Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
В основу книги положен специальный курс термоупругости, читавшийся автором в течение последних лет студентам механико-математического факультета Киевского государственного университета им. Т. Г. Шевченко.
Книга посвящена теории термоупругости, основанной на термодииамике необратимых процессов. В ней излагаются основные положения и методы теории термоупругости, включающей теплопроводность, тепловые напряжения, вызванные градиентами температуры, динамические эффекты при резко нестационарных процессах нагрева и термомеханические эффекты, обусловленные процессом деформирования.
Содержание книги отвечает следующему плану: сначала рассматриваются термодинамические основы термоупругости и дается постановка задачи термоупругости для самого общего случая, когда приращение температуры не является малой величиной по сравнению с начальной температурой, а нестационарные процессы деформирования сопровождаются существенными динамическими эффектами и взаимодействием между полями деформации и температуры; затем приводятся основные уравнения квазистатической задачи термоупругости и сообщаются основные сведения по теории стационарной и нестационарной теплопроводности, необходимые для исследования температурных полей и соответствующих им тепловых напряжений в квазистатической и динамической постановках; далее разбираются основные классы квазистатических задач термоупругости (плоская задача термоупругости, задача термоупругости круглых пластин и оболочек вращения, осесимметричная пространственная задача термоупругости); в последних двух главах рассматриваются динамические и связанные задачи термоупругости.
Примеры, приведенные в книге, содержат анализ распределения тепловых напряжений в упругих телах н термомеханнческих эффектов в зависимости от характера тепловых воздействий.
В книге использованы результаты исследований автора и его сотрудников в области квазистатических и динамических задач термоупругости и теории теплопроводности.
Автор выражает благодарность своим ученикам кандидатам техн, наук В. Т. Гринченко, Л. А. Ильину, Н. А. Лобковой и кандидатам физ.-мат. наук И. Ф. Вовкодаву, В. Г. Карнаухову, И. А. Мотовиловцу, А. Ф. Улитко, оказавшим ему помощь при написании книги.
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время теория термоупругости получила существенное развитие в связи с важными проблемами, возникающими при разработке новых конструкций паровых и газовых турбин, реактивных и ракетных двигателей, высокоскоростных самолетов, ядерныхреак- торов и др. Элементы этих конструкций работают в условиях неравномерного нестационарного нагрева, при котором изменяются физико-механические свойства материалов и возникают градиенты температуры, сопровождающиеся неодинаковым тепловым расширением частей элементов.
Неравномерное тепловое расширение в общем случае не может происходить свободно в сплошном теле; оно вызывает тепловые (термические, температурные) напряжения. Знание величины и характера действия тепловых напряжений необходимо для всестороннего анализа прочности конструкции.
Тепловые напряжения сами по себе и в сочетании с механическими напряжениями от внешних сил могут вызвать появление трещин и разрушение конструкции из материала с повышенной хрупкостью. Некоторые материалы при быстром возникновении напряжений, обусловленном действием резко нестационарного температурного поля, становятся хрупкими и не выдерживают теплового удара. Повторное действие тепловых напряжений приводит к термоусталостному разрушению элементов конструкции. Действие тепловых напряжений может вызвать значительную пластическую деформацию, ведущую к полному или прогрессирующему разрушению конструкции, термовыпучивание , тонкостенной конструкции и т. п.
Исследования по термоупругости сначала стимулировались задачами о термоупругих напряжениях в элементах конструкций. Они проводились на основе теории, разработанной Дюамелем (1838) и Нейманом (1841), которые исходили из следующего предположения: полная деформация является суммой упругой деформации, связанной с напряжениями обычными соотношениями, и чисто теплового расширения, соответствующего известному из классической теории теплопроводности температурному полю.
С принципиальной точки зрения теория Дюамеля — Неймана для нестационарных тепловых и механических воздействий оказалась ограниченной: она не позволяет строго описать движение упругого
тела, связанное с его тепловым состоянием. При определенных условиях нестационарный нагрев сопровождается динамическими эффектами в конструкции.
В общем случае изменение температуры тела происходит не только вследствие подвода тепла от внешних источников, но н в результате самого процесса деформирования. При деформировании тела от механических или тепловых воздействий, протекающих с большой скоростью, возникает так называемый эффект связанности, обусловленный взаимодействием полей деформации и температуры. Он проявляется в образовании и движении тепловых потоков внутри тела, возникновении связанных упругих и тепловых волн, термоупругом рассеянии энергии и т. п.
Последовательное рассмотрение процессов упругого деформирования и теплопроводности в их взаимосвязи возможно только на основе термодинамических соображений. Томсон (1855) впервые применил основные законы термодинамики для изучения свойств упругого тела. Ряд исследователей [Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц (1953) и др.] с помощью методов классической термодинамики получили связанные уравнения термоупругости. Однако в рамках классической термодинамики строгий анализ справедлив лишь для изотермического и адиабатического обратимых процессов деформирования. Реальный процесс деформирования, неразрывно связанный с необратимым процессом теплопроводности, является в общем случае также необратимым. Термодинамика необратимых процессов, разработанная в последние годы, позволила более строго поставить задачу о необратимом процессе деформирования и дать единую трактовку механических и тепловых процессов, нашедшую отражение в работах Био (1956), Чедвика (I960), Боли и Уэйнера (I960) и др. В связи с этим более четко определилась теория термоупругости, обобщающая классическую теорию упругости и теорию теплопроводности. Она охватывает следующие явления: перенос тепла теплопроводностью в теле при стационарном и нестационарном теплообмене между ним и внешней средой; термоупругие напряжения, вызванные градиентами температуры; динамические эффекты при резко нестационарных процессах нагрева и, в частности, термоупругие колебания тонкостенных конструкций при тепловом ударе; термомеханические эффекты, обусловленные взаимодействием полей деформации и температуры.
Основное положение термодинамики необратимых процессов, вытекающее из предположения о локальном термодинамическом равновесии, заключается в том, что первый и второй законы классической термодинамики справедливы и для локально равновесных макроскопических частей системы. Для математического выражения второго закона термодинамики в случае твердых деформируемых тел, состояние которых определяется большим числом независимых переменных, удобной является формулировка, разработанная Н. Н. Шиллером (1897—1901), Каратеодори (1909) и Т. А. Афа-
насьевой-Эренфест (1925—1928). В этой формулировке устанавливается общий эмпирический принцип о невозможности определенных процессов — принцип адиабатической недостижимости. Принципы локального термодинамического равновесия и адиабатической недостижимости позволили использовать разработанный Гиббсом (1875—1878) метод термодинамических функций для вывода соотношений между напряжениями и деформациями, выражений для свободной энергии, внутренней энергии, энтропии и связанного уравнения теплопроводности.
В теории термоупругости обычно накладывается ограничение на величину термического возмущения: приращение температуры предполагается малым по сравнению с начальной абсолютной температурой. Снятие этого ограничения не нарушает предположения о малости деформаций, но приводит к появлению нелинейных членов в связанных уравнениях термоупругости. Возможно построение единой теории термоупругости без указанного ограничения в рамках предположения о малости деформаций, учитывающей зависимость упругих и термических коэффициентов от температуры. В общем случае она является нелинейной теорией связанной термоупругости и в качестве частных случаев охватывает как линейную теорию связанной термоупругости при малом термическом возмущении, так и теорию несвязанной термоупругости при большом термическом возмущении, использующую линейные уравнения движения и нелинейное уравнение теплопроводности.
В последнее время приобретает значение развитие теории конечных термоупругих деформаций. Термодинамические основы нелинейной теории упругости при конечных деформациях, учитывающей тепловые и другие физико-химические эффекты, разработаны Л. И. Седовым (1962). В нашей книге рассматривается теория термоупругости при малых деформациях.
Задача термоупругости в квазистатической постановке, когда не учитываются инерционные члены в уравнениях движения и связывающий член в уравнении теплопроводности, имеет наибольшее практическое значение; при обычных условиях теплообмена динамические эффекты, обусловленные нестационарным нагревом, и тепловые потоки, образующиеся вследствие деформации, настолько невелики, что соответствующие им члены в уравнениях могут быть отброшены, и система уравнений распадается на обычное уравнение нестационарной теплопроводности и уравнения, описывающие задачу о термоупругих напряжениях при заданном температурном поле.
Представление общего решения квазистатической задачи термоупругости в форме, удобной для практического применения, предложил П. Ф. Папкович (1932—1937). В этой форме решение однородного уравнения для вектора перемещения содержит произвольные вектор и скаляр, а частное решение неоднородного уравнения, соответствующего заданному температурному полю, определяется
через скалярную функцию, получившую название термоупругого потенциала перемещений, которая удовлетворяет уравнению Пуассона.
Первым этапом решения квазистатической задачи термоупругости является определение соответствующего температурного поля методами теории теплопроводности, систематическое изложение которых можно найти в монографиях А. В. Лыкова, Карслоу и Егера и др.
В разработке методов решения отдельных квазистатических задач термоупругости достигнут значительный прогресс. Результаты этих исследований изложены в монографиях А. Н. Динника, Н. Н. Лебедева, В. М. Майзеля, Мелана и Паркуса, Паркуса, Боли и Уэйнера и др. Решения более сложных квазистатических задач термоупругости, учитывающих действие источников тепла, разрывные граничные тепловые воздействия и т. п., содержатся в монографиях Новацкого.
Важными для практики квазистатическими задачами термоупругости являются плоская задача термоупругости, термоупругость круглых пластин и оболочек вращения и осесимметричная задача термоупругости.
Постановка плоской задачи термоупругости имеет особенности по сравнению с плоской задачей изотермической теории упругости, связанные с характером температурного поля. Плоское деформированное состояние вызывается двумерным (плоским) температурным полем. Плоское напряженное состояние в рамках пространственной теории упругости может существовать при пространственном температурном поле, удовлетворяющем определенному условию. При произвольном плоском температурном поле в тонкой пластине возникает напряженное состояние, мало отличающееся от плоского напряженного состояния.
Формулировка плоской задачи термоупругости в напряжениях должна учитывать условия однозначности перемещений; в связи с этим случай стационарного температурного поля для многосвязных плоских или цилиндрических тел требует специального рассмотрения. Н. И. Мусхелишвили (1916), используя теорию функций комплексного переменного, выяснил связь многозначности перемещений с тепловыми напряжениями и установил аналогию между плоской задачей термоупругости для многосвязных тел при стационарном температурном поле и соответствующей плоской задачей изотермической теории упругости с дислокациями. Комплексное представление позволяет также более сжато и четко сформулировать условия отсутствия тепловых напряжений в многосвязном теле при стационарном температурном поле.
Теория термоупругости тонких пластин и оболочек, как и соответствующая изотермическая теория, основана на гипотезе о неизменяемости нормального элемента и на предположении о двумерном напряженном состоянии, аналогичном плоскому напряженному
состоянию. При резко нестационарном пространственном температурном поле закон изменения чисто тепловой деформации по толщине тонкой пластины или оболочки существенно отличается от линейного, поэтому гипотеза о неизменяемости нормального элемента в общем случае не соответствует линейному закону изменения тепловых напряжений по толщине. Применение обобщенных чисто тепловых деформаций позволяет свести задачу термоупругости для тонкостенной конструкции при объемном температурном поле к двумерной задаче изотермической теории пластин и оболочек.
На основе современного состояния теории круглых пластин малого прогиба можно изучить особенности термоупругого деформирования пластин, обусловленного пространственным температурным полем, влияние теплового растяжения пластины на ее тепловой изгиб, исследовать тепловые напряжения в пластинах переменной толщины, в неоднородных пластинах при изменении упругих свойств материала по радиусу и толщине и др.
При разработке теории тепловых напряжений в тонких оболочках используются результаты изотермической теории оболочек, содержащиеся в известных монографиях А. Л. Гольденвейзера, А. И. Лурье, В. В. Новожилова и др. Для оболочек вращения с постоянной кривизной меридиана (цилиндрической, конической, сферической, торообразной) при осесимметричном температурном поле решения получаются в элементарных и специальных функциях, удобных для анализа тепловых напряжений при разных граничных условиях.
Осесимметричная задача разработана наиболее полно по сравнению с другими задачами пространственной термоупругости. Характерные математические трудности, связанные с решением этой задачи, можно установить при исследовании тепловых напряжений в толстостенной сферической оболочке и в коротком сплошном цилиндре. Задача о тепловых напряжениях в толстостенной сферической оболочке является типичной задачей, решаемой с помощью классических методов разложения переменных и представления величин, входящих в граничные условия, в виде рядов по полной ортогональной системе функций. Задача о тепловых напряжениях в коротком цилиндре вводит читателя в круг идей, реализуемых при исследовании тела вращения, для которого невозможно представить граничные значения искомых величин в рядах по полной ортогональной системе функций на всей его поверхности. Применяются в основном два метода решения такой задачи: метод однородных решений, разработанный А. И. Лурье (1947) и В. К. Прокоповым, и метод суперпозиции решений для более простых граничных задач, истоки которого содержатся в работах Ляме (1861) и Матье (1890). Использование второго метода в нашей книге позволило изучить термоупругое напряженное состояние тела вращения конечных размеров во всей его области, включая и особые точки.
В связи с анализом работы конструкций, подвергающихся импульсивным тепловым воздействиям, проведены исследования ряда динамических задач термоупругости. Задача о тепловом ударе на поверхности полупространства явилась первой динамической задачей термоупругости, исследованной методами операционного исчисления В. И. Даниловской (1950), которая выяснила особенности распространения динамических тепловых напряжений, характерных для рассматриваемого типа задач (тепловой удар на поверхности цилиндра, сферы и др.). Эта задача получила обобщение в двух направлениях: Стернберг и Чакраворти (1959) исследовали динамический эффект, когда изменение температуры поверхности полупространства происходит не скачкообразно, а с конечной скоростью; Муки и Брейер (1962), Дилон (1965) и др. рассмотрели влияние на тепловой удар эффекта связанности полей деформации и температуры.
Теоретическими исследованиями Боли и Барбера (1957), Крауса (1966) и др. установлена возможность возбуждения колебаний тонкостенных элементов конструкций (балок, пластин, оболочек) посредством импульсивных тепловых воздействий. В настоящей книге методы исследования таких задач рассматриваются при изучении осесимметричных колебаний круглой пластины, возбужденных тепловым ударом на ее поверхности.
В последние десять лет на основе термодинамики необратимых процессов начали интенсивно развиваться исследования динамических задач термоупругости с учетом связанности полей деформации и температуры: Дересевич (1957), Чедвик и Снеддон (1958), Чедвик (1960), Новацкий (1966) разработали теорию плоских гармонических термоупругих волн, Новацкий (1959—1965) исследовал задачи о термоупругих сферических и цилиндрических волнах, Локкет (1958), Чедвик и Уиндл (1964) изучили распространение термоупругих волн Релея, Я. С. Подстригая (1960) и Новацкий (1962) развили общие представления о решении связанных задач термоупругости, Я- С. Подстригач и Р. Н. Швец (1964) изучили влияние теплопроводности и теплоотдачи на распространение волн напряжений в пластинах и оболочках и т. п.
При исследовании динамических задач термоупругости учет связанности полей деформации и температуры дает возможность выявить новые качественные особенности протекания процесса деформирования. Анализ сравнительно простого решения одномерной задачи о распространении плоских гармонических термоупругих волн в неограниченном теле позволяет правильно понять основные черты термоупругих явлений при разных частотах волн и параметрах связанности материала. В качестве основных граничных связанных задач термоупругости следует отметить двумерные задачи о распространении плоских термоупругих волн вдоль поверхности полупространства и продольных термоупругих волн в длинном цилиндре.
Построение решений связанных задач термоупругости для тел конечных размеров вызывает значительные математические трудности. Большой интерес поэтому представляют вариационные принципы связанной термоупругости, и в частности вариационный принцип Био, позволяющие развить приближенные методы решения связанных задач динамической теории упругости и нестационарной теплопроводности.
Актуальной является разработка теории нелинейной связанной термоупругости при больших деформациях и больших термических возмущениях.
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕРМОУПРУГОСТИ
. Общие замечания и обозначения
В теории термоупругости рассматривается равновесие упругого твердого тела как термодинамической системы, взаимодействие которой с окружающей средой проявляется лишь в механической работе внешних сил и в теплообмене.
Тело, как и в классической теории упругости, считается идеально упругим, начально однородным, изотропным и испытывающим малые перемещения относительно некоторого исходного состояния.
В термоупругости используются понятия и положения классической теории упругости, связанные с описанием деформаций и напряжений. В сжатом виде они излагаются в § 1.2.
Термодинамическая система характеризуется конечным числом независимых переменных — макроскопических величин, называемых термодинамическими параметрами. Одним из независимых макроскопических параметров термодинамической системы, отличающим ее от механической, является температура как мера интенсивности теплового движения. Температура тела может изменяться вследствие теплообмена с окружающей средой и действия источников тепла и в результате самого процесса деформирования. Связь деформации с температурой устанавливается с помощью термодинамики.
Непосредственное применение законов классической термодинамики для изучения процесса деформирования тела возможно только для обратимых процессов.
Реальный процесс термоупругого деформирования тела, строго говоря, необратимый; его необратимость обусловливается градиентом температуры. Созданная в последние годы макроскопическая теория необратимых процессов позволяет более точно поставить задачу о необратимом процессе деформирования.
Поскольку термодинамика необратимых процессов является обобщением классической термодинамики, то сначала, в § 1.3, рассматриваются основные понятия и положения термодинамики обратимых процессов, а затем, в § 1.4,— основные положения термодинамики необратимых процессов в связи с термоупругим деформированием тела. Далее, в § 1.5 и § 1.6, на основе термодинамических соображений выводятся соотношения между напряжениями и дефор-
мациями. Здесь же в рамках термодинамики линейных необратимых процессов дается вывод уравнения теплопроводности с членом, зависящим от деформации. Эти уравнения вместе с уравнениями движения, соотношениями между деформациями и перемещениями, известными из классической теории упругости, а также начальными и граничными условиями образуют замкнутую систему уравнений, описывающую задачу термоупругости, в которой поля деформации и температуры связаны между собой. Постановка задачи термоупругости рассматривается в § 1.7. В зависимости от характера механических и тепловых воздействий и условий теплообмена в постановку задачи термоупругости вносятся упрощающие предположения. Постановка частных задач термоупругости приводится в § 1.8.
В первых двух главах для упрощения записи применяются индексное обозначение и правило суммирования по повторяющимся индексам. Координаты х, у, г в декартовой системе координат обозначаются через xlt х2, х3 или в более компактной форме через х; (i — 1,2, 3). Вектор а с компонентами аъ а2, а3 обозначается через а(. В этом смысле вектор перемещения ut означает вектор с компонентами иг, и2, и3.
Напряженное и деформированное состояния термоупругого тела определяются соответственно тензорами второго ранга Оц и е;, (i, / = 1, 2, 3); символы Оц, eti означают величины с девятью компонентами. Индексы обозначаются малыми латинскими буквами. Повторяющийся индекс называется немым, а не повторяющийся в одночленном выражении — свободным. Для индексов принимаем следующие соглашения.
Повторяющийся индекс означает суммирование от 1 до 3. Таким образом, скалярное произведение двух векторов а и b можно представить в упрощенном виде
а • b = а1Ь1 + a2b2 + a3b3 = atbb (1-1.1) линейный инвариант тензора напряжения ои- записать в виде
°и + °22 + °зз = аи (1-1-2) и т. п.
Применение для повторяющихся индексов специальной буквы не требуется; для удобства ее можно заменить любой малой латинской буквой.
Свободные индексы пробегают значения от 1 до 3. Например, символ а^ означает любой из девяти компонентов
Оц
^12
°13
°21
°22
°23
.(1.1.3)
°31
^32
°33
Обозначим через eijk антисимметричный тензор третьего ранга, компоненты которого в декартовых координатах имеют следующие
значения: 0, когда любые два индекса равны; +1, если ijk — четная перестановка чисел 1, 2, 3, и —1, если ijk — нечетная перестановка этих чисел. Следовательно,
^123 " ^231 = ^312 = 1>^132 = ^213 = ^321 =!•(1-1-4)
Если образовать произведение двух таких тензоров eijkelmn, а затем свернуть результат произведения по индексам к и п (приравнять их), то получим тензор четвертого ранга eijketink, компоненты которого имеют следующие значения: 0 при I = / или I = т; + 1, когда Ц и 1т— одни и те же перестановки одних и тех же двух чисел (i = / и / = т, но i + j); —1, когда Ц и 1т представляют собой противоположные перестановки одних и тех же двух чисел (i = т и / = I, но i ф j). Этот результат записывается в виде
CijkCtmk = ^it^jm ^im^jb(1.1.5)
где б,у — символ Кронекера, имеющий следующие значения:
6//— О (i + j), бп = 622 = 633 = 1.(1.1.6)
С помощью тензора eijk можно записать компоненты вектора
с = а х Ь,
где косой крест обозначает векторное произведение, в виде
cz = eiifea(bk,(1.1.7)
или в развернутом обозначении сг = а2Ь3 — а3Ь2, с2 = Пз^ — агЬ3, с3 = агЬ2 — а2Ьк.
Дифференцирование по координате обозначается запятой на уровне индексов, после которой следует индексное обозначение этой координаты. Например,
“/,/ = -§- (ь i = 1. 2, 3);(1.1.8)
д2к ,
^ = ~д^(i,bk,l=\,2,3).(1.1.9)
Частные производные по времени обозначаются точками сверху. Например,
“i=^r(i= 1,2,3).(1.1.10)
Начиная с третьей главы индексное обозначение и правило суммирования по повторяющимся индексам почти не применяются. Все формулы пишутся в развернутом виде.
Координаты хи х2, х3 обозначаются соответственно через х, у, z; эти же буквы применяются в качестве индексов для компонентов тензоров напряжения и деформации и вектора перемещения. Например, вместо аи, ..., ст12, ..., еп, ..., е12, ... пишут соответственно ах,...
..., ахд, ..., бх, .... ехд, ..., а вместо иг, и2, и3— соответственно их, Uy, uz.
Обозначения с аналогичными индексами применяются для компонентов тензоров напряжения и деформации и вектора перемещения в криволинейных координатах. Другие обозначения приводятся по ходу изложения.
Деформации. Уравнения равновесия (движения).
Работа деформации,
В настоящем параграфе рассмотрим в сжатой форме основные положения механики сплошной среды [18, 31, 47, 56, 57], которые устанавливаются в классической теории упругости и используются в термоупругости. Предполагаем, что перемещения и их производные — малые величины.
Дифференцируя вектор перемещения и, по координате Xj, получаем тензор второго ранга иц, который можно представить в виде суммы симметричного е(;- и антисимметричного о),у тензоров
Ui,j = Ец+Юц.(1-2.1)
Симметричный тензор
ец = ец = -1- ^щл 4- Ы/,)(1.2.2)
называется тензором деформации.
Антисимметричный тензор
го,-/ = — му, = -L ^щл — и^)(1.2.3)
при обозначениях
0)^ — (O32 ““ ^г
3, И’ —
to13 —
— и31,
(Од —- Woj —(0^9
имеет таблицу компон
ентов
' 0
to3
0^2
и3
0
— “1
,(1-2.4)
— ы2
Mi
0
т. е. определяется тремя величинами шк (& = 1, 2, 3), являющимися компонентами аксиального вектора <о. Вектор ш называется вектором поворота; его компонент шк равен углу поворота бесконечно малого элемента объема тела вокруг оси хк.
Применяя тензор etjk (см. § 1.1), можно установить следующую зависимость между вектором поворота тк и антисимметричным тензором toif:
= "2~ Ekjibiij. (1.2.5)
Умножая обе части уравнения (1.2.5) на егьк и используя тождество (1.1.5), получаем зависимость
Рассмотрим ограниченный V упругого тела. Этот объемРассмотрим ограниченный V упругого тела. Этот объемш5г = ег5кшк.(1.2.6)
Рассмотрим ограниченный V упругого тела. Этот объем
Рассмотрим ограниченный V упругого тела. Этот объем
Рис. 1 .Рис. 1 .d$=ntd&d$=ntd&поверхностью Q некоторый объем находится под действием внешних объемных и поверхностных сил. На элемент объема dV действу-
Рис. 1 .
Рис. 1 .
d$=ntd&
d$=ntd&
ет объемная сила FdV, где F — объемная сила, отнесенная к единице объема. Пусть положение элемента поверхности d£l в некоторой точке задается единич-
dfi=n.dSi"„
х,х,1 ным вектором п внешней нор- ^ мали к поверхности Q. На эле- dQ3=n3dSl мент поверхности dQ действует поверхностная сила /dQ, где /— поверхностная сила, отнесенная к единице площади поверхности, или напряжение.
х,
х,
Выделим в точке Р элемент
объема в форме бесконечно малого тетраэдра, три грани которого
расположены в координатных плоскостях, а четвертая грань площадью dQ имеет внешнюю нормаль п (рис. 1).
Условие равновесия всех сил, действующих на тетраэдр, дает уравнение (рис. 1)
7 + СТ—//1, = 0(/--1,2,3),
которое в соответствии с равенством о_/ = — ст, имеет вид
7 = °/»/(/1,2,3),(1.2.7)
где о, — векторы напряжений на площадках, внешние нормали которых совпадают с положительными направлениями координатных осей xf, а_, — векторы напряжений на площадках, внешние нормали которых противоположны положительным направлениям координатных осей; tij — компоненты единичного вектора п, равные косинусам углов между вектором п и осями х,.
При рассмотрении равновесия тетраэдра объемные силы не учитываются, так как они являются величинами более высокого порядка малости.
Пусть разложения векторов напряжений 7 и оу по единичным векторам et координатных осей х( определяются выражениями
7 =(1.2.8)
где ft — компоненты вектора напряжения на элементе поверхности, внешняя нормаль которого задана единичным вектором п; вц — компоненты тензора напряжения.
Принимая во внимание выражение (1.2.8), векторное равенство (1.2.7) можно представить тремя скалярными
f^ann, (i,/ = 1,2,3).(1.2.9)
Рассмотрим условия равновесия произвольного объема V тела, ограниченного поверхностью Q.
Приравнивая нулю главный вектор и главный момент (относительно какой-либо точки) внешних объемных и поверхностных сил, получаем следующие уравнения:
f FtdV + f ftdQ = 0;(1.2.10)
VQ
У etikXjFkdV + ( eijkXjftdQ = 0,(1.2.11)
VQ
где X; — радиус-вектор точки приложения силы.
Поверхностные интегралы, входящие в уравнения (1.2.10) и (1.2.11), преобразуем в объемные. Это преобразование выполняем с помощью формулы Остроградского—Гаусса, которую здесь и в дальнейшем применяем в виде
f A^dO. = J At,tdV.(1.2.12)
£2V
Левая часть формулы (1.2.12) является потоком вектора А через замкнутую поверхность Q, а правая — интегралом от дивергенции вектора А, распространенным на объем V, заключенный внутри этой поверхности.
Заменяя/( его выражением (1.2.9) и применяя формулу (1.2.12), находим
У ^d9 = [ оип^й = J OijjdV;(1.2.13)
Ь ЬV
У e;ikXjfkd9 = § eakXjOkinidQ = У кецкХ^кйдДУ = QQV
= J eijkdkidV + J eukXiakijdV = 0.(1.2.14)
vv
При выводе равенства (1.2.14) учитываем, что хц = 6/z и 6цОы = = акр где 6/7 — символ Кронекера.
Подставляя выражения (1.2.13) и (1.2.14) для поверхностных интегралов соответственно в уравнения (1.2.10) и (1.2.11), находим
(1.2.15)(1.2.16)(1.2.15)(1.2.16)Von.i + F^ dV = 0;
(1.2.15)
(1.2.16)
(1.2.15)
(1.2.16)
v■
f ещ, [aA, + X, (ct^.z + Л)] dV = 0.
В силу произвольности объема V из уравнения (1.2.15) получаем следующих три уравнения равновесия:
(1.2.17)(1.2.17)(1.2.18)(1.2.18)^•,/+^ = 0(1=1,2, 3),
(1.2.17)
(1.2.17)
(1.2.18)
(1.2.18)
а из уравнений (1.2.16) и (1.2.17) имеем
Oki — Ojk.
Таким образом, тензор напряжения является симметричным тензором.
На основании (1.2.18) второе выражение (1.2.8) можно представить также в виде
О) = е,ац. (1.2.19)
В системе декартовых координат тензор напряжения определяется таблицей (1.1.3) своих компонентов. Диагональные элементы этой таблицы являются нормальными напряжениями, а недиагональные — касательными на площадках, перпендикулярных к координатным осям (рис. 2).
В случае движения точек тела в соответствии с принципом Даламбера можно из уравнений равновесия (1.2.17) получить, присо
(1.2.20)(1.2.20)единяя к объемным силам Ft силы инерции — put, где р — плотность, уравнения движения:
(1.2.20)
(1.2.20)
О;м + F) = pu(.
В заключение рассмотрим работу внешних объемных и поверхностных сил, которую надо затратить для сообщения телу перемещений duf.
dL = f F^dV-V f fiduidQ.(1.2.21)
VQ
Учитывая выражение (1.2.9) и преобразуя поверхностный интеграл по формуле (1.2.12) в объемный, получаем
dL = | [(о,/./ + F^ dut + OijdUij^ dV.(1.2.22)
Принимая во внимание уравнения равновесия (1.2.17) и тождество (1.2.1), находим
dL= f dWdV = f and ^, + co1V) dV = J с^е^У. (1.2.23) VVV
Здесь Gijdtoij = 0, так как ati — симметричный, a <otj — антисимметричный тензор.
Величина
dW=aiideii(1.2.24)
является приращением удельной работы деформации.
Из выражения (1.2.23) следует, что приращение работы внешних сил равно приращению работы деформации. Величина
dW^^eijdaii(1.2.25)
есть приращение удельной дополнительной работы деформации. Таким образом, получаем выражение для удельной работы деформации
W + W* = оце,ь(1.2.26)
вычисленной в предположении, что в течение всего процесса деформирования компоненты тензора напряжения сохраняются постоянными и равными своим окончательным значениям. Если точки тела находятся в движении, то, рассматривая скорость работы внешних сил (кроме сил инерции)
L = ^ FiUtdV+^fiUtdti(1.2.27)
vо
и выполняя аналогичные преобразования с учетом уравнения движения (1.2.20), находим
L = $ Цо<м+Р<) ut + оии1,Д dV = p f и^У-Д- J оие^У,VVV
или
L — K-^WdV,(1.2.28)
v
где
К = -|-J u^dY.
v
Из уравнения (1.2.28) следует, что разность между работой L, совершаемой в единицу времени приложенными к телу внешними силами, и скоростью возрастания его кинетической энергии равна
мо от различия или равенства их внешних параметров (свойство транзитивности термодинамического равновесия). Из этого следует, что состояние термодинамического равновесия системы определяется не только ее внешними параметрами, но и еще одной величиной, характеризующей состояние внутреннего движения системы. Эта величина, имеющая одно и то же значение для всех систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, называется температурой. Положение о существовании температуры как особой функции состояния равновесной системы называется нулевым законом термодинамики.
При термодинамическом равновесии все внутренние параметры системы являются функциями внешних параметров и температуры, и, таким образом, равновесное состояние системы определяется внешними параметрами и еще одной величиной — температурой или одним из внутренних параметров.
Если макроскопические свойства системы изменяются со временем, то в такой системе происходит процесс, называемый равновесным, или квазистатическим, когда изменения всех параметров системы происходят физически бесконечно медленно, так что система в каждый момент времени находится в состоянии термодинамического равновесия. Под физически бесконечно медленным изменением какого-либо параметра понимается такое его изменение со временем, когда скорость изменения значительно меньше средней скорости перехода системы в равновесное состояние.
Равновесный процесс является обратимым, т. е. таким, который может пройти в обратном направлении через те же состояния, что и при прямом процессе, не вызвав в окружающей среде никаких изменений.
Процесс, сопровождающийся существенным нарушением равновесного состояния, называется нестатическим, или неравновесным. Характерной особенностью такого процесса является его необратимость, т. е. невозможность возвращения системы в первоначальное состояние без того, чтобы в окружающей среде не произошли какие-либо изменения. В качестве примера необратимого процесса можно указать на процесс теплопередачи при конечной разности температур.
Полная энергия системы состоит из внешней — кинетической энергии К, связанной с движением системы как целого или ее макроскопических частей, и внутренней энергии U, являющейся энергией всех видов движения и взаимодействия микрочастиц системы.
Для находящейся в равновесии системы полная энергия совпадает с внутренней, которая является функцией состояния и в равновесном процессе зависит от внешних параметров и температуры.
Взаимодействие термодинамической системы с окружающей средой заключается в обмене энергии между системой и окружающей средой посредством работы и путем передачи тепла.
Работа есть способ передачи энергии, связанный с изменением внешних параметров системы. Количество энергии, полученное системой таким образом, называется также работой и обозначается через L.
Процесс передачи энергии без изменения ее внешних параметров называется теплообменом, а количество энергии, переданное при этом системе,— количеством тепла, которое обозначается через Q.
Ни работа, ни тепло не являются функциями состояния системы, их учитывают только тогда, когда совершается процесс, при котором происходит изменение состояния системы. Если состояние системы изменяется только за счет изменения внешних параметров, а обмен энергией с окружающей средой в форме тепла не происходит, то система называется адиабатически изолированной, или адиабатической. В адиабатической системе работа не зависит от пути перехода от одного состояния системы в другое, а зависит только от начального и конечного состояний системы: при адиабатическом процессе работа совершается лишь за счет изменения энергии системы.
В общем случае адиабатически неизолированной системы изменение энергии происходит не только за счет макроскопической работы, но также и посредством теплообмена.
На основании закона сохранения энергии первый закон термодинамики, определяющий превращение энергии при механических и тепловых процессах (как обратимых, так и необратимых), для элементарного процесса имеет вид
dL + dQ = dK + dU, (1.3.1) т. e. работа, совершенная внешними силами над системой, и количество тепла, переданное системе, расходуются на увеличение кинетической энергии макроскопического движения системы и ее внутренней энергии.
В термодинамике доказано, что в случае обратимого процесса выражение для элемента теплоты можно представить в пфаффовой форме:
dQ = Xtdxt (t = 1, ..., n), (1.3.2) где xt — независимые параметры, определяющие состояние системы, a Xt — функции этих параметров.
Второй закон термодинамики, являющийся обобщением данных опыта, формулируется так: невозможно осуществить вечный двигатель второго рода, т. е. создать машину, которая производила бы работу только за счет подвода тепла от одного или разных тел (без отдачи тепла другим телам). В иной формулировке второго закона термодинамики устанавливается более общий эмпирический принцип о невозможности определенных процессов, позволяющий проще описать математически второй закон термодинамики. Впервые такую формулировку второго закона термодинамики дал в 1898 г. профессор Киевского университета Н. Н. Шиллер [65, 66]. Он привел вывод интегрирующего множителя для dQ, в основном
совпадающий с выводом немецкого математика Каратеодори, который в 1909 г. развил эту формулировку второго закона термодинамики, связав ее с теорией пфаффовых форм [731. Эта формулировка известна под названием принципа адиабатической недостижимости Каратеодори.
Принцип адиабатической недостижимости вытекает из положения о невозможности создания вечного двигателя второго рода. Действительно, если система переходит из начального состояния 1 в состояние 2, получая при неизменяемости теплообмена (dQ > 0) некоторое положительное количество тепла Q, а затем возвращается адиабатически из состояния 2 в первоначальное состояние 1, то в результате такого кругового процесса будет полностью превращено в работу тепло Q, взятое от одних тел без отдачи другим. Так как такой процесс невозможен, то состояние 1 адиабатически недостижимо из состояния 2.
Т. А. Афанасьева-Эренфест, анализируя работу [73] Каратеодори, впервые показала в своих работах [ 1, 81 ], что второй закон термодинамики состоит из двух независимых утверждений, из которых первое относится к обратимым, а второе — к нестатическим (необратимым) процессам, и четко установила различие между понятием об адиабатической недостижимости определенного состояния из другого состояния с помощью обратимого процесса и понятием о необратимости термодинамического процесса.
В настоящее время формулировка принципа адиабатической недостижимости состоит из следующих двух частей (см. [2, 40, 72] и др.):
в окрестности каждого состояния термодинамической системы существуют такие состояния, которые недостижимы из него адиабатическим обратимым процессом;
в окрестности каждого состояния термодинамической системы существуют такие состояния, которые недостижимы из него любым адиабатическим необратимым процессом.
Из первой части формулировки принципа адиабатической недостижимости вытекает существование новой однозначной функции состояния — энтропии S. Действительно, если система адиабатическая, а процесс обратимый, то пфаффова форма (1.3.2) переходит в уравнение Пфаффа
dQ = Xidxt = 0 (t=l, . ...n), (1.3.3) в котором параметры xt удобно рассматривать как координаты точки «-мерного пространства.
Из теории уравнений Пфаффа с п переменными известна следующая теорема [40]: если уравнение Пфаффа (1.3.3) интегрируемо (т. е. существует интегрирующий множитель выражения dQ), то, перемещаясь из данной точки Р (xt) по кривым, являющимся решениями дифференциального уравнения (1.З.З.), нельзя достичь каждой точки в окрестности точки Р {х^.
Каратеодори доказал [73], что справедлива и обратная теорема: если в окрестности данного состояния, характеризуемого параметрами х£, существуют состояния с параметрами х£, которые недостижимы из него с помощью уравнения (1.З.З.), то это уравнение интегрируемо. Наличие же недостижимых точек в случае адиабатического обратимого процесса, описываемого уравнением (1.3.3), установлено на основании обобщения опытных данных.
На основании факта интегрируемости уравнения (1.3.3.) в термодинамике затем доказывается существование полного дифференциала
dS = ^-, (1-3.4) где S — энтропия; Т — абсолютная температура.
Из второй части формулировки принципа адиабатической недостижимости вытекает положение о неуклонном возрастании энтропии в случае адиабатического необратимого процесса; при переходе системы из одного состояния в другое адиабатическим необратимым путем
dS > 0. (1.3.5)
Основные положения термодинамики необратимых процессов
в связи с термоупругим деформированием твердого тела
При механических и тепловых воздействиях в упругом теле возникают поля перемещений и-, деформаций е£/ и напряжений сСр а также температурное поле Т. Под механическими понимаются воздействия на тело внешних сил (объемных и поверхностных), а под тепловыми — процессы теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой и выделения или поглощения тепла источниками внутри тела.
Величины ut, £и-, вц и Т в общем случае являются функциями координат X; и времени t. Так как тепло распространяется в твердом теле посредством теплопроводности, то для изучения процесса термоупругого деформирования даже идеально упругого тела должна быть привлечена термодинамика необратимых процессов.
Основные идеи термодинамики необратимых процессов заключаются в понятиях локального равновесия и медленных процессов [2, 16].
Значения термодинамических параметров определяются для внезапно выделенной макроскопически малой части тела, которую можно рассматривать в состоянии локального равновесия. Такое обобщение классической термодинамики основано на предположении о том, что равновесное состояние устанавливается прежде всего в макроскопически малых частях системы, когда она в целом еще не находится в равновесии.
Термодинамическая теория необратимого процесса термоупругого деформирования изотропного тела базируется на трех основных положениях.
Первое положение состоит в том, что изменение энтропии за определенный промежуток времени определяется выражением
dS = deS + dtS = ^- + dtS, (1.4.1) где deS и dQ — соответственно энтропия и тепло, сообщенное системе из окружающей среды; dtS — энтропия, которая возникает в результате необратимого процесса и является всегда положительной величиной.
Второе положение основано на предположении о локальном термодинамическом равновесии и сводится к тому, что мгновенные значения термодинамических функций (§ 1.5) являются однозначными функциями термодинамических параметров. Из этого вытекает, что основные уравнения классической термодинамики (1.3.1) и (1.3.4) справедливы и для локально равновесных макроскопических частей системы. В термодинамике необратимых процессов [ 16 ] исследованы количественные пределы справедливости такого положения. Результаты расчета для газов по термодинамической теории, в которой используются уравнения (1.3.1) и (1.3.4), совпадают с результатами расчета по кинетической теории газов, учитывающей молекулярную природу необратимых процессов. Это позволяет сделать вывод о том, что и в других случаях рассматриваемая термодинамическая теория дает удовлетворительные результаты для широкой области применения.
Вводя в рассмотрение плотность теплового потока (количество тепла, проходящее за единицу времени и отнесенное к единице площади поверхности), представляемого вектором q с компонентами qt, и связывая его со скоростью подводимого удельного тепла Q
— qt.i = Q — w0, (1-4.2)
а также заменяя на основании (1.2.28) величину L —К, отнесенную к единице объема тела, скоростью удельной работы деформации
W = oueib (1.4.3) первый и второй законы термодинамики для изотропного упругого тела можно записать в виде
— qt,i + ш0 = Т8 = й — ацеи, (1-4.4) где S и U — объемные плотности энтропии и внутренней энергии; w0 — удельная мощность (количество тепла, производимого за единицу времени в единице объема) источников тепла.
Третье положение является феноменологическим законом, описывающим необратимый процесс теплопроводности,— законом Фурье о пропорциональности вектора теплового потока градиенту температуры
qt = -V^(1-4.5)
где Х9 — коэффициент теплопроводности. Этот закон установлен в предположении, что скорость распространения тепла бесконечно велика. Уравнение теплопроводности, учитывающее конечность скорости распространения тепла, имеет вид [39]
Ai = — ^qT,i — xqit(1.4.6)
где т — время релаксации теплового потока. Для металлов величина т весьма мала и составляет, например, для алюминия т = = 10"“ сек [39].
На основании уравнений (1.4.4) и (1.4.5) основное положение термодинамики необратимых процессов об образовании энтропии как положительной величины описывается следующим выражением:
S = --^-+-^ = ^ + S£,(1.4.7)
где Se — приращение энтропии в единицу времени, обусловленное подводом тепла из окружающей среды и внутренних источников тепла,
+(1-4.8)
St — локальное образование энтропии в единицу времени в результате необратимого процесса теплопроводности,
(L4-9)
Термодинамические функции.
Уравнения состояния. Уравнение теплопроводности
При исследовании термодинамики деформирования кроме плотности внутренней энергии U и плотности энтропии S вводятся следующие термодинамические функции: плотность свободной энергии
F = U — TS(1.5.1)
и плотность термодинамического потенциала Гиббса
G = F — OiiEij.(1.5.2)
Величины U, F, G — функции состояния, приращения их при изменении состояния упругого тела — полные дифференциалы. Эти функции называются термодинамическими потенциалами.
Исходя из выражения
dl) = TdS + andEn,
(1.5.3)
с помощью уравнений (1.5.1) и (1.5.2) находим
dF = — SdT + onden;
(1.5.4)
dG = — SdT — eijdaij.
(1.5.5)
Так как dU, dF и dG — полные дифференциалы, то
dU _ „dU _
as “ 1 ’deti " а*”
(1.5.6)
dFQ dF
dT ~deu ~ °l”
(1.5.7)
dG _Q dG _
dT ~doa -£"‘
(1.5.8)
Напомним физический смысл введенных термодинамических потенциалов. Как видно из уравнений (1.5.3) и (1.5.4), при изотермическом процессе ЦТ = 0) элементарная работа деформации аЦгц совершается за счет возрастания свободной энергии подобно тому, как при адиабатическом процессе (dS = 0) эта работа происходит за счет возрастания внутренней энергии.
Из уравнения (1.5.5) следует, что возрастание дополнительной работы деформации e^do^ (1.2.25) при dT = 0 соответствует убыли термодинамического потенциала Гиббса.
Каждый термодинамический потенциал является функцией 7 из 14 термодинамических параметров а^, е^, Т, S (i, j = 1,2, 3): U = U (e£j,S), F = F (e£j, Т), G = G Ц£! , Т). Остальные параметры находятся с помощью частных производных (1.5.6) — (1.5.8). Если известен хотя бы один термодинамический потенциал, можно определить остальные.
Для установления соотношений между напряжениями и деформациями необходимо составить выражение для плотности свободной энергии F как функции компонентов тензора деформации ei;- и температуры Т.
Пусть тело в исходном недеформированном состоянии имеет температуру То = const. Предполагаем, что приращение температуры Т — То является таким, при котором чисто тепловое расширение т
^аЦТ (а*— истинный коэффициент линейного теплового расширено
ния) имеет величину одного порядка малости по сравнению с гу. Это предположение не противоречит основным положениям линейной теории упругости о малости деформаций н позволяет отказаться от ограничения—тр—- < 1, которое обычно принимается при изло- ' о
жении термодинамических основ термоупругости [5, 68, 91]. Вместе с тем оно требует учета механической и термической неоднородности,
обусловленной влиянием повышенной температуры. В связи с указанным разлагаем функцию F в ряд Тейлора только по степеням £tj с коэффициентами, зависящими от Т.
В качестве независимых термодинамических параметров вместо компонентов тензора деформации целесообразно ввести первые два его инварианта: Л = гкк, Ц = &^ц-
Таким образом, ограничиваясь в разложении F членами не выше второго порядка малости, получаем
F (Л, /2, Т) = F (О, О, Т) + _^1212Л + ^нмлх и + U1 ।(/У о
(159)
Применяя формулы (1.5.7), находим
S^, /2, 7) =S^, /2, 7) =др (0, 0. 7) д^Р (0, 0, 7) , д2Р (0, 0, 7) ,
S^, /2, 7) =
S^, /2, 7) =
дТдТд^ 11 дТд!г 2
(1.5.10)(1.5.10)1 537 (0, 0, 7) 2.
(1.5.10)
(1.5.10)
2 дТд/^ Ь
57(0, 0, 7) „ . о 57(0,0,7). 537(0, 0, 7)„.. _ ...
(Г;/ =6ii + 2ец +6кАь (1.5.11)
5 s 5
при этом принимаем во внимание, что дт— = оц = 2е(-,- -st- , 01 £01^
где 6i;- — символ Кронекера.
Определяем функцию F (0, 0, 7) через удельную объемную теплоемкость при отсутствии деформации се=о- Определяя эту величину по известной из термодинамики формуле и учитывая выражение (1.5.10), находим
С п =т 527(0,0,7)
СЕ_° / ( дТ 1Е=01 дт2 ,
или т т
F(0, 0, 7) = — ^dT ^^^dT;(1.5.12)
То Т„
при этом принимаем во внимание следующие условия:
S = 0 и 7 = 0 при ео = 0 и 7 = 70.(1.5.13)
Вводя далее обозначения
5=7 (0,0-7)57(0,0,7)
^—дГг—(L5-14)
и полагая в соотношениях (1.5.11) i = j = к, определяем при 6„= 3
с _1о 57(0, 0. 7) 1с
Ekk ЗХ + 2ц [°**357^(1.5.15)
При акк = 0 выражение (1.5.15), очевидно, представляет собой относительное изменение единицы объема при свободном тепловом т
пп Г3 dF (0, 0, 7)
расширении. Следовательно, 3 1 а*аТ =-, „—— ,
,1Orv ।О* 1
о
где а* — истинный коэффициент линейного теплового расширения. Отсюда
^ML = -(ЗХ + 2ц)аг(Т-70),(1.5.16)
где аг—средний коэффициент линейного теплового расширения в интервале температуры (70, 7), определяемый выражением
т
f <x*d7.(1.5.17)
7*0
Подставляя величины (1.5.12), (1.5.14) и (1.5.16) в выражения (1.5.9), (1.5.10) и соотношения (1.5.11), (1.5.15), получаем т т
F = -^ е^ + №iEH — (ЗА + 2ц) ат (Т — То) ew — | dT ^ т. т,
(1.5.18)
S = --^^^k-^r Mi + 4f [(ЗХ + 2ц) аг (Г - Т^ гкк +т
+ \^f~dT;(1.5.19)
7"о
о,/ = 2це,/ + [^-еАА —• (ЗХ -[- 2ц) «г (7 — 7 0)] д,/,(1.5.20)
&кк = -^- + 3^(7 — Т„).(1.5.21)
Здесь
К = Х + -|-ц,(1.5.22)
где X и ц — коэффициенты Ляме при изотермической деформации, а К — изотермический модуль объемного расширения.
Внося выражение (1.5.21) для гкк в соотношения (1.5.20) и определяя е£/-, находим соотношение между деформациями и напряжениями в виде
е,7= — -Е^-^~-6иА-^ткТ-Т6^и,(1.5.23)
где изотермические модуль упругости Е и коэффициент Пуассона v связаны с изотермическими коэффициентами Ляме следующими зависимостями:
^ = (1 +v)(l-2v) ’ ^ = 2(1 +v) • (1.5.24)
Из соотношений (1.5.23) видно, что тензор полной деформации еу в каждой точке упругого тела складывается из двух частей:
тензора деформации
е,/ = -L К1 + v) оц — vGkk8n],(1.5.25)
возникающей от действия как внешних сил, так и напряжений, которые необходимо приложить для обеспечения сплошности тела при его неравномерном нагреве; компоненты этого тензора связаны с компонентами тензора напряжения обычными соотношениями, вытекающими из обобщенного закона Гука;
шарового тензора деформации
е;/ = ат<Г — Т^бц,(1.5.26)
являющейся чисто тепловым расширением упругого тела при повышении его температуры на Т — То; эта деформация для термически изотропного тела одинакова во всех направлениях.
Принимая во внимание выражение (1.5.18) и соотношения (1.5.21) и (1.5.23), по формуле (1.5.2) находим плотность термодинамического потенциала Гиббса
G =Ц4 Сцац J- _L_ q^ _ аг (7 _ 7о) Окк _
т т
- 2ТГ^) ^ ^ - Т^ ЦаТ\ ^ dT’(1 -5'27)
Т„
а затем с помощью первой формулы (1.5.8) устанавливаем связь между удельной объемной теплоемкостью при отсутствии напряжений са=о и удельной объемной теплоемкостью при отсутствии деформаций сЕ=о:
_ as \_ д^а \_
со=0 1 дт )о=01 ( ал Д=о
= 4 Т^ (^ - т^ i(1 -5-28)
Для твердого тела величину со=0 опытным путем более удобно определять, чем сЕ_0.
Применяя формулы (1.5.1), (1.5.18) и (1.5.19), находим плотность внутренней энергии
U = Тг — Т ДГ/ Ем + г — Т
— [(3?. + 2р) аг (Т — То) —- Т-4 [(ЗХ + 2р.) аг (Т — То)]) е^ +
-Уст(Г-Т^(1.5.29)
где ст— средняя удельная теплоемкость при отсутствии деформаций в интервале температуры (То, 7),
т
ст = т 1 т С cE=QdT.(1.5.30)
То
Зная плотность энтропии S и подставляя в уравнение (1.4.4) вместо плотности теплового потока qt его выражение (1.4.5), находим обобщенное уравнение теплопроводности
(Х^ТД,; -г ^о —- TS,(Х^ТД,; -г ^о —- TS,(1.5.31)(1.5.31)
(Х^ТД,; -г ^о —- TS,
(Х^ТД,; -г ^о —- TS,
(1.5.31)
(1.5.31)
где S определяется выражением (1.5.19).
Случай малого термического возмущения. Адиабатическая деформация
77
При малом термическом возмущении, когда —=—- < 1, упругие о
коэффициенты X, р, термические коэффициенты ат, Xq и удельные теплоемкости с0=о и сЕ=0 можно считать не зависящими от температуры; вместо этих теплоемкостей можно рассматривать удельную теплоемкость соответственно при постоянном тензоре напряжения со и при постоянном тензоре деформации се-В этом случае на основании формулы (1.5.28)
<>Ео&-Т
са — сЕ = -j ■_ 2v = 3 (37 + 2р) а?тт,(1.6.1)
а выражения (1.5.19) и (1.5.29) и уравнение (1.5.31) принимают вид
S = (ЗХ + 2р) areftft + сЕ In;(1.6.2)
1 о
и = "ТЩ Екк + У^Ц^и т (ЗХ + 2р) а.тТqS-kk Т Се(Т — Т0); (1.6.3)
XJ.H + ш0 = cj + (ЗХ + 2р)ат-Т0Ейй. (1.6.4) Здесь линеаризуем второй член в правой части уравнения (1.6.4), полагая Т То.
Учитывая равенство (1.6.1) при Т = 70, уравнение теплопроводности (1.6.4) можно представить в виде
^Тд^w, = cET-v - С°"^- ^к-(1-6.5)
В отличие от классического уравнения теплопроводности уравнение (1.6.4) или (1.6. 5) содержит член, учитывающий эффект объемного расширения. Впервые такое уравнение получено Дюамелем [80], но без строгого термодинамического обоснования.
Совместно явления теплопроводности и упругости в более общей постановке рассмотрел известный русский физик Н. А. Умов [641. Вывод связанного уравнения теплопроводности методами термодинамики содержится также в работах [5, 31, 681.
Рассмотрим адиабатическую деформацию, при которой плотность энтропииS сохраняется постоянной. Приравнивая в равенстве (1.6.2) плотность энтропииЗ постоянной, которая на основании условия (1.5.13) равна нулю, определяем
Т = Ту ехрТ = Ту ехр(ЗХ + 2 ц) aT£kk(ЗХ + 2 ц) aT£kk
Т = Ту ехр
Т = Ту ехр
(ЗХ + 2 ц) aT£kk
(ЗХ + 2 ц) aT£kk
или
•••}tV (1.6.6)•••}tV (1.6.6)( (ЗХ + 2ц) атекк (ЗХ + 2ц)2 ^8^
•••}tV (1.6.6)
•••}tV (1.6.6)
7 о — i;I—т.
Подставляя выражение (1.6.6) в соотношения (1.5.20) и (1.6.3), с точностью до величин второго порядка малости находим в случае адиабатической деформации соотношения между напряжениями и деформациями
ещ — 7^s^kk^ij -р 2ре,уещ — 7^s^kk^ij -р 2ре,у(1.6.7)(1.6.7)
ещ — 7^s^kk^ij -р 2ре,у
ещ — 7^s^kk^ij -р 2ре,у
(1.6.7)
(1.6.7)
(1.6.8)(1.6.8)и плотность внутренней энергии
(1.6.8)
(1.6.8)
U = —2~ £кк + ре,/8,/,
где Х$ — адиабатический коэффициент Ляме, связанный с изотермическим коэффициентом Ляме X по формуле
(ЗХ + г^а^As — А Н(ЗХ + г^а^As — А Н(1.6.9)(1.6.9)
(ЗХ + г^а^
As — А Н
(ЗХ + г^а^
As — А Н
(1.6.9)
(1.6.9)
Заметим, что второй коэффициент Ляме р при адиабатической деформации не изменяется.
Постановка задачи термоупругости
В общем случае постановка задачи термоупругости заключается в следующем.
Необходимо при заданных механических и тепловых воздействиях определить 16 функций координат хк и времени I; шесть компонентов тензора напряжения сщ, шесть компонентов тензора деформации е^-, три компонента вектора перемещения ut и температуру Т, удовлетворяющих: трем уравнениям движения (1.2.20); шести соотношениям между напряжениями и деформациями (1.5.20) или (1.5.23); шести соотношениям между деформациями и перемещениями (1.2.2); уравнению теплопроводности (1.5.31), при определенных начальных и граничных условиях.
Начальные условия обычно задаются в виде распределений компонентов вектора перемещения иь их скоростей гц и температуры Т во всей области V упругого тела:
и1 = §Лхк\ Щ=^(хк\ Т = Цхк) при / = 0. (1.7.1) Здесь и дальше обозначения^ (х^, ht (xk),f (х^ означают функции всех координат хк (k = 1, 2, 3) в рассматриваемой области.
Граничные условия на поверхности Q упругого тела, ограничивающей его объем V, складываются из механических и тепловых условий.
Механические граничные условия задаются либо в перемещениях
Ut = Si Vх к' О ПРИ t > 0, (1.7.2) либо в напряжениях
оцп,; = fi(xk, /) при t > 0, (1.7.3) где Д — компоненты вектора поверхностной силы; п,— компоненты единичного вектора внешней нормали к поверхности Q.
В качестве теплового граничного условия применяется одно из граничных условий теории теплопроводности (глава третья). Механические и тепловые граничные условия могут быть также смешанными. На одной части поверхности механические граничные условия могут быть заданы в перемещениях (1.7.2), а на другой — в напряжениях (1.7.3). Тепловое граничное условие на одной части поверхности тела задается, например, температурой (3.2.7), а на другой — законом конвективного теплообмена с окружающей средой (3.2.11).
Система уравнений (1.2.20), (1.5.20) или (1.5.23), (1.2.2) и (1.5.31) при указанных начальных граничных условиях описывает связанную нелинейную задачу термоупругости.
ту
При —=г-9 <^С 1 значения упругих и термических коэффициентов и удельных теплоемкостей предполагаются постоянными, вместо уравнения (1.5.31) применяется уравнение теплопроводности (1.6.4), и связанная задача термоупругости становится линейной.
В работе [98] доказывается, что для области V, свободной от объемных сил и источников тепла, решение системы уравнений (1.2.20), (1.5.20), (1.2.2), (1.6.4) при начальных и граничных условиях, заданных через перемещения и температуру, является единственным. Это доказательство можно обобщить и на другие механические и тепловые воздействия и граничные условия.
Составим для этой задачи уравнения движения в перемещениях. Выражая в уравнениях (1.2.20) напряжения через деформации по формуле (1.5.20) и учитывая, что члены, содержащие екк и Т, сохраняются только при i = j, получаем
2це</ / + ^кк,; + Ft — (ЗХ + 2р) «г (Т — T0Yi — pu( = 0. (1.7.4)
В этом уравнении деформации заменяем перемещениями по формуле (1.2.2). Заменяя / немым индексом к и учитывая, что и^ = = ufe,ki, находим
\Ш;,кк + (X + ц)Uk,ki + Ft — (ЗХ + 2р)аг(Т — Т^,; — ри( = 0. (1.7.5)
Три уравнения (1.7.5) совместно с четвертым уравнением (1.6.4) при определенных начальных и граничных условиях описывают изменение в пространстве и во времени поля деформации и температурного поля. Представим эти уравнения в векторной форме:
pV2u + (X + р) grad div и + F — (ЗХ + 2р) ar grad (Т — То) — — ри = 0,(1.7.6)
V2T +— — т —, г ° div и = 0,(1.7.7)
где а = —- — коэффициент температуропроводности. се
Классификация задач термоупругости
Термоупругая деформация тела, возникающая от нестационарных механических и тепловых воздействий, сопровождается обратным эффектом — изменением его температурного поля.
Задача термоупругости, в которой учитывается указанный эффект, называется связанной динамической задачей термоупругости, или связанной задачей термоупругости. Постановка связанной задачи термоупругости рассмотрена в § 1.7. Система уравнений, описывающая эту задачу, содержит уравнение теплопроводности (1.5.31), которое в общем случае является нелинейным.
При —=—- <^ 1 уравнение теплопроводности линеаризуется и * о
линейная связанная задача термоупругости сводится к решению системы уравнений (1.7.6). и (1.7.7).
Деформация упругого тела от механических и тепловых воздействий вызывает малое изменение его температуры Т —- То, а поэтому учет эффекта связанности при обычных условиях теплообмена
имеет значение не столько для задач о тепловых напряжениях, сколько для задач о термоупругом рассеянии энергии.
В задачах, в которых термическое возмущение упругого тела вызывается одной только деформацией от нестационарных механических воздействий, процесс деформирования обычно предполагается адиабатическим. При такой деформации приращение температуры Т — То на основании уравнения (1.6.6) определяется выражением
т-т0т-т0(1.8.1)(1.8.1)С8С8(ЗХ 4* 2р) а.-рТ0 -* div и.
т-т0
т-т0
(1.8.1)
(1.8.1)
С8
С8
Подставляя это выражение в уравнение (1.7.6), получаем уравнение динамической задачи теории упругости в перемещениях
pV2u + (Х$ + р) grad div и + F — ри = 0,(1.8.2)
где Xs — адиабатический коэффициент Ляме, определяемый выражением (1.6.9).
Если механические воздействия отсутствуют, а тепловые воздействия медленно изменяются во времени, то в уравнении (1.7.6) можно пренебречь инерционным членом — ри.
Применяя при F = 0 и —ри = 0 оператор div к обеим частям этого уравнения и учитывая, что div grad = V2, после интегрирования получаем
(ЗХ + 2р) си.
div “ = X + 2p ' <Т - 7о) + <Р(1.8.3)
где <р (хА) — гармоническая функция координат хк.
Подставляя выражение (1.8.3) в уравнение (1.7.7), находим, уравнение теплопроводности в виде
V2T + -^ — -^-(1 + е) Т = О,(1.8.4)
где
(X + 2р) се •(1.8.5)
Задача термоупругости, описываемая уравнением (1.8.2) без инерционного члена—ри и уравнением (1.8.4), называется связанной квазистатической задачей термоупругости.
В случае адиабатического процесса деформирования определяем решение уравнения (1.8.2) для вектора перемещения и независимо от уравнения теплопроводности, а в случае медленного изменения тепловых воздействий находим решение уравнения теплопроводности (1.8.4) независимо от уравнения для вектора перемещения.
При резко нестационарных тепловых воздействиях в уравнении (1.7.6) при Е = 0 сохраняется член —ри, но при е <^( 1 в уравнении (1.7.7) не учитывается член механической связи^—div и.
Задача термоупругости, описываемая двумя уравнениями:
pV2u + (X + р) grad div и — (ЗХ + 2р) ar grad (Т — Тд) — ри = О,
(1.8.6)
V2T + ^-Т = 0,(1.8.7)
называется несвязанной динамической задачей термоупругости, или просто динамической задачей термоупругости.
При существенном приращении температуры Т — То коэффициенты X, р, ат в соотношениях (1.5.20) являются функциями Т, а следовательно, и функциями координат хк и времени 1. Помня об этом и выполняя преобразования, аналогичные проведенным в § 1.7, находим для такой задачи следующие уравнения движения в перемещениях:
ци,-,** -|- (X -}- ц) Uk,kt + М-.л (и,.* -}- u^.i) + ^,iUk,k —
- [(ЗХ + 2ц) ат (Т - То)]- р^ = 0.(1.8.8)
Вместо этих трех скалярных уравнений можно записать одно векторное в виде
ц\72и + (X + ц) grad div и +2 grad ц-Пе-|-grad X div и —
— grad [(ЗХ + 2ц) ат (Т — То)[ — ри = 0,(1.8.9)
где gradц•Пe—скалярное произведение тензора деформации ПЕ на вектор grad ц [28].
Если учесть зависимость X, от температуры, то уравнение теплопроводности становится нелинейным.
Задача термоупругости, в которой не учитываются член
(ЗХ 2ц) о
тdiv и в уравнении (1.7.7) и член—ри в уравнении
называется несвязанной к в а з и с т а т и ч е с к о й задачей термоупругости, или квазистатиче- ск ой задачей термоупругости.
При стационарном температурном поле задача термоупругости является статической.
ГЛАВА ВТОРАЯ
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ СТАТИЧЕСКОЙ И КВАЗИСТАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ
Постановка задачи
В этой главе рассматриваются основные уравнения, необходимые для изучения термоупругого напряженного состояния в случаях статической и квазистатической задач термоупругости.
Напомним, что под квазистатической задачей термоупругости понимается такая задача, в которой не учитываются эффект связанности температурного поля и поля деформаций, а также силы инерции, обусловленные нестационарным температурным полем. Статическая задача термоупругости отличается от квазистатической только тем, что в первом случае температурное поле является стационарным, а во втором—нестационарным. Так как в квазистатической задаче термоупругости тепловые напряжения в упругом теле в рассматриваемый момент времени определяются при известном температурном поле, то время t играет роль параметра.
Первый этап решения статической и квазистатической задач термоупругости заключается в определении температурного поля Т. Он сводится к решению уравнения (1.8.7) при определенных тепловых начальном и граничных условиях (глава третья). После этого определяется термоупругое напряженное состояние.
Задача заключается в определении 15 функций otj, ъц, и^ удовлетворяющих трем уравнениям равновесия (1.2.17), шести соотношениям между напряжениями и деформациями (1.5.20) или (1.5.23) и шести соотношениям между деформациями и перемещениями (1.2.2) при граничных условиях в перемещениях или в напряжениях.
При решении задач термоупругости в качестве основных неизвестных удобно принимать компоненты вектора перемещения ut или компоненты тензора напряжения а^. В соответствии с этим различают, как и в изотермической теории упругости, постановку задачи термоупругости в перемещениях, при которой раньше всех других неизвестных находятся неизвестные иь и постановку задачи термоупругости в напряжениях, когда решение задачи начинается с определения неизвестных ai;-. Во всех случаях, если это особо не оговаривается, упругие и термические коэффициенты предполагаются постоянными.
Представление общего решения задачи термоупругости дается в § 2.2 в предложенной П. Ф. Папковичем [51 ] форме, которая наиболее удобна, так как содержит функции, удовлетворящие сравнительно простым дифференциальным уравнениям, и имеет функциональный произвол, который можно эффективно использовать при удовлетворении граничных условий.
Постановка задачи термоупругости в напряжениях (§2.3) предусматривает кроме случая односвязной также и случай многосвязной области; при этом устанавливаются условия однозначности для перемещений и углов поворота.
Определение тепловых напряжений и перемещений в теле непосредственным интегрированием соответствующих дифференциальных уравнений при произвольных граничных условиях является сложной задачей. Поэтому большой интерес представляют вариационные принципы термоупругости (§ 2.4), с помощью которых могут быть разработаны приближенные методы решения задач термоупругости, аналогичные известным вариационным методам решения задач изотермической теории упругости [34]: методы, основанные на обобщенном на случай задачи термоупругости вариационном уравнении Лагранжа и выражениях, аппроксимирующих возможные перемещения, и методы, основанные на обобщенном на случай задачи термоупругости принципе минимума энергии деформации и выражениях, аппроксимирующих возможные напряжения.
Один из методов решения задачи термоупругости — метод В. М. Майзеля [41], основанный на обобщении теоремы о взаимности работ, рассматривается в § 2.5.
В конце этой главы (§ 2.6) приводятся уравнения задач термоупругости в цилиндрических и сферических координатах. Составленные уравнения равновесия в перемещениях в цилиндрических координатах учитывают механическую и термическую неоднородности.
Представление общего решения задачи термоупругости в перемещениях
Для постановки задачи термоупругости в перемещениях используется уравнение (1.7.6). Отбрасывая в нем инерционный член — ри, получаем основное уравнение рассматриваемой задачи:
pV2u + (X + р) grad div и + F — (ЗХ + 2р) ar grad (Т — То) = 0.
(2.2.1)
В этом уравнении функция Т — То предполагается известной из решения соответствующей задачи теплопроводности.
Граничные условия могут быть заданы в перемещениях
“< = St (xk) (2.2.2)
или в напряжениях
Gun-i = ft (хА).(2.2.3)
Условия (2.2.3) в напряжениях с помощью соотношений (1.5.20) и (1.2.2) можно представить также в перемещениях:
{Ц (“.,/ + “/,.) + \Хик,к — (ЗХ + 2ц) а^Т-Т0)] ад п, = /,• (х,). (2.2.4)
Общее решение уравнения (2.2.1) имеет вид
и = и* + u(F) + um,(2.2.5)
где и* — общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (2.2.1); ц№— частное решение неоднородного уравнения (2.2.1) при Т = То; и(Т)—частное решение его при F = 0. Общее решение однородного уравнения и* найдено П. Ф. Пап- ковичем [49—51 ] в следующем виде:
и* = 4 (1 — v) В — grad (В • г + So),(2.2.6)
где г — радиус-вектор; В и Во — гармонические вектор и скаляр, т. е.
V2B = 0, V2B0 = 0.(2.2.7)
Заметим, что без ограничения общности гармонический скаляр Во в решении (2.2.6) может быть опущен; однако наличие его в ряде случаев упрощает решение задачи.
Если объемные силы имеют потенциал П:
F = grad П,(2.2.8)
то частное решение u^F) находится в теории упругости [38, 51J в виде
и№ = gradФ(F),(2.2.9)
где скалярная функция <D(F) удовлетворяет уравнению Пуассона
(2.2.10)
Сравнение (2.2.8) с температурным членом уравнения (2.2.1) позволяет наити частное решение и 7 в таком же виде:
u(r) = gradO,(2.2.11)
где скалярная функция Ф является решением уравнения Пуассона
V2® = "TW" ^ - 7») = 4^- “г (Г - 7«). (2-2.12)
Это частное решение получено одновременно П. Ф. Папковичем [50] и Гудьером [82]. Функция Ф носит название термоупругого потенциала перемещений.
В работах Мелана и Паркуса [42], Новацкого [46] и др. определение термоупругого потенциала перемещений Ф является основным этапом решения задач термоупругости. В этих работах принят следующий метод решения отдельных статических и квазистатиче- ских задач термоупругости.
Сначала при известном температурном поле находится частное решение уравнения (2.2.12) для термоупругого потенциала перемещений, первые производные которого по координатам определяют соответствующие частные решения для перемещений. Далее вычисляются отвечающие частным решениям для перемещений тепловые напряжения, которые, вообще говоря, не удовлетворяют заданным условиям на поверхности тела. Затем на это решение накладывается решение соответствующей краевой задачи теории упругости, содержащее необходимое число постоянных интегрирования для удовлетворения граничных условий.
Рассмотренные постановка и представление решения задачи термоупругости в перемещениях справедливы как для односвязных, так и для многосвязных тел; при этом перемещения должны быть однозначными функциями, имеющими непрерывные производные до второго порядка включительно.
В заключение отметим аналогию квазистатической задачи термоупругости и изотермической теории упругости с объемными и поверхностными силами.
Сравнивая уравнения (2.2.1) и (2.2.4) с соответствующими уравнениями изотермической теории упругости (Т = Тд), можно сделать вывод, что постановка задачи термоупругости в перемещениях сводится к постановке задачи изотермической теории упругости, если рассматривать в качестве вектора объемной силы F величину —(ЗХ+2р) argrad (Т— То), а к заданным внешним поверхностным силам f; добавить поверхностные силы (ЗХ + 2р.) ат (Т — Т^п^
Указанная аналогия используется при исследовании ряда задач о термоупругих напряжениях в книге С. П. Тимошенко [60] и др.
Постановка задачи термоупругости в напряжениях
При решении задач термоупругости, в которых граничные условия заданы в напряжениях (2.2.3), удобно пользоваться системой уравнений в напряжениях. Они получаются, если из уравнений (1.2.17) и соотношений (1.5.20) и (1.2.2) исключить деформации и перемещения, выбрав в качестве неизвестных шесть компонентов тензора напряжения Оц.
Рассмотрим сначала постановку задачи термоупругости в напряжениях для односвязного тела.
Уравнения равновесия (1.2.17) и граничные условия (2.2.3) уже представлены в напряжениях. Деформации при заданном температурном поле определяются через напряжения с помощью соотношений (1.5.23). Для полной формулировки задачи термоупругости в напряжениях необходимо из соотношений (1.2.2) по известным компонентам тензора деформации е1;- определить компоненты вектора перемещения ut. Эти соотношения образуют систему шести неоднородных уравнений в частных производных относительно трех неизвестных функций ир, их свободные члены ei;- являются однозначными функциями координат хк, имеющими непрерывные производные до второго порядка.
Для того чтобы можно было определить перемещения и^ необходимо деформации Ei;- подчинить некоторым дополнительным условиям. Рассмотрим эти условия.
Равенства (1-2.1) на основании (1.2.6) могут быть представлены в виде
Ui.i = e,v + ejik^k.(2.3.1)
Функцию Ut можно определить по трем ее частным производным Uij только в том случае, если выполняются следующие условия интегрируемости уравнения (2.3.1):
брт/(б;/4~ ^jik^k),m = ^pmjEij.tn 4* ^pmi^jik^k,m = 0-(2.3.2)
Используя тождество (1.1.5), второй член правой части равенства (2.3.2) преобразуем к виду
брт^рк^к.т ~ $pi6mfc ^pk^mi) ^к,т = ^pi^k.k ^p.i*(2.3.3)
Подставляя выражение (2.3.3) в условия (2.3.2) и учитывая, что дивергенция вектора поворота to^.k равна нулю, находим
®p,i — ^pmj^ij.m-(2.3.4)
Задача сводится к отысканию компонента вектора поворота <ор по трем его заданным производным top.,. Используя теперь условия интегрируемости уравнения (2.3.4), получаем
^qni^pmj^ij^mn = 0.(2.3.5)
Формула (2.3.5) содержит два свободных индекса р и q и симметрична относительно этих индексов; следовательно, она определяет шесть уравнений, которые называются уравнениями совместности деформаций.
Полагая р = 3, q = 3 и р = 2, q = 3, получаем из шести уравнений совместности деформаций два типичных уравнения:
611,22 + 622,11 = 2ei2,12;(2.3.6)
611,23 + 623,11 = 612,13 + 613,12-(2.3.7)
Остальные четыре уравнения получаются циклической перестановкой индексов.
При выполнении условий (2.3.5) величины
(2.3.8)(2.3.8)dut = Uijdxj,dmk = tofe.idxt
(2.3.8)
(2.3.8)
являются полными дифференциалами.
Используя выражения (2.3.1), (2.3.4) соответственно для производных Ujj, акл и интегрируя равенства (2.3.8), определяем компоненты векторов перемещения и£ и поворота »Л в точке Р:
рр
и£ = и°£ + j ead^j + ( eiiktokdV,(2.3.9)
р.р0
р
®к = ®к 4" CkinnEln.md^,(2.3.10)
Ро
где интегралы берутся по любому пути между фиксированной точкой Ро (х?, х®, х°) и точкой Р (х^ х2, х3) в рассматриваемой области V; li, |2> £з — координаты текущей точки на пути интегрирования, а постоянные интегрирования и® и со® — компоненты векторов перемещения и поворота в точке Ро.
Интегрируя по частям второй интеграл в правой части уравнения (2.3.9)
рр
f eUktokd^ = — e,ikakd (х, — ^) = — ejik (х° — х,) со® 4-
РоРо
р
+ |' вцк (Xj — ^z) dmkРо
и принимая во внимание второе уравнение (2.3.8) и равенство (2.3.4), представляем уравнение (2.3.9) в виде
р
и£ =и, — ejik(х° — xz) cot 4- j [ezz 4- ецкектп (х,- — ^) ещ.тА d^. (2.3.11) Po
Для односвязной области интегралы (2.3.10) и (2.3.11) не зависят от пути интегрирования и, следовательно, представляют собой однозначные функции; при этом перемещения должны иметь непрерывные производные до третьего порядка включительно.
При отсутствии деформации, т. е. при eiZ = 0, формула (2.3.11) определяет малые перемещения тела в точке Р относительно точки Ро как твердого целого:
щ = и° — ецк (х° — xz) tot.(2.3.12)
Составим уравнения совместности деформаций в напряжениях. Переписываем формулу (2.3.5) в виде
Eii^mnEim,inEnj,mi 4" Епт^£ = 0.(2.3.13)
Полагая т = п, получаем
Sij.nn^in,inSnj.ni “E Snnji = 0.(2.3.14)
Выражая в уравнении (2.3.14) деформации через напряжения по формуле (1.5.23) и заменяя затем величины Oinjn и oni,ai на основании уравнения (1.2.17) величинами —F;,; и —Ец, находим
(1 + v) оц,пп — чакк,пп6и + опп,ц + (1 + v) (Ji j + Fj,i) +
+ EaT ЦТ - To),„„ 6ц + (Т - Т0\ц\ = 0.(2.3.15)
При i = j из уравнения (2.3.15) получаем соотношение
(1 - v) окк.пп + (1 + v) Fi.i + ЧЕат (Т - Т0\пп = 0. (2.3.16)
При выводе этого соотношения полагаем oli]M = опп,ц = окк,пП1 (Т — Т^,и= (Т — T0)jnn. Подставляя выражение для окк,пп, определяемое из соотношения (2.3.16), в уравнение (2.3.15), находим уравнения совместности деформаций в напряжениях:
(1 + v) Оц.пп + Опп,а НЕп.п^ц + (1 + v) Ji,i + Fj,i) +
+ Еат [-1^- (Т - Т^, + (Т - То).о] = 0.(2.3.17)
Полагая / = / = 1 и i = 1, / = 2, получаем типичные уравнения:
(1 + v) Оц.пп + Onn.ll Нj j^ V 1(2 — v) Fl,l + v(T2,2 + Тз,з)] +
+ £ar[-l±2L(T - Т0\пп + (Т - Т0),п] = 0;(2.3.18)
(1 + v) Oi2,nn + Опп, 12 + (1 + v) (Fi,2 + Егд) + Еат (Т — Т0)д2 = 0.
(2.3.19)
Остальные четыре уравнения получаются посредством циклической перестановки индексов.
Итак, в постановке задачи в напряжениях решение сводится к нахождению шести функций otj, удовлетворяющих трем уравнениям равновесия (1.2.17), шести уравнениям совместности деформаций в напряжениях (2.3.17) и трем граничным условиям (2.2.3). Зная напряжения, с помощью соотношений (1.5.23) определяем деформации, а затем из уравнения (2.3.11) — перемещения.
Если рассматриваемая область многосвязна, то функции ut и <йк, определяемые уравнениями (2.3.11) и (2.3.10), могут оказаться многозначными.
Дополнительные условия однозначности для функций и£ и <йк устанавливаются на основании свойств функции, определяемой по ее полному дифференциалу в многосвязной области [45].
Рассмотрим (N + 1)-связную область, которую мысленно посредством N разрезов (внутренних поверхностей) можно превратить в односвязную (рис. 3).
Для однозначности функций ut и №к необходимо и достаточно, чтобы наряду с условиями (2.3.17) выполнялись условия равенства нулю интегралов в уравнениях (2.3.11) и (2.3.10), взятых по каж
дому замкнутому контуру LK (К = 1,..., Щ, охватывающему только одну К-ю полость.
Учитывая, что в уравнении (2.3.11) величина х, | ejikekmn6ln,md'E,l равна нулю
Ч
на основании условий однозначности функции <йк, указанные условия однозначности функций ^ и юк можно представить в виде
f (.^il^Цк£ктп^/^1п,т) d^i = 0
ч
(К-1К);<''20’
.( ^««Й.Л = о (К = 1К).(2.3-21)
ч
1 + VЕ1 + VЕЭти условия с помощью соотношений (1.5.23) записываются в напряжениях следующим образом:
1 + V
Е
1 + V
Е
где Тоо и Тп (и = 1, 2, 3) — постоянные, не вызывает тепловых напряжений. Действительно, при Д- = О, /< = 0 и температурном поле (2.3.24) решение а^- = 0 удовлетворяет уравнениям равновесия (1.2.17), граничным условиям (2.2.3) и уравнениям совместности деформаций.
В случае многосвязного тела удовлетворяются также условия однозначности (2.3.22) и (2.3.23); при подстановке решения а0- = О и выражения (2.3.24) и использовании тождества (1.1.5) эти условия переходят в следующие:
Too f d^ + f Т£А - f T^Av + J T^At = 0,Lk LkLkLk
ekmiFmd£z = 0,
Lk
t. e. превращаются в тождества.
