Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Настоящий сборник включает переводы статей американских, английских и японских авторов, посвященных динамике тонкостенных систем и опубликованных в самое последнее время. Если до сих пор в литературе по тонкостенным конструкциям—оболочкам и пластинкам — наибольшее внимание уделялось статике, то сейчас исследования в этой области относятся главным образом к задачам динамики. Изучение динамических процессов является актуальным для современной космической и авиационной техники, судостроения, строительства инженерных сооружений и т. д. Поэтому ознакомление с работами зарубежных авторов по динамическим проблемам теории тонкостенных систем представляет значительный интерес.
Надо иметь в виду, что уже решение статических задач теории оболочек требует применения весьма тонких математических методов. Что же касается динамических процессов, то для них трудна даже сама постановка задачи и создание физической модели. Следующий шаг — формулировка расчетной модели — связан во многих случаях с введением геометрической и физической нелинейностей, т. е. с учетом больших перемещений оболочек и пластинок и упругопластического деформирования материала. Наконец, рассмотрение математической модели приводит к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений и требует применения наиболее мощных цифровых вычислительных машин.
С другой стороны, экспериментальные исследования динамических процессов в тонкостенных системах также являются весьма трудными. .
В данном сборнике помещены как теоретические, так и экспериментальные труды. Материал можно условно разделить на четыре раздела. Первый из них посвящен проблеме выпучивания тонкостенных конструкций под действием динамических и ударных нагрузок. Напомним, что первая работа в мировой литературе, объяснившая своеобразный характер динамической потери устойчивости упругих систем в отличие от статического случая, принадлежит М. А. Лаврентьеву и А. Ю. Ишлинскому (см. Докл. АН СССР, 64, № 6, 779—782 (1949)).
В статье Тамуры и Бэбкока обсуждается задача о выпучивании круговых цилиндрических оболочек при внезапном нагружении осевым сжатием. Наибольший интерес при решении задачи представляет учет продольных сил инерции, а также исследование возможных форм начальных несовершенств. При оценке результатов данной статьи надо иметь в виду, что полученные авторами данные о динамических критических нагрузках сильно зависят от характера аппроксимации функции прогиба и их нельзя рассматривать как расчетные; статья представляет интерес главным образом с методологической стороны.
В статье Линдберга рассматривается несущая способность весьма длинной оболочки (кольца) при динамическом поперечном давлении. Предполагается, что вначале оболочка испытывает осесимметричное движение, а затем возникает из- гибная деформация. Этот переход от осесимметричного перемещения к деформации, характеризующийся тем или иным числом волн по окружности, отвечает «критическому» значению внешнего давления. Наступление такого перехода оказывается зависящим от начальных несовершенств в форме оболочки. В статье делается попытка определить «опасные» значения импульса, приложенного к оболочке.
К работе Линдберга примыкает статья Абрахамсона; в ней более подробно описывается процесс разрушения круговой цилиндрической оболочки, испытывающей осесимметричную деформацию. И здесь предполагается, что разрушение оболочки связано с нарастанием начальных вмятин, неизбежно появляющихся при изготовлении того или иного изделия, его транспортировке, хранении и эксплуатации. Важный вывод состоит в том, что оболочки, применяемые в технике, могут выдержать давления, при которых уровень начальных вмятин возрастает в десять—сто раз. Такой вывод вновь подтверждает идею, изложенную в цитируемой выше фундаментальной статье М. А. Лаврентьева и А. Ю. Ишлинского.
К той же теме относится работа Гинсберга. Но здесь в отличие от предыдущих статей используются соотношения геометрически нелинейной теории. Подробно анализируется влияние нелинейных эффектов. Отыскиваются точки бифуркации на амплитудно-частотных характеристиках, которые соответствуют появлению неосесимметричной формы движе> ния при осесимметричной основной деформации.
Второй раздел сборника относится к задачам термо- и магнитоупругости. В первой из статей этого цикла, статье Куперау обсуждается поведение круговой цилиндрической оболочки при воздействии на нее мощного изменяющегося во времени теплового потока; автор приводит в виде примера случай
ядерного взрыва. Математический аппарат исследования строится нн модели «ступенчатого» изменения теплового потока с последующим использованием интеграла Дюамеля.
Вторая статья раздела посвящена волнам напряжений, возникающим в проводящем полупространстве при наличии переменного во времени магнитного поля. В ней продолжаются известные работы Калиского и Новацкого по магнитотермоупругости ;новым является учет нелинейности влияния поля на деформацию твердого тела. Данные этой статьи можно использовать при исследованиях устойчивости стержней, пластинок и оболочек в переменном во времени магнитном поле.
Следующий раздел посвящен волновым процессам в деформируемых твердых телах с учетом различного типа эффектов, связанных со свойствами материалов,— вязкости, пластичности и т. д. Статья Курасигэ относится к описанию распространения волн сдвига в неоднородных средах. Предполагается, что эта неоднородность вызвана большими начальными деформациями или начальными напряжениями. Обсуждаются случаи материала со специфическими свойствами.
Содержание работы Перссона представляет интерес для экспериментаторов, занимающихся воздействием импульсов давления на различные сплошные среды. Рассматривается случай《косого》удара как по жидкой среде, так и по деформируемому твердому телу (пластинке), обладающему линейной упругостью.
В работе Блейка и Уилсона определяется характер распространения продольных волн в нелинейном вязкоупругом материале. Это направление является сейчас весьма актуальным: в различных областях техники все большее распространение находят композитные, или многослойные, материалы, некоторые элементы которых обладают нелинейной вязкоупругостью. С математической стороны задача представляет трудность из-за необходимости учета в каждый момент предыстории деформирования. Автор использует современные численные методы.
Весьма интересные результаты содержатся в статье Джэс- мена; в ней изучены слабые волны разного типа, распространяющиеся в упругопластических средах с различными свойствами.
Последний раздел сборника ценен тем, что в нем теоретические данные о действии импульсной нагрузки на твердые деформируемые тела сочетаются со сложными экспериментами. В работе Везенберга исследуются алюминиевые круговые цилиндрические оболочки, подвергающиеся импульсному осесимметричному нагружению. Таким образом, эта работа
перекликается со статьями первого раздела сборника. Экспериментальная часть статьи демонстрирует устройство, создающее магнитный импульс давления. Каждый из образцов подвергался динамическому выпучиванию, причем учитывались начальные неправильности формы. Приведены результаты скоростной киносъемки процесса деформирования оболочек.
Сложная задача о распространении волн в криволинейных стержнях рассматривается теоретически и экспериментально в статье Краули и др. Представляют интерес приведенные в работе динамические картины изохром. Эти данные дублировались показаниями тензодатчиков, передававшимися на двухлучевой осциллограф.
Последняя статья сборника, принадлежащая Чейзу и Голдсмиту, является чисто экспериментальной. Здесь для определения нестационарных напряжений в упруго-вязкопластическом стержне применены весьма сложные методы фотопластичности. Проведен подробный анализ данных высокоскоростной киносъемки, регистрирующей распространение волн напряжений при импульсном нагружении.
Таким образом, в настоящем сборнике освещаются новейшие теоретические и экспериментальные исследования по нестационарным процессам в деформируемых твердых телах, главным образом в оболочках и пластинках.
Необходимо отметить, что в публикуемых статьях слабо отражены многочисленные исследования по динамике оболочек и пластинок, выполненных в СССР. Этот пробел читатель может частично восполнить, обратившись, например, к библиографии, приведенной в монографиях автора этих строк «Нелинейная динамика пластинок и оболочек» （《Наука》，М., 1972） и «Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости» （《Наука》，М., 1976）.
А, С. Вольмир
ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕКПРИ СТУПЕНЧАТОМ НАГРУЖЕНИИ)
Ю. Тамура, К. Бэбкок
ВВЕДЕНИЕ
Вопросы устойчивости цилиндрических оболочек при осевом сжатии изучались многими исследователями. Большие усилия предпринимались при попытках объяснить сильные расхождения между экспериментальными данными и классическими критическими нагрузками. В настоящее время общепризнано, что основным источником этих расхождений являются неправильности формы оболочек, однако в большинстве исследований проводились лишь статические расчеты. *
Первое аналитическое исследование задач динамической потери устойчивости цилиндрических оболочек под действием продольных динамических нагрузок было выполнено А. С. Вольмиром [1], который при помощи метода Бубнова— Галер кина получил систему с двумя степенями свободы. Недавно Коппа и Нэш [2] также исследовали систему с двумя степенями свободы, причем они применили метод потенциальной энергии. Рот и Клоснер [3] аналогичным путем получили систему с четырьмя степенями свободы, которую они исследовали численно.
В указанных исследованиях задача о продольном ударе по цилиндрической оболочке рассматривалась как задача о действии осесимметричной нагрузки на осесимметричную конструкцию. Ясно, что должен существовать какой-то механизм, дающий «исходный толчок» к возникновению неустойчивости. Таким механизмом может быть асимметрия распределения начальной скорости или перемещения либо некоторые неосесимметричные неправильности формы оболочки. В большинстве предыдущих исследований этот механизм задавался произвольным образом ввиду отсутствия сколь-нибудь более
подробной информации, скажем, о начальных неправильностях. Ни в одной из указанных работ не были даны оценки влияния реальных механизмов, дающих «исходный толчок» к возникновению неустойчивости, на величины расчетных критических динамических нагрузок. Кроме того, во всех перечисленных работах не учитывалось влияние сил инерции в срединной поверхности оболочки. Такое упрощение означает, в частности, принятие допущения о том, что при воздействии осевой нагрузки на торец цилиндрической оболочки возникает осевое напряжение, которое будет одинаковым по всей длине оболочки.
Изучение динамической устойчивости оболочечной конструкции должно начинаться с упрощения основного дифференциального уравнения. Обычно такое упрощение состоит в переходе к системе с сосредоточенными параметрами при помощи энергетического метода, либо метода конечных элементов, либо метода конечных разностей, либо метода Бубнова—Галер кина. После этого необходимо убедиться в том, что полученная модель соответствует реальной действительности. В большинстве исследований динамической устойчивости такая проверка не проводилась. Некоторые дискретные модели имеют такие положения статического равновесия, которые отсутствуют в конструкции с распределенными параметрами [4] (это обстоятельство было отмечено в работе [5]).
В предлагаемой статье исследование задачи динамической устойчивости начинается с анализа статической задачи с целью проверки адекватности модели. Затем для этой модели анализируются различные формы радиального прогиба с целью выявления тех из этих форм, которые играют важную роль при статической потере устойчивости. В это статическое исследование включается распределение начальных неправильностей формы, соответствующее реальным оболочкам [6]. Эта модель неправильностей определяет баланс между амплитудой неправильностей в той или иной форме выпучивания и чувствительностью конструкции к этой форме неправильностей.
В предлагаемом исследовании динамической потери устойчивости особое внимание уделено следующим вопросам:
В исследовании приближенно учитывается влияние продольных сил инерции.
Для модели с дискретными параметрами, используемой в динамических расчетах, выполнен анализ статической потери устойчивости и выпучивания.
Характеристики начальных неправильностей формы заданы в соответствии с экспериментальными данными.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ
Основные дифференциальные уравнения цилиндрической оболочки, которые будут использованы в настоящем исследовании,—это нелинейные уравнения Доннелла. В предыдущих исследованиях при использовании этих уравнений они обычно составлялись относительно функции напряжений в срединной поверхности и поперечного прогиба. Затем задавался вид зависимости для распределения поперечного прогиба и находилось решение уравнения совместности. После этого уравнение равновесия относительно поперечного прогиба решалось при помощи метода Бубнова—Галеркиналибо
при помощи энергетического метода. При такой методике необходимо по функции напряжений определить перемещения в срединной поверхности и проверить, удовлетворяют ли найденные для этих перемещений зависимости условию периодичности в окружном направлении. В настоящем исследовании принята следующая методика:一
Задаются подходящие зависимости для распределений радиального переме
щения W изначального пере- Р И с. 1. Геометрия оболочки и си- мещения w (неправильностистема К00Рдинат-
формы оболочки).
Из уравнений равновесия в срединной поверхности находятся перемещения 〃 и и, а затем напряжения ах, Оу и хХу-
Составляются выражения для полной потенциальной энергии и для кинетической энергии системы.
Применяется принцип Гамильтона, в соответствии с которым осуществляется варьирование по переменным, входящим в принятое выражение для w. Таким путем получается система обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений.
Геометрия системы показана на рис. 1.
Уравнения равновесия. Будем использовать уравнения равновесия в перемещениях Доннелла [7, 8]. Соответствующие
уравнения динамической задачи получим путем добавления к статическим уравнениям трех инерционных членов. К этим уравнениям необходимо также добавить граничные и начальные условия.
Приближенная зависимость для распределения перемещений 〃 начальные неправильности. Будем аппроксимировать распределение радиального прогиба w следующей зависимостью, которая справедлива как для симметричных, так и для кососимметричных форм прогиба:
w = A [$! (О cos (氏%/£)+坛 «) sin (々呐£) sin (lyIR)+Ез (£) ] •⑴
Здесь &,自2 и Ез в динамической задаче могут быть функциями времени /; величины i и k — числа (целые) полуволн в осевом направлении, а / — число волн в окружном направлении.
Эта зависимость оказалась наиболее простой и в то же время обеспечивающей наилучшую аппроксимацию из всех испробованных комбинаций тригонометрических функций. Распределение начальных радиальных перемещений оболочки мы выбрали в виде
w = A [в： cos (阮х/£) +Е sin (k^xlL) sin (/y/R)]・(2)
Решение уравнений равновесия в срединной поверхности.
Подстановка выражений для 侬 и 侬 и решение уравнений относительно 〃 и и приводит к следующим зависимостям:
〃 = 〃р+А%+“6, и=Ор+и 从.(3)
Здесь ир и vp — частные решения, определяемые тригонометрическими функциями; эти решения приведены в работе [8]. Соответствующее решение однородной задачи представляет собой сумму решения типа пограничного слоя и простой функции от %; здесь 4—постоянная либо функция времени, причем функции 〃负 и %1 быстро убывают по мере удаления от краев оболочки. Выражения для функций 〃弘 и %i можно найти в работе [8]. Граничные условия, которые должны удовлетворяться на концах х = 0 и x = L, имеют вид
証=0, и = 0при х=0,
〃 = Ео(£), и = 0 при х =厶
Удовлетворив этим условиям, мы определим постоянные, входящие в решение однородной задачи типа пограничного слоя, и таким путем найдем 4 =go (/)/£.
Далее в этом исследовании решение типа пограничного слоя учитываться не будет. Это связано с тем, что такое решение быстро затухает по мере удаления от границ и не должно играть сколь-нибудь важной роли, если только не рассматривается местное выпучивание оболочки вблизи ее границ. В настоящем исследовании считается, что исходным механизмом, ответственным за появление выпучивания, являются неправильности формы, которые, согласно (2), имеют нелокальное распределение. Поэтому неучет указанной части решения представляется обоснованным.
Следует отметить, что здесь введена новая переменная 自о"), зависящая от времени. Введение в задачу этой переменной означает, что мы приближенно ограничиваемся учетом лишь первой формы продольных колебаний. Высшие продольные формы не учитываются; мы считаем, что с точки зрения рассматриваемого в дальнейшем взаимодействия между продольными и поперечными колебаниями их влияние не играет сколь-нибудь важной роли. Окончательно приближенные зависимости для поля перемещений в системе ищутся в виде
^(х, у, /)/%=[& G) cos (阮%/£) +
+玩 G) sin (麻 x/£) sin (/y/R)+& (切，(la)
〃(乂 У，/) = %(%, У，/) — Ео «)%/£,(4)
u(x, У, /) = %(%, у, f)・(5)
Вывод уравнений движения системы при помощи принципа Гамильтона. Воспользовавшись найденными аппроксимирующими зависимостями для перемещений (1а), (4) и (5), можно на основании принципа Гамильтона составить систему дифференциальных уравнений относительно четырех переменных Ео, Ез 自2 и &з・ Для этого необходимо определить потенциальную и кинетическую энергии оболочки. Выражения для энергий, используемые в данном исследовании, согласуются с допущениями, заложенными при выводе уравнений Доннелла. Однако единственный учтенный при этом выводе член, представляющий продольные силы инерции, связан с переменной Eo(f), а окружные силы инерции не учитываются совсем. В работе [9] показано, что при использовании линейной теории это допущение справедливо в пределах того диапазона чисел волн /, Д и /, который представляет интерес с точки зрения настоящего исследования. Применение принципа Гамильтона
приводит к следующей системе нелинейных дифференциальных уравнений:
[1/(2а/)] &十[入彳一陪"9] & +03(52+gr2+扇&)值+冒+
十Qi (点十2%)+q2 (虑十施)=Ag(9,⑹
[1/(2喲]ё2+[入%- Cg* (В)]ё2十&侬+2破2)(局十三2)+
+e2隹02十三2&十落)(五十g)十&CG2+G2) gy (D + QsEl (日2+三2)十
+ Q4 (2I1B2+B1B2+2B1B2) = ^2S*x (E),⑺
_白+己0=0,(8)
(l/3+^)lo+№) £ (» = (©£)/ «)・(9)
Здесь введены безразмерное время t = (f/R) УЕ/р, а также величины'
С = ]/3(Т),а? = /2 依破с) (#£)2,{=阳厶，
р = pRIEh, m = m^phRL, ?*G) = U/( I)]X
X [(R/£) Eo+潟 一С6 侬+2版2) - G (点 +2猷1)], 瓦 G) = [1/(1—y2)]x
X [Т3 - (yR//) Eo + G 侬+ 2^2三2)+e9 值+2自0)].
Обозначения для параметров 九％,‘ Ac 々J Ci, Qe, Ci приведены в работе [8].
СТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Прежде чем исследовать динамику оболочки в рамках модели с четырьмя степенями свободы, необходимо определить статическую критическую нагрузку и исследовать закритиче- ское поведение; это нужно для того, чтобы удостовериться в существовании закритических состояний равновесия.
Методика. Статическое выпучивание рассматриваемой модели можно исследовать с помощью полученной системы уравнений движения. Для этого в указанных уравнениях отбрасываем инерционные члены и полагаем заданную нагрузку на конце постоянной величиной. Тогда можно непосредственно определить gx (g) и gy (g); подставляя эти значения gx и gy
в уравнения (6) и (7), получаем два нелинейных алгебраических уравнения:
(入，—入)& + Q應+&2)8十三后](底+以+
十 Q1 国+2敲2)+ Qz 侬+w2ё2)= 21 人，(1。)
(% 一入)五+& (总+2£盛)&+ё2)+
+。2 [&+工2)E1 + E衣2] Cl + &) + Q3& (^2+^2) +
+ Q4(2%2+湛2+2辰2)=處，(11)
где 九=(р/Е) (R/九)УЗ (1 — V2) == о/о* а выражения для G и Qi приведены в работе [8]. Следует заметить, что полученное решение g?(E) = O совпадает с тем решением, которое получается при обычно накладываемом условии периодичности [10]. Система нелинейных алгебраических уравнений (10), (11), полученная из условия минимизации потенциальной энергии, в точности совпадает с той системой, которая получается в результате применения метода Бубнова—Галеркина [11]. Решение этой системы нелинейных уравнений определяет состояния равновесия оболочки конечной длины. Эти состояния равновесия зависят от параметра 九 продольной сжимающей нагрузки; локальное максимальное значение %$ соответствует критической статической нагрузке выпучивания.
Результаты и обсуждение. При проведении вычислений необходимо задавать числовые значения следующих параметров, входящих в алгебраические уравнения (10) и (11): чисел волн i, и Z и амплитуд начальных неправильностей формы gi и 自2・ Параметры чисел волн не являются взаимно независимыми и могут быть выбраны следующим образом. Если не будет выполнено равенство i = 2力，то все квадратичные члены в уравнениях (10) и (11) будут тождественно равны нулю; можно показать, что полученные в результате уравнения будут определять такую систему, которая нечувствительна к неправильностям формы, т. е. не имеет критической нагрузки динамического выпучивания. Помимо этого условия, необходимо также выбирать значения чисел волн при неосесимметричном деформировании таким образом, чтобы критическая нагрузка неосесимметричной потери устойчивости получалась минимальной [11]. Это требование эквивалентно условию, согласно которому форма неосесимметричного
выпучивания должна лежать на окружности Койтера, и оно записывается в виде равенства 吟一а^+Р2 = 0, где
ai（聞（叩У，俨=/2（礬）（4Т・
Далее, для проведения вычислений необходимо задать амплитуды начальных неправильностей формы. Эти амплитуды задавались согласно следующим зависимостям:
0,2563,26八叭
—，（"丿
которые основаны на экспериментальных данных работы [6] и учитывают убывание амплитуд неправильностей по мере
Р и с. 2. Зависимость критической статической нагрузки Х3 от числа 力 осевых полуволн при начальных амплитудах несовершенств, определяемых формулами （12）.
Выделенная точка на оси абсцисс Л=17 соответствует i=34, /=29 при 仪产沁％.
возрастания номеров 厶力 и 2; однако количественные значения амплитуд задаются здесь вдвое большими, поскольку в работе [6] измерения проводились на оболочках высокого качества, полученных методами гальванопластики.
На рис. 2 представлены результаты расчетов зависимости критической статической нагрузки выпучивания от числа k полуволн в осевом направлении. Видно, что эта зависимость имеет два локальных минимума. Один из минимумов достигается при малых числах волн （力=1,力=2, / = 9）, другой—при довольно высоких волновых числах, соответствующих приблизительно значениям % = Р = 0,5, а<= 1. Второй из указанных минимумов связан с очень сильной чувствительно-
стью этой последней формы к геометрическим неправильностям; в то же время чувствительность оболочки к неправильностям с й = 1 не особенно велика, однако неправильности с 力=1 имеют наибольшую амплитуду.
При задании чисел волн в соответствии с указанными выше условиями получались такие кривые нагрузка—прогиб (именно по этим кривым и определялись значения 九$), которым соответствовало несколько положений равновесия при значениях 九，больших некоторых минимальных значений Хщщ. Это указывает на физическую правильность допущений о характере распределения радиального прогиба, принятых в начале, данного исследования. Таким образом, данная модель с четырьмя степенями свободы может быть использована для исследования задачи о динамическом выпучивании при ступенчатом нагружении.
УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ
Система четырых обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений (6)——(9) интегрируется численно при заданных начальных условиях, заданных начальных неправильностях и заданной ступенчатой нагрузке. В данных расчетах начальные значения перемещений и скоростей полагались равными нулю. Для начальных моментов времени интегрирование проводилось по методу Рунге—Кутта, а затем осуществлялся переход к методу прогнозирования с коррекцией по схеме шестого порядка. При этом шаг интегрирования выбирался так, чтобы обеспечить желаемую ^точность результатов интегрирования в каждой точке.
Результаты 〃 обсуждение. Численное интегрирование проводилось при заданных значениях нагрузки, амплитуд начальных неправильностей и выбранных форм распределения прогибов. В результате интегрирования строились зависимости обобщенных координат go, Ji, & и &з от времени. Рассмотрим типичный результат вычислений. На рис. 3 показано движение в осевом направлении, описываемое координатой &. Видно резкое изменение в значениях амплитуды этой формы движения, достигаемое при малых изменениях параметра нагрузки 九 от 九= 0,792 до 九= 0,809 (т. е. всего на 2,1 %).
Интересный результат ——траектория движения на плоскости обобщенных координат &, & — представлен на рис. 4. Отчетливо видно, что вначале колебания происходят лишь по осесимметричной форме &. По прошествии нескольких периодов таких колебаний достигается заметный прогиб & по неосесимметричной форме; после этого система непосредственно
2 Заказ № 169
переходит в закритическое положение равновесия и начинает совершать колебания относительно этого положения. Такое поведение типично для многих исследованных примеров.
Рис. 3. Движение по осевой форме 自。при 々=20, /=29,』40, т=0.
По оси абсцисс： время t=(f/R) /£/р • 10~2; по оси ординат: перемещение ^0/Л.
Рис. 4. Траектория движения на плоскости 盲，&；々=20, /=29, Хв = 0,809, 〃，=0.
Величина динамической критической нагрузки должна зависеть от следующих параметров:
формы распределения радиальных перемещений (параметры г, А и /);
амплитуд начальных неправильностей 短 и &;
геометрических параметров и характеристик материала оболочки.
Первая и вторая из этих групп факторов уже упоминались в связи с задачей о статическом выпучивании. Что же касается третьей группы, то, как видно из уравнений движения (6) — (9), здесь необходимо изучить влияние, лишь безразмерных геометрических параметров оболочки Rjh и L/R и коэффициента Пуассона v. Числовые результаты были получены при R/九=1б00, £/R = 2 и V = 0,30.
Рис. 5. Зависимость критической динамической нагрузки от числа осевых полуволн при 勿2=0, 7?/А=1000, L/R=2.
/ — критическая статическая нагрузка %；~ критическая динамическая нагрузка;
3 — решение, учитывающее две формы.
На рис. 5 представлены результаты вычислений критической динамической нагрузки для различных значений числа полуволн 力.Верхняя пунктирная кривая представляет критическую статическую нагрузку выпучивания, найденную по рис. 2, а нижняя пунктирная кривая — минимальную нагрузку %min, при превышении которой в системе появляется закрити- ческое положение равновесия (для данного числа полуволн 归).
Четко видно, что в окрестности значения 々=15 имеет место существенное снижение критической динамической нагрузки по сравнению с критической статической нагрузкой. С другой стороны, в области малых чисел волн (々W4) результаты вычислений дали такие значения критических динамических нагрузок, которые оказались даже больше статических. Это явление было обнаружено также при динамических
расчетах пологих арок [12]. Чтобы понять, как происходит динамическое выпучивание при малых значениях 財 необходимо изучить собственные частоты системы. Проще всего это можно сделать на основании анализа линеаризованных уравнений. Собственные частоты осесимметричной радиальной и продольной форм оболочки получаются соответственно такими: зз/зо = £/R?3 = 1,15 при L/R = 2,0, соо = ¥£7р • УЗ/£.
При действии ступенчатой нагрузки непосредственно возбуждаются именно эти две формы с обобщенными координатами & и В, причем собственные частоты этих форм намного выше собственной частоты главной возбуждаемой формы движения 自2. Поэтому в области малых k разумно пренебречь силами инерции, соответствующими этим двум формам движения; это можно сделать на основании допущения о том, что под влиянием демпфирования в системе движения по этим формам затухнут до появления сколь-нибудь существенных значений амплитуды 自2 неосесимметричных деформаций. Результаты, полученные с помощью такого приближения, также представлены на рис. 5 («решение, учитывающее две формы»).
Итак, рис. 5 указывает на существенное снижение критических динамических нагрузок по сравнению с соответствующими статическими нагрузками в области больших чисел полуволн k. Для изучения основной причины такого факта проанализируем выведенную систему уравнений так, как это сделано ниже.
Для исследования влияния числа полуволн k рассмотрим собственные частоты линеаризованной системы, зависящие от чисел волн. Вначале упростим систему нелинейных дифференциальных уравнений (6) — (9), записав ее в виде
—S卜尸旦江 (13а)
斗 ^+百=入"(，^ = (cRIL)^. (13в)
Здесь отброшены все кубичные и квадратичные члены, за исключением членов Ео& и 自0自2, а коэффициент Пуассона принят равным нулю. Это последнее допущение приводит к тому, что равномерное вдоль оси радиальное движение будет отсутствовать (g3=0). Подставляя решение уравнения (13в) в урав-
нения (13а) и (136), приходим к следующим уравнениям типа уравнений Матье:нения (13а) и (136), приходим к следующим уравнениям типа уравнений Матье:入(1 — COS т)石2入(1 — COS т)石2H(1 一总得幵含信户。s* =
нения (13а) и (136), приходим к следующим уравнениям типа уравнений Матье:
нения (13а) и (136), приходим к следующим уравнениям типа уравнений Матье:
入(1 — COS т)石2
入(1 — COS т)石2
(15)
где T=coot При определенных комбинациях значений параметров 九/九％ и со"соо или А/九％ и coi/coo решениям уравнений типа Матье (14), (15) могут соответствовать неустойчивые движения. Согласно [13], неустойчивость будет иметь место при любом значении параметра нагрузки 九>0 при значениях cojcoo или со左/со。, равных 0,5; 1,0; 1,5, .... Оказывается, что при значениях 瓦 близких к двенадцати, будет выполнено условие со"о)о^0,5, а при й = 17 — условие(Ог/соо«1,5. Таким образом, в диапазоне чисел волн 12W^W17 для обеих форм — осесимметричной & и неосесимметричной & — будет иметь место неустойчивость типа Матье, обусловленная взаимодействием этих форм с осевой формой &•
Таким образом, этот анализ влияния числа волн указывает на то, что движение по осевой форме go является существенным фактором с точки зрения оценки динамической устойчивости. При неучете продольных сил инерции получились бы гораздо более высокие значения критической динамической нагрузки.
Сравнение с результатами расчетов без учета продольных сил инерции. Интересно сравнить полученные результаты с теми числовыми результатами, которые основаны на той же аппроксимации радиальных прогибов, но не учитывают влияния продольных сил инерции.
Основные дифференциальные уравнения для этого случая можно непосредственно получить из системы уравнений (6) — (9). Для этого в уравнении (9) следует отбросить член, характеризующий продольные силы инерции, после чего можно будет исключить & из системы уравнений. Полученную систему трех дифференциальных уравнений движения можно решить численно. Для случая 0=15 критическая нагрузка 九 такой системы оказывается лежащей в пределах 0,88<2t<0,89, т. е. существенно больше критической нагрузки 九=0,54, полученной для рассматривавшейся выше системы с четырьмя степенями свободы с учетом продольных
сил инерции. Эти результаты согласуются с результатами Будянского и Хатчинсона [15], полученными также без учета продольных сил инерции. Они анализировали несколько иные уравнения, поскольку не учитывали кубичные члены и члены порядка 自盲 Они обосновали неучет продольных сил инерции, исходя из того, что для всех радиальных форм движения отношение времени прохождения волной осевого сжатия половины длины выпучивания к четверти периода свободных колебаний есть малая величина 6 = 2^h/Rc. Практически это означает, что напряжение в оболочке полагается постоянным и соответствующим приложенной ступенчатой продольной силе. Такое допущение справедливо для оболочки бесконечной длины, а в оболочках конечной длины необходимо учитывать отражения волн осевого напряжения.
РЕЗЮМЕ И ВЫВОДЫ
При помощи приближенного метода, учитывающего продольные силы инерции, определены критические значения ступенчатой нагрузки, приводящие к выпучиванию цилиндрической оболочки. Исследование основано на нескольких важных допущениях относительно характера граничных условий, форм движения и окружных сил инерции. Показано, что те граничные условия, которые не были удовлетворены в настоящем исследовании, оказывают влияние на оболочку лишь вблизи ее концов. Исследованные формы радиального движения оболочки включают связанные между собой осесимметричную и неосесимметричную формы, а также осесимметричную форму, соответствующую равномерному по длине расширению оболочки. Осевое и окружное перемещения были найдены из уравнений равновесия в срединной поверхности, приближенно учитывающих продольные силы инерции.
Анализ числовых результатов, полученных для модели с четырьмя степенями свободы, обладающей четко определенными характеристиками закритического деформирования при выпучивании, привел к следующим выводам:
По условию резкого возрастания амплитуд радиальных движений при малом увеличении параметра нагрузки можно составить критерий выпучивания при динамическом нагружении.
В данном исследовании числа волн в распределении радиальных прогибов рассматриваются как свободные параметры. Однако исследование влияния числа осевых полуволн k (оно было выполнено с учетом ограничения, согласно ко-
торому неосесимметричная форма должна лежать на окружности Койтера) указывает на существенное снижение критической динамической нагрузки выпучивания в области больших чисел волн. Это исследование можно провести в рамках анализа неустойчивости типа Матье. Существует сильное «частотное» взаимодействие между движениями по радиальным и осевым формам, а также нелинейное взаимодействие, определяемое квадратичными членами в уравнениях для радиальных форм. Эти два эффекта взаимодействия играют существенную роль в снижении критических динамических нагрузок в области больших чисел волн.
Для иллюстрации роли осевых сил инерции мы сравнили полученные результаты с теми, которые получаются без учета осевых сил инерции. Последние не учитывают взаимодействия между радиальными и осевыми движениями и из-за этого приводят к гораздо большим величинам критических динамических нагрузок выпучивания, нежели те, которые получены в настоящей работе.
Список литературы
Вольмир А. С., Об устойчивости цилиндрических оболочек при динамическом нагружении, Докл. АН СССР, 123, № 5, 806 (1958).
Сорра А. Р., Nash W. A., Dynamic buckling of shell structure subject to longitudinal impact, Technical Documentary Report No. FDL-TDR- 64-65.
Roth R. S., Klosner J. M., Nonlinear response of cylindrical shells subjected to dynamic axial loads, AI A A Journal, 12, No. 10, 1788—1794 (Oct. 1964); русский перевод: Рот, Клоснер, Нелинейная задача о деформировании цилиндрических оболочек при действии динамических осевых нагрузок, Ракетная техника и космонавтика, 12, № 10, 148 (1964).
Humphreys J. S., A note on the adequacy of energy criteria for dynamic buckling of arches, AI A A Journal, 4, No, 5, 921—923 (1966); русский перевод: Хамфрис, О динамическом хлопке пологих арочных оболочек, Ракетная техника и космонавтика, № 5, 140 (1966).
Vahidi В., Nonexistence of snap-through for clamped shallow elastic arches subjected to impulsive loading, AFOSR Scientific Report, Grant AF-AFOSR 1226-67, Маг. 1968、
Arbocz J., Babcock C. D., On the role of imperfections in shell buckling, Proceedings of the XIII IUTAM Congress, Moscow, USSR, Aug. 1972.
Donnel L. H., A new theory for the buckling of thin cylindrical shells under axial compression and bending, Trans. ASMEt 56, 795—806 (1934).
Tamura Y. S., Dynamic stability of cylindrical shells under step loading, Aeronautical Engineering Thesis, California Institute of Technology, 1973; см. также AFOSR TR-74-0460, June 1973.
El Raheb M., Some approximations in the dynamic shell equations, PhD Thesis, California Institute of Technology, Dec. 1969.
von Karman T., Tsien H. S., The buckling of thin cylindrical shells under axial compression, /. Aeronaut. Sci., 8, 303—312 (1941).
Arbocz J., Babcock С. D., The effect of general imperfections on the buckling of cylindrical shells, /. Appl. Meeh., 36, No. 1, Trans； ASME, 91, Ser. E, 28—38 (Mar. 1969); русский перевод: Арбоц, Бабкок мл., Влияние неправильностей формы общего вида на потерю устойчивости цилиндрических оболочек, Прикладная механика, № 1, 30 (1969).
Lock М. Н., The snapping of a shallow sinusoidal arch under a step pressure load, AIAA Journal, 4, No. 7, 1249—1256 (1966); русский перевод: Л ок, Прощелкивание пологой синусоидальной арки под действием ступенчатого давления, Ракетная техника и космонавтика, № 7, 127 (1966).
Danielson D. A., Dynamic buckling loads of imperfection-sensitive structure from perturbation procedure, AIAA Journal, 7, No. 8, 1506—1510 (1969); русский перевод: Даниельсон, Расчет методом возмущений критических динамических нагрузок при выпучивании, чувствительных к неправильностям конструкций, Ракетная техника и космонавтика, № 8, 120 (1969).
Budiansky В., Hutchinson J. W., Dynamic buckling of imperfection sensitive structures, Proceedings of the XI International Congress on Applied Mechanics, Munich, 1964.
ПОВЫШЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В КОЛЬЦЕПРИ ДИНАМИЧЕСКОЙ ПОТЕРЕ УСТОЙЧИВОСТИ D
Г. Линдберг
ВВЕДЕНИЕ
При гармонических осесимметричных радиальных колебаниях упругого кольца энергия равномерных окружных деформаций может безопасно накапливаться до тех пор, пока не будет достигнута предельная деформация, при которой происходит разрушение материала. Однако неизбежные несовершенства приводят к динамической потере устойчивости симметричных радиальных колебаний, которая проявляется в преимущественном нарастании определенных изгибных форм движения. При передаче энергии изгибным формам движения начальные неоднородности окружных напряжений концентрируются на гребнях изгибных волн. Гудьер и Мак- айвор [1] показали, что в линейно-упругом кольце при отсутствии затухания может происходить почти полная передача энергии. В работе [1] найдено, что при полной передаче энергии одной форме колебаний максимальное изгибное напряжение больше равномерно распределенного окружного напряжения в ]/6 раз независимо от числа волн в изгибной форме колебаний. Пример такой передачи энергии с повышением напряжений приведен на рис. 1.
В такой ситуации хрупкое кольцо при отсутствии затухания подвергнется разрушению от изгиба, если максимальная окружная деформация, соответствующая вначале симметричному радиальному движению, будет превышать 1/]/6 от предельной деформации. Однако при наличии затухания энергия будет рассеяна прежде, чем завершится переход к изгибному движению, так что допустимый максимум начальной энергии может быть повышен. Кроме того, нелинейные члены высшего порядка, которые в работе [1] не учитывались, могут привести к увеличению или уменьшению коэффициента повышения напряжений по сравнению с величиной ]/6.
1)Lindberg Н. Е., Stress amplification in a ring caused by dynamic instability, Transactions of the ASME, 41, No. 2, Ser. E, 392—400 (1974).
Чтобы найти эти изменения коэффициента повышения напряжений, обусловленные затуханием и членами высшего порядка, следует интегрировать уравнения симметричного и изгибного движения в связанной форме. Для этого в свою очередь требуется задать характеристики затухания, несовершенства кольца, отношение радиуса кольца к толщине, начальные условия осесимметричного движения. Повышение напряжений определяли путем численного интегрирования, и результаты представлены здесь для двух крайних вариан-
Р и с. 1. Взаимный обмен энергией между окружной и изгибной формами колебаний (р=0,4, р=0,0, «/九=100, n=13, 5n=0,02).
才 丁 окружная деформация Ео= —а。； 2 — амплитуда изгибной формы 。储 3 -— деформация в крайнем волокне е= —а0— уЗап2ап.
тов начальных условий, относящихся к симметричному радиальному движению: или задана направленная внутрь мгновенная скорость во всех точках кольца, или кольцо мгновенно освобождается от сжимающей окружной деформации. Результаты выражены через два наиболее важных свободных параметра: коэффициент затухания § и безразмерный параметр устойчивости р, который пропорционален амплитуде начального радиального симметричного движения и обратно пропорционален отношению толщины кольца к радиусу.
Однако основное содержание статьи заключается в выводе аналитических соотношений, описывающих основные особенности движения кольца и повышения напряжений без обращения к численному интегрированию. Во-первых, показано, что р и р — наиболее важные параметры и что при p>i/2 включение в уравнения нелинейных членов высшего порядка совершенно необходимо, чтобы решения были ограниченными. Необходимость учета нелинейных членов пр оде-
монстрирована при помощи энергетических соотношений для движения кольца. Затем выполнен упрощенный расчет, позволяющий получить предельные значения коэффициента повышения напряжений в зависимости от р при отсутствии затухания, но с учетом членов высшего порядка. Получены числовые результаты для коэффициентов повышения напряжений, относящиеся к кольцам с затуханием и без затухания.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Поскольку затухание в общем случае обусловлено рядом причин и его нельзя выразить лишь непосредственно через： поведение материала, уравнения движения просто взяты из： теории упругости, как это сделано в работе [1], а затем добавлено затухание в виде члена, описывающего искусственную вязкость в уравнении для каждой формы движения. Чтобы исследовать влияние начальных геометрических несовершенств, полные перемещения кольца выражают в виде
叫 а, %)=询 а, /)+叫 a), (i>
s(6, /)=^(9, /)+^(0), (2)>
где 0 — угловая координата, / — время, w (0, /) — радиальное перемещение, измеряемое внутрь от начального несовершенства формы Wi (0) в ненапряженном кольце, а и и и〃 — аналогичные тангенциальные перемещения. Можно ожидать, что другие несовершенства, такие, как неоднородности нагружения или свойств материала, оказывают аналогичное влияние на начавшееся нарастание изгибных деформаций.
Для вывода уравнений движения удобнее всего воспользоваться методом Лагранжа, который и применен в данном случае, поскольку выражения для энергии позволяют с физической точки зрения понять, почему для предотвращения неограниченного роста коэффициента повышения необходимо учесть члены высшего порядка, опущенные в работе [1]. Энергетические зависимости позволяют, кроме того, простейшим способом ввести требуемые члены высшего порядка;, упрощенные выражения для коэффициента повышения напряжений также получены из энергетических зависимостей. При малых перемещениях кинетическая энергия выражается соотношением
T^^hab f [^^ + (系h成， (3> о
где р, hf а и 6 — плотность материала кольца, толщина стенки, радиус и ширина соответственно. Удобно ввести безразмерные величины
e=砌/q, 0 = 叫/Q,屮=u/q, 5 =叫&
c = C〃Q,(4)
где
c = (E/p)"・
Тогда для кинетической энергии будет получено следующее выражение (точкой обозначено дифференцирование по т):
2n
T=^Ehab^ ©+沔或.(5)
Энергия деформации тонкого кольца равна
21c
U=±Ehab\ (吟+q2a2吟血，(6)
о
где 8m ——деформация срединной поверхности, 乂一изменение кривизны, а。2 =九2/12@2. Согласно приближению, введенному при формулировке выражения для энергии (6), члены высшего порядка с множителем а2 опускаем; сохраним только члены для & линейные относительно перемещений, как в обычной теории криволинейного бруса. Согласно правилу линейной суперпозиции, начальные несовершенства не входят в зависимость для изменения кривизны, так что 乂 просто выражается соотношением
Однако при рассмотрении деформации срединной поверхности сохранены члены до второго порядка в выражении для деформаций и до третьего порядка в выражении для энергии. Благодаря этому получено самое простое видоизменение линейной теории, позволяющее учесть взаимодействие окружных усилий с изгибом. Кроме того, сохранен дополнительный член четвертого порядка в выражении для энергии, чтобы связанные уравнения оставались ограниченными при больших значениях параметра устойчивости р, как будет рассмотрено ниже. В выражения для деформации и энергии введены также нелинейные члены, соответствующие начальным несовершенствам.
Из геометрических соотношений для производных от перемещений имеем
®т = [С/ +(1 —Q2(l —Ф/)2] —[(； +(1 —Q)2(l—屮：)]♦(8)
Разложение зависимости (8) с сохранением членов не выше второго порядка и последующая подстановка выражений (1), (2) и (4) в полученное соотношение приводят к соотношению
%W}и+匚g一7屮'一帥；・(9)
Если подставить выражения (7) и (9) в (6), отбросив члены четвертого порядка с малыми несовершенствами, можно получить следующее соотношение для энергии деформации:
} е/6 J [(у _ 02 + (屮，-0 G2 _ 2帥丿+2"； 一 2JW —
一图)+w—皆匚咛+壮(C+C)]或.(10)
В работе [1] использовано такое же выражение для энергии, но здесь добавлены члены, учитывающие несовершенства кольца (подчеркнуты одной линией), и члены четвертого порядка в зависимостях для перемещений (подчеркнуты двойной линией). Ниже будет показано, что без членов четвертого порядка движение, при котором связаны радиальная симметричная и изгибные формы, может сопровождаться неограниченными перемещениями..
Далее выполним разложение перемещений в ряды Фурье, коэффициенты которых берутся в качестве обобщенных координат:
^aQ (т)4- 2 \ап (т) со8/г9+6л (т) sinп9],(11)
л = 1
Ф= 2 \сп (^) cosn^-\-dn (т：) sinп9].(12)
Поскольку длины представляющих интерес изгибных волн велики по сравнению с толщиной стенки, представляется разумным пренебречь мембранными напряжениями, обусловленными изгибом, так что можно воспользоваться условием нерастя水имости 1)1|/— а。. Тогда сп = —&пМ, dn = an/fit
D В первой половине работы [1] показано, что при рассмотрении устойчивости радиальной симметричной формы колебаний можно пренебречь формами с растяжением.
и мы опускаем члены с n= 1, поскольку они представляют смещение кольца как жесткого целого для нерастяжимой модели. Подобно этому, для несовершенств принимаем
2 [8Лcosn9+l/isinn9](13)
л = 2
и 屮;=?i. Учитывая эти видоизменения и подставляя (11)— (13) в выражения (5) и (10), получаем
TfEhab就十;g(史吉1)(溪十於)，(14)
UfEhab 储+； 2 [(歩-1)2 a2-(%2 _ 2)闯 X /1 = 2
X ©+匐一;E•!(加一孑"+4)©+ %一
一 £ (淤一2)(瓦Q〃+打九)4 .(15)
л =2丿
При выполнении интегрирования в выражении (10) все члены второго и третьего порядков, кроме приведенных в зависимости (15), оказываются тождественно равными нулю из-за ортогональности тригонометрических функций. Взаимодействие изгибных форм с радиальной симметричной формой колебаний описывается лишь членами третьего порядка. Зато в выражении (10) существенное взаимодействие различных изгибных форм движения описывают члены четвертого порядка. Это взаимодействие в зависимости (15) не учтено. Сохранены лишь несвязанные члены четвертого порядка а^ и 6^. Этого достаточно, чтобы предотвратить неограниченное нарастание изгибных форм колебаний, которое могло бы произойти при отбрасывании всех членов четвертого порядка.
Уравнения движения выводятся подстановкой этих выражений для энергии в уравнение Лагранжа d ( дТ \ дТ . dU
Если в качестве обобщенной координаты %； принять а。, уравнение движения по радиальной симметричной форме будет найдено в виде
"0+Q0—j' 2(九2-2)(*+ 成)=0.(17)
При ап в качестве координаты 修 будут получены уравнения для изгибного движения
Z+品•[(出一1)2а2 — (^2 —2)а°+
+ 等俨—I■川 + 4)岗 a” =限^餐218л«о- (18)
Такая же система уравнений найдена для 6似
Как уже упоминалось, затухание вводится добавлением к уравнениям (17) и (18) «вязких» членов. Кроме того, поскольку изгибное движение определяется в основном лишь несколькими близко расположенными «критическими» формами движения, сложность приводимого ниже параметрического исследования можно существенно уменьшить, последовательно рассматривая движение по одной из изгибных форм; таким образом находим критическую форму изгибных колебаний, которой соответствует наибольшее повышение напряжений. Поэтому уже нет необходимости рассматривать пространственную фазу формы потери устойчивости и члены Ьп можно опустить. При этих видоизменениях уравнения (17) и (18) принимают вид
@о+2 呢 о+@о—^~ (川一2)或=0,(19)
Z+2阿工〃 + 國—fna^) Q〃H|~^fn^ = V^aftfinao，(2。) где
2 —几2 (几2 — 1) a2
几2 (几2 - 2)
几2 + 1
Через бп= (a/h)8n выражено начальное несовершенство формы в долях от толщины стенки, а р — параметр затухания, определяемый как доля критического затухания при колебаниях по симметричной или изгибной форме. Кроме того, поскольку для критической формы выпучивания 几？》], коэффициент (п4 — 4/зп2 + 4) для простоты можно заменить на п2(п2 —2).
Начальные условия для изгибной формы колебаний имеют вид
@л (°) = “л (°) = °・@л (°) = “л (°) = °・(21)(21)
@л (°) = “л (°) = °・
@л (°) = “л (°) = °・
(21)
(21)
При рассмотрении симметричной формы радиальных колебаний используются две группы начальных условий:
"〃 (。)=Оо/е, а0 (0) =。，(22)
где Go — начальное окружное напряжение, равномерно распределенное по кольцу, и
@0(。) =。， ^о (0) = ^о/^,(23)
где и。一начальная скорость движения внутрь кольца, также одинаковая для всех точек кольца.
ПАРАМЕТР УСТОЙЧИВОСТИ
В числовых расчетах, приведенных ниже, использованы уравнения (19) и (20). Однако сначала выявлен наиболее подходящий параметр устойчивости; для этого рассмотрено упрощенное уравнение для симметричной формы движения, которое получено отбрасыванием членов, описывающих взаимодействие форм и затухание в уравнении (19). Теперь легко найти явные решения уравнений для симметричной формы колебаний, и уравнения для изгибных форм (20) можно переписать в упрощенном виде.
' При начальных условиях (22) решение упрощенного уравнения для радиального симметричного движения имеет вид ао (т) = (ао/£") cos т, а уравнение для изгибных колебаний (без затухания и членов 吗)принимает форму
Z+加雜(入2 一 cos 叫 an=p2入2/12 葭 cos г(24)
где
р =“1Еа,入=闯5, S2 = p/а.
При начальных условиях (23) уравнение радиального симметричного движения имеет вид a。(t) = (и()/с) sint, а уравнение изгибного движения приобретает форму
сьп-\-р^ (k2 —sinT)art =p2k2|/12 8w sin т, (25) где р = ио/са.
В каждом из этих случаев можно полагать, что для критической формы движения 几2》i Затухание и члены с а3п в этом обсуждении опущены, поскольку они становятся существенными лишь после значительного нарастания изгибных колебаний. Здесь следует отметить, что начальная неустойчивость, т. е. начальное нарастание изгибных форм движения, согласно уравнениям (24) и (25), определяется одним параметром устойчивости р. Это единственный свободный пара-
метр (кроме амплитуды несовершенств 6П) в уравнениях (24) или (25); число волн л — зависимый параметр, принимающий значения, которые приводят к наибольшему нарастанию амплитуд для каждого заданного значения р. Таким образом, можем ожидать, что в полных уравнениях (20) наиболее важными параметрами, определяющими повышение напряжений, являются параметр затухания р и параметр устойчивости р. Повышение напряжений будет также явно зависеть от параметра кривизны а = й]/12й, поскольку его нельзя исключить из связанных уравнений (19) и (20), но в основном решение зависит от а через параметр р. Этот факт отмечен в [2].
ПРОСТЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЫШЕНИЯНАПРЯЖЕНИЙ
Прежде чем перейти к численному интегрированию уравнения (20), полезно получить некоторые простые оценки для коэффициента повышения напряжений, основанные на определении передачи энергии критическим формам изгибных колебаний при отсутствии затухания. Рассмотрим вначале использованные в работе [1] простые уравнения без членов четвертого порядка в выражении для потенциальной энергии. В работе [1] предполагалось, что вся энергия, сообщенная сначала движению по симметричной форме ao(t), передается в конце концов некоторой изгибной форме колебаний 口九.При этих условиях выражениям для энергии (14) и (15) можно придать вид
7* = 2湍十说， (26)
U* - 2 就+(п4а2 一 n2a0)若, (27)
где T^ = 2T/nEhab, U* = 2UEEhab、〃2》i, a члены четвертого порядка и члены, соответствующие малым несовершенствам, отсутствуют.
При начальных условиях (22), соответствующих действию начального равномерно распределенного окружного напряжения о。в покоящемся кольце, “о (0) = аотах = °о/Е = ра, а. полная энергия в кольце равна (0) = 2р2а2, где р = оо/Еа. При начальных условиях (23), которые соответствуют симметричному движению кольца по направлению внутрь со ско
ростью а (0) = Vo/c = pa в начальный момент, полная энергия кольца равна также Т*(0) = 2р2a2, но в этом случае р== ~Vo/ca. Далее, невозмущенное окружное движение описывается зависимостью “О ⑴=(Uo/c) sin £ так ЧТО "о | max =
3 Заказ № 169
= ио/с = ра, точно так же как и в задаче с начальными окружными напряжениями, но при соответствующем определении р. Таким образом, при соответствующем определении р дальнейшее обсуждение относится к задаче с обоими вариантами начальных условий.
Коэффициент повышения напряжений Ла определен как отношение максимального полного напряжения (во внутреннем или наружном волокне кольца) к максимальному невозмущенному окружному напряжению о。. Поскольку кольцо упругое, это повышение может быть определено отношением деформаций. Изгибная деформация в наружном волокне при изгибном перемещении ап определяется соотношением
=，@3)2 = "2а~"2“〃 = УЗап2аЛ.(28)
При полной передаче энергии изгибным колебаниям амплитуда ап находится из уравнения (27) при ао = О и U* = 2p2a2, откуда
2P2a2 =九4a2 吟 (29)
Тогда из (28) и (29) изгибная деформация равна
% = ]/бра・(30)
Максимальная окружная деформация—это просто а01 max, так что коэффициент повышения напряжений равен
44“°|тах“°|тах(31)(31)
4
4
“°|тах
“°|тах
(31)
(31)
независимо от числа волн п.
Однако, если решения связанных зависимостей (26) и (27) получены, амплитуда изгибных колебаний и, следовательно, коэффициент повышения напряжений оказываются не ограниченными в определенном диапазоне значений р. Такая возможность становится очевидной, если записать соотношение (27) в виде
7* +炉一2*一2谣一碎7* +炉一2*一2谣一碎几4a2——几2〃0几4a2——几2〃0(32)(32)
7* +炉一2*一2谣一碎
7* +炉一2*一2谣一碎
几4a2——几2〃0
几4a2——几2〃0
(32)
(32)
Таким образом, даже при фиксированном уровне полной энергии T^ + U^ максимальная амплитуда изгибных колебаний становится неограниченной, когда знаменатель становится равным нулю или приобретает отрицательное значение, т. е. когда а。》几2a2, поскольку при этом права^часть формулы (32) становится неопределенной или отрицательной.
Это предельное соотношение можно выразить через параметр устойчивости р, пользуясь формой решения уравнений Матье (24) или (25), которая следует из функций энергий (26) и (27). При малых значениях р критической формой изгиба, которая характеризуется наиболее быстрым нарастанием амплитуды, является форма с собственной частотой ⑴九， равной половине частоты радиальных симметричных колебаний [1]. Таким образом, согласно уравнениям (24) и (25), критической форме соответствует 夕入^卩=1/2. Если обозначить 入2 = 〃2/s2 =九2仪/口, то отсюда можно найти м：р = 1/(2а). Учитывая также, что ао|тах = ра, для определения диапазона, в котором формула (30) не является решением, можно воспользоваться неравенством 6Zo^n2a2, откуда или
(33)
Этому результату легко дать очевидное физическое истолкование. Максимальное окружное усилие, соответствующее величине р= 1/2, представляет собой статическое усилие выпучивания. Согласно построенной без учета членов высшего порядка теории, для задач статической устойчивости амплитуда формы выпучивания становится неопределенной, когда окружное сжатие достигает значения критической силы. Численное интегрирование связанных динамических уравнений при р>1/2 показывает, что амплитуды изгибной формы колебаний безгранично нарастают. В работе [1] такая трудность не возникла, поскольку во всех числовых примерах было р< 1/2.'.
Следовательно, для решения связанных уравнений при р>1/2 необходимо пользоваться теорией более высокого порядка. Поэтому в выражении для потенциальной энергии (15) сохраним член четвертого порядка, так что вместо зависимости (27) имеем
u*= 2加+5%2一层的)片+备m4成，(34)
а условие сохранения энергии ?* +(/* = const примет вид
2届~|-或2届+•(Ma? — f^ci^) а^~]—^-孔4a2 = 2P%?. (35) Вычислить коэффициент повышения напряжений по уравнению (35) и при конечных значениях р сложнее, чем по теории, соответствующей малым значениям р. Ниже дано несколько оценок предельных значений.
3*
Простейшую оценку можно получить так же, как и по теории малых р, полагая, что вся энергия переходит в энергию изгибных колебаний. В выражении (35) принимаем &о = =口0 = 口乳=0 и находим следующее выражение для ап：
—it" С1п + 1絞成一2 р2а2 = 0. (36)
Коэффициент повышения напряжений с учетом зависимости (28) определяется выражением .
4=宀=耳呪(37) ，〃o|max № a 〃
Очевидно, что в теории высшего порядка при наличии члена 成 в уравнении (36) следует теперь определить величину п, чтобы найти Ао. При 〃кр= 1/]/2а (критическое число волн для малого р) уравнения (36) и (37) приводят к значению
4mL斗[(1+602产一 I]/. (38)
График значений коэффициента повышения напряжений по соотношению (38) показан пунктирной линией на рис. 2. При малых значениях р коэффициент повышения стремится к величине ]/6, найденной по теории низшего порядка. При увеличении р колебания по изгибной форме нарастают быстрее (поскольку коэффициент ап в уравнениях (24) или (25) приобретает большее по абсолютной величине отрицательное значение), но максимальная амплитуда изгиба и, следовательно, коэффициент повышения напряжений уменьшаются из-за члена а^ в выражении (35). Общее количество энергии возрастает из-за увеличения р2а2, но большая доля энергии накапливается в члене, содержащем а*.
Однако при таких больших значениях р число волн изгибных колебаний с наиболее быстрым ростом далеко от значения 〃кр= 1/]/2а, соответствующего малым р. Если вместо того, чтобы сохранять пкр фиксированным, как на нижней кривой рис. 2, будем для каждого значения р подбирать пкр, соответствующее максимальной скорости нарастания изгиб- ного движения, то коэффициент повышения напряжений ни при каких условиях не упадет ниже значения 4。^ 1,6, как показано на рис. 2. Эти критические значения п (или, более строго, значения безразмерного волнового числа А) найдены численным интегрированием или уравнений (24), (25), или связанных уравнений (19) и (20). Оказалось, что в обоих слу-
чаях критические формы достаточно хорошо определяются эмпирической формулой
人^ =击+(0，6尸・(39)
Эта формула построена таким образом, чтобы при р +0 (слабая неустойчивость, согласно [1]) получалось асимптотическое
Рис. 2. Предельные оценки для коэффициентов повышения напряжений (по оси ординат) по теории высшего порядка.
/) Яс=Лп max + f/pa (изгибная деформация плюс окружная, сжатие)； 2) Ап max(из'гибкая деформация); 3) 4b (полная передача энергии); 4) Дamin (полная передачаэнергии форме низшего порядка).
значение 九一＞ 1/(丫2卩)，соответствующее мкр= 1/(]/2а), а асимптотическое значение при pf оо (сильная неустойчивость; согласно [2]) было бы Af 0,6. Если зафиксировать значение 九= 0,6, то независимо от р или а уравнения (36) и (37) приводят к величине Аа= 1,62. Если же варьировать 九 по формуле (39), то решение уравнений (36) и (37) для Аа удобно записать в виде
4 = 2 [X2(4X4+6)1/2- 2讨％,(40)
в котором взяты соответствующие корни. Значения коэффициента повышения напряжений, соответствующие зависимостям (39), (40), показаны в виде второй снизу кривой на
рис. 2. Очевидно, что даже в случае, когда каждому значению р соответствует определенная критическая форма, коэффициент повышения напряжений падает значительно ниже величины ]/6, отвечающей теории низшего порядка.
Однако все эти оценки коэффициента повышения напряжений основаны на предположении о полной передаче энергии, как и в теории для малых р. Не учтена возможность того, что при конечных р в теории высшего порядка повышение напряжений может оказаться большим в случае, когда амплитуда а。не стремится к нулю, а остается конечной. Такая возможность возникает благодаря наличию в уравнении (35) коэффициента п4а2 — г^а^ который приводит к безграничному нарастанию колебаний при р》1/2 в теории низшего порядка. В случае конечного р максимальное повышение на
пряжений можно найти, если вновь положить ао = ап = О' в уравнении (35), но затем продифференцировать уравнение и принять da2n /dao = O. Это дает формулу для “о, соответствующего максимальному повышению напряжений:
办=后*/4. (41>
Этот член имеет второй порядок, при большом р им пренебречь нельзя. Максимальный коэффициент повышения напряжений, соответствующий данному случаю, находится под
становкой выражения (41) для а。 в уравнение (35) при “о = 口九=0・ Пользуясь определением (37), получаем
4 max=2/②[(4入4+2)/ — 2产]/. (42)
Индекс п означает, что выражение учитывает только изгиб- ное напряжение, а напряжение от а° в данный момент не учитывается.
Коэффициенты повышения, которые получены с помощью этого выражения также по значениям Л, соответствующим максимальной скорости нарастания по (39), приведены в виде второй кривой сверху на рис. 2. Эти коэффициенты повышения напряжений существенно выше, чем на кривой, построенной по формуле (40) для случая полной передачи энергии. Более того, когда амплитуда aQ при максимуме коэффициента повышения не равна нулю, полная деформация—изгибная плюс окружная — на наружном волокне имеет еще большее значение. Максимальный коэффициент повышения полных деформаций равен
"ь = *〃 max十。()/"a=4 max+ (4max)2/⑵2. (43)
Соответствующий график приведен в виде верхней кривой
на рис. 2. Поскольку aQ всегда положительно
(41)], а окружная деформация равна 8о=——"о, максимальный коэффициент повышения всегда соответствует сжимающей деформации, как показано на рисунке. Кроме того, при такой максимизации по деформациям предполагалось, что в действительном связанном движении сдвиг фаз между окружной и изгибной формами колебаний в некоторый момент времени окажется равным нулю, так что и “о, и ап достигнут
[см. формулу
0,003
0,002
0;001 о
-0;001
максимума одновременно. Численное интегрирование связанных уравнений (19) и (20) показывает, что очень близкое совпадение фаз действительно имеет место при соответствующем выборе п [примерно согласно зависимости (39)]. Это показано на примерах, приведенных на рис. 1 и 3. Значение коэффициента повышения сжимающих напряжений, найденное при таком интегрировании, оказывается удивительно близким к кривой, построенной по уравнению (43): обычно в пределах нескольких процентов.
Рис. 3. Характерные зависимости времени амплитуд окружной и изгибной форм и деформаций в крайних волокнах при конечных р и Р (a/h = = 100,鼠=0,02).
а) "=0,4, В=0,01, п=19; б) р=0,4, Р=0,02,九=19; в) р=2,0, В=0,02, и=21.-
На каждом рисунке а, 6, в введены обозначения: / — окружная деформация £0= =—а。； 2 ——изгибная амплитуда ап; 3 ——деформация в наружном волокне е= —а0—
-/Зап2ап.
-0,002
-0,003
0,010
0;005
О
-0;005
用10
051015202530
Поскольку различие между кривыми ЛПтах и 4о всегда больше различия между кривыми А птах и Ла, можно ожидать, что коэффициент повышения деформаций растяжения для случая полной передачи энергии лежит между кривой Лптах и кривой Да при значительно меньших значениях коэффициента повышения, чем по кривой 4°. Такое предположение подтверждается численным интегрированием уравнений (19) и (20).
ПОВЫШЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙПО ДАННЫМ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Приведенные выше расчеты были основаны на предположении, что вся энергия, приходящаяся на колебания по симметричной форме, сохраняется без потерь в процессе передачи энергии изгибным колебаниям независимо от числа циклов движения, необходимого для передачи энергии. В случае наличия затухания повышение напряжений будет уменьшаться, особенно при слабой неустойчивости (при малых значениях р), когда для передачи энергии требуется много циклов. Учесть затухание невозможно, не прибегая к помощи численного интегрирования связанных дифференциальных уравнений (19) и (20). Примеры изменения деформаций во времени, полученные в результате такого интегрирования, приведены на рис. 3.
Коэффициенты повышения напряжений, полученные численным интегрированием для кольца, мгновенно освобождаемого от симметричных окружных напряжений сжатия, приведены на рис. 4. Для упрощения рисунка нанесены только графики растягивающих напряжений; при этом исходили из предположения, что именно растягивающие напряжения, вероятнее всего,- приводят к- разрушению материала. Как и в приведенных выше вычислениях в замкнутом виде для передачи энергии, принято, что весь изгиб сосредоточен в одной форме изгибных колебаний, которая начинается с одной эквивалентной формы несовершенств 6П.
Кривые получены на основе вычисления ряда примеров при возрастающих значениях р и коэффициентах затухания Р = 0; 0,01; 0,02 и 0,04. Во всех примерах отношение радиуса к толщине кольца было принято равным a/h= 100, а для несовершенств значение 6п = 0,02, т. е. 2% от толщины стенки. Несколько расчетов, выполненных при a//i = 200, привели почти к таким же значениям коэффициента повышения напряжений, как и при a!h= 100; это свидетельствует, как и
ожидалось, о том, что основное влияние величины а = а?12无 осуществляется через р. Несколько расчетов с 6冷=0,05 и 0,005 показали, что при снижении 6П повышение напряжений уменьшается, но построение зависимостей Ао от 6% а также
Рис. 4. Коэффициент повышения напряжений (по максимальному растяжению) в кольце, внезапно освобожденном от симметричного окружного сжатия.
от р и В，требующее большого числа расчетов, не проводилось. Выполненные ранее исследования динамической устойчивости [3, 4] показали, что в случае эквивалентных несовершенств по одной форме 6п = 0,02 деформации при выпучивании- оказываются близкими к наблюдавшимся в эксперименте.
Чтобы определить значение п, при котором Ла максимально, вычисления проводились для каждого сочетания р, р при нескольких значениях п. Как было сказано выше, критические значения п оказались близкими к найденным по уравнению (39). Полученные в результате значения Ла отклоняются примерно на 0,1 от величин, соответствующих кривым на рис. 4, поскольку, как можно было ожидать, конкретное нарастание изгибных колебаний зависит от сдвига
фаз между колебаниями по разным формам, который имеет сложную зависимость от п и р.
Число циклов колебаний по кольцевой форме, потребовавшееся для максимального повышения напряжений, показано на кривых значениями величины М. При отсутствии за^ тухания (6 = 0) М может быть весьма большим и фактически не определенным, поскольку передача энергии в виде биений между симметричными и изгибными колебаниями в ту и в другую сторону может повторяться неопределенно долго (см. рис. 1). Однако при конечном р значения М представляют собой число циклов в пределах одного биения при передаче энергии, поскольку энергия рассеивается непрерывно, и в конце второго и последующих биений количество энергии, которое может быть передано, уменьшается. Для Р = 0,01 имеем Л1 = 9 при р = 0,2, М = 8 при р = 0,4 и т. д. (см. на рис. 3, а). При р》2 передача энергии происходит весьма быстро и" завершается уже при М = 2 (см. рис. 3, в).
В пределах точности численного интегрирования кривая для 6 = 0 совпадает с кривой Ао на рис. 2, соответствующей полной передаче энергии критической форме колебаний. Кривые при р = 0,01; 0,02 и 0,04 резко падают с ростом В к наименьшему значению коэффициента повышения напряжений при р《1 из-за большого числа циклов, необходимого для передачи энергии в этом диапазоне. При р = 0 кривые опускаются ниже Ла= 1 даже при учете окружных напряжений в /4а = 8растяж7ра. Это происходит потому, что максимальная окружная деформация растяжения в момент пика первого направленного наружу полуцикла радиального симметричного движения благодаря демпфированию уменьшается ниже начальной окружной деформации сжатия ра. При В = 0,04 коэффициент повышения напряжений не превышает 1,2 ни при каком значении р. Поскольку в типичных композитных пластиках, армированных волокнами, р^0,05, в таких материалах фактически невозможно разрушение от изгиба при внезапном начальном окружном сжатии.
На рис. 5 приведены кривые, подобные кривым рис. 4, но для случая, когда точки кольца приобретают начальную радиальную скорость в направлении к центру кольца [см. (23)]. Кривая при 6 = 0 та же, что и при условии начального окружного сжатия, из-за большого числа циклов, необходимого для передачи энергии. Кривые при р = 0,01 и 0,02 для практических целей также можно считать не отличающимися от соответствующих кривых на рис. 4. Однако в случае 0 = 0,04 кривая поднимается до значения Ла= 1,5 при р*3 по сравнению с р = 1,2 при условии начального окружного сжатия. Таким образом, возможно, что даже кольцо из композитного
пластика, армированного волокнами (большое значение 0), может разрушиться от изгибных колебаний уже на втором
Рис. 5. Коэффициент повышения напряжения (по максимальному растяжению) в кольце при начальном радиальном движении всех точек с одинаковой скоростью, направленной к центру.
цикле движения по симметричной радиальной форме (М = 2, как на рис. 4). Наблюдавшийся в эксперименте пример такого разрушения описан в следующем разделе.
ЭКСПЕРИМЕНТЫ С КОЛЬЦАМИ ИЗ ФЕНОЛЬНОГО ТЕКСТОЛИТА
Для демонстрации потери устойчивости и предполагаемого механизма разрушения в реальном материале были проведены эксперименты с неопертыми кольцами из фенольного текстолита, подвергавшимися направленным внутрь по
радиусу импульсам, - равномерно распределенным по окружности. Разрушенное кольцо и экспериментальная установка показаны на рис. 6. Кольца были изготовлены из материала «микарта》марки 79 фирмы «Вестингауз», их внутренний диаметр составлял 12 дюймов (304,8 мм), а длина 2 дюйма (50,8 мм); толщины стенок были % и % дюйма (6,35 мм и 3,18 мм), что соответствовало отношениям радиуса
•«о«к^ня§мкон ^^лк-о« HdlAH®s HM^AdBH。) zdBU 0dz.LQh —、
•HWKHHOInAdmBd HNIqHgHJmH°寸
WF3KO ей OTIqlroM и PHmoHBIOA KBHqlfBIHOs0dolmg .9 .0 s ^
'«
к толщине примерно 24 и 48. Кольца были снабжены тензодатчиками BLH РА-8, которые работают и при пластических деформациях. Четыре датчика крепились на внутренней поверхности и четыре — на наружной поверхности кольца на расстояниях % дюйма (6,35 мм) между центрами датчиков по окружности. Каждый внутренний датчик располагался непосредственно напротив наружного, так что выходные сигналы можно было суммировать и вычитать, получая, таким образом, окружные и изгибные деформации. Датчики были расположены близко по окружности с тем, чтобы обеспечить попадание хотя бы одной пары датчиков в точку, близкую к пучности изгиба при ожидаемом большом числе волн колебаний.
Импульсы прикладывались с помощью полос листового взрывчатого вещества «деташит D》фирмы《Дюпон》，размещенных поверх слоя неопреновой пенорезины плотностью 0,6 г/см3. Резина находилась в непосредственном контакте с кольцом (но не была к нему приклеена), как показано на рис. 6, 6. Полосы взрывчатого вещества были применены вместо сплошного листа для того, чтобы обеспечить среднюю толщину, меньшую минимальной толщины около 0,3 мм, при которой происходит детонация. Резина служила для сглаживания разрывного распределения давления, обусловленного наличием дискретных полос, и для уменьшения пика давления с тем, чтобы избежать расщепления кольца, вызываемого отражением радиального напряжения. Толщины пенорезины составляли % и % дюйма (12,7 и 6,35 мм), что вдвое превышает толщину кольца. По измерениям скорости плоской пластины, подвергавшейся воздействию такого же взрывчатого вещества в сочетании с резиной, интенсивность развиваемого импульса оказалась около .400 дин • с/см2 на 0,0254 мм средней толщины взрывчатого вещества. Длительность импульса давления и время прохода по толщине кольца были меньше 10 мкс, что гораздо меньше времени переходного процесса в окружном направлении. После детонации резина отскакивала от кольца, и оно совершало колебания как свободное кольцо.
При каждом опыте кольцо помещали между двумя длинными отрезками стальной трубы с таким же наружным диаметром, опертыми на концевые пластины, которые прикреплялись к центральному стержню, как показано на рис. 6, а. Чтобы кольцо, насколько возможно, оказалось свободным, оно на каждом крае было отделено от стальной трубы зазором шириной 1,4 дюйма (6,35 мм). Единственными опорами кольца были три полоски декоративной ленты шириной 1/4 дюйма (6,35 мм), размещенные на окружности
с интервалами 120°. Пенорезина покрывала всю эту конструкцию, а сверху, как показано на рис. 6,6, были размещены полоски взрывчатого вещества, приклеенные к бумажной форме. Полоски были размещены по спирали под углом 30° с тем, чтобы уменьшить до минимума влияние полос на неравномерность импульса и обеспечить удобный метод для образования кольцевого фронта детонации, распространяющегося вдоль модели в осевом направлении. Детонация начиналась на правом конце (рис. 6,6) в вершине конуса, образованного рядом полос равной длины из взрывчатого вещества, выведенных из равнобедренных треугольников на поверхности модели.
Толщины кольца и величины импульса были выбраны с целью «взять в вилку》наименьшее отношение радиуса к толщине, при котором изгибное разрушение происходит на втором цикле окружного движения (М = 2). Мы уже знаем, что кольцо с любым отношением радиуса к толщине может разрушиться при М = 1, если импульс достаточно велик. Мы утверждаем здесь, что разрушение должно произойти при Л1》2, так что оно вызывается потерей устойчивости от почти упругих окружных деформаций, а не большими нелинейными окружными деформациями при М= 1 (от неустойчивости, подобной описанной в работе [5]).
Таблица /
№
опыта
"ath
Импульс, дин-с/см2
Р = %/са
Максимальная окружная деформация
Максимальная изгибная деформация, измеренная
%/с
измеренная D
1
24
2600
0,88
0,0106
-2)
—
2
24
5200
1,76
0,0212
-3)
—
3
48
1940
260
0,0156
0,0115
0,0072
4
48
2600
3,52
0,0212
0,0185
0,0151
1) Ожидается меньшей, чем v0/c, из-за перехода энергии к изгибному движению. 2)Измеренная частота изгибных колебаний 3,0 кГц, коэффициент затухания |3 = 0,08. з)Кольцевое разрушение при первом движении наружу.
Сводка результатов эксперимента приведена в табл. 1. Во-первых, относительно малый импульс прикладывали к одному из более толстых колец [толщина % дюйма (6,35 мм), 6z/A = 24]. Движение представляло собой в основном простые затухающие изгибные колебания. Были зарегистрированы
пять раздельных циклов деформаций с достаточно большими амплитудами, которые позволяли измерить частоту (f = = 3,0 кГц) и коэффициент затухания (0 = 0,08). Эти величины описывают существенные характеристики материала кольца и будут использованы для сравнения всех экспериментальных результатов с теоретическими. Как мы увидим, все максимальные деформации имеют значения, меньшие 0,02, так что с полным основанием можно считать материал упругим (см. кривые напряжения—деформации в работе [6]), как было принято в теоретическом анализе. По данным измерений частоты окружных колебаний скорость упругих волн равна c==2naf = 2,9 * 105 см/с.
Второй эксперимент также выполнялся с одним из более толстых колец, но при вдвое большем импульсе. Соответствующее максимальное значение несвязанной окружной деформации составило Uo/c = O,O212, a p = vQ/ca = 1,76. Кольцо разрушилось от окружного растягивающего усилия на первом цикле движения наружу. Эти два эксперимента, показали, что для колец из материала 《микарта》 затухание столь велико, что при a/h = 24 первой формой разрушейия оказывается разрыв под действием окружных усилий, прежде чем достаточное количество энергии сможет перейти в изгибное движение, приводящее к разрушению.
Третий опыт проводился с более тонким кольцом [толщина стенки % дюйма (3,17 мм), 口仇=48] при импульсе, давшем деформации ио/с = Ь,О156 и р = 2,60. Записи деформации на рис. 7 показывают, что большая часть энергии окружного движения перешла в энергию изгиба к моменту, когда завершился второй цикл сжатия по окружной форме колебаний (М = 2). Однако максимальная изгибная деформация составляла в этот момент лишь 0,007 и была слишком мала, чтобы вызвать разрушение. И окружные, и изгибные деформации последовательно затухали из-за внутреннего рассеяния энергии.
В последнем опыте импульс, действующий на более тонкое кольцо, был увеличен так, что и°/с = 2,12 и р = 3,52. Записи деформаций на рис. 8 показывают, что энергия окружных колебаний передается изгибному движению, но теперь изгибные деформации достаточно велики, чтобы вызвать разрушение при Л4 = 2. После разрушения деформации не упали мгновенно до нуля, поскольку разрушение произошло на некотором расстоянии от датчиков (см. рис. 6, в). Максимальная измеренная изгибная деформация составила 0,015, что близко к деформации растяжения при разрушении, равной 0,016, о которой сообщалось в работе [6].
Наблюдалось шесть отдельных точек разрушения, пять из которых были расположены достаточно близко друг к другу, так что можно было измерить длины изгибных волн. Три непосредственно наблюдавшиеся длины полуволн l3/s дюйма (34,9 мм) в верхней части рис. 6, 8分 соответствуют /г=14 полным волнам по окружности. Расстояние
Рис. 7. Окружная (рис. а) и изгибная (рис. 6) компоненты напряжений в опыте 3 (р=2,60, a/h=48).
5З/4 дюйма (146,1 мм) между этими двумя областями расположения трещин соответствует 几=16, если принять, что на этом участке находились пять полуволн. Если же считать, что на участке были три полуволны (число должно быть нечетным, поскольку трещина слева началась на внутренней поверхности, а трещина справа ——на наружной), то м —10,
1)Метка в виде черной полоски в нижней части кольца около буквы 4 указывает расположение трещины на наружной стороне кольца, невидимой со стороны, с которой сделана фотография.
что менее вероятно, потому что больше отличается от п= 14. Числа волн 14 и 16 прекрасно согласуются с теорией, со-
Р и с. 8. Окружная (рис. а) и изгибная (рис. б) компоненты напряженийв опыте 4 (р=3,52, а//г = 48); шесть изгибных разрушений произошли, какпоказано на рис. 6.
гласно которой наиболее быстро нарастают формы колебаний с числом волн, соответствующим целому числу, близкому к 九KpS = 0,6s= 14,5.
Список литературы
Goodier J. N., Mclvor I. К・，The elastic cylindrical shell under nearly uniform radial impulse, /. Appl. Meeh., 31, No. 2, Trans. ASME, 86, Ser. E, 259—266 (1964); русский перевод: Гудьир, Макайвор, Упругая цилиндрическая оболочка под действием радиального импульса, близкого к равномерному, Прикладная механика, № 2, 111 (1964).
Lindberg Н. Е., Buckling of a very thin cylindrical shell due to an impulsive pressure,丄 Appl. Meeh., 31, No. 2, Trans. ASME, 86, Ser. E,
4 Заказ № 1G9
267——272 (1964); русский перевод: Линдберг, Изгиб очень тонкой цилиндрической оболочки под действием импульсного давления, Прикладная механика, № 2, 120 (1964).
Lindberg Н. Е., Impact buckling of a thin bar, /. A ppi. Meeh., 32, Trans. ASME, 87, Ser. E, 315—322 (1965); русский перевод: Линдберг, Потеря устойчивости тонкого стержня при ударе, Прикладная механика, № 2 (1965).
Lindberg Н. Е., Dynamic pulse buckling of cylindrical shells, PLTR 001-70, Stanford Research Institute, Apr. 1970.
Abrahamson G. R., Goodier J. N., Dynamic plastic flow buckling of a cylindrical shell from uniform radial impulse, Proceedings of the 4th US National Congress of Applied Mechanics, Oxford, Pergamon Press, 1962, p. 939—950.
Maiden C. J., Green S. J., Response of materials and structures to suddenly applied stress loads (Phase I), DASA 1716, TR 65-69, General Motors Corp., Oct. 1965.
КРИТИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ РАЗРУШЕНИЯЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ КРУГОВОГОПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БЕЗ ВЫПУЧИВАНИЯ 】)
Г. Р. Абрахамсон
ВВЕДЕНИЕ
Быстрое разрушение оболочек кругового поперечного сечения используется во многих реальных технических устройствах. Примерами могут служить: взрывные устройства, позволяющие получать герметические соединения труб в течение десятков микросекунд; магнитострикционные устройства, применяемые для создания нестационарных интенсивных магнитных полей; ударные трубы, в которых за счет быстрого разрушения цилиндрического резервуара создаются не- установившиеся потоки газа с очень высокими скоростями и давлениями; бронебойные снаряды и устройства для проходки нефтяных скважин, в которых за счет быстрого разрушения конических оболочек создается струя частиц металла со скоростями порядка 10 000 фут/с (3000 м/с). Для всех перечисленных примеров представляет интер.ес вопрос об устойчивости оболочки в процессе ее разрушения; в некоторых же случаях эта устойчивость играет решающую роль с точки зрения возможности успешного функционирования устройства.
Как видно из рис. 1а, направленное к центру радиальное движение оболочек кругового поперечного сечения может сопровождаться выпучиванием, если начальные скорости достаточно велики для того, чтобы возникла не слишком малая—порядка 10%—постоянная деформация. Как было показано в работах [1, 2], выпучивание такого типа связано с наличием несовершенств формы оболочки; в течение радиального движения оболочки в направлении к центру амплитуда этих несовершенств возрастает во времени по экспоненциальному закону. Как показано на рис. 16, возникающее в процессе разрушения окружное сжимающее напряжение приводит к росту амплитуд несовершенств формы: отставшие от среднего движения частицы «отбрасываются» еще
Abrahamson G. R., Critical velocity for collapse of a shell of circular cross section without buckling, Transactions of the 24sAlE, 41, Ser. E, No. 2, 407—411 (1974).
4*
дальше назад, тогда как опережающие среднее движение частицы «подталкиваются» вперед. Так как возрастание амплитуд несовершенств до заметной величины требует определенного времени, а с увеличением толщины оболочки ее устойчивость повышается, то при достаточно высоких скоростях разрушения эффект выпучивания будет пренебре-
Р и с. 1а. Типичная форма выпучивания круговой цилиндрической оболочки из алюминиевого сплава 2024-ТЗ под действием радиального импульса, направленного к центру оболочки; скорость 780 фут/с (238 м/с), начальный диаметр оболочки 2,99 дюйма (76 мм), толщина стенки 0,076 дюйма (1,93 мм), длина 6 дюймов (0,152 м).
Рис. 16. Тенденция к нарастанию несовершенств формы под действиемокружных напряжений.
жимо малым. Таким образом, можно определить такую критическую скорость (постоянную или переменную) разрушения, при которой амплитуды несовершенств формы в процессе разрушения не превзойдут определенную заданную величину. В предлагаемой статье исследование, выполненное в работе [1], распространено на задачу об оценке степени роста амплитуд начальных несовершенств формы при постоянной скорости разрушения.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
Так как рассматриваются малые перемещения при выпучивании, то скорость изгибных деформаций можно считать меньшей скорости окружного деформирования. Поэтому деформации оболочки при ее движении внутрь, к центру, все-
гда возрастают. В точках Л на рис. 16 скорость изгибной деформации складывается со скоростью окружной деформации сжатия, а в точках 8 она вычитается из последней. Таким образом, точки Xх и 8’ на изображенной на рис. 2 кривой напряжение——деформация, соответствующие точкам 4 H 8 рис. 16, всегда будут двигаться в направлении увеличения окружной деформации сжатия, причем точки Xх будут двигаться впереди точек В7. Изгибающий момент, соответст
вующий разности напряжений женно определяется согласно простой формуле теории стержней: •
M = Eh・ (1)
В эту формулу вместо модуля упругости входит касательный модуль Et между точками /Г и 夕，/ — момент инерции сечения (на единицу длины в осевом направлении), а 兄一увеличение кривизны. Радиальное перемещение оболочки (в направлении к центру) относительно начального радиуса а
в точках А' и В\ прибли-в точках А' и В\ прибли-Рис. 2. Кривая напряжение—деформация.Рис. 2. Кривая напряжение—деформация.рассматривается как сумма
в точках А' и В\ прибли-
в точках А' и В\ прибли-
Рис. 2. Кривая напряжение—деформация.
Рис. 2. Кривая напряжение—деформация.
постоянной, равномерно распределенной по окружности составляющей 侬о и составляющей w, которая связана с выпучива> нием и которая считается малой по сравнению с радиусом. Обозначив через г величину радиуса а — ад, запишем для
*=4—^+%(沙一*=4—^+%(沙一W丿，W丿，⑵⑵увеличения кривизны выражение
*=4—^+%(沙一
*=4—^+%(沙一
W丿，
W丿，
⑵
⑵
которое не учитывает изменения кривизны, связанного с начальными несовершенствами формы; это приближение не оказывает сколь-нибудь существенного влияния на результаты настоящего исследования.
При помощи рис. 3 нетрудно составить уравнение движения элемента разрушающейся оболочки. Пренебрегая инерцией вращения, можно записать для перерезывающей силы (на единицу длины) выражение
Q = dM/d入. (3)
Здесь dA — длина дуги, соответствующая углу 08 и охватывающая угол 。屮 для мгновенного центра кривизны. Обозначим через о,九，р и Р соответственно окружное сжимающее
напряжение, толщину стенки, плотность и внешнее давление, тогда уравнение радиального движения запишется в виде 察=浊备(г-哂.(4)
Кривизна равна.
где Хг — кривизна, связанная с малыми начальными отклонениями формы оболочки от круговой, а 乂一увеличение кри-
Р и с. 3. Обозначения.
визны, определенное зависимостью (2). Обозначим через 吗 начальное отклонение формы оболочки от круговой, тогда связанная с этим отклонением кривизна в любой момент времени будет определяться выражением
Подставим (6) и (2) в соотношение (5), а полученный результат——в уравнение (4). Исключив затем Q согласно (3) и М при помощи (12) и (2), с учетом равенств I =喇\2 и d^ = =rdB придем к следующему дифференциальному уравнению относительно перемещения:
Et 九3 / @4w@2w \, г I I /. d2w \ .
+ *(叫+力為(「一吩+P. ⑺
При отсутствии начальных несовершенств формы и выпучивания уравнение (7) сводится к уравнению
(8)
которое в случае разрушения с постоянной скоростью переходит, как и следовало ожидать, в простое равенство
4-=л(9)
Таким образом, в случае разрушения с постоянной скоростью уравнение (7) принимает вид
々九2 / @2如@2w \ . а Г/ . /w \ .
+(耽+需•(2
Обозначив через 也。начальную толщину стенки, запишем на основании условия неразрывности приближенное равенство
力= %(〃/「).(И)
Кроме того, пусть
0 =e/月0, T = 0同，(12)
где Ео и о。一 некоторые характерные значения Е и о; введем безразмерные величины
s2= 12 (з因)(a偽У,「2= 12a4P俑皖，(13)
а также a = r/a и t = f/T. Тогда уравнение (10) примет вид 0 (沙""+初")+s2?a4 [3+加")+ (叫 + 吗)]=-a6w, (14) где штрихами и точками обозначено дифференцирование соответственно по переменным бит. Наконец, перейдя к переменной 〃 = з/а, приведем уравнение (14) к виду
a^s^u+^+s2i^) uff^uftn^-^ (乙十畸・(15)
В случае a= 1, 6 = 1, 丫=1 уравнение (15) соответствует уравнению (10) работы [1] с тем лишь отличием, что в настоящей работе рассматривается разрушение с постоянной скоростью и поэтому в правой части уравнения отсутствует член, содержащий —s2.
КРИТИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ РАЗРУШЕНИЯ
Так как дифференциальное уравнение (15) линейно, то можно представить перемещение при выпучивании в виде ряда
N ［尸/г (с) COSZ^+G〃(с) sinM］, (16) /г = 2
а начальное отклонение формы оболочки от круговой —— в виде ряда
〃i= N \^п cosп^-\-Вп sin пЦ. (17) 〃 =2
В эти ряды не включены члены с /г=1, поскольку они не дают вклада в движение, соответствующее выпучиванию. Подставив ряды (16) и (17) в (15), получим уравнение
аб耳十 §”4—必偉+ s2rz4) +削4］巳=—S2P4(1 -^An (18) и аналогичное уравнение относительно Gn・ Разделив уравнение (18) на Ап и перейдя к переменной fn = Fn/An, приведем это уравнение к виду
a% + (部 一 1)(胧2 一 s2*4) /" = 82"4 (出 一 1 )•. (19)
Из уравнения (19) ясно, каким должен быть характер движения в процессе выпучивания. При отрицательных значениях коэффициента при fn решения определяются гиперболическими функциями, и величина fn возрастает с течением времени по экспоненциальному закону. Задав начальные значения В и 丫 равными единице и заметив, что в начале движения а= 1, убедимся, что формы выпучивания при /t2<s2 вначале являются неустойчивыми. По мере развития процесса разрушения оболочки происходит уменьшение величины параметра а, поэтому в какой-то момент коэффициент при fn становится положительным и первоначально неустойчивые формы выпучивания становятся устойчивыми, т. е. движение по этим формам приобретает колебательный характер. Однако если в процессе разрушения параметр а уменьшается, то величина у, вообще говоря, увеличивается, а В уменьшается. Таким образом, степень нарастания выпучивания за период неустойчивости зависит не только от скорости разрушения, но и от формы кривой напряжение—деформация.
Чтобы проинтегрировать уравнение (19), необходимо знать зависимость а от т, а также зависимости параметров В и у от деформации, а следовательно, от величины а. Вме-
гдегдеа = 1—0с,(20)а = 1—0с,(20)Р и с. 4. Конечные значения fn при s = = 30; критической является форма выпучивания с п= 10.Р и с. 4. Конечные значения fn при s = = 30; критической является форма выпучивания с п= 10.
где
где
а = 1—0с,(20)
а = 1—0с,(20)
Р и с. 4. Конечные значения fn при s = = 30; критической является форма выпучивания с п= 10.
Р и с. 4. Конечные значения fn при s = = 30; критической является форма выпучивания с п= 10.
сто того чтобы решать уравнение (19) для какого-либо конкретного материала, найдем в данной работе критическую скорость разрушения при 0 = 1, у=1； эти значения соответствуют гипотетическому жесткому материалу с линейным упрочнением (6=1) и с малым модулем упрочнения (у=1).
В случае постоянной скорости разрушения V будут снра， ведливы соотношения а = г/а = (а — Wo)/a = 1 —Зо/а=- =1 — Vt/a, или через т:
= . (21)
Уравнения (19) были проинтегрированы численно с учетом соотношения (20) при начальных
условиях fn (0) = /п (0) = 0 и n<s. Окончательными значениями fn считались значения в момент, непосредственно предшествующий моменту смены знака коэффициента при fn в уравнении (19).
На рис. 4 представлены графики зависимостей конечных значений fn от
параметров п и q при s = 30. Как и следовало ожидать, лю、 бому фиксированному значению п соответствует уменьшение значений fn при возрастании q. Значение п, при котором величина fn достигает своего максимума, составляет п= 10. По величине коэффициента при fn в уравнении (19) находится значение а в тот момент, когда форма выпучивания с п== 10 становится устойчивой; при В=у = 1 это значение определяется формулой
a = m硒,
и для случая s = 30, п= 10 получаем сс = 0,577.
Рис. 5. Кривые критической скорости разрушения при fn = Ю и fn = 100 (числа на кривых указывают номера критической формы выпучивания).Рис. 5. Кривые критической скорости разрушения при fn = Ю и fn = 100 (числа на кривых указывают номера критической формы выпучивания).
Рис. 5. Кривые критической скорости разрушения при fn = Ю и fn = 100 (числа на кривых указывают номера критической формы выпучивания).
Рис. 5. Кривые критической скорости разрушения при fn = Ю и fn = 100 (числа на кривых указывают номера критической формы выпучивания).
Графики, приведенные на рис. 4, были рассчитаны для диапазона значений 15WsW200. По этим графикам были найдены значения q при % =10 и /п= 100 — см. рис. 5, где ука
заны также номера критических форм выпучивания. Как и следовало ожидать, при фиксированном значении s величине
/п = Ю соответствует большая критическая скорость д, нежели величине /п= 100. Критическая скорость возрастает также по мере уменьшения толщины оболочки, т. е. по мере возрастания s. Номера критической формы выпучивания возрастают по мере увеличения параметра s, однако одному значению s соответствуют почти одинаковые номера критической формы, указанные для двух кривых.
Чтобы определить критическую скорость разрушения для частных случаев, поступаем следующим образом. Из (13) и (21) записываем формулы
(23)
% /^o/p
Видно, что геометрические
характеристики входят в эти выражения лишь через отношение радиуса оболочки к ее толщине.
Однако характеристики материала влияют как на величину s через отношение напряженйя текучести Оо к угловому коэффициенту Ео кривой напряжение—деформация, так и на величину q через скорость (£0/р) 1/2« Разумные оценки для этих отношений таковы: (ао/£'о)1/2 = О,5 и (£о/р)1/2 = 5- 104 см/с.
Тогда, положив а/Ао = ЗО, получим s = yi2・0,5・30 = 52.
По кривой, построенной для fn = 10 на рис. 5, находим, что д = 130 при s = 52. Отсюда, согласно (23), находим ско-
рость
丿i萼 ^^= 130 .击.誉=6,2 .о ем/с.
Мы не располагаем экспериментальными данными, которые давали бы прямое подтверждение результатов проведенного теоретического исследования. Однако скорости разрушения медных гильз в кумулятивных зарядах имеют порядок 105 см/с, что качественно согласуется с полученным выше результатом. Для количественной проверки теории необходимо провести численное интегрирование уравнения (19) с использованием действительных кривых напряжения—деформация.
ОБСУЖДЕНИЕ
Проведенное выше исследование было основано на применении простого закона напряжение——деформация, соответствующего одноосному напряженному состоянию и проиллюстрированного на рис. 2. Рассмотрим теперь сопротивление разрушающейся оболочки деформациям изгиба, исходя из закона, соответствующего двухосному напряженному состоянию.
Будем считать радиальное напряжение равным нулю， всюду по толщине оболочки. Тогда критерий текучести Мизеса, составленный для главных напряжений — окружного о® и осевого о% —будет характеризоваться кривой, изображенной на рис. 6, а. Будем предполагать, что главные оси тензора, приращений пластической деформации параллельны главным осям тензора напряжений (закон течения Рейсса). Тогда приведенные на рис. 6, а оси будут также главными осями приращений пластических деформаций Аве и Ае%. При движении-： оболочки в радиальном направлении к оси без деформирования в осевом направлении напряжение о® будет сжимающим, и А8х^=0. Таким образом, соответствующей точкой эллипса текучести на рис. 6, а будет точка- О, в которой напряжение о® является сжимающим и нормаль к эллипсу текучести., (определяющая направление вектора приращений пластической деформации) параллельна оси Аее.
У материала с изотропным законом упрочнения при увеличении деформации происходит расширение эллипса текучести. Если происходит выпучивание, как показано на рис. 1, б, то окружная деформация в точке Л будет больше,, чем в точке В. Следовательно, как показано на рис. 6, 6, точки с соответствующими напряжениями будут лежать на расширяющихся эллипсах текучести, расположенных по обе
стороны от того расширяющегося эллипса текучести, который соответствует средней окружной деформации. Различие значений напряжения ов в точках Af и 月'означает, что существует изгибающий момент, который оказывает сопротивление выпучиванию. Так как этот момент обусловлен упрочнением при деформировании, то его называют моментом усилий упрочнения. В проведенном выше исследовании рассматривалось сопротивление изгибу, связанное именно с действием этого момента усилий упрочнения.
Рис. 6. Двухосные напряженные состояния разрушающейся оболочки и эллипсы текучести Мизеса.
Влияние скорости деформирования также может приводить к появлению изгибающих моментов, которые будут создавать сопротивление выпучиванию. Из рис. 1, 6 видно, что скорость окружного деформирования в точке Л больше, чем в точке В. Поэтому если предел текучести материала возрастает по мере увеличения скорости деформирования, то точки на рис. 6, соответствующие напряжениям в 4 и 5, будут лежать на эллипсах текучести, расположенных по разные стороны от эллипса текучести, соответствующего средней скорости окружных деформаций (как и в случае упрочнения, проиллюстрированном на рис. 6, б). Флоренс [3] изучал
выпучивание цилиндров из малоуглеродистой стали, обладающей чувствительностью к скорости деформирования.
Для материала, упрочнение которого не зависит от скорости деформаций, величина критической скорости разрушения, основанная на анализе одного лишь упрочнения, представляет собой оценку сверху. Однако для материала, упрочнение которого уменьшается с ростом скорости деформирования, расчет критической скорости разрушения должен быть более полным, нежели в данной работе.
Если вместо условия Дех = 0 задается условие ох = 0 (как, например, в случае кольца), то соответствующей точкой эллипса текучести, разрушающейся без выпучивания оболочки, будет точка О', показанная на рис. 6, в. При возникновении выпучивания окружная деформация в точке Л (рис. 1, 6) будет большей, а в точке В — меньшей, чем средняя окружная деформация, однако величина осевой деформации в точках А и В будет одной и той же. Таким образом, векторы приращений деформаций в точках Л и 5 будут иметь одну и ту же осевую составляющую, но различные окружные составляющие. Следовательно, эти векторы не будут параллельны изображенному на рис. 6, в вектору приращений деформаций в точке О', а будут немного повернуты относительно него. Так как векторы приращений деформаций должны быть нормальны к эллипсу текучести, то это различие в направлениях означает, что величины напряжений в точках Л и В будут различными, как это показано на рис. 6, а. Изгибающий момент, который соответствует этой разности напряжений, Гудьер назвал моментом направления (directional moment). Интересно заметить, что при А£% = 0 такие- моменты не возникают, поскольку в этом случае все векторы приращений деформаций имеют одно и то же направление. Флоренс и Гудьер [4] исследовали осесимметричное выпучивание толстостенных труб с учетом моментов направления.
При быстром разрушении цилиндрических оболочек сопротивление выпучиванию должно вначале создаваться за счет моментов, обусловленных упрочнением и влиянием скорости деформирования. Дело в том, что осевое течение, необходимое для появления моментов направления, может возникать лишь после прихода волн разгрузки от концов оболочки. Так как в процессе разрушения толщина оболочки возрастает и, следовательно, оболочка становится более устойчивой, то основная часть выпучивания происходит на первоначальной стадии процесса разрушения. Поэтому во многих задачах влияние моментов направления может быть несущественным. Кроме того, увеличение сопротивления изгибу
за счет действия моментов направления приводит к уменьшению критической скорости разрушения. Поэтому расчет критической скорости разрушения без учета влияния этих моментов дает оценку сверху для точного значения этой скорости.
Список литературы
Abrahamson G. R., Goodier J. N., Dynamic plastic flow buckling of a cylindrical shell from uniform radial impulse, Proceedings of Fourth. U. S. National Congress of Applied Mechanics, University of California, Berkeley, Calif., June 18, 1962,.
Anderson D. L., Lindberg H. E., Dynamic pulse buckling of cylindrical shells under transient lateral pressures, AI A A Journal, 6, No. 4, 589——598 (Apr. 1968); русский перевод: Андерсон, Линдберг, Динамическое выпучивание цилиндрических оболочек под действием нестационарного' бокового давления, Ракетная техника и космонавтика, № 4, 16 (1968).
Florence A. L., Buckling of viscoplastic cylindrical shells due to impusive loading, AI A A Journal, 6, No. 3, 532—537 (Mar. 1968); русский перевод: Флоренс, Потеря устойчивости вязкопластическими цилиндрическими оболочками при импульсном нагружении, Ракетная техника 〃 космонавтика, № 3, 185 (1968).
