ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Предлагаемый вниманию читателя сборник подготовлен по материалам трудов Международной конференции «Атомистика разрушения», проведенной Институтом перспективных исследований НАТО. На конференции обсуждались проблемы деформирования и разрушения материалов и конструкций при механических нагрузках и воздействии активных сред с точки зрения атомных механизмов разрушения. Поскольку эти проблемы имеют междисциплинарный характер, к участию в конференции были привлечены известные специалисты — механики, физики, химики и материаловеды. Форма проведения конференции, отразившаяся в построении и содержании книги [1], способствовала выработке общего языка и взгляда на процессы разрушения у представителей смежных наук. Значительное место было отведено вводным лекциям общего характера и тематическим циклам лекций по механике и физике разрушения материалов, физикохимии явлений, происходящих на границе металл ——среда, химии растворов, математическому моделированию разрушения. Идеи и методы, затронутые в лекциях, в дальнейшем развивались на секционных заседаниях, посвященных рассмотрению водородного охрупчивания, межзеренного охрупчивания, охрупчивания жидкими металлами и коррозионного растрескивания под напряжением.

Для перевода отобраны материалы обзорных лекций, непосредственно связанных с механикой и физикой разрушения. В вводной статье Уэствуда и Пиккенса увлекательно рассказано о роли разрушения в технике и повседневной жизни. В отличие от большинства работ по механике разрушения анализируются не столько негативные последствия разрушения, сколько возможности и перспективы использования процессов разрушения в технологических целях, в частности при бурении, резании, измельчении.

Последующие статьи с разных точек зрения отражают современные представления о прочности и разрушении. Пожалуй, наиболее полное из имеющихся рассмотрение вопросов идеальной (теоретической) прочности дано в статье Макмиллана. Наряду с моделями расчета теоретической прочности проанализированы условия проведения экспериментов по определению максимальной прочности материалов и результаты опытов, а также их соответствие теории.

Расхождение между теоретической и реальной прочностью материалов, обусловленное наличием трещин и дефектов их структуры, изучается в статье Томсона, главным образом в рамках статических теорий решеток на одно-, двух- и трехмерных моделях. Существенное внимание уделено анализу условий равновесия и термоактивационного роста трещин, в том числе и при наличии химически активных сред. В отличие от континуального подхода решеточные модели приводят к ограничениям на длину равновесной трещины сверху и снизу. Одна из границ обусловлена присущим именно решетке явлением залечивания трещины вследствие так называемого «решеточного захвата». Наряду с методами теории решеток автор обсуждает и методы непосредственного численного моделирования атомных структур, сравнивает их достоинства и недостатки.

Близкие вопросы рассмотрены в статье Дайниса и Пэскина, где предпочтение отдается методам молекулярной динамики при моделировании разрушения системы с достаточно большим (до ~10‘)числом атомов, взаимодействие между которыми описывается относительно реалистичным потенциалом. Динамическое моделирование позволяет изучить скоростные эффекты в процессе распространения трещины, а также проследить тенденцию к формированию дислокаций при определенных условиях вблизи вершины трещины.

Рассмотрению разрушения с позиций теории дислокаций посвящены статьи Нотта и Хаазена. В первой из них дислокации изучаются в рамках континуальных представлений. Анализируются связь дислокационного подхода с теорией трещин хрупкого и квазихрупкого разрушения, возможности получения на его основе оценок значений параметров трещиностой- кости.

По-иному трактуются процессы излучения дислокаций из вершины трети ны и связанного с этим вязко-хрупкого перехода в работе Хаазена. В основу положена электронная теория ядер дислокаций. Рассмотрение проводится на примере полупроводников с кубической алмазной решеткой. В этих материалах можно осуществить контролируемое (существующими электрическими и оптическими методами) изменение параметров дислокаций в зависимости от температуры, напряжений и величины заряда при умеренных температурах, что позволяет сопоставить результаты теории с опытными данными.

Анализ материалов, представленных в сборнике, а также в книгах [2, 3, 4] (где имеется большая библиография) в сравнении, скажем, с [5], показывает, что методическая основа работ по атомным механизмам раз- Р'/шсния в последние годы претерпела существенные изменения в первую очередь благодаря появлению возможностей численного моделирования на ЭВМ разр\ шения реальных структур. Результаты работ по атомным механизмам разрушения из [1], не вошедших в сборник, а также исследований в иных важных направлениях, связанных с учетом структуры материала в механике разрушения, отражены в дополнении, написанном редактором перевода.

В заключение отметим, что изучение роли структуры, и в частности атомной, в процессах деформирования и разрушения приобретает все большую важность в связи с потребностями создания новых материалов с заданными свойствами и оценки ресурса существующих материалов и конструкций. В этой связи представляется, что сборник принесет пользу как специалистам, непосредственно работающим в области атомистики разрушения, так и тем, кто использует ее результаты в прикладных целях.

Пользуюсь случаем выразить благодарность В. И. Альшицу, Н. Ф. Морозову, М. В. Паукшто, Я. И. Слепяну за полезные обсуждения ряда вопросов при работе над сборником.

Р. В. Гольдштейн

ЛИТЕРАТУРА

Atomistics of Fracture. — Proc, of a NATO Advanced Research Institute on Atomistics of Fracture, May 22—31, 1981, Ed. R. M. Latanision, J. R. Pickens. — New York: Plenum Press, 1983. — 1074 p.

Машинное моделирование при исследовании материалов. — М.: Мир, 1974. — 414 с.

Дефекты в кристаллах и их модет【рование на ЭВМ.—Л.: Наука, 1980.— 214 с.

Теодосиу К. Упругие модели дефектов в кристаллах—М.: Мир, 1985.— 352 с.

Атомный механизм разрушения. Материалы международной конференции по вопросам разрушения, состоявшейся в апреле 1959 г. б Свомп- скотте (США). — М.: Металлургиздат, 1963,-660 с.

ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРУШЕНИЯ〔)

А. Уэствуд, Дж. Пиккенс

ВВЕДЕНИЕ

«Землетрясение в Калифорнии привело к гибели по кра^< ней мере 35 человек», — гласит заголовок в «Балтимор Сан» от 10 февраля 1971 г. «Зерноэлеватор рухнул, потери от разрушения составляют 30 миллионов долларов» — новость из

Рис. 1. Повреждения, возникшие, когда рухнул зерноэлеватор в Корпус-Кристи, шт. Техас.

Корпус-Кристи, шт. Техас, от 7 апреля 1981 г. (рис. 1). Эти примеры показывают один из путей, по которому разрушение входит в нашу повседневную жизнь. Для большинства людей

')Westwood A. R. С., Pickens J. R. (Martin Marietta Laboratories, Baltimore, USA). Fracture — Applying the Breaks. — In: Atomistic of Fracture, Ed. R. M. Latanision, J. R. Pickens, 1983, p. 65—89.

© 1983 Plenum Press, New York

© перевод на русский язык；《Мир》, 198?

слово «разрушение» означает бедствия и несчастья: крыша общественного здания обрушилась под действием веса льда и снега (рис. 2); оконное стекло разбилось на мелкие осколки случайно отлетевшим мячом; вертолет потерпел аварию из-за усталостного разрушения ротора; палец сломался в баскетбольной игре. Однако мир без разрушения был бы совсем другим по сравнению с тем, в котором мы живем. Если бы,

Рис. 2. Обрушение крыши концертного зала, не выдержавшей снежногопокрова.

например, яичная скорлупа не разрушалась, то это означало бы не только отсутствие омлетов или блинчиков, но и, вероятно, отсутствие птиц. Если бы лед не разрушался, то многие северные порты были бы недоступны в течение большей части зимы. И хотя многие из нас были готовы отказаться от стрижки газона, если бы трава не поддавалась резке, однако все же многие, очевидно, затосковали, если бы были лишены удовольствия надкусить хрустящее яблоко или сочную грушу.

Действительно, разрушение хорошо служит человечеству в течение веков. Более двух с половиной миллионов лет тому назад доисторический человек надеялся на то, что, разбивая камни, он получит необходимые орудия для защиты самого себя, добывания пищи и рубки леса для разведения костра [[1]. Современный человек связан с процессами разрушения, имеющими индустриальный масштаб. Среди них взрывная

отбойка руды, из которой он добывает металлы; дробление горных пород, которое он использует в строительстве; бурение в связи с добычей нефти, воды, газа; измельчение цементного клинкера, какао и косметики; а также обработка материалов с целью придания им необходимых форм.

В этой статье кратко рассматривается разрушение в быту, в искусстве и промышленности; обсуждается разрушение при взрыве, бурении горных пород, измельчении и металлообработке, а также отмечаются некоторые перспективные направления для исследования и приложения.

РАЗРУШЕНИЕ ... В БЫТУ

Разрушение чрезвычайно полезно в быту. Мы связаны с ним, когда раскалываем орехи, измельчаем кофе, дробим лед, разрезаем на ломтики картофель, жуем хлебцы и режем хлеб. Без разрушения мы вынуждены были бы жить в основном на водорастворимых материалах, сильно ограничивая себя в стремлении к лакомствам. Действительно, наличие зубов, «разрушающих» пищу, было решающим для выживания в давние времена, как это подробно рассказано писателем Мичнером в романе《The Covenant» [2].

В быту широко используются такие простые разрушающие инструменты, как ножницы, бритвенные лезвия, серпы. В последние годы для увеличения скорости их действия и уменьшения физического труда к ним были присоединены небольшие моторчики. Так, в наши дни многие из нас используют электробритвы для бритья наших подбородков, электрокосилки для подрезки газона, электроножницы для вырезки деталей костюма или платья, электроножи для приготовления ростбифа или индейки. Мы можем также использовать миксер, вращающиеся ножи которого могут за несколько секунд превратить апельсин и помидор в кашицу, чрезвычайно полезный продукт для повара, обеденное меню которого изменяется от вишисойса 】)до шоколадного мышонка.

Наша погоня за бытовым комфортом в сильной степени зависит от способности вызывать и контролировать разрушение. Для консервирования стерилизованных продуктов требуется сталь, которая может быть разрезана консервным ножом. Некоторые контейнеры даже конструируются так, что содержат участки, ослабленные по прочности для облегчения разрушения..., например алюминиевая банка для шипучего напитка. Другим примером контролируемого разрушения является «безопасное» ветровое стекло автомобиля, которое

')Вишисойс (vichyssoise) — французское блюдо в виде картофельного супа со сметаной, подаваемого холодным.

разбивается при ударе на мелкие относительно безопасные кусочки вместо опасных для жизни вытянутых осколков.

Многообразны применения разрушения в медицинской практике — от операций по размельчению, используемых при изготовлении мелких и действительно растворимых частиц аспирина, до высокоскоростного водоструйного сверления зубного врача. В хирургии при разрезах обычно пользуются

Рис. 3. Разрыв связи с Вг или метиловой группой СНз изменяет цвет красителя данного молекулярного состава с фиолетового на красный.Рис. 3. Разрыв связи с Вг или метиловой группой СНз изменяет цвет красителя данного молекулярного состава с фиолетового на красный.

Рис. 3. Разрыв связи с Вг или метиловой группой СНз изменяет цвет красителя данного молекулярного состава с фиолетового на красный.

Рис. 3. Разрыв связи с Вг или метиловой группой СНз изменяет цвет красителя данного молекулярного состава с фиолетового на красный.

скальпелем, в то время как в нейрохирургии сначала требуется трепанация черепа. Врачи также вынуждены восстанавливать разрушенное, и для этого развита очень остроумная процедура, включающая использование раздробленной и реконструированной кости для восстановления бедренного сустава.

Заточка карандаша включает разрушение, и тем самым регулируется толщина грифеля. А когда написанные слова не передают мысли так ясно, как мы того желали, то лист бумаги просто разрывают.

Шлифовка линз, благодаря которой мы видим достаточно хорошо, чтобы работать, является другим примером полезного применения разрушения в нашей будничной жизни. А размельчение соответствующих душистых или красящих частиц для достижения высокой степени мелкозернистости, необходимой для приготовления косметических смесей, представляет другое общественно важное применение разрушения, помогающее артистам и домохозяйкам приблизиться к тем образам, которые они воссоздают в своих мыслях.

Выгорание цвета в тканях является примером фоторазрушения, происходящего на еще более мелком масштабе. В данном случае это ——разрушение связей в сложных органических молекулах. Например, когда дневной свет (или какое-либо химическое вещество) заставляет радикалы брома или метила отщепляться от молекулы (рис. 3), фиолетовый цвет переходит в красный.

Землетрясение относится к типу разрушения, находящемуся на противоположном конце шкалы масштабов. В Калифорнии, например, подземные толчки разрушающей величины происходили почти каждый год в течение последних 50 лет?

К счастью, они обычно локализовались на некотором расстоянии от населенных пунктов. В противном случае, как это было в Сан-Франциско в 1906 г. (рис. 4) или в Авильяне

Рис. 4. Здание муниципалитета в Сан-Франциско после землетрясения1906 г. [3].

(Италия) в 1980, землетрясения могут быть ужасны и опустошительны.

Поскольку разрушение (fracture) издавна связано с окружающей нас жизнью, его следствия... разрывы и трещины (breaks or cracks)... вошли в английский язык в множестве выражений. Многие популярные песни рассказывают истории о разбитых сердцах (broken hearts); актеры, играющие на сцене, желают друг другу удачи словами《Break a Leg》. Существуют сочетания daybreaks (рассветы), nervous breakdowns (нервное истощение), the crack of the whip (щелканье хлыста) и the wise-crack (остроты). Даже автор песен

Нейл Седака говорил, что разрушение трудно осуществить. (Breaking Up Is Hard To Do). Без сомнения, при этом он думал о камнедробильной промышленности. И наконец, хорошо известно также, что языком международной науки является ломаный (broken) английский.

...В искусстве

Наиболее элегантные примеры разрушения, применяемого в искусстве, можно найти в скульптуре. На уровне грандиозных масштабов это ——Великий Сфинкс в Египте и бюсты

Рис. 5. Керамическая ваза, покрытая рутиловым и железным стеклами, под названием Desert Sun [4].

четырех американских президентов, высеченные в горе Рашмор. На уровне масштабов, более близких к обычной жизни, классическими примерами являются шедевр Микеланджело «Давид», «Венера Милосская», а также великолепные украшения многих европейских соборов. В XIX в. были популярны скульптуры на кораблях в виде больших деревянных фигур. Прекрасные маленькие шахматные фигурки вырезаются из нефрита, слоновой кости и других драгоценных материалов. В действительности почти каждый доступный материал... от лавы до пластмасс... в свое время был использован в скульптурах. В целом, однако, предпочтение отдается мелкозернистым однородным материалам, не содержащим исходных дефектов. Так, например, лучшими материалами счи^ таются мрамор из Каррары и красное дерево с Кубы.

Разрушение используется также для раскрытия естественной красоты и оптической симметрии драгоценных камней,

хотя в противоположность распространенному представлению алмазы расщепляются только в исключительных случаях. Обычно алмаз распиливается до соответствующей формы, и его грани (58 при стандартной резке на «бриллиант») обрабатываются путем шлифовки и полировки. Измельчение используется также при изготовлении пигментов, красок и чернил, а также в производстве нарезных стеклянных изделий, таких, как природный кристалл.

Разрушение само по себе иногда считается эстетически привлекательным, как в случае сетки трещин на глазури, используемой в керамике (рис. 5). Кроме того, твердое тело может быть разрушено определенным образом и затем реконструировано как художественное изделие, как это имеет место в случае цветных оконных стекол и мозаик.

...В промышленности

Разрушение является бедствием для одних отраслей промышленности, инструментом для других и основой для третьих. Катастрофа на химическом заводе во Фликсбороу в июне 1974 г., по-видимому, была вызвана таким благоприятствующим разрушению явлением, как охрупчивание стали жидким цинком, а также развитием пористости из-за ползучести [5]. Морская платформа с оборудованием для нефтяного бурения, которая затонула в Северном море в декабре 1965 г., была повреждена из-за разрушений стержневых соединений опор с платформой [5]. Такие крупномасштабные разрушения приобретают драматическую окраску благодаря газетным заголовкам. Однако важны также и небольшие разрушения, в особенности это относится к множеству малых и по существу неконтролируемых разрушений, происходящих на добывающих и перерабатывающих производствах. Действительно, конкурентоспособность и процветание горнодобывающей компании зависят от относительной эффективности, с которой она использует разрушение. При добыче и переработке камня применяются бурение, дробление и перемалывание для получения крупных глыб, подвергаемых последующему водоструйному разрушению, щебня для фундамента Дорог, сырья для бетона, гравия для дорожного покрытия, порошкообразного известняка для сельского хозяйства и мероприятий по контролю загрязнения окружающей среды, а также песка для производства стекла. При производстве не・ мента сырьевые материалы измельчают до порошка перед тем, как засыпают его в печь для обжига, и затем измельчают получающийся клинкер до создания портландского цемента достаточной мелкозернистости, обеспечивающей создание необходимой прочности в течение нескольких часов после

замешивания с водой. Чем мельче частицы, тем быстрее достигается прочность.

Разрушение путем перемалывания используется в пищевой промышленности для измельчения зерна, пряностей, при производстве красителей для создания частиц малых размеров, достаточных для быстрого растворения и соответственно обеспечивающих адекватные скорости крашения, в энергетике при измельчении топлива, а также при обогащении металлургического сырья для отделения полезных минералов от пустой породы.

Разрушение посредством буров, совершающих вращательное и возвратно-поступательное движение, используется при бурении скважин для установки взрывчатки или добычи газа и нефти. Отбойные молотки используются для разрушения устаревших дорожных покрытий, тогда как небольшие здания эффективно разрушаются путем ударов тяжелым шаром, раскачиваемым с помощью подъемного крана.

Намного более широко применяются разрушения в машиностроительных отраслях промышленности, в которых разрезка, токарная обработка, шлифовка и полировка металлов, полупроводников, керамик и стекол составляют основу процесса производства деталей, приборов, оборудования и приспособлений, используемых современным человеческим обществом. Стоимость этих операций составляет в США около 5% валового национального продукта, т. е. в 1980 г. 125-109 долл.

ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРУШЕНИЯ

Многих научных усилий стоил прогресс в понимании явлений разрушения с позиций механики, приведший к созданию логической основы для выбора материалов и конструктивных параметров, обеспечивающих безопасность нагруженных конструкций. Много меньшее внимание было уделено выяснению факторов, способствующих разрушению, например формы инструмента, использованию химически активных сред, оптимальной фрагментации систем и т. д., в том случае, когда разрушение желательно. Эта область изучения просто не вызывала интереса у большинства лучших научных умов, несмотря на ее техническое значение и экономическую важность.

Возможности повышения эффективности большинства промышленных процессов, связанных с разрушением, имеют большое значение. Перемалывание, например, чрезвычайно неэффективно, так как только малая доля расходуемой энергии идет на создание новой поверхности. Финансовые выигрыши от повышения эффективности процесса наверняка были бы значительными... повышение эффективности метал-

лообработки, используемой во всем мире, на несколько процентов могло бы сберегать многие биллионы долларов ежегодно. К сожалению, те усилия, которые были направлены, например, на использование эффектов влияния среды на процесс разрушения, в практических инженерных ситуациях были как ограничены, так и не слишком успешны. Это в основном связано с тем, что не полностью и неправильно были поняты основные механизмы явления. Классическими примерами являются эффекты типа эффекта Ребиндера (изменения в механическом поведении приповерхностных слоев металла, индуцируемые адсорбцией), открытые в 1928 г. и все еще не используемые широко в промышленности, несмотря на их большие возможности. Практические применения этого явления были проведены почти исключительно советскими специалистами, однако даже в СССР уровень затраченных усилий был мал по сравнению с возможной отдачей.

Далее обратим наше внимание на роль разрушения в некоторых важных производственных процессах.

...При взрыве

Взрыв ——эффективный способ разрушения земной поверхности для извлечения полезных руд и минералов в виде фрагментов размеров, удобных для последующей экономной обработки. В прошлом параметры взрыва устанавливались в основном путем проб и ошибок. В настоящее время, однако, механизмы разрушения, инициируемого взрывом, начали изучаться (рис. 6) с точки зрения прогнозирования и регулирования размеров фрагментов и их распределения с минимизацией уровней земной вибрации и уменьшением количества опасных летящих осколков [6——8]. Развиты две основные теории.

Первая состоит в том, что разрушение возникает из-за взаимодействия между быстро распространяющимися волнами напряжений, создаваемыми взрывом, и структурой породы, подвергающейся взрыванию [6—8]. В этой теории «волн напряжений», выросшей из работы Шарпа [9], постулировалось в ее первоначальном виде, что откол, производимый за счет отражения интенсивных волн напряжения (сжимающих или P-волн) от свободной поверхности, является очень важным с точки зрения формирования фрагментов [10, 11]. Трудность в использовании этой теории в ее исходном виде в том, что только 3—10% энергии взрыва передается такими волнами напряжений [12, 13].

Во второй теории, развитой на основе работы Портера 」14], предполагается, что давление газов, производимы^

взрывом заряда, вызывает распространение радиальных трещин, образующихся вначале под действием ударной волны, генерируемой детонацией (рис. 6(a)) [13]. Несколько позднее Форней с сотрудниками [6] предприняли исследования с помощью высокоскоростных методов фотоупругости нагруженных взрывом полимерных образцов, содержащих структурные неоднородности, моделирующие неоднородности, обнаруживаемые в горной породе, и идентифицировали другой

(Ь)(Ь)Рис. 6. Возможные модели разрушения горных пород при нагружении взрывом, (а) Модель растрескивания, инициируемого давлением газа (двумерная схема): / — пробуренное отверстие, 2 — растрескивание, индуцируемое газовым давлением. (Ь) Модель волн напряжения с разрушением, инициируемым в местах соединений породы (двумерная схема): 3 — фронт Р-волны, 4 — слабое радиальное растрескивание, 5 — моделированные соединения породы, 6 — фронт S-волны, 7 — растрескивание по типу II, инициируемое в «соединениях».

(Ь)

(Ь)

механизм разрушения согласующийся с предсказываемым теорией волн напряжений,——разрушение путем сдвига по типу II, которое происходит, когда P-волна взаимодействует с моделированными соединениями породы (рис. 6(b)). Теперь важно узнать, какая из этих возможностей или их комбинация действительно реализуется в случае горных пород, так как от этого зависит выбор стратегий взрывания, которые могут быть совершенно различны.

В этой связи Винцер и др. [7, 8] начали проводить эксперименты по взрыванию пород, в которых размер и распределение неоднородностей точно определялись регистрирующей аппаратурой. Протекание каждого взрыва прослеживалось с помощью высокоскоростной киносъемки. Кинокадры обнаруживают поверхностные разрушения, возникающие сразу после взрыва, в виде продвигаемых выделяющимся га-

Рис. 7. (а) Плохо рассчитанный взрыв каменоломни со слабой фрагментацией и большим разлетом породы; (Ь) хороший взрыв: без разлета породы, с хорошей фрагментацией, превосходным отвалом. Высота карьера около 33 футов. (Фото любезно предоставлено Винцером.)

зом радиальных трещин, которые выходят на свободную поверхность. Это продолжается до тех пор, пока газ не выйдет через поверхностные трещины вскоре после взрыва. После отделения фрагментов от основного тела разрушение в них продолжается. Многочисленные разрушения образуются пэ способу, совпадающему с моделью Форнея.

Очевидно, что гипотеза о действии газового давления не согласуется с этими наблюдениями. С другой стороны, наблюдается, что разрушение у свободной поверхности происходит в момент, совпадающий с приходом волны сжимающих

напряжений. Это принимается как доказательство, подтверждающее применимость теории волн напряжений для описания разрушений, производимых взрывом. Соответственно, Винцер и др. [8] объясняют свои наблюдения следующим образом: взаимодействие волн напряжений (сжимающих, сдвиговых и растягивающих) с неоднородностями природных горных пород генерирует как сдвиговые, так и растягивающие напряжения на этих трещиноподобных образованиях. Эти напряжения приводят к зарождению и распространению разрушений. Фрагменты создаются в результате пересечения (объединения) трещин. Они отделяются от массы горной породы в течение нескольких сот микросекунд после начала взрыва и продолжают разрушаться, так как волны напряжений сохраняются внутри них.

Это понимание привело к новому подходу в размещении зарядов и определению времени детонации, основанному частично на учете структуры горного массива, подвергаемого взрыву. Повышение эффективности фрагментации и распределения «навала породы» и уменьшение разлета осколков, производимых в данном случае, были поразительными (рис. 7(а) и 7(b)). Это привело к 10%-ному уменьшению стоимости производства [15]. Этот результат служит примером полезности сочетания фундаментального и прикладного исследований в области разрушения. Если перейти к горнодобывающей промышленности в масштабах Соединенных Штатов, то применение стратегий взрывов, развитых на основе работ Форнея, Винцера и их сотрудников, должно дать экономию более 250-106 долл, в год.

Следующим логическим шагом в этой области должна быть разработка определяющих уравнений, позволяющих описать поведение горного массива при воздействии нестационарных волн напряжений большой амплитуды. Это потребует данных по динамической прочности на растяжение, сжатие и сдвиг, а также по трещиностойкости различных типов пород при высокоскоростном нагружении. Такая информация вместе с углубленным пониманием природы и характеристик тех неоднородностей, которые участвуют в процессе фрагментации, должна в значительной мере способствовать математическому моделированию и, следовательно, прогнозированию поведения пород при взрыве.

...В ротационном бурении горных пород

Механизмы разрушения, имеющие место при ротационном бурении твердых веществ, таких, как горные породы и угольные пласты, кратко суммированы в [16], и приводимый крат- КНЙ обзор основан на результатах этой работы, Roraa pa6Q・

чая грань бура впервые контактирует с шероховатостями породы, происходит ее дробление (рис. 8). Затем, когда бур проникает дальше, силы противодействия, величина которых зависит от прочности и однородности породы, а также силы трения на границе бур — порода возрастают, пока станет невозможным продвижение режущей кромки инструмента. Бур

Рис. 8. Схема вероятной последовательности событий в вершине бура при проходке породы: (а) первый контакт с шероховатостью; (Ь) дробление кромки, создание мелких частиц, инициация трещины; (с) создание относительно крупных осколков.

продолжает, однако, вращаться и создает крутящий момент, который в конце концов оказывается достаточным для создания концентрации напряжений на границе бур ——порода, превышающей локальное разрушающее напряжение. В результате выкалывается кусок породы. После этого бур совершает ускоренное поступательное движение, и то, будет ли он останавливаться или нет перед контактом со следующей шероховатостью, зависит от таких факторов, как скорость вращения вала, размер обломка, а также количество энергии, запасен* ной в системе.

Если система очень жесткая, продвижение бура происходит почти непрерывно, а долговечность диска определяется в основном скоростью абразивного износа. Если система нежесткая, то продвижение бура может быть скачкообразным, а на его долговечность будет влиять также усталость в результате повторяющихся ударов,

Скорость бурения породы сильно зависит от величины крутящего момента и осевого усилия, которые могут быть сообщены буру. В целом вклад осевого усилия относительно мал, и им часто пренебрегают при аналитических рассмотрениях. Эффективность бурения обычно обсуждается в терминах энергии, требуемой для выборки единицы объема материала Ev. Для ротационного бурения скорость проникновения R связана с Ev следующим образом:

R « 2тт/ЕуА,

где 〃一скорость вращения бура, t—приложенный крутящий момент, Л — площадь поперечного сечения выемки. В принципе нужно обеспечить максимальное R и полное проникновение при заданных крутящем моменте и скорости вращения, создаваемых бурильной установкой. На практике исходят из другого критерия, который состоит в минимизации износа бура, имеющего, очевидно, существенное влияние на скорость проникновения.

Бейли и Дин [17] дали следующие значения £% необходимые для того, чтобы сделать во льду шурф различными способами I

Метод

Ер， дюйм-фунт/дюйм3

Бурение и взрыв

1740

Обычное сверление

1450

Ручное дробление киркой

23

Плавление

42 000

Достижения человеческого интеллекта очевидны... это привело Бейли и Дина к предположению, что должна быть создана более рациональная бурильная установка. Это в самом деле так, несмотря на то что при глубинном бурении энергетические затраты составляют малую часть общих затрат (< 1%), много менее существенную, чем, скажем, стоимость простоя, связанного с заменой бура.

Очень мало известно о специфических механизмах износа бура, и их изучение было бы очень плодотворной областью для исследований. Однако установлено, что одним из эффективных путей уменьшения скорости износа бура является ис- пользование хемомеханически активных жидкостей. Действительно, недавно высказана мысль [18—20], что это преобладающий механизм, по которому эффекты ребиндеровского типа влияют на скорости бурения горных пород алмазными бурами в натурных условиях. В частности, установлено [19,

20], что, когда порода подвергается воздействию вещества, которое уменьшает ^-потенциал D до нуля, твердость достигает максимума. Коэффициент трения скольжения между поверхностью породы и алмазами в буре тогда минимален. По этой причине бур работает, не перегреваясь, а алмаз не затупляется более продолжительное время. Это повышает как скорость проходки, так и глубину внедрения, а также уменьшает простой, связанный с заменой бура.

Применение ребиндеровских, хемомеханических эффектов к бурению твердых пород считалось малоэффективным, если вообще не спорным, поскольку результаты, полученные разными исследователями, были плохо воспроизводимы. Причины этого сейчас стали ясны. В сущности, они связаны с неправильным пониманием механизмов хемомеханических эффектов, что привело к неправильным подходам в испытаниях и применениях. Например, при выборе стратегии испытаний нужно исходить из того, что полезные хемомеханические эффекты имеют место в первую очередь вследствие уменьшения скорости износа бура [18—20]. Следовательно, эксперименты, которые состоят в сравнительных измерениях скоростей бурения в течение промежутка времени, составляющего незначительную долю полной долговечности бура, не обнаружат надежной разницы в эффективности различных сред. Можно полагать, что этот фактор является причиной большинства противоречий в опубликованных данных. Чтобы испытания имели смысл, их длительность должна составлять значительную долю долговечности бура. Когда это так и экспериментальные данные представляются в виде графика зависимости скорости проходки от глубины внедрения, то результаты показывают, что соответственно выбранные поверхностно-активные растворы могут повысить срок службы бура в 3—4 раза.

Второй важный фактор промышленного бурения это ——динамика адсорбции. Например, можно выбрать концентрацию поверхностно-активного вещества, дающую нулевой ^-потенциал

I)Понятие ^-потенциала кратко можно пояснить следующим образом. Когда неметаллическое твердое тело погружается в электролит, оно приобретает поверхностный потенциал, вызванный либо 1) поглощением ионов из электролита, либо 2) изменением распределения подвижных дефектов на поверхности твердого тела, либо 3) ионным обменом на границе элек* тролита и твердого тела, возникающим при установлении равновесия между ионами в этих двух фазах. В электролите устанавливается компен* сирующее распределение заряда ионов другого знака, которое экспонен* циально падает с удалением от межфазной границы электролит — твердое тело. Относительное перемещение электролита и твердого тела может отрывать внешние ионы от тех, которые находятся непосредственно на межфазной границе. Потенциал в плоскости отрыва определяется как ^-потенциал, 一

на породе, провести соответствующую стратегию испытаний для определенного типа бура, но все же не наблюдать какого-либо значительного улучшения в характеристиках бурения. Это может происходить либо по той причине, что молекулы поверхностно-активного вещества не имели времени

Рис. 9. Зависимость относительной долговечности долота R* с алмазными резцами при сверлении гранита Уэстерли от линейной скорости вращения и при трех различных концентрациях поверхностно-активного вещества .аэрозоль С-61 [20]: (а) 10~4 мол/л, (Ь) 10-3 мол/л, (с) 10-2 мол/л. Значки ♦ , ■ ▲ отвечают долоту диаметром 2,375; 0,375 и 0,25 дюйма соответственно.

достичь свежих поверхностей разрушений до очередного контакта с режущим инструментом либо, достигнув их, они недостаточно быстро хемосорбируются.

Влияние динамики адсорбции совсем недавно изучалось применительно к бурению гранита Уэстерли бурами трех размеров при разных скоростях вращения и разных концентрациях поверхностно-активного вещества аэрозоль С-61. Было установлено, что если параметр долговечности бура R* (R* —— отношение долговечностей бура с поверхностно-активным веществом и без него) строить в виде зависимости от линейной

скорости на периферии бура, то для каждой концентрации поверхностно-активного вещества получается единая кривая (рис. 9),

Эти данные обнаруживают важность скорости вращения бура с алмазными резцами для оптимального использования хемомеханических эффектов. Они демонстрируют также, что лабораторные испытания, в которых используются буры малого диаметра, могут быть с достаточной надежностью использованы для моделирования натурных буровых испытаний. Следовательно, есть возможность оценить эффективность растворов поверхностно-активных веществ в натурных условиях, которые могут экономично создавать нуль ^-потенциала на проходимой породе, а также отвечают другим критериям, связанным с токсичностью, коррозионной агрессивностью и способностью к биоочистке.

Другие факторы, которые, как было недавно обнаружено, важны при перенесении на натурный масштаб результатов, лабораторных исследований, включают: механизм разрушения алмазов, тип бура (т. е. резцы с вкраплениями алмаза или поверхностной оправкой), эффекты соосности вала, нагружение бура, эффективность удаления обломков [18——20].

Можно надеяться, что эта самая последняя наиболее глубокая оценка факторов, имеющих место при бурении горных пород с использованием хемомеханического эффекта, побудит специалистов продолжить работы по изучению механизмов уменьшения износа в результате воздействия подобных активных растворов, по применению этих эффектов на практике. Экономические оценки показывают, что наблюдаемое увеличение долговечности буров в 3—4 раза может уменьшить стоимость бурения скважины глубиной 3000 футов примерно на 50% [21].

...При измельчении

Как отметил Шёнерт [22], чтобы понять измельчение как часть процесса промышленного дробления и измельчения, необходимо рассмотреть несколько промежуточных процессов, а именно поступление частиц в нагружаемую зону, нагружение частиц до разрушения, удаление из зон измельчения тех частиц, которые мельче заданного размера, предотвращение последующей агломерации фрагментов. Наиболее труден для понимания механизм разрушения. Для его анализа надо рассмотреть несколько факторов: поля напряжений, обусловленные сжатием, создаваемым приспособлением для дробления, или возникающие в результате воздействия измельченной среды; остаточные упругие напряжения из-за предварительной механической или тепловой обработки】 влияние окружающей

среды на зарождение и распространение трещин... так же как и на агломерацию.

Удельная энергия Е% расходуемая при измельчении, всегда существенно больше истинной энергии образования свободной поверхности у, и для металлов эта величина может быть более чем в 105 раз больше у. Значение Ес зависит от системы нагружения и степени измельчения. Что касается первого фактора, растягивающие нагрузки более эффективны, если ставится задача разрушить среду на небольшое число крупных обломков... например для облегчения проходки туннеля. С другой стор-оны, сжимающая нагрузка обычно создает множество мелких частиц, что является полезным, если задача состоит в выделении мелкодисперсной металлической руды из горной породы [23].

За прошедшие годы предложен ряд теорий измельчения. Наиболее известны теории, созданные Киком, Бондом и Рит- тингером. Все эти теории показывают, что для получения мелких частиц требуется относительно больше энергии, чем для получения крупных. Проведенное недавно исследование Оки и Мадзимы [24] показывает, что величина Ес связана с размером частицы d, модулем Юнга У, прочностью материала при растяжении ат выражением вида

瓦=4£产1-2叫У,

где А ——множитель, зависящий от угла нагружения и коэффициента Пуассона, изменяющийся от 4 до 16, § — коэффициент однородности Вейбулла. При р оо вышеприведенная зависимость эквивалентна получаемой по теории Кика; при В ^ 12 (как это может быть для угля или цемента) она эквивалентна зависимости, следующей из теории Бонда, а при Р « 6 (как это может быть для мрамора или гранита) она эквивалентна зависимости, отвечающей теории Риттенгера.

Тот факт, что для дробления на более мелкие частицы требуется относительно больше энергии, можно понять, если учесть, что они получаются из более крупных частиц и при этом происходит исчерпание запасенной энергии и снижение размера характерного дефекта. Более того, способность частиц поглощать упругую энергию, необходимую для распространения трещины, пропорциональна их объему.

Элегантная работа Шёнерта [22] по дроблению отдельной частицы внесла ряд количественных положений в описание основ размельчения. На рис. 10, например, показано, что напряжение, требуемое для разрушения сжатием стеклянных шариков, возрастает от 40 до 300 кг/мм2, когда диаметр шарика уменьшается от 100 до 2 мкм. На рис. 11 демонстрируется также, что более высокие скорости удара, а следовательно,

202010 1210 12510 2050 100 200500 1000DfMKM510 2050 100 200500 1000DfMKMРис. 10. Зависимость прочности на сжатие о стеклянных шариков от их диаметра D: 1 — кварцевое стекло; 2 — свинцовое стекло.Рис. 10. Зависимость прочности на сжатие о стеклянных шариков от их диаметра D: 1 — кварцевое стекло; 2 — свинцовое стекло.о о ООО о о 0 0 5о 5 2 INWW2X Vо о ООО о о 0 0 5о 5 2 INWW2X V

20

20

10 12

10 12

510 2050 100 200500 1000

DfMKM

510 2050 100 200500 1000

DfMKM

Рис. 10. Зависимость прочности на сжатие о стеклянных шариков от их диаметра D: 1 — кварцевое стекло; 2 — свинцовое стекло.

Рис. 10. Зависимость прочности на сжатие о стеклянных шариков от их диаметра D: 1 — кварцевое стекло; 2 — свинцовое стекло.

о о ООО о о 0 0 5

о 5 2 I

NWW2X V

о о ООО о о 0 0 5

о 5 2 I

NWW2X V

Рис. 11. Зависимости вероятности разрушения F стеклянных шариков (процент разрушившихся шариков) от скорости ударной нагрузки vi.

и более высокие значения удельной энергии (пропорциональные квадрату скорости) требуются для достижения той же самой вероятности разрушения для размельчения более мелких шариков.

В случае повышенных уровней напряжения, требуемых для разрушения более мелких частиц, пластическое поведение среды при оценке ее поведения становится очень важным

Рис. 12. Кварцевый шарик диаметром 21 мкм, необратимо деформированный путем сжатия [22].

фактором. Например, на рис. 12 показан шарик из кварца диаметром 20 мкм после нагружения. Этот обычно хрупкий материал был подвергнут уплотнению вблизи мест нагружения, явлению, которое влияет на распределение напряжений при последующем нагружении, а также на природу остаточ* ных напряжений. Иногда остаточные напряжения приводят к разрушению при разгрузке, создавая при этом более круп^ ные фрагменты, как видно из рис. 13. В целом потребление энергии при измельчении в шаровой мельнице примерно на порядок величины менее эффективно, чем при разрушении отдельной частицы [22].

Возможности использования химически активных сред для повышения эффективности измельчения все еще неясны. Остается небольшое сомнение в том, что малые концентрации подходящих поверхностно-активных веществ могут препятствовать агломерации уже отломанных частиц и что это не только улучшает эффективность измельчения, но также и способность к транспортировке порошкообразного продукта [25], Это чрезвычайно важно для практики. Проблема 《спека・ ния», которое может привести к тому, что почти невозможно будет разгрузить бункер или контейнер, содержащие такие материалы, как загустевший портландский цемент, частицы красителя или какао, может быть решена путем использовав

ния поверхностно-активных веществ. Но будут ли такие «стимуляторы размельчения» действительно благоприятствовать самой стадии размельчения, должно быть еще несомненно установлено. Известно, что хемомеханически активные вещества могут изменять протекание пластической деформации или процесса растрескивания под поверхностью полухрупких

Рис. 13. Фрагменты, полученные при разрушении стеклянных шариков диаметром 3 мм (слева — при нагружении, справа — при разгрузке) [22].

материалов, подобных MgO, при однократном ударном нагружении [26]. Однако до сих пор не установлена какая-либо корреляция между этими факторами и эффективностью работы шаровой мельницы. С другой стороны, известно, что в тех условиях, когда агломерация не происходит, как при поверхностном измельчении твердых материалов, подобных керамике, обработка материала осуществляется путем пластической деформации и процессов разрушения, связанных с течением [27], и что скорость обработки материала максимальна при использовании веществ, минимизирующих поверхностную твердость (максимизация ^-потенциала) [28]. Возможности выполнения полезной фундаментальной работы в этом направлении превосходны.

Другой аспект проблемы измельчения, не оцененный в достаточной степени, состоит в том, что механическое истирание может заметно влиять на последующее химическое поведение, особенно на реакционную способность. Так, мельчайшие частицы растворяются более быстро (рис. 14) [29] или более быстро спекаются... непропорционально увеличению площади поверхности. Предполагалось даже, что «реакционная

способность» кварца после измельчения в шаровой мельнице, индуцирует создание силикатных соединений с большей скоростью, чем обычный кварц из частиц того же размера! Такие «механохимические эффекты», всеобъемлюще . рассмотренные Фоксом [30] и Лином с соавторами [31], могут быть вызваны рядом процессов, включающих накопление упругой

Рис. 14. Иллюстрация увеличения скорости растворения w каолина после дробления; отмеченное увеличение скорости растворения не связано с увеличением удельной площади поверхности s (/ ——время) [29].

энергии, изменение поверхностной фазы, оксидирование, повышенную каталитическую активность (например, в случае NiO [32]), высокую плотность дислокаций, создающих (возможно) пространственно-активные места для реакций, а также повторную эмиссию электронов. Часто наблюдаемый эффект циклического влияния продолжительности измельчения на химическую реакционную способность может быть связан с периодической регенерацией и рекристаллизационными явлениями. Подобные эффекты очень важны при экстракции минералов и в некоторых производственных процессах [33].

Одна из наиболее интересных современных разработок в металлургии состояла в использовании мельничной технологии измельчения для создания новой порошковой металлургии сплавов с очень высокой коррозионной стойкостью и прочностью. Эта работа восходит к работе Ирманна 1940 г. [34], которая привела к созданию спеченных алюминиевых порошковых сплавов. Эти сплавы обладают полезными свойствами благодаря хорошей дисперсии межчастичных окислов. В основе способа создания таких материалов лежит развитие в шаровых мельницах соответствующего баланса между разрушением частиц, поверхностным окислением и их повторным

спеканием [35]. В начале 70-х г. Бенджамин и его сотрудники [36, 37] обнаружили, что путем увеличения энергии межчастичных столкновений благодаря использованию механического истирателя, а также путем подбора соответствующей атмосферы, при которой происходит измельчение легирующих добавок и поверхностно-активных веществ (таких, как спирт, муравьиная кислота или ацетон), можно не только заметно уменьшить время процесса, но также создать превосходные механические свойства. Это возникает благодаря уменьшенному размеру исходных частиц и среднего расстояния между ними и повышенной однородности дисперсии. Например, изготовленный экструзией в промышленных условиях алюминиевый сплав IN9051 (который содержит 〜4% Mg) обычно имеет предел текучести и прочности соответственно 545 и 586 МПа и удлинение 〜5% [38]. Это более чем на 200 МПа больше, чем в случае сплава А1 — 4% Mg, изготовленного путем литья.

Природа дисперсионного сплава, образованного в результате повторяющегося процесса разрушения, химической реакции и спекания частиц, зависит от состава как окружающей среды, так и материала матрицы. Для алюминия на воздухе частицы, вероятно, имеют состав уА^Оз [35], а для IN 9051 на воздухе более вероятны частицы MgO [39]. В других условиях создаются частицы А14С3 [40, 41]. На формирующийся дисперсионный сплав может заметно влиять размер зерна, который создается, когда порошки соединяются последовательно и термомеханически обрабатываются. Это в свою очередь влияет на температурную зависимость механических свойств и сопротивление коррозионному растрескиванию. Что касается последнего, то недавно созданные алюминиевые сплавы (порошковой металлургии), такие, как IN 9051, по существу стойкие к коррозионному растрескиванию при напряжениях вплоть до макроскопического предела текучести. Это может быть связано как с тем, что границы зерен имеют преимущественно малые углы [39], так и с тем, что на этих границах относительно мало сегрегированного магния или примесей.

Эта область содержит много заслуживающих изучения проблем, исследование которых может привести к разработке многих превосходных сплавов специального назначения.

...В металлообработке резанием

Увеличение скорости металлообработки резанием может достигаться как за счет повышения эффективности режущего инструмента, так и путем улучшения параметров процесса разрушения обрабатываемой заготовки. В большинстве

случаев параметры металлорезания (скорость резания, материал резца, угол заточки и соответствующая геометрия резца, удобная для отделения стружки, и т. д.) выбираются на основе механических и технических соображений. Физическая металлургия рабочей заготовки рассматривается очень редко. В ряде случаев, однако, изменение состава и структуры материала заготовки приводит к существенному увеличению продуктивности металлообработки. Наиболее известные примеры этого — освинцованные латуни и автоматные стали [42, 43]. К добавкам, которые повышают металлообрабаты- ваемость стали, относятся сера, теллур, селен и свинец; включения, образованные этими элементами, например MnS, сильно влияют на стружкообразование и отрыв.

Одно объяснение таких эффектов состоит в том, что включение MnS, например, отслаивается от матрицы в полосе сдвига, образующейся в металле впереди резца, инициируя разрушение. К сожалению, гидростатические сжимающие напряжения, создаваемые при резке, могут вызвать заварку межфазного разрыва MnS — матрица. Недавно Ивата и Уэда [43] заметили, что морфология включения MnS влияет на их декогезию; длинные эллипсоидальные включения разрушаются без образования пор, в то время, как глобулярным включениям свойственна декогезия. Стали, содержащие сферические включения, обрабатываются легче с лучшим струж- кообразованием. Ивата и Уэда далее отмечают, что добавки свинца не только смазывают границу резец — стружка, но также уменьшают завариваемость пор, создавая лучшую об* рабатываемость.

Металлорезание при очень высоких скоростях (>5000 об/мин) является технологией, которую можно было бы значительно улучшить, создав ее научное обоснование [44]. Кроме очевидных достоинств быстрых скоростей удаления материала, некоторые металлы, которые очень трудно обрабатывать при обычных скоростях, становятся более обрабатываемыми при более высоких скоростях [45], вероятно, из-за создаваемых высоких локальных температур [46]. Для выяснения некоторых факторов Командури и фон Туркович [46] исследовали металлообработку титана при различных скоростях. Они наблюдали, что, когда металлообработка ведется при умеренно высоких скоростях, периодически создается локализованная полоса сдвига с очень высокой деформацией. Это приводит к пластической неустойчивости и быстрому разрушению сдвигом. Командури [47] высказал мнение, что разрушение протекает путем адиабатического сдвига, особенно если учесть, что титан является относительно слабым проводником тепла. Требуются значительные дальнейшие исследования этих факторов.

Рис. 15. Глубина просверленного отверстия в нержавеющей стали в зависимости от времени сверления при наличии различных жидких металлов [48].Рис. 15. Глубина просверленного отверстия в нержавеющей стали в зависимости от времени сверления при наличии различных жидких металлов [48].

Рис. 15. Глубина просверленного отверстия в нержавеющей стали в зависимости от времени сверления при наличии различных жидких металлов [48].

Рис. 15. Глубина просверленного отверстия в нержавеющей стали в зависимости от времени сверления при наличии различных жидких металлов [48].

Другой интересный способ повышения скоростей металлообработки состоит в использовании активных жидкометаллических сред, как это продемонстрировано Щукиным с сотрудниками [48, 49]. Например, они обнаружили, что скорость внедрения сверла в нержавеющую сталь может быть увеличена в 8 раз по сравнению со скоростью на воздухе при сверлении в жидкой эвтектике Sn—Zn при 200℃ (рис. 15),

Использовались также эвтектики In—Ga—Sn, что обеспечивало увеличение скорости внедрения сверл в алюминий и медь на два порядка. Перцов [49] привел данные о том, что сверление улучшенной стали U8 в случае использования обычной смазки является очень трудным, даже если применить сверло из карбида вольфрама. Приемлемые скорости сверления получаются при использовании в качестве рабочей среды жидкой эвтектики Sn—Zn.

Конечно, металлообработка с применением жидких металлов сопряжена с трудностями. Выбор инструмента и жидкого металла должен осуществляться так тщательно, чтобы охрупчивалась заготовка, а не инструмент! Жидкий металл должен также тщательно удаляться из заготовки, чтобы конечный продукт не разрушался из-за жидкометаллического охрупчи* вания при эксплуатации. Перцов [49] показал, однако, что конечные изделия, созданные с использованием эффекта жидкометаллического охрупчивания, при аккуратной и разумной

практике являются такими же надежными, как и полученные более традиционно.

Последняя разработка в этой области состоит в введении маленьких частиц активных низкоплавких сплавов в стандартную смазочную среду, используемую при резке металла [50]. При повышенной температуре в области контакта инструмента и заготовки эти частицы расплавляются и содействуют резке. Очевидно, этот перспективный новый подход в металлообработке заметно увеличивает как скорости производства, так и долговечность инструмента, не приводя к вредным последствиям для последующей механической надежности конечных изделий.

Ясно, что благоприятные - возможности нового применения поверхностно-активных сред в металлообработке... такие, как создание смазочного эффекта, охлаждение, способность содействовать разрушению... огромны. Междисциплинарная кооперация между металлургами, органиками и специалистами по поверхностной химии могла бы быть научно плодотворной и технически продуктивной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Вообще, разрушение воспринимается до сих пор как нечто отрицательное, и цель большинства научных исследований в • этой области в том, чтобы предотвратить разрушение. В действительности, разрушение ——чрезвычайно полезное явление, служащее человечеству многими путями. С нашей точки зрения, положительные аспекты явления разрушения заслуживают много большего научного внимания, чем им традиционно уделялось. Имея это в виду, укажем некоторые задачи, которыми можно было бы с пользой заниматься.

Теоретико-экспериментальный анализ поведения горных пород при динамическом, особенно при взрывном, нагружении.

Определение механизмов, с помощью которых поверхностно-активные вещества уменьшают износ буровых долот, и разработка надежных методов использования хемомеханиче- ских эффектов при резании, измельчении и сверлении.

Установление механизмов и относительных достоинств металлообработки при наличии жидких металлов; подтверждение того, что изделия, изготовленные этим путем, не остаются охрупченными после металлообработки; исследование эффективности низкоплавких частиц, добавляемых в смазки.

Достижение хорошего понимания механизмов и перспектив применения металлообработки при уьчьтравысоких скоростях.

Выяснение того факта, оказывают или нет влияние поверхностно-активные вещества на процесс разрушения частиц в шаровой мельнице (помимо влияния на агломерацию).

Эти задачи представляют лишь малую часть тех направлений, в рамках которых можно гарантировать, что наши шансы будут хорошими и действительно реализованными.

С удовлетворением выражаем особую признательность за полезные обсуждения проф. С. Рамалинаму, д-рам Р. Коман- дури, Г. Макколлу и С. Р. Винцеру. Редакторские консультации и помощь господина Бартлетта были также очень ценными.

ЛИТЕРАТУРА

Science, 1981, 211, р. 806.

Michener J. A. The Covenant. — New York: Random House, 1980.

Earthquake Country. — New York: Lane Books, Menlo Park, 1975, p. 105.

Creative Horizons, 1968, 28, p. 24.'

Bignell V. F. — Mafls. In Eng. Appl., 1979, 1, p. 310.

Barker D. B., Fourney W. L., Holloway D. C. — Proc. 20th U. S. Symp. on Rock Meeh., 1979, p. 119.

Winzer S. R,. Montenyohl V. L., Ritter A. P. — Mining Congress J., 1979, 10, p. 46.

. Winzer S. R., Ritter A. P. — Proc. 21st U. S. Symp. on Rock Meeh., 1980, p. 362.

Sharpe J. A. — Geophys.. 1942, 7, p. 142.

Hino K. Quarterly Colorado Sch. Mines, 1956, p. 191.

Duval W. F., Atchinson T. C. — U. S. Bureau of Mines, Report of Invest. 5356, 1957.

Fogelson D. E., Duval W. I., Atchinson T. C. — U. S. Bureau of Mines, Report of Invest. 5514, 1959.

Persson P. A., Lundborg N., Johannson С. H. — Proc. 2nd Cong, of Inti. Soc. for Rock. Meeh., Belgrad, 1970, p. 1.

Porter D. D. — M. S. thesis, Colorado Sch. Mines, 1961.

Winzer S. R., Anderson D. A., Ritter A. P. — Proc. 22nd U. S. Symp. on Rock. Meeh., 1981.

Hustrulid W. — Terratek Inc. Report to U. S. Bureau of Mines on Contract HO-242-062, July 1974.

Bailey J. J., Dean R. C. Failure and Breakage of Rocks. — AIME, New York, 1967, p. 396.

Cooper G. A., Berlie J. — J. Mater. Sci., 1976, 11, p. 1771.

Mills J. J., Westwood A. R. C. — J. Mater. Sci., 1978, 13, p. 2712.

Mills J. J・，Westwood A. R. C. — J. Mater. Sci., 1980, 15, p. 3010.

Mills J. J., Westwood A. R. C. — Martin Marietta Laboratories, Final Report to N. S. F. on Grant APR-73-07787, February 1978.

Schonert K. — Preprint Number 71-8-115, AIME Meeting, New York, Fabruary 1971..

Fairhurst C. — Proc. 2nd Cong, of Inti. Soc. for Rock Meeh., Belgrade, 1970, p. 413.

Oka Y., Majima H. — Canad. Metall. Quarterly, 1970, 9, p. 429.

Locher F. W., Seebach H. M. — Ind. Eng. Chern. Proc. Prod. Dev., 1972,

p. 190.

Ahearn J. S., Mills J. J., Westwood A. R. C. — J. Appl. Phys., 1979, 50, p. 3699

Koepke B. G. — Science of Ceramic Machining and Surface Finishing, NBS Spec. Publ. 348, Washington, D. C, 1972, p. 317.

Swain M. V., Latanision R. M., Westwood A. R. C. — J. Amer. Ceram. Soc., 1975, 58, p. 372.

Gregg S. J.,— J Appl. Chern., 1954, 4, p. 666.

Fox P. G. — J. Mater. Sci., 1975, 10, p. 340.

Lin I. J., Nadiv S., Grodzian D. J. M. — Mineral Sci. and Eng., 1975, 7, p. 313.

Sadahiro Y., Shimidzu K. — J. Chem. Soc. Jap., 1968, 71, p. 1874.

Болдарев В. В., Аввакумов Е. Г. — Усп. хим. н., 1971, 40, р. 847,

Irmann R. — Metallurgia, 1952, September, p. 125.

Bloch E. A.—Metallurgical Reviews, 1961, 6, p. 22.

Benjamin J. S. — Scientific American, 1976, 234, p. 40.

Bomfoid M. J., Benjamin J. S. — U. S. Patent 3,816,080, June 1974.

Data Sheets on IN 9051, Novamet, Inc., Dept N. S., Wyckoff, New Jersey.

Kim Y. W. —Scripta Met, 1981, 15, p. 483.

Jangg G., Kutner F. — P血I, 1977, 9, p. 24.

Pickens J. R., Schelleng R. D. — Int. Nickel Co., Report on AFML Contract Number F33615-76-C-5227, 1979.

Shaw M. C. et al. — J. Eng. Industry, 1961, 83, p. 163, 175, and 181.

Iwata K., Ueda K. — Proc. Fourth N. A. Metalworking Res. Conf., 1976, p. 326.

Report Number 355, U. S. Nat. Matls. Adv. Board, Washington, D. C., November 1979.

Arndt G. — Proc. Inst. Meeh. Eng., 1973, 187, p. 625.

Komanduri R., von Turkovich B. F. — Wear, 1981, 74, No. 2, p. 167.

Komanduri R. — G. E. Res. Labs., Schenectady, New York (частное сообщение, 1981).

48? Щукин E. Д. Поликарова 3. М. Ющенко В. С., Брюханова Л. С.— Докл. АН СССР, 1972, 86, р. 205.

Pertsov N. V. Surface Effects in Crystal Plasticity, — Nordhoff, Holland, 1977, p. 863.

Андреева И. А., Брюханова Л. С., Мирошниченко В. М., Щукин Е. Д.г Физ.-хим. механ. материалов, 1979, № 5, с. 25—29.

ИДЕАЛЬНАЯ ПРОЧНОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 】)

Н. Макмиллан

Прочность каждого материала в любых конкретных условиях испытания имеет верхнюю границу. Этот предел называют идеальной прочностью. В данной статье попытаемся определить идеальную прочность настолько точно, насколько это возможно в настоящее время. С этой целью сначала дается сжатое описание некоторых наиболее высоких значений прочности, зарегистрированных экспериментально. Затем следует краткая оценка опубликованных теоретических расчетов идеальной прочности. Наконец, сопоставляются теоретические и экспериментальные значения и демонстрируется, что в некоторых случаях они отличаются менее чем в два раза.

ВВЕДЕНИЕ

В этой статье мы пытаемся, насколько сейчас возможно, подробно охарактеризовать то, что в различных обстоятельствах называют идеальной, теоретической или предельной прочностью\ т. е. максимальную прочность, которую можно определить для каждого выбранного твердого тела и произвольно заданных условий испытания С этой целью ниже дан краткий обзор (1) некоторых крайне высоких значений прочностей, наблюдаемых экспериментально, и (2) опубликованных расчетов идеальной прочности. Затем в последнем разделе теоретические предсказания сравниваются там, где это возможно, с экспериментальными результатами, и рассматривается вопрос, возможно ли фактически замерить идеальную прочность экспериментально.

f) Macmillan N. Н. (The Pennsylvania State University, Materials Research Laboratory, USA) The Ideal Strength of Solids — In Atomistic of Fracture. Ed. R Latanision, J R. Pickens 1983, p. 95—164.

© 1983 Plenum Press, New York

© перевод на русский язык, 《Мир», 1987

НЕКОТОРЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯОЧЕНЬ ВЫСОКИХ ПРОЧНОСТЕЙ

Результаты

Удобно разделить экспериментальные наблюдения очень высоких прочностей на следующие пять категорий: 1) низкотемпературные испытания на изгиб или растяжение очень малых монокристаллических нитевидных кристаллов; 2) аналогичные испытания более крупных монокристаллов таких материалов, как Ge, Si и А12О3; 3) испытания стержней и волокон из силикатных стекол; 4) испытания на растяжение асбестовых волокон, волокон из С, В и других материалов; 5) косвенные измерения. Обширные обзоры таких данных составлены Келли [1] и автором этой статьи [2). Многие примеры, включенные в табл. 1—5 и обсуждаемые ниже, взяты из этих обзоров. Отметим, что повсюду в этой статье используется та же терминология, что и в табл. 1.

Обсуждение

Множество выводов можно сделать на основании экспериментальных результатов, отраженных в табл. 1—5.

Прежде всего очевидно, что высокие прочности получаются при испытаниях категорий 1—3 только при условиях, что применяемые образцы (которые, конечно, не содержат границ зерен) свободны как от больших внутренних дефектов типа пустот, внутренних трещин и включений, так и ступенек и трещин на свободных поверхностях, которые по крайней мере оптически совершенны. В случае нитевидных кристаллов, которые часто выращивают из паровой фазы, поверхности обычно уже обладают нужным качеством. Однако в других двух случаях такие поверхности требуют приготовления либо травлением, либо полировкой огнем, либо химической полировкой, либо электрополировкой, если материал имеет достаточную проводимость.

Дополнительное требование к кристаллическим образцам категорий 1 и 2, связанное с достижением высокой прочности, заключается в необходимости воспрепятствовать скольжению дислокаций. Некоторые нитевидные кристаллы, а иногда даже несколько большие кристаллы [53] удовлетворяют этому требованию вследствие отсутствия дислокаций. В других нитевидных кристаллах имеется лишь одна винтовая дислокация на оси, которая благодаря ее ориентации не стремится скользить, когда кристалл подвергается одноосному растяжению. Однако в случае несколько больших кристаллических образцов этому дополнительному требованию могут

удовлетворять, как правило, лишь образцы из таких материалов, как Si, Ge и А120з. Для них характерно очень высокое напряжение Пайерлса ——Набарро, ;по крайней мере при низких гомологических температурах. ',

В настоящее время все еще не ясно, содержат ли силикатные или металлические стекла линейные дефекты, в некотором смысле аналогичные дислокациям в кристаллах, как это предполагали Гилман [54—58] и другие исследователи [59— 65]. Однако следует отметить, что это предположение отнюдь не столь нелогично, как может показаться сначала. Характерное свойство дислокаций заключается в коррелировании в пространстве и во времени элементарных процессов атомного масштаба, так что атомы в твердом теле сдвигаются один за другим. Иначе говоря, возрастает вероятность того, что если сдвиг происходит в некотором месте в твердом теле, то следующий произойдет в его непосредственной окрестности, а не в другом месте в твердом теле. Поэтому при высокой степени корреляции между элементарными сдвигами (имеется хорошее доказательство, что это так по крайней мере в металлических стеклах [66]) деформация может быть по определению описана с помощью понятия дислокации, хотя эта дислокация значительно отличалась бы по свойствам от дислокации в кристаллическом материале. Например, высокие пределы текучести многих металлических стекол [66] указывают на то, что дислокация в таких материалах будет иметь более высокие напряжения Пайерлса ——Набарро, чем в металлических кристаллах. Таким образом, хотя следует проявлять осторожность при сравнении максимальных растягивающих деформаций, сообщенных для нитевидных кристаллов кварца и форстерита (Mg2SiO4) в табл. 1 и-для стержней и волокон из силикатного стекла в табл. 3 (поскольку упругая жесткость первых уменьшается, а последних увеличивается [67] при больших деформациях), из приведенного в табл. 3 ясно, что любые дислокации, присутствующие в таких материалах, также должны были бы иметь очень высокие напряжения Пайерлса ——Набарро.

Третье условие достижения очень высоких прочностей состоит в том, что образец должен быть зажат, закреплен в подходящей испытательной машине и деформироваться при выбранных условиях испытания без внесения каких-либо дополнительных повреждений, нарушающих его совершенство. К сожалению, эти практические проблемы обращения с образцами и их испытания стоят особенно остро для образцов из нитевидных кристаллов, поскольку до сих пор большинство твердых тел приготовлялось в этом виде с ограниченной сте・ пенью совершенства.

Таблица 1. Прочности нитевидных кристаллов

Материал

Максимальное растягивающее напряжение

Ссылка

Примечания (напряжение в ГПа)

ГПа

хё~1

(« деформация)

NaCl

1,6

0,039

[3]

Растяжение в направлении <100> в воде; т{110}<Н0> = 0,8 = 0,044G

NaCl

1,08

0,026

[4]

Растяжение в направлении <100>; т{110}<1Т0> = 0,54 = 0,030G

Mg2SIO4

—

0,12

'[5]

Нитевидный кристалл, изогнутый в электронном микроскопе между двумя сетками

ZnO

40

0,15

[6]

Изгиб консоли. Данные приведены в том виде, в каком они были опубликованы, несмотря на внутреннюю несогласованность (40 ГПа Q 0,4Е)

AIN

7,6

0,02

[7]

Растяжение

AIN

7,3

0,022

[8]

Изгиб. Аналогичные результаты при растяжении

Si3N4

13,5

0,036

[9]

—

BeO

19,6

0,057

[10]

SiO2 (кварц)

—

0,052

[Н]

Растяжение

Cr2N

—

0,058

[12]

Изгиб

Fe3C

—

0,047

[12]

Изгиб

Ge

2,06

0,038

[13]

Кручение. Приведенное напряжение 0〈111〉

Ge

4,3

0,079

[14]

Изгиб

SiC

20,3

0,03

[9]

—

Si

6,7

0,04

(9]

—

Si

7,6

0,045

[14]

Изгиб. Сравнимая прочность получена для сплава Si—Ge

AI2O3

15,2

0,03

[Н]

Растяжение

AI2O3

22,3

[15]

Растяжение в направлении <1120>. В направлениях <0001> и <юТо> соответственно 10,9 и 15,3

Cr

—

0,038

[12]

Изгиб

Ag

1,73

0,040

[16]

Растяжение в направлении <100>; т{111}<Н0> = 0,71 = 0,031G

Cu

2,94

0,015

[16]

Растяжение в направлении <111>; т{111}<110> = 0,80 = 0,022G

Cu

弋 1,50

0.028

[И]

Растяжение в направлении <100>; т{111}<110> = 0,61 =0,017G

Cu

1,74

0,030

[17]

Растяжение в направлении <110>; г{111}<П0> = 0,71 = 0,020(?

