Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ДИНАМИЧЕСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫХ
ЭЛЕКТРОУПРУГИХ СРЕД
Редактор Е.Н. Глебова
Оригинал-макет: Д.А. Воробьев
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
Подписано в печать 16.05.06. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 17. Уч.-изд. л. 18,5. Тираж 400 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ОАО «Ивановская областная типография»
153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6
E-mail: 091-018@adminet.ivanovo.ru
© ФИЗМАТЛИТ, 2006
ISBN 5-9221-0668-6ISBN 5-9221-0668-6© В. В. Калинчук, Т. И. Белянкова, 2006
ISBN 5-9221-0668-6
ISBN 5-9221-0668-6
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 7
Глава 1. Некоторые сведения из нелинейной механики электроупругих сред 11
Основные положения нелинейной теории упругости . . . 11
Описание напряженного состояния электроупругой среды 18
Глава 2. Линеаризация уравнений нелинейной механики электроупругих сред 28
Линеаризация уравнений нелинейной механики электроупругих сред в отсчетной конфигурации 29
Линеаризация уравнений нелинейной теории электроупругости в начально-деформированной конфигурации 36
Глава 3. Свойства некоторых классов пьезоактивных материалов 42
Некоторые классы электроупругих материалов 42
Простейшие типы материалов, обладающих пьезоэлектрическими свойствами 45
Классы материалов с осью симметрии, параллельной оси хз 48
Сегнетоэлектрические поликристаллы (керамика класса oomm) 50
Изменение свойств пьезоэлектрических материалов при повороте системы координат 52
Глава 4. Краевые динамические задачи о колебании преднапряженных электроупругих сред в координатах естественной конфигурации 54
Постановка краевой задачи в лагранжевых координатах 55
Постановка задачи в декартовой системе координат . . . 59
Влияние преднапряжений на симметрию кристаллов . . 62
Определение параметров начального напряженного состояния в классе 6mm (система координат Лагранжа) 67
Глава 5. Краевая задача в координатах начально- деформированной конфигурации 69
Постановка краевой задачи в координатах начально- деформированной конфигурации 69
Краевая задача в декартовой системе координат 73
Влияние начального напряженного состояния на симметрию кристаллов (система координатЭйлера) 77
Определение параметров начального состояния в классе 6mm (система координат Эйлера) 84
Постановка задач для электроупругой неоднородной среды 86
Постановка задач для электроупругой многослойной среды 86
Глава 6. Решение динамических задач для предварительно напряженных электроупругих полуограни- ченных сред 89
Общий случай преднапряженной электроупругой среды 89
Колебания электроупругого преднапряженного слоя . . . 94
Составная преднапряженная электроупругая среда (пьезоактивный слой на диэлектрическом полупространстве) 105
Г л а в а 7. О подходах к исследованию закономерностей взаимодействия электродных структур с пьезоактивными полуограниченными средами112
Динамическое контактное взаимодействие массивных электродов с полуограниченными электроупругими средами 112
Динамическое взаимодействие электромеханических систем (с сосредоточенными параметрами) с полуограниченными электроупругими средами118
Энергия электроупругих волн, возбуждаемых в пьезоактивной среде поверхностными источниками122
Глава 8. Интегральные уравнения динамических контактных задач для пьезоактивных преднапряженных полуограниченных сред126
Электроупругий слой с защемленным основанием127
Электроупругий слой, лежащий без трения на жестком основании131
Электроупругий преднапряженный слой на диэлектрическом полупространстве133
Глава 9. Некоторые методы решения одномерных интегральных уравнений139
Метод факторизации решения интегральных уравнений 140
Метод фиктивного поглощения решения одномерных интегральных уравнений148
Глава 10. Некоторые методы решения интегральных уравнений пространственных задач157
Метод фиктивного поглощения для решения двумерных интегральных уравнений157
Метод решения систем интегральных уравнений пространственных задач165
Глава 11. Некоторые типы систем интегральных уравнений в плоских задачах180
Системы интегральных уравнений плоских задач180
Глава 12. Некоторые особенности динамики пьезоактивных сред189
Колебания электроупругого слоя. Пространственная задача191
Колебания электроупругого слоя. Плоская задача200
Колебания пьезоактивного слоя на поверхности диэлектрического полупространства213
Колебания пьезоактивного слоя на поверхности диэлектрического полупространства. Плоская задача221
Глава 13. Влияние начальных напряжений на динамику электроупругих полуограниченных сред230
Особенности динамического взаимодействия жесткого штампа с преднапряженным электроупругим слоем . . . 231
Особенности динамического взаимодействия электрода со структурно неоднородной пьезоактивной средой. . . . 242
Глава 14. Динамика резонансных систем, взаимодействующих с пьезоактивными средами250
Резонансные свойства электромеханической системы, взаимодействующей с пьезоактивной средой250
Колебания электромеханической системы, взаимодействующей с пьезоактивным слоем в отсутствие начальных напряжений254
Колебания электромеханической системы, включающей пьезоактивный слой на диэлектрическом полупространстве 258
Влияние преднапряжений на колебания электромеханической системы261
Список литературы266
ВВЕДЕНИЕ
Монография посвящена развитию теории и разработке методов динамического контактного взаимодействия пьезоактивных полуограниченных тел при конечных (больших) начальных деформациях.
Машиностроение и приборостроение, ультразвуковая дефектоскопия и акустическая эмиссия, акустоэлектроника, фундаментостроение и сейсмостойкое строительство, сейсморазведка и геофизика, — далеко не полный перечень отраслей современной науки и техники, в которых проблема контактного взаимодействия твердых деформируемых тел играет важную, а в ряде случаев определяющую, роль. Достаточно полные обзоры работ по динамике контактного взаимодействия даны в монографиях [5, 12, 26, 27, 28, 33, 37, 46, 55 и др.].
Совершенствование методов расчета деталей и узлов машин и конструкций, потребность прогнозирования их ресурсной способности обуславливают необходимость учета начальных напряжений на стадии проектирования. Актуальной является проблема разработки теоретических и экспериментальных методов контроля напряженного состояния, оценки величины и характера начальных напряжений в деталях и элементах конструкций при эксплуатации.
Строгое описание процессов, проистекающих в твердом деформируемом теле при больших (конечных) деформациях представляет сложную проблему и требует привлечения определяющих соотношений нелинейной механики [36, 43, 52, 53 и др.]. В то же время множество процессов, происходящих в телах при больших начальных напряжениях, можно рассматривать в рамках линеаризованной теории наложения малых деформаций (динамических возмущений) на конечные деформации (начальное статическое состоя-
ние) в предположении, что возмущения малы. Такой подход позволяет за счет линеаризации нелинейных уравнений в окрестности статического состояния построить в той или иной мере последовательную теорию динамических процессов в преднапряженном теле. От последовательности линеаризации зависит степень адекватности описания влияния начальной деформации на динамические процессы в предварительно напряженных средах.
Сходные проблемы возникают при исследовании динамических процессов с участием пьезоактивных, подверженных большим начальным напряжениям тел. Последовательное изложение нелинейной механики электромагнитных сред дано в [54]. Изучение особенностей проявления начальных напряжений в электроупругой среде впервые, по- видимому, предпринято в работе R. N. Thurston, К. Brugger [100]. Последовательное построение линеаризованной теории динамических процессов в преднапряженной электроупругой среде в условиях действия внешних электростатических полей, основанное на линеаризации нелинейных уравнений электроупругости, дали J. С. Baumhauer, H.F. Tiersten [71]. В работах [71, 76, 78, 87, 90, 97-105, 109, НО и др.] при исследовании процессов распространения волн в различных кристаллах рассмотрены эффекты, связанные с учетом констант третьего порядка. Изучение влияния начальных напряжений на скорости поверхностных акустических волн и акустоупругие эффекты второго порядка предпринято в [56, 72, 76-80, 85-87, 89, 90, 92-94, 96, 98-100, 106, ПО и др.]. Влияние внешних электростатических полей на скорость поверхностных волн в пьезоэлектрической среде исследовалось в [38, 40-42, 68, 71 и др.]. Сочетание совместного воздействия механических напряжений и сильных начальных электрических полей на скорость поверхностных волн в пьезоэлектрической среде исследовалось в [71, 72]. Ряд выявленных в отмеченных выше работах закономерностей использован при разработке теоретических основ и экспериментальных методов определения нелинейных упругих, диэлектрических и пьезоэлек-
трических констант различных кристаллов [73, 75, 78, 97, 99-101, ПО].
В настоящей работе предпринято построение линеаризованной теории контактного взаимодействия полуогра- ниченных, предварительно напряженных пьезоактивных тел. На основе использования материальной (лагранжевой) и пространственной (эйлеровой) форм описания нелинейных процессов проведена последовательная линеаризация определяющих соотношений нелинейной механики электромагнитной среды. Изучено влияние преднапряжений на класс симметрии различных типов пьезоэлектриков. Показаны особенности постановки краевых задач с использованием лагранжевых и эйлеровых координат, построены решения задач о колебаниях пьезоактивной среды с прямолинейными границами (слой, слоистое полупространство). Для этих типов сред построены интегральные уравнения, приведены их основные свойства.
Особое внимание уделено описанию эффективных методов решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений, возникающих при изучении динамики контактного взаимодействия пьезоактивных сред. В качестве таковых используются метод факторизации [5-7], развитый в ряде работ В. А. Бабешко, и метод фиктивного поглощения, предложенный В. А. Бабешко и развитый в цикле работ В. А. Бабешко и О. Д. Пряхиной [5, 13, 28, 62, 63 и др.]. Эффективность последнего была продемонстрирована при исследовании систем интегральных уравнений, возникающих в задачах контактного взаимодействия массивных электродов с различными средами типа слоя или пакета слоев [13, 28, 62, 63 и др.]. В работах [8-10] было предложено обобщение метода фиктивного поглощения к решению интегральных уравнений и систем интегральных уравнений динамических смешанных задач для слоисто-неоднородного полупространства. Эффективность метода была продемонстрирована при исследовании систем интегральных уравнений, возникающих в задачах контактного взаимодействия массивных тел с аналогичными типами электроупругих сред [24, 25, 29, 46, 47 и др.].
Основным достоинством методов факторизации и фиктивного поглощения является высокая степень точности учета динамических свойств среды, позволяющая исследовать тонкие вопросы влияния начальных напряжений на основные характеристики процесса контактного взаимодействия. Методы апробированы на широком круге конкретных задач контактного взаимодействия с участием различных пьезоактивных материалов. Выявлены закономерности влияния начальных напряжений на динамические процессы в пьезоактивных средах, изучены возможности использования резонансных явлений для регистрации изменений начального напряженного состояния пьезоактивных деформируемых тел.
В основу работы положены исследования, проведенные авторами в рамках выполнения исследовательских грантов РФФИ № 98-01-00401, 99-01-01015, 03-01-00694, РФФИ Р2003ЮГ (03-01-96527, 03-01-96537, 03-01-96662), РФФИ ННИО 04-01-00401, гранта Президента РФ (НШ-2107- 2003.1).
Авторы выражают глубокую признательность академику РАН В. А. Бабешко за поддержку и постоянное внимание к работе.
Авторы благодарят А. С. Богомолова и В. А. Лыжова, взявших на себя труд в проведении цикла численных расчетов, Д. Н. Шейдакова за помощь в подготовке рукописи.
Авторы выражают благодарность И. А. Зайцевой и Ю. Е. Пузанову, любезно предоставившим ряд численных результатов.
Глава 1
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗНЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ
ЭЛЕКТРОУПРУГИХ СРЕД
В настоящей главе приводится сводка основных сведений из нелинейной теории упругости и нелинейной механики электроупругих сред, необходимых для цельности изложения процесса линеаризации определяющих соотношений динамики предварительно напряженных электроупругих сред и для строгой постановки динамических задач. Эти сведения не претендуют на полноту. Последовательное изложение нелинейной теории упругости в отсутствие пьезоэффекта в полном объеме дано в фундаментальных работах [52, 53, 91 и др.]. Исчерпывающее изложение нелинейной механики электроупругих сред представлено в монографиях [54, 65, 92 и др.].
Основные положения нелинейной теории упругости
В нелинейной теории упругости, в отличие от классической (линейной), различают отсчетную v- и актуальную ^-конфигурации (т. е. до и после действия поверхностных и массовых сил). Различие этих конфигураций заключается в способе задания радиус-векторов, определяющих положение материальной точки.
Системы координат Лагранжа и Эйлера. Введем систему материальных координат q\, q^, qa и каждой точке среды поставим в соответствие конкретные значения q\, q2, qa, которые остаются неизменными в про-
цессе деформирования. Положение материальной точки в отсчетной конфигурации задается радиус-вектором г = isas(qx, q2, qd — непрерывной и требуемое число раз дифференцируемой вектор-функцией. Место этой же точки при движении среды задается радиус-вектором R = isXs(qx, q2, qa, Р — также непрерывной и требуемое число раз дифференцируемой вектор-функцией. Этим определяются отсчетная и актуальная конфигурации и вводятся в рассмотрение система координат Лагранжа щ, «2, «з (лагранжевы координаты), связанная с отсчетной у-конфигурацией, и система координат Эйлера Х^, Х2, Хз (эйлеровы координаты), связанная с актуальной V- конфигурацией. Определение V-оператора также зависит от выбранной конфигурации. Обозначим:
в у-конфигурации
V0 = r,^, rfc = im^,(1.1.1)
oqkoqk
в ^-конфигурации
V = R^, R, = i,„^,(1.1.2)
oqkoqk
Yk и R/ — векторы основного базиса в у- и V-конфигурациях соответственно. В рассмотрение вводятся также векторы взаимного базиса в этих конфигурациях:
„к _ ; dqkиат„к _ ; dqkиатRRImIm9qkэхт9qkэхт
„к _ ; dqk
иат
„к _ ; dqk
иат
R
R
Im
Im
9qkэхт
9qkэхт
Справедливы соотношения:
rfc . r ._ f L m k
r rm - и - om - у m k rk-rm = gkm, rk.rm = gkmi
R
td riT>m r^m
k *,
где gkmi gkm, Gkm, Gkm — компоненты метрических тензоров в соответствующих конфигурациях, д^ — символ Кронекера.
Замечание 1.1. Нетрудно заметить, что если в качестве материальных координат qi, q2, qs использовать де-
картовы координаты «ь «2, ^з и Хь Х^, Хд в естественной и актуальной конфигурациях соответственно, то базисные векторы в этих конфигурациях совпадут с базисными векторами декартовой системы координат:
R/ = Rfc = Yk = rk = ik = i\
В ортонормированием базисе основной и взаимный базисы не различаются, метрические тензоры совпадают с единичными и имеет место соотношение:
•• «к *т ?
икт-
Замечание 1.2. При конкретных исследованиях наряду с прямоугольной декартовой часто используются цилиндрическая и сферическая системы координат, базисные векторы которых подчинены условию ортогональности. В этом случае
Yk-Ym = gkm = 0, к + т,
Yk-Yk = H^, А: =1,2,3,
где величины Нк называются коэффициентами Ламе. Цилиндрическая система координат: в качестве материальных координат используются
91 = г> 92 = У> 93 = ^ (радиус, азимутальный угол, высота), причем 0 < г < сю, 0 < р < 2тг, —сю < % < сю. Справедливы соотношения связи между цилиндрическими и декартовыми прямоугольными координатами:
Х1 = Г COS у?, Х2 = Г sin у?, Хз = %.
Коэффициенты Ламе имеют вид:
Hr= 1, Н. = г, Н2=\.
Сферическая система координат: в качестве материальных координат используются:
q\ — R, q2 — 9, q^ — р (радиус, угол, отсчитываемый от северного полюса, и долгота), причем 0 < R < сю, О ^ 9 ^ тг, 0 ^ р ^ 2тг. Справедливы соотношения связи между сферическими и декартовыми прямоугольными координатами:
ад = R sin 9 cos р, Х2 = R sin 9 sin р, х^ = Rcos 9. Коэффициенты Ламе имеют вид:
HR = 1, Н6 = R, Hv = Rsin0.
Описание кинематики сплошной среды. Основными тензорами, характеризующими кинематику сплошной среды в нелинейной теории упругости, являются тензоры-градиенты векторов места [52]:
в ^-конфигурации
С = V0R = ikim^,(1.1.3)
в ^-конфигурации
С"1 = Vr = ikim|^.(1.1.4)
OAk
В отличие от классической линейной теории упругости, в которой основной характеристикой деформации среды является линейный тензор деформации Коши, в нелинейной теории упругости деформацию в сплошной среде характеризуют мера деформации Коши-Грина
G = C Ст,(1.1.5)
которая определена в n-базисе отсчетной конфигурации, и мера деформации Фингера
F = CT С,(1.1.6)
которая определена в V-базисе актуальной конфигурации. Главные значения и инварианты тензоров G и F совпадают, что следует из формул (1.1.5) и (1.1.6):
A(G) = Л^Е) = Gi + G2 + G3,
Лг(С) = Лг(Е) = G1G2 + G2G3 + G3G1,
A3(G) = A3(F) = G'1G'2G'3 = |.
По этим мерам в отсчетной конфигурации определяется тензор деформации Коши-Грина
S=1/2(G-I),(1.1.7)
в актуальной — тензор деформации Альманзи
g= 1/2(F~'-I).(1.1.8)
Здесь I — единичный тензор, определенный в соответствующей конфигурации.
Далее будем обозначать объем тела, ограничивающую его поверхность и плотность в У-конфигурации соответственно V, О, р, а в ^-конфигурации — v, о, ро соответственно. По законам сохранения массы справедливы соотношения, связывающие параметры тела в обеих конфигурациях:
eo=^ = JH.=J(119)
Р dv у g
гдер
— = det G = det-1 g. g
Описание напряженного состояния сплошной среды. Основным тензором, описывающим напряженное состояние среды в актуальной конфигурации, или тензором истинных напряжений, является тензор напряжений Коши Т. Значение этого тензора состоит в том, что вектор напряжения In на ориентированной площадке с нормалью N определяется с помощью формулы Коши
tN = N • Т.(1.1.10)
Описание напряженного состояния с помощью тензора напряжений Коши Т, определенного в актуальной конфигурации, естественно и физически наглядно.
Закон состояния, определяющий тензор Коши, в случае гиперупругой, то есть имеющей упругий потенциал, среды представляется в виде [52]
T = 2J-1F.Xf.(11-И)
Здесь х — упругий потенциал, который для изотропных материалов представляется в виде скалярной функции от инвариантов A&(F) меры деформации Фингера F:
Х = х(АьА2,АзР(1.1.12)
Однако, как правило, актуальная конфигурация является неизвестной и сама требует определения, в то время как отсчетная конфигурация является заданной. Проблема отыскания напряженного состояния деформированной среды существенно упрощается за счет введения тензора напряжений Пиола П, определенного в отсчетной конфигурации и связанного с тензором Коши соотношением
П = ТС т Т.(1.1.13)
Механический смысл тензора Пиола состоит в том, что в исходном соотношении (1.1.10), определяющем напряжение на ориентированной площадке в актуальной конфигурации, ориентированная площадка N ДО заменяется ее представлением ndo в отсчетной конфигурации:
N-TdO = Jn-C”1-Tdo = n-ndo. (1.1.14)
Нетрудно заметить, что тензор напряжений Пиола, в отличие от тензора Коши, является несимметричным тензором, что в некоторых ситуациях приносит неудобства. В ряде случаев оказывается целесообразным использование симметричного тензора напряжений Кирхгофа
Р = П С1,
который связан с тензором Коши соотношением
P = JC T Т С1.(1.1.15)
Тензоры Пиола и Кирхгофа являются удобными вспомогательными величинами, которые непосредственно не определяют реальное напряженное состояние деформированной среды. Определение последнего в каждом случае требует возвращения к «истинному» тензору напряжений Коши. Однако тензоры Пиола и Кирхгофа играют весьма существенную роль при построении уравнений состояния
для гиперупругих сред. Это обусловлено тем, что тензор напряжений Кирхгофа Р сопряжен тензору деформации Коши-Грина S:
P = Xs = §- (1.1.16)
а тензор напряжений Пиола П сопряжен градиенту дефор
(II 17)(II 17)мации С:
(II 17)
(II 17)
11уг. хлс ЭС
Справедливо также представление тензора напряжений Пиола П через производную потенциальной энергии по тензору деформации
п = Xs ■ С.п = Xs ■ С.(II 18)
п = Xs ■ С.
п = Xs ■ С.
Некоторые свойства операций с V-оператором. Далее будет часто использоваться введенный ранее формулами (1.1.1) и (1.1.2) V-оператор. Напомним, что он определяется
в ц-конфигурации:
V0 = r,^, rfc = im^,(1.1.19)
OQkoqk
в П-конфигурации:
V = R, = i,„^.(1.1.20)
oykoqk
Градиент произвольного вектора представляется в виде диады
V7•9
Vu = is—и =
uxs
• 9
lsdxs
.. . дик
lkuk = MfcT^— uxs
(1.1.21)
или тензора
/ дих дх\
ди^ диз \ дхх dx\
Vu =
Эи\
Эх2 ди\
\ Эх3
ди2 диз
дх2 дх2 '
(М? диз
дхз дхз /
(1.1.22)
Производная произвольного вектора представляется в виде:
du = VuT • dr = ifcis|^ • ig dxq = ifc|^ dxs = ik duk. oxs 44 oxs
(1.1.23)
Описание напряженного состоянияэлектроупругой среды
В настоящем разделе приводятся сведения из нелинейной механики сплошных электроупругих сред.
Электрический потенциал. Одним из основных параметров, определяющих состояние электроупругой среды, является электрический потенциал у — скалярная функция. Заданием потенциала определяются векторы напряженности электрического поля в актуальной и отсчетной конфигурациях:
E = -V^, W = -Voy.(1.2.1)
Вектор W, который называют «материальным» вектором напряженности электрического поля, играет весьма существенную роль в механике электроупругой среды, поскольку по нему определяется «электрическое смещение» в отсчетной конфигурации — «материальный» вектор поляризации:
tt = -Xw(1-2.2)
Электрические и механические свойства электроупругой среды в актуальной конфигурации описываются вектором поляризации
р = _j-iCTXw = J"1^,(1.2.3)
вектором индукции
D = s0E + p,(1.2.4)
электрическим тензором напряжений Максвелла [71, 102— 104]
МЕ = М + рЕ, М = £0ЕЕ- 1/2г0Е-Е1(1.2.5)
и уравнением состояния в виде
т = Т — рЕ, Т = J-'^-Xs-C.(1.2.6)
Представление потенциальной энергии в нелинейной механике электроупругих сред. Участвующие в представлениях (1.2.2)—(1.2.6) вектор Xw и тензор Xs являются производными скалярной функции X = x(S, W) — термодинамического потенциала [54, 71, 102-104], свободной энергии единицы объема [64], которая в настоящей работе предполагается зависящей от тензора деформации Коши-Грина S и «материального» вектора напряженности электрического поля W:
Эх Эх
Xw - aw ’ Xs - as ’
Функция х — X (8, W) определяет запасенную в процессе деформации энергию электроупругого тела. В общем случае термодинамический потенциал предполагается зависящим не только от тензора S и вектора W, но и от температуры 0, которая отвечает за термоупругие и пироэлектрические эффекты в электроупругой среде:
V = .V(S, W. 6).(1.2.7)
При построении определяющих соотношений предполагаем, что состояние
S = 0, W = 0, 9 = 00(1.2.8)
является состоянием с минимальной свободной энергией. Ограничиваясь удержанием в разложении функции (1.2.7) в окрестности состояния (1.2.8) членов четвертого порядка по деформациям и электрическому полю и второго порядка по отклонению температуры, получим общее представление термодинамического потенциала в виде [54]:
14Cw . ,s . ,s + 16Cw . .s . -s . -S +
26
+ i 8CW • -s • -S • -S • -S - 3e ■ W • -S - 15f ■ W • -S • -S - 242
-l7f.W"S"S"S-l4d-W-W"S-
- 16d ■ W • W ■ -S ■ -S - 15e • W ■ W ■ W • -S -
-l2/3-W-W-l3/3-W-W-W-
Z
-2e-s(6-%)- 'и-^це-воу
(1.2.9)
Здесь:
4CW — тензор IV ранга упругих констант II порядка, который характеризует линейную деформацию при постоянной температуре и электрическом поле;
6CW — тензор VI ранга и 8CW — тензор VIII ранга — тензоры упругих констант III и IV порядка соответственно, которые характеризуют нелинейную деформацию при постоянной температуре и электрическом поле;
23 — тензор II ранга констант диэлектрической восприимчивости;
3/3 — тензор III ранга констант диэлектрической восприимчивости II порядка, связанный с нелинейными оптическими и электрическими эффектами;
43 — тензор IV ранга констант диэлектрической восприимчивости III порядка.
Тензоры 2/3, З3 и 4/3 определены при постоянной температуре и деформации. Тензор диэлектрической восприимчивости 23 является симметричным. В линейном приближении его компоненты связаны с компонентами тензора диэлектрической проницаемости 2е соотношениями ^kn Ео^кп + 3kw
Зе — тензор III ранга и 5е — тензор V ранга — тензорные пьезоэлектрические константы II порядка и IV порядка, связанные с электроакустическими эффектами (изменение
скорости акустических волн под действием приложенного электрического напряжения).
4d — тензор IV ранга электрострикционных констант, связанный с упругооптическими и электрострикционными эффектами;
5f — тензор V ранга — тензорный электроупругий коэффициент третьего порядка,
6d — тензор VI ранга и 7f — тензор VII ранга — четный и нечетный тензорные электроупругие коэффициенты IV порядка, которые связаны с электроакустическими эффектами (изменение скорости акустических волн под действием приложенного электрического напряжения).
20 — тензорный коэффициент термоупругости;
'и — вектор пироэлектричества;
г] — удельная теплоемкость;
Ро — плотность материала, 0 — температура.
Представление термодинамического потенциала (1.2.9) в покомпонентной форме в декартовой прямоугольной си-
стеме координат имеет вид:
X 2 ^klmn Ski Smn “1“ g Cklmnpq Ski Smn Spq H-
24 CklmripqTsSklSmriSpqSTS - ^mkl^^mSkl
2 dmnp[WmWnSpi — emnpy{WTn\Vin\^
2 fmklpq^^mSklSpq — fmklpqrs^^mSklSpqSrs
4 dmnk^q^^m^^riSklSpq — СщпЖ^Ж ^ ^mrp^Mri^n^p
- 4emnpqWmWnWpWq - 1
(1.2.10)(1.2.10)-29kiSki(9-9d-^kWk(0-9oY
(1.2.10)
(1.2.10)
Выражения (1.2.6)-(1.2.10) представляют собой одну из наиболее общих форм определяющих соотношений нелинейной механики электроупругих сред, учитывающую термоупругие, пироэлектрические и другие температурные эффекты.
Необходимо отметить, что лишь немногие коэффициенты IV порядка известны. Отсутствие информации об этих коэффициентах приводит к значительным затруднениям в ряде приложений, в которых тем или иным образом используются нелинейные эффекты.
В отсутствие тепловых эффектов представление тензора Кирхгофа имеет вид [54, 65]:
2 d'mnkl^XrmWn2 d'mnkl^XrmWnPklCfcZmnSmn 4" 2 CklmnpqSmnSpq 4"
2 d'mnkl^XrmWn
2 d'mnkl^XrmWn
4" g CymnpqrsSmnSpqSrs emfc[Wm
g СтпрЫ^^ггМСХХр fmklpq^VmSpq
2 fmklpqrs^XmSpqSrs 2 ^тпЫрдВ^т^Уп'З'рд.
Из представления (1.2.11) нетрудно заметить, что механические напряжения, определяемые пьезоэлектрическим эффектом II порядка Зетоы, меняют знак вместе с электрическим полем, в то время как напряжения, определяемые электрострикцией 4dmnki, не изменяются при повороте электрического поля.
Замечание. Если материал обладает центральной симметрией, то из представления (1.2.10) следует, что все материальные коэффициенты нечетного порядка тождественно обращаются в нуль.
Учет многих слагаемых высокого порядка полезен при рассмотрении некоторых эффектов нелинейных взаимодействий в рамках нелинейной механики электроупругих сред. Однако в ряде публикаций [71, 76, 102-104] используется упрощенное представление термодинамической функции в виде:
= 1 4Cw . ,s . ,s _ зе . w . -S - 12у • W • W +
+ 16CW • -S ■ -S • -S - 13/3 ■ W • W • W -
- l4d- W W--S- |5f • W -S- -S. (1.2.12)
Выражение (1.2.12) представляет собой одну из возможных форм, определяющую соотношения нелинейной механики электроупругих сред, не учитывающую термоупругие, пироэлектрические и другие температурные эффекты. Далее, эффекты, обуславливающие необходимость учета констант диэлектрической восприимчивости III порядка и электрострикционных констант, не рассматриваются. Кроме того, пьезоэлектрические эффекты в динамике электроупругого тела играют значительно меньшую роль по сравнению с механическими эффектами. Это позволяет в представлении (1.2.12) не учитывать также пьезоэлектрические константы IV порядка и при исследовании конкретных задач использовать еще более простое представление термодинамического потенциала:
y(S, W) = 14CW ■ -S ■ -S - Зе • W ■ -S -
-l2/3-W-W + l6Cw--S--S--S. (1.2.13)
Выражение (1.2.13) справедливо при использовании произвольной системы координат. В декартовой прямоугольной системе координат более удобным представляется использование покомпонентной формы термодинамического потенциала:
X 2 CklmnSklSmn + 2 CklmnpqSklSmnSpq -3emklWmSki-^23mnWmWn. (1.2.14)
Особенность постановки краевой задачи электроупругости. Рассмотрим задачу о колебаниях электроупругой среды, занимающей некоторый объем V, ограниченный поверхностью О. Особенность постановки задач для электроупругих тел состоит в том, что наряду с граничными условиями для механической составляющей движения пьезоактивной среды необходимо ставить условия для электрической составляющей динамического процесса.
При постановке механической составляющей задачи будем полагать, что на поверхности тела О, состоящей из областей О = 01 + О2, на одной ее части 01 задан вектор перемещений точек среды и*, на другой ее части 02 известен вектор напряжений t^. Возможен случай смешанных условий, когда в одной и той же области задаются как компоненты вектора перемещений, так и вектора напряжений.
Формулировка электрических условий зависит от способа возбуждения электроупругой среды. Пусть на поверхности тела О = О3 + О4 область Оз металлизирована (т. е. нанесен электропроводящий слой), а область О 4 свободна от металлизации. В случае возбуждения колебаний за счет электрического напряжения у?*, приложенного к электро- дированной поверхности, будем полагать, что в области Оз задан электрический потенциал. В случае возбуждения колебаний за счет наведенного электрического заряда, распределенного на электроде, необходимо иметь в виду, что плотность заряда на поверхности электрода равна скачку нормальной компоненты вектора электрической индукции на этой поверхности
g = N+■ (D+-D"), (1.2.15)
где N+ — орт внешней нормали, D+, D- — значения электрической индукции соответственно вне и внутри элек- троупругого тела.
Если электрод изолирован (нет соединения с электрической цепью), значение потенциала определяется из условия сохранения заряда на внутренней и внешней поверхности электрода соответственно:
[n+ • (D+ - ГГ^сЮ = 0. (1.2.16) Оз
Далее будем полагать, что электроупругое тело находится в воздушной среде или в вакууме. Поскольку их диэлектрическая проницаемость намного (в сотни раз) меньше проницаемости пьезоактивной среды, то D+ <С D-, что позволяет в соотношении (1.2.15) пренебречь вели-
чиной D+ и заменить выражение (1.2.15) приближенной формулой
g«-N-D,(1.2.17)
где N — орт внешней нормали, D = D- — значение электрической индукции в электроупругом теле. В этом случае условие сохранения заряда (1.2.16) принимает вид:
[N-DdO = 0.(1.2.18)
Оз
На неэлектродированной части поверхности О4 пьезоактивной среды свободные заряды отсутствуют, что с учетом соотношения (1.2.17) приводит к следующему условию на этой части поверхности:
N ■ D = О3 = 0.(1.2.19)
Замечание. Граничные условия с заданным потенциалом относятся к условиям первого рода. Граничные условия, задающие нормальную компоненту индукции, относятся к условиям второго рода, поскольку вектор индукции выражается через производные потенциала и перемещений. Электрические граничные условия третьего рода возникают при наличии электрических цепей, содержащих активные и реактивные элементы (емкости, индуктивности, сопротивления).
Постановка краевой задачи нелинейной теории электроупругости в пространственных (эйлеровых) координатах. Рассмотрим в пространственных (эйлеровых) координатах задачу о колебаниях электроупругой среды, занимающей некоторый объем V, ограниченный поверхностью О = 01 + O2 = O3 + О4. Полагаем, что на части поверхности 01 задан вектор R*, определяющий перемещение точек среды, на другой части поверхности О2 заданы механические напряжения t^. На электродированной части поверхности Оз задан электрический потенциал </?*, на части поверхности О4, которая также может быть частично металлизированной, задано распределение заряда g*.
Краевая задача о колебаниях электроупругой среды в эйлеровой системе координат описывается уравнением движения
V • (т + МЕ) = pR,(1.2.20)
уравнением вынужденной электростатики
VD = 0(1.2.21)
и граничными условиями:
на поверхности О\
RR.
(1.2.22)
на поверхности О2
N - (т + МЕ) =t^,
(1.2.23)
на поверхности Оз
у = у*,
(1.2.24)
на поверхности О\
ND = -g*.
(1.2.25)
С учетом выражений (1.2.5), (1.2.6) нетрудно видеть, что в уравнение движения (1.2.20) и граничное условие (1.2.23) входят лишь симметричный механический тензор Коши Т и симметричная часть М электрического тензора напряжений Максвелла (1.2.5). То есть выражения (1.2.20) и (1.2.23) можно переписать в виде:
V-(T + M) = pR,(1.2.26)
на поверхности (?2
N-(T + M)=t^.(1.2.27)
Постановка краевой задачи нелинейной теории электроупругости (лагранжевы координаты). В ряде случаев целесообразно использовать материальное представление уравнений движения и граничных условий в лагранжевых координатах. С этой целью, как и в упругом случае, вводится в рассмотрение тензор напряжений Пиола
П = ТС т Т,(1.2.28)
электрический тензор Пиола-Максвелла
т = .7СтМ(1.2.29)
и материальная форма электрической индукции
d = JC"TD,(1.2.30)
отнесенные к базису отсчетной конфигурации.
Рассмотрим в материальных (лагранжевых) координатах задачу о колебаниях электроупругой среды, занимающей объем v, ограниченный поверхностью о = oi + 02 = = 03 + 04. Полагаем, что на части поверхности ot задан вектор г*, определяющий перемещение точек среды, на части поверхности 02 заданы механические напряжения t*. На электродированной части поверхности 03 задан электрический потенциал у?*, на части поверхности 04, которая также может быть частично металлизированной, задано распределение заряда g*.
В лагранжевых координатах краевая задача описывается уравнением движения
Vo • (П + m) = p0R,(1.2.31)
уравнением вынужденной электростатики
Vo • d = 0(1.2.32)
+ О4: на oi
Rr.
(1.2.33)
на 02
п (П + m) = t*,
(1.2.34)
на оз
(1.2.35)
и граничными условиями на поверхности о = О] + 02 = 03 +
на 04
nd= -g*.
(1.2.36)
Глава 2
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙНЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИЭЛЕКТРОУПРУГИХ СРЕД
В настоящей главе, следуя [43, 52], на основе последовательной линеаризации уравнений (1.2.20), (1.2.21) или (1.2.31), (1.2.32) в окрестности некоторого начально-деформированного состояния электроупругого тела, дается вывод определяющих соотношений линеаризованной теории динамики электроупругой преднапряженной среды. Окончательные выражения построены независимо к выбору криволинейной системы координат и представлены в компактной форме, удобной как для проведения исследований теоретического характера, так и для исследования прикладных задач.
Начальное деформированное состояние в электроупру- гом теле может создаваться не только действием статических механических напряжений, но и воздействием на тело начальным электростатическим полем за счет пьезоэффекта. Различие в описании упругих (в большинстве случаев материальное описание) и электрических (исключительно пространственное описание) полей определяет целесообразность использования той или иной системы координат при линеаризации определяющих соотношений.
Система координат Лагранжа «ь ц2, «з, связанная с естественной конфигурацией тела, используется при исследовании динамических процессов в электроупругих средах в том случае, когда отсутствует воздействие внешних электрических полей. Начальное состояние создается за счет действия статических механических напряжений, электрическое поле является вторичным, возникающим за
счет электроупругих свойств тела. Участвующие в представлении уравнений движения и граничных условий члены, содержащие множителем значение вектора напряженности электрического поля в начально-деформированной конфигурации, могут быть опущены в силу их малости.
Система координат Эйлера Хь Х2» Х3, связанная с актуальной конфигурацией электроупругого тела, используется в том случае, когда оно подвержено как действию механических напряжений, так и воздействию внешних электростатических полей. В этом случае в уравнениях движения и граничных условиях целесообразно сохранять члены, содержащие квадраты вектора напряженности электрического поля.
Далее величины, отмеченные индексом о, относятся к естественному, заданному в отсчетной конфигурации состоянию. Величины, отмеченные индексом ], относятся к начальному, заданному в начально-деформированной конфигурации состоянию. Заданные в естественном и начально-деформированном состоянии V-операторы связаны соотношением:
Vi = Ср1 • Vo.
Линеаризация уравнений нелинейноймеханики электроупругих сред в отсчетнойконфигурации
Будем предполагать, что существует некоторая равновесная начально-деформированная конфигурация электроупругого тела, заданная радиус-вектором Ri = (Xj, Х^, ^3) и потенциалом <р\. Она определяется:
тензором-градиентом деформации Ci = VqRi в векторном базисе естественной конфигурации;
— вектором напряженности электрического поля Е] = = — Vi</?i в векторном базисе начально-деформированной конфигурации.
Материальное представление напряженного состояния среды в начально-деформированном состоянии задается:
тензором напряжений Пиола П1 = П(Сь </?i);
электрическим тензором Пиола-Максвелла mi = = т(Сь у?1);
вектором индукции di = d(C], yi).
Все эти тензоры определены в базисе естественной конфигурации.
Уравнения статики в объеме и на поверхности о = oi + + 02 = 03 + 04 в начально-деформированной конфигурации представляются соотношениями:
Vq • (П1 + mi)
= 0,
(2.1.1)
Vo • di = 0,
(2-1.2)
на
01
n • (П1 + mi)
= fr,
на
на
02
Оз
R1 = RL
П • di = -gp
(2.1.3)
на
04
^1 =
Предположим, что под действием поверхностных сил или электрического поля этой конфигурации сообщается малое механическое туп и электрическое г^ возмущение. Т. е. положение точек в возмущенной конфигурации определяется радиус-вектором R = Ri + туп, электрическое поле — потенциалом Ф = </?i + pip.
Следуя [43, 52], представим тензорные и векторные величины, описывающие возмущенную конфигурацию в виде (индексом 1 отмечены их значения в начально-деформированной конфигурации):
П = П1+т7П*, (2.1.4) ш — Ш| +//ш*. (2.1.5) d = di+77de, (2.1.6)
где индексом * обозначены конвективные производные соответствующих функций, которые определяются формулой [52]
т1 = Т(С, + 4V0«, у, + чу) |„=о. (2.1.7)
Тензоры П, m и вектор d должны удовлетворять системе уравнений (1.2.31), (1.2.32) и возмущенным граничным условиям:
на 01на о3на 01на о3п • (П + m) = f* + r/f *, nd = -(g; + ??£*),п • (П + m) = f* + r/f *, nd = -(g; + ??£*),(2.1.8)(2.1.8)
на 01
на о3
на 01
на о3
п • (П + m) = f* + r/f *, nd = -(g; + ??£*),
п • (П + m) = f* + r/f *, nd = -(g; + ??£*),
(2.1.8)
(2.1.8)
при следующих условиях на перемещение и и потенциал
на 02u = u*
на о4= у .v ’
Подставим выражения (2.1.4)-(2.1.6) в уравнения (1.2.31) и (1.2.32), граничные условия (2.1.8) и учтем соотношения (2.1.1)-(2.1.3) и (2.1.9). Сохранив линейные члены по Т], придем к определенной в базисе естественной конфигурации краевой задаче относительно неизвестных перемещения и и потенциала <р, которая описывается линеаризованной системой уравнений
Vo • (ГГ + т*) = рой,(2.1.10)
Vo-d* = O(2.1.11)
и линеаризованными граничными условиями на поверхности о = 01 + 02 — 03 + о4:
на oi
п • (П* + m*) = f*,
на 02 на оз
и = и*,
п • de = — g*,
(2.1.12)
на о4
V = V*-
Для вычисления тензоров П*, т* и вектора d* перепишем представления тензора П (1.2.28) с учетом выражения (1.2.6), тензора m (1.2.29) с учетом выражения (1.2.5) и вектора d (1.2.30) с учетом выражений (1.2.3), (1.2.4) в виде:
(2.1.13)(2.1.14)(2.1.15)(2.1.13)(2.1.14)(2.1.15)П = Xs С,
(2.1.13)
(2.1.14)
(2.1.15)
(2.1.13)
(2.1.14)
(2.1.15)
m = £О^С"Т • (ЕЕ - 1/2 Е • EI), d = £oJC т•Е—Xw
Участвующие в представлениях (2.1.13) и (2.1.15) вектор Xw и тензор Xs являются производными термодинамического потенциала х = X (8, W) — скалярной функции, определяющей запасенную в процессе деформации энергию электроупругого тела и зависящей от тензора деформации Коши-Грина S и «материального» вектора напряженности электрического поля W.
Для вычисления тензора П* с учетом его представления (2.1.13) последовательно получаем:
П- = (Xs ■ СГ = (Xsc ■ С-т + Xsw ■ W-) ■ С, + Xs ■ С-.
(2.1.16) Далее используем формулу перехода от дифференцирования по градиенту деформации к дифференцированию по тензору деформации S
Хс ~ Xs 1 С,(2.1.17)
определение конвективных производных градиента деформации
С* = Vou, СеТ = VouT(2.1.18)
и материального вектора напряженности электрического поля
W = -^0Ф)е =(2.1.19)
После внесения выражений (2.1.17)-(2.1.19) в представление (2.1.16) получим:
П* = (Xss 1 Ci 1 vouT - Xsw 1 ^оГ • С, + xs ' Vou.
(2.1.20) Здесь и далее индексом i обозначены значения соответствующих функций в начальном состоянии.
Аналогично, для конвективной производной электрического тензора m с учетом его представления (2.1.14) запишем:
т* = €О[УС“Т • М + У(С“Т)‘ • М + УС“Т • Ме], (2.1.21) где
М* = МЕ • Е*,(2.1.22)
здесь Me — тензор III ранга (производная тензора М по вектору Е) вида
Me = ;о \Ej§in + Ei§jn — Еп8ц] 1ДДП.(2.1.23)
Если учесть, что конвективные производные скалярной функции J и тензора С-т имеют вид
J* = J^x • и, (С"т)е =-СГТ ■ V,uT, (2.1.24) то выражение (2.1.21) после внесения в него формул (2.1.24) представится в виде:
m* = г0ЛСут ■ [(IV1 • u - ViuT) ■ Mi + М^ • Е*].
(2.1.25)
Аналогично, для вычисления конвективной производной вектора d с учетом его представления (2.1.15) запишем:
d* = г0 (^CfTEi + Ji(C“T)*Ei + ЛСутЕ*) -
-XwwW-Xws^.C" (2.1.26)
Подставив выражения (2.1.19) и (2.1.24) в представление (2.1.26), получим:
d* = sq^iCj • [Vi • uEi — ViUT • Ei + E*j +
+ Xww ‘— Xws ‘ Ci • VoUT. (2.1.27)
Для вычисления конвективной производной вектора напряженности электрического поля Е*, участвующей в представлениях конвективных производных тензора Максвелла (2.1.25) и электрической индукции (2.1.27), используем выражение (1.2.1), для которого последовательно получаем:
Е* = -^Ф)е = -(С"1 • VoФ)• =
= -(С"1)* • VoФ - С"1 ■ ^0Ф)А (2.1.28)
Используя формулы
(CT^-Vin-Cy1, (VoФ)• = Voy, (2.1.29)
имеем
Ее = Viu • Vi<^i — Vi<^.(2.1.30)
2 В. В. Калинчук, Т. И. Белянкова
Окончательно, с учетом выражения (1.2.1), получим:
Е* = —Viu • Ei — Viy. (2.1.31)
Из представлений (2.1.25), (2.1.27), (2.1.31) видно, что в описании тензора т* и векторов d* и Е*, определяющих напряженное состояние в актуальной конфигурации, участвует оператор Vi, определенный в базисе начальной конфигурации. Это обусловлено пространственной формой представления характеристик электрического поля. Для перехода к материальному представлению через векторный базис естественной конфигурации необходимо использовать связь между дифференцированием в естественной и в начально-деформированной конфигурациях:
Vi^C^-Vq. (2.1.32)
Однако в данном разделе используется материальная система координат и рассматривается случай отсутствия воздействия внешних электростатических полей. Создаваемое в начальной конфигурации за счет механического воздействия электрическое поле является производным, возникающим за счет пьезоэффекта. Напряженность этого поля для большинства пьезоэлектриков незначительна, поэтому при описании уравнений движения и граничных условий в начально-деформированном состоянии вполне допустимо пренебрегать членами, содержащими вектор напряженности электрического поля Е в качестве множителя. Тем самым, в случае отсутствия воздействия внешних электростатических полей (используется материальная система координат), конвективная производная вектора d представляется в виде:
de = (Xww — £оДС[') • Vq^ - Xws " Ci • VoUT, (2.1.33) где G = Ci • Cf — мера деформации Коши-Грина, определяющая начальное напряженное состояние. Формулы (2.1.20) и (2.1.33) определяют конвективные производные тензора П и вектора d, участвующих в представлении уравнений движения электроупругой среды. Однако использование выражения (2.1.20) затруднено из-за того, что тензор
Vou и вектор Vq^ стоят внутри произведения. Для того чтобы представить П* в более удобной для дальнейших исследований форме, целесообразно использовать тензоры упругости четвертого порядка [52]
Сш = гщяСг\ Сп = гщщМ(2.1.34)
и формулы двукратного свертывания этих тензоров с заданными тензорами:
Q = Cm-Q, QT = Cn -Q.(2.1.35)
Внося формулы (2.1.35) в представление (2.1.20), получим
П* = (Xss ‘ Ci • Cm • VoUT — Xsw ‘ I ‘ Voy) • C] +
+ Xs ' Си • VouT (2.1.36)
Перепишем это выражение с учетом формулы (2.1.34) и представления единичного тензора I = rtrl:
п* = (Xss 1 Ci • -г^гМ • VouT - Xsw 1 rt^ • Voy) • Ci + + Xs 1 rsrtrs? • VouT.
Нетрудно заметить, что агрегаты rsH • -VoUT и H • Vq^ являются скалярными величинами, что позволяет выносить их из произведения. Окончательно, конвективная производная тензора Пиола будет иметь вид:
IT = Hu • VouT - Ну • Voy, (2.1.37)
где
Hu = (Xss 1 Ci • rtrs • Ci + Xs 1 г8г^г8г1 - тензор IV ранга, отвечающий за механическую составляющую конвективной производной тензора Пиола,
Ну = Xsw ' С' CiC — тензор III ранга, отвечающий за электрическую составляющую конвективной производной тензора Пиола.
Линеаризация уравнений нелинейнойтеории электроупругости в начально-деформированной конфигурации
Ранее отмечалось, что начальные напряжения в элек- троупругой среде могут создаваться не только механическим путем, но и за счет воздействия начального статического электрического поля. Это обуславливает не только целесообразность представления уравнений движения и граничных условий в пространственных координатах, но и необходимость удержания в этих представлениях членов, содержащих квадраты вектора напряженности начального электрического поля.
При линеаризации определяющих соотношений нелинейной электроупругости в условиях воздействия начального электрического поля необходимо исходить из уравнений движения (1.2.20), (1.2.21) и граничных условий (1.2.22)-(1.2.25), заданных в базисе актуальной конфигурации. Однако процесс варьирования в этой конфигурации для вычисления конвективной производной представляется достаточно сложным в связи с тем, что возмущению должны подвергаться как описывающие напряженно-деформированное состояние функции, так и сама актуальная конфигурация (т. е. система координат, связанная с векторным базисом актуальной конфигурации, а также определенный в этом базисе V-оператор).
Следуя [43], чтобы избежать затруднений, связанных с варьированием базиса актуальной конфигурации, в качестве исходных соотношений, определяющих равновесную начальную конфигурацию, будем использовать уравнения статики в объеме тела (уравнения (2.1.1) и (2.1.2)) и на поверхности тела (уравнения (2.1.3)), выраженные через тензор Пиола. Варьируя эти уравнения в окрестности начального деформированного состояния и используя представления (2.1.4)-(2.1.6), придем к уравнениям (2.1.10), (2.1.11) и граничным условиям (2.1.12), определяющим
движение среды в возмущенной конфигурации, но записанным в векторном базисе отсчетной конфигурации.
Введем в рассмотрение тензоры
IT = JiCfT 0,
(2-2.1)
m* = ДС7Т • //.
(2.2.2)
d‘ = ^С^ • А.
(2.2.3)
условия(2.2.4)(2.2.5)(2.2.6)(2.2.4)-условия(2.2.4)(2.2.5)(2.2.6)(2.2.4)-Подставляя представления (2.2.1)-(2.2.3) в линеаризованные уравнения (2.1.10), (2.1.11) и граничные (2.1.12), получаем:
условия
(2.2.4)
(2.2.5)
(2.2.6)
(2.2.4)-
условия
(2.2.4)
(2.2.5)
(2.2.6)
(2.2.4)-
Vo • J\C т • (0 + д) = рой,
Vo-ДС"Т-А = 0,
на 01п • JiC-T • (0 + jit) = f*,
на 03п • JiC-T • А = —g*.
Для последующего преобразования выражений
.6) с целью перехода в векторный базис актуальной конфигурации используем тождество Пиола
Vo-(JiC"T)=O(2.2.7)
и формулу преобразования ориентированной площадки на части поверхности о; в естественной конфигурации (п — вектор нормали, do — площадь) к ориентированной площадке на части поверхности Ot в актуальной конфигурации (N — вектор нормали, dO — площадь в соответствующем базисе):
NdO = JC~X -ndo = Jn-C~Tdo.(2.2.8)
Учитывая формулу (2.2.7) в представлениях (2.2.4) и (2.2.5), формулу (2.2.8) в выражении (2.2.6), после необходимых преобразований получим линеаризованные уравнения движения и граничные условия преднапря- женной электроупругой среды, определенные в базисе начально-деформированной конфигурации:
Vi • (О + м) = /йй,(2.2.9)
V,-A = 0,(2.2.10)
На^‘N ^ + ^' f’(2.2.11)
на ОзN • А = —g .х '
Здесь использованы обозначения для перехода от возмущенных граничных условий в естественной конфигурации к возмущенным граничным условиям в актуальной конфигурации:
Г =д'^^д*.(2 2 12)
dO ’ ё dO ёv ’
Окончательно, линеаризованные уравнения движения и граничные условия преднапряженной электроупругой среды в базисе начально-деформированной конфигурации задаются тензором 0 (играет роль тензора напряжений Коши), тензором р (играет роль электрического тензора Максвелла) и вектором А (играет роль вектора электрической индукции).
Подставляя (2.1.20) в (2.2.1), получаем:
0 = J-’Cf X
х [(Xss • Cl • VouT - Xsw • ^оГ • Cl + Xs • Vou].
(2.2.13)
Нетрудно заметить, что тензор 0 в форме (2.2.13) представляет собой функцию, заданную в базисе отсчетной конфигурации, но отнесенную к векторному базису актуальной конфигурации.
Для полного преобразования тензора 0 к форме в начально-деформированной конфигурации введем в рассмотрение тензоры, представляющие собой производные термодинамического потенциала по тензорным аргументам:
(2.2.14)(2.2.14)Xss — Л 1 Cf • Xss ' Ci,Xsw = Л ’Cf • Xsw ‘ Ci, T-lr^T -,1 Г'
(2.2.14)
(2.2.14)
Xww —Ji ‘ Xww ‘
Й = Д'еДй'С,.
Эти производные заданы в начальном состоянии и связаны с тензорами, характеризующими упругие, электрические и пьезоэлектрические свойства материала среды, соотно-
шениями, аналогичными соотношениям, связывающим тензоры Кирхгофа и Коши. На основании формул
Vou = Ci-V]U, VoUT = ViUTCf
и представлений (2.2.14) имеем:
О = Ms ' ^>ит ■ СТ - Xsw ■ ^с) ■ с, + Xs ■ v,u.
(2.2.15)
Для вычисления тензора р подставим выражение (2.1.25) в представление (2.2.2). Получаем:
р = £о [(IV1 • u - ViuT) • Mi - Me • (Viu • E + V^)],
(2.2.16) где
Me = £o ^Ej8in + E}Sjn — E^6ip R(R7R„.
Аналогично, для вычисления вектора А подставим формулу (2.1.27) в представление (2.2.3). Имеем:
А = eg [V1 • uEi — (ViU^ + Viu) "Ei — V19?] +
+ XwwViy-Xws"ViuT.C7. (2.2.17)
Формулы (2.2.15)-(2.2.17) представляют собой заданные в базисе начально-деформированной конфигурации функции, определяющие напряженное состояние и электрические свойства электроупругой среды в возмущенной конфигурации. Нетрудно заметить, что тензоры (2.2.15), (2.2.16) и вектор (2.2.17), участвующие в уравнениях движения (2.2.9) и (2.2.10) и граничных условиях (2.2.11), являются линейными функциями относительно тензора Viu и вектора V^, но в то же время они нелинейны относительно градиента начальной деформации (Д и вектора напряженности начального электрического поля Ер
Представления тензоров 0 (2.2.15), р (2.2.16) и вектора А (2.2.17) неудобны для непосредственного использования из-за того, что тензор Viu и вектор Vi</? стоят внутри произведения. Для того чтобы представить выражения (2.2.15)-(2.2.17) в более удобной форме, необходимо,
как и в предыдущем разделе, использовать тензоры упругости [52]
Cm-RJijriC Cn lLB/RR' (2.2.18)
и формулы (2.1.35). Внося тензоры упругости в выражение (2.2.15), получим:
® = Ms ■ С„ ■ -V,и ■ С^ — XsW " 11 V,^) ■ С, +
+ Xs ‘• V]U.
Внося в это представление выражения (2.2.18), получим:
© = (Xss • Н$Н#Н5Н# • Vm. Cf - Xsw • RtR* • Vi^) X
X Cl + Xs • RtRsR'R4 • V1U.
Свертки RSR/ • Viu и R/ • Vi<p> являются скалярными величинами, что позволяет вынести их из произведения и представить тензор © в более удобной компактной форме:
© = Ни • Viu — Ну • Vi<p>,(2.2.19)
где
Ни = (Xss • RSR< СУ С! + хГ RtRs)RsR*
представляет собой тензор IV порядка, определяющий механическую составляющую конвективной производной,
Ну = Xsw • Rs • C1RS
представляет собой тензор III порядка, определяющий электрическую составляющую конвективной производной тензора напряжений.
Аналогичные преобразования проведем для конвективной производной тензора Максвелла:
М ~ £о У1 ■ uMi — (RsRt • -Mi +
+М^ ■ RtRs • Ei)RsR* ■ Viu - M^ • V,^], (2.2.20) A = £qVi • uEi — CoJRJC + RtRs) • Ei +
+Xws 1 RsRt1 c^] RRf • Viu + (xww - ffol) • V^.
(2.2.21)
Замечание. Линеаризация уравнений нелинейной теории электроупругости в декартовых прямоугольных координатах ранее была проведена в [71, 104]. В работах использовалось традиционное для исследований в области физической акустики покомпонентное представление тензоров. Окончательный вид определяющих соотношений, несмотря на использование декартовых координат, представляется громоздким и трудно обозримым, что существенно снижает эффективность их применения для общего анализа, затрудняет их преобразование в зависимости от исследуемой проблемы.
