигает минимума при
9 =谣一=0，Z=(然
и этот минимум равен
乂图)"图+爲图= 2|/%|.
Неравенство (12) теперь приведено к виду
■А(X)— ЗцХ； + <^22^2 + »33絡 + 2 (%2 + В12)"1“2 + 2 (%3 + ^23)%，3 + + 2 03]+ 当1)必修 + 2Л121 х1/ I + 2儿31 x2% I + 2Л311 %/ I》0. (13)
Оно выражает не только достаточное, но и необходимое условие выполнимости неравенства (9), так как минимум выражения
Л12 (а1Ы + а1Ы) + Л23 (а1Ы + 破必)+ Л31 (國匿 + a^bl)
действительно достигается в области задания переменных 〃$, bs.
Переход от неравенства (9) к (13) — решающее место всего построения. Форма шести переменных заменена формой трех переменных, правда, усложненного вида, так как последняя содержит не только переменные х1? х2, х3, но и их модули. Задача в общей постановке остается громоздкой; она упрощается, если ограничиться рассмотрением несжимаемой среды.
о
В этом предположении аргумент VR выражения удельной 00 广一
потенциальной энергии a(VR) подчинен условию det VR = k Л = 1- Это же условие несжимаемости материала должно выполняться во всех сравниваемых с актуальным состояниях, иначе говоря, и для аргумента
о
VR・(E + i]Nb),
входящего в определение (22.8) неравенства Адамара. Итак, оо
det VR • (Е + i]Nb) = det VR • det (E + i]Nb) = det (E 十 qN b)=
= l + i]N・b=l, N・b = O,
так как det (E + t]Nb) = 1 + r]N • b.
Теперь no (8) и (11) приходим к соотношению связи
зз з
N.b二火 2也=火^/ =火^ = 0，(14)
i— 1i = 1I— 1
налагаемой на переменные xz в несжимаемой среде. Поскольку V/ > 0, оно не удовлетворяется, если х^, х2, Хз имеют одинако
вые знаки—два из восьми октантов пространства этих переменных выпадают из рассмотрения. Сочетания знаков в остающихся исчерпываются формулами
1 •修〉0, х2/〉0，%3%〉0, %]1 •修〉0, х2/〉0，%3%〉0, %]< о, х3 < 0, <0,修 <0, < о, х2 < 0,< о, х3 < 0, <0,修 <0, < о, х2 < 0,Г. %! < 0, 2\ х2 < 0, 3'. / < 0,Г. %! < 0, 2\ х2 < 0, 3'. / < 0,厶 > 0, %〉0, %〉0,修〉0, (15)X]〉0,厶〉°・厶 > 0, %〉0, %〉0,修〉0, (15)X]〉0,厶〉°・
1 •修〉0, х2
/〉0，%3
%〉0, %]
1 •修〉0, х2
/〉0，%3
%〉0, %]
< о, х3 < 0, <0,修 <0, < о, х2 < 0,
< о, х3 < 0, <0,修 <0, < о, х2 < 0,
Г. %! < 0, 2\ х2 < 0, 3'. / < 0,
Г. %! < 0, 2\ х2 < 0, 3'. / < 0,
厶 > 0, %〉0, %〉0,修〉0, (15)
X]〉0,厶〉°・
厶 > 0, %〉0, %〉0,修〉0, (15)
X]〉0,厶〉°・
При обозначенииПри обозначении("1,2,3)("1,2,3)(16)(16)
При обозначении
При обозначении
("1,2,3)
("1,2,3)
(16)
(16)
приходим к рассмотрению лишь трех комбинаций решений уравнения (14),
% =干5自3； 打=干力£; %2 = +02e2；% =干5自3； 打=干力£; %2 = +02e2；Е1 =己2 + Ез， g蓑+h⑺Ез = Е1 + %・Е1 =己2 + Ез， g蓑+h⑺Ез = Е1 + %・(1 I 1 ) X1 = ±0自，x2=干D2e2, (2,2) % = ±。2己2，%3 = + %Ез， (3, 3 ) %3 = ±"3e3，*1 = +01e1,
% =干5自3； 打=干力£; %2 = +02e2；
% =干5自3； 打=干力£; %2 = +02e2；
Е1 =己2 + Ез， g蓑+h⑺
Ез = Е1 + %・
Е1 =己2 + Ез， g蓑+h⑺
Ез = Е1 + %・
Верхние знаки соответствуют случаям 1, 2, 3, нижние — случаями Г, 2‘，3'・
Задача сведена к определению условий неотрицательности трех форм от двух неотрицательных переменных, получаемых поочередным исключением хп %?，%з из выражения (13)
/⑴&*3)=陽圖+ 2陽+用圖，
产)总,EJ =阳党十2尚&e1 十瑙皆，(18)
产后,扇)=/瞒+ 2/微旦+ f艦.
По (3), (4) и (6), (7) коэффициенты этих форм оказываются равными
^22 = Л? — ^11^1 + ^22и2 — 2 (比2 —：：j：；) "№，
Аз =用> =为2破 + %3说一2 ( &з —注°2%，
§27]КРИТЕРИЙ АДАМАРА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ403
門‘=瀾=%3需+力仙一2 （41-壯^） %力，
用甯+（九+ 黑^） 02% 一
—洋小力，（19）
-（%一^） —L合力。3，
Необходимые и достаточные условия неотрицательности квадратичной формы двух неотрицательных переменных 乙，&
/ 二 a^zf + 2 a12Z1Z2 + &2 務（20）
выражаются неравенствами
еслито аii&2一
（21）
Действительно, условия an^0, a22 ^ 0 гарантируют неотрицательность формы при % = 0, %：/= 0 или соответственно 4 = 0, z/0. При %》° трехчлен
a11 + 2%2〃 + &2儿5s
не имеет положительных корней, а при аиа^——〃；2》° не имеет вещественных корней. Критерии （21） можно записать и в единой форме
a11 ^^。，&2?°,1^"11"22 + a12）。，（22）
Алгебраические критерии эллиптичности （или выполнимости неравенства Адамара, или положительности квадратов скоростей распространения плоских волн） сведены к девяти неравенствам: к трем неравенствам
體=陽》0, 機)=f芻》0, 楊=报)》0,(23)
к трем неравенствам
/№+^>0,/前+般>NO,/№ + ^2^0 （24）
и к трем 毋6-крнтерням (10). Формулы громоздки, но вычисления по ним при явном задании функциональной зависимости з®1，5, %) или 3(八，/2) не могут встретить затруднений.
4. Для материала Муни ——Ривлина (7.4.1) все неравенства соблюдены. Например,
■у 閩 н & 也 + ^2)2 + ‘2 (,
/\и2 /
4■设>=&(%+犷+e2信+亲)'
У аз =&* 十鲁+& (^+^+^) +e2(01+力+%)
и, напомним, &〉0, С2 > 0. Материал эллиптичен при любых деформациях.
В качестве второго примера рассмотрим материал с удельной потенциальной энергией деформации
”з(/1) = з(* +喝 + 喲.
Здесь
— 2v19fi 3口 = 2з'+4и；з",312 = 40153” и т. д.,
причем Г〉0 по (10). По (19) получаем
^ 彊=® + О貝3, + 23〃 ®—uj],^攝> =电+。1)2[3' + 23"网一01)2],
y аз = (01 +02)®1 + %)回 + 23" (01 一 力)(01 - Из)]
и т. д. Требуется удовлетворить трем неравенствам
з' + 2з" ®i—и2)2》0,з‘ + 2з"(5 — ^з)2》0，
з'+2Г (%f )2》0(25)
и, скажем, при f^ < 0 неравенству
f№-W > 0,(26)
приводимому к виду
зб"(5 —5)2〉°, з"〉0*
Итак, при
з"〉0(27)
соблюдены три неравенства (26) и, конечно, три неравенства (25).
Примем теперь з" < 0 н пусть v1^v2^v3. Три неравенства (25) выполняются при
М》2|门®-&)2(28)
и этого достаточно, чтобы выполнялись три неравенства 揚,2 0： 3'》2|夕'1(力一5)(力一为)， 開》0：心21叫他f )(4一5， 展>》0: 3'?2|3](01 -03)(力一03)■
Отметим, что для рассматриваемого материала неравенство (28) подтверждается неравенством (26.30).
Глава 9
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ
§ 1・ Уравнение баланса энергии. Первый принцип термодинамики
Полная энергия в объеме V сплошной среды определяется суммой его внутренней энергии 6 и кинетической энергии 苏
6 +(1)
Закон сохранения энергии выражается уравнением баланса 点+檢=号© + 4.(2)
Его левая часть представляет изменение полной энергии в единицу времени—ее материальную производную. Первое слагаемое правой части было определено соотношением (2.8.13), как отнесенная к единице времени работа внешних (массовых и поверхностных) сил
■ 号* =腕+ ,中..D即.(3)
V
Второе слагаемое 62—подведенное в объем за единицу времени тепло ——«нагревание».
Речь идет только о механических и тепловых процессах; энергии прочих процессов, скажем, электромагнитных явлений и химических превращений, не включены в рассмотрение. Нагревание & входит в уравнение баланса (2) равноправно с первым слагаемым, это соответствует принципу Джоуля — Майера экви- лентности тепла и работы. Конечно, & измеряется в единицах мощности.
По (2) и (3) уравнение баланса приводится к виду
设=，，，T.・DW + &.(4)
В рамках механики сплошной среды внутренняя энергия вводится в уравнение баланса (2), как слагаемое в левой его части. Уравнение механики mb = f выражает не тождество («определение силы»), а равенство двух величин — «информация» о силе
должна задаваться отдельно. Подобно этому уравнением (4) устанавливается связь между тремя величинами, но не следует думать, что им по заданию правой части определяется S\ внутренняя энергия, подобно силе в уравнении движения, должна независимо задаваться через величины, определяющие состояние среды.
Так же как мощность напряжений (первое слагаемое правой части (4)) определяется внешними поверхностными и массовыми силами, в формирование нагревания & входит тепло, поступающее в объем R через его поверхность (теплопроводность), и тепло, распределенное по объему (создаваемое, например, за счет лучеиспускания внешних источников),
& = §WdO+EprdK(5)
ОV
Через q выражается вектор теплового потока h; к этому понятию приводит такое же, хотя и более простое, рассуждение, чем использованное при введении тензора напряжений: заданию ориентированной площадки NdO в любой точке объема V сопоставляется проходящее через площадку в единицу времени тепло qdO. Скаляру qdO сопоставлен вектор NdO, а линейность этой зависимости подтверждается знакомым рассмотрением потоков тепла через грани элементарного тетраэдра. Приходим к соотношению
q = —N・h.(6)
Теплу, покидающему объем, приписывается отрицательное значение; N, как всегда, нормаль вовне объема. Подобно основному соотношению Коши (2.2.3), соотношение (6) отнесено к любой ориентированной площадке в объеме V, в нем определено поле вектора h теплового потока ——скаляр q, линейно зависящий от |N, представим скалярным произведением N на некоторый другой вектор — напомним (II.1.2). Точно так же по силе 储， линейно зависящей от N, вводилось поле тензора напряжений Т. В. соотношении (6), если относить его к ограничивающей объем поверхности О, следует видеть краевое условие для h; подобно этому (2.3.1) —краевое условие (уравнение равновесия на поверхности) для Т.
Преобразование Гаусса — Остроградского позволяет теперь представить (5) и (4) в виде
&=,V(P—Y・h)W,⑺
<^ = JJJ(T--D-V-h + pr)dV.(8)
Принимается, что внутренняя энергия — аддитивная функции массы, иначе говоря,
S = mpedV = ^paedv, S = ^paedv=^pedV (9)
VvvV
——через е обозначена внутренняя энергия, отнесенная к единице массы—удельная внутренняя энергия. Теперь (8) приводится к виду
JJJ (ре—Т- -D + V-h —pr)dV = 0. (10)
Это — первый принцип термодинамики, представленный в интегральной форме. Его дифференциальная форма выражает условие обращения в нуль подынтегрального выражения, так как объем V может быть назначен произвольно:
ре—Т- D + V h—pr — 0.(11)
Записав выражение поступающего в единицу времени в объем тепла через его поверхность в виде [см. (1.6.5)]Записав выражение поступающего в единицу времени в объем тепла через его поверхность в виде [см. (1.6.5)]мы вводим в рассмотрение вектор hмы вводим в рассмотрение вектор hо /~7Гh= |/ у VrT h,о /~7Гh= |/ у VrT h,(12)(13)(12)(13)
Записав выражение поступающего в единицу времени в объем тепла через его поверхность в виде [см. (1.6.5)]
Записав выражение поступающего в единицу времени в объем тепла через его поверхность в виде [см. (1.6.5)]
мы вводим в рассмотрение вектор h
мы вводим в рассмотрение вектор h
о /~7Г
h= |/ у VrT h,
о /~7Г
h= |/ у VrT h,
(12)
(13)
(12)
(13)
выражаемый через h точно так же, как тензор Пиола выражен о
через тензор напряжений Коши [см. (2.7.2)]. Можно назвать h —— вектором Пиола теплового потока. Обратившись теперь к выражениям первого принципа термодинамики в интегральной и дифференциальной формах и сославшись на представление (2.7.14) мощности через тензор Пиола, приходим к записям этого принципа в отсчетной конфигурации
(14)(15)(14)(15)г г г . о о о
(14)
(15)
(14)
(15)
J J J(Рое —Р- -VvT + V-h —por)dv= о,
. о О О
рое —Р- -VvT —V-h —рог = 0.
Второй принцип термодинамики
Для механики сплошной среды температура — первичное понятие. Можно довольствоваться его словесным определением «степень нагретости», например, и указанием способов измерения.
Важно отметить, что определено наименьшее значение температуры, которой в шкале Кельвина приписывается значение 0 = 0, так что всегда 0 > 0.
Второй принцип термодинамики связан с понятием энтропии. Материальная производная по времени энтропии, поступающей в объем V от внешних источников тепла, определяется (подобно (1.5)) выражением
HWw + ^dO = HWdT^N・hd。. (1) VОVо
Внутренняя энтропия в объеме V, обозначаемая Н, представляет аддитивную функцию массы и выражается через удельную энтропию т] (относимую к единице массы) формулой
H=5$SpiidV=SSSpoiidu-⑵
Из большого числа формулировок (неравнозначных друг другу) второго принципа термодинамики, следуя Трусделлу, мы остановимся на неравенстве Клаузиуса — Дюгема
н^ jjj4prdV-jj|N-hdO,(3)
выражающем, что внутренняя энтропия в объеме не убывает. Процесс со знаком равенства называется обратимым, неравенства —необр атимым.
В другой записи после преобразования поверхностного интеграла в объемный
Jjy N-hdO = JjJ V-|dV = jjjl(V-h-h-Vln0)dVОУVJjy N-hdO = JjJ V-|dV = jjjl(V-h-h-Vln0)dVОУVнеравенству Клаузиуса — Дюгема придается виднеравенству Клаузиуса — Дюгема придается вид
Jjy N-hdO = JjJ V-|dV = jjjl(V-h-h-Vln0)dV
ОУV
Jjy N-hdO = JjJ V-|dV = jjjl(V-h-h-Vln0)dV
ОУV
неравенству Клаузиуса — Дюгема придается вид
неравенству Клаузиуса — Дюгема придается вид
а в дифференциальной форме
р0г| — (pr —V-h) — h-Vln0^O.(5)
Свободная энергия. Диссипативное неравенство
Из неравенства (2.5), дающего представление второго принципа термодинамики в дифференциальной форме, исключим с помощью этой же формы первого принципа слагаемое
рг — V-h,
определяемое подаваемым в объем V извне теплом. Приходим к неравенству
р0п_ре + Т* -D-h*Vln0>O,(1)
преобразуемому после замены
р0т)= р (0Т])' — рбт] к виду
Т…D — р (е — Вт])• — рбт] — h-V In9》0.⑵
Сюда в рассмотрение оказалась включенной величина
f=e—8%⑶
называемая удельной свободной энергией или термодинамическим потенциалом Гельмгольца. Второй принцип термодинамики оказался представленным теперь в форме «диссипативного неравенства»-
Т. .D-p(/ + 0r])-h-Vln0^O.(4)
Входящие в него слагаемые
(р = т- -D —Р(/ + 0Т])(5)
определяют «удельную диссипативную функцию», называемую еще «удельной диссипацией (рассеянием) энергии». Среды, в которых 0, к ним, как увидим, относится упругий материал, называются недиссипативными. В них по (4)
h-Vln0 = yh-V0<O.(6)
Смысл этого неравенства становится ясным, если вспомнить условие о знаке (1.6) и что 0 > 0. Оно выражает, что вектор V0, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания 0, составляет угол не меньший 90° с вектором теплового потока h —тепло распространяется в сторону падения температуры. Это заключение может и не выполняться при положительной диссипации (ср〉0); тогда нельзя исключить возможности неравенства знака, противоположного (6): «не исключено, что при надлежащих условиях вода поднимается по склону горы».
Выражение первого принципа термодинамики через свободную энергию приводится -по (1.11), (3) и (5) к виду
р0т]~Т- ■ D — р (/ + 0т]) + pr — V*h =(p + pr — V-h.(7)
В недиссипативных средах (ср =0) это соотношение представляет уравнение распространения тепла (теплопроводности)
р0т)= рг — V*h.(8)
В отсчетной конфигурации вышеприведенные формулы приобретают вид: первый и соответственно второй принципы термодинамики . о..о о
ро0т1 = Р- -VvT —р0 (/ + 0т1) + рог—V-h,(9)
О.. о о
p..VvT—р0 (/ + n0)—h-Vln0>O,(10)
выражение диссипативной функции и уравнение распространения тепла в недиссипативных средах о ..
Ф = Р- -Vvr—р0(/ + 01]),(Н)
.О о
Ро^мРо，一 V・h.(12)
Термодинамические потенциалы. Определяющие величины
Применение принципов термодинамики в механике сплошной среды требует заданий одного из термодинамических потенциалов——свободной или внутренней энергии, а также вектора теплового потока в зависимости от определяющих движение среды и тепловых процессов в ней величин. Без этого дальнейшее продвижение бесперспективно, подобно тому как «бесполезен» закон Ньютона mb = f, если ничего неизвестно о зависимости силы f от места точки в силовом поле, скорости, времени.
‘ Ограничиваясь рассмотрением простого упругого материала и считая его однородным, примем, что величинами, задающими его состояние (определяющими параметрами), являются градиент оо
места VR, температура 0 и ее градиент V0. Свободная энергия / и вектор теплового потока h задаются, как материально индифферентные функции этих параметров
/оо 0/0
/-/kVR； 0, V0；, h-hf.VR; 0, V0；,(1)
иначе говоря, преобразуемые при переходе от «нештрихованной» актуальной конфигурации к «штрихованной» по закону
/(VR-O; 0, V0)= /(VR; 0, V0);
0/0О \0/00 \丿
h(VR・O; 0, VB丿= h(VR; 0, V0J.
Здесь, чтобы упростить дальнейшее построение, эти задания представлены в отсчетной конфигурации. Сами определяющие параметры—искомые функции координат и времени, хотя многое
о чем говорится далее, сохраняет свое значение, когда / и h — функционалы над предысторией среды.
Задача состоит в определении по заданиям (1) уравнений состояния —функциональных зависимостей тензора Пиола Р и о о
энтропии 耳 от VR, 0, V0
удовлетворяющих принципу материальной индифферентности
Это достигается применением второго принципа термодинамики в форме диссипативного неравенства (3.9). Входящая в него производная свободной энергии по времени по (1) представляется согласно (1.10.7) выражением
++(5)
Исключение / из (3.10) приводит теперь к неравенству fP-Po/о y-VvT-po(| + n')0 + 4--^0)'-h-Vln0>O. (6 丿 \ vr 7'而6
Но линейному относительно переменных х, у, г неравенству
Ax+By + Cz + D^O
(в нем Л, В, С, D от этих переменных не зависят) можно удовлетворить лишь при условиях
Л = 0, 8 = 0, С = 0, D》0
—в противном случае, задав х, у, г надлежащие значения, можно было бы левой части неравенства придать любой знак.
Роль переменных х, у, г в неравенстве (4.4.6) отходит к VvT, О, (V0); коэффициенты в нем по (1) от этих величин не зависят. Итак,
Р=р"о，忏一累，* =。，-h-Vlne>0. (7) vr
Эти фУ нДа ме нта л ьн ые результаты нельзя получить из рассмотрения первого принципа (3.9)—в его выражение входит величина
о о
por—V-h, определяемая подаваемым извне в объем V теплом, которой можно придать любой знак.
Следствием (7) является недиссипативность простого упругого материала. Действительно, по (3.11) и (5)
屮=仇(《j%十*6—4=0-(8)
Подтверждаются неравенство (3.6) и запись уравнения теплопроводности в форме (3.12). Свободная энергия оказалась независящей от градиента температуры
半=0,/-/(VR; 0),(9)
так что от него не зависят Р и 耳
P = po/(VR; 0)о ,(Ю)
『一泉(&R；e).(Н)
о По (2) и заменив VR его полярным представлением, имеем
/(VR; 0)= /(VR.O; 0)=/(U-Ox-O; 0) = /(U; 0) = /(G;0). (12)
Здесь принято 0х 0^ Е и повторено преобразование (3.2.9); сохранив для свободной энергии обозначение /, имеем теперь по (10) и (II.3.5)
о
P = pJ(G；e)o =2pJ(G;肌・VR
VR
и по (2.7.3), (2.7.11) приходим к представлению тензора напряжений Коши и энергетического тензора
о о
Т = 2pVRr./G.VR, D = 2p/G,(13)
так как р0 j/告=Р・ В этих обозначениях, вместо (11), имеем
L —篇(G, 8).(14)
Уравнению теплопроводности (3.12) по (1.13), (1.7.3) придается вид
и как следовало ожидать
р0т] = рг—V h.
Здесь h—вектор теплового потока. Но вектор Пиола тепло- о
вого потока h удовлетворяет требованию индифферентности; поэтому, воспроизведя преобразование (12), имеем по (1.13)
(16)(16)
(16)
(16)
§ 5. Представления через удельную внутреннюю энергию
Уравнение (4.11) при условии
32f硬32f硬干о干о(1)(1)
32f硬
32f硬
干о
干о
(1)
(1)
⑵⑵однозначно разрешимо относительно 0 e = e(?R； п).
⑵
⑵
Вместе с тем (4.11) позволяет назвать—/ производящей функцией преобразования Лежандра 0—＞耳.Производящая функция обратного преобразования 耳一＞0, согласно известному правилу, представляется выражением
0(VR; n)+/(VR； 0(VR; |])) = 6(¥«; n)-(3)
Им в соответствии с (3.3) определяется внутренняя энергия, представленная через градиент деформации и энтропию. Дифо
ференцируя (3) по VR и % имеем
% ~ Л®0 + fo +W°0 ~ /о +耳(。0 —f о，
VR VR VR VR VR \ VR VR / VR
^ = 0(VR；n) + ^ + ^^ = 0(VR；n)+^(n-n) = 0(VR；n)
—здесь использовано соотношение (3.11).
Пришли к соотношениям
P = pe(VR； t])0 ,9-Де(VR; t]),(4)
которыми, конечно, подтверждаются свойства преобразования Лежандра.
Задание внутренней энергии должно быть материально индифферентным—удовлетворять функциональному соотношению вида (4.4.1)
е(VR; г]) = е(VR-О; г]).(5)
Поэтому, повторив ранее сказанное, можно представить теперь тензор напряжений Коши, энергетический тензор и температуру выражениями оо
T = 2pVRT.e(G; t])g・VR, TV = 2pe(G;叽， 8$(G；D(6)
В изотропной упругой среде, когда за отсчетную конфигурацию принято неискаженное состояние материала, f и е представимы через меру деформации Фингера F
f(G; e)= f(OX'F・OXT; e)= f (F; 0), e(G; ii) = e(F;哈 (7) так как f и e в эгом предположении — изотропные скаляры [см. (II.5.30)].
Но по (II.3.6)
оfo =2VR"f,VR
так что по (4.10), (4), (2.7.3) получаем
Т = 2pF • fp , Т ~ 2pF * ^f •(8)
Здесь f и е—функции инвариантов /玄(F) =(G).
В представлениях свободной и внутренней энергий принималось, что материал однороден, его свойства, единообразные во всем объеме, не зависят явно от материальных координат. Учесть неоднородность можно внесением в выражения (4.1) и (5) вектора места г (q1, q2, q3) в отсчетной конфигурации. Это не изменило бы формы полученных зависимостей, но осложнило их содержание.
Уравнение теплопроводности о
Предполагается возможность представления вектора h суммой вида
О/о О \0/0\ о /о о \ о
h( VR; 0, ve丿= e(vr； o丿一k(vr, e； ve/ve, (1) в которой первое слагаемое не зависит от градиента температуры V0, второе определяет вектор, представимый произведением оо
тензора второго ранга К на градиент температуры V0 и обращающийся в нуль вместе с последним.
Неравенство (4.7) теперь дает
0 0 О 000 / 0 о \ о
h.ve-hp*v9—ve«K(.vr； е, vej.ve^o (2)
О
и наличие в его левой части слагаемого, линейного по V0, позволяет, как объяснялось ранее, придать ей любой знак. Поэтому
О00/0О \ О О 00.
ho-O,h = —K(VR, 0, V0/V0, V0.K-V0>O,(3)
о
Построенная по тензору К квадратичная форма неотрицательна» о
иначе говоря, тензор К, представляющий тензор теплопроводности среды, неотрицателен.
В изотропном для тепловых процессов материале, когда отсчетная конфигурация является неискаженным состоянием, о
тензор К—шаровой оо о
= Е比 力》0, h = —■ ^V0,(4)
k ——коэффициент теплопроводности, по (3)——неотрицательный, о
Далее мы ограничимся этим представлением К-
Уравнение теплопроводности (3.12) теперь приобретает вид
.0 о
p厠=p(/+卩^仇(5)
В привычной записи используется понятие теплоемкости х ——
на один градусна один градустепла, расходуемого для повышения температуры единицы массы
на один градус
на один градус
(6)
Индексом Г указывается, что величина отнесена к некоторому «термодинамическому пути» материальной частицы. Необходимость такого определения объясняется тем, что величина 5q — не полный дифференциал. Обобщением понятий теплоемкости газа при постоянном объеме и при постоянном давлении являются теплоемкости твердого тела при неизменной деформации и при неизменном напряженном состоянии.
Обратившись к (1.7) и (4.15), можно записать соотношения
По.(4.11)По.(4.11)⑺(8)⑺(8)Первое слагаемое справа в этом соотношении отпадает при неизменной деформации (VR——постоянно). По (6) и (4.11) по-Первое слагаемое справа в этом соотношении отпадает при неизменной деформации (VR——постоянно). По (6) и (4.11) по-лучаемлучаем"=e丽=一°屈"=e丽=一°屈(9)(9)
По.(4.11)
По.(4.11)
⑺
(8)
⑺
(8)
Первое слагаемое справа в этом соотношении отпадает при неизменной деформации (VR——постоянно). По (6) и (4.11) по-
Первое слагаемое справа в этом соотношении отпадает при неизменной деформации (VR——постоянно). По (6) и (4.11) по-
лучаем
лучаем
"=e丽=一°屈
"=e丽=一°屈
(9)
(9)
一выражение теплоемкости при неизменной деформации. Теперь в левой части (5)
彳=飘 + 飞R.・VvT = %xO + ±^..VvT
и уравнению теплопроводности придается вид .др О О О
Р^е=仇尸+е 籌• • Vvt+V /ve.(10)
В статических задачах(VVT = 0) приходим к хорошо известному уравнению Фурье
•0 о
Ромб = Pq『+ V・ ^V0.(11)
Предположив, что отельно VR, имеемПредположив, что отельно VR, имеем0 оVR = VR (Р; 0),0 оVR = VR (Р; 0),+YR3.(黑)工+YR3.(黑)工++О办 0vRT丽=" "TVRО办 0vRT丽=" "TVR川丽，川丽，(12)(12)соотношение (4.10) разрешено относи-
Предположив, что о
тельно VR, имеем
Предположив, что о
тельно VR, имеем
0 о
VR = VR (Р; 0),
0 о
VR = VR (Р; 0),
+YR3.(黑)工
+YR3.(黑)工
+
+
О
办 0vRT
丽=" "T
VR
О
办 0vRT
丽=" "T
VR
川
丽，
川
丽，
(12)
(12)
когда процесс происходит при неизменном напряженном состоя- 0
нии (при постоянном Р). Вместе с тем VR и 0—независимые переменные в представлении свободной энергии и по (4.10), (4.11)
(д[\д f1 沖
吗0 =一诵也=一^孤・
VR ' zVRVR
По (12) неизменномПо (12) неизменноми (9) приходим к выражению теплоемкости м' при напряженном состоянии
По (12) неизменном
По (12) неизменном
о
(13)(13),1 а ар WRT
(13)
(13)
X = YV -хтг • ♦ ас
Ро ое ое
Изотермический и адиабатический процессы
Изотермическим называется Процесс с неизменной во всем объеме и в любой момент времени температурой
0 —0Х — const.(1)
Такой идеализированный процесс приближенно реализуется в среде с весьма большой теплопроводностью, когда приемлемо Предположить, что всякая неоднородность поля температуры 晚з промедления и в любом месте ликвидируется возникающим тепловым потоком.
‘4 А. И. Лурье
В изотермическом процессе уравнение теплопроводности выпадает из рассмотрения, температура входит в выражение свободной энергии и тензора Пиола (или тензора напряжений Коши), как постоянный параметр 0Х- По (4.10), (4.11)
/ = HVR; 0Х), Р=р/о (VR; 0х),^二—言，(&R； %).
VR叫
(2)
Параметрически она войдет и в уравнения движения, решаемые теперь вне связи с тепловыми процессами.
Другой предельный случай——теплоизолированный объем. По (1.5), (1.6) в этом предположении
厂=0, q = 0, h = 0.(3)
Этим определяется адиабатический процесс. В недиссипативных средах первый принцип термодинамики приводит по (4.15) к уравнению
ii = ^ + v・Vn,(4)
выражающему постоянство энтропии вдоль траектории материальной частицы. По (2.2) отсюда следует, что Н = 0, внутренняя энтропия Н в объеме V сохраняет постоянное значение, неравенство Клаузиуса — Дюгема обращается в равенство. Адиабатический процесс в недиссипативной среде, в частности в упругом материале, обратим. Тензор Пиола и температура определяются по заданию внутренней энергии е(VR; т]) соотношениями (5.4). Задача сводится к рассмотрению уравнений движе- / о \
ния (2.3.5), в которых тензор напряжений Т k VR; 丿 определен уравнением (5.6) совместно с (4). Распределение температуры в объеме V и по времени находится после того как задача решена. В статических задачах осложнений нет. Механическая задача отделяется от тепловой, энтропия войдет в уравнения равновесия, как постоянный параметр.
Условия (3) при г — 0 и (4) выполняются согласно (6.5) в средах с исчезающе малой теплопроводностью 為 — O. Идеализированные процессы ——изотермический и адиабатический — предполагают прямо противоположные свойства материалов-—бесконечно большую и бесконечно малую теплопроводность. Эти делает приемлемым взгляд, что изучение деформирования в этих идеализированных процессах указывает некоторые пределы^ в которых происходит деформирование реальных материалов с конечной теплопроводностью.
Уравнения термоупругости
Свойства упругого материала задаются функциональной зависимостью свободной энергии от градиента деформации и температуры или внутренней энергии от градиента деформации и энтропии; должен быть задан также коэффициент (тензор) теплопроводности, зависящий от градиента деформации, температуры и ее градиента. Задаются массовые силы и сообщаемое тепло от внешних источников за счет лучеиспускания. Самыми различными могут быть задания на поверхности тела (краевые условия), бесполезно перечислять все их возможные сочетания. В динамических задачах должны быть сформулированы также начальные условия.
Независимых переменных четыре—три материальных координаты д' g2, дз и время t. Конечная цель — определение век- тор-радиуса места R и температуры 0 (или энтропии 叫，как функций этих переменных. Если она достигнута, то найдено напряженное состояние и энтропия (или температура).
Сказанное помечает такую последовательность действий:
По заданию свободной энергии с помощью формул (4.10), (4.11) составляются выражения тензора Пиола и энтропии или тензора Коши по (4.13).
Подстановка этих выражений в уравнения движения (2.3.5) приводит к системе трех дифференциальных уравнений для компонент вектора перемещений u = R ——「—— k аналогу «уравнений в перемещениях» линейной теории. Высший порядок входящих в них производных по времени и координатам —второй.
К этой системе уравнений движения добавляется уравнение теплопроводности (6.9). Конечно, эта же последовательность сохраняется, если исходят из задания внутренней энергии е; используются формулы (5.4) или (5.6),
Исключая тривиальные случаи, сформулированная динамическая задача неприступна не только математически; трудность заключается в скудности надежно проверенных экспериментальных сведений, могущих подтвердить или отвергнуть приемлемость принятых зависимостей термодинамического потенциала от мер деформации и температуры (или энтропии) и еще менее коэффициента (в общем случае тензора) теплопроводности от его аргументов. Эти же трудности сохраняются и в статических задачах термо упругости, хотя математическая задача упрощается. Механическая и тепловая задача остаются неразделенными. Динамическая задача в изотермическом материале (в изотермическом процессе) упрощается, так как из рассмотрения выпадает уравнение теплопроводности, а температура входит в выражение свободной энергии и далее в уравнения движения, как постоянный параметр. В адиабатическом процессе этого упро- 14*
щения нет, уравнения движения должны рассматриваться совместно с уравнением (7.4), выражающим постоянство энтропии вдоль траектории частицы.
В изотермическом процессе, сославшись на (4.10) и (2.7.5), имеем
p..6VRT = PoHvR; 0Х)О ••6$Rt=p°#(Sr； %) = 6&“ (1) VR
—удельная элементарная работа равна вариации свободной энергии. Обозначением
3 (&R； 0х) = PoD (#R； 0х)(Е； 0х)]⑵
определяется равная нулю в отсчетной конфигурации (что впрочем несущественно) величина, называемая удельной запасенной свободной энергией этого процесса. Повторяя вышеприведенные записи, имеем
/ о 、о
P = a(VR; Ох7о =2a(G; 0x)g-VR,_ VR
Т=2 У-i-VR^.3(G; 0x)g-VR(3)
или в изотропном упругом теле
Т=2)/等 F・3(/i(F), /2 (F),厶⑺；Ox)f.⑷
Сказанное может быть повторено и для адиабатического процесса, если вместо (2) ввести в рассмотрение удельную запасенную внутреннюю энергию
оо
3(VR； i1x) = Po[e(VR; t]x)—е(Е; i]x)]-(5)
Конечно, в формулах (3) и (4) теперь придется заменить оо
3(VR; 0Х) на 5 (VR;耳力 Можно их записать и в виде
Р = з° , т = 2 )/告 Wrt.3g£r = 2 ]/等 F・3f (6) VR
не забывая, что одно и то же обозначение з сохранено для двух отличных друг от друга величин. Например, в линейной теории упругости отличают адиабатические модули упругости (получаемые из представления з по (5) через внутреннюю энергию) от изотермических (определяемых по свободной энергии). Аналогичное более сложное рассмотрение распространимо и в нелинейной теории.