Cu

1,59

0,016

[17]

Растяжение в направлении <110>; т{111}<Н0> = 0,65 = 0Q18G

Продолжение

Материал

Максимальное растягивающее напряжение

Ссылка

Примечания (напряжение в ГПа)

ГПа

• XL】

(« деформация)

Си

1,71

0,012

[17]

Растяжение в направлении <111>;

Fe

13,10

0,049

[16]

т{111}<Н0> ^ 0,46 = 0,0136

Растяжение в направлении <111>;

Cd

2,80

0,042

[18]

т{110}<111> = 3,58 = 0.060G—

Растяжение в направлении <1120>;

С (графит)

20,7

0,02

[19, 20]

x{hkl}(uvw) = 0,033 — 0,069 G — для различных {hkl}{uvw)t а о(10Т0)= = 0,026Е

Растяжение

Е, E^UVW) — МОДУЛЬ Юнга； G, G{hkl}(UVW)— МОДУЛЬ СДВИГа； Отах — идеальная прочность при одноосном растяжении или сжатии; tmax — идеальная сдвиговая прочность; о〈〃из〉一 наибольшая компонента приложенного напряжения, характеризующая растяжение или сжатие в каком-либо направлении 〈〃из〉，工也叫 @vw〉——наибольшая касательная компонента приложенного напряжения со сдвигом в какой-либо плоскости {hkl} и в каком-нибудь направлении (uvw).

Когда Отах ИЛИ О〈〃и" СраВНИВЗЮТСЯ С модулем Юнга, а Стах или x{hkl}(uvw) с модулем сдвига при той же самой кристаллографической ориентации и в условиях одинаковых ограничений, обозначения £ н G используются без конкретизации. Аналогично если делается упор на каком-либо из модулей и из контекста ясно, какой тип деформации рассматривается, то используются такие же неопределенные обозначения. Конкретные обозначения применяют лишь, когда желательно сопоставить, например, величину напряжения, соответствующую одному типу деформации, с упругим модулем, соответствующим другому.

Таблица 2. Прочности более крупных монокристаллов

Материал

Максимальное растягивающее напряжение

Ссылка

Примечания

ГПа

хв-1 («деформация)

Ge

3,82

а 0,02

[21]

Изгиб бруска 0,7 X 1,5 мм при 78 К

Ge

2,94

% 0,015

[22]

Изгиб протравленного бруска при комнатной температуре

Si

4,14

к 0,02

[23]

Вытянутое кольцо длиной Q4 см и площадью поперечного сечения «0,4 см2 разрывалось растяжением

А1?Оз

6,85

а 0,02

[24-26]

Изгиб стержней диаметром 1 мм, полированных огнем или протрав* ленных

Из-за различных практических трудностей, связанных с приготовлением и испытанием образцов, измеряемые при испытаниях на изгиб и растяжение прочности обнаруживают обычно значительное рассеяние. Например, только 10 % нитевидных кристаллов из NaCl, испытанных в [4], имели прочности, большие 0,2 ГПа, тогда как наиболее прочные из их

Таблица 3. Прочности стеклянных стержней и волокон

Материал

Максимальное растягивающее напряжение

Ссылка

Примечания (напряжение в ГПа)

ГПа

ХЕ («деформация)

Е-стекло

3,59

—

[27]

Прочность не зависит от диаметра волокна при диаметрах 5—20 мкм -

Известково-на- триевое стекло

3,38

*0,05

[28]

Осредненное по многим испытаниям; растягивающее напря- жение = 255

Натриевое боросиликатное стекло

'0,12

[29]

Изгиб при 78 К волокна диаметром 125 мкм с высококаче- ственной сердцевиной диаметром 50 мкм и толстым крем- няевым покрытием в 75 мкм

SiO2 (кремнезем)

0,21

[29]

Изгиб при 78 К

SiO2 (кремнезем)

38,42

0,063

[30]

Растяжение волокна диаметром 3,3 мкм. Результат не согласуется с другими данными

SiO2 (кремнезем)

13,1

0,18

[31, 32]

Изгиб стержней при 78 К диаметром 0,5—3,0 мм

SiO2 <кремнезем)

13,8

«0,19

【28, 32]

Растяжение при 78 К волокон диаметром 30 мкм

-SiO2 (кремнезем)

5,68

% 0,08

[33]

Изгибогнеполированных

стержней диаметром 1 мм

числа разрушались при напряжении, примерно в пять раз большем этого (1,08 ГПа). Действительно, из всех значений прочности, перечисленных в табл. 1—3 (каждое из них представляет собой наивысшую прочность, зарегистрированную в ряде испытаний), лишь величина, приведенная для Cd, была получена на основе значительной доли общего числа выполненных испытаний. Поэтому, за одним этим исключением, остается неясным, является ли наивысшая зарегистрированная прочность действительно наибольшей возможной или при дальнейших испытаниях обнаружится более высокая прочность.

Крамп и Митчелл [18] растягивали тонкие лезвиеподоб- ные нитевидные кристаллы из Cd, нагружая их в направлении <1120> с помощью пневматического приспособления для растяжения, вмонтированного в просвечивающий электронный микроскоп. У этих кристаллов однородного прямоугольного поперечного сечения большей поверхностью была {0001}, краевыми гранями {1010}. Не было найдено никаких доказательств наличия поверхностных дефектов какого-либо рода как с помощью оптического, так и электронного микроскопа. Деформация растяжения при заданной приложенной нагрузке определялась по уменьшению расстояния между подходящими пятнами на электронно-дифракционнрм изображении деформированного образца. Электронно-микроскопическое исследование, сопровождающее испытание, показало, что лишь 13 из 72 испытанных таким образом кристаллов свободны от растущих внутренних дефектов и повреждений, полученных при закреплении в испытательной машине. Однако все эти 13 образцов разрушились при деформации растяжения 0,042 土 0,003, что значительно больше деформации разрушения остальных 59.

Интересная черта этих опытов в том, что кристаллы при разрушении не раскалывались на множество частей, что обычно имеет место в случае очень высоких прочностей, а распадались на две половины [68]. Таким образом, оказалось возможным определить, что половина высокопрочных кристаллов разрушалась сколом по плоскости {1010}, ведущим к образованию, по-видимому, гладких в атомном масштабе поверхностей разрушения и не оставляющим следов каких-либо дислокаций на частях образца, образовавшихся после разрыва. Другие высокопрочные кристаллы разрушались сдвигом по плоскостям {1011} с образованием несколько разлохмаченных поверхностей разрушения, и в зоне разрушения оставалось несколько дислокаций с различными векторами Бюргерса. Значения прочности, приведенные в табл. 1 для Cd, были вычислены автором на основе данных Крампа и Митчелла. Как их величина, так и согласованность, а также чрезвычайная локализация соответствующих процессов разрушения явно свидетельствуют в пользу того, что они происходят в условиях (или близких к ним), когда реализуется идеальная прочность Cd.

В табл. 4 представлены данные по «высокой прочности», полученные для целого ряда волокон неизвестного или менее чем оптимального совершенства. Они включены в нее главным образом для того, чтобы показать, что многие так называемые сверхпрочные материалы имеют прочности, гораздо меньшие идеальной прочности. Так, высокопрочное волокна

Таблица 4. Прочности других волокон

Материал

Максимальное растягивающее напряжение

Ссылка

Примечания

ГПа

ХЕ-】 («деформация)

MgO

23,7

^ 0,10

[34]

Изгиб. Отщепление нитей с направлением <100>

LiF

0,03

[35]

Изгиб. Отщепление нитей с направлением <100>

Асбест (крокидолит,

6,04

.0,03

[36]

Растяжение

Na2FesS igC)22(OH)2) Асбест (хризотил, Mg3Si2O5(OH)4)

5,65

0,024

[361

Растяжение

Асбест (хризотил, Mg3Si2O5(OH)4)

4,39

0,028

[37]

Растяжение

Al

2,27

q 0,06

138]

Изгиб волокна с поперечным сечением 0,7X13 мкм, полученного травлением из большего кристалла

Fe — С (чугун)

10,45

—

[39]

Тонкие проволоки, вытянутые по методу Тейлора [40]

SiC

6,0

а 0,01

[41]

Растяжение. Упомянута более ранняя работа того же

автора по другим волокнам SiC

С

3,8

2 0,005

[42]

Растяжение. См. также [1]

В

4,5

а 0,015

[1, 43]

Растяжение. Средняя прочность = 2,3 ГПа

Полидиацетилен

2,0

« 0,04

144]

Деформация кристаллов толщиной 0,5 мкм в элек* тронном микроскопе

Полиэтилен

3,04

0,060

[44]

Растяжение. Крученые/тя， нутые из раствора нити

из С и SiC (табл. 4) имеют прочности, составляющие соот* ветственно не более 30 и 18 % прочностей нитевидных кристаллов из этих материалов (табл. 1). Кроме того, даже в наиболее высокоориентированных полимерах (табл. 4) связи С—С разрушаются при напряжении, на порядок величины меньшем прочности графитовых нитевидных кристаллов (табл. 1). Аналогично асбестовые волокна (табл. 4) разрушаются при деформациях примерно 0,25——0,5 от разрух шающей деформации нитевидных кристаллов из кварца и форстерита (табл. 1). Также не отмечалась максимальная прочность, полученная для волокон бора (табл. 4), хотя тем не менее они полезны из-за неожиданной (и все еще необъ- ясненной) нечувствительности нк прочности к дефектам об-

работки. Более интересны для наших целей значительные прочности, полученные для проволоки из Fe—С, вытянутой и затвердевшей внутри стеклянной трубы [39, 40], для алюминиевой нити, вытравленной из большего кристалла [38], и для нити, полученной при расщеплении MgO [34]. При этом последний результат не удалось воспроизвести для LiF [35]. Однако ни в одном из этих случаев не было сделано попыток охарактеризовать содержание дефектов в образце. Таким образом, снова невозможно определить, относятся ли полученные прочности к характеристикам совершенной кристаллической решетки.

В силу экспериментальных затруднений, связанных с испытаниями категорий 1——4, разработано несколько альтернативных методов измерения идеальной прочности. В этих косвенных методах (категория 5) принимается во внимание, что реальные твердые тела обычно содержат дефекты, и высокие напряжения прикладываются к областям, достаточно малым для того, чтобы была высока вероятность отсутствия в них дефектов. Это в значительной мере снимает проблемы приготовления и закрепления образцов, но обычно означает, что приложенные напряжения распределяются сложным образом и неоднородно. Поэтому» могут быть трудности для точного расчета этих напряжений.

Один такой косвенный метод применяется к двухфазным материалам, в частности к металлическим сплавам, содержащим сферические частицы второй фазы, сцепленные с матрицей. В таких материалах совместность деформаций может привести к большим локальным сдвиговым напряжениям в матрице в непосредственной окрестности поверхности раздела между частицами и матрицей. Тепловые флуктуации будут вызывать спонтанное зарождение дислокаций в этой области, если 1) эти локальные сдвиговые напряжения достигают идеальной сдвиговой прочности и 2) посредством этого снижается полная энергия системы. С другой стороны, если, например, образцу сообщена дополнительная деформация или облучение, то зарождение дислокаций может происходить даже при сдвиговых напряжениях на поверхности раздела, меньших идеальной сдвиговой прочности, но, конечно, при условии, что вышеприведенное требование 2) выполнено [49]. Следовательно, электронно-микроскопические исследования потери сцепления частицами второй фазы при различных условиях могут дать косвенные оценки идеальной прочности на сдвиг. В частности, в предположении упругой изотропии исследования системы Си—Со [50] указывают на то, что в особых условиях нагружения, имеющих место в области границы раздела фаз, идеальная сдвиговая прочность для Си больше 0,039G при 873 К (табл. 5).

Таблица 5. Косвенные измерения высоких прочностей

Материал

Максимальное растягивающее напряжение

Ссылка

Примечания

ГПа

ХЕТ

(« деформация)

Au, А1, Си

—

—

[46, 47]

Микровдавливание. Максимальное сдвиговое напряжение =0,05G{lll}<H0>

Ge

7-12

0,05-0,08

[48]

Микровдавливание. Максимальное сдвиговое напряжение =10—15 = 0,2—0,3 G {Н1}<Н0>

MgO

5-9

0,02-0,035

[48]

Микровдавливание. Макси- мальное сдвиговое напряже- ние = 9—15 = 0,09—0,15G {110}<Н0>

Си

[49, 50]

Вдавливание призмы. Максимальное сдвиговое напряжение q 0,039G о при 873 К

W

14

0,034

[51]

Двухслойная электрополировка. Максимальное сдвиговое напряжение ^ 0Q44G ~

W

20

0,049

[52]

Двухслойная электрополиров- ка. Максимальное сдвиговое напряжение & 0,063G。

Ni

10

0,05

[52]

Двухслойная электрополировка. Максимальное сдвиговое напряжение ^0,063G【)

G изотропно.

*) При расчете предполагается, что

Во второй косвенной методике, разработанной Гейном и др. [46—48], используется метод определения микротвердости с помощью очень маломасштабного индентора. В этих исследованиях применялись очень маленькие инденторы (с радиусом кривизны, меньшим 1000 А, согласно измерениям с помощью ионного микроскопа) для вдавливания в протравленные поверхности Au, Al, Си, Ge и MgO в местах, удаленных от ямок травления на дислокациях. Образец вместе с индентором устанавливался в сканирующий электронный микроскоп, и к индентору электрическим способом прикладывав лась непрерывно возрастающая нагрузка. Таким образом, первое возникшее повреждение немедленно обнаруживалось благодаря большому увеличению, и нагрузка, при которой это происходило, могла быть проконтролирована. Для каждого материала была найдена критическая нагрузка, при

которой внезапно начиналось течение и образовывалось заметное углубление. На основании этого наблюдения делался вывод о том, что идеальная прочность для особого вида деформирования под индентором оказалась превзойденной. Напряжения под индентором при этой критической нагрузке оценивались отдельно по теории упругого контакта Герца [48] и по теории пластичности [46, 47] до 0,05 от соответствующей упругой жесткости. Гейн [47] отметил аналогичное поведение также у металлов Ag, Ni, Fe и Zn. В той же статье он сообщил также, что иногда близкие напряжения требуются для притупления подобных инденторов из Au о твердую плоскую поверхность, в частности если имеется заметный аморфный слой полимерной примеси, обычной для электронных микроскопов, который препятствует концентрации сдвиговых напряжений на поверхности контакта. Руофф и Ванагель [69] сообщили, что при аналогичных испытаниях алмазные инденторы радиуса 2 мкм разрушались при контактном давлении 160 ГПа.

Остальные перечисленные в табл. 5 данные получены Смитом и др. [51, 52] с помощью метода двухслойной электрополировки, разработанного впервые Ралфом [70] с целью приготовления образцов для ионного микроскопа. При этом между вертикально закрепленным образцом в форме стержня и концентрическим цилиндрическим электродом прикладывается потенциал. Они оба выступают как сверху, так и снизу от слоя электролита, плавающего на тяжелой инертной жидкости (подобной СС14), и последующей полировкой часть образца, погруженная в электролит, утоньшается до узкой шейки. Разрушение происходит, когда шейка уже не может далее удерживать вес нижней части образца, т. е. при напряжении, которое определяется отношением веса нижней половины разрушенного образца к площади поперечного сечения зоны разрушения. Обычно площадь этого поперечного сечения достаточно мала для того, чтобы была велика вероятность отсутствия на ней дефектов. Это обстоятельство можно подтвердить при определении размеров области шейки в просвечивающем электронном микроскопе.

Для полноты нужно также отметить следующее. Типичные образцы для ионного микроскопа достаточно малы, чтобы с большой вероятностью быть бездефектными. Поэтому в принципе возможно использовать такой микроскоп для из・ мерения идеальной прочности любого умеренно тугоплавкого металла. Процедура начинается с получения изображения образца с целью определения его радиуса кривизны и подтверждения отсутствия дефектов. Затем измеряется напряжение, нужное для того, чтобы электрическое поле вызвало испарение, т. е. разрушение, при котором в первом прибли-

жении имеет место гидростатическое растяжение. Было сделано несколько таких измерений. Здесь их результаты не приводятся, поскольку все еще существуют значительные разногласия по вопросу о расчете напряжений, создаваемых в образце приложенным электрическим полем [71—74],

Таким образом, очевидно, что, несмотря на различие в атомной плотности, межатомные силы сцепления в монокристаллических и стекловидных материалах характеризуются сопоставимой прочностью^ и эта прочность очень велика. Такая одинаковость прочности непохожих структур возникает потому, что в стекловидных материалах остается значительный ближний порядок. Они содержат непрерывные трехмерные каркасы со связями между ближайшими соседями аналогичного строения и прочностями, сравнимыми с прочностями связей ближайших соседей соответствующих кристаллических материалов. А это как раз та самая черта стекловидных материалов, которая должна отвечать за сопротивление движению дислокаций, если такие дефекты они должны содержать.

Ясно также, что в отсутствие границ зерен D и еще больших дефектов именно наличие скользящих дислокаций и/или мельчайших трещин (последние часто зарождаются на неоднородностях поверхностей) является главной причиной относительной слабости большинства образцов большинства материалов. Далее, поскольку даже отдельный такой дефект может резко понизить прочность образца, а такие дефекты встречаются более или менее статистически равномерно, это объясняет также, почему очень высокая прочность (во всех материалах) является обычно столь структурно чувствительным и невоспроизводимым свойством и почему наиболее часто наблюдается в очень малых образцах.

Такое понимание механических свойств предполагает, что прочность любого материала будет расти с увеличением совершенства структуры. Следовательно, идеальная прочность будет реализована лишь тогда, когда достигается максимально возможное совершенство. Однако существуют определенные пределы степени структурного совершенства, достижимого в данном образце.

Для кристаллических образцов некоторый предел накладывается прежде всего из термодинамических соображений, ибо даже в термодинамическом равновесии в ненапряженном кристаллическом твердом теле содержатся такие дефекты,

')Отметим, между прочим, что вредное влияние границ зерен на прочность в керамических материалах гораздо больше, чем в металлах, просто потому, что ненаправленный характер связей в последних делает нх способными лучше нивелировать неправильности решетки.

как колебания решетки, вакансии некоторой концентрации и т. п. Такие дефекты с необходимостью присутствуют в любом испытываемом образце. В противоположность этому дефекты, подобные дислокациям, не ожидаются при тех же условиях даже после очень большого времени. Однако, когда твердое тело деформируется, его термодинамический потенциал и энергия образования каждого вида дефектов изменяются, и при деформациях, соответствующих наибольшим возможным прочностям, эти изменения могли бы, вероятно, быть весьма большими. Поэтому в деформированном материале равновесные концентрации различных типов дефектов, уже присутствующих, будут изменяться. Возможно также, что термодинамически выгодным могло бы стать наличие новых типов дефектов. Степень, до которой будут действительно происходить изменения содержания дефектов в данном испытании, зависит от таких условий испытания, как температура, продолжительность нагружения и скорость деформации. Тем самым эти кинетические факторы накладывают второе ограничение на степень структурного совершенства, которого можно достичь в испытываемом образце.

Таким образом, ясно, что идеальная прочность подобно прочности, измеренной в любом эксперименте, является функцией не только частного вида испытываемого материала, но и процедуры испытания. Следовательно, идеальная прочность зависит от геометрии образца, типа деформации, температуры, скорости деформации, типа нагружения (например, статическое нагружение, сжатие и т. п.), создаваемого испытательной машиной, и т. д.

На практике размер, форма, метод обработки и среда, в которой проводились испытания образца, определяют площадь, кристаллографическую ориентацию и условия на его поверхности. Однако независимо от того, насколько совершенной может быть эта поверхность (т. е. насколько она близка к термодинамически равновесной), она остается областью, в которой нарушается обычный атомный порядок, характерный для объема твердого тела. В этом смысле поверхность может рассматриваться как дефект, хотя и неизбежно присутствующий. Это поднимает вопрос о том, будет ли поверхность твердого тела слабее по своей природе, чем внутренность, т. е. не контролируется ли идеальная прочность в конечном итоге поверхностью. Крайняя чувствительность измерений высокой прочности к условиям на поверхности наводит на мысль, что это может иметь место.

Для образцов из аморфных материалов, которые по своей сути никогда не находятся в термодинамическом равновесии, детали предыдущих аргументов должны быть другими. Тем не менее можно получить то же самое общее з^кдючеци^

А именно, требования к практической процедуре испытаний должны, вероятно, повлиять на достижимую степень совершенства образца, а следовательно, на идеальную прочность.

Уместно, может быть, также отметить, что поскольку достижение идеальной прочности требует отсутствия скольжения дислокаций, а пластичность ——экстенсивного скольжения, то высокопрочные твердые тела любого типа с необходимостью должны быть хрупкими и поэтому уязвимыми по отношению к ударной нагрузке и повреждению поверхности. Одно из эффектных следствий этого отсутствия пластичности заключается в интенсивном растрескивании, которое обычно наблюдается при разрушении. Высокопрочные образцы пытаются диссипировать энергию деформации, и это происходит путем создания новой поверхности и придания ускорения частям образца, образовавшимся при разрушении.

Далее, скорость, с которой кристалл может деформироваться благодаря дислокационному скольжению, зависит от числа и скоростей подвижных дислокаций, которые он содержит. И поскольку ни одна из этих величин не может увеличиваться безгранично, то можно утверждать, что очень высокие прочности, рассчитанные на основе некоторых экспериментов с ударным нагружением, являются мерой идеальной прочности (обычно при сдвиге или одноосном сжатии). Суть этого аргумента в том, что кристалл будет деформироваться однородно, если уже не возможно далее неоднородное деформирование скольжением дислокаций. Однако имеется много неопределенностей в способах оценки напряжений и температур, создаваемых ударным нагружением, и типах отклика образца на такое нагружение. Поэтому в обзор не включено ни одно значение прочности, полученное в таких экспериментах.

РАСЧЕТЫ ИДЕАЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ

Общие рассмотрения

Испытываемый образец состоит из трехмерной решетки взаимодействующих атомов, находящихся в колебательном движении около их положений равновесия и подверженных действию некоторого распределения внешних сил. В принципе методы квантовой механики дают возможность рассчитать любой частный термодинамический потенциал, а следовательно, и идеальную прочность при любых заданных условиях испытания на основе описания этой динамической системы атомов. Чтобы система находилась в устойчивом равновесии, подходящий термодинамический потенциал должен достигать минимума. Другой подход основан на том, что если пренебречь кинетической энергией движущихся атомов и

трактовать напряженный кристалл как статическую механическую систему, то условия равновесия и устойчивости таковы, что отсутствует результирующая сила на каждый атом и полная потенциальная энергия системы минимальна. В каждом случае условие минимума накладывается на некоторую потенциальную характеристику системы в целом, и этот потенциал включает вклад работы, совершаемой внешними силами на любом виртуальном смещении. Таким образом, снова видим, что термодинамический потенциал, а следовательно, и идеальная прочность должны зависеть от условий испытания.

На практике отсутствие достаточно детального знания межатомных сил и сложность соответствующих расчетов должны помешать сделать что-либо отличное от сильно упрощенных расчетов идеальной прочности. Действительно, лишь в нескольких недавних исследованиях по молекулярной динамике динамическая природа атомной системы хотя бы принималась во внимание. Более часто просто оценивали статический потенциал решетки, зная равновесные положения атомов внутри твердого тела, и затем приравнивали его некоторому термодинамическому потенциалу (хотя какому, обычно не ясно, поскольку условия испытания редко определены точно). Таким образом, не принимались во внимание ни поверхностные эффекты, ни влияние тепловых движений, ни вакансии в решетке и т. п. Следовательно, различные приводимые ниже расчеты дают наилучшую точность при О К, когда нулевое движение является единственным внутренним дефектом, которым пренебрегают. Эти расчеты не могут пролить свет на вопрос, является ли поверхность твердого тела менее прочной, чем его внутренние области. Действительно, только в особо отмечаемых случаях предпринимали хотя бы какую-либо попытку исследовать устойчивость деформированного твердого тела. Во всех других случаях молчаливо предполагается, что деформация остается устойчивой, пока нужная компонента напряжения не достигает максимума.

Как и в случае обсуждавшихся выше экспериментальных исследований, теоретические расчеты идеальной прочности удобно разбить на несколько следующих категорий: 1) на основе ее связей с другими физическими свойствами, 2) на основе «подсчета связей», 3) на базе простых межатомных потенциалов с центральными силами взаимодействия, 4) с помощью более сложных межатомных потенциалов, 5) через более высокого порядка упругие жесткости и 6) с помощью расчетов молекулярной динамики. Расчеты каждой из этих категорий по очереди обсуждаются в последующих шести подразделах, 、

Расчеты идеальной прочности на основе ее связейс другими физическими свойствами

Один из путей обойти отсутствие знаний о силах сцепления и расчетные трудности заключается в попытке связать идеальную прочность непосредственно с другими макроскопическими физическими свойствами.

Полани [75] и Орован [76, 77], а впоследствии и некоторые другие исследователи [1, 23, 78, 79] применили этот подход в получившем широкую известность расчете идеальной прочности при одноосном растяжении Отах. В этом расчете предполагают, что зависимость напряжения от смещения для любого твердого тела, подвергаемого действию одноосного растяжения, может быть представлена первой половиной периода синусоидальной кривой с начальным наклоном, характеризуемым модулем Юнга Е Далее предполагают, что совершаемая работа на единицу площади атомной плоскости, нормальной к оси растяжения, при подъеме напряжения до максимального значения на синусоиде, т. е. до атах, равна поверхностной энергии ?. В этих предположениях приходим к соотношению

атах Н (Yе他)叱 ⑴

где ао характеризует расстояние между атомными плоскостями, перпендикулярными оси растяжения, в ненапряженном состоянии. Значения Отах, приведенные в табл. 6, получены

Таблица 6. Расчеты идеальной прочности при одноосном растяжении Отах методом Орована — Полани-

Материал

Направление растяжения

Б, ГПа

Y，мДж/м2

%ах，「"а

%ах/Е

Ag

〈111〉

121

ИЗО

24

0,20

Au

〈111〉

НО

1350

27

0,25

Си

〈111〉

192

1650

39

0,20

Си

〈100〉

67 (75)

1650 (3630)

25 (38,7)

0,37 (0,51)

W

〈100〉

390 (405)

3000 (6415)

61 (90,8)

0,16(0,22)

a-Fe

〈100〉

132 (143)

2000 (4520)

30 (47,9)

0,23 (0,34)

a-Fe

〈111〉

260

2000

46

0,18

Si

〈111〉

188

1200

32

0,17

С (алмаз)

〈111〉

1210

5400

205

0,17

SiO2

—

73

560

16

0,22

(кремнезем)

NaCl

〈100〉

44

115

4,3

0,10

MgO

<100)

245

1200

37

0,15

AI2O3

<0001>

460

1000

46

0,10

Келли [1] по этому соотношению. Использованные данные относятся к температуре 293 К, кроме тех, которые заключены в скобки и относятся к О К [80, 81]. Из того же соотношения для кварцевого стекла получается атах = 28 ГПа или 〜0,4Е [79].

Из табл. 6 ясно, что расчет Орована — Полани подразумевает относительно слабую зависимость Отах от температуры. Кроме того, хотя явно еще не упоминалось об ограничениях, накладываемых во время деформации, при расчете

Таблица 7. Расчеты идеальной прочности

При ОДНООСНОМ растяжении Отах методом Орована — Полани и родственными методами

Выражение для отах

Ощах，「"а

Алмаз

NaCl

£/10

120

4,9

140

7,8

0,52 (EY/aJ/2

94

2,7

3^/8ао^о

270

5,7

々一постоянная Больцмана.

подразумевается, что отах будет изменяться при них таким же образом, как и Е Однако более поздние расчеты, обсуждаемые ниже, показывают, что увеличение Е соответствует для некоторых твердых тел росту атах, а для других — уменьшению.

В исследовании Национальной академии наук США [79] дано обобщение расчета Орована — Полани. Предполагается, что Отах должно быть максимально для более общей зависимости напряжения от смещения с тремя подгоночными параметрами, определяемыми по соответствующей поверхностной энергии, тепловому расширению и значениям упругой жесткости. Было найдено, что различные подходящие функции приводят к изменению величин атах в два раза. Аналогичный диапазон изменений был найден Гилманом [23], использовавшим несколько различных функций. Он попытался связать коэффициенты кривой напряжение — смещение с одной или несколькими такими переменными, как £, у, %, коэффициент теплового расширения а0, «область действия» межатомных сил и атомный объем и°. Результаты, приведенные в табл. 7, показывают, что по крайней мере для алмаза и поваренной соли NaCl подход Орована ——Полани дает наибо-

лее устойчивую оценку Отах. Другие исследователи [82—84] получили оценки идеальной прочности при трехосном растяжении (т. е. расширении объема) на основе эмпирических выражений для энергии деформации. Например, для кварцевого стекла Демишев и Бартенев [83, 84] таким методом получают оценку идеальной прочности 78,3 ГПа для этого типа деформации.

Френкель [85] первым применил подход Орована — Полани для расчета идеальной сдвиговой прочности ттах для твердого тела, подвергнутого простому сдвигу. Он предполагал, что в любом твердом теле сдвиговое напряжение т, необходимое для сдвига любой атомной плоскости на расстояние х над соседней, дается формулой

t = К sin (2几r/b), (2)

в которой b ——характерный период в направлении сдвига. Френкель также предположил, что плоскость сдвига при деформации остается неискаженной. Тогда если К выбрать согласованным с модулем сдвига G, то

tmax = Gb/(2冗办 (3)

Здесь d — расстояние между сдвигаемыми атомными плоскостями. Следовательно, для г. ц. к.-металлов при сдвиге {111}<112> имеем 《ах = G/(2冗 “5). Формулу (2) можно также записать в виде

t = ―, (4) dx

где

и(%)=缶(l-cos 衿. ⑸

Таким образом, U(x) представляет собой запасенную энергию упругих деформаций в объеме кристалла на единицу площади плоскости сдвига. Маккензи [86] осознал, что соотношение (5) дает первые два члена ряда Фурье, и предположил, что добавление в этот ряд членов более высокого порядка приведет к лучшему приближению при вычислении запасаемой энергии упругой деформации. Он показал, как находить коэффициенты следующих двух членов в частных случаях однородно деформируемого г. ц. к.-кристалла при сдвигах {111}<112> и {111}<110>. Этот анализ Маккензи при* водит к часто цитируемому результату ттах = G/30 для г. ц. к.-металлов. Если предположить, что U (х) определяется только взаимодействиями самых ближних соседей, то соображения Маккензи применимы также к базисному сдвигу в г. п. у.-кристаллах с идеальным осевым отношением д/8/3 ・

Келли [ I] распространил далее идеи Маккензи на о. ц. к.-металлы (при сдвиге {110}<111>), на г. п. у.-металлы с неидеальными осевыми отношениями, на графит и на А12О3. Во всех случаях полученная оценка Ттах очень чувствительна к коэффициентам дополнительных членов более

Таблица 8. Расчеты идеальной сдвиговой прочности ттах методом Френкеля

Материал

Плоскость и направление сдвига

G, ГПа

七max/。

tmax，「"а

Си (ЮК)

{111}〈1 ⑵

33,2

0,028-0,039

0,93-1,29

Си

{111}〈1 ②

30,8

0,028-0,039

0,86-1,20

{Ш}(Н2)

19,0

0,028-0,039

0,53-0,74

{U1}〈1 ⑵

19,7

0,028—0,039

0,55-0,77

{"}〈1⑵

23,0

0,028—0,039

0,65-0,90

{111}〈1改〉

23,0

0,114

2,62

{Н0}<1Г1)

60,0

0,11-0,13

6,6-7,8

{ПО} (1Г1)

150,0

0,11-0,13

16,5-19,5

AI2O3

{0001}<1120)

147,0

0,115

16,9

Zn

{0001}<10Г0)

38,0

0,034 1)

1,3

С (графит)

{0001}(10Г0)

23,0

0,05 1)

0,0115

*) Эти значения tmax/G отличны от 0,028-0,039, поскольку Zn и графит имеют неидеальные отношения осей.

высокого порядка. В табл. 8 перечислены некоторые результаты, полученные Келли [1]. За исключением одного отмеченного примера, эти результаты подсчитываются на основе данных при комнатной температуре. Келли выбирает G = =1/4S⑶з, где 81 величина Sijki представляет собой общепринятые упругие податливости или модули «малых деформаций» второго порядка (с размерностями, обратными размерности напряжения) [87], а оси 1 и 3 выбираются по направлению нормали к плоскости сдвига и по направлению сдвига соответственно. Тем самым допускается произвольное искажение плоскости сдвига, которое происходит в процессе сдвига. Отметим, что это не согласуется со строгими геометрическими соображениями, использованными первоначально для получения коэффициентов дополнительных членов в U(%). Отметим еще, что точно так же, как и в случае атах, этот метод расчета предполагает, что ттах меняется с темпе* ратурой не очень быстро.

Эти простые расчеты можно критиковать на том основании, что все они исходят в конце концов из некоторого эмпирического описания функции энергии деформации или не-

которой производной этой функции, а не из описания атомной системы. Ни в одном случае не принимается во внимание явно какая-либо модель межатомных сил, и, за исключением работы Маккензи [86] и ее обобщения Келли [1], кристаллическая структура также не участвует в расчетах. Тем не менее, несмотря на то что на результаты этих расчетов можно смотреть лишь как на оценки порядка величин, их широко цитируют. Кроме того, работы Полани [75] и Френкеля [85] были исторически важны, поскольку впервые подчеркивалось различие между действительной и идеальной прочностями твердых тел. Было необходимо примирить это несоответствие, что привело к осознанию роли дефектов в определении механического поведения в большинстве случаев.

Расчеты идеальной прочности через подсчет связей

Другой очень простой подход к вычислению идеальной прочности твердого тела впервые был применен Де Буром [88]. При таком рассмотрении пытаются избежать ранее упомянутой критики, используя детальную, хотя и грубую, модель межатомных сил для данного материала. Однако, как и прежде, результаты следует рассматривать лишь как оценки порядка величин. Де Бур предположил, что энергия алифатической связи С—С выражается через период С——С с помощью функции Морса (определенной ниже). Он вычислил силу, необходимую для разрушения одной такой связи, по максимальному значению производной этой функции по длине связи. Величины подгоночных параметров О, а и R。，входящих в функцию Морса, он вывел из результатов измерений длины связи, энергии связи и соответствующей частоты поглощения. Последняя определялась спектроскопически. Таким путем Де Бур получил значение 5,64-10-5 Па для сопротивления разрушению одной алифатической связи С——С. Затем, чтобы получить идеальную прочность одноосного растяжения Отах для структуры, построенной из непрерывных прямолинейных цепей С—С (уложенных параллельно оси растяжения), он просто умножил это сопротивление разрушению на число цепей С——С на единице площади плоскости, нормальной к оси растяжения. Это дало атах = 43 и 38 ГПа для фенолформальдегида и т-крезолформальдегида соответственно. Тайсон [89] аналогично получил атах = 106 ГПа для направления <111> в алмазе. Таким же образом Ладик и Нараи-Сабо [90] оценили Отах в 24,2 ГПа для кварцевого стекла с помощью подобного анализа «псевдодвухатомной» молекулы SiOs—О.

Этот подход подсчета связей был также распространен 179] на зигзагообразные цепи С—С, в которых одновременно

происходит изгиб и растяжение связей. В этом случае модель с функцией Морса для растяжения связей объединялась со столь же эмпирической моделью изгиба связей для того, чтобы получить зависимость энергии связи от ее геометрии. Эта зависимость подбиралась так, чтобы получилась гладкая кривая напряжение ——деформация в соответствии с энергией образования связи и равновесной стереохимией цепи, энергией инверсии и спектроскопически определяемыми силовыми константами для изгиба и растяжения связей цепи. Для полиметилена величина Отах для направления, параллельного цепям С——С, оценивалась по этой модели в 30 ГПа (при пе・ формации 〜0,3).

В той же работе [79] делались также попытки распро* странить такие соображения качественного порядка на более сложные структуры, построенные на связях С—С. Одним интересным примером является графит, для которого для любого направления базисной плоскости получалась оценка Umax ~ 170 ГПа. Отметим, что в силу его слоистой структуры можно ожидать также высокой прочности графита при двухосном нагружении (в противоположность цепочечным структурам).

Тайсон {89] применил аналогичную модель к расчету Fax для алмаза при простом сдвиге {111}<110>. Он учел изменение энергии атома С при таком сдвиге из-за изгиба и растяжения связей с его ближайшими семью соседями. Как и в своих расчетах растяжения этого материала, Тайсон предпо' ложил, что вытягивание связей описывается функцией Морса. Изгиб он описал эмпирической функцией, отражающей уменьшение сопротивления изгибу с ростом длины связи. Затем он вычислил Fax как произведение числа атомов С на единицу площади плоскости сдвига и максимального значения производной энергии на атом по сдвиговой деформации и получил 91,6 ГПа при деформации сдвига 0,29.

Подход подсчета связей был использован также Перепелкиным для вычисления Отах： 1) в направлении, параллельном цепям С—С для большого набора одноосно ориентированных полимеров [91], 2) в плоскости ориентированной полиэтиленовой пленки [92] и 3) в базисных плоскостях графита и BN, SiC с гексагональными решетками [92]. Структуру последних четырех он истолковывал как построенную из гексагональных рядов ковалентных связей. В каждом случае ковалентная связь описывалась у него функцией Морса, согласованной с энергией распада связи, равновесным межатомным расстоянием и соответствующими спектроскопическими данными. Он вывел Отах как силу, необходимую для одновременного разрушения всех связей на единице площади нагруженного поперечного сечения [92], а также как отн「

шение энергии активации для разрыва связи к «структурному коэффициенту» [91], который можно либо рассчитать из модели цепи и ее взаимодействия с соседними цепями [93], либо вывести из наблюдаемой зависимости от напряжения времени до разрушения [94]. Некоторые результаты Перепелкина перечислены в табл. 9. Отметим неожиданное различие величин для волокон и пленок из полиэтилена.

Таблица 9. Расчеты идеальной прочности при одноосном растяжении Отах методом подсчета связей

Материал и форма образца

Направление растяжения

'гпах，「"а

ХЕТ («деформация)

Полиэтилен (волокно)

Ось волокна

19,5-23,0

Поливинилхлорид (во

То же

9,6 — 9,9

локно)

Поликапроамид (волок

》

18,0-19,6

но)

Полипропилен (волокно)

》

9,0- 9,1

Полистирол (волокно)

》

5,4

Полиэтилен (пленка)

В плоскости пленки

3,1- 3,6

0,093—0,105

С (графит)

В базисной плоскости

12,0—13,5

0,127-0,133

BN (гексагональный)

То же

11,6—13,2

0,11 -0,126

SiC (гексагональный)

》

9,5—11,6

0,086-0,108

Поскольку понятие индивидуальных направленных связей остается справедливым даже качественно лишь для преимущественно ковалентных твердых тел, то применимость рассмотренного метода подсчета связей для вычисления идеальной прочности оказывается ограниченной этим классом материалов. Однако даже для ковалентных твердых тел имеется значительная неопределенность в точности полученных величин идеальной прочности. Ни для одной из функций, используемых для описания изгиба и растяжения связи, нет какого-либо теоретического оправдания. Скорее функция Морса и другие использованные угловые функции выбирались потому, что казались физически правдоподобными и были математически удобны.

Вычисления идеальной прочности с помощью простыхмежатомных потенциалов с центральными силами

Математический формализм. Несомненно, в большинстве расчетов идеальной прочности использован радиально сим・ ^етричный межатомный потенциал центральных сил типа из

тенциалов Морса, Ми, Леннарда-Джонса, Борна и Борна — Майера (табл. 10). Во всех этих расчетах игнорировалась кинетическая энергия атомного движения, а потенциальная энергия кристалла оценивалась непосредственно из модельного межатомного потенциала методами суммирования по

маз (^ар)маз (^ар)D [j2a (RaB-R。)一 2е~“ 俨耶一凡)]D [j ma (%厂R0)_ “-a (Ra广观)]m一1D [j2a (RaB-R。)一 2е~“ 俨耶一凡)]D [j ma (%厂R0)_ “-a (Ra广观)]m一1НазваниеПотенциал МорсаОбобщенный потенциал МорсаПотенциал МиПотенциалЛеннарда-Джонса Потенциал БорнаПотенциалБорна — МайераНазваниеПотенциал МорсаОбобщенный потенциал МорсаПотенциал МиПотенциалЛеннарда-Джонса Потенциал БорнаПотенциалБорна — МайераТаблица 10. Радиально-симметричные двухчастичные потенциалыс центральными силами

маз (^ар)

маз (^ар)

D [j2a (RaB-R。)一 2е~“ 俨耶一凡)]

D [j ma (%厂R0)_ “-a (Ra广观)]

m一1

D [j2a (RaB-R。)一 2е~“ 俨耶一凡)]

D [j ma (%厂R0)_ “-a (Ra广观)]

m一1

Название

Потенциал Морса

Обобщенный потенциал Морса

Потенциал Ми

Потенциал

Леннарда-Джонса Потенциал Борна

Потенциал

Борна — Майера

Название

Потенциал Морса

Обобщенный потенциал Морса

Потенциал Ми

Потенциал

Леннарда-Джонса Потенциал Борна

Потенциал

Борна — Майера

力[b/R^-i/R^](9)

士附r耶+//总3(1°)

士 e"Ra3 — с(хз/唸—d。"％ + bb^b^^e "刈口

(И)

(статической) решетке. В каждом случае предполагалось, что потенциальная энергия должна адекватно представлять соответствующий термодинамический потенциал (например, свободную энергию Гельмгольца 尸 в случае изотермической деформации в условиях термодинамической обратимости). Поэтому удобно начать этот раздел с краткого наброска математического формализма, необходимого для описания однородной деформации кристалла в этом приближении. В дальнейшем обсуждение ограничивается кристаллами, в которых все атомы размещены в центрах симметрии, и в этом случае каждая подрешетка деформируется аналогично и не происходит внутренней деформации в элементарной ячейке решетки [95].

Для такого твердого тела наиболее общую однородную деформацию, которую возможно создать гипотетической испытательной машиной, можно записать в виде】)

Х(『)=斗。)+ gj/а)= (% + g〃)呼). (12)*

- d В уравнениях, отмеченных звездочкой, подразумевается эйнштейновское соглашение суммирования по латинским индексам.

Здесь %!“) и X,00 — положения атома а в начальных (ненапряженных и недеформированных) и текущих (напряженных и деформированных) конфигурациях соответственно, В〃一 дельта-символ Кронекера и g〃一несимметричный тензор второго ранга. Величины g订 и 8〃 + g〃 часто называют градиентом смещения и градиентом деформации соответственно. Далее расстояние Ra§ между двумя атомами а и 0 в деформированном кристалле дается выражением

凡6 = {[xг)一国叫[X?)一 &叫}吗 (13)*

Кроме того, если кристалл содержит N единиц 4加，瓦，...на элементарную ячейку, а энергия взаимодействия атомов а и р на расстоянии Rap обозначена через ua^(Ra^) (табл. 10), то потенциальная энергия на элементарную ячейку в деформированном кристалле ф дается формулой

<Р = } £ 2 〃呻依呻)・ (14) а В

В формуле (14) сумма £а распространяется на N(m + п + ・••) атомов одной элементарной ячейки, а сумма 线一на равновесные положения всех атомов в объеме материала, окружающего (но не включающего) атом а и достаточно большого для правильной сходимости ср. Предполагается, что все атомы, включенные в оба суммирования, расположены далеко от любой поверхности кристалла, так что они заполняют места, характерные для сплошного совершенного кристалла.

Однородная деформация, описываемая формулой (12)', может быть разделена по теореме о полярном разложении на последовательность двух таких деформаций, одна из которых есть чистая деформация (т. е. простые растяжения или сжатия вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений главных осей деформации), а другая — поворот тела как твердого целого [96]. Поскольку величина ср не изменяется при таком повороте, ее можно также представить как некоторую (другую) функцию шести независимых компонент деформации, обозначенных ниже через е〃(=е〃). Предыдущее описание ср через девять величин g〃 вместо шести независимых величин е〃 двусмысленно в том смысле, что многие различные gi} могут порождать те же самые е〃 и ф. Тем не менее оно было введено здесь, поскольку широко использовалось в литературе. Причин к тому несколько. Характеристики g“ очень наглядны и легко связываются с положениями атомов, полезными при подсчете решеточных сумм. В литературе использовано много различных определений е〃.

По этой последней причине полезно продолжить обсуждение, рассматривая &订 как некоторый обобщенный набор шести координат, которые задают меру деформации относительно ненапряженного отсчетного состояния, и ввести величину

6®/)=屮® j)“o・ (15)

Здесь Vo ——объем одной элементарной ячейки в ненапряженном кристалле. Обобщенная энергетически сопряженная мера напряжения /〃 и набор обобщенных упругих жесткостей или констант Cijki можно тогда определить [98, 99] по формулам

&汴z&汴zdtif d2^-d£机d&ijdskidtif d2^-d£机d&ijdski(16)(17)(16)(17)

&汴z

&汴z

dtif d2^

-d£机d&ijdski

dtif d2^

-d£机d&ijdski

(16)

(17)

(16)

(17)

Следует отметить, что каждая из этих величин зависит от определения £订 и что интерпретация /订 в терминах силы и площади, вообще говоря, затруднительна. Однако можно по- казать [2, 100], что тензор напряжений Коши (или истинный) 6订 связан с g〃 соотношением

6了 = +(6偿+ g庙證Р6了 = +(6偿+ g庙證Р(18广(18广

6了 = +(6偿+ g庙證Р

6了 = +(6偿+ g庙證Р

(18广

(18广

где V — объем элементарной ячейки в напряженном кристалле. Можно также показать [99], что Cijki становятся обычными для малых деформаций упругими жесткостями второго порядка в отсчетном состоянии, когда оно ненапряженное (как в настоящем случае), а величины е〃 оказываются некоторой тензорной мерой деформации. В рассматриваемом приближении для ср (или q/), конечно, нет различия между изотермическими или адиабатическими упругими жесткостя* ми или податливостями.

Во всех работах, рассмотренных до сих пор в этой статье, за идеальную прочность бралась максимальная величина приложенного напряжения, т. е. молчаливо предполагалось, что используемые кристаллы остаются устойчивыми в процессе деформации, и принимался критерий .разрушения по максимальному напряжению. Однако только в силу возрастающего характера кривой приложенное напряжение — деформация, благодаря чему кристалл устойчив против малых приращений приложенного напряжения или деформации, не следует его устойчивость также против любого произвольно добавленного малого искажения. Поэтому в любом расчете идеальной прочности должны делаться проверки на устойчивость деформированного кристалла для каждого приращения напряжения или деформации иг определяться тонка неустойчи*

вости. Такой контроль был выполнен в ряде случаев (см. ниже), и поэтому уместно завершить обсуждение математического формализма описанием применявшихся испытаний на устойчивость. С этой целью будем следовать подходам, развитым в работах [98, 99, 101, 102].

Согласно критерию Лагранжа ——Дирихле, для устойчивости требуется, чтобы при любой виртуальной деформации 3£修 приращение потенциальной энергии кристалла в единичном отсчетном объеме Bq/ превышало работу б(о, совершенную приложенными силами, т. е.

бср7 > 6(о. (19)

Условие равновесия (т. е. потенциальная энергия системы «кристалл плюс приложенные силы» стационарна, когда все В&/ обращаются в нуль) требует, чтобы 6q/ и б(о были равны в первом порядке разложения в ряд Тейлора по приращениям деформации бе”. Следовательно, применение неравенства (19) требует, чтобы обе величины бф7 и 6(о оценивались во втором порядке разложения. Это требует также решения вопроса о том, должна ли определяться устойчивость материала при частных условиях нагружения или «истинная устойчивость» [98] материала независимо от этих условий. Первая задача гораздо более трудная, поскольку при любом реальном механическом испытании отклик на приложенные нагрузки при каждом возмущении может быть функцией как экспериментальной установки, так и любого вращения образца как твердого тела. При оценке «истинной устойчивости» принимается упрощающее предположение о том, что нагрузки консервативны и «следуют» материалу в процессе возмущения, в результате чего 6(о можно выразить в функции 6е小 и неравенство (19), характеризующее устойчивость, преобразуется к виду

3幫荻- "师> 0•(20)*

Это неравенство, конечно, не зависит от определения бе//.

До публикации статьи Хилла [98] не было ясного понимания различия между истинной устойчивостью и устойчивостью при частных условиях нагружения. Более того, многие исследователи включали только члены первого порядка в свою оценку В(о, тем самым приходя к критерию устойчивости

(21)*(21)*

(21)*

(21)*

который не является координатно инвариантным. Поэтому полезно следовать работе Хилла и Милстейна [99] и ввести понятия о М-, 5- н G-прочностях, которые получаются как

различные оценки идеальной прочности по неравенству (21)', когда £订 являются М-, S- и G-переменными. Последние соответствуют ребрам элементарной ячейки и углам, заключенным между ними (выбор которых не является тензорно инвариантным [98]), элементам тензора растяжения В〃・ + g〃 с g“ = g“ и квадратам и скалярным произведениягл векторов ребер элементарной ячейки в деформированном кристалле (что эквивалентно использованию элементов тензора деформаций Грина 72(^7 + gn + grtgrj) [98]). Отметим, что предыдущие усложнения исчезают, если кристалл не напряжен, поскольку тогда б(о = 0 и тензор &必/ по формуле (17) становится единственным тензором упругих жесткостей [98], как отмечалось выше.

Важно также понимать, что устойчивость против любой малой однородной деформации В£〃，вообще говоря, не обеспечивает устойчивости против любой комбинации малых атомных смещений, которые могут иметь место в нагруженном кристалле. Это было продемонстрировано на частных примерах Уоллесом [103]. Таким образом, обсуждавшиеся выше критерии по существу указывают на необходимость испытывать на устойчивость против любых вибраций решетки с длиной волны, сравнимой с атомными размерами.

Наконец, следует отметить, что с помощью диагонализации матрицы коэффициентов квадратичной формы, появляющейся в неравенстве (20) или (21), в точке (или практически точно за ней) неустойчивости и последующего отыскания собственного вектора (векторов), соответствующего отрицательному собственному значению (значениям), можно установить природу деформации 6ег/, ответственной за потерю устойчивости.

Межатомные потенциалы с центральными силами. Основное приближение вышеприведенного анализа заключается в отождествлении 屮 с некоторым частным термодинамическим потенциалом. Некоторые следствия этого были уже обрисованы выше. Однако имеется другая особенность такого приближения, которую нужно теперь обсудить. А именно, насколько хорошо можно приблизить связь в любом реальном твердом теле радиально симметричным двухчастичным межатомным потенциалом центральных сил. Несколько таких по тенциалов, использованных на сегодняшний день для расчетов идеальной прочности, приведены в табл. 10 под номера' ми (6) — (11) и обсуждаются по очереди ниже.

Потенциал Морса (формулы (6) и (7)) применялся для расчета идеальных прочностей некоторых металлов, даже несмотря на то что он не был предусмотрен для тщательного описания межатомной связи в каком-либо частном классе

твердых тел. Скорее он использовался потому, что является простой функцией, которая подходящим образом отражает определенные существенные черты всех межатомных сил сцепления. В расчетах, включающих суммирования по решетке, дополнительная выгода заключается в обеспечении довольно быстрой сходимости.

Потенциал Леннарда-Джонса (формула (9)) является частным случаем потенциала Ми (формула (8)), который обеспечивает наилучшее (хотя все еще приближенное) описание когезионной связи в вандерваальсовом кристалле. Член 1/R&6 правильно отражает притяжение за счет диполь- дипольного взаимодействия, которое отвечает за наибольшую часть энергии связи. Однако член отталкивания 1/R^ не имеет теоретического оправдания помимо того, что он дает наилучшее описание обратного степенного закона сжимаемости инертных газов. Подгоночные параметры Л и В обычно получают из энергии связи и постоянной решетки. Более высокого порядка (притягивающие) мультипольные взаимодействия, нецентральные н многочастичные взаимодействия, эффекты нулевой точки и т. п. во внимание не принимаются. Более подробные рассмотрения этой модели можно найти в обзорах [104—106].

Потенциал Борна ——Майера (формула (11)) представляет собой усовершенствованный вариант модели Борна (формула (10)), но все еще является относительно грубым приближением. Обе модели правильно описывают дальнодействую- щие электростатические взаимодействия между ионами, которые отвечают за наибольшую часть энергии связи, а первая правильно учитывает также притягивающие взаимодействия диполь-дипольного, диполь-квадрупольного типа. Экспериментально определенные значения коэффициентов Сав и 2aB для последних имеются для многих ионных кристаллов [107]. Однако подобно модели Леннарда-Джонса в потенциалах Борна и Борна ——Майера пренебрегают многочастичными и нецентральными взаимодействиями, и используются эмпирические описания короткодействующего взаимодействия отталкивания, которое доминирует при тесном сближении ионов. В модели Борна принимается простой обратный степенной закон для взаимодействия отталкивания, и обычно получают подгоночные параметры п п А (последний предполагается одинаковым для анион-анионных, анион-катион^ ных и катион-катионных взаимодействий) из данных о сжимаемости и из требования, чтобы энергия связи была минимальна при наблюдаемом значении постоянной решетки. В потенциале Борна ——Майера сделаны два усовершенствования. Учтено, что взанмоАействне отталкивания различно

для пар ионов различных типов, и использована обратная экспоненциальная зависимость для взаимодействия отталкивания, которая ближе к наилучшей имеющейся квантомеханической трактовке. Для этой модели подгоночные параметры в члене, описывающем отталкивание, обычно получают на основе знания сжимаемости, постоянной решетки и некоторых эмпирических правил об аддитивности ионных радиусов ряда галогенидов щелочных металлов. Более детальное рассмотрение дается Този [107].

Таким образом, даже для ионных и вандерваальсовых твердых тел, для которых межатомные силы поняты наилучшим образом и наиболее близки по своему характеру к двухчастичным и центральным силам, имеющиеся потенциальные модели являются лишь приближенными. В каждом случае процедура заключалась в выборе разумного приближения в аналитическом виде для главных вкладов в межатомный потенциал и введении (например) п подгоночных параметров в эту приближенную функцию. Величины этих п параметров затем подсчитываются по экспериментально замеренным величинам для п физических свойств. Полученная модель использовалась для расчета требуемого (п + 1)-го свойства, т. е. идеальной прочности. Надеются, что таким путем различные ошибки потенциальной модели будут взаимно компенсироваться. Очевидно, расчет с большой вероятностью будет приводить к достоверному результату, если (〃+1)-е свойство тесно связано с другими п свойствами.

Однако легко измеримые структурно нечувствительные физические свойства обычно зависят от формы дна потенциальной энергетической ямы, которая определяет положение каждого атома в кристалле, в то время как идеальная прочность в основном зависит от максимального наклона боковой стенки этой ямы. Таким образом, идеальная прочность не является тесно связанной с другими легко измеримыми свойствами, и расчетные значения этой прочности не имеют определенной точности. Выражаясь иначе, используемые модели с радиально симметричным потенциалом наиболее надежны в приложении к структурам с высокой симметрией и становятся все менее подходящими с ростом деформации, уменьшением симметрии и по мере поляризации атомов, составляющих решетку. В силу относительно большей слабости межатомных сил в вандерваальсовом твердом теле по сравнению с ионным твердым телом, вероятно, поляризация имеет большее значение в последнем случае и рассчитываемые значения идеальной прочности соответственно становятся менее достоверными.

Более широкое обсуждение проблем, связанных с применением используемых в настоящее время моделей межатом*

ных потенциалов в разного рода задачах физики твердого тела, дается в книгах [108, 109].

Расчеты вандерваальсовых твердых тел. Первоначальные оценки порядка величины прочности в случае вандерваальсовых сил сцепления были сделаны Де Буром [88] в ходе его вышеописанных исследований m-крезольных и фенолформальдегидных полимеров. Он объединил притягивающую силу диполь-дипольного взаимодействия между атомами, изменяющуюся обратно пропорционально седьмой степени расстояния между ними, с отталкивающей силой между атомными плоскостями, меняющейся обратно пропорционально десятой степени межплоскостного расстояния. Полученная затем оценка идеальной прочности растяжения в случае вандерваальсовых сил между цепями С—С m-крезола и фенолформальдегида оказалась в диапазоне между 0,06 и 0,4 ГПа. Де Бур сделал также расчет вклада вандерваальсовых сил в идеальную прочность на растяжение NaCl (см. ниже).

Впоследствии в работах [1, 2, 86, 89, 11С——112] были сделаны оценки идеальной прочности для одноатомного вандер- ваальсового г. ц. к.-твердого тела. Эти авторы использовали модель потенциала Леннарда-Джонса 6-12 (формула (9)), и некоторые из них исследовали целый ряд однородных деформаций. Тайсон, как и Макмиллан и Келли, использовал вычислительную машину для выполнения всех суммирований на решетке, и небольшие расхождения между результатами, полученными этими авторами, по-видимому, вызваны лишь различиями в расчетных процедурах. Последние авторы обычно включали несколько сотен атомов в свое суммирование” и получали расхождение между рассчитанными зна-. чениями напряжения менее 1%. В процедурах суммирования, применявшихся в более ранних работах, использовались разные аналитические приближения и(или) способы расчета на руках, и это могло быть причиной относительно больших ошибок вычислений.

Макмиллан и Келли [1, 2, 111, 112] использовали величины подгоночных параметров 4 и 3 в формуле (9), подсчитанные с помощью равновесного параметра решетки и энергии связи для ненапряженных кристаллов Аг при 0 К [104]. В серии отдельных расчетов [2] они показали, что эта модель предсказывает, во-первых, для величин упругих жесткостей Спи, Сц22 и 2, отнесенных к осям <100>, значения 3,86; 2,21 и 2,21 ГПА соответственно х\ которые находятся в пределах современной экспериментальной точности [113— 118]. Во-вторых, для энергий поверхностей {100}, {110} и

D Для любой модели кубического кристалла с центральными силами соотношения Коши требуют &侬=&2【2・

{111} предсказывается соответственно 40, 42 и 38 мДж-м~2 в хорошем согласии с измеренным значением 35 мДж • м-2 для поверхностного натяжения жидкого серебра Аг в его тройной точке [119]. Наконец, предсказывается, что г. ц. к.- и г. п. у.-модификации Аг имеют энергии связи при нулевом давлении фактически одинаковые и гораздо меньшие, чем для гипотетических разновидностей с о. ц, к.- и п. к.-решетками (согласно наблюдениям, Аг обычно имеет г. ц. к.-решетку, но может также встречаться г. п. у.-разновидность, которая ме- тастабильна вплоть до точки плавления [120]). Эти успешные предсказания на основе формулы (9) свидетельствуют о том, что потенциал Леннарда-Джонса подходит в качестве модельного для твердого Аг.

В работах [86, 89, 110] использованы произвольные единицы измерения, так что лишь значения их безразмерных геометрических параметров или отношения идеальных прочностей к упругим жесткостям допускают сравнение с результатами Макмиллана и Келли.

В табл. 11 собраны наиболее важные результаты, полученные перечисленными авторами. В этой таблице ось 0%з считается осью растяжения во всех случаях одноосной деформации. Такйм образом, для растяжения при наличии стеснения имеем gu = ^ззбз/бз/, а в отсутствие стеснения о” = =Озз6,з6з/. Если 0%з совпадает с <100> или <111>, то величины gu (= g22) при отсутствии стеснения определяются при каждом значении g33 по соотношению 5(p/5gn = 0. Расчеты в нестесненных условиях для менее симметричных ориентаций не были выполнены, поскольку они требуют минимизации 屮 относительно более чем одного параметра, чтобы удовлетворить условию отсутствия стеснения. Большие подробности приводятся в [2]. Двухосное растяжение и плоская деформация определяются тем, что аи = о22 =# 0, g33 = 0 при осях О%‘・，параллельных <100>. Следовательно, gu=g22=#0, 6з =# 0, а все недиагональные компоненты g〃 и az/ обращаются в нуль. В тех же осях Ох^ трехосное растяжение определяется тем, что ац = а22 = "зз =# 0. Отсюда gu = = g22 = g33=#0, а все недиагональные компоненты о” и gi} снова обращаются в нуль.

Во всех расчетах сдвига, упомянутых в табл. 11, принято соглашение о том, что сдвиг параллелен Ох3 и происходит в плоскости, перпендикулярной О%】，т. е. наложен простой сдвиг g3i・ Однако независимо от кристаллографической ориентации осей Ох】и Охз такой сдвиг неизменно уменьшает симметрию кристалла до такой степени, что условия отсут、 ствия стеснения (О13 = a3i 关 0, все другие о〃 == 0) никогда не могут быть достигнуты без минимизации ф по отношению к нескольким g" при фиксированном значении ^Зь Поэтому

во всех упомянутых в табл. 11 расчетах было принято упрощение, согласно которому плоскости сдвига сохраняются неискаженными в течение деформации и допускается лишь изменение расстояния между ними. Иными словами, при ка-

Таблица 11. Идеальная прочность г. ц. к.-кристалла Леннарда-Джонса

Одноосное растяжение

°тах

^зз

g11=g22

E

Отах/*

Ссылка

(100) о <110>1) (ill)1) (Л01)1) 〈100〉2) <100>2) <100)2) 〈111〉2) 〈111〉2)

0,320 0,268 0,345 0,267

0,345

0,352

0,23 0,20

.0,18

0,20

0,26

(1 + g33)/(l + gll)

0,25

0,18

0,18

0

0

0

0

-0,027

^1,25

-0,006

3,86

5,24

5,70

2,24

5,20

0,083 0,051

0,061

0,154

0,16

0,145

0,068

0,064

[Hl] [111] [111] [111] [111] [110] [89]

[Hl] [89]

Простой сдвиг

七max

^31

g“

G

1cmах/°

{100}(001) {100} (ОН) {110}〈001〉 {110} (НО) {ИП(ИО) {111}〈112〉 {111)(112) {111)(112) {111}〈112〉

0,243

0,196

0,425

0,261

0,137

0,188

0,077

0,20

0,16

0,22

0,34

0,20

0,20

0,12

0,13

0,13

0,083 0,055

0,077 0,051

0,044 0,058 0,015

1,043

0,074

0,062

0,062

[Hl] [Hl] [Hl] [111] [111] [Hl] [111] [89] [89]

窗農黑器謠僚器= ® =。，256

gll=g22 = 0J3；[111]

g33=0

Трехосное растяжение о“ = 022 = 6з = 0,254

^11 = ^22 =[111]

=g33 = 0,09

Величины Oecv，Е и G из [111] даются в единицах ГПа и соответствуют Аг

при О К. Направление〈九01〉лежит в плоскости {010} и наклонено под углом ~5°k〈10D.

D Со стеснением.

2)Без стеснения.

ждом значении g3i потенциал ср минимизировался лишь по отношению к gu. Это наиболее важная релаксация и имеет наиболее заметное влияние на ттах. Например, для сдвига {111}<112> имеем dtmax/dou = —0,172 [2, 80] в широкой области значений ан. Однако важно понимать что весьма большие напряжения в этих расчетах остаются неотрелаксировав-

шими, а характер влияния таких напряжений на Ктах не известен.

Повсюду в табл. 11 принимается критерий разрушения по максимальному приложенному напряжению, Т. е. Отах и Ртах выбираются как максимальные значения а33 и a3i соответственно, а цитируемые величины идеальной прочности для типов деформации, отличных от одноосного растяжения или простого сдвига, равны максимальным значениям указанных компонент напряжения. В каждом случае приводимые величины деформации соответствуют максимуму подходящего напряжения.

Интересно отметить, что в условиях одноосного растяжения при наличии стеснения Отах и соответствующая величина g33 при изменении ориентации изменяются сравнительно мало. Величина атах наибольшая для направления, параллельного <111>, и наименьшая в направлении <Л01>, лежащем в кубической плоскости под углом около 5° к <110>. Кроме того, различия между величинами атах для одноосного растяжения при наличии и отсутствии стеснения в направлениях с особо высокой симметрией оказываются малыми, хотя в последнем случае во всех изученных ситуациях они больше. Поэтому кажется вероятным, что идеальная прочность при одноосном растяжении в отсутствие стеснения для г. ц. к.-кристалла Леннарда-Джонса не будет изменяться очень сильно с изменением ориентации оси растяжения относительно элементов симметрии кристалла. Результаты по растяжению также интересны из-за того, что они устанавливают, что релаксация стеснения не всегда снижает идеальную прочность кристалла, даже при непременном уменьшении начального наклона зависимости о33 от g33. Отметим также, что в обоих расчетах нестесненного состояния было установлено постепенное уменьшение коэффициента Пуассона с увеличением дзз и даже изменение его знака при очень высоких уровнях напряжений. Такое же поведение наблюдалось также для моделей металлов с потенциалом Морса и модели NaCl с потенциалом Борна ——Майера, обсуждаемой ниже. Таким образом, многие кристаллы с ростом деформации растяжения, когда приложенное напряжение приближается к идеальной прочности, будут скорее расширяться вбок, чем стремиться к сжатию.