Florence A. L., Goodier J. N., Dynamic plastic buckling of cylindrical' shells in sustained axial compressive flow, /. A ppi. Meeh., 35, No. 1> Trans. ASME, 90, Ser. E, 80—96 (Mar. 1968); русский перевод: Флоренс, Гудьир, Динамическое выпучивание за пределом упругости цилиндрических оболочек при поддерживаемом осевом сжимающем течении> Прикладная механика, № 3, 217 (1968).
ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПОПЕРЕЧНЫХОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ВОЛН В круговойЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ о
Дж. Гинсберг
ВВЕДЕНИЕ
В многочисленных исследованиях динамического поведения цилиндрических оболочек рассматривалось влияние нелинейности, присущей теории оболочек большого прогиба. Обзор работ этого направления содержится в отчете [2]. Цели всех этих исследований, вообще говоря, носят двоякий характер. Первой целью является определение качественных эффектов, вызванных нелинейностью, таких, как явление прощелкивания и необычные динамические процессы при резонансном возбуждении, а также неустойчивость при параметрическом возбуждении. Некоторые из наиболее значительных исследований в этой области описаны в работах [3—7].
Другая цель выполненных ранее работ связана с количественным подходом, направленным на то, чтобы выяснить, все ли существенные эффекты учтены в анализе. С этой целью в работах [4, 7—12] были сделаны попытки, более или менее успешные, сформулировать новые аналитические методы для получения решений, в которых точно учитывались бы инерционные эффекты и нелинейные соотношения между деформациями и перемещениями и которые в то же время удовлетворяли бы всем условиям неразрывности и граничным условиям.
В экспериментах, описанных в работе [1], выявился новый нелинейный эффект. Наблюдалось, что осесимметричные поперечные волны быстро теряют свою симметрию при распространении вдоль оси цилиндрической оболочки. Голограммы волнового движения показали, что возбуждаются неосесимметричные свободные колебания с той же длиной, волны 2L в продольном направлении, что и осесимметричная форма движения. Далее оказывается, что осесимметричные и неосесимметричные перемещения в установившейся комбинации, называемой здесь неосесимметричной волной, рас-
Ginsberg J. Н., Dynamic stability of transverse axisymmetric waves in circular cylindrical shells, Transactions of the ASME, 41, Ser. E, No. 1, 77—82 (1974).
пространяются совместно с общей скоростью V, т. е. без дисперсии. На основании этого факта можно сделать предположение, что собственная частота неосесимметричной формы близка к частоте осесимметричной формы. Ни один из способов анализа неустойчивости, приведенных в предыдущих исследованиях, не позволяет описать это явление.
В общем случае неустойчивость осесимметричных волн может быть вызвана двумя причинами. Поверхность оболочки может иметь отклонения от идеальной круговой цилиндрической формы; кроме того, нелинейности могут привести к взаимодействию форм волнового движения. В данном исследовании, чтобы выявить новый механизм параметрического возбуждения неосесимметричных форм, рассмотрен лишь случай идеальной цилиндрической оболочки. Показано, что при достижении амплитудой осесимметричной волны некоторого предельного значения, которое обсуждается и иллюстрируется в работе, неосесимметричная форма становится неустойчивой. Анализ позволил также найти фазовые скорости осесимметричной и неосесимметричной волн Ьля случаев, когда эти формы движения устойчивы.
Метод решения аналогичен методу, развитому автором при исследовании установившихся колебаний бесконечно длинных цилиндрических оболочек [10] и цилиндрических оболочек конечной длины [12]. Предполагалось, что устано- виласть стационарная волна. Затем перемещения выражались в виде бесконечного ряда по формам свободных колебаний. Усечение этого ряда производилось на основе анализа кинетической энергии и энергии деформации при всех возможных вариантах взаимодействия между формами движения. В результате находится однородное асимптотическое разложение, при помощи которого учитываются все эффекты〉 существенные для первого нелинейного приближения. Решение следует считать точным для динамических процессов, при которых длина волны в продольном направлении не слишком мала по сравнению с радиусом оболочки.
Такой же подход можно применить для анализа движения с меньшими длинами волн, но при решении следует учесть влияние поперечного сдвига и инерции вращения в выражениях для энергии и для волновых форм. Такой анализ необходим для количественного сравнения теоретических пределов устойчивости с экспериментальными результатами работы [1]. Однако расчет неустойчивости качественно подтверждает экспериментальные наблюдения.
Необходимо отметить, что исследование влияния совершенств формы зависит от формулировки нелинейной задачи, в которой также должны быть учтены эффекты взаимодей-
ствия. Это положение проиллюстрировано в процессе решения соответствующей задачи о цилиндрической оболочке, нагруженной на торце [13]. Анализ, проведенный в настоящей работе, можно непосредственно развить таким образом, чтобы учесть несовершенства формы; однако это выходит за пределы данного исследования.
ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ЭНЕРГИИ
Используется теория оболочек Флюгге—Лурье—Бирна и лагранжевы соотношения для деформаций. Пусть и, и, w —— соответственно продольная, окружная и радиальная составляющие перемещения точки, находящейся на расстоянии R+z от оси цилиндрической оболочки, а и, и, w — составляющие перемещения в соответствующей точке срединной поверхности при г = 0. Тогда
e=0一专（叫 8-0）,（1）
где &=%/£ и 0 — безразмерные цилиндрические координаты, а запятая означает частное дифференцирование по переменной, указанной индексом. Деформации Кирхгофа выражаются в виде
%=4■晨++必十色+礁I，
e88 =天=@6+不）+
+ 2（r]）2 圆+@e+动2+®,e 一研，⑵
+ 2厶（R+n）反а8+аЕ @9+石）+质,Е ®,9 -石）1，
а энергия деформации для оболочки толщиной h равна
1 2n九/2
и= ^丝 J J J [£?e + £*е0+г^^е0 +
' 丿-1 0 j/2
+2（1 —"七統（А十2）近成我（3）
где Е — модуль Юнга и v — коэффициент Пуассона.
5 Заказ № 169
Установлено, что в случае очень тонкой оболочки нелинейными эффектами, связанными с изгибом, можно пренебречь по сравнению с нелинейными эффектами, которые обусловлены усилиями в срединной поверхности [10]; поэтому при подстановке зависимостей (1) и (2) в выражение (3) все неквадратичные члены с коэффициентом h2/R2 опущены. Результаты такой подстановки можно найти в работах [10, 12, 13], здесь они не приводятся; следует лишь отметить? чтома+а+а,•⑷
где 〃2, 〃з и U4 — суммы произведений составляющих перемещений и их производных* по координатам соответственно второй, третьей и четвертой степени.
Поскольку влияние инерции вращения не учитывается, кинетическую энергию можно записать в виде
T=^L (孚)J卜m+后2+硝或磷，(5)
где р — плотность материала, а точка над символом означает дифференцирование по безразмерному времени
При движении бесконечно длинной цилиндрической оболочки с длиной волны в продольном направлении, равной 2L, перемещения можно выразить в виде следующих бесконечных сумм по формам линейных свободных колебаний:
N 2 %力尼心,力尼sin尢-6”,尼cos/词cos Z6,
尧=Д Д々М阮力尼[а力尼cos_M+&,；,尼sin丿啕sin ze,(7)
oo oo 3
搭=2 2 》 h为cos,畸+仇3,为Sin j啕cosZ氏
кj = Oj = O 尼=1
Здесь а*/,% pt,j,互 и у^, j,к — амплитуды форм колебаний для перемещений ut v и w, соответствующие собственной частоте %,/,互(％, j, iV%, j,2vQ, j,3)“ и нормированные таким образом, что
4, /,为+脸力为十君，小=L(8)
и В случае, когда i или j=0, формы колебаний соответствуют движению оболочки как твердого тела или чисто крутильным колебаниям, которые нельзя связать с поперечными перемещениями. Такие формы сразу исключены из рассмотрения.
Функции Нг, j,k и bi,j,h представляют собой обобщенные координаты для перемещений. Значения ◎*),&, a*j,拓 B*j,互 и у*，左 были вычислены при помощи метода работы [14], который оказался точным и эффективным с вычислительной точки зрения.
В соответствии с линейной теорией осесимметричную поперечную волну, распространяющуюся в направлении возрастания продольной координаты, можно описать, положив ^г, з,ь = Ьг, j,fe = 0, кроме случая г = 0, / = 1 и 々 = 1, который соответствует «о, i, i =Л0 cos Qo, i, it и 瓦,i, i=/o sin Qo> i, it (Л0<С 1, поскольку 〃/R《l, u/R《l и 侬/R&1). Фазовая скорость полученного таким образом поперечного перемещения будет равна
乙产金。0,1,1・⑼
Влияние нелинейности проявляется в виде двух эффектов: фазовая скорость становится зависимой от амплитуды, и возникает механизм, приводящий к возбуждению движения по другим обобщенным координатам. В частности, как указано в введении, обобщенные координаты ап, i, i и bn, i, i, соответствующие определенному числу волн п по окружности, иногда становятся динамически неустойчивыми и достигают того же порядка величины, что и a。, i, i и bo, i, i. Следуя терминологии работ [10, 12], величины ао, 1,1, 6о, i, i, а® 1,1 и b^, i, i называем ниже главными координатами.
Главные координаты — не единственные координаты, которые участвуют в движении; может возбуждаться движение и по другим обобщенным координатам. Однако значения этих других координат, называемых здесь второстепенными, будут гораздо меньшими, чем значения главных координат, так что
论，九,力々论，九,力々=0(4) при /=0 или % 丿=1, ^= 1, ^О (Ло) в остальных случаях.°。)
论，九,力々
论，九,力々
В первом приближении в выражениях для энергии опущены члены, меньшие чем О (Л^). Из рассмотрения выражений (4) и (5) следует, что эффекты взаимодействия между главными и второстепенными координатами состоят в следующем:
U2 и 7 не могут вызвать взаимодействия, поскольку обобщенные координаты образуют ортогональную систему.
Произведения главных координат третьей степени являются единственными в t/з членами порядка 0(4^), но все такие члены становятся равными нулю после интегрирования 5*
по Е・ Члены порядка О (4^) появляются в Оз в результате перемножения двух главных и одной второстепенной координаты. При интегрировании по координатам не обращаются в нуль лишь комбинации, соответствующие второстепенным координатам a*j,左 и 6片，)，左,для которых i = 0, ", 2" и j = 0, 2.
U4 содержит лишь произведения главных координат четвертой степени; все другие члены меньше, чем О (Д^).
Можно показать; что все второстепенные координаты, не участвующие во взаимодействии на данном этапе, имеют порядок не более О (/), и, следовательно, их можно исключить из рядов (7). Выражения для энергии, получающиеся в результате подстановки (7) в (4) и (5), приведены в приложении.
ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СИСТЕМА
Исследовать устойчивость системы, определяемой выражениями (31) и (32), практически неудобно из-за множества обобщенных координат. Вместо этого здесь применен метод, заключающийся в отыскании эквивалентной системы с числом степеней свободы, равным числу независимых главных координат. Если добиться, чтобы амплитудно-частотные соотношения (или зависимости амплитуда—фазовая скорость), соответствующие установившемуся движению обеих систем, совпали, то, как доказано в работе ［15］, характеристики устойчивости этих систем будут одинаковыми.
Уравнения движения оболочки получены из уравнений Лагранжа. Все уравнения для главных координат подобны по своему виду. Пусть q@,i, i ——произвольная главная координата; тогда соответствующее уравнение содержит линейные члены со?夕居］,1+(о@；］, 1夕居 1,1 (р = 0, п) плюс сумму нелинейных членов вида qP> i^qi, j>k « = 0,几，2р; / = 0, 2) и 分，fs,i,iX X，t, i, 1 (г, s, f = 0, n). Здесь введены следующие безразмерные параметры:
3=学［(1-К) р/?2医 1，
〃(И)
так что
匕m =(12)
Как указано в введении, неустойчивость проявляется в установившемся движении с осесимметричными и неосесим- Метритными волнами, имеющими общую фазовую скорость V. Такой результат можно получить лишь в случае, когда
каждой главной координате соответствует одна и та же частота. Однако из-за малости нелинейных членов в уравнениях для главных координат такое явление произойдет только при условии
① 0/1 = 3〃』1[1 +。(阎].(13)
Отсюда можно найти, что
3 = 30,1.1[1+。(确]•(14)
Следует отметить, что при заданном значении L/R возможно несколько состояний, при которых удовлетворяется
Рис. 1. Собственная частота основного тона колебаний при £/R=0,5,九/R= = 0,01 и v=0,3.
условие (13). Это связано с тем, что с увеличением числа волн по окружности п собственная частота обычно достигает минимума, а затем уже монотонно возрастает. Так, на типичном графике, показанном на рис. 1, формы свободных колебаний, соответствующие n= 1, 17 или 18, отвечают потенциально неустойчивым состояниям.
Подстановкой (13) и (14) в уравнения для главных координат можно найти решения, описывающие волны, которые
распространяются в положительном направлении продольной оси
%, 1, i = ^o cosc+。（Ло）,
6о, 1,1 = ^о sinc +。（Ло）,
a〃, 1,1 = 4 cos （х 一屮）+。（题），"5》
6〃, 1,1 = 4 sin （T -屮）+0（题）•
Здесь значение Ап имеет порядок。（力。）и —冗/2 vtpW冗/2.
Теперь можно найти стационарные решения для второстепенных координат. Типичное уравнение для второстепенной координаты gt,j,互 содержит линейные члены ^qi, jth+ + оД 厶互g*j,互 и сумму нелинейных членов, являющихся произведениями четвертых степеней главных координат. После подстановки зависимостей （14） и （15） находятся частные ре- тения и； однородные решения не рассматриваются, поскольку они не представляют волны с фазовой скоростью V.
Затем стационарные решения для главных и второстепенных координат снова подставляются в четыре уравнения для главных координат. Далее в соответствии с методом гармонического баланса каждое уравнение удовлетворяется таким образом, чтобы коэффициенты при cost и sinr стремились к нулю, достигая порядка О （/*）• В результате находятся следующие амплитудно-частотные соотношения:
2 （а）о, 1, 1 — з?） ^^^^-[-（-РгЧ-^ cos 2ф） ЛоАд = О,（3； 1, 1 - 32） 4 + （p2+。3 8S2屮）/4+Р4片=0,屮=0,询2,
где
*2代—兽也削，о, 3*2代—兽也削，о, 3
*2代—兽也
削，о, 3
*2代—兽也
削，о, 3
e 1 I入0, 0, 3入0, 0, 31^^入"，0,在
尸2 =方（长3十长4）Z
0, 3力=1, 3 3〃，0, k
у 碎，2,用
4 k=\ （3之 2,用一4ш0,1）'
D Редкий случай, при котором частота второстепенной координаты удовлетворяет условию Зе,）,&^2зо,】，卜 соответствует субгармоническому возбуждению и здесь не рассматривается* При возникновении такого явления проявляется другой механизм неустойчивости, подобный тому, который изучался в работах [5—7].
P3 = 3 (代一十)P3 = 3 (代一十)1 у入0, 2,々%, 2,月
P3 = 3 (代一十)
P3 = 3 (代一十)
4 % = i 稣 2,尼 一 4唸 1, J
16 s碌0,尼16 s碌0,尼
16 s碌0,尼
16 s碌0,尼
p4 = 2k2p4 = 2k2入机 0,々+ 入机 2,左3 &凱 0,々 2 й = 1, 2, G 一 4脸 1, J入机 0,々+ 入机 2,左3 &凱 0,々 2 й = 1, 2, G 一 4脸 1, J(17)(17)(18)(19)(18)(19)
p4 = 2k2
p4 = 2k2
入机 0,々+ 入机 2,左
3 &凱 0,々 2 й = 1, 2, G 一 4脸 1, J
入机 0,々+ 入机 2,左
3 &凱 0,々 2 й = 1, 2, G 一 4脸 1, J
(17)
(17)
(18)
(19)
(18)
(19)
г Е
尼=1,
Типичные значения coo, i, i, ^nt i, i и коэффициентов Pi можно найти в табл. 1 и 2.
Можно добиться, чтобы система уравнений (16), описывающих установившееся движение оболочки, соответствовала уравнениям для эквивалентной нелинейной системы с двумя степенями свободы. Для эквивалентной системы потенциальная и кинетическая энергии равны
U = 2% I,尸+峭 I, у+аХ4+ВХ2『+俨，
T=u)2(2/+ Y^^XXYY, так что уравнения движения системы имеют вид
2^Х^2^ ], ]Х+}оХ俨+УР)4-2аХЗ+0ХУ2 = о, d岁+峭],у+}оУ (乃+Х^)+0Х2У+2тУЗ = о.
Чтобы функции X и У соответствовали ао, i, i и an, i, i, в чае установившегося движения необходимо соблюдать зависимости
^=^0 cost, y=4cos(c —屮).(20)
Амплитудно-частотные соотношения для эквивалентной системы будут тождественны соотношениям (16), если
а =善 А,。= 2巳，Т =等 А, о = 2(尸2 — 2Рз)・(21)
Если удовлетворены условия (21), то динамическая устойчивость эквивалентной системы будет соответствовать динамической устойчивости оболочки при условии, что исключено упомянутое выше явление субгармонического резонанса [15].
L【R
"о, 1, 1
Л
夕2
夕3
Л
Область устойчивости
0,5
1
17 (крит.)
18
0,953
0,935
0,950
1,050
676
3 408
—7 837
—2 935
1695
—22 338
-22 126
-16 807
7 382
9 052
А <0,586 • 10-3
1
1
17
18 (Крит.)
0,949
0,845
0,858
0,960
34
200
— 16496
-14 203
99
一23 355
-23 333
-11082
бзоз'
7 912
%<0,732 ・ 10-3
2
1
17
18 (крит.)
0,928
0,573
0,837
0,938
-1
9
—14 824
-13 001
4
—20 063
-20061
—1278
5 914
7 444
Яо <0,744 . Ю-з
8
1
11 (крит.)
12
0,372
0,087
0,345
0,412
0,4
0,05
2
6
一0,04
—26
-29
一0,04
168
238
4 <25,8 • 10-3
Таблица /
Расчетные коэффициенты и области устойчивости осесимметричного движения при L/R=0,5 и v=0,3
Таблица 2
iмr
п
效 1, 1.
з〃，1, 1
Л
В
Рз
Р$
Область устойчивости
0,005
1
0,953
0,930
676
3408
1695
-67 984
24
0,888
-59 344
-95293
26 518
25 (крит.)
0,958
-51 594
—95 093
31 026
Ло< 0,270- Ю-з
0,010
I
0,953
0,935
676
3408
1695
-16 807
17 (крит.)
0,950
—7 837
—22 338
7 382
Ло< 0,586 - Ю-з
18
1,050
—2 935
-22 126
9 052
0,015
1 (крит.)
0,953
0,944
676
3 408
1695
—7 330
Л0<1,87 • Ю-з
13
0,913
—1 124
—9 203
3 041
14
1,025
2 598
—8 949
3 833
0,20
1
0,953
0,956
676
3 408
1 695
-4 013
2
0,896
-39 413
-4126
-1465
11 (крит.)
0,945
3 031
—4 614
1897
4)<1,38 • 10-з
12
1,069
12 152
—4 345
2 406
АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ
Желательно исследовать орбитальную устойчивость осесимметричной волны; в этом случае установившееся движение описывается следующими функциями:
X 三 Qo,i, 1 = А)cos с,
У 三1,1=0,(22)
а)2 = ^о, 1, i + -j-R& = 3^ 1, Н|-а&・
Устойчивость несимметричных форм движения определяется тогда вариационным уравнением
^SK十[(唸 I’ 1+S。展)H~~^-處(В — о) cos2с] ЗУ=О, (23)
полученным из уравнений (19) при X и У, имеющих приведенные выше стационарные значения. Переменная X, определяемая выражением (22), не может описывать явление орбитальной неустойчивости, поскольку здесь она отвечает движению, эквивалентному свободным колебаниям осциллятора Дуффинга. Поэтому соответствующее уравнение не приводится. ,
Устойчивость решений уравнения Матье (23) можно определить несколькими способами, например с использованием диаграмм Стретта. Однако для этой задачи более наглядным является метод Ван дер Поля. Ввиду малости /о решение для 6У в окрестности устойчивого положения будет иметь вид
8y=力(с) cos 亏十力(О sin j(24)
где fi (т)——медленно меняющиеся функции, которые удовлетворяют условию ft《ft・ Затем подстановка (24) в (23) и приравнивание коэффициентов при cost и sint приводят к следующим уравнениям:
2°>2/1 + ^о)2— 0)^ 1, 1—|- До (?+а)]/2=0,
(25)
2%^2 —一 3^, 1, 1 J""處(30 — 0)]力=0.
Решение системы (25) можно записать в виде
где 九j — корни характеристического уравнения
入2+ [①?一ш«, ], 1—1~ ^о (P4~a)j X
x" 一 ^, 1, 1T&(3…)]=0. (27)
При подстановке значений (21) и (22) это уравнение принимает вид
*+ [⑴"，1 -脸 i, 1 Ч^~ 这 (R - 2P2+2。3)] X
X [^о, 1,1 — ^л, i, 1Н—^" -Ao (Pi 一 2尸2 — 2Рз)]=。・(28)
Когда осесимметричное движение устойчиво, Re (九力 W0. Из уравнения (28) видно, что точкам перехода соответствуют значения
< °丿кр—](p]_ 2P2 _ 2*3)」，[ 俨1一2г2+2尸3)」♦ (/力
Эти критические значения связаны с решениями амплитудно-частотных соотношений (16) для неосесимметричного установившегося движения (Лп^0). Решения имеют вид
А — 2P2 — 2Рз cos 屮 1 Г -г 9 ( 碌 1, 1 —唸 1, 1
.攵「4 —「2 —2cos2屮」〈修―2P2 — 2P3COS2屮丿」，
公П碌 b 叶(22-戶二Р3^2屮){(2+RC0S2中)X (30)
Х(4| —成 1, I)+ [PE-(P2+P3COS2屮)1 局，
屮=0,制2.
Критические точки (29)—те же самые, что и значения 4°, при которых в (30) Лп = 0. Таким образом, критические точки потери устойчивости распространения осесимметричных волн те же, что и точки бифуркации на амплитудно-частотной диаграмме осесимметричного и неосесимметричного движений, т. е. точки, в которых от осесимметричного движения ответвляется неосесимметричная форма движения при непрерывном изменении амплитуды и частоты (или фазовой скорости).
Исследование уравнения (28) свидетельствует о существовании следующих возможностей:
Оба значения (29) действительны и соответствуют двум точкам бифуркации (组)<组))，отвечающим двум возможным
значениям 屮 для неосесимметричных волн. При этом осесимметричная волна неустойчива, когда Л^<Л0<Л<2\*
Лишь одно из значений (29) вещественное, ему соответствует одна точка бифуркации /%). Тогда при Ло >Л^)осесимметричное движение будет неустойчивым.
Рис. 2. Диаграмма амплитуда——фазовая скорость при £/R=0,5, А//?=0,01 И 2 0,3.
/ ——устойчивое осесимметричное движение; 2 — неустойчивое осесимметричное движение.
Ни одно из значений (29) не является вещественным, так что точки бифуркации отсутствуют. Тогда при всех значениях Ао осесимметричное движение устойчиво.
Чтобы определить устойчивость осесимметричной волны, имеющей определенную длину 2L, нужно применить этот критерий устойчивости к каждому числу окружных волн п, которое удовлетворяет условию coo, i, i«con, i, 1. Рассматривая пример на рис. 1, мы видим, что точки бифуркации между осесим-
метричным и неосесимметричным движениями следует искать при м=1, 17 и 18. Осесимметричное движение может оказаться неустойчивым в любом одном (или в нескольких) из этих случаев. На рис. 2 показан полный график решений уравнения (30) для До в зависимости от (V/V^; показаны лишь те точки, которые соответствуют действительным значениям 4%
Следует отметить, что, за исключением случаев субгармонического резойанса второстепенных координат, стационарные неосесимметричные волны всегда устойчивы. Указанное обстоятельство обусловлено тем, что неосесимметричное движение представляет собой свободные колебания автономной системы. Однако движение по некоторым ветвям, указанным на диаграмме амплитуда—фазовая скорость такого типа, как на рис. 2, может произойти лишь при некоторых искусственных ограничениях, наложенных на движение оболочки.
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Исследование устойчивости осесимметричных волн показало, что критические пределы для величины поперечных перемещений определяются точками бифуркации на диаграмме амплитуда—фазовая скорость. В этих точках малые возмущения системы приводят к параметрическому возбуждению неосесимметричных форм свободных колебаний. Для конкретных длин волн в продольном направлении следует проверять возможность возбуждения колебаний по нескольким формам. .
Чрезвычайно заманчиво было бы построить графики, представляющие диапазон значений амплитуд поперечных перемещений, которые соответствуют устойчивым волнам, в зависимости от длины волны и толщины оболочки. Однако такая диаграмма будет иметь разрывы по двум причинам. Во-первых, при изменении величины одного из параметров значение, соответствующее точке бифуркации для критической формы, может понизиться и точка бифуркации в конце концов может исчезнуть; во-вторых, наоборот, могут появиться новые точки бифуркации. В обоих случаях появляется скачок критического значения амплитуды. Кроме того, существует возможность столкнуться с явлением субгармонического резонанса второстепенных координат. Поэтому затраты, связанные с проведением дополнительных вычислений для построения точных параметрических диаграмм, представляются недопустимо большими. Вместо этого приведены табл. 1 и 2, в которых указаны типичные критические предельные значения, а также величины всех коэффициентов, играющих роль при анализе.
Диапазон, в котором анализ можно считать достаточно точным, ограничен значениями £//?>,0,5 и 九/Rv0,03, поскольку влияние поперечного сдвига и инерции вращения не учитывалось. Однако даже в этом диапазоне упомянутые эффекты оказываются существенными для некоторых форм движения, таких, как формы, соответствующие частоте 32九，2, з при больших значениях п. Это не снижает ценности анализа, поскольку оказалось, что свойства этих сомнительных форм почти не влияют на числовые значения пределов устойчивости.
Наконец, следует отметить, что в экспериментах, описанных в работе [1], длины неустойчивых волн в продольном направлении были достаточно малы, так что влияние поперечного сдвига и инерции вращения было существенным. Это не позволило провести количественное сравнение с представленными результатами. Кроме того, по этим экспериментам нельзя определить влияние несовершенств формы оболочки, так как испытывалась только одна модель оболочки. Представляется, что оба этих вопроса явятся предметом будущих исследований. Изложенный здесь подход с некоторыми очевидными видоизменениями можно приложить к будущим аналитическим исследованиям этих проблем.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Анализ выражений для энергии позволяет отбросить члены высшего порядка малости в рядах （7） для составляющих перемещений. Подстановка этих усеченных рядов в выражения для энергии приводит к следующим результатам:
丿=.2；£竺^[%唸 i, 1 （凉 i, i +庙,i, 1）+°^, i, 1 （*, i, i +
十6之 1, 1）+4宕，о, 3^0, 0, 3+2 》（4, 2,为（成 2,为 + 欣，2,也）+ 々=1
十£2 2Зт。,为（或,。,为+片,0, J +
2=〃，尼= 1,3
十 士 （4, 2, П （或 2,为十优，2,也）］+\）, 0, 3 （就，1, 1 +
« = 1」
+施 1, 1） “о, о, з+/ 0, 3 （*, 1, 1 + 或 1, 1） @0, 0, 3十
2
十々Nj。' ％ Л [（成 1, 1 —區,1, 1） @0, 2,尼十2@0, 1, Wo, 1, 1^0, 2, k\ +
-
十尼ZJo, 2,右[(若,I, 1 —成 1, 1) Q(), 2,々 + 2%, i,也 J 1瓦,2, J +
+ N Pro, k (%, i, i@o, i, i + ^o, i, \ЬПу i, J “％ o,尼 +
尼=1, 3
十入2% 0, k (碌 1, 1+ 况 1, 1) @2% 0, fe] + 3
十 N 入门，2,尼](@0, 1, 1"〃，1, 1 ——力。, 1, 16/1, 1,1) a〃，2,为十
+ (@0, 1, 1%, 1, 1 十瓦，1, №〃，1, 1) %, 2,小 + 3
+ £ 入2% 2, /(片,1, 1 一忌,1, 1)a2门, 2,尼 +
十2@〃, 1,也,1,电公 2, M+K1 (成 1, l + ^o, 1, 1У +
十《2 (*, 1, 1+6之 1, 1у+(3 (а0, 1, 1"〃, 1, 1+瓦,1,也,1,1户 +
+ «4 (“0, 1,也,1, 1 —瓦,1, 1%, 1, l)2j »(31)
72^f勺厶- s' 2 (йо, 1, 1 +麻,1,1)+琉,1,1 + ^л, 1,1 +
2
+ 4成0, 3+2 X (成2,为+欣,2,々)十2 £ X 0 , 0,也十 尼=1х = п, 2лЛ = 1, 3
3'
+ 应0,。十 2 N (碌 2,为 + 贬,2,也).(32)
k = n, 2n k = lJ
Коэффициенты M万,卜 и Kw ——явные функции значений L[R, n, v и коэффициентов форм колебаний 出,力拓 阮办 и 丫刃 办.
Список литературы
Evenson D. A., Aprahamian R., Jacoby J. L., Holographic measurement of wave propagation in axisymmetric shells, NASA CR-2063, June, 1972.
Evensen D. A., Nonlinear vibration of circular cylindrical shells, Proceedings of the Thin Shell Symposium, California Institute of Technology, June 1972.
Reissner E., Nonlinear effects of cylindrical shells, AM 5-6, Ramo-Wool- dridge Corp., Sept. 1955.
Evensen D. A., Nonlinear flexural vibrations of thin-walled cylinders, NASA TND-409Q, 1967.
Goodier J. N., Mclvor I. K・，The elastic cylindrical shell under nearly uniform radial impulse, /. A ppi. Meeh., 31, No. 2, Trans. 4SME, 86, Ser. E, 259——266 (1964); русский перевод: Гудьир, Макайвор, Упругая
цилиндрическая оболочка под действием радиального импульса, близкого к равномерному, Прикладная механика, № 2, 111 (1964).
Mclvor I. К., Lovell Е. G., Dynamic response of finite-length cylindrical shells to nearly uniform radial impulse, AI A A Journal, 6, 2346—2351 (1968); русский перевод: Макайвор, Ловелл, Движение цилиндрических оболочек конечной длины под действием равномерной радиальной импульсной нагрузки, Ракетная техника и космонавтика, № 12, 131 (1968).
Radwan Н. Т., Nonlinear dynamics of thin elastic shells, PhD thesis, Purdue University, Dec. 1972.
Nowinski J. L., Nonlinear transverse vibrations of orthotropic cylindrical shells, AI A A Journal, 1, 617——620 (1963); русский перевод: Новинский, Нелинейные поперечные колебания ортотропных цилиндрических оболочек, Ракетная техника и космонавтика, № 3, 90 (1963).
Dowell Е. Н., Ventres С. S., Modal equations for the flexural vibrations of a circular cylindrical shell, Internat. J. Solids and Structures, 4, 975—991 (1968).
Ginsberg J. H., Nonlinear resonant vibrations of infinitely long cylindrical shells, AI A A Journal, 10, 979—980 (1972); русский перевод: Гинсберг, Нелинейные резонансные колебания бесконечно-длинных цилиндрических оболочек, Ракетная техника и космонавтика, № 8, 5 (1972); см. также: Bleich Н. Н., Ginsberg J. Н., Nonlinear forced vibrations of infinitely long cylindrical shells, TR-46, Columbia University, N. Y., 1970.
Atluri S., A perturbation analysis of nonlinear free vibrations of a circular cylindrical shell, Internat. J. Solids and Structures, 8, 549—569 (1972).
Ginsberg J. H., Large amplitude forced vibrations of simply supported thin cylindrical shells, J. Appl. Meeh., 40, No. 2, Trans. ASME, 95, Ser. E, 471—477 (1973); русский перевод: Гинсберг, Вынужденные колебания тонких свободно опертых цилиндрических оболочек с большими амплитудами, Прикладная механика, № 2, 155 (1973).
Nash W. A., Nonlinear problems in the dynamics of thin shells, in “Nonlinear Partial Differential Equations”，ed. W. F. Ames, New York, Academic Press, 1967, p. 291—307.
Baron M. L., Bleich H. H., Tables for frequencies and modes of free vibration of infinitely long cylindrical shells, /. Appl. Mech.t 21, No. 1, Trans. ASME, 76, 178—181 (1954).
Ginsberg J. H., An equivalence principle dor systems with secondary generalized coordinates, /. Sound and Vibration, 23, 55—61 (1972).
Рис. 1. Геометрия цилиндра и характер нагрева.Рис. 1. Геометрия цилиндра и характер нагрева.
Рис. 1. Геометрия цилиндра и характер нагрева.
Рис. 1. Геометрия цилиндра и характер нагрева.
ПОВЕДЕНИЕ ДЛИННЫХ НЕСТЕСНЕННЫХ
ТОНКОСТЕННЫХ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРОВПРИ ДЕЙСТВИИ ПОПЕРЕЧНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ВО ВРЕМЕНИ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА 】)
Л. Купер
ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим изображенный на рис. 1 длинный тонкостенный цилиндр с постоянными характеристиками, имеющий в начальный момент времени всюду одинаковую температуру Г* (звездочками будем обозначать размерные величины,
а для безразмерных величин будем использовать обозначения
без звездочек). Длина цилиндра равна L*. Цилиндр прикреплен к теплоизолированному основанию, которое препятствует движению цилиндра как жесткого тела, и больше не имеет никаких внешних связей. В момент /* = 0 цилиндр начинает нагреваться вследствие действия потока тепла Q*(f*), однородного в пространстве, но переменного во времени и действующего в одном направлении. Всякий другой теплообмен цилиндра с окружающей средой считается пренебрежимо малым. В результате этого нагревания в цилиндре возникнет поле температур 7*(%*, ” переменное по окружной координате %* (и симметричное относительно точки %* = 0), но не по направлению вдоль оси цилиндра. Постоянная толщина 6* стенки цилиндра полагается настолько малой, что изменения температуры в радиальном направлении являются пренебрежимо малыми.
Описанная модель полезна для анализа поведения длинных тонкостенных цилиндров при воздействии на них
о Cooper L. Y., Response of long, unconstrained, thin-walled circular cylinders to lateral timedependent thermal irradiation, Transactions of the ASMEt 41, Ser. E, No. 2, 465—470 (1974).
6 Заказ № 169
потоков тепла, создаваемых удаленными высокотемпературными переменными во времени источниками излучения. Пример такой ситуации — это нагрев в результате взрыва ядер- ного оружия. В настоящей работе вначале выполнено общее исследование и приведены соответствующие результаты, а затем в разд. 4 рассмотрено поведение цилиндра при такого рода нагревании.
Цилиндр с распределением температуры 7* (%*,产)можно поддерживать в состоянии нулевой осевой деформации (плоской деформации), задавая на его торцевых поверхностях следующее распределение напряжений:
，丄= о*(х*，产)= -а*?[Т*(х*, Г)-Г*],
4()
Напряженное состояние (1) установится практически по всей длине цилиндра 1). Здесь и а* — соответственно модуль упругости и температурный коэффициент линейного расширения материала цилиндра. Добавив на торцевой поверхности цилиндра распределение напряжения, равное по величине и противоположное по направлению напряжению (1), получим деформированное состояние цилиндра с новыми напряжениями. На основании элементарной теории стержней можно сделать следующие выводы относительно поведения нагретого цилиндра, не стесненного внешними связями.
Осевое удлинение 〃* и поперечный прогиб и* описанного выше нестесненного цилиндра с распределением температуры 7* (%*, /*) в произвольный момент времени определяются выражениями
те/?*
辽* «*) = (а*£*/нА*) J [Г*(х*, t^^T^dx^,(2)
о* (£*) = — (a*L*2/rR*2)§ [у*(%*, /*)—方]cos (x*/R*)dx*.о
(3)
D На самом деле в стенке цилиндра будут действовать и другие напряжения, помимо осевых. Однако все остальные компоненты тензора напряжений будут относительно малы, т. е. порядка 6*/R* по сравнению с этой осевой компонентой напряженного состояния. С общим анализом задачи о температурных напряжениях в цилиндрических оболочках, на основании которого получен этот вывод, можно ознакомиться в работе [1].
а напряжение в цилиндре будет таким:
可厶三0*(%*, #) = —a*е* [7*(х*,户)—7:] + те/?*
+ (#e*/攻*) J [T*(s*,户)一爲]或*十о
+2(а*Е*/农R*)cos(x*/R*) J [T*(s*, ^)-7J] X
6
X cos(s*/R*)ds*. (4)
Удобно изучать поведение цилиндра в безразмерных переменных, поэтому введем величину Q* — постоянный характерный внешний поток тепла в рассматриваемой задаче — и перейдем к новым величинам:
X = X*/kR*, Z = f*^*/p*C*R*2y2；
「=(「*_ Г*) k^l^R^Ql), 〃 =〃**3*/(sHR*2£*a*Q?,「=(「*_ Г*) k^l^R^Ql), 〃 =〃**3*/(sHR*2£*a*Q?,o = o*^*6*/(a*E*£HR*2Q@;u = u**8*/(£kA*2£*a*Q?;(5)o = o*^*6*/(a*E*£HR*2Q@;u = u**8*/(£kA*2£*a*Q?;(5)
「=(「*_ Г*) k^l^R^Ql), 〃 =〃**3*/(sHR*2£*a*Q?,
「=(「*_ Г*) k^l^R^Ql), 〃 =〃**3*/(sHR*2£*a*Q?,
o = o*^*6*/(a*E*£HR*2Q@;
u = u**8*/(£kA*2£*a*Q?;
(5)
o = o*^*6*/(a*E*£HR*2Q@;
u = u**8*/(£kA*2£*a*Q?;
(5)
при 0<х <%, при %Vх< 1.материала (постоянные):при 0<х <%, при %Vх< 1.материала (постоянные):
при 0<х <%, при %Vх< 1.
материала (постоянные):
при 0<х <%, при %Vх< 1.
материала (постоянные):
Здесь 力*, p* и C* — характеристики соответственно коэффициент теплопроводности, плотность и удельная теплоемкость; через £ и g (%, t) обозначены соответственно коэффициент поглощения поверхности и безразмерный поток тепла, поглощаемый поверхностью цилиндра. Теперь выражения (2) — (4) перепишутся в виде
1
〃(/) =『 Т(х, t)dXi(6)
о
1
и «) = — J Т (х, t) cos (冗х) d%,(7)
о
o= —T(x, /)+«(/) — 2tj (Z) cos (rx).(8)
Для исследования динамики цилиндра при некотором произвольном законе нагрева Q*(/*) удобно вначале изучить его движение при постоянном потоке тепла Q*； а затем построить решение для более общего случая при помощи интеграла Дюамеля.
6*
ДВИЖЕНИЕ ЦИЛИНДРА ПРИ ПОСТОЯННОМ ПОТОКЕ ТЕПЛА
Обозначим через Т (х, t) поле температур, возникающее при действии постоянного внешнего потока тепла Q* Л Определив это поле температур, можно будет затем, согласно зависимостям (6) — (8), рассчитать соответствующие законы изменения во времени величин 〃, и и о; эти зависимости обозначим соответственно через и, v и о.
Температура Т (х, t) определяется как решение краевой задачи
02彳1x202彳1x2М (%),М (%),/>0,/>0,某（°，％）=某（1，g°，T（z 0）=0,某（°，％）=某（1，g°，T（z 0）=0,⑼⑼
02彳
1x2
02彳
1x2
М (%),
М (%),
/>0,
/>0,
某（°，％）=某（1，g°，T（z 0）=0,
某（°，％）=某（1，g°，T（z 0）=0,
⑼
⑼
где функция q (х) определяется согласно (5) при Q* (伊)= Q；・、 Решение этой краевой задачи имеет вид
Т(х9 /) = £ —1/24—1/冗？+(1/2н) ехр (—冗2%) cosнх —
-[1/(2冗2)] i (一1)〃厂2(1一4〃2尸xn = l
X exp (―4〃2式2/) cos2zik%+冗(％), (10)
где
%2/2при。4*<1/2,
(x2/2rx + % —(l/k)cOSH%Прн 1/2Vx《1・
На рис. 2 представлены графики, иллюстрирующие это решение. Как и следовало ожидать, максимум температуры в любой момент времени достигается в передней точке цилиндра, т. е. 7max(f) = T(l, f), и аналогично минимум температуры всегда имеет место в крайней задней точкег т. е. Ттш(0 = =Т (0, /). Интересно воспользоваться полученным решением для анализа закона изменения во времени разности между этими граничными значениями температуры. Получаем
售ах (9—爲in «) = ^(1，/)-7(。，/) = (12 [1-ехр (—倒]•
(11)
Из рис. 2 видно, что при />0,2 распределение температуры оказывается близким к квазистационарному, так что можно записать
2 -1/24 - 1/h2+x2/2При 0《%4%,
t(X, f) ^"十1%4- 1/h2十x2/2—% —(1/h) COSH%
При %<X《L
不(1, /)—7(0, f)* 1/H・(12)
Область тех моментов времени, в пределах которой полу
ченное решение справедливо, ограничена снизу вследствие
Рис. 2. Распределения температуры цилиндра при нагревании постоянным потоком тепла.
принятия допущения о малой толщине стенки, т. е. об отсутствии перепада температур по толщине стенки. Это допущение выполняется при условии, что мы интересуемся значениями /, много большими величины (6*伏*尸，причем, разумеется, 6*/R*《L
Воспользовавшись найденным распределением температуры Т, получим в соответствии с (6) и (7) следующие выражения для перемещений 〃 н и:
豆(£) = £,(13)
5 (/) = (1/47：) [ 1 - exp (-^)] = [Т( 1, /)-7(0, /)]/4・(14)
Отсюда можно заключить, что поперечный прогиб нестесненного цилиндра в каждый момент времени прямо
пропорционален разности температур цилиндра в передней ■и задней его точках (образующих).
Воспользовавшись найденными выражениями для Т, 〃 и и,
получим теперь, согласно (8), распределение напряжения о:
(х, %) = —%2十 1加2 — (l/2k) Sin 卜 I |х I 一 ％ |] - (I х I 一 ％)2/2 +
十||% 1 — 1/2|/2十(1/2喲 £ 〃-2(i—4〃2)Texp(—4/A2/)x/1 = 1
xCOS [2〃％(IXI —%儿—11. (15)
Отсюда можно сделать интересный вывод: распределение осевого напряжения всегда симметрично относительно образующих |х| = 1/2, т. е. оно имеет один и тот же вид на передней
Р и с. 3. Напряжения в цилиндре при нагревании постоянным потоком тепла; %V1刃41,力(居t)=@(1-因,0.
и задней поверхностях цилиндра. На рис. 3 представлены графики распределений напряжения о, показывающие, что в любой момент времени минимальное напряжение (т. е. максимальное осевое сжимающее напряжение) достигается одновременно на передней и задней образующих цилиндра, а максимальное напряжение (т. е. максимальное растягивающее напряжение) всегда достигается на образующих |х| =
= 1/2. Из (15) находим, ЧТО При />0 величина Отах= |<Ттах1 всегда будет больше величины 10mm | = —amin, причем
Ощах I — l^min |= -％4+2/浴—1/(2к) +
+ П/(4к2)］ £ /п~2(1 - 16т2)'1 ехр (-16т2Л)>О, />0.
(16)
РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОГОТЕПЛОВОГО ИМПУЛЬСА
Полученные до сих пор результаты вычислений величин 7\ 〃,и и о относятся лишь к случаю облучения цилиндра постоянным потоком тепла Q* / Разумеется, представляют интерес результаты, относящиеся к переменному во времени нагреву. Найдем теперь температуру, осевое удлинение, поперечный прогиб и осевое напряжение при действии некоторого однородного в пространстве, но переменного во времени потока тепла Q* ⑺，который можно представить в виде
-Q*(/)=/(OQo>O. (17)
Для этого можно ввиду линейности задачи воспользоваться интегралом Дюамеля и подставить в него полученные решения для Т, и, V 込 о. Пусть 尸(%, f) и 尸(х, t) — законы изменения любой из четырех исследуемых нами переменных при переменном во времени и постоянном нагреве соответственно. Тогда первая из этих функций выражается через вторую согласно зависимости
尸(Х，/)= "(»/戸(х，/Т)或.(18)
о
Используя полученные выше результаты вычисления функций 7\ 〃，и и о и конкретизируя зависимость (18), находим
t
оо研2)=(式/4) J / (Е) exp ［一式2 (/ - E)］成,
о
о
o(x, %) = —2 £ (-1 )л (1 - 4П2)"1 cos (2nirx) Xл~ 1
；(19)
о
T(x, £)=辽(£) —2о(£) coshx —о(х, /)・
Так как мы интересуемся случаем нагрева излучением, т. е. j(f)AO, то следует ожидать, что в каждый момент времени максимальные значения исследуемых величин при переменном во времени законе нагревания будут достигаться в тех же точках, что и при постоянном потоке тепла: например, следует южидать, что
乙ах (看)^ 7(1, f), Отах (%) и*3 (I % I，/),。皿n (Z) = o (。，Z)=o(l, %)•
НАГРЕВ, ВЫЗВАННЫЙ ЯДЕРНЫМ ВЗРЫВОМ
Применим теперь результаты, справедливые для произвольного закона нагревания, к конкретному закону нагревания, типичному для теплового излучения при ядерном взрыве. Зададим конкретные законы изменения во времени безразмер-
Р и с. 4. Безразмерные потоки тепла и энергии, выделяемые при ядерном взрыве.
ногр падающего потока тепла g (т) и соответствующей безразмерной энергии (интеграла от потока) й(т). Графики этих кривых показаны на рис. 4, причем безразмерные функции выражаются через конкретную зависимость Q* (7*) для размерного падающего потока тепла согласно формулам
Q*(C=g(£7為ах) Q； = g(c)Q；,
/* С)=J Q* (尸)必=J g g/%x) Q；必=(20)
= £：axQ； Jg(0dc = %(c)/*(OO).
Для рассматриваемой задачи о тепловом облучении оказалось удобным ввести новое безразмерное время т и параметр /max кривой нагрева цилиндра:
С==£ //max == £/£щах.С==£ //max == £/£щах.(21>(21>
С==£ //max == £/£щах.
С==£ //max == £/£щах.
(21>
(21>
Здесь 犧ах есть время, соответствующее моменту максимума падающего потока тепла Q* данного ядерного устройства, a fmax есть отношение характерного времени теплового облучения f^ax к характерному времени распространения тепла по окружности цилиндра, равному R*2冗2р*с*/力*. Из сказанного ясно, что 九 и g связаны между собой зависимостью
aw=4f g(t) dtaw=4f g(t) dtg C) dt1,59g C) dt1,59(22>(22>
aw=4
f g(t) dt
aw=4
f g(t) dt
g C) dt
1,59
g C) dt
1,59
(22>
(22>
Значение интеграла Jg (t) dr, равное 1,59, было получено для о
изображенной на рис. 4 кривой g (т) при некоторой экстраполяции 《хвоста》этой функции на интервале 7<т<оо； воспользовавшись другим способом экстраполяции, можно получить другое значение интеграла вместо 1,59 и подставить этозначение в выражение (22) и во все последующие зависимости.
Рассмотрим теперь движение произвольного цилиндра при законе нагревания, который с достаточной точностью может быть аппроксимирован безразмерными кривыми рис. 4. Конкретно будем определять функции 〃 «), и (f), о (%, /) и Т (х, t) для нестесненного цилиндра согласно выражениям (19). Очевидно, что в рассматриваемом случае функция 『(/), определенная согласно (17), будет равна
(23>(23>/ (f) =g (£/*max)・
(23>
(23>
Ясно, что все величины, представляющие вынуждаемое движение, будут зависеть от независимых переменных % и / (или хит) и от параметра 方max. В данном случае выражения (19) можно записать в явном виде следующим образом:
玄(с)/厶ахi (с) J g (D 或=1,59力(т),(24)
о
矶。"тах= (н/4) J g (Е) exp [ -d/max d - Е)1 威，(25)
о
и(х, *%ах=-2 £ (—l)〃(l—4/i2)Tcos(2〃HX)X
X J g (Е) exp [一4〃2用而 d — E)]恋(26) о
T(X, С)/，тах = [〃(О —2u(T)C0SkX — а(X, ^)]/^тах*(27)
Обратите внимание, что, согласно рис. 4, зависимость (24) непосредственно определяет функцию и (т). Кроме того, привлекая некоторые результаты теории суммируемых бесконечных рядов [2], можно получить следующие асимптотические зависимости, справедливые в пределе при больших или при малых /ах при произвольном % и некотором фиксированном т>0:
『凡。历⑺/脸』=(н/4) j g (В) d^ 1,59 (н/4)也⑺，(28)
Jim Ja (x, т)//тах] = 1,59й (*^) [1 — -g-1 cosivx |],(29)
Km u《)=g (。/(4h),(30)
/щах"* 8
1 吗/(x, *=g«)｛占-♦[l+6||x|-%|2 — "maxf 8
-6 |1X1-1/21]-(*)|cos тсх IJ. (31)
Как отмечалось в конце разд. 3, следует ожидать, что ^ любой момент времени, а следовательно, при любом /щах минимум и максимум напряжения в нестесненном цилиндре должны достигаться соответственно при | |х| — 1/2 | = 1/2 и |%| =1/2. Выражения (29) и (31) четко подтверждают правильность этого предположения для предельных случаев малых и больших /тах. Функция V (/), определенная выражением (25), И фуНКЦИИ Omax = O(±l/2, f) , Qmill = Q (0, ^) = И ( 1, f), определенные выражением (26), находились при помощи чис-
ленного интегрирования кривой g (т), представленной на рис. 4. По этим числовым результатам были затем вычислены значения функции Tmax = 7(l, %) согласно зависимости (27). На рис. 5—8 представлены графики изменений во времени этих величин; они приведены здесь в виде функций т при различных значениях параметра /тах・ Видно, что эти графики
Рис. 5. Графики изменений прогиба цилиндра при законе нагревания^ определенном согласно рис. 4.