Очевидно, что напряженные состояния (если исключить динамические задачи в адиабатическом процессе), определяемые по заданию запасенной свободной или внутренней энергий, не могут отличаться друг от друга—они разыскиваются из тождественных уравнений равновесия и краевых условий; в формулировках тех и других нет упоминания о тепловых величинах (0х или Пх).
Итак, применение принципов термодинамики позволило доказать существование «потенциалов напряжений» («запасенных энергий») в изотермическом и адиабатическом процессах.
Теория упругости может строиться, однако, и без введения подобных величин, т. е. как чисто механическая дисциплина, вообще не входящая в рассмотрение тепловых процессов. Эта точка зрения и проводилась в предшествующем изложении, как разъяснялось в начале гл. 4 (§ 1).
Приложения
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Содержание «Приложений» ограничено необходимыми для изложения механики сплошной среды сведениями о правилах и приемах применения тензорного исчисления в трехмерном евклидовом пространстве (в (^3). Обозначения, отличающиеся некоторым своеобразием, согласованы с основным текстом. Преимущественно используются «прямые», а не индексные обозначения тензорных величин; этим формулам и теоремам механики придается краткость и выразительность, утрачиваемые в индексных записях. Переход к последним требует лишь навыков в элементарных алгебраических преобразованиях. Опыт преподавания позволяет констатировать отсутствие здесь каких-либо затруднений.
Предполагается, что читатель владеет первоначальными сведениями об операциях векторной алгебры и анализа и о действиях над матрицами. Подчеркнем еще, что «Приложения» ни в какой мере не претендуют заменить систематические курсы тензорного анализа, скорее они имеют целью избавить читателя от постоянных ссылок на них.
Приложения нумеруются римскими цифрами, главы основного текста — арабскими. Эти разделы разбиваются на параграфы (§), последние часто на пункты (1( 2 и т. д.). В параграфах принята порядковая нумерация формул. При ссылке на формулу данного параграфа указывается номер формулы, а на формулу из другого параграфа той же главы — его номер и номер формулы. Номера главы, параграфа и формулы указываются в ссылках на формулы в предшествующих главах.
Приложение I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
Векторные базисы
Векторный базис образуется тремя не расположенными в одной плоскости (некомпланарными) векторами г1( г2, г3. Ортонормированный триэдр, когда он понадобится по ходу изложения, образуется векторами i】,i2, i3 (is*i^ = 0 при s # is3= 1)・
Объем v параллелепипеда, построенного на базисных векторах, представ ляется выражением *)
у = гг(»-2Хг3)^Г2'(ГзХГ])^Гз-(Г1Хг2).(1)
Взаимный векторный базис определяется тройкой векторов
产=扌「2xГ3，「2 = 3 г3Х门, 「3 =! ％><Г2，(2)
*) Скалярное и векторное произведения векторов а, b обозначаются а- Ь, aXb.
перпендикулярных соответствующим плоскостям векторов основного базиса. Из этого определения следует
О при s声々, 1 при 5 =々
(3)
(М—символ Кронекера). Принимаются обозначения скалярных произведений векторов основного и взаимного базиса
1＞「九=8^ =以6,rS.M = gs 为= g后s,Г$，г月= 3% = g3(4)
Легко проверяется, что векторы основного базиса представляются через векторы взаимного формулами
『1 = 0「2乂「3, Г2 = УГ3ХГХ, 「3 = 01*1 X 1*2.(5)
Действительно,
и (r2Xr3) = i (г3Хг1)Х(г1Хг2) = -^[г1г2«(ГзХг1) —^ггСгзХГ!)]^^.
Другие представления г5 через гй и обратно даются формулами
(6)
В них, как и во всем последующем, опущен знак суммирования по повторяющемуся верхнему и нижнему индексу («немому» индексу). Формулы (6), непосредственно проверяемые по (3) и (4),
N ・ # = g$ 什 £ •「月=g$ 缩 2 = g$£, r$ • r± = g^№ -П = gst
представляют простейший пример операций подъема и опускания индексов с помощью величин gg, gsk.
В ортонор мированном базисе i$, конечно, отпадает отличие между основным и взаимным базисами; но с целью сохранить правило суммирования в принятой формулировке векторы этого базиса иногда обозначаются К. Например, представление вектора а в ортонормированном базисе иногда записывается в видах
а = а* = %Е.
Здесь, конечно, as — as. В применении к базисным векторам эта запись приобретает вид
г$ = р々月，r£ = P^i%(7)
так что
^/ = rj*rt = psPfmU*»m = Psp^«(8)
Записывая теперь у2 в форме произведения определителей
P12 P13 Ii plplft
P22 P23 = P&1 月
P32 P33 丨I Р3р1й
pfp2 月 k
P2p2ft
P3p2ft
k
Р1РЗ 左 k
p2p3fe ，
A рзрзй
⑼⑼
⑼
⑼
по (8) получаем
g】l gl2 gl3
№= g21 g?2 g23
*g31g32g33
По (6) и (7)
fS =gshfh = gskghtft.
= |gstl， ь = Гг(г2ХГз)= /g.
rs-rm = 6m = gs域忌]=gskgkm
—— матрицы [| gsk [I и [] gkm )| —обратные, их произведение представляет единичную диагональную матрицу || 6^ ||
Usi 11-11^ ||=!1б^!1-
Иначе говоря, gsk равно алгебраическому дополнению элемента gsk определителя Igs^l，деленному на этот определитель. Вместе с тем
|gsE| = g-i.(10)
получаемые по (1.5), можно записатьполучаемые по (1.5), можно записатьСимвол Леви-Чивита
получаемые по (1.5), можно записать
получаемые по (1.5), можно записать
Формулы (1.1) и им аналогичные, в виде
/1«Ш = »У(г^Хг4),/1«Ш = »У(г^Хг4),е$月t=喊・(1•月 X「t).(1)
/1«Ш = »У(г^Хг4),
/1«Ш = »У(г^Хг4),
К g
Величины eskt，eskt равны нулю, если в числе индексов skt имеются повторяющиеся, они равны 1 для последовательности индексов 123 и получающихся из нее круговой перестановкой последовательностей 231, 312; они равны —1 при нарушении этсго порядка (для последовательностей 213, 132, 321). При обозначениях
唄公就，1就= ^Les既(2)
У g
приходим к записям
eт = " 熊 X n),1就=rs.(/ X 吟，(3)
Mx# = ektsrs>rkxrt = ektsrs.(4)
Возвращаясь к (1.7), имеем соотношения
「s = pfih， r5-rm = бГ = psife* p^i^pspfe1»
p?p£ psp" P?P& p&7 M р/р?， p%F p汕p淋p?p£ psp" P?P& p&7 M р/р?， p%F p汕p淋望6f望6f(5)(5)позволяющие представить 6$卜卢^卩 в виде
p?p£ psp" P?P& p&7 M р/р?， p%F p汕p淋
p?p£ psp" P?P& p&7 M р/р?， p%F p汕p淋
望6f
望6f
(5)
(5)
ps ps ps I I pF
=,pl pl pi
&p? p?丨欣
так что
¥6?
еше^= 6g1 6^
|бХ 6夕
Отсюда приходим к «правилам свертывания» ——формулам для сумм esktesnP=3 (^ - 6^6?) -61 (&^- 6f6?) +
+ ^(^-^ = ^-^(6)
и далее
€,£产=26么 e,"m = 6.(7)
Теперь по (4) получаем
I■走 х『'е 就用=е鼠'е htm^ s = 2&fnX s = 2т т、
откуда следуют обращения формул (4)
Г" = ^е“"内义 р,rm = y eWmrtxrt.(8)
Представления вектора в основном и взаимном базисах
Термину «вектор» теперь часто придается смысл совокупности п чисел, называемых его компонентами — «вектор обобщенных координат» (q「收，…，Яп)- В этой книге «вектору» придается его общеизвестный смысл——это определенная в трехмерном евклидовом пространстве физическая величина, задаваемая ее численным значением (модуль вектора) и направлением; таковы скорость, сила и т. д. Выбор базиса определяет компоненты вектора, их численные значения; конечно, не сам вектор, различны в различных базисах.
Представления вектора в основном и взаимном базисах имеют вид
a. = asrs~asrs.(1)
Величины as называются ковариантными, а5 — контравариантными компонентами вектора а. По (1.3)
а$^а・г$, а$ = а・г$,(2)
так что as (as) равно произведению | rs | = V'gss (I г5 1= F"'^55) на проекцию а по направлению вектора основного базиса г5 (взаимного базиса г$). Можно иначе: а—диагональ параллелепипеда с ребрами as рgss (淤 рgs) имеющими направления по г5 (по %).
Формулы связи между ко- и контравариантными компонентами имеют вид
牝=85月a'，3=gs%h(3)
—здесь опять узнается операция опускания и подъема индексов. Эти формулы следуют из (1) и (2)
a *r^= aft = a^rs ・侬=gskas, а • i> =耿=asrs ・ rk = gskas.
Скалярное произведение двух векторов представляется в виде
a・b = a^s ・ b 月 М =堂生鈔月=asvs-bkvk = asb^gsk = &•% •瓦仙=a^b^s = asbs.(4)
В частности, квадрат модуля вектора равен
&2 = а • а = ^^5=g^^^^k—&skaSa^-(5)
Векторное произведение по (2.4) представляется выражениями
e = ахь = a5ькеб 月"‘ 二 aбь 月 е^‘号，生=a5力后e$ 焼，e' =0$力月eS就，
Как пример, приведем преобразование
3X8 乂。= 0卅№r*65^m = a俨港6甸%5枕^ =
=(цЬ5eьТт(3T底-6箱g)=b工年‘—Mi•场能从=ba*c - ca*b, "о и требуется.
Проверим еще соотношение
г$ХгУ = 0.
Действительно, по (2.8)
riXr^ = y Г4Х(Г^ХГ<) У"=； ekts (ritgts — rtgsk) =
=у (е伍s- У% rtgsk= etksrtgsk = 0)
так как gsk = ghs，口。e 二一С .
Тензор второго ранга
Рассматривается преобразование тройки величин а* (матрицы столбца, с помощью умножения ее слева на квадратную матрицу qs^ в тройку bs (матрицу строки)
力s = 9s/；a'(s = 1, 2, 3).(1)
Приняв, что ak ——контра-, a bs ковариантные компоненты векторов а и Ь, можно записать соотношения (1) в виде
b = % 破什 $ = qsfirsrk-a.(2)
Эквивалентные записи сопоставления вектору а вектора b можно получить, используя другие представления их компонент
b =炉声5/已 b = q^rsrk-a.⑶
Величиной
Q = %£尸卄=qskrsrk = q：声 s^ = gfrsr^，(4)
называемой тензором второго ранга, задается преобразование вектора в вектор, записываемое в форме произведения справа тензора на вектор
b = Q・a.(5)
Здесь одной физической величине (вектору а) сопоставляется другая (вектор Ь), поэтому следует считать объект Q величиной, наделенной физическим содержанием. Для задания Q в основном и взаимном базисах используются его ковариантные (^^), контравариантные (qsk) или смешанные контрако- (q：无)и ко ко нтр ав ар и антные q^ компоненты. Но тензор Q — не матрица его компонент, величины которых зависят от назначения базисов, а инвариантная, физическая величина. Инвариантный и не связанный с базисом смысл имеет запись (5).
Введенные в § 3 и здесь определения вектора и тензора второго ранга должно дополнить рассмотрением, при каких условиях тройка наперед заданных чисел (&s или &s)или девять чисел (qsk или qsk, или qski q$") действительно определяют независящий от назначения базиса объект (вектор, тензор). Иначе говоря, требуется установить правила преобразования этих чисел при переходе от базиса, в котором они предположены заданными, к новому базису. Об этом см. § 7.
Аналогично (5) определяется умножение Q на а слева; им задается отличный от b вектор
с = а • Q = а •勺兄产产—%£「％$ = qs£fs-а.(6)
Переставив местами в (4) базисные векторы, приходим к транспонированному тензору, обозначаемому QT
QT = %”В = qs%ts = 9紅也=д『1>г$.(7)
Его 々s-компонента равна $^-компоненте Q. По (5)
b = Q・a = a・QT(8)
н этим прав илом дается незав исимое от выбора базиса определение QT.
Формулы связи между компонентами тензора различных наименований следуют из (4) и (1.6). Например,.
Q = qskrsrk = qskgsmrmgkn^n = QskgSmgkn^m^n = qm^Mti.
Получаем соотношения вида
qmn = qskgsm/" = q・；gsm，g〃…产统如=吟％加(9)
и т. д.—снова те же правила «игры» индексов.
Компоненты тензора представимы также формулами вида
rrQ-rt = ?5f, rs.Q・N = q",
rs，Q，i> =吸， 门9.m = 9，.(10)
Диада векторов. Это ——простейший пример тензора второго ранга, образуемого по двум векторам; их диада обозначается ab (часто а区)Ь). Ее произведение на вектор с справа (слева) определяет вектор ab-c (вектор c*ab). Представления диады через базисные диады и правило транспонирования даются формулами
ab = asbktsrk = asbkrsrk — asbkrstk = asb^svk, (ab)T= ba. (11)
Формулы (4) представляют тензор суммой девяти базисных диад, умножаемых на соответствующую компоненту.
Единичный тензор Е. Это——тензор, произведение которого на вектор а справа или слева равно этому вектору а
Е・а = а・Е = а.(12)
Из этого определения и формул (8) и (10) следует, что
Е = ЕТ, г$・Е・№ =产，rS'E-rk=gsk, r^-E-rfe^gfe —61.(13)
Диадные представления единичного тензора по (4) записываются в видах
E=-gsktstk^gsl{r4k = g^rsrk^^rsrk^rsrs^rsts,(14)
так что gsk, g$在，3^ ——компоненты единичного тензора. Формула (2.5) для квадрата длины отрезка позволяет назвать единичный тензор метрическим.
Симметричным называют тензор, равный своему транспонированному
Q = QT， qsh = qhs， qsh = qhs, 県=履=成(15)
(нет нужды указывать, с какого места поднят индекс). Для симметричного тензора
Q = QT： Q・a = a・Q.(16)
Простейшие примеры： диада аа, единичный тензор Е.
Кососимметричный тензор определяется условием
QT = _ q, qks = — qsh， qhs = — qsh, 斑=—虐(17)
его диагональные компоненты равны нулю. Матрица компонент симметричного тензора задается шестью, кососимметричного—тремя компонентами. Тензор Q
может быть представлен разбиением на симметричную и кососимметричную части
Q=^(Q+QT)+4"(Q—QT) = s+q s=st=^(q+qt),
Q=^ (Q-QT) = -”(18)
Для экономии места здесь не были упомянуты очевидные предложения, что умножение тензора на число (скаляр) представляет тензор с компонентами, равными произведению на это число компонент тензора, что сумма тензоров также тензор с компонентами, равными сумме компонент слагаемых тензоров.
Возвращаясь к формулам (4) и (5), запишем выражение скалярного произведения
jb = b・CKjQ・a=a・QT・c = qskcsa^(19)
——билинейная форма компонент векторов а и с, образуемая матрицей компо. не нт Q, инвариантна—ее численное значение . не зависит от выбора базиса. Инвариантна также квадратичная форма компонент а
兴归 as” = a・Q・a 工 аут.а.(20)
В этом равенстве содержится еще одно определение симметричного тензора второго ранга ——физической величины, с помощью которой вектору а сопоставляется инвариантная квадратичная форма его компонент. Заданием квадратичной формы определяется только симметричная часть S тензора Q, так как по (18)
a*Q・a = a・QT・a = — a・Q・a = 0.
Определитель тензора
По формулам (4.9)
II^tll=[| qf&mt II 引修gs,/|；!l qstli=f qs.mgmt^=hmgmsl<
o (1.9), (1.11) и по правилу умножения определителей
図"匚gMI=g1*1，|*="1*1=差1*1■⑴
Определителем det Q тензора Q называют определитель его смешанных ком
понент
det Q = II = |%[ = ^ I g" =g I М| = det QT.⑵
В формуле (2.5) возьмем одно из шести размещений индексов т〃р, например 123; придем к равенству
6;熒7£n2%‘=破6今6;熒7£n2%‘=破6今6:丨q： q： q；
6;熒
7£n2%‘=破6今
6;熒
7£n2%‘=破6今
6^ q；g储=%】玻 g；「detQ.
峭！若&疗
Этот же результат получим при любом другом размещении индексов тпр. Поэтому
(3)(3)
(3)
(3)
Тензор Q называют неособенным, если det Q N 0. Кососимметричный тензор — особенный, особенный тензор—диада векторов ab.
Коэффициент при д, в (3) представляет алгебраическое дополнение этого элемента, обозначаемое А/. Но q； встречается в (3) три раза: (/ = s, г = m), (/=瓦 г = /г), (/=九 г = р). Поэтому
(4)
Произведение матриц || ^^ || и ]々'[представляет матрицу
||*"阂IH*例=^1 e,毋叫显用.
Но при q 卢 т в числе индексов qnp неизбежно повторение, так как в тройке тпр повторений по условию нет. Если же справа заменить q на т, то требуемый результат утроится: вступит в действие правило суммирования по т. Итак, возвращаясь к (3), имеем
(0 при q 卢 т
||9 笳餌==6 禽 detQ.(5)
I det Q при q = m
Тензором алгебраических дополнений матрицы тензора назовем определяемый по (4) тензор
ах = Д-тг^гт = у esktr^mnPrmq-^ =
=у rt X rtq-^х ГР</^ = у (rt X г,) (Q.r^XgN),(6)
представленный через диады 1>Х", (Q・r^)x(Q*『f).
Если тензор Q —неособенный, то матрице его компонент может быть сопоставлена по (4) матрица
М1=券^=為險产啥若卜⑺
по (5) обратная матрице компонент Q
II «|| =11 % II-(8)
Произведение тензоров. Обратный тензор
Двум тензорам второго ранга Р, Q и вектору а сопоставляется вектор c=P・b = P・(Q・a). Записав эту операцию в виде c = (P・Q)・a, мы вводим в рассмотрение величину R = P・Q; это—тензор второго ранга, так как произведение R на а справа определяет вектор с— R-a. Компоненты это го тензора выражаются через компоненты сомножителей одним из выражений
Р・Q =小厂!4 • q必什小及=pstqtnrsrn匸pgqtq^W⑴
и т. д. Аналогично определяется произведение трех, четырех и т. д. тензоров, в частности, целые положительные степени тензора
Q2 = Q・Q = 2%arsr", Q3 = g"%“g"mrsr%⑵
Непосредственно проверяется правило транспонирования
(P・Q)T = QT.pT, (p.Q.R)T=RT.QT.pT.(3)
В частности, (Q*QT)T Q・Q\ так как QTT = Q—тензор Q*QT симметричен. Произведение тензора на единичный тензор Е справа или слева приводит к этому же тензору, любая степень единичного тензора ——единичный тонзор; определи тель произведения тензоров равен произведению их определителей
Q・E = E・Q二Q, Е・Е=Е2<Е, Е 〃工Е, det Р-Q - det Р-det Q. (4)
Обратный тензор. Неособенному тензору Q сопоставляется обратный тен~ зор Q~i с помощью соотношения
Q・QT「E.(5)
Диадкос представление Q'1 по (5.8), (5.6) записывается в виде
QT Т；3г尸^|^ 3/©/"碎冰吁厂 ^^“х* (Q.H)x(Q•吟.⑹
Решение системы уравнений (4.1) можно с помощью тензора Q~v записать в виде
a ；QT・b,(7)
как это сразу же следует по (4.5) и (5). Легко проверяются равенства detQT-(detQ)T, (P・Q)T= QT・PT, (QT)~г- (Q~J)r, (QT)T- Q.(8)
Операция векторного умножения тензора на вектор а справа и слева определяет тензоры второго ранга
QXa = qstMe 例〃小严，axQ = a 旳"％S 加= — (QTXa)T. (5
Преобразование компонент тензора.
Инварианты тензора
Вместе с базисами г5. г5' рассматриваются новые базисы r^, rVs.
Формулы связи между старыми и новыми базисными векторами можно записать в виде
% = Е・％ =「汴 V&fs， г/ - !•/“!•，，№ =I*V*y •№,У —内肌「VS.
В применении к вектору а приходим к формулам
а = asrs = а?履г] •№ = а^「V，， а 一 公仆=必丁* rv/e*r5 —仪屮泞],(1)
в которых
噜=牝寸.凡产=诞/%5⑵
—ковариантные компоненты вектора преобразуются по тому же правилу, чт(! и векторы основного базиса («ковариантно» с ними); ксщтраварнантные — по правилу преобразования векторов взаимных базисов.
Аналогичны правила прсобразования компонент тензора второго ранга
Инварианты тензора. Так называются функции его компонент, сохраняющие неизменную, не зависящую от выбора базиса величину. Скаляр (тензор нулевого ранга) — инвариант. Распространенное словоупотребление «проекция вектора—скаляр» или «скалярные уравнения движения» неприемлемо.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ компонент тензора, инвариантыПРЕОБРАЗОВАНИЕ компонент тензора, инварианты431431
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ компонент тензора, инварианты
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ компонент тензора, инварианты
431
431
Любая функция инвариантов — инвариант. Инвариант вектора (тензора первого ранга) — квадрат его длины. Это подтверждается вычислением
a2 — 口内口；二耿/\「；r^s*rMam — "a内#.E.r他=a/k,
Вектор не имеет инвариантов, отличных от функций его длины. Симметричный тензор второго ранга имеет три независимых инварианта. Здесь рассматриваются его алгебраические инварианты, выражающиеся через компоненты тензора с помощью действий сложения и умножения. Это — линейное, квадратичное и кубическое относительно компонент тензора выражения, обозначаемые 厶(Q), /2(Q)- /з9)‘“
Линейный инвариант 厶(Q) образуется с помощью операции двойного свертывания Q с единичным тензором Е
/х (Q)-E-.Q.(4)
Развернутая запись имеет вид
Е • • Q =也9；叫加=\ • г"М. r加 g『=6”嚟=6儲广=g『(5)
—скалярно перемножаются внутренние и наружные базисные векторы. Этот же конечный результат достигается, конечно, если пользоваться другими компонентами Q, например,
Е -Q二 gsk* S*q^n-Nn - g$* ghmgs^qmn = Sjngsnqmn = gmnqe” н q‘；
и т. д. Можно прийти к этим же формулам, заменив в диадном представлении тензора диады базисных векторов их скалярными произведениями или составив произведение тензора слева и справа на векторы основного и взаимного базиса одинакового номера
Ь0) = qst3t=gstq7=q*；，/1 (Q) = г/л.q.г/л = gmsqstnr^• q• rm.(6)
Все эти выражения представлены в записи (4), не содержащей векторных базисов; поэтому они сохраняют свою величину в любом базисе. Достаточно принять Е = ”$「；，чтобы сразу же получить
/1 (Q) = Е ・• Q = q： = q? 2
Линейный инвариант тензоров Q2, Q3 по (4) и (6,2) представляется выражениями
/1(Q2) = E・・Q2■孤唠，/i(Q3) = g；gf%s.⑺
Квадратичный инвариант Z2 (Q) можно определить, как линейный инвариант 厶(Qx) тензора алгебраических дополнений (5,6)
厶(Q) = A (Qx) = ^ Е •. eMe^Pq-^rm =
=I端^0”階g.；£ (6潜-6落)潞£ = 1 (*・?-9?咽(8)
и по (5), (6) его можно представить выражением
/2(Q) = ^(/；(Q)-/1(Q2))・(9)
Третий инвариант /3 (Q) — det Q. По (5.Е
)
呼6?义
，3(Q) = detQ = ^
:(10)
6『6； 6?
Развернув этот определитель и использовав (5),⑺，(9), придем к формулам /з (Q) = |[/!(Q)-3/i(Q) /1 (Q2) + 2/1 (Q3)]=
=4 [/i (Q3)-/? (Q) + 3A (Q) /2 (Q)]. (11)
Если Q —неособенный тензор, то по (6.6) и (9)
厶9”一矯'/2ea^#'/3(QT) = detQT = +，(12)
причем второе соотношение получено из первого заменой Q-1 на Q.
Легко проверить, что Zx (Q) = Zx (QT); сославшись на (8) и (10), имеем поэтому
〃(Q) = 〃(QT)(1,2,3).(13)
Доказываемая в § 9 теорема Гамильтона一Кэли
5 =厶(Q) В —厶(Q) Q+E/3 (Q)(14)
позволяет последовательно представлять тензоры Q権(孔АЗ) линейно через Q3, Q( Q° ~ Е с коэффициентами /1 (Q), Z2 (Q)> ^з (Q)- Число независимых инвариантов тензора второго ранга равно трем ——это 1^ (Q) или Zx (Qfe) (々=1,2,3). Конечно, инвариантна любая функция этих инвариантов.
Свертывание произведения тензоров. Основываясь на определении (6.1) и правиле свертывания (6), имеем
/1 (Р • Q) = Pstq'T f = Pstqts =厶(Q • Р)・
Но, когда составлялось произведение Р — pstr3^ на Q —^^»rmr„, свертывались векторы N с г加.Поэтому вычисление инварианта 7Х (P*Q) сводится к двойному свертыванию
厶(P・Q)=E・・P・Q = P・・Q = "st「si•九•严％„% = рм产*・i•欣№.% = рндЗ (15)
Аналогичны правила двойного свертывания трех тензоров
/】(P・Q・S) = P・ Q・S = P・Q・ ・S = S・P-Q(16)
и большего числа тензоров. Напомним еще, что
厶(P・Q) =，i ((P・Q)T) = /i ((ГР).(17)
Далее эти правила многократно используются.
Ортогональный тензор
Тензор О называется ортогональным, если он представляет решение уравнения
ООТ = ОТО = Е =Ф ОТ = О-Х.(1)
Пусть а, b векторы, преобразуемые тензором О по правилу (4.5) в а', Ь‘
а7 — а • О = От>а, bz = b*O = OT>b.⑵
Тогда
a^b7—a«O*OT>b = a*E'b=^a-b(3)
и, в частности,
а'・а‘ = a'2 = a・a=q2(4)
—ортогональное преобразован ие не изменяет длины вектора и сохраняет угол между векторами.
Полагая
О = о%Г = о犷 ％.(5)
имеем
O.OT = o>^rsr^r„rm =吟碎 r$i = Е = 6 订 si
— приходим к шести условиям ортогональности, записываемым в видах
0»^ = %' °st°mt=^ gksgtr°ktOmr = ^(6)
На девять компонент О наложено шесть связей—ортогональный тензор определяется тремя независимыми параметрами. Далее,
det 0 = det От, (det О)2— 1, det О = 1 или . detO = —I. (7)
При detQ=l тензор называется собственно-ортогональным, им осуществляется поворот системы векторов; ниже приводится представление тензора О через угол осуществляемого им поворота и единичный вектор оси поворота. При det О = —1 поворот сопровождается зеркальным отображением оси. Далее речь будет преимущественно идти о собственно-ортогональных тензорах, и, если не оговорено противное, наименование ортогональный тензор (тензор поворота) применяется к собственно-ортогональному тензору.
Базисные триэдры rs, г5 преобразуются при ортогональном преобразовании
в повернутые триэдры
f5 = r5>0 = 0t»f5，户=r$.0 = ()1.1*5(8)
и обратно
rs = r；.OT = Ors,r' = r's・OT = o.r‘s.(9)
Компоненты а' в повернутых базисах равны, конечно, компонентам а в исходных—вектор повернут вместе с базисом
a* =a»0 = £zsr5*0 = fl5r/5(。；=牝，a，s = as.(10)
Это относится и к тензору второго ранга
Q，= OT・Q・O, Q=0Q・0T, 〃=9st・(11)
Диадное представление ортогонального тензора по (8) можно записать в видах
О = г±г" = г£”，()T = r% = r%t.(12)
Например, а• 0 = а• г^г*f = а^, что и требуется. Следует отличать, конечно, компоненты а' в повернутых базисах 3=aJoT компонента? вектора а в этих базисах
а = аУ г，8 = а^к, а^ = а^к• г* = ahrk • От • г5 = o^ak(13)
и т. д.
Аналогично для тензора второго ранга
咽=分我。"m，心S =落捲。.}(14)
— повторены формулы (7.3) в применении к ортогональному преобразованию. Инварианты ортогонального тензора (тензора поворота), определяемые по (7.6), (7.12), (12), (5) и (7), оказываются равными
/i(O) = rt・" = o：s， /2 (О) = /з (0)/1 О = /1(0), zs (0) = 1.(15)
При повороте вокруг оси !3 декартовой системы осей на угол со
i； = L cos со +i? sin со,= —J sin со十 i2 coscо,1； = 】з
и по (12)
О = h & cos(t)+h sin(o) +〔2 (— i丄 sin co + i? cos co) -!-i3i3 =
=(31+ *2*2)t0S © + (*1*2 — *2*1) SE ^ 4~ *3*3 —
=E cos co + %1з (1 —cos co) — EXi3 sin co, так что независимо от выбора векторного базиса, назвав е единичный вектор оси поворота, приходим к инвариантному определению тензора поворота
0 = Е cos со + ее (1—cos со)-j- е XЕ sin со,(16)
содержащему лишь задания угла и оси поворота. Из него следует
厶(0) = /2 (О) = 1十2 cos со, — 1 W 厶 ⑼ W3・(17i
По (14) и (6)
成'=心吸。『=力小=也,A (Q，) = A (Q).
Но инварианты 厶(Q‘)，/3 (Q‘)представимы через 厶(Q^), так что
〃(Q') = 〃(Q) 他二1，2, 3).(18)
Верно и обратное: при равенстве всех трех инвариантов двух симметричны\ тензоров (/々(P) = 〃(Q), 々=1,2,3) существует ортогональное преобразование, связывающее эти тензоры (P = Q‘) [См. § 10].
Главные осн, главные значения тензора второго ранга
По заданному тензору второго ранга Q определяются векторы е> ех, си■ храняющие направления в их произведениях на Q справа и слева
Q. е = Хе, ex・Q = Axex,(1)
здесь X, Ах — подлежащие определению скаляры. В другой записи
(Q—入 Е)・е = 0,ex.(Q —入 хЕ) = 0.(2!
Заменив здесь Q его диадным представлением через смешанные компоненты, приходим к системам линейных однородных уравнений
⑷一屮)е/ = 0⑷—6：入х)慶=0(3}
относительно неизвестных 济 淤；нетривиальные решения этих систем существуют при равенстве нулю определителей
⑷一學1 = 0,I心一寧х卜0,(4>
откуда следует, что А = Ах. Полином третьей степени по X
<? (X) = det (Q-XE) = I 9^-6jX I(5)
называется определяющим или характеристическим полиномом тензора, а уравнение 少(入)=0 — его определяющим или характеристическим уравнением- Корни Xlt 入金，入з называют главными (или собственными) значениями тензора Q，
развернутое прецставление определяющего полинома имеет вид g一大%I
0>(" = det (QiE)=廿 诡一大门-一犷+雜(%\ + * 丄吟)一
-""\*一 匕 *) + (%% — )+(心吟―%\%\)] + detQ =
—一雜一卜/](q)M_/2(q” ％(Q)・⑹
Здесь использованы представления инвариантов (7,6), (7,8), (7.10). Этим доказана инвариантность главных значений Х1( Х9, Х3 тензора — подобно инвариантам 〃 (Q) они сохраняют независящие от выбора векторного базиса значения. Известно, что полином 个(九)представим через его корни
少(九)=(入I —九)(入2 -入)(入3 -入)= i入3 +入2 (入1 +九z+入3)-
一九(九1九2+入2入3+九3入1) +入1入2九# (7)
Сравнение с (6) определяет инварианты тензора через его собственные значения 厶(Q)=九1 +入2 +入3，/2 (Q)=入1入2+入2入3丄入3入1，" (Q)=九1九2入3、 (8)
Очевидно, что 入$ — также собственные значения QL Правые и левый асобст- венный» векторы тензора Q, обозначаемые efe, е% соответствующие собственному значению 入尼,определяются по (1) уравнениями
Q.e# =九煦尼，e宓.Q = A庐生(9)
Здесь нет суммирования по k *). Компоненты этих векторов ——нетривиальные решения уравнений (2), в которых X (или Хх) заменены на 入衣 Общий множитель, входящий в их выражение, может быть определен условием
е5*е5= 1(s=l, 2, 3),(10)
Вместе с тем
e5• Q • ё用:：肌e' • e片，eб • Q ， e为二九5e5• e^,(入尼一九s) e6•立公 0
и при As W 入左(предполагается, если нс оговорено противное, что корни определяющего полинома — простые) получаем
8工稣=5》(П)
—векторные базисы е$, е$ взаимны; поэтому
ye1 = е2Хе3, г-е2 = е3 хеь ?е3 = еа Хе2, f = ег (е2Хе3).(12)
Сказанное имеет пока формальнее значение, так как в числе корней полинома 5s (X) может оказаться пара комплексных сопряженных 厶口 Х2= X; им соответствуют пары векторсв также комплексно сопряженных (е2= ех, е2 = е1), что следует из (3), поскольку компоненты Q вещественны.
В базисах е5, е$ тензор Е представим по (4,14) выражением
Е = %е§ = &，％ = eid 丄 е2е2 —е3е3 = е1е1-^е2е2 + е3ез (13)
И по （1）
3
Q = E・Q = Q・E= g Х^е^е5 =+ Х2е2е2-J-Х3е3е3,
3（14）
QT= У ^е5е5 = X^ei + Х2е2е2 + ^зе3ез- s= 1
Была бы неуместна запись Х5е5е5, так как правило предполагает суммирование по двум индексам.
При det Q 卉 0 в числе корней полинома У （入）нет равного нулю. Это позволяет сразу же составить выражение обратного тензора Q-1. Имеем
Q-i.Q— Е, QT・Q・es=E・％=es， з
Q1 * 2 入#е#е*“ е$ = Qi"入s^s = %‘Q~1，e5 = ^s e5
—главные значения обратного тензора равны обратным значениям главных значений тензора, а собственные векторы Q и Q-1 совпадают
]113
Q-1 =①e}- e“2+ 第9 = у^ As %5ёS・（15）
s= 1
Непосредственно по （14） имеем также з зз
Q2 = Q.Q=N £ %白人m卜& = £入品© s= 1 k— 1s= 1
и вообще при целом положительном, а для неособенного тензора и при отрицательном целом, п
3
Q〃= n入*бe5 = AfeC +厶亮2炉十霜出帆（16）
5=1
Диады е1е1, е2е2, е3е3 определяются из решения системы уравнений
&1^ + е2е2+е3е3 = Е,^eie1 + Х2е2е2 十 Х3е3е3 二 Q,入储e1+入船整2 +入扌езeз - Q2
с определителем Вандермонда
д - （Xi -入2）（入2 -入3）（入3 ~■入工），
отличным от нуля, когда корни определяющего уравнения — простые. Получаем
e1e1 =-疗⑸）[Q2 -（入2 + 入3）Q+ E入2入3]=-*（入）（Q - X2E）-（Q -入3e）
и т. д., причем
>'（%）——（入1 -入2）（入1"入3）н т. д.