Исследования устойчивости деформированных г. ц. к.- кристаллов Леннарда-Джонса проделаны лишь в случаях <100> нестесненного одноосного растяжения [ПО, 112], <100> нестесненного одноосного сжатия [НО] и <100> двухосного растяжения и плоской деформации [112].

В первом случае Борн и Фюрт [НО] определили, что G-прочность (которая здесь равна Л4- и S-прочностям [99])

должна составлять 〜0,85 максимальной величины приложенного напряжения а33 при деформации, соответствующей (1 + 8зз)/(1 + gii) = 1」54. Макмиллан и Келли [112] подтвердили, что S-прочность действительно была такой же. Последние авторы также отождествили критическое возмущение, _ ответственное за неустойчивость, со сдвигом {110}<110> на плоскостях {110} параллельно оси растяжения. Поэтому на основании таких критериев разрушения по неустойчивости для идеальной прочности Аг при одноосном растяжении в отсутствие стеснения в направлении <100> получается 〜0,29 ГПа. Соответствующая деформация есть 8зз — 0,12, gu = g22 = —0,024.

При одноосном сжатии без стеснения [110] в направлении <100> G-прочность достигается при деформации, соответствующей (1+g33)/(l+gu)= 0,7§4, и совпадает с максимальной величиной I сгзз I, как найдено Хиллом и Милстей- ном [99]. В этом случае G-прочность больше М- и S-прочностей, которые равны между собой [99]. Заслуживает также внимания то, что для этого вида кристалла и направления нагружения абсолютная величина G-прочности при сжатии составляет лишь 0,9 от G-прочности при растяжении.

В случае двухосного растяжения и плоской деформации в направлении <100>, когда S-прочность равна М-прочности и больше G-прочности [98], 5'Прочность равна 0,24 ГПа, приблизительно на 6 % меньше максимального значения а33, и достигается при деформации gu = g22 = 0,09 [112]. Критическое возмущение, вызывающее эту неустойчивость, довольно сложного характера и здесь обсуждаться не будет.

В расчетах, отраженных в табл. 11, для сдвиговых типов деформации обнаруживается относительно большая анизотропия у Ттах, чем у Отах в случае г. ц. к.-кристалла Лен- нарда-Джонса. Величина ттах наименьшая для сдвига в направлении {111}<112>, который соответствует наблюдаемому сдвигу из-за движения некоторой частичной дислокации в г. ц. к.-металле и, по-видимому, также в Аг [121, 122]. Приведенные в табл. 11 величины g” показывают также, что рост межплоскостного расстояния с увеличением сдвиговой деформации g3i наименьший при такой ориентации сдвига. Другие расчеты [2] обнаруживают, кроме того, что неотре- лаксировавшие компоненты напряжения также меньше при такой, а не другой из исследованных ориентаций.

Для завершения этого обсуждения идеальной прочности и устойчивости кристаллов Леннарда-Джонса отметим, что Томпсон [123, 124] и Томпсон и Шоррок [125, 126] недавно попытались применить теорию катастроф к изучению типа неустойчивостей, найденных Макмилланом и Келли [112] с помощью линейного анализа на собственные значения, об-

суждавшегося выше. Томпсон и Шоррок сделали ряд упрощающих предположений, включая обрезание межатомного взаимодействия на расстояниях, больших расстояния между ближайшими соседями. Поэтому их результаты невозможно прямо сравнить с результатами как Борна и Фюрта [110], так и Макмиллана и Келли [112]. Тем не менее интересно отметить их заключение о том, что неустойчивости, открытые последними из упомянутых авторов (которые Томпсон и Шоррок именуют точками бифуркации на первичном деформационном пути), вероятно, должны проявляться как нелинейная неустойчивость. Поэтому они должны верно отражать границы несущей способности (по нагрузке) кристалла при различных типах производимой деформации.

Расчеты для ионных твердых тел. Первое приложение потенциала Борна (формула ЦО)) к расчету идеальной прочности было сделано Цвикки [127], который рассчитал идеальную прочность NaCl при одноосном растяжении в отсутствие стеснения в направлении, параллельном <100>. Он взял 〃 = 9 в соответствии с данными о сжимаемости, постоянную А определил из требования, чтобы энергия связи была минимальна при наблюдаемом параметре решетки в ненапряженном состоянии, использовал полуаналитические методы для выполнения суммирований 2a и Sp по решетке, нашел пуассоновское сжатие методом проб и ошибок и выбрал критерий разрушения по максимальному напряжению. Тайсон [89] последовательно повторил расчет Цвикки, используя вычислительную машину для выполнения всех суммирований по решетке и достижения вследствие этого большей точности. Де Бур [88] выполнил соответствующий расчет в случае растяжения при наличии стеснения. Кроме того, Бартенев и Коряк-Дороненко [ 128, 129] использовали модель Борна для подсчета максимального растягивающего напряжения в NaCl, деформированном одноосным растяжением в направлениях <110> и <111>. Они предположили, что коэффициент Пуассона не зависит от деформации, но различен для двух перпендикулярных направлений. Последнее предположение находится в противоречии с требованиями симметрии в случае одноосного растяжения в направлении <111>. Из-за этих предположений о коэффициенте Пуассона обе величины идеальной прочности по Бартеневу и Коряк- Дороненко относятся к одноосному растяжению с частичным стеснением. Все вышеописанные результаты собраны в верхней части табл. 12. Сюда же включен результат последующего расчета Де Бура [88] идеальной прочности NaCl для одноосного растяжения со стеснением в направлении < 100>, в котором он использовал потенциал Борна, модифицирован-

ный дополнением грубого описания вандерваальсова вклада в изгиб.

В нижней половине табл. 12 приведены результаты двух расчетов Тайсона [89] идеальной прочности NaCl на сдвиг в направлении {110}<1Г0> с использованием потенциала Борна. В первом расчете делались те же самые предположения о релаксации и устойчивости, что и в расчетах сдвига

Таблица 12. Расчеты идеальной прочности NaCl по модели Борна

Одноосное растяжение

%iax， ГПа

§33

g“ н g22

E.

ГПа

Отах/*

Ссылка

<100>3)

2,00

0,14

~0,023//<100)

—

—

[127]

〈100〉4)

2,83

0,17

0

—

—

[88]

<100) 4)

2,62 1)

—

0

—

—

[88]

〈100〉з)

2,27

0,14

—

45

0,05

[89]

〈110〉5)

3,86

0,185

f-0,045//(110) 1-0,030//(100)

—

—

[128, 129]

〈111〉5)

7,15

C-0,025//(H0)

0,25

l-0,03l//(H2)

一

—

[128, 129]

Простой сдвиг

ттах' ^Па

^31

G

,ГПа

1c max/。

{по}<1Го)

2,58

0,24

—

20

0,13

[89]

{110)(110^

1,99 2)

0,20

—

20

0,10

[89]

I) Эia величина была получена с помощью модифицированной модели Борна вместе с грубой оценкой вандерваальсова вклада в изгиб.

2)В этом расчете допускалось искажение плоскости сдвига, а также релаксация в наппавлении, перпендикулярном к ней.

В Без стеснения.

4)Со стеснением.

5)С частичным стеснением.

г. ц. к.-кристалла Леннарда-Джонса, обсуждавшихся выше и приведенных в табл. 11. Однако во втором допускались некоторые искажения плоскости сдвига (изменение g22 и g33), а также изменение межплоскостного расстояния в этой плоскости (т. е. изменение gu) при увеличении приложенной сдвиговой деформации g3i・ Сравнение двух результатов показывает, что эта дополнительная релаксация ведет к снижению Ттах НЯ ~20 %•

Позднее для продолжения только что описанных расчетов в работах [1, 2, 80, 89, 111, 112, 130] был применен потенциал Борна — Майера (формула (11)). В качестве подгоночных параметров модели использовались величины, отнесенные

к комнатной температуре. Поэтому и величины идеальной прочности были получены также соответствующими этой температуре. Однако, как уже отмечалось, потенциальная модель дает наилучшую точность при О К. Следовательно, использование величин, относящихся к комнатной температуре, в качестве подгоночных параметров приводит к допол-

Таблица 13. Расчеты идеальной прочности различных щелочных галогенов при одноосном растяжении без стеснения в направлении <100> по модели Борна—Майера

Материал

°max»「"a

E, 1)ГПа

°m^/£

LiF

4,73

40,0

0,118

LiCl

2,71

24,2

0,112

LiBr

2,27

19,6

0,116

Lil

1,82

13,0

0,140

NaF

5,00

68,1

0,073

NaCl

2,95

42,1

0,070

NaBr

2,48

34,4

0,072

Nai

1,89

26,0

0,073

KF

4,12

56,1

0,073

KC1

2,66

40,6

0,066

KBr

2,28

35.0

0,065

KI

1,81

27,8

0,065

RbF

3,83

50,6

0,076

RbCl

2,56

39,4

0,065

RbBr

2,15

ЗЗЛ

0,065

Rbl

1,76

27,4

0,064

CsF

365

50,8

0,072

I) Е ——величина, обратная величине S3333, рассчитанной с помощью того же потенциала.

нительной степени неопределенности полученных значений идеальной прочности.

Зомор [ 130] для исследования идеальной прочности ряда щелочных галогенов при одноосном растяжении без стеснения в направлении < 100> применил вычислительный метод, аналогичный методу Цвикки [ 127]. Снова следуя Цвикки, он предположил, что деформация остается устойчивой вплоть до максимального приложенного напряжения. Результаты Зомора просуммированы в табл. 13 и демонстрируют, что идеальная прочность при растяжении щелочных галогенов со структурой NaCl уменьшается с увеличением атомного веса аниона, но относительно мало чувствительна к атомному весу катиона. К тому же, идеальная прочность этих кристаллов, за исключением галогенида лития, составляет относи-

тельно постоянную долю (0,064——0,076) модуля Юнга. Для самой соли NaCl идеальная прочность при одноосном растяжении без стеснения в направлении <110> оценивается Зомо- ром в 2,95 ГПа.

В работах [ 1, 2, 111, 112, 80, 89] использовались величины Ссф и da0, определенные Майером [131], и величины ДхВ， ba： b и р*, вычисленные Хаггинсом [132, 133] (см. определения этих параметров в формуле (11)). Тайсон и Келли, Тайсон и Коттрелл использовали то же значение электрического заряда е, что и Хаггинс, в то время как Макмиллан и Келли использовали более современные данные [ 134]. Все эти исследователи применяли машинные методы -суммирования.

Макмиллан и Келли старались оценить точность своего варианта потенциала Борна ——Майера, используя его для расчета некоторых известных физических свойств NaCl. Они ПОЛУЧИЛИ, ВО-ПерВЫХ, ДЛЯ упруГИХ КОНСТаНТ Сцн, Сц22 И &2!2, отнесенных к осям <100>, значения 46,2; 17,1 и 17,1 ГПа соответственно, что. находится в удовлетворительном согласии с «экспериментальными» значениями 48,8 ±1,1; 12,9 士 土 1,0 и 12,5 土 0,4 ГПа, полученными осреднением 17 наборов экспериментальных данных [135]. Во-вторых, для энергии поверхности {100} получено 200 мДж• м-2, что находится в пределах современной экспериментальной точности [136— 142]. В-третьих, для энергии связи при нулевом давлении найдено значение —7,803-105 Дж/моль, которое с точностью до 2 % совпадает с экспериментальным значением —7,644-105 Дж/моль [107] и значительно ниже энергии связи предполагаемой полиморфной структуры типа хлорида цезия. На основе этих результатов Макмиллан и Келли заключили, что потенциал Борна — Майера вполне применим для оценки идеальной прочности NaCl.

Оценки идеальной прочности, полученные в работах [1, 2, 80, 89, 111, 112], суммированы в табл. 14. Система обозначений и соглашений, использованных в этой таблице, полностью аналогична той, которая применялась в табл. 11, но лаются один-два дополнительных результата. Так, в случаях двухосного растяжения и плоской деформации и трехосного растяжения, которые опять относятся к осям <100>, в список внесены упругие жесткости, подсчитанные Тайсоном [89]. Также включена в табл. 14 величина Отах, полученная Макмилланом и Келли [111] для одноосного растяжения без стеснения NaCl в направлении <110>. Отметим, что этот последний расчет потребовал минимизации 屮 по отношению к двум независимым параметрам gu и g22 для каждой заданной величины g33 для того, чтобы получить подходящее пуассоновское сжатие. Для всех других типов деформации методы, применяемые для расчета NaCl, отличались от ис-

Таблица 14 Расчеты идеальной прочности NaCl по модели Борна ——Майера

Одноосное растяжение

атах, ГПа

g33

g]1 Н &22

ГПа

Отах/'

Ссылка

〈100〉1) <1оо)ч (НО)1) 〈111〉|) 〈100〉2)

〈100〉2) <110> 2)

〈111〉2)

2,82

3,00

5,96

20.09

2,40

2,66

4,61

12,40

0,17

0,34

1,77

0,18

0,13

0,29

0,42

0

0

0

0

-0,031

Г-0,083//(100)

i 0,005//{110)

—0,024

46,16 49,80

48,73 49,45

36,82 40,80

40,78

42,04

0,062 0.060

0,122

0,405

0,065

0,067

^),113

0,295

• [1Н] [89]

[1Н] [111] [1И]

[89]

[111]

[1H]

Простой сдвиг

ттах, ГПа

&3I

G

,ГПа

Fax/G

{100}(001) {100}<011) {100}<011) {110}(001) {110}〈1[0〉 {山}〈110〉 {111}〈110〉 {111}〈112〉 {111)(112)

4,19

3,53

3,60

17,62 2,67

2,84 3,20

2,29

5,10

0,30 0,30 0,30 0,50 0,30 0,27 0,44 0,28

0,60

0,075 0,056

-0,051 0,991

0,109 0,054

0,021

16,4

14,54

17,2

0,217

0,183

0,164.

[1И]

[И1]

[39]

【111]

[И1] 屮]

[И1]

[И1]

[И11

Двухосное растяжение и плоская реформация 3) ап = а22 Двухосное растяжение и плоская

деформация 3) 03=022

=3,50

=3,63

gn = g22 = 0,16 g33 = 0

一

+ &122 = 65,5

[2]

[89]

Трехосное растяжение 3)

Трехосное растяжение 3]

'6 丨=°22

卜 6 I = °22

—Озз =

=Озз =

4,28 gu = j

4,34 一(&

§22

1111

=g33 = 0,16

+ 2&|22)/3 =

= 80,4

[111]

[89]

1)Со стеснением.

2)Без стеснения.

3)Напряжения и упругие жесткости в единицах ГПа.

пользованных в случае г. ц. к.-кристалла Леннарда-Джонса лишь тем, что суммирование Sa, которое для NaCl распространяется на один ион Na+ и один ион С1~, теперь опускать нельзя.

Из табл. 14 видно, что для NaCl величина постоянных упругости и максимального напряжения на порядок больше, чем у Аг. Это отражает тот факт, что электростатическое взаимодействие между заряженными ионами гораздо сильнее диполь-дипольного взаимодействия между нейтральными атомами. Та же самая таблица демонстрирует также, что идеальная прочность NaCl при одноосном растяжении со стеснением и без него является наименьшей и наибольшей при растяжении в направлениях, параллельных <100> и <111> соответственно, а анизотропия для обоих типов растяжения гораздо больше, чем в случае г. ц. к.-кристалла Леннарда- Джонса. Высокая прочность в направлении <111> в NaCl является следствием трудности протаскивания друг через друга чередующихся слоев {222} противоположно заряженных анионов и катионов, а низкая прочность в направлении <100> связана с относительно большой взаимной компенсацией притягивающих и отталкивающих кулоновских сил в плоскости {100}, чем в любой другой плоскости [111].

Другой достопримечательной чертой результатов для NaCl является то, что во всех изученных ориентациях идеальная, прочность при растяжении выше при стеснении, чем без него, в то время как в случае Аг имеет место обратное. Особенности потенциалов Борна ——Майера и Леннарда-Джонса, ответственные за это, обсуждаются в [111]. Из сопоставления табл. 11 и 14 видно, что при многих типах деформации роль релаксации больше в случае NaCl, чем в случае Аг. Например, для сдвига {110}<Н0> в NaCl, который соответствует наблюдаемым элементам скольжения в этом материале, 班max/dSi = —0,5 [2, 80]. В противоположность этому при сдвиге Аг параллельно его вероятным элементам скольжения 0Tmax/dsi = —0,172 [2, 80]. Расчеты сдвига, выполненные для NaCl, обнаруживают, что ттах имеет более низкую величину для сдвига {110}<1Т0>, чем для любого другого сдвига с восстановлением кристаллической структуры, но что самая низкая из всех величина имеет место для сдвига {111}<112>. Невозможно решить, будут ли результаты расчетов полностью отрелаксировавшего сдвига обнаруживать различие в анизотропии. В случае сдвига {110}<001> расстояние между атомными плоскостями для плоскостей сдвига уменьшается с ростом g3i при малых g3i, поскольку каждый ион с самого начала движется к иону противоположного знака в нижележащем слое. Хотя в конце концов межплоскостное расстояние

начинает увеличиваться с ростом ^3i, величина a3i достигает своего максимума прежде, чем восстанавливается первоначальное расстояние.

Макмиллан и Келли [112] исследовали также S-прочность NaCl при нескольких типах деформации, при которых Ми S-прочности равны между собой и больше G-прочности [99]. В этих исследованиях обнаружено, что при .растяжении в направлении <100> первая неустойчивость встречается при приложенном напряжении, меньшем на 〜2 % максимального для случая, когда имеется стеснение, и лишь на 〜0,1 % при его отсутствии. Сопутствующая вытяжка дзз соответственно снижается с 0,17 до 0,14 и с 0,18 д© 0,17. В обоих случаях было найдено, что критическое возмущение, ответственное за неустойчивость, должно продолжать растяжение в направлении, параллельном приложенному напряжению. Из аналогичного анализа случая двухосного растяжения и плоской деформации в направлении <100> следует, что первая неустойчивость развивается, когда приложенное напряжение дорастает до ~92% своего максимального значения. Соответственно сопутствующая деформация g“ ( = ^22) снижается от 0,16 до 0,10. Было также показано, что критическое возмущение, ответственное за эту неустойчивость, могло быть представлено двумя простыми сдвигами {110}<Н0> с сокращающимися поворотами. Эти сдвиги происходили в плоскостях {110} параллельно направлению нулевой деформации, т. е. в плоскостях, в которых отсутствовало приложенное сдвиговое напряжение.

Наконец, Макмиллан и Келли выполнили одновременное исследование устойчивости NaCl, деформированного сдвигом {110}<1Т0>. В этом случае, как они обнаружили, первая неустойчивость должна встречаться при величине а3ь лишь на ~0,5% меньше максимальной. Они показали, что сопутствующая сдвиговая деформация снизилась с 0,30 до 0,28. Критическое возмущение, ответственное за эту неустойчивость, оказалось сложным и обсуждается в [2]. Из этих исследований видно, что, как и для Аг, для NaCl величины S-прочности, полученные по неравенству (21) подстановкой вместо 8订 элементов тензора растяжения, не сильно отличаются от выведенных с помощью критерия разрушения по максимальному напряжению. В обоих случаях кажется вероятным, что различие мало по сравнению с неопределен* ностью, вносимой в каждый из расчетов предположением об используемом межатомном потенциале.

Расчеты для металлов. В работах [101, 143—159] проанализировано применение функции Морса (формула (6)) или обобщенной функции Морса (формула (7)) для расчета ме-

ханического поведения идеальных металлических кристаллов с г. ц. к.-, о. ц. к.-, п. к.- (простой кубической) и г. п. у.-решетками. Некоторые из этих статей касаются главным образом развития самих моделей потенциала [146] и вопросов о том, могут ли они правильно предсказать наблюдаемую кристаллическую структуру и ее отклик на гидростатическое давление [101, 143, 145, 149, 150, 152, 153, 159] и обеспечить единое понимание преобразований между тремя кубическими

tgp

Рис. 1. Области устойчивости при модельном описании с помощью функции Морса: г. ц. к. (а), о. ц. к. (Ь) и п. к. (с) структур, нагруженных постоянным гидростатическим давлением. Описание по неравенству (19) (Е) и по неравенству (21) с использованием G-, М- и S-переменных (обозначения G, М и S соответственно)..

структурами, которые могут быть вызваны их одноосным деформированием [101, 154——156]. Несколько лет назад Борн и др. [95, 110, 160——167] проделали исследование (без вычислительных машин!), которое в некоторых отношениях представляет сравнительное изучение потенциалов Ми и Леннарда-Джонса (формулы (8) и (9) соответственно). Это поучительно для сопоставления аналогичных во многом результатов, сообщенных в двух сериях статей. Однако в настоящем обзоре сосредоточим внимание лишь на одном аспекте этих исследований потенциала Морса. А именно, остановимся на обсуждении Хиллом и Милстейном [149, 150, 152, 153] различий в устойчивости кубических структур, предсказываемых неравенствами (19) и (21), при нагружении постоянным гидростатическим давлением (положительным или отрицательным), которое не меняется при возмущении б8(/ и тем самым позволяет оценить точно 6з. Как и прежде, неравенство (21) применяется в трех различных вариантах в зависимости от использования S- и G-переменных.

Результаты Хилла и Милстейна приведены на рис. 1 (а)— 1 (с) соответственно для г. ц. к.-, о. ц. к.- и п. к.-структур. На всех рисунках 入一главное растяжение, т. е. отношение

параметров решетки в напряженном и ненапряженном состояниях, а

р = е~а^°(22)

——некоторая мера «эффективной зоны влияния» потенциала, поскольку при большей величине (3 потенциал хорошо представляется функцией Морса, более узкой и более глубокой. Когда функция Морса подгоняется по экспериментальным значениям упругих жесткостей, энергий связи и параметров решетки для различных о. ц. к.- и г. ц. к.-металлов, то типичным диапазоном изменения log р оказывается диапазон от 3 до 8 [ 143, 168]. Из рис. 1 (а) — 1 (с) видно, чтодля всех структур области устойчивости, предсказываемые каждым из четырех критериев устойчивости, сильно различаются, хотя во всех случаях все определяется величиной р. Эта важная зависимость области устойчивости при трехосном нагружении от выбора критерия устойчивости составляет заметную разницу с поведением тех же моделей кристалла при одноосном нагружении (см. ниже), а также с поведением г. ц. к.-кристалла Леннарда-Джонса и модели Борна--Майера для NaCl при последнем типе деформации (см. выше). Этот результат является важным, поскольку трехосное нагружение имеет место непосредственно перед кончиком трещины. Рисунок 1 (с) интересен также тем, что на нем продемонстрировано (по-видимому, впервые) существование области устойчивости для п. к.-структуры в модели с центральными силами.

В других своих статьях Милстейн с соавторами исследовали идеальные прочности о. ц. к.- и г. ц. к.-модификаций Fe 144], (г. ц. к.) Ni [147, 148, 151, 155, 157] и (г. ц. к.) Си 157]. Для Fe они использовали обычную функцию Морса ^формула (6)) с величинами Q, а и R。，выбранными [168], исходя из измеренных сжимаемости, энергии связи и параметра решетки для ненапряженного кристалла Fe. Для Ni и Си они использовали обобщенную форму этого потенциала (формула (7)), меняя m от 1,25 до 6 и определяя О, а и Ro на основе упругих жесткостей Спи и Сц22 (отнесенных к осям <100>) и параметра решетки для ненапряженной структуры при экстраполяции к О К [146]. Для заданных таким образом D, а и А。найдено, что потенциал 〃邓(妆”)должен становиться одновременно менее глубоким и более дальнодей- ствующим с увеличением т. Никель Ni был выбран для исследования по двум причинам. Во-первых, потому, что подобный обобщенный потенциал Морса лучше соответствует экспериментально определяемым данным по сжимаемости в более широкой области давлений для этого металла, чем для многих других. Во-вторых, равенство Коши между С1122

и третьей независимой упругой жесткостью (С1212 в рассматриваемых осях), которое подразумевается в формуле (7), с большей точностью удовлетворяется для Ni, чем для любого другого металла с г. ц. к.-решеткой [ 146]. Такур и Дженкинс [158] использовали эту модель с таким же потенциалом, но только с т, равным 1,25 или 6, для обобщения результатов работы Милстейна с соавторами на другие типы деформации.

Для Fe Милстейн изучил лишь одноосное растяжение без стеснения в направлении <100> и сжатие, определяемые соотношением о订=ОззВз/Вз/, когда ось растяжения (или сжатия) произвольно обозначена как 0%з. Для каждой величины приложенной деформации g33 он нашел (изотропное) пуассоновское сжатие, т. е. величину g“ ( = ^22), соответствующую ап = Q22 = 0, минимизацией ср по gu. Все эти расчеты были проделаны на вычислительной машине, производившей точное суммирование ，в с большой степенью точности. Для растяжения о. ц. к.-фазы М-прочность, которая снова равна S-прочности и больше G-прочности [99], совпадает с максимальным значением а33 (0,17 ГПа при удлинении дзз = =0,017) и возмущение, ответственное за неустойчивость, продолжает растяжение в направлении <100>. При сжатии, когда М・,G- и S-прочности равны [99], эта фаза оказалась неустойчивой по отношению к сдвигу {110}<110> по плоскостям {110} параллельно оси сжатия с Л4-прочностью (0,505 ГПа), составляющей не более 5 % от максимальной величины I а3з I. Эта неустойчивость имеет место при осевом сжатии g33 = —0,016. Наоборот, для г. ц. к.-фазы обнаружена Л1-прочность на сжатие (3,22 ГПа при укорочении g33 = =—0,074), по существу равная максимальной величине I а3з I, но неустойчивость при растяжении по отношению к сдвигу {100}<010> на кубических плоскостях, параллельных оси растяжения, в направлении, перпендикулярном к той же оси, характеризуется Л4-прочностью, равной 8,90 ГПа, что составляет лишь около 0,20 максимальной величины озз ( = 44,4 ГПа). Соответствующие величины g33 были 0,071 и 0,55.

Результаты, полученные Милстейном и др. для Си и Ni при одноосном растяжении и для Ni при чистом сдвиге (а не простом сдвиге, как следует из названия работы [148]), отражены в табл. 15 и 16 соответственно. Вероятно, наиболее неожиданным наблюдением является то, что ни область устойчивости, ни полученные кривые напряжение ——деформация не сильно изменяются с изменением т. Например, когда т растет от 1,25 до 6, величины G-, Л4- и S-прочностей при одноосном растяжении без стеснения в направлении <100> уменьшаются лишь от 17,04 до 15,55 ГПа и соответ-

Таблица

15. Расчеты идеальных п

точностей одноосного растяжения Си и Ni ।

с помощью функции Морса

Макси-

Металл

m в формуле (7)

Тип деформации

мум

1 。33 1， ГПа

g33

g" h g22

G-, S- или ЛТ-прочности, ГПа

g33

g" и g22

Ссылка

Си

2

<100> растяжение 4)

32,77

0,450

0

—

—

—

[157]

Си

2

<Ю0> растяжение 力 5)

37,96

0,451

^ -0,04

6,97 (G, M, S)

0,069

^ —0,02

15

Си

2

<100> сжатие 5)

2,51

—0,07

а 0,03

—

—

—

[157]

Ni

2

<100> сжатие 4)

23,65

0,234

0

—

—

[157]

Ni

1,5

<100> растяжение 5)

^26

^ 0,25

•—

17,04 (G, M, S)

0,108

—

[147]

Ni

2

<100> растяжение 5)

25,78

0,256

—0,03

16,78 (G, M, S)

0,107

—0,025

1147,157]

Ni

3

<Ю0> растяжение 5>

—

—

—

16,29 (G, M, S)

0,105

[И7]

Ni

4

<100> растяжение 5>

—

—

—

15,94 (G, M, S)

0,104

[1471

Ni

6

<100> растяжение 5>

«24

^ 0,275

15,55 (G, M, S)

0,103

—

[147]

Ni

1,5

<Ю0> сжатие2Ь 5)

—

—

7,39 (M S)

一0,093

—

[147]

Ni

2

<100> сжатие 5)

7,393)

—0,088 3)

« 0,04

7,39 3)(M, S)

—0,088 3)

^0,04

[147, 157]

Ni

3

<Ю0> сжатие 5)

—

—

—

7,33 (M, S)

—0,092

—

[147]

Ni

4

<100> сжатие 5)

—

—

7,30 (M, S)

—0,091

[И7]

Ni

6

<100> сжатие 5)

—

—

—

7,22 (M, S)

-0,090

—

[147]

Ni

2

<110> растяжение 5)

9

«0,10

—

8,78 (M)

0,075

—

[101, 151]

Ni

2

<110> сжатие 5)

—

—

768 (M)

0,251

[151]

Ni

2

<111> растяжение 5)

25,64

0,173

^ —0,01

24—25 (G,M,S)

[0,117(G, М)

[0,135 (S)

C-0,129 (G, М)

一

[101,155]

Ni

2

<111> сжатие 5)

45,87

-0,130

« 0,07

^ 45 (G, M, S)

—

[155]

1-0,125 (S)

При <100> растяжении без стеснения G = M = S |99].

При <100> сжатии без стеснения G>M = S [99].

Цитированные значения берутся из ”57]. Согласно же [147], имеем 7,37 и —0,093 соответственно.

Со стеснением.

Без стеснения.

ствующее удлинение g33 уменьшается от 0,108 до 0,103. В каждом случае разрушение является результатом возмущения сдвига {110}<110> на плоскостях {НО}, параллельных оси растяжения, и происходит задолго до достижения максимальных величин Озз (〜25 ГПа) и g33 (〜0,26). Аналогично при одноосном сжатии (без стеснения) в направлении <100> М- и S-прочности изменялись лишь от 7,39 ГПа

Таблица 16. Расчеты идеальной прочности {100)<010> на сдвиг Ni с помощью функции Морса

m

в формуле (7)

Максимум

М-прочность

Сдвиговая деформация [(90—0)90]X100 % 1)

1,25

9,305

« 9,3

6,08

2

9,124

9,1

6,00

6

8,530

q 8,5

5,74

1)0 —угол в градусах (в момент разрушения) межяу линиями, параллельными направлению сдвига (0%з), и нормалью к плоскости сдвига (О%[) в ненапряженном состоянии.

с g33 = —0,093 до 7,22 ГПа с g33 = —0,90 при росте т от 1,25 до 6. Для сдвига {100}<010> в отсутствие стеснения (который при обозначении O%i для нормали к сдвиговой плоскости и О%з для направления сдвига характеризуется ненулевыми компонентами О13 = cf3i =# 0 и нулевыми другими компонентами о订)как Л4-прочность, которая почти равна максимальной величине Озь так и сдвиговая деформация при разрушении одинаково нечувствительны к изменению т. Незначительные (меньше 10 %) изменения идеальной прочности и соответствующих величин деформации при изменении т от 1,25 до 6 можно сопоставить с соответствующими изменениями приблизительно на 100 % и 250 % максимальной величины силы взаимодействия между атомами и величины силы между ближайшими соседними атомами в ненапряженной равновесной г. ц. к.-структуре [147]. Следовательно, в случае г. ц. к.-металла с потенциалом Морса идеальная прочность удивительно нечувствительна к глубине и ширине межатомного потенциала. Эта нечувствительность, вероятно, связана отчасти с тем фактом, что подгоночные параметры потенциальной модели выбирались в каждом случае согласованными с упругими постоянными при малых деформациях, а не с каким-либо другим физическим свойством.

Главное достижение работы Такура и Дженкинса [158] заключалось в расширении исследований Милстейна для Ni

на большее число состояний двухосного и трехосного нагружений. Поэтому их результаты трудно сравнивать с экспериментом, и по этой причине они здесь не обсуждаются.

Расчеты идеальной прочности

с помощью более сложных межатомных потенциалов

Попытки применения более сложных потенциалов для расчета идеальной прочности начались, по-видимому, с работы В. А. Жданова с сотрудниками [169—172] в СССР. Сначала В. А. Жданов и В. Ф. Конусов [169—171] рассчитали G-прочность о. ц. к.- и предполагаемого г. ц. к.-видов решеток для Li, Na и К при различных типах деформации с помощью потенциала

l/3 ??z储} (23)

Здесь N и V — число атомов в элементарной ячейке и ее объем соответственно, е — заряд электрона, а подгоночные параметры A, k и z выбирались из условия наилучшего соответствия упругим жесткостям Спи, Сц22 и С1212 (отнесенным к осям <100>) и параметру решетки в ненапряженном состоянии. Некоторые из их результатов приведены в табл. 17, причем напряжение дается в долях измеренной величины С1212 для о. ц. к.-фазы каждого металла. В той же таблице в тех же единицах даны также результаты последующего расчета В. А. Ждановым и В. В. Добротворским [ 172] идеальных прочностей тех же металлов, а также Rb и Cs при трехосном растяжении. Помимо информации о том, что расчет основан на модельном псевдопотенциале Краско — Гурского [173, 174], который подбирается в соответствии с параметром решетки ненапряженного кристалла и потенциалом ионизации свободных ионов, авторы сообщили мало подробностей о своем расчете, и потому не ясно, какой критерий разрушения они привлекали.

Представляют интерес некоторые особенности результатов, перечисленных в табл. 17. Во-первых, два разных подхода замечательно согласуются. Во-вторых, как прочность при трехосном растяжении, так и деформация при разрушении не сильно изменяются при переходе от одного щелочного металла к другому. В-третьих, хочется отметить, что в случае предполагаемых г. ц. к.-структур идеальная прочность меньше при чистом сдвиге {111}<112> без стеснения, чем при чистом сдвиге {111}<112> без стеснения, т. е. имеется направление «облегченного» и направление «затрудненного» сдвигов при такой частной ориентации. Те же особенности можно на-

Таблица 17. Расчеты идеальной прочности металлов (советская литература)

Me-

Структура

Тип деформации

Идеальная прочность ' при растяжении

g33

Идеальная сдвиговая прочность 1)

Li

О. ц. к

Трехосное растяжение 2)

0,115 (G)

0,040

—

[⑺]

Na

0. ц. к.

То же

0,108(0

0,056

—

[171]

К

0. ц. к.

»

0,118(0)

0,032

—

[171]

Li

Г. ц. к

»

0,100 (G)

0,032

—

[171]

Na

Г. ц. к

»

0,094 (G)

0,048

—

[171]

К

Г. ц. к.

》

0,102(0)

0,028

一

[171]

Li

0. ц. к

Чистый сдвиг 4)

{110}〈110〉з)

一

—

0,100 (G)

[1П]

Na

0. ц. к

Чистый _сдвиг 4) {110}<1Г0>3)

—

—

0,100 (G)

[171]

К

0. ц. к.

Чистый _сдвиг 4) {110}<П0>8)

—

一

0,100 (G)

[171]

Li

Г. ц. к.

Чистый сдвиг 4) {111}<Т12>з)

—

—

0,0060

[171]

Na

Г. ц. к.

Чистый сдвиг4) {111}<U2> 8)

—

—

0,0060

[171]

К

Г. ц. к.

Чистый_сдвиг4) {111}<Н2> з)

—

—

0,0060

[171]

Li

Г ц к.

Чистый сдвиг 4) {П1}<112> з)

—

—

0,0270

[171]

Na

Г. ц. к.

Чистый сдвиг 4) {111}<112>3)

—

一

0,0270

[171]

К

Г. ц. к.

Чистый сдвиг 4) {111}<112> з)

—

—

0,0270

[171]

Li

0. ц. к

Трехосное растяжение

0,136

0,052

—

【172]

Na

0. и. к.

То же

0,162

0,060

—

[172]

К

0. ц. к.

》

0,164

0,056

—

[172]

Rb

0. ц. к.

》

0,160

0,052

—

[172]

Cs

0, ц. к.

》

0,163

0,052

—

[172]

1)Выражена в долях измеренной величины С1212 для о. ц. к.-фазы.

2)Определяется как о^j^^i/•

3)Определяется как 先^%]*。при всех других компонентах о，广0, когда сдвиги происходят в плоскостях, перпендикулярных к О% и Ох3, в направлениях 0飞 и О% соответственно.

4)Без стеснения.

блюдать также в табл. 11 и 14 для модели Леннарда-Джонса г. ц. к. Аг и для модели Борна——Майера NaCl соответственно. Однако для щелочных металлов направление легкого сдвига то, для которого каждый атом движется прямо к атому в плотноупакованном слое непосредственно под ним, а затрудненное направление соответствует тому, когда каждый атом движется к «седловой точке» между двумя атомами такого слоя. В то же время для аргона ситуация с затрудненным и легким направлениями обратная в отношении атомных движений. С NaCl все гораздо сложнее, поскольку ее структура состоит не из одинаковых плотноупакованных слоев атомов, а из чередующихся слоев плотноупакованных положительных и отрицательных ионов. И в этом случае направление облегченного сдвига, такое же, как в щелочных металлах, совпадает с направлением, по которому каждый ион движется к точке, средней между двумя ионами противоположного знака слоем ниже, и прямо на ион того же знака двумя слоями ниже. В то же время направление затрудненного сдвига — это направление, в котором каждый ион движется прямо на ион противоположного знака из слоя ниже и в седловую точку на полпути к двум ионам того же знака двумя слоями ниже [111].

Басинский, Дюсбери и Тейлор [175] также выполнили ряд расчетов, которые показывают (при кратком освещении результатов), какой должна быть S-прочность Na для различных типов чистого сдвига и одноосной деформации. Они использовали потенциал, состоящий из двух частей [176]. Одна часть отражает центрально-силовое взаимодействие между ионами и объединяет кулоновский член и затухающий осциллирующий член вида sin(kRa^)/kRa^> а другая представляет собой зависящий от объема член, в котором принимаются во внимание отклонения от соотношений Коши [95]. Вывод и обоснование этой модели дается в [176, 177]. Для наших целей достаточно просто отметить несколько ее свойств. В частности, отметим, что этот потенциал предсказывает поведение, о. ц. к.-, г. ц. к.- и г. п. у.-фаз Na с очень близкими энергиями сцепления при 90 К и устойчивых при этой температуре против произвольного бесконечно малого неоднородного возмущения ненапряженного состояния [177]. Это находится в разумном согласии с наблюдениями [ 178] частичного превращения Na с о. ц. к.-решеткой в Na с г. п. у.-решеткой при охлаждении ниже 36 К. Ниже этой температуры такие две фазы сосуществуют. Отметим также, что для Na с о. ц. к.-решеткой при 90 К предсказания с помощью потенциала для упругих жесткостей Спи, С1122 и С1212 при отнесении к осям <100> значений 8,2; 6,9 и 5,8 ГПа соответственно [177] находятся в превосходном согласии с не-

давно определенными экспериментальными данными 8,62; 7,14 и 5,95 ГПа [179].

Во всех расчетах идеальной прочности, обсуждавшихся выше, кристалл подвергался последовательным приращениям деформации, и после каждого приращения рассчитывалось получающееся в результате напряжение. Однако Басинский, Дюсбери и Тейлор поступили несколько иначе, рассчитав сначала упругие податливости S%*/, а затем использовали их для подсчета приращения деформации, вызванного данным малым приращением напряжения. После этого они рассчитали новые податливости для деформированного кристалла и повторяли всю процедуру до тех пор, пока не достигли точки начала неустойчивости. Суммирования по решетке, встречающиеся в этих расчетах, выполнялись все на вычислительной машине, а взаимодействия между ионами во всех случаях обрезались на расстоянии трех параметров решетки для соответствующей фазы. Метод Басинского с соавторами обладает тем преимуществом, что описание типов деформаций без какого-либо стеснения достигается непосредственно, без помощи процедур релаксации, привлекаемых другими исследователями.

В табл. 18 дана краткая сводка результатов Басинского с соавторами для Na с о. ц. к.-решеткой Абсолютные значения величин Отах, Ртах, Е и G, воспроизведенные здесь, рассчитаны по опубликованным данным в предположениях, что 6{110}<lil> = (CIIiI-C1122 + CI212)/3 и G{110}〈ii0〉= =(&111 — Cii22)/2. Причем Сцц, &122 и &212 относятся к осям <100> и равны 8,409; 7,016 и 5,877 ГПа соответственно [180]. Отметим, что эти величины упругих жесткостей несколько отличаются от величин, относимых в [ 177] к температуре 90 К. Однако температура, к которой применимы обсуждаемые расчеты, не конкретизирована, и потому не ясно, следует ли это различие приписать изменению температуры или некоторой другой причине.

Из данных верхней части таблицы ясна большая анизотропия идеальной прочности для Na с о. ц. к.-решеткой при одноосном растяжении и сжатии. В обоих случаях идеальная прочность Отах наибольшая для направления, параллельного <111>, и по величине превосходит минимальное значение в 20 раз. Однако слабыми направлениями являются <100> при растяжении и <110> при сжатии. Далее для Na обнаруживается значительная упругая анизотропия как по расчету [117, 180], так и по измерениям [ 179], причем 2c⑵2/(&ui— —&i22)>8. Однако эта анизотропия характеризуется лишь примерно семикратным различием между минимальной (<100>) и максимальной (<111>) величинами модулей Юнга. Следовательно, анизотропия величин идеальной прочности,

Таблица 18. Расчеты идеальной прочности о. ц. к. Na

Одноосное растяжение и сжатие без стеснения

Идеальная прочность при растяжении, ГПа

£ ГПа

"тах/Е

g33

(1+^1)X

"g22)T

Примечания (напряжения в ГПа)

(100) растяжение

0,036

2,03

0,018

0,045

-0,042

т {110} (И0) = 0,0177

(НО) растяжение

0,191

5,64

0,034

0,026

-0,016

т {110} <1Г0) = 0,0485

〈111〉растяжение

0,848

13,90

0,061

0,080

-0,031

Гт {110} (НО) = 0,0485 1т {110} (111) = 0,230

(100) сжатие

0,102

2,03

0,050

—0,030

0,030

т {110)(1 [0) = 0,0509

(110) сжатие

0,073

5,64

0,013

-0,023

0,020

т {110} (НО) = 0,0184

(111) сжатие

1,502

13,90

0,108

-0,097

0,038

т {110} (НО) = 0,0339

Чистый сдвиг

Идеальная сдвиговая прочность, ГПа

G, ГПа

^max/G

{110} (ПО)

0,025

0,70

0,036

—

—

[т {110} (1Т1) = 0,020 (G {110} (111) = 2,42

включенных в табл. 18, обусловлена не только упругой анизотропией. Это отражается в трех- и восьмикратных различиях между максимальной и минимальной величинами Отах/Е при растяжении и сжатии соответственно, а также в разной степени анизотропии при сжатии для Е и для Отах или Отах/Е.

Для Na с о. ц. к.-решеткой при чистом сдвиге Басинский, Дюсбери и Тейлор нашли, что ттах должно быть наименьшим в случае сдвига {110}<110>. Соответственно при такой ориентации сдвига упругая анизотропия приводит к особенно низким значениям модулей сдвига. Отметим, что величина ттах, полученная для чистого сдвига {110}<110>, несколько больше допустимого сдвигового напряжения на наиболее напряженной системе скольжения {110}<110> в точке первой неустойчивости при растяжении <100> и сжатии <110>, но составляет лишь около половины этого напряжения при сжатии <100> и растяжении <110>. Странное неясного происхождения влияние на это максимальное допустимое сдвиговое напряжение компонент напряжения, нормальных к плоскости сдвига, по-видимому, должно зависеть от отношения нормальных и сдвиговых напряжений. Когда эти напряжения

равны, т. е. их отношение равно единице, Na ведет себя подобно г. ц. к,-кристаллу Леннарда-Джонса и NaCl, в которых нормальное растягивающее напряжение снижает максимально допустимое сдвиговое напряжение. Наоборот, при отношении д/3 имеется сжимающее нормальное напряжение, которое снижает максимальное допустимое сдвиговое напряжение.

Исследования Басинского, Дюсбери и Тейлора природы особого малого (однородного) возмущения, вызывающего неустойчивость при одноосном растяжении и сжатии в направлениях <100> и <110>, показывают, что эти две различные величины максимального допустимого напряжения сдвига {110}<110> соответствует двум разным типам разрушения. Следовательно, более низкая величина получается, когда разрушение происходит из-за сдвига {110}<1Г0> по тем плоскостям {НО}, которые наклонены по отношению к приложенному напряжению (и поэтому напряжены). Более высокая величина встречается, когда разрушение происходит из-за сдвига {110}<110> по ненапряженным плоскостям {НО}, параллельным приложенному напряжению. Басинский, Дюсбери и Тейлор не определяют «неустойчивость сложного сдвига», встречающуюся при одноосном растяжении и сжатии в направлении <111>, когда отношение напряжения, нормального к плоскости {100}, и допустимого напряжения сдвига {110}<1f0> очень велико (бесконечно при нулевой деформации). Однако интересно отметить, что в этом случае и растягивающие и сжимающие нормальные напряжения приводят к росту максимального допустимого напряжения сдвига {110}<1Т0> до величины, значительно большей атах для чистого сдвига {110}<1 Го>, прежде чем проявится неустойчивость. Ясно, что эта черта идеальной сдвиговой прочности Na с о. ц. к.-решеткой заслуживает дальнейшего исследования.

Басинский, Дюсбери и Тейлор сообщили также о результатах нескольких совместных расчетов идеальной прочности Na с гипотетической г. ц. к.- и г. п. у.-решетками при различных типаю деформации. Их результаты в целях полноты суммированы в табл. 19, но далее обсуждаться не будут. Только отметим, что в противоположность о. ц. к.-фазе фаза с г. ц. к.-решеткой прочнее при растяжении <100>, чем при сжатии <100>.

Наконец отметим, что они не делали расчета какой-либо из своих кривых напряжение ——деформация за точкой первой неустойчивости. Поэтому невозможно определить, будет ли критерий разрушения по максимальному приложенному напряжению приводить к значительно отличающимся величинам идеальной прочности в случае Na.

Таблица 19. Расчеты идеальной прочности плотноупакованных разновидностей Na

Структура

Тип деформации

Тщах или °тах

Примечания

Г. п. у

{1010 (1120) чистый сдвиг

0Q39G

Минимальноезначение

Г. п у.

{0001}<1120) чистый сдвиг

0Q66G

—

Г. п. у.

(1120) растяжение 1)

Разрушениесдвигом

{10П1}<П120> при т{1010}<1120> = 0,0266?

Г. ц. к.

{111} (110) чистый сдвиг

0,023±0,005G

—

Г. ц. к.

(100) растяжение ^

—

Разрушение сдвигом при т{111}<П0> = 0Q33G

Г. ц. к.

(100) сжатиеIJ

Разрушение сдвигом при т{111}<П0> = 0,014(7

G = C313r когда оси Ох{ и О/ являются нормалью к плоскости сдвига и направле* нием сдвига соответственно [180].

1)Без стеснения.

Таблица 20. Расчеты идеальной прочности Си при одноосном растяжении со стеснением в направлении <100> [181]

Метод

%iax，Г"а

^тах/Е °

&33

Несамосогласованные ККР зоннотеоретические расчеты

55

0,43

0,5

Самосогласованные зонно-теоретические расчеты по методу приращенной сферической волны с поправкой Эвальда

32

0,25

0,55

Самосогласованные зонно-теоретические расчеты по методу приращенной сферической волны без поправки Эвальда

18

0,14

0,3

Расчеты с помощью парного потенциала, определяемого из первых принципов

36

0,28

0,5

Расчеты с помощью потенциала

Джонсона

41

0,32

0,3

1)£ — экспери ментально измеренный модуль Юнга для поликриста ллической меди Си.

Наиболее недавняя попытка применения усложненных потенциалов для расчета идеальной прочности принадлежит Эспозито с соавторами [ 181]. Они используют критерий разрушения по максимальному приложенному напряжению для расчета прочности Си при одноосном растяжении со стеснением в направлении <100> пятью различными методами. Основой одного метода расчета (1) служит парный потенциал, определяемый из первых принципов, а именно через расчеты зависимости энергии сцепления от объема по электронной структуре, и предположение о том, что эту энергию можно записать в виде суммы энергий парных взаимодействий [182]. Основу других составили (2) несамосогласованные зонно-теоретические расчеты Корринга — Кона — Рос- токера (ККР) [183], использующие приближение muffin-tin; (3) самосогласованные зонно-теоретические расчеты по методу приращенной сферической волны (augmented spherical wave) с поправкой Эвальда [184]; (4) то же, что и (3), но без поправки Эвальда и (5) эмпирический парный потенциал Джонсона [185]. Все пять расчетов дали неожиданно большие значения dnax (табл. 20).

Расчеты идеальной прочностис помощью упругих жесткостей высших порядков

С развитием точных методов измерения скоростей ультразвуковых упругих волн в заданных направлениях в сильно напряженных кристаллах стало возможным с недавнего времени определять экспериментально упругие жесткости третьего (а иногда и четвертого) порядка. В результате теперь можно с помощью разложения функции энергии деформации в ряд Тейлора по некоторой подходящей мере деформации получить аналитическое выражение для этой функции с точностью вплоть до членов третьего (а иногда и четвертого) порядка. Тогда это дает прямой путь для оценки первой и второй производных такого выражения по деформации при любом требуемом деформированном состоянии и тем самым для расчета соответствующего напряженного состояния и проверки, является ли оно устойчивым или неустойчивым. Метод впервые был опробован Баршем [186] и его студентами [187, 188] в середине 1960-х годов, но лишь недавно привлек более широкое внимание.

Холлингер [188] выполнила подробное теоретическое исследование процедуры, которая предназначалась для выяснения того, насколько быстро вычисленные величины различных характеристик сходятся по мере добавления упругих жесткостей все более высокого порядка в тейлоровском разложении энергии деформации. С этой целью она изучала

NaCl и КС1, используя потенциал Борна——Майера (формула (11)) с подгоночными параметрами, подобранными по параметру решетки недеформированного кристалла, упругим жесткостям второго порядка Сци, Сц22 и C12i2 (отнесенным к осям <100>) и их производным по давлению, и обрезая все решеточные суммы на третьих ближайших соседях. Холлингер также сделала предположение о статическом характере нагружения, т. е. что первый тензор напряжений Пиолы —— Кирхгофа остается постоянным в процессе любого возмущения напряженного кристалла. Величину 6з можно в этом случае оценить точно при условии (которое предполагается выполненным), что приложенные нагрузки консервативны и «следуют» возмущению [189]. Из' ее результатов видно, что энергия деформации, тензор напряжения Коши и собственные значения «матрицы эффективных упругих постоянных», которая должна быть положительно определенной для устойчивости в соответствии с неравенством (20), сходятся быстрее с добавлением членов более высокого порядка в тейлоровское разложение, если оценка проводится в терминах модифицированного тензора деформации Эйлера &J, а не более часто выбираемого лагранжева тензора деформации (Грина) £〃• = i/2(g“ + g〃 + g「igb)i)・ По лучшим оценкам Холлингер идеальные прочности NaCl и КС1 при одноосном растяжении без стеснения в направлении <100> составляют 2,91 и 2,26 ГПа соответственно.

Гиске [187] применил те же методы для расчета зависимости от ориентации идеальной прочности А12О3 при одноосном растяжении без стеснения, исходя из экспериментально определенных для этого материала упругих постоянных второго и третьего порядков. Его величины 98, 87 и 87 ГПа для направлений, параллельных <0001>, <1120> и <10Г0>, можно сравнить с прочностями 10,9; 22,3 и 15,3 ГПа, полученными Солтисом [15] для нитевидных кристаллов с соответствующими ориентациями.

Позднее Руофф [190] и Нельсон и Руофф [191] использовали тот же подход для расчета идеальных прочностей Si и Ge при одноосном растяжении без стеснения и сжатии в направлении <100> и одноосном сжатии без стеснения в направлении <111> с помощью критерия разрушения по максимальному приложенному напряжению. Они также распространили свои результаты на алмаз из тех соображений, что все три материала должны разрушаться при растяжении и сжатии соответственно при одинаковой доле своих модулей

“Поскольку e；j = %(6 订一(6〃 一 2%，i) [188], то этот тензор не просто выражается через g〃.

Таблица 21. Идеальные прочности при сжатии и растяжении Ge, Si и алмаза

Материал

Гип деформации

% ах ГПа

g33

%ах/Е

Ge

<100> одноосное растяжение 1}

15,2

0,181

0,148

Ge

< 100> одноосное сжатие п

11,3

—0,185

0,110

Si

<100> одноосное растяжение 1}

22,4

0,203

0,172

Si

<100> одноосное сжатие 1}

16,3

-0.221

0,125

С (алмаз；

<100> одноосное растяжение 1}

168

—

0,16

С (алмаз)

< 100> одноосное сжатие 1}

132

—

0,126

Ge

<111> одноосное сжатие 1}

37,1

-0,26

—

Si

<111> одноосное сжатие【)

47,3

0,31

—

С (алмаз/

<111> одноосное сжатие')

410

—

—

I)Без стеснения.

Юнга и своих модулей сдвига при простом сдвиге по плоскости {111}. Эти результаты суммированы в табл. 21.

Расчеты идеальной прочностина основе атомных представлений

Недавно в СССР начато применение методов молекулярной динамики для исследования идеальной прочности и однородного зарождения дефектов в сильно напряженных кристаллах. Однако такие работы по своему исполнению носят исключительно качественный характер, так что оценок идеальной прочности еще не получено. Обзор этого рода деятельности дан недавно Е. Д. Щукиным и В. С. Ющенко [192].

В то же самое время в Японии методом, который можно назвать методом «молекулярной статики», начаты расчеты механического поведения аморфного Fe при чистом сдвиге [193] и одноосном растяжении без стеснения [194]. В обоих случаях использовался один и тот же короткодействующий парный потенциал Джонсона [195], а именно

-2,195976 低邓 一 3,097910)3 + 2,70406软呼一

〃ав依呼)=〃ав依呼)=—7,436448 эВ при Rn^ ^ 2,4А, -0,639230 依呼- 3,115829)3 + 0,477871 /?ар

〃ав依呼)=

〃ав依呼)=

-1,581570 эВ при 2,4 < /?ар ^ 3,0А, — 1,115035 依呻一3,066403)3 + 0；466892Rae

-1,547967 эВ при 3,0 < R呻 & 3,44А.

Расстояние, на котором производится обрезание, приходится на область 3,44 А между вторым и третьим ближайшими соседями для кристаллического a-Fe, и потенциал подобран так, чтобы воспроизводить упругие свойства этого же материала.

Маэда и Такеути [ 193] рассмотрели чистый сдвиг двумерной структуры из 254 атомов, накладывая периодические граничные условия, а деформацию реализовали приращениями. При каждом приращении деформации производилась релаксация структуры, чем 、 обеспечивалась деформация вдоль пути минимальной энергии. Для такой модели аморфного железа модуль сдвига составлял 0,58 士 0,04 доли от модуля соответствующей двумерной кристаллической решетки； и пластические деформации имели скачкообразный характер в дополнение к заметным перепадам текучести при сдвиговом напряжении от 0,07 до 0,10 модуля сдвига (т. е. от 0,04 до 0,06 модуля сдвига его кристаллического аналога). Каждый перепад текучести сопровождался заметной пластической (т. е. необратимой) деформацией, которая являлась результатом последовательного коллапса пор, несколько меньших размеров, чем вакансии в кристаллическом аналоге, через интервалы в 5—8 атомных расстояний вдоль линии максимального сдвига. Этот процесс вызывает зарождение и развитие скольжения в макроскопическом масштабе при постоянной плотности, поскольку коллапс одной поры способствовал образованию другой в той же окрестности.

Ямамото с соавторами [194] изучили растяжение цилиндра в направлении, параллельном его оси, имевшего первоначально длину приблизительно 30 А и диаметр 20 А и содержащего 567 атомов. В сумме 103 атома, расположенные на двух концах цилиндра, служили «захватами», через которые приложенная сила передавалась остальным 464 атомам. Деформация прикладывалась по некоторой принятой итерационной процедуре, причем каждая итерация состояла из трех шагов: 1) задания малого приращения растягивающей деформации с помощью передвижения захватов параллельно оси цилиндра, 2) пропорционального смещения относительно середины 464 атомов попарно, чтобы улучшить сходимость, и 3) минимизации энергии решетки при допущении движения атомов захватов в плоскости, перпендикулярной оси растяжения, а остальных — во всех трех направлениях. После начального (и, вероятно, нереального) уменьшения энергии при первых 2,6 % удлинения, согласно этой модели, происходил постепенный подъем кривой напряжение — деформация, пока не достигалось течение, сопровождавшееся значительным падением текучести при удлинении 6,4 %. Это снижение текучести сопровождалось значительным увеличением среднего

атомного смещения на единицу приращения деформации, что свидетельствует явно в пользу связи текучести с некоторым скоррелированным да льнодействующим движением атомов. Последующий анализ атомных смещений при течении подтвердил эту точку зрения. Было также замечено, что поверхностные атомы значительно подвижнее внутренних. Однако ни в обсуждаемой работе [ 194], ни в работе Маэды и Та- кеути [ 193] эти атомные движения не отражались на каком- либо существенном изменении парной функции распределения.

Температурная зависимость идеальной прочности

Как уже отмечалось, в используемых в вышеописанных расчетах потенциальных моделях не принимают явно во внимание кинетическую энергию, обязанную тепловому движению атомов, когда оценивается полная энергия системы «кристалл плюс приложенные силы». Поэтому, строго говоря, этими моделями следует пользоваться только для расчета идеальной прочности при О К, если нужно получить наилучшие результаты. Также для согласованности подгоночные параметры в потенциальных моделях следует рассчитывать на основе экспериментальных данных, относящихся к О К, хотя в действительности в некоторых случаях использовались данные, полученные при других температурах.

Поэтому не является неожиданным, что очень мало внимания уделялось определению температурной зависимости идеальной прочности Из приближенного аналитического рассмотрения Цвикки [ 127] следует, что снижение идеальной прочности NaCl при одноосном растяжении без стеснения в направлении <100> пропорционально корню из среднеквадратичного значения амплитуды (малых) тепловых колебаний атомов. Другие сведения о влиянии температуры на атах и Ттах можно получить, подставляя в формулы Орована — Полани (1) и Френкеля (3) значения упругих жесткостей, параметра решетки и поверхностной энергии (только в первом случае), относящиеся к различным температурам. В табл. 6 и 8 включены те немногие результаты, которые получены таким путем Келли [ 1]. Из них следует, что для Си, W и a-Fe величина атах должна снижаться примерно на 30 % в интервале температур от 0 до 293 К, в то время как снижение ттах для Си составляет менее 10 % в том же интервале. Однако из-за неопределенности использованных значений поверхностной энергии эта оценка температурной зависимости Отах не может считаться очень надежной.

Однако с точки зрения критики вышеобрисованных расчетов более важно то, что в них игнорируется определенная возможность зарождения петель дислокаций и мельчайших

трещин на поверхности или внутри кристалла при любой температуре, превышающей О К, в результате совместных воздействий приложенного напряжения и тепловых флуктуаций. Очень вероятно, что в сильно напряженном материале некоторое такое событие будет причиной разрушения. Энергетика зарождения дислокационной петли на поверхности напряженного кристалла впервые рассмотрена Франком [196]. Недавно Келли [ 1] использовал анализ Франка для определения температурной зависимости ттах. Он пришел к заключению, что для любого материала, если бы зарождались только полные дислокации, идеальная сдвиговая прочность обнаруживала бы слабую температурную зависимость благодаря этому эффекту. Он также рассчитал, что для Си, если бы зарождались частичные дислокации, идеальная сдвиговая прочность могла бы снижаться наполовину в температурном интервале от 300 до 1173 К. Точность этих оценок также трудно определить, поскольку такие параметры, как энергия дефекта упаковки и упругие жесткости, которые рассматриваются как постоянные в расчете Келли, на самом деле могут неизвестным образом сильно изменяться с температурой и приложенным напряжением.

Таким образом, заключаем, что до сих пор не сделано точных оценок температурной зависимости идеальной прочности.

СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Несмотря на ограничения различных вышеобсуждавшихся расчетов идеальной прочности и малочисленность согласующихся экспериментальных измерений высоких прочностей, интересно сделать сравнения теории и эксперимента, насколько это возможно.

В случае г. ц. к.-кристалла Леннарда-Джонса имеется хорошее согласие между различными опубликованными расчетами (табл. 11), и такие расхождения, которые встречаются, почти определенно являются следствием лишь различий в расчетных процедурах. Есть основание полагать, что использованный потенциал в этом случае более реалистичен, чем в каком-либо другом. Поэтому неудачно, что, по-видимому, нет экспериментальных данных по прочности для чего-либо другого, крема сильно несовершенных поликристаллических образцов из материалов с чист'о вандерваальсовыми связями. С едователько, в зто?л случае- сравнение теории и эксперимента невозможно.

Однако можно сделать имеющие смысл сопоставления

для NaCl, для которого при одноосном растяжении без стеснения в направлении <100> зарегистрированы [3] столь высокие прочности, как 1,6 ГПа (табл. 1). Для сравнения, если принимается критерий разрушения по максимальному напряжению, то модель Борна предсказывает атах = 2,27 и 2 ГПа [89, 127] для этого типа деформации (табл. 12). Различные расчеты с помощью модели Борна — Майера [89, 111, 130] (табл. 13 и 14) приводят к значениям 2,66; 2,40 и 2,95 ГПа. Величина атах также изменяется незначительно, если вместо этого идеальная прочность определяется как напряжение, при котором деформирование впервые становится неустойчивым по отношению к некоторому бесконечно малому однородному возмущению [2, 112, 188]. Следовательно, и в этом случае несколько опубликованных расчетов находятся в превосходном согласии друг с другом. Далее указанные расчеты приводят к различию с экспериментом лишь в 1,5—2 раза. Имеется также превосходное согласие между несколькими опубликованными расчетами идеальной прочности NaCl при одноосном растяжении без стеснения в направлении <100> независимо от того, используется ли потенциал Борна [88] или потенциал Борна — Майера [89, 111] (табл. 12 и 14). И для этого типа деформации в модели Борна ——Майера по крайней мере ЛЬ и S-прочности фактически те же, что и выведенные согласно критерию разрушения по максимальному приложенному напряжению [112].

Для NaCl, одноосно растянутого в направлении <110> и в направлении <111> в особенности, согласие между расчетами Макмиллана и Келли [2, 111] по модели Борна — Майера (табл. 14) и расчетами Бартенева и Коряка-Доро- ненко [128, 129] по модели Борна (табл. 12) менее хорошее. Расхождения, по-видимому, возникают не только из-за различий потенциалов, но также из-за различных наложенных ограничений и разницы в расчетных процедурах.

Макмиллан и Келли [111], как в расчетах для NaCl по модели Борна ——Майера, так и в расчетах для Аг по модели Леннарда-Джонса, использовали равновесное значение параметра решетки в ненапряженном кристалле среди тех физических свойств, по которым они определяли подгоночные параметры потенциала. Затем сни применили полученную модель для расчета не только 0rmах, но также модуля Юнга и поверхностной энергии для ряда ориентаций. Значения двух последних величин вместе с параметром решетки можно подставить в формулу Орована — Полани (1) и найти другое значение для Отах. Сравнение этих двух значений Отах позволяет проверить справедливость соотношения Орована ——Полани. Отметим, что ценность этого испытания не зависит от достоинств потенциалов Борна — Майера и Леннарда-Джон-

са, как описывающих поведение NaCl и Аг соответственно. Макмиллан и Келли выполнили такое испытание и нашли [197], что в каждом случае соотношение Орована — Полани, которое является уравнением такого типа [23], дающим наиболее консервативную оценку прочности (табл. 7), приводит к значениям Отах, в 2——4 раза большим по сравнению со значением, полученным непосредственно (т. е. с использованием уравнения (18) и критерия разрушения по максимальному напряжению). Например, при одноосном растяжении NaCl в направлении <100> соотношение Орована — Полани предсказывает Птах = 5,77 и 5,15 ГПа со стеснением и без него соответственно [197], в то время как прямой расчет дает величины 2,82 и 2,40 ГПа [111] (табл. 14).

В случае стекла SiO2 экспериментально измерена прочность на растяжение 13—14 ГПа [28, 31, 32] (табл. 3). Для сравнения формула Орована — Полани приводит к оценкам [1, 79] ДЛЯ Отах == 16 ГПа (табл. 6) и 28 ГПа, в то время как на основании вычислений Ладика и Нараи-Сабо методом подсчета связей [90] предсказывается величина 24 ГПа. Следовательно, в этом случае также теория и эксперимент различаются не более чем в два раза, даже если не принимается в расчет возможность, что соотношение Орована — Полани опять ведет к завышению атах.