Вариационные принципы термоупругости
Во многих случаях для определения тепловых напряжений эффективно применение вариационных методов. Рассмотрим в связи с этим вариационные принципы термоупругости [83], соответствующие вариационным принципам изотермической теории упругости, предполагая, что тело находится под действием поверхностных /£ и объемных Ft сил при температурном поле Т — То.
Обобщение вариационного уравнения Лагранжа на случай задачи термоупругости. Сообщим телу возможные перемещения б«;, допускаемые связями и удовлетворяющие геометрическим граничным условиям вида (2.2.2).
При заданных перемещениях удовлетворяются только уравнения совместности деформаций (2.3.5); уравнения равновесия (1.2.17) для напряжений, соответствующих возможным перемещениям, не удовлетворяются. На основании уравнений равновесия для действительно существующих в теле напряжений atj справедливо равенство
(2.4.1)
где интегрирование распространяется по всему объему тела V.
Применяя формулу Остроградского — Гаусса (1.2.12), получаем
j О1,п,би(с1й + FAtdV — j Оцбе^У = 0,(2.4.2)
qvv
где Q — замкнутая поверхность, ограничивающая объем V.
Учитывая вторую формулу (1.5.7) и условия на поверхности (1.2.9), а также принимая во внимание, что при возможных перемещениях температурное поле предполагается неизменным, находим
6^FdV — f F^u^V — (/£6иД2 = О, (2.4.3) VV2
где F — плотность свободной энергии, определяемая выражением (1.5.18).
Уравнение (2.4.3) обобщает известное начало возможных перемещений Лагранжа для случая упругого равновесия [34]; приращение плотности энергии деформации
6Г =(2.4.4)
заменяется приращением плотности свободной энергии 6F.
Обобщение вариационной формулы Кастильяио на случай задачи термоупругости. Подвергнем напряженное состояние рассматриваемого тела такой произвольной вариации, при которой новые компоненты тензора напряжения ал + бо^- удовлетворяли бы уравнениям равновесия (1.2.17), т. е.
6олл = 0.(2.4.5)
При такой вариации напряженного состояния тела должны быть удовлетворены граничные условия (2.2.3). Для удовлетворения этих граничных условий необходимо вариации внешних поверхностных сил 6/, подчинить условию
б/, = 6ацП).(2.4.6)
Напряженному состоянию, действительно существующему в теле, соответствуют деформации е£/, определяемые по второй формуле (1.5.8), в которой плотность термодинамического потенциала Гиббса G выражается формулой (1.5.27).
На основании формулы (1.5.8) можно записать следующее равенство:
f ।8^ + 6о^ = °"<2-47)
V
В этом равенстве с помощью соотношений (1.2.2) выражаем компоненты тензора деформации ei;- через компоненты вектора перемещения иь азатем применяем формулу Остроградского— Гаусса (1.2.12). Замечая при этом, что индексы i и / расположены симметрично, находим
У и^ацп^й — У u^Oij.jdV + J 6GdV = 0.(2.4.8)
2QI/
На основании равенств (2.4.5) и (2.4.6) окончательно получаем
6 f GdV + J иД( = 0,(2.4.9)
Vо
где поверхностный интеграл распространяется на всю поверхность тела Q. Второй интеграл в уравнении (2.4.9) — работа, произведенная приращениями внешних поверхностных сил 6ft на действительно существующих перемещениях и^ Это уравнение обобщает известную вариационную формулу Кастильяно [34]; приращение плотности энергии деформации
^ = ецбоц(2.4.10)
заменяется приращением плотности термодинамического потенциала Гиббса 6G, взятой со знаком «минус».
Если при вариации напряженного состояния выполняется условие о неизменяемости внешних поверхностных сил (6/) = 0), то
6^GdV = 0.(2.4.11}
v
Эта формула обобщает известный принцип минимума энергии деформации.
§ 2,5, Обобщение теоремы о взаимности работ на задачу термоупругости
Рассмотрим два напряженных состояния упругого тела, из которых первое характеризуется напряжениями oti, деформациями е^- и перемещениями ut, возникающими под действием внешних сил Ft и fi и температурного поля Т, а второе — напряжениями о,/, деформациями е,/ и перемещениями щ, возникающими под действием внешних сил Ft, fi и температурного поля Т.
Работа внешних сил первого состояния на перемещениях второго состояния определяется формулой
^12 = J FiU-dV + fiUidQ.(2.5.1)
Заменяя поверхностные силы ft их выражениями (1.2.9) через напряжения о(/, преобразуя поверхностный интеграл по формуле Остроградского— Гаусса в объемный и учитывая уравнения равновесия. (1.2.17), находим
L12 = [ F^idV + J (о,jdV =VV
= J (°H,i + Fi) u-dV + J OijU-jdV = | оце'ц4У. (2.5.2) VVV
Аналогичным образом можно получить выражение для работы сил второго состояния на перемещениях первого состояния:
L21 = Filley + f fiU.:d^l = f o'ijEijdV. (2.5.3) vav
Выражая в равенствах (2.5.2.) и (2.5.3) с помощью соотношений (1.5.20) и (1.5.23) напряжения через деформации или, наоборот, деформации через напряжения и сравнивая L12 с L21, приходим к следующей формуле:
^12 — 72i = (ЗХ + 2р) ат $ [(Г — 70) е** — (7 — 70) е^] dV =
= ат J [(7' - 70) окк -(Т- 70) о^] dV. (2.5.4) v
Полученная формула обобщает известную теорему о взаимности работ на случай статической и квазистатической задач термоупругости. Это обобщение принадлежит В. М. Майзелю [41 ].
Воспользуемся теперь формулой (2.5.4) для определения перемещений, возникающих в определенной точке тела при неравномерном нагреве. Для этого предположим, что Ft = 0, ff = 0, Т' = 70, а система внешних сил Ft и ft сводится к сосредоточенной единичной силе, приложенной в точке хт и направленной параллельно оси xt. Тогда £12 = 0 и L21 = ut.
Пусть при действии такой единичной силы возникают напряжения а*/ (хт, ^ и деформации е’/ (хт, Е-J в точке Ет области V упругого тела.
В этом случае из формулы (2.5.4) следует формула В. М. Майзеля для перемещения iq в точке хт, обусловленного температурным полем Т:
Ui (xm)= (ЗХ + 2ц) ат f (7 — 70) е^ (xm, gm) dV=V
= ат (Т — T^QkkiXm, ^dV,(2.5.5)
v
где окк (xm, £m) и e*fe (xm, %m ) — суммы диагональных компонентов (первые инварианты) тензора напряжения o*j и тензора деформации е,/.
Формулы (2.5.5) допускают обобщение, когда модуль упругости Е и коэффициент Пуассона v или коэффициенты Ляме X и ц зависят от температуры и, следовательно, являются заданными функциями координат; в этом случае они имеют вид
Ui (Xm) = J (ЗХ + 2р) ат (Т — 70) е^ (xm, |m) dV =
V
= J ат (7 - 70) oL (xm, U dV.(2.5.6)
v
Здесь под акк {xm, £т) и е^ (xm, Ет) следует понимать суммы диагональных компонентов тензора напряжения сц и тензора деформа-
ции в,/, соответствующих действию единичной силы на упругое тело, для которого упругие коэффициенты (Е, v или X, у) изменяются в зависимости от координат по тому же закону, что и при наличии температурного поля Т.
Таким образом, метод решения задачи термоупругости, основанный на теореме взаимности работ, заключается в том, что определение тепловых напряжений, деформаций и перемещений сводится к задаче изотермической теории упругости о напряженном состоянии упругого тела под действием единичной сосредоточенной силы.
При осесимметричной деформации задача термоупругости сводится к задаче о напряженном состоянии равномерно нагретого тела, находящегося под действием сосредоточенных сил, равномерно распределенных вдоль окружности. Применение этого метода рассматривается в § 4.6.
Уравнения термоупругости в цилиндрических и сферических координатах
Основные уравнения статической и квазистатической задач термоупругости рассматривались выше в декартовых координатах. Одна
ко эти задачи для тел вращения, ограниченных цилиндрическими
и сферическими поверхностями, удобно рассматривать в цилиндрических и сферических координатах. Рассмотрим основные уравнения задач термоупругости в этих координатах. Все формулы приведем в развернутом виде, не применяя индексного обозначения и правила суммирования по повторяющимся индексам.
Цилиндрические координаты.
В цилиндрических координатах положение точки Р определяется тремя координатами: г, 6, z (рис. 4). Координатными поверх
ностями являются цилиндры г =
= const, полуплоскости 6 =
= const и плоскости z = const. Декартовы координаты связаны с
цилиндрическими соотношениями xv = г cos 6, х2 = г sin 6, х3 = z.
Введем в рассмотрение трехгранник единичных взаимно ортогональных векторов, образующих правую систему: ег — вектор радиуса, ее — вектор касательной к окружности, ez — вектор обра-
зующей. Каждый из единичных векторов направлен в сторону возрастания соответствующей координаты (рис. 4).
Из векторного анализа известно, что основные векторные операции в цилиндрических координатах можно выразить так:
gradt-Z^ + ^g-L.+(26.1)
+<262>
В цилиндрических координатах соотношения между компонентами тензора деформации ег, ее, ez, еге = еег, erZ = ezr, eze = eez и компонентами вектора перемещения ur, uq, иг имеют вид
1 / du6 1 duz ' е2е - еег — 2 ( dz + г • де
Уравнения равновесия принимают такой вид:
где аг, ое, а2, а,е = аег, orz = azr, aze = aez — компоненты тензора напряжения (рис. 5); Fr, Fg, Fz — компоненты вектора объемной силы F.
Соотношения между компонентами тензора напряжения и компонентами тензора деформации на основании (1.5.20) принимают вид
(2.6.7)(2.6.7)аг = 2рег + Xe6ft — (ЗХ + 2р) аг (Т — То);ае = 2ре6 + Хвкк — (ЗХ + 2р) аг(Т — То);az = 2pez + Xskk — (ЗХ +'2р) аг (Т — Т 0);
(2.6.7)
(2.6.7)
а,е = 2рег6, arz = 2perz, oz9 = 2^8^,
Рис. 5.Рис. 5.dur где бкк = ег+ 80 + ez = —^—Н 1 / дий \ да, + v№+Ur) + -df-
Рис. 5.
Рис. 5.
В соотношениях (2.6.7) коэффициенты Ляме X и р и коэффициент линейного теплового расширения ат являются в общем случае функциями координат.
Подставляя выражение для напряжений (2.6.7) в уравнения равновесия (2.6.6) и принимая во внимание соотношения (2.6.5), находим
№ + (х + нЬ^-р-^—Д№ + (х + нЬ^-р-^—Ддив , о др дО +' дгдив , о др дО +' дг1 др / 1 г ‘ дЭ \ г1 др / 1 г ‘ дЭ \ г
№ + (х + нЬ^-р-^—Д
№ + (х + нЬ^-р-^—Д
див , о др дО +' дг
див , о др дО +' дг
1 др / 1 г ‘ дЭ \ г
1 др / 1 г ‘ дЭ \ г
+ йкк -^ - j- [(ЗХ + 2р) ar (7 - То)] + Л = 0; (2.6.8)
pvr д0 Р r2 + r2 d6
. др / 1 dUr I д“6“6 1 i 2д“6 II
dr ( r " de + dr r / + r ‘ de ' r ■ de + r J+
dp / duQ 1duz \ , гккax
' дг \ dz ' rde / "T" rde
- 4- • ^- l(3X + 2ц) ат (T - T,)) + f e = 0;(2.6.9)
№ + (>. + !*) *л^ + -*- (4^ + ^) +
г г i \।‘ dr \ dr дг )
dp / d“e , 1 duA V c> dp duz ( n ax
■ de \ dz + r ‘ de / 1 2 дг ■ дг + ^^ дг
- A- l(3X + 2p) «т(Т - T0)l + Fz = 0.(2.6.10)
Сферические координаты. В сферических координатах положение точки Р определяется тремя координатами: г, ф, 9 (рис. 6).
Координатными поверхностями в сферической системе координат являются сферы г = const, круговые конусы ф = const и полуплоскости 9 = const.
Декартовы координаты связаны со сферическими соотношениями хг = г cos 9 sin ф, х2 = г sin 9 sin ф, х3 = гсозф.
Рис. 6.Рис. 7.Рис. 6.Рис. 7.
Рис. 6.Рис. 7.
Рис. 6.Рис. 7.
Вводя трехгранник единичных взаимно ортогональных векторов е,, еФ, ее (рис. 6), основные векторные операции в сферических координатах представляем в виде
, , дф ,1 дф ,§га(1ф = ег-^ + еф—- -^ + е0, , дф ,1 дф ,§га(1ф = ег-^ + еф—- -^ + е0diva = 4-г1diva = 4-г1д (г2аг)д7"д (г2аг)д7"rot а -= е,rot а -= е,1г sin ф11г sin ф1д (sin фОд,)дфд(а6$тф)д (sin фОд,)дфд(а6$тф)♦ Г 1?ф:V[ Г Sin ф♦ Г 1?ф:V[ Г Sin ф572ф =572ф =даг1"дёг1д /г2дг \даг1"дёг1д /г2дг \г sin ф [ дф д <га^ 7-дГ~ ] + *г sin ф [ дф д <га^ 7-дГ~ ] + *1г sin ф1г sin ф_jM" де Iа (™ф)дг1г sin ф1г sin ф_jM" де Iа (™ф)дгдф _ ■ "дёГ ’да6'' дедф _ ■ "дёГ ’да6'' де(2.6.11)(2.6.11);(2.6.12);(2.6.12)da, 1;(2.6.13) дф J v 'da, 1;(2.6.13) дф J v '1д / . дф-5—: • —г— Sin ф г1 sin фдф \ дф1д / . дф-5—: • —г— Sin ф г1 sin фдф \ дф
, , дф ,1 дф ,
§га(1ф = ег-^ + еф—- -^ + е0
, , дф ,1 дф ,
§га(1ф = ег-^ + еф—- -^ + е0
diva = 4-г1
diva = 4-г1
д (г2аг)
д7"
д (г2аг)
д7"
rot а -= е,
rot а -= е,
1
г sin ф
1
1
г sin ф
1
д (sin фОд,)дф
д(а6$тф)
д (sin фОд,)дф
д(а6$тф)
♦ Г 1
?ф:
V[ Г Sin ф
♦ Г 1
?ф:
V[ Г Sin ф
572ф =
572ф =
даг1
"дёг
1д /
г2дг \
даг1
"дёг
1д /
г2дг \
г sin ф [ дф д <га^ 7-
дГ~ ] + *
г sin ф [ дф д <га^ 7-
дГ~ ] + *
1
г sin ф
1
г sin ф
_jM" де Iа (™ф)дг
1
г sin ф
1
г sin ф
_jM" де Iа (™ф)дг
дф _ ■ "дёГ ’
да6
'' де
дф _ ■ "дёГ ’
да6
'' де
(2.6.11)
(2.6.11)
;(2.6.12)
;(2.6.12)
da, 1
;(2.6.13) дф J v '
da, 1
;(2.6.13) дф J v '
1д / . дф
-5—: • —г— Sin ф г1 sin фдф \ дф
1д / . дф
-5—: • —г— Sin ф г1 sin фдф \ дф
(2.6.14)(2.6.14)
(2.6.14)
(2.6.14)
соотношения между компонентами тензора деформации и компонен
тами вектора перемещения
уравнения равновесия
даг,1даге,1д<згч,
dr'rsinq)d6'г dф ~’—
2o^-2ej-o£+%2^=0.
(2.6.16)(2.6.16)дагф ,1д%9,1,
(2.6.16)
(2.6.16)
dr ' г sin <р 50' г 5ф '
, (^ф — cf0) ctg <р Н-ЗаГф , с п
Ii * ф — V,
дог61 дау, 1, do^ Ja^JJ^j^
dr'г sinq> 50' г дф'г
+ Fe = О,
где Fr, Fq,, Fe— компоненты вектора объемной силы F.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Основные способы теплообмена и методы решения задач теплопроводности
Температурное поле и поле деформации в твердом теле в общем случае взаимосвязаны. Однако при обычной теплопередаче, происходящей в неравномерно нагретом твердом теле за счет теплового воздействия как окружающей среды, так и внутренних источников тепла, влиянием деформаций тела на распределение в нем температуры можно пренебречь. Это позволяет изучать температурное поле в твердом теле, соответствующее определенным условиям теплопередачи, независимо от деформированного состояния тела.
В твердом теле перенос тепла осуществляется одной только теплопроводностью, имеющей молекулярно-атомный характер. Теплопередача на поверхности тела может происходить тремя способами: теплопроводностью, конвекцией и излучением.
Конвективный перенос тепла осуществляется движением среды (жидкости или газа), омывающей поверхность тела. Конвективный теплообмен возникает в условиях совместного протекания процессов конвективного переноса тепла и переноса тепла теплопроводностью. Перенос тепла излучением происходит между удаленными друг от друга телами посредством электромагнитных волн.
Уравнение теплопроводности, начальное и граничные условия рассматриваются в § 3.2.
Для решения уравнений теплопроводности применяют методы разделения переменных, интегральные преобразования, численные методы и др., которые изложены в монографиях, посвященных теории теплопроводности [20, 39, и др.]. Исследование уравнений теплопроводности содержится в курсах математической физики [62 и др. ].
В настоящей главе рассматриваются задачи теплопроводности, имеющие наибольшее практическое значение. В § 3.3. выводятся уравнения, описывающие задачу о нестационарной теплопроводности тонкой пластины, при этом трехмерная задача теплопроводности с помощью аппроксимации температуры по толщине пластины степенным законом сводится к нескольким двумерным задачам. На основе уравнений § 3.3 исследуются частные задачи стационарной и нестационарной теплопроводности для дисков, пластин и цилиндров.
Решения стационарных задач теплопроводности об осесимметричных температурных полях диска и круглой пластины с центральным отверстием и о неосесимметричном плоском температурном поле длинного полого цилиндра приводятся в § 3.4 и 3.5. Полученные решения для диска и круглой пластины учитывают конвективный теплообмен между их боковыми поверхностями и окружающей средой.
В § 3.6 излагаются основные положения и свойства интегрального преобразования Лапласа, которое применяется в качестве основного метода решения нестационарных задач теплопроводности.
Для изучения динамических эффектов, возникающих в упругих телах при резко нестационарных тепловых воздействиях (глава восьмая), в § 3.7 рассматриваются решения одномерных задач о нестационарных температурных полях в полупространстве при внезапном повышении температуры окружающей среды и в неограниченной пластине при внезапном подводе теплового потока к ее поверхности. В этом же параграфе приводится решение задачи о нестационарном температурном поле в неограниченной пластине при разных условиях конвективного теплообмена между ее поверхностями и окружающей средой.
В § 3.8 даются решения задач о нестационарных плоских осесимметричных температурных полях в тонком сплошном диске и длинном сплошном цилиндре при температуре среды, изменяющейся во времени, а также приводится пример расчета распределения температуры в цилиндре при нестационарном конвективном теплообмене.
Нестационарная задача теплопроводности для длинного полого цилиндра, наружная и внутренняя поверхности которого омываются средой с разными, но не изменяющимися во времени температурами, исследуется в § 3.9.
В §3.10 приводится решение задачи о нестационарном осесимметричном поле полого цилиндра конечной длины, основанное на решениях задач о нестационарной теплопроводности длинного цилиндра (§ 3.9) и неограниченной пластины (§ 3.7). Наконец, в § 3.11 рассматривается задача о нестационарном плоском осесимметричном температурном поле в длинном цилиндре, вызванном линейным источником тепла, расположенным на его оси. Во всех рассмотренных задачах теплопроводности теплофизические характеристики считаются постоянными величинами.
Уравнение теплопроводности.
Начальное и граничные условия
Уравнение теплопроводности, необходимое для исследования температурных полей, можно получить из уравнения (1.5.31), отбрасывая в нем члены, зависящие от деформаций. Приведем независимый вывод этого уравнения. Количество тепла, полученное единицей объема тела в единицу времени, равно с ^- (с — удельная
объемная теплоемкость тела). Это количество тепла следует приравнять теплу — div q (q — вектор плотности теплового потока), которое подводится к единице объема тела в единицу времени посредством теплопроводности. При наличии в теле источников тепла, наделяющих в единице объема в единицу времени количество тепла
,дТ
w0, уравнение теплопроводности имеет вид — div 7+ ш0 = с—^ . Учитывая, что на основании формулы (1.4.5)
q = — ^gradT,(3.2.1)
уравнение теплопроводности записываем в виде
div^gradT) + щ0 = с-^-,(3.2.2)
(3.2.3)(3.2.3)где Кд — коэффициент теплопроводности. Так как величины с и \ зависят от температуры, а следовательно, от координат, то уравнение (3.2.2), вообще говоря, является нелинейным. В задачах теплопроводности, рассматриваемых в настоящей книге, эти величины считаются постоянными. Тогда уравнение теплопроводности принимает вид
(3.2.3)
(3.2.3)
X, a dt ' X.
где а = -у— коэффициент температуропроводности, характеризующий теплоинерционные свойства тел.
Если в теле отсутствуют источники тепла, уравнение теплопроводности переходит в уравнение
V2T = — -.(3.2.4)
a dt''
Уравнения (3.2.3) и (3.2.4) описывают нестационарные температурные поля. Стационарному температурному полю отвечает уравнение Лапласа
V2T = 0.(3.2.5)
Для однозначности решения уравнения теплопроводности необходимо его дополнить начальным и граничными условиями.
В качестве начального условия задается распределение температуры тела в начальный момент времени (t = 0). Это распределение обычно принимается равномерным:
Т (хк, 0) = То = const.(3.2.6)
Граничные условия связаны со сложным теплообменом на поверхности тела, где могут иметь место все три способа теплопередачи одновременно.
В теории теплопроводности в качестве основных граничных условий могут быть заданы:
Распределение температуры по поверхности тела:
Т (хк, f) = f (хк, f),(3.2.7)
где хк— точка на поверхности тела; f (хк, t) — заданная функция.
Плотность теплового потока через поверхность тела:
(3.2.8)
где п — внешняя нормаль к поверхности тела в точке хк.
При теплообмене излучением между поверхностями, имеющими температуры Тх и Т'2, плотность теплового потока через первую поверхность определяется по формуле
9 = о0е12 (71 — 71),(3.2.9)
где о0 — постоянная Стефана — Больцмана, о0 = 5,67 X X 10-8 вт/м2 • град4, е12 — постоянный коэффициент, зависящий от характеристик излучения и поглощения поверхностей и от относительного их расположения. Значение е12 в зависимости от состояния и расположения поверхностей можно найти в специальной литературе по тепловому излучению.
В частном случае, когда отсутствует тепловой поток через поверхность (для тела с идеально изолированной поверхностью)
^Ц^- = 0.(3.2.10)
Температура окружающей среды 0 и закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и средой:
= «№,9-<>L(3.2.11)
где а — коэффициент теплоотдачи, который зависит от термических и физических характеристик поверхности тела и окружающей среды.
Различают теплообмен при свободной конвекции, возникающей при естественном перемещении частиц жидкости вследствие неравномерной ее плотности, обусловленной неравномерным нагревом, и при вынужденной конвекции в результате движения жидкости от механических воздействий (нагнетание жидкости насосом, движение высокоскоростного потока воздуха относительно самолета и др.). Теплообмен при вынужденной конвекции происходит более интенсивно, чем при свободной.
Для конвективного теплообмена важно состояние так называемого пограничного слоя, т. е. области потока, прилегающей к поверхности обтекаемого тела, в пределах которой скорость потока резко изменяется от скорости свободного потока до скорости на поверхности тела. В тонком пограничном слое вблизи поверхности учитываются эффекты вязкости и теплопроводности жидкости.
Течение жидкости в пограничном слое может быть ламинарное, когда ее частицы перемещаются слоями, и турбулентное, при котором эти частицы совершают пульсационные движения, приводящие к интенсивному перемешиванию слоев жидкости. Турбулентное течение возникает в результате потери устойчивости ламинарного течения. Условие перехода ламинарного течения в турбулентное определяется некоторым критическим числом Рейнольдса
Re = -^-,(3.2.12)
где р — плотность жидкости или газа; и — скорость потока; I — характерный размер обтекаемого тела; т] — коэффициент динамической вязкости жидкости или газа.
Число Рейнольдса является критерием подобия течения вязкой жидкости. Теплообмен при ламинарном течении осуществляется в основном теплопроводностью, а при турбулентном течении — главным образом за счет переноса тепла пульсационными макроскопическими движениями жидкости.
Коэффициент теплоотдачи а при турбулентном течении может быть во много раз больше, чем при ламинарном. Из указанного ясно, что коэффициента изменяется в очень широких пределах и его следует выбирать в зависимости от условий конвективного теплообмена.
При исследовании процессов конвективного теплообмена используется теория подобия физических процессов, которую разработал для тепловых процессов М. В. Кирпичев [21 ]. В этой теории важную роль играют инварианты безразмерных критериальных отношений характерных величин, называемых критериями подобия. Применение критериев подобия позволяет обобщить результаты отдельных опытов, а также сократить число переменных в аналитических решениях.
Для определения коэффициента теплоотдачи используются следующие основные критерии теплового подобия: критерий Нуссельта,
Nu = -^,(3.2.13)
критерий Прандтля
Рг = -^_,(3.2.14)
где а — коэффициент теплоотдачи; Хж — коэффициент теплопроводности жидкости или газа; ср — удельная массовая теплоемкость жидкости или газа при постоянном давлении.
Результаты теоретических и экспериментальных исследований часто представляются в виде следующей зависимости между критериями теплового подобия:
Nu = CRemPrn,(3.2.15)
где С, tn, п — постоянные, имеющие определенные значения для разных условий теплообмена. Так, согласно данным работы [8], для локальной теплоотдачи при продольном обтекании пластины несжимаемым ламинарным потоком С = 0,33, т = -^-, п = -^- , а при обтекании пластины турбулентным потоком вплоть до Re = = 107 С = 0,029, tn = 0,8, п = 4- •
Другие формулы для определения коэффициента теплоотдачи а при разных условиях течения жидкости или газа можно найти в специальной литературе по теплопередаче ([67] и др.).
При течении с большой скоростью вследствие перехода кинетической энергии потока в тепловую существенно повышается температура в пограничном слое. В таком случае в уравнении (3.2.11) вместо температуры свободного потока А следует рассматривать так называемую адиабатическую температуру стенки Аа, под которой понимается температура на поверхности, когда отсутствует теплопередача в тело. Эта температура определяется по формуле
= (3216>
где Айи — соответственно температура и скорость свободного потока газа; г — коэффициент восстановления, показывающий, какая часть кинетической энергии свободного потока переходит в его теплосодержание на поверхности.
Коэффициент восстановления в зависимости от состояния пограничного слоя определяется критерием Прандтля, который для воздуха в широком интервале температуры почти не изменяется. Например, Рг = 0,72 4- 0,65 при Т = 250 -~ 1300° К- На основании теоретических исследований установлено, что при ламинарном
пограничном слое на плоской пластине г = Рг2 , а при турбулент- 1
ном г = Рг 3 .
§ 3.3. Уравнения нестационарной теплопроводности пластин
Расположим срединную поверхность тонкой пластины в плоскости хОу декартовой системы координат. Обозначим толщину пластины через А. Рассмотрим пластину при нестационарном конвективном теплообмене на ее контуре L и на поверхностях z = + "^ (рис* 8).
Определение нестационарного температурного поля такой пластины при постоянных теплофизических характеристиках сводится к решению уравнения (3.2.4), которое в декартовых координатах принимает вид
ОТ . д27 , d27 1 дТ
дх2 + ду2 + дг2 - а ‘ dt ' (d.d.V
Решение уравнения (3.3.1) должно удовлетворять следующим
начальному и граничным условиям:
(3.3.2)(3.3.3)(3.3.2)(3.3.3)Т = Т0при t = 0;
(3.3.2)
(3.3.3)
(3.3.2)
(3.3.3)
4" + 'V(T — ^ = 0 на контУРе L’ l^ + l^7-^0 ПРИ z = 4’ ^--^-(Г-»4) = 0 при 2 = —-^—.
В уравнениях (3.3.1) — (3.3.3) введены следующие обозначения: Т — температура пластины; То — начальная температура пластины; ^, Фз и Ф4 — температура
среды соответственно на контуре пластины L, на поверхностях z = hh
= у и 2 = —2"; «ь, а3 и а4 — коэффициенты теплоотдачи соответственно на контуре пластины L, на hh
поверхностях 2 = и 2 =2*;
X, и а — коэффициенты тепло- и температуропроводности материала пластины; п — внешняя нормаль к контуру пластины.
„hваем, что направление внешней нормали к поверхности 2 = —„hваем, что направление внешней нормали к поверхности 2 = —При составлении третьего граничного условия (3.3.3) учиты-
„h
ваем, что направление внешней нормали к поверхности 2 = —
„h
ваем, что направление внешней нормали к поверхности 2 = —
противоположно положительному направлению оси 2. Ищем приближенное решение этой задачи. Аппроксимируя распределение температуры Т по толщине пластины степенным законом
Т = 5 Т^х, у,1)2',(3.3.4)
/=0сводим рассматриваемую задачу к двумерной.
Для составления уравнений, которым удовлетворяют функ-ции Ти\ умножаем уравнение (3.3.1) на zp (р = 0,1 ,..., гп) и ин-h h
,р 527 _ 5 Lp дт' dz2 дг Г дг,р 527 _ 5 Lp дт' dz2 дг Г дгтегрируем его по 2 от^ До "у, принимая во внимание тождество pzp-xT^p<p-\VP-1T
,р 527 _ 5 Lp дт
' dz2 дг Г дг
,р 527 _ 5 Lp дт
' dz2 дг Г дг
и граничные условия (3.3.3). В результате получаем следующее уравнение:
^Р - ^4 рр [г (4)+(- о" т (- 4) ]+vs V (4) - ^1+
+ (-i)₽yJt’(-4)-^)} + p(p-1)®p-2 = 4-- 4г (3‘3'5)
(p = 0, 1, . . ., m),
где
V2 = ^L + ^L.
dx2 T dy1 ’
2
e,= j Z'№ v,-^; v.-^.
Выполняя аналогичные операции с условием (3.3.2) и первым из условий (3.3.3), находим следующие начальное и граничное условия для функции 0Р:
е- - е- "Р" ' = 0;(3.3.6)
"Т + 'v <е» ~ V = 0 на к°нтур= L'
где
22
©Ор = J zpTadz, 9р = J zpftLdz.hh
2~ 2
Придавая в уравнении (3.3.5) и условиях (3.3.6) величине р разные значения, можно составить системы уравнений, описывающие нестационарную теплопроводность пластины при разных степенных законах изменения температуры, по толщине пластины. Приведем эти уравнения и соответствующие начальное и граничное условия в случае, когда величины То и ^ не зависят от z.
у — уЧО)у — уЧО)Предполагая температуру постоянной по толщине пластины
у — уЧО)
у — уЧО)
(3.3.7)
и полагая р = 0, получаем уравнение теплопроводности
(3.3.8)(3.3.8)(3.3.9)(3.3.9)V27(o) _ 2Г _ ft) = J№ '' a dt
(3.3.8)
(3.3.8)
(3.3.9)
(3.3.9)
где
(сс3 + а4) h „ = аА + аД2Х^’а3 а4
при условиях
дТ^дпдТ^дпТ№ = Тв при t = 0;
дТ^дп
дТ^дп
+ 4-(71(О)-^) = о на контуре L.
Предполагая линейный закон изменения температуры по толщине пластины
Т-Т^ + Т^г,(3.3.10)
отвечающий значениям р = 0 и р = 1, находим систему двух уравнений теплопроводности:
у2р№ 2у zy^O)удУз У а р О _ 1 , дТ^ .
A22ha dt ’ (з з ц)
mjC) _ 6 (Уз — Та) р№ _ 6 (2 + у) .^(1) _ . = _1_д7(1)
Л3Л2 (dt ’
где
.. = Уз^З — У 4^4
И (2 + у)А ’ при условиях
Т<0) = т^ Ttn = 0 при ; = 0.
(3.3.12)
dT^ aL (0)3TW aL (1)
-ж- + -хг(т ~^) = °. -^r + -vT -° на контУРе L" Предполагая квадратичный закон изменения температуры по толщине пластины
Т = Т^ + Twz + T^z»,Т = Т^ + Twz + T^z»,(3.3.13)(3.3.13)
Т = Т^ + Twz + T^z»,
Т = Т^ + Twz + T^z»,
(3.3.13)
(3.3.13)
соответствующий значениям р = 0, р=1ир = 2, находим после некоторых преобразований систему трех уравнений теплопроводности :
^арОТ । Зу ^р№^ । 3 (у3у4) ^(1) । Зу 4- 20 у,(2) _
1_а_ 1а1_а_ 1аdT^ . ^dT" ’dT^ .dt ’dT^ . ^dT" ’dT^ .dt ’6 (Уз — Л36 (Уз — Л3(3.3.14)(3.3.14)
1_
а
_ 1
а
1_
а
_ 1
а
dT^ . ^dT" ’
dT^ .
dt ’
dT^ . ^dT" ’
dT^ .
dt ’
6 (Уз — Л3
6 (Уз — Л3
(3.3.14)
(3.3.14)
^гр№ _ 60у ^(0) _ ^ _ 15 (Уз — Та) pW _
15 (4 + у) т(2)1 дТ®
№1а " dt
при начальных и граничных условиях
Т№ = То, Тт = Т'2) = 0 при / = 0;
+=.^ + ^1 = 0, (3.3.15)
onkqOnXq
dT^ aLT<2)
= 0 на контуре L.
При одинаковых коэффициентах теплоотдачи a3 = a4 = а, а следовательно, и одинаковых параметрах у3 = у4 = у уравнения (3.3.11) и (3.3.14) приобретают соответственно вид
V27(0) 2у (7t0) _ ^ = J(3.3.16)
у2у<*)у2у<*)бД+Д.(т<о_^ = Л. ^1
у2у<*)
у2у<*)
№ х r' a dt
у2у(°) | бу / jf(O) фл I Зу + 20 J,(2) _ 1 .~ Л2 '4аv2Ta) _ 6 (2 +у) (7(1) _ и) = JL . Д12у2у(°) | бу / jf(O) фл I Зу + 20 J,(2) _ 1 .~ Л2 '4аv2Ta) _ 6 (2 +у) (7(1) _ и) = JL . Д12дТ№~дГдТ№~дГу2у(2) 60у ^ ^<°) ^у2у(2) 60у ^ ^<°) ^15 (4+у) т(2) _ J_ Л2а15 (4+у) т(2) _ J_ Л2а(3.3.17)дТ® dt -(3.3.17)дТ® dt -
у2у(°) | бу / jf(O) фл I Зу + 20 J,(2) _ 1 .~ Л2 '4а
v2Ta) _ 6 (2 +у) (7(1) _ и) = JL . Д12
у2у(°) | бу / jf(O) фл I Зу + 20 J,(2) _ 1 .~ Л2 '4а
v2Ta) _ 6 (2 +у) (7(1) _ и) = JL . Д12
дТ№~дГ
дТ№~дГ
у2у(2) 60у ^ ^<°) ^
у2у(2) 60у ^ ^<°) ^
15 (4+у) т(2) _ J_ Л2а
15 (4+у) т(2) _ J_ Л2а
(3.3.17)
дТ® dt -
(3.3.17)
дТ® dt -
Стационарное осесимметричное температурное поле диска, цилиндра и круглой пластины
Определим стационарное плоское температурное поле диска постоянной толщины h с центральным отверстием. Обозначим радиус наружного контура диска через г2, а радиус его внутреннего контура (центрального отверстия) через гт (рис. 9). Предполагаем, что между поверхностями диска z = ± -^- и окружающей средой происходит одинаковый конвективный теплообмен.
Переходя к полярным координатам и учитывая симметрию температурного поля, уравнение теплопроводности и граничные условия рассматриваемой задачи на основании уравнения (3.3.8) и второго из условий (3.3.9) получаем в виде
d^T , 1dTdr'1 гdrd^T , 1dTdr'1 гdr^-(Т-^ = 0;^-(Т-^ = 0;(3.4.1)(3.4.1)
d^T , 1dT
dr'1 гdr
d^T , 1dT
dr'1 гdr
^-(Т-^ = 0;
^-(Т-^ = 0;
(3.4.1)
(3.4.1)
(3.4.2)(3.4.2)5---д-(Т-^) = 0приг = г1:
(3.4.2)
(3.4.2)
S^-V^7-^)-0 при г = г2,
zzРис. 9.Рис. 9.(3.4.5)(3.4.5)
z
z
Рис. 9.
Рис. 9.
(3.4.5)
(3.4.5)
гДе Т — Т^; у — ^-; О и а — температура среды и коэффициент теплоотдачи на поверхностях диска г = ± 4; ^ и ат —температура среды и коэффициент теплоотдачи на контуре центрального отверстия диска (г = rj; Ф2 и а2 — температура среды и коэффициент теплоотдачи на наружном контуре диска (г = г2).
При составлении первого из граничных условий (3.4.2) учитываем, что положительное направление г на контуре центрального
отверстия противоположно направлению внешней нормали.
Вводя вместо г относительную координату р = у-, переписываем уравнение (3.4.1) и условия (3.4.2) в виде
^+т-^-б2(7-^ = 0; (ЗАЗ)
—Т1 (7 — ^1) = о при р = р,;
р(3.4.4)
-^- + Т2Г —^2) = 0 при р= 1, где
Решением уравнения (3.4.3) является выражение Т^Л-СМЬрНС^М
где /0 (х) и К» (х) — бесселевы функции чисто мнимого аргумента нулевого порядка первого и второго рода.
Постоянные интегрирования ^ и С2 определяем из условий (3.4.4), учитывая известные из теории бесселевых функций формулы
4г A. to = Л М- 4г к» to = - ^ М- (3-4-6)
где /1(х), Ку (х) — бесселевы функции чисто мнимого аргумента первого порядка соответственно первого и второго рода. Находим
С1 = 4- 1Т1 (^1 - ^) "1 (6) + т2 (^2 - ^) ^ (5Р1)1;
Л(3.4.7)
ct = 4 ^ (^1 — ^) “1 (д) + Т2 Р2 — ^) «2 (6pi)l,
где
«1(6) = Л(6)+^-/0(6);
(3.4.8)(3.4.8)(3.4.9)(3.4.9)об осе-об осе-«2(бР1) = Л(бР1)-->/о(бр1);
(3.4.8)
(3.4.8)
(3.4.9)
(3.4.9)
об осе-
об осе-
^2 (6pi) = Ki(6p1)+^-k0(6Pi);
А = «2 (6р1) Мо (6) - &К1 (6)1 + ^2 (6р1) [72^0 (6) + 6/1 (6)].
При 71 = у2 — 00 условия (3.4.4) следующие:
Т = t^ при р = Р1;
7 = ^ ПРИ Р = 1-
Уравнение (3.4.3) и условия (3.4.9) описывают задачу
симметричном температурном поле диска, когда на внутреннем (Р = Pi) и наружном (р = 1) его контурах заданы соответственно температуры ^ и О2 при конвективном теплообмене на поверхностях диска г = ± -у. Решение этой задачи получаем из решения (3.4.5), устремляя yt и у2 к бесконечности; при этом постоянные интегрирования (3.4.7) принимают значения
р ... -(»!-») /<0 (б) + (»2-») Ко (бр.) .
^о (б) Ко (6pi) — 10 (6pi) Ко (6)’(3 4 10)
/о (б) Ко (бР1)/0 (бР1) Ко (6)
Полагая в уравнении (3.4.3) 6 = 0, т. е. предполагая отсутствие теплообмена на поверхностях диска z = ± ^, получаем уравнение теплопроводности, которое при граничных условиях (3.4.4) или (3.4.9) описывает задачу об осесимметричном температурном поле длинного цилиндра при заданном конвективном теплообмене между внутренней (р = рг) и наружной (р = 1) его цилиндрическими поверхностями и окружающей средой или при заданных температурах на этих поверхностях. В том и другом случаях температурное поле определяется выражением
Т = С1 + С21пр;(3.4.11)
при этом в случае граничных условий (3.4.4)
ci = 4" 172^2 + 7iPi Pi — 7г^2 In рх)];
(3.4.12)
С2 = 4" lYi72Pi (^2 — *i)L
где
А = Т2 + ViPi 0 — Т2 In Pi),
а при граничных условиях (3.4.9)
Ci = ^2; С2 = ^--^ .(3.4.13)
Определим стационарное температурное поле в круглой пластине постоянной толщины с центральным отверстием, когда темпера-
Рис. 10.
тура среды равна v3 при z = -g- и v4 при г = 2". Пусть между поверхностями пластины г = ±уи окружающей средой происходит конвективный теплообмен при одинаковых коэффициентах теплоотдачи а, а температура по толщине пластины изменяется по линейному закону (3.3.10) (рис. 10). Для решения этой задачи используем систему уравнений (3.3.11) при граничных условиях (3.3.12). В рассматриваемом случае они принимают вид
4гу(°)dp2
dayOdp2dy(°)dpdy(°>dp
1 dT№ р " dp
1 dT^ р ‘ dp
_ g2 (7(0) _ А) = 0. (3 4 14)
— 6?(Т(1) —р) = 0; (3.4.15)
— V1 (Т№ — AJ = 0 при р = Pi;
(3.4.16)
+ Ъ (tW — $2) = 0 при р = 1;
^- — Tj^” = 0 при p = P1;
-^-+ VaT'0* = 0 при p= 1,
(3.4.17)
где
»з + ^4 ...V(^3 — ^4) . X2 ^^ . X2 _ 6(2 +v)r2 .
2’(2 + y)h ’ ° " № ’ 01№’
ah a«r»t = = T2 = ^--
Решение уравнения (3.4.14) при граничных условиях (3.4.16) определяется выражением (3.4.5). Заменяя в этом выражении 6 на 61; О на р и полагая ^ = ^2 = 0, получаем решение уравнения (3.4.15) при граничных условиях (3.4.17).
Таким образом, для искомого температурного поля находим следующее решение:
Т = А + CJo (6р) + С.Ко (6р) + г [р + с;/о (61Р) + СЖ0(61Р)1. (3.4.18)
В этом решении постоянные интегрирования С^ и С2 имеют значения (3.4.7), а постоянные Ci и С2 — такие значения:
С; = — ^- [ТА (6i) + т2и2 (61Р1)];
1(3.4.19)
с; =£- lVl“l(61) + Y2«2(61P1)L
где величины uY (61), иг (6^1), ut (6J, и2 (6^), Дг определяются выражениями (3.4.8) после замены в них 6 на б!.
Стационарное неосесимметричное плоское температурное поле длинного цилиндра
Определим стационарное плоское температурное поле длинного полого цилиндра, когда температуры среды 0х и 02 соответственно на внутренней (р = рх) и наружной (р = 1) цилиндрических поверхностях являются функциями угла 0 (рис. 4). Эта задача сводится к решению уравнения (3.2.5), которое в цилиндрических координатах принимает вид
а2Т 1 дТ 1 д^Т _п„ . .
др2 + р ' др + р2 ' ае2 -(3-5, )
Решение уравнения (3.5.1) должно удовлетворять граничным у словиям
-^- — Ti (7* — »i) = 0 при р = Р1;
где а^ . а2Г2
71 _’ 72 “
Температуры дх и 02 являются периодическими функциями 6 с периодом 2л, а поэтому их можно представить в виде рядов Фурье:
^i=2 ,6’(i6)cos^0 + 5 М** sin ^0;
к=°к^(3.5.3)
$2 = 2 ft^cos&O + У i^*' sin 60.
6=0*=1
Коэффициенты в разложениях (3.5.3) определяются по формулам 2л
»"’ - 4г J ^
0(3.5.4)
2л2л
-Q^ = 4” j O^cos №.^п1 == ^ O„sinfe0d6
оо
(п = 1, 2; к = 1, 2, . . .).
На основании разложений (3.5.3) выбираем решение уравнения (3.5.1) в виде
Г = 5 Tw cos ^0 + J Tw sin №,(3.5.5)
6=06=1
где Tw и Tw — функции координаты р.
Подставляя решение (3.5.5) в уравнение (3.5.1) и в граничные условия (3.5.2), находим для функции Т4** (к = 0, 1, ...) уравнение
^"^ ) лL . ^_ л(3 5 6)
dp2 + р dp р2 1“ U(d.b.b)
при граничных условиях
(3.5.7)(3.5.7)"^— 0О = 0 при р = Р1;
(3.5.7)
(3.5.7)
^ + у2(^>-<>) = 0 при р= 1.
Решение уравнения (3.5.6) при граничных условиях (3.5.7), когда к = 0, определяется выражением (3.4.11) с постоянными интегрирования (3.4.12), а при к >- 1 оно имеет вид
гдегдет'*) = c!wpfc + d?V\т'*) = c!wpfc + d?V\(3.5.8)(3.5.8)
где
где
т'*) = c!wpfc + d?V\
т'*) = c!wpfc + d?V\
(3.5.8)
(3.5.8)
С'*’ = 4* IPiYi (A — T2) ^i*’ + Pi кЪ (k + p^) ^’];
C^(3.5.9)
A = pi * (& + p^J (k + y2) — p^k — p^J (k — y2).
Идентичное решение можно получить для функции Т1*' (к = = 1,2, ...). Искомое решение (3.5.5) имеет вид
Т = Су + С2Inр + 2 (Ci 4- С^ *)cos&0 +6=i Р Р
+ 2 ^ р" + (Тр~*) sin №..(3.5.10)
6=1
В этом решении постоянные Сь С2 определяются выражениями (3.4.12), в которых $1 = »i0) и ^2 = ^20) , а постоянные С^’ , С^ — выражениями (3.5.9), в которых О^, ^ заменяются величинами соответственно ^г, ^'.
Преобразование Лапласа
Для решения ряда нестационарных задач теплопроводности эффективно применение операционного исчисления и связанного с ним метода интегрального преобразования Лапласа.
Основы операционного исчисления разработал профессор Киевского университета М. Е. Ващенко-Захарченко, который в монографии [6], вышедшей в 1862 г., дал систематическое изложение операционного исчисления и вывел основные соотношения для решения дифференциальных уравнений операционным методом. В 1890 г. Хевисайд успешно применил операционное исчисление в электротехнических расчетах [30]. Операционный метод Ващенко-Захарченко—Хевисайда получил строгое математическое обоснование значительно позже. Выяснилась равнозначность этого метода методу интегрального преобразования Лапласа.
Ниже изложены без доказательства основные положения и свойства преобразования Лапласа, используемые в дальнейшем при решении ряда нестационарных задач теплопроводности и динамических задач термоупругости. Доказательство приведенных формул можно найти в работе [30].
Метод интегрального преобразования Лапласа заключается в следующем.
Дифференциальное уравнение относительно функции / (/) действительной переменной t умножается на экспоненциальную функцию е~^, где р — комплексная переменная, и полученное выражение интегрируется по t в пределах от Одо оо. При интегрировании по частям используются начальные условия задачи для определения внеинтегральных слагаемых. При этом вводится преобразованная функция
f*(p) = LVV)\ = °\f^e-p‘dt,(3.6.1)
6
которая называется изображением. Символ L [f (/)] обозначает преобразование Лапласа функции / (/)•.
Находится решение полученного дифференциального уравнения относительно изображения /* (р).
Выполняется переход от изображения f* (р) к начальной функции — оригиналу / (/) по формуле обращения
а4-<оо
т=^Г J eptrwdp,(3.6.2)
где интеграл берется вдоль прямой Re р = а и понимается как предел интеграла вдоль отрезка (а— ib, а 4- ib) при b -> оз. На f (О накладываются определенные условия, обеспечивающие существование изображения. Для рассматриваемых в данной работе задач достаточно ограничиться классом кусочно-непрерывных функций / (0 вещественной переменной О определенных при t > О и принятых равными нулю при / < 0.
Функция / (0 должна возрастать не быстрее некоторой экспоненциальной функции, т. е. предполагается существование таких постоянных М > 0, s0 > 0, при которых для всех значений t имеем |/ (0| < Me5”1, где s0 — показатель роста / (О- При этих условиях функция /* (р), определяемая интегралом (3.6.1), является регулярной функцией от р в полуплоскости Rep > s0. На путь интегрирования в формуле обращения (3.6.2) накладывается также некоторое ограничение: величина а должна быть достаточно велика и больше So, чтобы все особые точки функции /* (р) лежали слева от линии интегрирования.
Применение метода интегрального преобразования Лапласа к решению задач теплопроводности подробно освещается в монографии А. В. Лыкова 139]. Там же содержится таблица изображений наиболее часто встречающихся функций. В более сложных задачах переход от изображения к оригиналу выполняется по формуле (3.6.2), в которой комплексный интеграл вычисляется с помощью теоремы о вычетах из теории функций комплексного переменного.
Приведем основные свойства преобразования Лапласа.
Свойство линейности. Для любых постоянных аир
L \af^ + Pg (01 = аТ [/ (01 + Р^ 1^(01 -= “Г (р) + PST* W (3-6.3)
Теорема подобия. Для любой постоянной а > 0
НЦаф=-^Г^У(3.6.4)
Дифференцирование оригинала. Если /' (0 = ~^~ является оригиналом, то
LO)1 = p/*(pW(0).(3.6.5)
В частности, если / (0) = 0, то L [/' (01 = рр (р), т. е. дифференцирование оригинала соответствует умножению изображения на р.
Дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на —I, т. е.
=(3.6.6)
Интегрирование оригинала сводится к делению изображения
на р;
L ^HMt =.о _L ^HMt =.о _/* (Р)Р/* (Р)Р(3.6.7)(3.6.7)
L ^HMt =
.о _
L ^HMt =
.о _
/* (Р)Р
/* (Р)Р
(3.6.7)
(3.6.7)
l[-^] = j f* ^dP‘l[-^] = j f* ^dP‘(3.6.8)(3.6.8)
l[-^] = j f* ^dP‘
l[-^] = j f* ^dP‘
(3.6.8)
(3.6.8)
Интегрирование изображения в пределах от р до оо соответствует делению оригинала на t;
Llfy-t^^e-P^^P)-Llfy-t^^e-P^^P)-(3.6.9)(3.6.9)
Llfy-t^^e-P^^P)-
Llfy-t^^e-P^^P)-
(3.6.9)
(3.6.9)
Теорема запаздывания. Введение оригинала f (/ — /0), описывающего процесс с запаздыванием на время /0, равносильно умножению изображения на е-»1»:
Ь\еР«Ч^\ = Мр — РоУЬ\еР«Ч^\ = Мр — РоУ(3.6.10)(3.6.10)
Ь\еР«Ч^\ = Мр — РоУ
Ь\еР«Ч^\ = Мр — РоУ
(3.6.10)
(3.6.10)
Теорема смещения. Смещение изображения на р0 равносильно умножению оригинала на :
(3.6.11)(3.6.11)
(3.6.11)
(3.6.11)
Теорема произведения. Произведение двух изображений f* (р) и g* (р) тождественно свертке их оригиналов:
If* (pyg* (р) = L У / (т) g (t — т) dx
Сверткой функций / (/) и g (0 называется интеграл в правой части формулы (3.6.11). Эта теорема известна как теорема о свертке. Следствием теоремы произведения является так называемый интеграл Дюамеля
pf* (р) g* (р) =L f (0) g (t) + ) f (т) g (t — t) dx
(3.6.12)
.о.
Теоремы разложения. Если изображение f* (0 есть отношение двух полиномов
^ = Wy-
причем степень полинома А (р) меньше степени полинома В (р), то оригиналом является функция
м =А~г УЧрИР-PnW, (3.6.14)
. р_рпйр П
где рп — корни полинома В (р); кп — кратность корней. Сумма берется по всем корням.
В частности, если все корни полинома В (р) простые, то формула (3.6.14) принимает вид
(3.6.15)
где
В' (рп) = [.
[ dp \р=рп
Формулы (3.6.14) и (3.6.15) выведены М. Е. Ващенко-Захарченко [61.
Теорема разложения может быть обобщена на случай, когда изображение (3.6.13) является отношением двух целых трансцендентных функций 4 ф) и В (р), имеющих в качестве особых точек только полюсы (корни трансцендентного уравнения В (р) = 0); при этом m ео.
Существуют необходимые условия, при которых применима обобщенная теорема разложения [391; для рассматриваемых в данной работе задач эти условия выполняются.
Нестационарное температурное поле полупространства и неограниченной пластины
Рассмотрим сначала нестационарное температурное поле полупространства, занимающего область х > 0, при тепловом ударе на его поверхности х = 0.
Пусть начальная температура полупространства, а также среды, омывающей его поверхность х = 0, равна То. В момент времени
t = 0 полупространство подвергается внезапному тепловому воздействию среды, температура которой мгновенно повышается до значения й. Между поверхностью по-
рис ллупространства х = 0 и средой вдальней-
''шем происходит конвективный теплообмен.
Нестационарное одномерное температурное поле полупространства Т (х, t) в соответствии с уравнением (3.2.4) и условиями (3.2.6) и (3.2.11) описывается уравнением
13 7 1) дх2 ~ a at
при начальном условии
Т = Т0 при 1 = 0(3.7.2)
и граничном условии
^^(Т-») = 0 при х = 0,(3.7.3)
где а — коэффициент теплоотдачи на поверхности х = 0; Xq и а — коэффициенты теплопроводности и температуропроводности материала полупространства.
При составлении граничного условия (3.7.3) учитывается, что направление внешней нормали к поверхности х = 0 противоположно положительному направлению оси х (рис. 11).
Для решения рассматриваемой задачи используем метод интегрального преобразования Лапласа.
Применяя преобразование Лапласа (3.6.1) к уравнению (3.7.1) и условию (3.7.3) и используя при вычислении интеграла (интегрированием по частям) ( -^- e-p‘dt = — До + рТ* начальное о
условие (3.7.2), решение уравнения (3.7.1) в частных производных сводим к решению обыкновенного дифференциального уравнения
—— Тд') =0(3.7.4)
ах2, а ур vlх
при условии
при х =0,(3.7.5)
где
Т* = f Te-p‘dt.
6
Решение уравнения (3.7.4) известно:
_у£-х
т* =-у + а +с2е ° .(3.7.6)
Температура с увеличением х не должна возрастать. Для удовлетворения этого условия следует положить CY = 0.
Определяя С2 из условия (3.7.5), получаем следующее выражение для изображения температуры полупространства:
_ То ,у (У — Тр)р ( ._ То ,у (У — Тр)р ( .(3.7.7)(3.7.7)
_ То ,у (У — Тр)р ( .
_ То ,у (У — Тр)р ( .
(3.7.7)
(3.7.7)
а
гДе Т = Д7
Используя для нахождения оригинала таблицу изображений, приведенную в работе [39], находим искомое решение:
— exp (ух + ^at) erfc f —+ у ]лаН1,(3.7.8)
где erfcx = 1 — erf х; erf х = —— 1 e~^dx — интеграл вероятности о
Гаусса, а символ ехр означает экспоненциальную функцию.
При у = -^* 00 температура Т поверхности х = О, как это видно из условия (3.7.3), мгновенно принимает значение температуры окружающей среды О. В этом случае решение (3.7.8) имеет вид
T = T0 + (^-T0)erfcT = T0 + (^-T0)erfc(3.7.9)(3.7.9)
T = T0 + (^-T0)erfc
T = T0 + (^-T0)erfc
(3.7.9)
(3.7.9)
Методом интегрального преобразования Лапласа находится решение аналогичной задачи о нестационарном одномерном температурном поле неограниченной пласти- zны толщины К при тепловом ударе на
1ШШШ ЛШННШ ее повеРхности 2 = 4 (Рис- 12)> J1обусловленном внезапным подводом
теплового потока плотностью q' = = —q, Где q — плотность теплового РиС- 12‘потока в направлении внешней нор-
мали к поверхности. Поверхность пластины г = —^ предпола
гаем идеально теплоизолированной.
При указанных условиях теплообмена искомое температурное поле описывается уравнением
(3.7.10)(3.7.10)дгТ _ дТа;2 ~ ат
(3.7.10)
(3.7.10)
при начальном условии [см. (3.2.8) и (3.2.10)]X» дТ h " ag ^_ = 0при начальном условии [см. (3.2.8) и (3.2.10)]X» дТ h " ag ^_ = 0ТТ= То при т = 0 и граничных условиях= То при т = 0 и граничных условияхq* = — q при е = 4;q* = — q при е = 4;при ^ = — 2_,при ^ = — 2_,(3.7.11)(3.7.11)f 2 где £ = —;f 2 где £ = —;atat
при начальном условии [см. (3.2.8) и (3.2.10)]
X» дТ h " ag ^_ = 0
при начальном условии [см. (3.2.8) и (3.2.10)]
X» дТ h " ag ^_ = 0
Т
Т
= То при т = 0 и граничных условиях
= То при т = 0 и граничных условиях
q* = — q при е = 4;
q* = — q при е = 4;
при ^ = — 2_,
при ^ = — 2_,
(3.7.11)
(3.7.11)
f 2 где £ = —;
f 2 где £ = —;
at
at
XqТXqТаг* п-аГ = ° ПРИ e=-i-,аг* п-аГ = ° ПРИ e=-i-,(3.7.12)(3.7.12)(3.7.13)(3.7.13)
Xq
Т
Xq
Т
аг* п
-аГ = ° ПРИ e=-i-,
аг* п
-аГ = ° ПРИ e=-i-,
(3.7.12)
(3.7.12)
(3.7.13)
(3.7.13)
Постановка этой задачи отличается от ранее рассмотренной только граничными условиями; нахождение изображения сводится к решению уравнения
d2T*1 „ \ п
т-ру7 -тт°г ’
по форме совпадающего с уравнением (3.7.4), при условиях
дТ* q' „1
"д^ — V ПРИ“ 2 ’
где
Т* = ^ Te-pTdT.
б
(3.7.14)(3.7.14)Поскольку координата £, в отличие от координаты х в уравнении (3.7.4), изменяется в конечных пределах, то записываем решение уравнения (3.7.12) в гиперболических функциях в виде
(3.7.14)
(3.7.14)
Т* = "V + C1 ch ^ + С»Sh ^
Определяя постоянные интегрирования С\ и С2 из условий (3.7.13) и подставляя их значения в решение (3.7.14), получаем следующее изображение температуры пластины:
Т* = Л ।,(3.7.15)
Р S(P)v '
А^А^ch Vp ^ + 4");ch Vp ^ + 4");(3.7.16)(3.7.16)где
А^
А^
ch Vp ^ + 4");
ch Vp ^ + 4");
(3.7.16)
(3.7.16)
в^ = рг^Д-
Корнями уравнения В (р) = 0 являются двукратный корень pi = 0 и корни Рл+1= —я2л2 (и = 1, 2, ...) уравнения sh-^1 — _У р
sin i/p „
iVp
Определяя оригинал функции в случае двукратного корня Pi по формуле (3.6.14) при ц = т=1и/?1 = 2и используя для простых корней формулу (3.6.15), находим
ch V,w (t + ф)ch V,w (t + ф)
ch V,w (t + ф)
ch V,w (t + ф)
Применяя для раскрытия неопределенностей правило Лопиталя, выполняем следующее преобразование первого слагаемого в фигурных скобках:
г Kpch/pk + 4-)lim——еРт
p-о “Р [ sh У р
= т + lim p-tO= т + lim p-tO(с+4-) ^ (^+4-sh V"p(с+4-) ^ (^+4-sh V"p
= т + lim p-tO
= т + lim p-tO
(с+4-) ^ (^+4-sh V"p
(с+4-) ^ (^+4-sh V"p
+ HmP"*0+ HmP"*0ch Vp к + "4) (sh Vp — Vp ch V?)
+ Hm
P"*0
+ Hm
P"*0
2 Vp sh2 Vp
, 1, 1 V !
Подставляя это выражение и учитывая, что
\4^W"P sh/p)]p=pn+[ = ^Vp sM/p + -1-p Ch Kp)p=Pn+i =
=i л-ы
ch/ pn+l^+ -!-) = cos ^(2^ + 1),
получаем выражение для искомого температурного поля:
Т _ т , q’h 12^4-12^-1
v -17 р Н 24
2 у (- 1)” л2 ^™ п2Л=12 у (- 1)” л2 ^™ п2Л=1COS [2yL(2^ 4- l)]e-"WT[,COS [2yL(2^ 4- l)]e-"WT[,(3.7.17)(3.7.17)
2 у (- 1)” л2 ^™ п2
Л=1
2 у (- 1)” л2 ^™ п2
Л=1
COS [2yL(2^ 4- l)]e-"WT[,
COS [2yL(2^ 4- l)]e-"WT[,
(3.7.17)
(3.7.17)
at гДе т = ^г-
Рассмотрим случай нестационарного конвективного теплообмена , Д , 1 \
между поверхностями z=± — к = ±неограниченной пла
стины и окружающей средой, соответствующий начальному условию Т = То при т = 0 и граничным условиям
(3.7.18)(3.7.18)^- + ^Т-^ = 0 при ^ = 4-,4г — V» (^ — ^) = 0 при ^ = — 4 ,
(3.7.18)
(3.7.18)
где Уз =1 У4 =; ^3 и «з — температура среды и коэф
фициент теплоотдачи на поверхности z = -ylfe = -у ', v4 и а4 — температура среды и коэффициент теплоотдачи на поверхности z =
Выполняя аналогичные преобразования, находим следующие выражения для функций Л ф) и В (р) в решении для изображения (3.7.15):
А (р) = Уз р3 - То) [ch /р + d + -^-sh Кр (4" + 1 +
+ V. (». - г.) [=h Гл (4 - е) + у=- sh V р (4 - с) ]; (3 ч , 9)
В(р) = р (Р + Y3Y4) -^-^В(р) = р (Р + Y3Y4) -^-^V рV р+ (Уз + Yi)ch V р •+ (Уз + Yi)ch V р •
В(р) = р (Р + Y3Y4) -^-^
В(р) = р (Р + Y3Y4) -^-^
V р
V р
+ (Уз + Yi)ch V р •
+ (Уз + Yi)ch V р •
2
Корнями уравнения В (р)=0 являются рх=0 и корни p„+i = — рл
(и = 1, 2, ...,) уравнения (р + у3у4)+ (у3 + У4) ch Vp =
V р
= 0, где рл = i VPn+i (п = 1,2,...) — корни уравнения
(3.7.20)(3.7.20)tgp = -^t^- р.Г И2 — УзУ4 Г
(3.7.20)
(3.7.20)
Применяя формулу (3.6.15) и проводя соответствующие вычисления, получаем выражение для температуры пластины:
m m 1 А1 = V о +-g?m m 1 А1 = V о +-g?А (— Н«)А (— Н«)(3.7.21)(3.7.21)где4(0)= Уз(Ф3—Т'оф +у4где4(0)= Уз(Ф3—Т'оф +у444
m m 1 А
1 = V о +-g?
m m 1 А
1 = V о +-g?
А (— Н«)
А (— Н«)
(3.7.21)
(3.7.21)
где
4(0)= Уз(Ф3—Т'оф +у4
где
4(0)= Уз(Ф3—Т'оф +у4
4
4
А (— И2) = Уз (^3 — ^о) cos рл
4- -ф- sin р„4- -ф- sin р„+ Y4($4+ Y4($4(3.7.22)(3.7.22)
4- -ф- sin р„
4- -ф- sin р„
+ Y4($4
+ Y4($4
(3.7.22)
(3.7.22)
4- -^- sin р.„ (-г;в' (0) = Уз + у4 4- у3у4;В' (— Рл) = —{К1 + Уз + У<) Р2Л + Y3Y4] sin цл -ь4- (рл — УзУд) Ил cos рл};|1Л — корни уравнения (3.7.20).При одинаковых температурах среды О3 = О4 = О (3.7.21) принимает вид4- -^- sin р.„ (-г;в' (0) = Уз + у4 4- у3у4;В' (— Рл) = —{К1 + Уз + У<) Р2Л + Y3Y4] sin цл -ь4- (рл — УзУд) Ил cos рл};|1Л — корни уравнения (3.7.20).При одинаковых температурах среды О3 = О4 = О (3.7.21) принимает видвыражениевыражение
4- -^- sin р.„ (-г;
в' (0) = Уз + у4 4- у3у4;
В' (— Рл) = —{К1 + Уз + У<) Р2Л + Y3Y4] sin цл -ь
4- (рл — УзУд) Ил cos рл};
|1Л — корни уравнения (3.7.20).
При одинаковых температурах среды О3 = О4 = О (3.7.21) принимает вид
4- -^- sin р.„ (-г;
в' (0) = Уз + у4 4- у3у4;
В' (— Рл) = —{К1 + Уз + У<) Р2Л + Y3Y4] sin цл -ь
4- (рл — УзУд) Ил cos рл};
|1Л — корни уравнения (3.7.20).
При одинаковых температурах среды О3 = О4 = О (3.7.21) принимает вид
выражение
выражение
Т = О —2(0 —Т = О —2(0 —е^Хе^Х(3.7.23)(3.7.23)
Т = О —2(0 —
Т = О —2(0 —
е^Х
е^Х
(3.7.23)
(3.7.23)
где
Л. (□ = Y31 Ил cos (i„) + У»sin Н«+
+ У4 [нл cos р„ ti + Уз sin Нл (4; (3.7.24)
Вл = [(1 + Уз + У») ^ + УзУ41 sin(i„ + р„ (^ — у3У4) cos(i„. (3.7.25)
Пример. Исследуем распределение температуры по толщине неограниченной стальной пластины при нестационарном конвективном теплообмене между
Таблица 1 ее поверхностью г = — и окружающей средой (га-
п
V-n
Сп
зовым потоком) и при идеально теплоизолированной поверхности z=—-^.
1
0,4328
3,2039
6,3148
1,0312
—0,0381
0,0100
Полагая в уравнении (3.7.20) и в выражениях (3.7.23) — (3.7.25) у4 = 0 и у3 = у, получаем
3
следующее решение для рассматриваемой задачи:
4
9,4459
—0,0045
5
12,5823
0,0025
7 = У — (У — То) У Сп cos рп ( g +1 е—р;;т.
6
15,7207
—0,0016
/1=1
(3.7.26)
где
l?(l +y)+|i ]cosp„
у.п — корни уравнения tg(i=4-(з-7-28)
Пусть начальная температура пластины То = 293° К, температура газового потока д = 1273° К, коэффициент температуропроводности а =
= 0,66 • 10 5 мЧсек, критерий теплового подобия, соответствующий толщине пластины h = 0,008 м, коэффициенту теплоотдачи а=800 вт!м2-град и коэффи
циенту теплопроводности хп = 32 вт[м • град, Bi = у = -у- = 0,2.
В табл. 1 приведены значения первых шести корней уравнения (3.7.28) р.п при Bi = 0,2 и соответствующие значения коэффициентов Сп [39]. С помощью этой таблицы и таблиц тригонометрических и экспоненциальных функций находим распределение температуры по толщине пластины для разных моментов времени. Результаты расчета представлены кривыми на рис. 13.
Нестационарное плоское осесимметричное температурное поле диска и длинного цилиндра
Определим нестационарное плоское температурное поле сплошного диска толщины А и радиуса г2 при конвективном теплообмене между его поверхностью и окружающей средой. Конвективный теп- h
лообмен на поверхностях z = ± -у предполагается одинаковым.
Применяя записанное в полярных координатах уравнение (3.3.8) и вводя относительную координату р = — и безразмерное at„
время т = —, получаем для рассматриваемой задачи уравнение г2 теплопроводности
dp2 р dp v ' дтv '
при условиях
Т =Т0 при т = 0(3.8.2)
-^" + Ya (Т — »2) = 0 при р = 1,
где
° _Xq ’ У2 kg ■
Здесь введены следующие обозначения: био — температура среды и коэффициент теплоотдачи на поверхностях диска z = ± -^-; »2 и 02 — температура среды и коэффициент теплоотдачи на контуре диска г = г2 (р = 1).
Пусть температура О2 среды, омывающей наружный контур диска, изменяется во времени по экспоненциальному закону
»2 = »0(1 A-k^Y(3.8.3)
где Фо, к и кх — постоянные.
Применяя преобразование Лапласа (3.6.1) к уравнению (3.8.1) и второму условию (3.8.2), получаем дифференциальное уравнение
для изображения температуры диска
+ -Ё21 _ е2['7* —= 0(3.8.4)
dp2 р dpре2 /v '
при условии
^+Цт.-^--^ = 0 при р-1, (3.8.5) где
Т* — | Те-Рхс1т, 0 = б2д + рТ0, е2 = б2 + р. о
Уравнение (3.8.4) по форме совпадает с уравнением (3.4.3). По аналогии с решением последнего находим решение уравнения (3.8.4) в виде
Т* = -^ + СМ^ + С2К0(ер).(3.8.6)
Полагая постоянную интегрирования С2 равной нулю из условия конечности температуры диска в его центре и определяя постоянную интегрирования Ct из условия (3.8.5), получаем следующее выражение для изображения температуры диска:
(3.8.7)(3.8.7)т1*^ 00
(3.8.7)
(3.8.7)
~ 5(р) ’
где
Л(р) = 0(р + /?) Wo(e)+ е/1(е)] + у2 (е2^ [(р + ^) + ^р]—
(Р + k) 0} /0 (ер);(3.8.8)
5(р)= р(р + ^) е2 [у2/0(е)+ e/Je)].
Корнями уравнения В (р) = 0 являются рг = О, ра = — к, р3 = — б2, р„+3= — (б2 + Р„) (n = 1, 2, ...), где Р„ = ie — корни уравнения
Wo (6) + е/, (е) = y2J0 (Р) - М (р) = 0,(3.8.9)
•MPh-MP)— бесселевы функции первого рода соответственно нулевого и первого порядков.
Учитывая значения этих корней и выполняя переход от изображения (3.8.7) к оригиналу с помощью формулы (3.6.15), после вычислений получаем выражение для температуры диска
Т = А I Та (»о — 0) /р (бр) . _?AVo_(sp)£2^_ _
+ Т2/0 (6) + 6/t (6)y2/0(s) + s/!(s)
-(62+Р2)Т
-^АА4(Рлр)е п,(3.8.10)
Л=1
гдегде_ 2у2 .'
где
где
(V2 + Рп) ^0 (Рл)
(3.8.11)(3.8.11)= Рл^о+б'» т , Pn^l
(3.8.11)
(3.8.11)
Р^ + б2 ^Р^б2-*’
s = J/62 — к.
В случае мгновенного воздействия среды на наружный контур диска его температурное поле получаем из решения (3.8.10), полагая в нем $0 = О2 и кх = 0:
гдегде+ б2^л — а2 ।1 0-+ б2^л — а2 ।1 0-(3.8.13)(3.8.13)r-»+^w?®s!"-2w*<wc<38 |2>л=!
где
где
+ б2^
л — а2 ।1 0-
+ б2^
л — а2 ।1 0-
(3.8.13)
(3.8.13)
Полагая в выражении (3.8.10) 6 = 0, находим нестационарное температурное поле длинного сплошного цилиндра:
ф Ya^i^o^о (Р^Р) е Т
' ° Wo^-VkMV^
МпРл 1 .
(3.8.14)(3.8.14)^-\AnJ0^e п
(3.8.14)
(3.8.14)
Рл — k /
где коэффициенты Ап определяются выражением (3.8.11).
Пример. Исследуем распределение температуры в длинном сплошном цилиндре при конвективном теплообмене между его поверхностью и окружающей
Таблица 2Таблица 3
п
Рл
^Л
р
т, °к
/ = 180 сек
t = 300 сек
t = 420 сек
t = 540 сек
1
2,2509
1,5853
0
324
342
383
436
2
5,1773
—1,0091
0,2
327
352
398
452
3
8,1422
0,7519
0,4
339
387
445
500
4
11,1367
—0,5901
0,6
383
463
528
579
5
14,1576
0,4760
0,8
499
591
645
679
6
17,2008
—0,3913
1,0
709
759
778
788
средой. Пусть начальная температура цилиндра То = 323° К; температура среды да изменяется в зависимости от времени по закону (3.8.3) при до = 823° К, кх = = —0,5473, к = 53,6, коэффициент температуропроводности а = 0,557 х X 10—5 мЧсек, критерий теплового подобия Bi = уг = —^ = 15, гг = 0,141 м.
В расчете применяем решение (3.8.14). Входящий в него ряд быстро сходится: достаточно принять во внимание шесть членов ряда, чтобы получить результат с точностью до трех-четырех значащих цифр. Значения первых шести корней 0„ трансцендентного уравнения (3.8.9), отвечающие Bi = 15, и соответствующие значения коэффициентов Ап приведены в табл. 2 [39].
Используя данные табл. 2 и таблицы бесселевых и экспоненциальных функций, а также асимптотические формулы для бесселевых функций при больших значениях аргумента, вычисляем по формуле (3.8.14) значения температуры цилиндра Т (°К) в моменты времени t = 180; 300; 420; 540 сек на радиусах р = 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0. Результаты расчета приведены в табл. 3 и представлены кривыми на рис. 14.
Нестационарное плоское осесимметричное температурное поле длинного полого цилиндра
Пусть между цилиндрическими поверхностями длинного полого цилиндра и окружающей средой происходит нестационарный конвективный теплообмен. Температура среды и коэффициент теплоотдачи на внутренней цилиндрической поверхности (г = г,) равны ^ и «1, а на наружной цилиндрической поверхности (г - г^ — ф и а2- Температуры fly и fl2 предполагаются постоянными. Нестационарное плоское осесимметричное температурное поле такого цилиндра описывается уравнением
ф2 ‘ р ф 5т
при условиях
7 = То при т = 0; '
“ф Yi (^^i) ~ ® ПРИ Р Р1>(3 9 2)
фф + Ъ (Т — fl^ = 0 при р=1,
где atаггг«2Г2
T=l":
Применяя к уравнению (3.9.1) и условиям (3.9.2) преобразование Лапласа (3.6.1), получаем уравнение
нт* / т \ + —= 0(3.9.3)
dp2 1 р dp 1 г (р ]х ’
при условиях
^_Yi(7*--1l) =0 при р = Р1;
йТ* ,» х(3-9Л)
^ + ЦТ*—^)=0 при р=1, где
Т* = ^' Те-^йт, р = IУр.6
Решением уравнения (3.9.3) является функция
Г* = ^ + С, Jo (рр) + С2У0 (Рр),(3.9.5)
где 70 (х) и Yo (х) — бесселевы функции нулевого порядка первого и второго рода.
Определяя постоянные интегрирования Cj и С2 из условий (3.9.4) и принимая во внимание известные из теории бесселевых функций формулы
^-=-Мх\ ^L__Y1^,(3.9.6)
где Jt (х) и Yy (х) — бесселевы функции первого порядка соответственно первого и второго рода, находим изображение температуры цилиндра в виде (3.7.15), где
А (р) = т2 ($2 — т'о) и0 (рР) + Yi ($! — т0) v0 (рР),(3.9.7)
B(p) = ply2u0(p)-pu1(p)].(3.9.8)
Функции ит (х) и vm (х) (т = 0, 1) имеют вид
ит (х) = Y. (рР1) + ^- Yo (pP1)j Jm (х) - [у, (РР1) +
+ ^20(₽Pi)]rm(x);(3.9.9)
УтМ = |У1(Р)-^Г0(Р)рт(х)-
-pi(P)-^4(P)]Vm(x) (т = 0, 1).(3.9.10)
Переход от изображения к оригиналу выполняем с помощью формулы (3.6.15).
Корнями уравнения В (р) = 0 являются pv =- 0 и рп+1 = = —Рл (га = 1,2, ...), где Рп — корни уравнения
(3.9.11)(3.9.11)P«i(Р) = .,«о (Р)'
(3.9.11)
(3.9.11)
На основании формулы (3.6.15) и изображения (3.7.15), в котором функции А (р), В (р) имеют выражения (3.9.7) и (3.9.8), искомая температура может быть представлена так:
0 + в' (0) т—г-5.е •
Рл lYtMP) - P«i (Р)1 R R
(3.9.12)
В этом выражении
^ (0)jH5v^o1MMJ1VlC^V^7^ =
В' (0) До?2«о (Р) - P«i (Р)
= Ф +(О^)ViPJl-Yalnp)т (3.9.13)
127 ?2 + yiPi(i — т21пра 0 v 7
Используя формулы (3.9.6) и
d7i (x) = у(х) = у ) _ 2д№(3.9.14)
ах и х 7 х ’ ах°х 7 х х
вычисляем
(3.9.15)(3.9.15)^ [Уг^о (Р) — Р«1 (Р)1 = — Р«о (Р) — Y2“i (Р) + + Р (Pi — -^-^о (PPi) — (1 + P1Y1) Ui (РР1)-
(3.9.15)
(3.9.15)
Для дальнейшего преобразования выражения (3.9.12) рассмотрим некоторые свойства функций (3.9.9) и (3.9.10).
Непосредственной подстановкой легко убедиться в справедливости тождества
“1 (Ppi) = — у “о (PPi)-(3.9.16)
Из уравнения (3.9.11) вытекает
[Л (РР1) + ^- Г0(рР1)] [Л (Р) - ^ Jo (Р)] -
-|А(РР1) +^Уо(РР1)]|Л(Р)-^Уо(Р)] = О. (3.9.17)
На основании известной из теории бесселевых функций зависимости
Л(х)У0(х)-У0(х)У1(х) = А(3.9.18)
можно получить
UO ФР1) = ^1 (РР1) ^0 (Ppi) А ФР1) ^0 Фр1) = ярр^ , откуда согласно уравнению (3.9.17)
или
(3.9.19)(3.9.19)РА (PPi) = Л (P>"f ^^“о (Р)771
(3.9.19)
(3.9.19)
Используя выражение (3.9.10) при х = Рр и уравнения (3.9.17) и (3.9.19), определяем
отфр) = ^^^-итфр) (m = 0, 1). (3.9.20)
Далее проводим следующие преобразования. В равенствах (3.9.7) и (3.9.15) функции и0 (Рр), и0 (PpJ и t^ фр^ заменяем на основании формулы (3.9.20) соответственно функциями
Р1“0 (РР1) „ /спх Р1“о(РР1) PiMPPi) „ /оп х 'ХфГ МРр)’ ~мёГ’ -mpTU1(PP1)‘
Затем в равенстве (3.9.15) функции iq ф) и их фр^ заменяем согласно уравнениям (3.9.11) и (3.9.16) соответственно функциями ^-иоф) и^-«офРх)- Подставляя после этого функции (3.9.7), (3.9.13) и (3.9.15) в выражение (3.9.12), получаем температурное поле цилиндра в окончательном виде:
Т = О2 + (О, — О2) 21Р1(17, X —
' 1 ^Yz + YiPiO—YalnPi)
-2 f С„иоф„р)^Т,(3.9.21)
Л = 1
где
П _ Yt Ф2 Гр) Uo (Рп) + Р!^! (О, Гр) uo (РпР1)
"(V2 + Р») “о (Р«) — Pl <Y? + Р^) «^ (P«Pi) '(}
При одинаковых температурах среды ^ = ^2 = О' имеем ~-Р2Т
Т=0-2(#-Та)2ОАМе " ,(3-9.23)
где
Dn
7а цо (Рл) + Pi7i“o (PnPi)
(72 + Рл) “о (Рл) — Р? <7? + Рл) “о (Р«Р1)
(3.9.24)
полесплош-полесплош-
полесплош-
полесплош-
Полагая yt = 0 и рт = 0, получаем температурное ного цилиндра
Т = »-2(О-То)у22
Л—1
70 (РлР) е
(72 ~г Рл) ^о (Р")
(3.9.25)
где Р„ — корни уравнения
(3.9.26)(3.9.26)РА (Р) .v
(3.9.26)
(3.9.26)
•MP) "Y2‘
Этот же результат получается при подстановке в выражение (3.8.14) »0 = 0, ^ = 0.