Глава 3
СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВПЬЕЗОАКТИВНЫХ МАТЕРИАЛОВ
В настоящей главе приведены сведения справочного характера о свойствах некоторых классов пьезоактивных материалов, которые будут использоваться в настоящей работе. Начальные напряжения, действующие в упругой изотропной среде, приводят к возникновению так называемой «наведенной анизотропии». Это обуславливает необходимость использования при исследовании динамики пред- напряженных упругих сред общих анизотропных моделей. Более сложная ситуация будет иметь место при исследовании электроупругих сред, которые уже в естественном состоянии являются анизотропными. Действие начальных напряжений на пьезоактивную среду, принадлежащую, например, к классу 6mm гексагональной сингонии, приведет к изменению класса симметрии, переходу из класса 6mm либо в класс 4mm тетрагональной системы, либо в класс 222 ромбической системы, в зависимости от вида начального напряженного состояния. Другая особенность пьезоактивных сред состоит в том, что преднапряженное состояние может создаваться как за счет механического воздействия, так и за счет действия начального статического электрического поля, что в определенных ситуациях может приводить к существенному изменению симметрии кристаллов.
Некоторые классы электроупругихматериалов
В кристаллофизике линейную связь между упругими и электрическими свойствами пьезоэлектрической среды
принято представлять схематично в виде матрицы размера
12 х 12 [57, 65], каждый столбец которой представляет
одну из независимых переменных, а каждая строка — одну из зависимых переменных. В настоящей работе в качестве
независимых переменных приняты компоненты тензора деформации и вектора напряженности электрического поля, а в качестве зависимых — компоненты тензора напряжений и вектора индукции. В общем случае матрица, связывающая компоненты тензора напряжений и вектора индукции с компонентами тензора деформации и вектора напряжен
^1,1^2,2^3,3^2,3^3,2^1,3^3,1^1,2^2,1^19^,26ЦЦ6112261133611236113261113611316111261121611162116311622116222262233622236223262213622316221262221612262226322бззп6332263333633236333263313633316331263321613362336333623116232262333623236233262313623316231262321612362236323632116322263233632236323263213632316321263221613262326332613116132261333613236133261313613316131261321611362136313631116312263133631236313263113631316311263121613162316331612116122261233612236123261213612316121261221611262126312621116212262133621236213262113621316211262121612162216321еш61226133612361326113613161126121“6ц—612-613621162226233622362326213623162126221—621-622-623631163226333632363326313633163126321-631-632-633 /^1,1^2,2^3,3^2,3^3,2^1,3^3,1^1,2^2,1^19^,26ЦЦ6112261133611236113261113611316111261121611162116311622116222262233622236223262213622316221262221612262226322бззп6332263333633236333263313633316331263321613362336333623116232262333623236233262313623316231262321612362236323632116322263233632236323263213632316321263221613262326332613116132261333613236133261313613316131261321611362136313631116312263133631236313263113631316311263121613162316331612116122261233612236123261213612316121261221611262126312621116212262133621236213262113621316211262121612162216321еш61226133612361326113613161126121“6ц—612-613621162226233622362326213623162126221—621-622-623631163226333632363326313633163126321-631-632-633 /(311)(311)Гц Тц Тзз ТД Тз2 Дз Tsi 7)2 721 7)1 7)2 \7)зГц Тц Тзз ТД Тз2 Дз Tsi 7)2 721 7)1 7)2 \7)зности электрического поля должна иметь вид:
^1,1
^2,2
^3,3
^2,3
^3,2
^1,3
^3,1
^1,2
^2,1
^1
9^,2
6ЦЦ
61122
61133
61123
61132
61113
61131
61112
61121
6111
6211
6311
62211
62222
62233
62223
62232
62213
62231
62212
62221
6122
6222
6322
бззп
63322
63333
63323
63332
63313
63331
63312
63321
6133
6233
6333
62311
62322
62333
62323
62332
62313
62331
62312
62321
6123
6223
6323
63211
63222
63233
63223
63232
63213
63231
63212
63221
6132
6232
6332
61311
61322
61333
61323
61332
61313
61331
61312
61321
6113
6213
6313
63111
63122
63133
63123
63132
63113
63131
63112
63121
6131
6231
6331
61211
61222
61233
61223
61232
61213
61231
61212
61221
6112
6212
6312
62111
62122
62133
62123
62132
62113
62131
62112
62121
6121
6221
6321
еш
6122
6133
6123
6132
6113
6131
6112
6121
“6ц
—612
-613
6211
6222
6233
6223
6232
6213
6231
6212
6221
—621
-622
-623
6311
6322
6333
6323
6332
6313
6331
6312
6321
-631
-632
-633 /
^1,1
^2,2
^3,3
^2,3
^3,2
^1,3
^3,1
^1,2
^2,1
^1
9^,2
6ЦЦ
61122
61133
61123
61132
61113
61131
61112
61121
6111
6211
6311
62211
62222
62233
62223
62232
62213
62231
62212
62221
6122
6222
6322
бззп
63322
63333
63323
63332
63313
63331
63312
63321
6133
6233
6333
62311
62322
62333
62323
62332
62313
62331
62312
62321
6123
6223
6323
63211
63222
63233
63223
63232
63213
63231
63212
63221
6132
6232
6332
61311
61322
61333
61323
61332
61313
61331
61312
61321
6113
6213
6313
63111
63122
63133
63123
63132
63113
63131
63112
63121
6131
6231
6331
61211
61222
61233
61223
61232
61213
61231
61212
61221
6112
6212
6312
62111
62122
62133
62123
62132
62113
62131
62112
62121
6121
6221
6321
еш
6122
6133
6123
6132
6113
6131
6112
6121
“6ц
—612
-613
6211
6222
6233
6223
6232
6213
6231
6212
6221
—621
-622
-623
6311
6322
6333
6323
6332
6313
6331
6312
6321
-631
-632
-633 /
(311)
(311)
Гц Тц Тзз ТД Тз2 Дз Tsi 7)2 721 7)1 7)2 \7)з
Гц Тц Тзз ТД Тз2 Дз Tsi 7)2 721 7)1 7)2 \7)з
Для сегнетоэлектрических кристаллов, находящихся в естественном состоянии, матрица (3.1.1) является симметричной. Иными словами, между парами индексов kl и sp в упругих константах и парой Is и одиночным индексом к в пьезоэлектрических константах имеют место
соотношения симметрии:
Cklsp CSpkb 6ys 6lski Eki Elk- (3.1.2) Соотношения симметрии также имеют место внутри пар индексов:
Cklsp Oksp Okps Ekips у Ekis &lsk ^^5/ Eslk- (6.1.6)
Необходимо учесть, что компоненты тензора напряжений Тгк, а также тензора деформации и^, являются симметричными относительно индексов:
Tik "U-ijk ^кЛ' (3.1.4)
Из условий (3.1.2)—(3.1.4) следует, что в матрице (3.1.1) лишь 9 столбцов и 9 строк являются независимыми. Все вышесказанное приводит к тому, что матрица связи (3.1.1) в естественном состоянии в общем случае содержит лишь 45 независимых констант: 21 упругий модуль, 18 пьезоэлектрических модулей и 6 диэлектрических констант, используемых в линейной механике электроупругой среды. Сведения о константах высших порядков носят отрывочный и противоречивый характер, хотя многими учеными ведутся интенсивные исследования по разработке методов определения этих констант [73, 78, 88, 100, 101, ПО и др.]. Ниже будет показано, что начальное напряженное состояние, обусловленное воздействием начальных электростатических полей, может приводить к исчезновению симметрии по некоторым индексам. Это определяет необходимость использования в таких исключительных случаях матрицы связи в наиболее общей форме. В обычных ситуациях в записи уравнений движения и граничных условий целесообразно использовать матричную систему обозначений Фойгта для упругих и пьезоэлектрических констант:
^Iksp ^«3’ ^Ikp ^la'^Iksp ^«3’ ^Ikp ^la'(3.1.5)(3.1.5)
^Iksp ^«3’ ^Ikp ^la'
^Iksp ^«3’ ^Ikp ^la'
(3.1.5)
(3.1.5)
Нумерация для парных индексов определяется соотноше
ниями:
Ik^a, 11^1, 22^2, 33^3.(3.1.6)
Нумерация смешанных компонент происходит по правилу, согласно которому сумма всех индексов (заменяющего и пары заменяемых) должна равняться 9:
sp^p, 23^4, 13^5, 12^6.sp^p, 23^4, 13^5, 12^6.(3.1.7)(3.1.7)
sp^p, 23^4, 13^5, 12^6.
sp^p, 23^4, 13^5, 12^6.
(3.1.7)
(3.1.7)
После перехода к сокращенной системе с учетом свойств симметрии матрица (3.1.1) принимает компактный вид:
/
^1,1
112,2
^3,3
^2,3
^1,3
^1,2
^1
9^,2
У.з\
Г,
Си
С‘12
613
Си
С15
С16
Си
С21
631
т2
С12
С22
623
С24
С25
С26
С12
С22
632
Тз
С13
С23
сзз
С34
С35
С36
С13
С23
633
Т4
Си
С24
634
С44
С45
С46
би
С24
634 . (3.1.8)
Тъ
С15
С25
635
С45
С55
С56
С15
С25
С35Х7
Т6
С16
С26
СЗб
С46
С56
Сбб
С16
С26
СЗб
D\
Си
612
613
Си
С15
С16
-сн
—С21
-С31
d2
С21
622
623
С24
С25
С26
—С21
—С22
-С32
\D3
С31
632
633
С34
С35
СЗб
—С31
-С32
-сзз/
При последующем использовании матрицы в форме (3.1.8) для построения определяющих соотношений необходимо учитывать, что при составлении суммы элементов по строке наряду с компонентой u^j, k ^ j, с тем же коэффициентом должна участвовать компонента Uj^.
Простейшие типы материалов,обладающих пьезоэлектрическимисвойствами
Одним из наиболее простых типов материалов, обладающих пьезоэлектрическими свойствами, являются материалы, структура которых имеет признаки, характерные для класса 222 ромбической системы. К этому типу относятся класс 43m кубической системы, класс 42m тетрагональной системы и класс 222 ромбической системы.
Класс 43m кубической системы. Класс 43m кубической системы характеризуется наличием 5 независимых констант: 3 упругих, 1 пьезоэлектрической и 1 диэлектрической. К этому классу относятся такие монокристаллы, как арсенид галлия (GaAs) и сульфид цинка (/?-ZnS), Т1зТаЗе4. Связь между упругими и электрическими свойствами класса 43m кубической системы представляется в виде матрицы [57, 65]
/
«1,1
«2,2
«3,3
«2,3
«1,3
«1,2
у,1
У ,2
Дз \
Т\
Си
С12
С12
0
0
0
0
0
0
Т2
С12
Си
С12
0
0
0
0
0
0
Тз
С12
С12
СП
0
0
0
0
0
0
Д д
0
0
0
0
0
0
С44
0
0
С44
0
0
614 0
0
614
0
0
. (3.2.1)
д
0
0
0
0
0
С44
0
0
614
D\
0
0
0
614
0
0
-£ц
0
0
D2
0
0
0
0
614
0
0
-6ц
0
\Дз
0
0
0
0
0
614
0
0
-£ц/
Как будет показано
ниже
, действие начальных напряжений
механического характера будет приводить к переходу кристаллов из класса 43m кубической системы либо в класс 42m тетрагональной сингонии, либо в класс 222 ромбической системы. Действие начального электростатического поля будет приводить к значительному снижению уровня симметрии, в частности возможно исчезновение симметрии в компонентах тензора напряжений. Механические и электрические свойства для некоторых материалов класса 43m кубической системы приведены в таблице 3.4.1.
Класс 42m тетрагональной системы. Класс 42m тетрагональной сингонии характеризуется наличием 10 независимых констант: 6 упругих, 2 пьезоэлектрических и 2 диэлектрических. Связь между упругими и электрическими свойствами пьезоэлектрической среды класса 42m
тетрагональной системы представляется в виде матрицы [57, 65]
/
«1,1
«2,2
«3,3
«2,3
«1,3
«1,2
Д1
У ,2
Дз \
Д
Cll
С12
С13
0
0
0
0
0
0
Д
С12
Си
С13
0
0
0
0
0
0
Д
С13
С13
Сзз
0
0
0
0
0
0
д д
0
0
0
0
0
0
С44
0
0
С44
0
0
614 0
0
614
0
0
. (3.2.2)
д
0
0
0
0
0
Сбб
0
0
636
D\
0
0
0
614
0
0
-611
0
0
d2
0
0
0
0
614
0
0
-611
0
\D3
0
0
0
0
0
636
0
0
-£зз/
3.2.3. Класс 222 ромбической системы. Класс 222 ромбической системы характеризуется наличием 15 независимых констант, среди которых 9 упругих, 3 пьезоэлек-
трических и 3 диэлектрических. Связь между упругими и электрическими свойствами пьезоэлектрической среды класса 222 кубической системы представляется в виде матрицы [57, 65]
/
«1,1
«2,2
«3,3
«2,3
«1,3
«1,2
<Л1
У,2
<Аз \
7)
Си
C12
C13
0
0
0
0
0
0
72
C12
C22
C23
0
0
0
0
0
0
7з
C13
C23
сзз
0
0
0
0
0
0
Т4
0
0
0
С44
0
0
614
0
0
0
0
0
0
С55
0
0
С25
0•
т6
0
0
0
0
0
Сбб
0
0
С36
Dy
0
0
0
614
0
0
—£ц
0
0
d2
0
0
0
0
С25
0
0
—£"22
0
\D3
0
0
0
0
0
С36
0
0
—^зз/ (3.2.3)
Специальный случай ромбической системы. Как уже упоминалось, действие начальных внешних электростатических полей может привести к потере симметрии не только на уровне констант, но и на уровне компонентов тензора напряжений. В этом случае в полной мере сохраняются все столбцы и строки матрицы (3.1.1), которая в условиях класса 222 ромбической системы принимает вид:
Гц 722 Тзз Тзз Тз2 Т1з Тз1 7,2 721 D\ D,Гц 722 Тзз Тзз Тз2 Т1з Тз1 7,2 721 D\ D,«1,1«2,2«3,3«2,3«3,2«1,3«3,1СЦЦ6ц22С] 133ОООО62211 62222 62233 0000СззиС3322Сзззз0000000С2323 С233200000С3223 С32320000000 С]31з С1зз100000сзпзС313100000000000000ООО в]23 6132 О О 000006213е2310000000«1,1«2,2«3,3«2,3«3,2«1,3«3,1СЦЦ6ц22С] 133ОООО62211 62222 62233 0000СззиС3322Сзззз0000000С2323 С233200000С3223 С32320000000 С]31з С1зз100000сзпзС313100000000000000ООО в]23 6132 О О 000006213е2310000000«1,2 «2,1<1,1ООО ООО ОООО06123О06132ОООООО61212 61221О62112 62121ОО 0 — £цООО6312 6321О«1,2 «2,1<1,1ООО ООО ОООО06123О06132ОООООО61212 61221О62112 62121ОО 0 — £цООО6312 6321О<1,2^,3 \оооооооооо62130.6231Оо6312о6321оо-£22Оо -бзз /(3.2.4)<1,2^,3 \оооооооооо62130.6231Оо6312о6321оо-£22Оо -бзз /(3.2.4)
Гц 722 Тзз Тзз Тз2 Т1з Тз1 7,2 721 D\ D,
Гц 722 Тзз Тзз Тз2 Т1з Тз1 7,2 721 D\ D,
«1,1«2,2«3,3«2,3«3,2«1,3«3,1
СЦЦ6ц22С] 133ОООО
62211 62222 62233 0000
СззиС3322Сзззз0000
000С2323 С233200
000С3223 С323200
00000 С]31з С1зз1
00000сзпзС3131
0000000
0000000
ООО в]23 6132 О О 000006213е231
0000000
«1,1«2,2«3,3«2,3«3,2«1,3«3,1
СЦЦ6ц22С] 133ОООО
62211 62222 62233 0000
СззиС3322Сзззз0000
000С2323 С233200
000С3223 С323200
00000 С]31з С1зз1
00000сзпзС3131
0000000
0000000
ООО в]23 6132 О О 000006213е231
0000000
«1,2 «2,1<1,1
ООО ООО ООО
О06123
О06132
ООО
ООО
61212 61221О
62112 62121О
О 0 — £ц
ООО
6312 6321О
«1,2 «2,1<1,1
ООО ООО ООО
О06123
О06132
ООО
ООО
61212 61221О
62112 62121О
О 0 — £ц
ООО
6312 6321О
<1,2^,3 \
оо
оо
оо
оо
оо
62130.
6231О
о6312
о6321
оо
-£22О
о -бзз /
(3.2.4)
<1,2^,3 \
оо
оо
оо
оо
оо
62130.
6231О
о6312
о6321
оо
-£22О
о -бзз /
(3.2.4)
Классы материалов с осью симметрии,параллельной оси жз
Другим распространенным, но более сложным типом среды, обладающей пьезоэлектрическими свойствами, является среда с осью симметрии жз. Кристаллы этих классов имеют признаки, характерные для класса 2mm (mm2) ромбической системы.
Класс 6mm гексагональной сингонии. Одним из наиболее распространенных типов электроупругой среды являются пьезокристаллы класса 6mm гексагональной сингонии с осью симметрии, ориентированной вдоль оси жз. Этот класс имеет шестикратную ось поворота и характеризуется наличием 10 независимых констант, среди которых 5 упругих, 3 пьезоэлектрических и 2 диэлектрических. Связь между упругими и электрическими свойствами пьезоэлектрической среды класса 6mm гексагональной системы представляется в виде матрицы, в которой упругая константа Сбб имеет вид:
Сбб 1 /2 (cj 1
- С12),
(3.3.1)
/
«1,1
«2,2
«3,3
«2,3
«1,3
«1,2
У,2
^,3 \
тх
Си
С12
С13
0
0
0
0
0
Сз1
т2
C12
Си
Сз
0
0
0
0
0
С31
Тз
C13
С13
Сзз
0
0
0
0
0
Сзз
т4
0
0
0
С44
0
0
0
615
0
Т5
0
0
0
0
С44
0
615
0
0
т.
0
0
0
0
0
Сбб
0
0
0
Dy
0
0
0
0
615
0
—Си
0
0
d2
0
0
0
615
0
0
0
—Си
0
\D3
631
631
Сзз
0
0
0
0
0
-Сзз/
(3.3.2)
Механические и электрические свойства некоторых материалов класса 6mm гексагональной сингонии приведены в таблицах 3.4.2 и 3.4.3 соответственно.
Класс 4mm тетрагональной сингонии. Следующим материалом, обладающим признаками, характер-
ными для ромбической системы класса 2mm, является класс 4mm тетрагональной сингонии с четырехкратной осью поворота. Он характеризуется наличием 11 независимых констант: 6 упругих, 3 пьезоэлектрических и 2 диэлектрических. Связь между упругими и электрическими свойствами пьезоэлектрической среды класса 4mm представляется в компактном виде:
/
tix, 1
«2, 2
«3, 3
tl2, 3
tlx, 3
«1,2
V, 1
V, 2
\
Тх
Си
С12
Оз
0
0
0
0
0
631
т2
C12
Си
03
0
0
0
0
0
631
7з
C13
Оз
Сзз
0
0
0
0
0
сзз
Т4
0
0
0
С44
0
0
0
615
0
D
0
0
0
0
С44
0
Об
0
0•
т.
0
0
0
0
0
Сбб
0
0
0
Dx
0
0
0
0
615
0
—£"11
0
0
d2
0
0
0
615
0
0
0
—£ц
0
\D3
C31
631
Сзз
0
0
0
0
0
—£33/
(3.3.3)
К этому классу относятся фресноит (Ba2Si2TiOs), ба- строн — ниобат натрия-стронция (Sr^Baj-^Nl^OG.
Класс 2mm (mm2) ромбической сингонии. Наиболее общим из рассматриваемых в настоящем разделе классов является класс 2mm ромбической сингонии, который характеризуется наличием 17 независимых констант: 9 упругих, 5 пьезоэлектрических и 3 диэлектрических. Матрица связи имеет вид:
/
«1,1
tl2,2
«3,3
«2,3
«1,3
«1,2
<Л1
У,2
^,3 \
Тх
Си
02
С13
0
0
0
0
0
631
т2
02
С22
С23
0
0
0
0
0
С32
Т3
613
С23
сзз
0
0
0
0
0
Сзз
Т4
0
0
0
С44
0
0
0
С24
0
Ть
0
0
0
0
Сбб
0
Об
0
0•
т6
0
0
0
0
0
Сбб
0
0
0
Dx
0
0
0
0
615
0
—О1
0
0
d2
0
0
0
С24
0
0
0
—£22
0
\D3
С31
С32
сзз
0
0
0
0
0
—£зз/ (3.3.4)
К этому классу относятся пьезокристаллы: галлат лития LiGaO2, германат лития Li2GeO3, фторид магния-бария MgBap2, банан, ниобат бария-стронция Ba2NaNb50i5, германат натрия кобальта Na2CoGeO4.
Специальный случай с признаками, характерными для класса mm2. Действие начального электростатического поля может привести к тому, что симметрия по индексам в тензоре напряжений исчезнет. Матрица связи упругих и электрических параметров в этом случае будет иметь вид:
/
^2,2
^3,3
62.3
^3,2
W1.3
«3,1
«1,2
«2,1
^,2
^,3 \
Гц
СЦЦ
61122
61133
0
0
0
0
0
0
0
0
6311
Тц
62211
C2222
62233
0
0
0
0
0
0
0
0
6322
Дз
63311
C3322
C3333
0
0
0
0
0
0
0
0
еззз
Дз
0
0
0
62323
62332
0
0
0
0
0
6223
0
Гз2
0
0
0
C3223
63232
0
0
0
0
0
6232
0
Дз
0
0
0
0
0
61313
61331
0
0
6113
0
0
Д1
0
0
0
0
0
сзпз
C3131
0
0
6131
0
0
Т12
0
0
0
0
0
0
0
61212
61221
0
0
0
Д1
0
0
0
0
0
0
0
62112
C2121
0
0
0
D\
0
0
0
0
0
6113
6131
0
0
-6ц
0
0
d2
0
0
0
6223
6232
0
0
0
0
0
-622
0
\Ds
6311
6322
еззз
0
0
0
0
0
0
0
0
-633 /
(3.3.5)
Сегнетоэлектрические поликристаллы(керамика класса oomm)
Одним из наиболее распространенных типов пьезоэлектриков являются искусственные сегнетоэлектрические кристаллы — пьезоэлектрическая керамика. Далее будем рассматривать керамику, поляризованную вдоль оси жз. Она относится к классу oomm и имеет признаки, характерные для ромбической системы класса 2mm. Керамика характеризуется наличием 11 независимых констант, среди которых 6 упругих, 3 пьезоэлектрических и 2 диэлектрических. Связь между упругими и электрическими свойствами пьезоэлектрической среды класса oomm представляется в виде матрицы (3.3.3), в которой упругая константа Сбб являет-
Материал
Упругие константы (Ю10 Н/м2)
Пьезоэлектрические модули (Кл/м2)
Относительн. диэлектрин, константы
Плотность (103 кг/м3)
Си
С44
С12
ем
£11
Р
Tl3TaSe4
4.19
0.41
1.4
0.32
10.1
7.28
Tl3TaS4
4.91
0.32
1.13
0.34
13.4
6.79
Ортосиликат висмута Bi4(SiO4)3
13.57
5.18
2.27
0.083
16.2
6.8
Селенид цинка ZnSe
8.72 ± 0.8
3.92 ± 0.4
5.24 ± 0.8
0.049
8.80
5.42
Германо- эвлитин Bi4(GeO4)3
11.58
4.36
2.70
0.0376
16
7.12
Сульфид цинка, сфалерит /TZnS
10.46
4.613
6.53
0.147
8.3
4.091
Арсенид галлия
GaAs
11.76
5.27
5.96
0.160
12.53
5.316
Фосфид галлия
GaP
14.11 ± 0.04
7.043 ± 0.028
6.187 ± 0.034
-0.10
8.4
4.18
Таблица 3.4.1
Монокристаллы класса 43m кубической системыМонокристаллы класса 43m кубической системыМеханические свойства некоторых пьезоматериаловМеханические свойства некоторых пьезоматериалов
Монокристаллы класса 43m кубической системы
Монокристаллы класса 43m кубической системы
Механические свойства некоторых пьезоматериалов
Механические свойства некоторых пьезоматериалов
Материал
Упругие константы (1010 Н/м2)
Плотность (103 кг/м3)
Си
Сзз
С44
Сбб
С1з
С12
Р
Монокристаллы класса 6mm гексагональной сингонии
ZnO
20.972
21.094
4.245
4.429
10.513
12.114
5.642
CdSe
7.42
8.477
1.340
4.4289
3.86
4.53
5.81
CdS
9.07
9.38
1.504
1.630
5.10
5.81
4.82
ZnS
12.34
13.96
2.885
3.245
4.55
5.85
4.09
Поликристаллические сегнетоэлектрики (пьезокерамика)
PZT-4
13.9
11.5
2.56
2.56
7.43
7.8
7.5
PZT-5
12.1
11.1
2.11
2.26
7.52
7.54
7.75
ЦТС-19
11.2
10.6
2.49
2.49
6.22
6.42
7.5
ВаТЮ3
15.0
14.6
4.4
4.3
6.6
6.6
5.7
Таблица 3.4.2
Таблица 3.4.3
Электрические свойства некоторых пьезоэлектриков
Материал
Пьезоэлектрические модули (Кл/м2)
Относительные диэлектрин, константы
615
631
езз
£11
£33
Монокристаллы класса 6mm гексагональной сингонии
ZnO
0.59
-0.61
1.14
9.26
11.0
CdSe
-0.138
-0.160
0.347
9.70
10.2
CdS
-0.210
-0.244
0.440
9.35
10.38
ZnS
-0.808
-0.598
3.482
8.65
8.7
Поликристаллические сегнетоэлектрики (пьезокерамика)
PZT-4
12.7
-5.2
15.1
1475
1300
PZT-5
12.3
-5.4
15.8
1730
1700
ЦТС-19
9.45
-3.4
15.1
725.7
827.5
ВаТЮз
11.4
-4.35
17.5
1450
1700
ся независимой. Механические и электрические свойства некоторых распространенных видов пьезокерамики приведены в таблицах 3.4.2 и 3.4.3.
Изменение свойств пьезоэлектрическихматериалов при повороте системы координат
Значения приведенных выше упругих, пьезоэлектрических и диэлектрических констант заданы в прямоугольной декартовой системе координат, согласованной с кристаллофизическими осями. В частности, ось жз совпадает с главной осью симметрии кристаллов рассматриваемых классов. При необходимости рассмотрения задачи в системе координат, повернутой относительно кристаллофизических осей, константы определенным образом преобразуются.
Пусть в системе координат жь жг, жз материальные константы рассматриваемого материала имеют значения
11, 2, 3.(3.5.1)
В повернутой системе координат Жр ж^, Ж3 значения соответствующих констант имеют значения
Cijkb ^ijk' ^ij’ Ь 3 > k, I = 1, 2, 3.(3.5.2)
ПуСТЬ ТЦа1 Жд — КОСИНуСЫ уГЛОВ МСЖДу ОСЯМИ Ж- И Ха,
хр и т. д., которые задаются таблицей:
Х\ х\ пп Ж 2 и21 А газ1
ж2 Жз
П12 П13 .(3.5.3)
п22 П23
п32 П33
Тогда имеют место формулы преобразования упругих, пьезоэлектрических и диэлектрических констант:
(3.5.4)(3.5.4)^ijkl ^ia^jP^k^^l6^aP^6’
(3.5.4)
(3.5.4)
^ijk ^га^зЗ^к^^аЗ^’
^И ^га^зЗ^аЗ*
Глава 4
КРАЕВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИО КОЛЕБАНИИ ПРЕДНАПРЯЖЕННЫХЭЛЕКТРОУПРУГИХ СРЕД В
КООРДИНАТАХ ЕСТЕСТВЕННОЙ
КОНФИГУРАЦИИ
При исследовании динамических процессов в предварительно напряженном теле традиционно [36, 43, 52, 71] различают три его состояния (конфигурации): естественное ненапряженное (естественная конфигурация), начальное деформированное (начально-деформированная конфигурация) и возмущенное состояние (актуальная конфигурация — состояние в данный момент времени). В рассмотрение вводятся соответствующие, в общем случае криволинейные, системы координат: «1, «2, «з в естественной, дц, a?2, жз в начально-деформированной и Хь ^2, Хз в актуальной конфигурации. Величины, характеризующие начальное состояние или определяющие переход из естественной в начально-деформированную, будем отмечать индексом i, величины в возмущенной конфигурации — штрихом, возмущения индексами не отмечаются. Тогда все величины в возмущенном состоянии представляются в виде
u' = U1 + и.
Предполагается, что деформации в начально-деформированном состоянии являются конечными, значительно превосходящими их возмущения в актуальной конфигурации. В рамках этого подхода проводится линеаризация
Постановка краевой задачи в лагранжевых координатах 55 уравнений состояния, движения и граничных условий относительно начально-деформированного состояния, что позволяет в значительной степени упростить процесс исследования и повысить его эффективность.
Замечание. При постановке задач для преднапряжен- ных сред сохраняется присущее нелинейным задачам различие в их описании в лагранжевой и эйлеровой системах координат. Заметим, что с точностью до отбрасываемых в процессе линеаризации членов описание процессов в системе координат Эйлера (актуальная конфигурация) совпадает с описанием этих процессов в системе координат, связанной с начально-деформированной конфигурацией. Ниже различие между системами координат Эйлера и начальной конфигурации не проводится.
Постановка краевой задачив лагранжевых координатах
При исследовании динамических процессов в предна- пряженных электроупругих средах необходимо иметь в виду, что в формировании начального состояния тела, кроме механических факторов, участвуют электрические факторы, определяемые начальным электрическим потенциалом. В настоящем разделе будем предполагать, что начальное состояние создается за счет действия механических напряжений. Электрическое поле, являясь вторичным, возникает за счет электроупругих свойств тела и для большинства пьезоэлектриков является малой величиной. Тем самым, участвующими в представлении уравнений движения и граничных условий членами, содержащими вторые степени вектора напряженности электрического поля, можно пренебречь. При этом целесообразно использовать в общем случае криволинейную систему координат Лагранжа, связанную с естественной конфигурацией тела.
Случай больших начальных деформаций. В разделе 2.1. было показано, что в лагранжевой системе координат краевая задача о колебаниях преднапряженной
электроупругой среды представляется посредством линеаризованного тензора ГГ (2.1.37) и вектора d* (2.1.33), которые в линейной электроупругости играют роль тензора напряжений Коши и вектора электрической индукции соответственно. С целью единообразия записи краевых задач введем обозначения: в = ГГ, А = d*.
В этих обозначениях краевая задача о колебаниях пред- напряженной электроупругой среды описывается линеаризованными уравнениями движения
Vo • © = рой,(4.1.1)
линеаризованным уравнением вынужденной электростатики
Vo • А = 0,(4.1.2)
механическими граничными условиями на поверхности тела о = 01 + 02:
на 01
n© = t*,(4.1.3)
на 02
u = u\(4.1.4)
электрическими граничными условиями на поверхности тела о — 03 Н~ 04:
на o3
n-A = -g*,(4.1.5)
на o4
V =(4.1.6)
Здесь Vo — оператор Гамильтона, u*, t*, п — векторы перемещений, напряжений и внешней нормали к поверхности среды соответственно, определенные в лагранжевой системе координат (звездочкой отмечены заданные в соответствующей области величины), ро — плотность материала среды, g*, ip* — плотность распределения заряда и электрический потенциал соответственно.
® = Xss ‘ Ci • VoUT • Ci + Xs 1 Vou — Xsw " ^o^ 1 Ci,
(4-1.7)
△ — Xws * Ci • VouT + (xww ^оЛС1 T • С1 • Vo^,
(4.1.8)
где С] — градиент места, определяющий начально-деформированное состояние, Xs — энергетический тензор (Кирхгофа), характеризующий напряженное состояние среды; Xss - тензор IV ранга, Xsw - тензор III ранга, Xww - тензор II ранга, определяющие упругие и пьезоэлектрические тензорные константы, а также константы диэлектрической восприимчивости материала среды соответственно. Индексом 1 отмечены значения соответствующих функций и тензоров в начально-деформированном состоянии.
В зависимости от типа среды задача (4.1.1)—(4.1.6) замыкается дополнительными граничными условиями, которые определяются типом полуограниченной среды. Для рассматриваемых в настоящей работе типов сред дополнительные условия имеют вид:
для полупространства |сц |, фг! < сю, аз < О
u J, 0, у 1 0, а3 —> —сю;(4.1.9)
для слоя |«i|, |а2, ^ сю, «о ^ «з ^ «зо, нижняя грань которого жестко защемлена и заземлена,
и = О, у = 0, «з = «о;(4.1.10)
для слоя |«i|, |а2, ^ сю, «о ^ «з ^ «зо, нижняя грань которого контактирует без трения с жестким основанием и заземлена,
и3 = 0,0з1=ез2 = О, у = 0, а3 = «о-(4.1.11)
Замечание. Выражения (4.1.7), (4.1.8) с учетом потенциальной функции (1.2.9) представляют собой краевую задачу о колебаниях преднапряженной электроупругой среды в лагранжевой, в общем случае криволинейной, системе координат. Тензор VqU и вектор Vo^ являются искомыми величинами.
Случай малых начальных деформаций. При малых начальных деформациях выражения для линеаризованного тензора напряжений (4.1.7) и линеаризованного
вектора индукции (4.1.8) вычисляются с использованием потенциала в форме (1.2.13) (не учитываются упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические константы высших порядков в представлении потенциала):
X = ^ 4CW • -S ■ -S - Зе • W ■ -S - | ^3 ■ W • W +
+ 1 6cw--s--s--s. о
Тогда линеаризованный тензор напряжения имеет вид
© = Ни • VouT - Ну • Voy,(4.1.12)
где
Hu = (4CW • Cl • -rtrs • Cl + х$ • rsrf)r¥
тензор IV ранга, отвечающий за механическую составляющую конвективной производной тензора Пиола,
Н, =-3e-r,-CiC
тензор III ранга, отвечающий за электрическую составляющую конвективной производной тензора Пиола.
Линеаризованный вектор электрической индукции представляется в виде:
А = Зе ■ С] ■ VouT - СЗ + ^iGf1) ■ Voy, (4.1.13) где G = С • Ст — мера деформации Коши-Грина, определяющая начальное напряженное состояние.
Таким образом, краевая задача о колебаниях предна- пряженной электроупругой среды при малых начальных деформациях описывается линеаризованными уравнениями движения (4.1.1), линеаризованным уравнением вынужденной электростатики (4.1.2), граничными условиями (4.1.3), (4.1.4) и дополнительными граничными условиями (4.1.9), (4.1.10) или (4.1.11) в зависимости от типа рассматриваемой среды. Эти выражения построены безотносительно к выбору в общем случае криволинейной системы координат. В представлении (4.1.13) необходимо учесть, что в линейном приближении компоненты тензора 2/3 связаны с тензорными константами диэлектрической проницаемости епк соотношениями епк = е08пк + Зпк.
Постановка задачи в декартовой системекоординат
В декартовой системе координат компоненты линеаризованных тензора напряжений © (4.1.7) и вектора индукции А (4.1.8) представляются в виде:
^lk ^lksp^s,p + 1^lkp*C,P'(421)
^l ^lsp^s,p 4lpV,P'
где
л _ Эх t | TTqm d^Xlksp - 8Slp ks^ ks dSlq8Smp’
^ = ”я"а/^’(4-2.2)
„ 7Э2Х
4ip - EoJigipQW^Wp-
Здесь g^ — компоненты тензора Gf1 = CfT • Cf1. Участвующие в представлении (4.2.2) компонент тензоров метрические множители Н^, Нр, а также gt*p являются комбинациями произведений градиентов деформации и имеют вид:
ljq^ Эх8хррхп Эхр * / Tji ттР\ — \ dai дар
кР ~ 8^ "да?Р ~ 8^’ sip - V к к ) - ^
(4.2.3)
Случай однородного напряженного состояния. Ниже исследуются электроупругие среды с прямолинейными границами (полупространство, слой, слоистое полупространство) в предположении, что среда подвержена однородной начальной деформации:
R = г • Л, G = Л • Лт, Л = SijViTiTj, Vi = const. (4.2.4) Здесь R, г — радиус-векторы точки среды соответственно в начально-деформированном и естественном состояниях, Vi = 1 + 6i, §i — относительные удлинения волокон, направленных в естественной конфигурации вдоль осей ait г = 1, 2, 3, совпадающих с декартовыми координатами,
б^ — символ Кронекера. Из формулы (4.2.4) следует представление компонент тензора S
S', = 1/2 »,,(„?-1).S', = 1/2 »,,(„?-1).(4.2.5)(4.2.5)
S', = 1/2 »,,(„?-1).
S', = 1/2 »,,(„?-1).
(4.2.5)
(4.2.5)
Участвующие в представлении (4.2.2) метрические множители имеют вид
Hks ^qk^ls^k^s’ Hs ^ns^s' Skm ^km^m ’^1^Л^^З'
При конкретизации начально-деформированного состояния целесообразно использовать покомпонентное представление термодинамического потенциала (1.2.13):
(4.2.6)(4.2.6)X 2 ^qjklSqj Ski ^jp^WjSpq 2 Pqj^qWj +
(4.2.6)
(4.2.6)
+ g ^mnqjklSmnSqj Spi-
Далее введем обозначения:
Pip =Pip =gg^ = CqjlpPqj — 6jlp^j + 2 CmnqjlpSmnSqj,gg^ = CqjlpPqj — 6jlp^j + 2 CmnqjlpSmnSqj,Cqjlp — QSipdSqj — Cq^P "^ Стп4Э1Р$тп'Cqjlp — QSipdSqj — Cq^P "^ Стп4Э1Р$тп'(4-2.7)(4.2.8)(4-2.7)(4.2.8)
Pip =
Pip =
gg^ = CqjlpPqj — 6jlp^j + 2 CmnqjlpSmnSqj,
gg^ = CqjlpPqj — 6jlp^j + 2 CmnqjlpSmnSqj,
Cqjlp — QSipdSqj — Cq^P "^ Стп4Э1Р$тп'
Cqjlp — QSipdSqj — Cq^P "^ Стп4Э1Р$тп'
(4-2.7)
(4.2.8)
(4-2.7)
(4.2.8)
Здесь Pip — компоненты тензора Кирхгофа, с^1р — упругие константы, зависящие как от свойств материала, так и от вида начального напряженного состояния среды. Выражения для диэлектрических и пьезоэлектрических констант, в рамках сделанных предположений о малой величине электрического поля, не изменяются:
8Slp9Wn = -enlp’ awt awp = ^4"2"9^
В этих обозначениях коэффициенты в представлениях линеаризованных тензора напряжений и вектора электрической индукции (4.2.1) приобретают вид:
(4.2.10)(4.2.10)®lksp Plp^ks + ^k^s^lksp’^Isp Г8в{8р^iliP = eovxv^vr§lp + Pip-
(4.2.10)
(4.2.10)
системе(4.2.12)(4.2.13)(4.2.14)(4.2.15)системе(4.2.12)(4.2.13)(4.2.14)(4.2.15)При фиксированной начальной деформации эти коэффициенты являются постоянными, зависящими от вида начального напряженного состояния и величины начальной деформации. Их представление для рассматриваемых ниже пьезоэлектрических сред класса 6mm будет приведено ниже.
системе
(4.2.12)
(4.2.13)
(4.2.14)
(4.2.15)
системе
(4.2.12)
(4.2.13)
(4.2.14)
(4.2.15)
Для единообразия дальнейших выкладок обозначим
^Iksp @lksp' £lkp ^Ikp^ ^lp Pip'(4.2.1 1)
В этих обозначениях краевая задача о колебаниях пред- напряженной электроупругой среды в декартовой координат описывается уравнениями движения
£lksp^s,pl + £lkpP,pl P^k' ^ И 2, 3, уравнением вынужденной электростатики
£lsp^s,pl ^lpP,pl
механическими граничными условиями
C3kspUs,p + e3kpP,p = ^Аа\' а2^ аР а2 °1’
^k = ^k^V а2^а2 Е °2’
и электрическими условиями
63kpUk,p — ^Зр^р = — ё*(аХ' а2^ CL^ а2 Е Од, у? = ^*(av a2Yах, а2 Е о4.
Далее в записи уравнений движения и граничных условий целесообразно перейти к более удобной индексации упругих и пьезоэлектрических констант
(4.2.16)
используя правило перехода к свернутой системе индексов:
11^1, 22^2, 33^3,(л<)Л7\
23^4, 13^5, 12^6.(4-2-lz)
Влияние преднапряжений на симметрию кристаллов
Дальнейшие построения для преднапряженных элек- троупругих тел будем проводить в рамках общепринятых в кристаллофизике обозначений и общепринятой терминологии, ограничиваясь случаем однородного начального напряженного состояния, определяемого выражениями (4.2.4). При этом необходимо учитывать, что коэффициенты в (4.2.1), играющие в линейной электроупругости роль упругих, пьезоэлектрических и диэлектрических констант, определяются соотношениями (4.2.8)-(4.2.10). Они зависят как от вида начального напряженного состояния, которое может изменить класс симметрии применяемого пьезоэлектрика, так и от величины начальной деформации, влияющей на конкретные значения упругих и пьезоэлектрических констант.
При отсутствии начальных напряжений связь между упругими (бу, Игр и электрическими (Ai; Ер свойствами пьезоэлектрика класса 6mm (по аналогии с принятым в кристаллофизике подходом) представляется в виде матрицы, в которой для обозначения компонентов линеаризованного тензора напряжений 0 использована свернутая согласно соотношениям (4.2.16) и (4.2.17) система индексов.
Влияние преднапряжений на симметрию кристаллов класса 6mm гексагональной сингонии. Перепишем представление констант (4.2.10) с учетом обозначений (4.2.11):
Cksp Гр^кз + ^k^s^lksp’
= (4.3.1)
Матрица, определяющая связь между упругими (6^, и^тР и электрическими (△„, <р,Р параметрами пьезоэлектрика класса 6mm (по аналогии с принятым в кристаллофизике подходом) представится в виде
«1,1
^2,2
^3,3
«2,3
«1,3
«1,2
у,1
У,2
У.з \
61
С11
И2
г* из
0
0
0
0
0
р* е31
62
С12
с22
с23
0
0
0
0
0
р* е32
63
с13
с23
С33
0
0
0
0
0
р* е33
64
0
0
0
С44
0
0
0
е24
0
65
0
0
0
0
С55
0
е15
0
0
е6
0
0
0
0
0
с66
0
0
0
△1
0
0
0
0
е15
0
£11
0
0
0
0
0
р* -24
0
0
0
fc22
0
Ua
р* е31
е32
е33
0
0
0
0
0
—езз/
(4.3.2)
В представлении (4.3.2) имеют место соотношения:
с22 = с11>с23 = с13>с55 = с44>
(4.3.3)
е32 ~ е31>^24 ~ ^15’S22 —-I1-
Из вида представлений для коэффициентов (4.2.10) и (4.2.11) нетрудно заметить, что в рассматриваемом в данном разделе случае (отсутствие внешних электрических полей) начальное напряженное состояние влияет на все константы. Участвующий в (4.2.10) тензор Кирхгофа Р, равно как и тензор констант c^ksp, остается симметричным при любой начальной деформации. Возможность изменения класса симметрии определяют начальные деформации по различным направлениям в константе с^к . Влияние этих деформаций на пьезоэлектрические ef и диэлектрические е^ константы также сводится к увеличению числа независимых констант, что приводит к изменению класса
симметрии.
Для анализа влияния преднапряжений на симметрию
кристалла выпишем отличные от нуля элементы матрицы (4.3.2), представляющие собой упругие пьезоэлектриче
ские и диэлектрические константы рассматриваемого класса пьезоэлектриков, в следующей форме:
*।2 х *х *х
С11 — Л1 + ^1 С11 ’С12 —С44 — ^^З^’
с22 = Д22 + ^2C1V с13 ~ V1V3C\3' С55 ~ ^1 р'зС44’(4.3.4)
С33 = ^33 + ^33’С23 = V2V3C\3'С66 = V\V2C№
при условии Cg6 = (Сц — С*2)/2,
е15 = ^IS’ е24 =е31 = ^ЗЦ
е32 ~ z/2e31>е33 ~ 1/ЗеЗЗ’(4.3.5)
, = EqV^v; * + /Зц, Е*^ = EOVX V^V" * + /Зц,
^зз = eov\v^X + Лг(4.3.6)
Сравнивая константы в представлениях (4.3.4)-(4.3.6) при различных начальных состояниях с их представлением в (4.3.3), нетрудно установить:
При v\ = v-> = V3 — гидростатическое напряженное состояние (Рц = F22 = Рзз), пьезоэлектрик класса 6mm, из-за наличия отличной от нуля компоненты Рц тензора напряжений Кирхгофа, переходит в класс 4mm тетрагональной системы;
При v\ = ^2 7^ //з — трехосное напряженное состояние, которое создается при условии Рц = Р22 ^ О, Рзз = const, пьезоэлектрик из класса 6mm также переходит в класс 4mm тетрагональной сингонии; к такому же результату приводит двухосное напряженное состояние при условии Рц = Р22 т^ О, Р33 = 0;
При v\ = v^ ^ V3 — одноосное напряженное состояние, которое создается при условии Рц = Р22 = 0, Рзз = const, пьезоэлектрик класса 6mm остается в классе 6mm;
При v\ ^ v^ = V3 или v^ ^ v\ = V3 — трехосное напряженное состояние при условии Р22 = F33 + 0, Рц = const или Рц = F33 ^ 0, Р22 = const, пьезоэлектрик из класса 6mm переходит в класс 2mm ромбической системы, которая характеризуется наличием 17 независимых констант: 9 упругих модулей, 5 пьезоэлектрических модулей и 3 диэлектрических постоянных; к такому же результату приводит двухосное напряженное состояние при условии Р22 = Р33 4 0- Рц = 0 или при условии -Рц = Рзз 4 0- Р22 = 0 и одноосное напряженное состояние при условии Р22 = Р33 = 0, Рц = const или Рц = Рзз = о, Р22 = const;
при v\ У 1^2 + ^з — однородное напряженное состояние произвольного вида, пьезоэлектрик из класса 6mm также переходит в класс 2mm ромбической сингонии.
Таким образом, класс симметрии преднапряженного кристалла зависит не только от вида начального состояния, но и от способа его создания (за счет каких усилий оно создается). Любое начальное усилие, действующее по осям яд или яд, даже в условиях гидростатического сжатия, выводит пьезоэлектрик из класса 6mm.
Влияние преднапряжений на симметрию кристаллов класса 43m кубической сингонии. Кристаллы класса 43m кубической системы имеют следующие отличные от нуля константы, среди которых независимыми являются лишь 9:
три упругих: Си = С22 = С33, Ci2 = Ci3 = С23, С44 = С55 = = Сье.
три пьезоэлектрических: ei4, 625, е3б,
три диэлектрических: Дп, £22, £зз-
В соответствии с вышеизложенным влияние преднапряжений определяется соотношениями:
на упругие константы (аналогично классу 6mm):
*।2 х *х *х
си —ci2 —с44 —
С22 = ^22 +с13 = ^I^IS’ С55 =(4.3.7)
С33 = Р33 + ^^3,С23 = Z/2Z/3C13,С66 = ^^бб’
на пьезоэлектрические константы:
ен = ^2^14’ е25 = ^Сгб’ езб = ^зб’ (4.3.8)
на диэлектрические константы:
^1 = ^О^^З^Г1 + Л1>^22 = ^О^^З^г"1 +^22’
£зз = ^o^i^^1 + Х^ЗЗ-(4.3.9)
Из соотношений (4.3.7)-(4.3.9) следуют следующие метаморфозы с материалом класса 43m кубической системы. 1. При щ = гд = гд — гидростатическое напряженное состояние (Рн = F22 = F33). Пьезоэлектрик класса 43m остается в этом же классе.
3 В. В. Калинчук, Т. И. Белянкова
При Ух = ^2 + ^з — трехосное напряженное состояние при условии Гц = Р22 + О, Р^ = const, или двухосное напряженное состояние при Pn = Р22 + 0, Рзз = 0, или одноосное напряженное состояние при Рхх = Р22 = О, Рзз = const. Пьезоэлектрик из класса 43m кубической системы переходит в класс 42m тетрагональной сингонии, который характеризуется наличием 10 независимых констант.
При ух у2 = V3 — трехосное (Р22 = Р330, Рхх =
= const), или двухосное (Р22 = Р33 ^ О, Рхх = 0) или одноосное (Р22 = Р33 = 0, Рхх = const) напряженное состояние. Пьезоэлектрик из класса 43m кубической системы переходит в класс 222 ромбической системы, которая характеризуется наличием 15 независимых констант: 9 упругих модулей, 3 пьезоэлектрических модулей и 3 диэлектрических постоянных.
При у2 vx = V3 — трехосное (Рхх = Рзз 4 О» ^22 = = const), или двухосное (Рп = Р33 ^ О, Р22 = 0), или одноосное (Рхх = Рзз = О, Р22 = const) напряженное состояние. Пьезоэлектрик из класса 43m кубической системы также переходит в класс 222 ромбической системы.
Влияние преднапряжений на симметрию кристаллов класса 4mm тетрагональной сингонии. Структура кристаллов класса 4mm тетрагональной системы лишь немногим отличается от структуры кристаллов класса 6mm гексагональной сингонии (независимой является константа С*бб)- Таким образом, соотношения (4.3.4)(4.3.6) полностью определяют влияние преднапряжений на упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические константы класса 4mm. Из соотношений (4.3.4)-(4.3.6) следуют следующие метаморфозы с классом 4mm тетрагональной системы:
при vx = У2 = V3 — гидростатическое напряженное состояние (Р\\ = Р22 = Рзз), пьезоэлектрик класса 4mm тетрагональной системы остается в этом же классе;
при v\ = V2 ^ V3 — трехосное напряженное состояние -Ри = Р22 4 0> -Рзз = const, или двухосное напряженное
состояние Рц = Р22 4 ®> ^зз = 0, или одноосное напряженное состояние Рц = Р22 = О, Р33 = const, пьезоэлектрик из класса 4mm остается в этом же классе;
при v\ ^ v2 = v3 — трехосное (Р22 = Рзз т^ 0, Рц = const), или двухосное (Р22 = Рзз 4 0, Ж = 0) или одноосное (Р22 = Рзз = 0, -Рц = const) напряженное состояние; пьезоэлектрик из класса 4mm тетрагональной системы переходит в класс 2mm ромбической системы;
при V2 ^ та = ^з — трехосное (Рц = Р33 ^ О, Р22 = const), или двухосное (Рн = Р33 ^ 0, Р22 = 0) или одноосное (Рн = Р33 = 0, Р22 = const) напряженное состояние. Пьезоэлектрик из класса 4mm тетрагональной системы также переходит в класс 2mm ромбической системы.
Определение параметров начальногонапряженного состояния в классе 6mm(система координат Лагранжа)
Начальное напряженное состояние нелинейного элек- троупругого тела в лагранжевой системе координат целесообразно определять тензором напряжений Кирхгофа (1.1.15) и материальной формой вектора электрической индукции (1.2.30), компоненты которых в декартовой системе координат имеют вид:
Pkk PirikkSnn ejkkWj + ^ CmmnnkkSmmSnn, (4.4.1) d-k = вкцвц + (eoJgkn + Рид Жг. k = 1, 2, 3.
Здесь Skn — компоненты тензора деформаций Коши-Грина, gkn — компоненты тензора G-1 = С~т • С-1, обратного тензору-мере деформации Коши-Грина, Л,, — константа диэлектрической восприимчивости, по «мертвым» индексам идет суммирование.
Предположим, что однородное начальное напряженное состояние задано условиями (4.2.4), электрическое поле — условиями Ж] = Жг = 0. Тем самым определяется метрический множитель J = 1^11/2^3- Далее перейдем к сокращенной системе индексов в соответствии с правилами (4.2.16),
Учтя в равенствах (4.4.1) свойства пьезоактивных материалов класса 6mm в соответствии с представлением (3.3.1), получим систему уравнений:
А = сп 6*1 + 0125*2 + 0135*3 — 031143 + - cmk\SmSk,
?2 = C21S*1 + 022 5*2 + С2з5*з — 631 Р^з + - Cmk2SmSk, (4.4.2)
Рз = сз15*1 + C32S2 + сзз5*з — еззИ/з + - сткз8т8к,
'С = 6315*1 + вз15*2 + Озз5*з + (оо^17/;: 2 + Рид ^3-
Система (4.4.2) представляет собой систему 4-х уравнений, в общем случае нелинейную, связывающую 8 переменных: 3 компоненты тензора напряжений, 3 компоненты деформации и по одной компоненте напряженности электрического поля и вектора электрической индукции. Задавая в качестве исходных любые четыре переменных, значения остальных переменных получаем из (4.4.2), что позволяет полностью определить параметры начально-деформированной конфигурации и выписать линеаризованную постановку краевой задачи о колебаниях преднапряженной электро- упругой среды в лагранжевой системе координат.
Глава 5
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В КООРДИНАТАХНАЧАЛЬНО-ДЕФОРМИРОВАННОЙ
КОНФИГУРАЦИИ
В настоящей главе предполагается, что начальное напряженное состояние пьезоактивного полуограниченного тела создается как за счет воздействия механических усилий, так и за счет воздействия внешнего электростатического поля. Это обуславливает необходимость удержания в линеаризованных уравнениях движения и граничных условиях всех членов, которые содержат квадраты вектора напряженности электрического поля. В этом случае целесообразно использовать систему координат жь жг, ^з, связанную с начально-деформированной конфигурацией тела.
Постановка краевой задачив координатах начально-деформированнойконфигурации
Электростатическое поле может быть создано проводящей поверхностью, имеющей определенный потенциал и расположенной или на поверхности, или вне среды. Это обуславливает необходимость дополнения рассматриваемой задачи уравнениями Максвелла для внешнего окружения среды (вакуум), а также граничными условиями, описывающими непрерывность касательной составляющей вектора напряженности электрического поля и нормальной составляющей вектора электрической индукции в пьезоэлектрике и в вакууме.
В настоящей работе ограничимся случаем, когда поверхность тела является эквипотенциальной поверхностью
для электрического поля. Начальное электростатическое поле создается за счет разности потенциалов, приложенной к металлизированным поверхностям электроупругого тела. В частности, будем рассматривать электроупругий слой, верхняя грань которого металлизирована и свободна от напряжений вне зоны контакта, нижняя грань металлизирована и жестко сцеплена либо с недеформируемым основанием, либо с диэлектрическим полупространством. Преднапряжения в электроупругом теле создаются как за счет действия механических усилий, так и за счет разности потенциалов, приложенной к металлизированным поверхностям тела.
Случай больших начальных деформаций. Ранее (раздел 2.2) было показано, что в эйлеровой системе координат краевая задача о колебаниях преднапряженной электроупругой среды представляется тензором Максвелла ц (2.2.20), линеаризованными тензором 0 (2.2.19) и вектором Д (2.2.21). Последние играют роль тензора напряжений Коши и вектора электрической индукции в линейной механике электроупругой среды.
С целью единообразия формы представления краевой задачи введем обозначение:
0 = 0 + ц.
Рассмотрим краевую задачу о колебаниях предварительно напряженного электроупругого тела, ограниченного поверхностью О = Oi + О2 = О3 + О4, на части Oi которой заданы механические напряжения, на части О2 — вектор перемещения, на части Оз — электрический потенциал, на части О4 — вектор индукции.
Тогда краевая задача о колебаниях преднапряженной электроупругой среды в эйлеровой системе координат описывается линеаризованными уравнениями движения
Vi-0 = piu, (5.1.1) линеаризованным уравнением вынужденной электростатики
V]A = 0, (5.1.2)
механическими граничными условиями на поверхности тела О = О\ + 02на 01
N-0 = tN,(5.1.3)
на О2
и = и*,(5.1.4)
электрическими граничными условиями на поверхности тела О — О3 О4".
на Оз
у(5.1.5)
на О4
N • А = —g*.(5.1.6)
Здесь Vi — оператор Гамильтона, u, 4n, N — векторы перемещений, напряжений и внешней нормали к поверхности среды соответственно, определенные в системе координат, связанной с начально-деформированной конфигурацией (звездочкой отмечены заданные в соответствующей области величины), р\ — плотность материала среды в этой конфигурации, g*, ср* — плотность распределения заряда и электрический потенциал соответственно.