Максимальная прочность при растяжении в направлении <111>, полученная Бреннером [16] в его экспериментах с нитевидными кристаллами a-Fe, равна 13,1 ГПа при удлинении, близком к 0,05 (табл. 1). Эти величины составляют почти одну треть от полученных Келли [ 1] по формуле Орована—Полани (табл. 6). Согласно этой формуле, идеальная прочность при одноосном растяжении a-Fe в направлении, параллельном <100>, должна составлять 〜0,65 от прочности при растяжении в направлении <111>. Таким образом, получается значительное отличие от результата расчета Милстей- на с функцией Морса [144], по оценке которого атах равно лишь 0,17 ГПа для такого типа деформации. Это последнее значение гораздо меньше компоненты напряжения, действующей по нормали к плоскости {100} непосредственно перед разрушением в случае наиболее прочного нитевидного кристалла у Бреннера. Таким образом, приходим к необычной ситуации, когда экспериментальная прочность превышает предсказанную теоретически. Это расхождение может быть почти определенно приписано несоответствию двухчастичного потенциала Морса с центральными силами модели связи в a-Fe с о. ц. к.-решеткой. Как обнадеживающий результат от* метим, что более сложный потенциал, примененный Басин- ским и др. [175] для описания поведения другого о. ц. к.-металла, а именно Na, предсказывает значение 0,080 для

максимального удлинения перед разрушением при растяжении в направлении <111> (табл. 19), что исправляет рассматриваемую ситуацию. Также обнадеживает то, что как зависящий от объема потенциал (формула (23)), использованный Ждановым и Конусовым [169—171], так и модельный псевдопотенциал, использованный Ждановым и Добро- творским [ 172], предсказывают удлинения до разрушения от 0,03 до 0,06 для всех (о. ц. к.) щелочных металлов при трехосном растяжении (табл. 17). Очевидно, есть надежда, что усовершенствованные модели потенциала приведут к лучшему пониманию идеальных прочностей металлов с о. ц. к.-решеткой, чем достигнуто до сих пор на основе подхода Орована — Полани или использования потенциала Морса.

В случае металлов с г. ц. к.-решеткой формула Орована —— Полани (табл. 6), а также зонно-теоретические расчеты и расчеты с парным потенциалом Эспозито и др. [181] (в которых применялся критерий разрушения по максимальному приложенному напряжению) привели к оценкам идеальной прочности при одноосном растяжении вплоть до одного порядка величины, большим, чем наивысшие прочности, полученные экспериментально [11, 16, 17, 38, 4 6, 47, 50, 52] (табл. 1, 4 и 5). Расчеты Милстейна, основанные на потенциале Морса (табл. 15), также предсказывают идеальную прочность для Си при растяжении без стеснения в направлении <100>, в 3—4 раза большую прочности на растяжение нитевидных кристаллов Си в наиболее прочном направлении <100> [11, 17] (табл. 1). Сходное различие видно также между результатами расчета того же автора с помощью потенциала Морса для Ni (табл.• 15) и прочностью этого металла, измеренной по методу двухслойной электрополировки [52] (табл. 5). Поэтому, по-видимому, стоит исследовать, приведет ли применение критерия разрушения в результате потери устойчивости к большему согласию с экспериментом зоннотеоретических расчетов Эспозито и др.

В случае более или менее ковалентных материалов с большими напряжениями Пайерлса ——Набарро, как, например, Si, Ge и А120з, для которых обычно обнаруживается лишь двукратное расхождение в прочности нитевидных кристаллов с микронным диаметром и стержней миллиметрового диаметра, также остается существенная разница между наивысшими экспериментальными прочностями при растяжении и расчетными величинами идеальной прочности. Например, наивысшие прочности, полученные для нитевидных кристаллов и больших образцов Si, составляют соответственно 7,6 ГПа [14] (табл. 1) и 4,14 ГПа [23] (табл. 2). Однако для идеальной прочности при одноосном растяжении Si в направлении <111> расчет Орована — Полани дает 32 ГПа [1]

(табл. 6). Соответствующее значение для направления <100>, получаемое с помощью упругих жесткостей третьего порядка, равно 22,4 ГПа [190, 191] (табл. 21). Аналогично, хотя прочность при растяжении больших образцов АЬОз может достигать 6,85 ГПа [24—26] (табл. 2) и прочности при растяжении для нитевидных кристаллов получались вплоть до 22,3 ГПа [15] (табл. 1), Гиске [187] с помощью упругих жесткостей третьего порядка получил оценки 98, 87 и 87 ГПа для идеальной прочности при одноосном растяжении в направлениях, параллельных <0001>, <1120> и <1010> соответственно, а формула Орована ——Полани для идеальной прочности при одноосном растяжении в направлении <0001> дает величину 46 ГПа [1] (табл. 6).

Сравнение расчетных величин идеальной сдвиговой прочности, представленных выше, с экспериментальными осложняется тем, что расчеты были выполнены для чистого или простого сдвига, а измерения высокой прочности почти всегда делаются при изгибе или растяжении. Поэтому в экспериментах обычно присутствуют как сдвиговые, так и растягивающие напряжения, действующие в каждой плоскости. Влияние этих нормальных напряжений на сдвиговое поведение может заметно меняться от материала, к материалу. Сравните, например, влияние растягивающего напряжения, перпендикулярного наблюдаемой плоскости скольжения, на Fax для сдвига в этой плоскости в наблюдаемом направлении скольжения в случаях г. ц. к.-кристалла Леннарда-Джонса [2, 80], NaCl [2, 80] и Na [175].

Тем не менее при уровнях напряжений, при которых происходило разрушение наиболее прочных нитевидных кристаллов Cd у Крампа и Митчелла [18], нитевидных кристаллов Си и Ag у Бреннера [11, 16] и нитевидных кристаллов Си у Кобаяси и Хики [17] (табл. 1), отношение допустимого сдвигового напряжения на известных или вероятных системах скЬльжения к соответствующим модулям сдвига было сравнимо (а в некоторых случаях и больше) с величинами tmax/G, рассчитанными Келли [1] и Маккензи [86]. Следовательно, в этих случаях расхождение между теорией и экспериментом оказывается в пределах неопределенности расчетов. Однако для г. ц. к.-кристалла Леннарда-Джонса для сдвига {111} < 112> (т. е. сдвига по вероятной плоскости скольжения в направлении легкого скольжения) обнаруживается несколько большее значение tmax/G, равное 0,062—0,074 [86, 89, 111] (табл. 11).

Для о. ц. к.-металлов, точно так же как и при расчетах растяжения, простой подход, поясняемый примером расчета Френкеля по формуле (3), дает большие значения tmax/G,

чем в эксперименте. На это указывают расчеты Жданова и Конусова [171] с помощью зависящего от объема потенциала (23). Однако расчеты Басинского с соавторами [175] находятся в достаточно хорошем согласии с экспериментом.

Для неметаллов значения tmax/G, полученные любым расчетом, вообще говоря, в несколько раз превосходят наблюдаемые экспериментально величины (безотносительно к ориентации рассматриваемого сдвига).

Одно интересное заключение можно извлечь из подобного сравнения теории и эксперимента. Поскольку эксперимент, при котором действию напряжений подвергается и поверхность, и внутренний объем твердого тела, в нескольких пунктах более или менее согласуется с теорией, в которой «рассматриваются» лишь напряжения во внутреннем объеме, то отсюда следует, что поверхность твердого тела не может быть гораздо слабее внутреннего объема.

Наконец, следует отметить, что обсуждавшиеся здесь расчеты идеальных прочностей делались все в предположении однородной деформации. Поэтому, строго говоря, результаты должны быть применимы лишь к таким задачам о неоднородной деформации, в которых напряжение и деформация мало меняются на расстояниях, сравнимых с областью действия межатомных сил. Это не так, например, в случае вершины трещины, ядра дислокации или поверхности раздела частица — матрица, так что должна быть проявлена надлежащая осторожность при применении результатов этих расчетов к таким задачам.

Этот обзор представляет собой значительную переработку двух предыдущих обзоров автора по тому же предмету [198, 199].

ЛИТЕРАТУРА

Kelly A. Strong solids, 2nd edn. — Oxford: Oxford University Press, 1973. [Имеется перевод: Келли А. Высокопрочные материалы. — М.: Мир, 1976.]

Macmillan N. Н. Ph. D. Thesis. — Cambridge: Cambridge University, 1969.

Иоффе А. Ф. Физика кристаллов. — М. — Л.: ГИЗ, 1929,

Gyulai Z. —Z. Phys., 1954, 138, p. 317.

Sears G. W. — J. Chem. Phys., 1962, 3«, p. 862.

Sharma R. B. — J. Appl. Phys., 1970, 41, p. 3371.

Тавадзе Ф H., Сурмава Г. Г., Николаишвили А. А., Маковец С. Е.— ФТТ, 1973, 15, с. 1321.

Davies Т. J., Evans Р. Е. — Nature, 1965, 207, р. 254.

Evans С. С., Gordon J. Е., Marsh D. М., Parratt J. N. — Report No. 133, Tube Investments Research Lab., Hinxton Hall, Cambridge, 1961.

Ryshkewitz E. — Sci and Tech., 1962, p. 54.

Brenner S. S. — In: Growth and Perfection of Crystals, Doremus R. H., Roberts B. W., Turnbull D., eds. — New York: Wiley, 1958.

Webb W. W., Forgeng W. D. —Acta Met, 1958, 6, p. 462.

Постников В. С., Аммер С. А., Дрожжин А. И. — ФТТ, 1972, 14, с. 3080.

Сандулова А. В., Богоявленский П. С., Дрошок М. И. — ФТТ, 1963, 5, с. 2580.

Soltis Р. J. — Bull. Amer. Phys. Soc., 1965, 10, p. 163.

Brenner S. S. — J. Appl. Phys., 1956, 27, p. 1484.

Kobayashi H., Hiki Y. — Phys. Rev., 1973, B7, p. 594.

Crump J. C., Mitchell J. W. — J. Appl. Phys., 1970, 41, p. 717.

Bacon R. — J. Appl. Phys., 1960, 31, p. 283.

Blakslee O. L. et al. — J. Appl. Phys., 1970, 41, p. 3373.

Johnson O. W., Gibbs P. — J. Appl. Phys., 1963, 34, p. 2852.

Johnston T. L., Stokes R. J., Li С. H. — Acta Met., 1958, 6, p. 713.

Gilmann J. J. — In: Proc. Symposium on Physics and Chemistry of Ceramics, Klingsberg C., ed. — New York: Gordon and Breach, 1963. Опубликовано также в: Mechanical Behavior of Crystalline Solids, U. S. National Bureau of Standards, Gaithersburg, Maryland, 1963.

Morley J. G., Proctor B. A. — Nature, 1962, 196, p. 1082.

Mallinder F. P., Proctor B. A. — Philes. Mag., 1966, 13, p. 97.

Mallinder F. P., Proctor B. A. — Proc. Brit. Ceram. Soc., 1966, 6, p. 9.

Thomas W. F. — Phys, and Cem. Glasses, 1960, 1, p. 4.

Morley J. G., Andrews P., Whitney I. — Phys, and Chem. Glasses, 1964, 5, p. 1.

France P. W. et al. — J. Mater. Sci., 1980, 15, p. 825.

Anderegg F. O. — Ind. and Eng. Chem., 1939, 31, p. 290.

Hillig W. B. — J. Appl. Phys., 1961, 32, p. 741.

Hillig W. B. — In: C. R. Symposium sur la Resistance Mecanique du Verre et les Moyens de PAmeliorer, Union Scientifique Continentale du Veire, Charleroi, Belgium, 1962.

Proctor B. A., Whitney I., Johnson J. W. — Proc. Roy. Soc., 1967, A297, p. 534.

Hulse С. O. — J. Amer. Ceram. Soc., 1961, 44, p. 572.

Johnston T. L. — Сообщено в [11].

Zukowski R., Gaze R. — Nature, 1959, 183, p. 3 5.

Aveston J. — J. Mater Sci., 1969, 4, p. 625.

Gane N. (частное сообщение, 1969).

Улитовски A. В. — Приберы и техн, экспер., 1957, № 3, с. 115—117.

Taylor G. F. — Phys. Rev., 1924, 23, p. 655.

Yajima S. — Philos. Trans. Roy. Soc., 1980, A294, p. 419.

Williams W. S., Steffens D. A., Bacon R. — J. Appl. Phys., 1970, 41, p. 4893.

Talley С. P. — J. Appl. Phys., 1959, 30, p. 1144.

Young R. J. (частное сообщение, 1979).

Smith P., Lemstra P. J. — J. Mater. Sci., 1980, 15t p. 505.

Gane N., Bowden F. P. — J. Appl. Phys., 1968, 39, p. 1432.

Gane N. — Proc. Roy. Soc., 1970, A317, p. 367.

Macmillan N. H., Gane N. — J. Appl. Phys. 1970, 41, p. 672.

Brown L. M., Woolhouse G. R., Valdre U. — Philos. Mag., 1968, 17, p. 781.

Brown L. M., Woolhouse G. R. — Philos. Mag., 1970, 21, p. 3 29.

Smith D. A., Bowkett К. M. — In: Proc. 4th European Regional Conf, on Electron Microscopy, vol. 1, Tipografia Poliglott Vaticana, Rome, 1968.

Smith G. D. W. et al. — In: High Voltage Electron Microscopy (Proc. 3th Inti. Conf, on High Voltage Electron Microscopy Oxford, 1973), Swann P. R., Humphreys C. J., Goringe M. J., eds. — New York: Аса- demic Press 1974

Patel J. R., Chaudhuri A. R. — J. Appl. Phys., 1963, 34, p. 2788.

Gilman J. J. — J Appl. Phys., 1973, 44, p. 675.

Gilman J. J. — Physics Today, 1975, 28, p. 46.

Gilman J. J.—工 Appl. Phys., 1975, 46, p. 1625.

Gilman J. J. — In: Physics of Strength and Plascicity, Argon A. S., ed. — Cambridge, Mass.: The M. I. T. Press, 1969. [Имеется перевод: Физика прочности и пластичности. — М.: Металлургия, 1972, с. 7—18.]

Gilman J. J. — In: Dislocation Dynamics, Rosenfeld A. R. et al., eds.— New York: McGraw-Hill, 1968.

Leavengood W. C., Vong T. S. ― J. Appl. Phys., 1960, 31, p. 1416.

Ashby M. F., Logan J. — Scripts Met., 1973, 7, p. 513.

Rivier N. —Philos. Mag., 1979, A40, p. 859.

Hirth J. P. —J. Mater. Sci, 1977, 12, p. 2540.

Li J. С. M. — In: Metallic Glasses, Amer. Soc. Metals, Metals Park Ohio, 1978.

Davis L. A. — In: Rapidly Quenched Metals, Grant N. J., Geissen В. C., eds. — Cambridge, Mass： The M. I. T. Press, 1976.

Argon A. S. — Acta Met., 1979, 27, p. 47.

Pampillo C. A. — J. Mater. Sci., 1975, 10, p. 1194.

Mallinder F. P., Proctor B. A. — Phys, and Chem. Glasses, 1964, 5, p. 91.

Mitchell J. W. (частное сообщение, 1975).

Ruoff A. L., Wanagel J. — Science, 1977, 198, p. 1037.

Ralph B. — Ph. D. Thesis, Cambridge University, Cambridge, 1964.

Smith P. J., Smith D. A. —Philos. Mag., 1970, 21, p. 907.

Birdseye P. J., Smith D. A. — Surf. Sci., 1970, 23, p. 198.

Eaton H. C., Bayuzick R. J. — Surf. Sci., 1978, 70, p. 408.

Bowen D. K., Vitek V. — Phys. Stat. SoL, 1979, (b), 92, p. 645.

Polanyi M. — Z. Phys., 1921, 7, p. 323.

Orowan E. — Z. Krist., 1934, A89, p. 3 27.

Orowan E. — Rep. Prog. Phys., 1949, 12, p. 185.

Johnston T. L. — In: Mechanical Behavior of Crystalline Solids, U. S. National Bureau of Standards, Gaithersburg, Maryland, 1963.

U. S. National Academy of Sciences (Materials Advisory Board), Report MAB-221-M, Washington, 1966.

Kelly A., Tyson W. R., Cottrell A. H. — Philos. Mag., 1967, 15, p. 567.

Kelly A., Tyson W. R.. Cottrell A. H. — Can. J Phys., 1967, 45, p. 883.

McClintock F. A., O'Day W. R. (неопубликованная работа, 1965).

Demishev G. K., Bartenev G. M. — Sillikattechnik, 1966, 17, p. 215.

Demishev G. K., Bartenev G. M. — Sillikattechnik, 1966, 17, p. 344.

Frenkel J. — Z. Phys., 1926, 37, p. 572.

Mackenzie J. K. — Ph. D. Thesis, Bristol University, Bristol, 1949.

Nye J. F. Physical Properties of Crystals. — Oxford: Oxford University Press, 1960. [Имеется перевод: Най Дж. Физические свойства кристаллов.—М.: Мир, 1967.]

De Boer J. Н. — Trans. Faraday Soc., 1936, 32, p. 10.

Tyson W. R. —Philos. Mag., 1966, 14, p. 925.

Ladik J., Naray-Szabo I. — Nature, 1960, 188, p. 226.

Перепелкин К. E. — Физ.-хим. механика материалов, 1970, 6, с. 78.

Перепелкин К. Е. — Физ.-хим. механика материалов, 1972, 8, с. 74.

Губанов А. И., Чевычелов А. Д. — ФТТ, 1963, 5, с. 2599.

Губанов А. И., Чевычелов А. Д. — ФТТ, 1962, 4, с. 928.

Born М., Huang К. Dynamical theory of crystal lattices. — Oxford: Oxford University Press, 1966. [Имеется перевод: Борн M., Хуан К. Динамическая теория кристалических решеток.——М.: ИЛ, 1958 (пер. с издания 1954).]

Love А. Е. Н. A treatise on the Mathematical Theory of Elasticity.— New York: Dover, 1944. [Имеется перевод с более раннего издания: Ляв А. Математическая теория упругости. — М.——Л.: Гостехтеориз- дат, 1935.]

Hill R. —J. Meeh. Phys. Sol., 1968, 16, p. 229.

Hill R —Math, Proc. Camb. PhilQs. Soc.s 1975, 77? p. 225,

Hill R., Milstein F. —Phys. Rev., 1977, B15, p. 3087.

Thurston R. N. — In: Physical Acoustics, vol. 1, part A, Mason W. P., ed. — New York: Academic Press, 1964. [Имеется перевод: Терстон P.— В кн.: Физическая акустика, т. 1, часть В, гл. 3, с. 187. Ред. Мэ- зон У. — М.: Мир, 1967.]

Milstein F. —J. Mater Sci., 1980, 15, р. 1071.

Раггу G. Р. — Quart. J. Meeh. Appl. Math., 1978, 31, p. 1.

Wallace D. C. — Adv. Mater. Res., 1968, 3, p. 331..

Dobbs E. R., Jones G. O. — Rep. Prog. Phys., 1967, 20, p. 516.

Pollack G. L. — Rev. Mod. Phys., 1964, 36, p. 748.

Winterton R. H. S. — Contemp. Phys., 1970, 11, p. 559.

Tosi M. P. — Solid State Physics, 1964, 16, p. 1.

Torrens I. M. Interatomic Potentials. — New York: Academic Press, 1972.

Interatomic Petentials and Simulation of Lattice Defects. Gehlen P. C. et al., eds. — New York: Plenum Press, 1972.

Born M., Fiirth R. — Math. Proc. Camb. Philos. Soc., 1940, 36, p. 454

Macmillan N. H., Kelly A. — Proc. Roy. Soc., 1972, A330, p. 291.

Macmillan N. H., Kelly A. — Proc. Roy. Soc., 1972, A330, p. 309.

Moeller H. R., Squire C. F. — Phys. Rev., 1966, 151, p. 689.

Gs出iger M., Egger H., Liischer E. — Phys. Lett., 1968, 27A, p. 695.

Egger H. et al. — Phys. Lett., 1968, 28A, p. 433.

Batchelder D. N. et aL — J. Phys., 1970, Сз, p. 249.

Keeler G. J., Batchelder D. N. — J. Phys., 1970, C3, p. 510.

Dorner B., Egger H. — Phys. Stat. Sol., (b), 1971, 43, p. 611.

Stansfield D. — Proc. Phys. Soc., 1958, 72, p. 854.

Meyer L., Barrett C. S., Haasen P. — J. Chem. Phys., 1964, 40, p. 2744.

Bullough R., Glyde H. R., Venables J. A. — Phys. Rev. Lett., 1966, 17, p. 249.

Venables J. A., Ball D. J. — In: Electron Microscopy 1966, Proc. 6th Inti. Congr. Electron Microscopy, Uyeda R., ed. — Tokyo: Maruzen, 1966.

Thompson J. M. T. — Nature, 1975, 254, p. 392.

Thompson J. M. T. — Ann. New York Acad. Sci., 1978, 316, p. 553.

Thompson J. M. T., Shorrock P. A. — Nature, 1976, 260, p. 598.

Thompson J. M. T., Shorrock P. A.— J. Meeh. Phys. SoL, 1975, 23, p. 21.'

Zwisky F. — Phys. Z., 1923, 24, p. 131.

Bartenev G. M., Koryak-Doronenko E. G. — Phys. Stat. Sol., 1967, 24, p. 443.

Бартенев Г. M., Коряк-Дороненко Е. Г. — Изв. вузов, физика, 1968, № 3, с. 100.

Szomor Р. О. — Phys. Stat. Sol., 1968, 28, р. 529.

Mayer J. E. — J. Chem. Phys., 1933, 1, p. 270.

Huggins M. L. — J. Chem. Phys., 1937, 5, p. 143.

Huggins M. L. — J. Chem. Phys., 1947, 15, p. 212.

Cohen E. R. et al. — Phys. Rev., 1955, 27, p. 363.

Simmons G. — J. Grad. Res. Center, 1965, 34, p. 1. После этого статья обновлена и переиздана в виде: Simmons G., Wang Н. Single Crystal Elastic Constants and Calculated Aggregate Properties. — Cambridge, Mass.: The M. I. T. Press, 1971.

Lipsett S. G., Johnson F. M. G., Maass O. — J. Amer. Chem. Soc., 1927, 49, p. ]940.

Hutchinson E., Manchester К. E. — Rev. Sci. Instr., 1955, 26, p. 364.

Benson G. C., Schreiber H. P., van Zeggeren F. — Can. J. Chem., 1956, 34, p. 1553.

Kuznetsov V. D., Teterin P. Surface Energy of Solids. — London; H.M.S.O., 1957.

Class W. 口. 一 Ph. D. Thesis, Columbia University, New York, 1964.

Gutshall P. L., Gross G. E・一J. Appl. Phys., 1965, 36, p. 2459,

Wiederhorn S. М., Moses R. L., Bean B. L. — J. Amer. Ceram. Soc,, 1970, 53, p 18.

Milstein F. — Phys. Rev., 1970, B2, p. 512.

Milstein F. — Phys. Rev., 1971, B3, p. 1130.

Milstein F. — Phys. Stat. Sol., 1971, 48, p. 681.

Milstein F. —J. Appl. Phys., 1973, 44, p. 3825.

Milstein F. —J. Appl. Phys., 1973, 44, p. 3833.

Huang K., Milstein F., Baldwin J. A., Jr. — Phys. Rev., 1974, BIO, p. 3635.

MilsteinF.,HillR. — J. Meeh.Phys. Sol.,1977, 25, p.457.

MilsteinF.,HillR. — J. Meeh.Phys. Sol.,1978, 26, p.213.

MilsteinF.,Huang K. — Phys.Rev., 1978,B18, p. 2529.

MilsteinF,HillR. —J. Meeh.Phys. Sol.,1979, 27, p.255.

Milstein F., Hill R. — Phys. Rev. Lett., 1979, 43, p. 1411.

Milstein F., Huang K. — Phys. Rev., 1979, B19, p. 2030.

Milstein F„ Hill R., Huang K. — Phys. Rev., 1980, B21, p. 4282.

Milstein F., Farber B. — Phys. Rev. Lett., 1980, 44, p. 277.

Milstein F., Farber B. —Philos. Mag., 1980, A42, p. 19.

Thakur K. P„ Jenkins H.D.B. —J. Phys., 1980, F10, p. 1925.

Macmillan N. H., Kelly A.— Mater. Sci. and Eng., 1973, 12, p. 79.

Born M. — Math. Proc. Camb. Philos. Soc., 1940, 36, p. 160.

Misra R. D. — Math. Proc Camb. Philos. Soc., 1940, 36, p. 173.

Born M., Misra R. D. — Math. Proc. Camb. Philos. Soc., 1940, 36, p. 466.

Fiirth R. — Math. Proc. Camb. Philos. Soc., 1941, 37, p. 34.

Furth R. —Math. Proc. Camb. Philos. Soc., 1941, 37, p. 177.

Power S. C. — Math. Proc. Camb. Philos. Soc., 1942, 38, p. 61.

Peng H. W., Power S. C. — Math. Proc. Camb. Philos. Soc., 1942, 38, p. 67.

Bern M. — Math. Proc. Camb. Philos. Soc., 1942, 38, p. 82.

Girifalco L. A„ Weizer V. G. —Phys. Rev.； 1959, 114, p. 687.

ЖдановВ.А., КонусовВ.Ф. — Изв.Вузов.Физика,1965,№4,с.23.

ЖдановВ.А., КонусовВФ. — Изв.Вузов,Физика,1966,№6,с.92.

ЖдановВ.А., КонусовВ.Ф. — Изв.Вузов,Физика,1967,№3,с. 105.

ЖдановВ. А., Добротворский В. В. — ФТТ,1973, 15,с. 552.

Краско Г. Л., Гурский 3. А. — Письма ЖЭТФ, 1969, 9, с. 596.

Гурский 3. А., Краско Г. JL — ДАН СССР, 1971, 197, с. 810.

Basinski Z. S., Duesbery М. S., Taylor R. — In: Proc. 2nd Inti. Conf, on the Strength of Metals and Alloys. — Cleveland: Amer. Soc. Metals, 1971.

Duesbery M. S., Taylor R. — Phys. Lett., 1969, 30A, p. 496.

Basinski Z. S. et al. — Can. J. Phys., 1970, 48, p. 1480.

Barrett C. S. — Acta Cryst. 1956, 9, p. 671.

Martinson R. H. — Phys. Rev., 1969, 178, p. 902.

Kelly А. (частное сообщение, полученное от Дюсбери, 1972).

Esposito Е. et al. — Philos Mag., 1980, A41, p. 251.

Carlsson A. E., Gelatt C. D., Jr., Ehrenreich H. — Philos. Mag., 1980, A41, p. 241.

Ziman J. M. — Solid State Physics, 1971, 26, p. 1.

Williams A. R., Kubler J., Gelatt C. D. — Phys. Rev., 1979, B19, p. 6094.

Johnson R. A., Wilson W. D. — см.[109, p. 301].

Barsch G. R. — J. Metals, 1965, 17,p. 1028.

Gieske J. H. — Ph. D. Thesis, ThePennsylvaniaStateUniversity,1968.

Hollinger R. C. — Ph. D. Thesis,The PennsylvaniaStateUniversity,

1970.

Coleman B. R., Noll W. —Arch. Rat. Meeh. Anal., 1959, 4, p. 97.

Ruoff A. L. —J. Appl. Phys., 1978, 49, p. 197.

Nelson D. A., Ruoff A. L. — J. Appl. Phys., 1979, 50, p. 2763.

Shchukin E. D., Yushchenko V. S. — J. Mater. Sci” 1981, 16, p. 313,

Maeda К., Takeuchi S・一Phys. Stat. Sol., (a) 1978, 49, p. 685.

Yamamoto R., Matsuoka H., Doyama M. — Phys. Stat. Sol., (a), 1979, 51, p. 163.

Johnson R. A. — Phys. Rev., 1964, A134, p. 1329.

Frank F. C. — In: Symposium on Plastic Deformation of Crystalline Solids. — Carnegie Inst. Tech., Pittsburgh, 1950.

Macmillan H. N., Kelly A. — Mater. Sci. and Eng., 1972, 10, p. 139.

Macmillan N H. — J. Mater. Sci., 1972, 7, p. 239.

Macmillan N. H. — Can. Met Qty., 1974, 13, p. 555.

ФИЗИКА РАЗРУШЕНИЯ〔)

Р. Томсон

ВВЕДЕНИЕ

Задача этой статьи состоит в том, чтобы наметить перспективы физических задач, связанных с разрушением. Нечасто разрушение становится темой, упоминаемой среди специалистов по физике твердого тела. Однако область исследований разрушения выделяется среди дисциплин, с ней связанных и из нее вытекающих. Моя цель продемонстрировать важную физическую широту этого предмета.

Название конференции с ее концентрацией на вопросах атомного строения определенно указывает на подобную физическую широту и вместе с тем задает нам отправную точку изложения. Однако до непосредственного обращения к всестороннему обсуждению дискретных решеток дадим сначала в следующем разделе очень сжатое изложение основных положений описания трещин хрупкого разрушения в рамках теории упругости. Разд. III прямо адресован теориям дискретной решетки, но сначала одномерной с целью выделения типов явлений, для которых важна атомная теория. Это обсуждение направлено на применение теорий дискретной решетки к описанию скоростей атомных и химических процессов в вершине трещины. В разд. IV планируется рассмотрение в рамках статистической механики теплового равновесия трещины и термически активируемого роста трещины с учетом как внутренних свойств решеток, так и взаимодействия с внешним хихлическим окружением. Затем в разд. V даются более подробное представление и критика теоретических методов расчета структуры решеток, содержащих трещины, в случаях двух и трех измерений. Сюда будет включено краткое изложение современного состояния квантовой теории связи в той мере, в какой это имеет отношение к дефектам. Наконец, в разд. VI обсуждается вопрос об устойчивости трещины в решетке по отношению к излучению дислокаций.

1} Thomson Robb (Center for Materials Science, National Bureau of Standards, Washington). Physics of Fracture. — In: Atomistic of Fracture. Ed. R. M. Latanision, J. R. Pickens, 1983, p. 167—204.

© 1983 Plenum Press, New York

© перевод на русских язык,《Мир》，1987

В заключительном коротком разделе суммированы решающие направления, которые выглядят наиболее многообещающими с точки зрения дальнейшего прогресса.

Н. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТЕОРИИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ.

АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ [1]

Простейшая трещина имеет плоскую поверхность скола и прямолинейный фронт и потому анализируется как дефект в двух измерениях. Простейшие двумерные задачи теории упругости ——это задачи с изотропными условиями антипло- ской деформации, и трещина в этом случае именуется трещиной типа III (рис. 1(b)). При антиплоской деформации смещение отлично от нуля только в направлении 尤з・ Тогда уравнения упругого равновесия (уравнения поля) сводятся просто к соотношению

零+矍=叫=。.零+矍=叫=。.⑴⑴

零+矍=叫=。.

零+矍=叫=。.

⑴

⑴

Это уравнение (уравнение Лапласа) непосредственно наводит на мысль о привлечении комплексных функций. Введем для построения общего решения уравнения (1) комплексную функцию. Й(г), мнимой частью которой по определению является 〃з：

〃з (%，у) = Im Q (г), n = % + % =修 +，%2・

Из закона Гука, имеющего вид

0⑵=62 (修，%2)+231 (修，%2)=卩 筹空, (3)

для плотности энергии деформации W следует

▽=102|/2№(4)

Простейшие основные решения задачи о трещине, которые описывают поле напряжений в непосредственной (сингулярной) окрестности трещины, находятся отысканием функций Q(z), которые удовлетворяют граничным условиям на плоскости скола и представляют собой простые степени z, из которых можно составить решения в виде степенных рядов. На любой свободной поверхности граничное условие заключается в том, что сила не передается через эту поверхность, так что в общем а^тг, = 0, где п ——нормаль к поверхности. В нашем случае с плоскостью скола по отрицательной оси х имеем Re о (г) = 0 при 0 = л. Сингулярность напряжения низшего порядка есть

Q = — V 2г/л,о = т==~ ・(5)

Tun I %=0Tun I %=0

Tun I %=0

Tun I %=0

(Ы

Рис. 1. Два типа простых трещин, (а) Тип I: в ответ на действие растягивающего напряжения трещина раскрывается по плоскости скола, нормальной к направлению главного напряжения. Плоскость скола представляет собой в математическом смысле разрез в среде, через который не происходит передачи напряжений. Этот тип трещины со смещениями точек плоскости скола по нормали к ней самой является прототипом некоторого рода физической трещины. (Ь) Тип III: напряжение является чисто сдви* говым и смещения происходят полностью в плоскости скола в направлении фронта трещины. Ось Хз выбирается вдоль фронта трещины, а плоскость скола совпадает с отрицательной полуплоскостью XjX2. Поскольку в физичс* ской трещине этого типа атомы, расположенные напротив друг друга через плоскость скола, должны оставаться в силовых полях один другого, то такие трещины служат преимущественно в качестве математических моделей.

Постоянная пропорциональности К в (5) введена так, чтобы придать формуле традиционный вид, и называется коэффициентом интенсивности напряжений D.

')В литературе наряду с введенным автором коэффициентом интенсивности напряжений К используются и параметры, ему пропорциональные: N = К/“2л, ^ = ^ д/^- Обычно коэффициенты интенсивности напряжений в вершине трещины снабжены индексами, отражающими тип трещины: К, ku, К【【【一для трещин типа I (нормального отрыва), типа II (поперечного сдвига), типа III (продольного сдвига) соответственно,— Прим, ред.

То что выражение (5) есть лишь первый член разложения в ряд Лорана, легко видеть из того физического факта, что трещина должна закрываться и полностью исчезать как дефект твердого тела при снятии внешнего напряжения. Трещина является фактически единственным простым дефектом решетки, который требует внешнего воздействия для своего существования. Следовательно, в простой описанной задаче

Рис. 2. Трещина типа III конечной длины в двух измерениях. Скол происходит по полосе, перпендикулярной плоскости ху. Полоса пересекается с этой плоскостью по отрезку от х =——а до х = +а. Используется комплексное переменное z = % + ig. Равные и противоположные точечные силы приложены к двум сторонам плоскости скола так, как показано, и их величины точно компенсируют ранее существовавшее в среде на месте трещины напряжение.

напряжение на бесконечности должно стремиться к конечной величине, а не к нулю, как это подразумевается формулой (5). .

Рассмотрим более полную задачу с конечным постоянным напряжением на бесконечности и будем интересоваться вызываемой этим напряжением перестройкой напряжений в окрестности трещины, связанной с тем, что при создании разреза по плоскости скола требуется, чтобы на этой плоскости выполнялось условие Re а(г) = 0. Проведем также рассуждение для трещины конечной длины (рис. 2). Результат получим с помощью стандартного метода функции Грина, добавляя силу (положительную на верхней поверхности и отрицательную на нижней), которая точно компенсирует внешнее напряжение, возникающее в сплошном теле на месте трещины в точке приложения добавочной силы. С помощью интегрирования таких сил по полной поверхности трещины получим искомое решение. В этом методе необходимо, конечно, знание соответствующей функции Грина для дипольной силы, приложеной к поверхности трещины. Функция Грина для на-

пряжения есть

G ⑵ xz) = -г- л /£广 %2■—7 .(6)

' '/а2 — z2 z — х' 丿

Интегрирование члена l/(z —— ％“ по малой полуокружности на положительной стороне поверхности трещины дает здесь единичную силу и отрицательную единичную силу на отрицательной стороне ее поверхности. Функции квадратного корня ведут к появлению сингулярностей типа 1/“2 в вершине трещины и гарантируют также, что вблизи / трещиноподобные сингулярности сокращаются. Таким образом, полное напряжение есть а

о = Оо —о。、G ⑵ xz) dx\(7)

—а

Полное интегрирование выражения (7) в аналитическом виде невозможно, но может быть выполнено в асимптотической форме вблизи одного из концов трещины. Результат можно представить в виде, аналогичном (5),т. е. о = д7«2л2 с

К = о。“з.(8)

Рассмотрим равновесную трещину с использованием теоремы Эшелби [2], утверждающей, что сила, действующая на дефект в объеме материала, дается поверхностным интегралом

%= §B/Sj, ，乙=}/忌々,/订一%产居广 (9)

Здесь Pij — тензор энергии-импульса для упругого тела, и поверхность, по которой производится интегрирование, — любая поверхность, окружающая дефект или дефекты. Дефект выступает в этой теории как сингулярность поля напряжений.

В условиях двумерной антиплоской деформации эта теорема приводит к формуле для силы на единицу длины линейного дефекта

『焉§。2西(10)

которая по теореме о вычетах сводится к соотношению

『击2>s(N・(11)

В таком виде может быть представлена сила, действующая на различные сингулярности. Ниже эта формула будет применяться лишь по отношению к трещине. Сила в положительном направлении оси % равна вещественной части 厶 а сила

в отрицательном направлении оси у равна мнимой части f. Для одиночной трещины формула (5) дает

f/2 卩.(12)

Эта сила, которая стремится расширить трещину и обязана внешним 《грузам и пружинам», вызывающим напряжения в теле, сбалансирована некоторыми внутренними силами в материале. Поскольку для расширения трещины должна запасаться энергия на поверхностях скола, сила вида (12) будет уравновешиваться поверхностным напряжением двух поверхностей скола, которое стремится закрыть трещину. Та- ким образом, в равновесии

K2 = 4ry・(13)

Здесь ?——удельная поверхностная энергия твердого тела.

Наконец, зависимость работы, совершаемой над системой, от длины трещины может быть получена объединением (12) с выражением для К, даваемым формулой (8). Если представить энергию системы в виде суммы работы, совершаемой над ней, с обратным знаком и прироста поверхностной энергии, то получим результат Гриффитса

а? ла2

Е=一一小 +4уа.(14)

В записи (14) учитывается, что система имеет вид трещины с двумя концами с расстоянием между ними 2а,a f дает лишь силу, раскрывающую ее у одного конца в некоторый момент времени. Выражение (14) включает как энергию, запасаемую в виде упругой деформации тела, так и уменьшение потенциальной энергии внешних нагрузок, которое возникает, поскольку система внешних напряжений является необходимой для существования трещины. Член внешней работы включен автоматически, так как он непременно участвует в выводе Эшелби выражения для силы, действующей на сосредоточенную особенность в упругом теле. Отметим, что зависимость (14) имеет вид перевернутой параболы, так что равновесная трещина, описываемая формулой (13), является метаста- бильной.

ДИСКРЕТНЫЕ РЕШЕТКИ — ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ

Наиболее важный физический эффект введения решетки в рассмотрение проблемы разрушения заключается в том, что решетка препятствует свободному движению трещины. Другими словами, решетка приводит к энергетическим барьерам у вершины гладкой энергетической параболы с уравне-

нием (14). Наиболее легко продемонстрировать этот эффект с помощью упрощенной одномерной модели трещины. Эта модель показана на рис. 3 и устроена из двух цепочек атомов. Атомы каждой цепочки сцеплены вместе горизонтальными гибкими пружинами и к тому же скрепляются вертикальными растяжимыми пружинами (будем называть их связями) при /》и. Первые п — 1 атомов цепочек не скреплены, и когда

Рис. 3. Одномерная модель трещины. Полубесконечные цепочки, составленные из атомов, сцепленных друг с другом изгибающимися пружинами, соединены, начиная с атома 几,растяжимыми пружинами, Первая из растягивающихся пружин с номером п нелинейна. Все остальные растягивающиеся пружины с j》几 + 1 линейны. Для разведения цепочек в конце приложены равные и противоположно направленные силы.

на концах (/ = 0) прикладываются внешние силы, напряжение концентрируется на атоме в кончике таким же образом, как напряжение концентрируется в вершине истинной трещины в кристалле.

Решение для одномерной модели трещины можно получить в замкнутом виде [3], но его особенности наилучшим образом видны при рассмотрении податливости системы в ответ на приложенную силу 尸 в графической форме. Все пружины вначале считаем линейными со смещениями, пропорциональными локальной силе, действующей на пружины. Поскольку полная система предполагается линейной, отклик в смещении атома при / = 0 также линеен по силе 尸》 и можно написать

"0 =九仇)尸.(15)

Сила 尸 показана на рис. 3, а 2〃о ——полное смещение двух концевых атомов, как показано на рисунке. Податливость А зависит от «длины трещины» п.

Однако наибольший интерес вызывают нелинейные задачи, в которых по крайней мере некоторые атомные связи в области вершины трещины оказываются деформированны-

ми нелинейно. Эти атомы составляют то, что именуется ядром или областью действия сил сцепления (концевой областью) трещины. Включим нелинейность в обсуждаемую простую модель, присоединив дополнительную произвольную притягивающую пару сил 厶 приложенную к паре атомов (/ = п) и стремящуюся закрыть трещину. Характерные примеры этой

(а)(Ь)(с)

Рис. 4. Примеры нелинейных атомных сил для связи в вершине трещины, (а) Прощелкивающаяся связь: нелинейная связь в вершине трещины ведет себя линейным образом вплоть до некоторого критического значения, при котором сила внезапно падает до нуля. (Ь) Билинейная связь: сила линейно растет вплоть до некоторого критического значения, после которого спадает линейно до нуля, (с) Квадратичная связь: зависимость силы от смещения в виде перевернутой параболы.

силы показаны на рис. 4. Такая сила будет нелинейной функцией смещения пары атомов, но пока пренебрежем этой функциональной зависимостью и представим силу как некоторую заданную величину, одинаковую для всех 〃/. Тогда можно написать линейное соотношение

u^k^F+^f.(16)

Здесь ^(п)—функция податливости, которая связывает 〃о с Д Таким же образом можно написать для смещения п-й атомной пары

ип = ?/ (п)尸 + т/ (n) f, или для силы

F = ±忆一号 i 也 п)，(17)

где теперь подставлена функциональная зависимость f от 〃小 Поскольку f(〃〃)—притягивающая сила, то по определению величина f в (16) и (17) обычно отрицательна.

Второе из уравнений (17) позволяет дать графическое решение задачи, поскольку показывает, что внешняя сила F при подходящем выборе податливости состоит отдельно из линейного члена и члена силы связи. Это решение изображено на рис. 5.

Решение, показанное на рис. 5, неполно в том смысле, что оно не повторяется по мере роста трещины от одного значения п к следующему после разрушения связи п. Для CQ-

гласованности после разрушения связи п связь п + 1 должна растягиваться в нелинейном режиме, и процесс повторяется. На рис. 6 дан эскиз решения для трещины, движущейся непрерывно от одного положения решетки к следующему. Из рисунка видно, что при заданной величине 尸 имеется много решений с различными значениями п, показывающих, что трещина устойчива для ряда положений решетки. Это прямо

Рис. 5. Решение задачи о трещине. Согласно формуле (17), внешняя сила равна линейной функции смещения плюс некоторый линейный член функции силового закона в вершине.

Рис. 6. Решение задачи о трещине. Если сила выражена как функция смещения 〃о, то получается одна из ветвей показанной здесь кривой. Приведены и другие ветви для разных длин трещины 〃，присоедиенные друг к другу самосогласованным образом. При заданном значении F возможны несколько решений, соответствующих точкам 1, 2, 3, ... . Активационная энергия для перехода вперед от 1 к 2 показана вертикальной штриховкой; активационная энергия возврата ——горизонтальной штриховкой. Точка 2 — седловая точка.

противоположно результату для сплошной среды, в которой при заданной внешней силе имеется лишь одно положение равновесия трещины. На рис. 6 представлена функциональная зависимость 尸(〃。),а не 尸(〃及),как на рис. 5. Это сделано для целей следующего абзаца. Можно перейти от 尸(〃及) к 尸(〃0)и обратно с помощью (16) и (17).

Поскольку разные решения существуют для соседних положений решетки, эти конфигурации должны быть разделены энергетическим барьером. Энергия системы получается из анализа графика 尸 от “°. Этот график аналогичен графику 尸 от ип и, как уже говорилось, изображен на рис. 6. Можно подсчитать изменения энергии системы в различных механически равновесных положениях 1, 2, 3,…，пересекая систему по показанному пути от 1 к 2, к 3 и т. д. Полное изменение энергии равно сумме работы, совершаемой над парой атомов при / = 0 внешней силой вдоль этого пути (эта работа запасается в пружинах цепочки), и изменения потенциальной энергии приспособления для приложения внешней силы. Эти

вклады соответственно отражены в уравнении

2

Л£(1, 2)=、尸d〃o— 尸厶〃.(18)

1

Если исключить f из (16) и (17), то найдем вид зависимости 〃о от ап и подстановкой d〃° в (18) получим

22

^E = A^f dun + B^undun--f A〃o・(19)

ii

Здесь 4 и В — выражения, содержащие коэффициенты податливости. Можно переписать эту формулу в виде

Л£ = ДЛу + 4Л (成)-F А%,(20)

2

если заметить, что ^F dF = 0 в силу того, что 尸 в положе- 1

нии 1 равно 尸 в положении 2.

Отметим сначала, что графически (18) дается вертикально заштрихованной площадью, показанной на рис. 6. Активационный барьер для движения вперед дается площадью на участке от 1 к 2, в то время как барьер для обратного процесса равен площади, показанной от 3 к 2. Конфигурация в положении 2 является седловой точкой в пространстве конфигураций системы, в то время как 1 и 3 характеризуют минимумы энергии. Соотношением (20) иллюстрируется обещанная выше теорема разложения, которая следует из того, что соотношение (17) также отражает простое разложение на линейный член и нелинейную связь в вершине трещины при разрыве. Поскольку второй член квадратичен по смещению, он отражает изменение запасаемой энергии в системе линейных пружин, когда трещина продвигается вперед к седловой точке. Третий член связан с изменением потенциальной энергии внешних грузов. Таким образом, второй и третий члены отражают свойства линейной макроскопической решетки, в то время как первый член представляет собой некоторый вклад в энергию локального ядра от пары атомов, расположенных в вершине трещины, при разрыве связи в вершине. Как отмечалось ранее, если имеют место внешние химические влияния, то они изменяют связь в вершине трещины, а вид второго и третьего членов не меняется.

Читатель должен заметить, что при выводе уравнений этого раздела затронуты общие свойства некоторой системы линейных пружин с одной нелинейной связью и внешней силой, пр11лоа：екпоп в одной точке. Таким образом, качестве^*

ные результаты обладают большой общностью. Хотя они получены при рассмотрении одномерной трещины, они одинаково хорошо применимы к произвольной трещине для любого числа измерений, удовлетворяющей основным предположениям. Значения коэффициентов податливости и вид функции нелинейной связи будут, конечно, зависеть от частного вида системы, и для их отыскания необходимо решить уравнения

Рис. 7. Энергия трещины в функции координаты реакции или длины. Штриховая кривая является графиком энергии в приближении сплошной среды, даваемой формулой (14). Функция в виде «спины динозавра» обязана своей формой барьерам активации решетки. Область захвата ограничена частью кривой, сосредоточенной приблизительно около максимума, механического равновесия. И, конечно, с помощью этих коэффициентов податливости можно найти частные выражения для энергии активации, масштаба области захвата и т. п.

Завершим обсуждение процесса роста трещины в отсутствие химически активной среды, отметив в связи с рис. 6, что при распространении трещины от п к п + 1 ,.. энергия активации движения вперед уменьшается, а энергия активации закрытия трещины увеличивается. При некотором значении длины трещины барьер для движения вперед исчезает и трещина распространяется динамически. Таким образом, показано, что параболическая функция энергии, следующая из теории сплошной среды, похожа на «спину динозавра», как изображено на рис. 7. Здесь построена энергия системы в конфигурационном пространстве в зависимости от координаты реакции; график показывает изменение энергии через ее экстремумы, соответствующие устойчивым и неустойчивым состояниям седловых точек. Эта координата реакции служит в качестве меры «длины трещины» для сравнения с гладкой параболой теории сплошной среды, которая изображена на том же рисунке. Концы зоны решеточного захвата показаны как точки, где барьеры в одном направлении исчезают.

Наконец, обратимся к упрощенному описанию того, как реакции с внешними химическими веществами ведут к нв

менению этих общих результатов [3]. Рассмотрим, например, двухатомный газ, в котором имеется единственная химическая связь между двумя атомами в молекуле. Пусть В2 — внешняя

Рис. 8. Диаграмма химически усиливаемого разрушения. Внешние молекулы химически сорбируются на поверхности и взаимодействуют с вершиной трещины, вызывая уменьшение прочности связи.

молекула, А2 —связанные атомы кристалла в вершине трещины. Предположим, что реакция

В2 +A2 f 2AB(21)

соответствует разрыву связи и последующей хемосорбции с соблюдением взаимной однозначности (рис. 8). График энергии системы в зависимости от величины раздвижения связи А—А, когда атомы В занимают свою наиболее выгодную конфигурацию, показан на рис. 9 для ряда различных возможных случаев, включая сопоставление с чистой связью А—А,

Рис. 9. Диаграмма функции Морса для химически усиливаемого разрушения. Эндотермическая реакция типа ДА + ВВ -> 2АВ (путь Ь) требует меньше энергии, чем собствено разрыв связи АА 2А (путь а) в процессе разрушения. Следовательно, разрушение усиливается, но химический активационный барьер может встречаться на пути реакции.

Напомним, что энергия связи в рассматриваемой простой модели равна удвоенной поверхностной энергии на пару атомов, и, таким образом, хемосорбция на основе рис. 9 соответ-

ствует снижению энергии при образовании поверхности. На этом основании хемосорбция при разрушении должна облегчать разрушение. Другими словами, равновесное значение у в формуле (13) снижается (рис. 10).

Реакциям в газовой фазе вида (21) обычно присущи активационные энергетические барьеры, и в узкой области вершины трещины можно ожидать, что эти барьеры должны возрастать из-за того, что химики называют стерическим

Рис. 10. Решение задачи о трещине при химически усиливаемом разрушении. Производная от функции Морса (рис. 9) приводит к закону эффективной силы для связи в вершине трещины, показанному на рис. (Ь). При подстановке этой зависимости в (17) получается решение для трещины (рис. (а)). Кривые / соответствуют решению в отсутствие активной среды (см. рис. 5), а кривые 2 показывают изменение, вызванное химическими реакциями.

препятствием. Общее правило химических реакций заключается в том, что молекулы с насыщенными связями взаимодействуют с активационными энергетическими барьерами порядка одного электронвольта. Таким образом, даже если реакции хемосорбции содействуют разрушению на конечной стадии, барьеры для реакции могут быть значительными и реакция медленной. В конечном счете невозможно различить вклады в барьеры от внутреннего решеточного захвата и от химического воздействия примесей. Совершенно ясно, что оба перемешаны. Графически это показано на рис. 10(a) и (Ь). Химическая реакция с барьером будет выглядеть графически как сила, которая имеет отрицательную область, соответствующую отрицательному наклону более удаленной стороны энергетического горба. Это увеличивает горб на за・ висимости 户 от 〃“ и расширяет область решеточного захвата.

Предельный случай химической реакции в вершине трещины, которая настолько медленна, что не должна наблю-

даться (при равновесной длине трещины, рассчитанной на основе поверхностной энергии с учетом хемосорбции), представляет собой взаимодействие большой молекулы с трещиной в решетке с малым межатомным расстоянием. В этом случае внешние газовые примеси просто не могут проникать в область вершины из-за ее чрезвычайно малого размера, даже если может быть большой энергия адсорбции на плоской поверхности, и усиления роста трещины происходить не

Рис. 11. Реакции образования мостиков в вершине трещины. Вместо сцепления лишь с одной из открытых поверхностей атомы могут образовать мостиковую связь через раскрытую трещину, тем самым повышая сопротивление разрушению.

может. Разрушение в этом случае будет управляться внутренними свойствами решетки.

Приведенный пример химически усиливаемого разрушения был умышленно простым, и можно представить себе целый ряд более сложных явлений. Например, если состояние связи сорбируемой примеси отличается своей валентностью от валентности связи между двумя атомами решетки, то атом из внешней среды не просто замещает атом решетки путем взаимно однозначной замены, а при каждой молекулярной реакции может потребоваться многократный разрыв связи в решетке. Еще более интересная возможность заключается в образовании мостиковых связей между атомом внешней среды и открытой поверхностью разрушения (рис. 11). В этом случае химическая реакция упрочняет решетку, а не ослабляет ее. Таким образом, согласно теории, следует ожидать богатого разнообразия явлений, связанных с химически усиливаемым разрушением, а их конкретная реализация будет зависеть от типа вовлекаемых в процесс химических примесей, а также от структуры и химического состава решетки.

Короче говоря, экспериментальная ситуация такова, что химически усиливаемое разрушение встречается повсеместно, но нет систем, понятых настолько хорошо, что вышеописан* ные идеи были бы оформлены количественно.

ТЕРМОДИНАМИКА И СКОРОСТИХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ [4]

Главная особенность физической картины, обрисованной в предыдущем разделе, заключается в появлении активационных барьеров в режиме захвата решетки и в идее, что внешние химические примеси могут также взаимодействовать

Рис. 12. Функция энергии трещины в конфигурационном пространстве. Когда трещина движется от одного устойчивого положения решетки I к другому положению II, она с необходимостью проходит через седловые точки конфигурационного пространства I*.Рис. 12. Функция энергии трещины в конфигурационном пространстве. Когда трещина движется от одного устойчивого положения решетки I к другому положению II, она с необходимостью проходит через седловые точки конфигурационного пространства I*.

Рис. 12. Функция энергии трещины в конфигурационном пространстве. Когда трещина движется от одного устойчивого положения решетки I к другому положению II, она с необходимостью проходит через седловые точки конфигурационного пространства I*.

Рис. 12. Функция энергии трещины в конфигурационном пространстве. Когда трещина движется от одного устойчивого положения решетки I к другому положению II, она с необходимостью проходит через седловые точки конфигурационного пространства I*.

co связью в вершине трещины с проявлением дополнительных химически наведенных барьеров. Эти особенности немедленно приводят к вопросам о тепловом равновесии трещины и к вопросам о скорости, с которой трещина может преодолевать барьеры и расти.

В соответствии с физическими идеями предыдущего раздела конфигурационное пространство системы имеет вид, показанный на рис. 12, который равно применим к трещине, развивающейся как в отсутствие, так и при наличии активной среды. Если в рассмотрение включается конфигурационное пространство взаимодействующего газа, то, конечно, минимумы становятся желобками уровня в тех направлениях, которые соответствуют трансляции газовой молекулы в про- странстве. Однако во всех направлениях, в которых кристалл изменяет конфигурацию, функция энергии имеет показанный типичный вид поверхности с ямками.

Для расчета скорости перехода в прямом направлении от одного положения минимума через седло к другому можно применить классическую теорию скоростей реакции. Получим

kT Z(/*)kT Z(/*)

kT Z(/*)

kT Z(/*)

Здесь v* — скорость продвижения вперед, k ——постоянная Больцмана, h — постоянная Планка, Т ——температура, Z(/*) и Z(/) —суммы распределения для системы, рассчитанные в седловой точке и в начальном положении соответственно. Сумма Z(/) связана со свободной энергией системы Д обычным соотношением

4 = iTEZ・ (23)

Если система находится в равновесии, то по определению для прямых реакций I-> II и обратных реакций II-> I суммы равны, и с учетом (22) имеем

4i = 4卜 (24)

Таким образом, получен известный результат о минималь。 ности А для достижимых состояний.

Для системы, состоящей из простой колеблющейся решетки без внешней среды с Nl модами колебаний, статистические суммы распределения вычисляются непосредственно; тогда

(耳立 / 耳 е叫 (25)

где V： — частоты колебаний решетки, a v* — частоты колебаний системы в седловой точке. В седловой точке для направления наибыстрейшего спуска частота является мнимой и принимаются во внимание лишь частоты на гиперповерхности, нормальной к этому направлению. Этот результат такой же и имеет аналогичную интерпретацию, как в теории Виньерда атомной диффузии на решетках. Энергия Е в точности равна энергии активации, рассчитанной в предыдущем разделе.

С равновесием в задаче о трещине связана интересная тонкость. В обычных применениях результата (25) в задаче диффузии в твердых телах условие равновесия подразумевает, что Е(1) = £'(И), поскольку состояния колебаний в I и II эквивалентны. Однако в задаче о трещине, когда трещина продвигается на один период решетки, добавляются две атомные площади поверхности и характер колебаний в I и II не одинаков. Фактически, когда трещина продвигается, происходит превращение одной или более объемных колебательных мод в моды поверхностных колебаний, а эти частоты, вообще говоря, не равны друг другу. Даже если в двух состояниях полное число мод одно и то же, их распределение между объемными и поверхностными категориями различно. Так что для трещины равновесие не является состоянием, в котором £(1) =七(II), поскольку энтропии состояний не равны,

Следуя этой линии рассуждения, можно показать, однако, что в равновесии

f = 2y.(26)

Здесь 『一сила, действующая на трещину (см. также (12)), у — термодинамическое поверхностное натяжение, определенное в гиббсовском смысле. В (26) величина у представляет собой не просто половину энергии связи, а учитывается ее обычная температурная составляющая. Все это следствие того факта, что, строго говоря, £(1) =# Е(П), хотя на практике различие в единицах электронвольт на атом мало.

Если имеется внешняя химически активная среда, то непосредственное применение того же уравнения к скорости разрушения связи в вершине трещины приводит к соотношениям /nl /乂厶+б、

V* = гр у п e~ElkT t

=*(1 —「九%/々7) 64几7/2/加^/2 他7)7/2 九•

При выводе соотношений (27) предполагается, что внешний газ должен удовлетворять законам идеального газа для двухатомной молекулы. Давление газа равно р, а г включает в себя различные факторы, связанные со статистической суммой распределения для двухатомного газа. Далее, Vg ——частота колебаний двухатомной молекулы, / ——ее момент инерции, 2mg — масса молекулы, X ——коэффициент спина ядра (порядка единицы). В (27) предполагается, что адсорбированный газ дает вклад в шесть дополнительных мод на молекулу твердого тела, если происходит адсорбция, и что адсорбция одной молекулы имеет место при каждом событии разрушения связи. Эти моды будут прибавляться, конечно, к поверхностным модам. При различных предположениях о массе адсорбированной примеси и т. п. можно на основании соотношения (27) сделать численные оценки.

Из самого вывода ясно, что Е в (27) представляет собой полную энергию активации системы, и, вообще говоря, невозможно разделить эту полную величину на часть, связанную с химической реакцией, и решеточную часть, поскольку обе части тесно переплетены.

Равновесные рассмотрения, аналогичные проведенным выше, показывают, что в равновесии

f = 2y・(28)

Здесь снова у — зависящее от температуры термодинамическое поверхностное натяжение? определенное Гиббсом для

поверхности в равновесии с внешним газом. При равновесии опять £(1) =# £"(!!), за исключением нулевой температуры. Однако при нестрогих рассуждениях в дальнейшем часто будем предполагать равенство, поскольку практически различие мало.

ТРЕЩИНЫ В ДВУХ И ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Введение

После общего обсуждения предыдущих двух разделов легко перейти к математическим особенностям описания процесса разрушения для двух и трех измерений и сравнению теории с экспериментом. Хотя в предыдущих разделах основная общая качественная картина явления установлена, обратимся снова к таким вопросам, как роль симметрии решетки, вид энергии активации в функции внешней силы, роль прочности и размеров области действия силовых зависимостей на результаты, степень применимости результатов, относящихся к двумерному случаю (более легко получаемых расчетом) ,для случая трех измерений (гораздо более трудного для расчета), условие устойчивости трещины в решетке по отношению к внутреннему затуплению вершины трещины и детальные предсказания параметров химических реакций. Излишне говорить, что такая обширная программа с трудом реализовывалась теоретически и весьма слабо соответствует экспериментальной картине.

Начнем с краткого обзора теоретических методов, которые применялись к задаче о разрушении, и дадим соответствующие библиографические ссылки. Можно с уверенностью утверждать, что рассмотрение атомных сил на конце трещины всерьез началось с работы Г. И. Баренблатта [5]. Он постулировал нелинейный закон связи силы и смещения для атомов в вершине трещины и рассмотрел следствия этого постулата. Эта теория была континуальной, и он показал, что форма трещины вблизи вершины существенно определяется нелинейностью поведения в окрестности вершины, и вообще он смог успешно действовать, исходя из требования о том, что никакая реальная трещина не может выдерживать особенности напряжений на конце, предсказываемой линейной теорией.

Первые исследования трещины с учетом дискретности среды были выполнены в диссертации Каннинена [6] и снова повторены через некоторое время им вместе с коллегами Геленом и Маркуортом в Институте Баттеля с помощью мо делирования разрушения железа на вычислительной машине. При этом использовался эмпирический закон межатомных сил, выведенный для железа Джонсоном [7]. В последующей

работе баттельской группы сделана попытка численного моделирования разрушения железа и водорода в железе. В этих расчетах внутреннее ядро атомов релаксировало атом за атомом и затем производилось согласование с безграничной сплошной средой. Синклер и Лоун, а позднее один Синклер [8] применили более сложный вариант этого метода для численного моделирования разрушения системы из атомов Si. При расчетах для железа возникли трудности, связанные с выбором подходящих граничных условий сращивания решения в областях, моделируемых дискретно и континуумом. Эти трудности, по-видимому, указывают на то, что железо находилось как раз на пределе устойчивости по отношению к порождению дислокаций. При сравнении Si и Fe заметно, что трещина в Si была длинной и узкой с малым раскрытием в ее конце.

Наиболее ранние численные моделирования трещины в ограниченной решетке без попытки сращивания с бесконечной сплошной средой были выполнены Сандерсом [9] и Вайнером и Пером [10] при исследованиях динамики совокупности атомов, стесненной жесткими стенками. Эшерст и Хувер [11] представили аналогичные расчеты треугольной решетки. Наиболее полные расчеты выполнены недавно Пэскином, Дай- нисом и их соавторами [12] с релаксирующими границами и потенциальной функцией 6-12 ^. Во всех этих расчетах образование дислокаций и развитие трещины было чертой, проявляемой трещиной в разных условиях.

Совершенно другой подход, использующий теорию статической решетки, применялся автором совместно с Хси [13] и Эстерлингом [14]. Метод был двойственным к обоим вышеописанным методам моделирования с помощью вычислительной машины. Теория статической решетки частично является аналитической для простых квадратных решеток. Кроме того, она относится, строго говоря, к неограниченной решетке, но разработана только для трещин конечной длины. Основное ее применение свелось к демонстрации решеточного захвата и аналитического вида активационных барьеров для различного рода силовых законов и внешних химических реакций.

Статика решеток

Перейдем теперь к изложению математических основ теории решетки в приложении к трещинам и сравнению теоретических предсказаний с немногими имеющимися экспериментальными данными. Уравнения, описывающие механическое равновесие произвольной решетки, суть

1) Выражение для этого потенциала приведено на стр, 189 данного сборника, формула (IV-1). — Прим, ред.

£ fij (х - X)Uj (x‘) = Ft (x) + £ А/ (x, x‘)勺(x‘) + g g予(29) где суммирование，⑴ производится по атомам трещины и ядра, a S(2)— только по ядру. Их можно переписать в операторных обозначениях

fu = F + Au + g. (30)

Здесь fij ——сила, действующая на атом в точке х в направлении /, обязанная единичному смещению атома в точке х‘ в направлении /. Матричный оператор f зависит только от вектора расстояния х——х‘ в совершенной решетке. Внешние силы Fi действуют на атомы решетки в направлении 2. Оператор Л//(х, xz) отражает способ описания дефектов решетки. При образовании трещины необходимо разрезать атомные связи, которые пересекают плоскость скола. Оператор Л является оператором уничтожения этих связей. Конкретно, А〃 (х, х‘)〃/(х) есть сила связи между атомами х и х‘，которая уничтожается. Суммирование производится лишь по атомным парам, связи между которыми разрезаются за счет образования трещины, что приводит к исчезновению соответствующих членов в fa. Их величины такие же, как величина соответствующих，订(х —х) Однако Л имеет также и некоторую дополнительную функцию. Когда связи между атомами когезионной зоны трещины деформируются- нелинейно, этот факт отражается в формализме снова уничтожением линейной связи с помощью матрицы Л и добавлением после этого нелинейной функции g для такого атома. Таким образом, Л суммируется по атомам, соединенным связями через плоскость скола, и по когезионной области ядра..

Функция gij есть сила воздействия на j-й атом из-за его связи с /-м атомом и нелинейна по длине связи. Тем самым она зависит от положений обоих атомов х^ и /• для парной связи. Однако в приложении к двумерной трещине эти нелинейные связи будут рассматриваться как действующие только через плоскость скола, которая обычно обнаруживает достаточную симметрию для того, чтобы было возможно записать ga как функцию только 〃厶 что является значительным упрощением. Однако для задач о кинках】)и задач об обра-

I)В оригинале kink. Обычно в книгах по теории дислокаций этот термин переводится как перегиб (на линии дислокации). Однако в механике разрушения kink имеет и иные значения, например ступенька, излом, ответвление (трещины). Учитывая многозначность слова kink, а также и то обстоятельство, что в последнее время в научном лексиконе на русском языке все чаще употребляется просто термин《кинк》(в частности, в теории солитонов), при переводе во всех случаях сохранено слово «кинк». В каком именно смысле используется этот термин, ясно из конкретного текста. —Прим. ре&

зовании дисклокаций это упрощение, вообще говоря, неприменимо. При подсчете функции g суммирование проводится, конечно, только по атомам ядра.