§ 3.10. Нестационарное осесимметричное температурное поле цилиндра конечной длины
Рассмотрим осесимметричное температурное поле полого цилиндра длины I (рис. 15), между поверхностью которого и окружающей
Рис. 15.Рис. 15.средой происходит нестационарный конвективный теплообмен.
Рис. 15.
Рис. 15.
, Предполагаем, что температура среды равна О = const. Эта задача описывается дифференциальным уравнением
УТ_ 1 дТ дг2 'г дг '
+ дг2 a dt (Jau-U
при начальном условии
(3.10.2)(3.10.2)(3.10.3)(3.10.3)Т = Тй при / = 0 и граничных условиях
(3.10.2)
(3.10.2)
(3.10.3)
(3.10.3)
v + 'g-l7’-»)-0 "Р" ' = ^+^_(Г_в)=0 „р„ 2 = 4;
тг--§-<7'-»)-0 "Р”
где ai и а2 — коэффициенты теплоотдачи на цилиндрических поверхностях соответственно г = 1\ и г = z2; а3 и а4 — коэффициенты теплоотдачи на поверхностях z = ± 4; Xq и а — коэффициенты соответственно теплопроводности и температуропроводности материала цилиндра.
Решение уравнения (3.10.1) при начальном условии (3.10.2) и граничных условиях (3.10.3) выбираем в виде
Т = »-^Т^-Т^^-ТХХУ(3.10.4)
где
Т\ = Ту (г, ty, Тц = Тц (z, ty
Подставляя выражение (3.10.4) в уравнение (3.10.1) и в условия (3.10.2) и (3.10.3), получаем
/ д2Т. 1 дТ, ! ST, \
( dr2 + V ‘ Тг а" ‘+
+L ._ Г1) = 0;(3.10.5)
\ dz2 a dt Iх 7
Т = О—^т^-ГОф-Т^-Г» при / = 0; (3.10.6)
Г дТ, „]
ПРИ г="-г^
[^- + -§-(Т!-^)](^-Тп) = 0. при г = г2;
1 дТI/(3.10.7)
|-дГ- + ^-(7"-^|^-70 = 0 при z = 4;
Г5ТП „|/
[t-'v^"-^]^-71^0 при 2 = ~т‘
Уравнения (3.10.5) — (3.10.7) удовлетворяются, если Тх является решением уравнения
d2ri , 1 2It__L 571(3.10.8)
dr2 г dr a dt
при начальном условии
Т\ = То при t = 0
и граничных условиях
_L__^(Т1-^ = 0 при r = rV,
дт(3.10.9)
-дг + ^-(7'-^ = ° ПРИ г = г^
(3.10.10)(3.10.10)(3.10.11)(3.10.11)a Tn — решением уравнения d2TH1дТи
(3.10.10)
(3.10.10)
(3.10.11)
(3.10.11)
dz2a dt
при начальном условии
Тп = Т0 при / = О
и граничных условиях
-^ + ^(Тн-») = 0 ПРИ 2 = дТ,, „/
t-^^-^=q при г=-4-
Из формул (3.10.8) — (3.10.11) видно, что функция Т\ является решением задачи о нестационарной теплопроводности длинного цилиндра (3.9.23), а функция Тп — решением задачи о нестационарной теплопроводности неограниченной пластины (3.7.23). Подставляя выражения для функций Т^, Гц в решение (3.10.4) и выполняя необходимые преобразования, получаем температурное поле цилиндра конечной длины при нестационарном конвективном теплообмене между его поверхностями и окружающей средой:
т = » - 4 (» - То) У D„u0 (Р„р) Г^ 5 ^- е”^*, (3.10.12) Л = 1Л=1
где гatatг
Рл и цл— корни уравнений (3.9.11) и (3.7.20); значения Л„ (£), Вл и Dn определяются соответственно выражениями (3.7.24), (3.7.25) и (3.9.24).
Нестационарная теплопроводность полого цилиндра конечной длины в более общем случае рассмотрена в работе [43].
Нестационарное плоское осесимметричное температурное поле длинного цилиндра под воздействием линейного источника тепла, расположенного на оси цилиндра
Рассмотрим полый длинный цилиндр, внутренняя полость которого наполнена тепловыделяющей средой (рис. 16). В этой среде равномерно распределены объемные источники тепла постоянной удельной мощности wQ. Пусть коэффициент теплопроводности тепловыделяющей среды настолько велик, что градиентом температуры для нее можно пренебречь. Между наружной поверхностью цилиндра и окружающей средой происходит нестационарный конвективный теплообмен.
Температурное поле такого цилиндра описывается уравнением (3.9.1) при условиях
Т = Т0прит= 0;]
дТ qr2I
при р = рх;
* Х»j(3.11.1)
-^-+у2(7' —^2) = 0прир=1,I
где q — плотность теплового потока на поверхности цилиндра ■г — rt (р = pj; обозначения остальных величин те же, что и в §3.9.
При составлении второго условия (3.11.1) принимаем во внимание, что положительное направление теплового потока q, совпадающее с направлением внешней нормали к поверхности г=г1, противоположно направлению оси г.
Не учитывая тепла, затрачиваемого на нагрев тепловыделяющей среды, можно записать следующее равенство:
цилиндра единичной длины в^^(З.Н.2)цилиндра единичной длины в^^(З.Н.2)— 2л r^ = nr^w0 = w, где w — мощность линейного источника тепла, представляющая собой количество тепла, поступающего через поверхность г = ^ единицу времени.
цилиндра единичной длины в
^^(З.Н.2)
цилиндра единичной длины в
^^(З.Н.2)
Отсюдаq = — -Цр- =
Применяя к уравнениям (3.9.1) и (3.11.1) преобразование Лапласа (3.6.1) и учитывая равенство (3.11.2), получаем для изображения температуры цилиндра уравнение (3.9.3) при условиях
dT*w
dP ~~2Н^рГПрИ Р “ Р1’
НТ* /\(u. II.и/
при р = I,
где
Г* = J Te-PTdx, 0 = i Vp.
о
Изображение температуры цилиндра находим аналогично изображению, полученному в § 3.9, в виде выражения (3.7.15), где
ли- |ти»«-:гмр) + ^«.ф^(3 н 4)
Bto = p Iva® - ри, (р)1 (- ^);
.89
«т(^) = Л(РР1) JmW —Ji(PPi)^mto (m = 0, 1);(3.11.5)
v0 (Pp) = [л (P) --^ v0 ф) j j0(Pp)- [л(P) - ^- Jo(P)] v0(Pp).
Для удобства дальнейших преобразований в выражения функций А (р) и В (р) вводим множитель^^-.
Чтобы определить температуру цилиндра с источником тепла на оси, устремляем рт к нулю, полагая w = const. Тогда выражения (3.11.4) принимают вид
А ^ = ?2 (»2 - Го) Jo (Рр) —8" v0 (рр);
4(3.11.6)
5 (р) = р hVo (Р) — PJ1 (Р)1 •
Уравнение В (р) = 0 имеет корни ^ = 0 и рп^х = — Ри (л = = 1. 2, ...), где р„ удовлетворяет уравнению
Решение для оригинала температуры цилиндра определяется выражением (3.9.12), где
д(0) _-
В (0) g^Q УзД (Р) — РА (Р)
=^-r0+^-(4i-lnp);<3JL8)
А (- Р2) = ?2 («2 - Го) Jo (Р„Р) - -^- v0 ф„р),(3.1 1.9)
ио ФлР) “ [ ^1 (Рл) ^0 (РлЯ А (Рлр) —
LРл J
-1W Г. (М - -MW Г. (Ml Ш = “ 4г ■ -#'
(3.11.10)
Рп^- [у2Jo (Р) - PJ1 (Р)1р=рл = - Pn IY3J1 (Рп) + PnJo (Рп)] =
= -(Tl + Pn)Jo(Pn)«(3.11.11)
При составлении выражений (3.11.10) и (3.11.11) используем уравнения (3.9.18) и (3.11.7).
Подставляя функции (3.11.8) — (3.11.11) в выражение (3.9.12), получаем решение для нестационарного температурного поля цилиндра с линейным источником тепла на оси мощности хи в окончательном виде:
T = + UШр -2 ЛЛ(М^₽п\ (3.11.12) ? ' V2П=1
где
П (Т2 + Р^)7о(РП)П (Т2 + Р^)7о(РП)_2<8‘-7«>+я^Жг]- <3JL,3>
П (Т2 + Р^)7о(РП)
П (Т2 + Р^)7о(РП)
Заменяя на основании уравнения (3.11.7) у2/0(Рл) величиной PnJi фл) и устремляя у2 к бесконечности, находим решение этой задачи для случая, когда вместо конвективного теплообмена на наружной поверхности цилиндра задана температура ^:
- 2 [2 (^2 - Го) +• (3.11.14)
Полагая в решении (3.11.12) w = 0, получаем температурное поле сплошного цилиндра без источников тепла (3.9.25).
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧАТЕРМОУПРУГОСТИ
Особенности плоской задачи термоупругости
В настоящей главе рассматриваются в квазистатической постановке две типичные плоские задачи термоупругости: о плоской деформации и о плоском напряженном состоянии. Плоская деформация воз
никает в длинном цилиндрическом или призматическом теле (рис. 17), а плоское напряженное состояние приближенно реализуется в тонкой пластине (рис. 18).
zМатематические формулиров
ки этих двух задач сходны. О™ обсуждаются в § 4.2.
Л С точки 3Рения простран- /—\]—^ ственной теории термоупру-
°\/ Z гости заДача 0 плоской де-
/X _/X / формации существенно отли-
/учается от задачи о плоском
напряженном состоянии. Ре- ис'шение задачи о плоской де
формации точно удовлетворяет уравнениям пространственной теории термоупругости почти для всего призматического тела. Оно приближенное только вблизи торцевых поверхностей длинного призматического тела, на кото
рых условия для нормального напряжения удовлетворяются в смысле принципа Сен-Венана.
Решение задачи о плоском напряженном состоянии при произвольном двумерном температурном поле дает лишь хорошее приближение к действительному напряженному состоянию весьма тонкой пластины, свободной на поверхностях от внешних сил.
Если на температурное поле наложить определенное ограничение, то и для задачи о плоском напряженном состоянии можно получить решение в рамках пространственной теории термоупругости [5]. Важным частным случаем такого рода задач является задача о
тепловых напряжениях в пластине при изменении температуры только по толщине (§ 4.3).
Постановка плоской задачи термоупругости в напряжениях для многосвязного тела, условия однозначности перемещений и дислока-
ционная аналогия рассматриваются в § 4.4. Полученные условия однозначности обобщают известные условия однозначности перемещений в плоской задаче изотермической теории упругости, выведенные впервые Мичеллом [88], на случай плоской задачи термоупругости. Из условий однозначности вытекают три условия для стационарного температурного поля, обеспечивающие отсутствие в многосвязном теле тепловых напряжений.
Дислокационная аналогия, установленная Н. И. Мусхелишвили еще в 1916 г. [44], позволяет плоскую задачу термоупругости для
многосвязного тела при стационарном температурном поле свести к
плоской задаче изотермической теории упругости с дислокациями.
Для исследования плоских задач термоупругости может быть эффективно применена теория функций комплексного переменного. Метод решения плоских задач теории упругости, основанный на теории функций комплексного переменного, подробно разработан Н. И. Мусхелишвили [45]. Обобщение этого метода на случай плоской задачи термоупругости принадлежит Н. Н. Лебедеву [32]. Здесь ограничимся рассмотрением применения теории функций комплексного переменного в плоской задаче термо
упругости при стационарном температурном поле, при этом выведем в комплексном виде одно условие для плоского стационарного температурного поля, не вызывающего напряжений в многосвязном теле, и приведем более строгую формулировку дислокационной аналогии (§ 4.5).
Простейшими плоскими задачами термоупругости, имеющими большое практическое значение, являются задачи о тепловых напряжениях в цилиндре и диске при плоском осесимметричном температурном поле. Исследованию данных задач посвящена обширная литература. Наиболее ранними работами в этой области являются работы Лоренца [87] и А. Н. Динника [17]. Современное состояние исследований тепловых напряжений в цилиндрах и дисках изложено в книге [5]. Решения задач, пригодные как для стационарного, так и для нестационарного температурных полей, находятся в § 4.6 непосредственным интегрированием разрешающего уравнения второго порядка относительно радиального напряжения, а также по методу В. М. Майзеля (§2.5).
Применение полученных решений иллюстрируется примерами определения тепловых напряжений в длинном сплошном цилиндре при конвективном теплообмене между его поверхностью и средой и воздействии линейного источника тепла, расположенного на оси цилиндра.
Рассмотренная в § 4.7 и 4.8 задача о тепловых напряжениях в длинном полом цилиндре (или в круглом диске с центральным отверстием), обусловленных плоским неосесимметричным стационарным температурным полем, стала предметом исследований многих авторов. Впервые решение этой задачи с помощью метода, основанного на исследовании вспомогательной задачи о дислокациях цилиндра и на применении теории функций комплексного переменного, получил Н. И. Мусхелишвили [44, 45] (§ 4.8). Позже метод, использующий теорию функций комплексного переменного, был применен для исследования указанной задачи Гейтвудом [8]. Решение аналогичной задачи дано Меланом и Паркусом без использования функций комплексного переменного; в их методе применяется комбинация термоупругого потенциала перемещений и функции напряжений [42]. Приведенный в § 4.7 метод решения заимствован из книги [5]. Решение упомянутых выше задач выполнено в предположении, что упругие характеристики и коэффициент линейного теплового расширения материала постоянны.
В § 4.10 исследована задача о тепловых напряжениях в длинном цилиндре с учетом механической и термической его неоднородностей, вызванных плоским осесимметричным температурным полем. Этому исследованию предшествует изложение основных свойств гипергеометрических функций (§ 4.9), применяемых как в § 4.10, так и при исследовании задач о тепловых напряжениях в круглых пластинах переменной толщины и сферической оболочке (главы пятая и шестая).
Плоская деформация и плоское напряженное состояние
При плоском (двумерном) температурном поле Т (х, у, f) в длинном цилиндрическом теле (одно- или многосвязном) с продольной осью Oz (рис. 17) возникает плоская деформация, для которой характерны перемещения
их = иДх, у\ иу = и^х, у), uz = 0.(4.2.1)
При перемещениях (4.2.1) из соотношений (1.2.2) следует
е2 = е„ = еу2 = 0.(4.2.2)
Подставляя деформации (4.2.2) в соотношения между напряжениями и деформациями (1.5.23), получаем
a2 = v(ax + o,)-arE(T^7’0),(4.2.3)
^xz = Оу2 = 0.
Зная величину ог, находим для остальных соотношений между деформациями и напряжениями следующие выражения:
ex =^-<°х — ViOy) + «Г1 (Г — Тд);
Г(4.2.4)
еу = -£Г(°у — vi°x) + «п (Т — То);
где £i"i - v2 ’ vi= i-v ’ «Г1 = “И1 + v).(4-2-5)
Плоское напряженное состояние при плоском температурном поле Т (х, у, f) имеет место в тонкой пластине, срединная поверхность которой расположена в плоскости хОу, а поверхности z = ± -^- свободны от внешних сил (см. рис. 18). Без существенной погрешности можно считать, что в такой пластине каждая плоскость, параллельная плоскости хОу, свободна от напряжений, т. е.
о2 = Охг = Оуг = 0, (4.2.6)
а напряжения ох, оу, аху распределены равномерно по толщине пластины.
(4 2.7)(4 2.7)Деформации ех, ед, Ег, еху определяются выражениями ех = 4" (°* ~ ^у) + ат (т — То)-’ ey = 4"^ — w^ + «г (Г — Тд);
(4 2.7)
(4 2.7)
1 + V .
8-х у — £ о ху;
8 г = — ^-(Ох + о^ + сМТ — Тд).(4.2.8)
Общая постановка плоской задачи термоупругости в декартовых координатах заключается в определении восьми функций (ох, оу, оху, ех, еу, еху, их, иу), удовлетворяющих двум уравнениям равновесия при отсутствии объемных сил
-^х_ , дОху _дх "г ду '
^аху । дсу , „дх ' ду ’
трем соотношениям между деформациями и напряжениями (4.2.4) (для плоской деформации) или (4.2.7) (для плоского напряженного состояния) и трем соотношениям между деформациями и перемещениями:
ди-хе* ~ "дх" ’ди-хе* ~ "дх" ’диуи дудиуи дуе^~ 2 дуе^~ 2 дуV-^'y (4.2.10)V-^'y (4.2.10)
ди-х
е* ~ "дх" ’
ди-х
е* ~ "дх" ’
диу
и ду
диу
и ду
е^~ 2 ду
е^~ 2 ду
V-^'y (4.2.10)
V-^'y (4.2.10)
Граничные условия на контуре удовлетворяются либо в перемещениях
“x = £i(x, z/), uy = g2(x, у)(4.2.11)
либо в напряжениях
ОхПх + ОхУпи = fx^x, у);(4 2 12)
ОхуПх + СуПу = fy (X, у\( • • )
где fx, fy— компоненты вектора контурных усилий; nv, пд — компоненты единичного вектора внешней нормали к контуру.
После решения основной задачи в случае плоской деформации определяется напряжение сг по формуле (4.2.3), а в случае плоского напряженного состояния— деформация ez по формуле (4.2.8).
Если граничные условия плоской задачи термоупругости заданы в перемещениях, то целесообразно ее решать в перемещениях.
Полагая в уравнении (2.2.1) и3 = иг= О, F = 0 и учитывая, что все производные по г равны нулю, для задачи термоупругости о плоской деформации получаем следующие два уравнения в перемещениях:
№ + (>■ + Н) 4 (^- + ^) - (3>- + 2« «,= 0;
(4.2.13)
^иу + (X + р) ~ ^ + ^ - (ЗХ + 2р) аг -^^- = 0, гдеv2 - — 4- —
dz2 дуг 1
Для получения соответствующих уравнений в случае плоского напряженного состояния можно использовать идентичность формы соотношений (4.2.4) и (4.2.7). Из равенств (4.2.5) определяем
(4.2.14)(4.2.14)„ с 1 + 2VjV!1 + V]
(4.2.14)
(4.2.14)
Е = Е,г—4; v = -г-г—; ат=ссГ1 , ■, „ ■
1 (1 + Vj)21 + vi 1 rl 1 + 2v
Этим величинам соответствуют
. _Ex_ £iyi_ Е _
(l+v)(l-2v)- ,_v2 ’2(1+ V) ~
-г-й^азх + г^а,-^..(4.2.15)
Подставляя (4.2.15) в уравнения (4.2.13) и заменяя величины Ev vlt ал величинами Е, v, ат, получаем уравнения равновесия в перемещениях для плоского напряженного состояния.
Частное решение системы уравнений (4.2.13) в соответствии с решением (2.2.11) имеет вид
(4.2.16)(4.2.16)(T) _ ЭФ (г) _ ЭФ
(4.2.16)
(4.2.16)
Ux ~ дх ’~ ду ’
где на основании (2.2.12) термоупругий потенциал перемещений для плоской деформации удовлетворяет уравнению
V Ф = V«7 U - То). (4.2.17)
Подставляя в это уравнение v и аг из равенств (4.2.14) и заменяя затем vx и «л на v и аг, находим соответствующее уравнение для плоского напряженного состояния
у2ф=(1+v)ar(T-T0).(4.2.18)
К частному решению (4.2.16) системы уравнений (4.2.13) необходимо присоединить общее решение соответствующей однородной системы уравнений, позволяющее удовлетворить граничные условия (4.2.11).
Перейдем к формулировке плоской задачи термоупругости в напряжениях. Рассмотрим сначала односвязное тело.
Для двумерной задачи шесть уравнений совместности деформаций (2.3.5) переходят в одно уравнение
2-^.(4.2.19)
ду1 дх2 дхдуv '
Заменяя в этом уравнении по формулам (4.2.4) деформации напряжениями и принимая во внимание уравнения равновесия (4.2.9), получаем для плоской деформации следующее уравнение совместности деформаций в напряжениях:
^x + ^) + £iariV2(T- То) = 0,(4.2.20)
где Ех и аГ1 выражаются формулами (4.2.5).
Введем функцию напряжений F по формулам
d2Fd2Fd2Fо
о, = -з-х- , си =9 > Охи =•(4.2.21)
х ду1 и дх2 у дхдуv '
При этом уравнения равновесия (4.2.9) удовлетворяются тождественно.
Подставляя выражения (4.2.21) в уравнение (4.2.20), находим, что при плоской деформации функция напряжений F должна удовлетворять уравнению
V2V2/7 + £iar)v2 (Г — Тд) = 0,(4.2.22)
где
а4рd4Fd4F
XFXFF =+ 2(4.2.23)
дх4дх2ду2dy4x ’
Заменяя в этом уравнении величины Ev ал величинами Е, ат, получаем соответствующее уравнение для случая плоского напряженного состояния:
N^F + Еа^2 (7 — Тд) = 0.(4.2.24)
Общее решение уравнения (4.2.22) или (4.2.24) имеет вид
F = F* + F^,(4.2.25)
где F* — общее решение бигармонического уравнения
V2V2F* = 0.(4.2.26)
Функция F^ при плоской деформации — частное решение уравнения
V2^)+_r^_0,r(7_To) = o>(4.2.27)
функцию напряжений пофункцию напряжений поа при плоском напряженном состоянии — частное решение уравнения
функцию напряжений по
функцию напряжений по
^^F^ + Еат(Т — То) = 0. (4.2.28)
Сформулируем граничные условия для функции напряжений в системе ортогональных криволинейных координат s, п.
Пусть на контуре L удовлетворяются граничные условия (4.2.12) (рис. 19). Выражая напряжения через формулам (4.2.21) и учитывая, что
..,, dx dy
(4.2.29)(4.2.29)пх = cos (п, х) = cos (s, у) = — = — ;
(4.2.29)
(4.2.29)
.., x dudx
nu = COS (n, y) = — COS (s, X) = —T2- =,
переписываем условия (4.2.12) в виде
, _ дЧdy dPFdx _ d ( dF \ .
'x — dy2 ' ds + dxdyds ~ ds \ dy ] '^ g 39)
, d2Fdy34dxd / dF \
'ydxdydsdx1dsds ( dx J ’
Интегрируя равенства (4.2.30), получаем
ss
^.--^ds^-a, ^^J^ds + p, (4.2.31)
о0
где аир — постоянные; начало отсчета координаты s берется в некоторой фиксированной точке.
Зная частные производные от функции напряжений в двух взаимно перпендикулярных направлениях, находим на контуре L функцию напряжений и ее нормальную производную
S гS гооssfyds + f fxds ds J '9 ds • ооssfyds + f fxds ds J '9 ds • ооds + ax + Pz/ + у =ds + ax + Pz/ + у =
S г
S г
о
о
ss
fyds + f fxds ds J '9 ds • оо
ss
fyds + f fxds ds J '9 ds • оо
ds + ax + Pz/ + у =
ds + ax + Pz/ + у =
sss
= — x J Ms + У ^ tx^s + J (/yX — fxy) ds + ax + ^y + y; (4.2.32) 0do
(
S\/ S\
— f f ds + a)+ "тЧ fMs + p).(4.2.33)
0/\q/
В случае односвязного тела добавление линейной функции к функции напряжений F не влияет на распределение напряжений, поэтому постоянные а, 0, у можно принять равными нулю.
Когда отсутствуют контурные силы (ft = fy = 0), граничные условия для функции напряжений F в случае односвязного тела будут следующие:
F = -5^- = 0 на контуре L.(4.2.34)
Таким образом, решение плоской задачи термоупругости в напряжениях для односвязного тела сводится к нахождению общего решения (4.2.25) для функции напряжений F, т. е. к нахождению общего решения F* бигарионического уравнения (4.2.26) и частного решения F^ уравнения Пуассона (4.2.27) или (4.2.28) при граничных условиях (4.2.32) и (4.2.33) или (4.2.34).
Зная частное решение F^T\ плоскую задачу термоупругости можно свести к плоской задаче изотермической теории упругости, для решения которой разработаны эффективные методы, опирающиеся на теорию функций комплексного переменного [45].
При стационарном плоском температурном поле без источников тепла, удовлетворяющем уравнению
V2T (х, у) = 0,(4.2.35)
плоская задача термоупругости для односвязного тела, свободного от контурных усилий, на основании уравнения (4.2.22) или (4.2.24) описывается уравнением
V2V2F =■ 0(4.2.36)
при граничных условиях (4.2.34). В этом случае задача становится полностью однородной. Ее единственное решение F = 0, т. е. напряжения сх, су, сху равны нулю.
В случае плоской деформации единственный компонент тензора напряжения, отличный от нуля, на основании формулы (4.2.3) равен
аг=—атЕ(Т — Т0\(4.2.37)
В многосвязном теле при стационарном плоском температурном поле напряжения в плоскости хОу, вообще говоря, не равны нулю, что обусловлено многозначностью решений для перемещений в многосвязной области (§ 4.4, § 4.5).
Приведем основные соотношения и уравнения плоской задачи термоупругости в полярных координатах г, 6:
соотношения между деформациями и перемещениямисоотношения между деформациями и перемещениями(4.2.38) уравнение совместности деформаций1 д=ег 1 ЗЧ6 -г ] дег_ 2 d^rг2• 502"Г г•№ г' dr г*' drdQ ’(4.2.38) уравнение совместности деформаций1 д=ег 1 ЗЧ6 -г ] дег_ 2 d^rг2• 502"Г г•№ г' dr г*' drdQ ’
соотношения между деформациями и перемещениями
соотношения между деформациями и перемещениями
(4.2.38) уравнение совместности деформаций
1 д=ег 1 ЗЧ6 -г ] дег_ 2 d^r
г2• 502"Г г•№ г' dr г*' drdQ ’
(4.2.38) уравнение совместности деформаций
1 д=ег 1 ЗЧ6 -г ] дег_ 2 d^r
г2• 502"Г г•№ г' dr г*' drdQ ’
уравнения равновесия
(4.2.40)
соотношения между деформациями и напряжениями
(4.2.41)(4.2.41)е, = -4- (ог — v^e) + ап (Г — К),ее = -^- (ое — v^,) + ап (Т — 70),1 + Vj
(4.2.41)
(4.2.41)
ere р arQ,
соотношения между напряжениями и функцией напряжений
1 dF. 1 ^Fd2F9 I 1 dF\.
°r~ r' dr r1‘ d№’ °6 ~ "dr2" '°r9 ~ dr \ r‘ d9 ) ’
(4.2.42) оператор Лапласа
dr1 ' r dr ' r2 662 r dr \ dr / ' r1 662
(4.2.43)
В случае осесимметричной плоской задачи термоупругости соотношения (4.2.38) переходят в следующие:
(4.2.44)
а уравнение (4.2.39) в результате интегрирования принимает вид
Подставляя в это уравнение соотношения (4.2.44), убеждаемся в том, что возникающая при интегрировании постоянная равна нулю.
Из двух уравнений равновесия (4.2.40) получается только одно:
(4.2.46)
Составим уравнение для аг, предполагая, что модуль упругости Е и коэффициент линейного теплового расширения при фиксированном времени зависят от координаты г, а коэффициент Пуассона v — постоянная величина.
Подставляя в уравнение (4.2.45) вместо деформаций их выражения через напряжения по первым двум из соотношений (4.2.41) и используя уравнение (4.2.46), находим
dE, .1Г^dE, .1Г^2 d2ar , (о г dEx\ dar (1 — V1) г г "а^~ +dr)~г^—
dE, .
1Г^
dE, .
1Г^
(4.2.47)
d 1darrdr I г drd 1darrdr I г drЕсли значения Ех и ап — постоянные, то это уравнение получает вид
d 1darr
dr I г dr
d 1darr
dr I г dr
+ апЕг (Т — 7„)] = 0.(4.2.48)
Аналогичным образом составляем уравнение для иг.
Подставляя в уравнение (4.2.46) вместо напряжений их выражения через деформации, полученные из первых двух соотношений (4.2.41), и применяя уравнение (4.2.45) и соотношения (4.2.44), при Ег, vb аТ\ = const находим
^[^-^-О + ^алСГ-т^0. (4-2л9)
В уравнениях (4.2.47) — (4.2.49) величины Ev vn аГ1 при плоской деформации имеют значения (4.2.5), а при плоском напряженном состоянии они равны соответственно Е, v, аг.
Пространственное температурное поле, вызывающее плоское напряженное состояние. Тепловые напряжения в пластине
при изменении температуры только по толщине
Рассмотрим односвязное тело в виде пластины, ограниченной двумя плоскостями z = ± -у (h — толщина пластины) и цилиндрической
поверхностью с замкнутой направляющей (рис. 20). Пусть такая пластина подвергается действию пространственного температурного поля Т (х, у, z, f). При определенном условии для температурного поля в пластине возникает плоское напряженное состояние, определяемое условиями (4.2.6).
Уравнения равновесия (1.2.17) при отсутствии объемных сил переходят в уравнения (4.2.9), которые удовлетворяются. если напряжения ov, оу; схд выражены через функцию напряжений F = F (х, у, г) по формулам (4.2.21).
Уравнения совместности деформаций в напряжениях (2.3.17) принимают вид
(l + v)V2[ox+-^(T-To)] + ^[0 + ar£(T-O
(4.3.1)
(1 + v) V2 [а, + ^- (Г - То)] + ^- [0 + атЕ (Т - То)1 = 0;
(4.3.2)
ягатЕ (1 + v)
гдегде[0 + атЕ (Т - То)] + -; V2 (Г - То-) = 0; (4.3.3)
где
где
a2 , gzдх1 + ду»a2 , gzдх1 + ду»д»Зг» 'д»Зг» '
a2 , gz
дх1 + ду»
a2 , gz
дх1 + ду»
д»
Зг» '
д»
Зг» '
(l + v)V2oXy
+ ^[0+ат£(7'-7'о)]^О;
(4.3.4)
д2 дхдг
.[0 +«^(Т-То)] = 0;
(4.3.5)
д2 дудг
-[0 + агЕ(Т-То)] = О,
(4.3.6)
0 = ох + оу =
д2Рд»Г
дх1дуг
Из уравнений (4.3.5) и (4.3.6) видно, что величина -^ [0 + + ат Е (Т — Т^)] не зависит от координат х и у, так что -^- [0 + + ajE (Т — Tq)] = /1(z, /), где время / рассматривается как параметр.
Подставляя fT (z, t) в уравнение (4.3.3), находим условие для температурного поля
V2 (Г — То) =/2 (г, 0.V2 (Г — То) =/2 (г, 0.(4.3.7)(4.3.7)
V2 (Г — То) =/2 (г, 0.
V2 (Г — То) =/2 (г, 0.
(4.3.7)
(4.3.7)
при котором существует точное решение уравнений пространственной теории термоупругости при ограничениях для напряжений (4.2.6), соответствующих плоскому напряженному состоянию. Исследование такой задачи приводится в книге [5]. Здесь рассмотрим частный случай этой задачи: определение тепловых напряжений в пластине при изменении температуры только по толщине, т. е. при
Т = T(z, /). (4.3.8)
При этом температурном поле в пластине возникают следующие напряжения:
°х = ° и = f (Д °г = Охг = Оуг = оХу = 0.(4.3.9)
Путем подстановки легко убедиться в том, что при напряжениях (4.3.9) уравнения равновесия (4.2.9) удовлетворяются тождественно.
Уравнения совместности деформаций (4.3.4) — (4.3.6) удовлетворяются также тождественно, а уравнения совместности деформаций (4.3.1) — (4.3.3) удовлетворяются при
Я2 ГО-тЕ1
Т^г (Г - ^о)j = 0.(4.3.10)
Отсюда
атЕ
av = ay = f(z) = -r^-(T-T0) + C1 + C2z. (4.3.11)
Постоянные С\ и С2 определяются из граничных условий, которые удовлетворяются в смысле принципа Сен-Венана: равнодействующее усилие и равнодействующий момент на контуре пластины полагаются равными нулю, т. е.
Л/2h/2
ondz = | onzdz = 0,(4.3.12)
—й/2—й/2
где оп — напряжение, нормальное к контуру.
Учитывая, что оп = ох = оу, и определяя из условий (4.3.12) постоянные Сг и С2, получаем следующее выражение для напряжений:
«^-^Т^ет+гхт-а^Т-То)],(4.3.13)
где Л/2Л/2
sr = 4 j ar(T-T0)dz, xr = ^- j aT(T— T^zdz. (4.3.14) —й/2—h/2
Заметим, что при линейном распределении температуры Т — Тй по толщине пластины тепловые напряжения в ней равны нулю.
Пример. Определим тепловые напряжения в пластине при условиях теплообмена, рассмотренных в примере § 3.7.
Температурное поле пластины определяется выражением (3.7.26). Подстав- sin у cos ляя его в формулу (4.3.13) и принимая во внимание равенство =,
вытекающее из уравнения (3.7.28), получаем_ Еат^-Т^ ” г Г / Ml"г1v Zj |cos +“2” И +
п=\
4— [12$ — (у + 6у$ + 129 cos р„] е ^ ,(4.3.15)
где $ = —, т = —, а постоянные С. имеют значения (3.7.27). /in2л
По формуле (4.3.15) находим распределение тепловых напряжений а, по толщине пластины в разные моменты времени при значениях величин д, То, у, р.л, Сп, a, h, указанных в примере § 3.7. Распределение этих напряжений с точностью до постоянного множителя—-— представлено кривыми на рисунке 21.
1 — V
/ 3
Рис. 21.
Из рассмотрения кривых на рисунках 13 и 21 видно, что наибольшие тепловые напряжения ах = ау возникают в пластине в первую секунду, когда при относительно низком уровне температуры температурный градиент достигает наибольшей величины.
Постановка плоской задачи термоупругости в напряжениях для многосвязного тела
Рассмотрим плоскую деформацию W + 1 — связного тела при плоском температурном поле. Результаты, полученные в этом параграфе, будут пригодны и в случае плоского напряженного состояния, если величины Ev ху, ап заменить величинами Е, м, ат (§ 4.2).
Пусть поперечное сечение тела ограничено несколькими замкнутыми контурами, из которых наружный контур L охватывает все остальные контуры Ек (К = 1, 2^) (рис. 22).
В случае многосвязного тела угол поворота щ2, определенный по формуле (4.4.1), и перемещения их и иу могут быть неоднозначными. Поэтому постановка плоской задачи термоупругости в напряжениях, рассмотренная в § 4.2 для односвязной области, в случае многосвязной области должна быть дополнена тремя условиями однозначности: одним для угла поворота щг и двумя для переме-
щений их и иу.Указанные условия можно было бы получить как частный случай условий однозначности для пространственной задачи термоупругости (§ 2.3). Однако для лучшего уяснения рассматриваемого вопроса здесь приводится независимый вывод этих условий в
системе криволинейных ортогональных координат s, п.
Начнем с вывода условия однозначности для угла поворота
1 ( димдих )
(4.4.1)(4.4.1)2 \ дхду /
(4.4.1)
(4.4.1)
(4.4.2)(4.4.2)Так как деформации—однозначные функции, то на основании формулыj|
(4.4.2)
(4.4.2)
вытекающей из соотношения (4.4.1) и третьего соотношения (4.2.10), условие однозначности для угла поворота юг сводится к условию однозначности для производной ■—. или Д^-. Условие однознач- ности для производной-^ можно записать в следующем виде:
Сd] Q (4.4.3)
.1 ду [ дх \ ду ] dy \ ду ) 3 \'
LKLK
(К= 1, N\
где интегрирование выполняется по каждому замкнутому контуру Lk, охватывающему только К-е отверстие.
Вводя в подынтегральное выражение деформации по формулам (4.2.10) и выражая их через функцию напряжений с помощью формул (4.2.4) и (4.2.21), получаем
J ду J [ ду ' \ ду дх / LKLK
= f—4-У2^х + (1 4-vjM+
Ei J I dx 3 dy' x 1 u \ dx dxdy
LK
i 5 d»F . \ . c [ d(7 —70) . d (7 — 70) . 1) n+ -=— • -ъ a du + E^an ——Д—— du—,—— dx = 0.
ду дхду 31 1dx 3dy J)
Принимая во внимание равенства (рис. 19) д дdx.ddy .
dsдхds'дуds ’
d _ d дп dxd _ d дп dxdx । д dy dn *" dy ' dndx । д dy dn *" dy ' dn±_. ^У. L .• (4 4 4)
d _ d дп dx
d _ d дп dx
dx । д dy dn *" dy ' dn
dx । д dy dn *" dy ' dn
dx dsdy ds ’ ' ' " '
_ 1 + vi fd — d2p
Ei J \ Эх dxdy X ‘ dy dxdy
LK
Ег J dxdy ’LK
находим условие однозначности для угла поворота в виде
У &о, = лю, = - у d (Дь) = J_ f ^vw +
LKLKLK
+ an J ^(Г~То) ds = 0,(K= 1, 2, .N), (4.4.5)
где Д(ог — приращение угла поворота ю2 при обходе замкнутого контура Ьк-
Условие однозначности для перемещения их записываем в виде
$““.= Н.Т^+тГ^-0'(4Л-6>
LK LK
Интегрируя по частям (приращение некоторой величины £ при обходе контура L^ символически обозначим через 1^1^"), получаем
С . Гdu.x1Р°. Г du.x1Р° СГди-х)। ji duxп
I duY =4-—т^-УХ — \xd+ «а —5^-— и-
J х Lдх]р,1 L dyУ1Р, JL Iдх)1 у \ dy
Вводя деформации, находим
J dux = -y\toz- J [х (^. dx + ^dy) +
LKLK
+ 9^dxdXydx+ dy^ ^)j- уЛ“2 J KX-^+ y~ir)dx^
LK
+ [x + у 4dg\ = o,
L oy \ dy dx y) ’
где
du*—^- у . dy y.du*—^- у . dy y.= — y\toz.= — y\toz.
du*
—^- у . dy y.
du*
—^- у . dy y.
= — y\toz.
= — y\toz.
Выражая деформации через функцию напряжений и принимая во внимание равенства (4.4.4), находим
J dux =-y^z-A- J [x(^dx + ^dz/)-
LKLK
/ d^F .d^F , \1 . 1 + V1 f J Г 5 / d2F \ . ,
— У —— ay5— ax Hlx -з-т- dx +
3 \ dx 3 dy /] EY J ( [ dx \ dx2 /1
LK
, d / d2F ) , 1 .Г d /№F,.5/ d2F\ , П
+ -3— тт “У +УХ s—д adx+ -3—- ,dy И—
ду \ dx2 J J3 L dx \dxdy /dy\ dxdy/ 3j)
J I L dx1 dy 3J
LK
Г d(7 — T^ .d(T — T0) .
[ axoy
= -у^г- A_ Lr у +1+11 f Ld№ +
Ex J \ ds 3 dn /1 ^i J I \ dx2 ) 1
LKLK
. d2F \1 Г Г 5(7 —70)d(7 — 7 ) ]
+ yd - 3 3 ' — an I x ——3— у —5—— as=0.
3 \ dxdy /J J L ds 3 dn J LK
Наконец, принимая во внимание граничное условие (4.2.31) для -^- и преобразуя интеграл
+ V1 С I л / 5=7 \ .. ( d2F \ 11 + V1 и d2F 1Р* ,
—1 ха , „ + yd -5-5— = —=—L ( х -3-5-+
7i J [\ dx2 / 1 3 \ dxdydx2
LK
[
агр IP. P / агр
^k-H-s^ + ^d,,))-
LK
Ei J \ dx / Ei JLKLK
получаем условие однозначности для перемещения их в окончательном виде:
С duv = — z/A(o2 — -1- f fx у ^Fds + 1 f fHK'ds — J r 3 z Ex J \ ds 3 dn /' Ei J
LKLKLK
-an f (x 4z/^-)(T-To)ds=O (K = 1, 2, . . . , N). (4.4.8)
Аналогичным образом составляем третье условие однозначности для перемещения иу:
J L dx X]p0+ [ dy y\p, V \ dx ) + ya I dy Л
LKLK
- ^"- Ч- f (»^+* 4)тта - 4г J ff’ds ~
. LKLK
-an J (g^+x4rVT-T^ds=0 (K = L 2, . . ., N), (4.4.9) где
x = хД(о„I ox*
В условиях (4.4.8) и (4.4.9) Дю, f^ — компоненты вектора контурных усилий на внутреннем контуре LK (К = 1,2, ..., N) (рис. 22).
Таким образом, постановку плоской задачи тер моупр угости в напряжениях можно сформулировать следующим образом. Необходимо определить функцию напряжений/7 (х, у), удовлетворяющую уравнению (4.2.22) (при плоской деформации) или уравнению (4.2.24) (в случае плоского напряженного состояния), граничным условиям (4.2.32) (4.2.33) на наружном контуре L и соответствующим граничным условиям на каждом внутреннем контуре Ек (рис. 22), условиям (4.4.5), (4.4.8), (4.4.9) (при плоской деформации) или таким же условиям однозначности, но содержащим вместо величин Ех, vlt ап соответственно величины Е, v, ат (в случае плоского напряженного состояния).
В граничные условия для наружного контура входят постоянные а, р, у, а для внутренних контуров—постоянные а^, Рк-Дк(^ = = 1,2, ..., N). Как указано в § 4.2, постоянные а, р, у можно положить равными нулю. Для определения остальных постоянных используют условия однозначности.
В случае стационарного температурного поля и ^ = ^ = о напряжения ох, оу, оху отсутствуют при выполнении следующих условий, вытекающих из (4.4.5), (4.4.8), (4.4.9):
ал f -^=^-Л=0,(4.4.10)
J дп'7
LK
(4.4.11)
LK
Vy4r+x4ryT-T^ds=0 <4А12> LK
(К = 1, 2N\
Можно дать физическое толкование неоднозначности перемещений (углового ю2и линейных иЛ, uj) в многосвязном теле. Эта неоднозначность связана с дислокационными напряжениями, т. е. с напряжениями, которые возникают в многосвязном теле не от действия внешних сил, а за счет образования особого рода деформаций,
называемых дислокациями. Образовать такую деформацию (дислокацию) можно, например, посредством соединения двух краев, получившихся в результате разреза тела по линии акЬк (рис. 22) и удаления из него или добавления весьма узкой полосы. При этом края должны быть расположены так, чтобы для их соединения с помощью внешних воздействий надо было осуществить малое жесткое смещение одного края относительно другого. После соединения краев и удаления внешних воздействий тело останется в напряженном состоянии, и по линии а^Ьк будет иметь место разрыв перемещений.
Из формул (4.4.5), (4.4.8) и (4.4.9) следует, что в результате дислокации при обходе замкнутого контура Lk угол поворота юг и перемещения их, иу получают следующие приращения:
(4.4.13)(4.4.13)Nux + z/A®3 =|—- у^2Fds;
(4.4.13)
(4.4.13)
v । У г5Sдп /
Lk
Au„ — хАюг =(у 4—Н х ) N^Fds.
у z EY j V ds дп /
LK
Существует аналогия между плоской задачей термоупругости для многосвязного тела при стационарном температурном поле без источников тепла и плоской задачей изотермической теории упругости с дислокациями, которую будем называть дислокационной аналогией.
При наличии дислокаций и отсутствии контурных сил У^ = = f^ = 0) решение плоской задачи изотермической теории упругости сводится к нахождению функции напряжений, удовлетворяющей уравнению
(4.4.14)(4.4.14)граничным условиямF =граничным условиямF =5Р-^- = 0 на контуре L;5Р-^- = 0 на контуре L;(4.4.15)(4.4.15)V2V2^ = 0,
(4.4.14)
(4.4.14)
граничным условиям
F =
граничным условиям
F =
5Р
-^- = 0 на контуре L;
5Р
-^- = 0 на контуре L;
(4.4.15)
(4.4.15)
F = акх + £ку + ук; )
дР _ дх х Й ду «а контуре LK (К = 1, 2, . .., N)
~ “« "дН" + J
(4.4.16) и условиям (4.4.13).
Плоская задача термоупругости при стационарном температурном поле без источников тепла описывается тем же уравнением (4.4.14) при тех же граничных условиях (4.4.15) и (4.4.16) и
условиях однозначности перемещений (4.4.5), (4.4.8) и (4.4.9), которые имеют вид
ds;ds;С g Wds — атх С .5 (7* — Т’о)
ds;
ds;
Ej дп V~ J dn
LKLK
-f-I x -54 s— V2Fc!s =
EY j \ ds 3 dn )
LK
-”Ч (^-»^г)<г-г«)^LK-”Ч (^-»^г)<г-г«)^LK(4.4.17)(4.4.17)LKLKV2F = dn /V2F = dn /LKLKтУт-т.^-тУт-т.^-
-”Ч (^-»^г)<г-г«)^
LK
-”Ч (^-»^г)<г-г«)^
LK
(4.4.17)
(4.4.17)
LK
LK
V2F = dn /
V2F = dn /
LK
LK
тУт-т.^-
тУт-т.^-
Сопоставляя условия (4.4.13) и (4.4.17), получаем f d (Т — ТЛ ,.
— «т-i j ——dn ■— ds = Acoz;
(4.4.18)(4.4.18)an f У ~5Г— y "w) (T — To)^ = Auv + i/A(oz;
(4.4.18)
(4.4.18)
LK
атх J У~зг + х4гУт-т»^ =
LK
= \uy — xA(o2 (K = 1, 2, .. ., N\
Эти равенства определяют дислокацию, которая характеризуется для каждого внутреннего контура величинами Аю2, Aux, Аиу и вызывает такое же распределение напряжений в плоской задаче изотермической теории упругости для многосвязного тела, как и стационарное температурное поле в соответствующей плоской задаче термоупругости.
§ 4.5. Применение теории функций комплексного переменного в плоской задаче термоупругости при стационарном температурном попе.
Дислокационная аналогия
При плоском стационарном температурном поле, удовлетворяющем уравнению (4.2.35), функция напряжений F становится бигармо- нической. Следуя Н. И. Мусхелишвили [45], рассмотрим комплексное представление бигармонической функции F. Обозначая гармо-
ническую функцию \гР через Р: \гР = Р и вводя гармоническую функцию Q, сопряженную с Р, т. е. удовлетворяющую условиям
дРdQдРdQ
Коши — Римана -5— = -^- , -5— =А-, на основании теории охоуоуdx ’1
функций комплексного переменного заключаем, что
Г (2) = р + iQ, а следовательно, и
c^z) - р iq = -^-\ f(z)dz(4.5.1)
являются аналитическими функциями комплексного переменного z = х + iy в области, занимаемой телом, а р и q — сопряженными гармоническими функциями.
Дифференцируя функцию (4.5.1) и учитывая, что величина про- изводнои не зависит от способа приращения z (dz = dx или dz = idy), находим
Ф'(г) ==+= ^- — i4p= l_^p^iQY (4.5.2)
v ' dz dx dx ду ду 4 vv '
Отсюда получаем
===(4.5.3)
дх ду 4 дудх4х '
На основании равенств (4.5.3) и уравнений \гр = ^2q = О легко установить, что
^F-2^-2A- = V4F-xp-yq) = 0.
Таким образом, функция рх = F — хр— yq является гармонической.
Обозначая функцию комплексного переменного, действительной частью которой является pv через х (z), составляем для функции напряжений формулу
F = хр + yq + pr = Re [ гф (z) + х (z)L(4.5.4)
где символ Re означает действительную часть выражения, заключенного в скобки, a z = х' — iy. Эту формулу можно представить в виде
2F = гф (z) + 2<р (z) + х (z) + X (z),(4.5.5) где q) (z), х (z) — функции, комплексно сопряженные с ф (z), х (z).
Введем в рассмотрение аналитические функции комплексного переменного
fP (г) = т — То + iQ(n(4.5.6)
и
Ф(Г) (z) = р(Т) + iq^ = J fT^ (z) dz,(4.5.7)
где Q<r) — гармоническая функция, сопряженная с Т — То, а рт, ^(т) — гармонические функции, для которых имеют место следующие соотношения:
=(4-5.8)
дх ду° дудхх \/
Переходя к комплексному представлению напряжений, в качестве новых независимых переменных вместо х и у рассмотрим величины z = x-\-iynz = x — iy.
Учитывая, что дгдг , дг dz . дх дх ’ дуду
имеем д _ д д д _5_\ •'
дх “ дг + дг ’ ду — Цдгдг / ’
д, , д_ 9 д д. д_ 9 д .
дх ду дг’ дх ду дг ’
а2а29. а2_ /_а. а \ /_а. адх2ду2 1 дхду \ дх1 ду / \ дх1 ду )а2а29. а2_ /_а. а \ /_а. адх2ду2 1 дхду \ дх1 ду / \ дх1 ду )
а2а29. а2_ /_а. а \ /_а. а
дх2ду2 1 дхду \ дх1 ду / \ дх1 ду )
а2а29. а2_ /_а. а \ /_а. а
дх2ду2 1 дхду \ дх1 ду / \ дх1 ду )
дгдг '
С помощью этих равенств и соотношений (4.2.21) находим следующие комплексные представления напряжений:
ох + »у = V^F = 2 [ф' (?) + ф' (z)J;(4.5.10)
(
ГЛ2Л2аг \-
Т - 2r F = 2 [гф" (z) + X"(г)].
(4.5.11)
Подставляя в первые два соотношения (4.2.4) выражения для деформаций через перемещения (4.2.10) и выражения для напряжений через функцию напряжений (4.2.21) и используя равенства (4.5.3) и (4.5.8), получаем
Е‘ -т - (^ - т)F +-
х дгР . . др . рдр^Т}
= — (1 + vi) + 4 -4— + Е,ari —— ,v 1 дх2дх 1 1 дх ’
ЕЕди» _1 дуди» _1 дуд2дх2 V1. d2F-^"д^д2дх2 V1. d2F-^"д^^F + E^nfT-T.)^dy^F + E^nfT-T.)^dyду 'ду '
Е
Е
ди» _
1 ду
ди» _
1 ду
д2
дх2 V1
. d2F
-^"д^
д2
дх2 V1
. d2F
-^"д^
^F + E^nfT-T.)^
dy
^F + E^nfT-T.)^
dy
ду '
ду '
После интегрирования находим
^i«r = — 0 + vj + 4р + Егаир^ + Л (у);
dx(4.5.12)
EiUH = — (1 4. V1) -^- + 4q + Е^пд^ + /2 (x).
Для определения функций /j (г/) и /2 (х) подставляем перемещения (4.5.12) в третье соотношение (4.2.4):
1 / дих . du^)1 + V! дгР
2 \ ду дх /Ег дхду "
Используя при подстановке равенства (4.5.3) и (4.5.8), находим, что функции Д (у) и /2 (х) выражают перемещения тела как целого, поэтому в дальнейшем их не принимаем во внимание. Наконец, умножая второе соотношение (4.5.12) на i и складывая с первым, а затем используя третье равенство (4.5.9), представление (4.5.5) и выражения (4.5.1), (4.5.7), получаем комплексное представление перемещений:
Т^(«г + Шу) = 7^7; Ф(z) — zqTO — ГО) + т!р^ J ^Л(z)dz-
(4.5.13)
Граничные условия в перемещениях (4.2.11) или в напряжениях (4.2.12) при использовании выражений (4.2.30) могут быть представлены в комплексном виде:
т^7 (^i + ^2) = у^7 ф (z) —^ (z) — ГО) + т^ J ^ ^ dz>
(4.5.14) f*+if у - - ^ (4r+^ = -1 ^ [(p ^+zro+roi -
(4.5.15)
Как видно из представлений (4.5.10), (4.5.11) и (4.5.13), решение плоской задачи термоупругости при стационарном температурном поле сводится к отысканию двух функций ф (z) и х' (г) комплексного переменного z, которые должны удовлетворять граничным условиям (4.5.14) или (4.5.15) на каждом контуре.
Поскольку напряжения — однозначные и непрерывные функции, то в случае односвязной области из формул (4.5.10) и (4.5.11) следует, что функции ф' (z) и х" (z) тоже должны быть однозначными и непрерывными. Однозначными будут также перемещения, представляемые формулой (4.5.13), так как для односвязной области однозначность и непрерывность функций ф' (z), х" (?) и /^ (z) обеспечивает однозначность входящих в формулу (4.5.13) функций Ф (z), х' (z) и $Г (z) dz. Для односвязной области плоская задача
термоупругости при стационарном температурном поле без источников тепла не отличается от соответствующей плоской задачи изотермической теории упругости.
Таким образом, приходим к важному утверждению, высказанному на основании более элементарных соображений в § 4.2, что в односвязном теле, свободном от контурных усилий и подверженном действию стационарного температурного поля без источников тепла, отсутствуют напряжения ох, оу, аху.
В случае многосвязного тела действительные части функций q>' (z) и ^^(z) и функция х" (2) сохраняются однозначными в силу однозначности напряжений и температурного поля, но мнимые части функций ф' (z) и f1^ (z) и функции ф (z), х' (2), У /(Г) (2) dz могут стать многозначными за счет конечных приращений при обходе внутренних контуров. Если отсутствуют напряжения, условие однозначности перемещений (4.5.13) соответствует условию
^f^dz-Q.(4.5.16)
LK
Это условие эквивалентно условиям (4.4.10) — (4.4.12) для стационарного плоского температурного поля, не вызывающего напряжений в многосвязном теле. Действительно, умножая условия (4.4.10), (4.4.11.), (4.4.12) соответственно на 1 z, 1, i и складывая их, получаем ianZ f "^ir^- ds — “n J z (“^"+ 1 (T — ro) ^ = 0. Это LKLK
выражение с помощью условий Коши — Римана в системе ортого- d (Т — Тв) dQ<T>d(T — T0)
нальных координатs,п —;5—— з—,——5—— =
r’dsdn’ dn
dQ^
= —преобразуем к виду
iz f dQ^ — { zdf^z^ = 0,LKLK
отсюда
iz [Q,n]p; - Z VT - To 4- iQ1^ 4- J /(Г) (z) dz = 0,LK
т. e. имеет место условие (4.5.16).
Выясним характер многозначности функций, входящих в выражение (4.5.13). При однократном обходе внутреннего контура LK (рис. 22) функции ф' (z) и ф' (z) получают приращения
[ф' (2)1р; = 2лЛК1, [ф' (z)]p; = — 2лЛК1, (4.5.17) где Ак— действительная постоянная, а коэффициент 2л введен для удобства записи. Это приращение совпадает с соответствующим
приращением функции Дд1п (z — zk)> где гд — произвольно выбранная точка внутри контура Lk- Следовательно, функцию ф' (z) можно представить выражением
N
ф' (z) = ^ Ак In (z — zK) + Ф (z),
К=1
где Ф (z) — однозначная функция в области, [занимаемой телом.
Интегрируя это выражение, получаем
Ф (z) = ^ Ак [(z — zK) In (z — zK) — (z — zK)l + Д=1
NN .
+ I Ф(г) dz + const = z 2 Дд In (z — zK) + У, ^k In (z — zK) плюс
.K=1«='
однозначная функция, где z0 — произвольная точка рассматриваемой области; ук— комплексная постоянная.
Таким образом, при однократном обходе контура Lk (рис. 22) функция ф (г) получает приращение
[ф(г)]рЧ 2ш(гДд + уд).(4.5.18)
Аналогично предыдущему можно записать
[X' (г)]₽; = Злудг, [х' (z)1p° = — 2луд1,
[f<r> (z)1pJ = 2лДд V, [J А^Й^л^Д^Ч А ’
где Дд* — действительная постоянная; ук, у^ — комплексные постоянные.
Рассматривая приращение их + 1иу [см. формулу (4.5.13)] при обходе контура LK и принимая во внимание выражения (4.5.17) — (4.5.19), находим
Atzx + i\uy у-, AKz + . Уд + уд +
+ 2nani (A^z + у*^),(4.5.20)
где \их = ut — и7; Аиу = и^ — и^; ut, u^ и u7, u^ — перемещения в точке края (+) и в точке края (—), которые совмещаются в точке Ро (рис. 22).
Предположим, что контур Lk свободен от внешних усилий, т. е.
f^ = f^ = 0. В этом случае из равенств (4.2.31) следует: ^ + dF
+ i -^- = ак + Фк- При обходе замкнутого контура LK приращение этой величины в связи с формулой (4.5.5) будет
f dF , . dF ip, n г SF у, D
["dF + 1 Ж]р, " 2 LlTjp. = l(P ^ + ZW 2 + x' (z)]‘p- = °"
Подставляя приращения функций ф (z), ф' (z), х' (z)> получаем условие
Тк = Тк-(4.5.21)
При этом условии формула (4.5.20) имеет вид
\их + i\uv = -^- ^AKz + yj<) + 2лап/ (А^г + у^У (4.5.22) Полагая
,,У к = «к + ^ ^ = ак+ ^(4-5-23)
(ак, Рк, а^\ Цк* —действительные постоянные) и разделяя выражение (4.5.22) на действительную и мнимую части, находим: условия при А^ = у£> = 0
\их = — дьк + Ек, Аи„ - хек + т]к, (4.5.24) где,
8л4„8л 8 у8ла2„
ек = Лк = -, Лк =;(4.5.25)
условия при Аих = Аиу = 0
ек - - е^, ^к = - &\ Пк = - Пк\ (4.5.26) где
ек* = 2лапД£), ^’ = - глапр^, Лк’ = глала^. (4.5.27)
Условия (4.5.24) соответствуют малому перемещению тела и при гк = Аиг эквивалентны условиям (4.4.13) для плоской задачи изотермической теории упругости с дислокациями.
Дислокация для каждого разреза по линии акЬк (см. рис. 22) осуществляется поворотом одного края этого разреза относительно другого на угол ек и поступательным его перемещением с компонентами ^к, ПК-
Условия (4.5.26) эквивалентны условиям однозначности (4.4.17) перемещений в плоской задаче термоупругости при стационарном температурном поле без источников тепла. Из сопоставления условий (4.5.24) и (4.5.26) вытекает упомянутая в §4.4 дислокационная аналогия: плоская задача термоупругости для многосвязного тела при стационарном температурном поле сводится к плоской задаче изотермической теории упругости с дислокациями, характеризуемыми для каждого внутреннего контура LK величинами (4.5.25).
Тепловые напряжения в цилиндре и диске при плоском осесимметричном температурном поле
Рассмотрим длинный полый цилиндр, поперечное сечение которого представляет круговое кольцо с радиусами наружной и внутренней окружностей соответственно г2 и rv В таком цилиндре при плоском осесимметричном температурном поле Т (г, I) возникает плоская осесимметричная деформация. Температурное поле Т (г, t) предпо- 116
лагается известным из решения соответствующей задачи теплопроводности .
Вводя относительный радиус р = у-, дважды интегрируя уравнение (4.2.48) и применяя уравнение (4.2.46), находим
<’r = C1 + -^-^J(T-T0)pdp;
Pl
р
»е = С, -- апЕ. (Т - То) + ^ f (Г - То) pdp.
Если контурные усилия отсутствуют, постоянные интегрирования Сг и С2 определяются из условий аг = 0 при р = рх и р = 1. После определения постоянных интегрирования и подстановки их значений в выражения (4.6.1) получаем
аГ1£1Р2аП-Е1р3аГ1£1Р2аП-Е1р391р1
аГ1£1Р2
аП-Е1р3
аГ1£1Р2
аП-Е1р3
р2 — Pi ГГ
EL j (Т - То) pdp - j (Т - То) pdp ;
Р| PiPi-
(4.6.2)
j (7 - То) pdp + j (Т - То) pdp — (Т — То) рЧ.
P1 PiPi
Зная напряжения аг и ее, с помощью вторых соотношений (4.2.41) и (4.2.44) вычисляем радиальное перемещение
иг=™ (^^(Т-Т^р-ЕLр,
(4.6.3)(4.6.3)(1-V1)p2 + (1+V1)p2‘
(4.6.3)
(4.6.3)
;2 (T — T0)pdp
1-P1р.
Полагая в решениях (4.6.2) и (4.6.3) рг = 0, получаем соответствующие решения для сплошного цилиндра. Возникающие в этих решениях при р = О неопределенности раскрываются по правилу Лопиталя следующим образом:
Vm-^^T-To)pdp = -^(J-To)p=o;(4.6.4)
р-*0 Р J
о
р
lim ~ [ (Т — То) pdp = О, р-*0 Р J
о
при этом температура в центре диска предполагается конечной.
В решениях (4.6.2) и (4.6.3) величины Ег, vlt ап имеют значения (4.2.5). Если в этих решениях Ег, vv аТ1 заменить величинами Е, v, аг, то получим выражения для тепловых напряжений ог, ое и радиального перемещения иг в тонком круглом диске при его плоском напряженном состоянии, обусловленном плоским температурным полем Т (г, t).
Тепловое напряжение а2 в полом цилиндре определяем по формуле (4.2.3):
- (1 _^4_-7о) * -^т- T«v (4-б-б>
Это напряжение возникает в цилиндре в том случае, если его торцевые поверхности закреплены от осевого перемещения^ = 0). Когда торцевые поверхности цилиндра свободны от напряжений, следует на напряжение (4.6.5) наложить равномерное напряжение Eez (ez = = const), при этом деформация ez подбирается так, чтобы равнодействующая напряжений, действующих на торцевой поверхности цилиндра, обращалась в нуль:
1
ег -г- (Т — То) pdp.
— Pi
Тогда получаем решение, у которого граничные условия для о. на торцевых поверхностях цилиндра удовлетворяются в смысле принципа Сен-Венана:
г 11
сг = Eez + az = ^2 2 J (7 — 7о) pdp — (т — го) =
LР1 р,.
= аг + а9.(4.6.6)
Если исключить перемещение цилиндра как твердого тела, то для цилиндра, у которого на торцевых поверхностях равнодействующая напряжений равна нулю, можно получить следующую величину осевого перемещения:
2orZ С _
(4.6.7)(4.6.7)«г = Л—^ (7 ~ Го) Pdp-
(4.6.7)
(4.6.7)
1-Р1 £
Рассмотрим решение задачи о тепловых напряжениях в цилиндре при плоском осесимметричном температурном поле по методу В. М. Майзеля (§2.5). В этом случае формула (2.5.5) нуждается в модификации. Полагая, что внешние силы F; и Д (§ 2.5) сводятся к радиальным силам единичной интенсивности, равномерно распределенным по окружности радиуса г, вместо (2.5.5) получаем следую-
щее выражение для радиального перемещения на радиусе г;
и,(г) =и,(г) =атЕатЕ(1_2v)r ^Т-Т^кхЖЦ^-Т^^ ,(4.6.8)(1_2v)r ^Т-Т^кхЖЦ^-Т^^ ,(4.6.8)
и,(г) =
и,(г) =
атЕ
атЕ
(1_2v)r ^Т-Т^кхЖЦ^-Т^^ ,(4.6.8)
(1_2v)r ^Т-Т^кхЖЦ^-Т^^ ,(4.6.8)
где е^ — объемная деформация, возникающая на радиусе £ под действием единичной радиальной нагрузки на радиусе г. В подынтегральном выражении в качестве переменной рассматриваем текущий радиус |, считая г фиксированным радиусом, и отмечаем индексами I и II величины, относящиеся к областям соответственно ту < £ < г и г < £ < г2.
Используя выражение для радиального перемещения, получаемое в результате интегрирования однородного уравнения, соответствующего (4.2.49), вводим иг\ = С^ + Сг "у (ri < £ < ГУ>
urii — Cig + Сг -|- (г < £ <^ Га)-
С помощью соотношений (4.2.44) и (4.2.41) определяем
е^1 - e,i + ем = 2С1; Он = -у^ [(1 + v,) С, - (1 - v,).
После замены Сг, С2 постоянными Ci, Сг получаем величины е^ц, <Мь Постоянные интегрирования Сх, С2, Ci, С’2 находим из следующих граничных условий и условий сопряжения:
o’i = 0 при § = /у; о*п = 0 при g = г2;
u*i = «ж, о*х = о*гп + 1 при g = г.
Определив постоянные интегрирования, имеем
•(1 — vj [(1 — vj Г2 + (1 + vj 41
еш — 2C,! -~2-5—;
(4.6.9)(4.6.9)V2
(4.6.9)
(4.6.9)
♦„_'(1—VJKI—V^^-Kl+V!)^]
=“- -2C1 HZ^■
Подставляя выражения (4.6.9) в формулу (4.6.8) и выполняя интегрирование в соответствующих пределах, находим
_ ат£ (1 — vj “г “ (1 — 2v) ELr_ ат£ (1 — vj “г “ (1 — 2v) ELr(l+v1)J(T-T0)^ +Г1(l+v1)J(T-T0)^ +Г1(1(1vjr^ + ll + vj rfvjr^ + ll + vj rf,2_ J2r2 /[,2_ J2r2 /[J(T-T0)^J(T-T0)^(4.6.10)(4.6.10)
_ ат£ (1 — vj “г “ (1 — 2v) ELr
_ ат£ (1 — vj “г “ (1 — 2v) ELr
(l+v1)J(T-T0)^ +
Г1
(l+v1)J(T-T0)^ +
Г1
(1
(1
vjr^ + ll + vj rf
vjr^ + ll + vj rf
,2_ J2
r2 /[
,2_ J2
r2 /[
J(T-T0)^
J(T-T0)^
(4.6.10)
(4.6.10)
атЕ ®п-^1
Эта формула после подстановки ■ ] _2v = i _v > вытекающей из равенства (4.2.14), переходит в формулу (4.6.3). В рассматриваемом случае непосредственное интегрирование разрешающего уравнения скорее приводит к конечному результату, чем метод В. М. Майзеля, основанный на обобщении теоремы о взаимности работ (§ 2.5).
Пример 1. Определим тепловые напряжения в длинном сплошном цилиндре, между поверхностью которого и окружающей средой происходит нестационарный осесимметричный конвективный теплообмен.
Температурное поле такого цилиндра при изменении температуры среды во времени по закону (3.8.3) определяется выражением (3.8.14).
Е
Полагая в формулах (4.6.2) рг = 0 и заменяя в них EL величиной и аг1 величиной аг(1 + v), получаем для длинного сплошного цилиндра
ог =атЕ91 — Vог =атЕ91 — VатЕ1 — vатЕ1 — vрр( (7 - 70) рф --L^T- Тв) pdp , _ор 6_( (7 - 70) рф --L^T- Тв) pdp , _ор 6_ррооf (7 - 7„) pdp + -1- [(7 - 70) pdp - (7 - 70) •.6Р 6.f (7 - 7„) pdp + -1- [(7 - 70) pdp - (7 - 70) •.6Р 6.(4.6.11)(4.6.11)
ог =
атЕ
91 — V
ог =
атЕ
91 — V
атЕ
1 — v
атЕ
1 — v
р
р
( (7 - 70) рф --L^T- Тв) pdp , _ор 6_
( (7 - 70) рф --L^T- Тв) pdp , _ор 6_
р
р
о
о
f (7 - 7„) pdp + -1- [(7 - 70) pdp - (7 - 70) •
.6Р 6.
f (7 - 7„) pdp + -1- [(7 - 70) pdp - (7 - 70) •
.6Р 6.
(4.6.11)
(4.6.11)
Подставляя выражение (3.8.14) в формулы (4.6.11), используя при интегрировании формулу
xJ0 (х) dx = xJY (х) + С(4.6.12)
и учитывая при подстановке пределов, что Jo (0) = 0, находим следующие формулы для тепловых напряжений в длинном сплошном цилиндре при нестационарном температурном поле (3.8.14):
ат^ ( Тг^^ов ктОг= 1 -v I ^о^-укЕ^у^ат^ ( Тг^^ов ктОг= 1 -v I ^о^-укЕ^у^У (/А)У (/А)Л (К Ар)УкрЛ (К Ар)УкрА(РлР) Р«РА(РлР) Р«Р(4.6.13)(4.6.13), _ атЕ f_8*~v I ЧгМУ^-УкТ^Ук), _ атЕ f_8*~v I ЧгМУ^-УкТ^Ук)У кУ к> J, c/fcp)И кУкрУ кУ к> J, c/fcp)И кУкрУ (рп)У (РпР)Рп РлРУ (рп)У (РпР)Рп РлРУ (Г *Р)У (Г *Р)^о (РлР)^о (РлР)
ат^ ( Тг^^ов кт
Ог= 1 -v I ^о^-укЕ^у^
ат^ ( Тг^^ов кт
Ог= 1 -v I ^о^-укЕ^у^
У (/А)
У (/А)
Л (К Ар)
Укр
Л (К Ар)
Укр
А(РлР) Р«Р
А(РлР) Р«Р
(4.6.13)
(4.6.13)
, _ атЕ f_
8*~v I ЧгМУ^-УкТ^Ук)
, _ атЕ f_
8*~v I ЧгМУ^-УкТ^Ук)
У кУ к> J, c/fcp)
И кУкр
У кУ к> J, c/fcp)
И кУкр
У (рп)У (РпР)
Рп РлР
У (рп)У (РпР)
Рп РлР
У (Г *Р)
У (Г *Р)
^о (РлР)
^о (РлР)
По формулам (4.6.13) вычисляем распределение тепловых напряжений ог и <т6 по радиусу цилиндра в моменты времени t = 180; 300; 420; 540 сек при значениях величин до, То, к, къ уг, Рп, Ап, а, гг, указанных в примере § 3.8. Распределение этих напряжений, приведенных с точностью до постоянного множите- Е
ля —— , представлено кривыми на рис. 23 (<гг — сплошные линии, ое — штри- 1 — v
ховые).
Пример 2. Определим тепловые напряжения в длинном цилиндре под воздействием линейного источника тепла на оси мощности ш.
Нестационарное температурное поле такого цилиндра, между поверхностью которого и средой с постоянной температурой происходит конвективный теплоНестационарное температурное поле такого цилиндра, между поверхностью которого и средой с постоянной температурой происходит конвективный тепло
Нестационарное температурное поле такого цилиндра, между поверхностью которого и средой с постоянной температурой происходит конвективный тепло
Нестационарное температурное поле такого цилиндра, между поверхностью которого и средой с постоянной температурой происходит конвективный тепло
обмен, определяется выражением (3.11.12). После подстановки этого выражения в формулы (4.6.11) получаем следующие выражения для искомых напряжений:
ат^ I w1 — v 4лХ?ат^ I w1 — v 4лХ?П=1П=1Л (W + у XЛ (W + у X
ат^ I w
1 — v 4лХ?
ат^ I w
1 — v 4лХ?
П=1
П=1
Л (W + у X
Л (W + у X
X Ji(РпР) Рл^о(РпР) е
где постоянная Ап имеет значение (3.11.13).
Тепловые напряжения в полом цилиндре и диске с центральным отверстием при плоском стационарном неосесимметричном температурном поле
Рассмотрим решение задачи о тепловых напряжениях в длинном подом цилиндре под действием плоского стационарного неосесимметричного температурного поля Т (р, 6). Наружная (р=1) и внутренняя (р = pj цилиндрические поверхности свободны от поверх-
ностных сил. Решение этой задачи приводим в напряжениях. Используя при этом результаты § 4.4, учитываем, что в рассматриваемом случае х = r2p cos 6. У = г2р sin 0, ds = r2pd0, dn = r2dp.
В соответствии с выражением (3.5.5) для температурного поля выбираем решение для функции напряжений в виде
F (р, 6) = У Fk (р) cos £0 + У Fk (р) sin £0.(4.7.1)
6=06=1
Искомая функция напряжений должна удовлетворять: дифференциальному уравнению
V?Vfc=0;(4.7.2)
граничным условиям
дР А1— =0 при р = 1;дР А1— =0 при р = 1;F = ахр cos 0 + рхр sin 0 + Vi ^- = ах cos 0 + f^ sin 0 условиям однозначности перемещений 2лF = ахр cos 0 + рхр sin 0 + Vi ^- = ах cos 0 + f^ sin 0 условиям однозначности перемещений 2лпри р = р^при р = р^J Р -^- [ V? F + апЕ/2 (Г — То)] d0 = 0 при р = р1г оJ Р -^- [ V? F + апЕ/2 (Г — То)] d0 = 0 при р = р1г о(4.7.3)(4.7.3)(4-7.4)(4-7.4)
дР А1
— =0 при р = 1;
дР А1
— =0 при р = 1;
F = ахр cos 0 + рхр sin 0 + Vi ^- = ах cos 0 + f^ sin 0 условиям однозначности перемещений 2л
F = ахр cos 0 + рхр sin 0 + Vi ^- = ах cos 0 + f^ sin 0 условиям однозначности перемещений 2л
при р = р^
при р = р^
J Р -^- [ V? F + апЕ/2 (Г — То)] d0 = 0 при р = р1г о
J Р -^- [ V? F + апЕ/2 (Г — То)] d0 = 0 при р = р1г о
(4.7.3)
(4.7.3)
(4-7.4)
(4-7.4)
2л
(4.7.5)(4.7.5)J р (р sin 0 -^- - cos 0 -^ [^F + arif^ (Т - То)1 d0 = 0 о
(4.7.5)
(4.7.5)
2л
^ р (р COS 0 -^- + sin 0 -^ [VfF + ат\ЕхЛ (Т — То)] d0 = 0 о
при р = р1(
где
„2 _д2,1 д ,1№_1 д / д ,
V‘ ~др2+р' др+ р2‘ д02—р* др \Р др/ +
(4.7.6)(4.7.6)1 д2
(4.7.6)
(4.7.6)
р2 ‘ д02 '
Подставляя выражения (4.7.1) и (3.5.5) в уравнение (4.7.2) и условия (4.7.3) — (4.7.5), получаем:
дифференциальное уравнение
д2 1 д\ / д2 ,1 дк^\ р _П/477х
др2 р др р2 / \ др2 р др р2 ,*( • • /
(^ = 0, 1, ... );
граничные условия
F^ = ^-=°(6 = 0, 1, ... ) при р = 1,(4.7.8)
Fo = V1, Л = “1P, Fk = 0Fo = V1, Л = “1P, Fk = 0(^>2)(^>2)^fg n dfi — n—dp u’ dp ’ dp^fg n dfi — n—dp u’ dp ’ dp(&>2)(&>2)при p = p^ (4.7.9)при p = p^ (4.7.9)
Fo = V1, Л = “1P, Fk = 0
Fo = V1, Л = “1P, Fk = 0
(^>2)
(^>2)
^fg n dfi — n—
dp u’ dp ’ dp
^fg n dfi — n—
dp u’ dp ’ dp
(&>2)
(&>2)
при p = p^ (4.7.9)
при p = p^ (4.7.9)
условия однозначности
•V [(ж + "Г' тг) ^ + “r'£‘ri <т" - ^ = “■ <4-7- ,0> - т) Н^+^ V-0
при р = р4.(4.7.11)
При составлении условий однозначности перемещений используются свойства ортогональности тригонометрических функций. Аналогичные уравнения и условия можно найти и для функций Fk (р) (^ = — 1,2, ...). Заметим, что условия однозначности имеют место только при k = 0 и k = 1. При & > 2 эти условия удовлетворяются автоматически. В связи с нулевыми граничными условиями (4.7.9) при k > 2 заключаем, что Fk = Fk = 0 (& > 2). Отсюда можно сделать вывод, что тепловые напряжения вызываются температурным полем вида
т^, 6) =т(0)(р) + т0)(р)cose + т(1)-(р)sine, (4.7.12) где на основании полученных в §3.5 результатов
T(O)(p) = Toi + To2lnp;(4.7.13)
^(рНТнр-' + Т^р, Т(1)'(р) = Тир”1 + Т;2р. (4.7.14)
Здесь То1, ..., Т12 — постоянные, определяемые из граничных условий соответствующей задачи теплопроводности.
Осесимметричному температурному полю (4.7.13) соответствуют тепловые напряжения а^, оё0, которые на основании соотношений (4.2.42) выражаются через функцию напряжений Fo (р) следующим образом:
°ё0) = 4" • 4" •’ аёо) = 4" ••(4.7.15)
г г2 Р Ф е г2 Ф2х *
Функция Fo (р) является решением уравнения (4.7.7) при к = 0:
Fo(Р) = С01 + С02 In р + С03р2 + С04р2 In р. (4.7.16)
Для определения пяти постоянных Со1, С02, С03, С04 и у4 имеем пять уравнений: два граничных условия (4.7.8), два из граничных условий (4.7.9) и одно условие однозначности (4.7.10). Так как
постоянные С01 и у4 не влияют на величину напряжений, их значений не приводим. Определяя постоянные
С3г —С3г —аТ1^1*01г22(1 — Р?)аТ1^1*01г22(1 — Р?)Р] 1п р1(Р] 1п р1(Соз —Соз —а^Т^г28 (1 — р?)а^Т^г28 (1 — р?)(1 — Pi —2pf InpJ,(1 — Pi —2pf InpJ,
С3г —
С3г —
аТ1^1*01г2
2(1 — Р?)
аТ1^1*01г2
2(1 — Р?)
Р] 1п р1(
Р] 1п р1(
Соз —
Соз —
а^Т^г2
8 (1 — р?)
а^Т^г2
8 (1 — р?)
(1 — Pi —2pf InpJ,
(1 — Pi —2pf InpJ,
«тА^
° 04 —4
и подставляя их значения в выражение (4.7.16), на основании (4.7.15) находим
аГ1^1^02 Г/р, V 1 +р2 ,, ,. ,1
^ =2 О 1 ~ 2 1п Pl + In р + 1 .
1 —Pi
Температурному полю Т^ (р) cos 6 + Т(1) (р) sin 0 соответствуют тепловые напряжения аг1), ое\ о^в, выражаемые через функции Fx (р) и Fi (р) по формулам
= "^ (т" "^ ~ "^ ^cos 0 + ^ sin 0);
(4.7.18)(4.7.18)aeU =• -£-(Лсоз0 +FisinO);.
(4.7.18)
(4.7.18)
Г2 1
Оге = А- • -4— [— (Jx sin 6 — Fi cos 6)].
л- dp L p x
Функция Fx (p) есть решение уравнения (4.7.7) при к = 1:
А (р) — Сцр + С12р 1 + С13р3 + С14р In р. (4.7.19)
Заменяя постоянные СХп постоянными С\п (п = 1, 2, 3, 4), получаем соответствующее выражение для F\ (р).