В другой записи этим выражениям придается вид
e^ = -^j[Q2-（/1（Q）-X5）Q+EXr1/s（Q）].（17）
Следующие замечания относятся к случаю, когда Q——симметричный тензор. В этом случае при наличии кратного корня (入 1 =入2彳 入з) по (14) имеем
Q = (e1e1 + e2e2) Хх + Х3е3е3 = ЕХх + (Х3 — X]) е3е3(18)
一 диады е^е】, е2е2 не входят в определение Q и их знание не требуется. При наличии трехкратного корня (Хг = л2 = ^з) тензор Q «шаровой», равный произведению скаляра на единичный тензор
Q = AE.(19)
Если Q—несимметричный тензор и полином (5) имеет кратные корни, то представление тензора по собственным векторам, вообще говоря, усложняется: оно определяется структурой соответствующих элементарных делителей. В этой книге подобное представление несимметричного тензора не находит применения.
Тензор Q“2. Положительным называют тензор, если образуемая по нему 'квадратичная форма a*Q a положительна для любого отличного от нуля вещественного вектора а. Единичный тензор Е положителен, так как а*Е-а = = a・a = q2. Другой пример ——произведение Q*QT, если Q ——неособенный тензор. Действительно,
a-Q-QT-a=b-b-&2；> 0(b-a-Q-QT-a),
так как b W 0, поскольку a = b*Q-1 W 0. Положителен тензор, главные значения которого положительны, так как e5-Q*e5 —Х5 | е5 |2 при s=l, 2, 3. Матрица компонент положительного тензора — сильвестрова, положителен ее определитель и главные диагональные миноры.'
По положительному тензору может быть определен тензор, главные значения которого равны квадратным корням из главных значений тензора
Q1/2 = ех К^е^1 + 82 У^^2 + 83 К^зе3е3,%= ±1.
Можно назначить различные комбинации знаков, но условимся, если не оговорено противное, приписывать V^ (s=l,2, 3) положительные значения, иначе говоря, считать Q% положительным тензором
Q% = Пе© + УК^ + М^езез.(20)
Определение компонент тензора Q" по компонентам Q сводится к решению системы уравнений вида
msrm4 =自(戒г = г5 ・ С!'%-rr).
Эта задача в существенных чертах той же трудности, что и решение кубического уравнения, определяющего собственные значения Q.
Теорема Г амильтона — Кэли. Уже упоминалось, что эта теорема (7.14) позволяет выразить Q3, а вслед за этим Q" при п > 3 через Q2, Q, E = QQ. Исходим из равенства
з
Q3= 2 渡e$es,
s = 1
в котором Xi может быть заменено его значением из характеристического уравнения
戏=/i(Q)瞪一"(Q)入$ +，3(Q)・
Получаем''
ззз
Q3 = /i(Q) X 修eseS—/〃Q) £ ^е5+/з(0) £ e^,
откуда по (16) сразу же следует
Q3 — G (Q) Q2 + A (Q) Q—/NQ) Е = 0(21)
——«тензор удовлетворяет своему характеристическому уравнению». Следствием для неособенного тензора является соотношение
QT=74nr【Q2-/i(Q)Q + /2(Q)E]・(22)
Неравенства для инвариантов положительного тензора
厶⑼言 3/；/，(Q),/2(Q)A3/：k(Q),/；(Q)b3/2(Q).(23)
Первые два следуют из теорем о среднем геометрическом и среднем арифметическом
(大△加户^^&+斯+大3)，(x^jJ /'<^(^+^弋*)■
Третье следует из легко проверяемой по (8) формулы
/1 (Q)-3/2 (Q)=q [(入1- 入2产 + (入2 -大3产 + (入3 一 入1)2].
Только для шарового тензора неравенства (23) становятся равенствами. Третье неравенство (23) не требует, чтобы тензор Q был положителен-
Симметричный тензор
Существенное упрощение, вносимое предположением о симметричности тензора, состоит в том, что отпадает различие между произведениями справа и слева тензора на вектор. Триэдры е^, efe совпадают ——это единственный орто- нормированный триэдр, и по (9.10), (9.11)
е§*% = 0, s 产左； ^5*6^ — 1 (s — 1) 2, 3).(1)
Корни определяющего уравнения симметричного тензора вещественны; действительно, собственные векторы для комплексно сопряженных корней X] и 入2 = А] были бы также комплексно сопряженными
а — г b
Ка2 + ^2К а2+ *2
Но тогда ei*е2 = 1, что противоречит условию ei*e2 = 0.
По (9,17)
rm * ®5®5* ^т ~ётт COS? (б^, Гш)=
=_* ；入J [潟"巾-U1(Q)-^5)ятт + 3 (Q) ^^(2)
(не суммировать по mt s!). Этими формулами определяются с точностью до знаков направления е$ в векторном базисе г/л.
Два ортонормированных триэдра е$, £ совместимы друг с другом с помощью ортогонального преобразования. Поэтому два симметричных тензора с равными инвариантами можно связать соотношением (см. § 8 в конце)
з
Q = (T.P.O,0= V еХ-(3)
Кососимметричный тензор. Ортогональный тензор
Заменив в представлении кососимметричного тензора диады г^г/ векторными- цроизведениями г?Хг$, получим величину
(0 = ^(05%х% = ^ 9s"讨4(Й =(0旳$17),(1)
называемую сопутствующим тензору Q вектором. Его ковариантные компоненты по (2.1) равны
例=^ H*^(C032_s23) = Н^д32, 犯=}^(0吗^3= У^21.(2)
Следствием определения (1) являются соотношения
Q・a = sXa, а«Й =ах<о.(3)
Действительно,
sXа = ^ Usq<o宜陷ха = у 5q^mn^siam% =
=4" 6汽?一3汽?)(05%加％ =(0権ma加% = 0.时
как и требовалось. Рассматривая теперь квадратичную форму, образуемую сим метричньш тензором Й2
а*Й-Й»а = (ах<о)*(<оха) = а-[<»Х(<оХа)] = а-<о<о«а—а2(о-<о = а-(<о<о—Es・s)・a, имеем
Q2 = ss—Е<о・<о.(4)
Инварианты кососимметричного тензора определяются формулами
厶(0) = 0,/2 (Й) = — у /1 (Й2) = со2,/3(й) —0.(5)
Определяющий полином (9.6) и его корни оказываются равными 少(入)=-入(入2+炉)，入1 = - 1(0,入2 =加，入3=0.(6)
Правые и левые векторы е3, е3 по (9.1) определяются из соотношений
Й*е3 = соХез = Х3ез = О,е3-е3= 1, ез=еЗ = ~^-.(7)
Поэтому
ft .ej =(»xei = coe3Xei =—加电，e1 = ie3xelte2 = — ie3xe2;
e1 • Й = e1 x(o = coe1 xe3 = — icoe1,e1 = —ie3xe1(e2 = ie3xe2
Н сравнение этих соотношений позволяет принять
ei = е2,3 = ei, Е = eie2 + е2е! + е3е3.
Комплексно сопряженные пары векторов ⑸，е2), (е1, е2) представимы в видах
* = ^ = -~ ©—iq)，3 = е】=fy (j + ic2)
И условия 史・»=1, е2-е2= 1 удовлетворяются, если принять | сх | = | с2 I = 1. Получаем
С1—he =氾3 X(G—ic2),J = ез X%，q = J X ез
—триэдр вещественных векторов J, с2, е3 ортонормирован, расположенные в плоскости, перпендикулярной ез, векторы 5, с3 определены с точностью д0 поворота вокруг е3. Тензор О по (9.14) представляется выражением
Q = — /со (ej^e1 — е2е2) = — /со (е^? — е2ег) =(о (53 — с2с3)=
=(оезХЕ =(охЕ = Ех(о.(8)
Ортогональный тензор. Его инварианты определены формулами (8.17)； характеристическое уравнение приводится к виду
^(Х) = —X3+(l+2cos(0) (X2 —Х) + 1 = (1 — X) (V —2Х cos ①十 1) = 0
и собственные значения оказываются равными
九］=九2= J",九3=1.(9)
Для корня 九з
е3 * О = е3,О*е3= е3
и этим определяется направление е3 —е3, остающееся неизменным при ортогональном преобразовании — ось осуществляемого им поворота. По (9.14)-
O = eieig- ‘°十 e2e2ef® +езе3= (eie1 + е2е2) cos ①一(eie1 — e2e2) 1 sin(0 + e3e:i
и это выражение приводимо к вещественному виду (8.16), если принять
е】=е? = _L_ (С1 — ic2),е2-=е1 — -—=- © +(с2),
причем удовлетворены все условия (9.11) в ортонормированном триэдре сх, с2, e:i. Получаем, как и требуется
0 = (qq + c2c2)cos ①十(qq—c2ci) cos o)+ ee =
=E cos o)+ (1 — cos(0) ее —eXE sin(0.(10)
Полярное представление тензора
Неособенный тензор Q представим произведением симметричного положительного тензора U (или V) справа (или слева) на ортогональный тензор
Q = U・O, Q = O.V.(1)
Это следует из определения ортогонального тензора
Q・QT = U・O OT.u = U2,QT・Q = V・OT.o・v = V2；
U = (Q・QT)%, V = (QT.Q)%.⑵
Симметричные тензоры U и V, как говорилось в § 9 в связи с определением корня Нз положительного тензора Q*QT, положительны.
Ортогональность О при таком определении U и V —следствие соотношений
O=U-i.Q,Ot = Qt.ut,O.OT =(q.qt)-i/2.q.qt.(q.qt)-% = e,
O = Q.V-1,OT = V-1.QT,OT・O = (QT.Q)-%.QT.Q.(QT.Q)-% = E.
Определения тензоров U и V согласуются с соотношениями
U・O = O・V,и = О V от, v = oT и о,⑶
если тензор О в формулах (1) один и тот же. Действительно, как и требуется
Va = OT U O OT U O = OT U2 O-QT Q.
Представление тензора суммой шарового тензора и девиатора
По тензору Q определяется его шаровая часть 1/3/1 (Q) Е, а отклонение цензора от этой наиболее простой структуры определяется его девиатором dev Q
Q = у Е/г (Q) + dev Q.(1)
0з определения следует, что /j (dev Q) = 0. Первый инвариант кососимметричного тензора Q равен нулю, dev Q = Q, и рассмотрение его девиатора теряет смысл. Далее предполагается, что Q—симметричный тензор
Q = QT, Q-e = Xe, dev Q・e = 0一｝厶(Q)] е = -%е.
Главные направления тензоров Q и dev Q совпадают, а главные значения х^ девиатора определяются формулами
% =統一^/1(0) (s = l,2, 3).(2)
По (9.8)
/i (dev Q) = Xi + ^<2 + хз =
厶(dev Q) = XiX2 + x2x3 + x3Xi = /2 (Q)—； /1 (Q),(3)
12 Q
/3 (dev Q) = 乂济2乂3 = /3 (Q) —у 厶(Q)厶(Q) + 莎厶(Q)・
Еще одно представление второго инварианта девиатора следует из (7.8) 厶(dev Q) = — — (xi-f-xi + xf)= w[(九1一厶2)? + (a2-a3产 + (大3 — ^1)2]-⑷
При обозначениях
—/3 (dev Q) = —^2,/3(devQ) = ?~g3(5)
характеристическое уравнение девиатора приводится к виду
4泊一g2£一g3 = 0・(6)
Переход к нему от уравнения 彳(А) = 0 воспроизводит хорошо известный прием сведения полного кубического уравнения
^ + 做 2 + Ьр+ С = О к стандартной форме
Дискриминант уравнения (6)
A=g2-27gf=64 [|/z(devQ)|3 — ^/；(devQ)] > 0,(7)
так как собственные числа х$ вещественны. Это «неприводимый случай», когда выражения в радикалах вещественных корней нельзя избавить от комплексных величин. Численные значения корней разыскиваются в тригонометрической форме
N=J^sin5(8)
причем 2 определяется подстановкой в (6)
3 У 33 У 3* sin 3屯* sin 3屯(9)(9)
3 У 3
3 У 3
* sin 3屯
* sin 3屯
(9)
(9)
так что A = g^cos2 32 > 0, как и требуется. По (9) находим три значения х, а по ним главные значения девиатора
Xi = /y sin 2，总= /号 sin(2+書)，&= /y sin (州+号)，
15 <*(10)
В применении к девиатору теорема Гамильтона — Кэли приводится к виду (dev Q)3+ 72 (dev Q) devQ —Е73 (dev Q) —0'
и из нее следуют формулы
h (dev Q) = 一 ^ 厶((dev Q)2), 厶(dev Q)=皆厶((dev Q)3),；i(dev Q) —-^-71 ((dev Q)4)(U)
и t. д. Сравнение (6) с дифференциальным уравнением
吋2 ⑵= 4№3(Z)—gz№ G) — g3
для функции №(z|g2，g3)Вейерштрасса обнаруживает, что Xi, Хз, х3 —корни ^ (z ] g2, gj, стандартно обозначаемые е「е21 е3.
Формулы (11) известны в теории эллиптических функций
Xi 4* xi4- xi = -g- ^2jX?4- ^2-|- Хз — — ^з, 電+ %； + ?<；=豆 g；・(⑵
О тензорах высших рангов
Величиной
5不…飞 …#+ i…产"(r|
S用+ 1Si s2s少'
определяется тензор n-го ранга. Его ранг снижается на две единицы при свертывании по двум индексам с номерами ц и v. Получающийся тензор может быть обозначен
(ц-v) (v-ц)
5-2)Q = T：Q=nQ .(2)
Например, свертывание тензора третьего ранга 3С— Qa (диады тензора второго ранга и вектора) приводит к векторам
(1-2)(2-3)(3-1)
зс =/i(Q)a, 3С =Q・a,；iC =<Г・а.
Важным примером тензора третьего ранга служит тензор Леви-Чивита
6 = e$,不心q= e5%$「,「g.(3)
Его компоненты определяются формулами (2.3); все свертывания пр ив одят к нулевым векторам.
Свертывание тензоров четвертого ранга приводят к тензорам второго ранга. Например,
(I*2)(13)
4C = PQ,4С =A(P)Q, 4С =PT Q и т. д.
В частности, все свертывания тензора ЕЕ дают тензоры ЗЕ. Е. В числе свертываний тензора шестого ранга QQQ имеются тензоры четвертого ранга Q2Q, QQ2； двукратное свертывание приводит к тензору второго ранга Q3.
Операция сопоставления тензору n-го ранга тензора (п—1)-го ранга осуществляется векторным перемножением двух базисных векторов на местах 卩 и V (р. > V). Векторное произведение вписывается в месте v (слева) или в 卩 (справа). Возможны обозначения
( —^—. a
[uxv]f [uxv]
ST)Q= "Q ,5T)Q= RQ .(4)
Вектор, сопоставляемый (сопутствующий) симметричному тензору второго ранга —нулевой
qStrtXTs^ eisqqstrq = estqqStTq qstrsXrt=：o
и сопутствующий Q вектор 2(о определяется только кососимметричной частью Q этого тензора по формулам (11.1), (11.2).
В число тензоров второго ранга, сопоставляемых тензорам Qa, aQ, входят тензоры (6.9)
QX а = qstameimqrsr(i = — (а х QT)Tt axQ = — (QTxa)T. (5) В частности, для симметричного тензора
Qxa = — (axQ)\ axQ = — (QXa)T(6)
и легко проверяется, что первый инвариант этих тензоров равен нулю
Л (QXа) = QS^m^tmq^s*^ =严〃加€£加3= QS^m^smt = °，⑺
厶(axQ)=0.㈠
К числу тензоров третьего ранга, сопоставляемых тензору ЕЕ, принадле
жит тензор Леви-Чивита
—Е ХЕ = — r^r^x Mrfe = — rsrtrkeskt^rsTtrkestk, е = — ExE. (8)
Представление (11.8) тензора Q через сопутствующий вектор (о теперь преобразуется к виду
Q =(oXE =(d・ExE = —(о・е = — е*©.(9)
Соотношение (8) применяется к преобразованию векторных произведений. Приходим к знакомым соотношениям (11.3)
ах(о = а・ЕхЕ・@= —aes = a・Q,sxa=Q・a,(10)
применимым и к тензорам любого ранга
Qx(o = Q，Ex Е •(о = —Qe@ = Q・Q,(oxQ — Q*Q.(11)
В применении к тензорам Q-QT, QT-Q по (4.18) и (1.4) имеем
Q・QT =(s+q).(s —Q)= s2 + Q.s — sg —Q2=s2 +(0xs+(0)xS)T +
Ew-co —(о(о,(12)
QT.Q = S? —sxS — (cox S)T-|- Es® —(d(d.(13)
Однократное свертывание тензора шестого ранга ее приводит к тензору четвертого ранга
е・е = (ЕхЕ)・(ЕхЕ) = ЕхЕхЕ = r5r5 X 产!>Х г 丸冰=
=а切е從小5%严杯=(3就г —说欧)Г5产=
=1\1^Г5Г为一T51^Гmr$ = eh 一 e111.
Здесь введены обозначения тензоров четвертого ранга, названных далее изотропными
Cii=%“NГ3 g11 =L必№Г5 =厶正Г5.(14)
Приходим к соотношению
е・е = Е 义 Е X Е = С”一Сц].(15)
При двукратном свертывании
е・•e = rsi>・r?N' —г$「м •「切г$口 Е —ЗЕ = — 2Е・(16)
Следствием этого соотношения является обращение формул (8) и (11.8)
е • ■ Й = —€•• е •(о = 2Е •(о = 2(о, (о — — в • • Й.(17)
В частности, по (11.1) сопутствующий диаде ab вектор
(о=^Ьха(18)
и по (17) векторное произведение ахb оказывается представимым в виде
ахb = e* -(Ьа—ab),ba—ab = Ex(axb).(19)
Замечание. Применяется обозначение векторного произведения в форме «векторного инварианта»
у (ab —Ьа)^ = у (axb—bxa) ^axb.
Изотропные тензоры
Компоненты тензора, называемого изотропным, остаются неизменными при любом ортогональном преобразовании векторного базиса. Конечно, произведение изотропного тензора на скаляр — изотропный тензор.
Единичный тензор——единственный изотропный тензор второго ранга, его, например, ковариантные ксмпсненты в исходном и повернутом базисах равны
Отличных от 九Е изотропных тензоров второго ранга нет.
Тензоры высшего ранга, представляемые через тензор Е, изотропны. Таков, согласно (14.8). тензор третьего ранга Леви-Чивита е;九е——единственный изотропный тензор третьего ранга *).
Тензорами четвертого ранга, образуемыми по Е, является тензор ЕЕ и по (14.15) тензор Сц—Сш- Но и каждый по отдельности тензор Сц, Сщ изотропен. Действительно, по (8.5), (8.8)
1• o^mrkrm = osmrm,「； = r$ • о 谓= Os%,
так что
r"Er； = osmo'frmErn 二 бтГ^ЕГл = rmErm — Сш.
Для трех изотропных тензоров четвертого ранга
G = ЕЕ = %广『城3 Qi = %г算s", Сш = г^ЕГ = rsrkrkrs(1)
возможны эквивалентные записи. В каждой из диад rsrs, 「々г* тензора С【допустима замена верхнего индекса нижним, нижнего верхним, тензор остается равным ЕЕ. В Сц переставимы диады г$г用,r^r*. Их можно записать и в видах г$г*, г'г用.В Сщ переставимы первый вектор с четвертым, второй с третьим. Например,
Си = Г^ГйГ^Г* = gsqrqr用gSSr^r亢=^&Мт ^ = Г^Г^Г^Г*
и т. д. Изомером тензора называют тензор, получающийся из данного при перестановках индексов базисных векторов. Например, QT—изомер Q, изомерами тензора cai)crarbrc является тензор cabcrcrarb и т. д. Существует л! изомеров тензора л-го ранга, их число уменьшается при наличии симметрий структуры тензора. Так из общего числа 24 изомеров изотропного тензора четвертого ранга несводимы друг к другу только три тензора (1).
Общее выражение изотропного тензора четвертого ранга поэтому записывается в виде
4C = ^EE + h(Cii-Ciii)H-v(CIIi + Ch).⑵
Двукратное свертывание С^• • С/. (К, L = L II, III) приводит, конечно,Двукратное свертывание С^• • С/. (К, L = L II, III) приводит, конечно,к одному из этих же изотропныхк одному из этих же изотропныхтензоров,тензоров,Ci Си сшCi Си сшCi 3clCiCiCi 3clCiCiСП Ci Сщ спСП Ci Сщ спкак показано нижеСщCiспСшкак показано нижеСщCiспСш(3)(3)
Двукратное свертывание С^• • С/. (К, L = L II, III) приводит, конечно,
Двукратное свертывание С^• • С/. (К, L = L II, III) приводит, конечно,
к одному из этих же изотропных
к одному из этих же изотропных
тензоров,
тензоров,
Ci Си сш
Ci Си сш
Ci 3cl
Ci
Ci
Ci 3cl
Ci
Ci
СП Ci Сщ сп
СП Ci Сщ сп
как показано ниже
Сщ
Ci
сп
Сш
как показано ниже
Сщ
Ci
сп
Сш
(3)
(3)
ранга приводят к тензорамранга приводят к тензорамДвукратные свертывания с тензором второго
ранга приводят к тензорам
ранга приводят к тензорам
C「Q= Е/i (Q) = Q・・C[, С[「・Q = Q・・Cu = QT, Сщ - *Q —Q* «Сщ = Q. (4) Поэтому двукратное свертывание с ~ (Сц + ^ш) выделяет симметричную, а с ~ (Сш—Сц)—кососимметричную часть Q. Приходим к соотношению
^ci + у И (сп + Сщ) + у ^ (Сщ—Сп)1 • •Q = ?iE/1(Q) + |iS+v2.(5)
На правилах (7.16) основываются соотношения (А, В—тензоры второго ранга)
(q・・A)・B = A(A) В,C「A・B = E/i(A・B),(6)
(Сц・・А)・В = АТ・В,Сн・・А・В = ВТ，Ат,(7)
(Сщ • • А) • В = А • В,Сщ • • А • В — А • В.(8)
Найдут применение формулы
С[・А = ЕА, Сщ *А = А'Сщ.(9)
Свертки тензоров (их всего 9)
Ск&, К, L = I, II, III(Ю)
—изотропные тензоры шестого ранга. Но это не все такие тензоры, к ним надо добавить каждое слагаемое представления по базисным векторам
тензора ее. По (2.5)
ёё =Г中冰%3 戸 5T 5； =
= rsrk& 餘(皿一r&rt) + r±(r疝s—%咽 +“ (р—у)].(11)
В формулах (10), (11) представлены 15 изотропных тензоров шестого рашх из ©! = 120 возможных. Окажутся полезными формулы шестикратного свертывания этих тензоров с тензором шестого ранга ААА, причем А = Ат. Например,
ЕЕЕААА = /1 (А), ЕС【ААА =厶(А)厶(А2),
Сц.Сц!ААА = /[(А»(12)
Но инвариантных скалярных структур третьей степени относительно компонент А, кроме перечисленных в (12), нет. Поэтому к этим же инварианта ч приведет свертывание с ААА изотропного тензора (6) 6С общего вида
肥=£ W ^l^K^L + ^rk К (%曲1＞十a"加)+
+「t (勿21＞「S-I-a13r^) + гл (*14rsl7 + ais「t「s)]•(13)
Получаем
6CAAA = ^[v"；(A) + 6v2/i (A) /1(A2) + 8v3/1(A3)],(14)
причем vj, v2, Y3 линейно выражаются через 仪左.В применении к удельной потенциальной энергии нелинейно-упругой изотропной среды Тупин и Бернштейн [8.13] называют Yl v2, v3 постоянными Ляме третьего порядка. Правую часть (14) можно записать и в виде
-3 (〃 + 2m)/；(A)—2m/i (А) /2(А) + «/з (А);
^—у V1+ v2, m = v2 + 2v3,九=4乜3・(13)
Через /, т, п обозначены постоянные Муриагана (F. D. Murnaghan, 1951).
В аналогичном, но более простом виде, представляегся четырехкратная свертка тензора (2) с тензором АА (при А Ат)
4СAA = ^0/；(A) + 2Mi(A2)],(1。)
九 и Ji ——постоянные Ляме второго порядка.
Свертывания тензора четвертого ранга, определяемого двумя симметричными тензорами второго ранга
АВ, АВ2, А2В, А2В2; BA, В2А, ВА2, В2А2, приводят к четырем инвариантам
А(А・В), Л (A-В2),厶(А2・В), Л (А2-В2).
Добавив к этому перечню шесть инвариантов /工(А用)，/х (Bft)(左=1, 2, Зь получаем десять совместных инвариантов двух симметричных тензоров. Совместные инварианты /?， /з выражаются через перечисленные с помощью формул (7.9), (7.10) и теоремы Гамильтона —Кэли *).
Приложение П. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
Линейная функция тензорного аргумента
Рассматриваются линейные однородные функции компонент тензора первого (вектора а) и второго (тензора Q) ранга. Эти функции могут быть скалярными ф, векторами с, тензорами второго ранга Р. Они задаются одним соотношением в первом случае, тремя и девятью — во втором и третьем (три компоненты %, девять pst в избранном базисе г5)
ф (а)工加九аЗср (Q) = g土产，(la)
& 值)=加5坦彳％(16)
Pst(3)—加$〃"， Pst (Q) ~ ^stmnQnm'(1b)
По определению после перехода к новому базису г5 скаляр (р остается неизменным, а с$, 〃§± должны преобразовываться, как компонеяты вектора и соответственно тензора второго ранга. Тогда 加卜，％f, rnstr, т^тп должны быть компонентами в базисе г§ вектора т: тензора второго М, третьего ?М и четвертого 4M рангов
(p = m a,qprM — Q,(2а)
с —М-а,с = 3М- *Q,(26)
Р = зм・а,P = 4m..q.(2в)
Доказательство основывается на правилах (1.7.2), (1.7.3). Например, для второго соотношения
q's 二产屮 XjSJm ф = rnsiq^s qnmx^x^s • xmmst.
Определив величины mrnn формулами преобразования компонент тензора %^=加5#公炉；加從 получаем, как и требуется
Ф = Яптттп = М …Q.
Аналогично проверяются остальные записи.
Примерами линейных функций над тензором служат
<р (Q) = Е・・Q =厶(Q), Р (Q) = C「Q= E/i (Q),
P(Q) = C「・Q = QT, P(Q) = Cm Q = Q2)
—тензору 4M приданы значения изотропных тензоров С/；.
Свертка изотропного тензора — е с вектором со определяет по (1.14.9) крсосимметричный тензор, а двукратная свертка с тензором второго ранга —— вектор 2(о по (1.14.17).
Квадратич на я форма компонент Q—скаляр, определяемый формулой (2а), в которой вместо М взята линейная функция от Q, т. е. Р [см. (2в)]. Имеем
屮(P(Q))=(p (4М- -Q)= CM* ・Q)・ ・Q = m〃切加 q^q^.(4)
Заданием этой формы тензор 4М определен при переставимости пар (/同，(пт) 俏"5勿=加也掠^(5)
■—подобно этому по заданию квадратичной формы qs^asa^ определяется только симметричная часть тензора Q.'
m§tmn — mstnm.m§tmn — mstnm.При Q=Q'
m§tmn — mstnm.
m§tmn — mstnm.
а при Р = рт pst^pts^^tmnq^^ mstrnn^mfsmnt
Если симметричны оба тензора
Q = Q\ P(Q) = [P(Q)F
то тензор 4M симметричен по индексам в каждой паре
mstmn — mtsmn —加$切加(G)
и число его компонент снижается от 81 до 36, а при преобразовании (5) до 21, В линейной теории упругости роль тензоров Р и Q отведена тензору напряжений Т и линейному тензору деформации g, 4M—тензор упругих модулей. 'обозначаемый 4С
Т = 4С-е(7)
ч поскольку Т, е—симметричные тензоры, число упругих модулей равно 3() («упругость по Коши»). Квадратичной формой (4) определяется удвоенная потенциальная энергия в единице объема
2取= Т・・£=(4&・£)・・£.(8)
Существование ее, обусловленное выполнением соотношений (5),
доводит число модулей до 21 («упругость по Грину»).
Скалярная функция тензорного аргумента.
Производная скаляра по тензору
Функция компонент qst тензора Q, заданных в г5-базисе
屮=屮(g11, q% …，严)，(1)
представляет скаляр («скалярнозначна»), если ей приписывается одно и то же числовое значение в любой координатной системе
q)(qii, q22,^31)=-ф (^11,》?，…，办).(2)
Например, скалярнозначпа функция
q)= a・Q・b.
Непосредственно проверяется, если вернуться к исходному базису, что 屮一屮
中=а • Q • Ь = а • r/s • Q • гт^ • b = asbiqst — 0加匕％，加"，(3)
как и требуется.
Принятое в анализе определение производной
厂(х)= lim(x + /i)_/(x)](4)
необобщаемо на функцию тензорного аргумента. Следует исходить из определения производной, как множителя при линейном относительно вариации 61 независимого переменного приращения (вариации) 6/ функции /
* = /(%+ 5х)—/ (%) = /' (%) 5爲(5)
Вариация скаляра (1)
5屮(严，产，…，严)^~\ ^st(①
представима в форме двукратной свертки тензоров
①q=^；Г中，6QT = bqnm,曳 3产二中q..5QT = 5(p
uqsz8qst
и естественно, сославитсь на (5), назвать(pQ производной 屮 по тензору Q; по (1.1а) и (1.2а) величина 屮@——тепзор второго ранга
屮Q = 备=券m⑺
Дифференцирование в (6) приводится по всем (девяти) компонентам тензора Q, Для симметричного тензора во избежание ошибки следует заменить
н после дифференцирования по каждой из девяти компонент принять qm^ — qnmt Получим
Q = QT：屮(rW+rE),(8)
откуда следует, что производная скаляра по симметричному тензору——симметричный тензор
Q = QT：(屮q)t = Wq.⑼
Формальные правила дифференцирования суммы и произведения переносятся на операцию дифференцирования скаляра по тензору. Например,
5屮屮亠屮5屮亠恥屮=(屮屮q +屮(Pq)・・6Qt,(<PW)q =(pCq+“9q・(1。)
Формулы дифференцирования скаляра
Приводимые здесь формулы найдут многократные применения в основном тексте. Их вывод основан на инвариантном представлении ⑺ вариации 6(р.
Производные инвариантов тензора. Первый инвариант 九(Q)——линейная функция Q, По его определению (1.7.4) имеем
5厶(Q) = A (Q+5Q) — /工(Q) = E・・(Q + 5Q) —E・・Q = E・・5Q = E・・5QT, так что
/1 (Q)q = E.
Далее, вспомнив правила свертывания (1.7.16), (1.7,17), получаем
6/i(Q2)=/!((Q+6Q)-(Q + 6Q)) — /1 (Q2)(Q-SQ+SQ-Q) =
=E- .Q SQ+E--6Q Q = Q--SQ-!-Q- -SQ = 2Qr- -6QT,
/! (Q2)q=2Qt
н аналогично
6/i (Q3) = /i(Q2№QT-Q.5Q・Q+5Q・Q2)=3Q2：・5Q =3Qt2.・5qt,
A(Q3)q=3Q".
Пришли к выражениям производных первого инварианта степеней тензора
Л (Q)Q - Е, 九 <Q2)q =2QT, 厶(Q% = ЗОт2.(1)
Из них по (1.7.9), (1.7.11) и используя теорему Гамильтона — Кэли, получаем ，2(Q)q=E/i(Q) —Q* /3(Q)q = Qt2-A(Q)QT + E/2(Q)=/3(Q)(QT)T・(2) Эти важнейшие формулы позволяют составить выражение производной скалярной функции инвариантов
^(/UQ)，/2(Q), /3(Q))q=[-^- + /1(Q)|^] е—^qt+-^/3(q)(qt)-i=
Производная ф (Q-QT), Заменив в исходном определении (2.7) Q на QT, имеем, сославшись еще на (1.7.13),
5屮=屮@・・5QT = q)QT・ ・5Q = q)$T・ ・5qt,Tqtt = Tq,(4)
откуда снова следует (2.9). Рассматривая теперь ф, как функцию симметричного тензора S = Q・Q‘，имеем
6(р = (р^ • • 6QT = (pg • • 6ST = ф^ qT，* (Q” 6QT 十 6Q- Qr)=
^TQ qt-Q"6Qt+ QT-cpQ QT--SQ = fcpQ qT-Q+ (Tq.qt)t-Q]"6Qt и no (2.9)
屮Q=2中 q.qT・Q，中 q.qT=^ 屮 q.QT，⑸
причем последнее соотношение имеет место, если Q — неособенный тензор. После замены Q на QT имеем, учитывая (4),
屮<)т = 2屮qT.q・QT = %屮Q = 2Q•(屮Qi/,
так что
LZQUqTQ屮 qT.q=^Q i 屮Q・⑹
Формула связи 屮@ с 屮q_> Имеем
Q・QT = E, 6Q Q-1 I Q・0Q-i = 0, 5Qt = -Qt 5Q Q-】
и поэтому
^ф = фо* -6Qt =(pq_1- -6Q~1T = —(pQ_r - Q-1T-6QT-Q-1T =
——Q-1 .屮q—i・Q_it” ・§QT, так что
Q「•屮Q =—屮Q-「Q-l'・(7)
Производные билинейных форм a・Q・b, a- Q2- b. Имеем
5 (a・Q・ b) = a・5Q・ b = ©Q・• ba = ab・・5QT,(a・Q・ b)@ =ab, ⑻
6(a-Q2-b) = a-(Q-6Q I 6Q-Q)-b = (Q-6Q + 6Q-Q)«-ba =
= 6Q，・(ba・Q } Q・ba) = (QT・ab + ab・QT) -3QL
так что
(a-Q<b)Q =a-Qb4 aQ-b, (a-Q2-b)QT ^ba-Q+Q-ba.(9)
Производные /左(Q) по QZ Имеем
6厶(Q) = Е • • 5QT =厶(Q)q2 …((Г• 5QT + 5QT •(Г)亠
= [/i(Q)q2・QT + QT/(Q)qz}・5QT.
Тензорному (матричному) уравнению
厶(Q)q2・QT + QT/(Q)q『e удовлетворяет решение
/i(Q)qTqtt(10)
Аналогично приходим к тензорному уравнению
A(Q3)q2・QT + QT/(Q*)q2 = 3Qt2,
имеющему решение
3
/i(Q“)q2=£QT.(11)
Конечно, /i(Q2)q2 = E. Обратившись к (179), (1.7.11), приходим к формулам
/2(Q)Q2=y[/l(Q) QLi-E]，
..(12)
./3(Q)Q2 = -2 [QT-/i(Q)E-h/2(Q)QT-1] = -2 /3(Q)QT-2.
В (10) и (12) предположено, что Q——неособенный тензор.