Задача решается методом линеаризации, примененным в одномерной задаче. Предположим сначала, что g-силы, действующие на атомы, остаются постоянными, не зависящими от любых функций смещений. Иными словами, они трактуются как заданные внешние силы, а не функции атомных смещений, чтобы вывести подходящие функции податливости для линейной части системы.

С этой целью определим функцию Грина, сопряженную к оператору 厶 соотношением

尸=a(31)

так что формальное решение

и = GA〃 + G (尸 + g)(32)

после переписывания принимает вид

(1 —GA)〃 = G(尸+ g).(33)

Матрица f бесконечна, но ленточного типа (т. е. имеет только ненулевые элементы в полосе, содержащей диагональ), a G —— также бесконечная матрица. Поскольку А конечна, произведение GA в (33) приводит к расщеплению. Иными словами, для подпространства в (33), в котором и является смещением атома в ядре или на поверхности скола, матрица GA не связана с членами вне подпространства. Таким образом, если трещина и область ее ядра конечны, задача с бесконечной решеткой сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений конечного порядка. Фактически если скол достаточно симметричен, порядок задачи может составлять лишь п-\- с при полной длине трещины 2/г + 1 и числе нелинейных связей с в области ядра с каждого конца трещины. Основная проблема при построении решения, конечно, в определении функций Грина статической решетки G. Однако по расчету этих характеристик имеется довольно обширная литература [15].

В таком случае формальное решение получается переписыванием (33) в виде соотношения

〃 = (l — GA)TG(F + g),(34)

в котором выражения (1 —— GA)-〔G становятся линейными податливостями. На следующем шаге подставляются нелинейные функциональные выражения в g и решается фактическая нелинейная задача. Поскольку 尸 мо*ет быть eдин^

ственной силой, воздействующей на центральную пару атомов на плоскости скола в двумерной решетке, a g может лишь влиять на пару атомов в вершине трещины, то (34) может быть столь же простым, как и ранее использованные выражения (16). Тогда применимы рассуждения, которые привели к выражению энергии активации вида (20). Таким

Рис. 13. Диаграмма для трещины в двумерной квадратной решетке с внешними силами, действующими в центре трещины. Связи на двух вершинах трещины нелинейны.

образом, может оказаться, что уравнение (34) затруднительно довести до фактического численного решения в каком-либо конкретном случае, но его форма как обобщение (16) ясна.

Было бы неуместно входить здесь в подробное обсуждение математической структуры общего решения, очерченного выше. Однако читателю может быть интересно увидеть, как оно применяется в некотором особенно простом случае. На таком примере становятся очевидными современное состояние метода и его ограничения. Поэтому рассмотрим двумерную квадратную решетку, изображенную на рис. 13.

В этой задаче введем ограничение, согласно которому смещение происходит только в направлении у, и примем во внимание силы лишь между ближайшими соседями. Тогда f〃 = 4 [〃у (/% + 1，Zg) 2〃у (/%, /д) + 〃у (/% — 1, Z^)] +

+ В [旬(& % + 1) — 2〃》(& %) + uy(lXi 1У — 1)]. (35)

Здесь Д и В — жесткости при сдвиговых и продольных смещениях соответственно.

Решение для функции Грина в этом случае наиболее легко дается не в терминах функции источника с единичной силой, а для диполя, созданного действием равных и противополож-

ных в направлении у сил на пару атомов, находящихся друг против друга по разные стороны поверхности скола. Эта функция Грина имеет вид

G (/ — 3 = G (т) = у j бт0G (/ — 3 = G (т) = у j бт0С С cos mq sin g/2 л J [1 + С? sin2 7/2]1/2С С cos mq sin g/2 л J [1 + С? sin2 7/2]1/2(36)(36)

G (/ — 3 = G (т) = у j бт0

G (/ — 3 = G (т) = у j бт0

С С cos mq sin g/2 л J [1 + С? sin2 7/2]1/2

С С cos mq sin g/2 л J [1 + С? sin2 7/2]1/2

(36)

(36)

C2 = A®

или в асимптотической форме при больших т

G (т) = С/(2лт2В).(37)

Хотя асимптотическое решение расходится при m = 0, оно имеет ошибку лишь около 15% при 团= 1.

Подставляя G в (33) и предполагая, что 尸 действует лишь на центральную пару атомов на плоскости скола, a g — лишь на две концевые пары, получим систему алгебраических уравнений для 2几 + i смещений 〃/ (/ = 0, ±1, ..., ±几). Здесь 2几 + 1 равно полной длине трещины вместе с ядром, т. е. число 2几 + 1 включает две нелинейные связи в вершинах трещины. Запишем решение в виде выражения

(38)(38)% =九尸 + T]g,

(38)

(38)

в котором X получается из (33) при подстановке F = 1 и g = 0, а т] — при подстановке 尸=0 и g=l. Отсюда получаются результаты для энергии активации и т. п., если конкретизировать вид g(〃/г). Расчеты энергии активации были доведены до конца для трех типов законов межатомных сил (связь со скачкообразным разрывом после линейного деформирования («прощелкивающаяся связь» — bond snapping) билинейного и квадратичного законов), показанных на рис. 4.

Конечно, для такой простой решетки численные значения результатов не особенно интересны. Однако интересно наблюдать за их изменением при изменении закона сил. Например, в случае прощелкивающейся связи (рис. 4(a)) можно ожидать большего эффекта решеточного захвата, чем для более мягкого квадратичного закона (рис. 4(c)). В табл. 1 показаны эти результаты с нормировкой энергии

Таблица 1. Энергия активации для квадратной двумерной решетки и для Si(A/B = 1)

Прощелкиваю- щаяся связь

Симметричная билинейная связь

Квадратичная связь

Si [8b]

Энергия активации (АЕ/Е 方)

0,22

0,047

0,026

0,064-0,14

активации на энергию связи £匕 н с А/В = 1. Для сравнения дается область значений, вычисленных Синклером [8Ь], при нескольких силовых законах для кремния. Значения энергии активации рассчитаны для верхней части энергетической кривой (рис. 7). Табличное значение энергии активации для билинейного закона получено в предположении, что он симметричен и характеризуется одинаковыми наклонами нарастающего и спадающего участков на рис. 4(b).

Таблица отражает ожидаемые результаты, а именно что энергия активации сильно зависит от жесткости связи, определяемой силовой функцией. Ожидается также, что должны играть роль геометрические соображения и симметрия, и в этом духе Эстерлинг [14] и Синклер [8Ь] показали, что энергия активации движения кинка на трещине гораздо меньше энергии, необходимой для движения трещины с прямолинейным фронтом.

Столь же, а может быть даже более интересно в этих результатах изменение энергии активации с изменением внешнего напряжения. Уже отмечалось, что фундаментальное требование состоит в непременном исчезновении активационных барьеров в концах режимов решеточного захвата. В то же время это изменение непосредственно наблюдаемо, поскольку оно приводит к зависимости напряжение — скорость трещины на основе зависимостей от скорости из предыдущего раздела.

В случаях билинейного и квадратичного законов связи получим соответственно соотношения

世e+儿]=旦(1一尸/尸+月

3/2 (39)

(AE + )quadr = %(l 一尸乃 + )・

Параметр 尸+ ——величина 尸，при которой исчезают барьеры. В случае билинейного силового закона находим также, что точка, в которой барьеры вперед и назад равны, характеризуется значением

% ="頂Е (40)

если 尸亠一сила, при которой исчезают обратные барьеры. Таким образом, гриффитсовская точка в этом случае характеризуется средним геометрическим, а не средним арифметическим между двумя этими точками. Из графического решения рис. 6 можно видеть, что квадратичный закон в (39) связан, по существу, с треугольной зависимостью 尸/〃о, а закон 3/2 соответствует дугообразной зависимости 尸/〃° (которая изображена здесь). Линейный вид функции ^E+(F) мог бы получиться, если бы «ветвь нагружения» от 尸 до 尸+ была параллельной «ветви разгрузки» от 尸+ до седловой точки на рис. 6, т. е. в чрезвычайно вырожденном случае. Если пред*

ставить себе переменную (1—— 尸/尸十)=3尸 как декремент силы относительно гриффитсовского значения, то ожидаемое изменение Д£ должно быть приблизительно таким, что

第萨 3/2,杯=1 一 FE (41)

для всех разумно гладких силовых законов二

Функциональная зависимость ДЕ от 8户 тесно связана с понятием активационного объема в теории скоростей химических реакций и диффузии в твердом теле. Если активационный процесс зависит от внешнего давления или другого напряжения согласно закону

Ае = АЕо + о〃％・， (42) то параметры Е订 имеют размерность объема. В нашей модели величина d^E/dF имеет размерность расстояния и, в

Таблица 2. Активационные смещения при различных силовых законах

Прощелкивающаяся связь

Симметричная . билинейная связь

Квадратичная связь

6〃м/〃 max (по Гриффитсу)

0,4

0,3

0,3

частности, является некоторой мерой смещения, производимого в системе в вершине трещины активационным процес'- сом. Действительно, из различных выражений для податливости в случае билинейного и квадратичного силовых законов находим

(等爲=2也“，.(熊狐=m尸， (43)

(装)quadr =号 6"3(6*aL P'•(44)

Здесь а, а', 0, р, — различные комбинации коэффициентов податливости, п ——половина длины трещины и активационное смещение 8ип равно изменению смещения атомов в вершине трещины в течение активационного процесса. Из-за множителей 6F % 7bF активационные смещения стремятся к нулю при 尸一＞ 尸+, как и должно быть, но снова заметно характерное различие между случаями билинейных и квадратичных силовых законов.

Результаты детальных расчетов активационного смещения 6〃〃 при гриффитсовской силе даются в табл. 2. Смещения со-

ставляют неожиданно большие доли максимальных атомных смещений 〃тах, если 〃тах определяется как смещение, при котором возвращающая сила обращается в нуль. Эти величины также находятся в общем согласии с ожидаемыми значениями, которые рассчитаны квазихимическим методом Ви- дерхорном и др. [18].

Трехмерные трещины

Поведение реальных трещин в твердых телах — это еще один шаг за пределы двумерных моделей, очерченных здесь, поскольку трещина в действительности есть трехмерный

Рис. 14. Конфигурация трещины с кинками. Показана плоскость (111) в кремнии с положениями атомов, отмеченными точками. Контурные линии есть линии равного смещения. Кинк сильно локализован в одном месте [8Ь].

объект из-за способности фронта трещины принимать искривленный вид, даже если она остается в пределах своей плоскости скола, не говоря уже о возможности блуждания от одной плоскости скола к другой. С точки зрения представлений о решетке умеренная кривизна фронта трещины допускает эквивалентное представление скоплением кинков на в остальном кристаллографически ориентированной линии трещины. Далее движение трехмерной трещины по своей плоскости скола эквивалентно порождению пар двойных кинков на ее фронте и переносу этих кинков вдоль фронта. Рис. 14 представляет собой диаграмму атомных смещений для атомов трещины, расположенных на поверхности скола (111) в Si, которая демонстрирует одиночный кинк на фронте трещины по расчетам Синклера [8Ь].

Очевидно, теоретическая трактовка задачи с кинками более трудная, чем трактовка двумерной задачи, обсуждавшейся

до сих пор. Ограничивающим возможности фактором является требование к вычислительной машине как для прямых решений на машине, так и при использовании статической теории решетки. Тем не менее сначала Эстерлинг [14], использовавший приближение статической решетки, а потом Синклер [8], использовавший прямой подход, обратились к рассмотрению одиночных кинков. Они нашли, что барьеры для захвата одиночных кинков гораздо меньше двумерных барьеров. Этот результат совпадает с аналогичным утверждением о том, что барьеры для кинков при движении дислокаций гораздо меньше двумерного барьера Пайерлса. Это ведет к предположению, что скоростной порог для медленного роста трещины определяется скоростью зарождения двойных кинков на фронте трещины.

Поскольку двойной кинк составляется из нескольких параллельных плоскостей с двумерными конфигурациями, то энергия образования двойного кинка будет порядка нескольких двумерных энергетических барьеров. Этот результат основан на интуиции, порожденной квазиконтинуальными трактовками дислокационного двойного кинка по модели Френкеля — Конторовой [16]. Однако в отличие от дислокационной аналогии зависимость от напряжения энергии образования будет обеспечиваться частично зависимостью для двумерного барьера, которая уже обсуждалась, а также до некоторой степени взаимодействием между двумя тесно расположенными кинками. Лин и Хирт [26] рассмотрели эту проблему с точки зрения дислокаций, связанных с трещиной, и сделали оценки не только зависимости от напряжений, но и энергии двойных кинков. Согласно их оценке, в низшем приближении помимо зависимости от напряжения энергия зарождения двойных кинков составляет примерно удвоенную энергию отдельного кинка. В случае Si их оценка в 1,5 эВ для двойного кинка представляется разумной с точки зрения оценки Синклера [8Ь] 0,5—1,5 эВ для удвоенной энергии одиночного кинка. Будем, таким образом, предполагать для полной энергии активации двойного кинка в низшем приближении

АЕ+ = 2 (А%/ w. (45)

Здесь (АЕ+)2о — наш двумерный результат, a w — ширина одиночного кинка. Трудно отгадать полную зависимость от напряжения, поскольку вклад в нее вносят как взаимодействие кинка с кинком, так и захват двумерной решетки. Однако попытаемся предположить, что простой линейный закон может быть достаточным, так как область напряжений (или К), в которой закон применяется, будет малой, и экспериментальные результаты, по-видимому, не очень чувстви-

тельны к использованию различных степеней в окрестности единицы. Таким образом, предполагается, что

AE+=EQS (46)

Аналогичное соображение применимо к активационному смещению. Снова не известна зависимость от напряжения для состояния, активированного двойным кинком, и будем просто писать для полного активационного смещения

6〃 = 2 (0〃)2° ш. (47)

Таким образом, на основе весьма приближенного, но общего соображения ожидается, что активационное смещение и энергия активации должны быть приблизительно линейными по ширине кинка w в случае роста трещины в отсутствие активной среды.

Результат (47) важен для сравнения поведения трещины без химически активной среды и при ее наличии. В последнем случае следует ожидать некоторого класса взаимодействий, для которых масштабные эффекты и энергетика связи обладают преимуществами и при которых образование двойных кинков завершается единственной бимолекулярной реакцией в вершине трещины, не требующей совместной активности в нескольких соседних атомных плоскостях. Экспериментально это должно быть связано с химической реакцией первого порядка, скорость которой пропорциональна первой степени давления (см. уравнение (27)). Образованию кинка, требующему более одной внешней молекулы, соответствовала бы квадратичная или зависимость более высокой степени от давления.

Такой химически активный процесс следует отличать от процесса, протекающего в отсутствие активной среды, очерченного выше, по меньшему активационному смещению, что связано с меньшим числом участвующих атомов. Можно также продемонстрировать меньший барьер энергии активации, хотя доминирующими для оценки энергетических барьеров, вероятно, будут рассмотрения основ химической связи, а не эффектов решеточного захвата. В любом случае вклад решетки будет низок, поскольку учитывается лишь одна двумерная атомная плоскость.

Представляется, что картина, набросок которой дан выше, согласуется с имеющимися в небольшом количестве экспериментальными данными. На рис. 15 показаны общие экспериментальные результаты Видерхорна [17], типичные для материала (в данном случае стекла) при медленном росте трещины, которая находится под влиянием внешней атмосферы (в данном случае паров Н2О). Характерны три стадии; стадия I соответствует нарастающей скорости, пропорцио*

нальной парциальному давлению паров Н2О; стадия II соответствует лимитируемой диффузией области, в которой трещина опережает фронт диффузии; стадия III соответствует собственной скорости трещины, которая не зависит от внешней химии и совпадает с измеряемой в вакууме. Для области III характерен гораздо более крутой вид зависимости

4。5,06,07,08,0KlfMHM^z»IO54。5,06,07,08,0KlfMHM^z»IO5Рис. 15. Экспериментально наблюдаемое химически усиливаемое разрушение. Экспериментальные величины относятся к стеклу при различных давлениях водяного пара. Наблюдались три стадии роста трещины. Стадии I и II чувствительны к присутствию Н2О, в то время как стадия III отражает собственную скорость трещины. Стадия I описывается уравнением (48), в то время как стадия II реализуется в лимитируемой диффузией зоне, когда трещина опережает фронт диффузии [17].Рис. 15. Экспериментально наблюдаемое химически усиливаемое разрушение. Экспериментальные величины относятся к стеклу при различных давлениях водяного пара. Наблюдались три стадии роста трещины. Стадии I и II чувствительны к присутствию Н2О, в то время как стадия III отражает собственную скорость трещины. Стадия I описывается уравнением (48), в то время как стадия II реализуется в лимитируемой диффузией зоне, когда трещина опережает фронт диффузии [17].10”10”1010

4。5,06,07,08,0

KlfMHM^z»IO5

4。5,06,07,08,0

KlfMHM^z»IO5

Рис. 15. Экспериментально наблюдаемое химически усиливаемое разрушение. Экспериментальные величины относятся к стеклу при различных давлениях водяного пара. Наблюдались три стадии роста трещины. Стадии I и II чувствительны к присутствию Н2О, в то время как стадия III отражает собственную скорость трещины. Стадия I описывается уравнением (48), в то время как стадия II реализуется в лимитируемой диффузией зоне, когда трещина опережает фронт диффузии [17].

Рис. 15. Экспериментально наблюдаемое химически усиливаемое разрушение. Экспериментальные величины относятся к стеклу при различных давлениях водяного пара. Наблюдались три стадии роста трещины. Стадии I и II чувствительны к присутствию Н2О, в то время как стадия III отражает собственную скорость трещины. Стадия I описывается уравнением (48), в то время как стадия II реализуется в лимитируемой диффузией зоне, когда трещина опережает фронт диффузии [17].

10”

10”

10

10

силы от скорости, чем для области I. В табл. 3 собраны результаты Видерхорна и др. [18] для различных стекол, где экспериментально измеренные скорости медленных трещин вычерчены в согласии с соотношением

v = v^{{E + bK)!RT}. (48)

Здесь К ——коэффициент интенсивности напряжений, R ——газовая постоянная, a vq, b и К определены из графиков зависимости К от 〃

Результаты, приведенные в таблице, показывают, что величины активационного смещения и энергии активации значительно больше при росте трещины в вакууме, чем в присутствии атмосферы, вызывающей коррозию.

Однако Видерхорн и др. [ 18] интерпретировали результаты табл. 3 иначе. Они отметили, что электрострикционные эффекты, связанные со смещениями зарядов, порождаемыми

Таблица 3. Краткая сводка данных по коррозии под напряжением в стекле

[18]

Среда

Стекло

Е, ккал • моль-1 (кДж • моль- 9

瓦 м5/2 . моль-1

1»

Вода

Кремнезем

33,1 (139)

0,216

-1,32

Алюминосиликат I

29,0(121)

0,139

5,5

Алюминосиликат II

30,1 (126)

0,164

7,9

Боросиликат

30,8(129)

0,200

3,5

Свинцово-щелочное

25,2 (106)

0.144

6,7

стекло

Натронно-известковый кремнезем

26,0

0,110

10,3

Вакуум

61 % свинца

83,1 (348)

0,51

5,1

Алюминосиликат III

176 (705)

0,77

14,1

Боратный крон

Натронно-известковый

65,5 (275)

0,26

6,6

кремнезем

144 (605)

0,88

—5,7

в процессе разрушения, также будут влиять при активации на расширение области, где существуют кооперативные эффекты. Если бы химические примеси действовали в водном растворе, большая диэлектрическая постоянная воды гасила бы такие эффекты, приводя к меньшим активационным смещениям. Требуется дополнительное экспериментальное исследование для определения того, существенны ли действительно электрострикционные эффекты в добавление к эффектам, определяющим ширину кинка, обсуждавшимся выше.

Силовые законы

Все теории статики решетки строятся на основе очень простых специальных законов сил, которые не предназначены для моделирования какого-либо частного вида материала. При численных моделированиях на вычислительной машине бат- тельская группа использовала потенциал Джонсона для железа [7], Синклер [8] использовал эмпирическую трехчастич-

ную силу для моделирования ковалентной связи кремния, а Пэскин и др. [12] с помощью силового закона 6-12 моделировали твердые тела инертных газов. Во всех этих случаях, за возможным исключением последнего, частные законы сил не следует принимать слишком серьезно. В частности, потенциал Джонсона сконструирован на основе равновесных свойств железа, и нельзя ожидать моделирования с его помощью поверхностных эффектов, сильно искаженным примером которых является трещина. Синклер [8Ь] использовал ряд модификаций силы связи в Si с целью проверки чувствительности параметров трещины к форме силового закона, которая, как мы полагаем, совершенно в духе этого сорта теории. Кремний, по-видимому, является превосходным материалом для моделирования из-за короткодействия сил и из-за того, что кремний является одним из превосходных примеров, для которых может быть успешно использована модель ковалентной связи. Однако даже здесь гибридизация, которая происходит в поверхностных связях, ведет к перестройке поверхности, приводит к усложнениям, которые могут быть важными для описания детальной структуры сильно искаженного ядра трещины. Известно также, что электронная структура и энергия образования простых дефектов в полупроводниках трудно предсказуемы теоретически из-за трудностей, связанных с необходимостью иметь дело со структурно зависящими членами в задаче об электронной связи. По-видимому, трещина в металле представляет собой наиболее трудный для моделирования дефект из-за очень большого искажения в вершине трещины и значительной трудности при конструировании адекватных эффективных силовых законов для таких искажений. Фактически, по-видимому, разумно рассматривать задачу о трещине в качестве наиболее серьезного испытания для тех, кто конструирует силовые законы с целью использования их для расчетов дефектов.

Из других примеров описания больших возмущений в твердых телах упомянем о развитии с переменным успехом кластерных расчетов. Есть надежда, что одним из результатов этой конференции окажутся большие перспективы в приложении этих методов к задаче о разрушении.

Ввиду всех этих принципиальных трудностей, связанных с задачей об атомной связи в твердых телах, следует поставить вопрос о том, в чем в конце концов смысл любой теории структуры трещины, строящейся на таких специальных силовых законах? Точка зрения автора сводится к следующему.

По-настоящему фундаментальный подход к задаче о разрушении, например с применением кластерного расчета, вероятно, возможен лишь в небольшом числе канонических

случаев. (Вероятно, будут ограничиваться рассмотрением нескольких атомов в вершине трещины.)

Сращивание малых кластеров с полной решеткой потребует понимания «решеточной задачи».

При этом фундаментальном подходе и помимо него будет без сомнения оставаться необходимость к наведению моста между фундаментальной теорией простых систем и полной гаммой материалов и химических реакций, интepec^ ных для проблем разрушения. В этих задачах классы законов «эффективной силы», опирающихся на общие правила, вытекающие из фундаментальных исследований, будут обеспечивать теоретика очень мощным инструментом для исследования физических проблем разрушения. Я полагаю, что построение таких законов эффективных сил является наиболее важной задачей фундаментальной теории.

В действительности следует остерегаться экстраполяции теории разрушения слишком далеко и постоянно пристально следить за экспериментальными наблюдениями.

УСТОЙЧИВОСТЬ ТРЕЩИН

Последний из основных вопросов, оставшихся в рассматриваемой теме, состоит в том, играют ли острые трещины, описанные нами, сколько-нибудь значительную роль в разрушении материала. В действительности многие материалы претерпевают разрушение не из-за роста трещины, а благодаря чисто пластической или сдвиговой деформации. Масло—один из очевидных примеров, но и другие материалы, такие, как сталь, также могут разрушаться пластическими процессами в микромасштабе. Общей роли пластичности при разрушении будет посвящена лекция Нотта (см. стр. 145 данного сборника) на этой конференции, но нас интересует здесь вопрос: является ли острая трещина действительно устойчивой в решетке против сдвиговых процессов, при которых излучаются дислокации и притупляется вершина трещины? Излучение дислокаций может быть первой стадией полностью пластического разрыва трещины. Устойчивость против такого сдвигового разрушения является, конечно, необходимым условием хрупкого разрушения (рис. 16).

Первое исследование этого вопроса выполнено Келли, Тайсоном и Коттреллом [18], которые представили условие устойчивости в виде

\ 5 /max \ 6 /theor\ 5 /max \ 6 /theor(49)(49)

\ 5 /max \ 6 /theor

\ 5 /max \ 6 /theor

(49)

(49)

Левая сторона связывает максимальные величины сдвигового напряжения aSh и растягивающего напряжения at в

окрестности трещины, а правая сторона — максимальные допустимые теоретические сдвиговые и растягивающие напряжения в материале. Физические соображения Келли и др. заключались в том, что по определению острой трещины связь в ее вершине должна растягиваться почти до максимального натяжения. Поскольку эта сила передается на соседей, растягивающее напряжение будет преобразовываться,

(а)(а)

(а)

(а)

Рис. 16. Излучение дислокации, вызывающее притупление трещины.

по крайней мере частично, в высокое сдвиговое напряжение. Поскольку теоретическая прочность на растяжение больше теоретической прочности на сдвиг для всех материалов., имеется превосходная возможность, что сдвиговое напряжение достаточной для притупления вершины величины будет генерироваться в вершине трещины. Отсюда следует неравенство (49). Келли и др. применили его к ряду материалов и получили общее согласие между предсказаниями (49) и поведением материалов, о которых известно, будут ли они пластичными или хрупкими.

Райс и Томсон [20] придали другую форму условию устойчивости в терминах способности материала к излучению дислокации. Они пришли к выводу, что сильно неоднородное напряжение в окрестности трещины означает, что условие устойчивости должно формулироваться в терминах компонент Фурье для смещения в верхней части зоны Бриллюэна в отличие от 々=0, как в (49). Такое условие устойчивости эквивалентно условию порождения дислокации. Исходя из этой точки зрения, эти авторы показали, что грубым критерием устойчивости, в котором пренебрегается решеточной геометрией и трехмерными эффектами, является

卩〃Y》10・ (50)

Здесь 卩一модуль сдвига, b — вектор Бюргерса дислокации, Y — поверхностная энергия материала. Они заключили, что

трещины в гранецентрированных и объемно-центрированных металлах из первого ряда периодической таблицы элементов должны быть неустойчивыми. За исключением железа, хрупкие трещины в о. ц. к.-переходных металлах, гексагональных металлах, ионных кристаллах и изоляторах с ковалентной решеткой типа алмаза должны быть, согласно предсказаниям, устойчивыми. Железо ——интересный пограничный случай, и, по-видимому, оно не должно относиться ни к очень хрупким, ни к очень пластичным материалам.

Оба этих ранних исследования существенно опирались на континуальные представления с использованием обрезаний там, где необходимо. Кроме того, образование дислокации в окрестности трещины относится к сложной трехмерной задаче, которая требует учета нелинейных и атомных особенностей в областях ядер как трещины, так и дислокации. По этой причине на оба обсуждавшихся подхода следует смотреть как на имеющие лишь качественное значение. И тем не менее критерии, подобные (49) и (50), ценны для сравнения одного типа материала с другим, и оба они отражают основополагающие физические черты проблемы, хотя и несколько различным образом.

Сопоставление (49) и (50) с расчетами на вычислительной машине особенно полезно. Несмотря на проблемы соотнесения расчетов баттельской группы на вычислительной машине с поведением железа, интересно отметить, что исследователи из этой группы уже объясняли [6с] появление сдвигоподобного разрушения в ядре трещины для двумерной конфигурации, Тайсон [21] рассмотрел ряд существующих модельных расчетов на вычислительных машинах, используя критерии (49) и (50), и выяснил, что критерий (49) заслуживает несколько большего доверия, чем (50). Наконец, Пэскин и др. [12] при своих расчетах с потенциалом 6-12 заключили, что критерий (50) правильно предсказывает хрупкий характер трещин в их случае. Более полное описание этих результатов будет дано в статье Дайниса.

Хоуард [22] дал очень интересное приложение критерия (50) к случаю водородного охрупчивания. Отметив, что (50) есть критерий разрушения исключительно для трещин типа I, он нашел, что при заданной величине у будет существовать критический угол плоскости скола, выше которого трещина будет пластичной, а ниже — хрупкой. Исполъзуя давление водорода как параметр, контролирующий у, он вычислил затем относительную долю граней для границ зерен, по которым будет происходить пластическое и хрупкое разрушение. Исходя из этого, он -рассчитал элегантным образом ударную вязкость как функцию давления водорода. Однако, несмотря на изощренность этой модели, прежде чем принять ее

всерьез в качестве модели водородного охрупчивания, желательно дальнейшее более прямое экспериментальное подтверждение.

До сих пор здесь рассматривались лишь статическая трещина и излучение только одной дислокации. Р1окл, Витек и Макмагон [23] предполагали, что излучение дислокаций может быть свойством движущейся трещины, и фактически расчеты на вычислительных машинах Пэскина и др. [12] и Уэйнера и Пэра [10] указывают на это. Во всяком случае, поскольку напряжений в ядре почти достаточно для образования дислокаций, когда напряжение вырастает достаточно для того, чтобы трещина начала двигаться, существуют возможности выявлять дислокациоподобные конфигурации при продвижении ядра от одного узла решетки к другому. полагаем, что двумерные модели не достаточно глубоки для демонстрации этих возможностей, особенно когда трещина переходит пз одной фазы материала в другую из-за локальных неоднородностей. При этих условиях локальные ускорения и асимметрии будут допускать гораздо большее разнообразие конфигураций, чем, вероятно, допускают простые двумерные модели без специальных усовершенствований.

Из этих комментариев ясно, что автор не полагает, что сказано последнее слово относительно излучения дислокаций трещинами. Конечно, излучение дислокаций в общем лишь один из аспектов гораздо более широкого вопроса о взаимодействии дислокаций с трещинами вообще, но решающий при определении источника таких дислокаций.

Было бы полезно дать прямое экспериментальное доказательство, касающееся излучения дислокаций. В ранних экспериментах с ямками травления, выполненных Гилманом и др. [24], предполагалось уже, что, когда трещины останавливаются в LiF, дислокации создаются при отсутствии других видимых источников. Совсем недавние эксперименты Лоуна и др. [25] были наименее двусмысленны. Они продемонстрировали, что трещины в ряде хрупких материалов (Si, Ge, А120з, SiC) могут быть совершенно острыми и их возникновение и развитие не сопровождаются образованием облака дислокаций. Не было следов излучения дислокаций даже тогда, когда трещина оставалась длительное время неподвижной при низких температурах. С другой стороны, при высоких температурах, когда дислокации подвижны, в окрестностях этих трещин нмелнсь дислокации, связанные с ними. С точки зрения авторов при высоких Т эти трещины могут- переносить дислокационные облака вместе с собой в виде непритупляющих вершину трещины дислокаций, плоскости скольжения которых наклонены к линии трещины (рис. 17), Имеется также некоторое доказательство, что даже в Si,

который, согласно (50), должен быть среди наиболее хруп* кнх материалов, дислокации могут излучаться от неоднородностей, углов или точек ветвления трещин в духе замечаний, сделанных выше.

Таким образом, на основе очень неполного анализа полагаем, что некоторые материалы, подобные гранецентрированным мягким металлам, которые удовлетворяют критериям

Рис. 17. Дислокационные скопления, связанные с трещинами в Si. (а) Дислокации находятся в плоскостях скольжения, наклоненных к прямой линии трещины, и в незатупленных конфигурациях. (Ь) Трещина, по-видимому, должна образовывать угол, и дислокации кажутся излучаемыми или как- то иначе связанными с неоднородностью линии трещины [25].

пластичности, выраженным формулами (49) или (50), не будут способны поддерживать устойчивую острую трещину в решетке по физическим причинам, лежащим в основе этих формул. Другие материалы, которые удовлетворяют критерию хрупкости, по-видимому, должны быть достаточно близки к состоянию, в котором происходит нзлуиенне дислокаций, поскольку неоднородности на трещине и в решетке будут приводить к образованию дислокаций, возможно, в затупляющей конфигурации, а возможно, на незаблокированной плоскости скольжения. В настоящее время можно всего лишь предполагать, к каким нослеаствиям для последующей подвижности трещины приведет такое излучение дислокаций.

Хотя мы говорили, что задача об излучении дислокаций с учетом трещины или неоднородностей решетки, вероятно, является трехмерной, пред4cтавлнется, что желательны допол^ нительные теоретические исследования в рамках двумерной постановки. Не проводилось в двумерном случае системати- ческое изучение того, как различные классы силовых законов, симметрии кристаллов и геометрии трещин влияют на легкость излучения дислокаций, а оно было бы полезно с точки зрения достижения качественного понимания явления. Также неизвестны влияние движения дислокаций на легкость

излучения и степень торможения трещины, вызванного процессом излучения, а они поддаются расчету современными методами.

ИТОГИ И ПЕРСПЕКТИВЫ

Общую точку зрения автора на атомные исследования структуры трещины можно выразить в суммарном утверждении, что эти исследования имеют своими первоочередными приложениями понимание роли химических эффектов и взаимодействия и излучения дислокаций при разрушении. С этой точки зрения наиболее перспективными направлениями будущих исследований по мнению автора являются следующие. ■

Неустойчивость трещины, связанная с излучением дислокаций. Эта задача, вероятно, одна из наиболее легко разрешимых в настоящее время как теоретически, так и экспериментально. Первоочередной теоретический вопрос, который необходимо изучить, заключается в том, как различные кристаллические симметрии и различные классы силовых законов влияют на излучение дислокаций. Полная трехмерная трактовка этой задачи сегодня в этих терминах не доступна, но много ценного можно было бы выяснить на основе сравнительного исследования эффектов различных типов законов сил и симметрии в рамках двумерных моделей. Трехмерные эффекты можно рассмотреть на весьма качественном уровне при континуальном подходе, опираясь в значительной степени на прямые наблюдения. Нашей рабочей гипотезой здесь является то, что неоднородности на линии трещины или в решетке кристалла будут приводить к случайному излучению дислокаций, которое может сопутствовать развитию в основном хрупкой трещины, но двумерная неустойчивость будет мешать прежде всего хрупкому поведению.

Энергия активации и активационное смещение 6 материи лах различных классов. Адекватная трактовка этой задачи с нашей точки зрения объединила бы двумерные методы с полуконтинуальной моделью, аналогичной модели Френкеля—Конторовой для дислокации. В двумерном случае цель состоит в изучении разнообразия поведения и структур, которое вытекает из различных типов и классов силовых законов и кристаллических симметрий. Лин и Хирт [26] недавно сделали важный шаг к объединению теории сплошной среды с дискретными теориями, развивая континуальную теорию кинков на трещине в терминах континуальной теории дислока- пий. Мы рассматриваем эту область задач как менее существенную для важных вопросов разрушения, чем две другие обсуждаемые области. Однако вполне возможно, что она мо-

жет оказаться превосходным испытательным полигоном для развития математических методов, применимых к более важным задачам о структуре трещины.

Схемы классификации различных классов химически усиливаемого разрушения. Эта проблема представляет собой главное давнее направление работ в области физики разрушения и потребует развития нозых теоретических и экспериментальных возможностей. Однако я полагаю, что можно надеяться на такой уровень понимания, при котором устанавливается связь химических эффектов при разрушении с более обычной химией в газовой фазе, жидкой фазе или с реакциями на поверхности вместе с указанием ролей мостиковых реакций в вершине трещины, стерических эффектов в узкой геометрической области вершины трещины и т. п. Построение теории здесь может стать возможным с применением теоремы разложения, обсуждавшейся в разд. V, которая может позволить выполнить квантовые расчеты малых кластеров для молекул в вершине трещины с целью согласования с остальной решеткой с помощью податливостей решетки. Однако необходимо будет также выполнить систематические экспериментальные исследования химических эффектов, которые дадут каталог происходящих химических реакций. Эксперименты должны включать в себя по крайней мере измерения роста трещины в контролируемой атмосфере, как, например, у Уэя с коллегами в металлах [27] и у Видерхорна с его коллегами из NBS в стеклах [18]. Однако имеется острая нужда в дополнительных методах, которыми можно непосредственно изучать явления в вершинах трещин.

Для завершения этого раздела и статьи вернемся к рассмотрению теоретических методов, описанных в предыдущих разделах, и попытаемся сделать их сравнительную оценку в свете только что упомянутых проблем.

Из двух широких классов имеющихся атомных теорий (прямое моделирование на вычислительной машине и теория решетки) в этой статье упор делался на последней. Теория решетки есть строгая теория, родственная динамической теории решетки, но включает в себя расщепление задачи на линейную и нелинейную части. Нелинейная часть задачи решается отдельно с помощью системы связанных нелинейных уравнений, в которой решетка выступает как набор коэффи- циентов податливости. Достоинство теории решетки состоит в том, что ее решение может быть изображено графически, из чего можно извлечь множество соображений физического характера. Отсюда можно также вывести важную теорему разложения, которая позволяет описание процессов в вершине трещины отделить от остальной задачи и приводит к

особенно важным выводам, если лишь одна из связей в вершине нелинейна. С другой стороны, в применении к решеткам, более общим, чем простая кубическая, метод теряет до некоторой степени свою аналитическую простоту и функции Грина решетки должны быть рассчитаны целиком численно. Вторая слабость,, которую, вероятно, можно преодолеть, состоит в том, что результаты для трещины заданного размера 2/г + 1 требуют обращения матрицы порядка п или больше, а асимптотические решения для очень длинных трещин все еще не получены.

В такой сложной задаче, как исследование устойчивости трещины, для решения, системы связанных нелинейных уравнений требуется сначала расчет линейных податливостей оставшейся части решетки. Они поддаются расчету и должны быть рассчитаны лишь один раз для данной решетки и задачи о трещине. Затем должны быть решены нелинейные уравнения для ядра, и трудность этой стадии, вероятно, равносильна трудности аналогичной стадии при прямом моделировании разрушения на вычислительной машине. Однако не было сделано аккуратной оценки общей эффективности выполнения решений сложных задач по теории решетки в сравнении с прямым моделированием на вычислительной машине. Как бы то ни было, но такие задачи в теории решетки сделались бы гораздо более легкими при наличии адекватного асимптотического подхода к описанию длинной трещины.

В подходе прямого моделирования на вычислительной машине можно выделить два типа. В первом конечное ядро сращивается с безграничной средой, а во втором вычислительная машина просто применяется к настолько большой группе атомов, насколько возможно в надежде на быструю сходимость к решению для массивного образца с ростом размеров группы. Поскольку позднее на этой конференции будет лекция Дайниса, прокомментируем лишь первый из них. Такой метод, названный методом с гибкой границей 1}, в руках Синклера и др. [28] стал очень мощным методом благодаря заданию гибких граничных условий на границе раздела между внутренним ядром и сплошной средой. Этот метод очень успешно использовался в задачах о трещинах и дислокациях. Он может применяться к сравнительно несложной трехмерной задаче, такой, как в случае одиночного кинка, но еще не к двойному кинку. Для простых систем оказалось возмож*

1} Этот метод называют еще флекс-методом (в оригинале flex). Его описание в различных модификациях наряду с другими методами численного моделирования разрушения и деформирования с учетом структуры и наличия ее дефектов содержится, в частности, в книге Теодосиу К. Упругие модели дефектов в кристаллах. — М.: Мир, 1985.— 352 с. — Прим* ре&

ным найти конфигурации седловых точек, но проблема отыскания седловых точек в комплексном конфигурационном пространстве все еще не имеет общего решения.

В дальнейшем необходима значительная работа для продвижения любого из этих методов в сторону применения к перечисленным выше основным перспективным задачам. Мы полагаем, что различные методы будут дополнять друг друга. Теория решетки оказалась полезной, поскольку снабдила нас физической интуицией. Метод с гибкой границей оказался эффективным при рассмотрении реальных решеток и различных двух- и трехчастичных сил в двух и трех измерениях. Методы численной динамики Пэскина и Дайниса ведут естественным образом к трактовке излучения дислокаций и других нестатических процессов.

ЛИТЕРАТУРА

Общие руководства по механике разрушения:

Knott J. F. Fundamentals of Fracture Mechanics. — Butterworth, 1973. Lawn B. R., Wilshaw T. R. Fracture of Brittle Solids. — Cambridge Univ. Press, 1975.

Превосходные изложения повышенного типа:

Bilby В. A., Eshelby J. D. Fracture, vol. 1, p. 99, ed. by Liebowitz.— Academic Press, 1968. [Имеется перевод: Билби Б., Эшелби Дж. Разрушение, т. 1, с. 112. — М.: Мир, 1973.]

Rice J. R. — Ibid, vol. 2, р. 191. [Имеется перевод: Райс Дж. Разрушение, т. 2, с. 204. — М.: Мир, 1975.]

Eshelby J. D. — Solid State Physics, vol. 3, p. 79, ed. by Seitz F. and Turnbull D. — New York: Academic Press, 1956. [Имеется перевод: Эшелби Дж. — В кн.: Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций.—М.: ИЛ, 1963, с. 247.]

Fuller Е. R., Thomson R. — Fracture Mechanics of Ceramics, vol. 4, p. 507, Ed. by Bradt R. et al.. — New York: Plenum, 1978.

Thomson R. — J. Matls Sci., 1980, 15, p. 1027.

Barenblatt G. — Adv. Appl. Meeh., 1962, 2, p. 55.

(a) Goodier J., Kanninen M. — Tech. Rept. 165, Div. of Eng. Meeh., Stanford Univ., 1966.

Gehlen P., Kanninen M. — Inelastic Behavior of Solids, Kanninen M. et al. (Eds.)。一 Plenum, 1972.

Kanninen M., Gehlen P. — Interatomic Potentials and Simulation of Lattice Defects, Ed. Gehlen P. et al — Plenum, 1972.

Kanninen M., Gehlen P. — Int. J. Fract. Meeh., 1971, 7, p. 471.

Gehlen P., Hahn G., Kanninen M. — Scripta Met., 1972, 6, p. 1087.

Markworth A., Kanninen M., Gehlen P. — Stress Corrosion Cracking and Hydrogen Embrittlement of Iron Base Alloys, NACE, 1974.

Johnson R. A. — Phys. Rev., 1966, 145, p. 423..

(a) Sinclair J., Lawn B. — Proc. Roy. Soc.z 1972, A329, p. 83.

(b) Sinclair J. — Philos. Mag., 1975, 31, p. 647.

Sanders W. — Eng. Fract. Meeh., 1972, 4, p. 145.

Wiener J., Pear M. — J. Appl. Phys., 1975, 46, p. 2398.

Ashurst W., Hoover W. — Phys. Rev., 1976, B14, p. 1465.

Paskin A., Gohar A., Dienes' G. J. — Phys. Rev. Lett., 1980, 44, p. 940. Paskin A., Som D. K.f Dienes G. J. — J. Phys., 1981, C14, p. L171.

13・ Hsieh C., Thomson R. — J. Appl. Phys., 1973, 44, p. 205J,

Esterling D. — J. Appl. Phys., 1976, 47, p. 486.

Bullough R., Hardy J. — Philos. Mag., 1968, 17, p. 833.

Hirth J., Lothe J. Theory of Dislocations. — New York: McGraw-Hill, 1968.

Wiederhorn S. — J. Amer. Cer. Soc., 1967, 50, p. 407.

Wiederhorn S., Fuller E., Thomson R. — Metal. Sci., 1980, 14, p. 450.

Kelly A., Tyson W., Cottrell A. — Philos. Mag., 1967, 15, p. 567.

Rice J., Thomson R. — Philos. Mag., 1974, 29, p. 73.

Tyson W. — Fracture 1977, 2, 1CF4, p. 159.

Howard I. — Proc. Int. Conf, on Mechanical Properties of Materials (ICM3). — Cambridge, England, 1979, 2, p. 462.

Jokl M, Vitek V., McMahon C. J. — Acta Met., 1980, 28, p. 1479.

Gilman J., Knudsen C., Walsh W. — J. Appl. Phys., 1958, 29, p. 747.

Lawn B., Hockey B., Wiederhorn S. — J. Mater. Sci., 1980, 15, p. 207.

Lin I.-H., Hirth J. P. — J. Mater. Sci., 1982, 17, p. 447.

Wei R., Klein K., Simmons G., Chou Y. — Symp. on Hydrogen Embrittlement and Stress Corrosion Cracking, June 2—3, 1980, Case Western Reserve Univ, (труды будут опубликованы).

Sinclair J., Gehlen P., Hoagland V., Hirth J. — J. Appl. Phys., 1978, 49, p. 3890.

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 】)

Дж. Нотт

ВВЕДЕНИЕ

Вычисление теоретической прочности кристаллических твердых тел обычно основывается на идеализированных формах кривых зависимости межатомных сил от расстояния, в которых сила определяется как производная энергии межатомного или межионного взаимодействия по отношению к расстоянию. Кривая изменения энергии подобна соответствующей кривой для двухатомной молекулы, поскольку она представляет результат межатомного отталкивания и притяжения, причем природа и интенсивность сил притяжения определяются типом связи: ионной, ковалентной, металлической или вандерваальсовской. Разница в характере взаимодействия атомов в решетке и молекуле возникает на расстояниях порядка периода решетки, когда фриделевские осцилляции в экранирующем заряде вызывают появление дальнодействующей компоненты в потенциале взаимодействия атомов в решетке, приводящей к затуханию осцилляции. При малых смещениях кривая атомная сила — расстояние линейна, причем тангенс ее наклона эквивалентен модулю Юнга 巨 Решетка имеет также жесткость по отношению к сдвигу, обозначаемую модулем сдвига 卩.Как Е, так и 卩 определяются макроскопически, обычно для хаотично ориентированных поликристаллов, которые предполагаются изотропными. В монокристаллах и модуль упругости, и модуль сдвига изменяются с ориентацией кристалла по отношению к оси растяжения. И эти изменения могут быть существенны: в железе, например, минимальное значение £ имеет место в направлении [ 100] и равно 132 ГПа при комнатной температуре, а максимальное значение реализуется в направлении [111] и равно 260 ГПа.

При упрощенном вычислении идеальной прочности обычно кривую межатомная сила ——расстояние перестраивают в кривую напряжение ——деформация, вводя понятия (для про-

川 Knott J. F (Department of Metallurgy and Materials Science, University of Cambridge) Mechanics of Fracture. — In: Atomistic of Fracture. Ed. R. M. Latanision, J. R. Pickens, 1983, p. 209—235.

© 1983 Plenum Press, New York

© перевод на русский язык, «Мир》, 1987

стой кубической решетки) «атомной площади» а^ и «первоначального масштаба длины» а。, где о。—•равновесное решеточное расстояние. Кривая напряжение ——деформация тогда аппроксимируется полуволной синусоиды вида

a = Umax sin (2冗〃/入)， (1)

где и ——смещение от равновесного положения, Z ——длина волны, т. е. когда 〃 =九/4, о = атах. Полная площадь под этой кривой представляет собой работу, совершаемую при разрушении вдоль атомной плоскости. Эта величина часто приравнивается поверхностной энергии 2у двух поверхностей, создаваемых при разрушении. Отсюда

3/2冗)отах [- COS (2兀〃/九)匕'2 - 2Y. 。⑵

В рамках линейной упругости для малых перемещений имеем

О и^ Отах (2冗〃/九)=£〃&, (3) поскольку 〃/о。一деформация. Подстановка выражения для X из (3) в (2) тогда дает

отах =(ёY/的产土 ⑷

Типичные значения £", у, а。для железа, подвергнутого растяжению в направлении [100], равны Е = 132 ГПа, у = 2 Дж/м2, а。= 0,25 нм; следовательно, атах = 32,5 ГПа= =0,25Е. Это намного больше, чем экспериментально измеряемые значения напряжения при разрушении путем скола для железа (обычно порядка 0,5——2,0 ГПа). Употреблялись более сложные формы энергетической кривой, и трактуются они другими способами, однако уравнение (4) все же использовалось в обсуждениях поведения в вершине трещины и служит хорошо для иллюстративных целей. Спорно, что в железе происходит разрушение сколом по плоскостям {100} из-за того, что Е минимально в направлении [100], минимизируя таким образом атах.

Интересно, что форма кривой напряжение ——деформация межатомного взаимодействия характеризуется своей максимальной амплитудой атах и тангенсом наклона Е при малых смещениях посредством уравнения (3). Если атах понижается, например, из-за наличия водорода, то уравнение (3) показывает, что могут иметь место две предельные возможности. Из уравнения 九/2冗=ао(Отах/Е) мы видим, что в одном крайнем случае при уменьшении Отах происходит и уменьшение Е, так что 入(а следовательно,入/4, деформация при Отах) поддерживается постоянным; в другом случае £ остается постоянным, так что уменьшение Отах приводит к уменьшению X. В первом случае подразумевается уменьшение жест-

кости связи по отношению к растяжению при наличи водорода, что не является неправдоподобным, если общая «прочность» связи 3d электронов в железе изменяется в результате потери или приобретения электронов на электронных уровнях, локализованных вокруг протонов в решетке. Во втором случае подразумевается, что необходимы меньшие смещения Х/4 для достижения атах (которое само понизилось), и, следовательно, происходит «охрупчивание» атомной связи. В обоих случаях работа разрушения 2? уменьшается.

Позже мы увидим, что различие между теоретически вычисленными и экспериментальными значениями сопротивления разрушению обычных конструкционных материалов возникает из-за наличия в реальных материалах микротрещин и трещиноподобных дефектов. В некоторых материалах концентрация напряжений вблизи их контуров так велика, что возникают локальные силы, достаточные для разделения связей при полностью упругих деформациях. Однако в других материалах превышается сопротивление материала сдвигу и перед разделением связи путем отрыва имеет место локальная пластическая деформация. Так как пластическая деформация очень тесно связана с явлением распространения трещины (а также с их зарождением), в следующем разделе дан краткий обзор понятий теории пластической деформации, необходимых для последующего обсуждения.

ТЕОРИЯ ДИСЛОКАЦИЙ

Вычисление идеальной прочности кристалла при разрушении путем сдвига (т. е. напряжения сдвига, необходимого для скольжения одной плоскости атомов относительно другой), выполненное аналогично вычислению идеальной прочности при разрушении отрывом, дает значения, которые являются значительными долями модуля (сдвига), обычно 0,1 卩.Эти значения по крайней мере на два-три порядка величины больше, чем экспериментально наблюдаемые для кристаллов чистых металлов. Расхождение устраняется введением представления о дислокации [1—3], которая является линейным дефектом с линейным вектором 1 и вектором Бюргерса Ь, определяемым как вектор, компенсирующий скачок смещений, который возникает, если просуммировать при обходе линии дислокации по часовой стрелке векторы, характеризующие трансляции решетки в сравнении с идеальной решеткой, не содержащей дислокации (условие RH/FS)» Краевая дис-

')RH/FS-условие ——правило выбора направления вектора Бюргерса дислокации «конец — начало по правому винту», описанное, в частности, в кн.: Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций.——М.: Атомиздат, 1972.— 599 с. (с. — Прим, ре&

локация имеет b J_ I, винтовая дислокация Ь||1; любая другая дислокация является смешанной с компонентами краевой и винтовой. Если дислокация движется в направлении т, то можно охарактеризовать плоскость движения нормалью п = = 1Хт; эта плоскость является плоскостью скольжения, если п-b = 0. В сплошной среде винтовые дислокации могут скользить по всем плоскостям, краевые ——только в плоскости, содержащей b и 1. Компоненты %,匕2, Ьз вектора b относительно координатных осей Х〔， Х2, Хз принято записывать по аналогии с кристаллографией в форме Ь=(а()/2) [ 1 Го]; b имеет компоненты 仇=的/2,尻=—ао/2, &3 = 0. Это — исходный решеточный трансляционный вектор для кристалла с кубической плотноупакованной решеткой (к. п. у.) и вектор Бюргерса для полной дислокации в такой решетке. Плоскостями скольжения в этой решетке являются плоскости {111}. Они являются плотноупакованными и, следовательно, наиболее разделяемыми плоскостями. Дислокация с b = а°/2 [НО] может скользить по плоскостям (111) и (111): в кубическом кристалле они имеют нормали [111] и [111] и косинусы углов [НО] А [111] и [110] А [111] при вычислении п-b равны нулю. В некубических кристаллах направление, совпадающее с вектором b с индексами [uvw], лежит в плоскости (力玩)， если

hu -\- kv -\- lw — 0.(5)

Заметим, что в некубической решетке [hkl] не является нормалью к плоскости (hkl).

Поле напряжений вокруг винтовой дислокации имеет особенно простую форму в цилиндрических координатах г, 6, г (с г||1), которое определяется парой равных по величине сдвиговых компонент.

^гб ==。呢==卩 Ь/2лт,(6)

где Oze и О02— (отвечающие сдвигу) компоненты тензора напряжений о〃 (индексы могут принимать независимые значения г, 0, г: / показывает направление компоненты напряжения, / ——нормали к плоскости, на которую оно действует: i = j означает нормальное напряжение,力总 / — сдвиговое напряжение). Краевой дислокации соответствует условие плоской деформации, и поле напряжений включает растяжение и сжатие в добавление к сдвиговым компонентам. Вводя D = =ц&/2л(1 — V), напряжения в полярных координатах можно представить в виде

(Jqq — ^rr — — D cos 8〃，^rB —。8「—。sin 0/г)(7)

где 0 измеряется против часовой стрелки, начиная от границы «лишней полуплоскости». Компоненты поля напряжений

имеют разрыв на краю《ядра》дислокации, внутри которого деформации являются столь высокими, что линейная упругость не может применяться. Простая оценка радиуса ядра гс получается, если принять в качестве разумного предела для линейного поведения деформации на периферии ядра Ь/2пгс равными величине 0,1, следовательно, гс = &/0,2л ^ 1,66. Упругая энергия на единицу длины винтовой и краевой дислокаций (в пренебрежении энергией ядра) соответственно есть

Escrew =(4接/4冗)In (Г〃,), (8a)

Eedge = 3b2/4冗(1 — ”))In (门力)， (8Ь) где 门——внешний радиус «цилиндра влияния», который для хорошо отожженного кристалла может иметь порядок 1 мкм.

Во многих вычислениях удобно использовать понятие «силы F, действующей на дислокацию». Она выводится из рассуждений, связанных с работой. Предположим, что кристалл, содержащий дислокацию с линейным векотором 1 и вектором Бюргерса Ь, подвергается воздействию обобщенного поля напряжений о〃 (здесь ， и / берутся как независимые значения 1, 2, 3 в правосторонней прямоугольной декартовой системе координат Хь Х2 и Хз). Дислокация движется в направлении т, определяя плоскость скольжения с нормалью n = 1 X т, так что компоненты нагрузок в плоскости скольжения суть о〃•几/. Записывая их как on, работу, совершаемую приложенными напряжениями, представим в виде (оп) -Ь, причем для симметричного о, как можно показать, она равна (оЬ) п или с учетом n = 1 X m равна (ob) 1 X т. Это есть тройное (скалярное) произведение, так что (ob) 1X m = = (ob)Xl・m. Работа, совершенная приложенными напряжениями, тогда равна работе, совершаемой «силой F, действующей на дислокацию», когда дислокация движется в направлении т, т. е. F m. Следовательно, F может быть записана как (зависимость Пича — Кёлера)

F = (ob) X 1. (9)

Сомножитель 《XI》следует пояснить. Он подчеркивает, что сила действует в направлении, перпендикулярном к дислокационной линии. Из (9) следует также, что (ob) перпендикулярно направлению F, и это действительно так, если (ob) интерпретировать как матричное умножение. Предположим, например, что краевая дислокация с линейным вектором 1 = 12 и вектором Бюргерса Ь =—包(RH/FS-условие) подвергнута воздействию сдвигового напряжения ai3 (которое стремится двигать дислокации в направлении X/ Уравнение (9) при-

нимает вид

О 0 бз

一仇

F =

ООО

0

Xb(Ю)

Si о。

0

так как для поддержания равновесия должна быть введена дополнительная сдвиговая компонента a3i，Вычисление матричного произведения дает лишь одну ненулевую компоненту ——Оз/1 (действующую в направлении —Хз), которая при перемножении с 12 дает F, имеющую величину 鄧而=53bl и действующую в положительном направлении X】.Другие характерные примеры: для винтовой дислокации с 1= Ь, b = Ьг, подвергнутой действию напряжения сдвига а2з, F имеет величину 032b2 = 023b2 и действует вдоль ——X】；для краевой дислокации с 1 = 12, b = —bi, подвергнутой действию растяжения ан, F имеет величину 。口瓦 и действует в направлении —Хз («тормозящая» сила).

Кроме этих определений, связанных с полями приложенных напряжений, понятие «силы, действующей на дислокацию», можно использовать для вычисления сил взаимодействия между дислокациями и дислокациями и свободной поверхностью. Если, например, две параллельные винтовые дислокации одного знака (связь b с 1) имеют векторы Бюргерса &1 и &2 и лежат на расстоянии г друг от друга, то сила отталкивания между ними равна

尸=卩Ь也/2". (11)

Из уравнения (6) следует, что поле напряжений дислокации 1 имеет компоненту а2е =卩bi/2nr, которая создает силу, действующую на дислокацию 2, равную по величине GQZb2 = а2е&2 и направленную по г. Существует равная и противоположная по знаку сила, действующая на дислокацию 1 со стороны дислокации 2. Взаимодействие между винтовой дислокацией и свободной поверхностью описывается по подобной схеме. Чтобы свести все поверхностные напряжения к нулю, используется понятие 《мнимой» дислокации. Сила притяжения между винтовой дислокацией и поверхностью описывается формулой

尸=卩狂4". (12)

Поверхностные слои с более высокими, чем в матрице, мо-. дулями создают отталкивающие силы.

МИКРОТРЕЩИНЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙВОКРУГ ЗАТУПЛЕННЫХ ТРЕЩИН

Основная причина, почему конструкционные материалы намного менее прочны, чем этого следовало бы ожидать в соответствии с предсказанием идеальной прочности, состоит в том, что они содержат распределения трещиноподобных дефектов, которые создают высокие локальные напряжения. Эти дефекты могут возникать различными путями: как случайно, так и в результате технологических и производственных процессов. Хорошие примеры этого могут быть найдены в спеченных керамических материалах: здесь размер естественного дефекта равен размеру области материала, где не произошло соединение; причем этот размер непосредственно связан с начальным размером зерна. Металлы могут изготавливаться по порошковой технологии, и в этом случае дефекты связаны не столько с размером зерна металла (в предположении размельчения в вакууме или аргоне), сколько с размером неметаллических включений, которые могут появляться во время заключительного просеивания. Такие включения могут ограничивать, например, усталостную долговечность высоколегированных газотурбиновых дисков.

Разрушение осадочных пород может быть подобно разрушению спеченных керамик. Действительно, поверхность разрушения оолитового известняка ясно показывает, что оно протекает вокруг почти сферических《зерен», что может привести к образованию межзеренной микротрещины. Литые ме・ таллы также могут содержать дефекты в форме пор, обусловленные газовыми пузырями или междендритными усадочными раковинами. Это еще более вероятно для наплавленного сварного металла, так как благодаря усадке при затвердении сварного металла устанавливаются растягивающие напряжения. Возможно, что подобные эффекты создают микрорастрескивание в вулканических породах. При сварке в зоне термического влияния трещины могут возникать в результате водородного поражения или в основном металле, если металл подвержен расслаиванию. Отпуск и термообработка стальных изделий с целью «снятия напряжений» могут иногда приводить к трещинам, особенно если сталь содержит высокие уровни «вредных» примесных элементов, таких, как Р, Sn или Sb. Даже в хорошо обработанном материале неметаллические включения, вероятно, действуют в самом начале как трещины; хрупкие частицы в термообработанной микроструктуре могут быть также важны, хотя в последнем случае обычно для зарождения острых трещин необходимы дислокационные скопления.

Концентрация напряжений в вершине затупленной трещины по Инглису [4] определяется выражением, соотеет-

ствующим расположенному в безграничном теле эллиптическому отверстию с большой полуосью а и малой полуосью Ь, ориентированному так, что главная ось (вдоль Х2) перпендикулярна однородному растягивающему напряжению аарр (параллельному Xi). Максимальное локальное растягивающее напряжение ац на концах эллипса (Х2 = 士а) равно

61 (max) == Оарр ( 1 + 2а/Ь),(13)

или если радиус в вершине равен р (для эллипса р = Ь2/а), 61(тах) раВНО

61 (ma*) = Оарр (1 + 2 (а/р)").(14)

Напряжение ац уменьшается с увеличением расстояния г от вершины трещины и сильно изменяется с изменением угла 0 в ее вершине. Для очень острых трещин 2(а/р)】/2 宏 1, и можно записать .

0*11 (шах)2Оарр@Р)"2.(15)

В литературе нередко встречаются выражения, в которых эффект концентрации напряжений у трещиноподобного дефекта оценивается так: сначала с помощью ац(тах), записываемого по формуле (15) с р, равным решеточному расстоянию а。，и затем ou(max)приравнивается идеальной прочности 5пах согласно соотношению (4). В результате получается

%рр = (Еу/4“/2,(16)

откуда можно вывести, что микротрещина с суммарной длиной 2a = 0,2 мкм была бы достаточной для уменьшения аарр до 1 ГПа, в случае если бы процесс разрушения проходил полностью при упругих деформациях. Хотя формула (16) в общем является корректной, выведена она неправильным путем, так как в (15) предполагается линейно-упругое поведение, тогда как (4) основано на синусоидальной кривой сила — перемещение. К счастью, другой подход делает возможным вычисление макроскопических разрушающих напряжений без учета деталей процесса разделения в вершине трещины. Это есть по сути термодинамический подход Гриффитса [5], распространенный позднее на класс квазихрупких материалов и названный механикой разрушения [6, 7]. Удобной отправной точкой является рассмотрение поля напряжений вокруг математически острой трещины.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ВОКРУГ ОСТРЫХ ТРЕЩИН

Из уравнения (15) видно, что при р-> 0 напряжение в вершине эллипса ац(тах)-> оо. Поэтому мы уверены, что будут развиты напряжения, достаточные для разрыва атомньи

связей, если такое разрушение энергетически выгодно. Для обоснования последнего утверждения необходимо рассмотреть распределение напряжений впереди вершины трещины. Отсчитывая г от вершины и угол 0 от положительного направления оси Х2 против часовой стрелки, находим, что вблизи вершины напряжения могут быть записаны в виде

O]] = K(2〃)T/2cos(e/2){l + sin(e/2)sin (39/2)}, (17а) 02 = К (2”)т/2 cos (9/2) {1 - sin (6/2) sin (39/2)}, (17b) 62 = 021 = К (2冗厂Г"? si口(e/2) cos (9/2) cos (30/2), (17c) “e = oe「= К (8冗г)-"? sin (6) cos (6/2). (17d)

Вдоль оси X2 (|乂2|〉]〃|) и вблизи вершины напряжение пц изменяется с расстоянием как К(2лг)~{/2. Интенсивность сингулярности К называется коэффициентом интенсивности напряжений. Для сквозной трещины длиной 2a в бесконечном теле, ориентированной перпендикулярно однородному приложенному напряжению оарр, коэффициент К равен Оарр(冗а) 1/2. Подобное выражение справедливо и для трещины в бесконечном теле, нагруженной внутренним давлением. Наличие внешних границ (компонента напряжений, действующая по нормали к границам, должна равняться нулю) приводит к изменению выражения для К, которое имеет более общий вид К = Oappf(a/取)，где W — ширина тела. Эта формула задается таблицами для различных типов разрушения: I (отрыв), II (сдвиг) и III (антиплоская деформация). На больших расстояниях напряжение Иц дается выражением

= 0арр{1 - (。2/恭)}"2 (18)

для Xi = 0,]犬2丨> а, а смещение берегов трещины 〃i имеет вид .

〃]|(хе)= 2 (1 — 衿 Qpp/E) (Y 一 叁产 (19)

для Xi = О, |Х2| < ^, где V — коэффициент Пуассона. Это соответствует плоской деформации (&зз = 0)・ Множитель 1——V2 отсутствует в случае плоского напряженного состояния (Озз = 0) •

Согласно термодинамическому подходу к описанию роста трещины по Гриффитсу [5], предполагается, что всегда в вершине трещины будет напряжение, достаточное для разрыва атомных связей, а возникновение катастрофического распространения трещины будет зависеть от того, уменьшается или увеличивается энергия всей системы в целом при распространении трещины. Он считал, что имеется два вида энергии: поверхностная энергия двух поверхностей, образованных при разрушении, S = 2уа для половины трещины единичной

толщины и длины а и энергия деформации или потенциальная энергия U, высвобождаемая телом. С использованием результатов Инглиса [4] величина U была вычислена путем интегрирования произведения напряжения на деформацию для всех элементов бесконечного тела, что дало (для трещины с полудлиной a) U = — ^^ic^^E. Полная энергия тогда есть функция длины трещины:

6 = S + U =-(喩рП@2/2Е) + 2уа. (20) Она имеет максимум, когда dz/da = 0, т. е.