Для определения постоянных интегрирования, относящихся к функции Fx (р), составляем систему пяти уравнений относительно пяти постоянных Схх, С12, С13, С14 и ах, используя два граничных условия (4.7.8), два граничных условия (4.7.9) и условие однозначности (4.7.11):
Сц + С12 + С13 = 0;
Си — С12 + ЗС13 + С14 = 0;
СцР1 + С12р~* + С13р/ + С14р4 In р4 = ot1p1;
Сц — С12р[ 2 + ЗС13р2 + С14 (In Pi + 1) = «4;
р аГ1^1Т11/"2
С14 —g ■
Так как постоянные Cu и at не входят в выражения для напряжений, из этой системы кроме Сн определяем только
С12С12(4.7.20)(4.7.20)аП^1Тц<2Р1 р аП^1Тц'’24(1 +Р1) ’ 13 “ 4(1+р=)
С12
С12
(4.7.20)
(4.7.20)
Заменяя Тп величиной Тп, получаем значения постоянных С12, С1з, Си. Подставляя значения постоянных Си и Си V1 = 2, 3, 4) в выражения (4.7.18), получаем
О) = «п^Р /, _ PiV!О (Т 0 т- { 0)
2(1 + р2) \ Р2 )\ Р2'
(4.7.21)(4.7.21)(1) «Tl^lP /„1 + Pl Pl \ „ Q
(4.7.21)
(4.7.21)
o’e =о- ( 35г (Тп cos 0 + Тп sin 0);
2(1+р2) \ Р2 P4/v7
(1) аГ1^1РPl \ ( ,1 \д
a'9 = эТТТ^Т 1 - 7Г 1 - ЗГI (Л1 sin 0 - Тп cos 0). z и Т Pl? \ г / X г /
Заменяя в формулах (4.7.17) и (4.7.21) £1, ari величинами Е, ат, получаем формулы для тепловых напряжений в тонком круглом диске, находящемся в плоском напряженном состоянии под действием плоского стационарного температурного поля (4.7.12).
Приведенный здесь способ решения осесимметричной плоской задачи термоупругости, основанный на применении уравнения четвертого порядка (4.7.7) для функции напряжений, имеет лишь методическое значение; тепловые напряжения о*0) и Ое01 могут быть непосредственно получены из формул (4.6.2) при постановке в них Т = Т(0) = Т01 + Т021пр. Эти формулы вытекают также из решения осесимметричной плоской задачи термоупругости в напряжениях без привлечения условий однозначности, что объясняется понижением порядка уравнения совместности деформаций (4.2.39) в осесимметричном случае (&=0) (см. уравнение (4.2.45)); при подста- 1 dF
новке ог = — • ~d— в уравнение (4.2.48) получаем для функции напряжений F уравнение третьего порядка, совпадающее с условием однозначности (4.7.10). Аналогичное положение, связанное с понижением порядка уравнения совместности деформаций, имеет место и при к = 1 (см. §5.3).
Решение задачи о тепловых напряжениях в полом цилиндре с помощью дислокационной аналогии
Для решения задачи §4.7 с помощью дислокационной аналогии, изложенной на основе теории функций комплексного переменного в § 4. 5, рассмотрим плоскую задачу изотермической теории упругости для двусвязной области, ограниченной концентрическими
окружностями радиусов г2 и гп с дислокацией, которая характеризуется величинами е, £, т] (К = 1).
Приведем известные в плоской теории упругости соотношения между напряжениями в полярных г, 6 и декартовых х, у координатах:
ог + ое — ох + оы;
ов — ог + 2ia r6 = (os — ох + 21охн") е218.(4.8.1)
Вычитая из первого соотношения второе и применяя формулы (4.5.10) и (4.5.11), получаем
ог — iorQ = ф' (г) + <р' (г) — [гф" (z) + X"(z)] е2'8,(4.8.2)
где
о -—-е
г = re , z = ге .
Если отсутствуют контурные усилия, граничные условия принимают вид
ф' (г) + ф' (г) — [гф"(г) + %" (г)] е2'8 = 0 при г = ^ и г = г2. (4.8.3) Так как любую однозначную функцию можно разложить в ряд Лорана, то на основании результатов § 4.5 функции ф' (z) и %" (z) для рассматриваемой двусвязной области представим выражениями
Ф' (z) = A In z + 2 anzn, ^ (z) = 2, bnzn. (4.8.4)
На основании равенств (4.5.18) и (4.5.19) и первого равенства (4.5.25) имеем
a_i =у', b-i = у"(у' = а' + ф'),(4.8.5)
—У-(4.8.6)
Принимая во внимание выражения (4.8.4), граничные условия (4.8.3) переписываем в виде
2Л In г — А -|- 2(1 — n) anr"e‘"8 + 2 япг" е—1п8 —
— 2 Ьп--2Гп~2еп6 = 0 при г = гх и г = гг.(4.8.7)
Для определения коэффициентов разложения необходимо приравнять нулю множители при одинаковых einQ. Исследование полученной при этом системы уравнений показывает, что отличны от нуля только коэффициенты, содержащие в индексах п = 0, п = 1, п = — 1, т. е. а0, b_2; аъ b_v, a-i, b-з.
Приравнивая нулю члены, не зависящие от 0 (п = 0), и учитывая, что а0 = а0 (функция ф' (z) определяется с точностью до чисто мни-
мого слагаемого, не влияющего на распределение напряжений), находим
/"2 1п г2 — г^ 1п Г, \/"2 1п г2 — г^ 1п Г, \, 6—2 =, 6—2 =2Л^21Г 1п2Л^21Г 1п(4.8.8)(4.8.8)
/"2 1п г2 — г^ 1п Г, \
/"2 1п г2 — г^ 1п Г, \
, 6—2 =
, 6—2 =
2Л^2
1Г 1п
2Л^2
1Г 1п
(4.8.8)
(4.8.8)
Приравнивая нулю множители при е‘е (n = 1), получаем
а_\ — 6_1 или а_\ = 6—1.а_\ — 6_1 или а_\ = 6—1.(4.8.9)(4.8.9)
а_\ — 6_1 или а_\ = 6—1.
а_\ — 6_1 или а_\ = 6—1.
(4.8.9)
(4.8.9)
Заметим, что на основании выражения (4.8.5) эти равенства, как и следовало ожидать, эквивалентны условию (4.5.21).
После приравнивания нулю множителей при е'10 (п = — 1) получаем систему уравнений
2a_i — +— 6_з= 0; 2a_i + <V2 — 6-з Д- = 0,
Г1'2Г?
из которой определяем
—22—
й^ =„ , „ a_i или «! =s-a_b (4.8.10)
'i +
С помощью равенств (4.5.25) и (4.8.5) коэффициенты (4.8.9) и (4.8.10) выражаем через характеристики дислокации |, ц:
2 2д-’-4<ч-®7^-(4'8JI)
Итак, функции q/ (z) и х" (z) определяются выражениями
ф' (z) = Л In г + а0 + ахг + ~-,
Подставляя эти выражения в формулу (4.8.2) и разделяя ее на действительную и мнимую части, определим напряжения ог и оге , а затем из формулы
ог + ое = 2 [ср' (z) + ф' (z)], z = re'6(4.8.13)
напряжение Од.
Ниже приводим формулы для определения напряжений, возникающих при двух характерных дислокациях:
при дислокации с характеристиками е ^ 0, g = т] = 0, соответствующей вырезу из кольца радиального клина с раствором е
и повороту одного края относительно другого на угол е (рис. 24)
Оге = 0;
при дислокации с характеристиками е = 0, £ = 0, т] + 0, соответствующей разрезу кольца по оси Оу и жесткому поступатель
4л (rf + /-2)4л (rf + /|) £iV4л (/-2 + /-2)4л (rf + /-2)4л (rf + /|) £iV4л (/-2 + /-2)(4.8.15)(4.8.15)
4л (rf + /-2)
4л (rf + /|) £iV
4л (/-2 + /-2)
4л (rf + /-2)
4л (rf + /|) £iV
4л (/-2 + /-2)
(4.8.15)
(4.8.15)
направле-направле-ному перемещению одного края относительно другого в нии оси Оу на величину т, (рис. 25)
направле-
направле-
аг =
ое -
Ог9 =
Формулы для напряжений, соответствующих дислокации с характеристиками е = 0, £ + 0, т] = 0, можно получить из формулы (4.8.15) заменяя в них т] величиной £ и 6 величиной 0 + -2-.
Из выражений (4.8.14) и (4.8.15) с помощью дислокационной аналогии получаем искомое решение для плоской задачи термоупругости.
Как видно из равенств (4.5.19), многозначность функции J /(Г) (г) dz возникает за счет членов Л(Г) In г и -^— kV^ — ^Т^ +
+ ip<r)) в выражении для функции fm (2) или членов Л(Г) In г, а(ЛВ(г>
—— cos 0 и vr sin 0 в выражении для стационарного температурного поля.
Рассматривая выражение (4.7.12), устанавливаем следующие равенства:
А^=Тйг; а^ = ТххЧ; 0(n = TiV2. (4.8.16)
При определении первого из этих равенств вводим в выражении (4.7.13) вместо Т01 новую постоянную Т01 + Т021пг2.
Тепловые напряжения на основании равенств (4.5.26), (4.5.27) и (4.8.16) определяются по формулам (4.8.14), (4.8.15) и соответствующим формулам, содержащим £, при е = —2лапТ02, т) = = — 2лапг2 Тп, £ = 2лапг2Тц. Полученные таким методом тепловые напряжения совпадают с тепловыми напряжениями (4.7.17) и (4.7.21).
Некоторые свойства гипергеометрических функций
Ниже приводятся без доказательства те свойства гипергеометрических функций, которые используются в настоящей книге. Основы теории гипергеометрических функций содержатся в работе [331 и в литературе, указанной в работе [24].
Гипергеометрическое уравнение имеет вид
2(1-г)^ + [С-(а + 6 + 1)2]^-а6Г = О, (4.9.1)
где z — комплексная переменная; а, Ь, с — постоянные (в общем случае комплексные), называемые параметрами гипергеометрического уравнения. Это уравнение с тремя особыми регулярными точками: 2 = 0, 2 = 1, 2 = оо. В окрестности точки 2 = 0 частные решения уравнения (4.9.1) при с ^ 0, ± 1, ±2, ... имеют выражения
Г(,) = F^a, b; с; г);(4.9.2)
wW = .zi-cF ^ + ! _ c b + j _ с. 2 _ с. г) (4 9 3) Гипергеометрическая функция вида F (а, Ь; с; г) определяется рядом
F (я. »; С; г) - f -ЬЯ^К ■,(4.9.4)
где [а ]„ = а (а + 1)... (а + п — 1), [а]0 = 1. Этот ряд сходится при | 2 | < 1, а также при 2=1, если Re (с — а — 6) > 0.
Если с = 1 + m (т = 0, 1, ...) и a, b + 1, 2, ..., т, то частное решение (4.9.3) или тождественно решению (4.9.2) (при с = 1) или
теряет смысл (при с = 2, 3, ...). В этом случае второе частное решение определяется ги пер геометрической функцией второго рода
U^*2* =ф(а, 6; с; z) ^nz/7^, b; с; z) +
। V ,пл-1 (” — 1)! [с —л]п п . уг"
+ ^/ Iя ” ”1" ^ — "In2 + ~,Мп "! Х
X У —Г + -Г- 1 .—^—,-).(4.9.5)
^\а+$ —1 1 6-|-s—1c + s— 1s /v '
В качестве второго частного решения целесообразно ввести функцию
Ц7<2) _ ip^а> д. с. 2^ — ф(а> b; с; z) +
+ 1Ф(а) + Ф(6) — Ф(с) — Ф(1)] F (a, b; с; г),(4.9.6)
где ф (а) — логарифмическая производная от гамма-функции, din Г (а) равная
Функциональные соотношения для T (й, b; с; z) имеют более простой вид, чем для Ф (й, b; с; z). Выражение (4.9.5) для функции Ф (а, 6; с; z) теряет смысл, когда один из параметров й, b равен одному из чисел 1, 2, ..., с — 1, а выражение (4.9.6) для функции Т (й, b; с; z) теряет смысл, когда кроме того параметр а или b равен нулю или целому отрицательному числу. В этих случаях частные решения уравнения (4.9.1) — рациональные функции.
Два частных решения уравнения (4.9.1) в окрестности точки z = 1, когда й + 6 + 1 — с + 0, ±1, ±2имеют вид:
Г(1) = F (й, b; a + b+\ — c-, 1 — z);(4.9.7)
Wm =(1 — г^а~ьР(с — b, с — а\ c — a — b+\-, 1 — г). (4.9.8) Если а + b + 1 — с = 1 + т (т = 0, 1, ...) и а, b + 1,2, ..., т, то второе частное решение определяется функцией
Г(2) = Т (й, b; а + b + 1 — с; 1 — z).(4.9.9)
Ниже приводятся некоторые функциональные соотношения для F (й, b; с; z):
формула дифференцирования
-^-Е(й, Ь; с; г) = -^- F (й + 1, 6+1; с+ 1; г); (4.9.10)
формула преобразования
F(a, b; с; z) = (l—zf~a~bF^c — а, с — 6; с; z); (4.9.11) рекуррентные формулы
F (а, 6; с; z) = (1 — z) F (а + 1, b + 1; с; z) +
+ _с.--0-6-1 г/7(а+1, 6+1; с+1; z);(4.9.12)
F (^ b; c- z) = -l^zfl^L Fla, b; c + 1; z) - -^_r2V^ + x’b+v’c+1; 2): (49J3)
Fla, b; c; z) =b' c+ 1; z) +
Формула дифференцирования и рекуррентные формулы для V la, b; с; г) совпадают с соответствующими функциональными соотношениями для F 1а, Ь; с; г). Формула преобразования для V la, b; с; z) совпадает с формулой преобразования (4.9.11) для F 1а, Ь; с; г) при а + b = 0, ± 1
Неоднородное гипергеометрическое уравнение
z(l-z)^+[c-(a+6+ \^z\^-abW + Л^1 = 0, (4.9.15)
где А и X — постоянные, имеет частное решение
№(0, = - Мс^_1) з^^ + Х, b + x, 1; с + х, 1 + Х; z),
(4.9.16)
где функция вида 3F2 lalt а2,а3; р1; р2; г) определяется рядом
0„ р,; 4 = 2 '“^ыТ’'" ' ^- <49Л7>
При X = 1, 2, ... частное решение уравнения (4.9.15) имеет выражение
Г (°) = Л(Х~ У•(4.9.18)
[а]х[Ь]х[С]л n! v '
л=0
Формула дифференцирования гипер геометрической функции (4.9.17) имеет вид
дг" зРг(а1> а2> аз5 Pi, Рг; z) —
^g3.3/72(ai+1|Ct2+ 1,аз+1; Р1+ 1,^+1; 2). (4.9.19)
Тепловые напряжения в цилиндре при переменных модуле упругости и коэффициенте линейного теплового расширения
Рассмотрим тепловые напряжения в длинном полом цилиндре при плоском осесимметричном температурном поле, оказывающем заметное влияние на модуль упругости и коэффициент линейного теплового расширения.
Изменение по радиусу модуля упругости Е и чисто тепловой деформации аг (Т — То) аппроксимируем законами
(4.10.1)(4.10.2)(4.10.1)(4.10.2)Е = Ео(1 —х), х = кЕра;ат(Т — Т^ = ^ а-^,/—о
(4.10.1)
(4.10.2)
(4.10.1)
(4.10.2)
где р — относительный радиус, р = -— (г2 — радиус наружной ци- г 2
линдрической поверхности); Ео, кв, а, а, — постоянные.
Исходное уравнение рассматриваемой задачи имеет вид (4.2.47).
Выражая в нем Ev vx и ап по формулам (4.2.5) соответственно через £, v и аг и вводя относительный радиус, получаем
dE dpdE dp(4.10.3)(4.10.3)।. dE\ d°r (*-2v)p
dE dp
dE dp
(4.10.3)
(4.10.3)
Р dp2 \ Е dp / dp (I — v) E
E dar^T—T^
+ ~П=^Рф= 0-
Переходя к новой независимой переменной х и подставляя выражения (4.10.1) и (4.10.2), преобразуем уравнение (4.10.3) к виду
\VAT-ab°r-V
m
+ (1 — xf 2 л/"1 = 0,(4.10.4)
/=о
1 j/ (1—v)(a24-4)—4vet = Т Га2(1 — v)Eoiai. а/а2 (1 — v) kj1 j/ (1—v)(a24-4)—4vet = Т Га2(1 — v)Eoiai. а/а2 (1 — v) kj(4.10.5)(4.10.5)где
1 j/ (1—v)(a24-4)—4vet = Т Га2(1 — v)
Eoiai. а/
а2 (1 — v) kj
1 j/ (1—v)(a24-4)—4vet = Т Га2(1 — v)
Eoiai. а/
а2 (1 — v) kj
(4.10.5)
(4.10.5)
а, b —g- + — ± 6;
с = 1 + —;
1 а
Общее решение уравнения (4.10.4) находим в виде
ог = о* + ®Г\(4.10.6)
где а*г — общее решение однородного уравнения, соответствующего неоднородному уравнению (4.10.4); о^ — частное решение неоднородного уравнения (4.10.4).
Однородное уравнение является гипергеометрическим, общее решение которого в окрестности особой точки х = 0 при с + 0, 1, 2, ... на основании выражений (4.9.2) и (4.9.3) имеет вид
о, = CXF (a, b; с; х) + C2xx~cF (а + 1 — с, b + 1 — с; 2 — с; х),
(4.10.7)
где ^ и С2 — постоянные интегрирования.
Для нахождения частного решения неоднородного уравнения (4.10.4) преобразуем его с помощью подстановки-
ог = (1 — ху-а~ьо (с — а—Ь = 2)(4.10.8)
к виду
х(1 — х)-^- + [с —(а' + 6' + 1)^1-^" — а'Ь'о + ^А1ХКг1 = 0, /=о
(4.10.9)
где а' = с — а, Ь’ = с — Ь.
Используя формулу (4.9.16) и учитывая подстановку (4.10.8), получаем частное решение уравнения (4.10.4)
аР = -(1-х)’i У"',F,(a- + Х„ V + Х„ 1;
/=0 '''
с + Xj, 1 + %,; х).(4.10.10)
Подставляя решение (4.10.6) в уравнение равновесия (4.2.46) и используя формулы дифференцирования гипергеометрических функций (4.9.10) и (4.9.19), находим
09 = 09 + 09°,(4.10.11)
где
о*9 = о* + “х -^- = а * + Ct -^ xF (а + 1,6+1; с + 1; х) +
+ С2ах1-с (1 — с) F (а + 1 — с, 6 + 1 — с; 2 — с; х) +
+ U + X-c^A-\-C)x F^a + 2 _ с> 6 + 2 - с; 3 - с; х)];
(4.10.12)
= аР-«х(1-х)2++7^1)-+ -(»•, + 2)х| X
x xaF^o, -f* Ху), b -f“ Ху, 1; с 4~ Ху, 1 4* ^ь х) 4*
(а 4~ Ху) (6 4~ Ху) к (1 х) р , , I о, I 1 А' । 1 । 1 9-(с + л,) (1 -4-л,)4- X, 4-1, b 4- X/ 4-2,
с 4-Ху 4-1, 2 4-Ху; х)).(4.10.13)
Пример. Определим в фиксированный момент времени t = 420 сек тепловые напряжения в длинном сплошном цилиндре из хромоникельвольфрамована- диевой стали, между поверхностью которого и окружающей средой происходит нестационарный осесимметричный конвективный теплообмен. Расчет температурного поля цилиндра приводится в § 3.8.
Таблица 4
р
Т, °к
ау10в» \{град
ат(Г — 323° К) X X 10’
0
383
1
11,9
0,712
0,2
398
0,995
12,0
0,902
0,4
445
0,976
12,3
1,499
0,6
528
0,939
12,7
2,598
0,8
645
0,871
13,2
4,235
1,0
778
0,692
13,6
6,189
В табл. 4 на основании справочных данных [4] указаны значения отношения Е
, где Е и Ео — модули упругости соответственно на радиусе р и на оси цилиндра (р = 0). В этой же таблице приведены средние значения коэффициента линейного теплового расширения аг в интервале (323° К, 7) и чисто тепловые удлинения аг(Т — 323° К).
Е
Изменение отношения —- по радиусу цилиндра (рис. 26, штриховая линия) аппроксимируем законом (4.10.1), выбирая а = 3, кЕ = 0,308 (сплошная линия). Аппроксимацию изменения аг (7 — 323° К) • Ю3 по радиусу цилиндра (рис. 26) выполняем по закону (4.10.2), подбирая следующие значения коэффициентов: Оо 0,000712, а^ =0,аг = 0,0045652, а3 = 0, а4 = 0,0024565,а5 = 0, ав=
= —0,0015448, т =6.При указанных значениях постоянных а,кЕ, ат и v=
= 0,3 величины (4.10.5) имеют значения а = 0,30051, Ь =—0,63384, с = = 1,66667, Ao = Ai=А3 = А5 = 0, Аг = 0,0031778 Ео, А. =0,0074985 Ео,
Ав = —0,015509 Ео,Х2= 0,66667, Х4 = 1,3333, X, = 2.
Поскольку цилиндр сплошной и свободен от поверхностных сил, в решениях (4.10.7) и (4.10.12) постоянную Сг следует положить равной нулю, а постоянную Cl определить из условия аг = 0 при р = 1.
Суммируя гипергеометрические ряды, входящие в решения (4.10.6) и (4.10.11), вычисляем на разных радиусах тепловые напряжения аг и ад. В табл. 5 приведены результаты вычисления этих напряжений с точностью до постоянного Ео.
при t = 420 сек в примере 1 § 4.6 (см.при t = 420 сек в примере 1 § 4.6 (см.рис. 23).рис. 23).для величин сгft OfT" Сдля величин сгft OfT" Си Оа ЁГи Оа ЁГмножителя " , а также соответствующих напряжении при постоянных модуле упругости Е, коэффициенте Пуассона v = 0,3 и коэффициенте теплового расширения ат= — [аг (0) + ат (1)] = 12,75 ■ 10—^Пград, вычисленных по данным 1 — v 1 — v
при t = 420 сек в примере 1 § 4.6 (см.
при t = 420 сек в примере 1 § 4.6 (см.
рис. 23).
рис. 23).
для величин сгft OfT" С
для величин сгft OfT" С
и Оа ЁГ
и Оа ЁГ
Рис. 26.
Распределение напряжений аг и а9 по радиусу цилиндра иллюстрируется также рис. 27 для трех случаев: 1) Е = Е (г), ат = аг (г) (сплошные линии); 2) Е = Е (0) = Ее, ат = 12,75 • 10“6 Иград (штриховые линии); 3) Е = = — [£ (0) + Е (1)] = 0,846 Ее, ат= 12,75 • 10—6 Иград (штрих-пунктирные
Таблица 5
р
Напряжения при Е = Е^г1) и «г = ау(г)
Напряжения при Е = const н ар = 12,75-10—6 1/град
сг • 103
о9 ■ 1оз
ог • 103
Од • 103
Е
£о
^ 0
Е
0
1,726
1,726
1,835
1,835
0,2
1,669
1,551
1,766
1,633
0,4
1,447
0,8676
1,556
0,9869
0,6
1,080
—0,2624
1,190
—0,1643
0,8
0,5714
—1,680
0,6605
—1,755
1,0
0
—2,776
0
—3,524
линии). Во втором случае напряжения (ог)р=0 = (сто)р=о на 6% больше, сжи
мающее тепловое напряжение (од)р=1 на 26% больше, а в третьем случае (<тг)р_0 = = (стд)р=0 на 10% меньше, (ад)р=1 на 7% больше, чем в первом. Приближенный 1 — V 1 — V
расчет, основанный на упомянутых данных для величин агр- и а0— О»р ЕОСр Е
но при значениях Е и ат на каждом радиусе, взятых из табл. 4, наиболее приближается к напряжениям, полученным при Е = Е (г) и а т= ат (г): расхождение
не превышает 7%.
ГЛАВА ПЯТАЯ
ТЕРМОУПРУГОСТЬ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН
Основные предположения и задачи
В настоящей главе рассматриваются в квазистатической постановке растяжение и изгиб тонких круглых пластин, обусловленные пространственным температурным полем Т (г, 6, z, /), где г, 6 — полярные координаты в срединной плоскости пластины; z — координата вдоль нормали к срединной плоскости пластины; / — время, которое играет роль параметра. Эти задачи излагаются в рамках теории изгиба тонких круглых пластин малого прогиба [22], основанной на гипотезе о неизменяемости нормального элемента и на предположении о том, что нормальными напряжениями на площадках, параллельных срединной плоскости пластины, можно пренебречь по сравнению с другими напряжениями. Согласно гипотезе о неизменяемости нормального элемента прямолинейные волокна пластины, до деформации нормальные к срединной плоскости, при деформации поворачиваются, оставаясь прямолинейными и нормальными к деформированной срединной поверхности, и не изменяют своей длины.
Система уравнений, описывающая рассматриваемую задачу, выводится в § 5.2 в общем случае для круглой пластины переменной толщины с учетом влияния растяжения на изгиб. Материал пластины однородный. Предполагается, что пластина обладает пологим профилем, симметричным относительно срединной плоскости и относительно оси, перпендикулярной к срединной плоскости и проходящей через центр пластины.
Влияние растяжения на изгиб учитывается при значительных усилиях в срединной плоскости пластины, возникающих при неравномерном ее нагреве с большими температурными градиентами по радиусу; при этом вследствие малого прогиба усилия в срединной плоскости определяются независимо от изгиба.
В § 5.3 излагается теория тепловых напряжений в круглой пластине постоянной толщины при осесимметричном, антисимметричном и циклически-симметричном температурных полях. В случае осесимметричного температурного поля устанавливается аналогия между задачей о плоском термоупругом напряженном состоянии пластины и задачей о тепловом ее изгибе. В качестве примера рассматривается задача о тепловых напряжениях в круглой
сплошной пластине при стационарном осесимметричном температурном поле, изменяющемся по линейному закону вдоль ее толщины, без учета влияния растяжения на изгиб. На основе точного решения проведено исследование влияния осесимметричного теплового растяжения на осесимметричный тепловой изгиб в круглой сплошной пластине.
Задача о тепловых напряжениях в круглой пластине линейно-переменной толщины при осесимметричном температурном поле исследована в § 5.4. Приведен пример расчета тепловых напряжений в стальном диске газовой турбины при нестационарном осесимметричном температурном поле, известном из эксперимента.
Неравномерный нагрев с большими перепадами температуры вызывает изменение упругих характеристик материала пластины от температуры. В связи с этим в § 5.5 рассматривается термоупругость неоднородных круглых пластин при осесимметричном температурном поле как в самой общей постановке, когда учитывается влияние растяжения на изгиб и изменение упругих свойств материала пластины по ее радиусу и толщине, так и в частных случаях, когда влияние растяжения на изгиб несущественно, а упругие свойства материала изменяются только по толщине пластины или по ее радиусу.
Основные уравнения термоупругости пластин переменной толщины
Обозначим радиальное и окружное перемещения и [прогиб срединной плоскости пластины через ип ид и иг, а относительные удлинения ее в радиальном и окружном направлениях и сдвиг — через z,и ег, ее и уге- Соотношения между
'и.С—.jдеформациями ег, ^ее, уге и пере—^—► z$. мещениями иг, ид срединной по
V,e = 2er9 = -.^ +V,e = 2er9 = -.^ +*" Гр' верхности совпадают с соответствующими соотношениями плоской задачи термоупругости в полярных координатах (4.2.38):
V,e = 2er9 = -.^ +
V,e = 2er9 = -.^ +
F В соответствии с гипотезой о неизменяемости нормального элемента перемещения u<z), и^2>, и^ в
Рис. 28. точке Рг на расстоянии г от
срединной плоскости выражаются через перемещения соответствующей (лежащей на той же нормали) точки Р срединной поверхности по формулам
и^ =иг-\- z^r; и^ = u9 + z»9; u'z) = u2, (5.2.2) где
»,=—^, »«=-4-"^- <5-2'3>
Величина У> представляет собой малый угол поворота нормали в плоскости zOr (рис. 28), а ^ — угол поворота нормали вокруг оси г.
Заменяя в выражениях (5.2.1) ип и9 величинами и^, u^z) и принимая во внимание соотношения (5.2.3), находим относительные удлинения еР\ е^2) и сдвиг у<|> в точке на расстоянии z от срединной поверхности
е,21 = 8r + zxr, е^2) -= е9 + zx9, у$ = yr9 + 2zxr9, (5.2.4) где
d^ d2uz , drdr2 ’
Величины хг и х9 — кривизны срединной поверхности в радиальном и окружном направлениях, а хг9 — ее кручение.
На элемент пластины толщиной h, выделенный двумя радиальными и двумя цилиндрическими сечениями, действуют нормальные напряжения ап о9 и касательные напряжения or0 = o9r, or2, а02 (рис. 29).
Введем вместо напряжений статически эквивалентные им усилия и моменты:
/1/2
Nr = [ ordz, —h/2 h/2
Qr = j arzdz, —h/2 h/2
Mr = j arzdz, —h/2
h/2h/2)
Ng = J Godz, NrQ = NQr = j or6dz;
—h/2—h/2
h/2
Qe = J oQi,dz;
-h]2
h,2h!2
Л49 = j oQzdz, MrQ = MQr = ^ arQzdz.
-h/2—h/2
(5.2.6)
Здесь Nr, Nr0 и Qr — соответственно нормальное, сдвигающее и поперечное усилия, действующие в цилиндрическом сечении; NQ, Ner = Nre и Qe — соответственно нормальное, сдвигающее и попе
■dr)d8■dr)d8Mpg rd8 Mg dr MgrdrMpg rd8 Mg dr Mgrdr(MBr+^rde)dr (Mg + ^"de)dr 8Mrr .(ИрГ* ~^~dr)d8(MBr+^rde)dr (Mg + ^"de)dr 8Mrr .(ИрГ* ~^~dr)d8MrrdeMrrdeqrdearqrdear, 8Qe , ^e+ 88 d8)dr, 8Qe , ^e+ 88 d8)dr3Ng \(lV18'd8)dr\3Ng \(lV18'd8)dr\3Ngr I(Na1:-gg-d8)dr \3Ngr I(Na1:-gg-d8)dr \Nr6rd9 \xjNr6rd9 \xjNrrd8Nrrd8Рис. 30.Рис. 30.Qrrd9Qrrd9
■dr)d8
■dr)d8
Mpg rd8 Mg dr Mgrdr
Mpg rd8 Mg dr Mgrdr
(MBr+^rde)dr (Mg + ^"de)dr 8Mrr .
(ИрГ* ~^~dr)d8
(MBr+^rde)dr (Mg + ^"de)dr 8Mrr .
(ИрГ* ~^~dr)d8
Mrrde
Mrrde
qrdear
qrdear
, 8Qe , ^e+ 88 d8)dr
, 8Qe , ^e+ 88 d8)dr
3Ng \
(lV18'd8)dr\
3Ng \
(lV18'd8)dr\
3Ngr I
(Na1:-gg-d8)dr \
3Ngr I
(Na1:-gg-d8)dr \
Nr6rd9 \xj
Nr6rd9 \xj
Nrrd8
Nrrd8
Рис. 30.
Рис. 30.
Qrrd9
Qrrd9
речное усилия, действующие в радиальном сечении; Мг и Мгд — изгибающий и крутящий моменты, действующие в цилиндрическом сечении; Ale и MQr = Мгв — изгибающий и крутящий моменты, дей-
(Nr6r+ "^ dr) de3Qrr .
-g--dr)d8
8Nrr .
~dT dr) d8
ствующие в радиальном сечении. Внутренние усилия и моменты отнесены к единице длины соответствующей координатной линии (окружности или радиуса) срединной поверхности.
Обозначим внешнюю распределенную поперечную нагрузку, приходящуюся на единицу площади срединной плоскости, через qz.
Положительные направления внутренних усилий и моментов и внешней нагрузки указаны на рис. 30.
Введение внутренних усилий и моментов позволяет задачу о равновесии пространственного элемента пластины свести к задаче о равновесии соответствующего элемента ее срединной плоскости.
Рассматривая условия равновесия деформированного элемента срединной плоскости, составляем уравнения равновесия пластины:
4^+^-^ = °;(5-2.7)
dN dNa
T+^ + ^e = 0;(5.2.8)
- ^г (^9^9) - -^ (N^ 4- qzr = 0;(5.2.9)
^ + ^-Ale-Qfr = 0;(5.2.10)
дМ,йг дМй
-^7- +^-+Mr&- Q6r = 0.(5.2.11)
При этом учитываем проекции усилий Nr, Ne, Nre, Ner на ось z. Так, при деформации элемента срединной поверхности усилия NrrdQ и ^N гг + -^- dr^ dQ, при- z ложенные к сторонам элемента т = const и г + dr = const, поворачиваются соответственно на углы Фу и Фу +-57~ ^г и дают равнодействующую проекций на ось z^^ drdQ (рис. 31). °
Деформации (5.2.4) состоят из упругих деформаций, об
условленных напряжениями, и чисто тепловой деформации.
В некоторой точке пластины чисто тепловая деформация, возникающая при увеличении температуры на величину Т — То, равна чисто тепловому относительному удлинению аг (Т1 — Т^, где ат — средний коэффициент линейного теплового расширения в интервале температуры (То, Т).
Применяя для упругих деформаций известные соотношения, вытекающие из закона Гука для двумерного напряженного состояния, и учитывая чисто тепловое относительное удлинение, имеем следующие соотношения между деформациями е^2>, е^2), у)^ на
расстоянии г от срединной поверхности и соответствующими напряжениями:
+ ®r (Т — Т^\+ ®r (Т — Т^\(5.2.12)(5.2.12)
+ ®r (Т — Т^\
+ ®r (Т — Т^\
(5.2.12)
(5.2.12)
Оге»
где £ — модуль упругости; v — коэффициент Пуассона.
Умножаем равенства (5.2.12) на dz, а затем на zdz и интегрируем в пределах otz= —^- до z = -у. Используя выражения (5.2.4) и (5.2.6), находим
Nr—vNa—vN.2H-I-V1.
вг-^ЁГ^+вг;е9= 6Eh '+er; ?re=^p^; (5.2.13)
12 (Mr — vMg)12 (Mr — vMg)12(M0-vMr)xe =гаг xr;12(M0-vMr)xe =гаг xr;(5.2.14)(5.2.14)
12 (Mr — vMg)
12 (Mr — vMg)
12(M0-vMr)xe =гаг xr;
12(M0-vMr)xe =гаг xr;
(5.2.14)
(5.2.14)
где величины er и xr можно рассматривать как обобщенные чисто тепловые деформации:
er = 4" f ^(Г-T^dz; xr=-g- j a^T-T^zdz. (5.2.15)
—Л/2—Л/2—Л/2
—Л/2
—Л/2
Определяя из выражений (5.2.13) и (5.2.14) усилия и моменты, получаем следующие соотношения между усилиями, моментами и деформациями:
Nr = DN [ег + veg — (1 + v)er]; Ne = Dn [ve,. + ee—(1 + v)er];
Nre = Ner= —j— D^re;
Mr = DM[xr + vx6 — (1 + v)xr];
(5.2.17)(5.2.17)Me = DM [vxr + xg — (1 + v)xr];
(5.2.17)
(5.2.17)
Mre = M6r = (1 —^ОмХге,
где Вы = i _va — цилиндрическая жесткость растяжения пластины, Dm = 12(1 —V2)цилиндрическая жесткость изгиба пластины.
Усилия Nr, Ng, N rg = Ngr> возникающие при растяжении пластины, находятся независимо от ее изгиба. Для определения этих усилий удобно ввести функцию напряжений (точнее, усилий) F. Уравнения равновесия (5.2.7), (5.2.8) тождественно удовлетворяются при выражениях для усилий
. _ 1 дР_ , 1 д»Р „ _ д»Р r г dr ~ г1 592 ’6 дг» ’
W,e = lV„ = _^(-L.(5,2,18)
идентичных соотношениям между напряжениями и функцией напряжений (4.2.42) в плоской задаче теории упругости.
Уравнение для F составляется на основе условия совместности деформаций в плоской задаче теории упругости в полярных координатах |
1 дЧг 1 d2e6r 1 der _ 1 д^г9г ,с о г2 ' d92 i" г ‘ дг» г ‘ дг — г» ‘ дгд9 *'
Выражая в уравнении (5.2.19) деформации через усилия по формулам (5.2.13) и заменяя усилия выражениями (5.2.18), получаем следующее уравнение для F:
Eh * V Г + dr \. Eh Р ' г дг»1ХдР,2 д»Р3 d»F \d» / 1 V д»Г
~ г»' дг' г»' дгд9»г»' д9» )dr» \ Eh А дг»
v дР х д»Р \по
- — • ^7—• № + V2er = 0,(5.2.20)
где 2 _ д2 15.1 а2
V — дг» I" г ■ dr ' г» ‘ 992 "
Для составления второго разрешающего уравнения рассматриваемой задачи используются уравнения (5.2.9) — (5.2.11). Исключая из них усилия Qr и Qe, получаем
1 д»Мгг 1 5М6 , 1 ^Afg 2 дгмг9г ~ г ‘ dr2 г ‘ dr |" г» ‘ 592 г» ‘ дгд9
-•V-^^^-Vqz^O.(5-2.21)
Выражая моменты и углы поворота нормали через иг по формулам (5.2.17), (5.2.3) и (5.2.5), а усилия через/7 по формулам (5.2.18), находим второе разрешающее уравнение
а 2„12 +v L d“z I 2_
' Vdr 5,3 Т г дг2 Г2 • дг Т Г2 1 5,50з
3 52uz \ . ^»м / дгиг . v диг . v 52uz ) Т2" " "5ё^/ + "ДТ^У'дТ2” I" "Т ‘ ~дГ + "Т2" ‘ ~59^/3 52uz \ . ^»м / дгиг . v диг . v 52uz ) Т2" " "5ё^/ + "ДТ^У'дТ2” I" "Т ‘ ~дГ + "Т2" ‘ ~59^/+ (1 + v) V2 (ИтОм) = 0.+ (1 + v) V2 (ИтОм) = 0.(5.2.22)(5.2.22)
3 52uz \ . ^»м / дгиг . v диг . v 52uz ) Т2" " "5ё^/ + "ДТ^У'дТ2” I" "Т ‘ ~дГ + "Т2" ‘ ~59^/
3 52uz \ . ^»м / дгиг . v диг . v 52uz ) Т2" " "5ё^/ + "ДТ^У'дТ2” I" "Т ‘ ~дГ + "Т2" ‘ ~59^/
+ (1 + v) V2 (ИтОм) = 0.
+ (1 + v) V2 (ИтОм) = 0.
(5.2.22)
(5.2.22)
Зная величины F и uz, можно определить все усилия и моменты. Усилия в плоскости пластины находятся по формулам (5.2.18), моменты — по формулам (5.2.17) и (5.2.5), а поперечные усилия определяются из уравнений (5.2.10) и (5.2.11).
Из соотношений (5.2.12) — (5.2.14) и выражений (5.2.4) получаем следующие формулы для напряжений:
Nr I 12Л4,г , Е ,.
о, = -^ + -^4- -^-[er + zxr —аг(Т —То)1;
Na l2MaZ Fm m .
(5.2.23)(5.2.23)ое = -д- Н^— + J _v [6г 4- zxr — аг (Т — То)];
(5.2.23)
(5.2.23)
Nr6 12Mf6z а,е - т + —^5—
Рассмотрим граничные условия задачи. Для функции F они будут такими же, как и для функции напряжений в плоской задаче теории упругости. В качестве граничных условий для uz на контуре г = const могут быть заданы два из следующих факторов: прогиб «2, угол поворота нормали 0,г, изгибающий момент Мг> приведенное 1 ЭМ а
поперечное усилие Q, + — • —^— . Угол vr выражается через и2 по формуле (5.2.3), моменты Мг, Мге определяются по формулам (5.2.17) и (5.2.5), а усилие Qr — из уравнения (5.2.10).
Граничные условия могут быть следующими:
Контур свободно оперт или шарнирно закреплен:
uz = 0, Мг = 0.(5.2.24)
Контур жестко заделан или скользяще защемлен:
иг = 0, Аг = 0.(5.2.25)
* Здесь крутящий момент Мг6 в соответствии с известным в теории пластин ,1 дМ
преобразованием [61J заменяется статически эквивалентным усилием — . ——.
Контур подвержен действию изгибающего момента М и поперечной силы Q;
Mr = M, Qr + -L . _^__q.(5.2.26)
При одновременном действии на контуре радиальной силы N и поперечной Q второе условие (5.2.26) принимает вид
Qr + ~r^ = Q + ^f.(5-2.27)
Здесь учитывается, что сила N имеет составляющую М'й,. в направлении нормали к деформированной срединной плоскости пластины.
§ 5.3. Тепловые напряжения в пластине постоянной толщины
Для пластины постоянной толщины разрешающие уравнения (5.2.20) и (5.2.22) имеют вид
Vi lVi^ + Ehr^ = 0;(5.3.1)
п22/1dF.1d^F\ d»uzd^F/1 диг
Ом\х\хиг1^р•др+р2 • д92) др2др2Iр‘ др +
.1д2иг),пГ д/ 1dF । I /1 д2иг1duz)
р2дб2/‘[дррдб / ] \р дрдбр2дб /
- <7Z24 + (1 + v) Пмг^т = 0,(5.3.2)
где р = —относительный радиус пластины (г2 — радиус на-
2хд2 , 1 д .1 д2
ружного контура пластины); Vi=-^- + y- -^- + ^-. ^ .
Если температурное поле не вызывает значительных усилий в срединной плоскости пластины, то в уравнении (5.3.2) можно не учитывать влияния растяжения пластины на ее изгиб. Тогда это уравнение принимает вид
V?Vi«z —5^-+ (1 + v)^^ = 0(5.3.3)
и рассматриваемая задача распадается на две независимые: о плоском напряженном состоянии пластины и об ее изгибе.
Температурное поле пластины представляем в виде ряда Фурье
т (р, 9, 9 = 2 tW (Р> ^ cos ^9 + 2 tW (р- 9 sin ^0> (-3-4) А=0
Входящие в разрешающие уравнения (5.3.1) — (5.3.3) величины ег, хг представляются аналогичными рядами
ет (р, 9) = 2 ел (Р)cos £9+2 6к (Р) s*n ^:(5.3.5)
Л=0£=1
хт (р, 9) = 2 х* (Р)cos £9 + 2 хл (Р) s*n £®>(5.3.6)
к=0А=1
1
2
где е6 (р) = j aTTw (р, 0 d^ ик (р) = -^- J aTTw (р, 0 t,dt>.
2
Заменяя Tw величиной Tw\ получаем соответствующие выражения для е' (р) и х^ (р).
Согласно выражению (5.3.5) решение уравнения (5.3.1) ищем в виде (4.7.1). Подстановка выражения (4.7.1) в уравнение (5.3.1) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению
/ d2 , 1 d№ \ / d2 . 1 dк» \ _ ,л
( dp2 + р ' dpр2 / [\ dp2 + р ‘ dpр2 / Рк+ Ehr2ek\ 01
(5.3.7)
Решение однородного уравнения
^F-‘-Q<5-3'8)
при к = 0 и к = 1 определяется соответственно выражениями (4.7.16) и (4.7.19), а при к = 2, 3, ... имеет вид
Fk = С^р6 + С2кр-к + С3^+2 + С4*р~Н2.(5.3.9)
К общему решению однородного уравнения (5.3.8) добавляется частное решение неоднородного уравнения (5.3.7). В качестве этого решения можно взять частное решение уравнения второго порядка
(^+Т + -+rt“+EhA ='=°-<5'3'10>
Аналогичные решения находятся для функций Fk.
Постоянные интегрирования СПк (n = 1, 2, 3, 4; к = 0, 1, 2, ...) и Спк (п = 1, 2, 3, 4; к = 1, 2, ...), входящие в выражение для функции напряжений, определяются из граничных условий на наружном и внутреннем контурах и условий однозначности на внутреннем контуре (§ 4.7).
Если не учитывать влияния растяжения пластины на ее изгиб, то прогиб иг, удовлетворяющий уравнению (5.3.3), при дг = 0 на-
ходится так же, как и функция F. Представив иг в виде ряда
иг (р, 0) = 2 ыб (р) cos ^® + 2 ufe (Р) s*n ^(5.3.11)
6=06=1
получаем уравнение вида (5.3.7), в котором величины Fk и Ehek следует заменить соответственно на ик и (1 + v) к». Когда влияние растяжения учитывается, прогиб иг определяется из уравнения (5.3.2) после нахождения функции F.
Рассмотрим более подробно термоупругое напряженное состояние пластины при осесимметричном (^ = 0) и антисимметричном (k = 1) температурных полях; порядок разрешающих уравнений в этих случаях можно понизить на две единицы.
При осесимметричном температурном поле перемещение «е, угол поворота $е, деформацииуге, хге, усилия Л\е, QgH крутящий момент Мге равны нулю, соотношения между деформациями и перемещениями (5.2.1) и (5.2.5) имеют вид
Ди»и»^Д^»1
= е6 = —, X. = -5-^, х0 = — ,(5.3.12)
г ^г ,□ г ,г Дгг ’v ’
где
»г = ~(5.3.13) а уравнения равновесия (5.2.7) — (5.2.11) при qz = 0 принимают вид ДМ .г„
Ny = 0;(5.3.14)
Qrr — Nrr^r — С = 0;(5.3.15)
— Му — Q,r = 0,(5.3.16)
где С — постоянная интегрирования, которая равна с точностью до постоянного множителя равнодействующей несамоуравновешен- ных (поперечных) контурных усилий.
Уравнения совместности деформаций следующие:
(5.3.17)(5.3.17)ДбпГДНаГ
(5.3.17)
(5.3.17)
6. = ~5 , хг = “л г Дг ’ т Дг
Выражая в первом из этих уравнений деформации через усилия по формулам (5.2.13) и исключая усилие Ny с помощью уравнения (5.3.14), получаем первое разрешающее уравнение:
^(т'^+£М=0-(53J8)
Это уравнение можно получить также непосредственно из уравнения (4.2.48), если заменить атг и Ех соответственно на аг и £ и ввести
вместо величин аг и ат (Т — 70) соответственно величины Nr и ег с помощью первых формул (5.2.6) и (5.2.15).
Выражая в уравнении (5.3.16) изгибающие моменты через деформации по формулам (5.2.17) и исключая Qr и хг, хе с помощью уравнения (5.3.15) и соотношений (5.3.12), находим второе разрешающее уравнение:
(5.3.19)(5.3.19)d^p ( N^r Сгг .. ^Г _
(5.3.19)
(5.3.19)
dp ( р • dp j DM pDM ( + v) r2 dp —
Если не учитывать влияния растяжения пластины на ее изгиб.
то рассматриваемая задача распадается на две независимые задачи: об осесимметричном плоском напряженном состоянии пластины,
вызванном чисто тепловой деформацией ет, и об осесимметричном тепловом изгибе пластины, обусловленном чисто тепловой деформацией хг. Первая задача описывается уравнением (5.3.18). Разрешающее уравнение второй задачи относительно О^ получаем из урав
уравнении (5.3.17) деформации моментами по формулам (5.2.14) и исключая затем Мд с помощью уравнения (5.3.16), в котором при игнорировании влияния растяжения на изгиб Qrr = С, находим следующее разрешающее уравнение второй задачи относительно Мг;уравнении (5.3.17) деформации моментами по формулам (5.2.14) и исключая затем Мд с помощью уравнения (5.3.16), в котором при игнорировании влияния растяжения на изгиб Qrr = С, находим следующее разрешающее уравнение второй задачи относительно Мг;dp \ р dp 1121 рdp \ р dp 1121 р(5.3.20)(5.3.20)нения (5.3.19), отбрасывая член — —^ . Заменяя во втором им
уравнении (5.3.17) деформации моментами по формулам (5.2.14) и исключая затем Мд с помощью уравнения (5.3.16), в котором при игнорировании влияния растяжения на изгиб Qrr = С, находим следующее разрешающее уравнение второй задачи относительно Мг;
уравнении (5.3.17) деформации моментами по формулам (5.2.14) и исключая затем Мд с помощью уравнения (5.3.16), в котором при игнорировании влияния растяжения на изгиб Qrr = С, находим следующее разрешающее уравнение второй задачи относительно Мг;
dp \ р dp 1121 р
dp \ р dp 1121 р
(5.3.20)
(5.3.20)
! совместности де-(5.3.22)• ^ -(5.3.23)! совместности де-(5.3.22)• ^ -(5.3.23)
! совместности де-
(5.3.22)
• ^ -(5.3.23)
! совместности де-
(5.3.22)
• ^ -(5.3.23)
Если отсутствуют поперечные усилия (С = 0), между первой и второй задачами существует полная аналогия: величинам Nr, Nq, ur, Eh, ет первой задачи соответствуют величины Мг, Му, ^г, Е№
—[2~ хг второй.
Подобное упрощение исходных уравнений имеет место и при антисимметричном температурном поле. Полагая в этом случае
Er = ericos0; Eg = eqicos 6; его = eroi sin 0; er = e1cos9;
Nr = NrX cos 0; We = Wei cos 0; Nro = Nrex sin 0,(5.3.21)
где Eri, ..., Nrex — функции г, подставляя величины (5.3.21) в уравнения равновесия (5.2.7), (5.2.8) и в уравнени формаций (5.2.19), получаем
^iL + NrQX-N6x=0;
— Nev + Nrex = 0 и
1_1 d2eeir_ _2_
г2 6г1 r дгг r дг r2
Система уравнений (5.3.22) преобразуется к виду
г (Na — Nre\) + CN = 0;
Ми =Уа + -^ + 4^'(5.3.24)
где Cn — постоянная интегрирования, с точностью до постоянного множителя равная равнодействующей несамоуравновешенных контурных усилий в срединной плоскости.
Порядок уравнения (5.3.23) также можно понизить. Учитывая тождества
1.1<кггг .1А)/1 d / 2 ^ее1 \
ri £rl*rdr " r2 dr 'r dr2r'1 " dr \r dr /
и выполняя интегрирование, получаем вместо (5.3.23) следующее уравнение:
ег1 + 2еге1-г^-=0.(5.3.25)
Возникающая при интегрировании постоянная равна нулю.
В этом легко убедиться, подставляя в уравнение (5.3.25) соотношения durl“и + “ei о“ri + “ei . d“ei
^1=-^; sei =-; 2erei ;+ -37,
вытекающие при ur = uricos 0, «е = «ei sin 9 из соотношений (5.2.1).
Выражая в уравнении (5.3.25) амплитудные значения деформаций через амплитудные значения усилий по формулам ег1 =
N 1 — ^^61W61 —" ^г I1 4- v
=^h^; е61 =^Н 676,6! = -^-Уг01 и исклю
чая в нем Nre\ и Уе1 с помощью уравнений (5.3.24), получаем в случае антисимметричного теплового растяжения разрешающее уравнение
^VriP.3) 3+_vc _Eh_ /= o (5.3.26)
dp \ p3 dp / r2p3 " рл \ 1 dp )v '
Разрешающее уравнение для антисимметричного теплового изгиба выводим следующим образом. Вводим амплитудные значения деформаций xri, Xej, xreb хъ поперечных усилий Qrl, Qen изгибающих и крутящего моментов Mrl, Mgi, Mret по формулам
xr = xri cos 0, xe=xoicos0, xre = xrei sin 0, xr = x1cos0;
Qr = Qricos0, Qe = Qoisin0;
Mr = Mri cos 0, Me = Mei cos 0, M,e = Mre\ sin 0.(5.3.27)
Для этих амплитудных значений из уравнения (5.2.9), взятого при qz = 0 и без учета влияния растяжения на изгиб, и из уравнений
(5.2.10), (5.2.11) получаем уравнения равновесия + Qei = 0;
(5.3.28)(5.3.28)^L + Mr91-Al91-Qrlr = 0;
(5.3.28)
(5.3.28)
—2^1М61 -|- Мг9х — Qgir = 0.
По аналогии с (5.3.25) составляем уравнение совместности деформаций
dxn1
xri + 2xrei — г—т- =0(5.3.29)
и устанавливаем второе уравнение совместности деформаций
xei + xr6i = 0,(5.3.30)
в справедливости которого легко убедиться при подстановке соотношений
duzi 11d / uz )
вытекающих при иг = uzlcos 0 из соотношений (5.2.5).
Порядок системы уравнений (5.3.28) можно понизить и преобразовать ее к виду
г (Мгх — Мг9х — QrXr) + См = 0;
г^^ + 2Мг9х-М91--^ = 0,(5Л31)
где См — постоянная интегрирования, равная с точностью до постоянного множителя равнодействующему моменту несамоуравно- вешенных контурных усилий и моментов.
Подставляя, наконец, во второе уравнение (5.3.31) выражения
Мгх = Dm [xri + vx6i — (1 + v) хг];
М61 = Dm [vxrl + x6i — (1 + v)xj;
Mr9x = (1 — v) Омхг9х
и исключая затем xrl и xrei с помощью уравнений (5.3.29) и (5.3.30), получаем искомое разрешающее уравнение
d / 1dxeiP3\см. 14-v /rdxAл q о
-т- —т •—5—n—т- х,—р—г2- =0. (5.3.32)
dp \ р3 dp / ^мР Р2 \ 1 dp / v '
Решения уравнений (5.3.18), (5.3.20), (5.3.26) и (5.3.32) при известных чисто тепловых деформациях находятся без затруднений. Зная эти решения, определяем все остальные усилия, моменты и деформации.
Пример 1. Рассмотрим тепловые напряжения в круглой сплошной пластине постоянной толщины, обусловленные стационарным осесимметричным температурным полем
[Т (г, г) = Т^ (г) + ztW (г).(5.3.33)
Между наружным контуром пластины г = гг, ее поверхностями г = ± — и окружающей средой происходит стационарный конвективный теплообмен, при этом температура среды, омывающей поверхность пластины г = —, суще- ft ственно отличается от температуры среды, омывающей поверхность г = —— •
При таких условиях теплообмена температурное поле изменяется как вдоль радиуса, так и по толщине пластины, вызывая кроме растяжения тепловой изгиб пластины.
Решение соответствующей задачи теплопроводности определяется выражением (3.4.18). Полагая в этом выражении постоянные С2 и С2 равными нулю (пластина сплошная), получаем для функций Т^ нТ **’ следующие выражения:
(5.3.34)(5.3.34)Т^ (г) = » + С1/0(6р);
(5.3.34)
(5.3.34)
Т<1)(г) = ц+С170(61р).
Здесь
а _ ^з + ^2а _ ^з + ^2V (^з — ^<)(2 + ?)й ’V (^з — ^<)(2 + ?)й ’
а _ ^з + ^
2
а _ ^з + ^
2
V (^з — ^<)
(2 + ?)й ’
V (^з — ^<)
(2 + ?)й ’
V2 $26(2 + ?)riV2 $26(2 + ?)riайv = -V’айv = -V’р"’р"’
V2 $26(2 + ?)ri
V2 $26(2 + ?)ri
ай
v = -V’
ай
v = -V’
р"’
р"’
где 6) и 64 — температуры среды, омывающей поверхности пластины г = -g- йй
и г = — -g-; а — коэффициент теплоотдачи на поверхностях пластины г = ± -g-; X» — коэффициент теплопроводности материала пластины; р — относительный радиус пластины.
Значения постоянных Cj и Ct определяем по первым равенствам (3.4.7) и (3.4.19); из-за отсутствия в пластине центрального отверстия в этих равенствах следует положить pt = 0 и Yi = О-
Подставляя выражение (5.3.33) в (5.2.15), находим
ег = а?. [^ - То + CJ, (6р)Ь(5.3.35)
xr — ay-Ip + C^g (6jp)].xr — ay-Ip + C^g (6jp)].(5.3.36)(5.3.36)
xr — ay-Ip + C^g (6jp)].
xr — ay-Ip + C^g (6jp)].
(5.3.36)
(5.3.36)
Предполагаем, что на контуре р = 1 отсутствуют радиальная и поперечная силы и изгибающий момент. Тогда граничные условия принимают вид
Nr=0, Qr = 0> Мг = 0 при р=1. (5.3.37)
Если не принимать во внимание влияния растяжения пластины на ее изгиб, то рассматриваемая задача будет состоять из двух независимых задач, из которых первая описывается уравнением (5.3.18) при первом граничном условии (5.3.37), а вторая — уравнением (5.3.20) при остальных граничных условиях (5.3.37). Постоянная С, входящая в уравнение (5.3.20), из-за отсутствия поперечной нагрузки равна нулю. Между этими задачами имеет место аналогия как в основных
уравнениях, так и в граничных условиях и в выражениях для чисто тепловых деформаций. Поэтому достаточно рассмотреть решение первой задачи.
Решение уравнения (5.3.18) для Nr в случае сплошной пластины (вторая постоянная интегрирования равна нулю) и соответствующее решение для N^ имеют выражения
р
8rpdp;
0(5.3.38)
N6 = "^ = С« + V- J erPdP * Eh6T-
Определяя постоянную интегрирования Со из граничного условия (5.3.37) для Nr и подставляя выражение (5.3.35) для ет , получаем после интегрирования
следующие усилия:
ОетЕНС I Г1
N, =[/1 (6) ~ Л (бР)
a.TEhC, Г1
Ng = | Л (б) + -^- А (6р) - 6/0 (6р)
(5.3.39)
При интегрировании используем формулу
х
^ х1й (х) da = х!г (х).(5.3.40)
6
Заменяя в формулах (5.3.39) Nr, Ng, Eh, Сц 6 соответственно величинами Eh? , „
^г, Мд,- ^2 • Ср Op получаем решения для изгибающих моментов
aTEh3C. Г11
Л4г = -2Т56Г^[/1 (бх)--^-Л(бхР)];
a.TEh?C,
(5.3.41)
Соответствующие этим усилиям и изгибающим моментам тепловые напряжения определяются по формулам (5.2.23). В рассматриваемом случае линейного закона изменения температуры по толщине пластины температурные члены в формулах (5.2.23) сокращаются, и эти формулы принимают вид
Nr , \2МггNg 12Л4ег
^ = пг+т-- °е=—+т
(5.3.42)
Пример 2. Для оценки влияния теплового растяжения на тепловой изгиб в круглой пластине рассмотрим простейшую задачу об осесимметричном термоупругом напряженном состоянии сплошной круглой пластины радиуса г2
под действием осесимметричного нагрева, при котором чисто тепловые относитель- hh
ные удлинения на поверхностях z = — и г =— изменяются
по законам
вдоль радиуса
[аг(Г-70)]
2—
1аг (Т — Т'о)]
2=—
h — 80 + £2Р2; 2
= £0 + е2Р2’ 2
(5.3.43)
где р =относительный радиус пластины; е0, е0, е2, е2 — постоянные гч
коэффициенты.
Если принять, что относительное удлинение аг (Г — Т^ изменяется линейно по толщине пластины, то на основании выражений (5.2.15) усилия в ней будут обусловливаться относительным удлинением
«г = ео + е2Р2.(5.3.44)
Sq + е0е2 + е2
гдее0 = —-• е2 = —g’
а изгибающие моменты — кривизной
хт=-£- (Ро + P2P2).(5.3.45)
где
Ро = ео е0> Рг = е2 е2‘
При чисто тепловых деформациях (5.3.44) и (5.3.45) и С = О уравнения (5.3.18) и (5.3.19) принимают вид
d < 1 dN^ dp ( Р ' dpd < 1 dN^ dp ( Р ' dp+ 2ЕЛе2р = 0;+ 2ЕЛе2р = 0;(5.3.46)(5.3.46)d / 1 d^fp dp" \ Р dpd / 1 d^fp dp" \ Р dp12 (1 — v2)^Ё№12 (1 — v2)^Ё№NANA2(1 + v) r2u2 n—-TA n P = 0.(5.3.47)2(1 + v) r2u2 n—-TA n P = 0.(5.3.47)
d < 1 dN^ dp ( Р ' dp
d < 1 dN^ dp ( Р ' dp
+ 2ЕЛе2р = 0;
+ 2ЕЛе2р = 0;
(5.3.46)
(5.3.46)
d / 1 d^fp dp" \ Р dp
d / 1 d^fp dp" \ Р dp
12 (1 — v2)^Ё№
12 (1 — v2)^Ё№
NA
NA
2(1 + v) r2u2 n
—-TA n P = 0.(5.3.47)
2(1 + v) r2u2 n
—-TA n P = 0.(5.3.47)
Решение уравнения (5.3.46) для сплошной пластины, свободной от радиальной силы на контуре, имеет вид
^г = -^(1-Р2)-(5.3.48)
Подставляя решение (5.3.48) в уравнение (5.3.47), представляем его в виде
Р2 + Р -^ - [1 + а (1 - Р2) Р21- Лр3 = 0,(5.3.49)
где 2 а = 3 (1 — v2) е2-^-;
Общее решение уравнения (5.3.49) записываем в виде
йг = С^1 ’ + С2»<2) + ^,(5.3.50)
где д^\ О*2* — частные решения однородного уравнения, соответствующего уравнению (5.3.49); 0^ — частное решение неоднородного уравнения (5.3.49).
На основании теории дифференциальных уравнений, имеющих одну регулярную особую точку, частные решения 0^ и О^* можно получить в виде
сходящихся степенных рядов
^Р^Рf1 + 2 «2пР2п) ;\Л=1/f1 + 2 «2пР2п) ;\Л=1/^)=4Рз(1+5б2^.^)=4Рз(1+5б2^.(5.3.51)(5.3.51)
^Р
^Р
f1 + 2 «2пР2п) ;\Л=1/
f1 + 2 «2пР2п) ;\Л=1/
^)=4Рз(1+5б2^.
^)=4Рз(1+5б2^.
(5.3.51)
(5.3.51)
коэффициенты которых находятся из рекуррентных формул
й2л = I П ^2п—2 — °2п-4); а0 = 1- а-2 = ®;
7(5.3.52)
62n = 4(n + 1) („ + 2) (^2п—2 ” 62п-4); ^^ Ь-2 = °-
Частное решение У^ содержит член с логарифмом, а поэтому на основании условия 0г= О при р = 0 полагаем в решении (5.3.50) постоянную Са равной нулю.
= Dm= DmЗная решение (5.3.50), находим
= Dm
= Dm
l + v+ 5a2n(2n + l+v)p2n.П=1.
Sr2Sr23 + v+ ^^„(гп + з + ^р2" .Л=1.3 + v+ ^^„(гп + з + ^р2" .Л=1.1+vh1+vh(Но + РаР2)(Но + РаР2)(5.3.53)(5.3.53)uz = — г2 У ^^ + C3uz = — г2 У ^^ + C3v '+2.^.\ n=l.v '+2.^.\ n=l.
Sr2
Sr2
3 + v+ ^^„(гп + з + ^р2" .Л=1.
3 + v+ ^^„(гп + з + ^р2" .Л=1.
1+vh
1+vh
(Но + РаР2)
(Но + РаР2)
(5.3.53)
(5.3.53)
uz = — г2 У ^^ + C3
uz = — г2 У ^^ + C3
v '+2.^.\ n=l.
v '+2.^.\ n=l.
-^Lp2»n + 2p-^Lp2»n + 2p
-^Lp2»
n + 2p
-^Lp2»
n + 2p
(5.3.54)
Постоянные Сг и C3 определяются из условий
(5.3.55)(5.3.55)Mr = 0 при р = 1; uz = 0 при р = 0.
(5.3.55)
(5.3.55)
Безразмерный параметр а характеризует влияние растяжения на изгиб пластины. При a = 0, т. е. если отсутствует растяжение пластины от неравномерного иагрева,
Wp=0 = -Т- • -Г-Р2, (Мр=! = - U +—— Ра 1 ^.
При a = 1
((Иг)р=0 = (- 0,172ро + 0,1 78ц2) -^-,
(“г)р—1 —(0,910ро -|- 0,309р2) ~2^
Заметим, что при — = 10, ат ЛЗаметим, что при — = 10, ат Л= 13-10 61/град и v = 0,3 значению а = 1
Заметим, что при — = 10, ат Л
Заметим, что при — = 10, ат Л
соответствует разность 7„ — 7, =282 град жжкз средней температурой на
контуре пластины 7**контуре пластины 7**2222T^z=L^kT-T^2=_h_22T^z=L^kT-T^2=_h_22температурой в центре пластины 7, =-^-температурой в центре пластины 7, =-^-и средней Р=1и средней Р=1(Т- Т0)2=^ + (Т-Т0)2^_^_(Т- Т0)2=^ + (Т-Т0)2^_^_р=0р=0
контуре пластины 7**
контуре пластины 7**
22
22
T^z=L^kT-T^2=_h_
22
T^z=L^kT-T^2=_h_
22
температурой в центре пластины 7, =-^-
температурой в центре пластины 7, =-^-
и средней Р=1
и средней Р=1
(Т- Т0)2=^ + (Т-Т0)2^_^_
(Т- Т0)2=^ + (Т-Т0)2^_^_
р=0
р=0
§ 5.4. Тепловые напряжения в пластине линейно-переменной толщины при осесимметричном температурном поле
В случае осесимметричного температурного поля вместо первого разрешающего уравнения (5.2.20) четвертого порядка можно получить разрешающее уравнение второго порядка.
Заменяя в уравнении совместности деформаций (5.3.17) деформации усилиями по формулам (5.2.13) и исключая Ng с помощью уравнения (5.3.14), находим первое разрешающее уравнение относительно Nr:
r2^r,j'or dDN\ dNr
T d^Dn ‘ dr j dr
r dD«d^T
-V~v)^--^ + V-^DNr^- = 0,(5.4.1)
n Ek r№ Dn = -1-v2 .
Второе разрешающее уравнение (5.2.22) при осесимметричном температурном поле и осесимметричной поперечной нагрузке принимает вид [22]
14 f Г пd / diu2. 1duz\ , 4PM / (Ри vди \
гdr г Ldr \ dr1 гdr dr \ dr*‘ гdr )
- ^^]} -^+(i+^4--Мг^ (хгМ=°’ (5-4-2>
где
.,1 dF . ПEh$
Nr г " dr ’— 12(1—v2) •
Если поперечная нагрузка qz является заданной величиной и не зависит от прогиба, то уравнение четвертого порядка (5.4.2) можно
Nrr»DMNrr»DM— 1 а, +— 1 а, ++ АгО’^г-с+ АгО’^г-с(1 + V) г»Ом(1 + V) г»Ом.^-(xtDm) = 0..^-(xtDm) = 0.(5.4.3)(5.4.3)
Nrr»DM
Nrr»DM
— 1 а, +
— 1 а, +
+ АгО’^г-с
+ АгО’^г-с
(1 + V) г»
Ом
(1 + V) г»
Ом
.^-(xtDm) = 0.
.^-(xtDm) = 0.
(5.4.3)
(5.4.3)
представить в виде уравнения второго порядка относительно йг =
dr
d»Or ,/. . г dDM \ ^г / уг ^О№
dr»D^' ST у "dT + ^ ' ST
Рис. 32.Рис. 32.
Рис. 32.
Рис. 32.
Здесь в соответствии с уравнениями (5.2.9) J qzrdr — C = —Qrr+ Nrr&r. (5.4.4)
Рассмотрим тепловые напряжения в пластине линейно-переменной толщины
/i = /i0(l—х), х = —,(5.4.5)
где h0, гп — постоянные; О С х < 1 (рис. 32).
Подставляя в уравнения (5.4.1) и (5.4.3) выражение (5.4.5) для толщины пластины и вводя независимую переменную х =у- и функцию у по формуле
^г=Ду^ГУ' <546)
получаем при qz = 0 следующие уравнения:
x(l-x)-^r + k-(a + 6 + 1)х] X
X ^ - abNr + Eh0 (1 - х^ = О,
(5.4.7)
2
X (1х)"5^ + Iе (й + ^ + 1) Х1 "die а^ У Щ ‘ (1 _ х)2 X
xN,g-£ •4-(l + v)ro^[xr(l-x)3]=O, (5.4.8) L# qZ.ил
где
a,b = A-±6; 6 = 4-K5 — 4v ; c = 3;a', b' - -1_ ± 6';
6'=_L/13_12v; r' = 3; Do = 12(1_\2) ■(5.4.9)
Общие решения для усилий Nr, Ne, угла поворота нормали Ог и изгибающих моментов Мг, Мв имеют вид
Nr = СХ^ + C2N^ + N^;(5.4.10)
Ne = CXN^ + C2N^ + N^;(5.4.11)
»r = тг^-(С1'у(1) + C’2y№ + у (О + у^ =
= ед» +ед2) + у + ^;(5.4.12)
Mr = Ci'M*0 + С^М^ + М<С) + М^;(5.4.13)
Мв = GW + С2М^ + МС) + М^.(5.4.14)
Здесь N?\ N^ — частные решения однородного уравнения, соответствующего уравнению (5.4.7); N^ — частное решение неоднородного уравнения (5.4.7); у^, у^ — частные решения однородного уравнения, соответствующего уравнению (5.4.8); у<с> — частное решение неоднородного уравнения (5.4.8) при ху = 0; yW — частное решение неоднородного уравнения (5.4.8) при С = 0.
(р=1,2, г);(р=1,2, г);д,(р) _^ dxд,(р) _^ dx(5.4.15)(5.4.16)(5.4.17)(5.4.15)(5.4.16)(5.4.17)Остальные частные решения на основании уравнения (5.2.7) и соотношений (5.2.17) и (5.2.5) определяются по формулам
(р=1,2, г);
(р=1,2, г);
д,(р) _^ dx
д,(р) _^ dx
(5.4.15)
(5.4.16)
(5.4.17)
(5.4.15)
(5.4.16)
(5.4.17)
М<р) = —+(р=1, 2, С);
6 г0 у ах х )
1/ НА^X‘
М^ = Dm [-^+ -^- <>] -(1 + V) хг
мd»^d<x>1
М^ = Dm v-^ + -^(l+v)xy , 1'0 \ ИЛ*
где в соответствии с выражением (5.4.6)
^р) = У(Р) (У = 1, 2, С, х). (5.4.18)
Постоянные интегрирования С1; С2 и Ci, С2 определяются из граничных условий на внутреннем и наружном контурах пластины. Исследуем решения рассматриваемой задачи, когда влияние растяжения на изгиб незначительное, т. е. когда в уравнении (5.4.8)
отсутствует член —_^2 Nry.
В этом случае оба однородных уравнения, соответствующие уравнениям (5.4.7) и (5.4.8), гипергеометрические и их первые частные решения в окрестности точки х = 0 определяются в ги пер геометрических функциях вида (4.9.4).
Принимая во внимание значения параметров (5.4.9), получаем
^=Р^ + 6;4б; 3-‘ ф(5.4.19)
^(1) = F (4" + 6'; 4 ~ б'; 3; 4 •(5.4.20)
Используя формулы (5.4.15), (5.4.18), (5.4.16), а также функциональные соотношения (4.9.10), (4.9.11), (4.9.13), находим для первых частных решений остальных однородных уравнений следующие выражения:
n^-n^-^xf^-h,4-6; 4; 4 =
= 1_^_хNm + 5+v ^ F^ + 6j _1б; 4. *) .(5 4 21}
»"’"=-(т4^^(4+«'4-6" з, *)-
= xF (4 + 6'. 4б'; 3; х) ;(5.4.22)
М(П= Pod+v) Г(1 _х)7? / 1 + 6, _1__^. з; J +
+ xf^ + 6'. 4—6';4;4];(5-4-23>
Л1^ =.po(l+v) [(i-X)H 1 +б; J--6'; 3; х) +
+vx44+6,> 4—б'; 4; 4]’
где
6 = ^-/5-4v,6' = 4|/13-12v; Z)^^-^.
Поскольку параметры с и с' гипергеометрических уравнений равны целым положительным числам, то вторые частные решения однородных уравнений в окрестности точки х = 0 определяются в гипергеометрических функциях второго рода вида (4:9.6).
Функциональные соотношения для функции У (а, Ь; с; х) полностью совпадают с соответствующими функциональными соотношениями для функции F (а, Ь; с; х); поэтому выражения для частных решений N^\ Nq\ ^2), MVr\ М^ получаются из выражений (5.4.19) — (5.4.23) заменой в них функций F (а, Ь; с; х) и F (а’, Ь'; с'; х) функциями Т (а, Ь; с; х) и У (а', Ь'; с'; х).
При v = -j- частные решения О^, M(rn), M^ (n = 1, 2) определяются в элементарных функциях [22].
Переходя к частным решениям неоднородных уравнений, прежде всего приведем частное решение
,,(с>![ I!1 Сго /5 д
У ~(а' —1)(У —1)х L (а'— 2) (6'— 2) х J Do ’
удовлетворяющее уравнению (5.4.8) при с' = 3, Nr = 0, ху = 0. Это решение, как видно из уравнения (5.4.4), имеет место только при наличии поперечной силы.
Для нахождения частных решений неоднородных уравнений, учитывающих тепловые воздействия, необходимо составить выражения для величин ет и хг, входящих в свободные члены уравнений (5.4.7) и (5.4.8).
Изменение чисто теплового относительного удлинения, определяемого температурным полем, полученным из опыта или из решения соответствующей задачи теплопроводности, можно сравнительно точно аппроксимировать выражением
«у (Т - То) = 8“ + (е; - ^ 2L + 2 (е^ + 8^ - 2е°) А, (5.4.25) где бр, е£, ет — распределения чисто тепловых относительных ой ай
удлинении соответственно на поверхностях z = у, z = 0 и z = ——, задаваемые в виде полиномов
е^. = u BjX*, еу = 2 е1х*> ег = 2 eJx* (5.4.26) /=о/=о/=о
(е'., еЧ, бу — постоянные).
Подставляя выражение (5.4.25) в (5.2.15), получаем следующие выражения для величин еу и хг: mtn
еу = 2 ^А ^т = -y^y^y- 2(5.4.27)
где,,
8/ = е° + -~l+ ^ 2б/ , !1/=е,: — е-.(5.4.28)
Если теперь эти выражения внести в свободные члены уравнений (5.4.7) и (5.4.8), выполнить в уравнении (5.4.7) замену функции по формуле
Nr = (1 — xy~a-bN (с — a — b = 2)(5.4.29)
и положить в уравнении (5.4.8) Nr = 0 и С = 0, то вместо (5.4.7) и (5.4.8) получим следующие уравнения:
^(1 ~^"S" + {с —[(с —а) + (с —&)+ 1]х|-^- —
— (с —а)(с—fr)W +2Ах/-1 = 0;(5.4.30)
/=0
(i — ^) -^ + к — к' + ь' + ^ *1 ТБ “ a'b’ti +
+ ^И/к-1 +‘) = 0,(5.4.31)
где
А; = ^Екй;(5.4.32)
Ац = — (1 4- v) /р, -^ ;
(5.4.33)(5.4.33)Лу2 = 2(1 + v)(/ + 1)И/-^;
(5.4.33)
(5.4.33)
Л/з = — (1 + v) (/ + 2) ц,-^- .
Уравнения (5.4.30) и (5.4.31) по форме совпадают с уравнением (4.9.15). Их частные решения при свободном члене вида Ах'-1 определяются выражениями вида (4.9.18). Учитывая (5.4.29) и (5.4.6),
имеем
^'х) =^'х) =(1-х)2(1-х)2— 1)! И/—! у [с — а]л [с-61'"-^^О «’Мпkzklll£2z=Ly [£kl М/ Г6']//1 [с'1/ у [о'к^'к П _ ^о п![с'1"— 1)! И/—! у [с — а]л [с-61'"-^^О «’Мпkzklll£2z=Ly [£kl М/ Г6']//1 [с'1/ у [о'к^'к П _ ^о п![с'1"Sk/=0Sk/=072 [а'1/+1 [b']/+i72 [а'1/+1 [b']/+iin хпin хпIn YnIn ХIn YnIn Х(5.4.34)(5.4.34)
^'х) =
^'х) =
(1-х)2
(1-х)2
— 1)! И/—! у [с — а]л [с-61'"-^^О «’Мп
kzklll£2z=Ly [£kl М/ Г6']/
/1 [с'1/ у [о'к^'к П _ ^о п![с'1"
— 1)! И/—! у [с — а]л [с-61'"-^^О «’Мп
kzklll£2z=Ly [£kl М/ Г6']/
/1 [с'1/ у [о'к^'к П _ ^о п![с'1"
Sk
/=0
Sk
/=0
72 [а'1/+1 [b']/+i
72 [а'1/+1 [b']/+i
in хп
in хп
In Yn
In Х
In Yn
In Х
(5.4.34)
(5.4.34)
(5.4.35)(5.4.35)го 1а1 = —7S“- ^0^2го 1а1 = —7S“- ^0^2П Х™« N,dx.J (1—х)2 г ^1П Х™« N,dx.J (1—х)2 г ^1(5.4.36)(5.4.36)
(5.4.35)
(5.4.35)
го 1
а1 = —7S“- ^0^2
го 1
а1 = —7S“- ^0^2
П Х™« N,dx.
J (1—х)2 г ^1
П Х™« N,dx.
J (1—х)2 г ^1
(5.4.36)
(5.4.36)
После этого уравнение (5.4.8) принимает вид
~Х)~Й + Iе'"(ai + bi + ^А^-а^у —
^-^-(l+v)r0^[xr(l-x)=>] = 0,(5.4.37)
где
Ci, ^1 = ^-±6т; 6j = 4"/13— 12v — 4а,.(5.4.38)
Так как уравнение (5.4.37) по форме совпадает с уравнением (5.4.8), взятым при Nr = 0, то, заменяя в ранее найденных решениях а', Ь', 6' на аг, Ьх, 6,, получаем решение для рассматриваемого случая.
Пример. Сплошной диск газовой турбины, выполненный из сталиПример. Сплошной диск газовой турбины, выполненный из сталиЭИ-437Б в форме круглой пластины линейно-переменной толщины с размерамиЭИ-437Б в форме круглой пластины линейно-переменной толщины с размерамиАо = 10 см, г0 = 50 см, А» = 5 см, г2 = = 25 см (рис. 33), подвергается нерав
Пример. Сплошной диск газовой турбины, выполненный из стали
Пример. Сплошной диск газовой турбины, выполненный из стали
ЭИ-437Б в форме круглой пластины линейно-переменной толщины с размерами
ЭИ-437Б в форме круглой пластины линейно-переменной толщины с размерами
(5.4.26) полиномами(5.4.26) полиномаминомерному нагреву в условиях нестационарного теплообмена (например, при пуске турбины).
(5.4.26) полиномами
(5.4.26) полиномами
Необходимо найти распределение тепловых напряжений в диске в момент времени, который соответствует температурному полю на рис. 33. Значения температуры в отдельных точках диска, измеренные хромель-алю- мелевыми термопарами, приведены в табл. 6.
Пользуясь справочными данными, вычисляем средние значения коэффициентов линейного теплового расширения аг в интервале (293° К, 7) (под температурой То понимается комнатная температура 293° К), а также значения чисто тепловых удлинений агх X (Г — 293° К) в тех точках, для которых известны экспериментальные значения температуры диска (табл. 6).
Распределение чисто тепловых А удлинений на поверхностях г = —,
А
г = 0 и г =— аппроксимируем в соответствии с
[аГ (Г — Го)) А =е; = е' + е1'х + 8^2; Z~ 2
(5.4.39)(5.4.39)[ar (Т — 70)]z=0 = е^. = 8q -}- е^х + е^х2;
(5.4.39)
(5.4.39)
[“г (7 — 70)] л = ег = е0 4- е,х 4- е2х2, z="
где на основании данных табл. 6
82 = 0,01843; е° = 0,02742;е’ = 0,04128.82 = 0,01843; е° = 0,02742;е’ = 0,04128.8g = 0,004785, е, = — 0,002874,
82 = 0,01843; е° = 0,02742;
е’ = 0,04128.