© = Xss ' V1UT • СУ Ct + х$ ' V1U - Xsw '• C1 +
+ г0 [(V] • u - ViUT) • M, - Mg • (VjU • E, + V^)],
(5.1.7)
△ = -Xws • ^[Пт • Cf + Xww '
+ £0 [E1V1 • u - £ (u) • Ei - Viy?], (5.1.8)
где Xs = У*07 ‘ Xs ‘ Ci — тензор напряжений Коши, Xss = Л *Cf • Xss ‘ Cp Xsw = Л 'Cf • Xsw ‘ С] и Xww = = J^C^ • Xww ' C[ — тензоры IV, III и II ранга соответственно, характеризующие упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические (диэлектрическую восприимчивость) свойства материала в начально-деформированной конфигурации; S — тензор деформации Коши-Грина; Е — вектор напряженности электрического поля; М — элек-
трический тензор Максвелла (1.2.4), Me = -^- — тензор III ранга, определяющий производную тензора Максвелла. Индексом 1 отмечены значения величин в начальном состоянии.
Задача (5.1.1)—(5.1.6) замыкается дополнительными граничными условиями в зависимости от типа среды: для полупространства |Ж11, |ж2| < сю, жз < О
u J, О, у О, ж3 —> —сю;(5.1.9)
для слоя |ж1|, |жг| < сю, жо < жз < жзо, нижняя грань которого металлизирована, жестко защемлена и заземлена,
и = О, у = 0, жз = жо;(5.1.10)
для слоя |ж1|, |жг| < сю, жо < жз < жзо, нижняя грань которого металлизирована, контактирует без трения с жестким основанием и заземлена,
и3 = 0,0з1=вз2 = О, у = 0, ж3 = ж0.(5.1.11)
Случай малых начальных деформаций. При малых начальных деформациях выражения для линеаризованного тензора напряжений (5.1.7) и линеаризованного вектора индукции (5.1.8) с учетом представления потенциальной функции в форме (1.2.13) (пренебрегая упругими, пьезоэлектрическими и диэлектрическими константами высших порядков) можно переписать в виде:
© = 4CWx ■ ^ит ■ Cf ■ С, + xs ' V]U + Зех ■ V^ ■ С, +
+ д0 [(Vj • u - V,uT) • М] - М^ • (V]U • Е] + V^)], Д = 3ех-^иТ-СТ-2^ ■ V^+(5.1.12)
+ д0 [Е^ • и - е (и) • Е, - V^J, (5.1.13) где 4CWx, Зех и 2/3 х — тензоры упругих, пьезоэлектрических и диэлектрических констант, приведенных к базису начально-деформированной конфигурации:
4^Wx j IqT , 4^W , ^^
Зех = ГХС^ -3e Ci,(5.1.14)
2/Зх = у-'С^/З-Сь
Таким образом, задача о колебаниях преднапряженной электроупругой среды при малых начальных деформациях в эйлеровой системе координат описывается линеаризованными уравнениями движения (5.1.1) и уравнением вынужденной электростатики (5.1.2), граничными условиями (5.1.3)-(5.1.6) и дополнительными граничными условиями (5.1.9), (5.1.10) или (5.1.11) (в зависимости от типа задачи). Линеаризованные тензор в и вектор индукции А определены формулами (5.1.12)—(5.1.14).
Краевая задача в декартовой системекоординат
Формулы (5.1.1)—(5.1.11), описывающие постановку краевой задачи, построены безотносительно к выбору системы координат, которая в общем случае может быть криволинейной. Использование декартовой системы координат позволяет существенно упростить описание краевой задачи.
Постановка задачи в декартовой системе координат. Для вычисления компонент тензора напряжений 0 (5.1.7) и вектора индукции Д (5.1.8) в декартовых координатах напомним представление участвующих в них величин:
V1U Ifclm я , С-Ч ^к^т а > ТЬ grad у? 1/,.,
охкоако$к
(5.2.1)
Mi = Mkmiklm, Мкт =— ' /2 ^кт) ЕкЕт, (5.2.2)
Mg Mkmjipm^j’ Mkmj ^оО 1/2 ^кт^ \$mjEk + ^кзЕт\ •
(5.2.3)
Внося формулы (5.2.1)—(5.2.3) в представления линеаризованных тензора напряжений 6 (5.1.7) и вектора индукции Д (5.1.8), получим их компоненты в декартовой системе координат в виде:
(5.2.4)(5.2.4)®lk ^Iksp^s.p + ^IkpV-P'
(5.2.4)
(5.2.4)
К, ^lkp^s,p S-lpV.P'
где
Д гр с | рОI prnq X
^Iksp^Ip^ks ^Iksp ks ^Inqp1
= Gj„ + НМ„„ с„ = X, +(5-2.5)
Здесь
— компоненты тензора Коши, определенного в начальном состоянии, коэффициенты
Х<9— с^Iksp ^0Х<9— с^Iksp ^05 еХХХ. - W +5 еХХХ. - W +
Х<9— с
^Iksp ^0
Х<9— с
^Iksp ^0
5 еХХХ. - W +
5 еХХХ. - W +
+ E'kXX - EX - E'6lp) + EXX - EX„) ■ (5.2.7)
X, = <EX, - EX - EX,)
определяют влияние внешнего электростатического поля, Е^ — компоненты вектора напряженности начального электрического поля Ei, метрические множители Н? и Нр", характеризующие начальную деформацию, описываются формулами (4.2.3), коэффициенты
_ т-1 Tjmj ЭхikSp ip asmkdssj'
(5.2.8)(5.2.8)х _ _ т-1 Tjjm Эх
(5.2.8)
(5.2.8)
lkplP dSmkdWj’
ax _ _ т-I Tjjm Эх Pip d ip aWmaW.
представляют собой модифицированные упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические модули, которые определяются законом состояния преднапряженной электроупру- гой среды при использовании пространственной формы описания. Они зависят как от вида начального напряженного состояния, в общем случае неоднородного, так и от величины начальной деформации и напряженности начального электрического поля. Внося в формулы (5.2.8) представление потенциальной функции (1.2.14), получим:
Clksp — Hlp\cmpsj + cTtmksjSTt\
(5.2.9)
ях _ т-1 ттв
Hip11 Ip Нзт*
Случай однородного напряженного состояния. Далее в работе исследуются полуограниченные элек- троупругие среды с прямолинейными границами типа слоя, полупространства, слоистого полупространства. Предполагается, что среда подвержена однородной начальной деформации, которая определяется соотношениями (R, г — радиус-векторы точки среды соответственно в начальной и естественной конфигурациях, ^ = 1 + ф, ф — относительные удлинения волокон, направленных в естественном состоянии вдоль осей а, (г = 1, 2, 3), Е^. (k = 1, 2, 3) — компоненты вектора напряженности начального электрического поля):
R = г • A, G = А • Ат, А = ф^ущщ^, у^ = const, (5.2.10) Е) = Ео = const, Е} — Е2 — 0.
В этом случае выражения для компонент тензора деформации Коши-Грина S (1.1.7), метрических множителей Н™, ЩР J (4.2.3) и для коэффициентов влияния электростатического поля (5.2.7), характеризующих воздействие начального электрического поля, принимают вид:
(5.2.11)(5.2.12)(5.2.11)(5.2.12)S4 = 1 /2 М1^2 ~ 1) ’ J = v\ уПз -
(5.2.11)
(5.2.12)
(5.2.11)
(5.2.12)
НЬ = SgkMk^ Hs =
IkspIksp= е0Е^= е0Е^| (АрН - Мкр) + MMSP - Ми - MiP) +| (АрН - Мкр) + MMSP - Ми - MiP) +
Iksp
Iksp
= е0Е^
= е0Е^
| (АрН - Мкр) + MMSP - Ми - MiP) +
| (АрН - Мкр) + MMSP - Ми - MiP) +
+ Фз(ФрФк — Мкр) ,(5.2.13)
Мкр = еоЕо(5з1^кр — §3Ркк — ^Зккр)-
Внося выражения (5.2.11)-(5.2.13) в представления (5.2.5) упругих, пьезоэлектрических и диэлектрических констант материала среды, получаем:
@lksp ^ip^ks + ^Iksp + ^k^s^lksp1
*«, = Gg, + ^&. =„ = =„6,, + ^.(5.2.14)
где
clksp V\V2V3 y^sp 2 rtlkspurt\^r 1) j ’
<p=^e^ < = ^%(5-2-15)
При фиксированной начальной деформации коэффициенты (5.2.14) являются постоянными, зависящими от вида начального напряженного состояния и величины начальной деформации. Их представление для рассматриваемых ниже пьезоэлектрических сред будет приведено ниже.
(5.2.16)(5.2.16)Для единообразия дальнейших выкладок введем обозначения:
(5.2.16)
(5.2.16)
^Iksp ”lksp’ ^Ikp rlkp’ ^lp ^lp’
где упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические константы определены формулами (5.2.14).
Краевая задача о колебаниях преднапряженной электро- упругой среды при использовании пространственной (эйлеровой) формы представления в декартовой системе координат описывается уравнениями движения
dkspus,Pi + dkPV»i = рйк, к = 1, 2, 3,(5.2.17)
уравнением вынужденной электростатики
=(5.2.18)
механическими граничными условиями
c3kSpus,P + e3kpV,p^tk^x, хр, хх,х2еОх,(5.2.19)
ик ~ ^(^i* хд'хх, х2Е О2,
и электрическими условиями
ем>1.„ -= -g4®v г2). ^1. «г 6 О,„(5.2.20)
у? = уДж], х2УЖ], х2 G О4.
Далее в записи уравнений движения и граничных условий, как и в предыдущем разделе, целесообразно перейти
Влияние начального состояния на симметрию кристаллов 77 к более удобной, определяемой формулами (4.2.16), сокращенной индексации упругих и пьезоэлектрических констант.
Влияние начального напряженногосостояния на симметрию кристаллов(система координат Эйлера)
В качестве электроупругой среды будем рассматривать следующие пьезоматериалы:
— пьезокристаллы с ориентированной вдоль жз осью симметрии, имеющие признаки, характерные для класса mm2 ромбической системы (классы ттб гексагональной сингонии, тт4 тетрагональной сингонии и mm2 ромбической системы), а также пьезокерамику, поляризованную вдоль оси жз;
— пьезокристаллы, имеющие признаки, характерные для класса 222 ромбической системы (классы 43m кубической системы, 42m тетрагональной сингонии и 222 ромбической системы).
Далее полагаем, что начальное напряженное состояние наводится за счет однородного внешнего электростатического поля, которое, как показал анализ, является определяющим в изменении класса симметрии кристаллов. Начальные механические напряжения играют второстепенную роль в изменении класса симметрии, влияя лишь на значения коэффициентов.
Влияние внешнего электростатического поля на симметрию кристаллов класса 6mm гексагональной системы. Рассмотрим влияние внешнего электростатического поля на симметрию кристаллов класса 6mm гексагональной системы с ориентированной вдоль жз осью симметрии. Как уже отмечалось, этот класс характеризуется наличием 10 независимых констант, среди которых 5 упругих модулей, 3 пьезоэлектрических модуля и 2 диэлектрических постоянных. Матрица, определяющая связь между упругими и электрическими свойствами, имеет представле-
ние (3.3.1). Кристаллы классов 4mm и mm2 гексагональной системы обладают более низким уровнем симметрии и характеризуются наличием 11 (класс 4mm) и 17 (класс mm2) констант соответственно. Как показано в предыдущей главе (раздел 4.3), действие механических начальных напряжений (в отсутствие внешних электростатических полей) приводит к переходу кристаллов из класса 6mm в класс 4mm тетрагональной или в класс mm2 ромбической систем. Наличие внешнего электростатического поля существенно изменяет свойства симметрии кристалла. В отсутствие начальных напряжений связь между упругими (6^, Uk-m) и электрическими (Ап, ЕР) свойствами пьезоэлектрика класса 6mm представима в виде матрицы (4.3.2), в которой для обозначения компонентов линеаризованного
тензора напряжений 0 использована свернутая система
индексации на Ст'
(4.2.16) и
(4.2.17),
а константы с*кт
заменены
/
^1,1
«2,2
«3,3
«2,3
«1,3
«1,2
<Л1
У,2
^,3 \
01
**
Н1
**
И2
** из
0
0
0
0
0
** е31
02
**
И2
**
С22
**
ИЗ
0
0
0
0
0
** е32
03
**
ИЗ
**
С23
**
С33
0
0
0
0
0
** е33
04
0
0
0
**
Н4
0
0
0
** е24
0
05
0
0
0
0
**
0
И5
0
0
06
0
0
0
0
0
** с66
0
0
0
△1
0
0
0
0
И5
0
Н1
0
0
△2
0
0
0
е24
0
0
0
-22
0
\Аз
е31
е32
е33
0
0
0
0
0
— И* / ьзз/
(5.3.1)
Для участвующих в матрице (5.3.1) констант имеют
место соотношения:
с22 = СИ> с23 = с13’с55 = с44>
=м = М - с;;) /2,(5.3.2)
е32 = е31’е24 = е15’^22 = ^11’
Из формул (5.2.14) и (5.2.15) следует, что в системе координат, связанной с начальной конфигурацией, упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические константы
существенно зависят как от вида преднапряженного состояния и величины начальной деформации, так и от начального электростатического поля. Влияние последнего определяют коэффициенты G^kp и G®ksp (5.2.7) в формуле (5.2.14). Будем полагать, что начальное, действующее на кристалл электростатическое поле определяется выражениями:
Е\ — Еох О, Е2 — Е02 О, Е3 — Еоз О, Еох Е02 Е03.
(5.3.3)
Вычисляя коэффициенты G^ и G6lksp в представлении (5.2.14) по формулам (5.2.7), получаем для составляющих упругих коэффициентов Скь к = 1, 2, 3, и Cjk, 3 = 1, 2, 3, к = 1, 2, 3, з^к
(5.3.4)(5.3.5)(5.3.4)(5.3.5) 7^2 7^2 7^2 ^2222 —^02’^3333 “^03’
(5.3.4)
(5.3.5)
(5.3.4)
(5.3.5)
^1122 — ^2211 — 0.5(5gi + Eq2 — Eq3\
^изз ~ ^ззн ~ О.5(Е'о1 — Eq2 + £дз)>
^3322 = ^2233 = 0.5( — Е^ + Eq2 + Е^).
Из этих выражений видно, что начальное статическое поле хоть и приводит к изменению класса симметрии, но использование свернутой системы индексов возможно. По-иному
и с66:и с66:(5.3.6)(5.3.6)(5.3.7)(5.3.7)(5.3.8)(5.3.8)начальное поле воздействует на константы С55, с44
и с66:
и с66:
(5.3.6)
(5.3.6)
(5.3.7)
(5.3.7)
(5.3.8)
(5.3.8)
с55 : ^4313 ~ ^3131 ~ 0.5( — Е^х + Eq2 — Sqs), л<0 7^2 7^2 .
u1331 —^03^3113 —
С44 : G2323 = G3232 = 0.5(E'q1 — Eq2 — Eq3\ 772 772. U2332 —^03’U3223^02’
c66: G®212 = G2121 — 0.5(—EqX — Eq2 + Eq3Y
7^2 7^2 u1221 —^02’u2112 — ^ОГ
Как следует из формул (5.3.6)-(5.3.8), использование свернутой системы в записи коэффициентов С55, С44 и Сбб невозможно. Аналогичная ситуация имеет место и для электро- упругих коэффициентов:
(5.3.9)(5.3.9)^223^03’
(5.3.9)
(5.3.9)
^232^03’
^311 “ ^322 — ^333 “^03*
Из (5.3.4)-(5.3.9) нетрудно заметить, что влияние внешнего электростатического поля на ряд упругих и элек- троупругих коэффициентов является несимметричным, т. е. свойство симметрии по индексам для ряда коэффициентов не выполняется. Это касается, в частности, индексов 1313 и 1331, 2323 и 2332 для упругих коэффициентов в (5.3.7), которые в матрице (5.3.1) для ненапряженного материала при отсутствии начального электростатического поля обозначают равные коэффициенты с индексами 55 и 44 соответственно. Аналогичная ситуация имеет место для элек- троупругих коэффициентов в (5.3.9) с индексами 113 и 131, 223 и 232, которым в ненапряженном материале соответствуют индексы 15 и 24. В связи с этим переход в полной мере к свернутой системе индексации коэффициентов, участвующих в представлении краевой задачи (5.2.19) и (5.2.20), невозможен. Таким образом, при наличии внешнего электростатического поля необходимо использовать развернутую систему индексов. Исключение представляет случай, когда начальное электростатическое поле одинаково по всем направлениям, т. е. определяется условием Sqi = £-02 = ^оз- Класс симметрии кристалла в этом случае будет изменен, поскольку часть равенств из (5.3.2) будет нарушена.
Для анализа влияния внешнего электростатического поля на симметрию кристалла выпишем часть отличных от нуля элементов матрицы (5.3.1), используя свернутую систему индексации:
ckk = Гк ~ Eok + vV 1 (ckk + 4 сгккГг _ 1)) > к = 1, 2, 3, (5.3.10)
cjk = G<jk + (cjk + 1 crjk^ - 1)) , j,fc= 1,2,3, j^k.
Для остальных отличных от нуля упругих коэффициентов использование свернутой системы индексации невоз
можно из-за несимметричного характера влияния началь
ного электрического поля:
**_ **_।2 2 т-1 ( I 1/2
С1313 — С3131 — U1313 +I С444
(5.3.11)(5.3.11)(5.3.12)(5.3.12)I 2 2 т-1 ( I 1/2 _ i\A
(5.3.11)
(5.3.11)
(5.3.12)
(5.3.12)
С3113 — ^3113J I с44 "г 4 Сг44^г
С1331 = ^1331 + ^Х^Р 1 ^44 + 4 Сг44(^г — I))
** ** z~i0 ।2 2 т1 (। 1/ 2
С2323 — С3232 — ^2323 + ^2 ^3( с44 т ^ CT^\VT —
с2332 = ^2332 + ^З^ * (с44 + | ctuIvt - 1)) '
с3223 = ^3223 + ^^ * (с44 + | С^С^г - 1)) с1212 — с2121 — ^1212 + ^1 ^2 ^ ф'бб + 4 Cr66Vr — **_ ^9,2 2 т-1 /। 1/ 2 _ i\\
с2112 — ^2112 + ^1 ^2 J I с66 + 4 ^бб^г
_ Г<9। ,.2 2 т-1 /। 1/ 2
с1221 — и1221 + И V2J I с66 “Г 4 Сгбе^г v)j
Аналогичная ситуация имеет место для пьезоэлектрических модулей. Три модуля (е^, k = 1, 2, 3) можно представить в обычной для кристаллофизики форме, используя свернутую систему. Для записи остальных необходимо использовать развернутую систему индексов:
eTk = -E№^v^rxe.k, к=\Д,3,
е\хз ~ Е0з + v^v3J 1е15, е131 = — Е03 + vvv3 J (5.3.14) е223 — Е03 + v^v3J *е15, 6232 — — Е03 + v3v^J 'е15.
Для диэлектрических постоянных имеем:
vlvp7. vlvp7.(5.3.15)
vlvp
7.
vlvp
7.
Сравнивая значения коэффициентов в начальном состоянии (5.3.11)-(5.3.14) с их значениями в естественном состоянии (5.3.2), нетрудно установить, что наличие начального электростатического поля резко нарушает свойства
симметрии выбранного класса пьезоэлектриков. Это приводит к необходимости использования полной системы индексации в записи определяющих соотношений для элек- троупругой среды класса 6mm, подверженной действию начального электростатического поля, а также в представлении уравнений движения и граничных условий. Матрица, определяющая связь между электрическими и механическими параметрами, в записи краевой задачи имеет вид:
/
^1,1
«2,2
«3,3
«2,3
«3,2
«1,3
«3,1
«1,2
«2,1
У,1
У ,2
У.з \
©11
**
111
**
С1122
** 4133
0
0
0
0
0
0
0
0
е113
©22
с2211
с2222
с2233
0
0
0
0
0
0
0
0
е223
©33
»»
с33111
с3322
с3333
0
0
0
0
0
0
0
0
е333
©23
0
0
0
с2323 с2332
0
0
0
0
0
»» е232
0
©32
0
0
0
** с3223
** с3232
0
0
0
0
0
р** е322
0
©13
0
0
0
0
0
** с1313
** с1331
0
0
р**
е 131
0
0
©31
0
0
0
0
0
**
С3113
** с3131
0
0
р**
е311
0
0
©12
0
0
0
0
0
0
0
**
^1212
** с1221
0
0
0
©21
0
0
0
0
0
0
0
**
С2112
** с2121
0
0
0
А]
0
0
0
0
0
** е113
** е131
0
0
—еп
0
0
△2
0
0
0
** е223
** е232
0
0
0
0
0
_**
£22
0
\ Аз
** езп
** е322
** еззз
0
0
0
0
0
0
0
0
-£зз /
(5.3.16)
5.
3.2.
Влияние внешнего
электростатического ш
)-
ля на симметрию кристаллов кубической системы.
Рассмотрим влияние внешнего электростатического поля на симметрию кристаллов класса 43m кубической системы. Как отмечалось в главе 3 (раздел 3.2), этот класс характеризуется наличием 5 независимых констант, среди которых 3 упругих модуля, 1 пьезоэлектрическая и 1 диэлектрическая постоянные. Матрица, определяющая связь между упругими и электрическими свойствами, имеет представление (3.2.1). Кристаллы классов 42m тетрагональной и 222 ромбической систем обладают более низким уровнем симметрии и характеризуются наличием 10 (класс 42m) и 15 (класс 222) констант соответственно. Как показано в предыдущей главе (раздел 4.3.2), действие механических начальных напряжений (в отсутствие внешних электростатических полей) приводит к переходу кристаллов из класса 43m кубической в класс 42m тетрагональной или в класс
(5.3.18)(5.3.18)222 ромбической систем. Наличие внешнего электростатического поля существенно изменяет свойства симметрии кристалла. В отсутствие начальных напряжений связь между упругими (ву, и^р и электрическими (Aj, Ер свойствами пьезоэлектрика класса 43m кубической системы представима в виде матрицы (3.2.1), в которой для обо
(5.3.18)
(5.3.18)
и (4.2.17). Как и ранее, константы с^
заменены на с**:
в, 02
03
04
05
П1дП2,2^3,3^2,3^1,3^1,2
сПс**с**000
****ЛЛЛ
'1222с23uuu
ллл
с12с23с33иии
000с**о0
0000с^0
<РДУ,2У,3\
000
000
000
00
00•
06 А, △2
\Аз
Меж
00000с**
000е^00
0000е^0
00000е**
:ду участвующими в матрице
Е;;оо
-г"00
00
00
(5.3.17) (5.3.17) константами
значения компонентов линеаризованного тензора напряжений © использована свернутая система индексации (4.2.16)
имеют место соотношения:
С11 — с22 — с33>с44 — с55 ~ с66>
С,2 = С*з = С23, е14 = е25 = е36> SH — £22 = £33-
Из формул (5.2.14) и (5.2.15) следует, что в системе координат, связанной с начальной конфигурацией, упругие константы (5.3.18) существенно зависят от внешнего электрического поля. Пусть начальное электростатическое поле определяется выражениями (5.3.3). Тогда модифицированные коэффициенты описываются формулами (5.3.4)-(5.3.8). Заметим, что влияние поля на коэффициенты кристалла 43m кубической симметрии ничем не отличается от влияния электростатического поля на кристаллы 6mm. Таким образом, и в данном случае при записи краевой задачи необходимо использовать полную систе-
му индексации коэффициентов. Подстановка представлений (5.3.3) в формулы для электроупругих констант дает:
рЧ> рФ /-*''/’ /-'V’ /-'V’ /-'V’ л /к о 1 л\ — ^132 ————— и- ^о.о.зу;
Таким образом, электростатическое поле не влияет на изменение пьезоэлектрических констант. Матрица, определяющая связь между электрическими и механическими параметрами, имеет вид:
/
U1.1
^2,2 ^3,3
^2,3
из,2
«1,3
«3,1
«1,2
«2,1
<Л1
У,2
<Лз \
©11
чш
****
122 с1133
0
0
0
0
0
0
0
0
0
©22
с2211
****
с2222 с2233
0
0
0
0
0
0
0
0
0
©33
с33111
с3322 с3333
0
0
0
0
0
0
0
0
0
©23
0
0
0
** с2323
»» с2332
0
0
0
0
р** е231
0
0
©32
0
0
0
»» с3223
»» с3232
0
0
0
0
р** е321
0
0
©13
0
0
0
0
0
** с1313
** с1331
0
0
0
** е132
0
©31
0
0
0
0
0
** с3113
** с3131
0
0
0
** е312
0
©12
0
0
0
0
0
0
0
с1212
с1221
0
0
р** е123
©21
0
0
0
0
0
0
0
С2112
с2121
0
0
е213
Ai
0
0
0
р»» е123
р** е132
0
0
0
0
-eii
0
0
Аг
0
0
0
0
0
** е213
е231
0
0
0
“е22
0
\ Аз
0
0
0
0
0
0
0
** е312
** е321
0
0
-s33 /
(5.3.20)
Определение параметров начальногосостояния в классе 6mm (система координатЭйлера)
Начальное напряженное состояние нелинейного элек- троупругого тела в системе координат, связанной с начально-деформированным состоянием, целесообразно определять тензором напряжений Коши-Максвелла [71]
(5.4.1)(5.4.1)t = Т + М,
(5.4.1)
(5.4.1)
где Т — тензор напряжений Коши (1.2.6), М — электрический тензор Максвелла (1.2.5), и вектором электрической индукции D (1.2.4). Их компоненты при однородном начальном напряженном состоянии, заданном условиями (5.2.10), и начальном электростатическом поле Ео\ = Eq2 = 0, Еоз = const имеют вид:
^kk^k (^ппкк^пп ^jkk^^j + 2 ^mmnnkk^mm^nnj + ^кк’
(5.4.2)
Dp eqEqp -Н J vk (бкппЗпп И- Pjk^^j^) 1 к 1, 2, 3.
Здесь Mxx = M22 = — M33 = — -s0Eq3, Wj = У ~ = vxv2v3, Cjk — константа диэлектрической восприимчивости, по «мертвым» индексам идет суммирование от 1 до 3. Далее перейдем к сокращенной системе индексов в соответствии с правилами (4.2.17). Учитывая в формулах (5.4.2) константы в соответствии с представлением (3.3.1), получим систему уравнений для определения параметров начального состояния для рассматриваемого класса пьезоэлектриков в системе координат Эйлера:
^1 У ^р\к®к ^З^З^ОЗ 2 1 ^т) 2 ^О^ОЗ’ Д = У *^2 (с2к^к — ^^З-^ОЗ + 2 Стй8т8гЧ — 2 £0-^03’
(5.4.3)
^3 ~ У ^3 (^/А — 633^3 + 2 СтгЗ$т5) + 2 S0^03’
D3 = J xv3e3kSk + (е0 + P33J xv3^E03.
Система (5.4.3) представляет собой систему 4-х, в общем случае нелинейных, уравнений, связывающую 8 переменных: 3 компоненты тензора напряжений, 3 компоненты тензора деформации и по одной компоненте напряженности электрического поля и вектора электрической индукции.
Задав в качестве исходных фиксированные значения любым из трех переменных (в данном случае четвертой исходной величиной обязательно должна быть напряженность начального электростатического поля), из (5.4.3) получим значения остальных переменных. Тем самым полностью определяется начальное деформированное состояние, что дает возможность вычислять все коэффициенты, участвующие в представлении линеаризованной краевой задачи в системе координат Эйлера.
Постановка задач для электроупругойнеоднородной среды
Рассматривается неоднородная электроупругая предна- пряженная среда, механические и электрические параметры (плотность, упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические константы в представлении потенциала (1.2.9) или (1.2.14)) и начальные напряжения которой представляют собой произвольные, достаточно гладкие функции одной из координат (например, жз). Линеаризованные тензор напряжений 6 и вектор индукции △, участвующие в представлении краевых задач (5.1.1)—(5.1.6), в зависимости от выбранной, в общем случае криволинейной, системы координат определяются формулами (5.1.7), (5.1.8). При этом компоненты градиента деформации и электрического тензора Максвелла, а также вектора напряженности электрического поля, наряду с тензорами механических и электрических констант, являются произвольными, достаточно гладкими функциями координаты жз.
Замечание. Большинство пьезоупругих материалов создается искусственно путем целенаправленного выращивания кристаллов с заранее заданными свойствами. Однородность свойств этих материалов — одно из основных требований. Однако не исключено, что неоднородность свойств электроупругой среды может привести к новым, интересным с точки зрения приложений, эффектам.
Постановка задач для электроупругоймногослойной среды
Для многослойных сред линеаризованные уравнения движения, а также уравнения вынужденной электростатики можно записать в виде:
vs • ^ = р^п^,(5.6.1)
Vs •= 0.(5.6.2)
Механические граничные условия на поверхности тела О = = 01 + О2 имеют вид: на 01
ns-0(1)(5.6.3)
на О2
u(1> = u*.(5.6.4)
Электрические граничные условия на поверхности тела О = = Оз + О4 имеют вид: на Оз
ns • А^1-1 = —(5.6.5)
на О4
= ^0),(5.6.6)
здесь индекс s в зависимости от выбранной системы координат принимает либо значение s = О для лагранжевой системы координат, либо s = 1 для эйлеровой системы координат. Vs — оператор Гамильтона, щ — вектор внешней нормали к поверхности среды в соответствующей системе координат, u, tn — векторы перемещений и напряжений, р^ — плотность материала соответствующего слоя. Линеаризованные тензор напряжений в и вектор электрической индукции А, в зависимости от выбранной системы координат, определяются либо формулами (4.1.7), (4.1.8), либо (5.1.7), (5.1.8). В декартовых координатах используются представления (4.2.1), (4.2.2) или (5.2.4), (5.2.5).
На границе между слоями имеют место соотношения:
A(i) = A(i+1), х^х^\(Ь.ЬЛ)
где индексом (г) обозначены величины, относящиеся к г-му слою.
В случае, когда подстилающим для многослойной среды является полупространство, краевая задача (5.6.1)—(5.6.7)
замыкается условием (4.1.9) в лагранжевой или (5.1.9) в эйлеровой системе координат. Если подстилающим является слой, то в лагранжевой системе координат задачу замыкает условие (4.1.10) или (4.1.11).
Глава 6
РЕШЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО
НАПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕКТРОУПРУГИХПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ СРЕД
В настоящей главе излагаются подходы к решению динамических задач о гармонических установившихся колебаниях преднапряженных электроупругих полуограни- ченных сред, инициированных нагрузками различной природы. Предполагается, что задачи допускают применение одномерного или двумерного интегрального преобразования Фурье. При этом задача, описываемая системами дифференциальных уравнений в частных производных, сводится к системам обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение исходной задачи получается в результате применения формул обращения Фурье к решению, построенному в пространстве образов Фурье.
Общий случай преднапряженнойэлектроупругой среды
Введем в рассмотрение расширенные векторы перемещений ие = {«1, «2, «з, «4} и напряжений qe = = {91, 92, 9з, 94}, где иь qk (к = 1, 2, 3) — компоненты векторов механических перемещений и напряжений, и4 = у? — потенциал, q^ = —g, g — плотность распределения электрического заряда.
Будем полагать, что полуограниченная электроупругая среда движется под действием нагрузки qe(xi, x^V-^1’ рас-
пределенной в некоторой области Q на поверхности среды. В электрическом плане предполагается, что область Q металлизирована и на ней задана функция распределения заряда g. Вне этой области поверхность среды свободна от механических напряжений, металлизация, а следовательно, и свободные заряды отсутствуют. Начальное напряженное состояние создается либо механическим путем за счет воздействия силовых факторов, либо механическим и электрическим путем одновременно за счет воздействия силовых факторов и внешнего электростатического поля, либо за счет начального чисто электрического внешнего воздействия.
Движение преднапряженной электроупругой среды описывается линеаризованными уравнениями движения (4.2.12) и уравнением вынужденной электростатики (4.2.13), граничными условиями (4.2.14), (4.2.15) в материальной
системе координат, линеаризованными уравнениями движения (5.2.17) и уравнением вынужденной электростатики (5.2.18), граничными условиями (5.2.19) и (5.2.20) в пространственной, связанной с начальным деформированным состоянием, системе координат. Краевая задача в общем случае имеет вид:
V.© = p^,(6.1.1)
VA = 0,(6.1.2)
N-© =N-А =N-© =N-А =д(жь ж2, t), ж3 = ж30, жь ж2 Е Q/'Riч\
N-© =
N-А =
N-© =
N-А =
0,ж3 = ж30, жь ж2 ^ Q ’
-д(ж1,ж2, у, Ж3 = Ж30, ЖЬ Ж2 G Q/R1д\
0,ж3= ж30, жь ж2
Учитывая установившийся характер движениясреды
и применяя к уравнениям (6.1.1) и (6.1.2) преобразование Фурье по жь ж2 («1, а2 — параметры преобразования), получаем систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, представление которой в операторной форме имеет вид:
LeUe + рш2ие = 0.LeUe + рш2ие = 0.(6.1.5)(6.1.5)
LeUe + рш2ие = 0.
LeUe + рш2ие = 0.
(6.1.5)
(6.1.5)
Граничные условия после преобразования Фурье запишутся в виде:
I II3=:r3O.(6.1.6)
Здесь Le = Le [, а9 |, Lf = L? |, а9 ] —
\<Щ dx3 1 2 у11 \dx3 12 У
дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, Ue = Vue, Qe = Vqe — преобразование Фурье расширенных векторов перемещения и напряжения соответственно.
В случае, когда объектом исследования является полупространство жз ^ жзо, к граничным условиям (6.1.4) необходимо добавить условие:
Ue(«i, «2, жз) —> 0, жз —> —сю.(6.1.7)
В случае, когда объектом исследования является слой ж0 < ж3 < ж30, |ж1|, |ж2| ^ сю, нижняя грань которого жестко защемлена, металлизирована и заземлена, задача (6.1.1)(6.1.4) дополняется условием на нижней грани:
IIе = 0, ж3 = ж0.(6.1.8)
В случае, когда объектом исследования является слой жо С жз < жзо, |ж1|, |жг| < сю, нижняя грань которого контактирует без трения с жестким основанием, металлизирована и заземлена, задача (6.1.1)-(6.1.4) дополняется условием:
[/з = 0, Lit/i = LqL^ = 0, у = 0, жз = жо- (6.1.9)
В случае, когда объектом исследования является многослойная среда ж^ ^ ж3 < ж^, г = 1, 2, ..., n, ^ |, |ж2| ^ сю, краевая задача (6.1.1)-(6.1.4) определяется уравнениями движения
BfOU^+yWf’^O, г =1,2, ...,п,(6.1.10)
с условиями на поверхности
L?(1)Ue(1) = Qe(1), ж3 = ж^,(6.1.11)
и условиями стыковки слоев
Ue(i) = ye^+l), LeWUe(i) = L^+Oue^+l),. (6 J J2)
Для проведения дальнейших построений будем искать решение задачи (6.1.1)-(6.1.4) в виде
Ue(ab а2) ж3) = Ueo(ab а^е^С (6.1.13)
Система уравнений (6.1.1), (6.1.2) после внесения представления (6.1.13) преобразуется к однородной линейной системе алгебраических уравнений
[Ье(7, «ь o2)+^2l]U^0, (6.1.14) условием существования нетривиального решения которой является уравнение
det ||Le (7, «i, ад) + до21|| = 0. (6.1.15)
Выражение (6.1.15) представляет собой уравнение восьмой степени относительно 7 и в общем случае имеет восемь различных корней. Общее решение системы (6.1.1), (6.1.2) имеет вид
Ue = х\С\е^х’а'’а^ш^ ^ х^Се^ (6.1.16) где Xек — матрицы четвертого порядка, векторы которых удовлетворяют системе (6.1.13) соответственно для значений 7 = 7ь е1^’ “ь “2’ ш^3 — экспоненты от матриц
7(1, «2, w) = diag{7i, 72, 73, 74},7(2, аь а2, ^) = diag{75, 76, 77, 781-
Векторы Ci = №, с2, Сз, с4у С2 = Т{С5, С6, С7, С8} определяются из граничных условий (6.1.3), (6.1.4). В общем случае они представляют собой функции параметров оздои частоты ш, имеют особые множества в виде полюсов, нулей и точек ветвления (в случае полупространства).
Используя формулы обращения Фурье, решение задачи (6.1.1)—(6.1.4) представляется в виде
ОО ОО
[A^Df («1, Од, ш)[A^Df («1, Од, ш)ue(xi, ж2, Жз) = д
[A^Df («1, Од, ш)
[A^Df («1, Од, ш)
4" J
— 00 — 00
+Ae2D^e^(2’ “ь “2’ ш)*3] Q^-i^l+coao) Дах da^ (6 Д Д 7)
где
а2, Щ = D^ap а2, w)Qe.
В случае, когда объектом исследования выступает неоднородная среда (материал имеет плавно изменяющиеся по координате жз свойства) или неоднородное напряженное состояние, также плавно изменяющееся по координате жз, после применения преобразования Фурье приходим к системе обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами вида (6.1.5), в которых дифференциальные операторы имеют представление:
Le = LeLe = Led2da;2 ’d2da;2 ’dda;3dda;3(6.1.18)(6.1.18)
Le = Le
Le = Le
d2da;2 ’
d2da;2 ’
dda;3
dda;3
(6.1.18)
(6.1.18)
Заменой переменных система (6.1.5) с операторами (6.1.18) сводится к начальной задаче Коши, решение которой строится численными методами. Последующий порядок действий по построению характеристического уравнения и определения векторов Ci = t {О, С2, Сз, С4}, С2 = Т {С5, Сб, Ст, Сз} ничем не отличается от вышеизложенного с той разницей, что общее решение, играющее в данном случае роль общего решения (6.1.13) для однородной среды, каждый раз восстанавливается численно для конкретных значений параметров.
Пе(Ж1, ж2, ж3) = -Г 4тгke(s, t, ж3, хУ =Пе(Ж1, ж2, ж3) = -Г 4тгke(s, t, ж3, хУ =Учитывая, что де(жь ж2) = 0 вне области Q, решение исходной краевой задачи (6.1.1)-(6.1.4) имеет вид:
Пе(Ж1, ж2, ж3) = -Г 4тг
ke(s, t, ж3, хУ =
Пе(Ж1, ж2, ж3) = -Г 4тг
ke(s, t, ж3, хУ =
ке(ж1 - £, ж2 - г), ж3, X2)qe(C ^) ^ d-T],
Г1 г2Г1 г2КУар а2, жз, х2)е-г(а|$+а2^ day do^.
Г1 г2
Г1 г2
(6.1.19)
Контуры Г1 и Г2 выбираются в соответствии с принципом предельного поглощения [27] и поведением элементов матрицы-функции Ke(«i, а2, жз, х2) на вещественной оси.
Колебания электроупругогопреднапряженного слоя
В настоящем разделе приводятся решения ряда краевых задач об установившихся колебаниях преднапряженного электроупругого слоя, контактирующего с недеформируе- мым основанием и занимающего область 0 ^ жз ^ h, |ж1|, |ж2| ^ сю. Колебания осуществляются под действием осциллирующей на его поверхности нагрузки qe^i, Ж2)е-гш< (расширенный вектор), распределенной либо в некоторой области Q на поверхности среды, либо в полосе —а < Ж] С а, |ж2| ^ сю. Исследование проводится в декартовой прямоугольной системе координат.
Колебания слоя с защемленным основанием. Исследуются колебания слоя жо = 0 < жз < Ж30 = h, |ж1|, |ж2| ^ сю, нижняя грань которого жестко сцеплена с неде- формируемым основанием, металлизирована и заземлена.
Пространственная задача. Колебания слоя осуществляются под действием осциллирующей на его поверхности нагрузки qe(жl, хУе-гш\ распределенной в области Q. В лагранжевой системе координат задача описывается линеаризованными уравнениями движения (4.2.12) и уравнением вынужденной электростатики (4.2.13), граничными условиями (4.2.14) и (4.2.15) на верхней грани и условиями (6.1.8) на нижней грани слоя. В эйлеровой системе координат задача описывается линеаризованными уравнениями движения (5.2.17) и уравнением вынужденной электростатики (5.2.18), граничными условиями (5.2.19) и (5.2.20) на верхней грани и условиями (6.1.8) на нижней грани слоя.
Для единообразия представления решения задачи введем обозначения:
9usp 9is4p Укр, 9l44p Vlpy У s, р 1, 2, 3. (6.2.1)
Тогда система уравнений (4.2.12), (4.2.13) или (5.2.17), (5.2.18) примет вид:
01111^1,11 + 02112^1, 22 + 03113м!,33 + (01122 + ^2121)^2,21 +
+ (01133 + ^3131)^3,31 + (01143 + 03141)^4,31 = Р^Ь (02211 + 01212)^1,21 + 01221^2,11 + 02222^2,22 + 03223^2,33 +
+ (03232 + 0223з)«3,32 + (02243 + 03242^4,32 = Р^2, (01313 + 03311)^1,31 + (03322 + 02323)^2, 23 + 01331^3,11 +
+ 02332^3,22 + 03333^3,33 + 01341^4,11 +
+ 02342^4,22 + 03343^4,33 = ^З, (6.2.2) (01413 + 03411)^1,31 + (02423 + 03422^2,32 + 01431^3,11 +
+ 02432^3,22 + 03433^3,33 + 01441^4,11 +
+ 02442^4,22 + 03443^4,33 = 0.
Аналогично, граничные условия (4.2.14), (4.2.15) или (5.2.19), (5.2.20) представляются в виде:
03113^1,3 + 03131^3,1 + 03141^4,1 = 91,
03223^2,3 + 03232^3,2 + 03242^4,2 = 92,(6.2.3)
03311U 1,1 + 03322 ^2,2 + 03333^3,3 + 03343^4,3 = 93,03411^1,1 + 03422^2,2 + 03433^3,3 + 03443 м4,3 = 94.
После применения преобразования Фурье по жь Ж2 (oi, «2 — параметры преобразования) уравнения (6.2.2) с условиями (6.2.3) примут вид (^(«i, «2, жз) — трансформанты Фурье функций ^(жь жг, жз) соответственно):
«101111^1 — «2^2112^1+ 03113^1,33 — 0102(01122 + 02121)^2 —
— ^1(03131 + 0ЦЗз)Пз,з — 2О](0Ц43 + 03141)^4,3 = —pw2Ui,— 0102(02211 + 01212)^1 — «101221^2 — «2^2222^2+ 03223^2,33 —
— 202(03232 + 0223з)^3,3 — 202(02243 + 03242)^4,3 = —puJ2U2,
201(01313 + 03311)^1,3 — 202(03322 + 02323)^2,3 ~ О[01зз1[/з —
02 02332 ^3 + 03333^3,33 — 0^01341 [/4 — 02 02342 ^4 +
+ 03343^4,33 — —рш2из, (6.2.4)
— 201 (01413 + 03411)^1,3 — 202(02423 + 03422)6^2,3 — O^HSl^S —
02 02432 ^3 + 03433^3,33 — 0^01441(04 — 02 02442^4 +
+ 03443 004,33 = 0.
Граничные условия (6.2.3) после преобразования Фурье (Qk(ot\, «2, жз) — трансформанты Фурье функций qk^xv ж2> ж3)) представляются в виде:
^ЗИЗ^ц 3 — ^1^3131^3 — io-\03Y4\U4 = Qi, ^3223^2,3 — ^2^3232^3 — 2012^3242^4 = 44,(6.2.5)
2011^331141 — 2012^3322^2 + 6*33336/3,3 + 6*33436/4,3 = Qs, — 20116*3411 Ux — 20126*34226/2 + 6*34336/3,3 + 6*34436/4,3 = Q4.
Решение задачи (6.2.4), (6.2.5) имеет вид (6.1.19). Вид элементов функции K(cti, «2» жз, ш) в решении задачи о колебаниях преднапряженной упругой среды в отсутствие пьезоэффекта [46] существенно зависит от характера начального напряженного состояния, допуская значительное упрощение для некоторых видов начальной деформации. В данном случае даже для простых преднапряженных состояний не удается достичь каких-либо упрощений представления элементов функции Ke(oi, «2, жз, ш). Поэтому ограничимся рассмотрением однородного напряженного состояния вида сг^ ^ а^ ^ сг33, рассматривая все остальные состояния как его частный случай.
Элементы матрицы — функции Ke(oi, о2, жз, ш) определяются формулами (далее везде р = 1, 2, 3, 4):
4
К пр2ОП ^2 fnk [ДрА: ^Ь (Т^Жз + Др, А:+4 ell (Т^Жз], 721, 2,
к=1 4
Юр ^4 fnk[ДрА: ch У/сЖз 4" Др, к+4 sh СГ^Жз],723, 4,
к=1
(6.2.6) Хрк = Д^/Д0, где ZX°kp, к = 1, 2, ..., 8, являются алгебраическими дополнениями определителя:
А0 = <^.||Ж,,||‘.^,.(6.2.7)
Элементы Тик определяются выражениями (к = 1, 2, 3, 4):
Тпк fik 01<Tkh,Тпк Uk sh <7^/2, Тпк = о,Тпк fik 01<Tkh,Тпк Uk sh <7^/2, Тпк = о,Тп,к+4 ^пк shcr^h, ^ntk+l UkOlO'kh, Tn,к+4 fn—4, к,Тп,к+4 ^пк shcr^h, ^ntk+l UkOlO'kh, Tn,к+4 fn—4, к,72= 1, 2,п = 3, 4,72 = 5,6, (6.2.8)72= 1, 2,п = 3, 4,72 = 5,6, (6.2.8)
Тпк fik 01<Tkh,
Тпк Uk sh <7^/2, Тпк = о,
Тпк fik 01<Tkh,
Тпк Uk sh <7^/2, Тпк = о,
Тп,к+4 ^пк shcr^h, ^ntk+l UkOlO'kh, Tn,к+4 fn—4, к,
Тп,к+4 ^пк shcr^h, ^ntk+l UkOlO'kh, Tn,к+4 fn—4, к,
72= 1, 2,
п = 3, 4,
72 = 5,6, (6.2.8)
72= 1, 2,
п = 3, 4,
72 = 5,6, (6.2.8)
Т?к = PbТвк = /тЬТ?к = PbТвк = /тЬТ7М4 — О,Тб,Н4 = О.Т7М4 — О,Тб,Н4 = О.(Jk — корни характеристического уравнения 8-го порядка(Jk — корни характеристического уравнения 8-го порядкаДоо =Доо =гдегде^2 - Рх -<ДВХ2аВхзаВХ4-рВ2х h2<P - Р2аВ23аВ24—а^сгВо, —о&суВ™ hod2 — Р, h^d2 — Р3 ’101Z 0Z оо ио-axdB41 -а2аВ42 h6d2 - Р6 h4d2 - Р4(6.2.9)^2 - Рх -<ДВХ2аВхзаВХ4-рВ2х h2<P - Р2аВ23аВ24—а^сгВо, —о&суВ™ hod2 — Р, h^d2 — Р3 ’101Z 0Z оо ио-axdB41 -а2аВ42 h6d2 - Р6 h4d2 - Р4(6.2.9)Bnj ^nnjj "Ь 6jnjn,Bnj ^nnjj "Ь 6jnjn,п, з = 1, 2, 3,п, з = 1, 2, 3,
Т?к = Pb
Твк = /тЬ
Т?к = Pb
Твк = /тЬ
Т7М4 — О,Тб,Н4 = О.
Т7М4 — О,Тб,Н4 = О.
(Jk — корни характеристического уравнения 8-го порядка
(Jk — корни характеристического уравнения 8-го порядка
Доо =
Доо =
где
где
^2 - Рх -<ДВХ2аВхзаВХ4
-рВ2х h2<P - Р2аВ23аВ24
—а^сгВо, —о&суВ™ hod2 — Р, h^d2 — Р3 ’101Z 0Z оо ио
-axdB41 -а2аВ42 h6d2 - Р6 h4d2 - Р4
(6.2.9)
^2 - Рх -<ДВХ2аВхзаВХ4
-рВ2х h2<P - Р2аВ23аВ24
—а^сгВо, —о&суВ™ hod2 — Р, h^d2 — Р3 ’101Z 0Z оо ио
-axdB41 -а2аВ42 h6d2 - Р6 h4d2 - Р4
(6.2.9)
Bnj ^nnjj "Ь 6jnjn,
Bnj ^nnjj "Ь 6jnjn,
п, з = 1, 2, 3,
п, з = 1, 2, 3,
Вп49 nnj 43 + ^3n4n> В^п ^34пп 3" ^п4пЗ, Г/ 1, 2,
hn — ^ЗппЗ, и — 1, 2, 3, 4, В5 — ^3343, hs — #3433,
22
Рп ' ^кппк&к Р^ ’1,2,3, Р4 ^к44к^к’
к=1к=1
22
Р& = ^2 ^к34как’ Рб = У2 ®к43как' (6.2.10) к=Хк=1
^пк^ЗппЗ^кfпк + ^ЗпЗп/з/с + ^3n4n/4/c» 711, 2,
Ink = —с2х6зпп/\к — c493n22f2k +
+ d3n33(Tkf3k + 93n43<7kf4k, П = 3, 4.
Решение характеристического уравнения (6.2.9) строится численно, так как даже в отсутствие преднапряжений оно не распадается на простые.
Замечание. В соответствии с заменой (6.2.1) коэффициенты 6П44П включают в себя знак минус.
Коэффициенты fnk, п, к = 1, 2, 4, являются решениями однородной системы уравнений с матрицей
Н\ка2^\2
акВ\з
акВи^
—а^В2ХН2к
-а^кВ31 -«2(7кВз2
°кВ2з Нзк
акВ24
,(6.2.11)
\-а^кВ41 ~^кВ42
Щк
В^4к /
Нпк = Как -Рп>
= 1, 2,
6.
(6.2.12)
4 В. В. Калинчук, Т. И. Белянкова
Плоская задача. Рассмотрим случай, когда нагрузка распределена в полосе —а ^ Ж1 ^ а, |жг| < сю. Вне этой области поверхность электрически свободна, механические напряжения отсутствуют. Полагаем, что динамический процесс удовлетворяет условиям:
«2 = 0, ип = ип(хъ жз), п= 1,3,4.(6.2.13)
Основание слоя предполагается металлизированным и заземленным, жестко сцепленным с недеформируемым основанием, начальное напряженное состояние является однородным и создается за счет механических напряжений, что позволяет привлечь для исследования лагранжевы координаты. Внеся условия (6.2.13) в уравнение движения (6.2.2) и граничные условия (6.2.3) и применив преобразование Фурье по Xi (а — параметр преобразования), получим систему уравнений:
^знз^1,зз — о20цц[71 — га (^3131 + ^изз) ^3,3 —
—га (0ц4з + 03141) СУз = — pu?Ub
—га (01313 + 0ззн) Ц\,з + 0зззз^з,зз — о201зз1^з +(5214)
+03343 ^4,33 — о201341^4 = —рш^Пз,
—га (01413 + 03411) U\,3 + 03433 ^3,33 — а201431^3 + +03443^4,33 — «201441^4 = 0.
Граничные условия (6.2.3) после применения преобразования Фурье ((^(жь Ж2, жз) — трансформанты Фурье функций Qk(xx, Х2, хз) соответственно) представляются в виде:
03113^1,3 — 2003131^3 — Ш03141С/4 = Q1,
—го0ззцП1 + бззззСУз + 63343U4 3 = Q3,(6.2.15)
—2003411^1 + 03433 ^3,3 + 03443^4,3 = Q4.
ие(жь ж3) = Гие(жь ж3) = Г(6.2.16)(6.2.16)ке(ж1 - У жз)qe(^) dy—аке(ж1 - У жз)qe(^) dy—аРешение системы уравнений (6.2.14) с граничными условиями (6.2.15) имеет вид (ue = {ui, из, гцУ qe = = {91, 9з, 94}): п
ие(жь ж3) = Г
ие(жь ж3) = Г
(6.2.16)
(6.2.16)
ке(ж1 - У жз)qe(^) dy
—а
ке(ж1 - У жз)qe(^) dy
—а
ke(s, Ж3) = jKe(a, жз)е га8 da г
(6.2.17)(6.2.17)с матрицей-функцией III порядка
(6.2.17)
(6.2.17)
К (<т, хУ ||/Сд,^(<т, ж3) ||^ ^—^ з
Элементы символа ядра имеют вид:
4
КуЛа, хУ = —га Y, fxkV^pkshakx3 + Др, k+scVia^, k=i з
К^а, хУ =52 fnkWpkcVvCTkX3 + Др? fc+3shy^s], п,р = 3, 4.
(6.2.18)
Др/г = Д^/Д0, где Д^, р, k = 1, 2, ..., 6, — алгебраические дополнения элементов определителя (далее использу-
ются
обозначения chn = ch апh,
shn =
sh anh)
Д
0 =
Ziichi Zi2 ch2 0зсЬ3 ^31 shi I32 sh2 Z33 shs Z4i shi Z42 sh2 143 sh3
0 0 0
Zu sh] Z31 chj Z4i ch] /11
Zi2sh2 Zi3sh3 1 I32 ch2 Z33 ch3 1 Z42 ch2 I43 chs
/12 /13
(к :
/з1/з2/зз0
/41/42/430
= 1, 2, 3) удовлетворяют
00
00
(6 характеристиче(
.2.19) жому
уравнению:
А00 =А00 =(6.2.20)(6.2.20)КуСУ2 — Ру аВуз <тВу4 -а2аВ3у Изо2 - Р3 h5a2 - Р5
А00 =
А00 =
(6.2.20)
(6.2.20)
—а2стВ4у h^a2 — Р^ h^a2 — Р4
Ск — взиЗ^кУк + Озхзбзк + 03141/lb
^пк Л 9зпЛ11\к "h @3n33&kf3k + @3n43&kf4ki^3, 4.
Коэффициенты Вкп, hn определяются формулами (6.2.10):
(6.2.21)(6.2.21)Рп = 9хпп\а2 - рш2, п=1,3, Р4 = 0у44уа2, Рз = 0уз4уа2, Рб = ^1431 Ск2.
(6.2.21)
(6.2.21)
Коэффициенты fnk, п, к = 1, 4, являются решениями однородной системы уравнений с матрицей:
НХк-«2сткВз1-о?окВ4ХВпк ^п^к Вп’НХк-«2сткВз1-о?окВ4ХВпк ^п^к Вп’^кВ\з akBXAВ3к В5к j ’В5к В^к /n= 1, 3, 4, 5, 6.^кВ\з akBXAВ3к В5к j ’В5к В^к /n= 1, 3, 4, 5, 6.(6.2.22)(6.2.23)(6.2.22)(6.2.23)
НХк
-«2сткВз1
-о?окВ4Х
Впк ^п^к Вп’
НХк
-«2сткВз1
-о?окВ4Х
Впк ^п^к Вп’
^кВ\з akBXA
В3к В5к j ’
В5к В^к /n= 1, 3, 4, 5, 6.
^кВ\з akBXA
В3к В5к j ’
В5к В^к /n= 1, 3, 4, 5, 6.
(6.2.22)
(6.2.23)
(6.2.22)
(6.2.23)
Сдвиговые колебания электроупругого слоя. Рассмотрим случай, когда слой 0 < яд С h, |жь яд| < ею осуществляет сдвиговые колебания вдоль оси яд. Нагрузка распределена в полосе — а ^ х\ ^ а, |яд| ^ сю. Вне этой области поверхность электрически свободна, механические напряжения отсутствуют. Полагаем, что динамический процесс удовлетворяет условиям:
«1 = «2 = 0, ип = гЦхь яд), п = 3, 4.(6.2.24)
Основание слоя предполагается металлизированным и заземленным, жестко сцепленным с недеформируемым основанием, начальное напряженное состояние является однородным и создается за счет механических напряжений, что позволяет привлечь для исследования лагранжевы координаты. Внеся условия (6.2.24) в уравнение движения (6.2.2) и граничные условия (6.2.3) и применив преобразование Фурье по ху (а — параметр преобразования), получим систему уравнений:
^2332^3,22 - а2^1331^3 — О'2^1341 ^/4 + ^2342^4,22 = —pPl-A
— OL26\43\U3 + ^2432^3,22 — a2^i44i[74 + ^2442^4,22 = 0 (6.2.25)
с граничными условиями: на верхней грани
^2332 ^3,2 + ^2342^4.2 — 9з,(6.2.26)
#2432^3,2 + 6*2442^4.2 = Q4,
на нижней гранина нижней граниИз - U4 = 0.Из - U4 = 0.
на нижней грани
на нижней грани
Из - U4 = 0.
Из - U4 = 0.