0app = (2ёY/咽吗 (21)

Подразумевается, что для данной трещины полудлины а имеется критическое значение аарр, выше которого энергия понижается в результате катастрофического распространения трещины, ниже которого — в результате смыкания берегов трещины. Критическое значение аарр есть разрушающее напряжение ар. Очевидно, что микротрещина длиной 2a ^ ^ 0,4 мкм могла бы быть достаточной, чтобы понизить 0尸 приблизительно до 1 ГПа в том случае, если бы процесс разрушения происходил при упругих деформациях. Большинство промышленных сталей содержат хрупкие карбидные частицы толщиной более чем 0,4 мкм. Однако можно очистить железо (путем зонной плавки) до таких уровней, что частицы этого размера можно было бы исключить. Все же мы обнаружили, что хрупкое разрушение происходит при напряжениях порядка 1 ГПа. В цинке соответствующий размер микротрещины составляет несколько миллиметров, однако в кристаллах цинка с поперечным сечением, меньшим критического размера, можно получить хрупкое разрушение при относительно низком напряжении. Эксперименты показывают, что локальные разрушения в этом случае генерируются скоплениями дислокаций.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВИРТУАЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ИРВИНУИ МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ

Второй способ вывода выражения для высвобождающейся энергии основан на теореме о виртуальной работе. Он был введен Ирвином [6]. При выводе соотношения (21) необходимо было вычислить dU/da: изменение энергии деформации при распространении трещины на расстоянии da. В соответствии с терминологией механики разрушения [7] эта величина определяется» как «скорость высвобождения энергии деформации (или потенциальной энергии)» на единицу толщины и обозначается буквой G. Можно дать трещине вир-

туальное приращение длины от а до а + Sa и вычислить работу, совершенную напряжениями ап на 6a, когда они уменьшаются до нуля при раскрытии 〃口, соответствующем продвинувшейся на 6а трещине. Эта работа равна изменению энергии деформации, запасенной в теле. Следовательно,

ба

G3a= \ Ou"" dr.(22)

о

Из (17а), полагая 9 = 0, получаем о” = К(2")-"2 = =aapp(d/2r)1/2. Заменяя в (19) а на а + 6а и вводя г = =Х2 — а, получаем 〃ц в виде

W11 = 2V2 (l-v2)(aapp/£) а"2 価一厂严；тогдаба

GM = 2 (1 — v2) ^а!Е) \ (M —厂严尸i/2 办.(2з)

о

Подставляя 厂=За sin2 со, получаем

GM = (Wppna/E) (1 — У?) 6а.(24)

Принимая во внимание, что К = Оарр(冗а) ^Г находим

G 三 dU；da =犬(1 - v2)/£,(25)

или в случае плоского напряженного состояния

G 三 dU/da = КТЕ.(26)

Удобный вид записи состоит в использовании Е‘ вместо Е при плоской деформации. В результате соотношения (25) и (26) можно объединить:

QwE'G.(27)

Это есть основное тождество, которое делает механику разрушения таким мощным средством для анализа распространения трещин, так как оно сводит сложные вычисления высвобождающейся энергии к более легким вычислениям коэффициентов интенсивности напряжений, значения которых во многих случаях затабулированы [8]. Более того, значения К можно складывать простым алгебраическим способом, так что эффект наложения приложенных нагрузок может учитываться непосредственно,'

Если энергия, связанная с разрушением, состоит не только из поверхностной энергии, но включает также дополнительные компоненты, связанные, возможно, с пластической деформацией или вязкоупругой деформацией, соотношение (27) все же можно использовать при условии, что ^ти дополни-

тельные компоненты не оказывают серьезного влияния на вычисление в рамках теории упругости виртуальной работы. При этих условиях можно было бы показать, например, что разрушение все же характеризуется критическим значением GCr, которое много больше Для «квазихрупкого» поведения можно записать

«2 = £G,兄r = £Gcr,(28)

или в случае бесконечного тела, для которого К = аарр(я(1)1/2, о^ррна = £'G, Gp — (E’GcrJta)'，(29)

Интерпретация Ger связана с микромеханизмами распространения трещины. В металлах ——это механизм пластического течения; в полимерах ——вязкоупругого деформирования и образования волосовидных трещин. Инженерное применение соотношений (29) очевидно: экспериментальное (хотя и неинтерпретируемое) значение трещиностойкости (GCr или Ксг) позволяет разрушающее напряжение о尸 связать с размером дефекта а. При проектировании Оарр обычно определяется путем рассмотрения таких явлений, как потеря упругой устойчивости или пластическая неустойчивость, и соотношение (29) в этом случае используется для установления пределов по температуре нулевой пластичности, отвечающих, дефектам допускаемого размера. При оценке условий развития дефекта считается, что размер трещины известен, и для вычисления разрушающего напряжения можно использовать соотношение (29).

УПРУГОСТЬ В КРИСТАЛЛАХ

Если цель в конечном счете состоит в том, чтобы понять поведение материала в вершине трещины на атомном уровне, то целесообразно обратить внимание на то, что уравнение (27) было введено «инженерным» путем на основе использования усредненного макроскопического значения модуля Юнга Е, который для условий плоской деформации корректируется макроскопическим значением коэффициента Пуассона V. В этой связи при рассмотрении деформации монокристалла справедлив тот же принцип виртуальной работы, но при этом модули должны быть заменены на величины упругих констант кристалла с учетом соответствующей ориентации трещины [9]. В рамках теории упругости в наиболее общем выражении зависимости напряжения — деформации девять компонент симметричного тензора напряжений о〃 связаны с девятью компонентами симметричного тензора деформаций £〃 посредством тензора четвертого ранга упругих

констант Cijki (81 компонента):

Gij = "俅代以,(30)

где о〃 = 6i и %/ =期，и тогда имеется 36 независимых компонент тензора ，订々/. Величины о〃 и £々/ принято записывать в матричной форме s (/ от I до 6, о2з = О32 = s н т. д.) и е/ (/ от 1 до 6). Тогда зависимость (30) примет вид

6 = с订吁(31)

Возможно дальнейшее сокращение числа независимых констант, если вспомнить, что энергия деформации W есть термодинамическая функция состояния, т. е. ее значение зависит лишь от текущих значений деформации, а не от пути интегрирования:

dW = s d/ = cijsi d^i или (dW/d^i}=力卢〃("决 j)(<W@i) = Q・()

Однако, так как W есть функция только деформации, то порядок дифференцирования несуществен и левая часть уравнения (32) симметрична относительно / и /. Следовательно, cii = С".(33)

Это уменьшает количество констант до 21 независимой компоненты. Для кристаллов низшего класса симметрии (триклинных) должна измеряться 21 компонента. Кристаллографическая симметрия, однако, гарантирует, что некоторые коэффициенты становятся равными друг другу: в тетрагональных системах, например, жесткости при растяжении вдоль осей а п b одинаковы (сн = с22), тогда как вдоль оси с отличаются (сзз). В кубической системе останутся только три независимые постоянные: с”, С12 и с44. Для изотропного материала Сц — ci2 = 2с44. В этом случае можно связать значения упругих констант кристалла с их макроскопическими эквивалентами — константами Ламе 九 и 卩：

01=a + 2以， 02 =入，两4 =以，(34)

где 入=Ev/( 1 +”)(1 —2v), а модуль сдвига 卩 равен Е/2(1 + + V). Можно также связать деформацию с напряжением через коэффициенты упругой податливости s〃・：

加=SiRj.(35)

Аналогичные соображения можно использовать для уменьшения количества констант для кубической решетки до трех независимых компонент. Отношение 2с^/(си ——с】2) является коэффициентом упругой анизотропии. Он имеет значение, близкое к I, для вольфрама; 1,2 для алюминия, но значи-

тельно отличается от единицы для других материалов с кубической решеткой. Для железа значения Сц = 237 ГПа, 口2 = = 141 ГПа,，44=116 ГПа, что дает увеличение коэффициента до 2,4. Это согласуется с широким изменением модуля Юнга при изменении ориентации кристаллов железа, описанных в введении. В поликристаллических материалах эти различия обычно усредняются, однако имеются ситуации в «текстурированных» материалах, когда отдельные зерна ориентированы в примерно одних и тех же кристаллографических направлениях. Это специально создается в кремнистом железе для уменьшения пограничных электропотерь, когда этот материал，используется для сердечников трансформатора, но может возникать и случайно при литье или сварной наплавке, поскольку затвердевание происходит так, что ячейки или дендриды растут преимущественно в одном направлении, обычно в направлении <100> для материалов с кубической решеткой, Это связанное с затвердеванием текстурирование используется в монокристаллических газотурбиновых лопатках для выстраивания направления [100] вдоль длины лопатки с целью минимизации модуля и уменьшения уровня напряжений для данной тепловой деформации. Как упоминалось в введении, то, что £ является минимальным в направлении [100], может быть связано с тем, что железо расщепляется по плоскостям {100}. Однако вольфрам, который имеет объемно-центрированную решетку, но при этом изотропен, также расщепляется по плоскостям {100}.

ХРУПКОЕ И ВЯЗКОЕ ПОВЕДЕНИЕ

Уравнение Гриффитса (21) является строго термодинамическим (статическим) балансом изменения энергии с изменением длины трещины, в котором пренебрегается изменением энтропии или кинетической энергии и постулируется, что вся высвободившаяся упругая энергия поглощается при создании двух поверхностей. Критическая длина трещины есть длина, выше которой происходит катастрофическое распространение трещины, ниже которой трещина покоится. Разделение является абсолютно упругим, без (необратимого) пластического течения в вершине трещины. Первоначальные эксперименты Гриффитса были проведены на стеклах, однако имеются основания считать, что на результаты, полученные им, оказывала влияние коррозия под напряжением из-за наличия водяного пара и что, если бы эти эффекты отсутствовали, полученное значение GCr было бы значительно больше 2r В случае отсутствия химических взаимодействий Марш

] предсказывает необходимость некоторого локального процесса, такого, как «пластическое» (или вязкоупругое) течение перед разрушением в области вершины трещины.

Лучшее подтверждение простого энергетического баланса по Гриффитсу, видимо, можно было бы найти в случае 《скола》 минералов и некоторых металлов. Считается, что тонкие слюдяные пластинки могут расщепляться в вакууме термодинамически обратимо, если испытательная система такова, что рост трещины устойчив, например при нагружении расклиниванием. Это означает, что если приложенная нагрузка или заданное раскрытие уменьшается, берега трещины смыкаются. Интересно, что само по себе слово cleave имеет значение как «разделение разрушением» (splitting apart)% так и «слипания» (binding together)), так что, возможно, мы должны сохранить для этого обратимого процесса термин «истинный скол» (true cleavage). Это относится к таким экспериментам, которые проводятся для определения того, что называется хрупким или пластичным (вязким) поведением.

Рассмотрим трещину типа I, подвергнутую внешнему растяжению, и исследуем напряжения вокруг ее вершины (уравнения (17)). В частности^ имеется напряжение растяжения о” (17а), которое действует поперек плоскости, в которой лежит трещина, и напряжение сдвига а^о (17d), которое может реализовываться в соответствующей плоскости скольжения. Было сделано общее предположение [11], что если ап превышает прочность связи в вершине трещины по отношению к растяжению (〜0,2—0,ЗЕ) до того, как о，е превысит сдвиговую прочность (〜0」n), то материал хрупкий; в противном случае материал пластичный, так как трещина затупляется спонтанной эмиссией дислокаций прежде, чем она сможет распространиться при упругих деформациях.

В широком смысле это очень удобное определение, поскольку оно четко отделяет материалы «очевидно» хрупкие от «очевидно» пластичных. Проблемы с бесконечностью напряжений в уравнениях (17) первоначально были преодолены путем сравнения отношения о「е (реализуемого в плоскости скольжения) к ац (действующего поперек плоскости скола) с отношением (расчетной) теоретической сдвиговой прочности к теоретической прочности при сколе. Позже были выполнены более детальные вычисления для эмиссии дислокаций из вершины трещины с учетом высоких градиентов сдви-

говых напряжений при гриффитсовских нагружениях [ 12]. Было также учтено влияние «фиктивной силы», которая возникает благодаря образованию свободной поверхности (уравнение (12)).

Слюда является слоистой силикатной структурой, обладающей сильной связью внутри слоев, но слабой в перпендикулярном к слоям направлении. Если растягивающие напряжения перпендикулярны к слоям, легко разорвать слабые межслойные связи и очень трудно создать сдвиг под каким- либо углом к этой «плоскости скола». Следовательно, разрушение является почти идеально хрупким и при соответствующей нагружающей системе обратимо Графит ——более простая структура, состоящая из (гексагональных) слоев. Тем не менее для него наиболее известным типом поведения является скольжение плотноупакованных слоев по отношению друг к другу в ответ на приложение сдвиговых усилий, параллельных слоям. Это позволяет использовать графит в качестве твердого смазочного материала. Цинк, состоящий из кристаллов с гексагональной решеткой с большим аксиальным отношением с/а (1,86), при приложении сдвиговой нагрузки реагирует расщеплением по своей базисной плоскости (0001). В то же время он расщепляется по плоскости (0001), по-ви- димому, идеально хрупко, когда растягивающая нагрузка приложена по нормали к плоскости (0001).

Очень явный контраст между «очевидно» хрупким и «очевидно» пластичным поведениями дают алмаз и золото, которые оба имеют г. ц. к.-решетку. С одной стороны, алмаз имеет прочную прямонаправленную ковалентную связь, так что требуются очень высокие сдвиговые напряжения для образования дислокаций в вершине трещины и их движения от вершины, приводящего к затуплению трещины (т. е. он имеет высокое напряжение решеточного трения или напряжение Пайерлса — Набарро). Следовательно, трещины скола в алмазе распространяются легко и скол применяется перед окончательной полировкой в качестве элемента технологии производства драгоценных камней. Подобное хрупкое поведение имеет место в других твердых телах с ковалентной и ионной связью, в которых напряжение Пайерлса ——Набарро велико.

В золоте, с другой стороны, дислокации движутся чрезвычайно легко и любой начальный зародыш трещин полностью затупляется. При внешних нагружающих системах, которые не порождают неустойчивости путем создания шейки при растяжении, золото может выдерживать очень большие пластические деформации, не разрушаясь. При вытяжке в проволоку оно может вытянуться до очень тонких проволок: 1 г золота вытягивался в проволоку длиной 2 мили (〜3 км) [13]. При производстве золотого листа оно может выковы-

ваться до толщины порядка 10 нм. В [13] приводится следующее описание расплющивания золота путем проковки: «Оно вызывает расходящиеся трещины от краев листа, берега которых легко смыкаются и соединяются, не оставляя какого-либо следа соединения после дальнейшей проковки». Таким образом, чрезмерная «ковкость» золота, вероятно, частично основана на его способности «залечивать» трещины под действием давления, однако эти трещины образуются в результате сдвига, а не скола. Золото может считаться наиболее хорошим примером типично, пластичного поведения всех металлов с к. п. у.-решеткой (с возможным исключением иридия) при разрушении на воздухе, хотя разрушение сколом по плоскостям {001} наблюдалось в алюминии, когда он подвергался жидкометаллическому охрупчиванию, а также в широком диапазоне сплавов с к. п. у.-решеткой, когда они испытывались на усталость. Определения скола будут обсуждаться в следующем разделе.

Последний важный класс материалов ——металлы с о. ц. к.・ решеткой. В них напряжение Пайерлса — Набарро заметно возрастает с уменьшением температуры и в типичном случае наблюдается переход от хрупкого поведения при низких температурах к пластичному поведению при высоких температурах. Температура перехода есть функция не только конкретного испытываемого металла и прикладываемой скорости деформирования (которая контролирует время, достаточное для того, чтобы благодаря тепловым флуктуациям был преодолен энергетический барьер движению дислокаций для любого заданного уровня напряжений), но также напряженного состояния, причем она более высокая в напряженном состоянии, для которого отношение растягивающего напряжения к напряжению сдвига высоко. Это демонстрирует важность уровня приложенных растягивающих напряжений и стадии распространения трещины в процессе разрушения.

Скол обычно происходит по плоскостям {100}, хотя они и нелегко идентифицируются в микроструктурах промышленных сталей и могут изменяться, например, за счет локальных полей упругих деформаций, возникающих на включениях или других частицах вторичной фазы. Детали этого процесса разрушения будут рассматриваться в последнем разделе; интересно сначала указать на то, что при вычислениях эмиссии дислокаций в вершине трещины железо должно рассматриваться как в значительной степени «пограничный» материал, для которого вычисления в действительности слишком грубые, чтобы они позволяли категорически утверждать, 6у・ дут ли трещины затупляться или распространяться с острыми вершинами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОЛА

В предыдущем разделе термин《скол》использовался без ограничений для обозначения ряда процессов разрушения, каждый из которых приводит к макроскопически плоской поверхности разрушения, обычно соответствующей плотно- упакованноч или с низким индексом плоскости кристаллической решетки. В деталях эта «плоскость» может обнаруживать ступени (на уровне атомных масштабов, если фронт трещины пересекает винтовую дислокацию), следы скольжения или бороздки (при усталости) или даже мелкомасштабные ямки (при жидкометаллическом охрупчивании). Более точное определение《скола》дать трудно, даже если мы попытаемся связать это определение с более привычным инженерным опытом по сколу, который встречается при разрушении железа и стали при низких температурах. Такое разрушение сколом, по-видимому, должно характеризоваться двумя главными чертами:

катастрофический характер распространения трещины под влиянием приложенного растягивающего напряжения;

кристаллографическая природа поверхностей разрушения по плоскостям {100}.

Сопоставим теперь эти два критерия с наблюдениями разрушения алюминиевых сплавов путем усталости или жидкометаллического охрупчивания. Разрушение происходит по макроскопическим плоскостям {100}, которые покрыты тонкими бороздками или ямками.

Строго говоря, катастрофичность является критерием лишь до известной степени, поскольку можно, по крайней мере мысленно, сконструировать испытательную систему (возможно, расклинивающего типа, но с треугольным сечением, так что коэффициент интенсивности напряжений заметно уменьшается с продвижением трещины), в которой можно сделать так, что любая потенциально «хрупкая» трещина распространяется устойчиво. Более трудно контролировать высвобождение упругой энергии, когда смещение в вершине трещины, связанное с продвижением трещины, уменьшается. Утверждение критерия (1) в действительности заключается в том, что в частной системе однородного растяжения или простого изгиба в железе по плоскостям {100} для возникновения неустойчивости трещин скола требуются очень малые смещения в вершине трещины. В то же время в алюминиевых сплавах рост усталостной трещины по плоскости {100} связан с развитием столь сильной пластичности в ее вершине, создаваемой в течение одного цикла, что она не становится неустойчивой при приложении Ктах в этом цикле, даже если раскрытие трещины в вершине может быть одной вели-

чины с соответствующим раскрытием в железе. Предполагалось [14], что макроскопическое раскрытие в зонно-упрочненном сплаве А1 — Си в направлении [001] при усталости может достигаться с помощью двух одновременных равных сдвигов по соответствующим плоскостям {111}, т. е.

的[OOl] = (tzo/2)[Oll](1Tl) + (ао/2)[О11](Г11), (36)

дающих направление фронта трещины [НО] и направление распространения трещины вдоль [НО]. Это подобно по форме релаксации (или, напротив, зарождению [15]) трещины скола в железе, причем предполагается скольжение по плоскостям {110} при ориентации фронта трещины вдоль [010]:

%[001]=僞/2)【Ul](m)+ (cz0/2) [H1J(1O1). (37)

Направление распространения трещины в этом случае есть [100]. Такие трещины скола в железе, однако, чрезвычайно чувствительны к значению Ктах в усталостном цикле [16], что, как предполагается, в сильной степени характерно для неустойчивого распространения.

Можно было бы спорить о том, что кристаллография есть критерий лишь до известной степени, а факт, что сплав А1 ——4Cu обнаруживает бороздки, а железо нет, объясняется просто тем, что ступеньки скольжения в железе есть, но на таком мелком масштабе они не могут быть выявлены. Однако при растяжении в условиях плоской деформации раскрытие трещины путем эмиссии дислокаций было бы некумулятивным [17] и было бы обычным видеть в железе остановившиеся микротрещины меньших размеров, чем размер зерна. Факт, что микротрещины всегда распространяются через зерна, как только они вырвутся из карбидных зародышей, является хорошим доказательством истинно «хрупкого» типа распространения трещины через ферритное зерно, т. е. без «значительного» образования и распространения дислокаций в вершине трещины.

В качестве первого приближения к тому, что означает «значительное» движение дислокаций, можно было бы принять возможный предел размера «концевой зоны», связанной с трещиной [18]. Он эквивалентен ширине ядра дислокации и может быть оценен на основе предположения о такой зависимости напряжений от деформации в области вершины трещины, которая эквивалентна синусоидальной кривой межатомная сила ——перемещение, возрастающей до Отах при u = Х/4 (уравнение (1)). Синусоидальный закон можно было бы использовать непосредственно, но легче заменить его прямоугольной кривой постоянной высоты о* и ширины w*, где

“* — «смещение в момент отрыва», при котором, как полагают, должно происходить полное разрушение (辽* 〜О,5ао — 1,Оао). Тогда модель принимает вид модели Билби — Коттрелла и Свиндена (БКС) [19] для трещины с пластической зоной, и при низких напряжениях разрушение происходит при критическом смещении 〃*, когда

%pP= (?0*〃7na严・ (38)

Это идентично уравнению Гриффитса (21), если произведение о*〃* (площадь под прямоугольной кривой) приравнять 2у (площади под синусоидальной кривой, уравнение (2)). Длина «концевой зоны» R тогда дается выражением

R =(必/8) (〃7и) (39)

Для относительно «жесткого» силового закона, взяв о* = 0,2Ez, 〃* = О：5〃0, находим, что R ^ “о； для менее «жесткого» закона, скажем о* = 0,1£‘，и* = а。，находим R = 5ao. Возможно, что внутри таких «концевых зон» могут происходить атомные движения, эквивалентные образованию дислокаций в вершине трещины, однако трещина все же может распространяться хрупким образом; более значительные движения дислокаций могут привести к росту «сколоподобного» разделения, но приводят к разделению скольжением, некум- мулятивному и по существу устойчивому. Вычисление R является приближенным, но 《концевая зона» величиной от одного до пяти атомных расстояний не кажется неразумной по сравнению с ширинами дислокационных ядер.

Таким образом, усовершенствование критериев описания явления «скола», связанного с низкотемпературным разрушением в железе или с разрушением твердых тел с ковалентной или ионной связью, приводит к определениям:

Катастрофичность понимается как неустойчивое распространение трещины в условиях плоской деформации, контролируемое растягивающим- напряжением или Атах при нагружении типа I, для нагружающих систем, в которых К растет с ростом длины. •

Поверхность скола понимается как плоская, за исключением пересечений фронтом трещины изначально существовавших несовершенств в решетке (сетка дислокаций, лес перегородок, дислокационных скоплений или пакетов границ). Следы скольжений, связанных с эмиссией дислокаций из вершины трещины, не должны наблюдаться, хотя локальные движения на расстояниях, меньших пяти атомных размеров, могут допускаться даже для хрупкого распространения трещины.

Эти два критерия отвечают наиболее《истинным》сколо- вым разрушениям, хотя для цинка критерий (1) только частично справедлив, поскольку разрушение контролируется стадией зарождения [20] и оно, следовательно, зависит от сдвиговой компоненты напряжения, а не от растягивающего напряжения. Наблюдения в алюминиевых сплавах обнаруживают несоответствие этим критериям. Получающийся тип разрушения мог бы быть отнесен к «сколоподобному», причем понятие 《квазискол》 уже использовалось для описания разрушений путем истинного скола в закаленных и отпущенных сталях, где существует так много взаимодействий трещины с особенностями субструктуры, что поверхность разрушения является сравнительно грубой.

ТРЕЩИНОСТОЙКОСТЬ СТАЛИ

Полученный путем испытания образцов с предварительно нанесенной трещиной диапазон значений трещиностойкости /С с низколегированной стали при разрушении ее по механизму скола составляет 20—200 МПа • м1/2, т. е. из уравнения (28) получается GCr = 2—200 кДж/м2, в сравнении с истинной поверхностной энергией 2 Дж/м2. Эти кажущиеся очень большими значения работы разрушения являются причиной того, что в стальных конструкциях допустимо обычно наличие дефектов. Это объясняется [21] необходимостью развития большой пластической зоны, впереди вершины трещины прежде, чем может быть создано локальное растягивающее напряжение, достаточное для распространения зародышей микротрещины, в тех местах, где эти зародыши существуют. Объединение напряжения и расстояния существенно, так как коэффициент интенсивности напряжений имеет размерность произведения напряжения на корень из расстояния. Из уравнения (17а) при 9 = 0 получается ан = K,(2nr)~i/2\ критическое значение К имеет тогда порядок

К 〜of (2”с J, (40) где 。尸—(статистически усредненное) напряжение, требуемое для распространения микротрещины, и Гсг — (статистически усредненное) расстояние до зародыша микротрещины с размером, соответствующим условию распространения при напряжении of. Для количественных предсказаний [22] необходим полный упругопластический анализ напряжений, но он асимптотически переходит в анализ на основе упругого решения на расстояниях в несколько раскрытий трещины от ее вершины. Упругопластическое поведение может рассматриваться аналитически в предположении степенного закона упрочнения [23].

Значения 。尸 могут быть измерены наиболее удобным образом путем использования изгибных образцов с затупленным надрезом [7], для которых доступен упругопластический анализ напряжений методом конечных элементов. Оказывается, что для многих малоуглеродистых сталей при умеренно низких температурах критической стадией процесса разрушения является распространение в ферритную матрицу микротрещины, которая перед этим образовалась в хрупкой карбидной частице. Зарождение трещины происходит вследствие высоких локальных напряжений, действующих на карбидную частицу в результате скопления дислокаций или общего пластического нагружения пластинчатых карбидов деформируемой матрицей. Зарождение трещины в ферритной матрице по механизму скопления дислокаций, по-видимому, исключается благодаря тому, что разрушение контролируется стадией распространения (под действием растягивающего напряжения). Дислокационные взаимодействия в матрице, если исключить случай, отвечающий уравнению (37), прямо не наблюдались. В то же время при очень низких температурах микротрещины могут зарождаться в результате взаимодействий двойников. Заметим, что уравнение (37) дает противоположное представление, предсказывая при этом, что плоскость скола есть плоскость (001).

Распространение микротрещины из межзеренного карбида толщиной Со моделировалось [24] как распространение трещины Гриффитса типа I длиной 2а = & под действием растягивающего напряжения аарр. При более детальном анализе [25] учитывается также дополнительное поле напряжений от скопления дислокаций, приведшего к зарождению трещины. Условие для неустойчивого распространения тогда имеет вид (Co/d)採 + 点｛1 + (4加)(Co/d严 ％•/*f产 > 4欧小(1 一 們或(41) где d — размер зерна, т» ——решеточное «напряжение трения», Teff = (тарр ——т/) — «эффективное» напряжение сдвига, действующее в скоплении, и ур ——работа разрушения, требуемая для распространения микротрещины в ферритную матрицу. Для большинства микроструктур нормализованных или отпущенных малоуглеродистых сталей, для которых значения о尸 измерены, оказывается, что слагаемое, связанное со скоплением дислокаций, имеет сравнительно малую величину, давая, вероятно, 10——20 %-ный вклад в суммарное поле напряжений, необходимое для начала распространения микротрещины. Подобным образом были получены значения。尸 для микроструктур, содержащих сфероидальные карбиды [26]. В этом случае система моделировалась дискообразными микротрещинами радиуса X。и рассматривалось их распространение по Гриффитсу.

Два чрезвычайно важных момента следуют из экспериментальных определений 。尸.С одной стороны, возможно, особенно в случае сфероидальных частиц, развить статистическую основу [27] для статистической оценки величины трещиностойкости в условиях плоской деформации Ki с, что более представительно, чем приписывание индивидуальных значений 。戶 и гсг в выражении, подобном уравнению (40). Для данной микроструктуры, можно, во-первых, определить частоту распределения размеров карбидов, что дает знание вероятности 户(X = Х°). Это распределение тогда будет иметь место в любом элементе объема, расположенном в точке (г, 0) впереди предварительно созданной трещины. Во-вторых, модель разрушения позволяет определить критическое напряжение о尸(х°), требуемое для распространения микротрещины радиуса Х°. При данной температуре (или напряжении пластического течения матрицы оу), используя упругопластический анализ на основе метода конечных элементов или его аналитический эквивалент при степенном законе упрочнения, можно вычислить вероятность Р (ан(r, о)> of(x^ того, что напряжение о” в элементе (г, 0) больше, чем от?(х“ для каждого значения Х°. Вероятность разрушения Р(户) тогда получается как произведение Р(ац(г о)> аг(лг0)) ХРХ Х(Х = Хо), суммируемое по всем элементам (г, 0) в пластической зоне. Простые вычисления, основанные на гистограммах, дают хорошие предсказания Ki с для стали. Подобный подход, не использующий распределение Вейбулла микротрещин, оказывается хорошо работающим при описании трещиностойкости двухфазных керамик [28].

Второе важное применение о尸,относящееся к вопросу, будет ли распространяться микротрещина через ферритную матрицу как острая трещина или будет затупляться, образуя пору, состоит в том, что могут быть установлены значения ур работы разрушения в матрице. Можно сделать следующие основные выводы.

Вычисленные значения ур (для межзеренных или сфероидальных карбидов) сосредоточиваются вблизи значения 14 Дж/м2 с возможным разбросом в диапазоне 11 — 17 Дж/м2. Поверхностная энергия ysE для железа равна 2 Дж/м2.

Если критическая стадия есть распространение микротрещины, контролируемое растягивающим напряжением (что объясняет влияние трехмерных полей напряжений вокруг надрезов), то исследование [25] энергетики распространения трещин, инициируемых дислокациями, показывает, что у должно расти по мере того, как трещина продвигается (если бы это было не так, разрушение контролировалось бы стадией зарождения, т. е. микротрещина сразу после зарождения

катастрофически распространялась бы до разрушения). Это означает, что ур для матрицы железа должно быть много больше, чем поверхностная энергия для карбидов ус・ Относительные значения ус и ySE неизвестны, но имеются доводы в пользу того, что yse меньше у& Обычный вывод состоит в том, что ур включает как составляющую пластическую работу. Этот вывод подтверждается экспериментальным наблюдением, что оставшиеся в карбидах микротрещины явно затуплены пластическим течением в феррите.

Представляется интригующим, что 。尸 для разрушения сколом, инициированного скольжением, не зависит от температуры. В случае простой модели Гриффитса это означает, что ур также не зависит от температуры. Если xeff записывается как ”б/т/2, где 蜂一наклон зависимости Холла —— Петча для сдвига (вывод см. ниже в уравнениях (43) и (44)), из (41) имеем

^е0+(^)2{1 + (4/冗)以"缶/砲『＞4£Y丿冗(1 一 吟.(42)

Для отожженной или нормализованной стали 力)не зависит от температуры, если течение происходит путем процессов скольжения [29]. Хотя tz очень сильно зависит от температуры, ее влияние на вычисление ур из о尸 является незначительным, так как мал вклад дислокаций в целом. Рассмотрим, например, «усредненный» материал: сталь с размером зерна 50 мкм и размером карбидной частицы Со = 2,5 мкм. При умеренно низких температурах его предел текучести при растяжении может быть равен 600 МПа и 芻= 0,7 МПа • м1/2. Вычитание слагаемого 々fd-i/2 дает значение а/ ~ 500 МПа. На этой стадии переход к сдвигу не обязателен, поскольку (。小5) = (%/麻)= 715 мТ/2. Слагаемое (4/冗)戏俘(tW становится равным 1,43 и квадрат слагаемого в фигурных скобках равен тогда 5,9. Учет сомножителя (伟炉 требует перехода к сдвигу, поэтому ky делится на соответствующий коэффициент Тейлора, который учитывает наличие множества систем скольжения в объемно-центрированной решетке. Было предложено значение 2,2. Подставляя это значение, получаем, что все дислокационное слагаемое равно 0,6 (МПа)2-м. Поскольку ур = 14 Дж/м2, простое гриффитсовское выражение дает для первого слагаемого 嗚С。，равное 3,92 (МПа)2-м. Уменьшение в до 300 МПа приводит к уменьшению дислокационного слагаемого до 〜0,35 (МПа)2-м, так что изменение ур в процентах, отвечающее изменению т/ на 40 %, составляет примерно (0,25/4,32)X 100,「е. приблизительно 6 %.

Выводы 2 и 3, сделанные выше, представляют интерес, так как из 2 следует, что значение ур ~ 14 Дж/м2 связано

с пластической деформацией, а из 3 следует, что ур не зависит от температуры в диапазоне, в котором имеет место скол, инициируемый скольжением, даже если предел текучести заметно изменяется с температурой. В последнем разделе рассматриваются эти очевидно противоречивые выводы и делается попытка преодолеть противоречия.

«РАБОТА РАЗРУШЕНИЯ» В ЖЕЛЕЗЕ

Рассмотрим механизмы, по которым могла бы происходить пластическая релаксация впереди вершины трещины. Один механизм связан с действием источников при относительно низком напряжении на расстояниях, отдаленных (~1 мкм) от вершины трещины; другой есть механизм образования дислокаций из вершины (при напряжениях 0,1ц) и их распространения сквозь зону высоких градиентов напряжений. Первый процесс может сильно зависеть от температуры и скорости движения вершины трещины (скорости деформации) ;последний на ранних стадиях может быть по существу не зависящим от температуры, так как тепловые флуктуации при низких температурах не столь большие, чтобы влиять на локальное напряжение, требуемое для генерирования дислокаций из вершины. Следует отметить, что эти два механизма релаксации отчасти аналогичны механизмам, рассмотренным Коттреллом [29] при анализе, направленном на интерпретацию величины 々у, связанной с развитием полос Людерса.

В данной статье полоса скольжения в пластически деформируемом зерне моделируется трещиной сдвига типа II длиной 2а, равной диаметру зерна d, но подвергнутой действию напряжения сдвига xeff = тарР — т/. Тогда напряжение (сдвига) на расстоянии г впереди полосы скольжения (вершины сдвиговой трещины) имеет вид

Р = &рр-Е)т/"严. (43) Это эквивалентно уравнениям (17). Чтобы найти условие распространения течения в недеформированное зернб предположим, что дислокации, расположенные на (статистически усредненном) расстоянии г*, начинают двигаться, когда сдвиговое напряжение достигает критического (статистически усредненного) значения т*. Разрешая (43), получаем тогда значение приложенного сдвигового напряжения тарр = ту, требуемого для распространения линий Людерса от зерна к зерну,

ту =項 + d (4厂*产2 di/? = ^ + fey d-吗 (44b)

Умножение на коэффициент Тейлора 2,2 приводит к уравнению Холла — Петча с 々$ = 2,2力工 которое было использо-

вано в предыдущем разделе. Значение 左手，очевидно, зависит от значений, которые принимают т* и г*. Для слабозакреп- ленных дислокаций в феррите с очень малым содержанием углерода, закаленном после нагрева до температуры порядка 720 ℃ (чтобы задержать весь углерод распределенным в твердом растворе), плотность дислокаций 1012 м-2 соответствует г* 〜1 мкм и для простого изгиба сетки дислокаций т* 〜林匕/厶 где b = 0,25 нм и Z = 1 мкм, т. е. т* 〜0,25・ 10师= =20 МПа; 伟= 20(4 ・ 10-6严=0,04 МПа • м1/2,忌= 0,09 МПа • м1/2. Когда степень закрепления возрастает (например, в результате старения, которое дает возможность атомам углерода продиффундировать к дислокациям), тогда ky увеличивается, но при этом достигается такой уровень, что становится легче создавать дислокации в вершине полосы скольжения (трещины сдвига), т. е. на обычной границе зерен, чем посредством работы сильно закрепленных удаленных источников. Теперь мы можем взять т* 〜0,1ц = 8 ГПа н 尸〜b = 0,25 нм. Следовательно, 蜂=8 ♦ (10~9)1/2 = 0,25 МПа • м1/2, Ау = 0,55 МПа • м1/2, что находится в хорошем согласии с экспериментальным значением 0,7 МПа-м1/2, которое, следует заметить, не зависит от температуры для сильно состаренного материала, при условии что текучесть протекает путем скольжения, а не двойникования.

Аналогии между этой моделью и трещиной отрыва близки, особенно если сравнить отсутствие температурной зависимости 力f и 丫夕 Очень полезный вывод состоит в том, что, взяв 弱，равное его экспериментальному значению 0,7 МПа-м1/2, можно установить минимальное значение т* для работы удаленного источника, так как т*(4г*)1/2 для удаленных источников должно быть больше, чем т* (4г*)1/2 в случае создания дислокаций на границе зерна, если создание дислокаций рассматривать как вид течения. Если т*(4» 10~6)1/2 > 0,7, то т* > > 350 МПа. Это должно применяться во всем низкотемпературном диапазоне, пока не наступит двойникование как определяющий вид деформации.

Если мы теперь рассмотрим микротрещину под действием растяжения, то распределение сдвиговых напряжений будет даваться выражением (17d).

Максимальное напряжение сдвига в сплошной среде реализуется под углом 70° 32х к линии распространения трещины, откуда, приняв г = 1 мкм, получаем /< = 6,5- 10-3аге, которое при оГ0 = т* = 350 МПа дает К > 2,3 МПа • м1/2, что соответствует движению дислокаций от источников, расположенных на расстоянии 1 мкм от вершины трещины. Если дислокация должна двигаться в плоскости (101) (см., напри-

мер, уравнение (37)), чтобы ослабить трещину, лежащую в плоскости (001), то угол 0 равен 45° и Л = 7,7 • 10-3аге, т. е. при аГ0 = т* имеет К > 2,7 МПа-м1/2. Действительные значения ^, достигаемые во время стадии распространения микротрещины, могут быть выведены из уравнения (42), поскольку К = о尸(Со/2) "2. Пренебрегая дислокационным слагаемым, получаем выражение К = 2£ур (1 —v2), которое при Е = 200 ГПа и у。= 14 Дж/м2 дает к = 2,5 МПа-м1/2. Это значение может быть немного уменьшено на величину порядка (15 %) • (1/2) = 7,5 %, если учесть вклад дислокационного слагаемого.

Вычисления являются приближенными, но показывают, что имеет место баланс между работой и покоем удаленного дислокационного источника. Математически вычисление может быть уточнено путем рассмотрения всех компонент тензора напряжений вокруг вершины микротрещины (уравнения (17)) и привлечения зависимости Пича ——Кёллера (уравнение (9)) для определения сил, действующих на дислокации с вектором Бюргерса (а0/2)_<111>, в направлении плоскостей скольжения с индексами {НО} или {112}. Для трещины, отвечающей уравнению (37), оси правосторонней системы координат суть просто Xi = [100], Х2 = [010] и Хз = [001]. Детальные изучения [30] пластической релаксации вокруг трещин, создаваемых путем водородного насыщения в Fe — 3 % Si, предполагают, однако, что трещина находится в плоскости (001) в направлении [1 ГО] с фронтом вдоль [110], так что Xi = [НО], %2 = [НО] и Хз = [001]. Различные модели распределения напряжений предсказывают движение» дислокаций (а0/2) [1Н] по плоскостям скольжения (112), дислокаций (〃о/2)[[11] по плоскостям скольжения (112) или дис«? локаций (а0/2) [111] по плоскостям скольжения (110), и эти виды релаксации наблюдались экспериментально с помощью локального травления.

Общий анализ мог бы быть повторен для получения полностью самосогласованных решений, но значения, которые должны подставляться вместо т* или г*, подвержены таким ошибкам, что усовершенствование такого рода оказывается второстепенным. Вывод, последовавший из изучения водородного воздействия и состоящий в том, что высокое сопротивление росту трещины объясняется возможностью легкой активации удаленных источников, не вызывает сомнений. Зависимость скорости движения дислокаций от приложенного напряжения также является, очевидно, важной [31]. В данном обсуждении имеется в виду возможность, что, в то время как микротрещины распространяются путем катастрофиче-

ского скола, небольшие пакеты дислокаций непрерывно генерируются из вершины трещины и движутся, как свиты, вместе с трещиной.

Возвращаясь к проведенному ранее обсуждению хрупкого и вязкого поведений, напомним, что их определение соотносят с относительной легкостью разрушения связей в вершине трещины при растяжении или затупления трещины за счет эмиссии дислокаций. Вычисления, выполненные ранее в терминах отношений прочности при растяжении к сдвиговой прочности [11] или в терминах генерирования дислокаций при гриффитсовском напряжении [12], показывает, что железо является в значительной степени «пограничным» материалом, для которого вычисления недостаточно точны. Рассмотрим теперь основное предположение, т. е. что связь в вершине трещины «разрушается» при напряжении Отах = = (£\/ао) 1/2, согласно уравнению (4), или, по сути дела, постулат о том, что работа разрушения равна величине 2у, которая получается путем интегрирования кривой межатомная сила ——перемещение и удовлетворяет уравнению (16) для энергетического баланса по Гриффитсу [5].

Первое предположение, очевидно, справедливо, если модель является просто моделью из двух атомов, растягиваемых в условиях с контролируемой силой как простая цепь. Как только максимум силы превышается, система приобретает отрицательную жесткость и происходит катастрофическое разделение. Ситуация аналогична катастрофическому разрушению образца на растяжение при достижении «предела прочности» в испытательной машине с контролируемым усилием. Если два подобных атома вставлены теперь в вершину трещины, то неочевидно, что они будут отделяться, когда Отах достигается, так как они окружены 《поясом» других атомов с положительной жесткостью и эти атомы должны продолжать перемещаться, чтобы позволить связи в вершине трещины «разделиться», т. е. достигнуть перемещения, возможно а。，а не Qo/2 при Отах・ Имеется аналогия с испытанием образца на растяжение, деформирующимся устойчиво при уменьшении нагрузки в машине с контролируемым смещением. В терминах энергии конечная стадия, отвечающая величине 2у, достигается, но посредством механизма совместных атомных перемещений в вершине, вызывающих потребление дополнительной работы, которая идет на преодоление активационного энергетического барьера между начальной и конечной стадиями. Движения такого вида, но сопровождаемые вязкоупругим течением, возможно, неявным образом имеют место в рассуждении, проведенном Маршем [10] для объяснения полученных для стекла значений работы разрушения, больших 2?se・

Для железа предпринята [21, 32] попытка описать атомные движения, как будто в вершине трещины зарождаются дислокации и продвигаются на расстояния нескольких атомных длин, порядка размера «концевой области» вокруг вершины трещины (см. уравнение (39) и следующее). Если бы для каждого последовательного разрыва связи в вершине трещины требовалось, чтобы дислокации продвигались на три межатомных расстояния с каждой стороны трещины, то совершенная работа имела бы порядок 6F・b, где F 〜0,1цЬ. При этом на каждое приращение трещины длиной b должны были бы производиться затраты, такие, что работа на единицу площади составляла бы по порядку величины 0,6ц6, т. е. при 卩=80 ГПа, 6 = 0,25 нм она равна около 12 Дж/м2. Это почти достаточно для увеличения поверхностной энергии до величины 14 Дж/м2, наблюдаемой в экспериментах по сколу.

К тому же, уточнение вычисления, включающее кристаллографические эффекты, такие, как различия в длинах приращения трещины и продвижения дислокаций, по-видимому, не имеет смысла, хотя следует заметить, что если вместо 卩 используется С44 (=116 ГПа в соответствии с уравнением (34)), то это приводит к тому, что дислокации должны двигаться на расстояние 2Ь, а не на ЗЬ. Такие перемещения вполне можно было бы ожидать внутри «концевой зоны» (уравнение (39) и последующее). Дислокации могли бы рассматриваться как «решеточные ловушки» во время работы механизма разделения в вершине трещины, причем они могли бы возвращаться к поверхности под действием составляющей «фиктивной» силы [32] (уравнение (12)), когда приложенное напряжение уменьшается с продвижением трещины. ?та ситуация недавно анализировалась [32] для трещины типа II в общем соответствии с проведенным выше рассуждением.

О роли инородных компонентов в указанном процессе разделения в вершине трещины следует кратко упомянуть. Два возможных предельных эффекта упоминались в введении: или уменьшение модуля при постоянной деформации, отвечающей отах, или «охрупчивание» связи, при котором модуль остается постоянным, однако деформация, отвечающая Отах, уменьшается. Вторая возможность, по-видимому, не является широко признанной в описаниях охрупчивания водородом или примесными элементами, такими, как Р, Sn или Sb, хотя уменьшение полного смещения, требуемого для разрыва связи в вершине трещины, могло бы привести к заметному уменьшению ур по той причине, что необходима намного меньшая атомная перестройка в вершине трещины. С другой стороны, если бы и 户，и 卩 под действием инородных компонентов уменьшались пропорционально, то оказалось бы,

что ур не уменьшается слишком сильно, так как баланс между разделением связи и движением дислокаций остался бы прежним.

Важный новый подход, однако, предполагает, что《охруп- чивающие» вещества могут влиять на модуль упругости при растяжении и модуль сдвига существенно различными путями. Исследования [34] сегрегации серы в «дельтаэдриче- ских» междоузельях межзеренных границ никеля показывают, что связь упрочняется в плоскости межзеренных границ за счет образования плоских гидридных комплексов Зр орбиталей серы с 3d/4s электронами никеля, тогда как связь, перпендикулярная этой плоскости, ослабляется за счет потери этих 3d/4s электронов из орбиталей связи. Грубой аналогией этому является превращение трехмерной структуры кремнезема в более «слюдоподобную» структуру. В этом случае правдоподобным является то, что баланс между прочностью на растяжение и сдвиговой прочностью так сильно изменился, что был создан намного более《хрупкий》по существу материал.

Основное внимание в этой статье было уделено хрупкому разрушению железа и стали как самым обычным и наиболее широко используемым во всем мире конструкционным материалам. Они относятся к тем материалам, в которых хрупкое разрушение является причиной главного беспокойства инженеров. Макроскопическая механика разрушения дает общие методы, которые делают возможным введение контроля разрушения в инженерное конструированние. Эти методы в значительной степени связаны с такими методами, которые рассматривают микроструктуры стали как миниатюрные инженерные конструкции, используя в основном механику сплошной среды с некоторыми элементами кристаллографии, применяемой для описания таких дефектов, как дислокации или микротрещины. Представляется интригующим, парадоксальным, что из всех материалов, применяемых в конструкторской практике, железо является одним из матералов, для которых широко распространенные представления о хрупком и вязком поведении наиболее неадекватны. Ясно, что для этого материала, как ни для какого другого, соответствующее понимание пути, по которому он разрушается, должно выясняться не столько «Механикой разрушения», сколько детальнее «Атомистикой разрушения».

Автор выражает благодарность проф. Р. Хоникомбу за обеспечение условий, благоприятствующих исследованиям, и за его непрерывную и неизменную поддержку исследований в области разрушения в Кембридже. Хотя мнения, высказан-

ные в этой статье, являются в основном результатами собственных размышлений, на них оказали сильное влияние как бывшие, так и настоящие члены моей исследовательской группы. Среди них д-р Д. Карри, проф. Г. Гарретт и проф. Р. Ритчи заслуживают особого упоминания. Я также чрезвычайно благодарен д-ру С. Брайанту, проф. Дж. Райсу, проф, Е. Смиту за обсуждение общих вопросов.

ЛИТЕРАТУРА

Hirth J., Lothe J. Theory of Dislocations. — New York: McGraw-Hill, 1968.

Nabarro F. R. N. Theory of Crystal Dislocations. — Oxford: Clarendon Press, 1967.

Cottrell A. H. Theory of Crystal Dislocations. — Blackie and Son Ltd., 1964. [Имеется перевод: Коттрелл A. X. Теория дислокаций. — М.: Мир, 1963.]

Inglis N. — Trans. Inst. Naval Arch. London, 1913, 55, p. 219.

Griffith A. A. — Philos. Trans. Roy. Soc., 1920, A221, p. 163.

Irwin G. — Trans. ASME J. Appl. Meeh., 1957, 24, p. 361.

Knott J. F. Fundamentals of Fracture Mechanics. — London: Butterworths, 1979 (исправленное издание). [Имеется перевод: Нотт Дж. Ф. Основы механики разрушения.——М.: Металлургия, 1980.]

Rooke D. Р., Cartwright D. J. Compendium of Stress Intensity Factors.—London: HMSO, 1976.

Nye J. F. Physical Properties of Crystals. — Oxford University Press, 1972.

Marsh D.— Proc. Roy. Soc., 1964, A282, p. 33 and Tube Investments Internal Report, 1964, no. 161.

Kelly A., Tyson W., Cottrell A. H. — Philos. Mag., 1967, 15, p. 567.

Rice J. R., Thomson R. — Philos. Mag., 1974, 29, p. 73.

Encyclopaedia Brittanica, 1950, 10, p. 480.

Garrett G. G., Knott J. F. — Acta Met., 1975, 23, p. 841.

Cottrell A. H. — Trans. Amer. Inst. Min. Metall. Petrol. Engrs., 1958, 212, p. 192.

Ritchie R. O., Knott J F. — Mat. Sci. and Eng., 1974, 14, p. 7.

Cottrell A H. — Proc. Roy. Soc., 1963, A276, p. 1.

Cottrell A. H. Tewksbury Symposium on Fracture, University of Melbourne, 1963, p. 1.

Bilby B. A., Cottrell A. H., Swinden К. H. — Proc. Roy. Soc., 1963, A272, p. 304.

Curry D. A., King J. E., Knott J. F. — Met. Sci., 1978, 12, p. 247.

Knott J. F. — Philos. Trans. Roy. Soc., 1981, A299, p. 45.

Ritchie R. O., Knott J. F., Rice J. R. — J. Meeh. Phys. Solids, 1973, 21, p. 395.

Curry D. A. — Nature, London, 1978, 276, p. 50.

McMahon C. J., Jr., Cohen M. — Acta Met., 1965, 13, p. 591.

Smith E. Proc. Conf, on Physical Basis of Yield and Fracture, Inst. Phys, and Phys. Soc., Oxford 1966, p. 36.

Curry D. A., Knott J. F —Met. Sci., 1978, 12, p. 511.

Curry D. A., Knott J. F. — Met. Sci., 1979, 13, p. 341.

Evans A. G., Heuer A. H., Porter D. L. — Proc. 4th Inti. Cong, on Fracture. — Waterloo: Pergamon, 1978, 1, p. 529.

Cottrell A. H Symposium on the Relation Between the Structural and Mechanical Properties of Metals, Nat. Phys. Lab., — London: HMSQ 1963, p. 456,

Tetelman A. S., Robertson W. D. — Acta Met., 1963, 11, p. 415.

Jokl M. L., Kameda Jun, McMahon C. J., Jr., Vitek V. — Met. Sci., 1980, 14, p. 375.

Knott J. F. — Proc. 4th Inti. Cong, on Fracture. — Waterloo- Pergamon, 1978, 1, p. 61. [Имеется перевод: Кнотт Дж. Микромеханизмы разрушения и трещиностойкость конструкционных сплавов.——В сб.: Механика разрушения. Разрушение материалов. — М.: А4ир, 1979.]

Smith Е. — Matl. Sci. Eng., 1981, 47, р. 133.

Briant С. L., Messmer R. — Philos. Mag., 1980, B42, p. 569.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕЩИНС ПОМОЩЬЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН 1)

Г. Дайнис, А. Пэскин

Дается обзор теоретических методов, используемых при моделировании трещин в кристаллических решетках. Показывается, что обычно имеется связь между размером образца и используемыми реалистичными межатомными потенциалами. Исследование неограниченных дискретных одномерных и двумерных решеток может быть проведено методами статики решетки, но лишь с простыми нереалистичными потенциалами. В гибридных моделях решеточной статики очень малая кристаллическая область, расчеты которой делаются с помощью реалистичных потенциалов, вставляется в неограниченную упругую сплошную среду. В этом подходе сращивание решений на границе между двумя областями представляет определенную трудность. В другом конце шкалы в масштабе всей системы можно применять методы молекулярной динамики к нестесненной системе «большого» количества атомов, взаимодействующих с достаточно реалистичным межатомным потенциалом (это единственный путь динамического моделирования, проделанный до сих пор). Здесь, конечно, встает вопрос： насколько «большое» является достаточно большим для моделирования поведения соответствующей неограниченной системы?

Описаны результаты недавнего исследования методом "молекулярной динамики двумерной треугольной системы Леннарда-Джонса из приблизительно 10 000 атомов. Статические расчеты этой системы обнаруживают очень малый решеточный захват в противоположность часто цитируемым результатам для моделей статики решетки. С помощью молекулярной динамики количественно проясняются свойства системы с трещиной и без нее в степени, достаточной для того, чтобы иметь возможность экстраполировать к бесконечному размеру. Влияние размера в случае 10 000 атомов достаточно мало, что обеспечивает высокую достоверность моделирования. Показано также, что; когда расчеты выполняются по методу статики решетки и гибридному методу статики решетки с помощью реалистичных цальнодействующих потенциалов, решеточный захват оказывается малым.

Динамическое моделирование при постоянном приложенном напряжении указывает на сложную взаимосвязь между распространением хрупкой трещины и тенденцией к образованию дислокации. При низких напряжениях поведение является хрупким, в то время как порождение дислокаций и притупление трещины наблюдаются при повышенных напряжениях. Ско-

')Dienes G. J. (Brookhaven National Lab., Upton, USA), Paskin Arthur (Queens College of CUNY, Flushing, USA). Computer Modeling of Cracks.— In: Atomistic of Fracture. Ed. R. M. Latanision, J. R. Pickens, 1983, p. 671—704 ,

Работа была проведена "при поддержке частично U. S. Arumy Research Office и частично U. S. Department of Energy по контракту No. DE-AC02-76CH00016.

© 1983 Plenum Press, New York

© перевод на русский язык, «Мир», 1987

рость распространения трещины также была изучена при постоянной приложенной деформации. Постоянная скорость трещины достигалась относительно быстро после того, как трещина начинала распространяться при постоянном приложенном напряжении или деформации. При постоянной деформации изменения упругой энергии и модуля во время распространения находятся в хорошем согласии с упрощенной теорией упругости нелинейного твердого тела. Изменение кинетической энергии в процессе распространения имеет функциональную форму, предложенную Моттом. Обсуждается правдоподобность различных моделей.

ВВЕДЕНИЕ

С моделированием связаны два основных шага. Во-первых, конструирование модели, объединяющей в себе ключевые физические особенности системы. Во-вторых, расчет представляющих интерес физических характеристик с помощью аналитических и численных методов. Если второй шаг выполняется с большой точностью, которая теперь может быть достигнута благодаря современным вычислительным машинам, то ограничения на применимость результатов совпадают с ограничениями самой модели. Моделирование может привести к очень значительному продвижению в понимании, но важно попытаться определить, какие результаты являются (или могут быть) отражением особенностей модели, а какие являются общими и присущими реальной моделируемой физической системе. Всегда существуют упрощающие предположения и ограничения в модели, которые необходимо внимательно проверить.

Описание трещины в твердом теле с приложенной внешней нагрузкой или деформацией достаточно просто для понимания. Имеем полубесконечную периодическую трехмерную решетку атомов, взаимодействующих друг с другом с помощью межатомного потенциала. Трещина находится в твердом теле, и нагрузка прикладывается извне к соответствующим поверхностям. Если нагрузка достаточно велика, трещина растет и твердое тело в конце концов разрушается. Почему это явление гораздо более трудно трактовать, чем другие проблемы, с которыми сталкиваются в физике твердого состояния? В фундаментальных явлениях в твердых телах периодичность твердого тела используется для сведения задачи к исследованию простой представительной ячейки или области. Следовательно, бесконечное число атомов не является серьезной проблемой. В случае трещины с ее конечной протяженностью и итоговым да льнодействующим полем деформации такое сведение невозможно. Следовательно, необходимо прибегать к упрощенным моделям, чтобы пытаться добиться понимания роли трещин в хрупком разрушении.

Различные подходы иллюстрируются на блок-схеме рис. 1. 卩 каждом случае вместо описания некоторых сторон явления

природы приняты некоторые упрощения, которые позволяют выполнить количественное исследование. Поскольку методы статики решетки трактовались довольно подробно Томсоном [1], мы здесь попытаемся сосредоточиться на типах замен, произведенных в каждой из моделей, и физическом значении упрощающих приближений.

В различных подходах, проиллюстрированных на рис. 1, выделяются различные стороны реальных явлений. Если по- луограниченному периодическому характеру системы придается главное значение, то это приводит к методам статики

Рис. 1. Иллюстрация различных современных подходов к моделированию трещин в кристаллических твердых телах.

решетки [1—4]. Трещины в таких решетках могут трактоваться этими методами, но лишь для очень простых нереалистичных межатомных потенциалов. В так называемых гибридных моделях [5—7] некоторая очень малая кристаллическая область, расчет которой выполняется с помощью реалистичных потенциалов, считается вставленной в упрощенную упругую область. Сращивание на границе дискретной и континуальной областей, вышеупомянутое упрощение и согласованность размера внедренной области являются важными приближениями этого метода. Если в основном интересуются характером атомных сил и атомных движений, то обращаются к подходу молекулярной динамики, который можно применять к нестесненной системе 《большого» количества атомов, взаимодействующих с реалистичным межатомным по-

тенциалом (это единственный путь динамического численного моделирования, который может быть выполнен). Здесь, конечно, имеется вопрос о том, сколь «большое» является достаточно большим для расчета поведения соответствующих бесконечных систем?

Таковы темы, обзор которых делается в этой статье. Подходы, связанные со статикой решетки, рассматриваются довольно кратко, поскольку они уже обсуждались на этой конференции и превосходные обзоры имеются в литературе [2—7]. Моделирование по методам молекулярной динамики, статическое и динамическое, трактуется с большими подробностями, поскольку эти расчеты являются совсем недавними и некоторые результаты, обсуждаемые здесь, до сих пор не были опубликованы [8—12].

СТАТИКА РЕШЕТКИ

Основы метода

статики решетки состоит число атомов, взаимодей-статики решетки состоит число атомов, взаимодей-Ключевая особенность метода в том, что трактуется бесконечное

статики решетки состоит число атомов, взаимодей-

статики решетки состоит число атомов, взаимодей-

Рис. 2. .Одномерная модель трещины. Две полубесконечные цепочки атомов связаны вместе горизонтально с помощью гибких связей и вертикально растягивающихся связей. Нулевые атомы оттягиваются друг от друга вертикально силами о, и первые п вертикальных связей разрываются [13].Рис. 2. .Одномерная модель трещины. Две полубесконечные цепочки атомов связаны вместе горизонтально с помощью гибких связей и вертикально растягивающихся связей. Нулевые атомы оттягиваются друг от друга вертикально силами о, и первые п вертикальных связей разрываются [13].

Рис. 2. .Одномерная модель трещины. Две полубесконечные цепочки атомов связаны вместе горизонтально с помощью гибких связей и вертикально растягивающихся связей. Нулевые атомы оттягиваются друг от друга вертикально силами о, и первые п вертикальных связей разрываются [13].

Рис. 2. .Одномерная модель трещины. Две полубесконечные цепочки атомов связаны вместе горизонтально с помощью гибких связей и вертикально растягивающихся связей. Нулевые атомы оттягиваются друг от друга вертикально силами о, и первые п вертикальных связей разрываются [13].

ствующих с некоторым упрощенным потенциалом [1—4]. Здесь будут обрисованы два расчета по методу статики

решетки с особым вниманием к упрощенным формам потенциала. Первый выполняется с помощью квазиодномерной модели [ 13], которая обычно используется для иллюстрации решеточного захвата, следующего из расчетов статики решетки. Как показано на рис. 2, две полубесконечные цепочки атомов связываются вместе горизонтально с помощью гибких связей и вертикально растяжимыми связями. Нулевые атомы оттягиваются вертикально друг от друга силами о, а первые п вертикальных связей рвутся (поперечные пружины растягиваются до своего предела), образуя трещину конечной длины. На рис. 3 закон атомной силы иллюстрируется как функция смещения у [14]. Ключевая особенность закона

ёз ё^оЕ^ёз ё^оЕ^Рис. 3. Предполагаемый вид закона изменения силы, действующей между атомами, линейного до смещения у0, при котором натяжение связи резко уменьшается и сила падает до нуля [14].

ёз ё^оЕ^

ёз ё^оЕ^

Уо

силы заключается в свойстве скачкообразного уменьшения натяжения связи («прощелкивающаяся связь»), т. е. сила внезапно падает до нуля при некотором смещении у^ Будет показано, что это свойство связи значительно усиливает решеточный захват и фактически может давать наибольший вклад в решеточный захват. Здесь будут обрисованы математические детали расчета по методу статики решетки [13, 14]. Энергия 〃/ боковой связи, соединяющей атом / с атомом / — 1, есть

〃/• = %8 (®/ — 0/-i)2>/ — Ь 2, ....(Il」)

Здесь p — изгибная жесткость пружины. Энергия растягивающейся пружины равна

"产 %Y (2力产，， = %, %+1.(H-2)

Используя в (П-1) приближение малых углов, полную энергию можно записать в виде

“ =—2от/о + Р Z (勿+ 1 — 2勿 + 勿-У + 2丫 £ 旅(II-3)

С добавлением условий равновесия (du/dyj) = 0 для комплексного вектора к =入 + 加)получим

cos 2九一2 th?九=I + 勿2,(II-4)

2 tg2 T)+ cos 2Tl = 1 + 勿 2.(П-5)

Вышеприведенное решение можно использовать для отыскания силы а+, при которой прощелкивается связь. Для сил, меньших а+, трещина устойчива вниз до точки, в которой смещение атома п——1 равно критическому значению уо. В такой точке при силе, равной а_, прежде разрушенная связь восстанавливается и трещина залечивается. Отношение R = =а+/а_ является мерой решеточного захвата. При R-> 1 решеточный захват отсутствует. При R》1 решеточный захват становится очень важным. Томсон и др. [13] дали три приближенных выражения для R

R —> 1 + 2Л,

庐田,

(П-6)

R = 4,3,

^ = 1,

(11・ 7)

R =々 + 9,

山》1.

(П-8)

2. Основные

результаты

Выражения (П-6)——(П-8) предсказывают условия от пренебрежимо малого до большого решеточного захвата в зависимости от особенностей потенциала. К сожалению, в наиболее раннем расчете по методу статики решетки была сделана численная ошибка в некотором не зависящем от модели подсчете, которая привела Томсона и др. [13] к предположению о том, что большой решеточный захват находится в согласии с реалистичными потенциалами. По этой причине иллюстрируется другой расчет статики решетки с некоторым другим потенциалом, используемым в качестве межатомной силы, как и показано на рис. 4. В этом расчете была подсчитана поверхностная энергия атомов на плоскости трещины. Предполагался простой функциональный вид энергии

Е⑺ TEo(l-^a「ctg£) (П-9) и подгоночный параметр а подбирался по действительной форме трещины и силовому закону. Параметр а можно представить себе как характеристику ширины «области ядра» трещины. Ключевая особенность потенциала в сравнении с предыдущей моделью заключается в том, что в этом законе сил нет прощелкивания связи. Параметр а отражает как форму трещины, так и то, насколько быстро энергия меняется от атома к атому в окрестности вершины трещины. Для R

была получена простая замкнутая зависимость

1 + 25-2ла + е-4ла1 + 25-2ла + е-4ла(1Ь10)(1Ь10)

1 + 25-2ла + е-4ла

1 + 25-2ла + е-4ла

(1Ь10)

(1Ь10)

Томсон и др. [13] сделали один из наиболее важных шагов для установления достоверности любого количественного неожиданного результата в модели: они сделали расчет для сильно отличающейся модели, чтобы увидеть, насколько сопоставимы результаты. Они определили а на основе расчетов

Рис. 4 Функциональная форма поверхностной энергии для движущейся трещины S(х) (отложена на левой оси) и соответствующей силы о = =——dS/dx (отложена справа). Штриховой линией представлена средняя поверхностная энергия, используемая в континуальном приближении [13].Рис. 4 Функциональная форма поверхностной энергии для движущейся трещины S(х) (отложена на левой оси) и соответствующей силы о = =——dS/dx (отложена справа). Штриховой линией представлена средняя поверхностная энергия, используемая в континуальном приближении [13].

Рис. 4 Функциональная форма поверхностной энергии для движущейся трещины S(х) (отложена на левой оси) и соответствующей силы о = =——dS/dx (отложена справа). Штриховой линией представлена средняя поверхностная энергия, используемая в континуальном приближении [13].