82 = 0,01843; е° = 0,02742;
е’ = 0,04128.
8g = 0,002096, е ° = — 0,001992, е" = 0,0006875, е" = — 0,006105,
Таблица 6
X
т, ^к
ар 10е, \]град
аТ (Г — 293° К) • Ю*
А
2 ~ 2
2=0
h
Z~ 2
h
2 = 0
zh_
2 —2
h
Z=-2
2 = 0
А
2"2
0
623
453
348
14,5
13,1
12,5
47,85
20,96
6,875
0,25
648
533
428
14,7
13,8
12,9
52,19
33,12
17,42
0,50
803
803
803
15,6
15,6
15,6
79,56
79,56
79,56
Подставляя выражения (5.4.39) в формулы (5.4.27) и (5.4.28), определяем
ег = е0 + е1Х + е„хг, хт = ^^^ (р0 + № + М3).(5.4.40)
где
е0 = 0,00230942, 8j = — 0,00282450, е2 = 0,0282354;
ц0 = 0,0040975, ^ = 0,003231, Щ = — 0,022852.
Полагая в формулах (5.4.34) и (5.4.35) / = 0, 1, 2 и учитывая, что в соответствии с выражениями (5.4.32) и (5.4.33) коэффициенты Ло и Л01 равны нулю, представляем частные решения N^ и ,6'*.х* следующими выражениями:
^8) = (1 — х^^Вд + Вуху,(5.4.41)
^Х> = (Т=^ (В° + В‘Х + В^2 + В3*3)'(5Л-42)
где
о _ j^з£.
° (с — а) (с — Ь) Чс — а]2[с — Ь]2 ’(5 4 43)
1 (С-в-Ц)(с-6+1)’
n' ^iitAsi M21 + Л12 + Л03) 1!с'(Л22 + Л13) 2! [с']2
а'Ь'[а'ЫПз
Л21 + Л12 + Л03(Л22 + Л13) 2 (с' + 1)
1 “ (а'+ 1) (6'1)[а'+1]2[Ь'+ 1]з Т
Л23[2]2[С'4-1]г .! (5,4Л4)
[а' + 1]з 1^' + 1 Js ’I
„'^22 + ^1з।^гз^ (с' + 2) °2-(а'+2)(У+2)т [а'+2]а[6' + 2]2 ’
о' _ ^23
(а' + 3) (У + 3) 1
[а]„ = а (а + 1) ... (а + п — 1)..
Здесь коэффициенты Л/ (/ = 1.2) имеют значения (5.4.32), а коэффициенты Лоз. Ло3, Лд, Ар, Aj3 (/ = 1,2) — значения (5.4.33).
6ГЮ3
Е
2 -
Используя формулы (5.4.15) и (5.4.17), вычисляем по известным частным решениям N^ и ^l частные решения JV^ и Л41х1, Л4дХ|.
Л
N^
40
w<e) -io3
N^ • 10s
Eh,
£7 • 10s
Nr • to3
Wq-IO1
Eh,
Eh,
Eh.
0
1
1
2,2958
2,2958
2,3094
0,921
0,921
0,1
0,976273
0,952139
2,2644
2,1660
2,3093
0,922
0,857
0,2
0,951698
0,901630
2,1090
1,6942
2,8739
0,800
0,454
0,3
0,926164
0,847995
1,8596
1,0003
4,0033
0,586
—0,166
0,4
0,899534
0,790595
1,5461
0,20426
5,6973
0,309
—0,883
0,5
0,871627
0,72853!
1,1986
—0,57395
7,9560
0
— 1,576
В общих решениях (5.4.10), (5.4.11), (5.4.13), (5.4.14) частные решения №*?> Л^11, Л4**\ Л!^* вычисляются по формулам (5.4.19), (5.4.21), (5.4.23), постоянные Сг и С2 равны нулю (диск сплошной), частные решения Л1*с\ М^с) исключаются из-за отсутствия поперечных сил (С = 0), а постоянные С] и С^ определяются из условий Nr = 0, Мг = 0 при х = х2 = 0,5.
Результаты вычисленияРезультаты вычислениячастныхчастныхрешенийрешенийгMV "^ ’ -^ ’ "ЁГ,гMV "^ ’ -^ ’ "ЁГ,М^ Л4^>М^ Л4^>5Ао5АоN^\ N^\ М^А., оN^\ N^\ М^А., о, усилий ^r и ^0 с точностью до, усилий ^r и ^0 с точностью до
Результаты вычисления
Результаты вычисления
частных
частных
решений
решений
г
MV "^ ’ -^ ’ "ЁГ,
г
MV "^ ’ -^ ’ "ЁГ,
М^ Л4^>
М^ Л4^>
5Ао
5Ао
N^\ N^\ М^А., о
N^\ N^\ М^А., о
, усилий ^r и ^0 с точностью до
, усилий ^r и ^0 с точностью до
Таблица 8
X
or • 103
E
09 - io3
E
h
z — 0
h
h
2 = 0
A
0
0,336
1,226
0,285
0,336
1,226
0,285
0,1
0,555
1,222
0,704
0,414
1,149
0,699
0,2
0,635
1,114
0,912
0,188
0,681
0,494
0,3
0,577
0,890
0,888
—0,343
—0,184
—0,340
0,4
0,368
0,531
0,605
—1,173
— 1,456
— 1,828
0,5
0
0
0
—2,296
—3,152
—4,008
постоянного множителя E/io • 10 3 и изгибающих моментов Мг, Л4е с точностью до постоянного множителя Eh^ • 10“3 при v = 0,3 для х = 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5 указаны в табл. 7.
Распределение по радиусу и толщине диска, тепловых напряжений а , <те вычисленных с точностью до постоянного множителя Е • 10—Зпо формулам (5.2.23), показано в табл. 8 и на рис. 34.
Таблица 7
4(D Zl_ ' ' £A0
9 Eh4
лфх) ■ 103
M^ ■ IC3
Х7.103 (1/r-M)
Mr • 10s
M0 • 103
Eh0
£ho
£A0
£Ao
0,119048
0,119048
72,970
72,970
0,40975
0,0045
0,0045
0,110933
0,103037
67,982
63,133
0,46579
—0,0101
—0,0192
0,103255
0,0883344
63,271
54,125
0,47870
—0,0148
—0,0163
0,0960122
0,0749370
58,834
45,929
0,43002
—0,0127
0
0,0892043
0,0628401
54,667
38,535
0,28893
—0,00710
0,0197
0,0828297
0,0520386
50,767
31,931
0
0
0,0357
§ 5.5. Термоупругость неоднородных пластин при осесимметричном температурном поле
Соотношения между деформациями и перемещениями (5.3.12), уравнения равновесия (5.3.14) — (5.3.16), соотношения между усилиями и функцией напряжений (5.2.18), а также уравнение совместности деформаций (5.3.17) одни и те же для однородных и для неоднородных пластин. Соотношения же упругости для неоднородных пластин принципиально отличны, что, естественно, влияет на разрешающие уравнения.
Для получения соотношений между усилиями, моментами и деформациями разрешим уравнения (5.2.12) относительно напряжений. Учитывая осевую симметрию задачи, имеем
= т^ ^ + ve^- (1 + V) ar (T - Ге)1;(5 5 1}
ае = пт^Й2’ + ve1^ — (1 + v)ar(T —T0)J, аг9 = 0.
Умножая соотношения (5.5.1) на dz, а затем на zdz, интегрируя в пределах от z ^ до z = -у и используя выражения (5.2.4) и (5.2.6), получаем следующие соотношения между усилиями, моментами и деформациями:
Nr = ВнЕг + D^x^g 4" Dxr 4- DxXg — Ay;
Ng = Dnx6f -|- D^sg 4- Dvxr 4- Dug — Ar;
Mr = Der -|- DxEq 4" Омхг 4- Вм^кд — Mt;r
Mg = Dvsr 4- Dbg 4“ DuiXr 4~ ДмХд — Мт,
где
h/2h/2
Dn- J T^dz; Dnv= j T^dz;
—h/2—h/2
h/2h/2
D= JT^dz;B„= j^dz;
—h/2—h/2
h/2h/2(5.5.4)
dm= fnzr^dz;D^ = JYZT^dz;
-h/2-h/2
h/2h/2
ГеГе
Nt = J "^^(T-T^dz; Mt = J -^a^T-T^zdz.
—h/2—h/2
(5.5.5)
Эти соотношения отличаются от таковых для однородных пластин (5.2.16), (5.2.17) тем, что и усилия и моменты зависят как от деформаций растяжения — сжатия, так и от деформаций изгиба, т. е. отличаются членами, содержащими В и Вх. Разрешим соотношения (5.5.2) и (5.5.3) относительно деформаций растяжения — сжатия и моментов:
ее = a1TNe + a^N г — с13хг — с14х6 + (аи + а12) NT;
(5.5.6)(5.5.6)в, = a12^e + aT1Nr — с14хг — а13хе + (ап + а12) NT;
(5.5.6)
(5.5.6)
Mr = a13N6 + a14Nr — a33xr — а34хе + (а13 + а14) NT — Мт;
М9 = aMNe + a13Nr — а34иг — с33х6 + (о13 + а^ Nr — Мт,
где
Оц - кВц", о.13 = — кВ nV,1
Ois = ^ (В^В^ — BnvB)-, а14 = к (D^B — B^vBy)', |
^зз ~ ^^14 ~Ь ^v^j3 Dm", O-St ^ ^^1з "Ь D^q14 BmV, J (5.5.7)
£ = 1
D2n-D2N4 '
Подставляя выражения (5.5.6) в первое уравнение совместности деформаций (5.3.17) и уравнение равновесия
^MiL_MQ-Nrr^ = D,(5.5.8)
вытекающее из уравнения (5.3.16) и уравнения (5.3.15) при С = О, и используя формулы (5.3.12), (5.3.13) и (5.2.18) при 5^ ^ = О, находим систему разрешающих уравнений задачи:
, d?F . „ / da,, .\ d2F / da12 \ dF ,
+ йтзГ3^ + г2 + a13+
+ г3^-(«11 + й12)^=0;(5.5.9)
, d3F , , / da13 , „ \ d^F ,/ da14 \ dF ,
a18r3+ И' -2Г- ++ r (r«13 j+
,, d3u, , „ /' da,3 .\ d2uz ./ da34 \ duz .
+ «ззГ3-^г + г21Г + «33)+ ra33j +
A-r^ 1 ^-+г3^К«1з + «14)^-Мг] = 0. (5.5.10)
Функции F и u2, принятые в качестве разрешающих, не зависят от положения исходной поверхности (от которой отсчитывается координата z). Поэтому, как показано в работе [36], разрешающие уравнения также инвариантны по отношению к положению этой поверхности. Следовательно, упростить уравнения (5.5.9) и (5.5.10) за счет выбора исходной поверхности невозможно.
Для неоднородных пластин в общем случае задача не распадается на две самостоятельные (о плоском напряженном состоянии и об изгибе пластины) независимо от того, учитывается или не учитывается влияние растяжения на изгиб. Функции F и иг совместно входят и в граничные условия. В качестве граничных условий на контуре г = const могут быть заданы три величины:
N, или ur(ee); Мг или dr; Qr или иг, (5.5.11) которые выражаются через F и иг с помощью формул (5.2.18), (5.5.6), (5.3.12), (5.3.13), (5.3.15), (5.3.16).
Формулы для определения тепловых напряжений на основании (5.5.1), (5.2.4), (5.5.6) имеют вид
аг = у^2 Кйп + ’'^ N' + (й12 + тй“)Ne "(йи + vai8 — z) хг — — («13 + vo14 — vz) хе] + j^[(au + a12) Nr — aT (T— To)]; (5.5.12) °8 = f~^ Kai2 + va^ ^'+ <°n + vfl!1^ Ne — (й13 + ^“i4 — vz) xr ~
— (a14 + va13 — z) x6] + ^^ [(an + a12) NT — aT(T — To)].
Если коэффициент Пуассона постоянный, то
^12 ~^^11, ^13 ~ 0» ^34 = V<233(5.5.13)
и разрешающие уравнейия несколько упрощаются:
3 d8F . 2 ( daH .\ d2F / dau .\ dF
+ r"T -ЧГ + ГЗ ^(«11 + ^2)^ = 0,(5.5.14)
3 d8uz . 2 / da38 .) d2uz ./ da33 \ duz
“ззГ dr8 (г йт +a33j йгг +r\rv d(, — a33j—+
+ r "dT" • -37- + r ~57ЧГ^Т d7 K«u + a^NT-MT\ = 0.
Функции F и иг остаются в этих уравнениях связанными. Их можно разделить лишь в соотношениях между усилиями, моментами и деформациями, выбрав исходную поверхность из условия
£>' = 0.(5.5.15)
Штрих в формуле (5.5.15) указывает на то, что величина D в формулах (5.5.4) вычисляется не относительно срединной плоскости пластины, а относительно исходной плоскости, находящейся на расстоянии z0 от срединной.
Подставляя в выражение для D вместо z величину z —■ z0, в соответствии с условием (5.5.15) находим
А/2
Ezdz
=•(5.5.16)
( Edz
Поскольку при v = const величина D^ = xD, то соотношения между усилиями, моментами и деформациями будут иметь ту же форму, что и для однородных пластин.
Рассмотрим теперь пластину, температурное поле которой Т (z) изменяется только по толщине. Тогда
Е = Е^г\ v = v(z).(5.5.17)
В этом случае, хотя функции F и иг в соотношениях (5.5.2) и (5.5.3) не разделяются, в разрешающих уравнениях (если не учитывать влияния растяжения на изгиб) они разделяются.
Уравнения (5.5.9), (5.5.10) в рассматриваемом случае превращаются в следующие:
ОцГ ^- V2/? + <W -57 АХ = 0;
M^^W^X-V^r • ^ = 0.(5.5.18)
Разрешая эти уравнения относительно -^ V2F и -^ \гиг и учитывая выражения (5.5.7), получаем
dDnsD DnD4 др ди
dnDm-№
где
„ d2 . 1 d^ “ dr2 ^ r ‘dr '
Если не учитывать влияния растяжения на изгиб, то каждое из этих уравнений включает только одну разрешающую функцию: F или и2.В этом случае интегрирование однородных уравнений
^V2^-0, 4v2«2 = 0(5.5.20)
дает выражения
/ r Vг
Г = Со + Сх I —I + С2 In—;
,(5.5.21)
иг = Со + Ci (—) + С2 In ——,\ ' 2 •'2
где г2 — радиус наружного контура пластины.
Для сплошной пластины на основании условий Nr + со, Ог = 0 при г = 0 постоянные С2 и С2 равны нулю. Постоянная Со не оказывает влияния на напряженное состояние пластины.
Если температура пластины изменяется по радиусу и не изменяется по толщине или изменяется симметрично относительно срединной плоскости, так что
Т = Т (г) или Т = Т(г, г) = Т(г, — г),(5.5.22)
то величины D, Dv, а следовательно, и а13, а14 обращаются в нуль и уравнения (5.5.9) и (5.5.10) приобретают вид, подобный (в смысле связанности функций F и и^ тому, какой имеют разрешающие уравнения для однородных пластин:
„ d?F . 2 / daxx \ d^F .
+ ан J +
+ r (r Т ~ ач) "4+ r“ 4 ^ + a^ Nt = 0; (5.5.23) о d3u2 । 9 / da»» .\ d^u? . / da»* \ du? ।
a^r -d^- +r r M v +r r M +
+ r2 4" • ЧГ + rS^ + a^ Nt - МЛ = 0.
Здесь так же, как и для однородных пластин, функция F находится независимо от иг, а если не учитывать влияния растяжения на изгиб, то и uz находится независимо от F.
Решения задачи при изменении температуры согласно (5.5.22) для многих законов изменения жесткости пластины по радиусу можно найти в работе [221. Они получены сведением разрешающих уравнений к гипергеометрическим и интегрированием последних в гипергеометрических функциях.
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ТЕРМОУПРУГОСТЬ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
Вводные замечания
В данной главе рассматривается в квазистатической постановке термоупругое напряженное состояние тонкой оболочки постоянной толщины, срединная поверхность которой является поверхностью вращения. Внешние силы, действующие на оболочку, и температурное поле ее предполагаются симметричными относительно оси оболочки.
Применяется теория тонких оболочек, основанная на гипотезах о неизменяемости нормального элемента и о малости нормальных напряжений на площадках, параллельных срединной поверхности. На основании этих гипотез задача о деформации оболочки сводится к задаче о деформации ее срединной поверхности.
При исследовании деформации срединной поверхности оболочки используются некоторые формулы теории поверхностей вращения, известные из дифференциальной геометрии. Вывод этих формул дается в § 6.2. Соотношения между деформациями и перемещениями и уравнения равновесия рассматриваются в § 6.3 и 6.4; они совпадают с соответствующими соотношениями и уравнениями изотермической теории оболочек 148, 37, 11]. Соотношения между усилиями, моментами и деформациями, учитывающие температурные члены, приводятся в § 6.5.
В качестве наиболее простой задачи термоупругости оболочек в § 6.6 рассматривается задача о тепловых напряжениях в цилиндрической оболочке; разрешающее уравнение этой задачи является дифференциальным уравнением четвертого порядка с постоянными коэффициентами. Дал ее выводятся разрешающие уравнения для других форм оболочек с постоянной кривизной меридиана (конической, сферической, торообразной). Для каждой из них в § 6.7 составляется разрешающее уравнение в виде дифференциального уравнения второго порядка относительно комплексной функции, при этом используются известные в теории оболочек стати ко-геометрическая аналогия и комплексное преобразование уравнений. Анализ форм решений и граничных условий для этих оболочек излагается в § 6.8.
Исследование тепловых напряжений в конической и сферической оболочках (§ 6.9 и 6.10) выполняется на основе решений в специ- 170
альных функциях: для конической оболочки в бесселевых функциях, а для сферической в гипергеометрических. В § 6.6, 6.9 и 6.10 приводятся примеры, выясняющие влияние геометрических параметров, законов изменения чисто тепловых деформаций и граничных условий на распределение в оболочках тепловых напряжений.
Некоторые понятия и формулы теории поверхностей вращения
Поверхность вращения образуется при вращении плоской кривой, называемой меридианом, вокруг оси, лежащей в плоскости кривой. Линии пересечения поверхности с плоскостями, перпендикулярными к оси вращения, называются параллелями. Меридианы 9 = = const и параллели s = const являются линиями главной кривиз
ны поверхности вращения, где 0 — угол между плоскостями рассматриваемого и начального меридианов; s — длина меридиана, отсчитываемая от некоторой начальной точки Ро (рис. 35).
Обозначим через Rt и Ra главные радиусы кривизны поверхности вращения в точке Р. Первый главный радиус кривизны RT является радиусом кривизны меридиана, второй Ra равен длине отрезка нормали к поверхности, заключенного между этой поверхностью и осью вращения (рис. 35 и 36):
Рй=-2—,(6.2.1)
2 sin фх
где г — радиус параллели; ф — угол между нормалью к поверхности и осью вращения.
Положение какой-либо точки Р поверхности вращения определяется координатами s, 8 или радиусом-вектором R (рис. 35).
Введем в рассмотрение так называемый сопровождающий точку Р трехгранник единичных взаимно ортогональных векторов es, е6, е2, образующих правую систему. Пусть es является единичным вектором касательной к меридиану, направленным в сторону возрастания, s, е6 — единичным вектором касательной к параллели, направленным в сторону возрастания угла 9, и ег — единичным вектором внешней нормали к поверхности. Между векторами es, eQ и ег имеют место соотношения
es = ее X е2; е6 = ег х es; е2= es х ед. (6.2.2)
Учитывая, что первая производная радиуса-вектора по длине дуги равна единичному вектору касательной, получаем
(6.2.3)(6.2.3)dR1 dR
(6.2.3)
(6.2.3)
ds ’ ев~ г ‘ ае •
Ниже мы будем пользоваться формулами для производных единичных векторов по длине дуг линий главных кривизн. Из дифференциальной геометрии известно, что первая производная единичного вектора по длине дуги есть вектор, имеющий модуль, равный кривизне кривой, и направленный по главной нормали этой кривой в сторону ее вогнутости.
Предполагаем, что меридиан обращен вогнутостью к оси оболочки. Тогда, учитывая, что главная нормаль плоской кривой лежит в ее плоскости, находим
где еГ — единичный вектор, направленный по радиусу параллельного круга (рис. 35). Вектор ег можно разложить на две составляющие по направлениям векторов es и е2 и представить в виде
er = cos фе5 + sin фе2.
Подставляя выражение для ег во вторую формулу (6.2.4), имеем
•=—соэфе5— sin<pe2.(6.2.5)
При движении вершины трехгранника по меридиану вектор е0 не изменяет своего направления. Следовательно,
5е6ds5е6ds= 0.= 0.(6.2.6)(6.2.6)
5е6ds
5е6ds
= 0.
= 0.
(6.2.6)
(6.2.6)
Дифференцируем третье векторное произведение (6.2.2) по ко
ординате s:
де 2дг,- . "*defl
= -Н- X eQ + е. х —5— .dsdssds
Используя первую формулу (6.2.4) и равенство (6.2.6) и учитывая, что от перестановки множителей векторное произведение меняет знак, переписываем последнее выражение в виде
"аТ" = ^-ее X ez --^-es. (6.2.7)
Дифференцируя первое векторное произведение (6.2.2) по координате 0 и используя формулу (6.2.5), получаем
де$ _ 69де$ _ 69де6 09де6 09"* । де,хег+ев X -^ ="* । де,хег+ев X -^ =
де$ _ 69
де$ _ 69
де6 09
де6 09
"* । де,
хег+ев X -^ =
"* । де,
хег+ев X -^ =
де2
= — cos <р es х е. — sin ф е2 х ег + ее х -gg- .
—►де
Принимая во внимание, что векторы ее и -^- параллельны, и учитывая свойства векторных произведений, находим
(6.2.8)(6.2.9)(6.2.8)(6.2.9)-^- = СО5фе6.
(6.2.8)
(6.2.9)
(6.2.8)
(6.2.9)
Аналогичным образом определяем
де, .-
= sin ф ев.
Полная таблица производных единичных векторов принимает вид
де,1 "♦ de,-
-cosфее,•
(6.2.10)(6.2.10)d«e пде6
(6.2.10)
(6.2.10)
-57-=-а§- = — созфез — 8Шфе2;
де2 1 "* де2 .-
"дГ" ~ Rx в^ -5Q- —81Пфее.
Выведем дифференциальное соотношение между радиусами кривизны Rt и R2. Из рис. 36 видно, что ~ = cos ф. Подставляя в это равенство ds = RTd<p и г = 7?25Шф, получаем известное условие Кодацци — Гаусса для поверхности вращения:
dR2 sin <p0фdR2 sin <p0ф= Rx cos ф.= Rx cos ф.(6.2.11)(6.2.11)
dR2 sin <p0ф
dR2 sin <p0ф
= Rx cos ф.
= Rx cos ф.
(6.2.11)
(6.2.11)
§ 6.3. Деформации оболочки
Температурное поле оболочки предполагается двумерным и в общем случае нестационарным: Т = Т (s, z, f), где s — меридиональная координата; z — координата, отсчитываемая от срединной поверхности в сторону ее внешней нормали; /— время. Так как задача термоупругости оболочки здесь рассматривается в квазистатической постановке, то время t играет роль параметра.
При осесимметричных внешних силах и температурном поле срединная поверхность оболочки при деформации остается поверхностью вращения; точки поверхности перемещаются в своей меридиональной Плоскости; их перемещения одинаковы во всех меридиональных плоскостях.
Положение точки Р до деформации определяется радиусом-вектором R (рис. 35), а после деформации — радиусом-вектором
R' = R -V" и = R "V" uses Т- игег,(6.3.1)
где и — вектор перемещения; us и и2 — проекции вектора перемещения и на направления единичных векторов es и ег.
Единичные векторы касательных к меридиану и параллели деформированной срединной поверхности определяются выражениями вида (6.2.3):
dR’1 dR’о
= ”<6"3-2)
где ds' и r’dQ — элементы дуг соответственно меридиана и параллели деформированной срединной поверхности. Эти элементы можно представить выражениями
ds' = ds (1 + es); r'd9 = rd9 (1 + е6),(6.3.3)
где es и eg — относительные удлинения срединной поверхности в направлениях меридиана и параллели.
Подставляя выражение (6.3.1) в (6.3.2) и учитывая (6.3.3), получаем
/, ,dR’ dR , де. , де, , dus , du, -
(I + еJ es =— = -5- + и. + и, -Л- + -р- е. + -V- е,,
х5 5S ds х s ds г ds ds s ds г
,x^'1 dR'1( dR, d^ . dZ\ (6.3.4)
(1 +ee)eer■ 69rUe “s 50 +Uz se ) ■
При написании этих равенств на основании осесимметричной де,„du. ди, п
формации срединной поверхности полагаем= 0 и заме
няем частные производные от перемещений us и uz по координате s обыкновенными. Подставляя в равенства (6.3.4) выражения для
производных единичных векторов (6.2.10) и применяя формулы (6.2.3), получаем
., ,L । du, , uz\->/ и, . duz\**
(1 + ^)^=^! + -^+— ps + (-^- +-^)ez,
(1 + Ee)e0 = (1 + -y-cosq>+ -^sincpj f6.(6.3.5)
Из равенств (6.3.5) с точностью до величин второго порядка малости следует
=(6-3.6)
s ds Rtv 7
ее =-7~(usC0S(P + «zsin <р)(6.3.7)
и
«•=;. + (-#+т);..<6-38>
ее = Не-
линейный элемент, имеющий до деформации направление ez, после деформации получает направление единичного вектора внешней нормали к деформированной срединной поверхности е\ Вектор е'г может быть найден как векторное произведение векторов е’$ и е'. Используя при вычислении векторного произведения выражения (6.3.8) и соотношения (6.2.2), находим
е' = es' X ее = es х е6 + (— ^ + ^r)ez X е0 = е2 + ^А, (6.3.9) где
—(6.3.10) s Rt dsх ’
Как видно из формулы (6.3.9), величина ^ является проекцией единичного вектора нормали к деформированной срединной поверхности е’г на направление es и равна малому углу поворота нормали к срединной поверхности вокруг оси, имеющей направление е0.
Положение любой точки тела оболочки /\ определяется координатами s, 9, z, где координата г, равная отрезку РРг, отсчитывается от срединной поверхности в направлении ег. Поверхность г = const представляет собой поверхность вращения, равноотстоящую от срединной поверхности (так называемую эквидистантную поверхность). Главные радиусы кривизны этой поверхности равны Рг + г и Рг + г.
Зная угол поворота нормали к срединной поверхности (6.3.10), находим в соответствии с гипотезой о неизменяемости нормального элемента следующие зависимости между перемещениями u<z), и^ в точке Рг на расстоянии z от срединной поверхности и перемещениями us, uz в соответствующей точке Р срединной поверхности (рис. 37):
u<z) = us + 2»s, u^ = uz. (6.3.11)
Заменяя в формулах (6.3.6) и (6.3.7) us, ds, Ръ г соответственно величинами и^, ds |1 +1, Rt + z, г (1 + и вводя в эти фор-
мулы выражение (6.3.11) для и^, получаем относительные удлинения es<2) и е^2) в точке на расстоянии г от срединной поверхности =Ц—(es+2Xs);
(6.3.12) е^ =L—- (е0 + Zx6),
где d^s d ( us\ d2uz xs -~dT(6.3.13)
x0 —^scos <P =1 / us du2 )= —-^!с05ф-(6.3.14)
Пренебрегая в формулах (6.3.12) z z членами порядка -^- и по
сравнению с единицей, получаем выражения для деформаций в более простом виде:
е'2) = es + zxs, Гц* е6 + zx0.(6.3.15)
С точностью до исходных допущений теории оболочек величины xs и хе выражают изменения кривизны срединной поверхности соответственно в меридиональном сечении и в другом главном нормальном сечении, проходящем через единичные векторы еЙ и ег.
Таким образом, осесимметричная деформация срединной поверхности характеризуется четырьмя параметрами: относительными удлинениями es и е0 в направлениях меридиана и параллели и изменениями кривизны xs и х0 в направлениях меридиана и параллели.
Для осесимметрично деформированной срединной поверхности существуют два уравнения совместности деформаций, которые являются частным случаем уравнений совместности деформаций общей
тически эквивалентные им внутренние усилия и моменты по фортически эквивалентные им внутренние усилия и моменты по фор
тически эквивалентные им внутренние усилия и моменты по фор
тически эквивалентные им внутренние усилия и моменты по фор
теории оболочек [11]:
-37 (гх0) — cos cpxs — ^-cos cpes^ = 0;
(6.3.16)(6.3.16)d lde9r\
(6.3.16)
(6.3.16)
(^i«s + #2*0) sin <p +Я1 -371 -^cos <pes) = 0.
Уравнения (6.3.16) удовлетворяются тождественно при замене деформаций срединной поверхности их выражениями в перемещениях по формулам (6.3.6), (6.3.7), (6.3.13), (6.3.14).
§ 6.4. Уравнения равновесия оболочки
Выделим из оболочки элемент двумя меридиональными плоскостями, расположенными под углами 9 и 9 + d9 к плоскости начального
меридиана, и двумя коническими поверхностями, нормальными к срединной поверхности и пересекающимися с ней по параллелям на расстояниях s и s + ds от начальной параллели. Элементу оболочки соответствует элемент срединной поверхности, ограниченный меридианами 9 = = const и 9 + d9 = const и параллелями s = const и s + ds = const.
Пусть os, о0 — нормальные напряжения, действующие на площадках, ограничивающих элемент оболочки; osz— касательное напряжение, действующее на площадке конической поверхности параллельно единичному вектору е2 (рис. 38).
В теории оболочек, как и в теории пластин, вместо напряжений вводятся ста
Ws =Ws =Ms =Ms =2222мулам
Ws =
Ws =
Ms =
Ms =
2
2
2
2
Здесь Ns, Qs, Ms — соответственно нормальное усилие, поперечное усилие, изгибающий момент, приходящиеся на единицу длины параллели; Ng, Мд— нормальное усилие, изгибающий момент, приходящиеся на единицу длины меридиана. Малые члены — и -^- в
Ах А2 подынтегральных выражениях формулы (6.4.1) в дальнейшем'опус- каются.*
Обозначим внешнюю силу, приходящуюся на единицу площади срединной поверхности, через q, а ее составляющие по направлениям единичных векторов es и ez — соответственно через qs и qz.
Рис. 39.
Положительные направления внутренних усилий и моментов и внешних сил указаны на рис. 39. Введенные таким образом внутренние усилия и моменты и внешние силы позволяют вместо равновесия пространственного элемента оболочки рассмотреть равновесие соответствующего элемента ее срединной поверхности.
На сторону элемента s = const действует усилие — (Мд + + Qsez) rd®, а на сторону s + ds = const — усилие
Г /. dN.r ) /. de, . \~. dQ.r , \, de, 1
Nj Hes + ds + Q.r H—ds e. + ds dO. I \ds! yds l\s ds j X z ' ds /
С точностью до величин второго порядка малости равнодейству-
„dN.r "♦ , dQ.rde. ,
ющая этих двух усилии равна I —ег + Nsr -~ +
+^s^- Таким же образом находим равнодействующую
усилий, действующих на стороны элемента 9 = const и 9 + d9 =
= const, Ng™g ■ dsd9; равнодействующую изгибающих моментов, действующих на стороны элемента s = const и s + ds = const,
I d/Vf г1
V ds "e° + ^r ds / ^sdQ и Равн°Действующую моментов, действующих на стороны элемента 9 = const и 9 + d9 = const, — М0-|^ dsd9.
Пренебрегая величинами высшего порядка малости, определяем также момент усилий относительно оси е9: — Qsre6dsd9.
Учитываем внешнюю поверхностную нагрузку
(<7А + q2e^ rdsd^.
Условия равенства нулю главного вектора и главного момента всех сил, действующих на элемент срединной поверхности, имеют вид
;s +;2+?v$r А+qsf %+
ds s ds 21 s ds s ds
+ N6 -^ + Vqses + ?X) r = 0;(6.4.2)
dMsr . ,, de0,, de,„
ds e® + ^s*- ~s^9-d0Q$re9 ~ ®-
Используя формулы (6.2.10) для производных единичных векторов и приравнивая затем нулю коэффициенты при es, вд, ez, получаем из двух векторных уравнений (6.4.2) три скалярных уравнения равновесия оболочки:
dNsr ds
— Ng COS <p +
Q$r Ri
q$r
= 0;
dMsr ds
— Mg COS ф —
Qsr =
0;
(6.4.3)
dQsr
— Ng sin ф —
Nsr
= 0.
ds
Ri
■ q/
§ 6.5. Соотношения между усилиями, моментами и деформациями
Соотношения между деформациями оболочки (6.3.15) и напряжениями аналогичны соотношениям (5.2.12) для пластины:
е$1 = Л 9.+ а (Г-Г0);
L(6.5.1)
p(z) °6v°s , п /т1 т \
EggГ аг v 0/-
ии«5«5zzи , получаем ^1^2N„ — vNeN_—vNs(6.5.2)5 ' Eh 1 T’ eEh I >12(M$-vM6)_ 12(M0-vAls)Eha1 Xr, x6£Лз+ xr(6.5.3)Л^$ = Dn [e$ + veQ — (1 + v) er];Nq = Dn [vss + e6 — (1 + v)erJ;(6.5.4)Ms = Dm [xs 4- vx0 — (1 + v)xrJ; M6 = Dm [vxs + x0 — (1 + v)xr],(6.5.5)zzи , получаем ^1^2N„ — vNeN_—vNs(6.5.2)5 ' Eh 1 T’ eEh I >12(M$-vM6)_ 12(M0-vAls)Eha1 Xr, x6£Лз+ xr(6.5.3)Л^$ = Dn [e$ + veQ — (1 + v) er];Nq = Dn [vss + e6 — (1 + v)erJ;(6.5.4)Ms = Dm [xs 4- vx0 — (1 + v)xrJ; M6 = Dm [vxs + x0 — (1 + v)xr],(6.5.5)Выполняя преобразования, аналогичные соответствующим преобразованиям для пластины, и применяя формулы (6.4.1) без ма-Выполняя преобразования, аналогичные соответствующим преобразованиям для пластины, и применяя формулы (6.4.1) без ма-лых членовлых членовгде величины ег, хг определяются выражениями (5.2.15);где величины ег, хг определяются выражениями (5.2.15);Dm 12 (1 —v2) ‘Dm 12 (1 —v2) ‘D Eh °N= 1-V2D Eh °N= 1-V2
и
и
«5
«5
zz
и , получаем ^1^2
N„ — vNeN_—vNs
(6.5.2)
5 ' Eh 1 T’ eEh I >
12(M$-vM6)_ 12(M0-vAls)
Eha1 Xr, x6£Лз+ xr
(6.5.3)
Л^$ = Dn [e$ + veQ — (1 + v) er];
Nq = Dn [vss + e6 — (1 + v)erJ;
(6.5.4)
Ms = Dm [xs 4- vx0 — (1 + v)xrJ; M6 = Dm [vxs + x0 — (1 + v)xr],
(6.5.5)
zz
и , получаем ^1^2
N„ — vNeN_—vNs
(6.5.2)
5 ' Eh 1 T’ eEh I >
12(M$-vM6)_ 12(M0-vAls)
Eha1 Xr, x6£Лз+ xr
(6.5.3)
Л^$ = Dn [e$ + veQ — (1 + v) er];
Nq = Dn [vss + e6 — (1 + v)erJ;
(6.5.4)
Ms = Dm [xs 4- vx0 — (1 + v)xrJ; M6 = Dm [vxs + x0 — (1 + v)xr],
(6.5.5)
Выполняя преобразования, аналогичные соответствующим преобразованиям для пластины, и применяя формулы (6.4.1) без ма-
Выполняя преобразования, аналогичные соответствующим преобразованиям для пластины, и применяя формулы (6.4.1) без ма-
лых членов
лых членов
где величины ег, хг определяются выражениями (5.2.15);
где величины ег, хг определяются выражениями (5.2.15);
Dm 12 (1 —v2) ‘
Dm 12 (1 —v2) ‘
D Eh °N= 1-V2
D Eh °N= 1-V2
Заменяя в первых двух формулах (5.2.23) индекс г на s, получаем соответствующие формулы для напряжений в оболочке:
Ns I I2Af$Z .Е r .,т гр
°s = —Н уН 1ЕГ + 2ХГ — От(Г —^вЖ
(о.о.о)
12MAz р
ое = "у* + ~^А +[er + гхг —аг(Т —То)].
При линейном изменении температуры Т — ^ по толщине оболочки и постоянном значении ат имеет место равенство
ег + гхт = ат(Т — Го),
на основании которого формулы (6.5.6) принимают вид
(6.5.7)(6.5.7)Ns , 12MszNe . ^MQz
(6.5.7)
(6.5.7)
^ = -r + ”^; °0=т + Пр~
§ 6.6. Тепловые напряжения в цилиндрической оболочке
В случае цилиндрической оболочки
-5- = 0, г = г0 = const,-5- = 0, г = г0 = const,лл(6.6.1)(6.6.1)
-5- = 0, г = г0 = const,
-5- = 0, г = г0 = const,
л
л
(6.6.1)
(6.6.1)
duz ds ’(6.6.2)duz ds ’(6.6.2)
duz ds ’
(6.6.2)
duz ds ’
(6.6.2)
выражения для деформаций (6.3.6), (6.3.7), (6.3.13), (6.3.14) и угла поворота (6.3.10) принимают вид
dll»Uid^U,У> (,
es = -т^-; ee = — ; х. =; х0 = 0;О'.
S ds'о s ds2s
Ng = Eh\ ^0Ng = Eh\ ^0Л4$ =Л4$ =d2uds1d2uds1(1 + v)xr(1 + v)xr(6.6.7)(6.6.7)M9 = -Dm^^M9 = -Dm^^+ (1 + v)xr^ .+ (1 + v)xr^ .
Ng = Eh
\ ^0
Ng = Eh
\ ^0
Л4$ =
Л4$ =
d2u
ds1
d2u
ds1
(1 + v)xr
(1 + v)xr
(6.6.7)
(6.6.7)
M9 = -Dm^^
M9 = -Dm^^
+ (1 + v)xr^ .
+ (1 + v)xr^ .
а уравнения равновесия (6.4.3) при qs = 0 переходят в следующие:
^ + — = 0,=—(6.6.3)
5 r0 ’ ds sds 'о
где С — постоянная интегрирования, которая выражается через равнодействующую осевую силу Р (рис. 40) по формуле
с <6-64>
Исключая из второго и третьего уравнений (6.6.3) Qs, получаем
(6.6.5)
Подставляя во второе соотношение (6.5.2) величины
XTС
80 = —^ И Ws = — — , ПОЛу- го'о
чаем
(6.6.6)
Соотношения (6.5.5) при xs = —и хе = 0 принимают вид
Подставляя в уравнение (6.6.5) выражения для усилия Ng и изгибающего момента Л4$, находим разрешающее уравнение для цилиндрической оболочки:
4> + 4Р«2 - ^ (qz + ^ _ 40Vo8r + (1 + v)^ = 0, (6.6.8)
p4 = Hl_z21.(6.6.9)
Общее решение этого уравнения имеет выражение
иг = ^s (С, cos 0s + С2 sin 0s) + e”Ps (С3 cos 0s + C4 sin 0s) +
+ ^ + U^ + u^ + u^,(6.6.10)
или
uz = C4 sin 0s sh 0s + C2 sin 0s ch 0s + C3 cos 0s sh 0s + C4 cos 0s ch 0s +
-Vu^ + u^ + u^ + u^.(6.6.11)
где u<»>, и^, и^\ uW — частные решения неоднородного уравнения (6.6.8) при свободном члене, содержащем величины соответственно qz, С, ет, кт; Сп ..., С4 — постоянные интегрирования, определяемые из условий на ограничивающих оболочку контурах.
Частные решения для случаев равномерной нагрузки интенсивностью qz и осевой силы Р = —2лС соответственно будут
2Uz ~ Eh ’' Eh '2Uz ~ Eh ’' Eh '(6.6.12)(6.6.12)
2
Uz ~ Eh ’' Eh '
2
Uz ~ Eh ’' Eh '
(6.6.12)
(6.6.12)
Для определения частных решений в случае неравномерного нагрева аппроксимируем изменения чисто тепловых деформаций вдоль образующей срединной поверхности полиномами
mm
£т = ^ EjS', ^Т =(е,-, р,-= const) (6.6.13)
7=0j=0
или тригонометрическими суммами
У
. 2ns , v - • • 2л5 е- cos 1 -г- + Л е. sin / -у- ;
1”1^ ’1(6.6.14)
mm
„1 V . 2«s , 1 у2ns /--
хт =+ т2^sin 1 ~г ^i' ер ^i’ h = const)-
/=0/=1
где I — длина оболочки.
Выбирая в случае тепловых деформаций (6.6.13) или (6.6.14) частные решения в виде выражений mm
и?1 = 2 а^’ и^ = 4" 2 bis‘ (6.6.15) /=0/=0
или mm
(е)• 2л$ t V ; 2л$
«z =°i C0S / ~ 2 aism / T" ’
/=0/=1(6.6.16)
mm
(x) X1 • 2л5 , l' •• 2Л5
Uz = ^6/cos/— + z bgsmj — /=0/=1
и внося их в уравнение (6.6.8), взятое при qz = 0, С = 0, получаем алгебраические уравнения для определения коэффициентов а,, а’р Ьр Ьр
Зная решение для uz, определяем соответствующие решения для «„ N6> Ms, М6, Qs.c
Подставляя в первое соотношение (6.5.2) es = -^, Ns = — — и Ne, определяемое выражением (6.6.6), и выполняя интегрирование, находим
Щ= f|-^-^^ + (l+v)eJdS-C5. (6.6.17)
Постоянная С6 представляет собой осевое перемещение оболочки в целом как жесткого тела в направлении оси $ (рис. 40).
Наличие в решениях для усилий, моментов и перемещений шести постоянных интегрирования: С, Съ ..., С4, С6 позволяет удовлетворить любые граничные условия на краях оболочки. Постоянная С определяется по формуле (6.6.4), С^ ..., С4 — из системы четырех уравнений, выражающих условия загружения или закрепления краев оболочки, а постоянная С5 находится из условия, фиксирующего начало отсчета осевого перемещения. Если оболочка статически неопределима относительно осевой силы, то задается дополнительное условие для перемещения. Более подробный анализ граничных условий для осесимметрично деформированной оболочки дан в § 6.8.
Рассмотрим две характерные задачи о тепловых напряжениях и перемещениях в цилиндрической оболочке.
Задача 1. Длинная цилиндрическая оболочка со свободным краем s = 0 подвергается действию температурного поля
з
Т — То = 2 Tu4z)s*.(6.6.18)
где Ти) (?) — в общем случае нечетные функции. Такое температурное поле вызывает чисто тепловые деформации
33
ег = 2 е/; Хт = Т’^Р/5'’(6.6.19)
/=о/=0
где
ЛА
22
£i=—^ ат 7^(2) dz; р., = -^ ^ агТ(,) (z) zdz. (6.6.20)
—— 2"
При этих чисто тепловых деформациях частные решения (6.6.15) имеют выражения
з
^r^s'; u*x) = —-^^ (р2 +3p3s).(6.6.21)
В случае длинной оболочки целесообразно использовать общее решение для иг в форме (6.6.10); так как краевой эффект быстро уменьшается с увеличением s, в этом решении следует положить Сх = Сй = 0. Принимая во внимание, что в рассматриваемом случае отсутствуют распределенное давление и осевая сила (qz = 0, С = 0), получаем
з
и2 = е~^ (С3 cos ps + С4 sin ps) + r0 2 V^f (14 + 3p3s).
(6.6.22)
Далее вычисляем
t}s = — -^- = pe-Ps [С3 (sin ps 4- cos Ps) 4- C4 (sin ps — cos ps)] —
з
- 2 /V"1 + ^±4^;<6.6.23)
/=0p
Ms = —Dm [-^- 4- (1 4- v) xr| = — Dm [гр^-Р5 (C3 sin Ps —
3
(6.6.24)(6.6.24)— Ct cos ps) 4- 2r0 (e2 4- 3e3s) 4- (1 4- v) 4" 24/s'/=o
(6.6.24)
(6.6.24)
Qs = ^^ = —Dm |2p3e^s [C3 (cos Ps — sin ps) 4-
C4 (cos Ps 4- sin ps)] 4- 6r0e3 4- 0 4- v) -£- 2 /H/s/—• (6.6.25) Z=o J
Удовлетворяя условиям на свободном крае
Ms = 0, Qs = 0 при s = 0,(6.6.26)
определяем
рro (р I Зез ) 1 4-v f । Pt \
Р2 \ р / 2Р2йр
Р _ Г082 |(1 4- V) Рр
4 р2 т 2Р2Й
Подставляя значения постоянных С3 и С4 в формулы (6.6.22) и (6.6.23), находим
(uz)s=o Го ^о рг рз ] 2p2h у ° р ‘ рг / ’ (6-6.27)
/АХ г (р I I ЗВз )i + У/о.. ] Pt^Рз )
(vs)s=oг о \е1 +р + рз )2р/1рр3 / ■
Применяя формулу (6.6.6) и вторую формулу (6.6.7), определяем
(Уе^о = - ^ [е2 + ^ 4- ^ (ро + -^ + -^-)]; (6.6.28)
Ом — у2) Ро
(Ж=0 =м h .(6.6.29)
Чтобы определить напряжения од, необходимо знать распределение температуры по толщине оболочки. Пусть при s = 0 изменение температуры по толщине оболочки определяется законом (Т ^0)5=0 = Т^ (?) = ТОо 4* ^о1г 4~ Т02z2 (Тоо, То1, То2 = const).
(6.6.30)
Этому распределению при постоянном значении аг соответствуют
(ег)$=о = е0 = аг ^Тоо Н—^—j ; (хгКо = -у- = агТ01.
Подставляя выражения для N6, М6, ет, хт и Т — То во вторую формулу (6.5.6), находим
(oe)s=o = — £ [-^ (е2 + -^) + ^^- (ро + "J" + -^) +
++^(^2-О)-(6.6.31)
В частном случае, когда температура изменяется только вдоль толщины оболочки по линейному закону
T — T0 = T№ + T01z,(6.6.32)
ТТ_ 1 00—2_ 1 00—2где
Т
Т
_ 1 00—2
_ 1 00—2
(Т-То)_ А +(Т-Т0) h
.Z 2Z 2
то1=^, АТ = (Т-Т0) А-(Г-Г0)„,
2 2z- 2
в формуле (6.6.31) отличным от нуля остается только коэффициент ^- = «г-^- . Максимальное тепловое напряжение
(6.6.33)(6.6.33)ЕатЬТ ГК — у2
(6.6.33)
(6.6.33)
2/3(1— v)
При АТ > 0 это напряжение сжимающее.
Задача 2. В короткой цилиндрической оболочке с жестко заделанными краями происходит равномерное приращение температуры Т — То, которому соответствуют чисто тепловые деформации
(6.6.34)(6.6.34)ег = е0 = аг (Г — То), хг = 0.
(6.6.34)
(6.6.34)
В этом случае удобно применить решение для иг в форме (6.6.11). Если поместить начало координат в среднем поперечном сечении цилиндрической оболочки, то при одинаковых граничных условиях на краях s = ± -^ (Z — длина оболочки) решение для иг должно быть четной функцией, поэтому С2 = С3 = 0. Тогда, принимая во vC
внимание выражения для частных решений и^ =; и1^ =
= гоаг (Т — То), получаем
иг = Ci sin 0s sh 0s + C4 cos 0s ch 0s + -^ + roar (T — To). (6.6.35)
Затем находим
■0-s = — ^ = — 0 [С4 (cos 0s sh 0s + sin 0s ch 0s) —
— C4 (sin ps ch Ps — cos ps sh ps)],(6.6.36)
Ms = — Dm ^T = — 2DM02 (Ci cos ps ch ps — C4sin pssh ps) (6.6.37) и, применяя формулу (6.6.17), определяем
us =[C4 (cos ps sh ps — sin ps ch 0s) — C4 (cos Ps sh 0s +
or
+ sin 0s ch 0s)]+ ат (T — Т^ s — C6.(6.6.38)
Постоянная C5 согласно условию симметрии
us = 0 при s = 0(6.6.39)
равна нулю
Для определения постоянных С, С4 и С4 используем следующие условия жесткого закрепления краев оболочки:
us = 0, иг = 0, 'O's = 0 при sj— ± -^-.(6.6.40)
Удовлетворяя этим условиям, находим значения постоянных интегрирования:
EhroaT (Т — То) Г(1 + у) g (sin 2g -|- sh 2g) 11 , у [а (sin 2а-|-sh2a)-|-v2 (cos 2а — ch 2а) J*
2 (1 + v) аат (Г— Т0^г0(sin a ch а — cos ash а)
С^a (sin 2а + sh 2а) + v2 (cos 2а — ch 2а)*
2(1 + у) аау- (Т — То) r0 (cos a sh а + sin a ch а)
4' a (sin 2а + sh 2а) + v2 (cos 2а — ch 2а)’
где а =.
Сжимающее усилие Ns =должно быть меньше усилия, вы- го
зывающего потерю устойчивости оболочки.
Тепловые напряжения в определенных поперечных сечениях оболочки определяются по формулам (6.5.7), в которых N6 и Л4$ выражаются формулами (6.6.6) и (6.6.37), а Мд = хМ8.
Задача, связанная с сопряжением цилиндрических оболочек, рассматривается на конкретном примере.
Пример. Стальная трубка в месте соединения с трубной доской подвергается неравномерному нагреву. Средний радиус и толщина трубки составляют го = 1,75 см и h = 0,3 см. Температура трубки, измеренная термопарами, изменяется вдоль ее оси в соответствии с графиком на рис. 41, а; по толщине трубки температура существенно не изменяется. Требуется определить наибольшие тепловые напряжения в трубке без учета ее связи с трубной доской.
Рассматриваем трубку как цилиндрическую оболочку, состоящую из двух участков (рис. 41, б). Приращение температуры первого участка длиной Sj = = 3,5 см аппроксимируем линейным законом (Т — То)1 = Ti$, а приращение температуры второго участка предполагаем постоянным: (Т — То)11 = 0.
Рис. 41.Рис. 41.В рассматриваемом случае То =418° К, 7\ = 80 град/см. При v = 0,3В рассматриваемом случае То =418° К, 7\ = 80 град/см. При v = 0,3и заданных размерах трубкии заданных размерах трубки3 (1 — у2)3 (1 — у2)24241,774 см1,774 сми е-Р$1= 0,002011.и е-Р$1= 0,002011.
Рис. 41.
Рис. 41.
В рассматриваемом случае То =418° К, 7\ = 80 град/см. При v = 0,3
В рассматриваемом случае То =418° К, 7\ = 80 град/см. При v = 0,3
и заданных размерах трубки
и заданных размерах трубки
3 (1 — у2)
3 (1 — у2)
24
24
1,774 см
1,774 см
и е-Р$1= 0,002011.
и е-Р$1= 0,002011.
Так как величина е~$s* мала по сравнению с единицей, то первый участок, как и второй, можно рассматривать как полубесконечную оболочку.
Располагая начало координат в месте сопряжения первого и второго участков и направляя ось s для первого участка противоположно направлению оси s для второго участка, рассмотрим на сопрягаемом контуре каждого участка перемещение иг, угол поворота Os, изгибающий момент Ms и поперечное усилие Qs при указанном положении единичных векторов е$ и ez, придерживаясь ранее принятого правила для положительных направлений этих величин (рис. 37 и рис. 39). Указанные величины определяются выражениями (6.6.22)—(6.6.25), в которых для второго участка все коэффициенты в/ и р/ (/ = 0, 1,2, 3) равны нулю, а для первого участка отличен от нуля только один из этих коэффициентов ei = атТ1.
Условия сопряжения двух участков следующие:
^=^; *’=-*“; Л1’ = М”; Q* = — Q*1 при 3 = 0.(6.6.41)
Согласно первому и третьему условиям С^ = С1" = С3; С4 = С^ = С4. Из второ- ат-Т’ гг0
го и четвертого условий определяем С3 = — С4 = —^—. Тогда находим
aTTxEhатТ^г<Д№
(W6Uo= 4р— ; (^s)s=o = - 2^(1 - V2)' = (MeUo = v (^»),=о. (6.6.42)
Соответствующие им наибольшие тепловые напряжения будут _ 6MS _ атТ^Ек , (СЧ=0, г= ± А -4(1—V2) ’
2(6.6.43)
<ое\=0- z_1.= Т W«=o —(^6)5=0-
При ранее указанных значениях величин r0, к, р, Тх, v, коэффициенте линейного теплового расширения ат = 13,5 • 10—6 Мград и модуле упругости Е = 2х X 10е дан! см2 из этих формул определяем
(os)н = "Е 552 дан!с.ч2,
s=o, z= + —
(a0)h = 504 дан!см2 + 166 дан[см2 = 470 дан/cm2.
s=o, z=——
§ 6.7. Разрешающие уравнения
Рассмотрим разрешающие уравнения для конической, сферической и торообразной оболочек, имеющих постоянную кривизну меридиана (7?! = const).
Исключая усилие Ne из первого и третьего уравнений равновесия (6.4.3), взятых при qs = qz = 0, получаем -^ (Nsr sin ср) —
— (Q/cos ср) = 0. После интегрирования находим
«= = "■‘8»+<6'7Л)
где С — постоянная интегрирования. Подставляя выраженйе (6.7.1) в первое и второе уравнения (6.4.3), имеем следующие уравнения равновесия:
4-(ns ——) — N6 +
ds \ 5 cos <p ]1
+ D C, =0;
Rx cos2 <p ’
r(6-7.2)
r tg ф= 0.
’ ° ’ cos <p
Постоянную С выражаем через равнодействующую осевую силу Р (рис. 42):
Р = 2лг (Ns sin ср — Qscoscp).(6.7.3)
Сравнивая это уравнение с уравнением (6.7.1), находим значение (6.6.4) постоянной С.
Порядок системы уравнений совместности деформаций (6.3.16) может быть понижен. На основании соотношений (6.3.13) и (6.3.14), (R^s + ^2хе) sin ср = Ri ^^ ф = Ri -^ (x6r tg ср). Подставляя это выражение во второе уравнение (6.3.16), после интегрирования получаем
x6rtgcp + -^- —coscpes + C'=0. (6.7.4)
Постоянная интегрирования С'равна нулю. В этом можно убедиться, выражая в равенстве (6.7.4) деформации через перемещения.
Учитывая равенство (6.7.4) при С' = 0, уравнения совместности
деформаций (6.3.16) представляем в таком виде:
^е 2ds^е 2ds(6.7.5)(6.7.5)(хв —-—) — xs = 0;ds \ cos ф / s ’
^е 2ds
^е 2ds
(6.7.5)
(6.7.5)
es cos ср + xer tg ср = 0.
Рассматривая уравнения (6.7.2) и (6.7.5), обнаруживаем известную статико-геометрическую аналогию: величины Ns, N6, Ms,Mq в уравнениях (6.7.2) соответствуют величинам хе, xs, —ее, —es в уравнениях (6.7.5). Аналогию можно распространить и на соотношения (6.5.2) и (6.5.5): величины v, — ^, ет в соотношениях (6.5.2) соответствуют величинам — v, DM, (1 + V)DMxT в соотношениях (6.5.5).
В качестве основных неизвестных, относительно которых будем составлять разрешающие уравнения, выбираем Ns и хе.
Заменяя во втором уравнении (6.7.5) деформации es и ее усилиями по формулам (6.5.2) и исключая затем усилие N6 с помощью первого уравнения (6.7.2), получаем первое разрешающее уравнение
<PNS , ( 3 cos ф , 2 tg ф ^ dNs 1 (2 51Пф 1 + 2 tg2 cp\ Af
, vsiiw , f/isincp , C / 1-4-v . 2tg® \ ,
£»cosT ^ = r dsv '
Заменяя во втором уравнении (6.7.2) моменты Ms и Mq их выражениями в деформациях (6.5.5) и исключая деформацию xs с помощью первого уравнения (6.7.5), имеем
^хе , / 3 cos ф . 2 tg <р \ 4хе .1 / 2 sin Ф 1 + 2 tg2 ф '
+ -RT)I +r;—; xe -
d+v)cosV(6 7 7)
RvrDM rrds
Заметим, что при С = 0 уравнение (6.7.7) на основании статикогеометрической аналогии можно получить непосредственно из
уравнения (6.7.6). Уравнения (6.7.6) и (6.7.7) можно преобразовать к одному комплексному уравнению второго порядка. В качестве разрешающей функции выбираем
Ns = Ns + k0x9,(6.7.8)
где Ао — комплексная постоянная.
Умножая уравнение (6.7.7) на Ао и складывая его с уравнением
получаем
d2Ns . / 3 cos ф , 2 tg ф ) dNs 1 / 2 sin ф ,1 + 2 tg2 ф \ ~ ,
ds2гRy ) ds Ry\ гRy j s
. S1D ф Г / V\ хт 1 ( тм ^’^n '1 t
+ I ("6? —st) ". +- х«] +
, С Г 1 / 1 + V ,2 tg ф \ _ к0 1
г [ Ri ( г ”1 ^созф )rD^ j ‘
+ ^|^ • 4l£/zer-(!+v)Mrl =0.(6.7.9)
Для того чтобы это уравнение содержало одну разрешающую функцию Ns, необходимо положить Ек —кв. Отсюда \ им у
D/""с^
A0 = -^-(v±ip), ^=уСо=12(1—v2). (6.7.10)
Подставляя значение Ао в уравнение (6.7.9), получаем разрешающее уравнение оболочки вращения с постоянной кривизной меридиана:
d?Ns , / Зсо$ф . 2 tg фXdNs ,1Г (2 ТФ) sin ф
ds2 ** ( г)ds *"Ry Iг**
+2tg=V 1 iy , _£.Г1/1+v,2 tg ф\ _кв1
Ri Jr( rRycosvj
+ -^-^-№r-(l + v)Aoxr]=O. (6.7.11)
Рассмотрим частные случаи этого уравнения, при этом для определенности берем верхний знак перед L
Коническая оболочка. Полагая Ку -> со, ф = А — а = const, т = •= s sin а, где а — угол между осью вращения и меридианом срединной поверхности оболочки; s — длина меридиана от вершины оболочки (рис. 43, а), из уравнения (6.7.11) получаем
s2 -^- + 3s— -с»c.tg к sNs — i -г- с%ds2dsh s h sin2 a
(6.7.12)(6.7.12)+ Ehs4?\eT — iO + v)-7~ Xrl = °>Lco J
(6.7.12)
(6.7.12)
при этом
(6.7.13)(6.7.13),. Е№
(6.7.13)
(6.7.13)
k0 = t——со
Сферическая оболочка. При Ri = R4 = r0 = const, г = rosin<p, ds = rod<p (рис. 43, б) уравнение (6.7.11) принимает вид
(3ctgq> + 2 tgq>)-^ + (3-ip + 2tg2 ^Ns +
(6.7.14)(6.7.14)+ — (—h )+ ctg ср \EHet — (1 + v) Лохг]= 0,1 r0 \ cos2 <p1sin2 ф / bdtpv ।/ о 11>+ — (—h )+ ctg ср \EHet — (1 + v) Лохг]= 0,1 r0 \ cos2 <p1sin2 ф / bdtpv ।/ о 11>
(6.7.14)
(6.7.14)
+ — (—h )+ ctg ср \EHet — (1 + v) Лохг]= 0,
1 r0 \ cos2 <p1sin2 ф / bdtpv ।/ о 11>
+ — (—h )+ ctg ср \EHet — (1 + v) Лохг]= 0,
1 r0 \ cos2 <p1sin2 ф / bdtpv ।/ о 11>
где
^о = 4г^ + 1»- ^j/ф-^-Т- (6-7-15)
Торообразная оболочка. Обозначим через d расстояние между центром меридиональной окружности торообразной оболочки и ее осью вращения (рис. 43, в). Полагая Ri = r0 = const, г = г0 (6 + + sin ср), 6 = -^-, ds = rod<p, вместо уравнения (6.7.11) получаем
d^Vs. , / 3 cos ср „ ,\ dNs .
d<p2 + ( 6 + sin <р +^ dtp
| (21» 5Шф J 21 2 1 ~ C_— /£tgv
[0Н"81Пф‘1& Tj si r0 (d + Sin ф) COS Ф
+• r№7-(l+v)i0xr] = 0, (6.7.16)
о + sin ф / 1 о -t sin ф &p'1' 0 J ’ v •
где величины &0 и ц имеют значения (6.7.15). При 6 = 0 уравнение (6.7.16) переходит в (6.7.14).
§ 6.8. Форма решений и граничные условия
в такой(6.8.1)Ns и х6:(6.8.2)в такой(6.8.1)Ns и х6:(6.8.2)Общее решение уравнения (6.7.11) можно представить форме:
в такой
(6.8.1)
Ns и х6:
(6.8.2)
в такой
(6.8.1)
Ns и х6:
(6.8.2)
Ns = Сг^ + С> + N^ + ^se) + N^-
Этому решению соответствуют следующие решения для
Ws = 2 С Ж + W<C) 4- W<e) + N^;n=l
Ие = 2 C^xe0 + %0C) + xee) + xeK).n=l
Здесь Л^п) и xen) (n = 1, 2, 3, 4) — частные решения однородного уравнения, соответствующего уравнению (6.7.11). Так как это однородное уравнение не содержит членов, учитывающих действие осевой силы и неравномерного нагрева, то его частные решения соответствуют такому напряженному состоянию оболочки, которое вызывается в ней действием самоуравновешенных контурных нагрузок: изгибающих моментов Ms и радиальных усилий Nr = = Л^5созф+ Qssinq>. Такое напряженное состояние принято называть краевым эффектом. С помощью четырех линейно независимых решений краевого эффекта при соответствующем выборе постоянных интегрирования можно осуществить любую комбинацию краевых самоуравновешенных нагрузок Ms и Nr на двух ограничивающих оболочку контурах.
Входящие в решения (6.8.2) величины NsC\ N[E\ N^ и хеС), хее>, хех)представляют собой частные решения уравнения (6.7.11), соответствующие свободным членам, содержащим величины С, ег, хг- Эти частные решения отвечают таким видам напряженного состояния оболочки, которые обусловлены действием соответственно осевой силы Р = — 2лС и неравномерного нагрева, вызывающего чисто тепловые деформации ег и хг-
Зная Ns и хе, из первого уравнения равновесия (6.7.2) и первого уравнения совместности деформаций (6.7.5), можно определить Ng и х$, а из соотношений (6.5.2) и (6.5.5)—es, е0 и Ms, Mq.
Поперечное усилие Qs определяется по формуле (6.7.1). Перемещение и2 можно найти из дифференциального уравнения
^г ■ tgy , г
4s 'Rx2 * cos ср
(6.8.3)(6.8.3)полученного из уравнений (6.3.7) и (6.3.14) после исключения us.
(6.8.3)
(6.8.3)
Из уравнения (6.3.7) получаем формулу для перемещения us:
«» ^^Б^М6- Мпф).(6-8-4)
Поскольку для определения перемещений и2 и us надо интегрировать дифференциальное уравнение (6.8.3) первого порядка, то фор
ма их общих решений будет отличаться от формы решений (6.8.2) дополнительным частным решением
«г = 2 С^' + и^ + М +
+ и^ + Съи!^;
+ и^ + с5и^,
где и^ и и^—решения однородной системы двух уравнений, соответствующей системе уравнений (6.8.3) и (6.8.4):
и^ = cos ф, и^ = — 51пф.
(6.8.6)
На основании этих решений ясен механический смысл постоянной С5: она представляет собой осевое смещение оболочки в целом как жесткого тела в направлении оси £ (рис. 44).
С помощью пяти постоянных интегрирования С и Сп (п = 1, 2, 3, 4) в решениях для усилий, моментов и деформаций и, кроме того, шестой постоянной С5 в решениях для перемещений можно удовлетворить любые граничные условия на контурах, ограничивающих оболочку.
Граничные условия представляют собой условия загружения или закрепления краев оболочки. Они формулируются при составлении расчетной схемы рассматриваемой конкретной задачи. Задаются граничные условия в виде силовых или кинематических факторов. Силовые факторы характеризуют загружение краев оболочки, а кинематические — их закрепление или перемещение. В общем случае граничные условия могут быть заданы в виде
следующих трех силовых и четырех кинематических факторов (рис. 42 и 44):
Силовые факторыКинематические факторы
Меридиональный изгибаю- 1. Угол поворота щий момент Ms-,
Радиальное усилиеfl. _ Us Г it
л •s R, ds cos Ф 6‘
Nr = Ns cos ф + Qs sin ф.v
Осевая сила2- РаДиальное перемещение
Р = 2лг (Ms sin ф — Qs cos <p). u$ ~ us cos Ф + uz sin ф = ге6.
Взаимное осевое смещение контуров оболочки
Ди^ = и^2 — Uy = (u2 cos ф — us sin ф)2 —
— (uz cos ф — us sin ф)Р
Осевое перемещение на одном из контуров и^ = u2 cos ф — us sin ф.
На каждом граничном контуре могут быть заданы независимо первые два из указанных силовых или кинематических факторов. Если из условия равновесия оболочки в целом можно определить осевую силу Р, то задается третий силовой фактор. Если же закрепление оболочки не позволяет определить осевую силу Р из условий статики, т. е. оболочка статически неопределима относительно этой силы, то задается третий кинематический фактор. Четвертый кинематический фактор фиксирует начало отсчета осевых перемещений оболочки. Он может быть задан лишь на одном из контуров. Таким образом, всего может быть задано шесть граничных условий, из которых можно определить входящие в общее решение шесть постоянных интегрирования. Если оболочка статически определима относительно осевой силы Р, то постоянные интегрирования определяем в такой последовательности:
находим силу Р и постоянную С;
на основании заданных первых двух силовых или кинематических факторов (по два на каждом краю оболочки) составляем систему четырех уравнений, из которых находим постоянные интегрирования Сп (п = 1,2, 3, 4), входящие в частные решения краевого эффекта;
для контура с известным осевым перемещением (четвертый кинематический фактор) записываем одно уравнение, из которого определяем постоянную интегрирования С5.
§ 6.9. Тепловые напряжения в конической оболочке
Рассмотрим тепловые напряжения в конической оболочке при осесимметричном температурном поле, вызывающем чисто тепловые деформации:
еу = SyV, Ху =-^-^(е/, р,-= const; / = 0, 1, 2, .. .). (6.9.1)
Задача сводится к решению уравнения (6.7.12). Это уравнение при чисто тепловых деформациях (6.9.1) и новой переменной
z = i-E^^ s(6.9.2)
принимает вид
z2^ + 3z -^ - zN, + В + ^ + В^ г! = 0,(6.9.3)
где
Ns = Ns^^x6;(6.9.4ч
со'
В = — i / с" С;(6.9.5)
h sin2 а'’
n(e) jEhм_i(i+v)jEh•coctga а сч
Bf -~Tei’Hi ГТ/Hpa0-t—. (6.9.6)
“o» о
Посредством замены функции и независимой переменной по формулам
N = zN;, у = 2 У г(6.9.7)
однородное уравнение, соответствующее уравнению (6.9.3), можно преобразовать к уравнению Бесселя мнимого аргумента
У2^ + У^—& + У^ = Ъ-(6-9.8)
Принимая во внимание общее решение этого уравнения
N = Хк^Хк^(6.9.9)
и формулы (6.9.7), находим следующее общее решение однородного уравнения:
N*s = А ^ 7= (2 /г) + A -L К2 (2 У г),(6.9.10)
где /2 (2 У г), Кг (2 У г) — бесселевы функции чисто мнимого аргумента второго порядка первого и второго рода; Аъ Л2 — комплексные интегрирования.
Заменяя 2 У г на х УI, где
х ^ 2 У -c°c^gK $ ,(6.9.11)
и переходя от бесселевых функций второго порядка к бесселевым функциям нулевого порядка по формулам
/2(хКО = /о(х]/О+4 • й1 »^ ;
(6.9.12)
КДХ ГО = ^(х^) + 4 .,
решение (6.9.10) представляем в виде
Ns = CXN^ 4- СЖ\
(6.9.13)
nV = 41 ;о (^ V0 + 4 • ^^l: ^$2)=4 \.к»(х^+4 • ^а/0] >
(6.9.14)
Суz=r — 4/v4^, С^ — 4/^42-
(6.9.15)
Частное решение неоднородного уравнения (6.9.3), соответствующее свободному члену В и нагрузке оболочки осевой силой Р = = —2лС, выражается так:
^ = вЦА).(6.9.16)
При свободном члене B^j частное решение этого уравнения, относящееся к чисто тепловой деформации еу, на основании формулы (4.9.18) имеет вид
/-1
NV =1)! [3],_1 2 ТГТзГ2”- (6-9Л7)
п=о
Заменяя в выражении (6.9.17) В^ величиной В^\ получаем частное решение N^, отвечающее чисто тепловой деформации Ху.
Для построения решений в форме (6.8.2) необходимо N*s, NV\
Ме), N^1 разделить на действительные и мнимые части. Выполняя это для Ns, используем соотношения
/0(х ГО = berx + i bei х; Кй(хГО = kerх + i keiх, (6.9.18) где berx, bei х, kerx, kei х — функции Томсона, и вводим вместо комплексных постоянных интегрирования Сп С2 действительные постоянные Сп (п = 1,2, 3, 4) с помощью выражений *
С, = 4 (С, + iCO, Сг=-^ (С3 + ЮГ (6.9.19)
Получаем следующие четыре частные решения однородного уравнения, входящие в решения (6.8.2) для Ns и xq:
Eh2 (2)4—Z6E№ X^ =Eh2 (2)4—Z6E№ X^ =N^N^CoEh2 (4)8 /, .-—xg' = —г — keicoЛХ2 \Eh2 (3)8/-—zeCoEh2 (4)8 /, .-—xg' = —г — keicoЛХ2 \Eh2 (3)8/-—ze2 d bei х \ х dx / ’.2 d ber x \21 X —з x dx )2 d ker x \X — ;x dx ),,2 d kei xker X H —5 1 x dx2 d bei х \ х dx / ’.2 d ber x \21 X —з x dx )2 d ker x \X — ;x dx ),,2 d kei xker X H —5 1 x dx(6.9.20)(6.9.20)
Eh2 (2)4
—Z6
E№ X^ =
Eh2 (2)4
—Z6
E№ X^ =
N^
N^
Co
Eh2 (4)8 /, .
-—xg' = —г — kei
coЛХ2 \
Eh2 (3)8/
-—ze
Co
Eh2 (4)8 /, .
-—xg' = —г — kei
coЛХ2 \
Eh2 (3)8/
-—ze
2 d bei х \ х dx / ’
.2 d ber x \
21 X —з x dx )
2 d ker x \
X — ;
x dx )
,,2 d kei x
ker X H —5 1 x dx
2 d bei х \ х dx / ’
.2 d ber x \
21 X —з x dx )
2 d ker x \
X — ;
x dx )
,,2 d kei x
ker X H —5 1 x dx
(6.9.20)
(6.9.20)
(6.9.21)(6.9.21)(6.9.22)(6.9.22)Uz — — J Zgsds + const = —Uz — — J Zgsds + const = —A ^ ” ■ f XgX3dx + const. (6.9.23) 8c0,)A ^ ” ■ f XgX3dx + const. (6.9.23) 8c0,)
(6.9.21)
(6.9.21)
(6.9.22)
(6.9.22)
Uz — — J Zgsds + const = —
Uz — — J Zgsds + const = —
A ^ ” ■ f XgX3dx + const. (6.9.23) 8c0,)
A ^ ” ■ f XgX3dx + const. (6.9.23) 8c0,)
Ход дальнейших вычислений излагается в § 6.8. В рассматриваемом случае формулы для Ne, xs и uz получают вид
, dNs xt , * dN,NQ = N. + s = N, + -5- • —°» 1 ds s 2 dx
, 4xg . x ^exs = x6 + $-^ =x9 +-T • ^
При определении частных решений однородных уравнений используем соотношения
d2 ber х, .1
—уз— = — bei х
dx2x
d ber x dx
d2 bei x , > —= ber X ’ dx2
1_ X
d bei x , dx ’
d2 ker x. .I
—— = — kei x
d ker x
d2 kei x 1
. —r-s— = ker x
1_
d kei x .
dx2x
dx
’ dx2
X
dx ’
(6.9.24)
f x ber xdx = x
Jdx 1
p const, 1
i x bei xdx = — x ■
d ber x dx
+ const;
С ,, dkeix ,d ker х ..
J x ker xdx = x —^p const, I xkei xdx = — x —^ P const.
X(6.9.25)
Ниже приводим искомые частные решения.
Частные решения однородных уравнений:
= 4" Gm—г ^1 , N^ = А — "Г ;
/X,(6.9.26)
^3) = ^к+4*^), N^ = -^U-^-^;
(6.9.27)
< = 4" ^з - М3), N^ = -4Ф4 - N^;' '
(6.9.28)(6.9.28)(6.9.29)(6.9.29)М"> = - A(vJV® + N>^; М?> = JL^n™ + <):
(6.9.28)
(6.9.28)
(6.9.29)
(6.9.29)
(6.9.30)(6.9.30)Uz = "^7 т ^ ~^Л Uz:
(6.9.30)
(6.9.30)
Uz = “Ё^ T ^3 — ^з I , UV = -^-^4 — ф4 ! ,
где
ip! = berx, ip2 = — bei x, ip3 =|~kei x, ф4 =^ ker x,
Фп = 4г (n=1’2’ 3, 4).Фп = 4г (n=1’2’ 3, 4).(6.9.31)(6.9.31)
Фп = 4г (n=1’2’ 3, 4).
Фп = 4г (n=1’2’ 3, 4).
(6.9.31)
(6.9.31)
Частные решения неоднородных уравнений, соответствующие осевой силе Р = —2лС:
4^оh, sin2 a4^оh, sin2 a4 , N^ = 0, <> . — MgC) = ^=^ ■ 4 ; x2 ’°’ s° sin2 a x4 ’
4^о
h, sin2 a
4^о
h, sin2 a
""'аж1"1.<6-9-32)
Частные решения неоднородных уравнений, соответствующие чисто тепловым деформациям:
ег = s/s', иг = 4 p/s' (/ = 0, 1, 2);
при / = 0
Л?<е) = ^е) = 0, ^е) = М} 0, ulE) = 0;(6.9.33)
^х) = N^ = 0, М(7 = М1^ — _£лИ£+22Н1_ > и<7 = 0; (6.9.34) при j = 1
N7 ^ = 0,(6.9.35)
м7 = М^ = - Dm (1 + V) 61 tg а, и^ нч^«. х4.
32с0 mW _ mW °м(Д +4 Hjtga .
Ns -Ne-h,(6.9.36)
M7 - M7 - - jMl+iLM^^, 77 = 0;
при j = 2при j = 2<> = <> - - 6DM82 tg2 a, M<E> = -<> = <> - - 6DM82 tg2 a, M<E> = -^/1(2 +v) e2 tg2 a2c0^/1(2 +v) e2 tg2 a2c0,(e) DMh (1 + 2v) e2 tg2 a (e) _ /^ tg» a „A —X. Uz — о X .2c096^,(e) DMh (1 + 2v) e2 tg2 a (e) _ /^ tg» a „A —X. Uz — о X .2c096^(6.9.37)(6.9.37)Л/<х, = 4Л,еХ) =Л/<х, = 4Л,еХ) =^mU+v)p.2tg2a „2. 2^’^mU+v)p.2tg2a „2. 2^’
при j = 2
при j = 2
<> = <> - - 6DM82 tg2 a, M<E> = -
<> = <> - - 6DM82 tg2 a, M<E> = -
^/1(2 +v) e2 tg2 a2c0
^/1(2 +v) e2 tg2 a2c0
,(e) DMh (1 + 2v) e2 tg2 a (e) _ /^ tg» a „
A —X. Uz — о X .
2c096^
,(e) DMh (1 + 2v) e2 tg2 a (e) _ /^ tg» a „
A —X. Uz — о X .
2c096^
(6.9.37)
(6.9.37)
Л/<х, = 4Л,еХ) =
Л/<х, = 4Л,еХ) =
^mU+v)p.2tg2a „2. 2^’
^mU+v)p.2tg2a „2. 2^’
(6.9.38)(6.9.38)W," = M," - "«‘I'+’ll-V" (1 +V-A;,
(6.9.38)
(6.9.38)
„(X) _Зй3(1 +v) Mg4 a
^2—, ~ 4
Все частные решения — функции одной переменной х = = 2 у-C^tiga S) где ^ = pq2(]—Vy
При расчете конических оболочек применяются таблицы частных решений. В работе [25] приводятся шестизначные таблицы (стр. 61—63, табл. 1—3) частных решений N;n\ Л^"1, и.^ £ctg2a (n = 1, 2, 3, 4) для интервала аргумента 0,2 < х < 10 с шагом 0,2, вычисленных при коэффициенте Пуассона v = 0,3.
Пример I. Определим тепловые находящейся в температурном полеПример I. Определим тепловые находящейся в температурном поленапряжения в конической оболочке.напряжения в конической оболочке.
Пример I. Определим тепловые находящейся в температурном поле
Пример I. Определим тепловые находящейся в температурном поле
напряжения в конической оболочке.
напряжения в конической оболочке.
Рис. 45.Рис. 45.
Рис. 45.
Рис. 45.
(6.9.39)(6.9.39)Т — То = Тоо + Т^ <Tw ^2 = const).
(6.9.39)
(6.9.39)
Это температурное поле вызывает чисто тепловые деформации
ег = ео + е2$2; хг = 0,(6.9.40)
где
6q — СХ'рТ f^\ S2 — OtyTV.
Коническую оболочку рассмотрим при значе-
ниях геометрического параметра х = -^etg a = 1;
s2
2; 5 (рис. 45), соответствующих при —= 10 уг
лам а= 0,4682 л рад; 0,4372 л рад; 0,3524 л рад. Пусть внутреннему контуру оболочки соответствует длина меридиана s, = 0,2 s2.
При чисто тепловых деформациях (6.9.40) и
отсутствии осевой силы из частных решений (6.9.32) — (6.9.38) отличными от нуля будут только решения (6.9.37). В соответствии с решениями (6.8.2) и (6.8.5) общие решения для усилий Ns, Ne, изгибающих моментов Ms, М6 и перемещения
скорости работы деформации ) WdV. Этот же результат можно полу- v
чить, относя силы инерции — put к внешним объемным силам и вычисляя скорость работы внешних сил по формуле
£+ = f (F. — ри^ UidV + f f[UldQ = f WdV, (1.2.30)
V£2V
при этом
U = L — K.(1.2.31)
Основные понятия и положения классической термодинамики
Вспомним некоторые основные понятия и положения термодинамики [2, 35].