Решение задачи (6.2.25), (6.2.26) имеет вид (ие = {и2, ^4}, qe = {92, 94}):Решение задачи (6.2.25), (6.2.26) имеет вид (ие = {и2, ^4}, qe = {92, 94}):ие(жь хУ = д_ие(жь хУ = д_ке (Ж1 - У хУ qe (£) d£,ке (Ж1 - У хУ qe (£) d£,ke(s, хУ = ]*Ке(а, хУе ias da гke(s, хУ = ]*Ке(а, хУе ias da г(6.2.27)(6.2.27)с матрицей-функцией II порядкаКе(а, ж2) = \\Kekj (a, ^2)||fc> j=3, 4 Элементы символа ядра имеют вид:с матрицей-функцией II порядкаКе(а, ж2) = \\Kekj (a, ^2)||fc> j=3, 4 Элементы символа ядра имеют вид:(6.2.28)(6.2.28)2К^р(а, ж2) =^JnkWpk chakx2 + ^pM2sh<jkX2\, п,р = 3, 4,(6.2.29)Ap+2,fc = A°fc/A°, где Z^ p, k = 1, 2, 3, 4, — алгебраические дополнения элементов определителя2К^р(а, ж2) =^JnkWpk chakx2 + ^pM2sh<jkX2\, п,р = 3, 4,(6.2.29)Ap+2,fc = A°fc/A°, где Z^ p, k = 1, 2, 3, 4, — алгебраические дополнения элементов определителяА0А0чЪ/*чЪ/*/*631 ьп1632Ы12631СП1632 С112Z^sh]/42sh2l*41ch]Z42ch2/31/3200Ai/4200чЪ/*чЪ/*/*631 ьп1632Ы12631СП1632 С112Z^sh]/42sh2l*41ch]Z42ch2/31/3200Ai/4200(6.2.30)(6.2.30)±ak удовлетворяют характеристическому уравнению:±ak удовлетворяют характеристическому уравнению:A00 =A00 =^"^3 hV-PbhV-P6 hV-P^^"^3 hV-PbhV-P6 hV-P^(6.2.31)(6.2.31)
Решение задачи (6.2.25), (6.2.26) имеет вид (ие = {и2, ^4}, qe = {92, 94}):
Решение задачи (6.2.25), (6.2.26) имеет вид (ие = {и2, ^4}, qe = {92, 94}):
ие(жь хУ = д_
ие(жь хУ = д_
ке (Ж1 - У хУ qe (£) d£,
ке (Ж1 - У хУ qe (£) d£,
ke(s, хУ = ]*Ке(а, хУе ias da г
ke(s, хУ = ]*Ке(а, хУе ias da г
(6.2.27)
(6.2.27)
с матрицей-функцией II порядка
Ке(а, ж2) = \\Kekj (a, ^2)||fc> j=3, 4 Элементы символа ядра имеют вид:
с матрицей-функцией II порядка
Ке(а, ж2) = \\Kekj (a, ^2)||fc> j=3, 4 Элементы символа ядра имеют вид:
(6.2.28)
(6.2.28)
2
К^р(а, ж2) =^JnkWpk chakx2 + ^pM2sh<jkX2\, п,р = 3, 4,
(6.2.29)
Ap+2,fc = A°fc/A°, где Z^ p, k = 1, 2, 3, 4, — алгебраические дополнения элементов определителя
2
К^р(а, ж2) =^JnkWpk chakx2 + ^pM2sh<jkX2\, п,р = 3, 4,
(6.2.29)
Ap+2,fc = A°fc/A°, где Z^ p, k = 1, 2, 3, 4, — алгебраические дополнения элементов определителя
А0
А0
чЪ/*чЪ/*/*
631 ьп1632Ы12631СП1632 С112
Z^sh]/42sh2l*41ch]Z42ch2
/31/3200
Ai/4200
чЪ/*чЪ/*/*
631 ьп1632Ы12631СП1632 С112
Z^sh]/42sh2l*41ch]Z42ch2
/31/3200
Ai/4200
(6.2.30)
(6.2.30)
±ak удовлетворяют характеристическому уравнению:
±ak удовлетворяют характеристическому уравнению:
A00 =
A00 =
^"^3 hV-PbhV-P6 hV-P^
^"^3 hV-PbhV-P6 hV-P^
(6.2.31)
(6.2.31)
Vnk - e2n32<7kf3k + 92n42(Tkf4k, n = 3, 4, k= 1, 2, (6.2.32)
— ^2nn2> n — 3, 4, h3 — d2342, h6 — d2432,
U - -H3kH^f3k = -H,kH^f3V (6.2.33)
Hnk = ^2nn2ak Pn' n = 3, 4, H5k = d2432<7^ — P5. (6.2.34)
Функции РУср определяются формулами (6.2.21).
6.2.2. Колебания слоя, лежащего без трения на жестком основании. Исследуются колебания слоя хо = 0 < хз < Ж30 = Н, |ж]|, |ж2| < сю, нижняя грань которого металлизирована, заземлена и лежит без трения на жестком основании.
Пространственная задача. Как и в предыдущем случае, в лагранжевой системе координат пространственная задача описывается линеаризованными уравнениями движения (4.2.12) и уравнением вынужденной электростатики (4.2.13) с граничными условиями (4.2.14) и (4.2.15) на верхней грани слоя и условиями (6.1.9) на нижней грани. В эйлеровой системе координат задача описывается линеаризованными уравнениями движения (5.2.17) и вынужденной электростатики (5.2.18) с граничными условиями (5.2.19) и (5.2.20) на верхней грани и условиями (6.1.9) на нижней грани слоя.
Применив преобразование Фурье по жь жг к уравнениям (6.2.2) и граничным условиям (6.2.3) и (6.1.9), получим, что задача описывается уравнениями движения (6.2.4) с граничными условиями (6.2.5) на верхней грани и условиями на нижней грани:
^3113^1,3 — ^«1^3131^3 — 2011^3141^4 = О, 6*3223^2,3 — 2012^3232^3 — 20:26*3242^4 = 0,(6.2.35)
и3 = о, щ = о.
Решение задачи имеет вид (6.1.19) с матрицей-функцией, элементы которой определяются формулами (6.2.6). Участвующие в ее представлении функции Z2pk представляются посредством алгебраических дополнений определителя (6.2.7) с элементами:
Tnk lnkCVYakh, Тпк ^пк sh <Tkh, ТпкIn—4,к,Tlk = Pb Tsk = f4k,Tnk lnkCVYakh, Тпк ^пк sh <Tkh, ТпкIn—4,к,Tlk = Pb Tsk = f4k,Tn,к+4 lnkSh<7kh, Тп,к+4Рк ch (7kh,Тп,к+4 = О, 7?Л+4 = О, ^8,^+4 = 0.Tn,к+4 lnkSh<7kh, Тп,к+4Рк ch (7kh,Тп,к+4 = О, 7?Л+4 = О, ^8,^+4 = 0.п = 1, 2,/2 = 3,4,72 = 5,6, (6.2.36)п = 1, 2,/2 = 3,4,72 = 5,6, (6.2.36)
Tnk lnkCVYakh, Тпк ^пк sh <Tkh, ТпкIn—4,к,
Tlk = Pb Tsk = f4k,
Tnk lnkCVYakh, Тпк ^пк sh <Tkh, ТпкIn—4,к,
Tlk = Pb Tsk = f4k,
Tn,к+4 lnkSh<7kh, Тп,к+4Рк ch (7kh,
Тп,к+4 = О, 7?Л+4 = О, ^8,^+4 = 0.
Tn,к+4 lnkSh<7kh, Тп,к+4Рк ch (7kh,
Тп,к+4 = О, 7?Л+4 = О, ^8,^+4 = 0.
п = 1, 2,
/2 = 3,4,
72 = 5,6, (6.2.36)
п = 1, 2,
/2 = 3,4,
72 = 5,6, (6.2.36)
Uk, fnk и все остальные коэффициенты выражаются формулами (6.2.10)-(6.2.12), характеристическое уравнение имеет вид (6.2.9).
Плоская задача. Рассмотрим случай, когда нагрузка распределена в полосе —а ^ Ж] ^ а, |ж2, < сю. Вне этой области поверхность электрически свободна, механи-
ческие напряжения отсутствуют. Полагаем, что динамический процесс удовлетворяет условиям:
ц2 = 0, ип = ип(х\, жз), n = 1, 3, 4.(6.2.37)
Слой, нижняя грань которого металлизирована и заземлена, без трения лежит на недеформируемом основании. Полагаем, что начальное напряженное состояние является однородным и создается за счет механических напряжений, что позволяет привлечь для исследования лагранжевы координаты.
После внесения условия (6.2.37) в уравнения (6.2.2) и граничные условия (6.2.3), (6.1.9) и применения преобразования Фурье по Ж] приходим к краевой задаче, которая описывается уравнениями движения (6.2.14) с граничными условиями (6.2.15) на верхней грани и условиями на нижней грани:
^зиз^1,з — ^^3131^3 — ia^3i4i?74 = О,
Щ = 0, (6.2.38) и3 = о.
Решение задачи имеет вид (6.2.16)-(6.2.18) с той разницей, что участвующие в представлении элементов символа ядра (6.2.18) функции ^кр представляются посредством алгебраических дополнений элементов определителя
Ziichi Z!2ch2 Zi3ch3 Zushi Zi2sh2 Zi3 sh3
Z31 sh] Zs2 sh2 Z33SI13 Z31 chi Z32ch2 Z33ch3
△° =
Z41 shi Z42 sh2 Z43 sh3 Z41 chi Z42 ch2 Z43 ch3
Zu Zi2 Z13000
/31/32/33000
/41/42/43000
(6.2.39)
Коэффициенты lnk, fnk выражаются формулами
(6.2.21)—(6.2.23), характеристическое уравнение имеет вид
(6.2.20).
Сдвиговые колебания электроупругого слоя. Рассмотрим случай, когда слой 0 < ж2 < h, |жь жз| < сю осуществляет сдвиговые колебания вдоль оси жз. Нагруз-
ка распределена в полосе —а ^ Ж1 ^ а, |жз| ^ сю. Вне этой области поверхность электрически свободна, механические напряжения отсутствуют. Полагаем, что динамический процесс удовлетворяет условиям:
ui = U2 = 0, ип = wn(xi, Ж2), п = 3, 4. (6.2.40)
Металлизированное и заземленное основание слоя лежит без трения на жестком основании, начальное напряженное состояние является однородным и создается за счет механических напряжений, что позволяет привлечь для исследования лагранжевы координаты. После внесения условия (6.2.40) в уравнения (6.2.2) и граничные условия (6.2.3), (6.1.9) и применения преобразования Фурье по ад получаем, что задача описывается уравнениями движения (6.2.25) с граничными условиями на верхней грани:
^2332^3,2 + ^2342^4,2 — 9з,('6 9 411
#2432^3,2 + #2442^4,2 = ^4,
на нижней грани:
^2332^3,2 + #2342^4,2 = 0,
U4 = 0.
Решение системы уравнений (6.2.25) с граничными условиями (6.2.41), (6.2.42) имеет вид (6.2.27)-(6.2.28) с матрицей-функцией (6.2.29), в представлении элементов Д/ф которой определитель (6.2.30) необходимо заменить определителем
До —До —(6.2.43)(6.2.43)^31 s^ish[
До —
До —
(6.2.43)
(6.2.43)
^31
/41
Коэффициенты l^k, fnk определяются формулами (6.2.32), (6.2.33), ±<7^ удовлетворяют характеристическому уравнению (6.2.31).
Составная преднапряженнаяэлектроупругая среда (пьезоактивный слойна диэлектрическом полупространстве)
Рассматриваются колебания преднапряженной составной электроупругой среды, поверхность которой металлизирована в некоторой области Q, под действием распределенной в этой области осциллирующей нагрузки q(xi, хУе-гш1 (расширенный вектор). В качестве составной среды рассматривается преднапряженный электроупругий слой 0 ^ х3 < h, |xi|, |ж2, ^ сю, жестко сцепленный с пред- напряженным диэлектрическим полупространством хз ^ 0, |ж1|, |жг| С сю. Поверхность раздела слоя и полупространства предполагается металлизированной и заземленной.
В лагранжевой системе координат краевая задача описывается линеаризованными уравнениями движения (4.2.12) и уравнением вынужденной электростатики (4.2.13) с граничными условиями (4.2.14) и (4.2.15) на верхней грани слоя Ж30 = h, линеаризованным уравнением движения полупространства [46], механическими условиями (6.1.12) стыковки на границе хо = 0 слоя с полупространством и условием (6.1.7) для полупространства.
В эйлеровой системе координат задача описывается линеаризованными уравнениями движения (5.2.17) и вынужденной электростатики (5.2.18) с граничными условиями (5.2.19) и (5.2.20) на верхней грани, линеаризованным уравнением движения полупространства [46], механическими условиями (6.1.12) стыковки на границе xq = 0 слоя с полупространством и условием (6.1.7) для полупространства.
Как и ранее, для описания движения электроупругой среды используются расширенные векторы смещений и напряжений. Далее условимся, что все величины, относящиеся к полупространству, будут обозначаться индексом 2, все величины, относящиеся к слою, индекса иметь не будут. При таких обозначениях в полном объеме используются результаты предыдущего раздела.
Пространственная задача о колебаниях составной электроупругой среды. Решение краевой задачи представляется в виде:
и^^жь жг, хУ = —-^ k(n\xi — £, Ж2 — р, ^s)q(n)(£> r^d^dr], 4тг
k^s, t, жз) =г, г2k^s, t, жз) =г, г2кМ(аь а2, ж3К(а15+а^ daxda2.
k^s, t, жз) =
г, г2
k^s, t, жз) =
г, г2
(6.3.1)
Контуры Г1 и Г2 выбираются в соответствии с принципом предельного поглощения [27] и поведением элементов матриц-функций K^(ai, «2, Ж3) на вещественной оси.
Представление (6.3.1) определяет вектор перемещения произвольной точки слоя (n = 1) или полупространства (п = 2). В случае, когда слой и полупространство подвержены действию однородных начальных напряжений У1Ю (еппй! У2)0 V2)0 ^(2)0 (nnnv НИИ <7П У5 <722 У °33 (СЛОИ}, <7П у5 <722 СГ33 (ПОЛупространство), элементы матрицы-функции КА^ач, о», жз) определяются выражениями (6.2.6)-(6.2.12), элементы матрицы-функции К^2)(аь «2, жз) имеют вид [46]
з
->=1.2,(6.3.2)
3
^2) = VA , ое^
Z_^^p,k+8C'
k=\
Участвующие в представлениях (6.2.6) и (6.3.2) функции А^ определяются формулами:
△fep = A°p/A° Р = 1, 2, ..., 11),(6.3.3)
где А^р — алгебраические дополнения элементов Ткр определителя
Т-пк — Ink ch О"^К, Т-пк = ^пк ^-^к^) Тпк=^ T7k = L
Т^к = f4k, т = / "*"пкLn—3,k’
ГцЛ=0,
Т-п,к-\-4 — Ink $h О"]^h,Tu^^ — 0,Tl—1,2,
T-n,k-\-4 — ^nk сЪ-СГ^Н,Т^^д.^ — 0,Tl—3,4,
^n,fc+4 = fn-4,k’T,,k+8=~fn-4,k’ П= 5,6,
T7,fe+4 = 0,T7ik+8=-1,
78,fe+4 = 0,Ts,k+g=0,
Tu,k+4 = ®’Tnk+S = -Cl8ik, n = 9, 10,
Tl,k+4 = ^3k’T\,k+8 = -4k'
(6.3.5)
Здесь индекс k = 1, 2, 3, 4 в первых двух столбцах, в третьем столбце к = 1, 2, 3. Коэффициенты lnk, fnk выражаются формулами (6.2.10), (6.2.12), ак удовлетворяют уравнению (6.2.9), ±<т^ являются корнями характеристического уравнения 6-го порядка
А00 - ^2А00 - ^29^ а№2 — р^^ЗИЗ17—а2В^—а.2сгВ^9^ а№2 — р^^ЗИЗ17—а2В^—а.2сгВ^2 о(2)—а2-°129^ у®2 _ р(2)°3223и Г22 п(2)-«г^зг2 о(2)—а2-°129^ у®2 _ р(2)°3223и Г22 п(2)-«г^згЗдесьЗдесь0^ ОУГ _ Р<» иззззи Гз(6.3.6)0^ ОУГ _ Р<» иззззи Гз(6.3.6)2252 ®кппкак к=\52 ®кппкак к=\n= 1, 2, 3,n= 1, 2, 3,
А00 - ^2
А00 - ^2
9^ а№2 — р^
^ЗИЗ17
—а2В^
—а.2сгВ^
9^ а№2 — р^
^ЗИЗ17
—а2В^
—а.2сгВ^
2 о(2)
—а2-°12
9^ у®2 _ р(2)
°3223и Г2
2 п(2)
-«г^зг
2 о(2)
—а2-°12
9^ у®2 _ р(2)
°3223и Г2
2 п(2)
-«г^зг
Здесь
Здесь
0^ ОУГ _ Р<» иззззи Гз
(6.3.6)
0^ ОУГ _ Р<» иззззи Гз
(6.3.6)
2
2
52 ®кппкак к=\
52 ®кппкак к=\
n= 1, 2, 3,
n= 1, 2, 3,
(6.3.7)(6.3.7)n= 1, 2,n= 1, 2,n= 1, 2,n= 1, 2,п = 1, 2, 3.п = 1, 2, 3.
(6.3.7)
(6.3.7)
n= 1, 2,
n= 1, 2,
n= 1, 2,
n= 1, 2,
п = 1, 2, 3.
п = 1, 2, 3.
В^_0^+0^
пк ппкк 1 кпкп’
АТ = л(2) _(2) f (2) _ .(2) Д2)
lnk уЗппЗик J пк и3п3п^3к 1 2
7(2) _А2)(2)f(2)_v Ш f(2)
13к — °3333° к J Зк / . ТРзЗпгСпк ’
f(2) _ с [-(2) с 1-1 т(2)
J пк ~ ^Зк^Як Dnk\ J3k ’
О _ п(2)тт(2) ,2 р(2) р(2)
^пк ^3,3—п^пк12 ^пЗ '
а _ о(2) гт(2) _ -(2)2 п(2) п(2) °3к — П12 п3к СТк п13 П23 ’
С _ ы"(2) тт(2) _ 2 2„(2)2 °4к — п\к п2к а1а2П12 ’ тт^1) _ д(2)(2)2 _ р(2)
пк ^ЗппЗ^к’
В частных случаях, когда начально-деформированное состояние является симметричным по некоторым осям, ха-
рактеристическое уравнение (6.3.6) допускает разложение на два или три простых уравнения [46].
Плоская задача о колебаниях составной элек- троупругой среды. Рассмотрим случай, когда нагрузка распределена в полосе —а ^ Ж1 ^ а, |жг| ^ сю. Вне этой области поверхность электрически свободна, механические напряжения отсутствуют. Полагаем, что динамический процесс удовлетворяет условиям:
«2 = 0, ип — ип(х\, хУ, n = 1, 3, 4. (6.3.8) Слой, нижняя грань которого металлизирована и заземлена, жестко сцеплен с диэлектрическим полупространством. Полагаем, что начальное напряженное состояние является однородным.
В лагранжевой системе координат краевая задача описывается линеаризованными уравнениями движения (4.2.12) и уравнением вынужденной электростатики (4.2.13) с граничными условиями (4.2.14) и (4.2.15) на верхней грани слоя Ж30 = h, линеаризованным уравнением движения полупространства [46], механическими условиями (6.1.12) стыковки на границе жо = 0 слоя с полупространством и условием (6.1.7) для полупространства.
В эйлеровой системе координат задача описывается линеаризованными уравнениями движения (5.2.17) и вынужденной электростатики (5.2.18) с граничными условиями (5.2.19) и (5.2.20) на верхней грани, линеаризованным уравнением движения полупространства [46], механическими условиями (6.1.12) стыковки на границе жо = 0 слоя с полупространством и условием (6.1.7) для полупространства.
В условиях (6.3.8) решение краевой задачи о колебаниях преднапряженной составной среды представляется в виде [46]:
и(п\жь жз) = ^- к(п\ж1 — £, жз)q^ (£) d£,
2=1 (6.3.9)
k(n) (s, жз) = J K(n) (а, жз) ега8 da.
г
Контур Г выбирается в соответствии с принципом предельного поглощения [27] и поведением элементов матриц- функций KM(ai, жз, х-р на вещественной оси.
(6.3.10)(6.3.10)Представление (6.3.9) определяет вектор перемещения произвольной точки слоя (n = 1) или полупространства (п = 2). В случае, когда слой и полупространство подвержены действию однородных начальных напряжеНИИ у (Т22 Т ^зз (слои), (7}/ у О^ ф 0^2 (П0Лу- пространство), элементы матрицы-функции К(0(а, жз, ш) определяются формулами (6.2.17)-(6.2.23), элементы матрицы-функции К^^о, жз, ш) имеют вид [46]:
(6.3.10)
(6.3.10)
у(2) _ У' д &=i
Участвующие в представлениях (6.2.17) и (6.3.10) функции Д^р имеют вид:
Д,р = Д2р/Д°. к,р=\,2,...А (6.3.11) где Д0р — алгебраические дополнения элементов определителя
61 chi
62 ch2
йз chs
Й1 shi
Z12 sh2
ЙЗ shg
0
0
61 shi
62 sh2
йз shs
61 chi
Z32 ch2
63 chg
0
0
/41 sh]
62 sh2
6з shg
61 chi
Z42 ch2
/43 ch3
0
0
0
0
0
/11
/12
f 13
-/1T
_f(2)
2 12
/31
/32
/зз
0
0
0
-1
-1
/41
/42
/43
0
0
0
0
0
61
62
6з
0
0
0
_/(2)
_/(2)
0
0
0
61
^32
63
_z(2) 631
_z(2) (33
(6.3.12)
Коэффициенты lnk и fnk представляются выражениями (6.2.21)—(6.2.23), Ок являются корнями уравнения (6.2.20), ± о^ являются корнями характеристического уравнения 4го порядка
Д0° =Д0° =“Щ^З! ^ЗЗЗЗ17 г3“Щ^З! ^ЗЗЗЗ17 г3
Д0° =
Д0° =
“Щ^З! ^ЗЗЗЗ17 г3
“Щ^З! ^ЗЗЗЗ17 г3
где
р(2) _ /)(2)_ Д2) .2 тз^ _ /1(2) I /1(2)
Р ^ ’ ^пк ^ппкк “кпкп’
/(2) _ /)(2) ^(2) f (2) _ /1(2) f (2) l\k — НИд к Ик ^ЗНПЗ/с ’
А2) _2д(2) f (2)а(2)(2) ,(2)
13к —“ °ЗЗХхИк ' ^3333^к JЗк ’
Ак = 83>^81к\"ЧН
Вк — ^32 П\к + а ^13 ’ Й3к — "°12 П3к ^к ^13 -°23 ’
гт(2) _ д(2)(2)2 _ р(2)„ _ 1 О
Ппк — ^ЗппЗ^к Г" ’ » — 1, О.
Сдвиговые колебания составной электро- упругой среды. Рассмотрим случай, когда составная электроупругая среда, представляющая собой пьезоактивный слой 0 ^ ад < h, |xi, жз| < сю, лежащий на поверхности диэлектрического полупространства ад < 0, |жь ад| ^ сю, осуществляет сдвиговые колебания вдоль оси ад. Нагрузка распределена в полосе — а < х\ < а, |жз| ^ сю. Вне этой области поверхность электрически свободна, механические напряжения отсутствуют. Полагаем, что динамический процесс удовлетворяет условиям:
ui = U2 = 0, ?/г1 = м.п п = 3, 4. (6.3.15)
Нижнее основание слоя металлизировано, заземлено и жестко сцеплено с полупространством, начальное напряженное состояние является однородным и создается за счет механических напряжений.
В условиях (6.3.15) решение краевой задачи о колебании составной преднапряженной пьезоактивной среды имеет вид:
пМ(ж1, ж2) = д_пМ(ж1, ж2) = д_а
пМ(ж1, ж2) = д_
пМ(ж1, ж2) = д_
k(n)(xi — £, Х2)с^п') (£) d^,i(6-3.16)
k^n\s, Х2, Х2) = jK^n\a, X2^etasda.г
Контур Г выбирается в соответствии с принципом предельного поглощения [27] и поведением элементов функций K(n)(ai, Ж2) (К^1) — матрица II порядка, К^2-1 =
= {/Ср\ Кр)} — вектор-строка) на вещественной оси. Представление (6.3.16) определяет вектор перемещения произвольной точки слоя (n = 1) или полупространства (п = 2). Когда слой и полупространство подвержены дей- „(1)0 ,(1)0 ,
ствию однородных начальных напряжении сг,/ ^ а^ ^
,(1)0(2)0 ,(2)0 ,(2)0.
^ ст^ и сг^ ^ (722 ^ Аз' , элементы матрицы-функции К^^а, хУ) определяются формулами (6.2.29)-(6.2.34) с той разницей, что участвующие в представлениях (6.2.29) функции А^ представляются формулами:
Afcp = A°p/A°, к,р=\Д, ...,5,(6.3.17)
где А^р — алгебраические дополнения элементов определителя
^31 8А
Z32 sh2
Z31 ch]
^32 ^
0
Z41 sh.
^42 sh2
^4! ch]
Z42 ch2
0
А0 =
Ai
/32
0
0
-1
.(6.3.18)
Ai
Аг
0
0
0
0
0
631
l32
_/(2)
Л31
Элементы функции К^2\
a, xy =
Af>}
имеют вид:
К^ = Д^Ч р = 1, 2.(6.3.19)
Здесь 1^ = ^ззг67^^ коэффициенты l*k и fnk представляются выражениями (6.2.32), (6.2.33), ±Ск являются корнями уравнения (6.2.31), ст^ удовлетворяет характеристическому уравнению
^зк^^^ - ^ззЧ + Р^ш2 = °-(6.3.20)
Глава 7
О ПОДХОДАХ К ИССЛЕДОВАНИЮЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОДНЫХ
СТРУКТУР С ПЬЕЗОАКТИВНЫМИ
ПОЛУОГРАНИЧЕННЫМИ СРЕДАМИ
Развитые в предыдущих разделах методы исследования динамических процессов в полуограниченных предна- пряженных пьезоактивных средах являются базой для изучения закономерностей динамического контактного взаимодействия дискретных элементов типа массивных электродов, упругих или электромеханических систем, электрических систем с сосредоточенными элементами (электрические емкости, индуктивности) с полуограниченными электроупругими средами.
Динамическое контактноевзаимодействие массивных электродовс полуограниченными электроупругимисредами
При исследовании процессов взаимодействия механических элементов, массивных электродов, механических упругих систем, электрических систем с сосредоточенными параметрами (электрические емкости, индуктивности) с полуограниченными электроупругими средами традиционно используемые механические условия должны дополняться электрическими условиями. В этом плане будем предпола-
гать (если не оговаривается противное), что контактирующий со средой штамп является жестким проводящим массивным телом, располагается на поверхности среды и совершает установившиеся колебания под действием силы, изменяющейся по гармоническому закону, или под действием приложенной к электроду (штампу) разности потенциалов. Вне области контакта механические напряжения отсутствуют, поверхность является электрически свободной.
Колебания массивного электрода. Пусть на поверхности полуограниченной пьезоактивной среды находится массивный штамп, выполненный из проводящего материала. Электрод занимает в плане область Q, имеет плоское основание и обладает массой т, Ж । , Ж^^ Ж3 координаты центра масс.
Механические условия. В механическом плане полагаем, что на штамп действует некоторая комбинация внешних сил, в общем случае приложенных в точках, не являющихся центром масс штампа. После приведения к центру масс этот набор внешних сил раскладывается на две составляющие:
главный вектор внешних сил F = {Fi, F2, F3}, действующий на штамп и приложенный к центру масс штампа;
главный момент внешних сил N = {^, N2, W3}.
Введем вектор, определяющий движение штампа как твердого тела:
w = wc + ^xS,(7.1.1)
где w — амплитуда колебаний штампа как жесткого тела, wc — вектор перемещения центра масс штампа, Ф = {^1, ^2, ^з} — вектор углов поворота. Вектор S = = {ж, — Жр ж2 — ж2, ж3 — ж3} определяет расстояние до центра масс. Компоненты вектора (7.1.1) в декартовых координатах имеют вид:
W, = W, +^2(ж3 W2 = W2 + ^з(ж1 ^3 = w3 + ^1 (^2W, = W, +^2(ж3 W2 = W2 + ^з(ж1 ^3 = w3 + ^1 (^2жз) - ^з(ж2 - ж2^ж?) - ^1(^3 - Жд),^) - ^2(^1 * ж1)-жз) - ^з(ж2 - ж2^ж?) - ^1(^3 - Жд),^) - ^2(^1 * ж1)-(7-1.2)(7-1.2)
W, = W, +^2(ж3 W2 = W2 + ^з(ж1 ^3 = w3 + ^1 (^2
W, = W, +^2(ж3 W2 = W2 + ^з(ж1 ^3 = w3 + ^1 (^2
жз) - ^з(ж2 - ж2^ж?) - ^1(^3 - Жд),^) - ^2(^1 * ж1)-
жз) - ^з(ж2 - ж2^ж?) - ^1(^3 - Жд),^) - ^2(^1 * ж1)-
(7-1.2)
(7-1.2)
В механическом плане движение массивного, занимающего в плане область Q, жесткого штампа на поверхности полу- ограниченной среды описывается системой уравнений:
-u2mwc F Q. /7 1 q\
Здесь J — диагональная матрица с элементами J\, J^, Js, Ji, i = 1, 2, 3, — моментами инерции штампа относительно осей жь Ж2, Ж3. F — главный вектор внешних сил, N — главный момент внешних сил, приложенных к штампу. Q — реактивная сила, М — реактивный момент сил, действующих на штамп со стороны среды. В статике реактивные векторы совпадают с главным вектором и главным моментом внешних сил соответственно. В динамике реактивная сила и реактивный момент отличаются от главного вектора и момента внешних сил как амплитудой, так и сдвигом фазы и определяются формулами:
д(жь ж2) dx\ dx^,
М =М =S х д(жь ж2) dx\ dx^.S х д(жь ж2) dx\ dx^.(714)(714)
М =
М =
S х д(жь ж2) dx\ dx^.
S х д(жь ж2) dx\ dx^.
(714)
(714)
Здесь q(^i, ^2) — функция распределения контактных напряжений, возникающих при контакте штампа с основанием.
110 (^Ь^30) =4тг110 (^Ь^30) =4тгЧисто механическая задача. Такая задача при исследовании динамики пьезоактивной среды возникает в случае однородных электрических условий на ее поверхности (поверхность пьезоэлектрика полностью металлизирована или штамп выполнен из непроводящего материала). Участвующая в формулах (7.1.4) функция q(#i, £2) удовлетворяет системе интегральных уравнений:
110 (^Ь^30) =
4тг
110 (^Ь^30) =
4тг
к (ж] - £, ж2 - г), Ж30) q (£, 77) d£ dr],
k(s, t, ж3) = J jK(ab «2, Ж3) ег(а15+а2<) ^ai ^a2)
Г1 r2
где ио(жь Ж2> ^зо) — заданная функция перемещения точек, принадлежащих поверхности среды в области контакта Q. Символ ядра К(аь «2, жз) полностью определяет тип и свойства полуограниченной среды (неоднородность, пьезоактивность, начальные напряжения и т. д.). Порядок системы определяется размерностью задачи. В пространственной постановке будем иметь систему III порядка, в двумерном случае — систему II порядка, при чисто сдвиговых колебаниях — систему I порядка.
В операторном виде система (7.1.5) имеет вид
и(жь ж2, ж30) = к • q,(7.1.6)
в компонентной форме
(7-1.7)(7-1.7)/ «1 \/ kxx kx2 kx3 \/ 9i
(7-1.7)
(7-1.7)
u2 = fc2i k22 k23•92
\ Мз /\ ^31 к32 к33 /\ 9з
Перемещение штампа и волновое поле в среде определяются путем согласованного решения уравнений движения штампа и краевой задачи о колебании среды, на поверхности которой Х3 = Ж30, |Ж1|, |Ж2, < сю должны выполняться
условия:
W = U (жь Ж2, Жзо) , Жь Х2 G Q, (7.1.8) q(xi,X2)=0, жь жг О.(7.1.9)
Динамика массивного штампа. Для после
дующего анализа введем в рассмотрение нормированные значения реакции среды Q^ и реактивного момента М^п (к = 1, 2, ..., 6), которые определяются выражениями:
Qt = ] пМк — IVW01 — пQt = ] пМк — IVW01 — п9оп(жь ж2) dO, n= 1, 2, 3,
Qt = ] п
Мк — I
VW01 — п
Qt = ] п
Мк — I
VW01 — п
(7.1.10)(7.1.10)ж2) dO,
(7.1.10)
(7.1.10)
где ^ — компоненты вектора Qq, являющегося решением
системы интегральных уравнений (7.1.5) с левой частью
Uq = и1 + ^ х г0.(7.1.11)
Здесь
и1 = {1,0,0}, и2 = {0,1,0}, и3 = {0,0,1},ип = {0,0,0}, п = 4, 5, 6,
^4 = {1,0,0}, V>5 = {0,1,0}, V>6 = {0,0,1},< = {0,0,0}, п — 1, 2, 3.
В обозначениях (7.1.10)-(7.1.13) компоненты реакции среды и компоненты моментов, действующие на штамп со стороны среды, представятся в виде:
з3
е„ = Е“-.о;„+Е^,э»-Х<7м4>
k=lk=l
33
м_ = Е “t< + Е<7115)
k=lk=l
Подставляя выражения (7.1.14) и (7.1.15) в уравнения (7.1.3), получим систему уравнений
33
n= 1, 2, 3,n= 1, 2, 3,(7.1.16)n= 1, 2, 3,n= 1, 2, 3,(7.1.16)-Arm, = F„--£ /с=1/с=1
n= 1, 2, 3,
n= 1, 2, 3,
(7.1.16)
n= 1, 2, 3,
n= 1, 2, 3,
(7.1.16)
33
= д; - £ Я1< - £
/с=1/с=1
решение которой полностью определяет динамику движения массивного штампа под действием заданных внешних усилий и моментов.
7.1.2. Электрические условия. В электрическом плане в простейшем случае будем предполагать, что на электрод с плоским основанием, занимающим область Q (электропроводящий штамп), подается заданный потенциал г непосредственно от источника напряжения. Второй полюс источника соединен либо с металлизированной прослойкой (пьезоактивный слой на жестком основании,
пьезоактивный слой на диэлектрическом полупространстве), либо с бесконечно удаленной точкой (пьезоактивное полупространство). Вне области Q на поверхности среды металлизация отсутствует, эта часть поверхности электрически свободна, т. е. свободные заряды отсутствуют. Тем самым на поверхности жз = жзо, в дополнение к граничным условиям (7.1.8) и (7.1.9), имеют место условия:
Ч = е, Xb^Efl,(7.1.17)
п • D = О, жь Ж2 Q.(7.1.18)
Задача является связанной, граничные условия (7.1.8), (7.1.9), (7.1.17) и (7.1.18) рассматриваются в совокупности. В этом случае, как упоминалось ранее, вводятся расширенные векторы перемещений и напряжений
(7.1.19)(7.1.19)ие(жЬ Ж2, Ж3) = {«1, «2, «3, К4},де(жь ж2) = {gb q2, q^ 94},
(7.1.19)
(7.1.19)
где Uk, qk (k = 1, 2, 3) — компоненты механических перемещений и напряжений, и4 = у — электрический потенциал, q4 = —g, g — плотность распределения заряда, которая связана с вектором электрической индукции соотношением
(7.1.20)(7.1.20)^(ж1, ж2) = —п • D, жь Ж2 6 Q.
(7.1.20)
(7.1.20)
Краевая задача сводится к решению системы интегральных уравнений:
ие(жь Ж2, Жзо) = Дие(жь Ж2, Жзо) = Дооке(ж1 - £, ж2 - г), ж3о)де(£, 77) d£ dr],ке(ж1 - £, ж2 - г), ж3о)де(£, 77) d£ dr],ке (s, С жз) = J /Ке(«ь «2, Жз) el(ais+Q20 Дах Да2-ке (s, С жз) = J /Ке(«ь «2, Жз) el(ais+Q20 Дах Да2-г, г2г, г2В операторном виде система (7.1.21) имеет вид:В операторном виде система (7.1.21) имеет вид:(7.1.21)(7.1.21)
ие(жь Ж2, Жзо) = Д
ие(жь Ж2, Жзо) = Д
о
о
ке(ж1 - £, ж2 - г), ж3о)де(£, 77) d£ dr],
ке(ж1 - £, ж2 - г), ж3о)де(£, 77) d£ dr],
ке (s, С жз) = J /Ке(«ь «2, Жз) el(ais+Q20 Дах Да2-
ке (s, С жз) = J /Ке(«ь «2, Жз) el(ais+Q20 Дах Да2-
г, г2
г, г2
В операторном виде система (7.1.21) имеет вид:
В операторном виде система (7.1.21) имеет вид:
(7.1.21)
(7.1.21)
(7.1.22)(7.1.22)UoCn, ж2, ж30) = ке • qe.
(7.1.22)
(7.1.22)
Здесь Uq = {u1( u2, u3, u4} — заданная функция, определяющая смещение штампа и приложенное к нему напряжение. Порядок системы (7.1.21) определяется размерностью
задачи. В пространственной постановке будем иметь систему IV порядка:
/ «1 \«2U3\ «4 // «1 \«2U3\ «4 // ^11 ^12 ^13 ^14A^l ^22 ^23 ^24^31 ^32 ^33 ^34\ fc4i fc42 k43 k44/ ^11 ^12 ^13 ^14A^l ^22 ^23 ^24^31 ^32 ^33 ^34\ fc4i fc42 k43 k44/ 91 \929з\ 94 // 91 \929з\ 94 /(7.1.23)(7.1.23)
/ «1 \
«2
U3
\ «4 /
/ «1 \
«2
U3
\ «4 /
/ ^11 ^12 ^13 ^14
A^l ^22 ^23 ^24
^31 ^32 ^33 ^34
\ fc4i fc42 k43 k44
/ ^11 ^12 ^13 ^14
A^l ^22 ^23 ^24
^31 ^32 ^33 ^34
\ fc4i fc42 k43 k44
/ 91 \
929з\ 94 /
/ 91 \
929з\ 94 /
(7.1.23)
(7.1.23)
При колебаниях в плоскости жь жз (электрод на поверхности жз = жзо занимает область Ж1 ^ а, |жг| ^ сю) — систему III порядка:
(7.1.24)(7.1.24)«1 \ / ки к\з кХ4 \ / qx из I = I кзХ кзз кз4 • уз и4 у у &41 к4з к44 у у 94
(7.1.24)
(7.1.24)
При чисто сдвиговых колебаниях (электрод на поверхности ^2 = ^20 занимает область Ж1 < а, |жз| < сю и осуществляет сдвиговые колебания вдоль оси жз) — систему II порядка:
из и4из и4кзз кз4к4з к44кзз кз4к4з к449з949з94(7.1.25)(7.1.25)
из и4
из и4
кзз кз4
к4з к44
кзз кз4
к4з к44
9з
94
9з
94
(7.1.25)
(7.1.25)
В силу связанности при любой постановке электрическая составляющая процесса всегда присутствует.
Динамическое взаимодействиеэлектромеханических систем
(с сосредоточенными параметрами)с полуограниченными электроупругимисредами
В настоящем разделе рассматриваются задачи о взаимодействии массивного электрода с электроупругой средой с учетом различных способов включения его в электрическую цепь. Предполагается, что среда имеет металлизированную прослойку (нижняя грань пьезоактивного слоя на жестком основании, граница между пьезоактивным слоем, лежащем на диэлектрическом полупространстве). Поверхность слоя вне зоны контакта является механически
и электрически свободной. Один конец цепи подключен к электроду, второй конец цепи соединен с металлизированной прослойкой. Вне области Q на поверхности среды металлизация отсутствует, т. е. свободные электрические заряды вне области контакта отсутствуют.
Механическая сторона задачи детально описана в разделе 7.1. В электрическом плане электрод вместе с металлизированной прослойкой образует некоторую электрическую емкость С, которую можно подключать к источнику электрического напряжения либо параллельно, либо последовательно с другими электрическими сосредоточенными элементами.
Схемы включения электрода в электрическую цепь. На рис. 7.2.1 представлена параллельная схема включения (схема А), когда параллельно емкости, об
разованной электродом с металлизированной прослойкой,
подключена индуктивность L. Далее будем полагать, что R = 0, т. е. пренебрегаем потерями на активное сопротивление цепи. Исходным параметром задачи может выступить либо ток То, протекающий на общем участке цепи, либо напряжение е, прило
женное к точкам разветвления цепи.
(7.2.1)(7.2.1)Рис. 7.2.2Рис. 7.2.2Уравнение колебаний тока в электрической цепи имеет вид:
(7.2.1)
(7.2.1)
Рис. 7.2.2
Рис. 7.2.2
dG е
dt iuL
где G — суммарный заряд на электроде, L — индуктивность.
На рис. 7.2.2. представлена другая, так называемая последователь-
ная схема включения (схема В), когда емкость, образованная электродом с металлизированной прослойкой, последовательно с индуктивностью L подключена к источнику напряжения. Здесь также предполагаем, что R = 0.
Исходным параметром может выступить либо напряжение источника в, либо ток, протекающий по общей цепи.
В этой ситуации уравнение колебаний тока в электрической цепи имеет вид:
7.^ + ^ = = Ц).(7.2.2)
где у — напряжение на электроде.
В силу гармонического характера колебаний (все характеристики задачи представляются в виде F(t) = Еов-гш1, временной множитель далее опущен) для уравнений колебаний тока в цепи имеем:
в задаче А (схема А)
-гшС =(7.2.3)
в задаче В (схема В)
(7-2.4)
В зависимости от того, какие параметры этих задач являются исходными, т. е. заданными, а какие параметры требуют своего определения, возможны различные частные случаи задач А и В. Далее ограничимся рассмотрением последовательной схемы включения электрода с металлизированным основанием.
Колебания электромеханической системы. Массивный электрод движется под действием главного вектора Р и главного момента N приложенных к нему внешних усилий. В электрическом плане емкость, образованная электродом с металлизированной прослойкой, последовательно с индуктивностью L подключена к внешнему источнику напряжения в соответствии со схемой на рис. 7.2.2. Исследование динамики электрода предполагает согласованное решение краевой задачи о колебаниях пьезоактивной среды с граничными условиями (7.1.8), (7.1.9), (7.1.17) и (7.1.18), системы уравнений (7.1.3), описывающих движение штампа как массивного тела, и уравнения электрической цепи (7.2.4).
Решение краевой задачи сводится к системе интегральных уравнений (7.1.21) относительно неизвестных функций распределения контактных напряжений и плотности распределения заряда.
Для последующего анализа введем в рассмотрение нормированные значения реакции среды Qgn, момента М^п и заряда Gq (k = 1, 2, ..., 7). Механические характеристики определяются формулами (7.1.10), для нормированного заряда имеет место представление
(7.2.5)
В данном случае q^, n = 1, 2, 3, являются механическими составляющими, a q^ = —g^ — электрической составляющей расширенного вектора Qq, который является решением системы интегральных уравнений (7.1.21) с левой частью
< =«Е <}, /г=1,27,(7.2.6)
< = < + X г0]„.(7.2.7)
Здесь
и1 = {1,0,0}, и2 = {0,1,0}, и3 = {0,0,1}, un = {0,0,0}, п = 4, 5, 6, 7,
(7.2.8)
ф4 = {1,0,0}, ф5 = {0,1,0}, ф6 = {0,0,1}, -фп = {0,0,0}, п= 1, 2, 3, 7,
(7.2.9)
«04 = ^0, < = 0, п=1,2, ...,6, ^=1.
(7.2.10)
В обозначениях (7.2.8)—(7.2.10) компоненты реакции среды представятся в виде:
33
е„ = Е + Е(72.11)
к—\к—\
компоненты моментов:
33
И. = Е "ЕС + Е "ЕС1' +(7.2.12)
к—\к—\
заряд на электроде
(7.2.13)(7.2.13)33
(7.2.13)
(7.2.13)
G ukGo + 52 ^kG^ +
k—\k—\
Подставляя выражения (7.2.11)-(7.2.13) в уравнения (7.1.3) и (7.2.4), получим систему уравнений
33
-^2mun = Fn - ^ ukQ^n - 52 ^kQS ~ VQL' n = 1, 2, 3, k=Xk=l
-^ЛФ„ = a;, - £- £ Фьм«ь - ^M^.
k—\k—\
n—\,2, 3,
e = ip — Lu?e = ip — Lu?33
e = ip — Lu?
e = ip — Lu?
52 ^k^o + 52 ?kG3rk + ^Gq
(72A^(72A^k—\k—\
(72A^
(72A^
решение которой полностью определяет динамику электромеханической системы с участием массивного электрода, включенного последовательно с индуктивностью в электрическую цепь.
Энергия электроупругих волн,возбуждаемых в пьезоактивной средеповерхностными источниками
Построенные на основе решения интегральных уравнений реактивная сила, действующая на штамп со стороны среды, и заряд на электроде определяют динамические процессы контактного взаимодействия различных механических систем с участием пьезоактивных тел, а также динамические процессы в электрических цепях. В настоящем разделе исследуется одна из важнейших характеристик процесса динамического контактного взаимодействия с участием пьезоактивных тел — энергия электроупругих волн, возбуждаемых внешними действующими на поверхности полуограниченной среды факторами. Важной харак-
теристикой, определяющей динамический процесс в элек- троупругой среде, является поток энергии через область контакта. Исследование базируется на использовании вектора плотности потока энергии Умова-Пойнтинга [39].
Вектор Умова-Пойнтинга электроупругой среды. Пусть в декартовой прямоугольной системе координат жь Ж2, жз компоненты расширенных векторов напряжений, определяющих динамический процесс по направлениям, определяемыми нормалями Пь П2, Пз, представляются в виде:
41 = {<7ц, Л2, ИЗ, ^1},
42 = {пь <722, Из, ^2},(7.3.1)
43 = hl, П2, <733, 7?з},
компоненты расширенного вектора перемещений
u = {«1, «2, кз, К4},(7.3.2)
где U4 = у? — потенциал, D\, D^, D3 — компоненты вектора индукции. Тогда осредненные за период Т = 2тг/ш при гармонических колебаниях компоненты вектора потока энергии Умова-Пойнтинга в электроупругой среде имеют вид [39] (индексом * отмечена операция комплексного сопряжения):
W = - Y^H^l - а11«1 + П2«2 - П>2 +
+ Тз"з - Пзмз + У*D\ -
kpd =- ^21^1 + <722^2 “ <7^2 +
+ Пз^з — Пз^з + У -^2 — ЛТ1- (7.3.3)
(7з) = “у (П1«1 - П>1 + П2«2 -+
+ <73змз - ТззУз + У*7^з - У^з)-
Этот вектор определяет количество и направление переноса энергии через данную точку среды.
Энергия электроупругих волн, возбуждаемых в пьезоактивной среде поверхностным источником. Рассмотрим гармонические колебания жесткого электрода, занимающего в плане область Q на поверхности пьезоактивной среды. Колебания осуществляются за счет приложенной к электроду нагрузки или приложенного напряжения </?о- Будем полагать, что внешнее воздействие локализовано в области контакта, трение в области контакта отсутствует, электрод совершает вертикальные поступательные колебания с амплитудой изо- Количество энергии, поступающей в среду через область контакта Q, определяется выражением [12]
U =U =P3dO.P3dO.(7.3.4)(7.3.4)
U =
U =
P3dO.
P3dO.
(7.3.4)
(7.3.4)
и =4Qи =4QУчтя представление (7.3.3), а также предположение об отсутствии трения в области контакта, для поступательных вертикальных колебаний электрода запишем:
и =
4
Q
и =
4
Q
(^зз^з ^зз^з + У D3 ipD^dCl. (7.3.5)
Далее примем во внимание, что электрод жесткий (и3 = = const = изо), а его поверхность металлизирована (</? = = const = уо):
и = -г44Qи = -г44QЬо^ззЬо^зз- ^зз) + Уо(^з - рз)] ^1 М.- ^зз) + Уо(^з - рз)] ^1 М.(7.3.6)(7.3.6)
и = -г4
4
Q
и = -г4
4
Q
Ьо^зз
Ьо^зз
- ^зз) + Уо(^з - рз)] ^1 М.
- ^зз) + Уо(^з - рз)] ^1 М.
(7.3.6)
(7.3.6)
Иначе
U =U =[изо Im <7зз + Уо Im £>3] dx dy.[изо Im <7зз + Уо Im £>3] dx dy.(7.3.7)(7.3.7)
U =
U =
[изо Im <7зз + Уо Im £>3] dx dy.
[изо Im <7зз + Уо Im £>3] dx dy.
(7.3.7)
(7.3.7)
Используя в силу линейности задачи принцип суперпозиции, получим после использования линейных параметров:
U = т^зо ImU = т^зо Imоо^зз ^ + ^ УоImо^зз ^ + ^ УоImоD*3 dO. (7.3.8)D*3 dO. (7.3.8)
U = т^зо Im
U = т^зо Im
о
о
^зз ^ + ^ УоIm
о
^зз ^ + ^ УоIm
о
D*3 dO. (7.3.8)
D*3 dO. (7.3.8)
Учитывая, что плотность распределения заряда и вектор индукции в электроупругой среде связаны соотношением g = —D3, получим:
U = |^зо ImU = |^зо ImСУ33 do - ДО2 ImСУ33 do - ДО2 Imооg dO.Qg dO.Q(7.3.9)(7.3.9)
U = |^зо Im
U = |^зо Im
СУ33 do - ДО2 Im
СУ33 do - ДО2 Im
о
о
g dO.
Q
g dO.
Q
(7.3.9)
(7.3.9)
В настоящей работе элемент области контакта представляется в виде
dCl = dx[dx2-(7.3.10)
Реакция среды на воздействие штампа и заряд на электроде определяются выражениями
QQстзз dx\ dx2стзз dx\ dx2и G = gdx\dx2-и G = gdx\dx2-(7.3.11)(7.3.11)
Q
Q
стзз dx\ dx2
стзз dx\ dx2
и G = gdx\dx2-
и G = gdx\dx2-
(7.3.11)
(7.3.11)
Внося выражения (7.3.11) в формулу (7.3.10) для потока энергии, поступающей в среду через область контакта, окончательно будем иметь:
[/^^olmQ-^oImG.(7.3.12)
Таким образом, для выполнения закона баланса энергии при анализе динамических процессов с участием пьезоактивных тел, в соответствии с которым энергия должна уноситься из области контакта на бесконечность, необходимо выполнение условий:
ImQ < 0, ImG ^ 0.ImQ < 0, ImG ^ 0.(7.3.13)(7.3.13)
ImQ < 0, ImG ^ 0.
ImQ < 0, ImG ^ 0.
(7.3.13)
(7.3.13)
Глава 8
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИНАМИЧЕСКИХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ПЬЕЗОАКТИВНЫХПРЕДНАПРЯЖЕННЫХПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ СРЕД
В настоящей главе приводятся интегральные уравнения и системы интегральных уравнений, возникающие в задачах теории электроупругости о динамическом контакте электродов с пьезоактивными полуограниченными средами. Решения этих интегральных уравнений или их систем являются основой для изучения процессов динамического контактного взаимодействия массивных электродов и электромеханических систем (с электрическими и механическими сосредоточенными параметрами) с пьезоактивными средами, а также возникающих при таком взаимодействии резонансных явлений. Немаловажным является круг проблем, связанных с изучением процессов, протекающих в электрических цепях с участием элементов, выполненных из пьезоактивных материалов.
В каждом разделе настоящей главы приведены свойства символов ядер конкретных видов интегральных уравнений. Вопросы существования и единственности решения интегральных уравнений, имеющих аналогичные свойства, детально изложены в публикациях и монографиях И. И. Во- ровича и В. А. Бабешко [3-13, 26-28 и др.]. При изучении динамики преднапряженных сред проблема однозначной разрешимости тесно связана с вопросами поверхностной и внутренней неустойчивости среды, которые исследова-
лись в работах А. И. Лурье, А. Н. Гузя, Л. М. Зубова и др. [36, 37, 43, 44, 52 и др.].
Целью настоящей работы является исследование закономерностей влияния начального напряженного состояния полуограниченной среды на динамику контактирующих с ней массивных электродов и резонансных электромеханических систем. В связи с этим будем полагать, что используемый при исследованиях диапазон изменения начальных напряжений не выходит за пределы критических значений, которые могли бы привести к потере устойчивости среды. С учетом вышесказанного доказательство теорем существования и единственности решений интегральных уравнений, рассматриваемых в настоящей работе при наличии начальных напряжений, опущено, поскольку не отличается от представленных в многочисленных статьях и монографиях В. А. Бабешко и И. И. Воровича доказательств теорем существования и единственности решений подобных интегральных уравнений при отсутствии преднапряжений. В настоящей главе отмечены основные свойства символов ядер интегральных уравнений и их систем, наличие которых является необходимым условием однозначной разрешимости. Детальное исследование свойств символов интегральных уравнений будет проведено позднее при исследовании конкретных задач с заданными параметрами.
Электроупругий слой с защемленнымоснованием
Рассматривается задача о вибрации жесткого, занимающего в плане область Q, электропроводящего штампа на поверхности хз = h преднапряженного электроупругого слоя О С хз < h. Нижняя грань слоя хз = 0 жестко защемлена, металлизирована и заземлена. Смещение подошвы штампа задается расширенным вектором £е(жь х-р. Поверхность среды вне области контакта является электрически свободной, механические напряжения отсутствуют. Колебания предполагаются установившимися. Искомой функ-
цией является расширенный вектор распределения контактных напряжений qe(xb х-р.
Пространственная задача. Электропроводящий штамп занимает область Q на поверхности среды. Задача сводится к исследованию системы интегральных уравнений IV порядка (искомой функцией является расширенный вектор напряжений qe(xi, х^) = {^ь 92, дз. 94}, заданной — расширенный вектор перемещений и(ть х^ = = £е(жь хУ = {fi, /2, /з, А}), которая получается при внесении в представление (6.1.19) значения Х3 = h:
ке(ж1 — у ж2 — +<1е(+ + d^dp = £е(хь Х2), (жь Ж2)^,
(8.1.1)
ke(s, t, w) = 2_ Ke(«i, ot2Wi(a's+a'2t) da\ da2, (8.1.2)
Г1 r2
Ke(«b«2)=||^(«l,«2)||^ = 1,(8.1.3)
где элементы матрицы-функции Ке(ал, а2) имеют вид:
4
-К^р ^ ftk[Ар/с $h orh + Др,/с+4 ch ауК\ 11)2,
/с=1
4
Ktp = У? fiTApk chakh + ZXpM4shCTkK\, г = 3, 4, (8.1.4) k=\
A,t = A^/A0, A° = det||Tti||y=l, A — 1,2,
A°p, k, p = 1, 2, ... ,8, — алгебраические дополнения элементов Tkp, которые определяются формулами (6.2.7) и (6.2.8); коэффициенты fik, г, k = 1, 2, 3, 4, выражаются формулами (6.2.10)-(6.2.12), стк являются корнями характеристического уравнения (6.2.9).
Функции К®у«х, «2, ^) являются четными при г = j, нечетными при г ^ j, мероморфными в комплексной плоскости и имеют конечное, зависящее от частоты количество вещественных нулей и полюсов. Расположение последних диктует выбор контуров Г1 и Гг в представлении ядра
по правилам, указанным в [5, 27], что обеспечивает единственность решения.
При «ь «2 ^ со справедливо представление:
Kij (а,, а2) = Ы"1 С^ (7) [1 + Оиг2^ ,^ ! ^
«1= u cos 7, a2 = wsin7, u2 = гД + «|,
где коэффициенты С^ (7) зависят как от электрических и механических параметров среды, так и от начальных напряжений.
Существование и единственность решения интегральных уравнений анизотропной теории упругости, ядра которых имеют подобные свойства, установлены в работах [5, 27]. Динамика массивного электрода в отсутствие начальных напряжений исследовалась в [28, 29, 63, 64].
Плоская задача. Электропроводящий штамп занимает область |ж1| < а = 1, |ж2| < сю. Задача о колебаниях полосового электрода, занимающего в плане область |ж1| < 1 на поверхности преднапряженного электроупругого слоя 0 < т3 ^ h, сводится к решению системы интегральных уравнений III порядка, которая получается при внесении в представление (6.1.19) значения хз = h:
1
' ke (я, - <) qe (С) dC = Г(Ж1), Ы ^ 1,(8.1.6)
-1
k=to = ± ] К= («)=•"* М к=(а) = К И||,
Г(8.1.7)
относительно расширенного вектора напряжений qe(xi) = = {^ь 9з, 94}. Здесь fe(xj) = {Д, /3, Д} — заданный расширенный вектор смещений.