§4. Производная тензора по тензорному аргументу
В векторном базисе г$ задается девять функций ртп компонент тензора Q Ртп~ Pmn(Q111Q31)*⑴
В новом базисе г$ им приписываются значения
Z =；5•Г加e”mm而好1，；心，户,…，№%3//产1)(2)
и этим определяется тензор второго ранга Р (Q)
Р (Q) = Pst^ = ；% • m丽 Мртп = ЕМртм(3)
По (2.7) производная Pq представляется выражением
PQurWSmyrWrsN 融.(4)
По (3) и (2.7)
6Р = Г^гп6ргпп = ГЛЛГЛ(Ргпп)о • -6QT —Г^Г^Г5^ ^^・.5QT.(5)
dqst .
и по (4)
5Р 二 Pq・・5QT.(6)
Здесь тензор второго ранга 6Р линейно связан с 5QT соотношением вида (1.2в); величина (4), названная производной тензора Р по тензору Q, представляет тензор четвертого ранга. Формула (6) дает инвариантное определение «произ-
1S*
водной тензора по тензору», формула (4) — правило ее вычисления. Последнее можно записать и в других видах
и т. д.и т. д.1.1.Pq =Г加Г"Г5Г£ ^^ =Г加Г『2「5m^^=i%Гr ^-dqst&产dq'sДля симметричного тензора Q QT по (2.8)р(『S「t _L N「S)•Q 2dqstПроизводная произведения скаляра на тензор 屮(Q) Р (Q)- ИмеемPq =Г加Г"Г5Г£ ^^ =Г加Г『2「5m^^=i%Гr ^-dqst&产dq'sДля симметричного тензора Q QT по (2.8)р(『S「t _L N「S)•Q 2dqstПроизводная произведения скаляра на тензор 屮(Q) Р (Q)- Имеем5 (中Р)匸Р5屮 + 碇P = (P，q+屮Pq)・ ・5QT，(屮P)q = P屮q + <pPq・5 (中Р)匸Р5屮 + 碇P = (P，q+屮Pq)・ ・5QT，(屮P)q = P屮q + <pPq・⑺(8)(9)⑺(8)(9)
и т. д.
и т. д.
1.
1.
Pq =Г加Г"Г5Г£ ^^ =Г加Г『2「5m^^=i%Гr ^-dqst&产dq's
Для симметричного тензора Q QT по (2.8)
р(『S「t _L N「S)•
Q 2dqst
Производная произведения скаляра на тензор 屮(Q) Р (Q)- Имеем
Pq =Г加Г"Г5Г£ ^^ =Г加Г『2「5m^^=i%Гr ^-dqst&产dq's
Для симметричного тензора Q QT по (2.8)
р(『S「t _L N「S)•
Q 2dqst
Производная произведения скаляра на тензор 屮(Q) Р (Q)- Имеем
5 (中Р)匸Р5屮 + 碇P = (P，q+屮Pq)・ ・5QT，(屮P)q = P屮q + <pPq・
5 (中Р)匸Р5屮 + 碇P = (P，q+屮Pq)・ ・5QT，(屮P)q = P屮q + <pPq・
⑺
(8)
(9)
⑺
(8)
(9)
Записывая в другой последовательности, имели бы
6(рР = (6(р) Р-|-(p6P = ((pQ. -5Qr) Р-|-(pPQ • • 6QTP(pQ - • 6QT-j(pPQ• • 6QT,
так как скаляр(pQ • -6QT можно записать и справа; получили то же выражение (9). Конечно, записи P(pQ и (pQP представляют различные тензоры; в правильном выражении (9) тензор Р в первом слагаемом расположен слева.
Производная произведения тензоров
5P.s = (5P)・S + P・5S ；(Pq・・FQT)・S + P・Sq・・EQT.
Но по правилу (6) в первом слагаемом 5QT должно быть перенесено вправо. Применив (1.15.4), имеем
5QT =Cii「6QTY%=(rks・・5QT),(РQ • • 6QT) • S - (FQ • .r5rz) • Sr^r^• • 6QT,
так как скаляр в скобках переносим вправо. Получаем
(P-S)Q-P.SQ+(PQ-T5r/)-Sr/r^[P.(SQ--r5r/) + (PQ..r5r/)-S] rfr^ (1()) так как So• -r5r/rfr5~Sq • 'Сщ = Sq.
Замена независимого переменного. Тензор Р предполагается зависящим от Q через посредство S (Q). Тогда
6P=Pq・・5qt = Ps・.5ST, 6S = Sq--6Qt, 6ST-Cn •-6S-Сц--SQ • .dQT(
PQ^ps,，cn-，SQ^ps,，r^ (r^rf,，SQ)-('
Аналогично и для скаляра
屮Q - ^S ' '^ir '^Q^^s ' '^Q'(12)
так как 屮s..01 =屮3 по (1.15.4).
Производные Q, Q2, Q・Q「，QT-Q, Q-1. Имеем
6Q -Gi・・5Q「， 6Qr-CIn..6Qr; Qq=C", Q2=Cih， QQT=Cf[!. (13) Далее no (10)
(Q2)q=Q・Cn + r“s・QN『s = (Q•屮§十门％・Q)『В,(H)
(Q・QT)q「(Q・5t +「％・QT)#M,(15)
(QT • Q) q 亠(QT •『心 +「Mt • Q)『仆•(16)
Имеем далее
Eq =O=(Q・QT)Q = (Cii・・rsr>QTr*s，Q.(Q-i)Q=r,rs・Q-rfrs + Q・(Q-%・
так что
(QT)q = —(17)
Для симметричного Q формулы (13), (14), (17) приводятся к виду
Qq=^(5+Qu),(18)
(Q2)q =歹 1Q*(r"sT~rNi) + (r"s+H)・Q",(19)
(QT)q = — } Q-J F『s・QT (『№-卜『屮).(20)
(21)(21)Производная первого инварианта произведения тензоров. Имеем5厶(P・S) = 5(P-S) = P-5S + S-0P=(P・・Sq+S・・Pq)-3QT,/[ (P・S)q = Р・・Sq 十 S-Pq.
(21)
(21)
Вторая вариация скалярной функции тензора. Сохранив в ряду Тейлора скалярной функции (2.1) тензора Q квадратичные по 6qs‘ слагаемые, имеем %屮=屮(9口+59"，，・・，q："+5q3i)_ 屮 еh, .. ., q^)^
变.bqst +丄吆E一 6严" 6* dqsi 2 dqmn dqsi
По (2.7) и его определению производной тензора по тензору (4)
屮Q屮Q(22)(22)
屮Q
屮Q
(22)
(22)
Непосредственно проверяется запись
=6QT-(pqq・・6QT.
dqm"dq$t
Приходим к выражениям
(23)(23)А?屮=5屮+/屮，5屮= Wq・・6QT,62(p=y 6Qt- *(pQQ • *<^QT.
(23)
(23)
.§ 5. Изотропная скалярная функция тензора
В I. § 8 иерез qmn, q，mn обозначались компоненты подвергнутого ортогональному преобразованию тензора Q
Q』0TQ0(1)
соответственно в векторных базисах «старом» г§ и «новом» г] Конечно, = 士 q'mn и поэтому скалярная функция компонент Q не изменяет вида при 倘кой замене переменных
屮(qii, q^, .... q^) =屮(q'】i, q'22,q，3j).
口ри замене же переменных 勺加仪 на qmn
屮(q。q22,…，q3i)= 0@i, "2,…，产)
【см. (2.1)] сохраняется числовое значение скалярной (скалярнозначной) функ- Wh (при любом, не только ортогональном преобразовании), но не форма функциональной зависимости $ от qmn. Но она может оставаться и неизменной; Например, если ф зависит только от инвариантов.
Ограничиваясь ортогональными преобразованиями, назовем скалярнуюфуш<. цию компонент тензора изотропной, если она сохраняет форму зависимости(刀 них при любом ортогональном преобразовании )
VO С о:屮(ди,屮i)=屮(j",产)，(2)
Такое свойство функции 屮 может выполняться не для всех ортогональных преобразований, а некоторой их подгруппы ох и о. Скаляр называется изотропным в этой подгруппе——это свойство, как увидим, связано с зависимостью его от определенных сочетаний функциональных аргументов. Если 屮——удельной потенциальная энергия, то принадлежность к той или иной подгруппе определяется свойствами симметрий среды.
В определении не исключены несобственно ортогональные преобразования, так как повернутый тензор (1) не изменяется при замене О на ——О, a det (——О)- =—det 0 = 1.
Триклинная подгруппа ортогональных преобразований включает лишь единичный тензор 0 = Е. Любой скаляр изотропен в этой подгруппе.
Моноклинная подгруппа содержит преобразования поворотов на угол 工 вокруг фиксированного направления с3. По (1.8.16)
0Х2сд—Е = (0?т.(3)
Представление тензора Q в ортонормированном триэдре сг, с2, с3 задастся выражением
Q = qiijCi+qia (CjCa d CaCj -]rq^Cae^ (a, § = 2, 3).(4)
Повернутый тензор равен
Q(O^)T・Q•。之=(2CKi—E)・[q" jCi+qia(CiCa+Caj) + qaBCaCB]・(2CiQ —E)-
= qiijC[+ qa^Cor^~qla (鱼％十(:&门)
н изотропный в моноклинной подгруппе тензор сохраняет форму зависимоеiи от компонент тензора Q в ортонормированной системе с1( с2, с3 при преобразовании переменных
(q。产，q33, qi2} q?3,冲)—А(兴，q22,q叫一严，q23, 一严)，(5)
как можно было предвидеть. Мы ограничимся рассмотрением полиномиальных представлений 屮 через компоненты Q. Существует лишь только три комби на- нации %2, у?, ху, оставляющие полином F (尤,у) неизменным при замене знаков x—q12, y = q3i. Итак, представление изотропного в рассматриваемой п(>д- группе скаляра имеет вид
屮 l 屮(qii，Q22, q33, qi22, q2：\ q3U, qi2q3i).(6)
Группа ортотропии. Изотропный в этой подгруппе скаляр сохраняет вид при преобразовании (5). но и при преобразовании
(qii, q??, q^, q% q2：* ^31)>(^iij q22, q* —qi2, —q2s, q3i).⑺
Это соответствует тому, что в подгруппу преобразований включен также поворот
°^2 ” 2c2c2—Е.
Поэтому сохраняющий форму скаляр оказывается зависящим от аргументе!：
qR q22,俨，，兴2,严2, q乳2,[8)
Произведение 产严严 входит в состав /3 (Q) /3g)=严严产一严严2一严严2一严严2十2严严严，⑼
причем остальные входящие в него слагаемые выражаются через аргументы в перечне (8). Итак, изотропный в подгруппе ортотропии скаляр представим в виде
ф = ф(?и, ,22, ,33, ,12* 产2,严 2, %(Q)).(10)
Из этого представления следует, что он сохраняет вид и при повороте
。^3 = О^*°^г = —2(с1с1 + С2c2)+ Е — 2с3с3-— Е,(11)
Преобразование О^2. Тензор Q, заданный выражением (4), преобразуется к виду
Q' = (。｝2尸"Q •冤(С[С] + С3С2 —С2С3) ' Q' (CjCi-f- с2с3 — С3С2)=
=严с© + 严с?” + t?22c3c3 + 严 ©с〕+ с^з)—
—q23(C2C3T - C3C2)一 严(С1С2~Г С2С1)(12)
и этим осуществляется преобразование
(QI,产，q33, qi2, q23, g31)一(qii, q吗 严，一严，一产，严).(⑶
Диагональные и недиагональные элементы преобразуются по правилам
S* q22, ^3)-^(^^ 严，严)，(展2,严I gXL)-- (_(户，一产\ 寸* (IQ
Эти требования удовлетворяются, если q? зависит от диагональных компонент в комбинациях (qu, ^22^ q^4 q22q^), а от недиагональпых — в комбинациях (qi22+‘3i2, ‘232, qi2q2：Sq9i). Каждое по отдельности из соответствий (13) выполняется, если принять
屮=屮(内1, q22 + q3% ‘2/33, д2М^ g^^ q2^,12,23*1)(15)
или в другой записи
屮= W(h(Q)，，2(Q)，qu,严* qi^Jd^+qBU, qi2q23q；,i),([①
так как аргументы q22^v q^, q^q^ в (15) восстанавливаются соотношениями 严+产= /](Q)一严，严产=厶(Q) -严厶(Q)+产+产+严2. (17)
Формула (16) обеспечивает инвариантность 屮 при преобразованиях по каждой из групп переменных (14). Этим не исчерпаны все мыслимые аргументы» обеспечивающие инвариантность 屮 при преобразовании (13); в число аргументов следует еще включить /3 (Q); это позволит согласно (9)заменить ^11^23^31 суммой qi“232+,22,312+933722. Приходим к представлению
屮=中(人9)，，2(Q)，/"Q)，严，g2終，严2+产2上产2,
尸产十严严"+严U)(18)
как функции семи аргументов. Этим исчерпаны все представления 屮 полиномом Не выше третьей степени. В перечень аргументов, оставляющих инвариантным Полином любой степени, следует включить q'l^q】？'.
Группа кубической симметрии. Представление (18) следует дополнить Получающимися круговой перестановкой индексов еще двумя представлениями, соответствующими инвариантности при преобразованиях
^С^2 ~С2С? + С3С1一С]Сз，®с/： — С3Сз+С1С2 — С2С1*(19)
Полином третьей степени, инвариантный в группе кубической симметрии, поэтому должен сохранять вид при заменах
(q】i, q23)—(q22, q：u)— дзз,严)
и это требует включения в перечень (18) трех аргументов
qiiq22q・33, q^q^z^ q^q^ q^qi2^ 9232^ q3N 十 g】22,
так как степени выше третьей не включаются. Но два из этих трех аргументов уже включены в (18). Инвариантный полином не выше третьей степени в рассматриваемой группе симметрии оказывается зависящим от шести аргументов Ф = ф(/1(О),，2(Q)，/3(Q)，严产产，严 2+g2”+q312,
qiiq232+q22q3i2 + q33qi22).(奧)
Замечание. Приводимые Грином и Адкинсом [1] представления изотропного в трех классах кубической симметрии полинома содержат также шесть аргументов и сводимы (если ограничиться третьей степенью полинома) к (20).
В изотропной группе кубической симметрии полином четвертой степени включает также аргумент
q312gl22十 ql22g232+q232g31±(21)
Tрансверсальная изотропия. Скаляр, изотропный в этой группе симметрии, гостается неизменным при преобразовании поворота на любой угол ⑴ вокруг фиксированного направления с3. Тензор Q задается в ортонормирова!!- ном триэдре с15 с2, с3
Q = с3с3(733 + qa3 (сас3 + с3са) + Qa|3cacp (а, р = 1, 2).(22)
Представление повернутого тензора имеет вид
Q，= [Е cos ①十(1 —cos(0) C3C3 + 5XE sin(o]-Q-[E cos(0+ (1 —cos(0) c3c3—c3、 X E sin(0] = 55沁 + (CaS + CgCa)眾支3 + ^ЗсаСр, (23)
причем qsf—компоненты Q' в том же триэдре. Они оказываются равными
qii =q】i cos2(o + q22 sin2 ①一2(/12cos(0 sin(0,
?22 = gii si 112 co + q22 Cos2(0+ 2qi2 cos(0 sin(0,(24)
q】2=(q22 — qii)cos(0 sin ①十 qi2 cos2 ①，
q3i = q3i cos ①十 q23 ^口 ①，q23 — —Q31 sin(0 +(723 cos(0,q：$3 = q33.(25)
Формулы (24) определяют преобразование компонент 勺邮 тензора двух измерений (?аРсаср при повороте осей с〕， с2 на угол(о. Инварианты этого тензора равны
qii— q22 =彳11十 &2,qiiq22_qi2 纟= ^iij22 —,122(26)
—это результат исключения (о из трех уравнений (24). Исключение(о из 工н\ к уравнений (25) определяет инвариант
q312 + q232 = j312 + j232.
В число аргументов включается также /3 (Q)——результат исключения (о 1'3 пяти уравнений (24), (25). Скалярный инвариант в группе трансверсальной изотропии оказывается функцией (не обязательно полиномом) пяти аргументов
(p =(p(qii + q22, giiq22_qi22, ^зз, ^312^^232^ 厶(Q)).(27)
Его можно представить и функцией аргументов
屮=屮(八9)，/?(Q),/3(Q)，戏3, q^ + q^+q^) =
=屮Ui(Q)，/2(Q),，3(Q)‘ C3'Q，C3> C3'Q2，C3)*(28)
Изотропный скаляр сохраняет форму функциональной зависимости от компонент тензора Q при всех преобразованиях О* (поворот на любой угол вокруг произвольно направленной оси). Аргументы в (28), зависящие от с3, отпадают
屮=(p(/i(Q), /2 (Q), /3(Q)).(29)
Конечно, в это представление не входит базис, в котором был определен тензор Q. Определение изотропного скаляра заключено и в записи
YO*: (p(Q)=(p(OT.Q-O).(30)
Доказывается обратное предложение: скалярная функция над симметричным тензором представляет скалярный инвариант тогда и только тогда, когда она представима функцией инвариантов этого тензора. Дополнением является утверждение: инвариантный скаляр, являющийся полиномом от компонент симметричного тензора, представим полиномом от его инвариантов /总(Q).
Число слагаемых полиномиальных инвариантов второй (ср2) и третьей (фз) степени.
Триклинная группа> Форма(р2 содержит 21,(р3——56 слагаемых. В остальных группах число слагаемых снижается.
Моноклинная группа. Квадратичная форма п переменных содержит —n (n+ 1) слагаемых; всего в ф2 от переменных q】】，q22, ^зз, ^23 возникнет 10; qii войдет в(р3 как qu* трехкратно как произведение(7112 на q22, </33, q23, шесть раз как произведение q口 на квадратичную форму этих величин и еще три раза в произведение 严 на 严'，q3i)严严—всего 13 слагаемых. В дальнейший счет q11 не входит. Теперь такой подсчет для q22 дает 6, для </33——три слагаемых. Всего 屮2 содержит 13, (р3——32 слагаемых.
Группа ортотропии. Формы(р2 и(р3 содержат 9 и 20 слагаемых.
Группа кубической симметрии. Формы(р2 и(р3 содержат 6 и 9 слагаемых.
Группа трансверсальной изотропии. В(р2 входит 5, в(р3——8 слагаемых.
Группа изотропии. В (р2 войдут слагаемые /； (Q), /2 (Q), в(р3 ——слагаемые /；(Q), /1 (Q) /2 (Q)»，3(Q)—см. также (1.15.16), (1.15.14).
§ 6. Скалярная функция векторов
Скалярами, определяемыми по двум векторам а, Ь, являются их скалярные произведения а»a, a-b, b-b или выражающиеся через них величины, например, I axb |2 = a*ab*b — (a*b)2. Тремя векторами определяется в числе прочих скаляр а・(ЬХс), представимый через попарно взятые скалярные произведения этих векторов
а-а а-b а-с a-(bxc) = b-a b-b b-c . с*а с-b с-с
При ортогональном преобразовании a・b = a'・b‘. Поэтому скаляр
<р (a-b, b-c, с-а, а-а, b-b, с*с) =(р (аг-Ь\ Ь'・с‘，с'・а\ а'・а', b'，b‘，с'・с‘) сохраняет форму зависимости от компонент входящих в него векторов в бази、 Сах, связанных ортогональным преобразованием. Это ——изотропный скаляр.
Доказывается и обратное предложение: скалярная функция векторов изотропна тогда и только тогда, когда ее представление через компоненты векторов представимо в виде
Ф (asb\ %川，asast bsbs, c«s)=
^^(gskasbk, g§咕№々，gs'a%, g^%a左，g§咕也片，g$忆嗓)
и т. д. Базисные векторы могут входить в представление изотропного скаляра только через компоненты единичного теп зора. Сказан ное, конечно, относится к любому числу векторов. “
Тензорные функции тензорного аргумента
Понятие изотропной функции обобщается на тензорные функции от тензорного аргумента. Функция F (Q, S, . ..) называется изотропной, если для всех тензоров О ортогональной группы выполняется соотношение
F'=OT・F(Q, S,...)・O = F(OT・Q・O, O'S-O, ...)「F (Q‘，S', •••)•(1)
Далее рассматривается изотропная функция одного тензора. Примерами служат
F (Q) ： (Г, OT.Q2.O = OT.Q.O.OT.Q.O = (OT.Q.O)2 = Q 2
и вообще любая целая степень Q^.
Заменив в выражении целой функции
F (九)="+q九十方大2 + 内入3(2)
переменную 九 тензором Q, получим представление тензорной функции F (Q) степенным рядом
.F (Q) = с0Е 十 qQ +，2Q? + &Q3 + •…=(%+，iM+。2后 + • • •) е© +
+ (%十e丄入2 +e2入2 + ...) е2е2 + (%+ q大3+&储 + ...) езе3. (3)
Здесь 九s，e§，e$ ——главные значения и главные направления Q. Тензор F имесг такие же главные направления (соосен с Q) и главные значения F (入§)
F (Q) = F (脑)eiM + F (九2)e2e?+F (九3)e3e\(4)
Он изотропен, так как 0т-е5е5-0 = ege/5, а главные значения инвариантны относительно ортогонального преобразования. Следствием (1.9.14) является соотношение
F(QT) = F(Q)i.(5)
Целой функции ехр 九 ставится в соответствие тензор ехр %; если % — кососимметричный тензор, то по (5)
(ехр 窈)т = ехр (— %),exp 先'-(exp 货*)т = ехр (笼一％) = Е,(公)
так что ехр% = 0 — ортогональный тензор. По (4) и (1.11.9)
ехр 鬼-'^eiei + eZft)e2e2-]-e3e3 =cos(о (eje1 + е2е2)—
—/ sin(о (eie1—e2e2) + e3e:)=(巧门十 c2c2) cos(o+ (cic2 —c2cx) sin(o-|- e；｛e
что и требуется по (1.11.10). Кососимметричный тензор 炎"，порождающий з「⑴ ортогональный тензор, определяет в соответствии с (1.11.8) угол поворота(о 壮 направление его оси е3 = с)хс2.
В выражении (3) целой функции F (Q) над Q степени Q выше втор"* могут быть заменены согласно теореме Гамильтона — Кэли (1.9.21) линейными
относительно Q° ~ Е, Q, Q выражениями с коэффициентами Ik (Q). Тензор F (Q) окажется представленным квадратичным трехчленом
F(Q) = 5E + wQ+(p2Q2(7)
с коэффициентами, зависящими от инвариантов /^(Q) 屮F=$F(/i(Q)，，2(Q)，%(Q))(「= 0, 1, 2).(8)
Коэффициенты трехчлена в (7) определяются следующим образом. Заменив в представлении (2) целой функции степени 九 выше второй с помощью характеристического уравнения
驴(九)=一九3+厶9)九2-/2(Q)九+厶9)=(九]一九)(九2一九)(九3一九)=0(9)
приведем (2) к виду
F (九)=Фо+Ф1 九丄屮2九2，(1。)
а задав 九 значения 九小 九？，九з， придем к трем уравнениям с неизвестными 屮о，Ф1»屮2
F (九$)=屮о+屮1 九sT-屮2九上(s=l, 2, 3).(11)
Их решения при обозначениях (1.9.8) представимы в виде
33
屮。=-/з (Q) Е 編-5 = ^ 靠[厶(Q) -吋,
3
中2 = —圾.(12)
Но корни 九s——функции коэффициентов уравнения (9), так что $? преобразуется к виду (8). В дополнение следует отметить, что если F (九)——полином от 九，то суммы вида
3 井
0々=，俨；?.)他二 0, 1, 2, 3,.一)
s-l'
полиномиально представимы *) через коэффициенты уравнения (9)
。0 = 0,(71 = 0,s = —1, а3 — —71 (Q). g』= —/； (Q)+厶(Q),…
Итак, если известно, что F (Q) полиномиально зависит от Q, иначе говоря, компоненты F — изотропные полиномы от компонент Q, то(рг — полиномы от инвариантов 〃 (Q).
Для справедливости (7) существенно только наличие целой порождающей функции (2). Функциями (3), которые порождаются таким образом, не исчерпывается, конечно, весь класс тензорных функций. Так, например, линейная тензорная" функция F：(Q) = 4M・・Q, где М —изотропный тензор 4-го ранга, не
представима в виде (2), если Q — несимметричный тензор. Однако, если ограничиться классом изотропных функций от симметричных тензоров, то пред, ставление (7) останется справедливым. Имеет место теорема: всякая изотрогь ная функция D = F (Q) от симметричного тензора (Q = QT) допускает пред, ставление вида (7).
Доказательство). Очевидным является утверждение, что люб(»й инвариант D одновременно является инвариантом Q. Действительно, скаляр, ная функция тензора называется инвариантом это го тензора, если справедливо соотношение .
/ (D) = / (OT.D'O), VO: О'Г・О = Е.(13)
Обозначим инвариант F (Q) через J [F (Q)]; можно написать
/[F(Q)] = /i(Q).
Докажем, что если J инвариант F, то /〔 инвариант Q. Согласно (13) „ (1) имеем
/ [F(Q)]e/i(Q) = / [Ot-F(Q).O]-J [F(Ot-Q-O)] = J! (Ot.Q O), откуда вытекает, что —инвариант Q.
Убедимся теперь, что область значений изотропных функций симметричных тензоров есть множество симметричных тензоров. Для это го введем в рассмотрение группу симметрии тензора Q, которую обозначим через OQ Последняя определяется как множество ортогональных решений уравнения
OTQO-Q, Q = QT.(14)
Для симметричных тензоров группа Oq всегда содержит подгруппу О* з
0Q= 2 €网然，嗝=1，05)
где в/；—собственные векторы Q, е尼・е$ = 5^$・ Если собственные числа Q все различны, то Oq совпадает с Oq. Обозначим через OD группу симметрии D = F (Q). Докажем, что OD содержит OQ. Действительно, пусть 0£0q・ Тогда, согласно (1) и (14), имеем
OT D-O^F(OT Q-O) = F(Q) = D, О £ О；.
Отсюда вытекает, что О ^ OQ принадлежит OD, следовательно, Oq есть подгруппа OD
Представим D в базисе главных осей Q
зD= £ °稔旣％
s = I
и потребуем, чтобы тензоры Oq принадлежали группе симметрии D. Тогда получим
33
2 658尼趾/$= £ Dk^Qkts.
й, s = 1s, k= 1
Отсюда вытекают равенства
丸％ = D*$ (не суммировать по ^ и s).
Выбирая числа 立 так, чтобы &；& = —1 (k 声 s), получаем。心=()(k W s). Указанный выбор чисел &卜 всегда существует: действительно, выбирая из множества тензоров (15) такой, у которого е/л (т —фиксированное число из интервала 1, 2, 3) равно 1, а остальные &左=—1, получаем £>^$ = 0 (s # т). Меняя теперь т, т. е. переходя к другим тензорам из (15), получаем требуемое свойство. Таким образом, для D получили следующее представление:
3
(16)(16)D = ｛标心/^h, 森=0左% D = DT.
(16)
(16)
Из этого равенства видно, что главные оси Q одновременно являются главными осями D. а коэффициенты d九 являются собственными числами D и, следовательно, его инвариантами. По доказанному выше они представляют собой и инварианты тензора Q. Отметим теперь следуюихее важное свойство собственных чисел d^. Если два каких-либо собственных числа тензора Q совпадают, то совпадают и соответствующие собственные числа тензора D. Действительно, пусть собственные числа Q, скажем, q、и 勺2, совпадают. Тогда к группе симметрии принадлежит, например, ортогональный тензор
。=eie?+ 皂比十 е3е3,。€ Oq“
Значит, этот тензор принадлежит и к группе симметрии D, что возможно тогда и только тогда, когда d】一d?. Немного расширяя это рассуждение, убеждаемся, что число различных собственных значений D не превосходит числа различных собственных значений Q. Теперь теорема становится очевидной. Для ее доказательства достаточно выразить диады е^е左 через сам тензор Q. Чтобы добиться этого, выпишем систему уравнений
333
e= W e网，Q=上qmfk、 Q2= » q褪时修(⑺
k~ik=1k=1
Решение этой системы относительно диад е^е左 единственно, если числа q左 все различны. Каждая из диад будет иметь вид
е^е^ф^Е + ф^ Q+ <p^Q2,е^е^ф^Е + ф^ Q+ <p^Q2,(18)(18)
е^е^ф^Е + ф^ Q+ <p^Q2,
е^е^ф^Е + ф^ Q+ <p^Q2,
(18)
(18)
где скалярные функции 屮资> являются инвариантами Q. Подставляя (18) в (16) и учитывая, что d^ также инварианты Q, получаем доказательство теоремы в случае различных собственных значений тензора Q.； Если среди собственных значении Q есть равные, например,夕1 =夕2, то следует учесть, что в систему (17) входят только два неизвестных тензора, а именно, тензор е1е1 + е2е2 и диада е3е3. Отбрасывая любое уравнение из системы (17), за исключением первого, получаем систему из двух уравнений относительно такого же числа неизвестных тензоров. По доказанному выше свойству тензора D (dx — d2) в (16) входят именно эти неизвестные тензоры. Определяя их, вновь приходим к представлению (7). Разумеется, теперь представление это перестает быть единственным.
Изотропный тензор (7) с коэффициентами [см. (3.3)]
屮。=誅+/1宾+厶器' 直=一(/+/1器)'6=黑'(19)
где 屮(А，厶，/з)——изотропный скаляр, является производной 隼 по Q
屮q = (роЕ ■卜(fiQ + sQ*，(2。)
屮 ——потенциал тензора F (Q). Существование потенциала требует выполнения условий интегрируемости, получаемых исключением 屮 из (19)
(訖+厶^)(中1+/1叫 + ^停0-/26)一 О,
* + 託仰1+6/1) = 0，器一厶就仰 i+S/0-^(<Р。—/26)=0.(21)
Часто предпочтительна запись F (Q) в форме
F (Q)=W()E + 6Q+“一1QT,2「="「(/1，А，/з)， F = —1, О, I.
Здесь
.. Эср , - д(р ,, гдф
业=屮0 一 /2中2 ="^ + /1^7^，5 =中1+厶屮2 = 一，
2-1 = / 3屮2 = ‘3 灰•
Обращение формулы связи между тензорами
В нелинейной теории упругости роль тензоров F и Q отводится надлежащим образом определенным тензорам напряжения и деформации. Возникает (для изотропной среды) обратная задача: из соотношения
F = %E十(piQ+ 屮zQr(О
в котором(р0, ср】，ф2——функции инвариантов /々(Q), выразить Q через F
Q = XoE + XiF + X2F2-(2)
Намечается такой ход вычисления: подставим в (2) значения F и F2, причем тензоры Q3, Q4 в представлении F2 заменяются через Е, Q, Q2 с помощью теоремы Гамильтона — Кэли; вслед за этим коэффициенты при Е, Q, Q2 в правой части так преобразованного уравнения (2) приравниваются О, I, 2. Это приводит к системе трех линейных относительно коэффициентов /0, Xi, /2 уравнений, выражающих их через ф0)①力 ф2 и инварианты /方(Q). Инварианты /^(F) выражаются через Ik (Q) по уравнению (I) и получаемым из него представлениям F2, F3. Найденные так 7尼(F) окажутся полиномами от 々(Q), если предположить, что 屮々 также полиномиально зависят от Is (Q). Обратное представление инвариантов /5 (Q) через /々(F) поэтому нельзя получить в общей алгебраической форме.
Этот ход вычисления можно несколько упростить, заменив тензоры Q и F их разбиениями на шаровую часть и девиатор
Q=W /i(Q) E+devQ, F=^ &(F)E + devF.(3)
Здесь по (I)
/i(F) = 3q>0+(p1/1(Q)+(p2/1(Q2),(4)
так что
dev F = wQ+ Ф2^2 —у Е [фх/i (Q)+ф2/1 (Q2)] =(Pi dev Q 十
+ 恥[Q2—gE/l(Q2)]・
Здесь Q2 также следует заменить через dev Q
Q2 = -~ 疗(Q)E+等厶⑼ dev Q +dev Q2.
Сославшись еще на (1.13.3), получаем
dev F = а dev Q р | (dev Q)2-|- у /2 (dev Q) е] ,(5)
2
a=6+^/〔(Q)隼2，В —S・⑹
Но в апалогич!1ом виде записывается представление dev Q через dev F
dev Q = % dev F-f-Pi^dev F)24^y 厶(dev F) e] .(7)
Следуя намеченному ходу вычисления, теперь имеем
dev Q = a，a dev Q+ р [(dev Q)?十^ 厶(dev Q) e] }十
+ pi {a? (dev Q)2-l 2ap I (dev Q)3 十~^ /2 (dev Q) dev Q~| 十
+ P2 [(dev Q)& + 暂 /? (dev Q) (dev Q)卄書 E/・； (dev Q) -J--|-E/2 (dev F)] } , (8) причем /2 (dev F) определяется условием равенства нулю первого инварианта выражения справа -
/2 (dev F) —а2/2 (dev Q)—Зар/3 (dev Q)—^ 俨底(dev Q). (9)
Заменив еще (dev Q):;, (dev Q)4 в (8) по теореме Гамильтона — Кэли, придем к двум уравнениям
%仪+6辞 ^— уа/2 (dev Q) -,-р/3 (dev Q)] =1,融6十阮[d十扌俨A(devQ)]=0.
Из них находим 04, §ь а после подстановки в (7) получаем
devQ = W {[心 + 扌炉/2 (dev Q)] dev F — B ^(dev F)2 +у E/2 (dev F)^ 卜(10)
〃=仪3十 /2 (dev Q) ap2 —p3/3 (dev Q).(H)
Задача обращения не решена, так как в (10) входят /々(Q). К двум уравнениям (4) и (9) связи между инвариантами следует добавить третье для /3 (dev F). Для этого предварительно потребуется выразить (dev F)3 по (5); для вычисления /3 (dev F) придется дополнить (1.13.11) формулами
/1 ((dev Q)5) = — 5厶(dev Q),.厶((dev Q)6) = — 2/^ (dev Q) + 3* (dev Q).
Приходим к выражению
/3 (dev F)二 а* /3 (dev Q)+-|- a2p/l (dev Q)—
— ap2/2(devQ)/3(devQ)+a [応(dev Q)十 ^/"dev Q)] , (12)
Причем a, p здесь и в (4) и в (8), папомним, функции /尼(Q). Конечно, выразить из этих уравнений /^ (Q) через /i (F) в общем виде невозможно.
При существовании скалярного потенциала (7.17)
F = qp(j(13)
формальное представление Q через F выражается через производящую функцию обратного преобразования — преобразования Лежандра
屮(QgXF-QTg — c^QV)).(14)
Тогда
Q = *f・"5)
Действительно,
62 = Wf・，°FT = 6F・・Qt(F)+F・・6QT —(Pq・・6QT = Q・・6FT, откуда следует (15).
Тригонометрическое преобразование В. В. Новожилова
В формулах (8.9), (8.12) вернемся к обозначениям (1.13.5) инвариантов dev Q и введем аналогичные обозначения инвариантов dev F
⑴⑴G2 = — 4厶(dev F), G3 = 4/3 (dev F).