Всякое материальное тело, состоящее из большого числа частиц и взаимодействующее с окружающей средой, называется термодинамической системой. Термодинамическая система характеризуется рядом макроскопических величин, называемых термодинамическими параметрами.
Параметры системы разделяются на внешние, характеризующие внешние условия, в которых она находится, и внутренние, зависящие от движения и взаимодействия входящих в нее частиц. Внешние параметры являются функциями координат внешних тел, внутренние определяются положением и движением частиц системы и значениями внешних параметров. В этом смысле компоненты тензора деформации упругого тела следует считать внешними параметрами. К внутренним параметрам относятся плотность, внутренняя энергия и др.
Совокупность независимых термодинамических параметров определяет состояние системы. Другие параметры, определяемые полностью ее состоянием в рассматриваемый момент, являются функциями состояния.
Термодинамическая система, предоставленная самой себе при неизменных внешних условиях, приходит в состояние равновесия, характеризуемое постоянством всех параметров и отсутствием макроскопических движений. Такое состояние системы называется состоянием термодинамического равновесия. С понятием о термодинамическом равновесии связано понятие о температуре.
Две равновесные системы, приведенные в тепловой контакт, вообще не будут находиться в термодинамическом равновесии, но через некоторое время в результате обмена энергией они снова приходят в состояние термодинамического равновесия. Опыт показывает, что две системы, в каждой из которых при тепловом контакте с третьей термодинамическое равновесие не нарушается, будут в состоянии термодинамического равновесия и между собой независи-
и2 в рассматриваемом случае имеют вид:
Ns=^ CnNW + NW Ng = 2 C„N^ + Af >;n=10=1(6.9.41)
Ms = 2 C^ + << m6 = 2 CnM^ + MW; n—1n=l
4
uz = 2 СХЛ) + "^ + Cs sin “’(6.9.42)
1
где частные решения N^, Ngn\ М^"\ М^, и^ (п = 1, 2, 3, 4) определяются выражениями (6.9.26) — (6.9.30), а частные решения N^, N^, М^\ М^е\ и^ на основании формул (6.9.37) — выражениями “ "
Nw = Nw = -6Dm81 tg2« =Nw = Nw = -6Dm81 tg2« =бе^ЕНс2х2бе^ЕНс2х2(6.9.43)(6.9.43)M<e> = —M<e> = —DMh (2 + v) e2 tg2 aDMh (2 + v) e2 tg2 aM^ =M^ =2c0DMh (* + 2v) e2 tg2 «2c02c0DMh (* + 2v) e2 tg2 «2c02 _(2 + v) 6^E№X2c3x22 (I + 2v) е^Е/г22 _(2 + v) 6^E№X2c3x22 (I + 2v) е^Е/г2x2;x2;2cqX22cqX2x2;x2;(6.9.44)(6.9.44)(e) = №гг tg« a296c3(e) = №гг tg« a296c3е2$296сдХ4/ге2$296сдХ4/г(6.9.45)(6.9.45)
Nw = Nw = -6Dm81 tg2« =
Nw = Nw = -6Dm81 tg2« =
бе^ЕНс2х2
бе^ЕНс2х2
(6.9.43)
(6.9.43)
M<e> = —
M<e> = —
DMh (2 + v) e2 tg2 a
DMh (2 + v) e2 tg2 a
M^ =
M^ =
2c0
DMh (* + 2v) e2 tg2 «2c0
2c0
DMh (* + 2v) e2 tg2 «2c0
2 _(2 + v) 6^E№
X2c3x2
2 (I + 2v) е^Е/г2
2 _(2 + v) 6^E№
X2c3x2
2 (I + 2v) е^Е/г2
x2;
x2;
2cqX2
2cqX2
x2;
x2;
(6.9.44)
(6.9.44)
(e) = №гг tg« a
296c3
(e) = №гг tg« a
296c3
е2$296сдХ4/г
е2$296сдХ4/г
(6.9.45)
(6.9.45)
где
х = -^- ctg a.
Постоянные С„ (п = 1,2, 3, 4) определяются из условий
Ns = 0, Als = 0 при s = sx и а постоянная Cs — из условия (§ 6.8)u^=u2sina— uscosa = 0 приВ условии (6.9.47) перемещение us на основании ется выражениемNs = 0, Als = 0 при s = sx и а постоянная Cs — из условия (§ 6.8)u^=u2sina— uscosa = 0 приВ условии (6.9.47) перемещение us на основании ется выражениемs = s2,s = s2,s = sr формулы (6.8.4)s = sr формулы (6.8.4)(6.9.46)(6.9.46)(6.9.47)(6.9.47)определя-определя-(Ne-vN“s - s I Eh + er(Ne-vN“s - s I Eh + erauz =auz =x2s2 (Ng-^N,'4H e2$2 4с0х2/г Ehx2s2 (Ng-^N,'4H e2$2 4с0х2/г Eh— «г ctg a.J (6.9.48)— «г ctg a.J (6.9.48)
Ns = 0, Als = 0 при s = sx и а постоянная Cs — из условия (§ 6.8)
u^=u2sina— uscosa = 0 при
В условии (6.9.47) перемещение us на основании ется выражением
Ns = 0, Als = 0 при s = sx и а постоянная Cs — из условия (§ 6.8)
u^=u2sina— uscosa = 0 при
В условии (6.9.47) перемещение us на основании ется выражением
s = s2,
s = s2,
s = sr формулы (6.8.4)
s = sr формулы (6.8.4)
(6.9.46)
(6.9.46)
(6.9.47)
(6.9.47)
определя-
определя-
(Ne-vN
“s - s I Eh + er
(Ne-vN
“s - s I Eh + er
auz =
auz =
x2s2 (Ng-^N,'
4H e2$2 4с0х2/г Eh
x2s2 (Ng-^N,'
4H e2$2 4с0х2/г Eh
— «г ctg a.
J (6.9.48)
— «г ctg a.
J (6.9.48)
При выводе этого выражения полагаем ео = 0, что равносильно переходу в температурном поле (6.9.39) от начальной температуры То к новой начальной температуре Т'о = То + Too-
Определив усилия и моменты, вычисляем по формулам (6.5.7) тепловые напряжения. Эти формулы для напряжений на наружной и внутренней поверхностях оболочки ^г = = ^-j принимают вид
_, Ns ' 6MSN6 6М6
(as\=±±(CTe)z_±A = ~±-№"'(6-9.49)
X 22
Детали расчета рассмотрим для конической оболочки с параметром х = 1. Переменная х на внутреннем ($=$!= 0,2s2) и наружном (s = s2) контурах оболочки на основании формулы (6.9.11) имеет при х = 1 следующие значения: х4 = ЧУО,2со и х2 — 2]zco. Для возможности применения таблиц частных решений, приведенных в работе [25], значения переменной х округляем до ближайших ее табличных значений: хг = 1,6 и ха = 3,6. По указанным таблицам находим значения частных решений ^$П)’ ^е^1 t^E ctg2 а (га = 1,2, 3, 4) для контурных значений хг = 1,6, Хг = 3,6 и промежуточных х = 2; 2,4; 2,8; 3,2, а значения частных решений М^ ^-, д;^) ^- и N1®1 ^в^ЕКу-*, Af^e* ^s^Eh)-*, Л4*е1с0 (s^fA2)-*, Л1^8) с0 ^s^Eh2’)-1, и(®^ h (CzS^)"1 вычисляем для тех же значений х по формулам (6.9.28), (6.9.29) и (6.9.43) — (6.9.45), полагая коэффициент Пуассона v = 0,3 (табл. 9—13). Используя первую и последнюю строки табл. 9
Таблица 9
X
sf
ЛГ<1>
^(2)
^3>
N^ (e^Eft) 1
1,6
0,20
—0,106303
—0,491476
0,605742
0,323383
—0,549451
2,0
0,30
—0,165279
—0,479225
0,196716
0,166458
—0,549451
2,4
0,44
—0,235863
—0,457044
0,0667573
0,0895076
—0,549451
2,8
0,59
—0,316257
—0,420820
0,0208340
0,0490201
—0,549451
3,2
0,77
—0,403546
—0,365940
0,00419203
0,0268808
—0,549451
3,6
1,00
—0,493348
—0,287636
—0,00144011
0,0145518
—0,549451
и И, на основании условий (6.9.46) составляем следующую систему уравнений: — 0.106303С! — 0,491476С2 + 0,605742 С3 + 0,323383 С4 — 0,549451 e2^f/t = 0;
0,6218926?! — 0,243769С2 + 0,0313121 С3 — 0,647555 С4 — 0,269596e2s^A = 0;
— 0.493348CJ — 0,287636С2 — 0,00144011С3 + 0,0145518С4 — 0,54945 la^Eh = 0;
— 0,0381992^—1,04257 С2 + 0,0220022 С3 — 0.0147445С, — 1,36483 s^Eh = 0.
Решая эту систему, находим
С4 = —0,368322 BaS^Eh;
Сг = —1,292691 BaS^Eh;
С3 = —0,0537098 Bas^Eh;
С4 = —0,286024 Bas^Eh.
Зная постоянные интегрирования Сп (п = 1,2, 3, 4) и значения частных решений (табл. 9—12), по формулам (6.9.41) вычисляем усилия Ns (ezsjfA)-*, Nq ^BaS^EKf-1 и моменты Ms (Ba^Eh2)~l, Мд (Bas^Eh2)-*, а затем по формулам (6.9.49) — соответствующие тепловые напряжения (os) h (ess^E)-*, 2 = ± V
(о6)h(BaslE)~1 (табл. 14). Используя первые строки табл. 9, 10, 13 и значе-
2 = ± Т
Таблица 10
X
S
43)
Ц4)
л^е) (еЛ£/1) ’
1,6
0,20
—0,211878
—0,474449
—0,829278
—0,128327
—0,549451
2,0
0,30
—0,327788
—0,437789
—0,336650
—0,0985937
—0,549451
2,4
0,44
—0,463473
—0,371647
—0,152757
—0,0737448
■—0,549451
2,8
0,59
—0,611786
—0,264155
—0,0721614
-0,0537488
—0,549451
3,2
0,77
—0,761216
—0,102762
—0,0335463
—0,0381650
—0,549451
3,6
1,00
—0,894570
0,124490
—0,0143125
—0,0263677
—0,549451
Таблица 11
X
s h
m^ £s_ 5 h.
Af<3) -£» s h
Afi4! J»
s A
М^Це^ЕН^ *
1,6
0,20
0,621892
-0,243769
0,0313121
—0,647555
—0,269596
2,0
0,30
0,581556
—0,377372
0,0486563
—0,277635
—0,421244
2,4
0,44
0,508760
—0,534232
0,0468925
—0,132730
—0,606591
2,8
0,59
0,390401
—0,706663
0,0390428
—0,0659112
—0,825638
3,2
0,77
0,212544
—0,882280
0,0301008
—0,0322887
—1,07838
3,6
1,00
—0,0381992
—1,04257
0,0220022
—0,0147445
—1,36483
Таблица 12
X
1
9 h
мк3) £«. ° h
° h
М^с^вДеИ^ 1
1,6
0,20
0,633811
—0,169866
—0,284885
0,356959
—0,187546
2,0
0,30
0,610562
—0,263615
—0,136880
0,0957210
—0,293040
2,4
0,44
0,568538
—0,374905
—0,0673842
0,0209302
—0.421978
2,8
0,59
0,500066
—0,499793
—0,0328955
—0,00081442
—0,574359
3,2
0,77
0,396769
—0,631911
—0,0154313
—0,00587186
—0,750183
3,6
1,00
0,250289
—0,761719
—0,00664149
—0,00573386
—0,949451
Таблица 13
X
S2
u^E ctg2 a
u^E ctg2 a
u^E ctg2 a
u^E ctg2 a
^ мг1
1,6
0,20
—0,333337
0,00439810
—0,101582
0,0427917
0,00484300
2,0
0,30
—0,376694
0,0167279
—0,0813384
0,0125100
0,0184746
2,4
0,44
—0,452738
0,0496786
—0,0617962
—0,00611062
0,0551648
2,8
0,59
—0,570149
0,124162
—0,0442316
—0,0163473
0,139105
3,2
0,77
—0,731545
0,272865
—0,0294028
—0,0206831
0,309952
3,6
1,00
—0,926468
0,542063
—0,0176086
—0,0210858
0,628362
ния постоянных интегрирования Сп (п = = 1, 2, 3, 4), по формулам (6.9.42) и (6.9.48) вычисляем перемещения
= 0,115149 +c5sin а;
e2sl
(us), , = — 0,0064184 —г— — C5cosa.
Для дальнейшего расчета необходимо кроме параметра х выбрать определенное
S2So
отношение -у-. Полагая — = 10, что со- пh
ответствует при х = 1 sin a = 0,995037 и cos a = 0,0995037, и удовлетворяя условию (6.9.47), определяем С5 =
8 s4
— — 0,11520 — . Вычисленные при этом
значении постоянной С5 перемещения uzh (е2$2)—1 приведены в табл. 14. Аналогичным образом проводится расчет для конических оболочек с параметрами х = 2 и х = 5. Результаты расчета представлены на рис. 46 в виде кривых распределения тепловых меридиональных crs х XteaSjf)-]и окружных Oq (eaSj2^)-Напряжений и перемещений u2h (ezSg)-*. Распределение меридиональных напряжений показано штриховыми, а окружных напряжений и перемещений — сплошными линиями. На левой стороне рисунка представлены кривые распределения напряже-
Лh
нии при Z = —, а на правой—при z=—.
На этом же рисунке приводятся кривые распределения тепловых меридиональных и окружных напряжений для предельного случая конической оболочки — круг- л
лой пластины, у которой а = — и х = 0.
Из рис. 46 видно, что при изменении температуры конической оболочки только вдоль меридиана по закону (6.9.39) растяжение ее в отличие от растяжения соответствующей круглой пластины сопровождается изгибом. Наибольший эффект изгиба проявляется для пологих конических оболочек в интервале изменения х от нуля до единицы. В этом интервале тепловые меридиональные и окружные напряжения в центральной части оболочки на h
поверхности z = — изменяют знак и становятся вместо растягивающих сжима-
ющими, значительно увеличиваясь на поверхности г = — —. Так, на краю центрального отверстия ($=$!= 0,2$2) при х = 0 (круглая пластина) (°е) _ h = O,48e2s|£, а при х = 1 имеем (о0) к = ~ °,30 ег^Е и
s-s,. z= + rS=51-Z=_
(°е) _ h = OJSezsff. При дальнейшем увеличении значения х растягивающее окружное напряжение на краю отверстия уменьшается, а сжимающее сначала увеличивается, достигая при х= 2 значения (о0) h = —О.бОвг^Е, ^>-г = 2
а затем уменьшается. Вообще, при х > 2 тепловые напряжения как в центральной, так и в периферийной части оболочки уменьшаются.
При температуре, возрастающей к наружному контуру (ег > 0), возникает перемещение иг в направлении внешней нормали к срединной поверхности оболочки. С увеличением значения х оно сначала возрастает, достигая наибольшей величины при х = 2, а затем опять уменьшается.
Пример 2. Пусть коническая оболочка с относительными геометрическими размерами и граничными условиями, указанными в примере 1, подвергается действию температурного поля
7* T0 = T00 + T0iZ (^оо* Toi ~ const).(6.9.50)
В такой оболочке возникают чисто тепловые деформации
ег = е0; хг=-^-,(6.9.51)
где F-o cty, 7оо; Цо — сСу, 'Го^к*
Для расчета тепловых напряжений os и о0 и перемещения иг применяем решения (6.9.41) и (6.9.42), в которых частные решения N^, N^, A4^®\ Л4^®\ и^ заменяем на основании (6.9.34) соответственно частными решениями N^ = N^ = = 0, Л1$х> = М^ (1+^оц^ _ q р асчет проводим для кони-
с0
ческой оболочки с параметрами х = 1; 2; 5 атакой же последовательности, как и в примере 1.
При вычислении перемещений иг и us и удовлетворении граничного условия .ctg2 а х2Л
(6.9.47) принимаем ео = 0 и -у= 10 и полагаем uz ^—= “2” 2~" Ре"
зультаты расчета приводятся на рис. 47 в виде кривых распределения тепловых меридиональных напряжений os (p0£)— (штриховые линии) и окружных напряжений а0 (ц^)-1 и перемещений игк (ц^)-1 (сплошные линии).
к
Распределение напряжений для поверхности оболочки г = — указано на ле-
к вой стороне рисунка и для г =на правой.
В круглой пластине (х = 0) при чисто тепловых деформациях (6.9.51), как известно, тепловые напряжения не возникают, а прогиб равен
где
s
Р = —- Pi = s2
$1
$2 '
Рис. 46
Из рис. 47 видно, что в конической оболочке в отличие от круглой пластины возникают тепловые напряжения, возрастающие по мере увеличения параметра h
х. Тепловые окружные напряжения на поверхности оболочки г = — являются
сжимающими, а на поверхности г =сжимающими, а на поверхности г =h— — в основном растягивающими. Слеh— — в основном растягивающими. Сле
сжимающими, а на поверхности г =
сжимающими, а на поверхности г =
h
— — в основном растягивающими. Сле
h
— — в основном растягивающими. Сле
дует отметить существенное увеличение окружных напряжений на краю центрального отверстия. Здесь при х = 5 окружное напряжение достигает значения (<т0) н = — ,37ро£, а при х = 2 — значения (о0)h = 1 .OSjief.
S=S„Z = yS=S1, Z=-7p
Перемещение uzh (цо^)~* c увеличением параметра x уменьшается и при х = 5 становится пренебрежимо малым.
§ 6.10. Тепловые напряжения в сферической оболочке
Пусть в сферической оболочке под действием осесимметричного температурного поля возникают чисто тепловые деформации, которые можно аппроксимировать тригонометрическими суммами, состоящими из членов вида *
ер = eft cos ^ф; хг = cos k ф (еъ рй = const; k = 0, 1,2, . . .),
(6.10.1)
где ф — угол между радиусом и осью вращения (см. рис. 43, б).
Для определения тепловых напряжений в оболочке необходимо найти решение уравнения (6.7.14) в форме (6.8.1). Это уравнение при чисто тепловых деформациях (6.10.1) и новой переменной
X = COS ф(6.10.2)
принимает вид
.. 2Х йгЬ5ч 2(1 + х2) dNs , / о , i।
+ ^(Ч + ЧпЧН — ХЧ И«* + Мсоз^ф] =0, (6.10.3) где
Ns = Ns + -^-^ + i^ne;(6.10.4)
'о
ак = ЕКгк; Ьк -(1 + v)(v + ip)•(6-Ю.5)
'о
Выполняя подстановки
Ns-xN; ^ = -1^,(6.10.6)
получаем однородное уравнение, соответствующее уравнению (6.10.3), в виде
^(1-5)^- + [с-(а + »+ 1)^1 -^abN— 0, (6.10.7) где
а, й=-|-±б; 6 „/б — 4i>; с =-2.(6.10.8)
Это уравнение является гипергеометрическим. В качестве первого его частного решения выбираем частное решение в окрестности особой точки ^ = 0, а в качестве второго ■— частное решение в окрестности особой точки g = 1. В соответствии с теорией гипергеометрических функций эти частные решения следующие (§ 4.9):
(6.10.9)(6.10.9)Nw = F (a, b; с; 5);
(6.10.9)
(6.10.9)
N^ — F (a, b; a + b + 1 — c; 1 -— 5),
где F (a, b; c; z) — гипергеометрическая функция, определяемая рядом (4.9.4).
Учитывая подстановки (6.10.6) и значения параметров (6.10.8), находим следующие частные решения однородного уравнения, соответствующего уравнению (6.10.3):
N^-cos^F (4 +6, 4б; 2;-
~/ з з\^1010>
Используя формулу (4.9.11) и выделяя таким образом особенности в решениях (6.10.10), получаем их окончательные выражения: ^ = ^кр(1- + 6, 426; 2; ^;
6(6.10.11)
N^.A^1F^4A J6; 2; 1 — gk
Частное решение NV1 имеет особенность в точке g = 1, а частное решение N1^ — в точке £ = 0. Для расчета замкнутой сферической оболочки с вершиной в точке 5 = 0 или в точке 5 = 1 ж т(1) следует пользоваться частными решениями соответственно М или N?\
Частное решение N^ неоднородного уравнения (6.10.3), как легко проверить подстановкой, имеет выражение
(6-10.12)
Переходя к определению частных решений N^ и N(*\ величины a^cos £ф и bkc.os &ф в уравнении (6.10.3) с помощью формулы для косинусов кратных углов и подстановки cos ф = 1 —-2^ представим следующими выражениями:
кк
akcosh^ = ^ акт^т; bkcosk^ = У Ькт^т. (6.10.13) т=0т=0
Подставляя эти выражения в уравнение (6.10.3) и заменяя в нем функцию и аргумент по формулам (6.10.6), получаем следующее уравнение:
Е(1-§)-^ + [с-(а+6+ l)^-^—abN +
к
+ £ (В^ 4- в^ Г-' = 0,(6.10.14)
/71=1
где
В^ = -^L ; ^ = ^- .(6.10.15)
Частное решение этого уравнения при свободном членевида Вт^т~1 по форме совпадает с решением (4.9.18).
Принимая во внимание выражение для этого решения и подстановку (6.10.6), находим частное решение уравнения (6.10.14), соответствующее чисто тепловой деформации ер:
м(е^ /1'X1 о(Е) ^^ ^‘ tC^m—1 Х.1 [a]n [Чп vn (С, Ю 1
Ns - 0 - 2g) ^ Bm — ^2 -щйГ^ 1 (6J0J6)
т=11л=01
Заменяя в этом решении 8m на 8m*, получаем частное решение Nl*\ соответствующее чисто тепловой деформации хр.
Переходим к определению частных решений в вещественных функциях.
Для определения частных решений однородных уравнений полагаем
С, = С) + 1Сг, С2 = С3 + tC4;(6.10.17)
/?(4- + 6’ 46; с’ ^ = ФС(^) + ^а) (с = 2, 3), (6.10.18)
где Сп (п. = 1,2, 3, 4) — действительные постоянные; фс ®, фс (£) (с = 2, 3) — вещественные функции. Функции фс (£), фс (£) определяются бесконечными рядами
фс(У = 1 + 5 ancV, ФЛ) = 2 bncV, (6.10.19) Л=1П=1
коэффициенты которых находятся с помощью рекуррентных формул п (п — 1) — 1р ,
“пс - «(п + с-вП(П + с_п
(6.10.20)
,га (га— 1) — 1 ,,р
- п(п + с-1)+ “(TTp с-1) а<1-Пс
(n = 1, 2, . .. ; с = 2, 3; аОс = 1, ЬОс = 0).
Принимая во внимание выражения (6.10.11), (6.10.17), (6.10.18) и разделяя
с^ = сЖ^ + сЖ + ДЖ^ + w (с^ + с^ =
= "тЕу*^! + ^ [ф2 ® + 1ф2 (&)] на действительную и мнимую части, находим
^2) = - A^f [^ ©+i-Ф2 ^];
Аналогичным образом находим частные решения N^\ N^ и хе3), xq^. Из решения (6.10.12) получаем
N^ =, х^С) = 0.5rosin2<p ’°
При определенном значении А легко определяются также решения, соответствующие чисто тепловым деформациям (6.10.1). Полагая, например, к = 1, на основании выражения (6.10.16) получаем
^8) = — COS ф 1”^ f/ZEp
mW _ m t1 +v) (у + Ф)(1— Щ)Dm Pi
2 s ~1 + И2‘ r0 ‘ h
И
^se) = — созф1^- ЕНг^ х^е) = cosф-j • ^ ex;
s LOS ф J + И2Го h , ХЙ — cos Ф ! + ^2 h .
d (2V,tgy)СДрг0 cos2 фd (2V,tgy)СДрг0 cos2 фС .Г о COS2 ф ’С .Г о COS2 ф ’Частные решения для Ne и xs определяем по формулам
d (2V,tgy)С
Дрг0 cos2 ф
d (2V,tgy)С
Дрг0 cos2 ф
С .
Г о COS2 ф ’
С .
Г о COS2 ф ’
= N, + sin ср—s— 4 s т Дф \ cos ф /
(6.10.21)
= W <Хе ^ Ф) = Хе + Sin Ф"^ (^) ’ (6-10-22) вытекающим в случае сферической оболочки (ds = rodф, Rr = r0, г = rosin ф) из первых уравнений систем (6.7.2) и (6.7.5), а частные решения для Afs и Мв находим по формулам (6.5.5).
При определении частных решений однородных уравнений N^, к^, (Ц = 1, 2, 3, 4) используем соотношения
(6.10.23)(6.10.23)[фз ® - ^з ^’
(6.10.23)
(6.10.23)
^ -г=т = "w^rW3 (^ + № ®ь
в которых функции фс (У, фс (^) (с -— 2, 3) имеют выражения (6.10.19). Эти соотношения выводим следующим образом.
В результате дифференцирования гипергеометрической функ
ции У7 (4-+б, —-6; 2; g) получаем равенство F + 6, -|6; 2; g) = -■ "^ F (-|- + 6, -|6; 3; е) ■ Преобразуя обе
части этого равенства по формуле (4.9.11), составляем соотношение
3; Е . Разделяя полученное соотношение на действительную и мни
мую части и принимая во внимание выражение (6.10.18), получаем соотношения (6.10.23).
Рассмотрим в качестве примера определение частных решений Л^е’ и Xs0. Используя формулы (6.10.21), (6.10.22) и соотношения (6.10.23), находим
1( N^s \i sin2 фd ( NV
NV = Ns ~V Sin ф— = Ns 4тг5- •
Y Дф \ cos ф у12dg \ cos ф
. mW , ot/i ^\ d Г <Pa (ё)y_ ф2 (g) ] _
= ^‘^j^-^i — v)фз(^) —(р4--^-)фз(5)];
= Х^ + -^ [ф3 (« + НФз (1)1 ^ ■= Х^ + -^ [ф3 (« + НФз (1)1 ^ ■
= Х^ + -^ [ф3 (« + НФз (1)1 ^ ■
= Х^ + -^ [ф3 (« + НФз (1)1 ^ ■
Переходим к выводу формул для перемещений. В случае сферической оболочки уравнение (6.8.3) с помощью второго уравнения (6.7.5) можно представить в виде
d / uz \ ro 1g Ф /ее \ _
dtp I cos q> jcos ф Vег0 /
г Г de.n1
"--^[^"(^~еб)с1§(р+^ М-
Заменяя деформации усилиями по формулам (6.5.2), получаем
(1 + v) (Ns — No) ctg ф +(1 + v) (Ns — No) ctg ф +d ( uz \ = г0 I 1 Г d(NQ — xNs) dtp \ cos ф / cos ф I Eh [ dtp
(1 + v) (Ns — No) ctg ф +
(1 + v) (Ns — No) ctg ф +
+ (Ne — tN^ tg vj + -^- + er tg <pj .
Подставляя в соответствии с формулой (6. 10.21) вместо (l+v)x Х^§фвеличину(1+^)(—^^ + ^ + roSinfpcoS(p) и учитывая тождество ^^ф - ^ (1 + cos ф In tg-$) + tg Ф 1 + cosvlntg |), находим
d / uz ) _ r0 , d / Ns + NQ >
dtp \ cos ф / Eh dtp \ cos ф /
1 + cos cp In tg,
(1 +v)C . dV ё 2d «7- j
Eh ' dtp cos ф "r 0 dtp \ cos ф /
И
UZ — "£^~ (^S + ^V9) -{-
+ (1-^)--- (1 + cos cp In tg ^ + roer + c5 cos ф. (6.10.24)
Зная величину tu, по формуле (6.8.4) находим перемещение us:
Us + -^ 11 + cos V1п ^"Т,/] ~ Cs sin V-
(6.10.25)
Ниже приводим необходимые для определения тепловых напряжений и перемещений частные решения, которые входят в общие решения вида (6.8.2) и (6.8.5):
(6.10.26)(6.10.26)(6.10.28)(6.10.28)
(6.10.26)
(6.10.26)
(6.10.28)
(6.10.28)
Частные решения однородных уравнений:
^(1, = -^т-^^-^^а)]; 1 ь Lг J
wf’ = - Ч^ [^ (5) + — ч>2 (5)];
N^ = ±=И L (1 _(1 _ Е)1 ;
Ь IНJ
^4) =-^[^(1-6)+ -^ФгП — £)];
< = к'" +1 - V) <р3 ® - L + -L) ф3 ®] ;
< = N<2) --у^ [(I - V)ф3 (g) + (р + ^) ф3(1)] ;
N^ = ^3) —
[(1 - v)Vs(i - У- (у + -7) ^з(1 -1)] ;
N^ = N^ +
+ ^[(1-^Фз(1-£) + (^ + ^)фз(1-у|;
xf = x^ + ^[фз® + №з(М ^ ;
xf> = x£> + -Д- [фзШ - ^3®1 -^- ;
x<3) = x(63) - -M- № (1 - 5) + № (1 - 6)1 -7^
XO> = x«> _ *1 [фз (1 _ S) - рф3 (1 - g)] -g-
x9° = tr1152^)!^’ ze>= “Г^^^т^;
х^,з) = 2^ ф2 (j _ ^ _^_, хи> = lz_^L ^1-^-5-.
(6.10.29)
M^ = Dm^ + vx^n))(«=1,2,3, 4);(6.10.30)
^^^(vx^ + x^1)(n=l,2, 3, 4);(6.10.31)
u^ = (^n) + N^) -^ (n = 1, 2, 3, 4);(6.10.32)
uW = _ 2 (1 + v) Уj^"'1 <* "Ж («= 1, 2, 3, 4). (6.10.33)
Частные решения неоднородных уравнений, соответствующие осевой силе Р = —2лС:
N^ = - <> = -£, х<с) = х^с) = О, М^ = М^ = 0;
и^ = (1 4- V) (1 Ч- cos ф In tg^-)-^ ,
и^ = (1 + v)(ctg<p —sincplntg^)-^- •(6.10.34)
Частные решения неоднородных уравнений, соответствующие чисто тепловым деформациям (6.10.1 :
при k = 0
Nf = ^(0^) = 0, х'Е) = х^ = 0, Л4Е) = <’ = 0,
и^ = гоео, и^ = 0;(6.10.35)
N^ = N^ = 0, xs(x) = х^х) = 0,
М^ = М^ = — (1+v)-^2-, u^ = u^ = Q; (6.10.36) при к = 1
^Е) = N1^ =^^ Ehe^cos^,
- X9 -• Л2 Б1 COS Ф,
} (6.10.37)
M^ = 44eE) = -^J^ Ehr^ cos <p;
(e)— 1—2v + p2(e)(1+v)2.
“z =i . „2 r0e1cos<p, tz’ = \72 ro61sinq);
1 I r1 г r
дг(х) = J^W = (1 + у) (V2 + p)дг(х) = J^W = (1 + у) (V2 + p)DMDM1• COSh.1• COSh.
дг(х) = J^W = (1 + у) (V2 + p)
дг(х) = J^W = (1 + у) (V2 + p)
DM
DM
1
• COS
h.
1
• COS
h.
x(X) _ (X) = 1-v2 . J4
Xs -Xe -h coscp,
m^ = <’ =m^ = <’ =(1+v) (v2 + n2)(1+v) (v2 + n2)22^AfHlII^AfHlIIcos tp;cos tp;(6.10.38)(6.10.38)„(X) _(1 +v)2(v2 + n2)„(X) _(1 +v)2(v2 + n2)-+^-sin (p.c0-+^-sin (p.c0
m^ = <’ =
m^ = <’ =
(1+v) (v2 + n2)
(1+v) (v2 + n2)
2
2
^AfHl
II
^AfHl
II
cos tp;
cos tp;
(6.10.38)
(6.10.38)
„(X) _(1 +v)2(v2 + n2)
„(X) _(1 +v)2(v2 + n2)
-+^-sin (p.
c0
-+^-sin (p.
c0
Пример. Рассмотрим тепловые напряжения в шаровом корпусе, выполненном в виде сферической оболочки (рис. 48), при температурном поле
(6.10.39)(6.10.39)Т • Тд — Т00 + Тг cos ср (Тдд, Т^ — const).
(6.10.39)
(6.10.39)
При этом температурном поле возникают чисто тепловые деформации
ЕГ = Ео + Ei cos Ф> хг — 0,(6.10.40)
где во — ctyToo, £1 — ®"p^v л
Сферическая оболочка замкнута в вершине ср = 0, а при ф = — соединена
с жестким кольцом (фланцем). Для такой оболочки отношение — = 7, что при
h
v = 0,3 соответствует параметру р = I/——v2 =23,13.
Поскольку в вершине оболочки ср = 0 частные решения с верхними индексами 3 и 4 имеют особенности, то в общих решениях вида (6.8.2) постоянные интегрирования С3 и С4 следует положить равными нулю.
При чисто тепловых деформациях (6.10.40) и отсутствии осевой силы из частных решений неоднородных уравнений необходимо принять во внимание только частные решения (6.10.35) и (6.10.37).
Таким образом, усилия Ns, Ng, изменение кривизны Хд, изгибающие моменты Afs, Afg и перемещения иг, us выражаются так:
Ns - CXN^ + С^№ - ЕКгх cos Ф,
+ И(6.10.41)
Ng = ^Л^1' + С^^ Ehe1 cos Ф;
хе =Cixe,+ ^е’ + у^г ' 7rH1C0S<f; (6.10.42)
Ms+ С2М^ + 1-1 £ЛгоЕ1 cos ср,
(6.10.43)
Л1 д = С-^ ' — С2Л1д ' -|“ ] _|_ ^2061 С0$ Ф’
иг = схи\ ’ C2u'z ' + гоео 4• Где! cos ср + С5 cos ср,
' F(6.10.44)
us = Cju'1) 4- С,и^ 4- (* ^ ^ roex sin ср — С5 sin ср,
где частные решения Л'^\ .... «^'определяются поформулам (6.10.26) — (6.10.33).
Полагая, что кольцо весьма жесткое по сравнению с оболочкой, и пренебрегая упругими поворотом и радиальным перемещением кольца, постоянные интегрирования Сг и Сг определяем из следующих условий (§ 6.8):
Os = 'о tg фхе = 0, и^ =-- us cos <p + иг sin ф = Д при ф = -^-. (6.10.45)
В табл. 15 приводятся значения частных решений Л/р, N^\ А*^, N^ и Л4<‘>—-, уИр-^—, AfU*—, Л4р— , вычисленные при v = 0,3, и. = гогогого
/г0л л л 2л 5л л
— 23,13 I = 7 I для ф = 0; -pg-; -д- ; -g- ", —J -pg- ; -g-- Заметим, что при суммировании рядов фг (|), фг (£), Фз (£), Фз (£), входящих в частные решения, в самом неблагоприятном случае ^ф = —) приходится принимать во внимание 13 членов, чтобы получить результат с точностью до шести значащих цифр.
Вычисляя с помощью формул (6.10.42), (6.10.44)
г0— = 7 следующие /гг0— = 7 следующие /г(0$) я =г0(1§фх6) я, (щ) я, (»г) я<P=-^Ф=-т- Ф—y- Ф="Т"
г0
— = 7 следующие /г
г0
— = 7 следующие /г
и удовлетворяя граничным условиям (6.10.45), составляем при
два уравнения: 2.9235 Сг — 3,8245 Сг + 0,071307 Ehe-t = 0;
—66,986 С, + 15,248 С2 + 6,0622 Eheo + 3,0259 EheT = Ek. Отсюда
С, = 0,109565/ie0 + 0,0598275/is, — 0.0180735Д;
С2 = 0,0837535/ге0 + 0,0643785/ге, — 0,0138165Д.
Для дальнейшего расчета полагаем: Too = 200 град, 7, = 140 град, аг = = 14 • 10—6 Мград, е0 = Т№ат = 0,0028, е, = 7,аг = 0,00196.
Величину Д приближенно можно оценить по формуле Д = (7 — 70)^0^ ,
кольцом. ПриД— = 0,0153.hкольцом. ПриД— = 0,0153.htr-Тогдаtr-Тогдал где (7—7о)*— среднее приращение температуры кольца; r^™ rosin——ра
кольцом. При
Д
— = 0,0153.
h
кольцом. При
Д
— = 0,0153.
h
tr-
Тогда
tr-
Тогда
диус параллели оболочки в месте сопряжения с — 7о)^ = 180 град, г0 = 980 мм, h — 140 мм имеем
С, 0,00014794 Eh, Сг = 0,00014963 Eh.
Используя значения постоянных интегрирования С, и Сг и частных решений
(см. табл. 15), по формулам (6.10.41) и (6.10.43), взятым при —= 7, вычисляем h
усилия Ns (Eh)~x, Ne (Eh)~\ моменты A4S (5/z2)-', Л10 (5/г2)"1, а затем поформу-
лам (6.9.49) — соответствующие тепловые напряжения (os) h Е 1 • 10s г=„—
/ хг—1л л л 2л 5л л . ,
^2=.h_E" Ю3 ДЛЯ ф = 0; —; —; —;—;—;— (табл. 16).
2
На рис. 48 представлены кривые распределения тепловых напряжений, (os) h Е—Х ■ 103 и (Од) h Е-1 • 103при (7 — 7о)*= 180 град (сплошные линии) и при (7 — 7о)*= 230 град (штриховые линии).
216
ф
TV<2>
м<2> Л_
<77
0
1
—0,0129703
1
—0,0129703
0
0,0562045
0
0,0562045
18
0,984882
—0,0999273
0,979848
—0,276705
0,0125420
0,0552997
0,00719091
0,0553827
Г
0,910179
—0,347403
0,764690
— 1,05001
0,0493120
0,0455056
0,0279949
0,0496322
г
0,698696
—0,702991
—0,0974874
—2,18372
0,1034 4 9
0,00618923
0,0583314
0,0296997
2л
9
0,263911
— 1,04716
—2,25 935
-3,11745
0,149560
—0,0923188
0,0859250
—0,0167800
5л
?8
—0,412336
— 1,17867
—6,21361
—2,47291
0.125733
—0,272357
0,0842912
—0,0973256
з"
— 1,16872
—0,869617
— 11,4004
2,25433
—0,0795822
—0,509081
0,0109294
—0,198254
Таблица 15
Таблица 16
У
A7$ (£/.)—1
Л'д(ЕЛ)-1
Ms КЕк^-'
М^ЕУ)"1
=SE~
■ 10»
a6E—1 • 10s
h
Z ~ 2
h.
г
2
h
Z~ 2
A
0
0,0001412
0,0001412
0,9215 • 10~4
0,9215 • 10~4
0,6941
-0,4116
0,6941
—0,4116
Тв
0,0001261
0,9887 • 10-4
0,0001037
0,9823 • 10—4
0,74 82
—0,4960
0,6882
—0,4905
"9
0,7820 • 10"4
—0,4846 • IO"4
0,0001300
0,0001122
0,8582
— 0,7018
0,6250
—0,7219
*6
—0,5943 • 10"5
—0,0003453
0,0001424
0,0001203
0,8486
-0,8605
0,3767
-1,067
2л
9
—0,0001213
—0,0008044
0,8367 • IO"4
0,9690 • IO-4
0,3808
—0,6233
—0,2230
-1,386
5л
18
—0,0002404
—0,001292
—0.0001337
0,6738 • IO-5
-1,042
0,5617
-1,252
-1,333
Г
—0,0003054
—0,001352
—0,0005990
—0,0001797
—3,899
3,289
—2,430
-0,2734
2 л2 л2 л2 лИз данных табл. 16 и кривых на рис. 48 видно, что тепловые напряжения h растягивающие на наружной поверхности шарового корпуса г = ^" в интервале-
2 л
2 л
2 л
2 л
изменения ф от 0 до -д-и от 0 до —. С улучшением тепловой изоляции массивного кольца тепловые напряжения в корпусе существенно уменьшаются. Так, при увеличении (Т—То)^ от 180 до 230 град значения (as) А
г—,<Р-о.
и (о$) ли (о$) лг=~- »= —г=~- »= —л уменьшаются соответственно в 1,45 и 1,73 раза.л уменьшаются соответственно в 1,45 и 1,73 раза.
и (о$) л
и (о$) л
г=~- »= —
г=~- »= —
л уменьшаются соответственно в 1,45 и 1,73 раза.
л уменьшаются соответственно в 1,45 и 1,73 раза.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА ТЕРМОУПРУГОСТИ
Основные уравнения
В этой главе рассматриваются тепловые напряжения в телах вращения, обусловленные осесимметричным температурным полем.
В телах вращения осесимметричному температурному полю соответствует осесимметричное напряженное состояние, которое в цилиндре или сфере удобно изучать в цилиндрических или сферических координатах (см. рис. 4 и 6).
Если ось вращения совпадает с осью z, то вследствие симметрии термоупругой деформации относительно оси z все компоненты тензора напряжения не зависят от угла 9.
Осесимметричная задача термоупругости здесь рассматривается в квазистатической постановке при постоянных упругих коэффициентах. Для исследования этой задачи используется представление общего решения в форме П. Ф. Папковича (§ 2.2):
и = и^ + и* = gгadФ + 4(1 — v)B — grad (В • г + Во), (7.1.1)
в котором скалярная функция Ф и гармонические вектор В и скаляр Во, определяемые уравнениями (2.2.12) и (2.2.7), являются функциями только двух координат. Компоненты вектора В в декартовой системе координат удовлетворяют уравнениям Лапласа, в системе криволинейных координат не удовлетворяют. Скалярные уравнения для компонентов вектора В находим на основании известного из векторного анализа [28] тождества
V2B = grad divB — rot rot В = 0. (7.1.2)
Ниже приводим формулы, необходимые для исследования осесимметричной задачи термоупругости в цилиндрических и сферических координатах.
Цилиндрические координаты. При осевой симметрии компонент uQ вектора перемещения, компоненты егц и eqz тензора деформации и компоненты оге и ogz тензора напряжения обращаются в нуль (§ 2.6). Компоненты иг и uz определяются выражениями
ur = u*n + и*; uz = и'^ + иг, (7.1.3)
(7.1.4)(7.1.5)(7.1.4)(7.1.5)т _ 5Ф т _ 6Ф .
(7.1.4)
(7.1.5)
(7.1.4)
(7.1.5)
ur ~ дг ’ “2 - dz •иг = 4 (1 - v) Br -A (rBr + zBz + Во);«г = 4 (1 - v) Вг - ^- ^Вг + zBz + Во).
Уравнение Пуассона (2.2.12) для скалярной функции Ф в рас
ат(Г — Тйуат(Г — Тйу(7.1.6)(7.1.6)сматриваемом случае принимает вид д2Ф.1дФ д2Ф_ 1 + v
ат(Г — Тйу
ат(Г — Тйу
(7.1.6)
(7.1.6)
дг2'гdr' dz2 1 — v
Функции Вг и Вг в решении (7.1.5) являются компонентами вектора В в направлениях единичных векторов еГ и ez (см. рис. 4).
Выполняя в уравнении (7.1.2) векторные операции по формулам (2.6.1) — (2.6.3) и учитывая, что все производные по 9 обращаются в нуль, получаем для Вг и В2 следующие уравнения:
+ -—+(7.1.7)
дг2 г дг г2 дг2v '
+ -(7-1.8) dr2 ‘ г dr дг1v '
Заметим, что уравнение (7.1.7), которому удовлетворяет ВГ, не является уравнением Лапласа. Уравнение Лапласа (2.2.7) для Вй
(7.1.9)(7.1.9)в цилиндрических координатах имеет вид
(7.1.9)
(7.1.9)
дг2 г " дг дг2
Используя соотношения (2.6.5) и (2.6.7) и принимая во внимание уравнение (7.1.6), находим следующие выражения для деформаций и напряжений:
е, = ef ’ + е;
(7.1.10)
(Г) I *Erz — grz -|- ErZj
ar = о*1? + а*;
(7.1.11)
„I *
^rz — Orz “Г ^rz.
где
<п _д=ф (Г) _1дФ JT) _ д2Ф „(Г) _д»Ф ..- .
Егdr2’ ® —гdr, z " дг2’ rz —дгдг’ L12'
of - 2н (5- -v*») , с?1 = 2^ (-L ■ -g—V«®) ;
=o*S-2v.-*;<7 L14>
\ 02й1 drdz
dr2 r dr ' dz2 ’
Sr = 2ц (e* + ^2у e^) , оё = 2ц (Ее + y-J^ e^) ;
./. v И •'.'(7‘1J5)
Oz = 2ц ^ez -|- j 2v"baa ) , ^rz = 2цегг;
Еда = ег -)- Ее + ez.
Сферические координаты. При осесимметричном напряженном состоянии компонент «е вектора перемещения, компоненты Еге и ЕеФ тензора деформации и компоненты аг6 и ое<р тензора напряжения равны нулю (§ 2.6).
Компоненты иг и цф вектора перемещения имеют выражения
иг = и*Г) + и*; Uq, = и^ + иф,(7.1.16)
где
(Г) _ ОФ .(T) _ 1 dФ .. .
Ur - dr ’ и» - г "дф ’
ы; = 4(1-т)Вг-А(г5г + во);
и’Ф = 4(1-^ВфL.^(r5r + 5o).(7.1.18)
Здесь Вг и Вф—компоненты вектора В в направлениях единичных векторов ег и еф (см. рис. 6). Используя формулу (2.6.14), для определения термоупругого потенциала Ф получаем следующее уравнение:
d ( 2 дФ \ .1 d ( . дФ ।1 + vv,
—5- • -3- Н -д— 4 • “5— Sln Ф "3— = ", ■■ ат (ТТа).
г2 dr \ dr / г2 sin <р дф \ т дф /1 — v v
(7.1.19)
При составлении уравнений для Вг и Вф используем векторное уравнение (7.1.2). Выполняя в нем векторные операции по формулам (2.6.11)—(2.6.13), получаем следующие уравнения;
^еи1d
—;•(sinф®в) = 0;
(7.1.20)(7.1.20)drгзшфдф'т '’
(7.1.20)
(7.1.20)
5еп а
“а— 4“ "а—(г®в) = 0,дф 1 dr х '’
ев = div В = — Г— • -^-(raBr) -{—Д— • -Д- (sinq>B<p)l ;
г [ г от х Г' зшф дф ' т
1 Г д (гВ-х до 1(7*1
Уравнения (7.1.20) для функций ев и cos связанные. С помощью несложных преобразований решение системы (7.1.20) можно свести к решению двух независимых уравнений относительно ев и ащ.
Применяя операцию div к уравнению (7.1.2) и учитывая, что
div grad ( ) = V2( ), div rot ( ) = 0, находим, что ев является
гармонической функцией, удовлетворяющей на основании (2.6.14) уравнению
а / деп\ 1 а / деп\
^2е2_в +1— . о si в_ =0 (7 j 22)
° г2 дг \ дг / г2 sin ф уф \ т дф /4'
Операция rot, примененная к (7.1.2), приводит к следующему уравнению для функции ащ:
r^-W+^Г^ -^(sin^-O.(7.1.23)
При нахождении уравнения (7.1.23) операцию rot rot rot выполняем с помощью формул (2.6.13), учитывая, что rot grad ( ) = 0.
Найдя решения уравнений (7.1.22) и (7.1.23) и исключив лишний произвол в них с помощью зависимостей (7.1.20), для определения Вг и Вф получаем систему двух уравнений первого порядка (7.1.21).'
Уравнение для гармонической функции Во, входящей в решение (7.1.18), имеет вид
+=0. (7.1.24)
г2 дг \ дг / г2 sin ф <7ф т ^ф /''
Деформации и напряжения определяются по формулам
<г) , *ег =■ е; + ег;
(7.1.25)
(г) । *
Вгф — Erq> ЕГф,
(T) ।*
аЛ = а, + <V, (7.1.26)
«?' = 4l^-+4.^-=tg<p);(7.1.27)
(Г) _1 Г д ; 1дф \ .1 / д2Ф1дф J
Егф2 | дг 1 гдф / 'г \ дгдфгдф / J ’
е*е*диг~д7диг~д7Ее = -^(«’ + Ыф ctg <р);Ее = -^(«’ + Ыф ctg <р);(7.1.28)(7.1.28).(Г) _ 9п / д2Ф.(Г) _ 9п / д2ФV^V^
е*
е*
диг
~д7
диг
~д7
Ее = -^(«’ + Ыф ctg <р);
Ее = -^(«’ + Ыф ctg <р);
(7.1.28)
(7.1.28)
.(Г) _ 9п / д2Ф
.(Г) _ 9п / д2Ф
V^
V^
^-2^.^+;L. *Lctg,p_W);(Г) Г d , 1дф \ .1 / д2Ф1дф \1Огч>I1 [ дг ^ гдф / *г \ дгдфгдф /J ’^-2^.^+;L. *Lctg,p_W);(Г) Г d , 1дф \ .1 / д2Ф1дф \1Огч>I1 [ дг ^ гдф / *г \ дгдфгдф /J ’(7.1.29)(7.1.29)
^-2^.^+;L. *Lctg,p_W);
(Г) Г d , 1дф \ .1 / д2Ф1дф \1
Огч>I1 [ дг ^ гдф / *г \ дгдфгдф /J ’
^-2^.^+;L. *Lctg,p_W);
(Г) Г d , 1дф \ .1 / д2Ф1дф \1
Огч>I1 [ дг ^ гдф / *г \ дгдфгдф /J ’
(7.1.29)
(7.1.29)
72Ф72Фд2Фdr2д2Фdr22 дФ ,1дф ,, 1д^Фг' дг +г2дфС ^ ^ + г2дф2аг’ = 2ц ^ 4-у-^-е^ ;Qq> = 2р, ^8ф 4* । ov Ед^) ;•Jo = 2р ^80 4еай^ ;•Тгф 2^8г(р"е-ыг = е, + еф 4* е0.2 дФ ,1дф ,, 1д^Фг' дг +г2дфС ^ ^ + г2дф2аг’ = 2ц ^ 4-у-^-е^ ;Qq> = 2р, ^8ф 4* । ov Ед^) ;•Jo = 2р ^80 4еай^ ;•Тгф 2^8г(р"е-ыг = е, + еф 4* е0.(7.1.30)(7.1.30)
72Ф
72Ф
д2Фdr2
д2Фdr2
2 дФ ,1дф ,, 1д^Ф
г' дг +г2дфС ^ ^ + г2дф2
аг’ = 2ц ^ 4-у-^-е^ ;
Qq> = 2р, ^8ф 4* । ov Ед^) ;
•Jo = 2р ^80 4еай^ ;
•Тгф 2^8г(р"
е-ыг = е, + еф 4* е0.
2 дФ ,1дф ,, 1д^Ф
г' дг +г2дфС ^ ^ + г2дф2
аг’ = 2ц ^ 4-у-^-е^ ;
Qq> = 2р, ^8ф 4* । ov Ед^) ;
•Jo = 2р ^80 4еай^ ;
•Тгф 2^8г(р"
е-ыг = е, + еф 4* е0.
(7.1.30)
(7.1.30)
§ 7.2. Тепловые напряжения в цилиндре конечной длины
Решение краевых задач термоупругости для областей конечных размеров связано с большими трудностями. Задача о тепловых напряжениях в сплошном цилиндре конечной длины является одной из характерных задач, выясняющей указанные трудности и способы их преодоления.
Рассмотрим метод определения тепловых напряжений в сплошном круговом цилиндре конечной длины 2/ и радиуса г3, подвергающемся действию осесимметричною температурного поля
Рис. 49.Рис. 49.Т (г, z) — То, симметричного относительно плоскости 2 = 0 (рис. 49). Полагаем, что температурное поле известно из решения соответствующей задачи теплопроводности (глава третья).
Рис. 49.
Рис. 49.
Переходя к относительным ко- Г „ Z ординатам р = —, С = — и разла- гая температурное поле Т (р, С) — — То в направлении оси г по бесселевым функциям и в направлении оси г по тригонометрическим функ-
циям, в фиксированный момент времени представляем его в виде выражения
(7.2.1)(7.2.1)Т (Р, С) — Tn = 2' CLjnJ0 (М cos £„£,/,п=0
(7.2.1)
(7.2.1)
где Та — температура, соответствующая недеформированпому состоянию цилиндра; Х/(] = 1, 2, ...) — корни уравнения ^ (X) = 0,
Хо = 0; &„ = -^-, Со = ™ 1 штрих указывает на то, что величины toг2
/ и п одновременно не принимают нулевого значения (отсутствует член, содержащий а00).
Используя ортогональность входящих в выражение (7. 2.1) функций, для коэффициентов двойного ряда ain находим следующие выражения:
«о,. = тЦ fir (р, ^ — Tg\ cos kn С pdpdc, 0 0
n= 1, 2, . ..;
Ч 1
(7.2.2)(7.2.2)«.о = г f f [Г(Р- У - ММ рад, У 0 х^В 5 Q
(7.2.2)
(7.2.2)
/= 1,2,
ain =1<p- ~ ^ AtMcos kn c
Eo-'o о о
n = 1,2
Зная температурное поле (7.2.1), находим частное решение уравнения (7.1.6) для термоупругого потенциала:
ф = - «ГГ2 2(7.2.3)
.n=o kn + Лу
Выражения для соответствующих термоупругому потенциалу (7.2.3) перемещений и напряжений, вычисленных по формулам (7.1.4). и (7.1.14), имеют вид
(Пи, 1(Пи, 11 — V1 — VС 0,7С 0,7ain^iain^i./=11n,j=l Rn +./=11n,j=l Rn +Jx^^cos^ ;Jx^^cos^ ;и'?и'?1 — V т 11 — V т 1“jA“jAn=l "n=l "A(Msin^ ;A(Msin^ ;0(7) 2ц0(7) 2ц1 + V V L , 1 V “/o , /7 \ , aT 2ao« cos hnt, + — 2 Ji (M +ln=l“ y=l 11 + V V L , 1 V “/o , /7 \ , aT 2ao« cos hnt, + — 2 Ji (M +ln=l“ y=l 1а- inа- inкп + Цкп + Ц[^Л (Х;р) + -у Л (Х/р)] cos k,^ ;[^Л (Х;р) + -у Л (Х/р)] cos k,^ ;(7.2.4)(7.2.4)„(П °02ц„(П °02цат 2 а№ cos ^„С —ат 2 а№ cos ^„С —^ aio л .„ J1 (^/Р)Jо (^уР)^ aio л .„ J1 (^/Р)Jо (^уР)2ц2ц2ц2ц^in^inX/X/1 + V1 — V1 + V1 — V(7.2.5)(7.2.5)■ р *7i (7./Р)Jо (^./Р) cos ^„^ / ,■ р *7i (7./Р)Jо (^./Р) cos ^„^ / ,«г 2 аЮ^о (^у’Р) +«г 2 аЮ^о (^у’Р) +к2п^^к2п^^Л (Х/р) cos ^ ;Л (Х/р) cos ^ ;1 4- v V1 _ v “г ^ Qin1 4- v V1 _ v “г ^ Qin^j I «л^j I «л
(П
и, 1
(П
и, 1
1 — V
1 — V
С 0,7
С 0,7
ain^i
ain^i
./=11n,j=l Rn +
./=11n,j=l Rn +
Jx^^cos^ ;
Jx^^cos^ ;
и'?
и'?
1 — V т 1
1 — V т 1
“jA
“jA
n=l "
n=l "
A(Msin^ ;
A(Msin^ ;
0(7) 2ц
0(7) 2ц
1 + V V L , 1 V “/o , /7 \ , aT 2ao« cos hnt, + — 2 Ji (M +
ln=l“ y=l 1
1 + V V L , 1 V “/o , /7 \ , aT 2ao« cos hnt, + — 2 Ji (M +
ln=l“ y=l 1
а- in
а- in
кп + Ц
кп + Ц
[^Л (Х;р) + -у Л (Х/р)] cos k,^ ;
[^Л (Х;р) + -у Л (Х/р)] cos k,^ ;
(7.2.4)
(7.2.4)
„(П °0
2ц
„(П °0
2ц
ат 2 а№ cos ^„С —
ат 2 а№ cos ^„С —
^ aio л .„ J1 (^/Р)Jо (^уР)
^ aio л .„ J1 (^/Р)Jо (^уР)
2ц
2ц
2ц
2ц
^in
^in
X/
X/
1 + V
1 — V
1 + V
1 — V
(7.2.5)
(7.2.5)
■ р *7i (7./Р)Jо (^./Р) cos ^„^ / ,
■ р *7i (7./Р)Jо (^./Р) cos ^„^ / ,
«г 2 аЮ^о (^у’Р) +
«г 2 аЮ^о (^у’Р) +
к2п^^
к2п^^
Л (Х/р) cos ^ ;
Л (Х/р) cos ^ ;
1 4- v V
1 _ v “г ^ Qin
1 4- v V
1 _ v “г ^ Qin
^j I «л
^j I «л
Полученные выражения для напряжений (7.2.5) удовлетворяют уравнениям равновесия и совместности деформаций, но не удовлетворяют заданным граничным условиям. Граничные условия могут быть удовлетворены с помощью общего решения однородных уравнений рассматриваемой задачи. Переходим к построению этих решений.
В силу симметрии температурного поля относительно плоскости £ = О общее решение (7.1.5), очевидно, должно удовлетворять условиям
и, (- 9 = иг (9, ы; (- у = - иг (9. (7.2.6)
Для удовлетворения граничных условий как на торце, так и на боковой поверхности цилиндра полагаем, что решение (7.1.5) состоит из двух частей:
и* = и, + и”; uz = и! + и”. (7.2.7)
Первая часть решения строится так, чтобы с ее помощью можно было удовлетворить произвольные граничные условия на поверхности цилиндра р= 1; напряжения, соответствующие этой части решения, должны иметь вид рядов по полной на интервале — 9 < С g С 9 системе ортогональных функций. В связи с этим для функций Вг и Во, входящих в решение (7.1.5), выбираем следующие выражения, при которых удовлетворяются условия (7.2.6):
Br=r2g0(p)+r2S gn (Р) cos ^„9
"2(7-2.8)
Вй=гУг0 (р)+^^ hn (р) cos к^.
При этом удобно положить
В2 = 0.(7.2.9)
Подставляя выражения (7.2.8) в уравнения (7.1.7) и (7.1.9), получаем следующие уравнения, по которым можно определить величины go (р), h0 (р), g„ (р), hn (р):
_^go_(p)_ J- 1 . ^£оМ _ 6о (р) = п
dp2 ' р dpр2 ’
(7.2.10)
dX (р)1 , dhe (р)х ’
dp'2 ‘ р dp’
dp \ р2 ‘W)dp \ р2 ‘W)(7.2.11)(7.2.11)^(р) ,11
dp \ р2 ‘W)
dp \ р2 ‘W)
(7.2.11)
(7.2.11)
dp2 р "
у/Мщ. . 1
dp2р
Общие решения этих уравнений имеют вид
go (Р) = “о Р + “о у , к» (р) = Ро + Ро In р;
Ял(р) = <Vi(6nP) + ал/<1(&„р),(7.2.12)
/гп(р) = РЛ(^лР) + ₽^о(^Р) (n = l,2, . ..), гдеа0, ..., p„— произвольные постоянные.
Поскольку цилиндр сплошной, то следует положить
ао = О, р0 = 0, ап = 0, р^ = 0.(7.2.13)
Учитывая (7.2.13) и применяя формулы (7.2.8) и (7.1.5), находим
^ = 2 (1 — 2v) aapr2 + r2 2 I “л [4 (1 — v) /т (^„р) —
— ^о(^пР)] — МлМ^лр)) cos^;(7.2.14)
“z = Г2 X [a„Vi (^np) + MJo (^лР)] sin k^. n=l
Следует отметить, что первая часть решения и’ и и2 представляет собой общее решение краевой задачи теории упругости для длинного сплошного цилиндра, периодически загруженного на поверхности р = 1 [381.
При построении второй части решения и” и и“ удобно принять
Вг = 0.(7.2.15)
На основании соображений, аналогичных изложенным при построении первой части решения, представляем гармонические функции Bz и Во в виде
В2=г2р0^Нг^ Pi (У Jo (^iP)>
'Z1(7.2.16)
Bo^q^Wr^q^VoM,
где kj — корни уравнения ^ (к) = 0.
Подставляя выражения (7.2.16) в уравнения (7.1.8) и (7.1.9), для определения р0 (£), q0 (t), р, (£), q, (£) получаем уравнения
■ = 0,= 0;(7.2.17)
^'Pj С) „ 2п 42</у (Е)2i ох
5р ^iPj © — 0>3^2 ^-iqiiK) — 0-(7.2.18)
Учитывая условия (7.2.6), решение уравнений (7.2.17) и (7.2.18) выбираем в виде
Ро® = То£> Яо© = $<й_ „ .
Pi® = ^Sh4, t^HS/ch^ (/= 1,2, ...), где у0, .... 6j—произвольные постоянные.
Найденные выражения для функций Bz и Во позволяют вторую часть решения и*1 и и” представить в виде
u” = r2 2 (-у,Х£ sh Х£ + 6Д, ch Х^) J, (Х,р);
и" = 2 (1 — 2v) -у^гг + Г2 2 {Т/ К3 — 4v) sh Х£ — Х^ ch Х^] — /=1
-6A; sh^} J0(M-(7.2.20)
Выражения для перемещений (7.2.20) являются общим решением краевой задачи теории упругости, позволяющим удовлетворить произвольным граничным условиям в перемещениях или напряжениях на поверхностях «периодически» деформированного упругого слоя [631.
Подставляя выражения (7.2.14) и (7.2.20) в равенства (7.2.7), получаем общее решение однородных уравнений для перемещений:
и* =2(1— 2v)a0pr2+r2 2 К [4(1 — v) Л (k„p) — МА (fenP)l —
71 = 1
^nkj 1 (М)} cos6„e+r2 S ^Х) Csh X^ + бД, ch X^ Jx (X;p);
(7.2.21)
u* = 2 (1—2v)Yo£r3+r2 2 iWi (M) + PAA (M)l sin M + n=l
+ r2 5 {V/ K3 — 4v) sh X£ — X£ ch X^] — 6Д/ sh X^} Jo (X;p). /=i
Соответствующие напряжения, вычисленные по формулам (7.1.13) и (7.1.15), имеют вид
= 2а0 + 2vYo + 2 {4 (1 — v) -А 1г (М) — л=1 k L"
^р/1(^„р) + (3 — 2v) V0(^np)] + Pn^f-J-A^p) —
knI0 (^„p)] [ cos hn^ — 2 ^jX^ sh Xj^ +
+ SjXj ch Xj^ -ЬЗМ + v [Y. (X2^ sh x^ + 2vX. ch x.^ +
+ fi/^ch^Uo^p);
-^- = 2а0 + 2vYo + 2 {«„ ^4(1 —vj^-l^^p) —
— (1 — 2v) Vo(M] —РЛу /1М)со$^ +
+ 2(?/M sh M+ 5^011^) AM +(?
-^7 =2(1 — v)Yo+4vao+ 2 {«J^i (^P) +
+ 2v£„/0 (^„p)] + P„^/o (^„p)) cos ^„C +
+ 51V/12 (1 — v> Xich 4 - x^ sh Ml -
/=1
6Д/ ch X^ 70(X/p);
^- = 2 {«Л I- 2 (1 - v) Л (M + knol0 (^p)] +
рХ/^^)) sin £„£ + 2 ^ixi lMch X^ — /=1
-Hi-s^sh^ci + ^hWiA^p)-
Для цилиндра, у которого поверхности р = 1 и £ = ± £0 свободны от напряжений, граничные условия имеют вид
о* + о?1 = 0, o*z + 0,2* = 0 при р = 1;
Пг + of1 = 0, o*z + О^ = 0 при ^ = ± Со. (7-2-23)
Подставляя решения однородных уравнений (7.2.22) и частные решения (7.2.5) для напряжений в граничные условия (7.2.23), для определения постоянных а0, Yo, ая, р„, Y/, 6/ получаем следующую систему функциональных уравнений:
-^- (щ + а’Г))Р=1 = 2а0 + 2vYo +
+ 2 {«„ [- 4 (1 - v) /х (^„) - ^/г (^) +
П = 1
+ (3 —2v) Vo(^)l + ₽л^л 1Л(^Л) — ^л^о(^л)1) cos£„C +
+ 2 (Т/1^/ С sh ^j^ + 2vX/ ch X/Q +
Ч-б^сйХ^^)-Ч-б^сйХ^^)-1 — V1 — V<Xp 2 Cion COS Хл£ 4"_n=l<Xp 2 Cion COS Хл£ 4"_n=l
Ч-б^сйХ^^)-
Ч-б^сйХ^^)-
1 — V
1 — V
<Xp 2 Cion COS Хл£ 4"
_n=l
<Xp 2 Cion COS Хл£ 4"
_n=l
= 0;= 0;(7.2.24)(7.2.24)Qjn ,.2 , 2 ^0 ^i^ cos ^n^, kn +
= 0;
= 0;
(7.2.24)
(7.2.24)
(az + ozr,)g=+;0 — 2(1 — v) Yo + 4va0 +
+ 2 (— 1)” I t^PZi M + 2vV0 (Ml +
+ ^nU (^p)i + 2 ^i 1^0 v) X/ ch X/£o
— Х,£э sh Xy^] 6;Xy ch Xy^,} Jo (X,p)
“^ (^rz + 0^2^=! — 2 {^n^n [— 2(1 — v) /T (^n) +
+ Vo(U) + ^U (^)l sin kn^ = 0;(7.2.25)
-^-(arz + Orz)k=±E, = ± 2 (V/^/ [^/^0 ch X/^o —
- (1 - 2v) Sh X;^] + буХ^- sh X/^o) Jx (X,p) = 0.
Из граничных условий для касательных напряжений (7.2.25) получаем следующую зависимость между искомыми постоянными:
^п = - a^„ [^ ^}— 2 (1 - v)] ,
Vi = - Yj^/ [^Ло cth Х^о - (1 - 2v)].(7.2.26)
Используя известные разложения
sh X/Ер I 2Х/sh Х/^о V , ..л cosкД, ,.- « пу\
ХЛо +$0} Х2 + Х2 >(/.2.2/)
X^ sh X^ = ch X^+
+ 2Х/ ch Х^\ У (— 1)" ^^' n=l+ 2Х/ ch Х^\ У (— 1)" ^^' n=lrf^X^ V /_ 1 in _S2iM_B0 n=l^n+X^rf^X^ V /_ 1 in _S2iM_B0 n=l^n+X^
+ 2Х/ ch Х^\ У (— 1)" ^^
' n=l
+ 2Х/ ch Х^\ У (— 1)" ^^
' n=l
rf^X^ V /_ 1 in _S2iM_
B0 n=l^n+X^
rf^X^ V /_ 1 in _S2iM_
B0 n=l^n+X^
и зависимости (7.2.26), вместо первого функционального уравнения в системе (7.2.24) получаем эквивалентные ему в интервале — £о < С < Со алгебраические уравнения
(7.2.28)(7.2.28)2а0+ 2vYo = 0;
(7.2.28)
(7.2.28)
^2 />п)" Л (М ~^2 />п)" Л (М ~^ (&„)-2(1-v)/,(£„) +^ (&„)-2(1-v)/,(£„) +1“1 — V -1“1 — V --1) тЛ(М 2 -J =Со(^ + Ь/)2а0п + ^ djn 2 ■ -2 А (^-1) тЛ(М 2 -J =Со(^ + Ь/)2а0п + ^ djn 2 ■ -2 А (^Аналогично с помощью разложений/0(М = 2-^Ж + 2^Л(^)5Аналогично с помощью разложений/0(М = 2-^Ж + 2^Л(^)5Jo (л/Р)Jo (л/Р)(^ + Х^) Jо (X/)(^ + Х^) Jо (X/)^РЛ М = 2/0 (^ - 4 ЬМ. + 2^/0 ^/=1 (ftn • ^р^о^РЛ М = 2/0 (^ - 4 ЬМ. + 2^/0 ^/=1 (ftn • ^р^о^hnIy (k^j ^/=i^hnIy (k^j ^/=i7о (Х/р)(й^+х^ 70 (X/)7о (Х/р)(й^+х^ 70 (X/)(7.2.29)(7.2.29)(7.2.30)(7.2.30)
^2 />п)
" Л (М ~
^2 />п)
" Л (М ~
^ (&„)-2(1-v)/,(£„) +
^ (&„)-2(1-v)/,(£„) +
1“
1 — V -
1“
1 — V -
-1) тЛ(М 2 -J =
Со(^ + Ь/)2
а0п + ^ djn 2 ■ -2 А (^
-1) тЛ(М 2 -J =
Со(^ + Ь/)2
а0п + ^ djn 2 ■ -2 А (^
Аналогично с помощью разложений
/0(М = 2-^Ж + 2^Л(^)5
Аналогично с помощью разложений
/0(М = 2-^Ж + 2^Л(^)5
Jo (л/Р)
Jo (л/Р)
(^ + Х^) Jо (X/)
(^ + Х^) Jо (X/)
^РЛ М = 2/0 (^ - 4 ЬМ. + 2^/0 ^
/=1 (ftn • ^р^о
^РЛ М = 2/0 (^ - 4 ЬМ. + 2^/0 ^
/=1 (ftn • ^р^о
^hnIy (k^j ^
/=i
^hnIy (k^j ^
/=i
7о (Х/р)(й^+х^ 70 (X/)
7о (Х/р)(й^+х^ 70 (X/)
(7.2.29)
(7.2.29)
(7.2.30)
(7.2.30)
вместо второго функционального уравнения в системе (7.2.24) получаем эквивалентные ему на интервале О С р С 1 алгебраические уравнения
^ch Х^о +^ch Х^о +2(1 — v)Yo+ 4va0 =0;2(1 — v)Yo+ 4va0 =0;(7.2.31)(7.2.31)КХ/Co ) , Vsh X/So /2^хКХ/Co ) , Vsh X/So /2^х^1г ^п)JoM ^к2п+Х^^1г ^п)JoM ^к2п+Х^1 + v1 — v1 + v1 — vатат00х^Q/0 + 2("~ 1 )"аМ“. 2 ,' ,2л=1Rn Т00х^Q/0 + 2("~ 1 )"аМ“. 2 ,' ,2л=1Rn Т(7.2.32)(7.2.32)
^ch Х^о +
^ch Х^о +
2(1 — v)Yo+ 4va0 =0;
2(1 — v)Yo+ 4va0 =0;
(7.2.31)
(7.2.31)
КХ/Co ) , Vsh X/So /2^х
КХ/Co ) , Vsh X/So /2^х
^1г ^п)JoM ^к2п+Х^
^1г ^п)JoM ^к2п+Х^
1 + v
1 — v
1 + v
1 — v
ат
ат
00х^
Q/0 + 2("~ 1 )"аМ“. 2 ,' ,2
л=1Rn Т
00х^
Q/0 + 2("~ 1 )"аМ“. 2 ,' ,2
л=1Rn Т
(7.2.32)
(7.2.32)
Система двух уравнений (7.2.28) и (7.2.31) для определения а0 и у0 соответствует элементарным решениям задачи о равновесии цилиндра конечной длины [38]. В связи с отсутствием несамоурав- новешенной нагрузки на поверхности цилиндра получаем а0 = = То = 0.
Исследуем парную бесконечную систему линейных алгебраических уравнений (7.2.29) и (7.2.32) относительно неизвестных постоянных а„ и у,-. Вводя новые неизвестные по формулам
(7.2.33)(7.2.33)4(- 1)"а„&2п/1(^)=Хл;
(7.2.33)
(7.2.33)
4/о(МУ/^^^- — Yh
вместо системы уравнений (7.2.29) и (7.2.32) получаем более удобную для исследования систему
(7.2.34)
где
С СоС Со2(1-у)fyCo 1 .2(1-у)fyCo 1 .” ~ 1 — V” ~ 1 — Vsh2X/{„ J ’ аг(—1)" а0п + 2а/"sh2X/{„ J ’ аг(—1)" а0п + 2а/"кп + >1кп + >1(7.2.35)(7.2.35)
С Со
С Со
2(1-у)
fyCo 1 .
2(1-у)
fyCo 1 .
” ~ 1 — V
” ~ 1 — V
sh2X/{„ J ’ аг(—1)" а0п + 2а/"
sh2X/{„ J ’ аг(—1)" а0п + 2а/"
кп + >1
кп + >1
(7.2.35)
(7.2.35)
Dj-Dj-У-T Jo^i) a io + 2 (— 1)” °i"
Dj-
Dj-
n=l
Рассмотрим сумму коэффициентов каждой строки в бесконечной системе (7.2.34). Исходя из свойств равномерной сходимости рядов (7.2.27) и (7.2.30), получаем следующие равенства:
где
Ь/
£1 (^ + Ь/)20°2
Vfen
= 1 —ф,;
= 1 — Фп,
2^п ‘
При получении равенств (7.2.36) легко установить, чтоSj > 0, tn > О
(7.2.36)
(7.2.37)
(7.2.38)
и
0<Ф/ < 1, 0<ф„ < 1(/, n = 1, 2, . . .).
Эти неравенства указывают на то, что система (7.2.34) регулярная [19] и имеет положительные коэффициенты. Условие существования ограниченного решения регулярных бесконечных систем налагает определенные ограничения на их свободные члены; они должны иметь такой же порядок убывания на бесконечности, как и функции Ф/ и ф„. Для системы (7.2.34) это требование выполняется, если справедливы оценки
С" = °Ш; Dj = 0(^y(7.2.39)
что эквивалентно условию непрерывности функций, определяющих тепловые деформации.
Заметим, что существование и единственность решения системы (7.2.34) устанавливается довольно просто. Известна сходимость алгоритма Шварца в задачах теории упругости [59], применение которого к рассматриваемой задаче о тепловых напряжениях в цилиндре эквивалентно отысканию главного решения системы (7.2.34).
Регулярность системы (7.2.34), свободные члены которой удовлетворяют условиям (7.2.39), позволяет использовать для нахождения ее главного решения метод редукции. Однако в своей обычной формулировке [19] этот метод недостаточно эффективен.
Как будет показано ниже (§ 7.3), при вычислении напряжений ад, а2 в центре торца цилиндра необходимо суммировать ряд типа
У ап '-, в котором Пт ап-= ай+ 0.Чтобы получить сумму такого „ V П
ряда с точностью до 1%, надо вычислить 10000 значений коэффициентов ап, а для этого необходимо решить систему (7.2.34) с несколькими десятками тысяч неизвестных Хп и Yj.
Если известна величина а0, т. е. известны асимптотические значения неизвестных Хп и Yj в системе (7.2.34), то трудности, возникающие при суммировании указанного типа рядов, могут быть преодолены с помощью известных приемов улучшения их сходимости [19]. В связи с этим важное значение имеют результаты работы [29] по изучению асимптотических свойств неизвестных в системах типа (7.2.34).
Проводя исследования системы (7.2.34) по методике, изложенной в работе [29], можно доказать, что для нее справедлив так называемый закон асимптотических выражений:
ИтХ„ = 11тУ/=Л0.(7.2.40)
Установленный характер асимптотического поведения неизвестных в системе (7.2.34) позволяет реализовать два способа существенного улучшения метода редукции.
Первый способ позволяет ввести и дать оценку значений выражений
(п =^ + 1, ^ + 2, ...);
(7.2.41)
U = М + 1, М+2,),
называемых лимитантами.
В работе [29] установлено, что значения неизвестных Хп (n>N) и Yt (j > М) в системе (7.2.34) заключаются между наименьшим b и наибольшим В значениями выражений (7.2.41) и с ростом М и N разность В — b стремится к нулю.
Таким образом, решая конечную систему, образованную из системы (7.2.34), можно получить все неизвестные Хп и У/ с заданной точностью, т. е. найти точное решение системы. Применение этого способа иллюстрируется примером (§ 7.3).
Второй способ улучшения метода редукции на основе асимптотического равенства (7.2.40) заключается в следующем.
Полагая при достаточно больших значениях N и М
Xn-vx = Xn-vz = ••• ; Ул1+1 = ^м+2= (7.2.42) конечную систему N + М + 2 уравнений, отвечающую системе (7.2.34), представляем в виде
м ^2 Г м ^2 "
+(/ = 1,2М+1).
Такую систему удобно решать методом последовательных приближений, который описан в работе [131. Другие методы (основанные на использовании принципа Сен-Венана, методы однородных решений и т. д.) решения задачи термоупругости для цилиндра конечной длины рассмотрены в работах [52, 96 и др.].
Расчет тепловых напряжений в сплошном цилиндре конечной длины
Рассмотрим с помощью метода, изложенного в § 7.2, напряженное состояние сплошного кругового цилиндра конечной длины, вызванное температурным полем
Т(р, 9 -ТЙ = ТОО +Лр2,(7.3.1)
где Т№, Т2 — постоянные. Предполагаем, что цилиндр свободен от внешней нагрузки.
Подставляя выражение (7.3.1) для температурного поля в соотношения (7.2.2), определяем значение коэффициентов разложения (7.2.1):
Поп = 0, й/о = . 2. “> °-in = 0.(7.3.2)
W)
При определении коэффициента а10 учитываем, что на основании уравнения JT (X,) = 0
1
( pJ0(X;p)dp =0.(7.3.3)
6
Граничные условия на поверхности цилиндра приводят к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (7.2.34), которая для рассматриваемого случая принимает вид
Решение этой системы находится с помощью метода, основанного на оценке границ лимитант (§7. 2).
Исследование проведено для кубообразного цилиндра (^0 = 1) 1 при v = -у .
Если при решении конечной системы, образованной из системы (7.3.4), принять во внимание лишь девять первых неизвестных, то все неизвестные определятся с точностью до 2,5%. Значения неизвестных с точностью до множителя Ki — — "7=77 “г^2 приводятся в табл. 17. В этой таблице знаками — и + отмечены значения неизвестных, приведенных соответственно с недостатком и избытком; величины А % —относительные погрешности определения неизвестных, если в качестве расчетных приняты средние арифметические нижних и верхних значений неизвестных. Последняя строка указывает границы для всех неизвестных, номер которых больше девяти.
Перед вычислением напряжений необходимо исследовать ряды, входящие в выражения (7.2.22). Здесь ограничимся рассмотрением рядов в выражении для напряжения аг, поскольку особенности этих рядов характерны и для других нормальных напряжений.
Таблица 17
П. /
-х^/л-.
х+/л-.
А, %
Y~iKi
у+/к.
А, %
1
0,26407
0,26461
0,1
1,20495
1,20589
0,04
2
0,60268
0,60458
0,2
0,88477
0,88707
0,1
3
0,70770
0,71103
0,2
0,80087
0,80463
0,2
4
0,74337
0,74814
0,3
0,77112
0,77635
0,3
5
0,75696
0,76320
0,4
0,75866
0,76535
0,5
6
0,76226
0,76996
0,5
0,75284
0,76078
0,5
7
0,76409
0,77319
0,6
0,74995
0,75950
0,6
8
0,76437
0,77482
0,7
0,74843
0,75931
0,7
9
0,76392
0,77566
0,8
0,74758
0,75974
0,8
>9
0,74389
0,77908
2,5
0,74389
0,77908
2,5
Рассматривая формулу (7.2.22) для az при £ = £0, выражая в нем с помощью соотношений (7.2.26) и (7.2.33) постоянные а„, рл, у^ бДчерез Х„, У,- и опуская элементарное решение, получаем
1у(^лР)^0 (^л)10 (Лпр) I
2ц4'+
| 2/О(^лр) Iэ0 V V 1I -tu 1 5- I ^О I Г Z1
кп ■ W 14 >7 7 Мо(М РПЛ^о + sh^ J-MW
'(7.3.5)
Принимая во внимание асимптотические выражения для бесселевых и гиперболических функций, заключаем, что в выражении (7.3.5) первый ряд (суммирование поп) сходится как ряд S^*"1'-Р) п
для всех значений р < 1, а второй ряд (суммирование по /) сходится при р = 0 так же медленно, как и ряд V ^~Г . Каждый из
V i
этих рядов расходится при р = 1, однако их сумма имеет конечное значение.