Элементы матрицы-функции Ке(а) имеют вид:
4
к\р^ = У^ fikWpk sh okh + Др^+з chcrfc7t], k=\ 3
К^<Щ = ^fnkV^pkOYCTkh^ △p,fc+3shcrfc7i], (8.1.8) k n = 3, 4, p = 1, 3, 4.
5 В. В. Калинчук, T. И. Белянкова
kpk = А^/А0, где Д.^, р, к = 1,2, ..., 6, — алгебраические дополнения элементов определителя А0 (6.2.19), коэффициенты fik, г, к = 1, 2, 3, 4, выражаются формулами (6.2.21)-(6.2.23), Ок удовлетворяют характеристическому уравнению (6.2.20). Функции К^ (а) являются четными при г = Р нечетными при г 7^ j, мероморфными в комплексной плоскости и имеют конечное, зависящее от частоты количество вещественных полюсов и нулей.
При |а| ^ сю справедливы представления:
^•(а) = Н^Д! + О(а“2)], г = j, г, j = 1, 3, 4, (8.1.9) К^ (а) = сГ'ф [1 + О(а"2)], г j, г, ; = 1,3, 4,
где коэффициенты Ср зависят как от электрических и механических параметров среды, так и от вида начального состояния и величины начальных напряжений.
Сдвиговые колебания электрода на поверхности преднапряженного электроупругого слоя О С ®2 С h. Жесткий полосовой электрод, занимающий в плане область |ж1| < а = 1, |жз| < сю, совершает сдвиговые колебания вдоль оси жз. Задача сводится к решению системы двух интегральных уравнений:
' ке(Ж1 -<)qe«) ^ = Г(ж,), |ж]| < 1,(8.1.10)
к°W = ^]ке(«)=м>М к=(„) = ||а;",(«)1Ь.,=э.4
Г(8.1.11)
относительно расширенного вектора напряжений qe^i) = = {</3, 94}- Здесь Рфжф = {/3, /4} — расширенный вектор смещений. Элементы матрицы-функции Ке(а) имеют вид:
2
КЦ/р = 52 Гк V^pk ch okh + /ХрМ2 sh ОкЦ, n, p = 3, 4. k=\
(8.1.12)
ДР+2,к = Д^/Д0, где Д.^ р, k = 1, 2, 3, 4, — алгебраические дополнения элементов определителя Д° (6.2.30). Коэффициенты fik, г, к = 1, 2, 3, 4, выражаются формулами (6.2.33)-(6.2.34), ст/; удовлетворяют характеристическому уравнению (6.2.31).
Функции К^ (а) являются четными при г = j, нечетными при г ^ j, мероморфными в комплексной плоскости и имеют конечное, зависящее от частоты количество вещественных полюсов и нулей.
При а —> сю справедливы представления:
^17 (°Э =п, з = 3, 4, n = j,
К® • (а) = аг’С^ [1 + О(а-2)] , п, з = 3, 4, п j.
(8.1.13)
Сц являются функциями электрических и механических параметров среды и начальных напряжений.
Электроупругий слой, лежащий безтрения на жестком основании
Рассматривается задача о вибрации жесткого, занимающего в плане область Q, электропроводящего штампа на поверхности жз = h преднапряженного электроупругого слоя 0 < ж3 < h, лежащего без трения на жестком основании. Нижняя грань слоя жз = 0 металлизирована и заземлена. Смещение подошвы штампа задается расширенным вектором Ге(ж1, жг). Поверхность среды вне области контакта является электрически свободной, механические напряжения отсутствуют. Колебания предполагаются установившимися. Искомой функцией является расширенный вектор распределения контактных напряжений qeki. жг).
Пространственная задача. Электропроводящий штамп занимает область Q на поверхности среды. Задача сводится к исследованию системы интегральных уравнений (8.1.1)—(8.1.3). Функции Д°р, к, р = 1, 2, ..., 8, участвующие в представлении элементов К^ау, «2, ш) (8.1.4), являются алгебраическими дополнениями элемен-
тов определителя Д° = ||7fcp||^ ], которые определяются формулами (6.2.36).
Функции К^(сц, «2, ^) являются четными при г = j, нечетными при г Д j, мероморфными в комплексной плоскости и имеют конечное, зависящее от частоты количество вещественных нулей и полюсов. Расположение последних диктует выбор контуров Г1 и Гг в представлении ядра (8.1.2) по правилам, указанным в [6, 26], что обеспечивает единственность решения.
При «1, «2 —> сю справедливо представление:
Ке^\, аУ = Н"1 С^ (7) [1 + О(гТ2)] , 2 «1= u cos 7, а^ = и sin 7, и2 = а2 + а2,
где коэффициенты С^ (7) зависят как от электрических и механических параметров среды, так и от начальных напряжений.
Существование и единственность решения интегральных уравнений анизотропной теории упругости, ядра которых имеют подобные свойства, установлены в работах [7, 27]. Динамика массивного электрода в отсутствие начальных напряжений исследовалась в [27, 31, 57, 58].
Плоская задача. Электропроводящий штамп занимает область (яД < а = 1, [жг! С сю. Задача о колебаниях полосового электрода, занимающего в плане область |ж1| < а на поверхности преднапряженного электроупругого слоя 0 < т3 ^ h, сводится к решению системы интегральных уравнений III порядка (8.1.6), (8.1.7) относительно расширенного вектора напряжений qe(xi) = {gi, qa, 94}. Здесь fe(xi) = {/1, /3, /4} — заданный расширенный вектор смещений. Функции ДД, р, k = 1, 2, ..., 6, участвующие в представлении элементов К^ (а) (8.1.8), являются алгебраическими дополнениями элементов определителя Д° (6.2.39).
Функции К^ (а) являются четными при г = Д нечетными при г Д Д мероморфными в комплексной плоскости и имеют конечное, зависящее от частоты количество вещественных полюсов и нулей.
При а —> сю справедливы представления:
К^а) = а"хСгз [1 + О(сГ2)] , г, j = 1, 3, 4, (8.2.2) где коэффициенты Сц зависят как от электрических и механических параметров среды, так и от вида начального состояния и величины начальных напряжений.
Сдвиговые колебания электрода на поверхности преднапряженного электроупругого слоя О ж2 h. Жесткий полосовой электрод, занимающий в плане область |xi| ^ а = 1, |жз| < сю, совершает сдвиговые колебания вдоль оси жз. Задача сводится к решению системы интегральных уравнений (8.1.10) с символом ядра (8.1.11) относительно расширенного вектора напряжений qe(xi) = {^з, 94}. Здесь Ге(ж[) = {/3, /4} — расширенный вектор смещений. Участвующие в представлении элементов К^^ (8.1.12) функции A°fc, р, к — 1, 2, 3, 4, являются алгебраическими дополнениями элементов определителя А0 (6.2.43).
Функции К^ (а) являются четными при г = j, нечетными при г ^ ], мероморфными в комплексной плоскости и имеют конечное, зависящее от частоты количество вещественных полюсов и нулей.
При а —> сю справедливы представления:
К^а) = cTxCnj [1 + О(а~2)] , п, j = 3, 4, (8.2.3) С^ являются функциями электрических и механических параметров среды и начальных напряжений.
Электроупругий преднапряженный слойна диэлектрическом полупространстве
Рассматривается задача о вибрации жесткого электрода (штампа), занимающего в плане область И, на поверхности преднапряженного составного электроупругого полупространства. Среда представляет собой пьезоэлектрический слой 0 ^ ж3 < h, жестко сцепленный с диэлектрическим полупространством жз < 0. Поверхность раздела
слоя и полупространства металлизирована и заземлена. Смещение подошвы электрода задается функцией Г(жь х2\ поверхность среды вне области контакта является электрически свободной, механические напряжения отсутствуют. Колебания предполагаются установившимися.
Пространственная задача. Осциллирующий на поверхности среды жесткий электрод занимает в плане область Q. Решение этой задачи сводится к исследованию системы интегральных уравнений IV порядка относительно неизвестной вектор-функции напряжений qe(xi, х-р = = {91, 92, 9з, 94}:
к^\ж1 — £, тд — 1], i^q*-1^, р) d^dr] = f(xi, ж2),
(8.3.1)
k(1)(s, t, щ) = -ГГ1 Г2k(1)(s, t, щ) = -ГГ1 Г2(жь ж2) £
k(1)(s, t, щ) = -Г
Г1 Г2
k(1)(s, t, щ) = -Г
Г1 Г2
К^^аь а2, шу-^+»2Ь davda2,
(8.3.2)
Кш(а|, «2, w) = ЦК^аь ад, ш)||У=1,(8.3.3)
где элементы матрицы-функции К^^ад а2, w) имеют вид:
Ktp = TJik^pk8^^ + ^рМ^^Я г = 1, 2,
3
С"-ЕЙ'+ ^>„<Н’Ч ’ = 3, 4. (8.3.4)
Ч = </А°. k. Р = 1. 2". А“ = ИДИ^ ■
△° — алгебраические дополнения элементов определителя Ткр (к, р — \ , 2, ..., 11), которые определяются формулами (6.3.5); коэффициенты f^ — формулами (6.2.10), (6.2.11), ± сг^ — корни характеристического уравнения (6.2.9).
Функции K^\ct\, а2, h, ш) являются аналитическими в комплексной плоскости с не переходящими друг в друга разрезами, лежащими строго в первом и третьем квадрантах (по три разреза в каждом из них). Разрезы прово-
дятся от точек ветвления, которые определяются численно из уравнений
^11 ’ ^22 ’ ^33 / —’ уО.О.и^
(2) где ак удовлетворяют характеристическому уравнению (6.3.6), до бесконечно удаленных точек.
На разных отрезках вещественной оси К^\а\, «2, h, ш) обладают качественно различным поведением, которое определяется свойствами подстилающего полупространства: они принимают вещественные значения при |а| > х*, (х* = тах{хр\ хр\ х^}), мнимые — при |а| < х°, (х° = тт{хр\ х^\ х^}), в остальной области — комплексные.
Особенностью функций К^\«х, ад, h, ш) является наличие на вещественной оси конечного, зависящего от частоты количества нулей и полюсов. Расположение последних определяет выбор контуров Г1 и Г2 в уравнениях (8.3.2) по правилам, указанным в [5, 27], обеспечивающим единственность их решения.
При аь «2 ^ сю справедливо представление:
К^ («1, «2, К ш) = и"хСгз (7) [1 + O(u"2)] ,(8 3 6)
«1= u cos 7, а^ = и sin 7, и2 = а2 + а2,
где коэффициенты С^ (7) зависят как от электрических и механических параметров среды, так и от начальных напряжений.
Однозначная разрешимость интегральных уравнений анизотропной теории упругости, ядра которых имеют подобные свойства, установлена в работах [5-7, 13, 27, 28]. Контактное взаимодействие массивного электрода, включенного в электрическую цепь последовательно с индуктивностью, с электроупругим слоем в отсутствие начальных напряжений исследовалось в работах [24, 29, 47].
Плоская задача. Электропроводящий штамп занимает область |xi| ^ а = 1, |ж2| ^ сю. Задача о колебаниях полосового электрода, занимающего в плане область |ж1| ^ а на поверхности составной среды, представляющей
собой преднапряженный электроупругий слой, лежащий на поверхности преднапряженного диэлектрического полупространства, сводится к решению системы интегральных уравнений III порядка:
1
'кОЦл-.-Оч») К) = f(n),(8.3.7)
к’" И = S |К‘" (">К<1) (“> = II As’ (“'ll.. 7 = 1. 3. 4
Г(8.3.8)
относительно искомой величины — расширенного вектора напряжений q(^i) = {</ь Чз, чд- Здесь Г(ж1) = {/ь /з, А} — заданный расширенный вектор смещения подошвы штампа (электрода). Участвующие в представлении элементов К-p (а) функции имеют вид:
^1р (а) = “ш £ /1 к[^Рк sh акh + Др,нз ch акh\, к=\
m 3
Ккр (а) = X Гк [^Рк ch akh + Ap,fc+3 sh akK\, n, p = 3, 4. fc=i
(8.3.9) Apfc = Apfc/A°, где A°fc, p, к = 1, 2, ..., 8, — алгебраические дополнения элементов определителя (6.3.12), коэффициенты fnk представляются формулами (6.2.21)—(6.2.23), ± ок удовлетворяют характеристическому уравнению (6.2.20).
Функции К-p (а) являются аналитическими в комплексной плоскости с двумя разрезами, расположенными строго в I и III квадрантах. Разрезы проводятся от точек ветвления, которые определяются численно из уравнений:
Гр\а, <7,Р°, сг^0, Аз'°) = 0, к = 1, 3,(8.3.10)
(2)
где avk} удовлетворяют характеристическому уравнению (6.3.13), до бесконечно удаленных точек.
На разных отрезках вещественной оси К^ (а) обладают качественно различным поведением, которое опреде-
ляется свойствами подстилающего полупространства: они принимают вещественные значения при |а| ^ х^\ мнимые — при |а| ^ х\ \ в остальной области — комплексные. Кроме того, функции К^ (а) имеют на вещественной оси конечное, зависящее от частоты множество полюсов и нулей.
При а —> сю справедливы представления:
УчаП(Г'С;/1-бкГ2),, г,; = 1,3, 4, (8.3.11)
С^ зависят как от механических параметров среды, так и от начальных напряжений.
Сдвиговые колебания. Рассматривается элек- троупругая составная преднапряженная среда, представляющая собой пьезоактивный слой 0 < яд С ^, лежащий на поверхности диэлектрического полупространства яд ^ 0. Занимающий в плане область |xi| С 1 среды полосовой жесткий штамп (электрод) совершает сдвиговые колебания вдоль оси хз. Задача сводится к решению системы интегральных уравнений II порядка:
1
(8.3.12)
kW X = k IK<1> (") *«’ K(" («) = 114" И|,. ,=3.4
Г(8.3.13)
относительно расширенного вектора напряжений q^^xj = = {</3, уД- Здесь f(®i) = {/3, /4} — заданный расширенный вектор смещения подошвы штампа (электрода),
2
К£» = ^2 fnMpkCa(TkX2 + ^рМ28^(ТкХ2\, П, р — 3, 4,
к=Х(8.3.14)
^р+2,к = д^/д°- где ^рк’ Р’ к = 1, 2, 3, 4, - алгебраические дополнения элементов определителя (6.3.18), коэффи-
циенты fnk определяются формулами (6.2.33), о^ удовлетворяют характеристическому уравнению (6.2.31).
Функции К^ (а) являются аналитическими в комплексной плоскости с двумя разрезами, расположенными строго в I и III квадрантах. Разрезы проводятся от точек ветвления, которые определяются численно из уравнений
(Ту2^, ш, сгц-10, ст™0, Ф^°) = 0,(8.3.15)
(2) где стк удовлетворяют характеристическому уравнению (6.3.20), до бесконечно удаленных точек.
На разных отрезках вещественной оси функции К^ (а) обладают качественно различным поведением, которое определяется свойствами подстилающего полупространства: они принимают вещественные значения при |о?| > и^\ мнимые — при |а| < xj2\ в остальной области — комплексные. Функции кГ (о) имеют на вещественной оси конечное, зависящее от частоты количество полюсов и нулей.
При <т —> оо справедливы представления:
К^а) =оГхСгз [1 +О(сГ2)] , г, j = 3, 4,(8.3.16)
Сц являются функциями механических и электрических параметров среды и начальных напряжений.
Глава 9
НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯОДНОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙ
Детальное исследование воздействия начальной деформации на процесс динамического контактного взаимодействия массивных электродов, различных электродных структур, дискретных электромеханических систем с предварительно напряженными электроупругими средами можно проводить исключительно на основе использования решений интегральных уравнений соответствующих смешанных задач электроупругости. Необходимость изучения тонких эффектов, связанных с влиянием начальных напряжений на динамику преднапряженной пьезоактивной среды предъявляет высокие требования к точности и надежности этих решений, в первую очередь, к точному учету динамических свойств исследуемых объектов. В настоящей главе излагаются некоторые методы решения одномерных интегральных уравнений, позволяющие с высокой точностью учитывать динамические свойства полуограниченной среды.
Первый метод представляет собой обобщение развитого в цикле работ В. А. Бабешко [5-7, 12, 27 и др.] метода факторизации на класс интегральных уравнений, возникающих при изучении динамики пьезоактивных сред, символы ядер которых являются мероморфными функциями.
Второй метод представляет собой обобщение метода фиктивного поглощения, предложенного В. А. Бабешко и развитого в цикле работ В. А. Бабешко и О. Д. Пряхиной, на класс интегральных уравнений для слоисто неоднородного полупространства. Обобщение метода основано на использовании в его рамках численных процедур. Такой под-
ход позволяет использовать точное представление символа ядра интегрального оператора и опустить необходимый в традиционной схеме метода фиктивного поглощения этап аппроксимации. Тем самым, сохраняются все динамические особенности символа ядра, в том числе точки ветвления, что приводит к более полному учету динамических свойств среды и, следовательно, к повышению необходимой при исследовании динамики преднапряженных сред точности получаемого в результате решения.
Оба метода не раз излагались в литературе [5-10, 12, 13, 27, 28, 46], однако, учитывая, что после издания указанной литературы, за исключением [28, 46] и статей в периодической печати, прошло достаточно много времени, авторы посчитали целесообразным вновь дать их подробное изложение.
Метод факторизации решенияинтегральных уравнений
При исследовании большого круга двумерных смешанных динамических задач (слой, пакет слоев и т. п.) высокую эффективность демонстрирует метод факторизации, одним из важнейших преимуществ которого является достаточно точный учет динамических свойств среды, что обеспечивает высокую точность получаемого решения, возможность исследования закономерностей возбуждения и распространения волновых полей в преднапряженных средах. Немаловажным является его удобство для программной реализации.
Общая схема метода факторизации. Рассмотрим интегральное уравнение
1
^(ж1-<)9«) ^ =/(ж1)> l^il < h (9.1.1)
к (р = [ К (a) eiat da.(9.1.2)
г
Следуя [5, 27], определим свойства функции К (а) = = К (а, Иг\ где Хг (г = 1, 2) — безразмерная частота, нормированная, в соответствии с типом задачи, либо к скорости продольной волны (г = 1), либо к скорости сдвиговой волны (г = 2).
Будем полагать, что функция К (о, х^-.
является четной и мероморфной в комплексной плоскости с разрезами, количество и расположение которых определяется наличием точек ветвления;
имеет на вещественной оси конечное число нулей и полюсов, количество и значение которых зависит от частоты х^\
при |а| ^ ею справедливо представление:
К>, х2) = ф|"1 (1+О(а"2)).(9.1.3)
Наличие у функции К (а, х2) вещественных нулей и полюсов обусловлено существованием в соответствующих областях (нули — под штампом, полюса — на свободной поверхности) упругих волн, которые в отсутствие источников на бесконечности должны иметь определенную направленность. Направление распространения волн диктуется выбором контура Г в представлении (9.1.2). Как правило (исключительные случаи обсуждаются в [5, 27]), этот контур при выборе временного множителя в виде е-гш1 совпадает с вещественной осью, обходя положительные особенности функции К (а, х2) снизу, а отрицательные — сверху.
Уравнение (9.1.1) однозначно разрешимо [27] при любой дважды непрерывно дифференцируемой функции /(жф в пространстве функций, непрерывных с весом, т. е. ф1)уЬф c<L||/||c2.
Следуя [5, 27, 28], заменим функцию К (а, х2) функцией
N
(914)(914)К* (а) = 7ф)Цф2-у^)(а2 - ф1.
(914)
(914)
/с=1
Здесь R (а) — четная функция, определяющая асимптотическое поведение функции К (о) и не имеющая ве-
щественных нулей и полюсов; zk (к = 1,2, ...,ni), ^ (к = 1, 2, ..., п2) — вещественные и комплексные полюсы и нули символа К^а, x^Y лежащие в полосе |Ima| < £q; zk (к = гц + 1, ..., N\ ^ук (к = П2 + 1, ..., N) — параметры аппроксимации, которые определяются из условия наилучшего приближения символа К (а, х2) функцией К* (а) на вещественной оси [27]:
\К* («) -К(а, х2)| ^-‘(а, х2)| (1 + |а|)7 <5, 7 > 0.5, |а| < оо. ' '
В этом случае при достаточно малых 6 решения интегральных уравнений вида (9.1.1), ядра которых определяются функциями К(а, х2) и К* (а), будут близки в смысле [5, 27]:
(9.1.6)(9.1.6)
(9.1.6)
(9.1.6)
Выбор функции R (а) определяется асимптотическим представлением (9.1.3) символа К (а, х2) и возможностью ее непосредственной факторизации. В большинстве публикаций по динамическим контактным задачам в качестве таковой использовалась функция
R(a) = с(а2 + В2)"1^ (9.1.7) где с — постоянная, участвующая в представлении (9.1.3), В ^ 1 — заданный параметр аппроксимации.
В ряде работ в качестве R (а) использовалась другая
которая также допускает точную факторизацию.
В настоящей работе используется аппроксимирующая функция (9.1.7). Нетрудно видеть, что в этом случае функция К* (а) сохраняет все свойства символа К (а, х2) и допускает факторизацию:
Кра) = К Да) К Да),(9.1.8)
К± (а) = Vc (а ± гВ)"^ Ц (а ± -ДД ± ДД./с=1
За счет использования техники, изложенной в работах [5, 27], уравнение (9.1.1) с ядром К* (а) после ряда преобразований сводится к системе интегральных уравнений II рода следующего вида (берутся последовательно верхние, затем нижние знаки):
Im^ ^ 0,Im^ ^ 0,—га—га12тпГ112тпГ1(9.1.9)(9.1.10)ега da,(9.1.9)(9.1.10)ега da,(9.1.11)(9.1.12)(9.1.11)(9.1.12)
Im^ ^ 0,
Im^ ^ 0,
—га
—га
1
2тп
Г1
1
2тп
Г1
(9.1.9)
(9.1.10)
ега da,
(9.1.9)
(9.1.10)
ега da,
(9.1.11)
(9.1.12)
(9.1.11)
(9.1.12)
относительно вспомогательных неизвестных функций X (г, ±), являющихся комбинациями функций Ф+(а), Ф“ (а) — преобразований Фурье функций, представляющих собой продолжение правой части уравнения (9.1.1), соответственно в область ж > 1 (у?+ (ж)) и ж < 1 (<р>“ (ж)). F (а) — преобразование Фурье функции / (ж). Контур 13 лежит строго выше контура Г, но не выходит из полосы регулярности, являющейся некоторой окрестностью контура Г.
Решение интегрального уравнения (9.1.1) дается формулой:
ф± («) = 1 [X (Т а, +) ± X (Т а, -)] К^ (a) e±ia.ф± («) = 1 [X (Т а, +) ± X (Т а, -)] К^ (a) e±ia.(9.1.13)(9.1.14)(9.1.13)(9.1.14)
ф± («) = 1 [X (Т а, +) ± X (Т а, -)] К^ (a) e±ia.
ф± («) = 1 [X (Т а, +) ± X (Т а, -)] К^ (a) e±ia.
(9.1.13)
(9.1.14)
(9.1.13)
(9.1.14)
Поведение свободной поверхности вне штампа имеет вид:
гг(9.1.15)(9.1.15)
г
г
(9.1.15)
(9.1.15)
Система уравнений (9.1.9) является Фредгольмовой в некотором весовом пространстве С (Г) [27]. Ее приближенное решение можно построить, вычислив интегралы в правой части по вычетам. Действительно, опустив контур интегрирования до ближайшей точки ветвления (из (9.1.8) следует, что такой точкой является — гВ) и полагая для простоты изложения полюсы функции Р^а, г) однократными, получим системы уравнений:
±) = ± £.¥(-22, ±)££ + «(2, ±) +
Im^O,(9.1.16)
гдегдеТ. —2izkК /\ СТ. —2izkК /\ С(9.1.17)(9.1.17)
где
где
Т. —2izk
К /\ С
Т. —2izk
К /\ С
(9.1.17)
(9.1.17)
Полагая в системе (9.1.16) последовательно г = —гп (n = 1, 2, ..., N), получим конечную систему 2N алгебраических уравнений относительно 2N неизвестных (берутся последовательно верхние и нижние знаки):
А±Х± = а±,(9.1.18)
где матрицы А± и векторы Х± и ct± имеют вид: ,N
А± = б1к ±,
Х±=Т{Х(-^П, ±)}, а^ТП-^, ±)}.
Подставив решение системы (9.1.18) в равенство (9.1.16), получим следующее представление для функций Х<Д, ±):
NN' N"±)Z=1' N"±)Z=1+ аД, ±) + ОД 2В),+ аД, ±) + ОД 2В),
N
N
' N"
±)
Z=1
' N"
±)
Z=1
+ аД, ±) + ОД 2В),
+ аД, ±) + ОД 2В),
(9.1.19)(9.1.19)Пиз £ О,
(9.1.19)
(9.1.19)
где В^ — элементы матрицы В±, обратной матрице А±.
Функции, описывающие распределение контактных напряжений ^(ж), а также поведение свободной поверхности у± (ж), восстанавливаются по формулам (9.1.13)—(9.1.15).
Реализация метода (специальный случай). Рассмотрим случай, когда смещение подошвы штампа дается функцией
у(ж) = е^ |ж|< 1.(9.1.20)
Следуя технике, изложенной в [27], продолжим эту функцию на интервалы х > 1, х < — 1 и введем новые функции:
у* (ж) = ^ (ж) — ег7?ж, х > 1, Ц* (ж) = у?- (ж) — егт,ж, ж < — 1.
(9.1.21)
После внесения выражения (9.1.20) в формулу (9.1.11) получим:
,ГPirit=~ir! 1
a (z, ±) = г ——;г ± ————-г .(9.1.22)
v_К_ Ы) (z - 77) А+ (77) (z + 77).
Контактные напряжения после подстановки решения системы (9.1.16) с учетом выражения (9.1.22) в формулы (9.1.13) и (9.1.14) и применения формул операционного исчисления представляются в виде: гт]хс п
W;A"]^ + f^UlAqdU:i'A0A )- (9.1.23) где
q^ (9 = Аq^ (9 = А±+ К (77) eT ^9 0 erf ^/(B ± г//) t +
q^ (9 = А
q^ (9 = А
V7rt
TV г
•lZkt erf ^(В + iz^ t +
k=l Lг b±e~iZktH 2 K+ (zk)k=l Lг b±e~iZktH 2 K+ (zk)Здесь=Здесь=eT«»7eT«»7TVTV/c=l/c=l. B± (77) (zk tv) K'+(-zk) yBTizkN1V^1. B± (77) (zk tv) K'+(-zk) yBTizkN1V^1(1 -erf VW^Mt^ • (9.1.24)
k=l L
г b±e~iZkt
H 2 K+ (zk)
k=l L
г b±e~iZkt
H 2 K+ (zk)
Здесь
=
Здесь
=
eT«»7
eT«»7
TV
TV
/c=l
/c=l
. B± (77) (zk tv) K'+(-zk) yBTizk
N
1V^1
. B± (77) (zk tv) K'+(-zk) yBTizk
N
1V^1
TTB+ ^k) VB-izk ^
T
T
д± = —-+> р
к К± Ы) к'+ (-zO (zk =F 7?)2К'+ (-zO 2L/ Zp + zk’
TV
bk = П 52 VBkPa(-zP' +) T Bkpa(—zp, -)].
Для вычисления реактивной силы, действующей на штамп со стороны среды (реакция среды), применим к выражениям (9.1.23) и (9.1.24) формулы операционного исчисления. Амплитудное значение реакции среды представляется в виде:
1
Qt) = Qq (ж) dx = Qq4 4" Q iq + Qiq 4" Q^q 4" Q2q' (9.1.25)
-1
<&, = E [-4 erf 44вТЕ) + s* erf VEbEE + S^
где
TVз^Свл^е-.ЕТfc=l
<C± — ZE? Д
Формулы (9.1.23), (9.1.24) и (9.1.25) с учетом представления (9.1.17) позволяют построить функцию распределения напряжений в зоне контакта и реакцию среды для произвольной формы основания штампа.
В случае штампа с плоским основанием в (9.1.25) необходимо положить т] = 0. Используя соотношения Sy. = S”k - = Sik, Bk = By = Вk,bk =by = bk, получим амплитудное
Метод факторизации решения интегральных уравнений 147 значение реактивной силы, действующей на штамп со стороны среды:
Q = -^ + ^ooerfV2B +Ме-25 +
N
+ 2 У^ Sip erf \/2(В + г^) + 82k erf ^/2(S — ^) + Sok .
(9.1.26)
где
S“ = ^ + 5 (4В-П + V ID °
Реализация метода (общий случай). Пусть /(ж) в правой части (9.1.1) является произвольной дважды непрерывно дифференцируемой функцией, которую можно представить в виде:
ОО
/ (ж) = F (rf) егт,ж dr).
— оо
Тогда решение д(ж) интегрального уравнения (9.1.1) с правой частью / (ж) имеет вид:
Дж) = Щ (ж) F (т/) dr/, (9.1.27)
— 00
где уч (ж) — решение интегрального уравнения (9.1.1) с правой частью Удд = eVqx ■ Аналогично, поведение сво-
бодной поверхности и реакция среды определяются формулами:
ООР = [ Р^У^ d-q.— ооООР = [ Р^У^ d-q.— ооОО
ОО
Р = [ Р^У^ d-q.
— оо
ОО
Р = [ Р^У^ d-q.
— оо
^(ж^ кр^х^Е^егТ1Х Дт),
— оо
Из вышеизложенного следует, что для построения решения интегрального уравнения с произвольной правой частью необходимо иметь решение интегрального уравнения (9.1.1) с правой частью Д (ж) = егт,х.
Метод фиктивного поглощения решенияодномерных интегральных уравнений
В настоящем разделе излагается метод, представляющий собой обобщение предложенного В. А. Бабешко метода фиктивного поглощения на класс динамических смешанных задач для неоднородного полупространства. Обобщение основано на применении в рамках метода фиктивного поглощения численных процедур, что позволяет использовать точное представление символа ядра интегрального оператора и опустить необходимый при традиционной реализации метода фиктивного поглощения этап аппроксимации. Тем самым, сохраняются все динамические особенности символа ядра, в том числе точки ветвления, что приводит к более полному учету динамических свойств задачи и, следовательно, к повышению точности получаемого в результате решения.
Такой подход особенно эффективен при исследовании динамики массивных тел, дискретных механических систем, контактирующих с полуограниченной средой. Здесь в полной мере реализуется преимущество метода фиктивного поглощения, которое заключается в непосредственном получении интегральных характеристик динамической задачи (реакция среды, заряд и т. д.), минуя промежуточный этап вычисления функций распределения их плотности. Предлагаемый метод достаточно подробно был описан
в работе [46]. Учитывая ограниченность тиража, авторы считают необходимым вновь привести его описание.
Общая схема метода фиктивного поглощения.
Рассмотрим интегральное уравнение:
а
к? = kyx-^q<£W =|ж1|<а,(9.2.1)
—а
кЩ = д- Kyyasda.(9.2.2)
г
Будем полагать, что функция К (а) обладает характерными для смешанных задач теории упругости и математической физики для слоисто-неоднородного полупространства свойствами:
— она является четной и имеет на вещественной оси конечное, зависящее от типа задачи и свойств материала среды количество точек ветвления;
— является мероморфной в комплексной плоскости с не переходящими друг в друга разрезами, расположенными в I и III квадрантах и соединяющими точки ветвления с бесконечно удаленной точкой;
— имеет на вещественной оси конечное, зависящее от частоты, количество нулей ^ (k = 1, 2, ..., пг) и полюсов z^ (к = 1, 2, ..., ni), а также счетное множество комплексных нулей и полюсов с точками сгущения в некоторых секторах, содержащих мнимую ось;
— на бесконечности представляется в виде
= с |а|-1 (1 + О(а-1)) , а сю. (9.2.3)
Расположение контура Г в (9.2.2) обеспечивает выполнение условий излучения [5, 27]. Однозначная разрешимость уравнения (9.2.1) при любой дважды непрерывно дифференцируемой функции /(ж1) установлена в [5, 27].
Введем в рассмотрение функцию
м
ПИ^П^-^Ж2-^)’1,(9-2.4)
где Zk (А; = 1, 2, ..., nJ и 7^ (к = 1, 2, ..., пг) — вещественные полюсы и нули К (а), остальные Zk (к = гц + + 1, ..., М) и ^к (к = П2 + 1, ..., М, М > max{ni, П2}) — комплексные полюсы и нули К (а), лежащие в полосе |1та| < Eq.
Представим функцию К (а) в виде:
К^ = К0(а)П(а). (9.2.5)
Предлагаемый в настоящей работе подход основан на использовании точного представления (9.2.5) символа ядра исходного интегрального уравнения. С этой целью в качестве Ко (а) используется функция
К0(а) = К(а)П"1(а)- (9.2.6)
Нетрудно видеть, что зависящая в общем случае от частоты функция К^а^ включает в себя все неучтенные в П(а) динамические особенности К(а) и, прежде всего, точки ветвления на вещественной оси. Асимптотические свойства функций К^ и Kq(cJ совпадают, так как П(оо) = 1.
Замечание 9.2.1. Ранее [5, 13, 27], при реализации метода фиктивного поглощения использовалось приближенное представление (9.2.5) функции К^а\ допускающее точную факторизацию, в котором
К0(а) ^с^ + В2)"1/2,
где В ^ 1 — заданный заранее параметр аппроксимации.
Определение. Носителем функции (/(xj, заданной в области Q, будем называть наименьшее замкнутое в Q множество, вне которого q(xp = 0.
Лемма 9.2.1 [5]. Пусть функция 9(37) G Lp [—а, а], р > 1, имеет носитель в интервале [—а, а]. Для того чтобы функция
А(ж1) = V-1 (ж1)П(а)У(а)9
обладала этим же свойством, необходимо и достаточно, чтобы на полярном множестве функции П(а), т. е. при а = ± гь k = 1, 2, ..., М, имело место тождество
(V(a) и V-1(xi) — операторы прямого и обратного преобразования Фурье)
У(а)</ = 0.
Следуя [5], представим решение уравнения (9.2.1) в виде
= до(я1)+<^Сп)(9.2.7)
таким образом, чтобы выполнялись соотношения:
V(a)g = V(a)<p>, У(а)</о = О, а = ^ Zk, k = 1, 2, ..., М.
(9.2.8)
Здесь и далее полюса Zk и нули у^ (к = 1, 2, ..., М) символа ядра предполагаются однократными. Обобщение на случай кратных нулей и полюсов принципиальных трудностей не вызывает, однако представление (9.2.4) функции Ща) и вид соотношений (9.2.8) некоторым образом изменятся [5].
После внесения представления (9.2.7) в исходное уравнение (9.2.1) интегральное уравнение преобразуется к виду:
к® = / - к^.(9.2.9)
Следуя [5], введем функцию
t(xv) ^УЩхЩГЩ),(9.2.10)
Т(а) = II(a)Qo(a), Qo(a) = V(a)go(^O
и примем ее за новую неизвестную.
Тем самым задача решения интегрального уравнения (9.2.9), учитывая представление символа (9.2.5), сводится к решению нового интегрального уравнения
а
' Mx\-№^ = -kV^f.(9.2.11)
—а
Уравнение (9.2.11) является точным по отношению к (9.2.9) в силу использования точных представлений (9.2.6) и (9.2.10). Таким образом, отпадает необходимость использования теоремы возмущения [5, 28].
Допустим, что решение уравнения (9.2.11) построено и функция t(xp найдена. Соотношения (9.2.10) позволяют восстановить доСп) в виде:
доЫ = у-'^П-'ф^с#,). (9.2.12)
Из леммы 9.2.1. следует, что для того чтобы Qo(^i) € Е Lp[—а, а], р > 1, и имела носитель на [—а, а], должны удовлетворяться соотношения:
V(a)t(xi)=0, а = ±7ь к = 1, 2, ..., М. (9.2.13)
Т. е. функция t(xi) должна содержать в себе произвол, степень которого определяется количеством условий (9.2.13). Этот произвол должен быть заложен в функции 7>(ж1), участвующей в представлении (9.2.7).
Используя представление (9.2.7) и (9.2.12), получим трансформанту Фурье решения исходного интегрального уравнения (9.2.1) в виде:
Q(a) = Т(а)П"1(а) + У(а>. (9.2.14)
Для получения интегральной характеристики задачи (например, реакция основания на воздействие штампа) в (9.2.14) достаточно положить а = 0:
Q(0) =7Х0)1Г1(0)+У(0>. (9.2.15)
При необходимости исследования распределения контактных напряжений q(xp — решения исходного интегрального уравнения (9.2.1), к (9.2.14) достаточно применить обратное преобразование Фурье.
Реализация метода. В изложенной в предыдущем разделе схеме была введена содержащая произвол функция 7>(ж1) (вид ее не конкретизировался), которая должна содержать определенный произвол и строиться по значениям некоторых функционалов (9.2.8). В окончательных выражениях <^(^1) присутствует под знаком оператора, что позволяет для ее выбора использовать достаточно широкий класс функций. Проблема выбора таких функций детально изучена в [5].
Итак, следуя [5], в качестве ^(хх) используем функцию
2М
= ЦСДх,-Д.(9.2.16)
где х\ — координаты точек, делящих отрезок [—а, а] на равные части. Нетрудно установить, что у(ж1) удовлетворяет соотношениям (9.2.8).
После подстановки выражения (9.2.7) с учетом (9.2.16) в уравнение (9.2.1), последнее принимает вид:
“2М
кД(9.2.17)
—а,= *
где
= -kfa -х\\ f0(x^ = f(xx\ (9.2.18)
Следуя изложенной выше схеме и принимая во внимание формулы (9.2.6) и (9.2.10), приведем уравнение (9.2.17) к интегральному уравнению относительно новой неизвестной t(xi):
“2М
=(9.2.19)
—а,= *
Согласно лемме 9.2.1, функция t(xi) должна удовлетворять условиям (9.2.13), которые представим в более удобном для дальнейшего анализа виде:
Т(а)=0, а = ±уь к=\,2,...,М.(9.2.20)
Равенства (9.2.20) представляют собой систему 2М уравнений относительно 2М неизвестных постоянных Ci, участвующих в представлении введенной функции (9.2.16). Это с учетом решения в форме (9.2.7) замыкает задачу и позволяет представить его трансформанту Фурье в виде:
2М
(9.2.21) к=\
Тем самым, проблема решения интегрального уравнения динамической контактной задачи (9.2.1) относительно неизвестной функции q^ сведена к решению интегрального уравнения (9.2.19) относительно неизвестной функции t^Y Для решения последнего можно применять различные подходы, в том числе численные методы. В настоящей работе для решения полученного интегрального уравнения используется метод Бубнова-Галеркина.
Метод Бубнова-Галеркина. Основываясь на принципе суперпозиции, представим решение уравнения (9.2.17) в виде
(9.2.22)(9.2.22)2М
(9.2.22)
(9.2.22)
t^xx^ = to(^i) + ^CktyxxYк=\
где tk^x\Y к = 0, 1, ..., 2М, — удовлетворяют уравнениям:
а
kotk= к0(х\ - YYWW = fk(x\Y |£i|<a- (9.2.23)
—а
Введем две системы координатных функций ^(^i), Vp^xY р = 1, 2, ..., N, и положим
N
UxxVWkWxY к = 0Л,...ЛМ.(9.2.24)
p=i
После подстановки (9.2.24) в (9.2.23) получаем систему уравнений:
N а
ПГк М$х - ^Фр^Ж = №\Y |Ж1|<Й.(9.2.25)
Р=Х
Применив процедуру взвешивания уравнения (9.2.25) на координатных функциях <pYx\Y ^ = 1, 2, ..., N, приходим к необходимости решения 2М + 1 систем алгебраических уравнений:
(9.2.26)(9.2.26)ABfc = Ffc, к = 0, 1, ...,2М,
(9.2.26)
(9.2.26)
где
Л = 11<ы. А„,=
'A0(a^p(aX(a)M (9.2.27)
Г
Г
' КЩуЩаК^ da, (9.2.28)
В. = <=i, fl =
/(хх^ЗххЩхх,(9.2.29)
-а
Фр(а), Фг(а) — преобразования Фурье функций Зр(хд’
ip3x\Y ( )* — комплексно сопряженная величина.
Предположим, что матрицы А, а по ней А-1, построены. Тогда решения систем (9.2.26) представляются в виде:
Bfe = А"1^.(9.2.30)
Тем самым проблема отыскания всех функций ЩхЛ, к = 0, 1, ..., 2М, решена.
Основная тяжесть при решении 2М + 1 систем алгебраических уравнений (9.2.26) заключается в построении матрицы Айв вычислении А-1. Из вышеизложенного следует, что это достаточно проделать один раз. Далее последовательным применением (9.2.30) вычисляются все векторы В/;, компонентами которых являются коэффициенты 3Рк,Р= Г А, А; = 0, 1, 2, ..., 2М.
Для построения решения уравнения (9.2.19) представим (9.2.22) в виде:
2М
ед^з^рИ (9.2.31) к—\р=Х
Постоянные Ср, участвующие в выражении (9.2.21), находятся из системы
2М
To(±7n)-£CVrfc(±7n)=O, п = 0, 1, ...,2М, (9.2.32) k=i
которая получается после подстановки (9.2.31) в (9.2.20).
Замечание 9.2.2. В предложенном подходе в полной мере проявляется преимущество метода фиктивного
поглощения: трансформанта Фурье решения исходного интегрального уравнения (динамической задачи) в явном виде выражается через образ Фурье решения искусственного интегрального уравнения. Это позволяет получать интегральные характеристики динамической задачи (реакция среды и т. д.), минуя промежуточный этап вычисления плотности этих характеристик. Такой подход особенно эффективен при исследовании динамики массивных тел, дискретных механических систем, контактирующих с полуограничен- ной средой, где знание функций распределения контактных напряжений необязательно.
Замечание 9.2.3. В случае необходимости вычисления функции (/(ад) — решения исходного интегрального уравнения (9.2.1), использовать представление (9.2.21) нельзя, так как в окончательных выражениях, после применения к (9.2.21) обратного преобразования Фурье, будет присутствовать обобщенная функция.
В этом случае либо функция <р>(ж1) должна выбираться из класса Lp, р > 1, либо функция t(x\) должна вводиться таким образом [5], чтобы функция <р>(ж1) в окончательных выражениях для q(x\) присутствовала под знаком оператора.
Замечание 9.2.4. В качестве координатных функций Ур^х\\ Рр^хх) можно использовать широкий спектр различных функций (постоянные, линейные, квадратичные и т. п.). Практика показала, что наиболее простыми и достаточно удобными для численной реализации являются функции типа постоянных элементов вида:
= . (9.2.33)
где Пр, р = 1, 2, ..., N, — интервалы, равномерно разбивающие область контакта.
Глава 10
НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ
В настоящей главе излагаются методы решения интегральных уравнений пространственных контактных задач.
Метод фиктивного поглощения длярешения двумерных интегральных уравнений
Изложенный в предыдущем разделе метод решения одномерных интегральных уравнений обобщается на двумерные интегральные уравнения, которые возникают при исследовании пространственных контактных задач для слоисто-неоднородного полупространства. Характерной особенностью этих задач является наличие у символа ядра интегрального оператора (наряду с вещественными нулями и полюсами) точек ветвления на вещественной оси. Обобщение основано на применении в рамках метода фиктивного поглощения численных подходов. Это позволяет использовать точное представление символа ядра исходного интегрального уравнения, опустив этап аппроксимации его функциями, допускающими точную факторизацию. Тем самым, сохраняются все динамические особенности символа ядра, в том числе точки ветвления, что приводит к более полному учету динамических свойств задачи и, следовательно, к повышению точности решения. Далее рассматриваются трансверсально-анизотропные среды с осью анизотропии, направленной по нормали к поверхности.
Общая схема метода решения двумерных интегральных уравнений. Рассмотрим интегральное уравнение
kq =kq =Цхх - ^ х2- Tl^qy, r^d^dr) = /(жь х2), (жь х2)еО,
kq =
kq =
(10.1.1)
к Is’ о = А4тг JГ, Г2к Is’ о = А4тг JГ, Г2К(сц, a2)e^“|S+“2^ dax da2-К(сц, a2)e^“|S+“2^ dax da2-(10.1.2)(10.1.2)
к Is’ о = А
4тг J
Г, Г2
к Is’ о = А
4тг J
Г, Г2
К(сц, a2)e^“|S+“2^ dax da2-
К(сц, a2)e^“|S+“2^ dax da2-
(10.1.2)
(10.1.2)
Функция К(ах, «2) = К (и), и = yaf + a^ обладает характерными для ряда смешанных задач теории упругости и математической физики для слоисто-неоднородного полупространства свойствами:
является четной и имеет на вещественной оси конечное, зависящее от типа задачи и свойств материала среды количество точек ветвления;
является мероморфной в комплексной плоскости с не переходящими друг в друга разрезами, расположенными в I и III квадрантах и соединяющими точки ветвления с бесконечно удаленной точкой;
имеет на вещественной оси конечное, зависящее от частоты количество нулей ^к (к = 1, 2, . ...пг) и полюсов zk (к = 1, 2, ...,П1), а также счетное множество комплексных нулей и полюсов с точками сгущения в некоторых секторах, содержащих мнимую ось;
на бесконечности имеет место представление:
K(u) = c|u| '(1+O(u *)) , |u| ею. (10.1.3)
Не теряя общности, будем полагать, что область Q представляет собой прямоугольник [—а, а] х [—Ь, Ь]. Расположение контуров Гь Г2 в (10.1.2) обеспечивает выполнение условий излучения. Однозначная разрешимость (10.1.1) при любой дважды непрерывно дифференцируемой функции /(жь Ж2) установлена в [5, 27].
Введем в рассмотрение функцию
м
(10.1.4) fc=l
Здесь zk (А; = 1, 2, ..., ni), 7fc (k = 1, 2, ..., n2) — вещественные полюсы и нули символа К(и\ остальные zk (k = ni + 1, , М) и у^ (к = П2 + 1, ..., М, М > max{zii, п2}) — комплексные полюсы и нули К (и), лежащие в полосе |Imu| < Eq.
Представим функцию КЩ) в виде
К(и) = К0(и)П(и),(10.1.5)
где
КЩс) = К^Щ-иЩ.(10.1.6)
Нетрудно заметить, что функция Ко (и) включает в себя все динамические особенности КЩ\ неучтенные в П(и), поскольку представление (10.1.5) с учетом (10.1.6) является точным представлением функции КЩ).
Замечание 10.1.1. Ранее в работах [5, 27, 28 и др.] при реализации метода фиктивного поглощения использовалось приближенное представление (10.1.5) с функцией
КоЩ) = сЩ + В2)“1/2,
где В ^ 1 — заданный параметр аппроксимации. Это обуславливало приближенный характер решения интегрального уравнения.
Лемма 10.1.1 [5]. Пусть функция g(xi, ж2) G LP(Q), р> 1, имеет носитель в выпуклой области Q. Для того чтобы функция
£(жь ж2) = У-1(жь ж2)П(а1, a2)V(ai, а2)</
обладала этим же свойством, необходимо и достаточно, чтобы на полярном множестве функции П(аь а2) (т. е. при а2 + «2 = zk, k = 1, 2, ..., М) имело место тождество
V(«i, a2)g = 0.
Следуя [5], решение уравнения (10.1.1) будем искать в виде
q(xx, хУ = до(жь хУ + у?(жь ж2)(10.1.7)
таким образом, чтобы выполнялись соотношения:
V9 = V^, Vgo = O, а^ + а^ = ^, к = 1, 2, ..., М.
(10.1.8) Используя представления (10.1.5) и (10.1.7), преобразуем исходное интегральное уравнение (10.1.1) к виду:
k9o = /-ky.(10.1.9)
Введем функцию
^жь ж2) = У"1!1,(10.1.10)
образ Фурье которой имеет вид:
T(av, а2) = II(u)Qo(«b »2), Щ^ь «2) = Vq0.
Принимая функцию t(xi, ж2) за новую неизвестную и используя представление (10.1.6), преобразуем уравнение (10.1.9) к интегральному уравнению следующего вида:
kot = f-ky.(10.1.11)
Тем самым проблема решения исходного уравнения динамической контактной задачи (10.1.1) относительно неизвестной функции q(x\, ж2) сведена к решению вспомогательного уравнения (10.1.11) относительно неизвестной функции t(x\, ж2).
Замечание 10.1.2. Уравнение (10.1.11) с учетом представления новой неизвестной (10.1.10) эквивалентно уравнению (10.1.9), поскольку используется точное представление символа ядра (10.1.5) с условием (10.1.6). Таким образом, отпадает необходимость использования теоремы возмущения [5, 27].
Предположим, что решение Ух\, х-р искусственного уравнения (10.1.11) построено. На основании представления (10.1.10) имеем:
9о(жь хУ = V-'n-'Vt^i, х2\(10.1.12)
Используя лемму 10.1.1, получим, что функция £(жь х^ должна удовлетворять 4М2 соотношениям:
У(аьа2у = 0, а2 + ^ = у^, k = 1, 2, ..., М. (10.1.13)
Таким образом, функция t(x\, ж2) должна обладать определенным произволом, который заранее должен быть внесен в функцию <р^х\, ж2). Трансформанта Фурье решения исходного интегрального уравнения (используются формулы (10.1.7) и (10.1.12)) представляется в виде:
Q(«i, а2) = ТЩ\, а2)П-1(и) + V(«i, оЩ<р. (10.1.14)
Для получения интегральной характеристики задачи (например, реакции среды на воздействие штампа) в формуле (10.1.14) достаточно положить 04 = а2 = 0. Функция распределения контактных напряжений q^xx, ж2) восстанавливается за счет применения к выражению (10.1.14) обратного преобразования Фурье.
Реализация метода. В предыдущем разделе была введена содержащая произвол функция <р^хх, ж2), которая должна удовлетворять условиям (10.1.8). Различные варианты выбора этой функции предложены в [5, 28]. Ниже в качестве уфжь ж2) используется S-функция Дирака.
Решение уравнения (10.1.1) будем искать в виде (10.1.7), в котором
4М2
ж2) = ^С^хх -х\, х2-хг2\(10.1.15)
г=1
где жу ж2, г = 1, 2, ..., 4М2, — координаты точек, которые делят прямоугольник [—а, а] х [—5, 6] на равные прямоугольники.
Подставляя решение (10.1.7) с учетом представления (10.1.15) в уравнение (10.1.1), получаем:
4М2
к^хх -£, ж2-г/)у0(в т^Щ^ат^^СЩ^Хх, а^ + УоСп, х2\
(10.1.16)
6 В. В. Калинчук, Т. И. Белянкова
где Д(жр ж2) = —^(Ж] — ж,, ж2 —ж2), /о(^р ж2) = /(жр ж2). После введения новой неизвестной (10.1.10), с учетом представления (10.1.7) уравнение (10.1.16) преобразуется к виду:
4М2
Ы = £ СЩал, хУ + /о(жь ж2).(10.1.17)
г=1
Функция ^(ж], ж2), согласно лемме 10.1.1, должна удовлетворять условиям (10.1.13), которые можно представить в виде:
7>ь ад) =0, а2 + а2 = у^, к = 1, 2, ..., М. (10.1.18)
Равенства (10.1.18) представляют собой систему 4М2 уравнений относительно неизвестных постоянных Ci, участвующих в представлении (10.1.15). Решение этой системы замыкает задачу и позволяет представить трансформанту Фурье решения интегрального уравнения (10.1.1) в виде:
4М2
Q(ab а2) = Т(аь а2)П-1(а1, а2) + £ Ске^
k=V (10.1.19)
Применяя принцип суперпозиции, решение уравнения (10.1.17) будем искать в виде:
4М2
^(жь ж2) = £о(жь х2) - £ С^хх, ж2),(10.1.20)
г=1
где ^(жь ж2), г = 0, 1, 2, ..., 4М2, удовлетворяют уравнениям
кЛгкЛгЫи - £, ж2 - 1рС^, ^d^dr) = Д(жь ж2).
кЛг
кЛг
(10.1.21)
Для решения этих уравнений применим метод Бубнова- Галеркина. Введем две системы координатных функций ypX\' хд И Vk^Xx, ж2). Положим
NЩх\, Ж2) = ^2Р^Щ(Х1, х2\к=\NЩх\, Ж2) = ^2Р^Щ(Х1, х2\к=\(10.1.22)(10.1.22)После подстановки этого выражения в уравнение (10.1.21) получим системуПосле подстановки этого выражения в уравнение (10.1.21) получим системуNЕЯ/с=1NЕЯ/с=1МЖ1 -^ х2 -тф'фкЩ r])d^dr] = Цхх, х2),МЖ1 -^ х2 -тф'фкЩ r])d^dr] = Цхх, х2),(ац, ж2) О.(ац, ж2) О.(10.1.23)(10.1.23)Применяя процедуру взвешивания уравнения (10.1.23) на функциях <рфх\, х2\ I = 1, 2, ..., 4М2, приходим к алгебраическим системам видаПрименяя процедуру взвешивания уравнения (10.1.23) на функциях <рфх\, х2\ I = 1, 2, ..., 4М2, приходим к алгебраическим системам видаАВ^ = ЕЬ г = 0, 1, ..., 4М2,(10.1.24)АВ^ = ЕЬ г = 0, 1, ..., 4М2,(10.1.24)гдегдеNк, Z=1 ’Nк, Z=1 ’Aki =Г1Г2Aki =Г1Г2Ao(u)Tfc(ab а2)Фг*(а1, оЩ doq dot2,Ao(u)Tfc(ab а2)Фг*(а1, оЩ doq dot2,
N
Щх\, Ж2) = ^2Р^Щ(Х1, х2\к=\
N
Щх\, Ж2) = ^2Р^Щ(Х1, х2\к=\
(10.1.22)
(10.1.22)
После подстановки этого выражения в уравнение (10.1.21) получим систему
После подстановки этого выражения в уравнение (10.1.21) получим систему
N
ЕЯ
/с=1
N
ЕЯ
/с=1
МЖ1 -^ х2 -тф'фкЩ r])d^dr] = Цхх, х2),
МЖ1 -^ х2 -тф'фкЩ r])d^dr] = Цхх, х2),
(ац, ж2) О.
(ац, ж2) О.
(10.1.23)
(10.1.23)
Применяя процедуру взвешивания уравнения (10.1.23) на функциях <рфх\, х2\ I = 1, 2, ..., 4М2, приходим к алгебраическим системам вида
Применяя процедуру взвешивания уравнения (10.1.23) на функциях <рфх\, х2\ I = 1, 2, ..., 4М2, приходим к алгебраическим системам вида
АВ^ = ЕЬ г = 0, 1, ..., 4М2,(10.1.24)
АВ^ = ЕЬ г = 0, 1, ..., 4М2,(10.1.24)
где
где
N
к, Z=1 ’
N
к, Z=1 ’
Aki =
Г1Г2
Aki =
Г1Г2
Ao(u)Tfc(ab а2)Фг*(а1, оЩ doq dot2,
Ao(u)Tfc(ab а2)Фг*(а1, оЩ doq dot2,
в. = «в. = «К(Щ Ф/Ж, о^Ж"1*'-1-"2^ da\ da2, г, г2
в. = «
в. = «
J /(в Ж^(^ ЖЖ^- (10.1.25)
Здесь Ф/Жь «г), Ф/(«ь а2\ к, I = 1,2, ..., N, — преобразование Фурье соответствующих координатных функций, ( )* — комплексно сопряженная величина.
Решения систем (10.1.24) представляются в виде:
(10.1.26)(10.1.26)Bi = А"%
(10.1.26)
(10.1.26)
Тем самым все функции Щх\, х2ф которые представляются с помощью коэффициентов Зк' ^ = Ь 2, ..., N, к = 0, 1, 2, ..., 4М2, будут найдены. Наиболее трудоемким этапом при этом является построение матрицы А и вычисление А-1. Дальнейшие действия по нахождению всех векторов В^, компонентами которых являются коэффициенты 3L I — 1, 2, ..., N, к = 0, 1, 2, ..., 4М2, заключаются в последовательном применении (10.1.26).