Сплошные кривые рассчитаны согласно зависимости (25), пунктирные — согласнопредельной зависимости (30), справедливой для случая /тах -> оо при фиксированном т>0.
свидетельствуют о правильности асимптотических выражений: (28)——(31). Особый интерес представляют максимальные значения этих функций, достигаемые в процессе нагрева с заданной величиной /max. Поэтому на рис. 9 представлены графики зависимостей этих максимальных значений от /max； здесь через ^тах, о^学；。％巴 и 7^学 обозначены экстремальные значения и, Отах, Отт и「max соответственно, достигаемые в процессе нагрева.
Ряс. 6. Графики изменений максимального напряжения в цилиндре призаконе нагревания, определенном согласно рис. 4.
Сплошные кривые рассчитаны согласно зависимости (26), пунктирные — согласно^предельной зависимости (31), справедливой для случая fmax -> оо при фиксирован-ном Т>0.
Рис. 7. Графики изменений минимального напряжения в цилиндре при законе нагревания, определенном согласно рис. 4.
Сплошные кривые рассчитаны согласно зависимости (26), пунктирные — согласно предельной зависимости (31), справедливой для случая /тах -> <» при фиксированном t>0.
1)5 9 汀
Рис. 8. Графики изменения максимальной температуры цилиндра при нагревании по закону,, определенному согласно рис. 4.
Рис. 9. Максимальные значения величин, характеризующих температурное и напряженно-деформированное состояния цилиндра, при нагревании по закону, определенному согласно рис. 4.
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Представленные результаты дают возможность достаточно просто анализировать поведение длинных тонкостенных круговых цилиндров при действии потока тепла от высокотемпературного источника излучения. Помимо представленного в разд. 2 решения для случая постоянного потока тепла, мы привели окончательные результаты лишь для конкретного закона изменения потока тепла, характерного для теплового излучения при ядерном взрыве и определяемого кривыми на рис. 4. Однако выведенные в разд. 4 зависимости будут справедливы и для любого другого закона нагревания при условии, что функция g (т) будет приведена к безразмерному виду путем введения нового соответствующего характерного потока тепла Q* и в качестве ^ах будет выбрано соответствующее характерное время нагрева. Если получить такие характерные значения невозможно, например если Q*(f*) = f* ккал/м2 • с2 или если представляют интерес асимптотические выражения (если таковые существуют) для больших или малых т при фиксированных /max, то расчет можно вести на основании зависимостей (19), а в качестве величины единичного потока можно просто выбрать величину Q*, . определенную согласно (17).
Остановимся подробнее на поведении цилиндра в предельных случаях больших и малых /тах.
Предельный случай ^тах-> 0 при фиксированном т^О. Ситуация, когда величина /max весьма мала, означает, что, по существу, весь падающий поток теплового излучения оказыва
ется поглощенным в течение столь короткого промежутка времени, за который тепло практически не успевает распро
страниться по окружности цилиндра от непосредственно нагреваемой передней части боковой поверхности к более холодной ненагреваемой части. Поэтому следует ожидать, что при
значениях времени, соответствующих заметному нагреву ци
линдра, т. е. при значениях т порядка единицы, температура в данной точке % цилиндра должна быть прямо пропорцио
нальна количеству поглощенного в этой точке тепла, т. е. величине ——h (т) cos (лх) при lW|%|Wl/2 и нулю при 1/2< <\х\ <0. Это означает, что температура задней (необлучен-
ной) части боковой поверхности цилиндра практически не по
высится, тогда как повышение температуры облученной части цилиндра будет пропорционально количеству энергии h (т).
Это четко видно из рис. 8, где представлены графики температуры передней точки £=1: в области времен т порядка
единицы эти кривые пропорциональны кривой А (т), приведен-
ной на рис. 4. Очевидно, что при таких температурах величина поперечного прогиба и, пропорционального разности температур в передней и задней точках, в любой момент времени т порядка единицы также будет пропорциональна соответствующей зависимости h (т) (таким образом, получаем асимптотическую зависимость (28)); кривые на рис. 5 иллюстрируют это свойство. Характер зависимости о (х, т) в рассматриваемом предельном случае малых Мах, вообще говоря, неочевиден; однако из зависимости (26) получается асимптотический закон пропорциональности между о (%, т) и /г (т) (29), и графики на рис. 6 и 7 наглядно иллюстрируют эту пропорциональность.
Прежде чем закончить обсуждение предельного случая fmaxf 0, важно указать некоторые ограничения полученных результатов, связанные с исходными допущениями. Эти ограничения связаны с требованием малости толщины стенки цилиндра. Помимо очевидного условия 6*《R*, «малость толщины» стенки следует понимать также как требование относительной однородности распределения температуры по толщине стенки рассматриваемого цилиндра. Это связано, разумеется, с тем, что в теоретическом исследовании эта неравномерность распределения температуры в радиальном направлении не учитывалась. При малых /Шах энергия излучения поглощается с относительно большой скоростью, и необходимо быть уверенным, что эта скорость поглощения не слишком велика, так что не будет иметь место сколь-нибудь существенная неравномерность распределения температуры по толщине стенки. Требование «малости толщины》 стенки цилиндра, представляющее условие справедливости выполненных в данной работе расчетов, будет выполнено при соблюдении следующих условий '):
用R*《1, m衣•(式/?*/»)2》0,1. (32)
Как и следовало ожидать, для заданного тонкостенного (6*/R*《l) цилиндра можно указать такие достаточно малые значения /Шах, при которых результаты настоящего исследования оказываются несправедливыми.
Предельный случай ^тах->°° при фиксированном т>0. Большие значения /max соответствуют такой ситуации, когда сколь-нибудь заметная передача энергии к цилиндру происходит в течение очень большого промежутка времени, так что тепло успевает распространиться вдоль окружности цилиндра
1)Второе из этих условий получено на основании анализа решения задачи о поверхностном нагреве бесконечной пластины (см. [3, стр. 113]).
и распределение температуры оказывается сравнительно однородным. Поэтому очевидно, что в заданный момент времени распределение температуры (близкое к равномерному) опять- таки должно быть пропорционально полной величине поглощенного количества тепла, т. е. пропорционально функции 九(工).Заметим, однако, что в этом случае коэффициент пропорциональности оказывается не таким, как в рассмотренном ранее случае fmaxf О. Это отчетливо видно на рис. 8. Хотя приведенные на этом рисунке результаты относятся лишь к точке %=1, но из сказанного с очевидностью вытекает, что приведенная на рисунке кривая изменения температуры при %тах-> 8 справедлива на самом деле для всех точек боковой поверхности цилиндра.
Асимптотическое поведение функций и и о (%, т) при рассматриваемых предельно больших Мах не столь очевидно, однако из зависимостей (25) и (26) мы получили для этих функций соответственно асимптотические выражения (30) и (31). Асимптотические результаты показывают, что в пределе эти переменные оказываются пропорциональными потоку энергии; аналитические зависимости наглядно иллюстрируются графиками на рис. 5—7.
Список литературы
Goodier J. N., Thermal stress in long cylindrical shells due to temperature variation round the circumference and through the wall, Canadian /. Res., 15, Sect. A, 49—58 (Apr. 1937).
Wheelon J. D., Tables of summable series and integral involving Bessel functions, Holden-Day, 1964.
Carslow H. S., Jaeger J. C., Head conduction in solids, 2nd ed., Oxford, London, 1959; русский перевод: Карел оу Г., Егер Д., Теплопроводность твердых тел, изд-во《Наука》，М., 1964.
ВОЛНЫ НАПРЯЖЕНИЙ, ВОЗБУЖДАЕМЫЕМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ В ПРОВОДЯЩЕМ ТЕЛЕ.
ТЕОРИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТ !)
О. Мун, С. Чатопадхайя
ВВЕДЕНИЕ
Цель работы состоит в том, чтобы показать, каким образом магнитную энергию можно непосредственно преобразовать в энергию деформации волн напряжения. Показано, что существуют два одновременных механизма для осуществления этого преобразования. Первый состоит в том, что ток, возбуждаемый нестационарным магнитным полем, приводит к возникновению объемной силы JXB, а второй механизм проявляется в создании термических напряжений под действием температурных градиентов, вызванных джоулевым нагревом, пропорциональным J • J.
При магнитной штамповке металла происходит деформация материала электромагнитным полем. В этом случае нестационарные электрические токи в катушке приводят к возникновению вихревых токов в находящемся рядом изделии, порождая при этом объемные силы, которые деформируют тело. При моделировании процесса магнитной штамповки обычно пренебрегают термоупругими напряжениями [1], а в задачах о деформациях при действии лазера исследуют лишь эффекты термоупругости и абляции [2, 3]. Данная работа нацелена на то, чтобы оценить относительное влияние объемных сил, вызванных вихревыми токами, и термоупругих эффектов в процессе «магнитной деформации».
В работе определены магнитное поле, температура и напряжения, обусловленные действием нестационарного магнитного поля, которое создавалось на границе электропроводящего упругого тела.
Задача сформулирована для одномерного полупространства; считается, что материал обладает конечной проводимостью без магнитной или электрической поляризации. Обсуждаются полностью связанные уравнения, но введены допущения, позволяющие упростить систему, сведя ее к иерархически
】)Moon F. С., Chattopadhyay S., Magnetically induced stress waves in a conducting solid ——theory and experiment, Transactions of the ASME, 41, Ser. E, No. 3, 641—646 (1974).
7 Заказ № 169
связанной системе дифференциальных уравнений. Полученные таким образом уравнения не дают возможности воспользоваться при решении известными интегралами. Поэтому для получения конкретных результатов использовано численное интегрирование. В частности, показано, что вихревые токи в алюминии вызывают сжимающие напряжения, а термоупругие напряжения связаны с разрывами классических напряжений, выражающимися в виде волн растяжения—сжатия.
В дополнение к теоретическому решению задачи были проведены эксперименты, в которых на конец цилиндрического медного стержня воздействовали нестационарным радиально направленным тангенциальным магнитным полем. Показано, что возникающие при этом в стержне напряжения пропорциональны квадрату магнитной индукции. Анализ энергетического баланса показывает, что лишь малое количество магнитной энергии преобразуется в энергию деформации стержня, хотя напряжения достигают теоретически найденного уровня магнитного давления на конец стержня.
Основные уравнения магнитотермоупругости
в(в(Задачи связанной магнитотермоупругости изучали в последнее десятилетие ряд авторов, например Калиский и Но- вацкий [4], Уилсон [5]. Однако эти исследования обычно
в(
в(
-①
Проводяи^ее упругоеполупространство
ео , №
Рис. 1. Магнитное поле ——геометрическая схема полупространства.
ограничивались случаями, в которых задача линеаризована относительно больших исходных величин магнитной индукции. В данной работе мы будем учитывать нелинейность влияния поля на механическое поведение твердого тела.
Пусть в области %№ содержится линейно-термоупругое электропроводящее полупространство （рис. 1）, в котором в любой момент времени отсутствует электрическая или магнитная поляризация. Поэтому рассматриваются лишь неферромагнитные металлы, такие, как алюминий или медь. В области %v0 находится устройство, которое создает нестационарное одномерное магнитное поле в направлении, параллельном поверхности х=0. Будем считать поле известным при % = 0 для />0. Таким образом, все переменные будут зависеть только от % и соответственно возникнут лишь напряжение txx и перемещение их = и. Составляющие магнитного и электрического полей в направлениях %, у, n при %>0 заданы функциями В= （0, 0, В （%,力），Е= （0,后（％,力，0）.
Основные уравнения количества движения, энергии и электромагнитного поля, а также соответствующие определяющие уравнения приведены ниже:
dtxx
дТ .02〃02 Т д
"рн十"'。（3入十2g）儿
дЕ . дВ п дВ гдх 1 dt ' дх м '
& =（入+2a）説— a （3入+2n）7；
Использованы следующие обозначения:, начальная температура То и приращение температуры Т; удельная теплоемкость при постоянной деформации %; теплопроводность х; температурный коэффициент линейного расширения а; магнитная проницаемость цо； удельная электрическая проводимость о; плотность электрического тока /; упругие постоянные Ламе 九,ц; плотность р. Ток смещения в уравнениях Максвелла не учитывается. Принято, что все постоянные не зависят от температуры.
Штрихи при /, Е показывают, что поля измеряются в системе координат, движущейся с материальной точкой; принято, что в этой системе справедливо соотношение Jf = of'. Если не учитывать ток смещения и свободные заряды, то можно считать Г = / [6].
При отсутствии электрической или магнитной поляризации составляющая f объемной силы в направлении % 7*
определяется соотношением Лоренца
/=（JXB） ・е*=№, где
j =（0,，0）.
Объемная плотность потока тепла определяется джоулевым нагревом
h=y • Е'=/2/ь・
В результате система уравнений, связывающая 〃, В, Т, приобретает вид
0+2а）翁一 р^= -击謂+（з 叶 2а） а黑，（1）
鶴一。号 （b 器）.（3）
Для упрощения системы связанных уравнений опустим нелинейные члены в уравнении Максвелла для магнитной индукции （3）. Такое упрощение оказывается справедливым, если сравнить два источника электрического поля: dB/dt и d（Bdu/dt） /дх. Если рассматривать изменения магнитного поля и напряжений за время то на расстоянии 6, то электрическое поле описывается в уравнениях членами, оценка которых дана ниже:
OBRt： В0/т：0,
В @2〃/dx df： 5（/*х/（入+2卩）т0,
Следовательно, можно пренебречь конвективным полем, если &/口+2卩）и &/6 малы. Как мы увидим ниже, напряжение
txx ограничено величиной Во /2цо, которая при В около 15 кГс имеет значение порядка 102 фунт/дюйм2 （7 кгс/см2）.
Интегрированием напряжений можно получить величину перемещений на поверхности в момент времени t после начала воздействия магнитного поля
где С ——скорость волны сжатия. Удобной мерой глубины
проникания магнитного поля [при решении уравнения (4)] является величина
Таким образом,
Uq 〜跳/2呪 /j^\V, 入+ 2*■丿•
Для алюминия при величине магнитной индукции порядка 15 кГс
毕〜0,2宀，
где t в секундах. При работе б ыстр о действующих устройств, создающих магнитное поле, время импульса обычно меньше 10~3 с. Следовательно, для моментов времени, меньших 10~2 с, конвективный член меньше 2% от члена dB/dt. Именно в этом смысле можно пренебречь нелинейным членом в уравнении (3).
Однако следует признать, что в случае более гибких конструкций, таких, как пластинки и оболочки, конвективное взаимодействие между скоростью и полем может оказаться существенным.
Таким образом, принимаем, что магнитная индукция удовлетворяет уравнению диффузии /в дВ
Эти допущения приводят к тому, что В становится не зависящим от движения и температуры.
Если В задана на поверхности х = 0, то значение функции В в полупространстве дается соотношением [10, стр. 132—134]
5(%,j衅)尸八
.Для случая ступенчатого скачка магнитной индукции на поверхности Во (/) =Во, />0, Bo(Z) = O, fvO, магнитная индукция в полупространстве описывается при помощи дополнительной функции ошибок
5(х, /) = &erfc [*(?)'[・(5)
При вычислении члена, соответствующего джоулеву нагреву, замечаем, что
ехр（—噌）.
Магнитная индукция в проводнике при таком скачкообразном повышении величины В показана на рис. 2 для различных моментов безразмерного времени; кривые относятся к случаю, когда проводимость соответствует проводимости алюминия.
1。1。°,8°,81 5 10 20 30 40501 5 10 20 30 40500,40,4啰啰20202525101015153030550 о0 оРис. 2. Зависимость магнитного и температурного полей от расстояния в различные моменты безразмерного времени.Рис. 2. Зависимость магнитного и температурного полей от расстояния в различные моменты безразмерного времени.
1。
1。
°,8
°,8
1 5 10 20 30 40
50
1 5 10 20 30 40
50
0,4
0,4
啰
啰
20
20
25
25
10
10
15
15
30
30
5
5
0 о
0 о
Рис. 2. Зависимость магнитного и температурного полей от расстояния в различные моменты безразмерного времени.
Рис. 2. Зависимость магнитного и температурного полей от расстояния в различные моменты безразмерного времени.
Следовательно, магнитная индукция превращается просто в источник возмущений в связанных уравнениях термоупругости. Далее упрощаем задачу, выписывая решение в виде суммы трех перемещений и = ub+ut+uc и суммы двух температурных полей Т = Л + Тг. Уравнения （1） — （3） разде
ляются на следующие уравнения:
q、％ 氾％I 乃2
（+6-^--Р~5^-=-瓯（6）
（入+2卩）謳一p 6 = （3人+2?）a誓,
02 Г】02 Г】Р4Р4办办（7）（7）
02 Г】
02 Г】
Р4
Р4
办
办
（7）
（7）
（入+2卩）（入+2卩）0*20*2p 号^- - (3 入+2?) a 祭》=°，p 号^- - (3 入+2?) a 祭》=°，Р""Ф"一(3入+26a7。11^=Р""Ф"一(3入+26a7。11^==(3入+2出)аГ0 l^^+^y ・=(3入+2出)аГ0 l^^+^y ・(8)(8)
（入+2卩）
（入+2卩）
0*2
0*2
p 号^- - (3 入+2?) a 祭》=°，
p 号^- - (3 入+2?) a 祭》=°，
Р""Ф"一(3入+26a7。11^=
Р""Ф"一(3入+26a7。11^=
=(3入+2出)аГ0 l^^+^y ・
=(3入+2出)аГ0 l^^+^y ・
(8)
(8)
Уравнение (6) решается непосредственно. Его решение дает волну давления вихревого тока ив и вычислено ниже. Уравнения (7) представляют собой несвязанную термоупругую систему, где Tj обусловлена джоулевым нагревом, а ит ——перемещение в несвязанной термоупругой волне. Эти функции также вычислены ниже.
Уравнения (8), в которые входят 〃с, Т2, представляют собой поправки к несвязанной задаче. Волна давления вихревого тока ив и несвязанная термоупругая волна ит действуют как источники возмущения. Поправки 〃。, Т2 считаются малыми для начальных моментов времени (см. следующий раздел).
Прежде чем обсуждать другие уравнения, введем безразмерные переменные. Естественными масштабами длины и времени являются величины
/о= 3oC)f,备=(叩 оС2)т,
где С2 = (Х+2ц)/р — квадрат скорости упругой изотермической волны растяжения. Для алюминия /о = 3,8-10^ м, fo = =0,63- IO— с; для меди /0=2,7.10^6 м, ^о = 0,536-10~9 с. Магнитная индукция приведена к безразмерному виду делением 2】
на Во, а напряжения — делением на Во /2|Шо (5000 Гс эквивалентны 1 атм, или 14,7 фунт/дюйм2, или 1 кгс/см2). Если величина В。имеет размерность тесла или Вб/м2 (104 Гс), то напряжение имеет размерность Н/м2 (Па).
Единица температуры есть
「尸鲁(*)•
При Во= 1 Вб/м2 для алюминия Л = 76 К, а для меди Ti = = 27,5 К. Введены еще две безразмерные величины: а = ==оцох/pCv, /и = 2а (3九 + 2卩)/0卩0儿 Для алюминия эти безразмерные параметры имеют значения а = 4,13-10~3, m = 800, а для меди а = 8,46- 10~3, zn = 560.
Вынужденное температурное поле
Решение для магнитной индукции дает исходную информацию для определения температуры Ti, которая вместе с В определяет напряжения. В общем случае температурное поле должно удовлетворять условиям конвекции. Однако в данной работе конвекция на поверхности принята равной нулю, т. е. дТ (0, t)/дх = 0, />0. Начальное условие выбрано в виде Т(х, 0)=0.
Полученную таким образом краевую задачу для неоднородного уравнения, описывающего распределение температур, можно формально решить методом изображений или преобразований. В обоих случаях решение находится непосредственно в виде
1(1_»/2 (exp 4。(fi)十
+exp^E^}
При этом уравнение (7) в безразмерных параметрах приобрело вид
I дТ 02「
T~dt ^=/(*，')•
Два члена в интеграле представляют решения для зеркально расположенных источников тепла в левой и правой плоскостях.
Для ступенчатой функции магнитной индукции
〃「)= (*=±ехр［硝
Подстановка этого выражения в уравнение (9), интегрирование по ^и две замены переменных ^2 = ^,俨= 2а//(1 —2а) и 1 +^2= 1/т］ приводят к решению в виде
Т(х, £)=Т(х, £)=ааeхp ［需刀eхp ［需刀冗(I 一 2〃)％ J 叮(Ц冗(I 一 2〃)％ J 叮(Ц(10)(10)
Т(х, £)=
Т(х, £)=
а
а
eхp ［需刀
eхp ［需刀
冗(I 一 2〃)％ J 叮(Ц
冗(I 一 2〃)％ J 叮(Ц
(10)
(10)
Из этого решения непосредственно следует, что на поверхности % = 0 температура является постоянной, не зависящей от времени: .
Т(0, 9 =Т(0, 9 =。（1 _ 2。）/ J m1 一力厶_s。（1 _ 2。）/ J m1 一力厶_s
Т(0, 9 =
Т(0, 9 =
。（1 _ 2。）/ J m1 一力厶_s
。（1 _ 2。）/ J m1 一力厶_s
ИЛИ
т =?In 丄土(1 -2а)：刍
、S。(1 — 2d产 m 1-(1_2。产•
Для алюминия 7s = 0,62K (для меди Ts = 0,40 К) при Во=- =1 Вб/м2. Это значит, что в рамках приближения, используемого в данной работе, температура мгновенно повышается до значения Ts при воздействии магнитного поля и затем поддерживается равной T = 7s под действием тепла, вызываемого рассеивающимся магнитным полем. Как показано в книге [11], такой скачок температуры Т приведет к возникновению разрыва напряжений, равного А& = mTs. Для алюминия △源％ = 380 фунт/дюйм2 (26,8 кгс/см2); для меди △/%% = = 475 фунт/дюйм2 (33,4 кгс/см2) при &=1 Вб/м2 (1 Т).
С помощью дальнейших преобразований интеграла (10) можно выразить Т(%, t) через функцию ошибок.
Однако при вычислениях в данной работе значения Т(х, f) были определены на ЦВМ с помощью метода численного интегрирования. Результаты для алюминия приведены на рис. 2.
Поля вынужденных напряжений
Магнитное поле при проникании в тело вызывает две волны напряжений. Будем называть волну, обусловленную величиной JXB, волной давления вихревого тока 〃口; ее описывает уравнение (6). Волна, возникающая от джоулева нагрева, называется термоупругой волной 〃т и описывается уравнением (7). В обоих случаях напряжение txx удовлетворяет уравнению вида
^ххd*2^ххd*2(12)(12)
^ххd*2
^ххd*2
(12)
(12)
при нулевых граничных и начальных условиях.
Решение этой задачи хорошо известно [12], его можно выразить через характеристики волнового уравнения. При напряжениях, обусловленных силами вихревых токов, G имеет вид
гдегде(13)(13)
где
где
(13)
(13)
Это позволяет выполнить интегрирование один раз в плоскости характеристик, оставив в решении еще один интеграл.
0-g- J g(c —£十芍 t)dc・ (14a)0-g- J g(c —£十芍 t)dc・ (14a)имеетимеет(15а)(15а)(156)(156)
0
-g- J g(c —£十芍 t)dc・ (14a)
0
-g- J g(c —£十芍 t)dc・ (14a)
имеет
имеет
(15а)
(15а)
(156)
(156)
При %</:
ооf**=-g-Jg@十％—q c)dc—2" J g(f—%_q c)dc —
о
о
При %>/:
程*=4"Jg(Z+x —G c)dc—Jg(x —看+g 叫％・(146> о0
В случае термоупругой волны G в уравнении (12) вид
G(*，')=H，где 也=加丁・
Следуя работе [3], получим следующие результаты.
При %</: хf+ *
оо&=；J%(E, f — %+E)dEH^- J 论(E, %+%—Е)~Е —
о
о
t — x
■^- J 也 G，/ — %—Е”Е・
При x>t:
Xx^t
ixx—^ J 力& E—x+f)dEHg- J 也(E, %+%—E)~E・ X — tX
ЧИСЛОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ
Результаты численного интегрирования уравнений (14) и (15) приведены на рис. 3 и 4.
Волны, обусловленные JXB (рис. 3), являются волнами сжатия и распространяются в среде со скоростью С. Напряжения в волне ограничены величиной Во/2go. Этот предел имеет определенный смысл. В идеальном проводнике (от-8) наведенные токи ограничены поверхностью и объемные силы проявляются как граничные условия txx (0, /) =Bo/2go.
Термоупругие волны, возбуждаемые джоулевым нагревом, вызывают ожидаемый скачок напряжений, связанный со скачком температуры на границе. Однако в случае ступенчатого повышения температуры на границе [11] этот скачок при учете потерь на конвекцию превращается в плавный переходный процесс. Подобные эффекты можно ожидать
Рис. 3. Зависимость волны упругих напряжений, вызванных давлением вихревого тока, от безразмерной координаты в различные моменты времени.
Р и с. 4. Зависимость волны термоупругих напряжений, вызванных джоулевым нагревом, от безразмерной координаты в различные моменты времени.
и в данной задаче. Хотя вначале термические напряжения являются сжимающими, отражение от границы приводит к появлению растягивающих напряжений. При больших значениях времени распределение напряжений становится антисимметричным относительно точки x — t. Такое распределение было также получено в работе [2], где воздействие лазера заменяли эквивалентными тепловыми источниками.
Как было только что отмечено, для расчета 〃т и результирующего напряжения на рис. 4 использована теория несвязанной термоупругости. Как видно из уравнения (8), поправочные решения 〃с, Т2 обусловлены двумя источниками д2ит/дхд1, d2uB/dxdt. Первый источник является поправкой к самой термоупругой волне. Его влияние хорошо известно: оно приводит к затуханию волны 〃т. В работе [9] было показано, что «основное влияние связанной теории проявляется в поведении разрывов в решении» и что (связанное) «решение в начальные моменты времени мало отличается от результатов вычислений по несвязанной теории; лишь при больших значениях времени влияние термического взаимодействия становится заметным》. Таким образом, можно оценить, что поправка, обусловленная членом д2ит/дх dt, сглаживает разрыв и приводит к затуханию волны. Расстояние затухания можно оценить по вычислениям Новацкого [15]. Волна на рис. 4 характеризуется осцилляциями с безразмерной длиной волны 九=5 и частотой в реальном времени со = =2лс//^ =2,0 • 109 〃с для алюминия. Из табл. 1 гл. V книги [15] следует, что расстояние, на котором синусоидальная термоупругая волна затухает до половины своего начального значения, для алюминия оказывается равным
Zo (См) = ^Ц^-=2,9 см = 7,6 - 10%.
Хотя более высокие частоты, связанные с разрывом волны 〃т, затухают на гораздо меньшем расстоянии, характер волны в основном остается не затухающим для промежутков времени, показанных на рис. 4.
Второй поправкой к несвязанному решению 〃в + 〃т является термоупруго возбуждаемая волна, в которой д2ив/дх dt действует как тепловой источник. Чтобы оценить температуру, вызываемую этим источником, сравним его с источником джоулева нагрева (дВ/дх)2 в уравнении (86). В безразмерном виде эти источники описываются соотношениями |/1| = (^В/^х)2< 1/rf,
/2 = "2 дГ/2 = "2 дГ3人+ 2出 m『行¥""。，3人+ 2出 m『行¥""。，
/2 = "2 дГ
/2 = "2 дГ
3人+ 2出 m
『行¥""。，
3人+ 2出 m
『行¥""。，
Волну напряжений /?% можно представить при помощи волн, бегущих вправо и влево: S (力)exp [ik (%土力],где k — волновое число. Амплитуда S (左)меньше единицы, поскольку напряжение ограничено величиной Во /2цо или 虑W1. Следовательно, |/2//1|~^Д,
где % — безразмерная длина волны. Для волны ив можно выбрать % = 2/, чтобы описать основную часть волны. Для алюминия п = 0,015 (для меди т] = 0,01) и
Ifz/fil ~0,07 для алюминия и 〜0,05 для меди.
Следовательно, температурная поправка, обусловленная 〃口, мала, и можно предположить, что волна напряжений, которую она вызывает, также будет мала.
Из приведенного обсуждения следует сделать вывод, что, хотя повышение температуры на поверхности твердого тела может вызвать напряжения, большие, чем магнитное давление 3^/2卩(рис. 4), такие напряжения содержат высокочастотные составляющие (например, 3-108 Гц при % = 5/о (для алюминия) и затухают при распространении на несколько сантиметров от поверхности. Однако основная часть волны давления вихревых токов (рис. 3) будет распространяться в твердом теле с малым затуханием, за исключением высокочастотных составляющих, связанных с волновым фронтом.
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
Основное явление, проиллюстрированное приведенным выше аналитическим примером, состоит в том, что нестационарная магнитная индукция, направленная по касательной к поверхности, вызывает волны сжимающих напряжений в проводящем теле. Чтобы показать это явление в эксперименте, удобней иметь дело с телом цилиндрической формы, чем с прямоугольной геометрической схемой, рассмотренной в аналитическом решении. Поэтому на конце цилиндрического медного стержня около 2 м длиной создавали радиально направленное нестационарное магнитное поле. Плоскую спиральную катушку диаметром около 7,5 см (3 дюйма) помещали на конце медного стержня диаметром 5 см (2 дюйма). Магнитное поле в продольном и радиальном направлениях создавали путем разрядки накопленного в батарее конденсаторов заряда через катушку (см. рис. 5). Три конденсатора по 850 мкФ были заряжены до 400 В, накопленная энергия составляла около 200 Дж. Нестационарный
ток в 14-витковой катушке достигал 4000 А, создавая на поверхности стержня магнитную индукцию до 16 кГс. Распределение магнитной индукции на конце стержня было не однородным. Это распределение измерялось; оно приведено на рис. 6 для случая, когда зазор между стержнем и катушкой составлял 6,35 мм (1/4 дюйма). Распределение, очевидно, меняется при изменении зазора.
Рис. 5. Схематическая диаграмма батареи конденсаторов и системы измерения деформаций.
/—источник постоянного тока 400 В; 2 — механический выключатель; 3 — интегрирующий усилитель; 4 ——осциллограф; 5 ——тензоизмерительный мостик； 6 ——трансформатор тока; 7 — пробная катушка; 8 — батарея конденсаторов емкостью 2530 мкФ; 9 — четырнадцативитковая катушка диаметром 76,2 мм (3 дюйма)； 10 ~ полупроводниковый тензодатчик.
Ток в катушке измерялся при помощи малой тороидальной катушки вокруг питающего провода, называемой трансформатором тока (или катушкой Роговского) (см., напримвр, [14]). В этой катушке возникает напряжение, пропорциональное скорости изменения тока в проводе; интегрированием находят сам ток. Магнитную индукцию на поверхности стержня измеряли с помощью малой пробной катушки с 40 витками диаметром 1,5 мм. Скорость изменения потока вызывает измеряемое напряжение в катушке. .
Деформации в медном стержне измеряли двумя полупроводниковыми тензодатчиками сопротивления, расположенными по концам одного диаметра и последовательно соединенными в мостике Уитстона, чтобы исключить любое изгиб- ное возмущение в стержне. Для измерения продольного перемещения в стержне был применен также фотонный датчик. Датчики были размещены на расстоянии около 1 м от конца
стержня. Проинтегрированное напряжение в пробной катушке для измерения магнитного поля и напряжения в мостике измерения деформаций выводили на осциллограф, как показано на рис. 7. .
Рис. 6. Зависимость магнитной индукции в зазоре между катушкой и стержнем от расстояния в радиальном направлении.
/ — геометрический центр катушки; 2 — магнитный центр катушки; 3 — край стержня; 4 ——край катушки; 5 ——магнитная индукция в продольном направлении; 6 — магнитная индукция в радиальном направлении.
Пуск импульса осуществляли замыканием промышленного механического выключателя специальной конструкции. При этом замыкалась цепь, в которую входят батарея конденсаторов и катушка (см. рис. 5). Полученные в результате импульсы имели форму синусоидальной волны с существенным затуханием (рис. 7, верхняя кривая) длительностью около 500 мкс и с временем нарастания около 150 мкс. Это вызывало волну напряжений в медном стержне около 1,5 м длиной.
Результаты, показанные на рис. 7 и 8, подтверждают зависимость напряжений от квадрата магнитной индукции при 1,5-мм зазоре между стержнем и катушкой. Максимальное
Рис. 7. Зависимость магнитной индукции и деформации от времени при разности потенциалов между полюсами батареи 400 В (верхние кривые) и 200 В (нижние кривые).
напряжение оказалось несколько выше, чем магнитное давление В2/2|л0 на конце стержня, в то время как по теоретическим расчетам напряжения не должны быть выше магнитного давления. Однако магнитное давление приходилось осреднять по торцевой поверхности стержня, и максимальная величина магнитной индукции на конце стержня, веро-
ятно, больше в середине кругового сечения, чем на конце стержня, где проводились измерения (рис. 6).
Не было зарегистрировано никаких проявлений волны термических напряжений. Как следует из аналитического решения, волна термических напряжений должна была быть весьма высокочастотной, и поэтому она или быстро зату-
г-20г-200,20,40,6 0,8 1;02,00,20,40,6 0,8 1;02,0406?406?WWQfHg:^пне无aduuHWWQfHg:^пне无aduuH00806000806040040020201010
г-20
г-20
0,20,40,6 0,8 1;02,0
0,20,40,6 0,8 1;02,0
406?
406?
WWQfHg:^пне无aduuH
WWQfHg:^пне无aduuH
008060
008060
400
400
20
20
10
10
Р и с. 8. Зависимость напряжений от радиального магнитного поля на концестержня.
По оси абсцисс: магнитная индукция. Вб/м2 (на конце стержня); по оси ординат {слева): деформация, 10-3; по оси ординат (справа): напряжение, фунт/дюйм2 (0,07 кгс/см2).
/ — магнитное давление, В2/2]1о.
Обозначения: △, зазор %б〃 (1,6 мм), переменная разность потенциалов батареи;О, разность потенциалов 400 В, переменный зазор между катушкой и стержнем.
хала, или не могла быть обнаружена из-за частотных пределов нашего оборудования, составляющих около 0,3 МГц.
По данным, полученным из опыта, можно приблизительно установить энергетический баланс между накопленной электрической энергией, энергией магнитного поля и энергией деформации. Например, при разности потенциалов на полюсах батареи 430 В интегрирование тока дает значение накопленного заряда около 1 К. Эта величина соответствует номинальной емкости конденсатора и равна энергии батареи около 230 Дж. При максимуме тока, проходящего через катушку, энергия магнитного поля LR]2 составляла
8 Заказ № 169
около 90 Дж. Индуктивность системы катушка—стержень, вычисленная по периоду импульса, оказалась равной примерно 10 мкГ. Однако энергия магнитного поля в зазоре между катушкой и стержнем составила лишь около 10 Дж. Этот расчет выполнен с помощью интегрирования функции 月2/2阿 на конце стержня.
Механическая энергия обусловлена нагревом конца стержня и энергией деформации в волне напряжений. Измерения температуры не проводились из-за трудностей динамических измерений такого рода. Энергию деформации в волне вычисляли интегрированием величины ^Х/^Е по длине волны^ где Е ——модуль Юнга для меди. Энергия оказалась равной примерно 2 • IO— Дж. Таким образом, менее 1 % энергии магнитного поля в зазоре переходит в энергию деформации, несмотря даже на то, что напряжения, как оказалось, достигают уровня магнитного давления. Представляется, что для применения такого метода при магнитной штамповке или при создании магнитных молотков и гайковертов предстоит еще многое сделать, чтобы оптимизировать преобразование энергии.
Магнитное поле, создаваемое на конце стержня, и напряжения в стержне существенно зависят от зазора между катушкой и стержнем. При фиксированном токе. в катушке (разность потенциалов на полюсах батареи 400 В) магнитная индукция на конце стержня при зазоре между стержнем и катушкой 6,4 мм (1/4 дюйма) составляла 65% от ее значения при зазоре 1,6 мм (Vie дюйма). Напряжения при таком зазоре падают до 42% от их величины при меньшем зазоре.
Список литературы
Furth Н. Р., Magnetic pressure, Internat. Sci. and Techn., Sept, 32 (1966).
Morland L. W., Generation of thermoelastic stress waves by impulsive electromagnetic radiation, AI A A Journal, 6, No. 6, 1063—1066 (1968); русский перевод: Морленд, Возбуждение термоупругих волн напряжений под действием импульса электромагнитного излучения, Ракетная техника 〃 космонавтика, № 6, 88 (1968).
Zaker Т. A., Stress waves generated by heat addition in an elastic solid, /. Appl. Mech.t 32, No. 1, Trans. AS1AE, 87, ser. E, 143—150 (1965); русский перевод: 3анкер, Волны напряжений в упругих твердых телах, вызванные тепловым воздействием, Прикладная механика, № 1, 163 (1965).
Kaliski S., Nowacki W., Combined elastic and electromagnetic waves produced by thermal shock in the case of a medium of finite electric conductivity, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. des Sci. Techn., 10, No. 4, 159—168 (1962).
Willson A. J., The propagation of magneto-thermo-elastic plane waves, Proc. Cambridge Philos. 5oc., 59, 483—488 (1963).
Зоммерфельд А., Электродинамика, ИЛ, M., 1958.
Webster A. G., Partial differential equations of mathematical physics, New York, 1947.
Lockett F. J., The propagation of thermal stresses in a semi-infinite medium, Proc. Edinburgh Mathem. Soc., 12, No. 2, 75 (1961).
Boley B. A., Tolins I. S., Transient coupled thermoelastic boundaryvalue problems in the half space, /. A ppi. Meeh, 29, No. 4, Trans. ASME, 84, ser. E., 637—646 (1962); русский перевод: Боли, Толинз, Неустановившиеся граничные задачи взаимосвязанной термоупругости для полупространства, Прикладная механика, № 4, 37 (1962).
Churchill R. V., Operational mathematics, 2d ed., New York, 1958, p. 132—134.
Боли Б. А., Уэйнер Д. X., Теория температурных напряжений, 《Мир», М, 1964.
Курант Р., Гилберт Д., Методы математической физики, т. 2,《Мир», М., 1964.
Richter В. J., Stress waves in conductors induced by the incompletely neutralized electromagnetic field of relativistic electron beams, PhD dissertation, Stanford University, 1971.
Instruments and measurements, Proceedings of 5th International Instruments and Measurements Conference, Sweden, 1960, eds. von H. Koch, Ljungbery G., vol. 2, New York—London, Academic Press, 1960, p. 947—954.
Новацкий В., Вопросы термоупругости. М., Изд-во АН СССР, 1962.
РАДИАЛЬНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛНОСЕВОГО СДВИГА В КОНЕЧНО-ДЕФОРМИРОВАННОМУПРУГОМ ТЕЛЕ 1)
М. Курасигэ
ВВЕДЕНИЕ
Задачи о радиальном распространении упругих волн в неоднородной среде, свойства которой непрерывно изменяются вдоль радиальной координаты, исследовались многими авторами. Штернберг и Чакраворти [1] обобщили исследование Гудьера и Джэсмена [2], посвященное распространению цилиндрической сдвиговой ударной волны в бесконечной изотропной пластинке с круглым отверстием, на класс неоднородных упругих материалов. Чжоу и Гордон [3] изучали аналогичные задачи о волнах осевого сдвига при помощи двух методов: метода преобразования Лапласа и метода характеристик. Чжоу, Грейф и Джонсон [4] разработали общий метод, который позволяет устранить неточности метода характеристик, связанные со слишком большими кривизнами характеристик. Они применили этот уточненный метод к задачам о цилиндрических волнах сдвига с бесконечной и конечной внешними границами, а также к задачам о плоских волнах. Грейф и Чжоу (5] изучали объемные цилиндрические волны в неоднородных анизотропных средах. Что касается рассмотренных неоднородностей материала, то во всех указанных исследованиях считалось, что модуль упругости представляет собой степенную функцию радиальной координаты с произвольным показателем степени.
В работе [5] было отмечено, что в реальных задачах эти неоднородности могут быть вызваны градиентами температуры. В настоящей работе рассматривается неоднородность, которая обусловлена конечными (большими) начальными деформациями или начальными напряжениями и которая, вообще говоря, не определяется степенной функцией радиальной координаты. В рамках разработанной Био [6] механики инкрементальных деформаций составлены основные
Kurashige М., Radial propagation of axial shear waves in a finitely deformed elastic solid, Transactions of the ASMEt 41, Ser. E, No. 1, 83—88 (1974). .
уравнения для произвольного поля начальных деформаций, зависящих лишь от радиальной координаты.
В качестве конкретных примеров рассмотрены следующие распределения начальных деформаций: а) неограниченное тело с круговым цилиндрическим отверстием подвергается на бесконечности действию всестороннего растяжения; б) прямоугольный параллелепипед сворачивается в круглую трубу, края которой жестко скрепляются между собой (рис. 1). Предполагается, что осевое движение деформированного тела возбуждается в результате действия осевых касательных напряжений, равномерно распределенных вдоль внутренней границы тела; эти напряжения прикладываются внезапно, а затем величина их убывает с течением времени
Рис. 1. Примеры различных распределений начальных деформаций.Рис. 1. Примеры различных распределений начальных деформаций.
Рис. 1. Примеры различных распределений начальных деформаций.
Рис. 1. Примеры различных распределений начальных деформаций.
по экспоненциальному закону. Других нагрузок в теле нет. Материал тела предполагается изотропным и несжимаемым; в числовых примерах для простоты рассматривается неогуковский материал.
Недавно автор настоящей работы [7] рассматривал вопрос о влиянии неоднородного поля начальных напряжений на фазовые скорости распространения сдвиговых волн, направляемых круглым цилиндрическим отверстием. Так как в статье [7] был приведен обзор ранее опубликованных работ по распространению упругих волн в теле с начальными деформациями, то здесь мы такой обзор приводить не будем. Цель настоящей работы заключается в том, чтобы прояснить вопрос о влиянии неоднородного поля конечных деформаций на распространение^ волн осевого сдвига в радиальном направлении.
МЕХАНИКА ИНКРЕМЕНТАЛЬНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ,РАЗРАБОТАННАЯ БИО
Воспользовавшись прямоугольными декартовыми координатами Xi и обозначив через t время, можно записать следующие уравнения движения, связанные с механикой инкрементальных деформаций, и выражения для приращения граничных усилий, отнесенных к единице площади в начальном состоянии [6, стр. 50, 53]:
ds»/導]《°呼dSik с j
京7十京十 -=pо⑴
А力=(%+S为严炳+Sjje就一S/6分)分⑵
Здесь принято, что начальные массовые силы и начальные ускорения, а также приращения массовых сил отсутствуют. Через s订 обозначены приращения напряжений в местной поворачивающейся декартовой системе координат, введенной Био; Sij — начальные напряжения Коши, р0 — начальная плотность, Ui — приращения перемещений, а е订 и со订一линеаризованные приращения перемещений и углов поворота:
= 4 (需+%)'% =4■(鴿一鲁). ⑶
В случае изотропного несжимаемого материала три относительных удлинения, соответствующих начальному полю конечных (больших) деформаций, должны удовлетворять условию
(4)(4)入&入3 = 1,
(4)
(4)
а упругий потенциал на единицу объема тела можно представить в виде
取=取(入1,入2).(5)
(6)(6)Отсюда можно получить для главных (начальных) напряжений зависимости [6, стр. 97]
(6)
(6)
*^11 — J33 =人 1 d入],^22 — >33 —人2 亚 >
причем главные оси совпадают по направлению с осями координат. Вычисление полных производных соотношений (6) после перехода к приращениям деформаций сдвига дает еле-
дующие соотношения между приращениями напряжений и деформаций [6, стр. 93 и 98]:
Ei Гз=卜券+入;箒)С]]+%%^£"&2,
S12=(S"—$22)S12=(S"—$22)§22 — S33 =§22 — S33 =/2十入1入2加I苏2®，/2十入1入2加I苏2®，人彳+% 而一考人彳+% 而一考x| +君§23 = (S22 — S33)?2* ‘23,人2 一 %x| +君§23 = (S22 — S33)?2* ‘23,人2 一 %⑺⑺S31 = (S33 — S”)S31 = (S33 — S”)人^ +人； 学一入:人^ +人； 学一入:©31 •©31 •
S12=(S"—$22)
S12=(S"—$22)
§22 — S33 =
§22 — S33 =
/2十入1入2加I苏2®，
/2十入1入2加I苏2®，
人彳+% 而一考
人彳+% 而一考
x| +君
§23 = (S22 — S33)?2* ‘23,
人2 一 %
x| +君
§23 = (S22 — S33)?2* ‘23,
人2 一 %
⑺
⑺
S31 = (S33 — S”)
S31 = (S33 — S”)
人^ +人； 学一入:
人^ +人； 学一入:
©31 •
©31 •
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пусть г, 0, n — система цилиндрических координат в точке с прямоугольными декартовыми координатами 修. Рассмотрим некоторое поле больших начальных деформаций с относительными удлинениями
入「=入「(厂)，Xq = Xg (г), \z = k=const.(8)-
Пусть соответствующие начальные напряжения равны
Srr = S"(r), *5qq =Sqq (г), Szz = Szz(「)・(9)
Когда в таком деформированном теле происходит распространение волн осевого сдвига в радиальном направлении, то единственной отличной от нуля компонентой вектора приращений перемещений является осевая компонента, причем она не зависит от окружной и осевой пространственных переменных. Таким образом, из системы уравнений движения Био '(1) остается лишь следующее уравнение:
OSrz I S，Z / Q Q \ 03rz/ С C \ 3Tz
~^ I ^Or — ”z 丿一^Bee — Jzz 丿[
甞3P。欝，（ЮУ
в котором три последних члена в левой части характеризуют
влияние
начальных напряжении, и
2 dr * rz~ 2 dr *
В случае деформаций осевого сдвига в соотношениях (7) между приращениями напряжений и деформаций сохраняется опять-таки лишь одно соотношение
s，z=2^6%,(12)
в котором 入:+人；
2a = (S” 一 Szz) 2 —入2 •(13)
приходим(14)(15)(16)приходим(14)(15)(16)Подставляя соотношения (11) и (12) в (10), к уравнению движения
приходим
(14)
(15)
(16)
приходим
(14)
(15)
(16)
в котором
^(2卩一Szz) + (2* + See-Szz)
« 6 =2卩+ S〃一Szz，
с ⑺=［靑卜 +4"(S〃 — Szz)｝「.
При отсутствии начальных напряжений R(r) = l,0 и с(г) = =(Но/ро)1/2, где 阿一модуль сдвига в недеформированном состоянии. Приращение граничного усилия на единицу площади в начальном состоянии при г = const, согласно (2), будет таким:
(17)(17)А/г = Sr — Sf№rz 一 SzzGz •
(17)
(17)
Предположим, что на внутренней границе г = п скачком прикладываются касательные усилия, а затем эти усилия изменяются по непрерывному закону; считаем также, что внешняя граница г = Г2 (если она существует) свободна от напряжений. Тогда граничные условия запишутся в виде
A/z = 〃(£)s«) при г=гь(18)
A/z=。при r=r2,(19)
где •"«) — единичная ступенчатая функция Хевисайда, a s«) — непрерывная функция времени t, такая, что s(O)=so.
МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК
Воспользовавшись для решения уравнения движения (14) методом характеристик, получим следующие два уравнения физических характеристик:
(20)(20)糸П土。⑺，
(20)
(20)
определяющие характеристики /+ и h Эти характеристики представляют собой два семейства кривых на физической плоскости г, t. Вдоль характеристик каждого семейства /+ и /~ дифференциальное уравнение в частных производных (14) сводится к следующему семейству обыкновенных дифференциальных уравнений:
dU+R (г) и ?= ± 击 &匕 (21>
где
U = duzldrtV = dujdt.U = duzldrtV = dujdt.(22>(22>
U = duzldrtV = dujdt.
U = duzldrtV = dujdt.