Действительно, оставляя в выражении (7.3.5) лишь главные части, т. е. заменяя входящие в него функции их асимптотическими выражениями, можем записать
-^-Нт(аД=£о = ^‘mlS IMP- D + Ц -Le^0-01— р-i4 р-i [^1 RnУр
cos—— (p — 1)
So .4 \1 (—1)'cos/яр
/=1
(
Л
1 — е £о
(7.3.6)(7.3.6)^Пп^-1].
(7.3.6)
(7.3.6)
Следует отметить, что значение главной части выражения для о* на ребре цилиндра не изменяется при подходе к ребру, когдаСледует отметить, что значение главной части выражения для о* на ребре цилиндра не изменяется при подходе к ребру, когда
Следует отметить, что значение главной части выражения для о* на ребре цилиндра не изменяется при подходе к ребру, когда
Следует отметить, что значение главной части выражения для о* на ребре цилиндра не изменяется при подходе к ребру, когда
Зная с определенной степенью точности значение постоянной в соотношении (7.2.40) и используя известные методы улучшения сходимости рядов [19], вычисляем напряжения по формулам (7.2.22), (7.2.5) и (7.1.11). Результаты вычисления напряжений стг, ад, .. Н (1 + v) лтТ2 аг, arz с точностью до постоянного множителя К = —g-^ _ v^— приведены в табл. 18—21.
На рис. 50—52 представлено распределение напряжений ar, og, oz вдоль радиуса цилиндра в сечениях £ = 0 и £ = 1 при точном удовлетворении граничных условий (сплошные линии) и при удовлетворении граничных условий для аг на торцах (С = ± 1) в смысле принципа Сен-Венана (штриховые линии).
Таблица 18Таблица 18
Таблица 18
Таблица 18
238
С
=Z!K
р = 0
р = о,ь
Р = 0.2
р = 0,3
Р= 0,4
Р = 0,5
р — 0,6
р = 0,7
| р = 0,8
Р = 0,9
Р = 1,0
0
5,012
4,943
4,728
4,353
3,787
2,992
1,916
0,498
—1,332
—3,651
—6,532
0,1
4,927
4,859
4,646
4,353
3,728
2,949
1,892
0,498
—1,306
—3,596
—6,457
0,2
4,674
4,610
4,415
4,072
3,553
2,819
1,821
0,495
—1,230
—3,437
—6,211
0,3
4,260
4,204
4,032
3,727
3,263
2,604
1,698
0,486
—1,107
—3,170
—5,807
0,4
3,701
3,655
3,511
3,256
2,866
2,304
1,524
0,466
—0,945
—2,801
—5,218
0,5
3,022
2,987
2,876
2,679
2,373
1,926
1,298
0,428
-0,753
—2,338
—4,454
0,6
2,262
2,238
2,162
2,024
1,808
1,486
1,027
0,365
—0,548
—1,799
—3,508
0,7
1,482
1,467
1,423
1,341
1,210
1,010
0,712
0,276
—0,350
—1,222
—2,426
0,8
0,765
0,758
0,738
0,700
0,640
0,544
0,396
0,168
—0,178
—0,671
—1,284
0,9
0,226
0,223
0,218
0,205
0,191
0,165
0,127
0,060
—0,049
—0,222
—0,326
1,0
0,074
0,004
0,009
—0,002
0,004
—0,002
0,003
—0,002
0,003
—0,005
0,200
Таблица 20
Таблица 21
QrZ^
р = 0
p = o,i |
р = 0,2
р = 0,3
р = 0,4
9 = 0,5
Р - 0,6
р = 0,7
। 9 = 0,8
9 = 0,9
9 = 1.0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,1
0
0,084
0,164
0,233
0,288
0,323
0,330
0,305
0,243
0,141
0
0,2
0
0,167
0,323
0,461
0,570
0,639
0,656
0,609
0,488
0,286
0
0,3
0
0,243
0,472
0,675
0,837
0,941
0,971
0,907
0,733
0,432
0
0,4
0
0,310
0,604
0,865
1,073
1,215
1,261
1,189
0,970
0,580
0
0,5
0
0,361
0,705
1,013
1,264
1,440
1,505
1,431
1,183
0,719
0
0,6
0
0,388
0,760
1,097
1,379
1,578
1,665
1,601
1,343
0,834
0
0,7
0
0,381
0,747
1,004
1,371
1,583
1,686
1,643
1,399
0,888
0
0,8
0
0,324
0,637
0,930
1,187
1,386
1,496
1,479
1,278
0,827
0
0,9
0
0,202
0,400
0,587
0,757
0,896
0,987
0,994
0,876
0,560
0
1,0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
В сечении t, = 1 напряжения аг, ад, аг, полученные при интегральном удовлетворении граничного условия для ог, существенно отличаются от соответствующих напряжений по точному решению как по величине, так и по знаку.
По приближенному решению распределение напряжений аг, og, oz в сечении £ = 1 совпадает с соответствующим распределением напряжений в длинном цилиндре, тогда как по точному решению
напряжение од в этом сечении всюду сжимающее и достигает максимального значения ад = — 7,3387< на радиусе р = 1; напряжение ог при р < 0,8 также сжимающее, a az — 0.
В сечении £ = 0 распределение напряжений аг, од, аг по приближенному решению носит такой же характер, как и по точному решению; при этом по точному решению на радиусе р = 0 растягивающие напряжения аг, а6 = аг больше на 20%, а растягивающее напряжение az меньше на 38%, в то время как на радиусе р = 1 сжимающие напряжения од и oz соответственно меньше на 15 и 20%.
Тепловые напряжения в полой сфере
Исследуем термоупругое напряженное состояние полой сферы под действием осесимметричного температурного поля Т (г, ф). Предполагаем, что сфера свободно деформируется, при этом внутренняя (г = rj и наружная (г = г») поверхности ее свободны от внешней нагрузки (рис. 53).
Определим сначала частное решение уравнения (7.1.19) для термоупругого потенциала перемещений Ф.
Однородное уравнение, соответствующее уравнению (7.1.19), является уравнением Лапласа в сферических координатах; его решение, как известно, находится методом разделения переменных в виде суммы слагаемых const rnPn (cos ф), где п — це-
лое число (положительное или отрицательное); Рп (cos ф) — полином Лежандра n-го порядка; Рп (cos ср) — решение уравнения [101:
^S^ + ct® Ф --Р™^ +п(п+\)Рп (cos ф) =, 0. (7.4.1)
0 при п + т, 22^-при Ц=Ш.0 при п + т, 22^-при Ц=Ш.(7.4.2)(7.4.2)Для целочисленных значений п полиномы Лежандра образуют полную ортогональную систему функций в интервале 0<^ф<: л, так что
0 при п + т, 2
2^-при Ц=Ш.
0 при п + т, 2
2^-при Ц=Ш.
(7.4.2)
(7.4.2)
Л
J Р„ (cos ф) Рт (cos ф) sin ф^/ф = о
Из теории специальных функций [10, 33] известно, что разложение функций в ряд по полиномам Лежандра обладает теми же свойства
ми, что и разложение функций в ряд Фурье.
Чтобы построить частное решение уравнения (7.1.19), представим температурное поле Т (г, ср) — То в виде ряда по полиномам Лежандра:
Т (г, ф) — То = 2 а» (г) Рп (cos ф).
П=0
(7.4.3) Коэффициенты разложения находятся по формуле
Я
а«(г)=^1 У [Т(г, ф)-Т0]Хо
X ЛДсоз ф) зшф^ф. (7.4.4)
Частное решение уравнения (7.1.19) ищем в виде ряда
Ф^, <₽) = 2 МНЛДсозф).(7.4.5)
п=0
Подставляя выражения (7.4.3) и (7.4.5) в уравнение (7.1.19) и используя уравнение (7.4.1), получаем уравнение для определения неизвестных функций Ьп (/):
(7.4.6)
Поскольку общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (7.4.6), имеет вид С1гп + С.гг-п-1 (Сп С2 — постоянные интегрирования), то частное решение неоднородного уравнения (7.4.6), найденное методом вариации произвольных постоянных, можно представить выражением
ьп (г) = 4^-^-т [г" У r^X (г) dr - r^' f XX ^ dr\. (1А.1)
В случае стационарного теплообмена без источников тепла выражение для температурного поля, являющееся решением уравнения Лапласа в сферических координатах, имеет вид
Т (г, ф) - То = 5 («пгп + ^г-"-1) Рп (cos ср),(7.4.8)
л—О
где коэффициенты а„ и 0„ предполагаются известными; они определяются в каждом конкретном случае на основании заданных условий теплообмена.
Частное решение (7.4.7) для Ь^ в этом случае приобретает вид
А (А — 1 + v О- [5" гп+2₽п__г-л+11
v 2(2п + 3) Г 2(2n — 1)
Зная частное решение (7.4.5) для термоупругого потенциала перемещений Ф (г, ф), по формулам (7.1.27) и (7.1.29) определяем соответствующие частные решения для компонентов тензора деформации и тензора напряжения; при этом используем уравнение (7.4.1).
Ниже приводим результаты вычислений для компонентов тензора напряжения:
о*7"*Vо*7"*V2р2рв случае температурного поля (7.4.3)
о*7"*
V
о*7"*
V
2р
2р
L 2 Г2 ^М_ ^±ЛМ±1 рп (cos ф);
r n=0 LJ
* ^ /- ^ Г- ^Л (Г) 1 Р „Л I
~ ~ Г "57Г57—](cos +
л=0
(7.4.10)(7.4.10)+ Mr)^^ctgV};
(7.4.10)
(7.4.10)
— У d [г dbn (г) 1Р (cos —
2р - Z V dr L dr JФ'
— n Qi + 1) bn (r) Pn (cos ф) — bn (г) -^^7^ ctg ^j .
пгф _ 1 X1 Г dbn (r) bn (r) 1 dPn (cos <p) .
2p r Z^ L dr r ] dtp ’
в случае стационарного температурного поля (7.4.8) а^> (l+v)ar у / №2_№_4
“ 2(1— v)2п + 3
—4п-1 Р«г ) рп (cos ф) ;
_^_ _ _ (Ц-v) аг у Г (n + 2^ 2р.2(1—v)2n + 3 n
—^л1 P,z"n“‘ )pn (cos ср) +
\ 2n + 32n~ 1 ) dtp ё
^(1 +v) ат Г/Зп + 4„ .
2p2(1—v) \ 2ra — 3 ^^
'’ n=0 L 1
+ 2л-1 P^ ^1 I P« (C0S Ф) —
2л-f-3 2л — 1 / dtp
2p
_ (1 + v) ат у / n + 1n -л-Л dPn (cos Ф)
- 2 (1 - v) .£ ^ 2л + 3 “H 2л - 1 Pn / dtp
Для сплошной сферы в выражениях (7.4.11) следует положить р„ = 0, а для пространства со сферической полостью ап = 0.
Переходим к построению решений и* и и* однородного уравнения, соответствующего уравнению (2.2.1). Для этого сначала найдем функции ев и ю в, входящие в систему уравнений (7.1.21) относительно функций Вг и Вф. Функции ев и о)в — решения уравнений (7.1.22) и (7.1.23). Методом разделения переменных решение уравнения (7.1.22) представляется в виде суммы слагаемых
евп = CnrnPn (cos ср),(7.4.12)
а решение уравнения (7.1.23) — в виде суммы слагаемых
toBn = Dn^ dP^^^..e(7.4.13)
Постоянные Сп и Dn не могут быть независимыми, так как функции евп и шВп связаны уравнениями (7.1.20). Подставляя выражения для еВп и гоВг1 в эти уравнения, находим
Сп — — (л + 1) Dn.Сп — — (л + 1) Dn.(7.4.14)(7.4.14)
Сп — — (л + 1) Dn.
Сп — — (л + 1) Dn.
(7.4.14)
(7.4.14)
Заменяя в уравнениях (7.1.21) функции еВп и ювп их выражениями (7.4.12) и (7.4.13) и принимая во внимание равенство (7.4.14), для определения функций Вгп и ВфП получаем следующую систему
уравнений;
4 • 4 Wnl + 4v • 4" (Sin ^^ = -^+ ^D^Pn (COS ф),
= D/+1.(7.4.15)
drдф "dtp''
Частное решение этой системы уравнений представляется в виде
Brn = - (n + 1) anrn+XPn (cos ф), Вфп = апгп+Х -^^- , (7.4.16)
Dn
где введена новая постоянная интегрирования о„ = 2га т з '
Вследствие функционального произвола, существующего в решении (7.1.18), общее решение системы уравнений (7.4.15) не используется; соответствующая часть решения может быть охвачена функцией Во. Эту функцию представляем в виде суммы слагаемых
Bon = — bnrnPn (cos ф).(7.4.17)
Подставляя выражения (7.4.16) и (7.4.17) для функций Br, Bv и Во в формулы (7.1.18) и суммируя по целочисленным значениям п от —оо до оо, с учетом рекуррентного соотношения для полиномов Лежандра Рп (cos ф) = Р-^.^ (cos ф) получаем
Ur = 3 1(П + 1) (n - 2 + 4v) a„r"+I + nbZ"X + n=0
+ rt(n + 3 — 4v)c„r n — (n4-l)dnr ]Рп(созф);
иф = 5 l(rt + 5 — 4v) aarn+ 4- bnr 1 + n=0
+ (4-rt_4v)C„r-" + 4r-n-2] dLn^^ .(7 418)
Здесь введены постоянные cn = а^п^, dn = b-{n^. Применяя далее формулы (7.1.28) и (7.1.30), вычисляем напряжения
* со1
-4 = 2l(n + W2 — и — 2 — 2v)anr-* +
+ и (п — 1) Ьпгп~3 — п (п2 + Зп — 2v) спг~п~1 +
+ ^ + 1) (п + 2) dnr-n-3l Рп (cos ф);
-5- = - 2 Ж" + !) («2 + 4« + 2 + 2v) апН + п?Ьпгп-2-
Р л=0
— и (п2 — 2п — 1 + 2v) спг-п-х +
+ (n + I)2dnr-n-3\ Рп(cos ф) + [(п + 5 — 4v)апг" +
(7.4.19)(7.4.19)+ 6Z“4(4 -n- 4v) с„Г-' + ^""^"^р)^ T;
(7.4.19)
(7.4.19)
-jj- = 2 Ш^Ч- X'l^n — ^ — ^ — ^a^^nb/'2^ /2=0
+ n (n + 3 — 4nv — 2v) cnr-n-x —
— (n + 1) dnr-n-^ Pn (cos ф) + [(n + 5 — 4v) anrn +
+ 6,/'1-2 + (4-/z-4v)c„r-n-I +
+ 4f-n-3] j/^^ ^
^ = 2 U»2 + 2n - 1 + 2v)anrn + (n _ I) bnr^ +
+ (n2 - 2 + 2v) cnr-n-' - (n + 2) dnr-n-\ ^^L .
Для определения постоянных интегрирования ап, bn, сп, dn используем условия отсутствия напряжений на внутренней (г = rj и наружной (г = г2) поверхностях сферы:
(7.4.20)(7.4.20)о* 4- о^1 = 0 при г = г ^, г = г2;О^ + О^ = 0 при г = гг, Г = Л2.
(7.4.20)
(7.4.20)
Остановимся отдельно на случаях п = 0, n = 1 и п > 2. Для п = 0 -^- = 0 и согласно (7.4.10) и (7.4.19) оГФ = 0; остальные напряжения — функции только радиуса г, при этом оф = Ое.
Из четырех постоянных интегрирования остаются только две: а0 и d0. Для их определения получаем систему двух алгебраических уравнений
dr ’^^о (гг) dr ’dr ’^^о (гг) dr ’(7.4.21)(7.4.21)2(l+v)a0-2d0rr3 = --|- г 1
dr ’
^^о (гг) dr ’
dr ’
^^о (гг) dr ’
(7.4.21)
(7.4.21)
2(1 +v)a0-2d0rr3 = -A Г 2
откудаоткуда(1+v) V\-r^(1+v) V\-r^г db0^r2—dT"г db0^r2—dT"2 db0 (r,) 1 .1 dr ’2 db0 (r,) 1 .1 dr ’—33 rir2—33 rir2db0 (r2) _ db0 (rt)dr 2 drdb0 (r2) _ db0 (rt)dr 2 dr(7.4.22)(7.4.22)Определяя в случае стационарного температурного поля по форОпределяя в случае стационарного температурного поля по формуле (7.4.9)муле (7.4.9)6оИ =6оИ =(1 + v) аг2 (1 — v)(1 + v) аг2 (1 — v)(^ г2 + |30/-).(^ г2 + |30/-).
откуда
откуда
(1+v) V\-r^
(1+v) V\-r^
г db0^r2—dT"
г db0^r2—dT"
2 db0 (r,) 1 .
1 dr ’
2 db0 (r,) 1 .
1 dr ’
—33 rir2
—33 rir2
db0 (r2) _ db0 (rt)dr 2 dr
db0 (r2) _ db0 (rt)dr 2 dr
(7.4.22)
(7.4.22)
Определяя в случае стационарного температурного поля по фор
Определяя в случае стационарного температурного поля по фор
муле (7.4.9)
муле (7.4.9)
6оИ =
6оИ =
(1 + v) аг
2 (1 — v)
(1 + v) аг
2 (1 — v)
(^ г2 + |30/-).
(^ г2 + |30/-).
получаем напряжения
ог = — 4р Г— • -^ALL 4- (1 + v) а0у d0] , r L dr *1 0 г323)
Рассмотрим решение для сплошной сферы при температурном поле Т (г), обладающем центральной симметрией. На основании формул (7.4.6) и (7.4.10) находим
о*7"* = - 2р 1±4 ат -^ f г» [Т (г) - То] dr =о
4 р.1 + у31 — у4 р.1 + у31 — уатТ* (г) ;атТ* (г) ;(7.4.24)(7.4.24)
4 р.1 + у
31 — у
4 р.1 + у
31 — у
атТ* (г) ;
атТ* (г) ;
(7.4.24)
(7.4.24)
а^ = <£> -^ . 4^1 ат (т* (г) - 3 [Т (г) -Т01Ь
где Т* (г)—среднее приращение температуры сферы радиуса
Г, К (г) =^\r^T(r)-T0]dr.
о
Для удовлетворения условию отсутствия напряжений на поверхности сферы г = г2 к решению (7.4.24) добавляем равномерное напряженное состояние
•** 4ц 1 4- у _ . .
О/=Оф = ое =. у^-ат-Т*^).(7.4.25)
В результате получаем известное решение термоупругой задачи для сплошной сферы в случае центральной симметрии при отсутствии напряжений на ее поверхности [52]:
°г = ^- • ^-^[Т.^-ТЛг)];
аф = ае=-^- .-А^аИгТ^ла + ^И-ЗГО-То]}. (7.4.26)
В случае n. = 1 коэффициенты при постоянной Ьх в выражениях (7.4.19) обращаются в нуль и для определения оставшихся трех постоянных аъ clt dY имеем систему четырех алгебраических уравнений:
. х2(2 —у) , 6 ,
— 4 (1 + у) rYaY2 cY + — dt =
r\ r\
_ 2 Г db1 (rj 6, (r,) 1.
-7Г1””| -°i-
2 (1 + v) г^— qr di = riri
= 1 F MrV) _ dbx (rj 1 = .
I 'i dr ](7.4.27)
. M x2(2 —v) , 6 ,
— 4 (1 + v) ^tij2 C1 ^ Г ^1 “
Г2Г 2
2 [ db, (r^ _ bY (r^ 1 = o .
Л> \ drr2 J2’
о /1 1 X1 — 2v3 ,
2 (1 + v) r2aY— qr d! =
r24
=[ 61 U^ dbY (r2) 1 _
r2 [ r2dr J 2",
Для существования решения системы уравнений (7.4.27) необходимо, чтобы определитель четвертого порядка, составленный из ее коэффициентов и правых частей, был равен нулю. В рассматриваемом случае этот определитель
36 (г? — Г?)22
А =66(1 - v2) И (о, + 2Т1) - ri (о2 + 2x^1 (7.4.28)
г\г2
и, как следует из выражений для правых частей (7.4.27), обращается в нуль.
Заметим, что существование решения системы уравнений (7.4.27) становится очевидным, если положить cY = 0; система четырех уравнений (7.4.27) при этом превращается в систему двух уравнений относительно постоянных аг и dY.
Решение системы уравнений (7.4.27) записывается в виде
[, ^£гк _ bY р2)^ — ^т-^^- — 6i Pi)] г?
- 0, aY-2 (1 + v)’
r‘r2 F Г1 I 46! (r2)6t(r2) 1r2 Г db^rribvyY> 11
3 (r^ — r5^ I ^ I. dr r2 JrY L dr rY J! '
(7.4.29)
Можно показать, что определитель системы четырех алгебраических уравнений для каждого п >- 2 отличен от нуля.
Таким образом, задача термоупругости для осесимметрично деформированной сферы может считаться решенной. Эта задача рассматривалась также в работах [38, 95, 97].
§ 7.5. Тепловые напряжения, возникающие при аэродинамическом нагреве полой сферы в сверхзвуковом потоке
Задача о тепловых напряжениях, возникающих при аэродинамическом нагреве полой сферы в сверхзвуковом потоке, рассматривается в качестве примера использования общего решения осесимметричной задачи термоупругости для полой сферы (§ 7.4).
Согласно результатам работы [971 тепловые напряжения в полусферической носовой части летательного аппарата достигают наибольшего значения при установившемся состоянии аэродинамического нагрева.
При нулевом угле атаки плотность теплового потока (притока тепла) q' =—^(положительное направление вектора плотности теплового потока q в формуле (1.4.5) совпадает с направлением внешней нормали к поверхности) на наружной поверхности (г = г2) приближенно определяется равенством
/(ф) = 7о[?^о(со5ф) + (1 —у)Л(со5ф)](7.5.1)
где q0 — плотность теплового потока в точке ф = 0; у — параметр, определяемый числом Маха; Рп (cos ф) — полином Лежандра и-го порядка.
Для упрощения задачи полусферическую носовую часть дополняем до замкнутой сферической оболочки, а выражение (7.5.1) для плотности теплового потока распространяем на наружную по- ( л\
верхность (г = г2) дополнительной полусферы 1^-С ф < л I. Полагаем, что температура То на внутренней поверхности сферы (г = гг, 0 < ф < л) — постоянная величина. Эти предположения не вызывают существенных погрешностей при определении распределения тепловых напряжений в носовой части сферической оболочки и позволяют использовать сравнительно простое решение осесимметричной задачи термоупругости для замкнутой полой сферы. Стационарное осесимметричное температурное поле в сферической оболочке определяется выражением (7.4.8). Коэффициенты а„ и р„, входящие в это выражение, находятся в соответствии с (3.2.8) из граничных условий теплообмена:
(7.5.2)(7.5.2)Т(г, ф) — То = 0 при г = гг;
(7.5.2)
(7.5.2)
, дТ (г, <р),,
^= q (ф) при г = г2.
Удовлетворяя граничным условиям (7.5.2), находим для коэффициентов а„ и р„, отличных от нуля, следующие значения:
22
Шг оУ^г
а =(1-т)М= _О -т)(7'5'3)
2х9(34 + 24) ’ р2 \^А-^ •
Частные решения (7.4.11) для компонентов тензора напряжения имеют вид
^- = «о, + 2р0,р-1 — 2 (а2*р2 — 4р2*р 3) Ра (cos ф);
^- = а0. + Ро*р 1 — (16а2,р2 + Р2*р-3) Р2 (cos ф) —
(7.5.4)(7.5.4)(7.5.5)(7.5.5)(«г.р2 + Р2.р'3) ^-g^ ctg Ф;
(7.5.4)
(7.5.4)
(7.5.5)
(7.5.5)
а(П
^- = а0. + ро.р 1 — 5 (2а2.р2 — р2*р 3) Р2 (cos ф) +
dP^”» =tgT;
(Г)
алр4рг (cos ф)
у- = (За2*р2 — 2р2.р ) —.
Здесь к — » 1 + v ™ ^о • а — г • 4.-1, д .„11—Y .
ос°« —3 уХ , ро» — у. а2« — 7 • ЗХ6_^2 ’
(1-у) X6
Р2< ~ 3 ‘ ЗХ6 + 2 ’
Предполагая, что на внутренней (г = ту) и наружной (г = г2) поверхностях сферы напряжения отсутствуют, и удерживая в связи с этим в общем решении (7.4.19) только члены с п = 0 и п = 2, определяем следующие компоненты тензора напряжения для однородной задачи:
^- = — 2 (1 + v) а0 + г^р-3 + (— 6va2p2 + 262 —
— 4 (5 — v) с2р 3 + 12d2p 5) Р2 (cos ф);
о*
f = - 2 (1 + v) а0 - dop-3 - [6(7 + v)a2p2 + 462 + + 2 (1 - 2v) c2p—3 + 9d2p“5] P2 (cos ф) - [(7 - 4v) a2p2 + + 62 + 2 (1 - 2v) p"3 + d2p-5] ^—^ dg ф;
^- = — 2(1 + v) a0— d0p~3— [30va2pa — 263— 10(1 — — 2v) c2p-3 + 3d2p~5] P2 (cos ф) + [(7 — 4v) a2p2 +&2 + + 2 (1 - 2v) c2p-3 + d2p-5] dP1^ dg ф;
~^" — 1(7 + 2v) a2p2 + 62 + 2 (1 -[- v) c2p 3 —
-4d3p-5]-^^-.
Постоянные интегрирования a0, d0, a2, b2, c2, d2, входящие в выражения (7.5.6), на основании граничных условий (7.4.20) определяются из следующих систем алгебраических уравнений:
2(1 + v) а0 + 2d0 = — («о. + 2ро.);
2(1 4* v) а0 4- 2d0X 3 = — (а0* 4* 2Ро,Х );
6va2 4- 262 — 4 (5 — v) с2 4- 12d3 = 2 (а2. — 402*);'
6va2X2 4- 2&2 — 4 (5 — v) с2Х-3 4- 12d2X-5 =
= 2 (а2.Х2 — 4р2*Х—3);
7 4~ 2v) а2 4" b2 4* 2 (1 4- v) c2 — 4d2 = — (3a2, — 2p2l);
7 4- 2v) a2V 4- b2 4- 2 (1 4- v) c2X~3 — 4d2X-5 =
= — (3a2.X2 — 2p2 A-3).
Численные расчеты тепловых напряжений or = о(/^ 4- о* , Оф = = ОфГ) 4- Оф, ое = о^7) 4- ое выполнены для трех значений отноше
ниянияX =X == 0,5; 0,75; 0,90, при этом во всех случаях значение
ния
ния
X =
X =
параметра у принято равным 0,46, что соответствует числу Маха М = 3[971.
Анализ термоупругого напряженного состояния полой сферы показал, что при всех значениях X напряжения оф и ое на внутренней поверхности (г = гг) растягивающие, а на наружной (г = г2) — сжимающие и по абсолютной величине меньше, чем на внутренней по
верхности.
X = 0,5
X =
0,75
А =
0,90
=S!K
V* |
а6/К
^/К
^
0
0,679
0,679
0,277
0,277
0,108
0,108
л/6
0,687
0,655
0,249
0,235
0,089
0,087
л/3
0,702
0,607
0,191
0,150
0,051
0,045
л/2
0,709
0,583
0,162
0,107
0,032
0,024
Таблица 22
Распределения
напряжений
о<р, о0 на внутренней поверх
ности сферы (г = /у) в сечениях ф = 0; -^-;-у- при Х= 0,5;
0,75; 0,90 приведены в табл. 22. Согласно данным этой таблицы,
Рис. 54. наибольшее напряжение ое = 0,679/<Рис. 54. наибольшее напряжение ое = 0,679/<для сравнительно тонких сферических оболочек (X = =0,9) и сферических оболочек средней толщины (X = =0,75) напряжения оф и ое достигают максимального значения на оси вращения (Ф = 0). Для толстых сферических оболочек (Х=0,5) наибольшее значениё напряжения оф в сечении л
Рис. 54. наибольшее напряжение ое = 0,679/<
Рис. 54. наибольшее напряжение ое = 0,679/<
Ф = -у; здесь напряжение оф = 0,709/< превышает на оси вращения.
Таблица 23
о
Ф = 0
=г/к
^/к
СГ1К
"Я/К
зг!К
^!К
0,5
0
0,679
0,679
0
0,687
0,655
0
0,709
0,583
0,5833
0,133
0,335
0,335
0,130
0,342
0,325
0,123
0,364
0,293
0,6667
0,157
0,116
0,116
0,154
0,122
0,115
0,143
0,141
0,113
0,7500
0,136
—0,035
—0,035
0,133
—0,030
—0,029
0,122
—0,015
—0,008
0,8333
0,096
—0,145
—0,145
0,093
—0,142
—0,132
0,084
—0,132
—0,091
0,9167
0,049
-0,229
—0,229
0,047
—0,228
—0,209
0,042
—0,225
—0,150
1,0
0
—0,295
—0,295
0
—0,296
—0,269
0
—0,302
—0,192
На рис. 54 представлены графики распределения напряжений ое (слева от оси вращения) и оф (справа от оси вращения) на внутренней поверхности сферы для X = 0,75. Данные о распределении напряжений ог, оф, ое по толщине сферической оболочки в сечениях Ф = 0; у; у; -у при X = 0,5 приведены в табл. 23.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ТЕРМОУПРУГОСТИ
§ 8.1. Представления общего решения
Если условия нестационарного теплообмена таковы, что скорость изменения температуры во времени весьма велика, то при исследовании тепловых напряжений в элементах конструкций следует учитывать динамические эффекты, обусловленные движением частиц твердого тела при быстром тепловом расширении, т. е. рассматривать динамическую задачу термоупругости.
В настоящей главе динамическая задача термоупругости рассматривается без учета взаимодействия полей деформации и температуры, т. е. предполагается (в соответствии с классификацией задач термоупругости § 1.8) несвязанной. Такая динамическая задача при упругих X, р и термическом ат коэффициентах, зависящих от температуры, сводится к решению уравнения (1.8.9) при определенных начальных и граничных условиях, которые задаются либо в перемещениях, либо в напряжениях; температурное поле Т предполагается известным из решения соответствующей нестационарной задачи теплопроводности (глава третья). При постоянных упругих и термическом коэффициентах уравнение (1.8.9) переходит в (1.8.6) Представление общего решения этого уравнения известно.
Вектор перемещения и может быть разложен на потенциальную и соленоидальную части и представлен в виде
u = grad Ф + rot Л ,(8.1.1)
где Ф — скалярный потенциал; А — векторный потенциал.
После подстановки выражения (8.1.1) в уравнение (1.8.6) получаем для функций Ф и Л следующие уравнения:
п,ф = » + (Т - 7.) = ЦУ «г (7 - Т.у (8.1.2) /V1 — V
□гЛ = 0,(8.1.3)
где
.V"^(п=1,2);(8.1.4)
сп
2 X + 2ц 2 Ц/о 1
Ci = —(8.1.5)
Здесь q — скорость распространения упругой безвихревой волны (волны расширения); с2 — скорость распространения упругой волны искажения (поворотов), вызывающей изменение формы без изменения объема упругого тела.
С помощью известных из динамической теории упругости представлений общего решения однородного уравнения, соответствующего уравнению (1.8.6) [94], общее решение неоднородного урав
нения (1.8.6) можно представить также в следующих двух видах: и = grad Ф + -^ • -^grad div (Лх + Л2);(8.1.6)
и = grad Ф + 4(1 — v) В — grad (В ■ г + Во),(8.1.7)
где функция Ф удовлетворяет уравнению (8.1.2), а функции Л1Т Л2 и В, Во удовлетворяют соответственно уравнениям
□ !Х = О, П^Л2 = 0;(8.1.8)
□iB = 0, DiBo+л П^В - 0.(8.1.9)
Когда В и Во не зависят от t, представление (8.1.7) идентично сумме представлений (2.2.6) и (2.2.11). Таким образом, представление (8.1.7) является обобщением соответствующего представления решения квазистатической задачи термэупругости на случай динамической задачи термоупругости.
Представление (8.1.6) можно преобразовать к виду (8.1.1). Действительно, внося в представление (8.1.6) и в уравнение (8.1.2) выражение
Ф = Ф'+61уЛ1 (8.1.10) и применяя затем формулу
grad div Л2 = VM2 + rot rot Л2 (8.1.11) и уравнения (8.1.8), находим, что при подстановках
ф' =ф, rotЛ2 = — Л (8.1.12) представление (8.1.6) переходит в представление (8.1.1).
Как видно из приведенных представлений общего решения векторного уравнения движения (1.8.6), динамическая задача термоупругости сводится к волновым уравнениям; при их решении применяется преобразование Лапласа.
В настоящей главе ограничимся рассмотрением простейших динамических задач термоупругости, соответствующих одномерным задачам нестационарного теплообмена,— задач о тепловом ударе на поверхности полупространства (§8.2) и на поверхности круглой 252
пластины при идеально изолированном контуре (§ 8.3). Решения для нестационарных температурных полей этих двух задач приводятся в § 3.7.
Первая задача является характерной задачей о тепловом ударе на поверхности полуограниченного массива, в котором процесс распространения тепловых напряжений не чисто диффузионный, а связан с распространением упругих волн. Вторая задача относится к классу задач о поперечных колебаниях пластин, возбужденных импульсными тепловыми воздействиями. Она сводится к решению дифференциального уравнения, описывающего вынужденные осесимметричные колебания круглой пластины. Исследования этих задач показывают, что существенные динамические эффекты в телах могут возникнуть лишь при мгновенном изменении их граничных тепловых условий.
Реальный быстро протекающий теплообмен сопровождается изменением граничных тепловых условий тел в течение малого, но всегда конечного интервала времени.
В §8.4 рассматривается динамическое поведение полупространства и круглой пластины, когда тепловые воздействия на них изменяются не мгновенно, а в течение конечного интервала времени.
Тепловые напряжения в упругом полупространстве при тепловом ударе на его поверхности
Задача о тепловом ударе на поверхности полупространства — одна из первых динамических задач термоупругости, подвергшихся подробному исследованию. Впервые эта задача рассмотрена В. И. Даниловской [14, 15].
Пусть температура среды, омывающей поверхность полупространства х = 0 (см. рис. 11), внезапно (в момент времени / = 0) изменяется от То до 0. При t > 0 между поверхностью полупространства и средой происходит конвективный теплообмен.
Нестационарное температурное поле в полупространстве при указанных условиях теплообмена описывается выражением (3.7.8).
Определим соответствующие динамические тепловые напряжения, предполагая отсутствие поверхностных сил. Для этого рассмотрим решение однородной динамической задачи термоупругости в напряжениях, которое здесь более удобно. В этой задаче перемещения ии и иг и все производные по координатам у и г равны нулю, а следовательно, ev = ег = гхи = еА2 = е^ = 0.
Из соотношений (1.5.20) имеем
(8.2.1)
— тА, ™Е У — Те), (8.2.2)
а из первого уравнения движения (1.2.20) получаема из первого уравнения движения (1.2.20) получаемдах д2их "die Р ~дРдах д2их "die Р ~дР(8.2.3)(8.2.3)Дифференцируя обе части уравнения (8.2.3) по х и подставляя вместо производной д“* деформацию еЛ, определяемую выражениемДифференцируя обе части уравнения (8.2.3) по х и подставляя вместо производной д“* деформацию еЛ, определяемую выражениемнаходим уравнение движениянаходим уравнение движенияд2Ох1 d=ax 1+v _ аЧГ-То)дх2с2 " dt2 — 1 — V р r dt2д2Ох1 d=ax 1+v _ аЧГ-То)дх2с2 " dt2 — 1 — V р r dt2(8.2.4)(8.2.4)где tj — скорость распространения упругой волны расширения,где tj — скорость распространения упругой волны расширения,2 к + 2р. _ Е (1 — v)С‘ “ Р “ (l+v)(l-2v)p2 к + 2р. _ Е (1 — v)С‘ “ Р “ (l+v)(l-2v)p(8.2.5)(8.2.5)К уравнению (8.2.4) присоединяем следующие начальные и граничное условия:ох = ДЙГ" = 0 при = 0’(8.2.6)К уравнению (8.2.4) присоединяем следующие начальные и граничное условия:ох = ДЙГ" = 0 при = 0’(8.2.6)ах = 0 при х = 0.(8.2.7)Применяя к уравнению (8.2.4) и граничному условию (8.2.7) преобразование Лапласа (§ 3.6), приходим к уравнениюJ^£_Р2 * _ 1 + у 2 /V*/яо я\ dx2 с2 °х ”'i—v Ратрр 1ах = 0 при х = 0.(8.2.7)Применяя к уравнению (8.2.4) и граничному условию (8.2.7) преобразование Лапласа (§ 3.6), приходим к уравнениюJ^£_Р2 * _ 1 + у 2 /V*/яо я\ dx2 с2 °х ”'i—v Ратрр 1при граничном условииах = 0 при х = 0.при граничном условииах = 0 при х = 0.(8.2.9)(8.2.9)Подставляя в уравнение (8.2.8) изображение (3.7.7) для темПодставляя в уравнение (8.2.8) изображение (3.7.7) для температуры, получаемпературы, получаемd2a* dx2d2a* dx2р2 .7"-р2 .7"-_ (i+v)W(»-^, -,^(8 21о)(1 — V) ^+ У -у- )_ (i+v)W(»-^, -,^(8 21о)(1 — V) ^+ У -у- )Решение уравнения (8.2.10) при условии (8.2.9) с учетом ограниченности функции ох при х -» оо имеет вид„:=Ем»-т.)(8.2J1)Решение уравнения (8.2.10) при условии (8.2.9) с учетом ограниченности функции ох при х -» оо имеет вид„:=Ем»-т.)(8.2J1)Для облегчения перехода к оригиналу приводим это выражение кДля облегчения перехода к оригиналу приводим это выражение квиду•Еат (6 — Т^°Х= П^виду•Еат (6 — Т^°Х= П^yaya12q (q + ay)12q (q + ay)1^Vp —1^Vp —112ci (q — ay)2ci (q — ay)11У7+_£Х_а2-?2-?!У7+_£Х_а2-?2-?!
а из первого уравнения движения (1.2.20) получаем
а из первого уравнения движения (1.2.20) получаем
дах д2их
"die Р ~дР
дах д2их
"die Р ~дР
(8.2.3)
(8.2.3)
Дифференцируя обе части уравнения (8.2.3) по х и подставляя вместо производной д“* деформацию еЛ, определяемую выражением
Дифференцируя обе части уравнения (8.2.3) по х и подставляя вместо производной д“* деформацию еЛ, определяемую выражением
находим уравнение движения
находим уравнение движения
д2Ох1 d=ax 1+v _ аЧГ-То)
дх2с2 " dt2 — 1 — V р r dt2
д2Ох1 d=ax 1+v _ аЧГ-То)
дх2с2 " dt2 — 1 — V р r dt2
(8.2.4)
(8.2.4)
где tj — скорость распространения упругой волны расширения,
где tj — скорость распространения упругой волны расширения,
2 к + 2р. _ Е (1 — v)
С‘ “ Р “ (l+v)(l-2v)p
2 к + 2р. _ Е (1 — v)
С‘ “ Р “ (l+v)(l-2v)p
(8.2.5)
(8.2.5)
К уравнению (8.2.4) присоединяем следующие начальные и граничное условия:
ох = ДЙГ" = 0 при = 0’(8.2.6)
К уравнению (8.2.4) присоединяем следующие начальные и граничное условия:
ох = ДЙГ" = 0 при = 0’(8.2.6)
ах = 0 при х = 0.(8.2.7)
Применяя к уравнению (8.2.4) и граничному условию (8.2.7) преобразование Лапласа (§ 3.6), приходим к уравнению
J^£_Р2 * _ 1 + у 2 /V*/яо я\ dx2 с2 °х ”'i—v Ратрр 1
ах = 0 при х = 0.(8.2.7)
Применяя к уравнению (8.2.4) и граничному условию (8.2.7) преобразование Лапласа (§ 3.6), приходим к уравнению
J^£_Р2 * _ 1 + у 2 /V*/яо я\ dx2 с2 °х ”'i—v Ратрр 1
при граничном условии
ах = 0 при х = 0.
при граничном условии
ах = 0 при х = 0.
(8.2.9)
(8.2.9)
Подставляя в уравнение (8.2.8) изображение (3.7.7) для тем
Подставляя в уравнение (8.2.8) изображение (3.7.7) для тем
пературы, получаем
пературы, получаем
d2a* dx2
d2a* dx2
р2 .
7"-
р2 .
7"-
_ (i+v)W(»-^, -,^(8 21о)
(1 — V) ^+ У -у- )
_ (i+v)W(»-^, -,^(8 21о)
(1 — V) ^+ У -у- )
Решение уравнения (8.2.10) при условии (8.2.9) с учетом ограниченности функции ох при х -» оо имеет вид
„:=Ем»-т.)(8.2J1)
Решение уравнения (8.2.10) при условии (8.2.9) с учетом ограниченности функции ох при х -» оо имеет вид
„:=Ем»-т.)(8.2J1)
Для облегчения перехода к оригиналу приводим это выражение к
Для облегчения перехода к оригиналу приводим это выражение к
виду
•Еат (6 — Т^
°Х= П^
виду
•Еат (6 — Т^
°Х= П^
ya
ya
1
2q (q + ay)
1
2q (q + ay)
1^
Vp —
1^
Vp —
1
1
2ci (q — ay)
2ci (q — ay)
1
1
У7+_£Х_а2-?2-?!
У7+_£Х_а2-?2-?!
хр _ х I/ Р.
Используя теорему запаздывания (3.6.9) и таблицу изображений, приведенную в работе [39], находим
О при t < — ;
о, = Ох +о, = Ох +(8.2.13)(8.2.13)CL
о, = Ох +
о, = Ох +
(8.2.13)
(8.2.13)
Сх ПрИ t> .
Здесь
i-5— exp (ух + ^at) erf с (^^^ + 7^)1; (8.2.14)
1 ~ a^4*
Ea-p^ Tq) где К =t_2v—
После введения безразмерных величин £= ^- , т = -^-, £ =
= -^-выражения (8.2.14) принимают вид
о; = -к^о; = -к^^^expfT-yerfc^^^expfT-yerfc^
о; = -к^
о; = -к^
^^expfT-yerfc^
^^expfT-yerfc^
^J-^exptT + gerfc^X-^ + VT)-
- T=Fехр[т (г + -т)]егк (4-^+т-)}: <8-215>
а^ =^T=F{exP(x —^^ — ^rf^"-^) —
— exp -^-(т — ^erfc^Kt— "^j •
В случае мгновенного повышения температуры поверхности полупространства от То до ft, соответствующего у = -^ -> 03 и Р = = 0, решение (8.2.13) получает следующее выражение:
-^ = ет Чд(т-£) — -^-еДс^-А^-Кт —
^^erfc^-J^ + V^lL (8.2.16)
где Н (t) — единичная функция Хевисайда, определяемая условием
(8.2.17)(8.2.17)(8.2.14) —(8.2.14) —О при t < 0;
(8.2.17)
(8.2.17)
(8.2.14) —
(8.2.14) —
Для функций erf х и erfc х, входящих в формулы (8.2.16), известны следующие соотношения:
erf х =
о
erf 0 = 0; erf оз = 1; erf (— х) = — erf х;
erfcx = 1 — erf х = С е X2dx;erfcx = 1 — erf х = С е X2dx;(8.2.18)(8.2.18)
erfcx = 1 — erf х = С е X2dx;
erfcx = 1 — erf х = С е X2dx;
(8.2.18)
(8.2.18)
4 , 2 - у- erf х = —= е 4х т/л.
Зная ох, определяем напряжения ау, огпо формулам (8.2.2.).
Если в уравнении (8.2.3) пренебречь силами инерции, т. е. положить №х- = 0, то на основании граничного условия (8.2.7) и формул (8.2.2) получаем решение рассматриваемой задачи в квазиста- тической постановке
ах = 0, оу = ог = —ах = 0, оу = ог = —Еат (Г — То)1 — vЕат (Г — То)1 — v(8.2.19)(8.2.19)
ах = 0, оу = ог = —
ах = 0, оу = ог = —
Еат (Г — То)1 — v
Еат (Г — То)1 — v
(8.2.19)
(8.2.19)
где величина Т определяется выражением (3.7.8) или (3.7.9).
Из рассмотрения формул (8.2.2) и (8.2.19) можно сделать заключение, что динамическое решение (8.2.13) совпадает с квазистатиче- ским в тех случаях, когда ох = 0, а именно: в начальный момент времени t = 0 для всей области полупространства х > 0 и при / > О на поверхности полупространства х = 0.
Динамический эффект в сечении х > 0, учитываемый решением
(8.2.13), проявляется при t < — и t > — по-разному, так как в
момент времени 1= — упругая волна расширения, движущаяся ci
от поверхности х = 0 внутрь полупространства, достигает сечения
х > 0. В этот момент значение безразмерного времени т равняется значению безразмерной координаты g.
В. И. Даниловская исследовала изменение динамического напряжения ох в фиксированном сечении g = 1. На рис. 55 приводится изменение напряжения ох в этом сечении в зависимости от безразмерного времени т при различных значениях параметра 0, характеризующего условия теплообмена на поверхности х = 0.
В результате действия сил инерции в сечении g = 1 при т < 1
-1,0-1,0Рис. 55.Рис. 55.
-1,0
-1,0
Рис. 55.
Рис. 55.
возникает сжимающее напряжение ох. Так, в случае мгновенного повышения температуры поверхности полупространства, когда 0 = = 0 (а -> со), сжимающее напряжение в сечении g = 1 возрастает от нуля при т = 0 до значения —0,89/С при т = 1.
В момент времени т = 1 I / = — | под действием упругой волны \ci /
расширения происходит скачкообразное изменение напряжения ох на величину К- После прохождения волны расширения напряже
ние ах становится растягивающим и быстро уменьшается до нуля, приближаясь к квазистатическому.
Разрывная кривая для ах в случае 0 = 0 предельная, к ней рав
номерно стремятся все кривые ах при малых значениях параметра 0 <^ 1. Например, при 0 = 0,01 напряжение ах возрастает от нуля до значения — 0,87/С, переходит при т = 1 в область положительных значений, после чего быстро убывает до нуля. При больших значениях 0 изменение напряжения ах носит иной характер: при 0 = = 10 напряжение, оставаясь сжимающим, достигает наибольшего значения (—0,06/Q и начинает убывать до нуля.
Кривые напряжения о, при 0 = 0,01 и 0 = 10 — непрерывные функции т, однако производные от них в точке т = 1 терпят разрыв; при подходе к точке т = 1 справа касательные к кривым ах приближаются к вертикали т = 1.
Осесимметричные колебания круглой пластины, возбужденные тепловым ударом
где q — плотность теплового потокагде q — плотность теплового потокаРис. 56.Рис. 56.Пусть к поверхности 2 = ^ свободно опертой круглой пластины радиуса г2 внезапно подводится тепловой поток q'= — q (рис. 56), в направлении внешней нормали к срединной поверхности [см. формулу (3.2.8)]. По- h верхность пластины z=g- и ее контур г = г, предполагаются идеально теплоизолированными. Начальная температура пластины равна То. При таких условиях тепло
где q — плотность теплового потока
где q — плотность теплового потока
Рис. 56.
Рис. 56.
обмена нестационарное температурное поле определяется выражением (3.7.17).
Применяя уравнение термоупругого изгиба круглой пластины (5.3.3), полагая в нем для случая осесимметричного температурного поля -^0— = 0, ■ -jg- = 0 и заменяя в соответствии с принципом Даламбера интенсивность поперечных сил q2 силами инерции , d2u2
— Ро« ^Д' > получаем уравнение движения пластины
VM“z+»<8-^ + ^(l +^7^ = 0,(8.3.1)
где
Х Ро DM№ ’ Dm~ 12(1—v2) ’(8.3.2)
V.
ри£ри££ = -^- ; т — безразмер£ = -^- ; т — безразмерw = J аг^(Т-То)^;(8.3.3)
ри£
ри£
£ = -^- ; т — безразмер
£ = -^- ; т — безразмер
В качестве начальных условий задачи выбираем следующие:
(8.3.4)(8.3.4)и2 = 0, -^- = 0 при т = 0.
(8.3.4)
(8.3.4)
Учитывая условия (5.2.24), выражение для изгибающего момента М, в соотношениях (5.2.17) и соотношения между деформациями и перемещением и2 (5.2.5), взятые для осесимметричного случая, представляем граничные условия для рассматриваемой задачи в виде
“^°- ^+т‘ ^-+^(l + v)xr=0 при Р= 1. (8.3.5)
Чисто тепловая деформация хг во втором условии (8.3.5) определяется выражением
4 «г / <961 „гЛ1Т\_
Хг = -2Х—2’<8'3-6)
*\п=1,3, .../
которое получается подстановкой выражения для температурного поля (3.7.17) в (8.3.3).
Вводя безразмерное перемещение
^=, ^(8-3.7)
4(1 + v)
безразмерную чисто тепловую деформацию
=(8.3.8)
и учитывая, что V?xr = 0, задачу сводим к решению уравнения ^ + ««-^ = 0(8.3.9)
при начальных и граничных условиях
^ = 0, -^-=0при т = 0; (8.3.10)
^ = °- ^> + т" "^Г^т^0 ПРИ P = L (8'3J1)
Решение уравнения (8.3.9) ищем в виде сумкы безразмерных квазистатического прогиба t]2s) и дополнительного прогиба v^, обусловленного силами инерции (динамической части прогиба):
^=^4 ^’.(8.3.12)
Величина t]Pj удовлетворяет уравнению
V^t]1s) = 0(8.3.13)
при граничных условиях
^>=0, ^- + -^.^- + х7-=0прир=1. (8.3.14)
Для сплошной пластины квазистатической прогиб имеет выражение
ХгХг(1-Р2).(1-Р2).(8.3.15)(8.3.15)
Хг
Хг
(1-Р2).
(1-Р2).
(8.3.15)
(8.3.15)
Подставляя решение (8.3.12) в уравнение (8.3.9) и в условия (8.3.10), (8.3.11) и учитывая уравнение (8.3.13), условия (8.3.14) и решение (8.3.15), для определения т]^ находим дифференциальное уравнение
(1 — р2) х22 (1 + v)(1 — р2) х22 (1 + v)^Хт^Хт(8.3.16)(8.3.16)
(1 — р2) х2
2 (1 + v)
(1 — р2) х2
2 (1 + v)
^Хт
^Хт
(8.3.16)
(8.3.16)
при начальных и граничных условиях
1 — р21 — р22(l+v)2(l+v)дХтдтдХтдтпри т = О,при т = О,(8.3.17)(8.3.17)р ‘ дрр ‘ др= 0= 0при р = 1.при р = 1.(8.3.18)(8.3.18)
1 — р2
1 — р2
2(l+v)
2(l+v)
дХтдт
дХтдт
при т = О,
при т = О,
(8.3.17)
(8.3.17)
р ‘ др
р ‘ др
= 0
= 0
при р = 1.
при р = 1.
(8.3.18)
(8.3.18)
Для нахождения T]zd) применим два метода: разложение искомой функции в ряд по собственным функциям [99] и пребразование Лапласа.
Определение т]^’ по методу, использующему разложение в ряд по собственным функциям. Выбирая решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (8.3.16), в виде
(8.3.19)(8.3.19)(d)/ \ itoT
(8.3.19)
(8.3.19)
Пг = П (РК
приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению
(V4V4 — а4) т] (р)0(V4V4 — а4) т] (р)0(8.3.20)(8.3.20)
(V4V4 — а4) т] (р)0
(V4V4 — а4) т] (р)0
(8.3.20)
(8.3.20)
при условиях
гдегдеri(p) = O, -^- + ^- ^- = ° при р= 1,(8.3.21)
где
где
а4 = w2x2.
Поскольку каждое решение одного из двух уравнений (\?2 ± а2) х х т] (р) = 0 является решением уравнения (8.3.20), общее решение можно записать в виде
П(р) = СЛ(«Р) + С2^о(«Р) + сз/о(«Р) + сЛо(аР), (8.3.22) где Jo (х), У0 (х), /0 (х), Ко (я) — бесселевы функции действительного и чисто мнимого аргумента нулевого порядка первого и второго рода. При р = 0 прогиб пластины должен быть конечным, поэтому в решении (8.3.22) постоянные интегрирования С2 и С4 следует положить равными нулю. Постоянные интегрирования С4 и С3
определяем из условий (8.3.21), при этом дифференцирование бесселевых функций выполняем по формулам (3.4.6), (3.9.6), (3.9.14), учитывая, что формула (3.9.14) справедлива и для функции /х (х).
В результате находим собственную функцию
Чт (р) = 4 («J Jo (amp) — Jo (am) /0 (amp), (8.3.23)
уравненияуравнениядля которой собственные значения am — корни трансцендентного
уравнения
уравнения
(8.3.24)(8.3.24)Jx (a), /] (a) 2a
(8.3.24)
(8.3.24)
•% (a) + /0(a) — 7 — v ’
В уравнении (8.3.24) Jx (x), Ix (x) — бесселевы функции действительного и чисто мнимого аргумента первого порядка.
пг
m
”m
1
2,2215
6
18,051
2
5,4516 \
7
21,194
3
8,6114
8
24,338
4
11,761
9
27,481
5
14,907 |
10
30,623
Таблица 24Таблица 24Значения первых десяти корней am при v = 0,3 указаны в табл. 24. С ростом числа т корни am уравнения (8.3.24) асимптотически приближаются к корням уравнения Jo (a) = 0 и уже при т = 5 различие между ними составляет не более 0,25% [9].
Таблица 24
Таблица 24
Рассмотрим свойство ортогональности собственных функций. Пусть лт и Лп — две собственные функции вида (8.3.23), соответствующие собственным значениям am и ал. Так как каждая из этих
функций является решением уравнения (8.3.20), то V^V^m = «т л™, У^Лп = “4Л«- Умножая первое из этих уравнений на рт)л ^р и второе на РЛт^Р, вычитая из первого второе и интегрируя по р от нуля до единицы, получаем
^т-а^ j РЛ,„Л^р = {w 4- [т ’ ^ (Р ^)]Е "
6
( dp [ р dp dp /Jjo [ dp dp dp /]<)
, Г dnm d / drjn \11[dp dp dpили
(a4 — a4) Г рЛтЛп^Р = Г Лп P
о
42Цт V , Ф242Цт V , Ф2Id24"LXT(dn„
42Цт V , Ф2
42Цт V , Ф2
dp3Tdp3p •dp;Pdp
(8.3.25)(8.3.25),/_4nmd2r)n\1
(8.3.25)
(8.3.25)
Г 4p ■ dp2 . Jo •
В силу граничных условий (8.3.21) члены этого выражения при р = 1 равны нулю либо взаимно уничтожаются. Они обращаются в нуль и для нижнего предела, так как для сплошной осесимметрично деформированной круглой пластины
(6г)р=0 = 0, (Qr)p=0 = 0 и, таким образом,
|р=о = 0.|р=о = 0.= л / d3r1 I 1 . ^L
|р=о = 0.
|р=о = 0.
( dp /р=о ' \ dP3 Р ' dp2 р2
Отсюда следует свойство ортогональности собственных функций
(8.3.26)(8.3.26)J PW*P = О, т + п.
(8.3.26)
(8.3.26)
о
Для случая т = п по правилу Лопиталя находим
Игл выРажение (8.3.25)
оо•т ^п•т ^п
о
о
•т ^п
•т ^п
^ = 5 ДпСрклМт= 1^ = 5 ДпСрклМт= 1(8.3.29)(8.3.29)
^ = 5 ДпСрклМт= 1
^ = 5 ДпСрклМт= 1
(8.3.29)
(8.3.29)
7о (dm) ^о (am) г)1—v7о (dm) ^о (am) г)1—v(8.3.27)(8.3.27)^-[выражение (8.3.25)]^ =„т
7о (dm) ^о (am) г)1—v
7о (dm) ^о (am) г)1—v
(8.3.27)
(8.3.27)
Подставляя решение (8.3.29) в уравнение (8.3.16) и в условия (8.3.17), получаем уравнение
2 (^V2^ + иЧпЧп) = - -тЬМ" Хт (-3-30)
при условиях
0000.л з\•
2 ^т = °- 2 4mqm =2(1 +V) Хг ПРИ т = °- (8.3.31)
т=1т=1
где точка сверху означает производную по времени.
Умножая уравнение (8.3.30) и условия (8.3.31) на рт]„ dp, интегрируя по р от нуля до единицы и учитывая уравнение (8.3.20) и 262
свойство ортогональности (8.3.26), находим для функции qm уравнение
qm + гДпВ^т = — 2 (i + v) Nm ) t1 ~ р^ Р^ dp (8-3-32)
при условиях
qm = 0, qm = — 2Tj-^pv^ J ^ — Р^РПтФ при т = О, (8.3.33) о
где множитель Nm определяется выражением (8.3.27), 1
f (1 — р2) pnmdp = Цг=7 JoWf« ^>(8.3.34)
0
а безразмерный параметр
при условиях (8.3.33),при условиях (8.3.33),(8.3.35)(8.3.35)Решение уравнения (8.3.32) убедиться подстановкой, можноРешение уравнения (8.3.32) убедиться подстановкой, можнокак легкокак легкопредставить в видепредставить в виде
при условиях (8.3.33),
при условиях (8.3.33),
(8.3.35)
(8.3.35)
Решение уравнения (8.3.32) убедиться подстановкой, можно
Решение уравнения (8.3.32) убедиться подстановкой, можно
как легко
как легко
представить в виде
представить в виде
^^2(l+v) a2mB2Nn j^^2(l+v) a2mB2Nn jР2) РПтф хг (°)sin ^ВдТ +Р2) РПтф хг (°)sin ^ВдТ +
^^2(l+v) a2mB2Nn j
^^2(l+v) a2mB2Nn j
Р2) РПтф хг (°)sin ^ВдТ +
Р2) РПтф хг (°)sin ^ВдТ +
Учитывая, чтоУчитывая, чтооо— т') dt' .— т') dt' .(8.3.36)(8.3.36)Хг(0)Хг(0)4848Л2Л22 ?.Хг«=-48 22 ?.Хг«=-48 2—л2л*т е—л2л*т е/1=1,3, .../1=1,3, ...п=1,3, ...п=1,3, ...
Учитывая, что
Учитывая, что
о
о
— т') dt' .
— т') dt' .
(8.3.36)
(8.3.36)
Хг(0)
Хг(0)
48
48
Л2
Л2
2 ?.Хг«=-48 2
2 ?.Хг«=-48 2
—л2л*т е
—л2л*т е
/1=1,3, ...
/1=1,3, ...
п=1,3, ...
п=1,3, ...
sin а.2тв2т;П2Л3sin а.2тв2т;П2Л3решение (8.3.36) запишем следующим образом:
sin а.2тв2т;
П2Л3
sin а.2тв2т;
П2Л3
— J g—л2”!т sjn 0,^2^ — ^ О
Вычисляя интеграл
е п’лгг sin а«Во (т — т') dr' =п2л2 sin «2 S2t + а2тВ2 Ve-nWT — cos а^т)
и подставляя выражения (8.3.27) и (8.3.34), получаем
„96
где Dm определяется выражением (8.3.28).
Наконец, на основании (8.3.29) находим
“{ amDm n=iT...л2л2 (п4л4 + a^S4)
(8.3.37)
Определение T]ld) с помощью интегрального преобразования Лапласа. Для решения уравнения (8.3.16) при условиях (8.3.17) и (8.3.18) применяем преобразование Лапласа (§ 3.6). Выполняя это преобразование по формуле (3.6.1) и учитывая начальные условия (8.3.17) и равенства
находим для изображения т]^' обыкновенное дифференциальное уравнение
(V^+x^^-*-!-^^(8.3.38)
при граничных условиях
АтА'1" v dn^*
^,* - О,^,* - О,т + т •-^ = °прир = 1- (8-3-39)
^,* - О,
^,* - О,
T]*rf)* = J т^е pxdi;оT]*rf)* = J т^е pxdi;оХг W = 4"Хг W = 4"(8.3.40)(8.3.41)(8.3.40)(8.3.41)где
T]*rf)* = J т^е pxdi;о
T]*rf)* = J т^е pxdi;о
Хг W = 4"
Хг W = 4"
(8.3.40)
(8.3.41)
(8.3.40)
(8.3.41)
J961
р Л4 ^ П4 (р + п2л2)л=1,3. ...
Определяя для сплошной пластины решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (8.3.38), в такой же форме, как и для уравнения (8.3.20), и учитывая, что частное решение неоднородного уравнения (8.3.38) имеет вид — ^(Г^ v)" Хг(Р)’находимего общее решение в виде
т](/)*= C^Vhq) p^ + C^I^inp р) — g^^^-X^P)- (8.3.42)
Постоянные интегрирования Сх и С3, найденные из условий (8.3.39), имеют значения где
В^ = 2ixpZ0 (У wp) Jo У^р) —
— (1 — -v)Vixp [^(^ i^P) Ji (У^Р ) + J»kV i^p^yi^P )]• (8.3.43)
Подставляя постоянные интегрирования в решение (8.3.42), находим для изображения следующее выражение:
П^* = Хт (Р) G* У ~ тУ^ '^ ’(8'ЗЛ4)
где
°*^ = 4уу (8'зл5)
А(р) = 10 У^хр) Jo(V^Р Р) — Joyixp) 1йУТхр р). (8.3.46)
Оригинал функции хт определяется выражением (8.3.8).
Для определения оригинала функции (8.3.45) применяем формулу (3.6.15), которая для рассматриваемого случая имеет вид
(8.3.47)
В (Pm)V '
m=l
Можно показать, что решением трансцендентного уравнения В (р) = 0 является
pm=±i^,(8.3.48)
где ат — корни уравнения (8.3.24).
2
Учитывая, что при pm = i-^ А^ =—лт(р), В'(рт) = — ixDm, а2
а при рт = — i -^- А (р^ = т]т (р), В' (рт) = — ixDm, на основании формулы (8.3.47) получаем следующее выражение для оригинала функции:
wDm [ р \ х у г х j
= 2 У sin — т,(8.3.49)
Ai xDm х ’х '
т=1
где т]т (р) — собственная функция (8.3.23), a Dm определяется выражением (8.3.28).
Х*Г(Р)С*(Р) = LХ*Г(Р)С*(Р) = LОригинал произведения двух изображений х* и G* получаем по формуле (3.6.11), которая в рассматриваемом случае принимает вид
Х*Г(Р)С*(Р) = L
Х*Г(Р)С*(Р) = L
(8.3.50)(8.3.50)^ хг (Т') G (т — т') dr' 6
(8.3.50)
(8.3.50)
Выполняя необходимые операции, получаем для изображения (8.3.44) оригинал
9696!)m (р) KDm!)m (р) KDm22хх,2'т,2'т1 —1 —22/2=1,3,/2=1,3,1 ft41 ft4п2л2 sin — Xп2л2 sin — X„2’COS—— Т X„2’COS—— Т X,2,222— cosX х— cosX хпг g—nWx Xпг g—nWx X,4,4nls\nls\X2X2
96
96
!)m (р) KDm
!)m (р) KDm
2
2
х
х
,2'т
,2'т
1 —
1 —
2
2
/2=1,3,
/2=1,3,
1 ft4
1 ft4
п2л2 sin — X
п2л2 sin — X
„2’
COS—— Т X
„2’
COS—— Т X
,2
,2
2
2
— cosX х
— cosX х
пг g—nWx X
пг g—nWx X
,4
,4
nls\
nls\
X2
X2
(8.3.51) где т]^ определяется выражением (8.3.15).
Величину т^ разлагаем в ряд по собственным функциям цт (р):
^г 2 (1 +v) 0 — Р2) = 2 (1 +v) 2 ат^т ^’т=\
1
где ат = -др J(1 —р2) pT]mdp; Nm — нормирующий множитель о
(8.3.27).
На основании формул (8.3.34), (8.3.27), (8.3.8) и (8.3.6) выражение для т^ преобразуем к виду
(,) = у JbM А _96_ у 1 nWT\ 8 3 52) m—1 т т \п=1,3, .../
Подставляя выражение (8.3.52) в решение (8.3.51) и вводя безразмерный параметр (8.3.35), после преобразований получаем формулу (8.3.37). Зная безразмерные прогибы т]/^ и т]г^ и учитывая равенства (8.3.7) и (8.3.8), получаем формулы для квазистатиче- ского прогиба
^_ ^а+»> х;? = -^гАХ_^ = ^х_^ (8 3.53)
Рис. 57.Рис. 57.и для динамической части прогиба
Рис. 57.
Рис. 57.
W 96(l + v)<7'arr2 “
4т=\
Пт (Р)<°тПт (Р)<°т(8.3.54)(8.3.54)^4^ sin affix + « (cos a^t- е""^)
Пт (Р)
<°т
Пт (Р)
<°т
(8.3.54)
(8.3.54)
;£п2л2 (п4л* + affi)
получаем «^ = 0 и иг = uzs).получаем «^ = 0 и иг = uzs).при этом
получаем «^ = 0 и иг = uzs).
получаем «^ = 0 и иг = uzs).
иг = u(z$) + i#' . (8.3.55)
На рис. 57 приводятся кривые изменения отношения динамического прогиба в центре пластины иг к максимальному ква- зистатическому прогибу и^ в этой же точке в зависимости от -at
безразмерного времени т = -^- при различных значениях параметра Во. Как видно, динамический прогиб колеблется около квазистатического; влияние инерционных сил увеличивается по мере уменьшения параметра Во. При Во = О имеем и^ = = — и^ и uz = О, а при Вд -> со
На рис. 58 показано изменение отношения максимального ди
намического прогиба иг к максимальному квазистатическому uz(s> в зависимости от параметра Во. При Во -> 0 имеет место наибольший
динамический эффект, при котором —zs)max ■= 2,24. В работе [69] ^z max
выполнено соответствующее исследование для прямоугольной пластины, при этом указанное отношение оказалось равным двум. Интересно отметить, что для круглой пластины при осесимметричных формах колебаний максимальный динамический эффект получается несколько больше, чем для прямоугольной, при исследовании которой принимаются во внимание неосесимметричные формы колебаний.
§ 8.4. Динамические эффекты при конечной скорости изменения тепловых воздействий
Решения для динамических задач термоупругости, в которых тепловые воздействия изменяются в течение интервала времени, можно получить из приведенных в § 8.2 и § 8.3 решений, применяя известный в теории теплопроводности интеграл Дюамеля [20, 39]. Ниже приводится вывод этого решения с помощью методов операционного исчисления.
Обозначим через g* (р) изображение какой-либо величины (температуры, напряжения, перемещения) при единичном граничном условии, соответствующем скачкообразному изменению теплового воздействия. Пусть граничное условие изменяется во времени по закону / (т), при этом изображение / (т) равно /* (р). Так как изобра-
1,
= pf* (р) g* (pV= pf* (р) g* (pVжение единичного граничного условия равно —, то изображение решения рассматриваемой задачи, очевидно, имеет вид G* (р) =
= pf* (р) g* (pV
= pf* (р) g* (pV
Применяя формулу (3.6.12), получаем при / (0) = 0 искомое решение в виде
(8.4.1)(8.4.1)G W = ( ^ (т') -^^т2^- dx'.
(8.4.1)
(8.4.1)
Здесь g (т) — решение при единичном граничном условии.
Упругое полупространство. Пусть упругое полупространство, рассмотренное в § 3.7 и §8.2, подвергается нестационарному нагреву на поверхности х = 0, соответствующему таким начальному и граничным условиям: Т — То = 0 при т = 0;
Л т
(8.4.2)(8.4.2)Т — То = “ т при с = 0 и 0<т <то;
(8.4.2)
(8.4.2)
Т — То = й — То при с — 0 и т0 < т < сю,
где й 5 То и т0 > 0— постоянные; с, т — безразмерные переменные, введенные в § 8.2.
Температурное поле определяем, интегрируя решение (3.7.9). Рассматривая в формуле (8.4.1) вместо функций G (т) и / (т) температурное поле Т — То и граничные условия (8.4.2) для Т — То, а вместо функции g (т) решение (3.7.9) для Т — То, отнесенное к единичному граничному условию, т. е. выражение erfc —= 2J at
= erfc= erfc2/т2/т, и выполняя интегрирование по частям, находим, и выполняя интегрирование по частям, находим
= erfc
= erfc
2/т
2/т
, и выполняя интегрирование по частям, находим
, и выполняя интегрирование по частям, находим
4^ =<Р('Г) =4“ ferfc7r4dT' =о
Аналогично определяем напряжение ох: рассматривая при тех же граничных условиях вместо функции g (т) решение (8.2.16) для ч 4=-, получаем ЛГ / о
4 = Ф (т) = А-1 р '-Чт' --^ erfc (4 -А=- - /т') + $О
+ ет +S erfc (4+ ет +S erfc (4
+ ет +S erfc (4
+ ет +S erfc (4
-j н (, - 6) («-= -1)-4-^=ег1с(4._|г„1А) +
+ «,+Еег1с(4-Дг + КГ)|+егГс(4-^]} при 0<т«т0;
(8.4.4)
-4 = Ф(т) —Ф(т —т0) прит0<т<сх.
При интегрировании учитываем соотношения (8.2.18). Выражения для 44г- и 4 при т0 < т < оо вытекают из представления соответствующего граничного условия (8.4.2) в форме Т— v 0 = — [т — (т — т0)] при £ = 0 и т0 < Т < ео.
Напряжения оу = а2 определяем по формуле (8.2.2), в которой приращение температуры Т — То имеет выражение (8.4.3). В работе |93] исследовано влияние скорости изменения температуры поверхности полупространства на распределение в нем динамических тепловых напряжений. На рис. 59 представлено изменение напряжения ах в зависимости от безразмерного времени т в сечении । = 1 при т0 = i; 1;2и предельном значении т0 = 0, соответствующем мгновенному повышению температуры поверхности полупространства.
При т0 > 0 напряжение ох в течение всего времени изменяется непрерывно, но его производная при т = 1 и т = 1 + т0 претерпевает разрыв. Пиковые значения ох быстро уменьшаются с увеличением т0; при т0 = 3 максимальное значение ах составляет менее 14% от его значения при т0 = 0.
Для стали (Е = 2,04 • 10е дан] см2; х = 0,3; р = 7,85 х х ЕГ^ кг^см1; а = 0,13см2/сек) скорость волны расширения сп вычисленная по формуле (8.2.5), составляет 5910 м]сек, а зависимость между / и т имеет вид / = т = 3,7 • 10-13 т сек. Следова- ci
тельно, для стали при т0 = 3 продолжительность нагрева /0 « « 10~12 сек. Тем не менее даже при столь исключительно быстром нагреве поверхности полупространства максимум динамического напряжения (рис. 59) уменьшается на 86%.
Круглая пластина. К поверхности г = ~£ круглой пластины (§8.3) подводится тепловой поток, плотность которого q' изменяется
во времени по закону
при О<Т<ГО;(84 5)
q'=So прят,<т<~.
Рассматривая в формуле (8.4.1) вместо функции f (т) граничные условия (8.4.5) для q', а вместо функции g (т) решение (8.3.53) для u(s)и^
г _ и решение (8.3.54) для г_, после интегрирования получаем
U<zs) = X(s)(t) =
2
при 0при 0(8.4.6)(8.4.6)4^0
при 0
при 0
(8.4.6)
(8.4.6)
^ = x(s) (т) — X(s) (т — т0) при То< Т < ос
М96 (1 + V) ^о^Г^ ” ^ (р)
Нгх2i«*n
4m=l m m
п^В» (n^+a^п^В» (n^+a^
п^В» (n^+a^
п^В» (n^+a^
при 0<т<т0;(g4 7)
t4d> = x{d} (t) — xW (? — То) при т0 C T < co.
На рис. 60 приведена кривая изменения А = _iA!5*_ в зависи- z max
мости от т0 при Во = 0,225 и v = 0,3. Значению А = 1 соответствует
т0 = 25,1. При т0 > 25,1 изменение величины А носит периодический характер с амплитудой, убывающей, как т0“‘. При Во = 2 первый минимум величины А наступает при т0 = 0,318.
В табл. 25 для Во = 0,225 и Во = 2 указаны геометрические размеры круглой пластины из углеродистой стали (В = 2,04 • 10е дан[смй; v =. 0,3; р0 = 7,85-10-3 кг/см3, о = 0,13 см?1се1$ и значения
, T(/l2
t6 = —^—, соответствующие
т0 = 25,1 при Во = 0,225 и т0 = 0,318 при Во = 2. Согласно приведенным в таблице данным величина /0 быстро уменьшается
Таблица 25
Во = 0,225
Во=2
Г„ СМ
hlrt
t0* сек
г8, см
Мг,
t°, сек
500
0,44 • 10-3
9,4
500
0,19 • 10~2
2,2
50
0,95 . 10~3
0,44
25
0,51 • 10“2
0,040
10
0,16 ■ 10-2
0,051
5
0,88 • 10~2
0,005
с возрастанием соотношения п/гг. Для очень тонких пластин значения /0 соответствуют реальным скоростям тепловых воздействий.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
СВЯЗАННАЯ ЗАДАЧА ТЕРМОУПРУГОСТИ
Эффекты связанности
Законы термодинамики гласят, что изменение деформаций упругого тела сопровождается изменением его температуры, при котором возникает теплопоток, обусловливающий увеличение энтропии термодинамической системы и, следовательно, термоупругое рассеяние энергии.
В металлических телах эффект связанности поля деформации и температурного поля обычно мало влияет на термическое возмущение и распределение тепловых напряжений. Но это не значит, что подобное положение сохранится и для новых материалов, обладающих большим параметром связанности (1.8.5) [79]. Пример, иллюстрирующий эффекты связанности при внезапном механическом воздействии в слое из стали и полимерного материала, приведен в § 9.2.
При учете эффекта связанности устанавливаются новые качественные особенности распространения упругих волн [74], которые под влиянием тепловых эффектов распространяются с затуханием и дисперсией. В частности, существенно различаются решение динамической задачи термоупругости о тепловом ударе на поверхности полупространства без учета связи полей деформации и температуры (§8.2) и решение с учетом этой связи [89]; в случае «несвязанного» решения разрыв напряжения ох (рис. 55) остается неизменным, тогда как при «связанном» он с течением времени быстро уменьшается.
В настоящей главе связанная задача термоупругости рассматривается при малом термическом возмущении, т. е. при —™-— <^ 1. В этом случае связанная задача становится линейной и при формулировке ее в перемещениях сводится к решению системы уравнений (1.7.6) и (1.7.7). Представления общих решений этой системы обобщают представления общих решений уравнения (1.8.6), описывак)- щего динамическую задачу термоупругости (§ 8.1). Эти представления рассматриваются в § 9.3. Известные представления решения уравнений классической теории упругости Б. Г. Галеркина и П. Ф. Папковича обобщаются на случай связанной задачи термоупругости.
Применение прямых методов для решения связанных задач термоупругости в общем случае встречает большие математические затруднения; перспективной является разработка приближенных
методов решения связанных задач термоупругости на основе вариационных принципов, аналогичных таковым для статических и квази- статических задач термоупругости (§ 2.4). В § 9.4 излагается обобщение начала возможных перемещений Лагранжа на случай связанной задачи термоупругости, проведенное на основе термодинамики необратимых процессов [68].
Исследования связанных задач термоупругости получили интенсивное развитие за последние десять лет; при этом наиболее полно разработана теория плоских термоупругих волн [74—78, 86, 91]. В § 9.5 рассматривается одномерная задача о распространении плоских гармонических термоупругих волн расширения в неограниченной среде, а в § 9.6 — двумерная задача о распространении этих волн вдоль поверхности полупространства. На основании решений обеих задач можно выяснить природу термического возмущения упругих волн и, в частности, оценить результаты классической теории волн Релея [27].
посвящен распространению продольных термоупругих волн в бесконечно длинном цилиндре. Эта задача представляет интерес в связи с опытным определением упругих постоянных посредством измерения фазовой скорости продольных упругих волн.
Термическое возмущение упругого слоя при мгновенном приложении поверхностных сил
Пусть к поверхностям слоя х = ± у- (рис. 61) мгновенно прикладываются нормальные сжимающие силы интенсивности р0. Предполагая поверхности слоя теплоизолированными, определим приращение его температуры Т — То. Для этой задачи отлич- ^2 р ная от нуля деформация ех определяется '0 выражением (8.2.1), уравнение движения
совпадаете уравнением (8.2.4), а уравнение теплопроводности (1.6.4) при гкк = ех при'7 нимает вид
_Эх2 а (*+е) dt
_ (1+V) дтТв Эах(9.2.1)
(1 —v)X? ' dt ’
ГДе_ (ЗХ + 2ц)=а^Т0_(1+v)4£T0
(Х + 2р)се (1 — v)(l— 2v)cg ’( • • )
Задача сводится к решению системы уравнений (8.2.4) и (9.2.1) при начальных условиях
Т = То, ох = 0, -^ = 0 при t = 0(9.2.3)
и граничных условияхи граничных условияхох= — р0Н (О, 4г = 0 ПРИ х = ± "Г ’ох= — р0Н (О, 4г = 0 ПРИ х = ± "Г ’(9.2.4)(9.2.4)где Н (t) — единичная функция Хевисайда (8.2.17).Вводя в уравнения (8.2.4) и (9.2.1) и в условия (9.2.3), (9.2.4) безразмерные величиныгде Н (t) — единичная функция Хевисайда (8.2.17).Вводя в уравнения (8.2.4) и (9.2.1) и в условия (9.2.3), (9.2.4) безразмерные величины? = ^, т=-^-, е = аг(Т-Т0), а = -^=^_ (9.2.5)? = ^, т=-^-, е = аг(Т-Т0), а = -^=^_ (9.2.5)и учитывая выражения (8.2.5) и (9.2.2), получаем для рассматриваемой задачи следующую разрешающую систему уравнений:и учитывая выражения (8.2.5) и (9.2.2), получаем для рассматриваемой задачи следующую разрешающую систему уравнений:д2аУад20д^2дт2дт2д2аУад20д^2дт2дт2(9.2.6)(9.2.6)при начальных условияхпри начальных условиях9=0, о = 0, =— = 0 при т = О9=0, о = 0, =— = 0 при т = О(9.2.7)(9.2.7)и граничных условияхи граничных условиях0= _ М^ 2v> я(0, ^-=0 при 5 = ±£0,0= _ М^ 2v> я(0, ^-=0 при 5 = ±£0,(9.2.8)(9.2.8)Применяя преобразование Лапласа (§ 3.6) и учитывая начальные условия (9.2.7), вместо системы уравнений (9.2.6) и условий (9.2.8) находим системуПрименяя преобразование Лапласа (§ 3.6) и учитывая начальные условия (9.2.7), вместо системы уравнений (9.2.6) и условий (9.2.8) находим системуd2a*d2a*d^d^e*д^d^d^e*д^— р^о* — ра0* = 0;— р^о* — ра0* = 0;— р (1 + е) 9* — еро* = О— р (1 + е) 9* — еро* = О(9.2.9)(9.2.9)при условияхпри условияхPo(l-2v) de*Po(l-2v) de*рЕрЕ= 0 при £ = ± £0,= 0 при £ = ± £0,гдегде°* = J ae^di;, 9* = j Qe^'dx.°* = J ae^di;, 9* = j Qe^'dx.(9.2.10)(9.2.10)
и граничных условиях
и граничных условиях
ох= — р0Н (О, 4г = 0 ПРИ х = ± "Г ’
ох= — р0Н (О, 4г = 0 ПРИ х = ± "Г ’
(9.2.4)
(9.2.4)
где Н (t) — единичная функция Хевисайда (8.2.17).