Следующим этапом построения решения уравнения (10.1.17) является определение постоянных С^. С этой целью представим (10.1.22) в виде:
4М2
T(ai, аУ = 7о(аь аУ + УУ С^Т^сху, сх^, (10.1.27)
N
^(«ь аУ = ^(З^Уах, а2). к=\
После подстановки разложения (10.1.27) в условия (10.1.18) получим систему уравнений для определения Сь Если взять М значений «i = аХт, т = 1, 2, ..., М (аХт задаются достаточно произвольно), то эту систему можно представить в виде
T0(±aim, ±^7^0^) +
4М2
+ ^C,T,(±m„„ ±yCoE)=0.(10.1.28)
г=1
к, т = 1, 2, ..., М.
Замечание 10.1.3. Алгоритм предлагаемого обобщения метода фиктивного поглощения позволяет существенно повысить эффективность решения интегральных уравнений динамических задач за счет использования современных вычислительных технологий. Создание специализированных баз данных, задающих со сколь угодно большой степенью точности решение регуляризированного уравнения (10.1.17), позволяет значительно упростить процедуру восстановления решения исходного уравнения, повысить его точность и получать более прозрачные результаты. При этом в полной мере проявляется достоинство метода фиктивного поглощения, которое заключается в непосредственном получении интегральных характеристик задачи (реакция среды на воздействие штампа, заряд на электроде, тепловой поток и т. д.), минуя промежуточный этап вычисления функций распределения этих параметров (контакт-
Решение интегральных уравнений пространственных задач 165 ных напряжений, плотности распределения заряда, плотности теплового потока и т. д.).
Замечание 10.1.4. Выражение (10.1.19) непригодно для непосредственного восстановления функции распределения ^(жь жг) — решения исходного интегрального уравнения (10.1.1), поскольку в окончательных выражениях (после применения обратного преобразования Фурье) будет присутствовать обобщенная функция. В этом случае надо либо изменить класс функций, из которого берется у(ж1, Ж2) (LP(Q), р > 1), либо использовать отличное от (10.1.10) представление функции t(x\, Ж2) таким образом [5], чтобы в окончательных выражениях для решения </(жь жг) функция уфжь жг) находилась лишь под знаком оператора.
Метод решения систем интегральныхуравнений пространственных задач
Исследование связанных смешанных задач теории электроупругости предполагает использование эффективных методов решения систем интегральных уравнений относительно некоторой расширенной вектор-функции, компонентами которой, наряду с компонентами вектора контактных напряжений, является плотность распределения заряда (составляющая вектора индукции) в области контакта. К таким методам, особенно при исследовании слоистых структур (слой, пакет слоев и т. д.), когда использование прямых численных методов затруднено из-за сильной осцилляции ядра, можно отнести метод фиктивного поглощения, развитый в работах [5, 13, 28 и др.] и обобщенный в [8-10, 46] на класс задач для слоисто-неоднородного полупространства. Обобщение основано на использовании в рамках метода численных процедур, что позволяет в значительной мере усовершенствовать процесс регуляризации систем интегральных уравнений динамических задач.
Во-первых, процесс регуляризации освобождается от ограничений, обусловленных требованиями функциональ-
k(s, У =k(s, У =14тг2г, г214тг2г, г2К(«1, а2) е г(“15+"20 дахК(«1, а2) е г(“15+"20 дах(10.2.1)(10.2.2)(10.2.1)(10.2.2)
k(s, У =
k(s, У =
1
4тг2
г, г2
1
4тг2
г, г2
К(«1, а2) е г(“15+"20 дах
К(«1, а2) е г(“15+"20 дах
(10.2.1)
(10.2.2)
(10.2.1)
(10.2.2)
ной коммутативности [5, 13, 28 и др.]. Используемые при построениях матрицы-функции могут иметь достаточно простую структуру и сохранять лишь асимптотические свойства символа ядра интегрального оператора. Тем самым существенно расширяется класс пригодных для использования в методе фиктивного поглощения матриц- функций, позволяющих с большей точностью аппроксимировать символ ядра.
Во-вторых, в процессе регуляризации может использоваться либо точное, либо приближенное представление символа ядра интегрального оператора, что зависит от его свойств, определяемых типом задачи.
Приближенное представление символа ядра интегрального оператора используется в случае, когда он является мероморфной функцией (слой, слоистые структуры), что позволяет строить точные аппроксимации.
Точное представление символа ядра интегрального оператора используется в случае, когда наряду с полюсами он имеет точки ветвления на вещественной оси (слоистонеоднородное полупространство), что не позволяет строить в достаточной мере точные и равномерные аппроксимации.
Основные положения метода фиктивного поглощения для систем интегральных уравнений. В настоящем разделе приведены результаты, заимствованные из работы [5], которые лежат в основе метода фиктивного поглощения для систем N двумерных интегральных уравнений вида
kq = k(zikq = k(zi— У Ж2 — ^)q(6 ??) ^ d-T] = f(zi, Ж2), Жь Ж2 G П,
kq = k(zi
kq = k(zi
Здесь
K(o2,o2) = ||A;Uo2.o2)||^(10.2.3)
Элементы Ктп(сц, «2) обладают следующими свойствами.
Они являются аналитическими функциями двух комплексных переменных, допускающих представление:
Стп
Kmn(ai, Q2)^ ' Hmn(cti, Q2)Дтп(к),
А=1
U’ Стп < ОО.
Здесь F^n(ai, а2) — некоторые полиномы, R^n(u) — аналитические функции такие, что имеет место соотношение
detK(ai, од) = D(u),
где D(u) — аналитическая функция переменной и.
Функции Н^^и) и D(u) могут иметь конечное число точек ветвления и конечное число вещественных полюсов.
При |«г| —> оо в системе координат а^Оа^ (cCv = = «1 cos7 + а2 sin7, «2 = «2 cos7 — «1 sin7) справедливы асимптотические представления:
0(к, А, т, п) < О,
СтпСтп+ б,™ sign а?+ б,™ sign а?1+О((«?) ')1+О((«?) ')
Стп
Стп
+ б,™ sign а?
+ б,™ sign а?
1+О((«?) ')
1+О((«?) ')
где
^тп(а?’ “2) ~ Ктп(сУ cosy — «2 sin7, «7 sin7 + а^ cosy), а-тп = ат^аУ ^\ Ьтп = Ьтп(аУ 7) — ограниченные функции обоих параметров.
Система уравнений (10.2.1) однозначно разрешима при любой дважды непрерывно дифференцируемой функции Г(жь ж2). Область Q, граница которой может иметь угловые точки, является выпуклой. Контуры Гь Г2 расположены в соответствии с правилами, обеспечивающими выполнение условий излучения.
Лемма 10.2.1 [5]. Справедливо представление:
K(«i, «У = S(ai, a2)n(ai, а2), (10.2.4)
где матрица-функция П(аь ад) при |ai|, |аг| —^ сю обладает асимптотикой
П(аь а2) =I + O(u-*),(10.2.5)
а матрица-функция 8(аь аг) соответствует задаче с сильным затуханием.
Следующим этапом является построение матриц
П(аь «2) = S-1(ai, аг)К(аь «2),(10.2.6)
тг(аь аг) = П-1(аь а2) = К-1(аь аг) S(ai, «2)
и аппроксимация их элементов на вещественной оси рациональными функциями:
тт тт* Птоп(аь аС)/т п ?\
Х1тп ~ Итп — ттО / \’\iv.z-.i)
П (и)
—~ —* ^тп(®Ь ®2)
“тп ~ “тп —0/ \'
7Г (и)
Вводятся в рассмотрение матрицы, аппроксимирующие П(аь аг) и тг(аь аг):
ПЧт,«,) = |№„.С№|.(10.2.8)
7Г*(«1.= ||С„
а также матрица-функция, аппроксимирующая символ ядра К (10.2.3)
К* = SIT.(10.2.9)
Далее вместо системы (10.2.1) рассматривается приближенная система уравнений
k*q* = f.(10.2.10)
В соответствии с традиционной схемой метода, через k*q* обозначен оператор в системе (10.2.1), в которой произведена замена матрицы-функции К матрицей К*. Осуществить замену исходной системы интегральных уравнений (10.2.1) приближенной системой (10.2.10) позволяет следующая теорема.
Теорема 10.2.1 [5]. Пусть уравнение
kq = f
корректно разрешимо в пространстве В(АР) для любой f eC2(Q).
Тогда если
Е = шах(|Птп - П^п|, |тгтп - 7Г^П|),- ОО < «1, «2 < ОО,
Ql, 0^2
(10.2.11)
достаточно мало, то разрешимо и второе уравнение k*q* = f,
(10.2.12)(10.2.12)причем справедливо неравенство l|q-q*l|B < el,
(10.2.12)
(10.2.12)
где постоянная L зависит лишь от f, К и Q.
Замечание 10.2.1. Использование в рамках метода фиктивного поглощения численных подходов позволяет в значительной мере усовершенствовать процедуру преобразования (регуляризации) исходной системы уравнений.
Прежде всего матрица-функция S(cq, а2) свободна от ограничений, обусловленных требованиями функциональной коммутативности. Она может иметь достаточно простую структуру и сохранять лишь асимптотические свойства символа ядра интегрального оператора. Тем самым существенно расширяется класс пригодных для использования матриц-функций S(«i, а2), позволяющих с большей точностью аппроксимировать символ ядра.
В процедуре регуляризации может использоваться либо точное, либо приближенное представление символа ядра интегрального оператора, что зависит от его свойств, которые определяются типом задачи.
Приближенное представление К* = SLT, где матрица П* является аппроксимацией функции П = S-1K, используется в случае, когда символ ядра является мероморфной функцией (слой, слоистые структуры и т. д.), что позволяет строить достаточно точные аппроксимации функции П.
Точное представление К = К0П*, где функция Ко = = КП* используется в случае, когда символ ядра наряду с полюсами имеет точки ветвления на вещественной оси (слоисто-неоднородное полупространство). Наличие точек
ветвления не позволяет строить в достаточной мере точные аппроксимации функции П.
Приближенное представление символа ядра. В настоящей работе в качестве опорной матрицы S(cq, од) используются простые матрицы-функции, которые должны сохранять лишь асимптотические свойства символа ядра. Необходимость использования в (10.2.4) функционально коммутативных матриц-функций, допускающих факторизацию в явном виде, отпадает. Для ряда динамических смешанных задач (слой, пакет слоев и т. д.) нетрудно выбрать матрицу-функцию S(cq, оД простой структуры и построить функции П(аь од) и тг(аь «г) (10.2.6), а также аппроксимирующие их функции П*(оч, од) и 7r*(ai, од) (10.2.8), которые с достаточной степенью точности удовлетворяют условию (10.2.11) теоремы 10.2.1. Это позволяет использовать традиционную схему метода фиктивного поглощения и при малом е вместо исходной системы уравнений (10.2.1) решать систему k*q* = f (10.2.10).
Решение системы интегральных уравнений (10.2.10) в соответствии с методом фиктивного поглощения ищется в виде
О*(жь ж2) = Чо(жь ж2) + g(®i, х2\ (10.2.13)
Определение [5]. Полярным множеством Z(a\, од) функции П(«1, од) будем называть совокупность всех алгебраических функций, обращающих в нуль ее знаменатель.
Лемма 10.2.2 [5]. Пусть вектор-функция q(xi, х-р Е Е LP(Q), р > 1, имеет носитель в выпуклой области Q. Для того чтобы вектор-функция
1(жь яд) = V-1(xi, Ж2)П(аь a2)V(ai, Од)о
V(«i, a2)q = 0.V(«i, a2)q = 0.(10.2.14)(10.2.14)обладала этим же свойством, необходимо и достаточно чтобы на полярном множестве функции ПДь а2) имело место тождество
V(«i, a2)q = 0.
V(«i, a2)q = 0.
(10.2.14)
(10.2.14)
(10.2.15)(10.2.15)Выберем вектор-функцию g(xi, жг) в (10.2.13) таким образом, чтобы, в соответствии с леммой 10.2.2, имели место соотношения
(10.2.15)
(10.2.15)
V(«i, «2)4* = V(«i, a2)g,II*(ai, a2)V(ai, a2)qo = 0
на полярном множестве функции П*(а1, а^)-
После подстановки (10.2.13) с учетом (10.2.15) в интегральное уравнение (10.2.10), последнее приводится к системе
st =st =(10.2.16)(10.2.16)s(®i - С, ж2 - ??)t«, г/) d^ dr] = f(Ж1, ж2) - k*g
st =
st =
(10.2.16)
(10.2.16)
относительно неизвестной функции
t(£i,£2)=V '(жь Ж2)П*(аь a2)V(ai, c^qo, (10.2.17)
гдегдеs(s, t) = V 1 (s, t) S.s(s, t) = V 1 (s, t) S.(10.2.18)(10.2.18)
где
где
s(s, t) = V 1 (s, t) S.
s(s, t) = V 1 (s, t) S.
(10.2.18)
(10.2.18)
Система интегральных уравнений (10.2.16) имеет единственное решение, которое можно представить в виде
t = s"1f-s"1k*g.(10.2.19)
В случае g Е LP(Q) целесообразно ввести оператор [5]
Sog =Sog =s(«i, а2) [П*(аь «2) — I] x о г । г2
Sog =
Sog =
хе i(aiCn EH^Ca ч)) daida2^y, ^d^dr].
При этом представление (10.2.19) преобразуется к виду:
t = —g + s 'f —s 'sog. (10.2.20)
Из выражения (10.2.17) следует представление решения
q0 = V-Wt.q0 = V-Wt.(10.2.21)(10.2.21)
q0 = V-Wt.
q0 = V-Wt.
(10.2.21)
(10.2.21)
В соответствии с леммой 10.2.2 функция qo должна принадлежать LP(Q) и иметь носитель в той же области,
что и функция t. Таким образом, на полярном множестве 7r*(ai, «2) должны выполняться соотношения
Т(аьа2) = 0.(10.2.22)
Трансформанта Фурье решения системы уравнений (10.2.10) имеет вид:
Q(«i, а2) = 7r*(ai, a2)T(ai, «2) + У(«ь a2)g- (10.2.23)
Если g(xi, ад) £ LP(Q), то к (10.2.23) можно непосредственно применить обратное преобразование Фурье и получить решение уравнения (10.2.10) в форме:
q(Tb яд) = V-’TrWt + g.(10.2.24)
Если в качестве функции g(Tb яд) используется система 5-функций, то выражение (10.2.24) необходимо преобразовать к виду, в котором функция g(xi, яд) участвует лишь под знаками операторов [5]:
q(^b яд) = s"1f-s"1s0g + V"1[7r* - I]V[s-1f - g - s-1sog].
(10.2.25)
Замечание 10.2.2. При исследовании динамики массивных тел, механических или электромеханических систем, взаимодействующих с электроупругой средой, достаточно вычисления интегральных характеристик задачи (реакция среды на воздействие штампа, заряд и т. д.). Необходимость вычисления плотности этих характеристик (распределение контактных напряжений, плотность распределения заряда и т. д.) отпадает. В этом случае целесообразно использовать формулу (10.2.23) при сц = ад = 0 и систему 5-функций в качестве g(xi, яд).
Точное представление символа ядра. В настоящем разделе метод фиктивного поглощения обобщается на системы интегральных уравнений, возникающие при исследовании смешанных задач для слоисто-неоднородного полупространства. Характерной особенностью таких задач является наличие у матрицы- функции К (10.2.3) точек ветвления на вещественной оси. В этом случае не удается построить функции Щец, од)
и тг(аь «2) (10.2.6), а также аппроксимирующие их П*(аь аУ) и 7г*(а], «У (10.2.8), которые с достаточной точностью удовлетворяли бы условиям теоремы 10.2.1.
Применение в рамках метода фиктивного поглощения численных подходов позволяет для преобразования системы (10.2.1) использовать точное представление матрицы- функции К:
К = К01Г,(10.2.26)
где
Ко = KIT".(10.2.27)
Нетрудно видеть, что опорная функция Ко, обладая асимптотическими свойствами символа К, включает в себя все его особенности, неучтенные в П*, и прежде всего точки ветвления на вещественной оси. В то же время она может иметь посторонние, имеющие взаимно компенсирующий характер из-за близости их значений вещественные нули и полюсы. Их появление обусловлено погрешностью аппроксимации трансцендентных функций Птп(аь «2) рациональными функциями П^п(аь «2) (10.2.7), которая приводит к некоторому сдвигу значений взаимно устраняющих друг друга в произведении КП-1 нулей и полюсов.
Как будет показано ниже, наличие посторонних нулей и полюсов у функции Ко играет незначительную роль при реализации численного метода и мало сказывается на решении, так как при дискретизации функция Ко стоит под знаком интеграла.
Решение системы (10.2.1) ищем в виде
q(^b Ж2) = Чо(жь Ж2) + g(®i, ж2)(10.2.28)
при условии, что на полярном множестве функции II*(ai, «2) выполнены соотношения:
V(ai, a2)q = V(«i, a^g, П*(«1, a2)V(ai, a2)qo = 0.
(10.2.29)
После подстановки решения (10.2.28) с учетом представления (10.2.26) в систему уравнений (10.2.1), она преобразуется к виду
kot = к0(ж1 - £, ж2 - т]М^ ??) ^ dr] = f (ар, ж2) - kg
°(10.2.30)
относительно новой неизвестной функции
t(ap, х2) = V(ap, т2)-1П*(аь a2)V(ai, a2)qo, (10.2.31) где
k0(s, t^Vps, рК0.
Допустим, что решение системы (10.2.30) построено и имеет вид:
t = кд'f — кд‘kg.(10.2.32)
Содержащийся в функции t произвол, вносимый функцией g, устраняется при удовлетворении решения (10.2.32) соотношениям (10.2.22). Решение исходной задачи находится подстановкой (10.2.32) в представления (10.2.31) и (10.2.28). В случае необходимости используется представление (10.2.32) с соответствующей заменой операторов.
Замечание 10.2.3. Как было отмечено выше, при исследовании динамики массивных тел, механических или электромеханических систем, контактирующих с электро- упругой средой, достаточно вычисления интегральных характеристик задачи (реакция среды на воздействие штампа, заряд и т. д.). Необходимость вычисления плотности распределения этих параметров (распределение контактных напряжений, плотность распределения заряда и т. д.) отпадает. В этом случае целесообразно использовать формулу (10.2.23) при «1 = а2 = 0 и систему 5-функций в качестве g(®i, ж2).
Реализация метода. В предыдущих разделах проблема решения исходной системы (10.2.1) сведена к построению решений вспомогательных систем типа (10.2.16) или (10.2.30). В дальнейшем ограничимся рассмотрением уравнения (10.2.30), так как принципиальных отличий при реализации численного метода для этих систем нет. Использование той или иной системы определяется лишь возможностями используемых в каждом конкретном случае аппроксимаций. Если удается построить аппроксимирую-
щие функции П*(аь ад) и 7r*(ai, «2), с достаточной степенью точности удовлетворяющие условиям теоремы 10.2.1, то используется система (10.2.16). В противном случае в П*(аь аг) и тг*(аь «г) вводятся дополнительные параметры аппроксимации (комплексные нули и полюсы) с тем, чтобы содержащиеся в матрице Ко посторонние нули и полюса в максимальной мере компенсировали друг друга. Далее используется вспомогательная система (10.2.30).
Вернемся к системе N интегральных уравнений (10.2.30):
к0(ж1 - в ж2 - ??) t(C ??) d^ drj = f(zi, ж2) - kg.
Здесь
К„=||Л»,||;^,. 1 =f ={/”)”,. (10.2.33)
Не теряя общности, предположим, что полярные множества введенных в предыдущих разделах функций Щец, од) и 7r(ai, а-p определяются соответственно соотношениями а, + a2 — zk и а1 + °| ~ дк' & = L 2, ..., М. Следуя [5], в качестве функции g(жl, жг) используем систему 5-функций:
4М2
g = ^Ск5(хх ж2-ж^),(10.2.34)
к=\
где ОС 1 ) ОСк, к = 1, 2,4М2, — точки, делящие область
О на равные прямоугольники, Ск = t {Ql^i — векторные коэффициенты, обуславливающие произвол функции g(жl, жг). Оператор в правой части системы уравнений (10.2.30) имеет вид:
4М2
kg = 52 к(ж, - ж^, ж2 - a;^)Cfc.(10.2.35)
&=i
Преобразуем вектор (10.2.35) к виду
4М2 АГ
kg-ЕЕОД,(10.2.36)
/с=1 г=1
где
ffc = №}^=1 > f™^ Хд = кпг^Х\ - XV х2 - ^).
С учетом представления (10.2.36) система (10.2.30) принимает вид:
N 4М2
к„1 = Г(:С|,:С2)-^^ОД.(10.2.37)
г=1 к=Х
Решение системы (10.2.37), используя принцип суперпозиции, ищем в виде:
N 4М2
t(xb ж2) = t0(®i, хУ -ЕЕС^хх, хУ, (10.2.38) г=1 к=Х
где to — решение системы
kot = £(жь ж2),(10.2.39)
t). — решение системы
kot = f£.(10.2.40)
Для построения решения систем (10.2.39) и (10.2.40) можно применить довольно широкий круг методов, пригодных для решения интегральных уравнений, возникающих при исследовании статических контактных задач. В данном случае будем использовать метод Бубнова-Галеркина, который показал достаточно высокую эффективность при исследовании как статических, так и динамических контактных задач [12]. Вопросы практической реализации метода для решения двумерных интегральных уравнений, в частности использование осесимметричных координатных функций, позволяющих снизить трудоемкость вычисления двукратных интегралов, детально изложены в [12] и здесь обсуждаться не будут.
Введем две системы базисных (координатных) функций Ук(хх, х-р и <рУхх, ж2), к — 1, 2, ..., L, определенных в области Q и обладающих свойством полноты. Приближенное
решение систем уравнений (10.2.39) и (10.2.40) будем искать в виде:
L
Ж2) = 52 0тФт(хЬ Ж2),(10.2.41)
Ж2) = 52 ЗктФт^Ь х^,(10.2.42)
где 0т = №)»=,, 0гкт = Wkm^n=i - векторные коэффициенты размерности N.
Рассмотрим сначала представление (10.2.41). Участвующие в нем неизвестные векторы, в соответствии со схемой метода Галеркина, должны удовлетворять системе алгебраических уравнений:
L
^^lm0m = Fl, 1=1,2, ...,L,(10.2.43)
m=l
где
A^HSII J,.,. F, = {^"1^,
А^з =А^з =FnFnK^[a\, а2)Фт(аь a2^*(ab a2) dax da2, П r2
А^з =
А^з =
Fn
Fn
fn(xx, ж2)^/(ж1, x*p dxx dx^.
Здесь K^j и /п — компоненты функции Ко и вектора f; Фт(а1, ад) и Ф/(аь а2) — трансформанты Фурье координатных функций Ут(х\, хУ и yz(^i, ж2); звездочкой отмечена комплексно сопряженная величина.
Система (10.2.43) представляет собой систему L уравнений с матричными коэффициентами относительно L неизвестных векторных коэффициентов, имеющую в компонентной записи вид
L N
EEA"^k = t?. <=1-2L. 1.2,
Изменяя в этом представлении порядок суммирования, получаем:
N
n = 1, 2, ..., TV, (10.2.44)
T=i где
Система (10.2.44) представляет собой систему N уравнений с матричными коэффициентами относительно N неизвестных векторных коэффициентов. Она является более удобной для использования численных методов, так как N>L.
Поступая аналогично с представлением (10.2.42), придем к системе L алгебраических уравнений с матричными коэффициентами относительно L неизвестных векторов уг£ = УЗьгАп=г т = 1’ 2,, L, аналогичной системе
(10.2.43):
Е = F^„ (=1,2. ...,L,(10.2.45)
m=l где
FL = № },'„ . F* = Jj№, з**. 3* 1131, <кг.
После изменения порядка суммирования эта система представляется в виде:
N
^А^/З^Е^, п= 1, 2, ..., N, к = 1, 2, ..., 4М2,
3"Х(10.2.46)
где Е^ = {Е^Ды /3^ = {Гт}^1-
Нетрудно видеть, что основная проблема построения решения систем интегральных уравнений (10.2.39) или (10.2.40) сводится к решению алгебраических систем (10.2.44) и (10.2.46). Их особенностью является то, что они имеют матричные коэффициенты. Невысокий порядок этих систем позволяет расчленить задачу, разрешив эти системы
относительно неизвестных векторов в матричной форме, и получить ряд обычных алгебраических систем, решение которых особого труда не представляет. Преимуществом такого подхода является то, что вычисление всех элементов матриц Anj в (10.2.44) или (10.2.46) производится только один раз. Остальные действия по вычислению всех векторов рг и 8'к сводятся к последовательному умножению указанных матриц и их комбинаций на векторы Ег и Бгк. Реализация данного подхода к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными будет изложена ниже.
Предположим, что решения систем (10.2.44) и (10.2.46) найдены, и функции to(xi, тд) и 1ф(ж1, ад) построены. Подставляя (10.2.38) в (10.2.22), получим систему N х 4М2 уравнений для нахождения коэффициентов Ск:
ГА99 — А91 Ar/A^l а? + а9 —Cf> к=\,2, ...,М.
(10.2.47)
Систему (10.2.47) можно представить в операторной форме:
(10.2.48)(10.2.48)N 4М2
(10.2.48)
(10.2.48)
а0(«ь «2) - 52 52 ^(^ь ^2)^ = °’
г=1 /с=1
где
Lа0(аь ад) = 52«г),
т=Х
L
cl^Q}, 6^2)^ Ркт^ т^д 1 ^2)•
т=1
Разрешив системы алгебраических уравнений (10.2.47) или (10.2.48) относительно Ск и подставив представления (10.2.38) в выражения (10.2.23) или (10.2.24), получим решение исходной системы (10.2.1).
Глава 11
НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СИСТЕМИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВПЛОСКИХ ЗАДАЧАХ
Изложенная выше схема решения систем интегральных уравнений (10.2.1) позволяет в самой общей постановке исследовать пространственные связанные смешанные задачи теории упругости и электроупругости. В то же время ряд реальных проблем машиностроения, акустоэлектроники и т. д., основанных на использовании закономерностей динамического контактного взаимодействия массивных тел, механических или электромеханических систем с полуограниченными средами можно эффективно изучать на основе использования решений смешанных задач в двумерной постановке.
Системы интегральных уравненийплоских задач
Рассмотрим систему интегральных уравнений
j k(xi -^q(£W = Ф1)>j k(xi -^q(£W = Ф1)>|ж11 < а,|ж11 < а,12тг12тгК(а)ега$(/а, гК(а)ега$(/а, г(11.1.1)(11.1.1)
j k(xi -^q(£W = Ф1)>
j k(xi -^q(£W = Ф1)>
|ж11 < а,
|ж11 < а,
1
2тг
1
2тг
К(а)ега$(/а, г
К(а)ега$(/а, г
(11.1.1)
(11.1.1)
где К(а) — матрица-функция второго порядка. Далее рассматриваются функции К(а) двух типов, элементы которых, обладая свойствами, перечисленными в п. 10.2.1, имеют различное асимптотическое поведение.
Первый тип символа ядра интегрального уравнения. Этот тип является характерным для задач о вибрации штампа с учетом сцепления в области контакта, а также для задач о сдвиговых колебаниях пленочного электрода на поверхности электроупругой среды.
Элементы К^ау i, j = 1,3, матрицы-функции К(а) обладают следующими свойствами:
имеют одни и те же полюсы ±^, k = 1, 2, ..., N;
Кц^а\ г = 1, 3, — четные, К^ау г 7^ j, г, j = 1, 3, — нечетные функции, причем М1з(а) = — Кз^а) = = гаК0^а\ где Ко(а) - четная функция;
при а —> ±оо обладают асимптотическим поведением:
Кц(а) = с{ |а|-1 [1 + О(а-1)], г =1,3, m i 91 К0(а) = ЬсГ2 [1 + О(а-1)].
Представим функцию К(а) в виде
К(а) = 8(а)П(а),К(а) = 8(а)П(а),(11.1.3)(11.1.3)
К(а) = 8(а)П(а),
К(а) = 8(а)П(а),
(11.1.3)
(11.1.3)
где
8(a) = d(a2 + B2)"1/28(a) = d(a2 + B2)"1/2щ ch0—г sh0щ ch0—г sh0г sh0С3 ch0г sh0С3 ch0
8(a) = d(a2 + B2)"1/2
8(a) = d(a2 + B2)"1/2
щ ch0
—г sh0
щ ch0
—г sh0
г sh0
С3 ch0
г sh0
С3 ch0
d = V1 — ^2 , 0 = 2/тг arctg(a arcth b).
Очевидно, матрица-функция 8(a) не имеет особенностей на вещественной оси и обладает асимптотическими свойствами символа К(а), т. е. при а —> ±оо справедливо представление:
а/ \1 / С1zbsignoA г. , . _1А1
v 7|а| 1 — го sign а сз у l v vj
Матрицы П(а) = S-1K и тг(а) = П-1 = K-1S имеют вид:
„Z ,( Пн гаП12\ х ( 7Гц гатг12\
П(")= I -i«n21 Пи У^}'
(II 14)
где Пг, По^, ^tj гот^, т^ R^—^^—^ т^ Rij^ г^Ь M = l,2,
Rx i («) = c^Kw ch У — аК0 sh У,
R22(ot) = с\Кзз ch У — аКо sh^,
Bi2(a) = с^КосЪ-ф — a-x Rustay,
R^x^a) = c\Kochy — a~lKxx sh^,
По = (a2 + B2)"1^-^-!, Tro = По’A-’B-^a), A = C1C2 ch2 У — sh?y, D(a) = К\\Кзз — <ЛК^.
Элементы Пу (a) — четные функции, при а —> ±оо справедливы представления:
Пй(а) 1 +О(а-‘), г =1,2,Пу(а) |a|"2 [1 + О(а-1)] , г
По построению Пу(а) имеют нули ±7^, k = 1, 2, ..., Nij, и одни и те же полюсы ±^, к = 1, 2, N. Функции тгу(а) имеют, соответственно, нули ±Ду, к = 1, 2, ..., N^, причем рки = ^к22, Л22 = 7ш, А12 = 7ki2, А21 = 7k2i, а также одни и те же полюсы ^(к, к = 1, 2, ..., N.
Элементы Пу (а) и 7Гу(а) аппроксимируются функциями
п» = П («2 - 7iy) П (N - =1Г1,(11.1.5)
fc=lfc=l
N(м • - '
= П (“2 ~ Ркгз^ ПNii = W - 1 \ 5 7 "
fc=lк=\I ’
Второй тип символа ядра интегрального уравнения. Он характерен для связанных смешанных задач о колебаниях массивного электрода на поверхности электроупругой среды. В этом случае элементы К(а): — имеют одни и те же полюсы ±^, к = 1, 2, N;
— Куру, г, ] = 1, 4, — четные функции, причем Ki4(a) = = 7<4i(a:). При a —> оо — обладают асимптотическим поведением:
К<(р = ^ |a|-1 [1 + O(a-1)], г=1,4, A^N^Iar'll+O^')!.<1116>
Представим матрицу К(а) в виде (11.1.3), где
S(Q) = (Q= + S2}-1'2 (''
Матрицы П(а) и тг(а) в этом случае принимают вид:
пм_ /Пп П12 А\/ П22 — п12 А /1 1
П() - (п21 П22) ’ ^"(-Пз! Пц/ (1М-7)
где
Пу ПрЛу, 7Гу ТГуГу, Тц R3—г,3—г> Гу Rij, г^Л М=\Д,
Rxx^ = с3Ки - ЬКХ4, R^cp = схК44 - ЬКХ4, Д12(«) = с3К\4 - ЬК44, R2X(a) = схКи - ЪКХХ, По = Va2±B2A"1, 7ГО = П-'Д-^-^а), D^ = КХХК44 - К^ ^ = схс2-Ъ2.
Элементы Пу(а) — четные функции,
при а ±оо Пгг(а) 1 ± 0(а-1), г = 1, 2, Пу(а) а-2 [1 ± 0(а-1)], г
По построению функции Пу(а) имеют нули ±7^, к = = 1, 2, ...,Nij, а также одни и те же полюсы ±^, к = 1, 2, ..., N. Функции 7Гу имеют, соответственно, нули ±Ду, к = 1, 2, ..., Ду, где Зкхх = ^к22, Рт = 7ш, Pm = 7fei2, Зш = 7fc2i, а также одни и те же полюсы ±(к, 1, 2, N.
Как и в предыдущем случае, элементы матриц Пу (а) и тгу(а) аппроксимируются рациональными функциями
fc=ife=i
NijNГ м ■ — •
= П («2 - Ркгд ПNi3 = 1 N~ 1 Wr
к=\к=\’
Ниже в качестве символа ядра системы (11.1.1) будет использоваться или приближенное К* = 8П*, или точное К = KqII* представление. Их применение в каждом конкретном случае определяется либо возможностью построе-
ния точных аппроксимаций К*, учитывающих особенность поведения символа К на вещественной оси при наличии точек ветвления, либо возможностью построения аппроксимаций IT, с максимальной степенью обеспечивающих взаимную компенсацию посторонних полюсов и нулей у функции Kq.
Метод решения системы уравнений плоской задачи. В соответствии с методом фиктивного поглощения решение системы (11.1.1) будем искать в виде
q(^i) = QoOi) + g(xi),(11.1.9)
где вектор-функция g выбирается таким образом, чтобы в соответствии с леммой 10.2.2 выполнялись соотношения
V (a)q = V (a)g, П*(а) V (a)qo = 0,a = k = 1,2, ...,M.
Следуя [5, 28], используем представление
2М
g = ^с^ж -4),
к=1
где х^ — координаты точек, делящих отрезок [—а, а] на равные части.
После подстановки решения (11.1.9) в уравнение (11.1.1) придем к системе
ko^i - £Ж£)<^; = Фй) - kg, Ж1| <cz (11.1.10)
—а
относительно новой неизвестной функции
t(£i) = V^i)IT(a)V(a)qo,(11.1.11)
где
2М
kg^k^-x^Cb(11.1.12)
Как и ранее, преобразуем оператор (11.1.12) к виду
2М
kg = £ [<М + Ф¥].(11.1.13)
k=l
где
С = {Д. Д}.
С учетом представления (11.1.13) система (11.1.10) принимает вид:
2М
к„1 = Г(;г,)-£[С№+С^].(11.1.14)
Реализация метода. Решение системы
(11.1.14) в силу линейности задачи ищем в виде:
2М
t(zi) =t0(zi) - 52 РДДл) +^(^1)],(11.1.15)
k=i
где to — решение системы
kot = f(xi),(11.1.16)
Vk — решение системы
kot = f^.(11.1.17)
Как и ранее, решение уравнений (11.1.16) и (11.1.17) строим методом Бубнова-Галеркина. С этой целью введем две обладающие полнотой системы базисные функции ^Дж1) и tpk(xx\ k = 1, 2,..., L, определенные на [—а, а]. Приближенное решение систем (11.1.16) и (11.1.17) ищем в виде:
L
M^l) = 52 /Vm^l),(11.1.18)
Cto) = Z 9UUM(11.1.19)
где Рт = {С- ЗтУ Экт = Шт’ ЗЩ ~ неизвестные коэффициенты.
Предположим, что решение (11.1.18) построено. Участвующие в этом представлении векторы /Зт должны будут удовлетворять системе
£AZm/3m = Fz, /=1,2, ...,L,(11.1.20)
А„„ = IKL 4 ’ С, = J j К^ (а) »„(»)Ф,*(») do,
г г
Fz = {Fz, F^ , ^ = J ПххШаГМ, г=1,2.
— ос
Здесь Фш(а), Ф/(а) — трансформанты Фурье базисных функций, звездочкой отмечена комплексно сопряженная величина.
Система (11.1.20) представляет собой систему L уравнений с матричными коэффициентами относительно L неизвестных векторных коэффициентов. Как и ранее, изменим в (11.1.20) порядок суммирования и преобразуем ее к более удобному для численной реализации виду:
А11^1 + А12/32 = F1,А21/3* + А22/32 = F2,'
где
A'MKIIIL,,- F” = {FZ"},L„ ^ = {«,}L1
Решение системы (11.1.21) можно представить в матричной форме:
/З1 = А11"1 • [F1 - А12/32] = А11"^1 - А1НА12/32,
/32 = ГА^-А^АЧ-'А12]-1. [F2-A^AH-'F1] .
(11.1.22)
Нетрудно видеть, что основная проблема построения решения системы (11.1.21) сводится к построению матриц X^, г, j = 1,2, ..., N, вычислению матриц Ац-1 и [А22 — А21Ац*А12] . Остальные действия по вычислению векторов рг сводятся к умножению указанных матриц на векторы F’.
Аналогично, коэффициенты в представлении (11.1.19) должны удовлетворять системе L уравнений с матричными коэффициентами относительно L неизвестных 0кт = = {ХД <} =
EAU3L = F1„ Z— 1,2, ...,L,(11.1.23)
ос
F),, = Fg^ , FS = j- = 1, 2.
— oc
В результате аналогичной процедуры по изменению порядка суммирования получим систему:
(11.1.24)(11.1.24)А11^1 +А12< = г;',А21^1 + Х220^ = F)2.
(11.1.24)
(11.1.24)
Система (11.1.24) также представляет собой систему уравнений с матричными коэффициентами относительно двух неизвестных векторов, которая отличается от (11.1.21) лишь правыми частями. Ее решение можно представить в матричной форме:
/ail _ дП”1™! _ д И"1 д 12/912
Рк -А К к А А Рк*П1 1 251
/312=[А22-А21А11-1А121 MfI2 - А^А11"^!1]," "
где трш J rinl ^ ain f oin 1 Гк - Vkl Й=1 ’ Рк ~\Ркт}т=Г
Таким образом, основная проблема построения решения системы интегральных уравнений вида (11.1.16) и (11.1.17) сводится к построению матриц А^, г, j = 1,2, ...,N, и вычислению матриц Ац-1 и [А22 — А21 Ац-1 А12] Остальные действия по вычислению всех векторов 0г и 0гк сводятся к последовательному умножению указанных матриц на векторы F1 и F/.n.
Предположим, что решения систем (11.1.16) и (11.1.17) построены. Для нахождения коэффициентов Сгк, устраняющих произвол в решении (11.1.15), используем лемму
согласно которой должны выполняться соотношения:
2 2М
То(«)-ЕЕ^Т1И=0’ ai = ±(b А;=1,2, ...,М. г=1 к—\
Учитывая представления вспомогательной t(xi) (11.1.11) и символа ядра (11.1.3), получим системы (11.1.1) в виде трансформанты Фурье:
(11.1.26) функции решение(11.1.27)(11.1.26) функции решение(11.1.27)Q(a) = тг*(а)Т(а) + V(a)g.
(11.1.26) функции решение
(11.1.27)
(11.1.26) функции решение
(11.1.27)
Глава 12
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ
ДИНАМИКИ ПЬЕЗОАКТИВНЫХ СРЕД
Изложенные в предыдущих главах сведения являются основой для изучения динамики пьезоактивных предна- пряженных сред. Для иллюстрации эффективности предложенных методов, а также для верификации результатов исследования динамики преднапряженных сред в настоящей главе рассмотрен ряд задач о динамике пьезоактивных сред в отсутствие начальных напряжений. В качестве таковых рассматривается слой с защемленной нижней гранью, а также пьезоактивный слой на поверхности диэлектрического полупространства. Нижняя грань слоя предполагается металлизированной и заземленной.
Развиваемые методы исследования динамики контактного взаимодействия как однородных, так и неоднородных пьезоактивных сред лежат в основе принципиально новых подходов к проблеме неразрушающего контроля напряженного состояния и ресурсной способности деталей и узлов различных конструкций, в частности «резонансных» методов, основанных на использовании резонансных явлений [46]. Они базируются на изучении особенностей динамического контактного взаимодействия жестких штампов с полуограниченной средой, на исследовании ее динамической жесткости — реакции среды на единичное смещение штампа.
Динамическая жесткость среды определяется ее физико-механическими свойствами, структурой, наличием неоднородностей и напряженным состоянием. Любое изменение напряженного состояния или структуры среды (возникновение внутреннего дефекта или изменение его геометриче-
ских размеров) [46] приводит к изменению динамической жесткости среды, что, в свою очередь, определяет изменение резонансных явлений, возникающих при ее контактном взаимодействии с массивными штампами, дискретными механическими системами [17-20, 46].
В электрическом плане электрод совместно с металлизированной прослойкой образует электрическую емкость, величина которой зависит от частоты и от физико-механических свойств среды [29, 47]. Здесь также любое изменение напряженного состояния среды или ее структуры (возникновение или изменение размера дефектов) будет приводить к изменению динамической емкости. Если эту емкость включить в состав электрического колебательного контура, подсоединенного к источнику напряжения, то изменение емкости будет приводить к изменению резонансной частоты контура. Регистрация изменения резонансной частоты позволит получить информацию об изменении напряженного состояния.
При исследовании используются безразмерные параметры: линейные параметры отнесены к толщине слоя (Z* = IjhY Упругие параметры в зависимости от типа среды отнесены либо к модулю сдвига слоя (с^п = CnJ'^d в случае слоя, либо к модулю сдвига подстилающего полупространства ([Гр в случае слоисто-неоднородной среды. В качестве безразмерной частоты также используется параметр Х2 = шН-^ р,С^ ИЛИ Х2 = YVS — скорость сдвиговой волны) в случае однородного слоя, либо х^ = uhy/p^TT^ в случае неоднородной среды. При обезразмеривании пьезоэлектрических и диэлектрических констант используется множитель I = 1010 В/м; при этом е* = е* =
С44С44
либо е^п = ^, е^п = ^Г для неоднородной среды. Далее «звездочку» опускаем.
Колебания электроупругого слоя.Пространственная задача
Рассмотрим колебания электроупругого слоя 0 < жз С h, |ж1|, (жг) < сю, выполненного из пьезоактивного материала класса 6mm гексагональной сингонии, под действием нагрузки де(жь Ж2, р = де(жь Х2)е-гш1, распределенной в некоторой области Q на его поверхности. Предполагаем, что поверхность слоя жз = h металлизирована лишь в области Q. Вне этой области поверхность слоя электрически свободна, механические напряжения отсутствуют. Основание слоя жз = 0 предполагается металлизированным и заземленным (</?|Хз=о = 0), жестко сцепленным с недефор- мируемым основанием.
Напомним, что в рассмотрение введены расширенный вектор перемещений ие(ж1, жг) = {ui, и^, из, u4} (ui, и^, из — компоненты механических перемещений, 1ц = р — потенциал, приложенный к электроду) и расширенный вектор напряжений де(жь жг) = {91, ф, 9з, 94} (91, 92, 9з — компоненты механических напряжений, q^ = —g, g — плотность распределения заряда).
(12.1.1)(12.1.2)(12.1.3)(12.1.4)(12.1.1)(12.1.2)(12.1.3)(12.1.4)Уравнения для пространственной задачи в отсутствие преднапряжений. В отсутствие начальных напряжений краевая задача о колебаниях пьезоактивной полуограниченной среды сводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений [57, 65]:
(12.1.1)
(12.1.2)
(12.1.3)
(12.1.4)
(12.1.1)
(12.1.2)
(12.1.3)
(12.1.4)
V-А = 0
с граничными условиями на верхней грани:
N-0 =N-А =N-0 =N-А =д(Ж], Ж2, t), Жз = Ж30, Ж], Ж2 G Q 0,Жз = Ж30, жь ж2 ^ Q ’
N-0 =
N-А =
N-0 =
N-А =
-g($\, Х2, У, Жз = Ж30, Ж1,Ж2еП0,Жз = Жзо, жь ж2 И
и условием на нижней грани:
ие(жь ж2, 0) =0.(12.1.5)
В рассматриваемом случае в — линейный пьезоэлектрический тензор напряжений, А — линейный вектор индукции. В пространственной постановке для материала класса 6mm гексагональной сингонии эти уравнения имеют вид:
[С11^1,11 + С66И1,22 + 6441/1,33 + Xpl\\ +
+ 6*1/2,12 + CI/3,13 + 61/4,13 = 0,
С* «1,12 + [666^2,11 + Ci 1^2,22 + 6441/2,33 + ^«2] +
+ 6U3, 23 + 61/4, 23 = 0, (12.1.6)
61/1,13 + 61/2,23 + [644(1/3,11 + 1/3,22) + 6331/3,33 + X2U3] +
+ [615(1/4,11 + 1/4,22) + 6331/4,33] = 0, 61/1,13 + 61/2,23 + [615(1/3,11 + 1/3,22) + 6331/3,33] —
— [ffi 1(1/4,11 +1/4,22) +6331/4,33] — 0.
Здесь
с = 613 + С44, 6 = 615 + 631, Сбб = 0.5(сц — С12), 6* = 612 + ббб-
Граничные условия: при Х3 = h
6441/1,3 + 6441/3,1 + 6151/4,1 = Qi,
(12.1.7)(12.1.7)6441/2,3 + 6441/3,2 + 6151/4,2 = §2,
(12.1.7)
(12.1.7)
<631^1,1 + 6311/2,2 + 6331/3,3 + 6331/4,3 = Q3,
6311/1,1 + 6311/2,2 + 6331/3,3 — 6331/4,3 = 94,
(12.1.8)(12.1.6) пре-(12.1.8)(12.1.6) пре-при хз = 0
(12.1.8)
(12.1.6) пре-
(12.1.8)
(12.1.6) пре-
1/1 = 1/2 = 1/3 = 1/4 = 0.
После применения к системе уравнений
образования Фурье по хг, Х2 (ад, ад — параметры преобразования) приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (введены обозначения 2— = d3, а2 = а, + «2):
[с444 - спа2 - с66а2 + x^Ux -
— c*ot\ct2U2 — iaxcd3U3 — iaxed3U4 = О,
c*aiCt2Ui + \c44d3 ~ c66ai - спа2 + X2W ~
— ia2cd3U3 — z^edgC^ = 0,
iaxcd3Ux — ia2cd3U2 + [c33(/3 — c44o? + х^Пз +
+ [e33d2 - e15a2][/4 = 0, (12.1.9)
iaxed3U\ — ia2ed3U2 + [e33<i3 — е15а2][7з —
- [-зз^з ~ -н^М = 0.
Решение уравнения (12.1.9) ищем в виде:
4
Un(ax, «2, Жз, х2^ = -гап ^ fnk[ckshakx3 + ck+4chср^з],k=\n= 1, 2,
3
СЦах, a2, жз, ^ = У fnk[ck chcrkx3 + ck+4 shcrkx3"\, fc=i
n = 3, 4.(12.1.10)
ak (k = 1, 2, 3) удовлетворяют характеристическому уравнению
Л1
—а^с*
са
еа
—а2 с*
2
—а\со
А2 2 —ауа
са
А3
еа
а4
= 0,
(12.1.11)
2
—ахеа
2
—ауа
А4
где
Л11М = С44а2-сц^-с66а^ + ^,Л21<^) = С44^2-с66^-спа2 + х2,Лд|= Сзз^2- с44а2 + х^,A4I^) = Сзз^2-е15а2, Л5((т) =£33(72Л11М = С44а2-сц^-с66а^ + ^,Л21<^) = С44^2-с66^-спа2 + х2,Лд|= Сзз^2- с44а2 + х^,A4I^) = Сзз^2-е15а2, Л5((т) =£33(729— Епа .9— Епа .(12.1.12)(12.1.12)
Л11
М = С44а2
-сц^-с66а^ + ^,
Л21
<^) = С44^2
-с66^-спа2 + х2,
Лд|
= Сзз^2
- с44а2 + х^,
A4I
^) = Сзз^2
-е15а2, Л5((т) =£33(72
Л11
М = С44а2
-сц^-с66а^ + ^,
Л21
<^) = С44^2
-с66^-спа2 + х2,
Лд|
= Сзз^2
- с44а2 + х^,
A4I
^) = Сзз^2
-е15а2, Л5((т) =£33(72
9
— Епа .
9
— Епа .
(12.1.12)
(12.1.12)
Коэффициенты fnk удовлетворяют системе однородных уравнений:
7 В. В. Калинчук, Т. И. Белянкова
A\pf\k — O^Sk + CHkfsk + GCkf^k = О,
(12.1.13)(12.1.13)—a]C*fife — A2kf2k + cakf3k + e<7pf4k = 0,
(12.1.13)
(12.1.13)
—a^cakfik — 6^cckf2k + ^зк/зк + A^kf^k = 0,
—a^eapfxk — c^eakf2k + A4kf3k — A^kfAk = 0,
гдегде
где
где
Ank = AnQrp), n = 1, 2, 3, 4, 5, k = 1, 2, 3, 4.
Коэффициенты ck находятся при удовлетворении граничных условий:
при хз = h
4
Qn = -шп 52 Uk\.ck chaph + cp+4(ik sh° акЦ, n = 1, 2, k=\
4
Qn = 52 ^nk\.Ck<7p sh°CTph + cH4CTp chakK\,n = 3, 4,
fc=1(12.1.14)
при ж3 = 0
U\ = U2 = U3 = U4 = 0.(12.1.15)
Здесь
Ink = C44Hf*p + f3Q + ехъ$4Ь fnk = fnkak^ n =1,2,Uk = Стр^зк’ Чк = ~С31(«|/Д + ay^Q + Сзз/з/с + е33/4ьUk = ^pl-Ak’ ^Ak = —е31(а1/Гк + а2Лк) + е3з/зк “ ^ЗзАк-
(12.1.16)
В представлении (12.1.14) Qi, Q2, Q3, Qa — компоненты трансформанты Фурье расширенного вектора нагрузки. Для удобства выкладок введем с*к = скстк, к = 5, 6, 7, 8, для сокращения записи введем обозначения (везде п = = 1, 2, 3, 4):
sh° anh = a”1 sh anh, sh° = sh° anh,
sh* = an Avcrnh, chn = chcrn7?.,
Qn ^nQni ^n ^^n ,1,2, e3 641.
(12.1.17)
В этих обозначениях граничные условия (12.1.14), (12.1.15) представятся в виде системы уравнений относительно вектора С = t{ci, с2, с3> с4> с5> с5> с?> cs):
A C = Q,(12.1.18)
где Q
= T{QL Q2.
qv q:
, 0, 0,
0, 0, 0},
/hi chi /i2ch2 hi chi /22ch2 ^3ish( M
Оз ch3
<23 ch3
<338^
Z14 ch4 ^24 Ch< /34 s4
Z11 sh“
Z21 sh?
Z31 chi
Zi2 sh2
Z22 sh^ /32ch2
Оз sh3
Z23 shg
Z33ch3
Z14Sh°\ /24 sh° <3*4 Ch4
A =
00
00
/31/32
\ /41/42
И 0 0 /33 /43
z:4sh^ 0 0 /34 /44
hi ch2 /1*1 /2*1
0
0
h2ch2 /12 /22
0 0
h3ch3 /Гз /23 0 0
Гу ch4 /14 /24 0
0 ^ (12.1.1<
3)
Обозначим До = det А, Amn — алгебраическое дополнение элемента матрицы, стоящего на месте тп. Тогда из системы (12.1.18) будем иметь:
срСрсрСр4*
ср
Ср
ср
Ср
к =6, 7, 8.(12.1.20)
АО ^ Ок
После внесения констант (12.1.20) в представления (12.1.10) получим решение системы уравнений (12.1.9) в виде:
4
СЦаь а2, ж3) = -гапУ f*fc — х
4
х У? Q*A^dk sh° (7кХз + Ayfc+4 ch Q-fcx3], n= 1,2,
4
^n(^b^з)fnP~V~ X
4
x УЗ^^сЬо^3 + Aj,k+4 sh° crfc£3], n = 3, 4. (12.1.21)
После применения обратного преобразования Фурье, перемены порядка суммирования и введения функций:
4
Кп^ах, а2, ж3) = -^^/^.[A^sh^Ts + А,, ^сЬс^жз],
n= 1, 2,
4
Кп^ах, «2, хд = д^ У^Ink[Ajfc ch(7kx3 + Aj, k+4 sh° afcx3],
n = 3, 4, (12.1.22)
решение задачи о колебаниях слоя будет иметь вид:
ип(жь ж2, х^ = 2- X
4 f f
х У^ Кпз(ах, а2, $3)ejQj(ax,dax dot2.
,=| г, г2
(12.1.23)
Контуры Г], Г2 выбираются в соответствии с условиями излучения [27]. Как правило, они обходят положительные особенности функций Ккз снизу, а отрицательные сверху. Выражение (12.1.23) представляет собой перемещение произвольной точки среды под действием заданной нагрузки. В случае задачи об осцилляции на поверхности слоя электрода с амплитудой и0 = (и®, и®, и®, и®), в представлении (12.1.23) необходимо положить хз = К:
х
п 4тг2
4„ „
х у^ Knj(a\, ад, h)ejQj(ay, a2)e-daixi+a2x2'> Дах Да2.
J=1 г, г2
(12.1.24)
Выражение (12.1.24) представляет собой интегральное уравнение относительно неизвестной функции — образа Фурье компонент расширенного вектора распределения
контактных напряжений и плотности заряда в области контакта.
Исследование динамических процессов в пьезоактивной среде включает в себя либо анализ полей перемещений при заданной нагрузке с помощью интегрального представления (12.1.23), либо решение интегрального уравнения (12.1.24) при заданных перемещениях электрода.
Дисперсионный анализ задачи в отсутствие преднапряжений. Ряд характеристик динамического процесса можно изучать на основе исследования дисперсионного уравнения
Ао(«ь а2, х2) = 0. (12.1.25)
В качестве примера рассмотрим задачу о колебаниях пьезоактивного слоя с защемленным, металлизированным и заземленным основанием. В качестве материала слоя используются материалы, обладающие как слабыми, так и сильными пьезоэлектрическими свойствами. В качестве «слабых» используются монокристаллы класса 6mm гексагональной сингонии ZnO, CdS и ZnS. В качестве «сильных» пьезоэлектриков используются поликристалли- ческие керамики PZT4, PZT5 и ВаТЮ3. На рис. 12.1.1 и 12.1.2 представлены дисперсионные диаграммы — се-
Рис. 12.1.1. Дисперсионные диаграммы для слоя ZnO (сплошные линии), ZnS (штриховые линии), CdS (пунктир)
Рис. 12.1.2. Дисперсионные диаграммы для слоя ZnO (сплошные линии), ВаТЮз (штриховые линии), PZT5 (пунктир)
чения дисперсионных поверхностей для указанных выше материалов полуплоскостью од = 0, «1 > 0. У всех графиков по горизонтальной оси отложена безразмерная частота, значения которой для каждого материала получены отнесением к скорости его сдвиговой волны. Сплошной, штриховой и пунктирной линиями на рис. 12.1.1 обозначены дисперсионные кривые для ZnO, ZnS и CdS соответственно. На рис. 12.1.2 сплошной, штриховой и пунктирной линиями представлены дисперсионные кривые для ZnO, ВаТЮз и PZT5 соответственно. Дисперсионные диаграммы для каждого материала представляют собой два семейства кривых. Их характеризует наличие счетного множества частот возникновения мод, связанных с поперечными х^ (к = 1, 2, 3, ...) и продольными х£ (к = 1, 2, 3, ...) волнами, наличием критической частоты и* = и® = ^/2, а также наличием частоты возникновения первого кратного полюса х** = 7%, где 7 определяется свойствами используемых материалов. Нетрудно заметить, что у всех материалов значения х8к совпадают. В таблице 12.1.1 приведены скорости продольных и поперечных волн для используемых в работе материалов, из которой видно, что у некоторых материалов отношения скоростей продольных и поперечных волн близки.
Таблица 12.1.1
Скорости продольной и сдвиговой волн в пьезоматериалах
Материал
Vp
Vs
VP/ Vs
ZnO
1.92152
0.91147
2.10815
CdS
1.37176
0.56841
2.41333
ZnS
1.73698
0.95597
1.81698
PZT4
1.36137
0.71139
1.91368
PZT5
1.24951
0.63226
1.97626
ЦТС 19
1.22202
0.71930
1.69890
BaTiOg
1.62221
0.97447
1.66471
Из графиков следует, что для большинства материалов точки выхода укладываются в определенную, связанную с отношением скоростей объемных волн схему. Исключением является ZnS (сульфид цинка), для которого поведение ряда мод носит аномальный характер. На рис. 12.1.3 представлен фрагмент дисперсионной диаграммы для ZnS в об-
Рис. 12.1.3. Фрагмент дисперсионной диаграммы для слоя ZnS (сплошные линии), распределение нулей функции К^а\, 0) (пунктир)
ласти существования обратных волн. Нетрудно заметить, что в отличие от других материалов ZnS имеет несколько диапазонов существования обратных волн. Особенностью является то, что уже у первой моды имеется такой диапазон. У второй моды — два таких диапазона. Наряду с частотами зарождения кратных мод, имеются частоты
исчезновения кратных мод. Не исключено, что особенность специфического поведения ZnS кроется в определенной противоречивости информации об его упругих и пьезоэлектрических свойствах в различных литературных источниках. У ряда авторов разброс значений констант для ZnS (вюрцит, сульфид цинка) достигает 10%.