⑴
⑴
Использовав (1.13.9), можно представить теперь (8.9) в виде
G? = a2g2—Зар ("^) sin 3屮+衣 р2g2 =
=gz [(а—^卩 |/ 警 sin32)+(^卩"|/醫 cos3ip) I .
Этому равенству можно удовлетворить, приняв
Отсюда получаемОтсюда получаема=а=cos (s + 3屮)cos 3屮cos (s + 3屮)cos 3屮cos 3"=cos 3"=а2* Р ^/ _^_sin32 =а2* Р ^/ _^_sin32 =⑵(3)⑵(3)
Отсюда получаем
Отсюда получаем
а=
а=
cos (s + 3屮)
cos 3屮
cos (s + 3屮)
cos 3屮
cos 3"=
cos 3"=
а2* Р ^/ _^_sin32 =
а2* Р ^/ _^_sin32 =
⑵
(3)
⑵
(3)
и это позволяет придать представлению (8.5) тензора dev F вид dev FJ/^-~- (cos 3屮)7 {cos ((0十3屮)dev Q —
Q)2—鳥 gzE ) sincoQ)2—鳥 gzE ) sinco
Q)2—鳥 gzE ) sinco
Q)2—鳥 gzE ) sinco
Выражение (8.12) третье го инварианта F преобразуется к виду
—3 V3 ^~ =![cos3 ((о-,-31|?) sin 3ф-|^3 cos2 Зф) sin(o-|-
GJ2 cos3
十3 cos (①-卜 32) siM(o4-2 sin2 3屮 sin3 s—sin3(o!・
После громоздкого, по вполне элементарного преобразования правая часть преобразуется к виду
(3 cos2(o—sin2 s) sin(0cos Зф-|-(cos2 w—3 sin 2 w) cos(0 sin 3屮=sin 3 (①十吻，
так что
"s：n 3(о)+W)二—(岑)/2s П 3小
(5)
Выражение (1,13.9) позволяет приписать величине
% = s十屮(6)
ту же роль в задании dev F, что i|? — в задании dev Q. Через х по (1.13.10) определяются главные значения dev F
"匚联岑^m九
Поэтому
1Vs = -■ /_21 sm%s 二 J/^T S：n(s + 2s) У sin 屮s — V W
При s = 0
dev F =dev F =J^devQ,J^devQ,(9)(9)
dev F =
dev F =
J^devQ,
J^devQ,
(9)
(9)
что следует и из (4). Это дало основание назвать s степенью подобия девиаторов—этой величиной характеризуется их «неподобие», а вместе с тем степень «иелииейиости» связи тензоров F и Q, так как одновременно с ю по (3) обращается в нуль 6 =屮2，и в исходном представлении (8.1) отпадает слагаемое Q2.
Величины “, (о, G2, входящие в (4), определяются инвариантами самого тензора Q и коэффициентами 屮】，屮。представления F через Q. Действительно, по (1.13.9). (1.13.7) "
I 4-! < ^)С。)I 4-! < ^)С。)山 з /з"о (
I 4-! < ^)С。)
I 4-! < ^)С。)
sm3ip =/— £з, cos 3i| - 尸=
g2 V g2М2 К g2
и далее по (3) и (8.9)
(11)(12)(11)(12)ctg(о 3 { [^^ 4у 厶(Q) !纟2十 3g',
(11)
(12)
(11)
(12)
m"詈=专([屮&+恥 佇g/(Q)卜■^gз)] +R冠А}
В выражение связи первых инвариантов F и Q входит также ф0.
Представление (4) допускает немедленное обращение: достаточно заменить 巾 на %, о на —s'
div Q =div Q =|/需(cos3%尸|/需(cos3%尸cos (3/—s) dev Fcos (3/—s) dev F十2十2/^ [(dev F”"/^ [(dev F”"sin ssin s(13)(13)
div Q =
div Q =
|/需(cos3%尸
|/需(cos3%尸
cos (3/—s) dev F
cos (3/—s) dev F
十2
十2
/^ [(dev F”"
/^ [(dev F”"
sin s
sin s
(13)
(13)
Приложение III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
Вектор-радиус. Единичный (метрический) тензор
Вводится система криволинейных координат q\ ^2, ^3. Место (положение) точки о< задается вектор-радиусом г, начало которого 0 фиксировано (г = ОЛ/) 「=「(qi,們 q3).⑴
Декартовы координаты точки 历一проекции вектор-радиуса на оси системы OXYZ, задаваемые ортонормированной системой векторов i〔， i2> i3> обозначаются ) а1, а2, а3
as = as (^1,产 衿， r = isa^.(2)
Предполагается, что в области их задания эти функции непрерывно дифференцируемы и что отличен от нуля якобиан
I翁片3(3)
При этом условии уравнения (2) однозначно разрешимы относительно qk.
В тензорной алгебре векторный базис определялся тремя произвольно назначаемыми некомпланарными векторами г1( г2, г3. Здесь они принимаются равными частным производным вектора места
и в обозначении (1.1.9)
VT= 口"(「2><「3)= ]"!^ 卜(5)
Якобиан можно считать положительным (надлежащим образом нумеруя координаты).
В алгебре все операции были относимы к фиксированной точке, введение криволинейных координат и векторного базиса (4) соответствует переходу к изучению поля——сравнению величин (скаляров, векторов, тензоров) в различных точках трехмерного евклидова пространства(^з. В нем возможно задание положения любой точки, как это сделано выше, в единой декартовой систем OXYZ.
Вектор 壮「=必必* где ^4/ точка в бесконечно близкой окрестности 威， определяется формулой
厶=蒜對$ = 中阳$,(6)
так что квадрат линейного элемента (ё^ё^)? представляется положительно определенной формой
ds2 = dr ♦ dr = r$ dqs •「左 dqk = gsk dqs dqk.(7)
Здесь и далее сохранены обозначения Приложения I: || gsk ||—матрица ковариантных компонент единичного (метрического) тензора Е. Его представления через контравариантные g$也 и смешанные g%—=3% компоненты даются формулами (1.4.14). В декартовых осях
E = i$i$(8)
и это соответствует записи квадрата линейного элемента в «пифагоровой» форме
dS2= (da1)2十3产)2十@小尸.dS2= (da1)2十3产)2十@小尸.(9)(9)
dS2= (da1)2十3产)2十@小尸.
dS2= (da1)2十3产)2十@小尸.
(9)
(9)
После введения взаимного базиса г*5 по (6) имеем
dqs = rs*dr^dr-rs.(10)
Это простое соотношение далее многократно применяется. Оно облегчает получение записей, не содержащих базисных векторов, значит, и не связанных с выбором тех или иных криволинейных координат. Назначение их относимо к этапу перехода от общих соотношений к конкретному вычислению.
Набла-оператор Гамильтона
Рассматривается скаляр 屮(qL q% q：‘) и его дифференциал dtp—приращение, обусловленное переходом из точки G# поля в точку 例‘ в бесконечно близкой окрестности. По (1.10)
d屮dqS = г5 -^г . dr(1)
* dqs ” dqs' '
—справа показано скалярное умножение вектора dr и величины, также являющейся вектором, так как результат действия—скаляр d(p [см. (11.1.1а)]. Этот вектор называют градиентом скаляра и обозначают
V中=1■济恥 v = 1•研. ⑵
Позволительно трактовать эту запись как произведение символического вектора у, набла-оператора Гамильтона, на скаляр. Можно было бы записать в (2) набла-оператор справа (оу) от величины, на которую он «действует» Такие записи применяются, но мы будем избегать их.
Сказанное можно использовать в применении к вектору
da=^-^dqs = dr^^-^=(1г^а,da=^~^ 宀dr.(3)
dqsoqsoqs
В первой записи вектор da представлен произведением слева на dr величины, представляющей по (II.1.16) тензор второго ранга, обозначаемый Va
(4)
Этот тензор, формально представленный диадой векторов V и а, называется градиентом вектора а. Вторую запись (3) можно представить через av, но в соответствии со сказанным мы примем для нее обозначение V^T——транспонированный градиент. Итак,
da = vaT"r*)・ (5)
*) Мы следуем тензор уат Н. Е.*) Мы следуем тензор уат Н. Е.обозначениям Н. Е. Кочина: уа—градиент вектора а; Кочин называет производной вектора а по направлению г
*) Мы следуем тензор уат Н. Е.
*) Мы следуем тензор уат Н. Е.
уат___va%dr=da・
В зарубежной литературе градиентом называют как раз Va：
Распространение этих действий на тензор второго ранга приводит к тензору третьего ранга,
vQ. (6)
dqsdqs0qA dq，'
Подобно тому как диаде ab сопоставляется скаляр а-b и вектор аXЬ, по кч,. зору уа определяется скаляр
V• аг5 • -^ = diva,(7)
называемый дивергенцией а, и вектор-ротор а
у Ха^ = rot a
ддл
Вектор(о называют вихрем вектора а; это — вектор, сопутствующий кососим метричному тензору Q. По (1,14.9)
Обратно, по (1.14,17)
(о = е • • С.(10)
Кососимметричный тензор Q называется тензором спина; симметричный тензор, определяемый по уа, называют линейным тензором деформации над а
е = -^- (va + vaT).(Н)
В этих обозначениях
Va = e—С, уат = ® + а.(12)
Сославшись на (3), приходим к формуле Гельмгольца
da = VaT・dr = £・d「+ С 出「々 g・d「+sxdr(13)
—ею определяется поле вектора а в окрестности 必 через тензоры деформации и спина в о#.
Сверткой V-Q определяется вектор, называемый дивергенцией тензора
V• Q = div Q =「$ ♦ @^. .(14)
Ротор тензора ——тензор второго ранга, определяемый соотношением
у XQ —rot Q = r9X(㈠)
Аналогично проводятся действия с набла-оператором в применении к тензорам любого ранга.
В применении к вектор-радиусу
^r = rsrs=E, v・「=3, ух「= г$Х% = 0.(16)
Легко понятны соотношения
уЕ — 0, Ve = —уЕ ХЕ = 0,(⑺
так как в декартовой системе Е =i§N, а тензор VE ——инвариант, не зависящий от базиса,
В применении к кососимметричному тензору Q формула (15) преобразуется к виду
VXQ ="(ЗХЕ)户г$Х (瑞 ХЕ)=г$Х (請 Xr, № =
ИЛИ
VXQ = V(oT —EV«.(18)
Отсюда следует
/i(VXQ) = —2v・s.(19)
Примеры применения набла-оператора
Здесь приведены формулы, определяющие дифференциальные операции над некоторыми композициями тензорных величин. Цель ——представить результаты в инвариантном виде через набла-оператор и сами тензорные величины, но не через базисные векторы и компоненты тензоров; иногда их приходится использовать в ходе вывода.
Градиент произведения скаляров, скаляра на вектор, на тензор
V屮 2 = 2 V屮 + 屮 VW，v(pa = (v屮)a +(pva,V屮 Q = (v屮)Q+屮 VQ. (1)
Градиент скалярного произведения, векторного произведения, ротор векторного произведения, дивергенция диады, векторного произведения
\J/ \J/ \J/ \J/ 2 3 4 5 6 /IV /IV /IV /IV /IV\J/ \J/ \J/ \J/ 2 3 4 5 6 /IV /IV /IV /IV /IVVa-Ь亠(ya) • b + а ・ vt)T = (va)- b + (vb)- a,
\J/ \J/ \J/ \J/ 2 3 4 5 6 /IV /IV /IV /IV /IV
\J/ \J/ \J/ \J/ 2 3 4 5 6 /IV /IV /IV /IV /IV
VaXb =(ya)xb —(Vb)xa,
VX(axb) = b-va —bv-a—a-vb-|-avb, V-ab =(v*a) b+ av-b, V (a X b) = b • (v X a) — a • (v X b).
Можно разнообразить эти записи. Например, по (2.12), (2.8) ya —уат—2Й,
(Va)・b = b・va —2Gb = b・Va—2sxb = b・va-|~ bx(vxa) и выражению (2) может быть придан вид
Va-b = b-va + a*Vb + bX(vxa)4-ax(vxb).(2)
Дивергенция Qx「
V(QXr) = (V-Q)Xr+r's，-Qxri?.
Представив Q суммой симметричного и кососимметричного слагаемых, имеем (г5 • S) X г § = S$ 九 X「§ 二 S"i\ X i> = Sstrs X i> = 0, (N ・ Q) X i\ = (г$Х s) x % = sr5"，「§—r\o •「§ = 2gj.
Пришли к соотношению
V・(QX「) = (V・Q)X「+2s,(7)
в котором(0 ——сопутствующий кососимметричной части Q вектор. При
Q = QL V・(QX「)=(V・Q)X「・(8)
Дивергенция「义 Q
V.(「XQ) = V.(rX+%产刀=ГS.(%Х%/)%产〃 +Г九(ГxГ也)% %qmn =
-(r^Xr^-Q—г-(г5хгллг„) Vsqm^vT’XrsbQ —J(VXQ).
Первое слагаемое но (2.16) отпадает. Получаем
V・(「XQ) = —J(VXQ)(9)
—в ходе вывода было использовано правило дифференцирования тензора (5.3))
Дивергенция произведения тензора на вектор
da
V・(Q・a) = (v・Q)・z• ^p = (V・Q)・a + N・(Q・vaT)・％ =
= (VQ)-a+/i(Q'VaT)-
Пришли к часто используемому преобразованию
v.(Q.a) = (vQ)-a + Q--VaT.(10)
Дивергенция произведения тензоров. В ходе вывода используется приводимая ниже в § 5 формула дифференцирования тензора второго ранга
Здесь уР—тензор третьего ранга. Получаем
v・(Q・p)=(宀器)・р+(г'у)・^=
= (V・Q)・P + (QT・N)・i「" VsPmn^'1 • V• Q+QT■ • г^г^г^ VsP，^， так что
V.(Q.p)= pT.(v.Q) + QT.，vPi(H)
Ротор векторного произведения QXr
VX(QX「)= (VXQ)X「+「sx(qx%),
「s X (Q X %) = N X м rn x rsqm 二代⑺ g^ns^q^Qm = ”6n 一 3制)％囱/ =
=g%r'f 5 = QT — E A(Q), так что]
'VX(Qx「) = (VXQ)X「+QT — E/[ (Q).(12)
Производные базисных векторов.
Символы Кристоффеля
Принимается обозначение производных базисных векторов
d「sW 32r小
—± =「sf=「3 = -=・(1)
dqtdqs dqi dqs
Их представления в форме разложения по базисным векторам задаются выражениями
⑵
Коэффициенты этого разложения называются символами Кристоффеля второго рода (они часто обозначаются Р；；)・ Из определения следует симметричность
символов по нижним индексам
q
is
Следствием (2) являются соотношения
｛胃｝ g/ = rsf・rA，
⑶
(4)
правые части которых выражаются через производные ковариантных компонент метрического тензора. Действительно,
GqS ght 「左$'「》~t~「总 *「》$‘
gf$ = rtkdqk
и величину в правой части суммы первого и второго
можно получить, вычитая третье равенство из
dg№ dqt
组1 一也小=回,用.
Величины справа
называются символами Кристоффеля первого рода
回，孤…] = Г一*等■+等号）（5）
Формулам (4) и их обращениям придается вид
｛；｛胃"М=回，視｛胃｝=g^[sf，矶 (6)
Этим вполне определены производные (2) векторов основного базиса.
По ним можно определить и производные векторов взаимного базиса:
6:= 户*=0,.n+N七L穿 .rf+宀 J Ц гg = 0.
dqkdqh\tk｝
Приходим к формулам
Производная 匕 g. Имеем
■^^-=乐「(Г2 xrg ｛ 1?卜,"• (г2 ХГз)+ ｛^ 卜,"• (Гз X Г1)+
+г,"・(rD=頂(｛；｝+蜀十岗)-
так как, например, г/л*(г2Хг3) N 0 только при т=1. Приходим к часто применяемым соотношениям
dqh У 2 \ sk I ' М \sk Г⑼
Преобразование символов Кристоффеля. В новой системе криволиней ных координат
个="(九..产們
базисные векторы преобразуются по закону
▼ dr Or dq? dqr r - r
's— dqS 歯‘睨 ，0gs ， s s，
Cs =『「・％ =•
dqs
Поэтому
Q = ^t = {s"讶=寸器 r，+ cTc^ 爲卜，
так что
(9)(9)
(9)
(9)
Формулы преобразования компонент тензора третьего ранга (I, § 7) имеют вид
(Ю)(Ю)户乳=pm或寸邈,
(Ю)
(Ю)
тогда как в (9) входит лишнее (подчеркнутое) слагаемое. Символы Кристоффеля поэтому не являются компонентами тензора.
Ковариантное дифференцирование
Проведение вычислений над тензорными величинами требует введения координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной структуры. Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) обусловлено присущими ему свойствами; оно определяется с помощью набла-оператора ——в символической записи: 2 (• • •) = d「V (• • •)• Иначе обстоит дело с компонентами, их изменение зависит еще от внесенного в рассмотрение базиса. Например, пусть а—постоянный вектор, da = 0, но ak или 。左 вовсе не постоянны вслед。 ствие изменяемости базиса. Обратно, при постоянных компонентах вектор а не остается неизменным по величине и направлению. Требуется поэтому ввести в рассмотрение характеристики изменяемости тензора, сочетающие учет изменяемости как его компонент, так и базиса, к которому они отнесены. Это достигается операцией ковариантного («абсолютного») дифференцирования.
Задав вектор его контравариаитиыми компонентами и сославшись иа формулу дифференцирования базисных векторов (4.2), имеем
翁篤+園•
При задании вектора его ковариантными компонентами по (4.7)
Величины
Vs。』咎+厂 |附 ^sak=^h \aqID
$ dqs 1 |s^/ v$ OqS \ sk ] Q
называются ковариантными производными компонент (контра- и ковариантных) вектора. С их введением производная вектора представляется выражениями
Сходное вычисление для тензора второго ранга дает
也г —业г г 丄мg lrr Лг г )
困$一睨9 Ml a?s rmr„ , q Ц sm I r9rn I [s"jr*丿
или после переименования немых индексов
0Q
= tr„rn^sqmn,
Г7 cinn
dqmn
J m
｝严十
у
\ qmq.
(3)
dqs
\ S4
dqs
Аналогично для ковариантных
:и смешанных
компонент
£Q = dqs~
二 ir厶 V sQtnm
\ зЯтп
一 °q mn dqs
1 sm
卜仙-
p
1 sn
｝ Qmq^
⑷
OQ
=r 小％ vwT,
m
ag% .
J m 1
L aqn !
g I
(5)
dqs
\ sQ -n
d(f 1
1罔J
sn J
OQ
= rmrn\sq'm.
Г7 /7 力一
dqm
J q I
才+ ｛
qm-
(6)
dqs~
v$q加
dqs
|sm(
S“
Вглядываясь в структуру этих формул, легко усвоить способ их составления; целесообразность правил расстановки индексов сверху, снизу и суммирования по немым индексам исключает возможность ошибок, «формулы сами себя пишут». Конечно, развернутые выражения с явно выписанными значениями символов Кристоффеля очень громоздки, они потеряли бы простоту и изящество.
При ковариантном дифференцировании сохраняются формальные правила дифференцирования суммы и произведения. Например,
“公分 = (V心$)丛十公vГ%.⑺
По определению (2.2) набла-оператора
Vа二Г$帝(8)
так что Vs。片，V$。融一ковариантные и коконтравариантны£ компоненты уа. Конечно,
Vат =г穴r$V$a归=Г 六 r$v$。*.(9)
Аналогично,
VQ = rsrmr^sgmil = rsr,nrn\sqmn и т. д.(Ю)
Здесь у&q mm V$qS% ——компоненты различной структуры тензора третьего ранга vQ.
Следствием соотношения (2.17) является равенство нулю ковариантных производных компонент единичного тензора (теорема Риччи)
V$gmzz=。， V$gm〃 = 0， Vsg『 = 0・(11)
Это легко проверяется и непосредственным вычислением; например, по (4)
Vsg〃,尸辭一｛s*gg“一｛s：｝gs尸*Tsm,—[s% 团=0, (12)
как это следует из определения (4.5) символов Кристоффеля первого рода.
Компоненты метрического тензора при ковариантном дифференцировании ведут себя подобно постоянным, их можно вносить или выносить за знак ковариантной производной. Например, '
^^k^=^sgfdat = g!it^sat, 7《卜=吸我乩
Это соответствует определению метрического тензора
Va = vE-a E・va.
Теорема Риччи распространима на изотропные тензоры любого ранга (I. § 15)—тензор Леви — Чивита € —ЕхЕ тензоры четвертого ранга (1.15.1) и т. д.
«Приложение» имеет цель сообщить правила вычисления с тензорами в^：〕. Поэтому здесь не уделено места геометрическому истолкованию ковариантного дифференцирования—понятиям параллельного переноса, геодезических линий и т. п.
Вычисление дифференциальных операций над тензорами
Инвариантные представления операций над тензорами (градиент, дивергенция, ротор) были определены в § 2. Здесь рассматриваются правила их вычисления.
篇一⑶%)篇一⑶%)По выражению градиента вектора (5.8) определяются его ротор
篇一⑶%)
篇一⑶%)
V X а = г$ 义 r^v$a 比—e^^v^ 二 6sM 叱
и дивергенция
dqs , s )
По (4.3) и (4.8)
I s^ I I sk I( sk](sm Jdqm
так что
V x2 =「傍六'V x2 =「傍六'с , да6 GM 23’ = ^ — ^ ,с , да6 GM 23’ = ^ — ^ ,2(о2 = -т— 8q32(о2 = -т— 8q3das帝，das帝，do】⑴do】⑴1 dVl^1 dVl^V~gas.V~gas.⑵⑵
V x2 =「傍六'
V x2 =「傍六'
с , да6 GM 23’ = ^ — ^ ,
с , да6 GM 23’ = ^ — ^ ,
2(о2 = -т— 8q3
2(о2 = -т— 8q3
das
帝，
das
帝，
do】
⑴
do】
⑴
1 d
Vl^
1 d
Vl^
V~gas.
V~gas.
⑵
⑵
Ротор и дивергенция тензора второго ранга
3=宀严n分"“=加5(需0^_{炉^), V・Q = rs.r,"r“Vsy” = r“Vw'“ = i•“ (^+^ s^ ?mn + ^ s^ qSm Соотношения
]smj ， {sn j^ 眦，〃 j sm j dq$
позволяют преобразовать эти выражения к виду
V XQ = Е加％ 誥 T4qml} = rsxr^r^sqml},V XQ = Е加％ 誥 T4qml} = rsxr^r^sqml},V・Q =V・Q =1 aFl^1 aFl^Ml严小Ml严小(3)⑷(3)⑷
V XQ = Е加％ 誥 T4qml} = rsxr^r^sqml},
V XQ = Е加％ 誥 T4qml} = rsxr^r^sqml},
V・Q =
V・Q =
1 a
Fl^
1 a
Fl^
Ml严小
Ml严小
(3)
⑷
(3)
⑷
Первый инвариант ротора симметричного тензора оказывается равным нулю
Q： QT： /l (V*Q) = (rsxi)*v,№Mq e'^Vsq加厂=°・(5)
Первый инвариант ротора кососимметричного тензора определяется по (2.12).
Двукратное дифференцирование. Набла-оператор над градиентом скаляра определяет симметричный тензор второго ранга
—給嗚…儡z，幫=м.（6）
Скаляр, определяемый по этому тензору, представляет лапласиан над 屮Скаляр, определяемый по этому тензору, представляет лапласиан над 屮
Скаляр, определяемый по этому тензору, представляет лапласиан над 屮
Скаляр, определяемый по этому тензору, представляет лапласиан над 屮
а вектор (ротор от градиента) равен нулю
VX*"(爲-{幫薪)"(8)
В другой записи формулы (6) учитывается, что в применении к скаляру операции дифференцирования и ковариантного дифференцирования неразличимы
VV屮=(VV中)Jm 乌n以屮=mNv总V卉=N/qv总中=浊r$й^屮.(9)
dqk
Соотношение V片V$屮=V$V论屮，очевидное для скаляра, остается верным (это доказывается в § 10) для компонент тензора любого ранга
V总V$(-・)=VsV左(•••)•(10)
Выражению лапласиана теперь придается вид
V绚二 Г* • r^VftVi<P = g*'?V*Vi<P = V^ViT •(11)
Здесь введено обозначение операции «контравариантного» дифференцирования ys=g^v&・(12)
Развернутые выражения операций второго порядка над вектором громоздки. Тензор третьего ранга vva допускает следующие свертывания, снижающие его ранг на две единицы: образование лапласиана и градиента дивергенции
V2a = V • Vа = Г$ •詣 r%v向‘=父-尢以g。在一- i>v'V传3(13)
VV•a = r$二-^ 三頂 a々=%山心(14)
dqs у g dqk
Через эти векторы представляется еще один вектор
(15)(15)VX(VXa) = vV*a —v2a.
(15)
(15)
Дивергенция тензора vaT представляется выражением
V-VaT = r^ • ^ ^飞絞=隔гs№ak = "弋n仙
и по (14)
V VaT -VV*a.(16)
Снижая ранг тензора wa на единицу, получаем тензоры второго ранга— ротор градиента и градиент ротора
ухуа —0, у V Xа - г^г^ хг\я^^= Gs1kr^Tk Vq\sat-(17)
По тензору четвертого ранга VVQ образуются тензоры второго ранга— градиент дивергенции, дивергенция градиента (лапласиан) и ротор ротора
W • Q = N%VsV 总兴， у • vQ = y2Q = r 总 rbVs 严，(18)
v 义(v 义 Q) = vv • Q — v2Q(19)
и образуемый по (9) тензор
VV/i (Q) = rAT^VfeV^i W-(20)
Векторами, вычисляемыми по V\zQ, являются
VXV/1(Q)：=O,V'(VXQ) = 0,VX(VQ) = es,!mrmviVf<?<.m (21)
а скаляром
v・v・Q = wvsqz.(22)
Тензор Ink Q. Этот тензор, называемый «несовместимостью Q» (Inkom- patibilitat), имеет существенные применения в механике сплошной среды. Он представляет ротор транспонированного ротора Q
Ink Q = VX(VXQ)L(23)
Далее предполагается симметричность тензора Q. По (19) выражению (2.3) можно придать вид
Ink Q = -v2Q + vV・Q —VX[(VXQ)-(VXQ)T](24)
и надо рассмотреть выражение в скобках. Сославшись на (1.14.19), имеем
VXQ —(VXQ)J= (Nx%% —%ехгм) v^mn = Е X [гпX(г5xrm)| v^mn =
二 Ex(rsgm" —「演力 ^зЯтп = Е X^s^sgmnqmn ~rm^nqmn), так что
VKQ —(VXQ)T二 EX[vA (Q) —v・Q] l Exs.(25)
Здесь 3 no (1.11.8) — вектор, сопутствующий кососимметричному тензору Q н по (2.16)
VXQ = vs'—Ev・s二 vvA (Q) —(vv・Q)T —E [v2/i (Q) —V*V-Ql-
Подстановка в (24) приводит к искомому представлению
Ink Q： — v2Q+wQ + (VV-Q)T4-(Ev2—VV) /] (Q) —Ev-V-Q.(26)
Из него сразу же следует симметричность Ink Q при Q 二Q'
Q =QT： InkQ = (InkQ)T.(27)
Второе представление Ink Q следует немедленно из определения (23)
Ink Q = £M%s'Mrqi>wVs分^ 二 dxirs XiVfVsq^,(28)
откуда, учитывая переставимость операторов ковариантного дифференцирования, приходим к следующим выражениям контравариантных компонент:
(Ink Q)11 =-— (\/2<7зз 十 V範22 — 2V2V3依3),
:(29)
(Ink Q)12 =— [— V1V2933 + Уз (口依3十 V2^3i — V3<7i2)]
(остающиеся четыре компоненты получаем круговой перестановкой индексов).
Пусть Q — линейный тензор деформации (2.11). В декартовых координатах выражения (29) "принимают вид
(1пк е)11(1пк е)11也^丄当竺_2型丝林2十d館-荻诉，也^丄当竺_2型丝林2十d館-荻诉，"严一麻+言（需+需"严一麻+言（需+需赤12 而赤12 而(30)(30)
(1пк е)11
(1пк е)11
也^丄当竺_2型丝
林2十d館-荻诉，
也^丄当竺_2型丝
林2十d館-荻诉，
"严一麻+言（需+需
"严一麻+言（需+需
赤12 而
赤12 而
(30)
(30)
и условия Ink 8 = 0 приводятся к известным 山сети уравнениям сплошности Сен-Венана в линейной теории упругости.
Ортогональные криволинейные координаты
Выбор криволинейных координат q】，* q" подчинен требованию ортогональности базисных векторов
r$・^ = g“=0, sW 笈 rs-rs^gss^Hl (s=l,2, 3). ,(1)
Величины /7$ = |%| называются коэффициентами Ляме. В рассмотрение вводится ортонормированный базис
⑵⑵°s=今'sr【，2, 3; I es I — 1; e$•办=0, s # /?.
⑵
⑵
Вектор e — единичный вектор нормали поверхности qs —(70—const, он имеет направление касательной к кривой [qs], вдоль которой эта координата q$ переменна (в сторону, куда она возрастает), а две другие постоянны.
Матрица ковариантных компонент метрического тензора || g$总 || диагональна, как и обратная матрица !| gsk ||
II gSk IHdiag (Ht 用，抬)，1也5勺|=由跑II gSk IHdiag (Ht 用，抬)，1也5勺|=由跑1772， 〃 21772， 〃 2(3)(3)
II gSk IHdiag (Ht 用，抬)，1也5勺|=由跑
II gSk IHdiag (Ht 用，抬)，1也5勺|=由跑
1
772， 〃 2
1
772， 〃 2
(3)
(3)
Поэтому
⑷⑷N = g$F=亲，rs = Hsts,г"=余,
⑷
⑷
2 瓦帝，Е = %е$.
Конечно, индекс, входящий в левую и правую части формулы, не является немым; суммирование по нему не предполагается. Сохраняется суммирование по немому индексу; в отличие от принятого правила оно проводится и по повторяющимся трем индексам и независимо от расположения индексов: примерами служат выражения v и Е в (4). .
Цилиндрические и сферические координаты — хорошо известные примеры ортогональных криволинейных координат.
Для цилиндрических коо])динат
qi = г, у，=中， * =z;0 < г < со, О W 屮 W2гт, со < г < со (3)
——это радиус, азимутальный угол, высота. Координатные поверхности ——круговые цилиндры г =，о， осью которых является ось OZ (единичный вектор к =е3), полуплоскости 屮=屮()，проходящие через ось, ей перпендикулярные плоскости z = z0. Координатными линиями в пересечении соответствующих пар поверхностей служат прямые [г], параллельное оси OZ, радиально на- правленные полупрямые [г] и окружности [屮J. Касательные к этим линиям— векторы ®з = к, ег = ег, е2 —е^. Якобиан J= j/"g 二二 г обращается в нуль оси 0Z; эта прямая не включена в область задания координат. Вектор-ради) с точки в цилиндрических координатах представляется выражением
г = гег-|-кг.(八)
Для сферических координат
qi = R, d =仇 q3 =入；0 < R < 8, 0 < ^ < л, О W 入 W 2п (7) ——радиус сферы, угол, отсчитываемый по меридиану от северного полюса, долгота (с востока на запад). Координатные поверхности: сферы R = A“ с центром в начале координат。；心=% — круговые конусы с вершиной О; полуплоскости 入=入0， проходящие через ось 0Z. Координатными линиями служат параллельные круги [入],по которым пересекаются поверхности сфер и конусов, радиально расходящиеся полупрямые [R]——пересечение конусов iflu и полуплоскостей 入°： меридианы [心]——пересечения полуплоскостей 入° со сфс рами Rq. Касательные к этим линиям——векторы е3 = е^, ег =е^, е? = е力； 1< = €卩 cos 心 ——e办，sin 心 ——единичный вектор оси OZ.
Якобиан У g = /?2s；nb. Вектор-радиус определяется формулой
г = е№(8)
Квадрат линейного элемента в ортогональных координатах представляется выражением
dr-dr = //〃d+ *d严+我打严=由2,(9)
а элементы дуг на координатных линиях [qk\ равны
<45 ="力歯用々 I r尢 I dqk.(10)
Для цилиндрических и сферических координат
d)s~ dr, H1—Hr = l；d2s = rd 屮， 円2=〃印=厂；d3s =dz, H3 H^ = [t (II)
diS=dR, 3 = Hrh I; d2s = Rd8, H?二= R;
d3s=/? s：n 心 M, //3 = 7/九=R sin 仇(12)
Дифференцирование векторов ортонормированного базиса. Конечно, могут быть использованы формулы § 4; предпочтительно избежать вычисления символов Кристсффеля и прибегнуть к кинематическому способу подвижно-) триэдра Дарбу (G. Darboux).
Пусть вершина ^ ортонормированного триэдра е5 движется с единичной скоростью и=1 по координатной линии [qm], так что
dins^Hin dqm~dt
(/——время). В каждом мгновенном положении триэдра векторы е§ в этом движении должны приобретать иаправлелия касательных координатных лилий в точке о^; ее движение поэтому сопровождается вращением триэдра вокруг °〃；
угловая скорость этого вращения обозначается з. По известной формуле кинематики твердого тела скорости концов единичных векторов относительно вершины триэдра будут равны
方=7O^=3Xes
и искомые формулы приобретают вид
des 巾 斫=。收,des 巾 斫=。收,о = Нт(о.о = Нт(о.(13)(13)
des 巾 斫=。收,
des 巾 斫=。收,
о = Нт(о.
о = Нт(о.
(13)
(13)
В рассмотрение вводится кососимметричный тензор Q, для которого о является сопутствующим вектором
(14)(14)т т mde т
(14)
(14)
с компонентамис компонентамиQ = oXE = o)('5ё$ =而^ % = °夕gер%
с компонентами
с компонентами
m 丧g
0pq =而L切
и по (1.11.1) вектор о в ортонормированной системе ts представляется выражением
m I тI 0%
По (4.3), (I) и (2) имеем
2 \ dqt dqs dqk / dq力dqsdqk
=W7 (〃$©$)・ HMk二 二，Н&!г+ HsH dqdqtdq*
так что
脑二設（譽*-*今*^,1誥产
Подстановка в (15) приводит теперь к соотношению
m 1 / дНрдНд 、
Для цилиндрических координат
'1(Р3
/7「=1, 〃①=厂，//3 = 1; о — 0, о = Vi*Xe(p = k, о = 0,(17)
как и следовало ожидать —движение триэдра по координатным линиям [z] и [厂]—поступательное, а по окружности [ф]-—вращение с угловой скоростью
(o = k/r.
Отличны от нуля производные
—£-^оХег = еОффВ сферических координатах—£-^оХег = еОффВ сферических координатах夾屮 w、，■^Г=ох%夾屮 w、，■^Г=ох%—e—e(18)(18)
—£-^оХег = е
Офф
В сферических координатах
—£-^оХег = е
Офф
В сферических координатах
夾屮 w、，
■^Г=ох%
夾屮 w、，
■^Г=ох%
—e
—e
(18)
(18)
(19)(19)(20)(21)(20)(21)dodqsdodqssdo3qtsdo3qt0X0 -0.0X0 -0.(22)(22)
(19)
(19)
(20)
(21)
(20)
(21)
dodqs
dodqs
sdo3qt
sdo3qt
0X0 -0.