Вводя в уравнения (8.2.4) и (9.2.1) и в условия (9.2.3), (9.2.4) безразмерные величины
где Н (t) — единичная функция Хевисайда (8.2.17).
Вводя в уравнения (8.2.4) и (9.2.1) и в условия (9.2.3), (9.2.4) безразмерные величины
? = ^, т=-^-, е = аг(Т-Т0), а = -^=^_ (9.2.5)
? = ^, т=-^-, е = аг(Т-Т0), а = -^=^_ (9.2.5)
и учитывая выражения (8.2.5) и (9.2.2), получаем для рассматриваемой задачи следующую разрешающую систему уравнений:
и учитывая выражения (8.2.5) и (9.2.2), получаем для рассматриваемой задачи следующую разрешающую систему уравнений:
д2аУад20
д^2дт2дт2
д2аУад20
д^2дт2дт2
(9.2.6)
(9.2.6)
при начальных условиях
при начальных условиях
9=0, о = 0, =— = 0 при т = О
9=0, о = 0, =— = 0 при т = О
(9.2.7)
(9.2.7)
и граничных условиях
и граничных условиях
0= _ М^ 2v> я(0, ^-=0 при 5 = ±£0,
0= _ М^ 2v> я(0, ^-=0 при 5 = ±£0,
(9.2.8)
(9.2.8)
Применяя преобразование Лапласа (§ 3.6) и учитывая начальные условия (9.2.7), вместо системы уравнений (9.2.6) и условий (9.2.8) находим систему
Применяя преобразование Лапласа (§ 3.6) и учитывая начальные условия (9.2.7), вместо системы уравнений (9.2.6) и условий (9.2.8) находим систему
d2a*
d2a*
d^d^e*д^
d^d^e*д^
— р^о* — ра0* = 0;
— р^о* — ра0* = 0;
— р (1 + е) 9* — еро* = О
— р (1 + е) 9* — еро* = О
(9.2.9)
(9.2.9)
при условиях
при условиях
Po(l-2v) de*
Po(l-2v) de*
рЕ
рЕ
= 0 при £ = ± £0,
= 0 при £ = ± £0,
где
где
°* = J ae^di;, 9* = j Qe^'dx.
°* = J ae^di;, 9* = j Qe^'dx.
(9.2.10)
(9.2.10)
Исключая из уравнений (9.2.9) о*, получаем уравнение четвертого порядка
(9.2.11)
Решение этого уравнения ищем в виде 9* = Лер8 (Л, 0 = const).
Постоянная р определяется из характеристического уравнения р4— — р (1 + е + р) Р2 + Р3 = 0 и имеет значения
Р1,2 = - Рзл = У -^ [1 + в + р ± / (1 + е + р)2-4р ]v‘.
При этом решение уравнения (9.2.11) записывается в виде
е* = Сг ch Р^ + С2 sh Р^ + С8 ch p2S + С4 sh р2§. (9.2.12)
В силу симметрии граничных условий решение задачи является симметричным, вследствие чего постоянные С2 и С4 надо принять равными нулю. Тогда решение (9.2.12) определяется выражением
©♦-^chp^ + СзсЬр^.(9.2.13)
Подставляя выражение (9.2.13) во второе уравнение (9.2.9), находим
(Ci №1 ~ Р (1 + еЯ ch Р^ + С3 [р! - р (1 + е)] ch р2|}.
(9.2.14)
Удовлетворяя граничным условиям (9.2.10), определяем
Р _ _ ер0 (1 — 2v) р2 sh p2g0 .
В (р\ Е’
(9.2.15)
Г — 6Ро^ — 2v) Pl sh РтЕо"
где3 в (р) е ’
В (Р) = № ~ Р 0 + 6Я р2 sh ра Ео ch р^ -
— IPS—Р(1 Н- e)]pichp2^0shp1^0.
Подставляя значения постоянных (9.2.15) в решение (9.2.13), получаем
6* =^^=^[0iShPi^chp2£-P2sh^(9.2.16)
Из физических соображений ясно, что существует предел 9 (оо) = Нт6(/). Тогда, применяя известное в операционном исчис- t-*OQ
лении предельное соотношение [30] 9 (оо) = lim р 9*^р), находим
Р-0
ДТ - (Т-^е (=О)-Sll^. (9.2.17)
На основании формулы (8.2.2) и очевидного равенства (ах)<=6о = = — р0 определяем соответствующие напряжения
(Оу)<=оо = । v (пх)/=оо । v ^тЕ (Т То)<—оо =
-(о^оК- (az)e=oK,(9.2.18)
гдегде(Оу)е=0 = (Oz)e=0 = —(Оу)е=0 = (Oz)e=0 = —v Т^Р»’v Т^Р»’(9.2.19)(9.2.19)
где
где
(Оу)е=0 = (Oz)e=0 = —
(Оу)е=0 = (Oz)e=0 = —
v Т^Р»’
v Т^Р»’
(9.2.19)
(9.2.19)
(9.2.20)(9.2.20)У — 1 I 8(1 —2v)A - 1 + v(1+e) •
(9.2.20)
(9.2.20)
Коэффициент К характеризует увеличение напряжений (9.2.19), обусловленное связанностью полей деформации и температуры.
В качестве иллюстрации теории рассмотрим эффекты связанности при внезапно приложенном давлении р0 = 0,981 • 108 н/м2 = = 103 кГ!см2 в упругом слое из стали и в слое из полимерного материала (поливинилбутираля), который в первом приближении предполагается также упругим. Ниже приводим механические и теплофизические свойства для этих двух материалов. Для стали: Е = 2,1х 10®/сГ/сл<2 = 2,06- Ю11 н]м2, v=0,3, ат = 12-10~6 1]град, р = 7,85-103 кг2]м3, ср = 0,11 ккал[кг ■ град = 461 дж/кг • град, Со =срр = 3,62 ■ 10® дж]м3 • град, се = 3,56 • 10® дж/м3 • град. Для поливинилбутираля *: Е = 2,8 • 104кТ/см2 = 2,75 • \№ н!м2, v = 0,4, ат = 2,3 • 10-4 \]град, р = 1,07 • 103 кг/м3, ср = 0,4 ккал/кг X X град = 1676 дж]кг • град, са = срр = 1,79 • 10® дж]м3 ■ град, сЕ = 1,15 • 10® дж/м3 • град. Здесь ср — удельная массовая теплоемкость при постоянном давлении; са и се — удельная объемная теплоемкость при постоянных тензорах соответственно напряжения и деформации (величина сЕ определяется по формуле (1.6.1) при Т = 293° К).
Таблица 26
Материал
£
АГ, град
К
Сталь
0,0114
0,18
1,015
Поливинилбутираль
0,432
9,4
1,151
Принимая То = 293° К, определяем для обоих материалов по формуле (9.2.2) коэффициент связанности е и по формулам (9.2.17) и (9.2.20) соответствующие величины АТ и К- Из данных табл. 26 видно, что при учете связанности приращение температуры АТ и увеличение напряжений оу и аг для стали невелики (соответственно 0,18 град и 1,5%), а для поливинилбутираля весьма существенны (соответственно 9,4 град и 15,1%).
§ 9.3. Представления общего решения
Связанная задача термоупругости при малом термическом возмущении описывается системой уравнений (1.7.6) и (1.7.7) при начальных и граничных условиях, рассмотренных в § 1.7.
При объемной силе
F = grad П + rot X(9.3.1)
известно следующее представление общего решения уравнений (1.7.6) и (1.7.7) [90, 911:
и = gradФ-|- rot Л,
1(9.3.2)
т то " (зх + гц)^ К^ + 2р) П?Ф+ П],
в котором скалярная Ф и векторная А функции удовлетворяют уравнениям
П2 [ П2Ф Нп]— • -^- 72Ф = — ^jtL^l—^ • (9 3 3)
Uх + 2(1о dz v(Х + 2ц)Х, °*
□ М = -^-,(9.3.4)
где
□ 2_V2._JL._d_, n2 = V2 1 ..dj. („ = 1)2); (9.3.5) сп
е — параметр связанности, имеющий значение (9.2.2); q и с2 — скорость распространения упругой волны соответственно расширения и искажения [см. выражения (8.1.5)]. При е = 0 и П = 0 уравнение (9.3.3) на основании уравнения (1.8.7) переходит в (8.1.2) а при X = 0 уравнение (9.3.4) переходит в уравнение (8.1.3) динамической задачи термоупругости.
Найдено также обобщение известного представления решения уравнений классической теории упругости Б. Г. Галеркина [7] на случай связанной задачи термоупругости [54]:
и = grad Ф + \ ■ П2Л — grad div А,
где функции Ф и Л удовлетворяют уравнениям
n2n^— • — 72Ф— • — П2 — div Л =
Ua dtХ + ц a Й
(9.3.7)(9.3.7)(ЗХ -р 2ц) ссу*
(9.3.7)
(9.3.7)
(9.3.8)(9.3.8)= (X -Ь 2ц) Х?
(9.3.8)
(9.3.8)
□ 1ПИ = (Х + ЭДц
Как и в динамической задаче термоупругости, представление (9.3.6) при отсутствии объемных сил можно преобразовать к представлению (9.3.2). Действительно, если в представление (9.3.6) и уравнение (9.3 7) внести выражения
(9.3.9)(9.3.9)Л — Ло + Лг + Л2, Ф = Ф' + div Л^
(9.3.9)
(9.3.9)
в которых Ло — частное решение неоднородного уравнения (9.3.8), Аг и Л2 — решения уравнений
□М1 = о, пЯ^о,□М1 = о, пЯ^о,(9.3.10)(9.3.10)
□М1 = о, пЯ^о,
□М1 = о, пЯ^о,
(9.3.10)
(9.3.10)
а Ф'— новая скалярная функция, то форма их не изменится, но вместо Ф и Л в представлении (9.3.6) возникают Ф' и Ло + Л2, а в уравнении (9.3.7) Ф' и Ло. На основании второго уравнения (9.3.10) и тождества
grad div Л2 = V2Л2 + rot rot Л2
при подстановке — rot Л2 = Л' такое представление при Ло = = 0, П = 0. X = 0 (отсутствие объемных сил) переходит в представление (9.3.2).
Вводя в представление (9.3.6) и в уравнения (9.3.7) и (9.3.8) новые функции
B0=divЛ — В-r, B = -i-n2l,(9.3.11)
где г — радиус-вектор, получаем обобщение известного представления П. Ф. Папковича [511 на случай связанной задачи термоупругости
и = grad Ф + 2(?t ^ В — grad (В • г + Во);
Л + и(9.3.12)
Т — Т = ... ^ + 2Н г^ф
0 (ЗХ + 2р) аг *
в котором функции Ф, В, Во удовлетворяют уравнениям
□таФ-^-^ф-т^-.-^-^в.г’+в,,)-
(9.3.13)(9.3.13)(ЗХ -f- 2р) cty
(9.3.13)
(9.3.13)
(Х + 2ц)Х» ^ ’
а-5 = -27гЙпг^ DA+r-njB-O. (9.3.14)
В случае распространения безвихревой волны (волны расширения) и отсутствия объемных сил и источников тепла (Л = О, П = О, ю0 = 0) представление (9.3.2) имеет вид
г = grad Ф, T-Т.- (Э^- П!Ф, (9.3.15) где функция Ф удовлетворяет уравнению
(□П2--^- ^Г^Ф^0'(9.3.16)
Решение для функции Ф ищем в виде
Ф = <р (х, у, z) ept,(9.3.17)
где р — комплексная постоянная. Подставляя это решение в (9.3.16), для ф получаем уравнение
— Ai fv2 —— -Av2"L = 0,(9.3.18)
\ л / у с2 /I
которое может быть представлено в виде
(V2 + 62)(V2 + 62)ф = 0,(9.3.19)
где
+ 1-т^|Т'1;Р-3-2”)
х' = -^,С2
а параметр связанности е имеет значение (9.2.2). Если предположить, что термоупругая связь отсутствует (е = 0), то из уравнения (9.3.20) получаем
^ = ~-^; 62 =-г-(9-3-21)
Следовательно, уравнение (9.3.20) описывает распространение двух видов волн расширения, из которых один, связанный с 6П близок к чисто упругой волне, а другой, связанный с 62, сходен по своему характеру с чисто тепловой волной.
На основании уравнений (9.3.17) и (9.3.19) общее решение уравнения (9.3.16) можно представить в виде
2
Ф = 5 Ф/^,(9.3.22)
/=|
где ф;- удовлетворяет уравнению
(V2 + 6/) ф;-= 0,/ = 1, 2.(9.3.23)
Таким образом, в рассматриваемом случае общее решение связанной термоупругой задачи на основании представления (9.3.15) и решени я (9.3.22) принимает вид
2
и = 2i grad <р/ер<;(9.3.24)
2
Т - Тй = -2 Р^" + 6Л ^Р‘-(9.3.25)
Учитывая, что
->. 22
£кк = div и = У V2q>Jep< = — У 6/ф,ер<,j=ii=i
и принимая во внимание формулу (9.3.25), получаем на основании соотношения (1.5.20) следующие выражения для напряжений:
Ск1 = 2рСк1 = 2р(9.3.26)(9.3.26)
Ск1 = 2р
Ск1 = 2р
(9.3.26)
(9.3.26)
где 6tz — символ Кронекера; р — плотность среды, в которой распространяется волна.
Вариационный принцип
Исходя из основных положений термодинамики необратимых процессов, Био 168] установил вариационный принцип связанной задачи термоупругости. Здесь приводится вывод этого принципа, несколько отличный от предложенного Био.
Ограничиваясь небольшими отклонениями термодинамической системы от равновесного состояния (Т « Т^, вводим в рассмотрение два векторных поля: поле вектора перемещения и и поле вектора энтропии s. Вектор энтропии s определяет количество тепла, прошедшего в данном направлении, деленное на абсолютную температуру. Он связан с вектором потока тепла q следующим равенством:
q = Ts«Ttis,(9.4.1)
или
^Т^,(9.4.2)
где s£ — компоненты вектора энтропии.
На основании уравнения (1.4.2) и равенства (1.4.9) получаем при w0 = 0
-sUlS;(9.4.3)
^=4rSiSi’(9-4-4)
где S — плотность энтропии; S£ — локальное образование энтропии в единицу времени.
Варьированию подвергаются компоненты вектора перемещения и£ и вектора энтропии s£. Сообщая им шесть независимых вапиаций 6u£, 6s£ (i = 1, 2,3) и используя уравнения (1.2.20), (1.4.5) (9.4.2), составляем следующее очевидное равенство:
J (Pad +Ft- P“J 8u{dV - J (т £ + ^-) 6SidV = 0, (9.4.5) VV
где интегрирование распространяется по всему объему тела.
С помощью формулы Остроградского — Гаусса (1.2.12) уравнение (9.4.5) преобразуем к виду
Оц6е£14У —Оц6е£14У —аип^и^ + ^ (Г£ — ри£) 6u£dV — j икv
Оц6е£14У —
Оц6е£14У —
— [ (7 — То) n£6s£dQ — J ^- 6s£dV + У (Т — 70) Ss^dV = 0. (9.4.6) иv 4v
Используя формулы (1.5.20), (9.4.3) и выражение для плотности энтропии
S = (ЗХ + 2ц) ат£кк +,(9.4.7)
которое получается из выражения (1.6.2), если в разложении 1п -=-
770
в ряд ограничиться линейным членом—=——, преобразуем третий 'о
и шестой интегралы в уравнении (9.4.6) к виду
GijbEijdV = 6GijbEijdV = 64к + р^це£^ dV —4к + р^це£^ dV —
GijbEijdV = 6
GijbEijdV = 6
4к + р^це£^ dV —
4к + р^це£^ dV —
(9.4.8)(9.4.8)— У (ЗХ + 2ц) ат (Т - 70) bekkdV; v
(9.4.8)
(9.4.8)
се(Т-Т0)22Г0се(Т-Т0)22Г0У (Т - 70) 6SudV = - у (Т - То) 6SdV = vv
се(Т-Т0)22Г0
се(Т-Т0)22Г0
dV - У (ЗХ + 2ц) ат (Т - То) SekkdV. (9.4.9) v
При преобразовании интегралов (9.4.8) и (9.4.9) учитываем, что bijEtj = £кк- Подставляя эти интегралы в уравнение (9.4.6) и принимая во внимание равенство (1.2.9), сформулируем вариационный принцип связанной задачи термоупругости:
6Ув + 6D + ЬК = $ FtbutdV + f Vftbut — (Г — То) ntbstA dQ, (9.4.10) VQ
где
VB = J [A eL + №eif + ^^] dV, (9.4.11) o^lj2^^'(9-4-12)
а кинетическая энергия К определяется выражением (1.2.29).
Скалярный инвариант VB называется термоупругим потенциалом Био, а скалярный инвариант D—функцией рассеяния. Инвариант D, как видно из равенства (9.4.4), пропорционален скорости образования энтропии всего объема тела.
Правую часть уравнения (9.4.10) можно интерпретировать как обобщенную термомеханическую виртуальную работу; при этом величина — (Т — Го) nt ^nt — единичный вектор внешней нормали к поверхности) аналогична силе, a 6s£ — виртуальному перемещению.
Записывая компоненты вектора перемещения и£ и компоненты вектора энтропии s£ в виде
и£ = 2 ин (х^ q, (0, s£ = У stI (х^ q, (О,(9.4.13)
/=1/=1
где q, — обобщенные координаты, и учитывая, что вариации 6и£ и 6s£ не зависят от времени, определяем
d4i 41* d4i 41 д^ dqj d4l dqj (g 4 H)
6Vb = -5—og£; oD = -^—do, oK = —тг ош.
c dqjdqjdt [ dqj J
Подставляя величины (9.4.14) в уравнение (9.4.10), записываем его в форме уравнений движения Лагранжа для систем с рассеянием энергии
2^ а. + -£. J^L = п.(9.4.15)
dqj + dqj + dt dqik 7
где Q] — обобщенная сила,
Qi - J f- w ^ + .f [f- V - <г -Я "* w]dQ- <M-16)
В случае несвязанной задачи термоупругости вариациям подвергаются только компоненты вектора перемещения и£. Игнорируя при этом в равенстве (9.4.9) связывающий член f (ЗХ + 2р) аг (Т — — Tq) fohh dV, из вариационного принципа (9.4.6) получаем начало
возможных перемещений Лагранжа для динамической несвязанной задачи термоупругости
б f FdV + 6К = У р^иДУ + У !£и^.(9.4.17)
V
где F — плотность свободной энергии,
F = -^- е^ + це17е;/ — (ЗХ + 2ц) ат (Т — Т^ екк — се (Т 7т™" •
(9.4.18)
Это выражение совпадает с выражением (1.5.18) при Т — То <^ То.
Если в уравнении (9.4.10) приравнять механические члены нулю, то получим известное вариационное уравнение теплопроводности
6Vb + 6D = — ^(Т — Te)nt8s,dQ.(9.4.19)
Обобщение вариационного принципа на случай связанной задачи термоупругости с тепловыми источниками дается в работе [31.
Пример. Для иллюстрации применения вариационного принципа Био приведем решение задачи о термоупругом рассеянии энергии при поперечных колебаниях консольной балки [68]. Балка прямоугольного поперечного сечения имеет высоту h, ширину b и длину /. Ось балки направлена вдоль оси х, начало координат находится на заделанном конце балки.
На основании элементарной теории изгиба балки имеем
ех = - z -^2" ’ е» = ez =- еху = 6дг = ezx 0 идга
екк = ех + гу + ez =—z(l—2v)- ^* ,(9.4.20)
где uz — прогиб балки.
Полагаем, что прогиб балки имеет такую форму:
/,лх \
“2 = 91(1 — cos-^l,(9.4.21)
где qt — прогиб свободного конца балки — обобщенная координата.
Предполагаем, что плотность энтропии (9.4.7) изменяется линейно по координате z и по закону косинуса вдоль оси х и соответствует подобным распределениям Т — То и екк, т. е. принимаем „ 2а,г лх
S = TC0S-2TО'4"22)
где дг — обобщенная координата для энтропии.
Используя выражение для плотности энтропии (9.4.7), представляем термоупругий потенциал Био (9.4.11) в виде
vs= i' ^6^ + ^И6“ + -^-^-(ЗХ + г^аге^а^. (9.4.23)
Подставляя в подынтегральное выражение величины (9.4.20), (9.4.21), (9.4.22) и интегрируя его, получаем следующее выражение для термоупругого потенциала Био:
^В = *2~ aii?j + ai2?i?2 Н—2~ ^гг^'(9.4.24)
гдегдел4 Ebh?
где
где
“n ~ "32~ "12^
л2 „ T0№b
1 T.bhlа™~ 6 " ~^
Кинетическая энергия балки определяется выражением z
К = -5- pbh ^ u^dx = -i- mu^,о
где Зл — 8
^ = -2—рбЫ.
(9.4.25)(9.4.26)(9.4.27)(9.4.25)(9.4.26)(9.4.27)Определим теперь функцию рассеяния D. Полагая, что поток энтропии направлен по координате г, на основании соотношения (9.4.3) получаем
(9.4.25)
(9.4.26)
(9.4.27)
(9.4.25)
(9.4.26)
(9.4.27)
ds о
-^=S-(9.4.28)
и предполагая отсутствие теплопотока черези предполагая отсутствие теплопотока черезs —s —АгАгhhлхлхC0S-2T*C0S-2T*(9.4.29)(9.4.29)Учитывая выражение (9.4.22)Лграницы z = + —, определяем
и предполагая отсутствие теплопотока через
и предполагая отсутствие теплопотока через
s —
s —
Аг
Аг
h
h
лх
лх
C0S-2T*
C0S-2T*
(9.4.29)
(9.4.29)
После подстановки (9.4.29) в выражение (9.4.12) и интегрирования находим
гдегде(9.4.30)(9.4.30)(9.4.31)(9.4.31)D = "^ 622»2.
где
где
(9.4.30)
(9.4.30)
(9.4.31)
(9.4.31)
Т6ЬЬЧ60Х9 ‘
Уравнения движения Лагранжа (9.4.15) при найденных выражениях для Vв, К> D и Qj = 0 приводят к двум дифференциальным уравнениям относительно Ai и дг".
miiAi + «1191 + а1гЧг — 0;(9 4 32)
ЬггЧг “Ь «1291 4" аггАг = 0-
При гармонических колебаниях с частотой ю дг = 1ыд2. Исключая из уравнений (9.4.32) дг, получаем
miiAi + «п — _- ) 91 = °-(9.4.33)
\11<>н —I- IUUl/oo 1
Величину
С19й! I 9^99Ct, пЬпп (О
“11п 2й.Ь = “112— ' 2'2- + 1’ -99 9-(9.4.34)
«22 + ЧйЬщq22 _]_ to2b^ а2^ _j_ (дЗ^^
можно рассматривать как комплексный коэффициент упругости пружины, зависящий от частоты. Действительная часть выражения (9.4.34) определяет модуль жесткости балки, изменяющийся от его значения при изотермическом процессе до значения при адиабатическом процессе с ростом частоты от нуля до бесконечности. Мнимая часть этого выражения дает эквивалентную демпфирующую силу. До 2
которая при <о = 0 и <о = оо обращается в нуль, а при со = достигает мак
симума.
Необходимо отметить, что при больших частотах приближенное выражение (9.4.22) несправедливо; в этом случае следует ввести дополнительные обобщенные координаты дляS.
Плоские гармонические термоупругие волны расширения в неограниченной среде
Пусть в неограниченной термоупругой среде возникают плоские гармонические волны расширения с круговой частотой со. Предполагая в связи с этим, что в решении (9.3.22) фу — функции только координаты х, т. е. фу = фу (х), для определения фу вместо (9.3.23) получаем уравнение
(т + 6') ^ = °’/=1>2.(9-5.1)
Общее решение этого уравнения определяется выражением
Фу = Су+ ехр (— /6;х) + Су_ exp (/бух),(9.5.2)
где Су+, Cj_ — постоянные, в общем случае комплексные.
Внося выражение (9.5.2.) в решения (9.3.24) и (9.3.25) и полагая для случая гармонических волн р = im, находим искомое решение
2
и, = 2 16/ {— Q+ exp [/ (со/ — бух)] + Су_ехр [i (со/ + бух)]};
/=*п(9-5.3)
иу = и2 = 0;
2 ,„.
1 I\
^о = (ЗХ + 2ц) аг У с^ 5/у {Су+ехр U ^ 6уХ)] +
+ Су- [/ (со/ + 6/Х)]},(9.5.4)
где
б=, 61 = — 1 +± [1 — 2(^--)- +
22с2[iX \ (X / J J
',(9.5.5)
(ЗХ + 2ц^<о * С1
6= (Х+2ц)се = Х =
постоянные Су+ и С,_ соответствуют волнам, распространяющимся соответственно в положительном и отрицательном направлении оси х.
Рассматривая волны, распространяющиеся в положительном направлении оси х, и заменяя комплексные величины 6/ выражениями
6j = p, — iqb /=1,2,(9.5.6)
где pj и q; — действительные величины, преобразуем формулы (9.5.3) и (9.5.4) к виду:
(9.5.7)(9.5.7)2
(9.5.7)
(9.5.7)
Их = — 2 lS/C/ ехР | йо/=| L
Т-Тй =Т-Тй =2X + 2ц Ул / m2 (ЗХ -|- 2ц) аг j^ \ ^2X + 2ц Ул / m2 (ЗХ -|- 2ц) аг j^ \ ^6 ■ ехр р® ^ — —J i exp (— qpc\6 ■ ехр р® ^ — —J i exp (— qpc\
Т-Тй =
Т-Тй =
2
X + 2ц Ул / m2 (ЗХ -|- 2ц) аг j^ \ ^
2
X + 2ц Ул / m2 (ЗХ -|- 2ц) аг j^ \ ^
6 ■ ехр р® ^ — —J i exp (— qpc\
6 ■ ехр р® ^ — —J i exp (— qpc\
(9.5.8)
где Cj = С/+; Uj — фазовая скорость распространения волны, <0
th
Pi
Для выяснения физического смысла термоупругих волн (9.5.7) и (9.5.8) сравним эти волны с волнами в сплошной среде с нулевым коэффициентом аг и, следовательно, с нулевым параметром связанности е. В этом случае согласно выражениям (8.1.1), (8.1.2) и (3.2.4) упругая и тепловая волны описываются уравнениями
□ X =0 и □ 2(7’ — То) = О,(9.5.9)
решения которых имеют вид
(9.5.10)(9.5.10)
(9.5.10)
(9.5.10)
Т — Т0 = С2 ехр [iu>11 ехр lA^- х\ (9.5.11)
где о2= ]/2аю.
Выражение (9.5.10) представляет собой чисто упругую плоскую гармоническую волну расширения, распространяющуюся в направлении оси х. Эти волна не имеет ни затухания, ни дисперсии. Выражение (9.5.11) соответствует чисто тепловой плоской гармонической волне, которая имеет затухание, характеризуемое коэффициентом q2 = 1/ -^ , и дисперсию, обусловленную тем, что фазовая скорость уг = V2а® является функцией частоты.
Следовательно, выражение (9.5.7) описывает модифицированную упругую волну, а (9.5.8) — модифицированную тепловую волну. Взаимодействие процесса упругого деформирования и процесса теплопроводности в рассматриваемом случае проявляется в следующем: модифицированная упругая волна в отличие от чисто упругой
подвергается затуханию и дисперсии. Для модифицированной тепловой волны, которая подвергается, как и чисто тепловая волна (9.5.11), затуханию и дисперсии, фазовая скорость
и2 и коэффициент затухания ^2 не пропорциональны и 2.
Выражение (9.5.7) для модифицированной упругой волны, кроме основного члена — квазиупругой волны с фазовой скоростью и коэффициентом затухания qv содержит дополнительный член.
Таблица 27
Величина
Алюминий
Медь
Сталь
Свинец
cY, см/сек
6,32 . 105
4,36 • 108
5,80 - 108
2,14 . Ю8
8
3,56 • 10~2
1,68 • 10~2
1,14 • 10~2 (2,97 ■ 10“4)
7,33 • 10-2
со, 1/сек
4,66 ■ 1011
1,73 • Юи
1,75 • 1012
1,91 • Юн
А». Мем
1,31 • IO4
3,29 • 103
1,72 . 104 (4,48 - 102)
3,27 ■ IO8
toc, 1/сек
9,80 • 1013
7,55 • 101з
9,95 . 1013
3,69 • 1013
отвечающий волне противоположного вида. Оба типа волн подобным образом представлены и в выражении (9.5.8) для модифицированной тепловой волны.
Наибольший интерес представляет термическая модификация квазиупругой волны
и^ = С exp [tcoU—ехр(— ^х),(9.5.12)
L \ J
где "i = — •
Как следует из формулы (9.5.5) и равенства (9.5.6), величины рг и qY являются функциями параметра связанности е и относитель- с2
ной частоты X = —$, где со* = —^-. Параметр е зависит от механических и тепловых свойств материала, а величина со*, имеющая определенное физическое значение, рассматривается в теории термоупругих плоских гармонических волн [74, 75] как характеристическая частота. Значения е и со* для четырех металлов при температуре 293° К приводятся в табл. 27 [75] *. Из данных этой таблицы видно, что характеристическая частота со* значительно
больше частоты, достигаемой в опыте при ультразвуковых колебаниях. Поэтому для большинства материалов в области частот, встречающихся в инженерной практике, можно принять X <^ 1.
Разлагая выражение для 6Х, определяемое формулой (9.5.5), в степенной ряд по X, в этом случае находим
^■гЬ + Нт+^И(9-513)
- 2^+.). ■<95-14>
где
cs = C1(l+ep.(9.5.15)
Величина с$ является адиабатической фазовой скоростью распространения волны расширения в неограниченной среде. Действительно, полагая в случае адиабатического процесса а = 2±= о, из се
уравнения (9.3.3), взятого при П = 0 и ау0 = 0, получаем волно- /1 д2 \
вое уравнение V2. -^- Ф = О, в котором адиабатическая \ cs /
скорость с$ связана с изотермической скоростью распространения волны расширения ст соотношением (9.5.15). Этот же результат получаем при подстановке в выражение
с2=Х5^2ц(9.5.16)
значения (1.6.9) для постоянной Ляме Xs в случае адиабатической деформации.
Фазовая скорость распространения этой волны
<о Г.е(4 — Зе) I/л с
=(9-5Л7)
— постоянная величина, и, таким образом, квазиупругая волна расширения при X <^ 1 не имеет дисперсии.
С помощью выражений (9.5.15) — (9.5.17) можно установить следующую зависимость:
Согласно (9.5.18) статические и динамические (при X <^ 1) упругие постоянные являются упругими постоянными в случае соответственно изотермической и адиабатической деформации. Эта зависимость может быть использована при экспериментальном определении упругих постоянных на основании точного измерения фазовой скорости продольной упругой волны.
Коэффициент qt — положительная величина, поэтому амплитуда волны затухает в теплопроводящей среде по экспоненциальному
закону. Определим для рассматриваемой волны относительное рассеяние энергии —. где ДИ/ — энергия, рассеянная в течение цикла напряжения, a W — упругая энергия, накопленная телом в момент достижения наибольшей деформации. Обозначим через uY и uj последовательные значения амплитуд перемещения по одну и ту же сторону от положения равновесия.
Если относительное рассеяние энергии мало по сравнению с единицей, то
AW = “?-“2 _ 2(Ы1-иг) _21п ut №ы2ЦгИг ‘
Поскольку на основании выражения (9.5.12)
-А- = еИ^,где, ц,2л 2л
то, учитывая значения коэффициентов (9.5.13) и (9.5.14), находим
А^ 4л<71 2леХ/о Ч 1 СП
WPi(14-ер -(9.5.19)
(9.5.20)(9.5.21)(9.5.20)(9.5.21)Рассмотрим теперь свойства квазиупругой волны (9.5.12) при X 5> 1. Разлагая выражение для бт в степенной ряд по X-1, получаем
(9.5.20)
(9.5.21)
(9.5.20)
(9.5.21)
еС] 1 есо*
В этом случае ф азовая скорость распространения волны
(9.5.22)упругой(9.5.22)упругой<0и. = = Q
(9.5.22)
упругой
(9.5.22)
упругой
совпадает с изотермической скоростью распространения
волны расширения, а коэффициент затухания приближается к некоторой предельной величине, соответствующей на основании формулы (9.5.19) относительному рассеянию энергии
(9.5.23)(9.5.23)ДЦ/ _ 2 леW — X
(9.5.23)
(9.5.23)
Частота вынужденных колебаний, которая может быть достиг
7,, где иа — объем7,, где иа — объемз\4лро /з\4лро /нута в упругом твердом теле, ограничена частотой продольных коле
7,
, где иа — объем
7,
, где иа — объем
з\
4лро /
з\
4лро /
баний дебаевского спектра [71] сос = 2лсх
одного атома в твердом теле.
Значения величин qM и сос указаны в табл. 27. Заметим, что характеристическая частота со* более чем в 100 раз меньше предельной частоты (ос дебаевского спектра.
В работе [75] вычислены характеристики квазиупругой волны в широком интервале частот 10~п < X < 10s для металлов (табл. 27), обладающих параметром связанности е <^ 1.
Изменение отношений — и С1
зависимости от приведенной
частоты X для меди представлено
на рис. 62 и 63; при этом для X и -^ используется логарифмическая шкала.
Фазовая скорость их и коэффициент затухания qx резко изменяются в окрестности характеристической частоты со* (X = 1). В интервале частот 10-" < X < 10™1 фазовая скорость близка по величине к (1 + e)*/i су та (1 + -у е) Су, при [X = 1 становится равной (1 + -^- е) Су, а при X > 1 быстро приближается к постоянному значению q. Коэффициент затухания qx при низких частотах X < 1 увеличивается прямо пропорционально со2, при X > 10 становится постоянной величиной qM и при X = 1 имеет зн ачение -у q<x>; сильное затухание возникает в интервале частот 1 < Х<-^-.
Термоупругие волны Релея
Рассмотрим распространение плоской гармонической волны в полупространстве вдоль оси х. Пусть плоскость хОу — граница полупространства, а ось z направлена внутрь полупространства (рис. 64). Полагаем, что температура среды, омывающей границу полупространства z = 0, неизменна и равна То. Начальная температура полупространства совпадает с температурой среды. Граница полупространства свободна от напряжений:
сг = Схг = 0 при z = 0, (9.6.1) а между границей полупространства и окружающей средой происходит конвективный теплообмен по закону
^---^<т-^ = 0 "Р" z=°.^---^<т-^ = 0 "Р" z=°.(9.6.2)(9.6.2)
^---^<т-^ = 0 "Р" z=°.
^---^<т-^ = 0 "Р" z=°.
(9.6.2)
(9.6.2)
где а—коэффициент теплоотдачи; Х,— коэффициент теплопроводности. Полупространство не подвергается действию объемных
00zРис. 64.zРис. 64.сил и внутренних источников тепла kF = О, Що = 0).
0
0
z
Рис. 64.
z
Рис. 64.
Представление общего решения рассматриваемой задачи в перемещениях (9.3.2.) состоит из потенциальной и соленоидальной частей. Для определения потенциальной части решения используем метод, рассмотрен-
ный в § 9.3. Поскольку перемещения не зависят от координаты у, уравнение (9.3.23) для скалярного потенциала <р, = <р,- (х, z) принимает вид
(^- + -S- + 6?jl’/ = 0. / ~ Г 2.(9.6.3)
Применяя метод разделения переменных, находим для волны, распространяющейся в положительном направлении оси х, следующее решение:
(9.6.4)(9.6.4)Ф/ = fi^e"^,
(9.6.4)
(9.6.4)
где у — постоянная, а функция /,• (г) удовлетворяет уравнению
-^ _ ^д. = о, ^ = у2 - 6^, / = 1, 2.(9.6.5)
Подставляя (9.6.4) в решение (9.3.22), при р = на получаем
2
Ф = .2 Л (z) exp [i k^t — yx)J.(9.6.6)
В соленоидальной части решения для векторного потенциала А, удовлетворяющего уравнению
( V2( V211(9.6.7)(9.6.7)
( V2
( V2
1
1
(9.6.7)
(9.6.7)
можно, не нарушая общности, положить [28]
(9.6.8)(9.6.8)div А = 0.
(9.6.8)
(9.6.8)
Учитывая, что rot,, А = 0, а все производные по координате у равны нулю, определяем
(9.6.9)(9.6.9)rotA = -^;x + ^;z,дг х 1 дх 2
(9.6.9)
(9.6.9)
где ех и ег — единичные вектора осей х и у. Тогда, подставляя выражения (9.6.8) и (9.6.9) в известную формулу
(9.6.10)(9.6.10)V2A = grad div А — rot rot A,
(9.6.10)
(9.6.10)
находим
V2A = - rot (- ^ ;x + -^- ;z) = V2A^-(9.6.11)
Принимая во внимание равенство (9.6.9), из векторного уравнения (9.6.7) определяем
Ax = Az = 0(9.6.12)
и получаем следующее скалярное уравнение относительно Ан:
/ d2 . d21 д2 \ .
дх2 + дг2с2 ‘ д/2 j А/= 0-(9.6.13)
Решением этого уравнения для волны, распространяющейся в положительном направлении оси х, является выражение
Ад = /з (z) exp [£‘ (“^ — Vх)],(9.6.14)
где функция /3 (z) удовлетворяет уравнению
Т-^з=0,^ = f-^_(9.6.15)
2
Подставляя решения (9.6.6), (9.6.12) и (9.6.14) в представление
находим
(9.6.16)(9.6.16)их= — [ty(Л+ fj + -^-] exp [i(tot — ух)]; jиу = 0;.
(9.6.16)
(9.6.16)
“z = (% + % — iyf3) exp [i (tot — yx)];
тX + 2ц (^ш2
(ЗХ + 2р)«г[^ 1са у
+ (6" — ”Ъ2 exp [i (tot — ух].
Л +Л +(9.6.17)(9.6.17)Зная перемещения (9.6.16), по формуле (9.3.26), в которой
Л +
Л +
(9.6.17)
(9.6.17)
Ez = -%- = (^fi + ^2/2 —t? ~^-) ехР [i И — Y^)l;(9.6.18)
с х ( дих , диг )
Ехг — 2 \ дг' дх ) ~
= — 4 121V "4" ^ + ^ + (V2 + ^ ^3 ] exp [t (tot — ух)],
определяем напряжения:
о г = ИI (?2 + ^) (Л + /2) — 2iy -^Л exp [i (tot — ух)];
Г а1(9'619)
о» = — И [2iy 47 (fT + /2) + (у2 + к^ f 3 j exp [i (tot — ух)].
Функции fv f2, f.,, входящие в выражения (9.6.16) — (9.6.19), определяются из уравнений (9.6.5) и (9.6.15). Решения этих уравнений, удовлетворяющие условию быстрого затухания амплитуды волны при удалении от поверхности z = О, имеют вид
/, (z) = Cj exp (— kjz\Re (k^ > 0.(9.6.20)
Удовлетворяя граничным условиям (9.6.1) и (9.6.2), получаем следующую систему однородных алгебраических уравнений:
(V2 + ^ (Q + С^ + 21^03 = 0;
- 2ty (кг(\ + к4С2) + (V2 + ^ Сэ = 0;(9.6.21)
fe ~ кг + ^ ci + кг + ^ с* = °- х Ч /\1 у
Система однородных уравнений (9.6.21) имеет нетривиальное решение, если детерминант ее равен нулю. Вычисляя детерминант и принимая во внимание равенства (9.6.5) и (9.6.15), получаем уравнения
(
м2 \^ /га2 \
2ГГ № + Р1Р2 + ₽1 - 1 + -^г - 4РХРД (Р1 + ₽2) = 2' / 'lf /
= - -Л- [(2 - -^.у (Р1 + р2) _ 4рз /рд + 1(9.6.22)
\ C2V2 /\/
- \21 /\11 / J
где
к2
ti=4’l-1-2^.(9.6.23)
Это уравнение определяет зависимость между частотой со и величиной у; в связи с равенствами (9.5.5) и (9.6.5) величина у — комплексная.
Если ввести в рассмотрение величину
шшYY(9.6.24)(9.6.24)
ш
ш
Y
Y
(9.6.24)
(9.6.24)
тогда 1/Rev 1 является фазовой скоростью распространения термоупругой поверхностной волны, а — со Im у-1 — коэффициентом ее затухания. Так как обе эти величины зависят от со, то термоупругая поверхностная волна подвергается дисперсии.
На основании равенств (9.5.5), (9.6.5) и (9.6.23) имеем
^+^ = 2-4 + 4- 4(1+8);Л о»
(9.6.25)(9.6.25)
(9.6.25)
(9.6.25)
Используя выражения (9.6.25) и полагая, что Х<^ 1, разлагаем каждый член уравнения (9.6.22) в ряд по степеням X:
- (2 - 4? 4 • 4 о+ен1+о А +
\2 /1
+ 4т4к1 + е)р-4 м + е-4 [1 + ой71» = 1’.\2 / \1 / -
- + {(2- f)20 + -++ 0(х''-)1-
- 4 f [(1 - + (’1 + ‘ - +Г 11 + 0 toV,)l} ■ <9-6.26) УL X 2 / XЛ ' J‘
Пренебрегая величинами порядка %1/2 и учитывая равенство
получаем
(9.6.27)(9.6.27)
(9.6.27)
(9.6.27)
где cs — адиабатическая фазовая скорость распространения волны расширения в неограниченной среде. В этом случае скорость и перестает зависеть от частоты со и коэффициента теплоотдачи а.
Соотношение (9.6.27) — аналог известного из классической теории волн Релея соотношения [27]
(9.6.28)(9.6.28)
(9.6.28)
(9.6.28)
связывающего скорость распространения поверхностной упругой волны Релея и со скоростями распространения упругих волн расширения сг и искажения с2.
В работе [76] детально изучены свойства термоупругих волн Релея и установлено, что эти волны распространяются в виде ква- зиупругих волн (£ — мод), подобных классической волне Релея, но подвергающихся демпфированию и дисперсии, и в виде квази- тепловых волн (Т — мод), в основном диффузионного характера. При низких частотах (X <^ 1) возникают адиабатические деформации, а при высоких (X ^ 1) —изотермические. В случае постоянной температуры на поверхности полупространства существует одна Е — мода при низких частотах и две разные — при высоких, а в случае теплоизолированной поверхности — две разные Е — моды при низких частотах и одна — при высоких.
9.7. Продольные волны в бесконечно длинном сплошном цилиндре
Рассмотрим влияние термоупругого рассеяния энергии на распространение продольных волн в бесконечно длинном сплошном цилиндре.
Предполагая движение осесимметричным и происходящим в меридиональной плоскости цилиндра rz, рассматриваем пространственное изменение потенциала, входящего в решение (9.3.22), в цилиндрических координатах ф/ = фДг, г). Тогда уравнение (9.3.23) принимает вид
(4V+ — •) Ф/= °’/=1,2. (9.7.1)
\ dr2 г or 1 дг2 Ч''
С помощью метода разделения переменных находим для сплошного цилиндра следующее решение уравнения (9.7.1)-
Ф/ = С,70(й/г)^,(9.7.2)
где Jo (х)— бесселева функция нулевого порядка первого рода; Тг, = бу —у2. Внося решение (9.7.2) в (9.3.22), получаем
Ф = 5 CiJo(hir) ехР ^ ± I'?2')-(9.7.3)
/=1
На основании соображений, аналогичных изложенным в § 9.6, определяем решение для векторного потенциала А. Принимая во внимание формулы (2.6.3), (9.6.7) и (9.6.9), при rote А = 0 и ~^~ = О находим
Л "дЛе, "1д(гЛе)1
VM = — rot — е.к = =
[ гдг' ггdrJ
Тогда из векторного уравнения (9.6.7) определяем
At = Az = 0(9.7.5)
d21ддг2гдгd21ддг2гдг(9.7.6)(9.7.6)и получаем скалярное уравнение для определения Ае".
d21д
дг2гдг
d21д
дг2гдг
(9.7.6)
(9.7.6)
г2 + дг2 сг ' St2 Д° ~ и- 2/
Решением уравнения (9.7.6) для сплошного цилиндра является выражение
Ае = ICJy (kr) exp (pt.± i^z),(9.7.7)
где Jx (x) — бесселева функция первого порядка первого рода; k2 = — —у2. При Re у > 0 знак плюс перед i соответствует с2 2
волне, распространяющейся в отрицательном направлении оси z, а знак минус — в положительном. В дальнейшем рассматриваем волну, распространяющуюся в положительном направлении оси.
Решения (9.7.3), (9.7.5) и (9.7.7) подставляем в представление (9.3.2). Используя при этом формулу (2.6.3) и формулу для дифференцирования бесселевой функции [12], находим
- 2'
«г«гехр (р/ — tyz);ехр (р/ — tyz);(9.7.8)(9.7.8)2 C/Vi(M +Су-МИ
«г
«г
ехр (р/ — tyz);
ехр (р/ — tyz);
(9.7.8)
(9.7.8)
./=1.
ие = 0;
- 21
uz = — iuz = — iexp (pt — i^z);exp (pt — i^z);2 С/^О (Н,г) — Ck J0 (^r)
uz = — i
uz = — i
exp (pt — i^z);
exp (pt — i^z);
J=I.
2,
T-To =T-To =(3/+V)^ 2Cl (-^ + 6?) A M «Р № - i^Y (9.7.9)
T-To =
T-To =
Компоненты тензора напряжения на поверхности г = const
определяем по формуле (9.3.26) в виде {2
Г।11
— уС kJ0 (kr) — — Jy (kr) 11 exp (pt — tyz);
"2"
orz = ip 2y 2 Cjhjjy (hjr)—C (k2 — y2) Jx (kr) exp (pt — tyz),
a,e = 0.
Для получения единственного решения рассматриваемой задачи необходимо удовлетворить граничным условиям как для напряже-
ний, так и для теплообмена на цилиндрической поверхности. Предполагаем, что поверхность цилиндра (г = г^ свободна от внешних сил и теплоизолирована. Удовлетворяя граничным условиям
сг = 0, огг = 0, -^- = 0 при г = г2,(9.7.11)
получаем для гармонических волн следующие уравнения:
hiггhiггw2v2-^w2v2-^+б?22c2/ J,)1 + Су I kJ0 (kr2) — -1L'2+б?22c2/ J,)1 + Су I kJ0 (kr2) — -1L'2= 0;= 0;(9.7.12)(9.7.12)
hi
гг
hi
гг
w2
v2-^
w2
v2-^
+б?2
2c2/ J
,)1 + Су I kJ0 (kr2) — -1
L'2
+б?2
2c2/ J
,)1 + Су I kJ0 (kr2) — -1
L'2
= 0;
= 0;
(9.7.12)
(9.7.12)
C^hyJy (hyr^ + C^Wi (h2r2) — С (&2 — y2) Jx (kr^ = 0;
-6?-6?м2\^-6’ШМ.м2\^-6’ШМ.
-6?
-6?
м2\
^-6’ШМ.
м2\
^-6’ШМ.
ZC2 /ZC2 /
ZC2 /
ZC2 /
Если радиус цилиндра г2 достаточно мал, чтобы й/ r2 (j = 1, 2) и кг2 были малы по сравнению с единицей, т. е. длина гармонической волны велика по сравнению с радиусом цилиндра, то
^о (^/гг) ~ ^о (^г)1=5 1 i A (/i/r2) ^ -у Ь/Г2, Jг (кг2) яа — кг2.
Подставляя эти приближенные значения в систему уравнений (9.7.12) и приравнивая определитель данной системы нулю, находим частотное уравнение
:6=
-h22-h22co2co2X 4X 4Учитывая, что2Учитывая, что2-t + y2--||)(^-v2)-v^-t + y2--||)(^-v2)-v^co2co26/ ! V2 <о26/ ! V2 <о22c|2^22^ ’2c|2^22^ ’к? — у2 = ^ — 2у2, ^Уц = у2б- — у4,С2преобразуем частотное уравнение (9.7.13) к видук? — у2 = ^ — 2у2, ^Уц = у2б- — у4,С2преобразуем частотное уравнение (9.7.13) к видуCO2 \.l"<02 \ . Ito2V2Hr 1 7^ ДY x4 / XcoгдеCO2 \.l"<02 \ . Ito2V2Hr 1 7^ ДY x4 / Xcoгде(е2 —1)(е2 —1)= 0. (9.7.13)= 0. (9.7.13)/=1,2,/=1,2,со2 ^4 >со2 ^4 >с? = — ; е2 = о р ’а е имеет значение (9.2.2).с? = — ; е2 = о р ’а е имеет значение (9.2.2).^Lc2^Lc2k + 2ц ._k + 2ц ._^,(9.7.15)^,(9.7.15),21
-h22
-h22
co2
co2
X 4
X 4
Учитывая, что
2
Учитывая, что
2
-t + y2--||)(^-v2)-v^
-t + y2--||)(^-v2)-v^
co2
co2
6/ ! V2 <о2
6/ ! V2 <о2
2c|2^22^ ’
2c|2^22^ ’
к? — у2 = ^ — 2у2, ^Уц = у2б- — у4,
С2
преобразуем частотное уравнение (9.7.13) к виду
к? — у2 = ^ — 2у2, ^Уц = у2б- — у4,
С2
преобразуем частотное уравнение (9.7.13) к виду
CO2 \.l"<02 \ . Ito2
V2Hr 1
7^ ДY x4 / Xco
где
CO2 \.l"<02 \ . Ito2
V2Hr 1
7^ ДY x4 / Xco
где
(е2 —1)
(е2 —1)
= 0. (9.7.13)
= 0. (9.7.13)
/=1,2,
/=1,2,
со2 ^
4 >
со2 ^
4 >
с? = — ; е2 = о р ’
а е имеет значение (9.2.2).
с? = — ; е2 = о р ’
а е имеет значение (9.2.2).
^L
c2
^L
c2
k + 2ц ._
k + 2ц ._
^,(9.7.15)
^,(9.7.15)
Если отсутствует тепловой эффект (е = 0), фазовая скорость
распространения продольной волныраспространения продольной волныи =и =со
распространения продольной волны
распространения продольной волны
и =
и =
— = с0, т. е. равна ско
рости распространения продольной волны в стержне, найденной по элементарной теории.
Тот факт, что уравнение (9.7.14) комплексное, свидетельствует
о том, что амплитуда волны затухает в пространстве.
Находим следующие корни уравнения (9.7.14):
*{(1 - 4) ± [1 + 4 + (4)ТТ <9-7-16>
где
а = £01X1, ot =[1 + (1 + ^') ej;
(9.7.17)(9.7.17)P = t(4Pi-2ai)X1, Pi = ^(l + ei);
(9.7.17)
(9.7.17)
Х1 = Х —, к' =, 61 = 2(1—v)e.
1 с^2(14-v) ’1''
Легко показать, что уравнение (9.7.16) соответствует волнам двух видов: волна, связанная с уь по своему характеру близка к чисто упругой, а волна, связанная с у2,— к чисто тепловой. Из этого уравнения определяем
(9.7.18)(9.7.18)
(9.7.18)
(9.7.18)
Знак перед у1 и у2 не оказывает влияния на вид решения (9.7.7) и определяет лишь направление распространения волн; поэтому в дальнейшем рассматриваем только значения + ?i и 4 у2.
Предполагая, что X <^ 1, и сохраняя лишь члены с X и X2, из (9.7.18) получаем
Pi \2a2 уPi \2a2 у
Pi \
2a2 у
Pi \
2a2 у
(9.7.19)(9.7.19)
(9.7.19)
(9.7.19)
Если положить
4i = -^-iqi (/=1,2), (9.7.20)
где гу, qx и и2, q2 — фазовые скорости распространения и коэффициенты затухания упругой и тепловой волны, и разложить выражения (9.7.19) в ряды по степеням е, предполагая, что е <^ 1, то найдем следующие выражения для волновых характеристик:
yi = cs 1 —yi = cs 1 —(1 — у) (1 — 2v)2 (1+v)(1 — у) (1 — 2v)2 (1+v)6 —6 —(1 — v) (43— 14v) 4(1 + v)(1 — v) (43— 14v) 4(1 + v)
yi = cs 1 —
yi = cs 1 —
(1 — у) (1 — 2v)
2 (1+v)
(1 — у) (1 — 2v)
2 (1+v)
6 —
6 —
(1 — v) (43— 14v) 4(1 + v)
(1 — v) (43— 14v) 4(1 + v)
_ to (1 — v) (1 — 2v) Г _ 6(1 —v) ].
^ cs 2(1 -f-v) I 1+v 6 J n
(1 — v) (1 — 2v) 2 (1+v)(1 — v) (1 — 2v) 2 (1+v)(1 — v) (1 — 2v) 2 (1 + v)(1 — v) (1 — 2v) 2 (1 + v)6(1—v)1 + V6(1—v)1 + VXi +Xi +1 —1 —3(1 — v)(13 — 2v) 4 (1 + v)3(1 — v)(13 — 2v) 4 (1 + v)(9.7.21)(9.7.21)
(1 — v) (1 — 2v) 2 (1+v)
(1 — v) (1 — 2v) 2 (1+v)
(1 — v) (1 — 2v) 2 (1 + v)
(1 — v) (1 — 2v) 2 (1 + v)
6(1—v)
1 + V
6(1—v)
1 + V
Xi +
Xi +
1 —
1 —
3(1 — v)(13 — 2v) 4 (1 + v)
3(1 — v)(13 — 2v) 4 (1 + v)
(9.7.21)
(9.7.21)
„ = m_ (l-v)(l—2y) Г _ 6(1 —V) 21_
c0 \ 2 ) Г 2 (1 + v)1+v J 1
_ (i_v)(i_2v) Г _ (1—v) (41 — IQv) 21 21
2 (1+v)[4(1 +v) J Х1Г
гдегде— адиабатическая фазовая скорость распростра— адиабатическая фазовая скорость распространения волны расширения в стержне. Скорость cs можно определить, решая рассматриваемую задачу при а = —- = 0. Используя выра- сенения волны расширения в стержне. Скорость cs можно определить, решая рассматриваемую задачу при а = —- = 0. Используя выра- сежения (9.7.17) для а1 и р1, находимжения (9.7.17) для а1 и р1, находим2 _ 2 l+v + 3(l—у)еs о i+v + 2(l— v2) е "2 _ 2 l+v + 3(l—у)еs о i+v + 2(l— v2) е "ЭтоЭто(9.7.22)22 ES(9.7.22)22 ESже соотношение получаем на основании равенства cs = с0 -g-,же соотношение получаем на основании равенства cs = с0 -g-,где Es—адиабатический модуль упругости. Из первой формулы (9.7.21) следует, что при X <^ 1 фазовая скорость модифицированной упругой волны Uj я» cs. Анализ решений задач § 9.5 и § 9.6 также показал, что при X <£ 1 фазовая скорость модифицированной упругой волны расширения по своей величине очень близка к адиабатической фазовой скорости; это означает, что в случае гармонических тепловых возмущений при X <^ 1 решение уравнения (1.8.2), описывающего адиабатическую деформацию, дает удовлетворительные результаты для связанной задачи термоупругости.где Es—адиабатический модуль упругости. Из первой формулы (9.7.21) следует, что при X <^ 1 фазовая скорость модифицированной упругой волны Uj я» cs. Анализ решений задач § 9.5 и § 9.6 также показал, что при X <£ 1 фазовая скорость модифицированной упругой волны расширения по своей величине очень близка к адиабатической фазовой скорости; это означает, что в случае гармонических тепловых возмущений при X <^ 1 решение уравнения (1.8.2), описывающего адиабатическую деформацию, дает удовлетворительные результаты для связанной задачи термоупругости.
где
где
— адиабатическая фазовая скорость распростра
— адиабатическая фазовая скорость распростра
нения волны расширения в стержне. Скорость cs можно определить, решая рассматриваемую задачу при а = —- = 0. Используя выра- се
нения волны расширения в стержне. Скорость cs можно определить, решая рассматриваемую задачу при а = —- = 0. Используя выра- се
жения (9.7.17) для а1 и р1, находим
жения (9.7.17) для а1 и р1, находим
2 _ 2 l+v + 3(l—у)е
s о i+v + 2(l— v2) е "
2 _ 2 l+v + 3(l—у)е
s о i+v + 2(l— v2) е "
Это
Это
(9.7.22)
22 ES
(9.7.22)
22 ES
же соотношение получаем на основании равенства cs = с0 -g-,
же соотношение получаем на основании равенства cs = с0 -g-,
где Es—адиабатический модуль упругости. Из первой формулы (9.7.21) следует, что при X <^ 1 фазовая скорость модифицированной упругой волны Uj я» cs. Анализ решений задач § 9.5 и § 9.6 также показал, что при X <£ 1 фазовая скорость модифицированной упругой волны расширения по своей величине очень близка к адиабатической фазовой скорости; это означает, что в случае гармонических тепловых возмущений при X <^ 1 решение уравнения (1.8.2), описывающего адиабатическую деформацию, дает удовлетворительные результаты для связанной задачи термоупругости.
где Es—адиабатический модуль упругости. Из первой формулы (9.7.21) следует, что при X <^ 1 фазовая скорость модифицированной упругой волны Uj я» cs. Анализ решений задач § 9.5 и § 9.6 также показал, что при X <£ 1 фазовая скорость модифицированной упругой волны расширения по своей величине очень близка к адиабатической фазовой скорости; это означает, что в случае гармонических тепловых возмущений при X <^ 1 решение уравнения (1.8.2), описывающего адиабатическую деформацию, дает удовлетворительные результаты для связанной задачи термоупругости.
ЛИТЕРАТУРА
Афанасьева-Эренфест Т. А. Необратимость, односторонность и второе начало термодинамики.— Ж- прикл. физ., 1928, 5, 3—4.
Базаров И. П. Термодинамика. Физматгиз, М., 1961.
Балабух Л. И., Шаповалов Л. А. О вариационных уравнениях термоупругости.— ПММ, 1960, 24, 4.
Безухов Н. И. и др. Расчеты на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур. «Машиностроение», М., 1965.
Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. «Мир», М., 1964.
Ващенко-Захарченко М. Е. Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений. К-, 1862.
Галеркин Б. Г. Определение напряжений и перемещений в упругом изотропном теле при помощи трех функций. Собр. соч., т. I. Изд-во АН СССР, 1952.
Гейтвуд Б. Е. Температурные напряжения применительно к самолетам, снарядам, турбинам и ядерным реакторам. ИЛ, М., 1959.
Гершунов Е. М. Расчеты круглых и кольцевых пластин на действие произвольной динамической нагрузки.— Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, 1964, 6.
Г о б с о н Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. ИЛ, М., 1952.
Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. Гостех- издат, М., 1953.
Грей Э., М е т ь ю з Г. Б. Функции Бесселя и их приложения в физике и механике. ИЛ, М., 1953.
Гринченко В. Т. Осесимметричная задача теории упругости для полого цилиндра конечной длины.— ПМ, 1967, III, 8.
Даниловская В. И. Температурные напряжения в упругом полупространстве, возникающие вследствие внезапного иагрева его границы.— ПММ, 1950, 14, 3.
Даниловская В. И. Об одной динамической задаче термоупругости.— ПММ, 1952, 16, 3.
Д е Гроот С. Р. Термодинамика необратимых процессов. Гостехтеориз- дат, М., 1956.
Д и н н и к А. Н. Приложение функций Бесселя к задачам теории упругости. Ч. 2 (гл. VI. Температурные напряжения в цилиндре). Изв. Екатериносл. гори, ин-та, 1915.
Жермен П. Механика сплошных сред. «Мир», М., 1965.
К а н т о р о в и ч Л. В. и Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. Физматгиз, М.— Л., 1962.
К а р с л о у Г., Е г е р Д. Теплопроводность твердых тел. «Наука», М., 1964.
Кирпичев М. В. Теория подобия. Изд-во АН СССР, М., 1953.
Коваленко А. Д. Круглые пластины переменной толщины. Физматгиз, М., 1959.
Коваленко А. Д. Пластины и оболочки в роторах турбомашии. Изд-во АН УССР, К., 1955.
Коваленко А. Д. Развитие теории гипергеометрических функций в связи с задачами об упругом равновесии пластин и оболочек.— ПММ, 1967, 31, 4.
Коваленко А. Д., Григоренко Я- М., Ильин Л. А. Теория тонких конических оболочек и ее приложение в машиностроении. Изд-во АН УССР, К., 1963.
Коваленко А. Д., Григоренко Я. М., Лобкова Н. А. Расчет конических оболочек линейно-переменной толщины. Изд-во АН УССР, К., 1961.
К о л ь с к и й Г. Волны напряжения в твердых телах. ИЛ, М., 1955.
Кочни Н. Е. Векторное исчисление и начало тензорного исчисления. Изд-во АН СССР, М„ 1961.
Коялович Б. М. Исследования о бесконечных системах линейных уравнений. Изв. ФТИ им. В. А. Стеклова, 1931, 3.
Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. «Наука», М., 1965.
Л а и д а у Л. Д. и Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. Гостех- издат, М., 1954.
Л е б е д е в Н. Н. Температурные напряжения в теории упругости. ОНТИ, М.—Л., 1937.
Л е б е д е в Н. Н. Специальные функции и нх приложения. Гостехиздат, М., 1953.
Лейбеизои Л. С. Теория упругости. Собр. трудов, т. 1. Изд-во АН СССР, М., 1951.
Леонтович М. А. Введение в термодинамику. Гостехиздат, М.— Л., 1951.
Л о б к о в а Н. А., Ильин Л. А. К теории тонких неоднородных пластин.— ПМ, 1965, 1, 8.
Л у р ь е А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек. Гостехиздат, М., 1947.
Л у р ь е А. И. Пространственные задачи теории упругости. Гостехиздат, М., 1955.
Л ы к о в А. В. Теория теплопроводности. «Высшая школа», М., 1967.
Маделунг Э. Математический аппарат физики. Физматгиз, М., 1958.
Майзель В. М. Температурная задача теории упругости. Изд-во АН УССР, К-, 1951.
М е л а и Э. и П а р к у с Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями. Физматгиз, М., 1958.
Мотовиловец И. А. Теплопроводность пластин и тел вращения. «Наукова думка», К-, 1969.
Мусхелишвили Н. И. О тепловых напряжениях в плоской задаче теории упругости. Изв. электротехнич. ии-та, Пгр., 1916, 13.
Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Изд-во АН СССР, М.— Л., 1954.
Новацкий В. Вопросы термоупругости. Изд-во АН СССР, М., 1962.
Новожилов В. В. Теория упругости. Судпромгиз, Л., 1958.
Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Судпромгиз, Л., 1962.
Папкович П. Ф. Выражение общего интеграла основных уравнений теории упругости через гармонические функции.— Изв. АН СССР, Сер. мат. и естеств. наук, 1932, 10.
Папкович П. Ф. Об общем интеграле тепловых напряжений (по поводу статьи Лебедева).— ПММ, 1937, 1, 2.
Папкович П. Ф. Теория упругости. Оборонгиз, Л.— М., 1939.
П а р к у с Г. Неустановившиеся температурные напряжения. Физматгиз, М., 1963.
П i д с т р и г а ч Я. С., Ярема С. Я- Температуря! напруження в обо- лоиках. Вид-воАН УРСР, К-, 1961.
Подстригая Я- С. О влиянии термоупругого рассеяния на напряженное состояние деформируемого тела.— Изв. АН СССР, ОТН, 1960, 4.
Подстригая Я- С., Швец Р. Н. Некоторые динамияеские задачи термоупругости тонких оболочек. Теория оболочек и пластин.— В кн.: Тр. IV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Изд-во АН АрмССР, Ереван, 1964.
П р а г е р В. Введение в механику сплошных сред. ИЛ, М., 1963.
Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды. Физматгиз, М., 1962.
Седов Л. И. Механика сплошной среды, ч. I—IV. Изд-во МГУ, 1968.
С о б о л е в С. Л. Алгоритмы Шварца в теории упругости.— ДАН СССР, 1936, IV, 6.
Тимошенко С. П. Теория упругости. ОНТИ, Л.— М., 1937.
Тимошенко С. П., Войновскнй-КригерС. Пластины и оболочки. Физматгиз, М., 1963.
Т и х о н о в А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. «Наука», М., 1966.
У л и т к о А. Ф. Метод векторных собственных функций в пространственных задачах теории упругости.— ПМ, 1967, III, 9.
У м о в Н. А. Избранные сочинения. Теория термомеханических явлений в твердых упругих телах (1872). Гостехтеориздат, М., 1950.
Ш и л л е р Н. Н. О втором законе термодинамики и об одной новой его формулировке. Киев, универ, изв., 1898.
Ш и л л е р Н. Н. Опытные данные и определения, лежащие в основании второго закона термодинамики. Киев, универ, изв., 1900, 3.
Ш о р и н С. Н. Теплопередача. «Высшая школа», М., 1964.
В 1 о t М. A. Thermoelasticity and irreversible thermodynamics.— J. AppL Phys., 1956, 27, 3.
В о 1 e у В. A., Barber A. D. Dynamic response of beams and plates to rapid heating.— J. Appl. Meeh., 1957, 24, 3.
В о 1 e у В. A., T о 1 i n s I. S. Transient coupled thermoelastic boundary value problems in the half — space.— J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 1962, E 29, 4.
В r i 1 1 о w i n L. Tensors in mechanics and elasticity. 2. Academic Press, New York and London, 1964.
В u c h d a h 1 H. A. On the unrestricted theorem of Caratheodory and its application in the treatment of the second law of thermodynamics.— Amer. J. Phys., 1949, 17, 4.
Caratheodory C. Untersuchungen fiber die Grundlagen der Thermody- namik.— Math. Ann., 1909, 67.
Chadwick P. Progress in solid mechanics. Thermoelasticity. The dynamical theory. North — Holland Pub. Co., Amsterdam, 1960, 1.
C h a d w i c k P., Sneddon LN. Plane waves in an elastic solid conducting heat. J. Meeh. a. Phys. Solids, 1958, 6, 3.
C h a d w i c k P., W i n d 1 e D. W. Propagation of Rayleigh waves along isothermal and insulated boundaries.— Proc. Roy. Soc., 1964, A280, 1380.
Deresiewicz H. Plane waves in a thermoelastic solid.— J. Acoust. Soc. Amer., 1957, 29.
Deresiewicz H. Solution of the equations of thermoelasticity.— Proc. 3rd Nat. Congr. Appl. Meeh. ASME, 1958, June.
D i 1 1 о n O. W. Jr. Thermoelasticity when the material coupling parameter equals unity.— Trans. ASME, 1965, E32, 2.
D u h a m e 1 J. M. C. Second memoire sur les phenomenes termo — mecha- niques.— J. de Г Ecole Polytechnique, 1837, 15.
Ehrenfest-Afanassjewa. T. Zur Axiomatisierung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik.— Z.f. Phys., 1925, 33.
G о о d i e r J. N. On the integration of the thermoelastic equations.— Phyl. Mag., 1937, 7, 23.
H e m p W. S. Fundamental principles and theorems of thermoelasticity.— Aeronaut. Quart., 1956, 7, Aug.
Johns D. J. Thermal stress analyses.— Pergamon Press, Oxford — Ld.—■ Edinburgh — N. Y.— P.— Frankfurt, 1965.
К r a u s H. Thermally induced vibrations of thin nonshallow spherical shells.— AIAA J., 1966, 4, 3.
L о с к e t t F. J. Effect of thermal properties of a solid on the velocity of Rayleigh waves.— J. Meeh, and Phys. Solids, 1958, 7.
L о r e n z R. Temperaturspannungen in Hohlzylinder.— Z. V. D. I., 1907, 51.
M i c h e 1 1 J. H. On the direct determination of stress in an elastic solid, with application to the theory of plates.— Proc. Ld. Math. Soc., 1900, 31.
M u к i R., Breuer S. Coupling effects in a transient thermoelastic problem. Osterr. Ing. Archiv, 1962, 26, 4.
N о w а с к i W. Thermoelasticity.— Pergamon — Press, Oxford — Ld. N. Y.— P, 1962.
Nowac ki W. Dynamiczne zagadnienia termosprqzystosci.— Meeh. Teoret. i Stosowana, 1965, 3, 3.
Rudiger D. Bemerkung zur Integration der thermoelastischen Grundlei- chungen. Osterr. Ing. Archiv, 1964, 18, 1—2.
S t e r n b e r g E., Chakravorty J. G. On inertia effects in a transient thermoelastic problem. Trans. ASME, 1959, E26, 4.
Sternberg E., Eubanks R. A. On stress function for elastokine- tics and the integration of the repeated wave equation.— Quart. Appl. Math., 1957, 15, 2.
Trostel R. Instationare Warmespannungen in einer Hohlkugel.— Ing. Arch., 1956, 24.
Trostel R. Instationare Warmespannungen in Hohlzylinder mit Kreis- ringquershnitt.— Ing. Arch., 1956, 24, 1.
W a г г e n W. E. A transient axisymmetric thermoelastic problem for the hollow sphere.— AIAA J., 1963, 1, 11.
W e i n e r J. H. A uniqueness theorem for the coupled thermoelastic problem.— Quart, of Appl. Math., 1957, 15, 1.
Weiner R. S. Forced axisymmetric motions of circular elastic plates.—■ J. of Appl. Meeh, Trans. ASME, 1965, E32, 4.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 5
Глава первая. Термодинамические основы термоупругости . . . . 12
Общие замечания и обозначения "12
Деформации. Уравнения равновесия (движения). Работа деформации 15
Основные понятия и положения классической термодинамики 20
Основные положения термодинамики необратимых процессов в связи с термоупругим деформированием твердого тела . . . 24
Термодинамические функции. Уравнениясостояния.Уравнение
теплопроводности 26
Случай малого термического возмущения.Адиабатическаядеформация 31
Постановка задачи термоупругости32
Классификация задач термоупругости34
Глава вторая. Основные уравнения статической и квазистатической задач термоупругости 37
Постановка задачи 37
Представление общего решения задачи термоупругости в перемещениях 38
Постановка задачи термоупругостивнапряжениях40
Вариационные принципытермоупругости 45
Обобщение теоремы о взаимности работ на задачу термоупругости 47
Уравнения термоупругости в цилиндрических и сферических координатах 49
Глава третья. Основные законы и задачи теплопроводности . . . . 54
Основные способы теплообмена и методы решения задач теплопроводности 54
Уравнение теплопроводности. Начальное и граничные условия 55
Уравнения нестационарной теплопроводности пластин . . . . 59
Стационарное осесимметричное температурное поле диска, цилиндра и круглой пластины63
Стационарное неосесимметричное плоское температурное поле длинного цилиндра 67
Преобразование Лапласа 69
Нестационарное температурноеполеполупространстваинеограниченной пластины72
Нестационарное плоское осесимметричноетемпературноеполе
диска и длинного цилиндра 79
Нестационарное плоское осесимметричное температурное поле длинного полого цилиндра 82
Нестационарное осесимметричное температурное поле цилиндра конечной длины 86
Нестационарное плоское осесимметричное температурное поле длинного цилиндра под воздействием линейного источника тепла, расположенного на оси цилиндра 88
Глава четвертая. Плоская задача термоупругости 92
Особенности плоской задачи термоупругости 92
Плоская деформация и плоское напряженное состояние . . .94
Пространственное температурное поле, вызывающее плоское напряженное состояние. Тепловые напряжения в пластине при изменении температуры только по толщине101
Постановка плоской задачи термоупругости в напряжениях для многосвязного тела 104
Применение теории функций комплексного переменного в плоской задаче термоупругости при стационарном температурном поле. Дислокационная аналогия ПО
Тепловые напряжения в цилиндре и диске при плоском осесимметричном температурном поле 116
Тепловые напряжения в полом цилиндре и диске с центральным отверстием при плоском стационарном неосесимметричном температурном поле 121
Решение задачи о тепловых напряжениях в полом цилиндре с помощью дислокационной аналогии125
Некоторые свойства гипергеометрическихфункций129
Тепловые напряжения в цилиндре при переменных модуле упругости и коэффициенте линейного теплового расширения . . . 132
Глава пятая. Термоупругость круглых пластин137
Основные предположения и задачи137
Основные уравнения термоупругости пластин переменной толщины 138
Тепловые напряжения в пластине постоянной толщины . . . 145
Тепловые напряжения в пластине линейно-переменной толщины при осесимметричном температурном поле155
Термоупругость неоднородных пластин при осесимметричном температурном поле 165
Глава шестая. Термоупругость оболочек вращения170
Вводные замечания 170
Некоторые понятия и формулы теории поверхностей вращения 171
Деформации оболочки 174
Уравнения равновесия оболочки177
Соотношения между усилиями, моментамии деформациями . . 179
Тепловые напряжения в цилиндрическойоболочке180
Разрешающие уравнения 188
Форма решений и граничные условия192
Тепловые напряжения в конической оболочке194
Тепловые напряжения в сферической оболочке206
Глава седьмая. Осесимметричная задача термоупругости . . . . 218
Основные уравнения218
Тепловыенапряженияв цилиндре конечной длины223
Расчет тепловых напряжений в сплошном цилиндре конечной длины234
Тепловые напряжения в полой сфере239
Тепловые напряжения, возникающие при аэродинамическом нагреве полой сферы в сверхзвуковом потоке247
Глава восьмая. Динамическая задача термоупругостн251
Представления общего решения251
Тепловые напряжения в упругом полупространстве при тепловом ударе на его поверхности253
Осесимметричные колебания круглой пластины, возбужденные тепловым ударом 258
Динамические эффекты при конечной скорости изменения тепловых воздействий 268
Глава девятая. Связанная задачатермоупругости273
Эффекты связанности 273
Термическое возмущение упругого слоя при мгновенном приложении поверхностных сил274
Представления общего решения278
Вариационный принцип 281
Плоские гармонические термоупругие волны расширения в неограниченной среде 286
Термоупругие волны Релея292
Продольные волны в бесконечно длинномсплошном цилиндре 296
Литература 301
Коваленко Анатолий Дмитриевич
ОСНОВЫ ТЕРМОУПРУГОСТИ
Печатается по постановлению ученого совета Института механики АН УССР.
Редактор П. Я- Фурер. Художественный редактор И. М. Галушко. Оформление художника В. Н. Кононенко. Технический редактор Б. М. Кричевская. Корректор Р. С. Коган.
Сдано в набор 23.III. 1970 г. Подписано к печати 14.IX. 1970 г. БФ 08420. Зак. 676. Изд. № 76. Тираж 5000. Бумага № 2, 60 X 90718. Печ. физ. л. 19,25. Условн. печ. л. 19,25. Учетно-изд. л. 2!,55. Цена 1 руб. 14 коп.
Издательство «Наукова думка», Киев, Репина, 3.
Киевский полиграфический комбинат Комитета по печати при Совете Министров УССР, ул. Довженко, 3.
Замеченные опечатки
Страница
Строка
Напечатано
Должно быть
78
13-я сверху
е п 1
133
4-я снизу
4- С2ах1—С(1 — с)...
+ С2ах'-с[(1 - с)...
134
1-я сверху
х х3г2 (о*
х Зг2 (“' 4- Ху),
141
16-я сверху
79N,\
V.r + —!-dr\de, \or)
(6Nrr \
(^ + -5^4/9,
151
14-я сверху
TW н
7(0) (г) и ТО) (г)
^ (Oil ^jik^kmn^j^ln.m) d^
4
+ aT f [(T - To) 6,7 - еикекпг1^ (Г - T0),m] d^ = 0 (2.3.22) 4
(K = 1,У);
1 + V f... V fI
£ J ekmnGih.mUy g* J вкт1Орр,т“^1 "T" 44
+ «r$ eftmZ(7-To),m^z = O (K=l, ..., N). (2.3.23)
На основании полученных результатов можно сделать важный вывод, что в одно- или многосвязном теле, свободном от поверхностных и объемных сил, температурное поле, заданное в декартовой системе координат линейной функцией
Т-Т0 = Т00+Т„х„,(2.3.24)
1 д2ф
г2 sin2 ф де2 '
Обозначая в сферических координатах компоненты тензора напряжения через а„ стф, ое. ^гф = Офг, п^е = оег, »6ф = °<ре (рис. 7), компоненты тензора деформации через ег, еф, ее, егф = ефг, еге = еег, 80ф =8ф0 и компоненты вектора перемещения через иг, иф, ug, приводим следующие зависимости:
где С = т .
Если усилие Nr, действующее в срединной плоскости пластины, велико, то необходимо в уравнении (5.4.8) сохранить член .2
Г0 X
Do (1—х)2
Поскольку решение для Nr определяется в гипергеометрических функциях, то точное интегрирование уравнения (5.4.8) затруднительно.
Для приближенной оценки влияния растяжения на изгиб в уравнении (5.4.8) можно усреднить в рассматриваемом интервале изменения переменной х коэффициент при у, содержащий Nr, т. е. представить его в виде
(е с _е V «). (8.2.12)
4“л
гдеDm = am [70 (am) Jх (am) — J0 (oQ Ix (aj] —
— (1 + v) J0(am)70(am).(8.3.28)
При вычислении Nm учитываем уравнение (8.3.24).
АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР
ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ
А. Д. КОВАЛЕНКО
ОСНОВЫ
ТЕРМОУПРУГОСТИ
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования УССР в качестве учебного пособия для студентов механико-математических факультетов университетов.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКОВА ДУМКА» КИЕВ— 1970
531
К56
УДК 539.3
В книге кратко излагается теория термоупругости; описываются основные положения и методы термоупругости, необходимые для исследования тепловых напряжений в элементах конструкций при стационарных и нестационарных температурных полях. Приводятся решения ряда задач о тепловых напряжениях в дисках, пластинах, оболочках и телах вращения в квазиста- тической постановке. Рассматриваются динамические задачи термоупругости, а также связанные задачи термоупругости, учитывающие термоупругие эффекты в процессах деформирования.
Предназначена для студентов механико-математических факультетов университетов, а также для инженерно-технических и научных работников, занимающихся исследованиями в области механики твердых деформируемых тел.
2—4—2
163—том
Киевский полиграфический комбинат