Рис. 4 Функциональная форма поверхностной энергии для движущейся трещины S(х) (отложена на левой оси) и соответствующей силы о = =——dS/dx (отложена справа). Штриховой линией представлена средняя поверхностная энергия, используемая в континуальном приближении [13].

Гелена и Каннинена [10] на вычислительной машине, используя эмпирический силовой закон для железа и рассчитанные на машине положения атомов вблизи вершины трещины. К сожалению, при этом сравнении они сделали численную ошибку. По результатам Гелена и Каннинена а = 0,524 и R =屮5, что указывает на малость решеточного захвата. Томсон и др. [13] приводят значение R = 2,14, которое привело их к заключению о большом решеточном захвате. Последующие расчеты в рамках статики решетки, в которых принималось во внимание главным образом прощелкивание связи, привели к заключению о большом решеточном захвате, а также привели работающих над проблемами разрушения к выводу о том, что решеточный захват является следствием дискретного характера решетки.

Ясно, что расчет по методу статики решетки с использованием реалистичных потенциалов, а не прощелкивающихся связей, дает пренебрежимый решеточный захват. Таким образом, решеточный захват не является следствием дискретного характера решетки, а скорее есть следствие смещений

атомов вблизи вершины трещины и характера изменения потенциала в этой области. Позднее Эстерлинг [15] использовал аналогичные методы статики решетки и ряд силовых законов; он обнаружил, что залечивание трещины зависит от дальнодействующей части когезионной силы. Тем не менее Эстерлинг принял, что решеточный захват не является пре- небрежимым и перешел к трактовке некоторых термодинамических следствий. Исследователи, использующие метод статики решетки, по-видимому, не принимают всерьез альтернативные расчеты Синклера гибридным методом статики решетки [7], который до работы Эстерлинга дал доказательство того, что да льнодействующие потенциалы ведут к малому решеточному захвату.

Правдоподобие результатов

Таким образом, возникает ключевая проблема, связанная с моделями и их количественными предсказаниями,——правдоподобие результатов. Это наиболее трудная проблема моделирования. Как установить правдоподобие модели и любых неожиданных результатов? Имеются два общих подхода к установлению правдоподобия: развить физическую картину, в рамках которой объясняются результаты, или сделать расчеты с помощью другой независимой модели, чтобы получить подтверждение результатов. Обе попытки делались в рамках статики решетки с целью подтверждения полученных результатов с неожиданно большим решеточным захватом. Томсон и др. [3, 13, 14] пытались идти обоими путями, но здесь, по-видимому, будут серьезные возражения как к физическому описанию, так и к использованию различных моделей.

В целях физического объяснения решеточного захвата Томсон и др. привлекли аналогию с напряжением Пайерлса для дислокации. Это не представляется оправданным для непрерывных неусеченных межатомных потенциалов. Если напряжение, которое прикладывается, меньше критического, то действительно будет некоторый барьер по напряжению, препятствующий распространению трещины. Однако не будет напряжения, противодействущего залечиванию трещины. Любое бесконечно малое движение, закрывающее трещину, будет приводить к снижению свободной энергии. Следовательно, не будет напряжения Пайерлса, препятствующего залечиванию. Если напряжение растет слабо и трещина не распространяется, то она должна залечиваться. Так должно быть, пока не прикладывается максимальное или критическое напряжение. Б критической точке слабый прирост напряжения должен приводить к распространению трещины. Это по существу

картина разрушения Гриффитса [16]. Конечно, если материал не является совершенно хрупким и может происходить некоторая необратимая деформация, то возможно, что энергия приблизительно та же, что в области напряжений, приводящих к метастабильности, т. е. в области напряжений, в которой трещина ни распространяется, ни залечивается. Однако это, по-видимому, не должно быть источником решеточного захвата, рассчитанного Томсоном и др., в частности потому, что даже в их двумерном расчете [ 14] все движение по существу поперечно к поверхности трещины (т. е. коэффициент Пуассона поддерживается равным нулю). Следовательно, барьер, аналогичный барьеру Пайерлса, не представляется простым следствием периодичности решетки, не зависящим от вида потенциала, и не есть универсальное явление, которое ведет к решеточному захвату как принципиальному свойству периодической решетки атомов.

Второй путь для подтверждения правдоподобия заключается в использовании совершенно другой модели. Это было сделано Томсоном и др., применившими метод суммирования для поверхностной энергии, и если бы не было численной ошибки при оценке R, то они должны были на самом деле найти малый решеточный захват в системе, которая предназначалась для моделирования железа. Такая же процедура применялась Пэскиным и др. [12] для нахождения R в случае двумерной решетки с потенциалом Леннарда-Джонса. Было получено значение R = 1,02 в хорошем согласии с результатами метода молекулярной динамики. Это говорит о том, что метод статики решетки с реалистичной величиной а, полученной из сращивания с эмпирическими потенциалами, может оказаться полезным для понимания критических свойств разрушения. Этот результат демонстрирует также важность реалистичного межатомного потенциала для любого модельного расчета.

ГИБРИДНЫЙ МЕТОД СТАТИКИ РЕШЕТКИ

Основы метода

Гибридный подход включает в себя разделение неограниченного твердого тела на две области. В области I вблизи вершины трещины вводятся явно атомная структура и атомное взаимодействие. В области II, внешней области, упрощаются силовой закон, а также атомная структура. В ран、 нем расчете Синклера и Лоуна [5] область II трактовалась в приближении сплошной среды, а граница между областями I и II фиксировалась. В более позднем расчете Синклера [7] граница I——II является гибкой и в уравнения упругих

полей включаются члены более высокого порядка 〔). В гибридных расчетах Синклера и Лоуна был составлен соответствующий полуэм лирический потенциал для кристаллов со структурой алмаза. Атомы затем релаксировали внутри области I таким образом, чтобы полная потенциальная энергия стремилась к минимуму. Это систематически проделывалось на вычислительной машине при поддержании жесткой границы между областями I и II. Граница находилась из решений уравнений континуального поля. Хотя результаты кажутся разумными, их надежность трудно определить.

Синклер [7] полагал, что жесткая граница приводит к некоторой ошибке гибридных расчетов, которая делает их не подходящими для изучения критических условий для расширения или закрытия трещины. Основание для этого состоит в том, что если решения для внутренней области не совместны или не согласованы с решениями для внешней области в методе с жесткой границей, то невозможно отрегулировать это несоответствие сил. Жесткая граница усиливает состояние устойчивости в системе, что может быть несовместимо с локальными полями напряжений. Если трещина в области I будет стремиться к расширению (или сжатию), жесткая граница помешает этой релаксации. Модель с гибкой границей допускает некоторую релаксацию границы так, чтобы препятствовать возникновению сил на границе. Синклер делает это включением членов более высокого порядка в выражения для компонент упругого поля трещины в области II. С подходящей подгонкой коэффициентов при этих членах при заданном приложенном напряжении может быть получена конфигурация, свободная от остаточных сил. Приближенность этой процедуры заключается в том, что силы корректно рассчитываются в области I, но приблизительно в области II.

Основные результаты

Жесткая граница. Результаты для модели с жесткой границей носили главным образом качественный и разумный характер.. Синклер и Лоун нашли, что, за исключением области, очень близкой к вершине трещины, расчеты атомной релаксации и в сплошной среде обнаруживают тесное согласие, несмотря на тот факт, что упругая нелинейность и атомное строение делают теорию сплошной среды, строго говоря, несправедливой повсюду в области ядра. Не ясно, как сильно этот результат зависит от использования жестких границ при сращивании с континуальными решениями. На рис. 5 пока-

1)См. примечание па стр. 142. — Прим. ред.

заны связи в окрестности вершины трещины. Как показано на рис. 6, релаксация меняется с изменением размера атомной области. Ясно, что континуальные решения навязывают существование большей трещины, чем атомные решения. Таким образом, в этом случае «истинная» трещина меньшезаны связи в окрестности вершины трещины. Как показано на рис. 6, релаксация меняется с изменением размера атомной области. Ясно, что континуальные решения навязывают существование большей трещины, чем атомные решения. Таким образом, в этом случае «истинная» трещина меньшеРис. 5. Отрелаксировавшая на вычислительной машине атомная конфигурация вблизи вершины равновесной (111) трещины в кремнии [5]・Рис. 5. Отрелаксировавшая на вычислительной машине атомная конфигурация вблизи вершины равновесной (111) трещины в кремнии [5]・Рис. 6. Зависимость длин Si—Si связей RS, QT, RU от размера от- релаксировавшей области. Когда область I увеличивается от 2 до 4 прямоугольных оболочек, связь QT сжимается от «разорванного» состояния до «растянутого», тем самым закрывая трещину на один период решетки [5].

заны связи в окрестности вершины трещины. Как показано на рис. 6, релаксация меняется с изменением размера атомной области. Ясно, что континуальные решения навязывают существование большей трещины, чем атомные решения. Таким образом, в этом случае «истинная» трещина меньше

заны связи в окрестности вершины трещины. Как показано на рис. 6, релаксация меняется с изменением размера атомной области. Ясно, что континуальные решения навязывают существование большей трещины, чем атомные решения. Таким образом, в этом случае «истинная» трещина меньше

Рис. 5. Отрелаксировавшая на вычислительной машине атомная конфигурация вблизи вершины равновесной (111) трещины в кремнии [5]・

Рис. 5. Отрелаксировавшая на вычислительной машине атомная конфигурация вблизи вершины равновесной (111) трещины в кремнии [5]・

«континуальной» трещины. К сожалению, трудно оценить количественно ошибки, вносимые этой процедурой.

Гибкая граница. Главные цели гибридной трактовки с гибкой границей направлены на изучение влияния различных потенциалов на решеточный захват [7]. На рис. 7 показана радиальная компонента силы для используемых силовых законов. Важно отметить, что потенциалы I, II и III

Таблица 1. Отношения решеточных захватовдля прямолинейных трещин с краем [011] [7]

Потенциал I

Потенциал II

Потенциал III

Потенциал IV

R

1,13

1,45

1,41

7,3

гораздо более дальнодействующие, чем потенциал IV, который характерен для прощелкивающейся связи, обычно используемой в методе статики решетки. В табл. 1 даны значения параметра R, характеризующего решеточный захват для этих потенциалов. Следует отметить, что дальнодействую- щие потенциалы приводят к величине R из области 1,13—1,45, но сила, соответствующая прощелкивающейся связи, дает

Рис. 7. Радиальная компонента силы для силовых законов, выведенных из потенциалов I—IV [7].

R = 7,3. Таким образом, гибридная модель ясно демонстрирует, что прощелкивание связи несколько преувеличивает решеточный захват, в то время как да льнодействующие потенциалы приводят к гораздо более умеренному решеточному захвату.

Правдоподобие гибридной модели

Тот факт, что гибридная модель статики решетки находится в относительно хорошем качественном согласии с расчетами методом молекулярной динамики (это обсуждается в разд. IV), показывает, что обе модели являются разумными. Что более трудно оценить, так это точность гибридной модели, использующей гибкие граничные условия. Не легко понять, каким образом можно получить количественную меру точности модели. Должно быть некоторое искусственное несоответствие на границе, поскольку силовые законы в областях I и II не одинаковы. Систематическая вариация обла-

сти I и соответствующее изменение термодинамических свойств для экстраполяции на бесконечное атомное твердое тело придали бы большее правдоподобие количественным результатам. Трудно сравнивать результаты по решеточному захвату для да льнодействующих потенциалов в гибридной модели с результатами расчетов методом молекулярной динамики. Потенциалы, использованные Синклером, являются нецентральными, в то время как потенциалы метода молекулярной динамики центральные. Нецентральный характер сил может допускать нехрупкие искажения, не описываемые при трактовке с центральными силами. Во всяком случае, расчеты гибридным методом статики решетки с использованием полуэмпирических потенциалов предсказывают от пренебре- жимого до малого решеточного захвата в прямой противоположности силовым моделям с прощелкивающимися связями, которые дают большой (R〉2) решеточный захват.

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ДИНАМИКА — СТАТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ

Основы метода

Моделирование на вычислительной машине атомного движения в твердых телах методом молекулярной динамики широко обсуждалось в литературе [17]. По существу, дифференциальные уравнения движения Ньютона решаются численно для большого числа атомов, взаимодействующих с заданным потенциалом. Численные моделирования, которые нужно описать [12],. выполнялись на двумерной треугольной решетке, показанной на рис. 8 (половина образца). Наибольший образец состоял из 10 704 атомоз, расположенных в 79 рядах. Для сокращения времени расчета была использована зеркальная симметрия относительно центральной вертикальной оси.

Для атомного взаимодействия был использован потенциал Леннарда-Джонса (6-12) вида

①〃(修)=%【⑷乙/У — 2 (d/r^](IV-I)

co всеми энергиями, измеряемыми в единицах е0, и расстояниями 厂订 в единицах равновесного периода решетки d. Силы рассчитывались между атомами, которые были первоначально ближайшими соседями. После введения трещины расчет сил проводился между всеми атомами в пределах l,6d, что значительно больше расстояния 1,1 Ы, на котором межатомная сила максимальна, и несколько меньше, чем расстояние до второго ближайшего соседа. Расчеты были выполнены с использованием метода Верле [18] для решения уравнения движения Ньютона. Положения атомов, скорости, силы, полная энергия, кинетическая энергия, потенциальная

энергия и модуль упругости постоянно контролировались. Для динамических свойств временной шаг расчета обеспечивал точность по энергии 10~6. Для равновесных (статических) расчетов был использован в восемь раз больший временной шаг, чтобы описать равновесие менее дорогой процедурой.

Рис. 8. Треугольная решетка из 79 рядов с трещиной из 38 разорванных связей. Показана половина образца. Линиями изображены связи между атомами [12].

В случае статического моделирования система приводилась в равновесие при действии постоянной внешней деформации £ до введения трещины. Постоянная внешняя деформация прикладывалась путем задания и поддержания на определенном уровне вертикального смещения отдельных атомов самого верхнего и самого нижнего рядов, в то время как все другие атомные движения были свободны от стеснения. Таким образом, отсутствовали дополнительные ограничения на систему. Были выполнены также расчеты при постоянном приложенном напряжении. Этот случай будет обсуждаться ниже. Равновесие достигалось (при нулевой температуре) введением в уравнения движения критического затухания. Трещина создавалась разрезанием некоторых связей, проходящих через центральные ряды атомов образца (рис. 8》一

Основные результаты

Механические свойства двумерного твердого тела Леннарда-Джонса с треугольной решеткой', совершенное твердое тело. Упругие постоянные для такого твердого тела хорошо известны, т. е. известен отклик на бесконечно малое напряжение о (или деформацию 8) [9, 19]. В частности, модуль

Рис. 9. Деформация растяжения элементарного треугольника; ——— недсформированныйтреугольник,

дефопмированный треугольник.

Юнга М, определяемый как отношение растягивающего напряжения к растягивающей деформации, равен 83,14е0/^2 при бесконечно малой деформации.

При увеличении деформации система обнаруживает сильно нелинейное поведение, т. е. М является функцией е. Оно возникает из-за сильно нелинейных сил взаимодействия Лен- нарда-Джонса. Для однородной деформации растяжения можно рассчитать М [12] прямо из баланса сил на одной деформируемой треугольной ячейке, как показано схематически на рис. 9. При г，= г；=1 подходящими уравнениями являются

8 = Л/7з/2, (IV-2)

力=告(1 + £)2 + } (1 -冶2， Q = 1 — ”E・(IV-3) Здесь v ——коэффициент Пуассона. Сила растяжения 尸 дается формулой

尸(1V-4) в которой ①(г)——межатомный потенциал, a v определяется минимизацией энергии по v, а именно

% dv 十 dr2 dv u， 叮 字一占丄二")ё . (iv.6)

Модуль М (е) дается формулой

^ = МГ^)-(IV-7)

Был выполнен ряд расчетов на вычислительной машине для некоторой области приложенных деформаций и размеров образца. Данные для М показаны на рис. 10 вместе с теоретическим модулем (сплошная линия), рассчитанным по вышеприведенным уравнениям. Превосходное согласие теории и расчетов на вычислительной машине и наблюдение

Рис. 10. Зависимость модуля Юнга М от приложенной деформации. Темный кружок относится к образцам трех размеров, площади которых отличаются в 4 раза; модули одинаковы в пределах 0,1 % независимо от размера. Прямая линия отражает теоретическое поведение зависимости модуля от деформации для совершенного образца [12].

отсутствия масштабной зависимости модуля при изменении площади образца в четыре раза показывают, что полученная зависимость модуля от деформации лежит в основе модели этого нелинейного упругого твердого тела. Численные эксперименты на вычислительной машине при различных приложенных напряжениях также были в полном согласии с результатами рис. 10.

В диапазоне, представляющем интерес, последующие расчеты зависимости модуля от деформации точно дают линейную зависимость, приведенную на рис. 10, а именно

М = Mq — ае, Mq = 83,14, а = 414. (IV-8)

Двумерное твердое тело, содержащее трещину. Когда трещина вводится в образец при фиксированной внешней деформации, модуль снижается. Это уменьшение модуля происходит потому, что введение трещины при заданной деформации понижает запасенную энергию деформации и в результате уменьшает модуль. Снова был проделан ряд расчетов М на вычислительной машине при различных размерах

Рис. 11. Вид функциональной зависимости модуля Юнга М и разности энергии деформации △Е от размера образца. Данные отложены в функции обратной площади в соответствии с уравнениями (IV-11), (IV-12) (все величины для всего образ- ца). Прямая линия эмпирически подогнана под экспериментальные данные. Во всех образцах имеется трещина с 38 разрушенными связями [12].

образца с 38 разрушенными связями [12]. Данные показаны на нижней половине рис. 11.

Зависимость М от размера образца с трещиной может быть проанализирована с помощью процедуры, аналогичной той, что дана Берри [20] для линейной упругой сплошной среды. Разность запасенной упругой энергии АЕ для образца с трещиной и без нее можно записать в виде

А£ = (А&2⑵[(М 一 Дад 一 2/з(鼠一②啡 (IV-9)

Здесь Л — площадь, а штрихи указывают на величины, относящиеся к случаю наличия трещины полудлины /. При упрощающем предположении о том, что нелинейность модуля одинакова при наличии трещины и без нее (а = а7), формула (IV-9) принимает тот же вид, что к в линейном случае. Расчеты на вычислительной машине показывают, что это очень хорошее приближение. Однако для оценки Мг необходима теоретическая оценка АЕ・ Поскольку точный вид энергии деформации для тела с трещинами при нелинейном модуле для малых трещин и больших деформаций не известен,

предполагалось, что она имеет обычный вид с заменой линейного модуля на эффективный нелинейный модуль W. А именно, ДЕ =——л/2а2/М,, где о ——приложенное напряжение. Заменяя приложенное напряжение на деформацию, соотношение (IV-9) можно записать в виде

-Му/ = (4炉/2)(竭-也)=(Д82/2) (Мг - M), (IV-10) и, разрешая его относительно эффективного модуля, найдем формулу

ЛГ = М/(1 +2力2/用， (IV-11)

аналогичную полученной Берри [20] с заменой линейного4 модуля 府о на М. Согласно этим результатам, величина (ЛГ)-】 должна быть линейной функцией %-* что действительно подтверждается поведением результатов расчетов на вычислительной машине, показанной на рис. 11. Поведение модуля как функции размера образца находится в превосходном согласии с соотношением (IV-11).

Зависимость разности энергии деформации от размера образца также получается в том же приближении в виде АЕ =—冗庐^乂‘，и подстановка W из (IV-11) дает

(Ае)t = - (1 + 2就2//)/w2g2〃). (IV-12)

Так что ожидается, что (Af)-1 также должно быть линейной функцией А-】. Как показано в верхней половине рис. И, энергия деформации действительно обнаруживает правильную функциональную зависимость, но с наклоном большим, чем рассчитанный по формуле (IV-12). На основе подобной функциональной зависимости можно выполнить экстраполяцию к бесконечному размеру (Д-1 ~>0). Применяя эту процедуру, получаем для изменения энергии деформации бесконечного образца 21,Зе0, что приблизительно на 12 % больше, чем для наибольшего из образцов (19е0), моделированных на вычислительной машине.

Таким образом, механические свойства двумерного твердого тела Леннарда-Джонса с треугольной решеткой хорошо понятны в обоих случаях: как с трещиной, так и без нее. Следует отметить для пользы последующего обсуждения, что масштабные эффекты малы для наибольших образцов, использованных при моделировании на вычислительных машинах.

Решеточный захват. Были проделаны детальные иссле* дования трещины, состоящей из 38 разорванных связей (полный образец). Прикладывался целый ряд деформаций и расчет продолжался до тех пор, пока либо система приходила в равновесие, либо трещина распространялась за счет дальнейшего разрушения связей, либо трещина залечивалась

после восстановления перерезанных связей. Результаты [12] показаны в табл. 2, в которой перечислены приложенная деформация е, длина первой неразорванной связи dc и длина первой перерезанной связи dc^ Длины первой неразорванной и первой перерезанной связей даны в единицах d.

Таблица 2. Данные исследования решеточного захвата

8

%

%+1

Пояснения

0,0285

一

< 1,60

Трещина залечивается

0,02875

1,510

1,614

Устойчивая трещина

0,0290

1,549

1,646

》》

0,0295

>1,60

—

Трещина распространяется

Как показано в таблице, трещина устойчива при двух деформациях, отличающихся на 0,9 %. При этих равновесных положениях межатомные расстояния для атомов, расположенных на противоположных поверхностях трещины, превосходят эффективную область потенциала l,6d, в то время как неразрушенная связь растянута менее чем на l,6d. Поэтому восстановление взаимодействия,не влияет на равновесие. При снижении деформации на 0,9 % величина 或+i становится меньше l,6d и система залечивается (с демпфированием и без него) после восстановления взаимодействия поперек трещины. Наоборот, после увеличения деформации на 1,7 % неразрушенная связь растягивалась более чем на величину l,6d и трещина распространялась благодаря разрушению связи (с демпфированием и без него). Не делалось попыток получить более тесных ограничений на диапазон деформаций устойчивой области. На основе этих данных делаем заключение, что область решеточного захвата больше 1 % и меньше 3 %.

Как уже отмечалось, разность энергий деформации в наибольшем образце отличается от той, которая характерна для безграничного образца примерно лишь на 10 %. Поскольку критическая деформация приблизительно пропорциональна квадратному корню из энергии, полагают, что оценка любого критического деформационного отношения должна быть правильной с точностью, лучшей 10 %. Таким образом, масштабный эффект будет приводить к сдвигу критической деформации (увеличивать ее с уменьшением размера образца при заданной критической энергии), но оставлять область критических деформаций, а следовательно, и решеточный захват по существу неизменными. Исследования решеточного за-

хвата при половинном размере подтвердили эют анализ. Таким образом, масштабные эффекты в этом исследовании оказываются весьма малыми. Отсюда заключаем, что решеточный захват происходит при деформациях менее 3 % для потенциалов использованного вида.

Правдоподобие результатов

Имеются существенные преимущества в моделировании равновесных свойств трещины по методу молекулярной динамики. Можно использовать реалистичный полуэмпириче- ский межатомный потенциал Леннарда-Джонса. Модельная система может быть совершенно нестесненной, за исключением правильных граничных условий. При соответствующем внимании к требуемой точности [21] расчета результаты оказываются точными в пределах модели.

Основное неудобство метода молекулярной динамики состоит в ограничении системы конечным числом атомов. Поэтому возникает основной вопрос, насколько большое их количество окажется достаточным для численного моделирования подходящим образом свойств соответствующей бесконечной системы. В рассматриваемом случае было показано, что свойства конечной системы можно описать и понять количественно на основе простого баланса сил и энергий. Таким образом, экстраполяция к бесконечному размеру осуществима, а ошибку при использовании примерно 10 000 атомов можно оценить количественно. Как уже указывалось, ошибка оказывается малой и не влияет сколько-нибудь значительно на пренебрежимо малый решеточный захват, обнаруживаемый в этой модели.

Следует подчеркнуть, что используемая на практике область обследования, равная l,6d, делает потенциал Леннарда-Джонса потенциалом, обеспечивающим скачкообразное в малой области изменение натяжения связи. Важность «обрезания» может быть проиллюстрирована простым образом. На схематическом рис. 12 удлинения неразорванной связи de и первой разрушенной связи d，+i показаны как функции приложенной деформации е. Пусть гс\ и гс2 ——два расстояния обрезания взаимодействия связей, т. е. при г > гс сила стремится к нулю. Величины ер и £拉—приложенные деформации, характерные для распространения и залечивания соответственно. При е > ер связь dc становится «разрушенной», в то время как при £ V £用 связь dc+i «залечивается» за счет попадания внутрь области действия потенциала. На простой линейной схеме рис. 12 ePi ——e^i = еР2 ——£九2・ Однако отношение ер/еь, очевидно, увеличивается с уменьшением гс и наоборот. Таким образом, непрерывный потенциал, для

которого гс~> оо, как ожидается, не будет обнаруживать решеточного захвата.

Наконец, заслуживает упоминания, что моделирование методом молекулярной динамики до сих пор проводилось

Рис. 12. Схематическое изображение влияния «обрезания» потенциала на отношение решеточного захвата.

в двумерном случае, поскольку даже на современных вычислительных машинах невозможно трактовать трехмерную атомную решетку любого разумного размера.

V. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ДИНАМИКА — ДИНАМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ

Основы метода

Уэйнер и Пэр [8] и Эшерст и Хувер [9] выполнили наиболее ранние расчеты динамических свойств разрушения. Уэйнер и Пэр использовали квазиодномерную геометрию и кусочно-линейный закон растягивающей силы для атомов одного и того же столбца. Эшерст и Хувер использовали двумерную треугольную решетку с ограничением, что коэффициент Пуассона равен нулю. Они использовали большей частью силовые законы, соответствующие прощелкивающейся связи аналогично статическим расчетам решетки у Томсона и др. [13] и Эстерлинга [15]. Трудно оценить количественные аспекты их результатов из-за упрощения межатомного потенциала и ограничений движения в направлениях, перпендикулярных приложенным напряжениям. Например, Уэйнер и Пэр наблюдали сверхзвуковые скорости трещин при больших величинах напряжений, в то время как недавние результаты метопа молекулярной динамики приводят к гораздо более

низким скоростям. Эшерст и Хувер получили энергии образования трещин в разумном согласии с сегодняшними результатами метода молекулярной динамики, но нашли также для отношения решеточного захвата значение R = 3,7. Таким образом, нет сомнения в том, что расчеты по методу молекулярной динамики приводят к интересным результатам, но всегда необходимо решать вопрос о том, до какой степени результаты связаны с упрощением межатомного потенциала, а также упрощениями геометрического характера. Расчеты [11, 12] могут рассматриваться как развитие расчетов Эшер- ста и Хувера с заменой сил, соответствующих пррщелкиваю- щимся связям, на более дальнодействующие силы, вытекающие из межатомного потенциала Леннарда-Джонса, без искусственного ограничения, что коэффициент Пуассона равен нулю, и с использованием еще больших рядов атомов (5000— 10000).

В описанных работах по моделированию с помощью молекулярной динамики были использованы три способа инициирования распространения трещины: 1) трещина вводилась в предварительно напряженный образец, достаточно большая трещина будет распространяться; 2) трещина вводилась в предварительно напряженный образец и допускался переход к равновесию, а затем приложенное напряжение одним большим приращением поднималось до величины, большей критической; 3) трещине позволялось переходить к равновесию и напряжение (или деформация) увеличивалось постепенно, пока не было получено распространение трещины.

Такой метод инициирования трещины требует некоторого усовершенствования. Трещина создавалась разрезанием связей между фиксированным числом атомов из двух рядов в центре образца. Межатомный потенциал между этими атомами полагался равным нулю. Эти условия соответствуют вставлению очень тонкого ножа для создания трещины. При динамическом моделировании после создания трещины демпфирование не применялось. Если бы граничное условие было условием постоянства напряжения, трещина пришла бы в равновесие лишь в том случае, если поддерживались условия на ноже. Если бы граничное условие было условием постоянства деформации, трещина пришла бы в равновесие без поддержания условия на ноже. Таким образом, разные граничные условия в этих расчетах приводили к совершенно разным результатам.

В случае постоянного приложенного напряжения постоянная внешняя нагрузка прикладывалась к индивидуальным атомам самого верхнего и самого нижнего рядов. Все внешние границы могли свободно двигаться, в то время как нагрузка поддерживалась постоянной. В случае постоянной

•([П] оц) ,HiooHxdoaon я qoBVEHEdio

-odnoud HHnxoVaifoous биИеяогэи1Г eio ^? =。7 и 炉【=q ndu кни1пэ(1х пнишбэа oiEdx мэнжин eh goBiruaosEdgo випехокон口 (э) -вияхэиэ^оиивЕа ЧХЭЕГрО S BOIOJEJMSV SHdOlOM 'HWOLB 1СНВНЕНЕО9О ИИНИ1Г OFIHqifQ丄HHITOUOB ，6i = 07 и £，[ =q ndn hhIiuhoitohV OMHUsoeudgo эончееьен (q)・(eli£ed9o МНИ0О1ГОП и if IT иэЕваэ xhnnoinAdsed OHqifEhEHoadgn оеэин ——。7) 6£ = °7 и g'o =力 ° вничлэбх BZxuAdx о丄зиь (е)・р9‘1 ен ман ээнаи e」AdU ю jAdH 1И0ХЭЮ OHdOLOX ^ИВИОХИ Л^ЖЭИ HlXHBlOdU ИИНИ£Р '(q OHOJKOITHdll) aoVBd о」-б£ и о」Т wewoie я hhojkoithcIu пкиз ,вмнЛэи(1 нПинвбл Hosudu онч1гэхиэон1о иаинэжвдю qiHhXirou онжои hoezdgo *ншгои ии(51эиииэ иончтгЕмбэе Xitho g -иони^пэбх э Bxiomod бенч1ГолХэс11 BEHdowA&tf '£[ •ohj

приложенной деформации деформация прикладывалась с помощью задания и поддержания вертикальных смещений индивидуальных атомов в самом верхнем и самом нижнем рядах. На все другие атомные движения ограничений не накладывалось. Для использованных конечных образцов (около 5000 атомов) не только поверхности выглядят по-разному (см. рис. 8 и рис. 13(a)), но и формы трещин аналогичных размеров вблизи критических условий различны. Трещины в условиях постоянного напряжения шире, чем трещины в условиях постоянной деформации. Это показывает, что граничные условия для конечных образцов могут играть важ- нух роль и должно быть достигнуто детальное понимание влияния граничных условий для того, чтобы обеспечить правдоподобие результатов.

Как только установлены граничные условия и способ введения трещины и критического напряжения или деформации, последующие вычисления по методу молекулярной динамики совпадают с теми, которые проводятся для получения статических результатов. Положения атомов, скорости и силы, а также полная энергия, работа, потенциальная энергия, кинетическая энергия и модуль упругости контролировались во всех расчетах. Шаг по времени в расчете был выбран так, чтобы обеспечивать точность по энергии в 10-6. Результаты иногда проверялись увеличением точности от 2 до 4 раз для подтверждения того, что результаты не зависят от точности вычислительной процедуры.

Основные результаты

Динамическое моделирование при постоянной нагрузке [11]. Система для динамических исследований при постоянной нагрузке состояла из 5284 атомов, выстроенных в 39 рядов, как показано для половины образца на рис. 13(a). Зеркальная симметрия около вертикальной оси использовалась для сокращения расчета. В этих расчетах система приводилась к равновесию при заданной постоянной внешней силе о (в единицах e/d) прежде, чем вводилась трещина. Трещина создавалась разрезанием связей между заданным количеством атомов в 19-м и 20-м рядах, т. е. межатомный потенциал для этих атомов полагался равным нулю. Не производилось демпфирования после создания трещины. Эти условия соответствуют внедрению очень тонкого ножа для создания трещины.

Когда трещина движется под действием постоянной нагрузки, приложенной к обеим горизонтальным поверхностям, сохранение энергии требует

АП7 = А/ + △当=АЕ + AEs + A J・ (V-l)

Здесь Д1^ — работа, совершаемая над образцом, AEP — изменение полной потенциальной энергии,厶£龙 ——изменение полной кинетической энергии, АЕ ——изменение энергии деформации и 厶丛一изменение поверхностной энергии трещины. Требование сохранения энергии всегда выполнялось в этих расчетах. Величина АЕ оценивалась как NEp — A£s, где AEs берется как две энергии связи на пару взаимодействующих атомов, т. е. глубина потенциала Леннарда-Джонса 80 на атом. В энергетической трактовке Гриффитса Д£й равно нулю. Чтобы получить некоторый количественный критерий по напряжению, используя уравнение (V-1), необходимо иметь соотношение связи между А取 и Д£. Если рассматривается случай макроскопической линейной упругости, то АЕ = 1/2А 取 и потому АЕ = AEs, что является основным энергетическим критерием Гриффитса.

На рис. 14 величины А呼，\ES, Д£ и Д£^ отложены в функции относительного увеличения длины трещины (L — /厶 для двух случаев численного моделирования на вычислительной машине при различных нагрузках и начальных длинах трещины. Эти изменения энергии оценивались в области начала движения трещины, когда 厶国 приблизительно равно нулю, и, таким образом, возможно прямое сравнение с энергетическим предположением Гриффитса. В этих расчетах на вычислительной машине отношение AE/AIF изменялось во всей области от нуля (о = 0,5, большая трещина) до 0,75 (о = 1,3, средняя трещина). В то время как можно сказать, что энергетический критерий Гриффитса (АЕ/А步=0,5) приблизительно верен в последнем случае, ясно, что случай нулевого начального изменения энергии деформации будет указывать на отсутствие упругой деформации при хрупком разрушении.

Фактически пренебрежимое изменение энергии деформации предполагает, что модель жесткого раздира дает лучшее описание такого разрушения. При этом разрушении (а = =0,5) не обнаруживалось образования дислокаций или бифуркации, что представляет собой наиболее чистый пример хрупкого разрушения с быстрым приближением к постоянной скорости трещины при численном моделировании. Можно оценить критическое напряжение ас для распространения трещины в условиях такого раздира, предполагая жесткое распространение изменения формы трещины в направлении границы при расчете А取 Если вся эта работа, а не ее половина переходит в поверхностную энергию, то величина 仇 оказывается того же самого функционального вида, что и гриффитсовская о,, только меньше в ，2 раз. Эта простая оценка с использованием эффективного модуля ЗОе/rf2 приводит к результату 仇=0,7e/d2, что сопоставимо с модель-

ным значением 0,5. Таким образом, даже если энергетический критерий нарушается для такого вида разрушения, то оценка критического напряжения остается приблизительно справедливой.

При более высоких напряжениях наблюдается более сложное поведение, как показано численным моделированием

Рис. 14. Изменение составляющих энергии как функция от относительного прироста длины трещины в процессе ее распространения. Здесь о — приложенная сила и 上° — число первоначально разорванных связей для половины образца [11].Рис. 14. Изменение составляющих энергии как функция от относительного прироста длины трещины в процессе ее распространения. Здесь о — приложенная сила и 上° — число первоначально разорванных связей для половины образца [11].(з x^s^ gj с хкнаg」 ==2daHe anwawsnnzs-He anHaHawcs(з x^s^ gj с хкнаg」 ==2daHe anwawsnnzs-He anHaHawcs

Рис. 14. Изменение составляющих энергии как функция от относительного прироста длины трещины в процессе ее распространения. Здесь о — приложенная сила и 上° — число первоначально разорванных связей для половины образца [11].

Рис. 14. Изменение составляющих энергии как функция от относительного прироста длины трещины в процессе ее распространения. Здесь о — приложенная сила и 上° — число первоначально разорванных связей для половины образца [11].

(з x^s^ gj с хкнаg」 ==2daHe anwawsnnzs-He anHaHawcs

(з x^s^ gj с хкнаg」 ==2daHe anwawsnnzs-He anHaHawcs

(рис. 13(a) — 13(c)). Рисунок 13(a) соответствует тому же самому расчету, что и энергетика рис. 14 (верхняя часть), т. е. большой начальной трещине с приложенной величиной о = 0,5. Эта трещина распространялась чисто хрупким образом с очень малым искажением в вершине. Рисунок 13(b), соответствующий рис. 14 (нижняя часть), относится к трещине с большими искажениями направлений вблизи вершины, показанными дополнительными линиями от атома к атому, связывающими атомы, которые были первоначально

вне концевой области, но в последующем попали в нее. Такие линии искажения, которые можно рассматривать как зарождающиеся дислокации, образуются и поглощаются при распространении трещины. На рис. 13(c) большая начальная трещина с о =1,3 распространялась до показанной конфигурации. Можно видеть дислокацию у нижней части вершины трещины. Эта дислокация затем распространялась к поверхности и имела место бифуркация. Подъем напряжения для трещины рис. 13(b) до а — 3,0 вызывал немедленное образование дислокаций и последующее притупление вершины, т. е. пластическое поведение.

Эти результаты можно связать с трактовкой Райсом и Томсоном [22] взаимодействия между дислокациями и трещинами. Они считают, что материал хрупкий, если дислокации, порожденные в окрестности вершины трещины, не могут покинуть область вершины. Критическое расстояние г% при котором прямолинейная дислокация находится в неустойчивом равновесии, получается из рассмотрения следующих сил: 1) отталкивающей силы, обусловленной полем напряжений трещины, 2) притягивающей силы изображения дислокации в свободной поверхности трещины и 3) другой притя^ гивающей силы, возникающей из-за дополнительной поверхности, создаваемой притупленной трещиной. Если гс больше масштаба обрезания для дислокационного ядра г。, то материал хрупкий. Для рассматриваемой двумерной системы применение уравнений Райса — Томсона приводит к гс = l,8d. Согласно Есбьорну и Йенсену [19] величина г° для этой системы равна Следовательно, такая двумерная система Леннарда-Джонса как раз хрупкая согласно критерию Райса —Томсона. Как указано выше, распространение трещины в этой системе изменяется от хрупкого до пластичного в зависимости от приложенного напряжения и детальной динамики. Это свидетельствует в пользу того, что теория Райса —— Томсона в значительной мере справедлива количественно.

Более детальный анализ теории Райса ——Томсона указывает на то, что при увеличении приложенной нагрузки выше критической напряжение на некотором расстоянии от вершины трещины возрастает. Включив эту зависимость напряжения в формулировку Райса——Томсона, найдем, что гс приблизительно пропорционально (ас/сг)2 и, таким образом, большие приложенные нагрузки о должны снижать гс и способствовать излучению дислокаций. Поскольку модельная система обнаруживает критическую хрупкость при низких напряжениях и скоростях трещины, не удивительно наблюдать образование дислокаций и пластичность при высоких приложенных нагрузках и больших скоростях трещин.

Дальнейшая информация о тенденции к локализации деформации была получена при попытке достичь условий критического напряжения путем очень малых изменений приложенной нагрузки для трещины, приводимой к равновесию надрезом связей. С помощью критического демпфирования было возможно привести систему, изображенную на рис. 13(a), к равновесию при о = 0,60 надрезом связей (нож не удален). Когда взаимодействие связей через тре-

Рис. 15. Залечивание и распространение трещины при различных изменениях приложенного напряжения.

щину восстанавливалось (нож удален), трещина залечивалась. Когда приложенная нагрузка поднималась малыми приращениями, длины первой (r°i) и второй (门2) неразрушенных связей медленно увеличивались, как показано на рис. 15 для последовательности о。： 0,60 f 0,65fo,67. При этом происходила большая локальная деформация, но трещина не распространялась и залечивалась по восстановлении взаимодействий. Следует отметить две особенности статического исследования при постоянном напряжении: не образовывалась устойчивая трещина (с удалением ножа трещина всегда залечивалась) и в некоторой предельной области, где из соображений линейной экстраполяции ожидалось распространение трещины, трещина не распространялась. При более внезапном характере изменения о от 0,60 до 0,67 распространение происходило от г(н, быстро вырастающего за зна。

чение 1,6 (исследованная область) (рис. 15). Таким образом, при постоянной нагрузке эта система очень чувствительна к скорости приложения нагрузки.

Динамическое моделирование при постоянной деформации [23]. Как уже отмечалось, граничное условие с постоянной деформацией является теоретически выгодным, поскольку при этом не производится внешней работы, что ведет к более простому анализу энергии. Кроме того, распространение трещины может быть инициировано путем очень малого изменения приложенной деформации, т. е. по существу из равновесной конфигурации.

При численном динамическом моделировании были проделаны детальные исследования на образце с 59 рядами и 95 столбцами с первоначально разорванными 38 связями. Эта система находилась в равновесии при приложенной деформации е = 0,0315. После увеличения е до 0,0318 трещина распространялась и распространение происходило до тех пор, пока число разрушенных связей не возрастало в 3 раза (дальнейшее распространение происходило бы слишком близко к краю образца). Скорость вершины трещины, модуль упругости и все энергетические вклады контролировались в процессе распространения.

Данные по скорости показаны на рис. 16(b) в виде зависимостей числа связей, разорванных на временном шаге, от числа шагов (т. е. времени) и скорости вершины трещины от I (рис. 16(a)). Наиболее значительной чертой этих данных является быстрый переход к предельной постоянной скорости, которая оказывается составляет 11 % от скорости продольных волн. Процесс начинается с нулевой кинетической энергии, которая затем увеличивается очень регулярным образом. Изменение кинетической энергии обсуждается позднее.

Упругое деформирование материала во время распространения трещины иллюстрируется на рис. 17, на котором показаны изменения эффективного нелинейного упругого модуля Л4‘ и упругой энергии АЕ. Обе эти величины ведут себя, как и ожидалось, на основе анализа энергии, данного в разд. IV при статическом моделировании. Согласно формуле (IV-11) при постоянном & величина 1/ЛГ линейно зависит от 庐 с наклоном, равным 2m/(AL4). Площадь Л для этого образца составляет 4772 и модуль М при е = 0,0318 равен 70, что отвечает теоретическому наклону 1,88-10-5. Наблюдаемый при динамическом моделировании наклон равен 1,96-10-5, что превосходно согласуется с приближенной теорией для материала, описываемого нелинейной теорией упругости с конечными деформациями.

Согласно уравнению (IV-10), величина А£ линейно зависит от PMf при постоянном е и наклон определяется величи-

ной ле2. Данные, приведенные на рис. 17 (Ь) с Д£ для половины образца, соответствуют этой функциональной зависимости с наклоном 1,8-10-3. Теоретический наклон равен 1,59-10-3, что приводит к расхождению примерно в 12 %. Следует отметить, что аналогичное расхождение в 16 % было

卢(1Л学 XDjmHn^wa卢(1Л学 XDjmHn^wa9,75 11,75 13,75 15,75 17,75 19,75 21,759,75 11,75 13,75 15,75 17,75 19,75 21,75400046005000400046005000Число шаговЧисло шагов4 3 2 1 羽 а о о о 2 0 a а стs§ §и^ DHaHsu 置学舌4 3 2 1 羽 а о о о 2 0 a а стs§ §и^ DHaHsu 置学舌ОООО

卢

(1Л学 XDjmHn^wa

卢

(1Л学 XDjmHn^wa

9,75 11,75 13,75 15,75 17,75 19,75 21,75

9,75 11,75 13,75 15,75 17,75 19,75 21,75

400046005000

400046005000

Число шагов

Число шагов

4 3 2 1 羽 а о о о 2 0 a а ст

s§ §и^ DHaHsu 置学舌

4 3 2 1 羽 а о о о 2 0 a а ст

s§ §и^ DHaHsu 置学舌

ОО

ОО

Рис. 16. (а) Изменение скорости вершины трещины vc с изменением длины трещины / при распространении трещины в условиях постоянной деформации. (Ь) Зависимость скорости вершины трещины (числа разорванных связей в единицу времени) от времени при распространении трещины в условиях постоянной деформации.

между статическим АЕ и теоретическим АЕ при статическом моделировании. Общее согласие с приближенной нелинейноупругой трактовкой является удовлетворительным. Важный вывод, который должен быть сделан из соответствия равновесного статического рассмотрения с динамическими результатами, состоит в том, что полученные данные демонстрируют сходство динамических и равновесных статических конфигу-

раций. Это есть основное предположение, принимаемое при расчетах динамического распространения трещины, и нужно проверить, что оно справедливо при моделировании в условиях постоянной приложенной деформации.

Теоретический подход к динамическому разрушению был дан Моттом [24] как развитие термодинамического подхода

Рис. 17. (а) Вид функциональной зависимости модуля от длины трепины при распространении трещины в условиях постоянной деформации. (Ь) Изменение упругой энергии с изменением 0Л1' во время распространения трещины в условиях постоянной деформации.

Гриффитса. Мотт добавил член кинетической энергии к статической энергии и нашел конфигурацию, в которой полное энергосодержание поддерживается постоянным. Хотя это и прямой путь, связь между кинетической энергией и скоростью трещины основана на ряде упрощающих предположений и соображений анализа размерностей. Количественно Мотт получил для кинетической энергии АЕк соотношение

вида

АЕ 左=% 々ри№М/£2 = % kpVcl 2『・(V-2)

Здесь р — плотность, vc — скорость вершины трещины,。厶一 внешнее напряжение, £ ——модуль и k ——постоянная. При постоянной приложенной деформации е = “/£ и к рассматриваемым моделированиям применимо второе выражение для

户希(ТОО)

Рис. 18. Вид функциональной зависимости кинетической энергии от 俨碌 при распространении трещины в условиях постоянной деформации.

кинетической энергии. Это ключевой результат Мотта; остальные подробности следуют из сохранения энергии и должны быть правильными независимо от вида кинетической энергии. На рис. 18 член кинетической энергии в случае постоянной внешней деформации сопоставляется с и*2. Согласие поразительное. Следует отметить, что первоначально величина vc изменяется приблизительно линейно с изменением /, а в последующем становится постоянной, как показано на рис. 16. Тем не менее выражение 哼？ описывает поведение кинетической энергии всюду.

Хотя начальное поведение кинетической энергии до некоторой степени объяснимо просто, ее зависимость от /2 при постоянном Vc понять не так легко. Нельзя быть также уверенным, что асимптотическое значение vc гораздо меньше оценки Мотта: примерно 0,4 от скорости продольных волн, равной 8,49 ^г/т, В области, в которой меняется 。内 имеем (/ ——/о)//о V 1 и можно выполнить тейлоровское разложение упругой энергии образования трещины по аргументу 2 ——/0.

Используя условия равенства кинетической энергии нулю при / = /о и соотношение

^~(АЕ + А&) 1 = 0, для кинетической энергии получим следующее выражение:

А以=—(АЕ + а&)=勺/。)： @2 neRP •(V-3)

От / = /o = 9,75d до 15,75 величина А£^/(/ ——/0)2 изменяется лишь примерно на 15 % около средней величины, в то время как NEh изменяется на три порядка. Таким образом, начальное поведение vc может быть хорошо описано в терминах начальных ограничений поведения (ДЕ + AES). Описать случай vc = const не так легко. Лоун и Уилшоу [2] использовали соотношение масштабной зависимости для Д£, с помощью которого хотели предсказать, что vc будет меняться очень быстро и перестает изменяться гораздо раньше, чем удвоится длина трещины. Это не произошло в рассматриваемом моделировании. Ключевое различие между анализом Лоуна и Уилшоу и обсуждаемым анализом состоит в том, что они предположили (в наших обозначениях)

АЕ = - л/282 (M^Wo,(V-4)

в то время как при нашем моделировании

Д£=-л/2е2 (Mf).(V-5)

Поскольку ЛГ 〜1/(1 + al2), энергия образования трещины по Лоуну и Уилшоу уменьшается с ростом / гораздо более быстро и, следовательно, кинетическая энергия исчезает при некотором малом 厶 Если кинетическая энергия рассчитывается по (V-5), то она исчезает при /〜50d. Хотя эта оценка гораздо больше, чем оценка Лоуна и Уилшоу, она все еще не согласуется с описанными здесь результатами. На первый взгляд это весьма неожиданно, поскольку выражение для Д£ находится в согласии с экспериментом, и потому расчет для ДЕ^ также, казалось бы, должен быть правильным. Причиной расхождения является то, что АЕ согласуется с экспериментом с точностью до нескольких процентов, а ДЕ^ в интересующей области примерно такое же, как и ошибка в определении ДЕ. Следовательно, ошибка при расчете NEh около 100 % и, таким образом, выражение для АЕ как раз недостаточно точно для расчета АЕ左 прямо из уравнения (V-1) с явно заданными выражениями для Д£ и АЕ§.

К постоянству vc можно подойти до некоторой степени иначе с точки зрения масштабного эффекта. Основная идея, как масштабный эффект ограничивает скорость, состоит в

следующем. Из-за простых ограничений размеров высота трещины может расти лишь до некоторой максимальной величины 6р, меньшей размера образца в направлении у. Величину vc можно оценить в предположении, что среднее ускорение вблизи вершины трещины равно 尸max/2m, и тогда

(V6)

Для потенциала Леннарда-Джонса Fmax == 4,66e/d, при наибольшем образце бу 〜0,5d имеем vc 1,5 д/ё/m. что сравнимо с наблюдаемым значением 0,9 д/e/zn. Это есть прямой путь к объяснению того, почему величина vc становится постоянной, достигнув относительно малой доли скорости продольных волн, а также почему она постоянна, в то время как количественный анализ ДЕ + ДЕ5 указывает на переменность величины vc (т. е. АЕ + АЕ$ не просто пропорционально Z2 в любой широкой области значений /). Однако если vc ограничивается из-за ограничений размера образца, так что недостижима предельная величина, характерная для бесконечного образца, просто потому, что ограничена возможность раскрытия трещины, то наблюдаемые результаты кажутся разумными. Этот анализ свидетельствует о влиянии размера образца: чем меньше образец, тем меньше предельная скорость. Это предсказание изучается.

Правдоподобие результатов

Главный аргумент в пользу правдоподобия указанных результатов, полученных методом молекулярной динамики, состоит в тесном согласии масштабной зависимости модуля (при статических расчетах) с теорией и правильном виде функциональной зависимости модуля и энергии образования трещины от размера образца и длины трещины в процессе ее распространения. Это означает, что результаты для распространения трещины количественно являются достаточно хорошими на начальных стадиях распространения. Конечно, с ростом трещины масштабный эффект становится более важным. Это может привести к некоторой систематической масштабной зависимости результатов для скорости трещины. Однако подобные зависимости выходят за рамки настоящего анализа. Факт, что в согласии с экспериментом скорости трещин быстро достигают постоянного значения, меньшего скорости продольных волн, является другим аргументом в пользу правдоподобия динамических результатов. Поскольку результаты с постоянной деформацией приводят к ряду следствий, согласующихся с нашим физическим пониманием рас-

пространения трещины, н нет неожиданных результатов, противоречащих этому пониманию, полученные результаты можно считать очень правдоподобными.

Хотя аналогичные утверждения о масштабных эффектах могут быть сделаны в отношении результатов с постоянным напряжением и в отношении их правдоподобия, один неожиданный новый результат связан с трещиной, которая распространялась так, что вся приложенная работа (энергия) шла на производство поверхностной энергии трещины. Может ли этот результат отвечать природе явления или он отражает недостатки численного моделирования? Поскольку две из трех различных конфигураций напряжение ——трещина в случае постоянного напряжения распространялись ожидаемым образом, этот результат определенно не является следствием какого-либо грубо искажающего ограничения при моделировании. Единственная особенность случая постоянного напряжения, которая отличает его от инициирования разрушения обычного типа, заключается во внезапном увеличении напряжения. Этот быстрый рост напряжения может привести к тому, что система достигает конфигурации, не достижимой через обычные равновесные конфигурации. Таким образом, неожиданное распределение энергии в одном из случаев моделирования при постоянных напряжениях, которое есть нарушение предположения гриффитсовской модели, по-види- мому, не должно быть масштабным эффектом, а вполне может быть результатом (искусственного) быстрого увеличения напряжения, полученного в расчете. К сожалению, поскольку распространение трещины не могло быть получено путем медленного увеличения напряжения, систематическое исследование источника этого нового эффекта не было возможно и степень его правдоподобия установить нельзя. В остальном результаты можно считать количественно разумно (на 80— 90 %) правильными.

Наблюдение образования дислокаций в процессе распространения трещины, безусловно, заслуживает доверия по нескольким причинам. На основании статических расчетов по методу молекулярной динамики при постоянной деформации и постоянном напряжении очевидно, что двумерное твердое тело Леннарда-Джонса должно находиться точно в состоянии из окрестности состояний с хрупко-пластическим поведением. Действительно, малые изменения в граничных условиях и форме трещины могут приводить к поведению того или другого типа. Кроме того, модель Райса — Томсона образования дислокаций подчеркивает важность области вблизи вершины трещины для определения хрупко-пластического поведения. Поскольку эта область количественно хорошо описывается

расчетами по методу молекулярной динамики, образование дислокаций должно быть реальным, а количественные результаты—разумно точными.

ЛИТЕРАТУРА

Thomson R. М. — Перевод см. в настоящем сборнике: Томсон Р. Физика разрушения, с. 104.

Lawn В. R., Wilshaw Т. R. Fracture of Brittle Solids. — Cambridge: Cambridge University Press, 1975.

Fuller E. R., Jr., Thomson R. M. — In: Fracture Mechanics of Ceramics, Broadt R. C., Hasselman D. P. H. and Lange F. F., eds., vol. 4, p. 507— 548. — New York： Plenum, 1978

Esterling D. M. — Comments Solid State Phys., 1979, 9, p. 105.

Sinclair J. E., Lawn B. R. — Proc. Roy. Soc. Lond., 1972, A329, p. 83.

Gehlen P. C. — Scripta Met., 1973, 7, p. 1115.

Sinclair J. E. — Philos. Mag., 1975, 31, p. 647.

Weiner J. H., Pear W. — J. Appl. Phys., 1975, 46, p. 2398.

Ashurst W. T., Hoover W. G. — Phys. Rev., 1976, B14, p. 1465.

Kanninen M. F., Gehlen P. C. — In: Interatomic Potentials and Simulation of Lattice Defects, Gehlen P. C. et al., eds., p. 713—722.— New York: Plenum, 1972.

Paskin A., Gohar A., Dienes G. J. — Phys. Rev. Lett., 1980, 44, p. 9 40.

Paskin A., Som D. K., Dienes G. J. — J. Phys., 1981, C14, p. L171.

Thomson R. M., Hsieh C., Rana V. — J. Appl. Phys., 1971, 42, p. 3154.

Hsieh C., Thomson R. M. — J. Appl. Phys., 1973, 44, p. 2051.

Esterling D. M. — J. Appl. Phys., 1976, 47, p. 486.

Griffith A. A. — Philos. Trans. Roy. Soc., 1920, A221, p. 163.

См., например: Computer Simulation for Materials Applications, Arsenault R. J., Beeler J. R., Jr., and Simmons, eds. — Nuclear Metallurgy, 1976, 20.

Verlet L. — Phys. Rev., 1967, 159, p. 98.

Esbjorn Per-Ole, Jensen E. J. — J. Phys. Chem. Solids, 1976, 37, p. 1081.

Berry J. P. — J. Meeh. Phys. Solids, 1960, 9, p. 105.

Welch D. O., Dienes G. J., Paskin A. — J. Phys. Chem. Solids, 1978, 39, p. 589.

Rice J. R., Thomson R. — Philos. Mag., 1974, 29, p. 73.

Som D. K., Paskin A., Dienes G. J. — J. Phys., Ser. C； 14, p. L171. Этот раздел есть часть диссертации Д. Сома.

Mott N. F. — Engineering, 1948, 165, р. 16.

ЭЛЕКТРОННЫЕ ПРОЦЕССЫ

В ЯДРАХ ДИСЛОКАЦИЙ И ВЕРШИНАХ ТРЕЩИН

П. Хаазен

ВВЕДЕНИЕ

Построение электронной теории ядер дислокаций и вершин трещин для о. ц. к.-переходных металлов является одним из важнейших вопросов, связанных с разрушением, и пока еще построение такой теории не представляется возможным. Напротив, в полупроводниках с кубической алмазной решеткой, в которых происходит хрупко-вязкий переход при температурах, достигающих примерно 60 % от их абсолютной точки плавления, электронные аспекты стали сейчас намного более ясными [1]. Интересно отметить, что такие кристаллы, как кремний и германий, легче деформируются при легировании примесями /г-типа (например, при концентрации As 1019 см-3), чем в собственном состоянии, т. е. в состоянии, когда концентрация раствора замещения такова, что он не влияет на хрупко-вязкий переход в металлических монокристаллах. Это явно электронный эффект, не обусловленный несоответствием радиусов примесного атома и атома раствора, что хорошо видно на примере неэффективности четырехвалентного раствора [2]. Важным параметром является положение уровня Ферми, определяемого температурой и наличием примеси, по отношению к электронным уровням (вернее, одномерным энергетическим зонам) дислокаций [3]. Этот параметр определяет линейный заряд дислокаций, который в свою очередь оказывает большое позитивное влияние на подвижность дислокаций. Можно сказать, что линейный заряд выводит из равновесия прямолинейную дислокацию, представляющую собой конфигурацию с минимальной

Статья посвящается профессору, д-ру философии, почетному д-ру геологии, д-ру естественных наук, honoris causa Е. Шмиду по случаю его 85-летия.

D Haasen Peter (Institut fiir Metal'lphysik and SFB 126, Universitat Gottingen, FRG). Electronic Processes at Dislocation Cores and Crack Tips. — In: Atomistic of Fracture. Ed. R. M. Latanision, J. R. Pickens, 1983, p. 707—729.

Мы признательны издательству «Пергамон Пресс» за разрешение воспроизвести рис. 8, д-ру С. Марклунду за рис. 1—3, журналу Philos. Mag. (Тейлору и Фрэнсису) за рис. 7, 9—12.

© 1983 Plenum Press, New York

© перевод на русский язык,《Мнр》， 1987

энергией в рельефе Пайерлса. Чтобы заставить ее двигаться, требуется образование (и движение) кинков ^, что облегчается наличием заряда дислокации. Заряд можно изменять контролируемым образом с помощью освещения, и это ведет к фотомеханическому эффекту [4]. В области толщиной XD (дебаевская длина) около поверхности, покрытой электролитом, энергетические зоны могут быть изогнуты, а их электронная заселенность изменится, т. е. наблюдается хемоме- ханический эффект [5, 6].

Все это зависит от того, где в запрещенных зонах в полупроводниках находятся энергетические уровни дислокаций, что в свою очередь определяется структурой их ядер. В последнее время появилось много теоретических и экспериментальных работ по этому вопросу, в которых учитывается расщепление дислокаций на частичные [7——12]. Электронно-возбужденной областью в ядре является так называемая ненасыщенная связь, т. е. наполовину заполненная гибрйдизован- ная зр3-орбиталь в атоме алмазной структуры, который имеет только три ближайших соседних атома вместо четырех. Число ненасыщенных связей в ядре дислокации может изменяться при перестройке ядра. Аналогичные рассуждения применимы также и к границам зерен с большими углами [13] и, весьма вероятно, и к трещинам в кубической алмазной структуре. Как правило, считается, что дополнительные электронные состояния, обусловленные дефектами, связаны с деформацией, вызываемой наличием дефекта, т. е. с деформационным потенциалом, и они отделены от валентных зон и зон проводимости [14]. В следующем разделе будут кратко описаны структуры ядер дислокаций и соответствующие энергетические зоны, а также приведены результаты, полученные с помощью эффективных электрических или оптических методов определения местоположения этих электронных зон и измерения их заселенности. Вслед за этим рассматривается подвижность дислокаций в зависимости от температуры, напряжений и заряда. Подвижность дислокаций в свою очередь определяет размер пластической зоны, которая может образовываться у раскрывающейся вершины трещины. Соответствующая модель изложена в последнем разделе.

СТРУКТУРЫ ЯДЕР И ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ

Известно, что дислокации в Si и Ge расщепляются на частичные дислокации, ограничивающие дефект упаковки шириной 〜40——60 А. Винтовая дислокация расщепляется на две 30°-ные частичные, 60°-ная ——на 30°-ную и 90°-ную частич-

】)См. примечание на стр. 123. — Прим, ред.

ную, а 90°-ная дислокация — на две 60°-ные частичные дислокации. Наиболее вероятно возникновение такого расщепления в так называемых системах скольжения в плоскостях {111} кубической алмазной решетки (см. труды конференции

Рис. 1. Объемное изображение 90°-ной скользящей частичной дислокации [7]: (а) без перестройки, (Ь) после перестройки.

Рис. 2. То же, что рис. 1, только для случая 30°-ной скользящей частичной дислокации [7].

[15]). Важным параметром является температура, при которой дислокации вводятся в кристалл: в случае деформирования при относительно низких температурах Т V 0,6 Ts ^ 750 ℃ для Si дислокации лежат в долинах Пайерлса, т. е. принадлежат к типу 60°-ных или 0°-ных, тогда как после сжатия при 900 ℃ преобладают 90°-ные дислокации [1]. Соответственно изменения электрических свойств материала в первом случае (после низкотемпературного деформирования) связаны с

30°-ными и 90°-ными частичными дислокациями, а во втором случае — с 60°-ными частичными дислокациями.

Еще одно различие между кристаллами, подвергавшимися деформации при температурах выше и ниже 0,6Ts, — наличие скоплений точечных дефектов во втором случае [19], что до какой-то степени искажает картину и затрудняет понимание интересующих нас свойств дислокаций. На рис. 1 и 2

6,0

Рис. За. Энергетические зоны, рассчитанные для 90°-ной (а, Ь, с) и 30°-ной (d, е) частичных дислокаций в кремнии без перестройки (a, d) и после перестройки [7].

показаны возможные структуры частичных дислокаций в том виде, который следует из теории упругости, и в перестроенном виде. Перестройки были выполнены Марклундом [7] с использованием потенциала сил, связанных с наличием ненасыщенных связей, и численного моделирования. Является ли перестройка на самом деле энергетически выгодной или нет, зависит от валентности ненасыщенной связи £^ь, имеющей энергию образования, о которой пока мало что известно. Если задаться вероятной оценкой 0,25 эВ < Edb V 0,85 эВ, то в 30°-ной частичной дислокации будет происходить перестройка (рис. 2(b)), а в 90°-ной перестройка не произойдет (рис. 1 (а)). Для 60°-ной частичной дислокации ситуация еще менее ясная; возможно существование различных перестроенных ядер, которые будут энергетически вырождены. Электронные состояния, соответствующие частичным дислокациям, были подсчитаны Марклундом для Si с помощью метода сильной связи, примененного к периодическим решеткам с большими элементарными ячейками, содержащими две дислокации противоположного знака. Вследствие трансляционной симметрии в направлении дислокации одномерные зоны скольжения будут возникать 1) за счет разорванных связей, 2) за счет дилатационной деформации.

Первый механизм вызывает образование в ядре неперестроенной 90°-ной частичной дислокации (рис. 1(a)) двух

перекрывающихся дислокационных зон в нижней половине запрещенной зоны — заполненной п пустой. Такая же картина может оказаться верной и для 60°-ной перестроенной дислокации; при другом способе перестройки возможно также наличие узких, наполовину заполненных зон в нижней половине запрещенной зоны [7]. Перестроенная 30°-ная частичная дислокация не будет содержать ненасыщенных связей, а упругая деформация в ее ядре приведет к расщеплению дислокационных зон на обоих краях зоны (дисторсионные состояния), как это свойственно дислокациям другого типа [14]. Дислокационные состояния в Ge менее сильно локализованы, чем соответствующие состояния в Si [7]. На рис. За приведены некоторые из одноэлектронных спектров, рассчитанных Марклундом для Si при заданном параметре растяжения связи (р = 0,4, см. [7]).

ЗАРЯДЫ ЯДЕР И ИХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Для заданного набора одноэлектронных уровней в дислокации энергия каждого следующего электрона или дырки, добавляемых к ядру, сильно зависит от числа уже существующих зарядов в силу их электростатического взаимодействия. Поскольку потенциал взаимодействия может только слабо изменяться в пределах полуширины 「° собственных функций состояний ядра, можно принять простую аппроксимацию, что электростатический потенциал жестко задает весь спектр состояний для ядра дислокации. Тогда свободная энергия, нормированная на одно дислокационное состояние, может быть записана в следующем виде [16]:

F = (E0^EF)f + E6l (h^TS^ (1)

где f——коэффициент заселенности дислокационных состояний (f = 0 для нейтрально заряженной, /〉0 для отрицательно заряженной и f V 0 для положительно заряженной дислокации) .Величина линейного заряда дислокации равна Q = ——е//6; Ео ——нижняя граница пустой дислокационной зоны, верхняя граница полной или граница заселенности в нейтральном состоянии наполовину заполненной дислокационной зоны, Ен ——энергия электростатического взаимодействия всех зарядов в дислокации или вокруг нее, S ——энтропия всех электронов во всех состояниях в ядре. В состоянии термического равновесия dF/df = 0 и энергия Ферми имеет вид

Ef = E°+響-Т/. ⑵

Рид [17] подсчитал конфигурационную энтропию для пустой зоны

將=ZHn((l-f)/f)・(3)

Рис. 36. Рассчитанное положение уровня Ферми для различных отношений заселенности для наполовину заполненной зоны (/), заполненной зоны (2), пустой дислокационной зоны [16].