12.2. Колебания электроупругого слоя.Плоская задача
Имеется широкий круг представляющих практический интерес задач, которые целесообразно рассматривать в двумерной постановке (плоские задачи). Это связано с тем, что многие акустоэлектронные устройства представляют собой полосовую электродную структуру, т. е. одно из линейных измерений электрода значительно превосходит другое. Будем полагать, что электрод занимает в плане область |ж11 ^ а, |ж2| ^ сю. Оси координат ориентированы таким образом, что ось жз совпадает с осью симметрии кристалла.
Уравнения для двумерной задачи в отсутствие преднапряжений. Будем полагать, что колебания пьезоактивного слоя осуществляются в плоскости жь жз, т. е. имеют место соотношения:
ик = ик(хь ж3), ^ = 0, к = 1, 3, 4, «2 = 0.
При таких предположениях система уравнений (12.1.6) представляется в виде:
[cnMiji + C44ZZ133 + X^l] + С«здз + е«4дз = 0,
С^щз + [C44M3JI + Сзз«з,зз + Х^Мз] + [б15«4, Ц + 633^4,33] = 0, е«1,13 + [e15^3,l 1 + €33^3,33] — [^11^4, и + Дззм4,зз] = 0.
(12.2.1)
Аналогично изменятся граничные условия (12.1.7) и (12.1.8):
при жз = Л.
C44U13 + С44И3Д + в^ГЦд = (/1, C31MU + 033113,3 + 633^4,3 = 93,(12.2.2)
631^1,1 + 033-113,3 — £33^4,3 = 94,
при жз = 0
ui = из = U4 = 0.(12.2.3)
После применения к системе уравнений (12.2.1) одномерного преобразования Фурье по Ж[ (а — параметр преобразования) приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вида (введено обозначение ^- = (/3):
[с44(/| — сца2 + х^П] — iacd3U3 — iaed3U4 = 0,
-iacd3Ui + \c33d2 - c44a2 + х^рз + [e33d2 - ех5а2р4 = 0,
-iaed3Ui + [е33с?з - вхзс^рз - [e33^ - £ца2][/4 = 0.
(12.2.4)
Решение уравнения (12.2.4) ищем в виде
з
Их (а, ж3) = —га ^ fxk[ck sh akx3 + ck+3 ch акх3],
к=1 3
Un(a, ж3) = 52 fnk\ck ch <хкхз + <ж+3 sh ^жз], п = 3, 4.
к=Х(12.2.5)
ак (к = 1, 2, 3) удовлетворяют характеристическому урав
нениюнениюАх9 —асасаАзва а4= 0,(12.2.6)2—асаа4—АзАх9 —асасаАзва а4= 0,(12.2.6)2—асаа4—Аз
нению
нению
Ах
9 —аса
са
Аз
ва а4
= 0,
(12.2.6)
2
—аса
а4
—Аз
Ах
9 —аса
са
Аз
ва а4
= 0,
(12.2.6)
2
—аса
а4
—Аз
гдеЛ1(сг) = С44СГ2 + х| — с^а2,А4(р = е33сг2 - ei5a2,гдеЛ1(сг) = С44СГ2 + х| — с^а2,А4(р = е33сг2 - ei5a2,Азр) = С33СТ2 + %2 - с44а2, Л5(сг) = Е33СУ2 - еиа2.Азр) = С33СТ2 + %2 - с44а2, Л5(сг) = Е33СУ2 - еиа2.
где
Л1(сг) = С44СГ2 + х| — с^а2,
А4(р = е33сг2 - ei5a2,
где
Л1(сг) = С44СГ2 + х| — с^а2,
А4(р = е33сг2 - ei5a2,
Азр) = С33СТ2 + %2 - с44а2, Л5(сг) = Е33СУ2 - еиа2.
Азр) = С33СТ2 + %2 - с44а2, Л5(сг) = Е33СУ2 - еиа2.
Коэффициенты fnk имеют вид:
С-А4к в^зк £
к — 0>kJlk^ Jlk — д . 22 J^k'
А\кА4к + а есак
, _ AvkA3k+ с?АаХ ,
JA:k л л 22
А\кА4к + а есок
где
Апк = АДстД, п= 1,3,4, А; =1,2,3.
Коэффициенты ск находятся при удовлетворении граничных условий:
при жз = Д
3
Qi = —га Е hk\.ck chakh + ск+3стк sh° сткК\,
3 fc=1(12.2.7)
Qri = E 4k\pk^k sh°akh + ск+3стк chakh], n = 3, 4, k=l
при ж3 = 0
Ux = U3 = UA = 0.(12.2.8)
Здесь
l\k = cuppp + f3P + e\3pkl
4k = ^кЧк* Чк = -а2с^зКк + сзз1зк + е33Дк, (12.2.9) Uk = сгкЧк> Чк = —а2езхДк + e33f3k — е33Дк.
Qi, Q3, Qa в представлении (12.2.7) — трансформанты Фурье компонент вектора нагрузки. Для удобства выкладок и сокращения записи введем обозначения:
ск = скстк, к = 4, 5, 6,
sh® = стр sh сткк, sh^ = стк shCTkh, ch/. = ch сткк, к = 1, 2,3,Q16XQ\, Qk вкл-1Qk+1, ^2,3, ex ia , e3 641.
(12.2.10)
В этих обозначениях граничные условия (12.2.7), (12.2.8) представятся в виде системы уравнений:
/ hi chi I12сЬг hschg lush® /12sh® /13sh® \
/ ci \
/9Г\
l3*1Shr /|2sh^ /|3sh^ ^Chj Z3*2ch2 h>ch3
С2
Q*2
14! sh] 142sh2 143Sh3 Ц] chi 142 ch2 1^3 ch3
сз
QI
000Kx П2 fi3
С4
0
/31/32/33000
с5
0
\ Al Аг Аз 0оо ;
^ 0
(12.2.11)
Обозначим Ao = det А, Дтп — алгебр
аическое
допол-
нение элемента матрицы, стоящего на
месте
mn. Тогда
из системы (12.2.11) будем иметь:
33 Л *
iЕ Mir & = 1, 2. 3. Ct =к = 4, 5. 6.
(12.2.12) Внеся константы (12.2.12) в представление (12.2.5), получим решение системы уравнений (12.2.4) в виде:
33
Ux^a, х-У =J^Q^Ajfcsh0^^ +kj,k+3 ch акхз\,
k=i °j=i
зз
Un(a, Х3) = ^ Ink д’ ^ QjV^jk ch<7kX3 + Aj,fe+3 Sh° (7кХз\, k=\° J=1
n = 3, 4.(12.2.13)
После применения обратного преобразования Фурье, перемены порядка суммирования и введения функций
.3
Кхх(а, х3, х2) = ^ V fxkWksb0 сгкМ + △i>fc+3chcrfcx3], ZAo f—'
3
К„\(а, х3, х2) = ^^ fnk^\kc\i(jkX3 + /\xM3sYv0 (j^, Л° “
п = 3, 4,(12.2.14)
.3
Kx,j+x(a, т3) = ^^fy^jk8^0 <7кхз + ^эМзСа(ткхз\, к= 1
3 = 2, 3,
з
7<nj+i(a, ж3) = — у^/пкЕА^сЬсг^тз + ^j,k+3 sh° <7кхз\,
j = 2, 3, n = 3, 4,
решение задачи о колебаниях пьезоактивного слоя будет иметь вид:
3 = \, 3, 4^,1, 3, 4.3 = \, 3, 4^,1, 3, 4.(12.2.15)(12.2.15)ик(хх, жз) = ^ 52 Км(а, хзУ^^аУ гахх da,
3 = \, 3, 4^,
1, 3, 4.
3 = \, 3, 4^,
1, 3, 4.
(12.2.15)
(12.2.15)
Контур Г выбирается в соответствии с условиями излучения [27]. Как правило, он обходит положительные особенности функции Kkj снизу, а отрицательные сверху.
Интегральное уравнение задачи о колебании электрода на поверхности пьезоактивного слоя. Выражение (12.2.15) представляет собой интегральное представление перемещения произвольной точки слоя под действием заданной на поверхности нагрузки. В случае задачи о колебаниях с амплитудой По = {и®, u®, u®} электрода на поверхности пьезоактивной среды в представлении (12.2.15) необходимо положить жз = h. При этом выражение (12.2.15) представляет собой интегральное уравнение относительно неизвестной функции распределения напряжений qx, qa и плотности заряда q^ в зоне контакта:
а
ик(хх, Г = 52 к^-ХхШГ)^ А: =1,3, 4,
4 Д
(12.2.16)
(12.2.17)(12.2.17)
(12.2.17)
(12.2.17)
Для выбора контура Г в представлении (12.2.17) необходимо детально изучить свойства символа ядра интегрального уравнения. На рис. 12.2.1-12.2.5 представлены кривые нулей (прерывистые линии) и полюсов (сплошные линии) символов ядер интегрального уравнения (12.2.17) для ZnO (рис. 12.2.1), CdS (рис. 12.2.2), ZnS (рис. 12.2.3), PZT4 (рис. 12.2.4) и ВаТЮз (рис. 12.2.5).
На всех графиках буквами а, б, в, г и д обозначены графики для символов Дп, Кх^, К33, К34 и К44 соответственно. Как следует из графиков, у функций Кпп, п = 1, 3, 4, наблюдается строгое чередование нулей и полюсов за исключением диапазонов существования обратных волн. Необходимо учесть, что эти функции могут являть-
ся символами ядер одномерных интегральных уравнений для различных частных случаев:
Рис. 12.2.1. Распределение нулей (пунктир) и полюсов (сплошные линии) символов ядер Кпк(а) для слоя ZnO: а — Кц, б — Ки, в — К33, г — д - Ки
К\\ — в случае, когда имеем непроводящий пленочный штамп, нормальные напряжения отсутствуют, на поверхности среды имеют место однородные электрические условия;
7<зз — в случае, когда имеем непроводящий жесткий штамп, трение в области контакта отсутствует, на поверхности среды имеют место однородные электрические условия;
Рис. 12.2.2. Распределение нулей (пунктир) и полюсов (сплошные линии) символов ядер Кпк(а) для слоя CdS: а — Кп, б — Ки, в — К33, г — К34, д - Ки
К44 — в случае, когда имеем гибкий электрод, механическими возмущениями, вносимыми электродом, можно пренебречь, колебания осуществляются под действием приложенного к электроду потенциала.
Обращает на себя внимание факт различия в поведении кривых нулей не только для разных материалов, но и внутри одного класса для различных символов.
Поведение нулей у функций Ктп, т ^ п, несколько сложнее, строгого чередования нет. В данном случае требование строгого чередования нулей и полюсов на функции
Рис. 12.2.3. Распределение нулей (пунктир) и полюсов (сплошные линии) символов ядер Кпк(а) для слоя ZnS: а — Кц, б — К^, в — К33, г — К^ д - Ки
Ктп, т ^ п, не распространяется [7], поскольку эти функции являются компонентами матричных символов ядер двумерных или трехмерных (в зависимости от граничных условий) систем интегральных уравнений.
Динамическая жесткость слоя. Одной из важнейших характеристик, определяющих динамику контактного взаимодействия упругих тел, является динамическая жесткость — реактивная сила, возникающая в среде в ответ на единичное смещение штампа. Для изучения этой характеристики рассмотрим частный случай приведенной
Рис. 12.2.4. Распределение нулей (пунктир) и полюсов (сплошные линии) символов ядер Кпк(а) для слоя PZT4: а — Kw, б — Ки, в — К^ г — К^, д - Ки
выше задачи, когда выполненный из непроводящего материала жесткий штамп совершает поступательные вертикальные колебания с амплитудой uq = 1. Трение в области контакта отсутствует, поверхность слоя электрически свободна. Задача сводится к решению скалярного аналога уравнения (12.2.15):
а
«о = кзз^-хь x^^d^,(12.2.18)
—а
Рис. 12.2.5. Распределение нулей (пунктир) и полюсов (сплошные линии) символов ядер Кпк(а) для слоя BaTiOg: а — Км, б — Км, в — Км, г — Км, д - КмРис. 12.2.5. Распределение нулей (пунктир) и полюсов (сплошные линии) символов ядер Кпк(а) для слоя BaTiOg: а — Км, б — Км, в — Км, г — Км, д - КмА:33(s, х2) = ^гА:33(s, х2) = ^гКзз(а, h, х2)е га® da,Кзз(а, h, х2)е га® da,(12.2.19)(12.2.19)
Рис. 12.2.5. Распределение нулей (пунктир) и полюсов (сплошные линии) символов ядер Кпк(а) для слоя BaTiOg: а — Км, б — Км, в — Км, г — Км, д - Км
Рис. 12.2.5. Распределение нулей (пунктир) и полюсов (сплошные линии) символов ядер Кпк(а) для слоя BaTiOg: а — Км, б — Км, в — Км, г — Км, д - Км
А:33(s, х2) = ^
г
А:33(s, х2) = ^
г
Кзз(а, h, х2)е га® da,
Кзз(а, h, х2)е га® da,
(12.2.19)
(12.2.19)
функция К33 определяется формулой (12.2.14).
На рис. 12.2.6, а-г представлены графики динамической жесткости среды. Материал слоя соответственно ZnO (рис. tz), CdS (рис. б), PZT5 (рис. в) и ВаТЮз (рис. а). Сплошными линиями отмечены вещественные (ReQo), штриховыми — мнимые (ImQo) составляющие динамической жесткости. ReQo определяет реактивное сопротив-
Рис. 12.2.6. Динамическая жесткость слоя из пьезоактивных материалов: а — ZnO, б — CdS, в — PZT5, г — ВаТЮ3
ление среды (жесткость среды как пружины), ImQo — активное сопротивление, обуславливающее отток энергии из зоны контакта. Как следует из графиков, поведение динамической жесткости для различных материалов имеет общие черты, несмотря на то что часть из них относится к слабым, а другая — к сильным пьезоэлектрикам. Во всех случаях ImQo ^ 0, что обуславливает отток энергии на бесконечность. Действительно, учитывая, что поверхность слоя электрически свободна, из уравнения потока энергии (7.3.12) следует, что количество осредненной за период колебаний энергии Up, уносимой упругими волнами через область контакта, определяется выражением
Up = ^u30ImQ0. (12.2.20)
Каждый график характеризуется значениями критической частоты и* = тг/2 и частоты возникновения кратного полюса х** = 77г:
в диапазоне докритических частот хг < х* ReQo > 0 — активное сопротивление по фазе совпадает с внешним
воздействием, ImQo = О — отток энергии из зоны контакта отсутствует; имеют место условия возникновения неограниченных (изолированных [27, 28]) резонансов при взаимодействии слоя с массивными телами или системами;
в диапазоне [х*, х**] ReQo уменьшается, но остается положительной, совпадающей по фазе с внешним воздействием; ImQo, хоть и отлична от нуля, но достаточно мала; в этом диапазоне имеют место условия возникновения ограниченных резонансов при взаимодействии слоя с массивными телами или системами;
— в диапазоне [х**, xf] ReQo меняет знак. Возможность возникновения ограниченных резонансов отсутствует. ImQo. оставаясь отрицательной величиной, от материала к материалу ведет себя по-разному: либо монотонно изменяясь (ВаТЮз), либо обращаясь в ноль на концах интервала (ZnO, CdS, PZT5). Нетрудно заметить на графике распределения нулей и полюсов функции К^ для ВаТЮз (рис. 12.2.5, в), что такая особенность поведения этого материала связана с нейтрализацией нулем возникающего на частоте х** кратного полюса.
Динамическая электрическая емкость пьезоэлектрического слоя. Другой важной характеристикой, определяющей динамику контактного взаимодействия пьезоактивных тел, является динамическая электрическая емкость. В электрическом плане электрод с металлизированным основанием образует некоторую, зависящую от частоты электрическую емкость G (интегральная характеристика плотности распределения заряда на электроде — заряд при напряжении 1 В). Для изучения динамической емкости рассмотрим частный случай, когда колебания в слое инициируются электрическим напряжением р^ = 1, приложенным к пленочному электроду. Поверхность слоя свободна от механических напряжений. Задача сводится к решению скалярного аналога уравнения (12.2.15):
а
Уо =^44« - Ж1)94«)^,(12.2.21)
—а
k^s) = 2_ К^аЛК^8 da, (12.2.22)
г
функция К44 определяется формулой (12.2.14).
На рис. 12.2.7, а-г представлены графики динамической составляющей емкости G* (ReG* — сплошные линии, ImG* — штриховые линии) для пьезоактивных материа-
Рис. 12.2.7. Динамическая емкость слоя из пьезоактивных материалов: а — ZnO, б — CdS, в — PZT5, г — ВаТЮз
лов ZnO (рис. о), CdS (рис. б), PZT5 (рис. в) и ВаТЮз (рис. г). G* = G — Gst — емкость, образованная осциллирующим электродом с металлизированным основанием, за вычетом статической составляющей (Gst — значение емкости при нулевой частоте), которая существенно зависит от электрических свойств материалов. «Слабые» пьезоэлектрики имеют малую статическую емкость: 0.582 у ZnO, 1.7722 у CdS. У «сильных» пьезоэлектриков ВаТЮз и PZT5 статическая емкость составляет соответственно
112.82 и 260.8. Из графиков следует, что ReG* является знакопеременной величиной, которая по модулю значительно меньше статической емкости. Поэтому в целом реальная составляющая емкости положительна, что определяет возможность возникновения на любой частоте ограниченных или неограниченных (зависит от величины ImG*) резонансов при включении электрода с металлизированным основанием в электрическую цепь с сосредоточенными параметрами (электрический колебательный контур).
ImG* — также неотрицательная величина: в некоторых диапазонах она строго положительна, в других диапазонах обращается в ноль. Из уравнения потока энергии (7.3.12) следует, что в условиях механически свободной поверхности количество осредненной за период колебаний электрической энергии Ue, уносимой электроупругими волнами через область контакта, определяется выражением
[/ = -^0ImG*.(12.2.23)
Таким образом, энергия при условии ImG* ^ 0 уносится из области контакта.
Колебания пьезоактивного слоя наповерхности диэлектрическогополупространства
Рассмотрим колебания структурно-неоднородной пьезоактивной среды, представляющей собой электроупругий слой 0 < ж3 ^ h, |ж1|, |жг| ^ сю на поверхности диэлектрического полупространства жз ^ 0, |ж[|, |жг| < сю. Параметры диэлектриков, используемых в качестве подложки, приведены в таблице 12.3.1.
Слой выполнен из пьезоактивного материала класса 6mm гексагональной сингонии. Движение среды осуществляется под действием нагрузки де(жь Ж2)е-шД распределенной в некоторой области Q на ее поверхности. Предполагается, что поверхность слоя жз = h металлизирована лишь в области Q. Вне этой области поверхность слоя элек-
Таблица 12.3.1
Константы некоторых диэлектриков
Материал
Упругие константы (Ю10 Н/м2)
Диэлектрин, константы £о
Плотность (кг/м3)
Си
С44
ЕЗЗ
р
Пл. кварц SiO2
7.85
3.12
3.3468
2.20
Стекло Fi
6.16
2.19
10.1821
3.59
Стекло Kg
6.77
2.53
3.9843
2.54
Корунд А120з
47
15.7
9.0311
3.99
трически свободна, механические напряжения отсутствуют. Граница раздела слоя и полупространства жз = О предполагается металлизированной и заземленной (<р>|Хз=о = 0). Условимся, что все величины, относящиеся к полупространству, будут обозначаться индексом 2, все величины, относящиеся к слою, индекса иметь не будут. При таких обозначениях в полном объеме используются результаты предыдущего раздела. Уравнения движения слоя и граничные условия на его поверхности определяются формулами (12.1.1)—(12.1.4) или в компонентной форме формулами (12.1.6), (12.1.7). Движение подстилающего полупространства определяется уравнением
Х-<д^ =(12.3.1)
@(2) — линейный тензор напряжений Коши, р^ — плотность материала. На границе раздела слоя и полупространства имеют место условия сцепления:
uk Ц=о= ) L3=0’ ®3к L3=0“Ц=0’
А: =1,2,3, и4| о=О.(12.3.2)
Задачу замыкают условия убывания перемещений в подстилающем полупространстве на бесконечности:
Система уравнений для слоя в виде (12.1.9) получена после использования двумерного преобразования Фурье по ть яд («ь «2 — параметры преобразования). Аналогично строится система уравнений движения для полупространства, решение которой имеет вид:
з
(12.3.4)(12.3.4)= ~гап f^ck+8eak\ п=1,2, з к=х
(12.3.4)
(12.3.4)
гй2) _г(2) у^Тз
^з - lv /3k сН8е к 3.
Здесьf(2) _ (2)"1J nA — °1’Д2) /13 = -«2,Здесьf(2) _ (2)"1J nA — °1’Д2) /13 = -«2,fc=i
Здесь
f(2) _ (2)"1
J nA — °1’
Д2) /13 = -«2,
Здесь
f(2) _ (2)"1
J nA — °1’
Д2) /13 = -«2,
/п2 = ^^ 2’ ^=1,2, /^«ь ^M? = L /3(з2)=0.
(2)
ак удовлетворяют характеристическим уравнениям:
(сг^ — и2 + х^) = О, к = 1, 2, 3,(сг^ — и2 + х^) = О, к = 1, 2, 3,(12.3.5)(12.3.5)и =и =। + «2 ’ Х2 =,2 _। + «2 ’ Х2 =,2 _шкр^шкр^р^ ’р^ ’Xi = ух2,Xi = ух2,Х^+2^’Х^+2^’Хз = х2.Хз = х2.
(сг^ — и2 + х^) = О, к = 1, 2, 3,
(сг^ — и2 + х^) = О, к = 1, 2, 3,
(12.3.5)
(12.3.5)
и =
и =
। + «2 ’ Х2 =
,2 _
। + «2 ’ Х2 =
,2 _
шкр^
шкр^
р^ ’
р^ ’
Xi = ух2,
Xi = ух2,
Х^+2^’
Х^+2^’
Хз = х2.
Хз = х2.
Подставив решения (12.2.5) и (12.3.4) в граничные условия, придем к системе уравнений относительно вектора С = f {с,, с2, с3, с4, С5, Cg, с?, с§, с9, с10, си} (сп = — с^_8, п — 9, 10, 11) с правой частью Q = = T{Q/ Q2. Q^ q:> °- °> °- °> °- °> °};
АС = Q,(12.3.6)
/ Zu chiZi2ch2Z13 сНзZ14 сНдZnsh^Zi2sh2Z13sh^Zush^000\
Z2ichiZ22ch2Z23 ch3Z24 ch4Z2ish^Z22 sh^Z23sh^Z24 shj000
Z31 sh^Zg2 sh2Zg3 sh3Z34 sh4Z31ch1Z32 ch2Z33ch3Z34 ch4000
Z41 sh^Z42 sh2Z43 sh3Z44 sh4Z41ch1Z42 ch2Z43ch3Z44 ch4000
0000/*f*2f*3
0000/*f*2f*3f*4f^ f^ ,
/31/32/33/340000/3(32)
/41/42/43/440000000
ill/12/13/140000Z<2)l^l^
hiI221-23/240000l^Z<2)l§
\000Л7*7*7*7*/(2)/(2)/(2)]
\Uиии131t32t33t34t31t32t33у
коэффициенты lnk, l^k и компоненты Qk описываются формулами (12.1.16).
Решение системы уравнений (12.3.6) имеет вид:
ск = 2- £ к = 5, 6, 7, 8, 0£‘ Стк(12.3.7)
Ck = ^LM^ fc = 1, 2, 3, 4, 9, 10, 11.
Решение для слоя определяется формулами (12.1.21) при внесении первых восьми коэффициентов (12.3.7) в представление (12.1.10). Внеся последние три коэффициента в выражение (12.3.4), получим решение для полупространства:
U^ = -гап £ f^^ £ ^sQ^xs, n = 1, 2,к=\ АоJ=iJ
к=\^03=1
(12.3.8) Далее, после перемены порядка суммирования, введем функции 0 = 1, 2, 3):
•3
К^а,.и =1.2.
Л0 fc=i
^(«ь «2, ж3) = 2- £ f§bjWe^.
(12.3.9) При построении решения для слоя используем формулы (12.1.21) U = 1, 2, 3, 4):
K^aXl ад, ж3) = Кп^а\, а2, ж3), п = 1, 2, 3, 4,
(12.3.10) где функции Кпзрц, а2, жз) определяются формулами (12.1.22).
Тогда решение для структурно неоднородного полупространства имеет вид:
и^п\жь жз, Х2) = 2“ К^п\а, Ж3, X2)Q(a)e гахх da,
Г(12.3.11)
здесь и^1) = t {и,1^ и^\ и^,и^} и ц(2) = f {u,2\ и^\ г^^ — векторы перемещений точек слоя или полупространства, Q = Т {Qv Q*^ Q3, ^1 № = enQn, П = 1, 2, 3, 4, Qn - трансформанта Фурье компонент вектора нагрузки). Матрицы-символы интегральных операторов имеют вид:
К(1) = ||Л;Т|Ц K<’l = ||tiX^r (12.3.12)
Выражение (12.3.11) представляет собой интегральное представление перемещения произвольной точки слоя (п = = 1) или полупространства (п = 2) под действием заданной нагрузки. В случае задачи об осцилляции на поверхности слоя электрода с заданной амплитудой u1 = (u°v и^, и®, и^) в представлении (12.3.11) необходимо положить жз = h:
Un д 2 Х
4 f f
х У^ Knj(ai, «2, h)ejQj(ai, a2)e-^“liri+a2ir^ (Zai da^.
,=1 г, r2
(12.3.13)
Выражение (12.3.13) представляет собой интегральное уравнение относительно неизвестной функции — образа Фурье расширенного вектора распределения контактных напряжений и плотности заряда в области контакта.
Исследование динамических процессов в пьезоактивной среде включает в себя либо анализ полей перемещений при заданной нагрузке с помощью интегрального представления (12.3.11), либо решение интегрального уравнения (12.3.13) при заданных перемещениях электрода.
Как и в предыдущих разделах, в качестве электро- упругого рассматривается слой, выполненный из различных пьезоактивных материалов, обладающих как слабыми, так и сильными пьезоэлектрическими свойствами. В качестве «слабых» пьезоэлектриков используются монокри-
сталлы класса 6mm гексагональной сингонии ZnO, CdS и ZnS. В качестве «сильных» пьезоэлектриков используются поликристаллические керамики PZT4, PZT5 и BaTiOg. В качестве материала подложки используются широко применяемые в акустоэлектронике плавленый кварц 5Юг, оптическое стекло Fi, стекло К§ и корунд AI2O3.
На рис. 12.3.1, а-г представлены дисперсионные диаграммы (сплошные линии) — сечения дисперсионных поверхностей полуплоскостью «2 = 0, «1 > 0, для структуры
Рис. 12.3.1. Распределение нулей (штриховые линии) и полюсов (сплошные линии) для пьезоактивных структур на подложке из плавленого кварца, а — слой ZnO, б — слой CdS, в — слой ZnS, г — слой ВаТЮз
на подложке из плавленого кварца со слоем из монокристаллов ZnO (рис. a), CdS (рис. б), ZnS (рис. в) и ВаТЮз (рис. а). Та же подложка использована при расчете дисперсионных диаграмм, представленных на рис. 12.3.2, а и б — для структуры со слоем из керамики PZT5 (рис. а) и ЦТС19 (рис. б). На графиках по горизонтальной оси отложена безразмерная частота, значения которой полу-
Рис. 12.3.2. Распределение нулей (штриховые линии) и полюсов (сплошные линии) для пьезоактивных структур: а — слой PZT5, б — слой ЦТС 19 на подложке из плавленого кварца; в — слой PZT5 на подложке AI2O3
чены отнесением к скорости сдвиговой волны подложки. Пунктирными (тонкими) линиями отмечены лучи, соответствующие сдвиговым волнам слоя и полупространства. Дисперсионные кривые, за исключением первой (исключение, как и в случае слоя, составляет лишь структура ZnS/SiO2), заключены в секторе, образованном лучами, соответствующими поперечной волне в слое (верхняя граница) и поперечной волне в подложке (нижняя граница). Они определяют счетное множество мод поверхностных волн, каждая из которых характеризуется наличием «критической частоты» («cut-off frequency» — частота возникновения данной моды). Имеет место нормальная дисперсия скорости поверхностных волн: в момент появления каждой моды ее скорость равна скорости поперечной волны подложки. С увеличением частоты скорость моды уменьшается, асимптотически приближаясь к скорости поперечной волны слоя. Первая мода является самой медленной,
скорость которой мало отличается от скорости релеевской волны полупространства с параметрами слоя.
Таблица 12.3.2
Продольная и сдвиговая скорости диэлектриков
Материал
Vp
Vs
Vp/Vs
Si20g
1.88896
1.19087
1.58620
Fi
1.30991
0.78104
1.67714
к8
1.63259
0.99803
1.63581
A12O3
3.43212
1.98364
1.73021
Жесткость подложки играет существенную роль в формировании дисперсионной диаграммы. В таблице 12.3.2 приведены значения скоростей для распространенных типов подложки, в таблице 12.3.3 — отношение скоростей сдвиговых волн слоя и полупространства.
Таблица 12.3.3
Отношение скоростей сдвиговых волн слоя и подложки
Si20g
Fi
K8
A12O3
ZnO
0.765385
1.167001
0.913277
0.459497
CdS
0.477305
0.727758
0.569532
0.286549
ZnS
0.802754
1.223977
0.957866
0.481931
PZT4
0.597369
0.910823
0.712796
0.358629
PZT5
0.530926
0.809516
0.633515
0.318740
ЦТС19
0.604012
0.920952
0.720723
0.362617
BaTiO3
0.818286
1.247660
0.976400
0.491256
Анализ показал, что вид дисперсионных диаграмм во многом определяется соотношением скоростей сдвиговых и продольных волн слоя и подложки. Это соотношение играет значительную роль в формировании структуры поверхностного волнового поля. На рис. 12.3.2, в представлена дисперсионная диаграмма (сплошные линии) для структуры PZT5/AI2O3. Сравнивая графики на рис. 12.3.2, а
и 12.3.2, в (слой PZT5) нетрудно заметить, что увеличение жесткости подложки, как следует из таблицы 12.3.2, приводит к существенному усложнению структуры поверхностного волнового поля.
Штриховыми линиями на рис. 12.3.1, а-г и 12.3.2, a-в представлены графики распределения нулей функции Кзз(а1, О, хг), рассчитанные для различных структур. Из графиков следует, что для всех рассмотренных типов неоднородных сред имеет место строгое чередование нулей и полюсов. Это обстоятельство доказывает однозначную разрешимость интегральных уравнений для всех рассмотренных структур.
Колебания пьезоактивного слояна поверхности диэлектрическогополупространства. Плоская задача
Будем полагать, что одно из измерений электрода значительно превосходит другое, т. е. электрод занимает область |ж11 ^ а, 1^21 ^ сю. Это позволяет рассматривать задачу в плоской постановке.
Уравнения для плоской задачи в отсутствие преднапряжений. Полагаем, что
Uk = uk(xi, ж3), ||| = О, А;= 1, 3, 4, и2 = 0.
При таких допущениях задача о колебании структурно неоднородной среды описывается уравнениями движения слоя (12.2.1) и линейными уравнениями колебаний упругого полупространства. На поверхности Х3 = h среды имеют место условия (12.2.2), на границе раздела жз = 0 выполняются условия полного сцепления:
“4„.о= “i2!,.». М,,.о= 64|ч_0, ь = г з, «4|„=„=^ = 0.(12.4.1)
Задачу замыкают условия убывания перемещений на бесконечности:
и^ -н- 0 При Жз —> —сю.и^ -н- 0 При Жз —> —сю.(12.4.2)(12.4.2)
и^ -н- 0 При Жз —> —сю.
и^ -н- 0 При Жз —> —сю.
(12.4.2)
(12.4.2)
Уравнения для слоя в виде (12.2.4) получим, применив к уравнению (12.2.1) преобразование Фурье по яр (а — параметр преобразования). Аналогично строится система уравнений для полупространства, решение которой имеет вид:
и® = -fa £
2(12.4.3)
Здесь
1(2)f(2) _ 1 L _ 1 О f (2) _1 f (2) _ а2J3k —Jxx — (2), JX2 —2 ’1(2)f(2) _ 1 L _ 1 О f (2) _1 f (2) _ а2J3k —Jxx — (2), JX2 —2 ’У2)+2д(2)’У2)+2д(2)’
1(2)
f(2) _ 1 L _ 1 О f (2) _1 f (2) _ а2
J3k —Jxx — (2), JX2 —2 ’
1(2)
f(2) _ 1 L _ 1 О f (2) _1 f (2) _ а2
J3k —Jxx — (2), JX2 —2 ’
У2)+2д(2)’
У2)+2д(2)’
(2)
ак удовлетворяют характеристическим уравнениям
У^ - и2 + я^) = О, А: =1,2.(12.4.4)
После подстановки решений (12.2.5) (12.4.3) в граничные условия, придем к системе уравнений относительно вектора С = Цс], с2, с3, С4, С5, Cg, с7, с8} (с7 = с([2), с8 = У) с правой частью Q = tXQv Q^ Сз’ ®» О, 0> О, 0}:
Ац ch] /31 shl /41 sh^
/12 ch2 /32 sh2 /:2sh2*
A C = Q,
^13 ^3 ^33 С^З ^3ch3
0
0
0
(12.4.
0 ^ 0
0
5)
/13 сЬз
/33 shs
/п sh? /31 chi l*4i Ch]
^12 ^2 ^32 ch2 Z4*2ch2
А =
0
0
0
/1*1
/1*2
/1*3
_f(2) J12
/31
/32
/33
0
0
0
-1
-1
Ai
A2
Аз
0
0
0
0
0
/и
/12
/13
0
0
0
/(2) ‘12
\ 0
0
0
/31
7*
632
7*
^33
_/(2) ‘31
-/(2) J
‘32 /
При формировании матрицы А использованы обозначения (12.2.10), коэффициенты lnk, l^k определяются формулами (12.2.9), компоненты Qk — формулами (12.2.10).
Из системы уравнений (12.4.5) имеем:
з
» = ^ЕД»Е. А = 1,2, 3. 7. 8.
з
Ck =^ = 4, 5, 6.(12.4.7)
До ' "^ ^к
Решение для слоя в виде (12.2.13) получится при внесении первых шести коэффициентов (12.4.7) в представление (12.2.5). Решение для подстилающего полупространства получится при внесении последних двух коэффициентов (12.4.7) в представление (12.4.3):
Е йЛ Е
(12.4.8)(12.4.8)k=l А0J=1J
(12.4.8)
(12.4.8)
U? = Е ЙЛ Е A,.t+6Q-4’'>.
к=\ Л0j=1J
Далее меняем порядок суммирования и введем функции:
.9
° к=х(12.4.9)
КпКа> жз) = ^ Е /^Дщ+бв^Ч п = 3, 4, к=\
КЙЙ«. ^з) = 4 Е Й^мЙЙ .7 = 2, 3. п = 3. 4, к—\
ДЛЯ слоя
К^(а, Жз) = Кпк(а, ж3), п, к = 1, 3, 4,(12.4.10)
где функции Кпк(а, жз) определяются формулами (12.2.14).
Тогда решение плоской задачи для структурно неоднородного пьезоактивного полупространства имеет вид:
п(п)(жь ж3) = ^ K^n\a, x3)Q(a)e“iQa:i da, (12.4.11)
Г
здесь и*4) = t {и^.и^щ^} и u(2) = t {^Р^^з2^} — векторы перемещений точек слоя (n = 1) или подложки (п = 2), Q = Т {Q^, Q*, Q*} (Qt = eiQb Q*k = efc+1Qfc+1, Qk, k — 2, 3, — трансформанта Фурье компонент вектора нагрузки). Матрицы-символы интегральных операторов имеют вид:
/ К^ К^ К^ \ ^П ^13Л14/ К^ К^ К^ \ ^П ^13Л14(12.4.12)(12.4.13)(12.4.12)(12.4.13)
/ К^ К^ К^ \ ^П ^13Л14
/ К^ К^ К^ \ ^П ^13Л14
(12.4.12)
(12.4.13)
(12.4.12)
(12.4.13)
Интегральное уравнение задачи о колебании электрода на поверхности неоднородной пьезоактивной среды. Выражение (12.4.11) представляет собой интегральное представление перемещения произвольной точки слоя под действием заданной на поверхности осциллирующей нагрузки. В случае задачи о колебаниях электрода с амплитудой Uq1-1 = {ию, изо, u4q} на поверхности пьезоактивной среды в представлении (12.4.11) необходимо положить жз = h. При этом выражение (12.4.11) будет представлять собой интегральное уравнение относительно неизвестной функции распределения напряжений ^1, 9з и плотности распределения заряда g в зоне контакта (Q = T{Qb Q*^ Q^}):
u,u,(12.4.14)(12.4.14)i^ = ± K^^a, h, x^aK^ da. г
u,
u,
(12.4.14)
(12.4.14)
Здесь:
. з
^(а, h, х2) = ^^/^^^8^^^ +Ai,fc+3ch<Tfe/t],
3
К^^ h, х2) = -7- V fniMik chakh + А1л+з sh° akK\,л° “
n = 3, 4,(12.4.15)
.3
K^j+X(a, h, x2) = ^ ^ Kk[Ajk sh° akh + ^к+3 chakh\,
3
А^+Да, h, x2) = ^- У fnkV^jk chakh, + Aj?fc+3 sh° akK\,
3 - 2, 3.
Контур Г выбирается в соответствии с правилами, указанными в [27]. Он почти всюду совпадает с вещественной осью, отклоняясь от нее при обходе отрицательных особенностей функций Kjk{a, х2) сверху, а положительных — снизу.
Динамическая жесткость слоисто неоднородной среды. Исследуем динамическую жесткость слоисто неоднородной — реактивную силу среды, возникающую в ответ на единичное смещение штампа. С этой целью рассмотрим вертикальные поступательные колебания с амплитудой uq = 1 жесткого штампа, выполненного из непроводящего материала, на поверхности среды, представляющей собой пьезоактивный слой на подложке из диэлектрического материала. Граница раздела слоя и полупространства металлизирована и заземлена. Штамп занимает область |ж1| < а, |ж2| < оо. Трение в области контакта предполагается отсутствующим. Задача сводится к решению скалярного аналога интегрального уравнения (12.4.14)
^зз(а)<5о(«)е dot,^зз(а)<5о(«)е dot,(12.4.16)(12.4.16)ГГ
^зз(а)<5о(«)е dot,
^зз(а)<5о(«)е dot,
(12.4.16)
(12.4.16)
Г
Г
8 В. В. Калинчук, Т. И. Белянкова
Мзз(а) определяется формулой (12.4.15). На рис. 12.4.1, аб представлены графики динамической жесткости (рис. а — ReQo, рис. б — ImQo) пьезоактивной структуры на подложке из плавленого кварца. Материал слоя — PZT5,
■60 '■'' -18U4■■■■
02468100246810
Рис. 12.4.1. Динамическая жесткость слоистых пьезоактивных структур (PZT5 — сплошная, ЦТС 19 — пунктирная, ВаТЮз — штриховая линии) на подложке из плавленого кварца: а — вещественная, б — мнимая составляющие
ЦТС19 и ВаТЮз — соответственно сплошные, пунктирные и штриховые линии. По горизонтальной оси отложена безразмерная частота, полученная за счет отнесения к скорости подложки. Как следует из графиков, динамическая жесткость рассматриваемых структур носит осциллирующий характер. Как следует из графиков, наибольший период осцилляции показывает структура ВаТЮЗ/5120з, наименьшим периодом обладает структура PZT5/Si2O3. Частота осцилляции в данном случае, как следует из таблицы 12.1.1, определяется скоростью сдвиговой волны пьезоактивного слоя. Действительно, из таблицы 12.1.1 следует, что скорость сдвиговой волны керамики PZT4, ЦТС 19 и ВаТЮз равна соответственно 0.71139, 0.71930 и 0.97447. Из таблицы 12.3.3 следует, что отношение скоростей сдвиговых волн этих пьезоэлектриков к скорости сдвиговой волны подложки равно 0.597369, 0.604012 и 0.818286 соответственно. Обращает на себя внимание осцилляция ImQo: существуют диапазоны частот, на которых мнимая составляющая динамической жесткости принимает сравнительно небольшие значения. Тем самым, имеют место условия локализации волнового процесса, поскольку уровень излу-
чения энергии из зоны контакта падает. Это обуславливает возможность возникновения ярко выраженных ограниченных резонансов. На рис. 12.4.2, а-б представлены графики динамической жесткости (рис. а — ReQo, рис. б — ImQo)
(ZnO — сплошная, CdS — пунктирная, ВаТЮз — штриховая линии)(ZnO — сплошная, CdS — пунктирная, ВаТЮз — штриховая линии)на подложке из плавленого кварца: а — вещественная, б — мнимая составляющиена подложке из плавленого кварца: а — вещественная, б — мнимая составляющие
(ZnO — сплошная, CdS — пунктирная, ВаТЮз — штриховая линии)
(ZnO — сплошная, CdS — пунктирная, ВаТЮз — штриховая линии)
на подложке из плавленого кварца: а — вещественная, б — мнимая составляющие
на подложке из плавленого кварца: а — вещественная, б — мнимая составляющие
пьезоактивной структуры на подложке из плавленого кварца со слоем из монокристаллов ZnO, CdS и ВаТЮз — соответственно сплошные, пунктирные и штриховые линии. Из графиков следует, что и в этом случае динамическая жесткость имеет осциллирующий характер. Однако, как следует из таблицы 12.1.1, период осцилляции в этом случае определяется не только скоростью сдвиговой волны, но также и скоростью продольной волны. Как следует из таблицы 12.1.1, наибольшее значение скорости продольной волны имеет ZnO.
Из сравнения кривых на рис. 12.4.1, а и 12.4.2, а, а также на рис. 12.4.1, б и 12.4.2, б следует, что наибольшую жесткость и наибольший уровень излучения из зоны контакта демонстрирует ZnO. Наиболее слабым в механическом плане является CdS.
Динамическая емкость слоисто неоднородного пьезоэлектрика. Для исследования динамической емкости рассмотрим другой частный случай, когда колебания в слоисто неоднородной пьезоактивной среде инициируются электрическим напряжением </?о = 1, приложенным к пленочному электроду. Поверхность слоя свободна
от механических напряжений. Задача сводится к решению скалярного аналога уравнения (12.4.16)
у0 = Г К44(а, h, x2№K“X1 da, (12.4.17) г
К44(а) определяется формулой (12.4.15).
На рис. 12.4.3, а-б и 12.4.4, а-б представлены графики динамической емкости — заряда, наведенного на электро-
(PZT5 — сплошная, ЦТС 19 — пунктирная, BaTiOg — штриховая линии) на подложке из плавленого кварца: а — вещественная, б — мнимая
составляющие
Рис. 12.4.4. Динамическая емкость слоистых пьезоактивных структур (ZnO — сплошная, CdS — пунктирная) на подложке из плавленого кварца: а — вещественная, б — мнимая составляющая
де в ответ на приложение потенциала </?о = 1 для различных пьезоактивных структур: керамики PZT5, ЦТС19 и ВаТЮз — соответственно сплошные, пунктирные и штриховые линии на рис. 12.4.3, а-б и монокристаллы ZnO и CdS — соответственно сплошные и пунктирные линии на рис. 12.4.4, а-б. Рис. а — ReG*, рис. б — ImG*, где
G* = G — Gst — емкость, образованная электродом с металлизированной прослойкой между слоем и подложкой за вычетом статической составляющей. Как и в случае слоя, «слабые» пьезоэлектрики в сочетании с подложкой имеют малую статическую емкость: 0.813 у ZnO, 0.861 у CdS. У «сильных» пьезоэлектриков PZT5, ВаТЮз и ЦТС19 статическая емкость равна соответственно 182.25, 161.25 и 96.07.
Из графиков следует, что динамическая емкость имеет осциллирующий характер. ReG* лишь на малых частотах принимает положительные значения, с увеличением частоты она становится отрицательной, осциллируя по частоте, но оставаясь по модулю значительно меньше статической емкости. В целом ReG* положительна, но на высоких частотах ее значение уменьшается, что определяет условия возникновения ограниченных резонансов при включении электрода с металлизированным основанием в состав электрической цепи с сосредоточенными параметрами.
ImG* также неотрицательная величина: в некоторых диапазонах она имеет максимум, в других диапазонах ее значения достаточно малы. Таким образом, излучение из области контакта имеет максимум в ограниченном диапазоне частот. На большей части диапазона излучение сравнительно мало, что благоприятствует возникновению ограниченных резонансов.
Глава 13
ВЛИЯНИЕ НАЧАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙНА ДИНАМИКУ ЭЛЕКТРОУПРУГИХ
ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ СРЕД
В настоящей главе приводятся результаты исследования ряда динамических задач о колебании жестких штампов, пленочных и жестких электродов на поверхности пьезоактивных преднапряженных полуограниченных сред. Представленные закономерности составляют основу для разработки принципиально новых, базирующихся на использовании резонансных явлений подходов к проблеме оценки, контроля и мониторинга напряженного состояния деталей и узлов различных инженерных конструкций.
Любое изменение напряженного состояния среды влияет как на ее динамическую жесткость — реактивную силу, возникающую в среде при колебаниях жесткого штампа с единичной амплитудой, так и на ее динамическую емкость — заряд, наводимый на электроде при приложении единичного потенциала. Изменение напряженного состояния является относительно малой величиной по отношению к модулю упругости (порядка 10-4-10-5щ где р — модуль упругости среды). Изменение жесткости среды, равно как и изменение емкости, имеет тот же порядок. Поэтому основная проблема контроля напряженного состояния исследуемого объекта заключается в разработке эффективных методов регистрации изменений динамической жесткости или динамической емкости. Успешное решение этих проблем возможно лишь на основе изучения закономерностей влияния начальных напряжений на реакцию среды и на электрическую емкость пьезоэлектрика, поиска путей повышения чувствительности различных
Взаимодействие жесткого штампа с электроупругим слоем 231 электромеханических систем, взаимодействующих с исследуемым объектом, к изменению его напряженного состояния. Особый интерес может вызвать использование гибридных схем, сочетающих механические свойства системы «датчик-изделие» с возможностью включения емкости «электрод-металлизированная прослойка» составным элементом некоторого колебательного контура.
При проведении конкретных расчетов будем рассматривать следующие виды начального напряженного состояния: НДС1 — одноосное по оси хх (^П = Р, ^22 = ^ = 0), задается начальным относительным удлинением г/] = 1.005 (аналогично НДС2, НДСЗ);
2НДСЗ — двухосное (сг^ = о^ = р, а^ = 0), задается относительным удлинением 1/3 = 1.005 (аналогично по парам других осей);
ЗНДС — трехосное (сг^ = С33 = <Тц = р), задается начальным удлинением vn = 1.005, n = 1, 2, 3.
Особенности динамическоговзаимодействия жесткого штампас преднапряженным электроупругим слоем
В данном разделе исследуются закономерности динамического контактного взаимодействия жесткого штампа с преднапряженным электроупругим слоем, влияние различных видов напряженного состояния и величины начальной деформации на основные характеристики поверхностного волнового поля, динамическую жесткость и динамическую емкость пьезоактивной среды. Рассматриваются связанные задачи о колебании жесткого непроводящего штампа и пленочного электрода на поверхности пьезоактивной среды, а также связанная задача о колебании жесткого электрода на поверхности электроупругой среды.
Влияние начальных напряжений на динамические свойства слоя. Рассмотрим задачу о колебаниях преднапряженного электроупругого слоя 0 < Х3 < h, |xi, X2I < сю, выполненного из пьезоактивного материала
класса 6mm гексагональной сингонии. Основание слоя жестко сцеплено с недеформируемым основанием. Полагаем, что начальное напряженное состояние является однородным и создается за счет механических напряжений, поверхность среды электрически свободна.
Для исследования влияния начальных напряжений на основные характеристики поверхностного волнового поля рассмотрим построенное в разделе 6.2 дисперсионное уравнение
A°(ab а2, 7ц х2) =0, (13.1.1)
где функция А0 определяется формулами (6.2.7) и (6.2.8). На рис. 13.1.1, a-в представлены дисперсионные диаграммы — сечения дисперсионных поверхностей полуплоско-
Рис. 13.1.1. Влияние начальных напряжений на дисперсионные диаграммы слоя из ZnO. Одноосное состояние: а — по осям жь Ж2, б — по оси жз (штрих — жь пунктир — Ж2 и жз); в — двух- и трехосное состояния (пунктир — 2х, штрих — 3х)
стью а2 = 0, at = а > 0, рассчитанные при различных видах напряженного состояния для слоя из ZnO. Одноосным растяжениям НДС1 и НДС2 соответствуют штриховая
и пунктирная линии на рис. а (отмечены цифрами 1 и 2), состоянию НДСЗ (гидростатическое сжатие) — пунктирная линия на рис. б (отмечена цифрой 3). Пунктирной и штриховой линиями на рис. в (отмечены индексами 2х и 3х) представлены кривые, соответствующие 2НДСЗ и ЗНДС. Сплошными линиями (отмечены цифрой 0) на всех рисунках представлены кривые, соответствующие естественному состоянию. Из графиков следует, что растяжение по оси жь равно как и растяжение по оси жз, приводит к возрастанию критических частот возникновения мод и их фазовой скорости. Аналогичный, но более ярко выраженный эффект оказывает ЗНДС. Растяжение по оси Ж2 приводит к противоположному результату. Влияние 2НДСЗ носит более сложный характер: при общем уменьшении фазовых скоростей, в диапазоне обратных волн они возрастают. На критические частоты возникновения мод поверхностных волн 2НДСЗ почти не влияет, за исключением частоты исчезновения обратной волны — она возрастает.
Влияние перечисленных выше видов начального напряженного состояния на относительные фазовые скорости первых мод поверхностных волн, распространяющихся вдоль оси жь иллюстрируют графики, представленные на рис. 13.1.2 a-в. На рис. а приведены кривые, рассчитанные для НДС1 и НДС2 (использованы обозначения предыдущего графика), рис. б — для НДСЗ, рис. в соответствует 2НДСЗ и ЗНДС. Как следует из графиков, контролируя изменение фазовой скорости мод поверхностных волн, обладающих большей чувствительностью к напряженному состоянию среды, можно регистрировать его изменение.
Влияние начальных напряжений на динамическую жесткость слоя. Для изучения влияния начальных напряжений на динамическую жесткость пьезоактивного слоя рассмотрим задачу о вертикальных поступательных с амплитудой uq = 1 колебаниях жесткого непроводящего штампа, занимающего в плане область |ж1| < 1, |ж2, < оо, на поверхности преднапряженного элек- троупругого слоя 0 < ж3 ^ h, |ж1, жг| ^ оо, выполненного
Рис. 13.1.2. Влияние начальных напряжений на относительные фазовые скорости Vf/Vg на поверхности слоя из ZnO: а — одноосное состояние по ОСЯМ Ж1, Ж2, б — ПО ОСИ Жз (штрих — Жь пунктир — Ж2 и Жз); в — двухосное и трехосное состояния (пунктир — 2х, штрих — 3х)Рис. 13.1.2. Влияние начальных напряжений на относительные фазовые скорости Vf/Vg на поверхности слоя из ZnO: а — одноосное состояние по ОСЯМ Ж1, Ж2, б — ПО ОСИ Жз (штрих — Жь пунктир — Ж2 и Жз); в — двухосное и трехосное состояния (пунктир — 2х, штрих — 3х)
Рис. 13.1.2. Влияние начальных напряжений на относительные фазовые скорости Vf/Vg на поверхности слоя из ZnO: а — одноосное состояние по ОСЯМ Ж1, Ж2, б — ПО ОСИ Жз (штрих — Жь пунктир — Ж2 и Жз); в — двухосное и трехосное состояния (пунктир — 2х, штрих — 3х)
Рис. 13.1.2. Влияние начальных напряжений на относительные фазовые скорости Vf/Vg на поверхности слоя из ZnO: а — одноосное состояние по ОСЯМ Ж1, Ж2, б — ПО ОСИ Жз (штрих — Жь пунктир — Ж2 и Жз); в — двухосное и трехосное состояния (пунктир — 2х, штрих — 3х)
из пьезоактивного материала класса 6mm гексагональной сингонии. Трение в области контакта отсутствует, вне этой области поверхность механически свободна. Основание слоя жестко сцеплено с недеформируемым основанием. Полагаем, что начальное напряженное состояние является однородным и создается за счет механических напряжений.
Из изложенного в разделе 8.1.2 следует, что задача сводится к решению скалярного аналога интегрального уравнения (8.1.6)
1
(13.1.2)(13.1.3)(13.1.2)(13.1.3)k(xx - ^q^d< = и0, |Ж1| < L
(13.1.2)
(13.1.3)
(13.1.2)
(13.1.3)
-1
k(t) = Г к (a) eiat da, К (а) = К^3 (а)
г
относительно вектора напряжений ^(xi). Здесь функция Кзз(а) определяется формулой (8.1.8).
На рис. 13.1.3, 13.1.4 представлены графики, иллюстрирующие влияние различных видов начальной деформации на динамическую жесткость слоя из ZnO на различных диапазонах частот. Кривые Нев (в = Q^ — Qo,
Рис. 13.1.3. Влияние преднапряжений на динамическую жесткость слоя ZnO; в = Qa — Qo (Qo, Qa — жесткость слоя в естественном и преднапряженном состояниях): 1 — одноосное по жь 2 — одноосное по Ж2, 3 — одноосное по жз (значения уменьшены в 3 раза)
Qo, Qo — динамическая жесткость среды в естественном и начально-деформированном состояниях) представле-
аб
Рис. 13.1.4. Влияние преднапряжений на динамическую жесткость слоя ZnO; в = Qa - Qo (Qo, Qa — динамическая жесткость слоя в естественном и напряженном состояниях): Iх — одноосное по жз, 2х — двухосное, 3х — трехосное напряженные состояния
ны на рисунках а, в и д, кривые 1шЭ — на рисунках б, г и е. Цифрами 1, 2 и 3 на рис. 13.1.3 обозначены кривые, соответствующие НДС1, НДС2 и НДСЗ (значения НДСЗ на рис. д и е уменьшены в 3 раза). Индексами Iх, 2х и 3х на рис. 13.1.4 — кривые, соответствующие НДСЗ, 2НДСЗ и ЗНДС. Из графиков следует, что существуют диапазоны частот, на которых динамическая жесткость среды наиболее чувствительна к изменению напряженного состояния. При этом существуют диапазоны, в которых
влияние напряжений при различных начальных состояниях имеет качественно одинаковый характер, отличаясь лишь количественно. Но есть диапазоны, в которых влияние каждого вида начального напряженного состояния имеет свою специфику. На рис. 13.1.5 представлены кривые, соответствующие НДСЗ, 2НДСЗ и ЗНДС для слоя, вы-
Рис. 13.1.5. Влияние преднапряжений на динамическую жесткость слоя ВаТЮз; в = Q^ — Qq (Qo, Q^ — динамическая жесткость слоя в естественном и напряженном состояниях): Iх — одноосное, 2х — двухосное, 3х — трехосное напряженные состояния
полненного из ВаТЮз. Сравнивая графики на рис. 13.1.4 и на рис. 13.1.5, видно, что в некоторых диапазонах частот влияние начального напряженного состояния на динами-
ческую жесткость различных материалов носит качественно идентичный характер, отличаясь лишь количественно, на других диапазонах имеет место качественное отличие. Представленные результаты свидетельствуют о том, что соответствующим выбором диапазона частот можно добиться максимальной чувствительности динамической жесткости к изменению напряженного состояния среды.
Влияние начальных напряжений на динамическую емкость пьезоэлектрика. Для изучения влияния начальных напряжений на динамическую емкость пьезоактивного слоя рассмотрим задачу о колебаниях предна- пряженного электроупругого слоя 0 < жз < Д, |жь Ж2, ^ сю, инициированных электрическим напряжением </?о = 1, подведенным к пленочному, занимающему в плане область |^i| ^ 1, |ж2, ^ сю на поверхности среды, электроду. Вне этой области поверхность электрически свободна. Основание слоя металлизировано, заземлено и жестко сцеплено с недеформируемым основанием, механические напряжения на поверхности слоя отсутствуют. Полагаем, что начальное напряженное состояние является однородным и создается за счет механических напряжений. Из изложенного в разделе 8.1.2 следует, что задача сводится к решению скалярного аналога интегрального уравнения (8.1.6)
1
' к^л-^Ж = »«. 1Ы<1,(13.1.4)
-1
Ц1) = ^ K(a)eiatda, К^ = К^(а)(13.1.5)
г
относительно вектора напряжений ^(жф. Здесь функция 7Q4(a) определяется формулой (8.1.8).