(22>
(22>
Соотношения (21) и (22) были получены путем анализа перемещений; такой подход может оказаться неприменимым в задаче о распространении волн сдвига в окружном направ* лении.
d（6U）+R（w?= 土击d纱）,扌丿=±0（r）6u，d（6U）+R（w?= 土击d纱）,扌丿=±0（r）6u，(23)(23)Характеристические уравнения (21) оказываются справедливыми для непрерывных полей с возможными разрывами значений производных переменных U и К Скачкообразным изменениям физических характеристик могут также соответствовать разрывы значений самих переменных U и V,. однако такие разрывы не описываются уравнениями (21). Разрывы в значениях U и V возникают при задании скачкообразных изменений значений этих переменных на границе* тела. Уравнения, определяющие распространение этих разрывов, можно вывести таким же путем, как и в работах [4, 5]. Обозначив через 6U и 6V величины скачкообразных изменений соответственно переменных U и 匕 получим следующие условия для скачков:
d（6U）+R（w?= 土击d纱）,扌丿=±0（r）6u，
d（6U）+R（w?= 土击d纱）,扌丿=±0（r）6u，
(23)
(23)
где верхние и нижние знаки относятся соответственно к уходящим и приходящим разрывам. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений (23) дает
WW±2s（）±2s（）2*S)+S“S) —Szz (И)2*S)+S“S) —Szz (И)c(h)exp ｛『RT)c ⑺ exp ｛j R (r)乎｝c(h)exp ｛『RT)c ⑺ exp ｛j R (r)乎｝
W
W
±2s（）
±2s（）
2*S)+S“S) —Szz (И)
2*S)+S“S) —Szz (И)
c(h)exp ｛『RT)
c ⑺ exp ｛j R (r)乎｝
c(h)exp ｛『RT)
c ⑺ exp ｛j R (r)乎｝
(2分(2分W=±c(r)6U,
(2分
(2分
где постоянные интегрирования определены в соответствии с начальным условием при г = п, т. е. условием
^+42(Srr-S^U=sQt(25>
и в соответствии со следующими условиями отражения при
/ = гз =2, т. е. условиями возбуждения отраженной волны:
》。十方"Г=0.(26)
Здесь 6^ и 35 — скачки соответственно в падающей и отраженной волнах. Далее, граничные условия (18), (19) принимают вид
U(「2)= 0・ (28)
Обыкновенные дифференциальные уравнения (21) могут быть решены с учетом граничных условий (27), (28) и условий для скачков (24) при помощи таких же численных методов, которые использовались в предыдущих исследованиях. На плоскости г, t строится сетка, образованная пересекающимися семействами характеристик /+ и /-. Далее предпо- .лагаем, что в пределах малых интервалов между узловыми точками на плоскости г, / функции U и V изменяются по ли・ -нейным законам. Тогда можно проинтегрировать соответствующие характеристические уравнения (21), и в результате цолучим эквивалентные им уравнения в конечных разностях. .Для разрывов функций U и V указанная методика несколько видоизменяется, а именно мы используем точное значение скачка (24) в тех точках плоскости л, t, где расположен фронт волны. Для граничных точек интегрирование необхо- .димо выполнять лишь вдоль одной характеристики, так как в качестве другого условия используется одно из граничных условий—(27) или (28). Дальнейшие подробности описания метода решения можно найти в работах [1, 3—5].
В такой задаче может не возникнуть необходимость применения усовершенствованного метода характеристик, пред- .ложенного в работе [4], поскольку неоднородности, вызванные большими начальными деформациями или начальными напряжениями, могут и не быть очень сильными, как это мы увидим из примеров, приведенных в следующем разделе.
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
Выше мы рассмотрели общий случай изотропного несжимаемого материала с осесимметричным полем начальных деформаций, характеризуемым произвольной функцией радиальной координаты. В этом разделе указанные зависимости для некоторых конкретных частных случаев будут получены в замкнутой форме.
昕=%既（2+*+场-3）,入&k= 1,昕=%既（2+*+场-3）,入&k= 1,(29)(29)Для простоты будем рассматривать так называемый неогуковский материал, у которого выражение для упругого потенциала имеет вид
昕=%既（2+*+场-3）,入&k= 1,
昕=%既（2+*+场-3）,入&k= 1,
(29)
(29)
S/r — Szz=Ro (*—入3,S/r — Szz=Ro (*—入3,(30)(30)Q刁入（l+K/尸）］匕Q刁入（l+K/尸）］匕(32)，(32)，
S/r — Szz=Ro (*—入3,
S/r — Szz=Ro (*—入3,
(30)
(30)
Q刁入（l+K/尸）］匕
Q刁入（l+K/尸）］匕
(32)，
(32)，
где цо — модуль сдвига в недеформированном состоянии. Подставив это выражение для потенциала в соотношения (6), получим
Рассмотрим два частных примера распределения начальных деформаций.
Пример а. Неогуковское тело бесконечной протяженности^ имеющее круговое цилиндрическое отверстие, подвергается одновременно однородному растяжению в осевом направлении с относительным удлинением Az=九(постоянная величина) и однородному растяжению в радиальном направлении равномерно распределенными усилиями Т, приложенными на бесконечности (рис. 1, а). С учетом выражений (29) можно найти, напряжения, которые соответствуют такому деформированному состоянию, как частный случай точного решения, приведенного в разд. 3.4 книги Грина и Зерны [8]:
S〃 = -^-卩 о (~^~ In Q2+ ~^~)+^S%=-|■阿(4- In Q2—^" + ^2")+^Szz=；H)(；ln Q?—^|-2*)+C.
Здесь
%=Q/入，入e = l/Q・%=Q/入，入e = l/Q・(34),(34),
%=Q/入，入e = l/Q・
%=Q/入，入e = l/Q・
(34),
(34),
а С и К — постоянные, которые должны определяться из следующих соотношений [7]:
2c [ 1
27卩о
вытекающих из граничных условий при г = % и г-> оо. Относительные удлинения в направлениях г и 0 будут такими:
Пример б. Прямоугольный параллелепипед длиной / и шириной Л, изготовленный из неогуковского материала, равномерно растягивается в направлении n с относительным удлинением Az=九(постоянная величина) и сворачивается в трубу, сечение которой представляет собой кольцо в плоскости, перпендикулярной оси n, после чего края такой трубы скрепляются между собой. Внутренний и внешний радиусы этого кольца равны соответственно ri и гг, причем внутренняя и внешняя границы свободны от напряжений. Напряжения, соответствующие таким деформациям, можно опять-таки получить как частный случай (соответствующий выражениям (29)) точного решения Грина и Зерны [8, разд. 3.11]:
(35)(35)s宀貝。(总■ +手)+ e,
(35)
(35)
Szz=4M+2 雜)+С.
Здесь
(36)(36)q =(川一并)/2瓦
(36)
(36)
；a C — постоянная. Граничные условия Srr = 0 при r=ri и г=гг приводят к равенствам
2С1^+г1/^-[-^/г1 = 0,()
玄з которых получаем
(38)(38)0 =(r了2/入)".
(38)
(38)
Условие несжимаемости Z九=冗(厂^—г；)% в сочетании с равен
ствами (36) и (38) дает
〃力=4h〃力=4hг2/门&2“l)2— 1 •г2/门&2“l)2— 1 •(39)(39)
〃力=4h
〃力=4h
г2/门
&2“l)2— 1 •
г2/门
&2“l)2— 1 •
(39)
(39)
Относительные удлинения в направлениях г и 0 равны 入г = Q/r,入е =厂/入Q・ (40)
Подставляя эти результаты, а именно (31) и (34) для примера (а) и (35) и (40) для примера (б) в основные соотношения, приведенные выше, можно записать эти соотноше-
ния в явном виде. Например, выражения (13), (15) и (16)
принимают вид
a = %R)(M+Q2A2),(41а)
a = %а。 (入 2+@2斤2),(416)
R(「)=&2—K)/&2+K),(42a)
R&) = -1,(426)
e⑺=1(因/人 Po)0+K/产)]匕(43a)
0(г)=1(卩。/№。)(Q/rM" •(r")(436)
[буквы а и б после номеров формул показывают, что данная формула относится соответственно к примеру (а) или примеру (б)]. Интегрирование уравнений (20) при найденных зависимостях для фазовой скорости дает следующие уравнения характеристик: .
』士 [(№(仙)(产+k)]/+在 (44а) + [(入Ро/№о)/「丿2】％ • %Ь瓦 (446)
Здесь k — постоянная интегрирования. Подставляя выражения (31), (35), (41) и (42) в первое соотношение (24) и в соотношение (27), после некоторых преобразований получаем следующие условия для скачков и граничные условия, заданные в явном виде:
土誥 Q2：i)'(Sa)
3U= 土*}.(456)
(46a)
Ug=g 喑 H©・(466)
ЧИСЛОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Методика численного интегрирования вдоль характеристик была использована для проведения расчетов в двух указанных примерах распределения начальных деформаций. Результаты вычислений мы будем представлять с использованием
следующих безразмерных величин:следующих безразмерных величин:0 =0 =sГz 2w(门)一Szz S)sГz 2w(门)一Szz S)SoSoС = СС = С2卩(П) 7»2卩(П) 7»(47)(47)
следующих безразмерных величин:
следующих безразмерных величин:
0 =
0 =
sГz 2w(门)一Szz S)
sГz 2w(门)一Szz S)
So
So
С = С
С = С
2卩(П) 7»
2卩(П) 7»
(47)
(47)
Кроме того, оба примера были конкретизированы следующим образом: в качестве начального деформированного состояния рассматривалось состояние плоской деформации 九=1,0, а сдвиговое возмущение, приложенное к внутренней границе, считалось изменяющимся во времени по экспоненциальному закону:
s (%) = So exp (—2/) (48)
с параметром Q= [1/(2п)] (но/^ро)1/2. Численное интегрирование в примерах (а) и (б) проводилось соответственно с шагом сетки Дт=0,025 и Ат=0,0265165; такие размеры сетки достаточны, чтобы обеспечить точность графического представления результатов.
Для краткости ограничимся обсуждением результатов, касающихся влияния начальных деформаций или начальных напряжений на законы распространения волн сдвига.
Рисунки 2а и 26, относящиеся соответственно к примерам (а) и (б), могут помочь понять некоторые аспекты процесса распространения волн сдвига, проиллюстрированного на рис. За, 36, 36'. На рис. 2а, 26 показаны распределения мо
дуля сдвига 卩 и скорости распространения волн с вдоль радиуса р. Как видно из рис. 2а, всестороннее начальное растяжение снижает обе величины 卩 и с, в особенности вблизи цилиндрического отверстия, тогда как сжатие приводит к возрастанию указанных характеристик; на большом удалении от отверстия обе эти величины асимптотически стремятся к единице. Из рис. 26 видно, что максимумы обеих величин 卩 и с достигаются на внутренней границе кольца; при удалении от внутренней границы 卩 и с монотонно убывают и достигают своих минимальных значений на внешней границе.
На рис. За, 36, 36’ показано соответственно для примеров (а) и (б) распространение в радиальном направлении такого возмущения, которое создается осевым касательным напряжением s(/j на внутренней границе, скачкообразно возрастающим в начальный момент и затем убывающим по экспоненциальному закону.
На рис. За приведены распределения безразмерного касательного напряжения вдоль радиальной координаты р
Рис. 2а. Распределение модуля сдвига 卩(сплошные кривые) и скорости распространения волн с (штриховые кривые) вдоль радиуса р для различных начальных растягивающих усилий.
Рис. 26. Распределение модуля сдвига 卩(сплошные кривые) и скорости распространения волн с (штриховые кривые) вдоль радиуса р при 厂2〃1 = =2,0 (〃九=8,3775).
в некоторые фиксированные моменты времени при Т/|Шо= 1,0 (большое начальное растяжение), 77卩。=0 (отсутствие начальных напряжений) и 77卩。=—1,0 (большое начальное сжатие). Вертикальные прямые представляют фронты волн. Распределения касательного напряжения за фронтами волн представлены кривыми, имеющими форму цепной линии. В левой части чертежа по мере приближения к границе отверстия кривые идут вверх и приближаются к одинаковым (для каждого заданного момента времени) значениям, соответствующим заданным значениям напряжения на границе отверстия. Фронт волны движется со скоростью с, зависящей от радиальной координаты р. Это пространственное распределение обусловлено начальными деформациями (рис. 2а). Поэтому различным начальным напряжениям соответствуют различные положения фронта волны даже в одни и те же моменты времени: при начальных растягивающих напряжениях фронт уходит вперед по отношению к фронту волны в среде без начальных напряжений, тогда как в среде с начальными сжимающими напряжениями фронт волны будет отставать. Согласно (45а), с течением времени высоты фронтов волн уменьшаются по закону о* = р[(1+%)/(р2+叫％(49)
где у=К/г：. Скорость этого снижения увеличивается при наличии начального растяжения и немного уменьшается при наличии начального сжатия. Это связано, как нетрудно убедиться из анализа первого соотношения (24), с характером функций с (г) (пространственного распределения фазовой скорости) и &(г). При Т/но = О (случай отсутствия начальных напряжений) %=0, так что о*=17р%； это обычный закон для распространения волн в радиальном направлении.
На рис. 36 сплошными кривыми показаны распределения касательного напряжения о вдоль радиуса в скрученном и скрепленном кольце с гг/г1=2,0 в моменты времени т = 0,8; 1,5; 2,2. Для сравнения штриховыми линиями показаны соответствующие распределения в сплошном кольце без начальных напряжений. Момент времени t = 0,8 предшествует отражению волны от внешней границы р=2,0. Сплошная и штриховая кривые, соответствующие этому моменту, немного отличаются одна от другой. Это может быть обусловлено тем, что, как видно из рис. 26, безразмерные скорость распространения волн с и модуль сдвига 卩 должны быть больше единицы вблизи внутренней границы и меньше единицы вблизи внешней границы. В момент времени т= 1,5, соответствующему условию после отражения фронта волны от свободной внешней границы р=2,0, рассматриваемый фронт волны (сплошная
кривая) значительно отстает от фронта волны в сплошном замкнутом кольце (штриховая кривая). Затем фронт волны отражается от внутренней границы р = 1,0 и к моменту т = 2,2 указанные два фронта волн в значительной степени
Рис. За. Влияние начальных напряжений на распределения касательногонапряжения в различные моменты времени.
Рис. 36. Сравнение распределений касательного напряжения в кольце, полученном в результате сворачивания и скрепления краев (сплошные кривые) ,и в кольце, свободном от начальных напряжений (штриховые кривые); 力/n=2,0.
9 Заказ № 169
Рис. 36'. Сравнение изменений во времени напряжения в точке при р= 1,4 в кольце, полученном в результате сворачивания н скрепления краев (сплошная кривая), и в кольце, свободном от начальных напряжений (штриховая кривая); r2/ri=2,0.
сближаются. Эти факты также можно объяснить и понять с помощью рис. 26.
На рис. 36’ приведены графики изменений во времени напряжения о в фиксированной точке с радиусом р == 1,4. Здесь опять-таки сплошные кривые относятся к кольцу с 厂2/厂 1=2,0, полученному путем сворачивания полосы с последующим скреплением концов, а штриховые кривые соответствуют сплошному кольцу без начальных напряжений. На рисунке четко видны резкие скачки напряжений, связанные с приходом и уходом фронтов волн. Сравнение сплошных кривых с штриховыми показывает, что с течением времени соответствующие этим кривым значения времени прихода волн и распределения напряжений все в большей степени различаются между собой.
Список литературы
Sternberg Е., Chakravorty J. G., On the propagation of shock waves in a nonhomogeneous elastic medium, /. Appl. Meeh., 26, Trans. ASME, 81, Ser. E, 528—536 (1959).
Goodier J. N., Jahsman W. E., Propagation of a sudden rotary disturbance in an elastic plate in plane stress, /. Appl. Meeh., 23, Trans. 4sME, 78, 284—286 (1956).
Chou P. C., Gordon P. F., Radial propagation of axial shear waves in nonhomogeneous elastic media, /. Acoust. Soc. Amer., 42, No. 1, 36—41 (1967).
Chou S. C., Greif R., Johnson D. E., Stress-wave propagation in a class of nonhomogeneous elastic media, AI A A Journal, 7, No. 9, 1710—1716 (1969); русский перевод: Чжоу Сунь-чинь, Грейф, Джонсон, Распространение волн в некотором классе неоднородных упругих сред, Ракетная техника и космонавтика, № 9, 60 (1969).
Greif R., Chou S. С., The propagation of radially symmetric stress waves in anisotropic nonhomogeneous elastic media, /. Appl. Meeh., 38, Trans. ASME, 93, Ser. E, 51—57 (1971); русский перевод: Грейф, Чжоу, Распространение радиально симметричных волн напряжения в неоднородной анизотропной упругой среде, Прикладная механика, № 1, 52 (1971).
Biot М. A., Mechanics of incremental deformations, Wiley, New York— London—Sydney, 1965.
Kurashige M., Shear waves guided by a cylindrical hole in a finitely deformed elastic solid, /. Appl. Meeh., 39, Trans. ASME, 94, Ser. E, 703— 708 (1972); русский перевод: Курасиге, Распространение поперечных волн вдоль цилиндрической полости в упругой среде с заданными большими деформациями, Прикл. механ., Л? 3, 65 (1972).
Green А. Е., Zerna W., Theoretical elasticity, Oxford at the Clarendon Press, 1954, Chapter 3.
ДАВЛЕНИЕ В УДАРНОЙ ВОЛНЕПРИ КОСОМ СОУДАРЕНИИ.ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ 】)
К・。・ Перссон
ВВЕДЕНИЕ
В последние три десятилетия проводились многочисленные экспериментальные исследования распространения волн в твердых телах и жидкостях при воздействии ударных нагрузок. Хорошо разработана и теоретическая основа анализа таких процессов, а именно теория Ренкина—Гюгонио [1, 2]. Плоский удар — нагружение, обеспечивающее создание плоскоде- формированного состояния, — используется в качестве стандартного метода измерения динамической прочности, сжимаемости при высоких давлениях и остаточных изменений характеристик материалов при ударном нагружении в широком диапазоне давлений — от нескольких килобар до нескольких мегабар.
Наиболее широко распространенный способ создания плоской ударной волны состоит в следующем. Ударяющая пластинка получает ускорение в пневмопушке либо в результате взрыва пиропатрона, и создается лобовой удар этой пластинки по другой пластинке, изготовленной из исследуемого материала [3, 4]. Все оценки, которые строятся затем по данным таких испытаний, основываются на предположении о том, что угол между соударяющимися поверхностями равен нулю. При проведении высокоточных экспериментов принимаются самые тщательные меры по обеспечению выполнения этого требования, причем удается достичь значений углов перекоса, меньших 0,0005 рад [3—5].
Однако использование такой высокоточной центровки делает эксперименты довольно трудоемкими, а следовательно, и дорогостоящими. Во многих случаях оптимальный (с точки зрения стоимости и требований точности) эксперимент связан с меньшими требованиями к точности. Цель настоящей работы—дать основу для такой оптимизации условий эксперимента путем выявления связи между давлением за фронтом ударной волны и углом между соударяющимися поверхно-
1)Persson С. Ake, Shock pressure in oblique impact — a theoretical analysis, Transactions of the 4SME, 41, Ser. E, No. 1, 124—130 (1974).
стями. Установление такой связи основано на предположении о том, что материалы ведут себя, как жидкости; однако рассматриваются также линейно-упругие модели материалов.
Общая задача о наклонных ударных волнах рассматривалась ранее в литературе (см., например, [6, 7]), однако известные результаты не могут быть непосредственно применены к рассматриваемой задаче.
ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
При идеально плоском столкновении двух пластинок в пределах всей поверхности контакта мгновенно возникает слой высоких давлений. Эта область высоких давлений расширяется, имея два плоских фронта волн, параллельных поверхности столкновения, причем столкновение сопровождается ускорением ударяемой пластинки и замедлением ударяющей (рис. 1). Уровень давлений определяется скоростью соударения и。и характеристиками материалов обеих пластинок, причем должны быть выполнены условия непрерывности давления и скорости частиц материалов при переходе через поверхность соударения.
Предположим теперь, что ударяющая пластинка наклонена на некоторый угол 屮 по отношению к лобовой поверхности ударяемой пластинки. Тогда соударение уже не будет происходить мгновенно, а граница зоны контакта будет двигаться вдоль передней (лобовой) поверхности ударяемой пластинки со скоростью uo/tg ср. В этом случае фронты области высоких давлений уже не будут параллельны поверхности соударения, а их ориентация будет зависеть от соотношения между скоростями распространения волн и скоростью uo/tgq движения границы зоны контакта. Этот процесс проиллюстрирован на рис. 2 для случая, когда материалы пластинок ведут себя подобно жидкостям.
В случае линейно-упругого поведения материалов пластинок картина волн усложняется вследствие возбуждения в каждой из пластинок второй (сдвиговой) волны, распространяющейся с меньшей скоростью, чем передняя ударная (объемная) волна. Этот вопрос подробно рассмотрен ниже в разделе «Линейно-упругие среды».
Как и в случае плоского соударения, интенсивности волн напряжения, возбуждаемых при косом соударении, должны получаться такими, чтобы выполнялись граничные условия на поверхности контакта. Для жидкостей эти граничные условия представляют собой условия непрерывности нормального напряжения и нормальной скорости при переходе через поверхность контакта. Для линейно-упругих сред
добавляются еще два условия, зависящие от принятого закона трения. Все реально возможные законы трения должны соответствовать условиям, которые являются промежуточными по отношению к следующим двум предельным условиям: условию
Ударянлцая Ударяемая пластинка пластинкаУдарянлцая Ударяемая пластинка пластинкаЗона сжатияЗона сжатияУдарякчцая Ударяемая пластинка пластинкаУдарякчцая Ударяемая пластинка пластинкаВееры волнВееры волнРис. 1. Плоский удар.Рис. 1. Плоский удар.
Ударянлцая Ударяемая пластинка пластинка
Ударянлцая Ударяемая пластинка пластинка
Зона сжатия
Зона сжатия
Ударякчцая Ударяемая пластинка пластинка
Ударякчцая Ударяемая пластинка пластинка
Вееры волн
Вееры волн
Рис. 1. Плоский удар.
Рис. 1. Плоский удар.
скольжения без трения, когда касательные напряжения в обеих пластинках на поверхности контакта должны равняться нулю, и условию отсутствия проскальзывания (граничное условие «схватывания»), когда при переходе через поверхность контакта должны выполняться условия непрерывности касательного напряжения и тангенциальной компоненты скорости. Оба этих условия рассмотрены ниже в разд. «Линейно-упругие среды》.
После этого вступления приведем формулировку задачи, которую мы пытаемся решить в предлагаемой работе. Требуется найти соотношение между средним давлением за ударной волной, возникающей при наклонном соударении, и углом наклона и скоростью соударения поверхностей. При этом в качестве материалов рассматриваются либо жидкости, либо линейно-упругие материалы. Решение задачи основывается на разложении зависимости давления от угла в ряд, и поэтому оно справедливо лишь для малых углов.
ВАРИАНТ 1. ЖИДКОСТИ
В качестве первого этапа решения задачи примем допущение о стационарности потока вблизи линии контакта. Такое допущение дает хорошее приближение для центральной стадии процесса соударения, если только абсолютное значение скорости перемещения линии контакта вдоль поверхности соударения (величина |uo/tg(p|) превышает скорости распространения ударных волн 〃s в каждой из пластинок. Таким образом, мы ограничиваемся анализом таких значений ио и ср, которые удовлетворяют неравенству
E/tg叫〉〃s.⑴
Течение является стационарным относительно системы координат, которая расположена в плоскости, перпендикулярной к линии контакта, и начало которой лежит в точке пересечения этой плоскости с линией контакта. На рис. 3 показаны скорости в этой системе координат.
Обратимся к рис. 3 и составим ряд соотношений между различными компонентами скоростей, не зависящих от характеристик материалов.
Перед фронтами ударных волн должны выполняться соотношения
cos а .\cos 8
sin а .\sin 8
節 1 = ©оCOS= @0，
а за фронтами ударных волн справедливы соотношения
071=071,072 = 072,
，(3)
Uni = @N1 —囹1 ,@N2 = @N2 —阳2 ,
в которых uPi и 〃&2 — скачки скоростей при переходе через
фронты ударных волн; эти скачки удовлетворяют соотношениям Гюгонио
—«N\ = Poi〃Sl 阳 1, —啦2 = p02〃S2 阳2・ (4) Здесь Oni и On2 — растягивающие напряжения за фронтами ударных волн, нормальные по отношению к этим фронтам, a poi и рог — плотности перед фронтами.
Рис. 3. Поле скоростей в материалах типа жидкостей вблизи линии столкновения в системе координат, связанной с этой линией.
Для вывода формулы, определяющей давление, воспользуемся условиями стационарности
@N1 = 〃S1, O/V2 = 〃S2(5)
и условиями непрерывности на поверхности раздела:
Напряжение растяжения в направлении нормали к поверхности раздела непрерывно при переходе через эту поверхность, (6) Скорость в направлении нормали к поверхности раздела равна нулю.(7)
Это последнее условие (7) эквивалентно следующим условиям, накладываемым на компоненты скоростей за ударными волнами в направлении нормали к поверхности раздела (рис. 3):
иЗ cos (а+々屮)—— 0ti sin (仪十々屮)= 0,(7а)
@72 Sin (Р —削)一°N2 cos 偉一々屮)=0.(76)
Здесь k — некоторая постоянная, величина которой заключена в пределах между нулем и единицей.
Систему соотношений (2) — (5), (7а), (76) будем преобразовывать следующим образом. Сначала, согласно (2) и (5), запишем'
/ Sin а .\sin 8
旬=©оcos а),辽S2 = ©о 忑标・(8)
С учетом равенств (2) — (4) можно переписать соотношения
(7а) и (76) в виде
辽S1十^^) cos (a+削)一次(-^ 一 sin a) sin g+加)=0,
⑼
@o sin 偉一削)一(〃S2+) cos 偉一加)=0・ 唱屮\P02“S2 /
Наконец, необходимо дать математическую формулировку условия (6). Напряженное состояние в жидкости характеризуется одним параметром — давлением р, которое может быть либо положительным, либо отрицательным. Таким образом, для рассматриваемого варианта материалов условие (6) означает просто равенство
仍=02=Р・(1。)
По определению мы имеем также
oni = —Pi = —P， W尸一р尸一р.(11)
Подставив (11) в (9), получим
1 一 7^"卜°S (a + 厶屮)一©о(4^ — Sin a) sin (a 十々屮)=0,
01(12)
0。 4^ sin 偉一加）一 （我S2 _ 7^7卜°s 偉一加）=0.
Четыре соотношения (8) и (12) содержат пять неизвестных р, ср, a, р,比 так что из этих соотношений в принципе можно получить искомую зависимость между р и ср.
Полагая величины ср, а и р малыми, можно воспользоваться разложениями в ряды вида
sinx=x+…， cosx=ltgx = x+ ..
где под х понимается одна из величин ф, а, 0, а+^(р, р —力屮. Подставив эти ряды в (8), получим
辽s 1 = А (a/屮十1),辽s 2 =研3/勺，
откуда a =(p(〃si/uo—1), B=(p(〃s2/uo). С учетом этих выражений для а и В соотношения (12) после использования разложений в ряд примут вид
Из соотношения (14) находим, что 々=р/(po2〃s2Uo); подставив этот результат в соотношение (13), получим окончательно зависимость
\ и。 /J
P02〃S2%
которую можно переписать в виде
0 (РО卅SI + P02〃S2)l1 +(〃51w0-1)2 ?2
P。卅S1PO2〃S2%-% _ I)Y2 ・
(Poi〃si 十 P02〃S2)
Воспользовавшись приближением (1—х)~1^ 1 +х, справедливым при |%|《1, и сохранив члены не выше второго порядка относительно ср, придем к искомой зависимости:
P02〃S2%〈 丁 Poi^Sl )'。0/
X *Т+ 1 + (ЕЗ *(⑸
В соответствии с этой зависимостью давление в плоскости соударения(р=0 равно
Р (0)=Р« = °)Р (0)=Р« = °)(16)(16)?02，52u0
Р (0)=Р« = °)
Р (0)=Р« = °)
(16)
(16)
1 + P02〃S2./?01〃Sl
При увеличении угла столкновения ф давление возрастает пропорционально квадрату угла 屮.
Приближения, использованные при выводе зависимости (15), ограничивают область применимости этой зависимости малыми значениями <р. Условие (1) также ограничивает диапазон возможных значений ср. Грубую оценку верхнего предельно допустимого значения ср можно получить следующим образом. Пусть ошибка каждого разложения в ряд составляет 10%, так что на приближенные зависимости для тригонометрических функций накладываются следующие ограничения： |sinx —х|<0,1,откуда|х|<0,8рад45°,
I tgx —х| <0,1,откуда|х|<0,5рад30°,
I cos 尤一11 < 0,1,откуда| %| < 0,2рад11,5°.
Таким образом, наиболее жесткое ограничение накладывает последнее из этих трех приближений. Так как в качестве величины 尤 должны рассматриваться углы ср, а и В, то нижний предел для ср получим, рассмотрев в качестве % большую из величин а или §. Отсюда получаем условие
1?1 < /^0,2 ' ^Us^ П₽И 辽S1》〃S2, (⑺ 1 0,2 •(00/价2)прй %1V 玄S2.
На последнем этапе вывода зависимости (15) использовалось приближение (1—х)-1^ 1 +х, где
(Poi〃Sl + P02〃S2)' U。 /
Это приближение будет справедливо с точностью не ниже 10% при \х \ <0,27, т. е. при
Poi'si + Р02"52，J
Так как знаменатель последнего выражения всегда меньше 〃si/uo, последнее условие можно заменить более сильным неравенством:
ср<{О,27(@о/%1)「/*О,5(5%1)"ра& (18)
При vo/uSi<l условие (17) всегда является более сильным, чем условие (18). Наконец, неравенства | tg(p | <vo/uSi и I tg 屮 I vuo/〃s2, которые должны выполняться в соответствии с условием (1), являются более адабыми, чем оба условия (17) и (18). Итак, приходим к выводу, что при значениях угла ср, ограниченных в соответствии с условием (17), точность
последнего члена в в пределах 10%.
Зависимость (15)
правой части соотношения
можно переписать в виде
(15) лежит
Р«) МОУ
=1 Т~厶屮2,
О0,01
402
Рис. 4. Зависимость относительного повышения давления от угла столкновения для материалов, ведущих себя как жидкости.
Так как цель настоящего исследования состоит в выяснении предельно допустимых углов перекоса ср, то наибольший интерес представляют случаи сильной зависимости от угла, т. е. случаи больших 〃si/uo. Так как последнее слагаемое в квадратных скобках всегда меньше единицы, то при больших “si/ио хорошее приближение для величины Л дает формула /^(〃si/uo)2, согласно которой упрощенная зависимость давления от угла имеет вид
Р(0)十〈Ц)
(19)в об-(20)(19)в об-(20)ИЛИ
(19)
в об-
(20)
(19)
в об-
(20)
р(ср) —р(0)Л0)-р(ср) —р(0)Л0)-
р(ср) —р(0)
Л0)-
р(ср) —р(0)
Л0)-
Согласно условию (17), эта зависимость справедлива ласти
р (?) — р (0) /| °，°4ПРИ 辽S1》〃S2,
Мб) 0,04(〃si%2)2 При 辽SlOs2・
Для иллюстрации зависимости давления от угла на рис. 4
приведены соответствующие кривые, построенные в соответствии с упрощенным соотношением (19) для различных значений отношения 〃si/oo； в пределах области, где выполняется условие (20) (〃si = 〃s2), эти кривые нанесены сплошными линиями, вне указанной области — штриховой.
Графики наглядно показывают, как быстро возрастают требования к отсутствию перекосов (требование малых ср) по мере уменьшения скорости удара ио.
ВАРИАНТ 2. ЛИНЕЙНО-УПРУГИЕ СРЕДЫ
Когда материалы двух пластинок ведут себя как линейноупругие среды, то объемные ударные волны приводят к таким напряженным состояниям (плоскодеформированным),
Рис. 5. Круг Мора, иллюстрирующий зависимость между касательнымии растягивающими напряжениями в объемной волне в линейно-упругих ма-териалах.
。屮=%【(为+咛什8%一Tcos 2屮］, 号=n/(1 一叫。%.
в которых нормальные напряжения в различных направлениях являются различными. На рис. 5 показан соответствующий круг Мора для напряжений в плоскости, перпендикулярной к линии контакта пластинок.
Этим напряженным состояниям в двух пластинках соответствуют такие напряжения сдвига, которые, вообще говоря, не совпадают между собой на поверхности раздела. Подобный скачок напряжений сдвига невозможен, и поэтому в двух пластинках возникают волны сдвига. Напряженные состояния, соответствующие одним лишь волнам сдвига, определяются кругом Мора, центр которого лежит в начале координат,
а радиус равен скачку касательного напряжения на фронте ударной волны (рис. 6).
Так как третье главное напряжение равно нулю, то волна сдвига не вносит никакого вклада в среднее давление. На рис. 7 схематически изображены фронты волн в пластинках из линейно-упругих материалов.
Рис. 6. Круг Мора, иллюстрирующий напряженное состояние в волнах сдвига в линейно-упругих материалах (% = Ат • sin 2屮).Рис. 6. Круг Мора, иллюстрирующий напряженное состояние в волнах сдвига в линейно-упругих материалах (% = Ат • sin 2屮).
Рис. 6. Круг Мора, иллюстрирующий напряженное состояние в волнах сдвига в линейно-упругих материалах (% = Ат • sin 2屮).
Рис. 6. Круг Мора, иллюстрирующий напряженное состояние в волнах сдвига в линейно-упругих материалах (% = Ат • sin 2屮).
Фронт золны Граничная сдвига поверхностьФронт золны Граничная сдвига поверхностьФронт 一 объемной, волныФронт 一 объемной, волныРис. 7. Картина волн вблизи линии столкновения двух пластинок из линейно-упругих материалов.Рис. 7. Картина волн вблизи линии столкновения двух пластинок из линейно-упругих материалов.
Фронт золны Граничная сдвига поверхность
Фронт золны Граничная сдвига поверхность
Фронт 一 объемной, волны
Фронт 一 объемной, волны
Рис. 7. Картина волн вблизи линии столкновения двух пластинок из линейно-упругих материалов.
Рис. 7. Картина волн вблизи линии столкновения двух пластинок из линейно-упругих материалов.
Интенсивности объемной и сдвиговой волн должны быть такими, чтобы соответствующие им суммарные поля напряжений и скоростей удовлетворяли граничным условиям на поверхности раздела. Эти граничные условия зависят от того,
Фронт волны сдвига
какой закон трения считается действующим на поверхности раздела: они являются промежуточными по отношению к двум крайним возможным вариантам принятых условий ——условий скольжения без трения и условий отсутствия скольжения («схватывания»). Ниже будут рассмотрены оба этих предельных варианта.
Вывод соотношения между давлением и углом для случая линейно-упругих материалов проводится тем же путем, что
и для жидкостей, но является более громоздким. Поэтому здесь приводятся лишь основная система уравнений и граничных условий и окончательные зависимости давления от угла.
Уравнения 〃 граничные условия,не зависящие от закона трения
Объемные волны приводят к таким же изменениям нормальных напряжений и нормальных скоростей, как и в случае жидкостей, так что соотношения (2)——(4) по-прежнему остаются справедливыми, равно как и условие стационарности (5). Вклад объемных волн в поле скоростей на поверхности раздела можно определить просто путем вычисления проекций скоростей и；】,vfNi,- и；? и у^2 на поверхность раздела и на нормаль к ней.
Три главных напряжения в объемной волне (в условиях плоской деформации) равны в = о_у, 02=03= [у/(1—v)]on, где V — коэффициент Пуассона материала. Нормальное и касательное напряжения на поверхности раздела нетрудно определить согласно соотношениям, приведенным под рис. 5.
Наконец, среднее давление в каждой пластинке можно представить в виде
= —1/3(01 + 02+03)1= з
1+Y2(21)
夕2= —1/3(01+02+03)2= —3 ([— 丫丁ona
Волны сдвига распространяются относительно окружающей среды со скоростью, которая, согласно линейной теории упругости, равна 卩/2(1—2v)/(l—v)丁厶〃,.Ориентация фронтов волн сдвига определяется условием стационарности, в соответствии с которым скорость волны сдвига равна проекции скорости частиц за фронтом объемной волны на фронт волны сдвига. Это условие дает два соотношения (по одному соотношению для каждого материала).
Зависимости между изменениями скоростей частиц и напряжениями на фронте волны сдвига напоминают соотношение Гюгонио (4) для объемных волн. В рассматриваемом случае касательное напряжение и скорость частиц в направлении, параллельном фронту, изменяются соответственно на величины At и А〃0, и эти изменения связаны между собой зависимостью
А“ = Ро [£/ •「％ △羯.
Таких зависимостей мы имеем опять-таки две — по одной для каждой из пластинок.■
Поля скоростей и напряжений на поверхности раздела, соответствующие волне сдвига, легко могут быть рассчитаны путем вычисления проекций А〃@ с помощью рис. 6. Так как мы приняли допущение о линейности характеристик материала, то можно осуществлять прямую суперпозицию тензорных полей напряжений и векторных полей скоростей, соответствующих объемным волнам и волнам сдвига.
Как уже отмечалось,, напряжения, соответствующие волне сдвига, не вносят никакого вклада в среднее давление.
Граничные условия
Независимо от закона трения полные поля напряжений и скоростей должны удовлетворять следующим условиям на поверхности раздела:
Напряжение, нормальное к поверхности раздела, должно быть непрерывным на этой поверхности （одно уравнение）.
Скорость в направлении нормали к поверхности раздела должна равняться нулю （два уравнения）.
Два других граничных условия, необходимых для вывода связи давления от угла, зависят от принятого закона трения.
Скольжение без трения
Если предположить, что скольжение одной пластинки относительно другой происходит без трения, то граничным условием будет условие обращения в нуль касательных напряжений на поверхности раздела; это условие дает два соотношения—по одному для каждого материала.
Используя эти соотношения вместе с системой других перечисленных выше уравнений и граничных условий, можно получить следующую зависимость среднего давления в ударяемой пластинке от угла столкновения:
禰П中联，（22）
где
厶（°）=3仁%（23）
И
1 + 1+出二）他2命2）.［（計7 X
При выводе этой зависимости использовались такие же разложения в ряды, как и для случая жидкостей. Для упрощения вывода было принято также, что отношения uSi/vQ и Us2/vq достаточно велики, так что можно пренебрегать членами порядка единицы по сравнению с этими величинами. Таким образом, зависимости (22) — (24) являются аналогами зависимости (19), относящейся к жидкостям.
Отсутствие скольжения (граничное условие ^схватывания»)
Если скольжение одной пластинки относительно другой невозможно, то должны выполняться следующие граничные условия:
Условие непрерывности скорости в направлении, параллельном поверхности раздела (одно уравнение).
Условие непрерывности касательного напряжения при переходе через поверхность раздела (одно уравнение).
В этом случае вывод оказывается несколько более сложным, хотя его вполне можно провести для общего случая абсолютно различных характеристик материалов двух пластинок. Здесь мы приведем результаты лишь для следующих пяти частных случаев: poi = po2=Po, vi=v2 = v, 〃si/〃s2='/io, V2, 1, 2
Таблица /
Выражения для коэффициента 4, входящегов зависимость (22) для линейно-упругих пластинокпри условии отсутствия скольжения(Материалы пластинок имеют различные значения〃S[/〃s2，а прочие характеристики этих материалов оди-наковы)
〃S1/〃S24
-0,375-0,375-0,11-0,11
-0,375
-0,375
-0,11
-0,11
10 Заказ № 169
и 10. При выводе используются такие же разложения в ряд и такие же допущения о величине отношений 〃si/uo и 〃s2/uo, как и в рассмотренном выше варианте отсутствия сил трения. Полученные в результате выражения для коэффициента Л, входящего в зависимость (22), приведены в табл. 1.
Видно, что коэффициент Л пропорционален третьей степени величины отношения 〃si/uo, если не считать того случая, когда обе пластинки изготовлены из одного и того же материала. Этим рассматриваемый случай отличается от случаев жидких материалов и упругих материалов без трения, когда коэффициент всегда зависел от величины (uSi/vo)2. Более того, граничные условия «схватывания» представляют единственный из трех рассмотренных вариантов, в котором давление уменьшается по мере возрастания угла ср (коэффициент Л отрицателен).
Сравнение результатов, полученных для упругих материалов при граничных условиях отсутствия трения и условиях «схватывания», с результатами для жидкостей
На рис. 8 представлены графики зависимостей между углом ср и относительным повышением давления (夕2(屮)一 —р2(6))/р2(0) для трех рассмотренных вариантов. Эти кривые построены по соотношениям (19), соотношениям (22)— (24) и по данным табл. 1. Были заданы три различных значения отношения скоростей распространения волн 〃si/〃s2, равные 0,5, 1 и 2; остальные характеристики материалов двух пластинок считались одинаковыми, причем были заданы значения параметров 〃si/uo=2O и у = %・
На рис. 8 показана сильная зависимость повышения давления в упругих материалах от величины отношения скоростей распространения волн и полное отсутствие такой зависимости в случае жидкостей. При больших значениях 〃si/〃,2 результаты для упругих пластинок без трения приближаются к результатам для жидкостей, тогда как условиям «схватывания» соответствует отрицательная угловая зависимость. Как уже отмечалось, все законы трения для линейно-упругих пластинок должны давать такие кривые, которые расположены между кривыми, соответствующими условиям отсутствия трения и условиям《схватывания》.
Реальные материалы можно рассматривать как линейноупругие лишь при величинах ударного давления, меньших примерно предела текучести материала, т. е. меньших нескольких килобар. При более высоких давлениях поведение материала приближается к поведению жидкой среды. Поэтому в большинстве реальных задач упрощенная зависимость (19)
6
Рис. 8. Зависимости относительного повышения давления от угла столкновения при различных значениях отношения скоростей распространения волн в материалах.
/ — линейно-упругие материалы, скольжение отсутствует； 2 ——линейно-упругие материалы, трение отсутствует, 3 — жидкости; wsl/uo=2O, ” = %.
")^S1^S2 = ^^» 6) 〃S1/〃S2=1； 8)^S1^S2 = 2'
между давлением и углом соударения, полученная на основании анализа распространения волн в жидкостях, должна обеспечивать хорошее приближение.
ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ ПОЛУЧЕННЫХ ФОРМУЛ
Предположим, что мы хотим провести ударное нагружение определенного материала при низких давлениях. Какой материал следует использовать для ударяющей пластинки для того, чтобы свести к минимуму требование отсутствия перекоса?
Пусть, например, ударяемая пластинка должна быть изготовлена из стали, а ударные давления должны быть порядка 10*
50 кбар (5- 109 H/м?). Ударяющую пластинку можно изготовить либо из стали, либо из алюминия, либо из люсита. Будем предполагать также, что материалы можно рассматривать как жидкости.
В табл. 2 приведены нёобходимые характеристики указанных материалов [8]. По формуле (16) можно вычислить те
Рис. 9. Зависимость относительного повышения давления от угла столкновения при давлении 50 кбар./ — удар стали по стали; 2 — удар алюминия по стали; 3 — удар люсита по стали.Рис. 9. Зависимость относительного повышения давления от угла столкновения при давлении 50 кбар./ — удар стали по стали; 2 — удар алюминия по стали; 3 — удар люсита по стали.
Рис. 9. Зависимость относительного повышения давления от угла столкновения при давлении 50 кбар.
/ — удар стали по стали; 2 — удар алюминия по стали; 3 — удар люсита по стали.
Рис. 9. Зависимость относительного повышения давления от угла столкновения при давлении 50 кбар.
/ — удар стали по стали; 2 — удар алюминия по стали; 3 — удар люсита по стали.
значения скорости и。(или отношения Уо/^si), которые необходимы для достижения давления 50 кбар в стальной ударяемой пластинке. Результаты этих вычислений приведены в табл. 3.
Таблица 2
Характеристики стали, алюминия и люсита
Материал
р, кг/м3
"5, “"с
P〃S，кг/м2 • с
Сталь
7,85 • 103
5,2 • 103
4,08 • 107
Алюминий
2,7 • 103
5,8 • ЮЗ
1,57 • 107
Люсит
1,18 • 103
4,0 • 103
0,47 • 107
Таблица 3
Скорости удара, необходимые для достижения в ударяемой стальной пластинке давления 50 кбар
Материал ударяющей пластинки
%/〃51
%, М/с
Сталь
0,047
245
Алюминий
0,076
441
Люсит
0,296
1186
Используя эти значения и。/〃si, мы на основании зависимости (15) получим три кривые, изображенные на рис. 9.
Рисунок 9 дает четкий ответ на вопрос, поставленный в начале этого раздела: лучшим материалом является люсит, для которого допустим перекос ср, в 8,5 раза больший, чем для стали, при таком же повышении давления. Это связано, разумеется, с тем обстоятельством, что при использовании ударяющей пластинки с низким ударным импедансом приходится для обеспечения заданного давления повышать скорость удара, и именно из-за этой высокой скорости зависимость давления от угла перекоса оказывается более слабой. Так как возможности разгона ударяющей пластинки до высоких скоростей ограничены, то при выборе материала ударяющей пластинки приходится искать компромисс между стремлением обеспечить слабую зависимость от угла перекоса при низких давлениях и стремлением охватить достаточно широкий интервал давлений при использовании одного и того же материала ударяющей пластинки. Соотношения (15) и (16) дают основу для такого выбора.
Список литературы
Альтшулер Л. В., Применение ударных волн в физике высоких давлений, Усп. физ. «., 85, № 2, 197 (1965).
Rice М. Н., McQueen R. G., Walsh J. М., Compression of solids by strong shock waves, uSolid State Physics. Advances in Research and Applications”，vol. 6, No. 1, 1958, p. 1—63.
Wasley R. J., Valentine R. H., Nidick E. J., Jr., Designing flyer-plate/gun experiments to provide sharp compressive shocks and soft recovery of targets, Lawrence Radiation Laboratory, Livermore, UCRL-50887.
Fowles G. R., et al., Gas gun for impact studies, Rev. Scientific Instruments, 41, No. 7, 984—996 (1970)..
Taylor J. N., Rice M. H., Elastic-plastic properties of iron, /. Appl. Phys., 34, No. 2, 364—371 (1963).
Курант P., Фридрихе K・，Сверхзвуковое течение и ударные волны, ИЛ, М., 1950.
Drummond W. Е., Explosive-induced shock waves. Part II. Oblique shockwaves, /. Appl. Phys., 29, No. 2, 167—170 (1958).
van Thiel M., et al., Compendium of shock wave data, Lawrence Radiation Laboratory, Livermore, UCRL-50108, 1966.
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКИХПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНОМВЯЗКОУПРУГОМ МАТЕРИАЛЕ 1)
Т. Р. Блэй^ Дж. Ф. Уилсон
ВВЕДЕНИЕ
На распространение возмущений в нелинейном вязкоупругом материале влияют как диссипативные характеристики материала, так и нелинейные характеристики. Теоретические исследования волн в подобных материалах дали важную информацию о волнах ускорения и ударных волнах [1], о стационарных волнах [2] и о распространении высокочастотных возмущений [3]. Однако возможности аналитического исследования таких явлений, вообще говоря, ограничены из-за математических сложностей, связанных с решением соответствующих дифференциальных уравнений. Поэтому для исследования наиболее общих задач о распространении волн в таких материалах приходится обращаться к численным методам.
В настоящей работе представлено основанное на численном методе исследование распространения плоских продольных волн в одном классе нелинейных вязкоупругих материалов. Определяющие уравнения и уравнения сохранения в форме Лагранжа аппроксимируются системой уравнений в конечных разностях при помощи явной схемы первого порядка. В разд. 2 обсуждаются определяющие уравнения, используемые в данной работе. Поведение материала описывается при помощи переменных состояния и ориентации и соответствующих дифференциальных уравнений [4, 5]. Такой способ описания весьма удобен для применения численных методов, поскольку легко допускает переход к конечным разностям.
В разд. 3 определяющее уравнение объединяется с уравнением сохранения количества движения при плоской деформации, и в результате получается квазилинейная система дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Переход от этой системы уравнений к уравнениям в конечных разностях вкратце обсуждается в разд. 4, где вво-
Blake Т. R., Wilson J. F., A numerical study of plane longitudinal waves in a nonlinear viscoelastic material, Transactions of the ASME, 41, Ser. E, No. l, 111—116 (1974).
дятся также уравнения для численных расчётов ударных волн в вязкоупругом материале. Эти уравнения ударных волн добавляются к обычным конечно-разностным уравнениям с целью изучения ударных волн, вызываемых начальными разрывами в .граничных условиях.
В разд. 5 этот метод чиненного анализа используется в сочетании с данными экспериментов для составления определяющего уравнения полиметилметакрилата. В разд. 6 исследуется эволюция плоских продольных волн в полупространстве из полиметилметакрилата. Показано, что развитие этих волн сильно зависит от величины заданного скачка скорости: в частности, время, необходимое для образования стационарных волн, обратно пропорционально указанной величине.
ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим процесс изотермического деформирования первоначально не деформированного однородного изотропного вязкоупругого материала. Пусть X и х ——соответственно начальная и текущая координаты точки материала в фиксированной прямоугольной декартовой системе координат. Тогда деформацию материала в этой точке можно представить в виде и
х = х(我 X).