Электростатический потенциал поля сил дальнодействия при еУ《kT можно записать в виде

Нг)=芻凡(£),⑷

Л 2或т

一 е2 (n0 + Ро) 4л

(8 — диэлектрическая постоянная, по, Ро — начальные концентрации электронов и дырок соответственно, Ко — функция Ханкеля 〜——In г]к для 厂 V 入).Тогда

曙=符{吟+ ；("•+1)}•俗)

Второй член в правой части появляется за счет перекрывающихся потенциалов и экранирования различных дислокаций (必小 Nca — примесные концентрации доноров и акцепторов). На рис. 36 показаны теоретические кривые Е尸⑴，соответ^ ствующие уравнениям (2), (3), (5) (без учета перекрывания).

Эффект Холла позволяет экспериментально измерять среднюю концентрацию электронов и дырок〈％〉，〈"〉，что за-

дает положение уровня в р-материале в п-материаледает положение уровня в р-материале в п-материале0/00/0оо里 03^里 03^Рис. 4. Теоретические (сплошная и штриховая линии) и экспериментальные значения £尸(/， для p-Ge (а) и p-Si (b) [16]. Nd — плотность электрически активных дислокаций.Рис. 4. Теоретические (сплошная и штриховая линии) и экспериментальные значения £尸(/， для p-Ge (а) и p-Si (b) [16]. Nd — плотность электрически активных дислокаций.

дает положение уровня в р-материале в п-материале

дает положение уровня в р-материале в п-материале

0/0

0/0

о

о

里 03^

里 03^

Рис. 4. Теоретические (сплошная и штриховая линии) и экспериментальные значения £尸(/， для p-Ge (а) и p-Si (b) [16]. Nd — плотность электрически активных дислокаций.

Рис. 4. Теоретические (сплошная и штриховая линии) и экспериментальные значения £尸(/， для p-Ge (а) и p-Si (b) [16]. Nd — плотность электрически активных дислокаций.

Ферми 廃 в запрещенной зоне:

(6)(6)Ef = kT In (e。产/⑺)，

(6)

(6)

EF = Eg — hTM(CcT3R卜自,

где СаТз/2, СсТЗ/2 ——эффективные плотности состояния в ва-лентной зоне и зоне проводимости. Значение f находится из

условия сохранения зарядов

⑺⑺f (N/b)=⑺一％ или f (N/b) = 〃о —〈叫

⑺

⑺

где ^ — плотность дислокаций.

На рис. 4 и 5а экспериментальные значения измерений эффекта Холла сравниваются с теоретическими значениями

(см. рис. 36) для деформированных при высокой температуре p-Ge и p-Si, содержащих преимущественно полные 90°-ные (рис. 4) или винтовые дислокации (рис. 5а). Штриховые «хвосты» кривых на рис. 4 соответствуют перекрываниям областей экранирования соседних дислокаций, т. е. неполному экранированию (см. уравнение (5), последний член в правой части).

Для материала p-типа типичны значения коэффициента

достигают 30 % (при этом перестает соблюдаться использованная выше линеаризация). Для границ зерен (возможно, и для поверхностей трещин) значения f гораздо меньше, что обусловлено двумерным электростатическим взаимодействием.

Возникает вопрос, которой же из зон частичных дислокаций может соответствовать Е。/? В случае полной винтовой дислокации £02 и £01 пустой и заполненной зон должны принадлежать 30°-ной частичной дислокации. Si и Ge при высокотемпературном сжатии содержат в основном полные краевые дислокации, следовательно, измеренные значения £о, скорее всего, принадлежат 60°-ным частичным дислокациям. Для Ge это является наиболее подходящим объяснением, тогда как для Si, деформированного при 782 ℃, Шрётер и др. [19] успешно смогли представить £>(f) комбинацией заполненной и пустой зон, разделенных интервалом 0,27 эВ с центром в Ео = 0,31 эВ (при 300 К).

В последние годы для исследования электронных энергетических уровней дислокаций стали применяться все более эффективные электрические и оптические методы. Некоторые

из них дают возможность измерить не только наивысшие (заселенные) состояния, как это позволяет эффект Холла, но также ширину дислокационной зоны и заполненные и незаполненные состояния в любом месте запрещенной зоны. Отметим такие методы, как метод подвижности носителей [3],

Рис. 56. Положение энергии заполненной зоны винтовой дислокации Еоз пустой зоны винтовой дислокации Е02 и наполовину заполненной зоны краевой дислокации Ео [16], все значения при 300 К. Виден изгиб зон для отрицательно заряженной краевой дислокации, тогда как винтовая нейтральна. Для случая положительной заряженности зоны будут изгибаться вниз.

оптического поглощения [20], люминесценции [21], фотопроводимости [22], спектроскопии пропускания глубоких уров- ней】)[23], емкости диода при деформировании [24], ЭПР [25, 31], микроволновой проводимости [26]. Результаты, однако, не всегда поддаются сравнению и интерпретации, особенно если сравниваются образцы, деформировавшиеся при различных температурах.

СКОРОСТЬ ДИСЛОКАЦИЙ, ТЕРМИЧЕСКАЯ АКТИВАЦИЯ

Наличие ковалентных связей в структуре алмаза обусловливает более узкие ядра дислокаций, чем в металлах, и следовательно, более высокий потенциал Пайерлса. Дислокации преодолевают его благодаря термически активированному образованию и миграции кинков. Если / двойных кинков возникли на один сантиметр дислокации за 1 с и кинки мигрируют со скоростью vk、а затем взаимно уничтожаются, то скорость дислокации будет равняться v «& V^x^- Как обычно,

^ = ^коехр(~- EKW/kT)t

/ = /о(т)ехр(—统尸(力/G

Q В оригинале： метод PLTS Deep Level Transient Spectroscopy.

Здесь /о ——усложненная функция напряжений [27], поскольку обнаружено, что дислокации стеснены через каждые I ^ 0,5 мкм [28] и соседство (зависящее от напряжений) таких участков стеснения (ступенек) исключено из-за образования кинков. Величина /, по-видимому, зависит от процессов термически активированного образования и исчезновения кинков следующим образом [27, 28]:

/ = Zo exp (— s/kT).(9)

Можно считать, что такие ступеньки будут служить препятствиями для миграции кинков и EKW может быть определено из условия преодоления этого препятствия. Результаты, относящиеся к внутреннему трению [29], по-видимому, указывают, что вторичный потенциал Пайерлса, требуемый для миграции кинков, сам по себе весьма невелик, но окончательно это еще не выяснено [8]. Следующий важный вопрос: образуются ли кинки в обеих частичных дислокациях одновременно или независимо [30] ? Это определяется положением уровня напряжений т по отношению к критическому напряжению тс » 3y/4d0 (Y — энергия дефекта упаковки, d。— ширина зоны расщепления на частичные дислокации). В настоящей работе мы считаем, что т > & ^ 10 МПа и двойные кинки образуются независимо в обеих частичных дислокациях. Тогда Edf есть энергия образования двойного кинка на единичной частичной дислокации, зависящая от напряжений, с которыми два кинка из пары притягиваются друг к другу, следующим образом:

Edf =々ю — а Vх ~ %

Все это вместе взятое приводит к следующему выражению для скорости дислокаций [30]:

и = &f (т) ехр (— (Em + Ekw + 叫2々丁)=

=&f (т) ехр(- U/kT) = Bf (т),(10)

где функция f(t) в области высоких напряжений может быть аппроксимирована зависимостью Vй (т = 1,35 -— 1,65) [30]. Экспериментальное значение энергии активации равно 〜1,5 эВ в германии и 2,2 эВ в кремнии (т > тс). Мёллер [30] рассматривает также случай т < тс и образование единичных кинков на поверхности, чтобы разделить различные члены в уравнении (10). Подробная теория, позволяющая рассчитывать состояния текучести и начальной ползучести кристаллов с кубической алмазной структурой на основе динамики дислокаций, а также их размножения и взаимр- дейстрия, ^ыла развита в работе [1],

ПОДВИЖНОСТЬ ДИСЛОКАЦИЙ, ОБУСЛОВЛЕННАЯ ЗАРЯДАМИ

Стало уже понятно, что даже при относительно высокой температуре деформирования дислокации будут заряжены вследствие любого отклонения неискаженного уровня Ферми от нейтральной границы заселенности дислокационных состояний. При уровне легирования, не нарушающем собственное состояние кристалла, Ef определяется только температурой, а при уровне легирования, выходящем за эти рамки

Рис. 6. Скорость 60°-ных дислокаций в легированном Si по отношению к той же скорости в кремнии в собственном состоянии как функция положения уровня Ферми при 600℃ [19].

(Nc》1018 см~3 для Ge, 500℃), —еще и электрически активным примесным раствором. На рис. 6 показано относительное изменение скорости 60°-ных дислокаций в кремнии при 600℃, связанное с легированием как функция положения Ef в запрещенной зоне [19].

Указанное изменение в значительной степени обусловлено изменением энергии активации в выражении для и: от 2,16 эВ для кремния в собственном состоянии до 1,5 эВ для случая легирования 1„4-1019 n/см3. При этом, однако, коэффициент Во в уравнении (10) также меняется с 107 до 104 см/с, тогда как показатель m степенной зависимости f от напряжений не меняется. Для случая винтовых дислокаций в Si изменения и при легировании аналогичны соответствующим изменениям для 60°-ных дислокаций. В германии же легирование примесями /г-типа увеличивает у6о°, тогда как легирование примесями p-типа уменьшает и6о° при 500℃ [2]. Такую разницу между кремнием и германием следует ожидать, поскольку положение дислокационного уровня £&°° в этих двух материалах различно: в германии уровень находится так низко в запрещенной зоне, что легирование примесями р-типа будет приводить к разряжению этого уровня относительно заряженного собственного состояния при 500 ℃ [2]. В кремнии, где £^°° = 0,34 эВ (300 К), при легировании примесями р-типа

возникает заряд противоположного знака, приводящий к симметричному по отношению к вызываемому легированием примесями /г-типа отклонению уровня Ферми от £0 (см. рис. 6). Положение зон для винтовой дислокации в кремнии пока неизвестно.

Количественная оценка влияния легирования на энергию активации для случая образования двойного кинка основывается на учете дестабилизирующего влияния линейного заряда на собственную энергию дислокации [5]. Воспользовавшись сравнением Фриделя [32] значений упругой собственной энергии изогнутой и прямолинейной дислокаций, можно с помощью уравнения (5) найти энергию на единицу длины (см) заряженной краевой дислокации:

般= 4# = 0)(1-謐尸)， (11)

где 诔——модуль сдвига. Для кремния е2/е& = 0,32 э琰 诔匕3/8= =1 эВ и f 0,6 при Ned = 1,4* Ю19 см~3 при 700℃ [15]. Таким образом, значение 七丄 понижается на 12 %. Энергия образования двойного кинка Eqo равна (8&/л) ^EpnEl [32], где Epn — высота барьера Пайерлса на единицу длины. Эта величина в нашем примере понизится на 6 %, а вообще говоря, будет снижаться пропорционально 尸,т. е. в соответствии с уравнением (5) можно в грубом приближении сказать, что будет снижаться пропорционально квадрату изменения Ef. Последнее подтверждается экспериментами (см. рис. 6), хотя абсолютная величина изменения слишком мала (примерно в шесть раз меньше). Возможно, &% также меняется при легировании, по крайней мере пропорционально изменению модуля сдвига. Последнее само по себе недостаточно [1].

Еще больший выигрыш в энергии при образовании двойного кинка может возникнуть за счет заселения электронных состояний в самих кинках [9]. Заряженные кинки являются независимыми объектами в статистической термодинамике, и их конфигурационные перестановки с нейтральными кинками увеличивают энтропию системы, приводя к более высокому уровню равновесной концентрации кинков при Г > 0. Подвижность кинка может быть также изменена за счет его заряда [33], т. е. если Е^ вносит наибольший вклад в энергию активации в выражении для v (см. уравнение (10)) — что на данный момент не выяснено, — то к изменению Еро следует добавить АЕк%. В настоящее время слишком многие факторы неизвестны для того, чтобы можно было количественно описать влияние легирования на скорость v. То же самое можно сказать про изменения 力 вызванные освещением

(фотомеханический эффект) или изгибом энергетических зон вблизи заряженной поверхности (хемомеханический эффект) (см. [15]),

ВЕРШИНА ТРЕЩИНЫ И ЭМИССИЯ ДИСЛОКАЦИЙ

Материал, приведенный в предыдущих разделах, позволяет в какой-то степени получить представление о динамике дислокаций в полупроводниках в зависимости от температуры, напряжения и положения уровня Ферми. Уровень

Рис. 7. Расчетная структура вершины трещины при коэффициенте интенсивности напряжений К = 0,425 МН-м3/2 для двух параллельных плоскостей {011}(■，•) [34].

Ферми по отношению к электронным уровням в частичных дислокациях определяет заряд дислокации. Мы уже видели, что уровни и заряд существенно зависят от структуры ядра дислокации ——имеются ли там ненасыщенные связи или произошла перестройка. Аналогичные соображения применимы и к поверхностям или внутренним поверхностям, таким, как границы зерен или поверхности трещин. Модельные расчеты типа тех, которые проводил Марклунд для пар дислокаций [7], в случае трещин проводить трудно из-за возникающих здесь дальнодействующих напряжений. Единственный расчет для трещины в структуре алмаза проведен Синклером [34]. Он принимает гармоническими типа Морса силы растяжения и изгиба связи, тогда как Марклунд считал необходимым использовать ангармонический потенциал Китинга, учитывая большие деформации в ядре [7]. Сходимость расчетов могла быть достигнута только для значений коэффициента интенсивности напряжений К в окрестности гриффитсовского значения Кео = 0,41 МН・м~з/2 (относительно определений К

и Кео см. статьи Томсона и Нотта). Существовали устойчивые трещины с краем, совпадающим с направлением [011], со значениями К на 5—20 % больше и меньше, что указывает на энергетический барьер пайерлсовского типа для расширения и закрытия трещины порядка 0,1—0,3 эВ на один атомный слой («решеточный захват трещины») в зависимости от выбора потенциала. Трещины с другими ориентациями края

ООООООООООООО о ооооооK/Kg=VО о ооооооK/Kg=VООООООООО n оооооо 0 0 00 000 0di5；'00 0 00 0 ОООООООС^оРЪоОООО 0coeо оооооо Линейное ynpgzoe / смещение

ОООООО

ОООООО

О о ооооооK/Kg=V

О о ооооооK/Kg=V

Рис. 8. Положение атомов в вершине трещины при уровне нагрузки, вызывающем величину коэффициента интенсивности напряжений, на 14 % большую гриффитсовского значения [36].

содержат кинки, которые приходят в движение, когда превышается потенциал кинка, соответствующий примерно 1/10 приведенной выше величины. На рис. 7 показана типичная расчетная структура вершины трещины при К = 0,425 МН-м~3/2, которая качественно согласуется со структурой, рассчитанной по континуальной теории.

Возникает вопрос, будет ли трещина затупляться при приложенном напряжении, т. е. будет ли из ее вершины происходить эмиссия дислокаций? Экспериментальные данные дают, несомненно, положительный ответ на этот вопрос для Т > Тс, как будет показано ниже для кремния, свободного от дислокаций в начальный момент. Континуальный расчет Райса и Томсона [35] дает значение энергии, достаточное для зарождения дислокационной полупетли в поле напряжений от вершины трещины в кремнии, равное 111 эВ, при критическом диаметре петли, равном 40b. Это явно исключало бы затупление трещины, что противоречит эксперименту. В работе Тайсона [36] приведен обзор трех выполненных к настоящему времени расчетов на атомном уровне, некоторые из них включают эффекты тепловых колебаний. Природа вязкого разрушения при Т = 0 показана на рис. 8.

Согласно расчетам на атомном уровне, характерным барьером для образования дислокации на расстоянии 2,76 от вершины трещины при 7 = 0 является высота 0,14ц62, при 800 К она равна 0,03卩6?. Для критической петли длиной 40& соответствующими значениями энергии активации в кремнии будут 6,3卩％з и 1,3卜山3 или 50 и 11 эВ соответственно, что все еще слишком высоко для термической активации. Если вблизи трещины зарождается единичная частичная дислокация с Ьр = а/6 [112], то 卩匕3 уменьшается в 3?/2 ^ 5,2 раза. Однако к уравнению баланса энергии следует добавить энергию «шлейфа», тянущегося за частичной дислокацией. Это приведет к значению 0,017 эВ/Ь^ = 0,5 эВ для критической длины 23b петли частичной дислокации. Энергия активации, требуемая для образования петли, содержащей дефект упаковки, становится, таким образом, равной 6,5 эВ при Т = 0 и 1,8 эВ при более высоких температурах. Последняя величина, будучи подставлена в обычную формулу Аррениуса, дает разумные величины скоростей зародышеобразования в кремнии при 1100 К, где действительно наблюдалась эмиссия дислокаций из вершин трещин. Таким образом, вопрос теперь заключается в том, будут ли они двигаться достаточно быстро, чтобы вызвать затупление трещины, которая находится в подвижно-равновесном состоянии, т. е. чтобы вызвать хрупко-вязкий переход.

ХРУПКО-ВЯЗКИЙ ПЕРЕХОД В КРЕМНИИ

Сент-Джон [37] провел серию экспериментов по разрушению свободных от дислокаций монокристаллов кремния с предварительно нанесенными трещинами в интервале от —196℃ до 1000℃ при различных скоростях деформаций. Трапецеидальная форма тонкой пластинки Si обеспечивает при нагружении вдоль линии трещины по типу I (условия нормального к трещине отрыва) высокие значения К при низких номинальных напряжениях, а также лишь слабую зависимость К от длины трещины. На рис. 9 показана взаимосвязь трещины с кристаллографией (край трещины будет содержать кинки, см. [38]).

На рис. 10 приведены кривые нагрузка — смещение для трех температур, в пределах которых совершается хрупковязкий переход. При более низких температурах образец разрушается при постоянном критическом коэффициенте интенсивности напряжений Кео ^ “2£\, где Е ——модуль Юнга, а V = 2700 эрг-с/см2 — поверхностная энергия разрушения. Остановка трещины происходит при О,9Ксо・ При более высоких температурах Кс резко возрастает, тогда как рентгенов-

ская топография обнаруживает образование ограниченной пластической зоны до того, как начнется разрушение об-

Рис. 9. Плоскости скольжения и трещина [37]. Плоскость трещины %, 2 = ==(111); фронт трещины (ось 2)= [112]; направление трещины (ось х)= = [Т10].4Рис. 9. Плоскости скольжения и трещина [37]. Плоскость трещины %, 2 = ==(111); фронт трещины (ось 2)= [112]; направление трещины (ось х)= = [Т10].42 工о工 mseo2 工о工 mseo

Рис. 9. Плоскости скольжения и трещина [37]. Плоскость трещины %, 2 = ==(111); фронт трещины (ось 2)= [112]; направление трещины (ось х)= = [Т10].

4

Рис. 9. Плоскости скольжения и трещина [37]. Плоскость трещины %, 2 = ==(111); фронт трещины (ось 2)= [112]; направление трещины (ось х)= = [Т10].

4

2 工о工 mseo

2 工о工 mseo

+1 [^-Отклонение25мкм

Рис. 10. Кривые нагрузка — смещение для трех температур [37].

разца. При увеличении температуры еще на несколько градусов наблюдается общее пластическое течение при значениях К& падающих здесь с увеличением Т (рис, 11), что типично для предела текучести кремния.

Рассмотренный переход происходит очень резко и сильно зависит от скорости деформации в вершине трещины 6 = =СК, где С = 4 -10-6 см5/2・Н~~1 — податливость машины. Рентгеновские топограммы, приведенные в работе Сент- Джона [37] и более поздней работе Джорджа и др. [38], показывают форму пластической зоны в окрестности первоначальной вершины трещины, систему линий скольжения

Рис. 11. Критические значения коэффициентов интенсивности напряжений при разрушении или течении в функции температуры при различных скоростях деформации в вершине трещины [37].

и дают оценку плотности дислокаций. У неподвижной вершины трещины, так же как и у движущихся вершин трещин, дислокации никогда не наблюдались на низкотемпературном плато Кс. В пластической зоне Джордж и др. [38] обнаружили 106 дислокаций на 1 см2 в радиусе 10 мкм и вне этой области в радиусе 104 см~2 всего около 100 дислокаций.

Попробуем дать обоснованное теоретическое описание динамики образования пластической зоны, основанное частично на идеях Сент-Джона [37], но при этом постараемся не учитывать некоторые представления, усложняющие рассмотрение (такие, как《предел текучести» в свободном от дислокаций материале), с тем чтобы получить качественное сопоставление. Максимальное напряжение в вершине трещины, действующее перпендикулярно плоскости разрушения,

зависит от радиуса р в вершине трещины следующим образом:

^шах = ^^1 Л^^Р*(12)

Если Отах достигает напряжения скола Е/10, начинается разрушение. Величина р представляет собой сумму двух компонент, одна из которых обусловлена упругими, а другая — пластическими деформациями вблизи вершины трещины. Вторая связана со ступеньками на поверхности трещины, которые образуются в результате эмиссии из вершины п дислокационных петель, а первая р^ должна быть порядка нескольких векторов Бюргерса (无об), судя по значению Кео при низких температурах. Таким образом,

р = 6 向 + 九(%)).(13)

Суммарная скорость образования новых дислокаций будет определяться скоростью, с которой они двигаются в направлении от вершины трещины:

Л = у (т*)/А,(14)

где Д ——расстояние между дислокациями в их ряду, а т* — напряжение, которое определяет их скорость v. Значение т* выводится из следующих соображений: тензор напряжений Sj в вершине трещины имеет в полярных координатах (с началом в вершине трещины) сдвиговую компоненту

。尸备1H0)=片(15)

(屮 ——комбинация тригонометрических функций,卩 ——коэффициент Шмида). Дифференцирование по времени (при постоянных т,屮)дает

_ 9 ке卩2з2 _ к8卩2状 厂 —N т2 2冗—

Контур изолинии т удаляется от вершины тем быстрее, чем меньше т. С другой стороны, чем меньше т, тем медленнее движется дислокация, вызванная этим напряжением. Эти два противоположных эффекта приводят к выводу, что дислокация будет двигаться по особому контуру т*, для которого 。(工*)=广(工*) (см. уравнения (10), (16)). Воспользовавшись данными из работ [1, 37], получаем оценку т* ^ 10 МПа. Такая величина представляется разумной, если сравнить на・ блюдавшуюся экспериментально ширину пластической зоны (500 мкм), образовавшуюся за 120 с, с измеренными величинами у(т) [30]. Это не похоже на динамическое скопление дислокационного ряда [39], таким образом, расстояние Л между следующими одна за другой дислокациями должно

быть постоянным. Грубую оценку А можно получить через расстояние между петлями Франка — Рида: Д = О6/т* ^ ^ 1 мкм.

Таким образом, теперь собраны все необходимые сведения для сравнения с экспериментом с тем, чтобы определить

Рис. 12. Скорость деформации в вер-шине трещины как функция темпера-туры перехода в соответствии с урав-нением (18) [37].Рис. 12. Скорость деформации в вер-шине трещины как функция темпера-туры перехода в соответствии с урав-нением (18) [37].10^10^0,8 0,9 1,0 1,11/гс,к*1*ш-30,8 0,9 1,0 1,11/гс,к*1*ш-3Температура,℃ о 2 о о о о о о о о —О 6 8 LТемпература,℃ о 2 о о о о о о о о —О 6 8 LHnw/wu 吟 HHa№s gEJOs-太Hnw/wu 吟 HHa№s gEJOs-太

Рис. 12. Скорость деформации в вер-шине трещины как функция темпера-туры перехода в соответствии с урав-нением (18) [37].

Рис. 12. Скорость деформации в вер-шине трещины как функция темпера-туры перехода в соответствии с урав-нением (18) [37].

10^

10^

0,8 0,9 1,0 1,1

1/гс,к*1*ш-3

0,8 0,9 1,0 1,1

1/гс,к*1*ш-3

Температура,℃ о 2 о о о о о о о о —О 6 8 L

Температура,℃ о 2 о о о о о о о о —О 6 8 L

Hnw/wu 吟 HHa№s gEJOs-太

Hnw/wu 吟 HHa№s gEJOs-太

температуру хрупко-вязкого перехода Тс, где все еще возни кает скол, несмотря на наличие затупления:

откудаоткуда=к% в ( Кс& 卩師г ~ Кс 2М1о \ в яС"丿=к% в ( Кс& 卩師г ~ Кс 2М1о \ в яС"丿Cexp[-UiTc)]Cexp[-UiTc)](47§У+2(^Гв0-(47§У+2(^Гв0-(17)(18)(17)(18)

откуда

откуда

=к% в ( Кс& 卩師г ~ Кс 2М1о \ в яС"丿

=к% в ( Кс& 卩師г ~ Кс 2М1о \ в яС"丿

Cexp[-UiTc)]

Cexp[-UiTc)]

(47§У+2(^Гв0-

(47§У+2(^Гв0-

(17)

(18)

(17)

(18)

Из рис. 12 видна пропорциональная зависимость между скоростью деформации и подвижностью дислокаций при температуре Тс, полученная в экспериментах Сент-Джона [37]. Для кремния в собственном состоянии U = 1,9 эВ, что хорошо согласуется с величиной 2,2 эВ, полученной из экспериментов по прямому измерению скорости в области высоких напряжений [30]. Численное согласие достигается в уравнении (18) при m= 1,快=f= 1/3, Кс(1000 К) = 4500 Н/см3^, т. е. 〃 = 250, и эта величина представляется вполне разумной.

Единственный параметр теории, который до сих пор непосредственно в экспериментах не найден, это расстояние А. Его можно было бы измерить с помощью метода высоковольтной электронной микроскопии, как это сделали Ор и др. [40] для молибдена и нержавеющей стали. Возможно, что А определяет протяженность зоны, свободной от дислокаций, какую Ор с коллегами наблюдали вблизи вершины трещины.

Было бы интересно также повторить эксперименты Сент- Джона с кремнием, сильно легированным примесью типа п, где U и Тс должны быть на 30 % ниже при той же скорости деформации. Интересно отметить, что наш размер пластической зоны в 0,5 мм при длине трещины 10 мм совпадает с предсказываемым по '(статической) теории Билби, Коттрелла и Свиндена [41], если считать, что п = 250 дислокациям, а т* равно напряжению трения. В недавней работе [42] описаны наблюдения эмиссии дислокаций из вершины трещины, когда разрушение совершается за счет растяжения связи. Подчеркивается, что условие разрыва связей в самой вершине трещины есть только необходимое, но не достаточное условие разрушения. С точки зрения термодинамики для того, чтобы наступило разрушение, в процессе затупления трещины должна выделиться большая энергия, чем затраченная пластическая работа. В нашей модели эти два критерия приводят к более или менее идентичному выражению для б в уравнении (18) (за исключением нескольких геометрических множителей). Таким образом, это является необходимым и достаточным условием скола в вершине трещины при наличии затупления.

выводы

В настоящей работе мы постарались показать, что полупроводники типа кремния являются весьма интересными материалами для изучения атомной природы разрушения. Такие материалы могут существовать в бездислокационном состоянии, в то же время дислокации могут быть в них введены воспроизводимым образом. Подвижность дислокаций в такого рода полупроводниках сильно зависит от температуры и легирования, т. е. от параметров, которые легко контролировать, и слабо зависит от напряжения, которое иногда бывает проконтролировать трудно. Дислокации в них движутся медленно; таким образом, материал становится хрупким при обычной температуре, при которой он обладает хорошо выраженной плоскостью скола. Электронные процессы в полупроводниках хорошо изучены, и пользуясь этим, можно составить представление о заряде дефекта решетки. Трудность заключается в сложной атомной структуре дефектов,

т. е. дислокаций, которая до сих пор не объяснена в достаточной степени, несмотря на относительную простоту межатомной связи. Электронная структура, состояния и заряды берегов трещины нуждаются в дальнейшем атомистическом описании, так же как и проблема образования зародышей (частичных) дислокационных петель в вершине трещины при увеличении температуры в решетке, которая в ином случае будет идеальной. Теория разрушения, учитывающая затупление вершины трещины, построенная для кремния, может быть в принципе полезной также и для о. ц. к.-металлов и ионных кристаллов с низкой плотностью (подвижных) дислокаций. Правда, в этом случае появляется, как правило, более высокое значение показателя степени m при напряжении в выражении для скорости дислокаций (и более низкая энергия активации) в области их хрупко-вязкого перехода, что значительно усложняет проведение фундаментальных экспериментов типа тех, что проводились на кремнии.

Автор выражает благодарность В. Шрётеру, который прочел рукопись и высказал свои критические замечания.

ЛИТЕРАТУРА

Alexander Н., Haasen Р. Dislocations and Plastic Flow in the Diamond Structure. — Sol. St. Physics, 1968, 22, p. 28.

Patel J. R., Chaudhuri A. P. Charged Impurity Effects on the Deformation of Dislocation-free Ge. — Phys. Rev., 1966, 143, p. 601.

Labusch R., Schrdter W. Electrical Properties of Dislocations in Semiconductors. — In: Dislocaton in Solids, Vol. 5, F. R. N. Nabarro, ed.— Amsterdam: North Holland, 1980.

Gutmanas E. Y., Haasen P. Photoplastic Effect in CdTe. — J. Phys., 1979, 40, p. C6 — 169.

Macmillan N. H., Huntington R. D., Westwood A. R. C. Relationship Between ^-Potential and Dislocation Mobility. — Philos. Mag., 1973, 28, p. 923.

Haasen P. Kinkenbildung in geladenen Versetzungen. — Phys. Stat. Sol. (a), 1975, 28, p. 145.

Schrdter W., Haasen P. The Chemomechanical Effect in Semiconductors. —In: Surface Effects in Crystal Plasticity, Latanision R. M. et al., ed. — NATO Adv. Study Inst, Ser. E17, 1977, p. 681.

Marklund S. On the Core Structure of Glide Set 90° and 30° Partial Dislocations, in Si — Phys. Stat. Sol. (b), 1980, 100, p. 77. Electron States Associated with Partial Dislocations in Si. — Phys. Stat. Sol. (b), 1979, 92, p. 83.

Jones R. Theoretical Calculations of Electron States Associated with Dislocations.—J. Phys., 1979, 40t p. C6—33.

Hirsch P. B. Mechanism for the Effect of Doping on Dislocation Mobility. —J. Phys., 1979, 40, p. C6—117..

Ray I. L. F., Cockayne D. J. H. The Dissociation of Dislocations in Si.— Proc. Roy. Soc., 1971, A32 5, p. 543.

Alehander H- Structure and Mobility of Dislocations in Semiconductors.

In: Dislocations in Solids, Nabarro F. R. N., ed. — Amsterdam: North Holland (в печати).

Bourret A., Anterroches C. D. High Resolution Studies of Dislocations and Grain Boundaries. — 37th Ann. Proc. Electr. Microsc. Soc. Amer., 1979, p. 388.

Moller H.-J. Structure and Energy on High Angle Grain Boundaries in Si. — Philos. Mag., 1981, 43A, p. 1045.

Winter S. Bound Electron States Close to the Conduction Band in Ge due to 60° Dislocations. — Phys. Stat. Sol. (b), 1977, 79, p. 637.

Internal. Symposium on Dislocations in Semiconductors, Hunfeld, Collo- que 6. — J. Phys., 1979, 40, p. C6.

Labusch R., Schroter W. Electrical and Optical Properties of Dislocations in Semiconductors. — Inst. Phys. Conf. Ser., 1975, 23, p. 56.

Read W. T., Jr. Theory of Dislocations in Ge. — Philos. Mag., 1954, 45, p. 775..

Wagner R., Haasen P. Electronic States at Screw Dislocations in Ge.— Inst Phys. Conf. Ser., 1975, 23, p. 387.

Schroter W., Scheibe E., Schon H. Enegry Spectra in Si and Ge.— J. Microsc., 1980, 118, p. 23.

Schaumburg H., Willman F. Optical Absorption of Plastically Deformed Ge. — Phys. Stat. Sol. (a), 1976, 34, p. K173.

Gwinner D., Labusch R. Lumminiscence of Screw Dislocations in Si.— Phys. Stat Sol. (a), 1981, 65, p. 99.

Mergel D., Labusch R. Optical Excitation of Dislocation States in Ge.— Phys. Stat. Sol. (a), 1977, 41, p. 431; 42, p. 165.

Patel J. R., Kimerling L. C. Dislocation Defect States in Si. — J. Phys., 1979, 40, p. C6—67.

Mantovani S., Mazzega E. Dislocation Electronic States from Schottky Diodes in Si. — J Phys., 1979, 40, p. C6—63.

Grazhulis V. A. Application of EPR and Electrical Measurements to Study Dislocation Energy Spectrum in Si — J. Phys., 1979, 40, p. C6—69.

Grazhulis V. A., Kveder V. V., Mukhina V. Yu. Investigation of the Energy Spectrum in Dislocated Si. — Phys. Stat. Sol. (a), 1977, 44, p. 107.

Рыбин В. В., Орлов А. Н. Подвижность дислокаций в кристаллах с высоким пайерлсовским барьером.——Физ. твердого тела, 1969, 11, № 12, с. 3605—3608.

Packeiser G. On the Correlation of Constriction with Jogs in Dissociated Dislocations in Ge. — Philos. Mag., 1980, 41, p. 459.

Ohori H., Sumino K. Internal Friction in Deformed Ge Crystals at Low Temperatures. — Phys. Stat. Sol. (a), 1972, 14, p. 489.

Moller H. J. Statistics of Kink Formation on Dissociated Dislocations.— J. Phys., 1979, 40, p. C6—123.

Weber E., Alexander H. EPR of Dislocations in Si. — J. Phys., 1979, 40, p. C6—101./

Friedel J. Dislocations. -- Oxford: Pergamon Press, 1964.

Jones R. Structure of Kinks on 90° Partials in Si and Strained Bond Model for Dislocation Motion. -- Philos. Mag., 1980, 42, p. 213.

Sinclair J. E. Influence of Interatomic Force Law and Kinks on the Propagation of Brittle Cracks. — Philos. Mag., 1975, 31, p. 647.

Rice J., Thomson R. Ductile vs. brittle behaviour of crystals. — Philos. Mag., 1974, 29, p. 73.

Tyson W. R. Atomistic Simulation of the Ductile-brittle Transition. — In: Fracture 1977, 2a, p 159. — Oxford: Taplin Pergamon, 1977.

St. Johns C. The Brittle-ductile Transition of Pre-cleaved Si Single Crystals. — Philos. Mag., 1975, 32, p. 1193.

Michot G., Badawi K., Abd el Halim A. R., George A. Observation par Topographic aux Rayons X de$ Configurations de Dislocations DevelQ<

pees a I'extremite d'une fissure dans le Si. — Philos Mag., 1980, 42, No. 2, pt. 1, p. 195—215

Rosenfield A. R, Hahn G. T. Linear Arrays of Moving Dislocations Emitted by a Source.——In: Dislocation Dynamics, Rosenfield A. R. et al, ed. — New York McGraw Hill, 1968, p. 255.

Kobayashi S., Ohr S. M. In situ Fracture Experiments in bcc Metals.— Philos. Mag., 1980, 42, p. 763.

Bilby B. A., Cottrell A. H., Swinden К. H. The Spread of Plastic Yield from a Notch. — Proc. Roy Soc., 1963, 272A, p. 304.

Jokl M. L., Vitek V., McMahon C. J. A Microscopic Theory of Brittle Fracture in Deformable Solids. — Acta Met., 1980, 28, p. 1479.

ДОПОЛНЕНИЕ.НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ МИКРОМЕХАНИКИИ АТОМИСТИКИ РАЗРУШЕНИЯ

Р. В. Гольдштейн

Реальным материалам присуща, как правило, совокупность характерных линейных масштабов, связанных с различными уровнями их 'структуры и микро- и макротекстуры, от атомных до вполне макроскопических. Поэтому вопрос о необходимости и необходимой степени учета структуры материалов при описании процессов деформирования и разрушения традиционно относится к числу основных в механике деформируемого твердого тела. Подходы к решению этого вопроса условно можно разделить на две группы: структурные и бесструктурные (в зависимости от того, имеются или нет среди определяющих параметров параметры размерности длины, входящие либо в уравнения движения, либо в определяющие уравнения, либо в дополнительные соотношения). Бесструктурные подходы — континуальные, структурные—могут быть как континуальными, так и дискретными или представлять их комбинацию.

Если при описании процессов деформирования во многих случаях применим бесструктурный подход, то при анализе разрушения, сопровождающегося возникновением и развитием трещин, структурный подход необходим. Это обстоятельство неоднократно подчеркивалось в работах по механике разрушения [1—6). Дело в том, что определение критических размеров трещины предусматривает наличие в модели определяющего параметра размерности длины — масштаба длин трещин. Последнее в свою очередь свидетельствует о наличии у материала характеристик трещиностой- кости, таких, например, как поверхностная энергия (энергия образования единицы новой поверхности в теле) или критический коэффициент интенсивности напряжений (строгие определения указанных характеристик имеются, в частности, в статьях [7, 8] сборника, а также в книгах [9—13]).

Наличие у материала структуры при бесструктурном описании его деформирования естественно находит отражение в том, что материальные константы и функции (функционалы), входящие в определяющие соотношения, уравнения

движения или дополнительные соотношения оказываются структурно чувствительными. Соответствующие зависимости могут быть определены непосредственно в результате экспериментов (п. 4) или путем расчета на основе модельных представлений о строении материала и анализа перехода от дискретного рассмотрения к континуальному.

Второй путь применительно к описанию упругого деформирования намечен еще в работах Коши, Пуассона [14] и развит Борном [15] и Лявом [14]. В простейшем случае кристаллическое тело моделируется некоторой решеткой, задаются массы частиц, помещенных в узлах решетки, закон силового взаимодействия между ними и записываются уравнения движения системы частиц. Затем применяется тот или иной прием перехода от этих уравнений к уравнениям движения континуума.

Многообразие мыслимых дискретных моделей и неоднозначность способов предельного перехода порождают трудности, связанные с тем, что не всякая дискретная модель в пределе приводит к континуальному описанию, которое адекватно опыту. Так, модель и метод расчета, использованные Коши [14], привели к уравнениям теории упругости, в которых постоянные Ламе совпадают:厶=р.

Естественно осуществлять переход от уравнений колебаний решетки к уравнениям Ламе в длинноволновом приближении (см., например, [ 16]). Для того чтобы при этом действительно получились уравнения теории упругости, параметры решетки должны удовлетворять некоторым ограничениям. Такого рода необходимые и достаточные условия на геометрию решетки и жесткости связей получены в [17, 18], где исследован класс плоских решеток с линейно-упругими связями. Одновременно получены выражения для постоянных Ламе через параметры решетки. Особенно прост переход от дискретных уравнений к континуальным в одномерном случае (цепочка взаимодействующих частиц) [18—20].

Расчет эффективных упругих постоянных материала при учете не только атомной, но и более сложной его структурной организации затруднителен и может быть выполнен при условиях, допускающих применение той или иной процедуры осреднения. В этом направлении, одном из основных в механике композитов, развиты многочисленные подходы как формально математические, так и с «физическим» уровнем строгости (обширную библиографию см., например, в [21—26])、

В результате осреднения при определенных свойствах до< предельных моделей могут получаться и структурные континуальные модели. Таковы, например, модели упругих сред с моментными напряжениями [18, 26],

Непосредственное использование решеточных моделей позволяет с единых позиций рассматривать процессы деформирования, зарождения, накопления трещин и дефектов и их развития. Исследования проводятся методами статики и динамики решетки. Представление о самих методах и характере получаемых с их помощью результатов дают работы [7, 27] сборника, а также [28—33]. При проведении расчетов по теориям решеток существенными этапами являются задание типа решетки и потенциала взаимодействия ее элементов, выбор расчетной области. В связи с этим подчеркнем следующие обстоятельства. Не всякий тип решетки допускает рассмотрение развития трещин. Некоторые решетки оказываются неустойчивыми при продвижении трещины и схлопываются [18] (например, плоская решетка с шестиугольными ячейками).

Дискретные решения не всегда сходятся к континуальным. Соответствующие условия и оценки сходимости для плоских решеток получены в [17, 18].

Ввиду ограниченных возможностей вычислительных средств большое распространение получили гибридные методы, в которых решеточная область погружается в континуум [7, 27, 32, 33]. Ключевым моментом здесь является способ задания краевых условий на стыке решетки и континуума. В частности, применяются методы так называемых «жесткой» и «гибких» границ. В связи с этим обратим внимание на альтернативную возможность получения точных краевых условий на границе решеточной области. Для решетки можно с помощью решеточной функции Грина записать аналог граничного интегрального уравнения [34]. Это позволяет, в частности, выделить конечную область решетки и на ее границе задать краевые условия в соответствии с граничным интегральным уравнением. Ситуация здесь вполне аналогична той, что возникает при совместном использовании метода конечных элементов и граничных интегральных уравнений при решении задач теории упругости (см., например, [35]).

Трудоемкость расчетов и близость их результатов к действительности в большой степени зависят от выбора потенциала взиамодействия элементов решетки [7, 23, 31]. В частности, оказывается [31], что при использовании сглаженного потенциала типа Л-Д, которому соответствует сила, имеющая ограниченную особенность в нуле, в равновесной конфигурации системы может произойти «слипание» точечных масс. Чтобы избежать этого, следует выбирать значение сглаженного потенциала в нуле в зависимости от начальной энергии.

Выбор потенциала существенно влияет и на обнаружив ваемые в результате расчета физические эффекты, связанные

с развитием разрушения. В частности, одним из существенных эффектов, присущих именно процессу роста трещины с учетом атомной структуры материала, является «решеточный захват», подробно обсуждаемый в [7, 27]. Решеточный захват связан с наличием в решетке барьера как для разрыва, так и для восстановления связи. Энергия решеточного захвата зависит от вида закона силового взаимодействия атомов. Возможность решеточного захвата приводит к существованию ограничений сверху и снизу на длину равновесной трещины в однородном поле растягивающих напряжений в отличие от ситуации, имеющей место в теории Гриффитса. Этот результат аналогичен полученному в [5] на основе аналитического рассмотрения трещин хрупкого разрушения как нетривиальных форм равновесия деформируемых упругих тел с учетом возможных форм равновесия атомов в решетках.

Рассматривая колебания атомов, можно рассчитать поверхностную энергию у при хрупком разрушении. Такого рода квантовомеханические расчеты выполнены, в частности, в [36] и дают для ряда материалов значения у, близкие к известным экспериментальным (при проведении расчетов использовались найденные из опытов по рассеянию нейтронов параметры дисперсионных кривых кристаллов).

Анализ энергетики в концевой области трещины при ее развитии в решетке проведен в работах [28—30]. Построены точные решения плоских и антиплоских задач о стационарном распространении полубесконечной трещины в квадратной и треугольной решетках и подсчитан поток энергии в концевую область трещины в зависимости от скорости ее роста и параметров структуры. Показано, что энергия, поступающая в концевую область трещины, идет на разрыв связей и высокочастотные колебания решетки. Соотношение между этими двумя частями энергии меняется при изменении скорости трещины. Оказывается, что минимум трещиностойкости (общей энергии, потребной для распространения трещины) достигается при скоростях, близких к половине скорости волны сдвига в случае антиплоской деформации и скорости волны Рэлея ——при плоской деформации решетки. В [28——30] и указанных там работах установлен и ряд других особенностей роста трещин в решетках.

В рамках моделей решеток естественно рассматривается и взаимодействие трещин с разного типа дефектами решетки, в частности с линейными дефектами — дислокациями. В [7, 27] довольно подробно обсуждаются характерные задачи такого типа. Среди них отметим эмиссию дислокаций из вершины трещины, устойчивость фронта трещины при образова-

нии одиночных* и двойных кинков, условия наступления вязкохрупкого перехода.

Многие вопросы, связанные с взаимодействием трещин и дефектов, рассматриваются и в рамках континуальных представлений в теории упругости (см., например, [9, 37—44] и указанную там литературу). Не останавливаясь на анализе работ этого направления, отметим некоторые моменты, важные при исследовании перехода от хрупкого разрушения к вязкому. .

Затупление или торможение трещины и связанный с ними хрупко-вязкий переход часто соотносят с эмиссией дислокаций из вершины трещины. Характерна в этом отношении работа [38], где считается, что хрупко-вязкий переход наступает при спонтанной эмиссии дислокации из вершины «острой» трещины, находящейся в критических условиях нагружения, отвечающих разрушению хрупким сколом. В действительности, однако, хрупкий скол, в частности в металлах, часто сопровождается активным процессом эмиссии дислокаций. В связи с этим в [39, 40] проанализирована возможность развития трещины посредством скола под влиянием дополнительных напряжений, порождаемых скоплением дислокаций. Рассматривается случай, когда излученные из вершины трещины отрыва дислокации накапливаются вдоль плоскости скольжения, образующей некоторый угол с направлением трещины. Скопление дислокаций нарушает симметрию нагружения трещины, создает концентрацию сдвиговых напряжений на линии трещины Ku =# 0 и дополнительные растягивающие напряжения. При определенных условиях, приводимых в [39], предпочтительным становится не дальнейшая эмиссия дислокаций и затупление трещины, а ее подрастание по механизму скола. Иные модели, которые могут приводить к аналогичным эффектам, рассмотрены в [40]. В некоторых случаях эксперименты показывают, что вблизи конца трещины на ее продолжении дислокации образуют пластическую зону, отделенную от края трещины перемычкой упруго деформировавшегося материала. Теоретические модели, объясняющие и описывающие это явление, предложены в [43, 44].

При теоретическом исследовании критерия роста трещины с учетом ее взаимодействия с дислокациями может оказаться удобным применять некоторые общие результаты работы [41], где в двумерном случае получены формулы для подсчета сил, действующих на трещины и экранирующие их дислокационные облака. Соответствующая теорема аналогична теореме об инвариантных интегралах [9, 12] и справедлива не только для неподвижных, но и для распространяющихся трещин,

Континуальное описание взаимодействия трещин и дислокаций оказывается полезным и при рассмотрении разрушения в моделях решеток, так как позволяет путем сопряжения 《внешней» континуальной задачи с «внутренней» решеточной получить недостающие в моделях решеток краевые условия. Так в [7] показано, что распространению хрупкой плоской трещины вследствие эффекта решеточного захвата может предшествовать образование и движение дислокационных кинков на фронте трещины. Однако при анализе этого процесса в рамках решеточных моделей приходится задавать энергию образования двойного кинка (например, в [45] эта энергия считается постоянной). Расчет энергии образования двойного кинка можно провести [46], рассматривая «внешнюю» задачу теории упругости о взаимодействии плоской трещины, моделируемой непрерывным распределением дислокаций, и двойного кинка на ее фронте, моделируемого дислокационной петлей. Одновременно удается получить и условия устойчивости фронта трещины. В рамках континуальных теорий дефектов в последнее время все большее внимание уделяется изучению не традиционных для теорий решеток типов дислокаций, а именно «поворотных» дислокаций (или дисклинаций) и комбинаций обычных трансляционных и поворотных дислокаций (диспираций) [47——49]. Дисклинации используются при моделировании эффектов разори- ентации зерен [47] при деформировании поликристаллов, полей смещений при подвижках (землетрясениях) [47, 49], некоторых видов деформаций жидких кристаллов [49]; дис- пирации ——при моделировании поведения микробиологических систем [49]. Обзор работ по полевым теориям дефектов содержится в [50, 51]. Здесь отметим лишь, что для описания динамики дислокаций и дисклинаций развивается [52] подход, аналогичный калибровочному подходу в квантовой теории поля. Некоторые соображения о перспективности калибровочных теорий дефектов высказаны в [51].

Наряду с рассмотрением нетрадиционных типов дефектов имеется потребность в изучении деформирования специфических для теории дислокаций объектов, таких, например, как слоистые монокристаллы. В [53] этот вопрос изучается в связи со слоистыми монокристаллами графита и иодида ртути (Hgl2), имеющими важные приложения в технике. Современному состоянию теории дислокаций в анизотропных средах посвящен обзор [54].

В работах, представленных в сборнике, разрушение как при механических нагрузках, так и при дополнительном воздействии активных сред рассматривается преимущественно на атомном уровне. Очевидно, что во многих случаях при

разрушении лимитирующими являются процессы не на атомном уровне, а в более крупных масштабах. Не имея возможности останавливаться на этих вопросах, ограничимся некоторыми литературными указаниями (в называемых работах имеются и дальнейшие ссылки).

Физико-химические механизмы воздействия активных сред на материалы в различных структурных уровнях детально рассматриваются в докладах конференции [55], не вошедших в сборник, а также в [9, 12, 56——62], где приводятся также и основные существующие теории разрушения в активных средах.

Применительно к описанию разрушения путем прорастания макротрещин в рамках теории трещин модели связи характеристик трещиностойкости материалов с их структурой и текстурой обсуждаются, в частности, в [6, 9, 12, 57, 63——67].

Закономерности накопления повреждений при разрушении реальных материалов и формирование упорядоченных систем нарушений изучаются в [68——72]. Совместное исследование стадий накопления повреждений, возникновения и роста макротрещин проводится в рамках объединенных моделей разрушения в [73—76].

Наконец, некоторые новые механизмы разрушения, присущие композитным материалам, проанализированы в [9,12, 13,22, 77,78].

ЛИТЕРАТУРА

Баренблатт Г. И. О некоторых общих представлениях математической теории хрупкого разрушения. — ПММ, 1964, 28, с. 630—643.

Irwin G. R. Fracture mode transition for a crack traversing a plate.— Tians. ASME, ser. D, 1960, 82, c. 417—425.

Ирвин Дж. P. Линейная механика разрушения, переход от вязкого разрушения к хрупкому и методы контроля разрушения. — В кн.: Испытания высокопрочных металлических материалов на вязкость разрушения при плоской деформации.——М.: Мир, 1972, с. 225——244.

Новожилов В. В. О необходимом и достаточном условии хрупкой прочности. — ПММ, 1969, 33, с. 212—222.

Новожилов В. В. К теории равновесных трещин в упругих телах.— ПММ, 1969, 33, с. 797—812.

Ентов В. М. О роли структуры в механике разрушения. — Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1976, № 3, с. ПО—118.

Thomson R. Physics of fracture. — In: Atomistics of Fracture, ed. R. M. Latanision, J. R. Pickens. — New York: Plenum Press, 1983, p. 167—204. [Перевод см. на стр. 104 данного сборника.]

Knott J. F. Mechanics of Fracture. — In: Atomistics of Fracture, ed. R. M. Latanision, J. R. Pickens. -- New York: Plenum Press, 1983, p. 167—204. [Перевод см. на стр. 145 данного сборника.]

Разрушение (ред. Г. Либовиц), т. I—VII. — М.: Мир, 1973—1977.

Панасюк В. В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами.— Киев： Наукова думка, 1968.

Махутов Н. А. Сопротивление элементов конструкций хрупкому разрушению.—М.: Машиностроение, 1973.

Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. — М.: Наука, 1974.

Слепян Л. И. Механика трещин. — Л.: Судостроение, 1981.

Ляв А. Математическая теория упругости. •— М.——Л.: Гостехиздат, 1935.

Борн А1., Хуан Кунь. Динамическая теория кристаллических решеток.— М.: ИЛ, 1958.

Косевич А. М. Основы механики кристаллической решетки. — М.: Наука, 1972.

Морозов Н. Ф., Паукшто М. В. О дискретных моделях двумерной теории упругости. — ДАН АрмССР, 1983, 77, с. 122—125.

Назаров С. А., Паукшто М. В. Дискретные модели и осреднение в задачах теории упругости. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1984.

Слепян Л. И., Троянкина Л. В. Волна разрушения в цепочке. — ПМТФ, 1984, № 6, с. 128—134.

Маслов В. П. Операторные методы. — М.: Наука, 1973.

Шермергор Т. Д. Теория упругости микронеоднородных сред. — М.: Наука, 1977.

Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций.—М.: Машиностроение, 1980.

Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов.—М.: Наука, 1984.

Победря Б. Е. Механика композиционных материалов. — М.: Изд-во МГУ, 1984.

Salganik R. L. Overall effects due to cracks and cracklike defects.— Proc. 1-st Int. Symp. on Defects and Fracture, Tuchno, Poland, 1980. Haag, Boston: Martinus Nijhoff PubL, 1982.

Кунин И. А. Теория упругих сред с микроструктурой. — М.: Наука, 1975.

Dienes G. J., Paskin A. Computer modeling of cracks. — In: Atomistics of Fracture, ed R. M. Latanision, J. R. Pickens. — New York: Plenum Press, 1983, p. 671—704. [Перевод см. на стр. 177 данного сборника.]

Слепян Л. И. Антиплоская задача о трещинах в решетке. — Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1982, с. 101—115.

Кулахметова Ш. А., Сарайкин В. А., Слепян Л. И. Плоская задача о трещине в решетке. — Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1984, с. 112—118.

Слепян Л. И. Динамика хрупкого разрушения в средах со структурой.—Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1984, с. 121—130.

Ansorge R., Grothkopf V., Morozov N., Paukszto M. On discrete models of elastic media. — Preprint Hamburg Univ., 1984, 29 p.

Дефекты в кристаллах и их моделирование на ЭВМ, ред. Ю. А. Осипь- ян. — 〃.： Наука, 1980.

Теодосиу К. Упругие модели дефектов в кристаллах. — М.: Мир, 1985.

Рябенький В. С. Граничные уравнения с проекторами. — УМН, 1985, 40, № 2, с. 121-149.

Shaw R. Р. An outer boundary integral equation applied to transient wave scattering in an inhomogeneous medium. — J. Appl. Meeh., 1975, 42, p. 147—152.

Caglioti G. A comment on the interpretation of the Griffith's surface energy in terms of lattice vibrations. — In: Atomistics of Fracture, ed R. M. Latanision. J. R. Pickens. — New York: Plenum Press, 1983, p. 1053—1055.

Косевич A. M. Дислокации в теории упругости. — Киев: Наукова думка, 1978.

Rice J. R., Thomson R. Ductile versus brittle behaviour of crystals. — Phil. Mag., 1974, 29, p. 73—97.

Sinclair J. E., Finnis M. W. Crack-tip blunting versus cleavage extension.—In: Atomistics of Fracture, ed. R. M. Latanision, J. R. Pickens.— New York: Plenum Press, 1983, p. 1047—1051.

Lin I.-H., Thomson R. The transition from an emitting to a cleaving crack. — Scr. MetalL, 1983, 17, p. 1031 —1034.

Thomson R. M., Sinclair J. E. Mechanics of cracks screened by dislocations. —Acta metall., 1982, 30, p. 1325—1334.

Li J. С. M. The role of dislocations in fracture mechanics. — In: Dislocations in solids: Some recent advances, AMD-63. — New York: ASME, 1984, p. 35—43.

Rui-Huan Zhao, Shu-Но Dai, Li J. С. M. Dynamic emission of dislocations from a crack tip — a computer simulation. — Int. J. Fracture, 1985, 29, p. 3—20.

Nagar A. K., Fu L. S.a Analysis of a crack-tip dual zone model. — Int. J. Fracture, 1985, 28, p. 245—259.

Lawn B. R., Wilshaw T. R. Fracture of brittle solids. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1975.

Lin I.-H., Hirth J. P. On brittle crack advance by double kink nucleation.—J. Mater. Sci., 1982, 17, p. 447—460.

Де Вит P. Введение в теорию дисклинаций. — М.: Мир, 1977.

Dislocations in Solids: Some Recent Advances, AMD-63. — New York: ASME, 1984.

Chou T. W. Theory of dislocations and dispirations. — In: Dislocations in Solids: Some Recent Advances, AMD-63. — New York: ASME, 1984, p. 11-20.

Kroner E. Continuum theory of defects. — In: Physics of Defects, ed. R. Balian at al. — Amsterdam: North-Holland, 1981, p. 217—315.

Kroner E. The fundamental field theory of defects in crystals. — In: Dislocations in Solids: Some Recent Advances, AMD-63. — New York: ASME, 1984, p. 1—10.

Kadic A., Edelen D. A gauge theory of dislocations and disclinations, Lecture Notes in Physics 174. — Heidelberg: Springer, 1983.

Milstein F., Georgeson G. Plastic deformation and dislocation structure of a layered single crystal. — In: Dislocations in Solids: Some Recent Advaces, AMD-63. — New York: ASME, 1984, p. 89—94.

Инденбом В. Л., Альшиц В. И., Чернов В. М. Дислокации в анизотропной теории упругости. — В кн.: Дефекты в кристаллах и их моделирование на ЭВМ, ред. Ю. А. Осипьян. — Л.: Наука, 1980, с. 23——76.

Atomistics of Fracture, ed R. M. Latanision, J. R. Pickens. — New York: Plenum Press, 1983

Гельд П. В., Рябов P. А. Водород в металлах и сплавах. — М.: Металлургия, 1974.

Механика разрушения. Разрушение материалов. Сб. статей 1977. — М.: Мир, 1979.

Гольдштейн Р. В., Ентов В. М., Павловский Б. Р. Модель развития водородных трещин в металлах.—ДАН СССР, 1977, 237, с. 828—831.

Панасюк В. В., Андрейкив А. Е., Харин В. С. Теоретический анализ роста трещин в металлах при воздействии водорода. -— Физ.-хим. мех. материалов, 1981, № 4, с. 61—75.

Панасюк В. В., Ратыч Л. В., И. Н. Дмытрах. Циклическая трещино- стойкость металлов в коррозионных средах. — Успехи механики, 1984, 7, с. 37—50.

Mura Т., Hirose Y. A dislocation model for crack initiation and propagation by stress corrosion in high-strength steel. — In: Dislocations in Solids: Some Recent Advances, AMD-63. — New York: ASME, 1984, p. 59—68.

Гольдштейн P. В., Вазовский А. Ф., Павловский Б. Р. Развитие дискообразного расслоения в стальном листе под действием растяжения и Наводороживани^. — физ.-хим. мех. материалов, 1985, № 5, с. 100—105,

Pisarenko G. S., Krasowsky A. J. Analysis of kinetic of quasibrittle fracture of crystalline materials.—Meeh. Behav, of Mater. Proc. I nt. Conf. Meeh. Behav. of Mater., Kyto, 1971, Soc. Mater. Sci. Japan, 1972, 1, p. 421—432.

Романив О. H., Ткач А. Н. Микромеханическое моделирование вязкости разрушения металлов и сплавов.——Физ.-хим. мех. материалов, 1977, 13, № 5, с. 5—22.

Романив О. Н. Вязкость разрушения конструкционных сталей. — М.: Металлургия, 1979.

Красовский А. Я. Хрупкость металлов при низких температурах.—— Киев: Наукова думка, 1980.

Проблемы разработки конструкционных сплавов, ред. Джаффи Р. И., Вилкокс Б. А. — М.: Металлургия, 1980.

Баренблатт Г. И., Ботвина Л. Р. Автомодельность усталостного разрушения. Накопление повреждений.— Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1983, № 4, с. 161—165.

Ревуженко А. Ф., Стажевский С. Б., Шемякин Е. И. О механизме деформирования сыпучего материала при больших сдвигах. — Физ.-техн, проблемы разраб, полезных ископаемых, 1974, с. 130—133.

Никитин Л. В., Рыжак Е. И. Разрушение горной породы с внутренним трением и дилатансией. — ДАН СССР, 1976, 230, с. 1203—1206.

Гольдштейн Р. В., Осипенко Н. М. Разрушение и формирование структуры. 一 ДАН СССР, 1978, 240, с. 829—837.

Гольдштейн Р. В., Капцов А. В. Формирование структур разрушения слабо взаимодействующих трещин. — Изв. АН СССР, Механика твер- • дого тела, 1982, № 4, с. 173—182.

Болотин В. В. Распределение времен до разрушения при случайных нагрузках. — ПМТФ, 1980, № 5, с. 149158.

Болотин В. В. Объединенная модель разрушения композиционных материалов при длительно действующих нагрузках. — Механика композитных материалов, 1981, с. 405—420.

Болотин В. В. Уравнения роста усталостных трещин. — Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1983, № 4, с. 153—160.

Болотин В. В. Объединенные модели в механике разрушения.— Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1984, № 3, с. 127—137.

Черепанов Г. П. Механика разрушения композиционных материалов.— М.: Наука, 1983.

Budiansky В. Micromechanics. — Computers and Structures, 1983, 16, p. 3—12.

СОДЕРЖАНИЕ

От редактора перевода 4

А. Уэствуд, Дж. Пиккенс. Применение разрушения. Перевод Б. Р« Павловского' 7

Н. Макмиллан. Идеальная прочность твердых тел. Перевод В. А. Город- цова35

Р. Томсон. Физика разрушения. Перевод В. А. Городцова104

Дк Нотт. Механика разрушения. Перевод £ Р. Павловского • . . 145

Г. Дайнис, А. Пэскин. Моделирование трещин с помощью вычислительных машин. Перевод 反 4 Городцова177

П. Хаазен, Электронные процессы в ядрах дислокациб и вершинах трещин. Перевод М. 3. Шаскольской213

Р. В. Гольдштейн. Дополнение. Некоторые вопросы микромеханики и атомистики разрушения236

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!

Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».

Научное издание

АТОМИСТИКА РАЗРУШЕНИЯ

Ст.'научный редактор П. Я. Корсоюцкая

Мл. научный редактор И. В. Герасимова

Художник А. В. Шипов

Художественный редактор В. И. Шаповалов

Технический редактор Е. С. Потапенкова

Корректор Н. А. Гиря

ИБ № 5919

Сдано в набор 19.05.86. Подписано к печати 05.12.86. Формат 60X90(/ie.

Бумага кн.-журн. Печать высокая. Гарнитура литературная.

Объем 7,75 бум. л. Усл. печ. л. 15,50. Усл. кр.-отт. 15,76. Уч.-изд. л. 15,22.Изд. № 1/4723. Тираж 3 000 экз. Зак. 184. Цена 2 р. 30 к.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

129820, ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский пер., 2

Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена ТрудовогоКрасного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга»им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственномкомитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.

1)Split от древнеанглийского cleofan, ср. немецкое слово klieben —' раскалывать, расщеплять.

i МЕХАНИКАМ

НОВОЕ В ЗАРУБЕЖНОЙ НАУКЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО М И Р" МОСКВА

ЕДАНТОРЫ СЕРИИ： А.Ю.ИШЛИНСКИЙх Г. Г. ЧЁРНЫЙ

АГОМИСТИНАРАЗРУШЕНИЯ

АТОМИСТИКА РАЗРУШЕНИЯ

МЕХАНИКА

НОВОЕ В ЗАРУВЕ出HOZ НАУКЕ

РЕДАКТОРЫ СЕРИИ： А.Ю.ИШЛИНСНИЙ/ Г. Г. ЧЕРНЫЙ

АГОМИСТИНАРАЗРУШЕНИЯ

Сборник статей

Перевод с английскогопод редакцией

Р. В. ГОЛЬДШТЕЙНА

МОСКВА «МИР» 1987

ББК 22.25 Д92

УДК 539.3 + 548

Атомистика разрушения: Сб. статей 1983—— А92 1985 гг. Пер. с англ./Сост. А. Ю. Ишлинский.—

М.: Мир, 1987. — 248 с., ил.

Сборник статей зарубежных ученых, в основу которого легли избранные доклады на Международной конференции по атомистике разрушения, проведенной Институтом перспективных исследований. Тематика статей связана с явлениями разрушения материалов и конструкций при воздействии активных сред и механических нагрузок. Рассмотрены чисто механические эффекты и физико-химические взаимодействия среды и материалов. Среди авторов — известные специалисты: А. Уэствуд, Н. Макмиллан, Р. Томсон (США), Дж. Нотт (Англия), П. Хаазен (ФРГ),

Для специалистов в области прочности и разрушения материалов, физикохимиков, материаловедов, аспирантов и студентов вузов.

АА1703040000-076041(01)-87""""1703040000-076041(01)-87""""48-87, ч.48-87, ч.ББК 22.25ББК 22.25

А

А

1703040000-076

041(01)-87""""

1703040000-076

041(01)-87""""

48-87, ч.

48-87, ч.

ББК 22.25

ББК 22.25

Редакция литературы по математическим наукам

© Состав, перевод на русский язык, дополнение,《Мир》，1987