На рис. 13.1.6, 13.1.7 представлены графики, иллюстрирующие влияние различных видов начальной деформации на динамическую емкость G* = G — Gst, образованную электродом с металлизированным основанием слоя, на различных диапазонах частот. Здесь Gst — статическая емкость, значение электрической емкости, созданной
Рис. 13.1.6. Влияние преднапряжений на динамическую емкость слоя ZnO; т = G*CT — Gq (Gq, G* — динамическая емкость слоя в естественном и напряженном состояниях): 1 — одноосное по жц 2 — одноосное по Ж2;
3 — одноосное по жз
электродом с металлизированным основанием на нулевой частоте. Кривые Нет (т = G*a — G*, G*, G* — динамическая емкость в естественном и начально-деформированном состояниях) представлены на рисунках а, в и д, кривые 1шт — на рисунках б, г и е. Цифрами 1, 2 и 3 на рис. 13.1.6 отмечены кривые, соответствующие НДС1, НДС2 и НДСЗ, на рис. 13.1.7 (отмечены индексами Iх, 2х и 3х) — кривые, соответствующие НДСЗ, 2НДСЗ и ЗНДС для слоя, выполненного из ZnO. Из графиков следует, что влияние
Рис. 13.1.7. Влияние преднапряжений на динамическую емкость слоя ZnO; т = G*CT — Gq (Gq, G* — динамическая емкость слоя в естественном и напряженном состояниях): Iх — одноосное, 2х — двухосное, 3х — трехосное напряженные состояния
начальных напряжений на динамическую емкость носит резонансный характер: на большинстве частот оно мало ощутимо, но на некоторых имеет ярко выраженный максимум. Сравнивая графики на рис. 13.1.6 и 13.1.7, нетрудно заметить, что на некоторых диапазонах качественный характер влияния для различных видов напряженных состояний сохраняется, имеют место лишь количественные изменения, на других диапазонах влияние претерпевает качественное изменение. На рис. 13.1.8 представлены кри-
вые, соответствующие НДСЗ, 2НДСЗ и ЗНДС для слоя, выполненного из ВаТЮз. Как следует из графиков, вли-
Рис. 13.1.8. Влияние преднапряжений на динамическую емкость слоя ВаТЮз; т = G*CT — Gq (Gq, G* — динамическая емкость слоя в естественном и напряженном состояниях): Iх — одноосное, 2х — двухосное, 3х — трехосное напряженные состоянияРис. 13.1.8. Влияние преднапряжений на динамическую емкость слоя ВаТЮз; т = G*CT — Gq (Gq, G* — динамическая емкость слоя в естественном и напряженном состояниях): Iх — одноосное, 2х — двухосное, 3х — трехосное напряженные состояния
Рис. 13.1.8. Влияние преднапряжений на динамическую емкость слоя ВаТЮз; т = G*CT — Gq (Gq, G* — динамическая емкость слоя в естественном и напряженном состояниях): Iх — одноосное, 2х — двухосное, 3х — трехосное напряженные состояния
Рис. 13.1.8. Влияние преднапряжений на динамическую емкость слоя ВаТЮз; т = G*CT — Gq (Gq, G* — динамическая емкость слоя в естественном и напряженном состояниях): Iх — одноосное, 2х — двухосное, 3х — трехосное напряженные состояния
яние НДС для этого материала на несколько порядков превышает влияние НДС для ZnO. Сравнивая графики на рис. 13.1.7 и на рис. 13.1.8, видно, что на некоторых диапазонах влияние начального напряженного состояния на динамическую емкость структур из различных материалов носит качественно идентичный характер, отличаясь лишь количественно, на других диапазонах имеет место ка-
чественное различие. Представленные графики свидетельствуют о том, что соответствующим выбором диапазона частот можно добиться максимальной чувствительности динамической емкости к изменению напряженного состояния слоя из пьезоактивного материала и тем самым существенно повысить эффективность контроля напряженного состояния.
Особенности динамическоговзаимодействия электрода со структурнонеоднородной пьезоактивной средой
В данном разделе исследуются закономерности динамического контактного взаимодействия жесткого штампа с преднапряженной структурно неоднородной средой, влияние различных видов напряженного состояния и величины начальной деформации на основные характеристики поверхностного волнового поля, динамическую жесткость и динамическую емкость неоднородной пьезоактивной среды.
Влияние начальных напряжений на динамические свойства пьезоактивной структурно неоднородной среды. Для изучения влияния начальных напряжений на динамические свойства пьезоактивной структурно неоднородной среды рассмотрим задачу о колебаниях пьезоактивного слоя 0 < ж3 ^ h, |жь ж2| ^ сю, лежащего на поверхности диэлектрического полупространства. На поверхности раздела выполняются условия жесткого сцепления. Полагаем, что начальное напряженное состояние является однородным и создается за счет механических напряжений. Для исследования основных характеристик поверхностного волнового поля рассмотрим построенное в разделе 6.3 дисперсионное уравнение
А°(аь ад, 7д х2) =0,(13.2.1)
где функция Д° определяется формулами (6.3.4) и (6.3.5).
На рис. 13.2.1, а-е представлены фрагменты дисперсионных диаграмм — сечения дисперсионных поверхностей полуплоскостью «2 = 0, «1 = а = 0, рассчитанные для структуры ZnO/SiO2 (плавленый кварц) при различ-
Рис. 13.2.1. Фрагменты дисперсионных диаграмм структуры ZnO/SiOp; влияние начальных напряжений: а, б, в — одноосное состояние по осям жь жр; г, д, е — по оси жз (1 — жь 2 — жр, 3 — жз, 0 — естественное состояние, 4 — скорости сдвиговых волн в слое и подложке)
них видах напряженного состояния для диапазонов частот, включающих моменты возникновения мод. Состояниям НДС1 и НДС2 соответствуют штриховая и пунктирная линии на рис. а, б, в (отмечены цифрами 1 и 2),
НДСЗ — пунктирная линия на рис. г, д, е (отмечена цифрой 3). Сплошными линиями на всех рисунках (отмечены цифрой 0) представлены кривые, соответствующие естественному состоянию, тонкие пунктирные линии (отмечены цифрой 4) соответствуют сдвиговым скоростям слоя и полупространства. Из графиков следует, что растяжение по оси Ж2 приводит к уменьшению критических частот возникновения первых мод поверхностных волн и уменьшению их фазовых скоростей. Растяжение по оси Ж] приводит к возрастанию значений критических частот возникновения первых мод и увеличению их фазовых скоростей. Аналогичный эффект наблюдается при растяжении по оси жз, причем в этом случае возрастание усиливается с увеличением номера моды.
На рис. 13.2.2 а-б представлены графики, иллюстрирующие влияние различных видов начальной деформации
Рис. 13.2.2. Влияние начальных напряжений на относительные фазовые скорости Vf/Vs на поверхности структуры ZnO/SiO2: а — одноосное состояние по осям жь Ж2; б — по оси жз; штрих — жц пунктир — Ж2 и жз, (1 — жь 2 — Ж2, 3 — жз, 0 — естественное состояние)
на относительную фазовую скорость первых мод поверхностных волн. Цифрами 1 и 2 на рис. а отмечены кривые (штриховые и пунктирные линии), соответствующие НДС1 и НДС2, цифрой 3 на рис. б отмечены пунктирные линии, соответствующие НДСЗ. Сплошная линия на обоих рисунках соответствует естественному состоянию. Как видно из графиков, растяжение по осям х\ и жз приводит к возрастанию фазовых скоростей мод поверхностных волн, при растяжении по оси х2 фазовая скорость уменьшается.
Представленные графики свидетельствуют о том, что, регистрируя изменение фазовой скорости мод поверхностных волн, можно контролировать изменение напряженного состояния пьезоактивной среды.
Влияние начальных напряжений на динамическую жесткость структурно неоднородной среды. Для изучения влияния начальных напряжений на динамическую жесткость структурно неоднородной среды рассмотрим задачу о вертикальных поступательных колебаниях с амплитудой uq = 1 жесткого непроводящего штампа, занимающего в плане область |ж1| ^ 1, (ад! ^ сю, на поверхности преднапряженной пьезоактивной структурно неоднородной среды. Среда представляет собой электроупругий слой 0 < ж3 < h, |жь яд] < сю, выполненный из пьезоактивного материала класса 6mm гексагональной сингонии, лежащий на поверхности диэлектрического полупространства. Колебания штампа осуществляются под действием приложенной к нему нагрузки, трение в области контакта отсутствует. Вне этой области поверхность среды механически и электрически свободна. На поверхности раздела слоя и полупространства выполняются условия жесткого сцепления. Полагаем, что начальное напряженное состояние является однородным и создается за счет механических напряжений. Из изложенного в разделе 8.3.2 следует, что задача сводится к решению скалярного аналога интегрального уравнения (8.3.7)
~дШ^ d^ — uq, |Ж1|1,(13.2.2)
-1
kw(6 = ^ K^eiatda, К^ = К1М (13.2.3) г
относительно контактных напряжений дз(ж]). Функция ^3(«) определяется формулой (8.3.9).
На рис. 13.2.3, а-г представлены графики, иллюстрирующие влияние различных видов начальной деформации на динамическую жесткость структурно неоднородной
Рис. 13.2.3. Влияние преднапряжений на динамическую жесткость структуры ZnO/SiO2; в = Qct - Qo (Qo, Qa — динамическая жесткость структуры в естественном и напряженном состояниях): а, б — одноосное по осям Ж1, Ж2, жз (1 — Ж1, 2 — Ж2, 3 — жз с множителем 0.16); в, г: Iх — одноосное, 2х — двухосное, 3х — трехосное напряженные состояния
среды, представляющей собой слой ZnO на подложке из плавленого кварца. Кривые Не© (© = Q& — Qo, Qo, Qa — динамическая жесткость среды в естественном и начально- деформированном состояниях) представлены на рис. а, в, кривые Im© — на рис. б, г. Цифрами 1, 2 и 3 на рис. а и б отмечены кривые, соответствующие НДС1, НДС2 и НДСЗ, причем значения, соответствующие НДСЗ уменьшены в 6 раз. Как следует из графиков, изменение напряженного состояния приводит к существенному изменению динамической жесткости, причем на некоторых частотах оно мало, на некоторых весьма значительно. На рис. в и г представлены кривые, соответствующие НДСЗ, 2НДСЗ и ЗНДС (отмечены индексами Iх, 2х и 3х), из которых следует, что влияние этих состояний на динамическую жесткость структуры ZnO/Si©2 на порядок превосходит влияние НДС1 и НДС2.
Представленные графики иллюстрируют возможность эффективного контроля напряженного состояния полуогра- ниченной неоднородной среды путем регистрации изменений динамической жесткости среды.
Влияние начальных напряжений на динамическую емкость неоднородной пьезоактивной среды. Для изучения влияния начальных напряжений на динамическую емкость рассмотрим связанную задачу о колебаниях преднапряженной электроупругой среды, которая представляет собой пьезоактивный слой О < жз < Д, |жь ж2| < °0’ лежащий на поверхности диэлектрического полупространства. Колебания инициированы электрическим напряжением </?о = 1, подведенным к пленочному электроду, занимающему в плане область |xi| < 1, |ж2, ^ сю на поверхности среды. Вне этой области поверхность электрически свободна. Механические напряжения на поверхности слоя отсутствуют. Поверхность раздела слоя и полупространства металлизирована, заземлена и жестко сцеплена с недеформируемым основанием. Полагаем, что начальное напряженное состояние является однородным и создается за счет механических напряжений. Из изложенного в разделе 8.3.2 следует, что задача сводится к решению скалярного аналога интегрального уравнения (8.3.7)
1
’ -€)»4«)d€ = v»o. hl<l. (13.2.4) -1
k^t) = ^ K(a)eiat da, K(a) = K^4(a) (13.2.5) г
относительно 94 = —g(x\), g — распределение плотности заряда. Здесь функция К44(а) определяется формулой (8.3.9).
На рис. 13.2.4, а-г представлены графики, иллюстрирующие влияние различных видов начальной деформации на динамическую емкость, образованную электродом с металлизированным основанием слоя. Кривые Нет
Рис. 13.2.4. Влияние преднапряжений на динамическую емкость структуры ZnO/SiO2; т = G* — Gq (Gq, G* — динамическая емкость структуры в естественном и напряженном состояниях): а, б — одноосное по осям х\ — 1, $2 — 2, хз — 3; в, г: Iх — одноосное, 2х — двухосное, 3х — трехосное напряженные состояния
(т = G* — G*, G*, G* — динамическая емкость в естественном и начально-деформированном состояниях) представлены на рис. а и в, кривые Im г — на рис. биг. Цифрами 1, 2 и 3 на рис. а и б отмечены кривые, соответствующие НДС1, НДС2 и НДСЗ, на рис. в и г индексами Iх, 2х и 3х отмечены кривые, соответствующие НДСЗ, 2НДСЗ и ЗНДС. Из графиков следует, что влияние начальных напряжений на динамическую емкость существенно зависит от частоты. Существуют частоты, на которых чувствительность динамической емкости к изменению напряженного состояния довольно высока. Сравнивая графики на рис. а и в, видно, что на некоторых диапазонах влияние различных видов начального напряженного состояния носит качественно идентичный характер, отличаясь лишь количественно. На других диапазонах это влияние качественно различается. Как и в предыдущих разделах, представленные графики иллюстрируют возможность контроля напря-
женного состояния полуограниченной среды путем регистрации изменений динамической емкости среды.
Из изложенного в настоящей главе следует, что задача действенного контроля напряженного состояния среды сводится к необходимости разработки методов, обеспечивающих эффективную регистрацию изменений либо динамической жесткости, либо динамической емкости пьезоактивной среды. Одним из перспективных путей в этом направлении является применение электромеханических систем, контактирующих с исследуемым объектом, и использование возникающих при таком взаимодействии резонансных явлений.
Глава 14
ДИНАМИКА РЕЗОНАНСНЫХ СИСТЕМ,ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С
ПЬЕЗОАКТИВНЫМИ СРЕДАМИ
Исследования, описанные в предыдущих разделах, показали, что начальное напряженное состояние существенным образом влияет на динамические свойства пьезоактивных сред, их динамическую жесткость и емкость. Выявленные особенности поведения динамической жесткости и динамической емкости пьезоактивных сред открывают путь к изучению закономерностей динамики различных резонансных систем, взаимодействующих с преднапряжен- ными пьезоактивными средами.
Резонансные свойстваэлектромеханической системы,взаимодействующей с пьезоактивной средой
Исследования показали, что массивный штамп при контакте с упругой средой образует колебательную систему, обладающую определенными резонансными свойствами. Вопросы поведения таких систем детально изучены в [3, 11, 12, 28, 30 и др.]. Резонансные эффекты возникают и при включении образованной пьезоэлектриком емкости в электрический колебательный контур с сосредоточенными параметрами. Исследования показали [24, 29, 31, 47], что в такой системе могут возникать как изолированные неограниченные, так и ограниченные резонансы, что определяется типом полуограниченной среды (электроупругий слой или электроупругое слоистое полупространство).
Для изучения свойств электромеханической системы, включающей пьезоактивную среду, рассмотрим колебания жесткого массивного электрода на поверхности электро- упругой среды, содержащей металлизированный, параллельный поверхности слой. Электрод занимает область |ж1| < а, |ж2, С сю, трение в области контакта отсутствует, вне этой области поверхность электрически свободна, механические напряжения отсутствуют. Емкость, образованная электродом с металлизированным покрытием, совместно с индуктивностью L последовательно подключена к источнику напряжения. Электрод совершает колебания либо под действием приложенной к нему силы Pe-^, либо под действием источника напряжения Ее~гш1. Схема описанной выше электромеханической системы приведена на рис. 7.2.2.
В разделе 7.2 было установлено, что уравнение электрической цепи, аналогичной представленной на рис. 7.2.2, определяется формулой (7.2.4), которая в данном случае имеет вид
-%2LG + ^ = Е, (14.1.1)
где у — потенциал на электроде, Е — напряжение электрического источника, и — безразмерная частота, L — индуктивность, G — суммарный заряд на электроде, который представляется выражением:
а
(14.1.2)(14.1.2)G =g^x\^dx\.
(14.1.2)
(14.1.2)
—а
Пусть электрод совершает поступательные вертикальные колебания, трение в области контакта отсутствует. При таких условиях задача дополнится уравнением движения массивного штампа (7.1.3):
—ти2 — Р — Q,—ти2 — Р — Q,(14.1.3)(14.1.3)
—ти2 — Р — Q,
—ти2 — Р — Q,
(14.1.3)
(14.1.3)
здесь Q — реакция среды, которая определяется выражением
а
Q = ?Ц1) dx\.(14.1.4)
—а
Участвующие в выражениях (14.1.2) и (14.1.4) функции g(xx) и q(xx) суть плотность распределения заряда и контактные напряжения в зоне контакта, которые в общем случае являются неизвестными и находятся из согласованного решения системы интегральных уравнений, определяющих движение электрода на поверхности пьезоактивной среды и уравнений (14.1.1) и (14.1.3).
Введем нормированные значения реакции среды QOn и заряда на электроде Gon, п = 1, 2, которые определяются выражениями:
QonQonQo-n^i) dxx, GonQo-n^i) dxx, Gon^0n(x\)dx\,(14.1.5)^0n(x\)dx\,(14.1.5)
Qon
Qon
Qo-n^i) dxx, Gon
Qo-n^i) dxx, Gon
^0n(x\)dx\,(14.1.5)
^0n(x\)dx\,(14.1.5)
где don(^i) и допЦ1) — решения систем уравнений:
^н9оп + kx^don — ипk^xdon + k^don = In^н9оп + kx^don — ипk^xdon + k^don = In1, О, О, 1,1, О, О, 1,п = 1п = 2 ’п = 1п = 2 'п = 1п = 2 ’п = 1п = 2 '(14.1.6)(14.1.6)
^н9оп + kx^don — ип
k^xdon + k^don = In
^н9оп + kx^don — ип
k^xdon + k^don = In
1, О, О, 1,
1, О, О, 1,
п = 1
п = 2 ’
п = 1
п = 2 '
п = 1
п = 2 ’
п = 1
п = 2 '
(14.1.6)
(14.1.6)
на электроде G можнона электроде G можноТогда реакцию среды Q и заряд
на электроде G можно
на электроде G можно
представить в виде:
Q — uQq\ + 97Q02, G — uGqi + ^Gq-i. (14.1.7)
Замечание 14.1. При n = 1 функции Qoi и Gqi определяют реакцию среды и величину заряда, наведенного на жестком, закороченном на металлизированную прослойку электроде в ответ на его единичное смещение. Функция Qoi представляет собой динамическую «квазижесткость» — реактивную силу, которая действует со стороны среды в ответ на единичное смещение электропроводящего штампа, накоротко соединенного с металлизированной прослойкой.
При п = 2 функции Q02 и Gq2 определяют реакцию среды и величину заряда, наведенного на электроде, в ответ на единичное напряжение, приложенное к жестко защемленному в механическом плане электроду. Функция G02 представляет собой «квазиемкость» — заряд, наведенный на электроде при единичном потенциале, в условиях механического защемления области контакта. Подставляя выражения (14.1.7) с учетом представлений (14.1.5) в уравнения (14.1.1) и (14.1.3), получаем систему уравнений, описывающую движение массивного электрода с учетом заданных условий его подключения к электрическому источнику:
ЦСсн - тх2) += Р,Н4 181
-Lx2GtixuP^\ -Lx2G0^ = Е. V )
Из системы (14.1.8) видно, что резонансные свойства электроупругой среды, контактирующей с массивным электродом при последовательном его включении через индуктивность к источнику напряжения, определяются уравнением:
(Qoi - mx2)(l - Lx2G0^ + L^Goi^ = 0.(14.1.9)
Участвующие в представлении системы (14.1.6) интегральные операторы определяются типом среды, с которой контактирует рассматриваемая система.
Для анализа свойств нулей уравнения (14.1.9) целесообразно представить его в виде:
/1=/2,(14.1.10)
где
P-mx2, f2 = Q01 + f^01^2-(14.1.11)
1 - LxzG02
Представление (14.1.11) позволяет графическим образом исследовать резонансные свойства системы (14.1.8), включающей конкретные виды полуограниченных пьезоактивных сред.
Колебания электромеханическойсистемы, взаимодействующей
с пьезоактивным слоем в отсутствиеначальных напряжений
Рассмотрим колебания электромеханической системы, которая представляет собой жесткий массивный электрод, взаимодействующий с электроупругим слоем 0 < жз С h, нижняя грань которого металлизирована и жестко защемлена. Электрод занимает область |ж1| < а, |ж2, ^ сю, трение в области контакта отсутствует, вне этой области поверхность электрически свободна, механические напряжения отсутствуют. Емкость, образованная электродом с металлизированным покрытием, совместно с индуктивностью L последовательно подключена к источнику напряжения. Электрод совершает колебания либо под действием приложенной к нему силы Pe~wt, либо под действием источника напряжения Ee~zwt.
Участвующие в системе (14.1.6) интегральные операторы в отсутствие начальных напряжений определяются формулами (12.2.13), (12.2.14). На рис. 14.2.1, а-е представлены графики динамической «квазижесткости» Qoi (рис. а и б), динамической «квазиемкости» Gq2 (рис. виг, Gq2 = G02 — Gq2, Gq2 — статическая «квазиемкость» на нулевой частоте) и функций Gqi = Q02 (рис. д и е). На рис. а, вид приведены графики, рассчитанные для керамики PZT4, на рис. б, г и в — графики для монокристаллов ZnO. Вещественные составляющие представлены сплошными, мнимые составляющие — штриховыми линиями. Из графиков на рис. аиб можно заключить, что динамическая «квазижесткость» слоя сохраняет свойства, присущие динамической жесткости: ReQoi имеет осциллирующий характер, несмотря на электрическое соединение электрода с металлизированной прослойкой, ImQoi С 0. Тем самым обеспечиваются условия возникновения неограниченных или ограниченных резонансов. Аналогично, динамическая
Рис. 14.2.1. Динамическая «квазижесткость» Qoi и «квазиемкость» £92 слоя из пьезоактивных материалов: а, в, д — PZT4; б, г, е — ZnO, сплошная — вещественная, штрих — мнимая составляющие
«квазиемкость» слоя Gq2 также сохраняет свойства, присущие динамической емкости.
Для дальнейшего исследования введем понятия критической массы и критической индуктивности:
_ о2
mKp = QOi(x*)x*~ , LKp = х* G^x*\(14.2.1)
где х* — частота «запирания» слоя. На рис. 14.2.2, а-б представлены графики функций fn, п— 1, 2, определяемых формулами (14.1.11), в зависимости от частоты при различных значениях массы электрода и индуктивности, рассчитанные для монокристалла ZnO (рис. а) и керамики
Рис. 14.2.2. Кривые /ь /2, определяющие резонанс электромеханической системы, включающей пьезоактивный слой: а — ZnO, б — PZT4 при массе электрода т (1 — 148; 2 — 8.4; 3 — 3.8, 4 — 0) и индуктивности L (5 — 1.6, 6 - 0.01)
PZT4 (рис. б). Цифрами 1, 2, 3 и 4 обозначены кривые Д при значениях массы электрода, равных 10ткр, 5ткр, ткр, т = 0 соответственно, цифрами 5 и 6 — кривые Д при значениях индуктивности Ькр и L = 0.01. Из графиков следует, что для «слабого» пьезоэлектрика ZnO при L = 0.01 может быть только один изолированный резонанс при условии т ^ ткр. Увеличение значения индуктивности приводит к тому, что изолированный резонанс может возникать при меньших значениях массы электрода. При L = Лкр изолированный резонанс может иметь место при нулевой массе электрода. При L > L^ существует либо один изолированный резонанс (при малых массах электрода), либо два резонанса при условии т ^ ткр. Для «сильного» пьезоэлектрика PZT4 при L = 0.01 один изолированный резонанс может быть уже для невесомого штампа. При условии т ^ ткр существует два изолированных резонанса — максимальное количество. Увеличение значения индуктивности приводит лишь к понижению частот возникновения изолированных резонансов. Из вышеизложенного следует, что резонансные свойства электромеханической системы существенно зависят от материала пьезоэлектрика. Характерно, что увеличение значения индуктивности при фиксированной массе электрода, равно как и увеличение массы электрода при фиксированном значении индуктивности, приводит к понижению частоты изолированного резонанса. Тем самым, изменяя величину индуктивности, можно
управлять как значением резонансной частоты, так и количеством изолированных резонансов. Анализ показал, что способ подключения массивного электрода в электрическую цепь, равно как и значение сосредоточенных элементов этой цепи (в данном случае индуктивности), также существенным образом влияют на изолированные резонансы.
На рис. 14.2.3, а и б приведены характерные графики, иллюстрирующие резонансное поведение амплитуды перемещения массивного электрода и (кривые отмечены цифрами 1 и 2) и наведенного на нем потенциала <р (кривые отмечены цифрами 3 и 4), рассчитанные для различных диапазонов частот. Электрод массы т = 5.3871 включен в электрическую цепь последовательно с индуктивностью L = 1.82. Кривые 1 и 3 представляют механический, кривые
Рис. 14.2.3. Резонансный режим колебаний массивного электрода при т = 5.3871, L = 1.82. 1 — амплитуда смещений Up, 3 — амплитуда потенциала рр при механическом возбуждении; 2 — амплитуда смещений Up, 4 — амплитуда потенциала рр при электрическом возбуждении
2 и 4 — электрический способы возбуждения электромеханической системы. Графики иллюстрируют резонансные свойства электромеханической системы, включающей элек- троупругий слой. Из графиков следует, что резонансные кривые существенно зависят от рассматриваемого диапазона частот. Выбирая необходимый тип резонансной кривой, необходимо отслеживать диапазон частот, в котором эта кривая обладает максимальной амплитудой. Отметим, что резонансная частота определяется динамическими характеристиками среды: динамической «квазижесткостью» Qoi. динамической «квазиемкостью» Gq2 и функциями
9 В. В. Калинчук, Т. И. Белянкова
Qoi = GW Любое изменение состояния среды, приводящее к изменению этих характеристик, влечет за собой изменение резонансной частоты.
Колебания электромеханическойсистемы, включающей пьезоактивный слой
на диэлектрическом полупространстве
Массивный штамп при контакте с однородным полупространством [18, 45] образует колебательную систему с малой добротностью, что определяет возможность возникновения лишь ограниченных резонансов с малой амплитудой. Это обусловлено значительным геометрическим поглощением полупространства, которое проявляется в виде растущего по частоте модуля мнимой составляющей реакции среды. Неоднородность полупространства изменяет добротность системы, в частности повышает ее при увеличении жесткости подстилающего полупространства по отношению к слою. Это остается справедливым и для электромеханической системы «массивный электрод-электроупругая среда» при непосредственном подключении электрода к источнику напряжения, что следует из поведения ImQoi- Однако включение индуктивности последовательно с электродом в состав колебательного контура может резко усилить резонансные свойства рассматриваемой системы.
Колебания электромеханической системы. Рассмотрим колебания электромеханической системы, которая представляет собой жесткий массивный электрод, лежащий на поверхности электроупругого слоя 0 < ж3 < h, нижняя грань которого жестко сцеплена с диэлектрическим полупространством жз ^ 0. Поверхность раздела слоя с полупространством предполагается металлизированной. Электрод занимает область |ж[| ^ а, (яд) < сю и совершает вертикальные поступательные колебания либо под действием приложенной к нему силы Ре-гш1, либо под действием источника напряжения Ee~zwt. Трение в области контакта отсутствует. Емкость, образованная электродом с металлизирован-
ной поверхностью, последовательно с индуктивностью L (рис. 7.2.2) подключена к источнику напряжения.
Участвующие в системе (14.1.6) интегральные операторы в отсутствие начальных напряжений определяются формулами (12.4.10), (12.4.11).
На рис. 14.3.1 представлены графики «квазижесткости» Qoi (рис. а и б), «квазиемкости» Gq2 (рис. виг) и функций Gqi = Q02 (д и в), рассчитанные для структур
Рис. 14.3.1. Динамическая «квазижесткость» и «квазиемкость» пьезоактивных структур, а, в, д: 1 — ЦТС19/5Ю2, 2 — PZT4/SiO2; б, г, е: 1 — ZnO/SiO2, 2 - CdS/SiO2
«пьезоэлектрик-плавленый кварц». Вещественные составляющие представлены сплошными, мнимые — штриховыми
линиями. На рис. а, в, д приведены кривые, рассчитанные для структур, включающих керамику ЦТС 19 (отмечены цифрой 1) и PZT4 (отмечены цифрой 2). На рис. б, г, е приведены кривые, рассчитанные для структур, включающих монокристалл ZnO (отмечены цифрой 1) и для CdS (отмечены цифрой 2). Сравнивая графики на рис. 14.3.1 и рис. 12.4.3 и 12.4.4, нетрудно заметить, что, несмотря на некоторое отличие, вносимое условиями системы (14.1.6), в характере поведения «квазижесткости» Qoi со" храняются все особенности характера поведения динамической жесткости структуры Qq: ReQoi имеет осциллирующий характер, ImQoi является отрицательной функцией. Аналогично, «квазиемкость» Gq2 сохраняет все основные характеристики динамической емкости рассматриваемых структур. Тем самым обеспечиваются условия возникновения ограниченных резонансов.
На рис. 14.3.2, а, б приведены графики функции |и(я2)| (рис. я) и |у>| (рис. б), рассчитанные для случая электриче-
Рис. 14.3.2. Колебания массивного электрода на структуре ZnO/SiOp. Смещение — а, потенциал — 6. Массы 1 — m = 0, 2 — т = 0.4, 3 — т = 1, 4 — т = 0 при индуктивности L = 0.06; 5 — т = 0.7 при индуктивности
L = 0
ского возбуждения (Е = 1, Р = 0) при L = 0.06 и различных значений массы электрода т = 0 (кривая 1), т = 0.4 (кривая 2) и m = 1 (кривая 3). Случаю механического возбуждения (Е = 0, Р = 1) соответствуют кривая 4 (L = 0.06, m = 0) и кривая 5 (L = 0, т = 0.7). Из графиков следует, что необходимым условием возникновения ограниченного резонанса в системе «массивный электрод — электроупру-
Влияние преднапряжений на колебания 261 гая среда» является наличие индуктивности в цепи, соединяющей электрод с источником напряжения. Наличие массы приводит к изменению амплитуды резонанса, а также к изменению резонансной частоты в сторону уменьшения или в сторону увеличения, что определяется знаком ReQoi (кривые 1-3). Более эффективным является электрический способ возбуждения колебаний (кривые 1, 4). В отсутствие индуктивности резонанс является слабовыраженным (кривая 5).
Влияние преднапряжений на колебания электромеханической системы
Из вышеизложенного следует, что динамическая жесткость среды, равно как и динамическая емкость, определяют резонансные свойства электромеханической системы, включающей пьезоактивную среду. Любое изменение свойств среды будет приводить к изменению резонансных свойств электромеханической системы.
Влияние преднапряжений на колебания электромеханической системы, включающей пьезоактивный слой. Рассмотрим колебания электромеханической системы, включающей преднапряженный слой. В условиях задачи раздела 14.1.1 будем полагать, что начальное напряженное состояние слоя вызвано действием механических напряжений. Участвующие в уравнениях (14.1.6) интегральные операторы в этом случае определяются формулами (8.1.7)—(8.1.8). На рис. 14.4.1 представлены графики, иллюстрирующие влияние начальных напряжений на динамические характеристики среды. На рис. 14.4.1, а-г представлены графики функций в = (% — Q^ (рис. а и б) и т = G^ — G^ (рис. виг) в преднапряженном (отмечены индексом ст) и естественном (отмечены индексом 0) состоянии, рассчитанные для слоя из монокристалла ZnO. Сплошными линиями представлены кривые, соответствующие одноосному растяжению по оси Ж1 (отмечены цифрой 1), штриховыми линиями — кривые,
Рис. 14.4.1 Влияние начальных напряжений на динамические «квазижесткость» в — Qqi — Qoi и «квазиемкость» т = С^Г — Gg? слоя из ZnO. Одноосные состояния: 1 — по жь 3 — по жз
соответствующие растяжению по оси жз. Из графиков следует, что начальные напряжения существенным образом влияют на динамические «квазижесткость» и «квазиемкость» пьезоактивного слоя, причем каждое напряженное состояние имеет свои особенности.
На рис. 14.4.26 а и б представлены графики, иллюстрирующие влияние начальных напряжений на амплитуду колебаний и потенциал на электроде, рассчитанные при различных значениях параметров электромеханической системы, включающей пьезоактивный слой, и различных видах начального напряженного состояния. На рис. а представлены кривые при т = 2.9746, L = 0.002, на рис. б — при т = 5.514, L = 1.82. Цифрами 1, 3 и индексом 2х отмечены кривые, соответствующие растяжению по оси Ж1, жз и двухосному напряженному состоянию. Представленные графики наглядно иллюстрируют возможность контроля изменения напряженного состояния пьезоактивного слоя за счет регистрации изменения частоты резонанса по-
Рис. 14.4.2. Резонансные кривые потенциала р при различных значениях параметров электромеханической системы, включающей слой из ZnO: а — т = 2.9746; L = 0.002; б — т = 5.514; L = 1.82, и различных видах напряженного состояния: 1 — односное по жц 3 — односное по жз, 2Ж — двухосное
тенциала, наводимого на электроде в рамках электромеханической системы, включающей исследуемый объект. Как следует из графиков, подбором параметров механической системы можно повысить ее чувствительность к изменению напряженного состояния. В данном случае для растяжения по оси жз и двухосного напряженного состояния эффективными являются т = 2.9746, L = 0.002, для растяжения по оси Ж1 более эффективными являются т = 5.514, L = 1.82.
Влияние преднапряжений на колебания электромеханической системы, включающей неоднородную пьезоактивную структуру. В условиях сформулированной в разделе 14.2 задачи предполагаем, что пьезоактивный слой, лежащий на поверхности диэлектрического полупространства, подвержен действию начальных напряжений. Поверхность раздела слоя и полупространства металлизирована. Электрод последовательно с индуктивностью L подключен к источнику напряжения, занимает область Ц1| < а, |жг| < сю и совершает вертикальные поступательные колебания либо под действием приложенной к нему силы Ре~ш1:, либо под действием источника напряжения Ее~шК Трение в области контакта отсутствует. Схема электромеханической системы представлена на рис. 7.2.2. Участвующие в уравнениях
интегральные операторы в этом случае определяются формулами (8.3.8)-(8.3.9). На рис. 14.4.3, а и б представлены графики, иллюстрирующие влияние
Рис. 14.4.3. Влияние начальных напряжений на динамические «квазижесткость» в = Qqi — Qoi и «квазиемкость» т = G^ — ^02 структуры ZnO/SiOp. Состояния: 1 — односное по яд, 3 — односное по жз
начальных напряжений на динамические характеристики структуры ZnO/SiO2- На рис. а представлены графики функций в = (% — Сор на рис. б — графики функций т = ^02 — Gy® (индексом ст отмечены значения функции в преднапряженном состоянии, индексом 0 отмечены значения в естественном состоянии). Вещественные составляющие представлены сплошными, мнимые — штриховыми линиями. Цифрой 1 отмечены кривые, соответствующие одноосному растяжению по жь цифрой 3 — растяжению по жз. Как следует из графиков, каждое напряженное состояние определяет свой характер влияния на «квазижесткость» и «квазиемкость» структуры Zn/SiO2.
На рис. 14.4.4, а-е приведены графики, иллюстрирующие влияние начальных напряжений на динамику электромеханической системы: амплитуду колебаний электрода (рис. а, в, д) и потенциал на нем (рис. б, г, е) при механическом возбуждении. На рис. а, б представлены кривые соответствующие двухосному растяжению, на рис. в, г — одноосному растяжению по оси жь на рис. д, е — одноосному растяжению по оси Ж2 соответственно. Цифрами 1 и 2 отмечены кривые при m = 0, цифрой 3 — кривые при m = 0.67, цифрой 4 — при m = 1.1. При расчетах значение индуктивности полагалось равным 0.02. Из графиков
аб
де
Рис. 14.4.4. Влияние преднапряжений на динамику системы, включающей структуру ZnO/SiOp: ( = \iip\ - |гбр|, р = \рр\ - \рр\ (индексами 0 и ст отмечены значения функций в естественном и напряженном состояниях).
а, б — двухосное состояние; в, г — одноосное по жц д, е — одноосное по жр.
1 — растяжение, 2 — сжатие с т = 0, 3 — растяжение с т = 0.67, 4 — растяжение с т = 1.1
следует, что влияние начальных напряжений на динамику электромеханической системы, включающей пьезоактивную структуру ZnO/SiO2, носит резонансный характер, который существенным образом зависит от вида напряженного состояния. Исследования показали, что влияние начальных напряжений на динамику электромеханической системы зависит также от способа возбуждения электромеханической системы.
Список литературы
Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами. — М.: Наука, 1979. — 832 с.
Акустические кристаллы. Под ред. Шаскольской М. П. — М.: Наука, 1982. - 632 с.
Бабешко В. А. Высокочастотный резонанс массивного штампа Ц Докл. АН СССР, 1989. Т. 306. № 6. С. 1328-1332.
Бабешко В. А. К расчету параметров высокочастотного резонанса в трехмерном случае Ц ДАН СССР. 1994. Т. 335. № 1. С. 55-58.
Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. — М.: Наука, 1984. - 256 с.
Бабешко В. А., Бабешко О.М. Формулы факторизации некоторых мероморфных матриц-функций Ц ДАН. 2004. Т. 399. № 1. С. 163-167.
Бабешко В. А., Бабешко О.М. О методе факторизации в краевых задачах для сплошных сред Ц ДАН. 2004. Т. 399. № 3. С. 63-68.
Бабешко В. А., Белянкова Т.П., Калинчук В. В. О решении одного класса смешанных задач для слоистого полупространства Ц ДАН, 2001. Т. 380. № 5. С. 619-622.
Бабешко В. А., Белянкова Т.П., Калинчук В. В. Метод фиктивного поглощения в задачах теории упругости для неоднородного полупространства Ц ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 2. С. 276-284.
Бабешко В. А., Калинчук В. В. Метод фиктивного поглощения в связанных смешанных задачах теории упругости и математической физики для слоисто-неоднородного полупространства Ц ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 2. С. 285-292.
Бабешко В. А., Ворович И. И., Образцов И.Ф. Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями Ц МТТ. 1990. № 3. С. 74-83.
Бабешко В. А., Глушков Е.В., Зинченко Ж. Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. — М.: Наука, 1989. — 343 с.
Бабешко В. А., Пряхина О.Д. Метод фиктивного поглощения в плоских динамических задачах Ц ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 3. С. 477-484.
Бабешко В. А., Сыромятников П.В. К проблеме исследования локализации волновых процессов в электроупругих средах Ц Докл. РАН. 1995. 345. № 1.С. 50-53.
Белоконь А. В., Ворович И. И. Начально-краевые задачи динамической теории электроупругости Ц Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1982. № 2. С. 29-32.
Белоконь А. В., Наседкин А. В. О некоторых свойствах собственных частот электроупругих тел ограниченных размеров Ц ПММ. 1996. Т. 60. № 1. С. 151-158.
Белянкова Т.Н., Ворович И. И., Калинчук В. В. Низкочастотные резонансы при динамическом взаимодействии упругого тела с полуограни- ченной средой Ц ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 5. С. 860-865.
Белянкова Т.Н., Калинчук В. В. Динамика массивного тела, взаимодействующего с предварительно напряженным полупространством Ц Изв. РАН, МТТ. 1994. № 6. С. 83-94.
Белянкова Т.Н., Калинчук В. В. Динамика массивного тела, взаимодействующего с предварительно напряженным слоем Ц Изв. РАН, МТТ. 1998. № 2. С. 89-101.
Белый В.Н., Севрук Б. Б. Влияние постоянного электрического поля на свойства волн Лэмба в центросимметричных материалах с высокой диэлектрической проницаемостью Ц Докл. АН БССР. 1984. Т. 28. № 4. С. 332-335.
Боев С. И., Полякова И. Б. Об ограниченных В-резонансах в системе массивный штамп-слоистое основание И Изв. АН СССР, МТТ. № 6. 1990. С. 67-71.
Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. — М.: Наука, 1973. — 344 с.
Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. — М.: Наука, 1981. - 287 с.
Ворович Е.И., Зайцева И. А., Калинчук В. В. Некоторые динамические связанные задачи для электроупругого слоя Ц Совр. проблемы механики сплошной среды. Труды IV Междунар. Конф. Ростов н/Д; Издательство СКНЦ ВШ. Ростов н/Д. 1999. Т. 1. С. 107-110.
Ворович Е.И., Зайцева И. А., Калинчук В. В., Сатарова В. В. Об одной динамической связанной задаче для электроупругого слоя, лежащего на поверхности диэлектрического полупространства Ц Совр. проблемы механики сплошной среды. Труды V Междунар. Конф. Ростов н/Д; Изд-во: Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. Науки. 2000. Т. 1. С. 110-114.
Ворович И. И., Александров В.М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. — М: Наука, 1974. — 456 с.
Ворович И. И., Бабешко В. А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. — М: Наука, 1979. — 320 с.
Ворович И. И., Бабешко В. А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. — М.: Научный мир, 1999. - 246 с.
Ворович И. И., Белянкова Т.П., Зайцева И. А., Калинчук В. В. Резонансные свойства электроупругой полосы, взаимодействующей с сосредоточенными элементами различной природы Ц Совр. проблемы механики сплошной среды. Труды IV Междунар. Конф. Ростов н/Д; Издательство СКНЦ ВШ. Ростов н/Д. 1999. Т. 1. С. 111-114.
Ворович И. И., Белянкова Т.П., Калинчук В. В. К проблеме низкочастотных резонансов при взаимодействии упругого тела с полуограничен- ной средой Ц ДАН. 1998. Т. 358. № 5. С. 624-626.
Ворович И. И., Зайцева И. А., Калинчук В. В. Некоторые резонансные свойства электроупругой полосы Ц Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1999. № 4. С. 109-110.
Гетман И. ГЦ Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. — Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1993. — 144 с.
Горшков А. Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. — М.: Наука, 1995. — 352 с.
Градштейн И. С., Рыжик Н.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М: Физматгиз, 1962. — 1108 с.
Гринченко В. Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т. 5. Электроупругость. — Киев: Наукова Думка, 1989. — 279 с.
Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. — Киев: Наукова думка, 1986. Т. 1. — 376 с., Т. 2. — 536 с.
Гузь А.Н., Бабич С.Ю., Рудницкий В. Б. Контактное взаимодействие упругих тел с начальными напряжениями. — Киев: Вищ. школа, 1995. — 304 с.
Джоши С. Г. Электрическое регулирование времени задержки в линиях задержки на ПАВ в кристалле LiNbOg Ц ТИИЭР. 1982. Т. 70. Вып. 1. С. 112-113.
Жарий О.Ю., Улитко А. Ф. Введение в механику нестационарных колебаний и волн. — Киев: Вища школа. ГИ, 1989. — 184 с.
Зайцев Б.Д., Калинин В.Ю., Кузнецова И.Е. Нелинейное акустическое взаимодействие упругих волн в пластинах ниобата лития Ц Акуст. журнал. 1999. Т. 45. № 2. С. 229-234.
Зайцев Б.Д., Кузнецова И.Е. Влияние внешнего однородного электрического поля на свойства ПАВ Рэлея в ниобате лития Ц Акуст. журнал. 1997. Т. 43. № 1. С. 116-118.
Зайцев Б.Д., Кузнецова И.Е., Мысенко М.Б., Поляков П.В. Влияние внешнего электрического поля на свойства ПАВ Гуляева-Блюстейна в ниобате лития и титанате стронция Ц Акуст. журнал. 1998. Т. 44. № 6. С. 848-850.
Зубов Л.М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек. — Ростов н/Д.: Изд-во РГУ, 1982. — 143 с.
Зубов Л.М., Рудев А.Н. Об условиях существования продольных волн в анизотропной нелинейно-упругой среде Ц ДАН. 1994. Т. 334. № 2. С. 156-158.
Калашъян Е.В., Калинчук В. В. Об одном приближенном методе исследования многоэлектродных структур Ц Изв. Вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 1998. № 1. С. 27-31.
Калинчук В. В., Белянкова Т.Н. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных тел. — М.: Физматлит, 2002. — 240 с.
Калинчук В. В., Белянкова Т.Н. К проблеме исследования динамических смешанных задач электроупругости и термоупругости для слоисто-неоднородного полупространства Ц Изв. Вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2000. № 3. С. 74-76.
Калинчук В. В., Лысенко И. В., Полякова И. Б. Об особенностях взаимодействия колеблющегося штампа с неоднородным тяжелым основанием Ц ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 2. С. 301-308.
Калинчук В. В., Полякова И. Б. О возбуждении волн в слое с начальными напряжениями Ц ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 2. С. 320-326.
Козлов А. С., Колосовский Е.А., Тазиев Р.М. Срезы повышенной чувствительности к внешнему давлению для поверхностных акустических волн в ci-кварце И Акустический журнал. 1999. Т. 45. № 2. С. 242-249.
Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. — М.: ГИФМЛ, 1963. - 472 с.
Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. — М: Наука, 1980. — 512 с.
Ляв А. Математическая теория упругости. — М.: Наука, 1970. — 939 с.
Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред. — М.: Мир, 1991. - 560 с.
Морозов И. Ф. Математические вопросы теории трещин. — М.: Наука, 1984. - 255 с.
Наламвар А. Л., Эпштейн М. Деформационные эффекты в устройствах на поверхностных акустических волнах Ц ТИИЭР. Т. 64. № 5. 1976. С. 48-51.
Повацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. — М.: Мир, 1986. - 160 с.
Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. — М.: Наука, 1988. — 472 с.
Петрашень Г. И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. — Л.: Наука, 1980. — 280 с.
Поверхностные акустические волны в неоднородных средах / Бирюков С. В., Гуляев Ю. В., Крылов В. В., Плесский В. П. — М.: Наука, 1991. — 416 с.
Поручиков В. Б. Методы динамической теории упругости. — М.: Наука, 1986. - 328 с.
Пряхина О.Д., Смирнова А. В., Тукодова О.М. Метод фиктивного поглощения в динамических задачах электроупругости Ц ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 5. С. 834-839.
Пряхина О.Д., Фрейгейт М.Р. Связанная нестационарная задача о возбуждении электроупругого слоя массивным электродом Ц Изв. РАН, МТТ. 1998. № 2. С. 111-118.
Фарнелл Дж. Свойства упругих поверхностных волн. В кн.: Физическая акустика. Под ред. Мэзона У. — М.: Мир, 1973. Т. 6. С. 139-202.
Физическая акустика. Под ред. Мэзона У. — М.: Мир, 1966. Т. 1. Ч. А. - 592 с.
Шульга Н.А., Болкисев А.М. Колебания пьезоэлектрических тел. — Киев: Наукова Думка, 1990. — 228 с.
Achenbach J.D. Wave propagation in elastic solids. — Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1973. — 425 p.
Aleksandrov K.S., Sorokin B.P., Turchin P.P., Burkov S.L, Gluchkov D.A., Karpovich A. A. Effects of static electric field and of mechanical pressure on surface acoustical waves propagation in LagGasSiOn piezoelectric
single crystals Ц IEE Ultrason. Symp., Seattle, Wash., Nov. 7-10. 1995, Proc.-Piscataway (N.J.). 1995. P. 409-412.
Bach F., Askegaard V. General stress-velocity expression in acoustoelasticity Ц Exp. Meeh., 1979. 19. N 2. P. 69-75.
Babeshko V.A., Kalinchuk V. V. Application of localized wave resonances for evaluation of residual stresses. Review of Progress in Quantitative NDE, NDE University of Washington, Seattle, Washington. 1995. P. 128.
Baumhauer LC., Tiersten H.F. Nonlinear electroelastic equations for small fields superposed on bias // J. Acoust. Soc. Amer. 1972. 54. N 4. P. 1017-1034.
Bergman R.M., Shahbender. Effect of statically applied stressed on the velocity of propagation of ultrasonic waves // J. Appl. Phys. 1958. 29. 12. P. 1736-1739.
Bocardus E.H. Third-order elastic constants of Ge, MgO and fused SiO2 H J. Appl. Phys. 1965. 36. N 8. P. 2504-2513.
Bridgmann P. W. The compression of 39 substances to 100,000 kg/cm2 // Proc. Acd. Sci. Amsterdam. 1948. 76. P. 55-70.
Brugger K. Thermodynamic definition of higher order elastic coefficients // Phys. Rew. 1964. 133. N 6A. P. A1611-A1612.
Chai LF., Wu T. T. Propagation of surface waves in a prestressed piezoelectric material // J. Acoust. Soc. Amer. 1996. 100. N 4. Pt. 1. P. 2112-2122.
Chattopadhyay A., Kar B.K. On the dispersion curves of Love type waves in an internally stressed crystal layer having an irregular interface Ц Geoph. Res. Bull. (India). 1978. 16. P. 13-23.
Cho Y., Yamanouchi K. Nonlinear, elastic, piezoelectric, electrostrictive and dielectric constants of litium niobate // J. Appl. Phys. 1987. 61. N 3. P. 875-887.
Fine A.D., Shield R. T. Second-order effects in the propagation of elastic waves Ц Int. J. Solids and Struct. 1966. 2. 4. P. 606-620.
Gafka D. Influence of a biasing stress on the SAW velocity on piezoelectric substrate // Arch. Acoust. 1991. 16. N 1. P. 79-90.
Gaviglia G., Morro A. Asymptotic rays in prestressed, anisotropic, dissipative solids Ц Europ. J. Meeh. A Solids. 16 (1997). N 5. P. 857-877.
Graff K.F. Wave motion in elastic solids. — Oxford: Clarendon press, 1975. - 666 p.
Hayes M. Wave propagation and uniqueness in pre-stressed elastic solids // Proc. Roy. Soc. London, A. 1963. 274. N 1359. P. 500-506.
Hughes D. S., Kelly J.L. Second-order elastic deformation on solids // Phys. Rev. 1953. 92. N 5. P. 1145-1149.
Iwashimizu Yu. Ultrasonic wave propagation in deformed isotropic elastic materials // Int. J. Solids and Struct. 1971. 7. N 4. P. 419-429.
Jin J., Wang Q., Quek S. T. Lamb wave propagation in a metallic semiinfinite medium covered with piezoelectric layer // Intern. Journ. of Solids and Structures. 2002. 39. P. 2547-2556.
Liu H., Wang Z.K., Wang T.I. Effect of initial stress on the propagation behavior of Love waves in a layered piezoelectric structure // Intern. Journ. of Solids and Structures. 2001. 38. P. 37-51.
Ljamov V.E. Nonlinear acoustical parameters of piezoelectric crystals // J. Acoust. Soc. Amer. 1972. 52. N 1. Pt. 2. P. 200-202.
Mase G.T., Johnson G.C. An acoustoelastic theory for surface waves in anisotropic media // J. Appl. Meeh. 1987. 54. P. 127-135.
McMahon D.H. Acoustic second-harmonic generation in piezoelectric crystals Ц J. Acoust. Soc. Amer. 1968. 44. N 4. P. 1007-1013.
Murnaghan F.D. Finite deformation of an elastic solid. — N.-Y.: John Willey and Sons, 1951. — 140 p.
Musgraue M.J. Crystal acoustics. Introduction to the study of elastic waves and vibrations in crystals. — San Francisco: Holden Day, 1970. — 288 p.
Pao Y.H., Sachse W., Fukuoka H. Acoustoelasticity and ultrasonic measurements of residual stresses // Phys. Acoust. (Ed. Mason W. P., Thurston R.N., Academic, N.Y. 1984). Vol. 17. P. 62-143.
Richardson B.A., Thompson R.B., Wilkinson C.D.W. Finite-amplitude waves in dielectric crystals // J. Acoust. Soc. Amer. 1968. 44. N 6. P. 1608-1615.
Rokhlin S.I. Recent advances in waves in layered media // J. Phys. Sec. 4, 1992. 2. N 1. Pt. 2. P. 819-826.
Sinha B.K., Tanski W.J. Influenze of biasing stresses on the propagation of surface waves // J. Appl. Phys. 1985. V. 57. N 3. P. 767-776.
Smith R.T., Stern R., Stephens R.W.B. Third-order elastic moduli of polycrystalline metals from ultrasonic velocity measurements // J. Acoust. Soc. Amer. 1966. 40. N 5. P. 1002-1008.
Tanimoto T., Yamamoto K., Morii T. Nonlinear stress-strain behavior of piezoelectric ceramics under tensile loading // ISAF 94, Proc. Ninth. IEEE Int. Symp. Applications Ferroelectricy, IEEE. 1994. N 4. P. 394-397.
Thurston R.N. Effective elastic coefficients for wave propagation in crystals under stress // J. Acoust. Soc. Amer. 1965. 37. N 2. P. 348-356.
Thurston R.N., Brugger K. Third-order elastic constants and the velocity of small amplitude elastic waves in homogeneously stressed media // Phys. Rev. 1964. V. 133. N 6A. P. A1604-A1610.
Thurston R.N., McSkimmin H.J., Andreatch P. Third-order elastic constants of quartz // J. Appl. Phys. 1966. V. 37. N 1. P. 267-275.
Tiersten H.F. Elecrtoelastic interactions and the piezoelectric equations // J. Acoust. Soc. Amer. 1981. 70. P. 1567-1576.
Tiersten H.F. Electroelastic equations for electrode thin plates subject to large driving voltages // J. Appl. Phys. 1993. 74. N 5. P. 3389-3393.
Tiersten H.F. On the nonlinear equations of thermoelectroelasticity // Int. J. Eng. Sci. 1971. 9. P. 587-604.
Tito Frank A., Bufler John L., Rolf Kenneth D. Piezoelectric ceramic mechanical and electrical study // J. Acoust. Soc. Amer. 1994. 96. N 3. P. 1914-1917.
Tokuoka T., Saito M. Elastic wave propagation’s and acoustical birefringence in stressed crystals // J. Acoust. Soc. Amer. 1969. 45. N 5. P. 1241-1246.
Truesdell C. General and exact theory of waves in finite elastic strain // Arch. Rati. Meeh. Anal. 1961. 8. P. 263-296.
Willson A.L The anomalous surface waves in uniaxially stressed elastic material // Pure and Appl. Geophys. 1974. 112. 4. P. 667-674.
Yang, J.S., Batra R.C. К Theory of electrode thin thermopiezoelectric plates subject to large driving voltages // J. Appl. Phys. 1994. 76. N 9. P. 5411-5417.
Yasuhiko Nakagawa, Kazuhiko Yamanouchi, Kimio Shibayama Third-order elastic constants of litium niobate // J. App. Phys. 1973. 44. N 9. P. 3969-3974.
УДК 539.3ББК 30.1К17УДК 539.3ББК 30.1К17
УДК 539.3
ББК 30.1
К17
УДК 539.3
ББК 30.1
К17
Издание осуществлено при поддержке и Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 05-01-14064д
Калинчук В. В., Белянкова Т. И. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных электроупругих сред. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 272 с. - ISBN 5-9221-0668-6.
На основе последовательной линеаризации определяющих соотношений нелинейной механики электроупругих сред развита линеаризованная теория контактного взаимодействия полуограниченных предварительно напряженных пьезоактивных тел. Показаны особенности постановки краевых задач с использованием лагранжевых и эйлеровых координат, построены решения задач о колебаниях пьезоактивной среды с прямолинейными границами (слой, слоистое полупространство). Для этих типов сред выведены интегральные уравнения и исследованы их основные свойства. На основе анализа построенных решений выявлены закономерности влияния начальных напряжений на динамические процессы в пьезоактивных средах, изучены условия возникновения и возможности использования резонансных явлений для регистрации изменений начального напряженного состояния пьезоактивных деформируемых тел.
Для специалистов в области механики, физики, акустоэлектроники и приборостроения, неразрушающего контроля и дефектоскопии, студентов и аспирантов соответствующих специальностей.
Научное издание
КАЛИНЧУК Валерий Владимирович
БЕЛЯНКОВА Татьяна Ивановна