Введем градиент деформаций D, т. е. градиент х относительно X. Этот градиент деформаций представляет собой, вообще говоря, функцию времени и координат точки материала. Предположим, что напряжение, связанное с этой деформацией, зависит от истории деформирования и математически может быть представлено, в виде (функционала от градиента деформаций. Механическое поведение материала будет описываться при помощи переменных состояния. В соответствии с одним частным вариантом такой методики описания [4, 5] зависимость между напряжениями и историей деформирования строится в два этапа: напряжение рассматривается как функция переменных, характеризующих состояние материала и ориентацию его частиц, а затем эти переменные связываются с прошлой предысторией деформирования при помощи соответствующих «законов роста». В настоящей работе предполагается, что состояние материала и его ориентация с достаточной точностью описываются двумя переменными — симметричными тензорами второго ранга с, q. Компоненты этих
1)Жирным шрифтом будут обозначаться как векторы х, так и тензоры второго ранга D, причем тензорный характер переменной будет очевиден из текста. '
тензоров определяют координаты в евклидовом пространстве переменных, характеризующих состояние и ориентацию. Напряжение в материале есть функция указанных переменных:
u = f(3 q).⑴
Общий вид «законов роста》, связывающих переменные состояния и ориентации с историей деформирования, таков [5]:
鳥C = g(c, q, V) + (V+Q)c+c(V』Q)
q = h(c, q, V) + (V+Q)q+q(V「+Q7)・⑵
Здесь производная по времени определяется при постоянном X, а V и Q — обычным образом определенные тензоры скоростей деформаций и скоростей поворотов с компонентами
где Xi — текущие координаты в материале, з — текущие скорости частиц материала. Функции f, g и h — симметричные инвариантные тензорные функции соответствующих аргументов [5]. Чтобы закончить описание свойств материала, необходимо еще задать значения переменных состояния и ориентации в момент времени, соответствующий начальному состоянию покоя материала. Мы ограничимся такими материалами, которые в исходном состоянии являются однородными и изотропными, так что переменные, описывающие исходное состояние материала, будут представлять собой изотропные тензоры.
Применительно к данному исследованию мы конкретизируем приведенные выше общие уравнения состояния путем введения следующих дополнительных предположений:
Функции g и h, входящие в «законы роста》 (2), выберем в виде
g(c, q, V) = 0,
h(c, q, V)iq+m(c, V),
где k — скалярная постоянная, а функция m содержит лишь линейные относительно V члены. Линейность зависимости h от q означает, что время релаксации материала не зависит от деформаций материала； кроме того, линейность зависимости h от V накладывает некоторые ограничения на гладкость характеристик материала [4]. Подставляя зависимости (3) в уравнения (2), можно проинтегрировать эти уравнения, и в результате получим
с (/, X) = D (我 X)D「(/, X),(4)
q", X) = D«, X)J「(—)DT(* X)X о
Xm{D« X),亲⑴飞,X)D(* X))}x
X(D%, X)厂％Dp, X).(5)
Здесь мы без ограничения общности задали следующие начальные условия для переменных, характеризующих состояние и ориентацию:
с (О, X) = I, q(0, Х) = 0.
Переменная с представляет собой левый тензор Коши—Грина и характеризует влияние текущих деформаций на состояние и ориентацию материала; напротив, переменная q отражает влияние прошлой предыстории деформирования на состояние и ориентацию материала ').
Предполагаем, что функции f и D~m(D, (д/д%) (DTD)) X X (Dr)"1, входящие соответственно в соотношения (1) и (5), могут быть представлены в виде полиномов [7, 8]:
0 = a(o)I +(x(i)c + o^2)q+
D^m (D7)"1 = ?(0) -^- DrD+⑻
Здесь a(九)—полиномы относительно скалярных инвариантов тензоров с и q, а 卩(乳)—постоянные. Запись + ... указывает на наличие членов высших порядков, которые здесь для простоты опущены 2).
ПЛОСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ
Рассмотрим теперь при помощи определяющих соотношений (4)——(6) частный случай плоских продольных деформаций. Пусть вязкоупругий материал занимает полупространство Xi>0, которое в начальный момент находится в однородном состоянии покоя с плотностью ро. Будем рассматривать плоские деформации такого полупространства, определенные зависимостями
*1==%1(/, X/ Х3 = x3.
Поле напряжений, связанное с такими деформациями, не содержит касательных напряжений. Это вытекает из свойства начальной изотропии материала и симметрии рассматриваемого деформированного состояния. Конкретно тензор напряжений имеет компоненты о”，022=033. В настоящем исследовании плоских деформаций достаточно ограничиться анализом компоненты напряжения Иц. Поэтому в дальнейшем будем опускать индексы при Ui, Xi, с”, g” и an, понимая, что эти величины относятся к осевому направлению в полупространстве. Осевое напряжение можно, согласно (6), представить в виде
o = a(o)(c, q)^^{c, 9)с +(х⑵(с,力夕十 …， (7)
а «законы роста» (4), (5) для переменных состояния сид запишем следующим образом:
(8)(8)dt “ дХ，
(8)
(8)
Здесь запись+ ... относится к высшим членам полиномиального разложения (6). Для исследования продольных деформаций пролупространства дополним определяющие соотношения (7), (8) законом сохранения количества движения. При отсутствии массовых сил уравнение сохранения количества движения в форме Лагранжа имеет вид
ди do с
Объединив это уравнение с соотношениями (7), (8), получим квазилинейную систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с независимыми переменными f, X. Нетрудно показать, что при выполнении определенных ограничений, наложенных на полиномиальные разложения в (7) и (8), эта система уравнений есть система гиперболического типа.
Будем рассматривать деформации полупространства, которое вначале находится в состоянии покоя; в момент 方=0 на поверхности Х=0 полупространства задается скачок скорости, после чего скорость остается постоянной. Поэтому систему уравнений (7) — (9) будем решать при начальных условиях и(0, Х) = д(0, Х) = 0, с(0, Х) = 1(10)
и при граничном условии
и(我 О) = @о, £〉0・(И)
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Краевую задачу (7) — (И) будем решать при помощи численных методов. Именно, перейдем от указанной системы уравнений к уравнениям в конечных разностях, используя явную схему конечно-разностной аппроксимации первого порядка, согласно методике, описанной в разд. 12.5 книги [9]. Кроме того, поскольку мы предполагаем задать скачок скорости на поверхности полупространства, эту систему разностных уравнений дополним системой уравнений, в соответствии с которой осуществляется расчет процесса развития ударной волны из первоначально разрывных краевых условий. Этот метод широко применяется при решении задач газовой динамики [9]. Мы не считаем распространение такого метода на нелинейные вязкоупругие системы, анализируемые методом Лагранжа, сколь-нибудь выдающимся достижением, однако нам не известны какие-либо работы, опубликованные по этому вопросу ".
Будем предполагать, что фронт ударной волны есть прямая в лагранжевой системе координат /, X, причем текущие перемещения частиц %(大 X) относительно этой системы являются непрерывными, однако скорости частиц и переменные состояния могут претерпевать разрывы. Можно показать, что на фронте ударной волны должны выполняться следующие условия для скачков2):
Ро〃[矶+ [“с,，)]=0,
,(+)(12)
1)К・ У. Шулер сообщил нам, что он также разработал метод исследования ударных волн в вязкоупругих материалах.
2)Первые два условия хорошо известны. Третье условие, накладываемое на скачок величины д, вытекает из уравнения (8) в пределе при неограниченном увеличении производной dc/dt.
Здесь и — скорость фронта ударной волны, а величина [叨= =屮(+)—屮㈠ есть скачок соответствующей переменной при переходе через фронт волны, причем знак минус относится к значению переменной непосредственно вверх по потоку за фронтом, а знак плюс — к значению непосредственно перед фронтом волны. Эти соотношения связывают значения переменных, определяющих поле напряжений и деформаций, перед ударной волной с их значениями за ударной волной и со скоростью распространения разрыва. Они должны быть дополнены еще одним соотношением, которое в рассматриваемой задаче определяет изменение свойств поля вдоль характеристики на плоскости 方，X. Эта характеристика соответствует траектории звуковой волны, распространяющейся в положительном направлении вдоль оси Xf так что это дополнительное уравнение отражает влияние нелинейности -свойств материала на ударную волну. Уравнение характеристики выводится из системы основных дифференциальных уравнений (8), (9) и может быть записано в следующей дифференциальной форме:
Р。{告显+靑(2产宀{2K5+ . •.})需「du 一
где дифференциалы берутся вдоль линии с угловым коэффициентом
幣={等黑+靑(2产+ {2产产+…})黑厂•(136)
Правая часть последнего выражения представляет местную скорость звука в материале.
Уравнения (12), (13а), (136) переписываются в конечноразностной форме и вместе с системой конечно-разностных уравнений, соответствующей уравнениям (7) — (9), используются для расчетов разрывных полей скорости и переменных состояния [9, 10], возникающих при ступенчатом изменении скорости на поверхности полупространства.
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙДЛЯ ПОЛИМЕТИЛМЕТАКРИЛАТА
Постулированные определяющие соотношения типа (4)—— (6) дают ту основу, при помощи которой можно изучать вязкоупругие материалы. Определим теперь коэффициенты этих соотношений с тем, чтобы получить модель полиметилметакрилата (ПММА). Для этого анализируются данные экспе-
риментов по распространению волн и одновременно с помощью постулированного определяющего соотношения находятся численные решения, позволяющие получить качественное и количественное .совпадения с этими экспериментальными данными. В экспериментах плоский боек ударял по поверхности плоской пластинки [11 ——13], причем на другой стороне пластинки проводилась регистрация закона изменения скорости при различных значениях толщины ударяемой пластинки. Указанные измерения проводились в моменты времени, предшествующие приходам волн, отраженных от краев ударяемой пластинки, в точку измерений. Таким образом, волны в экспериментах были практически одномерными, и эксперимент адекватно описывался краевой задачей о полупространстве со ступенчатым скачком скорости на поверхности.
Определяющие соотношения (4) — (6) носят весьма общий характер, тогда как экспериментальные данные о ПММА несколько ограничены. Поэтому оказалось, что имеющиеся экспериментальные данные можно описать при использовании сравнительно небольшого числа членов рядов в определяющих соотношениях. Введем функции
а(°)= а}0) (ро/р— 1)十0^°)(ро/р— if 十а*(Ро/р— 1『一а⑴，
а⑴=а「；
а⑵=(р/ро)а?；
а(〃)= 0, п>2;
0(0)= 1;
0(〃)=0, п>0,
где а^) — постоянные. Согласно [11], значения этих коэффициентов, а также коэффициента k в [5] и начальной плотности ро получились такими:
4。)+2屮=0,865 . 1011 дин/см2,
码。)=—26,9 • 1011 дин/см2,
嚕)+ 理)=一7,24 • 10" дин/ем2,а(2)=0,0185 - Ю11 дин/см2,
々=0,417 • 107L, р0=1,184 г/см3.
Видно, что эти данные экспериментов по продольной плоской деформации позволяют оценить лишь некоторые
комбинации указанных коэффициентов D. Эти параметры определялись, в частности, исходя из условия аппроксимации экспериментальных данных о скачках на фронте ударной волны. На рис. 1 расчетная зависимость между скоростью фронта волны и скоростью частиц сравнивается с соответствующей экспериментальной зависимостью [12]. Модель в целом хорошо согласуется с экспериментальными данными, однако
Рис. 1. Зависимость между скоростью ударной волны и скоростью частиц: сравнение расчетов, выполненных для теоретической модели (сплошная линия), с данными экспериментов для ПММА [12], полученными при помощи метода наименьших квадратов (кружочки) [12].
По оси абсцисс: скорость частиц (104 см/с); по оси ординат: скорость ударной волны(105 см/с).
есть некоторые указания на то, что при скоростях частиц свыше 3 • 104 см/с результаты, полученные для модели, начнут расходиться с экспериментальными данными. Помимо этой аппроксимации скачков на фронте ударной волны, при выборе значений параметров модели задавалось также условие аппроксимации закона изменения во времени скорости на поверхности ударяемой пластинки.
На рис. 2 светлыми кружками и квадратиками показаны изменения во времени безразмерных скоростей, зафиксированные в двух экспериментах с ударяемыми пластинками различной толщины. Эти экспериментальные данные сравнивались с результатами расчетов (сплошные кривые) при у0 = = 1,5- 104 см/с. Мы нормировали эти кривые скорости путем деления на максимальную скорость частицы в волне, так как
D Параметр а/1) в этих экспериментах не может быть выделен «в чистом виде》. Но если бы материалу было сообщено чисто сдвиговое движение %i=Xi, %2=X2+f(Xi, f), %з = ^з, то мы могли бы оценить этот параметр, поскольку он вошел бы вместе с параметром а/2)в соотношение для касательного напряжения.
в экспериментах последние иногда немного отличались от величины 1,5- 104 см/c1).
Кроме того, мы ввели безразмерное время, воспользовавшись нормирующим коэффициентом А"1 (см. [4]). Здесь через ta обозначен момент прихода волны в точку измерений, и можно видеть, что для большего значения времени прихода
Р и с. 2. Сравнение результатов расчетов волн в ПММА с данными экспериментов [11, 13].По оси абсцисс： безразмерное время (t—ta)k; по оси ординат： безразмерная скоростьР и с. 2. Сравнение результатов расчетов волн в ПММА с данными экспериментов [11, 13].По оси абсцисс： безразмерное время (t—ta)k; по оси ординат： безразмерная скорость
Р и с. 2. Сравнение результатов расчетов волн в ПММА с данными экспериментов [11, 13].
По оси абсцисс： безразмерное время (t—ta)k; по оси ординат： безразмерная скорость
Р и с. 2. Сравнение результатов расчетов волн в ПММА с данными экспериментов [11, 13].
По оси абсцисс： безразмерное время (t—ta)k; по оси ординат： безразмерная скорость
Обозначения: □ — эксперимент № 316, %尼=8,31; О — эксперимент № 2116, ^々=50,0./) %月=8,25;刀 f» = 34,6.
волны (т. е. для более толстой пластинки) здесь нет соответствия между расчетными и экспериментальными значениями времен прихода. Это связано с тем, что толщина пластинки в указанном эксперименте значительно превышала длину вычислительной сетки. Однако в следующем разделе будет показано, что при безразмерных временах прихода волны %力, больших 31,2, полученный в результате расчетов профиль практически является стационарным. Это означает, что результаты вычислений для момента времени %力=34,6 можно сравнивать с результатами измерений при ^ = 50,0, поскольку
D В экспериментах № 316 и 2116 они оказались равными соответственно 1,54 • 104 и 1,45 • 104 см/с [13].
расчетный профиль волны не будет претерпевать никаких изменений при больших значениях tak. На рис. 2 видно, что результаты расчетов волн находятся как в качественном, так и в количественном согласии с экспериментальными данными.
ЭВОЛЮЦИЯ ВОЛН В ПОЛИМЕТИЛМЕТАКРИЛАТЕ
При распространении волны в нелинейном вязкоупругом материале нелинейность материала стремится компенсировать
Рис. 3. Результаты расчетов эволюции профилей волн в ПММА при и0=1,5 • 104 см/с.
По оси ординат: скорость частиц, (104 см/с).
/) f=5,53879 • IO" с; 2) /=2,87249 • 10-6 с; 3) /=5,1910 • 10-6 с; 4) /=7,5093 • 10-6 с.
диссипативные эффекты [1, 2] и может привести к образованию стационарной волны. Рассмотрим эволюцию волн, распространяющихся в полиметилметакрилате, и проанализируем, как происходит образование таких стационарных волн.
Рассмотрим тот же случай, что и в предыдущем разделе, а именно будем считать, что на поверхности полупространства задан скачок скорости ^о==1,5 • 104 см/с. Рисунок 3 иллюстрирует процесс развития волны по мере ее распространения в материале. Здесь изображены пространственные распределения скоростей частиц в моменты времени, указанные на рисунке. На ранних стадиях распространения волны ее профиль претерпевает довольно резкое изменение формы. Постепенно, однако, эта скорость изменения уменьшается, и волна асимптотически приближается к стационарной волне. Лучше всего это видно на рис. 4 на примере кривой vo= = 1,50- 104 см/с (на этом рисунке приведены зависимости скорости частиц на фронте ударной волны от времени). При 方＞
>7,50• 10-6 с волна имеет практически постоянную интенсивность и.
Естественный интерес представляет вопрос о влиянии величины заданного начального скачка скорости vq на скорость развития волн в ПММА. Рисунок 4 иллюстрирует и это влияние, поскольку кривые безразмерных скоростей частиц на фронте волны даны для пяти различных значений vq. Видно,
Рис. 4. Влияние величины о。на эволюцию фронта ударной волны.
Сплошными кривыми представлены результаты численных расчетов, кружочками — результаты, полученные в соответствии с аналитическим решением для линейного материала.
/) %=3,0 • 104 см/с; 2) %=1,5・104 см/с； 3) vo=O,75 • 104 см/с； 4) vo=O,1438 • 104 см/с; 5) %=0,015 • 104 см/с.
что величина и。существенно влияет на время, необходимое для формирования стационарных волн. При значениях ио = =3,0 • 104 и уо=1,5О • 104 см/с ударная волна становится практически стационарной по прошествии времени, много меньшего 13- 10~6 с. В случае и°=0,75・ 104 см/с волна становится стационарной лишь спустя 13 • 10-6 & тогда как в случае еще меньших значений уо=О,1438- 104 см/с и уо=О,О15О- 104 см/с волны в этот момент времени все еще претерпевают довольно быстрые изменения. Это означает, что время развития стационарной волны обратно пропорционально величине заданного скачка скорости. Рисунок иллюстрирует также поведение ударной волны в том случае, когда не учитываются нелинейные члены в модели материала. Эта последняя кривая легко получается обычным путем [14] из соответствующей системы линейных дифференциальных уравнений. Видно, что результаты численного решения для значения Уо = О,О15О- 104 см/с со-
1)Это значение f=7,50 • 10-6 с соответствует безразмерному времени 筑=31,2.
11 Заказ № 169
впадают с результатом, получаемым из аналитического решения. Это означает, что в случае очень малых и。нелинейные члены в рассматриваемом примере не оказывают сколь-нибудь существенного влияния на фронт ударной волны. Указанное совпадение с предельным случаем линейного поведения материала дает некоторую проверку численного метода, использованного в настоящем исследовании; дополнительная
Рис. 5. Результаты расчетов эволюции профилей волн в ПММА при и0= = 0,1438 • 104 см/с.
/)『6,8115 • КМ с; 2) £=3,56291 • 10-5 с; 3) £=6,4445 • 10-5 с; 4) /=1,22080 • 10-4 с; 5) f= = 1,4369 • 10-4 с.
проверка метода представлена в приложении, где результаты численного расчета формирования стационарной волны сравниваются с результатами точного решения.
Рассмотрим случай Уо = О,1438- 104 см/с. Можно показать, что при такой максимальной скорости частиц стационарная волна имеет фронт, соответствующий волне ускорения. Для исследования процесса формирования такой волны мы продолжили вычисления в область больших времен и в большую пространственную область. Формирование волны проиллюстрировано на рис. 5, где приведены пространственные распределения скоростей частиц в моменты времени, указанные на рисунке. Видно, что волна ускорения формируется на фронте волны спустя примерно 10~4 с. Отсюда и из представленной на рис. 3 картины эволюции профилей волны можно заключить, что уменьшение величины 行 от 1,5 • 104 до 0,1438.104 см/с приводит к возрастанию на целый порядок того времени, которое необходимо для образования стационарной волны. Более общий результат, проиллюстрированный на рис. 4, со-
стоит в том, что время образования стационарной волны обратно пропорционально величине заданного скачка скорости.
ПРИЛОЖЕНИЕ. ПРОВЕРКА ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА
Полезно осуществить проверку численных решений путем сопоставления с аналитическими решениями. Некоторую оценку точности нашего численного метода можно получить на основании сравнения стационарной волны, полученной в результате численных расчетов, с точным решением. Так как для принятой здесь модели ПММА довольно трудно получить точное решение, которое определяло бы стационарные волны, то рассмотрим другой материал, который будем называть псевдоПММА. Этот материал сохраняет все особенности «настоящего» ПММА, однако описывается более простой системой уравнений. «Законы роста》(8) для псевдоПММА записываются в виде
糸提，(14)
书+初=2广%含+瞅券,、(15)
а выражение для напряжения выбирается таким:
(0) (0) (0) (1) (2)
причем значения коэффициентов В, ai, аг, ai и ai здесь будут такими же, как у ПММА (см. разд. 5). Будем рассматривать распространение волны в область, первоначально находившуюся в состоянии покоя. Будем искать стационарное решение системы уравнений (9), (14) — (16), зависящее от независимой переменной S=X — W, где V — постоянный параметр. Можно показать, что поле деформаций в такой волне определяется соотношением
п*п*1п|}—11п|}—1XXХ1пХ1пW 一С* +對)-像+m21)W 一С* +對)-像+m21)一_k一_k(2)(2)p产一（*+掰一眼jp产一（*+掰一眼j(S—So), (17)(S—So), (17)
п*
п*
1п|}—1
1п|}—1
X
X
Х1п
Х1п
W 一С* +對)-像+m21)
W 一С* +對)-像+m21)
一_k
一_k
(2)
(2)
p产一（*+掰一眼j
p产一（*+掰一眼j
(S—So), (17)
(S—So), (17)
в котором So — постоянная интегрирования. Характер этого решения зависит от отношения величины V и величины скорости звука в невозмущенном материале
(0)(1)(2) V/,
eg + 2al + 2al ]Р0 J
(данный материал отличается от рассмотренной в работе [2] вязкоупругой жидкости, однако приведенные в этой работе
Рис. 6. Сравнение результатов расчетов по методу конечных разностей (показаны кружочками) с точным решением для стационарной волны (сплошная линия) при /=7,64 • 10~6 с, и0= 1,5 • 104 см/с.
По оси абсцисс: расстояние X, см; по оси ординат: деформация, (с1/2 —1) • 10-2 см/с.
соображения по поводу характера решения полностью применимы к решению (17), и здесь мы их подробно повторять не будем). Будем рассматривать значения V, удовлетворяющие неравенству
((о)(1)⑵ у %
у〉[ eg + 2al + 2al ]
Тогда необходимо выбрать такие ветви решения (17), которым соответствует скачок величины (с%— 1). Это необходимо для того, чтобы согласовать решение с невозмущенной областью материала впереди фронта волны. Величина скачка равна
= Р°02_(*曙‘)一對.(18)
a2 +а1
Рассмотрим частный случай, когда У=ЗД9 • 105 см/с. Этой скорости стационарной волны соответствует деформация за фронтом, равная — 4,705- 102, и скорость частиц, равная 1,5Х >< 104 см/с. На рис. 6 показан стационарный профиль деформаций, рассчитанный согласно (17), (18). Мы воспользовались также описанным в разд. 4 конечно-разностным методом и провели численный расчет распространения волны в этом псевдоПММА при заданной величине скачка скорости и° = = 1,5 • 104 см/с. В момент времени, равный 7,64- 10~6, волна практически оказывается стационарной, и результаты ее расчета можно сопоставить с точным решением. Как видно из рис. 6, численное решение прекрасно совпадает с точным. Это совпадение дает подтверждение использованного в данном исследовании численного метода.
Список литературы
Coleman В. D., et al., Wave propagation in dissipative materials, Sprin- ger-Verlag, New York, 1965..
Pipkin A. C., Shock structure in a viscoelastic fluid, Quart Appl. Math., 23, 297 (1966).
Varley E., Rogers T. G., The propagation of high frequency, finite acceleration pulses and shocks in viscoelastic materials, Proc. Roy. Soc., London, 296, Ser. A, 498 (1967).
Onat E. T., The notion of state and its implications in thermodynamics of inelastic materials, Proceedings, IUTAM Symposia, Vienna, 1966, Springer-Verlag, New York, 1966.
Onat E. T., Representation of inelastic material behavior by means of state variables, Proceedings, IUTAM Symposia, East Kilbride, 1968, Springer-Verlag, New York, 1968.
Truesdell C., The elements of continuum mechanics, Springer-Verlag, New York, 1966.
Green A. E., Rivlin R. S., The mechanics of nonlinear materials with memory. Part I, Arch. Ration. Meeh, and Analysis, 1, 1 (1957).
Wineman A. S., Pipkin A. C., Material symmetry restrictions in constitutive equations, Arch. Ration. Meeh, and Analysis, 17, 18 (1964).
Рихтмайер P. Д., Мортон К- У., Разностные методы решения краевых задач, «Мир》，М., 1972.
Blake Т. R., Wilson J. F., Numerical calculations of plane longitudinal waves in nonlinear viscoelastic materials, Systems, Science, and Software Report 3SR-1066, 1972.
Barker L. M., Hollenbach R. E., Shock-wave studies of PMMA, fused silica, and sapphire, J. Appl. Phys., 41, 4208 (1970).
Schuler K・ W., Propagation of steady shock waves in polymethyl methacrylate, J. Meeh, and Phys. Solids, 18, 277 (1970).
Schuler K・ W., 1972 (частное сообщение).
Chu В. T., Stress waves in isotropic linear viscoelastic materials, Journal de 1, 439 (1962).
ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СЛАБЫХ
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ВОЛН 】)
У. Джэсмен
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Как показано в работе [1], при помощи метода сингулярных поверхностей можно получить алгебраическое уравнение, связывающее величину скачка нормального градиента скорости на поверхности S с вектором единичной нормали и с девиатором напряжений на £. Следуя работам [2, 3], обозначим этот скачок нормального градиента скорости через Х. Тогда «уравнение связи》，выражающее 九 через вектор 仇 единичной нормали к 2 и вектор s^ девиатора напряжений на 2, записывается в виде
(d 一各入=(e； 一 阅 а,e, +^P (一 A他)&他). (1)
Здесь скалярные величины Л^=к- ev и A = s2. X представляют собой соответственно нормальную компоненту вектора 九 и скачок производной по времени от работы при переходе через поверхность £. Последний параметр особенно удобен при анализе распространения волны в среде с начальными напряжениями, первоначально находившейся в состоянии покоя: при А<0 скорость изменения работы за поверхностью £ будет больше, чем перед этой поверхностью, и по мере распространения поверхности £ будет происходить нагружение материала; напротив, при А>0 за поверхностью S по мере распространения этой поверхности будет происходить разгрузка. Знание того, какое именно из условий — нагружение или разгрузка—имеет место, существенно для правильного использования параметра пластичности Р, так как последний зависит от углового коэффициента кривой эффективное напряжение—эффективная пластическая деформация Ое(£^). При нагружении этот параметр определяется выражением Р = = 3ц/а^ 4-1 +3ц/а^,= в котором 卩 есть второй коэффициент
Ламе (первый коэффициент обозначается через 入)，тогда как в случае разгрузки параметр Р должен автоматически обращаться в нуль, поскольку при разгрузке материал ведет себя как упругий. Для используемых здесь уравнений состояния материала (материал считается однородным и изотропным в упругой области, а его поведение в пластической области определяется критерием текучести Мизеса и законом течения
Рис. 1. Геометрия сингулярной поверхности.
В плоскости Q лежит вектор е» единичной нормали к S и вектор sg девиатора напряжений на Е. Ортогональная тройка вектора е», ех, е§ включает также единичный вектор ет, касательный к S, и единичный вектор ер, касательный к S и нормальный к Q.
Прандтля—Рейсса) параметр Р удобен, поскольку его значения изменяются от нуля (при упругом поведении) до единицы (при полностью пластическом поведении). В работах [5, 6] указаны другие параметры, которые полезны при исследовании труб или полупространств из упругопластического материала с изотропным упрочнением. „
Смысл других параметров, входящих в соотношение (1), таков: с%,' с^ и d — квадраты скоростей распространения соответственно упругих объемных волн, упругих волн сдвига и сингулярной поверхности, а величина 力2 = 1/2$叮s订一второй инвариант девиатора напряжений.
Рисунок 1 иллюстрирует векторы, входящие в соотношение (1). Помимо сингулярной поверхности S, здесь показана также плоскость Q, проведенная через векторы ev и s2. Далее, на линии пересечения Q и W вводится второй единичный вектор ет, касательный к S. Наконец, построение тройки единичных ортогональных векторов завершается путем проведения единичного вектора бинормали ep=eTXev.
Хотя на рис. 1 вектор 九 не показан, ясно, что его можно полностью описать в локальной системе координат, связанной
с S и содержащей нормальный, касательный и бинормальный единичные векторы:
Далее, поскольку вектор s^ можно представить в виде
sa=^ev+stex,(3)
то после подстановки выражений (2) и (3) в соотношение (1) и сравнения коэффициентов при единичных векторах 義, ет и ер получим следующие зависимости между компонентами векторов X и Sw：
А尸a尢，Ах = ЛХх,А = Р（—А他）0,万（С/С2）2 二（q/C2）2 入『万e/c；）2_］，А尸a尢，Ах = ЛХх,А = Р（—А他）0,万（С/С2）2 二（q/C2）2 入『万e/c；）2_］，⑷(5)⑹ ⑺⑷(5)⑹ ⑺D =D =~ \lk T I Г.(C/C2)2—(C1/C2)2」十 L《7C2)2—1~ \lk T I Г.(C/C2)2—(C1/C2)2」十 L《7C2)2—1(8)⑼(8)⑼
А尸a尢，
Ах = ЛХх,
А = Р（—А他）0,
万（С/С2）2 二（q/C2）2 入『万e/c；）2_］，
А尸a尢，
Ах = ЛХх,
А = Р（—А他）0,
万（С/С2）2 二（q/C2）2 入『万e/c；）2_］，
⑷(5)⑹ ⑺
⑷(5)⑹ ⑺
D =
D =
~ \lk T I Г
.(C/C2)2—(C1/C2)2」十 L《7C2)2—1
~ \lk T I Г
.(C/C2)2—(C1/C2)2」十 L《7C2)2—1
(8)
⑼
(8)
⑼
Зависимости (4) — (9) показывают, что амплитуда Л вектора 1 пропорциональна величине —А, причем при положительном значении Л будет выполнено условие отрицательности величины А, т. е. условие непрерывного нагружения среды, первоначально находившейся в состоянии покоя, за поверхностью £.
Ввиду линейности соотношения (1) относительно компонент А”, Лт и Ар вектора 入 возможны три значения величины с2. Впервые об этих трех значениях с сообщалось в работе [7] в связи с исследованием распространения плоских волн в упругопластических средах. Значения с2 и соответствующие им векторы 九 определяются выражениями [2, 4]:
J = c^(10)
入=Арер,(11)
С；/ s=il2C2 {[(^1/^2)2+1 —^(5s/^)2] 土
士 Н9/С2)2—1—Р(&/硏2 + 4[9/c2)2_1]P(sJ©2},
(12), (14)
% = (А©+А4)“(13), (15)
Первая скорость (10) совпадает со скоростью распростране-
ния упругих волн сдвига, а соответствующий ей вектор X направлен по нормали к плоскости Q. Для упругого материала (Р=0) это решение представляет волну типа SH.
Две другие скорости распространения волн (быстрая q и медленная 点)не превышают соответственно значений q и с?. Соответствующие этим скоростям векторы к лежат в плоскости Q. При Р=0 эти решения представляют волны типа Р и SV. Так как &计0$ при Р；#=0, то можно видеть, что влияние пластических деформаций приводит к расщеплению волн сдвига двух типов SH и SV. Соответственно должно упрощаться распознавание связанных с этими скоростями движений, характеризуемых в данном случае векторами Х2 и Xs.
Свойство взаимной ортогональности векторов 九 впервые было продемонстрировано в работе [2] (а для скачков [v]— в работе [4]). Доказательство этого свойства вытекает из того, что соотношение (1) можно переписать в виде
АХ = сл. (16)
Кроме того, путем перемножения зависимостей (12) и (14) можно получить следующие дополнительные соотношения, которые будут полезны в дальнейшем:
[份/，2)2-(С1/，2)21 ]&/，2)2 -(3/，2)2] = [9他f一 1 ] p&他К (ь) [同。2)2 - 1] 3他)2 - 1]= - [9◎)2 — 1]00他)2 ・
(18)
Анализ этих соотношений показывает, что быстрая и медленная скорости достигают своих максимальных значений, равных соответственно ci и с*2, в том случае, когда нормальная и тангенциальная компоненты вектора девиатора напряжений обращаются в нуль. При таком частном виде напряженного состояния среда ведет себя как упругая с соответствующими скоростями распространения волн.
на поверхности раздела должны накладываться не только на сами функции, но и на их производные по времени. Поэтому необходимо составить выражения для скачков производных по времени от векторов скорости и напряжения на фронтах падающей и отраженных волн с тем, чтобы обеспечить равенство суммарных вкладов этих скачков по обе стороны от поверхности раздела.
Выражения для скачков производных по времени от компонент вектора скорости нетрудно получить при помощи условия совместности для производных по времени, записанного на поверхности S [3]: •
& (19)
Здесь первое слагаемое в правой части представляет те изменения во времени скорости 少厶 которые будут регистрироваться наблюдателем, движущимся вместе с поверхностью S. Однако при анализе разностей в значениях Vi при переходе через S оказывается, что если сама скорость з при переходе через S оказывается непрерывной, т. е. если волна является слабой, то этот член обращается в нуль. С учетом этого обстоятельства (которое согласуется с соотношением (1)) можно переписать (19) в разностной форме:
Ы =-[象](20)
Здесь квадратными скобками обозначена операция вычисления разности между значениями соответствующей величины впереди и позади движущейся сингулярной поверхности, так что [Уг]= (^г) + —(S)- (как показано на рис. 1, поверхностьS движется в положительном направлении). Равенство (20) можно записать в векторной форме:
Н = -Хс, (21)
иллюстрирующей линейную зависимость между рассматривавшимся в работе [4] скачком производной по времени от вектора скорости и нормальным градиентом скорости, рассмотренным в работах [1—3] и в настоящей работе.
Вывод соотношения для скачка производной по времени от вектора напряжений оказывается несколько более длинным. Будем исходить из кинематических соотношений и из уравнений состояния упругопластического материала, подчиняющегося условию текучести Мизеса и закону течения Прандтля—Рейсса:
羽一%(q,j+勿/)=0»羽一%(q,j+勿/)=0»(22>(22>
羽一%(q,j+勿/)=0»
羽一%(q,j+勿/)=0»
(22>
(22>
以厂点"•一生写气=。，
(23)
(24)
ekk〜"—
3人+ 2步
6厂"j + "ij (%"3)= 0,
(25)
岳厂d j十^) (%⑶=0.
(26)
Вначале мы в соотношениях (23) исключим компоненты производной по времени от девиатора напряжений s订 при помощи соотношений (26), а затем при помощи (24) исключим производные по времени от гидростатического напряжения 0丸丸/3. Наконец, исключив при помощи (22) производные по времени от компонент девиатора деформаций е^ и от гидростатических деформаций 8^/3, придем в конце концов к следующему соотношению для компонент тензора скоростей изменения напряжений:
'^-=(^> 与P^^-Sij- (27)
Компоненты вектора напряжений, действующего на поверхности S с единичной нормалью п = п;е；, определяются выражением 0^ =。订几小 Поэтому после умножения (27) на nj и выполнения указанных операций суммирования получим следующие выражения для компонент производных по времени от соответствующего вектора напряжений:
=(% j+Чм)九/+%与勿,左一Р 72r CDs (28)
(индекс S при Of и Si относится к той поверхности, на которой действуют эти векторы). Правая часть соотношения (28) содержит производные компонент Vi вектора скорости по пространственным координатам. Поэтому необходимо воспользоваться условием совместности, которое соответствует условию (19) и которое относится к производным по координатам поверхности В и t и но нормальной координате v:
等〜 (29)
(нормальное, тангенциальное и бинормальное направления см. на рис. 1). Составим разность значений, принимаемых выражением (28) при переходе через поверхность S. С учетом
условий (29), а также с учетом непрерывности функций dvj/d^ и dvi/d% при переходе через S для случая слабых волн получим
1a介]s= (v#j) % + (3j) » + [(3/C2)2 —2](入川)％十
+P(—A候)(&/%• (30)
Здесь отношение коэффициентов Ламе 九/卩 заменено эквивалентной ему величиной (白/從尸一2 и использовано тождество
[srsers] = srs [ers] = A, где А — скачок производной по времени от работы. В векторной форме соотношение (30) записывается так:
[%s/M = e • и)入+(入• n)ev + [(f1/c2)2-2]Avn+
+ Р(—А他)(Ss他)•(31
При необходимости можно исключить отсюда 九 при помощи соотношения (1). Тогда получим зависимость скачка производной вектора напряжений от единичных векторов нормалей и от векторов напряжений на поверхностях W и S. В том частном случае, когда поверхности W и S совпадают, соотношение (31) принимает вид
[^/Л = ^+[(^2)2-П(32)
Объединив соотношения (32) и (1), получим
d — c?==с2{[(МУ—1]а© + Р，Х~^)}.(33)
Таким образом, скачок производной по времени от вектора напряжений, имеющий место при переходе через поверхность S, можно выразить через векторы ev и s2 так же, как это было сделано для вектора 九.При необходимости можно записать выражения для проекций вектора [gz] на направления V, т и р, подобно тому как в разд. 1 были составлены выражения для проекций вектора X.
УСЛОВИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА
Рассмотрим фронт волны, представленный сингулярной поверхностью Si. Волна падает на поверхность S, разделяющую две упругопластические среды с различными свойствами. На основании известных результатов анализа распространения упругих волн мы постулируем существование двух отра-
женных и двух преломленных волн, необходимых для удовлетворения граничных условий на поверхности раздела. Случай падающих волн типа SH (。2 =。^, Х=Л^ер) рассмотрен в работах по распространению упругих волн (см., например, [8]). Поэтому будем рассматривать падающие волны типа Р или SV (с2=с$ $ , Ху, s= (Avev+AxeT)/; s). Как и при отражении и преломлении волн в упругих средах, падающим волнам
Фронты преломленным волнФронты преломленным волнФронты отраженных волнФронты отраженных волнФронт падающей волныФронт падающей волныРис. 2. Фронты падающей, отраженных и преломленных волн на поверхности раздела S.Рис. 2. Фронты падающей, отраженных и преломленных волн на поверхности раздела S.
Фронты преломленным волн
Фронты преломленным волн
Фронты отраженных волн
Фронты отраженных волн
Фронт падающей волны
Фронт падающей волны
Рис. 2. Фронты падающей, отраженных и преломленных волн на поверхности раздела S.
Рис. 2. Фронты падающей, отраженных и преломленных волн на поверхности раздела S.
Через е v и ег обозначены единичные векторы нормалей соответственно к фронтамволн и к поверхности раздела.
типа Р (быстрой) и типа SV (медленной) будут соответствовать две отраженные волны с фронтами Sy, Ss и две преломленные волны с фронтами S/, 2$，. На рис. 2 показаны фронты этих волн и поверхность раздела, причем для всех поверхностей используется локальное их представление при помощи касательных плоскостей. Плоскость чертежа рис. 2 совпадает с плоскостью Q, показанной на рис. 1, так что она перпендикулярна к £?. Через ег обозначен вектор единичной нормали к S.
Так как на каждом из волновых фронтов S допускаются скачки производных, то необходимо составить следующие условия непрерывности скорости и вектора напряжений на поверхности S (второе из этих условий означает идеальное скрепление двух сред вдоль поверхности раздела типа сварного соединения):
[v]r=[v]z+[vb+[v]5= (34)
=[v]尸 +[v]b, (35)
[к] 7= [^Ji+[o>s]/+ [Ss]s = (36) =Rs]/，+ bs]s，・ (37)
Здесь штрихи относятся к отраженным волнам. Подставив выражения (21) и (31) для скачков на каждом из фронтов, получим два векторных уравнения (соответствующих четырем скалярным уравнениям в плоскости Q относительно восьми неизвестных: четырех амплитуд Л (или —А) отраженных и преломленных быстрых и медленных волн и четырех углов наклона 0 фронтов этих волн (см. рис. 2). Необходимые дополнительные соотношения получаются из условий синхронизации проекций скоростей* волновых фронтов S на поверхность раздела S (закон Снелла):
(38)-(42)
где сн — скорость вдоль s, а индексы при с относятся к соответствующим фронтам волн. Единичный вектор з лежит в плоскости S и направлен так, что выполняется условие ^vt * е]>*0.
ОТРАЖЕНИЕ ОТ ЖЕСТКОЙ И СВОБОДНОЙОТ НАПРЯЖЕНИЙ ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЫ
Для иллюстрации применения приведенных выше соотношений рассмотрим отражение быстрых или медленных волн от плоской поверхности раздела S в упругопластической среде, первоначально находившейся в состоянии покоя с начальными напряжениями, направленными параллельно S. Поверхность раздела может быть либо жесткой, либо свободной от напряжений. Для расчета амплитуд волн, отраженных от S, необходимо вначале в качестве промежуточного шага определить зависимость скоростей распространения быстрых и медленных волн и соответствующих скачков нормального градиента скорости от угла падения. Соотношения, необходимые для расчета этих зависимостей в случае начальных напряжений, параллельных поверхности раздела, представлены в приложении А, а некоторые результаты вычислений показаны на рис. 3. В расчетах задавалось значение отношений скоростей упругих волн, равное(Ci/f2)2 = 4 (что соответствует коэффициенту Пуассона 7з), а значения параметра пластичности Р варьировались от нуля (упругое состояние) до единицы (полностью пластическое состояние). На рис. 3 приведены
графики значений скоростей распространения волн для этих двух предельных значений параметра Р.
Анализ рис. 3, а, относящегося к быстрой волне (типа Р), показывает, что при Р>0 величина (с//)； вначале возрастает
от н/з при 0=0 до 4 при 0 = агс sin (1/旷3), а затем уменьша-
Р и с. 3. Зависимость скорости распространения волн и соответствующего скачка градиента скорости от угла падения для среды с одноосным начальным напряженным состоянием.
а — падающая волна быстрая; 6 — падающая волна медленная; распространяются падающие волны в положительном направлении; сплошными стрелками показаны векторы Л/Л, пунктирными — векторы s^/k.
такой ориентации поверхности 2, когда $” = 0 (см. соотношение (17)). Иной характер зависимости от угла падения обнаруживает медленная волна (типа SV). Как видно из рис. 3,6, ее скорость распространения максимальна ((с/с2)^=1) при 6 = 0, затем она уменьшается, потом начинает возрастать и наконец при 8 =冗/2 достигает своего «первоначального» (соответствующего углу 6 = 0) значения. Углам падения 0 = 0 и 0=л/2, при которых cs = C2, согласно (18), соответствует равенство St = 0.
На рисунке схематически показаны векторы 九.Видно, что волны ведут себя, как волны типа Р или типа SV, поскольку вектор Ху остается почти нормальным к S, а вектор Xs — почти параллельным S. Пунктиром здесь показаны также векторы девиатора напряжений s2. Следует отметить, что ориентация вектора 九 относительно s2 обеспечивает выполнение неравенства A=Sw •九 v0, согласно которому скорость изменения во
времени работы перед фронтом волны должна быть больше, чем за фронтом. При разгрузке направление вектора 九 должно быть противоположным.
Рассмотрим сначала отражение от жесткозакрепленной поверхности раздела. Чтобы выразить амплитуды скачков производных по времени от скоростей через амплитуду падающей волны, воспользуемся соотношениями (2), (21) и (34) при ［句т=0：
+《А$(〈е”+и)$ = 0・(43)
Фронт падающей волны соответствует нагружению, причем падающая волна может быть либо быстрой, либо медленной (Р или SV); мы рассмотрим оба варианта. Компоненты каких-либо величин в отраженных волнах, соответствующие направлению ер, отсутствуют ввиду отсутствия компонент А^ в падающей волне.
Учитывая, что вектор
之入―©+<%(44)
есть единичный вектор в направлении 九，перепишем (43) в обычных координатах ei, е2 (подробности см. на рис. 2):
勿& (6iei + 62e2%+c/A/(6iei + 62e2)/+
十队(6代1+62e2)$=0.(45)
Здесь величины &i и 62 находятся путем скалярного умножения соотношения (44) соответственно на е【и ег：
61 = 士入，5,(46)
b^^-^.(47)
Из решения системы двух скалярных уравнений, эквивалентных векторному соотношению (45), с учетом тождества (20) получаем отношения величин скачков производных от скоростей в отраженных и падающей волнах:
(48)(49)(48)(49)历】/ =Ь\1® — 61sb22
(48)
(49)
(48)
(49)
］6 ］i 办/62S - 61s62/
［方 Is _^1/^22 -办协2/
［力b、fb2s - &/2/
Так как углы наклона фронтов быстрой и медленной отраженных волн зависят от угла фронта падающей волны согласно соотношениям (38), (39), то можно получить зависимость отношений (48), (49) от угла падения. Результаты соответствующих вычислений (подробности этих вычислений см. в приложении Б) представлены на рис. 4 для случаев быстрой и медленной падающих волн и значений Р, равных нулю (упругое состояние) и единице (полностью пластическое состояние).
При проведении вычислений осуществлялась проверка состояния нагружения (или разгрузки) с тем, чтобы удостовериться в правильности рассматриваемой комбинации падающей и отраженных волн. Проверка заключалась в определении знака отношения (—А/—&), где —А есть сумма скачков производных по времени от работы на всех фронтах волн, прошедших через рассматриваемую точку, а —Аг есть скачок производной от работы на фронте падающей волны. Условие sign (——△/——Af)№ рассматривалось как условие непрерывного нагружения (Р=/=0), а условие sign (—А/—А° v <0 — как условие разгрузки (Р = 0). На рис. 6 приведен закон изменения производной по времени от работы в точке, расположенной непосредственно под поверхностью твердого тела, в том случае, когда прохождение каждой из волн приводит к возрастанию отношения (—А/—А/
Возвращаясь к рис. 4, а, видим, что в случае падающей волны типа Р влияние пластических деформаций приводит к уменьшению амплитуды отраженной волны типа Рик увеличению амплитуды отраженной волны типа SV. Когда величина угла падения переходит через значение 0r=arc sin (1/丫3), происходит смена знака отраженной волны типа SV. Однако эта смена должна быть связана с падающей волной, так как при таком 0 происходит смена знака нормальной компоненты вектора девиатора напряжений на фронте падающей волны (см. рис. 3, а). Чтобы падающая волна была волной нагрузки, необходимо также, чтобы произошла смена знака соответствующего скачка нормального градиента скорости.
Рисунок 4, 6 иллюстрирует зависимость отношений амплитуд от угла 0г для случая, когда падающая волна есть волна типа SV. Видно, что наличие пластических деформаций приводит к уменьшению амплитуды отраженной волны типа SV и к увеличению амплитуды отраженной волны типа Р. Кроме того, критический угол падения (при превышении которого слабые волны не могут сами по себе удовлетворить граничным условиям на жесткой поверхности) оказывается сниженным от значения 0се = arc sin V2 = 30°, соответствующего упругим средам, до значения 0ci^22,5°. Наконец, смена знака
12 Заказ № 169
Р и с. 4. Зависимости относительных амплитуд скачков временной производ-ной от скорости от угла падения быстрой (а) или медленной (6) волн нажесткозакрепленную поверхность раздела.
55
5
5
Р и с. 5. Зависимости относительных амплитуд скачков временной производ-ной напряжения от угла падения быстрой (а) и медленной (6) волн на сво-бодную от напряжений поверхность раздела.
отраженной волны типа Р происходит при величине угла падения, значительно меньшей 0Г. Однако этот угол в действительности соответствует углу я ——0Г наклона фронта отраженной волны типа Р, и смена знака опять-таки связана ©о сменой направления нормальной компоненты вектора девиатора напряжений, действующего на поверхности Sy.
Наконец, были проведены расчеты отражения волн от поверхности, свободной от напряжений. Так как соотношение
Рис. 6. Закон изменения скачков производных по времени от работы.
связано со сложением скачков скоростей изменения напряжений на фронтах падающих и отраженных (быстрой и медленной) волн, то удобнее вначале переписать соотношение (31) для произвольного фронта:
= a (0向+好2),(50)
где
% = & cos 0+^2 sin 6,(51)
02=262 cos 8+[(e1伍)2 - 2]入У - 1/0]/^.(52)
При выводе этих зависимостей использовано соотношение s§/^=—е2/уЗ, а также соотношения (6) — (9), (46), (47) и результаты, приведенные в приложении А.
В задаче об отражении от поверхности, свободной от напряжений, записываем соотношение (36), в котором [闆丁 = 0. В результате приходим к следующей системе двух скалярных уравнений, аналогичной системе (48), (49):
* =— q\iq2s-q\遡L,(53)
AiQlfQ2s — QlsQ2f'
A6=_怨竺二也竺.(54)
A?01/025 一 处$02/ ♦
Наибольший интерес представляет величина скачка скорости изменения напряжений в отраженной волне, поэтому введем амплитуду
[^/t1]= ^Q>(55)
0三，统十死(56)
и вычислим относительные амплитуды производных по времени от напряжений:
^fQfl^iQi t(57)
[o]s/[o]j = А§ 柒/А?%.(58)
На рис. 5 приведены результаты этих вычислений. Видно, что когда падающая волна есть волна типа Р, то величины этих отношений в случае полностью пластического материала опять-таки мало отличаются от величин, соответствующих чисто упругому материалу. Отметим, что амплитуда скачка производной по времени от напряжения на фронте отраженной волны типа Р имеет противоположное направление по отношению- к амплитуде падающей волны такого же типа; такой характер поведения типичен для случая отражения от свободной поверхности. Когда падающая волна есть волна типа SV, то зависимость скачка временной производной напряжения от угла падения повторяет (если не считать ожидаемой смены знака) проиллюстрированную на рис. 4 зависимость скачка производной от скорости. При вычислениях, результаты которых отражены на рис. 5, осуществлялась проверка знака скачка производной от работы так же, как и при построении кривых на рис. 4.