0X0 -0.
(22)
(22)
Я^= 1, о = 0; Н^ = R, о = VR Х% = CrXc© gе?.; Н* = R sm 心,о = у//九 xe九=(©r s：n 心 + e© cos 0) X% = — e^. s：n^ + e^cos 0 = k.
Отличны от нуля производные
de 廿„
而= %Xcr二e®, -^- = e^ Xee= — eR,= k X eR - ex s.nd,
决白de九
-^—= kXeo = e^ cos 仆， —=—^kxex = — (e^s n a + e^cos 9).
Подстановка в тождества
dqs dqt 。鼠 dqs
выражений производных (13) приводит к равенству
曾^一常(：』=[^一^]，3：簿义^一大(/卩=
- 丝一乌 卜(0义。= 0 (k 1,2,3),
_Gqs dqt 、 J
откуда следует соотношение связи между векторами о
Дифференциальные операции в ортогональных координатах. Вывод приводимых ниже соотношений основан на представлении (4) набла-оператора, на деривационных формулах “ определении (16) секторов о.
Градиент вектора
Va = - - %0々=生中, H§dq$Va = - - %0々=生中, H§dq$0a々2乎0a々2乎e$斤oxe次=%然e$斤oxe次=%然0" I。次 e0" I。次 e
Va = - - %0々=生中, H§dq$
Va = - - %0々=生中, H§dq$
0a々
2乎
0a々
2乎
e$斤oxe次=%然
e$斤oxe次=%然
0" I。次 e
0" I。次 e
и далее
e* ♦ ( 0 Xew 丿=0 • (e例 X%)二二 V”s，怡§、(e/〃 <e：J j — — - b^R —~~ »s加•
、/Hm dqm Hh3qh
ПолучаемПолучаемas дН5 g _а^_ dHs \ 瓦瓦冬十s万工瓦而）as дН5 g _а^_ dHs \ 瓦瓦冬十s万工瓦而）(23)(23)
Получаем
Получаем
as дН5 g _а^_ dHs \ 瓦瓦冬十s万工瓦而）
as дН5 g _а^_ dHs \ 瓦瓦冬十s万工瓦而）
(23)
(23)
Линейный тензор деформации
强5.(24)
2 $ K'HsdqsT H^qk HsHk dqX HkHs d^ HmHsdq^J ' '
в. Дивергенция векторав. Дивергенция вектораas . ат din%as . ат din%
в. Дивергенция вектора
в. Дивергенция вектора
as . ат din%
as . ат din%
dqs 小 т Нт dqm
*6ss = ^(ln/+ln//2+ln/) = ^ln /1.
Получаем1 d 1 /- V-a = -— —Vg К g OqsПолучаем1 d 1 /- V-a = -— —Vg К g Oqsdd/ М/Нз \dq/ М/Нз \dq-Н?Нз5///1a2 Ч•1dq2@дЗ/-Н?Нз5///1a2 Ч•1dq2@дЗ/г. Ротор вектора. После замены е§Хе^ = -^ (е§Хе左一е^Хе§) получаемг. Ротор вектора. После замены е§Хе^ = -^ (е§Хе左一е^Хе§) получаем(25)(25)1 e5Xe左 /0 口 ”а =(——Hkak2 /厶\曲51 e5Xe左 /0 口 ”а =(——Hkak2 /厶\曲5dd%生%生(26)(26)
Получаем
1 d 1 /- V-a = -— —Vg К g Oqs
Получаем
1 d 1 /- V-a = -— —Vg К g Oqs
d
d
/ М/Нз \dq
/ М/Нз \dq
-Н?Нз5///1a2 Ч•
1dq2@дЗ/
-Н?Нз5///1a2 Ч•
1dq2@дЗ/
г. Ротор вектора. После замены е§Хе^ = -^ (е§Хе左一е^Хе§) получаем
г. Ротор вектора. После замены е§Хе^ = -^ (е§Хе左一е^Хе§) получаем
(25)
(25)
1 e5Xe左 /0 口 ”а =(——Hkak
2 /厶\曲5
1 e5Xe左 /0 口 ”а =(——Hkak
2 /厶\曲5
d
d
%生
%生
(26)
(26)
д. Лапласиан скаляра. Полагая a = V“ в (25), имеем
(27)(27)1/ д Н2Н3 @2 丄 d Н3% dip I д /也。屮
(27)
(27)
Vw=万西瓦1疥f~初十疥 F" 评十环 F" 丽
e. Дивергенция тензора второго ранга. По (6.4) полуиаем
=瓦綜(詣//91©+訟//%网+ £/%930).(28)
Далее используются формулы (16).
Хорошо приспособленные для вычислений в частных задачах, в которых за редкими исключениями применяются ортогональные координаты, приведенные здесь формулы лишены отчетливости и симметричности, присущих соотношениям § 6. Последние предпочтительно применять в общих построениях, когда доведение до конкретных вычислений отодвинуто на второй план.
Преобразование Гаусса — Остроградского. Преобразование Стокса
Предполагается ^известной теорема Г аусса——Остро градского в форме
D
Здесь do = dai dt^di* ——элемент оЗьама у, do —зтзмзнт ограничивающий его поверхности, п5—проекция на s-io ось декартовой системы нормали п, направ-
16 А. И. Лурье
ленной вовне и. Функция 屮(а\ а2, а") прсдпо；1агае1ся непрерывной и сира- ниченной вместе с ее частными производными первого порядка в •замкнуто^, области ^+0.
Объем с- может содержать внутренние полости, направление п может нс пытывать разрывы на кривых поверхности о: пример — ребра параллелепипеда *) Простейшим обобщеннее формулы (1) является соотношение
=) j (〃传1 + "2e2」"3°3)d0:= f ( n.c do, (2)
00
связывающее инте гр ал по объему дивергенции вектора V • с с потоком век「орс n-с через ограничивающую поток поверхность.
Заключенное в (2) правило замены ыабла-операюра в сбьемном интеграле вектором п в поверхностном распространяется иа другие соотношения, нескольку в конечном счете все сводится к исходному преобразованию (1). Ыа- пример,
VXcdu = } \ nXcdo,VXcdu = } \ nXcdo,Vc dvVc dvnc do, } } ! VcTt/o= \ \ cn do. (3)nc do, } } ! VcTt/o= \ \ cn do. (3)
VXcdu = } \ nXcdo,
VXcdu = } \ nXcdo,
Vc dv
Vc dv
nc do, } } ! VcTt/o= \ \ cn do. (3)
nc do, } } ! VcTt/o= \ \ cn do. (3)
Аналогично в применеиии к тензору
g,\ "QdL,\ n「Qdo. (4)g,\ "QdL,\ n「Qdo. (4)
g,\ "QdL,\ n「Qdo. (4)
g,\ "QdL,\ n「Qdo. (4)
Частое приложение найду г формули,Частое приложение найду г формули,оснсваннзе на соотношениях (3.7), (3. Ю)оснсваннзе на соотношениях (3.7), (3. Ю)
Частое приложение найду г формули,
Частое приложение найду г формули,
оснсваннзе на соотношениях (3.7), (3. Ю)
оснсваннзе на соотношениях (3.7), (3. Ю)
J (rXn-Q) doJ (rXn-Q) doI，(mQ)；『do — ^ ^ [(V-Q)> г-；-2ю] dv =I，(mQ)；『do — ^ ^ [(V-Q)> г-；-2ю] dv =[(rXV-Q) —2ю] d-j, ⑺[(rXV-Q) —2ю] d-j, ⑺n・Q・a do = \ , [ v・(Q⑶ du г [ , \ /(v・Q)也十 Q* • ya"而.n・Q・a do = \ , [ v・(Q⑶ du г [ , \ /(v・Q)也十 Q* • ya"而.仰）仰）В формуле (5) через ① обозначен вектор, сон〉тству!О；пкй кососимметричной части Q. Для симметричного тензораВ формуле (5) через ① обозначен вектор, сон〉тству!О；пкй кососимметричной части Q. Для симметричного тензораQ = QT： \§(rXn・Q)do= V 卜(rxvQ)du.Q = QT： \§(rXn・Q)do= V 卜(rxvQ)du.2. Преобразование Стокса. В объеме и задан замкнуть喻 контур Г, ciso- димый непрерывным преобразованием в то“ку, пока он не выходит за огри ничивающую этот объем поверхность. Напрнме[*, речь может идти о контур：!^ внутри параллелепипеда, об области, ограниченной нззне и изнутри сфсрп ческими поверхностями. На контуре стро1!тся поверхность о (《‘иапха»), зп ключе иная в ?.2. Преобразование Стокса. В объеме и задан замкнуть喻 контур Г, ciso- димый непрерывным преобразованием в то“ку, пока он не выходит за огри ничивающую этот объем поверхность. Напрнме[*, речь может идти о контур：!^ внутри параллелепипеда, об области, ограниченной нззне и изнутри сфсрп ческими поверхностями. На контуре стро1!тся поверхность о (《‘иапха»), зп ключе иная в ?.*) Точные формулировки*) Точные формулировкидостаточных уел)вий 1зыпоч11им)сги лг)собраЗ'>>достаточных уел)вий 1зыпоч11им)сги лг)собраЗ'>>вання Гаусса — Остроградского приводятся в книгах по теории погеициала.вання Гаусса — Остроградского приводятся в книгах по теории погеициала.
J (rXn-Q) do
J (rXn-Q) do
I，(mQ)；『do — ^ ^ [(V-Q)> г-；-2ю] dv =
I，(mQ)；『do — ^ ^ [(V-Q)> г-；-2ю] dv =
[(rXV-Q) —2ю] d-j, ⑺
[(rXV-Q) —2ю] d-j, ⑺
n・Q・a do = \ , [ v・(Q⑶ du г [ , \ /(v・Q)也十 Q* • ya"而.
n・Q・a do = \ , [ v・(Q⑶ du г [ , \ /(v・Q)也十 Q* • ya"而.
仰）
仰）
В формуле (5) через ① обозначен вектор, сон〉тству!О；пкй кососимметричной части Q. Для симметричного тензора
В формуле (5) через ① обозначен вектор, сон〉тству!О；пкй кососимметричной части Q. Для симметричного тензора
Q = QT： \§(rXn・Q)do= V 卜(rxvQ)du.
Q = QT： \§(rXn・Q)do= V 卜(rxvQ)du.
2. Преобразование Стокса. В объеме и задан замкнуть喻 контур Г, ciso- димый непрерывным преобразованием в то“ку, пока он не выходит за огри ничивающую этот объем поверхность. Напрнме[*, речь может идти о контур：!^ внутри параллелепипеда, об области, ограниченной нззне и изнутри сфсрп ческими поверхностями. На контуре стро1!тся поверхность о (《‘иапха»), зп ключе иная в ?.
2. Преобразование Стокса. В объеме и задан замкнуть喻 контур Г, ciso- димый непрерывным преобразованием в то“ку, пока он не выходит за огри ничивающую этот объем поверхность. Напрнме[*, речь может идти о контур：!^ внутри параллелепипеда, об области, ограниченной нззне и изнутри сфсрп ческими поверхностями. На контуре стро1!тся поверхность о (《‘иапха»), зп ключе иная в ?.
*) Точные формулировки
*) Точные формулировки
достаточных уел)вий 1зыпоч11им)сги лг)собраЗ'>>
достаточных уел)вий 1зыпоч11им)сги лг)собраЗ'>>
вання Гаусса — Остроградского приводятся в книгах по теории погеициала.
вання Гаусса — Остроградского приводятся в книгах по теории погеициала.
§ 81§ 81nPECFP/ECE/ЕИЯ ГАУССА- СС1РОГРЛДСКОГО И СТО1<СА 483
§ 81
§ 81
Пусть а — векторное поле в и； пепрерывное вместе с первыми производными. Рассматривается циркуляции (/шпейпый интеграл) по Г
—in:рк\ляция вектора 11рн ])ассхютр&нии па 心 с.юва и справа—in:рк\ляция вектора 11рн ])ассхютр&нии па 心 с.юва и справа力dr・Q, г力dr・Q, гQ"r = ”r・QTQ"r = ”r・QT
—in:рк\ляция вектора 11рн ])ассхютр&нии па 心 с.юва и справа
—in:рк\ляция вектора 11рн ])ассхютр&нии па 心 с.юва и справа
力dr・Q, г
力dr・Q, г
Q"r = ”r・QT
Q"r = ”r・QT
(dr ——векторныи элсмен? на Г, \ dr \ - ds). Обход по контуру предполагается 1：ренсходя1цим в положительную сторону вокруг принятого направления нормали к поверхности «и апкп» ). Преобразованием Стокса \ станавливается ра- liCIiClBG
Ф dr-a J) a・dr= \, n・”Xa) do= \\(nYV)・ado (8)
равна потоку его ротора через поверхность «шапки», нпрку;匕щин тензора следует различать произведения
и преобразование Стокса принимает вид
,dr・Q = $ (nXv)・Qdo, $Q，d…、、(n-v)-QT^.(9)
В этих записях содержится правило замены стоящего слева в линейном интеграле вектора dr на nX v do в поверхностном. Оно является следствием равенства“
,厶5中(緑，炉，歩)一…『可〃罐煮^而，(10)
на котором основывается вывод преобразования Стокса. Например,на котором основывается вывод преобразования Стокса. Например,
на котором основывается вывод преобразования Стокса. Например,
на котором основывается вывод преобразования Стокса. Например,
что и требуется. Применение этого правила позволяет дополнить формулы (8) и (9) соотношениями
f dr а 二 \ , (п；； V)a do, , dr/а = g , (n X v) Ха do = g g (n・ va1"—nV ・а) do. Гогио
(И)
Например, как следовало ожидать
万夕rXdr二一攵Г万夕rXdr二一攵Г'太x「=~^ jj (nv-Г -n• vrT)而=
万夕rXdr二一攵Г
万夕rXdr二一攵Г
Го
и do.и do.Th(3n —n)d° = jоо
и do.
и do.
Поверхность «шапки» назначается произвольно. Поэтому при равенстве нулю циркуляции
м мм
^dr-a = 0： уХа = 0, а = VT» , dr・a = , dr・v(p= , d屮=屮〃一ф^0 (12)
I<^^0*^^Q*^^Q
линейный интеграл по кривей не зависит от выбора этой кривой, а определяется только координатами конечной и начальной точки на ней ——разностью потенциалов в этих точках.
Аналогичные соотношения для тензора второго ранга имеют вид
，打・Q — О, VXQ「°, Q 二 va, , dr・Q 丁 , dr*va 二,da = a〃一a必°, (13) Г*^^Q
ммM
,Q・dr = 0, vXQT = 0, Q=va* , Q・dr= , Va'/r工,da^-a^—a^.
I*^^0*^^o*^^Q
(14)
Двусвязный объем. В двусвязном объеме имеются замкнутые контуры, назовем их /^-контурами, сводимые непрерывным преобразованием друг к другу, но не сводимые в точку. Таковы осевая линия тора, контур в объеме между двумя коаксиальными цилиндрами, охватывающий внутренний цилиндр. Двусвязный объем можно превратить в односвязный с помощью барьера, он не теряет при этом связности ——не распадается па два куска. Например, барьером для коаксиальных цилиндров может служить полуплоскость, проходящая через ось цилиндров.
Пусть выполнено, как в (12), условие интегрируемости a = v屮；одиако теорема Стокса неприменима к К-контуру, так как над ним нельзя построить 《шапку》о, не выходящую за пределы и, поэтому нет основания считать циркуляцию по К-контуру нулем, ф ——неоднозначная функция координат
а= vpа= vp$ dr・aК$ dr・aК6 dr・V屮=,d屮=%•6 dr・V屮=,d屮=%•(15)(15)ККкк
а= vp
а= vp
$ dr・a
К
$ dr・a
К
6 dr・V屮=,d屮=%•
6 dr・V屮=,d屮=%•
(15)
(15)
К
К
к
к
dr・a +dr・a +d「а +d「а +dr・a+ ,^2dr・a+ ,^2
dr・a +
dr・a +
d「а +
d「а +
dr・a+ ,^2
dr・a+ ,^2
«Циклическая постоянная» % — одна и та же для всех /^-контуров. Это подтверждается рассмотрением интеграла по сводимому непрерывным преобразованием в точку контуру oAQe^i/zJA历2历iqATi，составленному из двух контуров Wie^iQ^i)f ^2 (历2M2々2)и барьера 战^乞、Теорема Стокса применима к этому контуру и условие обращения в нуль циркуляции по нему выражается равенством
評1
^l^ldr・a + @d「a+ , dr・a = 0
^l
^l
и после приведения подобных членов получаем
gdr・a = O,中dr・a =
KiKi
g) dr・a,
Kz
艮2
что и
Здесь
требуется. Конечно, сказанное относится и к
Q 工 Va, , dr・Q у , dr* va =f kk艮
Q=Va* § Q"r =夕 Va「・dr =, 玄乂k
b (или c)——циклические постоянные векторы.
циркуляции тензора da = bt
S da = &
Определение вектора по заданию линейного тензора деформации
В уравнении Гельмгольца (2.13)
da = (е -|- Й) • dr = е • dr + w X rfr(1)
первое слагаемое правой части известно, второе должно быть определено условием интегрируемости ——существования вектора а, линейной деформацией над которым является заданный тензор е. Роль Q в соотношении (8.14) отходит к тензору е-|- Й и условию интегрируемости придается вид
VX(e+fi)T= vxe—VXO^O,
⑵
приводящий
по (2.18) к соотношению
VXe「v®T —Evs
(3)
Ho no (6.5)
и (2.19)
/х (vxe) = — 2vo)= O,v・@ =。，VXe = vwT,
(4)
так что
(V 义 €)• dr = Vs' *dr~d(a.
(5)
Условиям интегрируемости этого соотношения снова по (8.14) и по
определе-
нию (6.23) тензора несовместимости придается вид
VX(VX€)t= Ink € = 0(6)
—задание е должно удовлетворять этому условию——шести уравнениям сплошности Сен-Венана.
Возвращаясь к (5* получаем
w=w0+，(vxe)-dr(7)
и уравнению Гельмгольца (1) придается вид
м
da = @QXdr—di■义 f (VXe)*dr + e-dr.(8)
Следующее интегрирование дает
/f(s)М (a)M(s)
а = а0 + «оX (г — г0) — ，dr (а) X [ (v Хе (o'))，d「(o') + § е (о)-dr (а). (9) v^ov^Ov^o
Здесь a0,①o， r0 ——постоянные значения векторов а,①，г в начальной точке 历о &) пути интегрирования,「一「($) — вектор места точки 必(s);。，o' — переменные интегрирования на пути (必°必)，(/(), ^ (а)).
Обобщая известное преобразование двойного интеграла в одинарный
ахаа
S dY § f а，у) dy= S &吓 / (丸 Р)厶，
о ооу
имеем
М.仪(о)川s)М
,dr (а) X , (ухе (d))・dr (<?')二一 ,(ухе (^)) ^г (а/) g dr (о)—
•>^0»^о*^о■М (o')
М
h，[「⑹一r(o5x(vXE(o'))・dr(G')・
Выражение (9) теперь преобразуется к виду
a(s) = a0+G)0X(r (s) —「о)十 j {₽. (о)十[г(а)—г (s)lx(vXs (o))}・dr (о)(10)
—это формула Чезаро, определяющая вектор по его линейному тензору деформации.
Остается проверить, что интеграл в (10) не зависит от выбора пути интегрирования. Называя П——тензор под знаком интеграла^ имеем, сославшись на (1.14.5),
Цт={е (о)+"(о) —「(s)]X(VXe (о)}т = £ (о) —(VX€(o))“X[r(o) —г (s)]
и по (8.14) следует убедиться в равенстве нулю ротора этого тензора. Приняв в формуле (3.12) тензор Q —(VХе)т, имеем, сославшись также на (1.14.7),
VX{[VXs (a)]TX[r(a) —r(s)l}^ {VX[VX£ (a)]T}X[r(a)-r(s)] +
+ [ V Ае (о)『Т —Е/1 (VXE (о)) = Ink s (o)X[r (О) —「(S)] +VXE (о).
Итак, условие
VXlIT= vXs (cr)— Ink s (a) x[r (a) — г (s)] —vXs (o) = 0 сводится к тому же требованию (6), выполненному здесь, так как вектор г (о)—г (s)——произвольный.
Тензор Римана—Кристоффеля. Тензор Риччи
Квадрат линейного элемента в евклидовом пространстве представим в пифагоровой форме
(da】)2+(如2)2 + (dd)2.(1)
Этому представлению, введя криволинейные координаты
a々=法(疗，矿，q3)(&=i, 2, 3),(2)
(3)(3)можно придать вид квадратичной формы ds^ = gskdqsdq!\
(3)
(3)
коэффициенты которой — ковариантные компоненты метрического (единичного) тензора Е, определяемые по заданию преобразования (2) формулами
зздат датдат дат(s, /г = 1, 2, 3).(s, /г = 1, 2, 3).(4)(4)
з
з
дат дат
дат дат
(s, /г = 1, 2, 3).
(s, /г = 1, 2, 3).
(4)
(4)
Поставим вопрос иначе: предполагается, что квадратичная форма (3) задана ее козффнинснтамн gs^ (q1, q% q?) и что эта ферма определенно-положительная. Ею определяется (при некоторых оговорках) риманово пространство ,^3, Неизвестным остается само преобразование (2), его разыскание сводится к задаче интегрирования шести дифференциальных уравнений (4) с тремя неизвестными а1, «2, а：'. Преобразование существует лишь при выполнении условий интегрируемости этой системы. Если задания g§k таковы, что эти условия выполняются, то риманово пространство 5?з становится евклидовым(^з— положение точки в нем может быть определено в единой декартовой системе осей, а квадрат линейного элемента представлен в пифагоровой форме (1).
Определенно-положительная форма (3) может быть линейным преобразованием приведена к сумме квадратов
ds2 = 6，zi, г2,父)友12+62 ⑵，济，г^) dz^ ^b^z^ г2,炉)dz®, (5)
где 亦 ——новые переменные, а b^ ——положительны. Величина УЬ^ (г1, г2, г3) dzk не является дифференциалом некоторой величины, и только фиксируя гг, г2, г3, можно принять da/;= УЬ^ (г1, г2, г3) dzk и этим определить в окрестности точки '笈з декартову систему осей ——пифагоров элемент длины. Иначе говоря, возможно локальное внесение в %^ метрики ^3. Выполнение же условий интегрируемости обозначает вырождение 应3 в ^3 во всей области задания функций gd(q〔， к， q3), а не только в «касательном к 贸3 пространстве ^3».
Итак, искомые условия интегрируемости обеспечивают существование трех функций (2) или, что то же самое, возможность задания места любой точки вектор-радиусом
r = r(qi, q2,，з)(6)
в единой декартовой системе осей OXYZ, По этому заданию определяются базисные векторы %, а по ним формулами (4,2) их производные
广•⑺
Коэффициенты этой смстемм дифференциальных уравнений ——символы Кристоффеля, вычисляемые по заданию квадратичной формы (4) по правилам (4.6).
Следствием их симметрии по индексам s, / являются соотношения
гарантирующие интегрируемость выражения
dr= г5^Л(9)
иначе говоря существование вектор-радиуса (6). Теперь задача сводится к вопросу о существовании векторов г$—требуется установить, какие условия следует наложить на кизффтщнешы системы (7) (в конечном счете на задание
(4) величин gs左),чтобы она была интегрируема. Выражения
(Ю)
должны быть полными дифференциалами——производная по qk коэффициента при dq‘ должна быть равна производной по д' коэффициента при dq左
^｛北加=嘉閏%隰嚮｛露f得樱｝+闺｛爾.
Условия интегрируемости записываются в виде
R^*｛*鳴圍｛嚮｛幫"(U)
Тензорный характер этих величин обнаруживается рассмотрением разности компонент тензоров третьего ранга V^Vta^， VfV^Q。— вторых ковариантных производных контра вариантных компонент вектора а. Имеем
° da，. iq 1
vm+ ｛就卜也｛禽卜"=
= ^ + ^\^ + aS±\q\ + \q\^+\q\\m\s_im\ a^
dq怜qt Vs J dqk ' dqk Vs J 1 爲 f d炉 1 ^ I ISU 1" f
Подчеркнутые слагаемые взаимно уничтожаются при составлении разностей. ПолучаемПодчеркнутые слагаемые взаимно уничтожаются при составлении разностей. ПолучаемVNf。'一卩办0'=腕VNf。'一卩办0'=腕gksgksH4H4
Подчеркнутые слагаемые взаимно уничтожаются при составлении разностей. Получаем
Подчеркнутые слагаемые взаимно уничтожаются при составлении разностей. Получаем
VNf。'一卩办0'=腕
VNf。'一卩办0'=腕
g
ks
g
ks
H4
H4
-Rkt^- (12)
Следствием этого соотношения и (11) является неоднократно применявшееся правило переставимости при действиях в ^3 индексов ковариантного дифференцирования
(VkVf—VtVQM = 0・ (13)
Доказанное для вектора это правило сохраняется и для тензоров любого ранга — вышеприведенное вычисление лишь несколько усложняется.
Согласно (12) свертка величин R&*, с вектором определяет тензор третьего ранга. Эти величины поэтому представляют компоненты тензора четвертого ранга—тензора Римана — Кристоффеля, называемого также тензором кривизны в %
4R = *NN%R4m=/r"s「rR^“・(14)
В 6з—это пулевой тензор. Четырежды ковариантные компоненты 4R по (14) и (11) определяются выражениями
R財sm =g加*九重m=g加Г(^^ g加'[覓，q]-^~jg加0[s•电q])十十g，加(肉，〃回，m]—[tq, r][sk, mJ)
—были использованы формулы (4.6). Использовав соотношения
gmrjgmq = _ gmq工gmf = 一g师代也 m中加木,〃)， dqkdqk
приходим к выражениям
^々出尸~"工[sf, 〃一乌[s团 г] {([№, m]+[mk, r]) [s/, q]—([川，加]十 dqhdqt
-i [mt, r]) [skt q} — [km, r] [s/f q]+ltm, r] [sk, 7]}.
Развернув еще выражения символов Кристоффеля первого рода (4.5), приходим к представлению ковариантных компонент тензора кривизны
R/sr=2R/sr=2(喇 \dqkdqs(喇 \dqkdqs02g左ГdqtdqS02g左ГdqtdqSх…S（縣-制一х…S（縣-制一滁一務）+g叫小m切一回,小滁一務）+g叫小m切一回,小dqtdqr dqkdqr /< ，< )dqtdqr dqkdqr /< ，< )
R/sr=2
R/sr=2
(喇 \dqkdqs
(喇 \dqkdqs
02g左ГdqtdqS
02g左ГdqtdqS
х…S（縣-制一
х…S（縣-制一
滁一務）+g叫小m切一回,小
滁一務）+g叫小m切一回,小
dqtdqr dqkdqr /< ，< )
dqtdqr dqkdqr /< ，< )
(15)
Структура их симметрична относительно пар индексов (kt) и (sr)
Rktsr = Rsrkt(16)
и кососимметрична по индексам А, / и s, г
Rhtrs = — Rtlzsr， Rktsr = — Rhtrs*(17)
Поэтому парам индексов kt, sr надо задавать лишь значения 12, 23, 31, а комбинируя эти пары, рассмотреть лишь шесть компонент
(18)(18)^1212» Rj223，R1231，R2323，R2331，^3131
(18)
(18)
из общего числа 81. Остальные или нули, или выражаются через перечисленные.
(19)(19)Имеют место тождества Риччи: оставив на месте четвертый индекс и перебрав круговую перестановку прочих индексов, имеем
(19)
(19)
^ktsr^- ^tskr^ ^sktr = ^-
Это следует из того, что один из трех индексов kts неизбежно равен г. Приняв k — r, действительно получаем
R hts h+ Rtshk + R skth = °，
так как второе слагаемое и сумма первого с третьим равны нулю.
Конечно. gSk=^s' га» вычисляемые по заданию (6) вектор-радиуса места, тождественно обращают в нуль тензор кривизны. Если же, задавшись положительной симметричной матрицей ||gs/J| и определив по ней обратную матрицу (I ^^ К, вычислим величины (18) и все они окажутся нулями, то это укажет на то, что квадратичная форма (3) приводима к пифагорову виду (1), gsh—ковариантные компоненты евклидова метрического тензора. В противном случае d$2—квадрат линейного элемента в 贸3.
По тензору 4R может быть с о ста в лен тензор второго ранга R путем замены диад 卄也 г^гг в (14) векторными произведениями 林 Xr‘，Nxd
R = ^ ^xr^xVjRktsr = ^ ^Mm^rnrmrnRktsr(20)
(введен для удобства множитель '/д). По (14丿 этот тензор, тензор Риччи, симметричен. Его контравариантные компоненты равны
R11=^R2323,个2=春 Rm R»=g&3i2，
11
个2=^R：U31，R2：』M&112，(21)
Конечно, тензор Риччи обращается в нуль вместе с тензором кривизны.
В ортогональных криволинейных координатах соотношения (10) заменяются условиями
de§ = —dq〃 (s = 1, 2( 3)(22)
dqk
и требование интегрируемости — существования ортонормироваиного триэдра ег, е2, е3 приводится к виду (7.22). Подставив в них значения (7.16) векто
ров о, приходим к шести зависимостям Ляме
d 1 дН2 d1 dH±dH2
疥 京 研十而777骄■存"=0，
1 аНзЗН、1 дмана—о(23)
dq^dq^ Н3 Од? dqB //2 dq2 dq3
(остальные получаем круговой перестановкой индексов). Соблюдение этих соотношений гарантирует приводимость выражения квадрата дифференциала дуги (7,9) к пифагорову виду. Условия (23) представляют требования обращения в 苏з в нуль тензора Риччи, вы раженные в ортогональных координатах.
Сведения из теории поверхностей
Эти сведения будут использованы в основном тексте. Содержание § 11, конечно, не заменяет ни одной из многочисленных монографий по теории поверхностей.
Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Поверхность определяется заданием вектор-радиуса р на ней, как функции гауссовых координат д' д2*
P = P(qL q»(1)
Квадрат линейного элемента do? на поверхности определяется определенно-положительной квадратичной формой (первая квадратичная форма)
I = d。?=dР"p=pa歯а.pа歯8 ^aa^dqadq^,以6二pa屮8(2)
(греческим индексом задаются значения 1, 2). Здесь
p“=鼠 似=1,2)(3)
—базисные векторы на поверхности. Матрице 卜。“廿，сопоставляется обратная И аа₽ II
m=賢，。22=号，| Осф 1 =。11a22 -%，*%肥=聆，(4)
Этим определяется метрический тензор на поверхности
Е2 - ОсфрарВ -二 а*врар|3 = Р%Р"' р“=ааВр(3, ра-рр = бр .(5)
Здесь ра также принадлежащие поверхности векторы взаимного базиса.
Поверхность представляет риманово многообразие 贸纟・ Геометрию на ней можно построить, основываясь на знании квадратичной формы (2) — коэффициентов аа^ (ql, q2)・ Они могут быть определены измерениями длин отрезков, проводимыми существами на поверхности, не знающими о третьем измерении. Мы покидаем поверхность, введя в рассмотрение единичный вектор нормали к ней
П /^ = —Pl > Оо.
IP.CP2I V а
формулам^сср 二一方|3а,формулам^сср 二一方|3а,(7)(7)Дифференцированием соотношений ра-п = 0 приходим к
формулам^сср 二一方|3а,
формулам^сср 二一方|3а,
(7)
(7)
Рар* П — 一 Р“ ' ^|3 —匕а|3, Рсс|3 • П — Pg *「а ‘
определяющим величины Ьа^ — Ь^а. По ним строится вторая квадратичная форма поверхности
Н = b^dq^dq^ ,(8)
принимающая при переходе к новым переменным(产工 qa ⑷，,2) вид
11dqydq^ ~by^dqVdq&,务、§ —.(9)
dq、0q6dq、dq»
Этим устанавливается, что 力《В — компоненты двумерного симметричного тензора
В - ЬабрарВ =虑Pie 工 ^а^РаРр, 虑=。闻〃屮(1。)
а векторы па, пр оказывается возможным представить формулами
Псе ——虑 РВ， П(з = — ^ррсс •(11)
Инварианты тензора В определяют величины
/] (b)二氏十匕扌=2/Д 厶(b).二氏ь3一^1 ^2 =二 K = W (匕11ь22 -店2)(12)
называемые средней (Я) и гауссовой (К) кривизнами поверхности.
Деривационные формулы. Вторые производные р&в вектор-радиуса поверхности не являются поверхностными векторами, их нормальные компоненты по (7) равны 匕仪小 Основываясь на определении коэффициентов аар — = ра*Р|3 первой квадратичной формы и в точности повторив вывод формул (4.5), приходим к равенствам
(13)(13)ра，p(需+等一寫)=% Y] ｛計.
(13)
(13)
Здесь в рассмотрение введены поверхностные символы Кристоффеля.
(14)они(15)(14)они(15)Формулам дифференцирования базисных векторов придается видРа”二｛]§｝ Pv + ^apn
(14)
они
(15)
(14)
они
(15)
(деривационные формулы Вейнгартена). Для векторов взаимного базиса приобретают вид'
что следует из формул (4.7) и соотношений РсгрВ 二二成，а^У b^ --- 6б.