ОБСУЖДЕНИЕ
В связи с рис. 4 и 5 необходимо подробнее остановиться на двух характерных особенностях. Речь идет о смене знака амплитуд одной из отраженных волн, когда угол падения превышает некоторое значение 仇(«угол смены》)，и об исчезновении решений в виде сингулярных поверхностей при превышении критического значения 0С угла падения. Обе указанные особенности можно более подробно пояснить с помощью рис. 3 и 9.
Как отмечалось в предыдущем разделе, смена знака отраженной волны (переход от волны нагружения к волне разгрузки и наоборот) происходит при достижении такого состояния, когда нормальная компонента вектора девиатора напряжений на фронте отраженной волны обращается в нуль.
Так как условием нагружения является неравенство —А>0, то при соответствующем значении угла (0^0, 2л; см. рис. 3, а) вектор X/ в случае падающей волны типа Р будет менять знак, хотя для вектора 九s волны типа SV мы такого эффекта не обнаруживаем. Как видно из рис. 4, а и 5, а, когда угол падения превышает значение 6Г, этой смене знаков падающей и отраженной волн X/ должна соответствовать такая отраженная волна типа SV, которая является волной разгрузки в случае жесткозакрепленной поверхности раздела и волной нагружения в случае свободной поверхности. Напротив, в случае падающей волны типа SV менять знак при отражении будет волна %/, а не 九s・ Из рис. 9 видно, что эта смена знака наступает при величине угла падения 9^0,08л. В отличие от угла смены при быстрой падающей волне в этом случае наблюдаются небольшие различия в значениях 0г, соответствующих чисто упругому материалу (Р=0) и полностью пластическому материалу (Р=1)； об этом свидетельствует《расщепление》 вертикальных прямых на рис. 4, 6 и 5, 6.
Как уже говорилось в предыдущем разделе, критические углы 9С отвечают такой ситуации, когда никакая суперпозиция амплитуд отраженных быстрых и медленных волн вместе с амплитудой падающей волны не дает возможности удовлетворить граничным условиям (34) — (37) на жесткой или свободной поверхности. Когда падающая волна является быстрой, то в случае упругих сред (Р=0) критический угол падения существует, и при выбранных значениях параметров (с：/с^ = 4) 0со = arc sin 1/2=30°. В случае полностью пластического материала (Р== 1) рис. 9 показывает, что при жестком соединении на границе раздела критический угол уменьшается до величины 8以^22,5°; в этом случае отраженная быстрая волна является волной разгрузки. Аналогичное значение 6ci получается и при свободной от напряжений границе раздела. При уменьшении величины параметра Р до нуля критические углы, соответствующие двум указанным типам границ, возрастают и приближаются к критическому углу упругого тела, равному 30°.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Соотношения (34) — (37) представляют условия непрерывности напряжений и скоростей на поверхности раздела в тех случаях, когда падающие, отраженные и преломленные волны характеризуются скачками первых производных от указанных переменных. Так, в рассмотренном в разд. 5 примере амплитуды относятся к значениям скачков именно этих производных первого порядка. Если, однако, производные первого порядка
непрерывны, то соотношения (34) — (37) и последующие результаты остаются справедливыми, но они будут относиться к производным низшего порядка, претерпевающим разрывы при переходе через фронт волны. Таким образом, рассмотренные частные числовые примеры иллюстрируют некоторые довольно общие явления. В частности, при падении волн в пластически деформированном теле на жесткозакрепленную или на свободную от напряжений поверхность отражение волн будет происходить не так, как в случае упругого тела. В пластически деформированном теле критический угол падения — угол, при превышении которого обычные условия непрерывности напряжений и скоростей не могут быть удовлетворены юдними лишь слабыми волнами, — оказывается меньшим, нежели в упругой среде. Поэтому представляется вероятным, что для удовлетворения условий непрерывности при углах падения, больших критического, необходимо привлечь решение, описывающее «пластическую поверхностную волну》. Существуют и другие возможности: возбуждение на поверхности раздела простых бегущих волн или возникновение сильной волны со скачками скорости и напряжения. Решения такого типа оказались необходимыми при исследовании равномерно нагруженного упругопластического полупространства [9] и при анализе действия продольных и крутильных нагрузок на полую трубу [10].
Ясно, что в любой конкретной задаче с начальными и граничными условиями эти результаты должны быть дополнены более подробным анализом. Установленные здесь факты были приведены лишь для того, чтобы привлечь внимание исследователей к тем сложностям, которые возникают на границах упругопластических сред.
ПРИЛОЖЕНИЕ А. РАСЧЕТ СКОРОСТЕЙ РАСПРОСТРАНЕНИЯВОЛН И СООТВЕТСТВУЮЩИХ СКАЧКОВ ГРАДИЕНТА СКОРОСТИВ СРЕДЕ С ОДНООСНЫМ НАЧАЛЬНЫМ НАПРЯЖЕННЫМСОСТОЯНИЕМ
Пусть в среде существует одноосное начальное напряженное состояние, такое, что напряжение о。действует в направлении 白(см. рис. 7). Тогда компоненты тензора напряжений в системе координат 打，％2, %з будут
5i=oo, “/ = 0 при Z, /方1 или i^j. (59) — (64)
Среднее напряжение, компоненты девиатора напряжений и
второй инвариант из их определения (26) будут такими:
味/3 = 0о/3, Sh=2oo/3, S22 = S33=—Оо/З,
e又 22/о(65) 一(69)
Sij = O, t '=^= J、巾=о()/3.
Рис. 7. Направление действия начального напряжения а。.
Рассмотрим плоский фронт волны S с единичной нормалью 备,которая составляет угол 0 с единичньш вектором ег (см. рис. 8). Так как
ev = 5 sin 0十©2 cos 0,(70)
J = 5 cos 9 —e2sinO,(71)
Рис. 8. Ориентация поверхности W относительно еь е2.
то компоненты вектора девиатора напряжений на поверхности S определятся выражениями (s。工=s订v；, или
(邑)工=S1M+$2V2+必3”= (2oo/3) sin 0,(72)
(S2)e = S2M+S22y2 + $23”= 一 8o/3) COS 9,(73)
($3% = $3屮1+$32У2+S33У3 = 0.(74)
Следовательно, вектор напряжений на S представляется так:
ss = 9о/3) (2е〔 sin 6 —е2 cos 9).(75)
Компоненты Sv и sT этого вектора можно найти, вычислив
скалярные произведения выражения (75) на (70) и (71):
\ = (^о/3) (3 sin2 9-1),(76)
St = o()siii 9 cos 9.(77)
В безразмерной форме выражения (76) и (77) можно с учетом равенства (69) переписать следующим образом:
^ = (1//3)(3sin29~l),(78)
sx/^ = ]/3sin9cos9.(79)
Эти последние выражения подставляются затем в соотношения (12), (14), приведенные к безразмерному виду, после чего нетрудно рассчитать зависимость величины (с/с2)2 от угла 0 при заданных значениях параметров (ci/сг)2 и Р. В настоящей работе были заданы значения (仃/02产=4 (что соответствует у = '/з) и 尸=0 или Р=1. Результаты вычислений лредставлены на рис. 3.
Соответствующие скачки нормального градиента скорости можно найти при помощи соотношений (2)，(4) — (9), положив Ар = 0. После этого можно в явном виде получить зависимость величины 九/А от угла 6, воспользовавшись зависимостями (70), (71), (78), (79), (12) и (14) для (ev,既)，(sj財 sx/k) и (с/с?)?. Результаты этих вычислений представлены на рис. 3 для интервала 0W8Wn/2.
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. РАСЧЕТ СКАЧКОВ ВРЕМЕННОЙПРОИЗВОДНОЙ ОТ СКОРОСТИ НА ФРОНТАХОТРАЖЕННЫХ МЕДЛЕННОЙ И БЫСТРОЙ ВОЛН
Указанные отношения амплитуд определяются выражениями (48), (49), которые следует дополнить зависимостями (38), (39), (46), (47). Выражения (38), (39) в безразмерной форме будут такими:
(80), (81)(80), (81)(以g)?_(c/q)7 _ (以02)： sin2 6/ — siMGj — sin2%
(80), (81)
(80), (81)
а зависимости (46), (47) с учетом равенств (70), (71) принимают вид
&==入* sin 叶儿 cos 我(82)
岳=Xv cos。一儿 sin 6.(83)
При проведении вычислений задавались угол 6г и скорость фронта падающей волны с^ или 点厶 определенная согласно (78), (79), (12), (14). Затем на основании равенств (80) и
(17), (18) находились углы наклона волновых фронтов и скорости распространения отраженных волн. При проведении вычислений оказалось полезным воспользоваться следующей промежуточной зависимостью для квадрата величины, обратной к Сн, т. е. к компоненте вектора скорости распространения волны в направлении действия начального напряжения:
(С"/02)т = sin2 叭 с/02)2.(84)
График этой функции показан на рис. 9; она зависит от 0
Рис. 9. Зависимость между углом падения и величиной, обратной квадрату скорости распространения волны в направлении действия начального напряжения (а — быстрая волна; 6 ——медленная волна).
и имеет два корня, соответствующих медленной и быстрой волнам. Как только 0/, s будут известны, можно, согласно (7) — (9), найти величины (^J/,s и (Xv)/,s при помощи зависимостей (78), (79), (12), (14). После этого можно в свою очередь вычислить (^i)/, s и (匕2)力 s, согласно выражениям (82), (83); подставив эти результаты (вместе с ①厶 &2г) в выражения (48), (49), найдем отношения амплитуд.
Список литературы
Janssen D. М., Datta S. К・° Jahsman W. Е., Propagation of weak waves in elastic-plastic solids, /. Meeh, and Phys. Solids, 20, 1—18 (1972).
Hill R., Acceleration waves in solids, /. Meeh, and Phys. Solids, 10, 1—16 (1962).
Chadwick P., Powdrill B., Singular surfaces in linear thermoelasticity,. Internat.丄 Engng ScL, 3, 561—595 (1965).
Mandel J., Ondes plastique dans un milieu indefini a trois dimensions, Journal Мёс., 1, No. 1, 3—30 (1962).
Lipkin J., Clifton R. J., An experimental study of combined longitudinal and torsional plastic waves in a thin-walled tube, Proceedings of the 12th International Congress of Applied Mechanics, Springer-Verlag, 1968, p. 292—304.
Goel R. P., Malvern L. E., Biaxial plastic simple waves with combined kinematic and isotropic hardening, /. A ppi. Meeh., 37, No. 4, Trans. ASM.E, 92, Ser. E, 1100—1106 (1970): русский перевод: Гоуэл, Малверн, Простые волны в двухосном пластическом состоянии при упрочнении с совместным переносом и расширением поверхности нагружения, Прикладная механика, № 4, 196 (1970).
Craggs J. W., Plastic waves, in “Progress in Solid Mechanics0, Vol. 2, Chapter IV, 1961..
Кольский Г., Волны напряжений в твердых телах, ИЛ, М., 1955.
Goel R. Р., Malvern L. Е., Elastic-plastic plane waves with combined compressive and two shear stresses in a half space, /. Appl. Meeh., 38, No. 4, Trans. ASME, 93, Ser. E, 895—898 (1971); русский перевод: Гель, Малверн, Плоские упруго-пластические волны в полупространстве под действием нормального и двух касательных напряжений, Прикладная механика, № 4, 179 (1971).
Ting Т. С. Т., On the initial slope of elastic-plastic boundaries in combined longitudinal and torsional wave propagation, /. Appl. Meeh., 36, No. 2, Trans. ASME, 91, Ser. E, 203—211 (1969); русский перевод: Тинг, О начальном наклоне упруго-пластических границ при распространении продольной волны, сопровождающейся деформацией кручения, Прикладная механика, № 2, 63 (1969).
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ВЫПУЧИВАНИЕАЛЮМИНИЕВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИПРИ ДЕЙСТВИИ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙИМПУЛЬСНОЙ НАГРУЗКИ 1)
Д. Л. Везенберг
ВВЕДЕНИЕ
В 1962 г. Абрахамсон и Гудьер [1] опубликовали первые данные о динамическом пластическом выпучивании круговых цилиндрических оболочек, подвергавшихся действию осесимметричных импульсов давления. Результаты экспериментов* показали, что средний радиус пластичной оболочки может заметно уменьшаться без наступления резкого выпучивания и， что при достаточно интенсивных импульсах давления возникает воспроизводимая периодическая форма пластического выпучивания. За последнее десятилетие опубликовано большое число работ о динамическом пластическом выпучивании конструкций, и за дальнейшей информацией читатель может обратиться к работам Гудьера [2] и Линдберга [3, 4].
Полный анализ динамического упругопластического выпучивания цилиндрической оболочки сложен, и для получения результатов в замкнутом виде или численного решения использовали определенные упрощения. Исследуя пластическое поведение оболочек средней толщины [1], принимали билинейную аппроксимацию зависимости между напряжениями и деформациями при малом модуле упрочнения. При таких допущениях выпучивание оболочки происходит лишь после того, как мембранные напряжения оказываются далеко в пластической области. Для весьма тонких оболочек [5, 6] упругий анализ динамического выпучивания справедлив, если ни в одной точке оболочки напряжения не достигают предела текучести в процессе выпучивания; такое ограничение справедливо при больших значениях отношения радиуса к толщине.
Данная работа заполняет разрыв между исследованиями выпучивания толстых и тонких оболочек. Средние остаточные перемещения между выпучинами и числа волн сравниваются с результатами расчетов на ЦВМ по программе, основанной на уравнениях Лагранжа и методе конечных разностей.
Wesenberg D. L., Elastic-plastic buckling of aluminium cylindrical shells subjected to axisymmetric impulse loads, Transactions of the ASME, 41, Ser. E, No. 4, 985—988 (1974).
Экспериментальные наблюдения хорошо согласуются с расчетами.
ЭКСПЕРИМЕНТ
Круговые цилиндрические оболочки подвергали воздействию кратковременных магнитных импульсов давления. Сжатие оболочек происходило в упругой стадии, а выпучивание — по высокочастотным упругопластическим формам. Номера форм выпучивания и средние остаточные* перемещения между гребнями выпучин измеряли при нескольких амплитудах импульса для трех групп оболочек с отношениями радиуса к толщине а/А=100, 200 и 300.
Магнитный импульс давления
Схема экспериментального устройства показана на рис. 1. Алюминиевый образец окружен поддерживающим его массивным телом, называемым нагрузочной катушкой. При помощи быстроразрядной батареи конденсаторов и устройства
Рис. 1. Схема нагрузочной катушки с цилиндрической оболочкой.
формирования импульса тока [7] в нагрузочной катушке создавали почти синусоидальный импульс тока ii. Ток ii индуцировал в алюминиевом образце ток 坛 и эти противоположно направленные токи нагружали цилиндр давлением
р«) =財也/2/2, (1)
где 卩一магнитная проницаемость пространства, а I — длина цилиндра. Как подробно показано в работе [8], токи ii и ii—办 измеряются при помощи трансформатора тока (витков Роговского), а зависимость давления от времени можно получить из уравнения (1). При данном экспериментальном оборудовании форма импульса была почти пропорциональна квадрату синуса, а его длительность составляла примерно 5 мкс — до-
статочно мало', чтобы нагружение можно было считать импульсным.
Измерения начальной скорости оболочки
Начальная скорость оболочки под действием идеального импульса должна 6j>iTb равна
0 = 〃р瓦⑵
Рис. 2. Регистрограмма движения средней части оболочки из алюминиевого сплава 6061-Т4 (也=0,254 мм, R = 50,8 мм) при действии равномерно распределенного импульса.
где / — импульс, h — толщина оболочки, р — плотность материала. В описываемых экспериментах оболочка ускорялась до максимального значения начальной скорости кратковременным импульсом давления. Эту скорость измеряли высокоскоростной полосовой кинокамерой (фоторегистратором), размещенной под углом 45° к внутренней поверхности оболочки для регистрации движения различных точек или световых пятен на стенке оболочки в виде непрерывных кривых расстояние— время. Широкая темная линяя на рис. 2 представляет собой движение чернильной метки на поверхности оболочки. Максимальная скорость стенки оболочки получена измерением максимального начального угла наклона кривой расстояние— время.
Цилиндрический образец
Для изготовления круговых цилиндрических оболочек были использованы цельнотянутые трубы из алюминиевого сплава марки 6061-Т4. Длина и наружный диаметр всех оболочек
ecs сзпнзх么dub-ecs сзпнзх么dub-Рис. 3. Кривые напряжение—деформация для алюминия 6061-Т4./ — динамическая кривая; 2 — статическая кривая.Рис. 3. Кривые напряжение—деформация для алюминия 6061-Т4./ — динамическая кривая; 2 — статическая кривая.
ecs сзпнзх么dub-
ecs сзпнзх么dub-
Рис. 3. Кривые напряжение—деформация для алюминия 6061-Т4.
/ — динамическая кривая; 2 — статическая кривая.
Рис. 3. Кривые напряжение—деформация для алюминия 6061-Т4.
/ — динамическая кривая; 2 — статическая кривая.
составляли 101,6±0,13 мм, толщины стенок были 0,508± ±0,0254, 0,254±0,0254 и 0,170±0,0254 мм. Оболочки с этими тремя толщина образовали три группы с отношениями радиуса к толщине 100, 200 и 300.
Алюминиевый сплав 6061-Т4 обладает некоторой чувствительностью к скорости деформации. Несколько образцов растягивали с возрастающими скоростями, и было отмечено, что кривая напряжение—деформация остается неизменной после 0,15 c~i. Статическая кривая напряжение—деформация и кривая, соответствующая скорости 0,15 с-1, показаны на рис. 3.
Измерения остаточных перемещений и числа волн
Для регистрации начала образования выпучин на нескольких образцах была применена скоростная покадровая киносъемка. Типичным примером является приведенная на рис. 4 кинограмма покрытого сеткой участка оболочки. Измерения
Рис. 4. Покадровая кинограмма оболочки с /г=0,254 мм, R = 50,8 мм при действии равномерно распределенного импульса 30,0 Па • с (промежуток между кадрами 8 мкс).
соответствующего каждой оболочке числа волн при выпучивании были выполнены в различные моменты времени. Для этого подсчитывали число выпучин на покрытом сеткой секторе. Поскольку линии сетки располагались через 2,54 мм и геометрия оболочки была известна, можно было определить среднее число выпучин на всей поверхности.
.Были измерены также числа волн выпучивания после испытаний, а также средний прогиб w между гребнями выпу- чин. Числа волн в начале выпучивания и после окончания испытания хорошо согласуются между собой, что указывает на отсутствие изменений числа волн в процессе упругопластического выпучивания.
АНАЛИЗ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ВЫПУЧИВАНИЯ
После цифровых отсчетов тока в цепи батареи 厶 и тока в оболочке，2 полученные значения перемножались. Затем производилось интегрирование по всему времени, в течение которого длился импульс давления; таким образом находилась максимальная скорость стенки оболочки (см. [8]). Затем начальная скорость стенки оболочки использовалась как исходная величина для вычислений по программе динамического расчета упругопластических геометрически нелинейных колец UNIVALVE [9]. Программа UNIVALVE основана на теории малых упругопластических деформаций в сочетании с механической моделью разбиения на слои. Как описано в работе [10], модель состоит из ряда упруго-идеально-пластических элементов с нулевым модулем упрочнения, соединенных вместе так, чтобы имитировать динамическую кривую напряжения—деформации, показанную на рис. 3. Использовалась поверхность текучести кинематического типа, а также учитывался эффект Баушингера в чистом виде.
Программа была видоизменена таким образом, чтобы учесть влияние начальных геометрических несовершенств формы
Г оо
R=R 1+ 2 (McosM+isin/^)], (3) L 〃 = 2
где R — постоянный средний радиус оболочки, ап и &п —безразмерные отклонения от среднего радиуса. Однако наблюдения после испытаний нескольких оболочек, потерявших устойчивость, показали, что выпучины были равномерными и периодическими. Это показывает, что в процессе выпучивания выделялась и усиливалась определенная форма несовершенств. Следовательно, выражение (3) можно упростить:
R=R [1+алcosnO], (4)
где п — число волн геометрических несовершенств. Типичный график зависимости остаточных перемещений между гребнями выпучин от числа волн приведен на рис. 5. График показы-
вает, что чувствительность оболочки к потере устойчивости заметно возрастает в окрестности 几= 35〔). Исследовались оболочки всех трех толщин, и форма выпучивания с 30&几&35 оказалась критической в широком диапазоне значений импульсов. Оболочкам с 九=0,508 мм соответствовала наиболее низкая форма с 〃 = 30, а самым тонким оболочкам с 九= = 0,170 мм — форма с п=35.
Рис. 5. Максимальные остаточные перемещения между гребнями выпучин в зависимости от критического числа волн при выпучивании; 7? = 50,8 мм, 九=0,254 мм.
Величина амплитуды радиальных возмущений определялась непрерывными метрологическими измерениями изменения радиуса по окружности для каждой цилиндрической оболочки. Каждая полученная таким образом линия анализировалась с тем, чтобы получить в результате амплитуды несовершенств при числах волн 30&〃&35. Эти измеренные амплитуды несовершенств, находившиеся в диапазоне от 0,00762 до 0,0127 мм, были -затем взяты в качестве исходных данных для расчетов по программе UNIVALVE.
1)Подробное обсуждение смещений такой кривой при различных уровнях импульса дано в работе [10].
13 Заказ № 169
РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВ И СРАВНЕНИЕС РАСЧЕТАМИ
Результаты описанных здесь экспериментальных и теоретических исследований приведены в табл. 1. Амплитуды импульсов получены по измерениям тока и с помощью уравнения (1), а также по измерениям скорости стенок оболочки на основе скоростной/ фотор егистрации, котор ые приводили к значениям импульса при помощи выраже-
Р и с. 6. Остаточные перемещения между гребнями выпучин в зависи-Р и с. 6. Остаточные перемещения между гребнями выпучин в зависи-мости от приложенного импульса для оболочек из алюминия 6061-Т4 с h —= 0,254 мм, R=50,8 мм. теория, О экспеРимент,мости от приложенного импульса для оболочек из алюминия 6061-Т4 с h —= 0,254 мм, R=50,8 мм. теория, О экспеРимент,ния (2). При больших значениях импульса полосы на регистрограмме имели начальный прямолинейный участок, угол наклона которого (максимальную скорость) можно было достаточно легко измерить. Однако при низких уровнях импульса кривая время—расстояние непрерывно менялась в функции времени; скорость оболочки в этом случае находилась при помощи цифровых отсчетов и дальнейшего дифференцирования данных для соответствующей кривой.
Р и с. 6. Остаточные перемещения между гребнями выпучин в зависи-
Р и с. 6. Остаточные перемещения между гребнями выпучин в зависи-
мости от приложенного импульса для оболочек из алюминия 6061-Т4 с h —
= 0,254 мм, R=50,8 мм. теория, О экспеРимент,
мости от приложенного импульса для оболочек из алюминия 6061-Т4 с h —
= 0,254 мм, R=50,8 мм. теория, О экспеРимент,
Импульс, найденный по измерениям тока (который хорошо согласуется с измерениями по результатам фоторегистрации) , использовался в качестве исходной величины для расчетов по программе UNIVALVE. Для каждой цилиндрической оболочки рассматривались
динамическое поведение, выпучивание, пластическое деформирование и, наконец, затухание к остаточной деформированной форме. Среднее перемещение w между выпучи- нами показано графически на рис. 6 в виде зависимости от импульса при 九=0,254 мм. Были получены линии контура вдоль окружности для каждой оболочки после испытания
Данные испытаний и расчетов
力，
мм
№
Импульс по регистрации тока, Па • с
Импульс по киносъемке, Па ♦ с
a®/九，
теория
Aw/力， эксперимент
Число ВЫ-
пучин, эксперимент
1
40,8
41,0
0,70
0,80
31
2
38,5
—
0,40'
0,37
30
3
36,0
35,0
0,35
0,20
30
4
34,5
33,8
0,32
0,20
30
0,508
5
32,0
31,6
0,30
0,15
30
6
31,8
30,9
0,30
0,15
30
7
26,3
—
0,20
0,12
28
8
26,5
—
0,18
0,12
28
9
18,5
20,2
0,10
0,10
27
10
28,0
29,0
4,40
4,40
34
11
28,3
—
3,60
3,60
34
12
23,0
23,2
1,90
2,00
33
13
23,2
—
1,91
1,41
32
14
18,5
15,8
0,92
0,90
32
0,254
15
18,3
—
0,90
0,80
32
16
18,2
—
0,89
0,89
31
17
14,5
14,1
0,55
0,42
30
18
14,0
—
0,55
0,47
30
19
10,5
一-
0,30
0,20
28
20
6,8
7,6
0,18
0,18
27
21
20,3
21,2
—
—
30
22
20,1
21,1
—
—
30
23
18,5
—
4,85
4,85
37
24
18,6
—
5,00
5,00
37
25
15,2
14,5
2,30
2,30 '
36
0,170
26
15,5
—
2,32
1,72
35
27
12,5
11,6
1,44
1,43
33
28
12,4
—
1,43
1,43
33
29
9,8
—
0,91
0,71
31
30
9,7
—
0,90
1,00
30
31
6,8
—
0,43
0,43
28
32
7,0
——
0,45
0,43
26
Па • с= 10 бар • мкс= 1 (Н • с)/м2.
и измерены средние остаточные перемещения на участке между выпучинами. Экспериментальные и числовые результаты для перемещений при выпучивании хорошо согласуются между собой; однако небольшие изменения амплитуды несовершенств или числа волн могут привести к заметному смещению расчетной кривой, относящейся к закритической области при больших значениях импульса. Выше упоминалось, что измеренные амплитуды несовершенств, соответствующие 300 W〃W35, находились в диапазоне от 0,00762 до 0,0127 мм.
5叩|11
•§ Caq^ul^E•§ Caq^ul^E40,040,0оо10,010,035403540ппРис. 7. Зависимость импульса от числа волн при выпучивании оболочек из алюминиевого сплава 6061-Т4, £>=£=101,6 мм.Обозначения: □,九=0,508 мм; Q, А=0,254 мм; △,九=0.170 мм.Рис. 7. Зависимость импульса от числа волн при выпучивании оболочек из алюминиевого сплава 6061-Т4, £>=£=101,6 мм.Обозначения: □,九=0,508 мм; Q, А=0,254 мм; △,九=0.170 мм.
•§ Caq^ul^E
•§ Caq^ul^E
40,0
40,0
о
о
10,0
10,0
3540
3540
п
п
Рис. 7. Зависимость импульса от числа волн при выпучивании оболочек из алюминиевого сплава 6061-Т4, £>=£=101,6 мм.
Обозначения: □,九=0,508 мм; Q, А=0,254 мм; △,九=0.170 мм.
Рис. 7. Зависимость импульса от числа волн при выпучивании оболочек из алюминиевого сплава 6061-Т4, £>=£=101,6 мм.
Обозначения: □,九=0,508 мм; Q, А=0,254 мм; △,九=0.170 мм.
Расчетами по программе UNIVALVE было последовательно показано, что при комбинациях R“n = 0,00762 мм, п = 35 и №п = 0,0127 мм, п = 30 (см. выражение (4)) получаются почти одинаковые кривые перемещение—импульс. Другие комбинации параметров в данном диапазоне приводят к кривым, лежащим в области, которая представлена на рис. 6 отрезками вертикальных прямых. Размер отрезка увеличивается при возрастании импульса и уменьшении толщины оболочки. Однако обычно расчетчика интересует область низких значений импульсов, которой соответствует параболическая кривая импульс——перемещение. В этой области вертикальные отрезки, соответствующие отклонениям от кривой, весьма малы; поэтому данные для расчетов достаточо точны.
Описанная выше кинограмма на рис. 4 соответствует кадрам, сделанным через 8 мкс; выпучины начинают возникать примерно через 16 мкс. Период упругих мембранных дефор-
маций составляет 62,8 мкс; таким образом, выпучивание оболочки начинается до развития максимальных мембранных напряжений. Затем амплитуда выпучин продолжает увеличиваться далеко в закритической области. Измерения числа волн в начальные моменты времени сравнивались с соответствующими измерениями после испытаний, приведенными в табл. 1, и оказались почти такими же. Следовательно, в процессе выпучивания, по-видимому, не происходит заметного смещения волн. Числа волн для каждой группы оболочек представлены графически в зависимости от приложенного импульса (рис. 7). Изменения в данном диапазоне импульсов оказались линейными, однако при больших значениях импульса можно ожидать нелинейного поведения [11].
Список литературы
Abrahamson G. R., Goodier J. N., Dynamic plastic flow buckling of a cylindrical shell from uniform radial impulse, Proceedings of 4th US National Congress of Applied Mechanics, Oxford, Pergamon Prass, vol. 2, 1962, p. 939—950.
Goodier J. N., Dynamic plastic buckling, in “Dynamic Stability of Structures”，ed. G. Herrmann, New York, Pergamon Press, 1967, p. 189— 211.
Lindberg H. E., Dynamic pulse buckling of cylindrical shells, Poulter Laboratory TR 001-70, Stanford Research Institute, Menlo Park, CA, Apr. 1970.
Anderson D. L., Lindberg H. E., Dynamic.pulse buckling of cylindrical shells under transient lateral pressures, ЛМД Journal, 6, No. 4, 589—— 598 (1968); русский перевод: Андерсон, Линдберг, Динамическое выпучивание цилиндрических оболочек под действием нестационарного бокового давления, Ракетная техника 〃 космонавтика, № 4, 16 (1968).
Goodier J. N., Mclvor I. К・，The elastic cylindrical shell under nearly uniform radial impulse, /. Appl. Meeh., 31, Trans. ASME, 86, Ser. E, 259——266 (1964); русский перевод: Гудьер, Макайвор, Упругая цилиндрическая оболочка под действием "радиального импульса, близкого к равномерному, Прикладная механика, № 2, 111 (1964).
Lindberg Н. Е., Buckling of a very thin cylindrical shell due to an impulsive pressure, /. Appl. Meeh,, 31, Trans. ASME, 86, Ser. E, 267—272 (1964); русский перевод: Линдберг, Изгиб очень тонкой цилиндрической оболочки под действием импульсного давления, Прикладная механика, № 2, 120 (1964).•
Bealing R., Carpenter Р. G., Exploding foil devices for shaping megamp current pulses, /. Phys., Ser. E. Scientific Instruments, 5, 889—892 (1972).
Walling H. C., Forrestal M. J., Elastic-plastic expansion of 6061-T6 aluminum rings, AIAA Journal, 11, No. 8, 1196—1197 (1973); русский перевод: Уоллинг, Форрестол, Упруго-пластическое растяжение колец из алюминиевого сплава 6061-Тб, Ракетная техника и космонавтика, № 8, 174 (1973).•
Krieg R. D., Key S. W., UNIVALVE — a computer code for analyzing dynamic large deflection elastic-plastic response of beams and rings, SC-RR-66-2682, Sandia Laboratories, Albuquerque, Jan. 1968.
Vaughan D. К・，A comparison of current work-hardening models used in the analysis of plastic structures, Submitted to the Graduate College of Texas A & M University in Partial Fulfillment of the Requirment for the Degree of Master of Science, Dec. 1973.
Wesenberg D. L., Birnbaum M. R., Critical mode number study of a dynamically buckling ring, SCL-RR-72-0060, Sandia Laboratories, Livermore, Sept. 1972.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРЯМЫХИ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЯХ.ТЕОРИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТ 】)
Ф. Б. Краули, Дж. Филлипс, С. Тейлор
ВВЕДЕНИЕ
Известен целый ряд работ, относящихся к теоретическим и экспериментальным исследованиям прямолинейных стержней при ударном нагружении [1—6]. Гораздо меньше работ посвящено анализу криволинейных стержней. В 1961 г. Морли [7] вывел уравнения для криволинейных стержней типа уравнений Тимошенко [8] и получил дисперсионные кривые для непрерывного волнового движения. В работе [9], относящейся к 1965 г., обсуждалась передача энергии волнами напряжений в прямых и криволинейных стержнях с возможным приложением к высокоскоростным полиграфическим печатным процессам. Теории распространения упругих волн в спиральных пружинах малой кривизны посвящена опубликованная в 1966 г. работа [10]. Исакович и Комарова [11] в 1968 г. исследовали при помощи теории «нулевого момента》распространение про- дольно-изгибных волн в пологом кривом брусе. В том же году были представлены теоретические и экспериментальные данные [12], относящиеся к дисперсии упругих волн в спиральном волноводе, а в 1971 г. были опубликованы результаты для иных форм пружин [13]. Позднее в работах [5] была рассмотрена задача о распространении волн напряжений в крутозагнутых стержнях. Наконец, в работе [14] были представлены уравнения Морли [7] в виде, пригодном для исследования распространения волн в криволинейных стержнях, и выполнены некоторые числовые расчеты для типичных примеров. В данной статье обобщена теория работы [14] и дано сравнение результатов теоретических исследований с экспериментальными данными для стержневой конструкции, состоящей из прямых и криволинейных участков.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
Основными допущениями одномерной теории Морли [7] распространения упругих волн в криволинейных стержнях
Growley F. В., Ill, Phillips J. W., Taylor С. Е., Pulse propagation in straight and curved beams ——theory and experiment, Transactions of the ASME, 41, Ser. E, No. 1, 71—76 (1974).
являются следующие: весь стержень находится в условиях плоского напряженного состояния и радиальная составляющая нормальных напряжений не учитывается. Уравнения Морли можно записать в безразмерной форме как систему шести линейных дифференциальных уравнений первого порядка, имеющую вид
L (и)三 А'% + ASti,s+Bu = 0・ (1)
Здесь запятой обозначено частное дифференцирование по переменной, следующей за ней, u(Z, s) — вектор решения
Рис. 1. Положительные направления усилий и перемещений в криволинейном участке стержневой конструкции.
{NQMvw(p}t L — дифференциальный оператор, А — характеристическая матрица, s и / — безразмерные переменные, соответствующие координате и времени: s = sf/h, где s' — расстояние вдоль нейтральной поверхности стержня, й ——высота стержня, t= (реальное время)/(й/со), где со= (Е/р)1/2 — скорость распространения продольных волн в стержне, Е и р ——модуль Юнга и плотность материала стержня. Безразмерные элементы вектора решения записываются в виде
N = N"(Eh^, Q = Q//(E") и м=財7(后力3),
где М, Q' и Mf — соответственно продольное усилие, поперечная сила и момент относительно нейтральной поверхности,
v = dv/dt и w = dw/dt, где v = v‘[h, w = wf/h, a U и wf — перемещения в направлениях s' и у'. Через y = y'[h обозначено безразмерное расстояние, измеряемое от нейтральной поверхности к центру кривизны (или вниз в случае прямолинейного стержня); кроме того, ср = d^ldt, где <р ——поворот линейного элемента, вначале перпендикулярного к срединной поверхно-
сти (см. рис. 1). Матрицы коэффициентов А», А5 и В порядка 6X6, входящие в уравнение (1) (см. [14]), имеют вид
А'=А'=о о о оо о о оО 1 О О ОО 1 О О ОО О 1 О оО О 1 О о0 О О0 О О—4(1+々2)—4(1+々2)00О 0 О ОО 0 О О4（1+融）4（1+融）ооо— А 埶Rd)оооо— А 埶Rd)о_00 0 _*(R/).0一4届（8力）2」-0 00—A00口0 000A^G/E0А'=0 01 0000000A»(R[用) 00 10000_° 0-1000 一0004(九/R)<000A (必G/E)(力/R)0-А(^О1Е)00001э0力伏000-h/R• 00000-100<3_00 0 _*(R/).0一4届（8力）2」-0 00—A00口0 000A^G/E0А'=0 01 0000000A»(R[用) 00 10000_° 0-1000 一0004(九/R)<000A (必G/E)(力/R)0-А(^О1Е)00001э0力伏000-h/R• 00000-100<3
А'=
А'=
о о о о
о о о о
О 1 О О О
О 1 О О О
О О 1 О о
О О 1 О о
0 О О
0 О О
—4(1+々2)
—4(1+々2)
0
0
О 0 О О
О 0 О О
4（1+融）
4（1+融）
ооо— А 埶Rd)о
ооо— А 埶Rd)о
_0
0 0 _*(R/)
.0
一4届（8力）2」
-0 0
0
—A
0
0口
0 0
0
0
A^G/E0
А'=
0 0
1 0
0
0
0
0
0
0
A»(R[用) 0
0 1
0
0
0
0
_° 0
-1
0
0
0 一
0
0
0
4(九/R)<
0
0
0
A (必G/E)(力/R)
0-А(^О1Е)
0
0
0
01
э
0
力伏
0
00
-h/R
• 0
0
00
0
-1
0
0<
3
_0
0 0 _*(R/)
.0
一4届（8力）2」
-0 0
0
—A
0
0口
0 0
0
0
A^G/E0
А'=
0 0
1 0
0
0
0
0
0
0
A»(R[用) 0
0 1
0
0
0
0
_° 0
-1
0
0
0 一
0
0
0
4(九/R)<
0
0
0
A (必G/E)(力/R)
0-А(^О1Е)
0
0
0
01
э
0
力伏
0
00
-h/R
• 0
0
00
0
-1
0
0<
3
Отдельные величины, входящие в матрицы, имеют следующий смысл: Л ——безразмерная площадь, равная фактической площади, деленной на й2; R — радиус кривизны нейтральной поверхности; х — коэффициент сдвига, G — модуль сдвига материала стержня. Безразмерные геометрические постоянные 力，拓 и 局 определяются следующими уравнениями [7]:
^Ak^=- ^yfdAf
А
^A^^Y^R-y^dA.
Первые три уравнения (1) представляют собой производные по времени от соотношений между обобщенными усилиями и моментом N, Q, М и обобщенными перемещениями и, w,屮； последние три—уравнения движения элемента стержня.
При помощи метода характеристик [4, 15], основываясь на изложенной в книге [15] трактовке, можно найти характеры-
стические скорости Ci или соответствующие направления в плоскости (f, s):
。:, С^={[(1+*)*+忌]± [[(1+*)必+砲2 -
_4 [(1+必)总—硝用"/{2 [1+硝屬一剧},⑵
cl^G/[E(\+k^
где q, i= 1, 2, 3,— безразмерные величины, полученные делением скоростей на скорость в стержне (f/p)1/2 [1]. Обыкновенное дифференциальное уравнение, справедливое вдоль характеристики, можно найти, отыскав нулевой вектор I, удовлетворяющий условию
1А = 0, и составив уравнение
IL(u) = 0.
Таким образом, имеем шесть уравнений:
々储(Q仇)dN+ [一 1+(1 +必)阅山И干A底cNRlh) dv 士
土 A 依他)2(必/e) [_1+(1+*)用 dj 士
士 S館储+ [ - 1+(T必)词} Q威+^储向近=0(За)
вдоль характеристик ds/dt= 土& (i= 1, 2) и
dQ ± 禽A(1 +奴)di) + 禽(力/R) Ndt*
+A(区2g/石)[(用Q)百一？]近=0(36)
вдоль характеристик ds/dt= ±сз・
Предельный случай прямолинейного стержня легко найти, положив 垣氐=0, где Ro — радиус кривизны оси стержня, при этом 力2 ^2 , ^2 равнь1 нулю. Уравнения (3) сводятся к обычным одномерным характеристическим соотношениям для продольных возмущений и характеристическим соотношениям для изгибных возмущений, которые выводятся из теории Тимошенко (ср. с [2] и [3]). Полученные таким образом уравнения для прямолинейного стержня имеют вид
dN + Ad^ = 0,
•(4а)
山И± A(g/力)2两土 Qd/ = 0'
для направлений ds/dt== ± 1 и
dQ 土 c3Adw - А (乂2g/E) Q 出=о(46)
для направлений ds/dt= ±сз. В уравнении (4а) через g обозначен радиус инерции поперечного сечения стержня.
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
Основные обыкновенные дифференциальные уравнения (3) и (4) были записаны в конечно-разностном виде и решены численно при соответствующих начальных и граничных условиях. В настоящей работе начальные значения зависимых переменных определены соотношением
u(0, s) = 0,
а граничные условия на подвергающемся удару конце модели выражаются через обобщенные усилия и моменты N, М, Q. Процесс решения идет по пути, указанному в работе Пласса [2], и связан с сетью узловых точек, образованных пересечениями самых быстрых характеристик в плоскости (f, s). Подробное обсуждение сетки характеристик содержится в работе [4]. Для сравнения с экспериментальными результатами решения представлены не только в виде графиков (рис. 3), но также в виде расчетной модели картины интерференционных фотоупругих полос для определенных моментов времени (рис. 6). Для построения полос целого и половинного порядков при помощи продольного сканирования графиков использован графопостроитель Калкомп. (Указанный метод подробно описан в работе [16].) Порядок полос п определяется зависимостью между двойным лучепреломлением и напряжениями (см., например； [17])
孔Н传/九)
где & ——толщина стержня, fa — динамическая величина оптической постоянной (цены полосы) материала, ел,。2 ——главные напряжения в плоскости стержня. Для построения на графиках картины изохром значения п квантованы по следующему правилу. Если i — целое число, то при i — 0,250〃vi +0,25 перо графопостроителя поднято от бумаги, а при i +0,250 W〃vi + 0,75 перо опущено. Все картины полос, полученные моделированием, на рис. 6 вычерчены при помощи квантования порядка полос, за исключением случая с Ro//i = 8 и / = = 190 мкс, для которого приведена истинная картина полос.
При численном анализе были приняты следующие значения параметров, согласованные с изложенными ниже экспериментальными данными для гомолита-100 и размерами модели: Е = 6,5- 105 фунт/дюйм2 (4,6- 104 кгс/см2), что согласуется с данными [18, стр. 150]; . v = 0,36 [19, стр. 159]; со = = 7,8- 104 дюйм/с (1980 м/с); Ь = 0,25 дюйма (6,35 мм),力= = 0,75 дюйма (1,9 мм); х2 = л2/12 [6, стр. 37]; величина % = = 179 (фунт/дюйм2) • дюйм/полос (4,95 (кгс/см • полос) основана на данных работы [18] с поправкой на различие длин
световых волн (см., например, [20, стр. 167]). Геометрические характеристики рассматриваемых в работе стержней показаны на рис. 2. На границах раздела прямолинейных и криво
линейных участков функции N, Q,侬 и ср непрерывны, a М и v
I— ьнгиги • 丄I— ьнгиги • 丄
I— ьнгиги • 丄
I— ьнгиги • 丄
Рис. 2. Характеристики модели.
Таблица параметров
Модель
Длина, дюймы (мм)
Отношение 凡/九
эксперимент
теория ，
1
8,0 (103)
8,0
8,0
2
9,51 (242)
2,0
2,0
3
10 (254)
0,5
0,526
в общем случае терпят разрыв [14]. Разрыв функции момента очевиден на рис. 3, на котором представлены решения для ^ (Z, s), Q (f, s).h М (/, s) в функции s в определенные моменты времени / при каждом из рассмотренных значений Ro/九. Кроме того, из рассмотрения рис. 3 следует, что продольная волна, не дисперсионная в начале движения, при прохождении через криволинейный участок порождает дисперсионные прошедшие и отраженные изгибные волны. В каждом из рассмотренных случаев за начальной продольной волной при прохождении поворота на 90° возникает хвост растягивающих напряжений, и с увеличением кривизны криволинейного участка амплитуда прошедшей продольной волны уменьшается, а амплитуды прошедшей и отраженной изгиб- ных волн возрастают. Образование четырех различных волн было отмечено Ли и Кольским [5]. Результаты выполненных
ими тензоизмерений служат строгим критерием для представленных здесь числовых результатов, относящихся к участку резкого поворота. Рис. 4 свидетельствует о том, что даже
Рис. 3. Распределение N, Q (Х0,45 кгс) и М (Х1,14 кгс • см) в отдельные моменты времени.
a) Ro/九=8, f=190 мкс; 6) RQ/h = 2, t= 188 мкс； 8)Ro//i=O,526, /=193 мкс.
в этом предельном для данной теории случае результаты теоретических расчетов хорошо согласуются с данными экспериментов [5].
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
Для проверки справедливости теории при некоторых геометрических характеристиках стержня, отличающихся от рассмотренных в работе [5], проведено дополнительное экспериментальное исследование. Для трех различных моделей из гомолита-100 (рис. 2), подвергавшихся продольному удару мягким свинцовым шариком, получены динамические картины изохром и, кроме того, данные тензоизмерений. Применялся
Л
Р и с. 4. Кривые деформация——время для стержневых конструкций с резким изменением направления на 90° при действии прямоугольного импульса продольной волны длительностью 60 мкс.
а — прошедшая продольная волна; 6 — отраженная продольная волна; 8 — прошед-шая изгибная волна； г — отраженная изгибная волна.
Кружками обозначены данные работы [5]; сплошными линиями обозначены резуль-таты расчета по теории данной работы; время в мкс, деформации безразмерные.
стандартный полярископ с источником света в виде пульсирующего рубинового лазера (длина волны 6943 А), характеристики системы и подробности работы с ней описаны в работах [21, 22]. Использовались две системы пуска — одна для накачки лазера примерно за 1,4 мс до момента, в который производилась регистрация картины полос, и другая — для управления ячейкой Керра. Длительность импульса с модулируемой добротностью составляла примерно 0,2 мкс, что явля-
ется достаточно малым промежутком времени регистрации картины распространяющейся волны напряжений в требуемый момент времени. Специальный фотозатвор оказался не нужен, поскольку все опыты проводились в затемненном помещении и лазер был единственным источником света.
Каждая модель была достаточно длинной для того, чтобы не учитывать отражения от закрепленного или свободного концов (или совместно от того и другого) в интересующем нас диапазоне. К ударяемому концу каждой модели была прикреплена разрезанная стальная пластинка толщиной 1/8 дюйма (3,2 мм), которая служила для распределения ударной нагрузки по всей площади поперечного сечения. Нагружение модели осуществлялось центральным ударом, который наносил по защитной пластинке мягкий свинцовый шарик, приводимый в движение пневматической пушкой. В момент удара пулька замыкала электрическую цепь, соединяя две половинки стальной пластинки, и приводила в действие схему задержки, которая после соответствующего числа микросекунд включала ячейку Керра. Масса каждого шарика диаметром 0,22 дюйма (5,6 мм) составляла 1,055±0,005 г, и при ударе по модели его скорость достигала 3650±50 фут/с (92,8± 1,27 м/с). Поскольку при каждом выстреливании по модели регистрировалась лишь одна картина полос, важно было добиться воспроизводимости начальных условий нагружения. Для этого перед каждым опытом проверялся размер шарика, давление воздуха устанавливалось равным 180± 1 фунт/дюйм2 (12,7±0,07 кгс/см2), и выверялось направление ствола пневматической пушки. Последовательности фотографий получались путем увеличивания времёни задержки между ударом и вспышкой лазера.
О характере начальной продольной волны можно судить по распределению фотоупругих полос на первом прямолинейном участке стержневой конструкции (рис. 2). Картина изохром при типичном ударе показана на рис. 5, а. Можно отметить, что вызванная таким образом волна оказывается почти одномерной, но как определить порядок некоторых полос, сразу не очевидно. Чтобы исключить всякую неясность, связанную с определением порядка полос, была получена зависимость деформаций от времени в центре прямого участка стержня на расстоянии нескольких диаметров от ударяемого конца (рис. 5, б). (Подобие записей тензодатчиков, наклеенных в центре и на нижней поверхности сечения балки, служит еще одним подтверждением того, что начальная волна носит характер одномерной продольной волны.)
Совместная интерпретация записи центрального тензодатчика и картины фотоупругих полос приводит к математиче-
Рис. 5. Данные начальной волны.
а — экспериментальная картина изохроматических полос;б — картина, полученная в результате моделирования фо-тоупругих явлений, при f = 96 мкс; в — кривые деформа-ция-время, полученные с тензодатчиков, которые былирасположены на расстоянии 130 мм от ударяемого концамодели (верхняя кривая — тензодатчик на нижней по-верхности стержня, нижняя кривая — тензодатчикв центре боковой грани стержня); г — математическоепредставление исходной волны.
скому представлению начальной волны, показанному на рис. 5, г в виде треугольника, длинная сторона которого искажена линейно затухающей синусоидальной функцией. Если рассматривать такое математическое представление, как граничное условие для численного решения, получится распределение полос, показанное на рис. 5, 6. Фактическая картина полос хорошо согласуется с построенной таким образом моделью, однако в хвостовой части волны отмечены небольшие различия.
Экспериментальные данные были получены при помощи камеры《Поляроид》，прикрепленной к двухлучевому осциллографу, который регистрировал показания тензодатчиков, и при помощи неподвижной камеры, фотографировавшей картину изохром (рис. 7) на листовую пленку «Кодак-2747 Линограф Шелберст». Чувствительность пленки 2747 к свету с длиной волны 6943 А такова, что для предотвращения передержки потребовалась установка желатиновых фильтров нейтральной плотности 1,60 (пропускающих примерно 2,5% света).
СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
В оставшейся части работы проводится сравнение картины полос, полученной в результате моделирования, и фактической картины изохром для исследованных случаев. Для моделей 1 и 2 (см. табл, под рис. 2), имеющих слегка или умеренно искривленные участки, модель картины полос рис. 6 хорошо согласуется с экспериментальными результатами рис. 7. Расположение и размеры соответствующих полос очень похожи. Однако для образца с Ro//i=8 в момент / = 248 мкс наблюдавшаяся экспериментально полоса первого порядка отличается от соответствующей полосы, построенной на основе вычислений при помощи ЭВМ. Это частное расхождение и другие небольшие различия между картиной полос, построенной в результате моделирования, и экспериментальной картиной изохром для каждой из трех рассмотренных стержневых систем можно отнести на счет неточностей математического представления начальной волны и процесса квантования, примененного при вычерчивании графиков при помощи графопостроителя Калкомп. В случае модели 3 кривизна криволинейного участка весьма существенна, наблюдается хорошее согласие картин полос по отдельности на прямых и на криволинейных участках; на втором прямолинейном участке наблюдается четкая картина полос, связанных с изгибными волнами [23].