Геометрия в окрестности поверхности. Вектор-радиус г точки в евклидовом пространстве ^3 в окрестности поверхности представляется выражением
(16)(16)I•二P十吗
(16)
(16)
Здесь q3 = g一третья координата, отсчитываемая по нормали к поверхности. Базисные векторы, ковариантные компоненты метрического тензора и их определитель определяются формулами
「сс = Рсс + 之口仪=Рес ■ —, г3 — и, (17)
gccB=QccB ——2之力仪6+?力仪?嗝，g 3=pa.n = 0t 禽3=1,(18)
g=gllg22—g；2' /^=(Г1ХГ2)-П и C(l—2成+砲2)(19)
—были использованы соотношения (7), (10), (11), (12),
Коитраварнаитные компоненты метрического тензора прн сохранении лишь линейных по W слагаемых определяются выражениями
(20)(20)g仪6 = 0仪8 + 2工ь仪6,
(20)
(20)
что легко проверить непосредственным вычислением
以6或" = (аeф—2之瓦ф)(加y+2泌В" =3?+ 2С(0仪6力同一◎力а6)= %, как н требуется. Векторы взаимного базиса в этом приближении, иабла-опе- ратор н метрический тензор определяются теперь формулами
f仪=g&阮0 =pа + g 力省P!3, г3 — п,(21)
V = *■"亲+п^ = (р” + ММрВ)^+пМ‘(22)
£ = !*“&+ nn = рар& + 工(磧PccpB + 虑Р^Р*) + nn = Е? + 2^В+ nn.(23)
Этн формулы позволяют сформулировать правила вычислений дифференциальных операций с точностью до линейных по 已 слагаемых над тензорами, заданными в ^3 в окрестности рассматриваемой «опорной» поверхности. В частности, прн 已=0 оин определяют величины по самой поверхности. Приведем здесь пример тензора (vVT)^=0. Имеем
"V吸=。=k今+展)8磊+嘿)],=0=卜邓5^ +
н по (17),⑵)
YY (中鹏 О - [ papB (^^ 一 { } }翁一 近0雾)+
+吁+*)(謀方+虚需)+nn翳],= 0. 化暂
В предположении, что функции
4时房
непрерывно дифференцируемы по координатам да опорной поверхности *)непрерывно дифференцируемы по координатам да опорной поверхности *)(25)(26)(25)(26)
непрерывно дифференцируемы по координатам да опорной поверхности *)
непрерывно дифференцируемы по координатам да опорной поверхности *)
(25)
(26)
(25)
(26)
Формулы Гаусса, формулы Кодацци. Вторые производные вектор-ра- диуса г в окрестности поверхности, вычисляемые по (17) и (14), определяются формулами
"В =^F (Ра —白欣Ру) = {о^ } Ру + 6аВП —С (底{§； } Р6 + 6а^7рп +
+ р6謚虑)=({击}-"2{；?}-白蘇成)р6+仇16)",(27)
「За = Па =—咸 Ру,「За = Па =—咸 Ру,「33 = 0.「33 = 0.(28)(28)
「За = Па =—咸 Ру,
「За = Па =—咸 Ру,
「33 = 0.
「33 = 0.
(28)
(28)
Использование формул (10.15) для представления компонент тензора кривизны (равных в 或з нулю) приводит к громоздким выкладкам, Следует предпочесть непосредственное рассмотрение условий интегрируемости системы уравнений (10.10), приводимых здесь к виду
4%=%口酬+%6密，*з = га3^а + г33^ = па^а. 2(经)
Интегрируемость второй группы очевидна: 「з = п. Первая группа ется на две системы уравненийИнтегрируемость второй группы очевидна: 「з = п. Первая группа ется на две системы уравненийа)б)а)б)агав_а%з於一石Т；场一生 &一如_雨Y 一 dq^ ИЛИ 因2 dq1 -агав_а%з於一石Т；场一生 &一如_雨Y 一 dq^ ИЛИ 因2 dq1 -распада-(30)распада-(30)0.0.
Интегрируемость второй группы очевидна: 「з = п. Первая группа ется на две системы уравнений
Интегрируемость второй группы очевидна: 「з = п. Первая группа ется на две системы уравнений
а)
б)
а)
б)
агав_а%з於一石Т；
场一生 &一如_
雨Y 一 dq^ ИЛИ 因2 dq1 -
агав_а%з於一石Т；
场一生 &一如_
雨Y 一 dq^ ИЛИ 因2 dq1 -
распада-
(30)
распада-
(30)
0.
0.
Уравнения (30 а) выполняются тождественно. Это легко проверяется по формулам (27), (28), (14) и (11). Уравнения (306) будут пас интересовать на самой опорной поверхности
”2\W”2\W係圈一/寓+ {3} {:J-爲} {開係圈一/寓+ {3} {:J-爲} {開Рб +Рб +涼);=。=存(圜Рб + %n)_爲({：［ } Рб )=
”2
\W
”2
\W
係圈一/寓+ {3} {:J-爲} {開
係圈一/寓+ {3} {:J-爲} {開
Рб +
Рб +
+ {讣61-{*}%2 +亲—紹 П 一(%? Ь\-ЬагЬ^.
Приравняв нулю коэффициенты при п и р6 , приходим к двум формулам Кодацци
—-^Г = 1 а2 f 66i — ) al f 6б2(а=1,2)(31)
仲（白儿=0
=lim”©— lim 屮仔).
"+0"-о
и к формуле Гаусса
Oqi ja2， dq- jal f 十
Левая часть воспроизводит выражение (!0.11) при ^ - 1, т - 6, s = c(, /=2—— это компонента &2с^ тензора кривизны в 勿?一на поверхности. Переходя к его четырежды ковариантному представлению, имеем
а6^^12«б =勺血广—(％%「％%)
и по (10.18) следует принять а =- 1,入二…？， Сославшись на (10.15), приходим к представлению гауссовой кривизны через производные к9Э11х|)[И1,иентов neproii квадратичной формы
⑵2(d产d产dqPq。)I (2,川心№
—(12, ct] [12,—(仇也2--府2)=—次.(33)
5. Представлении в линиях кривизны. В ортонорми]ювашюм триэдре еь а，e3
° 外 Ра
%=瓦厂%'
。11=〃；・ 口 22 = 〃Z ^12 z-0, У a ^= //i/72-('4)
В рассмотрении вводится плоская кривая Га — сечение поверхности плоскостью векторов еа, п. Главная нормаль этой кривой (нормаль в сторону вогнутости ее, к центру кривизны) обозначается т, очевидно, что m = ап. £=工 1. По формулам для кривой
dm — еа de& 一 m
Здесь dGa = Hadq&——элемент дуги на 「仪,〃® —— ее ради)-с кривизны. Было бы ошибочно отождествлять главную нормаль гл' в бесконечно близкой точке W на Га с £П‘，п' — нормаль к поверхности в °勿.Такое свойство присуще нс любой ортогональной сети на поверхности, а сети линии кривизны на ncii, Далее предполагается, что кривые [严]—линии кривизну. По их определению три вектора е】，п и n+ Пт dq1 расположены в одной плоскости
(е1Хп)-(п+п1 б/(7г) = 0,
小=0.
Итак, на лилиях кривизны
” = 4 = 0,
(36)
По (35), (36) и (11) имеем теперь
\ = 一7P]=一仿pь 丁 =匕：，-—
Величины £p^i, обозначаемые R^】，паз явтюгся главными кривнзнамн поверхности —это взятые с надчен<я_цим знаком кривизн я гл шных нормальны х сечений Га. Итак, для линий кривизны'
想~=靑，乐=亲，^^Й,万=4(»%)，
fl/я координатных линий на поверхности, образуюн^их ортогональную сеть, символы Кристоффеля представляются выражениями
ил/1箒，
(38)
| 12,2] -广，
[22,1]斤 2,
[22,2]=也
I 1 [ Ohl Н、
J 2 1H[。仇
(1 [ _01n 〃
dq' '
]1「瓚“
，1 12/0严
j 2 [ 01nH2
J 1 1 一 ”2 А/
/ 2 [ а 1 n %
(39)
(12)о。'’
[22j空S一
1〔22，呪
Эти формулы совместно с
(37) позволяют переставить формулы
Кодацци и
Гаусса в видах
а %
dlli 1д Я2
дН2 1
次产R J 的1 &
dq1
/九"2
0 仃 GE d
" a%
"1R2
方dg丄/2
2困2 *
(41)
Оставаясь “а поверхности, принципиально невозможно определить крнвнз- ны линий на ней. Но измерения па поверхности (знание первой квадратичной формы) позволяют существам па ной констатировать наличие или отсутствие гауссовой кривизны. Таково згжлюченнос в формулах (30) и, в частности, (41) содержание тсо1)емы Гаусса— одного из величайших его достижений. В § 10 уже говорилось, что знание квадратичной формы (10,3) пространства трех измерений позволяет \становись, является оно евклидовым ^3 или римановым 资зв первом счучас ;R -0, во втором 'R 卉 0. Аналогия с геометр йен поверхности объясняет наименование это! о тензора тензором кривизны пространства.
Изгибанием называют такую деформацию поверхности, при которой сохраняются расстояния между ее точками, иначе говоря, остается неизменной первая квадратичная форма. Гауссова кривизна——инвариант изгибания-
ЛИТЕРАТУРА И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
МОНОГРАФИИ
Грин А. Е., Адкинс- Дж. Е, Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды.——М.： Мир, 1965.
Лурье А, И, Теория упругости,— М.; Наука, 1970.
Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости.——М.: Гос- техиздат, 1948.
Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды.— М.: Физматгиз, 1962.
Трусделл К- Первоначальный курс рациональной механики сплошной среды.— М.: Мир, 1975.
Е г i n g е n А. С. Nonlinear Theory of'Continuous Media.— McGraw — Hill. New York, London, 1962.
Green A. E., Z e r n a W. Theoretical elasticity.— Oxford, ClarendonPress, 1954.
G r i о 1 i S. Mathematical theory of elastic equilibrium (recent results).— Ergebnisse angew. Math., № 7. Springer —Verlag, 1962.
Leigh D. C. Nonlinear Continuum Mechanics.— McGraw — Hill, New York, London, 1968.
Truesdell C. The mechanical foundations of elasticity and fluid dynamics.—J, Rational Meeh, and Anal., 1952, v. 1, p. 125—300; Corrections and additions.— J. Rational Meeh, and Anal., 1953, v. 2, p. 505—516.
Truesdell C., Noll W. The non-linear field theories of mechanics.— Encyclopedia of Physics. III/3, Springer — Verlag, 1965.
В книге имеется подобный библиографический указатель работ по нелинейной механике сплошной среды до 1965 г. Рост интереса по этим исследованиям иллюстрируется числом публикаций: 1938 г.——4, 1949 г.——28, 1960 г.—— 60, 1962 г.—79.
Truesdell С., Т о u р i n R. A. The classical field theories.— Encyclopedia of Physics, III/l, Springer—Verlag, 1960.
Wang С. C., Truesdell C. Introduction to rational elasticity.— Woltjers — Noordhoff, Groningen, 1972.
К ГЛАВЕ 1
Глава геометрического содержания, естественно предпосылаемая изучению механики твердого деформируемого тела.
В §§ 1—3 поясняются исходные понятия: материальные координаты и координаты места, отсчетная и актуальная конфигурации, векторные базисы в них, тензоры, градиенты места.
В §§ 4—5 через градиенты места определяются меры деформации и обратные им тензоры. Приписываемые им собственные имена (Коши — Грина, Альманзи, Фингера) не претендуют на историческую точность.
В § 6 введены полярные разложения градиентов места, рассматриваются «тензоры искажений» (6.4) и ортогональные тензоры, сопровождающие деформацию (6.5) — (6.7). Переход от мер к тензорам деформации осуществлен в § 7,
Постоянное применение найдет преобразование ориентированной в отсчетной конфигурации площадки в актуальную—формулы (8.5) —(8.8).
Включение §§ 9—12 преследует цель подготовить аппарат преобразований, применяемых в главах 4 и 8.
Основные кинематические величины, понятие материальной производной и вычисление ее рассмотрены в §§ 13—14.
В § 15 введено понятие индифферентной величины. Сформулирована теорема Зоравского (15.10) об индифферентности тензора, деформации скорости, неиндифферентности вихря. Она использована в § 16 для построения операции объективного дифференцирования.
В § 18 намечен ход решения задачи об определении вектора места по заданию меры деформации. Введенные А. П. Норденом тензоры аффинной деформации третьего ранга нашли применение в § 19. Например, задача § 18 оказывается сведенной к системе линейных дифференциальных уравнений (19.12) для градиента места, коэффициенты которой ——компоненты тензора аффинной деформации (19.9); дифференциальные операции над функциями градиента места или мер деформации ставятся в связь с производными по этим мерам, формулы (19.20), (19.23).
Содержание главы основано на книгах [3], [4], [6], [10] — [12]; использованы материалы статей:
Н о р д е н А. П. К вопросу о геометрической теории конечных деформаций.——Изв. Казанского филиала АН СССР, серия физ.-мат. и техн, наук, 1950, № 2, с. 53—61.
Зубов Л. М. О производной Яуманна для тензора второго ранга.— Изв. Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Естественные науки, 1976, № 2, с. 27—30.
К ГЛАВЕ 2
§ 1 введены в рассмотрение массовые и поверхностные силы, пояснено понятие о силовом тензоре (1.16). В §§ 2—3 в рассмотрение введен тензор напряжений и приведены уравнения движения сплошной среды. Уточненное изложение содержания §§ 1—3 см. в книге [5],
Формулами (3.7), (3.14) определены среднее по объему и моменты первого порядка тензора напряжений. Подробнее об этом ——в книгах [2], [8].
Наиболее полно тензор функций напряжений (§ 4) рассмотрен в книге 2.1. Крутков Ю. А. Тензор функций напряжений и общие решения в статике теории упругости.— М.: Изд-во АН СССР, 1949.
Мы ограничились только упоминанием о далее не рассматриваемых полярных средах. См. [6], [8], [10].
В §§ 6—7 введены тензор Пиола (6.2) и «энергетический тензор» напряжений (6.11). Использование тензора Пиола упрощает многие выводы и соотношения нелинейной теории. Это можно объяснить простотой представления (7.5) через него удельной элементарной работы; существенно также, что уравнения статики, представленные через тензор Пиола (6.4), (6.5), отнесены к отсчетной конфигурации. Об определении тензоров напряжений см. также [3].
К ГЛАВЕ 3
В §§ 1—3 приводятся определения простого тела и упругого простого тела. Изложение основано на сформулированных Ноллом в его хронологически первой публикации о принципах причинности, соседств^ и материальной индифферентности.
Noll W. On the continuity of the solid and fluid states.— J. Rational Meeh, and Anal., 1955, v. 4, p. 3—81.
Вводится понятие простого материал;】 (2.4) и х'стаяавливается его фундаментальное свойство (2.9). Да ются определения \ пр'.то го материала (?」；)， (3.10) и приводятся записи (3.15)——(3.12) ею уравнений состояния.
Следствием замены отсчетной конфигурации может быть изменение формы уравнения состояния при неизмснившемся акт\альном напряженном состоянии, но не исключена возможность, что эта форма сохранится. Это связывается с понятием «группы равноправности^ мате卩нала (§ 4) и со строгим определением свойства его изотропии (§ 5). Следствием sibjixctcsi соотношение (5.7)— тензор напряжений оказывается изотропной тензорной функцией правого тензора искажений и поэтому представим квадратнчным трехчленом (5,9).
В §§ 6—8 даются определения и разъясняются понятия твердо го тела (изотропного и анизотропного), упругой жидкости.
Использована литература [5], ['.)]. [11].
К ГЛАВЕ 4
В этой главе, как и в последующих 5—8 рассматривается гиперупругая среда (упругость по Грину); к определению \иругого тела добавляется требование существования потенциальной энерпш деформации — функции градиента места, вариация которой равна элементарной работе внешних сил («накопленной энергии»); через ее производные выражаются тензоры напряжений—-см. (1.4)-(1.9).
В § 2 приведены уравнения состояния ортотропного и трансверсальноизотропного упругого тела. Их применение можно найти в книге [ 1 j. .
Уравнения состояния изотропного упругого тела нрьзедены в § 3 【：форме представления тензора напряжений Коши через меры деформации Фи и гера и Альманзи: часто используются формулы (3」；) для главных напряжений и (3.11) для главных сил. Свойства нелинейно \другого изотропного материала, таким образом, описываются тремя функциями ипва])иапт()п деформации, например (3.5), связанных дифференциальными соотпошспиямп (З.б). Линейная теория обходилась лишь двумя ностояннммк Ляме; естественно, что многне эффекты нельзя объяснить в ее рамках.
В §§ 5—6 введен тензор 0, которому в варьированном напряжен пом состоянии отведена роль тензора напряжений ——см. (6.2) —(6.4). Связи 0 с конвективной производной тензоров Ко山н и Пиола представлены формулами (5£), (5.10). Последняя указана в работе ■
Зубов Л. М. Вариационные принципы нелинейной теории упругости.
Случай наложения малой деформации на конечную,— Прикл. матсм. и мех., 1971, т. 35, № 5.
Тензор ® вычисляется по формуле (5.8), менее отчетливо представленной в [2].
В §§ 7—9 дается определение тензора упругостей— тензора четвертого ранга, равного производной тензора напряжений по мере деформации, через которую он выражен. Формулой (7.9) дается его инвариантное иредставленис, (8.4) — его компоненты. Следует остановить внимание на формулах (7.12) —(7.14), выражающих коэффициенты Ляме через значения коэффициентов уравнения состояния и их производных в натуральной отсчетной конфигурации.
В векторном базисе собственных направлений меры Фингера компоненты тензора упругостей вычисляются по формулам (8.6)——(8.8); их содержание разъясняется представлениями (8.9) —(8.10) через главные пагфяжения.
Уравнения равновесия, выраженные через вектор места в актуальной конфигурации («уравнения в перемещениях»), представлены в § 10 в различных видах, наиболее простой ——(10.3). Это ——система уравнений в частных производных сложной структуры линейных относительно старших (вторых) производных вектора места. Понятие об эллиптичности (§ 11) связывается со свойствами гладкости решений. Особенностей их следует ожидать вне некоторой области параметров, определяющих деформацию. См. работы
Knowles J. К.. Sternberg Е. On the ellipticity of the equations of nonlinear clastosl^tics for a special matiial.—J. Elasticitv, 1975, v. 5, № 3-4.
Knowles J. K., S t e r 11 1)о г <л Г. On the failure of ellipticity of the equations for finite elastostatiplane strain.— Arch. Rational Meeh, and Anal., 1977, v. 63. № 4.
Признак сильной э.плиптH4Hf сти формулируется в неравенствах (11.6), (11.8). Он с1ОдГм к требопанию сп 'еде.'：с1!ной положительности акустического тензора (11.14). ОГщбС представ.чепие этого тензора и специализация для некоторых заданий удельной потенциальной энергии деформации даны в работе
Лурье А. Н. Критерий э.'1липтичности уравнений равновесия нелинейной теории упругости.— Механика твердого тела, 1979, № 2, с. 213—234. Представление акустичсскси'о тензора в триэдре главных направлений мерз! Фингера приводится в (12.9), (12.10); см. также [5].
В §§ 13—14 описываются формулировки и приемы решения краевых задач статики пелиней ней теории упругостн, поясняется понятие «универсальных решений». Форму.^ирусгся теорема Эриксена об их несуществовании при незф- финных преобразованиях
Ericksen J. !,. Deformations possible in every compressible isotropic, perfectly elastic materials.— J. Math. Phys., 1C55, v. 34, p. 126—128
и приводится се доказагелъстео, предложенное Шилдом.
Shield R. Т. Deformations possible in every compressible, isotropic, perfectly clastic materialJ. Elasticity, 1971. v. 1, № L
Вариационные принципы рассматриваются в §§ 16—19. Они полно представлены (семь формулировок) в работе
Зубов Л. М. Вариационные принципы нелинейной теории упругости.—— Прикл. матом, н мех., 1971, т. 35, N? 5.
Особый интерес представляет принцин стацнокарности дополнительной работы, поскольку оказалось воз*о〉кних выразить его через функционал, не содержащий определяемых по мерам деформации величин. См.
3 уб о в Л. М. Принцип стационарности дополнительной работы в нелинейной теории упругости.——Прикл. матем. и мех., 1970, т. 34, № 2.
Эта работа вызвала отклики в статьях
К о i t е г W. Т. On the principle 0f stationary complementary energy in the nonlinear theory of elasticity.— SIAM J. AppL Math., 1973, v. 25, № 3.
Ko i t e r W. T. On the complementary energy theorem in non-linear elasticity theory. — Technische Ho^e^school Delft, 1975, № 72.
C li г i s t о f f e г s e n J. On Zubov's principle of stationary complementary energy and a related principle.— Danish Center for Applied Math, and Meeh., 1973, Rep. 44
(принцип применен к анизотропному телу).
Неоднозначность представления градиента места через тензор Пиола, на что обращалось внимание в [4.9] — [4.11 ], проанализирована в статье
Зубов Л. М. О представлении градиента перемещения изотропного
упругого тела через тензор Пиола.— Прикл. матем. и мех., 1967, т. 40, № 6.
К ГЛАВЕ 5
Уравнение состояния приобретает конкретное содержание после того, как принято то игш иное представление удельной потенциальной энергии через ипварйанты мер деформации.“
Не приводит к цели предложенная Сетхом замена в законе Гука линейного тензора деформации тензором конечной деформации — условия существования удельной потенциальной энергии оказывается невыполненными.
Seth В. R. Finite strain in elastic problems.— Phil. Trans. Roy Soc.
London, 1935, v. A234, p. 231—264.
Общее представление квадратичного закона зависимости тензора напряжений от тензора деформации содержится в уравнении состояния Сииьорини
согласующемся с существованием удельной потенциальной энергии.
S i g п о г i п i A. Transformazioni termoelastiche finite.— Mem. la. Ann.
di Mat. (4), 1943, v. 22, p. 33—143; Mem. 2a. Ann. di Mat. Рига Appl. (4), ■ 1949, v. 30, p. 1—72.
См. также [8] и работу
Зволинский Н. В., Р и з П. М. О некоторых задачах нелинейной теории упругости,— Прикл. мат. и мех., 1939, т. 2, № 4.
Мурнаган предложил исходить из полиномиального представления удельной потенциальной энергии деформации (3.1) или (3.2). Работы Мурнагана объединены в монографии
Murnaghan F. D. Finite deformation of an elastic solid.— Second Edition, N. Y., 1967.
Постоянные закона Муриагана третьего порядка (/, m, ") определяются в акустических измерениях; к настоящему времени о них накоплено значительное число данных. Таблицы 1—3 содержат сведения к 1975 г.
Формулы, выражающие изменение модулей объемного сжатия и сдвига с коэффициентами Муриагана, получены Вангом.
Wang С. С. Second order change of volume in isotropic materials free from applied loads.— Zeitsch. angew. Math, und Meeh., 1966, v. 46, № 2, p. 141—144.
Формулы (4,5)—(4.8), определяющие преобразование коэффициентов законов Синьорини и Муриагаиа при преобразовании подобия отсчетной конфигурации, в частности, в изотермических состояниях отличающихся температур, имеются в книге
Brillouin L. Les Tenseurs еп Mechanique et en Elastic!te.— Paris, Masson, 1932.
Удельная потенциальная энергия деформации материала, названного Джоном гармоническим и далее называемого полулинейным, представима квадратичной формой (5.2) относительных удлинений, приводимой к виду (5.4).
John F. On finite deformation of elastic isotropic material.— Inst. Math.
Sci. New York Univ: Report IMM-NYU, 1958, № 250.
Представление (5.9), (5.11) удельной потенциальной энергии и дополнительной работы через тензор Пиола и формулы для вектора места получены в [4.8] и [2]. Условия сильной эллиптичности полулинейного материала сообщил автору Е. Л. Гурвич; см. также [4.4].
Представление удельной потенциальной энергии (6.1) было предложено в работе
В1 a t z Р. J., К о W. L. Applications of finite elasticity theory to deformation of rubbery materials.——Trans. Soc. Rheol., 1962, v. 6, p. 223-251.
Упрощенный вариант использован в [4.2]. Акустический тензор определяется формулой (6.14), приводимой к виду (6.15), использованному в [4.2]. В другом варианте выражения (6.1) материал оказывается сильно эллиптическим при любых деформациях.
В § 7 удельная потенциальная энергия деформации представлена суммой энергии изменения объема и формоизменения. Уравнение состояния приводится к виду (7.11). См.
П а л ь м о в В. А, Колебания упруго-пластических тел.—М.: Наука, 1976.
Тригонометрическое представление уравнения состояния, предложенное В. В. Новожиловым, выражено формулой (8.18); удельная потенциальная энергия деформация представлена по (8.16) через первый инвариант логарифмической меры деформации (тензор Генки), второй инвариант его девиатора и фазу подобия девиаторов тензора напряжений и тензора Генки.
В §§ 9—12 ставится задача сформулировать общие требования к заданию удельной потенциальной энергии ——оно ие должно приводить к результатам,
не согласующимся с интуитивными представлениями о поведении упругого тела. Большое место предложенным критериям отведено в [5], [12], [ 13].
Критерий монотонности напряженного состояния (9.4) предложен в работе. 5.10. Coleman В. D., Noll W. Material symmetry and thermostatic inequalities in finite elastic deformation.— Arch. Rational Meeh, and Anal., 1964, v. 15, p. 87—111.
В предположении, что полярные представления сравниваемого и актуального градиентов места выражены через один и тот же ортогональный тензор, приходят к неравенству (9.7) и его дифференциальной форме (9.10). При более общем выборе сравниваемой конфигурации в § 10 к условиям, диктуемым неравенствами (9.10), добавляются не равенства (10.14).
Следствия, извлекаемые из критериев монотонности и сильной эллиптичности, собраны в § 13.
Значения коэффициентов Мурнагана в таблицах 1—3 указаны по данным работ [5.11] — [5.19].
С г е с г a f t D. I, Ultrasonic wave velocities in stressed nickel steel.— Nature, 1962, t. 195, № 4847, C. 79—80.
Smith R. T., Stern R., Stephens R. W. B. Third-order elastic moduli of polycristalline metals from ultrasonic velocity measurements.— J. Acoust. Soc. Amer., 1966, t. 40, № 5, c. 1002—1008.
С а в и и Г. Н., Лукашов А. А., Л ы с к о Е. М., Веремеенко С. В., Вожевская С. М. Распространение упругих волн в твердом теле в случае нелинейно-упругой модели сплошной среды.— Прикл. мех., 1970 , 36, № 2, с. 38—42.
Субботина Е. К., С е к о я н С. С. Об определении барической зависимости скоростей распространения упругих волн в твердых телах по результатам ультразвуковых измерений при одноосном нагружении образцов. — В кн.: Сборник трудов I Всесоюзного совещания по физике и технике высоких давлений, Донецк, 1973.
Seeger A., Buck О. Die experimentalle Ermittelung der elastischen Konstanten hoherer Ordnung.— Z. Naturforsch., 1960, 15a, c. 1056—106 7.
Гузь A. H., M a x о p т Ф.「，Гуща О. И., Лебедев В. К. К теории распространения волн в упругом изотропном теле с начальными деформациями.— Прикл. мех., 1970, т. 6, № 12, с. 42—49.
Bogardus Е. Н. Third-order elastic constants of Ge, MgQ and fused SiO2.—J. Appl. Phys. 1965, T. 6, № 12, c. 42—49.
Hughes D. S., Кe i 1 у J. L. Second order elastic deformation of solids.— Phys. Rev. 1953, T. 92, № 5, c. 1145—1149.
Подробные данные для стали ЭП-56 приводятся в работе
С ек о я н С. С., Субботина Е. К., Авербух И. И. Влияние термической обработки на константы упругости третьего порядка стали марки ЭП-56,— Труды ВНИИФТРИ, вып. 5 (35), М., 1971.
К ГЛАВЕ 6
При аффинном преобразовании отсчетной конфигурации в актуальную определение напряженного состояния не требует конкретизации задания удельной потенциальной энергии деформации.
В §§ 1—3 рассмотрены преобразования подобия и одноосное напряженное состояние. В задаче о простом сдвиге (§ 4) обнаруживаются непредсказуемые линейной теорией нормальные напряжения. Более сложна задача о чистом сдвиге (§ 5) — по заданию напряженного состояния сдвига (5.1) разыскиваются главные значения меры деформации. Напряжение сдвига по (5.16) представляется функцией меры сдвига (5.6), однако восстановление формы этой зависимости по заданию удельной потенциальной энергии возможно только в приближениях. Задача рассмотрена также в работе
М о о п Н., Truesdell С. Interpretation of adiscititious inequalities through the effects pure shear stress produces upon an isotropic elastic solid.— Arch. Rational Akch., Math., 1974, v. 55, № 1, p. 1 — 17.
В §§ 6—9 рассматривается полулинейный материал. Регкения задач Ляме для полого цилиндра и полой сферы приведены в § 6. Сложнее задача об изгибе круглой мембраны в § 7. Использован принцип стационарности дополнительно!! работы, уточнены уравнения, полученные в работе [4.10|.
Постановка плоской задачи рассматривается в § 8. Изложение близко к предложенному в работе
Лурье А. И. Плоская задача для полулинейного материала.— В кп.:
Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа.——М.: Наука、 1972.-е. 289-236.“
Плоская задача для полулинейного материала рассматривалась в работе
Овсянников А. В. К решению захач плоской деформации полулинейной упругой среды.——Прикл. мех., 1972, т. 8, 4G 10, с. 47——54.
Плоская задача для материала Мурнагана была предметом большого числа исследований !О. И. Койфмана, указанных частично в библиографическом перечне обзора
Савин Г. Н., Койфман Ю. ". Общая нелинейная теория упругости (обзор).— Прикл. мех., 1970, т. 6, Л'Ь 12, с. 3—26.
Общие уравнения плоской задачи (материал не специализируется) представлены в обзоре
Черных К. Ф. Обобщенная плоская деформация в нелинейной теории упругости.— Прикл. мех., 1977, т. 13, № 1, с. 3—30.
Примерами приложения соотношений § 8 служат доводимые до результативных формул задачи в § 9 об изгибании плиты в цилиндрическую папепь и задача о скручивании полого цилиндра.
В §§ 10—14 рассматриваются эффекты второго порядка. Формулами (10.7), (10.10) даются представления тензоров напряжений Кошц и Пиола с учетом всех слагаемых второй степени относительно компонент градиента вектора перемещения; в частности, для материала Мурнагана приведено выражение (Ю.9).'
Построение решения и вопрос о его существовании рассмотрены в § 11. Вопрос сводится к системе уравнений (11.12); затруднения возникают при равенстве нулю ее определителя. Им уделено значительное место в [А]. [Н], [5.2].
Подход к задаче учета эффектов второго порядка, несколько отличающийся от описанного, предложен в работе
Rivlin R. S.( Topakoglu С. A theorem in the theory of finite elastic deforniation.— J. Rational Meeh, and Anal., 1954, v. 2, p. 53—81.
Обзор способов учета эффектов второго порядка дан в докладе
Т г u е s d е 1 1 С. Second order effects in the mechanics of materials.— Proc. Int. Symp. Second-Order Effects. Haifa, 1962, p. 1—47.
Формула (12.5), определяющая изменение объема подвергнутого дисторсии тела, была получена в работе
Zener С. Theory of lattice expansion introduced by coldwork.— Trans.
Amer. Soc. Mining Engrs, 1942, v. 147, p. 361—364.
Более общие результаты (и для анизотропного тела)——в статье
То и р i п R. A., Rivlin R. S. Dimensional changes in cristals caused by disclocations.— J. Math. Phys., I960, v. 1, p. 8—15.
Эффекты второго порядка в задаче о кручении стержня (§ 12) рассмотрены в статье
Rivlin R. S. The solution of problems in second order elasticity theory.— J. Rational Meeh, and Anal., 1。53, v. 2, p. 53—81.
Пример сжатого не боковой поверхности и скручиваемого стержня приведен в [8]. Задачи о плоской деформации сжимаемого и несжимаемого материала рассмотрены в монографиях [1 ], [7].
Плоская деформация сжимаемого и несжимаемого материала рассматривается в работе
Adkins J. Е., Green А. Е. Plane problems in second order elasticity theory.— Proc. Roy. Soc. London, 1958, v. A239, p. 257—275.
На необоснованность исходных предпосылок «физически-нелинейной» теории упругости в книге
Каудерер Г. Ыелинейная механика.— М.: ПЛ, 1961 указано в статье
Bharatha S., Levinson М. On physically nonlinear elasticity.— Journ. of Elasticity, 1977, v. 7, № 3.
К ГЛАВЕ 7
В § 1 разъяснено понятие о наложении связи (формулы (1.1)——(1.4)) и представлены определяющие уравнения материала с наложенными связями.
В § 2 рассмотрен случай несжимаемого материала, записаны уравнения статики (2.11) и (2.19), приведена формулировка принципов стационарности потенциально!! энергии и принципа Гамильтона — Остроградского.
В § 3 составлены уравнения статики в объеме (3.13) и на поверхности (3.10), служащие совместно с уравнением связи (3.12) для определения эффектов второго порядка.
В § 4 представлены выражения удельной потенциальной энергии в форме потенциала Муни, его упрощенного варианта — неогукова потенциала Трелоара и усложненного —Ривлина — Сондерса.
Mooney М. A theory of large elastic deformations.— J. Appl. Phvs.,
1940, v. 11, p. 582—592.'
Rivlin R・ S., Saunders D. W. Large clastic deformations of isotropic materials. Experiments of the deforinations of rubber.— Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1951, v. A2 43, p. 251—288.
Экспериментальные данные для некоторых сортов резины дают основание к рассмотрению потенциала (4.8), рассмотренного в работе
VI е р н ы х К. Ф., Шубина Н. М. Законы у пру гости для изотропных несжимаемых материалов.— Механика эластомеров, Краснодар, 1977, т. I, с. 54—64.
Плоская задача рассмотрена в §§ 5—6. См, работы [6.13], [6.14]. Им уделено значительное место и в [ 1 ], [2], [7].
Упомянутая в § 5 обратная теорема Адкинса установлена в работе
Adkins J, Е. A reciprocal property of the finite plane strain equations.— J. Meeh. Phys. Solids, 1958, v. 6, p. 257—275
и нашла продолжение в работах
Hill J. М. On a duality of stress and deformations fields in finite elas
ticity.— J. Elasticity, 1973, v, 3, № 1.
Hill J. M., Shield R. T. Notes on a duality of stress and deformations fields in plane finite elasticity,— J. Elasticity, 1974, v. 4, № 2,
В § 7 рассмотрены задачи растяжения и простого сдвига в несжимаемом материале. Приведены выражения главных сил в плоском .напряженном состоянии; по ним обрабатывались результаты измерения в опытах Ривлина и Сондерса; см. [7,2], [11].'
В § 8 сформулирована теорема Эриксена об универсальных решениях уравнений теории упругости для несжимаемого тела,
Ericksen J. L. Deformation possible in every isotropic uncompressible perfectly elastic body.— Zeitscli. angew. Math, und Phys., 1954, №5, p. 466—486.一
Ее доказательство, разбитое на несколько этапов, помещено в § 21.
Перечень универсальных преобразований представлен в § 9:
изгибание плиты в цилиндрическую панель, формулы (9.1) —(9.10);
разгибание цилиндрической панели, формулы (9.11) — (9,13):
преобразование цилиндрической панели, формулы (9.14) — (9.21);
радиально-симметричное преобразование полой сферы, формулы (9.22) —(9.25);
преобразование цилиндрической панели, формулы (9.26)——(9.28).
Пятое семейство преобразований было обнаружено в работе
8. К И n g b е i 1 W. W., Shield R. Т. On a class of solutions in plane finite elasticity.— Z. angew. Math. Phys., 1966, v. 17, p. 489—511.
Специальный выбор входящих в универсальные решения постоянных дает решение задач §§ 10——14. Эти строгие решения уравнений нелинейной теории упругости были найдены ранее Эриксена в основополагающих работах 7. 9. Rivlin R. S. Large elastic deformations of isotropic materials. IV.
Further developments of the general theory.— Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1948, v. A241, p. 379—397.
Rivlin R. S. Large elastic deformations of isotropic materials. V. The problem of flexure.— Proc. Roy. Soc. London, 1949, v. A195, p. 463—473.
Rivlin R, S. Large elastic deformations of isotropic materials. VI. Further results in the theory of torsion, shear and flexure.— Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1949, v. A252, p. 173—195.