На линиях раздела между участками картины полос, полученные при помощи теоретического моделирования, имеют 14 Заказ № 169
разрывы, причем разрывы более заметны на модели с резким изгибом. Напомним, что на таких линиях раздела Л^ и Q непрерывны, а М претерпевает разрыв. Кроме того, напряжения, связанные с N и М, имеют разрыв из-за резкого изменения
Рис. 6. Построенные при помощи моделирования картины полос при распространении начальной продольной волны на повороте стержневой конструкции прямоугольного сечения, состоящей из прямолинейных и криволинейного участков.
a) R"九=8; 6) R。/九=2; e) R"九=0,526.
кривизны. На прямолинейных участках продольное напряжение складывается из постоянной составляющей, обусловленной усилием N, и линейно меняющейся по толщине составляющей, обусловленной моментом М, в то время как на криволинейном участке окружные напряжения образуются сочетанием непостоянной составляющей, обусловленной усилием N, и распределенной по гиперболе составляющей, обусловленной моментом М. По мере того как колено между двумя прямыми участками становится более круто изогнутым, различия между напряжениями, вычисленными с обеих сторон каждой границы раздела, становятся более существенными,
а разрывы на картине полос более заметными. Это явление не наблюдается ни на экспериментальных фотографиях, ни на полученных при помощи моделирования картинах полос для стержневых конструкций с малой и средней кривизной.
В случае резкого поворота на 90° экспериментальное значение Ro/九 составляло 0,5, а теоретическое отношение Ro/h
Рис. 7. Картины изохроматических полос в проходящем свете, которые соответствуют картинам на рис. 6, построенным при помощи моделирования.
a) R"九=8; б) /?0/Л=2; 8)/?о/Л=О,5.
равнялось 0,526. Это различие величин R。/九 обусловлено введением малого внутреннего радиуса на криволинейном участке теоретической модели 3. Это приближение, использованное для того, чтобы избежать особой точки в процессе численного решения, приводит к меньшим вычисленным порядкам полос во внутреннем угле, чем фактические значения в экспериментальной модели.
Хотя довольно подробно обсуждались различия между числовыми и экспериментальными результатами, следует отметить, что в основном между теорией и экспериментом для 14*
трех рассмотренных случаев наблюдается замечательное согласие. Отсюда следует вывод, что одномерную теорию Морли для распространения волн в криволинейных стержнях можно приложить к подобным задачам о распространении волн даже в предельном случае, когда кривизна криволинейного участка весьма значительна.
Список литературы
Кольский Г., Волны напряжения в твердых телах, ИЛ, М., 1955.
Plass Н. J., Some solutions of the Timoshenko beam equation for short pulse-type loading, /. Appl. Meeh., 25, Trans. ASME, 80, 379—385 (1958).
Abramson H. N., Plass H. J., Ripperger E. A., Stress wave propagation
• in rods and beams, Advances in Applied Mechanics, vol. 5, 1958, p. 111—194.
Chou P. C., Mortimer R. W., Solution of one-dimensional elastic wave problems by the method of characteristics, /. Appl. Meeh., 34, Trans. ASME, 89, Ser. E, 745—750 (1967); русский перевод: Чоу, Мортимер, Решение одномерных задач о распространении упругих волн методом характеристик, Прикладная механика, № 4, 308 (1967).
'5. Lee J. Р., Kolsky Н., The generation of stress pulses at the junction of two noncollinear rods, /. Appl. Meeh., 39, Trans. ASME, 94, Ser. E, 809——813 (1972); русский перевод: Ли, Кольский, Возбуждение нестационарных волн напряжений в месте соединения двух неколлинеарных стержней, Прикладная механика, № 3, 174 (1972); см. также: Brown University Reports, Division of Applied Mathematics, DA-358/15: Reflection and transmission of elastic stress waves at a junction of two semi-infinite rods which are at an angle to each other, 1970; NSF-GK- 3798/10: Fracture produced by longitudinal and flexural stress pulses and stress pulses produced by brittle fractures, 1970.
Mindlin R. D., Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic elastic plates, /. Appl. Meeh., 18, Trans. AS ME, 73, 31—38 (1951).
Morley L. S. D., Elastic waves in a naturally curved rod, Quart. /. Meeh, and Appl. Math., 14, No. 2, 155—172 (1961).
Timoshenko S. P., On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars, Philos. Magazine, 41, 744—746 (1921).
Meier J. H., Energy transmission by stress waves in prismatic bars, Experimental Meeh., 13, No. 4, 135—141 (1965).
Wittrick W. H., On elastic wave propagation in helical springs, Internal /. Meeh. ScL, 8, 25—47 (1966).
Исакович M. А., КомароваЛ.H.,Продольно-изгибные волныв тонком стержне, Акуст, журн.,13,вып. 4, 579—583(1967).
Britton W. G. В., LangleyG.О.,Stress pulsedispersionincurved
mechanical waveguides, /. So〃nd and Vibration, 7, 417—430 (1968).
Britton W. G B., LangleyG.O.,Stress pulsedispersioninhelical
springs, /. Sound and Vibration, 18, 247—259 (1971)..
Phillips J. W., Crowley F. B., IIL, On the theory of pulse propagation in a curved beam, /. Sound and Vibration, 24, No. 2, 247—258 (i972),.
Курант P., Гильберт Д., Методы математической физики, Т. 2,《Мир》， М., 1964.
Sanford R. J., Computer-simulated stress-optics patterns, Experimental Meeh., 11, 418—420 (1971).
Dally J. W., Data analysis in dynamic photoelasticity, Experimental Meeh., 7, 332—338 (1971).
Clark A. B. J., Sanford B. J., A comparison of static and dynamic properties of photoelastic materials, Experimental Meeh, 3, 148—151 (1963).
Дюрелли H., Райли У., Введение в фотомеханику, 《Мир》，М., 1970.
Dally J. W., Riley W. F., Experimental stress analysis, New York, McGraw-Hill, 1965.
Rowlands R. E., Taylor С. E., Daniel I. M., A multiple-pulse ruby-laser system for dynamic photomechanics: Applications to transmitted and scattered-light photoelasticity, Experimental Meeh., 9, 385—393 (1969).
North W. P. T., Taylor С. E., Dynamic-stress concentrations using photoelasticity and a laser light source, Experimental Meeh., 6, 337—341 (1966).
Clark J. A., Durelli A. J., Optical stress analysis of flexural waves in bars, /. A ppi. Meeh., 37, No. 2, Trans. ASME, 92, Ser. E, 331—338 (1970); русский перевод: Кларк, Дурелли, Изучение изгибных волн в стержнях оптическим методом исследования напряжений, Прикладная механика, № 2, 79 (1970).
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕНЕСТАЦИОНАРНЫХ ОДНООСНЫХ НАПРЯЖЕНИИВ СТЕРЖНЕ МЕТОДОМ ДИНАМИЧЕСКОЙ
ФОТОПЛАСТИЧНОСТИ 1)
К. Чейз, В. Голдсмит
ВВЕДЕНИЕ
Методы, основанные на* явлении двойного лучепреломления, служат незаменимым инструментом при решении экспериментальных задач исследования напряжений. За последние 50 лет в технической литературе появилось бессчетное количество публикаций, относящихся к статической фотоупругости, и почти во всех из них рассматривались бесконечно малые деформации. Были разработаны также многочисленные приложения метода к анализу динамических задач; обзор работ в этой области, опубликованных к 1962 г., содержится в статье [1]. Дальнейший прогресс в развитии экспериментальных методов после этого достигнут в связи с применением рассеянного света [2] и голографии, позволяющей исследовать трехмерные модели [3]. С другой стороны, применение фотомеханики к исследованию пластических деформаций было ограничено несколькими случаями, относящимися лишь к статическим условиям нагружения. Но даже при таких ограниченных целях в процессе исследования пришлось столкнуться с серьезными трудностями, связанными с соблюдением подобия между моделью и прототипом и определением соответствующих оптических свойств. Природа трудностей, по-види- мому, обусловлена попыткой моделировать не зависящие от скорости пластические деформации при помощи известного зависящего от скорости поведения подходящих материалов модели. Обзор этой темы содержится в работах [4, 5].
В теории фотовязкоупругости зависящее от скорости поведение двоякопреломляющих образцов описывается при помощи моделей ползучести и релаксации. Определение этих свойств, а также их зависимости от текущего состояния и от истории нагружения требует более полных испытаний и калибровки, чем в случае фотоупругих материалов, которые чаще всего выбирают таким образом, чтобы свести к минимуму влияние скорости деформации. Однако и в этом случае
Chase К. W., Goldsmith W., Experimental determination of the transient uniaxial stress in a bar by dynamic photoplasticity, Transactions of the ASME, 41, Ser. E, No. 1, 63—70 (1974).
анализ вообще ограничен линейной теорией и малыми деформациями. Усилия в этой области сосредоточены в основном на поисках подходящих материалов моделей [6—8] и на развитии экспериментальных методов анализа напряжений [9-И].
Для успешной разработки техники фотопластического исследования динамических напряжений требуется соединение нелинейной фотомеханики с теорией распространения упругопластических волн. Фотопластический материал модели должен обладать «пределом текучести», уровни напряжений в модели должны быть сопоставимы с напряжениями в прототипе, а распространяющиеся волны напряжений должны разделяться на упругие и пластические составляющие. Поскольку поведение материала зависит от скорости, прежде чем пользоваться им, необходимо определить, как физические и оптические свойства меняются при изменении скорости деформирования, а также найти подходящий метод измерения постоянной деформации. Следовательно, значительные усилия должны быть направлены на процесс калибровки материала.
Единственное не связанное с данной работой исследование по определению свойств материала для анализа возможности его применения в опытах по динамической фотопластичности изложено в работах [12, 13]. Были рассмотрены технические полиэфир-полистирольные соединения и полиэфир в виде смеси жесткой и эластичной смол с техническим названием 《ламинак》; испытания проводили при квазистатических скоростях, динамические пластические деформации при этом не возникали. Данное исследование было начато с тщательного анализа большого числа потенциально пригодных для изготовления моделей материалов, испытанных при квазистатических скоростях нагружения [14], отбора наиболее перспективного из них — сополимера стирола с полиэфиром — для дальнейших испытаний при средних скоростях деформации [15] и экспериментального определения физических и фотомеханических соотношений для этого материала при изменении скоростей деформирования в 80 раз вплоть до значения 103 с1 [16, 17]. Динамические фотопластические деформации вызывались в стержнях из этого материала при помощи удара снарядом по промежуточному стержню. Для анализа образцов наблюдали картину полос при двойном лучепреломлении и скорости ее изменения по кадрам высокоскоростной съемки, затем при помощи данных фотомеханики переходили к распределению деформаций и скоростей деформаций и, наконец, для вычисления напряжений численно интегрировали механические уравнения состояния материала.
Так как свойства материала, применяемого для модели, зависят от скорости, для анализа нестационарных процессов в образцах следует пользоваться теорией вязкопластичности. Предполагается, что скорость одноосной технической деформации £ можно разложить на упругую и пластическую составляющие, каждую из которых в свою очередь можно выразить через техническое напряжение о и техническую деформацию е следующим образом:
E = Ee+Ep = "^~ + g(% * (1)
где Е — модуль Юнга, a g(o, 8)—произвольная функция. Часто применяемое дополнительное соотношение [18] ограничивает второй член зависимости (1) функцией упрочнения о — Os, где Os — статическое напряжение, т. е.
e=善十/(0 -%). (2)
При oWos скорость пластической деформации равна нулю. Уравнение (1) в сочетании с одномерным волновым уравнением без учета эффектов поперечной инерции и с соотношением деформация—перемещение для больших деформаций образует квазилинёйную систему уравнений, описывающую нестационарные упругопластические деформации в стержне. Эту систему можно решить только численными методами; в данном случае применяется конечно-разностная схема, позволяющая моделировать реальные эксперименты по ударному нагружению, при которых нельзя пренебрегать влиянием распространения волн. В математической модели используется определяющее уравнение (2) с лагранжевой деформацией е и скоростью деформации е вместо соответствующих технических величин ——общий метод для случая больших деформаций. В одноосных задачах соотношения между указанными величинами принимают вид
e = 2 = (1+ё)g， (3)
и в этом случае технические и лагранжевы напряжения тождественны. Хотя соотношения между деформациями и перемещениями становятся нелинейными, окончательная система дифференциальных уравнений остается все еще квазилинейной и, следовательно, пригодной для численного решения. Хотя в одноосном случае отсутствует необходимость применять лагранжеву (или подобную ей) меру деформации, ее применение становится необходимым при рассмотрении мно-
гомерных определяющих соотношений, и, поскольку использование такой меры не связано с особыми трудностями, она была использована в рассматриваемой задаче.
Можно было предположить, что влияние поперечной инерции в данном исследовании будет существенным. В выполнен- -ном ранее анализе билинейного упругопластического материала со свойствами, зависящими от скорости, при одномерном распространении волны с учетом лишь малых деформаций влияние поперечной инерции было описано простой добавкой к волновому уравнению [19]. Все предыдущие попытки учесть большие деформации в динамической теории пластичности или относились к одноосной деформации [20], или были связаны с отказом от учета волновых эффектов [21].
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МЕТОДИКА
Опыты с возбуждением волн сжатия в образцах материала проводились на установке, показанной на рис. 1. Установка представляла собой пневматическую пушку, выстреливавшую снаряд в промежуточный стержень, диаметр обоих
Рис. 1. Экспериментальная установка для испытаний на удар.
/ — снаряд; 2 ——промежуточный стержень; 3 ——образец； 4 ——тензодатчик； 5 ——упорная пластина; 6 — пусковое устройство осциллографа; 7 — монтажный стенд.
стержней % дюйма (12,7 мм), длина 20 дюймов (508 мм), материал — алюминиевый сплав марки 7075-Т6. На ударяемом конце промежуточного стержня сечение увеличено до диаметра 1 дюйм (25,4 мм) на длине 3Д дюйма (19,05 мм); это позволяет через 1/2 дюйма (12,7 мм) хода остановить стержень прикрепленной к стальной раме алюминиевой пластинкой, толщина которой 1 дюйм (25,4 мм).Участок стержня диаметром % дюйма (12,7 мм) проходит через отверстие в пластинке диаметром 5/s дюйма (15,8 мм). Дальний конец промежуточного стержня находится в непосредственном контакте со стержнем из материала модели, который оперт на малоинерционные цилиндры из свернутой бумаги.
Образцы представляли собой стержни длиной 8 дюймов (203,2 мм) с постоянным сечением в виде квадрата, сторона которого примерно равна % дюйма (6,35 мм); на 83% образец состоял из параплекса Р-13 — сополимера, состоящего из 50% стирола и 50% полиэфира, с добавлением 16% сшитого стирола в 1 %-ном растворе перекиси бензоила.
Фольговые тензодатчики на эпоксидной подложке марки BLH FAE-12-12 номинальной длиной Vs дюйма (3,17 мм) были наклеены на промежуточный стержень на расстоянии 6 дюймов (152,4 мм) от образца; два датчика наклеивали на противоположных концах диаметра кругового сечения и соединяли последовательно, чтобы исключить какую-либо изгиб- ную составляющую волны. Выходной сигнал датчиков измерялся при помощи потенциометрической схемы, питаемой от 12-В батареи и тарированной включением шунтов с известными сопротивлениями. Фотографии сигнала получали с экрана двухлучевого осциллографа Тектроникс-565, оборудованного усилителями типа ЗА1. Полоса пропускания системы составляла 10 МГц с затуханием 3 дБ.
Начальные скорости, варьировавшиеся в диапазоне 165— 207 фут/с (50,5—63,2 м/с), измерялись по времени между перекрытием двух световых лучей, пересекающих ствол пушки через проделанные в нем щели, при прохождении снаряда. Осциллографы запускались контактным выключателем, замыкавшимся при помощи соответствующего устройства при ударе снаряда по стержню.
Оптическая схема приведена на рис. 2. Устройство включало в себя два зеркала, поворачивающихся в поле зрения на 90°, что составляло примерно 2,7 дюйма (68,5 мм) в направлении движения волны. Картина регистрировалась при помощи покадровой съемки 35-мм камерой WB-2 фирмы «Бекман и Уитли», работающей при скоростях между 221 600 и 231 800 кадров в 1 с; до момента, когда яркость света уменьшалась настолько, что было нельзя проводить дальнейшие наблюдения, оказывалось возможным получить примерно 45 полезных кадров. Применялся полярископ медленно сходящегося проходящего света с зеленым фильтром Рэттен № 77 фирмы《Кодак» в сочетании с широкополосным тонкопленочным интерференционным фильтром № 90-3-480 фирмы «Бауш и Ломб》，который служил для поглощения нежелательного красного и голубого света. Такая комбинация позволяла выделить полосу света шириной около 200 А с пиком в окрестности 5460 А, дававшей разрешение не менее 11 интерференционных полос. Источником света служила яркая ксеноновая импульсная лампа GE-524 с питанием от источника напряжением 3600 В и от батареи конденсаторов емкостью 100 мкФ,
дававших один импульс мощностью 640 Вт - с и продолжительностью около 200 мкс (при измерении по величине мощности, составляющей половину от максимальной).
Кадры высокоскоростной киносъемки, на которых зафиксированы распространяющиеся полосы, были проанализированы при помощи оптического компаратора с усилением
Рис. 2. Оптическое устройство.
Л — анализатор; В — импульсная лампа; С — съемочная камера； D — промежуточныестержни； F — фильтр; G — пневматическая пушка; L — линза Френеля； М — зеркаль-ный ящик; Р — поляризатор; Q — четвертьволновая пластинка; S — фотоэлементы;Z — амортизирующая пластина.
а — вид сверху； б — вид сбоку (развернуто).
в 50 раз. Измерения картины полос проводились непосредственно на каждом кадре пленки, их истинная длина пересчитывалась на цифровой вычислительной машине. Были введены поправочные множители для промежутков времени между кадрами и для усиления; множители учитывали разности хода лучей в оптике киносъемочной камеры.
Типичная запись сигнала тензодатчиков, наклейных на промежуточный стержень, показана на рис. 3. Резкое снижение амплитуды через 60 мкс после начального подъема соответствует приходу волны, отраженной от поверхности контакта промежуточный стержень — образец. Фактическая продолжительность начального импульса при постоянной амплитуде была приблизительно на 150 мкс больше.
Р и с. 3. Типичная запись сигнала тензодатчика на промежуточном стержне; вертикальный масштаб 20 мВ/см; горизонтальный масштаб 50 мкс/см.Р и с. 3. Типичная запись сигнала тензодатчика на промежуточном стержне; вертикальный масштаб 20 мВ/см; горизонтальный масштаб 50 мкс/см.
Р и с. 3. Типичная запись сигнала тензодатчика на промежуточном стержне; вертикальный масштаб 20 мВ/см; горизонтальный масштаб 50 мкс/см.
Р и с. 3. Типичная запись сигнала тензодатчика на промежуточном стержне; вертикальный масштаб 20 мВ/см; горизонтальный масштаб 50 мкс/см.
МЕХАНИЧЕСКИЕ И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛА
Чтобы установить механические и фотомеханические определяющие уравнения для сополимера параплекс, применявшегося в данном исследовании [5, 14—17], вначале были проведены квазистатические опыты, далее эксперименты при средних скоростях нагружения и затем опыты с мерным стержнем Гопкинсона. Было принято, что члены, зависящие от скорости деформации, при больших деформациях можно разделить на упругие и пластические составляющие так же, как и в уравнении (1), и что технические деформации и скорости деформации в определяющих уравнениях можно заменить лагранжевыми деформациями и их скоростями. Описание механического поведения основано на четырехэлементной модели, показанной на рис. 4. Модель состоит из упругих элементов Ео и Ei, вязкого элемента п и жестко-идеально-пластического элемента Од. Определяющее уравнение для модели можно записать в виде
之=号 при а<^, и 2 =忘+扌(о — %) при о〉％,(4)
где nuEori/lEo + Ei), а статическая зависимость между напряжениями и деформациями выражается следующим образом:
?0，?[(, + e1e).?0，?[(, + e1e).(5)(5)
?0，?[(, + e1e).
?0，?[(, + e1e).
(5)
(5)
Чтобы согласовать модель с экспериментальными данными, были предложены две различные модели [17], основанные на модификациях уравнений (4) и (5). Первая, модель I, основана на варианте уравнения (2), в который входит относительное упрочнение (о — as)/as и время релаксации т для зависимости деформации от скорости, значение которого пропорционально 18РI в степени д, но не зависит от деформа-
Р и с. 4. Четырехпараметрический упруго-вязкопластический элемент.
ции е; и Од, и £\ сохранялись постоянными. Таким образом, скорость пластической деформации выражается зависимостью
• =— % = (а —%)/%1
^\е\g% - 0,164
и Оу =1813 фунт/дюйм2(113 кгс/см2),(6)
£'1 = 8434 фунт/дюйм2 (524 кгс/см2),
%= 1700十7912е фунт/дюйм2, или 106+492е кгс/см2,
где величина то, связанная с временем релаксации, имеет размерность секунды. Численные значения в соотношениях (6) получены интерполяцией экспериментальных данных, причем Os — «статическое» напряжение, соответствующее произвольно выбранной постоянной скорости деформации е= 1 с-1, и с помощью аппроксимации методом наименьших квадратов. Принято также, что скорость пластической лагранжевой деформации Ср приближенно равна полной скорости деформации е. Такое приближение вполне удовлетворительно, поскольку при вычислении параметров модели использовались лишь данные для удлинений, превышающих 8%, когда скорость упругой деформации была мала по сравнению со скоростью пластической деформации.
Второй вариант поведения, модель II, описан на основе предположения, что нелинейные зависимости от скорости деформации для вязкого модуля, предела текучести и модуля пластических деформаций имеют вид
。产弱2」+,；吕=瓦瓦1宀；什窥岡，.⑺
Постоянные Оу, Е^ т]о и 夕 определены экспериментально при помощи аппроксимации по методу наименьших квадратов зависимости напряжений от скорости деформаций:
о=[，+刁o+吕％] |eJ+' =
= (1745+7725%) % |°」34 巾унт/дюйм*
или (123 +542%)储pF」* кгс/см2.(8)
Среднеквадратическое отклонение логарифма упрочнения составляло 0,08, что соответствовало максимальному значению 0,07 кгс/см2. Переписав уравнение (8) в виде
。-%=窃瓦产，где % = Ey+jp]|Z|i+g, (9) так что
можно выразить полную скорость деформации е при помощи зависимости
，⑴)
которая совпадает по форме с уравнениями (4) и (5), но при этом т] и Os зависят от скорости деформирования. В обеих моделях модуль £о, соответствующий упругой деформации, имеет одно и то же значение 127 700 фунт/дюйм2 (9000 кгс/см2), основанное на измерении скорости распространения волн в стержне.
Фотомеханическое определяющее уравнение наи&олее удобно выразить, связав техническую деформацию е и ско
рость деформации е с величиной т, порядком полосы п на единицу ширины в текущий момент. На основе экспериментальных данных получены эмпирические соотношения [16, 17]
е = 0,006 |^|-°*°б8Ч
上=0,006 向°處17 (sig口叫()
где m = n/b и ft = &о(1 +е)~1/2,匕о — исходная толщина; материал считался несжимаемым. Однако уравнения (12) представляют и аппроксимацию, предусматривающую исключение членов, и обратную зависимость, требующую, чтобы отноше
ние £/£ было малым. Это требование удовлетворяется вблизи экстремальных значений 8, но не в окрестности £ =0.
ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ НА ЭВМ
Для решения задачи об одномерном распространении волн в тонком упруго-вязкопластическом стержне, закрепленном или свободном на неударяемом конце, при действии удара с постоянной скоростью и с конечным временем приложения был использован конечно-разностный метод. Эти условия нагружения с достаточной степенью точности аппроксимируют условия, имевшие место в экспериментах. Основные уравнения имеют следующий вид:
Уравнение движения
(13)(14)(15)(16)(13)(14)(15)(16)dodv
(13)
(14)
(15)
(16)
(13)
(14)
(15)
(16)
Соотношения деформация—перемещение
или
二г. . ди л dv
Определяющие соотношения
\ = Е°е при о《％,
a=^Eoe — Eof (o — os) при о〉％,
где f (о — о。——скорость пластической деформации, выраженная уравнением (6) для модели I, или уравнением (10) для модели II. Здесь ро — начальная плотность, % — лагранжева координата, t — время, измеряемое от момента удара, и — перемещение от недеформированного состояния, a v — скорость частицы. Положительными считаются напряжения и деформации сжатия. Далее принято, что переменные равномерно распределены по сечению, что плоские селения остаются плоскими и что поперечную инерцию и влияние сдвига можно н.е учитывать.
Основные уравнения для обеих моделей в матричной форме:
можно выразить
(17)
где
и=и=оеооеоЛЛВ =В =О[_区(1+我,%)"ОО;及/(0 -%)一О[_区(1+我,%)"ОО;及/(0 -%)一О О ОО О О1/РоОО1/РоОО(18)(18)(19)(19)
и=
и=
о
е
о
о
е
о
Л
Л
В =
В =
О
[_区(1+我,%)
"О
О;
及/(0 -%)一
О
[_区(1+我,%)
"О
О;
及/(0 -%)一
О О О
О О О
1/Ро
О
О
1/Ро
О
О
(18)
(18)
(19)
(19)
запятая в индексе обозначает частное дифференцирование. Чтобы свести к минимуму проблемы, возникающие в связи с неустойчивостью решения в упругой области, использовалась конечно-разностная аппроксимация второго порядка для производных по времени. Поэтому дифференцирование уравнения (17) по времени приводит к следующему выражению:
Uitt=^AUiXt=-A[-AUiX-B\iX = ^U,xx. 。(20)
В приведенных преобразованиях предполагалось, что Л и В — постоянные; такой подход можно приближенно принять в расчетах, полагая эти величины постоянными для кратковременных интервалов и пересчитывая оба члена в конце каждого интервала. Конечно-разностное уравнение, соответствующее уравнению (20), известно как схема Лакса—Вендроффа [22] и подчиняется критерию устойчивости | аМ/^х \ <1 при всех собственных значениях а матрицы Л. Влияние членов второго порядка учитывали введением малого по величине искусственного затухания. Неустойчивость, обусловленная граничными условиями, в расчетах не возникла, а неустойчивость, возникающая на фронте упругой волны при начальном проходе, сведена к минимуму соответствующим выбором шага по координате.
РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ
Типичная последовательность кадров приведена на рис. 5 с указанием времени, прошедшего после удара; исследование полос показало, что волна была плоской после первой четверти дюйма (6,35 мм), какие-либо изгибные составляющие отсутствовали. На рис. 6 приведена диаграмма Лагранжа для того же опыта; показано положение каждой изохромы; полосы целого порядка обозначены сплошными ли-
ниями, а полосы половинных порядков — штриховыми. На диаграмме виден пик двойного лучепреломления, который находится примерно на 30 мкс позади волнового фронта и распространяется в стержне с затухающей амплитудой. Он проявляется в слиянии и исчезновении полос по мере распространения возмущений. Вслед за пиком порядок полос понижается, затем постепенно возрастает в оставшейся части опыта.
Данные о порядке полос были приведены к номинальному лучепреломлению то = п/йо и номинальной скорости лучепреломления то = п/йо делением на исходную толщину материала. Для вычисления т0 в каждой точке стержня нужно интерполировать данные по координате, затем сглаживать данные и дифференцировать по времени параболическую кривую, проведенную через значения порядка полос на пяти последовательных кадрах.
Координатная' сетка состоит из 25 точек, расположенных на расстоянии 1 дюйма (25,4 мм) друг от друга и покрывающих начальные 2,5 дюйма (63,5 мм) образца, которые соответствуют полю зрения фотографической камеры. Однако, поскольку в определяющие фотомеханические уравнения (9) для материала входит толщина в текущий момент &, были вычислены соответствующие значения тит при помощи быстро сходящейся итерационной процедуры, в которой использованы уравнения (12) и соотношения между & и Ьо. Затем, используя найденные значения технических деформаций и скоростей деформаций и зависимостей (3), вычисляли лагранжевы деформации. Этот метод численного интегрирования приводил к плавным кривым для скоростей деформаций. По зависимостям деформации и скорости деформации от времени в каждой из 25 точек находили изменение напряжений в этих узлах путем численного интегрирования определяющих уравнений по модели I или по модели II.
Скорость упругих волн в образцах из параплекса постепенно уменьшалась по мере их распространения, как показывает изменение наклона волнового фронта на рис. 6. Для вычисления Ео использовалось среднее значение скорости волны; следовательно, фактический волновой фронт опережал соответствующее положение фронта, полученное расчетом на ЦВМ, вплоть до мгновения, когда фронт уходит из поля зрения и далее. Следовательно, мгновенное распределение механических переменных следует сравнивать не для одного и того же момента времени, а для одинаковых положений фронта упругой волны.
На рис. 7 представлены кривые найденных экспериментально напряжений, деформаций и скоростей деформаций на
15 Заказ № 169
Рис. 5. Типичные кадры высокоскоростной киносъемки, Время в микросекундах; скорость съемочной камеры 231 786 кадров
показывающие распространение картины полос,
в 1 с, расстояние между точками 1 дюйм (2,54 мм).
первых 2,5 дюйма (63,5 мм) стержня в некоторый момент времени, а также соответствующие теоретические кривые, основанные на модели II. Ясно виден пик за фронтом волны,
力丿днзйм
Рис. 6. Диаграмма Лагранжа для положения интерференционных полос в функции времени.
отмеченный на рис. 6 и приводящий к «выбросу» экспериментальных напряжений и деформаций и последующим осцилляциям, которые порождают отрицательные значения экспериментальных скоростей деформации; этому явлению нет аналогии в аналитическом решении.
Графики изменений во времени экспериментальных значений напряжения, деформации и скорости деформации в фиксированной точке с координатой %=1 дюйм (25,4 мм) приведены на рис. 8 вместе с теоретическими результатами, основанными на модели I, а на рис. 9 — с результатами по модели II. Отмеченное здесь соответствие представляет существенное улучшение по сравнению с предыдущим графиком,
Рис. 7. Распределение экспериментальных и теоретических значений напряжений, деформаций и скоростей деформаций в образце через 27,3 мкс после наблюдаемого начала соударения; модель II: Ттеор=30,4 мкс; Тзкс = = 27,3 мкс.
Масштаб
Эксперимент
Теория
Напряжение
103 фунт/дюйм2 (70 кгс/см2)
□
Лагранжева деформация
io-s
△
Скорость лагранжевой деформации
103 с~*
О
-———
основные источники расхождений можно отнести за счет влияния поперечной инерции, которая не учтена в теории. При изменении знака скорости деформации, обусловленном вкладом того члена, который не учтен в фотомеханическом уравнении,
t} мкс
Рис. 8. Сравнение зависимостей от времени экспериментальных и теоретических значений напряжений, деформаций и скоростей деформаций в точке х=1 дюйм (25,4 мм) от ударяемого конца (модель I).
Обозначения см. в подписи к рис/ 7.
Рис. 9. Сравнение зависимостей от времени экспериментальных и теоретических значений напряжений, деформаций и скоростей деформаций в точке х= 1 дюйм (25,4 мм) от ударяемого конца (модель II).
Обозначения см. в подписи к рис. 7.
е，%е，%Рис. 10. Зависимости напряжения—деформации (12,7 мм) от ударяемого конца в образце приРис. 10. Зависимости напряжения—деформации (12,7 мм) от ударяемого конца в образце при
е，%
е，%
Рис. 10. Зависимости напряжения—деформации (12,7 мм) от ударяемого конца в образце при
Рис. 10. Зависимости напряжения—деформации (12,7 мм) от ударяемого конца в образце при
наблюдаются разрывы на экспериментальных графиках напряжений и деформаций.
Поскольку деформация есть независимая переменная, определяемая по данным фотопластического анализа, любая погрешность этой величины, полученная с одного кадра, не передается на последующие и, таким образом, не накапливается. С другой стороны, соответствующие погрешности в на-
в точке %=0,5 дюйма сжимающем ударе.
пряжениях могут распространяться на последующие кадры, поскольку напряжение получено численным интегрированием. Однако, поскольку напряжение является зависимой переменной, которая не влияет на экспериментальные значения деформации и скорости деформации, погрешность быстро уменьшается и после одного или двух шагов по времени, что соответствует 4—8 мкс, более не наблюдается. На рис. 10 показано полученное из предыдущих данных соотношение между напряжениями и деформациями в точке на расстоянии х = =0,5 дюйма (12,7 мм) от ударяемого конца. Ясно видна нелинейность поперечных колебаний, представляющая переход от упругого к вязкоупругому поведению.
Вначале предполагалось, что осцилляции за волновым фронтом обусловлены релаксацией напряжений или, воз-
можно, явлением повышения и снижения предела текучести; однако такое явление обычно связано с постоянной или с возрастающей деформацией при нагружении, а не со снижением ее значения. Подобное объяснение отпадает также из-за невозможности получить какое-либо указание на релаксацию напряжений при численных решениях на ЭВМ, охватывавших широкий диапазон значений параметров 刀，д, £\ и оу. Хотя величины напряжений зависят от конкретной используемой модели, применение описанных здесь моделей I и II приводит к почти одинаковым кривым изменения деформаций во времени, соответствующим рассмотренным экспериментальным данным. Таким образом, и эта гипотеза, по-видимому, не дает удовлетворительного объяснения.
Однако выдвинуто предположение, что наблюдаемые ос- циллляции можно объяснить влиянием поперечной инерции стержня по аналогии с явлением, описанным для случая упругого стержня [23], в котором поперечные колебания вследствие механического взаимодействия вызывают соответствующую осцилляцию в продольном направлении. Отличие состоит в том, что в рассматриваемом здесь случае происходит более быстрое затухание колебаний из-за вязкой природы материала.
Описание влияния поперечной инерции согласуется с наблюдавшимся явлением. При % = 0,2 дюйма (5,08 мм) максимальная скорость деформации составляет лишь около половины значения, вычисленного без учета поперечной инерции, а напряжение примерно на 15% превышает соответствующую величину. Обе эти величины по данным наблюдений последовательно уменьшались и скорость деформации стала отрицательной. Период поперечных колебаний составлял около 60 мкс вблизи ударяемого конца стержня. Как и следовало ожидать, это существенно больше соответствующего значения 14 мкс для упругого стержня, полученного на основе измерения скорости упругой волны Со, но согласуется по порядку величины со значением, полученным по скорости распространения пластической волны. Скорость пластической волны, меньшая, чем 1/з&, найдена по углам наклона кривых напряжение——деформация в двух областях.
При выводе уравнений распространения одномерных упругопластических волн в случае больших деформаций из общих трехмерных уравнений встретились непреодолимые трудности. К ним относятся условие несжимаемости для деформаций — громоздкое кубическое соотношение; нелинейность соотношений между лагранжевыми деформациями и перемещениями, не позволяющая выполнить простое интегрирование, а также несимметричность лагранжева тензора напряжений, что за-
трудняет его использование в определяющих уравнениях. Переход к симметричному тензору напряжений Кирхгофа приводит к появлению всех компонент напряжения в уравнениях движения и, таким образом, не позволяет использовать уравнения для поперечного направления с тем, чтобы исключить поперечные компоненты напряжений из определяющих соотношений для продольного направления. Наконец, трехмерные определяющие соотношения для этого (или подобного) материала еще не сформулированы настолько четко, чтобы на их основе можно было установить соответствующие критерии пластичности, законы течения и оценить необходимые постоянные материала.
Другой путь состоял в введении поправки на поперечную деформацию в выражение для полной скорости деформации таким же способом, как в работе [19]: видоизменено определяющее соотношение (1) и подставлены напряжения и деформации по Лагранжу, поскольку допускаются большие деформации:
1 +е). (21)
Теперь вводится также требование, чтобы радиус инерции сечения k был функцией деформации и чтобы значение коэффициента Пуассона соответствовало несжимаемому материалу, т. е. %. Не известно, правильно ли описывает уравнение (21) влияние поперечной инерции в данных обстоятельствах и можно ли вывести его из более фундаментальных соотношений; дополнительное подтверждение возможности его применения должно также базироваться на физической основе. Во всяком случае, из-за чрезвычайного измельчения сетки, которое необходимо ввиду наличия третьей производной по времени и резко возросших требований к устойчивости, численное решение уравнения оказалось столь сложным, что дальнейшие попытки решения были прекращены. Любой результат, полученный таким способом, следует подвергнуть серьезным сомнениям на основе физических и вычислительных соображений.
Наибольшее различие между теоретическими и экспериментальными результатами наблюдается вблизи ударяемого конца. Этого и следовало ожидать, поскольку волна не была плоской в точках до 0,25 дюйма (6,35 мм) от ударяемого конца, как показано на фотографиях рис. 5, но становилась все более плоской при увеличении пройденного расстояния. Влияние поперечной инерции также будет более заметным вблизи ударяемого конца.
Недостаточную корреляцию между теоретическими и экспериментальными кривыми в точке удара можно объяснить еще тремя дополнительными факторами: 1) трением на поверхности контакта, 2) изменениями начальной волны, 3) наличием отраженной волны в промежуточном стержне.
Влияние первого эффекта уменьшено смазкой поверхности образца; поскольку здесь не наблюдалось скругления поверхности, указанный эффект можно считать незначительным. Что касается второго фактора, то форма волнового фронта при вычислениях на ЭВМ была принята пропорциональной волне деформации в промежуточном стержне по данным измерений тензодатчиками, наклеенными на этот стержень. Когда волна пересекает поверхность контакта, ее форма может измениться из-за недостаточно тесного контакта между стержнями и из-за наличия смазки, а это в свою очередь приводит к снижению пикового значения скорости деформации и максимума напряжения на фронте волны.
Третий фактор относится к принятому при решении на ЭВМ допущению о постоянной скорости удара после конечного промежутка времени нарастания скорости. Это условие эквивалентно гипотезе о полном отражении на поверхности контакта и представляется обоснованным ввиду большой раз： ницы между значениями импеданса.
Запись, полученная с тензодатчика, на рис. 3 показывает падающую и отраженную волну, причем отраженная волна приходит примерно на 60 мкс после начального фронта. Полное отражение уменьшило бы сигнал до нуля, а в наблюдаемом случае снижение сигнала тензодатчика произошло до 3 мВ. Следовательно, амплитуда отраженной волны составляет примерно 63/66 от амплитуды падающей волны, что свидетельствует о некотором замедлении стержня при соударении: максимальная скорость была примерно на 2,3% ниже принятого значения. Эту погрешность можно считать пренебрежимо малой при рассмотрении вязкопластического поведения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Развит метод динамической фотопластичности, который оказался применимым для экспериментального исследования напряжений в пластическом диапазоне. Метод был применен к случаю одноосного распространения напряжений в тонком стержне; доказано, что его чувствительность достаточна для выявления отклонений от одномерной теории. Метод требует обширных тарировочных испытаний материалов модели и про-
тотипа, подлежащего исследованию; в особенности необходима тарировка для анализа влияния скорости деформации в широком диапазоне деформаций. Эффективность используемого метода можно существенно повысить, разработав независимые процедуры для определения напряжений и деформаций в материале.
Использованный в работе сополимер стирола с полиэфиром, который удовлетворяет большинству требований, предъявляемых к материалу модели, по-видимому, может быть применен для исследования динамического пластического сжатия, но имеет существенные недостатки при соответствующих испытаниях на растяжение из-за склонности к хрупкому разрушению при динамическом нагружении до достижения необходимого уровня больших постоянных деформаций. Хотя динамические краевые эффекты и не проявляются, время работы материала до разрушения оказалось ограниченным из-за наблюдавшегося охрупчивания, обусловленного, по-видимому, потерей летучей составляющей. Однако, несомненно, существует большее число других пригодных для такого типа исследований материалов, которые можно смешивать для моделирования конструкционного материала любого типа.
Сополимер параплекс можно приближенно описать более чем одной физической моделью, и, следовательно, он может служить для моделирования более чем одного технического материала. Представляет интерес моделирование с помощью нелинейного вязкого модуля как единственного нелинейного элемента. Эта модель идентична степенному закону упрочнения, т. е. модели, успешно применяемой для описания динамического поведения чистого железа, меди и алюминия. Однако при помощи такого подхода удается описать поведение полимера лишь в диапазоне тридцатикратного изменения скорости деформаций, в то время как рассмотренная модель II оказалась применимой при изменении скорости деформации почти в семьдесят раз [16, 17].
Основное ограничение при выборе любого материала для фотопластическоц модели заключается в том, что механизм текучести в сополимере с двойным лучепреломлением отличается от соответствующего механизма в металле из-за разницы их микроструктуры. Однако динамическое пластическое поведение металлов можно описать только при помощи найденных эмпирически определяющих уравнений. Задача сводится, таким образом, к отысканию такого пластика с двойным лучепреломлением, механическое поведение которого можно было бы с достаточной точностью аппроксимировать определяющим уравнением такого же или подобного вида, и к последующему определению соотношений подобия между
двумя материалами. Даже если два вещества характеризуются совершенно различными механическими характеристиками, все же может выявиться возможность получить полезную качественную информацию, как до сих пор широко принято в гораздо более отработанной сфере фотоупругости.
Список литературы
Goldsmith W., Dynamic photoelasticity, in “Experimental techniques in shock and vibrationn, ed. W. J. Worley, New York, ASME, 1962, p. 25—54.
Robert A. J., New methods in photoelasticity, Experimental Meeh., 7, No. 5, 224—232 (1967).
Holloway D. C., Johnson R. H., Advancements in holographic photoelasticity, Experimental Meeh., 11, No. 2, 57—63 (1971).
Hetenyi M., Photoelasticity and photoplasticity, in uStructural mecha- nics”，New York, Pergamon Press, 1960, p. 483—505.
Weiss R. T., Mechanical and optical properties of an anelastic polymer at intermediate strain rates, MS thesis, University of California, Berkeley, Calif., 1969.
Pindera J. T., Remarks on properties of photoviscoelastic model materials, Experimental Meeh., 5, No. 7, 375—380 (1966).
Arenz R. J., Ferguson C. W., Williams M. L., The mechanical optical characterization of a solithane 113 composition, Experimental Meeh., 7, No. 4, 183—188 (1967).
Brinson H. F., Mechanical and optical characterization of Hysol 4290, Experimental Meeh., 8, No. 12, 562—566 (1968).
Mindlin R. D., A mathematical theory of photoviscoelasticity, /. A ppi. Phys., 20, No. 2, 206—216 (1949).
Dill E. H., A theory of photothermoviscoelasticity, Proceedings of the 4th International Congress of Rheology, New York, Interscience, 1964.
Dill E. H., Fowlkes C., Photoviscoelasticity, NASA Report CR-444, May 1966.
Dally J. W., Riley R. F., Photoelastic study of wave propagation, Technical Report No. AFWL-TR-66-54, Air Force Weapons Laboratory, Kirtland Air Force Base, New Mex., Oct. 1966.
Morris D. H., Riley W. F., A photomechanics material for elastoplastic stress analysis, Experimental Meeh., 12, No. 10, 448—453 (1972).
Johnson С. V., Ill, Coldsmith W., Optical and mechanical properties of birefringent polymers, Experimental Meeh., 9, No. 6, 263—268 (1969).
Weiss R. T., Goldsmith W., Chase K. W., Mechanical and optical properties of an anelastic polymer at intermediate strain rates and large strains, /. Polymer Set., Part A-2, 8, 1713—1722 (1970).
Chase K・ W., Experimental determination of the transient uniaxial stress in a bar by dynamic photoplasticity, PhD dissertation, University of California, Berkeley, Calif., 1972.'
Chase K・ W., Goldsmith W., Mechanical and optical characterization of an anelastic polymer at large strain rates and large strains (будет опубликовано).
Cristescu N., Dynamic plasticity, Amsterdam, North-Holland Publishing Company, 1967.
DeVault G. Р., The effect of lateral inertia on the propagation of plastic strain in a cylindrical rod, J. Meeh, and Phys. Solids, 13, 55—68 (1965).
Lee E. H., Liu D. T., Finite-strain elastic-plastic theory with application to plane wave analysis, J. Appl. Phys., 38, No. 1, 19—67 (1967).
Мок. С. H., Effects of lateral inertia on the propagation of elasticplastic waves, General Electric Company, Contract No. DAAD 05-70-C- 0224; Aberdeen Proving Ground, Ballistic Research Laboratories, Contract Report No. 70, July 1972.
Рихтмайер P. Д., Мортон K・ У., Разностные методы решения краевых задач, «Мир», М., 1972..
Skalak R., Longitudinal impact of semi-infinite circular elastic bar, J. Appl. Meeh., 24, 59—64 (1957).
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора 5
Ю. Тамура, Динамическая устойчивость цилиндрических обо- К. Бэбкок. лочек при ступенчатом нагружении 9
Г. Линдберг. Повышение напряжений в кольце при динамической потере устойчивости 25
Г. Р. Абрахамсон. Критическая скорость разрушения цилиндрической оболочки кругового поперечного сечения без выпучивания 51
Дж Гинсберг. Динамическая устойчивость поперечных осесимметричных волн в круговой цилиндрической оболочке 63
Л. Купер.Поведение длинных нестесненных тонкостенных
круговых цилиндров при действии поперечного переменного во времени теплового потока . . .81
Ф. Мун,Волны напряжений, возбуждаемые магнитным
С. Чатопадхайя.полем в проводящем теле. Теория и эксперимент97
М. Курасигэ.Радиальное распространение волн осевого сдвига
-в конечно-деформированном упругом теле . . .Цб
К. О. Перссон.Давление в ударной волне при косом соударении. Теоретическое исследование 132
Т. Р. Блэйк, Численное исследование плоских продольных Дж Ф. Уилсон. волн в нелинейном вязкоупругом материале . .150
У. Джэсмен. Отражение и преломление слабых упругопластических волн 166
Д. Л. Везенберг. Упругопластическое выпучивание алюминиевой цилиндрической оболочки при действии осесимметричной импульсной нагрузки 187
⑦.Б. Краули, Распространение волн в прямых и криволиней- Дж Филлипс, ных стержнях. Теория и эксперимент199
С. Тейлор.
К. Чейз,Экспериментальное определение нестационарных
В. Голдсмит. одноосных напряжений в стержне методом динамической фотопластичности 214
Уважаемый читатель!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫВ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛАХ
Редактор П. Я. Корсоюцкая
Художник А. В. ШиповХудожественный редактор В. И. ШаповаловТехнический редактор Е. С. ПотапенковаКорректор Л. В. Байкова
Сдано в набор 15/IV 1976 г.
Подписано к печати 8/IX 1976 г.
Бумага тип. № 2 60X90l/i6, бум. л. 7,50.Печ. усл. 15,00 л. Уч. изд. л. 13,42. Изд. № 1/8630.
Цена 1 р. 34 к. Заказ № 169.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»Москва, 1-й Рижский пер., 2.
Ленинградская типография № 8 Союзполиграфпромапри Государственном комитете Совета МинистровСССР по делам издательств, полиграфии и книжнойторговли. 190000. Ленинград, Прачечный пер., 6.
1) Jahsman W. Е., Reflection and refraction of weak elastic-plastic waves, Transactions of the ASME, 41, Ser. E, No. 1, 117—123 (1974).
МЕХАНИНА
НОВОЕ В ЗАРУБЕЖНОЙ НАУКЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО WM И Р' МОСКВА
МЕХАНИКА
НОВОЕ В ЗАРУБЕЖНОЙ НАУКЕ
РЕДАКТОРЫ СЕРИИ： А.Ю.ИШЛИНСКИЙ, Г. Г. ЧЕРНЫЙ
НЕСТАЦИОНАРНЫЕПРОЦЕССЫВ ДЕФОРМИРУЕМЫХТЕЛАХ
Перевод с английского
М. С. ГЕРШТЕЙНА и М. Ф. ДИМЕНТБЕРГА
Под редакцией
А. С. ВОЛЬМИРА
ИЗДАТЕЛЬСТВО《МИР》МОСКВА 1976
УДК 539
В сборнике описываются нестационарные процессы в деформируемых системах; представлены статьи по волнам в различных материалах, динамическому выпучиванию колец и оболочек, а также ло численным и экспериментальным методам исследования процессов в сплошных телах. Авторы статей — известные специалисты в области механики.
Книга рассчитана на читателей, интересующихся современными проблемами механики и ее приложениями. Она полезна специалистам ——механикам и инженерам-исследователям, занимающимся расчетом конструкций на взрывные, ударные и другие динамические воздействия, а также аспирантам и студентам старших курсов университетов и втузов.
Редакция литературы по математическим наукам
20305—052Н 041(01)—7620305—052Н 041(01)—7652—7652—76© Перевод на русский язык, «Мир>, 1976© Перевод на русский язык, «Мир>, 1976
20305—052
Н 041(01)—76
20305—052
Н 041(01)—76
52—76
52—76
© Перевод на русский язык, «Мир>, 1976
© Перевод на русский язык, «Мир>, 1976