Задача о напряженном состоянии во вращающемся цилиндре рассмотрена в работе
Green А. Е., Shield R. Т. Finite elastic deformation in incompressible isotropic bodies. — Proc. Roy. Soc., London, 1950, v. A202, p. 407—419.
Постановкам универсальных решений уравнений движения (§§ 15—16) уделено значительное место в [11] и [13]. Приведены примеры радиальных колебаний цилиндрической трубки (§ 18) и радиально-симметрических колебаний полой сферы (§ 19). См. работы
Knowles J. A. Large amplitudes oscillations of a tube of incompressible elastic material. — Quart. Appl. Math., 1960, v. 18, p. 71—77.
Guo Zhong-Heng, Solecki R. Free and forced finite amplitude oscillations of an elastic thick-walled hollow sphere made of incompressible material.—Arch. Meeh. Stosow., Warszawa, 1963, v. 15, S. 427—433.
Предложенный в §§ 18—19 способ решения этих задач отличен от рекомендованных в [11], [13] и в этих работах.
<Антиплоская» деформация рассмотрена в статьях
Knowles J. К. On finite anti-plane shear for incompressible elastic materials. —Journ, of the Australian Math. Soc., 1976, XIX, ser. B, part 4, p. 400—415.
Knowles J. K. A note on anti-plane shear for compressible materials in finite elastostatics. — Journ. of the Australian Math. Soc., 1977, XX, ser. B, part 1, p. 1—7.
Adkins J. E. Some generalizations of the shear problem of isotropic incompressible materials. — Proc, of Cambridge Phil. Soc.t 1954, v. 50, p. 334—"365.
К ГЛАВЕ 8
В §§ 1——3 приводятся исходные соотношения: определяющие уравнения, уравнения нейтрального равновесия, принципы стационарности при наложении малой деформации на конечную. Использованы результаты из [2], [10]. Теоремы взаимности (1.15), (1.18) сформулированы в [4.1].
Приложения этих соотношений представлены в §§ 4—6. В § 4 рассмотрено наложение малой деформации на гидростатически напряженное упругое тело; показано, что его уравнения равновесия приводимы к виду уравнений линейной теории, если определить постоянные Ляме формулами (4.4), (4.10). Задача о кручении предварительно сжатого стержня рассмотрена в [7] и в статье 8.1. Green А. Е., Shield R. Т. Finite extension and torsion of cylinders.—
Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1951, v. A224, p. 47—86.
505505литературд и библиографические указания
505
505
Распространение волн в однородно напряженной упругой среде (§§ 4—9) было предметом работ
Truesdell С. General and exact theory of waves in finite elastic strain.—Arch. Rational Meeh, and Anal., 1961, v. 8, p. 263—296.
Hayes M.f Rivlin R. S. Propagation of a plane wave in an isotropic elastic material subject to pure homogeneous deformation.—Arch. Rational Meeh, and Anal., 1961, v. 8, p. 15—22.
В § 10 устойчивость равновесного состояния определяется условием минимума в нем потенциальной энергии системы. Представление этого условия неравенством (10.5) упрощает задачу, но оставляет в стороне трудные вопросы, возникающие, когда неравенство становится равенством.
Уравнения нейтрального равновесия для полулинейного материала (11.11)— (11.12) были другим способом получены в [2]; они оказались повторением уравнений, найденных задолго до того, как приобрели распространение воззрения и методы нелинейной теории.
Southwell R.V. Onthe general theory of elasticstability. — Phil.
Trans. Roy. Soc.,London,1913, v. A213, p, 187—244.
В i e z e п о С. В.,H e n с kу H. On the general theoryof elastic stabili
ty.—K. Akad. Wet. Amsterdam Proc., 1930, v. 31, p. 569—592; v. 32, p. 444—456.
Совпадение следует объяснить тем, что тензор дополнительных напряжений, потребных, чтобы сообщить точкам среды из актуального состояния перемещение i]w, связывается уравнением состояния линейной теории упругости с тензором линейной деформации е (w). Это проходит для полулинейного материала; в работах [8.4], [8.5] не упоминается о материале.
Применение уравнений нейтрального равновесия к задаче о сжатом продольной силой цилиндре и сфере, сжатой распределенным по ее поверхности давлением, приведено в [2] и в работе
Sense nig С. В. Instability of thick elastic solids.—Comm. Pure and Appl. Math., 1964, v. 17, p. 451—491.
Задача о выпучивании пластинки рассмотрена в работе
Зубов Л. М. Приближенная теория выпучивания тонких пластинок из полулинейного материала при аффинной начальной деформации.—— Прикл. матем. и мех.. 1969, т. 33, № 4, с. 668—6 75.
Задача об устойчивости сферы из материала Мурнагана рассмотрена в работе
Волокитин Г. И. Влияние физической и геометрической нелинейности на величины верхнего критического давления при выпучивании полой сферы.—Прикл. мат. и мех., 1978, т. 42, № 3, с. 504—510.
Отличный от предложенного способ построения уравнений нейтрального равновесия предложен в работах
Б а л а б у х Л. И., Яковен ко М. Г. Уравнения бифуркации равновесного упругого изотропного тела в скоростях изменения лагранжевых координат.—Прикл. матем. и мех., 1974, т. 38, № 4, с. 694—702.
Балабух Л. И., Яковенко М. Г. Об учете деформационной анизотропии в задачах устойчивости изотропных упругих тел.——В кн.: Механика деформируемых тел и конструкций, М.: Машиностроение, 1975, с. 52—61.
В § 12 рассмотрен прием приближенного опрецеления критического нагру- жени я колонны в случае полулинейного материала. Воспроизведены результаты в статье
Pearson С. Е. General theory of elastic stability.—Quart. Appl. Math., 1956, v. 14, p.133—144.
В рассмотрениях §§ 17—19 исходной является работа
Holden J. Т. Estimation of critical loads in elastic stability theory.— Arch. Rational Meeh, and Anal., 1964, v. 17, p. 171 — 183.
В § 14 помешены требуемые сведения о константе Корна.
Bernstein В., Toupin R. A., Korn inequalities for〈he sphere and circle,—Arch. Rational Mcch. and Anal., 1960, v. 6, p. 51—64.
Payne L E.. Weinberger H. F. On Korn's inequality.—Arch. Rational Meeh, and Anal., 1961, v. 8, p. 89——98.
Исследование Холдена продолжено Битти в работе
Beatty М. F. Estimation of ultimate safe loads in elastic stability theory.——J. Elasticity, 1971, v. 1, R® 2, p. 95—129, содержащей указания на предшествующие публикации.
Критерий Битти применен в § 16 к определению продольной сжимающей стержень силы. При всей грубости проведенных опенок она оказалась равно!! 0,4—0,6 эйлеровой критической для заделанного по концам стержня.
В § 17 рассмотрен полулинейный материал. Самостоятельное значение представляет уравнение состояния (17.7), когда удельная потенциальная энергия деформации представлена ф、нкпнеП инвариантов тензора искажений, в частности, (17.9) для полулинейного материала. Неравенство, определяющее безопасное нагружение, приводится к виду (17.14).
В §§ 18——21 приведено услозие устойчивости равновесия и уравнения нейтрального равновесия несжимаемого материала (18.12) — (18.14), дано выражение критерия Битти в применении к задачам устойчивости равновесия в неискаженном состоянии (20.4) и сжатого стержня (21.4). См. также [8.15] и [1].
Понятие выпуклости удельной потенциальной энергии но градиенту места определяется неравенством (22.6), в частности, неравенством Адамара (22.8), эквивалентным свойству сильной эллиптичности. Приведенные в § 22 примеры имеют цель показать преимуществешюсть критерия Адамара перед иначе формулируемыми критериями выпуклости.
Содержанием §§ 22——25 автор обязан беседам с Е. Л. Гу рви чем,
В § 23 доказывается, что следствием устойчивости равновесия является выполнение усиленного неравенства Адамара, иначе говоря сильная эллиптичность. Обратное прсдложслие устанавливается в § 24 для первой краевой задачи. Приведен прнпер диска, деформируемого в жесткой обойме (§ 25).
Распространение волн в несжимаемой упругой среде (§ 26) было предметом рассмотрения в работах
Erick ?; еп J. !.. On tlie propagation of waves in isotropic incompressible perfectly elastic materials.—J. Rational Meeh. AnaL, 1953, v. 2, p. 329—337.-'
Sawyers K. N・，Rivlin R. S. Instability of an clastic material.— Int. J. of Solids and Structures, 1973, v, 9, p. 607—613.
Sawyers K. '-■'., Rivlin R. S, On tlie speed of propagation()f waves in a deformed elastic material. — Journ, of Applied Mathem. and Physics (ZAMM), 1977, v. 28, p. 1045—1057.
Sayers K. N., Rivlin R. S. A' note on the Haclamard criterion for an incompressible isotropic elastic material.—Meeh. Res. Comm., 1978, v. 5 (4), p. 211—214.
Вопросы, связанные с крп герием Адамара (§27), рассматривались в статьях 8.20. Truesdell С. Geiieral and exact theory :of weaves in finite elastic strain. — Arch. Rational Meeh- Anal., 1961, v. 8, p. 263—296.
Г у p в и ч Е. Л. Условие Адамара в hcjri®山oii теории упругости.— Изв. АН СССР, МТТ, 1979, № 1, с. 45—51.'
Лурье А. И. Критерий эллиптичности уравнений равновесия нелинейной теории упругости.— Изв. АН СССР, МТТ, 1979, №2, с. 23—34.
К ГЛАВЕ 9
Использован[>1 книги |5], [8], [11], [12], |5.9], а также
Truesdell С. Rational Therm oclynamics.—McGraw Hill, 196g.
ЛИТЕРАТУРА К ПРИЛОЖЕНИЯМ
П. 1. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.— М.: Наука, 1965.
П.2. Сокольников IL С. Тензорный анализ. Теория и применения в геометрии и механике сплошных сред.—М.: Наука, 1971.
П.З. М а к - К о н н с л Дж. Введение в тензорный анализ. — М.: Физматгиз, 1963.
К ПРИЛОЖЕНИЮ 1
§§ 1 ——11 содержат разъяснепня основных понятий: векторные базисы, символы Леви-Чивита, тензор второго ранга, его инварианты, главные оси и главные направления, полярное представление. Дополнительны.- сведения см. [П.З].
О главных значениях и направлениях тензора второго ранга в хорошо известных курсах, например, [П.1], [П.2], говорится лишь в применении к тензору второго ранга. В § 9 рассмотрен, следуя [4], общий случай.
Содержание § 15 найдет многократные применения в основном тексте книги. Понятие об изотропных тензорах четвертого ранга поясняется в книге IL 1.1. Jeffreys Н. Cartesian Tensors. — Cambridge University Press, 1931. Пзотроппые тензоры шестого ранга использованы в работе
П. 1.2. Т о и р i n R.A., Bernstein В. Sound waves in deformed perfectly elastic materials.—J. Acoustic Soc. Amer., 1961, v. 33, p. 21G—225.
Читатель облегчит себе труд изучения предмета, если остановит внимание на часто используемых далее соотношениях:
Формула свертывания компонент тензора Леви-Чивита (2.5) — (2.7).
Правила двукратного свертывания произведения тензоров (7.15) — (7.17).
Представления инвариантов тензора второго ранга (7.4), (7.9). (7.11), (9) и (8); теорема Гамильтона — Кэли (9.21), (9.22).
Прави/ia действий с изотропными тензорами (1丁3)——(15.9).
Формулы связи кососимметричного тензора с сону гствующим вектором (14.9), (14.17).'
Определения ортогонального тензора (8.1), (8.12), (8.16); представления вектора (8.10) и тензора второго ранга (8.11) в повернутых базисах.
К ПРИЛОЖЕНИЮ II
Основное место уделено действиям дифференцирования скаляра и тензора по тензорному аргументу. Инвариантные определения этих операций даются формулами (2.7), (4.6); формулами (3.1), (3.2), (3.3) определяются производные инвариантов теяз.ора и скалярной функции их. Приведены правила дифференцирования произведения тензоров (4.10) и замены аргумента (4.12). Использование изотропных тензоров четвертого ранга обеспечило краткость выводов и загшее访 полученных соотношений (4.10)——(4.16).
Содержание §§ 2—4 воспроизведено в работе
П.Н.1. Лурье А. И. Дифференцирование по тензорному аргументу. — В кн.: Вопросы математической физики. — Л.: Наука, 1976, с. 48 -57.
См. также
П.11.2. Pietraszkiewicz W. Stress in isotropic elastic solid under superposed deformations.—Archiwum Meehaniki Stosowanej, 1974, v. 26, p. 871—884.
П.11,3, Лурье Л. U. О дифференцировании тензоров по времени.—Л.: Машиностроение, Труды ЛПИ: 1971, № 318.
Разъяснение понятия изотропного в подгруппе ортогональных тензоров содержится в § 5. Рассмотрены примеры моноклинной, ортотропной, кубиче- ско访，трансверсально-изотропной симметрий. Изложение прямо ведет к цели, но менее общо, чем в [1 ].
Теорема о квадратичной зависимости изотропной тензорной функции ог симметричного тензора представлена в § 7. В §§ 8—9 рассмотрена задача об обращении этой зависимости. Здесь существенно использована работа П.П.4. Новожилов В. В. О связи между напряжениями н деформациями в нелинейно-упругих телах.—Прикладная математика и механика 1951, т. 15, № 2.
См. также
П.П.5. Truesdell С.( Moon Н. Inequalities sufficient to ensure semi-in- vertibility of isotropic functions. —J. of Elasticity, 1975, v. 5, № 3—4,
К ПРИЛОЖЕНИЮ III
Знакомый с тензорным анализом по книгам [П.1]——[П.З] не найдет для себя существенно нового в этом Приложении.
Изложение имеет цель приучить к действиям с набла-оператором и ковариантного дифференцирования; опущены не используемые в основном тексте рассмотрения параллельного переноса, геодезических линий и т. п.
Рекомендуется остановить внимание на соотношениях (3.7), (3.10), (2.19), (6.4), (6.5). Повсеместное применение найдет преобразование Гаусса — Остроградского (§ 8). Включение § 11 имело целью вывод, существенно используемый в гл. 4, § 11 (формулы (4.11.26)). Понятия о средней и гауссовой кривизнах поверхности используются в гл. 7 при разыскании универсальных решений Эриксена.
Анизотропия 96
Дифференцирование ковариантное 14, 472, 473
—скаляра по тензору 449
Базис векторный взаимный 13, 31, 423
——исходный 13, 31, 422, 466
—тензора по градиенту места 29
— — по тензору 451
Вариация вектора 30
— вторая скалярной функции тензора 35, 453
Варьирование синхронное 147
Вектор 425
—в повернутом базисе 433
—главный массовых сил 57
——поверхностных сил 58
—индифферентный 43
—места 14
— Пиола теплового потока 408, 414, 415
—сопутствующий 439, 443
—теплового потока 407, 411, 414
Вектор-радиус 466
Вектор-ротор 468, 474
Величина индифферентная 42
Вихрь вектора 468
Волны главные 348
Выпуклость функции 188
— —по градиенту 380
Жесткость при кручении 238
Жидкость идеальная 102
— классическая Навье — Стокса 86
—несжимаемая 252
—простая 101
—стоксова 1 01
—упругая 101
Зависимости Ляме 490
Задача Ляме 208, 295, 299
— Сеи-Венаиа 71
Закон Сетха 151
— Синьориии 151—153
——一упрощенный квазилинейный 152
—сохранения массы 40, 57
— — энергии 406
Законы динамики эйлеровы 61, 67
Значение тензора главное 434
——напряжений среднее по объему 68
——собственное 434
—функционала стационарное 140
Градиент вектора 467
——в ортогональных координатах 480
——транспонированный 467
—деформации 16
—дивергенции вектора 475
—тензора 476
—места 14, 21, 31
——второй 73
——транспонированный 14, 15
—ротора вектора 476
—скаляра 467
Группа равноправности материала 91, 100
Изгибание 495
Изомер тензора 445
Изотропия 94, 99
Инвариант векторный 444
—тензора 430—432, 460
Инварианты мер деформаций 21
—тензоров деформации 25
Индифферентность материальная 83, 411, 412, 414
Движение квазиуравновешеиное 305
——жесткое 42
Девиатор 441
Действие по Гамильтону 147
Деплаиация 237
Деформация аитиплоская 313
—сдвига главная 120
—скорости 39, 44, 48
—универсальная 136
Диада 427
Дивергенция вектора 468, 474
——в ортогональных координатах 481
—градиента тензора 476
—меры Фингера 55
—тензора 468, 474, 476
——в ортогональных координатах 481
Дислокация 236
Диссипация энергии удельная 410, 411
Дисторсия Вольтерра 236
Колонна эйлерова 368
Компонента вектора 425
——ковариантная 425
——коконтраварнантная 426
——коитравариантная 425
——контраковариаитиая 426
Константа Корна 362 — 364
Конфигурация актуальная 11
— неискаженная 94, 96
—отсчетная 11
— — переменная 47
-评｝ 30
Координаты декартовы 11
—криволинейные ортогональные 477
— материальные 11
—места 11
—сферические 478
—цилиндрические 478
Коэффициент Ляме 477
Масса 40Масса 40218. 319218. 31999, 10799, 1072(, 330,2(, 330,— — Генки 23, i 11——Кошн — Грина 1G, 21, 22, 44——логарифмическая III, 203―—Фнигсра 20 — 22, 1 i. 281. 320, 237—нскажеиин 22— — Генки 23, i 11——Кошн — Грина 1G, 21, 22, 44——логарифмическая III, 203―—Фнигсра 20 — 22, 1 i. 281. 320, 237—нскажеиин 22Мощность 78—напряженно 107——связи удельнач 255Мощность 78—напряженно 107——связи удельнач 255
Масса 40
Масса 40
218. 319
218. 319
99, 107
99, 107
2(, 330,
2(, 330,
— — Генки 23, i 11
——Кошн — Грина 1G, 21, 22, 44
——логарифмическая III, 203
―—Фнигсра 20 — 22, 1 i. 281. 320, 237
—нскажеиин 22
— — Генки 23, i 11
——Кошн — Грина 1G, 21, 22, 44
——логарифмическая III, 203
―—Фнигсра 20 — 22, 1 i. 281. 320, 237
—нскажеиин 22
Мощность 78
—напряженно 107
——связи удельнач 255
Мощность 78
—напряженно 107
——связи удельнач 255
Коэффициент Ляме приведеиньн'! 339
— Пуассона 153, 195
Коэффициенты Мурнагана 1 51, 156— i 59, 116
Кривизна noBcpxHOCin гауссова 19i, 194, 195
——средн я я 491
Кристаллы жидкие 102
Критерий Адамара 399
—Битти 365, 366, 368, 378
— Бей кера— Эриксен а 131
— Колемана — Нолна 177
———усиленны й 180
—роста мощности 181
—эмпирический 186
Материал Адамара 371
—анизотропный 96
—Блсйтца и Ко 168, 187, 197, 203
— гармонически)! 161, 218
— гиперупругнй 1 01
—изотропньп'1 9-1, 99
——твердый 100
— максимальной епмметрпн 93
—моноклинный 9g
—Муни 264, 299
—Муни — Рнвлнна 314, 315. 371, 397, 10 1
—Мурнагана 151, 187, 224, 236, 250, 3 19, 369
—недиссипативный 41 0
——непростой второго морхдка 73
—однородный 81
— ортотропный 99, 106
—полулниепный 164, i 98, 20G.
—полярный 72
—простои 73, 82 — 84
—с наложенными связям и 102
—Сстха 151—153
— Синьориин 151 — 153, 186, 205
——упрощенный 196
—твердый 95, 100
——абсолютно 42
——трап с нереально-изотропный 98,
——триклинiibiii 93
—упругий 103
——несжимаемый 257
一 一простой 87, 88
—• ― с наложенными связями 253
Мера деформации Альманзи 16, 322, 325
—сдвига 203
Метод полуобратиый 13 !, I 35
Модуль касательный !20
—объемного сжатия прнводониь：!! 310
Момент главньи! 57, .58
Моменты первбге порвдкн т('пзора напряжений 69‘
Набла-оператор в актуальной конфигурации 14, 15, 31
—Гамильтона 467
Нагревание 406
Нагружение «мертвое» 59, 60, 131
—«следящее» 59, 132
Напряжение 66
—касательное 64
IlujjpH/j'.euiie нереальное и 1
скнзн 231
—с^ьмга глajinoe 120
Напряжение гльние 61, 65
КОМЛ.1СКСНЫС Колосова — Мусчелишрп ли 273
Начало тep^^oдмнамин второе 409--411 — — первое I 03, -108, 410, JU
Нсраненсмп дополник-.п^ные 190
Нерааенст]") Адамаря 3'<3, 381, 3SG, 399
— Бп I I и 365, 378
дпсс/нгапг^ное 41 0
— 1\Лс)уiiiyc；) - ；!,юг\'ма 409
—Кориа &\2 —3b 1
-5-,иорядоч( нн;-1Х cum 186
Оог.см нидиф^Ьсреитщдй 42
Однородность* 81
Описание движение jiarpaickcKQ 1!「，37
——JiLiepOBo 12, !3, 37
Определи гель тензора 128, 430
0cb il：l!ip,7/\ClilBI ГППВНП" 65
Ось p^irjioiicciBi 233
Ось тензора ivuiBiKui 13-1, 461
Оценки Хо.чдсиа 358—4(止，379
Парам(-> ры нагружения !<рнгпчсск!1е (бп- фуркициопныс) 336, 3：)1
Перс мегцеппе жесткое 19
Мереное копнективны)! 33
11ло riiocii, 10
Плотат\п октаэдрпчсС'^а；] 6S
opjilHTiipO；iailU：i
Ноле icH.iopiioc нидпфферсп! лое 12
I [«.чиним гензерз он^едс.ь. юицш i J I.
——xjpaK'icpiici цчеслнч 1.31
Положение равиопссич 72, ,33(), 35О
Порядок \'!Пср11；1ла 32
Посгояния 1 SiiiH 365
Ilocio'-iiiiihio .'I i'i(' ! 18. 35 1, 44ii
-Мурнагана i 5 !, 156, 159, 446
Потсш'шач Муни 17 1, ^()4, 283, 29K
— iiai'p/i /i；0!iiiir 1 03
—нссгукиз 261
Риилилг) и Сондс'рсл 265
тер\!ОД：1Н ；iMH!i?CKH；'i I 03
— — Гельмгольца 4* 0
—Тролоира 261
-ускорении 305, 306
1к)/е“；〔н;ип>1 Nycxcjiiuibii/H 216, 27y
— — Biop：>i。2 80
J !()【(〉、'i('i)loron ； 07
I Ip :; ила cr,，pihi：，ni}H" J2 1
Правило I-hvi.'ia 92
—гр；1исч(ншроваиus： ・「?9
Продс:аЕ/；/Ш1с rreii3(ip；i полярное 1 10
—Мз；、с"(Л" H ."epep力 7!\ 71
! IpcoGpa =；ов；1Ч1ч? J@d〉'亩i】c)c 20, 52, 191
「aycca — Ocj рогрядского 481. 2?
—11овожнловс1 16-1. -1()5
—ортогона плюс 93, 94, 132
—подобчк! 93, 194
— — OiCMCTiioii конфигурации 111
—Сгокса 481, 48,3”
—унпмодулярнис 92
Принцип Зубога 144
— Гамильюна — Осгроградского 147—I 19. 308
—материал ыюй кндифферептиост)) 83, 39, 412. 414
—сгационагпости Ху~Вашицу 146
—— дополните,-|ьной работы 14 3, 211, 337
Прнпцнп стсЩпомапност т зн《р1-нн 139, 2£8, 259> 33b
i；')ii'iiiE&j[biiOiii；')ii'iiiE&j[biiOii——Рейсснера L45
i；')ii'iiiE&j[biiOii
i；')ii'iiiE&j[biiOii
—термодинамики mopoii -109--111
— —первый 1 03, 408> 410f J11
Нроизведенне векторное 422, 425, -| 11 матриц 429'
—скалярное 422, 42H 428
—тсизоров 429
Производная вектора по наираАлснню 467
—индивидуальная 38
—копвекшиная 32, 33
—материальная 38——iniicrpajid 39—материальная 38——iniicrpajid 39——циркуляции вектора но мапршь- ному кон гуру 41
—материальная 38
——iniicrpajid 39
—материальная 38
——iniicrpajid 39
— об-ьсмпш1；ъ1 (пидпфёх-рсн.ная) 51у\)；шна-~ Но」」а -15■
—Олдропда 16> 47
— [1рп[13?сде1； чи ска;】，р1 н 1 -[екзор 152
——гензорок 452
с\аляра но тензору 1 12、 1-19
— субст а нцио[1^41)1)а я 38
—тензора по тензору '151
—Трусдел.цн 4G, 47
Производные' Доктороу! взанкног。 б；к；；[са 171
—осноипого базиса 470
['родненгов места 5-3-
—штариантов тензора 119, -150
—ьоваригштные 472, 473
—?.!ор деформг1Цр["[ 54
Процесс адиабатический 4 1 8
—HJcTcpiMiocKnii 117
-нсобр-1Т1[мь[П -109
— об；Э ：1ТП М!![1 1 09
Работа дополни [сльнач 1-12
—-удельная 112
— хчеме；!гарная 59, 60 —6!> 76, I GI
— -y"L*?【；U"M 7b, 77, 251
Part(Grc；'i!C 72, 336, 33G, 352
Раз/Ю/кспие пссирнос гралпечпа моста 21
Раз°ь1", елнбып !?6
Расшипонио объемное 26
Решение уравнсиип теории ynpyi ос(и унн- ьсрз/нос 136
Решения ун[Н5('рса-'[ьнь[е Эриксена 317
fo'IOp АСКТОра В Ор-[ОГО(1Е1ЛЬЕЫХ 1\ООрДПНН- тах 48!
—градиента вектора 176
—роюр；! тепзорп J76
—тензора -168, 171
Сд!Ч!；' просто；! 199f 282
UhCTbP 202
С小；I ； не об'ьомяос QI HOCiriC.lbHOC 163
Cu.ia внешня я 57
—массовая 57, 32b
—об!、(、м1；；” 57
-iJUiH'pxiirjci пни 58, 32s
Си,'П4【〈【aUHEG 66
(Символ Кролокора 123
Лспи-Чц^пта 424
Символы Кристоффеля 14. -170, 471
Система уравнший ран1Ю1Х'Спя э,!1；И!ПтичС' скг1я 126, 127
Cid”P пзотропнь|й 1.51
-птпиффсрснтиый -12
CccicxiHic материала ч('т：скажсшюс 9 ；
———пагуральпоо 95
—напряженное jimiicihioc 2ft 1
—плоское 282
Сннн 39, 44
Ср('巾I (см, матерпа.з)
Среднее по объему н п юра напряжений G8
Тело (см. материал)
Температура 408, 409
Тензор акустический 129> 166. 170 ]71 394
—алгебраических дополнении * матрицы тензора 429卜
—аффинной деформации 53
—в повернутом базисе 433
—вихря 39, 44
— второго ранга 426
— высшего ранга 422
—единичный 13, 427> 430, -166
—дсмитропныfi 444
—деформации Альманзн 24
——Коши —「ршв 21
— — линейньи! -1G8, 181
—изотропией 44 1
—ИНДПффорСЙТИЫП 13
—искажения 22
-истинные напряжений 75
[\ососиммстричиь[п !27, 139
крнвнзнн 488. 495
—Левн-Чивита 13> 366, 442. I-1 з
—«лишенный памяти» 4s
—метрический 427, 466, 491
—моментов напряжении 72
напряжений Коши 61, 63, 6!, 7』，8° 3]
— приведенный 75'
—1[сособеинь[Г[ 429
—несовместимости 70
—обргпный 430
一мсфе деформации Альмапзн 1 1> 15, л
————Коши — Грина 20, 21'
—орюгояйльпый 432, 440
—сопронождающиц деформацию 22
--Пиола 73> 10-1, 1 05
- i 1нола-Кнрхгоффа второ" 75
-попоро<а 433
-по.'Ю/кительиый 437
-Рнплина ― Эриксена 18
Римана — Кри Стоффел я ，188
—Ркччи Л89. 490
спловоп 60
—симметричныii 427, 428, 438
—собстьснно-ортогональныfi 4 33
- спина 468
- -раиспонированпыИ 426
—упругостей 116, 117, 119, 120
—функции напряжений 70, 71
———Пиола 276
—шарово[[ 437, 441
—энергетический 75, 77> 413
1сизоры деформации 23> 24
Тензоры-изомеры 52
Teopeva Адкпнез 274
—нзапмнсстп 3*9, 330
-Гимпльтона — Кзлн 432, 437, , 438
—Гаусса 495
—Гаусса — Остроградского 481, 482
—Зоравско!о 14
-Касш.чыщо 11?
-■ 1\г\ч[>1.1[на 42
т[р[к'Ст,чш[Мос [и 99
Риччи 473
сIицнопарносгп потенциалLHOii знергни спсюмы 139
一 Cioi<ca ・183
—Эриксена 136, 283 — 285, 317 — 326
1 сори» спло!пно(1 среды моментная 72
—5!ультиполярная 73
一 упругости 88, 103
—(Ьпзниескн~нелннсйная 249
Гсплое^1гость 416, 417
Т ермоупругость 103
Тождес! «а Риччи ^89
Тожд.'с гно Пиола 28
Трансформанта Фурье 389
Триэдр ортонормироваииый 422
Удлинение главное относительное 17
Упругость 88
—по Грину 104, 448
—по Коши 104, 488
Уравнение баланса 62, 406
—Гельмгольца 468, 485
—движения Коши 68
——несжимаемой упругой среды 305
— неразрывности 40
— несжимаемости 41
—определяющее 80, 434
—работы 78
—равновесия в варьнроваииом состоянии 114
—распространения тепла 410, 411, 413, 416, 417
—СОСТОЯНИЯ 80
— 一 изотропного материала 107 — 111
——классической жидкости Навье — Стокса 86
——ортотропного материала 106
Сетха 151 — 153
—Синьорини 151 —153
— —трансверсально-изотропного материала
Формулы Кодацци 493, 495
— Колосова — Мусхелишвили 220
—Ляме 490
—Холдеиа 360
Функционал памяти 87
—Рейсснера 145
— Ху — Вашицу 146
Функция диссипативная удельная 410, 41'
—— напряжений Прандтля 71
—―■ Эри 70
—производящая преобразования Лежан
дра 142, 414
—скалярная векторов 457
——тензора 448
———изотропная 454
——тензорная линейная 447
——тензора 458
———изотропная 458
Характеристика материала жесткая 241
——мягкая 211
Число собственное тензора 434, 461
——упругого материала 88, 257,
——Упругой жидкости 101
— теплопроводности 410, 411, 413,
—Фурье 417
—характеристическое 434
—一 акустического тензора 347
Условие Адамара 383, 384, 386
—несжимаемости 272
—совместимости Синьорини 132
Условия ортогональности 433
Форма квадратичная поверхности
Формула Гаусса 494, 495
—Гельмгольца 468, 485
—Коши 64
—Чезаро 486
Формулы Бриллуэна 162
—деривационные 479, 491
261
416,
490,
417
491
Эллиптичность материала 384, —уравнений равновесия 126, Энергия внутренняя 103, 406, ——удельная 408 ———запасенная 420 —деформации потенциальная ———удельная 103 —изменения объема 172 —кинетическая 78 —полная 406 — потенциальная системы 139 —свободная 103, 411, 413 ——удельная 4 10 ———запасенная 420 Энтропия 409 —внутренняя 409 —удельная 409
Эффект Кельвина — Вертгейма — Пойнтинга 199, 2 0 0/2 95
388
127
408
103
199
-390
О00 '
T(R(r; f))=5(VR(「； т), VVR (г;(9)
Высший порядок включаемого в функционал градиента определяет «порядок материала». Во всем последующем мы ограничимся материалами первого порядка——«простыми телами»
о
T(R(r; f))=5(VR(「； т))・(10)
В их число входят не только классические материалы — упругое тело, вязкая жидкость, но и более широкие классы. Рассмотрению «непростых» тел нет места в этой книге по теории упругости. Принятое ранее ограничение неполярными средами, по-видимому, предполагает и отказ от рассмотрения материалов второго порядка.
11
"0/； = - 7 [(①5—加7)/；+俑]=一万(/A%(2恤/:+恤)
(третье тождественно выполняется). Получаем
1. Выражение тензора напряжений (5.9.2) после замены 入 через р. и V по (2.8) при с = 0 (упрощенный материал Синьорины) приводится к виду
^T=(v/； + 4/l2)E + (l-2v-/；)A.(1)
Здесь А — тензор деформации Альманзи, /\ = /х (А). По (1.7.8)
з
(1)]
А. И. ЛУРЬЕ
НЕЛИНЕЙНАЯ
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕЛгАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 19 8 0
22.25 Л 86УДК 53122.25 Л 86УДК 531Лурье А. И. Нелинейная теория упругости.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980.—512 с.
22.25 Л 86
УДК 531
22.25 Л 86
УДК 531
Книга содержит последовательное изложение принципов и приемов рассмотрения задач нелинейной теории упругости — интенсивно развивающегося в последние десятилетия направления механики твердого деформируемого тела.
Основные определения и методы разъясняются в прямых тензорных обозначениях, чем достигается доступность изложения.
Необходимые сведения из тензорного анализа изложены в Приложениях.
Рассмотрены законы состояния сжимаемого и несжимаемого нелинейно упругого тела, постановки и методы решения задач о его равновесии и устойчивости равновесия, уделено место уравнениям термоупругости.
Книга предназначена специалистам по теории упругости в научно-исследовательских институтах и высших учебных заведениях. Чтение ее не требует математической подготовки, выходящей за рамки программ исследовательских факультетов втузов.
Табл. 3, библ. 111.
Анатолий Исакович ЛУРЬЕ
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
М., 1980 г., 51 2 стр.
Редактор 日.П. Рябенькая
Технический редактор В. Н.二КоиЗако8a
Корректор Е. В. Сидоркина
ИБ № 2211
Сдано в набор 25.01.80. Подписано к печати 24,06.80.
Т-13030. Бумага 60X90Vje. тип. № 1. Литературная гарнитура, Высокая печать. Условн. 口eq. л. 32,125. Уч.-изд. л.
35,59. Тираж 4500 зкз. Заказ № 1248. Цена кнкгн 5 р. 20K.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
1 17071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15]
Набрано в Ордена Октябрьской Революции н ордена Трудового Красного Знамени
Первой Образцовой типографии имени А. А. Жданова
СоЮзпол играфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, М-54, Валовая, 28
Отпечатано во 2-ой тип. изд-ва «Наука». Шубинский пер. Ю, Зак, 3278
© Издательство «Наука».Главная редакцияфнзико-матемагической литературы, 1980© Издательство «Наука».Главная редакцияфнзико-матемагической литературы, 198020304—089
© Издательство «Наука».
Главная редакция
фнзико-матемагической литературы, 1980
© Издательство «Наука».
Главная редакция
фнзико-матемагической литературы, 1980
л 053(02)-80 160-80. 1703040000